close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

300.Шишкина Л.А.Математика учебное пособие для студентов первого курса очного отделения факультета экономики и менеджмента направления Менеджмент по профилям Производственный менеджмент в АПК и Маркетинг

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный аграрный
университет имени императора Петра I»
МАТЕМАТИКА
учебное пособие
Воронеж
2013
1
Рецензенты:
В.В. Лапыгин, к. физ.-мат. наук, доцент кафедры информатики и методики преподавания математики Воронежского государственного педагогического университета
А.А. Толстых, к.э.н. доцент кафедры ИОМАС ФГБОУ ВПО
Воронежского государственного аграрного университета имени
императора Петра I
Шишкина Л.А.
Математика: учебное пособие / Л.А. Шишкина – Воронеж:
ФГБОУ ВПО Воронежский ГАУ, 2013. – 227 с.
В данном учебном пособии изложены следующие разделы математики: матричная алгебра, системы линейных уравнений, векторная алгебра, аналитическая геометрия, теория пределов, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление, дифференциальные уравнения, ряды, элементы теории вероятности и
математической статистики, элементы регрессионного и корреляционного анализа. Каждый раздел включает теорию, большое
количество типовых задач с решениями, дополняющими теоретический материал и упражнения для самостоятельной работы.
Пособие подготовлено в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования.
Пособие предназначено для студентов 1-го курса очного отделения факультета экономики и менеджмента направления 080200
«Менеджмент» по профилям «Производственный менеджмент в
АПК» и «Маркетинг».
© Л.А.Шишкина, 2013
2
МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА
При решении экономических задач применяются методы экономико-математического моделирования, использующие решение систем линейных алгебраических уравнений. Для изучения
методов решения систем уравнений введем понятия матриц и определителей.
Виды матриц
Определение. Таблица m×n чисел аij вида
 a11a12 ...a1n 


a21a22 ...a2n 

=
A=


...


 am1am 2 ...amn 
a11a12 ...a1n
a21a22 ...a2n
...
am1am2 ...amn
( )
= aij = aij ,
состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей.
Числа aij, стоящие на пересечении i-й строки и j-го столбца, называются элементами матрицы.
Матрицы А=(аij) и В=(bij) называются равными, если они имеют
одинаковые размеры и для каждой пары индексов выполняется равенство aij = bij.
Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой
равны нулю:
 0 0...0 
 0 0...0 
.
0=
 ... 


 0 0...0 
Матрица, у которой m=n, называется квадратной матрицей n-го
порядка.
В квадратной матрице элементы a11, а22, … аnn составляют
главную диагональ. Квадратная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной:
3
 1 0...0 
 0 1...0 
.
Е =
 ... 


 0 0...1 
Действия над матрицами
1. Умножение матрицы на число
 a11a12 ...a1n 


...
a
a
a
n
21
22
2

Произведением матрицы A = 


...


a
a
a
...
m
m
mn
1
2


 λ a11λ a12 ...λ a1n 


a
a
a
...
λ
λ
λ
21
22
2
n
.
на число λ называется матрица λ A = 


...


...
λ
a
λ
a
λ
a
mn 
 m1 m 2
 2 0 1
Пример. Найти произведение матрицы A = 
 на число
−
1
4
5


λ=3.
 2 0 1  6 0 3 
3A = 3 ⋅ 
=
.
 −1 4 5   −3 12 15 
2. Сложение (вычитание) матриц
Суммой (разностью) матриц А и В, в каждой из которых m строк
и n столбцов, называется матрица С с элементами, равными суммам (разностям) соответствующих элементов слагаемых:
4
 a11a12 ...a1n 
 b11b12 ...b1n 




a
a
...
a
b
b
...
b
21
22
2
n
21
22
2
n
, B = 
 , тогда
A=




...
...




 am1am 2 ...amn 
 bm1bm2 ...bmn 
 a11 ± b11 a12 ± b12 ... a1n ± b1n



a21 ± b21 a22 ± b22 ... a2n ± b2n 

.
A± B =


...


±
±
±
...
a
b
a
b
a
b
mn mn 
 m1 m1 m 2 m 2
Пример. Найти сумму матриц
 21 2 0 
 −1 4 3 
и B=
A=

.
3
4
5
2
1
6




 20 6 3 
.
 5 5 11 
Решение. A + B = 
3. Умножение матриц
 a11a12 ...a1n 


a21a22 ...a2n 

размерности
Пусть даны матрица A =


...


a
a
...
a
 k1 k 2 kn 
k×n
и
 b11b12 ...b1m 


b21b22 ...b2m 

матрица B =
размерности n × m .


...


 bn1bn2 ...bnm 
Пусть число столбцов матрицы А совпадает с числом строк
матрицы В (в этом случае матрицу А называют согласованной с
матрицей В).
5
Произведением матрицы А на матрицу В называется такая мат c11c12 ...c1m 


c
c
c
...
21
22
2
m
 размерности k ⋅ m , каждый элемент
рица AB = C = 


...


...
c
c
c
 k1 k 2 km 
которой cij (i = 1,..., k ; j = 1,..., m) находится как сумма произведений
элементов, взятых по порядку из i-й строки матрицы А и j-го
столбца матрицы В.
Пример. Найти произведение матриц
 2 0 1
 2 1
A =  −1 3 2  и B =  1 5  .
 0 1 4
 −3 2 




Решение:
 2 0 1 2 1
=
AB =  −1 3 2 
1
5


 0 1 4  −3 2 



2 ⋅1 + 0 ⋅ 5 + 1 ⋅ 2   1 4 
 2 ⋅ 2 + 0 ⋅1 + 1 ⋅ (−3)

=  −1 ⋅ 2 + 3 ⋅1 + 2 ⋅ (−3) − 1 ⋅1 + 3 ⋅ 5 + 2 ⋅ 2  =  −5 18  .
 0 ⋅ 2 + 1 ⋅1 + 4 ⋅ (−3)
0 ⋅1 + 1 ⋅ 5 + 4 ⋅ 2   −11 13 

1 
 2 3 0
и B =  3 
Пример. Найти произведение матриц A = 

1 2 4 
1 
 
1 
 2 3 0     2 ⋅1 + 3 ⋅ 3 + 0 ⋅1  11
Решение: AB = 
 3 = 
 =  .
 1 2 4    1 ⋅1 + 2 ⋅ 3 + 4 ⋅1  11
1 
Еще раз отметим, что в матрице-произведении число строк
равно числу строк матрицы А и число столбцов равно числу
столбцов матрицы В.
6
Определители
Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы и представляет собой число, которое находится по определенному правилу через элементы, составляющие данную матрицу.
 a11a12 ...a1n 


a21a22 ...a2n 

Для квадратной матрицы A =
n-го порядка опре

...


...
a
a
a
 n1 n 2 nn 
делитель n-го порядка обозначается символом:
Δ=
a11a12 ...a1n
a21a22 ...a2n
...
.
(1)
an1an2 ...ann
В определителе различают строки и столбцы. Числа aij
(i=1,…,n; j=1,…,n) называются элементами определителя.
Определение. Минором Мij элемента аij определителя (1) называется определитель (n-1)-го порядка, который получается из определителя Δ путем вычеркивания i-ой строки из j-го столбца, на
пересечении которых стоит элемент аij.
Определение. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij
называется произведение (-1)i+jМij.
Не вводя строгое понятие определителя, дадим лишь правило
его нахождения.
Определитель Δ =
муле:
a11a12 ...a1n
a21a22 ...a2n
n-го порядка находится по фор-
...
an1an2 ...ann
a11, npи n = 1,

Δ = n
 ∑ aij Aij , npи n > 1,
 j =1
7
(2)
где i- любое из чисел 1,2,…,n, Аij – алгебраическое дополнение элемента аij.
Найдем по формуле (2) определитель 2-го порядка, выбрав, например, i=1:
∆=
a11a12
= a11(−1)1 + 1 ⋅ a22 + a12 (−1)1 + 2 ⋅ a21 = a11 ⋅ a22 − a12 a21 .
a21a22
Из формулы (2) следует, что вычисление определителей N-го
порядка сводится к вычислению определителей (n-1)-го порядка
(т.е. миноров). Те, в свою очередь, опять по формуле (2) сводятся
к определителям (n-2)-го порядка. Процесс нахождения определителей продолжается до получения миноров 2-го или 1-го порядка. Запись (2) называется разложением определителя по элементам i-ой строки.
Пример. Вычислить определитель третьего порядка
Δ = Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования..
Решение:
2 3 1
1 5
0 5
0 1
∆ = 0 1 5 = 2⋅
− 3⋅
+ 1⋅
=
2 −1
4 −1
4 2
4 2 −1
= 2 ⋅ ( −1 − 10 ) − 3 ⋅ ( 0 − 20 ) + 1( 0 − 4 ) = 34 .
Разложение было выполнено по элементам 1-ой строки.
Заметим, что если некоторые элементы строки, по элементам
которой производится разложение, равны нулю, то вычисление
значительно упрощается. Обычно, пользуясь свойствами определителя, преобразуем его таким образом, чтобы в выбранной строке (выбранном столбце) все элементы кроме одного, равнялись
нулю.
Свойства определителей
1. Величина определителя не меняется от замены строк столбцами (проверьте самостоятельно). Из этого свойства следует, что
определитель можно найти, разлагая его также и по элементам
8
n
какого-либо столбца: Δ = ∑ aij Aij , где j- номер любого из столбi =1
цов.
2. Если любую строку или столбец матрицы умножить на некоторое число, то определитель также умножится на это число.
При этом общий множитель элементов любой строки (столбца)
можно вынести за знак определителя.
3. Величина определителя не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить элементы любой другой строки
(столбца), умноженные на произвольное одинаковое число.
Пример: Вычислить определитель четвертого порядка:
1
4
Δ=
3
2
2
2
2
8
2
5
8
7
3
7
.
5
3
Решение.
1) Вынесем из второго столбца за знак определителя общий
множитель 2; умножим первую строку на (–4) и сложим со второй строкой; умножим первую строку на (–3) и сложим с третьей;
умножим первую строку на (–2) и сложим с четвертой, получим:
1 1 2 3
Δ = 2⋅
1
1
2
3
4 1 5 7
0 −3 −3 −5
= 2⋅
.
3 1 8 5
0 −2
2 −4
2 4 7 3
0
2
3 −4
Вынесем за знак определителя из третьей строки общий множитель 2, получим определитель
1
Δ = 4⋅
1 2 3
0 −3 −3−5
.
0 −1 1 − 2
2 3 −3
0
9
Разложим определитель Δ по элементам первого столбца,
получим определитель третьего порядка, который вычислим, разлагая его по элементам 1-й строки:
−3 − 3 − 5
∆ = 4 ⋅ (−1)1 + 1 ⋅1⋅ −1
2
1 −2 =
3 −3

1 −2
−1 − 2
−1 1 
= 4 ⋅  −3 ⋅ (−1)1 + 1
− 3 ⋅ (−1)1 + 2 ⋅
− 5 ⋅ (−1)1 + 3 ⋅
 = 148.
3
−
3
2
−
3
2
3


Обратная матрица
Определение. Квадратная матрица n-го порядка называется
невырожденной, если ее определитель n-го порядка Δ ≠ 0 . Если
определитель матрицы равен нулю, то она называется вырожденной.
Определение. Матрица В называется обратной для данной
квадратной матрицы А, если АВ =ВА=Е, где Е – единичная матрица. Обратную матрицу для данной матрицы А обозначают А-1,
поэтому:
А⋅А-1=А-1⋅А=Е.
Если квадратная матрица невырожденная, то для нее существует единственная обратная матрица.
Пусть задана квадратная матрица
 a11a12 ...a1n 


a21a22 ...a2 n 

.
A=
 ...



a
a
...
a
 n1 n 2 nn 
Тогда обратная матрица А-1 находится следующим образом:
 A11 A21... An1 


1  A12 A22 ... An 2  ,
−
1
A = ⋅

∆  ...


 A1n A2 n ... Ann 
10
где
Δ – определитель матрицы
А, Аij – алгебраическое дополнение элемента аij (i=1,…,n; j=1,…, n).
Необходимо обратить внимание, что, находя алгебраические
дополнения к элементам строк матрицы А, в обратной матрице А-1
мы записываем их по соответствующим столбцам.
 2 3 1
Пример. Найти матрицу, обратную матрице A =  0 1 5  .


 4 2 − 1


Проверить результат, вычислив произведение данной и обратной матриц.
Решение. Определитель матрицы А вычислен ранее:
2
3 1
Δ = 0 1 5 = 34 .
4
2 −1
Так, как Δ ≠ 0 , то матрица А невырожденная и для нее существует обратная.
Найдем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А:
1 5
A11 = ( − 1)1 + 1
= − 1 − 10 = − 11;
2 −1
0 5
A12 = ( − 1)1 + 2
= − (0 − 20) = 20;
4 −1
0 1
A13 = ( − 1)1 + 3
= 0 − 4 = − 4;
4 2
A22 = ( − 1) 2 + 2
2 1
A31 = ( − 1)3 + 3
3 1
4 −1
A21 = ( − 1) 2 + 1
1 5
2 3
A33 = ( − 1)3 − 3
= 2 − 0 = 2.
0 1
2 −1
A23 = ( − 1) 2 + 3
= − 2 − 4 = − 6;
= 15 − 1 = 14;
3 1
A32 = ( − 1)3 + 2
11
2
3
4
2
2 1
0
= − ( − 3 − 2) = 5;
5
= − (4 − 12) = 8;
= − (10 − 0) = − 10;
5
14 
 11
 − 34 34 34 
 −11 5 14  

1 
20
−
6
10

−
1
Следовательно: A =  20 − 6 − 10  = 
− .

34 
34 34 34 


 −4 8 2   4
8
2
 −

34
34
34


 11 5 14 
 − 34 34 34 
 2 3 1 

20
6
10 


1
−

Проверка: A ⋅ A =  0 1 5  ⋅
−
−
=
 34

34
34
 4 2 − 1 


8
2 
 − 4

 34 34 34 
  11 20  4 
2⋅−34+3⋅ 34+1⋅−34
 
  
  11 20  4 
0⋅− +1⋅ +5⋅− 
  34 34  34
  11 20  4 
4⋅− +2⋅ −1⋅− 
  34 34  34
5  6 8
2⋅ +3⋅− +1⋅
34  34 34
5  6 8
0⋅ +1⋅− +5⋅
34  34 34
5  6 8
4⋅ +2⋅− −1⋅
34  34 34
1 0 0
=0 1 0 =E.
0 0 1


14 
 −11 5
1
Ответ: A−1 = ⋅  20 − 6 − 10  .
34 
2 
 −4 8
12
14  10 2 
2⋅ +3⋅− +1⋅ 
34  34 34
14  10 2 
0⋅ +1⋅− +5⋅  =
34  34 34
14  10 2 
4⋅ +2⋅− −1⋅

34  34 34 
СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными
a11x11 + a12 x2 + ... + a1n x1n = b1;

a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 ;

...

an1x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn .
(1)
Правило Крамера
Пусть составленный из коэффициентов при неизвестных определитель:
A=
a11a12 ...a1n
a21a22 ...a2n
...
an1an 2 ...ann
≠ 0.
Тогда система (1) имеет единственное решение
∆
∆
∆
x1 = 1 , x2 = 2 , xn = n ,
∆
∆
∆
где определитель Δk (k=1,2,…n) получен из определителя Δ путем замены k-го столбца столбцом свободных членов системы (1).
Пример. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:
2 x1 − x2 + x3 = 1,

 x1 + 2 x2 − x3 = 2,
3 x − 3x + x = 2.
2 3
 1
13
Решение. Вычислим определители Δ, Δ1 , Δ2 , Δ3.
2 −1 1
2 −1
1 −1
1 2
∆=1
2 −1 = 2
− ( −1)
+1
= 2 ( 2 − 3) + (1 + 3) + ( −3 − 6 ) =
−3 1
3 1
3−3
3 −3 1
= −2 + 4 − 9 = −7,
1 −1 1
2 −1
2 −1
2 2
∆1 = 2 2 − 1. = 1
− ( −1)
+1
= ( 2 − 3) + ( 2 + 2 ) + ( −6 − 4 ) =
2 1
2 −3
−3 1
2 −3 1
= −1 + 4 − 10 = −7,
2 1 1
∆2 = 1 2 − 1 = 2
3 2 1
2 −1
2 1
−1
1 −1
3 1
+1
1 2
3 2
=
= 2 ( 2 + 2 ) − (1 + 3) + ( 2 − 6 ) = 8 − 4 − 4 = 0,
2 −1 1
2 2
1 2
1 2
∆3 = 1 2 2 = 2
− ( −1)
+1
=
−3 2
3 2
3−3
3−3 2
= 2 ( 4 + 6 ) + ( 2 − 6 ) + ( −3 − 6 ) = 20 − 4 − 9 = 7.
∆
∆
∆
−7
0
7
Тогда x1 = 1 =
= 1; x2 = 2 = = 0; x3 = 3 =
= −1 .
∆
−7
Ответ: х1=1, х2=0, х3= -1.
∆
7
∆
−7
Метод Гаусса
Пусть дана система уравнений (1).
Предположим, что среди коэффициентов a11.a21,..., an1 при неизвестном х1 имеются коэффициенты, отличные от нуля. Пусть
одним из таких коэффициентов является а11. Разделим первое
уравнение системы (1) на а11, получим:
a
a
b
x1 + 12 x2 + ... + 1n xn = 1 .
a11
a11
a11
14
(2)
Это уравнение умножим на (–а21) и сложим его со вторым уравнением системы (1), затем уравнение (2) умножим на (-а31) и сложим его с третьим уравнением и т.д. С помощью таких операций
исключим неизвестное х1 из всех уравнений системы, начиная со
второго. Оставляем неизменным первое уравнение системы (1), а
к оставшимся применяем тот же прием, т.е. в n-2 уравнениях исключаем неизвестное х2 и т.д.
Систему уравнений (1) приведем к треугольному виду:
 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 ,

a '22 x2 + ... + a '2 n xn = b2′ ,


...


a 'nn xn = bn′ .
(3)
Пусть ∆ = a11 ⋅ a '22 ⋅ ... ⋅ a 'nn ≠ 0 . Из последнего уравнения системы (3) найдем хn. Подставляя затем это значение в предыдущее
уравнение, найдем хn-1 и т.д. Продолжая эту процедуру, дойдем до
первого уравнения, из которого путем подстановки уже найденных
значений х2, х3, …, хn получим неизвестное х1.
Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса:
 2 x1 − x 2 + x3 = 1,

 x1 + 2 x 2 − x3 = 2,
 3 x − 3 x + x = − 2.
2
3
 1
(4)
Решение. Заметим, что во втором уравнении системы коэффициент при х1 равен 1. Поменяв местами первое и второе уравнения, получим систему:
 x1 + 2 x2 − x3 = 2,

2 x1 − x2 + x3 = 1,
3 x − 3x + x = 2.
2 3
 1
(5)
Умножим первое уравнение системы (5) на (–2) и сложим его со
вторым уравнением. Затем умножим первое уравнение на (–3) и
15
сложим его с третьим уравнением. Получим следующую систему
уравнений:
 x1 + 2 x2 − x3 = 2,

 − 5 x2 + 3 x3 = −3,
 − 9 x + 4 x = −4.
2
3

(6)
Разделим второе уравнение системы (6) на (-5), затем полученное уравнение умножим на 9 и сложим с третьим уравнением
системы (6). В результате придем к системе (7)

 x1 + 2 x 2 − x3 = 2,

3
3

x 2 − x3 = ,
(7)

5
5

7
7

x
.
−
=
3

5
5
Из третьего уравнения находим х3=-1. Подставим это значение
во второе уравнение системы (7) и найдем х2:
x2 −
3
3
( −1) = ; x2 = 0 .
5
5
Подставляя полученные значения х2 = 0 и х3 = -1 в первое уравнение системы (7), найдем х1 : х1 + 2⋅0-1⋅(-1)=2, или х1 = 1.
Ответ: х1 = 1, х2= 0, х3 = -1.
Решение системы линейных уравнений
с использованием обратной матрицы
Введем для системы линейных уравнений (1) следующие матрицы:
 a11...a12 ...a1n 


a21...a22 ...a2n 

A=
,


...


 an1...an 2 ...ann 
 x1 
 b1 
 
 
x2 
b

X=
, B =  2 .
 ... 
 ... 
 
 
 xn 
 bn 
16
Систему (1) представим в матричной форме А⋅Х = В, которая
эквивалентна исходной. Действительно, если перемножить матрицы А и Х и приравнять элементы матрицы-произведения к соответствующим элементам матрицы В, то получим систему уравнений (1).
Умножим обе части уравнения А⋅Х = В слева на матрицу А-1,
получим А-1 ⋅ (А⋅Х) = А-1 ⋅ В или (А-1 ⋅ А) ⋅ Х= А-1 ⋅ В.
Так как А-1 ⋅ А = Е, то Е⋅Х = А-1 ⋅ В или Х = А-1⋅ В.
Эта формула дает решение системы в матричной форме.
Пример. Решить систему
 x1 − 2 x2 + x3 = 0,

3x1 + x2 − 2 x3 = 2,
 x − x + 4 x = 4,
3
1 2
используя обратную матрицу.
Решение. Найдем обратную матрицу к матрице системы
1 − 2 1 
A =  3 1 − 2  .
1 −1 4 


1 −2 1
Определитель матрицы А:
∆ = 3 1 −2 =
1 −1 4
1 −2
3−2
3 1
= 1( −1)1 + 1
− 2 ( −1)1 + 2
+ 1( −1)1 + 3
= 2 + 2 ⋅14 − 4 = 26 .
−1 4
1 4
1 −1
Так как определитель матрицы А отличен от 0, то обратная
матрица существует.
 A11
1
Найдем ее по формуле A−1 =  A12
∆
 A13
A21 A31 

A22 A32  , вычислив
A23 A33 
предварительно алгебраические дополнения.
17
 2 7 3
1
Получим: A − 1 =  − 14 3 5  .

26 

−
4
−
1
7


Найдем матричное решение системы:
 2 7 3  0 
 26   1 
1 
1    .



−
1
X = A ⋅B =
− 14 3 5  ⋅  2  =
⋅  26  =  1 
26 
26
  
 26   1 
 −4 − 1 7   4 
   
Ответ: х1 = 1; х2 = 1; х3 = 1.
3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
Основные понятия
Определение. Множеством называется совокупность объектов
любой природы, которые объединены в одну группу (систему, совокупность) по тем или иным признакам (множество городов,
множество положительных чисел, множество студентов, множество действительных чисел и т.д.).
Принадлежность элемента х множеству Х обозначается: х є Х.
Способы записи множеств: А={х1, х2 ,…, хn}, А= {1, 2, 3, …
,10}, А= {а є R | |a| ≥1}, Х = {х: |x-a|≤b}.
Определение. Множество U образует линейное пространство,
если для любых двух его элементов X є U и Y є U определены
операция сложения: X + Y = U и операция умножения любого элемента на число: λ X ∈ U , удовлетворяющие свойствам:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
uur ur ur uur
Xr + Yr = uu
Yr + X ,
uu
X uu
+r0 =urX , uur
ur
λ ( X + Y ) = λ X + λY ,
uur ur ur uur ur ur
( X + Y ) + Z = X + (Y + Z ) ,
uur
uur
X + (− X ) = 0 ,
uur
uur
uur
(α + β ) X = α X + β X ,
uur
uur
α ( β X ) = (αβ ) X ,
uur uur
1⋅ X = X ,
18
ur
r
r
где Z ∈U , 0, – нулевой элемент (0 ∈U ) , а коэффициенты α, β, λ, 1
– действительные числа.
Определение. Вектором размерности n называется упорядоченный набор
uur из n действительных чисел. Будем записывать вектор в виде X = ( x1, x2 ,..., xn ) , где xi (i = 1, 2,..., n) - координаты вектора. Размерность вектора определяется числом его координат и
является его отличительной характеристикой. Векторы равны,
если они одной размерности и имеют равные
r соответствующие
координаты: (2,3,5) = (2,3,5). Нуль-вектор 0 = (0,0,…,0) не следует путать с числом нуль.
Определение. Множество всех векторов размерности n называется арифметическим n-мерным векторным пространством и
обозначается Rn.
Экономические величины являются многофакторными (многомерными), и n-мерные векторы служат удобной формой их представления. Например, некоторый наборur товаров различных сортов можно охарактеризовать вектором T = (t1, t2 ,..., tn ) , а соответur
ствующие цены – вектором P = ( p1, p2 ,..., pn ) .
Действия над n-мерными векторами
Пусть даны векторы
uur
ur
X ∈ Rn и Y ∈ Rn .
uur
ur
Суммой векторов X и Y называется вектор
uurОпределение.
ur
X + Y = ( x1 + y1, x2 + y2 ,..., xn + yn ) , т.е. при сложении векторов их
соответствующие координаты складываются: (2, –4) + (–2, 4) = (0,
0); (3,0,1) + (0,1,4)+(–1, –7,0) = (2, –6,5).
uur
Определение. Произведением вектора X = ( x1, x2 ,..., xn ) на чисuur
ло λ называется вектор λ X = (λ x1, λ x2 ,..., λ xn ), т.е. при умноже-
нии вектора на число каждая его координата умножается на это
число.
Можно проверить, что введенные таким образом операции над
векторами удовлетворяют всем свойствам операций в линейном
пространстве. Следовательно, арифметическое n-мерное про19
странство Rn является частным случаем введенного ранее линейного пространства.
произведением двух векторов
uurОпределение. Скалярным
ur
X = ( x1, x2 ,..., xn ), и Y = ( y1, y2 ,..., yn ) называется число, равное
сумме
произведений соответствующих координат векторов:
uur ur
X ⋅ Y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn .
ur
ur
Пример: Пусть A = (2, 4) и B = (−1, 7) .
ur ur
Тогда A ⋅ B = 2 ⋅ (−1) + 4 ⋅ 7 = 26
Скалярное
uur uur произведение
uur uurобладает следующими
uur r свойствами:
1. Xuur⋅ X ur≥ 0ur, причем
X ⋅ X = 0 , только при X = 0,
uur ur ur ur
2. ( X + Y ) ⋅ Z = X ⋅ Z + Y ⋅ Z ,
uur ur
uur ur
3. (λ X ) ⋅ Y = λ ( X ⋅ Y ),
uur ur ur uur
4. X ⋅ Y = Y ⋅ X .
Определение. Два вектора называются
если
uur ортогональными,
ur
их скалярное произведение равно 0, т.е. X ⋅ Y = 0 .
Пример.
uur
ur
Пусть X = (7, −3,5) и Y = (1,9, 4).
uur ur
uur
ur
Тогда X ⋅Y = 7 ⋅1+ (−3) ⋅ 9 + 5⋅ 4 = 0, т.е. X и Y ортогональны.
Определение. Линейное пространство с введенным скалярным
произведением называется евклидовым n-мерным пространством.
Примеры:
1. Множество трехмерных векторов R3.
2. Множество двумерных векторов R2.
3. Множество R1 = R – множество действительных чисел.
Линейная зависимость и независимость векторов
uur uur
uuur
Пусть A1, A2,..., An – векторы из некоторого линейного пространства.
uur uur uuur
Определение: Линейной комбинацией векторов A1, A2 ,..., An , наuur
uur
uuur
зывается выражение вида: λ1 A1 + λ2 A2 + ... + λn An ,
20
где λ1, λ2 ,..., λn – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.
Линейная комбинация uuдает
в результате
сложения векторов,
r
uur
uuur
умноженных на число (λ1 A1, λ2 A2 ,..., λn An ) , также вектор.
Примеры:
1. 2 (2,5,1) – 4 (1,3,0) + (0,0,1) = (0,-2,3);
2. 3 (5,4) – 5 (-1,2) +2 (-10,-1) = (0,0).
Последний пример показывает, что в некоторых
случаях
uur uur
uuur можно
в результате линейной комбинации векторов A1, A2 ,..., An полуr
чить нулевой вектор 0 при ненулевых коэффициентах
(при всех
r
нулевых коэффициентах λi = 0 мы всегда получим 0 ).
Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую линейную
комбинацию, когда хотя бы один из коэффициентов ее отличен
от нуля. Так, в предыдущем примере векторы (5,4), (-1,2), (-10,-1)
линейно зависимы.
Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один вектор (при котором стоит отличный от нуля коэффициент) можно
выразить линейно через остальные.
Если λκ ≠ 0 , то
uuur
uuuuuur λ
uuuuuur
λ uuur
λ uur λ uur
λ
Ak = − 1 A1 − 2 A2 − ... − κ − 1 Ak − 1 − κ + 1 Ak + 1 − ... − n An .
λκ
λκ
λκ
λκ
λκ
ur
И наоборот, если вектор A0uuпредставлен
в виде линейной комr uur uuur
бинации остальных векторов A1, A2 ,..., An , то он в совокупности с
ur uur uuur uuur
ними дает систему A0 , A1, A2 ,..., An линейно зависимых векторов,
uur
uur
uur
uuur r
т.к. в комбинации −1⋅ A0 + λ1 A1 + λ2 A2 + ... + λn An = 0 коэффициент
λ0 = −1 ≠ 0 .
Определение. Система векторов называется линейно независимой, если из этих векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, в которой хотя
uur бы
uur один
uuur из коэффициентов
был бы отличен от 0. Т.е. векторы A1, A2 ,..., An будут линейно неuur
uur
uuur r
зависимы, если равенство λ1 A1 + λ2 A2 + ... + λn An = 0 возможно лишь
21
при всех λi = 0 (i = 1.2,..., n) . Очевидно, ни один из этих векторов
нельзя выразить через остальные.
ur
ur
Пример. Будут ли векторы A = (2,4) и B = (5,1) линейно зависимыми?
ur
ur r
Решение. Составим линейную комбинацию λ A + β B = 0 . Подставим координаты и выполним действия над векторами:
λ(2,4)+β(5,1)=(0,0)⇒(2λ,4λ)+(5β,β)=(0,0)⇒(2λ+5β,4λ+β)=(0,0).
В равных векторах должны быть равны соответствующие координаты:
2λ + 5β = 0,

4λ + β = 0.
Решив эту систему уравнений, получаем: λ = 0, β = 0, а это знаr
r
чит, что А и В линейно независимы.
ur
ur
ur
Пример. Будут ли векторы A = (2, 4), B = (5,1) и C = (2,1)
линейно зависимыми?
линейную комбинацию и приравняем ее к
r Решение.
ur
ur Составим
ur r
0 : α A + β B + γ C = 0; α (2, 4) + β (5,1) + γ (2,1) = (0, 0).
Выполнив действия над векторами и приравняв координаты
2α + 5β + 2γ = 0,

4α + β + 8γ = 0.
β
Решим систему уравнений: α = , γ = −3β .
2
равных векторов, получим
В этом решении число β играет роль параметра; задавая его
произвольно, будем получать значения α и γ, которые вместе с β
дают то или иное решение системы. Так,
ur ur при
ur β ≠ 0 получим α ≠ 0
и γ ≠ 0, из чего следует, что векторы A, B, C дают нулевую линейную комбинацию при ненулевых коэффициентах, т.е. они линейно зависимы.
Базис. Разложение векторов по базису
Определение. Базисом в пространстве Rn называется любая
система из n линейно независимых векторов. Каждый вектор из
22
Rn, не входящих в базис, можно представить в виде линейной
комбинации базисных векторов, т.е. разложить по базису.
r r
r
r
r
Пусть Β = {a1, a2 , a3 ,..., an } – базис пространства Rn и b ∈ R n . Тогда
найдутся
такие
числа
λ1,
λ2,
…,
λn,
что
r
r
r
r
b = λ1a1 + λ2 a2 + ... + λn an .
Коэффициенты разложения λ1, λ2, …, λn, называются координатами вектора b в базисе В. Если задан базис, то коэффициенты
вектора определяются однозначно.
что векторы
uurПример. Доказать,
uur
uur
3
a1 = (2,0,0), a2 = (0, −1,1), a3 = (0,1, 4) образуют базис в R .
uur
uur
uur r
Решение. Покажем, что равенство λ1 a1 + λ2 a2 + λ3 a3 = 0 воз-
можно только при λ1 = λ2 = λ3 =0:
λ1(2,0,0) + λ2 (0, −1,1) + λ3 (0,1, 4) = (0, 0,0);
(2λ1, −λ2 + λ3 , λ2 + 4λ3 ) = (0,0, 0),
или
 2 λ1 = 0,

 − λ 2 + λ 3 = 0,
λ + 4λ = 0.
3
 2
Решив систему,
λ1=0, λ2=0, λ3 =0. Так как все λi=0
uur uur получим
uur
(i=1,2,3), то a1, a2 , a3 - линейно независимы. Они могут составить
базис в R3.
uur
Очевидно, любой новый набор из векторов a1 = (C1,0,0),
uur
uur
a2 = (0, C2 ,0), a3 = (0,0, C3 ) может тоже быть взятым в качестве
базиса в R3. Итак, базис может быть выбран неединственным образом.
r
{
uur uur uur
}
Пример. Разложить вектор b = (0, 4,3) по базису a1, a2 , a3 .
r
uur
uur
uur
Решение. b = λ1 a1 + λ2 a2 + λ3 a3 . Подставим координаты всех
векторов и выполним действия над ними:
(0, 4,3) = λ1(2,0,0) + λ2 (0, −1,1) + λ3 (0,1, 4);
(0, 4,3) = (2λ1, −λ2 + λ3 , λ2 + 4λ3 ).
23
Приравняв координаты, получим систему уравнений:
0 = 2λ1,

4 = −λ2 + λ3 ,
3 = λ + 4λ .
2
3

Решим ее: λ1 = 0, λ2 = −
13
7
, λ3 = .
5
5
r
13 uur 7 uur
Таким образом, получим разложение: b = − a2 + a3 .
5
5
uur uur uur
r
13 7
В базисе a1, a2 , a3 вектор b имеет координаты (0, − , ) .
5 5
{
}
Замечание. В каждом n-мерном векторном пространстве можно
выбрать бесчисленное множество различных базисов. В различных базисах один и тот же вектор имеет различные координаты,
но единственные в выбранном базисе.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах
При решении задач аналитической геометрии будем использовать действия над векторами, заданными в координатной форме.
r
r
Пусть даны векторы a = a x , a y и b = bx , b y . Тогда:
(
)
(r )r
1) при сложении (вычитании) векторов a и b получим вектор
r r
a ± b = a x ± bx ; a y ± b y ;
(
)
r
2) при умножении вектора a на число λ получим вектор
r
λa = λax , λay ;
r
r
3) при скалярном произведении векторов a и b получим чисr r
ло a ⋅ b = ax ⋅ bx + a y ⋅ by .
(
)
Расстояние между двумя точками
Даны точки А (xA, yA) и В (xВ, yВ). Расстояние между ними най→
дем, как длину вектора AB = (xВ – xА, yB - yA). Из скалярного про24
изведения
uuur uuur uuur uuur
uuur 2
AB ⋅ AB = AB ⋅ AB ⋅ cos 0 = AB имеем
uuur
uuur uuur
AB = AB ⋅ AB .
Подсчитав
скалярное произведение через координаты вектора
uuur
AB , получаем расстояние между двумя точками
uuur
AB =
( xB − x A )2 + ( y B − y A )2 .
(1)
Угол между двумя векторами
r
r
Даны два вектора: a = ax , a y и b = bx , b y . Косинус угла между
ними:
(
(
)
)
r r
a x bx + a y b y
a ⋅b
cos φ = r r =
.
2
2
2
2
a⋅b
a x + a y ⋅ bx + b y
(2)
Деление отрезка в заданном отношении
Пусть даны точки А (xА yА), и В (xВ yВ). Требуется найти координаты точки С (x, y) , делящей отрезок АВ в заданном отношении λ:
В
AC
λ
=
.
С
CB
A
Для решения задачи воспользуемся действием умножения вектора на число. Перепишем отношение λ =
AC
в виде: |AC|=λ|CB|.
CB
Такое соотношение
uuur
uuur длин может быть получено при выполнении
действия AC = λ CB или ( x − xΑ , y − yΑ ) = λ ( xΒ − x, yΒ − y ) .
В равных векторах равны соответствующие координаты:
x − xΑ = λ ( xΒ − x ) , y − yΑ = λ ( yΒ − y ) .
Из этих уравнений найдем неизвестные координаты точки С:
x + λ xΒ
x= Α
;
1+ λ
y + λ yΒ
y= Α
.
(3)
1+ λ
В частности, для середины имеем | AC |=| CD | и поэтому λ=1.
Следовательно, координаты середины отрезка находятся по формулам:
25
x +x
x= A B,
2
y + yB
y= A
.
2
(4)
Условия параллельности и перпендикулярности векторов
Так как скалярное произведение двух перпендикулярных векr
r
торов a = a x , a y и b = bx , b y равно 0, то условием перпендикулярности отличных от нуля векторов будет равенство
a xbx + a y b y = 0 .
(
)
(
)
r
При умножении вектора a на скаляр λ ( λ ≠ 0 ) получаем векr
r
r
тор b = λ a одного направления с a при λ > 0и
r противоположного
r
направления при λ < 0. Но всегда векторы a и b будут параллельны.
r
r
Поэтому условием параллельности векторов a и b будет
by
b
пропорциональность их соответствующих координат: x =
.
ax
ay
Пример. Найти длину медианы СЕ в треугольнике АВС с вершинами: А (3,3), В (–1,1), С (0,1).
Решение. Так как Е – середина отрезка АВ, то по формуле (4)
имеем:
xE =
3 −1
= 1;
2
yE =
3 +1
= 2.
2
Длину медианы СЕ найдем по формуле (1):
CE = (0 − 1)2 + (1 − 2)2 = 2 .
Пример. Какие из векторов
r
r
r
a = (2, −4), b = (2,1), c = (3,0),
ur
d = (−1, 2) будут параллельны и какие перпендикулярны между
собой?
r
r
r r
Решение. Векторы
a
и
b
перпендикулярны,
т.к.
a
⋅ b = 2 ⋅ 2 − 4 ⋅1 = 0
r
ur
r
ur
Векторы a и d параллельны, т.к. a = −2d .
Пример. Найти геометрическое место точек, удаленных от
точки А(а,b) на одно и тоже расстояние R.
26
Решение. Если М(х,у) – произвольная точка искомого геометрического места, то всегда |АМ|=R или ( x − a)2 + ( y − b)2 = R ,
(х-а)2 + (у-b)2 = R2 – искомое уравнение.
Линии и их уравнения
Понятия уравнения линии является дальнейшим развитием метода координат. Если точка в аналитической геометрии на плоскости
определяется двумя числами (координатами точки), то линия определяется уравнением, связывающим координаты любой точки линии (уравнение линии). Составление уравнения линии заключается
в алгебраической записи свойства, характеризующего эту линию
как геометрическое место точек.
Точка пересечения двух линий, заданных уравнениями, может
быть найдена путем решения системы, образованной из этих
уравнений.
На примере уравнения окружности (х–а)2 + (у–b)2 = R2 видно,
что кроме текущих координат х и у , уравнение может содержать
еще и некоторые величины, остающиеся неизменными для данной
фиксированной линии, но изменяющиеся при переходе к другой
линии того же типа. В нашем примере это величины а, b и R,
имеющие для каждой окружности свое значение. Такие величины
называются параметрами, они определяют форму и размеры линии (например, параметр R в уравнении окружности), а также положение ее на плоскости относительно системы координат (как,
например, координаты а и b центра окружности).
Пример. Найти уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от прямой х = –2 и точки F (2,3).
Решение. Пусть М(х,у) – произвольная точка искомой линии.
Расстояние от точки М до прямой х = –2 есть длина перпендикуляра MN, опущенного из М на прямую. Определим координаты точки
N. Очевидно, что абсцисса точки N равна –2, а ордината точки N
27
равна ординате точки М, т.е. N(–2,у). По условию задачи
|MN|=|MF|. Следовательно, для любой точки М(х,у), принадлежащей искомой линии, справедливо равенство:
( x + 2)2 + ( y − y )2 = ( x − 2)2 + ( y − 3)2
или
( x + 2)2 = ( x − 2)2 + ( y − 3)2 .
Упростим полученное уравнение:
y
N
3
M(x,y)
F(2,3)
–2
0
2
x
x 2 + 4 x + 4 = x 2 − 4 x + 4 + ( y − 3)2
или 8 x = ( y − 3)2 .Это и есть искомое
уравнение.
Уравнение прямой линии в пространстве R2: общее,
каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой с
угловым коэффициентом
В декартовой системе координат прямая
представлена уравнением первой степени
M0
r
S
и, наоборот, всякое уравнение первой степени Ах+Ву+С = 0 представляет некоторую
прямую. Различные виды уравнения прямой (с угловым коэффициентом, каноническое и т.п.) являются частными случаями этого
общего уравнения.
Построим уравнение прямой, проходящей
ur через точку М0(х0, у0)
параллельно направляющему вектору S = (l , m) . Возьмем любую
uuuuur
точку N (х,у), лежащую на заданной прямой. Вектор M 0 N всегда
ur
будет параллелен вектору S .
uuuuur
ur
Условие параллельности векторов M 0 N =(х-х0; у-у0) и S = (l , m) ,
дает каноническое уравнение прямой линии на плоскости:
N
x − x0 y − y0
=
.
(1)
l
m
r
Введем вектор n = (A, B) , перпендикулярный искомой прямой.
r uuuuur
Тогда из условия перпендикулярности векторов n и M 0 N можно
r uuuuur
записать n ⋅ M0N = 0 . В результате получаем уравнение:
28
А(х-х0)+В(у-у0)=0 или
Ах+Ву+С=0,
где С=–Ах0–Ву0.
r
n = ( A, B)
Ax + By + C = 0
r
S
2)
Уравнение (2) называется
общим уравнением ur прямой на
плоскости. Вектор n = ( A, B) называется нормалью.
Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
Q(2, –3) параллельно оси Оу.
Решение. В качестве направляющего вектора S можно взять вектор
x−2 y+3
j = (0,1) . Подставив данные в уравнении (1), получим:
=
. Это
0
1
каноническое уравнение обычно переписывают в общем виде: х –
2 = 0 или х = 2.
При B ≠ 0 общее уравнение прямой (2) можно переписать в виде:
у = kx + b,
(3)
где k = − A B , b = − C B .
Уравнение (3) называется уравнением с угловым коэффициентом; угловой коэффициент k = tg α, где α – угол наклона прямой к
оси Ох. При k = 0 (α = 0)уравнение (3) дает прямую, параллельную оси Ох. Из уравнения (3) нельзя получить уравнение прямой,
параллельной оси Оу. Поэтому все семейство наклонных прямых
(3) дополняется прямыми:
х = а,
(4)
параллельными оси Оу. Уравнение (4) получено из уравнения (2)
при В = 0, где a = − C A .
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки
М1
М0
1
r
S
Пусть даны точки М0(х0, у0) и М1(х1,
у1). Требуется написать уравнение
прямой, проходящей через эти точки.
Для решения задачи воспользуемся
уравнением (1).
ur
В качестве
вектора S воспользуемся вектором
uuuuuuur urнаправляющего
uuuuuuur
M 0 M1 : S = M0M1 = ( x1 − x0; y1 − y0 ) .
29
Подставим l = x1 – x0 и m = y1 – y0 в каноническое уравнение (1),
получим уравнение прямой, проходящей через две точки:
x − x0
y − y0
=
.
x1 − x0 y1 − y0
(5)
Уравнение прямой, проходящей через данную точку
заданном направлении
Пусть дана точка М0(х0, у0). Требуется написать уравнение прямой, проходящей через точку М0 в заданном направлении.
Задачу будем решать в зависимости от того, как определено
ur
направление прямой. Если направление задается вектором S , то
такая прямая описывается уравнением (1). Если задан угловой
коэффициент k = k1, то уравнение прямой будет находить в форме
(3): y = k1x + b. Неизвестный коэффициент b найдем из условия
y0 = k1x0 + b (точка М0 принадлежит прямой). Найденное b = y0 –
k1x0 подставим в уравнение y = k1x + b. Искомое уравнение прямой запишем в виде:
y – y0 = k1(x – x0) .
(6)
Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
Q(2,7) параллельно прямой 2х-4у+3=0.
Решение. Найдем угловой коэффициент прямой 2х – 4у+ 3 = 0:
y=
1
3
1
x+ , k = .
2
4
2
Для искомой прямой угловой коэффициент будет таким же, так
как прямые параллельны. Подставим данные в уравнение (6):
1
y − 7 = ( x − 2) .
2
Угол между двумя прямыми
Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между ними. Угол между двумя непараллельными прямыми α1 и α2 найдем
как угол между направляющими векторами этих прямых при задании канонических уравнений для α1 и α2, или же как угол между
их нормалями, если заданы общие уравнения прямых α1 и α2
30
r
n2
α1
r
n1
ϕ
ϕ
α2
x − x1 y − y1
x − x2 y − y2
=
и α2:
=
.
l1
m1
l2
m2
uur
uur
Направляющие векторы этих прямых: S1 = (l1, m1) и S2 = (l2 , m2 ) .
Пусть заданы две прямые α1:
Угол φ между прямыми найдем из скалярного произведения
uur uur
uur uur
S ⋅ S2
l1 ⋅ l2 + m1 ⋅ m2
=
.
векторов S1 и S2 : cos φ = uur1 uur
2
2
2
2
S1 ⋅ S2
l1 + m1 ⋅ l2 + m2
Пусть заданы общие уравнения прямых α1 и α 2 : А1х+В1у+С1 =
uur
0 и А2х+В2у+С2=0. Тогда нормали к этим прямым: n1 = ( A1; B1) и
uur uur
uur
n ⋅ n2
=
n2 = ( A2 ; B2 ) , и cos φ = uur1 uur
A1 ⋅ A2 + B1 ⋅ B2
.
2
2
2
2
n1 ⋅ n2
A1 + B1 ⋅ A2 + B2
Если α1 : y = k1x + b1, α 2 : y = k2 x + b2 , то из k1x − y + b1 = 0 и
k1 ⋅ k2 + 1
k2 x − y + b = 0 следует: cos φ =
.
2
2
k1 + 1 ⋅ k2 + 1
Условием перпендикулярности прямых будет соответственно:
l1l2 + m1m2 = 0, либо A1 A2 + B1B2 = 0, либо k1k2 + 1 = 0 .
Из последнего равенства следует, что k2 = −1 k1 . Таким образом угловые коэффициенты двух перпендикулярных прямых обратные по величине и противоположны по знаку.
Условием параллельности прямых будет соответствовать:
31
l1 m1
A
B
=
, либо 1 = 1 , либо k1 = k2 .
l2 m2
A2 B2
Расстояние от точки до прямой
Дана прямая Ах+Ву+С=0 и точка Q(х1, у1). Требуется найти
расстояние от точки Q до прямой. Это расстояние находится по
формуле:
h=
Ax1 + By1 + C
A2 + B 2
(7)
Пример. Даны вершины треугольника АВС: А(–2,3), В(1,12),
С(11,6). Найти: 1) уравнение стороны АВ; 2) уравнение высоты
СD, опущенной из вершины С на сторону АВ; 3) уравнение медианы АЕ; 4) уравнение окружности, для которой медиана АЕ
служит диаметром.
Решение. 1. Уравнение прямой, проходящей через точку А(х1, у1)
и В(х2, у2), имеет вид
y − y1
x − x1
=
. Чтобы найти уравнение стоy2 − y1 x2 − x1
роны АВ, подставим координаты точек А и В в уравнение прямой:
y − 3 x − (−2)
=
;
12 − 3 1 − (−2)
y −3 x+ 2
; у – 3 = 3х + 6 ; у = 3х + 9 (АВ).
=
9
3
2. Высота СD перпендикулярна стороне АВ, а потому их угловые коэффициенты kCD и kAB удовлетворяют условию
kCD = −
1
k AB
.
Из уравнения прямой АВ следует, что kAB =3, тогда kCD = −1 3 .
Напишем уравнение прямой, проходящей через данную точку в
данном направлении: y – y1 = k(x – x1). Подставив в уравнение координаты точки С и угловой коэффициент kCD получим искомое уравнение высоты СD:
1
y − 6 = − ( x − 11); 3 y − 18 = − x + 11; x + 3 y − 29 = 0 (СD).
3
32
3. Определим координаты точки Е. Применяем формулы деле-
x +x
y +y
ния отрезка пополам: x = 1 2 ; y = 1 2 . Используя коорди2
2
наты вершин В и С получаем:
x=
1 + 11
= 6;
2
y=
12 + 6
= 9, E (6,9).
2
По точкам А и Е построим уравнение медианы АЕ:
y −3 x+ 2
=
;
9−3 6+ 2
y −3 x+2
=
;
6
8
y −3 x + 2
=
.
3
4
4. Уравнение окружности радикса R с центром в точке К(а,b)
имеет вид (х – а)2 + (у – b)2 = R2.
Так как по условию медиана АЕ является диаметром искомой
окружности; то центр окружности К делит отрезок АЕ пополам.
Находим координаты точки К:
x=
−2 + 6
= 2;
2
y=
3+9
= 6; K (2, 6) .
2
Чтобы найти радиус R окружности, достаточно найти расстояние между точками А и К. Известно, что расстояние d между
двумя точками плоскости М1(х1,у1) и М2(х2,у2) определяется по
формуле: d = ( x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 . Подставив координаты точек А и К, получаем AK = (2 + 2)2 + (6 − 3)2 = 5 , т.е. R=5. Следовательно, (х – 2)2 + (у – 6)2 = 25 – искомое уравнение окружности.
Пример. В треугольнике с вершинами А(2,3), В(–1,0), С(4,1)
найти длину высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.
Решение. Составим уравнение прямой, проходящей через сторону ВС по формуле (5):
x +1 y
1
1
= или x + − y = 0 .
4 +1 1
5
5
Найдем длину высоты АЕ по формуле (7):
1
1
2
⋅2−3+
2
12
5
5
AE =
= 5 =
.
1
26
26
+1
25
25
33
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ.
Определения предела и непрерывности функции в точке.
Свойства пределов
Определение. Число А называется пределом функции у=f(x) в
точке х0, если для всякого числа ε>0 существует такое число δ>0,
что как только |x–x0| < δ (x≠x0), то |f(x)–A| < ε.
Обозначение: lim f ( x) = A .
x → x0
Определение. Функция у=f(x) называется непрерывной в точке х0, если lim f ( x) = f ( x0 ) .
x → x0
Из непрерывности основных элементарных функций и основных теорем о непрерывных функциях следует, что любая элементарная функция непрерывна во всякой точке, в которой она определена (при этом предполагается, конечно, что функция определена и в окрестности этой точки).
1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е. lim C = C .
x→a
2. lim ( f ( x) ± g ( x)) = lim f ( x) ± lim g ( x), если lim f ( x) и
x→a
x→a
x→a
x→a
lim g ( x) существуют.
x→a
3. lim ( f ( x) g ( x)) = lim f ( x) lim g ( x) , если
lim f ( x) и
x→a
x→a
x→a
x→a
lim g ( x) существуют.
x→a
lim f ( x)
f ( x) x → a
4. lim
=
, если lim f ( x) и lim g ( x) сущестg
(
x
)
lim
g
(
x
)
x→a
x→a
x→a
x→a
вуют и lim g ( x) ≠ 0 .
x→a
Под знаком предела можно производить тождественные преобразования аналитического выражения, задающего функцию, не
принимая во внимание поведение функции в предельной точке.
34
Особый интерес приобретает случай преобразования аналитического выражения, задающего функцию f(х), в выражение, задающее функцию φ(х), непрерывную в самой точке х0 и совпадающую с f(х) в некоторой окрестности точки х0 без самой этой точки. Тогда очевидно,
lim f ( x) = lim φ ( x) = φ ( x0 )
x → х0
x → x0
(1)
3x2 − 5x − 2
Пример. Найти lim
при:
2
x → x0 4 x − 9 x + 2
а) х 0 =1; б) х 0 =2; в) х 0 = ∞.
Решение. а) lim (3x 2 − 5 x − 2) = −4 , lim (4 x 2 − 9 x + 2) = −3 ≠ 0 .
x →1
x →1
Так как предел знаменателя отличен от нуля, можно применить
теорему о пределе частного (свойство 4).
lim (3x 2 − 5 x − 2)
−4 4
Тогда lim
= x →1
=
= .
2
2
−
3
3
lim (4 x − 9 x + 2)
x → 1 4x − 9x + 2
x →1
3x 2 − 5 x − 2
б) lim
.
2
x → 2 4x − 9x + 2
3x2 − 5 x − 2
0
0
Имеем неопределенность вида   , следовательно, теорему о
пределе частного применить нельзя. Но в окрестности точки х=2
имеем 4х2 – 9х + 2 ≠ 0 (при х ≠ 2), и поэтому дробь можно сократить на х – 2.
Для этого разложим числитель и знаменатель на множители,
воспользовавшись формулой ах2+bх+с= а(х–х1)(х–х2), где х1 и х2 –
корни уравнения ах2 + bх + с = 0.
Тогда
35
(
(
)
)
3( x − 2) x + 1
3x 2 − 5 x − 2
3 = lim 3x + 1 =
= lim
lim
x →2 4 x 2 − 9 x + 2 x → 2 4 ( x − 2 ) x − 1 4 x → 2 4 x − 1
3⋅ 2 +1 7
=
= = 1.
4 ⋅ 2 −1 7
3x 2 − 5 x − 2
.
в) lim
x → ∞ 4 x2 − 9 x + 2
lim ( 3x + 1)
x→2
=
lim ( 4 x − 1)
x→2
∞ 
∞ 
Имеем неопределенность вида   . Чтобы найти предел, разделим числитель и знаменатель на х2, получим:
lim 3 − lim 5 − lim
3+ 5 − 2
2
x
2
3x − 5x − 2
x = x →∞ x →∞ x x →∞
= lim
lim
lim 4 − lim 9 + lim
x →∞ 4x2 − 9x + 2 x →∞ 4 − 9 x + 2 2
x
x →∞ x →∞ x x ←∞
3−0 −0 3
=
= .
4−0+0 4
4
3
2
x2 =
2
x2
3
4
Ответ: a) ; б )1; в ) .
Пример. Найти
Решение.
(
x +1
lim
.
x
+
3
−
1
−
x
x → −1
)
x + 3 − 1 − x = lim
x + 3 − lim 1 − x = 2 − 2 = 0 и
x → −1
x → −1
0
lim ( x + 1) = 0 . Имеем неопределенность вида   , теорему о
0
x → −1
lim
x → −1
пределе частного применять нельзя. Преобразуем данное выражение, помножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, получим:
x +1
( x + 1)( x + 3 + 1 − x )
lim
= lim
=
x → −1 x + 3 − 1 − x x → −1 ( x + 3 − 1 − x )( x + 3 + 1 − x )
36
=
lim
x → −1
=
lim
x → −1
=
=
1
2
(
( x + 1)(
(
) (
( x + 1)(
x+3+
)
1− x)
2x + 2
lim
x → −1
)
2+ 2 =
Ответ:
x + 3 + 1− x)
( x + 1)( x + 3 + 1 − x )
= lim
=
2
2
x + 3 −1+ x
1
x
→
−
1− x
x+3
−
x+3+
2
1− x
=
=
lim
x → −1
1
 lim
2  x → −1
( x + 1)(
x+3+
1− x)
2 ( x + 1)
x+3+
=

lim
1− x  =
x → −1

1
⋅ 2 ⋅ 2 = 2.
2
2.
Первый замечательный предел
sin x
x
= 1; lim
= 1.
x
sin
x
x→0
x→0
Если угол х выражен в радианах, то lim
Первый замечательный предел можно применять в ряде случа0
0
ев для раскрытия неопределенностей вида   .
tg12 x
.
sin
3
x
x→0
Пример. Найти предел функции lim
0
0
Решение. Здесь неопределенность вида   . Преобразуем данную функцию:
tg12 x sin12 x
1
12
1
sin12 x 3x
=
⋅
= ⋅
⋅
⋅
.
sin 3 x cos12 x sin 3 x 3 cos12 x 12 x sin 3 x
Обозначим 12х=U, причем
lim U = lim (12 x) = 12 lim x = 12 ⋅ 0 = 0,
x→0
x→0
x→0
sin12 x
U
= lim
= 1.
12
x
U
x→0
U →0
т.е. при х→0 и U→0. Следовательно, lim
37
Аналогично, положив 3x=U, получим
3x
U
1
1
1
lim
= lim
= 1; lim
=
= = 1.
x → 0 sin 3 x U → 0 sin U
x → 0 cos12 x cos 0 1
Следовательно
(
)
lim tg12x
= lim 12 ⋅ 1
⋅ sin12x
⋅ 3x
=
sin3
x
3
cos12
x
12
x
sin3x
x →0
x →0
= 12 lim 1
⋅ lim sin12x
⋅ lim 3x
= 12 ⋅1⋅1⋅1 = 4.
3 x→0 cos12x x→0
12x x→0 sin3x
3
Ответ: 4.
Пример. Найти
0
 .
0
lim
x→0
arctg 6 x
. Имеем неопределенность вида
3x
Решение. Обозначим arctg 6x = U, тогда 6х=tgU и при х→0 имеем U→0. Следовательно,

arctg 6 x
U
U 
= lim
= lim  2 ⋅
= 2 lim U
=

tgU
1
tgU
3x
⋅
⋅
tgU
3
U →0 6
U → 0

U →0
 U

= 2 lim 
⋅ cos U  = 2 ⋅ lim U
⋅ lim cos U = 2 ⋅1 ⋅1 = 2 .
U
sin
U
sin


U →0
U →0
U →0
lim
x→0
Ответ: 2.
Второй замечательный предел
(
Он имеет вид: lim 1 + 1 x
x→∞
)
x
1
= lim (1 + α ) α = e ,
α →0
где е – иррациональное число, приблизительно равное
2,71828… .
Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются log e x=ln x. С помощью этого предела раскрывают так
∞
же неопределенность вида {1 }.
3n − 1
 4n + 3 
Пример. Найти lim 
.Здесь неопределенность ви
4
n
−
2


n→∞
∞
да {1 }.
38
Решение. Преобразуем выражение в скобках.
4n + 3 4n − 2 + 5 4 n − 2
5
5
=
=
+
= 1+
.
4n − 2
4n − 2
4 n − 2 4n − 2
4n − 2
Обозначим
5
5
5
5 1
= α , тогда 4n − 2 = , 4n = + 2 , n =
+ ,
4n − 2
α
α
4α 2
15 1
+ , причем при n→∞, имеем α→0. Следовательно,
4α 2
15
1

3
n
−
1
15
1
+
 4n + 3 
2 = lim (1 + α ) 4α ⋅ (1 + α ) 2  =
lim 
= lim (1 + α ) 4α



n → ∞  4n − 2 
α →0
α → 0



15
1  4
15
15

4
α
4
=  lim (1 + α ) 
⋅ lim (1 + α ) = e
⋅1 = e 4 = e15 .


α →0
α → 0

3n − 1 =
Ответ:
4 15
e .
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Функция одной переменной
Определение. Производной функции у = f (x) в точке х называется предел
lim
∆x → 0
f ( x + ∆x) − f ( x)
∆y
= lim
,
∆x
∆
x
∆x → 0
если он существует и конечен.
Функция у = f (x) называется дифференцируемой в точке х. Она
всегда будет и непрерывной в этой точке.
Производная обозначается y / ,
f / ( x), dy
dx
, df ( x)
dx
.
Имеем y / = lim ∆y ∆x . По определению предела функции
∆x → 0
∆y
∆x
= y / + α , где α → 0 при ∆x → 0 . Отсюда ∆y=y'·∆x+α·∆x.
39
При малых значениях ∆x и при y ′ ≠ 0 имеем ∆y ≈ y ′∆x .
Определение. Главная часть y'∆x приращения ∆y функции, линейная относительно ∆x, называется дифференциалом функции и
обозначается dy=y'∆x.
Положив у=х, получим dx=(x)'∆x=1·∆x=∆x и поэтому
dy=y'dx.
Эта формула верна и в том случае, если х есть функция новой
переменной t.
Основные формулы дифференцирования
Пусть С – действительное число, U=U(x) и υ=υ(x) – дифференцируемые функции.
1. (С)'=0;
2. (С∙υ)'=Сυ';
3. (U±υ)'=U'±υ'
4. (U·υ)'=U'υ+Uυ';
5. (U υ)′ = U ′υ − Uυ′ .
υ2
Если y = f (u ) и u = φ ( x) , то у называется сложной функцией от
х.
Если
y = f (u )
и
u = φ ( x)
дифференцируемы,
то
dy
dx
= dy
du
⋅ du
dx
или y ′ = f ′(u ) ⋅ u ′ .
Таблица производных
1. (Un)'=n·Un–1·U'.
Следствие: (х)'=1.
2. (au)'=au·lna·U'.
Следствие: (е u )'=e u u'.
1
3. ( log a U )′ =
⋅U ′ . Следствие: ( lnU )′ = 1 ⋅ U ′ .
U
U ⋅ ln a
4. (sin U)' = cos U·U'.
5. (cos U)' = –sin U·U'.
6. ( tg U )′ = 1
cos2 U
7. ( ctg U )′ = − 1
⋅U ′ .
sin 2 U
⋅U ′ .
40
8. ( arcsin U )′ =
U′
1−U 2
U′
9. ( arccos U )′ = −
10. ( arctg U )′ =
.
1−U 2
U′
1+U 2
11. ( arc c tg U )′ = −
.
.
U′
1+U 2
.
Пример. Найти производные заданных функций:
3
1

2
1) y =  x 4 −
+ 2 .
3 2
4

x


( )
′
n
Решение. Применим формулу U
= n ⋅ U n − 1 ⋅ U ′ , здесь n=3,
U=
1 4
2
+ 2.
x −
3 2
4
x
3 −1
′
1



2
1
2
Тогда y ′ = 3  x 4 −
+ 2
⋅  x4 −
+ 2 .
3 2
3 2
4

4

x
x




Найдем U /.
′
2 ′
2 ′


′
′
1

−
−
2


1  
1  
+ 2  =  x4  −  2 ⋅ x 3  + ( 2)′ =  x4  −  2x 3  =
U ′ =  x4 −
3 2
4
 4  
4  


x






′
2
5
 2
−
−
−
−
1
′
1
4
4

 1
 2
= x4 − 2  x 3  = ⋅ 4 ⋅ x4 − 1 − 2 ⋅  −  ⋅ x 3 = x3 + x 3 = x3 +
.
3 5
4
4
3
3




3⋅ x


( )
2
1


2
4
4


Следовательно, y ′ = 3 x −
+ 2 ⋅  x3 +
3 2
3
4
 
x
3 ⋅ x5

 
41

.


x5 − 1
5
2) y = ln
.
5x + 2
Решение. Преобразуем сначала данную функцию, а затем найдем производную этой функции:
1
 x5 − 1  5 1  x5 − 1  1
x5 − 1
5
 = ln 
 = ln( x5 − 1) − ln(5x + 2) .
y = ln
= ln 
 5x + 2 
5x + 2
5  5x + 2  5




(
)
Тогда
′ 1
1


5

y ′ =   ln x − 1 − ln ( 5 x + 2 )   =   ln x5 − 1
  5  
5
(
)
(
Для нахождения производных (ln( x
мулу: ( ln U )′ =
U′
.
U
5
− 1)
)
′
 − ln 5 x + 2) ′  .
)
 ( (


)′ и (ln(5x + 2))′ применим фор-
Получим:
1  ( x5 − 1)′ (5 x + 2)′  1  ( x5 ) − (1)′ 5( x)′ + (2)′  1  5 x 4 − 0 5 + 0 
= 
= 
=
−
−
−
y′ = 
5  x5 − 1
5 x + 2  5  x5 − 1
5 x + 2  5  x5 − 1 5 x + 2 






1  5x4
5 
x4
1
4 x5 + 2 x 4 + 1
=
= 
−
−
=
.
5  x5 − 1 5 x + 2  x5 − 1 5 x + 2 ( x5 − 1)(5 x + 2)


3) y = arctg
1
+ arccos x + 2 .
x−2
Решение.
′
′
1
1 ′



y ′ =  arctg
+ arccos x + 2  =  arctg
 + arccos x + 2 .
x−2
x−2

 
1
Для нахождения производной arctg
применим формулу
x−2
U′
1
. Здесь U =
. Тогда
( arctg U )′ =
2
(
x
−
2)
1+U
(
42
)
 1 


x−2
′
1 

 arctg
 =
x−2

−
′
 1 
1+ 

x−2
1
−
( x − 2) 2
2
(
=
( x − 2 )− 1
)
′
( − 1)( x − 2) − 1 − 1
=
=
2
2
 1 
 1 
1+ 
1+ 


 x−2
 x−2
1
1
1
( x − 2) 2
.
=
=
=−
=−
2
2
2
2
( x − 2) + 1
( x − 2) + 1
x − 4x + 5
 1 
1+ 

 x−2
( x − 2) 2
(
Для нахождения производной arccos x + 2
U)′ =−
( arccos
(
Тогда arccos
=−
1
U'
1−U2
применим формулу
.
1 ′

−( x + 2) 2 


′
−( x + 2)'
 =
x+2 =
= 
1− x − 2
1− ( x + 2)2
1
x + 2) 2 −1
(
2
−x −1
′
)
)
1
−
( x + 2) 2
1
=− 2
=−
.
−x −1
2 ( − x − 1)( x + 2)
1
Следовательно, y ′ = −
1
x2 − 4 x + 5
−
1
.
2 (− x − 1)( x + 2)
4) y = 6 tg x − x 2 cos 2 x .
(
) ( ) (
)
′
Найдем: ( 6 tg x ) по формуле (a )'=a ·lna·U'.
′
tg
x
tg x ⋅ ln 6(tg x)′ = 6 tg x ⋅ ln 6 ⋅ 1 .
Будем иметь ( 6
=
6
)
cos 2 x
′
′
tg
x
2
tg
x
Решение. y ′ = 6
− x cos 2 x = 6
− x 2 cos 2 x .
u
43
u
Производную (х2cos2x)' найдем по формуле (U·υ)'=U'υ+Uυ'и
(cosU)'=-sinU⋅U'.
Тогда
(
)
′
x2 cos 2 x)′ = ( x2 )′ ⋅ cos 2 x + x2 ⋅ (cos 2 x)′ = 2 x cos 2 x + x2 (− sin 2 x)(2 x)′ =
= 2 x cos 2 x − 2 x2 sin 2 x = 2 x(cos 2 x − x sin 2 x).
1
− 2 x(cos 2 x − x sin 2 x) .
2
cos x
Пример. Вычислить приближенное значение 5 252 , заменив в
точке х=243 приращение функции y = 5 x дифференциалом.
Следовательно, y ′ = 6tg x ⋅ ln 6 ⋅
Решение. Имеем: ∆y ≈ dy, т.е. ∆y = 5 x + ∆x − 5 x .
В нашем примере х=243, х+∆х=252, тогда ∆х=252–243=9,
′
 1 
1 15 − 1
1 − 45
1
5
5
′
dy = y dx = x dx =  x  dx = x
dx = x
dx =
dx .


5 4
5
5


5 x
Отсюда ∆y = 5 252 − 5 243 = 5 243 + 9 − 5 243 = 5 243 + 9 − 3,
1
1
1
1
1
dy =
∆x =
⋅9 =
⋅9 =
= .
4
5
5 ⋅ 34
5 ⋅ 32 45
5 2434
5 5 243
( )
′
(
)
1
Поэтому 5 252 − 5 243 ≈ .
45
1
1
Следовательно, 5 252 ≈ 5 243 + = 3 + ≈ 3,022 .
45
45
Функции нескольких переменных
Определение. Переменная z называется функцией переменных
х и у, если каждой паре значений х и у в некоторой области их
изменения поставлено в соответствие одно значение z. Функциональную зависимость z от х и у записывают в виде: z=f(x,у). Это
уравнение определяет некоторую поверхность в пространстве R3.
Геометрическим образом функции z=x 2 +y 2 является параболоид. Пусть z=a, тогда x 2 +y 2 =a, т.е. линия пересечения плоскости
44
z=a с поверхностью z=x 2 +y 2 есть окружность x 2 +y 2 =a радиуса
2
R = a . Пусть у=0, тогда z=x и, следовательно, при пересечении
плоскости Oхz с поверхностью получается парабола. Метод сечений дает возможность лучше представить себе геометрический
образ данной функции.
z
z = x2 + y2
0
y
x
Определение. Число А называется пределом функции z=f(x,у)
в точке М0(х0, у0), если для каждого числа ε>0 найдется такое
число β>0, что для всех точек М(х,у), для которых выполняется
неравенство |ММ0|<β, будет выполняться неравенство |f(x,у)–
A|<ε.
Обозначим
lim f ( x, y ) = A .
x → x0
y → y0
Определение. Функция z=f(x,у) называется непрерывной в
точке
М0(х0,у0),
если
имеет
место
равенство
lim f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) .
x → x0
y → y0
Частные производные и полный дифференциал 1-го порядка
Определение. Производная от функции z=f(x,у) по х, найденная в предложении, что у остается постоянным, называется частной производной от z по х и обозначается ∂∂xz или f' x (x,у). Аналогично определяется и обозначается частная производная z по у.
45
Если функция z=f(x,у) имеет в точке (х,у) непрерывные частные
производные, то ее полное приращение может быть представлено в
виде:
∆z =
где ε → 0 при ξ =
∂z
∂z
⋅ ∆x + ⋅ ∆y + εξ ,
∂x
∂y
(1)
( ∆x )2 + ( ∆y )2 → 0 .
Определение. Выражение
∂z
∂z
∆x + ∆y является главной чаdx
dy
стью полного приращения ∆z и называется полным дифференциалом функции z=f(x,у) и обозначается dz:
dz =
∂z
∂z
∆x + ∆y .
∂x
∂y
Полагая в формуле (2) z равным х, найдем
dy = ∆y . Поэтому
dz =
(2)
dx = ∆x
, а при z=y
∂z
∂z
dx + dy .
dx
dy
(3)
Из (1) следует, что ∆z ≈ dz .
Функция f(x,y) называется дифференцируемой в точке (х,у), если она имеет в этой точке полный дифференциал.
Пример.
Найти
полный
дифференциал
функции
z = 5 x 2 + 6 y + 3x 2 y3 .
Решение. Сначала найдем частные производные
(
(
∂z
= 5 x 2 + 6 y + 3x 2 y3
∂z
∂z
= 5 x 2 + 6 y + 3 x 2 y3
∂y
) x = 10x + 0 + 3 ⋅ 2xy3 = 10x + 6xy3,
′
) y = 0 + 6 + 3x 2 ⋅ 3 y 2 = 6 + 9 x 2 y 2 .
′
46
Производная
∂z
найдена в предположении, что у постоянна, а
∂x
∂z
найдена в предположении, что х постоянна. По формуле (3):
∂y
∂z
∂z
dz = dx + dy = (10 x + 6 xy3 )dx + (9 x 2 y 2 + 6)dy .
∂x
∂y
Ответ. dz=(10x–6xy3)dx+(9x2y2+6)dy.
Градиент функции. Производная по направлению
Определение. z=f(x,у) дифференцируемая функция двух пере-
∂z r ∂z r
менных. Тогда вектор gradz =
i+
j называется градиентом
∂x
∂y
функции z=f(x,у).
Он обладает следующими свойствами:
r
gradC = 0, c = const ,
grad (U + υ ) = gradU + gradυ ,
grad (CU ) = CgradU , C − const ,
grad (Uυ ) = υ gradU + Ugradυ ,
grad
U υ gradU − Ugradυ
=
.
υ
υ2
Пусть cos α , cos β – направляющие косинусы некоторого векr
r
r
r
тора l , т.е. l = cos α ⋅ i + cos β ⋅ j .
∂z ∂z
∂z
= cos α + cos β – производная функции z=f(x,у) в
∂l ∂x
r ∂y
данном направлении l .
Тогда
Экстремум функции двух переменных
Определение. Функция z=f(x,у) имеет в точке М0(х0,у0) максимум, если в окрестности этой точки выполняется неравенство
f(x,у)<f(x 0 ,у0 ).
47
Аналогично определяется минимум функции z=f(x,у) в точке
М0(х0, у0).
Необходимый признак экстремума
Если М(х0,у0) – точка экстремума дифференцируемой функции z=f(x,у), то
Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. то есть Ошибка! Объект не может быть создан
из кодов полей редактирования.
Достаточный признак экстремума
Пусть z=f(x,у) – функция, для которой существуют производ′′ ( x0 , y0 ),
ные первого и второго порядка в точке М(х 0 ,у 0 ): A = f xx
′′ ( x0 , y0 ), C = f yy
′′ ( x0 , y0 ) . Составим выражение Δ=АС–В 2 .
B = f xy
Если Δ>0, то М(х0, у0) – точка экстремума, а именно: точка максимума при A<0 (если C<0), точка минимума при A>0 (или С>0).
Если Δ<0, то в точке М нет экстремума.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Одним из важнейших приложений дифференцированного исчисления является исследование функции с целью построения ее
графика.
Определение. Функция у=f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при х 2 >х 1 , f(x 2 )>f(х 1 ), и убывающей, если
f(x 2 )<f(х 1 ).
Достаточные признаки возрастания и убывания функции:
если функция f(x) в каждой точке интервала (a,b) имеет положительную производную, то сама функция в этом интервале возрастает;
если функция f(x) в каждой точке интервала (a,b) имеет отрицательную производную, то функция в этом интервале убывает.
Определение. Функция у=f(x) имеет экстремум (максимум или
минимум) в точке х=х0, если f(x 0 ) является наибольшим или наименьшим значением функции в некоторой окрестности этой точки.
Необходимое условие экстремума функции
Если функция у=f(x) имеет экстремум в точке х=х0, то ее производная в этой точке равна нулю, либо не существует.
48
Значения аргумента, при которых функция f(x) сохраняет непрерывность, а ее производная f'(x) обращается в нуль или не существует, называются стационарными или критическими точками.
Первый достаточный признак экстремума функции
Если функция у=f(x) дифференцируема в окрестности стационарной точки х0 и ее производная слева от этой точки положительная, а справа отрицательная, то в точке х0 функция достигает
максимума; если производная слева от стационарной точки х0 отрицательная, а справа – положительная, то в точке х0 функция
достигает минимума; если производная слева и справа от стационарной точки х0 имеет одинаковый знак, то в этой точке функция
экстремума не имеет.
Второй достаточный признак экстремума
Если в стационарной точке х0 вторая производная отлична от
нулю, то в этой точке функция у=f(x) имеет максимум при
f''(x 0 )<0 и минимум при f''(x 0 )>0.
Определение. Кривая у=f(x) называется выпуклой на интервале (a,b), если при a<x<b она расположена ниже касательной,
проведенной в любой точке интервала (a,b).
Определение. Кривая у=f(x) называется вогнутой на интервале (a,b), если при a<x<b она расположена выше касательной,
проведенной в любой точке интервала (a,b).
Определение. Точки, отделяющие выпуклую часть непрерывной
кривой от вогнутой (или наоборот), называются точками перегиба
кривой.
Признаки выпуклости и вогнутости кривой
Если вторая производная функции y''(x) положительна во всех
точках интервала (a,b), то на этом интервале график функции является вогнутым.
Если вторая производная функции y''(x) отрицательная во всех
точках интервала (a,b), то на этом интервале график функции является выпуклым.
49
Определение. Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.
Если lim f ( x) = ∞ или lim f ( x) = −∞ , то прямая х=а являетx→a
x→a
ся вертикальной асимптотой кривой у=f(x).
Прямая у=b является горизонтальной асимптотой кривой
lim f ( x) = b
или
у=f(x),
если
существует
предел
x → +∞
lim f ( x) = b .
x → −∞
Если существуют пределы
f (x)
lim
= k и lim [ f (x) − Kx] = b ,
x →±∞ x
x →±∞
то прямая у=kx+b есть наклонная асимптота кривой у=f(x).
Для построения графика функции ее можно исследовать по следующей схеме:
1. Найти область определения функции, интервалы непрерывности и точки разрыва функции. Найти вертикальные асимптоты,
исследуя изменение функции при х, стремящемся к точкам разрыва функции.
2. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность.
3. Найти точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции. Вычислить значения экстремумов.
4. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика,
найти точки перегиба.
5. Найти горизонтальные и наклонные асимптоты кривой (если
они существуют). Найти точки пересечения кривой с осями координат (если они существуют).
x3
Пример. Исследовать функцию y =
− x 2 − 3 x + 2 и построить
3
ее график.
Решение. Функция у(х) точек разрыва не имеет. Область определения – вся числовая ось. Вертикальных асимптот нет. Горизонтальных и наклонных асимптот нет.
Исследуем данную функцию на экстремум. Определим критические точки. Для этого находим первую производную данной
функции и приравниваем ее к нулю: y'=x 2 –2x–3, x 2 –2x–3=0.
50
Решая последнее уравнение, находим его корни: х1 =–1, х2 =3.
Таким образом, х1 =–1 и х2 =3 – критические точки. Так как производная f'(x) существует при любом значении х, то других критических точек не имеется.
Исследуем критическую точку
y
х=–1. Производную y'(x) пред4
2
ставим в виде произведения двух
x
–
2
2
4
6
–4
сомножителей: y'=(x+1)(x–3). Из
–2
–4
этого равенства видно, что при
–6
x<–1 производная f'(x) положительная, а при –1<x<3 производная f'(x) отрицательна. Следовательно, в интервале (–∞,–1) функция возрастает, в интервале (–
1,3) – убывает, а в интервале (3,∞) - возрастает. Так как производная y' при переходе через критическую точку х=–1 меняет
свой знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум.
Аналогично исследуем точку х2=3. и убеждаемся, что в этой точке функция имеет минимум.
2
Найдем экстремум ymax = 3 , ymin = −7 . Из второй производ3
ной y''(x)=2x–2 найдем точку х=1, подозрительную на точку перегиба. Так как при переходе через эту точку y''(x) меняет знак,
то точка х=1 является точкой перегиба. В интервале (–∞,1) график функции является выпуклым, так как y''(x)<0; в интервале
(1,+∞) – график вогнут, так как y''(x)>0. Строим график.
( x3 + 4)
Пример. Исследовать функцию y =
и построить ее график.
2
x
( x3 − 8)
24
Решение. Найдем производные: y ′ =
; y′′ =
.
3
4
x
x
Область определения D( y ) = (−∞,0) U (0, +∞) .
Свойствами четности, нечетности функция не обладает. График
пересекается с осью Ох в точке x = 3 −4 . Критические точки: х=2,
х=0. Последняя не входит в область определения, поэтому ее не
рассматриваем. Найдем у(2)=3 и нанесем точку (2,3) на плоскость
Оху.
Исследуем поведение у в окрестности точки х=2. При 0<х<2,
y'<0, при х>2, y'>0. Следовательно в точке х=2 функция имеет
минимум. На промежутке (–∞,0) y' >0, следовательно функция
51
возрастает. Исследуем направление выпуклости графика. Всюду
y''>0, следовательно точек перегиба нет и кривая всюду вогнута.
Исследуем функцию вблизи точки разрыва непрерывности х=0 и
при х→∞, х→–∞:
x3 + 4
x3 + 4
x3 + 4
x3 + 4
lim
=+∞, lim
=+∞, lim
=+∞, lim
=−∞.
2
2
2
2
+
−
x →+∞ x
x →−∞ x
x →0 x
x →0 x
Прямая х=0 – вертикальная асимптота.
Найдем наклонную асимптоту y=kx+b:
x3 + 4
k = lim
= 1,
2
x→∞ x ⋅x
 x3 + 4

x3 + 4 − x3
4


b = lim
− x = lim
= lim
= 0.
2
2
 x → ∞
→
∞
x → ∞  x 2
x
x
x
Получим наклонную асимптоту у=х. Строим график функции.
y
8
6
4
2
3
-4
-2
x
−4
0
2
4
6
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Неопределенный интеграл
Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x), если производная ее F'(x)= f(x).
Определение. Совокупность всех первообразных функций
F(x)+С для функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается ∫ f ( x)dx = F ( x) + C .
Таблица основных интегралов:
1. ∫ 1 ⋅ dx = x + c .
xα + 1
α
2. ∫ x dx =
+ c (α ≠ −1) .
α +1
52
1
x
3. ∫ dx = ln x + c .
ax
x
4. ∫ a dx =
+ c (a > 0, a ≠ 1) . Следствие: ∫ e x dx = e x + c .
ln a
5. ∫ sin xdx = − cos x + c .
6. ∫ cos xdx = sin x + c .
7. ∫
1
dx = tg x + c .
2
cos x
8. ∫
1
dx = − ctg x + c .
2
sin x
arcsin x + c;
dx = 
 − arccos x + c.
1 − x2
arctg x + c;
1
10. ∫
dx = 
− arcctg x + c.
1 + x2
9. ∫
1
Основные свойства интегралов
1. ∫ (U ± υ )dx = ∫ Udx ± ∫ υ dx;
2. ∫ cUdx = c ∫ Udx
Пример. Вычислить интегралы:
x3 + 1
x4
3
+c =
+c.
1. ∫ x dx =
3 +1
4
′
 x4 
1 4 ′
1


′
Проверка.
+ (C ) = x + 0 = ⋅ 4 ⋅ x3 = x3 .
 4 
4
4


( )

1
1 
1
2. ∫  x + + 2 x − 3sin x +
dx = ∫ xdx + ∫ dx + ∫ 2 x dx −

x
x
sin 2 x 

1
x2
2x
−3∫ sin xdx + ∫
dx =
+ ln x +
+ 3cos x − ctg x + C.
2
2
ln
2
sin x
53
Замена переменной в неопределенном интеграле
Замена переменной в неопределенном интеграле производится
с помощью подстановок двух видов:
а) x = φ (t ) , где φ (t ) – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в
этом случае: ∫ f ( x)dx = ∫ f [φ (t )] φ ′(t )dt ;
б) U=Ψ(x), где U – новая переменная.
Формула замены переменной при такой подстановке:
∫ f ( x)dx = ∫ f [ψ ( x)]ψ ′( x)dx = ∫ f (U ) dU .
Примеры.
2ln x + 3)3
(
dx .
1. Найти интеграл ∫
x
1
x
Решение. Перепишем данный интеграл в виде ∫ ( 2ln x + 3)3 ⋅ dx .
Так как производная выражения 2ln x + 3 равна 2/х, а второй множитель 1/х отличается от этой производной только постоянным
коэффициентом 2, то нужно применить подстановку 2ln x + 3 = t .
Тогда 2 ⋅
dx
= dt ,
x
dx 1
= dt . Следовательно,
x 2
1 3
1 4
1
3 1
4
3 1
∫ ( 2ln x + 3) ⋅ dx = ∫ t ⋅ dt = ∫ t dt = t + C = ( 2ln x + 3) + C .
x
2
2
8
8
e2 x
2. Найти интеграл ∫
dx .
4
x
e +1
1
Решение. e2x = t , тогда e2 x dx = dt и
2
e2 x
1
1
1
1
dx = ∫
dt = arctg t + C = arctg e2 x + C .
∫ 4x
2 t2 +1
2
2
e +1
Интегрирование по частям
Нахождение интеграла ∫ υdU по формуле ∫ υdU = Uυ − ∫ Udυ называется интегрированием по частям. Здесь U=U(х), υ=υ(x) непрерывно
дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла
54
∫ Udυ , ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.
При этом за υ берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dU – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
Так например, для интегралов вида ∫ P ( x)eα x dx , ∫ P ( x)sin α xdx ,
∫ P ( x) cos α xdx , где P(x) – многочлен, за υ следует принять P(x), а
за dU соответствует выражение eα x dx , sin α xdx, cos α xdx . Для
интегралов вида ∫ P ( x) ln xdx, ∫ P( x) arcsin α xdx, ∫ P ( x) arccos α xdx
за
υ
принимаются
соответственно
функции
ln x, arcsin α x, arccos α x , а за dU – выражение P(x)dx.
Пример. Найти интеграл ∫ x ⋅ sin xdx .
Решение. Положим υ = x, dU = sin dx , тогда dυ = dx, U = − cos x .
Отсюда ∫ x sin xdx = − x cos x + ∫ cos xdx = − x cos x + sin x + C .
Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь вида
P ( x)
, где P(x) и
Q ( x)
Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной,
если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в
противном случае дробь называется неправильной.
Пусть необходимо найти интеграл от неправильной рациональной дроби. При помощи деления (по правилу деления многочленов) неправильную рациональную дробь можно представить в
виде суммы целой рациональной функции и правильной рациоx3 − 6
3x − 4
нальной дроби. Например,
= x−2+
.
2
2
x + 2x + 1
x + 2x + 1
Затем знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида ( x − a) и ( x + ρx + q) , а правильная дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом:
α
2
β
Aα
A
A2
P( x)
= 1 +
+ ... +
+
α
2
β
2
α
x
−
a
( x − a) ( x + ρ x + q)
( x − a)
( x − a)
+
M β x + Nβ
M1x + N1
M 2 x + N2
+
+ ... +
.
2
2
2
2
β
( x + ρ x + q)
x + ρ x + q ( x + ρ x + q)
55
x3 + x 2
Пример. Найти интеграл ∫
dx .
2
x − 6x + 5
Решение. Выделим целую часть данной неправильной дроби:
x3 + x 2
37 x − 35
.
= x+7+
2
2
x − 6x + 5
x − 6x + 5
Разложим знаменатель на линейные множители по формуле:
ax 2 + bx + c = a( x − x1)( x − x2 ) , где х1 и х2 – корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, то есть x 2 − 6 x + 5 = ( x − 1)( x − 5) .
37x − 35
37x − 35
A
B
Ax − 5A + Bx − B ( A + B)x − 5A − B
=
=
+
=
=
,
2
(
x
1)(
x
5)
x
1
x
5
(
x
1)(
x
5)
(
x
1)(
x
5)
−
−
−
−
−
−
−
−
x − 6x + 5
откуда получаем систему уравнений, приравнивая коэффициенты
 A + B = 37;
−5 A − B = −35.
при одинаковых степенях слева и справа 
1
2
Решая ее, имеем: −4 A = 2, A = − , B = 37 − A = 37 +
значит: −4 A = 2 ,

−1
37 1 
x3 + x 2
2
2  dx =
dx = ∫  x + 7 +
+
∫ 2
x −1 x − 5 

x − 6x + 5


x2
1
1
=
− 7 x − ln x − 1 + 37 ln x − 5 + C.
2
2
2
56
1
1
= 37 ,
2
2
Определенный интеграл
Формула Ньютона – Лейбница
b
b
∫ f ( x) dx = F ( x) | = F (b) − F (a ) ,
a
a
где F(x) – первообразная для f(x), т.е. F'(x)= f(x).
Пример.
π
4 dx
1. Вычислить ∫
по формуле Ньютона – Лейбница.
2
π cos x
6
π
π
4
4 dx
π
π
3 3− 3
= tg x | = tg − tg = 1 −
=
.
Решение. Имеем ∫
2
4
6
3
3
π
π cos x
6
6
e ln 2 x
dx .
2. Вычислить ∫
x
1
Решение. Положим ln x = t , тогда
х=е, то t=1.
dx
= dt . Если х=1, то t=0, если
x
(
)
1
e 2
1
Следовательно, ∫ ln x dx = ∫ t 2 dt = 1 t 3 | = 1 13 − 03 = 1 .
1
x
3
0
0
3
3
Геометрические приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x),
[f1(x)≤f2(x)] и прямыми х=а и х=b, находится по формуле
b
S = ∫ [ f 2 ( x ) − f1( x) ]dx
a
57
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями y=–x 2 , y=–x–2.
–1
0
у
2
х
Решение. Сделаем чертеж.
Найдем абсциссы точек пересечения данных линий:
–x 2 =–x–2 или x 2 –x–2=0, x 1 =–1, x 2 =2.
2
Значит, S = ∫  − x 2 − ( − x − 2)  dx =


−1
2
 x3 x 2

= ∫  − x 2 + x + 2  dx =  −
+
+ 2x


2
 3

−1
2
8 4
1 1
= − + + 4 − − + 2 = –3 + 1, 5 + 4 + 2 = 4, 5.
−1
3 2
3 2
Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции
b
вокруг оси Ох; находится по формуле: V = π ∫ f 2 ( x)dx .
a
Длина кривой, заданной уравнением y = f (x), a ≤ x ≤ b, выражаb
ется следующим образом: l = ∫ 1 + ( f ′( x ) )2 dx
a
ДИФФЕРЕНЦАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Основные понятия
Определение. Уравнение вида
F(x, y, y', y'', …, y(n)) = 0,
(*)
связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.
58
Определение. Общим решением дифференциального уравнения
n-го порядка называется функция у = φ(х, С1, С2, …, Сn), которая
зависит от аргумента х и n независимых произвольных постоянных С1, С2, …, Сn , обращающая вместе со своими производными
у/, у//, …, у(n) уравнение (*) в тождество.
Определение. Частным решением уравнения (*) называется
решение, которое получается из общего решения, если придавать
постоянным С1, С2, …, Сn определенные числовые значения.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Уравнение вида y'+ρ(x)y=f(x), где ρ(x) и f (x)
непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Пример. Найти общее решение уравнения y'+3y=e 2x и частное
решение, удовлетворяющее начальным условиям х=0, у=1.
Решение. Данное уравнение является линейным.
Здесь ρ(x)=3 и f (x)=e2x.
Решение ищем в виде y=U∙υ, где U и υ – некоторые функции от
х. Находим y'=U'υ+Uυ' и подставляем в уравнение значение y и
y', получаем: U'υ+Uυ'+3Uυ=e 2x или U'υ+U(υ'+3υ)=e 2x.
Найдем одно значение υ, при котором выражение в скобках, обращается в нуль: υ'+3υ=0. Получим уравнение с разделяющимися
переменными. Решая его получаем: ddxυ + 3υ = 0, dυυ = −3dx, ln υ =–3x,
υ=e –3x.
Подставляем найденное значение υ в исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
1
U ′e−3x = e2 x , U ′ = e5 x , dU = e5 x dx, U = e5 x + C .
5
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:
1

y =  e5x + C  ⋅ e−3x .
5

59
Найдем частное решение. Для этого подставим начальные условия в выражение для общего решения и найдем С.
4
1

1

1 =  e5⋅0 + C  ⋅ e−3⋅0 , 1 =  + C  ⋅1, C = .
5
5

5

Частное решение имеет вид: y =  1 e5 x + 4  e−3x .
5
5
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами
Уравнение вида y''+ρy'+qy=f(x), где ρ и q – вещественные
числа, f (x) – непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида:
y''+ρy'+qy=0,
(1)
у которого правая часть f (x) равна нулю. Такое уравнение называется однородным.
Уравнение
K 2 +ρK+q=0
(2)
называется характеристическим уравнением данного уравнения
(1).
Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через К1 и К2.
Общее решение уравнения (1) может быть записано в зависимости от величины дискриминанта D=ρ 2 –4q уравнения (2) следующим образом:
1. При D>0 корни характеристического уравнения вещественные и различные (К1 ≠ К2), и общее решение имеет вид
Kx
K x
y =C e 1 +C e 2 .
1
2
2. При D=0 корни характеристического уравнения вещественные и равные (К1 = К2 = К), и общее решение имеет вид:
y = e Kx (C + C x).
1 2
3. Если D<0, то корни характеристического уравнения ком-
плексные: K1,2 = − ρ + D = − ρ ± i − D = α ± β i , где
2
2
60
i = −1
– мнимая
единица, α = − ρ2 , β = −2 D и общее решение (К 1 =α+βi, К 2 =α–βi,
β≠0), имеет вид y = e αx (C 1 cosβx+C 2 sinβx).
Пример 1. Найти общее уравнение y''–y'–2y=0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид K 2 –K–2=0,
его корни К1 = 1, К2 = –2 вещественные и различные. Общее решение уравнения имеет вид y = C 1 e x +C 2 e –2 x .
Пример 2. Найти общее решение уравнения y''–2y'+y=0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К 2 –
2К+1=0, его корни К1 = К2 = 1 – вещественные и равные. Общее
решение уравнения имеет вид y = e x (C 1 +C 2 x).
Пример 3. Найти общее решение уравнения y''–4y'+13y=0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К 2 –
4К+13=0, его корни К1 = 2+3i, К2 = 2–3i комплексные. Обще
решение уравнения имеет вид y = e 2x (C 1 cos3x+C 2 sin3x).
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение второго
порядка:
y''+ρx+qy=f(x),
(3)
где f(x) – непрерывная функция, отличная от нуля.
Общее решение такого уравнения представляет собой сумму
частного решения ~y неоднородного уравнения (3) и общего решения y о соответствующего однородного уравнения (1):
y = yo + y% .
Поскольку нахождение общего решения однородного уравнения
мы уже рассмотрели, то остаются рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Рассмотрим различные виды правых частей
уравнения (3).
1) Пусть правая часть имеет вид f(x)=eαxPn(x), где Pn(x) – многочлен степени n.
Тогда частное решение
~
y
ищем в виде y% = Qn ( x) x r eα x ,
где Qn(x) – многочлен той же степени, что и Pn(x), а r – число, показывающее, сколько раз α является корнем характеристического
уравнения.
Пример 4. Найти общее решение уравнения y''–2y'+y=x 2 +1.
61
Решение. Общее решение соответствующего однородного
уравнения имеет вид yo = e x (C 1 +C 2 x)(см. пример 2). Так как правая часть уравнения является многочленом второй степени и ни
один из корней характеристического уравнения x − 2 x + 1 = 0 не равен
нулю (К 1 =К 2 =1), то частное решение ищем в виде ~y = Ax 2 + Bx + C ,
где А, В, С – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды ~y =Ax 2 +Bx+C и подставляя ~y =Ax 2 +Bx+C, ~y' = 2 Ax + B , ~y' ' = 2 A в
данное уравнение находим 2A–4Ax–2B+Ax 2 +Bx+C=x 2 +1, или
Ax 2 +(B–4A)x+2A–2B+C=x 2 +1.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, имеем А=1, В-4А=0, 2А-2В+С=1, Находим
А=1, В=4, С=7. Итак, частное решение данного уравнения имеет
2
вид y% = x2 + 4 x + 7 , а общее решение - y = e x (C1 + C2 x) + x 2 + 4 x + 7 .
Пример 5. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
y ′′ + y ′ − 2 y = 3e2 x , x0 = 0,
y0 = 1, y0′ = 3 .
Решение. Общее решение соответствующего однородного
уравнения имеет вид yo = C 1 e x +C 2 e –2x (см. пример 1). В правой
части данного уравнения стоит произведение многочлена нулевой степени на показательную функцию e αx при α=2. Так как
среди корней характеристического уравнения нет корней, равных
2, то частное решение данного уравнения ищем в виде y% =A∙e 2x .
Дифференцируя и подставляя ~y в уравнение получаем:
4 ⋅ A ⋅ e2 x + 2 ⋅ A ⋅ e2 x − 2 Ae2 x = 3e2 x
4⋅ A = 3, A = 3 / 4 .
и
4 ⋅ A ⋅ e2 x = 3e2 x ,
откуда
Подставляя найденное значение А в выражение для y% , найдем
3
4
запишется в виде y = yo + y% = C1e x + C2e−2 x + 3 4 e2 x . Найдем ча-
частное решение данного уравнения y% = e2 x и общее решение
стное решение, удовлетворяющее начальным условиям. Для этого продифференцируем у. y ′ = C1e x − 2C2e−2 x + e2 x .
6
4
Подставляем начальные условия в у и у', находим С1 и С2:
62
3

1
=
C
+
C
+
,
1
2

4

3 = C − 2C + 6 ,
1
2

4
3
5
5
2
−2 = 3C2 − , 3C2 = − , C2 = − , C1 = .
4
4
12
3
Подставляя найденное значение С1 и С2 в выражение для у,
найдем частное решение данного уравнения
2
5
3
y = e x − e−2 x + e2 x .
3
12
4
2) Пусть правая часть имеет вид f ( x) = eα x (a ⋅ cos β x + b ⋅ sin β x)
и α+βi, (α–βi) не является корнем характеристического уравнения.
Тогда
частное
решение
ищем
в
виде
y% = eα x ⋅ ( A cos β x + B sin β x) .
Если же α+βi, (α–βi) является корнем характеристического
уравнения,
то
частное
решение
находим
в
виде
y% = eα x x( A cos β x + B sin β x) .
Пример 6. Найти общее решение уравнения y ′′ + y = sin 2 x .
Решение. Здесь характеристическое уравнение К2 + 1 = 0 имеет
корни К1=i, К2 = -i. Поэтому общее решение соответствующего
однородного уравнения будет y = C 1 cosx+C 2 sinx. В правой части
стоит тригонометрическое функция sin 2 x, то есть a=0, b=1,
β=2. Так как β=2 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде:
y% = A cos 2 x + B sin 2 x .
Дифференцируя y% и подставляя его в дифференциальное уравнение, получим −3 A cos 2 x − 3B sin 2 x = sin 2 x ,
1
3
1
3
откуда A = 0, B = − , т.е. частное решение y% = − sin 2 x , а общее
1
3
решение уравнения: y = C1 cos x + C2 sin x − sin 2 x .
63
РЯДЫ
Основные понятия
Определение. Пусть задана бесконечная последовательность
чисел U1,U 2 ,KU n . Тогда выражение
∞
U1 + U 2 + K + U n + K = ∑ U n
n =1
называется числовым рядом. Здесь U n – общий член ряда.
(1)
Примеры:
∞
1 1
1
1
1. 1 + +
+K +
+K = ∑
.
n
n
−
1
2 22
2
n =12
∞ n
1 2 3
n
2. + + + K +
+K = ∑
.
2 2 4
n +1
n
+
1
n =1
∞ 1
1
1
1
3. 1 +
+
+K +
+K = ∑
.
2
2
2
2
2
3
n
n =1n
Суммы
вида
S = U1, S2 = U1 + U 2 ,K , Sn =
= U1 + U 2 + K + U n называются частичными суммами ряда (1).
Определение. Если последовательность S1, S2 ,K , Sn частичных
сумм имеет предел, то ряд (1) называется сходящимся. Этот предел называется суммой ряда.
Определение.
Признаки сходимости
Необходимый признак сходимости. Если ряд (1) сходится, то
lim U n = 0 . Обратное утверждение неверно, то есть данное ус-
n→∞
ловие может выполняться, но ряд будет расходиться.
Достаточные признаки сходимости
1. Признак сравнения. Имеем два ряда с положительными членами
64
∞
U1 + U 2 + K + U n + K = ∑ U n ;
n =1
∞
υ1 + υ2 + K + υn + K = ∑ υn .
n =1
(2)
(3)
Пусть имеется такой номер N, что для всех членов ряда, у которых n ≥ N выполняется U n ≤ υn . Тогда из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (3).
2. Признак Даламбера
Пусть дан ряд с положительными членами U1 + U 2 + K + U n + K
Un +1
lim
= ρ . Тогда при ρ < 1 ряд сходится, а
n → ∞ Un
при ρ > 1 расходится, а при ρ = 1 вопрос остается открытым.
и существует
Знакопеременные ряды
Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные
члены, называется знакопеременным.
Знакочередующимся называется ряд вида
∞
n
−
1
U1 − U 2 + K + (−1)
U n + K = ∑ (−1)n − 1U n , где U n > 0 (n = 1, 2,K) .
n =1
∞
Ряды вида −U1 + U 2 − K + (−1)n U n + K = ∑ (−1)n U n также наn =1
зываются знакочередующимися.
Признак абсолютной сходимости
Знакопеременный ряд
∞
n
n
∑ (−1) U n = −U1 + U 2 − U 3 + K + (−1) U n + K
n =1
(4)
∞
∑ U n = U1 + U 2 + K + U n + K
n =1
(5)
сходится, если сходится ряд
65
Ряд (4) называется в этом случае абсолютно сходящимся. Если ряд (4) сходится, а ряд (5) расходится, то ряд (4) называется
условно сходящимся. При этом сходимость ряда (4) можно в ряде
случаев установить без исследования ряда (5).
Признак сходимости Лейбница
Пусть имеется знакочередующийся ряд
∞
n − 1U = U − U + K + (−1)n − 1U + K , U > 0 (n = 1, 2,...)
∑ (−1)
1
2
n
n
n
n =1
Если одновременно выполняются следующие два условия:
1) U1 > U 2 > K > U n > K ,
2) lim U n = 0 , то такой ряд сходится и его сумма не превосn→∞
ходит первого члена: S ≤ U1.
Степенные ряды
Определение. Ряд вида
∞
2
n
n
∑ an x = a0 + a1x + a2 x + K + an x K
n=0
называется степенным рядом. Здесь постоянные величины a1, a2,
…, ak ,… – коэффициенты ряда, a0 – свободный член. Степенные
ряды являются одним из видов функциональных рядов вида
∞
∑ U n ( x) = U 0 ( x) + U1( x) + K + U n ( x) + K
n=0
(6)
Очевидно, любой степенной ряд сходится при х=0. Для любого
степенного ряда имеется интервал (–R, R), называемый интервалом сходимости, в каждой точке которого ряд сходится, а вне интервала ряд расходится. На границах интервала ряд может либо
сходится, либо расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, он находится по формуле:
an
R = lim
.
a
n → ∞ n +1
(7)
Таким образом, поиск области сходимости степенного ряда заключается в определении его радиуса сходимости R и исследова66
ния сходимости ряда на границах интервала сходимости (при
x = ± R ).
Разложение функции f(x) в ряд Маклорена имеет следующий
вид:
f ′(0)
f ′′(0) 2
f (n) (0) n
f ( x) = f (0) +
x+
x + ... +
x + ...
1!
2!
n!
(8)
Наиболее употребительны разложения следующих функций:
x2
xn
x
+K +
+ K (−∞ < x < +∞) ;
e = 1+ x +
2!
n!
x3
x 2n − 1
n
−
1
sin x = x −
+ K + (−1)
+ K (−∞ < x < +∞) ;
3!
(2n − 1)!
x2
x 2n
n
cos x = 1 −
+ K + (−1)
+ K (−∞ < x < +∞) ;
2!
(2n)!
x x 2 x3 x 4
xn + 1
n
ln(1 + x) = −
+
−
+ K + (−1)
+ K ( −1 < x ≤ 1) ;
1 2
3
4
n +1
m
m(m − 1) 2
m(m − 1)K (m − (n − 1)) n
x +K +
x + K,
(1 + x)m = 1 + x +
1!
2!
n!
(−1 < x < 1);
x3 x5
x 2n + 1
n
arctg x = x −
+
− K + (−1)
+ K (−1 ≤ x ≤ 1) .
3
5
2n + 1
Пример. Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему члену U n = an x n , найти область сходимости ря∞
6n ⋅ x n
да ∑ U n , если U n =
.
n
4
5 n
n =1
6x
62 x 2
Решение. Первые три члена ряда будут: U1 = , U 2 =
,
2
4
5
5 2
63 x3
U3 =
.
3
4
5 3
67
6n
Имеем an =
,
n
4
5 n
6n + 1
.
an + 1 =
n
+
1
4
5
n +1
Определяем радиус сходимости:
6n
a
5
1 5
n +1 5
5n 4 n
= lim 4
= lim 41+ =
R = lim n = lim
6 n →∞ n
6 n →∞
n 6
n→∞ an+1 n→∞ 6n +1
5n +14 n +1
 5 5
Интервал сходимости имеет вид:  − ;  .
 6 6
5
6
Пусть x = − . Получаем числовой ряд:
(
)
n
n
∞ 6 − 56
∞ (−1)n
1
1
(−1)n
= ∑
= −1 +
−
+K +
+L.
∑
n
4
4
4
4
4
3
n
2
n =1 5 n
n =1 n
Применяем к этому знакочередующемуся ряду признак Лейбница:
> 1 >K > 1 K;
(1)
1> 1
4
4
4
3
2
lim 1
= 0.
4
n
n→∞
n
(2)
Оба условия выполняются, следовательно ряд при x = − 5 6 сходится.
Пусть x = 5 6 . Имеем числовой ряд:
( )
n
n
∞ 6 56
∞
1
1
1
= ∑ 1
= 1+
+
+K +
+K.
∑
4n
n
4
4
4
4
3
n
2
n =1 5 n
n =1
Сравнивая
с
расходящимся
гармоническим
рядом
∞
1 1
1
∑ 1 n = 1 + + + K + + K , видим, что, начиная с n=2, выполня2 3
n
n =1
68
ется неравенство
1
> 1 , поэтому по признаку сравнения ряд расn
4n
ходится (так как расходится гармонический ряд). Область сходимо 5 5


сти ряда  − ;  .
6 6
Пример. Вычислить 4 17 с точностью до 0,0001, используя разложение f ( x) = (1 + x)m в ряд Маклорена.
Решение.
(
)
1
4
4
1
Преобразуем 17 = 16 + 1 = 2 1 + 16 4 =

1 1 −1
2 1 1 −1 1 − 2
1
1
1


4
4
4
= 2 1 + ⋅ +
⋅  + 4 4
 4 16
2!
3!
 16 

= 2 [1 + 0, 01562 − 0, 00037 + 0,00001 −K] .
(
)
(
)(
) ⋅  1 3 + ... =
 
 16 


Полученный ряд знакочередующийся и его члены убывают по
абсолютной величине, поэтому погрешность не превзойдет первого отброшенного члена.
Очевидно, что 2∙0,00001<0,0001.
Следовательно, 4 17 ≈ 2(1 + 0, 01562 − 0,00037) ≈ 2, 0305 .
ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Матричная алгебра
1. Выберите правильное утверждение:
1) Матрица может иметь любое число строк и столбцов.
2) Матрица всегда имеет одинаковое число строк и столбцов.
3) Матрица не может состоять из одной строки.
4) Матрица не может состоять из одного столбца.
2. Может ли матрица состоять из одного элемента?
3. Умножить матрицу А=(1, -1, 3, ½) на число (-2):
4. Можно ли сложить матрицы 2*2 и 3*3?
5. Можно ли перемножить матрицы соразмерности 2*3 и 3*4?
6. Транспонирование матриц – это:
69
9 –1
4
4
10 –1
2
–1
11 1
–2
–3
4
1
2
4
–1
3
–1
0
4
2
1
–3
1
0
0
2
1
–3
–1
–1
–1
–2
2
3
–3
2
1
В
А
3
4
–2
3
0
1
3
0
3
–1 12 0
4
–2
0
–2
1 13 4
4
–2
0
1
1 14 1
1
0
4
1
2
–2
1
4
2
–3
–1
0
2
В
0
4
1
–2
1
1
–1
–3
4
3
–1
–1
3
0
–1
2
0
1
1
0
4
–1
1
–1
3
–1
–2
Задание
А
Задание
Задание
1) Перестановка местами двух столбцов.
2) изменение знака у всех элементов,
3) Перестановка местами двух строк,
4) перестановка местами строк и столбцов,
7. Если размерность исходной матрицы равна 6*7, то какую размерность будет иметь транспонированная матрица?
8. Единичная матрица – это:
1: Матрица, у которой все элементы равны 1.
2: Матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1,
а остальные нули
3: Матрица, определитель которой равен 1.
4: Матрица, содержащая только один элемент.
9-17. Даны матрицы А и В. Найти det A, АВ, В+А–Е, В–1.
А
В
3 15 2 –2 0 –1 –2 –2
–1
3 1 2 –2 2 4
2
0 1 1 0 2 1
–1 16 –3 4 1 –2 –1 4
0
2 –1 –2 –1 –2 3
–1
2 –2 –3 –3 –1 1
–3 17 –1 0 4 –1 2 –1
–3
0 –1 –3 0 4 1
2
0 –2 1 –1 –2 1
 1 −1 3 
18. Выяснить обратима ли матрица A =  3 −2 1  и если обрати 2 −1 0 


ма, найти А-1 (методом Гаусса) и сделать проверку.
 1 1 −1 1 
19. Найти базис системы столбцов матрицы: A =  2 1 0 −2  и
 4 3 2 −1 


выразить все столбцы в виде линейной комбинации базисных
векторов.
70
 2 −5 1
 −3 7 −1
20. Вычислить определитель матрицы A = 
 5 −7 2

 4 −6 1
2
4 
7

2
21-31. Вычислите определители:
21.
24.
1 1
1 −1
1
1
1
1
1
1
−1
1
1
1
1
−1
; 22.
1
2
3
4
2
3
7
10 13
3
5
11 16 21
5
2 −7
7
7
2
1
5
3
10
4
2 −5 1
−3 7 −1
5 −9 2
4 −6 1
27.
3 −3 −2 −5
2 5 4 6 ;
5 5 8 7
4 4 5 6
30.
3 2 2 2
9 −8 5 10
5 −8 5 8
6 −5 4 7
; 25.
28.
; 31.
2
4
−3 9 3 6
−5 8 2 7 ;
4 −5 −3 −2
7 −8 −4 −5
; 23
7
2
3 −3 −5 8
−3 2 4 −6 ;
2 −5 −7 5
−4 3 5 −6
3 −5 −2 2
−4 7 4 4
;
4 −9 −3 7
2 −6 −3 2
26.
29.
2 −5 4
3 −4 7
4 −9 8
−3 2 −5
3
5;
5
3
3 −5 2 −4
−3 4 −5 3
−5 7 −7 5
8 −8 5 −6
6 −5 8 4
9 7 5 2 .
7 5 3 7
−4 8 −8 −3
32-38. Вычислите произведение матриц:
32.
34.
3

5
−2   3 4 
 ⋅
;
−4   2 5 
0

1

2
3

0
1
2
3
1
  −1 −1 
2 
  4
2  ⋅   ;
 ⋅ 2
3 
 1
1
 1

4
33.
35.
71
1

3

2
1

3
−3 2   2 5 6 
 

−4 1  ⋅  1 2 5  ;
 

−5 3   1 3 2 
−2 3
 ;
−4 
;
36.
38
λ
 1
0

 .

0

4

7
0
...
λ2 ...
. O
0 ...
0 k

0

. 

λn 
;
37.
5

6

4
8 −4   3 2 5 
 

9 −5  ⋅  4 −1 3  ;
 
7 −3   9
6

5
3   −28 93   7 3 
 ⋅
 ⋅
.
5   38 −126   2 1 
Системы линейных уравнений
Решить систему уравнений, используя: а) правило Крамера;
б) метод Гаусса; с) обратную матрицу
− x1 + 2 x2 + x3 = −1

1.  x1 − 3 x2 − 3 x3 = −2
2 x + x − x = −1
 1 2 3
−3 x1 + x2 + x3 = 0

2.  x1 − x2 − 3 x3 = −6
2 x + 2 x − x = 2
2 3
 1
2 x1 + x2 − x3 = 2

3. − x1 + x2 − 2 x3 = −3
 x − x − 2 x = −5
3
1 2
 x1 − x2 + 2 x3 = 3

4. 2 x1 − 4 x2 + x3 = 3
− x + 2 x + 2 x = 1
2
3
 1
−2 x1 + x2 − x3 = −2

5.  x1 − 2 x2 + x3 = −2
2 x + x − x = 2
 1 2 3
2 x1 − x2 + x3 = 2

6.  x1 − 2 x2 − x3 = −2
3 x + x + x = 5
 1 2 3
−2 x1 + x2 − 4 x3 = −5

7.  x1 − 2 x2 + 2 x3 = 1
 −2 x + x − x = 4
 1 2 3
4 x1 − x2 + x3 = 3

8. − x1 + 2 x2 − 2 x3 = 1
 x + 3x + 2 x = 9
2
3
1
2 x1 − 2 x2 + x3 = −9

9. −3 x1 + x2 − 2 x3 = 9
x + 4x + 2x = 7
2
3
1
− x1 + x2 − 2 x3 = 10

10. 2 x1 + 3x2 + x3 = −1
 x + x + 2 x = −6
3
1 2
72
−2 x1 + x2 + 3 x3 = −3

11. 2 x1 + 3x2 + x3 = −1
 x − 4 x − 2 x = −4
2
3
1
 x1 − 2 x2 + x3 = 0

12. 2 x1 − x + 3 x3 = 4
− x + x + x = 1
 1 2 3
 x1 + x2 − 2 x3 = −6

13.  x1 − 3 x2 − x3 = 8
−2 x + x − x = −7
 1 2 3
14. Выяснить сколько решений имеет данная СЛУ
3 x1 + 4 x2 + x3 + 2 x4 = 3

6 x1 + 8 x2 + 2 x3 + 5 x4 = 7
9 x + 12 x + 3x + 10 x = 13
2
3
4
 1
3 x1 + 4 x2 + x3 + 2 x4 = 3

15. Может ли СЛУ 6 x1 + 8 x2 + 2 x3 + 5 x4 = 7
иметь единствен9 x + 12 x + 3x + 10 x = 13
2
3
4
 1
ное решение?
16. Решить СЛУ и соответствующую однородную систему
2 x1 + 5 x2 − 8 x3 = 8

4 x1 + 3x2 − 9 x3 = 9

2 x1 + 3x2 − 5 x3 = 7
 x1 + 8 x2 − 7 x3 = 12
3 x1 − 5 x2 + 2 x3 + 4 x4 = 2

17. Выяснить совместна ли данная СЛУ: 7 x1 − 4 x2 + x3 + 3x4 = 5
5 x + 7 x − 4 x − 6 x = 3
2
3
4
 1
Векторная алгебра
1-10. Даны координаты вершин пирамиды A1 А2 А3 А 4 . Найти :
1) длину ребра А1 А2 ;
2) угол между ребрами А 1 А 2; А 1 А 4 ;
1. А1( 4, 6, 5), А2( 6, 9, 4), А3( 2, 10, 10), А4( 7, 5, 9).
2. А1( 6, 6, 5), А2( 4, 9, 5), А3( 4, 6, 3), А4( 6, 9, 11).
73
3. А1( 10, 6, 6), А2( -2, 8, 2), А3( 6, 8, 9), А4( 7, 10, 3).
4. А1( 1, 8, 2), А2( 5, 2, 6), А3( 5, 7, 4), А4( 4, 10, 9).
5. А1( 7, 2, 2), А2( 5, 7, 5), А3( 5, 3, 1), А4( 2, 3, 7).
6. А1( 4, 2, 5), А2( 0, 7, 2), А3( 0, 2, 7), А4( 1, 5, 0).
7. А1( 7, 7, 3), А2( 6, 5, 8), А3( 3, 5, 8), А4( 8, 4, 1).
8. А1( 8, 6, 4), А2( 10, 5, 5), А3( 5, 6, 8), А4( 8, 10, 7).
9. А1( 4, 4, 10), А2( 4, 10, 2), А3( 2, 8, 4), А4( 9, 6, 4).
10. А1( 3, 5, 4), А2( 8, 7, 4), А3( 5, 10, 4), А4( 4, 7, 8).
uur uur uur uur
11-20. Показать, что векторы a1, a2 , a3 , a4 образуют базис в проr
4
странстве R и разложить вектор c по базису.
11.
uur
uur
uur
uur
r
a1 ( 2, 4,8,3) , a2 ( 2,3,5,3) , a3 ( −1, −1, −3, −2 ) , a4 (1, 2, 4, 2 ) , c ( 2,3,6,3)
12.
uur
uur
uur
uur
r
a1 ( 2,3,5, 4 ) , a2 ( 3,5,7, 4 ) , a3 ( 3,3, 6,3) , a4 (1, 2, 2,1) , c (1, 2,3, 4 )
uur
uur
uur
uur
r
13. a1 ( 2,3,1, −1) , a2 ( 3, −1,1, 2 ) , a3 ( −1,0,1,1) , a4 (1, 4, −2,5 ) , c ( 3, −8, −6, −3)
uur
uur
uur
uur
r
14. a1 ( 3,0,1,0 ) , a2 ( 0,1,1,0 ) , a3 (1,0,1,1) , a4 ( 0,1,1,1) , c ( −3, 4,3,1)
uur
uur
uur
uur
r
15. a1 ( 3, 2,0, 2 ) , a2 ( 4,0, 4,0 ) , a3 ( 0,1,1,0 ) , a4 ( −1, 0, −1, −1) , c (1,1, −3,0 )
uur
uur
uur
uur
uur
uur
r
16. a1 ( 2,3,3,3) , a2 ( −1,3, −1, −1) , a3 ( 3,3, −1,3) , a4 ( 2, 2, 2, −1) , c ( 4,6,6,6 )
uur
uur
r
17. a1 ( 0,1,3, 4 ) , a2 (1,0, 2,3) , a3 ( −3, −2,0, −5 ) , a4 ( 4,3, −5,0 ) , c ( −5, −4,12,5 )
uur
uur
uur
uur
r
18. a1 (1, 2,3, 4 ) , a2 ( 2,1, 2,3) , a3 ( 3, 2,1, 2 ) , a4 ( 4,3, 2,1) , c ( 5,1,1, −5 )
uur
uur
uur
uur
r
19. a1 (1, 2,3, 2 ) , a2 ( 2, −1, 2, −3) , a3 ( 3, −2, −3, 2 ) , a4 ( −2, −3, 2,1) , c ( 6,8, 4, −8 )
uur
uur
uur
uur
r
20. a1 (1,3,2,1) , a2 (1, −1,3,2) , a3 ( 2, −1, −1,3) , a4 ( 3, −2, −1, −1) , c (1, −4, −6, −4)
uur
uur
uur
uur
r
21. a1 ( 2,1, −1,0 ) , a2 ( −2,1,1, −1) , a3 (1,1, 2, −1) , a4 ( 0,3, −1, 4 ) , c (1,6,1, 2 )
uur
uur
uur
uur
r
22. a1 ( −3, 2,1, 0 ) , a2 ( 2,1, −1,0 ) , a3 (1, 0, 2, −1) , a4 ( 0,3, −1, 4 ) , c ( 0,6,1,3)
74
uur
uur
uur
uur
r
23. a1 ( 2, −1,1,3) , a2 ( 2, −2,1,3) , a3 ( −1,1, −3, −2 ) , a4 (1, 2, −1,2 ) , c ( 4,0, −2,6 )
uur
uur
uur
uur
uur
uur
r
24. a1 ( 2,3,1, −1) , a2 ( −1,3,0, −1) , a3 (1, −2, −1,3) , a4 ( 2, −1, 2, −1) , c ( 4,3, 2,0 )
uur
uur
r
25. a1 (1,0,3, −1) , a2 ( 2, −1,0, −3) , a3 ( 3, −1, −3,2) , a4 ( −2, −1,0,1) , c ( 4, −3,0, −1)
Аналитическая геометрия
1-10. Даны координаты вершин пирамиды A1 А2 А3 А 4 . Найти :
1) площадь грани А1 А 2 А 3 ;
2) уравнение прямой А 1 А 2 ;
3) уравнение плоскости А1 А 2 А3 ;
4) уравнение высоты, опущенной из вершины А 4 на грань
А1А2А3 ;
1. А1(4, 6, 5), А2(6, 9, 4), А3( 2, 10, 10), А4( 7, 5, 9).
2. А1( 6, 6, 5), А2( 4, 9, 5), А3( 4, 6, 3), А4( 6, 9, 11).
3. А1( 10, 6, 6), А2( -2, 8, 2), А3( 6, 8, 9), А4( 7, 10, 3).
4. А1( 1, 8, 2), А2( 5, 2, 6), А3( 5, 7, 4), А4( 4, 10, 9).
5. А1( 7, 2, 2), А2( 5, 7, 5), А3( 5, 3, 1), А4( 2, 3, 7).
6. А1(4, 2, 5), А2(0, 7, 2), А3(0, 2, 7), А4(1, 5, 0).
7. А1(7, 7, 3), А2(6, 5, 8), А3(3, 5, 8), А4(8, 4, 1).
8. А1( 8, 6, 4), А2( 10, 5, 5), А3( 5, 6, 8), А4( 8, 10, 7).
9. А1( 4, 4, 10), А2( 4, 10, 2), А3( 2, 8, 4), А4( 9, 6, 4).
10. А1( 3, 5, 4), А2( 8, 7, 4), А3( 5, 10, 4), А4( 4, 7, 8).
11. Вершинами треугольника АВС служат точки А (2, -2 ) и
В (3,-1 ). Его медианы пересекаются в точке М (1, 10). Составить
уравнение высоты треугольника, проходящей через вершину С.
75
12. Составить уравнения сторон треугольника АВС, если А (-3,3)
и В ( 5,-1) - его вершины, М (4,3) – точка пересечения высот.
13. Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину
А (0,2 ) уравнения высот ВМ,СМ: х+у=1 и у=х, где М – точка пересечения высот треугольника.
14. Уравнение одной из сторон ромба х-3у+10=0, а одной из диагоналей х+4у-4=0. Точка пересечения его диагоналей М ( 0,1 ).
Найти уравнения остальных сторон ромба.
15. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его
вершин А (3,-4 ) и уравнения высот7х-2у-1=0 , 2х-7у-6=0 .
16. В треугольнике АВС известны: сторона АВ - 4х+2у-12=0, высота ВН – 5х-4у-15=0 и высота АН – 2х+2у-9=0. Написать уравнения двух других сторон и третьей высоты
17. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х-5у-1=0; х+4у-7=0 и делящей отрезок между
точками А(4,-3) и В(-1,2) в отношении λ = 2/3.
18.Уравнения двух смежных сторон параллелограмма х-2у=0,
х-у-1=0. Точка пересечения его диагоналей М(3,-1). Написать
уравнения двух других его сторон.
19. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5х-2у-8=0,
х-2у-8=0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение третьей стороны треугольника.
20. Даны две вершины треугольника А( 0,7), В(-2,3), площадь которого S=3. Третья вершина лежит на прямой х =7. Составить
уравнения сторон треугольника.
21. Составить уравнение геометрического места точек, равно
удаленных от т. А (4,2) и от оси ОУ.
22. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится
втрое дальше от т. А(3,0), чем от т. В(0,2).
76
23. Определить траекторию точки М (х, у ), движущейся в плоскости так, что ее расстояние от т. А(0,-1) остается вдвое меньше
расстояния от прямой у=1.
24. Составить уравнение геометрического места точек, расстояния которых от начала координат и от точки А
(0,3) относятся друг к другу как 3:2.
25. Определить траекторию точки М (х, у), движущейся в плоскости так, что ее расстояние от прямой х=2 вдвое меньше расстояния от точки А (4,0 ).
26. Составить уравнение линии, каждая точка которой равно удалена от т. А (2, 0) и от прямой х=4.
27. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой т. А (1, 0) и от прямой 3х+4=0, относятся как 5:4.
28. Составить уравнение линии, расстояние которой от т. А (0,3)
втрое больше расстояния от т.В ( 9,0 ).
29. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от т. А (1, 1) и прямой х+у=1.
30. Составить уравнение линии, каждая точка которой одинаково
удалена от т. А (6, 4) и прямой х+2=0.
31. Даны точки М1(3,1); М2(2,3); М3(6,0); М4(-3,-1).
Определить какая из точек лежит на прямой 2х-3у-3=0
32. Дана прямая х-3у+2=0, точка М(1,у) лежит на этой прямой.
Найти ординату этой точки.
33. Дана прямая х-3у+2=0, точка Р(х,2) лежит на этой прямой.
Найти абсциссу этой точки.
34. Даны точки А(-3,2) и В(1,6). Найти расстояние между ними
АВ.
77
35. Дано уравнение прямой у-2х+1=0. Записать это уравнение,
как уравнение прямой с угловым коэффициентом. Найти отрезок
b, отсекаемый прямой от оси ординат.
36. Дана точка М(-1,2). Найти уравнение прямой проходящей через эту точку параллельно прямой 2х - у+3=0
37. Среди заданных четырех прямых определить две перпендикулярные прямые.
1) х+у-5=0, 2)у=+х+2, 3)3х-3у+1=0, 4)2х=у
38. Дана прямая х+у-5=0. Найти точку А пересечения этой прямой с осью ох.
Введение в математический анализ.
Элементы теории пределов
1-9. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
6 x3 − 4 x + 5
1. a) lim
;
3
2
x → ∞ 2 x + 3x − 2
б)
sin 2 x
5;
в) lim
2
Χ→0 x
г)
x − 3x 2 + 2 x 4
;
2. а) lim
4
Χ → ∞ 1 + 4x − x
в)
lim
Χ→0
lim
Χ→3
x − 2 − −x + 4
;
2
x + x − 12
x
lim ( 3 − 2 x )1 − x ;
Χ →1
x2 + 2 x − 8
б) lim
;
Χ → −4 x + 12 − 4 − x
1 − cos5 x
;
2
x
г)
2 x6 − x − 1
3. а) lim
;
Χ → ∞ 4 x3 + x3 + 2 x
lim ( 2 x + 2) [ ln( x + 2) − ln x ]
Χ→∞
2 x 2 − x − 21
б) lim
;
Χ → −3 x + 10 − 4 − x
78
cos x − cos3 x
в) lim
;
2
Χ→0
x
г)
lim ( 4 − x ) ln ( 2 − 3x ) − ln ( 5 − 3x )  ;
Χ → −∞
2 x2 + 2 x − 1
4. а) lim
;
Χ → ∞ 6 x2 + x − 4
x2 − x − 6
б) lim
;
Χ → −2 2 − x − x + 6
arctg 2 2 x
lim
;
2
Χ → 0 5x
в)
г)
8 x4 + 4 x2 − 1
5. а)
lim
;
4
Χ → ∞ 1 − 2x
1 − cos x
lim
;
1
−
cos
2
x
Χ→0
2 x2 + 3x − 2
lim
;
6. а)
2
Χ → ∞ 8x − 4 x + 5
1 − cos x
в)
lim
;
x
sin
2
x
Χ→0
3 x5 − 2 x + 1
7. а)
lim
;
5
Χ → ∞ 10 x + 2 x + 5
б)
в)
в)
8. а)
в)
9. а)
1 − cos 2 x
lim
;
Χ → 0 xtg 2 x
x4 − 2 + 4 x
lim
;
2
4
Χ → ∞ 2 − 6 x + 3x
cos x − cos3 x
lim
;
x sin x
Χ→0
x 3 − x3 + 4
lim
;
3
Χ → ∞ 5x + 6x − 3
г)
3x
lim ( 2 x − 3) x − 2 ;
Χ→2
lim
Χ →1
3 + 2x − x + 4
;
2
3x − 4 x + 1
lim x ln x − ln ( x − 1)  ;
Χ→∞
5 − x − x +1
;
2
x − 3x + 2
2x
lim ( 3 − x )1 − x ;
Χ→2
б)
г)
б)
lim
Χ→2
lim
Χ → −1
x + 3 − 5 + 3x
;
2
3x + 4 x + 1
г)
lim ( x + 5 )  ln ( x + 3) − ln x  ;
Χ→∞
б)
5− x − x−3
lim
;
2
Χ → 4 2x − 9x + 4
г)
x
lim ( 2 x − 1) x − 1 ;
Χ →1
2 x 2 − 7 x − 15
б) lim
;
2
x
+
1
−
x
+
6
Χ→5
79
lim x 2ctg 2 2 x;
Χ→0
в)
lim x  ln ( 3 x + 4 ) − ln 8 x  ;
Χ→∞
г)
10-19. Заданы: функция у = f (x) и два значения аргумента x1 и x
Требуется: 1) установить непрерывность или разрывность функции для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва справа и слева;
3) сделать схематический чертеж.
10.
11.
12.
f ( x) = 3
f ( x) = 2
(5 − x ); x
1 = 2, x2 = 5.
1
f ( x) = l
(4 − x); x
1 = 3, x2 = 4.
1
(3 − x ); x
1 = 2, x2 = 3.
f ( x) = 5
13.
1
f ( x) = 3
14.
15.
1
f ( x) = 2
1
f ( x) = 4
16.
f ( x) = 5
17.
( x + 2); x
1 = 0, x2 = −2.
1
(5 + x ); x
1 = −4, x2 = −5.
(4 + x); x
1 = −3, x2 = −4.
1
(2 − x); x
1 = 0, x2 = 2.
1
(3 + x ); x
1 = −4, x2 = −3.
18.
f ( x) = 2
1
( x − 3) ; x
1 = 2, x2 = 3. f ( x ) = 4
80
1
( x + 1) ; x
1 = −2, x2 = −1.
Дифференциальное исчисление
1-6. Найти производную dу / dх данных функций.
1.
а) y = x 4 + 3 x + 24 ( 2 x − 1)3 ;
1 − tgx
;
1 + tgx
в ) y = arctgx 2 − x 2 ;
б) y =
3
г) y = x x ;
д) x sin y = y cos x .
3
2 − x2
2. а) y =
;
3
2
2+ x
(
)
б ) y = ln 1 + l 2 x ;
( )
в) y = arctg 1 x 2 ;
г ) y = xsin x ;
д) y sin x = cos ( x − y ) .
3. а)
y=
2x
x + 3 − 33 x + 3
;
б) y = sin 4 x 2 ;
в) y = x arcsin x − 1 − x 2 ;
x
l
г) y = x ;
д) l xy = x 2 − y 2 ;
81
4. а) y =
43+ x
4
3 − x2
;
б) y = tg ln x ;
2 x2
cos
в) y = 3
;
г) y = x x ;
д) cos ( x + y ) = 2 y;
5. а) y = (5 − x ) ;
4
3+ x
б) y = sin x + 3 x ;
в) y = ln ctg 3 x ;
г) y = x ln;
д) x + y = cos ( xy ) ;
6. а) y =
x x
;
x−2
б) y = ln 2 tgx;
в) y = arctg x + ln (1 + x ) ;
2
x
г) y = x ;
д) xy = l x + 4 ;
82
dy d 2 y
7-12. Найти
и
:
dx dx 2
7. а) y =
x +1 2x
l ;
1− x
б) x = t − ln sin t ; y = t + ln cos t ;
8. а) y = arctg x + 1;
9. а)
(
б)
)
y = x 2 ln x 2 + 1 ;
10. а)
y = (x − 2 ) l 2 x ;
11.) а) y = l − x ( x − 2 ) ;
12. a) y = ln ( tg 2 x ) ;
x = 2t + sin 2t ; y = sin 3 t ;
б)
x = 3 cos 3 t ; y = 2 sin 2 t ;
б)
x = 2 sin 2 t ; y = 3 cos 3 t ;
b) x = tg 2 3x; y = cos 2 3 x.
b) x = t − sin t ; y = 1 − cos t.
13-21. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на
заданном отрезке.
13. у = (х+6 ) / (х 2 +13) ; х ∈ [-5;5]
14. y = 1/2 x + cos x ; x ∈
15. у = (х-3)(х 2 +16)
[π/2;π]
; х ∈ [-5 ; 6]
16. y = 1 / 2x – sin x ; x ∈ [ 3 π/ 2 ; 2 π ]
17. у = (х+3)/(х 2 +7) ; x ∈ [ - 3 ; 7 ]
18. y = 1 / 2 x + cos x ; x ∈ [ - 3 π / 2 ; π ]
19. у = (х-5)/(х 2 +11) ; х ∈ [ -3 ;7 ]
20. y = 1 / 2 x – sin x ; x ∈ [ - 2 π ; - 3 π / 2 ]
21. у = ( х - 4 ) / (х2 +9 )
; х ∈ [ - 4; 6 ]
83
22. Цилиндр имеет заданный объØм V. При котором соотношении между радиусом основания и высотой цилиндра его
полная поверхность будет наименьшей?
23. Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра,
вписанного в полуокружность радиуса R
24. Около цилиндра с радиусом основания R и высотой Н,
описан конус так, что плоскости оснований цилиндра и конуса
совпадают. Каким должен быть радиус с основанием и высотой
конуса, чтобы его объØмбыл наименьшим?
25. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы должны быть его стороны , чтобы объØмконуса, образованного вращением этого треугольника вокруг высоты, опущенной
на основание, был наименьшим?
26. Найти отношение радиуса оснований цилиндра к его высоте, при котором цилиндр, имеет данную, полную поверхность
S имел бы, наибольший объØм.
27. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы должны быть его стороны, чтобы объØмтела, образованного
вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим?
28. Найти высоту конуса наименьшего объØмаописанного
около полушара радиуса R, если центр основания конуса лежит в
центре шара.
29. Через данную точку Р(1,4)провести прямую так, чтобы
сумма длин положительных отрезков, отсекаемых на координатных осях, была наименьшей.
30. Бревно длиной 20м имеет форму усеченного конуса, диаметры основания которого равны соответственно 2 и 1м. Требуется вырубить из бревна балку с квадратным поперечным сечением, ось которой совпадала бы , с осью бревна и объØмкоторой
был бы наибольшим. Каковы должны быть размеры балки?
84
31-34. Найти частные производные второго порядка функции
Z=f(x,у)
31. z = sin 3 ( 4 x − 3 y ) ;
(
)
32. z = ln xy 2 − 2 x 2 y .
33.
(
)
z = ln x 2 y − 3xy 2 ;
34. z = 3x 2 + 2 y 2 .
35-43. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z в
замкнутой области.
35. z = x 2 +2xy- 4x +by;
0 ≤x≤ 1 ;
0 ≤y≤ 2
36. z = x 2 + 2xy –y2 -2x+2y;
x ≥ -1 ; у ≥ -1;
х +у ≤ 2.
37. z = x 2 -2xy-y2 +4x+1;
х ≥ 0; у ≤ 1;
х - 4 ≤ 3;
38. z = 4x+2y+4x 2 +y 2 +6;
х ≤ 0; у ≤ 0;
х +у ≤ - 2;
39. z = 5x 2 -3xy+y 2 +4;
-1 ≤ х
40. z = 4x2 + 9y2-4x-6y+3;
0 ≤ x ≤ 1;
0 ≤ у ≤ 1.
41. z = x 2-2xy+5/2y2 -2x;
0 ≤ х ≤ 2;
0≤ у
42. z = 2x2- 4xy +5y2- 8x+6;
х
43. z = 5x2+8xy +5y2-18x-18y;
≤
-2 ≤ у ≤ 2.
1;
2; у ≥ 0;
х +у
х ≥ -1; у ≥ 0;
х +у
≥
≤
2.
≤
≤
5;
4
Исследование функций
1-10. Исследовать функцию методами Дифференциального исследования и построить ее график, используя полученные результаты.
1. а) y = x 2 – x + 1 / x2 + 1 ;
б) y = x/ e x
б) y = e x / x
2. а) y = ( x – 1 / x + 1 )2 ;
85
3. а) y = x / ( x + 1 )2 ;
б) y = ln ( x2 – 9 )
4. а)
у = (2х+1 ) / (х+1) 2 ;
5. а)
у = (2х 2 -1) / (х 2 -1 ;
6. а)
у = х3 /2(х+1) 2
;
б) y = 1 / ( e 2x –1 )
7. а)
у =(х 3 +16)/х 2
;
б) y = ln x+ 2 / x+1
у = (х+2)2 /(х-1)2 ;
8.
а)
9.
а) y = x3 /
ex
б) y = ln ( x2 + 9 )
б) y = x2 / e x
б) y = x2 ln x
б) y = ( x3 – 4 ) / 4 x2
;
10. а) y = 2x2 / ( x - 1 ) ;
б) y = x –ln (x – 1)
Интегральное исчисление
x3dx
ln5 ( x − 7)
3 x3 + 2
1. а) ∫
; б) ∫
dx ; в) ∫ x arctg xdx ; г) ∫
dx .
2
3
x−7
4
x + x−2
1+ x
2. а) ∫
3. а) ∫
x2
( x3 + 1)
dx
dx
x ln x
dx ; б) ∫
2
arctg3 4 x
x3 + 5
3
dx ; в) ∫ x2 ln xdx ; г) ∫
dx .
1 +16 x2
x 2 − 3x + 2
3x3 −1
−
6x
; б) ∫ 2 + 3sin2x ⋅ cos2xdx ; в) ∫ x ⋅ e dx ; г) ∫
dx .
2
x + 2x − 3
x7 dx
x4 + 3
; в) ∫ x cos 6 xdx ; г) ∫
dx .
4. а) ∫ sin x ⋅ cos xdx ; б) ∫
2
4
6
x − x−6
3 − 2x
2
2 x4 + 3
x
3
4
5. а) ∫ e xdx ; б) ∫ 2 + 3cos3x sin 3xdx ; в) ∫ x ln xdx ; г) ∫
dx .
2
x − 5x + 6
86
sin 2 x
6. а) ∫
dx ; б) ∫
1 + cos x
x8dx
x4 − 6
; в) ∫ x cos 7 xdx ; г) ∫
dx .
2
9
x − x−2
4 + 3x
3x 2 + 4
4x
dx .
7. а) ∫ tg xdx ; б) ∫ 4 + cos 6 x sin 6 xdx ; в) ∫ xe dx ; г) ∫
2
x + 3x + 2
8 x6
x3 − 3
6
6
x
x
8. а) ∫ 4 − e e dx ; б) ∫
dx ; в) ∫ x arctg6xdx ; г) ∫
dx .
2
3
7
x − 2x − 3
1+ x
3
xdx
ln 4 ( x + 7)
2 x3 + 11
3x
; б) ∫
dx ; в) ∫ x ⋅ e dx ; г) ∫
dx .
9. а) ∫
4
2
x
+
7
1+ x
x + 4x + 3
x3dx
arcsin 4 2 x
3 x3 + 1
10. а) ∫
; б) ∫
dx ; в) ∫ x sin 4 xdx ; г) ∫
dx .
2
3
4
2
x − 5x + 4
1 + 4x
1− 4x
Найти площадь, заключенную между линиями.
11. y=x 2 –5x+6; y=x–2.
12. y=–x 2 –7x–12; y=x+3.
13. y=x 2 –3x+4; y=x+1.
14. y=–x 2 –5x–1; y=x+7.
15. y=x 2 –7x+12; y=x–3.
16. y=x 2 –5x+7; y=x–1.
17. y=x 2 –5x+8; y=x.
18. y=–x 2 –11x–30; y=x+5.
19. y=x 2 –5x+5; y=x–3.
87
20. y=–x 2 –5x–6; y=x+2.
21. y=2–x 2 ; y=x 2 .
22. y=–2+x 2 ; y=–x 2 .
23. y=x 2 ; y=2+x.
24. y=–x 2 ; y=–2+x.
25. y=x 2 ; y=
x.
26-28. Вычислить интегралы:
2
1 + ln x
arctgx
dx, б ) ∫ ecos x ⋅ sin 2 xdx, с) ∫
dx,
2
x
1+ x
dx
dx
3
27. а) ∫ x5 ⋅ 1 + 4 x6 dx, б ) ∫
, с) ∫
.
2
x x +1
x x +1
26. a ) ∫
+∞
1 dx
0 dx
28. a ) ∫ x sin xdx, б ) ∫
, с) ∫
,
x
+
1
x
+
1
−1
0
0
1 dx
3
dx
д) ∫
, е) ∫
3
0 x −1
−2 x 3 + 1
.
Дифференциальные уравнения
1. Найти общее решение дифференциального уравнения
( y′ )2 = ( 3 y − 2 y′ ) y′′ .
2. Найти общее решение дифференциального уравнения
y ′′ + 4 y′ + 4 y = xe2 x .
3. Найти решение задачи Коши
y ′′ + 4 y = ctg 2 x y (0) = 1,
y′ ( 0 ) = 1
88
4. Найти общее решение дифференциального уравнения
( y′′ )2 = ( y′ )2 + 1 .
5.
Найти общее решение дифференциального уравнения
y ′′ + y =
1
()
, y(0) = 1, y ′ 0 = 1.
cos 2 x
6. Найти решение задачи Коши: y′′ − 6 y′ + 9 y = e3x ( x −1) .
7. Найти общее решение дифференциального уравнения
2
yy′′ +1 = ( y′ ) .
8. Найти общее решение дифференциального уравнения
y ′′ − y ′ = e x sin x .
9.
Найти решение задачи Коши.
x 1
x
y ′′ cos + y cos = 1, y(0) = 1, y′ ( 0 ) = 1 .
2 4
2
10. Найти общее решение дифференциального уравнения
2 xy′y′′ = y ′2 −1.
11. Найти решение задачи Коши.
y ′′ + 5 y ′ + 6 y =
1
, y(0) = 1, y′ ( 0 ) = 1.
2
x
1+ e
12. Найти общее решение дифференциального уравнения
y ′′ − y ′ = e x sin x .
13. Найти общее решение дифференциального уравнения
2 y′( y ′′ + 2) = xy′′2 .
14. Найти решение задачи Коши.
y ′′ + 4 y = ctg 2 x, y (1) = 1, y′ (1) = 0 .
89
15. Найти общее решение дифференциального уравнения
y ′′ + 4 y ′ + 4 y = xe 2 x .
16. Найти общее решение дифференциального уравнения
y ′′ ( e x + 1) + y′ = 0 .
17. Найти решение задачи Коши.
1
y ′′ + y =
, y(0) = 1, y ′ ( 0 ) = 1 .
cos 2 x
18. Найти общее решение дифференциального уравнения
xy ′′ = y′ + x sin
y′
.
x
19. Найти решение задачи Коши.
y ′′ + 5 y′ + 6 y =
1
, y(0) = 0, y′ ( 0 ) = 0 .
x
2
1+ e
20. Найти общее решение дифференциального уравнения
y ′′ + y ′ = e x ( x + 1) .
21. Найти общее решение дифференциального уравнения
2
2yy ′′ = y 2 + ( y′ ) .
22. Найти решение задачи Коши.
1
1
y ′′ + y′ =
, y(0) = 1, y ′ ( 0 ) = 1.
x
4
cos
2
23. Найти общее решение дифференциального уравнения
y ′′ + 4 y = e − 2 x .
24. Найти общее решение дифференциального уравнения
y ′′ − 2 y′ + y =
ex
.
x
25. Найти общее решение дифференциального уравнения
y ′′ + 4 y ′ + 4 y = xe−2 x .
90
26. Найти решение задачи Коши
y(0) = 0, y ′ ( 0 ) = 0 .
y ′′ + 4 y = ctg 2 x
27. Найти общее решение дифференциального уравнения
2
yy′′ +1 = ( y′ ) .
28. Найти решение задачи Коши y ′′ + cos x + 1 y cos x = 1
2 4
y(0) = 1, y ′ ( 0 ) = 1 .
2
29. Найти решение уравнения x 2 y / = y 2 + xy
30. Найти решение уравнения 2 yy / / − 3( y / )2 = 4 y 2
31. Найти решение уравнения y / // + y / = e− x +1
x/ = −x + y − t + 1

32. Найти решение системы 
 y / = x − y − 1
33. Найти решение уравнения y / + (2 y )−1 − y / (2 x) = 0
34. Найти решение уравнения y / / = 2 y / y
35. Решением системы уравнений y ′′ + 5 y ′ + 6 y = 0 является
1) c1 cos(−3 x) + c2 sin(−2 x)
2) c e−3x + c e−2 x
1
2
3) c e3x + c e2 x
1
2
4) c e−3x + c sin(−2 x)
1
2
91
36. Решением системы уравнений y′′ + y′ = 0 является
1) ce− x
2) c + c e− x
1 2
3) c e x + c e− x
1
2
4) c sin x + c cos x
1
2
37. Решением системы уравнений y ′′ +10 y′ + 25 y = 0 является
1) c e − 5 x + c e − 5 x
1
2
2) c cos 5 x + c sin 5 x
1
2
3) c e − 5 x + c xe − 5 x
1
2
4) c e − 5 x + c e5 x
1
2
38. Общим решением дифференциального уравнения
y ′′ + 5 y ′ + 6 y = 0 является
1) c cos(−3x) + c sin(−2 x) 2) c e−3x + c e−2 x
1
2
1
2
3) c e3x + c e2 x 4) c e−3x + c sin(−2 x)
1
2
1
2
39. Частным решением дифференциального уравнения является
функция
y ''− 2 y '+ 2 y = x − x2
y ''− 2 y ' = 6 x2 + 1
y ''+ 4 y = 8x +12
1) y = − x3 − 3/ 2 x2 − 2 x
2) y = 2 x + 3
3) y = −1/ 2( x2 + x)
40. Частным решением дифференциального уравнения является
функция
y ''− 2 y '+ 2 y = x − x2
y ''− 2 y ' = 6 x2 + 1
y ''+ 4 y = 8x +12
1) y = − x3 − 3/ 2 x2 − 2 x
2) y = 2 x + 3
3) y = −1/ 2( x2 + x)
41. Частным решением дифференциального уравнения является
функция
92
y ''− 4 y '+ 3 y = 16e5 x
y ''−10 y '+ 25 y = (6 x + 8)e5x
y ''+ y = (26 −16)e5 x
1) y = −( x −1)e5x
2) y = 2e5x
3) y = x2 ( x + 4)e5x
42. Частным решением дифференциального уравнения является
функция
y ''− 4 y '+ 3 y = 16e5 x
y ''−10 y '+ 25 y = (6 x + 8)e5x
y ''+ y = (26 −16)e5 x
1) y = −( x −1)e5x
2) y = 2e5x
3) y = x2 ( x + 4)e5x
Ряды
1-50. Исследовать на сходимость ряд.
∞ n cos 2 n n
1. ∑
.
2
n =1 ( n + 1) n
∞
2
∑ n tg
4.
n3 .
n =1
∞ n(2 + cos n)
7. ∑
.
2
n =1 2n − 1
∞ sin 2 nπ / 2
2. ∑
.
2
n =1 ( n + 1) ( n + 2)
3. ∑
∞ ln n
5. ∑
.
3
8
n =1 n
∞ arctg n
.
6. ∑
3
n =1 n + 2
∞ sin 2 n
8. ∑
.
2
n =1 n + 1
∞
2
.
n
ln
n
n =1
(−1)n
∞ arccos
n +1 .
9. ∑
2
n =1 n + 2
2 + (−1)n
π
∞ (2 + cos nπ / 2)3 n
∞ n ln n
∞ sin
6
10. ∑
. 11. ∑
. 12. ∑
.
3
4
4
3
7
n =1
n =1
n =1 n − 1
n
n +5
π
tg
∞
∞
1
2n + 5
13. ∑
. 14. ∑
.
3
n
(1
+
sin
n
π
/
4)
2
2
n =1 n ln n + ln n
n =1
93
∞ 3 + (−1)n
15. ∑
.
n
+
2
n =1 2
∞ 3 n2 + 2
16. ∑
.
2
2
n =1 n + sin n
∞ n cos 2 n
17. ∑
.
3
n =1 n + 1
∞
ln n
19. ∑
.
2
n =1 n + n + 1
πn
∞ cos
3 .
20. ∑
n
n =1 3 + 2
∞
n2 + 4
18. ∑
.
n
π


3
n =1 n  sin
+ 2


∞
ln n
.
n = 2 n4 + n
21. ∑
∞ arctg n2 − 1
22. ∑
.
3
n=2
n −n
2π
∞ cos
3n .
23. ∑
n =1 4 n 4 + 1
πn
∞ arcsin
n .
25. ∑
n =1 2 + n
∞ 2n+1n
26. ∑
.
(
n
+
1)!
n=1
∞ n!
1
28. ∑
arctg .
5n
n=1 (2n)!
∞
24. ∑
.
ln(1
+
n
)
n =1
∞ 72n
30. ∑
.
(
n
−
1)!
n=1
∞ (n + 1)!
32. ∑
.
n
n =1 n
∞ 2n ⋅ n !
33. ∑
n
n =1 n
∞
3n n
34. ∑
.
n
n =1 (n + 2)!4
∞ 1⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅ (3n − 2)
35. ∑
n=1 7 ⋅ 9 ⋅11⋅ ... ⋅ (2n + 5)
∞  3n + 2 
37. ∑ 
.
4
n
−
1


n =1
∞ n2
38. ∑
.
n
n =1 ( ln n )
2n
∞
 n 
40. ∑ n 

n =1  3n − 1 
1
n2
∞ (2n + 2)!
27. ∑
.
n
n =1 (3n + 5)2
∞ n2
29. ∑
.
(
n
+
2)!
n=1
∞ 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2n −1)
.
31. ∑
n
n=1 3 (n + 1)!
arctg
∞ (3n + 2)!
36. ∑
.
n
2
n =1 10 n
2
∞ 1  n − n
39. ∑
.


n
n
+
1


n =1 4
∞
2n + 1
41. ∑ ( −1)n +1
.
n
(
n
+
1)
n =1
94
n
∞
 n 
n
+
1
42. ∑ ( −1)


2
n
+
1


n =1
∞ ( −1)n +1
43. ∑
.
ln(
n
+
1)
n=2
∞ ( −1)n +1
44. ∑
n = 2 ln(n + 1)
∞
∞ ( −1)n
∞ ( −1)n
2n 2
n
45. ∑ ( −1)
. 46. ∑
. 47. ∑
.
4
2
(
n
+
1)
ln
n
n
ln(
n
+
1)
n − n +1
n =1
n =3
n =3
∞ ( −1)n +1
48. ∑
4
n =1 n 2n + 3
n
∞ ( −1)n
∞
n
 3n − 1 
n
+
1
49. ∑
. 50. ∑ ( −1)
sin

 .
n
3
n
+
1
2
n


n =1
n =1
51-62. Найти область сходимости ряда.
∞ ( −1)n
∞ ( n − 2 )3
∞ ( x − 1)2n
2
n
n
51. ∑
.
( x − 3) . 53. ∑
( x + 3) .52. ∑
n
n
2
n
3
+
n =1 (n + 1)5
n =1
n =1 n9
∞ ( −1)n −1
55. ∑
( x − 2 )2n .
n =1 2n
∞ ( −1)n (n + 1)
54. ∑
x + 7 )n .
(
2 n −1
n =1 (n + 3) 2
∞ ( x − 5 )2n +1
56. ∑
.
3
n
+
8
n =1
∞
−1)n
(
57. ∑
( x + 6 )n .
n =1 (n + 3) ln(n + 3)
∞ ( x + 5 )2n −1
.
59. ∑
n
n =1 (2n − 1)4
∞ ( x − 6 )n
58. ∑
.
n
n =1 (n + 2)3
∞ ( x − 2 )n
61. ∑
.
n
n =1 (3n + 1)2
∞ ( x − 7 )2n −1
60. ∑
.
2
n
n =1 (2n − 5n)4
∞
3n
( x − 2 )3n .
n =1 (5n − 8)
62. ∑
63-72. Найти сумму ряда.
(
n =0
)
(
n =0
∞
63. ∑ 4n 2 + 9n + 5 x n +1 .
)
∞
64. ∑ n 2 + n + x n + 2 .
95
(
)
(
∞
65. ∑ n 2 + 5n + 3 x n .
n =0
(
)
∞
67. ∑ 2n 2 + 7 n + 5 x n +1.
n =0
(
n =0
(
(
)
∞
68. ∑ n 2n2 − 1 x n + 2 .
n =0
)
∞
69. ∑ 2n2 − n − 1 x n .
(
n =0
)
(
)
∞
70. ∑ n 2 + 7 n + 4 x n .
)
∞
71. ∑ 2n 2 + 2n + 1 x n .
n =0
)
∞
66. ∑ 3n 2 + 8n + 5 x n +1.
n =0
∞
72. ∑ n 2 + 2n + 2 x n + 2 .
n =0
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КОМБИНАТОРИКИ
Размещения
Рассмотрим простейшие понятия, связанные с выбором и расположением некоторого множества объектов.
Подсчет числа способов, которыми можно совершить эти действия, часто производится при решении вероятностных задач.
Определение. Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое упорядоченное подмножество из k элементов множества, состоящего из n различных элементов.
Пример. Следующие последовательности цифр являются размещениями по 2 элемента из 3 элементов множества {1;2;3}: 12,
13, 23, 21, 31, 32.
Заметим, что размещения отличаются порядком входящих в
них элементов и их составом. Размещения 12 и 21 содержат одинаковые цифры, но порядок их расположения различен. Поэтому
эти размещения считаются разными.
Число различных размещений из n элементов по k обозначается
Аnk и вычисляется по формуле:
n!
,
Аnk =
(n − k )!
где n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n (читается «n – факториал»).
96
Число двузначных чисел, которые можно составить из цифр 1,
2, 3 при условии, что ни одна цифра не повторяется равно:
3!
A32 = = 6 .
1!
Перестановки
Определение. Перестановками из n элементов называются такие размещения из n элементов, которые различаются только
расположением элементов.
Число перестановок из n элементов Pn вычисляется по формуле:
Pn=n!
Пример 1. Сколькими способами могут встать в очередь 5 человек? Количество способов равно числу перестановок из 5 элементов, т.е.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Определение. Если среди n элементов k одинаковых, то перестановка этих n элементов называется перестановкой с повторениями.
Пример 2. Пусть среди 6 книг 2 одинаковые. Любое расположение всех книг на полке - перестановка с повторениями.
Число различных перестановок с повторениями Pn (из n элементов, среди которых k одинаковых) вычисляется по формуле:
Pn =
n!
.
k!
В нашем примере число способов, которыми можно расставить
книги на полке, равно: P6 =
6!
= 360 .
2!
Сочетания
Определение. Сочетаниями из n элементов по k называются
такие размещения из n элементов по k, которые одно от другого
отличаются хотя бы одним элементом.
Число различных сочетаний из n элементов по k обозначается
n!
.
C kn и вычисляется по формуле: C kn =
k !(n − k )!
По определению 0!=1.
Для сочетаний справедливы следующие свойства:
97
1. C1n = n
2. C nn = C 0n = 1
3. C kn = C nn − k
4. C kn + C kn −1 = C kn +1
Пример . Имеются 5 цветков разного цвета. Для букета выбирается 3 цветка. Число различных букетов по 3 цветка из 5 равно:
С 35 =
5!
= 10 .
3!⋅ 2!
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
События
Познание действительности в естественных науках происходит
в результате испытаний (эксперимента, наблюдений, опыта).
Испытанием или опытом называется осуществление какогонибудь определенного комплекса условий, который может быть
воспроизведен сколь угодно большое число раз.
Случайным называется событие, которое может произойти или
не произойти в результате некоторого испытания (опыта).
Таким образом, событие рассматривается как результат испытания.
Пример 1. Бросание монеты – это испытание. Появление орла
при бросании – событие.
Наблюдаемые нами события различаются по степени возможности их появления и по характеру их взаимосвязи.
Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания.
Пример 2. Получение студентом положительной или отрицательной оценки на экзамене есть событие достоверное, если экзамен протекает согласно обычным правилам.
Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания.
Пример 3. Извлечение из урны белого шара, в которой находятся лишь цветные (небелые) шары, есть событие невозможное. Отметим, что при других условиях опыта появления белого шара не
исключается; таким образом, это событие невозможно лишь в условиях нашего опыта.
98
Далее случайные события будем обозначать большими латинскими буквами A,B,C... Достоверное событие обозначим буквой
Ω, невозможное – Ø.
Два или несколько событий называются равновозможными в
данном испытании, если имеются основания считать, что ни одно
из этих событий не является более возможным или менее возможным, чем другие.
Пример 4. При одном бросании игральной кости появление 1,
2, 3, 4, 5 и 6 очков - все это события равновозможные. Предполагается, конечно, что игральная кость изготовлена из однородного
материала и имеет правильную форму.
Два события называются несовместными в данном испытании,
если появление одного из них исключает появление другого, и
совместными в противном случае.
Пример 5. В ящике имеются стандартные и нестандартные детали. Берем на удачу одну деталь. Появление стандартной детали
исключает появление нестандартной детали. Эти события несовместные.
Несколько событий образуют полную группу событий в данном испытании, если в результате этого испытания обязательно
наступит хотя бы одно из них.
Пример 6. События из примера 2.4. образуют полную группу
равновозможных и попарно несовместных событий.
Два несовместных события, образующих полную группу событий в данном испытании, называются противоположными событиями.
Если одно из них обозначено через A, то другое принято обозначать через A (читается «не A»).
Пример 7. Попадание и промах при одном выстреле по цели события противоположные.
Классическое определение вероятности
Вероятность события – численная мера возможности его наступления.
99
Событие А называется благоприятствующим событию В, если
всякий раз, когда наступает событие А, наступает и событие В.
События А1, А2, ..., Аn образуют схему случаев, если они:
1) равновозможны; 2) попарно несовместны; 3) образуют полную
группу.
В схеме случаев (и только в этой схеме) имеет место классическое определение вероятности P(A) события А. Здесь случаем называют каждое из событий, принадлежащих выделенной полной
группе равновозможных и попарно несовместных событий.
Если n – число всех случаев в схеме, а m – число случаев, благоприятствующих событию А, то вероятность события А определяется равенством:
P ( A) =
m
.
n
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, если событие достоверно, то каждый случай в
схеме случаев благоприятствует событию. В этом случае m = n и,
следовательно,
Р (Ω ) =
m n
= = 1.
n n
2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие невозможно, то ни один случай из
схемы случаев не благоприятствует событию. Поэтому m=0 и, следовательно,
P (Ø) =
m 0
= = 0.
n n
Вероятность случайного события есть положительное число,
заключенное между нулем и единицей.
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь
часть из общего числа случаев в схеме случаев. Поэтому 0<m<n,
а, значит, 0<m/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Итак, вероятность любого события удовлетворяет неравенствам
0 ≤ P(A) ≤ 1.
В настоящее время свойства вероятности определяются в виде
аксиом, сформулированных А.Н. Колмогоровым.
Одним из основных достоинств классического определения вероятности является возможность вычислить вероятность события
100
непосредственно, т.е. не прибегая к опытам, которые заменяют
логическими рассуждениями.
Задачи непосредственного вычисления вероятностей
Задача 1. Какова вероятность появления четного числа очков
(событие А) при одном бросании игрального кубика?
Решение. Рассмотрим события Аi – выпало i очков, i = 1, 2, ,6.
Очевидно, что эти события образуют схему случаев. Тогда число
всех случаев n = 6. Выпадению четного числа очков благоприятствуют случаи А2, А4, А6, т.е. m = 3. Тогда P( A) =
m 3 1
= = .
n 6 2
Задача 2. В урне 5 белых и 10 черных шаров. Шары тщательно
перемешивают и затем наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?
Решение. Всего имеется 15 случаев, которые образуют схему
случаев. Причем ожидаемому событию А – появлению белого
шара, благоприятствуют 5 из них, поэтому P( A) =
m 5 1
= = .
n 15 3
Задача 3. Ребенок играет с шестью буквами азбуки: А, А, Е, К, Р,
Т. Найти вероятность того, что он сможет сложить случайно слово КАРЕТА (событие А).
Решение. Решение осложняется тем, что среди букв есть одинаковые – две буквы «А». Поэтому число всех возможных случаев в данном испытании равно числу перестановок с повторениями из 6 букв:
n = P6 =
6!
= 360 .
2!
Эти случаи равновозможны, попарно несовместны и образуют
полную группу событий, т.е. образуют схему случаев. Лишь один
случай благоприятствует событию А. Поэтому
P( A) =
1
.
360
Задача 4. Таня и Ваня договорились встречать Новый год в
компании из 10 человек. Они оба очень хотели сидеть рядом. Ка101
кова вероятность исполнения их желания, если среди их друзей
принято места распределять путем жребия?
Решение. Обозначим через А событие «исполнение желания
Тани и Вани». 10 человек могут усесться за стол 10! разными
способами. Сколько же из этих n = 10! равновозможных способов
благоприятны для Тани и Вани? Таня и Ваня, сидя рядом, могут
занять 20 разных позиций. В то же время восьмерка их друзей
может сесть за стол 8! разными способами, поэтому m = 20∙8!.
Следовательно, P( A) =
20 ⋅ 8! 2
= .
10!
9
Задача 5. Группа из 5 женщин и 20 мужчин выбирает трех делегатов. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой
вероятностью может быть выбран, найти вероятность того, что
выберут двух женщин и одного мужчину.
Решение. Общее число равновозможных исходов испытания
равно числу способов, которыми можно выбрать трех делегатов
из 25 человек, т.е. n = C 253 . Подсчитаем теперь число благоприятствующих случаев, т.е. число случаев, при которых имеет место
интересующее нас событие. Мужчина-делегат может быть выбран двадцатью способами. При этом остальные два делегата
должны быть женщинами, а выбрать двух женщин из пяти можно
20 ⋅ C52 2
2
2
= .
C5 . Следовательно, m = 20 ⋅ C5 . Поэтому P =
3
23
C25
Задача 6. Четыре шарика случайным образом разбрасываются
по четырем лункам, каждый шарик попадает в ту или другую
лунку с одинаковой вероятностью и независимо от других (препятствий к попаданию в одну и ту же лунку нескольких шариков
нет). Найти вероятность того, что в одной из лунок окажется три
шарика, в другой - один, а в двух остальных лунках шариков не
будет.
Решение. Общее число случаев п = 44. Число способов, которыми можно выбрать одну лунку, где будут три шарика, C14 = 4 .
Число способов, которыми можно выбрать лунку, где будет один
шарик, C31 = 3 . Число способов, которыми можно выбрать из че102
тырех шариков три, чтобы положить их в первую лунку, C43 = 4 .
Общее число благоприятных случаев m = 4 ⋅ 3 ⋅ 4 . Вероятность события: P =
m 4 ⋅3⋅ 4 3
=
=
4
n
16
4
Задача 7. В ящике 10 одинаковых шаров, помеченных номерами 1, 2, …, 10. На удачу извлечены шесть шаров. Найти вероятность того, что среди извлечённых шаров окажутся: а) шар №1;
б) шары №1 и №2.
Решение. а) Общее число возможных элементарных исходов
испытания равно числу способов, которыми можно извлечь
6.
шесть шаров из десяти, т.е. C10
Найдём число исходов, благоприятствующих интересующему
нас событию: среди отобранных шести шаров есть шар №1 и,
следовательно, остальные пять шаров имеют другие номера. Число таких исходов, очевидно, равно числу способов, которыми
можно отобрать пять шаров из оставшихся девяти, т.е. C95 .
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, к общему числу
6 = C 4 / C 4 = 0,6.
возможных элементарных исходов: P = C95 / C10
9 10
б) Число исходов, благоприятствующих интересующему нас
событию (среди отобранных шаров есть шары №1 и №2, следовательно, четыре шара имеют другие номера), равно числу способов, которыми можно извлечь четыре шаров из оставшихся вось6 = 1 3.
ми, т.е. C84 . Искомая вероятность P = C84 C10
Статистическая вероятность
Статистическое определение вероятности используется в случае, когда исходы опыта не являются равновозможными.
Относительная частота события А определяется равенством:
m
P* ( A) = ,
n
103
где m – число испытаний, в которых событие А наступило, n –
общее число произведенных испытаний.
Бернулли доказал, что при неограниченном увеличении числа
опытов относительная частота появления события будет практически сколь угодно мало отличаться от некоторого постоянного
числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события. Поэтому, естественно, относительную частоту
появления события при достаточно большом числе испытаний
называть статистической вероятностью в отличие от ранее введенной вероятности.
Пример 8. Как приближенно установить число рыб в озере?
Пусть в озере х рыб. Забрасываем сеть и, допустим, находим в
ней n рыб. Каждую из них метим и выпускаем обратно. Через несколько дней в такую же погоду и в том же месте забрасываем ту
же самую сеть. Допустим, что находим в ней m рыб, среди которых k меченных. Пусть событие А – «пойманная рыба мечена».
k
Тогда по определению относительной частоты P* ( A) = .
m
Но если в озере х рыб и мы в него выпустили n меченых, то
P( A) =
n
.
x
Так как Р*(А) ≈ Р(А),
то х ≈
mn
.
k
Операции над событиями. Теорема сложения вероятностей
Суммой, или объединением, нескольких событий называется
событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий (в одном и том же испытании).
Сумма А1 + А2 + … + Аn обозначается так:
n
n
S = A1 + A2 + … + An = ∑ Ak или S = A1 U A2 U ... U An = U A .
k =1 k
k =1
Пример 9. Бросаются две игральные кости. Пусть событие А
состоит в выпадении 4 очков на 1 кости, а событие В – в выпадении 5 очков на другой кости. События А и В совместны. Поэтому
событие А+В состоит в выпадении 4 очков на первой кости, или
104
5 очков на второй кости, или 4 очков на первой кости и 5 очков
на второй одновременно.
Пример 10. Событие А – выигрыш по 1 займу, событие В – выигрыш по 2 займу. Тогда событие А+В – выигрыш хотя бы по
одному займу (возможно по двум сразу).
Произведением или пересечением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий (в одном и том же испытании).
Произведение В событий А1, А2, …, Аn обозначается так:
n
n
В = А ⋅ А ⋅L ⋅ Аn = ∏ A или В = А I А IK I Аn = I A .
1 2
1 2
k =1 k
k =1 k
Пример 11. События А и В состоят в успешном прохождении I
и II туров соответственно при поступлении в институт. Тогда событие А⋅В состоит в успешном прохождении обоих туров.
Понятия суммы и произведения событий имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Пусть событие А есть попадание
точки в область А, а событие В – попадание точки в область В. Тогда событие А+В есть попадание точки в объединение этих областей (рис. 2.1), а событие А⋅В есть попадание точки в пересечение
этих областей (рис. 2.2).
А
А+
В
А
В
Рис. 2.1
А∙В
В
Рис. 2.2
Теорема. Если события Ai (i = 1, 2, …, n) попарно несовместны,
то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих
событий:
n
n
P( ∑ Ai ) = ∑ P ( Ai ) .
i =1
i −1
Пусть А и Ā – противоположные события, т.е. А + Ā = Ω, где Ω
– достоверное событие. Из теоремы сложения вытекает, что
Р(Ω) = Р(А) + Р(Ā) = 1, поэтому
Р(Ā) = 1 – Р(А).
105
Если события А1 и А2 совместны, то вероятность суммы двух
совместных событий равна:
Р(А1 + А2) = Р(А1) + Р(А2) – Р(А1⋅А2).
Теоремы сложения вероятностей позволяют перейти от непосредственного подсчета вероятностей к определению вероятностей наступления сложных событий.
Задача 8. Стрелок производит один выстрел по мишени. Вероятность выбить 10 очков (событие А), 9 очков (событие В) и 8 очков (событие С) равны соответственно 0,11; 0,23; 0,17. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет менее 8
очков (событие D).
Решение. Перейдем к противоположному событию D – при
одном выстреле стрелок выбьет не менее 8 очков. Событие D наступает, если произойдет А или В, или С, т.е. D = A + B + C . Так как
события А, В, С попарно несовместны, то, по теореме сложения,
P( D ) = P( A) + P( B) + P(C ) = 0,51 , откуда
P( D ) = 1 − P( D) = 1 − 0,51 = 0, 49 .
Задача 9. От коллектива бригады, которая состоит из 6 мужчин
и 4 женщин, на профсоюзную конференцию выбирается два человека. Какова вероятность, что среди выбранных хотя бы одна женщина (событие А).
Решение. Если произойдет событие А, то обязательно произойдет одно из следующих несовместных событий: В – «выбраны
мужчина и женщина»; С – «выбраны две женщины». Поэтому
можно записать: А=В+С. Найдем вероятность событий В и С.
2 способами. Двух женщин
Два человека из 10 можно выбрать С10
из 4 можно выбрать С42 способами. Мужчину и женщину можно
2 , Р(С ) = С 2 / С 2 .
выбрать 6⋅4 способами. Тогда Р( В ) = 6 ⋅ 4 / С10
4 10
Так как события В и С несовместны, то, по теореме сложения,
Р(А) = Р(В + С) = Р(В) + Р(С) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Задача 10. На стеллаже в библиотеке в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что
106
хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие
А).
Решение. Первый способ. Требование – хотя бы один из трех
взятых учебников в переплете – будет осуществлено, если произойдет любое из следующих трех несовместных событий: В –
один учебник в переплете, С – два учебника в переплете, D – три
учебника в переплете.
Интересующее нас событие А можно представить в виде суммы
событий: A=B+C+D. По теореме сложения,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D).
(1)
Найдем вероятность событий B, C и D (см комбинаторные схемы):
2 C 3 = 45 / 91,
P ( B ) = C51 ⋅ C10
15
1 C 3 = 20 / 91
P (C ) = C52 ⋅ C10
15
3 = 2 / 91.
P ( D ) = C53 C15
Представив эти вероятности в равенство (1), окончательно получим
P(A) = 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Второй способ. Событие А (хотя бы один из взятых трех учебников имеет переплет) и Ā (ни один из взятых учебников не имеет
переплета) – противоположные, поэтому P(A) + P(Ā) = 1 (сумма
вероятностей двух противоположных событий равна 1). Отсюда
P(A) = 1 – P(Ā). Вероятность появления события Ā (ни один из
3 C 3 = 24 / 91.
взятых учебников не имеет переплета) P( A) = C10
15
Искомая вероятность
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.
Условная вероятность.
Теорема умножения вероятностей.
Условной вероятностью Р(В/А) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.
Теорема. Вероятность совместного появления двух событий
равна произведению вероятностей одного из них на условную ве107
роятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
Р(А∙В) = Р(А)∙Р(В/А).
(2)
Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого, т.е.
Р(А) = Р(А/В) или Р(В) = Р(В/А).
(3)
Если события А и В независимы, то из формул (2) и (3) следует
Р(А∙В) = Р(А)∙Р(В).
(4)
Справедливо и обратное утверждение, т.е. если для двух событий выполняется равенство (4), то эти события независимы. В самом деле, из формул (4) и (2) вытекает
Р(А∙В) = Р(А)∙Р(В) = Р(А)⋅Р(В/А), откуда Р(А) = Р(В/А).
Формула (2.2) допускает обобщение на случай конечного числа
событий А1, А2,…,Аn:
Р(А1∙А2∙…∙Аn)=Р(А1)∙Р(А2/А1)∙Р(А3/А1А2)∙…∙Р(Аn/А1А2…Аn-1).
Задача 11. Из урны, в которой 5 белых и 10 черных шаров, вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара
белые (событие А).
Решение. Рассмотрим события: В – первый вынутый шар белый; С – второй вынутый шар белый. Тогда А = ВС.
Опыт можно провести двумя способами:
1) с возвращением: вынутый шар после фиксации цвета возвращается в урну. В этом случае события В и С независимы:
Р(А) = Р(В)∙Р(С) = 5/15⋅5/15 = 1/9;
2) без возвращения: вынутый шар откладывается в сторону. В
этом случае события В и С зависимы:
Р(А) = Р(В)∙Р(С/В).
Для события В условия прежние, P(B) =
5 1
= , а для С ситуа15 3
ция изменилась. Произошло В, следовательно в урне осталось 14
шаров, среди которых 4 белых P(C / B) =
4 2
= .
14 7
Итак, P( A) = 1 ⋅ 2 = 2 .
3 7
21
Задача 12. Среди 50 электрических лампочек 3 нестандартные.
Найти вероятность того, что две взятые одновременно лампочки
нестандартные.
108
Решение. Рассмотрим события: А – первая лампочка нестандартная, В – вторая лампочка нестандартная, С – обе лампочки
нестандартные. Ясно, что С = А∙В. Событию А благоприятствуют
3 случая из 50 возможных, т.е. Р(А) = 3/50. Если событие А уже
наступило, то событию В благоприятствуют два случая из 49
возможных,
т.е.
Р(В/А)
=
2/49.
Следовательно,
P(С ) = Р(А) ⋅ Р(В /А) =
3 2
3
⋅
=
.
50 49 1225
Задача 13. Два спортсмена независимо друг от друга стреляют по
одной мишени. Вероятность попадания в мишень первого спортсмена равна 0,7, а второго – 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?
Решение. Мишень будет поражена, если в нее попадет либо
первый стрелок, либо второй, либо оба вместе, т.е. произойдет событие А+В, где событие А заключается в попадании в мишень
первым спортсменом, а событие В – вторым. Тогда
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(А∙В)=0,7+0,8–0,7∙0,8=0,94.
Задача 14. В читальном зале имеется шесть учебников по теории
вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу
взял два учебника. Найти вероятность того, что два учебника окажутся в переплете.
Решение. Введем обозначения событий: A – первый взятый
учебник имеет переплет, В – второй учебник имеет переплет. Вероятность того, что первый учебник имеет переплет,
P(A) = 3/6 = 1/2.
Вероятность того, что второй учебник имеет переплет, при условии, что первый взятый учебник был в переплете, т.е. условная
вероятность события В, такова: P(B/А) = 2/5.
Искомая вероятность того, что оба учебника имеют переплет,
по теореме умножения вероятностей событий равна
P(AB) = P(A) ∙ P(B/А) = 1/2·∙ 2/5 = 0,2.
Задача 15. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.
Решение. Введем обозначения событий: A – первым отобран
мужчина, В – вторым отобран мужчина, С – третьим отобран
109
мужчина. Вероятность того, что первым будет отобран мужчина,
P(A) = 7/10.
Вероятность того, что вторым отобран мужчина, при условии,
что первым уже был отобран мужчина, т.е. условная вероятность
события В следующая: P(B/А) = 6/9 = 2/3.
Вероятность того, что третьим будет отобран мужчина, при условии, что уже отобраны двое мужчин, т.е. условная вероятность
события С такова: P(C/АВ) = 5/8.
Искомая вероятность того, что все три отобранных лица окажутся мужчинами, P(ABC) = P(A) P(B/А) P(C/АВ) = 7/10 · 2/3 ·
5/8 = 7/24.
Формула полной вероятности и формула Байеса
Пусть B1, B2,…, Bn – попарно несовместные события (гипотезы)
и А – событие, которое может произойти только совместно с одним из них.
Пусть, кроме того, нам известны Р(Bi) и Р(А/Bi) (i = 1, 2, …, n).
В этих условиях справедливы формулы:
n
Р( А) = ∑ Р( Bi ) ⋅ P( A / Bi ) ,
i =1
P(Bk / A) =
(2.4)
P ( Bk ) ⋅ P( A / Bk )
, k = 1, 2,K , n. (2.5)
n
∑ P( Bi ) ⋅ P ( A / Bi )
i =1
Формула (5) называется формулой полной вероятности. По
ней вычисляется вероятность события А (полная вероятность).
Формула (6) называется формулой Байеса. Она позволяет произвести пересчет вероятностей гипотез, если событие А произошло.
При составлении примеров удобно считать, что гипотезы образуют полную группу.
Задача 16. В корзине яблоки с четырех деревьев одного сорта. С
первого – 15% всех яблок, со второго – 35%, с третьего – 20%, с четвертого – 30%. Созревшие яблоки составляют соответственно 99%,
97%, 98%, 95%.
110
а) Какова вероятность того, что наугад взятое яблоко окажется
спелым (событие А).
б) При условии, что наугад взятое яблоко оказалось спелым,
вычислить вероятность того, что оно с первого дерева.
Решение. а) Имеем 4 гипотезы:
B1 – наугад взятое яблоко снято с 1-го дерева;
B2 – наугад взятое яблоко снято с 2-го дерева;
B3 – наугад взятое яблоко снято с 3-го дерева;
B4 – наугад взятое яблоко снято с 4-го дерева.
Их вероятности по условию: Р(B1) = 0,15; Р(B2) = 0,35; Р(B3) = 0,2;
Р(B4) = 0,3.
Условные вероятности события А:
Р(А/B1) = 0,99; Р(А/B2) = 0,97; Р(А/B3) = 0,98; Р(А/B4) = 0,95.
Вероятность того, что наудачу взятое яблоко окажется спелым,
находится по формуле полной вероятности:
Р(А)=Р(B1)∙Р(А/B1)+Р(B2)∙Р(А/B2)+Р(B3)∙Р(А/B3)+Р(B4)∙Р(А/B4)=0,
969.
б) Формула Байеса для нашего случая имеет вид:
Р( B1 / А) =
Р( B1) ⋅ Р( А / B1)
= 0,153 .
Р( А)
Задача 17. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар,
после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность
того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны
все возможные предположения о первоначальном составе шаров
(по цвету).
Решение. Обозначим через А событие – извлечен белый шар.
Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров: B1 – белых шаров нет, В2 – один белый
шар, В3 – два белых шара.
Поскольку всего имеется три гипотезы, и сумма вероятностей
гипотез равна 1 (так как они образуют полную группу событий),
то вероятность каждой из гипотез равна 1/3,т.е.
P(B1) = P(B2) = P(B3) = 1/3.
Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при
условии, что первоначально в урне не было белых шаров,
Р(А/B1)=1/3. Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый
шар, Р(А/B2)=2/3. Условная вероятность того, что будет извлечен
111
белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара Р(А/B3)=3/3=1.
Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:
Р(А)=Р(B1)∙Р(А/B1)+Р(B2)∙Р(А/B2)+Р(B3)∙Р(А/B3)=1/3·1/3+1/3·2/3+1/3·
1=2/3.
Задача 18. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого
автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а
второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
Решение. Обозначим через А событие – деталь отличного качества. Можно сделать два предположения: B1 – деталь произведена
первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй) Р(А/B1) = 2/3; B2 – деталь
произведена вторым автоматом, причем P(B2) = 1/3.
Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, Р(А/B1)=0,6.
Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, Р(А/B1)=0,84.
Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна
Р(А)=Р(B1)∙Р(А/B1)+Р(B2)∙Р(А/B2)=2/3·0,6+1/3·0,84 = 0,68.
Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна
P( B1 / A) =
P( B1) P( A / B1) 2 3 ⋅ 0,6 10
=
=
P( A)
0,68
17.
Задача 19. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равны 20, 15, 10. Из выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Детали возвращают в партию и вторично из этой же партии наудачу извлекают
деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
112
Решение. Обозначим через А событие – в каждом из двух испытаний (с возвращением) была извлечена стандартная деталь.
Можно сделать три предположения (гипотезы): B1 – детали извлекаются из первой партии, В2 – детали извлекаются из второй
партии, В3 – детали извлекаются из третьей партии.
Детали извлекались наудачу из взятой партии, поэтому вероятности гипотез одинаковы: P(B1) = P(B2) = P(B3) = 1/3.
Найдем условную вероятность Р(А/B1), т.е. вероятность того,
что из первой партии будут последовательно извлечены две стандартные детали. Это событие достоверно, т.к. в первой партии
все детали стандартны, поэтому Р(А/B1) = 1.
Найдем условную вероятность Р(А/B2), т.е. вероятность того,
что из второй партии будут последовательно извлечены (с возвращением) две стандартные детали: Р(А/B2)= 15/20 15/20 = 9/16.
Найдем условную вероятность Р(А/B3), т.е. вероятность того,
что из третьей партии будут последовательно извлечены (с возвращением) две стандартные детали: Р(А/B3) = 10/20 10/20 = 1/4.
Искомая вероятность того, что обе извлеченные стандартные
детали взяты из третьей партии, по формуле Бейеса равна
PA ( B3 ) =
=
P( B3 ) P( A / B3 )
=
P( B1) P( A / B1) + P( B2 ) P ( A / B2 ) + P( B3 ) P( A / B3 )
1/ 3 ⋅1/ 4
= 4 / 29.
1/ 3 ⋅1 + 1/ 3 ⋅ 9 / 16 + 1/ 3 ⋅1/ 4
Повторные испытания
Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту
же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну ту же вероятность.
Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из
которых событие А может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события А в каждом испытании
одна и та же, а именно равна р. Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и
113
равна 1–р. Такая вероятностная схема называется схемой Бернулли. Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при п испытаниях по схеме Бернулли событие А осуществится ровно k раз (k – число успехов) и, следовательно, не осуществится п–k раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие А повторилось ровно k раз в определенной последовательности. Искомую вероятность обозначим Рп(k). Например,
символ Р5(3) означает вероятность того, что в пяти испытаниях
событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2
раза.
Поставленную задачу можно решить с помощью так называемой формулы Бернулли, которая имеет вид:
Pn (k ) = Cnk p n q n − k =
n!
pk qn −k .
k !(n − k )!
Задача 20. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна
р=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход
электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.
Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в
продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна р=0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые
сутки также постоянна и равна q=1–р=1–0,75=0,25.
Искомая вероятность по формуле Бернулли равна
6⋅5
P6 (4) = C64 p 4 q 2 =
(0,75)4 (0, 25)2 = 0,30 .
2
Задача 21. Два равносильных шахматиста играют в шахматы.
Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из
шести (ничьи во внимание не принимаются)?
Решение. Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша р = 1/2, следовательно, вероятность проигрыша
q также равна 1/2. Т.к. во всех партиях вероятность выигрыша
постоянна и безразлична, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли.
Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:
P4 (2) = C42 p 2 q 2 = 4 ⋅ 3 / (1 ⋅ 2) ⋅ (1/ 2)2 ⋅ (1/ 2)2 = 6 / 16.
114
Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии из
шести:
P6 (3) = C63 p3q3 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 / (1 ⋅ 2 ⋅ 3) ⋅ (1/ 2)3 ⋅ (1/ 2)3 = 5 / 16.
Т.к. P4(2) > P6(3), то вероятнее выиграть две партии из четырех,
чем три из шести.
Однако можно видеть, что пользоваться формулой Бернулли
при больших значениях n достаточно трудно, так как формула
требует выполнения действий над громадными числами и поэтому в процессе вычислений накапливаются погрешности; в итоге
окончательный результат может значительно отличаться от истинного.
Для решения этой проблемы существуют несколько предельных теорем, которые используются для случая большого числа
испытаний.
Теорема Пуассона
При проведении большого числа испытаний по схеме Бернулли
(при n→∞) и при малом числе благоприятных исходов k (при
этом предполагается, что вероятность успеха p мала), формула
Бернулли приближается к формуле Пуассона
(np)k e−np
.
Pn (k ) ≈
k!
Пример 12. Вероятность брака при выпуске предприятием единицы продукции равна p = 0,001. Какая вероятность, что при выпуске 5000 единиц продукции из них будет менее 4 бракованных
(событие А).
Решение. Пусть А0, А1, А2, А3 – события, заключающиеся в том,
что будет, соответственно, 0, 1, 2 и 3 бракованных продукции из
5000 единиц. По формуле Пуассона
(5000 ⋅ 0,001)0 e−5000⋅0,001
P5000 (0) =
= e−5 ≈ 0,00674 .
0!
Аналогично находим
(5000 ⋅ 0,001)1e−5000⋅0,001
P5000 (1) =
≈ 0, 03369 ,
1!
115
(5000 ⋅ 0,001)2 e−5000⋅0,001
P5000 (2) =
≈ 0,08425 ,
2!
(5000 ⋅ 0,001)3 e−5000⋅0,001
P5000 (3) =
≈ 0,14042 .
0!
Откуда P( A) = P( A0 ) + P( A1) + P( A2 ) + P( A3 ) = 0, 2651
Локальная теорема Лапласа
Если вероятность р появления события A в каждом испытании
по схеме Бернулли постоянна и отлична от нуля и единицы, то
при большом числе испытаний п, вероятность Рп (k) появления
события A в этих испытаниях k раз приближенно равна
Pn (k ) =
1
1 − x 2 /2
(k − np )
φ ( x), где φ ( x) =
.
e
; x=
npq
npq
2π
Значения функции φ(x) приведены в табл. П.1 приложения.
Пример 13. Найти вероятность того, что событие А наступит
1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого
события в каждом испытании равна 0,6.
Решение. Т.к. n велико, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
Pn (k ) =
1
φ ( x).
npq
k − np 1400 − 2400 ⋅ 0,6
40
=
= − = −1,67.
24
npq
2400 ⋅ 0, 6 ⋅ 0, 4
1 − x 2 /2
Функция φ ( x) =
e
– четная,
2π
Вычислим x: x =
поэтому φ(–1,67) = φ(1,67).
По таблице приложения П.1 найдем φ(1,67) = 0,0989.
Искомая вероятность P2400(1400) = 0,0989.
Интегральная теорема Лапласа
Если вероятность р появления события A в каждом испытании
по схеме Бернулли постоянна и отлична от нуля и единицы, то
116
при большом числе испытаний n, вероятность Рп (k1,k2) появления
события A в этих испытаниях от k1 до k2 раз приближенно равна
Рп (k1,k2) = Φ(x'') – Φ(x'), где
1 x − z 2 /2
Φ ( x) =
dz – функция Лапласа,
∫e
2π 0
x′ = (k1 − np ) / npq, x′′ = ( k2 − np) / npq .
Определенный интеграл, стоящий в функции Лапласа не вычисляется на классе аналитических функций, поэтому для его вычисления используется табл. П.2, приведенная в приложении.
Пример 13. Вероятность появления события в каждом из ста
независимых испытаний постоянна и равна p = 0,8. Найти вероятность того, что событие появится:a) не менее 75 раз и не более
90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.
Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
Рп (k1,k2) = Φ(x'') – Φ(x'), где Ф(x) – функция Лапласа,
x′ = (k1 − np ) / npq,
x′′ = ( k2 − np) / npq .
а) По условию, n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k1 = 75, k2 = 90. Вычислим
x'' и x':
k − np
75 − 100 ⋅ 0,8
=
= −1, 25;
x′ = 1
npq
100 ⋅ 0,8 ⋅ 0, 2
k − np
90 − 100 ⋅ 0,8
=
= 2,5.
x′′ = 2
npq
100 ⋅ 0,8 ⋅ 0, 2
Учитывая, что функция Лапласа нечетна, т.е. Ф(-x) = – Ф(x), получим
P100(75; 90) =Ф (2,5) – Ф(–1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).
По табл. П.2. приложения найдем:
Ф(2,5) = 0,4938; Ф(1,25) = 0,3944.
Искомая вероятность
P100(75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
б) Требование, чтобы событие появилось не менее 75 раз, означает, что число появлений события может быть равно 75, либо
117
76,… , либо 100. Т.о., в рассматриваемом случае следует принять
k1 = 75, k2 = 100.
Тогда
k − np
75 − 100 ⋅ 0,8
=
= −1, 25;
x′ = 1
100 ⋅ 0,8 ⋅ 0, 2
npq
k − np 100 − 100 ⋅ 0,8
=
= 5.
x′′ = 2
100 ⋅ 0,8 ⋅ 0, 2
npq
По табл. П.2. приложения найдем Ф(1,25) = 0,3944; Ф(5) = 0,5.
Искомая вероятность
P100(75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
в) Событие – «А появилось не менее 75 раз» и «А появилось не
более 74 раз» противоположны, поэтому сумма вероятностей
этих событий равна 1. Следовательно, искомая вероятность
P100(0;74) = 1 – P100(75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Определения, примеры
Часто в результате испытания происходят события, заключающиеся в том, что некоторая величина принимает одно из своих
возможных значений.
В таких случаях удобно вместо множества событий рассматривать одну переменную величину (называемую случайной величиной). Случайная величина обозначается через X, Y, Z, … и т.д.
Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.
Пример 1. В студенческой группе 25 человек. Пусть величина
Х – число студентов, находящихся в аудитории перед началом
занятий. Ее возможными значениями будут числа 0, 1, 2,…,25.
При каждом испытании (начало занятий) величина Х обязательно примет одно из своих возможных значений, т.е. наступит
одно из событий Х = 0, Х = 1, …, Х = 25.
118
Пример 2. Измерение курса акции некоторого предприятия.
Возможные события заключаются в том, что стоимость акции Y
примет некоторое значение в пределах от 0 до ∞.
Пример 3. Однократное бросание игральной кости. Возможные события заключаются в том, что на верхней грани выпадает
Z: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Пример 4. Подбрасывается монета n раз. Возможные результаты: герб выпал 0, 1, 2, …, n раз.
Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Если множество возможных значений случайной величины конечно или образуют бесконечную числовую последовательность,
то такая случайная величина называется дискретной (примеры 1,
3, 4).
Случайная величина, множество значений которой заполняет
сплошь некоторый числовой промежуток, называется непрерывной (пример 2). Заметим, что дискретные и непрерывные величины не исчерпывают все типы случайных величин.
Если случайная величина не относится ни к дискретным, ни к
непрерывным случайным величинам, то ее называют смешанной.
Очевидно, что для полной характеристики дискретной случайной величины мало знать ее значения. Необходимо им поставить
в соответствие вероятности.
Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.
Простейшая формой задания закона распределения дискретной
случайной величины является таблица, в которой перечислены
возможные значения случайной величины (обычно в порядке
возрастания) и соответствующие им вероятности:
Х
х1
х2
…
хn
…
Р
р1
р2
…
рn
…
Такая таблица называется рядом распределения. Допустим, что
число возможных значений случайной величины конечно: х1, х2,
…, хn. При одном испытании случайная величина принимает одно и только одно постоянное значение. Поэтому события Х = хi (i
119
= 1, 2, … , n) образуют полную группу попарно независимых событий. Следовательно, р1 + р2 + … + рn = 1.
Можно закон распределения изобразить и графически, откладывая на оси абсцисс возможные значения случайной величины,
а на оси ординат – соответствующие вероятности. Для большей
выразительности полученные точки соединяются прямолинейными отрезками. Получающая при этом фигура называется многоугольником (полигоном) распределения.
Функция распределения вероятностей
Непрерывную случайную величину нельзя охарактеризовать
перечнем всех возможных ее значений и их вероятностей. Естественно, встает вопрос о том, нельзя ли охарактеризовать случайную величину иным способом, одинаково годным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.
Функцией распределения случайной величины Х называют
функцию F(x), определяющую для каждого значения х, вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х,
т.е.
F(x) = P( X < x ) .
Иногда функцию F(x) называют интегральной функцией распределения.
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1 . Значение функции распределения принадлежит отрезку
[0,1]: 0 ≤ F (x) ≤ 1 .
2. Функции распределения есть неубывающая функция.
3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции
распределения на этом интервале:
Р(а < X < b) = F(b) – F(а).
(1)
4. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а, b), то
F(x) = 0 при х ≤ а ; F(x) = 1 при х ≥ b .
5. Справедливы следующие предельные отношения:
lim F ( x) = 0,
lim F ( x) = 1 .
x →−∞
x →+∞
Для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения х1, х2, …,хn, функция распределения имеет вид
120
F ( x) = ∑ P ( X = xi ),
xi < x
где неравенство под знаком суммы означает, что суммирование
касается всех тех значений хi, величина которых меньше х.
Поясним эту формулу исходя из определения функции F(x).
Предположим, что аргумент х принял какое-то определенное, но
такое, что выполняется неравенство xi < x ≤ xi+1. Тогда левее числа
х на числовой оси окажутся только те значения случайной величины, которые имеют индекс 1, 2, 3, …, i. Поэтому неравенство
Х < x выполняется, если величина Х примет значения хк, где k = 1,
2, …, i. Таким образом, событие Х < x наступит, если наступит
любое, неважно какое, из событий Х = х1, Х = х2, Х = х3, …, Х = хi.
Так как эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей имеем
P(X < x) = P(X = x1) + P(X = x2 ) +… + P(X = xi ) = ∑ P( X = xi ) . (2)
xi < x
Предположим теперь, что для непрерывной случайной величины Х ее функция распределения F(x) имеет непрерывную производную
F'(x) = ϕ(x).
Функцию ϕ(x) называют плотностью вероятности (для данного распределения) или дифференциальной функцией.
Так как плотность вероятности ϕ(x) является производной неубывающей функции F(x), то она неотрицательна: ϕ(x) ≥ 0 . В отличие от функции распределения, плотность вероятности может
принимать сколь угодно большие значения.
Так как F(x) является первообразной для ϕ(x), то на основании
b
формулы Ньютона-Лейбница имеем ∫ φ ( х)dx = F (b) − F ( а ) .
а
Отсюда в силу (1) получаем
b
P(a ≤ X ≤ b) = ∫ φ ( х)dx .
а
(3)
Полагая а=–∞ и b=+∞, получаем достоверное событие Х∈(–∞,
+∞), вероятность которого равна единице. Следовательно,
121
b
∫ φ ( х)dx = F (b) − F ( a) .
a
В частности, если все возможные значения случайной величины
b
принадлежат интервалу (а, b), то ∫ ϕ( х)dx = 1 . Полагая в формуле а =
а
–∞, b = х и обозначая для ясности переменную интегрирования t,
получим функцию распределения
x
F(x) = P(–∞ < X < x) = ∫ φ (t )dt .
−∞
Задача 1. Найти интегральную функцию распределения случайной величины Х, заданной рядом распределения:
Х
1
2
3
Р
0,3
0,2
0,5
и построить ее график.
Решение. Пусть х ≤ 1, тогда F(x) = 0, так как событие Х < х будет невозможным. Если 1 < х ≤ 2, то на основании равенства (3.2)
имеем F(x) = p1 = 0,3. Если 2 < х ≤ 3, то F(x) = p1 + p2 = 0,5.
Если х > 3, то F(x) = p1 + p2 + p3 = 1. Окончательно получаем
0, если х ≤ 1,

0,3, если 1 < х ≤ 2,
F ( х) = 
0,5, если 2 < х ≤ 3,
1, если х > 3.
График функции F(х) изображен на рис. 1.
F(х
1
0,5
0,3
0
1
2
Рис. 1
3
х
Задача 2. Функция распределения случайной величины Х задана выражением
122
π

х
<
0
при
,

4

π
1

F ( х ) = α ⋅ sin( x − ) +
4
2

3π

≥
х
1
при
.

4
при −
π
3π
≤х≤
,
4
4
Найти коэффициент α; вероятность попадания значения случайной величины Х в результате опыта в интервал (π/4; 3π/4); построить график функции.
Решение. При х=3π/4 функция F(x) равна 1, т.е. α∙sin(3π/4–
π/4)+1/2=1, или α∙sin(π/2) + 1/2 = 1. Откуда α = 1/2.
Подставляя а = π/4 и b = 3π/4 в равенство (3.1), получаем
Р(π/4 <X<3π/4) = F(3π/4) - F(π/4) = 1/2⋅sin(π/2)+1/2–1/2⋅sin 0 – 1/2
= 1/2.
График функции у =1/2∙sin(х–π/4)+1/2 отличается от графика
функции у = sinх тем, что он «сжат» по оси Оу в два раза, сдвинут
вправо на π/4, поднят вверх на 1/2. Воспользовавшись этим замечанием, отразим график F(x) (рис. 2).
F(х
1
1/2
π/4
0
π/4
π/2
3π/4
х
Рис. 2
Задача 3. Средняя продолжительность срока реализации товара
(в часах) имеет следующую плотность распределения:
100
, если х > 100,

ϕ(х)=  х 2
0,
если х ≤ 100.

Вычислить:
а) вероятность того, что товар будет реализован позднее 150
часов;
б) вероятность того, что товар будет реализован позднее 200
часов и в то же время не позднее 300 часов.
123
Решение. а) Обозначим срок реализации товара через Х. Мы
знаем, что Р(Х > 150) = 1 – Р(Х < 150) и что Р(Х < 150) = F(150). В
то же время
х
х 100
100
F ( х) = ∫ φ (t )dt = ∫
dt = 1 −
.
2
x
−∞
100 t
Следовательно,

Р(Х > 150) = 1 – 1 − 100  = 2 .

150  3
300
300 100
1
б) P(200 < X < 300) = ∫ φ ( x)dx = ∫
dx = .
2
6
200
200 x
Числовые характеристики случайной величины
Функция распределения содержит полную информацию о
случайной величине. На практике функцию распределения не
всегда можно установить; иногда такого исчерпывающего знания
и не требуется. Частичную информацию о случайной величине
дают числовые характеристики, которые в зависимости от рода
информации делятся на следующие группы.
Характеристики положения случайной величины на числовой оси (мода Мo, медиана Мe, математическое ожидание М(Х)).
1. Характеристики разброса случайной величины около
среднего значения (дисперсия D(X), среднее квадратическое отклонение σ(Х)).
2. Характеристики формы кривой y=ϕ(x) (асимметрия As,
эксцесс Ех).
Рассмотрим подробнее каждую из указанных характеристик.
Математическое ожидание случайной величины Х указывает некоторое среднее значение, около которого группируются
все возможные значения Х. Для дискретной случайной величины,
которая может принимать лишь конечное число возможных значений, математическим ожиданием называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений:
124
n
M ( X ) = ∑ xi pi
i =1
(4)
Для непрерывной случайной величины Х, имеющей заданную плотность распределения ϕ(x) математическим ожиданием
называется следующий интеграл:
∞
M ( X ) = ∫ х ⋅ φ ( х)dx
−∞
Здесь
предполагается,
что
несобственный
(5)
интеграл
∞
∫ х ⋅ φ ( х)dx сходится абсолютно, т.е. существует.
−∞
Свойства математического ожидания:
1. М(С) = C, где С = const;
2. M(C∙Х) = С∙М(Х);
3. М(Х ± Y) = М(Х) ± М(Y), где X и Y – любые случайные
величины;
4. М(Х∙Y)=М(Х)∙М(Y), где X и Y– независимые случайные
величины.
Две случайные величины называются независимыми, если
закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.
Модой дискретной случайной величины, обозначаемой Мо,
называется ее наиболее вероятное значение (рис. 3), а модой непрерывной случайной величины – значение, при котором плотность вероятности максимальна (рис. 4).
ϕ(х
)
Р
0
Мо
Рис. 3
х
0
Мо
Рис. 4
125
х
Медианой непрерывной случайной величины Х называется
такое ее значение Ме, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Ме, т.е.
Р(Х < Ме) = Р(X > Ме)
Из определения медианы следует, что Р(Х<Ме) = 0,5, т.е. F(Ме)
= 0,5. Геометрически медиану можно истолковывать как абсциссу, в которой ордината ϕ(x) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения (рис. 5). В случае симметричного
распределения медиана совпадает с модой и математическим
ожиданием (рис. 6).
ϕ(х
)
0
ϕ(х
Мо
х
0
Рис. 5
Мо=Ме=М(Х)
х
Рис. 6
Дисперсией случайной величины называется математическое
ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания
D(X) = M(X –М(Х))2.
Дисперсию случайной величины Х удобно вычислять по формуле:
а) для дискретной величины
D ( X ) = M ( X 2 ) − [ M ( X ) ]2 = ∑ xi2 ⋅ pi − [ M ( X ) ]2 ; (6)
i
б) для непрерывной случайной величины
+∞
2
D ( X ) = ∫ x 2 ϕ(х)dx – [M(X)] .
−∞
(7)
Дисперсия обладает следующими свойствами:
1. D(C) = 0, где С = const;
2. D(C⋅X) = C2∙D(X);
3. D(X±Y) = D(X) + D(Y), если X и Y независимые случайные величины.
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется арифметический корень из дисперсии, т.е.
126
σ(X) = D( X )
Заметим, что размерность σ(Х) совпадает с размерностью самой случайной величины Х, поэтому среднее квадратическое отклонение более удобно для характеристики рассеяния.
Обобщением основных числовых характеристик случайных
величин является понятие моментов случайной величины.
Начальным моментом k-го порядка αk случайной величины Х называется математическое ожидание величины Хk, т.е. αk =
М(Хk).
Начальный момент первого порядка – это математическое
ожидание случайной величины.
Центральным моментом k-го порядка µk случайной величины Х называется математическое ожидание величины (Х–М(Х))k, т.е.
µk = М(Х–М(Х))k.
Центральный момент второго порядка – это дисперсия случайной величины.
Для дискретной случайной величины начальный момент выn
ражается суммой αk = ∑ хik ⋅ pi , а центральный – суммой µk
i =1
n
= ∑ ( хi − M ( X ))k ⋅ pi , где рi = p(X = xi). Для начального и ценi =1
трального моментов непрерывной случайной величины можно
получить следующие равенства:
+∞
+∞
-∞
-∞
αk = ∫ x кφ ( х)dx , µk = ∫ (х − M (X ))кφ ( х)dx ,
где ϕ(x) – плотность распределения случайной величины Х.
Величина As = μ3 / σ3 называется коэффициентом асимметрии.
Если коэффициент асимметрии отрицательный, то это говорит о большом влиянии на величину µ3 отрицательных отклонений. В этом случае кривая распределения (рис.7) более полога
слева от М(Х). Если коэффициент As положительный, а значит,
преобладает влияние положительных отклонений, то кривая распределения (рис.7) более полога справа. Практически определяют
знак асимметрии по расположению кривой распределения относительно моды (точки максимума дифференциальной функции).
127
ϕ(х
As>0
0
As<0
М(Х)
М(Х)
х
Рис. 7
Эксцессом Еk называется величина
Еk = µ 4 / σ 4 – 3.
Можно показать, что для наиболее распространенного в природе нормального закона распределения, который будет рассматриваться в следующем параграфе, отношение µ 4 / σ 4 = 3. Поэтому
эксцесс служит для сравнения данного распределения с нормальным, у которого эксцесс равен нулю. Можно было бы доказать,
что распределения более островершинные, чем нормальное,
имеют эксцесс Еk > 0, а более плосковершинные – имеют эксцесс
Еk < 0 (рис.8).
ϕ(х
(кривая
нормального
распределения)
Еk>0
Еk<0
х
0
Рис. 8
Задача 4. Дискретная случайная величина Х, имеющая смысл
числа курьеров, задействованных для доставки корреспонденции
в коммерческой организации, задана законом распределения:
Х
0
1
2
3
Р
0,4
0,1
0,3
0,2
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Решение. Так как случайная величина является дискретной, то
для вычисления М(Х) воспользуемся формулой (3.4). Имеем
М(Х) = х1⋅р1 + х2⋅р2 + х3⋅р3 + х4⋅р4 = 0⋅0,4 + 1⋅0,1 + 2⋅0,3 + 3⋅0,2 =
1,3.
128
Найдем дисперсию D(X). Предварительно найдем математическое ожидание от Х2:
М(Х2) = х12⋅р1+х22⋅р2+х32⋅р3+х42⋅р4 = 02⋅0,4+12⋅0,1+22⋅0,3+32⋅0,2 =
3,1.
Далее по формуле (3.6) получаем
D(X) = 3,1 –1,32 = 3,1 – 1,69 = 1,41.
Найдем среднее квадратическое отклонение. Имеем
σ(Х) = D ( X ) = 1, 41 ≈ 1, 22 .
Таким образом, среднее число курьеров равно 1,3 со средним
разбросом 1,22.
Задача 5. Непрерывная случайная величина Х задана функцией
распределения
при x ≤ 0,
0
1 1

F ( x) =  − ⋅ cos x при 0 < x ≤ π ,
2 2
1 при x > π .
Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной
величины.
Решение. По определению дифференциальной функции ϕ(х) =
F′(x). Отсюда
0, при x < 0,
1
φ ( x) =  ⋅sin x, при 0 < x <π ,
2
0, при x >π .
В точках х = 0 и х = π функция ϕ(х) не дифференцируема. По
формуле (3.5) получаем
129
+∞
0
π 1
+∞
M ( Х ) = ∫ x ⋅ φ ( x)dx = ∫ x ⋅ 0dx + ∫ x ⋅ sin xdx + ∫ x ⋅ 0dx =
−∞
−∞
0 2
π
π
dx = du  1
x = u
1π
π
= ∫ x ⋅ sin xdx = 
 = (− x ⋅ cos x 0 + ∫ cos xdx) =
xdx
=
dv
v
=
−
x
sin
cos
20

 2
0
1
π ) = 1 (−π ⋅ cos π ) = − π ( −1) = π .
x
= (− x ⋅ cos x π
+
sin
0
0
2
2
2
2
Находим сначала М(Х2). Имеем
+∞
0
π
+∞
1
M ( Х 2 ) = ∫ x 2 ⋅ φ ( x) dx = ∫ x 2 ⋅ 0dx + ∫ x 2 ⋅ sin xdx + ∫ x 2 ⋅ 0dx =
2
0
−∞
−∞
π
 x 2 = u
2 xdx = du 
1π
= ∫ x 2 ⋅ sin xdx = 
=
cos
v
x
=
−
20
sin xdx = dv

π
π
1
1 2
2
π
= ( − x ⋅ cos x 0 + ∫ 2 x ⋅ cos xdx) = (π + 2 ∫ x ⋅ cos xdx) =
2
2
0
0
π
dx = du  1 2
x = u
π
=
 = (π + 2( x ⋅ sin x 0 ) − 2 ∫ sin xdx) =
cos xdx = dv v = sin x  2
0
1
1
= π 2 + cos x π0 = π 2 − 2.
2
2
Далее по формуле (7) получаем
π2
π2 π2
D( X ) =
−2−
=
− 2.
2
4
4
Задача 6. Случайная величина задана функцией
при x < −2,
0
 1

φ ( x) = (− ) x3 при -2 ≤ x ≤ 0,
 4
0 при x > 0.
Найти коэффициент асимметрии и эксцесс.
130
Решение. Предварительно вычислим начальные моменты до
четвертого порядка. Имеем:
0
1 0 4
1 x5
α1 = M ( X ) = − ∫ x dx = − ⋅
= −1, 6;
4 −2
4 5
−2
0
6
0
1
1 x
8
= ≈ 2,67;
α 2 = M ( X 2 ) = − ∫ x5dx = − ⋅
4 −2
4 6
3
−2
70
0
x
1
1
32
= − ≈ 4,57;
α3 = M ( X 3 ) = − ∫ x6 dx = − ⋅
4 −2
4 7
7
−2
0
8
0
1
1 x
= 8.
α 4 = M ( X 4 ) = − ∫ x7 dx = − ⋅
4 −2
4 8
−2
Теперь, воспользовавшись следующими формулами (они легко
получаются из определения и свойств математического ожидания
и дисперсии), найдем центральные моменты:
µ2 = DX = α 2 − α12 = 2,67 − (1,6)2 ≈ 0,11;
µ3 = α3 − 3α1α 2 + 2α13 ≈ −4,57 + 3 ⋅1,6 ⋅ 2,67 − 2 ⋅ (1,6)3 ≈ 0,054 ;
µ4 = α 4 − 4α1α3 + 6α12α 2 − 3α14 ≈ 8 − 4 ⋅1,6 ⋅ 4,57 + 6 ⋅ (1,6)2 ⋅ 2,67 − 3 ⋅ (1,6)4 ≈
≈ 0,1024 .
Отсюда следует, что σ = D( Х ) ≈ 0,33; σ 3 ≈ 0,036; σ 4 ≈ 0,0121.
Далее имеем As = µ3 / σ 3 ≈ 1,5; Ek = µ4 / σ 4 − 3 ≈ 5, 46 .
Теоретические распределения
Биномиальное распределение
Пусть в каждом из n независимых испытаний событие А может
произойти с одной и той же вероятностью р (следовательно, вероятность непоявления q =1 – p). Дискретная случайная величина
131
Х – число наступлений события А – имеет распределение, которое
называется биномиальным.
Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появиться,
либо появиться 1 раз, либо 2 раза, …, либо n раз. Таким образом,
возможные значения Х таковы: х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2,…, хn+1 = n.
Вероятность возможного значения Х = k (числа k появления события) вычисляют по формуле Бернулли:
Pn(k) = Cnk·pk·qn–k,
где k = 0, 1, 2, …, n.
Ряд распределения случайной величины Х, подчиненной биномиальному закону, можно представить в виде следующей таблицы:
Х
Р
0
1
0 0
1 1
Cn ·p Cn ·p ·
·qn
qn–1
…
…
k
Cn ·pk·
qn–k
k
…
n
… Cnn·pn
·q0
Название закона связано с тем, что вероятности Pn(k) при k = 0, 1,
2, …, n являются членами разложения бинома Ньютона
(p + q)n = qn + Cn1·p1·qn–1 + … + Cnk·pk·qn–k + … +pn.
Отсюда сразу видно, что сумма всех вероятностей второй строки таблицы равна 1, так как p+q=1.
Задача 7. В цехе работают четыре станка. Вероятность остановки в течение часа каждого из них равна 0,8. 1) Найти закон
распределения случайной величины Х – числа станков, остановившихся в течение часа. 2) Найти вероятность остановки в течение часа: а) более двух станков; б) от одного до трех станков.
Решение. 1) Возможные значения Х следующие: 0, 1, 2, 3, 4.
Вероятность этих значений можно найти по формуле Бернулли,
потому что Х имеет биномиальное распределение (станки останавливаются независимо друг от друга с постоянной вероятностью р=0,8). Получаем р4(0)=q4=0,0016, р4(1)=C41p1q3=0,0256,
р4(2)=C42p2q2= 0,154, р4(3)= C43·p3 ·q1 = 0,41, р4(4)= p4 = 0,41. Ряд
распределения имеет вид
Х
0
1
2
3
4
Р
0,0016
0,0256
0,154
0,41
0,41
132
а) Р(X>2)=P(X=3)+P(X=4)=0,41+0,41=0,82.
б) P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0,0256+0,154+0,41=0,59.
Распределение Пуассона
Это распределение представляет собой предельный случай биномиального, когда вероятность р очень мала, а число испытаний
n велико.
Таким образом, им можно пользоваться при описании частот
распределения редких событий, таких, например, как случай обширных наводнений на протяжении долгого периода времени наблюдений.
Дискретная случайная величина Х, которая может принимать
только целые неотрицательные значения с вероятностями
λ k ⋅ e−λ
,
Рn ( k ) ≈
k!
(8)
где k – число появления событий в n независимых испытаниях, λ
= n·p (среднее число появлений события в n испытаниях), называется распределенной по закону Пуассона с параметром λ.
В отличие от биномиального распределения здесь случайная величина может принимать бесконечное множество значений, представляющее собой бесконечную последовательность целых чисел
0, 1, 2, 3, … .
Закон Пуассона описывает число событий k, происходящих за
одинаковые промежутки времени. При этом полагается, что события появляются независимо друг от друга с постоянной средней
интенсивностью, которая характеризуется параметром λ = n·p. Так
как для распределения Пуассона вероятность р появления события
в каждом испытании мала, то это распределение называют законом
распределения редких явлений.
По распределению Пуассона распределено, например число
посетителей магазина или банка за определенный промежуток
времени, при этом λ – среднее число посетителей за это время.
Предположим, что в среднем в магазин приходит 2,1 покупатель в минуту. Тогда, используя (3.8), получаем, например, вероятности того, что магазин посетят за минуту 1, 4 и 10 посетителей:
133
(2,1)4 ⋅ e−2,1
(2,1)1 ⋅ e−2,1
≈ 0,10 ,
Р (1) ≈
≈ 0, 26 , Р (4) ≈
1!
4!
(2,1)10 ⋅ e−2,1
Р (10) ≈
≈ 5,6 ⋅10−5 .
10!
Основанием считать статистическое распределение пуассоновским является близость значений статистических характеристик
2
х и S (которые являются статистическими приближениями математического ожидания и дисперсии), так как для теоретического распределения Пуассона имеет место: М(Х) = D(X) = λ.
Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если ее плотность имеет следующий
вид:
0, при x < a,

φ ( x) = c, при а ≤ x ≤ b,

0, при x > b.
График плотности распределения показан на рис. 9.
ϕ(х
С
0
а
b
х
Рис. 9
Найдем значение постоянной С. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, равна 1, то
∞
b
φ
(
х
)
dx
=
∫
∫ cdx = c ⋅ (b − a ) = 1,
−∞
a
откуда С = 1/(b – a).
β
β −α
Пусть [α,β] ⊂ [ a,b]. Тогда р = Р(α ≤ Х ≤ β ) = ∫ φ(х)dx =
,
b
−a
α
134
т.е.
p=
l
,
L
(9)
где L – длина (линейная мера) всего отрезка [a, b] и
частичного отрезка [α, β].
l
– длина
Значения случайной величины Х, т.е. точки х отрезка [a,b],
можно рассматривать как всевозможные элементарные исходы
некоторого испытания. Пусть событие А состоит в том, что результат испытания принадлежит отрезку [α, β] ⊂ [a, b]. Тогда
точки отрезка [α, β] есть благоприятные элементарные исходы
события А.
Согласно формуле (9) имеем геометрическое определение вероятности: под вероятностью события А понимается отношение
меры l множества элементарных исходов, благоприятствующих
событию А, к мере L множества всех возможных элементарных
исходов в предположении, что они равновозможны:
p=
l
≤ 1.
L
Это определение естественно переносит классическое определение вероятности на случай бесконечного числа элементарных
исходов (случаев).
Аналогичное определение можно ввести также тогда, когда
элементарные исходы испытания представляют собой точки
плоскости или пространства.
Задача 8. В течение часа 0 ≤ t ≤ 1 (t – время в часах) на остановку прибывает один и только один автобус. Какова вероятность того, что пассажиру, пришедшему на эту остановку в момент времени t = 0, придется ожидать автобус не более 10 минут?
Решение. Здесь множество всех элементарных исходов образует
отрезок [0,1], временная длина которого L=1, а множество благоприятных элементарных исходов составляет отрезок [0,1/6] временной длины l =1/6.
Поэтому искомая вероятность есть
p=
l 1
= .
L 6
135
К
M
S
Задача 9. В квадрат К со стороной а с
вписанным в него кругом S (рис. 3.10) слуРис. 10
чайно бросается материальная точка М. Какова вероятность того, что эта точка попадает в круг S?
Решение. Здесь площадь квадрата К = а2, а площадь круга
π
S = a2 .
4
За искомую вероятность естественно принять отношение
P=
S π
= ≈ 0,785 .
K 4
Эта вероятность, а следовательно, и число π, очевидно, могут
быть определены экспериментально.
Показательное распределение
Непрерывная случайная величина Х, функция плотности которой задается выражением
λ е−λ х
φ ( x) = 
0
при x ≥ 0
при x < 0,
называется случайной величиной, имеющей показательное, или
экспоненциальное, распределение. Здесь параметр λ постоянная
положительная величина.
Величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств при выполнении определенных условий обычно подчиняется показательному распределению. Также этому распределению подчиняется
время ожидания клиента в системе массового обслуживания (магазин, мастерская, банк, парикмахерская и т.д.). Другими словами, величина промежутка времени между появлениями двух последовательных редких событий подчиняется зачастую показательному распределению. График дифференциальной функции
показательного распределения показан на рис. 11.
λ
ϕ(х)
х
0
Рис. 11
136
Нормальное распределение
Случайная величина Х имеет нормальное распределение (или
распределение по закону Гаусса), если ее плотность вероятности
имеет вид:
φ ( х) =
1
e
σ 2π
( х − а )2
−
2σ 2
,
где параметры а – любое действительное число и σ>0.
График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Нормальная
кривая (рис. 12) симметрична относительно прямой х=а, имеет
максимальную ординату y max = 1 , а в точках х = а ± σ – перегиб.
σ 2π
ϕ(х)
1
σ
2π e
1
σ 2π
σ
Аакпр
1
2π e
0
а–σ
а
а+σ
х
Рис. 12
Доказано, что параметр а является математическим ожиданием
(также модой и медианой), а σ – средним квадратическим отклонением. Коэффициенты асимметрии и эксцесса для нормального
распределения равны нулю: As = Ex = 0.
Установим теперь, как влияет изменение параметров а и σ на
вид нормальной кривой. При изменении параметра а форма нормальной кривой не изменяется. В этом случае, если математическое ожидание (параметр а) уменьшилось или увеличилось, график нормальной кривой сдвигается влево или вправо (рис. 13).
При изменении параметра σ изменяется форма нормальной кривой. Если этот параметр увеличивается, то максимальное значение
1
функции убывает, и наоборот. Так как площадь, ограниченная
σ 2π
кривой распределения и осью Ох, должна быть постоянной и равной 1, то с увеличением параметра σ кривая приближается к оси Ох
137
и растягивается вдоль нее, а с уменьшением σ кривая стягивается к
прямой х = а (рис. 14).
ϕ(х)
ϕ(х)
σ1
σ1<σ2<σ
σ2
σ3
а1
0 а
2
х
а3
х
0
Рис. 13
Рис. 14
Функция плотности нормального распределения ϕ(х) с параметрами а = 0, σ = 1 называется плотностью стандартной нормальной случайной величины, а ее график – стандартной кривой Гаусса.
Функция плотности нормальной стандартной величины опре1
e
2π
деляется формулой φ ( х) =
рис. 15.
1
/
х2
−
2
, а ее график изображен на
ϕ (x)
2 π
0
Рис.
х
x
3.15
Рис. 15
Из свойств математического ожидания и дисперсии следует,
что для величины U = X − Mσ (X ) , D(U) = 1 , M(U) = 0. Поэтому стан138
дартную нормальную кривую можно рассматривать как кривую
распределения случайной величины U =
X −а
, где Х – случайная
σ
величина, подчиненная нормальному закону распределения с параметрами а и σ.
Нормальный закон распределения случайной величины в интегральной форме имеет вид
(t − a )2
x −
2
1
σ
2
F ( х) =
е
dt.
∫
σ 2π −∞
(10)
t−a
dt
, dτ = , получим
σ
σ
x−a
τ2
τ2
τ2
1 σ − 2
1 0 − 2
1 z − 2
F ( х) =
dτ =
dτ +
dτ ,
∫ е
∫ е
∫е
2π −∞
2π −∞
2π 0
x−a
. Первое слагаемое равно 1/2 (половине площади кригде z =
σ
Полагая в интеграле (10) τ =
волинейной трапеции, изображенной на рис. 15). Второе слагаемое
t2
1 z −2
Φ( z ) =
dt
∫e
2π 0
(11)
называется функцией Лапласа, а также интегралом вероятности.
Поскольку интеграл в формуле (11) не выражается через элементарные функции, для удобства расчетов составлена для z ≥ 0
таблица функции Лапласа. Чтобы вычислить функцию Лапласа
для отрицательных значений z, необходимо воспользоваться нечетностью функции Лапласа: Ф(–z) = – Ф(z). Окончательно получаем расчетную формулу
F ( x) =
1
 x−a
+ Φ
.
2
σ


139
Отсюда получаем, что для случайной величины Х, подчиняющейся нормальному закону, вероятность ее попадания на отрезок
[α,β] есть
1
 β − a   1
 α − a 
P(α ≤ X ≤ β ) = F (β ) − F (α ) =  + Φ 
 −  + Φ 
 =
2
σ
2
σ

 



 β −a 
α −a 
= Φ
−
Φ


.
 σ 
 σ 
(12)
С помощью формулы (12) найдем вероятность того, что модуль
отклонения нормального распределения величины Х от ее центра
распределения а меньше 3σ. Имеем
Р(|X – a| < 3σ) =P(а–3σ< X< а+3σ)= Ф(3) – Ф(–3) =
2Ф(3)≈0,9973.
Значение Ф(3) получено по таблице функции Лапласа.
Принято считать событие практически достоверным, если его
вероятность близка к единице, и практически невозможным, если
его вероятность близка к нулю.
Мы получили так называемое правило трех сигм: для нормального распределения событие (|X – a| < 3σ) практически достоверно.
Правило трех сигм можно сформулировать иначе: хотя нормальная случайная величина распределена на всей оси х, интервал ее практически возможных значений есть (a –3σ, a +3σ).
Нормальное распределение имеет ряд свойств, делающих его
одним из самых употребительных в статистике распределений.
Если предоставляется возможность рассматривать некоторую
случайную величину как сумму достаточно большого числа других случайных величин, то данная случайная величина обычно
подчиняется нормальному закону распределения. Суммируемые
случайные величины могут подчиняться каким угодно распределениям, но при этом должно выполняться условие их независимости (или слабой независимости). Также ни одна из суммируемых случайных величин не должна резко отличаться от других,
т.е. каждая из них должна играть в общей сумме примерно одинаковую роль и не иметь исключительно большую по сравнению
с другими величинами дисперсию.
140
Этим и объясняется широкая распространенность нормального
распределения. Оно возникает во всех явлениях, процессах, где
рассеяния случайной изучаемой величины вызывается большим
количеством случайных причин, влияние каждой из которых в
отдельности на рассеяние ничтожно мало.
Большинство встречающихся на практике случайных величин
(таких, например, как количества продаж некоторого товара, ошибка измерения; отклонение снарядов от цели по дальности или по
направлению; отклонение действительных размеров деталей, обработанных на станке, от номинальных размеров и т.д.) может быть
представлено как сумма большого числа независимых случайных
величин, оказывающих равномерно малое влияние на рассеяние
суммы. Такие случайные величины принято считать нормально
распределенными. Гипотеза о нормальности подобных величин находит свое теоретическое обоснование в центральной предельной
теореме и получила многочисленные практические подтверждения.
Представим себе, что некоторый товар реализуется в нескольких
торговых точках. Из–за случайного влияния различных факторов
количества продаж товара в каждой точке будут несколько различаться, но среднее всех значений будет приближаться к истинному
среднему числу продаж.
Отклонения числа продаж в каждой торговой точке от среднего
образуют симметричную кривую распределения, близкую к кривой нормального распределения. Любое систематическое влияние
какого-либо фактора проявится в асимметрии распределения.
Задача 10. Случайная величина распределена нормально с параметрами а = 8, σ = 3.Найти вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенной в интервале (12,5; 14).
Решение. Воспользуемся формулой (3.12). Имеем
 14 − 8 
 12,5 − 8 
P(12,5 ≤ X ≤ 14) = Φ 
−
Φ


=
 3 
 3 
= Ф(2) − Ф(1,5) = 0, 4332 − 0, 4773 = 0, 0441.
Задача 11. Число проданного за неделю товара определенного
вида Х можно считать распределенной нормально. Математическое ожидание числа продаж M ( X ) = 15, 7 тыс. шт. Среднее квадратическое отклонение этой случайной величины σ = 0,8 тыс. шт.
141
Найти вероятность того, что за неделю будет продано от 15 до 17
тыс. шт. товара.
Решение. Случайная величина Х распределена нормально с параметрами а = М(Х) = 15,7; σ = 0,8. Требуется вычислить вероятность неравенства 15 ≤ X ≤ 17. По формуле (3.12) получаем
 17 − 15, 7 
 15 − 15, 7 
P(15 < X < 17) = Ф 
− Ф

=
 0,8 
 0,8 
= Ф(1, 625) − Ф(−0,875) = Ф(1, 625) + Ф(0,875) = 0, 448 + 0,309 = 0, 757.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДАННЫХ
Выборка. Эмпирическая функция распределения
Пусть в некотором опыте наблюдается случайная величина Х с
функцией распределения F(x). И пусть однократное осуществление опыта позволяет нам найти одно из возможных ее значений.
Предположим, что опыт в одних и тех же условиях можно повторять какое угодно число раз, и что сами опыты (испытания) являются независимыми.
Результаты рассматриваемых n опытов представляют собой последовательность x1, x2, … , xn действительных чисел, которая
называется выборкой объема n. Такова практическая трактовка
выборки. Каждое xi (i=1, 2, …, n) называется вариантой (элементом выборки, наблюденным значением, значением признака).
Полученные в результате n опытов наблюдаемые значения x1, x2,
…, xn представляют собой выборку из всей совокупности значений,
которые может принимать интересующая нас величина Х. Принято
говорить, что мы имеем дело с набором значений, соответствующим некоторой выборке из генеральной совокупности. Рассматриваемая выборка должна обладать свойством репрезентативности
(представительности), то есть быть такой, чтобы по ее данным
можно было получить правильное представление об всей генеральной совокупности в целом. Будет рассматриваемая выборка репрезентативной или нет – это зависит от способа отбора.
В математической литературе слово «выборка» гораздо чаще используется в другом смысле. Конкретную выборку x1, x2, … , xn
мы можем рассматривать как реализацию значений системы слу142
чайных величин (X1, X2, …, Xn), распределенных одинаково, по тому же закону, что и Х.
Выборкой объема n из распределения случайной величины Х
называется последовательность X1, X2, …, Xn независимых и одинаково распределенных – по тому же закону, что и Х – случайных
величин.
Часто в практических ситуациях возникает следующая задача:
имеется выборка и отсутствует всякая информация о виде функции распределения F(x). Требуется построить оценку (приближение) для этой неизвестной функции F(x).
Наиболее предпочтительной оценкой функции F(x) является
эмпирическая функция распределения Fn(x), которая определяется следующим образом
n
Fn ( x) = x ,
n
где: nx – число вариант меньших х (х ∈ R), n – объем выборки.
Функция Fn(x) служит хорошим приближением для неизвестной функции распределения для больших n.
Пример 1. Анализировалась среднемесячная выручка (тыс.
руб.) в 5 магазинах торговой организации. Результаты представлены в табл. 1.
Таблица 1
Номер магазина
Выручка, тыс.р.
1
205
2
255
3
195
4
220
5
235
Построим выборочную функцию распределения по данным
табл. 1.
Объем выборки по условию равен 5, т.е. n = 5. Наименьшая варианта равна 195, следовательно, F5(х) = 0 при х ≤ 195.
Значение X < 205, а именно х1 = 195 наблюдалось один раз;
следовательно, F5 ( x) = 1 при 195 < x ≤ 205 .
5
Значение X < 220, а именно х1 = 195 и х2 = 205 наблюдалось два
раза; следовательно, F5 ( x) = 2 при 205 < x ≤ 220 .
5
143
Значение X < 235, а именно х1 = 195, х2 = 205 и х3 = 220 наблюдалось три раза; следовательно, F5 ( x) = 3 при 220 < x ≤ 235 .
5
Значение X < 255, а именно х1 = 195, х2 = 205, х3 = 220 и х4 = 235
наблюдалось
четыре
раза;
следовательно,
4
F ( x) =
при 235 < x ≤ 255 .
5
5
Так как Х =255 – наибольшая варианта, то F5(х) = 1 при х > 255.
Окончательно имеем
0, x ≤ 195,
1
 , 195 < x ≤ 205,
5
2
 , 205 < x ≤ 220,

F ( x) =  5
5
 3 , 220 < x ≤ 235,
5
4
 , 235 < x ≤ 255,
5
1, x > 255.
График эмпирической функции распределения изображен на
рис. 15
F5(x)
1
4/5
3/5
2/5
1/5
0
195 205
220
235
255 x
Рис. 15
Построение интервального вариационного
ряда распределения
При большом числе наблюдений (n ≥ 20) выборка перестает
быть удобной формой записи – она становится слишком громоздкой и мало наглядной. Поэтому первичные данные (выборка)
нуждаются в обработке, которая всегда начинается с их группировки.
144
Рассмотрим группировку на конкретном примере.
В таблице 2. приведены данные выручки магазина (тыс. руб.) за
90 дней.
Таблица 2. Выручка магазина, тыс. руб.
24,9 32,2 26,3 39,9 26,1 33
24,1
42
34,3 39,5 29,4 38,1 29,3 30,1
41,1 23
34,2 25
28,9 22,7 30,2
39,1 36,1 26,4 35,8 18,1 33,1 22,1
38,4 20,7 30,4 31,1 32,3 27,1 31,1
26,1 29,3 29,9 30,2 35,8 25,1 27,1
41,7 36,2 25,9 32,2 44,8 33,1 48
45
31,6 32,1 22,7 31,5 28
19,4
38,6 27
37,9 36,3 27,8 35
31,8
35,6
26,2
30,8
30,3
22,9
19,9
33,7
28
22
26,1
30,9
23,1
22,2
53,6
29,1
17,9
26,5
32,5
35,4
21,8
30,7
29,1
26,5
32,3
33,8
26,6
27,4
Построение интервального вариационного ряда распределения
включает следующие этапы:
1. Определение среди имеющихся наблюдений (табл. 2) минимального хmin и максимального хmax значений признака. В данном
примере это будут хmin = 17,9 и хmax = 53,6.
2. Определение размаха варьирования признака R = хmax – хmin =
35,7.
3. Определение длины интервала по формуле Стерджеса
R
h=
, где n – объем выборки.
1 + 3,32lg n
В данном примере h = 35,7/8 = 4,45 = 4,5.
4. Определение граничных значений интервалов (аi – bi). За
нижнюю границу первого интервала рекомендуется брать величину, равную а1 = хmin – h/2.
Верхняя граница первого интервала b1 = a1 + h. Тогда, если bi –
верхняя граница i-го интервала (причем аi+1 = bi), то b2 = a2 + h,
b3 = a3 + h и т.д. Построение интервалов продолжается до тех
пор, пока начало следующего по порядку интервала не будет
равно или больше хmax.
В примере граничные значения составляют:
а1 = 17,9 – 0,5∙4,5 = 15,7;
b1 = 20,2;
a2 = 20,2;
b2 = 24,7 и т.д.
Границы последовательных интервалов запишем в первой графе табл. 3.
5. Сгруппируем результаты наблюдений.
145
Просматриваем статистические данные в том порядке, в каком
они записаны в табл. 2, и значения признака разносим по соответствующим интервалам, обозначая их черточками: | | , | | |, | | | | |
, | | | | |, | | | | | | | | (по одной для каждого наблюдения). Так как граничные значения признака могут совпадать с границами интервалов, то условимся в каждый интервал включать варианты, большие, чем нижняя граница интервала (хi > ai), и меньшие или равные верхней границе (хi ≤ bi). Общее количество штрихов, отмеченных в интервале (табл. 3, гр. 3), даст его частоту (табл. 3., гр.
4). В результате получим интервальный статистический ряд распределения частот (табл. 3., гр.2 и 4).
Таблица 3 Интервальный ряд распределения выручки магазина
НакопИнтервалы
Частота
№
Подсчет частот
ленная
ai – bi
ni
частота nнi
1 15,7 –20,2
||||
4
4
2 20,2 – 24,7 | | | | | | | | | | | |
11
15
3 24,7 – 29,2 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
23
38
4 29,2 – 33,7 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 27
65
|
5 33,7 – 38,2 | | | | | | | | | | | | |
13
78
6 38,2 – 42,7 | | | | | | | |
8
86
7 42,7 – 47,2 | |
2
88
8 47,2 – 51,7 |
1
89
9 51,7 – 56,2 |
1
90
Число интервалов обычно берут равным от 7 до 15 в зависимости от числа наблюдений и точности измерений с таким расчетом, чтобы интервалы были достаточно наполнены частотами.
Однако приближенно число интервалов можно оценить исходя
только из объема выборки с помощью таблицы 4. Если получают
интервалы с нулевыми частотами, то нужно увеличить ширину
интервалов (особенно в середине интервального ряда).
Таблица 4. Выбор числа интервалов группировки
Объем выборки, n
Число интервалов
30 – 50 50 – 100 100 – 400 400 – 1000 1000 – 2000
4–6
6–8
8–9
9 – 11
11 – 12
146
Выборочные начальные и центральные моменты.
Асимметрия. Эксцесс
Приведем краткий обзор характеристик, которые применяются
для анализа вариационного ряда и являются аналогами соответствующих числовых характеристик случайной величины.
Начальным выборочным моментом k-го порядка называется
величина, определяемая по формуле:
1 l
α% = ∑ xik ⋅ ni ,
k n i=1
где: хi – наблюдаемое значение с частотой ni, n – число наблюдений. В частности, начальный выборочный момент первого порядка обозначается х и называется выборочной средней:
x=
1 l
∑ x ⋅n .
n i=1 i i
Медианой называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.
Модой называется вариант, которому соответствует наибольшая частота.
Вариационный размах R равен разности между наибольшим и
наименьшим вариантом ряда.
Центральным выборочным моментом k-го порядка называется величина, определяемая по формуле:
1 l
µ% = ∑ ( xi − x )k ⋅ ni .
k n i=1
В частности, центральной выборочный момент второго порядка
обозначается S2 и называется выборочной дисперсией:
S2 =
1 l
∑ ( x − x )2 ⋅ ni .
n i=1 i
147
Средним квадратическим отклонением S называется арифметическое значение корня квадратного из дисперсии:
S = S2 =
1
∑ ( xi − x )2 ⋅ ni .
n
Коэффициентом вариации называется отношение среднего
квадратического отклонения к средней, выраженное в процентах:
S
Vs = ⋅100% .
x
Справедливы следующие формулы, выражающие центральные
выборочные моменты различных порядков через начальные:
µ%
= α% − α% 2;
2т.д.
2 1
µ% = α% − 3α% α% + 2α% 3;
3 3
1 2
1
µ% = α% − 4α% α% + 6α% 2 ⋅α% − 3α% 4 и т.д.
4
4
1 3
1 2
1
Выборочным коэффициентом асимметрии называется число A~ s ,
определяемое формулой
~ µ%3
As =
.
S3
Выборочный коэффициент асимметрии служит для характеристики асимметрии полигона (см. далее) вариационного ряда. Если
полигон асимметричен, то одна из ветвей его, начиная с вершины, имеет более пологий «спуск», чем другая.
В случае отрицательного коэффициента асимметрии более пологий «спуск» полигона наблюдается слева, в противном случае –
справа. В первом случае асимметрию называют левосторонней, а
во втором – правосторонней.
Выборочным эксцессом или коэффициентом крутизны называется число E˜k, определяемое формулой
148
~ µ%
Ek = 4 − 3 .
S4
Выборочный эксцесс служит для сравнения на «крутость» выборочного распределения с нормальным распределением. Ранее
подчеркивалось, что эксцесс для случайной величины, распределенной нормально, равен нулю. Поэтому за стандартное значение
выборочного эксцесса принимают E˜k=0. Если выборочному распределению соответствует отрицательный эксцесс, то соответствующий полигон имеет более пологую вершину по сравнению с
нормальной кривой. В случае положительного эксцесса полигон
более крутой по сравнению с нормальной кривой.
Упрощенный способ вычисления
выборочных характеристик распределения
Для вычисления выборочных характеристик (выборочной
средней, дисперсии, асимметрии и эксцесса) целесообразно пользоваться вспомогательной таблицей 5, которая составляется так:
1) используя данные таблицы 3, найдем середину каждого интерa +b
вала xi = i i и заполним столбец 1 табл. 5;
2
2) во второй столбец записывают частоты ni, складывают все частоты и их сумму (объем выборки n) помещают в нижнюю клетку
столбца;
x −C
3) в третий столбец записывают условные варианты ui = i
,
h
причем в качестве ложного нуля С выбирают варианту, которая
имеет наибольшую частоту или занимает среднее положение в ряду данных, и полагают h равным разности между любыми двумя
соседними вариантами (длина интервала bi – ai); по данным примера С = 31,4, h = 4,5; практически же третий столбец заполняется так: в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке,
содержащей наибольшую частоту, пишем 0; над нулем последовательно –1, –2, –3, а под нулем 1, 2, 3, 4, 5. Дальнейший порядок
заполнения таблицы простой и не требует пояснений. Последний
столбец таблицы – контрольный. Контроль выполняется по правилу:
149
∑ ni (ui +1)4 =∑ niui4 + 4∑ niui3 + 6∑ niui2 + 4∑ niui +n .
В нашем примере имеем: 1707 + 4∙101 + 6∙207 + 4∙(–13) + 90 =
3391. Следовательно, вычисления произведены правильно.
В итоге получаем расчетную таблицу 5.
Таблица 5. Вспомогательная таблица для вычисления выборочных характеристик
xi
ni
ui
ni⋅ui
ni⋅ui2 ni⋅ui3 ni⋅ui4 ni⋅(ui +1)4
1
2
3
4
5
6
7
8
17,9
4
–3
–12
36
–108 324
64
22,4
11
–2
–22
44
–88
176
11
26,9
23
–1
–23
23
–23
23
0
31,4
27
0
0
0
0
0
27
35,9
13
1
13
13
13
13
208
40,4
8
2
16
32
64
128
648
44,9
2
3
6
18
54
162
512
49,4
1
4
4
16
64
256
625
53,9
1
5
5
25
125
625
1296
90
–13
207
101
1707
3391
Σ
Выборочный условный момент k-го порядка определяется по
формуле
∑ ni ⋅ uik
*
M =
, k = 1,2,3,4.
k
n
По данным примера
−13
207
101
1707
M* =
≈ −0,14, M* =
≈ 2,3, M* =
≈1,12, M* =
≈18,97 .
1 90
2 90
3 90
4 90
Вычислим искомые выборочные среднюю и дисперсию:
x = M * ⋅ h + C = −0,14 ⋅ 4,5 + 31,4 = 30,77,
1
S 2 = [M * − (M *)2 ]⋅ h2 = [2,3 − (−0,14)2 ]⋅ (4,5)2 ≈ 46,17.
2
1
Выборочное среднее квадратическое отклонение
150
S = S 2 ≈ 6,8 .
Найдем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядка:
µ% = [M * − 3M * ⋅ M * + 2(M *)3]⋅ h3 =
3
3
1 2
1
= [1,12 − 3⋅ (−0,14) ⋅ 2,3 + 2 ⋅ (−0,14)3]⋅ (4,5)3 ≈ 189,54
µ% = [M * − 4M * ⋅ M * + 6(M *)2 ⋅ M * − 3(M *)4 ]⋅ h4 =
4
4
1 3
1
2
1
= [18,97 − 4 ⋅ (−0,14) ⋅1,12 + 6 ⋅ (−0,14)2 ⋅ 2,3 − 3(−0,14)4 ]⋅ (4,5)4 ≈ 8143,62.
Найдем значение коэффициента асимметрии и эксцесса:
~ µ% 189,54
≈ 0,6,
As = 3 =
3
3
(6,8)
S
~ µ%
8143,62
− 3 ≈ 0,82.
Ek = 4 − 3 =
(46,17) ⋅ (46,17)
S4
Медиана M˜ e – значение признака, приходящееся на середину
ранжированного ряда наблюдений.
Для интервального ряда медиану следует вычислять по формуле
~
Me = a
n −n
H (Me−1)
+ h⋅ 2
,
Me
n
Me
где M˜ e означает номер медианного интервала, (M˜ e –1) – интервала, предшествующего медианному.
~
В нашем примере Me = 29,2 + 4,5⋅ 45 − 38 = 29,2 +1,2 = 30,4 .
27
Мода M˜ o для совокупности наблюдений равна тому значению
признака, которому соответствует наибольшая частота.
Для одномодального интервального ряда моду можно вычис~
лить по формуле Mо = a
n
−n
Мо (Mо−1)
+ h⋅
,
Mо
2n
−n
−n
Mо (Mo−1) (Mo+1)
151
где: M˜ o означает номер модального интервала (интервал с наибольшей частотой), (M˜ o –1) и (M˜ o +1) – номера предшествующего модальному и следующего за ним интервалов.
~
В примере Mo = 29,2 + 4,5
27 − 23
= 29,2 +1 = 30,2 .
2 ⋅ 27 − 23 − 23
Так как по величине х , M˜ o и M˜ e мало отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическое распределение
нормальным.
Коэффициент вариации V = S ⋅100% = 6,8 ⋅100% = 22,1% .
S
x
30,77
Коэффициент вариации является относительной мерой рассеяния признака.
Коэффициент вариации используется и как показатель однородности выборочных наблюдений. Считается, что если коэффициент вариации не превышает 10%, то выборку можно считать
однородной, т.е. полученной из одной генеральной совокупности.
Однако к коэффициенту вариации нужно подходить с осторожностью. Продемонстрируем возможность ошибки на следующем
примере. Если на основании многолетних наблюдений среднее
арифметическое среднесуточных температур 8 марта составляет в
какой-либо местности 0° С, то получим бесконечный коэффициент вариации независимо от разброса температур. Поэтому в данном случае коэффициент вариации не применим в качестве показателя рассеяния температур, а специфику явления более объективно оценивает стандартное отклонение S.
Практически коэффициент вариации применяется в основном
для сравнения выборок из однотипных генеральных совокупностей.
Графическое изображение вариационных рядов
Для визуального подбора теоретического распределения, а
также выявления положения среднего значения ( х ) и характера
рассеивания (S2 и S) вариационные ряды изображаются графически.
152
Для изображения как дискретных, так и интервальных рядов
применяются полигоны и кумулята, для изображения только интервальных рядов – гистограмма. Для построения этих графиков
запишем вариационные ряды распределения (интервальный и
дискретный) относительных частот (частостей) Wi = ni / n, накопленных относительных частот WHi и найдем отношение Wi / h, заполнив табл. 6.
Для построения гистограммы относительных частот (частостей) по оси абсцисс откладываем частичные интервалы, на каждом из которых строим прямоугольник, площадь которого равна
относительной частоте Wi данного i–го интервала. Тогда высота
элементарного прямоугольника должна быть равна Wi / h; в нашем примере h = 4,5 (рис. 2).
Таблица 6. Статистический ряд распределения выручки магазина
Интервалы
ai – bi
15,7 – 20,2
20,2 – 24,7
24,7 – 29,2
29,2 – 33,7
33,7 – 38,2
38,2 – 42,7
42,7 – 47,2
47,2 – 51,7
51,7 – 56,2
xi
17,9
22,4
26,9
31,4
35,9
40,4
44,9
49,4
53,9
Wi
0,05
0,12
0,26
0,3
0,14
0,09
0,02
0,01
0,01
WHi
0,05
0,17
0,43
0,73
0,87
0,96
0,98
0,99
1
Wi / h
0,01
0,03
0,06
0,07
0,03
0,02
0,004
0,002
0,002
Следовательно, площадь под гистограммой равна сумме всех
относительных частот, т.е. единице.
Гистограмма относительных частот
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
Wi/h
0,03
0,02
0,01
0
,7
15
4,7
3,7
7,2
6,2
8,2
0,2
9,2
2,7
1,7
–2
–3
–4
–5
–3
–2
–2
–4
–5
,7
,2
,7
,2
,2
,7
,2
,7
0
9
3
2
1
4
8
7
2
2
2
3
3
4
4
5
интервалы группировки
Рис. 16
153
Из гистограммы можно получить полигон того же распределения, если середины верхних оснований прямоугольников соединить отрезками прямой (рис. 16).
Гистограмма и полигон являются аппроксимациями кривой
плотности (дифференциальной функции) теоретического распределения (генеральной совокупности). Поэтому по их виду можно
судить о гипотетическом законе распределения.
Полигон относительны х частот
0,08
0,07
Wi/h
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
17,9
22,4
26,9
31,4
35,9
40,4
44,9
49,4
53,9
серед ины интервал ов группировки
Рис. 17
Для построения кумуляты дискретного ряда по оси абсцисс откладывают значения признака, а по оси ординат – относительные накопленные частоты WHi. Полученные точки соединяют отрезками
прямых. Для интервального ряда по оси абсцисс откладывают верхние границы группировки (рис. 17).
накопленные частоты
Относительные
Кумулята
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
20,2
24,7
29,2
33,7
38,2
42,7
47,2
51,7
56,2
вер хн и е гр ан и цы груп пи р ов ки
Рис. 18
С кумулятой сопоставляется график интегральной функции
распределения F(x).
В нашем примере коэффициенты асимметрии и эксцесса не намного отличаются от нуля. Коэффициент асимметрии оказался
положительным (A˜ s = 0,6), что свидетельствует о правосторонней
асимметрии данного распределения. Эксцесс также оказался положительным (E˜k= 0,82). Это говорит о том, что кривая, изобра154
жающая ряд распределения, по сравнению с нормальной имеет
более крутую вершину. Гистограмма и полигон напоминают кривую нормального распределения (рис. 16 и рис.17). Все это дает
возможность выдвинуть гипотезу о том, что распределение выручки магазина является нормальным.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Точечные оценки
Пусть x1, x2, …, xn – выборка объема n из генеральной совокупности с функцией распределения F(x). Рассмотрим методы нахождения оценок параметров этого распределения. Рассмотрим для
этого выборочное распределение, т.е. распределение дискретной
случайной величины, принимающей значения x1, x2, …, xn с вероятностями, равными 1/n. Числовые характеристики этого выборочного распределения называются выборочными (эмпирическими) числовыми характеристиками. Следует отметить, что выборочные числовые характеристики являются характеристиками
данной выборки, но не являются характеристиками распределения
генеральной совокупности. Однако эти характеристики можно использовать для оценок параметров генеральной совокупности.
Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.
Несмещенной называют точечную оценку, математическое
ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.
Точечная оценка называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки (n → ∞) она сходится по
вероятности к истинному значению параметра.
Эффективной называют точечную оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.
В математической статистике показывается, что состоятельной,
несмещенной оценкой генерального среднего значения а является
выборочное среднее арифметическое:
k
n = ∑ ni
i =1
k
∑ ni ⋅ xi
x = i=1
,
n
155
где: хi – варианта выборки, ni – частота варианты хi, – объем выборки.
Для упрощения расчета целесообразно перейти к условным вариантам ui = ( xi − С ) / h (в качестве С выгодно брать первоначальную
варианту, расположенную в середине вариационного ряда). Тогда
k
∑ ni ⋅ ui
x = С + u ⋅ h = С + h ⋅ i=1
.
n
Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида
закона распределения случайной величины Х. Если величина Х
распределена по нормальному закону, то оценка х является эффективной. Для других законов распределения это может быть и
не так.
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправления выборочная дисперсия
k
∑ ni ( xi − x )2
n
s2 =
,
⋅ S 2 = i=1
n −1
n −1
так как M (S 2 ) = n −1 ⋅σ 2 , где σ2 – генеральная дисперсия. Более
n
k
k
∑ ni хi2 − [ ∑ ni xi ]2 / n
i=1
удобна формула s 2 = i=1
.
n −1
Если ui = ( xi − С ) / h, то sx2 = su2 / h2 .Оценка s2 для генеральной
дисперсии является также и состоятельной, но не является эффективной. Однако в случае нормального распределения она является «асимптотически эффективной», то есть при увеличении n
отношение ее дисперсии к минимально возможной неограниченно приближается к единице.
Итак, если дана выборка из распределения F(x) случайной величины Х с неизвестным математическим ожиданием а и дисперсией σ2 , то для вычисления значений этих параметров мы имеем
право пользоваться следующими приближенными формулами:
156
1 k
a ≈ x = ⋅ ∑ ni ⋅ xi ,
n i=1
1 k
σ 2 ≈ s2 =
⋅ ∑ ni ⋅ ( xi − x )2.
n −1 i=1
Интервальное оценивание
Выше мы рассмотрели вопрос об оценке неизвестного параметра а одним числом. Такие оценки мы назвали точечными. Они
имеют тот недостаток, что при малом объеме выборки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров. Поэтому, чтобы получить представление о близости между параметром и его
оценкой, в математической статистике вводятся, так называемые,
интервальные оценки.
Пусть во выборке для параметра θ найдена точечная оценка θ*.
Обычно исследователи заранее задаются некоторой достаточно
большой вероятностью γ (например, 0,95; 0,99 или 0,999) такой,
что событие с вероятностью γ можно считать практически достоверным, и ставят вопрос об отыскании такого значения ε > 0, для
которого P(| θ * − θ |< ε ) = γ .
Видоизменив это равенство, получим: P(θ * − ε < θ < θ * + ε ) = γ и
будем в этом случае говорить, что интервал ]θ*– ε;θ*+ ε[ покрывает оцениваемый параметр θ с вероятностью γ.
Интервал ]θ*– ε; θ*+ ε[ называется доверительным интервалом.
Вероятность γ называется надежностью или доверительной
вероятностью интервальной оценки.
Концы доверительного интервала, т.е. точки θ*– ε и θ*+ ε называются доверительными границами.
Число ε называется точностью оценки.
В качестве примера задачи об определении доверительных
границ, рассмотрим вопрос об оценке математического ожидания случайной величины Х, имеющей нормальный закон распределения с параметрами а и σ, т.е. Х = N(a, σ). Математическое
ожидание в этом случае равно а. По наблюдениям x1, x2, …, xn
157
n
n
вычислим среднее X = ∑ xi / n и оценку S 2 = ∑ ( xi − X )2 / (n −1)
i=1
i=1
дисперсии σ2.
Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину Т = X − a , которая имеет распределение СтьюS /n
дента (или t-распределение) с ν = n –1 степенями свободы.
Воспользуемся таблицей П.3 и найдем для заданных вероятности γ и числа n число tγ такое, при котором вероятность P(|Т| < t γ)


= γ, или P  X − a < tγ  = γ .
 S n



Сделав очевидные преобразования, получим

P  X − tγ

S
S 
< a < X + tγ
 =γ.
n
n
Итак, пользуясь распределением Стьюдента, мы нашли довери-
тельный интервал

 х − tγ

S
S 
, х + tγ
 , покрывающий неизвестn
n
ный параметр а с надежностью γ. Здесь случайные величины Х и S
заменены неслучайными величинами х и s, найденными по выборке. По таблице П.3, по заданным n и γ можно найти tγ.
Графическая иллюстрация схемы нахождения точности ε и доверительных границ, отвечающих надежности γ приведена на
рис. 19. Доверительная вероятность γ будет соответствовать площади под кривой Стьюдента, заключенной между точками –tγ и tγ.
ϕ(t)
Кривая Стьюдента
γ
– tγ
s
tγ ⋅
n
0
t
tγ
х
x
tγ ⋅
s
n
Рис. 19
Замечание. При n → ∞ распределение Стьюдента стремится к
нормальному распределению. Поэтому при больших n (практиче158
ски при n ≥ 30) tγ можно получить по таблице П.2 из уравнения
Ф(tγ) = γ/2.
Для оценки среднего квадратического отклонения σ нормально
распределенного количественного признака Х с надежностью γ
по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s служат доверительные интервалы:
s(1 – q) < σ < s (1 + q)
при q<1,
0 < σ < s(1 + q)
при q>1,
где q находят по таблице П. 4 по заданным n и γ.
Задача 1. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания а и среднего квадратического отклонения σ
выручки магазина по результатам вычислений из таблицы 2. Надежность γ = 0,95.
Решение. Ниже будет показано, что распределение выручки
магазина является нормальным. В таблице 2 были получены следующие точечные оценки а ≈ х = 30,77 тыс. руб.
2
n
90
σ2 ≈
⋅ S 2 = ⋅ 46,17 = 46,69 (тыс. руб) , где n = 9 0 – объем выn −1
89
борки. Следовательно, σ ≈s = 6,83 тыс.руб.
По таблице П.1.2 при γ/2 =0,475 находим tγ= 1,96. Вычисляем
точность оценки tγ ⋅ s = 1,96 ⋅ 6,83 = 1,41, доверительные границы
n
90
s
s
х − tγ ⋅
= 30,77 −1,41 ≈ 29,4 и х + tγ ⋅
= 30,77 + 1,41 ≈ 32,2 . Полуn
n
чаем доверительный интервал 29,4< a < 32,2.
Находим доверительный интервал для оценки σ. По таблице
П.4 при γ = 0,95 и n = 90 получаем q = 0,151. Вычисляем доверительные границы s (1 – q)=6,83∙0,849 ≈ 5,8 и s (1+q) = 6,83∙1,151 ≈
7,9. Получаем доверительный интервал 5,8 < σ < 7,9.
Оценки истинного значения измеряемой величины
и точности измерений
Пусть производится n измерений некоторой физической константы, истинное значение которой а неизвестно. Измерения будем рассматривать прямые, независимые, равноточные и не
дающие систематической ошибки.
Измерения называются:
159
прямыми, если результаты измерений считываются непосредственно со шкалы измерительного прибора;
независимыми, если результат каждого измерения не может повлиять на результаты остальных измерений;
равноточными, если измерения проводятся в одинаковых условиях.
Результаты измерений не будут содержать систематической
ошибки, если применяется исправный измерительный прибор.
В этих условиях результаты измерений х1, х2, …,хn можно считать случайными величинами, которые независимы, имеют один
и тот же закон распределения – нормальный с параметрами (а, σ),
где а – истинное значение измеряемой величины (математическое
ожидание), σ – точность измерительного прибора (средне квадратическое отклонение).
Следовательно, мы можем оценивать с помощью доверительных интервалов истинное значение а измеряемой величины по
выборочной средней х , а точность измерений σ по выборочному
стандарту s, применяя изложенные выше методы.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Основные сведения
Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.
Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н0.
Конкурирующий (альтернативной) называют гипотезу Н1, которая противоречит нулевой гипотезе. В итоге проверки гипотезы
могут быть совершены ошибки двух родов.
Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Вероятность ошибки первого рода называют
уровнем значимости и обозначают через α. Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если, например,
принят уровень значимости равный 0,05, то это означает, что в
среднем в пяти случаях из ста мы рискуем допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).
Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают
через β. Величина 1 – β называется мощностью критерия.
160
Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину К, которая служит для проверки гипотезы. Его значения позволяют судить о «расхождении выборки с
гипотезой». Критерий, будучи величиной случайной в силу случайности выборки x1, x2, …, xn, подчиняется при выполнении гипотезы Н0 некоторому известному, затабулированному закону
распределения.
Для проверки гипотезы по данным выборки вычисляют частные значения входящих в критерий величин, и таким образом получают частное (наблюдаемое) значение критерия.
Наблюдаемым (эмпирическим) значением Кнабл. называют то
значение критерия, которое вычислено по выборкам.
После выбора определенного критерия, множество всех его
возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другое – при которых она
принимается.
Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.
Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых
гипотезу принимают.
Основной принцип проверки статистических гипотез: если
наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.
Критическими точками (границами) kкр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.
Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.
Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством K > k кр, где k кр – положительное число.
Левосторонней называют критическую область, определяемую
неравенством К< kкр, где kкр – отрицательное число.
Двусторонней называют критическую область, определяемую
неравенствами К < k1, К > k2, где k2 > k1 .
В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется не161
равенствами (в предположении, что kкр > 0): К< – kкр , К> kкр ,или
равносильным неравенством |K|>kкр.
Для отыскания, например, правосторонней критической области поступают следующим образом. Сначала задаются достаточно
малой вероятностью – уровнем значимости α. Затем ищут критическую точку kкр, исходя из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы, вероятность того, что критерий К
примет значение, больше kкр., была равна принятому уровню значимости: Р(К> kкр) = α.
Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию. Когда критическая точка уже найдена, вычисляют по данным выборок наблюдаемое значение критерия и, если окажется, что
Кнабл > kкр, то нулевую гипотезу отвергают; если же Кнабл< kкр, то нет
оснований, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу. Но это вовсе не означает, что Н0 является единственно подходящей гипотезой: просто
расхождение между выборочными данными и гипотезой Н0 невелико, или иначе Н0 не противоречит результатам наблюдений; однако
таким же свойством наряду с Н0 могут обладать и другие гипотезы.
Методы, которые для каждой выборки формально точно определяют, удовлетворяют выборочные данные нулевой гипотезе
или нет, называются критериями значимости.
Критерии значимости подразделяются на три типа:
1. Критерии значимости, которые служат для проверки гипотез о
параметрах распределений генеральной совокупности (чаще всего
нормального распределения). Эти критерии называются параметрическими.
2. Критерии, которые для проверки гипотез не используют
предположений о распределении генеральной совокупности. Эти
критерии не требуют знаний параметров распределения, поэтому
называются непараметрическими.
3. Особую группу критериев составляют критерии согласия,
служащие для проверки гипотез о согласии распределения генеральной совокупности, из которой получена выборка, с ранее
принятой теоретической моделью (чаще всего нормальным распределением).
162
Сравнение двух дисперсий
нормальных генеральных совокупностей
На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, самих методов измерений и т.д. Очевидно, предпочтительнее тот прибор,
инструмент и метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию.
Пусть необходимо проверить гипотезу о том, что две независимые выборки получены из генеральных совокупностей Х и Y с
одинаковыми дисперсиями σх2 и σy2. Для этого используется Fкритерий Фишера.
Порядок применения F-критерия следующий:
1. Принимается предположение о нормальности распределения
генеральных совокупностей. При заданном уровне значимости α
формулируется нулевая гипотеза Н0: σх2 = σy2 о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе Н1: σх2 > σy2.
2. Получают две независимые выборки из совокупностей Х и Y
объемом nx и ny соответственно.
3. Рассчитывают значения исправленных выборочных дисперсий sх2 и sy2. Большую из дисперсий (sх2 или sy2) обозначают s12,
меньшую – s22.
4. Вычисляется значение F-критерия по формуле Fнабл= s12/s22.
5. По таблице критических точек распределения ФишераСнедекора, по заданному уровню значимости α и числом степеней свободы ν1=n1–1, ν2=n2–1 (ν1 – число степеней свободы
большей исправленной дисперсии), находится критическая точка
Fкр(σ, ν1, ν2).
Отметим, что в таблице П.7 приведены критические значения
одностороннего F-критерия. Поэтому, если применяется двусторонний критерий (Н1: σх2 ≠ σy2), то правостороннюю критическую
точку Fкр(α/2, ν1, ν2) ищут по уровню значимости α/2 (вдвое меньше заданного) и числам степеней свободы ν1 и ν2 (ν1 – число степеней свободы большей дисперсии). Левостороннюю критическую точку можно и не отыскивать.
6. Делается вывод: если вычисленное значение F–критерия
больше или равно критическому (Fнабл ≥ Fкр), то дисперсии различаются значимо на заданном уровне значимости. В противном
163
случае (Fнабл < Fкр) нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.
Задача 1. Расход сырья на единицу продукции по старой технологии составил:
Расход сырья хi
304
307
308
Число изделий mi
1
4
4
По новой технологии:
Расход сырья yi
303
304
306
308
Число изделий ni
2
6
4
1
Предположив, что соответствующие генеральные совокупности
X и Y имеют нормальные распределения, проверить, что по вариативности расход сырья по новой и старой технологиям не отличаются, если принять уровень значимости α = 0,1.
Решение. Действуем в порядке, указанном выше.
1. Будем судить о вариативности расхода сырья по новой и старой технологиям по величинам дисперсий. Таким образом, нулевая гипотеза имеет вид Н0: σх2 = σy2. В качестве конкурирующей
примем гипотезу Н1: σх2 ≠ σy2, поскольку заранее не уверены в
том, что какая-либо из генеральных дисперсий больше другой.
2–3. Найдем выборочные дисперсии. Для упрощения вычислений перейдем к условным вариантам:
ui=xi – 307,
vi=yi – 304.
Все вычисления оформим в виде следующих таблиц:
ui mi miui miui2 mi(ui+1)2
vi ni nivi nivi2 ni(vi+1)
2
–3
0
1
∑
1
4
4
9
–3
0
4
1
9
0
4
13
4
4
16
24
–1 2 –2
2
0
0
6
0
0
6
2
4
8
16
36
4
1
4
16
25
67
∑ 13 10 34
2
Контроль:
∑ nivi +2∑
nivi+ n =
= 34 + 20 + 13 = 67
Контроль: ∑ miui2+2∑ miui+ m =
= 13 + 2 + 9 = 24
Найдем исправленные выборочные дисперсии:
164
∑ ui2mi − (∑ ui mi )2 / m 13 −1/ 9
2
=
= 1,61,
su =
nx − 1
9 −1
∑ vi2ni − (∑ vi ni )2 / n 34 −102 /13
2
=
= 2,19.
sv =
n y −1
13 −1
4. Сравним дисперсии. Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:
s 2y s 2
= = v = 1,36 .
F
набл s 2 s 2
x
u
5. По условию конкурирующая гипотеза имеет вид σх2 ≠ σy2, поэтому критическая область двусторонняя и при отыскании критической точки следует брать уровни значимости, вдвое меньше
заданного.
По таблице П.7 по уровню значимости α/2 = 0,1/2 = 0,05 и числам степеней свободы ν1 = n1 – 1 = 12, ν2 = n2 – 1 = 8 находим
критическую точку Fкр(0,05; 12;8) = 3,28.
6. Так как Fнабл. < Fкр то гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья при старой и новой технологиях принимаем.
Выше, при проверке гипотез предполагалось нормальность
распределения исследуемых случайных величин. Однако специальные исследования показали, что предложенные алгоритмы
весьма устойчивы (особенно при больших объемах выборок) по
отношению к отклонению от нормального распределения.
Сравнение двух средних нормальных
генеральных совокупностей
В экономических исследованиях очень часто возникает задача
сравнения средних двух генеральных совокупностей, представленных выборками. Для решения этой задачи в случае распределений, близких к нормальному, используется t-тест Стьюдента.
Рассмотрим алгоритм его использования.
Пусть имеются две выборки объемом n1 и n2. Проверяем H0: a1 =
a2.
165
1. Вначале вычисляются оценки средних x1 , x 2 и несмещенные
оценки дисперсий s12, s22.
2. На заданном уровне значимости проверяется гипотеза о равенстве дисперсий H̃0: σ12 = σ22 при альтернативной H̃0: σ12 ≠ σ22.
3.1. Если H̃0 принимается, то вычисляется статистика
(
)
(
)
 n −1 s 2 + n −1 s 2 
|x −x |
1 2 , где S 2 =  1
1
2
2  и сравнивается с
t=


n +n −2
S 1 n +1 n


1
2
1
2


, найденное по табл. П. 6. Приложения (при этом для
H1: a1 > a2. или H1: a1 < a2 берется односторонняя область, для H1:
a1 ≠ a2 – двусторонняя). Если t ≤ tкр, то Н0 принимается.
3.2. Если H̃0 отвергается, то вычисляется статистика
t кр = t α (n1 + n 2 − 2)
t=
| x −x |
1 2
s2 n + s2 n
1 1 2 2
и сравнивается с tкр = tα(k), найденное по табл. П.6. Приложения
(при этом для H1: a1 > a2 или H1: a1 < a2 берется односторонняя
(
)
2
s2 / n + s2 / n
область, для H1: a1 ≠ a2 – двусторонняя), где k = 1 1 2 2
( s 2 / n )2 ( s 2 / n ) 2
1 1 + 2 2
n −1
n −1
1
2
(округляется до целого). Если t ≤ tкр, то Н0 принимается.
Задача 2. (сравнение средних). При измерении производительности двух агрегатов получены следующие результаты (в кг вещества за час работы):
№ замера
1
2
3
4
5
Агрегат А
14,1
10,1
14,7
13,7
14,0
Агрегат В
14,0
14,5
13,7
12,7
14,1
Можно ли считать, что производительности агрегатов А и В в
среднем одинаковы, в предположении, что обе выборки получены
из нормально распределенных генеральных совокупностей? Принять а = 0,10.
Решение. Проверяется гипотеза H0: a1=a2 при альтернативной
гипотезе H1: a1 ≠ a2. Вычислим оценки средних и дисперсий:
x = 13,32; x = 13,80; s 2 ≈ 3,37; s 2 ≈ 0,46.
1
2
1
2
166
Предварительно проверим гипотезу о равенстве дисперсий H0:
σ 2 =σ 2 :
1 2
s2 3,27
1 ≈
≈ 7,33;
2
0,46
s
2
так как F (n −1, n −1) = F
(4,4) = 6,39 (табл. П.8. Приложе2
0,05
α /2 1
ния), то гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется. Для проверки гипотезы о равенстве средних используем критерии из
пункта 3.2. Вычислим выборочное значение статистики критерия:
x −x
13,32 −13,80
1 2
=
≈ 0,55
2
2
3,37
0,46
s n +s n
+
1 1 2 2
5
5
2
 3,37 0,46 
 5 + 5 

Число степеней свободы k = 
≈ 5. Так как по
2
2
 3,37 
 0,46 
 5 



 + 5 
4
4
t=
табл. П.6. Приложения tкр = t0,05(5) = 2,01, гипотеза о равенстве
средних принимается.
Непараметрические методы математической статистики
Рассмотренные выше методы предполагают, что генеральные совокупности имеют нормальный закон распределения. Однако, при
экономических исследованиях распределения генеральной совокупности часто неизвестно либо (для непрерывных случайных величин) отличаются от нормального распределения, так что применение методов рассмотренных выше не обоснованно и может привести к ошибкам. В этих случаях применяют методы, не зависящие
(или свободные) от распределения генеральной совокупности, называемые также непараметрическими методами.
Большая группа непараметрических критериев используется
для проверки гипотезы о принадлежности двух выборок x1 , x2 ,..., xn и
y1 , y 2 ,..., y n одной и той же генеральной совокупности, то есть о том,
что функции распределения двух генеральных совокупностей
FX(x) и FY(y) равны FX(x)≡FY(y)| y=x. Такие генеральные совокупности называют однородными. Необходимое условие однородности
1
2
167
состоит в равенстве характеристик положения и (или) рассеивания у рассматриваемых генеральных совокупностей – таких, как
средние, медианы, дисперсии и др. Рассмотрим основные непараметрические критерии.
Критерий знаков
Простейший критерий такого рода, критерий знаков, применяется для проверки гипотезы H0 об однородности генеральных совокупностей по попарно связанным выборкам. Для его применения выписывают пары значений первой и второй выборок, затем
находят разности между элементами первой и второй выборок в
каждой паре и считают число положительных разностей r. При
этом l – число ненулевых разностей.
Гипотеза H0 отклоняется, если при H(1) : p> 1 выполняется неравен1
2
r
ство FB =
≥ F (k , k ) где k1 = 2(l – r + 1), k2 = 2r, или при
l − r +1 α 1 2
1
l −r
H (2) : p < выполняется неравенство F =
≥ F k , k , где k1
B r +1 α 1 2
1
2
= 2(r + 1), k2 = 2(l – r), или, наконец, при H (3) : p ≠ 1 должно вы1
2
r
полняться одно из неравенств: FB =
≥ F (k , k ) ;
l − r + 1 α /2 1 2
l −r
F =
≥F
k ,k ,
B r + 1 α /2 1 2
где Fα k , k находят из табл. П.7-8 Приложения.
1 2
(
(
)
(
)
)
Задача 3. Имеются данные о числе продаж товара в 10 магазинах до и после проведения рекламной акции этого товара.
Продажи до рекламы
70 85 63 54 65 80 75 95 52 55
Продажи после рекламы 72 86 62 55 63 80 78 90 53 57
Позволяют ли эти результаты утверждать, что реклама привела
к увеличению числа продаж? Принять α = 0,05.
Решение. В предположении, что продажи в разных магазинах не
зависят друг от друга, задачу можно решить, применяя критерий
знаков. Составим последовательности знаков разностей υ1 – υ2: –, –,
+, –, +, 0, –, +, –, –. Число ненулевых разностей l = 9, число положительных разностей r = 3. Проверим гипотезу о том, что различия в числе продаж товара вызвано случайными факторами(не
рекламой), т. е. гипотезу H0: p = 1/2. Альтернативная гипотеза
168
предполагает, продажи после рекламы стали больше; в том случае
вероятность появления положительных разностей должна быть
меньше 1/2 , то есть альтернативная гипотеза формулируется так :
H1: p< 1/2. Для проверки гипотезы H0 используем неравенство.
Имеем
k1 = 2(3+1) = 8, k2 = 2(9–3) = 12, FB= 93 −+ 13 = 1,5 .
Так как по таблице П.8 Приложения F0,05(8,12) = 2,85, гипотеза
H0 не противоречит результатам наблюдений. Следует считать,
что различие в продажах до и после рекламы вызвано случайными факторами, но не рекламой.
Критерий Вилкоксона, Манна и Уитни
Критерий применяется для сравнения двух независимых выборок объема n1 и n2 и проверяет гипотезу H0, утверждающую, что
выборки получены из одинаковых генеральных совокупностей и,
в частности, имеют равные средние и медианы.
Статистика W критерия определяется следующим образом.
Расположим n1+n2 значений объединенной выборки в порядке
возрастания, т.е. в виде вариационного ряда. Каждому элементу
ряда поставим в соответствие его номер в ряду – ранг. Если несколько элементов ряда совпадают по величине, то каждому из
них присваивается ранг, равный среднему арифметическому их
номеров.
Пусть R1 – сумма рангов первой выборки, R2 – сумма рангов
второй выборки. Вычислим значения ω1 и ω2:
(
)
)
(
n n +1
n n +1
ω =n n + 1 1
−R , ω =n n + 2 2
−R .
1 12
1
2 12
2
2
2
Правильность вычислений проверяется по формуле
ω +ω = n n .
1
2
12
Выборочное значение W статистики критерия есть наименьшее
из чисел ω1 и ω2. Если объем каждой из выборок больше 8, то
проверку гипотезы H0 можно проводить, используя статистику
z=
W −1n n
2 12
(
)
1 n n n + n +1
12 1 2 1 2
.
Если | z |<uкр, то основная гипотеза принимается. Значения uкр
берут из табл. 7.
169
Таблица 7.
Уровень значимости α 0,001 0,005 0,01 0,025 0,05 0,1
uкр
3,090 2,576 2,326 1,96 1,645 1,282
Задача 4. Для двух сельскохозяйственных комплексов имеются
данный об урожайностях культуры (ц/га) с различных земельных
участков:
1 с/х комплекс 50 41 48 60 46 60 51 42 62 54 42 46
2 с/х комплекс 38 40 47 51 63 50 63 57 59 51 – –
Имеются ли основания утверждать, средние урожайности с/х
комплексов различны, если распределение урожайностей отлично от нормального? Принять α = 0,1.
Решение. Упорядочим результаты измерений и определим ранги каждого результата. Имеем
Элемент
38 40 41 42 42 46 46 47 48 50 50
Ранг
1
2
3 4,5 4,5 6,5 6,5 8
9 10,5 10,5
Элемент
51 51 54 57 59 60 60 62 63 63
51
Ранг
13 13 13 15 16 17 18,5 18,5 20 21,5 21,5
Найдем суммы рангов: R1=129,5, R2=123,5.
Так как n1=12, n2=10, то находим
12 ⋅ (12 + 1)
−129,5 = 68,5,
2
10 ⋅ (10 +1)
ω = 12 ⋅10 +
−123,5 = 51,5.
2
2
ω = 12 ⋅10 +
1
Выборочное значение W статистики критерия таково:
W = 51,5
Так как n1>8 и n2>8, то для проверки гипотезы H0 используем
статистику Z. Выборочное значение этой статистики определяется по формуле:
z =
B
51,5 − 1 ⋅12 ⋅10
2
1 ⋅12 ⋅10 ⋅ 12 +10 + 1
(
)
12
≈ −0,56 .
Проверяемое предположение соответствует двусторонней альтернативой гипотезе, следовательно, значение | zB | сравнивается с
квантилью uкр, которая определяется по табл. при α / 2 = 0,05: uкр
= 1,645. Таким образом, утверждение о том, что средняя урожайность у с/х комплексов одинакова следует принять.
170
Критерий для проверки гипотезы H0 о равенстве дисперсий
двух генеральных совокупностей
Это критерий может использоваться вместо критерия, основанного на отношении выборочных дисперсией, при условии, что у
рассматриваемых генеральных совокупностей равны или близки
характеристики положения, т. е. средние или медианы. Критерий
применяется следующим образом. Объединенная выборка объема
n1+n2 упорядочивается в порядке возрастания и отмечается принадлежность каждого элемента к той или иной выборке. Ранги
присваиваются по следующему правилу: наименьшему значению
присваивается ранг 1, два наибольших значения получают ранги 2
и 3, ранги 4 и 5 получают следующие наименьшие значения и т. д.
Схема расстановки рангов показана ниже:
1,4,5,8,9,…,7,6,3,2.
Каждому из совпадающих по величине элементов присваивается ранг, равный среднему арифметическому (как в критерии Вилкоксона). При n1>8, n2>8 статистика Z критерия определяется по
формуле
Z

n (n + n + 1)  1
2
R − 2 1
−
2
2

 2

=
n (n + n + 1)
1 1 2
12
где R2 – сумма рангов для выборки меньшего объема n2 (n2≤n1).
Гипотеза H0 принимается, если выборочное значение zB статистики Z удовлетворяет неравенству | zB |<uкр, взятое из табл.
Пример 1. Проверить гипотезу о равенстве дисперсий по данным задачи 4.
Решение. При решении задачи 4. было установлено, что характеристики положения у рассматриваемых генеральных совокупностей равны, следовательно, критерий для проверки гипотезы H0
о равенстве дисперсий применим. Воспользуемся упорядоченными результатами измерений из решения примера 1 и расставим
ранги.
171
Имеем
Элемент
Ранг
Элемент
Ранг
38 40 41 42 42 46 46 47 48 50 50
1 4 5 8,5 8,5 12,5 12,5 16 17 20,5 20,5
51 51 54 57 59 60 60 62 63 63
51
19,7 19,7 19,7 15 14 11 8,5 8,5 6 2,5 2,5
Вычислим сумму рангов для 2-го с/х комплекса (n2=10); имеем
R2 = 110,9. Выборочное значение статистики критерия определяем по формуле:
z =
B
10 ⋅ (10 + 12 + 1) 1
−
2
2
≈ 0,237
10 ⋅ (10 + 12 +1)
12
110,9 −
Так как при α = 0,10, α / 2 = 0,05 имеем по табл. 6.1.: uкр = 1,645,
то при двусторонней гипотезе H1: σ12 ≠ σ22 гипотеза H0 не противоречит результатам наблюдений.
Расчет теоретической кривой нормального распределения
Один из способов построения нормальной кривой по интервальному вариационному ряду состоит в следующем:
1) при расчете теоретических частот niT за оценку математического ожидания а и среднего квадратического отклонения σ нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик х¯ и s, т.е. a=х¯, σ=s;
2) находят теоретические частоты по формуле
niT = n ⋅ pi ,
где n – объем, рi – вероятность попадания значения нормально
распределенной случайной величины в i-интервал; вероятность рi
определяется по формуле
рi = p(ai < x < bi ) = Ф( z ) − Ф( zi ) ,
i+1
t
2
где Ф(t ) = 1 ∫ e− x /2dx – интегральная функция Лапласа, нахо2π 0
a −x
b −x
дится по таблице П.2 для zi = i , z = i , причем наиi+1
s
s
172
меньшее значение z1 полагают равным –∞, а наибольшее zl полагают равным +∞;
3) строят точки (хi, yi) в прямоугольной системе координат, где хi
– середина частного интервала, yi = niT/(n⋅h), и соединяют их плавной кривой.
Близость теоретических частот к наблюдаемым подтверждает
правильность допущения о том, что обследуемый признак распределен нормально.
Проверка гипотезы о нормальном законе распределения
Часто для проверки соответствия эмпирического ряда распределения нормальному закону используют критерий χ2, получивший название критерия согласия Пирсона. Он основан на сравнении эмпирических частот интервалов группировки с теоретическими частотами, которые можно ожидать при принятии определенной нулевой гипотезы.
Порядок применения критерия χ 2 заключается в следующем:
1. Формируется гипотеза Н0: ϕ(х) = ϕнорм(х) – плотность распределения ϕ(х) генеральной совокупности, из которой взята выборка, соответствует теоретической модели ϕнорм(х) нормального
распределения. Альтернативная гипотезы Н1: ϕ(х) ≠ ϕнорм(х). Выбирается уровень значимости α.
2. Получается выборка объема n ≥ 40 независимых наблюдений
и представляется эмпирическое распределение в виде интервального вариационного ряда.
3. Рассчитываются выборочные характеристики х¯ и s. Их используют в качестве генеральных параметров а и σ нормального
распределения, с которым предстоит сравнивать эмпирическое
распределение.
4. Вычисляются значения теоретических частот niT попадания в
i-й интервал группировки (без округления).
Если окажется, что вычисленные теоретические частоты niT некоторых интервалов группировки меньше 5, то соседние интервалы объединяются так, чтобы сумма их теоретических частот
была больше или равна 5. Соответственно складываются и эмпирические частоты объединяемых интервалов.
5. Значения χ2–критерия рассчитываются по формуле:
173
k (ni − niT )
2
χ
=
,
набл i∑
=1 niT
где ni –эмпирические частоты; niT – теоретические частоты; k –
число интервалов группировки после объединения.
6. Определяем по таблице П.5 распределения χ2(Хи – квадрат)
критическое значение χкр2(α, ν) для числа степеней свободы ν =
k–3 и заданного уровня значимости α.
7. Если χнабл2≤χкр2, то выдвинутая гипотеза о нормальном законе
распределения принимается, в противном случае - отвергается с
вероятностью ошибки α.
Пример 1. Воспользуемся данными табл. 2 для проверки соответствия эмпирического распределения нормальному распределению.
Все вспомогательные расчеты, необходимые для вычисления
2
χ , сведем в табл. 8.
Для нашего примера χнабл2= 2,69, α = 0,05, ν=6–3=3 (число интервалов после объединения стало равным 6) и χкр2=(0,05;3)=7,8.
Так как χнабл2<χкр2, то, согласно критерию Пирсона, гипотеза о
нормальном законе не отвергается. Можно сделать вывод, что
распределение выручки магазина является нормальным.
Таблица 8. Вычисление критерия χ2 при проверке нормального
распределения выручки магазина
Интервалы
ai – bi
15,7 – 20,2
20,2 – 24,7
24,7 – 29,2
29,2 – 33,7
33,7 – 38,2
38,2 – 42,7
42,7 – 47,2
47,2 – 51,7
51,7 – 56,2
niT
ni
4
11
23
27
13
5,45
11,35
20,01
23,17
17,61
8
2 
12
1
1 
8,80 
2,89
12, 41
0,61 
0,11 
90
–
174
(ni –niT)2
(ni - niT )2
niT
2,102
0,122
8,940
14,669
21,252
0,386
0,011
0,447
0,633
1,207
0,069
0,006
–
χнабл2 = 2,69
Методы описательной статистикив пакете STADIA 6.0
для Windows
Методами описательной статистики принято называть методы описания выборок х1, х2, …, хn с помощью различных показателей и графиков.
Проиллюстрируем работу методов описательной статистики на
рассмотренном выше примере.
Пример 1. Для выборки выручки магазина (табл. 2.) вычислить
показатели описательной статистики.
Подготовка данных. Находясь в электронной таблице пакета,
следует ввести данные таблицы с клавиатуры, в первой столбец,
назначив ему имя, например d.
Выбор процедуры. После выбора пункта меню Статист или
нажатия клавиши F9 программа выведет на экран меню Статистические методы.
С помощью мыши выберите в меню пункт 1=Описательная
статистика. На экране появится окно Анализ переменных. Выделив переменную d в списке переменных, нажмите мышью на
кнопку со стрелкой вправо. Затем нажмите клавишу Утвердить.
Результаты. На экране в окне Результаты появится значения
основных описательных статистик и запрос системы Выдать дополнительную статистику. В ответ на запрос можно нажать Да,
и тогда программа выведет остальные описательные статистики
(рис. 20.).
ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА. Файл: fet1.std
Переменная Размер <-Диапазон-> Среднее--Ошибка Дисперс Ст.откл Сумма
d
90
17,9
53,6
30,7
0,714
48,4
6,77 2,76E3
Переменная Медиана <-Квартили-> ДовИнтСр. <-ДовИнтДисп-> Ош.СтОткл
d
30,3
26,2
34,5
1,4
40,5 4,97E4
1,85
Переменная Асимметр. Значим Эксцесс
Значим
d
0,653
0,0071
3,67
0,0595
Рис. 20. Окно результатов процедуры описательной статистики
Пример 2. Сгруппировать данные примера 2 в диапазоне от
15,7 тыс. руб. до 56,2 тыс. руб. с шагом группировки 4,5 тыс.
руб., и вычислить частоты попадания в полученные интервалы
группировки. Проверить согласие распределения выборки выручки магазина с нормальным распределением.
Подготовка данных осуществляется так же, как в примере 2.
175
Выбор процедуры. В меню статистических методов следует
выбрать процедуру 2=Гистограмма/Нормальность, нажав на экране соответствующую кнопку мышью или нажав цифру 2.
Заполнение полей ввода данных. На экране появится окно Анализ переменных, в котором следует выбрать переменную d для анализа. Далее последует запрос пакета о параметрах группировки
данных. Введем число интервалов группировки равным 9, левую
границу группировки данных – 15,7 и правую границу – 56,2. Затем
нажмите кнопку Утвердить.
Результаты. На экране появятся результаты расчетов, включающие таблицу табуляции частот (рис. 21), а также заключение
системы Гипотеза 0: Распределение не отличается от нормального.
В первом столбце таблицы указан левый конец интервала
группировки, во втором значения первого столбца трансформированы следующим образом: из каждого элемента первого столбца вычитается среднее значение выборки и полученная разность
делится на стандартное отклонение выборки. Следующие четыре
столбца содержат частоту, относительную частоту, накопленную
частоту и относительную накопленную частоту соответственно.
ГИСТОГРАММА И ТЕСТ НОРМАЛЬНОСТИ. Файл: a1.std
Х-лев. Х-станд Частота
%
Накопл.
%
17,9
-1,89
8
8,89
8
8,89
22,4
-1,23
20
22,2
28
31,1
26,8 -0,573
24
26,7
52
57,8
31,3 0,0863
20
22,2
72
80
35,8
0,745
11
12,2
83
92,2
40,2
1,4
3
3,33
86
95,6
44,7
2,06
3
3,33
89
98,9
49,1
2,72
1
1,11
90
100
53,6
3,38
Колмогоров=0,0673, Значим.=0,499, степ.своб = 90
Гипотеза 0: <Распределение не отличается
от нормального>
Омега-квадр.=0,0699, Значим.=0,285,степ.своб = 90
Гипотеза 0: <Распределение не отличается
от нормального>
Хи-квадрат=7,15, Значимость=0,209, степ.своб = 5
Рис. 21 Экран результатов процедуры
«Гистограмма и нормальность»
После нажатия Enter появится запрос системы Вывести график? При ответе Да программа выводит гистограмму и подобранную по выборке кривую плотности нормального распределения в специальное графическое окно. Полученные графики показаны на рис. 22.
176
Рис. 22. Гистограмма с наложенным графиком
нормальной кривой
Выводы: Согласно результирующим уровням значимости трех
критериев нормальности (р > 0,05) можно принять гипотезу о
нормальном распределении выборки.
Анализ нормальных выборок в пакете STADIA
Ниже на примерах будут рассмотрены некоторые из основных
процедур анализа нормальных выборок.
Пример 1. Построим 95% доверительные интервалы для среднего значения и дисперсии по выборке выручки магазина (табл.
2) и проверим гипотезу о равенстве среднего значения выборки
заданной величине 31,7.
Решение этой задачи в пакете осуществляет процедура
1=Описательная статистика из меню Статистические методы. Экран выдачи результатов этой процедуры для данных выручки магазина приведен на рис. 20.
Для получения левого конца доверительного интервала для
среднего следует вычесть из полученной оценки для среднего
30,7 величину ДовИнтСр, то есть 1,4. Для получения правого
конца доверительного интервала для среднего следует прибавить
к среднему указанную выше величину.
В пакете отсутствует процедура, в явном виде реализующая критерий Стьюдента для проверки гипотезы о равенстве среднего значения нормально распределенной выборки заданному числу. Для
решения этой задачи при уровне значимости α = 0,05 против двусторонних альтернатив следует посмотреть, попадает ли гипотетическое значение 31,7 в полученный интервал для среднего. В данном случае гипотетическое значение попадает в 95% доверитель177
ный интервал (29,3; 32,1). Поэтому гипотезу Н0: а = 31,7 можно
принять на указанном уровне значимости 0,05.
Проведем анализ однородности двух нормальных выборок. Для
этого рассмотрим следующий пример.
Пример 2. При исследовании количества продаж товара в двух
регионах (в тыс. шт.) за 10 месяцев получены следующие данные:
1 регион 20 17 16 15 15 18 19 19 21 17
2 регион 17 16 15 14 14 19 17 19 16 21
Требуется установить, можно ли считать, что количества продаж в двух регионах в среднем одинаково.
Подготовка данных. Поместим наблюдения по районам в переменные х1 и х2 электронной таблицы пакета.
Выбор процедуры. В меню Статистически методы выберем
пункт 4 = Стьюдента и Фишера.
Заполнение полей ввода данных. На экране появится окно
Анализ переменных. С помощью мыши выделим в левом поле
этого окна имена переменных х1 и х2. Нажав кнопку со стрелкой
вправо, перенесем их в правое поле и нажмем кнопку запроса
Утвердить.
Результаты. На рис. 23 приведены значения статистик Фишера
и Стьюдента для проверки гипотез о равенстве дисперсий и средних значений двух нормальных выборок.
КРИТЕРИЙ ФИШЕРА И СТЬЮДЕНТА. Файл:
Переменные: х1, x2
Статистика Фишера=0,8, Значимость=0,372, степ.своб=9,9
Гипотеза 0: <Нет различий между выборочными дисперсиями>
Статистика Стьюдента=0,922, Значимость=0,628, степ.своб=18
Гипотеза 0: <Нет различий между выборочными средними>
Стьюдент для парных данных=1,2, Значимость=0,261, степ.своб=9
Гипотеза 0: <Нет различий между выборочными средними>
Рис. 23. Результаты проверки различия между средними
и дисперсиями выборок
В зависимости от результатов сравнения дисперсий применяются различные формулы вычисления статистики Стьюдента.
Выводы: Как можно видеть из полученных результатов анализа, ни критерий Стьюдента, ни критерий Фишера не выявляет заметных различий между средними значениями и дисперсиями
анализируемых выборок. Следовательно, количества продаж в
двух регионах можно считать одинаковым.
178
ЭЛЕМЕНТЫ РЕГРЕССИОННОГО
И КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА
Понятие функциональной, статистической
и корреляционной зависимости
Условимся обозначить через Х независимую переменную, а через Y зависимую переменную.
В экономике в большинстве случаев между переменными величинами существуют зависимости, когда каждому значению одной
переменной соответствует не какое-то определенное, а множество
значений другой переменной, причем сказать заранее, какое именно значение примет зависимая величина Y, нельзя. Такая зависимость получила название статистической (или стохастической,
вероятностной). Более часто появление такой зависимости объясняется действием на результирующую переменную не только
контролируемого или контролируемых факторов (в данном случае
таким контролируемым фактором является переменная Х), а и
многочисленных неконтролируемых случайных факторов. Примером статистической связи является зависимость урожайности от
количества внесенных удобрений, стоимость одного экземпляра
книги от тиража, выработки рабочего за смену от его квалификации и т.д.
Допустим, что существует стохастическая зависимость случайной переменной Y от Х. Зафиксируем некоторое значение х переменной Х. При Х = х переменная Y в силу ее стохастической зависимости от Х может принять любое значение из некоторого множества, причем какое именно – заранее не известно. Поэтому,
прежде всего, стараются выяснить, изменяются или нет при изменении х условные математические ожидания М (Y/Х = х) . Если
при изменении х условные математические ожидания М (Y/Х = х)
изменяются, то говорят, что имеет место корреляционная зависимость величины Y от Х.
Функция ϕ (х) = М (Y/Х = х), описывающая изменение условного
математического ожидания случайной переменной Y при изменении значений х переменной Х, называется функцией регрессии,
а ее график – линией регрессии.
Для отыскания функции регрессии, вообще говоря, необходимо
знать закон распределения случайной двумерной величины (Х,Y).
В нашем распоряжении лишь выборка ограниченного объема. По179
этому в этом случае речь может идти об оценке (приближенном
выражении) функции.
В качестве оценок условных математических ожиданий принимают условные средние, которые находят по данным наблюдений
(по выборке).
Условным среднимух называют среднее арифметическое наблюдавшихся значений Y, соответствующих Х=х.
Условное математическое ожидание М(Y/х) является функцией
от х, следовательно, его оценка, т.е. условное среднееух, также
функция от х; обозначив эту функцию через ϕ*(х), получим уравнение
ух = ϕ*(х).
Это уравнение называют выборочным уравнением регрессии; функцию ϕ*(х) называют выборочной регрессией, а ее график – выборочной линией регрессии.
Как найти по данным наблюдений параметры функции ϕ*(х),
если вид ее известен? Как оценить силу (тесноту) связи между
величинами Х и Y и установить, коррелированы ли эти величины?
Ответы на эти вопросы изложены ниже.
Линейная парная регрессия
Пусть функция регрессии линейная, т.е. М(Y/Х=х)= α+βх. Найдем оценки а и b параметров α и β.
Предположим, что в результате n независимых опытов получены
n пар чисел (х1,у1), (х2,у2),…, (х n, yn). Рассмотрим случай, когда различные значения х признака Х и соответствующие им значения у
признака Y наблюдались по одному разу. Тогда выборочное уравнение можно записать так: y% = a + bx .
Для нахождения оценок а и b применим метод наименьших
квадратов. Суть этого метода в том, что отыскиваются такие значения а и b, которые обеспечивают минимум суммы квадратов отклонений измеренных значений уi от прямой линии, задаваемой
параметрами а и b, т.е.
n
n
S = ∑ ( y%i − yi )2 = ∑ (a + bxi − yi )2 → min.
i=1
i=1
180
Для отыскания минимума приравняем нулю соответствующие
частные производные:
n
∂S = 2 ∑
(a + bxi − yi ) = 0,
∂a
i=1
n
∂S = 2 ∑
(a + bxi − yi ) xi = 0 .
∂b
i=1
Выполнив элементарные преобразования, получим систему
двух линейных уравнений относительно а и b:
n
n

a
⋅
n
+
b
x
=
∑ i ∑ yi


i =1
i =1
 n
n
n
 a ∑ x +b ∑ x 2 = ∑ x ⋅ y
 i =1 i i =1 i
i =1 i i
Решения этой системы уравнений можно записать в следующем, удобном для расчетов виде:
n
n
n
n ∑ xi yi − ∑ xi ⋅ ∑ yi
i=1 i=1 ;
b = i=1n
n
n ∑ xi2 − ( ∑ xi )2
i=1
i=1
n
n
n
n
∑ yi ⋅ ∑ xi2 − ∑ xi yi ⋅ ∑ xi
i=1
i=1 .
a = i=1 i=n1
n
2
2
n ∑ xi − ( ∑ xi )
i=1
i=1
Обычно b называют коэффициентом регрессии. Коэффициент
регрессии показывает, на сколько единиц в среднем изменяется
переменная Y при увеличении переменной Х на одну единицу.
Пример 1. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии по данным n =8 наблюдений, которые получены при изучении зависимости количества продаж товара у от затрат на рекламу этого товара х:
х
1,5
4,0
5,0
7,0
8,5
10,0 11,0 12,5
y
5,0
4,5
7,0
6,5
9,5
9,0
11,0
9,0
181
Решение. Экспериментальные данные изобразим в виде точек
в системе декартовых координат. Ломаная линия, соединяющая
эти точки, называется эмпирической линией регрессии. По виду
ломанной можно предположить наличие корреляционной зависимости Y по Х между двумя рассматриваемыми переменными,
которая графически выражается тем точнее, чем больше объем
выборки (рис.24).
Количества продаж товара
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Затраты на рекламу
Рис. 24
Составим расчетную таблицу 9.
Таблица 9
№
хi
yi
x i2
xiyi
7,50
2,25
5,0
1,5
1
18,00
16,00
4,5
4,0
2
35,00
25,00
7,0
5,0
3
45,50
49,00
6,5
7,0
4
80,75
72,25
9,5
8,5
5
90,00
100,00
9,0
10,0
6
121,00
121,00
11,0
11,0
7
112,50
156,25
9,0
12,5
8
59,5
61,5
541,75
510,25
∑
х = 7,4375,у = 7,6875
Найдем искомые параметры, для чего подставим вычисленные
по таблице суммы в соотношения (7.2):
а = (61,5⋅ 541,75 – 510,25 ⋅59,50)/ (8 ⋅541,75 – 3540,25) = 3,73,
b = (8⋅ 510,25 – 59,50⋅ 61,50)/ (8 ⋅541,75 – 3540,25) = 0,53.
Таким образом, уравнение регрессии имеет вид
y% = 3,73 + 0,53x .
Прямая, построенная по этому уравнению, показана на рис. 25
вместе с исходными данными. Эта прямая является наилучшей
182
линейной оценкой уравнения регрессии, полученной по имеющимся данным. Но это не означает, что нельзя построить оценку
регрессии в виде какой-то другой зависимости (нелинейной), которая будет лучше соответствовать экспериментальным данным,
чем прямая линия.
Количества продаж товара
12
10
~y = 3 , 73 + 0 , 53 x
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Затраты на рекламу
Рис. 25
Построенная таким образом линия регрессии позволяет с некоторой вероятностью не только предсказать в интервале от х=1,5
до х=12,5 любые значения функции у при отсутствующих в табл.
9 значениях фактора х, но и за пределами данного интервала.
Составленное уравнение регрессии можно проверить на точность зависимости между переменными (х, у) по коэффициенту
точности выравнивания линии r1 , отражающему степень приближения расчетных данных к фактическим значениям эмпирического ряда. Этот коэффициент определяется следующим образом:
n
n
∑ ( yi − y )2 − ∑ ( yi − y%i )2
i=1
r = i=1
,
n
2
1
∑ ( y − y)
i=1 i
где ( yi − y ) – отклонение индивидуальных вариант от общего
среднего арифметического по y; ( yi − y%i ) – отклонение индивидуальных экспериментальных вариант по y от расчетных по уравнению.
Составим таблицу расчета данных для определения коэффициента точности выравнивания линии.
183
№ xi
yi
1 1,5 5,0
2 1,0 4,5
3 5,0 7,0
4 7,0 6,5
5 8,5 9,5
6 10,0 9,0
7 11,0 11,0
8 12,5 9,0
Σ
у = 7,6875
y%i = 3,73 + 0,53xi
4,53
5,85
6,38
7,44
8,24
9,03
9,56
10,35
yi − y
( yi − y )2
–2,6875 7,2227
–3,1875 10,160
–0,6875 0,4727
–1,1875 1,4102
1,8125 3,2852
1,3125 1,7227
3,3125 10,9727
1,3125 1,7227
36,9691
yi − y%i
0,47
–1,35
0,62
–0,94
1,26
–0,03
1,44
–1,35
Таблица 10
( yi − y%i )2
0,2209
1,8225
0,3844
0,8836
1,5876
0,0009
2,0736
1,8225
8,7956
На основании исходных данных, полученных в табл. 10, имеем
r = (36,9692 − 8,7956) / 36,9692 = 0,87.
1
Принято считать: если r1 >0,95, то уравнение регрессии адекватно отражает существующую связь. При r1< 0,95 необходимо
найти другую математическую зависимость между признаками. В
приведенном примере r1= 0,87<0,95, поэтому следует подобрать
другую математическую зависимость. Критерий оценки r1 на
точность выравнивания линии уравнения регрессии используется
и для других форм регрессионной зависимости.
Проверку адекватности линейной модели можно провести по
графику остатков:
di = yi − y%i ,
где уi – измеренные значения, соответствующие значениям xi ; ỹi –
значения функции регрессии при х=хi .
Если остатки di сконцентрированы в горизонтальной полосе
вдоль оси абсцисс, то линейную модель можно считать адекватной. Если зона, где расположены остатки, расширяется, это означает, что дисперсии неодинаковы при различных значениях хi .
Это требует изменения регрессионной модели. Если остатки
имеют тенденцию закономерно изменяться, то не учтены какието факторы, существенно влияющие на связь между величинами
Y и х. В этом случае также нужно изменить модель и ввести неучтенные факторы.
184
В заключение построим график остатков для предыдущего
примера. Для этого используем столбцы уi и yi – ỹi табл. 10. Этот
график приведен на рис.26.
График остатков
2
остатки
1,5
1
0,5
0
-0,5 4
5
6
7
8
9
10
11
12
-1
-1,5
Значения у
Рис. 26
Как следует из рис. 26, зона, где расположены остатки, расширяется, поэтому следует подобрать другую математическую зависимость. Такие же выводы получены при проверке на точность зависимости между переменными по коэффициенту точности выравнивания линии r1 .
Выборочный коэффициент корреляции
Если зависимость между признаками на графике указывает на
линейную корреляцию, рассчитывают коэффициент корреляции r,
который позволяет оценить тесноту связи переменных величин, а
также выяснить, какая доля изменений признака обусловлена
влиянием основного признака, какая – влиянием других факторов.
Коэффициент варьирует в пределах от –1 до +1. Если r=0, то связь
между признаками отсутствует. Равенство r=0 говорит лишь об
отсутствии линейной корреляционной зависимости, но не вообще
об отсутствии корреляционной, а тем более статистической зависимости. Если r = ±1, то это означает наличие полной (функциональной ) связи. При этом все наблюдаемые значения располагаются на линии регрессии, которая представляет собой прямую.
Практическая значимость коэффициента корреляции определяется его величиной, возведенной в квадрат, получившая название
коэффициента детерминации.
Например, если r = 0,8, то r2 = 0,64, т.е. 64% всех изменений
одного признака связано с изменением другого.
185
Выборочный коэффициент корреляции определяется равенством
n
∑ ( x − x )( y − y )
i
i =1 i
r=
n
2 n
2
∑ (x − x ) ⋅ ∑ ( y − y)
i
i
i =1
i =1
,
где хi , уi – варианты (наблюдавшиеся значения) признаков Х и Y;
n – объем выборки; х, у – выборочные средние.
Приведем расчет показателей для вычисления коэффициента
корреляции r с использованием данных примера предыдущего
параграфа.
Таблица 11
x −x
y −y
№ xi
yi
( x − x )2
( y − y )2 ( x − x )( y − y )
15,9570
1 1,5 –5,9375 35,2539 5,0 –
7,2227
2 4,0 –3,4375 11,8164 4,5 2,6875 10,1602 10,9570
7,0 –
1,6758
3 5,0 –2,4375 5,9414
0,4727
6,5 3,1875 1,4102
0,5195
4 7,0 –0,4375 0,1914
9,5 –
1,9258
5 8,5 1,0625 1,1280
3,2852
9,0 0,6875 1,7227
3,3633
6 10,0 2,5625 6,5664
7 11,0 3,5625 12,6914 11,0 –
10,9727 11,8008
6,6445
8 12,5 5,0625 25,6289 9,0 1,1875 1,7297
1,8125
1,3125
3,3125
1,3125
Σ 59,5 0
99,2187 61,5 0
36,9691 52,8437
x= 7,4375, у = 7,6875
i
r=
i
i
i
i
i
52,8437
52,8437
≈
≈ 0,87 .
99, 2187 ⋅ 36,9691 60,5642
Выборочный коэффициент корреляции r является оценкой коэффициента корреляции rг генеральной совокупности. Допустим,
что выборочный коэффициент оказался отличным от нуля. Так
как выборка отобрана случайно, то еще нельзя заключить, что коэффициент корреляции генеральной совокупности rг также отличен от нуля. В конечном счете нас интересует именно этот коэффициент, поэтому возникает необходимость проверить гипотезу о
186
значимости (существенности) выборочного коэффициента корреляции (или, что то же, о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности).
Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить
нулевую гипотезу Ho: rг = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1: rг ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия:
tнабл = r
.
n−2
1− r2
и по таблице П.6. критических точек распределения Стьюдента,
по заданному уровню значимости и числу степеней свободы ν =
n-2 найти критическую точку tкр(α, ν) для двухсторонней критической области. Если tнабл < tкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если tнабл  >tкр – нулевую гипотезу отвергают.
Для данного примера найдем наблюдаемое значение критерия:
t
набл
=
0,87 ⋅ 8 − 2 0,87 ⋅ 6
=
≈ 4,32 .
0, 493
2
1 − 0,87
Поскольку tнабл = 4,32 >tкр = 2,45 при ν= 6 и α= 0,05, то нулевую
гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочный коэффициент
корреляции значимо отличается от нуля, т.е. Х и Y коррелированны.
Подобный способ оценки значимости коэффициента корреляции не является безукоризненным, особенно если оцениваемый
коэффициент корреляции по абсолютной величине близок к единице.
Более правильную оценку значимости rг можно получить, если
воспользоваться преобразованием Z, предложенным Р.А. Фишером, где Z = 0,5{ln(1 + r ) − ln(1 − r )} (Z= f (r) см. в таблице П 9).
Критерий проверки гипотезы сводится к вычислению наблюдаемого значения:
187
сравнению полученного tнабл с tкр (α,∞). При tнабл ≥
tкр можно утверждать (с риском ошибиться в 100⋅α % случаев),
что связь имеется (rг ≠ 0).
К примеру, для r= 0,87, согласно таблице П.9, Z = 1,3331. При
n= 8 tнабл = 1,3331 8 − 3 = 2,98 , что больше tкр (0,05, ∞) =1,96, поэтому
можно считать коэффициент корреляции статистически значимым (т.е. можно утверждать, что rг ≠ 0).
Использование преобразования Z дает возможность корректного получения интервальной оценки rг . Для этого сначала находятся доверительные границы для среднего значения M(Z):
t
набл.
Z−
= Z n−3 и
tкр
n−3
−
tкр
r
< M (Z ) < Z +
− r
2(n − 1)
n − 3 2(n − 1)
(tкр берется для ν=∞). Затем,
прибегая к помощи таблицы П.10, можно найти те значения r, которые соответствуют нижней и верхней границам для M(Z).
Так для нашего примера получим (n=8; r = 0,87 ; Z= 1,3331;
α=0,05):
0,87
0,87
< M ( Z ) < 1,3331 + 1,96 1 −
1,3331 − 1,96 1 −
,
2
⋅
7
5
5 2⋅7
т.е. 0,40 <M(Z)<2,15
Обращаясь к таблице П.10, найдем, что доверительные границы коэффициента корреляции оказываются равными r0,05 = 0,38÷
0,97.
Все операции по проверке значимости коэффициента корреляции можно упростить, заранее вычислив для различных абсолютных значений оценок r минимальные объемы корреляционных
рядов, обеспечивающих возможность утверждать с уровнем значимости α, что rг ≠ 0, т.е. утверждения наличия линейной связи
(таблица П.9).
Та же таблица может служить для оценки необходимого и достаточного числа повторностей nα , чтобы при ожидаемой величине r
коэффициента корреляции можно было утверждать, что связь есть
(rг ≠ 0) при заданном уровне значимости α. Так, воспользовавшись
таблицей П.9, мы обнаружим, что коэффициент корреляции, оценка которого равна 0,87, можно считать статистически значимым с
α= 0,05, если n, по крайней мере, равно 6. У нас повторяемость n=8,
что больше 6, следовательно, коэффициент корреляции значим. И
минимальная повторяемость, которая может обеспечить значимость коэффициента корреляции при r = 0,87, есть n0,05 = 6, что
следует иметь в виду, если опыт планируется повторить.
188
Анализ криволинейных связей
В том случае, когда по правилам, изложенным в предыдущем параграфе, гипотеза линейности может быть отброшена или когда
при графическом изображении точек нелинейность явно просматривается «на глаз», есть смысл получить по экспериментальным
данным нелинейную (квадратичную или высших порядков) формулу парной зависимости. Следует только помнить, что речь идет о
зависимости, нелинейной по независимой переменной х. По параметрам зависимость остается линейной.
Определение параметров (постоянных) нелинейных уравнений
регрессии также основано на способе наименьших квадратов.
Технически наиболее просто проводятся вычисления по этому
способу, когда уравнение регрессии может быть представлено в
виде линейной связи относительно оцениваемых параметров. При
этом требуется решить систему из стольких уравнений, сколько
параметров входит в предполагаемое уравнение связи. В общем
случае способ получения отдельных уравнений такой системы состоит в том, что сначала отыскивается общий вид уравнений системы, для чего все члены исходного уравнения связи последовательно умножаются на коэффициенты при определенных параметрах, и в результате получается столько уравнений, сколько параметров содержит исходное уравнение. К примеру, в уравнении
параболы второго порядка общего вида ~y =a+bx+cx2 требуется
определить значения a, b, c. Коэффициенты при этих параметрах
соответственно равны 1, x и x2 . Умножая все члены исходного
уравнения на 1, получим вид первого уравнения системы, умножая на х – второго, на х2 – третьего:
у= a + bx + cx2 ,
yх =aх +bx2+ cx3 ,
yх2 = a х2+ bx3 + cx4 .
Если в каждое из этих уравнений последовательно подставить
все пары значений х и у и затем все полученные уравнения одного вида просуммировать, то получится система уравнений, решая
которую относительно a, b и c можно получить искомые оценки
по способу наименьших квадратов.
Так, если имеется n пар значений х и у , то первое уравнение
будет получено в результате суммирования:
y1 = a + bx1 + cx12
189
y2 = a + bx2 + cx22
…………………
уn = a + bxn + cxn2
________________
n
n
n 2
∑ y = na + b ∑ x + c ∑ x .
i =1 i
i =1 i i =1 i
Аналогичным образом можно получить и другие два уравнения, и тогда система уравнений примет вид:
n
n 2
n
 ∑ yi = na + b ∑ xi + c ∑ xi
i =1
i =1
i =1
n
n 2
n 3
n
 ∑ yi ⋅ xi = a ∑ xi + b ∑ xi + c ∑ xi
i =1
i =1
i =1
i =1
n
n
n 4
n
2
2
3
 ∑ yi ⋅ xi = a ∑ xi + b ∑ xi + c ∑ xi .
i =1
i =1
i =1
i =1
Легко убедиться, что такой же способ составления системы использован и в случае линейной регрессии.
Пример 1. Найти выборочное уравнение парной квадратичной
регрессии по данным n = 5 наблюдений:
X
1,7
3,4
4
4,1
5,3
y
25
34
57
82
98
Решение. При построении эмпирической линии регрессии
(рис.27, пунктирная линия) видно, что зависимость между функцией и аргументом близка к параболической, поэтому используем
общее уравнение параболы второго порядка.
100
80
60
40
20
2
3
4
5
6
Система уравнений в общем виде для этого случая нами уже
получена.
Методику расчета коэффициентов уравнения параболической
регрессионной зависимости приведем в табл. 12.
190
Таблица 12
№
x
у
1,7 25
1
3,4 34
2
57
4
3
4,1 82
4
5,3 98
5
Σ 18,5 296
Ху
42,5
115,6
228,0
336,2
519,4
1241,7
х2
2,89
11,56
16,00
10,81
28,09
75,35
х2у
72,25
393,04
912,00
1378,42
2752,12
5508,53
х3
4,91
39,30
64.00
68,92
148,88
326,01
х4
8,35
133,62
256,00
282,57
789,06
1469,60
Взятые из табл.12 значения сумм, подставляем в систему:
5,00a + 18,5b + 75,35c = 296,00

18,5a + 75,35b + 326,01c = 1241,70
 75,35a + 326,01b + 1469,60c = 5508,53.

Решая эту систему, найдем a = 22,856; b = -6,9576; c = 4,1200 и
соответственно уравнение регрессии вида:
у% = 22,8560 − 6,9576 ⋅ х + 4,1200 ⋅ х 2 .
Используя метод наименьших квадратов, можно построить
практически любые формы нелинейной парной связи. В табл.13
приведены часто встречающиеся парные зависимости и линеаризующие преобразования переменных. Качество предсказания результатов проверяют с помощью уравнения y ′ = b′ + b′ x′ . После
0
1
вычисления коэффициентов b0′ и b1′ по методу наименьших квадратов (как для парной линейной зависимости) выполняют обратные преобразования, т.е. по b′ и b′ определяют b0 и b1 в соответ0
1
ствии с указаниями табл. 12.
Вычисление оценок параметров уравнений регрессии обычно
представляет собой достаточно трудоемкую процедуру, особенно, если объем корреляционных рядов велик, а число параметров
в уравнении регрессии превышает два. Поэтому подбор функций
и расчет коэффициентов уравнений целесообразно осуществлять
с помощью статистических пакетов на компьютере.
191
Таблица 13
№
Функция
Линеаризующие преобразования
преобразова- выражения для велиние
чин
переменных
b0 и b1
b′
b′
у´
х´
y
1/x
b0
b1
1/y
x
b0
b1
x/y
x
b0
b1
lg y
x
lg b0 lg b1
ln y
x
ln b0
b1
–x
1/y
e
b0
b1
lg y
lg x
lg b0
b1
y
lg x
b0
b1
1/y
x
b1/ b0 1/ b0
1/y
1/x
b1/ b0 1/ b0
ln y
1/x
ln b0
b1
n
y
x
b0
b1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
y= bо + b1/x
y= 1/( bо + b1x)
y= x/( bо + b1x)
y= b0 · b1x
y = b0 e b1x
y=1/(b0+b1 e –x)
y = b0 x b1
y= b0 + b1 lg x
y= b0/(b1 + x)
y= b0 x/(b1 +x)
y = b0 e b1 / x
y= b0 + b1 xn
1
Корреляционная таблица
При больших объемах выборочных наблюдений прибегают к
построению корреляционных таблиц, или корреляционных решеток. В таких таблицах столбцы соответствуют отдельным классам
с серединами xi по признаку Х (i=1,2,…k, где k – число классов
по Х), а строки – классам с серединами yj по признаку Y (j=1,2,…
m, где m – число классов по Y). В каждую клетку, находящуюся
на пересечении отдельных столбцов и строк, вписываются частоты nij, показывающие, сколько раз встречаются значения признака Х, попадающие в класс xi, когда сопряженные значения второго признака принадлежат к классу yj .
Так, из корреляционной табл. 14 следует, что в результате проведения опроса число людей, тратящих на развлечения менее
10% дохода (х1 =5) и имеющие средний ежедневный доход менее
5 $ (у1 = 2,5) равняется трем (n11=3).
192
Таблица 14. Корреляционная таблица зависимости между процентом затрат на развлечения (х,%) от среднего ежедневного дохода (у,$)
35
X
45
55
65
75
ny
-
-
-
-
-
-
3
-
-
-
-
-
-
-
10
15
10
1
-
-
-
-
-
26
17,5
3
13
6
-
-
-
-
-
22
22,5
-
1
1
3
2
2
-
-
9
27,5
-
-
-
-
1
1
8
6
16
nх
31
24
8
3
3
3
8
6
n =86
yx
10,4
15,6
17,5
22,5
24,2
24,2
27,5
27,5
Y
5
15
25
2,5
3
-
7,5
10
12,5
При этом в 15 случаях был зафиксирован тот же процент затрат
на развлечения, но при среднем ежедневном доходе в пределах
10,0-14,9 $ (у3 = 12,5). Прочерк означает, что соответственная пара чисел, например, (15; 25) не наблюдалась.
В корреляционной таблице сумма частот по столбцам nx характеризует распределение частот одного признака (х), а сумма частот по строкам ny- распределение частот второго признака. Очевидно, что объемы выборок по обоим признакам Σ nx = Σ ny одинаковы и равны объему корреляционной таблицы n. В нашем
примере
Σ nx = 31 +24+8+3+3+3+8 +6= 86, и
Σ ny = 3+ 10 + 26+ 22 + 9 +6 = 86.
О наличии криволинейности можно судить по корреляционной
таблице, если принимать во внимание как размещение ненулевых
частот nху в ячейках таблицы, так и поведение значений этих частот. К примеру, из табл. 14 следует, что связь между факторами х
и у отчетливо криволинейна.
193
Выборочное корреляционное отношение
В случае, когда рассеяние точек на координатной плоскости или
распределение частот в корреляционной решетке указывает на нелинейную корреляцию, зависимость между признаками устанавливается с помощью корреляционного отношения. Свойства корреляционного отношения тождественны свойствам коэффициента корреляции. Корреляционное отношение - это отношение двух средних квадратических отклонений:
ηy =
σy
x
σy
.
Здесь
σ y = ∑ nx ( y x − y )2 / n ;
x
σ y = (∑ n y ( y − y )2 ) / n ,
где n - объем выборки (сумма всех частот); nx - частота значения х
признака Х; ny – частота значения у признака Y; у – общая средняя признака Y; ух - условная средняя признака Y.
Корреляционное отношение служит мерой тесноты связи любой, в том числе и линейной. Однако, оно не позволяет судить,
насколько близко расположены точки, найденные по данным наблюдений, к кривой определенного вида, например, к параболе,
гиперболе и т.д.
Ошибка корреляционного отношения определяется следующим
образом:
mη = (1 − η 2 ) / (n − 2) .
Критерий Стьюдента (критерий существенности) корреляционного отношения представляет собой отношение корреляционного
отношения к его ошибке:
t
= η / mη .
набл
Если tнабл > tкр(α, ν ), где α - уровень значимости, ν = n-2, то корреляционное отношение признается достоверным.
Пример 1. Рассмотрим зависимость между процентом затрат
на развлечения (х,%) от среднего ежедневного дохода (у,$) (см.
табл. 14).
194
Решение. Середина класса по у и частоты nx , ny используются
как исходные данные для расчета ηу .
Условные средниеух вычисляем путем определения групповых
средних в вертикальных столбцах корреляционной таблицы, например:
yx
1
= (2,5⋅3 + 7,5 ⋅10 + 12,5 ⋅ 15 + 17,5 ⋅3 )/31 = 10,4.
Пользуясь табл. 7.6, найдем общую среднюю:
y = (∑ n y ⋅ y ) / n = 1435 / 86 = 16,69 .
Корреляционное отношение определяем следующим образом:
ηy =
∑ nx ( y x − y ) 2
= 3348,94 / 4093,02 = 0,9 .
2
n
(
y
−
y
)
∑ y
Таблица 15 Вычисление корреляционного отношения ηу
у
ny
у·ny (у –у)2 ny ух
nx
(ух – у)2 nx
2,5
3
7,5
604,07
10,4
31
1226,49
7,5
10
75
844,56
15,6
24
28,51
12,5
26
325
456,46
17,5
8
5,25
17,5
22
385
14,43
22,5
3
101,27
22,5
9
202,5
303,80
24,2
3
169,20
27,5
16
440
1869,70
24,2
3
169,20
27,5
8
934,85
27,5
6
714,17
n=86 1435 4093,02
86
3348,94
Σ
Ошибку mη и критерий Стьюдента находим по формулам (6), (7):
mη = (1 − 0,92 ) / (86 − 2) = 0,0476 ,
tнабл = 0,9/0,0476 = 18,91.
Так как tнабл =18,91 >tкр = 2,64 при α = 0,01 для ν = 84, то значение
корреляционного отношения следует признать достоверным, а зависимость между процентом затрат на развлечения и средним доходом
доказанной.
195
Линейный множественный регрессионный анализ
Если при установлении зависимости между признаками используется больше одной независимой переменной, то применяют множественный регрессионный анализ. Например, многофакторную модель необходимо было бы построить в случае, если
требовалось бы определить зависимость потребления С от дохода
у, индекса стоимости жизни Р, наличных денег М и ликвидных
активов Z. Она бы в этом случае имела вид C = j ( y, P, M , Z ) .
Пусть исследуется зависимость случайной величины Y от переменных Xj (j=1,2,…k), рассматриваемых в регрессионном анализе как неслучайные величины независимо от истинного закона
распределения Xj. Обычно предполагается, что случайная величина Y имеет нормальный закон распределения с условным математическим ожиданием Y~ = ϕ( X X ,..., X ) , являющимся функцией от
аргументов xj , и с постоянной, не зависящей от аргументов, дисперсией σ2 .
Наиболее часто встречаются линейные уравнения регрессии
вида:
1,
2
k
Y% = β + β x + ... + β x ,
0 11
k k
линейные относительно неизвестных параметров βj (j = 0,1,…,
k) и аргументов xj. Результаты наблюдения ( xi1, xi 2 ,..., xik , yi ) , i = 1,
2, …, n представляются в виде yi = βo + β1 xi1 + …+βk xik +εi .
Включение в регрессионную модель новых независимых переменных усложняет получаемые формулы и вычисления. Это приводит к целесообразности использования матричных обозначений.
В матричной форме регрессионная модель имеет вид: Y = X⋅β +
ε,
где
1 x L x

11
1k 

 y1 
M
 
M
M 


y
 
Y =  2  ; X = 1 x L x  ;
i1
ik 

 M 
M
M 
M
y 
 n
1 x
L x 
n1
nk 

 β0 
 ε1 


 
 β1 
ε 
β = ; ε = 2 .
 M 
 M 
 β 
ε 
 n
 k
196
Здесь Y – случайный вектор-столбец наблюдаемых значений
результативного признака, X – матрица наблюдаемых значений
аргументов, β – вектор-столбец неизвестных, подлежащих оценке
параметров модели, ε – случайный вектор-столбец ошибок наблюдений.
На практике рекомендуется, чтобы число наблюдений n для
каждого из k факторов превышало k не менее, чем в три раза.
Требуется по данным наблюдений найти оценку уравнения
регрессии вида: ~у = b0 + b1x1 + b2 x2 + … + bk xk .
Эта задача решается методом наименьших квадратов. Вектор
оценок коэффициентов регрессии b получается по формуле:
b = (X т X)-1 X т Y ,
где
 b0 
 
b 
b= 1 ;
 M 
 b 
 k
Xт – транспонированная матрица Х; (Xт X)–1 – матри-
ца, обратная матрице X т X.
Так как матрица X т X симметрическая
 n


 n
 ∑ xi1
 i=1
т
X X = n
 ∑ xi 2
 i=1
 M

 n x
 ∑ ik
 i=1
n
∑ xi1
i=1
n 2
∑ xi1
i=1
n
L
∑ xi2
i=1
n
∑ xi1 ⋅ xi 2 L
i=1
n
n 2
L
∑ xi1 ⋅ xi 2 ∑ xi 2
i=1
i=1
M
M
n
n
∑ xi1 ⋅ xik ∑ xi 2 ⋅ xik L
i=1
i=1
n

∑ xik 
i=1

n

∑ xi1 ⋅ xik 
i=1

n
,
∑ xi2 ⋅ xik 
i=1
M
n 2
∑ xik
i=1






то достаточно указать только диагональные и наддиагональные
ее элементы.
Каждый коэффициент уравнения регрессии можно найти по
формуле
k
n
b
= ∑ a pj ⋅ ∑ yi ⋅ xij ,
( р−1) j =0
i=1
р = 1,2, …, k+1, xi0 = 1, i = 1, 2,..., n,
где aрj – элементы обратной матрицы (X т X)-1 .
197
Предположим, что ошибки наблюдений εi независимы, имеют
равные дисперсии и нормально распределены. В этом случае
можно проверить гипотезу Н0:β = 0 (β0 = β1 … = βк = 0). Эта гипотеза позволяет установить, значимо ли уравнение регрессии.
Статиcтикой критерия для проверки гипотезы Н0 является отно2 ,
2 = n ( y − y% )2 / (n − k − 1) ,
F
= S% 2% / S%ост
где
S%ост
шение
. ∑ i i
набл
y
i=1
n
S% 2% = ( ∑ y%i2 ) / ( k + 1) .
y i =1
По таблице П.7 F – распределения для заданных α, ν1 = k +1, ν2 =
n–k–1 находят Fкр. Гипотеза отклоняется с вероятностью α, если
Fнабл >Fкр. Из этого следует, что уравнение является значимым,
т.е. хотя бы один из коэффициентов регрессии отличен от нуля; в
противном случае следует считать, что взаимосвязи Y с переменными х1, х2, …, хk нет.
При использовании линейного уравнения регрессии для представления данных необходимо решить вопрос о целесообразности включения переменных xj в это уравнение. Для этого проверяются гипотезы H0(j) : βj =0, j=1,2,…k. Для проверки этих гипотез
используют критерий Стьюдента и вычисляют:
t
(b ) = b j / S% , j = 1, 2,...k ;
набл j
bj
погрешность коэффициента регрессии
2 ⋅a ,
S%
= S%ост
jj
b
( j −1)
где ajj – диагональный элемент матрицы (X т X)–1.
По таблице Стьюдента для заданного α, ν = n–k–1 находят tкр.
Гипотеза H0(j) отвергается с вероятностью ошибки α, если tнабл
>tкр. Из этого следует, что соответствующий коэффициент регрессии βj значим, т.е. βj ≠0 . В противном случае коэффициент
регрессии незначим и соответствующая переменная в модель не
включается. Тогда реализуется алгоритм пошагового регрессионного анализа, состоящий в том, что исключается одна из незначимых переменных, которой соответствует минимальное по абсолютной величине значение tнабл. После этого вновь проводят
регрессионный анализ с числом факторов уменьшенным на единицу. Алгоритм заканчивается получением уравнения регрессии
со значимыми коэффициентами.
198
Доверительный интервал для коэффициентов регрессии имеет
вид
b j − tкр ⋅ S% ≤ β j ≤ b j + tкр ⋅ S% , j = 1, 2, ... , k
b
b
j
j
где βj – значение для коэффициентов регрессии в генеральной совокупности.
Очевидно, гипотезы H0(j) могут быть проверены непосредственно по доверительным интервалам для параметров β1, β2,…βk: если
доверительный интервал для βj , j = 1, 2, …k накрывает нуль, то
гипотеза H0(j): βj =0 принимается. В противном случае H0(j) отклоняется.
Множественный корреляционный анализ
Множественный корреляционный анализ является одним из
методов статистического анализа взаимосвязи нескольких признаков. Он применяется тогда, когда данные наблюдений можно
считать случайными и выбранными из генеральной совокупности, распределенной по многомерному нормальному закону.
Исходной для анализа является матрица
 х11

х
 21
 M

х
 n1
х
L
12
х
L
22
M
х
L
n2
х
1k
х
1k
M






х 
nk 
размерностью (n×k), которая представляет собой n наблюдений
для каждого из k факторов.
Сначала находят парные коэффициенты корреляции, характеризующие тесноту линейной зависимости между двумя переменными на фоне действия всех остальных показателей, входящих в
модель. Они, как указывалось выше, изменяются в пределах от –1
до +1, причем чем ближе коэффициент корреляции к ±1, тем
сильнее зависимость между переменными.
Коэффициент парной корреляции вычисляют по формуле
1 n
∑ ( x − x j ) ⋅ ( xil − xl )
n i =1 ij
r =
; j, l = 0,1,..., k ,
jl
s j ⋅s
l
199
n
n
Где x j = 1 ∑ xij , s j = 1 ∑ ( xij − x j )2 .
n i=1
n i=1
Здесь rjl – коэффициент корреляции между одним из факторов
xj и фактором xl (j, l = 1, 2, … ,k), rol – коэффициент корреляции
между результативным признаком y и одним из факторов xl.
Если один из коэффициентов rjl (j, l = 1,2, …, k) окажется близким
к ±1 (обычно это считают, если | r jl |> 0,9 ), то это означает, что
факторы xj и xl функционально (не вероятностно) связаны между
собой и тогда целесообразно один из них исключить из рассмотрения, причем оставляют тот фактор, у которого коэффициент r0i
больше.
После вычисления всех парных коэффициентов корреляции и
исключения из рассмотрения того или иного фактора можно построить корреляционную матрицу:
 1

 r10

R =  r20

 M
 r
 k0
r r Lr 
0k 
01 02
1 r Lr 
12
1k 
r
21 1 L r2k  .

M M L M 
r r L 1 
k1 k 2

Матрица R является симметрической и положительно определенной.
Используя корреляционную матрицу, можно вычислить частные коэффициенты корреляции, которые характеризуют тесноту
линейной зависимости между двумя переменными при исключении влияния всех остальных показателей, входящих в модель.
Например, частный коэффициент корреляции (k–1)-го порядка
между y и х1 равен:
R
01
r
=−
01/2,3,...,k
R ⋅R
00 11
,
где Rjl – алгебраическое дополнение элемента rjl корреляционной
матрицы R.
Для изучения тесноты связи между результативным признаком
y и несколькими факторами х1, х2, …, хk используют множественный коэффициент корреляции r0. Множественный коэффициент
корреляции характеризует тесноту связи между одной результа200
тивной переменной и остальными, входящими в модель; r0 всегда
положителен и изменяется от 0 до 1. Множественный коэффициент корреляции также служит и для оценки качества предсказания. Чем больше r0, тем лучше качество предсказаний данной
моделью опытных данных. Квадрат множественного коэффициента корреляции называется множественным коэффициентом детерминации. Он характеризует долю дисперсии, результативной
переменной, обусловленной влиянием факторов, входящих в модель.
Множественный коэффициент корреляции определяется по формуле:
R
r = 1−
0
R
00
,
где |R| – определитель матрицы R; r0 можно также найти по формуле
2 / s2
r = 1 − s%ост
y
0
или вычислить величину
n
2
∑ ( yi − y%i )
r ′ = 1 − i =n1
,
2
∑ ( y − y)
i=1 i
связанную с r0 соотношением
n −1 
r = 1−
1 − (r ′)2  .

0


n − k −1
Значимость частных и парных коэффициентов корреляции проверяется по t-критерию Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия находится по формуле:
r
t
=
n−l −2 ,
набл
1− r2
где r – соответственно оценка частного или парного коэффициента корреляции; l – порядок коэффициента корреляции, т.е. число
фиксируемых факторов. Если |tнабл|>tкр, то проверяемый коэффициент корреляции считается значимым, т.е. гипотеза Н0: ρ = 0 отвергается с вероятностью ошибки α. Здесь tкр определяется по
таблице t-распределения для заданного α и ν =n–l–2.
Значимость множественного коэффициента корреляции проверяется по t-критерию Стьюдента:
t
= r / S% ≥ t (α , n − k − 1) ,
набл о rо кр
201
где S~r – среднеквадратическая погрешность множественного коэффициента корреляции,
S%r = (1 − r 2 ) / n − k − 1 ;
0
o
значимость ro можно проверить также и по F-критерию Фишера
0
r 2 (n − k − 1)
F
= 0
.
набл
(1 − r 2 ) ⋅ k
0
Множественный коэффициент корреляции считается значимым, т.е. имеет место линейная статистическая зависимость между результативным признаком y и факторами х 1 , х 2 , …, х k , если Fнабл > Fкр (α, k, n-k-1), где Fкр определяется по таблице Fраспределения для заданных α, ν1= k, ν2 =n-k-1.
Пример 1. Изучается влияние стоимости основных фондов х1
(млн. руб.) и оборотных средств х2 (тыс. руб.) на величину валового дохода y (тыс. руб.) торговых предприятий. Для этого по
шести торговым предприятиям были получены данные, приведенные в табл. 16.
Таблица 16 Исходная информация для анализа и результаты расчета
№ хi1 хi2
yi
xi12
xi22
xi1⋅ хi2 xi1⋅ yi xi2⋅ yi
1 14,5 82 300 210,25 6724
1189
4350 24600
2 15,0 95 350 225
9025
1425
5250 33250
3 15,6 105 370 243,36 11025 1638
5772 38850
4 17,2 120 420 295,84 14400 2064
7224 50400
5 18,5 130 450 342,25 16900 2405
8325 58500
6 19,3 140 500 372,49 19600 2702
9650 70000
∑ 100,1 672 2390 1689,19 77674 11423 40571 27500
Решение. Определим вектор оценок коэффициентов регрессии
уравнения
y% = b + b x + b x .
0 11 2 2
Согласно методу наименьших квадратов, вектор b получается
из выражения b = (X T X) -1 X T Y, где
202
 х х 
1 11 12 
1 х х 
21 22  ,
Х =
M M M 


1 х х 
61 62 

 y1 
 
y 
Y =  2 ,
 M 
 
y 
 6
b 
 0
b =  b ;
 1
b 
 2
ХТ – транспонированная матрица Х; (ХТХ)–1 – матрица, обратная
матрице ХТХ.
Из табл. 17 находим диагональные и наддиагональные элементы матрицы

 6

 6
XTX =  ∑ x
 i=1 i1

 6
 ∑ xi 2
 i =1
6
∑ xi1
i =1
6
∑ xi21
i =1
6
∑ xi1 ⋅ xi 2
i=1
6

∑ xi 2 
i=1

100,1
672 
  6
6


∑ xi1 ⋅ xi 2  = 100,1 1689,19 11423 
 
i=1
11423 77674 
  672
6

∑ xi22 
i=1

и вектор
 6

 ∑ yi 
 i=1

 6
  2390 


X T Y =  ∑ x yi  =  40571  .
 i =1 i1  

  275600 
6


 ∑ xi 2 yi 
 i =1

Найдем определитель матрицы Х ТХ:
6
100,1
672
1689,19 11423
100,1 11423
T
X X = 100,1 1689,19 11423 = 6 ⋅
−100,1⋅
+
11423 77674
672 77674
672 11423 77674
+672 ⋅
100,1 1689,19
= 4327290,36 − 9901031,14 + 5582048,64 = 8307,86.
672 11423
Для нахождения обратной матрицы (ХТХ)–1 необходимо составить присоединенную матрицу С, элементами которой служат ал203
гебраические дополнения к элементам матрицы ХТХ. Найдем
элементы матрицы С:
1686,19 11423
с =
= 721215, 06;
11 11423 77674
100,1 11423
с =−
= −98911, 4;
12
672 77674
100,1 1689,19
с =
= 8306,62;
13 672 11423
6
672
с =
= 14460;
22 672 77674
6 100,1
с =−
= −1270,8;
23
672 11423
6
10,1
= 115,13.
с =
33 100,1 1689,19
Следовательно, матрица С имеет вид
 721215,06

С =  −98911, 4
 8306,62

−98911, 4 8306,62 
14460
−1270,8

−1270,8 
115,13 
Так как эта матрица симметрическая, то СТ =С. Находим обратную матрицу:
( Х Т Х )−1 = А =
 721215,06 −98911,4 +8306,62 


1
1
⋅C =
⋅  −98911,4
14460
−1270,8  ≈
8307,86 
XT X
115,13 
 +8306,62 −1270,8
 86,81117 −11,90576 0,99985 


≈  −11,90576 1,74052 −0,15296 .
 0,99985
−0,15296 0,01386 

Отсюда вектор оценок равен
b 
 0
1
=
b =  b  = ( X T X )−1 ⋅ X T Y = C ⋅ X T Y ⋅
 1
T
X X
b 
 2
204
 721215, 06

=  −98911, 4
 +8306,62

−98911, 4 +8306,62   2390 
 

14460
−1270,8  ⋅  40571  ⋅
1
=
8307,86
−1270,8
115,13   275600 
 721215, 06 ⋅ 2390 − 98911, 4 ⋅ 40571 + 8306,62 ⋅ 275600 


1
−98911, 4 ⋅ 2390 + 14460 ⋅ 40571 − 1270,8 ⋅ 275600  ⋅
=
8307,86
 +8306,62 ⋅ 2390 − 1270,8 ⋅ 40571 + 115,13 ⋅ 275600 


=
 74055,6 
 8,912 




1
=  25934  ⋅
=  3,122  .
 25022, 2  8307,86  3,012 




Следовательно, оценка уравнения регрессии имеет вид:
y% = 8,912 + 3,122 x + 3,012 x .
1
2
Затем находим теоретические значения ~yi . Для этого подставляем
в формулу экспериментальные данные по х1 и х2 и заносим в
табл. 17 для расчета F-критерия Фишера.
Таблица 17 Расчета данных для F-критерия Фишера
yi
300
350
370
420
450
500
~
yi
301,165
341,882
373,875
424,05
458,229
490,847
~
yi2
yi − ~
yi
90700,357
116883,302
139782,516
179818,403
209973,816
240930,385
∑=978088,779
-1,165
8,118
–3,875
–4,05
–8,229
9,153
( yi − ~
yi ) 2
1,357
65,902
15,016
16,403
67,716
83,777
∑=250,171
Проверяем на уровне значимости α=0,05 значимость уравнения
регрессии, т.е. гипотезу Н0: β =0 (β0=β1=β2=0). Для этого вычисляем
n
( ∑ y%i2 ) / (k + 1)
978088,779 / 3
F
= n i=1
=
= 3909,681.
набл
250,171/ 3
( ∑ ( yi − y%i )2 / (n − k − 1)
i=1
По таблице F-распределения для α=0,1, ν1=3 и ν2=3 находим
Fкр=29,46.
Так как Fнабл>Fкр, то гипотеза отвергается с вероятностью
ошибки 0,05. Таким образом, уравнение регрессии является зна205
чимым, т.е. хотя бы один из коэффициентов регрессии отличен от
нуля.
Перед проверкой значимости отдельных коэффициентов регрессии найдем погрешности коэффициентов регрессии:
2 ⋅ a = 83,39 ⋅1,74052 = 12,048,
S% = S%ост
22
b
1
2 ⋅ a = 83,39 ⋅ 0,01386 = 1, 075.
S% = S%ост
33
b
2
Для проверки значимости отдельных коэффициентов регрессии, т.е. гипотез Н0(j): βj=0, j=1,2, находим по таблице tраспределения для α=0,1, ν=3 критическое значение tкр=2,35.
Вычисляем tнабл для каждого из коэффициентов регрессии по
формуле
t
(b ) = b j / S% , j = 1,2 .
набл j
bj
Подставляя данные, получаем:
3,122
t
(b ) =
= 0, 259;
набл 1 12,048
3, 012
(b ) =
= 2,802.
t
набл 2 1, 075
Так как tнабл(b2) > t кр , то коэффициент регрессии β2 значимо отличается от нуля.
Для коэффициента β1 выполняется неравенство tнабл (b1) < tкр,
поэтому данный коэффициент можно считать равным нулю и в
модель не включать. Необходимо перейти к алгоритму пошагового регрессионного анализа, проведя регрессионный анализ с числом факторов, уменьшенных на единицу. Алгоритм заканчивается получением уравнения регрессии со значимыми коэффициентами.
Регрессионный анализ в пакете STADIA
Пример 1. Установим зависимость между процентом расходов
на рекламу (х, %) количеством продаж товара (y, тыс. шт.) и вы206
числим оценки параметров в модели простой линейной регрессии
по следующим исходным данным:
х
33
36
17
41
28
27
20
32
y
3,5
3,5
1,6
4,4
2,1
2,6
1,9
4,2
x
31
37
26,1
16
19
40
31,5
26
y
3,3
4,6
3
2,1
2,1
4
4,1
4,1
x
23
32,5
25
24
21
29
35
15
y
3,1
3,6
2,5
2,4
1,7
3
4,5
2
Подготовка данных. Введем в электронную таблицу пакета
исходные данные в переменные х и у.
Сначала построим график нашей экспериментальной зависимости (рис. 28). Для этого нужно нажать клавишу F6 (или же выполнить пункт «График» в верхней командной линейке), что
приводит к вызову головного меню выбора типа графика данных.
В этом меню следует выбрать тип графика: функциональный.
Бланки выбора переменных. В появившемся бланке выбора
переменных следует сначала выделить с помощью мыши переменную х в качестве Х-переменной в поле Переменные и нажать
соответствующую кнопку со стрелкой вправо. Потом то же самое
проделать с переменной у в качестве Y-переменной.
После завершения выбора переменных следует нажать кнопку
«Утвердить» (дублируется клавишей Enter).
Рис. 28 Изменение количества продаж товара
от затрат на его рекламу
Как легко заметить, в зависимости между количеством продаж
товара и затратами на ее рекламу преобладает линейно возрас207
тающая тенденция, поэтому естественным представляется описание этих данных линейной регрессионной моделью. После этого
перейдем собственно к регрессионному анализу.
Выбор процедуры. В меню Статистические методы в разделе Регрессионный анализ выберите пункт L= Простая регрессия/Тренд.
Заполнение полей ввода данных. В появившемся на экране запросе Переменные регрессии вначале выделите с помощью мыши
переменную х в качестве Y-переменной и нажмите соответствующую кнопку со стрелкой вправо, затем – переменную у в качестве
Х-переменной. После нажатия кнопки запроса Утвердить программа выдает меню моделей регрессии. Выберите в нем пункт 1=
линейная или просто нажмите цифру 1.
Результаты. Экран вывода результатов процедуры (рис. 29)
содержит три блока информации. В первом из них представлены
оценки коэффициентов модели, их стандартные ошибки и уровни
значимости t-отношений для проверки гипотез об отличии соответствующих коэффициентов от нуля. Второй блок информации
содержит базовую таблицу дисперсионного анализа. Третий блок
информации содержит абсолютную величину коэффициента
множественной корреляции R, коэффициент детерминации R^2,
несмещенную оценку коэффициента детерминации R^2прив, а
также F-отношение и его уровень значимости для проверки гипотезы о соответствии выбранной модели наблюденным данным.
Сравнивая полученный уровень значимости с пятипроцентным,
процедура делает заключение об адекватности модели.
Далее процедура предлагает построить график экспериментальных точек и регрессионной кривой (рис. 30).
208
ПРОСТАЯ РЕГРЕССИЯ. Файл:
Переменные: x, y
Модель: линейная Y = a0+a1*x
Коэфф.
a0
a1
Значение
0,01053 0,1107
Ст.ошиб.
0,4143
0,01446
Значим.
0,9781
0
Источник Сум.квадр. Степ.св Средн.квадр.
Регресс.
15,63
1
15,63
Остаточн
5,865
22
0,2666
Вся
21,5
23
Множеств R
R^2
R^2прив
Ст.ошиб.
F
Значим
0,85277
0,72722 0,71482
0,51631
58,65
0
Гипотеза 1: <Регрессионная модель адекватна экспериментальным данным>
Рис. 7.6. Результаты расчетов процедуры простой линейной
регрессии
Рис. 29 График экспериментальных точек и регрессионной кривой
с зоной доверительного интервала
Xэкcп Yэксп
33
3,5
36
3,5
17
1,6
41
4,4
28
2,1
27
2,6
20
1,9
32
4,2
31
3,3
37
4,6
26,1 3
16
2,1
19
2,1
Yрегр
3,665
3,997
1,893
4,551
3,111
3
2,225
3,554
3,443
4,108
2,901
1,782
2,114
остаток Ст.остат
–0,1647 –0,3261
–0,4969 –0,9839
–0,293 –0,5802
–0,1505 –0,2981
–1,011 –2,002
–0,4003 –0,7927
–0,3252 –0,6439
0,6461 1,279
–0,1432 –0,2836
0,4924 0,9752
0,09939 0,1968
0,3178 0,6293
–0,01442 –0,02856
209
Ст.ошиб
0,5325
0,5404
0,5493
0,5609
0,527
0,5271
0,5386
0,5306
0,5291
0,5438
0,5275
0,5535
0,5418
Довер.инт
1,091
1,107
1,125
1,149
1,079
1,08
1,103
1,087
1,084
1,114
1,08
1,134
1,11
40
31,5
26
23
32,5
25
24
21
29
35
15
4
4,1
4,1
3,1
3,6
2,5
2,4
1,7
3
4,5
2
4,44 –0,4398 –0,8709
0,5561
3,499 0,6014 1,191
0,5298
2,89
1,212,397 0,5275
1,081
2,557 0,5427 1,075
0,5313
3,609 –0,009292 –0,0184 0,5315
2,779 –0,2788 –0,5521
0,5284
2,668 –0,2681 –0,5309
0,5297
2,336 –0,6359 1,259
0,5358
3,222 –0,2217 –0,4391
0,5273
3,886
0,6139 1,216
0,5374
1,671 0,3285
0,6505
0,5581
Рис. 30 Результаты анализа остатков
1,139
1,085
1,088
1,089
1,082
1,085
1,098
1,08
1,101
1,143
Дополнительные возможности. Затем пользователю предлагается меню дополнительных возможностей. Результаты расчетов
процедуры 1= Анализ остатков представлены на рис. 30.
Рис. 31 Регрессионные остатки
Кроме значений экспериментальных данных они содержат подобранные значения, а также стандартные ошибки остатков и доверительные интервалы для них (в виде допустимого отклонения
для 95% уровня доверия).Процедура также позволяет вывести
график остатков (рис. 31) и сохранить остатки в отдельной переменной базы данных пакета.
Обсуждение результатов. Как следует из числовых результатов, линейная модель адекватна экспериментальным данным
(значимость нулевой гипотезы близка к нулю), на регрессионном
графике (рис. 29) экспериментальные точки не выходят за доверительный интервал, а распределение остатков (рис. 31) достаточно однородно, что дополнительно подтверждает адекватность
модели.
210
Множественная линейная регрессия в пакете STADIA
Пример 1. По данным, представляющим собой среднегодовые
показатели деятельности крупнейших компаний США в 1998 г.
провести регрессионный анализ зависимости чистого дохода у
(млрд. долл.) от оборотного капитала х1 (млрд. долл. в месяц) и
численности служащих х2 (тыс. чел.); предсказать два значения
отклика для х1= 0,5, х2= 32 и х1= 0,8, х2 = 70 и выполнить анализ
остатков с построением графиков распределения.
Таблица 18
Оборотный капиЧисленность слуЧистый доход у
тал х1 (млрд. долл.) жащих х2 (тыс. чел.);
(млрд. долл.)
0,61
44
4,5
0,77
46
4,3
0,51
50
4,8
0,56
51
5,4
0,59
48
6,5
0,76
53
7,1
0,87
66
7,4
0,71
63
6,7
0,78
64
7,3
Бланк выбора переменных для анализа, выдачи результатов и
диалог имеют стандартный вид для случая многопараметрической модели.
Результаты: МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ.
Файл:
Коэфф.
a0
a1
a2
Значение
-0,772
1,03
0,113
Ст.ошиб.
2,05
3,15
0,046
Значим.
0,718
0,751
0,0489
Источник
Сум.квадр.
Степ.св
Средн.квадр.
Регресс.
8,27
2
4,14
Остаточн
4,27
6
0,711
Вся
12,5
8
Множеств R R^2 R^2привСт.ошиб.F Значим
0,81227
0,659770,546370,843255,820,0394
211
Гипотеза 1: <Регрессионная модель адекватна экспериментальным данным>
x1=0,5, x2=32, Y=3,35
x1=0,8, x2=70, Y=7,93
Xэкcп
0,61
0,77
0,51
0,56
0,59
0,76
0,87
0,71
0,78
Yэксп
4,5
4,3
4,8
5,4
6,5
7,1
7,4
6,7
7,3
Yрегр
4,81
5,2
5,38
5,55
5,24
5,98
7,55
7,05
7,24
остаток
-0,31
-0,9
-0,582
-0,146
1,26
1,12
-0,155
-0,352
0,0633
Ст.остат
-0,425
-1,23
-0,797
-0,201
1,73
1,54
-0,212
-0,482
0,0867
Ст.ошиб
0,84
0,846
0,914
0,87
0,851
0,841
0,925
0,825
0,851
Довер.инт
2,04
2,05
2,22
2,11
2,07
2,04
2,25
2
2,07
Рис.32 Регрессионные (круги) и экспериментальные (квадраты)
значения от независимой х1
Как можно заметить, построенная линейная модель адекватна
экспериментальным данным, однако распределение остатков выявляет некоторую неравномерность и зависимость.
212
ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ
Задание № 1
Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того,
что
а) сумма числа очков не превосходит N;
б) произведение числа очков не превосходит N;
в) произведение числа очков делится на N.
Вари
1 1 1 1 1 1
ант 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5
N
3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5 6 7
Вари
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
ант
6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
1 1 1 1 1 1 1
1
3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6
8
Задание № 2
В ремонтной мастерской имеются (N+K) мастеров, из которых
N высшей категории и K первой. Для выполнения задания случайно отобрали (n+k) мастеров. Какая вероятность, что среди них n
высшей категории и k первой?
Вари- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ант
N
8 5 6 5 8 9 9 7 5 6 6 8 7 8 6
K
5 3 4 2 6 5 7 6 3 4 5 6 5 3 5
N
4 2 3 3 5 4 5 3 2 3 4 4 5 3 3
K
3 1 2 1 4 3 2 1 1 2 2 1 3 1 2
Вари- 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
ант
N
6 7 9 8 9 5 6 8 7 8 9 6 8 9 6
K
3 4 6 5 7 4 3 2 3 4 6 5 7 5 3
N
2 4 5 5 4 2 3 5 3 4 5 4 6 3 2
K
1 3 4 3 3 1 2 1 2 3 4 3 5 2 1
Задание № 3
1. Имеются 5 акций предприятия А, 7 – предприятия В и 3 – предприятия С. Вероятность повышения акции А равна 0,7, для В – 0,5,
N
213
для С – 0,8. Какая вероятность, что случайно выбранная акция повысится в цене?
2. Набирая номер телефона, абонент забыл последим три цифры, помня лишь, что эта цифры различны, набрал их наудачу.
Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
3. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция
первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом,
второго – 10% и третьего – 5%. Какова вероятность приобрести
исправный телевизор, если в магазин поступило 30 % телевизоров с первого завода, 20 % – со второго и 50 % – с третьего?
4. В фирме работают 6 мужчин н 4 женщины. По табельным
номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того,
что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.
5. В группе 12 студентов, среда которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что
среди отобранных студентов 5 отличников.
6. Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5
женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из
присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран,
найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 1
мужчина.
7. На полке расставляют наудачу 7 книг. Найти вероятность того, что 2 определенные книги окажутся рядом.
8. Бросают 3 игральные кости. Найти вероятность того, что на
всех выпадет одинаковое число очков.
9. Группа из 10 мужчин н 10 женщин делятся случайным образом на две равные части. Найти вероятность того, что в каждой
части мужчин и женщин одинаково.
10. В комнате 15 мест. Найти вероятность того, что из 10 человек 5
займут определенные места, если места занимаются ими случайным
образом.
11. Для производственной практики на 30 студентов предоставлено 15 мест в Рязани, 8 – в Тамбове и 7 – в Воронеже. Какова вероятность того, что два определенных студента попадут на практику в один город?
12. В партии из 10 изделий имеется 4 бракованных. Наугад выбирают 5 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 5
изделий окажется 3 бракованных.
13. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель
для парного стрелка равна 0,75; для второго - 0,8; для третьего 214
0,9. Найти вероятность того, что: а) все три стрелка попадут в
цель; б) только одни стрелок попадет в цель.
14. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель
для первого стрелка равна 0,75; для второго - 0,8; для третьего 0,9. Найти вероятность того, что: а) все трое промахнутся; б) хотя
бы один стрелок попадет в цель.
15. В первом ящике 6 белых и 4 черных шара, во втором - 7 белых и 3 черных. Из каждого ящика наугад вынимают по одному
шару. Чему равна вероятность того, что вынутые шары разного
цвета?
16. На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность
того, что деталь стандартная, для первого станка равна 0,8, для второго – 0,9. Производительность второго станка втрое больше, чем
первого. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной.
17. Три стрелка, вероятности попадания для которых при одном
выстреле в мишень соответственно равны 0,8; 0,7 и 0,6, делают
по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишени окажется ровно две пробоины?
18. На пяти карточках написано по одной цифре из набора:
1,2,3,4,5. Наугад выбирают одну за другой две карточки. Какова
вероятность того, что число на второй карточке будет больше, чем
на первой?
19. Из коробки, в которой 20 деталей без дефектов в 5 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность того, что по
крайней мере одна деталь без дефекта?
20. Слово «карета», составленное из букв-кубиков, рассыпано на
отдельные буквы, которые затем сложены в коробке. Из коробки
наугад извлекают буквы одну за другой. Какова вероятность получить при таком извлечении слово «ракета»?
21. Производится стрельба по мишени. Вероятность попадания
при одном выстреле 0,7. Найти вероятность того, что по мишени
будет произведено не менее трех выстрелов, если после первого
попадания стрельба прекращается.
22. В гостинице имеется 7 свободных номеров. В нее собирается
поселиться 2 человека. Какая вероятность, что они будут жить в
соседних номерах, если их номера выбираются случайно.
23. Ящик содержит 10 деталей, среди которых 3 стандартных.
Найти вероятность того, что из наудачу отобранных 5 деталей
окажется не более одной стандартной.
215
24. Брошены два одинаковых игральных кубика. Найти вероятность того, что цифра 6 появится хотя бы на одной грани.
25. Для поражения цели достаточно попадания хотя бы одного
снаряда. Произведено два залпа из двух орудий. Найти вероятность поражения цели, если вероятность попадания в цель при
одном выстреле из первого орудия равна 0,3, а из второго - 0,4.
26. В урне лежит 12 белых и 8 красных шаров. Вынули 8 шаров.
Какова вероятность того, что три из них красные?
27. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму для
лыжника - 0,9; для велосипедиста - 0,8; для бегуна - 0,75. Найти
вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит
норму .
28. В группе стрелков шесть отличных, девять хороших, восемь
посредственных и два плохих. Вероятности попадания в цель для
них соответственно равны: 0,9; 0,8; 0,5; 0,1. Наугад из группы вызывается один стрелок. Найти вероятность того, что он попадет в
цель.
29. Телевизор может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0,25; 0,5; 0,25. Вероятности того, что телевизор проработает гарантийный срок без поломок, для этих партий равны
соответственно 0,1; 0,2 и 0,4. Определить вероятность того, что
случайно выбранный телевизор проработает гарантийный срок.
30. В экономическом отделе фирмы 7 менеджеров и 5 финансистов. Для выполнения задания были отобраны 4 человека. Какая
вероятность, что среди них 3 менеджера?
Задание № 4
1. 30 % изделий предприятий – продукция высшего сорта. Покупатель приобрел 5 изделий. Найти вероятность того, что не менее двух изделий высшего сорта.
2. Вероятность увеличения курса акции равна 0,7. Какая вероятность, что из 6 приобретенных различных акций более 4 повысятся в цене.
3. Вероятность, что посетитель магазина уйдет без покупки
равна 0,3. Какая вероятность, что из 5 посетителей хотя бы 3 чтолибо купят.
4. Вероятность, что купленная акция принесет в течение полугода дивиденды, равна 0,6. Какова вероятность того, что из приобретенных 6 различные акции хотя бы 4 принесут дивиденды.
216
5. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что «герб»
выпадет: а) менее 2 раз; б) не менее 2 раз.
6. Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее
2 раз в 4 независимых испытаниях, если вероятность наступления
события А в одном испытании равна 0,6.
7. Событие В произойдет в случае, если событие А наступит не
менее 4 раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено 5 независимых испытаний, в каждом из которых
вероятность наступления события А равна 0,8.
8. Вероятность наступления события хотя бы один раз при трех
испытаниях равна 0,936. Найти вероятность наступления события
А при одном испытании.
9. Вероятность поражения цели хотя бы одной пулей при 4 независимых выстрелах равна 0,39. Какова вероятность поражения
цели при одном выстреле?
10. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вытаскивается последовательно 4 шара, причем каждый вынутый шар вновь возвращается в
урну. Найти вероятность того, что среди 4 вынутых шаров не менее
3 белых.
11. Пусть вероятность того, что наудачу взятая деталь нестандартная, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди взятых
наудачу 5 деталей не более 2-х нестандартных. '
12. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в
течение гарантийного срока из 6 телевизоров не более одного потребует ремонта.
13. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,3. Найти вероятность того, что в
течение гарантийного срока из 4 телевизоров хотя бы один не потребует ремонта.
14. Вероятность выиграть по лотерейному билету равна 1/7. Найти вероятность выиграть не менее чем по двум билетам из шести.
15. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Найти вероятность разрушения объекта, если для этого необходимо
не менее трех попаданий, а сделано 15 выстрелов.
16. Найти вероятность того, что в семье, имеющей 6 детей, не
менее двух девочек. Предполагается, что вероятности рождения
мальчика и девочки одинаковые.
217
17. Вероятность появления события А при одном испытании
равна 0,1. Найти вероятность того, что при трех независимых испытаниях оно появится: 1) не менее двух раз; 2) хотя бы один раз.
18. Игральную кость подбрасывают 3 раза. Найти вероятность
того, что дважды появится число очков, кратное трем.
19. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность двух промахов при трех
выстрелах, если при каждом выстреле вероятность поражения цели
одна и та же.
20. Событие В появится в случае, если событие А появится не
менее четырех раз. Найти вероятность того, что наступит событие В, если будет произведено пять независимых испытаний, в
каждом из которых вероятность появления события А равна 0,5.
21. Случайно встреченное лицо может оказаться, с вероятностью
р=0,2 брюнетом, с р=0,3 блондином, с р=0,4 шатеном, и с р=0,1
рыжим. Какова вероятность того, что среди трех случайно встреченных лиц: 1) не менее двух брюнетов; 2) один блондин и два
шатена; 3) хотя бы один рыжий?
22. В цехе имеется 6 моторов. Для каждого мотора вероятность
того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включено менее 5 моторов.
23. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах
равна 0,99. Найти вероятность трех попаданий при четырех выстрелах.
24. В квартире четыре электролампочки. Для каждой лампочки
вероятность того, что она останется неисправной в течение года,
равна 5/6. Какова вероятность того, что в течение года придется
заменить не менее половины лампочек?
25. В ящике имеется по одинаковому числу деталей, изготовленных заводами № 1 и № 2. Найти вероятность того, что среди пяти
наудачу отобранных деталей изготовлены заводом № 1: а) не менее двух деталей; б) более трех деталей.
26. В ящике имеется по одинаковому числу деталей, изготовленных заводами № 1 и № 2. Найти вероятность того, что среди шести наудачу отобранных деталей изготовлены заводом № 1: а) две
детали; б) менее двух деталей.
27. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в
течение гарантийного срока, равна 0,3. Найти вероятность того,
что в течение гарантийного срока из трех телевизоров: а) не бо218
лее одного потребует ремонта; б) хотя бы один не потребует ремонта.
28. В ящике лежат несколько тысяч одинаковых предохранителей. Половина из них изготовлена I заводом, остальные - II заводом. Наудачу вынули пять предохранителей. Чему равна вероятность того, что I заводом из них изготовлены: 1) два предохранителя; 2) менее двух предохранителей; 3) более двух предохранителей?
29. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1. Найти
вероятность того, что: а) из трех проверенных изделий только одно
нестандартное; б) нестандартным будет только третье по порядку
проверенное изделие.
30. Вероятность возврата купленного изделия равна 0,1. Какая
вероятность, что из 8 проданных изделий: а) ни одно не вернут;
б) вернут не более 2 изделий?
Задание № 5
1. Вероятность, что посетитель магазина что-либо купит равно
0,4. Какая вероятность, что из 120 посетителей с покупками уйдут 50?
2. Вероятность возврата товара в магазине равна 0,03. Какая вероятность, что из 120 купленных товаров вернут не более 3.
3. Вероятность наступления события в каждом из независимых
испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие наступит 60 раз в 100 испытаниях.
4. Вероятность наступления события в каждом из независимых
испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие произойдет не менее 20 и не более 30 раз.
5. Вероятность наступления события в каждом из независимых
испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что событие произойдет 12 раз в 100 испытаниях.
6. Вероятность рождения мальчика равна 0,53. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.
7. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна
0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.
8. Вероятность того, что деталь не прошла проверку качества,
равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей не пройдут проверку от 70 до 100.
219
9. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Найти
вероятность того, что в течение 1 минуты обрыв произойдет не
более, чем на 3 веретенах.
10. Найти вероятность того, что в партии из 800 изделий, число
изделий высшего сорта заключено между 600 и 700, если вероятность того, что отдельное изделие окажется высшего сорта, равна
0,62.
11. Вероятность неточной сборки прибора равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 500 приборов окажется от 410 до 430
(включительно) годных.
12. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах
стрелок поразит мишень ровно 75 раз.
13. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь
41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 750 покупателей не более 120 потребуют обувь этого размера.
14. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти
вероятность того, что из 800 посеянных семян взойдет не менее
700.
15. Игральную кость подбрасывают 500 раз. Какова вероятность
того, что цифра 1 при этом выпадет 50 раз?
16. Коммутатор обслуживает 100 абонентов. Вероятность того,
что в течение 1 минуты абонент позвонит на коммутатор, равна
0,02. Найти вероятность того, что в течение 1 минуты на коммутатор позвонят не менее 2 абонентов.
17. Найти вероятность того, что при 100 независимых испытаниях событие наступит ровно 12 раз, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.
18. Какова вероятность выиграть у равносильного противника 24
партии из 40?
19. Вероятность получения по лотерее безвыигрышного билета
равна 0,1. Какова вероятность того, что среди 400 наугад купленных билетов не менее 50 и не более 60 безвыигрышных?
20. Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных прохожих окажутся 32 женщины (предполагается, что число мужчин
н женщин в городе одинаково)?
21. Вероятность наступления события А в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А
220
появится в этих испытаниях: 1) ровно 90 раз; 2) не менее 80 и не более 90 раз.
22. Вероятность выздоровления больного в результате применения нового способа лечения равна 0,8. Сколько вылечившихся из
100 больных можно ожидать с вероятностью 0,75?
23. Игральную кость подбрасывают 320 раз. Какова вероятность
того, что цифра 5 при этом выпадет не менее 70 и не более 83
раз?
24. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна
0,004, Найти вероятность поражения цели не менее чем 2 снарядами, при залпе из 250 орудий.
25. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,02. Найти наиболее вероятное число опоздавших из
625 пассажиров и вероятность этого события.
26. При проведении эксперимента монету подбрасывали 4096
раз, причем герб выпал 2068 раз. С какой вероятностью можно
было ожидать этот результат?
27. Игральный кубик подбросили 125 раз. Какова вероятность
того, что цифра 6 появилась не более 60 раз?
28. Найти вероятность того, что в партии из 900 изделий число
изделий высшего сорта заключено между 600 и 700. Вероятность
появления изделия высшего сорта в партии равна 0,8.
29. Работница обслуживает 800 веретен. Вероятность обрыва
пряжи на каждом из веретен в течении 1 минуты равна 0,005.
Найти вероятность того, что в течении 1 минуты произойдет не
менее 3, но не более 6 обрывов.
30. Вероятность брака при производстве деталей равна 0,02.
Найти вероятность того, что в партии из 400 деталей окажутся
бракованными от 7 до 10 деталей.
Задание № 6
Имеются статистические данные, что в парикмахерской,
имеющей 6 мест для обслуживания, xi посетителей одновременно
обслуживаются с вероятностью рi (см. задания). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, имеющей
смысл числа обслуживаемых в парикмахерской клиентов. Какую
среднюю ежедневную прибыль приносит парикмахерская, если
одно рабочее место приносит среднюю прибыль 250 руб. в день.
221
Число обслуживаемых клиентов (одинаково для всех вариантов)
xi
0
1
2
3
4
5
Вариант
Вероятность pi (по вариантам)
0,05
0,17
0,42
0,10
0,20
0,07
1
0,39
0,10
0,18
0,15
0,11
0,07
2
0,59
0,06
0,09
0,17
0,05
0,05
3
0,13
0,15
0,45
0,12
0,08
0,07
4
0,16
0,29
0,20
0,07
0,19
0,10
5
0,16
0,21
0,47
0,02
0,10
0,04
6
0,10
0,22
0,48
0,06
0,07
0,07
7
0,34
0,08
0,34
0,01
0,17
0,07
8
0,45
0,05
0,23
0,07
0,17
0,03
9
0,26
0,07
0,44
0,07
0,07
0,08
10
0,21
0,28
0,20
0,10
0,17
0,04
11
0,45
0,08
0,06
0,19
0,18
0,04
12
0,53
0,17
0,16
0,06
0,04
0,03
13
0,38
0,13
0,06
0,18
0,19
0,07
14
0,38
0,12
0,14
0,09
0,17
0,10
15
0,31
0,12
0,32
0,10
0,06
0,10
16
0,66
0,04
0,04
0,09
0,16
0,01
17
0,00
0,11
0,45
0,26
0,12
0,07
18
0,39
0,17
0,11
0,15
0,16
0,02
19
0,32
0,11
0,04
0,26
0,19
0,09
20
0,61
0,15
0,01
0,02
0,16
0,05
21
0,40
0,05
0,09
0,19
0,18
0,09
22
0,42
0,06
0,40
0,05
0,02
0,05
23
0,23
0,09
0,28
0,24
0,13
0,03
24
0,30
0,19
0,36
0,01
0,08
0,06
25
0,43
0,02
0,24
0,16
0,08
0,07
26
0,33
0,12
0,20
0,20
0,11
0,05
27
0,36
0,03
0,39
0,11
0,10
0,02
28
0,59
0,18
0,08
0,03
0,09
0,03
29
0,20
0,11
0,45
0,12
0,03
0,08
30
Задание № 7
В среднем за час автомойку посещает п клиентов. Найти вероятности того, что за два часа магазин посетят на менее k клиентов
и вероятность того, что в течении как минимум T минут в магазине не будет ни одного клиента, если число посетителей за час
222
распределено по закону Пуассона, а время ожидания клиента
распределено по показательному закону (см. данные из таблицы).
Вариант 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
n
k
T
Вариант
5
9
10
16
7
12
15
17
3
7
25
18
5
11
15
19
4
9
10
20
7
16
10
21
6
13
15
22
5
9
10
23
6
13
17
24
n
k
T
5 6 5 9 6 9 6 6 8 8 9 8 7 5 9
9 13 8 16 14 13 10 12 14 11 12 12 12 7 14
12 14 15 12 16 14 10 18 19 14 22 21 10 10 17
8
17
20
25
8
11
13
26
7
10
12
27
5
7
19
28
4
9
25
29
6
8
13
30
Задание № 8
Стоимость акции предприятия распределена по нормальному
закону с математическим ожиданием m и дисперсией σ2. Найти
вероятность, что акция будет стоить от a до b (см. данные из таблицы).
Вар.
m
a
b
Вар.
m
a
b
σ2
σ2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
220
372
249
422
419
276
490
474
247
211
471
492
365
424
289
38
25
39
23
37
25
40
35
35
42
26
49
50
49
34
159
362
176
420
350
275
423
413
233
173
442
411
315
388
273
260
381
293
449
469
279
563
524
306
237
489
510
411
443
317
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
223
209
307
412
250
264
433
394
366
282
357
239
458
214
272
216
28
41
44
47
26
25
26
39
31
31
46
39
44
49
24
181
247
351
161
261
399
365
308
233
338
238
393
160
233
188
246
382
422
315
268
436
439
419
318
398
263
465
269
362
234
Задание № 9
Дана выборка количества сделок, совершенных фирмой по работе с недвижимостью за 20 дней.
а) Построить эмпирическую функцию распределения, изобразить
ее график.
в) Найти выборочные средние, дисперсию, медиану, моду.
г) Найти 90% доверительные интервалы для математического
ожидания и дисперсии.
Вариант
Выборка
1.
0 3 1 0 0 0 1 1 1 3 0 3 2 0 2 0 0 0 4 2
2.
3 4 1 6 1 4 1 1 2 0 2 5 3 1 1 1 2 6 2 3
3.
2 1 5 5 0 2 3 2 2 1 3 2 2 4 2 0 1 2 0 3
4.
5 2 1 1 2 3 0 2 3 2 1 1 0 0 4 2 0 1 1 2
5.
1 0 2 0 0 2 1 0 2 3 3 1 0 3 2 2 1 4 3 2
6.
0 2 2 1 3 0 2 1 3 3 2 4 2 0 0 2 3 0 2 0
7.
3 1 2 0 2 1 4 0 2 2 2 1 1 2 0 1 1 1 2 3
8.
1 3 1 0 2 5 3 3 1 0 3 0 2 2 1 3 2 3 5 0
9.
0 3 0 2 4 1 1 4 3 6 1 3 0 0 5 1 4 0 1 1
10.
0 0 0 3 0 3 2 1 2 1 1 1 0 1 3 0 1 1 3 0
11.
0 1 1 2 2 1 0 2 3 1 2 1 1 3 2 4 0 0 4 3
12.
1 1 2 2 1 2 0 1 0 0 1 2 1 4 1 1 0 1 1 0
13.
0 4 2 4 1 2 0 0 1 2 3 0 2 2 1 2 2 3 2 1
14.
0 1 2 0 0 0 0 0 2 3 3 1 0 0 2 1 1 3 2 1
15.
0 0 2 2 3 0 1 2 3 2 1 3 0 0 0 0 1 0 1 2
16.
3 0 2 3 0 2 2 1 0 3 2 2 0 2 0 1 1 3 0 2
17.
2 0 3 1 0 4 1 0 1 0 3 3 1 1 3 0 2 1 2 3
18.
3 1 0 2 1 0 2 1 1 5 0 2 4 1 2 1 2 0 4 3
19.
2 3 0 1 1 2 1 2 2 3 1 1 2 0 0 2 1 0 1 3
20.
2 0 2 0 1 2 3 0 3 1 4 3 1 2 2 1 1 3 2 1
21.
1 2 1 5 1 3 1 1 1 1 3 2 0 1 3 1 1 5 2 2
22.
1 4 1 1 0 0 3 2 1 1 1 2 1 1 3 0 0 1 0 2
23.
2 0 1 7 0 1 2 2 2 0 1 0 0 0 2 0 1 0 4 3
24.
2 2 0 0 1 2 2 4 0 1 3 1 6 0 1 0 2 1 1 0
25.
2 3 1 1 1 1 1 1 0 2 2 2 2 4 1 0 2 0 5 1
26.
0 0 1 1 1 2 2 3 4 1 0 1 2 1 0 2 2 0 3 4
27.
1 4 3 1 1 1 2 1 0 5 0 2 1 2 3 4 2 1 3 2
28.
2 3 2 1 3 0 3 1 1 2 3 2 2 1 2 2 3 1 3 0
3 1 3 4 1 1 1 2 2 0 0 2 2 0 4 2 1 5 2 1
29.
1 2 5 0 4 3 2 3 1 0 3 4 3 1 2 4 2 4 0 2
30.
224
Задание № 10
Дана выборка выручки магазина за последние 30 дней.
а) Составить интервальный ряд распределения.
б) Найти вариационный размах, выборочные медиану и моду.
в) Найти выборочные среднюю, коэффициент вариации.
г) Найти выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса.
д) Построить гистограмму, полигон, кумуляту.
е) Найти 95% дов. интервалы для мат. ожидания и дисперсии.
ж) Проверить при α = 0,05 статистическую гипотезу, что генеральная совокупность имеет нормальный закон распределения.
Вариант
Выборка
18 19 21 18 16 19 18 16 17 18 15 22 18 17 22
1.
14 19 16 14 14 22 14 21 18 16 12 19 18 18 15
22 23 23 22 21 20 21 18 16 22 18 25 13 23 17
2.
24 21 17 19 27 26 25 21 26 19 24 20 18 23 18
37 32 29 32 28 32 33 35 30 36 32 28 34 32 32
3.
27 32 38 38 32 29 30 39 39 31 30 31 39 29 33
46 43 36 44 39 47 41 47 41 50 50 49 41 40 50
4.
45 46 47 44 48 46 48 46 51 41 47 51 52 40 47
72 74 69 71 73 68 73 77 76 77 76 76 76 64 65
5.
75 70 75 71 69 72 69 78 72 67 72 81 75 72 69
52 51 46 43 50 50 53 57 48 55 56 45 55 51 55
6.
41 54 60 52 52 59 49 51 50 47 49 57 54 54 42
44 44 46 45 49 44 47 47 36 37 35 40 35 39 41
7.
34 38 42 44 42 35 43 45 39 33 39 45 47 41 45
59 60 65 50 55 64 66 63 55 62 60 58 67 58 65
8.
63 59 57 65 56 66 59 59 60 61 65 59 50 64 63
55 71 66 74 71 70 68 76 75 73 65 75 73 70 67
9.
59 63 68 65 65 81 69 64 57 58 68 70 71 71 71
65 72 69 68 62 71 74 74 70 67 76 73 79 77 70
10.
65 70 66 75 66 74 75 84 87 71 69 67 67 75 60
68 63 72 62 58 77 67 67 71 72 75 73 70 66 73
11.
70 69 78 73 64 71 69 73 71 71 68 65 66 69 74
5 21 16 24 21 20 18 26 25 23 15 25 23 20 17
12.
9 13 18 15 15 31 19 14 7 8 18 20 21 21 21
15 22 19 18 12 21 24 24 20 17 26 23 29 27 20
13.
15 20 16 25 16 24 25 34 37 21 19 17 17 25 10
14.
18 13 22 12 8 27 17 17 21 22 25 23 20 16 23
225
Вариант
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
20
35
39
45
45
48
50
65
69
75
75
78
80
70
56
39
42
15
19
25
25
59
63
40
39
54
46
72
75
28
30
46
49
19
51
43
52
50
43
49
81
73
82
80
73
79
59
62
41
45
31
23
32
30
60
59
41
41
59
47
74
70
23
29
44
44
28
46
48
49
46
52
58
76
78
79
76
82
88
57
56
35
39
26
28
29
26
65
57
37
39
55
44
69
75
32
38
39
47
23
54
45
48
55
42
53
84
75
78
85
72
83
62
57
41
39
34
25
28
35
50
65
37
38
57
52
71
71
22
33
46
44
14
51
45
42
46
38
44
81
75
72
76
68
74
49
63
42
35
31
25
22
26
55
56
40
44
44
49
73
69
18
24
47
44
21
50
61
51
54
57
51
80
91
81
84
87
81
63
59
38
41
30
41
31
34
64
66
42
37
42
48
68
72
37
31
44
51
Выборка
19 23 21
48 56 55
49 44 37
54 54 50
55 64 67
47 47 51
49 53 51
78 86 85
79 74 67
84 84 80
85 94 97
77 77 81
79 83 81
59 60 57
55 58 62
41 41 36
36 36 39
28 36 35
29 24 17
34 34 30
35 44 47
66 63 55
59 59 60
39 43 38
41 42 45
52 55 49
56 40 52
73 77 76
69 78 72
27 27 31
29 33 31
44 46 41
42 39 45
226
21
53
38
47
51
52
51
83
68
77
81
82
81
66
61
45
41
33
18
27
31
62
61
41
40
53
46
77
67
32
31
45
49
18
45
48
56
49
55
48
75
78
86
79
85
78
64
60
40
43
25
28
36
29
60
65
45
43
51
46
76
72
35
28
40
44
15
55
50
53
47
53
45
85
80
83
77
83
75
57
59
39
40
35
30
33
27
58
59
44
35
50
45
76
81
33
25
40
43
16
53
51
59
47
50
46
83
81
89
77
80
76
59
59
41
41
33
31
39
27
67
50
48
44
61
52
76
75
30
26
41
37
19
50
51
57
55
46
49
80
81
87
85
76
79
58
61
41
38
30
31
37
35
58
64
43
44
59
59
64
72
26
29
40
45
24
47
51
50
40
53
54
77
81
80
70
83
84
59
63
40
44
27
31
30
20
65
63
28
44
53
57
65
69
33
34
44
46
Задание № 11
Имеется выборка прибыли коммерческой фирмы за 14 недель до
(xi) и после (yi) проведения новой экономической политики. На
уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что введение
новой экономической политики в среднем привела к увеличению
производительности
а) если производительность распределена нормально;
б) если производительность имеет неизвестный не нормальный
закон распределения.
Вариант
Выборка
x 21 32 26 34 25 33 31 32 28 33 28 34 27 26
1
y 27 26 35 32 34 33 32 19 25 31 25 30 30 28
x 28 28 29 27 28 27 29 29 30 30 29 28 29 29
2
y 31 32 32 29 30 31 30 30 29 29 30 30 30 31
x 26 34 28 33 33 26 21 23 31 23 27 24 24 29
3
y 35 31 40 29 40 31 29 31 36 33 35 37 36 36
x 42 32 46 39 39 37 35 38 35 42 39 40 38 47
4
y 50 39 52 49 52 49 45 37 49 40 45 39 44 24
x 42 32 46 39 39 37 35 38 35 42 39 40 38 47
5
y 35 36 39 39 41 48 33 41 35 38 43 36 36 39
x 59 63 54 61 57 52 54 61 63 61 56 55 55 55
6
y 52 71 54 53 45 59 48 58 71 61 59 65 74 63
x 46 51 48 45 53 51 46 53 48 53 49 58 56 49
7
y 47 54 45 46 55 51 46 56 53 51 49 50 56 56
x 52 51 48 52 54 50 51 51 52 52 53 56 51 50
8
y 44 47 57 54 39 65 46 51 58 46 62 52 65 47
x 73 76 77 76 76 75 74 72 75 79 76 78 71 75
9
y 70 71 83 76 79 71 74 66 80 81 78 69 73 85
x 21 20 20 17 21 22 23 19 25 21 20 17 21 22
10
y 29 21 21 25 16 23 22 27 31 27 22 32 27 22
x 34 36 33 38 37 36 40 34 34 37 35 36 38 35
11
y 38 35 28 29 41 41 46 36 29 35 43 33 37 40
x 43 46 44 45 43 46 47 41 48 45 49 44 47 48
12
y 49 58 37 47 40 36 39 32 48 46 55 45 37 49
x 65 59 60 57 61 66 64 66 62 62 67 63 66 59
13
y 66 61 67 63 71 66 67 70 62 57 67 67 61 60
x 25 23 20 20 23 17 20 22 22 19 23 19 19 26
14
y 16 23 23 29 25 21 24 24 17 18 16 20 23 20
x 67 69 62 64 70 59 66 64 67 64 69 66 69 67
227
Вариант
15
y
x
16
y
x
17
y
x
18
y
x
19
y
x
20
y
x
21
y
x
22
y
x
23
y
x
24
y
x
25
y
x
26
y
x
27
y
x
28
y
x
29
y
x
30
y
Выборка
67 65 71 61 55 67 67 66 61 67 66 65 72 64
31 19 31 23 27 24 20 22 31 28 25 28 26 27
30 28 36 22 27 28 22 29 32 29 29 27 31 25
54 52 55 58 57 58 51 55 57 53 54 52 51 53
60 59 56 63 50 66 69 69 61 62 64 60 58 63
22 20 17 23 19 16 19 24 23 19 22 22 21 20
23 25 27 27 26 32 24 27 27 30 33 18 31 30
46 40 47 42 45 48 46 39 49 45 43 43 48 46
43 61 48 37 42 39 46 61 45 44 50 63 55 64
71 73 73 73 70 70 77 73 75 70 72 78 74 66
83 78 83 72 69 67 89 86 83 67 69 84 72 70
55 45 48 56 39 37 50 33 37 56 34 45 39 39
65 53 49 49 61 53 53 44 42 44 51 42 44 61
71 67 74 75 80 81 73 68 66 70 68 67 64 73
74 87 85 73 79 66 75 85 90 79 79 84 59 64
39 43 46 42 44 44 43 38 45 47 49 44 40 41
64 48 55 47 42 44 51 44 44 45 50 44 29 58
14 18 14 16 21 22 17 25 20 19 22 24 24 20
23 29 26 27 31 28 21 30 25 21 31 25 24 27
53 51 54 54 55 54 54 54 58 55 55 54 59 57
60 65 57 57 58 67 52 61 58 47 55 60 56 53
56 46 51 38 55 37 48 62 55 40 53 65 56 46
66 55 52 65 48 67 59 46 55 55 52 53 60 58
77 89 94 87 85 83 81 86 76 84 89 96 86 85
92 97 86 99 99 90 93 92 86 99 92 86 88 93
73 43 46 68 56 41 57 72 42 47 60 43 49 47
64 53 61 40 59 37 54 32 41 69 42 66 43 60
93 75 77 86 86 87 69 88 91 90 79 98 90 91
90 95 92 89 84 91 91 93 88 85 95 86 83 98
44 39 57 58 58 49 47 45 47 57 62 54 47 59
60 52 56 58 54 45 55 54 62 44 53 62 52 55
Задание № 12
Автоматизированная линия разливает газированный напиток
по пластиковым бутылкам емкостью 1 литр. Была взята выборка
xi объемов разлитой продукции. Затем линию перенастроили на
разлив в бутылки емкостью 1,5 литра и получили соответствующую выборку yi. Можно ли с вероятностью 0,9 считать, что средняя точность разлива после перенастройки линии упала (диспер228
сия возросла), если считается, что генеральные совокупности,
представленные выборками имеют нормальный закон распределения.
xi (миллилитры, одинаковое для всех вариантов)
989 997 1003 997 982 997 996 1017 1011 1008 1006 989 1002 1009 987
Вариуi (миллилитры, по вариантам)
ант
1 1526 1480 1494 1495 1505 1508 1528 1473 1501 1497 1493 1485
2 1495 1483 1492 1483 1503 1521 1544 1501 1500 1489 1519 1501
3 1521 1490 1470 1491 1505 1493 1498 1513 1501 1478 1519 1499
4 1507 1492 1498 1492 1520 1478 1502 1516 1486 1475 1516 1504
5 1496 1498 1489 1518 1497 1501 1449 1477 1492 1521 1515 1489
6 1493 1483 1483 1482 1498 1513 1494 1476 1485 1513 1541 1499
7 1543 1523 1486 1471 1486 1512 1512 1506 1529 1499 1497 1472
8 1522 1488 1519 1486 1525 1489 1499 1476 1551 1483 1479 1511
9 1456 1517 1495 1510 1515 1526 1509 1501 1515 1540 1485 1516
10 1497 1501 1467 1483 1495 1504 1495 1473 1495 1494 1525 1516
11 1512 1509 1483 1503 1514 1480 1501 1490 1485 1500 1488 1498
12 1473 1499 1479 1496 1511 1512 1494 1498 1515 1487 1514 1495
13 1496 1527 1528 1505 1499 1494 1479 1502 1514 1504 1521 1511
14 1486 1510 1481 1484 1496 1503 1497 1527 1490 1497 1499 1469
15 1516 1534 1516 1496 1525 1496 1487 1494 1526 1502 1489 1486
16 1514 1492 1497 1504 1510 1510 1479 1494 1513 1493 1507 1503
17 1466 1507 1492 1502 1505 1512 1501 1496 1505 1522 1485 1506
18 1493 1496 1473 1484 1492 1498 1492 1477 1492 1491 1512 1506
19 1503 1501 1484 1497 1504 1482 1496 1488 1485 1495 1487 1494
20 1477 1494 1481 1493 1503 1503 1491 1494 1505 1487 1504 1492
21 1492 1513 1513 1498 1495 1491 1481 1496 1504 1498 1509 1502
22 1486 1501 1482 1484 1492 1497 1493 1513 1488 1493 1494 1474
23 1505 1518 1506 1492 1512 1493 1487 1491 1512 1496 1488 1486
24 1505 1490 1493 1497 1502 1502 1481 1491 1503 1490 1499 1497
25 1436 1518 1489 1508 1515 1530 1507 1497 1515 1548 1475 1517
26 1491 1497 1450 1473 1488 1501 1488 1459 1489 1487 1528 1517
27 1511 1507 1473 1499 1513 1469 1497 1481 1474 1495 1480 1492
28 1459 1494 1467 1490 1510 1511 1486 1492 1515 1478 1513 1489
29 1489 1531 1532 1502 1494 1487 1467 1497 1514 1501 1523 1510
30 1477 1508 1469 1474 1490 1498 1490 1531 1482 1492 1493 1454
229
Задание № 13
Некоторая фирма, производящая товар, хочет проверить, эффективность рекламы этого товара. Для этого в 10 регионах, до
этого имеющих одинаковые средние количества продаж, стала
проводиться разная рекламная политика и на рекламу начало выделяться xi денежных средств. При этом фиксировалось число
продаж yi. Предполагая, что для данного случая количества продаж пропорциональны расходам на рекламу, необходимо:
а) Изобразить эмпирическую линию регрессии.
б) В соответствии с методом наименьших квадратов найти
уравнение линейной регрессии y = ax + b, построить его график.
в) Найти выборочный коэффициент корреляции r.
г) Проверить по критерию Стьюдента с доверительной вероятностью p = 0,95 гипотезу о равенстве коэффициента корреляции r
нулю.
д) Используя преобразование Фишера, проверить гипотезу о
равенстве коэффициента корреляции r нулю.
е) Сделать прогноз для случая расходов на рекламу, равных 5
млн. руб. и 6 млн. руб.
ж) Построить график остатков, по нему сделать вывод об адекватности регрессионной модели.
Расходы на рекламу хi , млн. р.(одинаковое для всех вариантов)
Вариант
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
Количества продаж yi , тыс. ед. (по вариантам)
12,3 16,3 16,4 16,0 18,5 17,3 20,0 19,5 19,0 19,7
1.
39,5 40,3 40,7 40,8 43,1 42,7 45,3 46,2 47,4 49,5
2.
32,4 32,4 34,8 37,1 38,0 38,7 38,6 39,9 43,8 43,5
3.
21,0 23,0 23,7 23,8 25,8 27,6 28,4 29,7 31,7 31,6
4.
27,6 28,8 29,6 31,1 30,9 31,3 33,1 34,6 35,1 37,2
5.
30,6 32,8 32,1 33,7 35,1 39,2 37,4 39,7 42,3 43,4
6.
18,5 19,5 20,1 23,7 23,6 24,0 26,2 26,5 28,3 28,1
7.
13,3 12,2 13,1 11,5 15,7 13,7 16,8 13,9 16,9 16,8
8.
14,2 16,3 16,6 18,9 19,4 20,4 23,3 24,2 27,1 27,4
9.
34,4 34,8 36,1 37,7 37,3 37,5 37,5 39,6 40,9 43,6
10.
20,6 20,2 19,6 21,3 23,2 23,9 23,2 23,0 24,1 25,2
11.
17,4 18,6 18,0 21,3 21,3 24,4 24,1 27,2 27,0 28,7
12.
38,3 39,3 40,1 43,9 42,9 42,1 45,2 44,3 47,9 47,8
13.
38,0 40,9 39,1 39,7 39,3 38,4 41,4 42,9 41,3 42,7
14.
230
38,0 38,3 39,5 41,7 39,9 42,0 41,8
38,6 41,3 43,1 44,3 43,0 45,8 46,2
31,7 30,5 33,5 31,0 34,5 36,0 32,9
12,4 13,2 13,3 14,4 15,3 14,8 14,8
27,6 26,9 25,2 26,6 26,3 29,0 30,4
26,1 26,0 29,9 30,9 32,9 33,9 33,5
26,7 29,1 29,7 29,7 31,2 32,1 32,4
30,0 32,5 31,4 32,0 36,4 35,6 36,9
12,2 13,3 13,9 15,6 16,7 15,1 16,8
20,9 22,8 22,4 24,5 22,9 22,7 24,6
29,1 27,0 28,4 30,0 32,4 32,0 32,3
33,1 32,6 33,9 33,6 35,0 34,7 35,9
24,3 25,1 25,1 26,9 25,4 27,8 26,9
21,8 24,4 23,7 25,7 24,7 27,2 24,8
29,2 31,7 32,7 32,1 33,3 33,8 35,0
17,1 18,8 21,0 22,7 24,2 23,4 26,7
Задание № 14
Рассматривается зависимость урожайности некоторой культуры yi от количества внесенных в почву минеральных удобрений
xi. Предполагается, что эта зависимость квадратичная. Необходимо:
а) В соответствии с методом наименьших квадратов найти
уравнение регрессии вида y = ax2 + bx + c, построить его график,
нанеся на него исходные данные.
б) Найти коэффициент точности выравнивания линии.
в) Построить график остатков.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
36,7
38,1
30,8
10,7
23,7
22,8
26,5
25,3
10,0
20,9
24,8
29,4
20,3
20,8
28,6
16,1
36,5
38,6
31,1
11,0
24,8
26,3
26,4
28,8
9,7
20,7
26,5
30,0
20,4
20,2
28,6
17,0
37,2
40,9
30,4
13,2
25,8
28,0
28,2
30,1
11,6
20,8
28,3
32,0
22,1
21,5
28,8
20,5
Вари- Внесено удобрений хi , ц./га (одинаковое для всех вариантов)
ант
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Урожайность yi (по вариантам)
1 19,4 28,8 48,2 58,0 80,3 88,7 96,1 119,2 146,9 168,0
2 26,6 45,7 63,8 78,3 86,4 97,7 96,9 113,6 113,6 120,9
3 13,1 27,2 36,9 47,3 56,2 68,0 77,4 74,6 79,4 79,9
4 25,2 46,2 56,7 77,6 91,5 112,3 106,2 131,9 149,4 141,8
5 29,8 58,8 72,2 101,5 141,0 135,1 156,6 181,7 216,6 208,2
6 17,8 27,4 32,0 43,7 44,5 41,4 34,4 36,9 25,1 15,1
7 12,7 20,0 24,9 21,5 21,3 20,4 13,4 13,1 4,0 2,8
8 26,2 44,3 66,7 72,5 89,5 97,5 98,0 117,5 97,2 108,2
231
97,4 102,8 118,2 131,7 128,7 134,5 133,0
39,9 43,3 38,8 49,1 52,6 51,0 43,2
70,2 94,4 104,5 125,9 126,6 159,3 180,8
22,0 20,6 13,3 7,1 4,6 2,7 1,9
92,8 104,0 119,2 145,4 154,4 171,5 181,5
54,8 63,6 59,8 56,5 72,5 60,8 57,7
93,7 105,1 119,5 136,2 150,0 146,2 140,9
54,8 73,0 90,7 99,3 103,4 119,1 144,0
89,1 96,4 116,5 105,1 140,8 126,7 126,1
78,2 97,4 110,4 119,1 143,4 134,6 138,3
35,6 54,0 53,3 62,2 65,8 72,5 88,4
75,4 95,5 105,2 122,8 133,8 160,1 176,5
73,5 93,9 107,3 127,2 118,8 155,1 182,8
95,7 141,3 156,0 170,6 204,2 228,8 222,2
90,5 106,5 129,8 150,7 170,2 185,9 189,1
104,9 109,4 117,1 176,9 181,0 220,0 195,5
36,6 40,4 43,0 36,5 39,1 28,8 33,5
40,5 35,8 43,8 34,2 38,7 29,9 31,9
39,4 33,3 39,3 41,1 31,7 28,1 21,7
19,0 23,4 22,4 22,4 18,6 8,5 6,8
29,3 40,1 46,1 48,1 63,7 75,9 78,0
79,7 92,3 95,1 154,3 128,5 169,1 167,0
Задание № 15
Имеются данные о доли расходов на товары длительного пользования уi от среднемесячного дохода семьи xi. Предполагается,
что эта зависимость носит характер y = a/x + b. Необходимо:
а). Найти уравнение нелинейной регрессии y = a/x + b и построить его график, нанеся на него исходные данные.
б) Найти коэффициент выравнивания линии регрессии. Построить график остатков.
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
29,5
15,5
23,5
9,8
28,5
21,6
26,3
17,9
26,0
25,3
15,5
19,3
21,6
27,2
28,4
26,7
12,8
12,4
14,3
10,5
10,6
27,4
54,7
25,4
44,9
15,0
44,6
38,2
45,8
32,0
43,7
46,3
24,9
34,1
38,1
50,7
44,0
53,6
21,4
20,5
21,8
19,2
19,1
48,6
67,5
36,4
47,1
23,8
80,9
49,1
67,7
50,1
67,6
62,6
27,0
49,4
54,3
71,1
69,5
78,2
27,7
33,2
29,1
21,3
25,1
62,2
Доход семьи xi , тыс.р. на 1 чел.(для всех вариантов)
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
Вар
1.
2.
3.
4.
5.
6.
6,5
% расходов на товары длительного пользования уi (по вар-ам)
29,3
31,2
29,7
20,4
30,7
29,7
25,4
27,0
26,3
19,7
27,0
28,2
25,0
26,1
24,8
16,6
25,1
24,6
23,4
26,1
23,5
17,3
24,1
24,6
23,1
23,1
22,3
15,1
21,3
22,8
232
22,6
23,8
21,7
15,2
22,7
22,2
21,7
22,3
21,5
14,3
23,7
22,0
21,7
21,4
19,0
14,1
20,8
21,8
22,2
21,8
20,5
14,3
19,8
23,3
22,4
22,5
22,8
14,1
21,9
21,5
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Вариант
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31,4 28,4 27,3 24,9 23,5 23,6 23,2 21,8
27,9 25,4 20,7 23,6 21,6 20,1 21,3 21,2
27,0 23,4 22,1 20,5 19,3 18,9 17,3 16,7
30,0 27,9 25,7 23,7 21,8 21,7 22,0 19,3
29,5 27,2 23,4 21,9 21,3 22,2 21,0 20,0
29,8 26,9 24,3 23,7 23,0 23,2 20,7 21,9
Процент расходов на товары длительного
пользования уi (по вариантам)
26,7 24,5 19,5 21,5 21,0 18,0 16,5 16,2
24,7 21,5 22,1 21,9 20,3 19,1 20,6 20,2
27,1 23,9 25,1 20,9 21,6 20,6 20,5 19,1
27,9 24,3 22,1 21,8 20,7 17,9 17,8 19,5
23,2 19,7 19,2 16,5 16,7 17,8 16,2 16,8
23,1 22,4 19,1 18,3 16,7 15,3 17,3 16,2
27,8 25,3 25,2 24,9 24,7 24,8 23,4 22,9
19,9 19,4 17,5 17,2 16,5 16,1 13,5 13,8
25,1 21,9 21,9 19,7 17,9 18,0 18,7 17,5
27,7 27,6 26,4 24,7 24,5 23,9 23,9 22,6
23,0 21,7 20,6 20,3 19,6 16,9 19,1 18,9
25,5 23,4 21,6 19,7 18,3 17,6 18,3 16,9
20,4 16,9 16,7 16,8 15,6 14,9 12,7 12,0
32,6 31,1 25,8 24,7 25,6 24,7 22,9 24,5
20,8 19,9 19,0 18,6 17,7 16,9 18,3 15,8
19,3 17,8 15,4 16,0 15,5 14,5 15,2 15,3
26,1 20,5 20,9 18,7 18,4 18,5 17,4 18,5
27,1 24,4 22,2 20,9 20,4 18,3 19,0 19,4
23,3
20,8
17,7
22,2
20,2
21,0
22,1
18,5
16,1
19,5
19,6
20,7
17,2
18,7
21,8
15,8
14,5
14,7
21,4
15,1
16,5
23,7
16,0
18,0
14,2
22,7
14,2
13,1
13,7
20,0
17,8
20,3
20,6
20,1
15,6
15,8
22,0
13,2
16,2
21,7
16,4
18,2
13,5
22,5
14,3
14,1
15,8
19,6
Задание № 16
Имеется эмпирическая зависимость между двумя экономическими факторами Х и Y. Построить четыре уравнения регрессии:
линейное y = ax + b, степенное y = axb, показательное y = a∙bx и
гиперболическое y = a/x + b. Для каждой регрессионной модели
найти коэффициент корреляции и из их сравнения выбрать наиболее адекватную регрессионную модель.
Значения xi (для всех вариантов)
Вариант 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50
Значения уi (по вариантам)
5,3 5,8 6,4 6,9 8,0 7,6 8,3 9,0 9,3 10,1
1.
8,4 8,4 10,2 9,8 11,2 11,8 12,3 13,7 13,2 15,0
2.
13,4 9,2 7,4 7,3 6,4 6,2 6,3 6,5 6,1 5,8
3.
17,8 11,6 10,8 9,5 9,5 8,9 8,9 8,3 8,6 8,2
4.
0,3 1,2 2,8 5,2 8,1 11,0 16,8 16,9 24,7 29,4
5.
0,0 0,4 1,4 2,6 5,6 10,3 14,8 22,6 34,4 45,2
6.
233
6,8 5,8 4,7 3,9 3,1 2,6 2,1
2,2 1,5 1,0 0,7 0,4 0,3 0,2
17,6 18,9 15,4 17,7 15,7 15,2 15,6
5,0 6,2 7,2 7,3 9,7 9,7 11,0
17,6 17,7 18,4 19,7 18,6 19,3 19,7
5,1 4,0 3,7 3,2 3,0 2,8 2,7
3,2 1,8 1,3 1,0 0,7 0,6 0,5
1,0 2,5 5,1 9,4 16,0 26,4 40,8
4,7 5,9 10,0 16,4 22,3 43,9 45,2
4,8 5,0 6,8 6,9 9,5 11,5 12,2
2,9 3,4 3,5 3,9 4,3 4,1 4,5
13,1 13,7 14,0 12,9 13,8 12,9 12,6
3,0 2,9 2,7 2,8 2,3 2,5 2,4
13,8 13,7 14,1 13,5 13,9 14,0 14,2
1,9 2,5 2,9 3,3 3,8 4,4 5,1
15,2 12,8 9,8 8,4 7,4 6,8 5,9
8,7 14,7 15,9 29,0 37,6 65,5 88,8
7,1 8,8 8,0 11,9 13,1 17,3 23,3
28,2 23,2 23,4 23,3 26,8 22,9 22,7
6,5 7,8 7,1 8,8 8,9 9,2 9,7
26,7 25,0 30,9 30,4 32,0 29,7 26,7
6,9 6,9 6,2 6,5 6,0 6,0 6,0
1,9 2,5 2,9 3,3 3,8 4,4 5,1
15,2 12,8 9,8 8,4 7,4 6,8 5,9
Задание № 17
Исследуется зависимость месячного расхода семьи на продукты питания zi. (тыс.р.), от месячного дохода на одного члена семьи xi тыс.р. и от размера семьи yi (чел.). Необходимо:
а) В соответствии с методом наименьших квадратов найти
уравнение линейной регрессии z = ax + by + c.
б) Найти парные коэффициенты корреляции rxy, rxz, ryz.
в) С доверительной вероятностью р=0,95 проверить парные
коэффициенты корреляции на значимость.
г) Найти множественный коэффициент корреляции и проверить с доверительной вероятностью р=0,95 его статистическую
значимость.
Значения факторов хi и уi (одинаковое для всех вариантов)
хi
2 3 4 2 3 4 3 4 5 3 4 5 2 3 4
уi
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
12,7
6,6
19,1
2,1
12,0
17,1
46,8
0,0
1,6
2,5
2,1
14,9
5,9
11,1
0,5
64,3
3,0
3,8
29,6
5,7
16,2
11,9
0,5
64,3
10,3
4,5
17,3
3,0
16,2
9,4
12,1
0,1
2,1
3,0
2,4
14,9
3,7
13,5
1,0
29,5
4,0
4,3
28,4
5,8
21,9
9,0
1,0
29,5
8,5
3,2
20,1
3,4
15,9
6,7
5,1
0,3
3,1
3,5
2,6
13,7
3,5
12,8
1,4
21,5
6,8
4,8
28,9
6,8
24,8
8,0
1,4
21,5
234
Вар.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Значения фактора zi (по вариантам)
2,1 2,6 2,5 2,9 3,1 3,3 3,9 4,5 4,9 4,6 5,1 5,7 5,0 5,4 5,6
2,3 2,1 2,9 2,7 3,2 3,4 3,8 4,2 4,2 4,5 5,2 5,8 4,7 5,5 5,1
2,4 3,1 3,4 3,7 4,0 4,2 4,5 4,7 6,0 5,9 6,3 6,4 6,3 6,5 7,2
1,2 1,5 2,0 2,2 2,5 2,5 2,6 3,0 3,3 3,0 3,7 3,6 3,5 4,2 4,6
2,6 2,8 3,3 3,4 3,6 4,2 4,7 4,8 5,6 5,3 5,8 5,7 5,8 6,2 6,5
1,6 2,2 2,3 2,3 2,6 3,0 3,1 3,2 3,4 3,4 3,6 3,8 3,8 4,1 4,3
1,9 2,7 2,7 3,1 3,2 3,3 3,6 3,7 4,7 4,2 4,6 4,8 4,4 4,8 5,2
3,0 3,5 3,6 3,7 4,4 4,7 5,3 5,6 6,1 6,3 6,5 6,9 6,4 6,8 7,0
3,7 4,0 4,8 4,6 4,9 5,1 6,1 6,6 7,0 6,9 7,2 7,9 7,3 7,7 8,6
2,9 3,2 3,4 3,8 4,1 5,0 4,8 5,3 6,3 6,3 6,6 7,1 6,4 7,1 7,5
3,3 3,7 4,0 3,9 4,6 5,2 5,4 6,2 6,6 6,3 7,1 7,5 7,4 7,7 7,8
3,3 3,5 3,9 3,8 4,0 4,6 5,1 5,6 5,6 6,0 6,1 6,6 6,7 7,1 7,4
3,1 3,6 3,9 3,7 4,3 4,9 5,0 5,4 5,9 5,7 6,7 6,6 6,2 6,2 7,2
1,4 2,0 2,4 2,5 2,7 2,7 3,3 3,5 3,5 3,9 4,1 4,4 4,3 4,6 4,8
2,9 3,3 3,3 3,4 4,1 4,3 4,3 5,5 5,8 5,7 6,1 6,9 6,2 6,3 6,9
2,3 2,8 3,1 2,8 3,4 3,7 4,0 4,7 4,9 4,9 5,2 5,7 4,2 5,0 5,7
1,6 2,4 2,7 2,4 2,6 3,4 3,3 3,8 4,1 4,0 4,1 4,7 4,4 4,5 4,8
2,2 2,6 2,8 3,4 3,3 3,7 3,8 4,4 4,3 4,5 4,8 5,1 5,4 5,6 5,6
2,3 2,1 2,4 2,6 2,7 2,7 3,5 3,9 3,9 4,0 4,3 4,2 4,9 5,0 4,9
3,0 2,7 3,7 3,4 4,0 4,0 4,7 5,0 5,1 5,6 5,4 6,1 5,1 5,5 6,4
2,5 3,6 3,4 3,6 3,8 4,4 4,9 4,9 5,5 5,5 6,0 6,5 6,9 6,4 6,7
2,2 2,4 2,4 3,2 3,3 3,5 4,7 4,4 4,8 5,1 5,5 5,7 5,9 6,4 6,3
2,5 2,6 3,2 3,7 3,9 4,1 4,9 5,4 5,3 5,9 6,4 6,9 6,1 6,4 7,1
2,6 2,8 2,6 3,1 3,8 3,4 4,1 4,6 4,0 5,6 5,1 5,8 5,7 6,2 6,3
2,9 3,4 3,7 3,3 4,4 4,0 4,5 4,8 5,8 5,3 6,0 6,2 5,4 5,8 6,2
2,1 1,8 2,8 2,3 2,4 2,9 3,3 3,3 3,6 3,7 4,0 4,3 4,3 4,4 4,7
2,7 3,0 3,4 3,4 4,2 4,5 5,0 5,5 5,9 5,7 6,3 7,0 5,5 6,6 6,7
2,5 2,9 3,0 3,6 4,0 4,5 5,0 5,0 5,4 5,7 6,1 6,6 6,6 7,0 6,9
3,1 3,3 3,5 4,1 4,6 4,7 5,0 5,4 6,0 6,1 7,0 7,2 6,6 6,8 7,5
2,0 2,3 2,4 2,5 2,7 3,0 3,1 3,0 3,3 3,3 3,8 4,2 3,7 4,0 4,2
Задание № 19
Дана матрица парных коэффициентов корреляции для линейного уравнения множественной регрессии. Найти:
а) Множественный коэффициент корреляции.
б) Частные коэффициенты корреляции первого порядка.
в) Частные коэффициенты корреляции второго порядка.
г) Проанализировать, какие факторы взаимно зависимы, и их
исключить из уравнения регрессии.
235
Вариант № 1
фактор
x1
x2
x3
x4
y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
x1
1,00
0,62
0,60
0,44
0,81
x1
1,00
0,37
0,32
0,46
0,95
x1
1,00
0,60
0,35
0,68
0,78
x1
1,00
0,37
0,54
0,54
0,84
x2
x3
Вариант № 2
x4
0,62 0,60 0,44
1,00 0,71 0,60
0,71 1,00 0,32
0,60 0,32 1,00
0,85 0,94 0,78
Вариант № 3
x2
x3
x4
0,37 0,32 0,46
1,00 0,45 0,66
0,45 1,00 0,50
0,66 0,50 1,00
1,00 0,78 0,95
Вариант № 5
x2
x3
x4
0,60 0,35 0,68
1,00 0,54 0,63
0,54 1,00 0,35
0,63 0,35 1,00
0,71 0,88 0,94
Вариант № 7
x2
x3
x4
0,37 0,54 0,54
1,00 0,66 0,68
0,66 1,00 0,72
0,68 0,72 1,00
0,73 0,91 0,77
Вариант № 9
y
0,81
0,85
0,94
0,78
1,00
y
0,95
1,00
0,78
0,95
1,00
y
0,78
0,71
0,88
0,94
1,00
y
0,84
0,73
0,91
0,77
1,00
x1
x2
x3
x4
y
1,00
0,66
0,76
0,33
0,93
0,66
1,00
0,44
0,59
0,85
0,76
0,44
1,00
0,31
0,82
0,33
0,59
0,31
1,00
0,77
0,93
0,85
0,82
0,77
1,00
фактор
x1
x2
x3
x4
y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
236
x1
1,00
0,56
0,52
0,76
0,96
x1
1,00
0,80
0,46
0,65
0,71
x1
1,00
0,80
0,50
0,66
0,81
x1
1,00
0,37
0,77
0,61
1,00
x2
x3
x4
0,56 0,52 0,76
1,00 0,31 0,67
0,31 1,00 0,71
0,67 0,71 1,00
0,95 0,91 0,91
Вариант № 4
x2
x3
x4
0,80 0,46 0,65
1,00 0,38 0,40
0,38 1,00 0,62
0,40 0,62 1,00
0,70 0,86 0,72
Вариант № 6
x2
x3
x4
0,80 0,50 0,66
1,00 0,37 0,64
0,37 1,00 0,39
0,64 0,39 1,00
0,81 0,92 0,98
Вариант № 8
x2
x3
x4
0,37 0,77 0,61
1,00 0,45 0,45
0,45 1,00 0,58
0,45 0,58 1,00
0,75 0,71 0,74
Вариант № 10
y
0,96
0,95
0,91
0,91
1,00
y
0,71
0,70
0,86
0,72
1,00
y
0,81
0,81
0,92
0,98
1,00
y
1,00
0,75
0,71
0,74
1,00
x1
x2
x3
x4
y
1,00
0,62
0,61
0,58
0,78
0,62
1,00
0,72
0,55
0,88
0,61
0,72
1,00
0,63
0,94
0,58
0,55
0,63
1,00
0,89
0,78
0,88
0,94
0,89
1,00
Вариант № 11
фактор
x1
x2
x3
x4
Y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
x1
x2
x3
x4
Вариант № 12
y
1,00 0,59 0,57 0,66
0,59 1,00 0,54 0,50
0,57 0,54 1,00 0,45
0,66 0,50 0,45 1,00
0,92 0,78 0,86 0,81
Вариант № 13
0,92
0,78
0,86
0,81
1,00
x1
y
x2
x3
x4
1,00 0,52 0,67 0,63
0,52 1,00 0,64 0,72
0,67 0,64 1,00 0,58
0,63 0,72 0,58 1,00
0,84 0,83 0,83 0,73
Вариант № 15
0,84
0,83
0,83
0,73
1,00
x1
y
x2
x3
x4
1,00 0,35 0,60 0,43
0,35 1,00 0,33 0,58
0,60 0,33 1,00 0,32
0,43 0,58 0,32 1,00
0,76 0,99 1,00 0,99
Вариант № 17
0,76
0,99
1,00
0,99
1,00
x1
y
x2
x3
x4
1,00 0,62 0,68 0,53
0,62 1,00 0,51 0,69
0,68 0,51 1,00 0,52
0,53 0,69 0,52 1,00
0,91 0,78 0,87 0,80
Вариант № 19
0,91
0,78
0,87
0,80
1,00
x1
x2
x3
x4
y
1,00
0,66
0,51
0,71
0,75
0,66
1,00
0,56
0,73
0,89
0,51
0,56
1,00
0,77
0,73
0,71
0,73
0,77
1,00
0,96
0,75
0,89
0,73
0,96
1,00
фактор
x1
x2
x3
x4
Y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
237
x1
1,00
0,59
0,57
0,66
0,92
x1
1,00
0,50
0,33
0,37
0,72
x1
1,00
0,80
0,32
0,69
0,90
x1
1,00
0,55
0,46
0,41
0,92
x2
x3
x4
0,59 0,57 0,66
1,00 0,54 0,50
0,54 1,00 0,45
0,50 0,45 1,00
0,78 0,86 0,81
Вариант № 14
x2
x3
x4
0,50 0,33 0,37
1,00 0,67 0,32
0,67 1,00 0,34
0,32 0,34 1,00
0,71 0,74 0,95
Вариант № 16
x2
x3
x4
0,80 0,32 0,69
1,00 0,71 0,51
0,71 1,00 0,70
0,51 0,70 1,00
0,77 1,00 0,99
Вариант № 18
x2
x3
x4
0,55 0,46 0,41
1,00 0,36 0,38
0,36 1,00 0,40
0,38 0,40 1,00
0,94 0,79 0,95
Вариант № 20
y
0,92
0,78
0,86
0,81
1,00
y
0,72
0,71
0,74
0,95
1,00
y
0,90
0,77
1,00
0,99
1,00
y
0,92
0,94
0,79
0,95
1,00
x1
x2
x3
x4
y
1,00
0,59
0,36
0,79
0,94
0,59
1,00
0,41
0,39
0,82
0,36
0,41
1,00
0,40
0,93
0,79
0,39
0,40
1,00
0,89
0,94
0,82
0,93
0,89
1,00
Вариант № 21
фактор
x1
x2
x3
x4
y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
x1
x2
x3
Вариант № 22
x4
1,00 0,76 0,33 0,78
0,76 1,00 0,62 0,35
0,33 0,62 1,00 0,75
0,78 0,35 0,75 1,00
0,75 0,77 0,92 0,98
Вариант № 23
факфакx1
x1
тор
тор
1,00 x1
1,00 x1
0,70 x2
0,70 x2
0,63 x3
0,63 x3
0,71 x4
0,71 x4
0,80 y
0,80 y
Вариант № 25
x1
x2
x3
x4
1,00
0,70
0,63
0,71
0,80
0,70
1,00
0,75
0,41
0,97
0,63
0,75
1,00
0,72
0,97
0,71
0,41
0,72
1,00
0,81
y
0,75
0,77
0,92
0,98
1,00
фактор
x1
x2
x3
x4
y
x1
x2
x3
x4
0,43 0,70 0,70
1,00 0,38 0,47
0,38 1,00 0,62
0,47 0,62 1,00
0,79 0,82 0,95
Вариант № 24
факфакфакx1
x1
x1
тор
тор
тор
1,00 x1
1,00 x1
1,00 x1
0,70 x2
0,70 x2
0,70 x2
0,63 x3
0,63 x3
0,63 x3
0,71 x4
0,71 x4
0,71 x4
0,80 y
0,80 y
0,80 y
Вариант № 26
факy
x1
x2
x3
x4
тор
0,80 x1 1,00 0,40 0,77 0,65
0,97 x2 0,40 1,00 0,60 0,34
0,97 x3 0,77 0,60 1,00 0,48
0,81 x4 0,65 0,34 0,48 1,00
1,00 y 0,76 0,95 0,74 0,77
Вариант № 27
x1
x2
x3
x4
y
1,00
0,48
0,50
0,31
0,99
0,48
1,00
0,74
0,66
0,81
0,50
0,74
1,00
0,57
0,95
0,31
0,66
0,57
1,00
0,71
0,99
0,81
0,95
0,71
1,00
Вариант № 27
x1
x2
x3
x4
y
1,00
0,48
0,50
0,31
0,99
0,48
1,00
0,74
0,66
0,81
0,50
0,74
1,00
0,57
0,95
0,31
0,66
0,57
1,00
0,71
0,99
0,81
0,95
0,71
1,00
фактор
x1
x2
x3
x4
y
фактор
x1
x2
x3
x4
y
238
1,00
0,43
0,70
0,70
0,78
y
0,78
0,79
0,82
0,95
1,00
x1
1,00
0,70
0,63
0,71
0,80
y
0,76
0,95
0,74
0,77
1,00
Вариант № 28
x1
x2
x3
x4
y
1,00
0,33
0,36
0,65
0,74
0,33
1,00
0,64
0,30
0,95
0,36
0,64
1,00
0,37
0,90
0,65
0,30
0,37
1,00
0,87
0,74
0,95
0,90
0,87
1,00
Вариант № 28
x1
x2
x3
x4
y
1,00
0,33
0,36
0,65
0,74
0,33
1,00
0,64
0,30
0,95
0,36
0,64
1,00
0,37
0,90
0,65
0,30
0,37
1,00
0,87
0,74
0,95
0,90
0,87
1,00
Вариант № 29
фактор
x1
x2
x3
x4
y
x1
x2
x3
Вариант № 30
x4
1,00 0,48 0,50 0,31
0,48 1,00 0,74 0,66
0,50 0,74 1,00 0,57
0,31 0,66 0,57 1,00
0,99 0,81 0,95 0,71
Вариант № 31
фактор x1
x2
x3
x4
x1
1,00 0,71 0,34 0,57
x2
0,71 1,00 0,73 0,61
x3
0,34 0,73 1,00 0,46
x4
0,57 0,61 0,46 1,00
y
0,89 0,98 0,82 0,82
y
0,99
0,81
0,95
0,71
1,00
факx1
тор
x1 1,00
x2 0,33
x3 0,36
x4 0,65
y
0,74
x2
x3
x4
y
0,33 0,36 0,65 0,74
1,00 0,64 0,30 0,95
0,64 1,00 0,37 0,90
0,30 0,37 1,00 0,87
0,95 0,90 0,87 1,00
Вариант № 32
y
фактор x1
x2
x3
x4
y
0,89
x1
1,00 0,65 0,48 0,75 0,72
0,98
x2
0,65 1,00 0,75 0,36 0,98
0,82
x3
0,48 0,75 1,00 0,72 0,92
0,82
x4
0,75 0,36 0,72 1,00 0,83
1,00
y
0,72 0,98 0,92 0,83 1,00
Задание № 20
Для исследования влияния состава семьи (х, чел.) на процент
затрат на хозяйственные товары и мебель на одного члена семьи
у, торговая организация провела опрос, в результате которого
была построена корреляционная таблица. Найти выборочный коэффициент линейной корреляции, проверить гипотезу о равенстве его нулю (взять α = 0,1), и если она не подтвердится опытными
данными, построить уравнение линейной регрессии ỹ = ax + b.
у\х
5
10
15
20
25
30
у\х
5
10
15
20
25
30
Вариант № 1,11,21
1
2
3
4
3
2
17
13
7
22
22
21
17
16
3
12
13
1
1
5
Вариант № 3,13,23
1
2
3
4
5
4
22
2
27
31
10
8
32
8
19
13
10
11
9
5
12
6
у\х
5
10
15
20
25
30
5
4
12
3
у\х
5
15
20
25
35
40
239
Вариант № 2,12,22
1
2
3
4
2
10
15
3
21
20
27
19
19
9
24
11
3
8
Вариант № 4,14,24
1
2
3
4
5
11
8
15
20
20
17
10
24
14
22
19
17
9
11
2
5
10
9
5
10
4
у\х
5
10
15
20
25
30
у\х
5
10
15
20
25
30
у\х
5
10
15
20
25
30
Вариант № 5,15,25
1
2
3
4
4
23
26
38
6
27
32
9
2
9
7
32
29
19
14
6
Вариант № 7,17,27
1
2
3
4
8
25
31
6
6
7
1
21
23
7
8
26
15
2
6
Вариант № 9,19,29
1
2
3
4
3
3
12
12
25
13
17
38
9
27
26
5
31
29
2
5
9
23
3
у\х
5
10
15
20
25
30
5
27
19
8
у\х
5
10
15
20
25
30
5
23
16
4
у\х
5
10
15
20
25
30
240
Вариант № 6,16,26
1
2
3
5
2
12
6
7
27
7
27
33
30
13
29
21
6
19
11
11
Вариант № 8,18,28
1
2
3
4
5
34
13
6
5
33
26
22
13
2
15
4
4
7
22
7
18
12
12
36
27
11
4
Вариант № 10,20,30
1
2
3
4
5
2
2
6
2
5
14
4
3
17
18
22
9
22
26
25
33
29
21
25
ПРИЛОЖЕНИЕ
Математико-статистические таблицы
Таблица П.1 Значение функции
Целые
и десятые доли х
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
f (x) =
2
−x
1
2
e
2π
Сотые доли х
0
1
2
3
4
0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986
3970 3965 3961 3956 3951
3910 3902 0894 3885 3876
3814 3802 3790 3778 3765
3683 3668 3653 3637 3621
3521 3503 3485 3467 3448
3332 3312 3292 3271 3251
3123 3101 3079 3056 3034
2897 2874 2850 2827 2803
2661 2637 2613 2589 2565
2420 2396 2371 2347 2323
2179 2155 2131 2107 2083
1942 1919 1895 1872 1849
1714 1691 1669 1647 1626
1497 1476 1456 1435 1415
1295 1276 1257 1238 1219
1109 1092 1074 1057 1040
0940 0925 0909 08093 0878
0790 0775 0761 0748 0734
0656 0644 0632 0620 0608
0,0540 0,0529 0,0519 0,0508 0,0498
0440 0431 0422 0413 0404
0355 0347 0339 0332 0325
0283 0277 0270 0264 0258
0224 0219 0213 0208 0203
0175 0171 0167 0163 0158
0136 0132 0129 0126 0122
0104 0101 0099 0096 0093
0079 0077 0075 0073 0071
0060 0058 0056 0055 0053
0044 0043 0042 0040 0039
0033 0032 0031 0030 0029
0024 0023 0022 0022 0021
0017 0017 0016 0016 0015
0012 0012 0012 0011 0011
0009 0008 0008 0008 0007
0006 0006 0006 0005 0005
0004 0004 0004 0004 0004
0003 0003 0003 0003 0003
0002 0002 0002 0002 0002
0
1
2
3
4
241
5
6
7
8
9
0,3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
0,0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0038
0028
0020
0015
0010
0007
0005
0004
0002
0002
5
0,3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
0,0478
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0037
0027
0020
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
6
0,3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
0,0468
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0036
0026
0019
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
7
0,3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2468
2227
1989
0758
1539
1334
1145
0973
0818
0981
0562
0,0459
0371
0297
0235
0184
0143
0110
0084
0063
0047
0035
0025
0018
0013
0009
0007
0005
0003
0001
0001
8
0,3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
0,0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
0034
0025
0018
0013
0009
0006
0004
0003
0001
0001
9
2
−z
x
Таблица П.2 Значения функции Ф( x) = 1 ∫ e 2 dz
2π 0
х
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
Ф(х)
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
х
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
Ф(х)
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
х
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
Ф(х)
0,3051
0,3078
0,3106
0 3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3844
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
х
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
242
Ф(х)
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0 4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4515
0,4554
0,4564
х
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
Ф(х)
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4698
0,4706
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
х
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
Ф(х)
0,4893
0,4898
0,4904
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,4986
0,4993
0,4996
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
Таблица П.3 Таблица значений tγ = t(γ,n)
γ
n
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11
15
10
17
18
19
0,95
0,99
0,999
2,78
2,57
2,45
2,37
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,11
2,10
4,60
4,03
3,71
3,50
2,36
3,25
3,17
3,11
3,06
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,88
8,61
6,86
5,96
5,41
5,04
4,78
4,59
4,44
4,32
4,22
4,14
4,07
4,02
3,97
3,92
γ
n
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
120
∝
0,95
0,99
0,999
2,093
2,064
2,045
2,032
2,023
2,016
2,009
2,001
1,995
1,001
1,987
1,984
1,980
1,960
2,861
2,797
2,756
2,729
2,708
2,692
2,679
2,662
2,649
2,640
2,633
2,627
2,617
2,576
3,883
3,745
3,659
3,600
3,558
3,527
3,502
3,464
3 439
3,418
3,403
3,392
3,374
3,291
0,95
0,99
0,999
0,37
0,32
0,28
0,26
0,24
0,22
0,21
0,188
0,174
0,161
0,151
0,143
0,115
0,099
0,089
0,58
0,49
0,43
0,38
0,35
0,32
0,30
0,269
0,245
0,226
0,211
0,198
0,160
0,136
0,120
0,88
0,73
0,63
0,56
0,50
0,46
0,43
0,38
0,34
0,31
0,29
0,27
0,211
0,185
0,162
Таблица П.4 Таблица значений q = q(γ,n)
γ
n
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0,95
0,99
0,999
1,37
1,09
0,92
0,80
0,71
0,65
0,59
0,55
0,52
0,48
0,46
0,44
0,42
0,40
0,39
2,67
2,01
1,62
1,38
1,20
1,08
0,98
0,90
0,83
0,78
0,73
0,70
0,66
0,63
0,60
5,64
3,88
2,98
2,42
2,06
1,80
1,60
1,45
1,33
1,23
1,15
1,07
1,01
0,96
0,92
γ
n
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
150
200
250
243
Таблица П.5 Критические точки распределения χ2
Число степеней Уровень значимости α
свободы ν
0,01
0,025
0,05
1
6,6
5,0
3,8
2
9,2
7,4
6,0
3
11,3
9,4
7,8
4
13,3
11,l
9,3
5
15,1
12,8
11,1
6
16,8
14,4
12,6
7
18,5
16,0
14,1
8
20,1
17,5
!5,5
9
21,7
19,0
16,9
10
23,2
20,5
18,3
11
24,7
21,9
19,7
12
26,2
23,3
21,0
13
27,7
24,7
22,4
14
29,1
26,1
23,7
15
30,6
27,5
25,0
16
32,0
28,8
26,3
17
33,1
30,2
27,6
18
34,8
31,3
28,9
19
36,2
32,9
30,1
20
37,6
31,2
31,4
21
18,9
35,5
32,7
22
40,3
36,8
33,9
23
11,6
38,1
35,2
24
43,0
39,4
36,4
25
44,3
40,6
37,7
26
45,6
41,9
38,9
27
47,0
43,2
40,1
28
48,3
44,5
41,3
29
49,6
45,7
42,6
30
50,9
47,0
43,8
244
0,95
0,0039
0,103
0,352
0,711
1,15
1,64
2,17
2,73
3,33
3,94
4,57
5,23
5,89
6,37
7,20
7,96
8,67
9,39
10,1
10,9
11,6
12,3
13,1
13,8
14,6
15,4
16,2
16,9
17,7
18,5
0,975
0,00098
0,051
0,216
0,484
0,831
1,24
1,69
2,18
2,70
3,25
3,82
4,40
5,01
5,63
6,26
6,91
7,56
8,23
8,91
9,59
10,3
11,0
11,7
12,4
13,1
13,8
14,6
15,3
16,0
16,8
0,99
0,00016
0,020
0,115
0,297
0,554
0,872
1,24
1,65
2,09
2,56
3,05
3,57
4,11
4,66
5,23
5,81
6,41
7,01
7,63
8,26
8,90
9,51
10,2
10,9
11,5
12,2
12,9
13,6
14,3
15,0
Таблица П.6 Критические точки распределения Стьюдента
Число степеней свободы ν
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
40
60
120
∞
Уровень значимости α (двустороння критическая область)
0,10
0,05
0,02
0,01
0,002
0,001
6,31
12,7
31,82
63,7
318 3
637,0
2,92
4,30
6,97
9,98
22,33
31,6
2,35
3,18
4,64
5,84
10 22
12,9
2,13
2,78
3,75
4,60
7,17
8,61
2,01
2,57
3,37
4,03
5,89
6,86
1,94
2,45
3,14
3,71
5,21
5,96
1,89
2,36
3,00
3,50
4,79
5,40
1,86
2,31
2,90
3,36
4,50
5,04
1,83
2,26
2,82
3,25
4 30
4,78
1,81
2,23
2,76
3,17
4,14
4 59
1,80
2,20
2 72
3,11
4,03
4,44
1,78
2,18
2,68
3,05
3,93
4,32
1,76
2 14
2,62
2,98
3,79
4,14
1,75
2,12
2,58
2,92
3,69
4,04
1,73
2,10
2,55
2,88
3,61
3,92
1,73
2,09
2,53
2,85
3,55
3,85
1,72
2,07
2,51
2,82
3,51
3,79
1,71
2,06
2,49
2,80
3,47
3,74
1,71
2,06
2,48
2,78
3,44
3,71
1,70
2,05
2,46
2,76
3:40
3,66
1,70
2,04
2,46
2,75
3,39
3,65
1,68
2,02
2,42
2,70
3,31
3,55
1,67
2,00
2,39
2,66
3,23
3,46
1,66
1,98
2,36
2,62
3,17
3,37
1,64
1,96
2,33
2,58
3,09
3,29
0,05
0,025
0,01
0,005
0,001
0,0005
Уровень значимости α (односторонняя критическая область)
245
Таблица П.7 Критические точки распределения F Фишера–
Снедекора (ν1 –число степеней свободы большей дисперсии,
ν2 –число степеней свободы меньшей дисперсии)
Уровень значимости α = 0,01
ν1
ν2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
3
4
5
б
7
8
9
10
12
4052
98,49
34,12
21,20
16,26
13,74
12,25
11,26
10,56
10,04
9,85
9,33
9,07
8,86
8,68
8,53
8,40
4999
99,01
30,81
18,00
13,27
10,92
9,55
8,65
8,02
7,56
7,20
6,93
6,70
6,51
6,36
6,23
6,11
5403
99,17
29,46
16,69
12,06
9,78
8,45
7,59
6,99
6,55
6,22
5,95
5,74
5,56
5,42
5,29
5,18
5625
99,25
28,71
15,98
11,39
9,15
7,85
7,01
6,42
5,99
5,67
5,41
5,20
5,03
4,89
4,77
4,67
5764
99,33
28,24
15,52
10,97
8,75
7,46
6,63
6,06
5,64
5,32
5,06
4,86
4,69
4,56
4,44
4,34
5889
99,30
27,91
15,21
10,67
8,47
7,19
6,37
5,80
5,39
5,07
4,82
4,62
4,46
4,32
4,20
4,10
5928
99,34
27,67
14,98
10,45
8,26
7,00
6,19
5,62
5,21
4,88
4,65
4,44
4,28
4,14
4,03
3,93
5981
99,36
27,49
14,80
10,27
8,10
6,84
6,03
5,47
5,06
4,74
4,50
4,30
4,14
4,00
3,89
3,79
6022
99,36
27,34
14,66
10,15
7,98
6,71
5,91
5,35
4,95
4,63
4,39
4,19
4,03
3,89
3,78
3,68
6066
99,40
27,23
14,54
10,05
7,87
6,62
5,82
5,26
4,85
4,54
4,30
4,10
3,94
3,80
3,69
3,59
6106
99,42
27,05
14,37
9,89
7,72
6,47
5,67
5,11
4,71
4,40
4,16
3,96
3,80
3,67
3,55
3,45
246
Таблица П.8.
Уровень значимости α = 0,05
ν1
ν2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
3
4
5
б
7
8
9
10
12
161
200
216
225
230
234
237
239
241
242
244
18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,36 19,37 19,38 19,39 19,41
10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,88 8,84 8,81 8,78 8,74
7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,90
6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,78 4,74 4,68
5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,00
5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,63 3,57
5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,34 3,28
5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,13 3,07
4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,97 2,91
4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,86 2,79
4,75 3,88 3,49 3,26 3,11 3,00 2,92 2,85 2,80 2,76 2,69
4,67 3,80 3,41 3,18 3,02 2,92 2,84 2,77 2,72 2,67 2,60
4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,77 2,70 2,65 2,60 2,53
4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,70 2,64 2,59 2,55 2,48
4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,42
4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,62 2,55 2,50 2,50 2,38
Таблица П.9 Преобразование Фишера Z = 1 ln 1 + r
2
1− r
(определение Z по значению коэффициента корреляции r)
R
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,00
0,00
0,100
0,203
0,309
0,424
0,549
0,693
0,867
1,099
1,472
0,01
0,010
0,110
0,213
0,321
0,436
0,563
0,709
0,887
1,127
1,527
0,02
0,020
0,121
0,224
0,332
0,428
0,576
0,725
0,908
1,157
1,589
0,03
0,030
0,131
0,234
0,343
0,460
0,590
0,741
0,929
1,188
1,658
Сотые доли
0,04
0,05
0,040 0,050
0,141 0,151
0,245 0,255
0,354 0,365
0,472 0,485
0,604 0,618
0,758 0,776
0,951 0,973
1,221 1,256
1,738 1,832
247
0,06
0,060
0,161
0,266
0,377
0,498
0,633
0,793
0,996
1,293
1,946
0,07
0,070
0,171
0,277
0,388
0,510
0,648
0,811
1,020
1,333
2,092
0,08
0,080
0,181
0,288
0,400
0,253
0,663
0,829
1,045
1,376
2,298
0,09
0,090
0,191
0,299
0,412
0,536
0,678
0,848
1,071
1,422
2,647
Таблица П.10. Обратное преобразование Фишера (определение
коэффициента корреляции r по значению Z)
Z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
4
0,00
0000
0997
1974
2913
3800
4621
5370
6044
6640
7163
7616
8005
8337
8617
8854
9051
9217
9354
94681
95624
96403
97045
97574
98010
98367
98661
98903
99101
99263
99396
99505
99933
0,01
010
1096
2070
3004
3885
4699
5441
6107
6696
7211
7658
8041
8367
8643
8875
9069
9232
9366
94783
95709
96473
97103
97622
98049
98399
98688
98924
99118
99278
99408
99595
99945
0,02
0200
1194
2165
3095
3969
4777
5511
6169
6751
7259
7699
8076
8397
8668
8896
9087
9246
9379
94884
95792
96541
97159
97668
9887
98431
98714
98945
99136
99292
99420
99668
99955
0,03
0300
1293
2260
6185
4053
4854
5580
6231
6805
7306
7739
8110
8426
8692
8917
9104
9261
9391
94982
95873
96609
97215
97714
98124
98462
98739
98966
99153
99306
99431
99728
99963
Сотые доли
0,04
0,05
0400 0500
1391 1489
2355 2449
3275 3364
4136 4219
4930 5005
5649 5717
6291 6351
6958 6911
7352 7398
7779 7818
8144 8178
8455 8483
8717 8741
8937 8957
9121 9138
9275 9289
9402 9414
95080 95175
95953 96032
96675 96733
97269 97323
97759 97803
98161 98197
98492 99522
98764 98788
98987 99007
99170 99186
99320 99333
99443 99454
99777 99818
99970 99975
0,06
0599
1586
2543
3452
4301
5080
5784
6411
6963
7443
7857
8210
8511
8764
8977
9154
9302
9425
95268
96109
96803
97375
97846
98233
98551
98812
99012
99202
99346
99464
99851
99980
0,07
0699
1694
2636
3540
4382
5154
5850
6469
7014
7447
7895
8243
8538
8787
8996
9170
9316
9436
95259
96185
96865
97426
97888
98267
98579
99835
99045
99218
99359
99475
99878
99983
0,08
0708
1781
2729
3627
4469
5227
5915
6527
7064
7531
7932
8275
8565
8810
9015
9196
9329
9447
95449
96250
96926
97477
97929
98301
98607
98858
99064
99233
99372
99485
99900
99986
Примечание. В значениях r опущены ноль и запятая.
248
0,09
0898
1877
2821
3714
4542
5299
5980
6584
7114
7574
7969
8306
8591
8832
9033
9201
9341
9458
95537
96331
92986
97526
97970
98335
98635
98881
99083
99248
99384
99495
99918
99989
Литература
1. Айвазян C.А. Прикладная статистика. Классификация и снижения размерности / C.А. Айвазян, В.А. Бухштабер, И.C. Енюков,
Л.Д. Мешалкин. – М.: Финансы и статистика, 1999.
2. Айвазян C.А. Прикладная статистика. Исследование зависимостей / C.А. Айвазян, И.C. Енюков, Л.Д. Мешалкин. – М.: Финансы и статистика, 2005.
3. Болч Б.У. Многомерные статистические методы для экономики/ Б.У. Болч, К.Д. Хуань. – М.: Статистика, 2009.
4. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим
данным / В.Н. Вапник. – М.: Наука, 2009.
5. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов / Е.С.
Вентцель. – М.: Высш. шк., 2009.
6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистики. – М.: Высш. шк., 2008.
7. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. – М.: Высш. шк., 1998.
8. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей / Б.В. Гнеденко. –
М.: Наука, 2008.
9. Гнеденко Б.В. Элементарное введение в теорию вероятностей
/ Б.В. Гнеденко, А.Я. Хинчин. – М.: Наука, 1976.
10. Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики / Е.И. Гурский. – М.: Высш. шк., 2001.
11. Демиденко Е. З. Линейная и нелинейная регрессия / Е. З.
Демиденко. – М.: Финансы и статистика, 2001.
12. Дрейпер Н. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн / Н.
Дрейпер, Г. Смит. – М: Финансы и статистика, 2006.
13. Дюк В. Обработка данных на ПК в примерах / В. Дюк. –
СПб.: Питер, 2007.
14. Елисеева И.И. Общая теория статистики / И.И. Елисеева,
М.М. Юзбашев. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2001.
15. Калинина В.Н. Математическая статистика / В.Н. Калинина,
В.Ф. Панкин. – М.: Высш. шк., 2008.
16. Карасев А.И. Теория вероятностей и математическая статистика/ А.И. Карасев. – М.: Статистика, 2009.
249
17. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Введение в количественный экономический анализ / Э. Кейн. – М.: Статистика, 2007. – Вып. 1.
18. Колемаев В. А. Теория вероятностей и математическая статистика / В. А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский. –
М.: Высш. шк., 1991.
19. Кремер Н.Ш. Эконометрика / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко. –
М.: ЮНИТИ, 2002.
20. Маленво Э. Cтатистические методы эконометрии / Э. Маленво. – М.: Статистика, 2006.
21. Матвеев В.И. Краткий курс теории вероятностей и математической статистики / В.И. Матвеев. – М.: РЭА им. Г.В. Плеханова, 1996.
22. Многомерный статистический анализ в экономике / Под
ред. В. Н. Тамашевича. -- М.: Юнити-Дана, 1999. -- 598 с.
23. Мостеллер, Ф. Анализ данных и регрессия / Ф. Мостеллер, ,
Дж. Тьюки,. – В 2-х вып. – М.: Финансы и статистика, 1982.
24. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика/ В.С. Пугачев. – М.: Наука, 1979.
25. Сборник задач по высшей математике для экономистов/ Под
ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2002.
26. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ / Дж. Себер. –
М.: Мир, 1980.
27. Тюрин Ю.Н. Статистический анализ данных на компьютере
/ Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров. – М.: ИНФРА-М, 1998.
28. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования /
Е.М. Четыркин. – М.: Статистика, 2004.
29. Четыркин Е.М. Вероятность и статистика / Е.М. Четыркин,
И.Л. Калихман. – М.: Финансы и статистика, 2002.
30. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей / В.П. Чистяков. –
М.: Наука, 1997.
31. Шведов А. С. Теория вероятностей и математическая статистика / А. С. Шведов. – М.: ВШЭ, 2005.
250
СОДЕРЖАНИЕ
МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА
Виды матриц
Действия над матрицами
Определители
Свойства определителей
Обратная матрица
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Правило Крамера
Метод Гаусса
Решение систем линейных уравнений с использованием обратной матрицы
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Основные понятия
Действия над n- мерными векторами
Линейная зависимость и независимость векторов
Базис. Разложение векторов по базису
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах
Линии и их уравнения
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ
Определения предела и непрерывности функции в точке. Свойства пределов
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Функция одной переменной
Основные формулы дифференцирования
Таблица производных
Функции нескольких переменных
Частные производные и полный дифференциал 1-го порядка
Градиент функции. Производная по направлению
Экстремум функции двух переменных
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
ИНТЕРГАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Неопределенный интеграл
Определенный интеграл
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
РЯДЫ
ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КОМБИНАТОРИКИ
Размещения
Перестановки
Сочетания
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
События
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДАННЫХ
Выборка. Эмпирическая функция распределения
Построение интервального вариационного ряда распределения
Выборочные начальные и центральные моменты. Асимметрия. Эксцесс
Упрощенный способ вычисления выборочных характеристик распределения
251
3
3
4
7
8
10
13
13
14
16
18
18
19
20
22
24
24
27
34
34
37
38
39
39
40
40
44
45
47
47
48
52
52
57
58
64
69
96
96
97
97
98
98
142
142
144
147
149
Графическое изображение вариационных рядов
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Точечные оценки
Интервальное оценивание
Оценки истинного значения измеряемой величины и точности измерений
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Основные сведения
Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей
Непараметрические методы математической статистики
Расчет теоретической кривой нормального распределения
Проверка гипотезы о нормальном законе распределения
Методы описательной статистики в пакете STADIA 6.0 Windows
Анализ нормальных выборок в пакете STADIA
ЭЛЕМЕНТЫ РЕГРЕССИОННОГО И КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА
Понятие функциональной, статистической и корреляционной зависимости
Линейная парная регрессия
Выборочный коэффициент корреляции
Анализ криволинейных связей
Корреляционная таблица
Выборочное корреляционное отношение
Линейный множественный регрессионный анализ
Множественный корреляционный анализ
Регрессионный анализ в пакете STADIA
Множественная линейная регрессия в пакете STADIA
ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЯ
ЛИТЕРАТУРА
252
152
155
155
157
159
160
160
163
165
167
172
173
175
177
179
179
180
185
189
192
194
196
199
206
211
213
241
249
Учебное издание
Шишкина Лариса Александровна
МАТЕМАТИКА
Учебное пособие
Издается в авторской редакции
Компьютерная верстка Брянцев М.В.
Подписано в печать 13.03. 2013 г. Формат 60х841/16
Бумага кн.-журн. П.л. 15,75 Гарнитура Таймс.
Тираж 100 экз. Заказ № 7432
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный аграрный университет имени императора Петра I»
Типография ФГБОУ ВПО Воронежский ГАУ. 394087, Воронеж, ул. Мичурина, 1
Информационная поддержка: http://tipograf.vsau.ru
Отпечатано с оригинал-макета заказчика. Ответственность за содержание
предоставленного оригинал-макета типография не несет.
Требования и пожелания направлять авторам данного издания
253
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа