close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

6242.Применение методов планирования эксперимента при исследовании систем автоматизации технологических процессов.

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
Кафедра систем автоматизации производства
А. М. Черноусова, Л. В. Галина
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ
ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ
СИСТЕМ АВТОМАТИЗАЦИИ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом федерального
государственного бюджетного образовательного учреждения высшего
профессионального образования «Оренбургский государственный
университет» в качестве методических указаний для студентов,
обучающихся по программам высшего профессионального образования по
направлению подготовки
220700 Автоматизация технологических процессов и производств
Оренбург
2013
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 681.52
ББК 32.965
Ч49
Рецензент – доцент, кандидат технических наук В. В. Тугов
Ч49
Черноусова, А. М.
Применение методов планирования эксперимента при исследовании
систем автоматизации технологических процессов : методические указания для практических занятий и самостоятельной работы / А. М. Черноусова, Л. В. Галина ; Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург : ОГУ, 2013.
– 62 с.
Методические указания предназначены для практических занятий и выполнения самостоятельных работ при исследовании систем автоматизации
технологических процессов методами планирования эксперимента.
Представлен методический материал по пяти занятиям. Для каждого занятия приведены цель и задачи, теоретическое изложение материала, задание
на выполнение самостоятельной работы, содержание отчѐта. Для самоподготовки к сдаче работы приводятся контрольные вопросы.
Методические указания предназначены для студентов, обучающихся по
программам высшего профессионального образования по направлению подготовки 220700 Автоматизация технологических процессов и производств,
при изучении дисциплин «Моделирование систем и процессов» и «Планирование эксперимента». Приведенные примеры помогут освоить полученные
знания и применить их на практике. Методические указания могут быть полезны для инженеров и аспирантов.
УДК 681.52
ББК 32.965
© Черноусова А. М.,
Галина Л. В., 2013
© ОГУ, 2013
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Введение……………………………………………………………………..…….
5
1 Формализация объекта исследования при автоматизации
технологических процессов ….…………………………………..……................. 6
1.1 Цель, задачи практического занятия и самостоятельной работы…………..
6
1.2 План практического занятия………………………………………………….. 6
1.3 Общие положения……………………………………………………………..
6
1.3.1 Входные переменные (факторы)…………………………………………… 6
1.3.2 Пример формализации системы автоматизации технологического
процесса механообработки...................................................................................... 11
1.4 Задание на самостоятельную работу……………………………………….... 13
1.5 Содержание отчета……………………………………………………………. 14
1.6 Контрольные вопросы………………………………………………………… 16
2 Ранжирование факторов при оценке эффективности системы
автоматизации …………………………………..……………………………….. 17
2.1 Цель, задачи практического занятия и самостоятельной работы………….. 17
2.2 План практического занятия………………………………………………….. 17
2.3 Общие положения…………………………………………………………….. 17
2.3.1 Понятие ранжирования факторов………………………………………….. 17
2.3.2 Ранжирование факторов методом экспертных оценок…………………..
19
2.3.3 Пример ранжирования факторов при оценке эффективности системы
23
автоматизации технологического процесса механообработки……………...…
2.4 Задание на самостоятельную работу………………………………………… 26
2.5 Содержание отчета……………………………………………………………. 27
2.6 Контрольные вопросы………………………………………………………… 27
3 Определение параметров регрессионной зависимости методом
наименьших квадратов при исследовании систем автоматизации
технологических процессов……….……………………………………………… 28
3.1 Цель, задачи практического занятия и самостоятельной работы………….. 28
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.2 План практического занятия………………………………………………….. 28
3.3 Общие положения……………………………………………………………... 28
3.3.1 Регрессионный анализ……………………………………………………… 28
3.3.2 Метод наименьших квадратов……………………………………………
34
3.4 Задание на самостоятельную работу………………………………………… 38
3.5 Содержание отчета……………………………………………………………. 39
3.6 Контрольные вопросы………………………………………………………… 39
4 Построение моделей систем автоматизации технологических процессов
методом полного факторного эксперимента…………………………………….. 41
4.1 Цель, задачи практического занятия и самостоятельной работы………….. 41
4.2 План практического занятия………………………………………………….. 41
4.3 Общие положения…………………………………………………………….. 41
4.3.1 Планирование полного факторного эксперимента……………………….. 42
4.3.2 Проведение эксперимента………………………………………………….. 46
4.3.3 Определение параметров математической модели………………………. 48
4.4 Задание на самостоятельную работу………………………………………… 50
4.5 Содержание отчета……………………………………………………………. 50
4.6 Контрольные вопросы………………………………………………………… 51
5 Статистическая обработка результатов эксперимента при исследовании
систем автоматизации технологических процессов ……………………………. 52
5.1 Цель, задачи практического занятия и самостоятельной работы………….. 52
5.2 План практического занятия………………………………………………….. 52
5.3 Общие положения……………………………………………………………... 52
5.3.1Проверка воспроизводимости результатов эксперимента……………….
52
5.3.2 Проверка значимости коэффициентов…………………………………….
54
5.3.3 Проверка адекватности математической модели………………………..
56
5.4 Задание на самостоятельную работу………………………………………… 58
5.5 Содержание отчета……………………………………………………………. 59
5.6 Контрольные вопросы………………………………………………………… 59
Список использованных источников…………………………………………….. 61
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
При изучении и проектировании систем автоматизации технологических процессов очень часто инженер-исследователь сталкивается с необходимостью проведения каких-либо экспериментов на реальном физическом объекте или с математической моделью систем. Эксперимент – система операций, воздействий и (или) наблюдений, направленных на получение информации об объекте при исследовательских испытаниях [1]. Целью любого эксперимента является определение качественной и количественной связи между исследуемыми параметрами, либо оценка численного значения какого-либо параметра.
При выполнении экспериментальных исследований применяется теория планирования эксперимента, позволяющая находить такие условия и правила проведения опытов, при которых удается получить надежную и достоверную информацию
об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в
компактной и удобной форме с количественной оценкой точности [2 – 4].
Для ознакомления студентов с основами планирования эксперимента, усвоения основных понятий и методов, применяемых при исследовании систем автоматизации технологических процессов, разработаны данные методические указания. Они
предназначены для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по направлению подготовки 220700 Автоматизация технологических процессов и производств, при изучении дисциплин «Моделирование систем и процессов» и «Планирование эксперимента». Изложенный материал поможет
студентам приобрести
знания, умения и
опыт, используемые в научно-
исследовательской и организационно-управленческой деятельности, связанной с
проведением исследований методами планирования экспериментов и обработкой их
результатов.
В методических указаниях представлен материал по пяти темам. По каждой
теме приведены цель, задачи практического занятия и самостоятельной работы,
план практического занятия, теоретическое изложение материала, задание на выполнение самостоятельной работы, содержание отчѐта. Для самоподготовки к сдаче
работы приводятся контрольные вопросы.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 Формализация объекта исследования при автоматизации
технологических процессов
1.1 Цель, задачи практического занятия и самостоятельной работы
Цель практического занятия и самостоятельной работы: закрепление знаний,
умений и навыков по выбору входных переменных (факторов) объекта исследования при автоматизации технологических процессов, уровней варьирования факторов.
Достижение цели предполагает решение следующих учебных задач:
1) теоретический компонент: получить базовые представления о входных параметрах (факторах) и требованиях, предъявляемым к ним;
2) практический компонент: сформировать основные навыки по формализации объекта исследования.
1.2 План практического занятия
1.2.1 Изучение теоретического материала по формализации объекта исследования при автоматизации технологических процессов.
1.2.2 Рассмотрение примера формализации системы автоматизации технологического процесса механообработки, заполнение таблицы с факторами (таблица 1.2).
1.2.3 Выполнение задания на самостоятельную работу.
1.3 Общие положения
1.3.1 Входные переменные (факторы)
Объект исследования является носителем некоторых неизвестных и подлежащих изучению свойств и качеств.
В теории планирования эксперимента объект исследований принято представлять в виде «черного ящика», а его математическая модель описывает функциональные связи между входными и выходными параметрами. Эксперимент может проводиться непосредственно на объекте или на его модели, если она достаточно точно
описывает объект.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель типа «чѐрный ящик» отображает только связи объекта с окружающей
средой, в виде перечня «входов» и «выходов» (рисунок 1.1). Данная модель введена
в кибернетике с целью изучения сложности. Трудность построения модели «черного
ящика» состоит в том, что надо решить, какие из многочисленных реальных связей
включать, а какие не включать в состав модели. Кроме того, всегда существуют и
такие связи, которые неизвестны исследователю, но они-то и могут оказаться существенными.
Название «черный ящик» образно подчеркивает полное отсутствие сведений о
внутреннем содержании «ящика». В этой модели задаются, фиксируются, перечисляются только входные и выходные связи объекта исследования с окружающей средой (даже «стенки ящика», то есть границы между объектом и средой, в этой модели
обычно не описываются, а лишь подразумеваются, признаются существующими).
Входной переменной (фактором) называется управляемая независимая переменная, соответствующая одному из возможных способов воздействия на объект
исследования (входу). Фактор считается заданным, если указаны его название и область определения. Под областью определения понимается совокупность всех значений, которые в принципе может принимать данный фактор. Выбор этой области
производится, исходя из априорной информации. А
(лат. a priori , «от
предшествующего») – знание, полученное до эксперимента и независимо от него, то
есть знание, как бы заранее известное.
Окружающая
Входы
…
…
среда
Рисунок 1.1 – Модель «черного ящика»
7
Выходы
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Совокупность значений фактора, которая используется в эксперименте, является подмножеством из множества значений, образующих область определения. Область определения может быть непрерывной и дискретной. Однако в основном, в
задачах планирования эксперимента, используются дискретные области определения. Так, для факторов с непрерывной областью определения, например, таких, как
температура, время, количество вещества, всегда выбираются дискретные множества уровней.
В практических задачах области определения факторов, как правило, ограничены. При этом должны учитываться ограничения нескольких типов [2]. Первый
тип: принципиальные ограничения для значений факторов, которые не могут быть
нарушены ни при каких обстоятельствах. Например, если фактор – температура, то
нижним пределом будет абсолютный нуль. Второй тип – ограничения, связанные с
технико-экономическими соображениями, например, со стоимостью сырья, дефицитностью отдельных компонентов, временем ведения процесса. Третий тип ограничений, с которым чаще всего приходится иметь дело, определяется конкретными
условиями проведения процесса, например, существующей аппаратурой, технологией, организацией. Например, в реакторе, изготовленном из некоторого материала,
температуру нельзя поднять выше температуры плавления этого материала или выше рабочей температуры данного катализатора.
Факторы классифицируют на:
а) количественные – факторы, которые можно измерять, взвешивать, титровать или производить какие-то другие действия, в результате которых получают числовое значение фактора; примерами количественных факторов являются время реакции, температура, концентрация реагирующих веществ, скорость подачи веществ;
б) качественные – некоторые переменные, характеризующиеся качественными свойствами, например, разные вещества, разные технологические способы, аппараты, исполнители и так далее.
Хотя качественным факторам не соответствует числовая шкала в том смысле,
как это понимается для количественных факторов, однако можно построить условную порядковую шкалу, которая ставит в соответствие уровням качественного фак8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тора числа натурального ряда. Данная операция называется кодированием. Порядок
уровней может быть произволен, но после кодирования он фиксируется. Качественным факторам не соответствует числовая шкала, и порядок уровней факторов не играет роли.
Выбранные для эксперимента количественные и качественные состояния фактора носят название уровней фактора.
В планировании эксперимента значения факторов, соответствующие определенным уровням их варьирования, выражаются в кодированных величинах. Под интервалом варьирования подразумевается разность между двумя именованными его
значениями, принятая за единицу при его кодировании.
При выборе факторов рекомендуется учитывать ряд требований.
Факторы должны быть:
1) измеряемыми имеющимися средствами с достаточно высокой гарантированной точностью;
2) управляемыми, то есть позволяющими экспериментатору устанавливать их
требуемые значения и поддерживать постоянными эти значения в течение эксперимента;
3) непосредственно воздействующими на объект исследования, так как трудно
управлять фактором, который является функцией других факторов;
4) совместимыми, то есть все комбинации уровней факторов должны быть
осуществимы и безопасны;
5) независимыми, то есть позволяющими экспериментатору устанавливать
требуемые уровни любого фактора независимо от уровней других факторов.
После выбора факторов устанавливают нулевую точку и выбирают интервалы
варьирования для установления верхних и нижних уровней факторов, которые в кодированном обозначении соответствуют +1 и минус 1.
Интервал варьирования фактора выбирают с учетом того, что значение факторов, соответствующие уровням +1 и минус 1, должны быть достаточно отличимы от значения, соответствующего нулевому уровню. Поэтому во всех случаях величина ин-
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тервала варьирования должна быть больше удвоенной квадратичной ошибки фиксирования данного фактора.
Необходимо учитывать, что чрезмерное увеличение интервалов варьирования
может привести к снижению эффективности эксперимента, а малый интервал варьирования уменьшает область эксперимента.
Выбор факторов завершается составлением списка всех факторов, которые заслуживают внимания. При этом указываются наименования и обозначения факторов, их интервалы и уровни варьирования, координаты нулевой точки. Перечисленные данные фиксируются в таблицах. Пример выбора входных переменных (факторов) приведен в таблице 1.1 [5].
Таблица 1.1 – Пример факторов [5]
Уровни варьирования
Наименование и
обозначение факторов
Интервалы
–2
–1
0
+1
+2
варьирования
140
150
160
170
180
10
p – давление, кгс/см2 (х2)
0
2,5
5
7,5
10
2,5
c – концентрация, г/л (х3)
0
10
20
30
40
10
τ – время, мин (х4)
30
60
90
120
150
30
g – масса, кг (х5)
100
160
200
250
300
50
t – температура, ˚С (x1)
Главной заботой при составлении списка факторов должна быть его полнота.
Лучше включить несколько десятков несущественных переменных, чем пропустить
одно существенное. К сожалению, слишком часто экспериментаторы боятся увеличивать список факторов, чтобы не усложнять задачу. Это приводит к малоэффективным или даже бессмысленным исследованиям и является просто следствием незнания методов отбора факторов.
Отбор факторов можно осуществлять экспериментально. Но так как даже небольшое сокращение числа факторов приводит к значительной экономии опытов,
возникает вопрос об использовании априорной информации для их предварительного отсеивания.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.3.2 Пример формализации системы автоматизации технологического
процесса механообработки
Прогрессивным направлением автоматизации производства в машиностроении является применение станков с ЧПУ. Применение станков с ЧПУ в сравнении с
обычным оборудованием создает ряд технико-экономических преимуществ [6].
Производительность этих станков выше производительности станков такого же типа, но без программного управления в три раза, потребность же в производственных
площадях в три раза меньше. Значительно возрастает производительность труда у
рабочих. Большой эффект дают станки с ЧПУ при выполнении особо сложных операций, поэтому с их использованием высвобождаются высококвалифицированные
рабочие, а также резко сокращаются затраты на технологическую подготовку производства, эксплуатацию инструмента, содержание контролеров ОТК.
В качестве примера формализации системы автоматизации технологического
процесса в машиностроении рассмотрим гибкую производственную систему (ГПС).
Гибкие производственные системы – это совокупность в разных сочетаниях оборудования с ЧПУ, роботизированных технологических комплексов, гибких производственных модулей, отдельных единиц технологического оборудования и систем
обеспечения их функционирования в автоматическом режиме в течение заданного
времени, обладающая свойством автоматизированной переналадки при производстве изделий произвольной номенклатуры в установленных пределах значений их характеристик [7]. Гибкое производство позволяет за короткое время и при минимальных затратах, на том же оборудовании, не прерывая производственного процесса и
не останавливая оборудования, по мере необходимости переходить на выпуск новой
продукции произвольной номенклатуры в пределах технических возможностей и
технологического оборудования. Основной показатель – степень гибкости можно
определять количеством затраченного времени и необходимостью дополнительных
расходов при переходе на выпуск новой продукции.
Техническую базу гибкой автоматизированной системы составляют станки с
ЧПУ, промышленные работы, специальные транспортные средства и автоматизиро11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ванные системы управления технологическими процессами. Производственный
процесс в ГПС рассматривается как единый комплекс, включающий технологические, транспортные, погрузочно-разгрузочные, контрольные и наладочные операции.
В работе [8] выявление входных переменных (факторов) осуществляется на
основе анализа чертежа и технологического процесса изготовления корпусной детали, технических характеристик технологического оборудования, параметров функционирования оборудования и уровня его автоматизации. Этот необходимый и достаточный набор позволяет с помощью современных систем компьютерного моделирования рассчитать показатели эффективности производственной системы. Множество входных параметров включает
,
где
– множество параметров, связанных с технологией из-
готовления изделия;
,
– машинное и вспомогательное время каждого перехода, мин;
m – количество переходов в технологической операции;
– множество параметров, связанных с организацией функционирования производственного оборудования;
N – количество деталей одного наименования в партии запуска;
R – число станков в системе;
– множество параметров, связанных с техническими характеристиками производственного оборудования;
– время смены инструмента в шпинделе, мин;
– время замены инструмента в магазине, мин;
– время смены деталеустановки на столе станка, мин;
А – уровень рассмотрения систем автоматизации.
На современных машиностроительных предприятиях существует большой
разброс в уровне автоматизации производственного оборудования, поэтому исследуем три уровня. Уровень рассмотрения систем автоматизации производственного
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
оборудования является качественным фактором, поэтому введем для рассматриваемых уровней условную порядковую шкалу: I, II и III (рисунок 1.2). Обозначим уровень I – уровень участка, состоящего из отдельно работающих станков типа обрабатывающий центр, неоснащенного вспомогательными системами. Уровень II – гибкая производственная система, оснащенная системой доставки заготовок. И уровень
III – высокоавтоматизированная производственная система, оснащенная системой
доставки заготовок и инструментов.
Таким образом, для формализации системы автоматизации технологического
процесса механообработки на основании проведенного анализа выбраны следующие факторы (таблица 1.2):
а) уровень рассмотрения систем автоматизации A;
б) количество переходов в операции m, машинное время
ное время на переходе
и вспомогатель-
, определяемые из маршрутно-операционной карты (тех-
нологии обработки);
в) количество станков в системе R и число деталей в сменном задании N (параметры, характеризующие организацию процесса производства);
г) время смены инструмента в шпинделе
магазине
, время замены инструмента в
, время загрузки / выгрузки изделия в рабочую зону
(техниче-
ские характеристики производственного оборудования).
1.4 Задание на самостоятельную работу
1.4.1 Выбрать объект исследования (автоматизированный технологический
процесс, автоматизированное производство или другой объект, рассматриваемый в
научно-исследовательской работе магистранта).
1.4.2 Определить входные переменные (факторы), дать их описание, характер
влияния на исследуемый объект, методы и способы регулирования, измерения.
1.4.3 Выбрать нулевой уровень и интервалы варьирования. Для качественных
факторов построить условную порядковую шкалу.
1.4.4 Заполнить таблицу факторов.
1.4.5 Сделать выводы по формализации объекта исследования.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 1.2 – Уровни рассмотрения системы автоматизации технологического
процесса механообработки
1.5 Содержание отчета
1.5.1 Название практического занятия.
1.5.2 Цель, задачи практического занятия и самостоятельной работы.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 1.2 – Факторы системы автоматизации технологического процесса механообработки
Уровень варьирования
Наименование и
Интервал
обозначение факторов
–2
–1
0
+1
+2
варьирования
1
2
3
4
5
6
7
I
II
III
А – уровень рассмотрения
системы
автоматизации
(х1)
m
– количество перехо-
дов в операции (x2)
– машинное время,
мин (х3)
–
8
2
1,8
0,8
1,8
0,8
6
1
300
100
8
3
18
1
60
10
вспомогательное
время на переходе,
мин
(х4)
R – количество станков в
системе (х5)
N – число деталей в сменном задании (х6)
– время смены инструмента в шпинделе, с
(х7)
– время замены инструмента в магазине, с
(х8)
– время загрузки /
выгрузки изделия в рабочую зону, с (х9)
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.5.3 Результаты заполнения таблицы 1.2 по факторам системы автоматизации
технологического процесса механообработки.
1.5.4 Результаты выполнения задания на самостоятельную работу по формализации системы автоматизации технологического процесса, являющейся объектом
исследования в научно-исследовательской работе магистранта.
1.5.5 Выводы по формализации системы автоматизации технологического
процесса.
1.6 Контрольные вопросы
1.6.1 Что отображает модель типа «черный ящик»?
1.6.2 Что называют входной переменной (фактором)?
1.6.3 Приведите примеры количественных факторов.
1.6.4 Приведите примеры качественных факторов.
1.6.5 Какая информация относится к априорной?
1.6.6 Что называют уровнем фактора?
1.6.7 Что подразумевают под интервалом варьирования?
1.6.8 Что такое кодирование?
1.6.9 Какие требования учитываются при выборе факторов?
1.6.10 Чему соответствует кодированное значение фактора +1?
1.6.11 Чему соответствует кодированное значение фактора минус 1?
1.6.12 К чему может привести увеличение числа факторов?
1.6.13 К чему может привести уменьшение числа факторов?
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 Ранжирование факторов при оценке эффективности системы
автоматизации
2.1 Цель, задачи практического занятия и самостоятельной работы
Цель практического занятия и самостоятельной работы: закрепление знаний, умений
и навыков априорного ранжирования факторов путем психологического и вычислительного экспериментов при исследовании системы автоматизации.
Достижение цели предполагает решение следующих учебных задач:
1) теоретический компонент: получить базовые представления об априорном
ранжировании факторов;
2) практический компонент: сформировать основные навыки по использованию метода экспертных оценок при ранжировании факторов и представлению результатов ранжирования.
2.2 План практического занятия
2.2.1 Изучение теоретического материала по ранжированию факторов при
оценке эффективности системы автоматизации.
2.2.2 Рассмотрение примера ранжирования факторов при оценке эффективности системы автоматизации технологического процесса механообработки, построение диаграммы рангов.
2.2.3 Выполнение задания на самостоятельную работу.
2.3 Общие положения
2.3.1 Понятие ранжирования факторов
На стадии предварительного изучения объекта исследования при формализации априорных сведений иногда полезно проведение психологического эксперимента, заключающегося в объективной обработке данных, полученных в результате опроса специалистов или из исследований, опубликованных в литературе. Такой экс17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
перимент позволяет более правильно спроектировать объект исследования, принять
или отвергнуть некоторые предварительные гипотезы, дать сравнительную оценку
влияния различных факторов на параметры оптимизации и тем самым правильно
отобрать факторы для последующего активного эксперимента, обоснованно исключив некоторые из них из дальнейшего рассмотрения.
При решении подобных задач можно использовать метод априорного ранжирования факторов – метод выбора наиболее важных факторов, основанный на экспертной оценке [1].
Ранжированием называют определенное расположение факторов по ожидаемой степени их влияния на выходной параметр. Каждому фактору присваивается
ранг – номер места, которое отведено исследователем (специалистом при опросе,
автором статьи и т. п.) данному фактору при ранжировании всех факторов с учетом
их предполагаемого (количественно неизвестного) влияния на выходные параметры.
Первое место присваивается наиболее значимому фактору, а последнее – наименее
значимому. Остальные факторы располагают между ними в соответствии с их влиянием на выходной параметр.
Особенность априорного ранжирования факторов заключается в том, что факторы, которые согласно априорной информации могут иметь существенное влияние,
ранжируются в порядке убывания вносимого ими вклада.
Недостатком метода ранжирования является практическая невозможность
упорядочения большого числа объектов. Опыт применения этого метода показывает, что при большем числе объектов (от 15 до 20), эксперты затрудняются в построении ранжировки. Это объясняется тем, что в процессе ранжирования эксперт
должен установить взаимосвязь между всеми объектами, рассматривая их как единую совокупность. При увеличении числа объектов количество связей между ними
растет пропорционально квадрату числа объектов. Сохранение в памяти и анализ
большей совокупности взаимосвязей между объектами ограничиваются психологическими возможностями человека. Поэтому при ранжировании большего числа объектов эксперты могут допускать существенные ошибки.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.3.2 Ранжирование факторов методом экспертных оценок
Для ранжирования факторов используют метод экспертных оценок.
Методы экспертных оценок – это методы организации работы со специалистами-экспертами и обработки мнений экспертов [9]. Эти мнения обычно выражены
частично в количественной, частично в качественной форме. Экспертные исследования проводят с целью подготовки информации для лица, принимающего решение
(ЛПР).
Для проведения работы по методу экспертных оценок создают Рабочую группу, которая и организует по поручению ЛПР деятельность экспертов, объединенных
(формально или по существу) в экспертную комиссию.
Экспертные оценки бывают индивидуальные и коллективные.
Индивидуальные оценки – это оценки одного специалиста. Например, преподаватель единолично ставит отметку студенту, а руководитель
– осуществляет
оценку экономической эффективности предприятия. Но в сложных случаях обращаются к коллективному мнению – комиссии преподавателей, совещанию специалистов предприятия.
Независимо от целей и задач применение экспертного метода предполагает
соблюдение следующих условий:
– экспертная оценка должна производиться только в том случае, когда нельзя
использовать для решения вопроса более объективные методы;
– в работе экспертной комиссии не должно присутствовать факторов, которые
могли бы влиять на искренность суждений экспертов;
– мнения экспертов должны быть независимыми;
– вопросы, поставленные перед экспертами, не должны допускать различного
толкования;
– эксперты должны быть компетентны в решаемых вопросах;
– количество экспертов должно быть оптимальным;
– ответы экспертов должны быть однозначными и обеспечивать возможность
их математической обработки.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При сборе мнений путем опроса специалистов каждому из них предлагается
заполнить анкету, в которой перечислены факторы, их размерность и предполагаемые интервалы варьирования. Выбор экспертов производится на основе компетентности специалистов в области исследуемой проблемы [4]. Заполняя анкету, эксперт
определяет место факторов в ранжированном ряду. Одновременно он может включить дополнительные факторы или высказать мнение об изменении интервалов
варьирования.
Результаты опроса специалистов (или ранжирования по литературным данным) обрабатываются следующим образом.
Этап 1. Определение:
– средней суммы рангов Т
,
(2.1)
где aij – ранг каждого i-го фактора у j-го исследователя;
m – число исследователей;
k – число факторов;
– разности (Δi) между суммой каждого фактора и средней суммой рангов
(2.2)
– суммы квадратов отклонений (s)
.
(2.3)
Этап 2. Определение коэффициента конкордации Кендалла (от лат. concordare
– привести в соответствие, упорядочить).
Коэффициент конкордации ω определяется по следующей формуле
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
,
где
(2.4)
;
– число одинаковых рангов в j-м ранжировании.
Формулой (2.4) пользуются в том случае, когда эксперт присваивает одинаковые ранги нескольким факторам.
Коэффициент конкордации ω может изменяться в пределах от 1 до 0. Значение 1 означает полное совпадение мнений экспертов, 0 – связь мнений экспертов
полностью отсутствует.
Этап 3. Определение значения
–критерия (Хи–квадрат) или критерия Пир-
сона по одной из формул
(2.5)
или
.
Этап 4. Определение табличного значения
(2.6)
–критерия для заданного числа
степеней свободы f = k – 1 и уровне значимости P.
Некоторые табличные значения критерия χ2 при уровне значимости P = 0,05
приведены в таблице 2.1.
Этап 5. Оценка значимости коэффициента конкордации.
Коэффициент конкордации значим, т. е. принимается гипотеза о наличии согласия исследователей, если при заданном числе степеней свободы табличное значение
меньше расчетного.
Этап 6. Построение диаграммы рангов.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 2.1 – Табличные значения критерия χ2 при уровне значимости P = 0,05
f
χ2
f
χ2
f
χ2
f
χ2
1
3,842
21
32,675
41
56,953
61
80,232
2
5,992
22
33,929
42
58,135
62
81,381
3
7,815
23
35,177
43
59,314
63
82,529
4
9,488
24
36,420
44
60,492
64
83,675
5
11,071
25
37,658
45
61,668
65
84,821
6
12,593
26
38,891
46
62,841
66
85,965
7
14,068
27
40,119
47
64,013
67
87,108
8
15,509
28
41,343
48
65,183
68
88,250
9
16,921
29
42,564
49
66,351
69
89,391
10
18,309
30
43,780
50
67,518
70
90,531
11
19,677
31
44,993
51
68,683
71
91,670
12
21,028
32
46,202
52
69,846
72
92,808
13
22,365
33
47,408
53
71,008
73
93,945
14
23,688
34
48,610
54
72,168
74
95,081
15
24,999
35
49,810
55
73,326
75
96,217
16
26,299
36
51,007
56
74,484
76
97,351
17
27,591
37
52,201
57
75,639
78
99,617
18
28,873
38
53,393
58
76,794
79
100,749
19
30,147
39
54,582
59
77,947
80
101,879
20
31,415
40
55,768
60
79,099
90
113,145
Для построения диаграммы рангов по оси абсцисс откладывают факторы в последовательности влияния их на выходной параметр, а по оси ординат – соответствующие суммы рангов. Чем меньше сумма рангов данного фактора, тем выше его
место на диаграмме. С помощью последней оценивается значимость факторов. В
случае неравномерного экспоненциального убывания распределения часть факторов
можно исключить из дальнейшего рассмотрения, отнеся их влияние к шумовому
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
полю. Если же распределение равномерное, то в эксперимент рекомендуется включать все факторы. Пример построения диаграммы рангов приведен на рисунке 2.1.
Рисунок 2.1 – Диаграмма рангов
2.3.3 Пример ранжирования факторов при оценке эффективности системы
автоматизации технологического процесса механообработки
В качестве примера рассмотрим результаты формализации системы автоматизации технологического процесса механообработки, выполненной на практическом
занятии 1. Для исследуемой системы выявлены девять факторов: уровень рассмотрения системы автоматизации A (х1); количество переходов в операции m (х2); машинное время
(х3); вспомогательное время на переходе
(х4); количество
станков в системе R (х5); число деталей в сменном задании N (х6); время смены инструмента в шпинделе
(х7), время замены инструмента в магазине
время загрузки / выгрузки изделия в рабочую зону
(х8);
(х9). Расчѐтная схема систе-
мы автоматизации технологического процесса механообработки для оценки эффективности приведена на рисунке 2.2 [8].
Пусть на стадии предварительного изучения объекта исследования опрошены
семь специалистов, знакомых с изучаемой системой автоматизации технологического процесса механообработки (m = 7). Данные опросы использованы для априорного
23
Рисунок 2.2 – Расчѐтная схема системы автоматизации для оценки эффективности
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ранжирования факторов с целью выделения наиболее существенных из них. Проводился опрос с помощью анкеты, содержащей девять факторов (k = 9), которые нужно было проранжировать с учетом степени их влияния на выходной параметр (срок
окупаемости).
Матрица рангов, полученная из анкет, приведена в таблице 2.2.
Таблица 2.2 – Матрица рангов
Факторы (k = 9)
Эксперты
(m = 7)
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
1
6
5
1
3
2
4
7
8
9
2
4
5
2
6
3
1
7
8
9
3
7
4
1
5
2
3
9
6
8
4
7
6
1
4
3
2
8
9
5
5
6
5
3
4
2
1
7
9
8
6
6
7
2
5
1
3
9
4
8
7
8
5
1
4
2
3
7
9
6
44
37
11
31
15
17
54
53
53
9
2
– 24
–4
– 20
– 18
19
18
18
81
4
576
16
400
324
361
324
324
Математическая обработка результатов ранжирования дала следующие значения для средней суммы рангов, суммы квадратов отклонений и коэффициента конкордации
,
S = 81+4 + 546 + 16 + 400 + 324 + 361 + 324 = 2410 ,
.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как величина коэффициента конкордации (
) существенно отли-
чается от нуля, то можно считать, что между мнениями исследователей имеется существенная связь. Тем не менее, исследователи неодинаково ранжируют факторы
(найденное значение ω отличается от единицы).
Определим значение
–критерия
.
По таблице 2.1 при степени свободы f = 9 – 1 определяем, что табличное
значение
–критерия равно 15,509.
В связи с тем, что табличное значение χ2–критерия меньше расчетного, можно
с 95 %–ной доверительной вероятностью утверждать, что мнение исследователей
относительно степени влияния факторов согласуется в соответствии с коэффициентом конкордации ω = 0,82.
Таким образом, в результате опроса экспертов установлено, что наиболее существенное влияние на срок окупаемости автоматизированной производственной
системы влияют машинное время
(х3); количество станков в системе R (х5);
число деталей в сменном задании N (х6).
2.4 Задание на самостоятельную работу
2.4.1 Составить анкету для опроса специалистов, где исследуемые факторы
взять из практического занятия 1.
2.4.2 Заполнить анкету, привлекая в качестве специалистов студентов данной
учебной группы или каких-то других экспертов.
2.4.3 Выполнить статистическую обработку результатов опроса.
2.4.4 Построить диаграмму рангов.
2.4.5 Сделать выводы по результатам ранжирования факторов объекта исследования.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.5 Содержание отчета
2.5.1 Название практического занятия.
2.5.2 Цель, задачи практического занятия и самостоятельной работы.
2.5.3 Результаты выполнения задания на самостоятельную работу.
2.5.4 Выводы по ранжированию факторов объекта исследования.
2.6 Контрольные вопросы
2.6.1 Какой метод называется «методом априорного ранжирования»?
2.6.2 Что называется «ранжированием»?
2.6.3 Что такое «ранг»?
2.6.4 В чем заключается психологический эксперимент?
2.6.5 В чем заключается особенность ранжирования?
2.6.6 Что является недостатком метода ранжирования?
2.6.7 Почему при большом числе факторов не используются методы априорного ранжирования?
2.6.8 Какие методы относят к методам экспертных оценок?
2.6.9 Какие бывают экспертные оценки?
2.6.10 Какие условия соблюдают при применении экспертного метода?
2.6.11 Что включает анкета, которую предлагается заполнить эксперту?
2.6.12 В чем заключается обработка результатов опроса экспертов?
2.6.13 Для чего используют коэффициент конкордации?
2.6.14 Какие значения может принимать коэффициент конкордации?
2.6.15 В каком случае коэффициент конкордации принимает значение «1»?
2.6.16 В каком случае коэффициент конкордации принимает значение «0»?
2.6.17 Для чего используется
–критерий?
2.6.18 Когда принимается гипотеза о наличии согласия исследователей?
2.6.19 Как строится диаграмма рангов?
2.6.20 Что оценивают по диаграмме рангов?
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3 Определение параметров регрессионной зависимости методом
наименьших квадратов при исследовании систем автоматизации
технологических процессов
3.1 Цель, задачи практического занятия и самостоятельной работы
Цель практического занятия и самостоятельной работы: закрепление знаний,
умений и навыков по применению метода наименьших квадратов для определения
параметров регрессионной зависимости при исследовании систем автоматизации
технологических процессов.
Достижение названной цели предполагает решение следующих учебных задач:
1) теоретический компонент: получить базовые представления применению
графического метода и метода наименьших квадратов при регрессионном анализе;
2) практический компонент: сформировать основные навыки по расчету параметров линейной регрессионной зависимости.
3.2 План практического занятия
3.2.1 Изучение теоретического материала по применению метода наименьших
квадратов для определения параметров регрессионной модели при исследовании
систем автоматизации технологических процессов.
3.2.2 Определение формул расчета параметров линейной регрессионной модели, используя метод наименьших квадратов.
3.2.3 Выполнение задания на самостоятельную работу.
3.3 Общие положения
3.3.1 Регрессионный анализ
Состояние любого технологического объекта, не зависимо от того является ли
он сложной системой, процессом или простейшим механизмом, определяется обычно целым рядом параметров. Для выявления механизма процессов, происходящих в
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
объекте, и создания системы управления объектом необходимо оценить взаимосвязи
между его параметрами. При этом предполагается, что изменение одних параметров
может привести к изменению других, то есть все параметры объекта можно разделить на две группы – входные переменные (факторы, входные параметры) и зависимые от них выходные параметры. Такое разделение параметров является условным
и определяется не только их свойствами, но и целями проводимого исследования.
Так, например, при исследовании взаимосвязи технических характеристик изделий,
в зависимости от поставленных целей, любую характеристику можно представить
как выходную, а оставшиеся как входные факторы.
При проведении эксперимента параметры, целенаправленным изменением которых достигается воздействие на объект, уже по сути своей являются входными
данными, а результат показателей приборов, оценивающих качество объекта – выходными.
Влияние какого-либо фактора на выход процесса может быть выражено зависимостью у = f(х). Если конкретному значению хи соответствует единственное значение уи , то такая зависимость называется функциональной. Эту зависимость получают путем строгих логических доказательств, не нуждающихся в опытной проверке. Например, площадь квадрата S может быть представлена функциональной зависимостью от размера стороны квадрата а: S = а2.
Если уи остается неизменным, в то время как хи изменяется, то выходной параметр у не зависит от фактора х. Например, угол при вершине квадрата, равный π/2,
не зависит от размера стороны аи.
Если для оценки величин уи и Си используются данные наблюдений, величины
случайные, то функциональная зависимость между ними существовать не может.
Например, измерив отдельно сторону квадрата а и его площадь S, можно убедиться,
что полученные результаты не могут быть представлены с абсолютной точностью
зависимостью S = а2.
К формализации экспериментальных данных, т. е. построению по ним описывающей процесс зависимости, исследователь прибегает, когда не может составить
эвристическую математическую модель из-за недостаточного понимания механизма процесса или его чрезмерной сложности.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полученная в результате формализации экспериментальных данных эмпирическая математическая модель имеет меньшую ценность, чем отражающая механизм процесса эвристическая математическая модель, которая может предсказать
поведение объекта за пределами изученного диапазона изменения переменных.
Приступая к эксперименту с целью получения эмпирической математической
модели, исследователь должен определить необходимый объем опытных данных с
учетом количества принятых к исследованию факторов, воспроизводимости процесса, предполагаемой структуры модели и обеспечения возможности проверки адекватности уравнения [11 – 13].
Исследование закономерностей связи между явлениями (процессами), которые зависят от многих, иногда неизвестных, факторов, называют регрессионным
анализом. Часто между переменными x и y существует связь, но не вполне определенная, при которой одному значению x соответствует несколько значений (совокупность) y. В таких случаях связь называют регрессионной. Этот вид статистического анализа позволяет решать главную задачу эксперимента в случае, если наблюдаемые и результирующие переменные являются количественными, и в этом смысле
он является основным при обработке этого типа экспериментальных данных.
Регрессия или регрессионная зависимость – это функция, описывающая отношения (зависимость) между случайными переменными величинами. Установление регрессионных зависимостей между величинами x и y возможно лишь тогда, когда выполнимы статистические измерения.
Суть регрессионного анализа сводится к установлению уравнения регрессии,
оценке тесноты связей между ними, достоверности и адекватности результатов измерений.
Рассмотрим случай, когда объект исследования представляется в виде «черного ящика», имеющего один вход и один выход. Результаты измерений наиболее
удобно представить в виде таблицы, в которой каждому эксперименту соответствуют значения фактора и выходного параметра. В таблице 3.1 приведены в общем виде результаты n экспериментов, экспериментальные значения фактора и выходного
параметра для i-того эксперимента обозначены соответственно xi и yi. При проведе30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нии экспериментов абсолютно точные измерения чаще всего невозможны. Для того,
чтобы исключить влияние ошибок, проводится большое число измерений.
Таблица 3.1 – Таблица представления результатов измерения переменных x и y
Номер эксперимента
Значения фактора x
Значения выходного параметра y
1
x1
y1
2
x2
y2
…
…
…
i
xi
yi
…
…
…
n
xn
yn
Задача состоит в том, чтобы, зная множество значений на входах и выходах,
построить модель, то есть определить функцию «черного ящика», по которой вход
преобразуется в выход. Такая задача называется задачей регрессионного анализа.
На этапе выдвижения гипотезы о наличии регрессионной связи между x и y,
используют графический метод.
Графический метод – метод анализа, основанный на графическом представлении результатов эксперимента [10].
При регрессионном анализе наносят точки на график и строят так называемое
корреляционное поле (диаграмму рассеивания) – графическую зависимость между
переменными величинами xi и yi в виде геометрического места точек в системе прямоугольных координат. Примеры корреляционных полей приведены на рисунке 3.1.
По тесноте группирования точек вокруг прямой или кривой линии, по наклону линии можно судить о наличии корреляционной связи.
Пусть, например, ставится задача определить, как зависит срок окупаемости
системы автоматизации технологических процессов механообработки Lо от машинного времени
при остальных постоянных входных параметрах. Поскольку эв-
ристическую математическую модель в данном случае нельзя получить, то для построения эмпирической модели используем системы компьютерного моделирования
«Каскад» и «Srok», разработанные в Оренбургском государственном университете.
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Результаты компьютерного моделирования отобразим на графике (рисунок 3.2).
Всего
на
графике n экспериментальных
точек,
которые
соответству-
ют n наблюдениям, в данном случае n = 11.
а) сильная положительная
б) отсутствие корреляции в) сильная отрицательная
корреляция
корреляция
Рисунок 3.1 – Примеры диаграмм для различных полей корреляции
Рисунок 3.2 – Графический вид представления результатов исследования зависимости срока окупаемости системы автоматизации Lо от машинного времени
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обозначим регрессионную зависимость, которую необходимо определить,
следующим образом
,
(3.1)
где x – фактор (независимая переменная);
– параметры регрессии.
Параметры регрессии постоянны, но заранее неизвестны и подлежат определению. Таким образом, неизвестных параметров – (m + 1).
Подставляя результаты измерений из таблицы 3.1 в равенство (3.1), получаем
уравнения между параметрами
вида
,
(3.2)
где xi и yi – соответствующие друг другу измеренные значения;
n – число измерений.
Каждое измерение даѐт уравнение, связывающее неизвестные коэффициенты.
Если, например, по результатам эксперимента, состоящего из двух опытов,
получено линейное однофакторное уравнение у = A0 + A1x , то построенная по этому уравнению прямая обязательно пройдет через эти экспериментальные точки.
Следовательно, для того, чтобы проверить, насколько хорошо эта зависимость описывает данный процесс, надо поставить опыт хотя бы еще в одной точке. Этот дополнительный опыт дает возможность осуществить корректную процедуру проверки пригодности уравнения. Однако проверку обычно проводят не по одной дополнительной точке, которая не участвовала в определении коэффициентов уравнения,
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а по всем экспериментальным точкам, число которых должно превышать число коэффициентов уравнения.
На самом деле, значения х и у содержат ошибки, и никакие (m + 1) измерений
не позволят определить истинные значения параметров, поэтому обычно производится большее число измерений (n > (m + 1)), в результате чего число уравнений
(3.2) будет больше, чем число неизвестных параметров. В этом случае система (3.2)
будет, вообще говоря, несовместимой.
Поэтому ставится задача отыскания наиболее вероятных значений коэффициентов, которые, вообще говоря, не будут точно удовлетворять ни одному из уравнений системы.
Для определения этих параметров широко используется метод наименьших
квадратов.
3.3.2 Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов используется тогда, когда число точек xi (узлов)
велико и построение плавной зависимости (3.1), проходящей через все точки (xi , yi),
невозможно из-за большого разброса значений.
В соответствии с [10] метод наименьших квадратов – «метод оценки параметров, минимизирующий сумму квадратов ошибок, причем ошибку определяют
как разность между наблюдаемым значением и значением, вычисленным исходя из
постулированной модели, а сумму берут по всем обработкам».
Цель метода – минимизация суммарной ошибки F за счет подбора коэффициентов
. Другими словами, это означает, что необходимо найти такие
коэффициенты регрессионной функции, чтобы ее график проходил как можно ближе одновременно ко всем экспериментальным точкам. Поэтому данный метод называется методом наименьших квадратов.
Формулировка метода наименьших квадратов: наивероятнейшими значениями параметров будут такие, при которых сумма квадратов отклонений измеренных значений уi от вычисленных по модели (3.1) будет наименьшей
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
.
Рассматривая здесь параметры модели
(3.3)
, как независимые пе-
ременные, и, приравнивая нулю частные производные от левой части по этим переменным, получаем в точности (m + 1) уравнение с (m + 1) неизвестным.
Рассмотрим определение параметров модели A0 , A1 для случая линейной регрессионной модели.
На рисунке 3.3 приведена графическая иллюстрация функции ошибки, которая является функцией двух переменных A0 и A1.
Рисунок 3.3 – Примерный вид функции ошибки
Чтобы суммарную ошибку минимизировать, найдем частные производные от
функции F по каждой переменной
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приравняем частные производные к нулю (условие экстремума)
или в данном случае
После раскрытия скобок получим систему из двух линейных уравнений
Для нахождения коэффициентов A0 и A1 методом Крамера представим систему
в матричной форме
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение имеет вид
Чтобы определить, принимается гипотеза или нет, выполняются следующие
этапы.
Этап 1. Расчет ошибки между точками заданной экспериментальной зависимости yi и полученной теоретической (эмпирической) математической моделью yiм
где i – номер эксперимента, i = 1, …, n.
Этап 2. Определение суммарной ошибки при определении параметров модели
E(A0, A1)
Этап 3. Нахождение значения среднеквадратичного отклонения Sy по формуле
Если в полосу, ограниченную линиями (yiм – S) и (yiм + S) (рисунок 3.4), попадает 68,26 % и более экспериментальных точек yi., то выдвинутая гипотеза принимается. В противном случае выбирают более сложную гипотезу или проверяют исходные данные. Если требуется большая уверенность в результате, то используют
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дополнительное условие: в полосу, ограниченную линиями (yiм – 2S) и (yiм + 2S),
должны попасть 95,44 % и более экспериментальных точек yi .
Рисунок 3.4 – Исследование допустимости принятия гипотезы
В качестве аппроксимирующих функций применяются не только линейная (т. е.
выравнивание по прямой линии), но и квадратическая, параболическая, экспоненциальная и другие регрессионные зависимости.
3.4 Задание на самостоятельную работу
3.4.1 Построить корреляционное поле для результатов исследования зависимости срока окупаемости системы автоматизации Lо (выходного параметра) от машинного времени
(фактора), приведенных в таблице 3.2. Выдвинуть гипотезу о
наличии регрессионной связи между фактором и выходным параметром.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 3.2 – Результаты экспериментальных исследований при компьютерном моделировании системы автоматизации
Номер эксперимента
Lо
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0,1
0,2
0,3
0,5
0,7
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0,54
0,57 0,61 0,68 0,75
0,86
1,04 1,21
1,4
1,57 1,75
3.4.2 Применяя метод наименьших квадратов, определить параметры математической модели для линейной регрессионной зависимости срока окупаемости системы автоматизации Lо от машинного времени
.
3.4.3 Проверить гипотезу о наличии линейной регрессионной зависимости
между сроком окупаемости системы автоматизации и машинным временем.
3.4.4 Определить формулы для нахождения параметров квадратичной модели,
применяя метод наименьших квадратов.
3.5 Содержание отчета
3.5.1 Название практического занятия.
3.5.2 Цель, задачи практического занятия и самостоятельной работы.
3.5.3 Результаты выполнения задания на самостоятельную работу.
3.5.4 Выводы по применению метода наименьших квадратов для определения
параметров регрессионной зависимости.
3.6 Контрольные вопросы
3.6.1 Какая зависимость называется «функциональной»?
3.6.2 Когда выходной параметр не зависит от фактора?
3.6.3 Как получают эвристическую модель?
3.6.4 Как получают эмпирическую модель?
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.6.5 Почему эмпирическая модель имеет меньшую ценность, чем эвристическая?
3.6.6 Что учитывается при определении необходимого объема опытных данных при проведении эксперимента?
3.6.7 Что называется регрессионным анализом?
3.6.8 Что такое регрессия (регрессионная зависимость)?
3.6.9 Что включает задача регрессионного анализа?
3.6.10 Какой метод анализа называется графическим?
3.6.11 Что показывает корреляционное поле?
3.6.12 Каким образом, применяя графический метод, можно судить о наличии
корреляционной связи?
3.6.13 Когда используется метод наименьших квадратов?
3.6.14 Назовите формулировку метода наименьших квадратов.
3.6.15 С чем связано название метода наименьших квадратов?
3.6.16 Как определить принимается ли гипотеза о наличии регрессионной связи между фактором и выходным параметром?
3.6.17 Какие осуществляются действия, если выдвинутая гипотеза о виде регрессионной модели не принимается?
3.6.18 Зачем используют дополнительное условие при исследовании допустимости принятия гипотезы?
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4 Построение моделей систем автоматизации технологических
процессов методом полного факторного эксперимента
4.1 Цель, задачи практического занятия и самостоятельной работы
Цель практического занятия и самостоятельной работы: закрепление знаний,
умений и навыков по планированию проведения двухуровневого полного факторного эксперимента при исследовании систем автоматизации технологических процессов, определения параметров модели по результатам эксперимента.
Достижение названной цели предполагает решение следующих учебных задач:
1) теоретический компонент: получить базовые представления о планировании полного факторного эксперимента, кодировании факторов (входных параметров), определения параметров модели;
2) практический компонент: сформировать основные навыки по построению
матрицы планирования двухуровневого полного факторного эксперимента, расчету
параметров модели.
4.2 План практического занятия
4.2.1 Изучение теоретического материала по планированию полного факторного эксперимента и определения параметров математической модели при исследовании систем автоматизации технологических процессов.
4.2.2 Выполнение задания на самостоятельную работу.
4.3 Общие положения
Активные, планируемые эксперименты позволяют минимизировать число
опытов, упрощают статистическую обработку, и анализ полученных результатов
повышает их достоверность при условии, что математическая модель содержит несколько управляемых и независимых факторов [4].
При построении моделей методом активного планирования эксперимента вы41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
полняются следующие этапы:
– планирование эксперимента;
– проведение эксперимента;
– проверка воспроизводимости экспериментов;
– расчет параметров модели;
– проверка значимости параметров модели;
– проверка адекватности модели.
На практическом занятии 4 изучается выполнение следующих этапов: планирование эксперимента; проведение эксперимента; расчет параметров модели.
4.3.1 Планирование полного факторного эксперимента
При планировании эксперимента осуществляется выбор плана эксперимента,
удовлетворяющего заданным требованиям.
План эксперимента – совокупность данных, определяющих число, условия и
порядок реализации опытов [1].
Подготовка планирования эксперимента начинается, как правило, с выбора
независимых (входных) параметров, варьирование которых влечет за собой изменение состояния или свойств объекта исследования, а их оценка осуществляется с помощью зависимых (выходных) параметров. Входные параметры в эксперименте
можно варьировать на бесконечном множестве уровней.
Однако, чтобы получить математическую модель в полиномиальном виде,
достаточно изменить параметры на двух, трѐх или пяти уровнях. Их выбор определяет число необходимых экспериментов и влияет на точность модели. Поэтому на
предварительных этапах исследования необходимо включить в рассмотрение большое число факторов, некоторые из которых в процессе расчѐта могут оказаться несущественными.
Необходимое число экспериментов N при числе уровней U и числе входных
параметров m определяется по формуле
N = Um .
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Начальное исследование объекта, процесса, системы проводят с использованием, как правило, двухуровневого изменения основных факторов, когда рассматривается изменение входных параметров на двух уровнях: нижней и верхней
границе интервала варьирования. Постановка эксперимента по такому плану называется двухуровневым факторным экспериментом 2m.
Таким образом, если число входных параметров равно двум (m = 2), то число
экспериментов N = 22 = 4; если m = 3, то N = 23 = 8 и так далее.
Эксперимент, состоящий из всех возможных обработок, образованных двумя
или более факторами, каждый которых изучают на двух или более уровнях, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). В полнофакторном плане содержатся все возможные комбинации учитываемых факторов и уровней их варьирования.
Оптимальное планирование эксперимента начинается с кодирования факторов. Операция кодирования параметров заключается в том, что все координаты центра (основного уровня) плана xi0 приравнивают нулю, а интервалы варьирования
i
принимают за единицу.
Достоинством операции кодирования является то, что вся обработка результатов эксперимента проводится в стандартной форме, независящей от конкретных условий задачи.
Переход от некодированных (натуральных) значений параметров xi к кодированным zi осуществляется по формуле
zi = (xi – xio) /
i
,
где i – номер входного параметра, i = 1, 2, ..., m;
М – число входных параметров;
xi – некодированное значение i -ого входного параметра;
zi – кодированное значение i -ого входного параметра;
xio – основной уровень (центр плана);
i
– интервал варьирования.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кодированные значения нижнего, основного и верхнего уровня определяются
следующим образом
ziниж = (xio –
i
– xio) /
zio = (xio – xio)/
ziверх = (xio +
i
i
= –1 ,
i
=0,
– xio)/
i
=1.
План эксперимента удобно задавать таблицей, называемой матрицей планирования эксперимента, включающей в себя последовательность проведения опытов,
значения факторов и эффектов их взаимодействий, а также значения исследуемого
выходного параметра. В таблицах 4.1 и 4.2 приведены примеры матриц планирования при ПФЭ 22 и ПФЭ 23 соответственно.
Таблица 4.1 – Матрица планирования ПФЭ 22
№ эксперимента
z1
z2
yср
1
–1
–1
yср1
2
+1
–1
yср2
3
–1
+1
yср3
4
+1
+1
yср4
Таблица 4.2 – Матрица планирования ПФЭ 23
№ эксперимента
z1
z2
z3
yср
1
–1
–1
–1
yср1
2
+1
–1
–1
yср2
3
–1
+1
–1
yср3
4
+1
+1
–1
yср4
5
–1
–1
+1
yср5
6
+1
–1
+1
yср6
7
–1
+1
+1
yср7
8
+1
+1
+1
yср8
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При заполнении матрицы можно использовать следующее правило. В столбце
для первого фактора знаки меняют поочередно, для второго фактора в столбце чередуются через два по два, для третьей – через четыре по четыре, для четвертого – восемь по восемь и т. д. по степеням двойки.
На рисунке 4.1 приведено схематичное представление плана полного факторного эксперимента 23 [14].
Рисунок 4.1 – Схематичное представление плана ПФЭ 23 [14]
Матрица планирования полного факторного эксперимента обладает следующими свойствами:
а) симметричность относительно центра эксперимента – алгебраическая сумма
элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю, или,
где j – номер эксперимента, j = 1, 2, ..., N;
N – число опытов;
б) условие нормировки – сумма квадратов элементов каждого столбца равна
числу опытов, или
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Это следствие того, что значения факторов в матрице задаются +1 и минус 1;
в) ортогональность матрицы планирования – сумма почленных произведений
любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю, или
Свойство ортогональности заключается в том, что план эксперимента позволяет получать оценки для коэффициентов регрессии независимыми друг от друга.
Это позволяет исключать те факторы, при которых коэффициенты оказываются незначимыми;
г) ротатабельность – точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений выходного параметра одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.
Одновременно ортогональными и рототабельными могут быть планы только
первой степени, т. е. для линейной модели.
4.3.2 Проведение эксперимента
При проведении эксперимента возможны три вида ошибок:
– грубые;
– систематические;
– случайные.
Грубые ошибки возможны при неправильных действиях экспериментатора или
при неисправности используемых при эксперименте технических средств. Для выявления ошибок необходимо произвести измерения в других условиях или повторить измерения через некоторое время. Для предотвращения грубых ошибок нужно
соблюдать аккуратность в записях, тщательность в работе и записи результатов экс46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
перимента. Если замечена грубая ошибка, то это – так называемый «брак при повторных опытах», результаты этого эксперимента не учитывают и повторяют эксперимент при тех же условиях.
Систематическая ошибка – это ошибка, которая остаѐтся постоянно или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические ошибки порождаются причинами, действующими регулярно, в определенном направлении. Чаще всего эти ошибки можно изучить и определить количественно. Эти ошибки появляются вследствие неисправности приборов, неточности метода измерения, какого-либо упущения экспериментатора, использования для
вычисления неточных данных. Обнаружить систематические ошибки, а также устранить их во многих случаях нелегко. Требуется тщательный разбор методов анализа, строгая проверка всех измерительных приборов и безусловное выполнение выработанных практикой правил экспериментальных работ. Если систематические
ошибки вызваны известными причинами, то их можно определить. Подобные погрешности можно устранить введением поправок. Систематические ошибки находят, калибруя измерительные приборы и сопоставляя опытные данные с изменяющимися внешними условиями (например, при градуировке термопары по реперным
точкам, при сравнении с эталонным прибором). Если систематические ошибки вызываются внешними условиями (переменной температуры, сырья и т. д.), следует
компенсировать их влияние.
Случайными ошибками называются те, которые появляются нерегулярно, причины, возникновения которых неизвестны и которые невозможно учесть заранее.
Случайные ошибки вызываются и объективными причинами, и субъективными. Например, несовершенством приборов, их освещением, расположением, изменением температуры в процессе измерений, загрязнением реактивов, изменением
электрического тока в цепи. Когда случайная ошибка больше величины погрешности прибора, необходимо многократно повторить одно и то же измерение. Это позволяет сделать случайную ошибку сравнимой с погрешностью, вносимой прибором. Если же она меньше погрешности прибора, то уменьшать еѐ нет смысла. Такие
ошибки имеют значение, которое отличается в отдельных измерениях. Т. е. их зна47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чения могут быть неодинаковыми для измерений, сделанных даже в одинаковых условиях. Поскольку причины, приводящие к случайным ошибкам неодинаковы в каждом эксперименте, и не могут быть учтены, поэтому исключить случайные ошибки
нельзя, можно лишь оценить их значения. При многократном определении какоголибо показателя могут встречаться результаты, которые значительно отличаются от
других результатов той же серии. Они могут быть следствием грубой ошибки, которая вызвана невнимательностью экспериментатора.
Для уменьшения влияния случайных ошибок при каждом сочетании значений
входных параметров (в каждой точке) проводят по несколько повторных опытов.
Расчеты коэффициентов математической модели осуществляют по осредненным результатам экспериментов в данной строчке матрицы планирования эксперимента
где
– среднее значение выходного параметра в j – той строке матрицы пла-
нирования;
– значение выходного параметра в u-той повторности j-той строке матрицы планирования;
k
– число повторностей (параллельных экспериментов).
Число повторений зависит от конкретных условий проведения опытов, но в
конечном итоге определяется по степени расхождения результатов для одних и тех
же вариантов опыта, т. е. по степени разброса выходной величины в каждой из строк
матрицы.
4.3.3 Определение параметров математической модели
Обычно в качестве математической модели используют уравнения (полиномы) первой, второй и реже третьей степени. Причѐм вид уравнения, точнее его степень, окончательно определяется после оценки адекватности принятой модели. Если
модель неадекватна, то следует перейти к уравнению с более высокой степенью
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
входных параметров. Поэтому построение модели носит итерационный характер,
начиная от простых линейных уравнений и переходя к уравнениям более высоких
степеней.
Линейные уравнения первой степени записывают в следующем виде
квадратичные уравнения второй степени –
Поскольку входные переменные имеют кодированные значения +1 и минус 1,
то параметры модели определяются по следующим формулам
Например, для плана ПФЭ 22 число экспериментов N = 4
После определения параметров математической модели оценивают их значимость и проверяют адекватность модели экспериментальным данным.
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.4 Задание на самостоятельную работу
4.4.1 Составить матрицу планирования эксперимента для ПФЭ 24.
4.4.2 Определить значения параметров математической модели, учитывающей
влияние факторов системы автоматизации технологических процессов механообработки (количества переходов в операции z1; машинного времени z2; числа деталей в
сменном задании z3) на срок окупаемости Lо при уровне рассмотрения системы автоматизации A = I. Результаты полного факторного эксперимента, полученные компьютерным моделированием, представлены в таблице 4.3.
4.4.3 Записать математическую модель.
Таблица 4.3 – Результаты эксперимента
№ эксперимента
z1
z2
z3
Lо
1
–1
–1
–1
0,54
2
+1
–1
–1
1,25
3
–1
+1
–1
1,75
4
+1
+1
–1
4,17
5
–1
–1
+1
2,16
6
+1
–1
+1
5,00
7
–1
+1
+1
7,00
8
+1
+1
+1
16,69
4.5 Содержание отчета
4.5.1 Название практического занятия.
4.5.2 Цель, задачи практического занятия и самостоятельной работы.
4.5.3 Результаты выполнения задания на самостоятельную работу.
4.5.4 Выводы по влиянию факторов системы автоматизации технологических
процессов на срок окупаемости.
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.6 Контрольные вопросы
4.6.1 Какими достоинствами обладают активные, планируемые эксперименты?
4.6.2 Назовите основные этапы построения математической модели при планировании активного эксперимента.
4.6.3 Что называют планом эксперимента?
4.6.4 С чего начинается подготовка планирования эксперимента?
4.6.5 На скольких уровнях достаточно изменить параметры, чтобы получить
математическую модель в полиномиальном виде?
4.6.6 Как определить количество опытов, которые необходимо провести для
получения математической модели?
4.6.7 Что такое полный факторный эксперимент?
4.6.8 В чем заключается операция кодирования входных параметров?
4.6.9 Что является достоинством операция кодирования?
4.9.10 Как перейти от некодированных (натуральных) значений переменных к
кодированным значениям переменных?
4.6.10 Как определяется основной уровень входной переменной и чему равно
еѐ кодированное значение?
4.6.11 Что включает матрица планирования эксперимента?
4.6.12 Какое правило используют при заполнении матрицы?
4.6.13 Какими свойствами обладает матрица планирования полного факторного эксперимента?
4.6.14 Какие виды ошибок возможны при проведении эксперимента?
4.6.15 От чего зависит число повторений эксперимента?
4.6.16 Как определяются параметры модели?
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5 Статистическая обработка результатов эксперимента при
исследовании систем автоматизации технологических процессов
5.1 Цель, задачи практического занятия и самостоятельной работы
Цель практического занятия и самостоятельной работы: закрепление знаний,
умений и навыков по статистической обработке результатов полного факторного
эксперимента при исследовании систем автоматизации технологических процессов.
Достижение названной цели предполагает решение следующих учебных задач:
1) теоретический компонент: получить базовые представления о понятиях
«воспроизводимость результатов эксперимента», «значимость коэффициентов математической модели», «адекватность математической модели», применению критериев Кохрена, Стьюдента, Фишера;
2) практический компонент: сформировать основные навыки по выполнению
статистических проверок на воспроизводимость результатов эксперимента, значимость коэффициентов и адекватность математической модели.
5.2 План практического занятия
5.2.1 Изучение теоретического материала по статистической обработке результатов полного факторного эксперимента при исследовании систем автоматизации технологических процессов.
5.2.2 Выполнение задания на самостоятельную работу.
5.3 Общие положения
5.3.1 Проверка воспроизводимости результатов эксперимента
После проведения экспериментов осуществляется процедура проверки воспроизводимости результатов эксперимента (однородности дисперсии) с использованием специального критерия Кохрена. Необходимо подчеркнуть, что проверка воспроизводимости является важным этапом, лишь при выполнении которой результа52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
там экспериментов и полученным на их основе закономерностям можно доверять.
При проверке на воспроизводимость выполняются следующие этапы.
Этап 1. Определение дисперсии j-го эксперимента, которая характеризует отклонение измеренных значений выходного параметра от их среднего значения.
Дисперсия определяется суммой квадратов отклонений измеренных значений
от средних
где
– дисперсия в j-том эксперименте.
Остальные обозначения приведены в методических указаниях к практическому занятию 4.
Чем больше значение дисперсии, тем хуже воспроизводимость процесса.
Этап 2. Определение значения критерия Кохрена по формуле
где
– максимальное значение дисперсии из N опытов;
– сумма всех дисперсий.
Этап 3. Определение табличного значения критерия Кохрена G
табл
.
Фрагмент таблицы критических значений для критерия Кохрена при выбранном уровне значимости для технических расчетов 5 % приведен в таблице 5.1 [15]. В
таблице приняты следующие обозначения: число степеней свободы f1 = k –1;
чис-
ло сравниваемых дисперсий f2 = N .
Этап 4. Сравнение G и G
табл
Если G < G
табл
.
, то дисперсия однородна, эксперименты воспроизводимы, и
их результатами можно пользоваться для построения математической модели. Если
G >G
табл
, то проводят еще повторения эксперимента или начинают все заново.
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 5.1 – Критические значения критерия Кохрена [15]
f2 = N
f1 = k –1
1
2
3
4
5
6
7
8
2
0,998
0,975
0,939
0,906
0,877
0,853
0,833
0,816
3
0,967
0,871
0,798
0,746
0,707
0,677
0,653
0,633
4
0,906
0,768
0,684
0,629
0,590
0,560
0,536
0,517
5
0,841
0,684
0,598
0,544
0,506
0,478
0,456
0,439
6
0,781
0,616
0,532
0,480
0,445
0,418
0,398
0,382
7
0,727
0,561
0,480
0,431
0,397
0,373
0,353
0,338
8
0,680
0,516
0,438
0,391
0,360
0,336
0,318
0,304
10
0,602
0,445
0,373
0,331
0,303
0,282
0,266
0,254
12
0,541
0,392
0,326
0,288
0,262
0,244
0,230
0,219
15
0,471
0,335
0,276
0,242
0,220
0,203
0,191
0,181
20
0,389
0,270
0,220
0,192
0,174
0,160
0,150
0,142
5.3.2 Проверка значимости коэффициентов
Значение некоторых коэффициентов модели могут быть равны нулю или быть
близкими к нему, в этом случае их можно не учитывать. Проверка значимости коэффициентов выполняется с помощью критерия Стьюдента. Она выполняется по
следующим этапам:
а) расчет дисперсии воспроизводимости
где
– дисперсия j–го опыта, определенная при проверке воспроиз-
водимости эксперимента;
б) определение дисперсии погрешности определения коэффициентов математической модели
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в) определение для каждого коэффициента модели значения критерия Стьюдента, как отношение абсолютного значения коэффициента модели к корню квадратному из дисперсии коэффициентов
г) нахождение по специальной таблице при заданных значениях числа степеней свободы f = N(m – l) и уровне значимости критических значений критерия
Стьюдента tкр ; в таблице 5.2 приведен фрагмент таблицы критических значений для
критерия Стьюдента при выбранном уровне значимости для технических расчетов
5 %;
д) сравнение ti и tкр , если ti > tкр , то коэффициент математической модели
признается значимым, если ti и tкр , то коэффициент считается статистически незначимым.
Таблица 5.2 – Критические значения критерия Стьюдента
f
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12,706 4,302 3,182 2,776 2,570 2,446 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201
Продолжение таблицы 5.2
f
12
13
15
20
25
30
40
50
100
2,179
2,160
2.145
2,086
2,060
2,042
2,028
2,009
1,984
Незначимость коэффициента модели может быть обусловлена рядом причин:
– фактор, соответствующий незначимому коэффициенту, не влияет на выходной параметр;
– имеет место большая ошибка в определении выходного параметра;
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
– выбран малый шаг варьирования независимой переменной.
Если какой-то коэффициент незначим, то он отбрасывается без пересчета всех
остальных коэффициентов.
5.3.3 Проверка адекватности математической модели
Математическая модель считается адекватной, если отражает заданные свойства с приемлемой точностью.
Выходной параметр, аппроксимируемый тем или иным уравнением, коэффициенты которого найдены рассмотренными выше методами (наименьших квадратов
или полным факторным экспериментом), может и не соответствовать (быть неадекватным) наблюдаемым значениям. Поэтому всегда, прежде чем использовать математическую модель для исследования технической системы, необходимо проверить
еѐ адекватность данным эксперимента (то есть насколько хорошо полученное уравнение описывает результаты эксперимента в исследуемой области). Это производится с помощью оценки отклонений, вычисленным по уравнениям модели значений функции
от экспериментально установленных, усредненных по числу по-
вторений опытов
. Для оценки отклонений используют критерий Фишера.
Проверку адекватности математической модели выполняют в несколько этапов.
Этап 1. Нахождение дисперсии адекватности по формуле
где k – число параллельных опытов;
N – число строчек матрицы планирования;
l – число значимых коэффициентов в уравнении модели;
– усредненное значение выходного параметра;
– рассчитанные по полученному уравнению значения выходного параметра при кодированных переменных.
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Например, при k = 3, N = 4 и l = 3
Этап 2. Определение значения критерия Фишера
Этап 3. Определение табличного значения критерия Фишера F
табл
.
Фрагмент таблицы критических значений для критерия Фишера при выбранном уровне значимости для технических расчетов 5 % приведен в таблице 5.3. В
таблице приняты следующие обозначения: число степеней свободы f1 = N – l ;
число сравниваемых дисперсий f2 = N(m – 1) .
Таблица 5.3 – Критические значения критерия Фишера
f2 = N
f1 = N – l
1
2
3
4
5
6
12
24
1
161,45
199,50
215,71
224,58
230,16
233,99
244,9
249,0
2
18,51
19,00
19,16
19,25
19,30
19,33
19,4
19,5
3
10,13
9,55
9,28
9,12
9,01
8,94
8,7
8,7
4
7,71
6,94
6,59
6,39
6,26
6,16
5,9
5,8
5
6,61
5,79
5,41
5,19
5,05
4,95
4,7
4,5
6
5,99
5,14
4,76
4,53
4,39
4,28
4,0
3,8
7
5,59
4,74
4,35
4,12
3,97
3,87
3,6
3,4
8
5,32
4,46
4,07
3,84
3,69
3,58
3,3
3,1
10
4,96
4,10
3,71
3,48
3,33
3,22
2,9
2,7
20
4,35
3,49
3,10
2,87
2,71
2,60
2,3
2,1
50
4,03
3,18
2,79
2,56
2,40
2,29
2,0
1,7
100
3,94
3,09
2,70
2,46
2,30
2,19
1,8
1,5
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Этап 4. Сравнение F и F
табл
.
Если рассчитанное значение параметра F не превышает критического (табличного) F
табл
, т. е. F < F
табл
, то математическая модель считается адекватной, в
противном случае модель признаѐтся неадекватной изучаемому процессу.
Если F < F
табл
, то уравнение неадекватно описывает экспериментальные дан-
ные, точность описания процесса данным уравнением значительно ниже той точности, с которой получены экспериментальные результаты. В подобной ситуации исследователь должен найти ответ на вопрос о причинах получения недостаточно точных уравнений процесса. Наиболее часто встречающаяся причина – арифметические ошибки. Чтобы убедиться в отсутствии таких ошибок рекомендуется по уравнению, в котором оставлены все, в том числе и незначимые, коэффициенты (число
коэффициентов равно числу опытов) рассчитать выходной параметр при условии
трех–четырех опытов. Если полученные результаты
в пределах точности округ-
ления будут совпадать с экспериментальными данными
, то арифметической
ошибки нет.
Степень адекватности математической модели определяется диапазоном изменения факторов и видом модели. Способы повышения адекватности:
– сужение диапазона изменения факторов и проведение для новых диапазонов
новых экспериментов;
– усложнение вида модели путем учета взаимовлияющих факторов друг на
друга с использованием уравнений более высоких степеней.
Усложнение модели необходимо проводить последовательно. Добавление новых членов в модели не изменяет значения коэффициентов, полученных ранее, что
существенно сокращает и упрощает расчет новой модели.
5.4 Задание на самостоятельную работу
5.4.1 Проверить по критерию Кохрена результаты полного факторного эксперимента, проведенного для определения значений параметров математической модели, учитывающей влияние факторов системы автоматизации технологических
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
процессов механообработки (количества переходов в операции z1; машинного времени z2; числа деталей в сменном задании z3) на срок окупаемости Lо при уровне
рассмотрения системы автоматизации A = I. Результаты полного факторного эксперимента по трем повторностям представлены в таблице 5.4.
5.4.2 Определить параметры математической модели.
5.4.3 Проверьте значимость параметры математической модели.
5.4.4 Проверьте адекватность математической модели.
Таблица 5.4 – Результаты эксперимента
№ экспери-
Входные параметры
Экспериментальные значения Lо
мента
z1
z2
z3
1
–1
–1
–1
0,55
0,549
0,551
2
+1
–1
–1
1,255
1,252
1,243
3
–1
+1
–1
1,751
1,751
1,748
4
+1
+1
–1
4,172
4,171
4,167
5
–1
–1
+1
2,162
2,156
2,162
6
+1
–1
+1
5,003
4,996
5,001
7
–1
+1
+1
6,998
7,001
7,001
8
+1
+1
+1
16,691
16,69
16,689
5.5 Содержание отчета
5.5.1 Название практического занятия.
5.5.2 Цель, задачи практического занятия и самостоятельной работы.
5.5.3 Результаты выполнения задания на самостоятельную работу.
5.5.4 Выводы по выполнению каждого задания на самостоятельную работу.
5.6 Контрольные вопросы
5.6.1 Для каких целей осуществляется проверка однородности дисперсий?
5.6.2 Почему результаты эксперимента могут быть невоспроизводимы?
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.6.3 Для какой статистической проверки результатов эксперимента используется критерий Кохрена?
5.6.4 Как определяется дисперсия j-го эксперимента?
5.6.5 От чего зависит значение критерия Кохрена?
5.6.6 Для какой статистической проверки результатов эксперимента используется критерий Стьюдента?
5.6.7 Как определяется дисперсия воспроизводимости?
5.6.8 От чего зависит значение критерия Стьюдента?
5.6.9 Для каких целей осуществляется проверка значимости коэффициентов?
5.6.10 Почему коэффициенты математической модели могут быть незначимы?
5.6.11 Какая математическая модель считается адекватной?
5.6.12 Как определяется дисперсия адекватности?
5.6.13 Для какой статистической проверки результатов эксперимента используется критерий Фишера?
5.6.14 Для каких целей выполняется проверка адекватности модели?
5.6.15 От чего зависит значение критерия Фишера?
5.6.16 С чем связана неадекватность математической модели?
5.6.17 В каких случаях считается отсутствие арифметической ошибки?
5.6.18 Как осуществляется усложнение модели?
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список использованных источников
1 ГОСТ 24026-80 Исследовательские испытания. Планирование эксперимента.
Термины и определения. – Введ. 1981-01-01. – М. : Издательство стандартов, 1991. –
18 с.
2 Теория Планирования Эксперимента [Электронный ресурс] . – Электрон.
дан. – [2009]. – Режим доступа : http://appmath.narod.ru/index.html . – Загл. с экрана. – Проверено 22.10.2013.
3 Рогов, В. А. Методика и практика технических экспериментов / В. А. Рогов,
Г. Г. Поздняк. – М.: Академия, 2005. – 288 с.
4 Апсин, В. П. Специальные главы надежности и основы планирования экспериментов: учебное пособие / В. П. Апсин, Е. В. Бондаренко, В. И. Рассоха. – Оренбург, ИПК ГОУ ОГУ, 2009. – 135 с.
5 Хамханов, К. М. Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Планирование эксперимента» / К. М. Хамханов, Ю. Ж. Дондоков. – УланУдэ: Издательство ВСГТУ, 2002. – 10 с.
6 Economic-s.Ru: экономический портал [Электронный ресурс] . – Электрон.
дан.
–
[2013].
–
Режим
доступа
:
http://www.economic-
s.ru/index.php/theory/organization-manufacture/organizatsiya-avtomatizirovannogo-pro/.
– Загл. с экрана. – Проверено 22.10.2013.
7 Гибкие производственные комплексы / под ред. П. Н. Белянина, В. А. Лещено. – М. : Машиностроение, 1984. – 384 с.
8 Галина, Л. В. Повышение эффективности автоматизированных производств
на основе экспресс-оценки номенклатуры изделий: монография / Л. В. Галина, А. И.
Сердюк, А. М. Черноусова; Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург: ООО ИПК «Университет», 2012. – 197 с. – ISBN 978-5-4417-0117-4.
9 Орлов, А. И. Теория принятия решений : учебное пособие / А. И. Орлов. –
М.: Издательство «Март», 2004. – 656 с.
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10 Р 50.1.040-2002 Статистические методы. Планирование экспериментов.
Термины и определения. – Введ. 2003-07-01. – М. : Госстандарт России : Издательство стандартов, 2002 . – IV, 36 с.
11 Основы научных исследований : учеб. для техн. вузов / В. И. Крутов и [др.];
под ред. В. И. Крутова, В. В. Попова. – М.: Высш. шк., 1989. – 400 с. – ISBN 5-06000043-5.
12 Колоколов, С. Б. Основы научных исследований: учебное пособие / С. Б.
Колоколов. – Оренбург: ИПК ГОУ ОГУ, 2008. – 115 с.
13 Шкляр, М. Ф. Основы научных исследований: учебное пособие / М. Ф.
Шкляр. – 2-е изд. – М.: Изд. «Дашков и К», 2009. – 244 с.
14 Килов, А. С. Основы научных исследований. В 2 ч. Ч. 2. Планирование эксперимента и расчет математической модели: методические указания к практическому занятию / А. С. Килов. – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2002. – 15 с.
15 ГОСТ Р ИСО 5725-2-2002 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Ч. 2. Основной метод определения повторяемости и
воспроизводимости стандартного метода измерений. – Введ. 2002-11-01. – М. :
ИПК Издательство стандартов, 2002. – 50 с.
62
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа