close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

12.Повышающий и понижающий операторы в квантовой механике Поваров А В

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Кафедра теоретической физики
А. В. Поваров
ПОВЫШАЮЩИЙ И ПОНИЖАЮЩИЙ
ОПЕРАТОРЫ
В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Методические указания
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета для студентов,
обучающихся по специальностям Физика, Радиофизика и электроника,
Микроэлектроника и полупроводниковые приборы
и направлениям Физика и Радиофизика
Яpославль 2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 531:530.145
ББК В 314я73
П 42
Учебное издание
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2009/ 2010 года
Поваров Александр Владимирович
Рецензент
кафедра теоретической физики
Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова
Повышающий и понижающий
операторы в квантовой механике
П 42
Поваров, А. В. Повышающий и понижающий операторы в квантовой
механике: метод. указания/ А. В. Поваров; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова – Яpославль: ЯрГУ, 2010. - 35 с.
В данных методических указаниях рассматривается применение метода
повышающего и понижающего операторов в квантовой механике. Показано, как использование коммутационных соотношений в квантовой механике даёт простой и эффективный способ для достижения физических
результатов. Разбирается указанный метод на примере двух задач – нахождения спектра энергии и собственных функций гармонического осциллятора и собственных функций оператора момента импульса.
Описывается применение подхода повышающего и понижающего оператора к методу вторичного квантования, в рамках квантовой механики
– квантование свободного электромагнитного поля.
Предназначены для студентов, обучающихся по специальностям
010701.65 Физика, 010801.65 Радиофизика и электроника, 010803.65 Микроэлектроника и полупроводниковые приборы и направлениям 010700.62
Физика и 010800.62 Радиофизика (дисциплина Квантовая теория“, блок
”
ОПД), очной и очно-заочной форм обучения.
Методические указания
Редактор, корректор И. В. Бунакова
Компьютерная верстка А. В. Поваров
Подписано в печать 13.09.2010. Формат 60 × 84/16.
Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman".
”
Усл. печ. л. 2,01. Уч.-изд. л. 1,5.
Тираж 150 экз. Заказ
УДК 531:530.145
ББК В 314я73
Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе
Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова.
c Ярославский государственный
университет им. П. Г. Демидова, 2009
Отпечатано на ризографе.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова.
150000 Ярославль, ул. Советская, 14.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исходя из вида выражения (20) можно вычислить матричные элементы повышающего и понижающего операторов гармонического осциллятора
Z
√
∗ +
(â+ )mn =
ψm
â ψn dV = Nn+ δm,n+1 = n + 1δm,n+1,
Z
√
∗
(â)mn =
ψm
âψn dV = Nn− δm,n−1 = nδm,n−1.
2
Собственные значения оператора момента импульса и квадрата момента импульса
Оператор момента импульса в квантовой механике определяется аналогично классическому моменту импульса, используя вместо векторов:
~r–радиус-вектора и p~–импульса соответствующие операторы ~ˆr = ~r и
~
pˆ~ = −i~▽
ˆ~
~
M
= [~ˆr × pˆ~] = −i~[~r × ▽]
Так как из (24) следует
ρ=
â + â+
√ ,
2
d
â − â+
= √ ,
dρ
2
то легко могут быть получены матричные элементы операторов импульса и координаты. Так, оператор импульса можно выразить через производную
√
d
d
i~ d
p̂x = −i~
=−
= −i m~ω ,
dx
x0 dρ
dρ
а оператор координаты x = x0ρ. Откуда легко получить матричные элементы оператора импульса
r
r
√
n
n+1
(px )mn = −i m~ω(
δm,n−1 −
δm,n+1)
2
2
и координаты
(x)mn =
r
~
(
mω
r
n
δm,n−1 +
2
r
n+1
δm,n+1).
2
Оператор Гамильтона выражается через â+ , â как
1
Ĥ = ~ω(â+â + ),
2
а его матричные элементы
(H)nm
1
= ~ω(n + )δn,m
2
отличны от нуля только на главной диагонали.
или в проекциях декартовых координат
∂
∂
− z ),
∂z
∂y
∂
∂
= ẑ pˆx − x̂pˆz = −i~(z
− x ),
∂x
∂z
∂
∂
= x̂pˆy − ŷ pˆx = −i~(x − y ).
∂y
∂x
M̂x = ŷ pˆz − ẑ pˆy = −i~(y
M̂y
M̂z
(7)
Эти же выражения можно представить в виде короткой тензорной записи
M̂i = ǫijk xj pˆk ,
где ǫlmn – полностью антисимметричный тензор Леви-Чевита, ǫ123 = 1.
Сопряженные операторы координаты и импульса, как известно, не
коммутируют
[x̂, pˆx ]f = (x̂pˆx − pˆx x̂)f = −i~(x
∂
∂
f−
xf ) = i~f,
∂x
∂x
где f – введенная для удобства вычислений волновая функция.
В короткой записи этот и другие коммутаторы можно записать как
[x̂i, pˆj ] = i~δij ,
[x̂i, xˆj ] = 0,
[p̂i, pˆj ] = 0,
(8)
где δij – символ Кронекера, равный 0, если i 6= j, и равный 1, если i = j.
Задание. Используя коммутаторы (8) и выражения (7) для проекций
момента импульса M̂i , убедиться в правильности следующих коммутаторов
[M̂ 2 , Mˆm] = 0,
32
(6)
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|m|
[x̂l , M̂m ] = i~ǫlmnxn,
Множитель, стоящий перед Pl , выбран так, чтобы ортогональные
функции Ylm были, кроме того, и нормированными к единице на поверхности шара, т. е.
[p̂l , M̂m ] = i~ǫlmnpˆn,
[M̂l , M̂m ] = i~ǫlmnM̂n .
Zπ Z2π
(9)
Выражения (9) позволяют сформулировать следующее утверждение
для произвольного оператора Â, зависящего от координаты и импульса
0
6.2
Для дальнейших вычислений удобно перейти к сферической системе
координат r, Θ, φ. Переход осуществляется по средством замены декартовых координат x, y, z через сферические r, Θ, φ
y = r sin Θ sin φ,
0
Гамма-функция
Гамма-функция Эйлера определяется посредством следущего интегрального равенства
[Âl , Mˆm ] = i~ǫlmnAˆn .
x = r sin Θ cos φ,
Yl∗′ m′ YlmsinΘdΘdπ = δl′ ,l δm′ ,m .
Γ(α) =
Z∞
e−x xα−1dx (α > 0),
0
интегрируя равенство по частям, получим
z = r cos Θ.
Γ(α + 1) = αΓ(α).
Существуют и обратные преобразования
p
y
r = x2 + y 2 + z 2 , φ = arctg ,
x
z
Θ = arccos .
r
При α = 1 и α = 1/2 равенство дает
(10)
Γ(1) = 1;
Переход от декартовых производных осуществляется обычным способом, как для сложной функции x(r, Θ, φ)
2
e−y dy =
√
π.
Используя эти соотношения, можно определить Γ(α) для значений α =
(n + 1)/2, где n = 0, 1, 2, .... Для других значений следует пользоваться
специальными таблицами.
6.3
После учета (10) и вычисления производных получаем
6
Z∞
0
∂
∂r ∂
∂Θ ∂
∂φ ∂
=
+
+
,
∂x
∂x ∂r ∂x ∂Θ ∂x ∂φ
∂r ∂
∂Θ ∂
∂φ ∂
∂
=
+
+
,
∂y
∂y ∂r
∂y ∂Θ ∂y ∂φ
∂
∂r ∂
∂Θ ∂
∂φ ∂
=
+
+
.
∂z
∂z ∂r
∂z ∂Θ ∂z ∂φ
∂
cos Θ cos φ ∂
sin φ ∂
∂
= sin Θ cos φ +
−
,
∂x
∂r
r
∂Θ r sin Θ ∂φ
∂
cos Θ sin φ ∂
cos φ ∂
∂
= sin Θ sin φ +
+
,
∂y
∂r
r
∂Θ r sin Θ ∂φ
∂
∂
sin Θ ∂
= cos Θ −
.
∂z
∂r
r ∂Θ
1
Γ( ) = 2
2
(11)
Матричные элементы
В различных задачах бывает необходимо использование матричных
выражений. Матричные элементы физического оператора F̂ вычисляются как
Z
∗
(F )mn = ψm
F̂ ψn dV,
где ψn – собственные функции некоторого эрмитового оператора, удовлетворяющие свойствам (1) и (2).
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Собственное значение энергии поля
X
1
E=
~ωk (Nk,α + ),
2
(55)
k,α
где Nk,α – целые числа. Оператор импульса поля вычисляется аналогичным способом. Опуская промежуточные вычисления, получим
Z ~ˆ ~ˆ
X ~~k
[E × H]
dV = ... =
(ĉ+ ĉk,α + ĉk,α ĉ+
P̂ =
k,α ).
4πc
2 k,α
k,α
Собственное значение импульса поля согласуется с собственным значением энергии поля
X
1
P~ =
~~k(Nk,α + ).
2
k,α
Формула (55) для энергии поля обнаруживает следующую трудность.
Наиболее низкому уровню энергии поля соответствует равенство нулю
квантовых чисел Nk,α всех осцилляторов(это состояние называют состоянием вакуума электромагнитного поля). Но даже в этом состоянии каждый осциллятор обладает отличной от нуля ”нулевой энергией” ~ω/2.
При суммировании по всему бесконечному числу осцилляторов мы получим бесконечный результат. Таким образом, мы сталкиваемся с одной
из ”расходимостей”, к которым приводит отсутствие полной логической
замкнутости существующей теории.
Формально эту трудность можно устранить вычеркиванием энергии
нулевых колебаний. Когда речь идёт лишь о собственных значениях энергии поля, это можно сделать, написав для энергии и импульса поля
X
X
E=
~ωk Nk,α , P~ =
~~kNk,α
k,α
k,α
(другой непротиворечивый способ – условиться понимать произведения
операторов в (54) как ”нормальные”, т. е. такие, в которых операторы
ĉ+
k,α располагаются всегда левее операторов ĉk,α ).
Эти формулы позволяют ввести основное для квантовой электродинамики понятие о квантах поля, или фотонах. Мы можем рассматривать
свободное электромагнитное поле как совокупность частиц, каждая из
28
Повышающий и понижающий операторы связаны эрмитовым сопряжением
+
M̂± = M̂∓ .
Действие повышающего оператора на волновую функцию приводит к
изменению её номера
(+)
M̂+ ψm = Cm
ψm+~ ,
(+)
здесь Cm – неизвестный коэффициент.
Для нахождения этого коэффициента применим следующий метод.
Вычислим интеграл
Z
Z
(+) 2
∗
(+) 2
|.
ψm+~dV = |Cm
ψm+~
|
(M̂+ψm )∗(M̂+ ψm )dV = |Cm
Затем воспользуемся эрмитовостью операторов M̂+ и M̂− и вычислим
этот интеграл другим способом
Z
Z
+
∗
(15)
(M̂+ψm ) (M̂+ψm )dV = (ψm )∗(( M̂+M̂+ )ψm dV.
Для дальнейших вычислений нам понадобится вычислить комбинацию
операторов M̂− M̂+ , которую можно представить через операторы момента импульса
M̂− M̂+ = (M̂x − iM̂y )(M̂x + iM̂y ) = M̂x2 + M̂y2 + i(M̂x M̂y − M̂y M̂x )
= M̂x2 + M̂y2 + ~M̂z
= M̂x2 + M̂y2 + ~M̂z ± M̂z2 = M̂ 2 − ~M̂z − M̂z2 .
Воспользуемся этим выражением и подставим его в (15). Действуя операторами на волновые функции
M̂z ψm = Mz ψm ,
M̂ 2 ψm = M 2 ψm
∂
, найдём, что
с учетом того, что M̂z = P̂φ = −i~ ∂φ
1
ψm = √ eimφ , Mz = ~m, m = 0, ±1, ±2...,
2π
откуда получим
Z
Z
2
2
2 2
∗
2
2
∗
ψm )dV =
ψm (M̂ − ~M̂z − M̂z )ψm dV = (M − ~ m − ~ m ) (ψm
= M 2 − ~2m − ~2m2 .
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
После чего получим для искомого коэффициента
следующее выражение
√
(+)
(+)
|Cm |2 = M 2 − ~2m − ~2 m2 , или Cm = M 2 − ~2m − ~2m2 .
После действия повышающего оператора меняется на единицу (в единицах ~) собственное значение у собственной функции
(+)
M̂+ ψm = Cm
ψm+1.
При этом действие повышающего оператора на собственную функцию с
максимально возможным собственным значением даёт нуль:
M̂+ ψl = 0,
(+)
Cl
2
откуда следует, что
= 0, а собственное значение оператора квадрата
момента импульса M = ~2 l(l + 1).
(+)
Следовательно, константа Cm зависит от двух квантовых чисел l и
m и её можно переписать как
p
(+)
Clm = ~ l(l + 1) − m(m + 1).
Аналогичные вычисления для понижающего оператора приводят, в чем
рекомендуется убедиться самостоятельно, к
p
(−)
Clm = ~ l(l + 1) − m(m − 1).
Для нахождения спектра собственных функций обратимся к явному
виду повышающего оператора (14) в сферической системе координат,
используя выражения (12), его можно записать в следующем виде
±iφ
M̂± = ~e
∂
∂
±
).
(i ctg Θ
∂φ ∂Θ
Так как действие повышающего оператора на волновую функцию ψl с
максимальным собственным значением l даёт нуль M̂+ ψl = 0, получим
следующее дифференциальное уравнение в частных производных
∂ψl ∂ψl
+
= 0.
i ctg Θ
∂φ
∂Θ
Для решения этого уравнения сделаем разделение переменных ψl (Θ, φ) =
X(Θ)Φ(φ), пусть X(Θ) функция только от Θ, а Φ(φ) функция только от
φ.
∂Φ
∂X
= −i ctg ΘX
.
Φ
∂Θ
∂φ
10
и следовательно
∂H
= −Π̇k,α .
∂Qk,α
Соотношения выполняются, и значит Qk,α и Πk,α – канонические сопряженные переменные.
Перейдем теперь к квантованию свободного электромагнитного поля. Изложенный способ классического описания поля делает очевидным
путь перехода к квантовой теории. Мы должны рассматривать теперь
канонические переменные – обобщенные координаты Qk,α и обобщенные
импульсы Πk,α – как операторы с правилом коммутации
[Q̂k,α , Π̂k′,α′ ] = i~δk,k′ δα,α′ ,
(51)
[Q̂k,α , Q̂k′,α′ ] = [Π̂k,α , Π̂k′,α′ ] = 0.
∗
Вместе с ними становятся операторами и переменные ck,α (t),ck,α (t), которые согласно (49) выражаются теперь через операторы Q̂k,α , Π̂k,α
ωk Q̂k,α + iΠ̂k,α
√
,
2~ωk
ωk Q̂k,α − iΠ̂k,α
√
ĉ+
.
k,α (t) =
2~ωk
ĉk,α (t) =
(52)
Правило коммутации между ĉk,α и ĉ+
k,α получается с помощью определения (52) и правила (51)
+
ĉk,α ĉ+
k,α − ĉk,α ĉk,α = 1.
(53)
Для векторного потенциала мы возвращаемся к разложению вида (40),
в котором, однако, коэффициенты являются теперь операторами
√
X 4π~c2 ∗
~
~
√
ĉk,α ~ek,α ei(k~r−ωk t) + ĉk,α~ek,α e−i(k~r−ωk t)
Â(~r, t) =
2ωk V
~
k,α
и, следовательно, векторный потенциал сам становится оператором. Опе~ˆ и H.
~ˆ Гамильтониан поля, выраженный чераторами полей становятся E
рез операторы ĉk,α , ĉ+
k,α , имеет вид, который совпадает с решением для
осциллятора (31)
X ~ωk
Ĥ =
(ĉ+ ĉk,α + ĉk,α ĉ+
(54)
k,α ).
2 k,α
k,α
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
т. к. (kx − kx′ )A = 2πN , где N целое число. В случае kx = kx′ экспонента в
интеграле даёт единицу и интеграл равен пространственному параметру
A. Поэтому для интегралов, входящих в (42), получаем
Z
′
ei(k−k )r dV = V δk,k′ ,
Z
′
ei(k+k )r dV = V δk,−k′
где оператор Гамильтона имеет вид
После подстановки интегралов в выражение (42) и упрощения записи
получим следующее выражение
XX√
∗
∗
∗
∗
2π~
ωk′ ωk ck,α (t)ck′ ,α′ (t) ~ek,α~ek′ ,α′ δk,k′ + ck,α (t)ck′ ,α′ (t)~ek,α~ek′ ,α′ δk,k′
~
. Используя
построить из входящих в (16) m, ω и ~, является x0 = mω
его, можно перейти к безразмерной переменной ρ = x/x0, при этом
Ĥ =
=
∗ ∗
∗
∗
ck,α (t)ck′,α′ (t) ~ek′ ,α′ ~ek,α δ−k,k′ − ck,α (t)ck′ ,α′ (t)~ek,α~ek′ ,α′ δ−k,k′
X ∗
∗
∗
∗
2π~
ωk ck,α (t)ck,α′ (t) ~ek,α~ek,α′ + ck,α (t)c,α′ (t)~ek,α~ek,α′
d
dρ d
1 d
=
=
dx dx dρ x0 dρ
∗ ∗
∗
∗
ck,α (t)c−k,α′ (t) ~e−k,α′~ek,α − ck,α (t)c−k,α′ (t)~ek,α~e−k,α′ .
Ĥ =
(43)
Для второго слагаемого вычисления полностью повторяют все этапы
первого, за исключением выражений с векторными произведениями векторов ~k и ~ek,α
Z
Z XX
∗
2π~c2 ∗
~ ~′
2
~
H dV =
ck,α (t)ck′ ,α′ (t) [~k ′ ×~ek,α ][~k × ~ek′ ,α′ ]e−i(k−k )~r
√
V ωk ′ ωk
[Ĥ, â] = æâ,
24
(17)
где повышающий оператор будем искать в виде линейной комбинации
â = α
d
+ βρ.
dρ
(18)
Подставляя (18) в (17), получим
(44)
~k,α,α′
∗
∗
+ ck,α (t)ck,α′ (t) [~k × ~ek,α ][~k ×~ek,α′ ] +
− ck,α (t)c−k,α′ (t) [−~k × ~e−k,α′ ][~k × ~ek,α ] −
∗
∗
∗
∗
− ck,α (t)c−k,α′ (t) [~k ×~ek,α ][−~k ×~e−k,α′ ].
~ω
d2
(− 2 + ρ2 ).
2
dρ
Запишем коммутационное соотношение (4) в случае гармонического
осциллятора
~k ′ ,α′ ~k,α
∗
∗
~′ ~
+ ck,α (t)ck′ ,α′ (t) [~k ′ × ~ek,α ][~k ×~ek′ ,α′ ]e−i(k −k)~r −
~′ ~
− ck,α (t)ck′ ,α′ (t) [~k ′ × ~ek′ ,α′ ][~k × ~ek,α ]ei(k +k)~r −
∗
∗
∗
∗
~′ ~
− ck,α (t)ck′ ,α′ (t) [~k ×~ek,α ][~k ′ ×~ek′ ,α′ ]e−i(k +k)~r dV =,
X 2π~c2 ∗
∗
ck,α (t)ck,α′ (t) [~k ×~ek,α ][~k × ~ek,α′ ]
=
√
ω−k ωk
d2
1 d2
=
.
dx2
x20 dρ2
и
Тогда оператор Гамильтона (16) можно переписать в виде
~k,α,α′
−
(16)
Необходимо найти собственные функции {ψn } и собственные значение
{En} гармонического осциллятора.
Для упрощения вычислений необходимо перейти к безразмерным переменным. Единственным параметром размерности [м],qкоторый можно
~k ′ ,α′ ~k,α
−
p̂2
1
h2 d2
1
+ mω 2 x2 = −
+ mω 2 x2.
2
2m 2
2m dx
2
~ω
d2
d
d
d2
{(− 2 + ρ2 )(α + βρ) − (α + βρ)(− 2 + ρ2 )}
2
dρ
dρ
dρ
dρ
d2
~ω
d
~ω
2 d
{−β[ 2 , ρ] + α[ρ , ]} = − {2β + 2αρ},
=
2
dρ
dρ
2
dρ
[Ĥ, â] =
здесь мы использовали следующие коммутаторы
[
d
d2
, ρ] = 2 ,
dρ2
dρ
[ρ2 ,
(45)
13
d
] = −2ρ.
dρ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приравнивая правую и левую часть выражения (17), получаем соотношение
ck,α (t) – амплитуды, коэффициенты разложения, зависящие от ~k и поляризации α. Временная зависимость у коэффициента в виде
d
d
~ω
(2β + 2αρ) = æ(α + βρ).
2
dρ
dρ
ck,α (t) = ck,α e−iωk t ,
ċk,α (t) = −iωk ck,α (t),
−
Откуда запишем систему алгебраических уравнений
−~ωβ = æα,
−~ωα = æβ,
решая которую, находим (~ω)2 = (æ)2, α2 = β 2. Выбор æ = −~ω, α = β
соответствует понижающему оператору â, для повышающего оператора
â+ нужно выбрать æ = ~ω и −α = β. Отметим, что понижающий и
повышающий операторы связаны эрмитовым сопряжением
где ωk = c|k|.
~ иH
~ в силу (38) и (40) выражаются, как
Поля E
√
X 4π~ωk ~
∗
∗
~
~
~ = − 1 ∂ A = −i
√
− ck,α (t) ~ek,α eik~r + ck,α (t)~ek,α e−ik~r ,
E
c ∂t
2V
~
k,α
~ = rotA
~=i
H
X
~k,α
+
â = â+ .
√
∗
∗
4π~c2 ~
~
√
ck,α (t)[~k × ~ek,α ]eik~r + ck,α (t)[~k ×~ek,α ]e−ik~r .(41)
2ωk V
При вычислении (41) использовали
Действие понижающего и повышающего оператора на собственную
функцию гармонического осциллятора можно записать, как
âψEn = N−ψEn −hω
â ψEn = N+ψEn +hω
~
rotx (~ek,α eik~r ) =
(19)
~
âψn = Nn−ψn−1 ,
â ψn = Nn+ψn+1 ,
(20)
+
Nn−
где
и
– неизвестные пока коэффициенты.
Действие оператора Гамильтона на волновую функцию основного состояния даёт ”нулевую” энергию – энергию основного состояния
(21)
а действие понижающего оператора на волновую функцию основного
состояния дает нуль
âψ0 = 0.
Исходя из явного вида понижающего оператора, запишем обыкновенное
дифференциальное уравнение
14
~
Для вычисления полной энергии поля сосчитаем по отдельности слагаемые в выражении (39). Для первого слагаемого
Z
Z XX
∗
∗
4π~ ~′ ~
~E2dV =
ωk′ ωk ck,α (t)ck′ ,α′ (t) ~ek,α~ek′ ,α′ e−i(k −k)~r +
√
′
2V ωk ωk
~k ′ ,α′ ~k,α
Nn+
Ĥψ0 = E0ψ0 ,
~
= i(~ek,α )z ky eik~r − i(~ek,α )y kz eik~r = ieik~r [~k × ~ek,α ]x .
+
или опуская обозначение энергии в собственных функциях в виде
∂
∂
~
~
(~ek,α eik~r )z − (~ek,α eik~r )y
∂y
∂z
∗
∗
~ ~′
+ ωk ωk′ ck,α (t)ck′ ,α′ (t)~ek,α~ek′ ,α′ e−i(k−k )~r −
∗ ∗
∗
∗
~′ ~
− ωk′ ωk ck,α (t)ck′ ,α′ (t)~ek,α~ek′ ,α′ e−i(k −k)~r
~′ ~
− ωk′ ωk ck,α (t)ck′ ,α′ (t) ~ek′ ,α′ ~ek,α ei(k +k)~r dV.
(42)
Интегрирование по пространственной координате в (42) затрагивает только экспоненты. Рассмотрим интеграл следующего вида подробнее
ZA
0
′
′
ei(kx −kx )x dx =
ei(kx −kx)A − 1
= Aδkx ,kx′ ,
i(kx − kx′ )
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
неизменными: оператор âk уменьшает переменную Nk на 1, после чего â+
k
возвращает её к исходному значению â+
â
=
N
.
Аналогичным
образом
k
k
k
найдем âk â+
k = Nk + 1, откуда получим коммутационное соотношение
(32). Этот результат применим к системе из одинаковых бозонов.
В случае системы из одинаковых фермионов волновая функция антисимметрична
ψn1 (x1) ψn1 (x2) ... ψn1 (xN ) 1 ψn2 (x1) ψn2 (x2) ... ψn2 (xN ) ψ(n1, n2, .., nk , ..., nN ) = √ . (33)
...
... ...
N ! ...
ψn (x1) ψn (x2) ... ψn (xN ) N
N
N
В связи с тем, что функция антисимметрична, прежде всего, возникает
вопрос о выборе её знака. В случае статистики Бозе этого вопроса не было, так как, ввиду симметричности волновой функции, раз выбранный её
знак сохранялся при всех перестановках частиц. Для того чтобы сделать
знак функции определенным, условимся устанавливать его следующим
образом. Перенумеруем раз и навсегда все состояния ψi последовательными номерами. После этого будем заполнять строки определителя (33)
всегда таким образом, чтобы было
n1 < n2 < n3 < ... < nN ,
причём в столбцах стоят функции различных переменных в последовательности x1, x2, ..., xN . Среди чисел n1 , n2, ... не может быть равных, так
как в противном случае определитель обратится в нуль. Другими словами, числа заполнения ni могут иметь только два значения 0 или 1.
â+
k ψ(n1 , n2 , .., 0k , .., nN )
âk ψ(n1 , n2, .., 1k , .., nN )
â+
k ψ(n1 , n2 , .., 1k , .., nN )
âk ψ(n1 , n2, .., 0k , .., nN )
=
=
=
=
±ψ(n1, n2, .., 1k , .., nN ),
±ψ(n1, n2, .., 0k , .., nN ),
0,
0.
Используя (25) и свойство эрмитового сопряжения для левой части выражения (27), получим
Z+∞
Z+∞
Z+∞
1
Ĥ
∗
∗ +
− )ψn dx
(âψn ) (âψn )dx =
(ψn) â âψn dx =
(ψn)∗(
~ω 2
−∞
−∞
−∞
En 1
− .
=
~ω 2
(28)
Далее, сравнивая полученные выражения (27), (28) и подставляя (23),
для энергии получим равенство
~ω
(2n + 1) 1
En 1
− = 2
− = n.
~ω 2
~ω
2
Аналогично для повышающего оператора
(Nn− )2 =
â+ ψn = Nn+ ψn+1,
Z+∞
Z+∞
+
∗ +
+ 2
(â ψn ) (â ψn )dx = (Nn )
(ψn+1)∗ψn−1 dx = (Nn+ )2.
−∞
(29)
−∞
Используя (26), (29), получим
~ω
(2n + 1) 1
En 1
+ = 2
+ = n + 1.
~ω 2
~ω
2
Дальнейший спектр собственных функций находим, последовательно,
применяя повышающий оператор к собственным функциям
(Nn+)2 =
â+ ψ0 = N0+ ψ1
d
1
1
2
√ (− + ρ) p √ e−ρ /2 = ψ1
dρ
2
x0 π
s
2
2
√ ρe−ρ /2, N0+ = 1.
ψ1 =
x0 π
Здесь посредством 0k , 1k обозначены значения nk = 0, nk = 1, а знак ”+”
или ”-” берется, смотря по тому, четное или нечетное число занятых (ni =
1) состояний предшествует состоянию k, если состояния расположить в
порядке возрастания.
Произведение операторов â+
k âk при воздействии на волновую функцию может дать значения равные единице при Nk = 1 и нулю при Nk = 0;
Следующую функцию спектра найдем, подействовав на ψ1 повышающим оператором
â+ ψ1 = N1+ ψ2
20
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
s
√
1
2
d
2
√ ρe−ρ /2 = 2ψ2
√ (− + ρ)
x0 π
2 dρ
s
√
1
2
√ (2ρ2 − 1)e−ρ /2, N1+ = 2
ψ2 =
2x0 π
и т. д.
4
Представление чисел заполнения
Заметим, что можно ввести новый оператор – оператор индекса состояния
N̂ = â+ â,
действие которого на волновую функцию даёт номер состояния волновой
функции
N̂ ψn = nψn .
Теперь можно записать оператор Гамильтона через оператор индекса
состояния
~ω
1
Ĥ =
(ââ+ + â+ â) = ~ω(N̂ + ).
2
2
(30)
Переход к представлению чисел заполнения заключается в том, что
вместо того, чтобы задавать ψ как функцию координат (координатное
представление) или как функцию от импульсов (импульсное представление), состояние системы характеризуют числом заполнения n– номером
возбужденного состояния.
Представим себе осциллятор, находящийся в возбужденном состоянии ψn (n ≥ 1), как совокупность n квантов возбуждения, каждый из
которых имеет энергию ~ω. То, что энергия линейно зависит от от числа
n, приводит к неразличимости квантов возбуждения. В таком подходе
операторы повышения â+ и понижения â номера возбуждённого состояния приобретают смысл операторов рождения и уничтожения квантов
возбуждения. Индекс n равен теперь числу квантов возбуждения в состоянии ψn , а оператор N̂ становится оператором числа квантов.
Состояние ψn , содержащее n квантов (частиц), может быть получено
из основного состояния ψ0, не содержащего частиц (которое вследствие
18
этого можно назвать вакуумным состоянием), n-кратным применением
оператора рождения
(â+ )nψ0
√
= ψn .
n!
Отметим, что частицы соответствуют не самому осциллятору, а квантам
его возбуждения.
Для перехода к случаю многих степеней свободы N > 1 вводится
набор N осцилляторов с различными частотами ωk . Индекс k пробегает
N значений ω1 , ω2, ..., ωN . Гамильтониан представляется суммой
X
X
1
Ĥ =
Ĥk =
~ω(â+
(31)
k âk + ).
2
k
k
+
â+
k , âl
Операторы
удовлетворяют перестановочным соотношениям при
совпадающих индексах k = l и коммутируют при k 6= l, т. е.
[âk , â+
l ] = δkl ,
+
[âk , âl ] = [â+
k , âl ] = 0.
(32)
Произвольное состояние системы характеризуется здесь набором чисел заполнения n1, n2, ..., nN . Состояние
ψ(n1 , n2, .., nk , .., nN ) =
(â+)nk
( √k )ψ0
nk !
1≤k≤N
Y
содержит n1 частиц 1-го сорта с энергией ~ω1, n2 частиц 2-го сорта с
энергией ~ω2 и т. д.
Оператор âk , действующий теперь на функции чисел заполнения, действуя на состояние ψ(n1, n2, .., nk , .., nN ), уменьшает на единицу значение
√
переменной nk , одновременно умножая функцию на nk
√
âk ψ(n1, n2, .., nk , .., nN ) = nk ψ(n1 , n2, .., nk − 1, .., nN ).
Можно сказать, что оператор âk уменьшает на единицу число частиц,
находящихся в k-ом состоянии; его называют поэтому оператором уничтожения частиц. Сопряженный с âk оператор â+
k увеличивает на 1 число
частиц в k-ом состоянии; его называют оператором рождения частиц
√
â+
nk + 1ψ(n1, n2, .., nk + 1, .., nN ).
k ψ(n1 , n2 , .., nk , .., nN ) =
Произведение операторов â+
k âk при воздействии на волновую функцию
может лишь умножить её на постоянную, оставляя все переменные n1 , n2, ...
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
d
через â, â+
Выразим ρ, dρ
ρ=
это можно записать в виде
â + â+
√ ,
2
â − â+
d
= √ .
dρ
2
Теперь можно переписать оператор Гамильтона через повышающий и
понижающий операторы
2
+
â+
k âk = Nk .
(24)
Перемножая операторы в обратном порядке, получим значения равные
единице при Nk = 0 и нулю при Nk = 1, что можно записать, как
âk â+
k = 1 − Nk .
+
â + â
d
~ω
â − â
~ω
(− 2 + ρ2 ) =
(−( √ )2 + ( √ )2)
Ĥ =
2
dρ
2
2
2
~ω
+
+
=
(ââ + â â).
2
Комбинации повышающих, понижающих операторов дают
d
d
+ ρ dρ
+ρ
− dρ
1
d2
d
d
√
)( √ ) = (− 2 + ρ2 − ( ρ − ρ ))
2 dρ
dρ
dρ
2
2
1
Ĥ
− ;
=
~ω 2
+
âk â+
k + âk âk = 1.
+
В случае i 6= k действие операторов â+
i âk и âk âi отличаются знаком и
их сумма равна нулю; общий результат можно записать, как
+
âi â+
k + âk âi = δik ,
+ +
+
âi âk + âk âi = âi âk + â+
k âi = 0.
(25)
1
d2
d
d
(− 2 + ρ2 + ( ρ − ρ ))
2 dρ
dρ
dρ
(26)
коммутатора
[â, â+] = 1.
Для нахождения спектра собственных функций с помощью понижающего (повышающего) оператора необходимо найти коэффициенты Nn− ,
(Nn+), для этого используем
âψn = Nn− ψn−1,
(âψn )∗ = Nn− (ψn−1)∗,
Z+∞
Z+∞
∗
− 2
(âψn ) (âψn )dx = (Nn )
(ψn−1)∗ψn−1dx = (Nn−)2.
−∞
−∞
16
(35)
Сравнивая (34) и (35), получим
â+ â = (
d
d
dρ + ρ − dρ + ρ
)=
ââ+ = ( √ )( √
2
2
1
Ĥ
+ .
=
~ω 2
Сравнивая (25) и (26), получим для
(34)
Таким образом, мы видим, что операторы âi и âk ( или â+
k ) с i 6= k оказываются антикоммутативными, между тем как в случае статистики Бозе они коммутировали друг с другом. Это различие вполне естественно.
В случае статистики Бозе операторы âi и âk были совершенно независимы; каждый из операторов âi действовал только на одну переменную Ni ,
причем результат воздействия не зависел от значений остальных чисел
заполнения. В случае же статистики Ферми результат воздействия оператора âi зависит не только от самого числа Ni , но и от чисел заполнения
всех предыдущих состояний. Поэтому действие различных операторов
âi , âk не может рассматриваться как независимое.
Теорема Паули устанавливает связь спина и статистики. Частицы с
целочисленным спином (бозоны) подчиняются статистике Бозе и коммутационным соотношениям (32), а частицы с полуцелым спином (фермионы) подчиняются статистике Ферми и антикоммутационным соотношениям (36).
5
(27)
(36)
Квантование свободного электромагнитного поля
Рассмотрим электромагнитное поле как объект, характеризуемый бесконечным, но дискретным набором переменных, такое описание позволит
непосредственно применить обычный аппарат квантовой механики.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свободное электромагнитное поле описывается векторным потенциа~ r, t), удовлетворяющим условию поперечности
лом A(~
~ = 0.
div A
(37)
~ = rotA.
~
H
ψ0 = Ce−ρ
(38)
~
Уравнения Максвелла сводятся к волновому уравнению для A
2~
~ − ∂ A = 0.
△A
∂t2
~ иH
~ как
Энергия поля выражается через поля E
Z ~2 ~2
E +H
dV,
H=
8π
а импульс поля как
Z ~ ~
[E × H]
dV.
P~ =
4πc
,
−∞
откуда коэффициент равен C0 = √ 1 √ и собственная функция нулевого
x0 π
(39)
Суммирование производится по бесконечному дискретному набору зна2π
чений волнового вектора (его трёх компонент kx = 2π
A nx , ky = B ny ,
2π
kz = C nz ) и поляризациям α. В конечный объём V = ABC ( A, B, C
– линейные размеры в "ящике") укладывается целое число узлов, узлы в начале и конце объёма. Вектор ~ek,α – единичный вектор перпендикулярный волновому вектору ~k в силу условия (37). Существует два
независимых вектора (поляризации α = 1, 2), удовлетворяющих
22
/2
где C – нормировочный коэффициент, который можно найти из условия
нормировки.
−∞
k,α
~ek,α~ek,β = δα,β .
2
Z+∞
Z+∞
√
2
∗
2
1=
(ψ0) ψ0dx = |C0 | x0
e−ρ dρ = |C0 |2 x0 π,
Как известно, в классической электродинамике переход к описанию с
помощью дискретного ряда переменных осуществляется путём рассмотрения поля в некотором большом, но конечном объёме пространства V .
Поле в конечном объёме может быть разложено на бегущие плоские волны, так что его потенциал можно представить рядом вида
√
X 4π~c2 ∗
∗
~
~
~ r, t) =
√
A(~
ck,α (t) ~ek,α eik~r + ck,α (t)~ek,α e−ik~r .
(40)
2ωk V
~
~k~ek,α = 0,
d
)ψ0 = 0,
dρ
решая которое, получим
~ иH
~
При этом скалярный потенциал Φ = 0, а поля E
~
~ = − 1 ∂A,
E
c ∂t
α(ρ +
(основного) состояния равна
1
2
ψ0 = p √ e−ρ /2.
x0 π
(22)
Подставляя результат (22) в уравнение (21), получим
~ω
~ω
d2
1
1
2
2
p √ (1 − ρ2 + ρ2 )e−ρ /2 =
(− 2 + ρ2 ) p √ e−ρ /2 =
2
dρ
2
x0 π
x0 π
1
~ω
~ω
2
p √ e−ρ /2 =
ψ0 ,
=
2
2
x0 π
откуда найдём энергию, соответствующую нулевому уровню или основному состоянию
~ω
.
E0 =
2
Общее выражение для энергии найдем из выражения (19), откуда следует
~ω
(2n + 1).
(23)
2
Для удобства вычислений доопределим
неопределенный коэффициент α,
√
будем считать, что α = 1/ 2. Тогда
En = E0 + n~ω =
1 d
â = √ ( + ρ),
2 dρ
d
1
â+ = √ (− + ρ).
2 dρ
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
откуда следует, что константа равна
r
(2l + 1)!
cl =
.
2πl!l!22l+1
Теперь можно записать собственные функции для различных значений
l так
1
,
ψ00 =
4π
r
3
ψ11 =
sin Θeiφ ,
8π
r
15
ψ22 =
sin2 Θe2iφ ,
32π
r
35
sin3 Θe3iφ .
ψ33 =
64π
Нахождения спектра собственных функций сведется в дальнейшем к
действию на эти функции понижающего оператора, например
√
(−)
(−)
M̂− ψ11 = c1 ψ10, c1 = ~ 2,
√
(−)
(−)
M̂− ψ10 = c0 ψ1−1, c0 = ~ 2.
Откуда
r
3
cos Θ,
ψ10 =
4π
r
3
ψ1−1 =
sin Θe−iφ .
8π
Для других значений l вычисления проводятся аналогично.
3
Гармонический осциллятор
Гармонический осциллятор задаётся стационарным уравнением Шрёдингера
Ĥψn = En ψn ,
12
~ = (~a~c)(~bd)
~ − (~ad)(
~ ~b~c) и
Используем известное тождество [~a × ~b][~c × d]
применим его к векторным произведениям в (44)
[−~k × ~e−k,α′ ][~k × ~ek,α ] = −~k 2(~ek,α~e−k,α′ ) + (~k~ek,α )(~k~e−k,α′ ) = −~k 2 (~ek,α~e−k,α′ )
∗ ∗
∗
∗
[~k ×~ek,α ][−~k ×~e−k,α′ ] = −~k 2(~ek,α~e−k,α′ )
∗
∗
[~k × ~ek,α ][~k ×~ek,α′ ] = ~k 2 (~ek,α~ek,α′ ) = ~k 2δα,α′
∗
[~k ×~ek,α ][~k × ~ek,α′ ] = ~k 2δα,α′ .
Подставляя эти соотношения в (45) и учитывая c2 k 2 = ωk2 , получим следующее выражение
X ∗
2π~
ωk ck,α (t)c−k,α′ (t) ~k 2(~ek,α~e−k,α′ ) + ck,α (t)ck,α′ (t) ~k 2 δα,α′ +
~k,α,α′
∗ ∗
∗
∗
∗
+ ck,α (t)ck,α′ (t) ~k 2δα,α′ + ck,α (t)c−k,α′ (t)~k 2 (~ek,α~e−k,α′ )
(46)
Сравнивая (43) и (46), получим окончательное выражение для полной
энергии поля
∗
∗
~X ωk ck,α (t)ck,α (t) + ck,α (t)ck,α (t) .
(47)
H=
2
~k,α,
Заметим, что выражение (47) полной энергии похоже на оператор Гамильтона (30) для осциллятора.
Необходимо, однако, сделать еще преобразование, чтобы уравнения
приобрели вид, аналогичный каноническому. Для этого перейдём от пе∗
ременных ck,α (t),ck,α(t) к их комбинациям
∗
p
ck,α (t) − ck,α (t)
√
Πk,α =
,
~ωk
i 2
r
∗
~ ck,α (t) + ck,α (t)
√
(48)
Qk,α =
ωk
2
или выразим через новые переменные
ωk Qk,α + iΠk,α
√
,
ck,α (t) =
2~ωk
∗
ωk Qk,α − iΠk,α
√
ck,α (t) =
.
(49)
2~ωk
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для нахождения функции Гамильтона надо вычислить полную энергию
через новые переменные (48). Для этого подставим (49) в (47). После
простых преобразований получим
H=
X ωk2 Q2k,α + Π2k,α
2
~k,α
.
(50)
Таким образом, функция Гамильтона распадается на сумму независимых членов, каждый из которых содержит только по одной паре величин
Qk,α , Πk,α . Каждый такой член соответствует бегущей волне с определенными волновым вектором и поляризацией, причем имеет вид функции
Гамильтона одномерного гармонического осциллятора.
Как известно из классической механики, для уравнения Гамильтона
справедливо
ṗi = −
∂H
,
∂qi
q̇i =
∂H
.
∂pi
Проверим эти соотношения для выражения (50). Для этого возьмём выражения (48), продифференцируем по времени и сравним с производными от функции Гамильтона (50)
r
∗
√
∗
~ ck,α (t) − ck,α (t)
~ωk ck,α (t) − ck,α (t)
√
√
= √
= Πk,α
Q̇k,α = −iωk
ωk
2
i 2
2
X
∂H
=
Πk′ ,α′ δk,k′ δα,α′ = Πk,α .
∂Πk,α
~k ′ ,α′
Следовательно,
∂H
= Q̇k,α .
∂Πk,α
Π̇k,α
∗
p
ck,α (t) + ck,α (t)
√
= −ωk2Qk,α ,
= ~ωk (−iωk )
i 2
∂H
= ωk2 Qk,α ,
∂Qk,α
26
1 X′
Φ′
= −i
= λ.
ctg Θ X
∂φ
Уравнение распадается на систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений
′
Φ − iλΦ
= 0,
X ′ − λ ctg Θ = 0,
решением которой является
Φ = ceiλφ ,
X = c(sin Θ)λ .
Общее решение тогда можно записать, как
ψll (Θ, φ) = Cl (sin Θ)λ eiλφ .
Учитывая, что это решение является собственной функцией оператора
третьей проекции момента импульса и, следовательно, должно удовлетворять уравнению M̂z ψll = ~lψll , откуда получается, что λ = l. Итоговое
выражение для общего решения
ψll (Θ, φ) = Cl (sin Θ)l eilφ .
Константу Cl найдём, используя условие нормировки волновых функций
Z
Z
ψll∗ ψll dΩ = |cl |2 (sin Θ)2l+1dΘdφ.
Здесь для вычисления мы воспользуемся хорошо известным интегралом
Z π
√
Γ( p+1
)
2
(sin Θ)pdΘ = π
,
Γ(p/2 + 1)
0
где ответ выражен через гамма-функции.
Γ(
√ ((2l + 1)!
2l + 1
) = π 2l+1
2
2 l!
и
Γ(l + 1) = l!
после подстановки которых получаем
Z
l!l!22l+1
(sin Θ)2l+1dΘdφ =
,
(2l + 1)!
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Найдем повышающий и понижающий операторы к оператору третьей
проекции момента импульса M̂z . Для этого соотношение (4) перепишем
в виде
[M̂z , M̂+] = æMˆ+ ,
(13)
где повышающий оператор M̂+ будем искать в виде линейной комбинации двух оставшихся проекций момента импульса
M̂+ = αM̂x + β M̂y ,
здесь α, β – постоянные коэффициенты.
Подставляя Mˆ+ в выражение (13), получим
[M̂z , αM̂x + β M̂y ] = æαM̂x + æβ M̂y ,
α[M̂z , M̂x ] + β[M̂z , M̂y ] = æαM̂x + æβ M̂y ,
i~(αM̂y − β M̂x ) = æαM̂x + æβ M̂y ,
здесь мы воспользовались соотношением (9). Приравнивая коэффициенты у одинаковых операторов в правой и левой части выражения, в
результате получим алгебраическую систему уравнений
i~α = æβ,
−i~β = æα.
Приравнивая определитель системы нулю
i~ −æ −æ −i~ = 0,
+
ĉk,α ĉ+
k,α ≈ ĉk,α ĉk,α ,
найдем соотношение
2
2
~ − æ = 0,
решением которого является æ2 = ~2, откуда следует для решения системы уравнений β = iα.
С учетом полученных результатов повышающий и понижающий операторы можно записать как
M̂+ = α(M̂x + iM̂y ),
M̂− = α(M̂x − iM̂y ).
8
которых имеет энергию ~ω и импульс ~n~ω/c. Соотношение между импульсом и энергией фотона – такое, каким и должно быть в релятивистской теории для частицы с нулевой массой покоя и движущейся со скоростью света. Числа заполнения Nk,α приобретают смысл чисел фотонов
с данными импульсами ~k и поляризациями ~eα . Свойство поляризации
фотона аналогично понятию спина у других частиц.
Легко увидеть, что развитый в предыдущей главе математический
формализм находится в полном согласии с представлением об электромагнитном поле как о совокупности фотонов; это не что иное, как применение аппарата вторичного квантования к системе фотонов. В этом подходе роль независимых переменных играют числа заполнения состояний,
а операторы действуют на функции этих чисел. При этом основную роль
играют операторы ”уничтожения” и ”рождения” частиц, соответственно
уменьшающие или увеличивающие на единицу числа заполнения. Именно такими операторами и являются ĉk,α , ĉ+
k,α : оператор ĉk,α уничтожает
фотон в состоянии k, α, а ĉ+
–
рождает
фотон
в этом состоянии.
k,α
Как известно, свойства квантовой системы приближаются к классическим в тех случаях, когда велики квантовые числа, определяющие стационарные состояния системы. Для свободного электромагнитного поля
(в заданном объеме) это означает, что должны быть велики квантовые
числа осцилляторов, т. е. числа фотонов Nk,α . Поэтому важно, что фотоны подчиняются статистике Бозе. В математическом формализме теории
связь статистики Бозе со свойствами классического поля проявляется в
правилах коммутации операторов ĉk,α , ĉ+
k,α . При больших Nk,α , когда велики матричные элементы этих операторов, можно пренебречь единицей
в правой части перестановочного соотношения (53), в результате чего получится
т. е. эти операторы перейдут в коммутирующие друг с другом класси∗
ческие величины ck,α ,ck,α , определяющие классические напряженности
поля.
(14)
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6
Справочные материалы
6.1
После чего можно переписать операторы проекций моментов импульса
(7) в сферической системе координат, как
Шаровые функции
Шаровые функции Ylm(Θ, φ) являются решением уравнения Лежандра
1 ∂
∂Ylm(Θ, φ)
1 ∂ 2Ylm (Θ, φ)
(sin Θ
)+
+ l(l + 1)Ylm(Θ, φ) = 0,
sin Θ ∂Θ
∂Θ
∂φ2
sin2 Θ
где l – целые положительные числа, область переменных 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤
Θ ≤ π.
При каждом значении l существует 2l + 1 решений, которые представляют собой шаровые функции
Ylm (Θ, φ) = (−1)
m+|m|
2
i
l
s
2l + 1 (l − |m|)! |m|
P (cosΘ)eimφ ,
4π (l + |m|)! l
где m – целое число, ограниченное следующими значениями
m = 0, ±1, ±2, ..., ±l;
l = 1, 2, 3...
всего 2l + 1 значений. Знаком |m| обозначено абсолютное значение числа
|m|
m. Функция Pl (cosΘ) – присоединенный полином Лежандра определяется так
|m|
Pl (x) = (1 − x2)
|m|
2
d| m|
Pl (x), x = cosΘ,
dx| m|
при этом Pl (x) есть полином Лежандра:
Pl (x) =
1 dl
[(x2 − 1)l ].
2l l! dxl
Согласно определению можно составить
1
1
P0 (x) = 1, P1 (x) = x, P2 (x) = (3x2 − 1), P1 (x) = (5x3 − 3), ...
2
2
и убедиться, что Pl (−x) = (−1)l Pl (x).
30
∂
∂
+ cos φ ctg Θ ),
∂Θ
∂φ
∂
∂
− sin φ ctg Θ ),
= −i~(cos φ
∂Θ
∂φ
∂
= −i~ .
∂φ
M̂x = i~(sin φ
M̂y
M̂z
(12)
Существует другой способ получить эти выражения, которым мы рекомендуем воспользоваться самостоятельно любопытным студентам. Для
этого нужно взять выражение (6) и записать его в сферической системе
координат, далее сделать переход от ортов сферической системы координат к ортам декартовой системы координат.
В дальнейших вычислениях нам понадобится оператор квадрата момента импульса, для чего найдем квадраты проекций момента импульса.
Опуская промежуточные вычисления, которые всё же рекомендуем проделать самостоятельно, получим следующие выражения
∂2
∂2
2
2
+
cos
φ
ctg
Θ
∂Θ2
∂φ2
2
∂
2 sin φ cos φ ∂
2 sin φ cos φ ctg Θ
−
∂φ∂Θ
sin2 Θ ∂φ
∂
cos2 φ ctg Θ ),
∂Θ
∂2
∂2
M̂y M̂y = −~2(cos2 φ 2 + sin2 φ ctg2 Θ 2
∂Θ
∂φ
2 sin φ cos φ ∂
∂2
+
2 sin φ cos φ ctg Θ
∂φ∂Θ
sin2 Θ ∂φ
∂
sin2 φ ctg Θ ),
∂Θ
∂2
M̂z M̂z = −~2 2 .
∂φ
M̂x2 = M̂x M̂x = −~2(sin2 φ
+
+
M̂y2 =
−
+
M̂z2 =
M̂ 2 = M̂x2 + M̂y2 + M̂z2 = −~2(
7
1 ∂
∂
1 ∂2
sin Θ
+
).
sin Θ ∂Θ
∂Θ sin Θ ∂φ2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Частным случаем уравнения на собственные функции и собственные
значения является стационарное уравнение Шрёдингера
Ĥψn = En ψn ,
где в качестве собственных значений выступают значения энергии, которые может принимать рассматриваемая система. Для нахождения спектра энергии необходимо решить дифференциальное уравнение второго
порядка. Однако существует другой способ. Многие задачи квантовой
механики имеют простые и красивые решения, если их решать, используя коммутационные соотношения. Коммутационные соотношения позволяют решать дифференциальные уравнения более низкого порядка.
Пусть оператор физической величины B̂ действует на волновую функцию
B̂ψb = bψb,
(3)
здесь {b} – набор собственных значений и {ψb} – набор собственных
функций оператора B̂. Допустим, что существует оператор K̂+ , который
взаимодействует с оператором B̂ следующим образом
[B̂, Kˆ+] = æKˆ+,
(4)
Список литературы
[1] Блохинцев, Д. И. Основы квантовой механики/ Д. И. Блохинцев. –
М.: Высшая школа, 1961.
[2] Ландау, Л. Д. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Т. III
/ Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – М.: Наука, 1989.
[3] Давыдов, А. С. Квантовая механика/ А. С. Давыдов. – М.: Наука,
1973.
[4] Мессиа, А. Квантовая механика. Т. I/ А. Мессиа. – М.: Наука, 1978.
[5] Ландау, Л. Д. Квантовая электродинамика. Т. IV/ Л. Д. Ландау,
Е. М. Лифшиц. – М.: Наука, 1989.
[6] Боголюбов, Н. Н. Квантовые поля/ Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков.
– М.: Наука, 1993.
[7] Сборник задач по теоретической физике/ Л. Г. Гречко и др. – М.:
Высшая школа, 1984.
где æ – неизвестный коэффициент. Оператор K̂+ также действует на
функцию ψb и дает новую функцию φa
Kˆ+ψb = φa .
(5)
Распишем выражение (4) в явном виде и подействуем на волновую
функцию операторами B̂ и K̂+ , учитывая (3) и (5)
B̂ Kˆ+ψb − Kˆ+B̂ψb = æKˆ+ψb ,
B̂φa − bφa = æφa ,
B̂φa = (æ + b)φa ,
откуда получается, что φa – собственная функция оператора B̂ с собственным значением a = æ + b. В силу единственности набора решений
{ψb } функция φa может отличаться от него только коэффициентом и,
следовательно,
Kˆ±ψb = C±ψb±æ .
Отсюда и происходит название повышающего оператора, т. к. действие
его на волновую функцию приводит к другой волновой функции, отличной от предшествующей только собственным значением.
4
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
1
1. Операторный подход. Повышающий (понижающий)
операторы
................................................
3
2. Собственные значения оператора моментa импульса
и квадрата момента импульса
............................
3
3. Гармонический осциллятор
...............................
4. Представление чисел заполнения
.........................
5. Квантование свободного электромагнитного поля
Список литературы
Задача квантовой механики – нахождение из решения уравнений на
собственные значения и собственные функции
12
17
........
21
...................................
30
..........................................
33
6. Справочные материалы
Операторный подход. Повышающий (понижающий)
операторы
L̂ψn = Ln ψn
собственных функций {ψn } и собственных значений {Ln } операторов физических величин. В квантовой механике физические величины представлены в виде операторов L̂ – линейных, дифференциальных, эрмитовых.
Собственные значения могут принимать как дискретные, так и непрерывные спектры. В дальнейшем ограничимся для упрощения изложения
рассмотрением только дискретных спектров.
Собственные функции эрмитового оператора удовлетворяют следующим свойствам:
1) ортогональности
Z+∞
ψn∗ ψm dx = δnm ,
(1)
−∞
2) полноты
X
n
ψn∗ (x)ψn(x′) = δ(x − x′ ),
(2)
т. е. являются своеобразным базисом, по которому можно разложить
любую функцию данного аргумента.
X
F (x) =
Cn ψn (x),
n
Z+∞
где коэффициент Cn =
F (y)ψn (y)dy,
−∞
2
а |Cn | дает вероятность нахождения функции F (x) в состоянии ψn (x)
P
( |Cn |2 = 1).
34
3
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
34
Размер файла
246 Кб
Теги
понижающий, механика, поваров, квантовое, оператора, повышающий
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа