close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

корни кв.трехчлена

код для вставкиСкачать
Министерство образования и молодежной политики Чувашской Республики
Автономное учреждение Чувашской Республики среднего профессионального образования
"Цивильский аграрно-технологический техникум"
Направление - физико-математическое и информационно-технологическое
Исследовательская работа:
Расположение корней квадратного трехчлена
Работу выполнила: Сергеева Ксения Владимировна, студентка 1 курса гр.14 Б специальности "Экономика
и бухгалтерский учет"
Руководитель:
Ешмейкина
Ирина Анатольевна,
преподаватель математики
Цивильск 2012
Содержание
1. Введение.
2. Теоретическая часть
2.1. Расположение корней квадратного трехчлена.
2.2. Десять правил расположения корней квадратного трехчлена
3. Практическая часть
3.1. Примеры решения задач
3.2. Расположение корней относительно одной точки.
3.3. Расположение корней относительно двух и более точек.
4. Выводы.
5. Использованная литература.
6. Приложения
Введение
Актуальность: в заданиях ГИА (часть 2) и ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), встречаются задачи с параметрами, которые часто вызывают большие трудности у учащихся. Причем часто учащиеся испытывают психологические проблемы, бояться таких задач, т.к. в школе и техникуме мало решают задачи, содержащие параметры.
Трудности при решении задач с параметрами обусловлены тем, что наличие параметра заставляет решать задачу не по шаблону, а рассматривать различные случаи, при каждом из которых методы решения существенно отличаются друг от друга.
Многие задачи с параметрами сводятся к исследованию расположения корней квадратного трехчлена относительно заданной точки или заданного промежутка (отрезка, интервала, луча).
Цель работы: исследовать расположение корней квадратного трехчлена относительно заданной точки или заданного промежутка.
Задачи:
1. Собрать материал по данной теме
2. Рассмотреть правила расположения корней квадратного трехчлена.
3. Решить задачи используя правила расположения корней квадратного трехчлена.
Объект исследования: квадратный трехчлен и расположение его корней.
Методы:
1. Поисково - собирательный.
Практическая значимость: данный материал поможет при подготовке к ЕГЭ студентам, желающим продолжить образование в ВУЗе. Теоретическая часть
2.1. Расположение корней квадратного трехчлена
Многие задачи с параметрами сводят к исследованию расположения корней квадратного трехчлена относительно заданной точки или заданного промежутка:
При каких значениях параметра корни ( или корень) квадратного уравнения больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа; расположены между двумя заданными числами; не принадлежат заданным промежуткам и т.д. и т.п.
График квадратичной функции у = ах²+вх+с имеет следующие расположения относительно оси абсцисс.
Квадратное уравнение х²+pх+q=0 либо не имеет решение (парабола вида D), либо имеет один или два положительных корня (С), либо имеет один или два отрицательных корня (А), либо имеет корни разных знаков (В).
Разберем параболу С. Чтобы уравнение имело корни необходимо, чтобы дискриминант D ≥ 0. Так как оба корня уравнения по построению должны быть положительными, то и абсцисса вершины параболы, лежащая между корнями, положительна, хв > 0.
Ордината вершины f(xв) ≤ 0 в силу того, что мы потребовали существование корней.
Если потребовать выполнение условия f(0) > 0, то в силу непрерывности исследуемой функции найдется точка х1(0;хв) такая, что f(х1) = 0. Очевидно, что это меньший корень уравнения. Итак, собирая все условия вместе, получаем: Квадратное уравнение х² + pх + q = 0 имеет два может быть кратных корня х1,х2 > М тогда и только тогда, когда
Рассуждая аналогичным образом, выведем следующие правила расположения корней квадратного трехчлена. 2.2. Десять правил расположения корней квадратного трехчлена
Правило 1. Квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 (а ≠ 0) (1) не имеет решений тогда и только тогда, когда D < 0.
Правило 2.1. Квадратное уравнение (1) имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D > 0.
Правило 2.2. Квадратное уравнение (1) имеет два, может быть, кратных корня тогда и только тогда, когда D ≥ 0.
Правило 3.1. Квадратное уравнение (1) имеет два корня х1 < М и х2 > М тогда и только тогда, когда аf (M) < 0[1].
Правило 3.2. Квадратное уравнение (1) имеет два корня х1 = М < х2 (х1 < М= х2) тогда и только тогда, когда Правило 4.1. Квадратное уравнение х2 + pх +q = 0 (2) ((1) при а ≠ 0) имеет два разных корня х1, х2 > М тогда и только тогда, когда где =
Правило 4.2. Квадратное уравнение (2) ((1)) имеет два может быть кратных корня х1,х2 > М тогда и только тогда, когда
Правило 4.3. Квадратное уравнение (2) ((1)) имеет два разных корня х1,х2 ≥ М тогда и
только тогда, когда Правило 4.4. Квадратное уравнение (2) ((1)) имеет 2, может быть кратных корня
х1, х2 ≥ М тогда и только тогда, когда
Правило 5.1. Квадратное уравнение (2) ((1)) имеет 2 разных корня х1, х2 < М тогда и только тогда, когда
Правило 6.1. Квадратное уравнение (2) ((1)) имеет корни х1 < N < M < х2 тогда и
только тогда, когда
Правило 6.2. Квадратное уравнение (2) ((1)) имеет корни х1 = N < М < х2 тогда и только тогда, когда
Правило 6.3. Квадратное уравнение (2) ((1)) имеет корни х1< N < M = х2 тогда и только тогда, когда
Правило 7.1. Квадратное уравнение (2) ((1)0 имеет корни х1 < m < x2 < M тогда и только тогда, когда Правило 7.2. Квадратное уравнение (2) ((1)) имеет корни N < x1 < M < x2 тогда и только тогда, когда
Правило 8.1. Квадратное уравнение (1) имеет разные корни N < x1 < x2 < M (может быть кратные корни N < x1 ≤ x2 < M) тогда и только тогда, когда
Правило 8.2. Квадратное уравнение (1) имеет разные корни N ≤ x1 < x2 < M (может быть кратные корни N ≤ x1 ≤ x2 < M) тогда и только тогда, когда
Правило 8.3. Квадратное уравнение (1) имеет разные корни N ≤ x1 < x2 ≤ M (может быть кратные корни N < x1 ≤ x2 ≤ M) тогда и только тогда, когда
Правило 8.4. Квадратное уравнение (1) имеет разные корни N ≤ x1 < x2 ≤ M (может быть кратные корни N ≤ x1 ≤ x2 ≤ M) тогда и только тогда, когда Правило 9. Квадратное уравнение (2) ((1)) имеет один корень внутри интервала (N; M), а другой расположен вне этого интервала тогда и только тогда, когда
f (N) f (M) < 0.
Правило 10. Квадратное уравнение (1) имеет единственное решение х1 = х2 > М (х1 = х2 < М) тогда и только тогда, когда
Практическая часть
3.1. Примеры решения задач.
Пример 1. При каких значениях а уравнение х² - 2ах + а² + 2а - 3 = 0
а) не имеет корней; б) имеет корни разных знаков;
в) имеет положительные корни; г) имеет два разных отрицательных корня?
Решение: а) По правилу 1 решений нет, когда дискриминант D= - 4(2а-3) < 0, откуда а > 3/2.
б) По правилу 3.1 для М = 0 имеем f(0)=а² + 2а - 3 < 0, откуда а(-3;1).
в) По правилу 4.2 для М=0
Откуда .
г) По правилу 5.1 для М=0 Откуда а < - 3.
3.2. Расположение корней относительно одной точки.
Пример 2. При каких значениях параметра а корни уравнения х² + 2(а+1)х + а² + а + 1 = 0 лежат на луче (-2;+∞).
Сделаем графический анализ задачи. По условию задачи возможны лишь следующие два случая расположения графика функции f(х) = х² + 2(а+1)х + а² + а + 1 относительно точки х = -2.
хв = - а - 1
Эти оба случая аналитически описываются условиями Отсюда следует, что 0 ≤ а < .
Пример 3. Найти все значения параметра а, при которых корни квадратного трехчлена х ² + х + а различны и не больше а. (Приложение 1)
3.3. Расположение корней относительно двух и более точек.
Пример 4. При каких значениях параметра m корни уравнения х² - 2mх + m² -1= 0 заключены между числами -2 и 4.
Дискриминант уравнения D = 4m² - 4m² + 4 = 4 есть полный квадрат. Найдем корни уравнения: х1= m+1, х2= m - 1. Эти корни удовлетворяют заданному условию, если Ответ: при m(-1;3).
Пример 5. При каких значениях параметра а уравнение 2х² + (а-4)х + а + 2 = 0 имеет различные корни, удовлетворяющие неравенству ‌│х-1│>2. (Приложение 2)
Выводы.
Решение квадратных уравнений с параметрами можно записать в виде схемы исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена Ах²+Вх+С.
Исследование случая А = 0 (если зависит от параметров).
1. Нахождение дискриминанта D в случае А≠0.
2. Если D - полный квадрат некоторого выражения, то нахождение корней х1, х2 и подчинение их условиям задачи.
3. Если корень квадратный из D не извлекается, то графический анализ задачи.
4. Аналитическое описание подходящих случаев расположения параболы, для чего учитываются:
> знак (значение) коэффициента при х²;
> знак (значение) дискриминанта;
> знаки (значения) квадратичной функции в изучаемых точках;
> расположение вершины параболы относительно изучаемых точек.
4. Объединение некоторых неравенств (систем).
5. Решение полученных систем.
Я нашла 10 правил расположения корней квадратного трехчлена. Решила задачи на расположение корней относительно одной точки; расположение корней относительно двух и более точек.
Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов математики, уровня математического и логического мышления, математической культуры.
Использованная литература
1. Мочалов, В.В. Уравнения и неравенства с параметрами/ В.В. Мочалов, В.В. Сильвестров.- Чебоксары: Изд-во Чуваш. Ун-та, 2000.- 144 с.
2. Кожухов, С.К. Различные способы решения задач с параметрами/ С.К. Кожухов // Математика в школе.- 1998. - № 6. 3. Еженедельное учебно - методическое приложение к газете "Первое сентября" "Математика" № 18, 2002г
Приложение 1
Пример 3. Найти все значения параметра а, при которых корни квадратного трехчлена х ² + х + а различны и не больше а. хв= -1/2
Найдем дискриминант D = 1 - 4а. учитывая, что не извлекается, решим пример графически.
Сделаем графический анализ. Так как корни х1, х2 функции f(х) = х² + х + а различны и х1≤ а, х2 ≤ а, то ее график может иметь лишь следующие расположения.
Опишем эти графики аналитически.
Откуда Приложение 2
Пример 5. При каких значениях параметра а уравнение 2х² + (а-4)х + а + 2 = 0 имеет различные корни, удовлетворяющие неравенству ‌│х-1│>2. Неравенство │х-1│>2 равносильно совокупности
Узнаем, при каких а корни уравнения различны, т.е. дискриминант D=а²-16а положителен, и либо оба меньше -1, либо оба больше 3, либо один из них меньше -1, а другой больше 3. График функции f(х)=2х²+(а-4)х+а+2 в этих случаях имеет следующие расположения:
Аналитически эти графики описываются условиями
1) 2) 3) Ответ: при а(16;+∞).
2
Автор
profobrazovanie
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
494
Размер файла
246 Кб
Теги
лена
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа