close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

3105.Элементы алгебры в курсе математики для учащихся начальных классов

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Соликамский государственный педагогический институт»
Кафедра математики и физики
В. И. Кузьминова
ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ
В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ
НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ
Учебно-методическое пособие
Соликамск
СГПИ
2011
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
УДК 37
ББК 74.202.42
К 89
Рецензенты: старший преподаватель ПНО и ВПГПУ
Ю. Ю. Скрипова,
зав. кафедрой математики и физики, кандидат педагогических наук, доцент СГПИ
Л. Г. Шестакова.
Введение............................................................................................4
Из истории алгебры.......................................................................5
Общая характеристика методики изучения
алгебраического материала.........................................................8
Числовые выражения....................................................................9
К 89
Кузьминова, В. И.
Элементы алгебры в курсе математики начальных классов [Текст] : учебнометодическое пособие / В. И. Кузьминова; ГОУ ВПО «Соликамский государственный педагогический институт». – Соликамск: СГПИ, 2011. – 48 с. – 100 экз.
Числовые равенства и неравенства..........................................22
Тождественные преобразования числовых выражений....28
Буквенные выражения..................................................................30
Уравнения в начальном курсе математики............................35
Пособие предназначено для студентов-бакалавров, обучающихся по направлению
050700 – «Педагогика», профиль 050707 – «Начальное образование».
Пособие нацелено на углубление и обобщение методических знаний студентов
по одному из вопросов частной методики – изучения алгебраического материала в
курсе математики, а также на систематизацию типов заданий, которые необходимо
использовать в процессе усвоения детьми элементов алгебры.
Обучение младших школьников решению задач
алгебраическим методом.............................................................42
Неравенства с переменной..........................................................44
Обучение младших школьников элементам алгебры........45
Список литературы........................................................................47
УДК 37
ББК 74.202.42
Рекомендовано к изданию РИСо СГПИ.
Протокол № 17 от 10.12.2010 г. © Кузьминова В. И., 2011
© ГОУ ВПО «Соликамский государственный
педагогический институт, 2011
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Данное учебно-методическое пособие предназначено для
студентов-бакалавров, обучающихся по направлению 050700 – «Педагогика», профиль 050707 – «Начальное образование». Рекомендуется как для очного, так и для заочного отделения.
Пособие посвящено изучению одного из вопросов дисциплины
«Теоретические основы и технологии начального математического
образования» – методике изучения элементов алгебры в начальном
курсе математики.
В пособии даны краткие исторические сведения о зарождении
алгебры как науки, раскрыты общие положения, связанные с изучением алгебраического материала в начальной школе. В пособии описана методика обучения младших школьников отдельным вопросам
(числовые выражения, числовые равенства и неравенства, буквенные
выражения, уравнения и неравенства с одной переменной), выделены типы заданий, которые необходимо использовать при уточнении
представлений об основных понятиях алгебры.
Восполняя недостаток в учебно-методической литературе по
дисциплине «Теоретические основы и технологии начального математического образования», учебное пособие углубляет и обобщает знания студентов, позволяя сформировать правильный подход к
изучению элементов алгебры и умение самостоятельно работать с
учебно-методической литературой.
Из истории алгебры
Любой выпускник средней школы на вопрос, чему его научили
на уроках алгебры, наверняка скажет: «Решать уравнения и задачи
с помощью уравнений». Современные ученые придерживаются той
же точки зрения на содержание алгебры. Французские математики
Александр Гротендик (родился в 1928 г.) и Жан Дьедоне (родился
в 1906 г.) в статье «Элементы алгебраической топологии» пишут:
«Можно утверждать, что решение полиноминальных уравнений послужило исторически источником алгебры и что со времени вавилонян, индусов и Диофанта и до наших дней оно остается одной из её
основных целей».
Цели алгебры оставались неизменными на протяжении тысячелетий – решались уравнения: сначала линейные, потом квадратные,
затем кубические, а позже уравнения еще больших степеней. Но форма, в которой описывались алгебраические результаты, менялась до
неузнаваемости. Древние египтяне излагали свои алгебраические
познания в числовой форме. В папирусах, которые дошли до нас,
решаются задачи практического содержания: вычисляются площади земельных участков, объёмы сосудов, количества зерна и т.д. Все
задачи с конкретными числовыми данными, но в некоторых из них
уже проскальзывает теоретический интерес. Например, задача из папируса Кахуна (около XVIII – XVI до н.э.): «Найти два числа х и у, для
3
которых x2 + y2 = 100 и x ÷ y = 1 ÷ » (в современных обозначения).
4
В папирусах она решена методом «Ложного положения». Именно,
3
если положить x=1, то y = и x 2 + y 2 =( 5 )2. Но по условию
4
4
5
x2 + y2 = 102, следовательно, в качестве x надо брать не 1, а 10 : = 8,
4
тогда y = 6.
Значительные успехи в развитии алгебры были достигнуты в
Древнем Вавилоне. Там решались уравнения первой, второй и даже
отдельные уравнения третьей степени. Способы решения конкретных уравнений дают основания считать, что вавилоняне владели и
общими правилами нахождения уравнений первой и второй степени.
4
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Все задачи и их решения излагались в словесной форме. В одной из
клинописных табличек встречается такая задача: «Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870». Нетрудно догадаться, что
речь идёт о квадратном уравнении x2 - x = 870.
Но эти достижения ещё нельзя назвать наукой, поскольку общей
теории не было.
Совсем другой вид приняла алгебра в Древней Греции. Со времени кризиса, вызванного открытием несоизмеримых отрезков, у
древних греков вся математика приобрела геометрическую форму.
Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками.
Любые утверждения и доказательства имели право на существование только в том случае, если они давались на геометрическом языке. Например, соотношение, которое мы записываем в виде формулы
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2, в «Началах» Евклида формируется так: «Если
отрезок AB разделен точкой С на два отрезка, то квадрат, построенный на AB, равен двум квадратам на отрезках АС и СВ вместе с удвоенным прямоугольником на АС и СВ». После этого дается длинное
доказательство этого факта на геометрическом языке.
Геометрический подход к математике отражал, вероятно, определенные черты духовной жизни древних греков. Греки создали непревзойденные скульптуры, удивительные по своему совершенству храмы и другие архитектурные сооружения, пропорции которых строго
математически выверены. Это стремление к красоте, гармоничности,
соразмерности, способствовало геометризации математики. Геометрический путь был гениальной находкой античных математиков,
но он сдерживал развитие алгебры. Алгебраические методы, ростки
которых возникли в более ранних цивилизациях, в Древней Греции
не получили развития.
Выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики произошло в арабских странах, куда после распада Римской империи переместился центр научной деятельности. К концу VIII в. в результате
захватнических войск арабы покорили почти все страны Средиземноморья, а на Востоке их владения простирались до самой Индии.
Многие арабские халифы для укрепления своего могущества и славы поощряли развитие наук. В Багдаде, столице халифата, создаются
новые условия для работы ученых.
Здесь открыто много библиотек, построен Дом мудрости, при
нём оборудована прекрасная обсерватория. Арабские математики на
первых парах усердно изучают труды древнегреческих авторов и достижения индийских учёных. В Доме мудрости работал выдающийся узбекский учёный первой половины IX в. Ал-Хорезми. Его полное
имя - Мухаммед ибн Мусса ал-Хорезми ал-Маджуси, что означает
Мухаммед сын Музы из Хорезма из родов магов. Сохранились его сочинения по арифметике, астрономии, географии, календарным расчетам. Наиболее значительным является его трактат по алгебре. Здесь
он впервые разработал правила преобразования уравнений. Трактат
назывался «Краткая книга о восполнении и противопоставлении». В
XII в. труд ал-Хорезми был переведен на латинский язык и долгое
время оставался в Европе основным руководством по алгебре. Арабское название операции восполнения «ал-джебр» и дало название области математики, связанной с искусством решения уравнений.
Вслед за ал-Хорезми решению уравнений посвящают свои труды
многие арабские учёные. В XI в. знаменитый математик Омар Хайям описал геометрическое решение уравнений третьей степени. Занимался кубическими уравнениями и ал-Бируни. В XV в. работал
замечательный математик и астроном ал-Каши. Он изучал уравнения четвертой степени. Арабов интересовало и численное значение
корней.
После успешного решения уравнений 3-й и 4-й степени математики пытались найти формулы решений уравнений более высоких степеней. Феррари решал уравнения 4-й степени. Эрендрид Вальтер фон
Чирнгауз (1651 – 1708), Самуэль Бринг (1736 – 1798 г.г.) вели поиски
решения уравнений пятой степени. Проблемой решения уравнений
пятой степени в 30-е годы XVIII в. занимался величайший из математиков этого века Леонард Эйлер. Позже продолжил исследования
в этом направлении другой выдающийся математик XVIII в. Жозеф
Луи Лагранж. Его исследованиями теория алгебраических уравнений была поставлена на правильные рельсы: все до тех пор известное
получается с единых позиций, четко выделены трудности.
Большой вклад в историю решения алгебраических уравнений
внесли Нильс Хенрик Абель (1802 г.р. – 1829 г.), Эварист Галуа (1811
г.р. – 1833 г.), жизнь которых оборвалась в раннем возрасте. Но труды
их были не напрасны. Эти гениальные юноши построили фундамент
современной алгебры.
6
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Общая характеристика методики
изучения алгебраического материала
Числовые выражения
Введение элементов алгебры в начальный курс математики позволяет с самого начала обучения вести планомерную работу, направленную на формирование у детей таких важнейших математических
понятий, как алгебраическое выражение (числовое выражение, буквенное выражение), равенство (числовое равенство, уравнение), неравенство (числовое неравенство, неравенство с одной переменной).
Ознакомление с буквой и её использованием как символа, обозначающего отвлеченное число из известной детям области чисел, создает условия для обобщения многих из рассматриваемых в начальном
курсе вопросов арифметической теории, является хорошей подготовкой к ознакомлению детей в дальнейшем с понятиями «переменная», «функция», способствует развитию у детей функционального
мышления. Алгебраическая пропедевтика позволяет осуществлять
преемственность в обучении алгебраическому материалу между начальной школой и средним звеном (5 – 7 кл.), готовит к усвоению
материала систематического курса алгебры в среднем (7 – 9 кл.) и
старшем звеньях образования.
В основе организации процесса усвоения учащимися алгебраического материала лежат следующие положения:
– алгебраические понятия вводятся в курс математики начальной
школы в тесной взаимосвязи с изучением арифметического материала и получают свое развитие в зависимости от его содержания;
– включение алгебраического материала в начальный курс математики должно, прежде всего, способствовать формированию у
школьников абстрактного мышления и тем самым повышать уровень усвоения ими арифметических вопросов.
Числовые (арифметические) выражения входят в систему обучения математике довольно рано, как только младшие школьники
начинают знакомство с цифрами как способами именования вполне определенных конкретных чисел. При этом дети делают шаги по
пути овладения математической символикой и математическим языком. В то же время, записывая число определенной последовательностью цифр, ребенок начинает знакомство с отвлеченным числом. Над
такими отвлеченными числами можно производить арифметические
действия, независимо от природы числа.
Рассматривая числа как систему знаков, следует помнить, что операции над ними подчиняются точно сформулированным правилам.
В этой системе и строятся числовые выражения, они составляются
из числовых знаков (имен чисел) и знаков арифметических действий.
Каждое число есть числовое выражение. Если два числовых выражения соединить знаком действия, то полученная запись также есть
числовое выражение.
Младшие школьники знакомятся с терминами «сумма», «разность», «произведение», «частное». В словарь учащихся вводятся
названия арифметических действий, их компонентов (сложение, вычитание, умножение, деление, слагаемое, вычитаемое, уменьшаемое,
делимое). Помимо терминологии, они должны также усвоить и некоторые элементы математической символики, в частности, знаки
действий (плюс, минус). Эта работа осуществляется при изучении
смысла арифметических действий.
Далее полезно провести обобщение материала. С этой целью нужно раздать детям «арифметический конструктор». Он представляет
собой набор цифр, знаков арифметических действий, букв, знаков
математических отношений >, <, =. Детям предлагается рассмотреть
содержимое «конструктора» и распределить на группы детали. Далее учащиеся рассказывают, что они знают о каждой группе объектов. Затем детям предлагается из чисел и знаков арифметических
8
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
действий «сконструировать» математические объекты 5 + 4; 9 ⋅ 2 +
+3 – 1 ⋅ 7 + 12 : 4 (каждый придумывает и записывает их в тетрадь),
по 8 – 10 таких выражений. Затем преподаватель учит выделять род
(записи) и вид (состоящие из чисел, соединенных знаками арифметических действий) и предлагает сформулировать определение понятия «числовое выражение». После этого нужно научить распознавать
такие выражения среди различных объектов, тем самым школьники
учатся выделять главное, существенное и формулировать определение данного понятия. Затем предлагается снова рассмотреть все полученные выражения и распределить их на группы по определенному признаку. Варианты: выражения соединены одним знаком 8 – 3 и
более, чем одним (25 ⋅ 3 – 12). Удобно в данном случае одну группу
выражений назвать простыми, а другую сложными (составными).
При этом дети обобщают, углубляют знания о простых числовых
выражениях.
Так как математика описывает не непосредственно наблюдаемые
предметы, явления, а абстрактные понятия, связанные с практикой,
то переход от непосредственной практики к математическому описанию некоторой ситуации затруднен. Чтобы такой подход осуществить, нужно уметь выделить в рассматриваемой ситуации существенные с некоторой точки зрения характеристики, остающиеся
неизменными во всех одинаковых ситуациях, отбросить все то, что
несущественно, и перевести на математический язык.
Рассмотрим вариант закрепления представлений о простых числовых выражениях на примере углубления знаний о понятии «сумма».
I. Рассматривается задача: «У Коли 5 марок, ему подарили ещё 2
марки». Выделяются несущественные признаки данной реальной ситуации. Что неважно, несущественно в этом описании? (Какие марки
у детей, какова стоимость этих марок, где хранятся, откуда взялись
эти марки?) А что важно, существенно в данном описании? (Сколько
марок стало у Коли?)
Важна количественная характеристика. Дети выполняют предметные действия. Выложить слева столько квадратов, сколько марок
у Коли, справа столько квадратов, сколько марок ему подарили. Что
сделали с марками – подарили. Показать на предметах: + придвинуть
объекты справа. Больше или меньше стало марок? (Больше). Далее
детям предложить построить графическую модель, а затем перейти
к математическому описанию
10
5 + 2.
Аналогично рассматриваются ещё 3 – 4 подобные ситуации.
• В аквариуме было 5 рыбок, туда пометили ещё 2-х рыбок.
• В альбоме по рисованию у Вити 5 рисунков о войне, он нарисовал ещё 2 рисунка.
• В вазе лежало 5 груш, ещё положили 2 груши.
• Таня вымыла 5 тарелок, а потом ещё 2.
Дети закрепляют умение выделять существенное, отбрасывать
несущественное на данный момент, выполнять предметные действия, от них переходить сначала к графическому, а затем к математическому описанию.
Далее учитель предлагает выделить сходство и отличие данных
ситуаций.
Что общего, чем отличаются?
5+2
карточка появляется на доске.
II. Теперь предлагается рассмотреть другой вид реальной ситуации.
В букете 3 василька и 5 ромашек. Что несущественно? (Где рвали цветы, каких они размеров, где находится букет и т.д.) Что существенно, важно? (Общая численность. Сколько всего цветов.)
Дети выполняют предметные действия. Учитель предлагает слева выложить столько квадратов, сколько васильков в букете, справа
столько кругов, сколько ромашек в букете, а затем объединить объекты. Задается вопрос: больше или меньше теперь объектов? (Больше).
Далее дети под руководством учителя от предметных действий
переходят сначала к графическому, а затем к математическому описанию.
3 + 5.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аналогично рассматриваются 3 – 4 подобные ситуации.
* В пенале 3 карандаша и 5 ручек.
* В вазе 3 яблока и 5 груш.
* На столе стоят 3 кружки и 5 стаканов.
* На полке 3 альбома и 5 книг.
Затем учитель предлагает выделить отличия и сходства ситуаций
3 + 5 , карточки выставляются на доске.
III . Предлагается рассмотреть еще такой вид ситуаций.
В нашем доме 6 этажей, а в другом на 3 этажа больше. Что несущественно? (Где находятся дома, что в них расположено и т.д.). Что
существенно? (Последовательное приписывание к элементам одного
множества элементов другого множества). (Множества упорядочены).
Дети снова выполняют предметные действия. Учитель предлагает выложить в верхний ряд столько кругов, сколько этажей в одном
доме, а в нижний на 3 круга больше. Сколько объектов стало во 2
ряду? (Больше).
Дети от предметных действий переходят сначала к графическому,
а затем к математическому описанию.
6 + 3.
Аналогично рассматриваются 3- 4 ситуации
• Для постройки башни Аня взяла 6 кубиков, а Алёна на 3 больше.
• Длина одного ужа 1 метр, а другого на 2 больше.
• Высота березы 6 метров, а сосны на 3 метра больше.
Учитель предлагает сравнить ситуации и выяснить, чем они отличаются, а чем похожи. На доске появляется карточка 6 + 3 .
(Больше на – это столько, сколько . . . да ещё).
IV. Предлагается такой жизненный сюжет. Катя нарисовала 7
флажков, а Саша на 2 флажка больше. Что неважно, несущественно?
(На какой бумаге рисуют дети, какого они размера и т.д.). А что важно? (Продвижение по натуральному ряду на столько шагов вправо от
первого числа, каково второе число).
12
7 и 2 характеризуют место в последовательности, на котором
остановились действия по рисованию флажков, причем Саша продвинулся на 2 флажка больше.
.
Дети выполняют действия с предметами, затем строят графическую модель, а затем математическую модель. На доске появляется
карточка 7 + 2 .
Аналогично рассматриваются ещё несколько подобных ситуаций.
• Таня вымыла 7 кружек, а Лена на 2 кружки больше.
• Миша сорвал 7 орехов, а Антон на 2 ореха больше.
• Вера сорвала с грядки 7 ягод клубники, а Катя на 2 ягодки больше.
Эти ситуации сравниваются детьми. Они выделяют отличие, а затем сходство. Уточняют, что это математическое описание подобных
ситуаций. Далее учитель предлагает рассмотреть все записи на карточках, которые появились на доске. Дети учатся видеть отличие и
сходство. (Это числовые выражения. Числа соединены одним знаком
арифметического действия +, следовательно, это просто числовые
выражения).
Дети вспоминают, что такие выражения называются суммой чисел. Используются словарные карточки, выделяются компоненты.
сумма
1е слагаемое
2е слагаемое
Учатся читать выражения по-разному:
*к
прибавить
*к
увеличить на
*к
;
;
плюс
;
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
* сумма чисел
и
;
* первое слагаемое
, второе слагаемое
Условия данного факта представляют для младших школьников
определенную трудность. (Найдите сумму чисел 9 и 1, запишите
сумму чисел 9 и 1).
В результате такого целенаправленного обобщения учащиеся
усваивают смысл понятия «числовое выражение», «простое числовое выражение», «сумма».
Затем через комплекс специального подобранных заданий закрепляются представления о сумме:
* запишите сумму чисел
и
;
* чему равна сумма чисел
и
;
Здесь
3+2
яблок.
и
5+1
конфет.
2+3=
; 14 +
*
Какие два числа из круга в сумме дают 12?
14
3 = 9;
Какие два числа из круга в сумме дают 19?
Какие два числа из круга в сумме дают 14?
Какие два числа из круга в сумме дают 10?
* Машина делает «числовые сардельки»:
5+3
1+7
2+6
.
Машина сломалась, числа выходят в неправильном порядке, их
надо переставить и разложить «по сарделькам»:
1
4
5
2
3
6
...
4
7
.
* Найти для каждой пары суммы равную пару из овала:
* Заполни окошки
= 19; 6
*
1
.
Здесь
Какие два числа из круга в сумме дают 12?
Какие два числа из круга в сумме дают 10?
Какие два числа из круга в сумме дают 5?
.
Учитель обращает внимание на двоякий смысл термина «сумма»:
сумма – это результат действия сложения;
сумма – это само выражение.
* сравните суммы чисел
*
+ 6 = 8.
1+6
5 + 3
5+5
4+5
1 + 2
6+7
7+5
7 + 8
6+7
2+2
8+6
Понятие «разность», «произведение», «частное» могут быть закреплены по аналогии с закреплением понятия «сумма».
Далее учащиеся знакомятся с числовыми выражениями, содержащими два и более арифметических действия при усвоении вычислительных приёмов:
± 2,
± 3,
± 1. Они решают примеры вида 3 + 1 + 1;
6 – 1 – 1; 2 + 2 + 2 и др., вычисляя, например, значение первого выражения, ученик поясняет: «К трём прибавить один, получится четыре,
к четырем прибавить один, получится пять». Тем самым дети постепенно готовятся к выводу правила о порядке действий в выражениях,
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
содержащих действия одной ступени (позже действия разных ступеней и со скобками).
Процесс обобщения знаний о сложных числовых выражениях и о
правилах выполнения действий над ними осуществляется позже (II,
III, IV кл.).
При этом работу рекомендуется организовать поэтапно.
I этап. Детям предлагается «сконструировать» сначала простые
числовые выражения и закрепить знания о них, а затем сложные числовые выражения, например:
3 + 4 – 2;
19 – 13 + 12 – 6 + 8.
Учащиеся записывают подобные выражения в тетради.
Затем детям даются описания ряда жизненных ситуаций: они по
конкретному описанию строят математическую модель, записывая
её в тетради. Например:
* В альбоме было 12 марок. Туда положили 3 марки, затем достали 4 марки, потом еще 2, затем еще 3 марки. Опять положили 5
марок, еще 3 марки, снова достали 6 марок, положили 1 марку и потом еще 4 марки:
12 + 3 – 4 – 2 – 3 + 5 + 3 – 6 + 1 + 4 .
* В вазе лежало 8 конфет. Дети съели сначала 2, а потом 3 конфеты. В вазу добавили 5 конфет, затем 2 и 4. Снова съели сначала
1 конфету, а потом 2 конфеты. Опять добавили 1 конфету, а затем
съели 8 конфет:
8–2–3+5+2+4–3–1–2+1–8 .
Дети сравнивают записи, выделяют отличия, сходство. Делают
вывод, что такие числовые выражения являются сложными, что они
содержат только действия сложения и вычитания (т.е. действия одной
ступени). Надо определить значения выражения.
Когда дети учатся описывать ситуации на математическом языке,
они видят и понимают, что действия надо выполнять в той последовательности, в которой они происходили.
Для более прочного осознания данного факта можно научить детей строить графическую модель выражений. Например, дано выражение 8 – 4 + 1 – 3 = 2 .
16
Построить график
или по данному графику восстановить числовое выражение
После выполнения подобных заданий младшие школьники формулируют правило:
«Если числовое выражение содержит только действия сложения
или вычитания, то действия выполняются в том порядке, в котором
они записаны слева направо».
В данном случае происходит не механическое заучивание правила,
а его осознанное восприятие. С целью закрепления порядка действий
в подобных случаях предложить задания.
* Расставьте порядок действий:
+
–
–
+
–
–
–
+
.
* Найдите ошибку:
1
+
3
+
2
–
5
–
4
+
.
Расставьте порядок действий, впишите числа и определите значение выражения.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
II этап. Далее дети практически овладевают другими правилами
порядка выполнения действий в выражениях, содержащих скобки.
Школьники по заданию учителя записывают в тетради числовые
выражения, описывающее определенную жизненную ситуации, например:
В вазу положили 3 яблока и 4 груши, затем два фрукта взяли.
3+4
3–2
– 2 Как показать, что сначала положили фрукты?
(Обвести овалом). Дети, рассуждая, какие фрукты
могли быть взяты, получают и такие записи:
+ 4 или
3–1
4–1
+
или 3 +
4–2
.
Дети вспоминают, что в этом случае математики договорились
пользоваться скобками.
(3 + 4) – 2 Сначала фрукты положили.
(3 – 2) + 4 Сначала взяли 2 яблока.
(3 – 1) + (4 – 1) Взяли по 1 яблоку и 1 груше.
3 + (4 – 2) Взяли 2 груши.
Дети подходят к осознанию того факта, что действия в скобках
выполняются прежде всего.
Предлагаются задания.
• Расставьте порядок действий:
+
(
)+
–
–
• Найдите ошибку:
(
1
+
2
)+
+
(
+
(
3
+
).
–
• Составьте граф данного выражения
)–(
+
)–
По данному графу восстановить выражение
Данные задания способствуют осознанию детьми нового правила
и последующей грамотной формулировке ими этого правила.
III этап. Далее обобщаются знания учащихся о правиле порядка
выполнения действий в выражениях, не имеющих скобок, и содержат действия умножения и деления.
Работу можно организовать так.
Детям предложить записать в тетрадь готовые числовые выражения и дать указание «Найдите лишнее выражение»:
• 18 : 2 × 4 : 6 × 5 × 2 : 10;
• 44 × 2 : 4 × 3;
• 95 : 5 × 2 × 2;
• 98 – 4 + 5 – 9.
Затем предлагается рассмотреть оставшиеся записи. Выяснить,
чем они отличаются, а чем похожи.
Эти числовые выражения содержат только действия умножения и
деления. После выполнения заданий вида «Расставьте порядок действий, постройте графическое выражение» и др. дети формулируют
правило (аналогично 1 правилу).
Уточняются задания о действиях умножения и деления – «сильные» действия – это действия I ступени.
Сложение и вычитание – «слабые» действия – это действия II ступени.
IV этап. Обобщая знания о правилах выполнения действий в выражениях, не имеющих скобок и содержащих действия разных ступеней, работу можно организовать по-разному, например, так.
18
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Можно предложить детям выписать значения выражения 40–10:2.
Ответы могут получиться разные: у одних значения выражения окажется равным 15, у других 35. Мнения анализируются, после выполнения нескольких подобных задания дети формулируют новое
правило, которое через решение специальным образом подобранных
упражнений осознанно усваивается учащимися.
* Поставьте вместо звездочек знаки действия так, чтобы равенства были верными:
38 * 3 * 7 38 * 2 * 5 = 24 38 * 3 * 7 = 42 38 * 3 * 7 = 48
12 * 6 * 2 = 4 12 * 6 * 2 = 70 12 * 6 * 2 = 24
12 * 6 * 2 = 9 12 * 6 * 2 = 0
* Из заданных пар выражений выпишите только те, в которых вычисления выполнены по правилам порядка действий:
60 – 20 : 4 = 10 4 × 3 + 20 : 5 = 16
60 – 20 : 4 = 55 4 × 3 + 20 : 5 = 28.
Порядок выполнения действий
в числовых выражениях
+, –
*, :
Действия 2 ступени
Действия 1 ступени
+, – Сначала действия 1 ступени
потом действия 2 ступени
*, :
( ), + , – , *, : Сначала действия в ( )
затем действия 1 ступени
потом действия 2 ступени
V этап. На данном этапе ведется работа по обобщению знаний
учащихся о порядке действий в выражениях, содержащих скобки и
арифметические действия разных ступеней: сложение, вычитание,
умножение, деление.
Детям предложить записать в тетрадь следующие числовые выражения:
(18 + 2) : 5 + 4 × 8 – 6 × 2 + 35 – 80 : 20
99 + 48 : 6 : 2 – (45 + 15) : 10 + (12 – 6)
и найти их значения.
После обсуждения мнений о правилах поиска значения выражений под руководством учителя дети формулируют правило выполнения порядка арифметических действий в подобных числовых выражениях. Затем вместе с детьми можно составить схему-опору.
20
важные
сильные
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Числовые равенства и неравенства
­ практике обучения в начальных классах числовые выражения
В
с самого начала рассматриваются в неразрывной связи с числовыми
равенствами и неравенствами. В математике числовые равенства и
неравенства делятся на истинные и ложные. В начальной школе вместо этих терминов можно употреблять слова «верные», «неверные».
Процесс обобщения знаний о числовых равенствах и неравенствах можно организовать по-разному, например, так.
Дети имеют глубокое представление о числовых выражениях, о
порядке выполнения действий, поэтому можно предложить написать
разные числовые выражения и, выбирая по 2, соединять их знаками
отношений < ; > ; =:
18 – 6 = 34 + 2
9–5>3+7
13 – 7 + 2 < 14 + 8.
Сравнивая значения левой и правой частей данных записей, дети
убеждаются в том, что числовые равенства и неравенства могут быть
верными и неверными (в пассивный словарь детей вводятся термины
«истинные», «ложные»). Дети учатся выделять существенные признаки подобных записей.
Два числовых выражения, соединенные знаком равенства, образуют числовое равенство, а знаками неравенства – числовые неравенства.
– Наличие 2-х числовых выражений.
– Наличие в записи знака равенства или неравенства.
Далее дети учатся по этим признакам распознавать их среди различных объектов. Затем дети должны осознать тот факт, что не всегда
между двумя выражениями можно установить отношение равенства
или неравенства. Для этого предложить учащимся найти значение
ряда числовых выражений: 7 – 35; 48 : 9; 64 – 118; 21 : 5.
Подвести детей к выводу, что не существует натурального числа,
являющегося значением каждого из них. На множестве натуральных
чисел выражения не имеют смысла.
4:(8 – 8) 9 : 0 44 : 0.
Такие выражения тоже не имеют смысла на любом числовом множестве. Дети запоминают тот факт, что на нуль делить нельзя.
22
После закрепления данных заданий ученики смогут сделать вывод, что отношение равенства устанавливается между двумя числовыми выражениями, имеющими смысл. Два числовых выражения
равны тогда и только тогда, когда их числовые значения совпадают.
Программа по математике для начальной школы ставит перед учащимися задачу уметь сравнивать числовые выражения и записывать
результат сравнения с помощью знаков. Школьники осуществляют
сравнение двух выражений либо с опорой на наглядность, либо без
наглядности, на основе использования теоретических знаний с применением элементов дедуктивных рассуждений. Предлагаемые задания помогут учащимся постепенно овладеть приемом сравнения.
Это позволит им в дальнейшем самостоятельно применять его для
использования изученного в новых условиях. Обучение сравнению
числовых выражений с последующим обобщением знаний можно
осуществить поэтапно.
Для этого нужно уточнить тот факт, что каждое число есть числовое выражение.
I этап. Сравнение чисел в натуральной последовательности. Его
цель – показать учащимся возможность использования свойств натурального ряда для их сравнения.
* Учащимся предлагается последовательность чисел: 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10 . . . Для каждого числа назовите предыдущее и последующие числа. Для любого числа можно назвать предыдущее число?
Последующее число?
Выберите любое число последовательности. Сравните его с предыдущим числом, последующим числом. Сформулируйте правило. Запишите результат сравнения с помощью знаков:
2 * 3
4 * 5 10 * 9 1 * 2.
* Дана последовательность «сказочных» чисел:
.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
II этап. Сравните числа и выражения:
Сравните
и
,
и
,
и
* Даны два соседних числа:
A < B K > M M > N. Как называется число В для числа А ? Число
А для числа В? (Аналогично для других пар).
* Может ли быть одновременно
1<2и1>2
>
и
<
.
* Закончите предложения так, чтобы они выражали верную
мысль:
«Если к числу прибавить 1, то оно станет . . .»
«Если из числа вычесть 1, то оно станет . . . »
а) больше;
б) меньше;
в) последующим;
г) предыдущим;
д) следующим.
* Сравните числа в каждой тройке:
1, 2, 3
0, 7, 8 8, 9, 10.
Запишите результат сравнения по образцу
2, 3, 4
2<3
2<3<4
2<4
3 < 4.
* Дана тройка последовательных чисел:
,
,
,
Как называется число
Число
для числа
А, B, C
α, β, γ.
для числа
?
?
Сравните числа в каждой тройке. Запишите результат сравнения
с помощью знаков.
• Восстановите предложение:
« . . ., то оно станет больше»;
« . . . , то оно станет меньше»;
« . . . , то оно не изменится».
• Не находя значения суммы, сравните:
3+0*3 2*2=0
4+4*1
5+1*5 6*6+2
6+3*6
Сравните:
3+5*5 4+1*1
2 + 7 * 7.
Сравните, где возможно:
+1*
24
3 * 3 + 2.
ε + 0 * ε.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
–1*
–2*
α+2*
+2
.
III этап. Сравнение числовых выражений (сложных).
• Сравните, не вычисляя:
3824 : 4 * 4268 : 4
3624 : 2 * 3624 : 3
85 – 18 * 85 – 15
24 + 36 * 24 + 6
25 × 147 * 31 × 154.
Далее рекомендуется провести математические исследования по
«открытию» некоторых свойств числовых равенств и неравенств:
a = b(u)
a > b(u)
a + c = b + c(u)
a + c > b + c (u)
a × c = b × c (u)
a × c > b × c(u)
a : c = b : c (u) c ≠ 0
a : c > b : c(u) c ≠ 0.
Далее разрабатываются карточки – задания, в которых требуется
произвести ряд действий, выдвинуть гипотезу, сделать вывод.
• Сравните:
(321 – 18) × 304 * (452 – 15) × 204.
• Жители острова Рокфор имели обычай казнить всех чужеземцев. Исключение составляли лишь те, кто справлялся с головоломками Стивенса – мудрейшего жителя этого острова. Разгадайте одну
из них:
Проверьте правильность решения с помощью вычислений.
Таким образом, у младших школьников формируется осознанное
представление о числовых равенствах и неравенствах, при этом продолжается работа по развитию логического, абстрактного мышления.
26
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тождественные преобразования
числовых выражений
Прежде нужно закрепить знания о числовом выражении, о числовом равенстве. Запись выражения, имеющего смысл, другим выражением из того же класса эквивалентности, при которой оба выражения соединяются знаком равенства, называется тождественным
преобразованием.
Далее отрабатываются 2 правила, позволяющие преобразовывать
числовые выражения так, чтобы каждое следующее было тождественно равно каждому из предыдущих:
Каждое выражение можно заменить любым другим, тождественно ему равным.
Выражение, получающееся из данного применения к нему свойств
арифметических действий, является тождественно равным данному.
Тождественные преобразования дают возможность получать новые знания. Например, 6 + 3 . Сначала 3 заменяется суммой 2 + 1, затем к 6 прибавляется 2 и к полученному результату прибавляется 1.
Это можно записать в виде цепочки тождественных преобразований
так: 6 + 3 = 6 + (2 + 1) = (6 + 2) + 1 = 8 + 1 = 9 (Новое знание, прием
прибавления по частям). Здесь использованы оба правила. Действительно, сначала число 3 заменили равным ему выражением, затем
применили свойство ассоциативности сложения, после чего 6 + 2 и 8
+ 1 заменили равным им выражением. Тождественные преобразования числовых выражений требуют определенной изобретательности,
основанной на анализе данного выражения, предшествующем самим
преобразованием, а также на знании свойств арифметических действий. Кроме того, тождественные преобразования совершенно точно аргументированы и являются примерами правильных дедуктивных рассуждений. Овладение умением производить тождественные
преобразования позволяет младшим школьникам применять на деле
свойства арифметических действий, а следовательно, способствует
их пониманию и запоминанию, развивает умение обосновывать свои
28
действия, приучает ум к дедукции. Овладение таким умением является очень важным с точки зрения подготовки младших школьников
к изучению курса алгебры в среднем звене (и в дальнейшем).
В методической литературе предлагаются задания для младших
школьников, направленные на овладение тождественными преобразованиями.
* Из данных записей выберите те, которые являются числовыми
выражениями: 2 , + , 28 : 4, (18 + 15) – (32 × 4), m + n, (29 – 32) : 5.
* Найдите значения тех выражений, которые сможете вычислить:
2 + (5 – 4); (3 – 6) + 2; (8 + 12) – (5 – 5); (28 : 1) – (28 × 1);
(135 × 29) : (234 – 234).
* Сравните выражения и найдите их значения:
(8 + 6) : 2 + 22 : 1 * (8 + 6 : 2 + 22) : 11;
(((42 – 2) – 4) : 9) – 3 * ((42 – 2) – 4) : (9 – 3).
* С помощью тождественных преобразований найдите значения
выражений:
168 : 7 + 4 × 25 – 24; 28 000 + 12 000 : 6 × 7 – 24 : 8;
60 × 3 : 2 × 6 – 81 : 9; 630 : 70 + (20 – 5) – (13 + 2).
* Поставьте скобки в данном выражении так, чтобы его значение
было равно 0; 40; 100:.
18 + 21 : 3 – 5 × 5.
* Составьте выражения, равные данному, так, чтобы количество
действий увеличилось на одно, на два, на три:
63 : 7 21 × 2 24 – 4.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Буквенные выражения
В начальных классах предусматривается проведение подготовительной работы по раскрытию смысла переменной в тесной связи с
изучением нумерации и арифметических действий. Подготовительная работа проводится по уровням.
1 уровень – ознакомление с буквами латинского алфавита.
Нужно объяснить детям, что на уроках математики будут использованы малые буквы латинского алфавита, научить писать, читать
буквы, использовать для записи алгебраических выражений.
2 уровень – решение задач с недостающими данными.
Предлагаются тексты, например, такие: Миша прочитал . . . книг
и . . . сказок. Сколько всего книг прочитал Миша? Подбирая числа
вместо точек, дети получают задачи одинакового содержания. Одну
задачу подробно разбирают вместе с учителем, с остальными дети
работают по аналогии. Задач можно составить много. Числа подбираются по мере изучения.
3 уровень – запись выражений, отражающих определенную ситуацию и выполнение расчетов. Желательно обыграть сюжет посещения детского кафе. Детям раздаются меню кафе. Они выясняют,
что в кафе можно купить и по какой цене.
Например: чай – 6 рублей, булочка – 12 рублей, сосиска в тесте –
17 рублей, кофе – 10 рублей и т.д.
Учитель предлагает кратко записать содержание меню: ч – чай,
к – кофе, в – вода (минеральная), б – булочка, г – гамбургер и т.д.
Учатся записывать кратко заказ и просчитывать его стоимость.
Например: ч + б + 2 г (чай, булочка, 2 гамбургера);
2 ч + 3 к + 5 с + 2 в.
4 уровень – определение значений выражений:
3 a + 8 – b при a = 5, b = 1;
7 y – 3 x : c при y = 2, x = 8, c = 6.
На этапе ознакомления с буквенными выражениями дети работают с выражениями, содержащими «окошечки»:
30
×2
+5
.
Что означает «окошечко» (некоторое число); подставляя в него
конкретное число, дети находят значение выражения.
Затем анализируются записи заказов и выделяется их сходство и
отличие. Договоримся (математически договорились) вместо «окошек», букв в заказе использовать малые буквы латинского алфавита
a × 2 b + 5 : c.
Дети должны осознать, что буква – это некоторое число. Они
учатся составлять различные записи типа 3 × a + b + c + 127;
a x + b + 8 – 5; выделяют в них существенное:
1) запись;
2) состоит из чисел и букв, соединенных знаком арифметических
действий.
По этим признакам дети учатся распознавать подобные записи
среди других.
Младшие школьники, таким образом, получают представление
о буквенном выражении. Нужно при этом использовать словарную
карточку:
Буквенное выражение
Для овладения младшими школьниками представлений о буквенном выражении можно использовать такие типы заданий:
Чтение буквенных выражение: x + y; a + b + c; 3 × a + 2 × b;
7 × x – y.
Переход от буквенных выражений к числовым: b + d; b = 15;
d = 3; 15 + 3, придавая буквам различные числовые значения, выяснить, сколько числовых выражений можно получить.
Нахождение числовых значений буквенных выражений при заданных значениях букв: k – c, при k = 10, c = 2.
Подбор детьми числовых значений букв, входящих в выражение и
нахождение значения выражения c x m.
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Формирование понятия «постоянная»:
15 8
записать сумму 15 + 8
7 8 7+8
6 8 6+8
3 8 3+8
a 8 a + 8.
Предложить понаблюдать за выражениями и спросить, что заметили? (2-е слагаемое одинаковое, постоянно).
Преобразование таблицы с тремя графами в таблицу с двумя графами и наоборот:
b
m
b–m
20
5
20
8
20
11
20
15
m
20 – m
5
8
11
15
Дети должны понять, что буква может принимать не только разные, но и одинаковые значения.
Формирование понятия «область определения выражения» (в неявном виде): d – 25; 13 k; m + 13; 16 : a; c : d. Какие значения может
принимать переменная (буква)?
Использование букв как средства обобщения знаний:
– записывать при помощи букв свойства арифметических действий:
a+b=b+a
a + (b + c) = (a + b) + c;
– записывать связь между компонентами и результатом действия:
a + a + a + a + a = 5 × a 8 b = b + b + b + b + b + b + b + b;
– прочитать записанные с помощью букв свойства, отношения,
зависимости:
a>b
(a + b) – c a × b = b × a;
– выполнить тождественные преобразования на основе знания
свойств арифметических действий (5 + с) × 4;
– доказать справедливость высказываний при помощи числовых
подстановок:
c + 12 > 1 + 10 d × 1 = d.
32
В алгебре символы служат для обозначения предметов.
– Встречаются ли в жизни графические символы? (ДА).
Детям предлагается рассмотреть ряд символов и ответить, что
они означают:
$
&
– Придумать и нарисовать знаки-символы «не кричать», «учителям вход воспрещен», «твое имя», «парк отдыха», «продукт несъедобен».
– Написать символы для каждой из картинок.
Сложить символы.
Например: a + 2a + 4a = 7a
b + 5b + 6b = 10a + 3a + 2a = 9p +20p + 8p = 14p +20p + p = a + 5a + 16a = 15x + 5x + 16x = q + 7q + 10q + q = 2m + 3m + 2m + 10m =
12a + 10a + a = 15d + 10d + d + 4d = 33
4s + 3s + 7s =
t + 2t + t + 5t =
26a + a + 2a + 3a =
15z + 12z + z + z =
20x + 17x + 3x = .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Например: 2a + 3a + 3b + b = 5a + 4b
a + 2a + 3b = 2a + 5a + 4b + 2b = 4s + s + 3r + s = 5q + p + 2p + 6q = 3x + 2y + x + 5y = 10a + 2c + a + 3c = h + h + 5h + 2j = 2s + 5s + x + s = 5x + x + t + 8t = 4e + 8c + 5e + c = 12a + d + 9a + d = b + 19k + 8k + 9b = 6p + 2t + 5p + 4t =
10p + 4q + q + 2q =
7t + q + 3q + 3t =
4k + 6y +k + 3y =
e + e + t + 9e + t =
10y + x + 21y + y = .
Внимание: разные символы не складываются, не вычитаются.
Вывод: использование буквенной символики способствует повышению уровня знаний, приобретаемых младшими школьниками, готовит их к изучению систематического курса алгебры.
Уравнения в начальном курсе
математики
Уравнение в начальном курсе математики трактуется как равенство, содержащее букву. Решить уравнение – значит узнать, при
каких значениях буквы уравнение обращается в верное равенство.
Одной из целей введения уравнений в начальный курс математики
является обеспечение преемственности между начальным и средним
звеном общеобразовательной школы. Понятие «уравнение» является
одним из основных понятий математики. Можно выделить 3 этапа
формирования представлений об уравнении в начальной школе.
1 этап – подготовительный. На этом этапе работа осуществляется по двум направлениям:
1) условие связи между компонентами и результатом арифметических действий:
7 + 8 = 15 34 – 11 = 23 15 – 7 = 8 23 + 11 = 34 15 – 8 = 7 34 – 23 = 11 18 × 2 = 36 36 : 18 = 2 36 : 2 = 18 45 : 5 = 9
9 × 5 = 45
45 : 9 = 5 .
Нужно добиться, чтобы дети усвоили 8 правил. (Если из суммы
вычесть первое слагаемое, то получим второе слагаемое и т.д.). Осознание учащимися этих правил осуществляется в процессе выполнения практических упражнений, при решении простых задач, при
изучении состава числа;
2) подбор специальных упражнений – записей с «окошками», в
процессе выполнения которых у младших школьников формируется
представление о переменной, верном и неверном числовом равенстве.
Такие задания решаются способом подбора. Этот способ формирует
осознанный и математически верный подход к решению уравнений,
так как ученик сразу ориентируется на то, что подобранное им число
он должен проверить, т.е. подставить его и выяснить, верное или неверное числовое равенство получили.
34
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
‪ + 3 = 12. Так, подставляя в «окошко» число 5, ученик убежда-
ется, что при этом получится неверное числовое равенство 5 + 3 = 8 ,
а число 9 – верное числовое равенство.
В практике обучения чаще используют только такие задания, в
этом случае функции заданий сужаются до закрепления состава чисел, и способ подстановки теряет свой алгебраический смысл. Поэтому лучше задания формулировать так: «Какое равенство получим,
если вставить в окошечко число 10», или «Объясни, почему числа 1,
2, 9, 5 нельзя вставить в окошко», или «Какое число нужно вставить
в окошко, чтобы получить верное равенство». При подборе чисел
ученик должен подумать, с какого числа его целесообразно начать.
Идет подготовка к проверке решения уравнения. При нахождении
значений числовых выражений учащиеся могут воспользоваться как
знанием состава числа, так и вычислительными приемами (присчитывание и отсчитывание по частям). Способ подбора формирует не
только осознанный подход к решению уравнений, но и предоставляет ученику возможность упражняться в закреплении вычислительных навыков и приемов.
2 этап. На этом этапе идет знакомство с уравнением и способами
его решения. Введение понятия «уравнение» фактически сводится
к замене «окошка» латинской буквой. (В математике принято неизвестные, входящие в уравнение, обозначать строчными буквами латинского алфавита x, y, z …):
‪ + 5 = 12
‪ - 8 = 20
x + 5 = 12
y - 8 = 20 .
Вводится термин «уравнение». Дети учатся выделять существенные признаки данного понятия и распознавать их среди других математических объектов.
= 9 и 6 + z = 9 позволяет
Сравнение двух видов записей 6 +
детям самостоятельно справиться с поиском решения уравнения способом подбора. Нужно подчеркнуть, что именно такой метод ясно
показывает смысл понятий «уравнение», «корень (решение) уравнения». Чтобы дети запомнили эти термины, можно использовать стихотворение:
‪
36
Уравнение
Когда уравнение решаешь, дружок,
Ты должен найти у него корешок.
Значение буквы проверить несложно.
Поставь в уравнение его осторожно.
Коль верное равенство выйдет у вас,
То корнем значения зовите тотчас.
Пусть требуется решить уравнение х + 12 507 = 206 734. Решить
уравнение – это значит найти такое число, прибавляя к которому
12 507, получили 206 734. Можно заметить, что искомое число приблизительно равно 200 000. Но 200 000 + 12 507 = 212 507, что больше
206 734 примерно на 6000. Поэтому проверим число 194 000, получим 194 000 + 12 507 = 206 507, что меньше, чем 206 734. Увеличим
число 194 000 на 200, получим 194 200 + 12 507 = 206 707, что меньше
числа 206 734 на 27. Поэтому в качестве решения уравнения можно
взять число 194227. Проверим 194 227 + 12 507 = 206 734. Таким образом, корнем данного уравнения является число 194 227.
Все рассуждения, связанные с подбором решения уравнения и
его проверкой, осуществляются устно. Способ подбора формирует
у учащихся умение «оценивать», «анализировать» записанное уравнение, что создает благоприятные условия для решения уравнений с
помощью «правил», например:
х + 217 = 576
х = 576 – 217
х = 359 ответ: х = 359.
359 + 217 = 576
576 = 576 (u)
При решении уравнений детям полезно использовать памятку
«Как решить уравнение»:
1. Прочитай уравнений по-разному.
2. Назови, что известно, что неизвестно.
3. Вспомни, как найти это неизвестное.
4. Найди это число, используя нужное правило.
5. Сделай проверку.
6. Запиши ответ.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3 этап. На этом этапе закрепляются представления об уравнении.
Несмотря на то, что умение решать уравнения само по себе важно,
значение уравнений выявляется только тогда, когда они применяются для решения задач практического содержания, т.е. выступают как
метод моделирования конкретных фрагментов действительности.
Составить уравнение:
У шофера две одинаковые канистры с бензином. Обе неполные.
В одной не хватает 8 литров, в другой – 4 литра. Чтобы освободить
одну из канистр, шофер перелил весь бензин в одну канистру, но она
осталась неполной. В ней не хватило 2 литра. Какова вместимость
каждой канистры.
х–8+х–4+2=х
х–4=8–2
х = 10 л.
Каждая канистра имеет объём 10 литров.
Неизвестное число увеличили на 120, получили 270. Чему равно
неизвестное число? Задуманное число уменьшили на 30, получили
180. Какое число задумали?
Дети учатся по данному тексту составлять уравнения, а затем его
решают.
Полезно предлагать детям решать «задачи с весами».
• Чаши весов сбалансированы (весы находятся в равновесии).
х + х = 10 2х = 10 х = 5 х = 3.
38
х + х + х + х =12
х × 4 = 12
х = 12 : 4
• Груз лежит на одной чаше весов, а гири на другой чаше:
х + х + х = х + х = 10 3х = 2х + 10
3х – 2х = 2х – 2х + 10
х = 10.
25 + 4х = 5х
4х = 2х + 20.
Груз лежит на обеих чашах весов. Можно предложить еще ряд заданий, направленных на овладение понятиями «уравнение», «решение уравнения» и методами решения простейших уравнений.
Задание 1.
1.1. Сравнить выражения:
12 + 0 12 + 2 12 + 5
12 + 8 12 + 20 12 + 28 12 + 100.
Найти значение каждого из этих выражений. Можно ли записывать эти выражения как 12 + х. Придумать еще выражения, которые
так же можно записать. Какими числами заменили х в выражении
12 + х, если получились равенства:
12 + х = 12 + 5 12 + х = 12 + 34 12 + х = 12 + 370.
1.2. Верны ли равенства:
72 : 3 = 6 × 4
72 : 3 + 5 = 6 × 4 + 5
72 : 3 + х = 6 × 4 + х
72 : 3 + 20 = 6 × 4 + 20
72 : 3 + 16 = 6 × 4 + 16
72 : 3 × 2 = 6 × 4 × 2
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
72 : 3 × 5 = 6 × 4 × 5 72 : 3 × х = 6 × 4 × х
72 : 3 × 10 = 6 × 4 × 10
72 : 3 – 4 = 6 × 4 – 4
72 : 3 – 20 = 6 × 4 – 20 72 : 3 – х = 6 × 4 – х
72 : 3 – 12 = 6 × 4 – 12
72 : 3 : 3 = 6 × 4 : 3
72 : 3 : 12 = 6 × 4 : 12 72 : 3 : х = 6 × 4 : х
72 : 3 : 6 = 6 × 4 : 6.
Какие числа нельзя поставить вместо х в двух последних равенствах из правого столбика?
1.3. Найти 5 чисел, которые можно поставить вместо х в выражение 8 – х, и найти его соответствующее значение. Найти 5 чисел,
которые нельзя поставить в это выражение вместо х.
Найти значения выражения 28 – х при х = 0, х = 15, х = 16, х = 18.
При каком значении х выражение 28 – х = 12? х + 17 = 24? х + 17?
При х = 2, х = 6, х = 3, х = 5, х = 10.
3.1. Найти значения выражений:
25 + 3 – 25 12 + (15 - 12) 102 + 24 – 102
7 + (8 – 7) 78 + 15 – 78 4 + (36 – 4)
16 + 18 – 18 78 + (150 – 78) a+b–a
a + (b – a).
3.2. Найти значения выражения:
2 × 3 : 2 15 × (45 : 15) 17 × 5 : 17
12 × (36 : 12) 36 × 3 : 36 3 × (21 : 3)
172 × 4 : 172 4 × 28 : 4 a×b:a
a × (b : a).
3.3. Найти, какому выражению равны данные выражения:
13 + х – 13 54 + (х – 54) 18 × х : 18
12 × (х : 12) 72 + х – 72 7 + (х – 7).
3.4. Найти значения х, при котором справедливы следующие равенства:
х + 2 – 2 = 5 – 2 х × 5 : 5 = 30 : 5 34 + х – х
х + 7 – 7 = 12 – 7 108 : х × х 28 + х – х.
3.5. К обеим частям данного равенства прибавить число, чтобы
получилось х: х – 5 = 7
х – 12 = 3 х – 21 = 5
х – 4 = 16.
3.6. Из обеих частей данных равенств вычесть такое число, чтобы
получилось х: х + 5 = 9
х + 17 = 20
х + 43 = 65
х + 14 = 81.
3.7. Обе части равенства раздели на такое число, чтобы получилось выражение равное х: х × 5 = 30 х × 8 = 48 х × 15 = 60.
3.8. Записать еще два верных равенства, если данные равенства
справедливы:
12 + 24 = 36
78 + 102 = 180
74 + 330 = 404 a+b=c
17 + х = 20
х + 5 = 12
х + 8 = 28
27 + x = 34.
3.9. Найти, при каком значении переменной х равенства справедливы, т.е. решить уравнения, записанные этими равенствами. Каждое уравнение решить тремя способами:
а) подобрать подходящее число;
б) записать равенство, которое выполняется одновременно с данным;
в) прибавить (вычесть, умножить, разделить) к обеим частям равенства одно и то же число: х + 17 = 20 х – 6 = 13
х × 3 = 42 х : 6 = 54.
3.10. Решить уравнение таким способом, который нравится или
является более простым:
29 + х = 32 6 + х = 4
12 × х = 36
72 : х = 12.
40
41
Задание 2.
2.1. Найти значение данных выражений при указанных значения
х. Заполнить таблицу:
х
12 + х
15 – х
3×х
120 : х
0
2
4
5
2.2. Заполнить таблицу. Найти такое число, заменяющее х, при
котором оба выражения равны:
х
22 – х
4+х
5
6
8
10
2.3. Ничего не вычисляя, найти равные выражения и записать равенства:
54 : 6 + 12 = 3 × 3 + 12
(102 – 90) : 2 = 12 : 2
(12 + 15) × 3 = (36 - 9) × 3.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обучение младших школьников
решению задач алгебраическим методом
Текстовые вычислительные задачи – одна из наиболее важных
составляющих школьного курса математики. Решение этих задач
играет большую роль в общем развитии школьников, в интересе к
математике, оно знакомит учащихся с процедурой математического
моделирования.
Решение текстовой задачи состоит из трех частей:
– перевод условия на математический язык (конструирование математической модели задачи);
– оперирование полученной моделью с использованием математического аппарата и получение результата на языке математики;
– перевод полученного результата на естественный язык и его интерпретация. Эти три шага составляют процедуру математического
моделирования. Вооружать умением математического моделирования нужно уже в начальной школе.
Поэтому младших школьников нужно познакомить с решением
задач на составление уравнений – алгебраическим методом. Он состоит из следующих шагов:
1) введение неизвестного;
2) выражение через это неизвестное величин, о которых говорится в задаче;
3) составление уравнения;
4) осмысление результата и формулирование ответа.
Конечной целью перевода при алгебраическом решении – математической моделью задачи – является уравнение.
Пример.
Задача 1. На дереве сидят жуки и пауки. Всего их 20, а ног 150.
Сколько на ветке жуков? (У жука 6 ног, у паука 8).
Уравнение: х × 6 + (20 – х).
Задача 2. Одна из сторон прямоугольника на 3 см больше другой,
а периметр равен 30 см. Чему равны стороны прямоугольника?
Схема уравнения:
(первая сторона + вторая сторона) × 2 = 30 см.
х см – первая сторона;
х + 3 см вторая сторона;
(х + (х + 3)) × 2 = 30.
Задача 3. В одном ящике было гвоздей в 2 раза больше, чем в другом. Когда из первого ящика взяли 30 гвоздей, а во второй ящик положили 70 гвоздей, то в обоих ящиках гвоздей стало поровну. Сколько гвоздей было в каждом ящике первоначально?
Схема уравнения:
(стало гвоздей в 1 ящике) = (стало гвоздей во 2-ом ящике).
х – число гвоздей во 2 ящике первоначально.
х × 2 число гвоздей в первом ящике.
Уравнение: х × 2 – 30 = х + 7
Задача 4. В трех классах всего 83 учащихся. В первом классе на 4
ученика больше, чем во втором, и на 3 меньше, чем в третьем. Сколько учеников в каждом классе?
Схема уравнения:
(первый класс) + (второй класс) + (третий класс) = 83 ученика.
х учеников во 2 классе.
Уравнение: (х + 4) + х + (х + 4 + 3) = 83.
Схема уравнения:
Ноги жуков + ноги пауков = 150 ног.
х – число жуков;
(20 - х) – число пауков.
42
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Неравенство с переменной
Обучение младших школьников
элементам алгебры
Младшие школьники встречаются с неравенствами с одной переменной уже в 1 классе, где такие неравенства задаются при помощи
«окошка», например,
Основное содержание
‪
‪
‪
+ 5 < 8
7+3<
8+1>
.
Дети должны поставить в «окошко» такие числа, чтобы запись
была верной. Далее, после введения букв, неравенства предлагаются
в таком виде:
х + 5 < 8 7 + 3 < z.
В начальной школе неравенства решаются только методом подбора. Задания предлагаются в такой формулировке:
– Какие из чисел 15, 180, 251, 6 удовлетворяют неравенству z > 83,
а какие ему не удовлетворяют? Почему?
– Какие из чисел 64, 71, 60, 75, 8, 0 являются решениями 65– х >5?
Докажи.
– Будет ли число 7 решением неравенства:
17 + х > 40
48 : t > 1
a + a < 30
3 + y < 95
56 – n < 39
0 : b > 5? – Имеются ли среди чисел 7, 9, 15, 30, 82 решения неравенства:
8 x b – 8 > 90
d : 3 + 9 < 12?
– Найти два решения неравенства:
r + 5 < 815
53 × m < 100
m – 4 > 960 180 : y > 20.
– Найти все решения неравенства:
7 × c < 9 x × 7 < 21
b+b<4
16 : d > 3 y × 5 < 1
3 – t > 2.
– Записать множество решений неравенства и отметить его на
числовом луче. Существует ли в этом множестве наименьший элемент?
Работа с неравенствами в начальной школе в основном направлена на формирование понятия «переменная» и с точки зрения обучения решению неравенств носит пропедевтический характер.
44
Алгебраическая линия в начальном курсе математики. Числовые
выражения, числовые равенства, неравенства. Выражения с переменной. Уравнения, неравенства с переменной функцией. Изучение
в начальных классах математических выражений (числовых и с переменными). Изучение числовых равенств и неравенств. Обучение
решению уравнений. Функциональная пропедевтика в начальных
классах.
Требования к знаниям и умениям студентов по теме.
Студент должен:
– свободно владеть алгебраическим содержанием на уровне средней школы;
– знать вопросы алгебраического характера, включенные в начальный курс математики, уровень обобщения при их раскрытии,
последовательность обучения;
– арифметические вопросы, усвоению которых способствует знакомство с алгебраическим материалом;
– наглядные пособия, используемые при изучении алгебраического материала;
– виды упражнений алгебраического характера;
– дидактические игры, которые можно использовать при изучении алгебраического материала;
– различные виды, формы и методы проверки усвоения алгебраического материала.
Уметь:
– реализовать в практике обучения взаимосвязь арифметического
материала и элементов алгебры;
– направленно применять соответствующие наглядные пособия;
– использовать в обучении упражнения алгебраического характера;
– целенаправленно использовать дидактические игры, способствующие усвоению алгебраического материала;
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
– подбирать проверочные задания, составлять самостоятельные
письменные работы с элементами алгебры;
– выделять основные знания и умения учащихся по теме;
– работать с научной и научно-популярной литературой, связанной с алгебраическим содержанием.
Доклады:
1. Методика использования исторического и занимательного материала при изучении элементов алгебры в начальной школе.
2. Жизнь и творчество Ал-Хорезми.
3. Роль Ал-Хорезми в развитии алгебры.
4. Любимцы богов.
5. Формирование функционального мышления у младших школьников при обучении математики.
Список литературы
1. Виленкин, Н. Я. За страницами учебника математики [Текст] /
Н. Я. Виленкин, Л. П. Шибасов, З. Ф. Шибасова. – М.: Просвещение,
1996. – С. 160 – 164.
2. Глейзер, Г. И. История математики в школе: IV – VI классы: пособие для учителей [Текст] / Г. И. Глейзер. – М.: Просвещение, 1981.
3. Сираждинов, С. Х. Ал – Хорезми выдающийся математик и
астроном средневековья [Текст] / С. Х. Сираждинов, Г. П. Матвиевская. – М.: Просвещение, 1983.
46
Список литературы
1. Бантова, М. А. Методика преподавания математики в начальных
классах [Текст] / М. А. Бантова, Г. В. Белотюкова. – М.: Просвещение,
1984. – 201 с.
2. Белашистая, А. В. Обучение математике в начальной школе [Текст]
/ А. В. Белашистая. – М.: Айрис Пресс, 2006. – 168 с.
3. Виленкин, Н. Я. За страницами учебника математики: Арифметика, алгебра, геометрия [Текст] / Н. Я. Виленкин, Л. П. Шибасов, З. Ф.
Шибасова. – М.: Просвещение, 1996. – 315 с.
4. Вопросы общей методики преподавания математики: методические рекомендации [Текст] / сост. Е. И. Жилина. – Магнитогорск. МГПЦ,
1995. – 56 с.
5. Государственный благотворительный стандарт высшего профессионального образования [Текст]. – М., 2005. – 33 с.
6. Депман, И. Я. За страницами учебника математики [Текст] / И. Я.
Депман, Н. Я. Виленкин. – М.: Просвещение, 1989. –175 с.
7. Депман, И. Я. Рассказы о старой и новой алгебре [Текст] / И. Я.
Депман. – Л.: Детская литература, 1967. – 144 с.
8. Истомина, Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах:
учебное пособие [Текст] / Н. Б. Истомина. – М.: Академия, 2007. – 208 с.
9. Истомина, Н. Б. Методика преподавания математики в начальных
классах: Вопросы частной методики [Текст] / Н. Б. Истомина. – М.: Просвещение, 2006. – 125 с.
10. Колягин, Ю. М. Методика преподавания математики в средней
школе: общая методика [Текст] / Ю. М. Колягин. – М.: Просвещение,
1975. – 203 с.
11. Левитас, Г. Г. Решение текстовых задач с помощью уравнений
[Текст] / Г. Г. Левитас // Начальная школа. – 2001. – № 1. – С. 76–79.
12. Меерзон, А. Е. Пособие по математике для студентов факультетов
начальных классов [Текст] / А. Е. Меерзон, А. С. Добротворский, А. Л.
Чекин. – М.: Просвещение, 1988. – 146 с.
13. Смирнова, В. В. Обучение решению уравнений в начальных классах [Текст] / В. В. Смирнова // Начальная школа плюс. – 2003. – № 11 – С.
56–59.
14. Стойлова, Л. П. Математика [Текст] / Л. П. Стойлова. – М.: Просвещение, 2008. – 327 с.
15. Шадрина, И. В. Обучение математике в начальных класса: пособие для учителей, родителей, студентов педвузов [Текст] / И. В. Шадрина. – М.: Школьная пресса, 2003. – 143 с.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Валентина Ивановна Кузьминова
Элементы алгебры в курсе математики
для учащихся начальных классов
Учебно-методическое пособие
Зав. РИО
Редактор
Корректор
Верстка
Дизайн обложки
Л. В. Малышева
Л. Г. Абизяева
Л. В. Кравченко
Е. В. Ворониной
Е. В. Ворониной
Сдано в набор 11.03.2011. Подписано в печать 6.07.2011.
Бумага для копировальной техники. Формат 60х84/16.
Гарнитура «Times New Roman». Печать цифровая.
Усл. печ. листов 2,79. Тираж 100 экз. Заказ № 270.
Отпечатано в редакционно-издательском отделе
ГОУ ВПО
«Соликамский государственный педагогический институт»
618547, Россия, Пермский край,
г. Соликамск, ул. Северная, 44.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
940
Размер файла
809 Кб
Теги
классов, элементы, начальных, учащихся, алгебра, 3105, математика, курс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа