close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Некоторые основы логики в школьном курсе ИНФОРМАТИКА с точки зрения классической китайской арифметики

код для вставкиСкачать
Некоторые основы логики в школьном курсе ИНФОРМАТИКА с точки зрения классической китайской арифметики Экелекян Варужан Левонович канд. физ.-мат. наук, доцент физ.-фака МГУ им. М.В.Ломоносова, преподаватель математики, физики, астрономии и информатики школы № 11, г. Москвы В темах ОСНОВЫ ЛОГИКИ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА школьного предмета ИНФОРМАТИКА и ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, на мой взгляд, существует некая формальность при введении понятия пересечения двух множеств. А если это понятие искусственно вводится, то встает вопрос: почему эта операция называется пересечением, а иногда – логическим умножением? Другой вопрос: почему эта операция называется логическим
умножением, и какое отношение имеет это действие к арифметическому умножению? Настоящая работа посвящена этим вопросам. Она состоит из двух частей. 1. Краткий экскурс по основам логики
Вспомним, что логика изучает внутреннюю структуру процесса мышления, который реализуется в таких естественно сложившихся формах как понятие, суждение, умозаключение и доказательство, тогда как алгебра логики – это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания. В нашей работе мы будем оперировать понятием (множеством), а более точно количественной стороной
понятия, и не будем учитывать его содержание – общепринятая абстракция, присущая математике. Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов, которые в алгебре высказываний заменяются логическими операциями. Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть графически проиллюстрированы с помощью диаграмм Эйлера-Венна
1
. Перечислим эти операции: отношение, выражаемое связкой «и»
, называется конъюнкцией (пересечение) или логическим умножением, обозначается знаками или . Высказывание B
A
истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания A
и B
истины; отношение, выражаемое союзом «или»
, называется дизъюнкцией (объединение) или логическим сложением, обозначается знаками или 1
Андреева Е.В., Босова Л.Л., Фалина И.Н. Математические основы информатики. Учебное пособие. М.: БИНОМ, 2007; Угринович Н.Д. и др. Практикум по информатике и информационным технологиям. Учебное пособие. – М.: БИНОМ, 2003; Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии. 10-11. Учебник для 10-11 классов. – М.: БИНОМ, 2005; Угринович Н.Д. Компьютерный практикум на CD-ROM – М.: БИНОМ, 2007.
,
,
,
.
Высказывание B
A
ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания A
и B
ложны; отношение, выражаемое формами «если …, то»
, «из … следует»
, «… влечет …»
, называется импликацией (логическое следствие) и обозначается знаком . Высказывание BA
ложно тогда и только тогда, когда A
истинно, а B
ложно; отношение, выражаемое частицей «не»
, называется инверсией (логическое отрицание) и обозначается чертой над высказыванием или знаком ︠
Высказывание A
истинно, когда A
ложно, и ложно, когда истинно; отношение, выражаемое словами «тогда и только тогда»
, «необходимо и достаточно»
, «…равносильно…»
, называется эквиваленцией (равнозначность) и обозначается знаком или ~ .
Высказывание истинно тогда и только тогда, когда значения A
и B
совпадают. Приведем также соответствующие таблицы истинности и диаграммы Эйлера-
Венна: Логическая операция конъюнкция (пересечение) или логическое умножение Таблица истинности A
B
B
A
0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Диаграмма Эйлера-Венна Логическая операция дизъюнкция (объединение) или логическое сложение Таблица истинности A
B
B
A
0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Диаграмма Эйлера-Венна Логическая операция инверсия (логическое отрицание) Таблица истинности A
A
0 1 1 0 Диаграмма Эйлера-Венна Логическая операция Логическая операция BA
импликация (логическое следствие) эквиваленция (равнозначность) или двойная импликация Таблица истинности Таблица истинности A
B
BA
A
B
BA 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 Для решения задач с логическими функциями часто пользуются соотношениями, отражающие законы
2
: закон двойного отрицания A
A
ﬠ
переместительный (коммутативный) закон - для логического сложения - A
B
B
A
, - для логического умножения - A
B
B
A
ﬠ
сочетательный (ассоциативный) закон - для логического сложения - )()( CBAСBA
, - для логического умножения - )()( CBACBA
; распределительный (дистрибутивный) закон - для логического сложения - )()()( CBCAСBA
, - для логического умножения - )()()( CBCACBA
; закон общей инверсии (законы де Моргана) - для логического сложения – B
A
B
A
, - для логического умножения – B
A
B
A
; закон идемпотентности (равносильности) - для логического сложения – A
A
A
, - для логического умножения – A
A
A
ﬠ
закон исключения констант - для логического сложения – 11
A
, AA
0
, - для логического умножения – A
A
ﰠ
A
; закон противоречия - 0
AA
; закон исключения третьего - 1
A
A
; закон поглощения - для логического сложения – ABAA
)(
, - для логического умножения - ABAA
)(
; закон исключения (склеивания) - для логического сложения – BBABA )()(
, 2
Угринович Н.Д. Преподавание курса “Информатика и ИКТ” в основной и старшей школе: Методическое пособие для учителей. – М.: БИНОМ, 2007. - для логического умножения - BBABA )()(
; закон контрапозиции (правило перевертывания) - )()( ABBA . Любое из этих соотношений легко проверяется с помощью логических переменных и символов логических операций – ведь любое высказывание можно формализовать, т.е. заменить логической формулой. Всякая логическая переменная и символы могут принимать значение «истина» («1») и «ложь» («0»), и никаких других формул в алгебре логики нет. Проверим, например, законы де Моргана с помощью таблицы истинности: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 В этой таблице колонки 1 и 2 отвечают за всевозможные значения величин и , колонки 5 и 6 - за соответствующие значения величин и . Колонка 3 собой представляет дизъюнкцию этих величин, а столбец 4 есть отрицание этого объединения. Содержание колонок 4 и 7, 9 и 10 – это доказательство закона общей инверсии для логического сложения и для логического умножения соответственно. В практике удобно пользоваться представлением импликации через дизъюнкцию и отрицание: BABA , а также эквиваленции - через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: )()( ABBABA . В справедливости этих тождеств убедимся, применяя уже известные таблицы высказывания: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 В конце этого параграфа решим несколько задач, которые встречаются на экзамене по ИНФОРМАТИКе в формате ЕГЭ и для решения которых применяются те или иные формулы, приведенные выше. В этих примерах вопрос в конечном счете тот же самый – преобразовать выражения: 1. B
A
B
A
B
A
; 2. ACBACBACBAСBA ))(())(()()(
; 3. CBAACBCBACBA )(
B
A
A
B
A
›
B
A
›
A
B
A
B
B
A
š
B
A
š
B
A
š
A
B
B
BA A
B
A
B
B
A
›
A
B
›
BA
)()( ABBA CBCBCBCBCB
)()(1
; 4. CABCABCACBAСBA ))(())(()()(
. 1. Как принято умножить целые числа в Китае
В древнем Китае с самых ранних периодов его существования имелась необходимость производить астрономические вычисления, измерять площади полей, объемы зерна, емкости сосудов и прочее. Это вызывало интенсивное развитие математики, которое носило в значительной степени практический характер в традиционном Китае вплоть до его знакомства посредством иезуитов с европейской математикой в начале 17 в. В
эпоху раннего Чжоу искусство счета уже входило в программу обучения школьников. В эпоху “Борющихся царств” создается сочинение “Чжоу би суань цзин” (“Канон расчета чжоуского гномона”), в котором были даны элементарные математические знания, пригодные для астрономических расчетов
3
. Научимся китайскому способу умножения двух целых чисел в три приема
4
: а) сначала потренируемся умножить число 12 на число 23. Для этого проведем параллельные линии по числу десяток и единиц первого множителя, т.е. одну и две. После этого проведем то же самое действие с помощью параллельных линий в другом направлении по числу десяток и единиц второго множителя, т.е. проведем 2 (две) и 3 (
три) параллельные линии (см. рисунок). В результате получается подобие «параллелограмма». Следующий шаг заключается в выделении крайне правого, крайне левого углов этого параллелограмма, а также двух других вершин, расположенных посередине. Одновременно считаем точки пересечения соответствующих линий. У правого угла в пересечении соответствующих линии получается 6 (шесть) точек, посередине у верхнего угла таких точек получается 4 (четыре), у нижнего – 3 (три), т.е. вместе
4 + 3 = 7 (семь) точек. Наконец, у крайнего левого угла таких пересечений 2 (две) точки. Если полученные таким образом эти 3
http://mathphil.ucoz.ru/load/3-1-0-16
Математика в древнем и средневековом Китае. Арабский восток и арабские цифры. Выделение алгебры. http://history.rsuh.ru/eremeev/china/052.htm
В.Е. Еремеев Традиционная наука Китая Краткая история и идеи 4
www.youtube.com
Как учат математике в Китае (MULTIPLICACION CHINA) цифры – 2, 7 и 6 - писать в ряд с лева на право, то получится число 276, что является произведением множителей 12 и 23. Это и есть алгоритм, которым пользовались китайцы при умножении целых чисел. Рассмотрим более сложный случай, когда при пересечений линий получается сумма, превышающая число 10 (десять): б) рассматривается умножение чисел 123 и 243. Это означает, что необходимо провести
1 (одну), 2 (две) и 3 (три) параллельные линии для первого множителя по числу цифр в нем. Далее выбираем другое направление и проводим 2 (две), 4 (четыре) и 3 (три) параллельные линии для второго множителя по числу цифр в нем. В этом случае «параллелограмм» получается поле сложным (см. рисунок). Как и в первом случае проведем параллели с правого крайнего угла до крайнего левого угла, Таких параллели в нашем случае образуются три (см. рисунок). Организуем подсчет точек пересечений. У крайнего правого угла это будет число 9 (девять). Затем будет узел из 6 (шесть) и 12 (двенадцать) в сумме 18 пересечений. Следующее слева звено даст результат 3 (три), 8 (восемь) и
6 (шесть) в сумме 17 точек пересечений. Еще левее 4 (четыре) и 4 (четыре) всего 8 (восемь) точек пересечений. Крайний левый угол содержит 2 (две) точки пересечений. Далее осуществим работу с полученными числами – 2, 8, 17, 18 и 9. Здесь числа 17 и 18 следует представить в виде – 17 = 10 + 7 и 18 = 10 + 8 и каждый раз учитывать следующий порядок в числе слева – {2 (1 + 8) (7 + 1) 8 9} т.е. число 29889 , что и есть произведение чисел 123 и 243. в) рассмотрим умножение чисел 241 и 302, т.е. случай, когда в множителях в середине содержится цифра 0 (ноль). Работа аналогичная с той лишь разницей, что параллельные линии, учитывающие цифру 0 проводятся условно, только для того, чтобы правильно провести последовательные звенья - параллели. Итак, проведем 2, 4 и 1 параллельные линии по первому множителю. Выбирая другое направление, проведем 3 и 2 параллельные линии по второму множителю, а вот прямую, соответствующую цифре 0 (ноль), проведем условно в виде штрихпунктирной линии, так как этой линии нет, а только существует место для определения соответствующих параллелей. Опять получается «параллелограмм», у которого крайний левый угол предполагает 2 точки пересечений (см. рисунок). При выборе последующего левого звена необходимо учитывать одно пересечение из 8 точек, тогда как следующее пересечение пустое, по этому суммарное пересечение для этого звена составляет число 8. По аналогичной схеме получаем числа 7, 12 = 10 + 2 и у крайнего левого угла 6 точек
пересечений. Расчет осуществляем аналогичным образом – {(6 + 1) 2 7 8 2} т.е. число 72782. Это и есть произведение чисел 241 и 302. После изложения китайского (топологического) способа умножения целых чисел во всевозможных случаях нетрудно обобщить метод и для десятичных дробей. Действительно, каждое десятичное дробное число перемножим на такую степень числа 10 (десять), чтобы получилось целое число, осуществим умножение этих чисел и в конце переставим запятую в нужную позицию. Китайский способ умножения как нельзя лучше
трактует связь между умножением арифметическим и умножением логическим. Действительно, формально сравнивая содержание Таблицы 1 с содержанием Рисунков 1 -3, легко убедиться в идентичности понимания пересечения – если в случае логического умножения пересекаются области, общие для операции и , то при арифметическом умножении по китайской схеме рассматриваются общие точки пересечения первого и второго множителей. A
B
Автор
tanitavo666
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
330
Размер файла
389 Кб
Теги
kit_arifm
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа