close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

499

код для вставкиСкачать
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Г л а в а 1. Фазовые переходы и критические явления. Основные представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Определение фазовых переходов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Условия равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Классификация фазовых переходов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Критическая точка. Критические явления . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Теория описания фазовых переходов II рода. . . . . . . . . . . . .
1.6. Критические показатели (индексы). Соотношения между
критическими индексами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Гипотеза подобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1. Однородные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2. Обобщенные однородные функции . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3. Статическая гипотеза подобия . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Метод ренормгруппы и -разложения . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9. Влияние дефектов структуры на критическое поведение. . . .
Г л а в а 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
2.1. Классические решеточные модели фазовых переходов . . . . .
2.1.1. Модель Изинга. История возникновения. Область применения. Определение модели . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Трехмерная -модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Двумерная -модель и фазовые переходы в плоских
системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Моделирование методом Монте-Карло канонического ансамбля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Канонический ансамбль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Метод Монте-Карло. Алгоритм Метрополиса . . . . . . .
2.2.3. Динамическая интерпретация процесса моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
9
9
10
11
13
14
16
18
20
21
22
26
34
40
40
40
42
42
46
46
46
49
4
Оглавление
2.2.4. Граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5. Генераторы случайных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Моделирование двумерной модели Изинга . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Реализация алгоритма Метрополиса. Текст программы
2.3.2. Релаксационные свойства модели. Установление состояния равновесия. Описание демонстрационной программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Характеристики ферромагнитного фазового перехода второго
рода, определяемого моделью Изинга. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Свойства фазового перехода. Критические индексы . .
2.4.2. Влияние конечных размеров моделируемой системы на
критические свойства. Конечномерное масштабирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3. Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4. Текст программы для трехмерной модели Изинга . . . .
2.4.5. Применение кластерного метода Вольфа для уменьшения эффектов критического замедления . . . . . . . . . .
2.5. Характеристики ферромагнитного фазового перехода первого рода, определяемого трехмерной моделью Изинга во внешнем поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Свойства фазового перехода первого рода. Метастабильные состояния. Гистерезис . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2. Задания по моделированию фазовых переходов первого
рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Моделирование критического поведения неупорядоченных
систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1. Алгоритм выращивания конфигураций со случайным
распределением примесей. Модификация метода
Монте-Карло для неупорядоченных систем . . . . . . . .
2.6.2. Задания по моделированию критического поведения
трехмерной неупорядоченной модели Изинга . . . . . . .
50
50
52
52
58
59
61
61
62
64
66
70
75
75
76
78
78
86
Г л а в а 3. Методы параллельного программирования . . . . . . 88
3.1. Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2. Терминология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3. Базовые функции MPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.4. Обзор коммуникационных операций типа точка-точка . . . . . 97
3.5. Обзор коллективных операций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.6. Глобальные вычислительные операции над распределенными
данными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Оглавление
5
Г л а в а 4. Результаты научных исследований по компьютерному моделированию критического поведения
неупорядоченных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.1. Исследования критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Методика и результаты компьютерного моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. Метод конечноразмерного скейлинга . . . . . . . . . . . . .
4.1.3. Расчет критических характеристик . . . . . . . . . . . . . .
127
128
130
135
4.2. Компьютерное моделирование критической динамики неупорядоченной трехмерной модели Изинга . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2.1. Определение критического индекса z для однородной
и неупорядоченной модели Изинга . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2.2. Обсуждение результатов моделирования . . . . . . . . . . 145
4.3. Компьютерное моделирование критической динамики неупорядоченной двумерной модели Изинга . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Анализ результатов моделирования однородной и слабо неупорядоченной двумерной модели Изинга . . . . .
4.3.2. Анализ результатов моделирования сильно неупорядоченной двумерной модели Изинга . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3. Исследование влияния конечного размера системы на
результаты моделирования неупорядоченной двумерной модели Изинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Особенности фазовых превращений в неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга со случайными полями . .
4.4.1. Определение модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2. Методика моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3. Результаты моделирования и их анализ. Фазовые диаграммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4. Исследование сильно неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга со случайными полями . . . . .
147
154
155
157
159
159
162
167
170
4.5. Исследование влияния дальнодействующей корреляции дефектов на критическое поведение систем методами компьютерного моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.5.1. Исследование неравновесной критической релаксации
модели Изинга с линейными дефектами из начального
полностью упорядоченного состояния . . . . . . . . . . . . 181
4.5.2. Исследование критической эволюции модели Изинга с
линейными дефектами из начального неупорядоченного состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6
Оглавление
П р и л о ж е н и е. Версии используемых программ на языке СИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Программа для моделирования критического поведения двумерной однородной модели Изинга. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Программа реализации алгоритма Вольфа для трехмерной
модели Изинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Программа для моделирования критического поведения трехмерной однородной модели Изинга. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Программа для моделирования критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга . . . . . . . . . . . . . . .
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193
193
197
201
205
211
Введение
Описание фазовых переходов по праву считается одной из
наиболее сложных и всегда актуальных задач статистической
теории [3, 4, 8, 12, 13, 17, 41, 43, 51]. Наблюдаемые по мере
приближения к точке фазового перехода аномально большие и
долгоживущие флуктуации некоторых термодинамических переменных характеризуются сильным взаимодействием. Для теоретического анализа поведения таких систем разработаны сложные методы ренормгруппового и теоретикополевого описания.
Используемые при этом приближения, как и в случае других
систем с сильным взаимодействием, требуют для их обоснования
сопоставления достигнутых результатов с результатами физического или компьютерного эксперимента. Компьютерное моделирование критических явлений позволяет получать наглядную информацию о росте флуктуаций намагниченности и критическом
замедлении процессов релаксации в ферромагнитных системах
по мере приближения к температуре фазового перехода, о проявлении аномалий поведения теплоемкости и магнитной восприимчивости. Для получения подобной информации из физического
эксперимента потребовалось бы привлечение больших технических и финансовых средств, в то время как для осуществления
компьютерного моделирования применяются ПЭВМ, доступные
каждому исследователю и непрерывно модифицируемые год от
года.
Как цели, так и средства науки начинают меняться в наш
компьютерный век. Долгое время теоретическая физика стремилась к аналитическим решениям своих задач. Это казалось
единственным способом полного описания. Однако целый ряд
важных и актуальных задач не допускает такого решения. Единственным возможным подходом явилось применение ЭВМ. Использование компьютеров стало к настоящему времени неотъемлемой частью физических исследований [2, 5, 38, 45, 47]. Можно
утверждать, что возникла новая область физики — компьютерная
физика, направленная на решение проблем экспериментальной
и теоретической физики. Сформировался и значительный контингент исследователей, для которых применение компьютеров
8
Введение
в физике стало, по существу, основной областью научной работы,
главной сферой приложения творческих сил.
Настоящее пособие поможет студентам получить навыки компьютерного моделирования систем из достаточно большого числа
частиц, в поведении которых уже начинают проявляться статистические закономерности. В качестве метода численного статистического моделирования предлагается метод Монте-Карло,
который в настоящее время широко применяется для решения
различных задач физики, механики, химии, биологии, кибернетики. В статистической физике с помощью метода Монте-Карло
получены наиболее значительные достижения. Это связано с
тем, что статистические закономерности макроскопических систем имеют прежде всего стохастическую природу, а метод
Монте-Карло, используемый для прямого моделирования естественной вероятностной модели, позволяет довольно просто вычислить средние в каноническом ансамбле.
Компьютерный эксперимент позволяет получить информацию
о свойствах лишь конкретных модельных систем, для которых
заданы взаимодействия между частицами. В качестве такой системы в данном пособии выбрана модель Изинга, являющаяся
самой распространенной в статистической физике. Эта модель
находит применение при рассмотрении разнообразных систем —
магнитных систем (ферромагнетики, антиферромагнетики, ферримагнетики), классических жидкостей, бинарных смесей и
сплавов, адсорбции на поверхности и т. д. Наиболее часто модель
Изинга используется при описании фазовых переходов. Именно задачи фазовых переходов и критических явлений являются
той областью, в которой компьютерный эксперимент становится
альтернативой реальному физическому эксперименту и зачастую,
например при описании свойств сильно неупорядоченных систем,
единственно возможным способом получения достоверной информации.
Авторы пособия — специалисты по теории фазовых переходов
и критических явлений. Их достижения в разработке и применении ренормгрупповых методов для описания фазовых переходов
широко известны научной общественности, а работы по компьютерному моделированию неравновесного критического поведения
неупорядоченных систем явились пионерскими в своей области
[18–36, 175–190]. В гл. 4 представлены результаты научных исследований авторов по компьютерному моделированию критического поведения структурно неупорядоченных систем — одной из
наиболее актуальных областей применения численных методов
Монте-Карло для свойств фазовых переходов.
Глава 1
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ И КРИТИЧЕСКИЕ
ЯВЛЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
1.1. Определение фазовых переходов
Фазовые превращения — широко распространенные явления
природы, которые систематически исследуются уже более ста
лет. Началом исследований в области физики фазовых переходов, по всей видимости, следует считать экспериментальное изучение Т. Эндрюсом (1869 г.) критической точки жидкость–пар.
В термодинамике фазой вещества называется любое однородное состояние системы, т. е. такое, при котором физические
свойства системы во всех точках одинаковы.
Приведем некоторые примеры фазовых состояний вещества:
— жидкое, газообразное, кристаллическое;
— ферромагнитное — состояние, характеризующееся преимущественным упорядочением магнитных моментов атомов;
— антиферромагнитное — состояние системы, представляющей собой несколько ферромагнитных подрешеток с компенсирующими друг друга магнитными моментами;
— сегнетоэлектрическое — состояние, характеризующееся
преимущественным упорядочиванием дипольных моментов;
— сверхтекучее — состояние, при котором вещество ( ) способно протекать сквозь малые капилляры без трения;
— сверхпроводящее — состояние, при котором возбужденный
в системе ток может протекать без электрического сопротивления;
— спиновое стекло;
— нематическое состояние жидких кристаллов.
Фазовые состояния описывают различными физическими характеристиками. В системе, фазы которой находятся в равновесии, даже незначительное изменение внешних условий системы
приводит к переходу вещества из одной фазы в другую, который
называется фазовым переходом.
10
Гл. 1. Фазовые переходы и критические явления
Многообразие фазовых состояний вещества определяет многообразие видов фазовых переходов:
жидкость
твердое тело;
— газ
парамаг— магнитные фазовые переходы (ферромагнетик
нетик);
— структурные фазовые переходы (смена кристаллографической модификации вещества).
Несмотря на различную физическую природу фазовых переходов, термодинамический подход позволяет осуществить классификацию и построить общую теорию фазовых переходов.
1.2. Условия равновесия
Рассмотрим двухфазную систему, находящуюся в состоянии
равновесия (рис. 1.1). В этом состоянии граница раздела фаз
неподвижна, т. е. на поверхности соприкосновения силы действия
фаз друг на друга равны, противоположно направлены и должно
выполняться условие механического равновесия:
1
2
(1.1)
Как и для любых частей системы, находящихся в состоянии
равновесия, должно выполняться условие термического равновесия фаз:
1 2 (1.2)
Условие химического равновесия фаз — равенство химических потенциалов:
1 2 (1.3)
Это равенство отражает тот факт, что среднее число частиц,
которые переходят из первой фазы во вторую, совпадает со
средним числом частиц, переходящих из второй фазы в первую.
Из определения химического
потенциала
как удельного потенциI
II
ала Гиббса непосредственно следует равенство 1 , 2 , ,
и, следовательно, равновесие фаз
осуществляется не при любых
Рис. 1.1
и , а лишь в соответствии с соот , получаемым
ношением
задает
из условия 1 , 2 , . Зависимость
и кривую равновесия фаз, она
в пространстве переменных
разделяет области существования различных фаз.
1.3. Классификация фазовых переходов
11
При изменении состояния тела вдоль кривой процесса, пересекающей кривую равновесия фаз, происходит расслоение фаз
(в точке пересечения кривых), после чего тело переходит в другую фазу. Отметим, что при квазистатически медленном изменении состояние системы в определенных пределах, определяемых энергетическими свойствами границы раздела фаз, может
сохраняться однородным даже при нарушении отмеченных выше
условий, что должно было бы вызвать разделение фаз (таковы,
например, переохлажденный
P
пар и перегретая жидкость).
Такие состояния, однако, оказываются метастабильными.
III
II
Аналогично
условиям
равновесия двух фаз равновесие трех фаз для одного и Pòð
того же вещества определяI
ется равенствами
2 3,
1 2 3 ,
1 2 3 1
(1.4)
Tòð
T
Рис. 1.2
Обозначив общие значения давления и температуры трех фаз
и тр , получим условие
тр
1 , 2 , 3 , ,
которое выполняется лишь при определенных значениях тр и
тр (решение единственное).
Состояние, в котором одновременно сосуществуют три фазы
(так называемые тройные точки), на диаграмме – отобразится
изолированной точкой тр , тр пересечения кривых равновесия
для каждых двух из трех фаз (рис. 1.2); , , — области
трех однородных фаз. Равновесие более трех фаз для одного и
того же однокомпонентного вещества невозможно.
1.3. Классификация фазовых переходов
Некоторые из фазовых превращений сопровождаются выделением (или поглощением) тепла и скачкообразным изменением
плотности. В этом случае новая фаза возникает в виде зародышей, например пузырьков пара в воде, и фазовый переход
осуществляется путем постепенного увеличения объема новой
фазы в массиве старой. В соответствии с известной классифика-
12
Гл. 1. Фазовые переходы и критические явления
цией П. Эренфеста (1933 г.) такие фазовые переходы называются
фазовыми переходами первого рода (ФП I).
Фазовые превращения, при которых сосуществование двух
фаз исключено и новая фаза возникает сразу во всем объеме, полностью заменяя собой старую, носят название фазовых
переходов второго рода (ФП II), или непрерывных фазовых
переходов.
Классификацию фазовых переходов более строго можно представить следующим образом.
— Фазовые переходы первого рода характеризуются разрывом
первых производных от химического потенциала при
переходе через кривую равновесия фаз:
1 2 — поглощение или вы
деление скрытой теплоты перехода,
1 2 — скачок плотности
вещества, т. е. возникает четко наблюдаемая граница раздела
фаз;
— Фазовые переходы второго рода характеризуются тем,
что первые производные от химического потенциала
непрерывны, а вторые производные претерпевают конечный
или бесконечный разрыв:
2
2
— скачок теплоемкости,
2 2
2
— скачок изотермической сжимаемости,
— скачок коэффициента температурного расширения.
Фазовые переходы второго рода чаще всего связаны со спонтанным изменением каких-либо свойств симметрии тела.
Например, в высокотемпературной фазе кристалл имеет кубическую решетку с ячейкой, изображенной на рис.1.3
(атомы в вершинах, атомы в центрах граней и атомы в центрах ячеек). В низкотемпературной фазе атомы и смещены относительно атомов в направлении одного из ребер куба. В результате этого смещения решетка сразу меняет
1.4. Критическая точка. Критические явления
13
симметрию, превращаясь из кубической в тетрагональную. Этот
пример характерен тем, что никакого скачкообразного изменения
состояния тела не происходит.
Расположение атомов в кристалле меняется непрерывным образом. Однако сколь угодно малого
смещения атомов относительно
их первоначального положения
достаточно для изменения симметрии решетки.
Многочисленные
исследования разнообразных по своей
физической природе фазовых
переходов убедительно свидетельствуют об их определенном
сходстве и, что самое удивительное, о количественном совпадеРис. 1.3
нии некоторых их характеристик.
Это дает надежду на возможность построения достаточно общей
универсальной теории фазовых переходов.
1.4. Критическая точка. Критические явления
К фазовым переходам второго рода в известном смысле примыкают также фазовые переходы, происходящие в критической
точке.
Критической называется точка на фазовой плоскости, например, давление–температура для системы жидкость–пар, в которой оканчивается кривая фазового равновесия. Соответствующие
ей температура и давление носят названия критической температуры и критического давления . При температурах выше
и при давлениях больше не существует различных фаз и
тело всегда однородно. Можно сказать, что в критической точке
исчезает различие между фазами. Понятие о критической точке
было впервые введено Д.И. Менделеевым (1860 г.).
При наличии критической точки между любыми двумя фазовыми состояниями вещества может быть реализован непрерывный переход, при котором ни в один из моментов процесса
изменения состояния вещества не происходит расслоения на две
фазы — для этого надо изменять состояние вдоль любой кривой, огибающей критическую точку и не пересекающей кривую
равновесия фаз. При наличии критической точки становится
несколько условным само понятие различные фазы и невозможно
14
Гл. 1. Фазовые переходы и критические явления
во всех случаях указать, какие состояния относятся к одной
фазе, а какие — к другой. Таким образом, можно говорить о
двух фазах только тогда, когда они существуют одновременно,
соприкасаясь одна с другой, т. е. в точках, лежащих на кривой
равновесия.
Критическая точка может существовать только для таких
фазовых состояний вещества, различие между которыми имеет
исключительно количественный характер. Таковы жидкость и
газ, отличающиеся друг от друга большей или меньшей ролью
взаимодействия между молекулами. Такие же фазы, как жидкость и твердое тело (кристалл) или кристаллические модификации вещества, характеризуются качественными различиями —
имеют разную внутреннюю симметрию. Ясно, что элемент симметрии системы может либо быть, либо отсутствовать; он может
появиться или исчезнуть с изменением ее состояния мгновенно,
скачком, а не постепенно. В каждом состоянии тело будет обладать либо одной, либо другой симметрией, и поэтому всегда
можно указать, к которой из двух фаз оно относится. Критическая (концевая) точка для таких фаз не может существовать, и
кривая равновесия должна либо уходить на бесконечность, либо
пересекаться с кривыми равновесия других фаз.
Оказывается, что переходы первого рода, близкие к критической точке, становятся весьма похожими на фазовые переходы
второго рода: скачки первых производных (плотности, скрытой
теплоты фазового перехода) становятся малыми, но одновременно возникают аномалии в поведении вторых производных термодинамического потенциала (теплоемкости, сжимаемости и др.),
как в случае типичных фазовых переходов второго рода. Это и
определяет физическую общность между фазовыми переходами
второго рода и критическими явлениями.
1.5. Теория описания фазовых переходов II рода
Первая универсальная феноменологическая теория фазовых
переходов второго рода и критических явлений была предложена
Л. Д. Ландау в 1937 г. [11, 12]. Она явилась важным этапом
в создании современной теории критических явлений, поскольку
позволила в рамках единого подхода описать совокупность фазовых переходов второго рода и критических явлений в различных
системах. Ландау удалось выделить общую черту, которая объединяет множество фазовых переходов в казалось бы далеких
друг от друга по физическим свойствам материалах — спонтанное нарушение симметрии, для описания которого он ввел фун-
15
1.5. Теория описания фазовых переходов II рода
даментальное понятие современной теории критических явлений — параметр порядка. Физический смысл этого параметра
может быть различным и зависит от природы фазового перехода.
Примерами параметра порядка могут служить: намагниченность при переходе ферромагнетик–парамагнетик; разность плотностей жидкости и пара в окрестности критической точки системы жидкость–пар; волновая функция сверхтекучей компоненты
при -переходе в сверхтекучее состояние. Общим для этих
параметров является то, что они равны нулю в высокотемпературной (неупорядоченной) фазе с более высокой симметрией и
отличны от нуля в низкотемпературной (упорядоченной) фазе
с более низкой симметрией.
Ландау постулировал разложимость термодинамического потенциала , , вблизи температуры фазового перехода
в ряд по степеням параметра порядка с коэффициентами
разложения, являющимися аналитическими функциями температуры и внешних параметров. Явный вид этого ряда, а также
число компонент параметра порядка определяются группой симметрии системы в точке фазового перехода [12].
С микроскопической точки зрения теория Ландау представляет некоторое обобщение метода самосогласованного поля, применяемого для описания критического поведения конкретных микроскопических моделей реальных систем — модели Изинга, модели решеточного газа и др. Самый главный и очевидный недостаток этого приближения в том, что оно не учитывает корреляции
микроскопических переменных. Теорию Ландау можно обобщить
с учетом эффектов корреляции, если учитывать только вклад
от степеней свободы, которые соответствуют большим пространственным масштабам и являются определяющими в окрестности
критической точки. В этом случае параметр порядка оказывается
слабо неоднородной величиной и поэтому может быть представлен как медленно изменяющаяся в пространстве функция Ü с
малыми градиентами. В простейшем случае симметрии это
приводит к термодинамическому потенциалу
1
2
0 2 Ü 2 4 2 2 Ü 0
,
(1.5)
2 Ü, 2 2 , который называ
где 2 Ü 1 1
ют эффективным гамильтонианом Гинзбурга–Ландау–Вильсона
[4, 13]. Здесь — размерность пространства, Ü — внешнее поле, сопряженное параметру порядка, 0 , — критическая температура.
16
Гл. 1. Фазовые переходы и критические явления
1.6. Критические показатели (индексы). Соотношения
между критическими индексами
При изучении фазовых переходов и критических явлений
большое внимание уделяется определению значений совокупности показателей, которые получили название критических и
которые описывают эффективное степенное поведение различных интересующих нас термодинамических и корреляционных
функций вблизи температуры фазового перехода (критической
точки).
Дадим общее определение критического показателя, описывающего поведение некоторой функции вблизи критической точки; — приведенная температура, характеризующая степень удаления от критической температуры.
Предположим, что функция положительна и непрерывна
для достаточно малых положительных значений , а также что
существует предел
(1.6)
0
Предел получил название критического показателя степени
(или просто критического показателя), связанного с функцией
. Для краткости можно записать
,
факт, что — критический
(1.7)
показатель
чтобы подчеркнуть тот
функции .
Следует отметить, что выражение для асимптотического поведения термодинамической функции может быть более
сложным и включать поправочные слагаемые. Тогда функция
(1.7) принимает вид
1 ,
0
(1.8)
Может возникнуть справедливый вопрос, почему основное
внимание обращается на такую величину, как критический показатель, который дает значительно меньше информации, чем
полная запись функции. Ответ на этот вопрос определяется,
во-первых, тем экспериментальным фактом, что вблизи критической точки поведение функции — многочлена выражают главным
образом ее ведущие члены. Поэтому графики, полученные в экспериментальных исследованиях при температурах, близких к
критической точке, в двойном логарифмическом масштабе имеют
вид прямых, а критические показатели определяются из наклона
этих прямых. Таким образом, критические показатели всегда
1.6. Критические показатели (индексы) и соотношения между ними
17
измеримы, чего нельзя сказать о всей функции. Вторая причина такого внимания к критическим показателям заключается
в том, что известно много соотношений между критическими
показателями, которые выводятся из общих термодинамических
и статистических положений и поэтому справедливы для любой
частной системы.
Существует простая однозначная связь между критическим
показателем и поведением рассматриваемой функции вблизи
критической точки ( 1). Если критический показатель ,
определяемый уравнением (1.6), отрицателен, то соответствующая функция вблизи критической точки расходится, стремясь к бесконечности; положительные же значения соответствуют функции , обращающейся в этой точке в нуль. Чем
меньше , тем более резкими изменениями вблизи температуры
фазового перехода характеризуется поведение в том смысле,
что для отрицательных расходимость становится сильнее,
а для положительных — стремится к нулю быстрее.
Рассмотрим поведение ряда физических величин вблизи критической точки , которое можно задать определенным набором
критических показателей — индексов.
Критический индекс для теплоемкости:
,
(1.9)
,
(1.13)
для параметра порядка:
, ,
(1.10)
критический индекс для восприимчивости:
,
(1.11)
критический индекс Æ для критической изотермы:
, 1Æ (1.12)
Для описания флуктуаций параметра порядка вводится критический индекс , определяющий температурную зависимость
критический индекс
корреляционной длины:
и критический индекс , определяющий закон убывания корреляционной функции с расстоянием при :
!2Ü, 2 1
(1.14)
18
Гл. 1. Фазовые переходы и критические явления
Теплоемкость (для ряда систем), восприимчивость и корреляционная длина являются при расходящимися величинами. Свойства систем при непрерывных фазовых переходах определяются сильными и долгоживущими флуктуациями параметра порядка. Мерой магнитных флуктуаций является линейный
размер характерного магнитного домена — области с сильно коррелированными спинами. При длина корреляции
по порядку величины равна периоду решетки. Поскольку
по мере приближения к сверху корреляционнные эффекты
в пространственной ориентации спинов усиливаются, будет
возрастать при приближении к .
Предсказываемые теорией Ландау универсальные значения
критических индексов
0 , 12 , 1 , Æ 3 , 12 ,
0
(1.15)
значительно отличаются от наблюдаемых.
1.7. Гипотеза подобия
Задолго до появления первых экспериментальных данных,
не согласующихся с теорией Ландау, Л. Онсагер опубликовал
работу [168] (1944 г.), посвященную исследованию поведения
намагниченности и теплоемкости двумерного ферромагнетика
в нулевом внешнем поле (точно решаемая задача), результаты
которой оказались в неожиданном противоречии с результатами
классической теории. Исследователи, естественно, понимали, что
роль крупномасштабных флуктуаций по мере приближения к
критической точке должна возрастать. Уже в середине 20-х гг.
была опубликована известная работа Орнштейна-Цернике, на
основе которой удалось объяснить многие особенности явления
критической опалесценции, имеющего ярко выраженную флуктуационную природу. Флуктуационные явления изучались в рамках феноменологического подхода в работах Сцилларда, Мандельштама, Леонтовича и др. Но сама идея об определяющей
роли флуктуаций для всей проблематики фазовых превращений
окончательно оформилась лишь к середине 60-х гг. Это было
связано в первую очередь с прогрессом в области экспериментальных исследований фазовых переходов, убедительно продемонстрировавших расхождение реального критического поведения с предсказаниями теории Ландау.
Оказалось, что для пространственной размерности системы 4 взаимодействия флуктуаций оказываются эффективно очень сильными и, напротив, при 4 флуктуационные
1.7. Гипотеза подобия
19
эффекты не существенны, и значения критических индексов
определяются теорией Ландау. В то же время обнаруженный
исследователями универсальный характер поведения различных
систем во флуктуационной области навел их на мысль о том, что
он является следствием некоторой фундаментальной симметрии
системы в критической точке и что ее выявление и исследование
даст возможность определить универсальные характеристики поведения данных систем — критические индексы.
На первом этапе исследований влияние флуктуаций удалось
феноменологически описать с помощью гипотезы подобия (масштабной инвариантности), концепция которой была выработана в работах В. Л. Покровского и А. З. Паташинского [15–17],
В. Видома [218], Л. П. Каданова [10, 127], положивших начало
современной флуктуационной теории критических явлений.
Суть этой концепции составляет предположение о том, что
в окрестности критической точки сингулярная зависимость физических величин от осуществляется только через функцию
корреляционной длины , которая расходится при . Это
приводит к тому, что в окрестности критической точки имеется
только один существенный параметр длины — , остальные же
микроскопические размеры, например 1 " — период решетки, не влияют на характер особенностей термодинамического
потенциала, а значит, и на значения критических индексов.
Многие экспериментальные и теоретические работы, посвященные изучению критических явлений, подтверждают существование неравенств между показателями, и более того, переход
их во многих случаях в равенства
2 2,
1 Æ 2,
2 ,
Æ 1,
2 ,
(1.16)
(1.17)
(1.18)
(1.19)
(1.20)
из которых видно, что независимыми являются только два индекса; вычисление последних — одна из главных проблем теории
критических явлений.
В теории критических явлений существует статический закон подобия, или приближение обобщенной однородности термодинамических функций, который включает в себя простое
предположение об основном виде термодинамического потенциала. Предсказания гипотезы подобия приводят к функциональным
соотношениям между показателями в критической точке, при
20
Гл. 1. Фазовые переходы и критические явления
этом число независимых показателей в этой точке оказывается
ограниченным. Кроме предсказания о существовании ряда равенств, связывающих критические показатели, гипотеза подобия
дает некоторую возможность предсказывать вид уравнения состояния. Предсказания статической гипотезы подобия подтверждаются множеством экспериментальных работ.
1.7.1. Однородные функции. Функция по определению будет однородной, если для всех значений параметров # ,
(1.21)
2 ,
(1.22)
где функция # не конкретизирована. Простой пример однородной функции — парабола
для которой
2 2 2 2 ,
(1.23)
и поэтому # 2 .
Однородная функция обладает следующим свойством.
Если известны ее значение в одной точке 0 и функциональный вид #, то можно найти значение функции в любой точке.
Это следует из того, что каждое значение можно записать
в форме и
0 # 0 (1.24)
Равенство (1.24) показывает, что значение функции в любой
точке получается из значения в выбранной точке 0
простым изменением масштаба. В общем случае изменение масштаба нелинейно.
Функция подобия # в уравнении (1.21) не является произвольной. Действительно, она должна иметь вид
# ,
(1.25)
# ## (1.26)
где параметр $ обычно называют показателем однородности.
Докажем, что # должна иметь степенной вид. Предположим, что производится изменение масштаба сначала в , а затем
в раз. Уравнение (1.21) дает
Точно такой же результат можно получить и однократным изменением масштаба:
# (1.27)
21
1.7. Гипотеза подобия
Тогда на функцию
# накладывается условие
# # #
(1.28)
Если ввести дополнительное условие дифференцируемости функции #, то # имеет степенной вид. Дифференцируя обе стороны уравнения (1.28) по , получаем
Полагая, что
# # # # 1 и # 1 $, получаем
¼ ¼ ¼ ¼ откуда находим
или
(1.29)
¼
¼
,
#,
(1.30)
(1.31)
# $ %,
(1.32)
# & (1.33)
# $ & 1 По определению # 1 $. Значит, постоянная интегрирования % равна нулю и
# (1.34)
Тогда
1.7.2. Обобщенные однородные функции. Введем понятие обобщенной однородной функции , , :
, , , , ,
(1.35)
где " , "
, — размерные показатели переменных , , .
Это уравнение можно записать также в виде
, , , , ,
, , , удовлетворяющая уравнению
т. е. функция
удовлетворяет и уравнению
, , , , (1.36)
(1.36),
(1.37)
Справедливо и обратное утверждение.
Рассмотрим свойства однородной функции на примере ее
зависимости от двух переменных:
, , (1.38)
22
Гл. 1. Фазовые переходы и критические явления
Поскольку уравнение применимо для любых значений параметра , оно должно выполняться и в случае специального выбора
значения 1 :
, 1 , (1.39)
Функция , 1, стоящая в левой части уравнения, формально является функцией двух переменных, однако вторая переменная имеет фиксированное значение — единица. Поэтому можно
считать ее функцией одной переменной и определить как
, , 1 ' (1.40)
Таким образом, если функция , однородна, то ее можно
записать в виде произведения на функцию от . Верно
и обратное утверждение: если функция удовлетворяет условию
(1.40), то она удовлетворяет и условию (1.38), т. е. является
однородной.
Аналогичным образом можно показать, что, если функция
, однородная, эквивалентной формой уравнения (1.40) будет
, ' (1.41)
Для однородной функции вида , можно выбрать
1 , тогда функцию можно переписать в виде
, 1 ' 1 (1.42)
1.7.3. Статическая гипотеза подобия. В данном разделе
будет сформулирована статическая гипотеза подобия. Остановимся на ней для потенциала Гиббса , магнитной системы. Запишем
, , ,
(1.43)
где — приведенная температура, и предположим, что все несингулярные члены в функции , можно
опустить.
Статическая гипотеза подобия утверждает, что потенциал Гиббса , является обобщенной однородной функцией. Тогда, согласно общему определению (1.35), это утверждение эквивалентно требованию существования двух параметров,
обозначаемых " и " , при которых
, , (1.44)
для любого значения числа . Важно подчеркнуть, что гипотеза
подобия не позволяет вычислить параметры " и " . Ниже
будет показано, что все показатели в критической точке могут
23
1.7. Гипотеза подобия
быть выражены через " и " . Таким образом, если бы можно
было в рамках теории подобия определить " и " , то сразу
были бы найдены все показатели в критической точке. Вместе с
тем тот факт, что все критические показатели можно выразить
всего через два параметра подобия " и " , означает: если два
критических показателя известны, то все остальные можно
выразить через них.
Можно показать, что, если , — обобщенная однородная функция, другие три термодинамических потенциала
' , ( , ) , ( , , — также обобщенные однородные
функции. Потенциал Гиббса выбран потому, что критические
показатели проще всего получить при использовании этого потенциала.
Продифференцируем обе части равенства (1.44) по :
, , (1.45)
Поскольку производная от потенциала Гиббса по полю есть
намагниченность с обратным знаком, выражение (1.45) эквивалентно равенству
( , ( , (1.46)
С поведением намагниченности вблизи критической точки связано два критических показателя. Показатель описывает ее
поведение при 0 и 0, в то время как показатель 1Æ
соответствует 0 и 0.
Рассмотрим сначала случай 0, для которого (1.46) принимает вид
( , 0 1 ( , 0
(1.47)
Поскольку уравнение (1.47) применимо для всех значений ,
оно должно выполняться и для частного значения
1
1
,
(1.48)
откуда находим
( , 0 1 ( Однако при
0, из (1.10) следует, что
( , 0 1, 0
(1.49)
(1.50)
В результате получаем
1 (1.51)
24
Гл. 1. Фазовые переходы и критические явления
Выражение (1.51) определяет показатель в критической
точке через неизвестные параметры подобия " и " . Показатель Æ также можно выразить через параметры подобия, если
положить 0 в уравнении (1.46) и 0, что дает
( 0, 1 ( 0, (1.52)
1 ,
(1.53)
Если записать
то уравнение (1.52) примет вид
( 0, 1 ( 0, 1
При
0, согласно (1.12),
( 0, 1Æ ,
откуда находим
(1.54)
(1.55)
Æ 1 (1.56)
Уравнения (1.51) и (1.56) можно решать совместно относительно
параметров подобия " и " , в результате чего получим
" 1
и
1
,
(1.57)
" Æ Æ 1 1 (1.58)
Æ1
Вычисляя другие частные производные от потенциала Гиббса,
можно найти выражения для других показателей. Например,
дифференцируя дважды по , получаем
2 , , (1.59)
Здесь было использовано выражение изотермической восприимчивости через потенциал Гиббса
Рассматривая случай
шем (1.59) в виде
2
2 (1.60)
0 и выбирая 1 , запи-
, 0 2 1 Если
1, 0
0 , то из уравнения (1.11) следует
, 0 ¼ ,
(1.61)
(1.62)
25
1.7. Гипотеза подобия
2 1 и мы находим
(1.63)
Так как неизвестных параметров подобия только два, можно
ожидать, что показатель будет зависеть от и Æ . Сопоставляя
(1.51), (1.56) и (1.63), получаем соотношение
Æ
1,
(1.64)
которое известно как равенство Уидома.
Если положить, в уравнении (1.59)
1 ,
это приведет к формуле
2 1 (1.65)
Сравнивая (1.63) и (1.65), получаем
(1.66)
Равенство критических показателей со штрихами ( ) и без
штрихов ( ) является вторым критерием справедливости
статической гипотезы подобия.
Если продифференцировать потенциал Гиббса по температуре
с учетом выражения для теплоемкости :
то
2
2 ,
2 , , Полагая 0 и 1 , находим
2 1 (1.67)
(1.68)
Объединяя (1.68) и (1.57), получаем неравенство Гриффитса
в виде равенства
Æ 1 2;
(1.69)
объединяя (1.69) и (1.63), получаем неравенство Рашбрука в виде равенства
2 2 (1.70)
Гипотеза подобия дает механизм представления показателей
в критической точке через параметры подобия " и " , и, исключая эти два параметра, можно получить всю совокупность
26
Гл. 1. Фазовые переходы и критические явления
соотношений между показателями (таблица). Эти соотношения
не являются взаимно независимыми, т. е., зная любые два показателя, можно определить все остальные.
Соотношения между критическими показателями, вытекающие из
гипотезы подобия
Æ 1,
¼,
¼ ,
2 Æ 1 Æ 1,
Æ
2 2,
Æ 1 2,
2 1 1 Æ ,
2
2
1.8. Метод ренормгруппы и -разложения
Метод ренормгруппы, предложенный К. Вильсоном для описания критических явлений [4, 220–222], будучи непосредственно связанным с картиной масштабной инвариантности флуктуаций, позволяет последовательно вычислять значения критических индексов, используя разложение по специфическому малому параметру * 4 . Основная идея метода заключается
в последовательном исключении большого числа коротковолновых степеней свободы.
Так, ренормализационное преобразование гамильтониана системы , определяется реализацией двух последовательных
этапов. На первом этапе исключается зависимость от коротковолновых гармоник c волновыми векторами + , привои + 1; сглаженный таким образом гамильтониан дит к исходной статистической сумме и корреляционным функциям, если рассматривать последние при значениях аргументов, соответствующих достаточно большим масштабам. На втором этапе гамильтониан подвергается действию масштабного
преобразования, восстанавливающего прежнее значение параметра обрезания , задающего интервал изменения волновых
векторов.
Совокупность этих двух преобразований гамильтониана задает ренормализационное преобразование. В результате применения ренормализационного преобразования ренормированные гамильтонианы описывают флуктуации нового поля в исходной
области волновых векторов.
Начав с некоторого затравочного гамильтониана , и
многократно применяя к нему процедуру перенормировки, можно
1.8. Метод ренормгруппы и -разложения
27
получить последовательность гамильтонианов, обычно называемую траекторией исходного гамильтониана, которую он описывает в пространстве своих коэффициентов. Предельные свойства
этих последовательностей (траекторий) непосредственно связаны
с критическим поведением системы. Последовательное применение процедуры перенормировки к гамильтониану системы, не
находящейся в критической точке, приводит его к сравнительно
большим пространственным масштабам, на которых флуктуации
параметра порядка будут описываться термодинамической теорией флуктуаций.
Поскольку в окрестности критической точки флуктуации
в системе достаточно сильно развиты, величину их взаимодействия нельзя использовать в качестве малого параметра. Однако
для систем с 4 взаимодействие флуктуаций не сказывается на значениях критических индексов. Это позволяет построить специфическую теорию возмущений с малым параметром
* 4 — отклонением размерности системы от 4. Несмотря
на то, что при 3, * 1 — не малая величина, модельные
расчеты в первых порядках по * дают результаты, находящиеся в хорошем согласии с экспериментальными данными. К сожалению, поправки более высокого порядка уводят результат
от точных значений. Это объясняется тем, что, как во всякой теории возмущений, ряды по * являются асимптотическими.
В теориях, подобных квантовой электродинамике, где параметр разложения достаточно мал, это обстоятельство может
привести к ухудшению результатов лишь при учете поправок
очень высокого порядка. В моделях же с сильной связью, к
которым относится и теория критических явлений, значительная
величина параметра разложения приводит к тому, что попытки
непосредственно учесть поправки к первому приближению могут
только ухудшить результат. В каком-то смысле выходом из этой
ситуации является применение специальных методов суммирования асимптотических рядов [54, 55, 70].
Рассмотрим реализацию метода ренормгруппы на примере
модели, известной в квантовой теории поля как модель 4 и
применяемой в теории фазовых переходов для описания критических свойств изотропных систем [4, 8, 13]. Гамильтониан модели
задается выражением
1
2
2
2
- (1.71)
,
28
Гл. 1. Фазовые переходы и критические явления
В импульсном представлении гамильтониан принимает вид
2
, 2 4
1
2 Æ ,1 ,2 ,3 ,4 1 2 3 4 (1.72)
2 ,
12
Интегрирование ведется по волновым векторам (импульсам)
в пределах 0 , , где — импульс обрезания. Значение
должно быть меньше максимального значения импульса 1",
где " — параметр решетки.
Проблема фазового перехода сводится к анализу статистической суммы
. ,
(1.73)
которая является континуальным интегралом по всем значениям
параметра порядка от до с элементом объема 0 .
Основная идея метода ренормгруппы состоит в том, чтобы выражение для вероятности проинтегрировать по
коротковолновым флуктуациям параметра порядка и получить
эффективный гамильтониан для длинноволновых флуктуаций.
Этот гамильтониан определяется из соотношения
0 1 0 1
(1.74)
с параметром порядка , представленным в виде суммы длинно
волновых 0 и коротковолновых 1 флуктуаций: 0 1 ,
где
0 , 0 , +,
1 , + , ,
(1.75)
b>1 — произвольный параметр. Полная статистическая сумма
принимает при этом следующий вид :
. 0 1 0 1 (1.76)
Определим конкретный вид эффективного гамильтониана .
Для этого применим теорию возмущений, осуществляя разложение подынтегрального выражения в (1.74) в ряд по степеням
гамильтониана int , задающего взаимодействие флуктуаций, и
считая формально параметр взаимодействия - малым. Поскольку
1.8. Метод ренормгруппы и -разложения
29
0 аддитивно, т. е. 0 0 1 0 0 0 1, соотношение
(1.74) можно переписать в виде
0 00 1 0 1 int0 1 (1.77)
Задача вычисления правой части сводится к нахождению гауссовых континуальных интегралов от произведения величин 1 ,
возникающих в каждом члене разложения int и наиболее
удобно представляемых графически в виде ряда диаграмм Фейнмана [4]. Обозначим 0 результат интегрирования членов ряда разложения int в (1.77) при выделении в сумме
ряда в соответствии с теоремой о связности лишь вкладов от
связанных диаграмм. Тогда с точностью до несущественной константы получается выражение для эффективного гамильтониана
0 0 0 0 ,
(1.78)
где слагаемое 0 , определяющее перенормировку параметров
затравочного гамильтониана 0 0 , может быть задано следующим соотношением [9]:
1
2
-
1
1
0 0 4 2- 2 2 2 1
1
1
1 2
2
32 2
2
2
2 2 1 2 1
13
, , , 1 2 3 4
1 2 21 24 Æ,1 ,4 11 2233 44 1
4 8-2
162 6 20-3
2
2
2 1 ¼
1
1
645 22-3
¼
2
2 2 2 ¼
1
1
1
22 2 ¼2 ¼2 (1.79)
2
В данном выражении слагаемые при 0 0 определяют перенормировку собственной энергии длинноволновых флуктуаций, а
слагаемые при четвертой степени 0 — перенормировку энергии
взаимодействия этих флуктуаций за счет вклада коротковолновых флуктуаций. Интегрирование в (1.79) по промежуточным
30
Гл. 1. Фазовые переходы и критические явления
волновым векторам (,1 и ,2 в первой квадратной скобке, , и , во
второй квадратной скобке) ведется в интервале + , .
Интегралы такого типа по -мерному пространству волновых
векторов вычисляются с помощью соотношения
, ,2 / ,1 ,2 ,,
1
— поверхность -мерной сферы
где / 21 0 2 2
единичного радиуса.
Эффективному гамильтониану (1.78) можно придать форму
исходного затравочного гамильтониана (1.71), если осуществить
масштабное преобразование для волновых векторов и флуктуационных полей параметра порядка:
, ,+, 0 0 (1.80)
В результате данного преобразования значения волновых векторов в эффективном гамильтониане будут изменяться в прежнем
интервале 0 , , поэтому эффективный гамильтониан
, определяемый формулами (1.78) и (1.79), запишется в виде
4
1
2
12
, 2 2 2 ,
Æ,1 ,2 ,3 ,4 1
1
2
2
4
4
3
3
(1.81)
Преобразования (1.80) называются преобразованиями Каданова.
Они соответствуют идее перехода от исходной решетки спинов к
укрупненным блокам с эффективными спинами [10, 127]. Связь
параметров эффективного гамильтониана и - с параметрами
и - исходного гамильтониана определяется следующими ренормализационными уравнениями:
+2 4 2- 32 2-2 1 ,
- +2 - 4 8-2 /4 + 162 6 20-3/42 2 +
645 22-3 12 /42 1 + + , (1.82)
где * 4 и было использовано соотношение +22 ,
8 2/4-2 — критический индекс Фишера,
в котором
отвечающее требованию, чтобы член с , 2 в перенормированном гамильтониане (1.81) имел такой же вид, как и в исходном. При этом предполагалось, что * 1, и при получении выражений (1.82) интегрирование в (1.79) по волновым
1.8. Метод ренормгруппы и -разложения
31
векторам проводилось
при использовании
этого приближения;
/4 2 1 +2 2 + .
Переход от исходного гамильтониана к эффективному описывается с помощью некоторого оператора 2, действие кото¼¼
¼¼¼
рого можно повторить и получить новые гамильтонианы , и т. д.:
2 ,
¼¼ 2 22 (1.83)
2 (1.84)
Операторы 2, 22 , 23 образуют так называемую ренормализационную группу (ренормгруппу). Точнее было бы назвать ренормгруппу полугруппой, поскольку не существует обратный элемент
21 . Изменение параметров гамильтониана при однократном
действии оператора 2 описывается уравнениями ренормгруппы
(1.82).
Возможность фазового перехода связывается с существованием неподвижных (фиксированных) точек ренормгруппового преобразования. Фиксированными называются такие точки
в фазовом пространстве параметров гамильтониана, в которых
заканчиваются ренормгрупповые траектории изменения значений
параметров и никакие другие траектории из которых не выходят.
Неподвижные точки находятся из уравнения
Скорость приближения фазовых траекторий к фиксированной
точке определяет критический индекс корреляционной длины .
В частности, для фиксированной точки , - модели 4 уравнения принимают следующий вид:
+2 4 2- 32 2-2 1 ,
- +2 - 4 8-2 /4 + 162 6 20 -3 /42 2 + 645 22-3 12 /421 + + (1.85)
При этом +2 и +2 необходимо разложить в ряд Тейлора по
малым * и 0*2 . Решая эти уравнения, находим в первом
порядке по *:
* 2 28 2 , - 4 8 (1.86)
Во втором порядке по * координата - неподвижной точки ха
4
рактеризуется следующим выражением:
- * 44 8 1 33 143 * 8 (1.87)
32
Гл. 1. Фазовые переходы и критические явления
Кроме этой неподвижной точки, называемой изотропной гейзенберговской, существует тривиальное решение уравнений (1.85):
- 0. Это решение описывает случай несущественного
взаимодействия флуктуаций параметра порядка при описании
фазовых переходов и соответствует области применимости теории Ландау.
Далее необходимо исследовать полученные неподвижные
точки на устойчивость относительно малых отклонений от их
значений, что позволяет определить реализуемый в системе тип
фазового перехода. С неустойчивыми неподвижными точками
связывают фазовые переходы первого рода, в то время как устойчивым неподвижным точкам ставится в соответствие фазовый
переход второго рода.
Для исследования вопроса о стабильности изотропной неподвижной точки линеаризуем рекуррентные соотношения (1.82)
в окрестности этой точки. Линеаризованные уравнения после процедуры диагонализации матрицы преобразования можно
представить в виде
+ ,
- + -,
(1.88)
где , , - - - и -
Величины и определяются из соотношений
+ +2 1 * +
+ 1 * +,
откуда в первом порядке по * имеем
2
*
*
- - .
2
,
8 2
,
8
(1.89)
Отрицательное значение означает, что при многократном
преобразовании гамильтониана - 0, т. е. параметр эффективного взаимодействия стремится к своему значению - в неподвижной точке. Изотропная точка является, таким образом,
стабильной. Что касается первого уравнения (1.88) ренормгруппы, оно показывает расходимость величины под действием
преобразований ренормгруппы, так как + 1 и 0. Согласно
аргументам Вильсона [4, 220], это связано с расходимостью
корреляционной длины в точке фазового перехода . Величина
определяет критический индекс корреляционной длины
1.8. Метод ренормгруппы и -разложения
33
посредством соотношения
1 (1.90)
Естественно, что он не зависит от произвольно выбранного параметра +.
С помощью выражения для находим в первом порядке
по *:
12 * 428 (1.91)
Критический индекс Фишера равен нулю в этом приближении. Его значения могут быть найдены во втором порядке по *.
Так, значениям индексов во втором порядке по * соответствуют
следующие выражения:
1
2
* 16
2
8
*2 228 *2
22 23 20
,
32 82
(1.92)
Формулы (1.92) показывают, что критические индексы зависят
лишь от числа компонент параметра порядка и размерности
пространства и совершенно не зависят от величины затравочного взаимодействия. Это подтверждает универсальный характер
критического поведения.
Исследования модели показали, что условие устойчивости
нетривиальной неподвижной точки * 0 сводится к требованию положительного параметра * 4 , т. е. 4, в то
время как для тривиальной гауссовой неподвижной точки условие устойчивости * 0 оказывается обратным, т. е. 4.
Таким образом, фазовые переходы в трехмерных и двумерных
изотропных системах, описываемых моделью 4 , характеризуются нетривиальной неподвижной точкой, что указывает на существенную роль флуктуаций параметра порядка в реализации
в них фазового перехода второго рода. Областью применимости
результатов теории Ландау оказываются фазовые переходы в системах с размерностью больше четырех. В тривиальной гауссовой неподвижной точке значения критических индексов 12,
0 соответствуют теории Ландау.
Нет необходимости вычислять значения остальных критических индексов, так как они могут быть получены из равенств
соотношений подобия, связывающих критические индексы (см.
таблицу).
2 В.В. Прудников, А.Н. Вакилов, П.В. Прудников
34
Гл. 1. Фазовые переходы и критические явления
1.9. Влияние дефектов структуры
на критическое поведение
В реальных макроскопических системах всегда присутствуют
те или иные дефекты. Дефекты структуры могут иметь различную природу и оказывать различное влияние на процессы, протекающие в твердых телах. Поэтому описание влияния дефектов
структуры во всех возможных формах их проявления является
одной из интересных и сложных проблем теории критических
явлений. Так в ферромагнитном кристалле часть ячеек может
быть занята атомами, имеющими нулевой магнитный момент.
Если концентрация немагнитных атомов превышает определенную величину, ферромагнетизм полностью подавляется. Другим
примером служит ситуация, когда в решетке возможны дефекты,
приводящие к случайно распределенным выделенным направлениям ориентации спинов. В качестве еще одного примера можно
упомянуть переход жидкого 4 в сверхтекучее состояние в пористой среде.
Теоретическое изучение влияния случайно распределенных
дефектов и примесей на различные явления началось много
лет назад. Движение электронов в неупорядоченных твердых
телах, перколяционная задача, модель Изинга со спинами на
случайных узлах и другие подобные задачи привлекали к себе
многих исследователей, результаты которых отражены в работах
[201, 203, 205].
Причина, по которой влияние дефектов структуры на критическое поведение должно быть существенным, состоит в следующем. Допустим, что в систему, находящуюся вблизи критической
точки, ввели малое количество примесей или разорвали в ней
небольшое число связей. Такое изменение можно рассматривать как включение малого возмущения. Отклик системы на
такое возмущение описывается на языке поведения различных
восприимчивостей и корреляционных функций. Вблизи критической точки идеальной системы некоторые из этих величин
велики и представляют собой сингулярные функции температуры. Это означает, что малое количество дефектов структуры может привести к большим эффектам вблизи критической
точки, тем самым существенно изменяя критическое поведение
чистой (однородной) системы. При этом могут измениться значения критических индексов. Возможно, что наличие дефектов
приведет к сглаживанию сингулярного поведения некоторых величин. Может произойти размытие фазового перехода второго
рода и исчезновение критической точки. Механизмы этих эф-
1.9. Влияние дефектов структуры на критическое поведение
35
фектов глубоко скрыты и до сих пор еще недостаточно изучены.
Во всяком случае ясно, что в неидеальной системе возникает
характерный параметр — среднее расстояние между дефектами.
При приближении к критической точке он начинает конкурировать с корреляционной длиной, что и обусловливает отклонение
критического поведения неоднородной системы от поведения идеальной системы.
Дефекты принято разделять на два вида [13] в соответствии
с их распределением в матрице. Если способ приготовления
образца таков, что дефекты структуры находятся в равновесии с
матрицей системы, то их принято называть расплавленными, или
равновесными. Как правило, при приготовлении образца дефекты
не успевают прийти в термодинамическое равновесие с матрицей
и как бы замораживаются в ней в виде некоторой конфигурации,
несущей память о способе приготовления системы. Такие дефекты принято называть замороженными.
В случае расплавленных дефектов структуры их концентрация играет роль дополнительной термодинамической переменной. Ее влияние на критическое поведение проявляется только
в сдвиге критической температуры и перенормировке значений
критических индексов с фактором 11 , если индекс теплоемкости однородной системы положителен [83].
Феноменологический подход к описанию универсального
критического поведения систем определяется гамильтонианом вида
Ü 12 2 Ü 12 Ü2 4 4 Ü более высокие степени Ü, Ü
, (1.93)
где Ü — -компонентный параметр порядка; — внешнее поле, сопряженное параметру порядка; , - , — аналитические функции температуры и внешних параметров.
Однородные системы являются трансляционно инвариантными. Их поведение в критической точке (при температуре фазового перехода) определяется фиксированными точками уравнений
ренормгруппы:
0, , - - ,
(1.94)
коэффициенты более высокой скейлинговой размерности равны
нулю.
Неоднородные системы с замороженными примесями уже не
являются трансляционно инвариантными. При этом параметры
2*
36
Гл. 1. Фазовые переходы и критические явления
Ü, Ü, -Ü, начинают зависеть случайным образом от
координат.
Влияние случайности, вызванное присутствием дефектов,
ослабевает с уменьшением скейлинговой размерности полей:
Ü — случайное поле (со средним значением равным нулю), характеризуется наиболее сильным влиянием на поведение
систем при фазовых переходах;
Ü — случайное поле локальной критической температуры
при определенных условиях может модифицировать критическое
поведение систем и изменить значения критических индексов
(отличное от нуля среднее просто сдвигает критическую температуру);
-Ü, — влияние этих полей на критическое (асимптотическое) поведение термодинамических функций несущественно.
Рассмотрим влияние дефектов структуры типа случайная
температура на критическое поведение. Пусть Ü Ü,
где Ü характеризует потенциал случайного поля дефектов
в точке Ü с равным нулю средним значением по распределению
дефектов:
Ü 0
(1.95)
Процедура усреднения функции свободной энергии и корреляционных функций по потенциалу примесей восстанавливает трансляционную инвариантность этих величин, что позволяет применить для дальнейшего исследования критического поведения
ренормгрупповую технику.
Распределение дефектов обычно задается через второй момент функции распределения
Ü Ý #Ü
Ý
(1.96)
В простейшем случае некоррелированных точечных дефектов [46]
#Ü Ý 3Æ Ü Ý,
(1.97)
где 3 (величина потенциала)2 (концентрация дефектов); —
размерность системы. Существуют более сложные и реалистичные модели. Модель с протяженными дефектами размерности * ,
которые параллельны друг другу и хаотически распределены по
объему образца [6], описывается распределением с
#Ü Ý 3Æ Ü Ý (1.98)
Другая модель, предложенная Вейнрибом и Гальпериным
[216], учитывает эффекты корреляции дефектов со случайной
1.9. Влияние дефектов структуры на критическое поведение
37
ориентацией и описывается распределением с
#Ü Ý Ü Ý (1.99)
Учет моментов более высокого порядка не существен для критического поведения. Функционал свободной энергии ' системы с
дефектами определяется соотношением
'4 0
1
2
2
,
(1.100)
где 0 — гамильтониан однородной системы. Для слабонеоднородной системы можно воспользоваться разложением
1
2
2 1 12 2 18 2 2 (1.101)
и провести усреднение по примесям:
'4 '04 18 Ü Ü 2 2 0 , (1.102)
где 0 — усреднение по распределению флуктуаций с гамиль-
тонианом однородной системы 0 . Для однородных систем теплоемкость имеет вид
2
0 2 2 2 , (1.103)
0
где . Используя гипотезу подобия, из которой
следует, что свободная энергия '0 2 , и соотношения (1.13),
(1.20), можно определить
2 2 !
!
Тогда асимптотическое поведение свободной энергии системы с
дефектами как функции температуры может быть представлено
в виде [205]:
'4 2 8 # ! "! 2 , (1.104)
0
где 5 — критический индекс кроссовера характеризует влияние
дефектов на критическое поведение системы.
Очевидно, что при 5 0 это влияние существенно и приводит к критическому поведению с новыми критическими индекса-
38
Гл. 1. Фазовые переходы и критические явления
ми, при 5 0 влияние дефектов несущественно и критическое
поведение неупорядоченных систем будет характеризоваться критическими индексами систем без дефектов.
Для точечных дефектов (1.97)
# ! 5 . Таким образом, точечные
(1.105)
дефекты
и, следовательно,
существенны, если 0. Это утверждение составляет суть
так называемого эвристического критерия Харриса [101], согласно которому при отрицательном индексе теплоемкости ( 0)
критическое поведение слабонеоднородной системы оказывается
таким же, как у чистого вещества. Если же 0, то при сохранении характера фазового перехода второго рода критические
индексы отличаются по величине от индексов, измеряемых в
случае чистого вещества.
Поскольку индексы зависят от числа компонент параметра
порядка следующим образом:
1 — изинговские магнетики: 0,
2 — 67 магнетики: 0,
3 — гейзенберговские магнетики: 0,
очевидно, что точечные Æ -коррелированные дефекты существенны только для критического поведения изингоподобных систем
( 1).
В случае модели протяженных дефектов
# ! * ,
(1.106)
поэтому 5 * [68], что приводит к новому критическому
поведению.
В рамках модели Вейнриба–Гальперина
# ! " (1.107)
5 " 2 " [216]. Видно, что
и, следовательно,
протяженные дефекты и эффекты корреляции дефектов существенно сказываются на более широком классе систем, испытывающих фазовый переход второго рода. Таким образом, наличие
дефектов небольшой концентрации не приводит к размыванию
критической точки. При этом, как показывают дополнительные
исследования, влияние беспорядка, вызванного присутствием дефектов, сильнее проявляется в динамике.
Ренормгрупповой анализ с использованием *-разложения
[46, 147, 205] показал, что критическое поведение неупорядо-
1.9. Влияние дефектов структуры на критическое поведение
39
ченных изингоподобных систем с точечными дефектами действительно характеризуется новым набором критических индексов, значения которых не зависят от концентрации точечных
дефектов в области их малых концентраций. Однако сходимость
асимптотических рядов *-разложения для систем с дефектами
еще слабее, чем для однородных.
Экспериментальные исследования [66, 209] подтвердили численное различие статических критических индексов для неупорядоченных систем и для однородных систем и показали хорошее
согласие с теоретическими результатами.
Глава 2
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
2.1. Классические решеточные модели
фазовых переходов
2.1.1. Модель Изинга. История возникновения. Область
применения. Определение модели. Модель Изинга является
простейшей и самой распространенной в статистической физике
моделью фазового перехода, с которой связана богатая история.
Модель была предложена Ленцем (1920 г.) и исследована его
дипломником Изингом с целью изучения фазового перехода из
парамагнитного состояния в ферромагнитное. Изинг рассчитал
термодинамические свойства модели в одномерном случае и нашел (1925 г.), что в ней отсутствует фазовый переход. Однако
в двумерном и трехмерном случаях модель Изинга действительно обнаруживает фазовый переход из парамагнитного в ферромагнитное состояние при температуре Кюри , связанной с
появлением спонтанной намагниченности в решеточной системе
из спинов при в отсутствие внешнего магнитного поля.
Первое исследование ферромагнитных свойств двумерной решетки Изинга было выполнено Пайерлсом (1936 г.) и затем развито
Крамерсом и Ванье (1941 г.). Они точноопределили температуру
фазового перехода 4 8 2 1 2 2,269, где 8 — обменный интеграл. Онсагер (1944 г.) [168] сделал следующий шаг
в изучении статистической механики фазовых переходов, решив
задачу о двумерной модели Изинга. Было показано, что точное вычисление свободной энергии приводит к существенному
отличию поведения термодинамических величин в окрестности
фазового перехода от того, которое предсказывается теориями,
использующими приближенные методики, например метод среднего поля.
Важная роль статистической теории модели Изинга объясняется тем, что она находит применение при рассмотрении самых
разнообразных магнитных и немагнитных систем. Сюда входят
2.1. Классические решеточные модели фазовых переходов
41
ферромагнетики, антиферромагнетики, ферримагнетики, бинарные смеси и сплавы, решеточная модель жидкости, адсорбция
на поверхности, «плавление» ДНК и т. д. Поэтому статистика
модели Изинга занимает видное место среди других вопросов
статистической механики.
Рассмотрим -мерную решетку, содержащую 9 : узлов
(: — характерный размер решетки). Свяжем с каждым узлом ;
решетки спин , который может принимать значения 1,
если спин ориентирован вверх, и 1, если ориентирован
вниз. Любая конкретная конфигурация, т. е. микросостояние решетки, задается набором переменных 1 , 2 , 3 , , для всех
узлов решетки.
Макроскопические свойства системы определяются свойствами ее возможных микросостояний. При этом необходимо знать
зависимость энергии системы ) от конфигурации спинов. Так,
полная энергия при наличии магнитного поля в модели Изинга
равна
) 8
,
,
(2.1)
где первая сумма берется по всем ближайшим соседним парам
спинов, а вторая — по всем спинам решетки. Константа обменного взаимодействия 8 является мерой силы взаимодействия
между ближайшими соседними спинами. Если 8 0, то состояния, которые характеризуются одинаковой ориентацией спинов ближайших соседей, энергетически выгоднее состояний, у
которых соседние спины направлены в противоположные стороны. Следовательно, можно ожидать, что для 8 0 состояние с
наименьшей энергией является ферромагнитным, т. е. в среднем
суммарное число спинов, ориентированных в одном направлении,
не равно нулю. Если 8 0, то с энергетической точки зрения
предпочтительнее состояния, для которых соседние спины антипараллельны, и можно ожидать, что состояние с наименьшей
энергией является антиферромагнитным, т. е. упорядочены через
один. Если наложить внешнее магнитное поле , направленное
вверх, то спины приобретают дополнительную внутреннюю энергию, равную , если спин направлен вверх, и , если спин
направлен вниз. Отметим, что измеряется в таких единицах,
при которых магнитный момент на спин равен 1.
Важным достоинством модели Изинга является ее простота.
В ряду упрощающих предположений, положенных в основу модели, отметим следующие. Модель пренебрегает кинетической
энергией атомов, связанных с узлами решетки; в энергии взаи-
42
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
модействия учитывается вклад только ближайших соседей и
предусматривается только два дискретных состояния спина.
2.1.2. Трехмерная -модель. Трехмерная классическая
описывает критическое поведение многих физических систем. Это прежде всего широкий класс сильно анизотропных магнитных систем (с анизотропией типа «легкая плоскость»), а также сверхтекучий гелий 4 и высокотемпературные
сверхпроводники. Эта модель описывается гамильтонианом вида
67 -модель
8
,
,
(2.2)
где — плоский единичный вектор в узле ;, а сумма берется по
всем ближайшим соседним узлам решетки; 8 — константа обменного взаимодействия. При описании термодинамических фазовых
переходов спинам атомов ставятся в соответствие классические
векторы, а не операторы спинов, задаваемые в теории магнетизма
матрицами Паули.
Суммарная намагниченность системы определяется как
(
1
(2.3)
В качестве параметра порядка системы можно взять средний
модуль намагниченности
( (2 (
2 (2.4)
В численных расчетах из соображений удобства обычно используется приведенная намагниченность
< (2.5)
#
67 -модель является частным случаем общих решеточных моделей с -компонентным параметром порядка, где 2, и является одной из простейших моделей с непрерывной симметрией.
Трехмерная 67 -модель при 8 0 описывает фазовый переход
второго рода в ферромагнитное состояние ниже — температуры Кюри.
2.1.3. Двумерная -модель и фазовые переходы
в плоских системах. Еще в 70-х гг. прошлого века в работах
В. Л. Березинского [1], Л. М. Костерлица и Д. Д. Таулесса
[136] было установлено, что плоские вырожденные системы,
2.1. Классические решеточные модели фазовых переходов
43
описываемые 67 -моделью с двухкомпонентным параметром
порядка, характеризуются особым типом фазового перехода.
Особенностью этого перехода является отсутствие при всех
конечных температурах дальнего порядка (спонтанной намагниченности), разрушаемого аномально большими поперечными
флуктуациями спиновой плотности. Фазовый переход в таких
системах связан со сменой асимптотик корреляционных
функций: с экспоненциальной зависимости от расстояния
в высокотемпературной фазе на степенную в низкотемпературной
фазе, характеризуя сильно коррелированное состояние системы
с эффективно бесконечным радиусом корреляции.
К настоящему моменту экспериментально обнаружено и синтезировано большое число магнитных кристаллов, близких по
свойствам к двумерным системам, фазовые переходы в которых обладают рядом необычных свойств. Для этих низкоразмерных магнитных систем характерно сильное взаимодействие
магнитных ионов в плоскости и слабое межплоскостное взаимодействие. Термодинамические свойства таких систем характеризуются сравнительно широким температурным интервалом,
в котором проявляются только двумерные свойства этих систем, определяемых взаимодействием в магнитной ионной плоскости. Исследование низкоразмерных систем представляет большой интерес с точки зрения теории фазовых переходов, согласно
которой асимптотическое поведение термодинамических и корреляционных функций вблизи температуры фазового перехода
определяется главным образом размерностью системы и ее симметрией, выраженной главным образом через число компонент
параметра порядка.
При рассмотрении двумерной 67 -модели задается плоская
решетка, содержащая 9 :2 узлов. С каждым ;-м узлом решет
ки связан единичный двумерный вектор , . Любая
конкретная
конфигурация
системы задается набором векторов
1 , 2 , , для всех узлов решетки. В отсутствие внешнего
магнитного поля изотропная модель характеризуется гамильтонианом (2.2), который при переходе к угловым переменным
принимает вид
8
,
,
(2.6)
где — фаза ;-го спина, которая отсчитывается от произвольной
вертикальной оси в плоскости решетки против часовой стрелки.
Вид гамильтониана (2.6) указывает на сильную нелинейность
44
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
системы, следствием которой является существование наряду
с обычными спиновыми волнами возбужденных состояний особой природы, так называемых вихрей и антивихрей, количество которых растет с температурой (рис. 2.1). Каждый вихрь
Рис. 2.1. Схематическое изображение вихря (слева) и антивихря (справа) на
примере двумерного магнетика(стрелками обозначены спины)
характеризуется топологическим зарядом , 1, антивихрь —
, 1. В случае двумерного магнетика топологический заряд
выражается в виде
, = 204,
(2.7)
где 4 — целое число, имеет смысл угла поворота вектора спина.
Вихри взаимодействуют между собой подобно двумерному кулоновскому газу — по логарифмическому закону [137]. Энергия
взаимодействия двух топологических зарядов ,1 и ,2 , расположенных в точках с радиус-векторами 1 и 2 , выражается в виде
)12 8,1 ,2 1 2 (2.8)
Согласно теореме Мермина и Вагнера [154], в двумерной модели
с взаимодействием только между ближайшими соседями, у которой имеется непрерывная симметрия, спонтанная намагниченность отсутствует. Двумерная 67 -модель принадлежит именно
к такому типу. Отсутствие дальнего порядка в системе не всегда
означает монотонное изменение ее термодинамического состояния с изменением температуры. Эта немонотонность может проявиться не в появлении дальнего порядка, а в изменении поведения корреляционной длины, что и имеет место в 67 -модели.
Корреляционная функция спинов спадает экспоненциально с расстоянием между спинами при достаточно высоких температурах,
а при низких температурах характеризуется степенным поведе-
2.1. Классические решеточные модели фазовых переходов
45
нием. В точке фазового перехода имеется следующая степенная
зависимость от расстояния:
,
(2.9)
4 8
(2.10)
где 14 — критический индекс Фишера. Наивысшая температурная точка, в которой экспоненциальное поведение корреляторов сменяется степенным, соответствует фазовому переходу
Березинского–Костерлица–Таулеса. Соответствующая температура оценивается из соотношения
Березинский [1], а позднее Костерлиц и Таулесс [136] показали, что ниже этой температуры начинается спаривание вихревых возбуждений, при котором образуется связанное состояние вихрь–антивихрь. Выше критической точки все такие пары
диссоциируют, однако существование самих вихрей проявляется в корреляции спинов на конечной длине, которая медленно
уменьшается с возрастанием температуры. С учетом взаимодействия вихрей выражение для определения критической температуры запишется в виде [8]
$
2 2 $
2 (2.11)
Среднеквадратичное расстояние пары вихрь-антивихрь:
2 "2 1
,
2
/ 1 (2.12)
Оно остается конечным при достаточно низких температурах,
когда 0/ 2, что соответствует образованию связанного состояния из вихря и антивихря. С повышением температуры
это расстояние увеличивается и при 4 028 среднее
расстояние в этой паре становится бесконечным, т. е. происходит диссоциация пары. В этом и состоит фазовый переход
Березинского–Костерлица–Таулеса. Температура фазового перехода для двумерной 67 -модели соответствует 8 0,891
[96, 148, 167, 227, 231, 232]. Критическое поведение двумерной
67 -модели определяется следующими особенностями температурного поведения корреляционной длины:
+
,
12 ,
,
(2.13)
46
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
2.2. Моделирование методом Монте-Карло
канонического ансамбля
2.2.1. Канонический ансамбль. Большинство физических
систем не являются изолированными, а обмениваются энергией
с окружающей средой. Обычно такая система мала по сравнению
со своим окружением, считается, что любое изменение энергии
малой системы не влияет заметным образом на температуру
большой системы. В результате большая система действует как
термостат с заданной абсолютной температурой . Если малую,
но макроскопическую систему привести в тепловой контакт с
термостатом, то она будет стремиться перейти в равновесное
состояние путем обмена энергией с термостатом, и этот процесс
будет продолжаться до тех пор, пока система не достигнет температуры термостата.
Представим себе бесконечно большое число воображаемых
копий системы и среды — термостата. Вероятность того,
что система находится в микросостоянии, задаваемом набором квантовых чисел , с энергией ) , описывается формулой
> 1. ) 4 , где 1. — нормировочный множитель. Статистический ансамбль, определяемый данным выражением, называется каноническим. Поскольку
сумма по всем
(
> 1,
(2.14)
микросостояниям системы
.
%
(2.15)
Величина . называется суммой по состояниям системы или
статистической суммой. С помощью функции канонического распределения > можно получить среднее по ансамблю от рассматриваемых физических величин. Например, средняя энергия
равна
(2.16)
) ) > &1 ) % Заметим, что в каноническом ансамбле возможны флуктуации
энергии и других термодинамических величин за исключением
среднего числа частиц в системе 9 .
2.2.2. Метод Монте-Карло. Алгоритм Метрополиса. Методом Монте-Карло выполняют статистическое моделирование
на ЭВМ систем со многими степенями свободы. В основе его
2.2. Моделирование методом Монте-Карло канонического ансамбля
47
лежит использование случайных чисел для машинной имитации
распределений вероятности, чем и объясняется название метода. В принципе метод можно реализовать, генерируя случайные
числа с помощью обычной рулетки, однако его высокая эффективность обеспечивается только мощными ЭВМ. Поэтому первое
успешное применение метода к одной из задач статистической
физики стало возможным лишь в 1953 г., когда Метрополис и
его коллеги исследовали свойства жидкости в рамках модели
твердых дисков.
Рассмотрим применение метода Монте-Карло к моделированию поведения канонического ансамбля и, в частности, системы
спинов в рамках модели Изинга.
Будем моделировать систему 9 частиц, находящихся в объеме при постоянной температуре . Поскольку возможна
генерирация только ограниченного числа < из полного, в общем случае огромного, числа ( конфигураций, можно получить
оценку среднего значения из выражений
&
1
1
% % ,
'
% 1
1
(2.17)
где ) и — полная энергия и значение физической величины в конфигурации . Простейшая процедура МонтеКарло, казалось бы, состоит в том, что генерируется случайная конфигурация, вычисляются ) , и произведение
) 4 , подсчитывается соответствующий вклад этой
конфигурации в суммы выражения для . Однако многие из
таких конфигураций, по-видимому, очень маловероятны и поэтому давали бы малый вклад в сумму при равновероятной
выборке конфигураций. Поэтому нужно пользоваться методом
существенной выборки, повышающей статистический вес каждой
конфигурации, и генерировать конфигурации в соответствии с
функцией распределения вероятностей . Использование существенной выборки приводит к уменьшению статистической погрешности без увеличения числа конфигураций. Тогда процедура
нахождения среднего аппроксимируется следующим выражением:
'
%
(2.18)
1 1
% 1 48
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
Самый простой и естественный способ выбора состоит в использовании собственно канонического распределения
%
% ,
при котором среднее
ское:
1
(2.19)
превращается в среднее арифметиче-
(1
1
(2.20)
Выбор в таком виде предложен Метрополисом (1953).
Приведем наиболее общую форму алгоритма Метрополиса на
примере системы спинов.
1. Формируем начальную (равновесную) конфигурацию.
2. Производим случайное пробное изменение в начальной
конфигурации, т. е. случайным образом выбираем какойнибудь спин и пробуем его опрокинуть.
3. Вычисляем ) , т. е. изменение энергии системы, обусловленное произведенным пробным изменением конфигурации.
4. Если ) 0, то принимаем новую конфигурацию и переходим к шагу 8.
5. Если ) 0, то вычисляем вероятность перехода > )4 .
6. Генерируем случайное число в интервале 0, 1.
7. Если > , то новую конфигурацию принимаем, в противном случае сохраняем предыдущую конфигурацию.
8. Определяем значения требуемых физических величин.
9. Повторяем шаги 2 8 для получения достаточного числа
конфигураций.
10. Вычисляем средние по конфигурациям, которые статистически независимы.
В основе алгоритма Метрополиса лежит использование равновесной функции канонического распределения , и, следовательно, при применении этого алгоритма должны выбираться
термодинамически равновесные состояния системы. Однако нет
уверенности, что сформированная начальная конфигурация является равновесной. Чтобы избежать этой проблемы, необходимо,
начиная с произвольной конфигурации спинов (например, все
спины направлены вверх), процедуру вычисления среднего проводить только после достижения системой равновесного состояния, т. е. после выполнения такого числа шагов Монте-Карло на
2.2. Моделирование методом Монте-Карло канонического ансамбля
49
спин , когда на основании исследования релаксационных
свойств системы ее можно считать достигшей равновесия.
2.2.3. Динамическая интерпретация процесса моделирования. Последовательность состояний, задаваемых в алгоритме Метрополиса вероятностью перехода между ближайшими
конфигурациями, образует марковский процесс. Можно связать
шкалу времени ? со шкалой последовательных конфигураций,
считая, что 9 случайных выборок узлов системы осуществляется за единицу времени. Данная единица времени соответствует
шагу Монте-Карло на спин .
Тогда эволюция неравновесной функции распределения ?
может быть записана в виде основного уравнения (кинетического
уравнения Глаубера)
> ? > ¼ ?, (2.21)
)
¼
¼
где первая сумма описывает изменение вероятности обнаружения
-конфигурации за счет переходов из -состояния в другие,
а вторая сумма — за счет переходов из всех других состояний
в состояние . Чтобы марковский процесс обладал нужным
свойством сходимости ? к 1. ) 4 при
временах больше времени релаксации, достаточно потребовать
выполнения условия детального баланса
> ? > ¼
¼ ?
(2.22)
Это означает, что отношение вероятностей перехода зависит
только от изменения энергии:
* ¼ * ¼ %
(2.23)
> Данное
соотношение не определяет, конечно,
однозначно. Обычно > выбирают
в алгоритме Метрополиса:
> %
1
или в виде функции Глаубера
> 1
2
1
) 0
при ) 0,
при
%
2 функцию
или как
(2.24)
(2.25)
50
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
В качестве определения среднего наблюдаемой величины
зависящей от времени явно, выступает соотношение
? ?
,
не
(2.26)
Оно задает динамическую эволюцию величины посредством
временной зависимости ? — решения уравнения Глаубера.
Однако можно строго показать, что данная процедура усреднения эквивалентна усреднению по начальному состоянию ?0 ,
в то время как состояние и, следовательно, изменяются со
временем в соответствии с марковским процессом, задаваемым
> . При этом
? ?0 ?,
(2.27)
что дает процедуру усреднения по последовательности конфигураций в стохастическом марковском процессе.
2.2.4. Граничные условия. При решении задач статистической физики интерес представляет вычисление характеристик
системы в термодинамическом пределе, когда число частиц стремится к бесконечности. Компьютерные эксперименты, однако,
позволяют моделировать систему малого размера по сравнению с
термодинамическим пределом. При этом начинают проявляться
эффекты конечности размеров системы. Для их уменьшения
осуществляется аппроксимация граничных условий. Существует
несколько возможных вариантов:
— периодические граничные условия;
— свободная граница;
— нестандартные граничные условия.
Периодические граничные условия устраняют влияние поверхностных эффектов и наилучшим образом соответствуют моделированию поведения объемных систем. Они восстанавливают
трансляционную инвариантность конечных систем путем наложения условий на любую наблюдаемую величину :
6 6 : ,
(2.28)
где 6 6 , 7 , . , : :1 , :2 , :3 — линейные размеры системы.
2.2.5. Генераторы случайных чисел. В основе метода
Монте-Карло лежит использование случайных чисел. Качество
результатов моделирования при этом зависит от качества генера-
2.2. Моделирование методом Монте-Карло канонического ансамбля
51
тора случайных чисел. Для применения в вычислительной физике генератор должен обладать следующими характеристиками:
— хорошими статистическими свойствами;
— эффективностью;
— большим периодом;
— воспроизводимостью.
В действительности генерируются не случайные числа, а последовательность псевдослучайных чисел. В большинстве генераторов случайных чисел получается последовательность, в которой каждое число используется для нахождения последующего
по определенному алгоритму. Поэтому последовательность генерируемых чисел после некоторого числа шагов повторяет себя.
Ее период должен включать, по крайней мере, необходимое для
эксперимента множество случайных чисел.
В основе наиболее распространенного генератора случайных
чисел лежит линейный конгруэнтный метод. Если задано начальное число 60 , то каждое число последовательности определяется
отображением:
6 "61 % ,
(2.29)
где ", %, < — натуральные числа; @ означает, что <
вычитается из @ до тех пор, пока не получится 0 < (например, 412 50 12). Данное отображение характеризуется
тремя параметрами: множителем ", инкрементом % и модулем <.
Поскольку < является наибольшим целым числом, генерируемым данным отображением, наибольший возможный период
равен <. Однако в общем случае период зависит от всех трех
параметров. Например, если " 3, % 4, < 32 и 60 1, то
с помощью приведенного соотношения генерируется последовательность 1, 7, 25, 15, 17, 23, 9, 31, 1, 7, 25 и период равен 8, а
не максимально возможному значению 32. Если выбрать такие
", % и <, чтобы получался максимальный период, то в последовательности будут встречаться все целые числа от 0 до < 1.
Поскольку обычно нужны случайные числа на отрезке 0, 1, а
не случайные целые числа, генераторы случайных чисел выдают,
как правило, отношение 6 <, которое всегда меньше единицы.
При % 0 генераторы дают плохие результаты, поэтому применяются мультипликативные генераторы, для которых % 0.
Наиболее подходящими значениями (для персонального компьютера) являются < 231 1 2147483647, " 16807.
Одним из способов уменьшить последовательную корреляцию и увеличить период является «перемешивание» двух различных генераторов случайных чисел. Приведенная ниже подпро-
52
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
грамма иллюстрирует этот метод для двух генераторов случайных чисел с одинаковым < 231 1, но разными множителями
"1 16807, "2 65539.
ГЕНЕРАТОР ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
MODM1 231 1 — общий модуль для двух генераторов;
IBM1,IBM2 — текущие значения случайных чисел 6 ;
MULT1,MULT2 — множители генераторов;
RN(256) — массив случайных чисел от 0 до 1, который должен
быть заполнен до обращения к подпрограмме датчиком с множителем MULT1;
RAN — итоговое случайное число от 0 до 1, полученное «перемешиванием» двух линейных генераторов.
RANF(RAN)
4 RN( 2 5 6 ) ,RAN
4 K
IBM1 , IBM2 ,MULT1,MULT2,MODM1,RN
с
генерация случайного числа K в
c
интервале от 1 до 256
IBM2=IBM2MULT2
(IBM2 . LT . 0 ) IBM2=IBM2+ MODM1+1
K=IBM2/8388608+1
RAN = RN(K ) ! удаление из массива RN
! случайного числа от 0 до 1
IBM1=IBM1MULT1
! помещение нового
(IBM1 . LT . 0 ) IBM1=IBM1+ MODM1+1 ! случайного числа
RN(K)=IBM1/FLOAT(MODM1)
! на место
! удаленного
2.3. Моделирование двумерной модели Изинга
2.3.1. Реализация алгоритма Метрополиса. Текст программы. Рассмотрим применение модели Изинга к описанию
явления ферромагнетизма. Несмотря на то, что механизм ферромагнетизма имеет квантово-механическую природу, изучение
классической модели Изинга в двумерной и трехмерной постановках дало много для понимания свойств магнитных систем
в окрестности фазового перехода из парамагнитного в ферромагнитное состояние. В силу своего классиче-
2.3. Моделирование двумерной модели Изинга
53
ского характера и пренебрежения другими спиновыми компонентами модель Изинга не дает полного описания ферромагнетизма,
особенно при температурах значительно ниже температуры Кюри
. В соответствии с предположением, что отдельные спиновые
моменты локализованы, модель Изинга не применима к таким
металлам, как железо и никель.
Для исследования свойств модели Изинга конкретизируем,
какие физические свойства представляют интерес, и разработаем программу их вычисления. К рассматриваемым обычно равновесным характеристикам относятся средняя энергия ) ,
средняя намагниченность ( , теплоемкость и магнитная
восприимчивость . Напомним, что энергия модели Изинга определяется выражением
) 8
,
,
(2.30)
где 1, 8 — обменный интеграл, первая сумма берется по
всем парам спинов, являющихся ближайшими соседями; —
внешнее магнитное поле в единицах . Суммарный магнитный
момент, или намагниченность, определяется формулой
(
1
(2.31)
Теплоемкость при постоянном внешнем магнитном поле может
быть определена соотношением
% % % ,
(2.32)
2
а изотермическая магнитная восприимчивость при нулевом магнитном поле может быть задана формулой
2
2
2 2
+ (2.33)
Для расчета интересующих нас равновесных величин реализуем алгоритм с динамикой опрокидывания спина . C
точки зрения вычислительных затрат одним из самых трудоемких элементов алгоритма является вычисление )4 .
Однако для модели Изинга имеется лишь небольшое число возможных значений ) . Так, для двумерной модели )8 8, 4, 0, 4, 8. Поэтому с целью экономии машинного времени запоминаются лишь несколько различных вероятностей
опрокидывания спина > при ) из указанного массива. Тем-
54
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
пературу будем измерять в таких единицах, чтобы 84 1.
Большинство моделирований будет производиться при 0. Отметим также, что значения всех измеряемых физических величин
регистрируются после каждого шага Монте-Карло.
Приведем текст программы реализации алгоритма Метрополиса на языке FORTRAN для двумерной модели Изинга на
квадратной решетке с линейным размером : и начальной ориентацией спинов вверх (в приложении приведена версия этой и
ряда других используемых в пособии программ на языке Си).
Данная программа позволяет проводить расчет средних значений намагниченности, энергии, теплоемкости, восприимчивости,
приходящихся на один спин.
с
I z i n g 2
4 s p i n ( 6 4 , 6 4 ) , ibm1 , ibm2
4 mult1 , mult2 , modm1 , N, L , E , M
4 ecum , e2cum , mcum, m2cum
4 count , T , RN( 2 5 6 ) , w( —4:4)
IBM1 , IBM2 , MULT1, MULT2, MODM1, RN
/DATAS/ecum , e2cum , mcum, m2cum
s t a r t (N, L , T , mcsmax , s p in , E ,M,w, i s t a r t )
mcs=1 , mcsmax
Metrop (N, L , s p in , E , M, w)
( mcs .GT . i s t a r t ) (E , M, ecum , e2cum , mcum, m2cum)
count=count +1.
( , ) ecum , e2cum , mcum, m2cum
o u t p u t (N, count , T , ecum , e2cum , mcum, m2cum)
s t a r t (N, L , T , mcsmax , s p in , E ,M,w, i s t a r t )
4 N, L , mcsmax , s p i n ( 6 4 , 6 4 )
4 i s e e d 1 , i s e e d 2 , i s t a r t , E , M
4 e4 , e8 , T , MODM2, RN( 2 5 6 ) , w( —4:4)
IBM1 , IBM2 , MULT1, MULT2, MODM1, RN
( , ) ’ЛИНЕЙНЫЙ РАЗМЕР РЕШЕТКИ’
( , ) L
( , ) ’ТЕМПЕРАТУРА’
( , ) T
( , ) ’ "ЗЕРНО" 1—ГО ГЕНЕРАТОРА’
( , ) ISEED1
( , ) ’ "ЗЕРНО" 2—ГО ГЕНЕРАТОРА’
( , ) ISEED2
( , ) ’ЧИСЛО ШАГОВ МОНТЕ —КАРЛО НА СПИН’
2.3. Моделирование двумерной модели Изинга
55
( , ) MCSMAX
( , ) ’ЧИСЛО НАЧАЛЬНЫХ ОТБРАСЫВАЕМЫХ
( , ) ISTART
N=L L
i =1 , L
j =1 , L
!ЧИСЛО СПИНОВ
s p i n ( i , j )=1
c
c
КОНФИГУРАЦИЙ’
! ВСЕ СПИНЫ ВВЕРХ
M=N
!НАЧАЛЬНАЯ НАМАГНИЧЕННОСТЬ
E=—2N
!
ЭНЕРГИЯ
MODM1=2147483647
MODM2=2147483647.0
MULT1=16807
MULT2=65539
IBM1=2ISEED1+1
IBM2=2ISEED2+1
ИНИЦИАЛИЗАЦИЯ НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
МАССИВА ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
I =1 , 256
IBM1=IBM1MULT1
(IBM1 . LT . 0 ) IBM1=IBM1+ MODM1+1
RN( I )=IBM1/MODM2
с
с
с
ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕВОРОТА
ИНДЕКС МАССИВА w РАВЕН СУММЕ БЛИЖАЙШИХ СОСЕДЕЙ
e4=exp ( —4.0/T)
e8=e4 e4
АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ exp ИЗМЕНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
w(4)= e8
w( —4)=1./ e8
w(2)= e4
w( —2)=1./ e4
w( 0 ) = 1 .
Metrop (N, L , s p in , E , M, w)
4 N, L , s p i n ( 6 4 , 6 4 ) , E , M
4 RAN, w( —4:4)
i s p i n =1 , N
с
СЛУЧАЙНЫЙ РОЗЫГРЫШ КООРДИНАТ СПИНА
RANF(RAN)
i=i n t ( L RAN+1)
RANF(RAN)
j=i n t ( L RAN+1)
56
с
с
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
ЗНАЧЕНИЯ СОСЕДНИХ СПИНОВ,
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
p e r i o d ( i , j , L , s p in , isum )
( s p i n ( i , j ) isum . l e . 0 ) a c c e p t ( i , j , M, E , isum , s p i n )
RANF(RAN)
ELSEIF (RAN. l t .w( isum ) ) a c c e p t ( i , j , M, E , isum , s p i n )
ENDIF
p e r i o d ( i , j , L , s p in , isum )
с
НАХОДИТСЯ СУММА СОСЕДНИХ СПИНОВ
с
ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
4 i , j , L , s p i n ( 6 4 , 6 4 ) , isum
( i . eq . 1 ) l e f t =s p i n ( L , j )
l e f t =s p i n ( i —1 , j )
ENDIF
( i . eq . L ) i r i g h t=s p i n ( 1 , j )
i r i g h t=s p i n ( i +1 , j )
ENDIF
( j . eq . 1 ) idown=s p i n ( i , L )
idown=s p i n ( i , j —1)
ENDIF
( j . eq . L ) i u p=s p i n ( i , 1 )
i u p=s p i n ( i , j +1)
ENDIF
isum= l e f t +i r i g h t+i u p+idown
a c c e p t ( i , j , M, E , isum , s p i n )
4 i , j , M, E , isum , s p i n ( 6 4 , 6 4 )
s p i n ( i , j )=—s p i n ( i , j )
M=M+2 s p i n ( i , j )
E=E—2 s p i n ( i , j ) isum
2.3. Моделирование двумерной модели Изинга
57
(E , M, ecum , e2cum , mcum, m2cum)
с
НАКАПЛИВАНИЕ ДАННЫХ ПОСЛЕ КАЖДОГО
с
ШАГА МОНТЕ —КАРЛО НА СПИН
4 E , M
4 ecum , e2cum , mcum, m2cum
ecum=ecum + E
e2cum=e2cum + E E
mcum=mcum + abs (M)
m2cum=m2cum + M M
o u t p u t (N, count , T , ecum , e2cum , mcum,
m2cum)
4 N, ecum , e2cum , mcum, m2cum
4 count , znorm , eav , e2av , sav , s2av
4 CT , XT, T
znorm = 1 . / ( f l o a t (N) count )
с
СРЕДНИЕ НА СПИН
eav=ecum znorm
e2ave=e2cum znorm
sav=mcum znorm
s2av=m2cum znorm
CT=(e2ave—N eav 2 ) / ( T T)
XT=(s2av—N sav 2 ) / T
( , ) ’СРЕДНЯЯ ЭНЕРГИЯ НА СПИН’ , eav
( , ) ’СРЕДНЯЯ НАМАГНИЧЕННОСТЬ НА СПИН’ , sav
( , ) ’ТЕПЛОЕМКОСТЬ НА СПИН’ , CT
( , ) ’ВОСПРИИМЧИВОСТЬ НА СПИН’ , XT
RANF(RAN)
4 RN( 2 5 6 ) , RAN
4 K
IBM1 , IBM2 , MULT1, MULT2, MODM1, RN
IBM2=IBM2MULT2
(IBM2 . LT . 0 ) IBM2=IBM2+ MODM1+1
K=IBM2/8388608+1
RAN=RN(K)
IBM1=IBM1 MULT1
(IBM1 . LT . 0 ) IBM1=IBM1+ MODM1+1
RN(K)=IBM1/ f l o a t (MODM1)
58
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
2.3.2. Релаксационные свойства модели. Установление
состояния равновесия. Описание демонстрационной программы. Алгоритм Метрополиса с динамикой опрокидывания
спина является вполне разумным приближением к реальной
динамике анизотропного магнетика, спины которого связаны с
колебаниями решетки. Эта связь приводит к беспорядочному
опрокидыванию спинов. Такой стохастический процесс по сути соответствует марковскому процессу, генерируемому методом
Монте-Карло в рамках алгоритма Метрополиса. При этом можно
ожидать, что один шаг Монте-Карло (МК) на спин пропорционален среднему времени между опрокидываниями спинов, наблюдаемому в реальном физическом эксперименте. Следовательно, можно рассматривать динамику опрокидывания спина как
настоящий нестационарный процесс и наблюдать релаксацию к
равновесию по прошествии достаточно большого числа шагов.
Поставим вопрос об определении времени релаксации для
двумерной модели Изинга, т. е. сколько времени (числа шагов
МК на спин) требуется системе для достижения равновесия?
Для этого в рамках алгоритма проведем расчет и построим
график зависимости намагниченности и энергии, приходящихся
на спин, от числа шагов МК на спин. Входные параметры —
температура термостата и линейный размер решетки :. Исходной является конфигурация со спинами, направленными вверх.
Демонстрационная программа релаксации данных физических
величин содержит наглядное изображение динамики переворота
спинов и установления равновесия в двумерном каноническом
ансамбле частиц, каждая из которых может находиться в двух
состояниях. Так, каждому спину, ориентированному вверх, соответствует синяя клетка, а спину, ориентированному вниз, зеленая клетка. Кроме того, на графиках намагниченности и энергии
горизонтальными линиями изображены значения этих величин,
соответствующие точному решению двумерной модели Изинга
< % #
#
8 2$
где
# 1
12
!2
0
4
2$
1 # "
1 2 2 "
2
18
,
(2.34)
, ,
(2.35)
2.3. Моделирование двумерной модели Изинга
полный эллиптический интеграл 1 рода;
2$
2 #
,
1 2 2 $
2$
2
— температура Кюри.
59
2,269
2.3.3. Задания.
1. С помощью демонстрационной программы определите время релаксации (число шагов МК на спин) для системы с : 16
при 3,5; 3,0; 2,5; 2,35. Сопоставьте времена релаксации для
системы с : 16 и : 32 при тех же температурах. (Получить
файл с демонстрационной программой можно по запросу на
адрес электронной почты prudnikp@univer.omsk.su). Установите,
как зависит время релаксации от размера системы и температуры
по мере приближения температуры к критической.
2. Визуально исследуйте несколько равновесных конфигураций. Что можно сказать о системе: упорядочена она или хаотична? Какие равновесные конфигурации более упорядочены при
2 или 1,5?
В вычислительных экспериментах по моделированию модели Изинга процесс установления равновесия может занимать
значительную часть общего машинного времени, особенно при
температурах, близких к . Практично при расчетах равновесных характеристик в качестве начальной конфигурации выбирать
равновесную конфигурацию из какого-нибудь прежнего расчета,
отвечающего температуре, близкой к требуемой.
Приводимая ниже подпрограмма осуществляет запоминание
последней конфигурации и может быть включена в программу
моделирования двумерной модели Изинга в виде подпрограммы
saveconf:
SUBROUTINE saveconf(spin, e, m)
INTEGER*4 spin(64,64),e,m
OPEN(10,FILE=’spins’,ACCESS=’SEQUENTIAL’,
FORM=’UNFORMATTED’)
WRITE(10) spin, e, m
CLOSE(10)
RETURN
END
Сохраненной конфигурацией можно воспользоваться в последующих расчетах, добавив подпрограмму loadconf:
60
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
SUBROUTINE loadconf(spin, e, m)
INTEGER*4 spin(64,64), e, m
OPEN(10,FILE=’spins’,ACCESS=’SEQUENTIAL’,
FORM=’UNFORMATTED’)
READ(10) spin, e, m
CLOSE(10)
RETURN
END
3. Выполните программу моделирования, дополненную приведенными выше подпрограммами, с : 16, 3 и начальной
конфигурацией — все спины вверх. Затем задайте в качестве
начальной конфигурации для системы с : 16 при 2,5
последнюю равновесную конфигурацию из проведенного расчета.
Сравните времена релаксации системы при 2,5 из данного
задания и задания 1.
Расчет среднего значения физической величины обычно
занимает много времени. Поэтому желательно вычислять ее значения не чаще, чем это необходимо. Ясно, что не нужно вычислять после опрокидывания только одного спина, поскольку
значения в обеих конфигурациях были бы почти одинаковыми.
Идеальным было бы вычислять для конфигураций, которые
статистически независимы. Однако, поскольку время корреляции
конфигураций изначально неизвестно, следует провести предварительные расчеты для оценки времени корреляции.
Один из способов определения временных интервалов, на
которых конфигурации коррелированы, состоит в вычислении
зависящих от времени автокорреляционных функций:
( ( 0 ( 2 ,
(2.36)
2
" ) ) 0 ) (2.37)
Величины ( ? и ) ? представляют собой значения намагниченности и полной энергии системы в момент времени ?. При
? 0 функция ? пропорциональна магнитной восприимчивости, а " ? пропорциональна теплоемкости. Для достаточно
больших ? функции ( ? и ( 0 не будут коррелированы и
( ?( 0 ( ? ( 0 ( 2 . Следовательно, ? и
" ? должны стремиться к нулю при временах ?, стремящейся к
бесконечности. Обычно считается, что ? и " ? убывают со
временем по экспоненциальному закону. Оценкой времени корреляции служит время, за которое ? уменьшается в & раз по
сравнению с ее значением при ? 0. Поскольку конфигурации,
разделенные промежутками меньше времени корреляции, явля-
2.4. Характеристики ферромагнитного фазового перехода второго рода 61
ются статистически коррелированными, будем вычислять требуемые физические величины для временных интервалов порядка
времени корреляции, а не после каждого шага Монте-Карло на
спин.
4. Модифицируйте программу для модели Изинга так, чтобы
вычислялись равновесные значения ? и " ?. Рассмотрите
систему с : 16 при 3; 2,5; 2,35. В качестве начального
состояния используйте в моделировании равновесную конфигурацию, сформированную после 1000 шагов Монте-Карло на спин.
Оцените время корреляции для флуктуаций энергии и намагниченности. Насколько сопоставимы времена корреляции этих
двух флуктуаций? Как соотносятся оценки времени корреляции
с оценками времени релаксации, найденными в задании 1?
2.4. Характеристики ферромагнитного
фазового перехода второго рода,
определяемого моделью Изинга
2.4.1. Свойства фазового перехода. Критические индексы. Рассмотрим некоторые количественные характеристики
ферромагнитных систем в нулевом внешнем поле. При 0
система находится в основном состоянии и спины ориентированы
в направлении, задаваемом анизотропией кристаллического поля.
При этом средняя намагниченность системы, приходящаяся на
один спин, < ( 9 равна < 0 1. По мере
роста температуры намагниченность < непрерывно образом
уменьшается и при полностью исчезает. Величина < характеризует спонтанную ориентационную упорядоченность системы спинов и называется параметром порядка системы. Ферромагнитный фазовый переход является примером непрерывных
фазовых переходов (фазовые переходы II рода), так как < при стремится к нулю непрерывно, а не скачком.
Поведение ряда физических величин для непрерывных фазовых переходов в окрестности характеризуется набором критических индексов. Так, вблизи можно определить поведение
намагниченности < ,восприимчивости и теплоемкости
следующим образом:
< , , ,
(2.38)
где , , — критические индексы. Теплоемкость и восприимчивость при расходятся. Свойства систем при непрерывных
фазовых переходах определяются сильными и долгоживущими
62
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
флуктуациями параметра порядка. Мерой магнитных флуктуаций является линейный размер характерного магнитного домена — области с сильно коррелированными спинами. При
длина корреляции по порядку величины равна
периоду решетки. Поскольку по мере приближения к сверху корреляция в ориентации спинов увеличивается, будет возрастать при приближении к . Расходимость в окрестности описывается критическим индексом :
(2.39)
Из-за долгоживущих флуктуаций намагниченности время релаксации системы , а также корреляции флуктуаций в окрестности неограниченно возрастают. Можно ввести динамический
критический индекс @ , определяемый соотношением
, # (2.40)
Точное решение двумерной модели Изинга дало следующие значения критических индексов: 0, 18, 74, 1, при
этом расходимость теплоемкости описывается логарифмическим
законом $ .
2.4.2. Влияние конечных размеров моделируемой системы на критические свойства. Конечномерное масштабирование. Отмеченное выше поведение термодинамических функций и физических параметров наблюдается в непосредственной
1, и для систем, рассматриокрестности , ваемых в термодинамическом пределе 9 . В конечной
системе не может проявиться настоящий фазовый переход. Тем
не менее можно ожидать, что при меньше линейного размера : системы, конечная система будет правильно передавать
свойства бесконечной системы. Иначе говоря, если не слишком
близко к , то модельные расчеты должны давать результаты,
соизмеримые с результатами для бесконечной системы.
Зависимость характеристик фазового перехода от размера
моделируемой системы демонстрирует рис. 2.2 на котором приведены данные, полученные нами методом Монте-Карло для температурной зависимости теплоемкости на один спин двумерной
модели Изинга с : 8, 16, 32, 64. Видно, что восприимчивость
и теплоемкость обнаруживают максимум, который становится
более ярко выраженным для систем с большими : и испытывает
при этом некоторое смещение.
Наибольшую трудность при численном моделировании представляет определение значений критических индексов. Для ко-
2.4. Характеристики ферромагнитного фазового перехода второго рода 63
нечных систем трудно получить оценки для , , непосредственно с помощью приведенных выше определений. Вместо
этого используется представление теории непрерывных фазовых
переходов, когда при критические свойства для систем
различного масштаба : достигаются лишь в пределе : .
30
c
25
4
20
15
3
10
2
5
0
1
0
1
2
3
T
4
5
C
4
3
5
4
3
2
2
1
0
1
0
1
2
3
T
4
Рис. 2.2. Графики температурной зависимости восприимчивости - и теплоемкости моделируемых двумерных систем с различными размерами . (1 — 8,
2 — 16, 3 — 32, 4 — 64, 5 — ) вблизи температуры фазового перехода
Так, критическая температура : в термодинамическом пределе может быть получена на основании данных для
конечных систем. Если определять критическую температуру конечной системы : по положению максимума температурной
зависимости теплоемкости или восприимчивости , то
сдвиг температуры перехода конечной системы относительно ее
64
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
значения в бесконечной системе может быть задан как
: : ":1 , : 1,
(2.41)
: (2.42)
где " — константа, зависящая от деталей модели и граничных
условий. Тогда : можно получить экстраполяцией
: при : , используя для этого данные с достаточно
большими :. Вблизи корреляционная длина ограничена
размером системы, т. е.
Исходя из этого можно предположить, что температурные зависимости намагниченности, теплоемкости, восприимчивости, времени релаксации для конечных : заменяются функциями
< : ,
: ,
: (2.43)
Эти соотношения позволяют определить критические индексы для последовательности систем с достаточно большими : путем построения зависимости от : данных физических величин,
найденных при бесконечной системы, в двойном логарифмическом масштабе.
2.4.3. Задания.
1. Рассчитайте намагниченность, среднюю энергию, теплоемкость и восприимчивость, приходящиеся на один спин, для
систем с : 8, 16, 32, 64 и температурой от 1,5 до 3,5
с шагом 0,1. В начальной конфигурации для 1,5 задайте все
спины ориентированными вверх. Для последующих температур
в качестве начальной используйте равновесную конфигурацию
из предыдущего варианта. Используйте не менее 500 шагов
Монте-Карло (МК) на спин, по которым производится усреднение. Постройте графики зависимости < , ) , и от
температуры . Опишите качественную зависимость этих величин от температуры. Наблюдаете ли вы какие-нибудь признаки
фазового перехода?
2. Для : 32 выберите значение , которое, по вашему
мнению, отвечает температуре несколько ниже . Задав начальную конфигурацию все спины вверх, наблюдайте, как меняется
намагниченность во времени. Имеются ли большие флуктуации
намагниченности? Опишите равновесную конфигурацию системы. Выявляется ли много доменов с одинаковой ориентацией
спинов или только один?
2.4. Характеристики ферромагнитного фазового перехода второго рода 65
3. Используя точный результат для индекса 1 двумерной
модели Изинга, оцените величину : на основе температур, соответствующих максимумам теплоемкости и восприимчивости, для систем с : 8, 16, 32, 64 из задания a. Для этого
значения : постройте в зависимости от 1: и экстраполируйте их к 1: 0. Сравните результат с точным значением
4 8 2 1 2 2,269.
4. Определите значения намагниченности < и восприимчивости при 2,269 для : 8, 16, 32, 64. В качестве начальных используйте равновесные конфигурации для соответствующих систем из задания а при 2,1. Число шагов МК на спин
выберите не менее 1000. Определите критические индексы и ,
принимая 1. Для этого постройте графики < и от : в
двойном логарифмическом масштабе, экстраполируйте получающиеся точки прямыми, тангенсы угла наклона которых и определят соответствующие критические индексы. Сравните полученные оценки для и с точными значениями 18, 74.
5. Определите значения удельной теплоемкости при
2,269 для : 8, 16, 32, 64. Используйте рекомендации
задания г. Постройте график зависимости теплоемкости от
:. Получилась ли прямая? Согласуется ли ваш график с
зависимостью 0 :, где 0 0,4995?
6. Вычислите время релаксации намагниченности (или время
корреляции) для системы с : 32 при 2,5; 2,4; 2,3. Покажите, что по мере приближения к критической температуре
величина возрастает — этот физический эффект называется критическим замедлением. Постройте графики зависимости времен
релаксации и корреляции от температуры.
7. Вычислите время релаксации намагниченности (или время
корреляции флуктуаций) при 2,269 для : 8, 16, 32, 64.
Пользуясь соотношением , :# , оцените динамический критический индекс @ , построив график зависимости , от :
в двойном логарифмическом масштабе.
8. Исследуйте влияние размерности системы на критические
свойства модели Изинга. Для этого составьте программу моделирования методом Монте-Карло модели Изинга в простой
кубической решетке (координационное число равно 6). Поскольку для трехмерной модели Изинга нет точных результатов, моделирование ее критического поведения представляет большой
интерес. Вычислите теплоемкость и восприимчивость для от
3,2 до 5,0 с шагом 0,1 для различных значений : 4, 8, 16.
Оцените : по максимуму теплоемкости и восприимчивости.
3 В.В. Прудников, А.Н. Вакилов, П.В. Прудников
66
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
Какая температура сильнее зависит от : — найденная из или из ? Используйте те значения :, которые сильнее
зависят от :, постройте график : как функции :1 для
разных значений в диапазоне от 0,5 до 1,0. Покажите, что
экстраполированное значение : почти не зависит от
величины . Сравните свою оценку для бесконечной системы
с наилучшим известным значением 4 8 4,5108.
9. Вычислите намагниченность, теплоемкость и восприимчивость для : 4, 8, 16 в простой кубической решетке. Оцените
отношения , , . Сравните значения критических индексов с известными из теоретических расчетов:
0,63, 0,08, 0,32, 1,243.
Для расчета средних значений используйте 1000 шагов МК
на спин после установления равновесия.
2.4.4. Текст программы для трехмерной модели Изинга
с
I z i n g 3
4 s p i n ( 6 4 , 6 4 , 6 4 ) , ibm1 , ibm2
4 mult1 , mult2 , modm1 , N, L , E , M
4 ecum , e2cum , mcum, m2cum
4 count , T , RN( 2 5 6 ) , w( —6:6)
IBM1 , IBM2 , MULT1, MULT2, MODM1, RN
/DATAS/ecum , e2cum , mcum, m2cum
s t a r t (N, L , T , mcsmax , s p in , E ,M,w, i s t a r t )
mcs=1 , mcsmax
Metrop (N, L , s p in , E , M, w)
( mcs . GT. i s t a r t ) ( E , M, ecum , e2cum , mcum, m2cum)
count=count +1.
( , ) ecum , e2cum , mcum, m2cum
o u t p u t (N, count , T , ecum , e2cum , mcum, m2cum)
s t a r t (N, L , T , mcsmax , s p in , E ,M, w, i s t a r t )
4 N, L , mcsmax , s p i n ( 6 4 , 6 4 , 6 4 )
4 i s e e d 1 , i s e e d 2 , i s t a r t , E , M
4 e4 , e8 , T , MODM2, RN( 2 5 6 ) , w( —6:6)
IBM1 , IBM2 , MULT1, MULT2, MODM1, RN
( , ) ’ЛИНЕЙНЫЙ РАЗМЕР РЕШЕТКИ’
( , ) L
( , ) ’ТЕМПЕРАТУРА’
( , ) T
2.4. Характеристики ферромагнитного фазового перехода второго рода 67
( , ) ’ "ЗЕРНО" 1—ГО ГЕНЕРАТОРА’
( , ) ISEED1
( , ) ’ "ЗЕРНО" 2—ГО ГЕНЕРАТОРА’
( , ) ISEED2
( , ) ’ЧИСЛО ШАГОВ МОНТЕ—КАРЛО НА СПИН’
( , ) MCSMAX
( , ) ’ЧИСЛО НАЧАЛЬНЫХ ОТБРАСЫВАЕМЫХ
КОНФИГУРАЦИЙ’
( , ) ISTART
N=L L L
i =1 , L
j =1 , L
k =1 , L
!ЧИСЛО СПИНОВ
s p i n ( i , j , k )=1
с
с
! ВСЕ СПИНЫ ВВЕРХ
M=N
!НАЧАЛЬНАЯ НАМАГНИЧЕННОСТЬ
!
ЭНЕРГИЯ
E=—2N
MODM1=2147483647
MODM2=2147483647.0
MULT1=16807
MULT2=65539
IBM1=2ISEED1+1
IBM2=2ISEED2+1
ИНИЦИАЛИЗАЦИЯ НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
МАССИВА ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
I =1 , 256
IBM1=IBM1MULT1
(IBM1 . LT . 0 ) IBM1=IBM1+ MODM1+1
RN( I )=IBM1/MODM2
с
с
с
ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕВОРОТА
ИНДЕКС МАССИВА w РАВЕН СУММЕ БЛИЖАЙШИХ СОСЕДЕЙ
e4=exp ( —4.0/T)
e8=e4 e4
e12=e8 e4
АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ exp ИЗМЕНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
w(6)= e12
w(4)= e8
w( —4)=1./ e8
w(2)= e4
w( —2)=1./ e4
w( —6)=1./ e12
w( 0 ) = 1 .
3*
68
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
Metrop (N, L , s p in , E , M, w)
4 N, L , s p i n ( 6 4 , 6 4 , 6 4 ) , E , M
4 RAN, w( —6:6)
i s p i n =1 , N
с
СЛУЧАЙНЫЙ РОЗЫГРЫШ КООРДИНАТ СПИНА
RANF(RAN)
i=i n t ( L RAN+1)
RANF(RAN)
j=i n t ( L RAN+1)
RANF(RAN)
k=i n t ( L RAN+1)
с
ЗНАЧЕНИЯ СОСЕДНИХ СПИНОВ,
с
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
p e r i o d ( i , j , k , L , s p in , isum )
( s p i n ( i , j , k ) isum . l e . 0 ) a c c e p t ( i , j , k , M, E , isum , s p i n )
RANF(RAN)
ELSEIF (RAN. l t .w( isum ) ) a c c e p t ( i , j , k , M, E , isum , s p i n )
ENDIF
p e r i o d ( i , j , k , L , s p in , isum )
с
НАХОДИТСЯ СУММА СОСЕДНИХ СПИНОВ;
с
ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
4 i , j , L , s p i n ( 6 4 , 6 4 , 6 4 ) , isum
( i . eq . 1 ) l e f t =s p i n ( L , j , k )
l e f t =s p i n ( i —1 , j , k )
ENDIF
( i . eq . L ) i r i g h t=s p i n ( 1 , j , k )
i r i g h t=s p i n ( i +1 , j , k )
ENDIF
( j . eq . 1 ) idown=s p i n ( i , L , k )
idown=s p i n ( i , j —1 , k )
ENDIF
( j . eq . L ) i u p=s p i n ( i , 1 , k )
i u p=s p i n ( i , j +1 , k )
2.4. Характеристики ферромагнитного фазового перехода второго рода 69
ENDIF
( k . eq . 1 ) izdown=s p i n ( i , k , L )
izdown=s p i n ( i , j , k—1)
ENDIF
( k . eq . L ) i z u p=s p i n ( i , j , 1 )
i z u p=s p i n ( i , j , k+1)
ENDIF
isum= l e f t +i r i g h t+i u p+idown+izdown+i z u p
a c c e p t ( i , j , k , M, E , isum , s p i n )
4 i , j , M, E , isum , s p i n ( 6 4 , 6 4 , 6 4 )
s p i n ( i , j , k)=—s p i n ( i , j , k )
M=M+2 s p i n ( i , j , k )
E=E—2 s p i n ( i , j , k ) isum
( E , M, ecum , e2cum , mcum, m2cum)
с
НАКАПЛИВАНИЕ ДАННЫХ ПОСЛЕ
с
КАЖДОГО ШАГА МОНТЕ—КАРЛО НА СПИН
4 E , M
4 ecum , e2cum , mcum, m2cum
ecum=ecum + E
e2cum=e2cum + E E
mcum=mcum + abs (M)
m2cum=m2cum+ MM
o u t p u t (N, count , T , ecum , e2cum , mcum,
m2cum)
4 N, ecum , e2cum , mcum, m2cum
4 count , znorm , eav , e2av , sav , s2av
4 CT , XT , T
znorm = 1 . / ( f l o a t (N) count )
с
СРЕДНИЕ НА СПИН
eav=ecum znorm
e2ave=e2cum znorm
sav=mcum znorm
s2av=m2cum znorm
CT=(e2ave—N eav 2 ) / ( T T)
XT=(s2av—N sav 2 ) / T
70
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
( , ) ’СРЕДНЯЯ ЭНЕРГИЯ НА СПИН’ , eav
( , ) ’СРЕДНЯЯ НАМАГНИЧЕННОСТЬ НА СПИН’ , sav
( , ) ’ТЕПЛОЕМКОСТЬ НА СПИН’ , CT
( , ) ’ВОСПРИИМЧИВОСТЬ НА СПИН’ , XT
RANF(RAN)
4 RN( 2 5 6 ) , RAN
4 K
IBM1 , IBM2 , MULT1, MULT2, MODM1, RN
IBM2=IBM2MULT2
(IBM2 . LT . 0 ) IBM2=IBM2+ MODM1+1
K=IBM2/8388608+1
RAN=RN(K)
IBM1=IBM1MULT1
(IBM1 . LT . 0 ) IBM1=IBM1+ MODM1+1
RN(K)=IBM1/ f l o a t (MODM1)
2.4.5. Применение кластерного метода Вольфа для
уменьшения эффектов критического замедления. Кластерный алгоритм для модели Изинга предложили Свендсен и Ванг
[207] с целью уменьшения влияния эффектов критического
замедления релаксации системы на результаты моделирования.
Более производительный вариант алгоритма был предложен затем Вольфом [224]. Рассмотрим основные идеи этих алгоритмов.
Пусть в узлах решетки расположены спиновые переменные,
принимающие значения 1, и задана некоторая начальная
спиновая конфигурация. Введем понятие связи между спинами
следующим образом. Если два спина антипараллельны, то связь
между ними будет считаться всегда разорванной; если спины
параллельны, то связь между ними будет считаться замкнутой
с вероятностью 1 2 и разорванной с вероятностью
2 . Данный процесс коррелированной перколяции по
связям разбивает решетку на так называемые физические
кластеры (в отличие от процедуры, при которой связи между
сонаправленными спинами всегда замкнуты и генерируются
геометрические кластеры). Если теперь присвоим спинам
каждого физического кластера значения 1 с вероятностью
12, то получим новую спиновую конфигурацию. Изложенная
процедура представляет собой алгоритм Свендсена–Ванга.
Метод Вольфа отличается тем, что в решетке произвольно
выбирается спин, затем строится физический кластер, которо-
2.4. Характеристики ферромагнитного фазового перехода второго рода 71
му этот спин принадлежит, а затем весь построенный кластер
переворачивается. Математическое обоснование кластерных алгоритмов дали математики Эдвардс и Сокал.
Алгоритм Монте-Карло в варианте Вольфа
1. Выбирается случайным образом спин в решетке, который
будем называть центральным. Затем центральный спин переворачивается, т. е. его значение меняется на противоположное.
2. Рассматриваются ближайшие соседи центрального спина.
Если соседний спин направлен одинаково с неперевернутым центральным, то с вероятностью 1 2 этот спин переворачивается, а его координаты запоминаются в стеке.
3. После того как проверены все соседние узлы, спин, координаты которого были загружены в стек последними, выбирается
центральным и снова выполняется п. 2.
4. Процедура переворота спинов заканчивается тогда, когда
стек становится пустым. Этот процесс называется переворотом
кластера, а все перевернутые спины считаются принадлежащими
кластеру Вольфа.
По данному алгоритму реализуется марковский процесс и
с сответствующей вероятностью генерируется равновесная конфигурация спинов.
Реализация на Фортране алгоритма Вольфа для трехмерной
модели Изинга
4 ISS ( 4 8 , 4 8 , 4 8 ) , IND ( 4 8 , 4 8 , 4 8 )
4 I , J , K , L
4 RN( 2 5 6 ) ,RMAG, P , MODM2, RAN, MM, rmn ( 5 0 0 0 )
4 NX( 6 ) , NY( 6 ) , NZ( 6 ) , sym
4 PERX( 4 0 0 0 0 ) ,PERY( 4 0 0 0 0 ) ,PERZ( 4 0 0 0 0 ) ,T
4 MULT1, MULT2, MODM1, IBM1 , IBM2
4 klm ( 5 0 0 0 ) , LCUBE
IBM1 , IBM2 , MULT1, MULT2, MODM1, RN
( , ) ’ТЕМПЕРАТУРА= ’
( , ) T
( , ) ’РАЗМЕР РЕШЕТКИ’
( , ) L
( , ) ’MCSMAX= ’
( , )MCSMAX
ISTART=0
( , ) ’ "ЗЕРНО 1 " ГЕНЕРАТОРА
ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ’
( , ) ISEED1
( , ) ’ "ЗЕРНО 2 " ГЕНЕРАТОРА
ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ’
( , ) ISEED2
72
6
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
( , ) ’ИСПОЛЬЗУЕТСЯ СТАРАЯ
КОНФИГУРАЦИЯ СПИНОВ ( Y/N) ? ’
( , ’ ( a1 ) ’ ) s t r 1
( s t r 1 . eq . ’ Y ’ . or . s t r 1 . eq . ’ y ’ ) k l =1
( 1 0 , = ’ sp ’ , = ’ ’ ,
= ’
’ )
( 1 0 ) ISS , MM
!" (10)
( s t r 1 . eq . ’ N ’ . or . s t r 1 . eq . ’ n ’ ) KL=0
( s t r 1 . ne . ’ Y ’ . and . s t r 1 . ne . ’ y ’ . and . s t r 1 . ne . ’ N’
c
5
c
. and . s t r 1 . ne . ’ n ’ )
#! ! 6
m=0
H=0.0
T=TEMP
MODM1=2147483647
MODM2=2147483647.0
MULT1=16807
MULT2=65539
IBM1=2ISEED1+1
IBM2=2ISEED2+1
LCUBE=L L L
RLCUBE=L L L
( , ) RLCUBE
( k l . eq . 0 ) M= — RLCUBE/2
COUNT=0.
5 K=1 ,256
IBM1=IBM1MULT1
(IBM1 . LT . 0 ) IBM1=IBM1+ MODM1+1
RN(K)=IBM1/MODM2
!$
КОНЕЦ ЦИКЛА
( , ) K
P=1.—EXP( — 2 . / 4 . 5 1 0 8 )
( ,) ’ p= ’ ,p
%$"
( KL .EQ . 1 ) 7 6
I =1 , L
J =1 , L
K=1 , L
76
ISS ( I , J , K)=1
ENDDO
ENDDO
ENDDO
MM=L L L
2.4. Характеристики ферромагнитного фазового перехода второго рода 73
c
c
с
100
c
МОНТЕ—КАРЛО ЧАСТЬ
2 0 0 MCS=1 , MCSMAX
RANF(RAN)
I I=INT (RAN L+1)
RANF(RAN)
JJ=INT (RAN L+1)
RANF(RAN)
KK=INT (RAN L+1)
SYM=ISS ( I I , JJ , KK)
ISS ( I I , JJ , KK)=—ISS ( I I , JJ , KK)
klm ( mcs)=1
MM=MM — 2 SYM
NPER=6
Периметр
PERX(1)= I I +1
PERX(2)= I I —1
PERX(3)= I I
PERX(4)= I I
PERX(5)= I I
PERX(6)= I I
PERY(1)= JJ
PERY(2)= JJ
PERY(3)= JJ+1
PERY(4)= JJ—1
PERY(5)= JJ
PERY(6)= JJ
PERZ(1)=KK
PERZ(2)=KK
PERZ(3)=KK
PERZ(4)=KK
PERZ(5)=KK+1
PERZ(6)=KK—1
к—ты соседей
1 0 0 I =1 , 6
NX( I )=PERX( I )— I I
NY( I )=PERY( I )—JJ
NZ( I )=PERZ( I )—KK
NN=1 150 CONTINUE
RANF(RAN)
IPER=RANNPER+1
IX=PERX( IPER )
IY=PERY( IPER )
IZ=PERZ( IPER )
RANF(RAN)
RAN1=RAN
( (RAN1 . LT . P ) .AND. ( ISS ( IX , IY , IZ ) . EQ.SYM) .AND.
(IND( IX , IY , IZ ) . NE. 1 0 ) ) 74
c
с
300
с
c
с
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
ISS ( IX , IY , IZ ) = —SYM
MM = MM —2SYM
klm ( mcs)=klm ( mcs)+1
WRITE ( , ) MM, NPER
PERX( IPER)=PERX(NPER)
PERY( IPER)=PERY(NPER)
PERZ( IPER)=PERZ(NPER)
NPER=NPER—1
3 0 0 I =1 , 6
IXNEW=IX+NX( I )
IYNEW=IY+NY( I )
IZNEW=IZ+NZ( I )
граничные условия
(IXNEW. GT. L ) IXNEW=1
(IXNEW. LT . 1 ) IXNEW=L
(IYNEW. GT. L ) IYNEW=1
(IYNEW. LT . 1 ) IYNEW=L
(IZNEW. GT. L ) IZNEW=1
(IZNEW. LT . 1 ) IZNEW=L
(NPER.GT. 4 0 0 0 0 ) ’1———————’
( ( IND(IXNEW,IYNEW,IZNEW ) . NE. 1 0 ) .AND.
( ISS (IXNEW,IYNEW,IZNEW ) . EQ.SYM) ) NPER=NPER+1
PERX(NPER)=IXNEW
PERY(NPER)=IYNEW
PERZ(NPER)=IZNEW
ENDIF
IND( IX , IY , IZ )=10
PERX( IPER)=PERX(NPER)
PERY( IPER)=PERY(NPER)
PERZ( IPER)=PERZ(NPER)
NPER=NPER—1
ENDIF
( , ) klm ( mcs )
(NPER.GE . 1 ) 150
IF (KLM. LT .LCUBE) GO TO 9 5
( , ) mcs ,KLM( mcs )
(MCS. LE . ISTART ) 200
COUNT=COUNT+1.0
RMN(MCS)=MM/RLCUBE
I =1 , L
J =1 , L
K=1 , L
IND( I , J , K)=0
2.5. Характеристики ферромагнитного фазового перехода первого рода 75
200
с
КОНЕЦ М—К ЧАСТИ
RMAG=MM/RLCUBE
RMAG=RMAG/COUNT
( , ) ’M= ’ , MM
( , ) ’ТЕМПЕРАТУРА’ , TEMP
( , ) ’НАМАГНИЧЕННОСТЬ НА СПИН’ , RMAG
( 5 0 , = ’rmn ’ , = ’OLD’ )
! i =1 , mcsmax
( 5 0 , ) i , rmn ( i ) , klm ( i )
enddo
( 5 0 )
( 1 0 , = ’ sp ’ , = ’ ’ ,
= ’
’ )
( 1 0 ) ISS , MM
!" (10)
( , )
RANF(RAN)
4 RN( 2 5 6 ) ,RAN
2 K
4 IBM1 , IBM2 ,MULT1,MULT2,MODM1
IBM1 , IBM2 ,MULT1,MULT2,MODM1,RN
IBM2=IBM2MULT2
(IBM2 . LT . 0 ) IBM2=IBM2+ MODM1+1
K=IBM2/8388608+1
RAN=RN(K)
IBM1=IBM1MULT1
(IBM1 . LT . 0 ) IBM1=IBM1+ MODM1+1
RN(K)=IBM1/FLOAT(MODM1)
2.5. Характеристики ферромагнитного
фазового перехода первого рода, определяемого
трехмерной моделью Изинга во внешнем поле
2.5.1. Свойства фазового перехода первого рода. Метастабильные состояния. Гистерезис. До сих пор на основе
модели Изинга исследовали непрерывные фазовые переходы второго рода, которые характеризовались непрерывным изменением
с температурой намагниченности и энергии (первых производных
от химического потенциала системы) и расходимостью удельной
теплоемкости и восприимчивости (вторых производных от химического потенциала). При определенных внешних условиях —
76
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
модель Изинга во внешнем магнитном поле — характер фазового
перехода меняется и термодинамические свойства системы определяются конечным скачком таких характеристик, как намагниченность и энергия. Поскольку намагниченность и энергия определяются первыми производными от химического потенциала,
особенности в температурном поведении данных термодинамических характеристик и дали название типу фазовых переходов —
фазовые переходы первого рода.
Свойства фазовых переходов первого рода определяются существованием вблизи температуры перехода двух локальных
минимумов. При один минимум с ( 0 является абсолютным и соответствует равновесному состоянию, а другой
с ( 0 локальным и отвечает метастабильному состоянию.
При картина меняется: минимум с ( 0 становится
абсолютным (равновесное состояние характеризуется ( 0), а
второй минимум с ( 0 отвечает метастабильному состоянию.
Таким образом, при равновесное значение намагниченности меняется скачком от ( 0 для к ( 0 для .
Изменение направления магнитного поля при приводит
к смене направления намагниченности (для модели Изинга от
( 0 к ( 0). Существование потенциального барьера между
двумя локальными минимумами приводит при изменении знака
поля к гистерезисным (остаточным) явлениям, обусловленным потерями энергии на преодоление потенциального барьера.
Гистерезисные явления, возникающие при изменении внешнего
магнитного поля означают зависимость свойств системы от ее
предыстории, например, от того, является ли возрастающей
или убывающей функцией. Изучите данные свойства фазовых
переходов первого рода на примере модели Изинга во внешнем
магнитнои поле путем непосредственного компьютерного моделирования ее статистического поведения с помощью метода
Монте-Карло.
2.5.2. Задания по моделированию фазовых переходов
первого рода
1. Исследуйте зависимость намагниченности, энергии, теплоемкости и восприимчивости, приходящихся на один спин, от
величины внешнего магнитного поля для . Рассмотрите
кубическую решетку с : 16 и получите равновесное состояние
при 3,8 и 0. Для нахождения < и зависимости
других характеристик от осуществите следующую процедуру.
1а. Проанализируйте релаксационные свойства модели при заданной температуре и 0. Выделите время релаксации систе-
2.5. Характеристики ферромагнитного фазового перехода первого рода 77
мы и используйте его при отбрасывании начальных конфигураций и последующем определении средних значений термодинамических характеристик.
1б. Рассчитайте равновесные значения характеристик для различных , начиная с 0, с шагом 0,1 и усредняя по
300 временным шагам. В качестве начальной конфигурации для
1 используйте последнюю конфигурацию
для . Повторяйте шаги процедуры до тех пор, пока
не получится < 0,9.
1в. Уменьшайте с шагом 0,1 до тех пор, пока не
пройдет через нуль и не получится < 0,9. Остается ли <
положительной при малых отрицательных ?
1г. Увеличивайте до тех пор, пока кривая зависимости <
от не примет вид замкнутой петли. Постройте данную кривую
<. Чему равно значение < при 0? Это значение < и
есть спонтанная намагниченность. Проанализируйте и постройте
графики зависимостей других определяемых термодинамических
характеристик от .
1д. Повторите описанное выше моделирование для 4,6, т. е.
для . Объясните, почему ваши результаты отличаются от
результатов моделирования для ?
2. Исследуйте зависимость намагниченности, энергии, теплоемкости и восприимчивости для модели Изинга от температуры
при различных фиксированных значениях . Рассмотрите кубическую решетку с : 16 при значениях 1 0,05 и 2 0,2.
Для 1 0,05 выберите диапазон исследуемых температур от
4 до 5,6, для 2 0,2 — от 4 до 6 при
шаге 0,2. Усреднение проводите по 300 временным шагам.
Число отбрасываемых шагов выделите на основе анализа релаксационных свойств модели. Постройте графики температурных
зависимостей средних значений измеряемых величин. Сопоставьте графики, соответствующие различным . Выделите особенности в поведении термодинамических величин, соответствующие
фазовым переходам первого рода. При каких эти особенности
сильнее проявляются? Проверьте, существует ли для фазовых переходов первого рода зависимость значений термодинамических
характеристик от размера моделируемой системы? Для этого
рассмотрите кубическую решетку с : 40 при значении 0,2
и определите для нее зависимость намагниченности, энергии,
теплоемкости и восприимчивости от температуры, а затем сопоставьте полученные значения с аналогичными для решетки с
: 16.
78
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
2.6. Моделирование критического поведения
неупорядоченных систем
2.6.1. Алгоритм выращивания конфигураций со случайным распределением примесей. Модификация метода
Монте-Карло для неупорядоченных систем. При создании
спиновой конфигурации со случайно распределенными примесями в решетке возникают несвязанные геометрические кластеры магнитных узлов. При концентрации спинов $ больше
порога спиновой перколяции $ практически всегда существует
спиновый кластер, проходящий с грани на грань, и некоторое
количество изолированных кластеров, содержащих относительно небольшое число спинов. В предельном случае бесконечно
большого размера решетки вклад в магнитные характеристики
системы дают только скоррелированные спины бесконечного перколяционного кластера, поэтому будет разумным при вычислении критических характеристик не учитывать вклад от узлов, не
имеющих связи с перколяционным кластером. Такая процедура
позволяет уменьшить шум от спинов кластеров конечного размера. Для распределения спинов с заданной концентрацией $ по
узлам решетки удобно использовать алгоритм выращивания перколяционного кластера Хаммерсли–Лиса–Александровица [5].
Практическая реализация алгоритма заключается в следующем. В центре кубической решетки размещается затравочный
спин. Шесть соседних узлов образуют периметр затравочного
спина. Случайным образом выбирается узел из периметра. Затем
с вероятностью $ этот узел занимается спином, а его соседи
добавляются в периметр. В противном случае узел остается свободным (примесным). Чтобы узлы решетки оставались свободными с вероятностью 1 $, данный узел больше не проверяется.
Если узел уже занят спином, то определяется, нет ли новых
непроверенных узлов периметра. Процедура повторяется до тех
пор, пока не будут просмотрены все узлы периметра.
Метод Монте-Карло при процедуре моделирования поведения
неупорядоченных систем претерпевает ряд изменений. Рассматрим ферромагнитную неупорядоченную модель Изинга с немагнитными атомами примеси. Атомам примеси при моделировании
соответствуют пустые узлы. Спин пустого узла полагается равным нулю. Алгоритм Метрополиса при этом сохраняется, как и
для однородных систем, с учетом того, что вклад в энергию взаимодействия магнитного атома со спином 1 немагнитного
атома со спином 0 оказывается равным нулю.
2.6. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем 79
Следует отметить, что для каждой выращенной на решетке
примесной конфигурации реализуется алгоритм Метрополиса получения различных термодинамических характеристик системы
спинов как величин, усредненных по числу шагов Монте-Карло.
Однако искомая термодинамическая характеристика неупорядоченной системы получается лишь после дополнительного усреднения величин для отдельных конфигураций по полному набору
выращенных примесных конфигураций. При этом значения термодинамических характеристик становятся более достоверными
с увеличением числа примесных конфигураций, используемых
при усреднении.
Для нахождения критической температуры применяется метод кумулянтов Биндера, зарекомендовавший себя наилучшим
образом при описании свойств неупорядоченных систем. Выражение для кумулянта можно представить в виде
1
3
A2
4
stg
2
stg
(2.44)
2
В формуле (2.44) угловые скобки обозначают статистическое
усреднение, а квадратные скобки усреднение по различным примесным конфигурациям. Кумулянт A :, имеет важную для
описания поведения конечных систем скейлинговую форму
A :, - :1 (2.45)
Кумулянт определен так, что 0 A 1. При этом для температур выше величина A :, 0 в пределе : . Дан-
ная скейлинговая зависимость кумулянта позволяет определять
критическую температуру : для бесконечной системы
через координату точки пересечения кривых, задающих температурную зависимость A :, для различных :. Более того, легко
показать, что в критической области при /
":1
(2.46)
и, следовательно, по максимальному наклону кумулянтов вблизи
точки их пересечения при : можно определить значение критического индекса , характеризующего температурную
расходимость корреляционной длины при . Применение
кумулянтов позволяет устанавливать тип фазового перехода в системе. Так, для фазовых переходов второго рода температурные
кривые кумулянтов имеют ярко выраженную зависимость от : и
некоторую область (треугольник) пересечения, близкую к точке.
80
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
В случае фазового перехода первого рода кривые кумулянтов
имеют специфический вид без взаимного пересечения, практически отсутствует их зависимость от размера моделируемой системы, а кумулянты в некоторой области температур принимают
отрицательные значения.
Программа моделирования поведения неупорядоченной
трехмерной модели Изинга
c
I z i n g 3
4 s p i n ( 6 4 , 6 4 , 6 4 ) , ibm1 , ibm2
4 mult1 , mult2 , modm1 , N, L , E , M
4 ecum , e2cum , mcum, m2cum
4 count , T , RN( 2 5 6 ) , w( — 6 : 6 ) , p
IBM1 , IBM2 , MULT1, MULT2, MODM1, RN
COMMON/DATAS/ecum , e2cum , mcum, m2cum
s t a r t (N, L , T , p , mcsmax , s p in , E ,M,w, i s t a r t )
mcs=1 , mcsmax
Metrop (N, L , s p in , E , M, w)
( mcs .GT . i s t a r t ) ( E , M, ecum , e2cum , mcum, m2cum)
count=count +1.
( , ) ecum , e2cum , mcum, m2cum
o u t p u t (N, count , T , ecum , e2cum , mcum, m2cum)
s t a r t (N, L , T , p , mcsmax , s p in , E ,M, w,
istart )
4 N, L , mcsmax , s p i n ( 6 4 , 6 4 , 6 4 )
4 i s e e d 1 , i s e e d 2 , i s t a r t , E , M
4 e2 , e4 , e8 , T , MODM2, RN( 2 5 6 ) , w( — 6 : 6 ) , p
IBM1 , IBM2 , MULT1, MULT2, MODM1, RN
( , ) ’ЛИНЕЙНЫЙ РАЗМЕР РЕШЕТКИ’
( , ) L
( , ) ’ТЕМПЕРАТУРА’
( , ) T
( , ) ’ концентрация спинов ’
( , ) p
( , ) ’ "ЗЕРНО" 1—ГО ГЕНЕРАТОРА’
( , ) ISEED1
( , ) ’ "ЗЕРНО" 2—ГО ГЕНЕРАТОРА’
( , ) ISEED2
( , ) ’ЧИСЛО ШАГОВ МОНТЕ—КАРЛО НА СПИН’
( , ) MCSMAX
2.6. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем 81
( , ) ’ЧИСЛО НАЧАЛЬНЫХ
ОТБРАСЫВАЕМЫХ КОНФИГУРАЦИЙ’
( , ) ISTART
N=L L L
!ЧИСЛО УЗЛОВ
GROW(P , s p in , L )
i =1 , L
j =1 , L
k =1 , L
( SPIN ( i , j , k ) . NE . 0 ) s p i n ( i , j , k )=1
! ВСЕ СПИНЫ ВВЕРХ
NS=NS+1
ENDIF
ENERGY=0
1 0 5 i =1 , L
1 0 5 j =1 , L
1 0 5 k =1 , L
p e r i o d ( i , j , k , L , s p in , isum )
105
с
с
ENERGY=ENERGY+isum s p i n ( i , j , k )
M=NS
!НАЧАЛЬНАЯ НАМАГНИЧЕННОСТЬ И ЭНЕРГИЯ
E=ENERGY
MODM1=2147483647
MODM2=2147483647.0
MULT1=16807
MULT2=65539
IBM1=2ISEED1+1
IBM2=2ISEED2+1
ИНИЦИАЛИЗАЦИЯ НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
МАССИВА ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
I =1 , 256
IBM1=IBM1MULT1
(IBM1 . LT . 0 ) IBM1=IBM1+ MODM1+1
RN( I )=IBM1/MODM2
с
с
с
ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕВОРОТА
ИНДЕКС МАССИВА w РАВЕН СУММЕ БЛИЖАЙШИХ СОСЕДЕЙ
e4=exp ( —4.0/T)
e8=e4 e4
e12=e8 e4
АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ exp ИЗМЕНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
w(6)= e12
w(5)= exp ( —10.0/T)
w(4)= e8
w(3)= exp ( —6.0/T)
82
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
w(2)= e4
w(1)= exp ( —2.0/T)
w( 0 ) = 1 .
w(—1)=1/w( 1 )
w( —2)=1./ e4
w( —3)=1./w( 3 )
w( —4)=1./ e8
w(—5)=1/w( 5 )
w( —6)=1./ e12
w( 0 ) = 1 .
Metrop (N, L , s p in , E , M, w)
4 N, L , s p i n ( 6 4 , 6 4 , 6 4 ) , E , M
4 RAN, w( —6:6)
i s p i n =1 , N
с
СЛУЧАЙНЫЙ РОЗЫГРЫШ КООРДИНАТ СПИНА
333
RANF(RAN)
i=i n t ( L RAN+1)
RANF(RAN)
j=i n t ( L RAN+1)
RANF(RAN)
k=i n t ( L RAN+1)
( s p i n ( i , j , k ) . EQ . 0 ) #! ! 333
с
ЗНАЧЕНИЯ СОСЕДНИХ СПИНОВ,
с
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
p e r i o d ( i , j , k , L , s p in , isum )
( s p i n ( i , j , k ) isum . l e . 0 ) a c c e p t ( i , j , k , M, E , isum , s p i n )
RANF(RAN)
ELSEIF (RAN. l t .w( isum ) ) a c c e p t ( i , j , k , M, E , isum , s p i n )
ENDIF
p e r i o d ( i , j , k , L , s p in , isum )
с
НАХОДИТСЯ СУММА СОСЕДНИХ СПИНОВ;
c
ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
4 i , j , L , s p i n ( 6 4 , 6 4 , 6 4 ) , isum
( i . eq . 1 ) l e f t =s p i n ( L , j , k )
l e f t =s p i n ( i —1 , j , k )
ENDIF
( i . eq . L ) 2.6. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем 83
i r i g h t=s p i n ( 1 , j , k )
i r i g h t=s p i n ( i +1 , j , k )
ENDIF
( j . eq . 1 ) idown=s p i n ( i , L , k )
idown=s p i n ( i , j —1 , k )
ENDIF
( j . eq . L ) i u p=s p i n ( i , 1 , k )
i u p=s p i n ( i , j +1 , k )
ENDIF
( k . eq . 1 ) izdown=s p i n ( i , k , L )
izdown=s p i n ( i , j , k—1)
ENDIF
( k . eq . L ) i z u p=s p i n ( i , j , 1 )
i z u p=s p i n ( i , j , k+1)
ENDIF
isum= l e f t +i r i g h t+i u p+idown+izdown+i z u p
a c c e p t ( i , j , k , M, E , isum , s p i n )
4 i , j , M, E , isum , s p i n ( 6 4 , 6 4 , 6 4 )
s p i n ( i , j , k)=—s p i n ( i , j , k )
M=M+2 s p i n ( i , j , k )
E=E—2 s p i n ( i , j , k ) isum
(E , M, ecum , e2cum , mcum, m2cum)
c
НАКАПЛИВАНИЕ ДАННЫХ ПОСЛЕ КАЖДОГО
с
ШАГА МОНТЕ—КАРЛО НА СПИН
4 E ,M
4 ecum , e2cum , mcum, m2cum
ecum=ecum + E
e2cum=e2cum + E E
mcum=mcum + abs (M)
m2cum=m2cum+ MM
84
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
o u t p u t (N, count , T , ecum , e2cum , mcum,
m2cum)
4 N, ecum , e2cum , mcum, m2cum
4 count , znorm , eav , e2av , sav , s2av
4 CT , XT, T
znorm = 1 . / ( f l o a t (N) count )
c
СРЕДНИЕ НА СПИН
eav=ecum znorm
e2ave=e2cum znorm
sav=mcum znorm
s2av=m2cum znorm
CT=(e2ave—N eav 2 ) / ( T T)
XT=(s2av—N sav 2 ) / T
( , ) ’СРЕДНЯЯ ЭНЕРГИЯ НА СПИН’ , eav
( , ) ’СРЕДНЯЯ НАМАГНИЧЕННОСТЬ НА СПИН’ , sav
( , ) ’ТЕПЛОЕМКОСТЬ НА СПИН’ , CT
( , ) ’ВОСПРИИМЧИВОСТЬ НА СПИН’ , XT
RANF(RAN)
4 RN( 2 5 6 ) , RAN
4 K
IBM1 , IBM2 , MULT1, MULT2, MODM1, RN
IBM2=IBM2MULT2
(IBM2 . LT . 0 ) IBM2=IBM2+ MODM1+1
K=IBM2/8388608+1
RAN=RN(K)
IBM1=IBM1MULT1
(IBM1 . LT . 0 ) IBM1=IBM1+ MODM1+1
RN(K)=IBM1/ f l o a t (MODM1)
с
Выращивание спиновой конфигурации
GROW(P , s p in , L )
4 N, NX( 6 ) , NY( 6 ) , NZ( 6 ) , R
4 NUM( 6 4 ) , NUMR( 6 4 ) , RAN
4 NPER, IPER , RN( 2 5 6 ) , IBM1 , IBM2
4 MULT1, MULT2, MODM1
2 s p i n ( 6 4 , 6 4 , 6 4 )
2 PERX( 9 0 0 0 0 ) , PERY( 9 0 0 0 0 ) , PERZ( 9 0 0 0 0 )
P , MODM2, RAN1, D( 2 5 )
IBM1 , IBM2 ,MULT1,MULT2,MODM1,MODM2,RN
s p i n ( L / 2 , L / 2 , L/2)=1
NPER=6
PERX(1)=L/2
PERX(2)=L/2
2.6. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем 85
PERX(3)=L/2
PERX(4)=L/2
PERX(5)=L/2—1
PERX(6)=L/2+1
PERY(1)=L/2
PERY(2)=L/2—1
PERY(3)=L/2
PERY(4)=L/2
PERY(5)=L/2
PERY(6)=L/2
PERZ(1)=L/2+1
PERZ(2)=L/2
PERZ(3)=L/2—1
PERZ(4)=L/2
PERZ(5)=L/2
PERZ(6)=L/2
1 0 0 I =1 ,6
NX( I )=PERX( I )—L/2
NY( I )=PERY( I )—L/2
NZ( I )=PERZ( I )—L/2
100
N=1
NN=1
150
RANF(RAN)
IPER=(RAN/MODM2) NPER+1
IX=PERX( IPER )
IY=PERY( IPER )
IZ=PERZ( IPER )
( s p i n ( IX , IY , IZ ) . NE. 0 ) PERX( IPER)=PERX(NPER)
PERY( IPER)=PERY(NPER)
PERZ( IPER)=PERZ(NPER)
NPER=NPER—1
500
NN=NN+1
RANF(RAN)
RAN1=RAN/MODM2
(RAN1 . LT . P ) s p i n ( IX , IY , IZ )=1
N=N+1
NUM(R)=NUM(R)+1
PERX( IPER)=PERX(NPER)
PERY( IPER)=PERY(NPER)
PERZ( IPER)=PERZ(NPER)
NPER=NPER—1
86
Гл. 2. Компьютерное моделирование фазовых переходов
2 0 0 I =1 , 6
IXNEW=IX+NX( I )
IYNEW=IY+NY( I )
IZNEW=IZ+NZ( I )
(IXNEW. LT . 1 ) GOTO 200
(IXNEW. GT. L ) GOTO 200
(IYNEW. LT . 1 ) GOTO 200
(IYNEW. GT. L ) GOTO 200
(IZNEW. LT . 1 ) GOTO 200
(IZNEW. GT. L ) GOTO 200
( s p i n (IXNEW, IYNEW, IZNEW ) . EQ . 0 ) NPER=NPER+1
PERX(NPER)=IXNEW
PERY(NPER)=IYNEW
PERZ(NPER)=IZNEW
ENDIF
200
s p i n ( IX , IY , IZ )=0
PERX( IPER)=PERX(NPER)
PERY( IPER)=PERY(NPER)
PERZ( IPER)=PERZ(NPER)
NPER=NPER—1
ENDIF
500
(NPER.GE . 1 ) 150
RANF(RAN)
4 RN( 2 5 6 ) , K , RAN
IBM1 , IBM2 ,MULT1,MULT2,MODM1,MODM2,RN
IBM2=IBM2MULT2
(IBM2 . LT . 0 ) IBM2=IBM2+ MODM1+1
K=IBM2/8388608+1
RAN=RN(K)
IBM1=IBM1MULT1
(IBM1 . LT . 0 ) IBM1=IBM1+ MODM1+1
RN(K)=IBM1
2.6.2. Задания по моделированию критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга
1. Используя метод кумулянтов Биндера, определить критическую температуру бесконечной системы по пересечению кумулянтов для кубических решеток с размерами : 4, 8, 16 при
концентрации спинов $ 0,95. Марковский процесс эволюции
2.6. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем 87
системы реализовать с помощью алгоритма Вольфа. Провести
расчеты кумулянтов в температурном интервале от 3,5 до 5 с шагом 0,1. Усреднение провести по десяти примесным конфигурациям. Получаемое значение критической температуры сравнить
с критической температурой однородной модели Изинга.
2. Используя алгоритм Вольфа, вычислить значения намагниченности, теплоемкости и восприимчивости для кубических решеток с размерами : 4, 8, 16 и концентрацией спинов $ 0,95
при критической температуре, найденной из предыдущего задания. По скейлинговой зависимости данных термодинамических
характеристик получить отношения критических индексов ,
, . Сравнить значения критических индексов с известными из теоретических расчетов:
0,67, 0,03, 0,35, 1,33.
3. Используя алгоритм Метрополиса, вычислить время корреляции флуктуаций в неупорядоченной модели Изинга при критической температуре, найденной из задания 1, для кубических решеток с размерами : 4, 8, 16 и концентрацией спинов $ 0,95.
Пользуясь соотношением :# , оценить динамический критический индекс @ , построив график зависимости от : в двойном
логарифмическом масштабе. Сопоставить полученное значение
индекса @ с его значением для однородной системы. Показать,
что неупорядоченные системы характеризуются еще большими
эффектами критического замедления.
4. Выполнить задания 1–3 для неупорядоченной модели
Изинга с концентрацией спинов $ 0,8. Сопоставить полученные значения с результатами моделирования для случая $ 0,95.
Можно ли по результатам данного сопоставления сделать вывод
об универсальности критического поведения слабо неупорядоченных систем, т. е. независимости значений критических индексов от концентрации примесей.
Глава 3
МЕТОДЫ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
3.1. Введение
Задачи теории фазовых переходов и критических явлений
в однородных и неупорядоченных системах — одни из наиболее сложных и постоянно актуальных задач физики конденсированного состояния. Наблюдаемые по мере приближения к
точке фазового перехода аномально большие по амплитуде и
долгоживущие флуктуации некоторых термодинамических переменных характеризуются эффективно сильным взаимодействием.
Для теоретического анализа поведения таких систем разработаны сложные методы ренормгруппового и теоретико-полевого
описания. Используемые при этом приближения, как и в случае
других систем с сильным взаимодействием, требуют для их
обоснования сопоставления достигнутых результатов с результатами физического или компьютерного эксперимента. Компьютерное моделирование критических явлений позволяет получать
наглядную информацию о росте флуктуаций и критическом замедлении процессов релаксации в системах по мере приближения к температуре фазового перехода, о проявлении аномальных
свойств в поведении теплоемкости и восприимчивости системы
к изменению внешних полей. Именно задачи фазовых переходов
и критических явлений являются той областью, в которой компьютерный эксперимент становится альтернативой физическому
эксперименту и часто, например при описании свойств сильно
неупорядоченных систем, единственно возможным способом получения достоверной информации.
Для реализации научно-исследовательских задач, связанных
с определением термодинамических и статистических характеристик критического поведения различных систем методами
компьютерного моделирования, необходимы значительные вычислительные мощности, отождествляемые прежде всего с суперкомпьютерными системами. Однако высокопроизводительные
3.1. Введение
89
вычисления на суперкомпьютерах всегда ассоциировались с их
колоссальной стоимостью. Прогресс в электронике внес серьезные коррективы в решение этой проблемы. В середине 90-х гг.
прошлого века на рынке появились относительно недорогие и
эффективные микропроцессоры и коммуникационные решения.
Появилась реальная возможность создавать установки суперкомпьютерного класса из составных частей массового производства.
Относительно низкая стоимость кластерных проектов послужила
серьезным толчком к широкому распространению подобных решений. НИВЦ МГУ, Санкт-Петербургский университет, МФТИ,
Томский и Ростовский госуниверситеты, Уфимский авиационный
технический университет, Удмуртский и Дальневосточный госуниверситеты — вот неполный перечень вузов, в которых высокопроизводительные кластеры уже созданы и находятся в процессе
дальнейшего наращивания вычислительных мощностей. Число
подобных кластерных систем растет очень быстро, так как с
помощью высокопроизводительных кластеров найден эффективный способ решения большого класса научно-технических задач.
Возможность наращивания числа узлов и производительности
вычислительных систем кластерного типа является их наиболее
привлекательным свойством.
В 2001 г. в рамках вузовской программы по развитию ИВТР
в ОмГУ на базе научно-исследовательской лаборатории прикладной теоретической физики и параллельных вычислений при
кафедре теоретической физики был создан вычислительный кластер с высокой производительностью 8,4 GFlops, представляющий собой параллельную вычислительную сеть из 10 двухпроцессорных персональных компьютеров Pentium III/1000MHz с
коммуникационной средой FastEthernet с 24-портовым коммутатором. Основная область применения вычислительного кластера ОмГУ — поддержка фундаментальных и прикладных научных
исследований. В настоящее время с помощью вычислительных
ресурсов кластера успешно решаются задачи компьютерного моделирования критического поведения систем с развитыми флуктуациями, численного исследования неупорядоченных макроскопических систем и вычислительной физики поверхности. Вычислительный кластер активно используется в учебном процессе.
С 2003 г. на кафедре теоретической физики ОмГУ начата специализированная подготовка студентов направления «Прикладные
математика и физика» по освоению методов параллельного программирования и их применению к научно-исследовательским
задачам.
90
Гл. 3. Методы параллельного программирования
В связи с появлением возможности использования высокопроизводительных многопроцессорных систем на первый план
выходит задача переноса существующего программного обеспечения с однопроцессорных систем на многопроцессорные при
использовании методов параллельного программирования, адаптации существующих алгоритмов и программ для кластерных
систем, а также разработка принципиально нового программного обеспечения, учитывающего особенности функционирования
кластерных систем. Важно при этом отметить, что, несмотря на
неизбежные затраты на освоение новой вычислительной техники
и новых технологий программирования, использование подобных
параллельных систем дает уникальную возможность получения
принципиально новых научных результатов.
3.2. Терминология
MPI-программа представляет собой набор независимых процессов, каждый из которых выполняет свою собственную программу (не обязательно одну и ту же), написанную на языке C
или FORTRAN. Появились реализации MPI для C++, однако
разработчики стандарта MPI за них ответственности не несут.
Процессы MPI-программы взаимодействуют друг с другом посредством вызова коммуникационных процедур. Как правило,
каждый процесс выполняется в своем собственном адресном
пространстве, однако допускается и режим разделения памяти.
MPI не специфицирует модель выполнения процесса — он может
быть как последовательным, так и многопотоковым. MPI не
предоставляет никаких средств для распределения процессов по
вычислительным узлам и для запуска их на исполнение. Эти
функции возлагаются либо на операционную систему, либо на
программиста. Для идентификации наборов процессов вводится понятие группа, объединяющая все или часть процессов.
Каждая группа образует область связи, с которой связывается специальный объект — коммуникатор области связи. Процессы внутри группы нумеруются целым числом в диапазоне
0...groupsize-1. Все коммуникационные операции с конкретным коммуникатором будут выполняться только внутри области связи, описываемой этим коммуникатором. При инициализации MPI создается предопределенная область связи, содержащая все процессы MPI-программы, с которой связывается предопределенный коммуникатор MPI_COMM_WORLD. В большинстве
случаев на каждом процессоре запускается один отдельный процесс, и тогда термины процесс и процессор становятся синони-
3.2. Терминология
91
мами, а величина groupsize становится равной NPROCS — числу процессоров, выделенных задаче. В дальнейшем обсуждении
будем иметь в виду именно такую ситуацию и не будем строго
следить за терминологией.
Итак, если сформулировать коротко, MPI — это библиотека
функций, обеспечивающая взаимодействие параллельных процессов с помощью механизма передачи сообщений. Это достаточно объемная и сложная библиотека, состоящая из более 200
функций, в число которых входят:
— функции инициализации и закрытия MPI-процессов;
— функции, реализующие коммуникационные операции типа
точка–точка;
— функции, реализующие коллективные операции;
— функции для работы с группами процессов и коммуникаторами;
— функции для работы со структурами данных;
— функции формирования топологии процессов.
Набор функций библиотеки MPI далеко выходит за рамки
минимально необходимого набора для поддержки механизма передачи сообщений. Однако сложность этой библиотеки не должна пугать пользователей, поскольку все это множество функций
предназначено для облегчения разработки эффективных параллельных программ. Пользователю принадлежит право самому
решать, какие средства из предоставляемого арсенала использовать, а какие нет. В принципе любая параллельная программа
может быть написана с использованием всего 6 MPI-функций, а
достаточно полную и удобную среду программирования составляет набор из 24 функций.
Каждая из MPI-функций характеризуется способом выполнения.
1. Локальная функция выполняется внутри вызывающего
процесса. Ее завершение не требует коммуникаций.
2. Нелокальная функция требует для своего завершения выполнения MPI-процедуры другим процессом.
3. Глобальная функция предусматривает выполнение процедуры всеми процессами группы. Несоблюдение этого условия может приводить к зависанию задачи.
4. Блокирующая функция — возврат управления из процедуры— гарантирует возможность повторного использования
параметров, участвующих в вызове. Никаких изменений
в состоянии процесса, вызвавшего блокирующий запрос, до
выхода из процедуры не может происходить.
92
Гл. 3. Методы параллельного программирования
5. Неблокирующая функция предусматривает немедленный
возврат из процедуры, без ожидания окончания операции
и до того, как будет разрешено повторное использование
параметров, участвующих в запросе. Завершение неблокирующих операций осуществляется специальными функциями.
Использование библиотеки MPI имеет некоторые отличия
в языках C и FORTRAN. В языке C все процедуры являются
функциями и большинство из них возвращает код ошибки. При
использовании имен подпрограмм и именованных констант необходимо строго соблюдать регистр символов. Массивы индексируются с 0. Логические переменные представляются типом int
(true соответствует 1, а false — 0). Определение всех именованных констант, прототипов функций и определение типов выполняется подключением файла mpi.h. Введение собственных
типов в MPI было продиктовано тем обстоятельством, что стандартные типы языков на разных платформах имеют различное
представление. MPI допускает возможность запуска процессов
параллельной программы на компьютерах различных платформ,
обеспечивая при этом автоматическое преобразование данных
при пересылках. В табл. 3.1 приведено соответствие предопределенных в MPI-типов стандартным типам языка С.
В языке FORTRAN большинство MPI-процедур являются
подпрограммами (вызываются с помощью оператора CALL), а
код ошибки возвращают через дополнительный последний параметр процедуры. Несколько процедур, оформленных в виде
функций, код ошибки не возвращают. Не требуется строго соблюдать регистр символов в именах подпрограмм и именованных
констант. Массивы индексируются с 1. Объекты MPI, которые
в языке C являются структурами, в языке FORTRAN представляются массивами целого типа. Определение всех именованных
констант и определение типов выполняется подключением файла
mpif.h. В табл.3.2 приведено соответствие предопределенных
в MPI-типов стандартным типам языка FORTRAN.
В табл. 3.1 и 3.2 перечислен обязательный минимум поддерживаемых стандартных типов, однако если в базовой системе
представлены и другие типы, то их поддержку будет осуществлять и MPI. Например, если в системе есть поддержка комплексных переменных двойной точности DOUBLE COMPLEX, то будет
присутствовать тип MPI_DOUBLE_COMPLEX. Типы MPI_BYTE и
MPI_PACKED используются для передачи двоичной информации без какого-либо преобразования. Кроме того, программисту
предоставляются средства создания собственных типов на базе
93
3.2. Терминология
Т а б л и ц а 3.1
Соответствие между MPI-типами и типами языка C
Тип MPI
Тип языка C
MPI_CHAR
signed char
MPI_SHORT
signed short int
MPI_INT
signed int
MPI_LONG
signed long int
MPI_UNSIGNED_CHAR
unsigned char
MPI_UNSIGNED_SHORT
unsigned short int
MPI_UNSIGNED
unsigned int
MPI_UNSIGNED_LONG
unsigned long int
MPI_FLOAT
Float
MPI_DOUBLE
Double
MPI_LONG_DOUBLE
long double
MPI_BYTE
MPI_PACKED
Т а б л и ц а 3.2
Соответствие между MPI-типами и типами языка FORTRAN
Тип MPI
Тип FORTRAN
MPI_INTEGER
INTEGER
MPI_REAL
REAL
MPI_DOUBLE_PRECISION
DOUBLE PRECISION
MPI_COMPLEX
COMPLEX
MPI_LOGICAL
LOGICAL
MPI_CHARACTER
CHARACTER(1)
MPI_BYTE
MPI_PACKED
стандартных. Изучение MPI начнем с рассмотрения базового
набора из 6 функций, образующих минимально полный набор,
достаточный для написания простейших программ. При обсуждении параметров процедур символами IN будем указывать входные параметры процедур, символами OUT выходные, а INOUT
входные параметры, модифицируемые процедурой.
94
Гл. 3. Методы параллельного программирования
3.3. Базовые функции MPI
Любая прикладная MPI-программа должна начинаться с вызова функции инициализации MPI (функция MPI_Init). В результате выполнения этой функции создается группа процессов, в которую помещаются все процессы приложения, и область связи, описываемая предопределенным коммуникатором
MPI_COMM_WORLD. Эта область связи объединяет все процессы
приложения. Процессы в группе упорядочены и пронумерованы
от 0 до groupsize-1, где groupsize равно числу процессов
в группе. Кроме этого создается предопределенный коммуникатор MPI_COMM_SELF, описывающий свою область связи для
каждого отдельного процесса.
Синтаксис функции инициализации MPI_Init значительно
различается в различных языках:
C:
int MPI_Init(int *argc, char ***argv)
FORTRAN:
MPI_INIT(IERROR)
INTEGER IERROR
В программах на языке C каждому процессу при инициализации
передаются аргументы функции main, полученные из командной
строки. В программах на языке FORTRAN параметр IERROR
является выходным и возвращает код ошибки.
Функция завершения MPI-программ MPI_Finalize.
C:
int MPI_Finalize(void)
FORTRAN:
MPI_FINALIZE(IERROR)
INTEGER IERROR
Функция закрывает все MPI-процессы и ликвидирует все области связи.
Функция определения числа процессов
в области связи MPI_Comm_size.
C:
int MPI_Comm_size(MPI_Comm comm, int *size)
FORTRAN:
MPI_COMM_SIZE(COMM, SIZE, IERROR)
INTEGER COMM, SIZE, IERROR
3.3. Базовые функции MPI
95
IN comm — коммуникатор;
OUT size — число процессов в области связи коммуникатора comm.
Функция возвращает количество процессов в области связи
коммуникатора comm. До создания явным образом групп и
связанных с ними коммуникаторов единственно возможными
значениями параметра COMM являются MPI_COMM_WORLD и
MPI_COMM_SELF, которые создаются автоматически при инициализации MPI. Подпрограмма является локальной.
Функция определения номера процесса MPI_Comm_rank.
C:
int MPI_Comm_rank(MPI_Comm comm, int *rank)
FORTRAN:
MPI_COMM_RANK(COMM, RANK, IERROR)
INTEGER COMM, RANK, IERROR
IN
comm — коммуникатор;
OUT rank
— номер процесса, вызвавшего функцию.
Функция возвращает номер процесса, вызвавшего эту функцию.
Номера процессов лежат в диапазоне 0...size-1 (значение
size может быть определено с помощью предыдущей функции).
Подпрограмма является локальной. В минимальный набор следует включить также две функции передачи и приема сообщений.
Функция передачи сообщения MPI_Send.
C:
int MPI_Send(void* buf, int count,
MPI_Datatype datatype,
int dest, int tag, MPI_Comm comm)
FORTRAN:
MPI_SEND(BUF, COUNT, DATATYPE, DEST, TAG,
COMM, IERROR)
<type> BUF(*)
INTEGER COUNT, DATATYPE, DEST, TAG, COMM,
IERROR
IN buf
— адрес начала расположения пересылаемых данных;
IN count
— число пересылаемых элементов;
IN datatype — тип посылаемых элементов;
IN dest
— номер процесса-получателя в группе,
связанной с коммуникатором comm;
IN tag
— идентификатор сообщения;
IN comm
— коммуникатор области связи.
96
Гл. 3. Методы параллельного программирования
Функция выполняет посылку count элементов типа datatype
сообщения с идентификатором tag процессу dest в области
связи коммуникатора comm. Переменная buf — это, как правило,
массив или скалярная переменная. В последнем случае значение
count=1.
Функция приема сообщения MPI_Recv
C:
int MPI_Recv(void* buf, int count,
MPI_Datatype datatype, int source,
int tag, MPI_Comm comm, MPI_Status *status)
FORTRAN:
MPI_RECV(BUF, COUNT, DATATYPE, SOURCE, TAG,
COMM,STATUS, IERROR)
<type> BUF(*)
INTEGER COUNT, DATATYPE, SOURCE, TAG, COMM,
STATUS(MPI_STATUS_SIZE), IERROR
OUT buf
— адрес начала расположения принимаемого сообщения;
IN count
— максимальное число принимаемых элементов;
IN datatype — тип элементов принимаемого сообщения;
IN source
— номер процесса-отправителя;
IN tag
— идентификатор сообщения;
IN comm
— коммуникатор области связи;
OUT status
— атрибуты принятого сообщения.
Функция выполняет прием count элементов типа datatype сообщения с идентификатором tag от процесса source в области
связи коммуникатора comm.
Более детально операции обмена сообщениями обсудим в
следующем разделе, а в заключение этого раздела рассмотрим
функцию, которая не входит в очерченный минимум, но которая
важна для разработки эффективных программ. Речь идет о функции получения отсчета времени — таймере. С одной стороны,
такие функции имеются в составе всех операционных систем,
но с другой стороны, существует полнейший произвол в их реализации. Опыт работы с различными операционными системами
показывает, что при переносе приложений с одной платформы на
другую первое (а иногда и единственное), что приходится переделывать, это обращения к функциям учета времени. Поэтому разработчики MPI, добиваясь полной независимости приложений от
операционной среды, ввели и свои функции отсчета времени.
3.4. Обзор коммуникационных операций типа точка-точка
97
Функция отсчета времени (таймер) MPI_Wtime
C:
double MPI_Wtime(void)
FORTRAN:
DOUBLE PRECISION MPI_WTIME()
Функция возвращает астрономическое время в секундах, прошедшее с некоторого момента в прошлом — точки отсчета. Гарантируется, что эта точка отсчета не будет изменена в течение
жизни процесса. Для хронометрирования участка программы вызов функции делается в начале и конце участка и определяется
разница между показаниями таймера.
{
double starttime, endtime;
starttime = MPI_Wtime();
... хронометрируемый участок ...
endtime = MPI_Wtime();
printf("Выполнение заняло %f секунд\n",
endtime-starttime);
}
Функция MPI_Wtick, имеющая точно такой же синтаксис, возвращает разрешение таймера (минимальное значение кванта времени).
3.4. Обзор коммуникационных операций типа
точка-точка
К операциям этого типа относятся две представленные
в предыдущем разделе коммуникационные процедуры. В коммуникационных операциях типа точка-точка всегда участвуют
не более двух процессов: передающий и принимающий. В MPI
имеется множество функций, реализующих такой тип обменов.
Многообразие объясняется возможностью организации этих обменов множеством способов. Описанные в предыдущем разделе
функции реализуют стандартный режим с блокировкой.
Блокирующие функции подразумевают полное окончание
операции после выхода из процедуры, т. е. вызывающий процесс
блокируется, пока операция не будет завершена. Для функции
посылки сообщения это означает, что все пересылаемые данные
помещены в буфер (для разных реализаций MPI это может быть
либо промежуточный системный буфер, либо непосредственно
буфер получателя). Для функции приема сообщения блокируется
4 В.В. Прудников, А.Н. Вакилов, П.В. Прудников
98
Гл. 3. Методы параллельного программирования
выполнение других операций, пока все данные из буфера не будут помещены в адресное пространство принимающего процесса.
Неблокирующие функции подразумевают совмещение операций обмена с другими операциями, поэтому неблокирующие
функции передачи и приема по сути являются функциями инициализации соответствующих операций. Для опроса о завершенности операции (и завершения) вводятся дополнительные функции.
Как для блокирующих, так и неблокирующих операций MPI поддерживает четыре режима выполнения. Эти режимы относятся
только к функциям передачи данных, поэтому для блокирующих
и неблокирующих операций имеется по четыре функции посылки
сообщения. В табл. 3.3 перечислены имена базовых коммуникационных функций типа точка-точка, имеющихся в библиотеке
MPI.
Т а б л и ц а 3.3
Список коммуникационных функций типа точка-точка
Способ связи
С блокировкой
Без блокировки
Стандартная посылка
MPI_Send
MPI_Isend
Синхронная посылка
MPI_Ssend
MPI_Issend
Буферизованная посылка
MPI_Bsend
MPI_Ibsend
Согласованная посылка
MPI_Rsend
MPI_Irsend
Прием информации
MPI_Recv
MPI_Irecv
Табл.3.3 показывает принцип формирования имен функций.
К именам базовых функций Send/Recv добавляются различные
префиксы.
Префикс S (synchronous) — синхронный режим передачи
данных. Операция передачи данных завершается
только тогда, когда заканчивается прием данных.
Функция нелокальная.
Префикс B (buffered) — буферизованный режим передачи
данных. В адресном пространстве передающего процесса с помощью специальной функции
создается буфер обмена, который используется
в операциях обмена. Операция посылки заканчивается, когда данные помещены в этот буфер.
Функция имеет локальный характер.
3.4. Обзор коммуникационных операций типа точка-точка
99
Префикс R (ready) — согласованный или подготовленный режим передачи данных. Операция передачи данных начинается только тогда, когда принимающий процессор выставит признак готовности приема данных. Функция нелокальная.
Префикс I (immediate) относится к неблокирующим операциям.
Все функции передачи и приема сообщений могут использоваться в любой комбинации. Функции передачи, находящиеся
в одном столбце, имеют совершенно одинаковый синтаксис и различаются только внутренней реализацией. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только стандартный режим, который
в обязательном порядке поддерживают все реализации MPI.
В стандартном режиме выполнение операции обмена включает три этапа.
1. Передающая сторона формирует пакет сообщения, в который помимо передаваемой информации упаковываются адрес отправителя (source), адрес получателя (dest), идентификатор сообщения (tag) и коммуникатор (comm). Этот
пакет передается отправителем в буфер, и на этом функция
посылки сообщения заканчивается.
2. Сообщение системными средствами передается адресату.
3. Принимающий процессор извлекает сообщение из системного буфера, когда у него появляется потребность в
этих данных. Содержательная часть сообщения помещается в адресное пространство принимающего процесса, параметр buf, а служебная в пространство параметра status.
Поскольку операция выполняется в асинхронном режиме, адресная часть принятого сообщения состоит из трех полей:
— коммуникатора (comm), так как каждый процесс может
одновременно входить в несколько областей связи;
— номера отправителя в этой области связи (source);
— идентификатора сообщения (tag), который используется
для взаимной привязки конкретной пары операций посылки
и приема сообщений.
Параметр count (число принимаемых элементов сообщения)
в процедуре приема сообщения должен быть не меньше, чем
длина принимаемого сообщения. При этом реально будет приниматься столько элементов, сколько находится в буфере. Такая
реализация операции чтения связана с тем, что MPI допускает использование расширенных запросов для идентификаторов
сообщений (MPI_ANY_TAG — читать сообщение с любым иден4*
100
Гл. 3. Методы параллельного программирования
тификатором) и для адресов отправителя (MPI_ANY_SOURCE —
читать сообщение от любого отправителя). Не допускается расширенных запросов для коммуникаторов. Расширенные запросы
возможны только в операциях чтения.
Таким образом, после чтения сообщения некоторые параметры могут оказаться неизвестными, а именно: число считанных элементов, идентификатор сообщения и адрес отправителя. Эту информацию можно получить с помощью параметра
status. Переменные status должны быть явно объявлены
в MPI-программе.
В языке C status — структура типа MPI_Status с тремя
полями MPI_SOURCE, MPI_TAG, MPI_ERROR.
В языке FORTRAN status — массив типа INTEGER размера MPI_STATUS_SIZE. Константы MPI_SOURCE, MPI_TAG и
MPI_ERROR определяют индексы элементов. Назначение полей
переменной status представлено в табл. 3.4.
Т а б л и ц а 3.4
Назначение полей переменной status
Поля status
C
FORTRAN
Процесс-отправитель
status.MPI_SOURCE
status(MPI_SOURCE)
Идентификатор
сообщения
status.MPI_TAG
status(MPI_TAG)
Код ошибки
status.MPI_ERROR
status(MPI_ERROR)
Как видно из табл. 3.4, число считанных элементов
в переменную status не заносится. Для определения числа
фактически полученных элементов сообщения необходимо
использовать специальную функцию MPI_Get_count:
C:
int MPI_Get_count (MPI_Status *status,
MPI_Datatype datatype, int *count)
FORTRAN:
MPI_GET_COUNT (STATUS, DATATYPE, COUNT, IERROR)
INTEGER STATUS (MPI_STATUS_SIZE), DATATYPE,
COUNT, IERROR
IN
status
— атрибуты принятого сообщения;
IN
datatype — тип элементов принятого сообщения;
OUT count
— число полученных элементов.
Подпрограмма MPI_Get_count может быть вызвана либо
после чтения сообщения (функциями MPI_Recv, MPI_Irecv),
3.4. Обзор коммуникационных операций типа точка-точка
101
либо после опроса о факте поступления сообщения (функциями MPI_Probe, MPI_Iprobe). Операция чтения безвозвратно
уничтожает информацию в буфере приема. При этом попытка
считать сообщение с параметром count меньше числа элементов
в буфере приводит к потере сообщения.
Определить параметры полученного сообщения без его
чтения можно с помощью функции MPI_Probe:
C:
int MPI_Probe (int source, int tag,
MPI_Comm comm, MPI_Status *status)
FORTRAN:
MPI_PROBE (SOURCE, TAG, COMM, STATUS, IERROR)
INTEGER SOURCE, TAG, COMM,
STATUS(MPI_STATUS_SIZE),
IERROR
IN
source — номер процесса-отправителя;
IN
tag
— идентификатор сообщения;
IN
comm
— коммуникатор;
OUT status — атрибуты опрошенного сообщения.
Подпрограмма MPI_Probe выполняется с блокировкой, поэтому завершается лишь тогда, когда сообщение с подходящим идентификатором и номером процесса-отправителя становится доступным для получения. Атрибуты этого сообщения
возвращаются в переменной status. Следующий за MPI_Probe
вызов MPI_Recv с теми же атрибутами сообщения (номером
процесса-отправителя, идентификатором сообщения и коммуникатором) поместит в буфер приема именно то сообщение, наличие которого было опрошено подпрограммой MPI_Probe.
При использовании блокирующего режима передачи сообщений существует потенциальная опасность возникновения тупиковых ситуаций, в которых операции обмена данными блокируют
друг друга. Приведем пример некорректной программы, которая
будет зависать при любых условиях.
CALL MPI_COMM_RANK(comm, rank, ierr)
IF (rank.EQ.0) THEN
CALL MPI_RECV(recvbuf, count, MPI_REAL,
1, tag, comm, status, ierr)
CALL MPI_SEND(sendbuf, count, MPI_REAL,
1, tag, comm, ierr)
ELSE IF (rank.EQ.1) THEN
CALL MPI_RECV(recvbuf, count, MPI_REAL,
0, tag, comm, status, ierr)
102
Гл. 3. Методы параллельного программирования
CALL MPI_SEND(sendbuf, count, MPI_REAL,
0, tag, comm, ierr)
END IF
В этом примере оба процесса (0-й и 1-й) входят в режим взаимного ожидания сообщения друг от друга. Такие тупиковые
ситуации будут возникать всегда при наличии циклических цепочек блокирующих операций чтения.
Приведем вариант правильной программы.
CALL MPI_COMM_RANK(comm, rank, ierr)
IF (rank.EQ.0) THEN
CALL MPI_SEND(sendbuf, count, MPI_REAL,
1, tag, comm, ierr)
CALL MPI_RECV(recvbuf, count, MPI_REAL,
1, tag, comm, status, ierr)
ELSE IF (rank.EQ.1) THEN
CALL MPI_RECV(recvbuf, count, MPI_REAL,
0, tag, comm, status, ierr)
CALL MPI_SEND(sendbuf, count, MPI_REAL,
0, tag, comm, ierr)
END IF
Другие комбинации операций SEND/RECV могут работать
или не работать в зависимости от реализации MPI (обмен
буферизован или нет). В ситуациях, когда требуется выполнить
взаимный обмен данными между процессами, безопаснее
использовать совмещенную операцию MPI_Sendrecv:
С:
int MPI_Sendrecv(void *sendbuf, int sendcount,
MPI_Datatype sendtype, int dest, int sendtag,
void *recvbuf,
int recvcount, MPI_Datatype recvtype, int source,
MPI_Datatypeа recvtag, MPI_Comm comm, MPI_Status
*status)
FORTRAN:
MPI_SENDRECV(SENDBUF, SENDCOUNT, SENDTYPE, DEST,
SENDTAG, RECVBUF, RECVCOUNT, RECVTYPE, SOURCE,
RECVTAG, COMM, STATUS, IERROR)
<type> SENDBUF(*), RECVBUF(*)
INTEGER SENDCOUNT, SENDTYPE, DEST, SENDTAG,
RECVCOUNT, RECVTYPE, SOURCE, RECV TAG,
COMM, STATUS(MPI_STATUS_SIZE), IERROR
3.4. Обзор коммуникационных операций типа точка-точка
103
адрес начала расположения посылаемого сообщения;
IN
sendcount — число посылаемых элементов;
IN
sendtype
— тип посылаемых элементов;
IN
dest
— номер процесса-получателя;
IN
sendtag
— идентификатор посылаемого сообщения;
OUT recvbuf
— адрес начала расположения принимаемого сообщения;
IN
recvcount — максимальное число принимаемых
элементов;
IN
recvtype
— тип элементов принимаемого сообщения;
IN
source
— номер процесса-отправителя;
IN
recvtag
— идентификатор принимаемого сообщения;
IN
comm
— коммуникатор области связи;
OUT status
— атрибуты принятого сообщения.
Функция MPI_Sendrecv совмещает выполнение операций
передачи и приема. Обе операции используют один и тот же коммуникатор, но идентификаторы сообщений могут различаться.
Расположение в адресном пространстве процесса принимаемых
и передаваемых данных не должно пересекаться. Пересылаемые
данные могут быть различного типа и иметь разную длину.
В тех случаях, когда необходим обмен данными одного типа
с замещением посылаемых данных на принимаемые, удобнее
пользоваться функцией MPI_Sendrecv_replace:
IN
sendbuf
—
С:
MPI_Sendrecv_replace(void* buf, int count,
MPI_Datatype datatype, int dest, int sendtag,
int source, int recvtag, MPI_Comm comm,
MPI_Status *status)
FORTRAN:
MPI_SENDRECV_REPLACE(BUF, COUNT, DATATYPE, DEST,
SENDTAG, SOURCE, RECVTAG, COMM, STATUS, IERROR)
<type> BUF(*)
INTEGER COUNT, DATATYPE, DEST, SENDTAG, SOURCE,
RECVTAG, COMM, STATUS(MPI_STATUS_SIZE), IERROR
104
Гл. 3. Методы параллельного программирования
адрес начала расположения посылаемого и принимаемого сообщения;
IN
count
— число передаваемых элементов;
IN
datatype — тип передаваемых элементов;
IN
dest
— номер процесса-получателя;
IN
sendtag
— идентификатор посылаемого сообщения;
IN
source
— номер процесса-отправителя;
IN
recvtag
— идентификатор принимаемого сообщения;
IN
comm
— коммуникатор области связи;
OUT
status
— атрибуты принятого сообщения.
В данной операции посылаемые данные из массива buf замещаются принимаемыми данными. В качестве адресатов source
и dest в операциях пересылки данных можно использовать
специальный адрес MPI_PROC_NULL. Коммуникационные
операции ничего не делают с таким адресом. Применение
этого адреса бывает удобнее, чем использование логических
конструкций, для анализа условий: посылать/читать сообщение
или нет.
Использование неблокирующих коммуникационных операций
более безопасно с точки зрения возникновения тупиковых ситуаций, а также может увеличить скорость работы программы
за счет совмещения выполнения вычислительных и коммуникационных операций. Эти задачи решаются разделением коммуникационных операций на две стадии: инициирование операции и проверку завершения операции. Неблокирующие операции используют специальный скрытый (opaque) объект «запрос обмена» (request) для связи между функциями обмена
и функциями опроса их завершения. Для прикладных программ
доступ к этому объекту возможен только через вызовы MPI
функций. Если операция обмена завершена, подпрограмма проверки снимает «запрос обмена», устанавливая его в значение
MPI_REQUEST_NULL. Снять запрос без ожидания завершения
операции можно подпрограммой MPI_Request_free.
Функция передачи сообщения без блокировки MPI_Isend
C:
int MPI_Isend(void* buf, int count,
MPI_Datatype datatype, int dest, int tag,
MPI_Comm comm, MPI_Request *request)
FORTRAN:
MPI_ISEND(BUF, COUNT, DATATYPE, DEST, TAG,
INOUT
buf
—
3.4. Обзор коммуникационных операций типа точка-точка
105
COMM, REQUEST, IERROR)
<type> BUF(*)
INTEGER COUNT, DATATYPE, DEST, TAG, COMM,
REQUEST, IERROR
IN
buf
— адрес начала расположения передаваемых данных;
IN
count
— число посылаемых элементов;
IN
datatype — тип посылаемых элементов;
IN
dest
— номер процесса-получателя;
IN
tag
— идентификатор сообщения;
IN
comm
— коммуникатор;
OUT request
— "запрос обмена".
Возврат из подпрограммы происходит немедленно (immediate),
без ожидания окончания передачи данных. Этим объясняется
префикс I в именах функций. Поэтому переменную buf нельзя
повторно использовать, пока не будет погашен «запрос обмена».
Это можно сделать с помощью подпрограмм MPI_Wait или
MPI_Test, передав им параметр request.
Функция приема сообщения без блокировки MPI_Irecv
C:
int MPI_Irecv(void* buf, int count,
MPI_Datatype datatype, int source, int tag,
MPI_Comm comm, MPI_Request *request)
FORTRAN:
MPI_IRECV(BUF, COUNT, DATATYPE, SOURCE, TAG,
COMM, REQUEST, IERROR)
<type> BUF(*)
INTEGER COUNT, DATATYPE, SOURCE, TAG, COMM,
REQUEST, IERROR
OUT buf
— адрес для принимаемых данных;
IN
count
— максимальное число принимаемых элементов;
IN
datatype — тип элементов принимаемого сообщения;
IN
source
— номер процесса-отправителя;
IN
tag
— идентификатор сообщения;
IN
comm
— коммуникатор;
OUT request
— «запрос обмена».
Возврат из подпрограммы происходит немедленно, без ожидания
окончания приема данных. Определить момент окончания прие-
106
Гл. 3. Методы параллельного программирования
ма можно с помощью подпрограмм MPI_Wait или MPI_Test с
соответствующим параметром request.
Как и в блокирующих операциях, часто возникает необходимость опроса параметров полученного сообщения без его фактического чтения. Это делается с помощью функции MPI_Iprobe.
Неблокирующая функция чтения параметров полученного
сообщения MPI_Iprobe
C:
int MPI_Iprobe (int source, int tag,
MPI_Comm comm, int *flag, MPI_Status *status)
FORTRAN:
MPI_IPROBE (SOURCE, TAG, COMM, FLAG, STATUS,
IERROR)
LOGICAL FLAG
INTEGER SOURCE, TAG, COMM,
STATUS(MPI_STATUS_SIZE), IERROR
IN
source — номер процесса-отправителя;
IN
tag
— идентификатор сообщения;
IN
comm
— коммуникатор;
OUT flag
— признак завершенности операции;
OUT status — атрибуты опрошенного сообщения.
Если flag=true, то операция завершилась, и в переменной status находятся атрибуты этого сообщения.
Воспользоваться результатом неблокирующей коммуникационной операции или повторно использовать ее параметры можно
только после ее полного завершения. Имеется два типа функций
завершения неблокирующих операций:
1. Операции ожидания завершения семейства WAIT блокируют работу процесса до полного завершения операции.
2. Операции проверки завершения семейства TEST возвращают значения TRUE или FALSE в зависимости от того,
завершилась операция или нет. Они не блокируют работу процесса и полезны для предварительного определения
факта завершения операции.
Функция ожидания завершения неблокирующей операции
MPI_Wait
C:
int MPI_Wait(MPI_Request *request,
MPI_Status *status)
FORTRAN:
MPI_WAIT(REQUEST, STATUS, IERROR)
3.4. Обзор коммуникационных операций типа точка-точка
107
INTEGER REQUEST, STATUS(MPI_STATUS_SIZE),
IERROR
INOUT request — запрос связи;
OUT
status
— атрибуты сообщения.
Это нелокальная блокирующая операция. Возврат происходит
после завершения операции, связанной с запросом request.
В параметре status возвращается информация о законченной
операции.
Функция проверки завершения неблокирующей операции
MPI_Test
C:
int MPI_Test(MPI_Request *request,
int *flag, MPI_Status *status)
FORTRAN:
MPI_TEST(REQUEST, FLAG, STATUS, IERROR)
LOGICAL FLAG
INTEGER REQUEST, STATUS(MPI_STATUS_SIZE),
IERROR
INOUT request — запрос связи;
OUT
flag
— признак завершенности проверяемой операции;
OUT
status
— атрибуты сообщения, если операция завершилась.
Это локальная неблокирующая операция. Если связанная
с запросом request операция завершена, возвращается
flag = true, а status содержит информацию о завершенной
операции. Если проверяемая операция не завершена, возвращается flag = false, а значение status в этом случае не
определено.
Рассмотрим пример использования неблокирующих операций
и функции MPI_Wait:
CALL MPI_COMM_RANK(comm, rank, ierr)
IF(rank.EQ.0) THEN
CALL MPI_ISEND(a(1), 10, MPI_REAL,
1, tag, comm, request, ierr)
**** Выполнение вычислений во время
передачи сообщения ****
CALL MPI_WAIT(request, status, ierr)
ELSE
CALL MPI_IRECV(a(1), 15, MPI_REAL,
0, tag, comm, request, ierr)
108
Гл. 3. Методы параллельного программирования
**** Выполнение вычислений во время
приема сообщения ****
CALL MPI_WAIT(request, status, ierr)
END IF
Функция снятия запроса без ожидания завершения
неблокирующей операции MPI_Request_free
C:
int MPI_Request_free(MPI_Request *request)
FORTRAN:
MPI_REQUEST_FREE(REQUEST, IERROR)
INTEGER REQUEST, IERROR
INOUT request — запрос связи.
Параметр
request
устанавливается
в
значении
MPI_REQUEST_NULL. Связанная с этим запросом операция
не прерывается, однако проверить ее завершение с помощью
MPI_Wait или MPI_Test уже нельзя. Для прерывания
коммуникационной операции следует использовать функцию
MPI_Cancel(MPI_Request *request).
В MPI имеется набор подпрограмм для одновременной проверки на завершение нескольких операций. Без подробного обсуждения их перечень приведен в табл.3.5.
Т а б л и ц а 3.5
Функции коллективного завершения неблокирующих операций
Функции ожидания
(блокирующие)
Функции проверки
(неблокирующие)
Завершились все операции
MPI_Waitall
MPI_Testall
Завершилась по крайней
мере одна операция
MPI_Waitany
MPI_Testany
Завершилась одна операция из списка проверяемых
MPI_Waitsome
Выполняемая проверка
MPI_Testsome
Кроме того, MPI позволяет для неблокирующих операций
формировать целые пакеты запросов на коммуникационные операции MPI_Send_init и MPI_Recv_init, которые запускаются функциями MPI_Start или MPI_Startall. Проверка на
завершение выполнения производится обычными средствами с
помощью функций семейства WAIT и TEST.
3.5. Обзор коллективных операций
109
3.5. Обзор коллективных операций
Набор операций типа точка-точка достаточен для программирования любых алгоритмов, однако MPI вряд ли бы завоевал такую популярность, если бы ограничивался только этими коммуникационными операциями. Одной из наиболее привлекательных
сторон MPI является наличие широкого набора коллективных
операций, которые берут на себя выполнение наиболее часто
встречающихся при программировании действий. Например, при
возникновении потребности разослать некоторую переменную
или массив из одного процессора всем остальным. Каждый программист может написать такую процедуру, используя операции
Send/Recv, однако гораздо удобнее воспользоваться коллективной операцией MPI_Bcast. При этом гарантировано, что эта
операция будет выполняться намного эффективнее, поскольку
MPI-функция реализована с использованием внутренних возможностей коммуникационной среды. Главное отличие коллективных операций от операций типа точка-точка состоит в том,
что в них всегда участвуют все процессы, связанные с некоторым
коммуникатором. Несоблюдение этого правила приводит либо к
аварийному завершению задачи, либо к еще более неприятному
зависанию задачи.
Набор коллективных операций включает:
¯ синхронизацию всех процессов с помощью барьеров
(MPI_Barrier);
¯ коллективные коммуникационные операции, в число которых входят:
— рассылка информации от одного процесса всем остальным членам некоторой области связи (MPI_Bcast);
— сборка (gather) распределенного по процессам
массива в один массив с сохранением его в адресном пространстве выделенного (root) процесса
(MPI_Gather, MPI_Gatherv);
— сборка (gather) распределенного массива в один массив с рассылкой его всем процессам некоторой области связи (MPI_Allgather, MPI_Allgatherv);
— разбиение массива и рассылка его фрагментов (scatter) всем процессам области связи (MPI_Scatter,
MPI_Scatterv);
— совмещенная операция Scatter/Gather (All-to-All),
каждый процесс делит данные из своего буфера
110
Гл. 3. Методы параллельного программирования
передачи и разбрасывает фрагменты всем остальным процессам, одновременно собирая фрагменты,
посланные другими процессами в свой буфер приема
(MPI_Alltoall, MPI_Alltoallv).
¯ глобальные вычислительные операции (sum, min, max и
др.) над данными, расположенными в адресных пространствах различных процессов:
— с сохранением результата в адресном пространстве
одного процесса (MPI_Reduce);
— с рассылкой результата всем процессам
(MPI_Allreduce);
— совмещенная операция Reduce/Scatter
(MPI_Reduce_scatter);
— префиксная редукция (MPI_Scan).
Все коммуникационные подпрограммы, за исключением
MPI_Bcast, представлены в двух вариантах:
— простой вариант, при котором все части передаваемого сообщения имеют одинаковую длину и занимают смежные
области в адресном пространстве процессов;
— «векторный» вариант, который предоставляет более широкие возможности организации коллективных коммуникаций, снимая ограничения, присущие простому варианту,
касающиеся как длин блоков, так и размещения данных
в адресном пространстве процессов. Векторные варианты
отличаются дополнительным символом «v» в конце имени
функции.
Коллективные операции имеют следующие отличительные особенности.
— Коллективные коммуникации не взаимодействуют с коммуникациями типа точка-точка.
— Коллективные коммуникации выполняются в режиме с блокировкой. Возврат из подпрограммы в каждом процессе
происходит в тех случаях, когда его участие в коллективной операции завершилось, однако это не означает, что
другие процессы завершили операцию.
— Количество получаемых данных должно быть равно количеству посланных данных.
— Типы элементов посылаемых и получаемых сообщений
должны совпадать.
— Сообщения не имеют идентификаторов.
3.5. Обзор коллективных операций
111
Примечание. В данном разделе часто будут использоваться понятия буфер обмена, буфер передачи, буфер приема. Не
следует понимать их в буквальном смысле — как специальную
область памяти, куда помещаются данные перед вызовом коммуникационной функции. На самом деле это, как правило, обычные
массивы, которые используются в программе и могут непосредственно участвовать в коммуникационных операциях. В вызовах
подпрограмм передается адрес начала непрерывной области памяти, которая будет участвовать в операции обмена.
Изучение коллективных операций начнем с рассмотрения двух функций, стоящих особняком: MPI_Barrier и
MPI_Bcast. Функция синхронизации процессов MPI_Barrier
блокирует работу вызвавшего ее процесса до тех пор, пока
все другие процессы группы также не вызовут эту функцию.
Завершение работы этой функции возможно только всеми
процессами одновременно (все процессы «преодолевают барьер»
одновременно).
C:
int MPI_Barrier(MPI_Comm comm )
FORTRAN:
MPI_BARRIER(COMM, IERROR)
INTEGER COMM, IERROR
IN comm — коммуникатор.
Синхронизация с помощью барьеров применяется, например, для
завершения всеми процессами некоторого этапа решения задачи,
результаты которого будут использованы на следующем этапе.
Применение барьера гарантирует, что ни один из процессов не
приступит раньше времени к выполнению следующего этапа,
пока результат работы предыдущего не будет окончательно сформирован. Неявную синхронизацию процессов выполняет любая
коллективная функция.
Широковещательная рассылка данных выполняется с помощью функции MPI_Bcast. Процесс с номером root рассылает
сообщение из своего буфера передачи всем процессам области
связи коммуникатора comm.
С:
int MPI_Bcast(void* buffer, int count,
MPI_Datatype datatype,
int root, MPI_Comm comm )
FORTRAN:
MPI_BCAST(BUFFER, COUNT, DATATYPE, ROOT,
COMM, IERROR)
112
Гл. 3. Методы параллельного программирования
<type> BUFFER(*)
INTEGER COUNT, DATATYPE, ROOT, COMM, IERROR
INOUT buffer
— адрес начала расположения
в памяти рассылаемых данных;
IN
count
— число посылаемых элементов;
IN
datatype — тип посылаемых элементов;
IN
root
— номер процесса-отправителя;
IN
comm
— коммуникатор.
После завершения подпрограммы каждый процесс в области связи коммуникатора comm, включая и самого отправителя, получит
копию сообщения от процесса-отправителя root.
Пример использования функции MPI_Bcast:
...
IF ( MYID .EQ. 0 ) THEN
PRINT *, ’ВВЕДИТЕ ПАРАМЕТР N : ’
READ *, N
END IF
CALL MPI_BCAST(N, 1, MPI_INTEGER,
0, MPI_COMM_WORLD, IERR)
Семейство функций сбора блоков данных от всех процессов
группы состоит из четырех подпрограмм: MPI_Gather,
MPI_Allgather, MPI_Gatherv, MPI_Allgatherv. Каждая
из подпрограмм расширяет функциональные возможности
предыдущих. Функция MPI_Gather производит сборку блоков
данных, посылаемых всеми процессами группы, в один массив
процесса с номером root. Длина блоков предполагается одинаковой. Объединение происходит в порядке увеличения номеров
процессов–отправителей, т. е. данные, посланные процессом i
из своего буфера sendbuf, помещаются в i-ю порцию буфера
recvbuf процесса root. Длина массива, в который собираются
данные, должна быть достаточной для их размещения.
С:
int MPI_Gather(void* sendbuf, int sendcount,
MPI_Datatype sendtype,
void* recvbuf, int recvcount, MPI_Datatype
recvtype, int root, MPI_Comm comm)
FORTRAN:
MPI_GATHER(SENDBUF, SENDCOUNT, SENDTYPE,
RECVBUF, RECVCOUNT, RECVTYPE, ROOT,
COMM, IERROR)
<type> SENDBUF(*), RECVBUF(*)
INTEGER SENDCOUNT, SENDTYPE, RECVCOUNT,
3.5. Обзор коллективных операций
113
RECVTYPE, ROOT, COMM, IERROR
IN
sendbuf
— адрес начала размещения посылаемых данных;
IN
sendcount — число посылаемых элементов;
IN
sendtype
— тип посылаемых элементов;
OUT recvbuf
— адрес начала буфера приема
— (используется только в процессе-получателе root);
IN
recvcount — число элементов, получаемых от
каждого процесса (используется только в процессе-получателе
root);
IN
recvtype
— тип получаемых элементов;
IN
root
— номер процесса-получателя;
IN
comm
— коммуникатор.
Тип посылаемых элементов sendtype должен совпадать с типом
recvtype получаемых элементов, а число sendcount должно равняться числу recvcount. Таким образом recvcount
в вызове из процесса root — это число собираемых от каждого
процесса элементов, а не число всех собранных элементов.
Пример программы с использованием функции MPI_Gather:
MPI_Comm comm;
int array[100];
int root, *rbuf;
. . .
MPI_Comm_size(comm, &gsize);
rbuf = (int *) malloc(
gsize * 100 * sizeof(int));
MPI_Gather(array, 100, MPI_INT,
rbuf, 100, MPI_INT, root, comm)
Функция MPI_Allgather выполняется так же, как
MPI_Gather, но получателями являются все процессы группы.
Данные, посланные процессом i из своего буфера sendbuf,
помещаются в i-ю порцию буфера recvbuf каждого процесса.
После завершения операции содержимое буферов приема
recvbuf у всех процессов одинаково.
C:
int MPI_Allgather(void* sendbuf,
int sendcount, MPI_Datatype sendtype,
void* recvbuf, int recvcount,
MPI_Datatype recvtype, MPI_Comm comm)
114
Гл. 3. Методы параллельного программирования
FORTRAN:
MPI_ALLGATHER(SENDBUF, SENDCOUNT, SENDTYPE,
RECVBUF, RECVCOUNT, RECVTYPE, COMM, IERROR)
<type> SENDBUF(*), RECVBUF(*)
INTEGER SENDCOUNT, SENDTYPE, RECVCOUNT,
RECVTYPE, COMM, IERROR
IN
sendbuf
— адрес начала буфера посылки;
IN
sendcount — число посылаемых элементов;
IN
sendtype
— тип посылаемых элементов;
OUT recvbuf
— адрес начала буфера приема;
IN
recvcount — число элементов, получаемых от
каждого процесса;
IN
recvtype
— тип получаемых элементов;
IN
comm
— коммуникатор.
Функция MPI_Gatherv позволяет собирать блоки с разным
числом элементов , так как число элементов, принимаемых от
каждого процесса, задается индивидуально с помощью массива
recvcounts. Эта функция обеспечивает также большую гибкость при размещении данных в процессе-получателе, благодаря
введению в качестве параметра массива смещений displs.
C:
int MPI_Gatherv(void* sendbuf, int sendcount,
MPI_Datatype sendtype,
void* rbuf, int *recvcounts, int *displs,
MPI_Datatype recvtype,
int root, MPI_Comm comm)
FORTRAN:
MPI_GATHERV(SENDBUF, SENDCOUNT, SENDTYPE,
RBUF,
RECVCOUNTS, DISPLS, RECVTYPE, ROOT, COMM,
IERROR)
<type> SENDBUF(*), RBUF(*)
INTEGER SENDCOUNT, SENDTYPE, RECVCOUNTS(*),
DISPLS(*),
RECVTYPE, ROOT, COMM, IERROR
IN
sendbuf
— адрес начала буфера передачи;
IN
sendcount — число посылаемых элементов;
IN
sendtype
— тип посылаемых элементов;
OUT rbuf
— адрес начала буфера приема;
3.5. Обзор коллективных операций
IN
recvcounts
—
IN
displs
—
IN
IN
IN
recvtype
root
comm
—
—
—
115
целочисленный массив (размер
равен числу процессов в группе), его ;-й элемент определяет
число элементов, которое должно быть получено от процесса ;;
целочисленный массив (размер
равен числу процессов в группе), ;-е значение определяет
смещение ;-го блока данных относительно начала rbuf;
тип получаемых элементов;
номер процесса-получателя;
коммуникатор.
Сообщения помещаются в буфер приема процесса root в соответствии с номерами посылающих процессов, а именно: данные,
посланные процессом ;, размещаются в адресном пространстве
процесса root, начиная с адреса rbuf + displs[i].
Функция MPI_Allgatherv является аналогом функции
MPI_Gatherv, но сборка выполняется всеми процессами
группы. Поэтому в списке параметров отсутствует параметр
root.
C:
int MPI_Allgatherv(void* sendbuf,
int sendcount, MPI_Datatype sendtype,
void* rbuf, int *recvcounts, int *displs,
MPI_Datatype recvtype, MPI_Comm comm)
FORTRAN:
MPI_ALLGATHERV(SENDBUF, SENDCOUNT, SENDTYPE,
RBUF, RECVCOUNTS, DISPLS, RECVTYPE, COMM,
IERROR)
<type> SENDBUF(*), RBUF(*)
INTEGER SENDCOUNT, SENDTYPE, RECVCOUNTS(*),
DISPLS(*), RECVTYPE, COMM, IERROR
IN
IN
IN
OUT
sendbuf
sendcount
sendtype
rbuf
—
—
—
—
адрес начала буфера передачи;
число посылаемых элементов;
тип посылаемых элементов;
адрес начала буфера приема;
116
Гл. 3. Методы параллельного программирования
IN
recvcounts
—
IN
displs
—
IN
IN
recvtype
comm
—
—
целочисленный массив (размер
равен числу процессов в группе),
его i-й элемент определяет число
элементов, которое должно быть
получено от процесса i;
целочисленный массив (размер
равен числу процессов в группе),
i-ое значение определяет смещение i-го блока данных относительно начала rbuf;
тип получаемых элементов;
коммуникатор.
Семейство функций распределения блоков данных по всем процессам группы состоит из двух подпрограмм: MPI_Scatter и
MPI_Scaterv. Функция MPI_Scatter разбивает сообщение
из буфера посылки процесса root на равные части размером
sendcount и посылает ;-ю часть в буфер приема процесса с
номером ; (в том числе и самому себе). Процесс root использует оба буфера (посылки и приема), поэтому в вызываемой им
подпрограмме все параметры существенны. Остальные процессы
группы с коммуникатором comm являются только получателями,
поэтому для них параметры, специфицирующие буфер посылки,
не существенны.
C:
int MPI_Scatter(void* sendbuf, int sendcount,
MPI_Datatype sendtype,
void* recvbuf, int recvcount,
MPI_Datatype recvtype,
int root, MPI_Comm comm)
FORTRAN:
MPI_SCATTER(SENDBUF, SENDCOUNT, SENDTYPE,
RECVBUF, RECVCOUNT, RECVTYPE,
ROOT, COMM, IERROR)
<type> SENDBUF(*), RECVBUF(*)
INTEGER SENDCOUNT, SENDTYPE, RECVCOUNT,
RECVTYPE, ROOT, COMM, IERROR
3.5. Обзор коллективных операций
IN
sendbuf
—
IN
sendcount
—
IN
OUT
IN
IN
IN
IN
sendtype
recvbuf
recvcount
recvtype
root
comm
—
—
—
—
—
—
117
адрес начала размещения блоков распределяемых данных (используется только в процессе-отправителе root);
число элементов, посылаемых
каждому процессу;
тип посылаемых элементов;
адрес начала буфера приема;
число получаемых элементов;
тип получаемых элементов;
номер процесса-отправителя;
коммуникатор.
Тип посылаемых элементов sendtype должен совпадать с
типом recvtype получаемых элементов, а число посылаемых элементов sendcount должно равняться числу принимаемых recvcount. Следует обратить внимание, что значение
sendcount в вызове из процесса root — это число посылаемых
каждому процессу элементов, а не общее их число. Операция
Scatter является обратной по отношению к Gather.
Семейство функций распределения блоков данных по всем
процессам группы состоит из двух подпрограмм: MPI_Scatter
и MPI_Scaterv.
Функция MPI_Scatter разбивает сообщение из буфера посылки процесса root на равные части размером sendcount и
посылает ;-ю часть в буфер приема процесса с номером ; (в
том числе и самому себе). Процесс root использует оба буфера
(посылки и приема), поэтому в вызываемой им подпрограмме
все параметры являются существенными. Остальные процессы
группы с коммуникатором comm являются только получателями,
поэтому для них параметры, специфицирующие буфер посылки,
не существенны.
C:
int MPI_Scatter(void* sendbuf, int sendcount,
MPI_Datatype sendtype,
void* recvbuf, int recvcount,
MPI_Datatype recvtype,
int root, MPI_Comm comm)
FORTRAN:
MPI_SCATTER(SENDBUF, SENDCOUNT, SENDTYPE,
RECVBUF, RECVCOUNT, RECVTYPE,
ROOT, COMM, IERROR)
<type> SENDBUF(*), RECVBUF(*)
118
Гл. 3. Методы параллельного программирования
INTEGER SENDCOUNT, SENDTYPE, RECVCOUNT,
RECVTYPE, ROOT, COMM, IERROR
IN
sendbuf
— адрес начала размещения блоков распределяемых данных (используется только в процессе-отправителе root);
IN
sendcount — число элементов, посылаемых
каждому процессу;
IN
sendtype
— тип посылаемых элементов;
OUT recvbuf
— адрес начала буфера приема;
IN
recvcount — число получаемых элементов;
IN
recvtype
— тип получаемых элементов;
IN
root
— номер процесса-отправителя;
IN
comm
— коммуникатор.
Тип посылаемых элементов sendtype должен совпадать
с типом recvtype получаемых элементов, а число посылаемых элементов sendcount должно равняться числу принимаемых recvcount. Следует обратить внимание, что значение
sendcount в вызове из процесса root — это число посылаемых
каждому процессу элементов, а не общее их число. Операция
Scatter является обратной по отношению к Gather.
Пример использования функции MPI_Scatter:
MPI_Comm comm;
int
rbuf[100], gsize;
int
root, *array;
. . . . . .
MPI_Comm_size(comm, &gsize);
array = (int *)
malloc(gsize * 100 * sizeof(int));
. . . . . .
MPI_Scatter(array, 100, MPI_INT, rbuf,
100, MPI_INT, root, comm);
Функция MPI_Scaterv является векторным вариантом функции MPI_Scatter, позволяющим посылать каждому процессу различное число элементов. Начало расположения элементов блока, посылаемого ;-му процессу, задается в массиве смещений displs, а число посылаемых элементов — в массиве
sendcounts. Эта функция является обратной по отношению к
функции MPI_Gatherv.
3.5. Обзор коллективных операций
119
C:
int MPI_Scatterv(void* sendbuf,
int *sendcounts, int *displs, MPI_Datatype
sendtype, void* recvbuf, int recvcount,
MPI_Datatype recvtype, int root,
MPI_Comm comm)
FORTRAN:
MPI_SCATTERV(SENDBUF, SENDCOUNTS, DISPLS,
SENDTYPE, RECVBUF, RECVCOUNT, RECVTYPE,
ROOT, COMM, IERROR)
<type> SENDBUF(*), RECVBUF(*)
INTEGER SENDCOUNTS(*), DISPLS(*), SENDTYPE,
RECVCOUNT, RECVTYPE, ROOT, COMM, IERROR
IN
sendbuf
— адрес начала буфера посылки
(используется только в процессе-отправителе root);
IN
sendcounts — целочисленный массив (размер
равен числу процессов в группе), содержащий число элементов, посылаемых каждому процессу;
IN
displs
— целочисленный массив (размер
равен числу процессов в группе), ;-е значение определяет
смещение относительно начала
sendbuf для данных, посылаемых процессу ;;
IN
sendtype
— тип посылаемых элементов;
OUT recvbuf
— адрес начала буфера приема;
IN
Recvcount
— число получаемых элементов;
IN
recvtype
— тип получаемых элементов;
IN
Root
— номер процесса-отправителя;
IN
comm
— коммуникатор.
Функция MPI_Alltoall совмещает в себе операции
Scatter и Gather и является, по сути, расширением операции
Allgather, когда каждый процесс посылает различные данные
разным получателям. Процесс ; посылает B -й блок своего
буфера sendbuf процессу B , который помещает его в ;-й блок
своего буфера recvbuf. Количество посланных данных должно
быть равно количеству полученных данных для каждой пары
процессов.
120
Гл. 3. Методы параллельного программирования
C:
int MPI_Alltoall(void* sendbuf,
int sendcount,MPI_Datatype sendtype,
void* recvbuf, int recvcount,
MPI_Datatype recvtype, MPI_Comm comm)
FORTRAN:
MPI_ALLTOALL(SENDBUF, SENDCOUNT, SENDTYPE,
RECVBUF, RECVCOUNT, RECVTYPE, COMM, IERROR)
<type> SENDBUF(*), RECVBUF(*)
INTEGER SENDCOUNT, SENDTYPE, RECVCOUNT,
RECVTYPE, COMM, IERROR
IN
sendbuf
— адрес начала буфера посылки;
IN
sendcount — число посылаемых элементов;
IN
sendtype
— тип посылаемых элементов;
OUT recvbuf
— адрес начала буфера приема;
IN
recvcount — число элементов, получаемых от
каждого процесса;
IN
recvtype
— тип получаемых элементов;
IN
comm
— коммуникатор.
Функция MPI_Alltoallv реализует векторный вариант операции
Alltoall, допускающий передачу и прием блоков различной длины с более гибким размещением передаваемых и принимаемых
данных.
3.6. Глобальные вычислительные операции
над распределенными данными
В параллельном программировании математические операции
над блоками данных, распределенных по процессорам, называют
глобальными операциями редукции. В общем случае операцией
редукции называется операция, аргументом которой является
вектор, а результатом — скалярная величина, полученная применением некоторой математической операции ко всем компонентам вектора. В частности, если компоненты вектора расположены в адресных пространствах процессов, выполняющихся
на различных процессорах, то в этом случае редукцию называют глобальной (параллельной). Например, пусть в адресном
пространстве всех процессов некоторой группы процессов имеются копии переменной var (необязательно имеющие одно и
то же значение), если применение к ней операции вычисления
глобальной суммы или, другими словами, операции редукции
SUM возвратит одно значение, которое будет содержать сумму
3.6. Глобальные операции над распределенными данными
121
всех локальных значений этой переменной. Использование этих
операций является одним из основных средств организации распределенных вычислений.
В MPI глобальные операции редукции представлены
в нескольких вариантах:
— с сохранением результата в адресном пространстве одного
процесса (MPI_Reduce);
— с сохранением результата в адресном пространстве всех
процессов (MPI_Allreduce);
— префиксная операция редукции, результатом которой является возвращение вектора, чья ;-я компонента — результат редукции первых ; компонент распределенного вектора
(MPI_Scan);
— совмещенная операция Reduce/Scatter
(MPI_Reduce_scatter).
Функция MPI_Reduce выполняется следующим образом.
Операция глобальной редукции, указанная параметром op, выполняется над первыми элементами входного буфера, и результат
посылается в первый элемент буфера приема процесса root.
Затем то же самое делается для вторых элементов буфера и т. д.
С:
int MPI_Reduce(void* sendbuf, void* recvbuf,
int count, MPI_Datatype datatype,
MPI_Op op, int root, MPI_Comm comm)
FORTRAN:
MPI_REDUCE(SENDBUF, RECVBUF, COUNT, DATATYPE,
OP, ROOT, COMM, IERROR)
<type> SENDBUF(*), RECVBUF(*)
INTEGER COUNT, DATATYPE, OP, ROOT, COMM,
IERROR
IN
sendbuf
— адрес начала входного буфера;
OUT recvbuf
— адрес начала буфера результатов
(используется только в процессеполучателе root);
IN
count
— число элементов во входном буфере;
IN
datatype — тип элементов во входном буфере;
IN
op
— операция, по которой выполняется редукция;
IN
root
— номер процесса-получателя результата операции;
IN
comm
— коммуникатор.
122
Гл. 3. Методы параллельного программирования
В качестве операции op можно выбрать либо одну из
предопределенных операций, либо операцию, сконструированную
пользователем. Все предопределенные операции являются ассоциативными и коммутативными. Сконструированная пользователем операция должна быть, по крайней мере, ассоциативной. Порядок редукции определяется номерами процессов в группе. Тип
datatype элементов должен быть совместим с операцией op.
В табл. 3.6 представлен перечень предопределенных операций,
которые могут быть использованы в функциях редукции MPI.
Т а б л и ц а 3.6
Предопределенные операции в функциях редукции MPI
Название
Операция
Разрешенные типы
MPI_MAX
Максимум
C integer, FORTRAN integer,
MPI_MIN
Минимум
Floating point
MPI_SUM
Сумма
C integer, FORTRAN integer,
MPI_PROD
Произведение
Floating point, Complex
MPI_LAND
Логическое AND
MPI_LOR
Логическое OR
MPI_LXOR
Логическое, исключающее OR
MPI_BAND
Поразрядное AND
MPI_BOR
Поразрядное OR
C integer, FORTRAN integer,
MPI_BXOR
Поразрядное, исключающее OR
Byte
MPI_MAXLOC
Максимальное значение и его индекс
MPI_MINLOC
Минимальное значение и его индекс
C integer, Logical
Специальные типы
для этих функций
В табл. 3.6 приняты следующие обозначения:
C integer:
MPI_INT, MPI_LONG, MPI_SHORT,
MPI_UNSIGNED_SHORT, MPI_UNSIGNED,
MPI_UNSIGNED_LONG
FORTRAN integer: MPI_INTEGER
Floating point:
MPI_FLOAT, MPI_DOUBLE, MPI_REAL,
MPI_DOUBLE_PRECISION, MPI_LONG_DOUBLE
Logical: MPI_LOGICAL
Complex: MPI_COMPLEX
Byte:
MPI_BYTE
3.6. Глобальные операции над распределенными данными
123
Операции MAXLOC и MINLOC выполняются над специальными парными типами, каждый элемент которых хранит две
величины: значение, по которому ведется поиск максимума или
минимума, и индекс элемента. В MPI имеется 9 таких предопределенных типов, приведенных в табл. 3.7.
Т а б л и ц а 3.7
Предопределенные типы MPI
Язык C
MPI_FLOAT_INT
float and int
MPI_DOUBLE_INT
double and int
MPI_LONG_INT
long and int
MPI_2INT
int and int
MPI_SHORT_INT
short and int
MPI_LONG_DOUBLE_INT
long double and int
Язык FORTRAN
MPI_2REAL
REAL and REAL
MPI_2DOUBLE_PRECISION
DOUBLE PRECISION
MPI_2INTEGER
INTEGER and INTEGER
and DOUBLE PRECISION
Функция MPI_Allreduce сохраняет результат редукции в адресном пространстве всех процессов, поэтому в списке параметров функции отсутствует идентификатор корневого процесса
root. В остальном набор параметров такой же, как и в предыдущей функции.
С:
int MPI_Allreduce(void* sendbuf,
void* recvbuf, int count,
MPI_Datatype datatype, MPI_Op op,
MPI_Comm comm)
FORTRAN:
MPI_ALLREDUCE (SENDBUF, RECVBUF, COUNT,
DATATYPE, OP, COMM, IERROR)
<type> SENDBUF(*), RECVBUF(*)
INTEGER COUNT, DATATYPE, OP, COMM, IERROR
IN
sendbuf — адрес начала входного буфера;
OUT recvbuf — адрес начала буфера приема;
124
Гл. 3. Методы параллельного программирования
IN
IN
IN
IN
Функция
редукции
число элементов во входном буфере;
datatype — тип элементов во входном буфере;
op
— операция, по которой выполняется
редукция;
comm
— коммуникатор.
MPI_Reduce_scatter совмещает в себе операции
и распределения результата по процессам.
count
—
С:
MPI_Reduce_scatter(void* sendbuf,
void* recvbuf, int *recvcounts,
MPI_Datatype datatype, MPI_Op op,
MPI_Comm comm)
FORTRAN:
MPI_REDUCE_SCATTER(SENDBUF, RECVBUF,
RECVCOUNTS, DATATYPE, OP, COMM, IERROR)
<type> SENDBUF(*), RECVBUF(*)
INTEGER RECVCOUNTS(*), DATATYPE, OP, COMM,
IERROR
IN
sendbuf
— адрес начала входного буфера;
OUT recvbuf
— адрес начала буфера приема;
IN
revcount — массив, в котором задаются размеры блоков, посылаемых процессам;
IN
datatype — тип элементов во входном буфере;
IN
op
— операция, по которой выполняется
редукция;
IN
comm
— коммуникатор.
Функция MPI_Reduce_scatter отличается от MPI_Allreduce
тем, что результат операции разрезается на непересекающиеся
части по числу процессов в группе, ;-я часть посылается ;-му
процессу в его буфер приема. Длины этих частей задает третий
параметр, являющийся массивом.
Функция MPI_Scan выполняет префиксную редукцию. Параметры такие же, как в MPI_Allreduce, но получаемые каждым процессом результаты различаются. Операция пересылает
в буфер приема ;-го процесса редукцию значений из входных
буферов процессов с номерами 0, ..., ; включительно.
С: int MPI_Scan(void* sendbuf, void* recvbuf,
int count, MPI_Datatype datatype,
MPI_Op op, MPI_Comm comm)
3.6. Глобальные операции над распределенными данными
125
FORTRAN:
MPI_SCAN(SENDBUF, RECVBUF, COUNT, DATATYPE,
OP, COMM, IERROR)
<type>SENDBUF(*), RECVBUF(*)
INTEGER COUNT, DATATYPE, OP, COMM, IERROR
IN
sendbuf
— адрес начала входного буфера;
OUT recvbuf
— адрес начала буфера приема;
IN
count
— число элементов во входном буфере;
IN
datatype — тип элементов во входном буфере;
IN
op
— операция, по которой выполняется
редукция;
IN
comm
— коммуникатор.
Пример. Вычисление определенного интеграла
& $ “mpi . h”
определение функции
!$' F ( !$' x )
{
!$' c = x x x ;
$ c ;
}
main ( argc , argv )
{
объявление рабочих переменных
!$' sum , s , dx , a , b , x0 , x1 ;
i , n;
объявление переменных для MPI
i e r r o r , myid , numproc ;
MPI_Status s t a t u s ;
инициализация параллельной части приложения
i e r r o r = MPI_Init (& argc , & argv ) ;
( ierror != 0)
{
p r i n t f ( “MPI i n i t i a l i z a t i o n e r r o r : % d” , i e r r o r ) ;
$ ;
}
определение числа параллельных процессов в группе
MPI_Comm_size (MPI_COMM_WORLD, & numproc ) ;
определение идентификатора процесса
MPI_Comm_rank (MPI_COMM_WORLD, & myid ) ;
определение параметров интегрирования
a = 0.0;
b = 1.0;
n = 20;
126
Гл. 3. Методы параллельного программирования
dx = ( b — a ) / n / numproc ;
вычисление интеграла
sum = 0 . 0 ;
x0 = a + dx n myid ;
! ( i = 0 ; i < n ; i ++)
{
x1 = x0 + dx ;
sum += (F ( x0 ) + F ( x1 ) ) dx / 2 . 0 ;
x0 = x1 ;
}
отправка р е з у л ь т а т а всеми процессами
( myid > 0 )
{
MPI_Send(&sum , 1 , MPI_DOUBLE, 0 , 0 0 0 + myid ,
\MPI_COMM_WORLD) ;
}
получение р е з у л ь т а т о в процессом 0 и суммирование
( myid == 0)
{
s = sum ;
! ( i = 0 ; i < numproc —1; i ++)
{
MPI_Recv(&sum , 1 , MPI_DOUBLE, MPI_ANY_SOURCE,
\MPI_ANY_TAG, MPI_COMM_WORLD, & s t a t u s ) ;
s += sum ;
}
p r i n t f ( “%g \ n” , s ) ;
}
MPI_Finalize ( ) ;
}
Глава 4
РЕЗУЛЬТАТЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
ПО КОМПЬЮТЕРНОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ
КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ
НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМ
4.1. Исследования критического поведения
трехмерной неупорядоченной модели Изинга
Исследование критического поведения неупорядоченных систем с замороженными дефектами структуры представляет значительный теоретический и экспериментальный интерес. Большинство реальных твердых тел содержит замороженные дефекты
структуры, присутствие которых влияет на характеристики систем и может сильно модифицировать поведение систем при фазовых переходах. Это приводит к возникновению новых сложных
явлений в структурно неупорядоченных системах, обусловленных эффектами аномально сильного взаимодействия флуктуаций
ряда термодинамических величин, когда любое возмущение, вносимое дефектами структуры даже при их низкой концентрации,
может привести к сильному изменению состояния системы. Для
описание таких систем требуется разработка специальных аналитических и численных методов.
При изучении влияния структурного беспорядка на фазовые
переходы второго рода возникают два вопроса. Изменяются ли
критические индексы однородного магнетика при разбавлении
его примесью немагнитных атомов и, если да, являются ли
новые критические индексы универсальными, т. е. не зависят
от концентрации дефектов структуры вплоть до порога перколяции? Ответ на первый вопрос был дан в работе [101], где
показано, что критические индексы систем с замороженными
дефектами структуры изменяются по сравнению с их однородными аналогами, если критический индекс теплоемкости однородной системы положителен. Этому критерию удовлетворяют лишь
трехмерные системы, чье критическое поведение описывается
128 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
моделью Изинга. Исследованиям ренормгрупповыми методами,
численными методами Монте-Карло и экспериментальным исследованиям критического поведения разбавленных изингоподобных
магнетиков к настоящему моменту посвящено значительное число работ (см. обзор [44]). И если на вопрос о существовании
нового класса универсальности критического поведения, который
образуют разбавленные изингоподобные магнетики, уже получен
положительный ответ, то вопросы о независимости асимптотических значений критических индексов от степени разбавления
системы, мере влияния кроссоверных эффектов на эти значения,
а также о возможности существования двух или более режимов
критического поведения для слабо и сильно неупорядоченных
систем остаются открытыми и горячо обсуждаются.
В данном разделе представлены результаты численного исследования критического поведения разбавленной трехмерной
модели Изинга в широкой области изменения концентрации
замороженных точечных дефектов [37]. Высокие требования,
предъявленные в процессе проведенных исследований к условиям моделирования, широкий интервал изменения линейных размеров решеток, : 20 400, рассмотренных в процессе исследования, температуры моделирования, исключительно близкие к
критической температуре с 5 104 102
и позволяющие выделить асимптотические значения характеристик, большая статистика в процессе усреднения термодинамических и корреляционных функций по различным примесным
конфигурациям, использование для обработки результатов моделирования методики конечноразмерного скейлинга [131], позволяющей наряду с асимптотическими значениями термодинамических функций получать для них скейлинговые функции, применение для выделения асимптотических значений критических
индексов поправок к скейлингу — все это позволяет считать, что
достигнуты уникальные результаты.
4.1.1. Методика и результаты компьютерного моделирования. Рассматривается модель неупорядоченной спиновой системы в виде кубической решетки с линейным размером : и наложенными граничными условиями. Микроскопический гамильтониан неупорядоченной модели Изинга записывается в виде
12
,
8 C C $ $ ,
(4.1)
где 8 — короткодействующее обменное взаимодействие между
закрепленными в узлах решетки спинами C , принимающими
4.1. Трехмерная неупорядоченная модель Изинга
129
значения 1. Немагнитные атомы примеси образуют пустые узлы. Числа заполнения $ при этом принимают значения 0 или 1
и описываются функцией распределения
$ 1 $Æ$ $Æ1 $ (4.2)
с $ 1 %, где % — концентрация атомов примеси. Примесь
равномерно распределяется по всей системе, и при моделировании ее положение фиксируется для отдельной примесной конфигурации. В процессе исследования рассматривались неупорядоченные системы со значениями спиновых концентраций
$ 0,95; 0,80; 0,60; 0,50.
Для снижения влияния эффектов критического замедления
и корреляции различных спиновых конфигураций был применен
наиболее эффективный в этом смысле [105, 115] однокластерный
алгоритм Вольфа. За один шаг Монте-Карло на спин (MCS)
принималось от 10 до 20 переворотов кластера Вольфа в зависимости от линейного размера моделируемой решетки, спиновой
концентрации системы и близости температуры к критической
точке. Процедуре установления термодинамического равновесия
в системе отводилось 104 шагов Монте-Карло, а на статистическое усреднение моделируемых величин при заданной примесной
конфигурации — 105 шагов Монте-Карло. Для определения средних значений термодинамических и корреляционных функций
наряду со статистическим усреднением применялось усреднение
по различным примесным конфигурациям: для систем с $ 0,95
усреднение проводилось по 3 000 образцов, для $ 0,80 — по
5000 образцов, для $ 0,60; 0,50 по 10 000 образцов.
В процессе моделирования различных спиновых систем на
решетках с линейным размером : осуществлялся расчет корреляционной длины % и восприимчивости % в соответствии со
следующими соотношениями:
2 1. - 1 ,
1 3 2 ,
(4.3)
.
где
$ C , ' $:3,
3 $ C 1
3
1 2
20", ,
.
(4.4)
где 1, , 2, , 3, — координаты ;-го узла решетки, означает статистическое усреднение по шагам Монте-Карло, а черта
сверху — усреднение по примесным конфигурациям.
5 В.В. Прудников, А.Н. Вакилов, П.В. Прудников
130 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
Была определена температурная зависимость % и % в интервале 5 104 102 для образцов с $ 0,95 и
линейными размерами в интервале : 20 400, для образцов
с остальными спиновыми концентрациями температуры выбирались в интервале 103 102 при изменении : от 20 до 300.
При компьютерном моделировании значение : для каждой
температуры ограничивалось тем размером решетки, при котором
корреляционная длина и восприимчивость системы выходили на
свои асимптотические значения.
В соответствии с работами [105, 115] и проведенными нами исследованиями выбранные условия моделирования обеспечивают гарантированное получение равновесных значений измеряемых термодинамических величин для всех рассмотренных
размеров решеток и спиновых концентраций, так как времена
автокорреляции для намагниченности и энергии даже для самых
близких из выбранных температур к критической точке оказываются не больше десяти шагов Монте-Карло на спин с учетом
выбранного за шаг числа переворотов кластера Вольфа.
4.1.2. Метод конечноразмерного скейлинга. Известно,
что настоящий фазовый переход второго рода может проявиться
лишь в термодинамическом пределе, когда объем системы и
число частиц в ней стремятся к бесконечности. Для определения
асимптотических значений термодинамических величин ,
испытывающих аномальное поведение вблизи критической температуры, по их значениям % , определяемым на конечных
решетках, широко используются представления теории скейлинга об обобщенной однородности термодинамических функций
в критической области относительно масштабных преобразований системы, на основе которых были развиты различные методы
конечноразмерного скейлинга. В данной работе был применен
метод, предложенный в работе [131] и опробованный авторами
на анализе результатов моделирования критического поведения
двумерной и трехмерной однородных моделей Изинга.
Идея метода [131] заключается в том, что в соответствии
с теорией скейлинга размерная зависимость некоторой термодинамической величины % , определенной на конечной решетке,
в отсутствие внешнего магнитного поля может быть представлена в критической области в виде
% :Æ & D% ,
D% :% ,
(4.5)
Æ — критический индекс для термодинамической величины
Æ . С учетом того, что корреляционная длина в
где
4.1. Трехмерная неупорядоченная модель Изинга
131
, можно записать
:Æ DÆ
(4.6)
% критической области ведет себя как
В результате (4.5) может быть представлено в виде
% '& D% ,
где связь между скейлинговыми функциями & и
ется соотношением
(4.7)
'&
определя-
'& D% DÆ
(4.8)
% & D% Когда в качестве величины выступает корреляционная длина
, уравнение (4.7) задает D% : как функцию только :.
Это приводит к соотношению, позволяющему определять асимптотическое значение любой термодинамической величины посредством измеряемых значений % и скейлинговой функции от
% % :,
% E&% ,
(4.9)
где функция E& % задается выражением
E& % '& '1% (4.10)
Скейлинговая функция E& % , определяемая в интервале 0 % ( — значение аргумента, не зависящее от : в критической области), должна удовлетворять следующим асимптотическим условиям: E& 1 и E& 0.
0
Чтобы удовлетворить асимптотическим условиям, по аналогии с работой [131] скейлинговую функцию для восприимчивости и корреляционной длины выбирали в виде полиномиальной
зависимости как от , так и от 1:
E& 1 %1 %2 2 %3 3 %4 4 ,
(4.11)
1
2
3
4
E& 1 %1 &
%2& %3& %4 & (4.12)
Коэффициенты % для каждой температуры подбираются по
методу наименьших квадратов .
В данной работе была реализована следующая схема конечноразмерного скейлинга.
1. Для произвольного 0 в критической области температур
измерялись величины % 0 и :, 0 % 0 : для
решеток с увеличивающимся размером :.
5*
132 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
2. Термодинамическое значение величины 0 определялось
как значение % 0 , которое оказывается не зависящим от
: в пределах погрешностей измерения.
3. Осуществлялась процедура обработки данных измерения
для % 0 0 методом наименьших квадратов с целью
определения соответствующей функциональной формы для
скейлинговой функции E& :, 0 .
4. Процедура повторялась для других в области с 103 102.
5. Определялась усредненная скейлинговая функция E&
aver на
основе функций E& :, , найденных для различных
температур при фиксированной спиновой концентрации
$ образцов.
6. Определялась температурная зависимость для асимптотических значений термодинамической величины посред& в соотношение (4.9).
ством подстановки % и Eaver
В качестве примера на рис. 4.1–рис. 4.4 для систем со спиновыми концентрациями $ 0,95 и $ 0,50 представлены скейлинговые функции для корреляционной длины и восприимчивости , полученные для различных температур с помощью полиномиальной аппроксимации от переменной (рис. 4.1, рис. 4.3)
и от переменной 1 (рис. 4.2, рис. 4.4). Видно, что скейлинговые функции демонстрируют стремление к единой для каждой спиновой концентрации $ универсальной кривой во всей
области изменения скейлинговой переменной % .
Qx(x)
0,99
0,98
0,97
0,96
Qc(x)
a
1,00
á
1,00
0,98
T = 4,265
4,275
4,280
4,285
4,295
4,315
4,335
<T>
0,96
0,94
0,92
T = 4,265
4,275
4,280
4,285
4,295
4,315
4,335
<T>
0,95
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
0,90
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
x
x
Рис. 4.1. Скейлинговые функции для корреляционной длины (а) и восприимчивости (б), полученные при различных температурах для системы с 0,95
полиномиальной от " аппроксимацией
133
4.1. Трехмерная неупорядоченная модель Изинга
На сводных графиках — рис. 4.5 и рис. 4.6 представлены
усредненные скейлинговые функции корреляционной длины и
восприимчивости для различных спиновых концентраций $, полученные полиномиальной аппроксимацией от (см. рис. 4.5) и
от 1 (см. рис. 4.6). Усредненные скейлинговые функции
демонстрируют тенденцию, указывающую на возможное существование двух классов универсального критического поведения
для разбавленной модели Изинга, различающихся характером
поведения, для слабо ($ 0,95; 0,80) и сильно ($ 0,60; 0,50)
неупорядоченных систем.
Qx(x)
a
1,00
0,99
0,98
0,97
0,96
Qc(x)
0,98
T = 4,265
4,275
4,280
4,285
4,295
4,315
4,335
<T>
0,96
0,94
0,92
0,95
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
á
1,00
T = 4,265
4,275
4,280
4,285
4,295
4,315
4,335
<T>
0,90
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
x
x
Рис. 4.2. Скейлинговые функции для корреляционной длины (а) и восприимчивости (б), полученные при различных температурах для системы с 0,95
полиномиальной от 1" аппроксимацией
Qx(x)
a
1,00
0,97
0,96
0,95
0,94
á
1,00
0,98
0,99
0,98
Qc(x)
T = 1,851
1,854
1,857
1,861
1,865
1,874
<T>
0,96
0,94
0,92
0,90
0,88
T = 1,851
1,854
1,857
1,861
1,865
1,874
<T>
0,93
0,86
0,92
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
0,84
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
x
x
Рис. 4.3. Скейлинговые функции для корреляционной длины (а) и восприимчивости (б), полученные при различных температурах для системы с 0,50
полиномиальной от " аппроксимацией
В табл. 4.1 приведены асимптотические значения и
, полученные с использованием усредненных скейлинговых
134 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
функций для различных температур и спиновых концентраций.
Погрешности значений и учитывают статистические
погрешности измеренных величин % и % и погрешности
аппроксимаций.
Qx(x)
Qc(x)
a
1,00
á
1,00
0,98
0,98
0,96
0,94
T = 1,851
1,854
1,857
1,861
1,865
1,874
<T>
0,96
0,94
0,92
0,90
0,88
0,86
T = 1,851
1,854
1,857
1,861
1,865
1,874
<T>
0,92
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
0,84
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
x
x
Рис. 4.4. Скейлинговые функции для корреляционной длины (а) и восприимчивости (б), полученные при различных температурах для системы с 0,50
полиномиальной от 1" аппроксимацией
Qx(x) 1,01
1,00
0,99
0,98
p=0,95
0,97
0,96
p=0,80
0,95
p=0,60
0,94
p=0,50
0,93
0,92
0,00
0,05
0,10
pol
exp
pol
exp
pol
exp
pol
exp
0,15
x
0,20
0,25
0,30
Рис. 4.5. Усредненные скейлинговые функции для корреляционной длины,
полученные полиномиальной от " (pol) и от 1" (exp) аппроксимацией
135
4.1. Трехмерная неупорядоченная модель Изинга
Qc(x)
1,00
0,98
0,96
p=0,95
0,94
0,92
p=0,80
0,90
p=0,60
0,88
p=0,50
0,86
0,84
0,00
0,05
0,10
pol
exp
pol
exp
pol
exp
pol
exp
0,15
x
0,20
0,25
0,30
Рис. 4.6. Усредненные скейлинговые функции для восприимчивости, полученные с использованием полиномиальной от " (pol) и от 1" (exp)
аппроксимаций
4.1.3. Расчет критических характеристик. Асимптотический критический индекс термодинамической величины описывает выражение
Æ 0
' ,
Æ ,
(4.13)
где и — критические амплитуды выше и ниже критической точки соответственно. Степенной закон типа (4.13) точен
лишь в пределе 0. Для расчета критических индексов в промежуточном неасимптотическом режиме необходимо вводить дополнительные поправочные слагаемые в степенной закон (4.13).
В соответствии с разложением Вегнера [217]:
0 1 ( 2 2( Æ 0,
(4.14)
где — неуниверсальные амплитуды; F — критический индекс
поправки к скейлингу.
В настоящей работе для расчета характеристик критического поведения неупорядоченных систем ограничились
учетом первой поправки к асимптотическому поведению для
136 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
Т а б л и ц а 4.1
Асимптотические значения корреляционной длины и восприимчивости,
полученные при использовании скейлинговых функций
с полиномиальной зависимостью от (pol) и 1 (exp)
0,95
4,265 4,275
4,280
4,285
4,295
4,315
4,335
!
pol 62,44(15) 21,25(5) 17,06(4) 14,41(3) 11,40(2) 8,37(2) 6,76(2)
-
exp 62,31(15) 21,19(6) 17,02(4) 14,38(3) 11,38(2) 8,36(2) 6,76(2)
pol 14467(80) 1748(16) 1130(4) 819(3) 515(2) 282(2) 187(1)
exp 14359(81) 1724(12) 1126(5) 813(4) 513(2) 281(2) 187(1)
0,80
3,51 3,52
3,53
3,54
3,55
3,57
!
pol 26,16(9) 16,50(4) 12,51(2) 10,31(2) 8,79(3) 7,01(3)
-
exp 26,11(9)
pol 2612(17)
exp 2603(18)
16,46(4) 12,49(3) 10,30(2) 8,76(3) 7,00(3)
1060(5) 618(2)
424(2) 312(2) 201(2)
1055(5) 615(2)
423(2) 310(2) 200(1)
0,60
2,430 2,435
2,440
2,445
2,450
2,460
!
pol 46,03(15) 29,37(7) 22,49(8) 18,33(5) 15,70(4) 12,41(4)
-
exp 45,86(13) 29,29(7) 22,40(8) 18,27(5) 15,65(5) 12,37(4)
pol 7943(55) 3289(17) 1953(15) 1308(7) 967(5) 611(4)
exp 7881(47) 3268(15) 1937(14) 1298(7) 961(5) 608(4)
0,50
1,851 1,854
1,857
1,861
1,865
1,874
!
pol 49,55(46) 36,38(12) 29,57(9) 23,86(6) 20,23(4) 15,38(3)
-
exp 49,04(38) 36,34(16) 29,48(11) 23,81(7) 20,17(4) 15,35(3)
pol 9456(356) 5036(36) 3365(26) 2209(12) 1603(6) 939(4)
exp 9169(165) 5030(43) 3349(25) 2199(12) 1592(6) 934(3)
корреляционной длины и восприимчивости:
'0 '1 )
*0 *1 )
,
,
G F ,
(4.15)
(4.16)
и провели расчет значений критических индексов , и G, а
также критических температур, используя метод наименьших
квадратов для наилучшей аппроксимации данных табл. 4.1 выражениями (4.15) и (4.16). В табл. 4.2 представлены полученные для различных спиновых концентраций $ значения критических характеристик при использовании исходных данных,
соответствующих различным аппроксимациям для скейлинговых
функций, а также их усредненные по аппроксимациям значения.
Видно, что критические индексы образуют две группы, близкие
по значениям в пределах погрешностей вычисления: одна группа
137
4.1. Трехмерная неупорядоченная модель Изинга
с $ 0,95 и $ 0,80, т. е. для слабо неупорядоченных систем со
спиновыми концентрациями $ больше порога примесной перколяции $imp (для кубических систем $imp 0,69), другая с $ 0,60
и $ 0,50, для сильно неупорядоченных систем с $ $ $imp ,
где $ — порог спиновой перколяции (для кубических систем
$ 0,31), когда в системе существуют два взаимопроникающих
протекающих кластера — спиновый и примесный. Фрактальные
эффекты этих двух пронизывающих друг друга кластеров могут
явиться причиной изменения характера критического поведения
для сильно неупорядоченных систем. В качестве итоговых можно рассматривать усредненные значения критических индексов
0,6935, 1,3427, G 0,15792 для слабо неупорядоченных систем и 0,73111, 1,42212, G 0,203106
для сильно неупорядоченных систем. Отметим, что полученные значения критических индексов для слабо неупорядоченных систем хорошо соотносятся со значениями 0,67810,
1,33017, G 0,17071 (F 0,2510), определенными
в [173] ренормгрупповыми методами в шестипетлевом приближении и справедливыми лишь для систем с малыми концентрациями примесей.
Т а б л и ц а 4.2
Значения критических характеристик для двух типов аппроксимаций
(pol) и (exp) и их усредненные (aver) значения для систем с различными
спиновыми концентрациями 1
1
0,95 pol 0,6883(15) 1,3339(25) 0,141(52) 0,152(50) 4,26264(4) 4,26269(3)
exp 0,6935(26) 1,3430(33) 0,113(64) 0,142(54) 4,26265(5) 4,26270(3)
aver 0,6909(33) 1,3385(54) 0,137(56)
4,26267(4)
0,80 pol 0,6960(29) 1,3473(30) 0,180(107) 0,193(74) 3,49937(21) 3,49954(14)
exp 0,6947(28) 1,3421(30) 0,147(94) 0,192(71) 3,49940(21) 3,49961(14)
aver 0,6956(29) 1,3447(40) 0,178(87)
3,49948(18)
0,60 pol 0,7272(37) 1,4253(34) 0,221(147) 0,201(63) 2,42409(11) 2,42404(6)
exp 0,7233(24) 1,4054(43) 0,184(92) 0,192(109) 2,42414(8) 2,42423(7)
aver 0,7253(36) 1,4154(107) 0,199(103)
2,42413(9)
0,50 pol 0,7372(25) 1,4299(26) 0,164(159) 0,195(74) 1,84503(7) 1,84512(3)
exp 0,7368(26) 1,4266(30) 0,242(96) 0,226(66) 1,84503(7) 1,84519(3)
aver 0,7370(33) 1,4283(33) 0,207(100)
1,84509(6)
Значения критических индексов и находятся также в достаточно хорошем согласии с имеющимися результатами экспериментальных исследований разбавленных изингоподобных магнетиков (табл. 4.3).
138 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
Т а б л и ц а 4.3
Экспериментально измеренные значения критических индексов и в материалах, соответствующих неупорядоченной модели Изинга
Fe Zn1 F2
Birgeneau et al.,
1983 [66]
0,60
0,50
Belanger et al.,
1986 [61]
0,46
Slanic et al.,
1998 [63]
0,93
Slanic et al.,
1999 [198]
0,93
Mn Zn1 F2
Mitchell et al.,
1986 [155]
0,75
0,50
0,733
1,446
0,691
1,313
0,711
1,351
10 2 1,14 10 4
0,702
1,346
0,71535
0,755
1,36476
1,5716
10 1 2 10 3
2 10 2 2 10 3
10 1 1,5 10 3
2 10 1 4 10 4
1 10 1 5 10 3
В табл. 4.4 представлены современные результаты моделирования методом Монте-Карло критического поведения разбавленной модели Изинга различными авторами. Каждая из цитируемых работ имеет свои достоинства, связанные с использованием
различных методик обработки результатов моделирования, и
свои недостатки, обусловленные или малыми размерами рассматриваемых решеток, что не обеспечивает надежного определения
асимптотических значений измеряемых величин, или недостаточной статистикой усреднения по различным примесным конфигурациям для получения достоверных результатов, или неучетом
влияния при проведении расчета критических индексов неасимптотических поправок к скейлингу, необходимость учета которых
особенно важна для образцов со спиновыми концентрациями
$ 0,95 и $ 0,90 и сильно неупорядоченных систем. Результаты работ [14, 110] можно рассматривать как подтверждающие
наши выводы, идеи которых были высказаны нами еще в ранних работах [20] по компьютерному моделированию критической
динамики неупорядоченной модели Изинга. Результаты исследования [58] при всей привлекательности поддерживаемого его
авторами представления о едином универсальном критическом
поведении с асимптотическими значениями критических индексов, не зависящими от спиновой концентрации, на самом деле
не смогли адекватно объяснить полученных ими результатов для
образцов с $ 0,90 при использовании единого для всех систем
критического индекса поправки к скейлингу F 0,376, хотя
4.1. Трехмерная неупорядоченная модель Изинга
139
определенные в [58] неасимптотические значения критических
индексов демонстрировали явную зависимость от $ и позволяли
при отказе от единого F получить два набора асимптотических
критических индексов для слабо и сильно неупорядоченных систем. Результаты остальных работ, выполненных на образцах с
единственной спиновой концентрацией, как правило в пределах
погрешности, перекрываются с нашими результатами, хотя имеются и несоответствия, обусловленные скорее всего рассмотренными выше недостатками.
Т а б л и ц а 4.4
Значения критических индексов и , полученные моделированием
по методу Монте-Карло
.
Wang et al., 1990 [214]
Heuer, 1993 [110]
300
60
Wiseman et al.,1998 [223]
64
80
128
256
96
60
0,8
0,95
0,9
0,8
0,6
0,8
0,6
0,4–0,9
0,8
0,85
0,95
0,9
0,8
0,6
Авторы
Ballesteros et al., 1998 [58]
Calabrese et al., 2003 [72]
Berche et al., 2005 [114]
Муртазаев и др., 2004 [14]
0,642
0,652
0,682
0,722
0,6823
0,7177
0,683753
0,6833
0,6622
0,6462
0,6642
0,6834
0,7256
1 2
1,364
1,283
1,313
1,353
1,513
1,3578
1,50828
1,34210 0,25343
1,3368 0,58185
1,3144
1,2622
1,2853
1,2993
1,4464
На основе проведенных исследований можно сделать следующие выводы.
Скейлинговые функции и значения критических индексов для
корреляционной длины и восприимчивости демонстрируют существование двух классов универсального критического поведения
для разбавленной модели Изинга с различными характеристиками для слабо и сильно неупорядоченных систем.
Полученные значения критических индексов для слабо неупорядоченных систем находятся в хорошем согласии в пределах
статистических погрешностей моделирования и применяемых
численных аппроксимаций с результатами теоретико-полевого
описания.
Результаты моделирования согласуются с данными экспериментальных исследований критического поведения разбавленных
изингоподобных магнетиков.
140 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
4.2. Компьютерное моделирование критической
динамики неупорядоченной трехмерной модели Изинга
4.2.1. Определение критического индекса z для однородной и неупорядоченной модели Изинга. При определении
динамического индекса @ , характеризующего критическое замедление релаксации системы ? # , был применен метод
Монте-Карло для односпиновой динамики совместно с методом
динамической ренормгруппы [120, 202], впервые обобщенным
на случай моделирования неупорядоченных систем в работах
[19, 21].Осуществлялась процедура блочного разбиения системы — блок + соседних спинов (рис. 4.7) заменялся одним спином
с направлением, определяемым ориентацией большинства спинов
в блоке.
Переопределенная система спинов образует новую решетку с
намагниченностью <+ . Если намагниченность исходной решетки
в процессе релаксации достигает некоторого значения <1 за время ?1 , а в переопределенной системе достигает того же значения
<1 за время ?+, то использование двух систем после блочного
разбиения с размерами блоков + и + и определение промежутков
времени ?+ и ?+¼ , по истечении которых их намагниченности <+
и <+¼ достигнут одного и того же значения <1 , позволяет найти
динамический индекс @ из соотношения
)
3 #
) )¼ или @ (4.17)
¼
) ¼
3¼
33 в пределе достаточно больших + и + .
b
L
L/b
Рис. 4.7. Процедура блочного разбиения системы с линейным размером . и
размером блока 3 2 на примере двумерной неупорядоченной модели Изинга.
В каждом узле решетки находится спин или немагнитный атом примеси.
Направление спинов в ренормированной системе размером .3 определяется
наличием спинового протекания и направлением большинства спинов в блоке
4.2. Неупорядоченная трехмерная модель Изинга
141
Этот алгоритм был применен к однородной и примесным
системам с размерами 483 и приведенными выше концентрациями спинов. Размер системы позволял осуществить разбиение
на блоки с размерами + 2, 3, 4, 6, 8, 12. Процедура блочного
разбиения исходной спиновой и примесной конфигураций осуществлялась на основе критерия спиновой связности. Так, блок
с размерами + считался спиновым и заменялся эффективным
спином с направлением, определяемым ориентацией большинства спинов в блоке, если в нем существовал спиновый кластер,
связывающий противоположные грани блока. В противном случае блок считался примесным и заменялся пустым узлом в перенормированной решетке. В ситуации, когда в блоке существовал
спиновый кластер, но намагниченность блока была нулевой, блок
заменялся эффективным спином с направлением, выбранным
случайным образом. Для каждой из систем выполнялась процедура моделирования релаксации из 1000 шагов Монте-Карло
на спин при 10–15 различных конфигурациях примесей. Для
каждой примесной конфигурации осуществлялось 20–30 прогонок и по полученным результатам проводилось усреднение
зависимостей <+ ?. Примесный кластер выращивался по алгоритму Хаммерсли–Лиса–Александровица [5]. На рис. 4.8–4.12
1,0
0,9
ms
0,8
0,7
b = 12
0,6
8
6
4
3
2
1
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
10
t, mcs
100
1000
Рис. 4.8. Временные зависимости исходной (1 и перенормированных ( намагниченностей (единица времени — шаг Монте-Карло на спин) для однородной модели Изинга
приведены построенные в двойном логарифмическом масштабе
графики изменения исходной и перенормированных намагниченностей <+ ? от времени для однородной и примесных систем,
142 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
усредненные по прогонкам и примесным конфигурациям, при
концентрациях спинов, соответственно, $ 1,0; 0,95; 0,8; 0,6; 0,4.
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
ms
b = 12
8
6
4
3
2
1
10
100
1000 t, mcs
Рис. 4.9. Временные зависимости исходной (1 и перенормированных ( намагниченностей (единица времени — см. рис. 4.8) для разбавленной модели
Изинга с концентрацией спинов 0,95
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
ms
b = 12
8
6
4
3
2
1
10
100
1000 t, mcs
Рис. 4.10. Временные зависимости исходной (1 и перенормированных (
намагниченностей (единица времени — см. рис. 4.8) для разбавленной модели
Изинга с концентрацией спинов 0,8
Компьютерный эксперимент по моделированию релаксационных свойств трехмерной однородной модели Изинга, выполненный в работе [128], показал, что вблизи критической температуры изменение намагниченности характеризуется эффективной экспоненциальной зависимостью. Анализ кривых релаксации
<1 ?, проведенный нами при критической температуре $
([212], 1,0 4,5108, 0,95 4,2571, 0,8 3,4959,
0,6 2,4178, 0,4 1,2066 в единицах 84) позволил
выявить их степенную зависимость <1 ? ? . В интерва-
143
4.2. Неупорядоченная трехмерная модель Изинга
ле изменения <1 от 0,65 до 0,45 были получены следующие
значения показателей "$: "1,0 0,246 0,011, "0,95 0,236 0,020, "0,8 0,219 0,018, "0,6 0,178 0,017,
"0,4 0,102 0,017. Если использовать известную скейлинговую форму для намагниченности
<, <
+
,
(4.18)
где — приведенная температура, — внешнее
магнитное поле, и — критические индексы, то она может
быть обобщена на случай временной зависимости в следующей
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
ms
b = 12
8
6
4
3
2
1
10
100
1000 t, mcs
Рис. 4.11. Временные зависимости исходной (1 и перенормированных (
намагниченностей (единица времени — см. рис. 4.8) для разбавленной модели
Изинга с концентрацией спинов 0,6
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
ms
b = 12
8
6
4
3
2
1
10
100
1000 t, mcs
Рис. 4.12. Временные зависимости исходной (1 и перенормированных (
намагниченностей (единица времени — см. рис. 4.8) для разбавленной модели
Изинга с концентрацией спинов 0,4
144 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
форме:
<, , ? ( , ?? ( , ? # ?# , ?1# ?# (
(4.19)
с использованием асимптотической зависимости времени релаксации ? # . При 0 и 0 степенной характер релаксации отражается в виде следующего асимптотического соотношения:
<? ?# (4.20)
Согласно результатам теоретических расчетов, 0,325, 0,630 и 0,349, 0,678 [125], @ 2,165 [24, 25],
@ 0,238 для разбавленной модели Изинга. Из сопоставления данных значений @ и показателей "$ видно их хорошее
соответствие для $ 1,0, 0,95, 0,8, но не для $ 0,6, 0,4.
Для независимого определения значений индекса @ лучше
использовать соотношение (4.17). Однако выявленный степенной
характер релаксации намагниченности при критической температуре позволил в отличие от работ [120, 128] использовать
другую процедуру обработки кривых для перенормированных намагниченностей <+ ?. Так, кривые <+ ?, построенные в двойном логарифмическом масштабе, аппроксимировались прямыми
<+ 4+ ? + по методу наименьших квадратов в интервалах <+ , наиболее соответствующих степенному характеру их
изменения. Затем осуществлялась процедура усреднения коэффициентов 4+ , выделение среднего 4av и определение параметров
+ прямых <+ 4av ? + путем их проведения через точки
пересечения с прямыми <+ 4+ ? + в середине интервалов <+ . В результате формула для определения @ переходила
в выражение
¼ @ (4.21)
33¼ av
На основе соотношения (4.21) были получены наборы
значений индекса @+ , соответствующих различным + при + 1
(табл. 4.5). Процедура ренормгруппового преобразования для
примесных систем выходит на обоснованную асимптотику
поведения <+ как функции параметра блочного разбиения + при
больших значениях +, чем для однородной системы, поэтому были выделены для анализа значения индекса @+ , соответствующие
+ 6, 8, 12 для примесных и + 3 для однородной систем. Выделенная тенденция зависимости @ от + позволила осуществить
процедуру экстраполяции на случай + , предполагающую
145
4.2. Неупорядоченная трехмерная модель Изинга
зависимость
@+ @+
+1 (4.22)
В результате были получены следующие значения: для однородной системы @ 1,0 1,97 0,08, для примесных систем
@ 0,95 2,19 0,07, @ 0,8 2,20 0,08, @ 0,6 2,58 0,09,
@ 0,4 2,65 0,12. Видно, что значения динамического индекса
для $ 0,95 и $ 0,8 практически совпадают, а для $ 0,6 и
$ 0,4 сопоставимы в пределах погрешности их определения.
С учетом индекса @ для однородной системы полученные значения условно могут быть разделены на три группы, различающиеся по величине. Отметим, что найденное значение индекса
@ для однородной системы находится в хорошем соответствии
с @ 1,99 0,03, определенным в работе [128] при моделировании методом Монте-Карло систем с размерами 1283 , 2563 , 5123 .
Т а б л и ц а 4.5
Значения динамического индекса по формуле (4.10) и
экстраполированные ½ для систем с различными концентрациями
спинов
3
1,0
3
2,34 0,07
4
2,33 0,06
0,95
0,8
0,6
0,4
6
2,21 0,03
2,33 0,04
2,51 0,08
2,45 0,06
2,73 0,06
8
2,12 0,02
2,23 0,02
2,44 0,07
2,53 0,05
2,83 0,05
12
2,04 0,02
2,27 0,04
2,36 0,07
2,51 0,05
2,67 0,04
4½
1,97 0,08
2,19 0,07
2,20 0,08
2,58 0,09
2,65 0,12
4.2.2. Обсуждение результатов моделирования. Проведем сравнение результатов компьютерного моделирования и применения методов теории критических явлений к однородным и
примесным системам. В работах [23–25] представлены результаты теоретико-полевого описания критической динамики однородных и слабонеупорядоченных спиновых систем непосредственно для трехмерного случая. В трехпетлевом приближении
с применением техники суммирования Паде–Бореля были получены значения индекса @ $ 2,165, справедливые в области
концентраций примеси, много меньших порога спиновой перколяции. Аналогичный расчет для однородной изинговской системы, проведенный в четырехпетлевом приближении, дал значение
@ 1,0 2, 017. Сопоставление теоретических результатов с результатами моделирования показывает их хорошее согласие для
146 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
однородной системы и примесной системы с $ 0,95 и $ 0,8.
Для $ 0,6 и $ 0,4 результаты моделирования демонстрируют
существенное увеличение динамического индекса @ . Это можно
объяснить тем, что для кубической решетки изинговских спинов
(imp)
0,69 примеси образуют связывающий кластер,
при $ $
который для сосуществует со спиновым связывающим
(imp)
кластером вплоть до порога спиновой перколяции $ 1 $ ,
образуя фракталоподобную структуру с эффективной дальнодействующей пространственной корреляцией в распределении примесей.
(imp)
характеризуется новым
В результате область $ $ $
типом критического поведения неупорядоченной модели Изинга,
определяемым протяженными примесными структурами, с новыми критическими индексами [179, 180]. При этом динамический индекс @ для модели Изинга с протяженными примесными
структурами принимает более высокие значения, чем в случае
модели Изинга с Æ -коррелированными примесями, зависящими
от характера пространственного распределения дефектов и определяемыми параметром корреляции ".
В соответствии с работами [6, 216] и нашими исследованиями [176, 179, 180] влияния корреляции примесей и протяженных
дефектов структуры на критические свойства неупорядоченных
(imp)
систем есть основания полагать, что в области с $ $ $
существование протяженной примесной структуры приводит к
изменению критерия Харриса [101] влияния замороженных точечных примесей. Поэтому изменение знака индекса теплоемкости (с положительного на отрицательный) при переходе от
однородного к примесному критическому поведению в изинговских магнетиках не является ограничением для осуществления
нового типа критического поведения, обусловленного эффектами
влияния протяженной примесной структуры.
На основе сказанного предлагается гипотеза ступенчатой
универсальности критических индексов для трехмерных разбавленных магнетиков (у двумерных таких эффектов не возникает, так как $ 0,5), согласно которой в области разбавле$ могут наблюдаться пять типов различного критиния $
(imp)
ческого поведения: однородное; примесное I при $
$1
с эффектами влияния точечных примесей; примесное II при
$ $ $(imp)
с эффектами влияния протяженной примесной
(imp)
и перструктуры; перколяционное примесное при $ $
коляционное спиновое при $ $ . Проявление данных типов
критического поведения в разбавленных магнетиках ожидается
4.3. Неупорядоченная двумерная модель Изинга
147
в температурной области $ $ 880 1 , определяемой значением соответствующего индекса кроссовера 5 и
8 — мерой случайности в обменном взаимодействии, при концентрациях спинов, далеких от пороговых значений и в области
$$ $ $$1 для $ $$ 1. Для
(imp)
$ 1 5 pure 0,11,
изинговских магнетиков с $
поэтому примесное поведение с соответствующими универсальными индексами должно наблюдаться в узкой температурной
области вблизи $ с кроссоверными эффектами перехода к
(imp)
кросиндексам для однородных систем. При $ $ $
соверные эффекты могут наблюдаться вблизи перколяционных
пороговых значений. Вдали от них явление кроссовера или не
наблюдается, или может выразиться в виде перехода между
индексами двух типов примесного поведения. В качестве своеобразного экспериментального подтверждения выдвигаемой гипотезы можно рассматривать результаты работы [66], в которой
исследование разбавленных магнетиков ! c $ 0,6
(imp)
с
и $ 0,5 осуществлялось именно в области $ $ $
$ 0,25. Были получены критические индексы, отличающиеся
от индексов однородной системы, но, к удивлению авторов, не
были обнаружены кроссоверные явления перехода к индексам
однородного критического поведения.
4.3. Компьютерное моделирование критической
динамики неупорядоченной двумерной модели Изинга
Теоретико-полевое рассмотрение релаксационного режима
критической динамики неупорядоченных двумерных изинговскиподобных магнетиков показало [18], что она не отличается от
динамики однородной модели в области с % 1 $ и характеризуется индексом @ 2,093 [23]. Однако осталось невыясненным являются ли критические индексы неупорядоченной
двумерной модели Изинга универсальными, т. е. не зависящими
от концентрации примеси вплоть до порога перколяции, или
существует линия фиксированных точек, определяющая непрерывное изменение критических индексов с концентрацией. Также
интересна область высоких концентраций примеси, близких к
порогу перколяции. В ряде работ [103, 104, 139] были высказаны
идеи о нарушении при перколяционной концентрации спинов
стандартной формы динамического скейлинга [112, 200]
,
(4.23)
148 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
где — время релаксации; — корреляционная длина; —
обобщенная однородная функция своего аргумента . Для большинства изученных к настоящему времени критических явлений время релаксации систем удовлетворяло соотношению
(4.23) с функцией @ и универсальным динамическим индексом @ . Предполагается, что при $ $ реализуется сингулярное динамическое скейлинговое поведение (4.23) с
2 . При этом может быть введен зависящий
от температуры эффективный динамический индекс @ # в виде
@ (4.24)
с @ при 0, $ $ . Подобная форма индекса
@ позволяет объяснить аномально большое его значение, выявленное в эксперименте по неупругому рассеянию нейтронов [48]
в неупорядоченном магнетике "# $, %, . К настоящему времени в работах по компьютерному моделированию критической динамики неупорядоченных систем при $ $ [53, 119]
и вблизи порога перколяции [67, 73] получено подтверждение
квадратичной формы скейлинговой функции для логарифма
времени релаксации.
В данном разделе представлены результаты компьютерного моделирования методом Монте-Карло критической динамики двумерной модели Изинга как в однородном случае,
так и с концентрацией спинов $ 0,95; 0,9; 0,85; 0,8; 0,75; 0,7
[21, 22, 177, 178]. Данное исследование критической динамики
неупорядоченных систем впервые проведено в столь широком
интервале изменения концентрации примеси, что позволило ответить на вопрос о степени универсальности динамического индекса двумерной модели Изинга и области концентраций, в которой начинают проявляться динамические эффекты аномального
перколяционного поведения.
Методика, условия и результаты моделирования. Метод динамической ренормгруппы, как было показано выше, эффективно зарекомендовал себя при определении характеристик
критической релаксации трехмерной неупорядоченной модели
Изинга, поэтому для компьютерного моделирования критической
динамики неупорядоченной двумерной модели Изинга и определения динамического индекса @ был также использован метод
Монте-Карло описания односпиновой динамики системы, совмещенный с методом динамической ренормгруппы [120, 202].
Алгоритм блочного разбиения был применен к однородной и
примесным системам изинговских спинов с размерами квадратной решетки &'' и приведенными выше концентрациями
4.3. Неупорядоченная двумерная модель Изинга
149
спинов $. В процессе моделирования были использованы значения критических температур $, полученные для неупорядоченной двумерной модели Изинга в работе [108]: 1,0 2,2692, 0,95 2,0883, 0,9 1,9004, 0,85 1,7071,
0,8 1,5079, 0,75 1,2921 и 0,7 1,0751 в единицах 84. Для квадратной решетки пороговое значение спиновой
перколяции $ 0,59. Размер системы позволял выполнить разбиение на блоки с размерами + 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40.
0,9 осуществлялась процедура моделиДля систем с $
рования релаксации из 1 000 шагов Монте-Карло на спин при
10–20 различных конфигурациях примесей. Для каждой примесной конфигурации выполнялось 10–15 прогонок и по полученным результатам проводилось усреднение зависимостей <+ ?.
Для систем с $ 0,85; 0,8; 0,75; 0,7 процедура моделирования
релаксации состояла соответственно из 2 000, 4 000, 8 000, 16 000
шагов Монте-Карло на спин при 10–15 прогонках и использовании 30 различных конфигураций примесей. Большее, чем для
систем с $ 0,9, число примесных конфигураций обусловлено
тем, что по мере приближения к порогу перколяции возрастают флуктуации в распределении примесей по решетке, а это
требует также увеличения числа примесных конфигураций для
усреднения зависимостей <+ ?. На рис. 4.13–рис. 4.19 приведены графики (в двойном логарифмическом масштабе) изменения исходной и перенормированных намагниченностей <+ ?
для однородной и примесных систем с концентрациями спинов
$ 1,0; 0,95; 0,9; 0,85; 0,8; 0,75; 0,7, которые свидетельствуют о
росте времени релаксации системы при уменьшении концентрации спинов.
Анализ кривых релаксации <1 ?, проведенный при критической температуре $, позволил выявить их степенную зависимость <1 ? ? . В интервале изменения <1 от 0,8 до 0,67
были получены следующие значения показателей "$: "1,0 "0,95 0,056 0,006; "0,9 0,055 0,006; "0,85 0,050 0,008; "0,8 0,043 0,008; "0,75 0,037 0,008;
"0,7 0,031 0,010. Так как в соответствии с полученным
асимптотическим соотношением (4.20) "$ @ , используя значения из работы [108] по компьютерному моделированию равновесного критического поведения неупорядоченной двумерной модели Изинга: 0,125 0,005 ($ 1,0; 0,95; 0,9);
0,120 0,010 ($ 0,85); 0,110 0,010 ($ 0,8); 0,100 0,020
($ 0,75) можно определить следующие значения динамического индекса @ $: 2,23 0,33 ($ 1,0; 0,95); 2,27 0,34
($ 0,9); 2,40 0,58 ($ 0,85); 2,56 0,72 ($ 0,8); 2,70 1,13
150 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
($ 0,75). Высокая погрешность значений индекса @ обусловлена прежде всего малыми средними значениями показателей "$
и большой относительной погрешностью их определения.
1,0
mb
b = 40
25
20
16
0,9
10
8
0,8
5
4
0,7
2
10
100
1
1000 t
Рис. 4.13. Зависимость исходной (1 и перенормированных ( ) намагниченностей от времени для однородной двумерной ферромагнитной модели Изинга
(. 400)
1,0
mb
b = 40
25
20
16
0,9
10
8
0,8
5
4
0,7
2
1
10
100
1000 t
Рис. 4.14. Зависимость исходной (1 и перенормированных ( ) намагниченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели
Изинга (. 400) с концентрацией спинов 0,95
151
4.3. Неупорядоченная двумерная модель Изинга
Для независимого определения значений индексов @ , как
отмечалось в предыдущем разделе, лучше использовать соотношение (4.17). Применение разработанной нами процедуры обработки кривых для перенормированных намагниченностей <+ ?
и соответствующего соотношения (4.21) позволило получить наборы значений индекса @+ для различных параметров блочного
разбиения + осуществленного ренормгруппового преобразования
неупорядоченных систем с различными концентрациями спинов $ (табл. 4.6).
1,0
mb
b = 40
25
20
16
0,9
10
8
0,8
5
4
0,7
2
100
1
1000 t
Рис. 4.15. Зависимость исходной (1 и перенормированных ( ) намагниченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели
Изинга (. 400) с концентрацией спинов 0,9
1,0
mb
b = 40
25
20
16
0,9
10
8
0,8
5
4
0,7
2
1
2000 t
200
Рис. 4.16. Зависимость исходной (1 и перенормированных ( ) намагниченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели
Изинга (. 400) с концентрацией спинов 0,85
152 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
Процедура ренормгруппового преобразования для примесных
систем выходит на обоснованную асимптотику поведения <+
как функции параметра блочного разбиения + при бо́льших значениях +, чем для однородной системы, поэтому для анализа
были выделены значения индекса @+ , соответствующие + 4 для
однородной системы и + 5 ($ 0,95), + 8 ($ 0,9) + 10
($ 0,85), + 16 ($ 0,8; 0,75), + 20 ($ 0,7) для примесных
систем.
1,0
mb
b = 40
25
20
16
0,9
10
8
0,8
5
4
0,7
500
2
1
4000 t
Рис. 4.17. Зависимость исходной (1 и перенормированных ( ) намагниченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели
Изинга (. 400) с концентрацией спинов 0,8
1,0
mb
b = 40
25
20
16
0,9
10
8
5
4
0,8
1000
2
1
8000 t
Рис. 4.18. Зависимость исходной (1 и перенормированных ( ) намагниченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели
Изинга (. 400) с концентрацией спинов 0,75
153
4.3. Неупорядоченная двумерная модель Изинга
1,0
mb
b = 40
25
20
16
0,9
10
8
5
4
0,8
2000
2
1
16000 t
Рис. 4.19. Зависимость исходной (1 и перенормированных ( ) намагниченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели
Изинга (. 400) с концентрацией спинов 0,7
Т а б л и ц а 4.6
Значения динамического индекса и экстраполированные ½ для
двумерной неупорядоченной модели Изинга ( 400) с различными
концентрациями спинов 3
1,0
4
0,95
0,9
0,85
0,8
0,75
0,7
2,456
0,068
5
8
10
16
20
25
2,454
0,061
2,401
0,047
2,394
0,048
2,357
0,036
2,366
0,034
2,417
0,034
2,305
0,046
2,334
0,026
2,389
0,041
2,469
0,028
2,565
0,048
2,285
0,031
2,291
0,032
2,332
0,031
2,461
0,016
2,557
0,042
2,803
0,056
2,242
0,029
2,252
0,023
2,269
0,032
2,385
0,029
2,547
0,035
2,788
0,054
2,532
0,036
2,703
0,035
2,51
0,06
2,66
0,07
2,88
0,06
2,439
0,053
2,433
0,042
2,473
0,040
40
4½
2,24
0,07
2,24
0,06
2,24
0,06
2,38
0,05
2,805
0,051
2,954
0,057
2,942
0,048
2,912
0,053
154 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
Выделенная тенденция зависимости @ от + позволила осуществить процедуру экстраполяции на случай + , предполагая зависимость @+ @+
+1 . В результате были получены следующие значения @ $: @ 1,0 2,24 0,07;
@ 0,95 2,24 0,06; @ 0,9 2,24 0,06; @ 0,85 2,38 0,05;
@ 0,8 2,51 0,06; @ 0,75 2,66 0,07; @ 0,7 2,88 0,06.
Относительно высокая погрешность значений @ 1,0 и @ 0,95
обусловлена более широким набором @+ , использованным для
получения экстраполированного индекса @+
, в то время как
увеличение погрешности для @ $ при $ 0,8 связано с ростом
флуктуаций в распределении примесей и увеличенным в связи с
этим числом усредняемых примесных конфигураций.
Сравнивая значения индекса @ , полученные на основе ренормгрупповой процедуры, с определенными посредством выделения
показателей степенного характера релаксации намагниченности
"$ @ при $, видим, что они находятся в достаточно хорошем согласии. Однако большая точность получаемых
значений динамического индекса @ и независимость от определения статических индексов и делает применение метода
динамической ренормгруппы наиболее предпочтительным. Кроме
того, есть основание полагать, что процедура динамической ренормгруппы позволяет получать значения @ , в меньшей степени
зависящие от конечности размера : моделируемой системы при
ее достаточно большой величине, чем процедура анализа кривой
<1 ? критической релаксации намагниченности.
4.3.1. Анализ результатов моделирования однородной и
слабо неупорядоченной двумерной модели Изинга. Анализ
полученных значений индекса @ $ показывает, что для концентраций $ 0,9 критическая динамика неупорядоченной двумерной модели Изинга принадлежит к тому же классу универсальности, что и критическая динамика однородной модели с
индексом @ 2,24 0,07. Полученное значение индекса согласуется с результатами ряда работ по динамике однородной двумерной модели Изинга: @ 2,22 0,13 [210] (метод динамической
16); @ 2,23 [129] (метод динамической
ренормгруппы, :
ренормгруппы, : 32); @ 2,22 [139] (метод удаления связей на
квадратной решетке с протеканием); @ 2,24 0,04 [174] (метод
«damage spreading», : 101), хотя существуют и иные результаты с @ 2,125 0,010 [192] (метод высокотемпературного
разложения в ряд до 12-го порядка); @ 2,14 0,02 [128] (метод
динамической ренормгруппы, : 8192); @ 2,13 0,03 [219]
64);
(метод динамической автокорреляционной функции, :
4.3. Неупорядоченная двумерная модель Изинга
155
@ 2,076 0,005 [156]; @ 2,165 0,010 [116] (динамическая скейлинговая зависимость релаксации параметра порядка,
: 1500); @ 2,16 0,02 [149] (метод «damage spreading»,
: 103); @ 2,16 0,005 [146] (динамическая скейлинговая зависимость релаксации параметра порядка, : 106 ); @ 2,34 0,03 [195] (метод высокотемпературного разложения
в ряд до 11-го порядка); @ 2,143 [144, 145] (метод кумулянтов
Биндера [65], : 64). Отсюда видно, что для двумерной модели
Изинга значения индекса @ лежат в обескураживающе широком
@ 2,34. Полученное в рамках теоретикоинтервале 2,08
полевого подхода значение @ 2,093 находится ближе к его
нижней границе, в то время как полученное в результате компьютерного моделирования @ 2,24 0,07 ближе к верхней границе.
Столь широкий разброс полученных разными методами и
разными авторами значений индекса @ может быть связан с
тем, что в отличие от трехмерной двумерная модель Изинга характеризуется более развитыми флуктуациями намагниченности
и поэтому все трудности как аналитического, так и компьютерного описания критического поведения в двумерной модели
становятся заметнее. В частности, при применении процедуры
критической релаксации, совмещенной с методом динамической
группы, большие амплитуды равновесных флуктуаций намагниченности могут проявиться на релаксационных кривых <+ ?
в увеличении усредненных значений намагниченности уже при
относительно малых временах релаксации, когда <1 ? достигает
значений <1 0,7, что может привести к некоторому завышению
значений индекса @ . В то же время при применении методов автокорреляционной функции [219] и «damage spreading» [149, 174]
большие амплитуды флуктуаций приводят к увеличению времени корреляции, в течение которого генерируемые при процедуре
Монте-Карло конфигурации спиновой системы уже не являются
статистически независимыми. Для улучшения получаемых результатов необходимо значительное увеличение по сравнению с
трехмерной моделью как времени счета для каждой прогонки,
так и числа прогонок, т. е. тех параметров, которые определяют
процедуру статистического усреднения. В случае применения высокотемпературного разложения [192, 195] рассмотрение систем
с более развитыми флуктуациями требует еще и учета более
высоких порядков разложения.
4.3.2. Анализ результатов моделирования сильно неупорядоченной двумерной модели Изинга. Для систем с концентрациями спинов $ 0,85 было обнаружено увеличение дина-
156 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
мического индекса @ по мере уменьшения $. Данные изменения
@ $ могут быть интерпретированы как результат проявления
кроссоверных эффектов перколяционного поведения. Было установлено, что зависимость индекса @ от $ для $ 0,7; 0,75; 0,8;
0,85 хорошо описывается логарифмической функцией
@ $ $ (4.25)
с 0,56 0,07, 1,62 0,07 (рис. 4.20). Полученная зависимость (4.25) может быть сопоставлена с аномальной скейлинговой зависимостью (4.24) для эффективного динамического индекса @ при 0 $ $ и , 0 ,
z
3,50
3,00
2,50
2,00
1,50
1,00
0,40
0,80
1,20
1,60
2,00
2,40
Рис. 4.20. Зависимость динамического критического индекса 4 от концентрации спинов в логарифмическом масштабе . Прямая задает аппроксимацию зависимости 4 логарифмической функцией '¼ 5 ¼
где — индекс корреляционной длины для явления перколяции. Равенство соответствует условиям проводимого
компьютерного эксперимента при ? ? $ и $ $, так как
использование ряда известных соотношений для модели Изинга позволяет получить 28 4 при
$ $ и $. Сравнение с результатами исследования
методом Монте-Карло зависимости времени релаксации от
температуры [119] при $ $ 0,62 0,12 и от концен-
4.3. Неупорядоченная двумерная модель Изинга
157
трации $ при $ $ [67] ( 0,48) показывает, что получаемое
значение 0,42 0,07 при 43 хорошо согласуется с
результатами работы [67], в которой применен метод прямой
оценки времени релаксации системы $ исходя из поведения
намагниченности
,
<?,
,0
т. е. существенно отличный от метода, примененного в данном
исследовании.
Определенные по результатам компьютерного моделирования
значения динамического индекса @ вблизи порога перколяции
подтверждают данные физического эксперимента [48] с измеренным аномально большим значением @ 2,4 0,1 в неупорядоченном магнетике "# $, %, .
Таким образом, нами получено подтверждение сингулярного
динамического скейлингового поведения вблизи порога перколяции, эффекты которого начинают проявляться для двумерной
0,85. Выявлемодели Изинга при концентрациях спинов $
но нарушение стандартной формы динамического скейлинга с
@ -константой, но подтверждена справедливость гипотезы обобщенного динамического скейлинга, лежащей в основе теории
неравновесного критического поведения. В данном явлении нашла свое отражение общая особенность динамического поведения примесных систем в длинноволновом пределе, которое
в отличие от статического характеризуется другими локальными законами сохранения в рассеянии спиновых флуктуаций на
примесях. В результате в критической динамике присутствие
примесей сказывается сильнее, чем при описании равновесных
свойств в критической точке.
4.3.3. Исследование влияния конечного размера системы
на результаты моделирования неупорядоченной двумерной
модели Изинга. Из работы [108] по моделированию двумерной
модели Изинга известно, что в противоположность моделированию трехмерной модели Изинга [110, 111] результаты сильно
зависят от эффектов конечного размера системы даже для решеток размера : 250. Однако уже в работе [128] результаты
применения метода Монте-Карло, совмещенного с методом динамической ренормгруппы, не выявили какой-либо устойчивой
зависимости индекса @ от размера системы при его увеличении.
Характерной особенностью метода динамической ренормгруппы
является то, что для достаточно больших решеток он дает меньшую степень зависимости значений индекса @ от эффектов ко-
158 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
нечного размера системы, чем остальные методы. Это связано с
тем, что в самой процедуре метода динамической ренормгруппы
заложено вычисление индекса @ на основе набора @+ в асимптотическом пределе + . Тем не менее нами для оценки эффектов конечного размера было проведено моделирование систем
с дополнительными линейными размерами : 200 и : 800
и концентрацией спинов $ 0,8. Так, на рис. 4.21 и рис. 4.22
приведены графики (двойной логарифмический масштаб) изменения исходной и перенормированных намагниченностей <+ ?
для примесных систем с концентрацией $ 0,8 и размерами
1,0
mb
0,9
b = 40
25
20
0,8
10
8
5
4
0,7
500
2
1
4000 t
Рис. 4.21. Зависимость исходной (1 и перенормированных ( ) намагниченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели
Изинга (. 200) с концентрацией спинов 0,80
1,0
mb
b = 40
32
25
20
16
0,9
10
8
0,8
5
4
0,7
500
2
1
4000 t
Рис. 4.22. Зависимость исходной (1 и перенормированных ( ) намагниченностей от времени для неупорядоченной двумерной ферромагнитной модели
Изинга (. 800) с концентрацией спинов 0,80
4.4. Фазовые превращения в антиферромагнитной модели Изинга
159
решеток : 200 и : 800. Процедура моделирования аналогична моделированию системы : 400. Результирующее значение
динамического индекса @ @+
равно 2,46 0,06 для : 200 и
2,52 0,06 для : 800. Для системы : 400 и $ 0,8 значение
индекса @ 2,51 0,06. Очевидно, что для систем с размера400 различия в значениях индекса @ несущественны
ми :
и, следовательно, в рамках метода динамической ренормгруппы
использования решеток с размерами : 400 достаточно для
эффективного определения динамического индекса @ .
4.4. Особенности фазовых превращений
в неупорядоченной антиферромагнитной
модели Изинга со случайными полями
Для описания влияния случайных полей на поведение магнитных систем используются две на качественном уровне эквивалентные модели: ферромагнитная модель Изинга со случайным магнитным полем (RFIM) [60, 162, 171, 194, 228] и
неупорядоченная антиферромагнитная модель Изинга во внешнем однородном поле (DAFF) [89]. Реальные магнитные системы
с эффектами случайных полей являются антиферромагнетиками
с замороженными примесями немагнитных атомов, в поведении
которых наряду с антиферромагнитным взаимодействием ближайших атомов проявляются эффекты влияния ферромагнитного
взаимодействия атомов, следующих за ближайшими. В модели
DAFF не учитывается конкуренция ферромагнитного взаимодействия, поэтому область ее реального применения, как и модели RFIM, довольно ограничена. Структуру антиферромагнетика
можно представить в виде нескольких ферромагнитных подрешеток, вставленных одна в другую таким образом, что суммарная намагниченность антиферромагнетика остается равной нулю,
несмотря на то, что при температуре ниже температуры Нееля
в рамках каждой ферромагнитной подрешетки происходит магнитное упорядочение. Примерами двухподрешеточных антиферромагнетиков являются (
, $, и $ . В качестве
примеров реализации неупорядоченных систем со случайными
магнитными полями можно привести кристаллические одноосные изингоподобные антиферромагнетики $ , с примесями атомов цинка во внешнем магнитном поле [226].
4.4.1. Определение модели. Для выявления особенностей
фазовых превращений в магнетиках со случайными полями
по сравнению с системами со случайной локальной темпера-
160 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
турой (случайными спиновыми взаимодействиями) в работах
[28, 35] было осуществлено компьютерное моделирование методом Монте-Карло критического поведения неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга на простой кубической решетке с учетом взаимодействия как ближайших, так и следующих
за ближайшими соседей. Гамильтониан модели имеет вид
81
,
$ $ C C 82
,-
$ $- C C- C ,
(4.26)
где C 1; 81 1 характеризует обменное взаимодействие
ближайших спинов, носящее антиферромагнитный характер;
82 12 характеризует ферромагнитное взаимодействие следующих за ближайшими спинов; — напряженность однородного
магнитного поля; $ , $ — случайные переменные, описываемые
функцией распределения
$ $Æ$
1 1
$Æ$ (4.27)
и характеризующие распределенные по узлам решетки замороженные немагнитные атомы примеси (пустые узлы) с концентрацией %imp 1 $. При $ 1,0 данная модель с конкурирующими
взаимодействиями уже более двадцати лет исследуется методами
Монте-Карло [140, 159]. Однако для описания влияния эффектов
неупорядоченности на критическое поведение систем она применена нами впервые. С физической точки зрения данная модель
наиболее реалистичная. Величина эффектов случайных полей
в модели, как и в реальных магнитных системах, определяется
концентрацией примесей и величиной внешнего поля. Поэтому
параметры модели однозначно сопоставимы с параметрами реального физического эксперимента. В случае же ферромагнитной
модели Изинга со случайным магнитным полем (RFIM) возникает обратная ситуация. Задаваемая в этой модели величина
случайного поля не может быть однозначно сопоставлена с параметрами физического эксперимента: концентрацией примесей
в образце и величиной внешнего поля.
Рассмотренная неупорядоченная модель замечательна также
тем, что что при 0 она позволяет описывать критическое
поведение системы со случайными спиновыми взаимодействиями, в то время как при , , согласно приводимым ниже
результатам, демонстрирует критическое поведение системы со
случайными полями. При , флуктуации намагниченности нарушают стабильность фазового перехода второго рода и
фазовые превращения в системе приобретают черты фазового
перехода первого рода. При , и , имеет место
4.4. Фазовые превращения в антиферромагнитной модели Изинга
161
трикритическое поведение. Таким образом, данная модель позволяет рассмотреть широкое разнообразие типов фазовых переходов и исследовать влияние неупорядоченности, создаваемое
присутствием примесей, на термодинамические характеристики
системы при фазовых переходах.
Для выделения особенностей термодинамических характеристик неупорядоченной системы, определяющих ее поведение
при различных типах фазовых переходов, необходимо прежде
всего построить фазовую диаграмму системы, задающую зависимость температуры фазового перехода ph от величины напряженности магнитного поля при заданной концентрации
$ спинов, т. е. ph ph , $. Для выявления составляющей
фазовой диаграммы , $, соответствующей фазовым
переходам второго рода, необходимо учитывать, что критическое
поведение антиферромагнитной системы определяется сильными
и долгоживущими флуктуациями «шахматной» намагниченности
(stg — разности намагниченностей подрешеток. Мерой магнитных флуктуаций является линейный размер характерного
магнитного домена — области с сильно коррелированными спинами. По мере приближения к корреляция в ориентации спинов увеличивается и рост описывается степенным законом
с индексом : . Аномальным ростом в окрестности характеризуется также «шахматная» восприимчивость
stg и теплоемкость системы ,
где , — критические индексы.
Из-за долгоживущих флуктуаций (stg время релаксации системы в окрестности также неограниченно возрастает.
Данное поведение термодинамических функций и физических
параметров наблюдается в непосредственной окрестности ,
1, для систем, рассматриваемых в термодинамическом пределе (число частиц в системе 9 , объем ,
9 ). В конечной системе не может проявиться настоящий фазовый переход второго рода. Тем не менее можно
ожидать, что при меньше линейного размера системы конечная система будет правильно передавать свойства бесконечной системы. Иначе говоря, если не слишком близко к ,
то модельные расчеты должны давать результаты, соизмеримые
с результатами для бесконечной системы. Для определения воспользуемся представлением о том, что критические свойства
для систем различного масштаба : достигаются лишь в пределе
: .
Для определения критической температуры перехода в бесконечной системе : может быть использован метод опре6 В.В. Прудников, А.Н. Вакилов, П.В. Прудников
162 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
деления критической температуры конечной системы : по
положению максимума температурной зависимости «шахматной»
восприимчивости stg , : c применением масштабной асимптотической зависимости
: : ":1 , : 1
(4.28)
где " — константа, зависящая от деталей модели и граничных
условий. Однако в случае компьютерного моделирования критического поведения однородных систем наилучшим образом зарекомендовал себя при определении : метод кумулянтов
Биндера [65], в случае нашей системы связанный с введением
кумулянта A вида
1
3
A2
,
4
stg
2
stg
2
(4.29)
где угловые скобки обозначают статистическое усреднение, а
квадратные скобки — усреднение по различным примесным конфигурациям. Кумулянт A :, имеет важную для описания
поведения конечных систем скейлинговую форму
A :, -:1 ,
(4.30)
не содержащую мультипликативной зависимости от L. Кумулянт
определен так, что 0 A 1, при этом при температурах выше
величина A :, 0 в пределе : . Данная скейлинговая зависимость кумулянта позволяет определять критическую
температуру : через координату точки пересечения
кривых, задающих температурную зависимость A :, для различных :. Более того, легко показать, что в критической области
при /
(4.31)
":1 1 +:( ,
и, следовательно, по максимальному наклону кумулянтов, соответствующих различным : в пределе : , вблизи точки их
пересечения можно определить индекс .
4.4.2. Методика моделирования. Нами были рассмотрены
кубические решетки размерами : 12, 18, 24, 32 с концентрацией спинов $ 1,0; 0,95; 0,8. При выращивании примесных
конфигураций число атомов примесей (пустых узлов) 1 $:3
выбирали одинаковым для каждой антиферромагнитной подрешетки, и разыгрывали процедуру их случайного распределения
по узлам подрешеток. Первоначальная локализация критической
4.4. Фазовые превращения в антиферромагнитной модели Изинга
163
температуры конечной системы :, осуществлялась по положению максимума температурной зависимости «шахматной»
восприимчивости stg , : при значениях поля 0; 1; 2; 3;
4; 4, 5; 5, 2 в единицах 81 (на рис. 4.23 приведены зависимости
stg от для трех значений ). Затем для более точного определения : , применялся метод кумулянтов. Для получения достоверных значений равновесных термодинамических
cstg
80,00
3
60,00
2
40,00
1
20,00
0,00
8,00
8,50
9,00
9,50
10,00
T
Рис. 4.23. Температурная зависимость «шахматной» восприимчивости -stg
вдоль кривой фазовых переходов второго рода для системы 183 с 0,95 при
различных значениях +: 1 — + 0; 2 — + 2,0; 3 — + 3,0
характеристик поведения систем в критической области необходимо, чтобы процедура статистического усреднения и усреднения по различным примесным конфигурациям осуществлялась
только после достижения системой равновесного состояния. Критическое поведение различных систем и в особенности неупорядоченных характеризуется аномально большими временами релаксации, которые демонстрируют значительное возрастание по
мере увеличения размера моделируемых систем.
Неупорядоченные системы со случайными полями, как и спиновые стекла, относятся к фрустрированным системам, фрустрация которых обусловлена их структурной неупорядоченностью.
Во фрустрированных системах конкурирующие взаимодействия с
различным характером спинового упорядочения вступают в противоречие с друг другом, вызывая совокупность состояний, в ко6*
164 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
торых ни одна из возможных спиновых конфигураций не может
минимизировать одновременно все составляющие гамильтониана
системы. В неупорядоченных антиферромагнетиках выстраивание спинов в однородном внешнем поле обусловливает конкуренцию с антиферромагнитным упорядочением в области низких
температур.
В ряде работ [52, 89, 204, 229], посвященных исследованию поведения моделей RFIM и DAFF с эффектами случайных полей, было установлено, что при низких температурах
возникает совокупность метастабильных состояний, разделенных
энергетическими барьерами. Одним из таких состояний было
состояние с дальним упорядочением (ферромагнитным для RFIM
и антиферромагнитным для DAFF), в то время как остальные
являлись состояниями с различной конфигурацией доменной
структуры. Было показано, что система, будучи заморожена в одном их этих доменных состояний, затем аномально медленно
релаксирует в состояние с дальним упорядочением. В работах
[52, 89, 204] проведено исследование влияния экспериментальных условий (скорости замораживания или нагревания системы
в присутствии или при отсутствии внешнего поля) на характер возникающих в упорядоченной фазе состояний, величину
необратимых эффектов в зависимости от амплитуды случайных
полей и близости к критической температуре.
При исследовании релаксационных свойств рассматриваемой
модели на примере решетки размером :=24 c концентрацией
спинов $=0,8 методом Монте-Карло нами было обнаружено, что
в низкотемпературной фазе система релаксирует на временах от
2 000 до 4 000 шагов на спин сначала, как правило, в одно из
метастабильных состояний с последующими флуктуационными
переворотами «шахматной» намагниченности с интервалами
в среднем до 5 000 шагов. Данные перевороты сопровождались
аномально медленной релаксацией значений «шахматной» намагниченности через последовательность метастабильных состояний
до близкому к равновесному на временах до 100 000 шагов на спин.
Для достижения равновесных состояний в области температур, близких к критическим, и определения в них термодинамических характеристик осуществлялась процедура медленного
квазистатического замораживания системы из неупорядоченной
фазы, начиная с температуры, при которой ни в одной из прогонок не было выявлено метастабильных состояний. Процедура квазистатического замораживания состояла из повторяемого
при каждой температуре режима релаксации в 3 000 шагов,
последующего режима усреднения в 10 000 шагов и понижения
165
4.4. Фазовые превращения в антиферромагнитной модели Изинга
температуры с шагом =0,01 при использовании в качестве
начальной спиновой конфигурации, созданной на последнем шаге предшествующей температуры. Чтобы избежать возможного,
особенно в сильных полях [89], влияния эффектов необратимости, проявляющихся, в различие термодинамических величин,
при термоциклировании из неупорядоченной фазы в упорядоченную и обратно, каждая прогонка системы состояла из описанной
выше процедуры квазистатического замораживания и последующего нагревания.
В процессе расчета кумулянтов A :, для каждой решетки
размером : при фиксированных и $ осуществлялось статистическое усреднение по десяти прогонкам с различными начальными спиновыми конфигурациями для каждой примесной
конфигурации и последующее усреднение по 20–40 различным
конфигурациям примесей. Следует отметить, что применение кумулянтов позволяет хорошо тестировать тип фазового перехода
в системе. Так, в случае фазовых переходов второго рода кривые
температурной зависимости кумулянтов имеют ярко выраженную
точку (в мелком масштабе треугольник) пересечения, как это
показано на рис. 4.24, в то время как в случае переходов первого
рода кривые кумулянтов характеризуются специфическим видом
3
U
0,7
0,7
1
0,6
0,6
0,5
0,5
0,4
0,4
0,3
0,3
0,2
3
U
2
1
1
0,2
1
0,1
0,1
3
0
9,0
2
9,2 9,4 9,6 9,8 10,0 10,2
T
a
0
2
3
2
7,2 7,4 7,6 7,8 8,0 8,2 8,2
T
á
Рис. 4.24. Температурные зависимости кумулянтов / , для решеток размерами . 18 (1), 24 (2), 32 (3) с концентрациями спинов 0,95 (а),
0,8 (б) при 1
166 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
без взаимного пересечения. Исследования показали, что при
возрастании концентрации примесей и напряженности магнитного поля увеличивается погрешность определения среднего значения критической температуры (растет площадь треугольника
пересечения кривых кумулянтов — рис. 4.24) за счет увеличения
конфигурационных примесных флуктуаций.
Определение трикритической точки , : и , : для каждой из решеток с : 12, 18, 24, 32 и концентрацией спинов
$ 1, 0; 0,95; 0,8 осуществлялось по поведению изотермической
намагниченности ( при изменении поля . Происходящая при
,, , смена фазового перехода с первого на второй сопровождалась исчезновением петли гистерезиса, характеризующей
зависимость ( с увеличением и уменьшением вдоль кривой переходов первого рода (рис. 4.25). Значение трикритической
M
1,00
1
2
0,80
3
0,60
0,40
0,20
0,00
4,00
5,00
6,00
7,00
h
Рис. 4.25. Зависимость намагниченности от величины магнитного поля +
для системы 183 с 0,95 для температур вблизи трикритической точки 4,6: 1 — 4,0, 2 — 4,5, 3 — 4,6. Графики 1 и 3 смещены влево и
вправо по оси абсцисс соответственно на 1,0 и на 1,0
температуры для бесконечной системы , определялось экстраполяцией , : при : в соответствии с зависимостью
(4.28), а , — экстраполяцией , : в соответствии со скейлинговым соотношением
2 , : , : (4.32)
+: 2 ,
где — размерность системы; , 1 — индекс Фишера.
4.4. Фазовые превращения в антиферромагнитной модели Изинга
167
4.4.3. Результаты моделирования и их анализ. Фазовые
диаграммы. В результате моделирования были получены значения температур и полей, определяющих трикритическую точку,
для рассматриваемых конечных систем с размерами : и концентрацией $, представленные в табл. 4.7.
Т а б л и ц а 4.7
Значения трикритических температур и внешнего магнитного
поля для антиферромагнитной модели Изинга на кубической
решетке с размерами и концентрацией спинов (цифры в скобках — погрешности определения)
.
1,0
18
24
32
+
+
+
6,00(2)
5,70(8)
6,05(2)
5,50(9)
6,10(3)
5,50(9)
0,95
4,60(7)
5,50(5)
4,90(8)
5,40(6)
4,95(9)
5,40(6)
0,8
2,50(2)
4,75(3)
2,55(2)
4,73(3)
2,60(3)
4,72(4)
Используя скейлинговые соотношения (4.28) и (4.32) получили следующие значения параметров, определяющих трикритическую точку бесконечной системы: , 6,14 0,03, , 5,40 0,10 для $ 1,0; , 5,15 0,10, , 5,35 0,07
для $ 0,95; , 2,64 0,03, , 4,71 0,05 для $ 0,8
(здесь значения температуры приведены в единицах 81 4, где
4 — постоянная Больцмана).
Следует отметить, что для однородной системы $ 1, 0 наши значения , , , точнее соответствующих значений, полученных в работе [141] для 6 : 20, что обусловлено бо́льшими
размерами рассмотренных нами систем в [141].
Кривые фазовых переходов первого рода были локализованы
на основе анализа температурных и полевых зависимостей намагниченности, внутренней энергии и теплоемкости.
Итогом наших исследований явилось построение фазовых
диаграмм (рис. 4.26) для антиферромагнитной однородной модели Изинга ($ 1,0), слабо неупорядоченной ($ 0,95) и сильно
неупорядоченной ($ 0,8) моделей. Значения критических температур для различных напряженностей внешнего магнитного
поля данных систем представлены в табл. 4.8.
Видно, что с ростом концентрации примесей происходит
смещение кривых фазовых переходов в область более низких температур и магнитных полей. Обсудим функциональную
зависимость критической температуры от спиновой концен-
168 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
трации $ и напряженности внешнего магнитного поля. Так как
генерируемые в неупорядоченном антиферромагнетике случайные поля пропорциональны внешнему полю , в работе [85] на
h
6
5
*
4
4
*
4
*
4
3
1
3
2
2
1
0
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5 6,5
7,5
8,5
9,5 10,5 11,5
T
Рис. 4.26. Фазовая диаграмма антиферромагнитной модели Изинга: 1 — 1,0
(однородная), 2 — 0,95, 3 — 0,8, 4 — трикритические точки
основе общего скейлингового выражения для свободной энергии
были предсказаны кроссоверные эффекты влияния случайных
полей на критическое поведение магнетика в виде
' , ?2 2?.,
(4.33)
" 2 , — критическая температура; —
где ? индекс теплоемкости однородной системы в отсутствие внешнего поля; — индекс кроссовера, характеризующий переход к
критическому поведению, определяемому случайными полями.
Слагаемое " 2 задает параболическую зависимость критичеТ а б л и ц а 4.8
Значения критических температур для трехмерной
неоднородной антиферромагнитной модели Изинга с различными
значениями внешнего магнитного поля и концентрации спинов +
0
1
2
3
4
4,5
5,2
1,0
10,15(6)
10,07(8)
9,84(6)
9,41(6)
8,70(7)
8,17(7)
7,02(8)
0,95
9,62(6)
9,53(6)
9,25(7)
8,75(7)
7,91(8)
7,29(9)
5,85(9)
0,8
7,97(7)
7,84(7)
7,45(8)
6,76(7)
5,47(9)
4,35(10)
4.4. Фазовые превращения в антиферромагнитной модели Изинга
169
ской температуры однородного антиферромагнетика ($ 1) во
внешнем поле, которую и наблюдаем на фазовой диаграмме (см.
4 с " 0,0081. С приближением к тририс. 4.26) для критической точке под влиянием флуктуаций намагниченности,
пропорциональной напряженности внешнего поля и играющей
роль дополнительной сильно флуктуирующей переменной в антиферромагнетике вблизи трикритической точки, возникают трикритические кроссоверные явления, из-за которых зависимость
перестает быть квадратичной и определяется трикритическим индексом кроссовера , :
", 2. (4.34)
Аппроксимация полученной кривой при 4,5 зависимостью (4.34) позволила найти , 0,545 c ", 0,00083.
Это значение , находится в хорошем согласии с классическим
среднеполевым значением , 12 [160].
0
1
В неупорядоченном антиферромагнетике за счет влияния случайных полей предсказана зависимость [85]
$, $, 0
1
" 2 + 2. (4.35)
Из приведенных в табл. 4.8 значений критических температур следует, что в пределах погрешности 2 % справедлива
среднеполевая зависимость $, 0 $ 1, 0, а аппроксима4 зависимостью (4.35) дает значения
ция $, для 0,865 для $ 0,95 и 0,926 для $ 0,8. Хотя
предсказывалось [85], что , а работа [50] уточняла, что
является независимым критическим индексом, полученные значения не подтверждают данные предсказания. Вблизи трикритических точек аппроксимация $, зависимостью
$, $, 01 ", 2. + 2. позволяет определить
значения трикритических индексов кроссовера для неупорядо
ченных систем , 0,616 для $ 0,95 и , 0,677 для
$ 0,8, которые указывают на то, что неупорядоченность системы определяет трикритическое поведение с неклассическими
трикритическими индексами.
Локализация кривых фазовых переходов данной модели дает
также возможность провести более детальный анализ отличительных особенностей в критическом поведении систем со случайными спиновыми взаимодействиями и случайными полями.
Так, на основе анализа асимптотической скейлинговой зависимости кумулянтов для решеток с : 12, 18, 24, 32 в соответствии
170 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
с выражением (4.30) и «шахматной» восприимчивости при критической температуре : , в соответствии с выражением
stg : нами определены критические индексы и для
однородных и неупорядоченных состояний антиферромагнитной
модели Изинга. Для однородной системы с $ 1,0, 0,
10,15 были получены 0,63 0,01, 1,25 0,02, что
находится в хорошем соответствии с результатами теоретических расчетов, высокотемпературного разложения и эксперимента [143]. Для неупорядоченных систем со случайными спиновыми взаимодействиями при $ 0,95, 0, 9,62 и $ 0,8,
0, 7,97 получены критические индексы 0,65 0,02,
1,27 0,03 и 0,68 0,02, 1,31 0,03, которые находятся в соответствии с результатами компьютерного моделирования неупорядоченной ферромагнитной модели Изинга [107] и
теоретического расчета для слабо неупорядоченной модели Изинга [152]. Для неупорядоченных систем с эффектами случайных
полей с $ 0,95, 1, 9,53 и $ 0,8, 1, 7,84 полученные критические индексы 0,68 0,02, 1,35 0,03
и 0,79 0,03, 1,45 0,04 демонстрируют значительное
увеличение их значений с ростом неупорядоченности системы.
В заключение заметим, что представленные в данном разделе результаты убедительно показывают, что при концентрациях
спинов $ 0,95; 0,8 в области слабых внешних полей эффекты случайных полей не разрушают фазового перехода второго
рода. Для локализации критических температур вдоль кривой
фазового перехода применен метод кумулянтов, позволяющий на
основе скейлингового анализа не только с высокой точностью
провести определение температуры перехода второго рода, но и
тестировать характер фазового перехода. Впервые осуществлена
локализация трикритических точек на фазовых диаграммах рассмотренных неупорядоченных систем на основе анализа гистерезисных эффектов в поведении намагниченности. Локализация с
хорошей точностью критических температур позволила провести
определение критических индексов для модели Изинга с эффектами случайной температуры (при отсутствии внешнего поля) и
с эффектами случайных полей (при отличных от нуля значениях
магнитного поля).
4.4.4. Исследование сильно неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга со случайными полями. В работе [35] было осуществлено численное исследование антиферромагнитной модели Изинга со случайными полями в области
спиновых концентраций ниже порога примесной перколяции мо-
4.4. Фазовые превращения в антиферромагнитной модели Изинга
171
дели $ $ 0,83, т. е. при концентрациях спинов, ниже которых примеси образуют протекающий кластер. Наряду с вычислением таких характеристик магнитного состояния неупорядоченного антиферромагнетика таких, как «шахматная» намагниченность (stg и полная намагниченность ( , также проводилось
исследование возможности образования в системе спин-стекольных состояний.
Известно [7], что в спиновых стеклах при температуре ниже
происходит фазовый переход в состояние, характеризующееся
наличием в термодинамическом пределе бесконечного числа метастабильных энергетических состояний, разделенных потенциальными барьерами. Сложный характер спинового упорядочения
в таких состояниях может быть описан спин-стекольным параметром порядка
,/ 1 3 C C ,
(4.36)
.
где индексы и характеризуют спиновые конфигурации для
различных реплик неупорядоченной системы, моделируемых одновременно при одной и той же температуре и различающихся
начальными конфигурациями.
Для достижения равновесных состояний в области температур, близких к критическим, и определения в них термодинамических характеристик осуществлялась процедура медленного
квазистатического замораживания системы из неупорядоченной
фазы, начиная с температуры, при которой ни в одной из прогонок не было выявлено метастабильных состояний. Процедура квазистатического замораживания состояла из повторяемого
при каждой температуре режима релаксации в 5 000 шагов,
последующего режима усреднения в 10 000 шагов и понижения
температуры с шагом 0,1 при использовании в качестве
начальной спиновой конфигурации, созданной на последнем шаге предшествующей температуры. Данная процедура проводилась с целью получения устойчивого равновесного состояния
для каждой температуры и устранения возможности попадания
в метастабильные состояния [28].
В процессе расчета термодинамических характеристик для
каждой решетки размером : при фиксированных и $ осуществлялось статистическое усреднение по пяти прогонкам с
различными начальными спиновыми конфигурациями для каждой примесной конфигурации и последующее усреднение по
10–20 различным конфигурациям примесей.
Были проведены исследования температурной зависимости
различных термодинамических характеристик трехмерной анти-
172 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
ферромагнитной модели Изинга в широкой области концентраций примеси с учетом изменения внешнего магнитного поля от
1 до 4 для систем с линейными размерами от : 8 до
: 64.
Исследования показали, что для каждого фиксированного
значения магнитного поля всю область спиновых концентраций $ можно разбить на несколько участков. В области
$ $ 1, где $ — величина порога примесной перколяции
(для данной модели $ 0,83), определяющая концентрацию
спинов, ниже которой примеси образуют протекающий кластер,
реализуется фазовый переход второго рода при , $ из парамагнитного в антиферромагнитное состояние [28]. В области
$ $ $ , где $ — величина порога спиновой перколяции (для
данной модели $ 0,17), для каждого размера решетки :
можно выделить такую концентрацию $: , , в случае которой
для решеток с : : при $ $: , все вычисляемые параметры демонстрируют температурное поведение, характерное для
фазовых переходов второго рода, а при $ $: , — характерное для фазовых переходов первого рода. С ростом поля и
размера решетки : величина спиновой концентрации $: , увеличивается, приближаясь к пороговой $ 0,83.
Эти размерные особенности обусловлены тем, что в данной
области спиновых концентраций в образцах возникают взаимно
проникающие протекающие спиновый и примесный кластеры,
фрактальные размерности которых зависят от спиновой концентрации и меняются от трех до нуля. В результате размерные
критерии разрушения дальнего упорядочения для изингоподобных систем и образования доменных структур с характерными
размерами : , предложенные в работе [191]:
+
+
$ 22
, : ,
(4.37)
2
2
$ .
+
$.
где — амплитуда случайных полей; 8 — величина обменного
взаимодействия, можно отнести к фрактальной размерности 0
протекающего спинового кластера и прогнозировать разрушение дальнего антиферромагнитного упорядочения при 0 2.
Полученные нами [35] температурные зависимости термодинамических и корреляционных функций наглядно подтверждают
выводы о границах разбиения всей области спиновых концентраций данной антиферромагнитной модели с различной степенью
влияния эффектов случайных магнитных полей при изменении
внешнего магнитного поля от 1 до 4 для размеров
моделируемых систем : 64.
4.4. Фазовые превращения в антиферромагнитной модели Изинга
173
Так, из анализа графиков температурной зависимости кумулянтов Биндера для разных решеток (рис. 4.27, a) следует,
что в случае спиновых концентраций, близких к значению порога примесной перколяции $ , кумулянты Биндера перестают пересекаться лишь для решеток с достаточно большими
U
1,0
à
0,8
L=8
16
24
32
48
64
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
0
2
4
6
8
10
U
1,0
T
12
á
0,8
L=8
16
24
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
0
2
4
6
8
10
T 12
Рис. 4.27. Температурная зависимость кумулянтов Биндера: a — 3; б — 0,5, 3
0,725,
размерами : 64, в то время как при $ 0,5 ( 3) пересечение кумулянтов отсутствует при всех рассмотренных размерах : (рис. 4.27, б). Для систем со спиновыми концентрациями $ $: , было выявлено возникновение особенностей
в поведении «шахматной» намагниченности (stg при всех
перечисленных значениях магнитного поля , проявляющихся
174 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
в сильной зависимости (stg в области насыщения от размеров
моделируемой системы (рис. 4.28). При этом можно отметить
M
L=8
16
24
32
48
64
1,0
0,8
0.6
0,4
0,2
0,0
0
Рис. 4.28.
2
6
4
8
12 T
10
Температурная зависимость «шахматного» параметра порядка
0,725, 3
тенденцию уменьшения «шахматной» намагниченности в области насыщения с ростом :. Такое поведение (stg указывает
на отсутствие антиферромагнитного основного состояния системы, а малое увеличение полной намагниченности ( системы
с ростом : (рис. 4.29) — на то, что система разбивается на
совокупность антиферромагнитных доменов размерами : : ,
M
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
L=8
16
24
32
48
64
0,15
0,10
0,05
0,00
-0,05
0
2
4
6
8
10
12 T
Рис. 4.29. Температурная зависимость полной намагниченности 0,725, 3
4.4. Фазовые превращения в антиферромагнитной модели Изинга
175
разделяемых стенками с приблизительной компенсацией их намагниченностей. Однако с усилением влияния случайных магнитных полей за счет роста концентрации немагнитных атомов
и величины магнитного поля в системе наблюдается сокращение
числа и размеров антиферромагнитных доменов и увеличение
числа и размеров ферромагнитных доменов при (stg ( 1.
С целью дальнейшего выяснения свойств систем при $ $ $ была исследована температурная зависимость спинстекольного параметра порядка (рис. 4.30). При температуре ,
стремящейся к нулю, в системе возникает спин-стекольное упорядочение, характеризующееся конфигурационным замораживанием ориентаций магнитных моментов атомов. Таким образом,
q
p = 0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,725
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
2
4
6
8
10
T
12
Рис. 4.30. Температурная зависимость спин-стекольного параметра порядка при
3, . 24, 0,2–0,725
при $ $ эффекты случайных магнитных полей приводят
в модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями к смене
антиферромагнитного основного состояния на спин-стекольное.
При этом изменение состояния неупорядоченной системы для конечных температур характеризуется фазовым переходом первого
рода из парамагнитного в смешанное состояние, представляющее
собой при высоких спиновых концентрациях структуру из совокупности антиферромагнитных доменов, разделенных областями
спин-стекольной фазы. С понижением спиновых концентраций
в системе наблюдается сокращение числа и размеров антиферромагнитных доменов и увеличение числа и размеров ферромагнитных доменов при сокращении относительного объема спинстекольной фазы. Кривые фазовых переходов первого рода были
176 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
локализованы на основе анализа температурных и полевых зависимостей намагниченности, внутренней энергии и теплоемкости.
Как обобщение результатов исследований на рис. 4.31 представлена фазовая диаграмма системы в переменных , $ для
случая с 3.
10
T
9
8
Ïàðàìàãíåòèê
7
6
5
AFM
4
Äîìåíû +
SG
3
2
0,0
0,2
0,4
p
0,6
0,8
1,0
Рис. 4.31. Фазовая диаграмма антиферромагнитной модели Изинга со случайными магнитными полями при 3
Таким образом, на основе численного исследования методом
Монте-Карло термодинамического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга с эффектами случайных магнитных
полей наглядно показано, что для спиновых концентраций больше $ — порога примесной перколяции, реализуется фазовый переход второго рода из парамагнитного в антиферромагнитное
состояние, а в области спиновых концентраций с $ $ $ ,
где $ — величина порога спиновой перколяции, реализуется фазовый переход первого рода из парамагнитного в смешанное
состояние, характеризующееся сложной доменной структурой
из антиферромагнитных и ферромагнитных доменов, разделенных областями спин-стекольной фазы. При высоких спиновых
концентрациях доменная структура представляет собой систему
антиферромагнитных доменов, разделенных областями спин-стекольной фазы. С понижением спиновых концентраций и увеличением внешнего магнитного поля в системе происходит сокращение числа и размеров антиферромагнитных доменов и увеличение числа и размеров ферромагнитных доменов при сокращении
относительного объема спин-стекольной фазы. Показано, что
в области спиновых концентраций $ $ $ эффекты случай-
4.5. Дальнодействующая корреляция дефектов
177
ных магнитных полей приводят в данной трехмерной неупорядоченной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями
к смене антиферромагнитного основного состояния на спин-стекольное.
В дальнейшем [39] примененяя численный метод параллельных температур, специально разработанный для исследования
термодинамических свойств спиновых стекол, мы убедительно
показали, что в неупорядоченной антиферромагнитной модели
Изинга со случайными полями в области сильного структурного
беспорядка и сильного влияния случайных магнитных полей,
разрушающих основное антиферромагнитное состояние, действительно реализуется спин-стекольное основное состояние, а при
конечных температурах возникает сложная доменная структура
смешанного фазового состояния системы.
4.5. Исследование влияния дальнодействующей
корреляции дефектов на критическое поведение
систем методами компьютерного моделирования
В последние годы много теоретических и экспериментальных
исследований было посвящено влиянию замороженных дефектов
структуры на критическое поведение твердых тел. Большинство работ ограничивается рассмотрением низкой концентрации
точечных дефектов структуры, что позволяет считать дефекты
структуры и создаваемые ими эффекты типа «случайной локальной температуры» нормально распределенными и Æ -коррелированными. В то же время вопрос о влиянии на критическое
поведение эффектов корреляции дефектов значительно менее
исследован. В рамках этой же проблемы можно поставить вопрос
о влиянии на критическое поведение протяженных дефектов,
таких, как дислокации или плоские дефекты структуры, возникающие, например, на границе зерен. Можно ожидать, что дальнодействующая корреляция в пространственном распределении
дефектов может модифицировать критические свойства неупорядоченных систем. В силу этого к моделям систем с дальнодействующей корреляцией дефектов существует несомненный интерес как с общетеоретической точки зрения — выявление новых
типов критического поведения в неупорядоченных системах, так
и с точки зрения реальной возможности проявления дальнодействующей корреляции дефектов в ориентационных стеклах [65],
полимерах [69] и неупорядоченных твердых телах с дефектами
фракталоподобного типа [135].
178 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
В 1975 г. Т. Любенский [147] выдвинул гипотезу, согласно которой наличие корреляции дефектов должно приводить к
исчезновению устойчивой критической точки ренормгрупповых
преобразований, что обусловливает размытие фазового перехода второго рода. Однако в 1980 г. С. Н. Дороговцевым [6] была предложена и детально рассмотрена анизотропная модель,
в которой дефекты структуры сильно коррелированы вдоль параллельных гиперплоскостей с размерностью * и случайным
образом равномерно распределены в оставшихся * измерениях. При реализации ренормгруппового анализа этой модели
величины * и * использованы в качестве малых параметров и
показано, что для * 0 существует устойчивая фиксированная
точка, приводящая к наличию фазового перехода второго рода с
новыми критическими индексами.
Модель изотропной неупорядоченной системы с дальнодействующей корреляцией дефектов была предложена А. Вейнрибом
и Б. И. Гальпериным [216]. В этой модели предполагается, что
корреляционная функция
случайной локальной температуры
#Ü Ý Ü Ý Ü2 убывает с расстоянием по
степенному закону
#Ü Ý Ü Ý,
(4.38)
где " — параметр корреляции дефектов структуры. В реальных
системах такое поведение может реализоваться, если флуктуации Ü обусловлены рядом внутренних и внешних термодинамических параметров с большой дисперсией характерных
пространственных масштабов, когда результирующая корреляционная функция #Ü может быть аппроксимирована некоторым
эффективным степенным законом. При наличии в системе протяженных дефектов–дислокаций или плоскостей, ориентированных
случайным образом, ее критическое поведение может быть также
описано в рамках модели Вейнриба–Гальперина при значениях
параметра корреляции " 1 или " 2 соответственно.
В работе [216] получен критерий существенности дальнодействующей корреляции дефектов для критического поведения неупорядоченной системы с замороженными дефектами
структуры. Было показано, что для " дальнодействующая
корреляция дефектов не сказывается на критическом поведении системы и реализуется обычный критерий Харриса [101],
2 0, влияния Æ -коррелированных точечных дефектов. Для " был установлен [216] расширенный критерий проявления неупорядоченности системы в ее критическом поведении
в виде неравенства 2 " 0. В результате более широкий
4.5. Дальнодействующая корреляция дефектов
179
класс неупорядоченных систем, а не только трехмерная модель
Изинга, как в случае Æ -коррелированных дефектов, может характеризоваться новым типом критического поведения.
В работе [216] при использовании разложения по * 4 1 и Æ 4 " 1 для систем с числом компонент параметра
порядка 2 в низшем порядке разложения осуществлен расчет
характеристик критического поведения, определяемого дальнодействующей корреляцией дефектов. Критический индекс для
корреляционной длины, рассчитанный в линейном приближении,
оказался равным 2", и были высказаны эвристические
соображения в пользу того, что данное соотношение является
скорее всего точным и должно выполняться в более высоких
порядках теории.
Для систем с 1 случайное вырождение ренормгрупповых уравнений в однопетлевом приближении не позволило авторам [216] выявить полностью характеристики критического
поведения данной модели. В работах [134, 135] были уточнены
характеристики критического поведения модели с однокомпонентным параметром порядка.
Однако проведенное нами [181] теоретико-полевое описание
критического поведения трехмерных систем с дальнодействующей изотропной корреляцией дефектов в двухпетлевом приближении с последовательным применением для анализа рядов
разложения методов суммирования показало, что получающаяся
картина областей устойчивости различных типов критического
поведения для значений параметра корреляции, изменяющихся
в интервале 2 " 3, существенно отличается от предсказываемых в работе [216]. Расчет индексов статического и динамического критического поведения для систем с различными значениями параметра корреляции выявил значительное отличие характеристик критического поведения систем с дальнодействующей
корреляцией от аналогичных характеристик для однородных систем и систем с Æ -коррелированными дефектами. Сопоставление
рассчитанных значений индекса и отношения 2" показало
нарушение соотношения 2", полагавшегося авторами [216]
точным.
Для проверки предсказаний проведенного теоретико-полевого
описания модели [181] нами было осуществлено компьютерное
моделирование методом коротковременной динамики неравновесного критического поведения трехмерной модели Изинга с
изотропно распределенными по решетке линейными дефектами,
что соответствует модели Вейнриба–Гальперина с параметром
корреляции " 2. Для систем с концентрацией спинов $ 0,8
180 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
в работах [40, 185] были определены значения динамического и
статических критических индексов.
Гамильтониан неупорядоченной модели Изинга имеет вид
8
,
$ $ ,
(4.39)
где 1, 8 0 описывает обменное взаимодействие ближайших спинов, носящее ферромагнитный характер; $ — случайные переменные, характеризующие замороженный структурный беспорядок в системе ($ 1, когда узел ; занят спином,
и $ 0, когда узел пуст). Был применен следующий способ введения корреляции между переменными $ для модели
Вейнриба–Гальперина с " 2. Из заполненной спинами кубической решетки удалялись линии спинов, параллельные осям
координат, до достижения заданной концентрации спинов. Чтобы
кристалл оставался изотропным, число удаляемых линий в каждом из трех направлений оставалось одинаковым. При распределении дефектов накладывалось условие непересекаемости их
линий, так как учет пересечения дефектов приводит к дополнительным эффективным вершинам взаимодействия, имеющим
дельтообразный характер в точках пересечения дефектов и не
позволяющим применение к гамильтониану неупорядоченной системы репличного подхода.
В нашей работе были рассмотрены кубические решетки с
линейными размерами : 32, 64, 128. Для моделирования спиновых конфигураций в системе применен алгоритм Метрополиса.
Традиционное моделирование критического поведения системы взаимодействующих частиц методом Монте-Карло наталкивается на трудности, связанные в основном с явлением критического замедления, характеризующимся тем, что время релаксации системы, как и время корреляции состояний, неограниченно
растет по мере приближения к критической температуре и степенной характер их асимптотической зависимости от приведенной температуры определяется динамическим индексом @ . Для
структурно неупорядоченных систем эта проблема еще более
существенна, так как их неравновесное критическое поведение
определяется индексом @ , принимающим большие значения, чем
для однородных систем. Для уменьшения эффектов влияния критического замедления применяют кластерные алгоритмы Вольфа
или Сведсена–Ванга, но эти алгоритмы столь существенно меняют динамику системы по сравнению с алгоритмом Метрополиса,
что для получения информации о характеристиках критической
динамики их нельзя использовать. В связи с этим был приме-
181
4.5. Дальнодействующая корреляция дефектов
нен метод коротковременной динамики (МКД) для получения
значений как динамического, так и статических критических
индексов. Особенностью МКД является то, что информация об
универсальном критическом поведении может быть получена на
относительно малых макроскопических промежутках времени
(от 1 000 до 2 000 шагов Монте-Карло на спин, МCS) на ранней
стадии развития системы в критической точке или ее окрестности. В последние годы МКД был использован при исследовании
критического поведения широкого набора систем (см., например,
обзор [230]), при этом получаемые результаты находятся в хорошем соответствии с результатами применения традиционных
методов Монте-Карло.
МКД был обоснован результатами аналитических и численных исследований [113, 121]. Так, в работе [121] на основе
ренормгруппового анализа было показано, что после микроскопически малого времени ?mic для 4-го момента намагниченности
системы реализуется скейлинговая форма
( - ?, , :, <0 +- ( - ?+# , +1 , :+, +) <0 , ,
(4.40)
где ? — время; — приведенная температура; : —
размер решетки; <0 — начальное значение намагниченности; + —
произвольный масштабный фактор; , , @ — хорошо известные
критические индексы; G — новый независимый критический индекс. Для неупорядоченных систем вычисление ( - ? осуществляется в виде
- ( ? 1
#
1
$ - !
,
(4.41)
где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по
спиновым конфигурациям, а квадратные скобки — усреднение
по различным реализациям распределения дефектов структуры
в системе при заданной спиновой концентрации $, 9/ $:3 .
Начальное состояние системы выбирается обычно либо с
<0 1, либо с <0 1. Исследования показывают, что динамический процесс, начинающийся с полностью упорядоченного
состояния (<0 1), более предпочтителен из-за меньшего влияния флуктуаций на результаты. Более того, в этом случае не
возникает зависимости от нового критического индекса G. Мы
исследовали оба случая как с <0 1, т. е. полностью упорядоченным начальным состоянием, так и с <0 1 — неупорядоченным начальным состоянием.
182 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
4.5.1. Исследование неравновесной критической релаксации модели Изинга с линейными дефектами из начального полностью упорядоченного состояния. Для решеток с
достаточно большими размерами : динамическая скейлинговая
зависимость для намагниченности приобретает следующий вид
в критической области:
( ?, ?# ' ?1# критической температуре 0 релаксация
При
сти характеризуется степенным законом
( ? ?# (4.42)
намагниченно(4.43)
Если 0, то степенная зависимость ( ? модифицируется
скейлинговой функцией ' ?1# . Подобные представления о
характере зависимости ( ? в критической области используются для определения критической температуры и показателя
@ . На рис. 4.32 приведена временная зависимость намагниченности ( ? для образцов с линейным размером : 128 при
температурах =3,919; 3,925; 3,930; 3,935 и 3,940, представленная в двойном логарифмическом масштабе. Результирующие
кривые получены усреднением по 3 000 образцов с различными
конфигурациями распределения линейных дефектов в решетке.
Анализ данных кривых позволил определить критическую температуру системы = 3,930(2) по наилучшему соответствию ( ?
при данной температуре степенной зависимости (наименьшая
среднеквадратичная погрешность линейной аппроксимации ( ?
в двойном логарифмическом масштабе).
Для независимой проверки полученной критической температуры осуществили дополнительные вычисления равновесных
значений кумулянта Биндера A4 , определяемого как
1
4 A4 2 3
(4.44)
2 2 ,
и корреляционной длины — см. формулы (4.3), (4.4).
Кумулянт A4 :, характеризуется скейлинговой зависимостью
A4 :, -:1 ,
(4.45)
которая
позволяет
находить
критическую
температуру
пересечения кривых, определяющих температурную зависимость A4 :, для различных :.
На рис. 4.33, a представлены полученные кривые кумулянта A4
для решеток с размерами : 16–128. Из пересечения данных
: по координате точек
183
4.5. Дальнодействующая корреляция дефектов
кривых было определено значение критической температуры
3,92755. В этом случае для моделирования применили
однокластерный алгоритм Вольфа с выбором пяти переворотов
кластера за элементарный шаг MCS. Было использовано 10 000
MCS для достижения состояния равновесия и 75 000 MCS
для статистического усреднения по спиновым конфигурациям.
Окончательные результаты были получены усреднением по 3 000
образцам с различными конфигурациями линейных дефектов.
M(t)
1
0,8
0,6
10
100
t, mcs
3,919
3,925
3,93
3,935
3,94
1000
Рис. 4.32. Временная зависимость намагниченности ) для решеток с
. 128 при различных температурах Методика пересечения кривых : для определения критической температуры была введена в работе [57]. На рис. 4.33, б
представлены расчетные кривые температурной зависимости :
для решеток с такими же размерами. Координаты точек пересечения кривых позволили определить 3,92811. Это
значение критической температуры и было выбрано, как лучшее,
для последующих исследований критического поведения модели
Изинга.
Возвращаясь к методу коротковременной динамики, заметим,
что показатель 1@ может быть определен, если продифференцировать ( ?, по приведенной температуре :
H ( ?, 0 ?1# (4.46)
184 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
0,54
U4
0,65
0,535
0,6
3,9265
3,927
3,9275
0,55
16
32
64
0,5
128
0,45
3,922
3,924
3,926
à
3,928
3,930
3,932 T
0,344
x/L
0,39
0,38
0,343
0,37
0,342
3,928
0,36
3,9281
3,9282
0,35
16
32
64
0,34
0,33
128
0,32
3,922
3,924
3,926
á
3,928
3,930
3,932 T
Рис. 4.33. Температурные зависимости кумулянта Биндера /4 , . (a) и
отношения !. (б) для решеток с различными линейными размерами .
Для независимого определения динамического критического индекса @ используется кумулянт второго порядка A2 ( 2 ( 2 1
со скейлинговой зависимостью
A2 ?, : ?# ,
(4.47)
4.5. Дальнодействующая корреляция дефектов
185
где — размерность системы. На рис. 4.34 и рис. 4.35 приведены
полученные кривые логарифмической производной намагниченности H ( ?, 0 и кумулянта A2 ? для образцов с размером решетки : 128 при 3,9281, представленные в двойном логарифмическом масштабе. Зависимость H ( ?, 0
для критической температуры была получена на основе квадратичной интерполяции по трем кривым ( ? при температурах
= 3,9250; 3,9281; 3,9310. Результирующие кривые были также
получены усреднением по 3 000 образцов с различными конфигурациями линейных дефектов.
10
1
0,1
10
100
t, mcs
Рис. 4.34. Временная зависимость логарифмической производной намагниченности ), 0 для решеток с . 128 при 3,9281
U(t)
10
10
10
-2
-3
-4
100
t, mcs
Рис. 4.35. Временная зависимость кумулянта /2 ) для решеток с
3,9281
. 128 при
186 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
Анализ зависимости кумулянта A2 ? показал, что во временном интервале 50–150 MCS, степенному характеру зависимости
A2 ? соответствует значение динамического индекса @ 2,02,
описывающее критическое поведение однородной модели Изинга [23], а влияние линейных дефектов начинает проявляться
лишь на временах ? 400 MCS. Мы учитывали эти динамические кроссоверные явления при анализе временных зависимостей
намагниченности и ее логарифмической производной.
Мы также учли поправки к асимптотической зависимости
измеряемых величин за счет влияния конечности моделируемых систем, так как без учета данных поправок к скейлингу
невозможно получать корректные значения критических индексов. Для этого использовали следующее выражение временной
зависимости наблюдаемых величин 6 ?:
6 ? ? 1 ?(# ,
(4.48)
где F — хорошо известный критический индекс поправки к скейлингу. Теоретико-полевая оценка для F в двухпетлевом приближении дает значение F 0,80.
При анализе полученных кривых использовали схему линейной аппроксимации для зависимости 6? от ?(# при изменении значений показателя , а также критического индекса F
в интервале от 0,7 до 1,0, При этом проводилось исследование
зависимости среднеквадратичных погрешностей C этой процедуры аппроксимации от изменения значений показателей и F .
На рис. 4.36 приведены значения C для полученных временных
зависимостей намагниченности (рис. 4.36, а), логарифмической
производной намагниченности (рис. 4.36, б) и кумулянта
(рис. 4.36, в) для решеток с размером : 128 при критической
температуре как функций показателей @ , 1@ и @ при
фиксированном значении индекса F 0,8. По минимуму C определялись значения критических индексов @ , и для каждого F.
В табл. 4.9 представлены величины показателей @ , 1@ , @
и минимальных среднеквадратичных погрешностей аппроксимации C , полученных при значениях F 0,7; 0,8; 0,9; 1,0. Видно,
что значения этих показателей слабо зависят от изменения F
в рассмотренном интервале, но F 0,8 оказывается более предпочтительным, так как обеспечивает лучшую аппроксимацию
данных для всех вычисленных макроскопических величин.
Приведем итоговые значения критических индексов, полученные для F 0,8:
@ 2,48921, 0,71922, 0,37545
(4.49)
187
4.5. Дальнодействующая корреляция дефектов
s
0,0132
à
0,0129
0,0126
0,14
0,21
b/nz
s
0,0294
0,28
á
0,0293
0,0292
0,0291
0,0290
0,0289
0,0288
0,0287
0,0286
0,40
0,50
0,60
1/nz
0,70
s
0,80
â
0,00704
0,00703
1,19
d/z
1,26
Рис. 4.36. Среднеквадратичные погрешности аппроксимации 6 для временных
зависимостей намагниченности (а), логарифмической производной намагниченности (б) и кумулянта (в) для решеток с . 128 при 3,9281 как функции
показателей 4 , 14 и 4 при значении индекса 2 0,8
188 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
Сравнение этих значений критических индексов с вычисленными
в работе [181] в рамках теоретико-полевого подхода: @ = 2,495, = 0,716, = 0,350 показывает их хорошее согласие в пределах
статистических погрешностей моделирования и аппроксимаций.
Т а б л и ц а 4.9
Показатели , 1 , и минимальные среднеквадратичные
погрешности аппроксимации при различных значениях критического
индекса 2
4
6
14
6
4
6
0,7
0,2112
0,0100
0,556
0,0053
1,183
0,0100
0,8
0,2096
0,0088
0,559
0,0049
1,205
0,0100
0,9
0,2101
0,0093
0,553
0,0070
1,213
0,0099
1,0
0,2090
0,0095
0,558
0,0072
1,227
0,0098
4.5.2. Исследование критической эволюции модели
Изинга с линейными дефектами из начального неупорядоченного состояния. В соответствии с [121] для ферромагнитной системы, находящейся в критической температурной области
с 1, после макроскопически малого времени
эволюции для 4-го момента намагниченности
- ( ? 1
.3
$ - !
,
(4.50)
реализуется универсальная скейлинговая зависимость
( - ?, , :, <0 +- ( - +# ?, +1 , :+, + <0 , (4.51)
где : — линейный размер решетки; <0 — начальная намагниченность системы; + — размерный коэффициент; ? — время, , , @ ,
0 — критические индексы. Из уравнения 4.51 при 4 1 с
учетом выражения для размерного коэффициента + ?1# может
0
быть получено соотношение, определяющее временную эволюцию намагниченности:
( ?, , <0 ?# (
1#
1, ?
, ?0 # <
0
,
(4.52)
а для <0 , близкого к нулю, и малой величины ?0 # <0 выражение 4.52 принимает вид:
( ?, , <0 <0 ? # ' ?1# ? # <0 2 (4.53)
Для систем с достаточно большими размерами : при кри0
0
тической температуре асимптотическая временная зависимость
4.5. Дальнодействующая корреляция дефектов
189
намагниченности становится ( ? ?) , где G 0 @ .
Аналогично второй момент намагниченности характеризуется зависимостью
( 2 ? ?2# ( 2 1, ?1# : ?
с %2 2 @ , а автокорреляционная функция
? 1
.3 !
$ ? 0
2
(4.54)
? (4.55)
с % @ G. Использование данных зависимостей позволяет
определить показатели G, %2 и % , а на их основе вычислить и
критические индексы ,@ ,0 .
Для вычисления критических индексов неупорядоченной модели Изинга мы реализовали компьютерное моделирование решетки с размером : 128 и концентрацией спинов $ 0, 8
при двух значениях начальной намагниченности <0 0,02 и
<0 0,001 с последующей линейной аппроксимацией результатов к <0 0. Поскольку начальная спиновая конфигурация
с намагниченностью <0 должна быть неравновесной, для ее
получения был применен следующий алгоритм. С помощью алгоритма Вольфа при температуре 4, близкой к критической
температуре системы 3,9281, эта конфигурация из начального состояния «все спины вверх» приводилась к состоянию с
намагниченностью <, близкой к <0 , а затем переворотом отдельных спинов получалось состояние с намагниченностью <0 .
Полученная конфигурация сохранялась, и для нее проводилось
25 прогонок по 700 шагов Монте-Карло на спин (МКС) с помощью алгоритма Метрополиса при температуре 3,9281. Для
получения средних значений вычисляемых термодинамических
величин осуществлялось усреднение по 3 000 различным примесным конфигурациям.
На рис. 4.37–рис. 4.41 приведены графики временных зависимостей исследуемых величин в двойном логарифмическом масштабе, что позволяет по наклону линейных участков графиков
определять соответствующие показатели. Видно, что на каждом
графике можно выделить по два линейных участка: для временных интервалов от 10 до 70 шагов МКС и от 70 до 650 шагов
МКС. Мы связываем это с наблюдаемым явлением кроссовера,
т. е. перехода от поведения, характерного для чистой системы,
к поведению неупорядоченной системы с линейными дефектами.
Были определены показатели степени для каждого линейного
участка исследуемых величин при <0 0,02 и <0 0,001 с по-
190 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
Рис. 4.37. График намагниченности в двойном логарифмическом масштабе для
(0 0,02
Рис. 4.38. График второго момента намагниченности в двойном логарифмическом масштабе для (0 0,02
A
1
0,1
2
0,01
0,001
-4
10
1
10
100
t
Рис. 4.39. График автокорреляционной функции в двойном логарифмическом
масштабе для (0 0,02 (1) и (0 0,001 (2)
4.5. Дальнодействующая корреляция дефектов
191
M
0,01
0,001
1
10
100
1000 t
Рис. 4.40. График намагниченности в двойном логарифмическом масштабе для
(0 0,001
Рис. 4.41. График второго момента намагниченности в двойном логарифмическом масштабе для (0 0,001
следующей их линейной аппроксимацией к <0 0. Полученные
значения показателей и результаты их аппроксимации приведены
в табл. 4.10 и табл. 4.11. Для выделенных на графиках линейных
участков, соответствующих, по нашему предположению, поведению чистой системы, провели сравнение получаемых показателей с результатами работы [123].
Из табл. 4.10 видно, что значения данных показателей сопоставимы с соответствующими показателями чистой системы
[123].
Для линейных участков, соответствующих критическому поведению системы с дефектами, были вычислены соответствующие показатели (см. табл. 4.11).
192 Гл. 4. Моделирование критического поведения неупорядоченных систем
Т а б л и ц а 4.10
Критические показатели временной эволюции для однородной системы
(0
1
72
7
0,02
0,08612
0,96428
1,38426
0,001
0,0999
0,97319
1,36423
0
0,10110
0,97523
1,36326
(0 0[123]
0,1082
0,97011
1,36219
Т а б л и ц а 4.11
Критические показатели временной эволюции для неупорядоченной
системы
(0
1
72
7
0,02
0,15212
0,81221
1,10316
0,001
0,14910
0,80419
1,04712
0
0,14911
0,80120
1,04314
Используя соотношения, связывающие показатели G, %2
индексами, были определены значения
2,51732, 0 0,86737 для модели
Изинга с линейными дефектами. Сопоставление данных
значений с соответствующими значениями критических индексов
@ 2,495 и 0,489, полученными в работе [181] с помощью
методов ренормгруппового описания, а также со значениями
@ 2,48921 и 0,50720, полученными методами
компьютерного моделирования [185], показывают их хорошее
согласие в пределах статистических погрешностей численных
исследований. Значение индекса G 0,14911 в данной работе
получено впервые.
Проведенные исследования выявили особенности неравновесного критического поведения неупорядоченных систем, наглядно
показав, что на малых временах эволюции системы имеет место
явление кроссовера от критического поведения, соответствующего однородной системе, к поведению систем со структурным
беспорядком. Эти переходные явления возникают на временах
около 70 шагов МКС. Наряду с этим результаты исследований
позволяют признать примененный в работе метод коротковременной динамики надежной альтернативой традиционным методам
Монте-Карло.
% с критическими
0,49228, @ и
Приложение
ВЕРСИИ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРОГРАММ
НА ЯЗЫКЕ СИ
1. Программа для моделирования критического
поведения двумерной однородной модели Изинга
& & & & & & & $ <c o n i o . h>
$ < s t d l i b . h>
$ <time . h>
$ <dos . h>
$ < s t d i o . h>
$ <math . h>
$ < a l l o c . h>
/ /
!#
mult1 =16807 ,
mult2 =65539 ,
modm1=2147483647 ,
iseed1 ,
iseed2 ,
ibm1 ,
ibm2 ;
! # !$' modm2=2147483647.0 ,
rn ;
/ /
!#
N, L , E ,M, s p i n [ 1 6 ] [ 1 6 ] [ 1 6 ] ;
!#
count =0, isum , maxi , i s t a r t ;
! # !$' T , ecum=0,e2cum=0,mcum=0,m2cum=0;
! # !$' w[ 6 ] , e4 , e8 , e12 ;
f p ;
/ /
(! i n i t _ r n ( )
{ i ;
rn =( ! # !$' ) c a l l o c ( 2 5 6 , " ) ! ( ! # !$' ) ) ;
ibm1=2 i s e e d 1 +1;
! ( i =0; i <256; i ++)
{ ibm1 =mult1 ;
( ibm1 <0) ibm1+=(modm1+1);
rn [ i ]=ibm1 /modm2 ;
7 В.В. Прудников, А.Н. Вакилов, П.В. Прудников
194
Прил . Версии используемых программ на языке СИ
}
}
/ /
! # !$' gener ( )
{
! # !$' r ;
!# k ;
ibm2=2 i s e e d 2 +1;
ibm2 =mult2 ;
( ibm2 <0) ibm2+=(modm1+1);
k=ibm2 /8388608+1;
r=rn [ k ] ;
ibm1 =mult1 ;
( ibm1 <0) ibm1+=(modm1+1);
rn [ k]=ibm1 /modm2 ;
$ r ;
}
/ /
!# pre ( !# f )
{ " ( f )
{
" 6 : $ 0 ;
" —6: $ 1 ;
" 4 : $ 2 ;
" —4: $ 3 ;
" 2 : $ 4 ;
" —2: $ 5 ;
}
}
/ /
(! p e r i o d ( ! # i , ! # j , ! # k )
! # l e f t , r i g h t , down , up , zdown , zup ;
{
( i ==0) l e f t =s p i n [ L—1][ j ] [ k ] ;
" l e f t =s p i n [ i —1][ j ] [ k ] ;
( i==L—1) r i g h t=s p i n [ 0 ] [ j ] [ k ] ;
" r i g h t=s p i n [ i +1][ j ] [ k ] ;
( j ==0) down=s p i n [ i ] [ L—1][k ] ;
" down=s p i n [ i ] [ j —1][k ] ;
( j==L—1) up=s p i n [ i ] [ 0 ] [ k ] ;
" up=s p i n [ i ] [ j +1][ k ] ;
( k==0) zdown=s p i n [ i ] [ j ] [ L—1];
" zdown=s p i n [ i ] [ j ] [ k —1];
( k==L—1) zup=s p i n [ i ] [ j ] [ 0 ] ;
" zdown=s p i n [ i ] [ j ] [ k +1];
isum= l e f t +r i g h t+down+up+zup+zdown ;
}
/ /
(! a c c e p t ( ! # g , ! # f , ! # t )
{ s p i n [ g ] [ f ] [ t]=—s p i n [ g ] [ f ] [ t ] ;
M=M+2 s p i n [ g ] [ f ] [ t ] ;
1. Критическое поведение двумерной однородной модели Изинга
195
E=E—2 s p i n [ g ] [ f ] [ t ] isum ;
}
/ /
(! d a t a ( )
{ ecum=ecum+E ;
e2cum=e2cum+E E ;
mcum=mcum+f a b s (M) ;
m2cum=m2cum+MM;
}
/ /
(! o u t p u t ( )
{
! # !$' znorm , eav , e2av , sav , s2av , CT ,CX;
znorm = 1 . / ( ! # !$' ) (N count ) ;
eav=ecum znorm ;
e2av=e2cum znorm ;
sav=mcum znorm ;
s2av=m2cum znorm ;
CT=(e2av —(N eav eav ) ) / ( T T ) ;
CX=(s2av —(N sav sav ) ) / T ;
p r i n t f ( " \ n \ aсредняя энергия на спин=%LE" , eav ) ;
p r i n t f ( " \ nсредняя намагниченность на спин=%LE"
, sav ) ;
p r i n t f ( " \ nтеплоемкость на спин=%LE" ,CT ) ;
p r i n t f ( " \ nвосприимчивость на спин=%LE" ,CX ) ;
p r i n t f ( " \ ncount=%l d " , count ) ;
p r i n t f ( " \ n \ n==================================" ) ;
f p r i n t f ( fp , "==================================" ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ n \ nлинейный размер решетки L=%l d " , L ) ;
f p r i n t f ( fp ,
" \ nзерно первого г е н е р а т о р а i s e e d 1=%l d " , i s e e d 2 ) ;
f p r i n t f ( fp ,
" \ nзерно второго г е н е р а т о р а i s e e d 2=%l d " , i s e e d 1 ) ;
f p r i n t f ( fp ,
" \ nчисло шагов Монте—Карло на спин=%l d " , maxi ) ;
f p r i n t f ( fp ,
" \ nчисло нач . отбрас . конфигур.=% l d " , i s t a r t ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ nтемпература=%LE" ,T ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ nсредняя энергия на спин=%LE" , eav ) ;
f p r i n t f ( fp ,
" \ nсредняя намагниченность на спин=%LE" , sav ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ nтеплоемкость на спин=%LE" ,CT ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ nвосприимчивость на спин=%LE" ,CX ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ n \ n================================" ) ;
}
/ BEGIN /
(! main ( (! )
{
!# i , j , k , p , s ;
7*
196
Прил . Версии используемых программ на языке СИ
f p=f o p e n ( " 3 d _ i z i n g . d a t " , " a " ) ;
clrscr ();
p r i n t f ( " Введите линейный размер решетки : \ n \ tL=" ) ;
s c a n f ( "%l d " ,&L ) ;
p r i n t f ( " Введите число шагов Монте—Карло на спин :
\n \ tmaxi=" ) ;
s c a n f ( "%l d " ,& maxi ) ;
p r i n t f ( " Введите число нач . отбрас . конфигур . :
\n \ t i s t a r t =" ) ;
s c a n f ( "%l d " ,& i s t a r t ) ;
p r i n t f ( " Введите температуру : \ n \ tT=" ) ;
s c a n f ( "%LE" ,&T ) ;
p r i n t f ( "====================================" ) ;
p r i n t f ( " \ nИдет подсчет величин . . . " ) ;
f t i m e (&tmb ) ;
i s e e d 1 =( ) ( tmb . m i l l i t m 5 . 0 4 9 4 9 4 9 4 9 + 3 0 0 0 ) | 0 x01 ;
i s e e d 2 =( ) ( ( tmb . time %100) 50.49494949+3000)|0 x01 ;
init_rn ();
! ( i =0; i <L ; i ++)
! ( j =0; j <L ; j ++)
! ( k=0;k<L ; k++) s p i n [ i ] [ j ] [ k ]=1;
N=L L L ;
E=—3N;
M=N;
e4=exp ( —4.0/T ) ;
e8=e4 e4 ;
e12=e4 e4 e4 ;
w[0]= e12 ;
w[ 1 ] = 1 . / e12 ;
w[2]= e8 ;
w[ 3 ] = 1 . / e8 ;
w[4]= e4 ;
w[ 5 ] = 1 . / e4 ;
! ( k=0;k<maxi ; k++)
{ ! ( p =0;p<N; p++)
{ i =( ! # ) ( L gener ( ) ) ;
j =( ! # ) ( L gener ( ) ) ;
s =( ! # ) ( L gener ( ) ) ;
period ( i , j , s ) ;
( ( s p i n [ i ] [ j ] [ s ] isum ) <=0) a c c e p t ( i , j , s ) ;
"
{ ( gener () <w[ p r e ( isum s p i n [ i ] [ j ] [ s ] ) ] )
accept ( i , j , s ) ;
}
}
( k>= i s t a r t )
{ data ( ) ;
count++;
2. Реализация алгоритма Вольфа для трехмерной модели Изинга
197
}
}
delline ();
output ( ) ;
f c l o s e ( fp ) ;
getch ( ) ;
}
/ END /
2. Программа реализации алгоритма Вольфа
для трехмерной модели Изинга
& & & & & & & $ <c o n i o . h>
$ < s t d l i b . h>
$ <time . h>
$ <dos . h>
$ < s t d i o . h>
$ <math . h>
$ < a l l o c . h>
/ /
!#
mult1 =16807 ,
mult2 =65539 ,
modm1=2147483647 ,
iseed1 ,
iseed2 ,
ibm1 ,
ibm2 ;
! # !$' modm2=2147483647.0 ,
rn ;
/ /
!#
N, L , E ,M, s p i n [ 1 6 ] [ 1 6 ] [ 1 6 ] ;
!#
count =0, isum , maxi , i s t a r t ;
! # !$' T , ecum=0,e2cum=0,mcum=0,m2cum=0,w;
f p ;
/ /
(! i n i t _ r n ( )
{ i ;
rn =( ! # !$' ) c a l l o c ( 2 5 6 , " ) ! ( ! # !$' ) ) ;
ibm1=2 i s e e d 1 +1;
! ( i =0; i <256; i ++)
{ ibm1 =mult1 ;
( ibm1 <0) ibm1+=(modm1+1);
rn [ i ]=ibm1 /modm2 ;
}
}
/ /
198
Прил . Версии используемых программ на языке СИ
! # !$' gener ( )
! # !$' r ;
!# k ;
{
ibm2=2 i s e e d 2 +1;
ibm2 =mult2 ;
( ibm2 <0) ibm2+=(modm1+1);
k=ibm2 /8388608+1;
r=rn [ k ] ;
ibm1 =mult1 ;
( ibm1 <0) ibm1+=(modm1+1);
rn [ k]=ibm1 /modm2 ;
$ r ;
}
/ /
(! a c c e p t ( ! # g , ! # f , ! # t )
{ s p i n [ g ] [ f ] [ t]=—s p i n [ g ] [ f ] [ t ] ;
M=M+2 s p i n [ g ] [ f ] [ t ] ;
E=E—2 s p i n [ g ] [ f ] [ t ] isum ;
}
/ /
(! d a t a ( )
{ ecum=ecum+E ;
e2cum=e2cum+E E ;
mcum=mcum+f a b s (M) ;
m2cum=m2cum+MM;
}
/ /
(! o u t p u t ( )
{
! # !$' znorm , eav , e2av , sav , s2av , CT ,CX;
znorm = 1 . / ( ! # !$' ) (N count ) ;
eav=ecum znorm ;
e2av=e2cum znorm ;
sav=mcum znorm ;
s2av=m2cum znorm ;
CT=(e2av —(N eav eav ) ) / ( T T ) ;
CX=(s2av —(N sav sav ) ) / T ;
p r i n t f ( " \ n \ a средняя энергия на спин=%LE" , eav ) ;
p r i n t f ( " \ n средняя намагниченность на спин=%LE"
, sav ) ;
p r i n t f ( " \ n теплоемкость на спин=%LE" ,CT ) ;
p r i n t f ( " \ n восприимчивость на спин=%LE" ,CX ) ;
p r i n t f ( " \ n count=%l d " , count ) ;
p r i n t f ( " \ n \ n===================================" ) ;
f p r i n t f ( fp , "===================================" ) ;
f p r i n t f ( fp ,
" \ n \ n линейный размер решетки L=%l d " , L ) ;
f p r i n t f ( fp ,
2. Реализация алгоритма Вольфа для трехмерной модели Изинга
199
" \ n зерно первого г е н е р а т о р а i s e e d 1=%l d " , i s e e d 2 ) ;
f p r i n t f ( fp ,
" \ n зерно второго г е н е р а т о р а i s e e d 2=%l d " , i s e e d 1 ) ;
f p r i n t f ( fp ,
" \ n число шагов Монте—Карло на спин=%l d " , maxi ) ;
f p r i n t f ( fp ,
" \n число начальных отбрасываемых конфигураций=%l d "
, istart );
f p r i n t f ( fp , " \ n температура=%LE" ,T ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ n средняя энергия на спин=%LE" , eav ) ;
f p r i n t f ( fp ,
" \ n средняя намагниченность на спин=%LE" , sav ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ n теплоемкость на спин=%LE" ,CT ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ n восприимчивость на спин=%LE" ,CX ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ n \ n=================================" ) ;
}
/ BEGIN /
(! main ( )
{
! # i , j , k , p , s , nx [ 5 0 0 0 ] , ny [ 5 0 0 0 ] , nz [ 5 0 0 0 ] ;
! # i p [ 1 6 ] , im [ 1 6 ] ;
f p=f o p e n ( " 3 d _ i z i n g . d a t " , " a " ) ;
clrscr ( );
p r i n t f ( " Введите линейный размер решетки : \ n \ tL=" ) ;
s c a n f ( "%l d " ,&L ) ;
p r i n t f ( " Введите число шагов Монте—Карло на спин :
\n \ tmaxi=" ) ;
s c a n f ( "%l d " ,& maxi ) ;
p r i n t f ( " Введите число нач . отбрас . конфигур . :
\n \ t i s t a r t =" ) ;
s c a n f ( "%l d " ,& i s t a r t ) ;
p r i n t f ( " Введите температуру : \ n \ tT=" ) ;
s c a n f ( "%LE" ,&T ) ;
p r i n t f ( "=======================================" ) ;
p r i n t f ( " \ nИдет подсчет величин . . . " ) ;
f t i m e (&tmb ) ;
i s e e d 1 =( ) ( tmb . m i l l i t m 5 . 0 4 9 4 9 4 9 4 9 + 3 0 0 0 ) | 0 x01 ;
i s e e d 2 =( ) ( ( tmb . time %100) 50.49494949+3000)|0 x01 ;
init_rn ();
/ / граничные условия
! ( i =0; i <=L ; i ++)
{ im [ i ]= i —1; i p [ i ]= i +1}
im [1]=L ;
i p [ L]=1;
200
Прил . Версии используемых программ на языке СИ
! ( i =0; i <L ; i ++)
! ( j =0; j <L ; j ++)
! ( k=0;k<L ; k++) s p i n [ i ] [ j ] [ k ]=1;
N=L L L ;
E=—3N;
M=N;
w=1—exp (—2/T ) ;
! ( k=0;k<maxi ; k++)
{
i =( ! # ) ( L gener ( ) ) ;
j =( ! # ) ( L gener ( ) ) ;
s =( ! # ) ( L gener ( ) ) ;
p =0;
a : s c e n t r=s p i n [ i ] [ j ] [ s ] ;
s p i n [ i ] [ j ] [ s]=—s c e n t r ;
accept ( i , j , s ) ;
/ / координаты ближайших соседей
xp=i p [ i ] ; yp=i p [ j ] ; zp=i p [ s ] ;
xm=im [ i ] ; ym=im [ j ] ; zm=im [ s ] ;
( s p i n [xm] [ j ] [ s ]= s c e n t r&&w>gener ( ) )
{ s p i n [xm] [ j ] [ s])=— s c e n t r ;
accept ( i , j , s ) ;
nx [ p]=xp ; ny [ p]= j ; nz [ p]= s ;
p=p +1;}
( s p i n [ xp ] [ j ] [ s ]= s c e n t r&&w>gener ( ) )
{ s p i n [ xp ] [ j ] [ s]=—s c e n t r ;
accept ( i , j , s ) ;
nx [ p]=xp ; ny [ p]= j ; nz [ p]= s ;
p=p +1;}
( s p i n [ i ] [ym] [ s ]= s c e n t r&&w>gener ( ) )
{ s p i n [ i ] [ym] [ s]=—s c e n t r ;
accept ( i , j , s ) ;
nx [ p]= i ; ny [ p]=ym ; nz [ p]= s ;
p=p +1;}
( s p i n [ i ] [ yp ] [ s ]= s c e n t r&&w>gener ( ) )
{ s p i n [ i ] [ yp ] [ s]=—s c e n t r ;
accept ( i , j , s ) ;
nx [ p]= i ; ny [ p]=yp ; nz [ p]= s ;
p=p +1;}
( s p i n [ i ] [ j ] [ zm]= s c e n t r&&w>gener ( ) )
{ s p i n [ i ] [ j ] [ zm]=—s c e n t r ;
accept ( i , j , s ) ;
nx [ p]= i ; ny [ p]= j ; nz [ p]=zm ;
p=p +1;}
( s p i n [ i ] [ j ] [ zp]= s c e n t r&&w>gener ( ) )
{ s p i n [ i ] [ j ] [ zp]=—s c e n t r ;
3. Критическое поведение трехмерной однородной модели Изинга
}
201
accept ( i , j , s ) ;
nx [ p]= i ; ny [ p]= j ; nz [ p]=zp ;
p=p +1;}
data ( ) ;
( p <0) ! $ ;
i=nx [ p —1]; j=ny [ p —1]; s=nz [ p —1];
p=p—1;
#!! a ;
delline ();
output ( ) ;
f c l o s e ( fp ) ;
getch ( ) ;
}
/ END /
3. Программа для моделирования критического
поведения трехмерной однородной модели Изинга
& & & & & & & $ <c o n i o . h>
$ < s t d l i b . h>
$ <time . h>
$ <dos . h>
$ < s t d i o . h>
$ <math . h>
$ < a l l o c . h>
/ /
!#
mult1 =16807 ,
mult2 =65539 ,
modm1=2147483647 ,
iseed1 ,
iseed2 ,
ibm1 ,
ibm2 ;
! # !$' modm2=2147483647.0 ,
rn ;
/ /
!#
N, L , E ,M, s p i n [ 1 6 ] [ 1 6 ] [ 1 6 ] ;
!#
count =0, isum , maxi , i s t a r t ;
! # !$' T , ecum=0,e2cum=0,mcum=0,m2cum=0;
! # !$' w[ 6 ] , e4 , e8 , e12 ;
f p ;
/ /
(! i n i t _ r n ( )
{ i ;
202
Прил . Версии используемых программ на языке СИ
rn =( ! # !$' ) c a l l o c ( 2 5 6 , " ) ! ( ! # !$' ) ) ;
ibm1=2 i s e e d 1 +1;
! ( i =0; i <256; i ++)
{ ibm1 =mult1 ;
( ibm1 <0) ibm1+=(modm1+1);
rn [ i ]=ibm1 /modm2 ;
}
}
/ /
! # !$' gener ( )
{
! # !$' r ;
!# k ;
ibm2=2 i s e e d 2 +1;
ibm2 =mult2 ;
( ibm2 <0) ibm2+=(modm1+1);
k=ibm2 /8388608+1;
r=rn [ k ] ;
ibm1 =mult1 ;
( ibm1 <0) ibm1+=(modm1+1);
rn [ k]=ibm1 /modm2 ;
$ r ;
}
/ /
!# pre ( !# f )
{ " ( f )
{
" 6 : $ 0 ;
" —6: $ 1 ;
" 4 : $ 2 ;
" —4: $ 3 ;
" 2 : $ 4 ;
" —2: $ 5 ;
}
}
/ /
(! p e r i o d ( ! # i , ! # j , ! # k )
{
! # l e f t , r i g h t , down , up , zdown , zup ;
( i ==0) l e f t =s p i n [ L—1][ j ] [ k ] ;
" l e f t =s p i n [ i —1][ j ] [ k ] ;
( i==L—1) r i g h t=s p i n [ 0 ] [ j ] [ k ] ;
" r i g h t=s p i n [ i +1][ j ] [ k ] ;
( j ==0) down=s p i n [ i ] [ L—1][k ] ;
" down=s p i n [ i ] [ j —1][k ] ;
( j==L—1) up=s p i n [ i ] [ 0 ] [ k ] ;
" up=s p i n [ i ] [ j +1][ k ] ;
( k==0) zdown=s p i n [ i ] [ j ] [ L—1];
" zdown=s p i n [ i ] [ j ] [ k —1];
( k==L—1) zup=s p i n [ i ] [ j ] [ 0 ] ;
" zdown=s p i n [ i ] [ j ] [ k +1];
3. Критическое поведение трехмерной однородной модели Изинга
203
isum= l e f t +r i g h t+down+up+zup+zdown ;
}
/ /
(! a c c e p t ( ! # g , ! # f , ! # t )
{ s p i n [ g ] [ f ] [ t]=—s p i n [ g ] [ f ] [ t ] ;
M=M+2 s p i n [ g ] [ f ] [ t ] ;
E=E—2 s p i n [ g ] [ f ] [ t ] isum ;
}
/ /
(! d a t a ( )
{ ecum=ecum+E ;
e2cum=e2cum+E E ;
mcum=mcum+f a b s (M) ;
m2cum=m2cum+MM;
}
/ /
(! o u t p u t ( )
! # !$' znorm , eav , e2av , sav , s2av , CT ,CX;
{
znorm = 1 . / ( ! # !$' ) (N count ) ;
eav=ecum znorm ;
e2av=e2cum znorm ;
sav=mcum znorm ;
s2av=m2cum znorm ;
CT=(e2av —(N eav eav ) ) / ( T T ) ;
CX=(s2av —(N sav sav ) ) / T ;
p r i n t f ( " \ n \ aсредняя энергия на спин=%LE" , eav ) ;
p r i n t f ( " \ nсредняя намагниченность на спин=%LE"
, sav ) ;
p r i n t f ( " \ nтеплоемкость на спин=%LE" ,CT ) ;
p r i n t f ( " \ nвосприимчивость на спин=%LE" ,CX ) ;
p r i n t f ( " \ ncount=%l d " , count ) ;
p r i n t f ( " \ n \ n=================================" ) ;
f p r i n t f ( fp , "=================================" ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ n \ nлинейный размер решетки L=%l d " , L ) ;
f p r i n t f ( fp ,
" \ nзерно первого г е н е р а т о р а i s e e d 1=%l d " , i s e e d 2 ) ;
f p r i n t f ( fp ,
" \ nзерно второго г е н е р а т о р а i s e e d 2=%l d " , i s e e d 1 ) ;
f p r i n t f ( fp ,
" \ nчисло шагов Монте—Карло на спин=%l d " , maxi ) ;
f p r i n t f ( fp ,
" \ nчисло нач . отбрас . конфигур.=% l d " , i s t a r t ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ nтемпература=%LE" ,T ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ nсредняя энергия на спин=%LE" , eav ) ;
f p r i n t f ( fp ,
" \ nсредняя намагниченность на спин=%LE" , sav ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ nтеплоемкость на спин=%LE" ,CT ) ;
204
Прил . Версии используемых программ на языке СИ
f p r i n t f ( fp , " \ nвосприимчивость на спин=%LE" ,CX ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ n \ n===============================" ) ;
}
/ BEGIN /
(! main ( (! )
!# i , j , k , p , s ;
{
f p=f o p e n ( " 3 d _ i z i n g . d a t " , " a " ) ;
clrscr ();
p r i n t f ( " Введите линейный размер решетки : \ n \ tL=" ) ;
s c a n f ( "%l d " ,&L ) ;
p r i n t f ( " Введите число шагов Монте—Карло на спин :
\n \ tmaxi=" ) ;
s c a n f ( "%l d " ,& maxi ) ;
p r i n t f ( " Введите число нач . отбрас . конфигур . :
\n \ t i s t a r t =" ) ;
s c a n f ( "%l d " ,& i s t a r t ) ;
p r i n t f ( " Введите температуру : \ n \ tT=" ) ;
s c a n f ( "%LE" ,&T ) ;
p r i n t f ( "=======================================" ) ;
p r i n t f ( " \ nИдет подсчет величин . . . " ) ;
f t i m e (&tmb ) ;
i s e e d 1 =( ) ( tmb . m i l l i t m 5 . 0 4 9 4 9 4 9 4 9 + 3 0 0 0 ) | 0 x01 ;
i s e e d 2 =( ) ( ( tmb . time %100) 50.49494949+3000)|0 x01 ;
init_rn ();
! ( i =0; i <L ; i ++)
! ( j =0; j <L ; j ++)
! ( k=0;k<L ; k++) s p i n [ i ] [ j ] [ k ]=1;
N=L L L ;
E=—3N;
M=N;
e4=exp ( —4.0/T ) ;
e8=e4 e4 ;
e12=e4 e4 e4 ;
w[0]= e12 ;
w[ 1 ] = 1 . / e12 ;
w[2]= e8 ;
w[ 3 ] = 1 . / e8 ;
w[4]= e4 ;
w[ 5 ] = 1 . / e4 ;
! ( k=0;k<maxi ; k++)
{ ! ( p =0;p<N; p++)
{ i =( ! # ) ( L gener ( ) ) ;
j =( ! # ) ( L gener ( ) ) ;
s =( ! # ) ( L gener ( ) ) ;
period ( i , j , s ) ;
( ( s p i n [ i ] [ j ] [ s ] isum ) <=0) a c c e p t ( i , j , s ) ;
"
4. Критическое поведение трехмерной неупорядоченной модели Изинга 205
( gener () <w[ p r e ( isum s p i n [ i ] [ j ] [ s ] ) ] )
{
accept ( i , j , s ) ;
}
}
( k>= i s t a r t )
{ data ( ) ;
count++;
}
}
delline ();
output ( ) ;
f c l o s e ( fp ) ;
getch ( ) ;
}
/ END /
4. Программа для моделирования критического
поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга
& & & & & & & $ <c o n i o . h>
$ < s t d l i b . h>
$ <time . h>
$ <dos . h>
$ < s t d i o . h>
$ <math . h>
$ < a l l o c . h>
/ /
!#
mult1 =16807 ,
mult2 =65539 ,
modm1=2147483647 ,
iseed1 , iseed2 ,
ibm1 , ibm2 ;
! # !$' modm2=2147483647.0 ,
rn ;
/ /
!#
N, L , E ,M, s p i n [ 1 6 ] [ 1 6 ] [ 1 6 ] ;
!#
count =0, isum , maxi , i s t a r t ;
! # !$' T , ecum=0,e2cum=0,mcum=0,m2cum=0;
! # !$' w[ 6 ] , e4 , e8 , e12 ;
fp ;
/ /
(! i n i t _ r n ( )
{ i ;
rn =( ! # !$' ) c a l l o c ( 2 5 6 , " ) ! ( ! # !$' ) ) ;
ibm1=2 i s e e d 1 +1;
206
Прил . Версии используемых программ на языке СИ
! ( i =0; i <256; i ++)
{
ibm1 =mult1 ;
( ibm1 <0) ibm1+=(modm1+1);
rn [ i ]=ibm1 /modm2 ;
}
}
/ /
! # !$' gener ( )
{
! # !$' r ;
!# k ;
ibm2=2 i s e e d 2 +1;
ibm2 =mult2 ;
( ibm2 <0) ibm2+=(modm1+1);
k=ibm2 /8388608+1;
r=rn [ k ] ;
ibm1 =mult1 ;
( ibm1 <0) ibm1+=(modm1+1);
rn [ k]=ibm1 /modm2 ;
$ r ;
}
/ /
(! p e r i o d ( ! # i , ! # j , ! # k )
{
! # l e f t , r i g h t , down , up , zdown , zup ;
( i ==0) l e f t =s p i n [ L—1][ j ] [ k ] ;
" l e f t =s p i n [ i —1][ j ] [ k ] ;
( i==L—1) r i g h t=s p i n [ 0 ] [ j ] [ k ] ;
" r i g h t=s p i n [ i +1][ j ] [ k ] ;
( j ==0) down=s p i n [ i ] [ L—1][k ] ;
" down=s p i n [ i ] [ j —1][k ] ;
( j==L—1) up=s p i n [ i ] [ 0 ] [ k ] ;
" up=s p i n [ i ] [ j +1][ k ] ;
( k==0) zdown=s p i n [ i ] [ j ] [ L—1];
" zdown=s p i n [ i ] [ j ] [ k —1];
( k==L—1) zup=s p i n [ i ] [ j ] [ 0 ] ;
" zdown=s p i n [ i ] [ j ] [ k +1];
isum= l e f t +r i g h t+down+up+zup+zdown ;
}
/ /
(! a c c e p t ( ! # g , ! # f , ! # t )
{ s p i n [ g ] [ f ] [ t]=—s p i n [ g ] [ f ] [ t ] ;
M=M+2 s p i n [ g ] [ f ] [ t ] ;
E=E—2 s p i n [ g ] [ f ] [ t ] isum ;
}
/ /
(! d a t a ( )
{ ecum=ecum+E ;
e2cum=e2cum+E E ;
mcum=mcum+f a b s (M) ;
4. Критическое поведение трехмерной неупорядоченной модели Изинга 207
}
m2cum=m2cum+MM;
(! GROW( !$' P)
{
NX[ 6 ] ,NY[ 6 ] ,NZ[ 6 ] , nper , I ,
PERZ[ 6 0 0 0 ] ,PERY[ 6 0 0 0 ] ,PERZ[ 6 0 0 0 ] , IX , IY , IZ ;
Spin [ L / 2 ] [ L / 2 ] [ L/2]=1
nper =6;
PERX[0]=L / 2 ;
PERX[1]=L / 2 ;
PERX[2]=L / 2 ;
PERX[3]=L / 2 ;
PERX[4]=L/2 —1;
PERX[5]=L/2+1;
PERY[0]=L / 2 ;
PERY[1]=L/2 —1;
PERY[2]=L / 2 ;
PERY[3]=L/2+1;
PERY[4]=L / 2 ;
PERY[5]=L / 2 ;
PERZ[0]=L/2+1;
PERZ[1]=L / 2 ;
PERZ[2]=L/2 —1;
PERZ[3]=L / 2 ;
PERZ[4]=L / 2 ;
PERZ[5]=L / 2 ;
! ( I =0; I <6; I ++){
NX[ I ]=PERX[ I ]—L / 2 ;
NY[ I ]=PERY[ I ]—L / 2 ;
NZ[ I ]=PERZ[ I ]—L / 2 ; }
a : IPER=gener ( ) NPER+1;
IX=PERX[ IPER ] ;
IY=PERY[ IPER ] ;
IZ=PERZ[ IPER ] ;
( s p i n [ IX ] [ IY ] [ IZ ] ! = 0 | | s p i n [ IX ] [ IY ] [ IZ ] ! = 1 )
then {
PERX[ IPER]=PERX[NPER ] ;
PERY[ IPER]=PERY[NPER ] ;
PERZ[ IPER]=PERZ[NPER ] ;
NPER=NPER—1;
'* ;
}
( gener ( ) <P ) then
s p i n [ IX ] [ IY ] [ IZ]=1
PERX[ IPER]=PERX[NPER]
PERY[ IPER]=PERY[NPER]
PERZ[ IPER]=PERZ[NPER]
208
Прил . Версии используемых программ на языке СИ
NPER=NPER—1
! ( I =0; I <6; I ++){
"
IXNEW=IX+NX[ I ]
IYNEW=IY+NY[ I ]
IZNEW=IZ+NZ[ I ]
(IXNEW<1) ! $ ;
(IXNEW>L ) ! $ ;
(IYNEW<1) ! $ ;
(IYNEW<L ) ! $ ;
(IZNEW<1) ! $ ;
(IZNEW>L ) ! $ ;
( s p i n (IXNEW,IYNEW,IZNEW)==0)
then { NPER=NPER+1;
PERX[NPER]=IXNEW;
PERY[NPER]=IYNEW;
PERZ[NPER]=IZNEW ; }
}
{ s p i n [ IX ] [ IY ] [ IZ ]=0;
PERX[ IPER]=PERX[NPER ] ;
PERY[ IPER]=PERY[NPER ] ;
PERZ[ IPER]=PERZ[NPER ] ;
NPER=NPER—1;}
(NPER>=0) #!! a ;
}
/ /
(! o u t p u t ( )
{
! # !$' znorm , eav , e2av , sav , s2av , CT ,CX;
znorm = 1 . / ( ! # !$' ) (N count ) ;
eav=ecum znorm ;
e2av=e2cum znorm ;
sav=mcum znorm ;
s2av=m2cum znorm ;
CT=(e2av —(N eav eav ) ) / ( T T ) ;
CX=(s2av —(N sav sav ) ) / T ;
p r i n t f ( " \ n \ aсредняя энергия на спин=%LE" , eav ) ;
printf (
" \ nсредняя намагниченность на спин=%LE" , sav ) ;
p r i n t f ( " \ nтеплоемкость на спин=%LE" ,CT ) ;
p r i n t f ( " \ nвосприимчивость на спин=%LE" ,CX ) ;
p r i n t f ( " \ ncount=%l d " , count ) ;
p r i n t f ( " \ n \ n===================================" ) ;
f p r i n t f ( fp , "===================================" ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ n \ nлинейный размер решетки L=%l d " , L ) ;
f p r i n t f ( fp ,
4. Критическое поведение трехмерной неупорядоченной модели Изинга 209
" \ nзерно первого г е н е р а т о р а i s e e d 1=%l d " , i s e e d 2 ) ;
f p r i n t f ( fp ,
" \ nзерно второго г е н е р а т о р а i s e e d 2=%l d " , i s e e d 1 ) ;
f p r i n t f ( fp ,
" \ nчисло шагов Монте—Карло на спин=%l d " , maxi ) ;
f p r i n t f ( fp ,
" \ nчисло нач . отбрас . конфигур.=% l d " , i s t a r t ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ nтемпература=%LE" ,T ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ nсредняя энергия на спин=%LE" , eav ) ;
f p r i n t f ( fp ,
" \ nсредняя намагниченность на спин=%LE" , sav ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ nтеплоемкость на спин=%LE" ,CT ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ nвосприимчивость на спин=%LE" ,CX ) ;
f p r i n t f ( fp , " \ n \ n===============================" ) ;
}
/ BEGIN /
(! main ( (! )
!# i , j , k , p , s ;
{
! # !$' ps ;
f p=f o p e n ( " 3 d _ i z i n g . d a t " , " a " ) ;
clrscr ();
p r i n t f ( " Введите линейный размер решетки : \ n \ tL=" ) ;
s c a n f ( "%l d " ,&L ) ;
p r i n t f ( " Введите концентрацию спинов : \ n \ t p s=" ) ;
s c a n f ( "%LE" ,& ps ) ;
p r i n t f ( " Введите число шагов Монте—Карло на спин :
\n \ tmaxi=" ) ;
s c a n f ( "%l d " ,& maxi ) ;
p r i n t f ( " Введите число нач . отбрас . конфигур . :
\n \ t i s t a r t =" ) ;
s c a n f ( "%l d " ,& i s t a r t ) ;
p r i n t f ( " Введите температуру : \ n \ tT=" ) ;
s c a n f ( "%LE" ,&T ) ;
p r i n t f ( "=======================================" ) ;
p r i n t f ( " \ nИдет подсчет величин . . . " ) ;
f t i m e (&tmb ) ;
i s e e d 1 =( ) ( tmb . m i l l i t m 5 . 0 4 9 4 9 4 9 4 9 + 3 0 0 0 ) | 0 x01 ;
i s e e d 2 =( ) ( ( tmb . time %100) 50.49494949+3000)|0 x01 ;
init_rn ();
N=L L L ;
e4=exp ( —4.0/T ) ;
e8=e4 e4 ;
e12=e4 e4 e4 ;
w[0]= e12 ;
w[1]= exp (—10/T ) ;
w[2]= e8 ;
210
Прил . Версии используемых программ на языке СИ
w[3]= exp(—6/T ) ;
w[4]= e4 ;
w[5]= exp(—2/T ) ;
w[ 6 ] = 1 ;w[ 7 ] = 1 ;
w[ 8 ] = 1 ;w[ 9 ] = 1 ;
w[ 1 0 ] = 1 ;w[ 1 1 ] = 1 ;
w[ 1 2 ] = 1 ;
GROW( ps ) ;
E=0;
N=0;
! ( i =0; i <L ; i ++)
! ( j =0; j <L ; j ++)
! ( k=0;k<L ; k++){
( s p i n [ i ] [ j ] [ k ] >0) N=N+1;
period ( i , j , k ) ;
E=E+isum s p i n [ i ] [ j ] [ k ] ;
}
M=N;
! ( k=0;k<maxi ; k++)
{ ! ( p =1;p<N; p++)
{ i =( ! # ) ( L gener ( ) ) ;
j =( ! # ) ( L gener ( ) ) ;
s =( ! # ) ( L gener ( ) ) ;
period ( i , j , s ) ;
( ( s p i n [ i ] [ j ] [ s ] isum ) <=0) a c c e p t ( i , j , s ) ;
"
{ ( gener () <w[ isum s p i n [ i ] [ j ] [ s ] + 7 ] )
accept ( i , j , s ) ;
}
}
( k>= i s t a r t )
{ data ( ) ;
count++;
}
}
delline ();
output ( ) ;
f c l o s e ( fp ) ;
getch ( ) ;
}
/ END /
Библиографический список
1. Березинский В. Л. // ЖЭТФ. 1970. Т. 59. С. 907.
2. Методы Монте-Карло в статистической физике / Под ред.
К. Биндера. — М.: Мир, 1982. — 426 с.
3. Брус А., Каули Р. Структурные фазовые переходы. — М.: Мир,
1984. — 408 с.
4. Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и -разложение. — М.: Мир, 1975. — 256 с.; УФН. 1985. Т. 146. № 3.
С. 459–491.
5. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике:
в 2-х частях. — М.: Мир, 1992. Ч. 2. — 400 с.
6. Дороговцев С. Н. Критические свойства магнетиков с дислокациями и точечными примесями // ЖЭТФ. 1981. Т. 80. № 5.
С. 2053–2067.
7. Доценко В. С. Критические явления в спиновых системах с беспорядком // УФН. 1995. Т. 165. № 5. С. 481–528.
8. Изюмов Ю. А., Сыромятников В. Н. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. — М.: Наука, 1984. — 248 с.
9. Изюмов Ю. А., Скрябин Ю. Н. Статистическая механика магнитоупорядоченных систем. — М.: Наука, 1987.
10. Каданов Л. П. Критические явления, гипотеза универсальности,
скейлинг и капельная модель // Квантовая теория поля и физика
фазовых переходов. — М.: Мир, 1975. С. 7—32.
11. Ландау Л. Д. К теории фазовых переходов // ЖЭТФ. 1937. Т. 7.
№ 1. С. 19.
12. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. 3-е изд. —
М.: Наука, 1976. — 584 с.
13. Ма Ш. Современная теория критических явлений. — М.: Мир,
1980. — 298 с.
14. Муртазаев А. К., Камилов И. К., Бабаев А. Б. // ЖЭТФ. 2004.
Т. 126. С. 1377.
15. Паташинский A.З. Гипотеза подобия в теории фазовых переходов
второго рода // ЖЭТФ. 1967. Т. 53. № 6. С. 1987–1996.
16. Паташинский А. З., Покровский В. Л. О поведении упорядочивающихся систем вблизи точки фазового перехода // ЖЭТФ. 1966.
Т. 50. № 2. С. 439–447.
17. Паташинский А. З., Покровский В. Л. Флуктуационная теория
фазовых переходов. — М.: Наука, 1982. — 383 с.
18. Прудников В. В., Вакилов А. Н. Критическая динамика разбавленных магнетиков // ЖЭТФ. 1992. Т. 101. № 6. С. 1853–1861.
19. Вакилов А. Н., Прудников В. В. Компьютерное моделирование
критической динамики разбавленных магнетиков // Письма в
ЖЭТФ. 1992. Т. 55. № 12. С. 709–712.
212
Библиографический список
20. Прудников В. В., Вакилов А. Н. Компьютерное моделирование
критической динамики разбавленных магнетиков // ЖЭТФ. 1993.
Т. 103. № 3. С. 962–969.
21. Марков О. Н., Прудников В. В. Компьютерное моделирование критической динамики неупорядоченных двумерных изинговских систем // Письма в ЖЭТФ. 1994. Т. 60. № 1. С. 24–29.
22. Марков О. Н., Прудников В. В. Компьютерное моделирование критической динамики сильно неупорядоченных двухмерных изинговских систем // ФТТ. 1995. Т. 37. № 6. С. 1574–1583.
23. Иванов А. В., Прудников В. В., Федоренко А. А. Критическая динамика спиновых систем в четырехпетлевом приближении //
Письма в ЖЭТФ. 1997. Т. 66. № 12. С. 793–798.
24. Белим С. В., Осинцев Е. В., Прудников В. В., Федоренко А.А.
Критическая динамика неупорядоченных магнетиков в трехпетлевом приближении // Физика твердого тела. 1998. Т. 40. № 8.
С. 1526–1531.
25. Критическая динамика слабо неупорядоченных спиновых систем / С. В. Белим, А. В. Иванов, Е. В. Осинцев, В. В. Прудников,
А. А. Федоренко // ЖЭТФ. 1998. Т. 114. № 3. С. 972–984.
26. Прудников В. В., Прудников П. В., Федоренко А. А. Теоретико-полевое описание мультикритического поведения систем с двумя
параметрами порядка // Письма в ЖЭТФ. 1998. Т. 68. № 12.
С. 900–905.
27. Прудников В. В., Прудников П. В., Федоренко А. А. Мультикритическое поведение слабо неупорядоченных систем с двумя параметрами порядка // ЖЭТФ. 1999. Т. 116. № 2. С. 611–619.
28. Прудников В. В., Марков О. Н., Осинцев Е. В. Особенности фазовых превращений в неупорядоченной антиферромагнитной модели
Изинга // ЖЭТФ. 1999. Т. 116. № 3. С. 953–961.
29. Прудников В. В., Прудников П. В., Федоренко А. А. Мультикритическое поведение неупорядоченных систем с двумя параметрами порядка // Физика твердого тела. 2000. Т. 42. № 1. С. 158–162.
30. Прудников В. В., Прудников П. В., Федоренко А. А. Устойчивость
критического поведения слабо неупорядоченных систем к нарушению репличной симметрии // Письма в ЖЭТФ. 2001. Т. 73. № 3.
С. 153–158.
31. Белим С. В., Прудников В. В. Трикритическое поведение сжимаемых систем с замороженными дефектами структуры // Физика
твердого тела. 2001. Т. 43. № 7. С. 1299–1304.
32. Прудников В. В., Прудников П. В., Федоренко А. А. Устойчивость
критического поведения слабо неупорядоченных систем к введению потенциала взаимодействия с нарушенной репличной симметрией // Физика твердого тела. 2001. Т. 43. № 9. С. 1688–1692.
33. Прудников В. В., Прудников П. В. Критическое поведение неупорядоченных систем с эффектами нарушения репличной симметрии // ЖЭТФ. 2002. Т. 122. № 3. С. 636–646.
Библиографический список
213
34. Бородихин В. Н., Дмитриев Д. В., Прудников В. В. Исследование
неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей // Известия вузов. Физика. 2004.
№ 5. С. 58–62.
35. Прудников В. В., Бородихин В. Н. Исследование неупорядоченной
антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей методом Монте-Карло // ЖЭТФ. 2005. Т. 128. № 2.
С. 337–343.
36. Криницын А. С., Прудников В. В., Прудников П. В. Расчет динамического критического индекса методом суммирования асимптотических рядов // Теоретическая и математическая физика. 2006.
Т. 147. № 1. С. 137–154.
37. Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н., Криницын А. С.
Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга // ЖЭТФ. 2007. Т. 132. № 2.
С. 417–425.
38. Прудников В. В., Вакилов А. Н., Марков О. Н. Компьютерное моделирование фазовых переходов в однородных и неупорядоченных
системах: учебное пособие. — Омск: Изд-во Омск. госуниверситета, 2001. — 85 с.
39. Прудников В. В., Вакилов А. Н., Филиканов Е. Л. Исследование
методом параллельных температур низкотемпературного поведения неупорядоченного антиферромагнетика со случайными полями // Вестник Омского университета. 2006. № 3. С. 32–35.
40. Прудников В. В., Дорофеев С. В. Критическое поведение модели
Изинга с дальнодействующей корреляцией дефектов: метод коротковременной динамики // Вестник Омского университета. 2006.
№ 1. С. 27–29.
41. Райдер Л. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1987. – 512 с.
42. Соколов А. И., Шалаев Б. Н. О критическом поведении модели
Изинга с примесями // ФТТ. 1981. Т. 23. № 7. С. 2058–2063.
43. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. — М.: Мир,
1973. — 342 с.
44. Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. Критические показатели трехмерной слабо разбавленной замороженной модели Изинга // УФН.
2003. Т. 173. № 2. С. 175–200.
45. Хеерман Д. В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике. — М.: Наука, 1990. Т. 2. — 176 с.
46. Хмельницкий Д. Е. Фазовый переход второго рода в неоднородных
телах // ЖЭТФ. 1975. Т. 68. № 5. С. 1960–1968.
47. Эксперимент на дисплее: Первые шаги вычислительной физики. —
М.: Наука, 1989.
48. Aeppli G., Guggenheim H., Uemura Y. J. Spin dynamics near the
magnetic percolation threshold // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52.
№ 11. Р. 942–945.
214
Библиографический список
49. Aharony A. Critical phenomena in disordered systems // J. Magn.
Magn. Mater., 1978. V. 7. № 1. P. 198–206.
50. Aharony A. Crossover from random exchange to random field critical
behaviour // Europhys. Lett. 1986. V. 1. № 12. P. 617–621.
51. Amit D. Field theory: the renormalization group and critical phenomena. — New York: Acad. press.: McGraw-Hill, 1978. — 333 p.
52. Andelman D., Joanny J. F. Metastability in the random-field Ising
model // Phys. Rev. B. 1985. V. 32. № 7. Р. 4818–4821.
53. Andreichenko V. B., Selke W., Talapov A. L. Dynamics in a dilute
ferromagnet at the percolation threshold // J. Phys. A. 1992. V. 25.
P. L283–L286.
54. Baker G. A., Nickel B. G., Meiron D. I. Critical indices from perturbation analysis of the Callan-Symanzik equation // Phys. Rev. B.
1978. V. 17. № 3. Р. 1365–1374.
55. Baker G. A., Nickel B. G., Green M. S., Meiron D. I. Ising-model critical indices in three dimensions from the Callan-Symanzik equation
// Phys. Rev. Lett. 1976. V. 36. № 23. Р. 1351–1354.
56. Bausch R., Dohm V., Janssen H. K., Zia R. K. Critical dynamics of
an interface in 1+ dimensions // Phys.Rev. Lett. 1981. V. 47. № 25.
P. 1837–1840.
57. Ballesteros H. G., Fernández L. A., Martı́n-Mayor V., Muñoz Sudupe
// Phys. Lett. B. 1996. V. 378. P. 207; Phys. Lett. B. 1996. V. 387.
Р.125; Nucl. Phys. B. 1997. V. 483. P.707.
58. Ballesteros H. G., Fernandez L. A., Martin-Mayor V. et al. // Phys.
Rev. B. 1998. V. 58. P. 2740.
59. Bausch R., Janssen H. K., Wagner H. Renormalized field theory of
critical dynamics // Z. Phys. B. 1976. V. 24. P. 113–127.
60. Belanger D. P., Birgeneau R. I., Shirane G., Yoshizawa H.,
King A. R., Jaccarino V. Critical dynamics of site-diluted three
dimensional Ising magnet // J. de Physique Collque C8. 1988. V. 49.
№ 7. Р. 1229–1238.
61. Belanger D. P., King A. R., Jaccarino V. // Phys. Rev. B. 1986.
V. 34. P. 452.
62. Belanger D. P., Young A. P. // J. Magn. Magn. Mater. 1991. V. 100.
№ 2. Р. 272–278.
63. Belanger D. P., Slanic Z., Fernandez-Baca J. A. // J. Magn. Magn.
Mater. 1998. V. 171. P. 177–181.
64. Binder K. // Z. Phys. B. 1981. V. 43. № 1. Р. 119–128.
65. Binder K., Regir J. D. // Adv. Phys. 1992 V. 41. P. 547.
66. Birgeneau R. I., Cowley R. A., Shirane G., Yoshizawa H., Belanger D. P., King A. R., Jaccarino V. Critical behaviour of
site-diluted three dimensional Ising magnet // Phys. Rev. B. 1983
V. 27. № 12. Р. 6747–6757.
67. Biswal B., Chowdhury D. Dimensionality dependence in the singular
dynamic scaling in the dilute Ising model // Phys. Rev. A. 1991.
V. 43. № 8. Р. 4179–4181.
Библиографический список
215
68. Boyanovsky D., Cardy J. L. Critical behaviour of m-component magnets with correlated impurities // Phys. Rev. B. 1982. V. 26. № 1.
Р. 154–170.
69. Blavats’ka V., von Ferber C., Holovatch Yu. Phys. Rev. B. 2001.
V. 64. P. 041102.
70. Bresin E., Le Guillou J. C., Zinn-Justin J. Field theoretical approach
to critical phenomena. — Phase transition and critical phenomena
/ ed. Domb C. and Lebowitz J. L. — New York: Acad. press., 1976.
V. 6. P. 127–249.
71. Bricmont J., Kupiainen A. Lower critical dimension for the
random-field Ising model // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. № 16.
P. 1829–1832.
72. Calabrese P., Martin-Mayor V., Pelissetto A. et al. // Phys. Rev. E.
2003. V. 68. P. 036136.
73. Chowdhury D., Stauffer D. Dilution dependence of the relaxation
time in the dilute Ising model // J. Phys. A. 1986. V. 19. P. L19–L21.
74. Chowdhury D., Stauffer D. Monte Carlo simulation of three-dimensional diluted Ising model // J. Stat. Phys. 1986. V. 44. № 1.
P. 203–210.
75. Daman B., Reger I. D. // Z. Phys. B. 1995. Bd. 98. S. 97.
76. De Dominicis C., Brezin E., Zinn-Justin J. Field-theoretic techniques
and critical dynamics. I. Ginzburg–Landau stochastic models without energy conservation // Phys. Rev. B. 1975. V. 12. № 11.
Р. 4945–4952.
77. De Dominicis C., Peliti L. Field-theory renormalization and critical
dynamics above : Helium, antiferromagnets, and liquid-gas systems // Phys. Rev. B. 1978. V. 18. P. 353–376.
78. Di Castro C. The multiplicative renormalization group and the critical behavior in 4
dimensions // Lett. nuovo cim. 1972. V. 5.
№ 1. Р. 69–74.
79. Di Castro C., Jona-Lasinio G. Renormalization group approach to
critical phenomena. Phase transition and critical phenomena / ed.
Domb C. and Lebowitz J. L. — New York: Acad. press., 1976. V. 6.
P. 508–558.
80. Dorogovtsev S. N. The critical behaviour of systems with correlated
defects // J. Phys. A. 1984. V. 17. P. L677–L679.
81. Dotsenko V. S., Dotsenko V. S. Critical behaviour of the 2D-Ising
model with impurity bonds // J. Phys. C. 1982. V. 15. № 3.
Р. 495–507.
82. Fisher M. E. The theory of equilibrium critical phenomena // Rep.
Progr. Phys. 1967. V. 30. P. 615–730.
83. Fisher M. E. Renormalization of critical exponent by hidden variables // Phys. Rev. 1968. V. 176. № 1. Р. 257–272.
84. Fisher M. E. The renormalization group and the theory of critical
behavior // Rev. Mod. Phys. 1974. V. 46. № 4. Р. 597–616.
216
Библиографический список
85. Fishman S., Aharony A.Random field effects in disordered
anisotropic antiferromagnets // J. Phys. C. 1979. V. 12. № 8.
Р. L729–733.
86. Folk R., Holovatch Yu., Yavors’kii T. The correction-to-scaling exponent in dilute systems // Pis’ma v ZETF. 1999. V. 69. № 10.
Р. 698–702.
87. Freedman R., Mazenko G. F. Critical dynamics of antiferromagnets // Phys. Rev. B. 1976. V. 13. № 12. P. 4967–4983.
88. Grassberger P. Damage spreading and critical exponents for model
A Ising dynamics // Physica A. 1995. V. 214. Р. 547.
89. Grest G. S., Soukoulis C. M., Levin K. Comparative Monte Carlo and
mean-field studies of random-field Ising systems // Phys. Rev. B.
1986. V. 33. № 11. Р. 7659–7674.
90. Griffiths R. B. Termodynamic function for fluids and ferromagnets
near the critical point // Phys. Rev. 1967. V. 158. № 1. Р. 176–189.
91. Grinstein G., Fernandez J. F. // Phys. Rev. B. 1984. V. 29. № 12.
Р. 6389–6398.
92. Grinstein G., Luther A. Application of the renormalization group to
phase transition in disordered systems // Phys. Rev. B. 1976. V. 13.
№ 3. Р. 1329–1343.
93. Grinstein G., Ma S. K., Mazenko G. F. Dynamics of spin interacting
with quenched random impurities // Phys. Rev. B. 1977. V. 15. № 1.
Р. 258–272.
94. Gropengiessen U. Damage spreading and critical exponents for
model A Ising dynamics // Physica A. 1995. V. 215. № 3.
Р. 308–310.
95. Ganton J. D., Kawasaki K. Renormalization group equations in critical dynamics // Progr. Theor. Phys. 1976. V. 56. № 1. P. 61–76.
96. Gupta R., Baillie C. F. // Phys. Rev. B. 1992. V. 45.
97. Halperin B. I., Hohenberg P. C. Calculation of dynamic critical properties // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. № 2. Р. 700–703.
98. Halperin B. I., Hohenberg P. C., Ma S. Calculation of dynamic critical properties using Wilson’s expansion methods // Phys. Rev. Lett.
1972. V. 29. № 23. Р. 1548–1551.
99. Halperin B. I., Hohenberg P. C., Ma S. Renormalization-group methods for critical dynamics // Phys. Rev. B. 1974. V. 10. № 1.
Р. 139–153.
100. Halperin B. I., Hohenberg P. C., Siggia E. D., Ma S. Renormalization-group treatment of the critical dynamics of the binary-fluid
and gas-liquid transition // Phys. Rev. B. 1976. V. 13. № 5.
Р. 2110–2123.
101. Harris A. B. Effect of random defects on the critical behaviour of
Ising models // J. Phys. C. 1974. V. 7. № 6. Р. 1671–1692.
102. Harris A. B., Lubensky T. C. // Phys. Rev. Lett. 1974. V. 33. P. 1540.
103. Harris C. K., Stinchcombe R. B. Critical dynamics of diluted Ising
systems // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. № 8. Р. 869–872.
Библиографический список
217
104. Henley C. K. Critical Ising spin dynamics on percolations clusters //
Phys. Rev. Lett. 1985. V. 54. № 18. Р. 2030–2033.
105. Hennecke M., Heyken U. // J. Stat. Phys. 1993. V. 72. P. 829.
106. Heuer H.-O. Monte Carlo simulation of strongly disordered Ising
ferromagnets //Europhys. Lett. 1990. V. 12. № 6. Р. 551–556.
107. Heuer H.-O. Monte Carlo simulation of strongly disordered Ising
ferromagnets // Phys. Rev. B. 1990. V. 42. № 10. Р. 6476–6484.
108. Heuer H.-O. Monte Carlo simulation of disordered 2-dimensional
Ising systems // Europhys. Lett. 1991. V. 16. № 5. Р. 503–508.
109. Heuer H-O. Critical slowing down in local dynamics simulations //
J. Phys. A. 1992. V. 25. № 9. Р. L567–L573.
110. Heuer H.-O. Critical crossover phenomena in disordered Ising systems // J. Phys. A. 1993. V. 26. № 6. P. L333–L339.
111. Heuer H.-O. Dynamic scaling of disordered Ising systems // J. Phys.
A. 1993. V. 26. № 6. P. L341–L346.
112. Hohenberg P. C., Halperin B. I. Theory of dynamic critical phenomena // Rev. Mod. Phys. 1977. V. 49. P. 435–479.
113. Huse D. // Phys. Rev. B. 1989. V. 40. P. 304.
114. Ivaneyko D., Ilnytskyi J., Berche B. et al. // Condens. Matter Phys.
2005. V. 8. P. 149.
115. Ivaneyko D., Ilnytskyi J., Berche B. et al. // arXiv:cond-mat/0603521,
2006.
116. Ito N. Non-equilibrium relaxation and interface energy of the Ising
model // Physica A. 1993. V. 196. P. 591–600.
117. Imbrie J. Z. Lower critical dimension of the random-field Ising model
// Phys. Rev. Lett. 1984. V. 53. № 18. P. 1747–1750.
118. Imry Y., Ma S. // Phys. Rev. Lett. 1975. V. 35. P. 1399–1401.
119. Jain S. Non-universality in the dynamics at the percolation threshold
//J. Phys. A. 1986. V. 19. P. L667–L673.
120. Jan N., Moseley L. L., Stauffer D. Dynamic Monte Carlo renormalization group // J. Stat. Phys. 1983. V. 33. № 1. P. 1–11.
121. Janssen H. K., Schaub B., Schmittmann B. // Z. Phys. B. 1989.
Bd. 73. S. 539.
122. Janssen H. K., Oerding K., Sengespeick E. On the crossover to universal criticality in dilute Ising systems // J. Phys. A. 1995. V. 28.
№ 21. P. 6073–6085.
123. Jaster A., Mainville J., Schulke L., Zheng B. // J. Phys. A. 1999.
V. 32. P. 1395.
124. Jayaprakash C., Katz H. J. Higher-order corrections to the
-expansions of the critical behaviour of the random Ising system //
Phys. Rev. B. 1977. V. 16. № 9. P. 3987–3990.
125. Jug G. Critical behaviour of disordered spin systems in two and three
dimensions // Phys. Rev. B. 1983. V. 27. № 1. P. 607–612.
126. Jug G. Critical singularities of the random two-dimensional Ising
model // Phys. Rev. B. 1983. V. 27. № 7. P. 4518–4521.
218
Библиографический список
127. Kadanoff L. P. Scaling laws for Izing models near // Physics.
1966. V. 2. № 6. P. 263–273.
128. Kalle C. Vectorised dynamics Monte Carlo renormalisation group for
the Ising model // J. Phys. A. 1984. V. 17. № 14. P. L801–L806.
129. Katz S. L., Gunton J. D., Liu C. P. Monte Carlo renormalization
group study of two-dimensional Glauber model // Phys. Rev. B. 1982.
V. 25. № 9. P. 6008–6011.
130. Kawasaki K. Dynamical theory of fluctuations near critical points //
Proceedings of the International school of physics Enrico Fermi
course LI / ed. M. S. Green — New York and London: Academic
Press, 1971. P. 342–379.
131. Kim J. K., de Souza A. J. and Landau D. P // Phys. Rev. E. 1996.
V. 54. P. 2291.
132. Korucheva E. R., De La Rubia F. J. Dynamical properties of the
Landau-Ginzburg model with longe-range correlated quenched impurities // Phys. Rev. B. 1998. V. 58. № 9. P. 5153–5156.
133. Korucheva E. R., Uzunov D. I. On the longe-range random critical
behaviour // Phys. status solidi (b). 1984. V. 126. P. K19–K22.
134. Korzhenevskii A. L., Luzhkov A. A., Heuer H.-O.Critical behaviour
of systems with longe-range correlated quenched defects // Europhys.
Lett. 1995. V. 32. P. 19–24.
135. Korzhenevskii A. L., Luzhkov A. A., Schirmacher W. Critical behavior of crystals with long-range correlations caused by point defects
with degenerate internal degrees of freedom // Phys. Rev. B. 1994.
V. 50. № 6. P. 3661–3666.
136. Kosterlitz L. M., Thouless D. J. // J. Phys.C. 1973. V. 6. P. 1181.
137. Kosterlitz J. M. The critical properties of the two-dimensional XY
model // Solid State Phys. 1974. V. 7. P. 1046–1060.
138. Krey U. On the critical dynamics of disordered spin systems // Z.
Phys. B. 1977. Bd. 26. № 2. S. 355–366.
139. Lage E. J. S. Critical dynamics of the pure and diluted
two-dimensional Ising model // J. Phys. C. 1986. V. 19. № 1.
P. L91–L95.
140. Landau D. P. Magnetic tricritical points in Ising antiferromagnets //
Phys. Rev. Lett. 1972. V. 28. № 7. P. 449–452.
141. Landau D. P. Tricritical exponents and crossover behaviour of a
next-nearest-neighbor Ising antiferromagnet // Phys. Rev. B. 1976.
V. 14. № 9. P. 4054–4058.
142. Le Guillou J. C., Zinn-Justin J. Critical exponents for the n-vector
model in three dimensions from field theory // Phys. Rev. Lett. 1977.
V. 39. № 2. P. 95–98.
143. Le Guillou J. C., Zinn-Justin J. Critical exponents from field theory //
Phys. Rev. B. 1980. V. 21. № 7. P. 3976–3998.
144. Li Z. B., Schülke L., Zheng B. Dynamic Monte Carlo measurement
of critical exponents // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. № 25.
P. 3396–3398.
Библиографический список
219
145. Li Z. B., Schülke L., Zheng B. Finite size scaling and critical exponents in critical relaxation // Phys. Rev. E. 1996. V. 53. № 5.
P. 2940–2951.
146. Linke A., Heermann D. W., Altevogt P., Siegert M. Large-scale simulation of the two-dimensional kinetic Ising model // Physica A.
1995. V. 225. P. 318–324.
147. Lubensky T. C. Critical properties of random-spin models from of the
expansion // Phys. Rev. B. 1975. V. 11. № 9. P. 3573–3580.
148. Luo H. J., Zheng B. Critical relaxation and critical exponents //
arXiv:cond-mat/9812147, 1998. V. 1.
149. MacIsaak K., Jan N. On the dynamic exponent of the two-dimensional Ising model // J. Phys. A. 1992. V. 25. P. 2139–2145.
150. Marro F., Labarta A., Tejada F. Critical behaviour of Ising models with static site dilution // Phys. Rev. B. 1986. V. 34. № 1.
P. 347–349.
151. Martin P. C., Siggia E. D., Rose H. A. Statistical dynamics of classical systems // Phys. Rev. A. 1973. V. 8. № 1. P. 423–437.
152. Mayer I. O. Critical exponents of the dilute Ising model from
four-loop expansion // J. Phys. A. 1989. V. 22. P. 2815–2823.
153. Mayer I. O. Sokolov A. I., Shalaev B. N. Critical exponents for cubic
and impure uniaxial crystals: most accurate theoretical values //
Ferroelectries. 1989. V. 95. № 1. P. 93–96.
154. Mermin N. D., Wagner H. // Phys. Rev. Lett. 1966. V. 17. P. 1133.
155. Mitchell P. W., Cowely R. A., Yoshizawa H. et al. // Phys. Rev. B.
1986. V. 34. P. 4719.
156. Mori M., Tsuda Y. Vectorized Monte Carlo simulation of large Ising
models near the critical point // Phys. Rev. B. 1988. V. 37. № 10.
P. 5444–5447.
157. Mouritsen O. G. Computer studies of phase transitions and critical
phenomena. Berlin; Heidelberg: Springer, 1984. — 329 p.
158. Mukamel D., Grinstein G. Critical behaviour of random systems //
Phys. Rev. B. 1981. V. 25. № 1. P. 381–388.
159. Müller-Krumbhaar H., Landau D. P. Tricritical relaxation in an
Ising-Glauber model with competing interactions // Phys. Rev. B.
1976 V. 14. № 5. P. 2014–2016.
160. Nelson D. R., Fisher M. E. Renormalization-group treatment of metamagnetic tricritical behaviour // Phys. Rev. B. 1975. V. 11. № 3.
P. 1030–1039.
161. Newman K. E., Riedel E. K. Cubic N-vector model and randomly
dilute Ising model in general dimensions // Phys. Rev. B. 1982.
V. 25. № 1. P. 264–280.
162. Newman M. E. J., Barkema G. T. Monte Carlo study of the
random-field Ising model // Phys. Rev. E. 1996. V. 53. № 2.
P. 393–404.
163. Oerding K. The dynamic critical exponent of dilute and pure Ising
systems // J. Phys. A. 1995. V. 28. P. L639–L643.
220
Библиографический список
164. Ogielski A. T. Integer optimization and zero-temperature fixed point
in Ising random-field systems // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57. № 10.
P. 1251–1254.
165. Ogielski A. T., Huse D. A. Critical behaviour of the three-dimensional
dilute Ising antiferromagnet in a field // Phys. Rev. Lett. 1986.
V. 56. № 12. P. 1298–1301.
166. Ohta T., Kawasaki K. Mode coupling theory of dynamic critical
phenomena for classical liquids // Progr. Theor. Phys. 1976. V. 55.
№ 5. P. 1384–1395.
167. Okano K., Schulke L., Yamagishi K. and Zheng B. Universality and
scaling in short-time critical dynamics // arXiv:cond-mat/9601037,
1996. V. 1.
168. Onsager L. A two-dimensional model with an order-disorder transition // Phys. Rev. 1944. V. 65. № 1. P. 117–149.
169. Parisi G. Field-theoretic approach to second-order phase transitions
in two- and three-dimensional systems // J. Stat. Phys. 1980. V. 23.
P. 49–82.
170. Parisi G., Sourlas N. Random magnetic fields, supersymmetry, and
negative dimensions // Phys. Rev. Lett. 1979. V. 43. № 11.
P. 744–745.
171. Paula G. L. S., Figueiredo W. Dynamical phase diagram of the random field Ising model // Eur. Phys. J. B. 1998. V. 1. № 4.
P. 519–522.
172. Pearson R. B., Richardson J. L., Toussaint D. Dynamic correlations
in the three-dimensional Ising model // Phys. Rev. B. 1985. V. 31.
№ 7. P. 4472–4475.
173. Pelissetto A., Vicari E. // Phys. Rev. B. 2000. V. 62. P. 6393.
174. Poole P. H., Jan N. Dynamical properties of the two- and threedimensional Ising models by «damage spreading» // J. Phys. A. 1990.
V. 23. P. L453–L459.
175. Prudnikov V. V. On the critical dynamics of disordered spin systems
with extended defects // J.Physics C: Solid State. 1983. V. 16. № 19.
P. 3685–3691.
176. Lawrie I. D., Prudnikov V. V. Static and dynamic properties of systems with extended defects: two-loop approximation // J. Physics C:
Solid State. 1984. V. 17. P. 1655–1668.
177. Markov O. N., Prudnikov V. V. Monte Carlo renormalization group
of dilute 2D Ising dynamics // Europhysics Letters. 1995. V. 29.
№ 3. P. 245–250.
178. Prudnikov V. V., Markov O. N. Critical dynamics of disordered
two-dimensional Ising systems: a Monte Carlo study // J. Physics
A: Math. Gen. 1995. V. 28. P. 1549–1556.
179. Prudnikov V. V., Fedorenko A. A. Critical behaviour of 3D systems
with long-range correlated quenched defects // J. Physics A: Math.
Gen. 1999. V. 32. № 36. P. L399–L405.
Библиографический список
221
180. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Fedorenko A. A. Static and dynamic critical properties of 3D systems with long-range correlated
quenched defects // J. Physics A: Math. Gen. 1999. V. 32. № 49.
P. 8587–8600.
181. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Fedorenko A. A. Field-theory approach to critical behaviour of systems with long-range correlated
defects // Physical Review В. 2000. V. 62. № 13. P. 8777–8786.
182. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Fedorenko A. A. Stability of critical behaviour of weakly disordered systems to introduction of potentials with replica symmetry breaking // J. Physics A: Math. Gen.
2001. V. 34. № 12. P. L145–L152.
183. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Fedorenko A. A. Stability of critical behaviour of weakly disordered systems with respect to the
replica symmetry breaking // Physical Review B. 2001. V. 63. № 18.
184201. P. 1–6.
184. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V. Critical behaviour of weakly disordered systems with replica symmetry breaking potentials // J.
Phys. Studies. 2001. V. 5. № 3/4. P. 285–292.
185. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Dorofeev S. V., Kolesnikov V. Y.
Monte Carlo studies of critical behaviour of systems with long-range
correlated disoder // Condensed Matter Physics. 2005. V. 8. № 1.
P. 213–224.
186. Borodikhin V. N., Prudnikov V. V. Study of a disordered antiferromagnetic Ising model with random fields // The Physics of Metals
and Metallography, 2005. V. 99. Suppl. 1. P. 24–27.
187. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V. The influence of disorder on the
critical sound attenuation in solids // J. Physics: Cond. Matter. 2005.
V. 17. № 46. L485–L492.
188. Yin J. Q., Zheng B., Prudnikov V. V., Trimper S. Short-time dynamics and critical behaviour of three-dimensional bond-diluted Potts
model // The European Physical Journal B. 2006. V. 49. № 2.
P. 195–203.
189. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V. Critical sound attenuation of
three-dimensional Ising systems // Condensed Matter Physics. 2006.
V. 9. № 2(46). P. 403–410.
190. Diehl H. W., Shpot M. A., Prudnikov P. V. Boundary critical behaviour at -axial Lifshitz points of semi-infinite systems with a
surface plane perpendicular to a modulation axis // J. Phys. A: Math.
Gen. 2006. V. 39. P. 7927–7942.
191. Pytte E., Imry Y., Mukamel D. // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 46.
P. 1173.
192. Racz Z., Collins M. F. Linear and nonlinear critical slowing down in
the kinetic Ising model: high-tempurature series // Phys. Rev. B.
1976. V. 13. № 11. P. 3074–3077.
222
Библиографический список
193. Rieger H. Critical behaviour of the 3D random field Ising model:
Two-exponent scaling or first order phase transition // Phys. Rev. B.
1995. V. 52. № 10. P. 6659–6672.
194. Rieger H., Young A. P. Critical exponents of the three-dimensional
random field Ising model // J. Phys. A. 1993. V. 26. P. 5279–5284.
195. Rogiers J., Indekeu J. O. Critical dynamics of the two-dimensional
kinetic Ising model: high-tempurature series analysis of the autorelaxation time // Phys. Rev. B. 1990. V. 41. № 10. P. 6998–7003.
196. Shalaev B. N. Critical behaviour of the two-dimensional Ising model
with random bonds // Phys. Rep. 1994. V. 237. № 3. P. 129–188.
197. Siggia E. D., Halperin B. I., Hohenberg P. C. Renormalization-group
treatment of the critical dynamics of the binary-fluid and gas-liguid
transition // Phys. Rev. B. 1976. V. 37. № 5. P. 2110–2123.
198. Slanic Z., Belanger D. P., Fernandez-Baca J. A. // Phys. Rev. Lett.
1999. V. 82. P. 426.
199. Sokolov A. I., Varnashev K. B., Mudrov A. I. Critical exponents for
the model with unique stable fixed point from three-loop RG expansions // Int. J. Mod. Phys. B. 1998. V. 12. № 12–13. P. 1365–1377.
200. Stauffer D. Violation of dynamical scaling for randomly dilute Ising
ferromagnets near percolation threshold // Phys. Rev. Lett. 1975.
V. 35. № 6. P. 394–397.
201. Stauffer D. Scaling theory of percolation clusters // Physics Reports.
1979. V. 54. № 1. P. 1–78.
202. Stauffer D. Coarse graining, Monte Carlo renormalisation, percolation threshold and critical temperature in the Ising model // J. Phys.
A. 1984. V. 17. P. L925–928.
203. Stauffer D. Introduction to percolation theory. — Taylor & Fransis,
1985. — 294 p.
204. Stauffer D., Hartzstein C., Binder K., Aharony A. // Z. Phys. B.
1984. V. 55. P. 352–361.
205. Stinchcombe R. B. Dilute magnetism. Phase transitions and critical
phenomena / ed. Domb C. and Lebowitz J. L. — New York: Acad.
press., 1983. V. 7. P. 151–191.
206. Stueckelberg E. C. G., Peterman A. La normalization des constantes
dans la theorie des quanta // Helv. Phys. Acta. 1951. V. 25. № 5.
P. 499–520.
207. Swendsen R. H., Wang J.-S. // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 86.
208. Talapov A. L., Shchur L. N. The critical region of the random-bond
Ising model // J. Phys.:CM. 1994. V. 6. P. 8295–8308.
209. Thurston, T. R., Peter C. J., Birgeneau R. J., Horn P. M. Critical behaviour of site-diluted three dimensional Ising magnet // Phys. Rev.
B. 1988. V. 37. P. 9559–9563.
210. Tobochnik J., Sarker S., Cordery R. Dynamic Monte Carlo renormalization group // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 46. № 21. P. 1417–1420.
Библиографический список
223
211. Wang F., Hatane N., Suzuki M. Study on dynamical critical exponents of the Ising model using the damage spreading method // J.
Phys. A. 1995. V. 28. № 16. P. 4543–4552.
212. Wang J. S., Chowdhury D. The critical behaviour of three-dimensional dilute Ising model: universality and the Harris criterion // J.
Phys. (Paris). 1989. V. 50. № 19. P. 2905–2910.
213. Wang J. S., Selke W., Dotsenko Vl. S., Andreichenko V. B. The
two-dimensional random bond Ising model at criticality — a Monte
Carlo study // Europhys. Lett. 1990. V. 11. № 4. P. 301–305.
214. Wang J. S., Selke W., Dotsenko Vl. S., Andreichenko V. B. The critical behaviour of the two-dimensional dilute Ising magnet // Physica
A., 1990. V. 164. P. 221–239.
215. Wansleben S., Landau D. P. Monte Carlo investigation of critical
dynamics in the three-dimensional Ising model // Phys. Rev. B. 1991.
V. 43. № 7. P. 6006–6014.
216. Weinrib A., Halperin B. I. Critical phenomena in systems with longrange-correlated quenched disorder // Phys. Rev. B. 1983. V. 27.
P. 413–427.
217. Wegner F. J. // Phys. Rev. B. 1972. V. 5. P. 4529.
218. Widom B. Equation of state in the neighbourhood of the critical
point // J. Chem. Phys. 1965. V. 43. № 11. P. 3898–3916.
219. Williams J. K. Monte Carlo estimate of the dynamical critical exponent
of the 2D kinetic Ising model // J. Phys. A. 1985. V. 18. № 1. P. 49–60.
220. Wilson K. G. // Phys. Rev. B. 1971. V. 4. P. 3174–3184.
221. Wilson K. G. Feynmann-graph expansion for critical exponents //
Phys. Rev. Lett. 1972. V. 28. № 9. P. 548–551.
222. Wilson K. G., Ficher M. E. Critical exponent in 3.99 dimensions //
Phys. Rev. Lett. 1972. V. 28. № 4. P. 240–241.
223. Wiseman S., Domany E. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 81. P. 22; Phys.
Rev. E. 1998. V. 58. P. 2938.
224. Wolf U. // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. P. 361.
225. Yacoby Y., Just S. // Solid State Commun. 1974. V. 15. P. 715.
226. Ye F., Zhou L., Larochelle S. // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 89.
P. 157202.
227. Ying H. P., Zheng B., Yu Y., Trimper S. Corrections to scaling for
the two-dimensional dynamic XY model // Phys. Rev. E. 2001. V. 63.
228. Young A. P., Nauenberg M. Quasicritical behaviour and first-order
transition in the d=3 random-field Ising model // Phys. Rev. Lett.
1985. V. 54. № 22. P. 2429–2432.
229. Yoshizawa H., Belanger D. P. // Phys. Rev. B. 1984. V. 30. № 11.
P. 5220–5228.
230. Zheng B. // Int. J. Mod. Phys. B. 1998. V. 12. P. 1419.
231. Zheng B. Monte Carlo simulations and numerical solutions of
short-time critical dynamics // arXiv:cond-mat/9910504, 1999. V. 1.
232. Zheng B., Ren F., Ren H. Corrections to scaling in two-dimensional
dynamic XY and fully frustrated XY models // Phys. Rev. E. 2003.
V. 68. P. 046120.
Документ
Категория
Другое
Просмотров
52
Размер файла
1 833 Кб
Теги
499
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа