close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

22968

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ЭЛЕКТРОНИКА,
ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА
И РАДИОТЕХНИКА
УДК 519.254
О. А. Кацюба, А. А. Карпов, Д. В. Тимонин
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ КЛАССА
ГАММЕРШТЕЙНА ПРИ НАЛИЧИИ ПОМЕХ,
НАБЛЮДАЕМЫХ В ВЫХОДНЫХ СИГНАЛАХ
В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Аннотация. Рассматривается проблема идентификации параметров нелинейных динамических систем класса Гаммерштейна при наличии автокоррелированных помех в выходных сигналах. Изложены условия, при которых возможна идентификация параметров, сформулированы утверждения, представлены
доказательства, описана структура алгоритма, приведена обоснованность использования метода Ньютона. Доказывается состоятельность получаемых
оценок неизвестных истинных значений параметров.
Ключевые слова: нелинейные дифференциальные уравнения, параметрическая
идентификация, класс Гаммерштейна, автокоррелированные помехи в сигналах.
Abstract. The article considers a problem of identification of Hammershtein-type
nonlinear dynamic systems parametres in the presence of autocorrelated noise in
output signals. The authors set forth the conditions enabling identification of parametres, formulate the statements, present the proof, describe the algorithm structure,
substantiate the application of Newton’s method. The researchers demonstrate
theconsistency of unknown true values estimation.
Key words: nonlinear difference equations, parametrical identification, class Gammershtein, autocorrelated handicaps in signals.
Введение
Одними из эффективных способов построения моделей являются методы
структурной и параметрической идентификации, весомый вклад в разработку
которых внесли Я. З. Цыпкин, Л. Льюнг, Е. З. Демиденко, Н. С. Райбман,
В. Н. Фомин, О. А. Кацюба и др. При известной структуре модели объекта
процедура параметрической идентификации основывается на обработке информации о входных и выходных данных об объекте, при этом, как правило,
процесс получения информации сопровождается существенными помехами и
сложностями установления их законов распределения, что требует разработки специальных методов и алгоритмов параметрической идентификации.
Известно, что в случае идентификации нелинейных динамических объектов для каждого вида модели объекта и каждого закона распределения помех наблюдения существуют свои наилучшие методы оценивания параметров (в смысле дисперсионных свойств получаемых оценок). При априорной
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника
неопределенности ни оценки метода наименьших квадратов (МНК), ни оценки метода эмпирического риска, ни М-оценки, ни минимаксные на некотором
классе распределений оценки и т.д. такими свойствами не обладают.
1. Постановка задачи
Рассмотрим стационарную нелинейную динамическую систему, которая описывается следующим разностным уравнением:
Zi 
r

m 1
b0m Zi  m 
r1
 a0mm ( xim ) ,
(1)
m 0
где выходная переменная Zi наблюдается с аддитивными помехами в виде
Yi  Zi  (i ) .
Требуется по наблюдаемым конечным выборочным реализациям последовательностей Yi и X i при известных порядках r и r1 (1) определить
оценки истинных значений параметров.
Предположим, что выполняются следующие условия:
1. Множество B , которому априорно принадлежат истинные значения
устойчивой нелинейной динамической системы (1), является компактом,
m – некоторые нелинейные бэровские функции.
2. Случайный процесс   i  удовлетворяет следующим условиям:
E ((i  1) / J i )  0 , п.н.
 
E  2  i  1 J i   w ,
E 2  i0      ,
где w – случайная величина, E  w      ; E – оператор математического
ожидания; J i –  -алгебра, индуцированная семейством случайной величины
{(t ), t  Ti }, Ti  {t ; t  i; t  Z c  множество целых чисел} .
п.н.
1
(i )(i  m) 
 h* (m)   , m  0, r ,

N
N
где h (m) – начальная автокоррелированная функция; матрица H  :
3.
h (1)
h (r ) 

 h (0)


h (1)
h (0)  h (r  1) 

H   






 h ( r ) h ( r  1)  h (0) 


 h (0) h T 

 
;
 h
H 


h (r  1) 
 h (0)
H  
;
h (0) 
 h (r  1)
вектор h  (h (1) h (r ))T  Rr .
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
4. {xi } статистически не зависит от {(i )} .
5. Входной сигнал xi является случайным процессом и удовлетворяет
условиям постоянного возбуждения порядка (r1  1) [1]:
п.н.
 H zz
1 N
( Z rT (i ) Tr (i ))T ( Z rT (i ) Tr (i )) 
H *   T
N 
1
1
 H zx
N i i


0

T
где Z r (i )   Z (i  1),..., Z (i  r )  , r1 (i )  1 ( xi ),..., r1 ( xi  r1 )

T
H zx 
,
H xx 
.
2. Алгоритм идентификации
Уравнение (1) можно представить в виде системы алгебраических
уравнений
 b0 
( x)    ,
 a0 
z  Zb0  ( x)a0   Z
где
 z0  z1r 
Z   

  , z  ( z1 ,..., z N )T  RN ;
 z N 1  z N r 
 ( x1 )  r1 ( x1 r1 ) 




( x)   
.
 ( x )   ( x

r1 N  r1 ) 
 1 N
Однако вместо Z и z наблюдаются только случайный вектор Y  RN и
матрица AY . Для получения состояния нелинейных оценок наименьших
квадратов воспользуемся следующим подходом. Представим уравнение (1) в
следующем виде:


 b0 
Yi  YrT (i ) Tr (i )    (i )  Tr b0 ,
1
 a0 
T
где  r  ((i  1),..., (i  r ))T  Rr , Yr (i )   y (i  1),..., y (i  r )  ;
 y0  y1 r 
Y  y1... y N , AY   

  .
 y N 1  y N r 
Введем также следующую обобщенную ошибку:


 b0 
e(b0 , a0 , i )  Yi  YrT (i ) Tr (i )    (i )  Tr b0 .
1
 a0 
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника
Из предположения 2 следует, что обобщенная ошибка e(b0 , a0 , i ) имеет
нулевое среднее значение, а из предположения 3 – что ее локальная дисперсия с вероятностью 1 будет равна
e2
1 N 2
 lim
e (b0 , i )  h (0)  ( H b0 , b0 )  2(h , b0 )  (b0 ) .
N  N i 1

 bˆ( N ) 
 b0 
Определим оценку 
 неизвестных значений параметров   из
 aˆ( N ) 
 a0 


условия минимума взвешенного квадрата обобщенной ошибки e(b, i ) с весом
(b) , т.е. из:

1
min  (b)  Y   AY
b

 B
a
 
 b0  
( x)      1 (b)U N (b, a) , (2)

 a0  
 b0 
( x)    , Y   AY
 a0 
где ...,... – скалярное произведение; (b)  h (0)  ( H b, b)  2(h , b) .
 bˆ( N ) 
Докажем, что при N   решение (2) сводится к 
 , при этом
 aˆ( N ) 


 bˆ( N ) 
 b0 

 – сильно состоятельная оценка   .
 aˆ( N ) 
 a0 


3. Доказательство состоятельности оценок
Утверждение 1. Пусть стационарная динамическая система с начальными условиями z (0)  ...  z (i  r )  0 описывается уравнением (1) и помеха
удовлетворяет условиям 2–4. Кроме того, истинные значения параметров
 b0 
  и входной сигнал xi удовлетворяют условиям 1, 5. Тогда при N  
 a0 
с вероятностью 1 существует оценка (2) и является сильно состоятельной.
Доказательство. Рассмотрим функцию
1
1 N
U N (b, a) 
Zi  (i )  ( Z r (i )   r )T b 
N
N i 1

 (r1 (i )T a )

2


1 N T
Z r (i )b0  Tr (i ) a0  (i ) 
1
N i 1
( Z r (i )   r )T b  (r1 (i )T a )
 Z rT (i )b  Tr (i )a  Tr b
1


2
2

1 N
(i ) 
N i 1

 v1  v2  v3 ,
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где b  b  b0 , a  a  a0 ;
v1 
1 N 2
( (i )  2(i )Tr b  bT  r Tr b) ;
N i 1

N   b T
T
1
   Z T (i ) T (i )
v2 
Z rT (i ) Tr (i )
r
r1
1
N i 1   a 

v3  2




 b  
  ;
 a  
 
1 N
((i ) Z rT (i )b  (i )Tr (i ) a  Z rT (i )b r bT  Tr (i )a r b .
1
1
N i 1

Тогда из условия 3 получим, что
п.н.
v1 
 h (0)  bT H b  2(h )T b , b  B ,
N 
а из условия 5 следует
T
 b 
 b 
   H   .
v2 
N   a 
 a 
 
 
п.н.
Рассмотрим первое слагаемое в v3 :
2
п.н.
1 N
(i ) Z rT (i )b 
 0 , b  Rr ,
N 
N i 1


так как из условий 2 и 4 и положительной определенности H zz и H следует
выполнение условия леммы 1.2 [2]. Аналогично для 2
1 N T
 (i ) a(i ) .
N i 1 r1

Рассмотрим следующее слагаемое:
 Zi 1(i  1)  Zi  r (i  1) 
N
N
1
1
 b .
T
T
T 

b  r Z r (i )b  2
b 



2

N i 1
N i 1
 Zi 1(i  r )  Zi  r (i  r ) 



(3)
Таким образом, (3) можно представить в виде r 2 слагаемых, каждое из
которых в силу предположений 2, 4 и из положительно определенной матрицы H по лемме 1.2 [2] сходится к нулю, аналогично 2
1 N T
b  r Tr (i )a .
1
N i 1

Аналогично доказывается сходимость к нулю остальных слагаемых v3 :
п.н.
b
v3 
 0 ,     B  Rr1  r 1 .
a
N 
 
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника
Следовательно,
T
п.н.
 b 
 b 
1
T
T
(h (0)  b H b  2(h ) b    H   
U N (b, a ) 
N 
 a 
 a 
N
 
 
T
b
  
a
 H zz  H 

T
 ( H z )

H z  b
 H zz b0  H z a0  h   b 
    2 
  
*
 ( H z )T b0  H 
H *   a 
a0   a 



T
 b0 
 b0 
 h (0)    H   U (b, a ) ,
 a0 
 a0 
T
где   b a   B  Rr1  r 1 .
Покажем, что решение задачи
1
min  (b)U (b, a)
b
 B
a
 b0 
существует и достигается в единственной точке   , т.е.
 a0 
 
1
1
min  (b)U (b, a)   (b0 )U (b0 , a0 )  1 .
(4)
b
 B
a
Для этого рассмотрим функцию
V (b, a, )  U (b, a )  (b) ,   R1 ;
(5)
V ()  min V (b, a, ) ,
(6)
b
 B
a
тогда
T
T
 H zz b0  H za0  h  h 
 b0 
 b0 
 
V ()  h (0)    H    h (0)  
T
a
a


(
)
H
b
H
a

0
0
z
0
 0
 
 


 H zz  H   H 


H z*T

H *z 

H  

1
 H zz b0  H zx a0  h  h 
.

 ( H z )T b0  H a0



(7)
Легко проверить, что уравнение V ()  0 на интервале  ,  min  1
ˆ  1 , если 
имеет корень 
min – наименьшее собственное число регулярного
пучка квадратичных форм [3], определяемых положительно определенными
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
матрицами: H zz  H z ( H  )1 ( H z )T и H  . Этот корень является единственным на интервале  ,  min  1 , что вытекает из непрерывности функции V () на этом интервале и V ()  0 на  ,  min  1 . Отсюда непосредственно следует (4).
 b0 
Оценки коэффициентов   можно определить, рассматривая функ a0 
цию
VN (b, a, )  U N (b, a)  (b) ,  R1 ,
VN ()  min VN (b, a, ) ,
b
 B
a
тогда
T
 AYT Y  h 
T
 
VN ()  Y Y  h (0)  
 T ( x) A 
Y 

 AYT AY  H 

 T ( x) A
Y

AYT ( x) 

T ( x)( x) 
Заметим, что VN () на интервале
1
 AT Y  h 
 Y
.
 T ( x)Y 


 ,  min ( N ) 
(8)
непрерывна, где
 min ( N ) – наименьший корень уравнения:
 AYT AY  H Y
det 
 T ( x) A
Y

AYT ( x) 
  0,
T
 ( x)( x) 
(det T ( x)( x)  0) .
Далее
VN ()  (h (0)  bˆT ( N , )  H bˆ( N , )  2(h )T bˆ( N , ) ,
где
T
 bˆ( N , )   AY AY  H 



 aˆ( N , )   T ( x) A

 
Y
AYT ( x) 

T ( x)( x) 
1
 AT Y  h 
 Y
,
 T ( x)Y 


(9)
VN ()  0 на  ,  min ( N )  .
ˆ ( N ) существует, находится на интервале
Следовательно, корень 
1
ˆ
0  1 ( N )   min ( N ) и является наименьшим среди всех корней уравнения
VN ()  0 .
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника
Уравнение (8) можно записать в виде
T
 bˆ( N , ) 
VN ()  

 aˆ ( N , ) 


 AYT AY  H 

 T ( x) A
Y

T
 AYT Y  h 

2 
 T ( x)Y 


AYT ( x)   bˆ( N , ) 


T ( x)( x)   aˆ ( N , ) 
 bˆ( N , ) 

  Y T Y  h (0) .
 aˆ( N , ) 


 bˆ( N ) 
Дальнейший ход доказательства состоятельности оценок 
 ана aˆ( N ) 


логичен доказательству утверждения 1.1 [4].
Таким образом, для получения сильно состоятельных оценок требуются
априорные знания лишь нескольких первых значений автокоррелированных
функций, необходимых для формирования матрицы H  . Рассмотрим особенности численных методов определения оценок параметров.
Лемма 1. Для функции VN () справедливы следующие утверждения:
1. Все корни уравнения VN ()  0 (если они существуют) неотрицательны.
2. Уравнение VN ()  0 на полусегменте  0,  min ( N )  имеет не более
одного корня, если det(T ( x)( x))  0 , где  min ( N ) – наименьшее обобщенное собственное число матрицы
det
 A A
T
Y Y


 ( AYT ( x)) T ( x)1  ( x)(T ( x) AY )  H 
  0 .
(10)
ˆ (N )
3. Непрерывность матрицы T ( x)( x) и существование корня 
1
на интервале  0,  min ( N )  является необходимым и достаточным условием
существования единственного решения (2), при этом
1
min  (b)U N (b, a ) 
b
 B
a
U N (bˆ( N ), aˆ ( N ))
,
(bˆ( N ))
 bˆ( N ) 
где 
 определяется уравнением (9).
 aˆ( N ) 


Эта лемма практически доказана при доказательстве утверждения 1.
Утверждение 2. Пусть последовательность { (i )} определяется следующим алгоритмом:
Шаг 0. (0)  0 .
 ( N )  (i  1)
Шаг 1. (i )  min
,  min определяется из (10).
2
Шаг 2. Вычислить bˆ  N , (i )  и aˆ  N , (i )  из системы уравнений:
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 AT A  (i ) H 
 Y Y

T ( x) AY

AYT ( x)   bˆ(, (i ))   AYT Y  (i )h 
.
 

T
T





ˆ(

a
i
,
(
))


 ( x)( x)  
   ( x)Y

(11)
Шаг 3. Вычислить
T
 AYT Y  (i ) h 
T

VN ((i ))  Y Y  (i )h (0)  
 T ( x)Y



 bˆ( N , (i )) 

.
 aˆ( N , (i )) 


Шаг 4. Проверить условие V ((i ))  0 .
ˆ ( N )   0,  ( N )  ,
Тогда, если уравнение VN ()  0 имеет корень 
1
min

ˆ ( N ),  ( N ) ,
то последовательность (0), (0) конечна и (0)  
1
min
в противном случае она бесконечна.
Доказательство утверждения 2 немедленно следует из леммы 1.
Этот алгоритм позволяет определить начальное приближение (0) , необходимое для дальнейшего применения метода Ньютона или определить,
ˆ ( N ) не существует.
что корень 
1
ˆ ( N ),  ( N ) , тогда
Утверждение 3. Пусть существует (0)  
1
min

ˆ (i ))  bˆ( N ) , lim aˆ ( N , 
ˆ (i ))  aˆ ( N ) ,
ˆ (i )  
ˆ ( N ) , lim bˆ( N , 
lim 
1
i 
i 
i 
ˆ (i ) , bˆ( N , 
ˆ (i )) и aˆ ( N , 
ˆ (i )) определяются совместно следующим алгогде 
ритмом:
ˆ (i )) и aˆ ( N , 
ˆ (i )) из системы уравнений (11).
Шаг 1. Вычислить bˆ( N , 
Шаг 2. Вычислить
ˆ (i  1)  (h (0)  bˆT ( N , 
ˆ (i )) H bˆ( N , (i ))  2(h )T bˆ( N , 
ˆ (i )) 1 






ˆ (i )bT ( N , 
ˆ (i ))  H bˆ( N , 
ˆ (i ))  2
ˆ (i )(h )T bˆ( N , 
ˆ (i )) 
 Y T Y  




T
ˆ (i )h 
 AYT Y  




 T ( x)Y 


ˆ (i ))  
 bˆ( N , 

 .
ˆ (i ))  
 aˆ( N , 



Шаг 3. Переход к шагу 1.
Вычисления заканчиваются, если выполняется условие



ˆ (i  1) 
VN  
ˆ (i  1)  V 
ˆ (i )
VN 
N

 ,
где  – априорно заданная точность нахождения оценки.
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника
Это утверждение непосредственно следует из метода Ньютона:
(i  1)  (i ) 
 .
ˆ (i ) 
VN  
ˆ (i )
VN 
Обоснованность использования метода Ньютона вытекает из того, что
функция VN    непрерывна на интервале    0,  min ( N )  , а VN     0 и
V     0 – на интервале    0,  ( N )  .
N
min
4. Результаты моделирования
Для тестирования программного обеспечения [5], реализованного
в среде MATLAB, использовалась следующая модель:
Zi  0,3Zi 1  0,8 x 2 ( xi )  0,5 x 2 ( xi 1 ) ,
Yi  Zi  (i ) ,
где Zi – вектор входных значений; i  ..., 1,0,1,... – индекс нумерации дискретных моментов времени; (i ) – последовательность независимых случайных величин с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией.
В табл. 1 представлены значения погрешностей оценивания параметров
классическим методом и нелинейным методом наименьших квадратов. Погрешность рассчитывалась по формуле
bˆ    0,3   aˆ    0,8   aˆ    0,5
1

2
2
0
0
0
2
2
1
0
 0,3   0,8    0,5 
2
2
 100 % .
Таблица 1

, %
Z
5
10
15
25
40
МНК %
(МНК/нелинейный МНК)
НМНК %
9, 6
4,5
17
7, 2
22
9, 4
29
12
38
16

– отношение среднеквадратических отклонений помехи
Z
к истинному сигналу; количество опытов – 500; конечная дисперсия по МНК составила 0,2048, а по НМНК – 0,0953.
Примечание.
На графиках (рис. 1, 2) представлены значения последовательностей:
 ^ МНК 
 ^ НМНК 
Zi – истинный сигнал;  Z i
–
оценка
МНК,

Z i
 – оценка нели



нейного (обобщенного) МНК.
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 ^ МНК 
Рис. 1. Графики значений последовательностей Zi  и  Z i



 ^ НМНК 
Рис. 2. Графики значений последовательностей Zi  и  Z i



Из анализа проведенных тестов следует, что погрешность оценивания
векторов параметров предложенным методом много меньше погрешности
оценивания классическим методом.
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (18), 2011 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника
Заключение
В работе предложен алгоритм для оценивания параметров нелинейной
динамической системы с помехами в выходных сигналах. Предложенный алгоритм послужит для построения более качественных моделей, применяемых во
многих областях науки и техники, и также станет основой для создания новой
серии высокоэффективных систем управления технологическими процессами.
Список литературы
1. Л ь ю н г , Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Л. Льюнг. – М. :
Наука, 1991. – 432 с.
2. К а ц ю б а , О . А . Идентификация методом наименьших квадратов параметров
уравнений авторегрессии с аддитивными ошибками измерений / О. А. Кацюба,
А. И. Жданов // Автоматика и телемеханика. –1982. – № 2. – С. 29–33.
3. Г а н тм а х е р , Ф. Р . Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. – М. : Наука, 1966. – 575 с.
4. К а ц ю б а , О . А . Особенности применения МНК для оценивания линейных разностных операторов в задачах идентификации объектов управления / О. А. Кацюба, А. И. Жданов // Автоматика и телемеханика. – 1979. – № 8. – С. 86–95.
5. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2009612902.
Программа для определения параметров нелинейной динамической системы
класса Гаммерштейна при наличии автокоррелированных помех в выходных сигналах / Д. В. Тимонин ; заявитель и правообладатель Самарский государственный
университет путей сообщения ; заявл. 13.04.2009 ; зарег. 04.06.2009.
Кацюба Олег Алексеевич
доктор технических наук, профессор,
заведующий кафедрой мехатроники
в автоматизированных производствах,
Самарский государственный
университет путей сообщения
Katsyuba Oleg Alekseevich
Doctor of engineering sciences, professor,
head of sub-department of mechatronics
in automated ptoduction, Samara State
University of Communication Lines
E-mail: asoiy@samiit.ru
Карпов Андрей Анатольевич
аспирант, Самарский государственный
университет путей сообщения
Karpov Andrey Anatolyevich
Postgraduate student, Samara State
University of Communication Lines
E-mail: forkontakte@ya.ru
Тимонин Денис Викторович
аспирант, Самарский государственный
университет путей сообщения
Timonin Denis Viktorovich
Postgraduate student, Samara State
University of Communication Lines
E-mail: deti-13@yandex.ru
УДК 519.254
Кацюба, О. А.
Параметрическая идентификация нелинейных динамических систем класса Гаммерштейна при наличии помех, наблюдаемых в выходных сигналах в условиях априорной неопределенности / О. А. Кацюба,
А. А. Карпов, Д. В. Тимонин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. – 2011. – № 2 (18). – С. 92–103.
103
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
378 Кб
Теги
22968
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа