close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

дифференциальное исчисление

код для вставкиСкачать
ОКН-12
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
- раздел математики, в к-ром изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Развитие Д. и. тесно связано с развитием интегрального исчисления. Неразрывно и их содержание. Вместе они составляют основу математич. анализа, имеющего чрезвычайное значение для естествознания и техники. Основной предпосылкой для создания Д. и. явилось введение в математику переменных величин (Р. Декарт, R. Descartes). В общих чертах построение дифференциального и интегрального исчислений было завершено в трудах И. Ньютона (I. Newton) и Г. Лейбница (G. Leibniz) к концу 17 в., однако вопросы обоснования с помощью понятия пре-
дела были разработаны О. Коши (A. Couchy) лишь в начале 19 в. Создание дифференциального и интегрального исчисления явилось началом периода бурного развития математики и связанных с ней прикладных наук. Под Д. и. обычно понимают классич. Д. и., в к-ром рассматриваются действительные функции одного или нескольких действительных переменных, хотя в современном толковании может идти речь и о Д. и. в абстрактных пространствах. Д. и. основано на понятиях действительного числа, функции, предела и непрерывности- важнейших понятий математики, сформировавшихся и получивших современное содержание в процессе развития математич. анализа и работы над его обоснованием. Центральные понятия Д. и.- производная идифференциал- и разработанный в Д. и. аппарат, связанный с ними, доставляют средства для исследований функций, локально сходных . с линейной функцией или многочленом, а именно такие функции в первую очередь интересны для приложений.
Производная. Пусть функция y=f(x). определена в нек-рой окрестности точки х 0,есть приращение аргумента, Dy=f(x0+Dx)-f(x0).- соответствующее приращение функции. Если существует (конечный или бесконечный) предел
то он наз. производной функции f(x). в точке х 0 и обозначается у', у' х, Итак, по определению,
Операция вычисления производной наз. дифференцированием. Если f'( х 0)- конечна, функция f(x). наз. дифференцируемой в точкех 0. Функция, дифференцируемая в каждой точке нек-рого промежутка, наз. дифференцируемой в. <промежутке. Геометричес ко е истолкование производной. Пусть С- плоская кривая, заданная в прямоугольной системе координат уравнением y=f(x), где f(х)определена и непрерывна в нек-ром интервале, М( х 0, у 0)- фиксированная точка на С, Р( х, у)- произвольная точка кривой С,МР- секущая (см. рис. 1). Прямая МТ наз. касательной к кривой С в точке М, если угол j между секущей МР и этой прямой стремится к нулю, когда х->х 0 (иными словами, когда точка произвольным образом стремится к точке М). Если упомянутая касательная существует, то она - единственна. Если положить х=х 0+D х, Ay=f(x0+Dx)- f(x0), то для угла b между МР и положительным направлением оси Ох будет иметь место равенство (см. рис. 1). Кривая Симеет в точке Мкасательную в том и только в том случае, если существует т. е, существует f'( х 0). При этом для угла a. между касательной и положительным направлением оси Ох справедливо равенство tga=f'(x0). В случае конечной производной f'(х 0) касательная образует с Ох острый угол, т. е.
в случае касательная образует с Ох прямой угол (см. рис. 2). Таким образом, производная непрерывной функции f(x)в точке х 0 совпадает с угловым коэффициентом tga касательной к кривой, заданной уравнением у=f(x), в ее точке с абсциссой х 0.
Механическое истолков а ние производной. Пусть точка М движется прямолинейно по закону s=f(t). За время Dt точка Мсместится на Ds=f(t+Dt)-f(t). Отношение Ds/Dt представляет собой среднюю скорость u ср точки за время Dt. При неравномерном движении ucp не постоянна. Мгновенной скоростью в момент tназ. предел средней скорости при т. е. u=f'(t). (в предположении, что эта производная существует.
Таким образом, понятие производной доставляет общее решение задачи о построении касательной к плоской кривой и задачи о вычислении скорости прямолинейного движения. Эти две задачи явились основными предпосылками в формировании понятия производной.
Функция, имеющая в точке х 0 конечную производную, непрерывна в этой точке. В случае бесконечной производной этого может не быть. Непрерывная функция может не иметь ни конечной, ни бесконечной производной. Существуют непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке области определения. Для производных основных элементарных функций справедливы следующие формулы (в любой точке области определения; исключения оговариваются):
Имеют место также следующие правила дифференцирования;
1) Если функции и(х)и u(х)дифференцируемы в точке х 0, то функции
также дифференцируемы в этой точке, причем
2) Теорема о производной сложной функции: если функция y=f(u)дифференцируема в точке и 0, а функция j(х)дифференцируема в точке х 0, причем u0=j(xo), то сложная функция y-f(j(x))дифференцируема в точке х 0 и y'x=f(u0)j'(x0) или, в другой записи,
3) Теорема о производной обратнойфункции: если y=f(x)и x=g(y)- две взаимно обратные возрастающие (или убывающие) функции, заданные на нек-рых интервалах, и существует конечная производная то в точке y0=f(z0 )существует конечная производная или, в другой записи, Эта теорема допускает обобщение: если, при выполнении прочих условий, f' (x0) =0(f' ( х о)=), то g'( у о)= (соответственно g'( у 0)=0).
Односторонние производные. Если в точке х 0 существует предел
то он наз. правой производной функции y=f(x)' в точке х 0 (в этом случае нет необходимости требовать, чтобы функция была- определена всюду в нек-рой окрестности точки х 0;достаточно потребовать этого лишь для ). Аналогично определяется левая производная - как предел
Функция f(x)имеет производную в точке х 0 в том и только в том случае, если в этой точке существуют равные между собой правая и левая производные. Для непрерывной функции существование в точке правой (соответственно левой) производной равносильно существованию в соответствующей точке ее графика правой (соответственно левой) односторонней полукасательной с угловым коэффициентом, равным значению этой односторонней производной. Точки, в к-рых полукасательные не образуют одну прямую, называются угловыми точками (см. рис. 3).
Производные высших порядков. Пусть функция y = f(x)имеет конечную производную y'=f' (х)в каждой точке нек-рого интервала; эта производная наз. также первой производной, или производной первого порядка, к-рая, будучи функцией от х, может, в свою очередь, иметь производную y"=f",(x), называемую второй производной, или производной второго порядка, функции f(x), и т. д. Вообще п-я производная, или производная порядка га, определяется по индукции равенством y{п)=(y(n-1))', в предположении, что y(n-1) определена на нек-ром интервале. При этом, наряду с y(n), используются также обозначения f(n) (х),, а для n=2, 3 еще у", f" (х), у'", f'"(х). Вторая производная имеет механич. истолкование: это есть ускорение в момент tточки, движущейся прямолинейно по закону s=f(t).
Дифференциал. Пусть функция y - f(x)определена в нек-рой окрестности точки хи существует такое число А, что приращение Dy может быть представлено в виде Dy=ADx+w, где при Член А Ах в этой сумме обычно обозначается символом dy, или df(x), и наз. дифференциалом функции f(x)(по переменному х)в точке х. Дифференциал есть главная линейная часть приращения функции (геометрически изображается отрезком LT на рис. 1, где МТ- касательная к кривой y=f(x)в рассматриваемой точке ( х 0, у 0)).
Функция y=f(x)имеет в точке хдифференциал в том и только в том случае, если она имеет в этой точке конечную производную Функция, для к-рой существует дифференциал, наз. дифференцируемой в рассматриваемой точке. Таким образом, дифференцируем ость функции означает одновременно и существование дифференциала, и существование конечной производной. При этом dy = df(x)=f'(x)Ax. Для независимого переменного хполагают dx= Ax и поэтому можно писать dy = f(x)dx, т. е. производная равна отношению дифференциалов:
См. также Дифференциал.
Формулы и правила вычисления для производных приводят к соответствующим формулам и правилам вычисления для дифференциалов. В частности, справедлива теорема о дифференциале сложной функции: если функция y=f(u)дифференцируема в точке и 0, а функция j(х)дифференцируема в точке х 0, причем u0=ф(x0), то сложная функция у=f(j(x))дифференцируема в точке х 0и dy=f(u0)du, где du=j'(x0)dx. Дифференциал сложной функции имеет точно такой же вид, как если бы переменное ибыло независимым. Это свойство наз. инвариантностью формы дифференциала. Однако, если и - независимое переменное, du=Аи есть произвольное приращение, а если и- функция, то du есть дифференциал этой функции, вообще говоря, не совпадающий с ее приращением.
Дифференциалы высших порядков. Дифференциал dy наз. также первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка. Пусть y=f(x)- имеет дифференциал dy=f'(x)dx в каждой точке нек-рого интервала. Здесь dx= Ах- некоторое число, не зависящее от х, и поэтому можно считать dx=const. При этом dy оказывается функцией только от x и, в свою очередь, может иметь дифференциал, к-рый наз. вторым дифференциалом, или дифференциалом второго порядка функции f(x), и т. д. Вообще, п-й дифференциал, или дифференциал п-т о порядка, определяется по индукции равенством dny=d(dn-1y )в предположении, что дифференциал dn-1y определен в нек-ром интервале и что значение dx одно и то же на всех шагах. Свойство инвариантности дляd2y, d3y,. . ., вообще говоря, не имеет места (исключение составляет y=j(u), где и- линейная функция).
Повторный дифференциал от dy имеет вид и вторым дифференциалом является значение d (dy )приdx=dx.
продолжение Дифференциальное исчесление...
Основные теоремы и приложения Д. и. К основным теоремам Д. и. для функций одного переменного обычно относят Ролля теорему, Лагранжа теорему (о конечном приращении), Коши теорему и Тейлора формулу. Эти теоремы лежат в основе наиболее важных приложений Д. и. к исследованию свойств функций - таких, как возрастание и убывание функции, выпуклость и вогнутость графика, к отысканию экстремумов, перегиба точек, асимптот графика. Д. и. позволяет вычислять пределы функций во многих случаях, когда простейшие теоремы о пределах не позволяют сделать этого (см. Неопределенностей раскрытие). Д. и. находит широкие приложения во мно- . гих разделах математики, в частности в геометрии.
Д. и. функций многих переменных. Для простоты рассматривается случай функций двух переменных (за нек-рым исключением), хотя все понятия легко распространяются на случай трех и большего числа переменных. Пусть функция z=f(x, у )задана в нек-рой окрестности точки ( х 0, у 0 )и пусть зафиксировано значение y=y0. Тогда f(x, y0 )есть функция только от х. Если она имеет в х 0производную по х, то эта производная наз. частной производной функции f( х, у) по х в точке ( х 0, у 0 )и обозначается f'x( х 0, у 0)>Итак, по определению,
где Dxz=f(x0+Dx, y0)-f(x0, y0) - частное приращение функции по х(dz/dx в общем случае нельзя рассматривать как дробь; д/дх есть символ операции).
Аналогично определяется частная производная по у:
где DyZ - частное приращение функции по у.. Другие обозначения: Частные производные вычисляются по правилам дифференцирования функций одного переменного (при вычислении z'x нужно считать у=const, а при вычислении z'y- считать х=const).
Частными дифференциалами функции z - f(x, у )в точке ( х 0, у 0) ваз. (соответственно) выражения
(где, как и в случае одного переменного, dx=Dx, dy=Dyозначают приращения независимых переменных).
Первые частные производные =f'x( х, у) и =f'y(x, у), или частные производные первого порядка, являясь функциями от x и у, могут в свою очередь иметь частные производные по хи у, к-рые называются, по отношению к функции z=f(x, у), частными производными второго порядка, или вторыми частными производными. При этом полагают
Вместо d2z/dx2 употребляют также обозначения
вместо д 2z/дхду- обозначения
Автор
nikitin-max007
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
99
Размер файла
217 Кб
Теги
word, документ, microsoft
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа