close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Теория вероятности и комбинаторные правила для решение задачи

код для вставкиСкачать
Теория вероятностей и комбинаторные правила для решения задач ГИА и ЕГЭ В10
Введение. Что изучает теория вероятности?
Математику многие любят за еѐ вечные истины: дважды два всегда четыре, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую мы решаем на уроках математики, у всех получается один и тот же ответ –
нужно только не делать ошибок в решении Введение. Что изучает теория вероятности?
Реальная жизнь не так проста и однозначна. Окружающий нас мир полон случайностей. Это землетрясения, ураганы, подъѐмы и спады экономического развития, случайные встречи и так далее. Исходы многих явлений заранее предсказать невозможно. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадѐт подброшенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными.
Введение. Что изучает теория вероятности?
Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Такие закономерности изучает специальный раздел математики –
Теория вероятностей. В настоящее время теория вероятности входит в качестве обязательной дисциплины в учебные планы подготовки специалистов практически всех естественно –
научных, технических и гуманитарных дисциплин в высших учебных заведениях. Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение. 6
Классическое определение вероятности
Стохастическим называют опыт, если заранее нельзя предугадать его результаты. Результаты (исходы) такого опыта называются событиями
.
Пример
:
выбрасывается игральный кубик (опыт)
; выпадает двойка (событие).
Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным
, а которое не может произойти, -
невозможным
.
Пример
:
В мешке лежат три картофелины.
Опыт –
изъятие овоща из мешка.
Достоверное событие –
изъятие картофелины.
Невозможное событие –
изъятие кабачка.
7
Классическое определение вероятности
Равновозможными называют события, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие.
Примеры
:
1)
Опыт -
выбрасывается монета. Выпадение орла и выпадение решки –
равновозможные события.
2) В урне лежат три шара. Два белых и синий.
Опыт –
извлечение шара.
События –
извлекли синий шар и извлекли белый шар -
неравновозможны.
Появление белого шара имеет больше шансов..
8
Классическое определение вероятности
Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из них исключает наступление других. Пример
:
1) В результате одного выбрасывания выпадает
орел (событие А) или решка (событие В).
События А и В -
несовместны.
2) В результате двух выбрасываний выпадает
орел (событие А) или решка (событие В).
События А и В -
совместны. Выпадение орла в первый раз
не исключает выпадение решки во второй 9
Классическое определение вероятности
Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других несовместны.
Пример
:
1)
Опыт –
один раз
выбрасывается монета. Элементарные события
:
выпадение орла и выпадение решки образуют полную группу.
События образующие полную группу называют элементарными. 10
Вероятностью
случайного события А называется отношение числа элементарных событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в данную группу .
P(A) = m/n
Классическое определение вероятности
0
≤Р(А)≤1
11
Для конечных множеств событий при нахождении m
и
n
широко используют правила комбинаторики. Задача №1
:
Сколько двузначных чисел можно
составить используя цифры 7
; 8; 9
(цифры могут повторяться)
?
В данном случае легко перебрать все комбинации.
77
78
79
88
87
89
99
97
98
9 вариантов
12
Задача №2
:
Сколько пятизначных
чисел можно
составить используя цифры 7
; 8; 9
(цифры могут повторяться)
?
Как видим, в этой задаче перебор довольно затруднителен. Решим задачу иначе. На первом месте может стоять любая из трех цифр –
3 варианта. На втором месте может стоять любая из трех цифр –
3 варианта. На третьем месте может стоять любая из трех цифр –
3 варианта. На четвертом месте может стоять любая из трех цифр –
3 варианта. На пятом месте может стоять любая из трех цифр –
3 варианта. Комбинаторное правило умножения
13
Задачи открытого банка
№ 283479
В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные
—
из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.
13.01.2013
14
Благоприятное событие А
:
первой выступает спортсменка из Канады
К
-
во благоприятных
событий
:
m
=
?
К
-
во всех событий группы
:
n=? Соответствует количеству
гимнасток
из Канады.
m
=50
-
(24+13)=13
Соответствует количеству всех гимнасток.
n=
50
№ 283479
В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
13.01.2013
15
Благоприятное событие А
:
выбранный насос
не подтекает.
К
-
во благоприятных
событий
:
m
=
?
К
-
во всех событий группы
:
n=? Соответствует количеству
исправных
насосов
m
=1400
-
14=1386
Соответствует количеству всех насосов.
n=
1400
№ 283639
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
13.01.2013
16
Благоприятное событие А
:
купленная сумка
оказалась качественной.
К
-
во благоприятных
событий
:
m
=
?
К
-
во всех событий группы
:
n=? Соответствует количеству
качественных сумок.
m
=190
Соответствует количеству всех сумок.
n=
190+8
Родительский комитет закупил 9 пазлов для подарков детям на окончание года. Из них 4 с картинами известных художников и 5 с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Ренате достанется пазл с животным
13.01.2013
17
Благоприятное событие А
:
Ренате достался пазл с животным
К
-
во благоприятных
событий
:
m
=
?
К
-
во всех событий группы
:
n=? Соответствует количеству
пазлов с животным
m
= 5
Соответствует количеству всех пазлов.
n=
9
Р(А)= 5/9
13.01.2013
18
Благоприятное событие А
:
трехзначное число делится на 17
К
-
во благоприятных
событий
:
m
=
?
К
-
во всех событий группы
:
n=? Соответствует Количеству трехзначных чисел, делящихся на 17
102; 119; 136; 153; 170; 187.
m
=6
Соответствует количеству трехзначных чисел.
n=
999
-
99=900
Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 17.
Р(А)= 1/150
На экзамене 51 билет. Валера не выучил 11 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.
13.01.2013
19
Благоприятное событие А
:
попался выученный билет
К
-
во благоприятных
событий
:
m
=
?
К
-
во всех событий группы
:
n=? Соответствует количеству
выученных билетов
m
= 51
-
11=40
Соответствует количеству всех билетов.
n=
51
Р(А)= 40/51
У бабушки 10 чашек: 8 с красными звездами, остальные с золотыми. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими звездами
13.01.2013
20
Благоприятное событие А
:
бабушка взяла чашку с синими звездами
К
-
во благоприятных
событий
:
m
=
?
К
-
во всех событий группы
:
n=? Соответствует количеству
Чашек с синими звездами m
= 10
-
8 = 2
Соответствует количеству всех чашек.
n=
10
Р(А)= m/n = 2/10 = 0
,
2
Юра с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе девять кабинок, из них 6 –
синие, 2 –
зеленые, остальные –
оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Юра прокатится в оранжевой кабинке.
Ответ: 1/9
Телевизор у Светы сломался и показывает только один случайный канал. Света включает телевизор. В это время по двум каналам из сорока одного показывают новости. Найдите вероятность того, что Света попадет на канал, где новости идут.
2/41
На тарелке 30 пирожков: 5 с мясом, 3 с капустой и 22 с вишней. Жора наугад выбирает себе один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с мясом.
1/6
В каждой шестой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределяются по банкам случайно. Валя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Валя не найдет приз в своей банке.
5/6
В фирме такси в данный момент свободна 21 машина: 6 черных, 9 желтых и 6 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.
2/7
№ 283445
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
13.01.2013
26
Опыт
:
выпадают три игральные кости.
Благоприятное событие А
:
в сумме выпало 7 очков.
К
-
во благоприятных
событий m
=
?
331
313
133
223
232
322
511
151
115
412
421
124
142
214
241
К
-
во всех событий группы n=? 1
-
я кость -
6 вариантов
2
-
я кость -
6 вариантов
3
-
я кость -
6 вариантов
найдите вероятность того, что при броске двух одинаковых кубиков на одном выпадет число, меньшее 3, а на другом –
не большее 3.
13.01.2013
27
Опыт
:
выпадают два игральных кубика.
Благоприятное событие А
:
на одном выпало 1 или 2 очка. на другом выпало 1, 2 или 3 очка.
К
-
во благоприятных
событий m
=
?
1 1
1 2
1 3
2 1
2 2
2 3
3 1 3 2
К
-
во всех событий группы n=? 1
-
я кость -
6 вариантов
2
-
я кость -
6 вариантов
8
6 ∙
6 = 36
Р(А)= m/n = 8/36 = 2/9
Оля и Вадим играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, у кого больше очков. Считается, что у ребят ничья, если очков они выбросили поровну. Оля выкинула 4 очка. Затем кубик бросает Вадим. Найдите вероятность того, что Вадим не проиграет.
13.01.2013
28
Опыт
:
Вадим бросает кость.
Благоприятное событие А
:
Вадим не проиграл
К
-
во благоприятных
событий m
=
?
К
-
во всех событий группы n=? Выпало 1,2,3,4,5 или 6 очков
N
= 6
Выпало 4, 5 или 6 очков.
m
=
3
Р(А) = m/n
= 3/6=0,5
Оля, Вадим и Виталик играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, у кого больше очков. Считается, что у ребят ничья, если очков они выбросили поровну. В сумме они выкинули 13 очков. Найдите вероятность того, что Оля выиграла у обоих мальчиков, причем Вадим с Виталиком выбросили поровну очков.
13.01.2013
29
Благоприятное событие А
:
Оля выиграла, мальчики выбросили поровну очков К
-
во благоприятных
событий m
=
?
К
-
во всех событий группы n=? Оля Вадим Виталик
5 4 4
4 5 4
4 4 5
n
= 3
Оля Вадим Виталик
5 4 4
m
=
1
Р(А) = m/n
= 1/3
Опыт: Выбросили три кубика. В сумме выбросили 13 очков.
Найдите вероятность того, что при броске трх симметричных монет два раза выпадет орл, а один раз решка.
13.01.2013
30
Опыт
:
выпадают три монеты
Благоприятное событие А
:
выпало два орла и одна решка.
К
-
во благоприятных
событий m
=
?
ООР
ОРО
РОО
К
-
во всех событий группы n=? 1
-
я монета -
2 варианта
2
-
я монета -
2 варианта
3
-
я монета -
2 варианта
3
2 ∙2 ∙
2 = 8
Р(А) = 3/8 = 0,375
13.01.2013
31
№ 283471
В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
Условие можно трактовать так
:
какова вероятность того, что все четыре раза выпадет решка
?
К
-
во благоприятных
событий m
=
?
К
-
во всех событий группы n=? m=
1
Четыре раза выпала
решка.
1
-
й раз -
2 варианта
2
-
й раз -
2 варианта
3
-
й раз -
2 варианта
4
-
й раз -
2 варианта
Задание B10 (№ 285923)
Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80
выступлений
—
по одному от каждой страны. В первый день 8
выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
13.01.2013
32
Благоприятное событие А
:
В третий день состоится выступление представителя из России
К
-
во благоприятных
событий m
=
?
К
-
во всех событий группы n=? Соответствует количеству всех выступлений
N
= 80
Сответсвует количеству выступлений в третий день:
1
-
й день 8 выступлений
(80
-
8) : 4 = 18
2
-
й день 18 выступлений
3
-
й день 18 выступлений
4
-
й день 18 выступлений
5
-
й день 18 выступлений
m
=
18
Р(А) = m/n
= 18/80 =0,225
Задание B10 (№ 285925)
Перед началом первого тура чемпионата по теннису участниц разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 теннисисток , среди которых 10 участников из России, в том числе Рита Орлова. Найдите вероятность того, что в первом туре Рита Орлова будет играть с какой
-
либо теннисисткой из России?
13.01.2013
33
Условие можно трактовать так: какова вероятность выбора теннисистки из России без учета Риты Орловой.
К
-
во благоприятных
событий m
=
?
К
-
во всех событий группы n=? Соответствует количеству всех теннисисток
N
= 26 –
1 = 25
Сответсвует количеству теннисисток из России m
=
10 –
1 = 9
Р(А) = m/n
= 9/25=0,36
Если опыт проводится последовательно несколько раз, то удобно пользоваться следующей формулой:
если события А и В независимые, то Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В)
если события А и В зависимые, то
Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В/А)= Р(В) ∙ Р(А/В)
В двух коробках лежат карандаши одинаковой величины и формы, но разного цвета. В первой коробке 4 красных и 6 черных, а во второй 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимается наугад по одному карандашу. Какова вероят
ность того, Что оба карандаша окажутся красными?
Решение.
Испытание состоит в том, что из каждой коробки 'вынимается по одному карандашу. Пусть событие А
означает, что вынутый карандаш из первой коробки оказался красным, событие В
—
что вынутый карандаш из второй коробки тоже красный. Тогда событие АВ
означает, что оба вынутые карандаша оказались красными. Поскольку события А и В
независимы, то P
(АВ) = P
(А) P
(В)
. Вероятности событий А и В
равны соответственно P
(А) = 0,4, P
(В) = 0,3.
Следовательно, вероятность того, что оба карандаша оказались красными, равна P
(АВ) = 0,4 • 0,3 = 0,12.
В показательных выступлениях по фигурному катанию участвуют 4 девушки и 5 юношей. Порядок выступлений определяется жеребьвкой. Найдите вероятность того, что первые две выступают девушки.
Решение. Пусть событие А обозначает, что первой будет выступать девушка. Р(А)= 4/9
Событие В обозначает. Что следующая будет выступать девушка
Р(В) = 3/8
Тогда вероятность того, что первые две выступают девушки, равна
Р= Р(А)
∙Р(В) = 4/9∙3/8=1/6
Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 4/5. Он стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень 5 раз.
Вероятность того, что попадет в первый раз равна 4/5
Вероятность того. Что попадет во второй раз, равна 4/5
Вероятность того, что попадет в третий раз, равна 4/5
Вероятность того, что попадет в четвертый раз, равна 4/5
Вероятность того, что попадет в пятый раз, равна 4/5
Вероятность того, что попадет все пять раз, равна
4/5 ∙4/5∙4/5∙4/5 ∙4/5 =1024/3125≈33%
Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 6/7
. Он стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень первые 3 раза, а потом два раза промахнется.
Вероятность того, что попадет в первый раз равна 6/7
Вероятность того. Что попадет во второй раз, равна 6/7
Вероятность того, что попадет в третий раз, равна 6/7
Вероятность того, что не попадет в четвертый раз, равна 1/7
Вероятность того, что не попадет в пятый раз, равна 1/7
Вероятность того, что попадет в мишень первые 3 раза, а потом два раза промахнется равна
6/7 ∙6/7∙6/7∙1/7∙1/7=216/16807≈0,012…
Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 4/5. Он стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень 4 раза.
Вероятность того, что попадет в первый раз равна 4/5
Вероятность того. Что попадет во второй раз, равна 4/5
Вероятность того, что попадет в третий раз, равна 4/5
Вероятность того, что попадет в четвертый раз, равна 4/5
Вероятность того, что попадет четыре раза, равна
4/5 ∙4/5∙4/5∙4/5=256/625≈0,41
Как вы думаете, мы правильно решили предыдущую задачу?
Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 4/5. Он стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень 4 раза.
Вероятность того, что попадет в первый раз равна 4/5
Вероятность того. Что попадет во второй раз, равна 4/5
Вероятность того, что попадет в третий раз, равна 4/5
Вероятность того, что попадет в четвертый раз, равна 4/5
Вероятность того, что попадет четыре раза, равна
4/5 ∙4/5∙4/5∙4/5=256/625≈0,41
А если биатлонист будет стрелять 100 раз?
Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 4/5. Он стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень 4 раза.
Решение.
А = {
попал 1
-
й раз
}
, В
=
{
попал 2
-
й раз
}
, С
=
{
попал 3
-
й раз), D =
{
попал 4
-
й раз
}
,
Е
=
{
попал 5
-
й раз
}
. F = {
попал 4 раза
}
.
F = A∙B∙C∙D∙E + A∙B∙C∙D∙E + A∙B∙C∙D∙E + A∙B∙C∙D∙E + +A∙B∙C∙D∙E P(F)= (
4/5
∙ 4/5 ∙ 4/5 ∙ 4/5 ∙ 1
/5
)
∙ 5 = 256/625≈0,41 43
Источники
:
И. Л. Бродский, Р. А. Литвиненко.
―
Вероятность и статистика.
‖
-
М.: Аркти. -
2006. Семенов А.В. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Математика.2012. учебное пособие./под редакцией И.В. Ященко; -
М.: Интеллект
-
Центр.
-
2012.
Открытый банк задач. www.mathege.ru/or/ege/Main
www.mathgia.ru:8080/or/gia12
Автор
seminate2012
Документ
Категория
Методические пособия
Просмотров
9 634
Размер файла
1 398 Кб
Теги
решение, вероятности, комбинаторные, копия, правила, задачи, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа