close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

u1859310 docs 124a2823021f mmt0403

код для вставкиСкачать
Введение
вматематическоемоделирование
транспортныхпотоков
ПодредакциейА.В.Гасникова
ДопущеноУчебно-методическимобъединением
высшихучебныхзаведенийРоссийскойФедерации
пообразованиювобластиприкладныхматематикиифизики
вкачествеучебногопособиядлястудентоввузовпонаправлению
«
Прикладныематематикаифизика
»
Москва
ИздательствоМЦНМО
2012
УДК519.1,519.2,519.6,519.8(075)
ББК22.1я73
В24
Авторы:А.В.Гасников,С.Л.Кленов,Е.А.Нурминский,Я.А.Холодов,
Н.Б.Шамрай.Приложения:М.Л.Бланк,Е.В.Гасникова,А.А.Замятин
иВ.А.Малышев,А.В.Колесников,Ю.Е.НестеровиС.В.Шпирко,
А.М.Райгородский
Рецензенты:
Лабораторияволновыхпроцессовмеханико
-
математическогофакульте
-
таМГУим.М.В.Ломоносова(зав.лаб.проф.Н.Н.Смирнов,зам.декана
мехматаМГУ);
к.ф.
-
м.н.В.И.Швецов(ИнститутсистемногоанализаРАН)
НаучныйконсультантакадемикА.А.Петров
В24Введениевматематическоемоделированиетранспорт
-
ныхпотоков:Учебноепособие
/
А.В.Гасниковидр.Подред.
А.В.Гасникова.
—
М.:МЦНМО,2012.
—
???с.
ISBN978
-
5
-
94057
-
???
-
?
Излагаетсяматематическийаппаратинекоторыефизическиеконцепции,кото
-
рыемогутпригодитьсяприсоздании(модернизации)комплекснойинтеллектуальной
транспортнойсистемы(КИТС).Предназначенодлястудентовстаршихкурсови
аспирантовфизико
-
математическихспециальностей(МФТИ,МГУ,Независимого
московскогоуниверситета).Рекомендуетсятакженаучнымработникам,интересую
-
щимсявопросамиматематическогомоделирования.
ББК22.1я73
ISBN978
-
5
-
94057
-
???
-
?
©А.В.Гасников,С.Л.Кленов,Е.А.Нурминский,
Я.А.Холодов,Н.Б.Шамрай.Приложения:
М.Л.Бланк,Е.В.Гасникова,А.А.Замятин
иВ.А.Малышев,А.В.Колесников,Ю.Е.Нестеров
иС.В.Шпирко,А.М.Райгородский,2010
©МЦНМО,2012
Оглавление
Предисловиекновомуизданию........................6
Предисловие....................................7
Введение......................................14
Глава1.Исследованиетранспортныхпотоковспомощьютеории
экономическогоравновесия......................20
Введение.....................................20
1.1.Задачатранспортногоравновесия....................21
1.1.1.Моделированиетранспортныхпотоковкакзадачапринятияре
-
шений................................21
1.1.2.Формализацияпроблемы.....................23
1.1.3.Сведениеквариационномунеравенству.............25
1.1.4.Разрешимостьзадачтранспортногоравновесия.........28
1.1.5.Симметричныезадачитранспортногоравновесия........31
1.2.Построениефункцийтранспортныхзатрат...............32
1.2.1.Аддитивныефункциизатрат....................33
1.2.2.Неаддитивныефункциизатрат..................35
1.2.3.Модельстационарнойдинамики.................36
1.3.Соотношениемеждусистемнымоптимумомиконкурентнымравнове
-
сием.....................................38
1.4.Численныеметодырешениязадачтранспортногоравновесия.....44
1.4.1.Проективныеметодырешениязадачитранспортногоравновесия45
1.4.2.Декомпозицияпроективныхметодовдляпоискаравновесных
потоков...............................47
1.4.3.Проективныйметодсгенерациеймаршрутов..........48
1.4.4.Ступенчатаярегулировкашагапроективногометода......51
1.5.Построениематрицыкорреспонденций.................54
1.5.1.Гравитационнаямодель......................54
1.5.2.Энтропийнаямодель........................56
1.5.3.Связьмеждугравитационнойиэнтропийноймоделями....60
1.6.Парадоксытранспортногоравновесия..................61
1.6.1.ПарадоксБрайеса.........................61
1.6.2.Транспортно
-
экологическиепарадоксы.............64
1.7.Практическаяработа...........................68
Литература...................................71
4
Глава2.Математическиемоделитранспортныхпотоков.......75
2.1.Макроскопическиемодели........................75
2.1.1.МодельЛайтхилла
—
Уизема
—
Ричардса(LWR)........75
2.1.2.МодельТанака...........................85
2.1.3.МодельУизема...........................86
2.1.4.МодельПэйнаиеёобобщения..................95
2.1.5.Кинетическиемодели........................100
2.1.6.Практическиеприложениямоделей................101
2.2.Микроскопическиемодели........................103
2.2.1.МодельоптимальнойскоростиНьюэлла.............104
2.2.2.Модельследованиязалидером
«
ДженералМоторс
»
.....109
2.2.3.Модель
«
разумноговодителя
»
Трайбера.............110
2.2.4.Моделиклеточныхавтоматов...................113
2.3.Модельныезадачи.............................119
2.3.1.Эволюцииглобальногозаторавтранспортномпотоке,описы
-
ваемоммоделямиLWRиУизема.................119
2.3.2.Эволюциилокальногозаторавтранспортномпотоке,описыва
-
емоммоделямиLWRиУизема..................134
2.3.3.Задачаосветофоре(прикакихусловияхпередсветофоромне
будетскапливатьсяочередь)...................141
2.4.ТеорияКернера
—
Конхойзерадвижущихсялокальныхкластеров
вмоделях
«
ДженералМоторс
»
-
класса.................143
2.4.1.Фундаментальныеэмпирическиесвойствапереходаотсвобод
-
ноготранспортногопотокакплотномуимоделитранспортного
потока................................144
2.4.2.Характеристическиепараметрыширокогодвижущегосякластера147
2.4.3.ЛинияJКернера..........................150
Литература...................................152
Глава3.ТеорияКернератрехфазвтранспортномпотоке
—
новый
теоретическийбазисдляинтеллектуальныхтранспортныхтехнологий163
3.1.Трифазытранспортногопотока.....................165
3.2.Свободныйтранспортныйпоток
—
фазаF...............166
3.3.Плотныйтранспортныйпоток......................166
3.4.ОпределениефазJиSвплотномтранспортномпотоке.......167
3.5.Возникновениеплотногопотока(trafficbreakdown)
—
F
→
Sфазовый
переход...................................169
3.6.Бесконечноечислопропускныхспособностейскоростнойавтомаги
-
страли....................................173
3.7.Широкиедвижущиесякластеры(локальныедвижущиесязаторы)
—
фазаJ....................................176
3.8.Синхронизованныйтранспортныйпоток
—
фазаS...........177
3.9.S
→
Jфазовыйпереход..........................178
3.10.Неоднородныепространственно
-
временныеструктурытранспортного
потока,состоящиеизфазSиJ.....................179
5
3.11.СтохастическиемоделиврамкахтеориитрехфазКернера......181
3.11.1.Стохастическаямикроскопическаятрехфазнаямодельтранс
-
портногопотока..........................181
3.11.2.Моделированиесвойствпространственно
-
временныхструктур
втранспортномпотокевблизивъезданаскоростнуюавтома
-
гистраль...............................186
3.11.3.Трехфазнаямодельклеточныхавтоматовдлятранспортногопо
-
тока(ККВ
-
модель).........................189
3.11.4.Новаятрехфазнаямодельклеточныхавтоматовдлятранспорт
-
ногопотока(ККШ
-
модель)....................190
3.12.ПрименениетеориитрехфазКернерадляинтеллектуальныхтранс
-
портныхтехнологий............................192
Литература...................................193
Приложения....................................199
М.Л.Бланк.Процессысзапретамивмоделяхтранспортныхпотоков..199
Е.В.Гасникова.Овозможнойдинамикевмоделирасчетаматрицыкор
-
респонденций..................................224
А.А.Замятин,В.А.Малышев.Введениевстохастическиемодели
транспортныхпотоков.............................247
А.В.Колесников.Транспортнаязадачаиконцентрация..........281
Ю.Е.Нестеров,С.В.Шпирко.Стохастическоетранспортноеравновесие291
А.М.Райгородский.Моделислучайныхграфовиихприменения....302
Задачи.......................................326
Исследовательскиевычислительныезадачи,предлагавшиесяв2011г..358
Предисловиекновомуизданию
В2010г.виздательствеМФТИнебольшимтиражом(250экз.)вышла
нашакнига
«
Введениевматематическоемоделированиетранспортныхпо
-
токов
»
.Книгаоказаласьдовольновостребованнойипрактическисразу
сталабиблиографическойредкостью.Предложениеоподготовкенового
изданияпоступилокнамотИ.В.ЯщенкоиВ.В.Фуриналетом2011г.
вовремяЛШСМ
-
2011.Наэтойзамечательнойлетнейшколемыкакраз
рассказывалипродвинутымшкольникамрядсюжетовизпервогоиздания
книги.Вновомизданиибылаучтена
«
обратнаясвязь
»
отшкольников
ЛШСМ
-
2011иотстудентов,слушавшиходноименный(сназваниемкни
-
ги)курслекцийввесеннемсеместре2011г.вНезависимоммосковском
университете.
Посравнениюспрошлымизданиемвновомизданиибылизначитель
-
нопополненыматериалыглавы1,главы3,приложенияМ.Л.Бланка,
Е.В.Гасниковой,А.М.Райгородского.Небольшиеизменениябыливне
-
сеныивдругиечасти.Завремя,прошедшеесмоментавыходапервого
издания,кнамобращалисьзаконсультациямиповопросамматематиче
-
скогомоделированиятранспортныхпотоковразнообразныеорганизации.
Большинствозадач,покоторымтребоваласьконсультация,имелиинте
-
реснуюнаучнуюсоставляющую.Поэтомубылорешеновключитьвновое
изданиерядтакихисследовательскихвычислительныхзадач,знакомство
скоторыми,нанашвзгляд,значительноспособствуетлучшемуусвоению
основногоматериала.
Нельзянеотметитьбольшойтрудредакционногохарактера,затрачен
-
ныйприподготовкепервогоизданияВ.Н.Тарасовым,В.А.Дружининой,
И.А.Волковой,О.П.Котовой,Л.В.Себовой.Всемиммывыражаемглу
-
бокуюблагодарность.
МытакжеблагодаримТорховаЮрияНиколаевича,способствовавше
-
говыходунастоящегоиздания.
РаботаподдержанагрантомРФФИ.
А.В.Гасников(
avgasnikov@gmail.com
)
доц.кафедрыМОУФУПММФТИ
5декабря2011г.
Предисловие
Идеянаписанияэтогопособияпринадлежитдекануфакультетауправ
-
ленияиприкладнойматематики(ФУПМ)МФТИпрофессоруАлександру
АлексеевичуШананину.Болеедвухлетназадонпредложилначатьчитать
нафизтехекурсповыбору
«
Введениевматематическоемоделирование
транспортныхпотоков
»
,некоторыедеталикоторого(глава2)ктомумо
-
ментуужеобсуждалисьвтечениенесколькихлетнасеминаре
«
Квазили
-
нейныеуравненияиобратныезадачи
»
вВЦРАНподегоруководством.
1)
Основнаяцелькурсазаключаласьвтом,чтобыпознакомитьзаинтересо
-
ванныхстудентов
-
старшекурсниковиаспирантовфизико
-
математических
специальностейсматематикой,необходимойдлярешения,например,таких
задач:
•
эволюциязатора(какбудетраспространятьсяинформацияозаторе
потранспортномупотоку),
•
задачаосветофоре(прикакихусловияхпередсветофоромнебудет
скапливатьсяочередь),
•
задачаовыбореоптимальнойтопологиитранспортнойсети(гдеика
-
куюдорогу
«
лучше
»
строить),
•
расчетматрицыкорреспонденцийираспределенияпотоков,
•
задачаонадежностиграфатранспортнойсети.
Курссодержалдополнительныеглавыследующихдисциплин:
•
уравненийматематическойфизики(обобщенныерешениязаконов
сохранения,групповойанализ,автомодельнаяредукция,принципы
максимумадляквазилинейныхпараболическихуравнений);
•
теориивероятностейислучайныхпроцессов(аппаратпроизводящих
функций,системымассовогообслуживания,концентрациямеры,ис
-
следованиеасимптотикспомощьюметодаперевала);
•
функциональногоанализа(сжимающиеотображения,монотонные
операторы,конусныеметоды);
1)
Здесьтакжехотелосьбыобратитьвниманиенатуогромнуюроль,которуюсыгралзав.
кафедройвычислительнойматематикиМФТИчлен
-
корреспондентРАНА.С.Холодовво
внедренииэтойтематикивобразовательныйпроцесснаФизтехе.Занескольколетдотого,
какбылпоставленупомянутыйкурс,АлександрСергеевичужечиталлекциюпогидродина
-
мическиммоделямтранспортногопотокаврамкахсвоегосеместровогокурсадлястудентов
ФУПММФТИ
«
Нелинейныевычислительныепроцессы
»
.ЭнтузиазмАлександраСергеевича
«
зажег
»
тогдамногих(инетолькостудентов).Отметимтакже,чтос2005годаВ.И.Швецов
ведёткурс
«
Математическиемоделитранспортныхпотоков
»
длястудентовФУПММФТИ
набазовойкафедреИнститутасистемногоанализаРАН.
8Предисловие
•
теориидинамическихсистем(методыфункционаловЛяпунова)иэр
-
годическойтеории(концентрацияинвариантноймеры,элементыста
-
тистическойфизики);
•
кинетическойтеории(уравненияКолмогорова,социодинамика,ди
-
намикасистемсмотивацией,самоорганизация);
•
теорииигр(эволюционныеигры:равновесиеНэшакакустойчивое
положениеравновесиядинамикинаилучшихответов);
•
оптимизациивконечномерныхибесконечномерныхпространствах
(принципЛагранжа,двойственность,отделимость,принципБелл
-
мана,элементытеорииуправления);
•
дискретнойматематики(задачинаграфахиэффективные(прибли
-
женные,вероятностные)алгоритмыихрешения);
•
численныхметодоввыпуклойоптимизации(прямо
-
двойственныеме
-
тоды,стохастическиесубградиентныеметодыдлязадачогромной
размерностиидр.).
Настоящеепособиепредставляетсобойпопыткусвязнопреподнести
какматериалыпрочитанныхкурсов,такивцеломматематическийап
-
паратинекоторые
«
физическиеконцепции
»
,которыемогутпригодиться
присоздании(модернизации)комплекснойинтеллектуальнойтранспорт
-
нойсистемы(КИТС).Оважноститакойсистемыв
«
борьбеспробками
»
(вМоскве)быломногосказанозапоследнеевремя.
Посути,речьидетотом,какоптимальнымобразомиспользоватьиме
-
ющуюсяинформацию.Например,вМосквесейчасустановлено(воснов
-
номнакрупныхперекрестках)вобщейсложностиболее500видеокамер
инесколькотысячразличныхдетекторов.Порядка10
5
автомобилей
1)
,
курсирующихпоМосквеиобласти,оснащеныGPS
-
навигаторами,что
позволяетполучатьтреки(путиследования)автомобилейсинформацией
оскоростяхдвижениявдольэтихтреков.Заметим,чтовсеговМоскве
ежедневнобываетболее4
10
6
автомобилей.
СозданиеКИТСнаосновеимеющихсяданныхпредполагаетвыполне
-
ниеследующихдействий.
•
Выработкуадекватной(имеющимсяданным
2)
)математическоймо
-
дели,описывающейтранспортныйпоток.Например,можновнеплохом
приближенииуподоблятьтранспортныйпотоксжимаемойжидкостисмо
-
тивациейииспользоватьгидродинамическиемодели(илимоделиклеточ
-
ныхавтоматов).Калибровкатакихмоделейнапрямолинейныхучастках
1)
Еслиговоритьосеченииповремени,тотакихавтомобилейнадорогахбудетнапорядок
меньше.
2)
Важноподобратьмодель,адекватнуюимеющимсяданным,дабы
«
незабиватьмикроско
-
помгвозди
»
.
Предисловие9
дороги(ребрахграфатранспортнойсети)довольнопростоосуществляется
исходяизимеющейсяинформации.
•
Дляпостановкиначально
-
краевыхусловий:описаниехарактеристик
источниковистоковавтомобилей,узловграфатранспортнойсети(пере
-
крестки,въезды,съездыит.п.)
—
такжетребуетсяработаснакопленными
данными.Врезультатетакойработыполучаетсяматрицакорреспонденций,
наосновеэтойматрицырассчитываютсяраспределенияпотоков,азатем
иматрицыперемешиваниявузлахграфатранспортнойсети.Нанаш
взгляд,адекватнаяпостановканачально
-
краевыхусловий
—
этооднаиз
самыхсложныхтекущихзадач.Инаметкиприведенногоздесьпути
—
далеконеединственныйспособполучениякраевыхусловий.
•
Откалиброваннаямодельможетиспользоватьсядлялокального(по
времени)управлениянаосноветекущейинформации,например,светофор
-
нойсигнализацией(въездаминакрупныемагистрали).Возникающиездесь
задачисвязанысуправлениемсложными(гибридными)динамическими
системамивусловияхнеопределенности.Такоелокальноеуправлениепоз
-
волитнесколькоразгрузитьскладывающуюсянадорогахвданныймомент
ситуацию(правильнымобразомраспределяяресурсытранспортнойсети
междуеепользователями).Например,вКалифорнииколлектив,работаю
-
щийвБерклиивозглавляемыйП.ВарайяиА.Б.Куржанским,предложил
нескольколетназадспособлокальногоуправлениявъездаминаосновные
магистрали.Этопривелоктому,чтодлясреднестатистическоговодителя
времявпутиуменьшилосьна30%.
•
Помимозадачлокальногоуправленияимеютсязадачидолгосроч
-
ногоуправления.Гдеикакуюдорогуследуетпостроитьпризаданных
бюджетныхограничениях?Какимобразом(вкакомразмере)взиматьплату
запроездстрассвцентреМосквы?
1)
Накакихтрассахстоитвпервую
очередьувеличиватьчислополос?Гдестоитвпервуюочередьпеределы
-
ватьразвязкиилиделатьновые(вчастности,решатьвопрос:авыгодноли
увеличиватьстепеньнепланарностиграфатранспортнойсети)?Этизадачи,
такжекакизадачипредыдущегопункта,должнырешатьсядлявсей
сетивцелом(нелокальнопопространству!).Иначеговоря,сумматорные
функционалыкачествакритериевдолжнывсебявключатьвсехучастников
дорожногодвижения.Понятно,чтодлярешенияэтихзадачдостаточно
просматриватьразличныесценарии(втомчислепредложенныеруковод
-
ствомгорода)спомощьювыработаннойиоткалиброванноймоделина
предметихсостоятельности,путем(разумного)переборавыбиратьлучшие
предложенияпоразгрузкеситуациинадорогах.
1)
Нужнанекая
«
золотаясередина
»
:соднойстороны,платазапроезддолжнаразгрузить
этитрассы,сдругой
—
желательно,чтобыпропускныересурсытрассиспользовалисьпо
максимуму.
10Предисловие
Рис.1.ТранспортныйзаторнаоднойизулицМосквы
Некоторыерассмотренныевпособиизадачиимеюттакжеикоммерче
-
скийвыход.Например,актуальнойвпоследнеевремязадачей
1)
является
задачамаршрутизации:выбороптимального(кратчайшего)маршрута
следования.Понятно,чтоеслисчитатьвесареберграфатранспортной
сетиизвестнымиинеменяющимисясовременем,тоэтазадачадовольно
эффективнорешается.Нонапрактикедалеконевсегдавсенужныевеса
ребербываютизвестными.Взависимостиотвременисутокситуацияна
дорогахможеткардинальноменяться,поэтомувозникаетнеобходимость
прогнозированиязагрузкиэлементовсети.Примеромтакихизменений
служитобразованиезаторовв
«
часыпик
»
—
закороткийпромежуток
временидвижениеможетбытьпрактическипарализованодаженамно
-
гополосныхмагистралях(рис.1).
Несмотрянаотмеченнуюактуальностьприведенныхвышезадач,еще
разподчеркнем,чтовпособииизложенвосновномлишьматематический
аппаратинекоторыефизическиеконцепции,которыемогутпригодиться
дляихрешения.Важнотакжезаметить,чтоформатпособиянепред
-
полагалвключениятехническисложныхвещей,обремененныхбольшим
количествомдеталей.Темнеменееповозможностимыстаралисьхотябы
наконцептуальномуровнеразъяснятьпрактическивсеосновныенюансы.
Какследствие,пособиевобраловсебядовольномногоматериала(ко
-
торыйнеудавалосьрассказатьстудентамменьшечемзагод),ивходе
егоподготовкибылоиспользованоболее500литературныхисточников,
многиеизкоторыхвпоследствиибылорешенопривестивпособии.По
-
1)
Еерешениеможетбытьинтересно,например,НИСГЛОНАСС,ЗАО
«
Российскиена
-
вигационныетехнологии
»
,различныминтернет
-
службам,следящимзапробкаминадорогах
икомпаниям,производящимКПК
-
навигаторы(свыходомвинтернет)дляавтомобилей.
Предисловие11
следнееобстоятельствотакженехарактернодляучебныхпособий,нопри
выбранномуровнедетализациииобъемеизлагаемогоматериалавполне
уместно.
Вомногомопределяющиммоментомвсозданииэтогопособиястало
участиевегонаписаниирядомведущихспециалистоввсвоихобластях.
Так,глава1пособиянаписанапрофессоромЕ.А.Нурминскимидоце
-
томН.Б.Шамрай(ИАПУДВОРАН)ипосвященаприменениютеории
бескоалиционногоравновесиядлярасчетатранспортнойсетиприусловии
стационарностипотоковимоделямпостроенияматрицыкорреспонденций.
Внаписанииглавы2,посвященнойматематическиммоделямтранспорт
-
ныхпотоков,принялитакжеучастиедоцентС.Л.Кленов(кафедраобщей
физикиМФТИ)идоцентЯ.А.Холодов(кафедравычислительнойматема
-
тикиМФТИ).Глава3,посвященнаятеориитрехфазКернератранспорт
-
ногопотока,всецелонаписанаС.Л.Кленовым(коллегойБ.С.Кернера)
исодержиткакупомянутыевышефизическиеконцепции,такипримеры
эмпирических(измеренных)пространственно
-
временныхструктурплотно
-
гопотоканаскоростныхавтомагистралях.Какпоказалаобратнаясвязь
состудентами,слушавшимиупомянутыйвышекурсповыбору,востребо
-
ваннымиоказались
«
стохастические
»
приложениядоцентаА.А.Замятина
ипрофессораВ.А.Малышева(кафедратеориивероятностеймехмата
МГУ)ипрофессораА.М.Райгородского(кафедраматематическойста
-
тистикиислучайныхпроцессовмехматаМГУ,кафедраанализаданных
МФТИ).Важнуюрольвпособиииграютэргодическиеприложения
профессораМ.Л.Бланка(лабораторияР.Л.ДобрушинаИППИРАН),
аспирантаЕ.В.Гасниковой(кафедраанализасистемирешенийФУПМ
МФТИ)иприложениед.ф.
-
м.н.А.В.Колесникова(Высшаяшколаэко
-
номики),посвященноесвязизадачиМонжа
—
Канторовичаоперемещении
массиявленияконцентрациимеры.Этитриприложения,помимотого
чтопредставляютсамостоятельнуюценность,такжезавязывают(мате
-
матически)междусобоймногиетемыэтогопособия.Другимисловами,
знакомствоснимижелательнодляформированияцелостноговосприятия.
Вконцеучебногопособияприведенызадачи,частьизкоторыхвразное
времяпредлагаласьстудентам.Приподготовкезадачбольшуюпомощь
оказалимолодыеученые,работающиевблизкихнаправлениях.Впо
-
собииимеетсяцелыйразделзадач(написанныйассистентомкафедры
МОУФУПММФТИЕ.Г.Молчановым),посвященныйзадачамнагра
-
фахи,посути,восполняющийнехваткувпособиитемы
«
Транспортные
потокииComputerScience
»
.Вэтомжеразделеприводитсядовольно
интереснаязадача,пришедшаяизпрактическихприложенийотслужбы
«
Яндекс.Пробки
»
.
Конечно,представленныйвпособииматериалдалеконеполонинемо
-
жетрассматриватьсякакstateoftheartрассматриваемойобластизнаний.
12Предисловие
Причинапроста
—
колоссальныйобъемнакопившегосянаданныймомент
материала,посвященноготранспортнойпроблематике.Достаточноска
-
зать,чтосейчасвмиресуществуютдесяткиреферируемыхнаучныхжурна
-
лов,вкоторыхрегулярнопубликуютсяматериалынатранспортнуютема
-
тику.Упомянемлишьнекоторыеизних:TransportationResearchB,Physical
ReviewE,Reviewofmodernphysics,TransportationScience,неговоряуже
обэлектронныхресурсах,таких,например,как
http://arxiv.org/
.Разв
двагодапроводитсякрупнейшаявтранспортномсообществеконференция
поматематическомумоделированиютранспортныхпотоковисмежным
вопросам:
«
Trafficandgranularflow
»
,трудыкоторойпубликуетизвестное
немецкоеиздательствоSpringer.Кстати,в2011г.этаконференциявпер
-
выепрошлавМоскве(см.
http://tgf11.ru
).Четвертыйномержурнала
«
ТрудыМФТИ
»
за2010г.подредакциейвице
-
президентаРАНакадеми
-
каВ.В.Козловавсецелопосвящентранспортнойпроблематике.Однако,
несмотрянавышесказанное,мывсежепостаралисьсобратьнаиболее
базовые(математически)вещиипривестисоответствующий(математиче
-
ский)stateoftheart,посколькусчитаемэтополезнымдлячитателя.
Взаключениехотелосьбывыразитьблагодарностьпрофессо
-
руА.А.Шананину,академикуВ.В.Козлову,академикуА.А.Петрову,
члену
-
корреспондентуА.С.Холодову.Общениеиучастиевмеропри
-
ятиях,ккоторымониимелиотношения,всегдадоставлялобольшое
удовольствиеииногдавдохновлялонаулучшениематериаладанной
книги.Ценнуюобратнуюсвязьприподготовкеэтогопособияполучал
отпрофеччораА.П.БуслаеваидоцентаО.С.Розановой,атакжеот
всехколлег,принимавшихучастиевегонаписании.Многополезных
замечанийповсемутекстусделалсамыйактивныйслушателькур
-
са
—
Ю.В.Дорн(студент6
-
гокурсаФАКИМФТИ).Рядценных
замечанийпотемам,изложеннымвпособии,сделалиС.Я.Аввакумов,
В.И.Аркин,Л.Г.Афанасьева,П.П.Бобрик,А.С.Бугаев,Е.В.Булин
-
ская,А.М.Валуев,Н.Д.Введенская,В.В.Веденяпин,И.Е.Виноградов,
К.А.Волосов,А.И.Голиков,А.Н.Дарьин,К.Дафермос,А.В.Дмитрук,
В.А.Дружинина,В.Г.Жадан,А.В.Казейкина,Б.С.Кернер,А.В.Коз
-
лов,В.Ф.Колчин,Н.С.Кукушкин,А.Г.Куликовский,А.А.Куржан
-
ский,Г.Л.Литвинов,И.А.Лубашевский,И.С.Меньшиков,В.Д.Миль
-
ман,И.И.Морозов,А.И.Назаров,А.С.Немировский,В.П.Осипов,
Е.Ю.Панов,Д.И.Петрашко,Н.С.Петросян,С.А.Пирогов,В.М.Пол
-
терович,Б.Т.Поляк,Ю.С.Попков,И.Г.Поспелов,В.Ю.Протасов,
В.В.Пухначёв,В.Н.Разжевайкин,И.В.Рублев,А.Н.Рыбко,В.Ж.Сак
-
баев,А.Ю.Семёнов,Д.Серр,Н.Н.Смирнов,А.Н.Соболевский,
Е.О.Степанов,Н.Н.Субботина,В.Н.Тарасов,С.П.Тарасов,Г.М.Хен
-
кин,Б.Н.Четверушкин,Ю.В.Чехович,А.П.Чугайнова,С.В.Чуканов,
Предисловие13
В.М.Шелкович,А.Шень,В.И.Швецов,М.В.Яшина.Ценнымбыло
общениесакадемикомА.Б.Куржанским.
Особохотелосьбыпоблагодаритьзав.кафедройматематическихоснов
управления(МОУ)МФТИдоцентаС.А.Гузаизам.зав.кафедройМОУ
доцентаО.С.Федько,создавшихидеальныеусловиякакдляпроведения
занятий,такидлясозданияпособия,регулярностимулировавшихвесь
процесснаписанияивнимательноотносившихсяковсемособенностям
работы.
А.В.Гасников(
avgasnikov@gmail.com
)
доц.кафедрыМОУФУПММФТИ
12ноября2010г.
Введение
В50
-
егодыпрошлоговека,всвязисисследованиямипроцессов,
возникающихпривзрывебомбы,наблюдалосьбурноеразвитиегазовой
динамики(обобщенныерешениязаконовсохранения,устойчивыеразност
-
ныесхемырасчетарешений).Тогдажепоявилисьпервыемакроскопи
-
ческие(гидродинамические)модели,вкоторыхтранспортныйпотокупо
-
добляетсяпотоку
«
мотивированной
»
сжимаемойжидкости(М.Лайтхилл
иДж.Уизем,П.Ричардс),ипервыемикроскопическиемодели(следования
залидером),вкоторыхявновыписываетсяуравнениедвижениякаждого
автомобиля(А.Рёшель,Л.Пайпсидр.).ВмоделиЛайтхилла
—
Уизема
(
—
Ричардса)(1955)транспортныйпотокуподобляетсяпотокусжимае
-
мойжидкостииописываетсязакономсохраненияколичества(погонной
плотности)автомобилей.Приэтомвмоделипостулируетсясуществова
-
ниефункциональнойзависимости(уравнениясостояния)междувеличиной
потокаавтомобилей(
=
скорость
×
плотность)иплотностью.Этузави
-
симостьчастоназываютфундаментальнойдиаграммой(какправило,
вогнутаяфункция).Собственно,вэтузависимостьи
«
зашита
»
мотивация
впростейшихмоделях.
Впоследующиегодыклассмикро
-
имакромоделейбылзначительно
расширен.Всовременноммакроскопическомподходе(А.ЭуиМ.Раскль,
2000)транспортныйпотокчастоописываетсянелинейнойсистемойги
-
перболическихуравнений(дляплотностиискоростипотока)сдиффузией
(Х.Пэйн,Р.Кюне,Б.КернериП.Конхойзер).Приэтомуравнениесо
-
стояния
«
зашивается
»
вовтороеуравнениеэтойсистемыкакстремление
водителейдвигатьсясжелаемойскоростью.
Всовременноммикроскопическомподходепреобладаютмоделити
-
па
«
разумноговодителя
»
,вкоторыхускорениеавтомобиляописывает
-
сянекоторойфункциейотскоростиэтогоавтомобиля,расстояниядо
впередиидущегоавтомобиля(лидера)искоростиотносительнолидера
(М.Трайбер,1999).Приэтомвтакихмоделяхивремяможеттечьдискрет
-
но,исамадинамикадвиженияавтомобилейможетбытьстохастической
(марковской).Какправило,тогдатакиемоделиназываютмоделямикле-
точныхавтоматов.ВприложенииМ.Л.Бланкапродемонстрирован
одинизспособовтого,какспомощьюпростейшихмоделейклеточ
-
ныхавтоматовможнополучать(математическистрого)правдоподобные
Принаписаниинастоящеговведения,носящегообзорныйхарактер,многоебылозаим
-
ствованоизтекставведенияакадемикаВ.В.Козловакспециальномувыпуску(№4,2010)
журнала
«
ТрудыМФТИ
»
.
Введение15
макроскопическиеуравнениясостояниятранспортногопотока(например,
треугольнуюфундаментальнуюдиаграмму).
Продолжаяаналогиюсгазовойдинамикой,И.Пригожинполвеканазад
(азатемС.Павери
-
Фонтана,Д.Хельбингидр.)предложилописывать
транспортныйпотоккинетическимуравнением(типаБольцманас
«
ин
-
теграломвзаимодействияавтомобилей
»
вместо
«
интеграластолкновения
частицгаза
»
).Притакомподходемакроскопическаямодельполучаетсяиз
кинетическойподобнотому,каксистемауравненийЭйлераполучаетсяиз
уравненияБольцмана.
Отметимввидувышесказанного,чтозадачаматематическистрогого
обоснованиякинетическоймодели,исходяизмикроскопической,также
какизадачаобоснованиямакроскопическоймодели,исходяизкине
-
тической,являетсяоткрытой.Болеетого,врежимах,соответствующих
«
фазовомупереходу
»
втранспортномпотоке,такоеобоснование,по
-
видимому,принципиальноневозможно:нельзяосуществитьсоответству
-
ющийскейлинг,нельзяперейтикдинамикесредних,нельзяпользоваться
эргодичностьюсистемы(инвариантнаямеранеединственна),неясно,как
обрывать(замыкать)моментнуюцепочкузацепляющихсяуравнений.Вта
-
кихрежимахможнолишьнестрогоговоритьопохожестимоделей.
Несмотрянаточтосмоментапоявленияпервыхфундаментальных
работпрошлоболееполувека,помнениюрядаизвестныхспециалистов
вобластиматематическогомоделированиядорожногодвижения(К.На
-
гель,Х.Махмасани,М.Шрекенбергидр.),проблемаобразованияпред
-
заторныхизаторныхситуацийещедоконцанеизучена(исроднипроблеме
описаниятурбулентныхтечений).Используятерминологию,предложенную
Б.С.Кернером,можносказать,чтонаданныймоментнетобщепринятого
подхода,описывающегоповедениедвиженияавтотранспортавобласти
синхронизированногопотока.Иначеговоря,еслиавтомобильныйпоток
уподобляетсяжидкости,тонаиболеесложнаядлямоделированияси
-
туация
—
этозамерзающаяжидкость.Подтверждениемвышесказанному
можетслужитьтотфакт,чторазныеколлективы,занимающиесямо
-
делированиемтранспортныхпотоков,какправило,используютразные
модели:начинаяотмоделиЛайтхилла
—
Уизема(А.А.Куржанскийидр.),
заканчиваямоделями,вкоторыхкаждыйводительхарактеризуетсясвоим
вариационнымпринципом(И.А.Лубашевскийидр.).Отметимздесьгла
-
ву3,вкоторойприводится
«
эмпирическийбазис
»
,т.е.даютсясвойства
реальныхпространственно
-
временныхструктур,возникающихвплотном
транспортномпотокевблизи
«
узкогоместа
»
,
1)
дляанализаразличных
1)
Заметим,что,какправило,исследователиограничиваютсяизучениемтранспортного
потоканаотдельномпрямолинейномучасткетранспортнойсетиспростейшиминачально
-
краевымиусловиями,втовремякакпричинойзаторов(согласноК.Даганзо)частоявляются
«
узкиеместа
»
(перекрестки,въезды).
16Введение
подходовкописаниютранспортногопотока.Важныматрибутоммногих
современныхзарубежныхработ,вкоторыхпредлагаютсяматематические
моделитранспортногопотока,являетсяпроверкапредложенныхмоделей
навозможностьописанияимитрехфазКернератранспортногопотока,
наблюдаемыхвмногочисленныхэмпирических(измеренных)данных.
Математическаятеорияуправлениятранспортнымипотоками,какуже
упоминалосьвыше,сейчасактивноразвиваетсявработахкалифорнийской
школы,возглавляемойП.ВарайяиА.Б.Куржанским.Исходяизмодели
клеточныхавтоматовК.Даганзо(1994),которуюможнопредставлятькак
«
схемаГодунова
+
модельЛайтхилла
—
Уизема
+
треугольнаяфунда
-
ментальнаядиаграмма
»
,предлагаетсяспособоптимальногоуправления
светофорамиивъездаминамагистраляхвКалифорнии.Здесьстоитоб
-
ратитьвниманиенасоизмеримостьгрубостивыбранноймодели,качества
имеющихсяданных(см.,например,
http://pems.eecs.berkeley.edu
)
ипростотыработысэтоймоделью.Пояснимосновнуюидеютого,как
следуетуправлять.Изфундаментальнойдиаграммыследует,чтоодному
итомужезначениюпотокаавтомобилейсоответствуютразные(какпра
-
вило,две)плотностии,какследствие,разныескорости.Очевидно,что
болеевыгоднымрежимомявляетсярежимсбольшейскоростью.Задача
управления(скажем,светофорамииливъездаминаосновныемагистрали)
заключаетсявтом,чтобыбольшуючастьвременисреднестатистический
водительпроводилименновтакихрежимах.
Подробнееобизложенномвышеможнопрочитатьвглавах2и3.
Из
-
засильнойнеустойчивостирешенийуравнений(придостаточно
большихплотностях),описывающихтранспортныепотоки,задачаполу
-
чениядостоверногопрогнозазагрузкитранспортнойсетипоимеющимся
даннымначасвпередсроднизадачеполучениядостоверногопрогноза
погодынанеделювперед.Приэтомвычислительныемощностисовремен
-
ныхвысокопроизводительныхкластеров(триллионивышеоперацийтипа
умножениячиселсплавающейточкойвсекунду)позволяютпросчитывать
реальнуюситуациюпоМоскве(вкоторой,напомним,порядкатрехмил
-
лионовавтомобилей)созначительнымопережениемреальноговремени.
Другимисловами,основнойпроблемойпримоделированиитранспортных
потоковявляетсянеограничениеповычислительныммощностям(ресур
-
сампамяти),абольшаячувствительностьописываемойреальнойтранс
-
портнойсистемыквходнымданным(характеристикиисточниковистоков
автомобилей)иневозможностьсобратьдостаточнополнуюинформацию
овходныхданных.
Однимизвозможныхвыходовизэтогоявляетсярассмотрениевнеко
-
торомсмысле(например,всмыслетеориисистеммассовогообслужи
-
вания)усредненныхпоказателейтранспортнойсистемы.Обгонынамно
-
гополоснойдороге,очередипередсветофорамиимногоедругоеможно
Введение17
описыватьтакимобразом
—
очемговоритсявприложенииА.А.Замятина
иВ.А.Малышева(восновемоделейэтогоприложениялежатэргоди
-
ческиемарковскиепроцессы).Притакомподходеисследовательследит
лишьзатрендоми
«
необращаетвнимания
»
навысокочастотныеслу
-
чайныеколебания(флуктуации),возможнобольшойамплитуды,вокруг
этоготренда.Всвязисупоминаниемсловосочетанияусредненныепока-
зателиотметимздесьтакжеприложениеА.М.Райгородского,вкотором
исследуютсяразличныесвойстваслучайныхграфов(транспортныхграфов,
web
-
графов),например,такоеважноесвойство,какнадежностьграфа
транспортнойсетикслучайнымотказамребер(отказребраозначает,что
наребреобразоваласьпробка).Вэтихприложенияхнаблюдаетсяплотная
концентрацияисследуемыхмакровеличин(макропоказателей)вмаленьких
окрестностяхсвоихматематическихожиданий.Однакоесливприложе
-
нииЗамятина
—
Малышевамера,котораяконцентрируется,порождается
(какфинальная
=
стационарная)эргодическоймарковскойдинамикой,то
вприложенииА.М.Райгородскогооназадаетсянепосредственно,скажем,
изсоображенийнезависимостииоднородности(модельслучайногографа
Эрдёша
—
Реньи).
Взависимостиоттого,какаяконкретнаязадачапоставлена,следует
отдаватьпредпочтениетомуилииномуподходуилидажекакому
-
тоих
сочетанию.
Вернемсятеперьктому,каквсе
-
такиставитьначально
-
краевыеусло
-
виядляцелостногоописаниятранспортногопотоканаполномграфе
транспортнойсети.Будемсчитать,чтоестьлишьинформацияотом,
скольколюдейживетвтомилииномрайонеисколькорабочихместесть
втомилииномрайоне.Вглаве1иприложенииЕ.В.Гасниковойприве
-
деныразличныеспособыобоснованияизвестнойнапрактикеэнтропийной
(гравитационной)моделиА.Дж.Вильсона(1967)расчета(исходяизука
-
занныхвышеданных)матрицыкорреспонденций(скольколюдей,прожи
-
вающихврайонеi,работаютврайонеj).Посути,матрицакорреспонден
-
цийопределяетсякакнаиболеевероятноемакросостояние,вокрестности
которогоибудетплотнаяконцентрация,стационарноймеры
«
разумной
»
эргодическоймарковскойдинамики,порождающейизучаемуюмакроси
-
стему.Точнееговоря,эргодическаямарковскаядинамикаприводитна
большихвременахкстационарной(инвариантной)пуассоновской(слож
-
ной)мере(прямоепроизведениераспределенийПуассона)напространстве
макросостояний.Этамераэкспоненциальнобыстроконцентрируетсясро
-
стомчислаагентоввокрестностинаиболеевероятногомакросостояния,
котороеипринимаетсязаположениеравновесиямакросистемы.Задача
поисканаиболеевероятногомакросостоянияасимптотически(почислу
агентов)эквивалентназадачемаксимизацииэнтропийногофункционала
(можновоспользоватьсяформулойСтирлинга)намножестве(какправило,
18Введение
аффиннойструктуры),заданномограничениями
—
законамисохранения.
Приятнойособенностьютакогоклассазадачявляетсяявная(легковы
-
писываемая)зависимостьрешенияпрямойзадачичерездвойственные
переменные.Посколькучислоограничений,какправило,намногопо
-
рядковменьшечислапрямыхпеременных,тоэффективныечисленные
методыбазируютсянарешениидвойственнойзадачи:минимизациивыпук
-
лойфункции.Отметим,чтоописаннаяздесьзадачаэнтропийнолинейного
программированияимеетмногообщегособычнойтранспортнойзадачей.
Далее,исходяизизвестныхпотребностей(корреспонденций),водители
начинают
«
нащупывать
»
некуюравновеснуюконфигурациюпотоков(кон
-
курентноеравновесие,равновесиеНэша
—
Вардропа(1952)).Понятно,что
корреспонденциянеопределяет,вообщеговоря,однозначнопутьследова
-
ния.Скажем,изФизтехаможнодобиратьсядоМГУразнымиспособами.
Иеслиситуацияравновесная,тоникомунедолжнобытьвыгодноме
-
нятьсвойпутьследования
—
стратегию(ситуацияравновесияпоНэшу).
Этоозначает,чтовременадвиженияповсемпутям,которыехотькто
-
нибудьвыбрал,соответствующимданнойкорреспонденции,должныбыть
одинаковыми.Отом,какпроисходит
«
нащупывание
»
равновесия,какие
естьобобщенияуэтоймоделиикакиеестьчисленныеспособырешения
возникающихпоходузадачоптимизации,написановглаве1ивзада
-
че,предложеннойЕ.В.ГасниковойиЮ.В.Дорном(вконцепособия).
Ксчастью,популярныйсейчасформатданныхотранспортнойсистеме
ввидеGPS
-
трековавтомобилейпозволяетконтролировать(итемсамым
постоянно
«
подкручивать
»
)выводырассмотренныхмоделейинекоторых
ихважныхобобщений.
Имеяинформациюотом,какраспределяютсяпотоки,ужеможнополу
-
чатьоценкиматрицперемешиваниявузлахграфатранспортнойсети,тем
самымзамыкатьцелостнуюмодель.Ксожалению,такойспособкрайне
чувствителенкточности(полноте)входных(обучающих)данных.
ВприложенииА.В.КолесниковарассматриваетсязадачаМонжа
—
Канторовичаоперемещениимасс
1)
(эквивалентная,привесьмаобщих
условиях,задачеМонжа).Оптимальныйпланперевозок(точнее,потен
-
циалэтогоотображения)удовлетворяетуравнению(вчастныхпроиз
-
водных)Монжа
—
АмпераипорождаетметрикуКанторовича(
—
Рубин
-
штейна).Спомощьюэтойметрикиустанавливаютсядовольнотонкие
функциональныенеравенстваоконцентрациимеры(М.Громов,М.Та
-
лагран,К.Мартон,М.Ледуидр.).Самтерминконцентрациимеры,
по
-
видимому,былвпервыепредложенВ.Д.Мильманом,внесшимзначи
-
тельныйвкладвэтуобласть.Геометрическиэтотпринципможнодовольно
1)
Сильносвязаннаястранспортнойзадачей,окоторойнаписановглаве1,приложении
Е.В.Гасниковойикотораяфигурируеттакжевзадачах,приведенныхвконцепособия.
Введение19
простопояснитьзадачейизконцапособия(Пуанкаре
—
Леви):площадь
многомернойсферы(свыделеннымсевернымиюжнымполюсом)прак
-
тическиполностьюсосредоточенавмаленькойполоскевокругэкватора.
Этотпринципнашелширокоеприменение,например,втеорииверо
-
ятностей(нелинейныезаконыбольшихчисел
—
концентрациязначений
липшицевыхфункцийвокрестностимедианы),асимптотическойкомби
-
наторике(например,приисследованииплотнойконцентрацииразличных
функций,типачисланезависимости,наслучайныхграфах;см.приложе
-
ниеА.М.Райгородского).Впониманиирядаматериаловпособияявление
концентрациимерыиграетнемаловажнуюроль:концепцияравновесия
макросистем(модельрасчетаматрицыкорреспонденций),исследования
надежностиграфатранспортнойсети(помоделиЭрдёша
—
Реньи),оценка
скоростисходимостикравновесию(неравенстваПуанкаре,Чигера)идр.
Глава1
Исследованиетранспортныхпотоков
спомощьютеорииэкономическогоравновесия
Введение
Однимизнаиболееагрегированныхспособовописаниятранспортных
системявляетсяэкономическийподход,сутькоторогозаключаетсявсоот
-
несенииинтенсивностииспользованиятехилииныхтехнологий,ресурсов
ипр.иитоговогорезультата,выражающегоконечныйвыпускпродуктов,
оказаниеопределенногообъемауслугит.п.Схематическиэтотвзглядна
экономикуотраслей,втомчислеинатранспорт,можетбытьпредставлен
ввидесхемы,изображеннойнарис.1,гдеx
—
этоусилия,предпринятые
дляперевозки,нагрузканатранспортнуюсистему,y
—
объемгрузовили
количестволюдей,перевезенныесистемой.Помимоэтогоусистемы
—
черногоящика,присутствуетсоциально
-
экономическаяоценкаqтехноло
-
гическогопроцесса(x,y).
Рис.1.Представлениеэкономистаотранспортеинетолько
Допустимыесочетаниязатратxивыпусковyобразуюттехнологическое
множество,описаниемкоторогоэкономистнезанимается,вегозадачу
входитформированиепонятияэффективногофункционированиясистемы
иотборианализэффективныхвариантов.
Вданнойглавеописанодинизподходовкмоделированиюиис
-
следованиютранспортныхпотоков,основанныйнатеорииконкурентно
-
гобескоалиционногоравновесия,котораяпозволяетописатьдостаточно
адекватныймеханизмфункционированияавтомобильныхулично
-
дорож
-
ныхсетей(УДС).Будутрассмотреныосновныеэлементытранспортной
ЭтаглаванаписанаЕ.А.НурминскихиН.Б.Шамрай.
1.1.Задачатранспортногоравновесия21
системы,включающиевсебяУДС,факторы,определяющиепотребность
вперевозках,критерииэффективноститранспортнойсистемыипринципы
еефункционирования.
Рассматриваемыемоделиприменяютсядляполученияпрогнозныхоце
-
нокзагрузкиэлементовтранспортнойсети.Подобныезадачиинтересны
вчастноститем,чтоявляютсяоднимизинструментовдляобъективной
оценкиэффективностипроектовпомодификацииУДСсточкизренияраз
-
грузкинаиболеепроблемныхучастковдорогиуменьшенияобщихзатрат
напередвижениепользователейсети.
1.1.Задачатранспортногоравновесия
1.1.1.Моделированиетранспортныхпотоковкакзадачапринятия
решений
ДляопределенияобъемовзагрузкиУДСвпервуюочередьнеобходимо
выявитьправила,покоторымводителивыбираюттотилииноймаршрут
следования.Поведенческиепринципыпользователейтранспортнойсети
окончательнобылисформулированывработе[65],гдепостулировались
следующиедвевозможныеситуации.
1)Пользователисетинезависимодруготдругавыбираютмаршруты
следования,соответствующиеихминимальнымтранспортнымрасходам.
2)Пользователисетивыбираютмаршрутыследованияисходяизми
-
нимизацииобщихтранспортныхрасходоввсети.
Стехпорвтранспортнойнаукеприведенныеповеденческиепринципы
получилиназваниясоответственнопервогоивторогопринциповВар-
дропа.
РаспределениетранспортныхпотоковсогласнопервомупринципуВар
-
дропасоответствуетконкурентномубескоалиционномуравновесию,пред
-
полагающемусовершенныйэгоизмучастниковдорожногодвижения
—
каждыйстремитсядостигнутьконечногопунктасвоейпоездкикакможно
выгоднеедлясебяиизимеющихсявозможныхвариантовследования
выбираеттотмаршрут,покоторомубудетнестиминимальныезатраты
(временные,финансовые,моральныеит.п.)напроезд.Поэтомуданный
принциптакженазываютпользовательскойоптимизацией(useropti
-
mization).
Стоитотдельноотметить,чтопервыйповеденческийпринциппредпо
-
лагаетопределенныедопущения.Во
-
первых,этосовершеннаяинформи
-
рованностьучастниковдвиженияоситуациинадорогах
—
каждыйзнает
затратынапередвиженияпотемилииныммаршрутам.Внастоящее
времятакоепредположениеневыглядитизряднойидеализацией,посколь
-
куинтенсивноразвиваютсяивнедряютсявпрактическоеиспользование
22Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
автоматизированныеавтонавигаторыиинтеллектуальныетранспортные
системы,идетактивноеоповещениеоситуацияхнадорогахчерезин
-
тернет,радиоидругиесредстваинформации.Во
-
вторых,предполагается
ничтожномалоевлияниеотдельногоучастникадвиженияназатратыпо
всеммаршрутам.Хотятакоепредположениеизаведомоневернодля
крупногабаритныхтранспортныхсредств,длялегковыхавтомобилейоно
представляетсядостаточноразумным,исключаяслучаиаварийныхситуа
-
цийилинеопытныхводителейзарулем.
ВторойпринципВардропапредполагаетцентрализованноеуправление
движениемвсети.Соответствующееемураспределениетранспортныхпо
-
токовназываютсистемнымоптимумом,асампринцип
—
системной
оптимизацией(systemoptimization).Примеромпользователей,пере
-
двигающихсясогласновторомупринципу,служатводителимаршрутного
транспорта.
Несмотрянаточтоприведенныеповеденческиепринципышироко
цитируютсякакпринципыВардропа,насамомделечутьранееихсфор
-
мулировалиФ.Найт[48]иА.Пигу[61],утверждая,чтовсеучастники
движения,направляющиесяизодногоузласетивдругой,распределяются
поразличныммаршрутамтакимобразом,чтобыудельные(врасчетена
одинавтомобиль)затратынапроездбылиодниитежедлявсех.
Вситуациимассовойавтомобилизации,имеющейместопрактически
вовсехстранах,подавляющеебольшинствоучастниковдорожногодви
-
жениялюбогогородасоставляютлегковыеавтомобили,совершающие
преимущественномаятниковыепоездки:местопроживания
—
местора
-
ботыиобратно.Именнотакиепоездкисоздаютпиковыенагрузкина
УДС,вызываютосновныепотеривремениидругихресурсов,повышают
аварийностьиусложняютсоциально
-
экономическуюситуацию.Вместе
стеммаятниковыепоездкитрудовоймиграцииимеютрядособенностей,
делающихихудобнымидлямоделирования.Впервуюочередьвсилуих
повторяемостихарактеристикитакихпоездокможносчитатьстационар
-
ными,асамихводителей
—
имеющихполнуюинформациюовозможных
издержкахнаразличныхмаршрутах.Болеетого,разумнопредполагать
совершенныйэгоизмучастниковэтихпоездокистремлениенестимини
-
мальныепотериприпроезде.Очевиднотакжеиотсутствиевозможностей
организоватькоалиционноеповедение,заисключениемразовыхакций,
которыевобщем
-
тонесвязанысежедневнымирегулярнымипоездками.
ТакоеповедениеявносоответствуетпервомупринципуВардропа,поэтому
приисследованиизагрузкиУДСрассмотримпотоки,порождаемыеименно
легковымчастнымавтотранспортомвутренне
-
вечерниечасыпик.
1.1.Задачатранспортногоравновесия23
1.1.2.Формализацияпроблемы
Исходяизприведенныхсоображений,построимэкономико
-
математи
-
ческуюмодельраспределениятранспортныхпотоковвУДС,соответству
-
ющуюпервомуповеденческомупринципуВардропа.
Транспортнуюсетьопишемввидеориентированногографа
Γ
(V,E),где
V
—
множествовершин,E
—
множестводугсети.Каждаядугасоответ
-
ствуетреальномуучасткуавтодорогибезперекрестков.Каждаявершина
представляетузел,разделяющийучасткидорог.Направлениедугиопре
-
деляетходследованияавтотранспорта.Магистралисдвустороннимдви
-
жениемсоответственноимеютпарныепротивоположноориентированные
дуги.
ПриисследованиипотокообразующихфактороввмножествевершинV
выделимдваподмножества.Первое,S
⊆
V,содержитпункты,порождаю
-
щиепотоки;элементымножестваSназовемисточниками.Второе,D
⊆
V,
содержитпункты,поглощающиепотоки;элементымножестваDназовем
стоками.Применительнокзадачемоделированияпотоков,порождаемых
ежедневнойтрудовоймиграциейдляутреннихчасовпик,источникамияв
-
ляютсяспальныерайоныипригороды,стоками
—
деловыерайоныгорода.
Множествовсехпотокообразующихпарпредставимввидедекартовапро
-
изведения
W
={
w
=
(i,j):i
∈
S,j
∈
D
}
.
Путем(маршрутом)всети
Γ
,соединяющимвершиныiиj,назовемпосле
-
довательностьдуг
e
1
=
(i
→
k
1
),e
2
=
(k
1
→
k
2
),...,e
m
=
(k
m
−
1
→
k
m
),e
m
+
1
=
(k
m
→
j),
гдеe
l
∈
Eпривсехl
=
1,...,m
+
1.Вмаршрутахпредполагаетсяотсут
-
ствиепетельициклов.ОбозначимчерезP
w
множествоальтернативных
маршрутов,связывающихпаруw
∈
W.Совокупностьвсехпутейвсети
Γ
обозначимчерезP
=
S
w
∈
W
P
w
.
Перемещаясьотисточниковкстокам,пользователисетивыбираюттот
илииноймаршрутследования.Обозначимчерезx
p
величинупотока,иду
-
щегопопутиp
∈
P;тогдазагрузкувсейсетизадаетвекторx
=
(x
p
:p
∈
P).
Преодолениекаждогоизпутейp
∈
Pсопровождаетсянекоторымиза
-
тратами(время,топливо,деньги,амортизацияавтомобиля,износдороги
ит.п.).Количественнаяхарактеристикатакихзатратзависитотинтенсив
-
ностииплотностидвижениявсети.Какправило,вмоделяхрассматрива
-
ютсявременныеилифинансовыезатраты.ОбозначимчерезG
p
удельные
затратыпользователейнапроездпопутиp.Посколькуназатратыпоодно
-
мумаршрутуможетвлиятьзагрузкадругихпутей(естественнымпримером
томуслужатпересеченияглавныхивторостепенныхдорог,дублирующие
24Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
дорогиит.д.),вобщемслучаеG
p
представляютсобойфункцииотзагрузки
всейсети,тоестьG
p
=
G
p
(x).
ВовведенныхобозначенияхпервыйпринципВардропаможноформа
-
лизоватьследующимобразом.Водителивыбираютпутьснаименьшими
транспортнымирасходами,поэтомудлякаждойпарыwвыполняетсясле
-
дующее:еслипопутиp
∈
P
w
идетненулевойпотокx
†p
,тозатратыпоэтому
путиминимальны,тоесть
еслиx
†p
>
0,тоG
p
(x
†
)
=
min
q
∈
P
w
G
q
(x
†
)
=
u
w
(x
†
),(1)
гдеu
w
(x
†
)
—
минимальныетранспортныезатратыпомаршрутам,соединя
-
ющимпаруw
∈
W,призагрузкесети,определяемойвекторомx
†
.
Соотношения(1),определенныедлякаждойпарыw
∈
W,задаюттак
называемыеусловияравновесиятранспортныхпотоков.Потокиx
†
=
=
(x
†p
:p
∈
P),удовлетворяющиеусловию(1),называютсяравновесными.
Дляполнотыкартинынеобходимоввестиограничениянадопустимость
потоков.
Каждойпареисточник
-
стокw
=
(i,j)
∈
Wсоответствуетсвойспросна
перевозку
w
—
общийобъемпользователей,которыеизпунктаiдолжны
прибытьвпунктj.Набор(
w
:w
∈
W)называетсяматрицейкорреспон-
денций.Вобщемслучаепредполагается,чтокорреспонденцииявляются
функциямиотминимальныхзатратнапередвижениявсети,тоесть
w
=
=
(u
†w
),гдеu
†w
=
u
w
(x
†
).
Традиционнодлятранспортныхзадачпотоковыепеременныедолж
-
ныбытьнеотрицательнымииудовлетворятьбалансовымограничениям.
Поэтомудопустимойобластьюдлярассматриваемыхпотоковxявляется
множество
X(x
†
)
=
n
x
0:
X
p
∈
P
w
x
p
=
w
(u
w
(x
†
)),w
∈
W
o
(2)
(записьx
0означает,чтовсекомпонентыx
p
0).
Каквидноизопределения(2),допустимаяобластьX(x
†
)является
«
подвижной
»
инепосредственнозависитотравновесногораспределения
потоковx
†
.Однако,еслиобъемыкорреспонденцийизвестныиимеют
стационарныезначения
w
(u
w
(x
†
))
≡
w
,чтовполнехарактернодлятру
-
довыхмиграциейвУДС,тодопустимоемножествоимеетфиксированную
структуру:
X
=
n
x
0:
X
p
∈
P
w
x
p
=
w
,w
∈
W
o
.(3)
Проблемапоискаравновесныхпотоковx
†
∈
X(x
†
)называетсязада-
чейтранспортного(потокового)равновесиясэластичнымспросом.
1.1.Задачатранспортногоравновесия25
Призаданныхкорреспонденцияхпроблемапоискаравновесныхпотоков
x
†
∈
Xназываетсязадачейтранспортного(потокового)равновесия
сфиксированнымспросом.
ДопустимоемножествоX,определенноев(3),обладаетзамечатель
-
нымисвойствами.Во
-
первых,этополиэдральное
1)
иограниченноемно
-
жество.Во
-
вторых,Xестественнымобразомпредставляетсяввидеде
-
картовапроизведениянепересекающихсяобобщенныхсимплексов,т.е.
X
=
Q
w
∈
W
X
w
,где
X
w
=
n
x
p
0:p
∈
P
w
,
X
p
∈
P
w
x
p
=
w
o
.(4)
ЭтисвойстваXкачественновлияютнапостроениетеоретическогоиалго
-
ритмическогоаппаратовзадачтранспортногоравновесия.
Основнойподходкрешениюиисследованиюзадачтранспортного
равновесиясостоитвсведенииисходнойпроблемыкэквивалентнойоп
-
тимизационнойзадачеиливариационномунеравенству.Прямоевлияние
нато,какаяизэквивалентныхформбудетрассматриваться,оказывают
свойствафункцийтранспортныхзатратG
p
(x).Длякомпактностипоследу
-
ющегоизложенияобъединимкомпонентыG
p
(x)ввектор
-
функциюG(x)
=
=
(G
p
(x):p
∈
P).
Отметим,чтовсерезультатынастоящейработыполученывконеч
-
номерномевклидовомпространстве
R
n
соскалярнымпроизведениемxy
инормой
k
x
k=
√
xx,x,y
∈R
n
.Элементамипространстваявляются
вектор
-
столбцы,однакознактранспонированияидополнительныескобки
прискалярномумножениибудемопускать,чтобынезагромождатьзапись
формул.
1.1.3.Сведениеквариационномунеравенству
Предположим,чтоимеетместонепрерывнаямонотоннаязависимость
транспортныхиздержекотобъемовзагрузкиУДС.Традиционновэтом
случаепоискравновесныхпотоковсводитсякрешениювариационного
неравенства(вчастномслучаекоптимизационнойзадаче)[23,39,50,54,
60].Обоснованиедлятакогосведениядаетследующийрезультат.
Теорема1.Векторx
†
∈
X(x
†
)удовлетворяетусловиюравнове-
сия(1)тогдаитолькотогда,когдаявляетсярешениемквазивари-
ационногонеравенства
G(x
†
)(x
−
x
†
)
0
∀
x
∈
X(x
†
).(5)
1)
Полиэдральным(многогранным)множествомназываетсямножестворешенийконечной
системынеравенствAxb,этозамкнутоевыпуклоемножество.
26Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
Доказательство.Пустьвекторx
†
=
(x
†p
:p
∈
P)
∈
X(x
†
)является
решениемквазивариационногонеравенства(5).Покажем,чтовx
†
вы
-
полненоусловие(1).Предположимпротивное,аименно,чтодляпарыw
существуеттакойпуть
¯¯
p
∈
P
w
,чтоx
†
¯¯
p
>
0иG
¯¯
p
(x
†
)
>
G
¯¯
q
(x
†
)длянекоторого
¯¯
q
∈
P
w
,
¯¯
q
6=
¯¯
p.Рассмотримтакойвекторx
=
(x
p
:p
∈
P),что
x
p
=
x
†p
,p
6=
¯¯
p,p
6=
¯¯
q,
x
†
¯¯
p
−
,p
=
¯¯
p,
x
†
¯¯
q
+
,p
=
¯¯
q,
где
>
0достаточномалоиненарушаетусловиянеотрицательностиx
0.
Нетрудновидеть,чтоx
∈
X(x
†
),приэтом
G(x
†
)(x
−
x
†
)
=
G
¯¯
p
(x
†
)(x
¯¯
p
−
x
†
¯¯
p
)
+
G
¯¯
q
(x
†
)(x
¯¯
q
−
x
†
¯¯
q
)
=
(G
¯¯
q
(x
†
)
−
G
¯¯
p
(x
†
))
<
0,
чтопротиворечиттому,чтоx
†
—
решениенеравенства(5).Следовательно,
вточкеx
†
условие(1)всегдавыполнено.
Покажемобратное,аименно,еслиx
†
∈
X(x
†
)удовлетворяетусло
-
вию(1),тоx
†
—
решениеквазивариационногонеравенства(5).Нетрудно
видеть,чтодлявсехp
∈
P
w
,w
∈
Wиx
∈
X(x
†
)выполненысоотношения
G
p
(x
†
)
−
u
w
(x
†
)
0,(G
p
(x
†
)
−
u
w
(x
†
))x
†p
=
0,(G
p
(x
†
)
−
u
w
(x
†
))x
p
0,
следовательно,имеетместооценка
0
X
w
∈
W
X
p
∈
P
w
(G
p
(x
†
)
−
u
w
(x
†
))(x
p
−
x
†p
)
=
=
X
w
∈
W
X
p
∈
P
w
G
p
(x
†
)(x
p
−
x
†p
)
−
X
w
∈
W
X
p
∈
P
w
u
w
(x
†
)(x
p
−
x
†p
)
=
=
G(x
†
)(x
−
x
†
)
−
X
w
∈
W
u
w
(x
†
)
X
p
∈
P
w
x
p
−
X
p
∈
P
w
x
†p
=
=
G(x
†
)(x
−
x
†
)
−
X
w
∈
W
u
w
(x
†
)(
w
(u
†
)
−
w
(u
†
))
=
G(x
†
)(x
−
x
†
),
тоестьx
†
—
решениеквазивариационногонеравенства(5).
Длязадачтранспортногоравновесиясфиксированнымспросомква
-
зивариационноенеравенствозаменяетсянаклассическоевариационное
неравенствовида:
G(x
†
)(x
−
x
†
)
0
∀
x
∈
X.(6)
Очевидно,чтовариационноенеравенство(6)представляетчастный
случайквазивариационногонеравенства(5).Теорияиметодырешения
1.1.Задачатранспортногоравновесия27
обоихклассовнеравенствкнастоящемувремениужедостаточнохоро
-
шоразработаны.Познакомитьсясдостижениямивэтойобластиможно,
например,поработам[3,5,41,49,50,51,54].
Далее,длятогочтобыизучатьсвойствазадачтранспортногоравнове
-
сияврамкахединогоматематическогоаппарата,примемдополнительные
соглашенияисведемрешениезадачитранспортногоравновесиясэластич
-
нымспросомкрешениюименновариационногонеравенства.
Предположим,чтодлякаждогомаршрутаp
∈
Pтранспортныезатраты
G
p
(x)строгоположительны,адлявсехпарw
∈
Wфункцияспроса
w
(u
w
)
принимаеттольконеотрицательныезначения.
Объединимвеличиныu
w
ввекторu
=
(u
w
:w
∈
W),функции
w
(u
w
)
—
ввектор
(u)
=
(
w
(u
w
):w
∈
W).Рассмотримвектора
z
=
x
u
,F(z)
=
G(x)
−Ξ
u
Ξ
T
x
−
(u)
,
где
Ξ=
(
pw
:p
∈
P,w
∈
W)
—
матрицаинцидентностипутейипар
источник
-
сток:
pw
=
(
1,еслипутьpсоединяетпаруw,
0впротивномслучае.
Допустимоемножестводлявектораzпредставляетсобойнеотрицательный
ортантZ
={
z:z
0
}
.
Утверждение1.Векторz
†
=
(x
†
,u
†
)
0являетсярешениемвари-
ационногонеравенства
F(z
†
)(z
−
z
†
)
0
∀
z
∈
Z(7)
тогдаитолькотогда,когдаx
†
—
решениеквазивариационного
неравенства(5).
Доказательство.Пустьx
†
∈
X(x
†
)
—
решениеквазивариационно
-
гонеравенства(5).Тогдадлялюбыхx
0иu
0выполненыусловия
(G(x
†
)
−Ξ
u
†
)x
†
=
0,(G(x
†
)
−Ξ
u
†
)x
0,
(
Ξ
T
x
†
−
(u
†
))u
†
=
0,(
Ξ
T
x
†
−
(u
†
))u
=
0.
Откудаследует,что
0
(G(x
†
)
−Ξ
u
†
)(x
−
x
†
)
+
(
Ξ
T
x
†
−
(u
†
))(u
−
u
†
)
=
F(z
†
)(z
−
z
†
).
Покажемобратное.Пустьz
†
=
(x
†
,u
†
)
0
—
решениевариационного
неравенства(7),тоестьдлялюбыхz
0выполнено
F(z
†
)z
†
F(z
†
)z.
28Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
Рассмотримточкиz
=
z
†
0длявсех
0.Имеем
F(z
†
)z
†
0при
=
0,
F(z
†
)z
†
→
0при
→+∞
.
Следовательно,F(z
†
)z
†
=
0иF(z
†
)z
0.
Еслипредположитьсуществованиетакогоиндексаl,чтосоответству
-
ющийемуэлементвектораF(z
†
)отрицательный,F
l
(z
†
)
<
0,то,выбирая
z
l
→+∞
,получаемнарушениенеравенстваF(z
†
)z
0.ОтсюдаF(z
†
)
0.
Такимобразом,точкаz
†
=
(x
†
,u
†
)
0удовлетворяетсистеме
F(z
†
)
0,z
†
0,F(z
†
)z
†
=
0,(8)
известнойвлитературекакнелинейнаязадачадополнительности(см.,
например,[23,41]).
Перепишемусловия(8)ввиде
G(x
†
)
−Ξ
u
†
0,x
†
0,(G(x
†
)
−Ξ
u
†
)x
†
=
0,(9)
Ξ
T
x
†
−
(u
†
)
0,u
†
0,(
Ξ
T
x
†
−
(u
†
))u
†
=
0.(10)
Система(9)показывает,чтовекторu
†
соответствуетминимальнымтранс
-
портнымзатратамвсетипризагрузке,определяемойпотокамиx
†
.
Приусловииположительноститранспортныхзатратиз(10)следует,что
Ξ
T
x
†
−
(u
†
)
=
0,тогданеравенство(7)можнопереписатьввиде
G(x
†
)(x
−
x
†
)
u
†
(
Ξ
T
x
−
(u
†
))
=
0
∀
x
∈
X(u
†
),
чтоокончательнодоказываетутверждение.
Очевидно,чтодопустимаяобластьZвариационногонеравенства(7)
являетсяполиэдральныммножеством,однаковотличиеотдопустимой
областиXвариационногонеравенства(6)множествоZнеограничено.Это
критическимобразомвлияетнаусловияразрешимоститранспортныхзадач
сэластичнымификсированнымспросом.
1.1.4.Разрешимостьзадачтранспортногоравновесия
Критериисуществованияравновесныхтранспортныхпотоковформули
-
руютсянабазетеорииразрешимостивариационныхнеравенств.Рассмот
-
римвариационноенеравенство(6)какобщуюформузадачи,специальноне
оговариваясвойствавектор
-
функцииGидопустимогомножестваX.Для
изложенияосновныхрезультатовданногоразделапонадобятсяследующие
определения.
Определение1.Проекциейточкиy
∈R
n
намножествоX
⊂R
n
назы
-
ваетсяточка
X
(y)
=
argmin
{k
y
−
x
k
:x
∈
X
}
.
1.1.Задачатранспортногоравновесия29
Определение2.Точкаx
∗
называетсянеподвижнойточкойотображе
-
нияT:X
→
X,еслиx
∗
=
T(x
∗
).
Критериемпроверки,являетсяливекторpпроекциейточкиy
∈R
n
на
множествоX,служитвыполнениеусловия
(p
−
y)(x
−
p)
0
∀
x
∈
X.(11)
Решениевариационногонеравенства(6)тесносвязаноспоискомнепо
-
движныхточекпроективногоотображения
H(x)
=
X
(x
−
G(x)),
где
>
0
—
некотороефиксированноечисло.
Утверждение2.МножестворешенийX
†
⊆
Xвариационногонера-
венства(6)совпадаетсмножествомнеподвижныхточекотобра-
женияH(x),тоестьX
†
={
x
†
∈
X:x
†
=
H(x
†
)
}
.
Доказательство.Пустьx
†
∈
X
†
и
>
0,тогдавыполненонера
-
венство
(x
†
−
(x
†
−
G(x
†
))(x
−
x
†
)
0
∀
x
∈
X,
следовательно,всилусвойства(11)имеем
x†
=
X
(x
†
−
G(x
†
))
=
H(x
†
).
Пустьx
†
=
H(x
†
),тогдавсилусвойства(11)длялюбогоx
∈
Xвыпол
-
неноусловие
0
(x
−
x
†
)(x
†
−
(x
†
−
G(x
†
)))
=
G(x
†
)(x
−
x
†
),
тоестьx
†
∈
X
†
.
Теорема2.Пустьвектор-функцияGнепрерывна,множествоX
непусто,выпуклоизамкнуто.ЕслиXограничено,товариационное
неравенство(6)разрешимо.
Доказательство.ДлявыпуклогомножестваXотображение
H(x):X
→
Xявляетсянепрерывнымиоднозначным.МножествоXпо
условиютеоремыкомпактно,следовательно,потеоремеБрауэра(см.,
например,[24,2,14])уH(x)существуетнеподвижнаяточкаx
†
=
H(x
†
),
котораявсилуутверждения2одновременноявляетсярешениемвариаци
-
онногонеравенства(6).
Изтеоремы2следует,чтоеслизатратынапередвижениеG
p
(x)явля
-
ютсянепрерывнымифункциямиотпотоковx
∈
X,тотранспортнаязадача
сфиксированнымспросомвсегдаразрешима.
ВслучаяхнеограниченногодопустимогомножестваXвводятдопол
-
нительныепредположенияосвойствахзадачи,например,ограниченность
30Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
потенциальногомножестварешений,коэрцитивность,сильнуюмонотон
-
ностьипрочие.Общаяидеявыявлениятакихсвойствсостоитвследу
-
ющем.ВыберемтакойрадиусR
>
0,чтопересечениезамкнутогошара
B
={
x:
k
x
k
R
}
свыпуклымзамкнутыммножествомXнепусто,положим
X
R
=
X
∩
B
6=∅
.Потеореме2существуеттакаяточкаx
†R
∈
X
R
,что
G(x
†R
)(x
−
x
†R
)
0
∀
x
∈
X
R
.(12)
Теорема3.Пустьвектор-функцияGнепрерывна,множествоX
непусто,выпуклоизамкнуто.ЕслисуществуеттакойрадиусR
>
>
0,чтоX
R
6=∅
ирешениеx
†R
∈
X
R
вариационногонеравенства(12)
удовлетворяетусловию
k
x
†R
k<
R,товариационноенеравенство(6)
разрешимо.
Доказательство.Дляпроизвольногоx
∈
Xвыберемтакое
∈
(0,1],чтоточка
¯¯
x
=
x
†R
+
(x
−
x
†R
)
∈
X
R
.Имеем
0
G(x
†R
)(
¯¯
x
−
x
†R
)
=
G(x
†R
)(x
†R
+
(x
−
x
†R
)
−
x
†R
)
=
G(x
†R
)(x
−
x
†R
),
тоестьx
†R
одновременноявляетсярешениемвариационногонеравен
-
ства(6).
Изтеоремы3можнополучитьрядследствий(см.,например,[23]).
Следствие1.Пустьвектор-функцияGнепрерывна,множество
Xнепусто,выпуклоизамкнуто.Есливектор-функцияG(x)коэрци-
тивнаотносительноX,тоестьдлянекоторого
¯¯
x
∈
Xвыполнено
lim
k
x
k→∞
,x
∈
X
G(x)(x
−
¯¯
x)
k
x
k
→∞
,(13)
товариационноенеравенство(6)разрешимо.
Доказательство.Условиекоэрцитивности(13)позволяетдля
каждогофиксированногоC
>
0подобратьдостаточнобольшоеR
C
>
0
такое,что
G(x)(x
−
¯¯
x)
C
k
x
k∀
x
∈
X,
k
x
k=
R
C
,
длякакого
-
то
¯¯
x
∈
X
R
C
,независящегоотCиR
C
.
Всилутеоремы2разрешимовариационноенеравенство
G(x
†R
C
)(x
−
x
†R
C
)
0
∀
x
∈
X
R
C
.
Если
k
x
†C
k<
R
C
,топотеореме3точкаx
†R
C
являетсярешениемисход
-
ноговариационногонеравенства(6).
Если
k
x
†R
C
k=
R
C
,тополучаем
G(x
†R
C
)(
¯¯
x
−
x
†R
C
)
−
C
k
x
†R
C
k=−
CR
<
0,
1.1.Задачатранспортногоравновесия31
чтопротиворечитопределениюx
†R
C
.
Такимобразом,дляразрешимостизадачитранспортногоравновесия
сэластичнымспросомнужныболеесильные,чемнепрерывность,предпо
-
ложенияосвойствахвектор
-
функцииF(z).
Вопросединственностиравновесногораспределениятранспортныхпо
-
токоврешаетсязасчетсвойствстрогоймонотонностифункциитранспорт
-
ныхиздержек.
Определение3.Вектор
-
функцияG:X
→R
n
называетсястрогомо
-
нотоннойнаX,еслидлялюбыхтакихx,y
∈
X,чтоx
6=
y,выполнено
неравенство(G(x)
−
G(y))(x
−
y)
>
0.
Теорема4.Есливектор-функцияG(x)строгомонотонна,това-
риационноенеравенство(6)можетиметьнеболееодногорешения.
Доказательство.Предположимпротивное,аименно,чтосуще
-
ствуютдваразличныхрешенияx
1
,x
2
∈
X,x
1
6=
x
2
,задачи(6).Очевидно,
приэтомвыполненынеравенства
G(x
1
)(x
2
−
x
1
)
0,G(x
2
)(x
1
−
x
2
)
0,
складываякоторые,получаем
(G(x
1
)
−
G(x
2
))(x
2
−
x
1
)
0,
чтопротиворечитсвойствустрогоймонотонностиG(x).
Сточкизрениязадачитранспортногоравновесияутверждениетеоре
-
мы4означает,чтоеслитранспортныезатратывозрастаютсувеличением
загрузкисети
—
аэтовесьмаестественноепредположение
—
тосуществует
единственноеравновесноераспределениетранспортныхпотоков.
1.1.5.Симметричныезадачитранспортногоравновесия
Задачутранспортногоравновесиябудемназыватьсимметричной,
еслидлявектор
-
функциитранспортныхиздержекG(x)матрицаЯкоби
∇
G(x)
=
∂
G
p
(x)
∂
x
q
:p,q
∈
P
симметричнадлявсехx
∈
X.
Свойствосимметричностиматрицы
∇
G(x)являетсядостаточнымусло
-
виемдлятого,чтобыгарантироватьсуществованиедифференцируемой
функцииf:X
→R
такой,что
∇
f(x)
=
G(x)длявсехx
∈
X.Вектор
-
функцияGвтакомслучаеназываетсяпотенциальной,авариационное
неравенство(6)можнопереписатьввиде
∇
f(x
†
)(x
−
x
†
)
0
∀
x
∈
X.(14)
Изтеорииоптимизацииизвестно,чтоусловие(14)представляетнеоб
-
ходимыйкритерийоптимальностивзадаче
f(x)
→
min,x
∈
X,(15)
32Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
гдеX
—
выпуклоезамкнутоемножество.
Всамомделе,пустьx
†
=
argmin
{
f(x):x
∈
X
}
.Рассмотримточкуx
=
=
x
†
+
(x
−
x
†
)
∈
X,где
∈
(0,1)достаточномало.Имеетместоследую
-
щаяоценка:
0
f(x
)
−
f(x
†
)
=
f(x
†
)
+
∇
f(x
†
)(x
−
x
†
)
+
o(
)
−
f(x
†
)
=∇
f(x
†
)(x
−
x
†
)
+
o(
)
.
Переходякпределупри
→
0,получаем(14).
Считается,чторешитьоптимизационнуюзадачунамногопроще,чем
вариационноенеравенство[56].Теорияметодовоптимизациибогатараз
-
нообразнымиалгоритмами.Крометого,существуетмножествопрограмм
-
ныхпакетовдлярешенияэтогоклассазадач,чегонельзясказатьовари
-
ационныхнеравенствах.Однакоосновнаятрудностьсостоитвпостроении
функцииf(x).Дляпотенциальныхотображенийтакуюфункциюможно
построить,проведяследующиерассуждения.
РассмотримкривуюL,зафиксируемнанейточкуx
0
ивычислиминте
-
гралG(x)вдольэтойкривойдонекоторойточкиx
∈
L.
ПустькриваяLзаданапараметрически:L
={
x(t):t
∈
[0,1]
}
,гдеx(t)
—
гладкаявектор
-
функция,приэтомx(0)
=
x
0
,x(1)
=
x.Имеем
I=
x
x
0
G(x(t))d(x(t))
=
1
0
G(x(t))x
′t
(t)dt
=
1
0
∇
f(x(t))x
′t
(t)dt
=
=
1
0
df(x(t))
=
f(x(t))
1
0
=
f(x(1))
−
f(x(0))
=
f(x)
−
f(x
0
).
Видим,чтозначениеинтеграла
I
независитотпараметрическогозада
-
ниякривойL.Рассмотримпростейшийпримертакогозадания:x(t)
=
=
x
0
+
t(x
−
x
0
),тогдаприG(x)
=∇
f(x)вариационноенеравенство(6)
эквивалентноследующейоптимизационнойзадаче:
f(x)
=
f(x
0
)
+
1
0
G(x
0
+
t(x
−
x
0
))(x
−
x
0
)dt
→
min,x
∈
X.(16)
Такимобразом,решениесимметричнойзадачитранспортногоравнове
-
сияэквивалентнорешениюнекоторойоптимизационнойзадачи.Именно
этомуклассузадачпосвященабольшаячастьработпоисследованию
транспортногоравновесия[35,22,46,28,29,37,45].
1.2.Построениефункцийтранспортныхзатрат
Сложностьчисленногорешениязадачитранспортногоравновесияво
многомзависитотаналитическогозаданияфункцийG
p
(x).Интуитивно
1.2.Построениефункцийтранспортныхзатрат33
вполнеочевидно,чтонатранспортныезатратыприпроездеизисточни
-
кавстоквпервуюочередьвлияютиздержкинадугах,составляющих
маршрутследования.Влитературе,посвященнойизучениюпроблеммоде
-
лированиятранспортныхпотоков,рассматриваютсяразныеформытакой
зависимости.
Обозначимчерезy
e
величинупотокаподугеe
∈
E.Знаяраспределение
потоковпопутям,можнорассчитатьзагрузкукаждойдугипоследующей
формуле:
y
e
=
X
p
∈
P
ep
x
p
,(17)
где
ep
=
(
1,еслипутьpпроходитчерездугуe;
0впротивномслучае.
Определим
Θ=
(
ep
:e
∈
E,p
∈
P)
—
матрицуинцидентностидугипутей,
y
=
(y
e
:e
∈
E)
—
вектор,описывающийзагрузкудугсети
Γ
.Вматричной
формевзаимосвязьпотоковпопутямидугамописываетсяуравнениемy
=
=Θ
x.
Врядеслучаеврассматриваютсятранспортныезадачивтерминах
толькопотоковыхпеременныхподугам.Отметим,чтовмножествеX,
определенномв(3),отпотоковыхпеременныхпопутямxможнолегко
перейтиквекторуy;обратныйпереходнеоднозначен.
Удельныезатратынапрохождениедугиeобозначимчерез
e
.Воб
-
щемслучаезначение
e
зависитнетолькоотвеличиныпотокаy
e
,но
иотпотоковподругимдугамсети.Характернымпримеромтомуслужат
нерегулируемыеперекрестки,гдепорядокдвиженияопределяетсяприори
-
тетомдорог,регулируемыеперекресткисдополнительнойстрелкойсигнала
светофора
—
движениевтакназываемомрежиме
«
просачивания
»
ит.п.
Поэтомуправильнопредположить,что
e
=
e
(y).Сформируемвектор
-
функцию
(y)
=
(
e
(y):e
∈
E).
1.2.1.Аддитивныефункциизатрат
Самымраспространеннымипростымпредположениемосвойствах
функцийтранспортныхзатратявляетсяаддитивнаязависимостьG(x)от
(y),означающая,чтотранспортныезатратынапрохождениекаждогопути
p
∈
Pскладываютсятолькоиззатратнапроездподугам,составляющим
этотпуть[39,54,38]:
G
p
(x)
=
X
e
∈
E
ep
e
(y).(18)
Врезультатеполучаем,чтовектор
-
функцияG(x)вариационногонеравен
-
ства(6)имеетвид
G(x)
=Θ
T
(y),y
=Θ
x.(19)
34Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
Рассмотримчастныйслучай,когдазатратынапроездподуге
e
(y)
зависяттолькоотобъемаидущегопонейпотокаy
e
,тоесть
e
(y)
≡
e
(y
e
).
Вэтомслучаедлялюбыхp,q
∈
P,p
6=
q,имеем
∂
G
p
∂
x
q
=
X
e
∈
E
ep
∂
e
∂
y
e
∂
y
e
∂
x
q
=
X
e
∈
E
ep
eq
∂
e
∂
y
e
=
∂
G
q
∂
x
p
.
Следовательно,матрицаЯкоби
∇
G(x)симметричнадлялюбыхx
∈
X,
тоестьвектор
-
функцияG(x)потенциальнаиравновесныетранспортные
потокиможноопределитькакрешениеоптимизационнойзадачи(16).Учи
-
тываясоотношения(19),видцелевойфункцииf(x)определяетсякак:
f(x)
=
1
0
X
p
∈
P
G
p
(x
0
+
t(x
−
x
0
))(x
p
−
x
0
p
)dt
=
=
1
0
X
p
∈
P
X
e
∈
E
ep
e
(y
0
e
+
t(y
e
−
y
0
e
))
(x
p
−
x
0
p
)dt
=
=
1
0
X
p
∈
P
X
e
∈
E
ep
(x
p
−
x
0
p
)
e
(y
0
e
+
t(y
e
−
y
0
e
))dt
=
=
1
0
X
e
∈
E
e
(y
0
e
+
t(y
e
−
y
0
e
))
X
p
∈
P
ep
(x
p
−
x
0
p
)dt
=
=
1
0
X
e
∈
E
e
(y
0
e
+
t(y
e
−
y
0
e
))(y
e
−
y
0
e
)dt
=
=
1
0
X
e
∈
E
e
(y
0
e
+
t(y
e
−
y
0
e
))d(y
0
e
+
t(y
e
−
y
0
e
))
=
X
e
∈
E
y
e
y
0
e
e
(z)dz.
Такимобразом,при
e
(y)
≡
e
(y
e
)задача(16)перепишетсяввиде:
X
e
∈
E
y
e
0
e
(z)dz
→
min,y
=Θ
x,x
∈
X.(20)
Отпотоковыхпеременныхпопутямxвмодели(20)можноизбавиться,
есливвестиследующиеобозначения.Вобщемпотокеy
e
покаждойдуге
e
∈
Eотдельновыделимпотокy
s
e
,порождаемыйисточникомs
∈
Sиидущий
поe.Векторy
s
=
(y
s
e
:e
∈
E)определяетзагрузкудугтранспортнойсети,
порожденнуюисточникомs.Очевидно,должныбытьвыполненыусловия:
y
=
X
s
∈
S
y
s
,y
s
0,s
∈
S.
1.2.Построениефункцийтранспортныхзатрат35
Через
sv
обозначимобъемпотока,которыйизисточникаs
∈
Sдол
-
жендостичьвершиныv
∈
V.Призаданнойматрицекорреспонденций
(
w
:w
∈
W
=
S
×
D)величины
sv
определяютсятак:
sv
=
w
,еслиv
6=
s,w
=
(s,v)
∈
W,
0,еслиv
6=
s,w
=
(s,v)
/
∈
W,
−
w
,еслиv
=
s.
Балансовыеограниченияприпереходекновымпеременнымy
s
e
запишутся
ввиде
X
e
∈
E
+v
y
s
e
−
X
e
∈
E
−v
y
s
e
=
sv
,(s,v)
∈
S
×
V,(21)
где
E
+v
={
e
∈
E:дугаeвходитввершинуv
}
,
E
−v
={
e
∈
E:дугаeвыходитизвершиныv
}
.
ОпределиммножествоY
s
={
y
s
0:выполненыусловия(21)
}
.Вре
-
зультатесимметричнаязадачатранспортногоравновесия(20)перепишется
ввиде:
X
e
∈
E
y
e
0
e
(z)dz
→
min,y
=
X
s
∈
S
y
s
,y
s
∈
Y
s
.(22)
Однойизширокоиспользующихсяформфункциизатрат
e
(y)являет
-
сятакназываемаяBPR
-
функция(BureauofPublicRoad),описывающая
временныезатратынапроездследующимобразом:
e
(y)
=
0
e
1
+
y
e
c
e
n
,
где
0
e
—
времяпроездапосвободнойдугеe,c
e
—
пропускнаяспособность
дугиe,
иn
—
некоторыеположительныеконстанты.Прииспользовании
BPR
-
функциизадачатранспортногоравновесиясводитсякоптимизаци
-
оннойзадаче(20).
1.2.2.Неаддитивныефункциизатрат
Вобщемслучае,построениефункциизатрат
e
(y)являетсязада
-
чей,требующейотдельныхисследований.Здесьокажутсяполезнымикак
натурныезамерыпотоковисоответствующихимзадержеквреальных
УДС(улично
-
дорожныхсетях),такирезультатыкомпьютерногомоде
-
лирования,например,припомощиспециальныхпрограммдляагентного
моделирования,такактивноразвивающиесявпоследниегоды.
Существуютситуации,когдапредположениеобаддитивностифунк
-
цийG
p
(x)неподходитдляописаниятранспортныхзатрат.Стремлениек
36Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
болееадекватномумоделированиюавтомобильныхпотоковпривелокно
-
вымформаманалитическогоописаниязатрат[43,52,32].Неаддитивные
транспортныезатратывозникают,например,вслучаях,когдапримодели
-
рованииодновременноучитываютсяивременные,ифинансовыерасходы.
Так,вработе[43]предложенафункция,характеризующаяфинансовые
затраты,накоторые,всвоюочередь,влияютвременныезатраты:
G
p
(x)
=Φ
p
X
e
∈
E
ep
e
(y)
+Ψ
p
(x)
+
X
e
∈
E
ep
e
(y),
где
e
(
)
—
время,потраченноенапрохождениедугиe,
Φ
p
(
)
—
функция,
преобразующаявременныезатратыдляпутиpвфинансовыезатраты,
Ψ
p
(
)
—
финансовыезатраты,характеризующиемаршрутp,которыемо
-
гутменятьсявзависимостиотзагрузкисети,
>
0
—
эксплуатационные
расходывединицувремени.Вработе[32]предложенболееобщийвид
неаддитивнойфункциизатрат:
G
p
(x)
=
U
w
X
e
∈
E
ep
e
(y)
+
g
p
(
Ψ
p
)
,p
∈
P
w
,
где
Ψ
p
—
фиксированныефинансовыезатраты,характеризующиемарш
-
рутp,g
p
(
)
—
функция,преобразующаяфинансовыезатратывовременные
задержки,U
w
(
)
—
функцияпотерь(отрицательнойполезности)дляпары
w
∈
W.
Соднойстороны,неаддитивныезатратыболеереалистичномогутопи
-
сатьфункционированиетранспортнойсистемы,сдругой
—
вариационное
неравенство(6)(атемболее(7))присложныхфункцияхG
p
(x)весьма
трудоемкодляанализаирешения.
1.2.3.Модельстационарнойдинамики
Сформальнойточкизрения,еслиобъемыпотоковнеограничены
сверхупропускнойспособностьютранспортнойсети,томонотонныефунк
-
циизатратдопускаютскольугоднобольшиезначенияпотоков,чтоедва
лисогласуетсясреальностьюисправедливокритикуется.Однакопо
-
лученныйопытмоделированиятранспортныхпотоковвреальнойУДС
[18,25,19,26]показывает,чтоименномонотонноевозрастаниезатрат
являетсясдерживающимфакторомдляполучениянереальнобольшихпо
-
токовнадугах.
Однаизпопытокизбавитьпредставление
e
отупомянутогонедостатка
описанавработе[58].Здесьдлякаждойдугиe
∈
Eтранспортнойсети
предлагаетсяввестидвавполнеизмеримыхпоказателя:пропускнуюспо
-
собностьc
e
иминимальноевремяпроезда
0
e
.Далееестественнымобразом
предполагается,чтовтранспортнойсетипотокподугенеможетпревы
-
шатьеепропускнуюспособность,апотраченноенапроездвремянеможет
1.2.Построениефункцийтранспортныхзатрат37
бытьменьше,чемминимальноевремясвободногопроезда.Согласно[58],
ситуацияпотоковогоравновесиявтранспортнойсетитеперьопределяется
какзагрузкаеедугy
†
=
(y
†e
:e
∈
E)ивременныезатратынадугах
†
=
=
(
†e
:e
∈
E),которыеудовлетворяютограничениям:
0
y
†e
c
e
,
†e
0
e
,e
∈
E,(23)
идлякоторыхвыполненыусловияпользовательскойоптимальности(1):
†e
(
=
0
e
,еслиy
†e
<
c
e
,
0
e
,еслиy
†e
=
c
e
.
(24)
Условие(24)показывает,чтовременныезатратызависятотпотока,но
этазависимостьнеявляетсямонотонной.Вслучаеполнойзагрузкисети
можногарантироватьлишьтолькото,чтовременныезатратынадугах
будутнеменьшеминимальноговременипроезда.Пара(y
†
,
†
),удовле
-
творяющаяусловиям(23),(24),называетсястационарнымдинамическим
решениемзадачитранспортногоравновесия.
Навзглядавторов,независимостьвременипроездаподугеотзагруз
-
кивплотьдодостиженияпредельногозначениявыглядитвесьмаидеа
-
лизированным,посколькуреальнаяпрактикавожденияпоказывает,что
сувеличениемчислаавтомобилейнадорогескоростьдвижениявсе
-
таки
уменьшается.Однакоэтотподходсопровождаетсявесьмаинтересными
теоретическимирезультатами,окоторыхвкратцестоитупомянуть.
Длякаждойпотокообразующейпарыw
∈
Wдлинукратчайшего(по
времени)путипривременныхзатратахнадугах,определяемыхвектором
,
задаетвогнутаякусочно
-
линейнаяфункция
u
w
(
)
=
min
q
∈
P
w
n
G
q
=
X
e
∈
E
eq
e
o
.
Вкачествестационарногодинамическогорешениязадачитранспортного
равновесияавторы[58]предлагаютбратьтакоерешение(y
†
,
†
)негладкой
оптимизационнойзадачи
X
w
∈
W
d
w
u
w
(
)
−
X
e
∈
E
y
e
e
→
max,
e
0
e
,e
∈
E,(25)
накоторомбывыполнялисьравенства
†e
=
c
e
−
y
†e
,где
†e
—
оптимальные
значениядвойственныхпеременныхзадачи(25).
Интереснымрезультатомявляетсятотфакт,чтосложнуювовсехотно
-
шенияхзадачу(25)можнозаменитьнадвойственнуюкней,котораявсвою
очередьявляетсязадачейлинейногопрограммирования,интерпретируемой
38Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
какзадачаминимизациииздержеквмногопродуктовойтранспортнойза
-
даче:
0
y
→
min,y
=
X
s
∈
S
y
s
c,y
s
∈
Y
s
,(26)
где
0
=
(
0
e
:e
∈
E)
—
векторминимальныхвременныхзатратвсети,
c
=
(c
e
:e
∈
E)
—
векторпропускнойспособностисети,переменныеy
s
имножествоY
s
определенывразделе1.2.1.
Практикаприменимостизадачи(26)кУДСВладивостокаописана
вработе[19].
1.3.Соотношениемеждусистемнымоптимумом
иконкурентнымравновесием
Очевидно,чтообщиезатратыприсистемнойоптимизациинемогут
превышатьобщихзатратприпользовательскойоптимизации.Поэтому
разностьмеждусовокупнымитранспортнымизатратами,которыенесут
пользователисети,перемещаясьсогласнолиботолькопервому,либотоль
-
ковторомуповеденческимпринципамВардропа,можнорассматриватькак
ценуанархии,исуществуютпримеры,когдаэтаценасоставляетсуще
-
ственнуюдолюотобщихрасходов.
Напринципиальнуюразницумеждуконкурентнымтранспортнымрав
-
новесиемисистемнымоптимумомоднимизпервыхобратилвнимание
А.Пигу[61].Онрассмотрелпростейшуютранспортнуюсеть,состоящую
издвухдуг,соединяющихдвапункта,скажем,спальныйрайонAибизнес
-
зонуB(см.рис.2).
Рис.2.ПримертранспортнойсетиПигу
ЖителипунктаAвольнывыбирать,покакойиздвухдорогимлучше
добиратьсядоработы.Обозначимчерезx
1
иx
2
долиобщегообъема
трудовогопотока,едущегопопервойивторойдорогамсоответственно.
1.3.Соотношениемеждусистемнымоптимумомиконкурентнымравновесием39
Дорогиврассматриваемойсетинеравноценны.Перваяпредставляетма
-
гистральноешоссе,котороеспособнопринятьвесьпотокавтомобилейиз
пунктаAвпунктBбезвсякогозамедлениядвижения.Однакоэтадорога
достаточнодлиннаяипроездпонейтребуетопределенноговремениG
1
,
котороебудемсчитатьравным,например,одномучасу,тоестьG
1
(x
1
)
=
=
1.Повторойдорогепутьсущественнокороче,ноэтодорогаузкая
идвижениесильнозамедляетсяприналичиинанейпотокаавтомобилей.
Чтобыподчеркнутьсутьпримера,будемсчитать,чтовремяпроездапо
второйдорогеG
2
линейнозависитотпотокаx
2
поэтойдорогеизадается
соотношениемG
2
(x
2
)
=
x
2
.Тогдавсоответствииспервымпринципом
Вардропа(Пигу
—
Найта
—
Вардропа)равновесномусостояниюбудетсо
-
ответствоватьтакоераспределениепотоков(x
†1
,x
†2
),что
G
1
(x
†1
)
=
G
2
(x
†2
),x
†1
+
x
†2
=
1,x
†1
,x
†2
0,
откуданемедленноследует,чтоx
†1
=
0,x
†2
=
1,приэтомсистемныезатраты
c(x
†1
,x
†2
)
=
1
x
†1
+
x
†2
x
†2
=
1.
РаспределениепотоковвсоответствиисовторымпринципомВардропа
(системныйоптимум)определяетсякакрешениеоптимизационнойзадачи:
min(x
1
+
x
2
2
):x
1
+
x
2
=
1,x
1
,x
2
0,(27)
минимумкоторойдостигаетсявточкеx
⋆1
=
x
⋆2
=
0,5,минимальныезатраты
c(x
⋆1
,x
⋆2
)
=
0,75,чтона25%уменьшаетсистемныеиздержкивсети.
ПриведенныйпримерПигупоказывает,чтосуммарныезатратывкон
-
курентномравновесиимогутсоставлять4
/
3отсуммарныхзатратси
-
стемногооптимума.Оказывается,этосоотношениепредставляетсобой
неулучшаемуюоценкусверхудляконкурентногопотоковогоравновесия
саффиннымифункциямизатратинезависитоттопологиисети.Для
подробногоизложенияэтогорезультатаустановимнекоторыеполезные
соотношения,характеризующиеравновесныеиоптимальныепотоки.
Изусловияравновесия(1),очевидно,следует,чтоеслиx
†p
>
0иx
†q
>
>
0дляпутейp,q
∈
P
w
,тоG
p
(x
†
)
=
G
q
(x
†
)
=
u
†w
.Посколькувклад
всуммарныесистемныезатраты(обозначимихc(x
†
))приравновесном
распределенииx
†
вносяттольконенулевыепотокиx
†p
>
0,адлянихвсе
удельныезатратывпределаходнойпарыwодинаковыиравныu
†w
,то
значениеc(x
†
)можнорассчитатьследующимобразом:
c(x
†
)
=
X
p
∈
P
G
p
(x
†
)x
†p
=
X
w
∈
W
X
p
∈
P
w
G
p
(x
†
)x
†p
=
X
w
∈
W
u
†w
X
p
∈
P
w
x
†p
=
X
w
∈
W
u
†w
w
.
(28)
40Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
РаспределениепотоковповторомупринципуВардропаx
⋆
исистемный
оптимумc(x
⋆
)соответствуютрешениюоптимизационнойзадачи:
c(x)
=
X
p
∈
P
G
p
(x)x
p
→
min,x
∈
X.(29)
Положимc
p
(x)
=
G
p
(x)x
p
ибудемпредполагать,чтодлявсехp
∈
P
функцииc
p
(x)являютсявыпуклымиинепрерывнодифференцируемыми.
Справедливаследующаятеорема.
Теорема5.Пустьx
⋆
—
решениязадачи(29),тоестьоптимальное
распределениепотоковвсети.Тогдадлявсякойпарыw
∈
Wверно
следующее:еслиx
⋆p
>
0,p
∈
P
w
,то
∂
c(x
⋆
)
∂
x
p
∂
c(x
⋆
)
∂
x
q
длявсехq
∈
P
w
.
Доказательство.Предположимпротивное,аименно,чтодляпа
-
рыwсуществуеттакойпуть
¯¯
p
∈
P
w
,чтоx
⋆
¯¯
p
>
0и
∂
c(x
⋆
)
∂
x
p
>
∂
c(x
⋆
)
∂
x
q
для
некоторого
¯¯
q
∈
P
w
,
¯¯
q
6=
¯¯
p.Рассмотримтакойвекторx
=
(x
p
:p
∈
P),что
x
p
=
x
⋆p
,p
6=
¯¯
p,p
6=
¯¯
q,
x
⋆
¯¯
p
−
,p
=
¯¯
p,
x
⋆
¯¯
q
+
,p
=
¯¯
q,
где
>
0достаточномалоиненарушаетусловиянеотрицательностиx
0.
Нетрудновидеть,чтоx
∈
X,приэтомвсилувыпуклостифункцииc(x)
имеемоценку
c(x
)
−
c(x
⋆
)
∇
c(x
)(x
−
x
⋆
)
=
∂
c(x
)
∂
x
q
−
∂
c(x
)
∂
x
p
<
0,
чтопротиворечитоптимальностиx
⋆
.
Вчастномслучае,когдаG
p
(x)
≡
G
p
(x
p
),изтеоремы5непосредственно
следует,чтовоптимальномраспределениипотоковx
⋆
длявсякойпары
w
∈
Wверноследующее:еслиx
⋆p
>
0,p
∈
P
w
,то
∂
c
p
(x
⋆
)
∂
x
p
∂
c
q
(x
⋆
)
∂
x
q
длявсех
q
∈
P
w
.Приэтом,какивслучаеравновесныхпотоков,дляоптимальных
потоковсправедливыравенства
∂
c
p
(x
⋆
)
∂
x
p
=
∂
c
q
(x
⋆
)
∂
x
q
длятехp,q
∈
P
w
,для
которыхx
⋆p
>
0,x
⋆q
>
0.ЭтиусловияизвестнытакжекакусловияГиббса
(см.,например,[11]).
Рассмотримслучай,когдатранспортныезатратынапрохождениекаж
-
догопутиp
∈
Pскладываютсятолькоиззатратнапроездподугам,
составляющимэтотпуть,тоестьG
p
(x)определяютсяпоформуле(18),
приэтомзатратыподугам
e
(y)описываютсяаффиннымифункциями
e
(y)
=
a
e
y
e
+
b
e
,гдеa
e
иb
e
—
неотрицательныекоэффициентыдлявсех
1.3.Соотношениемеждусистемнымоптимумомиконкурентнымравновесием41
e
∈
E.Приэтомфункциясистемныхзатратиеечастныепроизводные
определяютсякак
c(x)
=
X
p
∈
P
X
e
∈
E
ep
e
(y)x
p
=
X
e
∈
E
e
(y)y
e
=
X
e
∈
E
(a
e
y
2
e
+
b
e
y
e
),
∂
c(x)
∂
x
p
=
X
e
∈
E
ep
(2a
e
y
e
+
b
e
).
Обозначимчерезy
†
=
(y
†e
:e
∈
E)иy
⋆
=
(y
⋆e
:e
∈
E)загрузкудугсети,
порожденнуюпотокамиx
†
иx
⋆
соответственно.Опираясьнаприведенные
вышерезультатыдляравновесныхx
†
иоптимальныхx
⋆
потоков,можем
утверждать,чтовыполненыследующиеусловия:
равновесие:еслиx
†p
>
0,p
∈
P
w
,тодлялюбогоq
∈
P
w
выполнено
X
e
∈
E
ep
(a
e
y
†e
+
b
e
)
X
e
∈
E
eq
(a
e
y
†e
+
b
e
);(30)
оптимальность:еслиx
⋆p
>
0,p
∈
P
w
,тодлялюбогоq
∈
P
w
выполнено
X
e
∈
E
ep
(2a
e
y
⋆e
+
b
e
)
X
e
∈
E
eq
(2a
e
y
⋆e
+
b
e
).(31)
Любопытно,чтоприлинейныхфункцияхзадержек
e
(y)
=
a
e
y
e
из
неравенств(30)и(31)следуетсовпадениеравновесныхиоптимальных
потоков.
Следуяработе[62],черезтройку[
Γ
,
,G(x)]обозначимтранспорт
-
нуюмодель,определеннуюнасети
Γ
,сматрицейкорреспонденций
=
=
(
w
:w
∈
W)изатратамиG(x)
=
(G
p
(x):p
∈
P).Вездедалеебудем
полагать
G
p
(x)
=
X
e
∈
E
ep
e
(y)
=
X
e
∈
E
ep
(a
e
y
e
+
b
e
).(32)
Имеетместоследующийрезультат.
Лемма1.Пустьx
†
—
решениезадачитранспортногоравновесия
длямодели[
Γ
,
,G(x)].Тогдавектор
1
2
x
†
являетсярешениемопти-
мизационнойзадачидлямодели
h
Γ
,
1
2
,G(x)
i
.
Доказательство.Еслиx
†
являетсядопустимымрешениемрав
-
новесноймодели[
Γ
,
,G(x)],то,очевидно,
1
2
x
†
—
допустимоерешение
оптимизационноймодели
h
Γ
,
1
2
,G(x)
i
,приэтомнеравенства(31)для
1
2
x
†
переходятв(30).
42Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
Болеетого,длякаждоготакогомаршрутаp
∈
P
w
,чтоx
†p
>
0,выполнено
∂
c
1
2
x
†
∂
x
p
=
X
e
∈
E
ep
{
a
e
y
†e
+
b
e
}=
u
w
(x
†
).
Лемма2.Пустьx
⋆
—
оптимальноераспределениепотоков,от-
вечающеетранспортноймодели[
Γ
,
,G(x)].Тогдадлялюбогодопу-
стимогопотокаx
вмодели[
Γ
,(1
+
)
,G(x)]справедливаоценка
c(x
)
c(x
⋆
)
+
X
w
∈
W
v
w
(x
⋆
)
w
,(33)
где
0,v
w
(x
⋆
)
=
min
p
∈
P
w
∂
c(x
⋆
)
∂
x
p
.
Доказательство.Рассмотримдопустимыеотносительномодели
[
Γ
,(1
+
)
,G(x)]потокиx
.ПризатратахG
p
(x),определенныхв(32),
гдевсекоэффициентыa
e
0,функцияc(x)выпукла,отсюда
c(x
)
c(x
⋆
)
+
∂
c(x
⋆
)
∂
x
p
(x
−
x
⋆
)
=
c(x
⋆
)
+
X
p
∈
P
∂
c(x
⋆
)
∂
x
p
(x
p
−
x
⋆p
)
=
=
c(x
⋆
)
+
X
w
∈
W
X
p
∈
P
w
∂
c(x
⋆
)
∂
x
p
(x
p
−
x
⋆p
)
=
=
c(x
⋆
)
+
X
w
∈
W
X
p
∈
P
w
∂
c(x
⋆
)
∂
x
p
x
p
−
X
p
∈
P
w
∂
c(x
⋆
)
∂
x
p
x
⋆p
.
Посколькудлятакихp,чтоx
⋆p
>
0,производная
∂
c(x
⋆
)
∂
x
p
принимаетмини
-
мальноезначение:
∂
c(x
⋆
)
∂
x
p
=
min
q
∈
P
w
∂
c(x
⋆
)
∂
x
q
=
v
w
(x
⋆
),
то
X
p
∈
P
W
∂
c(x
⋆
)
∂
x
p
x
⋆p
=
X
p
∈
P
w
v
w
(x
⋆
)x
⋆p
.
1.3.Соотношениемеждусистемнымоптимумомиконкурентнымравновесием43
Следовательно,продолжаяоценкуснизудляc(x
),получаем
c(x
)
c(x
⋆
)
+
X
w
∈
W
X
p
∈
P
w
v
w
(x
⋆
)x
p
−
X
p
∈
P
w
v
w
(x
⋆
)x
⋆p
=
=
c(x
⋆
)
+
X
w
∈
W
v
w
(x
⋆
)
X
p
∈
P
w
x
p
−
X
p
∈
P
w
x
⋆p
=
=
c(x
⋆
)
+
X
w
∈
W
v
w
(x
⋆
)((1
+
)
w
−
w
)
=
c(x
⋆
)
+
X
w
∈
W
v
w
(x
⋆
)
w
.
Итоговыйрезультаттекущегоразделаустанавливаетследующаятео
-
рема.
Теорема6.Длятранспортноймодели[
Γ
,
,G(x)]саффинными
функциямизадержек(32)дляоптимальногоx
⋆
иравновесногоx
†
распределенийпотоковвыполняетсясоотношение
c(x
†
)
c(x
⋆
)
4
3
.
Доказательство.Cогласно(28)системныезатратыдляравновес
-
ногораспределенияx
†
рассчитываютсякак
c(x
†
)
=
X
w
∈
W
u
w
(x
†
)
w
,
полемме1поток
1
2
x
†
оптималендлятранспортноймодели
h
Γ
,
1
2
,G(x)
i
,
приэтомv
w
1
2
x
†
=
u
w
(x
†
).
Положим
=
1воценке(33).Тогдадляпроизвольногопотокаx,
допустимоговмодели
h
Γ
,2
1
2
,G(x)
i
=
[
Γ
,
,G(x)],имеем
c(x)
c
1
2
x
†
+
X
w
∈
W
1
2
v
w
1
2
x
†
w
=
=
c
1
2
x
†
+
1
2
X
w
∈
W
u
w
(x
†
)
w
=
c
1
2
x
†
+
1
2
c(x
†
).(34)
Осталосьполучитьоценкуснизуc
1
2
x
†
втерминахc(x
†
),чтолегкосде
-
лать,учитываявидфункцийзадержки:
c
1
2
x
†
=
X
e
∈
E
1
2
y
†e
1
2
a
e
y
†e
+
b
e
1
4
X
e
∈
E
y
†e
(a
e
y
†e
+
b
e
)
=
1
4
c(x
†
),
гдедляпромежуточныхвычисленийиспользовалисьпотокиподугам
(y
†e
,e
∈
E),индуцированныеравновеснымипотокамипомаршрутамx
†
.
44Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
Очевидно,чтоприэтомпотоки
1
2
x
†
будутиндуцироватьзагрузкудуг
1
2
y
†e
,e
∈
E
.
Врезультате,продолжаяоценку(34),получим
c(x)
1
4
c(x
†
)
+
1
2
c(x
†
)
=
3
4
c(x
†
).
Вычисляявпоследнемнеравенствеминимумлевойчастиповсемx,допу
-
стимымвмодели[
Γ
,
,G(x)],получаем
c(x
†
)
c(x
⋆
)
4
3
.
Относительнообщегослучаянелинейныхфункцийтранспортныхза
-
тратнетрудноубедитьсявтом,чтоценаанархииможетбытьскольугодно
большой.
1.4.Численныеметодырешениязадачтранспортного
равновесия
Эквивалентностьзадачитранспортногоравновесиявариационному
неравенству,авчастномслучаеоптимизационнойзадаче,позволяетадап
-
тироватьчисленныеметодырешенияпоследнихдляпоискаравновесных
потоков.Вданномразделерассматриваютсяподходыкрешениюзадачи
транспортногоравновесиясфиксированнымспросом.
Взависимостиоттого,вкакомпространствепеременныхрассматри
-
ваетсяисходнаязадача,выделяютдваосновныхподходакпостроению
алгоритмическихсхем.Еслиравновесиемоделируетсятолькочерезпото
-
ковыепеременныеподугамy
e
,топрименяюттакназываемыедуговые
алгоритмы(arc
-
basedalgorithms).Еслиосновнымипеременнымизадачи
являютсяпотокипопутямx
p
и,соответственно,итерированиеведетсяпо
допустимыммаршрутам,тотакиеалгоритмыназываютсямаршрутными
(path
-
basedalgorithms)[60,34].
Основнымпреимуществомпоискаравновесиячерезпеременныеx
p
являетсявозможность
«
убитьдвухзайцеводнимвыстрелом
»
:знаярас
-
пределениепотоковпомаршрутамииспользуясоотношение(17),всегда
можноопределитьзагрузкудугтранспортнойсети.Обратноепреобра
-
зование,очевидно,неоднозначно.Информацияораспределениипотоков
попутямсамапосебеявляетсяважнойпримоделированиидругихза
-
дач,например,проблемзагрязненияокружающейсреды,оценкиматрицы
корреспонденций,планированиятранспортныхразвязокимодернизации
улично
-
дорожнойсети,эффективногорегулированиядвиженияит.п.
Несомненнымплюсомвпользуработывпространствепотоковых
переменныхпопутямсалгоритмическойточкизренияявляетсявозмож
-
1.4.Численныеметодырешениязадачтранспортногоравновесия45
ностьестественнойпроверкивыполненияусловияравновесия(1)ипоиска
распределенияпотоков,удовлетворяющихзаданнойточности.Информа
-
циятолькоопотокахподугамтакойвозможностинедает.Крометого,
структурадопустимогомножестваX,определенногов(3),представляет
собойдекартовопроизведениенепересекающихсясимплексовX
w
,итакое
свойствоможетпородитьцелыйклассметодов,использующихпринципы
декомпозициииидеипараллелизацииитерационныхсхем.
Последнимаргументомвпользуисследованиязадачитранспортного
равновесияименновтерминахпотоковыхпеременныхпопутямявляет
-
сятотпростойфакт,чтоприобщемзаданиифункциииздержекG
p
(x),
необязательноскладывающихсяиззатратнапередвижениеподугам,
переформулировкаусловияравновесия(1)втерминахпеременныхy
e
невозможна.
Основнойнедостатокработыспотоковымипеременнымипопутям
—
этонеобходимостьаприорногозаданиямножествавсехдопустимыхмарш
-
рутовP.Такаязадачаявляетсяоченьтрудоемкой,особеннодляреальных
транспортныхсетей.Каквариант,длякаждойпотокообразующейпары
можноограничитьсярассмотрениемkкратчайшихмаршрутов,заведомо
исключитьнеперспективныепути,ноотэтогопроблемапрощенеста
-
новится.Напрактикеиспользуетсянетакмноговариантовдвижения,
поэтомунетнеобходимостизнатьвсеэлементымножестваP.Болеетого,
существуетстандартнаятехника,частоназываемаяметодомгенерации
столбцов,когдавходныеданныенепосредственностроятсявпроцессе
решениязадачи.Применениетакойтехникикпроблемепоискатранспорт
-
ногоравновесияпозволитстроитьмножестводопустимыхиперспективных
дляиспользованиямаршрутовнепосредственновпроцессерешенияза
-
дачи.
Такимобразом,изприведенныхаргументоввидно,чтопотоковоерав
-
новесиепредпочтительнейискатькакрешениевариационногонеравен
-
ства(6)впространствепотоковыхпеременныхпопутям.
1.4.1.Проективныеметодырешениязадачитранспортногорав
-
новесия
Средисуществующихметодоврешениявариационныхнеравенствот
-
дельноможновыделитьпроективныеалгоритмы,отличающиесяпростотой
своихитерационныхсхемигибкостьюкразличногородамодификациям.
Восновупроективныхметодовположенасвязьмеждумножествомре
-
шенийвариационногонеравенстваинеподвижнымиточкамипроективного
отображения,установленнаявутверждении2.
Далеепонадобятсяследующиеопределения.
Определение4.ОтображениеG:X
→R
n
намножествеXназывается:
46Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
–
липшицевым,еслисуществуетконстантаL
>
0такая,что
k
G(x)
−
G(y)
k
L
k
x
−
y
k
длявсехx,y
∈
X;
–
сильномонотоннымсконстантой
>
0,если(G(x)
−
G(y))(x
−
y)
k
x
−
y
k
2
длявсехx,y
∈
X;
–
обратносильномонотонным(ко
-
коэрцитивным)сконстантой
>
>
0,если(G(x)
−
G(y))(x
−
y)
k
G(x)
−
G(y)
k
2
длявсехx,y
∈
X;
–
монотонным,если(G(x)
−
G(y))(x
−
y)
0длявсехx,y
∈
X;
–
псевдомонотонным,еслиизнеравенстваG(x)(y
−
x)
0следует
G(y)(y
−
x)
0длявсехx,y
∈
X;
–
строгопсевдомонотонным,еслиизнеравенстваG(x)(y
−
x)
0сле
-
дуетG(y)(y
−
x)
>
0длявсехx,y
∈
X,x
6=
y.
Всамойпростойформепроективныйметодстроитпоследовательность
{
x
k
}∈
X,генерируемуюрекуррентнымсоотношением
x
k
+
1
=
X
(x
k
−
k
G(x
k
)),
k
>
0,k
=
0,1,2,...(35)
Натекущиймоментизвестно,чтосходимостьпроцесса(35)гаранти
-
руетсяпривыполненииодногоизследующихусловий(см.[50]ибиблио
-
графиювней):
1)отображениеGсильномонотонносконстантой
илипшицево
сконстантойL,
k
∈
(0,2
/
L
2
);
2)отображениеGко
-
коэрцитивносконстантой
,
k
∈
(0,2
);
3)длялюбыхx
∈
X
\
X
∗
иx
∗
∈
X
∗
выполнено
G(x)(x
−
x
∗
)
>
0,(36)
гдеX
∗
—
множестворешенийвариационногонеравенства,
k
=
=
k
k
G(x
k
)
k
,
∞
P
k
=
0
k
=∞
,
∞
P
k
=
0
2
k
<∞
.
Нетруднопоказать,чтолюбоесильномонотонноелипшицевоотобра
-
жениеявляетсяко
-
коэрцитивнымивлечетвыполнениенеравенства(36).
Обратное,очевидно,неверно,поэтомувтороеитретьеусловияявляются
менееограничительными,чемпервое,однакоостаютсядостаточносиль
-
нымипредположениями,чтосущественносужаеткругзадач,длякоторых
метод(35)гарантированносходится.Крометого,правилавыборашагового
множителя
k
являютсявесьмаобщимидлявсехтрехслучаев,чтона
практикеприводиткмедленнойскоростисходимостивсегопроцесса.
Однойизпопытокулучшитьситуациюбылопредложениеозамене
процесса(35)натакназываемыйэкстраградиентныйметод[13,1]:
u
k
=
X
(x
k
−
k
G(x
k
)),x
k
+
1
=
X
(x
k
−
k
G(u
k
)),
k
>
0,k
=
0,1,2,...
(37)
1.4.Численныеметодырешениязадачтранспортногоравновесия47
Первуюпроекциюu
k
можнотрактоватькакпредиктор,вторуюx
k
+
1
—
как
корректор.
Сходимостьэкстраградиентногометодагарантируетсяпривыполнении
одногоизследующихусловий[13,1,31,53]:
1)GмонотонноилипшицевосконстантойL,
k
∈
(0,1
/
L);
2)Gпсевдомонотонно,локальнолипшицево,динамическаярегулиров
-
кашага
k
∈
(0,min
{
¯¯
,
k
x
k
−
u
k
k
/
k
G(x
k
)
−
G(u
k
)
k}
),
∈
(0,1).
Дляускорениясходимостиэкстраградиентногометодавеличинушага
k
упредиктораикорректораможносделатьразной,приэтомотобра
-
жениеGможетудовлетворятьвсеголишьсвойствупсевдомонотонности
[44,63,66].Хорошийобзор,посвященныйисследованиямметодовпроек
-
тивноготипа,приведенв[67].
Нетрудновидеть,чтоусловиясходимостиэкстраградиентногометода
менееограничительныепосравнениюспроективным.Однакоплатаза
такоепослабление
—
этомногократноерешениезадачипроекциинаэтапе
определенияшаговогомножителя.
Основнойтрудностьюприреализациипроцессов(35)и(37)является
вычислениепроекциинамножествоX.Вобщемслучаетребуетсярешение
вспомогательнойоптимизационнойзадачи,однакоприпоискетранспорт
-
ногоравновесиякакрешениявариационногонеравенства(6)операцию
проектирования
X
(
)можносвестикболеепростымвычислениям
X
w
(
).
1.4.2.Декомпозицияпроективныхметодовдляпоискаравновес
-
ныхпотоков
Какужебылоотмечено,множестваX
w
,определенныев(4),непе
-
ресекаютсяпопеременным,поэтомувекторx
∈
Xможноразделитьна
подвектораx
w
=
(x
p
:p
∈
P
w
)
∈
X
w
—
потокипопутям,соединяющимпару
w
∈
W.Аналогичновыделимвектор
-
функцииG
w
(x)
=
(G
p
(x):p
∈
P
w
)
—
издержкипопутям,соединяющимпаруw
∈
W,призагрузкесетипотока
-
миx.Такимобразомx
=
(x
w
:w
∈
W)иG(x)
=
(G
w
(x):w
∈
W).
ОтмеченнаяспецификамножестваX,определенногов(3),естествен
-
нымобразомпозволяетсвестиоперацию
X
(
)квычислениям
X
w
(
)для
каждогоw
∈
W.Поэтомудляпоискатранспортногоравновесияобщая
схемапроективногометода(35)трансформируетсявследующийпроцесс:
x
k
=
((x
w
)
k
:w
∈
W),(x
w
)
k
+
1
=
X
w
((x
w
)
k
−
k
G
w
(x
k
)),
x
k
+
1
=
((x
w
)
k
+
1
:w
∈
W),
k
>
0,k
=
0,1,2,...
(38)
Аналогичноможнопреобразоватьипроцесс(37).
Длявычисления
X
w
(
)существуетзамечательныйалгоритмпоиска
проекцииточкиz
∈R
n
насимплекс
Δ={
x
∈R
n+
:ex
=
}
,гдеe
—
еди
-
ничныйвекторразмерностиn.Общаясхемаалгоритмаследующая[47]:
48Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
Шаг0.Вычислитьx
0
=
z
+
((
−
ez)
/
n)e,положитьk
=
0.
Шаг1.Еслиx
k
0,топроекцияzнамножество
Δ
найдена,алгоритм
заканчиваетработу.Впротивномслучаевыполняетсяшаг2.
Шаг2.Вычислитьx
k
+
1
поправилу:
x
k
+
1
i
=
0,еслиi
/
∈
I,
x
k
i
+
1
|
I
|
−
P
j
∈
I
x
k
j
,еслиi
∈
I.
гдеI
={
i:x
k
i
>
0
}
,положитьk
=
k
+
1иперейтинашаг1.
Приведенныйалгоритмзанеболеечемnшаговприведеткискомой
точке
Δ
(z).
Отметим,чтоподвектора(x
w
)
k
определяютсянезависимодруготдру
-
га,поэтомуприпрограммнойреализациипроцесс(38)легкоподдается
параллелизации,чтонесомненноулучшаетеговычислительныесвойства
иделаетпроективныеметодыпривлекательнымидляиспользования.
1.4.3.Проективныйметодсгенерациеймаршрутов
СпецификадопустимогомножестваXзадачитранспортногоравновесия
позволяетбезтрудавычислятьоперациюпроектирования.Однакопроек
-
тивныеалгоритмыпредполагаютаприорноезаданиеполногомножества
допустимыхмаршрутовP,чегохотелосьбыизбежатьпоследующимтрем
причинам.Во
-
первых,трудоемкостьалгоритмовпостроениявсехпутей,
соединяющихпарувершин,растетэкспоненциальносувеличениемраз
-
мерностиграфа.Поэтомудляреальныхсетейбольшойразмерности,вко
-
торыхрассматриваютсясотниилитысячипотокообразующихпар,задача
построенияполногомножествамаршрутовможетпотребоватьбольших
вычислительныхресурсов,превосходящихдажевозможностисуперком
-
пьютеров.Во
-
вторых,мощностьмножестваPопределяетразмерность
решаемойзадачи,поэтомучембольшеэлементоввP,темтруднеесвы
-
числительнойточкизрениябудетпроходитьпоискравновесногораспреде
-
ленияпотоковвсети.Инаконец,в
-
третьих,скореевсего,б
´
ольшаячасть
путейизмножестваPнебудетиспользоватьсяприпереносезаданного
трафика,поэтомуихвключениевPбессмысленно.
В[46]длярешениясимметричнойзадачитранспортногоравновесия
предложенметод,которыйнарядусрешениемоптимизационнойзада
-
чи(20)последовательностроитмножестводопустимыхмаршрутоввсети.
Такойподходможнообобщитьидлянесимметричногослучая.
Обозначимчерезx
†
(
P
)равновесноераспределениепотоковнамноже
-
ствепутей
P
,через0
|P|
—
нулевойвектор,размерностиравнойколичеству
1.4.Численныеметодырешениязадачтранспортногоравновесия49
элементоввмножестве
P
,черезVI(
P
)
—
вариационноенеравенствовида:
X
p
∈P
G
p
(x
†
(
P
))(x
p
(
P
)
−
x
†p
(
P
))
0,
x(
P
)
=
(x
p
:p
∈P
)
∈
X(
P
)
=
Y
w
∈
W
X
w
(
P
w
),
гдеX
w
(
P
w
)
=
n
x
p
0:p
∈P
w
,
P
p
∈P
w
x
p
=
w
o
—
допустимоемножествопо
-
токовдляпарыwнамножествепутей
P
w
и
P=
S
w
∈
W
P
w
.Всилутеоремы1
векторx
†
(
P
)
∈
X(
P
)являетсярешениемвариационногонеравенстваVI(
P
).
Пустьдлякаждойпарыw
∈
Wзаданонекотороенепустоеподмно
-
жестводопустимыхмаршрутовP
0
w
⊆
P
w
.Тогдатекущеемножествопутей
всетиопределяетсякакP
0
=
S
w
∈
W
P
0
w
.
Предположим,чтодляP
0
впроцессерешениявариационногонера
-
венстваVI(P
0
)найденыравновесныепотокиx
†
(P
0
).Приэтомповсем
путямp
∈
P
\
P
0
=
¯¯
P
0
движениянет,поэтомуx(
¯¯
P
0
)
=
0
|
¯¯
P
0
|
.Векторx
0
=
=
(x
†
(P
0
),0
|
¯¯
P
0
|
)содержитсявX,т.е.являетсядопустимымраспределени
-
емпотоковвсети.Осталосьпроверить,являетсялиx
0
равновесным.
Потокиx
0
характеризуютзагрузкусетииприводяткопределенным
задержкамнаеедугах.Еслидлянекоторойпарыw
∈
Wпритекущем
состояниисетинайденмаршрутq
w
/
∈
P
0
w
такой,что
G
q
w
(x
0
)
<
u
w
(x
0
),(39)
то,очевидно,распределениеx
0
неявляетсяравновесныминеобходимо
перераспределитьпотокиужесучетомq
w
.Еслинидляоднойизпотоко
-
образующихпартакогопутинесуществует,топотокиx
0
удовлетворяют
условиямравновесия(1).
Обнаружитьнаименеезатратныйпутьq
w
можноприпомощиспеци
-
альныхалгоритмов.Возможно,чтотакиепутисуществуютдлянесколь
-
кихпотокообразующихпар,поэтомуприперераспределениипотоков
предпочтительноучитыватьвсетакиепути.Новуюзагрузкусетимож
-
нополучитьврезультатерешениявариационногонеравенстваVI(P
1
),
гдеP
1
=
P
0
S
w
∈
W
q
w
.Сноваполучаемдопустимоераспределениепотоков
x
1
=
(x
†
(P
1
),0
|
¯¯
P
1
|
)
∈
X,котороенеобходимопроверитьнасоответствие
условиямравновесия(1).Процессбудетповторятьсядотехпор,пока
существуютпутиq
w
,удовлетворяющие(39).
Приведенныевышерассужденияидекомпозированныйпроективный
метод(38)приводяткследующемуалгоритмупоискапотоковогоравнове
-
сиявтранспортныхсетях.
50Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
Алгоритм1
Шаг0.СформироватьмножествоP
0
=
S
w
∈
W
P
0
w
,гдеP
0
w
⊆
P
w
иP
0
w
6=∅
длявсехw
∈
W.Положитьk
=
0.
Шаг1.Найтирешениеx
†
(P
k
)
∈
X(P
k
)вариационногонеравенства
VI(P
k
)проективнымметодом(38).
Шаг2.ПостроитьмножествоQ
k
={
q
w
:w
∈
W,G
q
w
(x
k
)
<
u
w
(x
k
)
}
.
ЕслиQ
k
=∅
,тотекущеераспределениепотоковx
k
являетсяравновесным,
алгоритмзаканчиваетработу.Впротивномслучаесформироватьмноже
-
ствоP
k
+
1
=
P
k
∪
Q
k
,положитьk
=
k
+
1иповторитьшаг1.
Таккак
|
P
k
+
1
|>|
P
k
|
имножествовсехпутейвграфе
Γ
(V,E)конечно,
топриведенныйалгоритм1законечноечислошаговсойдетсякравновес
-
номураспределениюпотоковx
†
∈
X.
Заметим,чтоскаждойследующейитерациейалгоритма1размер
-
ностьрешаемоговариационногонеравенстваVI(P
k
)увеличивается,что
можетвесьмаусложнитьчисленныерасчеты.Дляпреодоления
»
прокля
-
тияразмерности
»
предлагаетсяследующаямодификацияалгоритма1.При
Q
k
6=∅
нашаге2множествоP
k
+
1
строитсяпоправилу
P
k
+
1
=
[P
k
]
+
∪
Q
k
,[P
k
]
+
={
p
∈
P
k
:x
†p
>
0
}
,(40)
т.е.кначалуследующейитерациидопустимоемножествомаршрутовP
k
+
1
формируетсятолькоизпутеймножестваP
k
,которыеучаствуютвпереносе
трафика,инайденныхкратчайшихпутей,неучтенныхвP
k
.
Несмотрянаточтоприменениеправила(40)исключаетпоследователь
-
ноенакоплениедопустимыхмаршрутовиестьвероятностьпоявлениявP
k
ранеерассмотренногопути,алгоритм1остаетсяконечным,чтогарантирует
следующийрезультат[26].
Рассмотримоценочнуюфункцию
(x)
=
max
∈
X
G(x)(x
−
)
0длява
-
риационногонеравенства(6).Известно[49,50,41],чтоточкаx
†
∈
Xявля
-
етсярешениемVI(P)тогдаитолькотогда,когдаx
†
=
argmin
{
(x):x
∈
X
}
и
(x
†
)
=
0.
Утверждение3.Еслиx
k
∈
Xнеявляетсяравновеснойзагрузкой
сетиимножествоP
k
+
1
формируетсяпоправилу(40),то
(x
k
+
1
)
<
<
(x
k
).
Доказательство.ПустьдлямножествамаршрутовP
k
определено
равновесноераспределениепотоковx
∗
(P
k
)имножествоQ
k
6=∅
.Следуя
алгоритму1,строимновоемножествоP
k
+
1
поправилу(40)идлянего
находимравновесноераспределениепотоковx
∗
(P
k
+
1
).
Рассмотримоценочнуюфункцию
P
k
+
1
(x)
=
max
∈
X(P
k
+
1
)
G(x)(x
−
),
1.4.Численныеметодырешениязадачтранспортногоравновесия51
определеннуюдлявариационногонеравенстваVI(P
k
+
1
).Следовательно,
x
∗
(P
k
+
1
)
=
argmin
{
P
k
+
1
(x):x
∈
X(P
k
+
1
)
}
,
P
k
+
1
(x
∗
(P
k
+
1
))
=
0.
Построимвекторz
=
(z
p
:p
∈
P
k
+
1
)поправилу:z
p
=
x
∗p
приp
∈
[P
k
]
+
иz
p
=
0приp
∈
Q
k
.Очевидно,чтоz
∈
X(P
k
+
1
),поэтомуимеетместо
соотношение
0
=
P
k
+
1
(x
∗
(P
k
+
1
))
P
k
+
1
(z).
Оценочнуюфункцию
P
k
+
1
(z)можнопереписатьввиде
P
k
+
1
(z)
=
X
w
∈
W
X
p
∈
P
k
+
1
w
z
p
G
p
(z)
−
X
w
∈
W
G
q
w
(x
∗
(P
k
))d
w
=
=
X
w
∈
W
X
p
∈
P
k
+
1
w
(G
p
(z)
−
G
q
w
(x
∗
(P
k
)))z
p
>
0.
Следовательно,
P
k
+
1
(x
∗
(P
k
+
1
))
<
P
k
+
1
(z).
Рассмотримдвавектора
x
k
=
(x
∗
(P
k
),0
|
¯¯
P
k
|
)
∈
X,x
k
+
1
=
(x
∗
(P
k
+
1
),0
|
¯¯
P
k
+
1
|
)
∈
X.
Имеетместооценка
(x
k
+
1
)
=
X
p
∈
P
k
+
1
G
p
(x
k
+
1
)x
k
+
1
p
−
X
w
∈
W
u
w
(x
k
+
1
)d
w
<
<
X
p
∈
[P
k
]
+
G
p
(x
k
)x
k
p
=
X
p
∈
P
G
p
(x
k
)x
k
p
=
(x
k
),
чтодоказываетсходимостьалгоритма.
Изутверждения3следует,чтоеслиk
6=
l,тоP
k
6=
P
l
,поэтомумодифи
-
кация(40)ненарушаетконечностиалгоритма1.
1.4.4.Ступенчатаярегулировкашагапроективногометода
Проективныеметодыотносятсякклассутакназываемыхфейеровских
алгоритмов[12,8],получившихширокоераспространениеприрешении
задачдопустимости,оптимизации,дополнительности,равновесияидр.
Обобщениесвойствафейеровостибылопредложенов[16],чтопозволило
направитьпорождаемыйфейеровскимоператоромпроцесскнекоторому
заданномуподмножествуданногомножества.
Сцельюускорениясходимостипроцесса(38)кравновесномурас
-
пределениюпотоковпредлагаетсяиспользоватьтеориюфейеровскихпро
-
цессовсадаптивнымшагом[59,17].ЧерезU(y,
)
={
x:
k
x
−
y
k<
}
обозначим
-
окрестностьточкиy.Будемиспользоватьследующиеопре
-
деления.
52Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
Определение5.ОтображениеR:X
→R
n
называетсялокальносиль
-
ныматтрактантомподмножестваZ
⊂
X,еслидлялюбойточкиx
′
∈
X
\
Z
найдутсятакие
>
0и
>
0,чтодлялюбыхx
∈
U(x
′
,
)иz
∈
Zвыполнено
R(x)(z
−
x)
.
Определение6.ОператорFназываетсялокальносильнофейеров
-
скимотносительномножестваX,еслиF(x)
=
xдлялюбыхx
∈
Xидля
любогоy
′
/
∈
XсуществуютокрестностьU(y
′
,
)ичисло
∈
[0,1)такие,
чтодлявсехy
∈
U(y
′
,
)иx
∈
Xвыполнено
k
F(y)
−
x
k
k
y
−
x
k
.
ОбозначимчерезD(k,m)
=
conv
{
d
k
,d
k
+
1
,...,d
m
}
выпуклуюоболоч
-
кувекторов
{
d
k
,d
k
+
1
,...,d
m
}
,через
N
X
(z)
={
v:v(x
−
z)
0,x
∈
X
}
—
нормальныйконускмножествуXвточкеz.
Рассматриваетсяитерационныйпроцесс
x
k
+
1
=
x
k
+
k
d
k
,
d
k
=
F(x
k
+
k
R(x
k
))
−
x
k
k
,k
=
0,1,2,...,
(41)
гдеразмершаговогомножителя
k
выбираетсянаосновенакопленной
информациизапредыдущиеитерации.Длязаданнойпоследовательности
m
→+
0приm
→∞
определимпоследовательностьиндексов
{
k
m
}
иша
-
говыемножители
k
последующимправилам:
1)Дляm
=
0определимk
m
=
0изафиксируемпроизвольноеположи
-
тельное
0
.Выберем
∈
(0,1).
2)Дляданныхmиk
m
определимтакойиндексk
m
+
1
,что
0
/
∈
D(k
m
,k)
+
m
B,k
m
k
<
k
m
+
1
,0
∈
D(k
m
,k
m
+
1
)
+
m
Bпри
k
=
k
m
дляk
m
k
<
k
m
+
1
.
3)Положим
k
m
+
1
=
k
m
.
4)Увеличиваемномеритерацииm
=
m
+
1иповторяем(41)дляте
-
кущегозначения
k
.
Обоснованиесходимостиописанногопроцессакнекоторомустаци
-
онарномумножествуZ
†
={
z
†
∈
X:0
∈N
X
(z
†
)
+
R(x
†
)
}
даетследующая
теорема.
Теорема7([17]).ПустьоператорF
—
локальносильнофейе-
ровскийотносительноX,отображениеR(x)
—
локальносильный
аттрактантмножестваZ
†
.Еслипоследовательность
{
x
k
}
,по-
рожденнаяпроцессом(41),ограничена,товсееепредельныеточки
принадлежатZ
†
.
1.4.Численныеметодырешениязадачтранспортногоравновесия53
Перепишемрекуррентныесоотношения(38)вэквивалентнойформе:
x
k
=
((x
w
)
k
:w
∈
W),d
k
=
((d
w
)
k
:w
∈
W),
(d
w
)
k
=
X
w
((x
w
)
k
−
k
G
w
(x
k
))
−
(x
w
)
k
k
,
x
k
+
1
=
x
k
+
k
d
k
,k
=
0,1,2,...,
(42)
гдеразмершага
k
регулируетсяпоправилам1
–
4.
Операцияпроектирования
X
(
)являетсяяркимпредставителемло
-
кальносильнофейеровскихотносительноXоператоров.Геометрическая
интерпретациярешениявариационногонеравенства(6)говоритотом,
чтоG(x
†
)
∈N
X
(x
†
).Таккакпоследовательность
{
x
k
}
,генерируемаяпро
-
цессом(42),принадлежиткомпактномумножествуX,тоизтеоремы7
непосредственновытекаетследующийрезультат.
Теорема8.Если(
−
G(x))
—
локальносильныйаттрактантмно-
жестварешенийX
†
вариационногонеравенства(6),товсепредель-
ныеточкипоследовательности
{
x
k
}
,порожденнойпроцессом(42)
иправилами1
–
4,принадлежатX
†
.
Существуетсвязьмеждусвойствамиаттрактантностиипсевдомоно
-
тонности.
Утверждение4.ЕслиотображениеG(x)вариационногонеравен-
ства(6)строгопсевдомонотоннонаX,то
(−
G(x)
)
являетсялокаль-
носильныматтрактантомединственногорешенияx
†
∈
X
†
.
Доказательство.Произвольновыберемточкуx
′
∈
Xиопределим
такуюееокрестностьU(x
′
,
),чтоx
∗
/
∈
U(x
′
,
).Всилупсевдомонотонно
-
стиинепрерывностиGимеетместооценка
inf
x
∈
U(x,
)
(−
G(x)(x
∗
−
x)
)
inf
x
∈
¯¯
U
(−
G(x)(x
∗
−
x)
)=
0.
Значение
=
0противоречитстрогойпсевдомонотонностиG,поэтому
>
>
0идлялюбыхx
∈
U(x
′
,
)выполнено
−
G(x)(x
∗
−
x)
>
0,
отсюда(
−
G)
—
локальносильныйаттрактантX
∗
.
Нетруднопоказать,чтоеслиG
—
строгопсевдомонотонно,товариаци
-
онноенеравенство(6)имеетединственноерешение.Действительно,пусть
x
1
,x
2
∈
X
†
,x
1
6=
x
2
.Имеютместонеравенства:
G(x
1
)(x
2
−
x
1
)
0,G(x
2
)(x
2
−
x
1
)
0,
чтопротиворечитстрогойпсевдомонотонностиG,следовательно,неможет
существоватьболееодногорешения.Учитываяэтосвойствоиутвержде
-
ние4,приходимкследующемувыводу.
54Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
Следствие2.ЕслиG(x)
—
строгопсевдомонотоннонаX,то
последовательность
{
x
k
}
,порожденнаяпроцессом(42)иправила-
ми1
–
4,имеетединственнуюпредельнуюточкуx
†
∈
X
†
.
Такимобразом,полученыенаосноветеориифейеровскихпроцессов
условиясходимостипроективногометода(35)длярешениязадачтранс
-
портногоравновесиясфиксированнымспросомменееограничительные,
чемранееприведённые.
1.5.Построениематрицыкорреспонденций
Взадачетранспортногоравновесиясфиксированнымспросомкаж
-
даякорреспонденция
w
,w
=
(i,j),рассматриваетсякаксреднийпоток
пользователей,которыйизисточникаi
∈
Sдолженприбытьвстокj
∈
D.
Вданномразделевместо
w
будемиспользоватьобозначение
ij
,чтобы
выделятьхарактеристикиисточниковiистоковj.
Существуютразныеметодикидлявычисленияэлементовматрицы
=
=
(
ij
:i
∈
S,j
∈
D),втомчислесприменениемматематическихмоделей.
Рассмотримнаиболеечастоиспользуемые,аименногравитационнуюиэн
-
тропийнуюмоделипостроенияматрицыкорреспонденций.Описаниеука
-
занныхмоделейдлятранспортныхсетейможнонайти,например,вработах
[6,7,9,20,21,28,40].
1.5.1.Гравитационнаямодель
Идеюпостроениягравитационноймоделидалвсемирныйзаконтяготе
-
ния,утверждающий,чтовсетелапритягиваютсядругкдругуссилой,
прямопропорциональнойпроизведениюмассэтихтелиобратно
пропорциональнойквадратурасстояниямеждуними.Применитель
-
ноктранспортнойсистемевкачестветелвыступаютпункты,порождаю
-
щие
/
поглощающиепотоки,замассутелапринимаетсясуммарныйобъем
выезжающего
/
въезжающегопотока,физическоерасстояниеможноза
-
менитьналюбыедругиезатраты,связанныеспередвижением.Всамом
простойформегравитационнаямодельимеетвид
ij
=
s
i
d
j
c
2
ij
,i
∈
S,j
∈
D,(43)
гдеs
i
—
общийобъемвыезжающихизпунктаi
∈
S,d
j
—
общийобъем
въезжающихвпунктj
∈
D,c
ij
—
удельныезатратынапередвижениеизi
вj,
>
0
—
калибровочныйкоэффициент.
Система(43)обладаетсущественнымнедостатком.Нетрудновидеть,
чтоприувеличенииобъемовs
i
иd
j
,например,вдваразамодель(43)
приведеткувеличениюкорреспонденции
ij
вчетырераза,чтосовер
-
шеннонелогично.Поэтомувместоклассическойгравитационноймодели
(43)напрактикеиспользуютеемодификацию,вкоторойкусловию(43)
1.5.Построениематрицыкорреспонденций55
добавляютдополнительныеусловия,например,балансовыеограничения
навыездивъезд.Крометого,квадратрасстояния(затрат)c
2
ij
заменяютна
такназываемуюфункциютяготенияf(c
ij
),характеризующуюпредпочтения
индивидуумовпривыборепарыисточник
-
сток(i,j)дляпередвижения.
Врезультатемодифицированнаягравитационнаямодельимеетвид
ij
=
s
i
d
j
f(c
ij
)
,
n
X
j
=
1
ij
=
s
i
,
m
X
i
=
1
ij
=
d
j
,
ij
0,i
∈
S,j
∈
D,
или,чтотожесамое:
ij
=
i
j
s
i
d
j
f(c
ij
),i
∈
S,j
∈
D,(44)
гдекалибровочныекоэффициенты
i
и
j
определяютсяизсистемы
i
=
X
j
∈
D
j
d
j
f(c
ij
)
−
1
,
j
=
X
i
∈
S
i
s
i
f(c
ij
)
−
1
.(45)
Очевидно,чтосистемабудетсовместнойтолькотогда,когдасуммарные
объемыповыездуивъездуравны:
P
i
∈
S
s
i
=
P
j
∈
D
d
j
.
Выборфункциитяготенияfосуществляетсялибовпроцессекалиб
-
ровкимоделинаосновесопоставлениярасчетныхданныхпомодели
иэмпирическихнаблюдений,либонаосновенекоторыхсоображений
опредпочтенияхпривыборепарыисточник
-
сток.Однаизаппроксимаций
функцииимеетследующийвид:f(c
ij
)
=
exp(
−
c
ij
),гдеприрасчетекорре
-
спонденцийтрудовыхмиграцийполагают
≈
0,065,
≈
1(см.,например,
[28]иссылкитам).
Важноотметить,чтовеличины
i
и
j
зависятотвсегонабораs
i
иd
j
,
аследовательно,иобъемыкорреспонденций
ij
зависятотзагрузкивсей
системы.
Численныезначения
i
и
j
определяютспециальнойитеративнойпро
-
цедурой.Вотечественнойлитературетакаяпроцедураизвестнакакметод
балансировкиШацкого
—
Шелейховского[27,30].Взарубежнойлите
-
ратуреметодбалансировкиимеетсвоюнезависимуюисториюразвития.
Например,вработе[33]описанаследующаяпроцедура:начинаясматри
-
цы
0
ij
=
s
i
d
j
f(c
ij
)
X
l
∈
D
d
l
f(c
il
)
−
1
,
56Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
каждаяитерацияметодасостоитизпоследовательностиопераций:
k
ij
=
k
ij
d
j
h
P
i
∈
S
k
ij
i
−
1
,если
P
i
∈
S
k
ij
>
d
j
,
k
ij
впротивномслучае,
q
i
=
s
i
−
X
j
∈
D
k
ij
,r
j
=
d
j
−
X
i
∈
S
k
ij
;
k
+
1
ij
=
k
ij
+
q
i
r
j
f(c
ij
)
X
l
∈
D
r
l
f(c
il
)
−
1
.
(46)
Вычислительныеэкспериментыпорасчетуматрицыкорреспонденций
напримереУДСВладивостока[18,19](строиласьматрицаразмерно
-
сти638
×
638)показаливысокуюскоростьсходимостипроцесса(46)
кискомойматрицекорреспонденций
—
сбалансированнаяматрицабыла
полученавсегоза4итерации.
1.5.2.Энтропийнаямодель
Какивслучаегравитационногоподхода,идеюпостроенияэнтропийной
моделиподсказалафизика,аименновторойзаконтермодинамики,утвер
-
ждающий,чтолюбаязамкнутаяфизическаясистемастремитсядостичь
устойчивогоравновесногосостояния,котороехарактеризуетсямаксиму
-
момэнтропииэтойсистемы.Впервыеконцепцияэнтропиидляопределения
матрицыкорреспонденцийбылаиспользованавработе[64].
Транспортнуюсистемукаксистемупередвиженияиндивидуумовпо
УДСгородаобъединяетсфизическойналичиеоченьбольшогочисла
неуправляемыхэлементов.Приопределенныхдопущениях,напримерта
-
ких,какнеизменностьзатратнапроездпомаршрутам,неизменность
топологииУДС(исключаютсяреконструкция,введениеновых,закрытие
старыхдорог)ит.п.,транспортнуюсистемуможносчитатьзамкнутой.
Такимобразом,проблемуопределениякорреспонденций
ij
можноставить
какзадачумаксимизацииэнтропиивтранспортнойсистеме.
Пустьзаданофиксированноепространственноераспределениенаселе
-
нияпозонам,порождающимпотоки,
—
какиранее,назовемтакиезоны
источникамииобъединимихвмножествоS
—
ипозонам,поглощающим
потоки,
—
назовемихстокамииобъединимвмножествоD.Источ
-
никами,например,могутслужитьрайоныжилыхмассивов,стоками
—
местаприложениятруда.Индивидуумывтранспортнойсистемепереме
-
щаютсяотисточниковкстокам.Предположим,чтокаждыйиндивидуум
имеетуникальныйидентификатор,напримерномерпаспорта.Состояние
транспортнойсистемыопределяетсяраспределением
«
помеченных
»
инди
-
видуумовмеждупарамиисточник
-
сток.
1.5.Построениематрицыкорреспонденций57
Приопределенииобъемовкорреспонденцийзначимымявляетсятолько
общееколичествоиндивидуумовбездетализациипосоставуихиденти
-
фикаторов.Поэтомукаждойпареисточник
-
стоксоответствуетвеличина
корреспонденции
ij
—
количествоиндивидуумов,выезжающихизисточ
-
никаi
∈
Sиприбывающихвстокj
∈
D.Очевидно,чтосуществуетмноже
-
ствосостояний,приводящихкоднойитойжематрицекорреспонденций
=
(
ij
:i
∈
S,j
∈
D).Следуяпринципумаксимизацииэнтропии,будем
искатьзначения
ij
,доставляющиемаксимумфункцииP(
),определяющей
вероятностьреализациисостояниясистемы,соответствующегоматрице
корреспонденций
.
Обозначимчерез
(
)вероятностькаждойреализацииматрицы
,через
Q(
)
—
количествосостоянийсистемы,соответствующих
.Тогда
P(
)
=
(
)Q(
).(47)
Пустьвсистемеимеетсяnисточниковиmстоков.Обозначимчерез
R=
n
P
i
=
1
m
P
j
=
1
ij
общееколичествоиндивидуумоввсистеме,через
ij
>
0
—
вероятностьвыбораиндивидуумомкоммуникации
ij
.
ПоаналогиисосхемойБернуллизначение
(
)определяетсяформулой
(
)
=
11
11
12
12
...
nm
nm
=
n
Y
i
=
1
m
Y
j
=
1
ij
ij
.
ВычислимколичествосостоянийQ(
).Еслиобъемкорреспонденциииз
источника1всток1равен
11
,токоличествоспособовдостиженияэтого
объемаравноC
11
R
.Далее,изоставшейсячастииндивидуумовколичество
способовдостиженияобъемакорреспонденции
12
равноC
12
R−
11
,объе
-
макорреспонденции
13
равноC
13
R−
11
−
12
итакдалее.Витогеполучаем
следующуюформулудляQ(
):
Q(
)
=
C
11
R
C
12
R−
11
C
13
R−
11
−
12
...
C
nm
R−
n
−
1
P
i
=
1
m
−
1
P
j
=
1
ij
=
=
R
!
(
R−
11
)!
11
!
(
R−
11
)!
(
R−
11
−
12
)!
12
!
×
×
(
R−
11
−
12
)!
(
R−
11
−
12
−
13
)!
13
!
...
R−
n
−
1
P
i
=
1
m
−
1
P
j
=
1
ij
!
nm
!
=
R
!
n
Q
i
=
1
m
Q
j
=
1
ij
!
.
Очевидно,чторезультатнезависитоттого,вкакомпорядкеберутся
корреспонденции
ij
длявычисленияколичестваспособовраспределения
индивидуумоввсистеме.
58Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
Подставиврассчитанныезначения
(
)иQ(
)вформулу(47),получаем
критерийвыборанаиболеевероятногосостояниясистемы:
P(
)
=R
!
n
Y
i
=
1
m
Y
j
=
1
ij
ij
ij
!
→
max.(48)
ПомимотребованиямаксимизациивероятностиP(
)назначения
ij
,
какправило,накладываютсядополнительныеусловия.Самымиестествен
-
нымиизнихявляютсябалансовыеограниченияиусловиянеотрицатель
-
ности.Пустьвкаждойзоне
-
источникеi
∈
Sзаданобщийобъемвыез
-
жающихs
i
,вкаждойзоне
-
стокеj
∈
D
—
общийобъемвъезжающихd
j
.
Рассмотримтолькотекорреспонденции
ij
,которыеудовлетворяютсле
-
дующимусловиям:
m
X
j
=
1
ij
=
s
i
,
n
X
i
=
1
ij
=
d
j
,
ij
0,i
∈
S,j
∈
D.(49)
Очевидно,длясовместностисистемысуммарныйобъемвыезжающихдол
-
женбытьравенсуммарномуобъемувъезжающих:
n
X
i
=
1
s
i
=
m
X
j
=
1
d
j
=R
.(50)
Дополнительнокусловиямбаланса(49)введемограничениенаобщие
затратыприпроезде:
n
X
i
=
1
m
X
j
=
1
c
ij
ij
=
C,(51)
гдеc
ij
—
удельныезатратынапередвиженияизисточникаiвстокj,C
—
полныезатратывтранспортнойсистеме.
Такимобразом,проблемапостроенияматрицыкорреспонденций
=
=
(
ij
:i
∈
S,j
∈
D)сводитсякзадачеусловнойоптимизации(48),(49),(51).
Нетсомнений,чтовзаданнойформе(48)функцияP(
)весьманепри
-
ятнадляоптимизации.Дляудобствамаксимизацииможновоздействовать
наP(
)любыммонотоннымоператором,например,прологарифмировать
P(
)ивместо(48)использоватькритерий
lnP(
)
=
ln
R
!
+
n
X
i
=
1
m
X
j
=
1
(
ij
ln
ij
−
ln
ij
!)
→
max.(52)
Проводяпараллельмеждуфизическойитранспортнойсистемами,
отметимналичиебольшогоколичестванеуправляемыхэлементов,чтопоз
-
воляетпредположить,чтозначения
ij
достаточновелики.Поэтомувполне
1.5.Построениематрицыкорреспонденций59
правомернодлядальнейшегопреобразованиякритерия(52)использовать
формулуСтирлингаlnz!
=
zlnz
−
z,котораясправедливаприбольшихz.
Имеем
lnP(
)
≈R
ln
R+
n
X
i
=
1
m
X
j
=
1
ij
ln
ij
ij
.
Прификсированныхобъемахвыездовs
i
ивъездовd
j
ивыполненииравен
-
ства(50)величина
R
ln
R
постояннаиможетбытьисключенаизкритерия.
Врезультатепроведенныхпреобразованийнаиболеевероятноесосто
-
яниетранспортнойсистемыбудетсоответствоватьтакойматрицекор
-
респонденций
,элементыкоторойудовлетворяютусловиям(49),(51)
икритерию
n
X
i
=
1
m
X
j
=
1
ij
ln
ij
ij
→
max.(53)
Припостроенииэнтропийноймодели(49),(51),(53)предполагалось,
чтоизвестнааприорнаяинформацияопредпочтениииндивидуумомод
-
нойкоммуникациидругой.Еслижелюбоесостояниесистемапринимает
сравнойвероятностью,тоестьдлялюбыхпар(i,j)значение
ij
постоянно
иопределяетсякак
ij
=
1
mn
,товместокритерия(53)рассматривают
n
X
i
=
1
m
X
j
=
1
ij
ln
1
ij
→
max.(54)
Допустимаяобласть,задаваемаяусловиями(49),(51),образуетпо
-
лиэдральноемножество.Целеваяфункциякритерия(53)надопустимой
областиявляетсястроговогнутой.Всамомделе,матрицаГесседля(53)
имеетвиддиагональнойматрицыразмерностиmn
×
mncэлементамина
главнойдиагонали
n
−
1
x
ij
o
.Такаяматрицаотрицательноопределенадля
любыхm,nиx
ij
0.Такимобразом,задача(49),(51),(53)относится
кклассузадачвыпуклойгладкойоптимизации.Строгаявогнутостьцеле
-
войфункциигарантируетединственностьеерешения.Несмотрянасвои
хорошиесвойства,дляреальныхтранспортныхсетейзадача(49),(51),
(53)имеетбольшуюразмерность,чтовсвоюочередьсерьезноусложняет
применениенапрактикестандартныхдляэтогоклассазадаччисленных
методов.Так,например,длярасчетатрудовыхмиграцийвУДСВлади
-
востока[18,19]территориягородабылаподеленаназоны800
×
800
метров.Врезультатеполучиласьсетка22
×
29квадратов,каждыйиз
которыходновременноявлялсязоной
-
источникомизоной
-
стоком,при
этомразмерностьзадачи(49),(51),(53)составила407044переменных,
1277ограниченийравенств(49),(51).
60Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
Длярешениязадачи(49),(53)разработанапростаяитерационнаясхема
[27,30]:начинаясматрицы
0
=
(
0
ij
=
ij
:i
∈
S,j
∈
D)накаждойитерации
методапопеременнодостигаетсявыполнениебалансовыхограниченийдля
выездовивъездов:
k
ij
=
k
ij
s
i
X
j
∈
D
k
ij
−
1
,
k
+
1
ij
=
k
ij
d
j
X
i
∈
S
k
ij
−
1
.(55)
Вработе[4]доказанасходимостьпроцесса(55)коптимальномурешению
задачи(49),(53).Существуютидругиеподходыкрешениюэнтропийных
моделей(см.,например,[10,40]).
Подробнеегенезисифеноменологияэнтропийныхмоделейдляпоиска
равновесногосостояниямакросистем,втомчислетранспортных,рассмот
-
ренывприложенииЕ.В.Гасниковойнастоящегопособия.Особыйинтерес
тутпредставляетсвязьэнтропийногокритериясдинамикойдостижения
равновесногосостояния.
1.5.3.Связьмеждугравитационнойиэнтропийноймоделями
Количествопеременныхвзадаче(49),(51),(53),какправило,вомного
разпревышаетчислоограничений.Традиционновтакойситуациивместо
исходнойрешаетсядвойственнаязадача,котораявданномслучаезаклю
-
чаетсявмаксимизациифункцииЛагранжа:
L(
,
,
,
)
=
n
X
i
=
1
m
X
j
=
1
h
ij
ln
ij
ij
+
i
(s
i
−
ij
)
+
j
(d
j
−
ij
)
+
(C
−
c
ij
ij
)
i
,
где
=
(
i
:i
∈
S)
—
вектордвойственныхпеременных,соответствующих
балансовымограничениям(49)дляисточников,
=
(
j
:j
∈
D)
—
вектор
двойственныхпеременных,соответствующихбалансовымограничениям
(49)длястоков,
—
двойственнаяпеременная,соответствующаяограни
-
чениюпозатратам(51).
ТочкамаксимумадляL(
,
,
,
)должнаудовлетворятьусловиям
(49),(51)исистемеуравнений
ln
ij
ij
−
1
−
i
−
j
−
c
ij
=
0,i
∈
S,j
∈
D.(56)
Изсистемы(56)можновыразитькорреспонденции
ij
=
ij
exp(
−
1
−
i
−
j
−
c
ij
).(57)
Видим,чтодля
ij
0условиенеотрицательностикорреспонденций
ij
выполненоавтоматически,поэтомуможетнеучитыватьсяприпостроении
двойственнойзадачииприменениикнейчисленныхметодов.Однакозаме
-
тим,чтослучай,когда
ij
=
0,означаетотсутствиекорреспонденциимежду
1.6.Парадоксытранспортногоравновесия61
парой(i,j),следовательно,
ij
=
0имаксимизацияфункцииЛагранжа
должнарассматриватьсявпространствеменьшейразмерности.
Введемобозначения
i
=
exp(
−
1
−
i
)
s
i
,
j
=
exp(
−
j
)
d
j
.
Тогдавыражение(57)перепишетсяввиде
ij
=
i
j
s
i
d
j
ij
exp(
−
c
ij
).(58)
Приподстановке(58)вбалансовыеограничения(49)определяютсяпара
-
метры
i
и
j
:
i
=
X
j
∈
D
j
d
j
ij
exp(
−
c
ij
)
−
1
,
j
=
X
i
∈
S
i
s
i
ij
exp(
−
c
ij
)
−
1
.
Отметим,чтовеличинаCнапрактике,какправило,неизвестна,поэтому
лагранжевыймножитель
нельзяопределитьизрешенияуравнения(51).
Значение
определяетсяобычнымиметодамикалибровки.
Сравниваявыражение(58)сгравитационноймоделью(44),видим,что
отличиемеждунимисостоиттолькованалитическомзаданиифункции
тяготенияf(c
ij
).Приf(c
ij
)
=
ij
exp(
−
c
ij
)гравитационная(44)иэнтропий
-
ная(49),(51),(53)моделиэквивалентны.Такимобразом,приоднородной
целипоездок,призаданныхобъемахвыездовs
i
,въездовd
j
,затратах
напередвижениеc
ij
,прификсированныхполныхзатратахCсуществует
наиболеевероятноераспределениепоездокмеждузонами(i,j)иэторас
-
пределениесовпадаетстем,котороезадаетсягравитационноймоделью
сэкспоненциальнойфункциейпритяжения.
1.6.Парадоксытранспортногоравновесия
Вданномразделерассматриваетсярядантиинтуитивныхпримеров
транспортныхситуаций,вкоторыхприменениепринципаравновесияпри
-
водиткнеожиданнымрешениям.
1.6.1.ПарадоксБрайеса
ПримерПигу(см.раздел1.3)заставляетусомнитьсявэффективности
«
невидимойрукирынка
»
АдамаСмита,которая,направляяэгоистичные
действияпользователейсети,позволяетдостичьобщественногоблага.
ПоследующийпримерБрайесапоказывает,чтоконкурентноебескоалици
-
онноеравновесиеможетнетолькоотклонятьсяотсистемногооптимума,
ноиухудшатьситуациюдлявсехучастниковдвижения.
РассмотримпоявлениепарадоксаБрайесаврезультатепоследователь
-
ныхвесьмавероятныхтрансформацийтранспортнойсетиокрестностей
г.Владивостока,которыепредставленывсериирис.3.
62Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
а)Исходноесостояниесети
б)Строительствошоссе
Аэропорт
—
«
Геймланд
»
в)Строительствошоссе
Артем
—
Владивосток
г)Строительствошоссе
Артем
—
«
Геймланд
»
Рис.3.ПарадоксБрайеса
БудемрассматриватьситуациюсточкизренияперевозокАэропорт
—
Владивосток,собщейпотребностьювперевозках6условныхединиц.На
рис.3изображенывоображаемыеэтапыизмененияучасткатранспортной
сетивокрестностиВладивостока,которыемогутбытьсвязаныссозданием
игровойзонынамысеЧерепахи.
а)Начальноесостояние.АэропортиВладивостоксоединеныдвумя
дорогами,однаизкоторыхпроходитчерезг.Артем,адругаячерезмыс
Черепахи
—
место,гдебудетпостроенаигроваязона
«
Геймланд
»
.Вна
-
1.6.Парадоксытранспортногоравновесия63
чальныймоментобедорогиневысокогокачестваи,какпоказанонарис.3
а),времяпроездапонимсильнозависитотнагрузкиy.
Очевидно,чтовсилусимметрииравновесныепотокираспределятся
поровнумеждудвумямаршрутамиАэропорт
—
мысЧерепахи
—
Владиво
-
стокиАэропорт
—
Артем
—
Владивостокссоответствующимипотоками
y
=
3.Пользовательскиезатратынапроезд
—
90,системные
—
540.
б)ПостроеношоссеАэропорт
—
«
Геймланд
»
.Снизиласьзависи
-
мостьвременипроездаизАэропортав
«
Геймланд
»
,взатратахна
проездпоявиласьпостояннаясоставляющая,котораяможетпредставлять
собойвремяпроездапопустойдороге.Частьравновесноготрафика
переместиласьнанаправлениеАэропорт
—
мысЧерепахи
—
Владивосток
(3,17),соответственнопотокподругомумаршрутуАэропорт
—
Артем
—
Владивостокупалдо2,83.Пользовательскиезатратынапроездсоставили
84,88,системные
—
84,88
6
=
509,28.
в)ПостроеношоссеАртем
—
Владивосток.Полученныедоходыот
игорногобизнесапозволилимодернизироватьчастьодногоизмаршрутов
Владивосток
—
Артем
—
Аэропорт,врезультатечегоравновесныепотоки
сновасталисимметричнымиизатратыпользователейсоставили83,аси
-
стемные
—
498,дальнейшееснижение.
г)ПостроеношоссеАртем
—
«
Геймланд
»
.Посколькуигорнаязона
обслуживаетсявосновномжителямиАртема,былпоставлениположи
-
тельнорешенвопросостроительстведорогиАртем
—
«
Геймланд
»
.Затра
-
тынапроездсоответствоваликлассуужепостроенныхдорог,апостоянное
слагаемоеуменьшилосьвсилутерриториальнойблизости.
Равновесныепотокитеперьраспределятсяпотреммаршрутам:Влади
-
восток
—
«
Геймланд
»
—
Артем
—
Аэропорт,Владивосток
—
«
Геймланд
»
—
Аэропорт,Владивосток
—
Артем
—
Аэропорт,причемнагрузканакаждый
изнихбудетсоставлять2единицытрафика,пользовательскиезатратына
проезднеожиданновозрослидо92,асистемные
—
до552!
Врезультатекаксистемные,такиличныезатратыпревзошлидаже
первоначальныйуровеньa)несмотрянато,чтонакаждомпредыдущем
этапемыулучшалитранспортнуюситуациюкакспользовательской,так
иссистемнойточкизрения.
Причинойэтогоэффектаявляетсято,чтопостройканаэтапег)шоссе
Артем
—
Игроваязонасоздалаоппортунистическуювозможностьпро
-
ехатьпомаршрутуАэропорт
—
Артем
—
«
Геймланд
»
—
Владивосток.При
нулевомпотокенамаршрутеАртем
—
«
Геймланд
»
временныезатратысо
-
ставляют70ипровоцируютводителейнавыборименноэтогомаршрута.
Однакокогдаэтаидеяовладеетмассами,топотокпосегментуАртем
—
«
Геймланд
»
будетужененулевой,чтоувеличитсоответствующиеобщие
затраты.Равновеснаяситуацияустановитсяприодинаковыхзатратах
64Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
(временах)повсеммаршрутам,чтоиприводиткэтомупарадоксальному
результату.
1.6.2.Транспортно
-
экологическиепарадоксы
Существуетрядпарадоксов[55],связанныхстранспортнымиситуаци
-
ями,вкоторыхпомимовременипроездаучитываютсяидополнительные
критерии.Однимизтакихкритериев,важныхвнастоящеевремя,яв
-
ляетсязагрязнениеокружающейсреды(ЗОС).ЗОСявляетсясложным
многокомпонентнымпонятием,включающимразличныевидыущербадля
окружающейсреды:газовоеитепловоезагрязнение,разрушениесложив
-
шихсяприродныхландшафтов,местобитанияредкихживотныхипр.
Вданномслучаебудемвсежесчитать,чтоЗОСизмеряетсянекоторым
универсальнымпоказателем,связаннымсданнымучасткомдорогииза
-
висящим,вообщеговоря,отпотокатранспортапоэтойдороге.ЗОСот
различныхучастковдорогисуммируются,образуяитоговыйЗОСлибоот
маршрутов,либоотвсейтранспортнойсетивцелом.
1.6.2.1.ЭкологическийпарадоксБрайеса.Всвоейсхематической
формесеть,реализующаяпарадоксБрайеса,представленанарис.4,гдена
каждомребрепоказаныкаквременныезатраты
(y),такиэкологический
ущербe(y)какфункциипотоковпоэтимребрамy.Взявдляпредполага
-
а)Исходноесостояниесети
б)Послестроительства
новойдороги
Рис.4.ПарадоксБрайеса
емогопотокатежеданные,чтовпредыдущемпримере,оценимЗОСдо
ипослестроительствановойдороги.ДляисходногосостояниясетиЗОС
оцениваетсякак
E
=
2
3
(0,2
+
0,1)
=
1,8.
1.6.Парадоксытранспортногоравновесия65
Послестроительствановойдорогиснулевымэкологическимущербом
ЗОСстановитсяравным
E
=
4
0,2
+
2
0,1
+
2
0
+
4
0,2
+
2
0,1
=
2!
Какнетруднопонять,вданномслучаепарадоксвызвантем,чтоврезуль
-
татеперераспределенияпотоковувеличилисьпотокиименнопотемдугам,
которыеимеютмаксимальныеудельныеприращенияЗОС.
1.6.2.2.Экологическийтреугольник.Рассмотримтеперьещеболее
простуютранспортнуюсеть,представленнуюнарис.5.Такжекакиранее,
Рис.5.УменьшениеперевозоквызываетувеличениеЗОС
надугахэтойсетиприведеныформулы,описывающиевременныезатраты
(y)иэкологическийущербe(y)какфункциипотокаyпоэтойдуге.Пусть
требуетсяперевезти2единицыгрузаизCвBиоднуединицуизCвA.
Очевидно,чтодостаточнорассмотреть3маршрута:p
1
=
C
→
A,p
2
=
=
C
→
A
→
Bиp
3
=
C
→
B.Условияравновесиясовместносусловиями
удовлетворенияспросанаперевозкидаютсистемууравнений
(x
1
+
x
2
)
+
1
+
x
2
+
1
=
x
3
+
4,
x
2
+
x
3
=
2,x
1
=
1,
гдеx
i
,i
=
1,2,3
—
этопотокипомаршрутамp
i
,i
=
1,2,3.Решениеэтой
системыдаетравновесныепотокиx
†1
=
x
†2
=
x
†3
=
1собщимэкологическим
ущербомE
=
0,51.
Теперьпредположим,чтоспроснаперевозкипомаршрутуC
→
A
упалдо1
/
2.Тогдарешениеаналогичнойсистемыдаетx
†1
=
1
/
2,x
†2
=
=
7
/
6
>
1,x
†3
=
5
/
6
<
1собщимэкологическимущербомE
=
0,5
7
/
6
+
+
0,01
5
/
6
≈
0,591
>
0,51.
66Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
Заметим,чтоувеличениеэкологическогоущербавэтомслучаевызвано
уменьшениемнагрузкинаэкологическичистуюдугусети.Соднойстороны,
этовызвалопереходчаститрафикасмаршрутаp
3
,непроходящегочерез
дугуC
→
A,намаршрутp
2
,проходящийчерезэтудугу,однако,сдру
-
гойстороны,этовызвалоувеличениетрафикаподугеA
→
Bсвысоким
экологическимущербомисуммарныйэффектоказалсянегативным.
1.6.2.3.Рокаднаяэкология.Последующийпримерпоказывает,как
такаяпопулярнаямера,какстроительстворокаднойдорогиулучшенного
качества,можетнасамомделеухудшитьэкологическуюситуацию.
Рассмотримдорожнуюсеть,изображеннуюнарис.6,частьа).
Предположим,чтоэтасетьпредназначенадляперемещенияавтомобиль
-
а)Исходнаясеть
б)Построенарокаднаядорога
Рис.6.НоваярокаднаядорогавызываетувеличениеЗОС
ноготрафикавобъеме5условныхединицизточкиAвточкуBпо
двумдублирующимдорогамразличногокачества,временныезатратыпо
которымзадаютсясоотношенияминасоответствующихдугах.Вэтихсоот
-
ношенияхy
1
означаетпотокповерхнейдуге,y
2
—
понижней.Зависимость
временипроездапонижнейдугеотпотокаповерхнейможетбытьвызвана
указаниемприоритетанасоответствующемперекрестке.
Определяющаясистемауравненийдляравновесныхпотоковимеетвид
y
1
+
y
2
=
5,y
1
+
10
=
3(y
1
+
y
2
),
откудаy
†1
=
5,y
†2
=
0.Затратыпользователейнапроездсоставляютпри
этом
†
=
15,аэкологическийущербсоставляет0,5.
Если,какпоказанонаправойчастирис.6,построенановаядорога
снулевымущербомдляокружающейсредыивременнымихарактеристи
-
ками
(y)
=
y
+
11,тоноваяопределяющаясистемабудетиметьвид
y
1
+
y
2
+
y
=
5,y
1
+
10
=
3(y
1
+
y
2
)
=
y
+
11,
иеерешение:y
†1
=
y
†2
=
2,y
†
=
1.Затратыпользователейнапроездпри
этомуменьшилисьдо
†
=
12,аэкологическийущербвозросдо1,2!
1.6.Парадоксытранспортногоравновесия67
1.6.2.4.Перераспределениеспроса.Ещеодинпримерпоказывает,
чтопереносчастипассажировстранспортногосредстваэкологически
болеевредного(скажем,автобус)наменеевредный(например,трамвай)
можетвдействительностиувеличитьЗОС.
Рис.7.Сетиавтомобильныхдорогитрамвайныхлиний
Вэтоймоделирассматриваетсясеть,состоящаяиздвухкомпонент,
отражающихразличныевидытранспорта.Вэтихкомпонентахнеобходимо
перевезти10единицпотокаизAвBи5единицпотокаизCвD.Пунк
-
тыотправленияAиC,атакжепунктыприбытияDиBбудемсчитать
близкими,такчтомеждунимивозможенобменперевозками.
Втакойтранспортнойсхемепоявляются4маршрута,каждыйизкото
-
рыхсостоитизоднойдуги,которыемыбудемсчитатьпронумерованными
сверхувниз.Затратынаперевозкупомаршрутамсовпадают,конечно,
сзатратамиподугамиобозначенынарисунке.
Приэтихначальныхданныхрешениезадачиравновесияимеетвид:
Автомобильнаясеть.Всилусимметриипотокиравныисоставляют
y
†1
=
y
†2
=
5.ЭкологическийущербE
=
2.
Трамвайнаясеть.y
†3
=
0,y
†4
=
5.ЭкологическийущербE
=
0,5.
Суммарныйэкологическийущербсоставляет2,5.
Предположимтеперь,что2,5единицытрафикаперенесеныизсильно
загрязняющейавтомобильнойсетивменеезагрязняющуютрамвайную
сцельюуменьшитьсуммарныйЗОС.Новоеравновесноерешениебудет
иметьвид:
Автомобильнаясеть.Всилусимметриипотокиравныисоставляют
y
†1
=
y
†2
=
3,75.ЭкологическийущербE
=
1,5.
Трамвайнаясеть.y
†3
=
0,y
†4
=
5.ЭкологическийущербE
=
1,125.
68Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
Суммарныйэкологическийущербсоставляет2,625,чтопревосходит
(!)ущербвпредыдущемвариантераспределениянагрузкидлядвухвидов
трафика.
То,чтоперенострафикаосуществляетсявразмере2,5единиц,на
самомделенесущественно,любоеуменьшениеобъемаперевозокпоав
-
томобильнойсетивызываетпоявлениененулевогообъемаперевозокпо
экологическизатратнойдуге3втрамвайнойсети,чтонекомпенсируется
уменьшениемобъемовперевозокподугам1,2.Увеличениеобъемовпере
-
возокпоавтомобильнойсетитакженеприводиткуменьшениюЗОС,так
каквызываетвдваразабольшийэкологическийущерб,чемуменьшение
ЗОСоттрамвайноготрафика,которыйбудетпродолжатьконцентриро
-
ватьсянадуге4.
1.7.Практическаяработа
Упражнение1.НавходевВеликийФедеральныйУниверситетесть
дведвери,черезкоторыевходятивыходятстуденты.Приподходекним
передкаждымстудентомвозникаетпроблема,какойдверьювоспользо
-
ваться,еслионзаинтересованвскорейшемвходеиливыходе.Найти
равновесноераспределениепотоковвдвухслучаях:
1)задержкавдверяходинаковадлявходящихивыходящихипропор
-
циональнапроизведениюинтенсивностейвходящегоивыходящегопото
-
ков;
2)задержкавдверяхпропорциональнаинтенсивностипотокастуден
-
тов,двигающихсявтомженаправлении,плюсзадержка,пропорциональ
-
наяпроизведениюинтенсивностейвходящегоивыходящегопотоков.
Общееколичествовходящихивыходящихзаединицувременистудентов
считатьодинаковым.
Упражнение2.Рассматриваетсятранспортнаясеть
Γ=
(V,E)(при
-
мерсетивзятизработы[36]),состоящаяиз25вершин(
|
V
|=
25)и40
ориентированныхдуг(
|
E
|=
40).Топологиясетиснаправлениемдугпред
-
ставленанарис.8.
Дороги(дуги)транспортнойсети
Γ
поделеныначетырекатегории:
1)магистралиE
h
={
(6
→
7),(8
→
9),(10
→
11),(12
→
13),(14
→
15),
(17
→
18),(19
→
20),(21
→
22),(23
→
24),(25
→
16)
}
;
2)выездыE
ex
={
(16
→
1),(15
→
1),(24
→
2),(7
→
2),(22
→
3),(9
→
3),
(20
→
4),(11
→
4),(18
→
5),(13
→
5)
}
;
3)въездыE
en
={
(1
→
6),(1
→
17),(2
→
25),(2
→
8),(3
→
23),(3
→
10),
(4
→
21),(4
→
12),(5
→
19),(5
→
14)
}
;
4)второстепенныедорогиE
s
={
(15
→
6),(7
→
8),(9
→
10),(11
→
12),
(13
→
14),(16
→
17),(18
→
19),(20
→
21),(22
→
23),(24
→
25)
}
.
1.7.Практическаяработа69
Рис.8.Транспортнаясеть
Γ=
(V,E)
Пропускнаяспособностьмагистралейравна140единицампотока,
остальныхдуг
—
70ед.
Категориядорогивлияетназатратыприпередвижении.Минимальные
транспортныезатраты
0
e
покаждомуизучастковe
∈
Eопределяютсяпо
формуле
0
e
=
e
l
e
,гдеl
e
—
длинадугиe,данныеприведенывтаблице1.1,
e
>
0
—
коэффициент,зависящийоткатегории,которойпринадлежит
дугаe:
e
=
0,011,e
∈
E
h
,
0,025,e
∈
E
ex
∪
E
en
,
0,033,e
∈
E
s
.
Всети
Γ
выделенопятьвершин
-
источниковS
={
1,2,3,4,5
}
сза
-
даннымиобъемамивыходящеготрафикаs
=
(69,90,10,100,53)ипять
70Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
Таблица1.1.Длиныдугсети
Γ=
(V,E)
Дуга
Длина
Дуга
Длина
Дуга
Длина
6
→
7
4
16
→
1
6
1
→
6
3
8
→
9
10
15
→
1
9
1
→
17
7
10
→
11
3
24
→
2
3
2
→
25
6
12
→
13
3
7
→
2
8
2
→
8
2
14
→
15
5
22
→
3
5
3
→
23
6
17
→
18
1
9
→
3
1
3
→
10
5
19
→
20
2
20
→
4
10
4
→
21
6
21
→
22
6
11
→
4
8
4
→
12
8
23
→
24
9
18
→
5
5
5
→
19
7
25
→
16
2
13
→
5
3
5
→
14
4
15
→
6
1
7
→
8
6
9
→
10
4
11
→
12
3
13
→
14
9
16
→
17
10
18
→
19
4
20
→
21
6
22
→
23
10
24
→
25
1
вершин
-
стоковD
={
17,19,21,23,25
}
сзаданнымиобъемамивходящего
трафикаd
=
(128,59,34,61,40).
Используяаппаратматематическогомоделированияичисленныеме
-
тоды,рассчитатьобъемыкорреспонденций
w
длявсехпаристочник
-
сток
w
∈
W
=
S
×
D.
Примоделированиинеобходимоучесть,чтопредпочтенияпривы
-
борепарыwопределяютсяфункциейf(c
w
)
=
exp(
−
0,065c
w
),гдеc
w
—
минимальныетранспортныезатратынапередвижениедляпарыw.Пред
-
полагается,чтовеличинаc
w
характеризуетдлинукратчайшегопутидля
каждойпарыwиопределяетсяизсоотношений:c
w
=
0,05,еслиисточник
истоксовпадают,впротивномслучае
c
w
=
min
p
∈
P
w
X
e
∈
E
ep
0
e
,
ep
=
(
1,еслипутьpпроходитчерездугуe;
0впротивномслучае,
гдечерезP
w
обозначеномножествовсехдопустимыхмаршрутовпередви
-
жениядляпарыw.
Длярассчитанныхкорреспонденцийсравнитьзагрузкутранспортной
сети,индивидуальныеиобщиетранспортныезатратыпринормативном
идескриптивномраспределениипотоков.Поднормативнымраспреде
-
лениемпонимаетсяцентрализованноеуправлениедвижением,имеющее
своейцельюминимизациюсовокупныхтранспортныхзатрат(второй
поведенческийпринципВардропа).Поддескриптивным
—
отсутствие
Литература71
централизованногоуправления,каждыйпользовательвыбираетмаршрут
следованияисходяизминимизациисобственныхтранспортныхзатрат
(первыйповеденческийпринципВардропа).
Удельныетранспортныезатратыдлякаждойпарыисточник
-
стокw
складываютсяиззатратподугам
e
,входящимвмаршрутследованияиз
источникавсток.Всвоюочередьназначение
e
влияетвеличинапото
-
ка,проходящегоподугеe
∈
E,такаязависимостьописываетсяфункцией
e
(y
e
)
=
0
e
(1
+
(y
e
/
c
e
)
4
),гдеc
e
—
пропускнаяспособностьдугиe.
Литература
1.АнтипинА.С.Равновесноепрограммирование:проксимальныеметоды
//
Ав
-
томатикаителемеханика.1997.№8.C.125
–
137.
2.АшмановС.А.Математическиемоделииметодывэкономике.М.:Изд
-
во
МГУ,1980.
3.БайоккиК.,КапелоА.Вариационныеиквазивариационныенеравенства.
Приложениякзадачамсосвободнойграницей.М.:Наука,1984.
4.БрэгманЛ.Д.ДоказательствосходимостиметодаШелейховскогодлязадачи
странспортнымиограничениями
//
ЖВМиМФ.1967.№1.C.147
–
156.
5.БенсусанА.,ЛионсЖ.-Л.Импульсноеуправлениеиквазивариационные
неравенства.М.:Наука,1987.
6.ВасильеваЕ.М.,ЛевитБ.Ю.,ЛившицВ.Н.Нелинейныетранспортныеза
-
дачинасетях.М.:Финансыистатистика,1981.
7.ВасильеваЕ.М.,ИгудинР.В.,ЛившицВ.Н.Оптимизацияпланирования
иуправлениятранспортнымисистемами.М.:Транспорт,1987.
8.ВасинВ.В.,ЕреминИ.И.Операторыиитерационныепроцессыфейеровского
типа.Теорияиприложения.Екатеринбург:УрОРАН,2005.
9.ВильсонА.Дж.Энтропийныеметодымоделированиясложныхсистем.М.:
Наука,1978.
10.ГасниковаЕ.В.Двойственныемультипликативныеалгоритмыдлязадачиэн
-
тропийно
-
линейногопрограммирования
//
ЖВМиМФ.2009.Т.49,№3.
C.453
–
464.
11.ДанскинДж.Теориямаксиминаиееприложениекзадачамраспределения
вооружений.М.:Сов.радио,1970.
12.ЕреминаИ.И.,МазуроваВ.Д.Нестационарныепроцессыматематического
программирования.М.:Наука,1979.
13.КорпелевичГ.М.Экстраградиентныйметоддляотысканияседловыхточек
идругихзадач
//
Экономикаиматем.методы.1976.Т.1,№4.C.747
–
756.
14.НикайдоХ.Выпуклыеструктурыиматематическаяэкономика.М.:Мир,1972.
15.НурминскийЕ.А.Использованиедополнительныхмалыхвоздействийвфей
-
еровскихмоделяхитеративныхалгоритмов
//
ЖВМиМФ.2008.Т.48,№12.
С.2121
–
2128.
16.НурминскийЕ.А.Фейеровскиепроцессыcмалымивозмущениями
//
Доклады
АН.2008.Т.422,№5.С.601
–
605.
72Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
17.НурминскийЕ.А.Фейеровскиеалгоритмысадаптивнымшагом
//
ЖВМ
иМФ.2011.Т.51,вып.5.C.1
–
11.
18.НурминскийЕ.А.,ШамрайН.Б.Моделированиетранспортныхпото
-
ковг.Владивостоканаосноветеорииравновесия
//
Sistemedetransport
silogistica:MaterialeleConf.Int.,Chisinau,22
–
23octombrie2009;red.Resp.
DumitruSolomon;Acad.deTransporturi,InformaticasiComunicatii.Ch.:Evrica,
2009.P.334
–
348.
19.НурминскийЕ.А.,ШамрайН.Б.Прогнозноемоделированиеавтомобильного
трафикаВладивостока
//
ТрудыМФТИ.2010.Т.2,№4(8).C.119
–
129.
20.ПопковЮ.С.,ПосохинМ.В.,ГутновА.Э.,ШмульянБ.Л.Системныйана
-
лизипроблемыразвитиягородов.М.:Наука,1983.
21.ПопковЮ.С.Макросистемныемоделипространственнойэкономики.М.:Ко
-
мКнига,2008.
22.СтенбринкП.А.Оптимизациятранспортныхсетей.М.:Транспорт,1961.
23.ПоповЛ.Д.Введениевтеорию,методыиэкономическиеприложениязадач
одополнительности.Екатеринбург:Изд
-
воУрал.ун
-
та,2001.
24.ТоддМ.Дж.Вычислениенеподвижныхточекиприложениякэкономике.М.:
Наука,1983.
25.ШамрайН.Б.Решениезадачтранспортногоравновесиясдекомпозицией
поограничениям
//
ТрудыВсероссийскойконференции
«
Равновесныемо
-
деливэкономикеиэнергетике
»
.Иркутск:Изд
-
воИСЭМСОРАН.2008.
C.618
–
624.
26.ШамрайН.Б.Поискпотоковогоравновесияпроективнымиметодамисис
-
пользованиемдекомпозицииигенерациимаршрутов
//
Автоматикаителеме
-
ханика.2012.№3.
27.ШацкийЮ.А.Расчетсхемырасселенияитрудовыхкорреспонденцийпри
разработкегенеральногопланагорода
//
Развитиесистемыгородскоготранс
-
порта.Киев,1971.№4.С.3
–
14.
28.ШвецовВ.И.Математическоемоделированиетранспортныхпотоков
//
Авто
-
матикаителемеханика.2003.№11.С.3
–
46.
29.ШвецовВ.И.Алгоритмыраспределениятранспортныхпотоков
//
Автоматика
ителемеханика.2009.№10.С.148
–
157.
30.ШелейховскийГ.В.Транспортныеоснованиякомпозициигородскогоплана.
Л.,1936.
31.ХоботовЕ.Н.Омодификацииэкстраградиентногометодадлярешениявари
-
ационныхнеравенствинекоторыхзадачоптимизации
//
ЖВМиМФ.1987.
Т.27,№10.C.1462
–
1473.
32.AgdeppaR.P.,YamashitaN.,FukushimaM.Thetrafficequilibriumproblem
withnonadditivecostsanditsmonotonemixedcomplementarityproblemformu
-
lation
//
TransportationResearchPartB.2007.№41.P.862
–
874.
33.ArrowsmithG.A.Abehaviouralapproachtoobtainingadoublyconstrained
tripdistributionmodel
//
OperationalResearchQuarterly.1973.V.24,№1.
P.101
–
111.
34.Bar-GeraH.Origin
-
basedalgorithmforthetrafficassignmentproblem
//
Trans
-
portationScience.2002.V.36,№4.P.398
–
417.
Литература73
35.BeckmannM.,McGuireC.B.,WinstenC.B.Studiesintheeconomicsoftrans
-
portation.RM
-
1488.SantaMonica:RANDCorporation,1955.
36.BertsekasD.,GafniE.Projectionmethodsforvariationalinequalitieswithap
-
plicationtothetrafficassignmentproblem
//
MathematicalProgrammingStudy.
1982.№17.P.139
–
159.
37.BoyceD.,Ralevic-DekicB.,Bar-GeraH.Convergenceoftrafficassignments:
howmuchisenough?
//
JournalTransportEngineer.2004.V.130,№1.P.49
–
55.
38.ChenM.,BernsteinD.H.,ChienS.I.J.,MouskosK.Simplifiedformulationof
tolldesignproblem
//
TransportationReseachRecord.1999.№1667.P.88
–
95.
39.DafermosS.Trafficequilibriumandvariationalinequalities
//
Transportation
Science.1980.V.14,№1.P.42
–
54.
40.FangS.-C.,RajasekeraJ.R.,TsaoH.-S.J.Entropyoptimizationandmathemat
-
icalprogramming.KluwerAcademicPublisher,1997.
41.FacchineiF.,PangJ.-S.Finite
-
DimensionalVariationalInequalitiesandCom
-
plementarityProblems(V.I,II).Springer,2003.
42.FrankM.,WolfeP.Analgorithmforquadraticprogramming
//
NavalResearch
LogisticsQuarterly.1956.V.3.P.95
–
110.
43.GabrielS.A.,BernsteinD.Thetrafficequilibriumproblemwithnonadditivepath
costs
//
TransportationScience.1997.V.31,№4.P.337
–
348.
44.IusemA.N.Aniterativealgorithmforthevariationalinequalityproblem
//
Com
-
put.andAppl.Mathematics.1994.V.13,№2.P.103
–
114.
45.JansonB.,Zozaya-GorostizaC.Theproblemofcyclicflowsintrafficassign
-
ment
//
TransportationResearchPartB.1987.V.21,№4.P.299
–
310.
46.LeventhalT.,NemhauserG.L.,TrotterL.Jr.Acolumngenerationalgorithmfor
optimaltrafficassignment
//
TransportationScience.1973.№7.P.168
–
176.
47.MichelotC.Afinitealgorithmforfindingtheprojectionofapointontothe
canonicalsimplexofR
n
//
J.ofOptimizationTheoryandAppl.1986.V.50,№1.
P.195
–
200.
48.KnightF.H.Somefallaciesintheinterpretationofsocialcost
//
TheQuarterly
JournalofEconomics.1924.V.38,№4.P.582
–
606.
49.KonnovI.V.Combinedrelaxationmethodsforvariationalinequalities.Berlin:
Springer,2001.
50.KonnovI.V.EquilibriumModelsandVariationalInequalities.ElsevierScience,
2007.
51.KravchukA.S.,NeittaanmakiP.J.VariationalandQuasi
-
VariationalInequali
-
tiesinMechanics.Springer,2007.
52.LoH.K.,ChenA.Trafficequlibriumproblemwithrout
-
specificcosts:formulation
andalgorithms
//
TransportationResearchPartB.2000.V.34,№6.P.493
–
513.
53.MarcotteP.ApplicationofKhobotov’salgorithmtovariationalinequalitiesand
networkequilibriumproblems
//
INFOR.1992.V.29,№4.P.258
–
270.
54.NagurneyA.NetworkEconomics:AVariationalInequalityApproach.Dordrecht:
KluwerAcademicPublishers,1999.
55.NagurneyA.,DongJ.Paradoxesinnetworkswithzeroemissionlinks:impli
-
cationsfortelecommunicationsversustransportation
//
TransportationResearch
PartD.2001.V.6,№4.P.283
–
296.
74Гл.1.Транспортныепотокиитеорияэкономическогоравновесия
56.NemirovskyA.,YudinD.Informationalcomplexityandefficientmethodsfor
solutionofconvexextremalproblems.N.Y.:Wiley,1983.
57.NesterovY.,dePalmaA.Stationarydynamicsolutionsincongestedtransporta
-
tionnetworks:summaryandperspectives
//
Networksandspatialeconomics.
2003.№3.P.371
–
395.
58.NesterovYu.,dePalmaA.Stationarydynamicsolutionsincongestedtransporta
-
tionnetworks:summaryandperspectives
//
NetworksandSpatialEconomics.
2003.№3.P.371
–
395.
59.NurminskiE.A.EnvelopestepsizecontrolforiterativealgorithmsbasedonFejer
processeswithattractants
//
OptimizationMethodsandSoftware.2010.V.25,
№1.P.97
–
108.
60.PatrikssonM.Thetrafficassignmentproblem
—
modelsandmethods.Utrecht,
Netherlands:VSP,1994.
61.PiugouA.C.Theeconomicsofwelfare.London:MacMillan,1932.4
-
thedition.
(Русскийперевод:ПигуА.С.Экономическаятеорияблагосостояния.Т.1
–
2.
Сер.ЭкономическаямысльЗапада.М.:Прогресс,1985).
62.RoughgardenT.,TardosE.Howbadisselfishrouting?
//
JournaloftheACM.
2002.V.49,№2.P.236
–
259.
63.SunD.Aprojectionandcontractionmethodforthenonlinearcomplementar
-
ityproblemanditsextensions
//
MathematicaNumericaSinica.1994.V.16.
P.183
–
194.
64.WilsonA.G.Astatisticaltheoryofspatialdistributionmodels
//
Transportation
Research.1967.V.1.P.253
–
270.
65.WardropJ.SomeTheoreticalAspectsofRoadTrafficResearch
//
Proceedingsof
theInstituteofCivilEngineers.1952.
66.WangY.J.,XiuN.H.,WangC.Y.Unifiedframeworkofextragradient
-
typemeth
-
odsforpseudomonotonevariationalinequalities
//
J.ofOptimizationTheoryand
Appl.2001.V.111,№3.P.641
–
656.
67.XiuN.,ZhangJ.Somerecentadvancesinprojection
-
typemethodsforvariational
inequalities
//
J.ofComput.andAppl.Mathematics.2003.V.152.P.559
–
585.
Глава2
Математическиемоделитранспортныхпотоков
2.1.Макроскопическиемодели
Впункте2.1приводятсяосновные(систорическойточкизрения,
источкизрениявозможныхприложений)макроскопическиемодели
транспортныхпотоков.Многовниманияуделяетсягидродинамическим
аналогиям.Транспортныйпотокуподобляетсясжимаемойжидкости
смотивацией,котораяприсутствует,например,вуравнениисостояния
транспортногопотока(зависимостискоростипотокаотплотности).
Ключевымпонятиемэтогопунктаявляетсяобобщенноерешениеначаль
-
нойзадачиКошидлязаконасохранения,описывающеготранспортный
поток.Так,например,разрывыобобщенногорешенияинтерпретируются
какграницызаторов(переходотсвободногодвижениякзаторному).
2.1.1.МодельЛайтхилла
—
Уизема
—
Ричардса(LWR)
Вовторойполовине40
-
хгодовив50
-
егодыХХвекавСССРиСША
интенсивнозанималисьисследованиемпроцессов,возникающихпривзры
-
вебомбы(см.,например,монографии[1,2]).Вчастности,большое
вниманиебылоуделеноизучениюначально
-
краевыхзадачдляуравнения
(исистемтакихуравнений)типазаконасохранения.Вэтожевремяна
-
блюдалсяиростприложений,вкоторыхвстречаютсясхожиеуравнения
[3,4].Такв1955г.независимовработах[5,6](см.также[7])была
предложена,по
-
видимому,перваямакроскопическая(гидродинамическая)
модельоднополосного
2)
транспортногопотока,названнаявпоследствии
модельюЛайтхилла
—
Уизема(Уитема)
—
Ричардса(LWR),вкоторой
потокАТС(автотранспортныхсредств)рассматриваетсякакпотокод
-
номернойсжимаемойжидкости(частоэтумодельназываютмоделью
Лайтхилла
—
Уизема).Отметим,чтовместотермина
«
автомобиль
»
итем
более
«
машина
»
втранспортнойлитературепринятоиспользоватьтермин
АТС.
Глава2написанаА.В.ГасниковымприучастииС.Л.КленоваиЯ.А.Холодова.Огром
-
нуюпомощьвнаписанииоказалА.А.Шананин
—
посути,идейныйвдохновительэтойглавы.
Рисункикпп.2.1
–
2.3этойглавыподготовилиАндрейЯрошенко(выпускникМАДИ)иИгорь
Виноградов(выпускникВМиКМГУ).
2)
Полосабесконечнаявобестороны,движениепроисходитслеванаправо(дляопределен
-
ности),нетисточниковистоковавтомобильныхтранспортных(автотранспортных)
средств(АТС).
76Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
ВмоделиLWRпредполагается,что
а)существуетвзаимнооднозначнаязависимость(уравнениесостоя-
ния)междускоростьюv(t,x)иплотностью(погонной)
(t,x)по
-
тока;
б)выполняетсязаконсохранениямассы(количестваАТС).
Запись
(t,x)обозначаетчислоАТСнаединицудлинывмоментвре
-
мениtвокрестноститочкитрассыскоординатойx.Аналогично,v(t,x)
—
скоростьАТСвмоментвремениtвокрестноститочкитрассыскоор
-
динатойx.Вездевдальнейшемпредполагается,чтопространственные
масштабы,накоторыхтранспортныйпотокописываетсямакроскопиче
-
скими(гидродинамическими)моделями,значительнопревышаютхарак
-
терныйразмерАТС(т.е.составляютнеменеесотниметров).Втаком
предположениимыбудеминтерпретировать
(t,x),v(t,x)некакнекото
-
рые,должнымобразомусредненные,величины(см.,например,[5,8]),акак
функции
1)
,получающиесяприпереходеотмикроскопическогоописания
(втомчислеиописанияспомощьюклеточныхавтоматов,см.п.2.2)
кмакроскопическому.Иначеговоря,мысчитаем,чтотранспортныйпо
-
токподчиняетсянекотороймикроскопическоймодели,вкоторойдетально
описываетсяповедениеАТСвзависимостиотобстановкивпереди,иэта
модельявляетсяразностнымилидифференциально
-
разностныманалогом
рассматриваемойнамимакроскопическоймодели.Такимобразом,кор
-
ректностьпредложенногоздесьподходакопределению
(t,x),v(t,x)
основываетсянаустойчивойаппроксимациимакроскопическоймодели
микроскопической.Приэтомнеобходимостьрассмотрениямакроскопи
-
ческихмоделейобусловленавпервуюочередьболеепростойтехникойих
исследованияибольшейнаглядностью(ввидугидродинамическихпарал
-
лелей).
Первоепредположениевыразимусловием:
v(t,x)
=
V(
(t,x)).(1)
ОтносительнофункцииV(
)делаетсяследующеепредположение:
V
′
(
)
<
0.(2)
Обозначим
Q(
)
=
V(
)
1)
Отметимвсвязисупотреблениемздесьслова
«
функция
»
,чтоВ.И.Арнольднеодно
-
кратнововремяразличныхвыступленийделалдокладчикамследующеезамечание:
«
Запись
f(x)означаетнефункцию,азначениефункциивточкеx,афункциюследуетобозначать
простоf
»
.Темнеменее,здесьидалеевэтойглавебылорешенооставитьболеепривычную
длястудентовзапись.
2.1.Макроскопическиемодели77
—
интенсивностьпотокаАТС(количествоАТС,проходящихведини
-
цувременичереззаданноесечение).ЗависимостьQ(
)частоназывают
фундаментальной(илиосновной)диаграммой.Отметимтакже,что
изависимостьV(
)иногданазываютфундаментальнойдиаграммой(см.,
например,приложениеМ.Л.Бланка).Дляоднополосногопотокапринято
считать[7]:
Q
′′
(
)
<
0.
Этоусловиеможнопониматьследующимобразом:движениеподвум
одинаковыминезависимымполосамсразнымиплотностямименее
«
эф
-
фективно
»
,чемдвижениепоэтимполосамсодинаковойплотностью,рав
-
нойсреднемуарифметическомупервоначальныхплотностей.Однакоесли
агрегироватьнесколькополосводну(иначеговоря,заменитьнесколько
полосоднойагрегированной,ккоторойиприменятьрассматриваемую
модель),то,какпоказываютнаблюдениязареальнымитранспортнымипо
-
токами,отвогнутостифункцииQ(
),вообщеговоря,придетсяотказаться.
Рис.1.Уравнениесостояниятранспортногопотока
Так,нарис.1,2отображеныэкспериментальныеданные
«
Центра
исследованиятранспортнойинфраструктуры
»
г.Москвы,собранные(вте
-
чениеодногодняв2005г.)почетыремполосамнаучасткетретьего
транспортногокольцаотАвтозаводскойулицыдоВаршавскогошоссе
78Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
исагрегированныенаоднуполосу.Заметим,чтовдействительностиизме
-
ряласьзависимостьV(Q).
Рис.2.Фундаментальнаядиаграмма
ОбъяснитьнебольшойпровалинтенсивностипотокаQ(
)приплотно
-
стях
∼
60
−
115АТС
/
кмможно,по
-
видимому,тем,чтоприэтихплотно
-
стяхсущественноевлияниенаинтенсивностьпотокаоказываютперемеще
-
нияАТСсоднойполосынадругую.ПерестраиванияАТСизоднойполосы
вдругуюприэтихплотностяхснижаютинтенсивностьпотока.Соднойсто
-
роны,засчетперемещенияизполосывполосуможнодвигатьсябыстрее
(таконоипроисходитприплотностях
∼
30
−
50АТС
/
км),но,сдругой
стороны,всреднемтакиеперемещенияпри
∼
50
−
120АТС
/
кмприводят
кдополнительнымзатратамнасамоперестраиваниеикзамедлениютех
АТС,передкоторымивстраиваетсяновоеАТС[9].Другоеобъяснение
этогонаблюдения,данноевглаве3(см.также[10]),связаностем,чтопри
∼
50
−
120АТС
/
кмсамопонятие
«
фундаментальнаядиаграмма
»
несо
-
всемкорректно.Иначеговоря,приэтихплотностяхнетчеткойзависимости
величиныпотока(скорости)отплотности.Одномузначениюплотности
соответствуетцелыйпромежутоквозможныхзначенийпотока(скорости).
Второепредположениевыразимзакономсохранения
b
a
(t
+Δ
,x)dx
−
b
a
(t,x)dx
=−
t
+Δ
t
Q(
(
,b))d
−
t
+Δ
t
Q(
(
,a))d
.
2.1.Макроскопическиемодели79
Отсюдаследует,чтодлялюбогопрямоугольногоконтура
Γ
вполуплос
-
костиt
0,x
∈R
,состоронами,параллельнымиосям(легкопоказать,
чтоэтосоотношениесправедливодляпроизвольногокусочно
-
гладкого
контура
Γ
),выполняется:
Γ
(t,x)dx
−
Q(
(t,x))dt
=
0.(3)
Вточкахгладкости
(t,x):
∂
∂
t
+
∂
(v
)
∂
x
=
∂
∂
t
+
∂
(V(
)
)
∂
x
,
т.е.
∂
∂
t
+
∂
Q(
)
∂
x
=
0.(4)
Поставимначальноеусловиевида(условиетипаРимана)
(0,x)
=
−
,x
<
x
−
,
0
(x),x
−
x
<
x
+
,
+
,x
x
+
.
(5)
ЗадачаКоши(4),(5)возникает,например,приописаниираспространения
затора(пробки):пусть
′0
(x)
0,
+
=
max
,
где
max
—
максимальновозможнаяплотность(ситуация
«
бамперкбам
-
перу
»
).Требуетсяопределить,какпотранспортномупотокубудетраспро
-
странятьсяинформацияозаторевпереди.Решениеэтойзадачипозволит
ответить,например,наследующийвопрос:еслидвижениеАТСсутрана
ДмитровскомшоссевсторонуМосквы
«
встало
»
врайонег.Долгопрудный,
точерезкакоевремязатордойдетдог.Дмитров?Рядинтересныхмодель
-
ныхзадач(задачаосветофоре,обэволюциилокальногозатораидр.)для
законасохранения(4)рассмотренвглавах2и3книги[7](см.также
п.2.3).
Вернемсяксоотношению(3).Обратимвнимание,чтоэтосоотноше
-
ниеможетбытьвыполненоидляразрывнойфункцииплотности
(t,x).
Причемразрывфункции
(t,x)естьрезкоеизменениеплотности,что
соответствуетграницезатора.Пустьвмоментвремениtразрывнаходится
вточкескоординатойxи
(t,x
−
0)
=
−
,
(t,x
+
0)
=
+
.
Предположим,чтонаплоскости(t;x)этомуразрывусоответствуеткри
-
ваяL.Возьмемвокрестноститочки(t,x)
∈
Lпрямоугольныйконтур(для
определенностизададимориентациюпочасовойстрелке)так,какпока
-
занонарис.3.Будемсчитать,чтоширинаконтура
Γ
настолькомалапо
80Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
сравнениюсдлиной,чтоинтеграломпоучасткамконтура
Γ
,поперечным
кL,можнопренебречь(см.рис.3).
Рис.3.RRH
-
условиенаразрыве
Тогдаиз(3)следует,что
0
=
Γ
(
(t,x)dx
−
Q(
(t,x))dt)
=
(
+
c
−
Q(
+
))
Δ
t
−
(
−
c
−
Q(
−
))
Δ
t
+
o(
Δ
t),
гдеc
=
dx
/
dtсоответствуетнаклонукасательнойкLвточке(t,x),
Δ
t
—
длинапроекцииконтуранаосьt.При
Δ
t
→
0эторавенствопереходит
вследующееусловие(частныйслучай,условияСтокса,1848)дляскоро-
стидвиженияразрываc,котороеназывается(вовсякомслучае,должно
называтьсясогласноП.Лаксу[11])условиемРимана
—
Ранкина
—
Гю-
гонио:
c
=
(
−
,
+
)
=
Q(
+
)
−
Q(
−
)
+
−
−
.(RRH)
Оказывается,чтоуравнение(4)всегдаимеетслабое(удовлетворяющее
соотношению(3)иначальномуусловию(5)вслабомсмысле)решение(см.
[12]),но,какпоказываетследующийпример,ономожетиметьбесконечно
многорешений,т.е.нетединственности.
Пример(О.А.Олейник[13]).РассмотримуравнениеХопфа(см.
[14]):
∂
∂
t
+
∂
∂
x
=
0
2.1.Макроскопическиемодели81
иначальноеусловиеРимана:
(0,x)
=
(
1,x
0,
−
1,x
>
0.
Оважности(исторической,инетолько)именноэтогоуравнениядля
моделированиятранспортныхпотоковсм.вп.2.1.3.Линейнойзаменой
переменныхинеизвестнойфункциикуравнениюХопфаможносвести
довольнопопулярныйчастныйслучаймоделиLWR,вкоторомQ(
)
—
вогнутаяпарабола(фундаментальнаядиаграммаГриншилдса).
Прилюбомq
1определеннаявточкахполуплоскостиt
0функция
q
(t,x)
=
1,x
1
−
q
2
t,
−
q,
1
−
q
2
t
<
x
0,
q,0
<
x
q
−
1
2
t,
−
1,
q
−
1
2
t
<
x
удовлетворяетприt
>
0уравнению(4)всмысле(3)(достаточнопроверить,
чтонаразрывахвыполняетсяусловиеRRH)иначальномуусловию(5)(см.
рис.4).
Рис.4.ПримерО.А.Олейник(1957)
Единственноерешениевыделяетсяусловиемотбора,по
-
видимому,
впервыепредложеннымО.А.Олейникв1958г.[15,16](вчастном
случае
—
выпуклой(вогнутой)функцииQ(
),см.[13],атакже[11])
иИ.М.Гельфандомв1959г.[17]
1)
какусловиеустойчивости(допу-
стимости)разрыва.
1)
Работа[17]представляетсобойзаписькурсалекций,сыгравшеговажнуюрольвпопу
-
ляризациитеорииквазилинейныхуравненийизаконовсохранения,которыеИ.М.Гельфанд
читалнамехматеМГУв1957
–
1958гг.
82Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
Наразрыве,помимоRRH-условия,такжедолжновыполняться
E-условие:
∀
∈
(
−
,
+
)
(
−
,
+
)
(
−
,
),если
−
<
+
;
∀
∈
(
+
,
−
)
(
−
,
+
)
(
−
,
),если
−
>
+
.
Этоусловиетакженазываютэнтропийнымусловием,энтропийным
условиемОлейник,E-условиемОлейник.Объяснение(основанноена
методеисчезающейвязкости,см.п.2.1.3)того,откудавозниклоE
-
условие
(иRRH
-
условие)будетприведеновп.2.3.1.Заметимтакже,чтовклас
-
секусочно
-
постоянныхначальныхусловий(аппроксимирующихкласс
ограниченныхизмеримыхначальныхусловий)добавлениеE
-
условиякак
условияотборавозможныхразрывовксоотношению(3)однозначноикон
-
структивноопределяетдинамику
(t,x)(нужнотакжеоговориться,что
кусочно
-
гладкаяфункцияQ(
)неимеетточексгущениянулейвторойпро
-
изводной).Отмеченнаяконструктивностьактивноиспользоваласьв70
-
х
и80
-
хгодахXXвека,например,приисследованиимодельныхзадачп.2.3.
E
-
условиеимеетнаглядную(см.рис.5)геометрическуюинтерпрета
-
цию(дляопределенностисчитаем
−
<
+
):графикфункцииQ(
)при
∈
(
−
,
+
)лежитненижепрямой,проходящейчерезточки(
−
,Q(
−
))
и(
+
,Q(
+
).Приэтомскоростьдвиженияразрываcравнанаклонуэтой
прямой.
ДляслучаявогнутойфункцииQ(
)разрывустойчивтогдаитолько
тогда,когдапридвиженииточекразрывавдольхарактеристикмысразу
жеполучаеммногозначноерешение[11];[17]
–
[19](разрывбудетопро
-
кидыватьсяподобноморскойволне).
Рис.5.E
-
условие
2.1.Макроскопическиемодели83
Пример(см.[18]).СновавозьмемуравнениеХопфаиначальноеусло
-
вие
(0,x)
=
(
−
1,x
0,
1,x
>
0.
ВозможныследующиеслабыерешениязадачиКоши(4),(5):
1
(t,x)
=
−
1,x
−
t,
x
t
,
−
t
<
x
t,
1,x
>
t.
2
(t,x)
=
(
−
1,x
0,
1,x
>
0.
«
Размазывая
»
разрывначальныхданныхвточкеx
=
0,т.е.вводя
(0,x)
—
монотонновозрастающуюнепрерывнуюфункцию,совпадаю
-
щуювнеотрезка
|
x
|
с
(0,x),мыувидим(используя,например,клас
-
сическийметодхарактеристик(см.рис.6),работоспособностькоторого
Рис.6
вданнойситуацииобеспечиваетсяотсутствиемпересеченийухарактери
-
стик),что
lim
→
0
+
(t,x)
=
1
(t,x).
Тоестьнеклассическоерешение
2
(t,x)неявляетсяустойчивымрешени
-
ем.Несложнопроверить,чтонаразрыверешения
2
(t,x)невыполняется
E
-
условие,поэтому
2
(t,x)неявляетсярешением.Еслипосмотретьна
поведениехарактеристиксистемы,томожнозаметить,чтодлярешения
2
(t,x)разрывнадуман
—
онневызванпересечениемхарактеристик.Вме
-
стотогочтобыпересекатьсянаразрыве,характеристики
«
расходятся
»
от
разрыва.
84Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
Взаключениеэтогопримеразаметим,чтоуравнениясемействахарак
-
теристикнаплоскости(t;x)имеютвид
dx
dt
=
Q
′
(
(t,x)).
Поэтомуполнаяпроизводнаяповремениотфункции
(t,x)вдольхарак
-
теристикиесть
d
dt
=
∂
∂
t
+
∂
∂
x
dx
dt
=
∂
∂
t
+
Q
′
(
)
∂
∂
x
=
∂
∂
t
+
∂
Q(
)
∂
x
=
0,
т.е.
(t,x)
=
constвдольхарактеристики.
Отметим,чтоклассическийметодхарактеристикдлярешенияуравне
-
нийвчастныхпроизводныхпервогопорядкаможетиспользоватьсялишь
локальнодляуравнения(4),таккакпопрошествиинекотороговремени
характеристикимогутначатьпересекатьсяивозникнетнеоднозначность:
однойточке(t,x)будутсоответствоватьнесколько,вообщеговоря,разных
значений
(
«
принесенных
»
похарактеристикам).Собственно,там,где
характеристикиначинаютпересекаться,ивозникаетразрывурешения
уравнения(5)[19].Методхарактеристиквкупесусловияминаразрыве
былоднимизпервыхметодовисследованиязадачиКоши(4),(5).
Заметимтакже,чтопроцесс,описываемыйразрывнымрешением(4),
необратимвовремени(см.,например,[18,19]ип.2.3.2).Причемусловие
разрывностипроцессасущественнодлянеобратимости.Так,впримере
О.А.Олейник
q
(t,x)приq
=
1являетсяразрывнымрешением(4),(5),
длякотороговыполняетсяE
-
условие(какстрогоенеравенство).Еслире
-
шать(4),(5)впопятномвремени,тонеравенствовE
-
условиипоменяется
напротивоположное,поэтомуеслифункция
q
(t,x)приq
=
1удовле
-
творяла
«
прямому
»
E
-
условию,тоонаточнонеможетудовлетворять
«
попятному
»
E
-
условию.Заметим,однако,чтоуравнение(4)выглядит
симметричнымотносительнообращениявремени(t
→−
t),посколькупри
попятномтечениивременивеличинапотокаQ(
)изменяетзнакнапро
-
тивоположный.Однако,какужеотмечалось,уравнение(4),понимаемое
вслабомсмысле,определяетэволюциюсистемы,вообщеговоря,неедин
-
ственнымобразом.Выделениеединственногорешенияявляетсянеобрати
-
мойповременипроцедурой.
Приведемвзаключениеещеодинпример,показывающийотличиеза
-
конасохранения(4)отуравнений,описывающихтолькогладкиерешения.
Пример(И.М.Гельфанда[17]).СновавозьмемуравнениеХопфа
изапишемеговдвухдивергентныхформах(задав
(0,x)
>
0,мыможем
2.1.Макроскопическиемодели85
бытьуверенывтом,чтовездевдальнейшем
(t,x)
>
0):
∂
∂
t
+
∂
(
2
/
2)
∂
x
=
0,
∂
(
2
/
2)
∂
t
+
∂
(
3
/
3)
∂
x
=
0.
ВтороеуравнениеполучаетсяумножениемуравненияХопфана
>
0и
приведениемполученногоуравнениякдивергентномувиду.Написавдля
каждогоизэтихуравненийусловиетипаRRHнаразрыве:
C
1
=
2+
/
2
−
2−
/
2
+
−
−
=
1
2
(
+
+
−
)
?
=
2
3
2+
+
+
−
+
2−
+
+
−
=
3+
/
3
−
3−
/
3
2+
/
2
−
2−
/
2
=
C
2
,
легкоубеждаемсявнеэквивалентностиэтихдивергентныхформ(если
рассматриватьобобщенныерешения).Мынаписали
«
условиетипаRRH
»
,
потомучтопользуемсяобобщениемэтогоусловия:
c
=
q(
+
)
−
q(
−
)
(
+
)
−
(
−
)
наразрыверешенияуравнения
∂
(
)
∂
t
+
∂
q(
)
∂
x
=
0,
с
′
(
)
>
0.
Замечание(см.[20]).Пусть
Q
′′
(
)
<
0(Q
′′
(
)
>
0).
Тогдадлялюбогоk,длякоторого
Q
′
(
−
)
<
k
<
Q
′
(
+
)(Q
′
(
−
)
>
k
>
Q
′
(
+
)),
существуеттакаяположительнаягладкаяфункция
(
),чтоуравнение(4),
умноженноена
(
),будетиметьскоростьразрываk.
2.1.2.МодельТанака
ПриведемодинизспособовопределениязависимостиV(
),предложен
-
ныйв1963г.Танакаидр.[8,21](по
-
видимому,этотспособбылизвестен
значительнораньше).
РассматриваетсяоднополосныйпотокАТС.ПустьскоростьАТСне
можетпревышатьv
max
.Плотность
(v)
=
1
d(v)
,
где
d(v)
=
L
+
c
1
v
+
c
2
v
2
86Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
—
среднее(безопасное)расстояниемеждуАТСпризаданнойскоростиv
движенияпотока
1)
,L
—
средняядлинаАТС,c
1
—
время,характеризующее
реакциюводителей,c
2
—
коэффициентпропорциональноститормозного
пути(см.такжеп.2.2.3).Иззависимостиd(v)можнополучитьзависимость
(1)V(
),удовлетворяющуюусловию(2).
Коэффициентc
2
,вообщеговоря,зависитотдорожныхусловий.Так,
принормальныхусловиях[21]
d(v)[м]
=
5,7[м]
+
0,504[с]
v[м
/
c]
+
0,0285[с
2
/
м]
v
2
[м
2
/
c
2
],
длямокрогоасфальта[22]
d(v)[м]
=
5,7[м]
+
0,504[с]
v[м
/
c]
+
0,0570[с
2
/
м]
v
2
[м
2
/
c
2
],
адляобледенелойдороги[22]
d(v)[м]
=
5,7[м]
+
0,504[с]
v[м
/
c]
+
0,1650[с
2
/
м]
v
2
[м
2
/
c
2
].
МодельюТанаканазываютLWR
-
модель,вкоторойуравнениесостояния
V(
)определяетсятак,какописановыше.Несмотрянасвоюпростоту,
модельТанакаиграеточеньважнуюрольвсовременныхисследованиях
транспортныхпотоков[8].
2.1.3.МодельУизема
Следующимшагом(упомянутымещев1955г.иокончательнопредло
-
женнымв1974г.Дж.Уиземом[7])былучет
«
дальнозоркости
»
водителей:
v(t,x)
=
V(
(t,x))
−
D(
(t,x))
(t,x)
∂
(t,x)
∂
x
,D(
)
>
0.
Откуда,сучётомзаконасохраненияколичестваАТС
∂
∂
t
+
∂
(v
)
∂
x
=
0,
получимуравнениетипаБюргерса(законсохраненияснелинейной
дивергентнойдиффузией):
∂
∂
t
+
∂
Q(
)
∂
x
=
∂
∂
x
D(
)
∂
∂
x
.(6)
Появившиесявправыхчастяхновые(посравнениюс(1)и(4))диф
-
фузионныеслагаемыесоответствуюттомуфакту,чтоводителиснижают
скоростьприувеличенииплотностипотокаАТСвпередииувеличивают
приуменьшении.Гидродинамическая(макроскопическая)модель(2),(5),
(6)называетсямодельюУизема.
1)
Величинуd(v)такженазываютдинамическимгабаритомилидистанциейвидимо-
сти;подd(v)понимаютчастьполосы,содержащуюАТСвместесдистанциейэкстренного
торможения.
2.1.Макроскопическиемодели87
Вслучае(Б.Гриншилдс(1934)),когдаQ(
)
—
парабола(вогнутая),
D(
)
≡
(
>
0),
можнопоказать,чтоуравнение(4)сводитсяспомощьюлинейнойзамены
переменныхинеизвестнойфункции:t
→
t,x
→
x,
→
куравнению
(Бэйтмена
—
)Бюргерса,играющемуважнуюрольвгидродинамике(см.,
например,работыХ.Бэйтмена(1915),Ж.Лерэ(1934),Дж.Бюргерса
(1940),Э.Хопфа(1950)):
∂
∂
t
+
∂
∂
x
=
∂
2
∂
x
2
,
>
0.
Спомощьюзамены(Форсайта
—
)Флорина
—
Хопфа
—
Коула[4,7,19](см.
такжезамечаниевконцеэтогопункта)
=−
2
∂
∂
x
(lnw)
=−
2
w
x
w
задача(4),(5)(дляуравненияБюргерса)сводитсякзадачеКошидля
уравнениятеплопроводности:
1)
∂
w
∂
t
=
∂
2
w
∂
x
2
,w(0,x)
=
exp
−
1
2
x
0
(0,
)d
.
Используяэтотфакт,Э.Хопфв1950г.изучалповедениерешенияна
-
чальнойзадачиКошидляуравненияБюргерса[7,14].Так,например,
имбылобоснованпредельныйпереход(получившийназваниеметода
исчезающейвязкости
2)
)при
→
0
+
отуравненияБюргерсакуравнению
Хопфа:
∂
∂
t
+
∂
∂
x
=
0.
Всвязисвышесказаннымнапомним,чтодлянелинейногозаконасохра
-
нения(4)гладкоерешениезадачиКоши(4),(5)существует,какправи
-
ло,тольковмалойокрестностилинии,гдезаданыначальныеусловия.
ПоразрывнымначальнымусловиямрешениезадачиКошидлянели
-
нейныхуравнений,вообщеговоря,неопределяетсяоднозначнодаже
1)
Причина,покоторойуравнениеБюргерсалинеаризуется,объясняетсяв[23]исвязана
стем,чтоуравнениеБюргерсадостаточносимметрично,т.е.допускаетбесконечномерную
алгебруЛи(группупреобразований).Интереснозаметить,чтоестьопределеннаятехника,
позволяющаяпозаданномуэволюционномууравнениюопределять,линеаризуетсялионоили
нет.Дляболееподробногоознакомлениясгрупповыманализомдифференциальныхуравне
-
нийможнорекомендоватьмонографии[24]и[25].Заметимтакже,чтоприопределенных
(специальноподобранных)начальныхусловияхмогутбытьполученыточныеформулыдля
решенийрядаважныхвприложенияхсущественнонелинейныхуравненийпараболического
(инетолько)типа[26]
–
[28].
2)
Хотяврассматриваемомнамислучаеречьидетскорееодиффузии,чемовязкости.
88Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
вскольугодномалойокрестностилинии,гдезаданыначальныеусло
-
вия.ДлятогочтобызадачаКошидлянелинейныхуравненийсгладки
-
миилиразрывныминачальнымиусловиямибылаоднозначноразреши
-
мавб
´
ольшейобласти,необходиморассматриватьразрывныерешения
уравненияипо
-
новомуставитьзадачуКоши.Казалосьбы,достаточно
(следуяидеямН.М.Гюнтера,С.Л.Соболева,Л.Шварцавлинейномслу
-
чае)равенства(4),(5)пониматьвслабомсмысле(понимать(4)всмысле
соотношения(3)).Однако(см.примерО.А.Олейникизп.2.1.1)такое
определениерешениянеобеспечиваетегоединственности.Корректный
способзаключаетсявтом,чтобыпониматьрешениязадачиКоши
(4),(5)
(t,x)какпредел(почтивсюдупоxприлюбомфиксирован-
номзначенииt
>
0)при
1)
→
0
+
,D(
):
=
D(
),D(
)
>
0
решенийзадачКоши(6),(5)
(t,x):
k
(t,
)
−
(t,
)
k
L
1
(
R
)
=
O(
√
t)(оценкаН.Н.Кузнецова(1975)).
Приэтом
(t,x)
—
ограниченнаяизмеримаяфункция,независя-
щаяотD(
)
>
0,слабоудовлетворяющаязаконусохранения(4)
иначальномуусловию(5).Такопределённуюфункцию
(t,x)часто
называютэнтропийнымрешениемзадачиКоши(4),(5)(см.также
замечаниевконцеп.2.3.2).
Этопредставляетсяестественным.Ведьобауравнения(4)и(6)воз
-
никли(наразныхуровняхдетализации)приописанииодногоявления.
Обоснованиемметодаисчезающейвязкостиинтенсивнозанималисьв50
-
е
годыXXвека(Э.Хопф,О.А.Олейник,А.Н.ТихоновиА.А.Самарский,
П.Лакс,О.А.Ладыженская,И.М.Гельфандидр.).Наиболееобщиере
-
зультатыполучилС.Н.Кружковвконце1960
-
хгг.(подробностисм.в[11],
[29]
–
[38],атакжевконцеп.2.3.2).
Заметим,чтоуравнение(6)параболическоготипа,следовательно,ре
-
шениеможнопониматьвобычном(классическом)смыследажепри
разрывныхначальныхусловиях.Длятакихнелинейныхуравненийразвит
достаточноэффективныйаппарат.Преждевсегоэторазличныевариан
-
тыпринципамаксимумаиоснованныенанихметодыаприорныхоце
-
1)
Подчеркнем,чтонезависимостьпределаотвидадиффузионногослагаемогообусловлена
тем,чтодиффузиявходитдивергентнымобразомвправуючастьуравнения(6).Еслибы,
скажем,уравнение(6)имеловид
∂
∂
t
+
∂
Q(
)
∂
x
=
D(
)
∂
2
∂
x
2
,
топредел,вообщеговоря,ужезависелбыотвидаD(
).Вэтомлегкоубедиться,рассмотрев
примерИ.М.Гельфанда(см.п.2.1.1).Отметимтемнеменее,чтоесливпределеприD(
)
≡
1
получаетсяфункциябезразрывов,топределпо
-
прежнемунебудетзависетьотD(
)
>
0.
2.1.Макроскопическиемодели89
нокстаршихпроизводных[39,40](С.Н.Бернштейн,И.Г.Петровский,
О.А.Олейник,О.А.Ладыженскаяидр.),позволяющиедовольнотонко
исследоватьразличныесвойстварешенийначально
-
краевыхзадачдля
уравненийпараболическоготипа.Напомним,вчемзаключаетсяпринцип
максимума:решениеуравненияпараболическоготипадостигаетмакси
-
мальногоиминимальногозначенийнапараболическойгранице(основание
ибоковыестороны)области,вкоторойрассматриваетсяэторешение
(вместоуравненийможнорассматриватьинеравенства).Так,например,
решениеначальнойзадачиКошидляуравненияпараболическоготипа
ограниченотемижепостоянными,чтоиначальноеусловие.Установивраз
-
личныесвойстварешениязадачиКоши(6),(5)иосуществивпредельный
переходпри
→
0
+
,можнополучатьразнообразныесвойстварешения
задачиКоши(4),(5).
Посредством
«
хорошего
»
уравнения(6)попытаемсятеперьустановить
связьмеждузакономсохраненияиуравнениемГамильтона
—
Якоби
(Г
—
Я).ДляэтогорассмотримдвеприводимыенижезадачиКоши:
∂
∂
t
+
∂
Q(
)
∂
x
=
∂
2
∂
x
2
,
(0,x)
=
(0,x);
(7)
∂
U
∂
t
+
Q
∂
U
∂
x
=
∂
2
U
∂
x
2
,
U
(0,x)
=
x
0
(0,y)dy.
(8)
Какужеотмечалось,дляследующейзадачиКоши(вчастности,длязадачи
Коши(7)):
∂
∂
t
+
∂
Q(
)
∂
x
=
∂
∂
x
D(
)
∂
∂
x
,D(
)
>
0,
(0,x)
=
(0,x),
почтивсюдупоxприлюбомфиксированномзначенииt
>
0существует
lim
→
0
+
(t,x)
=
(t,x).
Используясхожуютехнику,можнопоказать,что
lim
→
0
+
U
(t,x)
=
U(t,x)
равномерноналюбомкомпактевполуплоскостиt
>
0,x
∈R
.Приэтом
U(t,x)
—
ограниченнаянепрерывнаяфункция,котораяслабоудовлетво
-
ряетуравнениюГамильтона
—
Якоби:
∂
U
∂
t
+
Q
∂
U
∂
x
=
0(9)
90Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
иначальномуусловию
U(0,x)
=
U
0
(0,x)
=
x
0
(0,y)dy.(10)
ТакопределеннуюфункциюU(t,x)называютвязкостнымрешением
(Крэндалла
—
Лионса)задачиКоши(9),(10).Посколькурешениязадач
(7)и(8)классические,тоимеетместоследующаяформула:
(t,x)
=
∂
U
(t,x)
∂
x
.
Изтого,чтопочтивсюдупоxприлюбомфиксированномзначенииt
>
0
lim
→
0
+
(t,x)
=
(t,x),
следует,чтопочтивсюдупоxприлюбомфиксированномзначенииt
>
0
lim
→
0
+
∂
U
(t,x)
∂
x
=
(t,x).
Вслучаевыпуклой(вогнутой)функцииQ(
)илиU
0
(x)установлено,что
почтивсюдупоxприлюбомфиксированномt
>
0:
lim
→
0
+
∂
U
(t,x)
∂
x
=
∂
U(t,x)
∂
x
=
(t,x).(11)
Используятеоремуодифференцировании(понаправлению)подзнаком
супремума
1)
,можнопроверить,чтодлявязкостногорешенияU(t,x)спра
-
ведливыследующиеформулы,встречавшиесявработахЭ.Хопфа(1965),
которыепринятоназыватьформуламиХопфа(
—
Лакса):
2)
1)пустьU
0
(x)
—
выпуклаяфункция,тогда
U(t,x)
=
sup
s
∈R
[sx
−
Q(s)t
−
U
∗
0
(s)],
1)
См.[45,46];формулыХопфасм.тамже[46].Необходимыедляпониманияфакты
выпуклогоанализаимеются,например,вкнигах[47,48].Теоремуодифференцировании(по
направлению)подзнакомсупремумаиногданазываюттеоремойДемьянова
—
Данскина,
посколькуобаавторанезависимопришликаналогичномуутверждениювконце60
-
хгодов
XXвека[45].Однакоэтатеоремабылаизвестнаираньше.Так,всередине60
-
хгодов
XXвекаА.Я.ДубовицкийиА.А.Милютинприполучениипринципамаксимумадлязадач
сфазовымиограничениямидоказалиифактическиужеиспользовалитеоремуодифферен
-
цировании(понаправлению)подзнакомсупремума[41,49].
2)
Аналогичныеформулывозникалиранее,например,вработахО.А.ОлейникиП.Лакса;
приблизительновтожевремя,чтоивработахЭ.Хопфа,этиформулыиспользовал
С.Н.Кружков;близкиеидеи
«
осведениирешениязадачиКошидляобыкновенногонелиней
-
ногодифференциальногоуравненияилидлянелинейногоуравнениявчастныхпроизводных
крешениюзадачоптимизации
»
предлагалисьв1965г.иранееР.БеллманомиР.Калабой
[50].УпомянемздесьтакжеработуБ.Н.ПшеничногоиМ.И.Сагайдака[51].
2.1.Макроскопическиемодели91
где
U
∗
0
(s)
=
sup
x
∈R
[sx
−
U
0
(x)];
2)пустьQ(
)
—
вогнутаяфункция,тогда
U(t,x)
=
inf
f
∈R
[U
0
(x
−
tf)
−
Q
∗
(f)t],
где
Q
∗
(f)
=
sup
s
∈R
[Q(s)
−
sf].
АналогичныеформулыможновыписатьидлявыпуклойфункцииQ(
)или
вогнутойфункцииU
0
(x).
Проверим,например,формулуиз1).Дляэтогосразузаметимввиду
выпуклостиU
0
(x),что
U(0,x)
=
U
∗∗
0
(x)
=
U
0
(x)(теоремаФенхеля
—
Моро[47]).
Потеоремеодифференцировании(понаправлению)подзнакомсупремума
∂
U(t,x)
∂
t
=−
Q(s(t,x)),
∂
U(t,x)
∂
x
(
=
(t,x))
=
s(t,x),
где
s(t,x)
=
argsup
s
∈R
[sx
−
Q(s)t
−
U
∗
0
(s)]
—
точкакакфункцияпараметров(t,x),вкоторойдостигаетсямаксимум
поsвыраженияsx
−
Q(s)t
−
U
∗
0
(s).Отсюдаследует,что
∂
U(t,x)
∂
t
+
Q
∂
U(t,x)
∂
x
=−
Q(s(t,x))
+
Q(s(t,x))
=
0.
Длянаглядностисчитаем,чтосупремумдостигаетсяводной
-
единственной
точке(поэтомунаписаноarg,анеArg).Можнопоказать,чтосупремум
достигаетсяневоднойточкетогдаитолькотогда,когдавэтойточке
функция
(t,x)
=
s(t,x)
терпитразрыв.Собственно,формула
(t,x)
=
s(t,x)
=
Argsup
s
∈R
[sx
−
Q(s)t
−
U
∗
0
(s)]
даетэнтропийноерешениезадачи(4),(5)вслучаенеубывающейначальной
функции
(0,x),еслипод
(t,x)договоритьсяпониматьмногозначную
функцию,котораяпринимаетвточкахразрывавсевозможныезначения
изотрезка,соответствующегоскачкуразрыва.
Используядалеетеоремуодифференцированииподзнакомсупремума
исоотношение(11),можнотакжеполучитьиформулыдляэнтропийного
92Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
решения
(t,x)задачиКоши(4),(5);заметим,чтоформула,полученная
изпункта2),называетсяформулойЛакса
—
Олейник[11,44].Упомяну
-
тыездесьформулыиспользовались,например,приисследованияхзадач
п.2.3.Вчастности,С.Н.КружковиН.С.Петросянв1982г.получили
доказательствоутверждения,оченьблизкогоктеореме1п.2.3.1,исходя
изформулы1).
Замечание1(идемпотентныйпринципсоответствияЛитвинова
—
Маслова[52]
–
[54]).Рассмотримуравнениетеплопроводности
∂
w
∂
t
=
∂
2
w
∂
x
2
иуравнениеГамильтона
—
Якоби
—
Хопфа:
∂
U
∂
t
+
1
2
∂
U
∂
x
2
=
∂
2
U
∂
x
2
.
Несложнопроверить,чтозамена
U
=−
2
lnw
переводитодноуравнениевдругое;схожуюзаменутакжеделалЭ.Шре
-
дингер.Такимобразом,кстатисказать,ибылаполученазаменаФлори
-
на
—
Хопфа
—
КоуларусскиммеханикомВ.А.Флоринымв1948г.,надва
годараньшеЭ.ХопфаинатригодараньшеС.Коула.Используяпри
→
0
+
заменуw
→−
2
lnw
=
U
,т.е.
lim
→
0
+
w
def
=
w
→
lim
→
0
+
(
−
2
lnw
)
def
=
U,
В.П.МасловиВ.П.Белавкин[52]вконце80
-
хгодовXXвекапредложи
-
ливвестиидемпотентное(илитропическое)полуполе
1)
соперациями
1)
Отобычногополяполуполеотличаетсятем,чтовнемотсутствуетоперация,обратная
сложению(вычитание).
2.1.Макроскопическиемодели93
сложенияиумножения
⊕
,
⊙
,которыеопределяютсяследующимобразом:
w
1
→
U
1
,w
2
→
U
2
;
w
1
+
w
2
→
lim
→
0
+
(
−
2
)ln
e
−
U
1
/
(2
)
+
e
−
U
2
/
(2
)
=
=
min
n
lim
→
0
+
(
−
2
)ln
e
−
U
1
/
(2
)
,lim
→
0
+
(
−
2
)ln
e
−
U
2
/
(2
)
o
=
=
min
{
U
1
,U
2
}
def
=
U
1
⊕
U
2
;
w
1
w
2
→
lim
→
0
+
(
−
2
)ln
e
−
U
1
/
(2
)
e
−
U
2
/
(2
)
=
=
lim
→
0
+
(
−
2
)ln
e
−
U
1
/
(2
)
+
lim
→
0
+
(
−
2
)ln
e
−
U
2
/
(2
)
=
=
U
1
+
U
2
def
=
U
1
⊙
U
2
.
Далеестроилсяфункциональныйанализнадидемпотентнымполуполем
подобнотому,какстроилсяобычныйфункциональныйанализнадпо
-
лемдействительныхиликомплексныхчисел.Построениетакогоанализа
выявляетмногосвязей,иногданазываемыхпринципамисоответствия
(Литвинова
—
Маслова),междуклассическимипонятиями.Скажем,идем
-
потентныманалогомпреобразованияФурьебудетпреобразованиеЮн
-
га
—
Фенхеля
—
Лежандра[47],авариационныепринципымеханики
—
это
идемпотентныйвариантфейнмановскогоподходакквантовоймеханике
черезинтегралыпотраекториям.Кстатисказать,всеэтотесносвязано
сформуламитипаЛакса
—
Олейник.Однакоздесьмыхотимобратить
вниманиепреждевсегонато,чтодлянекоторыхнелинейныхуравнений
(Гамильтона
—
Якоби,Гамильтона
—
Якоби
—
Беллмана)справедливприн
-
ципсуперпозиции(В.П.Маслова),правда,ненадобычнымиполями
действительныхиликомплексныхчисел,анадидемпотентнымполуполем:
еслиU
1
,U
2
—
решения,тодлялюбыхдействительныхчисел
1
,
2
U
=
1
⊙
U
1
⊕
2
⊙
U
2
такжеявляетсярешением.
Взаключениеэтогопункта,вкотороммыпояснили,чтопонимается
подрешениемзадачиКоши(4),(5),приведем,следуямонографии[35],
оценкуустойчивостирешения
(t,x;
(0,x),Q(
))
94Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
задачиКошидлязаконасохранения(4)сначальнойфункцией
(0,x)ис
функциейпотокаQ(
)по
(0,
)иQ(
):
k
(t,
;
1
(0,x),Q
1
(
))
−
(t,
;
2
(0,x),Q
2
(
))
k
L
1
(
R
)
k
1
(0,
)
−
2
(0,
)
k
L
1
(
R
)
+
+
tmin
{
T.V.(
1
(0,
)),T.V.(
2
(0,
))
}k
Q
1
(
)
−
Q
2
(
)
k
Lip
,
гдеT.V.
—
полнаявариация(totalvariation),а
k
Q
1
(
)
−
Q
2
(
)
k
Lip
def
=
sup
6=
Q
1
(
)
−
Q
2
(
)
−
.
Отметим,чтоприводимаявышеоценкапри
Q
1
(
)
=
Q
2
(
)
следуетизаналогичнойоценкиустойчивостипоначальнымданнымре
-
шениязадачиКошидляуравнения(6),котораявсвоюочередьявляется
следствиемпринципамаксимумадляпараболическихуравнений.Заметим,
чтоэтаоценка(дляуравнения(6))обеспечиваетединственность(сточ
-
ностьюдопочтивсюдупоxприлюбомзначенииt
0)энтропийного
решениязадачиКоши(4),(5).Обратимтакжевниманиенаравномерность
повремениоценкиустойчивостипоначальнымданнымдляуравнений(4)
и(6).
Замечание2.Рассмотримследующуюканоническуюзадачу(Лагранжа)оптимального
управленияпонтрягинскоготипа(см.,например,[41,42]):
J(t,x;u(
))
=
t
t
0
L(
,x(
),u(
))d
+
(t
0
,x
0
),
˙
x(
)
=
f(
,x(
),u(
)),u
∈
M,x(t)
=
x.
Положим
«
функциюцены
»
U(t,x)равной
U(t,x)
=
inf
u(
)
∈
M
J(t,x;u(
)),U(t
0
,x)
=
(t
0
,x).
Тогдаснекоторымиоговоркамисправедливаследующаятеорема(см.,например,[43,44]).
Теорема(принципБеллмана).U(t,x)являетсявязкостнымрешениемначальной
задачиКошидляпрямогоуравненияГамильтона
—
Якоби
—
Беллмана(Г
—
Я
—
Б):
∂
U
∂
t
+
sup
u
∈
M
nD
∂
U
∂
x
,f(t,x,u)
E
−
L(t,x,u)
o
=
∂
U
∂
t
+
Q
∂
U
∂
x
=
0,U(t
0
,x)
=
(t
0
,x).
Приведеннаяосновнаятеоремадинамическогопрограммированиянарядуспринципом
максимумаПонтрягинаявляетсябазойтеорииоптимальногоуправления.Причёмизэтой
теоремымыполучаемуправлениевформесинтезаu(t,x),аневпрограммномвидеu(
),как
впринципемаксимума,чтоболееценнодляприложений.Отметимтакже,чтодинамическим
программированием,какправило,пользуютсялишьпринебольшихразмерностяхфазового
пространствауправляемойдинамическойсистемы.
2.1.Макроскопическиемодели95
2.1.4.МодельПэйнаиеёобобщения
1)
СледующимважнымшагомсталамодельПэйна(1971)[7,55](мо-
дельПэйна
—
Уизема,см.п.2.1.3).Этумодельможнопониматькакзакон
сохранения
∂
∂
t
+
∂
(
v)
∂
x
=
0,
вкоторомуженепредполагаетсязависимостьскоростиотплотности,т.е.
уженепредполагается,чтожелаемаяскоростьустанавливаетсямгновен
-
но.Адляскоростивыписываетсяуравнение
2)
d
dt
v
=
∂
v
∂
t
+
v
∂
v
∂
x
=−
1
v
−
V(
)
−
D(
)
∂
∂
x
стремленияреальнойскоростиvкжелаемойскорости
V(
)
−
D(
)
∂
∂
x
,
причём
(
∼
1с)характеризуетскоростьстремления.Заметим,чтовэлек
-
тротехническойтерминологии
—
времярелаксации;еслижеуподоблять
транспортныйпотоксжимаемойненьютоновской(максвелловской)жид
-
кости,топараметр
характеризуетмаксвелловскоезатухание[56].Полу
-
ченнуюсистемууравненийзапишемввиде
∂
∂
t
v
+
v
D
/
(
)v
∂
∂
x
v
=
1
0
V
−
v
,(12)
изкотороголегкоследуетстрогаягиперболичностьэтойсистемы,т.е.
матрицапри
∂
∂
x
имеетразличныевещественныесобственныезначения.
Интереснозаметитьследующий,достаточнообщий,факт:основное
отличиегидродинамическихмоделейтранспортныхпотоковотсоответ
-
ствующихгидродинамическиханалоговзаключаетсявправыхчастях,воз
-
никающих,какправило,гиперболических(строго)системуравненийиих
диффузионныханалогов.Действительно,первоеуравнениесистемыПэйна
естьпросто
«
законсохранениямассы
»
(вдивергентнойформе),авторое
уравнение
—
«
законсохранения(изменения)импульса
»
,приведенноекди
-
вергентнойформе,имеетвид
∂
(
v)
∂
t
+
∂
(
v
2
+
P(
))
∂
x
=−
1
(
v
−
V(
)),
1)
ЭтотпунктнаписансовместносЯ.А.Холодовым.
2)
ВлитературепринятоназыватьмодельюПэйначастныйслучайописанноймодели:
D(
)
≡
c
2
0
>
0.
96Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
где
«
давление
»
P(
)
=
1
0
D(
)d
.
Отмеченноеобстоятельствопредставляетсяестественным.Ведь
«
транс
-
портнаяжидкость
»
—
этожидкостьсмотивацией(стремлениедвигаться
сжелаемойскоростью),котораяиприсутствуетвправойчасти.Это
замечаниепозволяетиспользоватьврасчетахпогидродинамическиммо
-
делямтранспортныхпотоковхорошоразработанныеболеечемзаполвека
вычислительныеалгоритмы(например,схемыП.Лакса,С.К.Годунова,
сеточно
-
характеристическийметод(Магомедова
—
Холодова)идр.),см.,
например,[4,11,18,35],[56]
–
[58]ицитированнуютамлитературу.
Замечание.Хорошимтестомнаустойчивостьвыбраннойразностнойсхемыявляется
разложениеконечныхразностейпопространственнойпеременнойврядТейлорадовторого
порядкавключительноиисследованиематрицыпривторыхпроизводных(аппроксимаци-
оннойвязкости)наположительнуюопределенность[56,57].
Напомнимтакжевкратце(намэтопонадобитсявп.2.2.4),следуякнигеП.Лакса[11]
(см.также[56,57]),вчёмзаключаетсяметодчисленногорешенияначально
-
краевойза
-
дачидлязаконасохранения,предложенныйС.К.Годуновымвконце50
-
хгодовXXвека.
Начальноеусловие
(0,x)аппроксимируетсякусочно
-
постояннойфункцией
(0,x)
=
k
,k
<
x(k
+
1)
,
где
—
шагпопространству,а
k
—
среднееот
(0,x)напромежутке[k
,(k
+
1)
],т.е.
k
=
1
(k
+
1)
k
(0,x)dx.
Задачасначальнымиданными
(0,x)можетбытьрешенаточно.Вкаждойточкеk
мы
должнырешитьзадачуРиманаораспадеразрыва(см.п.2.3.1).
«
Волны
»
,выходящие
издвухсоседнихточекразрываk
и(k
+
1)
,непересекаются,покаt
c
max
/
2,где
c
max
=|
maxQ
′
(
)
|
—
максимальнаяскоростьраспространениявозмущения.Итак,объединив
решениязадачРимана,можнополучитьточноерешение.Вмоментвремени
=
/
(2c
max
)
—
шагповремени(такойвыборшагаиногданазываютусловиемЛакса,причемавтомати
-
ческивыполняетсянеобходимоеусловиеКуранта
—
Фридрихса
—
Леви[2]
/
(c
max
)
−
1
сходимостиразностныхсхемпричисленномрешениигиперболическихуравнений),мыопять
заменимэтоточноерешениеприближеннойкусочно
-
постояннойфункциейиповторимпро
-
цесс.Численныеэкспериментыговорятотом,чтометодГодуновадаетхорошееприближение
точныхрешенийуравненийLWRисистемтипаПэйна.Темнеменеестрогоедоказательство
устойчивостисхемыГодуноваимеется,наскольконамизвестно,лишьдляконкретныхсистем.
Но(посколькувсегооднапространственнаяпеременная)еслисхемаГодуновасходится,то
непременнокэнтропийномурешению[36](см.следующийабзацосновноготекста).Отметим
сильную
«
качественную
»
связь(которую,впрочем,можнообосноватьитеоретически)между
описаннойсхемойГодунова,схемамибегущегосчета,схемойпотенциальногосглаживания
[18]исеточно
-
характеристическимметодом[59].Отметимтакжевчём
-
тосхожий
«
front
tracking
»
метод[35,36],вкоторомнерешениеаппроксимируется(кусочно
-
постоянной
функцией),авектор
-
функцияпотока(вскалярномслучаеQ(
))аппроксимируетсякусочно
-
линейнойфункцией.Спомощьюэтогометода(такжекаквсвоевремяспомощьюметода
Годунова)недавнобылиполученыпродвиженияввопросахкорректностиначальнойзадачи
Кошидлясистемызаконовсохранения[35,36].Взаключениезаметим,чтосхемаГодунова
2.1.Макроскопическиемодели97
дляLWRмоделиможетбытьсодержательнопроинтерпретирована(см.п.2.2.4).Другими
словами,можнобылоничегонезнатьпроLWR
-
модельиизестественныхсоображений
«
напрямую
»
прийтикразностнойсхемеС.К.Годунова;втранспортнойлитературепринято
разностныесхемыназыватьмоделямиклеточныхавтоматов(см.п.2.2).Какпоказывает
практика,оченьважно(пригидродинамическомописаниитранспортногопотока,посути,
«
дискретного
»
объекта)выбиратьразностнуюсхемутакимобразом,чтобыонамоглабыть
самостоятельносодержательнопроинтерпретирована.
Заметимтакже[19,31],чтоужедлясистемыдвухзаконовсохране
-
ния
—
системаХ.Пэйна(12)какразпредставляетпримертакойсистемы,
причёмимеетсяещёинелинейнаяправаячасть,
—
вобщемслучаенеиз
-
вестно,каккорректноопределятьглобальноеповремениобобщенное
решение.Методисчезающейвязкостидлясистемоказываетсяужечув
-
ствительнымквыборуположительноопределённойматрицыD(
)вправой
части(проблеманеединственностирешения)[18].Темнеменеедлястрого
гиперболическойсистемызаконовсохранениясоднойпространственной
переменнойзапоследние15летбылдостигнутопределённыйпрогресс(см.
[11],[31]
–
[38]):вобщемслучаепостроенаглобальнаятеориясущество
-
вания,единственностииустойчивостипоначальнымданным.
1)
Отметим,
чтотеориябылапостроенаразнымиспособами,втомчислеиcпомощью
методаисчезающейвязкости(такпостроенноеобобщенноерешениечасто
называютэнтропийным):
→
0
+
,D(
):
=
I,
гдеI
=
diag
{
1,...,1
}
—
единичнаяматрица(сединицаминадиагонали
инуляминадругихпозициях).
Желание
«
размазатьразрывырешений
»
привелоотмоделиLWRкмо
-
делиУизема.ЭтожежеланиемотивировалоивведениевмодельПэйна
диффузионныепоправки.Заметим,что,вводявправуючастьсистемыдиф
-
фузионные(дисперсионные)поправки,мы,какправило,решаемвопрос
отом,чтомыпонимаемподрешением[56].Иначеговоря,длякорректной
(иадекватной
«
физикепроцесса
»
)постановкиначальной(начально
-
кра
-
евой)задачиКошидлясистемызаконовсохраненияважнознать,какэта
система
«
былаприготовлена
»
,откудаикаконавозникла:чтоогрубили,
чемпренебреглиит.д.Натакомпутиполучаютсяновыемодели:Р.Кюна
(1993),Кернера
—
Конхойзера(1994)(см.п.2.4)идр.В[60]приведен
1)
ОсобоотметимвэтойсвязиработуД.Глимма(1965)[11,36],предложившегостоха
-
стическуюмодификациюметодаГодунова(
k
=
(0,k
+
),где
∈
R[0,1]
—
равномерно
распределеннаянаотрезке[0,1]случайнаявеличина),спомощьюкоторойбылаустановлена
теоремасуществованиядляначальныхданных,близкихкконстанте(имеющихмалуюполную
вариацию).Отметимтакжевэтойсвязи,чтовметодеГодунова
«
закон(
-
ы)сохранения
»
выполняется(
-
ются)точно(иэта
«
консервативность
»
оченьважна,какотмечалв2004г.
вовремядокладавМИАНРАНС.К.Годунов,иначедовольнобыстромогутнакапливаться
ошибки),авметодеГлимматочно
«
всреднем
»
.ВыступлениеС.К.Годуноваможнопосмот
-
ретьздесь
http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus
.
98Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
достаточноподробныйобзорработ(более100моделей).Здесьмытакже
упомянемнекоторыеподходыроссийскихученых(вкоторыхобобщается
подходХ.Пэйна):Н.Н.Смирнова,А.Б.Киселёваидр.(МГУ)[61]
–
[63];
А.С.Холодовидр.(МФТИ)[64].
НескольконедостатковмоделиПэйна(имногихвпоследствиипредло
-
женныхмоделей,втомчислесдиффузионнымипоправками)былиуказаны
К.Даганзо(Даганцо)(1995)[58,60,65](см.такжекритикуБ.С.Кернера
в[10],отчастиприведеннуювп.2.4иглаве3).Вчастности,былопоказано,
чтоприсильныхпространственныхнеоднородностяхначальныхусловий
могутвозникатьотрицательныезначенияскоростей(затор
«
рассасывается
назад
»
какрезультатдействиявязкости).Приопределенныхзначениях
параметровмогутвозникатьплотности,превышающиемаксимальнодопу
-
стимые(
«
бамперкбамперу
»
).Также,согласноэтиммоделям,надвижение
АТСзаметноевлияниеоказываютАТС,находящиесясзади,чтовслучае
однойполосыврядливозможновреальномтранспортномпотоке.Вначале
XXIвекаА.ЭуиМ.Раскль[66],Дж.М.Гринберг[67],Х.М.Чзан[68]
показали,какможноустранитьнедостатки,отмеченныеК.Даганзо.Ос
-
новнаяидеязаключаетсявизменениивторогоуравнениявсистемеПэйна:
d
dt
(v
+
p(
)
=
∂
(v
+
p(
))
∂
t
+
v
∂
(v
+
p(
))
∂
x
.
Приэтомтребуется,чтобыp
′
(
)
>
0.Вчастности,для
«
давления
»
p(
)
былипредложеныследующиеформулы:
p(
)
=
,
>
0
А.ЭуиМ.Раскль(2000)
p(
)
=−
V(
)
Дж.М.Гринберг(2001),Х.М.Чзан(2002)
Вконцестатьи[66]указано,чтоможнооставитьрелаксационноесла
-
гаемоевправойчастивторогоуравнениясистемытипаПэйна:
d
dt
(v
+
p(
)
=−
1
(v
V
(
)).
Приэтомвсеположительныеприобретениясохраняются,нодобавляются
иновые.Заметим[69],чтомодельтипаПэйна
—
Уиземас
P(
)
=
0
∂
p(
)
∂
2
d
переходитвмодельЭу
—
Раскляиэтотфактдопускаетобобщение:боль
-
шинствогидродинамическихмоделейвторогопорядкамогутбытьприве
-
деныкмоделитипаПэйна
—
УиземасопределеннойфункциейP(
).
Запоследниедесятьлетпоявилосьбольшоеколичествостатей(А.Эу,
А.Клар,П.Гоатэн,Р.Коломбо,М.Гаравелло,Б.Пикколи,Ф.Сиебель
иВ.Маузер,Д.Хельбинг(Хельбин)идр.,см.сайт
http://arxiv.org/
),
2.1.Макроскопическиемодели99
вкоторыхмодельЭу
—
Раскляобобщаласьвразличныхнаправлениях.
Например,в[70],длятого,чтобыобъяснитьэкспериментальнообнару
-
женныеБ.С.Кернером(1996)[10]трифазытранспортногопотока(см.
такжеглаву3):
«
газ,жидкость(свободноедвижение)
—
жидкость,замер
-
зающаяжидкость(синхронизированныйрежимдвижения)
—
замерзающая
жидкость,лед(широкодвижущиесякластеры)
»
.Этиисследования,по
-
ви
-
димому,мотивированыжеланиемтакобобщить(вклассесистемиздвух
уравненийгиперболическоготипа)гидродинамическуюмодельЭу
—
Рас
-
кля,чтобыпредложеннаямодельобъяснялавсеосновныенаблюдаемые
свойстватранспортногопотока.
Естественнотеперьзадатьсявопросом:
«
переходят
»
лимоделитипа
Пэйнапри
→
0
+
(пределнулевойрелаксации)вмодельУиземаили
модельLWR?Интуицияподсказывает,чтодолжныпереходить(также,как
ивп.2.1.3,можноссылатьсянато,чтоописываетсяодноитожеявление
наразныхуровняхдетализации).Однаковобщемслучае,наскольконам
известно,нетстрогогообоснованиятакогоперехода.Ссылкинаразличные
успешноисследованныеслучаиимеются,например,вработах[32,66].
ВзаключениеэтогопунктаупомянеммодельтретьегопорядкаХель
-
бинга
—
Эйлера
—
Навье
—
Стокса(1995)[60,71],вкоторойксистеме
уравненийПэйнадобавляетсятретьеуравнение(
«
законсохраненияэнер
-
гии
»
)длявариации(дисперсии)скорости
(характеризующей
«
разброс
скоростей
»
относительносреднегозначения).Приэтомвовтороеуравне
-
ние(котороепонимаетсякакуравнениедлясреднегозначенияскорости)
вводитсядополнительноеслагаемое,зависящееот
.Заметимприэтом,
чтодлясистемыуравненийНавье
—
Стокса,описывающейдвижениевяз
-
койньютоновскойжидкости,неизвестновобщемслучае,какпоставить
начальную(начально
-
краевую)задачуКоши,чтобыглобальноерешение
(определенноепривсехзначенияхвремени)былоединственным.Заре
-
шениеэтойпроблемыматематическийинститутКлеяв2000г.назначил
премиюводинмиллиондолларов.Естественносчитать,чтоеслиуравнение
описываетреальныйпроцесс,тоонообязанорешаться(притомедин
-
ственнымобразом).Однаковыбранныеуравнения
—
этолишьнекоторая
модельописываемогоявления(возможноневсегдавполнеадекватная),
и
«
механизм
»
,выбирающийединственноерешение,могбыть
«
огрублен
»
привыводеуравнений.Особенно,еслиописываемыйпроцессчувствителен
кмалейшимвозмущениям,флуктуациям.Интересныевзглядынапроблему
имеютсявстатьяхО.А.Ладыженской[72]иВ.И.Юдовича[73].Так,
встатье[72]проблемаединственностипереформулированаследующим
образом:
«
ДаютлиуравненияНавье
—
Стоксасначальнымиикраевыми
условиямидетерминистскоеописаниединамикинесжимаемойжидкости
илинедают?
»
Сложности,возникающиеприописаниитранспортного
потока,вомногомсхожисосложностями,возникающимиприописании
100Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
турбулентногодвиженияжидкостей(см.статьюА.Майдавсборнике[32],
атакже[74]).
2.1.5.Кинетическиемодели
Продолжаяаналогиюсгазовойдинамикой,будущийнобелевскийла
-
уреатпохимииИ.Пригожин(приучастииФ.ЭндрюсаиР.Хермана)
в1960г.предложилописыватьтранспортныйпотоккинетическимуравне
-
нием(типаБольцманас
«
интеграломвзаимодействияАТС
»
вместо
«
инте
-
граластолкновениячастицгаза
»
)[58,60,75].ПодходИ.Пригожинабыл
впоследствииразвитвработахС.Павери
-
Фонтана(1975),Д.Хельбинга
(1995)идр.[58,60].
Изкинетическихмоделейтранспортногопотока(восновноммногопо
-
лосного)можнополучатьмакроскопические(гидродинамические)модели
подобнотому,каквкинетическойтеорииполучаютсяуравнениягазо
-
войдинамики(гидродинамики),т.е.спомощьюумножениянаразличные
функцииотскоростиипоследующегоинтегрированияпоскоростямкине
-
тическогоуравнениядляплотностиврасширенном(наскорости)фазовом
пространстве(t;x;v).Приэтом,вообщеговоря,будетполучатьсяцепочка
зацепляющихсяуравнений.
1)
Так,еслиумножитькинетическоеуравне
-
ниенаединицуипроинтегрировать,получимуравнениедляплотности
(
«
законсохранениямассы
»
),вкотороебудетвходитьсредняяскорость.
Еслиумножитькинетическоеуравнениенаскоростьипроинтегрировать,
получимуравнениедлясреднейскорости(
«
законсохранения(измене
-
ния)импульса
»
),вкотороебудетвходитьвариацияскорости
(посути,
определяющаясясреднимзначениемквадратаскорости).Еслиумножить
кинетическоеуравнениенаквадратскоростиипроинтегрировать,полу
-
чимуравнениедлясреднегозначенияквадратаскорости(откудаможно
получитьуравнениедлявариациискорости),вкотороебудетвходить
среднеезначениекубаскорости,ит.д.Приходитсявкакой
-
томомент
обрывать(замыкать)цепочку,привлекая,какправило,дополнительные
«
физические
»
соображения(гипотезы).Например,постулировать(наос
-
новеэкспериментовилидругимспособом)длязамыканиямоментнойце
-
почкинекоторыесоотношения(такназываемыеопределяющиеуравнения)
междувеличинами,входящимивэтиуравнения.Так,длягазавзависимо
-
стиотэтихсоотношенийполучаетсямодельидеальногогазаилимодель
Навье
—
Стокса
—
Фурье(вязкийтеплопроводныйгаз)[38].
1)
Заметим,чтосовременноепониманиеклассическойнеравновеснойстатистическойме
-
ханикиосновываетсянавомногомсхожейтеориицепочекуравненийБоголюбова
—
Бор
-
на
—
Грина
—
Кирквуда
—
Ивона(ББГКИ)[76].Впрочем,впоследнеевремяпоявилсяновый
интересныйподход(см.работыВ.В.Козловасколлегами[77]),восходящийкработам
А.ПуанкареиДж.Гиббса.Многоинтересныхидейиразнообразныхсвязейсобрановза
-
писяхкурсалекцийВ.В.Веденяпина,прочитанногонескольколетназадстудентамМФТИ
иМГОУипосвященногокинетическойтеории[78].
2.1.Макроскопическиемодели101
Всвязисвышесказаннымуместнозаметить,чтоклассическойзадачей
статистическойфизики,восходящейкработамМаксвелла[38,78],явля
-
етсяисследованиепереходаотуравненияБольцманакуравнениямгазо
-
динамики(гидродинамики).Центральнымместомздесьявляетсяпроблема
замыканиямоментнойцепочкидлярешенияуравненияБольцмана.Однако
неменееважнымявляетсяизучениепереходаотстохастическоймар
-
ковскойдинамики(например,транспортныхпотоков),лежащейвоснове
движения(см.п.2.2.4),ккинетическойдинамике.Приэтомстохастическая
марковскаядинамика(заданная,какправило,линейнойполугруппой)по
-
рождаетзасчетскейлингаилипереходак
«
динамикесредних
»
нелинейные
кинетическиеуравнения(например,типаБольцмана
—
Пригожина),кото
-
рыевсвоюочередьпорождаютнелинейныегидродинамическиеуравнения.
Важнозаметить,чтобезпониманияэтих
«
переходов
»
невозможно,на
нашвзгляд,правильнообъяснитьэкспериментальныеданные:трифазы
транспортногопотока.
Взаключениеотметим,чтоимеютсятакжемодели,промежуточные
междукинетическимиигидродинамическимимоделями,такназываемые
мезоскопические.Такоймодельюдвухполосногодвиженияпользуется,
например,коллектив,возглавляемыйБ.Н.Четверушкиным(см.[79,80]).
2.1.6.Практическиеприложениямоделей
Несмотрянаэлементарность,модельLWR(атакжееедифференциаль
-
но
-
разностныеиразностныеаналоги)достаточнопопулярнавприкладных
расчетах.Вомногомэтосвязаноснедостаточнымобъемомданныхдля
использованиямоделейболеевысокогоуровня(поправки,привносимые
болеетонкимимоделями,нивелируютсянеточностьюданных).Рядсо
-
временныхколлективовисследователейсосредотачиваетсянарешении
начально
-
краевыхзадачдляуравнения(4)награфетранспортнойсети.
Основныесложностиприэтомвозникаютприпостановкекраевыхусло
-
вийвузлахграфатранспортнойсети(см.,например,[81,82]).Модель
LWR(точнееееразностныеаналоги)хорошоподходитидляуправ
-
лениятранспортнымипотоками.Вподтверждениеэтихсловприведем
некоторыеидеи,использованные,например,вподходеБерклиевскойгруп
-
пы(А.Б.Куржанский,А.А.Куржанский,П.Варайя,Р.Хоровитцидр.
[83,84])куправлениюдорожнымдвижением.
Изфундаментальнойдиаграммыследует,чтоодномуитомужезна
-
чениюпотокаАТСсоответствуютразные(какправило,две)плотностии,
какследствие,разныескорости.
1)
Очевидно,чтоболеевыгоднымрежимом
являетсярежимсбольшейскоростью(см.рис.7):потокибудутудовле
-
1)
Этообстоятельствоявляетсятакжепричинойсложностей,возникающихприпостановке
краевыхусловийвузлах(вершинах)графатранспортнойсети[36,81,82].Знаниехаракте
-
ристикисточниковистоковиматрицперемешиваниявузлах(матриц,характеризующих
102Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
Рис.7
творенывтомжеколичестве,однакосреднеевремядвиженияснизится,
посколькудвижениебудетпроходитьприбольшихскоростях(и,какслед
-
ствие,сменьшимиплотностями).
Рис.8.Треугольнаяфундаментальнаядиаграмма
Задачауправления(скажем,светофорамииливъездаминаосновные
магистрали)заключаетсявтом,чтобыкакможнобольшуючастьвре
-
менисреднестатистическийводительпроводилименновтакихрежимах.
Исходяизмоделиклеточныхавтоматов[85,86](CTM
—
CellTrans
-
missionModel,см.п.2.2.4)К.Даганзо
=
схемаГодунова(1959)для(4)
расщеплениепотоковвузлах)недостаточнодлякорректнойпостановкиначально
-
краевой
задачи.
2.2.Микроскопическиемодели103
+
треугольнаяфундаментальнаядиаграмма
1)
(см.рис.8),былпредложен
способ
«
оптимальногоуправления
»
светофорамиивъездаминамагистра
-
ли,атакжеспособ
«
оптимальногоразрыхления
»
однородногопотокаАТС
намагистрали(спомощьюсветофоров)сцельюуменьшениясреднего
временивпути[83,84].
Несмотрянато,чтосмоментапоявленияпервыхфундаментальных
работпрошлоболееполувека,помнениюрядаведущихспециалистоввоб
-
ластиматематическогомоделированиядорожногодвижения(К.Нагель,
Х.Махмасани,М.Шрекенбергидр.),проблемаобразованияпредзатор
-
ныхизаторныхситуацийещедоконцанеизучена.Используятерми
-
нологию,предложеннуюБ.С.Кернером[10](см.такжеглаву3),можно
сказать,чтонатекущиймоментнетобщепринятогоподхода,описывающе
-
гоповедениеАТСвобласти
«
синхронизированногопотока
»
.Иначеговоря,
еслипотокАТСуподобляетсяжидкости,тонаиболеесложнаядлямо
-
делированияситуация
—
это
«
замерзающаяжидкость
»
.Подтверждением
вышесказанномуможетслужитьтотфакт,чторазныеколлективы,занима
-
ющиесямоделированиемтранспортныхпотоков,какправило,используют
разныемодели:начинаяотмоделиLWR(М.ГаравеллоиБ.Пикколи
[36,81];А.А.Куржанскийидр.[83,84]),заканчиваямоделями,вко
-
торыхкаждыйводительописываетсясвоимвариационнымпринципом
(И.А.Лубашевскийидр.[89,90]).Отметимтакже,чтобольшоеколиче
-
ствоисследованийсосредотачиваетсянаизучениитранспортногопотока
наотдельномпрямолинейномучасткетранспортнойсетиспростейши
-
миначально
-
краевымиусловиями.Втовремякакпричинойзаторов
(согласноК.Даганзо[65])частоявляются
«
узкиеместа
»
(перекрестки,
въезды).Поэтомуособенноважно(дляприложений)создатьцелостную
модельтранспортныхпотоков,адекватнуюимеющимсяданным,включаю
-
щуюописаниеисточников,стоковАТСиповедениеАТСввершинахграфа
транспортнойсети(перекрестки,въезды,выездыит.п.).
2.2.Микроскопическиемодели
Впункте2.2будетрассказаноонекоторыхподходахкмикроскопиче-
скомумоделированиюдвижениявосновномоднополосныхтранспортных
потоков.Восновеподходовлежитконцепция
«
ожеланиипридерживаться
придвижениибезопаснойдистанциидолидера
»
.Такжебудетрассказано
освязях,имеющихсямеждумикроскопическимиимакроскопическими
моделями.Преждевсегобудутописанымоделиоптимальнойскорости
иследованиязалидером.Так
-
жебудетописанаоднаизнаиболеепопу
-
1)
Такжечастоиспользуетсятрапецеидальнаяфундаментальнаядиаграмма.Например,диа
-
граммунарис.2болееестественноаппроксимироватьименнотрапецеидальнойдиаграммой,
анетреугольной.
104Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
лярныхмоделей(запоследниедесятьлет)
—
модельразумноговодителя
Трайбера.Взаключениеэтогопунктабудутприведенымоделиклеточных
автоматов(которыечастоявляются,посути,разностнымианалогами
определенныхмакроскопическихмоделей),втомчислевостребованныев
приложениях.
2.2.1.МодельоптимальнойскоростиНьюэлла
ПустьАТСводнополосномпотокепронумерованыслеванаправо.
Обозначимчерезs
n
(t)
—
координатуцентраn
-
гоАТСвмоментвремени
t
>
0.Положим
h
n
(t)
=
s
n
+
1
(t)
−
s
n
(t),v
n
(t)
=
s
′n
(t).
Рис.9.Микроскопическаямодель
ВмикроскопическоймоделиНьюэлла(этамодельбылапредложена
в1961г.иявляетсяоднойизпервыхнелинейныхмоделейоптимальной
скорости[7,91])постулируется,что(длякаждоговодителясуществует
«
безопасная
»
скоростьдвижения,зависящаяотдистанциидолидера):
h
n
(t
+
)
=
V(1
/
h
n
(t)),
где
—
время,характеризующеереакциюводителей,и
V
′
(
)
<
0.
Заметим,чтопозависимостиинтенсивностипотока
Q(
)
=
V(
)
отплотности
вокрестности
max
(максимальновозможноезначение
плотноститакжечастообозначаетсякак
j
(см.,например,[7]))можно
определить
,еслиизвестнасредняядлинаАТСL[7](L
∼
5,7м):
=−
L
/
Q
′
(
max
)(
∼
0,4cдлярис.2).
Действительно,путьV(
)
,пройденныйАТСзавремя
,недолженпре
-
вышатьрасстояниядовпередиидущегоАТС1
/
−
L.Поэтомуповедение
2.2.Микроскопическиемодели105
потока(уравнениесостояния)вблизиточки
max
∼
1
/
Lможноописать
следующимобразом:
V(
)
=
1
/
−
L
.
Откудаимеемвлевойокрестноститочки
max
Q(
)
=−
L
(
−
max
).
ИногдавэтихформулахвместосреднейдлиныАТСLфигурируетсреднее
расстояниемеждусоседнимиАТСвзатореd
∼
7,5м(изрис.2следует,что
d
∼
6,5м).Приведенныевэтомабзацеформулыактивноиспользуютсяпри
исследованииростазатора[10](см.такжеп.2.4).Отметимтакже,чтоесли
известнасредняядлинаАТС,время,характеризующеереакциюводителей,
ижелаемаяскоростьсвободногопотока(определяетнаклонлевойветви
фундаментальнойдиаграммы),тотреугольнаяфундаментальнаядиаграмма
однозначностроится(рис.8).
Вернемсякмодели.Введёмфункциидвухпеременных
h(t,x),
(t,x)
=
1
/
h(t,x),v(t,x),
задавихзначениявполуплоскостиt
0,x
∈R
,насчётномнаборекривых
согласноформулам
h
t,
s
n
(t)
+
s
n
+
1
(t)
2
=
h
n
(t),v(t,s
n
(t))
=
v
n
(t).
Считаяh
n
(t)и
малымивеличинамииучитывая,что
v(t
+
,s
n
(t
+
))
=
V(
(t,s
n
(t)
+
1
/
2h
n
(t))),
d
dt
h(t,s
n
(t)
+
1
/
2h
n
(t))
=
v(t,s
n
+
1
(t))
−
v(t,s
n
(t)),
получим
v(t,s
n
(t))
+
v
t
(t,s
n
(t))
+
v(t,s
n
(t))v
x
(t,s
n
(t))
≃
≃
V(
(t,s
n
(t)))
+
V
′
(
(t,s
n
(t)))
x
(t,s
n
(t))(1
/
2)h(t,s
n
(t)),
h(t,s
n
(t))
+
v(t,s
n
(t))h
x
(t,s
n
(t))
≃
v
x
(t,s
n
(t))h(t,s
n
(t)).
Умножаявтороеуравнениена
−
2
иопускаяуфункцийаргументы(про
-
должая
«
понепрерывности
»
(t,x)иv(t,x)сосчетногонабораблизких
кривыхнаполуплоскостьt
0),придемксистеме
v
+
(v
t
+
vv
x
)
≃
V(
)
+
V
′
(
)
2
x
,
t
+
(v
)
x
≃
0.
106Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
Такимобразом,мы
«
вывели
»
,следуя[7],модельПэйна,получивновую
интерпретациюдля
и
D(
)
=−
V
′
(
)
/
2.
Еслибымыссамогоначалаполагали
=
0,товрезультатевыполнения
указанныхвышеоперацийпришлибыкмоделиУизема.Аеслибыеще
пренебреглислагаемым(1
/
2)V
′
(
)
x
hвсравнениисV(
)(напомним,что
мысчитаемh
—
малым),тополучилибымодельLWR.
Использованныйвышеприемназываютавтомодельнойредукцией.
ХорошимпримеромавтомодельнойредукцииявляетсявыводД’Аламбером
(1780)волновогоуравненияисходяизмоделиколебанияструны(сза
-
крепленнымиконцами),состоящейизмножестваодинаковыхшариков(из
-
вестноймассы),соединенныходинаковымипружинками(известнойдлины
ижесткости),имеющиминулевуюмассу.Поведениекаждогошарикаопи
-
сываетсявторымзакономНьютона(дляотклоненияшарикаотположения
равновесияu(см.рис.10))изависит(посредствомзаконаГука)толькоот
положенийсоседнихшариков.
Рис.10.Колебанияструны,Д’Аламбер(1780)
Такимобразом,получаетсясистемаобыкновенныхдифференциальных
уравнений,изкоторойспомощьюпредельногоперехода(шарикивыбира
-
ютсявсеменьшеименьше,пружинки,соединяющиешарики,становятся
всеменьшеименьше)получаетсяодноуравнениевчастныхпроизвод
-
ных
—
волновоеуравнение,описывающееколебаниеструны.Другой,более
современный(середина50
-
хгодовXXвека),примеравтомодельнойредук
-
ции:задачаФерми
—
Паста
—
Улама(выводуравненияКортевега
—
деФри
-
за(1895))
—
см.[92]ицитированнуютамлитературу.Следуетзаметить,
чтоприёмавтомодельнойредукции(достаточнопопулярныйвматемати
-
ческойфизике)являетсяэвристическим(дляприведенныхвышевыкладок
этоособенноочевидно,есливспомнить,что,например,плотностьможет
2.2.Микроскопическиемодели107
терпетьразрывы
—
иниокакихоценкахмалостиотбрасываемыхчленов
рядаТейлоранеможетидтииречи).Вданнойзадачепри
=
0частичная
обоснованность(схожесть,причёмвнекоторомсмыслеравномернаяпо
времени,вповедениирешений(начальныхзадач),полученныхпоисходной
моделиНьюэлла,ипомоделямLWRиУизема)автомодельнойредукции
следуетизрезультатов[18,35],[93]
–
[114](см.такжеп.2.3.1).
ПустьпотокАТСоднороденистационарен:
(t,x)
≡
,v(t,x)
≡
V(
),
Приведем,следуя[7],условиеустойчивостивлинейномприближении
этогорежимадвижения,считая,чтотранспортныйпотокописывается
108Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
1)модельюНьюэлла;2)модельюПэйна
1)
с
D(
)
=−
V
′
(
)
/
2.
Вобоихслучаяхответодинаков:
2
2
|
V
′
(
)
|
<
1.
Этаформулаобъясняетэкспериментальноустановленныйфакт:приболь
-
шихзначенияхплотностипотокАТСстановитсянеустойчивым.Поэтой
причинееготрудноадекватноописывать.
Обратимтакжевниманиенаодноинтересноеобстоятельство.Ока
-
зывается,модельНьюэллапри
=
0соответствуетхорошоизвестной
1)
РассмотримсистемуПэйна.Будемискатьрешениеввиде
(t,x)
=
+
r(t,x),v(t,x)
=
V(
)
+
w(t,x),
считаяr(t,x),w(t,x)вместесчастнымипроизводными,входящимивсистему,малыми.
ЛинеаризуемсистемуПэйна:разложимнелинейныефункцииврядыТейлора(допервого
порядкавключительно)постепенямrиw.Оставимвполученнойсистеметолькотесла
-
гаемые,которыесодержаттолькопервыестепениr(t,x),w(t,x)иихпроизводных(так,
например,слагаемые,содержащиеr
x
rилиrw,будутотброшены).Будемдалееискатьрешение
линеаризованнойсистемыПэйнаввиде
~
zexp(ikx
−
i
t).
ПодставляяэтогокандидатавлинеаризованнуюсистемуПэйна,получимсистемудвухли
-
нейныхуравнений
A(k,
)
~
zexp(ikx
−
i
t)
=
¯¯
0.
Изусловияразрешимостисистемы
detA(k,
)
=
0
получимдисперсионноесоотношение(используяаналогиюсраспространениемэлектромаг
-
нитныхволнвдисперсионныхсредах,можносказать:
«
получимзависимостьчастоты
от
волновогочислаk
=
2
/
(илидлиныволны
)
»
):
Λ
:
(
−
V(
)k)
2
+
i
(
−
Q
′
(
)k)
−
D(
)k
2
=
0.
СнекоторымиоговоркамилюбоерешениеначальнойзадачиКошидлялинеаризованной
системыможетбытьпредставленоввидеинтегралапомногообразию(k,
)
∈Λ⊂
R
⊗
C
(теоремаЭренпрайса
—
Паламодова)
Λ
~
z(k,
)exp(ikx
−
i
t)d
(k,
),
где
(k,
)и
~
z(k,
)
∈
KerA(k,
)подбираютсятак,чтобывыполнялосьначальноеусло
-
вие(см.,например,фундаментальныйтрудЛ.Хёрмандера[115]).Изтакогопредставления
следует,чтодляустойчивостистационарногорешения(возмущениястационарногорешения
современемзатухают)достаточно(аснезначительнымиуточнениямиинеобходимо)по
-
требовать,чтобымногообразие
Λ
,котороеможнопредставитьввидедвухкривых(корней
квадратногоуравнения
—
дисперсионногосоотношения):
1
(k),
2
(k),k
∈
R,
лежаловполупространстве
ℑ
<
0.Приходимквыписанномудалееусловиюустойчивости.
2.2.Микроскопическиемодели109
экономистам(иподробноизученной)моделиПолтеровича
—
Хенкина,опи
-
сывающейраспространениеновыхтехнологий[100]
–
[104];[107]
–
[109].
Дляобнаружениясоответствиядостаточновыписать,исходяизмодели
Ньюэлла,цепочкудифференциальныхуравненийдляскоростейv
n
(t).Если
интерпретироватьскоростьv
n
(t)какфункциюраспределенияF
k
(t)пред
-
приятийвотраслипроизводствапоуровнямэффективностиk
=−
n,то
получимцепочкууравненийПолтеровича
—
Хенкина.
Заметим,чтомодельНьюэллатесносвязанасосхемамибегущегосчёта
идивергентнымисхемамиС.К.Годунова(см.,например,[18,35,56,57],
атакжеп.2.1.4).НовотличиеотразностныхсхемвмоделиНьюэлла
времятечётнепрерывно.ЕслижедискретизироватьвремяпосхемеЭйлера
вэтоймодели,тополучитсяразностнаясхема,принадлежащаяупомяну
-
тымвышеклассамразностныхсхем,устойчивоаппроксимирующаязакон
сохранения.
Заметимтакже,чтомодельНьюэллас
=
0тесносвязанасмоделью
Танака(см.п.2.1.2).Длятогочтобыустановитьсвязь,нужноразрешить
(ивыбратьфизическиосмысленноерешение)относительноv
n
(t)следую
-
щееуравнение:
s
n
+
1
(t)
−
s
n
(t)
=
L
+
c
1
v
n
(t)
+
c
2
(v
n
(t))
2
.
2.2.2.Модельследованиязалидером
«
ДженералМоторс
»
Другимважнымклассоммикроскопическихмоделей(нарядусмоде
-
лямиоптимальнойскорости)являютсямоделиследованиязалидером
[8,10,58,60,116].
В1959г.сотрудникиконцерна
«
ДженералМоторс
»
Д.Газис,Р.Хер
-
ман,Р.Потс[60,116]предложилиоднуизпервых(первыми,по
-
видимому,
былимоделиА.Рёшеля(1950)иЛ.Пайпса(1953))нетривиальныхмик
-
роскопическихмоделейоднополосноготранспортногопотока(обозначения
теже,чтоивыше),спомощьюкоторойможнополучитьфундаментальную
диаграмму.Простейшимвариантомпредложенноймоделиявляетсяследу
-
ющаямодель:
s
′′n
(t
+
)
=
s
′n
+
1
(t)
−
s
′n
(t)
s
n
+
1
(t)
−
s
n
(t)
,
>
0.
Ускорениеn
-
гоАТСs
′′n
(t)прямопропорциональноразностискоростей:
Δ
v
n
(t)
=
s
′n
+
1
(t)
−
s
′n
(t)
(если
Δ
v
n
(t)
>
0,тоs
′′n
(t)
>
0
—
ускорениеn
-
гоАТС;
Δ
v
n
(t)
<
0
—
тор
-
можение;
Δ
v
n
(t)
=
0
—
стационарныйрежим(ускорениеравнонулю))
скоэффициентомпропорциональности(чувствительности)обратнопро
-
порциональнымрасстояниюдовпередиидущегоАТС:
h
n
(t)
=
s
n
+
1
(t)
−
s
n
(t).
110Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
Перепишемэтумодельследующимобразом:
dv
n
(t)
dt
=
d
dt
lnh
n
(t),
или
v
n
(t
+
)
−
v
n
(
)
=
ln
h
n
(t)
h
n
(0)
.
Положим
v
n
(
)
=
0,h
n
(0)
=
1
/
max
.
Тогда(вобозначенияхпредыдущегопункта)
V(
)
=
ln
max
,
>
1
L
.
ЭтазависимостьбылаэкспериментальнообнаруженаХ.Гринбергомтакже
в1959г.поданнымдлятуннеляЛинкольнавНью
-
Йорке.
В1961г.Д.Газис,Р.ХерманиР.Розэрипредложилиследующуюмо
-
дель[58,116]:
s
′′n
(t
+
)
=
(s
′n
(t
+
)
m
1
(s
n
+
1
(t)
−
s
n
(t))
m
2
(s
′n
+
1
(t)
−
s
′n
(t)),
>
0,
гдеm
1
(
<
1),m
2
(
>
1)
—
эмпирическиподбираемыеконстанты(m
1
≈
0,8,
m
1
≈
2,8).Исходяизэтоймикроскопическоймодели(путёминтегрирова
-
ния),несложнополучитьуравнениесостояниятранспортногопотока:
V(
)
=
V
0
1
−
max
m
2
−
1
1
1
−
m
1
,
гдеV
0
—
скоростьсвободногодвижения(желаемаяскорость,максимально
возможнаяскорость).Приm
1
=
0,m
2
=
2получимуравнениеГриншилдса
состояниятранспортногопотока(см.п.2.1.3).
Заметим,чтовремяреакции
>
0вводитсявмоделиследованияза
лидеромпотойжепричине,чтоивмодельНьюэлла:длянеустойчивости
влинейномприближениистационарногорежимадвиженияприбольших
значенияхплотности.
2.2.3.Модель
«
разумноговодителя
»
Трайбера
Моделиоптимальнойскоростииследованиязалидеромможнообъ
-
единитьводнуобщуюмикроскопическуюмодельразумноговодителя
(IntelligentDriverModel(IDM)):
s
′′n
(t)
=
F(s
n
+
1
(t)
−
s
′n
(t),s
′n
+
1
(t)
−
s
′n
(t),s
′n
(t)).
2.2.Микроскопическиемодели111
Какпоказаличисленныеэксперименты,наиболее
«
удачной
»
модельюэто
-
гоклассаявляется
1)
модельМ.Трайбера(Трайба)(1999)[10,58,60,117,
118]:
s
′′n
(t)
=
a
n
1
−
s
′n
(t)
V
0
n
−
d
∗n
(s
′n
(t),s
′n
+
1
(t)
−
s
′n
(t))
s
n
+
1
(t)
−
s
n
(t)
2
.
Первоеслагаемое
a
n
1
−
s
′n
(t)
V
0
n
вправойчастиэтогосоотношенияописываетдинамикуускоренияАТСна
свободнойдороге,втовремякаквтороеслагаемоеописываетторможение
из
-
завзаимодействияс(впередиидущимАТС).Собственномодель
s
′′n
(t)
=
a
n
1
−
s
′n
(t)
V
0
n
дажеболееестественноназыватьмодельюоптимальнойскорости,чем,
скажем,модельНьюэлла,которая,скорее,ближекмоделямследования
залидером,амодель
s
′′n
(t)
=
a
n
1
−
d
∗n
(s
′n
(t),s
′n
+
1
(t)
−
s
′n
(t))
s
n
+
1
(t)
−
s
n
(t)
2
естественноназыватьмодельюследованиязалидером.
Очевидно,чтопараметр
отвечаетзаповедениеприразгоне(при
=
=
1имеетместоэкспоненциальныйповремениразгон,впределепри
→∞
разгонпроисходитспостоянным
«
комфортным
»
ускорениемa
n
вплотьдодостиженияжелаемойскоростиV
0
n
).Тормозящийчленопределя
-
етсяотношениемжелаемойдистанцииd
∗n
(безопаснымрасстоянием)
кфактическойдистанции:
h
n
(t)
=
s
n
+
1
(t)
−
s
n
(t),
причемжелаемаядистанцияопределяетсяследующимобразом:
d
∗n
(s
′n
(t),s
′n
+
1
(t)
−
s
′n
(t))
=
d
n
+
T
n
s
′n
(t)
−
s
′n
(t)(s
′n
+
1
(t)
−
s
′n
(t))
2
√
a
n
b
n
,
гдеd
n
—
расстояниемеждуАТС(n
-
ми(n
+
1)
-
м)взаторе(естественно,
чтоd
n
L,гдеL
∼
5,7м
—
средняядлинаАТС,и,действительно,при
-
нятосчитать,чтоd
n
∼
5,7м),b
n
—
ускорение
«
комфортного
»
торможения
(a
n
∼
b
n
∼
2м
/
c
2
),T
n
—
аналогвремениреакцииводителя.
1)
Калибровкаичисленныеэкспериментысэтоймодельюпоказали,чтоеесвойстваустой
-
чивыквариациипараметров;модельдемонстрируетреалистическоеповедениеприразгоне
иторможенииивоспроизводитосновныенаблюдаемыесвойстваоднополосноготранспорт
-
ногопотока.
112Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
Пояснимпредложеннуюдлябезопасногорасстоянияформулу.Пока
водительn
-
гоАТСсреагируетнаизменениеситуациивпереди,онпроедет
путьT
n
s
′n
(t).Потом,
«
поняв,чтонадо,скажем,тормозить
»
(s
′n
+
1
(t)
<
<
s
′n
(t)),онуспеетвыровнятьсвоюскоростьсоскоростьювпередиидущего
АТС(двигаясьсускорениемторможенияb
n
)домомента,когдадостигнет
(n
+
1)
-
еАТС,толькоеслирасстояниевмомент,когда
«
пришлопонима
-
ние
»
междуn
-
ми(n
+
1)
-
мАТС,былонеменьше
−
s
′n
(t)(s
′n
+
1
(t)
−
s
′n
(t))
2
√
a
n
b
n
.
Ситуация,когданадоускоряться(s
′n
+
1
(t)
>
s
′n
(t)),рассматриваетсяанало
-
гичнымобразом.Собственно,из
-
зажеланияохватить
«
однойформулой
»
дведовольноразныеситуации(ускорениеиторможение)ивозникзнаме
-
натель2
√
a
n
b
n
.
Заметим,чтовправилахдорожногодвижения(ПДД)некоторых
странвеличинаT
n
достаточножесткорегламентирована(ограниченаснизу
ПДД).Так,например,вСШАотводителятребуютувеличиватьбезопасное
расстояние(считается,чтовпередиидущееАТСимееттужескорость)на
длинуАТСLприувеличениискоростина5м
/
с(т.е.на18км
/
ч).Таким
образом,
T
n
∼
5,7[м]
/
5[м
/
c]
∼
1,1с,
чтохорошосогласуетсясоценкамиэтойвеличины,приведенными
(см.п.2.1.4)иполученными(см.п.2.2.1)ранее.
ВравновесномпотокеодинаковыхАТС,когда
s
′′n
(t)
≡
0,s
′n
+
1
(t)
−
s
′n
(t)
≡
0,s
′n
(t)
≡
V,
имеем:
d(V)
def
=
s
′n
+
1
(t)
−
s
′n
(t)
=
d
∗
(V,0)
1
−
V
V
0
−
1
/
2
.
Изэтогосоотношения(считая,что
(v)
=
1
/
d(V))можносначалапо
-
строитьуравнениесостояниятранспортногопотока
—
зависимостьV(
),
апотомфундаментальнуюдиаграммуQ(
).Впределепри
→∞
так
построеннаяфундаментальнаядиаграммабудетстремитьсяктреугольной
(см.рис.8):
Q(
)
=
min
n
V
0
,
1
−
d
T
o
.
Вэтойформуле(атакжеивдругихформулахэтогопункта)вместосред
-
негорасстояниямеждусоседнимиАТСвзатореd
∼
7,5мпишуттакже
среднююдлинуАТСd
∼
5,7м(см.,например,п.2.2.1).Вчастномслучае,
когда
=
1,d
n
∼
0м(отметим,чтовэтомслучаеадекватностьмодели
взначительнойстепенисохраняется),можнонайтиианалитическоевы
-
ражениедляравновеснойскоростиV(
).
2.2.Микроскопическиемодели113
2.2.4.Моделиклеточныхавтоматов
1)
Вмоделяхклеточныхавтоматов(CellularAutomata(CA))дорогараз
-
биваетсянаклетки,дискретнымсчитаетсяивремя.Часто(нодалеконе
всегда[83]
–
[86],см.такженижевэтомпункте)считается,чтовклетке
можетнаходитьсянебольшеодногоАТС.Такимобразом,получаются
разностныеаналогирассматриваемыхранеемакроскопическихуравнений.
Заметимтакже,чточастоимножествовозможныхзначенийскоростиАТС
считаютдискретнымвтакихмоделях.
КонцепцияклеточныхавтоматовбылавведенаДж.фонНейманом
(Нойманом)в50
-
егодыХХвека[119]всвязисразработкойтеории
самовоспроизводящихсямашин.Применятьклеточныеавтоматыдлямо
-
делированиятранспортныхпотоковпредлагалосьвработе[120].Однако
активноеиспользованиеэтойконцепцииначалосьтолькопослеработы
К.НагеляиМ.Шрекенберга[121](подробностисм.вобзорах[122,123]).
ОпишемвкратцемодельНагеля
—
Шрекенберга(1992).ВCA
-
модели
накаждомшагеm
→
m
+
1состояниевсехАТСвсистемеобновляется
всоответствиисоследующимиправилами.
Шаг1.Ускорение(отражаеттенденциюдвигатьсякакможнобыстрее,
непревышаямаксимальнодопустимуюскорость):
v
n
(m
+
1)
=
min
{
v
n
(m),v
max
}
.
Шаг2.Торможение(гарантируетотсутствиестолкновенийсвпереди
идущимиАТС):
v
n
(m
+
1)
=
min
{
v
n
(m),s
n
+
1
(m)
−
s
n
(m)
−
d
}
,
гдеd
∼
7,5м(см.п.2.2.3).
Шаг3.Случайныевозмущения(учитываютразличиявповедении
АТС):
v
n
(m
+
1)
=
(
max
{
v
n
(m)
−
1,0
}
,p,
v
n
(m),1
−
p,
Шаг4.Движение:
s
n
(m
+
1)
=
s
n
(m)
+
v
n
(m).
Всечетыреприведенныхшаганеобходимыдлявоспроизведенияоснов
-
ныхсвойствтранспортногопотока.Так,например,шаг3обуславливает
неустойчивостьтранспортногопотокапридостаточнобольшихплотностях.
1)
ЭтотпунктнаписансовместносЯ.А.Холодовым.
114Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
Вработах[124,125]описанпереходотмоделейтипаНагеля
—
Шре
-
кенбергакгидродинамическиммоделям(типаБюргерса,Хопфа)
—
гид
-
родинамическийпредельныйпереход.Авработе[126]описанобратный
переход
—
ультраметрическийпредельныйпереход.
Продемонстрируем,следуяМ.Л.Бланку[127]
–
[129](см.такжепри
-
ложениеМ.Л.Бланкаицитированнуютамлитературу),одинизспособов
выводауравнениясостоянияV(
),исходяиздовольнопростойCA
-
модели.
Рассмотримкольцевуюдорогу,состоящуюизnячеек(клеток).Вкаж
-
дойячейкеможетнаходитьсянеболееодногоАТС.Длинывсехячеек
одинаковыиравны(условной)единице.Будемтакжесчитать,чтоn
достаточнобольшое.Еслибратьнекольцевуютопологию,а,скажем,
бесконечнуюпрямолинейнуюдорогу(полосу),топоnнеобходимобу
-
детсделать
«
термодинамическийпредельныйпереход
»
(этопонятие
пришлоизстатистическойфизики,см.,например,[130]ицитированную
тамлитературу)
—
устремитьnкбесконечности,
«
сохраняяпропорции
»
.
ПустьвначальныймоментвременивнекоторыеизячеекпоместилиАТС.
Обозначимчерез0
1долюзанятыхячеек.Будемсчитать,чтосначала
всеАТС
«
смотрят
»
вследующуюпоходудвиженияячейку,апотомте
изАТС,длякоторыхэтиячейкиоказалисьсвободными,независимоот
остальныхдвигаютсявсвободнуюячейкусвероятностью0
1.Итак
происходитнакаждомшагеповремени.
Определимсреднююпространственнуюскорость:
¯¯
V
s
(m)
def
=
1
n
n
X
i
=
1
V
i
(m).
Тогдапоэргодическойтеоремедлямарковскихпроцессов(см.приложение
Е.В.Гасниковой)при0
1средняявременнаяскоростькаждого
АТС(при
=
1см.[127])
¯¯
V
T
i
def
=
lim
N
→∞
1
N
N
X
m
=
1
V
i
(m)
п.в.
=
V
п.в.
=
lim
m
→∞
¯¯
V
s
i
(m).
Зависимость
«
средней
»
скоростиVотплотности
изображенанарис.11,
изкоторогостановитсяясно,чтофундаментальнаядиаграмма,соот
-
ветствующаярис.11,будеттреугольноготипа.Ввидупростотымодели
несложнокачественнообъяснитьприведеннуюнарис.11зависимость.
ДлядальнейшегознакомствасCA
-
моделямисм.[131].Оказывается,
чтопростыемодификациирассматриваемыхздесьмоделейдемонстрируют
[122,129,131],чтооднойплотностисоответствуетцелыйнаборсредних
скоростей,илипоследнеепонятиеможетнебытькорректноопределено.
Сточкизренияфазовыхпереходовописанноеповедениесоответствует
2.2.Микроскопическиемодели115
Рис.11.
«
Фазовыйпереход
»
при
=
1
/
2
возникновениюновой
«
гистерезисной
»
фазы,которая,по
-
видимому,со
-
ответствуетрежимусинхронизированногодвижения(см.[10]илиглаву3).
Интересныеидеиисследованиямногополосности(которыетакжеобъ
-
ясняютэкспериментальную
«
размазанность
»
фундаментальнойдиаграм
-
мы)недавнобылипредложеныА.П.Буслаевымидр.(кафедравысшей
математикиМАДИ)[132]
–
[134].Дляописаниятранспортногопотокаис
-
пользоваласьмодельТанака(см.п.2.1.2),вкоторуюпомимоплотности
искоростиещевводился
«
параметррегулярности
»
,спомощьюкоторого
«
частьводителейАТС
«
разрыхляетрегулярноедвижение
»
длятого,чтобы
осуществитьотносительноеперемещениевнутрипотока
»
.Отметимтакже,
чтоспомощьюмоделейтакоготипаудалосьтеоретическиобъяснитьнево
-
гнутостьфундаментальнойдиаграммы(рис.2)вслучаемногополосного
движения.
Перейдемтеперькдругомутипуклеточныхмоделей,которые,по
сути,являютсяразностнымианалогамирассматриваемыхранееуравнений.
Вп.2.1.6мыужеупоминалиоднуизтакихмоделей(CTM
-
модель).Приве
-
демсхему,вкоторую
«
ложатся
»
многиемоделиэтогокласса.Ограничимся
ситуациеймагистрали(вообщеговоря,многополосной)свъездамиивыез
-
дами.Разобьеммагистральнаклетки(ячейки)
—
прямолинейныеучастки
дорогидлинойнеменеесотниметров.Будемсчитать(неограничивая
общности),чтовкаждуюклеткуимеетсятолькоодинвъездиизкаждой
клеткиимеетсятолькоодинвыезд(см.рис.12).Тогда
n
i
(m
+
1)
=
n
i
(m)
+
r
i
(m)
+
q
i
−
1
(m)
−
s
i
(m)
−
q
i
(m),s
i
(m)
=
q
i
(m),
гдеn
i
(m)
—
числоАТСвi
-
йклеткевмоментвремениm.
Так,вработах[87,88](рассматриваласькольцеваятопологиятранс
-
портнойсетибезвъездовивыездов)полагали
q
i
(m)
=
(1
+
)
−
1
Q
i
(n
i
(m))
—
аналогсхемыбегущегосчетадлямоделиLWR.Очевиднымнедостат
-
комэтойсхемыявляетсявозможностьследующих
«
неправдоподобных
»
116Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
Рис.12
ситуаций(считаем
≡
0иr
i
(m)
≡
0).Предположим,чтоестьдвеклет
-
ки(безвъездовивыездов).Перваяклеткаполностьюзагружена(вней
максимальнаяплотностьАТС
—
«
стоячаяпробка
»
),аследующаяпоходу
движенияклеткаполностьюсвободна(внейнетАТС).Тогдасогласновы
-
бранномуспособуописанияпотокаАТСничегопроисходитьнебудет,т.е.
ситуациясовременемменятьсянебудет.Втовремякакизопытаизвестно,
чтоАТСначнут
«
перетекать
»
всвободнуюклетку.Предположимтеперь,
чтоперваяклетказагружена,например,наполовину,авследующейпо
ходудвиженияклетки
—
стоячаяпробка.Тогдаq
i
(m)
≡
0,амодельговорит
обобратном.Темнеменееисследование
«
докритическихрежимов
»
—
«
левая(возрастающая)ветка
»
фундаментальнойдиаграммыспомощью
этоймоделивполнекорректно.
Вработах[83]
–
[86](рассматривалсяслучайтреугольнойфундамен
-
тальнойдиаграммы(см.рис.8),
«
вершина
»
которойимееткоординаты
(n,Q
max
i
)полагали
q
i
(m)
=
min
{
(1
−
i
)v
i
n
i
(m),Q
max
i
,Q
max
i
+
1
,(n
max
i
+
1
−
n
i
+
1
(m))w
i
+
1
}
—
аналогсхемыГодунова(см.п.2.1.4)длямоделиLWRстреугольной
фундаментальнойдиаграммой(CTM
-
модельК.Даганзо(1994)).Поясним
обозначения:
v
i
=
Q
max
i
n
i
—
скоростьсвободногопотока,
w
i
+
1
=
Q
max
i
+
1
n
max
i
+
1
−
n
i
+
1
—
скоростьволныотперегрузки,
2.2.Микроскопическиемодели117
т.е.скоростьростазатора.Другимисловами,еслиперекрытьдорогу(при
условии,чтодвижениебылодостаточноплотнымn
i
+
1
(m)
n
i
+
1
),тооб
-
разовавшийсязаторбудетрастисоскоростьюw
i
+
1
—
длиназаторачерез
времяtпослеперекрытиябудетравнаw
i
+
1
t.Теперьдолжностановиться
ясно,вчемпреимуществосхемыГодунова,например,надсхемойбегущего
счета.Взаключениезаметим,чтодлядлинныхучастковдороги,включаю
-
щихдовольномногоклеток,координаты(n
i
,Q
max
i
независятотиндексаi.
МожнообобщитьCTM
-
модельнаграфытранспортнойсетиболее
сложнойтопологии,чемкольцеваяилилинейнаямагистраль.Правда,
дляэтогопотребуетсязнатьматрицуперемешиваниявкаждомузлегра
-
фатранспортнойсети.Крометого,нужнодополнительно(посравнению
смагистральнойтопологией)прописатьразрешение
«
конфликтныхситу
-
аций
»
(знанияматрицыперемешиванияможетоказатьсянедостаточно).
Например,таких,какследующая:пустьимеетсяперекресток.Дветрети
водителейсвходящейвперекрестокдорогиAхотятповернутьнавыхо
-
дящуюсперекресткадорогуC,идветретиводителейсвходящейдороги
BтакжехотятповернутьнадорогуC.Будемсчитать,чтодвухполосная
дорогаCможетпропустить4000АТС
/
час(максимальнаяпропускнаяспо
-
собность).ДорогиAиBтакжедвухполосные,инаобеихизнихпотокАТС,
входящийвперекресток,по4000АТС
/
км.Очевидно,чтоситуацияне
доопределена.Дляпониманиятого,чтобудетпроисходить,необходимо
ещезнать,например,режимработысветофоравэтомперекрестке(в
случаеегоналичия).Такимобразом,реальноерасщеплениепотоковза
-
виситнетолькоотматрицыперемешивания,нои,например,отрежима
работысветофора.Знаяматрицуперемешиванияи
«
берянавооруже
-
ние
»
правилоработысветофора,можнополучитьупомянутоеобобщение
рассмотренныхмоделейнаграфытранспортнойсетиобщеговида.Анало
-
гичноможнорассмотретьиболеесложныеразвязки.Здесьтакжеможно
упомянуть,чтоещев1936годумолодойпрофессорМосковскогоунивер
-
ситетаА.Н.Колмогороввписьмевжурнал
«
СтроительствоМосквы
»
,по
сути,обсуждалвопрос,связанныйсправильнойорганизациейперекрест
-
ка[135].Кстатисказать,проходившеевавгусте2010годаобследование
различныхразвязокг.МосквыспециалистамиизЯпонии,приглашенны
-
мируководствомг.Москвы,показало
«
неоптимальность
»
рядаважных
развязок.
Какужеотмечалось,несмотрянасвоюотносительнуюпростоту,
CTM
-
модельявляетсяоднойизнаиболеевостребованныхвприложениях
(см.,например,[83]
–
[86]ицитированнуютамлитературу).
Чтокасаетсяизученияаналитическихсвойствэтихмоделей(полу
-
ченныхспомощьюразностныхсхемдляLWR
-
модели),то,по
-
видимо
-
му,прощеисследоватьвсе
-
такидифференциально
-
разностныеаналоги
LWR
-
моделей,т.е.считать,чтовремятечетнепрерывно[87,88].Раз
-
118Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
ностныесхемы(втомчислеиупомянутыевыше)очевиднымобразом
переделываютсявдифференциально
-
разностные,приэтомнеобходимое
условиеКуранта
—
Фридрихса
—
Леви(см.п.2.1.4)корректностисхемы,
аппроксимирующейуравнениеLWR(шагповременидостаточномалпо
сравнениюсшагомпопространственнойпеременной),выполняетсяавто
-
матически.
Всвязисовсемвышесказаннымвозникаетзадача:исследоватьпо-
ложенияравновесия
—
стационарныережимы(атакжебассейны
ихпритяжения,отталкивания)динамическойсистемынаграфе
транспортнойсетиобщеговида,полученнойспомощьюдиффе-
ренциально-разностнойсхемыГодуноваизLWR-модели(стреуголь-
нойилипараболическойфундаментальнойдиаграммой).В2004г.
длясхемыбегущегосчетаисследованиявэтомнаправлениибылипред
-
принятыА.П.Буслаевымидр.[87]дляграфовспециальнойструктуры
(кольцевой,
«
цветочной
»
ит.п.).В2006г.А.И.Назаровобобщилре
-
зультатыстатьи[88]награфыобщеговида.Однако,какужеотмечалось
выше,схемабегущегосчета
—
несамыйподходящийвариантдляописа
-
ниятранспортногопотокавовсевозможныхсостояниях.Вдиссертации
2007г.А.А.Куржанского[83]исследоваласьасимптотическаяустой
-
чивость(глобальная)положенийравновесия(образующихмногообразие
сдовольнопростойиполностьюописаннойлинейнойструктурой)для
CTM
-
модели(схемаГодунова
+
треугольнаяфундаментальнаядиаграмма)
транспортныхпотоковнамагистрали(т.е.спростойтопологиейграфа
транспортнойсети).
Выпишемсистемуобыкновенныхдифференциальныхуравнений
(СОДУ)награфетранспортнойсети
1)
,используялишеннуюдеталей
модификациюправила
«
пропорциональныхприоритетов
»
[84,86]:
d
i
t
=
min
X
j:j
→
i
j
i
min
{
j
v
j
,Q
max
j
}
,min
{
(
max
i
−
i
)w
i
,Q
max
j
}
−
−
X
k:i
→
k
i
k
min
{
i
v
i
,Q
max
i
}
min
1,
min
{
(
maxk
−
k
)w
k
,Q
maxk
}
P
l:l
→
k
lk
min
{
l
v
l
,Q
max
l
}
,
здеськаждоереброориентированногографатранспортнойсетипронуме
-
ровано,
i
—
плотностьпотоканаi
-
мребре,
j
i
—
доляпотокаАТСна
ребреj,ответвляющаясянареброi.Обратимвнимание,чтовобщем
случаеследуетсчитать
j
i
(t,
~
).Причемеслиучитыватьзадержкивузлах
графатранспортнойсети,связанные,например,сналичиемсветофоров,
1)
Дляпростотысчитаем,чтонетисточниковистоковАТС,впротивномслучаеихследо
-
валобыучитывать,например,подобнотому,какэтобылосделановыше.
2.3.Модельныезадачи119
то,вообщеговоря,
P
k:i
→
k
i
k
(t,
~
).Имеютсяидругие
«
правилаобработки
»
узловграфатранспортнойсети(см.,например,[36,81,82]).
Упражнение
∗∗
(мотивированноеработами[83,87,88]).Длякаж
-
дойзамкнутойтранспортнойсети(можнообобщитьинаоткрытыесе
-
ти)стационарныйрежимбудетустойчивым,еслизначениястационарных
плотностей
«
лежат
»
налевых(возрастающих)веткахсоответствующих
треугольныхфундаментальныхдиаграмм.
Упражнение(остационарномраспределениипотоков;А.М.Валуев).
Рассмотримпотокавтомобилей,движущийсяпокольцевойдороге.Будем
считать,чтонанейзаданыточкивхода(источники)ивыхода(стоки),
причемвкаждомстокедоляавтомобилей,уходящихскольца,поотноше
-
ниюкколичествуподъезжающихкнемупостоянна.Обоснуйтеследующее
утверждение:припостоянныхинтенсивностяхпотоков,поступающихиз
каждогоисточника,накольцеустанавливаетсястационарноераспреде
-
лениепотоковпоотдельнымучасткам,еслиихпропускнаяспособность
достаточновелика.
Можнолиобобщить(прикакихусловиях?)этоутверждениенаориен
-
тированныйграфдорожнойсетиобщеговида?
Установитезависимостьмеждустационарнымраспределениемпотоков
ивходнымивеличинами
—
интенсивностямивходныхпотоков+коэффи
-
циентамивыбытиявстоках.
2.3.Модельныезадачи
Здесьприведенырешениярядамодельныхзадач.Основнаязадача
—
этозадачаобэволюциизатора(локального,глобального)впредпо
-
ложении,чтотранспортныйпотокописываетсямодельюLWR,моделью
Уизема,модельюНьюэлла,модельюПэйна.Будетопределенаскорость
распространениязатора.Заметим,что,какбудетпоказановэтом
пункте,информацияозаторе,вообщеговоря,можетраспространяться
потранспортномупотокунетольковвидеодной(бегущей,ударной)
волны,ноиввидесистемытакихволн,вкоторуюмогуттакжевходить
иволныразрежения.Взаключениебудетрассмотрена(путемрешения
рядамодельныхзадачобэволюциизаторапомоделиLWR)задачаЛайт-
хилла
—
Уиземаосветофоре:прикакомсоотношениимеждувременами
горениякрасногоизеленогосигналовсветофорапереднимнебудетскап
-
ливатьсяочередь?
2.3.1.Эволюцииглобальногозаторавтранспортномпотоке,опи
-
сываемоммоделямиLWRиУизема
Дляпростотыизложениябудемвездевдальнейшемвэтомпункте
считать,чтоQ(p)
—
кусочно
-
гладкаяфункция,имеющаякусочно
-
гладкие
120Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
производныедочетвертогопорядкавключительноинеимеющаяточек
сгущениянулейвторойпроизводной.
Напомнимнеобходимыесоотношения(помоделиLWR):
∂
∂
t
+
∂
Q(
)
∂
x
=
0,(13)
(0,x)
=
(
−
,x
<
0,
+
,x
0
(начальноеусловиеРимана),(14)
(0,x)
=
−
,x
<
x
−
,
0
(x),x
−
x
<
x
+
,
+
,x
x
+
(начальноеусловиетипаРимана),
(15)
где
0
(x)
—
ограниченнаяизмеримаяфункция(см.рис.13,14).Дляопре
-
деленностибудемсчитатьвформулах(14),(15)
−
<
+
.Случай
−
>
>
+
рассматриваетсяаналогичноиможетбытьзаменой
→−
сведен
кслучаю
−
<
+
(сQ(
):
=
Q(
−
)).ЗадачаКоши(13),(14)называется
задачей(Римана)ораспаде(произвольного)разрыва.
Рис.13.НачальноеусловиеРимана
Длятогочтобыпонять,какоерешениебудетиметьзадачаКоши(13),
(14)(впрочем,частичноответнаэтотвопросмыужеможемдать,осно
-
вываясьнапримерах,разобранныхвп.2.1.1),заметимсначала,что:
•
законсохранения(13)имеетоднопараметрическое(x
0
∈R
—
параметр)семействоавтомодельныхрешенийвидаударнойвол-
ны(см.рис.15):
(x
−
ct)
=
(
−
,x
<
x
0
+
ct,
+
,x
x
)
+
ct
2.3.Модельныезадачи121
Рис.14.НачальноеусловиетипаРимана
Рис.15.Ударнаяволна
тогдаитолькотогда,когданаразрывеэтойударнойволнывыпол
-
няетсяRRH
-
условиеиE
-
условие;
•
законсохранения(13)имеетдвухпараметрическое(t
→+
;
x
→
x
+
a)семействоавтомодельныхрешенийвидаволныразре-
жения(см.рис.16):
g
x
t
=
−
,x
<
Q
′
(
−
)t,
Q
′−
1
x
t
,Q
′
(
−
)t
x
<
Q
′
(
+
)t,
+
,x
Q
′
(
+
)t
(16)
122Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
Рис.16.Волнаразрежения
(Q
′−
1
(
)означаетобратнуюфункциюкфункцииQ
′
(
))тогдаитолько
тогда,когдаQ
′′
(
)
>
0при
∈
(
−
,
+
),заисключением,бытьможет,
конечногочислаточек,вкоторыхимеетместоравенство(напомним,
что
−
<
+
).
Замечание.Поповодуавтомодельныхрешенийсм.,например,[1,136,
137],атакжеболееранниекнигиэтихавторов.Грубоговоря,автомо
-
дельныерешения
—
эторешениярассматриваемогоуравнениявчастных
производных,которыемогутбытьпредставленыкакфункции(вданном
случае)одногоаргумента,зависящегоотпространственныхивременных
переменных(т.е.отtиx).Групповойанализуказываетнато,чтоесли
автомодельныерешениясуществуют,топреждевсегоихследуетискать
ввиденеизвестнойфункцииотинвариантов(сконструированныхизар
-
гументовнеизвестнойфункции(т.е.отtиx))группыпреобразований,
допускаемойрассматриваемымуравнением.Пояснимсказанноенемного
подробнее.Хорошоизвестно,чтосфера,например,допускаетгруппуор
-
тогональныхпреобразований(всевозможныхповоротов),т.е.сферабудет
переходитьсамавсебяпритакихпреобразованиях.Сдругойстороны,
насферуможносмотреть,какнамногообразие,заданноехорошоиз
-
вестнымуравнением.Групповойанализпредлагаетсмотретьнауравнение
вчастныхпроизводных,какнамногообразие,заданноеэтимуравнени
-
емвпродолженном(наразличныечастныепроизводные)пространстве.
Правда,вотличиеотобычныхмногообразий,наклассвозможныхгрупп
преобразованийналагаетсяусловие,посути,определяющеедействиегруп
-
пынапродолженныхпеременных,черездействиегруппынанеизвестную
функциюиеёаргументы.
Вкачествепримераукажем,чтозаконсохранения(13)допускает
группутрансляцийповремениипокоординате,группуподобныхпреоб
-
разованийвременнойипространственнойпеременной.Этоозначает,что
2.3.Модельныезадачи123
видуравнения(13)непоменяетсяпризаменах:
t
→
t
+
;x
→
x
+
a;t
→
kt;x
→
kx.
Отсюда,посколькуx
−
ct(прилюбомc
∈R
)являетсяинвариантомгруппы
трансляций:
t
→
t
+
,x
→
x
+
c
,
а
=
x
/
tявляетсяинвариантомгруппырастяжений:
t
→
kt,x
→
kx,
вчастности,следует,чторешениеуравнения(13)преждевсегоследует
попробоватьискатьввиде
(x
−
ct)иg
x
t
.
Рольавтомодельныхрешений(параметрическихсемействтакихреше
-
ний)втеорииэволюционных(эволюцияповремени)уравненийвчаст
-
ныхпроизводныхчастоаналогичнаролинеподвижныхточеквтеории
обыкновенныхдифференциальныхуравнений[1],[92]
–
[100];[103]
–
[114];
[136]
–
[147].Параметрическоесемействоавтомодельныхрешений(или
семейство,полученноепутем
«
склеивания
»
автомодельныхрешений)часто
является,например,притягивающим(другиерешения)семейством(см.
теоремы1,2вп.2.3.1).
Знаяприведенныйвыше(вэтомпункте)материалитотматериал,
которыйбылизложенвп.2.1.1,И.М.Гельфандпостроилвконце50
-
х
годовХХвека(см.[17,30])решениезадачиораспадепроизвольно-
горазрыва,т.е.решениезадачиКоши(13),(14).Можнобылотакже
добавить(см.п.2.1.3):
«
построилспомощьюметодаисчезающейвяз
-
кости
»
.Поскольку,какбудетпоказанонижевэтомпункте,выполнение
RRH
-
условияиE
-
условиянаразрывахобобщенныхрешенийуравнения
(13)естьпрямоеследствиеэтогометода.
Приведемспособпостроениярешения.Строгоеобоснованиесм.вори
-
гинальных,иотчастимонографических,записяхкурсалекций[30],кото
-
рыеС.Н.Кружковчиталвконце60
-
хиначале70
-
хгодовXXвекана
мехматеМГУ.Дляэтоговведемфункцию
Q(
)
=
F
∗∗
(
),F(
)
=
Q(
)
+
I
[
−
,
+
]
(
),
I
[
−
,
+
]
(
)
=
(
0,
∈
[
−
,
+
],
∞
,
/
∈
[
−
,
+
],
где
F
∗
(x)
=
sup
y
∈R
(xy
−
F(y))
124Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
—
функция,сопряженная(поЮнгу
—
Фенхелю
—
Лежандру)кF(y)[47].
Такимобразом,
Q(
)
—
нижняяграницавыпуклойоболочкимножества
{
(p,q):
∈
[
−
,
+
],q
Q(
)
}
.
Будемискатьавтомодельноерешениеуравнения
∂
∂
t
+
∂
Q(
)
∂
x
=
0(17)
вида
(t,x):
=
x
t
.
(заметим,что
=
x
/
tявляетсяинвариантомгруппырастяжений:x
′
→
kx,
t
′
→
kt,допускаемойзакономсохранения(17)),удовлетворяющееначаль
-
номуусловию(14).Подстановка
(x
/
t)в(17)приводиткобыкновенному
дифференциальномууравнению
′
(
)(
−
Q
′
(
))
=
0.
Откудасучетомначальногоусловия(14)следует,что
(t,x)
=
Q
′−
1
x
t
(
Q
′−
1
(
)
—
обратнаяфункцияк
Q
′−
1
(
)).
Дляуточненийибольшейнаглядностипредставимрешениенемного
вдругомвиде.Положим(см.рис.17)
{
∈
[
−
,
+
]:Q(
)
>
Q(
)
}=
(
0
,
0
)
∪
(
1
,
1
)
∪
...(
n
,
n
),
c
0
=
Q
′
(
0
)
=
Q
′
(
0
),c
n
=
Q
′
(
n
)
=
Q
′
(
n
),
c
k
=
Q
′
(
k
)
=
Q
′
(
k
),(очевидно,чтоc
k
−
1
c
k
),k
=
1,...,n
−
1,
где
−
=
0
0
1
1
2
...
n
−
1
0
n
n
=
+
.
Ибудемсчитать(дляпростотыинаглядностиформулировок),что
выполняютсяусловия
«
отсутствияприлипания
»
[109]:
Q
′′
(
)
>
0при
∈
[
k
,
k
],k
=
0,...,n
−
1;
Q
′′
(
0
)
>
0,если
0
<
0
иQ
′
(
0
)
=
c
0
;
Q
′′
(
n
)
>
0,если
n
<
n
иQ
′
(
n
)
=
c
n
.
Тогда(см.рис.18сd
k
=
0)
(t,x)
=
−
,x
<
c
0
t,
Q
′−
1
(x
/
t),c
k
−
1
x
<
c
k
t,k
=
1,...,n,
+
,x
c
n
t.
(18)
2.3.Модельныезадачи125
Рис.17.ПостроениеИ.М.Гельфанда(1958)
Заметим,чтопопостроениюмыможембытьуверенылишьвнестрогих
неравенствах:
Q
′′
(
)
0при
∈
[
k
,
k
],k
=
0,...,n
−
1;
Q
′′
(
0
)
0,если
0
<
0
иQ
′
(
0
)
=
c
0
;
Q
′′
(
n
)
0,если
n
<
n
иQ
′
(
n
)
=
c
n
.
Еслижеусловия
«
отсутствияприлипания
»
невыполняются,товсе
приводимыенижерезультатыостаютсявпринципеверными(снекоторыми
несущественнымидляприложенийоговорками),нооценкибудутменее
точными(см.[113,114]ицитированнуютамлитературу).
Заметимтакже,что
(t,x)определяетсясточностьюдопочтивсюду
поxприлюбомфиксированномзначенииt
0(см.п.2.1.3).Поэтому
вформуле(18)можнонедоопределятьзначения
(t,x)наразрывах.
Естественноназыватьразрывырешения(18)ударнымиволнами,а
Q
′−
1
(x
/
t),c
k
−
1
t
<
x
<
c
k
t,k
=
1,...,n
—
волнамиразрежения(волнаразреженияисчезает,еслиc
k
−
1
=
c
k
,
посколькувэтомслучае
k
=
k
).
Естественноожидать,чтоеслинемного
«
размазатьразрыв
»
вначаль
-
ныхусловиях(14),торешениеуравнения(13)будетиметьсхожийвид.
Иначеговоря,мыожидаем,чторешениезадачиКоши(13),(15)будет
126Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
Рис.18.Системаволн
структурнопохожена(18).Действительно,имеетместоследующийфакт
[14,93];[96]
–
[99];[109,114](см.рис.18).
Теорема1.Существуеттакойнабор
{
d
k
}
n
k
=
0
(причемеслиc
k
−
1
=
=
c
k
,тоd
k
−
1
d
k
),чторешениезадачиКоши(13),(15)сходитсяпри
t
→∞
вL
1
(
R
x
)ксистемеволн
(t,x;
{
d
k
}
n
k
=
0
)
=
−
,x
<
c
0
t
+
d
0
,
Q
′−
1
(x
/
t),c
k
−
1
t
+
d
k
−
1
x
<
c
k
t
+
d
k
,k
=
1,...,n,
+
,x
c
n
t
+
d
n
.
(19)
Заметим,чтовработах[93,98,99]такжебылинайденыформулыдля
расчетаd
k
.
РассмотримтеперьмодельУизема:
∂
∂
t
+
∂
Q(
)
∂
x
=
∂
∂
x
D(
)
∂
∂
x
,D(
)
>
0,
>
0.(20)
«
Построим
»
решениезадачиКоши(20),(15).ПосколькузадачиКоши(13),
(15)и(20),(15)описываютодноитожеявление(наразныхуровнях
детализации)
—
эволюцию(
«
размазанного
»
)глобальногозаторавтранс
-
портномпотоке,томывправеожидать,чторешениезадачиКоши(20),
(15)будетструктурнопохоженарешениезадачиКоши(13),(15)и,стало
быть,будетвестисебянабольшихвременахподобносистемеволн(19).
2.3.Модельныезадачи127
Действуяпотомужеплану,чтоиприисследованииасимптотики(по
времени)задачиКоши(13),(15),найдемсначалаавтомодельныерешения
уравнения(20).Согласноработам[17,93]:
•
законсохранениясдиффузией(20)имеетоднопараметриче
-
ское(x
0
∈R
—
параметр)семействоавтомодельныхрешенийвида
бегущейволны(см.рис.19):
(x
−
ct
+
x
0
),
таких,что
lim
s
→−∞
(s)
=
−
,lim
s
→∞
(s)
=
+
,
тогдаитолькотогда,когдавыполняетсяRRH
-
условие
c
=
Q(
+
)
−
Q(
−
)
+
−
−
истрогоеE-условие(напомним,что
−
<
+
)
∀
∈
(
−
,
+
)
→
(
−
,
+
)
<
(
−
,
);
•
законсохранениясдиффузией(20)имеетдвухпараметриче
-
скоесемействоасимптотическиавтомодельныхрешений(при
подстановкетакогоавтомодельного
«
решения
»
вуравнение(20)
почтивсюдувозникаетневязка(внашемслучаеO(1
/
t
2
)),которая
стремитсякнулюсростомвремени)видаволныразрежения(16)
тогдаитолькотогда,когдаQ
′′
(
)при
∈
(
−
,
+
),заисключением,
бытьможет,конечногочислаточек,вкоторыхимеетместоравен
-
ство.
Заметим,чтодлядоказательствавсехприведенныхутвержденийот
-
носительнобегущейволныдостаточнорассмотретькраевуюзадачудля
обыкновенногодифференциальногоуравнениясразделяющимисяпере
-
менными,котороеполучаетсяприподстановке
(x
−
ct
+
x
0
)
в(20)иинтегрированиивозникшегоуравнениясучетомодногоизкраевых
условийlim
s
→−∞
(s)
=
−
:
d
(s)
ds
=
(
Q(
(s))
−
c
(s)
−
(Q(
−
)
−
c
−
))
/
D(
(s)).
Заметимтакже,чтоRRH
-
условиеполучаетсяизоставшегосякраевого
условия
lim
s
→∞
(s)
=
+
.
128Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
Рис.19.Бегущаяволна
АстрогоеE
-
условиеравносильнотребованиюотсутствия(заисключением
s
=±∞
)особыхточек(точек,вкоторых
′ (s)
=
0)уэтогообыкновенного
дифференциальногоуравнения,чтовсвоюочередьравносильноусловию
′ (s)
>
0(поскольку
−
<
+
).
Еслижедопуститьсуществованиеособойточки
s
∗
∈
(
−∞
,
∞
),
тоинтеграл
(
Q(
)
−
c
−
(Q(
−
)
−
c
−
))
−
1
d
.
будетиметьнеинтегрируемуюособенностьвточке
=
(s
∗
).
Отсюдаследует,что
s
∗
=∞
илиs
∗
=−∞
.
Пришликпротиворечиюспредположением
s
∗
∈
(
−∞
,
∞
).
Теперьможнообъяснитьужеанонсированнуювозможностьобоснования
RRH
-
условияиE
-
условиянаразрывахобобщенныхрешенийуравнения
(13)спомощьюметодаисчезающейвязкости:
(x
−
ct
+
x
0
)
=
1
x
−
ct
+
x
0
−−−−→
→
0
+
(
−
,x
ct
−
x
0
,
+
,x
>
ct
−
x
0
.
2.3.Модельныезадачи129
Упражнение
∗
(см.[19,30]).ПочемустрогоеE
-
условие
«
переходит
впределе
»
при
→
0
+
простовE
-
условие?
Замечание(модельЛайтхилла
—
Уизема
—
Кортевега
—
деФри
-
за
—
Бюргерса).Если,подобномоделиУизема(см.п.2.1.3),положить
v(t,x)
=
V(
(t,x))
−
1
(t,x)
∂
(t,x)
∂
x
+
∂
2
(t,x)
∂
x
2
,
гдеV(
(t,x))
—
желаемаяскоростьприданнойплотности,авыражение
вскобкеописывает
«
дальнозоркость
»
водителей(поэтому
>
0,
>
0),то
получим,сучётомзаконасохраненияколичестваАТС:
∂
∂
t
+
∂
v
∂
x
=
0,
уравнениетипаКортевега
—
деФриза(Вриза)
—
Бюргерса(КдФБ):
∂
∂
t
+
∂
Q(
)
∂
x
=
∂
2
∂
x
2
+
∂
3
∂
x
3
.(21)
Посколькупредложеннаямодельописываеттожесамоеявление,что
имодельУизема,томывправенадеятьсянаструктурнуюсхожестьавто
-
модельныхрешенийуравнений(20)и(21).Действительно,предположим,
чтовыполняетсястрогоеE
-
условие,аскоростьcопределяетсяформулой
RRH.Тогда(см.[141])если
1)
4sup
∈
(
−
,
+
)
c
−
Q(
)
−
Q(
+
)
−
+
2
,
тосуществуетоднопараметрическоесемействостроговозрастающихавто
-
модельныхрешенийуравнения(21)видабегущейволны
,
(x
−
ct
+
x
0
).
Легкопоказать,чтоуравнение(21)приQ
′′
(
)
>
0,
∈
(
−
,
+
)имеет
иасимптотическоеавтомодельноерешениевидаволныразрежения(16).
Интересноприэтомзаметить,чтовотличиеотуравнениятипаБюргер
-
садляуравнениятипаКдФБобоснованиеметодаисчезающейвязкости
идисперсии
—
по
-
прежнемуоткрытаязадача(см.статьюП.Лаксавсбор
-
нике[32],атакже[36,38]).
Имеетместоследующийфакт(дляпростотыформулировки(общий
случайизложенвстатье[113])такжесчитаем,чтоc
k
−
1
<
c
k
,k
=
1,...,n
(или,чтотожесамое,
k
<
k
,k
=
1,...,n))[14,93,95];[105]
–
[113]
(см.рис.2).
1)
Еслиэтоусловиенарушается,тосначала(когданесильнонарушается)теряетсясвойство
монотонностибегущейволны(возникаютзатухающиеосцилляциитипа(sinx)
/
xпристрем
-
лениирешениякпредельнымзначениямнакраях),азатемавтомодельныерешениявида
бегущейволнывообщеперестаютсуществовать.Численноеподтверждениеэтихфактовиме
-
етсявработахА.Г.Куликовскогосколлегами(см.,например,[56,148]ицитированнуютам
литературу).Аналитическиеисследования,подтверждающиесказанноевыше,былинедавно
проведеныв[149].
130Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
Рис.20.Системаволн
Теорема2.Существуеттакойнаборфункций
{
d
k
}
n
k
=
0
=
O(
lnt)
+
O(1),
чторешениезадачиКоши(20),(15)сходитсяприt
→∞
вL
∞
(
R
x
)
(равномернопоx
∈R
)ксистемеволн
(t,x;
{
d
k
}
n
k
=
0
)
=
−
,x
<
c
0
t
−
√
t,
k
(x
−
c
k
t
+
d
k
(t)),c
k
t
−
√
t
x
<
c
k
t
+
√
t,k
=
0,...,n,
Q
′−
1
(x
/
t),c
k
t
+
√
t
x
<
c
k
t
−
√
t,k
=
1,...,n,
+
,x
c
n
t
+
√
t,
где
k
(x
−
c
k
t)
—
решениеуравнения(20)видабегущейволныс
lim
s
→−∞
k
(s)
=
k
,lim
s
→∞
k
(s)
=
k
.
Замечание(А.М.Ильин,О.А.Олейник(1960)).Можнопоказать
(см.[93,94,110,113]),чтоесли
−
=
0
<
0
=
+
иQ
′
(
0
)
6=
c
0
,Q
′
(
0
)
6=
c
0
,
то
lim
t
→∞
d
0
(t)
=
d
0
,
2.3.Модельныезадачи131
гдеd
0
находитсяизпервогоинтеграла(20)(приt
=
0):
I(t;d
0
)
=
∞
−∞
{
(t,x)
−
0
(x
−
c
0
t
+
d
0
)
}
dx
≡
0.
ПолезнойнаходкойА.М.ИльинаиО.А.Олейниксталовведениефункции
w(t,x)
=
x
−∞
{
(t,s)
−
0
(s
−
c
0
t
+
d
0
)
}
ds,
котораятакже,каки
(t,x),удовлетворяетуравнениюпараболического
типа,ноприэтомlim
x
→±∞
w(t,x)
≡
0.
Замечание,аналогичноезамечаниюИльина
—
Олейник,имеетместо
идлятеоремы1.
Замечание(Г.М.Хенкин,А.А.Шананин(2004)).Можнопоказать
(см.[107]
–
[109]),чтоасимптотическиеоценкисдвиговфаз
{
d
k
}
n
k
=
0
=
O(
lnt)
+
O(1),
«
разумно
»
определятьизпредложенныхвработе[107]
«
локализованных
законовсохранения(первыхинтегралов)
»
:
I
k
(t;d
k
(t))
=
c
k
(t)
+
√
t
c
k
(t)
−
√
t
{
(t,x)
−
k
(x
−
c
k
t
+
d
k
(t))
}
dx
≡
0.
ЕслиприравнятьнулюполнуюпроизводнуюповремениотI
k
(t;d
k
(t)),
используяуравнение(20),тополучимоценкуd
k
(t)(приняваприорноза
гипотезу,которуюапостериорнопроверим,чтоd
′k
(t)
=
o(t
−
1
/
2
)).Точность
оценкиопределяетсязначениямиразностей:
(t,c
k
±
√
t)
−
k
(
±
√
t
+
d
k
(t))и
x
(t,c
k
±
√
t)
−
k
x
(
±
√
t
+
d
k
(t)).
Этизначениявсвоюочередьопределяютсяисходяизисследованиясхо
-
димостирешенияксистемеволннаучастках,соответствующихповедению
«
волнаразрежения
»
.Оказывается,чтовыборзависимости
√
t)вопреде
-
лениисистемыволнивопределениилокализованныхзаконовсохранения
даётнаилучшуюпоточностиоценкусдвиговфаз,исходяизимеющихся
способовоценкиразностей.Взаключениеотметим,чтоприD(
)
≡
1вра
-
ботах[106];[108]
–
[109]былинайденыпервые(логарифмические)члены
асимптотическихрядовдлясдвиговфаз.
132Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
Замечание.Можнопоказать(см.[111]
–
[113]),чтовтеореме2ско
-
ростьсходимостиесть
1)
O(1
/
3
√
t),т.е.
(t,x)
=
(t,x;
{
d
k
(t)
}
n
k
=
0
)
+
O
1
/
3
√
t
.
Втеореме1(см.[37,93,98,99])скоростьсходимостивравномерной
норме(завычетомскольугодномалых,нофиксированныхнамомент
рассмотренияокрестностейударныхволнрешения)естьO(1
/
√
t),причём
этаоценканеулучшаема[93]идостигаетсянаасимптотикевидаволны
разрежения.
Упражнение
∗∗
(см.п.2.1.3).Прикакихусловияхуравнение(20)ли
-
неаризуется?Попробуйтепостроитьасимптотическиерядыдляd
k
(t)вэтих
(частных)случаях.Подобнотому,какэтобылосделановработе[14](см.
также[7])дляуравненияБюргерса(вслучаеобщихначальныхусловий
см.[106]).
Замечание.Ввидузамечания,касающегосямоделиЛайтхилла
—
Уи
-
зема
—
Кортевега
—
деФриза
—
Бюргерса(см.выше),можноожидать,что
результат,аналогичныйтеореме2,имеетместоидлязадачиКоши(21),
(15),еслитолько
/
2
Tдостаточномало(насколькомало,зависиткакот
функцииQ(
),такиотначальногоусловия(15)).Дляслучая,когдаQ(
)
—
вогнутаяпарабола,локальнаясходимостькодномуизпредставителей
однопараметрическогосемействабегущихволн(параметр
—
сдвигфазы,
определяетсяаналогичнозамечаниюИльина
—
Олейник)былаустановлена
П.И.НаумкинымиИ.А.Шишмарёвым(1991)[142,143].Этотрезультат
недавнобылперенесенА.В.Казейкиной(приучастииА.А.Шананина)
напроизвольнуювогнутуюфункцию[144].Дляслучая,когдаQ(
)
—
выпуклаяфункция,глобальнаясходимостькволнеразрежениябылауста
-
новленаР.ДуанемиХ.Чжао(2007)[145].
Замечание.Интереснотакжезаметить,чтовсесказанноевышеот
-
носительномоделиУиземавточности(тажеструктураасимптотики,
тежесамыескоростибегущихволн,тажеасимптотикаусдвигов
фазd
k
(t)
=
O(lnt))переноситсяинамодельНьюэлла(подробностисм.
в[100]
–
[110]).ДлямоделиПэйнаполучено(см.,например,[7])условие
существованияавтомодельногорешениявида
«
бегущей
—
ударнойволны
»
.
Оказывается,чтоскоростьтакойволныбудетудовлетворятьформуле
RRH.
Замечание(Т.
-
П.Люидр.(1997)).Результатыосходимостикбегу
-
щейволнеиволнеразрежениярешенияначальнойзадачиКоши(20),(15)
1)
Несложнопоказать(см.[93]),рассмотревслучайсходимостикоднойволнеразрежения,
чтоимеетместосходимостьнебыстрее
∼
1
/
√
t.Однакопокавобщемслучае(приотсут
-
ствииприлипания)недоказано(инеопровергнуто),чтоскоростьсходимостивтеореме2
оцениваетсякакO(1
/
√
t).
2.3.Модельныезадачи133
могутбыть
«
перенесены
»
наначально
-
краевуюзадачудляуравнения(20)
(подробностисм.,например,в[146,147]).
Приведемвзаключениеэтогопунктасхемудоказательстватеорем1,2
ианалогичногоутверждениядлямоделиНьюэлла.Доказательствоосно
-
вываетсянаследствияхизпринципамаксимумадлялинейныхпараболи
-
ческихуравнений(скоэффициентами,зависящимиот(t,x))[39,40,139]:
напринципесравнения
1
(0,x)
2
(0,x)
=⇒
1
(t,x)
2
(t,x),t
0
инапринципесравнениянафазовойплоскости
{
1
(0,x)
<
(
>
)
2
(0,x)
=⇒
1
(0,x
′
)
(
)
2
(0,x
′
),x
′
(
)x
}=⇒
=⇒{
1
(t,x)
<
(
>
)
2
(t,x)
=⇒
1
(t,x
′
)
(
)
2
(t,x
′
),x
′
(
)x
}
,t
0.
Этипринципыпереносятсяинанелинейныепараболическиеуравнения,
атакженанекоторыеихдифференциально
-
разностные(ипростораз
-
ностные)аналоги.Идеятакогоперенесениядостаточнопростая(ишироко
используетсявтеориипараболическихуравнений[39,40],например,для
оценкистаршихпроизводныхнеизвестнойфункции)
—
нелинейныекоэф
-
фициентыпричастныхпроизводныхобъявляютсянекоторымифункциями
независимыхпеременных(внашемслучаеtиx).Далееделаются
«
апри
-
орные
»
предположенияотносительнонеизвестнойфункции(какправило,
предположенияравномернойограниченностинеизвестнойфункцииили(и)
существованияунее(равномерноограниченных)производных).Вэтих
предположенияхкоэффициентыпричастныхпроизводныхоказываются
«
настолькохорошими
»
функциями,чтоквозникшемууравнению(вкото
-
ромнелинейныекоэффициенты,зависящиеотнеизвестнойфункции,ин
-
терпретируютсяпростокакнекоторыефункциинезависимыхпеременных)
применимыпринципысравнения.Затем,ужеспомощьюэтихпринци
-
пов,проверяется,чтосделанныеаприорнопредположениявыполняются.
Вэтойсвязитакжезаметим,чтоиногдааприорныепредположениявыби
-
раютединственноерешениеизмножествавозможных.Так,дляобычного
уравнениятеплопроводностиаприорноепредположение,
«
чторешениена
-
чальнойзадачиКоши(сравномерноограниченнойначальнойфункцией)
будемискатьвклассеравномерноограниченныхфункций
»
,приводитна
-
чальнуюзадачуКошивкласскорректных(поАдамару),т.е.имеющих
ипритомединственноерешение,устойчивоепоначальнымданным.Но,
какпоказываетпримерА.Н.Тихонова,еслиненакладыватьограничение
нарострешениясувеличениемвремени,топостроенноерешениеужене
будетединственным[150].
Приведенныепринципысравнениятакжепереносятсяинанекоторые
уравнения(например,назаконсохранения),которыеполучаютсяпутем
134Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
предельногоперехода(например,спомощьюметодаисчезающейвязкости)
изнелинейныхпараболическихуравнений.
Вдоказательствечастовкачествесравниваемыхфункцийвыбираются:
решениерассматриваемойзадачииспециальнымобразомподобранное
автомодельноерешение(асимптотическиавтомодельноерешение)либо
специальнымобразом
«
склеенная
»
функцияизтакихрешений.Приэтом
значениянаx
=±∞
(атакжеординаты
«
склеек
»
,вслучаееслитаковые
имелись)утакихавтомодельныхрешенийвыбираютсяизмножестваточек
{
0
,
0
,
1
,...,
n
−
1
,
n
,
n
}
либоизмалыхокрестностейэтихточек,асдвигифазподбираютсятак,
чтобывначальныймоментвременивыполнялисьусловияиспользуемого
вариантапринципасравнения.
Заметим,чтоосновныеидеиописанногоподходакдоказательствутео
-
рем1,2применялисьранеедляисследованияасимптотики(повремени)
решенияначальнойзадачиКошидляуравнениятеплопроводностиснели
-
нейнымисточником(такогородауравнениявозникают,например,при
описаниираспространениягенныхволнипламени).Так,ещев1937г.впи
-
онерскойработеА.Н.Колмогорова,И.Г.Петровского,Н.С.Пискунова
[140]былаисследованасходимостькоднойбегущейволне.Современное
состояниеделотраженовработах[139,141]ицитированнойтамлитера
-
туре.
Следуямонографии[139],можноназыватьсходимостьвтеореме2
сходимостьюпоформе.Асогласнотерминологииработы[136],системы
волн,возникающиевтеоремах1,2,следуетназыватьпромежуточными
асимптотиками(заметим(см.теорему2),чтопромежуточнаяасимпто
-
тика(системаволн),вобщемслучаесаманеобязанаявлятьсярешением
уравнения).
2.3.2.Эволюциилокальногозаторавтранспортномпотоке,опи
-
сываемоммоделямиLWRиУизема
Предположим,чтоводнородномстационарномтранспортномпотоке
(однабесконечнаяполосабезвъездовивыездов)образовалосьлокальное
увеличениеплотности(локальныйзатор).Проследим(нестрого!)заэво
-
люциейэтого
«
бугорка
»
(затем,какбудетрассасыватьсяэтолокальное
увеличениеплотности).Дляэтоговведемh(t)АТС
/
км
—
«
высоту
»
бугорка
иl(t)км
—
«
длину
»
бугоркавмоментвремениt(см.рис.21).Поскольку
площадьбугоркасохраняется(чтокакразиотражаетзаконсохранения
количестваАТС),то
h(t)l(t)
≈
2S
0
,
гдеS
0
—
площадь(размерностьплощади
—
АТС)подбугорком.Здесь
стоитприближенноеравенствоиз
-
затого,чтобугорок,вообщеговоря,
2.3.Модельныезадачи135
небудетвточностииметьвидпрямоугольноготреугольника(гипотену
-
за,вобщемслучае,будеткривойлиниейилишьнабольшихвременах
достаточнохорошоприближаетсяпрямой).Самфакт,превращения(с
ростомвремени)произвольногобугоркавкриволинейныйпрямоугольный
треугольник(также,какнарис.7,считаем,чтоQ
′′
(
0
)
<
0)несложно
устанавливаетсяспомощьюметодахарактеристик.
Перейдемтеперьвсистемукоординат,движущуюсясоскоростью
c
0
=
Q
′
(
0
),
где
0
—
значениеплотностивдалиотбугорка.Вэтойсистемекоординат
«
скоростьразбеганиябугорка
»
можнопосчитатьпоформулеRRH:
l
′
(t)
=
Q(
(t))
−
Q(
0
)
(t)
−
0
−
c
0
≈
1
2
|
Q
′′
(
0
)
|
h(t),
где
(t)
=
0
+
h(t)
—
максимальноезначениеплотностивмоментвремениt.Такимобразом,
l
′
(t)
∼
|
Q
′′
(
0
)
|
S
0
l(t)
=⇒
l(t)
∼
q
2
|
Q
′′
(
0
)
|
S
0
√
t
=⇒
h(t)
∼
r
2S
0
|
Q
′′
(
0
)
|
1
√
t
.
Сделанныекачественныевыводынеплохосогласуютсяспрактикой.
Рис.21.Эволюциялокальногозатора
Приведенныевышерассужденияявляютсячастнымслучаемболееоб
-
щегоиболееточногоутверждения
«
обасимптотикевидаN
-
волны
»
(см.
работыП.Лакса,Т.
-
П.Лю,Р.ДиПерна,К.Дафермоса,С.Н.Кружкова
иН.С.Петросян[2,7,11,37,96,99]).
136Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
Упражнение(см.[37,44,99]).Пусть,какивприведенныхвыше
рассуждениях,
Q
′′
(
)
<
0.
ИспользуяформулуЛакса
—
Олейник(см.п.2.1.3),строгообоснуйтепри
-
веденныйвышерезультат.Выкладкибудутособеннопростыми,еслидо
-
полнительноизвестно,чтозависимостьQ(
)
—
параболическая.
Длятогочтобыописатьповедениелокальногозаторасогласномодели
Уизема,умножимуравнение(20)на
(t,x)
−
0
∈
L
1
(
R
)
∩
L
∞
(
R
x
)
ипроинтегрируем(почастям)
1)
поxот
−∞
до
∞
:
d
dt
∞
−∞
1
2
(
(t,x)
−
0
)
2
dx
=
∞
−∞
D(
(t,x))
∂
(t,x)
∂
x
2
dx
=
=−
D
min
∞
−∞
∂
(t,x)
∂
x
2
dx
<
0,
где
D
min
=
min
∈
[0,
max
]
D
2
(
)
>
0.
Полученноенеравенство,котороеобычноназываютэнергетическим
неравенством[19,110],отражаеттотфакт,чтопроцессэволюциило
-
кальногозаторапроисходитсдиссипацией
«
энергии
»
.Иначеговоря,
«
энергия
»
V(
(t,
))
=
∞
−∞
1
2
(
(t,x)
−
0
)
2
dx
естьфункционалЛяпунова[138]дляуравнения(20)намногообразии
такихрешений
(t,x),что
(t,x)
−
0
∈
L
1
(
R
)
∩
L
∞
(
R
x
).Действительно,
d
dt
V(
(t,
))
<
0при
(t,x)
L
2
(
R
x
)
6=
0
и
d
dt
V(
0
)
=
0;
V(
(t,
))
>
0при
(t,x)
L
2
(
R
x
)
6=
0
иV(
0
)
=
0.
1)
Заметим,чтоприинтегрированиипочастяммыпользовалисьразличнымиследствиями
изпринципамаксимума(см.пп.2.1.3,2.3.1).Вчастности,следующимидвумя:
•
lim
x
→±∞
(0,x)
=
±
=⇒∀
t0
→
lim
x
→±∞
(t,x)
=
±
;
•
частныепроизводные
(t,x),входящиевуравнение(20),равномерноограничены.
Причёмпоследнеесвойство,какправило,используетсявместеснеравенствамидляпроиз
-
водныхколмогоровскоготипа(см.замечаниениже).
2.3.Модельныезадачи137
Крометого,изэнергетическогонеравенстваиизнеравенстваХарди
—
Лит
-
лвуда
—
Полиа(частныйслучайнеравенствадляпроизводныхколмогоров
-
скоготипасn
=
2,k
=
1,p
=
q
=
r
=
2(см.замечаниениже))следует
существованиетакойконстанты
K
>
0,что
dV(
(t,
))
dt
−
KV(
(t,
))
2
=⇒k
(t,
)
−
0
k
L
2
(
R
)
=
p
2V(
(t,
))
=
O
1
√
t
.
Немногоболееаккуратныерассуждения(см,например,[110,113])поз
-
воляютустановитьтакжесходимостьвL
1
(
R
)(сходимостьвсреднем)
1)
ивL
∞
(
R
)(равномернуюсходимость),причёмтакже,какидлямодели
LWR:
k
(t,
)
−
0
k
L
∞
(
R
)
=
p
2V(
(t,
))
=
O
1
√
t
.
1)
Изсходимостивсреднемследует,чтоплощадьбугорка(см.рис.21)современемумень
-
шаетсяистремитсякнулю.
138Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
Замечание.Неравенствамидляпроизводныхколмогоровскоготипа
будемназыватьнеравенстваследующеговида:
1)
∃
K
>
0:
∀
z(x)
∈
W
n
p,r
(
R
)
→k
z
(k)
(
)
k
L
q
(
R
)
K
k
z(
)
k
L
p
(
R
)
k
z
(n)
(
)
k
L
r
(
R
)
,
где0
k
<
n
—
целыечисла,0
<
p,q,r
∞
,
,
0,W
n
p,r
(
R
)
—
про
-
странствотакихфункцийz(x)
∈
L
p
(
R
),укоторых(n
−
1)
-
япроизводная
локальноабсолютнонепрерывнана
R
иn
-
япроизводнаяz
(n)
(x)
∈
L
r
(
R
).
1)
ТакогороданеравенствавозникаливисследованияхА.Н.Колмогороваконца30
-
хгодов
XXвека.ДляотысканиянеулучшаемыхзначенийKприходилосьрешать,например,задачи
вариационногоисчисления,оптимальногоуправления(втомчислеисфазовымиограни
-
чениями).Втовремякакизприложений(восновномвоенных,исвязанныхсдвижением
ракет)задачиоптимальногоуправленияактивносталиприходитьв40
-
егодыпрошлоговека.
Общиежеспособырешениязадачоптимальногоуправления(безсмешанныхограничений)
появилисьтольковсередине1950
-
хгодоввшколахЛ.С.Понтрягина(принципмаксимума
Понтрягина)иР.Беллмана(принципдинамическогопрограммирования).Вциклеработ,
начавшихсяв1960
-
егоды,А.Я.ДубовицкийиА.А.Милютинпредложилинаиболееобщую
(изизвестныхнаданныймомент)схемуполучениянеобходимыхусловийэкстремума[41,49],
котораявзадачахоптимальногоуправления(втомчислеисосмешаннымиограничениями)
позволяетполучитьпринципмаксимума(непутатьспринципамимаксимумадлярешений
уравненийпараболическоготипа).Восновесхемылежитпростаяидея:пересечениеко
-
нусанаправленийубывания,еслизадачанаминимум,ивозрастания,еслинамаксимум,
функционаласконусамивозможных(допустимых)направленийограниченийдолжнобыть
пустымвточкеоптимума.Впредположениивыпуклостирассматриваемых,конусовэто
условиепредставляетсякакуравнениеЭйлера
—
Лагранжа:существуетнетривиальный
наборэлементовизсопряженныхконусов,суммакоторыхравняетсянулю.Другойподход
(см.,например,[47])состоитвиспользовании
«
гладко
-
выпуклой
»
структурызадачи.При
этомдля
«
борьбы
»
сгладкойчастьюзадачи(дляполучениянеобходимыхусловийлокальной
оптимальности)используетсяпринципФерма(оптимумследуетискатьсредиэкстремальных
значенийфункционала),адля
«
борьбы
»
свыпуклойчастью
—
принципЛагранжа(возмож
-
ность
«
перенесения
»
ограничений(необязательновсех)задачиоптимизациивфункционал
сдолжнымобразомопределеннымимножителямиЛагранжа).Длятогочтобыбылапонятна
связьпринципаЛагранжасвыпуклостьюзадачи,заметим,чтоэтотпринципесть,посути,
теоремаоботделимости(одноизследствийтеоремыХана
—
Банаха):ввещественномвек
-
торномпространствеграничныеточки
«
телесного
»
(имеющеговнутренниеточки)выпуклого
множестваотделимыгиперплоскостьюотсамогомножества,т.е.найдетсятакаягипер
-
плоскость,проходящаячерезвыбраннуюграничнуюточку,чторассматриваемоевыпуклое
множествобудет
«
лежать
»
водномиздвухполупространств,накоторыегиперплоскость
делитпространство.МножителиЛагранжакакразизадаютуравнениеэтойгиперплос
-
кости.Приэтомвыпуклоемножествостроитсяпосамойзадаче(функционалуикаждому
ограничению,котороехотим
«
внести
»
вфункционал,соответствуютсвои
«
компоненты
»
),
аточка,которуюнужноотделять,соответствуетрешениюзадачиоптимизации.Какслед
-
ствие,множителиЛагранжаявляютсяэлементами(алгебраически)сопряженныхпространств
кпространствам,вкоторых
«
живут
»
ограничения.Элементысопряженногопространствадля
некоторыхважныхпространств(например,таких,какпространствоизмеримыхограниченных
функций)довольнотрудноописать.Этоявляется,пожалуй,однимизосновныхсдержива
-
ющихфактороввразвитиинеобходимыхусловийоптимальности.Обратимвниманиенато,
чтодляполученияпринциповмаксимумавзадачахоптимальногоуправлениясосмешанными
ограничениямиоченьсложно(есливообщевозможно)напрямуюиспользоватьописанный
вышегладко
-
выпуклыйформализм.Восновномприполучениинеобходимыхусловийопти
-
мальностивтакихзадачахудобноиспользоватьсхемуДубовицкого
—
Милютина.
2.3.Модельныезадачи139
КонстантаKзависитотпятипараметровn,k,p,q,r.Величины
и
однозначноимиопределяются:
=
n
−
k
−
1
/
r
+
1
/
q
n
−
1
/
r
+
1
/
p
,
=
1
−
.
ВработахВ.Н.Габушина[151,152]былопоказано,чтоеслиq
6=
pпри
k
=
0,то
K(n,k,p,q,r)
<∞⇐⇒
(n
−
k)
/
p
+
k
/
r
n
/
q,r
1.
Болееподробноотехслучаях,вкоторыхудалосьвычислитьнаилучшие
(точные)значенияконстантыK,написано,например,вработах[47,153].
Вп.2.1.3обобщенныеэнтропийныерешенияуравненияLWRполуча
-
лиськакпределырешенийсоответствующихуравненийУизема.Поэтому
можноожидать,чтоинапредельныхрешенияхуравненийУиземаэнергия
такжеубывает.Идействительно,еслипредельное(энтропийное)решение
имеетразрывы(итольковэтомслучае),тонакаждомразрыве(ударной
волне)происходитпотеряэнергиивсоответствиисформулой(дляопре
-
деленности
−
<
+
):
d
dt
V(
(t,
))
=
Q(
−
)
+
Q(
+
)
2
(
+
−
−
)
−
+
−
Q(
(t,x))dx
<
0.
Этотинтересныйидовольнопростойфактдоказан,например,впосо
-
бии[19].
Такимобразом,мыполучилиещеоднообъяснениенеобратимостипо
временипроцесса,описываемогомодельюLWR(приналичииударных
волнврешении)каксвойство,
«
унаследованное
»
отмоделиболеевысокого
уровня
—
моделиУизема.
Замечание(С.Н.Кружков,Е.Ю.Панов(1969,1989,1994)).Пусть
Φ
(
)
—
произвольнаядваждыгладкаявыпуклаяфункция,f(t,x)
0
—
произвольнаядваждыгладкаяфинитнаявполуплоскости
={
(t,x):t
>
>
0,x
∈R}
пробнаяфункция.Умножимтеперьуравнение(20)на
Φ
′
(
(t,x))f(t,x)ипроинтегрируемв
,перебрасываяпроизводныена
пробнуюфункцию(дляупрощениявыкладокбудемсчитатьD(
)
≡
1(в
общемслучаесм.,например,[20,37])):
0
Φ
′′
(
(t,x))
x
(t,x)
2
f(t,x)dtdx
=
=
f
t
(t,x)
k
Φ
′
(
)d
+
f
x
(t,x)
k
Φ
′
(
)Q
′
(
)d
+
f
xx
(t,x)
Φ
(
(t,x))
dtdx,
140Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
гдеk
—
произвольноедействительноечисло.Устремив
→
0
+
,получим
f
t
(t,x)
k
Φ
′
(
)d
+
f
x
(t,x)
k
Φ
′
(
)Q
′
(
)d
dtdx
>
0,
котороесправедливодлялюбогоk.Заметим,чтовслучае,когда
Φ
(
)
—
линейнаяфункция,вместонеравенстваможнописатьравенство.Введём
обозначения:
(
)
=
k
Φ
′
(
)d
—
энтропия,q(
)
=
k
Φ
′
(
)Q
′
(
)d
—
потокэнтропии.
Полученноенеравенствоможнопереписатькакэнтропийноенеравен-
ство(перебрасываяобратнопроизводныеспробнойфункции)[31,37]:
∂
(
)
∂
t
+
∂
q(
)
∂
x
0,
котороеследуетпониматьвслабомсмысле(причёмснеотрицательной
финитнойпробнойфункцией).Энтропийныенеравенствадляуравнений
газовойдинамики,по
-
видимому,впервыерассматривалЭ.Жугевначале
XXвека(см.,например,[31,56]).Напомним(см.примерыО.А.Олейник
иИ.М.Гельфандаизп.2.1.1),чтоначальнаязадачаКошидляуравнения
(13),понимаемоговслабомсмысле,имеет,вообщеговоря,неединственное
решениеичтозаконсохранения(13)изаконсохранения(13),умноженный,
скажем,на
Φ
′
(
)
>
0,вообщеговоря,имеютразныерешения.Однакобыло
подмечено[154],чтоесликзаконусохранения(13)добавитьэнтропийное
неравенство
1)
,тоономожетотобратьединственноерешение.Вконце
1960
-
хС.Н.Кружковспомощьюэнтропийныхнеравенствпостроил(по
сути,используяметодисчезающейвязкости(см.п.2.1.3))вполнезакон
-
ченнуютеориюобобщенныхрешенийначальнойзадачиКошидлязакона
сохранения(13)[29].
2)
Вначале1970
-
хгодовисследованиемэнтропийных
неравенств(длясистемуравнений)занималсяП.Лакс[11,31,37].
1)
Функция,удовлетворяющая(вслабомсмысле)уравнению(13)иэнтпропийномунера
-
венству,полученномуисходяизфункции
Φ
(
),называют
Φ
-
решением.
2)
Основнаяидеязаключаласьвследующем.Назовёмэнтропийнымрешениемфункцию,
котораяявляется
Φ
-
решением,длялюбойдваждыгладкойвыпуклойфункции
Φ
(
).По
построению,решение,полученноеспомощьюметодаисчезающейвязкости,необходимо
являетсяэнтропийнымрешением.Причёмвкачествефункций
Φ
(
)можнобратьлишь
всевозможныелиненйыефункцииифункциивида
{|
−
k
|}
k
∈
R
,посколькулюбаядважды
гладкаявыпуклаяфункцияраскладываетсяпоэтому
«
базису
»
.Оказывается,чтоэнтро
-
пийноерешениевсегдаединственно.Длятогочтобыэтопонять,заметим,чтоэнтропийное
решениевточкахгладкостиудовлетворяетсоотношению(13)вклассическомсмысле,ав
точкахразрываудовлетворяетRRH
-
условиюиE
-
условию(простоедоказательствоэтих
фактовимеется,например,впособии[19]).Вконце1980
-
х,вконтекстевышенаписанного,
С.Н.Кружковымбылпоставленвопрос[155]:когда
Φ
-
решениеединственно?Ответнаэтот
вопросбылполученЕ.Ю.Пановымвработе[156].Оказывается,чтовслучае,когда
Φ
(
)
—
строговогнутая(выпуклая)функция,
Φ
-
решениеединственно(
Φ
(
)
—
произвольнаядважды
2.3.Модельныезадачи141
2.3.3.Задачаосветофоре(прикакихусловияхпередсветофором
небудетскапливатьсяочередь)
В1955г.вработе[5](см.также[7],см.также[157])М.Лайтхиллом
иДж.Уиземомбылапоставленаирешена(наосновемоделиLWR)сле
-
дующаязадача:
Найтитакоечислоk
>
0,чтопередсветофором(работающим
вдвухрежимах:зеленыйикрасный)небудетскапливатьсяочередь,
если
T
зел
/
T
кр
k.
Считать,чтотранспортныйпотоквдалиотсветофораимеет
плотность
i
<
m
(значениепотокаq
i
),где
m
—
плотность,при
которойзначениепотокамаксимально.
Пустьзагорелсякрасныйцвет(рис.22).Тогдаотсветофоранавстречу
транспортномупотокупойдетударнаяволнасоскоростью
1)
c
=
Q(
max
)
−
Q(
i
)
max
−
i
=
q
i
max
−
i
.
«
Излишек
»
АТС,скопившихсяпередсветофоромзавремягорениякрас
-
ногоцвета,равен
(
max
−
i
)
q
i
max
−
i
T
кр
=
q
i
T
кр
.
Пустьтеперьзагорелсязеленыйцвет(рис.23,24).Тогдадотехпор,пока
весьизлишекнепройдетчерезсветофор,потокАТСчерезсветофорбудет
максимальнымиравнымq
m
.Этонеоченьочевидноеутверждениеможет
бытьустановленоспомощьюрешениясоответствующейзадачиораспаде
произвольногоразрыва(см.п.2.3.1).Такимобразом,передсветофоромне
будетскапливатьсяочередь,если
(q
m
−
q
i
)T
зел
q
i
T
кр
=⇒
k
=
q
i
q
m
−
q
i
.
Заметим,чтополученноесоотношениедостаточнохорошосогласуется
синтуитивнымипредставлениями.Действительно,еслипринять,чтокогда
гориткрасныйцвет,тогдапотокАТСчерезсветофорравеннулю,акогда
горитзеленый,тогдапотокмаксимальный(втечениевсеговременигоре
-
ниязеленого),тополучимусловие:излишекАТС,скопившийсязавремя
горениякрасногоq
i
T
кр
,долженбытьнебольше,чемта
«
добавка
»
,которую
гладкаястроговыпуклаяфункция).Если
Φ
(
)неявляетсястроговогнутой(выпуклой)функ
-
цией,то
Φ
-
решениезадачиКошиприподходящемвыбореначальныхданныхнеединственно
[156].
1)
Возникшуюкраевуюзадачуудобнопонимать,какначальную,еслидоговоритьсясчитать,
чтозасветофоромплотностьАТСмаксимальная
max
,т.е.засветофоромдвижениянет.
142Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
Рис.22.Моментокончаниягорениякрасногоцвета
Рис.23
получаемзавремягорениязеленого:
(q
m
−
q
i
)T
зел
.
«
Добавка
»
жевсвоюочередьобусловленатем,чтоприналичиисветофора
интенсивностьпотокаАТСчерезсветофорвовремягорениязеленогоq
m
превышаетинтенсивностьпотокаАТС,подъезжающихксветофоруq
i
.
2.4.ТеорияКернера
—
Конхойзерадвижущихсялокальныхкластеров...143
Рис.24.Горитзеленыйцвет
2.4.ТеорияКернера
—
Конхойзера
движущихсялокальныхкластероввмоделях
«
ДженералМоторс
»
-
класса
Впунктах2.1
–
2.3былирассмотренывосновноммоделитранспортного
потока,вкоторыхстационарныесостояния(встационарныхсостояниях
АТСдвижутсяспостояннойскоростьюиплотностью)
«
отвечают
»
фунда
-
ментальнойдиаграмметранспортногопотока.Сточкизренияобразования
пространственно
-
временныхструктурплотногопотокадетальнаякласси
-
фикацияэтихмоделейбыладана,например,вглаве10книги[10].Тамже
имеетсяикритическоесравнениеэтихмодельныхрешенийсфундамен
-
тальнымиэмпирическимисвойствамипереходакплотномутранспортному
потоку[158].Вэтомпунктемырассматриваемнелинейноерешение,кото
-
роевозникаетврезультатенеустойчивостивмоделях
«
ДженералМоторс
»
(ДМ)класса.Чтобыпонятьтерминнелинейноерешение,нужнона
-
помнитьсначаласмыслтерминанеустойчивостьисходнооднородного
ЭтотпунктнаписанС.Л.Клёновым.АвторвыражаетблагодарностьБ.С.Кернеруза
предоставлениеоригинальныхрисунковизегокниг.
144Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
состояниятранспортногопотокавэтихмоделях.Неустойчивостьозначает
нарастаниевовремениоченьмалыхнеоднородныхвозмущений.Оконча
-
тельныйрезультатэтогонарастанияприводиткструктурамтранспортного
потокаконечнойивнекоторыхслучаяхоченьбольшойамплитуды.Впо
-
следнемслучаедлянахожденияиматематическогоописанияэтихнелиней
-
ныхрешенийуженельзяпользоватьсяматематическимаппаратоманализа
неустойчивостеймодели,которыйдлямножествамоделейДМ
-
классаде
-
тальнорассмотренвобзорах[60,122].Именнорассмотрениенелинейных
пространственно
-
временныхрешенийбольшойамплитуды,впервыенай
-
денныхв1994г.Б.С.КернеромиП.Конхойзером[162,163]вмоделях
ДМ
-
класса,ипосвященэтотпунктданнойглавы.Однакопреждечеммы
рассмотримэтинелинейныерешениявп.2.4.2,необходимокороткоиз
-
ложитьфундаментальныеэмпирическиесвойствапереходаотсвободного
кплотномутранспортномупотокуивыяснить,могутлимоделитранспорт
-
ногопотока,рассмотренныевыше,показатьэтиэмпирическиесвойства.
Болееподробнообэтомбудетнаписановглаве3.
2.4.1.Фундаментальныеэмпирическиесвойствапереходаотсво
-
бодноготранспортногопотокакплотномуимоделитранс
-
портногопотока
Основныеэмпирическиесвойствапереходакплотномутранспортному
потокуследующие[158]:
1.Переходкплотномутранспортномупотоку(trafficbreakdown)явля
-
етсяF
→
Sпереходом(букваFсоответствует
«
freeflow
»
,т.е.свободному
потоку,букваSобозначаетфазусинхронизованногопотока,ванглийской
литературе
«
synchronizedflow
»
).
2.ВероятностьспонтанногоF
→
Sпереходаявляетсярастущейфунк
-
циейвеличиныпотокаАТС.
3.Можетбытькакспонтанный,такииндуцированный(т.е.вызванный
внешнимвозмущениембольшойамплитуды)F
→
Sпереходоколоодного
итогожеузкогоместанадороге(bottleneckванглоязычнойлитературе).
Какпоказановглаве10книги[10],сточкизренияпереходакплотному
транспортномупотокумногиемоделипп.2.1
–
2.3можноразделитьнадва
большихкласса:
(а)МоделитипаЛайтхилла
—
Уизема
—
Ричардса(LWR),вкото
-
рыхпереходкплотномутранспортномупотокувозникаетневрезультате
неустойчивости,азасчетсуществованияточки,вкоторойдостигается
максимумфункциипотоканафундаментальнойдиаграмме.
(б)Модели
«
ДженералМоторс
»
класса(ДМ),вкоторыхпереход
кплотномупотокусвязанснеустойчивостьюмодельныхрешенийначиная
снекоторойкритическойплотноститранспортногопотока.
2.4.ТеорияКернера
—
Конхойзерадвижущихсялокальныхкластеров...145
МоделиLWR
-
типа(теориякинематическихиударныхволнвтранс
-
портномпотоке)немогутописыватьпункты2и3фундаментальных
эмпирическихсвойствпереходакплотномутранспортномупотоку.Теория,
основаннаянамоделяхтипаДМ,неможетописыватьникакихфундамен
-
тальныхэмпирическихсвойствпереходакплотномутранспортномупотоку
(пункты1
–
3).Темнеменееэтимоделипредставляютбольшойинтересдля
анализа.Однаизпричинтакоговыводарассматриваетсявэтомпункте,
вкоторомпоказано,чтомоделиДМ
-
классаописываютхарактеристиче
-
скиепараметрыстационарногодвиженияширокогодвижущегосякластера
подороге,наблюдаемоговэмпирическихданных.
Неустойчивостьоднородногосвободноготранспортногопотокавмо
-
деляхДМ
-
класса
1)
детальнорассмотренавогромномколичестверабот,
обзоркоторыхможнонайтивстатьяхД.Кроудериссоавторами[122]
иД.Хельбинга[60].Однаконарастаниенеоднородныхвозмущенийвэтих
моделях,происходящееврезультатеупомянутойнеустойчивости,приво
-
дилокволнамнереалистичнобольшойамплитуды(вмакроскопических
моделях)иликстолкновениюАТС(вмикроскопическихмоделях).
Рис.25.Эффект
«
бумеранга
»
длянарастающеговозмущениявсвободномпотоке,мета
-
стабильномотносительновозникновенияширокихдвижущихсякластеров.ПлотностьАТС
впространствеивремени.РасчетнаосновемакроскопическоймоделиПэйн
-
класса(22),
(23).(а)Однороднаяавтодорога,(б)автодорогасвъездом.Взятоиз[10]
Какиежетипыструктурплотноготранспортногопотокавозникают
врезультатетакойнеустойчивостивэтихидругихмоделяхДМ
-
клас
-
са?ОтветнаэтотвопросбылданБ.С.КернеромиП.Конхойзером
в1993
–
1994годах[162,163]наосновечисленногорасчета(рис.25и26)
1)
Кмоделямэтогоклассаотносятся,например,модельПэйна[55],оптимальнойскорости
Ньюэлла[91],Бандо[159],разумноговодителяТрайбера[60,118],клеточныхавтоматов
Нагеля
—
Шрекенберга[121,160],моделиВидемана[161]имногиедругиемодели[10](см.
такжеглаву2).
146Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
иверсиимоделиПэйна(см.п.2.1.4):
∂
∂
t
+
∂
v
∂
x
=
0,(22)
∂
v
∂
t
+
v
∂
v
∂
x
=
V(
)
−
v
−
c
2
0
∂
∂
x
+
∂
2
v
∂
x
2
,(23)
где
,c
0
и
являютсяконстантами.Посути,посравнениюсобычноймо
-
дельюПэйнапроизошловсегоодноизменение:добавлениедиффузионного
слагаемого
∂
2
v
∂
x
2
вправуючастьуравнения(23).
Чтобынайтиреалистичныерешениябольшойамплитуды,возникающие
врезультатенеустойчивости,Б.С.КернериП.Конхойзериспользовали
прирасчетахвмоделитипаПэйнаспециальнуюформуфундаментальной
диаграммы(рис.26а).Особенностьэтойфундаментальнойдиаграммысо
-
стоитвтом,что,начинаяужеснеоченьбольшихплотностей,скорость
АТСнафундаментальнойдиаграммеэкспоненциальностремиласькну
-
лю.Этоискусственнаяформафундаментальнойдиаграммы,спомощью
которойудалосьврамкахмакроскопическоймоделисмоделироватьза
-
держкуводителей
(a)
del,jam
приихускоренииодинзадругимизсостояния
снулевойскоростьюназаднемфронтеширокогодвижущегосякласте
-
ра(см.ниже).Этазадержкаотличаетсяотзадержкиреакцииводителя
вдругихситуациях,котораядаетсявеличиной
вформуле(23).Идея
Кернера
—
Конхойзерамоделированиязадержкиприускоренииизсостоя
-
нияснулевойскоростьюспомощьюформыфундаментальнойдиаграммы
математическиравносильнаправилуslow
-
to
-
startвмикроскопическоммо
-
делировании(см.работыгруппыМ.Шрекенбергав1998г.[160]).
Встатьях[162,163]былополучено,чтоврезультатенеустойчивости
вмоделяхДМ
-
классаобразуетсяширокийдвижущийсякластербольшой
амплитуды(локальныйдвижущийсязатор),внутрикоторогоплотность
АТСвысока,аскоростьихдвиженияблизкакнулю,втовремякак
впередиипозадитакогокластерасуществуетсвободныйпотокмалой
плотности.Ванглоязычнойлитературедляобозначениятакогороданеод
-
нородныхлокальныхсостоянийбольшойплотностииспользуетсяназвание
«
widemovingjam
»
(вдальнейшемширокийдвижущийсякластербольшой
амплитудыбудетобозначатьсябуквойJ).Могутвозникатькакотдельные
движущиесякластеры,такипоследовательноститакихкластеров(рис.25
и26).
Фазовыйпереходвмоделяхснеустойчивостьюоднородногосостояния,
по
-
видимому,являетсяфазовымпереходомпервогородаотсвободного
однородногопотокакширокомудвижущемусякластеру(jam)иобозна
-
чаетсякакF
→
Jпереход(напомним,чтобукваFсоответствует
«
free
flow
»
,т.е.свободномупотоку,абукваJсоответствует
«
widemovingjam
»
).
2.4.ТеорияКернера
—
Конхойзерадвижущихсялокальныхкластеров...147
Последующиеисследованияпоказали(см.ссылкивобзореД.Хельбинга
[60]),чтоэтотрезультатявляетсяобщимдлявсехмоделейДМ
-
класса,
рассмотренныхвышевпп.2.1.3,2.1.4,2.2.
ПозжеБ.С.Кернерусталоясно,чтоэтотрезультат,
1)
относящийсяко
всеммоделямДМ
-
класса,противоречитфундаментальнымэмпирическим
свойствам,перечисленнымвпунктах1
–
3выше(см.такжеглаву3отеории
трехфазКернера).Какужебылоуказановпункте1,переходотсвобод
-
ногокплотномутранспортномупотокувэмпирическихданныхсвязанне
сF
→
J,асF
→
Sпереходом(напомним,чтобукваSобозначаетфазу
синхронизованногопотока,ванглийскойлитературе
«
synchronizedflow
»
).
ХотянеустойчивостьсвободногопотокавмоделяхДМ
-
классанепра
-
вильноописываетпереходотсвободногокплотномупотокувреальном
транспортномпотоке,темнеменеерезультатнелинейногорешениямоде
-
лейДМ
-
класса[163](рис.25и26)
—
стационарноедвижениеширокого
кластераподороге
—
полностьюсоответствуетэмпирическимданными,
следовательно,являетсяважнымрезультатомэтихмоделей,которыйоста
-
етсятакжеивтеориитрехфазКернера(см.главу3).Какобъяснено
выше,подрезультатомнелинейногорешенияздесьпонимаетсяконечное
пространственно
-
временноераспределениепараметровпотока,возника
-
ющееврезультатенеустойчивостиисходнооднородногорешениямодели
транспортногопотока.
Стационарноедвижениекластеровобладаетопределенныминелиней
-
нымисвойствами,которыеБ.С.КернериП.Конхойзерназвалихаракте
-
ристическимисвойствамидвиженияширокихкластеров[163].Вдальней
-
шемэтихарактеристическиесвойствадвиженияширокогокластерабыли
подтвержденыприисследованиивсехдругихмоделейклассаДМ[60].Эти
характеристическиесвойствадвиженияширокогокластерарассмотрены
вследующемпункте.
2.4.2.Характеристическиепараметрыширокогодвижущегося
кластера
Свойствастационарногодвиженияширокихкластеровсостоятвсле
-
дующем[163]:существуютхарактеристическиепараметрыширокогодви
-
жущегосякластера,которыепризаданныхвнешнихусловияхдвижения
транспорта(погода,деньнедели,процентгрузовыхАТСит.п.)независят
отпараметровпотокавпередиширокогокластераиостаютсянеизменными
впроцесседвижениякластераподороге.Характеристическиепараметры
являютсяодинаковымидляразличныхширокихдвижущихсякластеров.
1)
Состоящийвтом,чтопереходотсвободногокплотномупотокусвязанс
F
→
J
переходом.
148Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
Рис.26.ВозникновениеплотногопотоканаавтодорогесвъездомвмоделяхДМ
-
класса,
показывающихнеустойчивостьсвободногопотокаприповышенииплотности:возникновение
широкихдвижущихсякластероввмакроскопическоймодели(10),(11)Пэйн
-
класса(а
—
в),
вмоделиклеточныхавтоматовНагеля
—
Шрекенберга(г
–
е),ивмоделиВидемана(ж
–
з).
(а,г)ФундаментальнаядиаграммавмакроскопическоймоделиПэйн
-
класса(а)ивмодели
Нагеля
—
Шрекенберга(г);пунктирнаячастьдиаграммотвечаетнеустойчивымсостояниям.
(б,в,д
–
з)СредняяскоростьАТСвпространствеивремени.Взятоиз[10]
Такимихарактеристическимипараметрамиширокогодвижущегосякласте
-
раявляются:
2.4.ТеорияКернера
—
Конхойзерадвижущихсялокальныхкластеров...149
1)Средняяскоростьдвижениязаднего(понаправлениюпотока)
фронтадвижущегосякластера,обозначаемаякакv
g
.
2)Величинапотокаq
out
,плотность
min
исредняяскоростьАТСv
max
ввыходномпотокеизширокогодвижущегосякластера.Этивеличины
являютсяхарактеристическимипараметрамитолькоприусловии,чтовы
-
ходнойпотокизширокогодвижущегосякластераотвечаетсвободному
потоку.
3)СредняяплотностьАТСвнутриширокогодвижущегосякластера
обозначаетсякак
max
.Здесьидалее
max
совсемнеобязательносовпадает
смаксимальновозможнойплотностью(
«
бамперкбамперу
»
).
Характеристическиепараметрыширокогодвижущегосякластеракаче
-
ственнопроиллюстрированынарис.27,накоторомдлязаданногомомента
времениприведеныраспределенияскорости,потокаиплотностивдоль
дороги,связанныесраспространениемширокогодвижущегосякластера
висходнооднородномтранспортномпотоке.Потокq
h
иплотность
h
вис
-
ходнооднородномсвободномпотокевыбраныбольше,асоответственно
скоростьv
h
меньше,чемсоответствующиехарактеристическиепараметры
ввыходномпотокеширокогодвижущегосякластера:q
h
>
q
out
,
h
>
min
,
v
h
<
v
max
.Ясно,чтовпередиотширокогодвижущегосякластераостается
исходныйоднородныйтранспортныйпоток.Однакоэтогонепроисходит
позадиширокогодвижущегосякластераиз
-
затого,чтопомередвижения
широкогокластераАТС,покидающиезадний(внаправлениидвижения)
фронткластера,формируютновыйсвободныйпотоксвеличинойпотока
q
out
,плотностью
min
исреднейскоростьюv
max
.
Чтобыпояснитьтерминвыходнойпотокизширокогодвижуще-
госякластера,давайтеболеедетальнопосмотримнарис.27.Внутри
широкогокластераскоростьАТСравнанулю,аплотностьравна
max
.На
переднемфронтеширокогокластераАТСдолжнырезкотормозитьвплоть
доихостановки.НазаднемфронтеширокогокластераАТСускоряются.
ВрезультатеускоренияАТСизширокогокластеранаегозаднемфронте
образуетсявыходнойтранспортныйпоток.Этообъясняеттерминвыход-
нойпотокизширокогокластера,использованныйвыше.Вслучае,когда
этотпотокотвечаетсвободномупотоку,онобозначенбуквойq
out
ипоказан
нарис.27.
Кромемногочисленныхчисленныхисследованийхарактеристического
движенияширокихкластеров,опубликованныхвогромномколичестве
работразличныхавторов,существуетасимптотическаятеориядвижу
-
щихсяширокихкластеров[164],основаннаянаматематическойтеории
сингулярныхвозмущений.Заинтересованныйчитательможетнайтиобзор
численныхисследованийширокихкластероввобзоре[60],аасимптоти
-
ческаятеорияширокихкластеровподробноразбираетсяворигинальной
150Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
Рис.27.Качественнаяиллюстрацияхарактеристическихпараметровширокогодвижуще
-
госякластера.Схематическоепредставлениекластеравфиксированныймоментвремени.
ПространственныераспределенияскоростиАТСv,потокаq,иплотности
вшироком
движущемсякластере,которыйраспространяетсявисходнооднородномсвободномпотоке,
имеющемскоростьv
k
,величинупотокаq
k
,иплотность
h
.Взятоиз[10]
статье[164].Востальнойчастиэтогопунктабудетрассмотреноодноиз
важнейшиххарактеристическихсвойствдвижущегосяширокогокласте
-
ра
—
линияJ.
2.4.3.ЛинияJКернера
Характеристическиепараметрыширокогодвижущегосякластерамогут
бытьпроиллюстрированылиниейнаплоскостипоток
–
плотность(рис.28).
ЭталинияиспользоваласьБ.С.КернеромибыланазванаимлиниейJ
[10,158].
Необходимоподчеркнуть,чтолинияJКернеранеимеетникакого
отношенияклиниидляплотногопотоканатреугольнойдиаграммеДа
-
ганзо1994г.[85](илижеклюбымдругимфундаментальнымдиаграммам
плотноготранспортногопотока).Действительно,наклонлинииJКерне
-
раопределяетсясреднейскоростьюзаднегофронташирокогокластера,
алеваякоординатаэтойлинииотвечаетпотоку,вытекающемуизширокого
кластера.Другимисловами,линияJ
—
этохарактеристиканеплотногопо
-
тока,аравномерногораспространениязаднегофронташирокогокластера.
Эталинияфактическисоединяетдветочкинаплоскостипоток
–
плотность:
2.4.ТеорияКернера
—
Конхойзерадвижущихсялокальныхкластеров...151
однуточку,отвечающуюпотокуиплотностивнутриширокогодвижущегося
кластера,ивторуюточку,отвечающуюпотокуиплотностиввыходном
потокепослеширокогокластера.
Пояснимэтотважныйвопросболееподробно.Каждаяточканалинии
дляплотногопотокавтреугольнойфундаментальнойдиаграммеДаганзо
[85]отвечаетсоотношениюмеждуплотностьюивеличинойпотокаводно
-
родномплотномпотоке.ВтожевремялинияJописываетстационарное
распространениезаднегофронташирокогокластера,анезависимостьпо
-
токаотплотности,котораяотвечаетфундаментальнойдиаграммеплотного
потока.ЧтобыпонятьэтоважноекачестволинииJиееотличиеотфунда
-
ментальнойдиаграммыплотногопотока,можнодополнительнообратиться
крис.9вгл.3.Наэтомрисункеможновидеть,чтоплотныйпотоквтеории
трехфазКернераотвечаетнекакой
-
токривойилилиниинаплоскости
поток
–
плотность,адвумернойобласти.ПриэтомлинияJразбиваетэту
двумернуюобластьнадвечасти.Такимобразом,втеориитрехфазКернера
вместопрямойлиниитреугольнойфундаментальнойдиаграммыДаганзо
[85]дляплотногопотокапостулируетсядвумернаяобластьсостояний,
т.е.одномузначениюплотностиотвечаетнеоднозначениепотока,как
вдиаграммеДаганзо,абесконечноеколичествозначенийпотока.Всвою
очередьлинияJнеописываетсвязьмеждупотокомиплотностьювплот
-
номпотокеАТС,акакужеотмечалось,линияJ
—
этохарактеристика
равномерногораспространениязаднегофронташирокогокластера.
ЧтобыобъяснитьлиниюJ,рассмотримсреднююскоростьдвижения
заднегофронташирокогокластера,гдепроисходитускорениеАТСодного
задругим.КаждоеАТС,стоящеевкластере,можетначатьускорятьсяна
заднемфронтеэтогокластера,толькоесливыполненыследующиеусловия:
•
предыдущееАТСуженачалодвигатьсяизкластера;
•
врезультатедвиженияпредыдущегоАТСспустянекотороевремя
дистанциямеждудвумяАТСпревысиланекотороебезопасноерас
-
стояние,котороеудовлетворяетусловиюбезопасногоускорения.
Такимобразом,существуетнекотораявременнаязадержкавускорении
АТСназаднемфронтеширокогодвижущегосякластера.Среднеевремя
этойзадержкиускоренияАТСназаднемфронтеширокогодвижуще
-
госякластераобозначимкак
(a)
del,jam
.Согласноэмпирическимданным,
(a)
del,jam
∼
1,5
–
2с.Движениезаднегофронташирокогодвижущегосякла
-
стерасвязаноспоследовательнымускорениемАТС,стоящихвнутрикла
-
стера,назаднемфронтеэтогокластера.Посколькусреднеерасстояние
междуАТСвнутрикластера,включаясреднююдлинуАТС,равно1
/
max
,
152Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
средняяскоростьзаднегофронташирокогодвижущегосякластераравна
v
g
=−
1
max
(a)
del,jam
.(24)
Вэмпирическихданныххарактеристическаясредняяскоростьзаднего
фронташирокогодвижущегосякластерапопорядкувеличиныдаетсяфор
-
мулойv
g
≈−
15км
/
ч.НаклонлинииJравенхарактеристическойскорости
v
g
.Вслучае,когдасвободныйтранспортныйпотокформируетсяпосле
кластера,характеристическиевеличиныпотокаq
out
иплотности
min
опре
-
деляютлевуюкоординату(
min
,q
out
)линииJ.Праваякоордината(
max
,0)
линииJотвечаетплотностиипотокувнутриширокогодвижущегосякла
-
стера;нарис.28предполагается,чтосредняяскоростьи,следовательно,
потокАТСвнутрикластераравнынулю.Врезультатевеличинавыходного
потокаq
out
изширокогодвижущегосякластераравна
q
out
=|
v
g
|
(
max
−
min
),
или,используясоотношение(24):
q
out
=−
1
(a)
del,jam
1
−
min
max
.
Рис.28.Качественноепредставлениефундаментальнойдиаграммысвободногопотока(F)
вместеслиниейJКернера,наклонкоторойравенсреднейскоростидвиженияv
g
заднего
фронташирокогодвижущегосякластера.Взятоиз[10]
Необходимоещеразподчеркнуть,что,несмотрянаважностьмоделей
ДМ
-
класса,переходотсвободногокплотномупотокувэтихмоделях
связанспереходомкширокимдвижущимсякластерам(F
→
Jпереход).
Напротив,вовсехреальныхданныхэтотпереходсвязанспереходом
ксинхронизованномупотоку,т.е.сF
→
Sпереходом[158].Последний
вопросболееподробноразбираетсявглаве3отеориитрехфазКернера.
Литература
1.ЗельдовичЯ.Б.,РайзерЮ.П.Физикаударныхволнивысокотемпературных
гидродинамическихявлений.М.:Физматлит,2008.
Литература153
2.КурантГ.,ФридрихсК.Сверхзвуковоетечениеиударныеволны.М.:Из
-
дательствоиностраннойлитературы,1950.
3.КрайкоА.Н.Краткийкурстеоретическойгазовойдинамики.М.:МФТИ,
2007.
4.ГординВ.А.Математика,компьютер,прогнозпогодыидругиесценарии
математическойфизики.М.:Физматлит,2010.
5.LighthillM.J.,WhithamG.B.Onkinematicwaves:II.Theoryoftrafficflowon
longcrowdedroads
//
Proc.R.Soc.London,Ser.A.1955.V.229.P.281
–
345.
6.RichardsP.I.ShockWavesontheHighway
//
Oper.Res.1956.V.4.P.42
–
51.
7.УиземДж.Линейныеинелинейныеволны.М.:Мир,1977.
8.Trafficflowtheory:Astate
-
of
-
the
-
artreport
/
EditorsN.H.Gartner,
C.J.Messer,A.K.Rathi.WashingtonDC:TransportationResearchBoard,
2001.
9.ЛуканинВ.Н.,БуслаевА.П.,ТрофимовЮ.В.,ЯшинаМ.В.Автотранс
-
портныепотокииокружающаясреда.М.:ИНФРА
-
М,Ч.1,2.1998,2001.
10.KernerB.S.Introductiontomoderntrafficflowtheoryandcontrol.Thelong
roadtothree
-
phasetraffictheory.Springer,2009.
11.ЛаксП.Д.Гиперболическиедифференциальныеуравнениявчастныхпроиз
-
водных.М.
–
Ижевск:НИЦ
«
РХД
»
,ИКИ,2010.
12.BallouD.P.SolutiontononlinearhyperbolicCauchyproblemswithoutconvex
-
itycondition
//
Trans.Amer.Math.Soc.1970.V.152,№2.P.441
–
460.
13.ОлейникО.А.Разрывныерешениянелинейныхдифференциальныхуравне
-
ний
//
УМН.1957.Т.12,№3(75).С.3
–
73.
14.HopfЕ.Thepartialdifferentialequationu
t
+
uu
x
=
u
xx
//
Comm.PureAppl.
Math.1950.V.3,№3.P.201
–
230.
15.ОлейникО.А.Ободномклассеразрывныхрешенийквазилинейныхуравне
-
нийпервогопорядка
//
Научныедокладавысшейшколы.Физико
-
математи
-
ческиенауки.1958.№3.С.91
–
98.
16.ОлейникО.А.Оединственностииустойчивостиобобщенногорешенияза
-
дачиКошидляквазилинейногоуравнения
//
УМН.1959.Т.14,№2(86).
С.165
–
170.
17.ГельфандИ.М.Некоторыезадачитеорииквазилинейныхуравнений
//
УМН.
1959.Т.14,№2(86).С.87
–
158.
18.РождественскийБ.Л.,ЯненкоН.Н.Системыквазилинейныхуравнений
иихприложениякгазовойдинамике.М.:Наука,1978.
19.ГорицкийА.Ю.,КружковС.Н.,ЧечкинГ.А.Уравнениясчастнымипроиз
-
воднымипервогопорядка:учебноепособие.М.:Изд
-
воЦПИпримеханико
-
математическомфакультетеМГУ,1999.
20.ГасниковА.В.СравнениеопределенийобобщенногорешениязадачиКоши
дляквазилинейногоуравнения.М.:ВЦРАН,2006.
21.ИносэХ.,ХамадаТ.Управлениедорожнымдвижением.М.:Транспорт,1983.
22.БабковВ.Ф.Дорожныеусловияибезопасностьдорожногодвижения.М.:
Транспорт,1982.
154Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
23.KumeiS.,BlumanG.W.Whennonlineardifferentialequationsareequiva
-
lenttolineardifferentialequations
//
SIAMJ.Appl.Math.1982.V.42,№5.
P.1157
–
1173.
24.ОлверП.ПриложениягруппЛикдифференциальнымуравнениям.М.:Мир,
1989.
25.ОвсянниковЛ.В.Групповойанализдифференциальныхуравнений.М.:На
-
ука,1993.
26.СидоровА.Ф.,ШапеевВ.П.,ЯненкоН.Н.Методдифференциальныхсвя
-
зейиегоприложениявгазовойдинамике.Новосибирск:Наука,1984.
27.GalaktionovV.A.,SvirshchevskiiS.A.ExactSolutionsandInvariantSub
-
spacesofNonlinearPartialDifferentialEquationsinMechanicsandPhysics.
Chapman&Hall
/
CRCappliedmathematicsandnonlinearscienceseries;10.
2007.
28.ВолосовК.А.,ВдовинаЕ.К.,ВолосоваА.К.Новыеточныерешенияурав
-
ненийсчастнымипроизводнымипараболическоготипа:учебноепособие.М.:
МИИТ,2010.
29.КружковС.Н.Квазилинейныеуравненияпервогопорядкасомногиминеза
-
висимымипеременными
//
Матем.сб.1970.Т.81(123),№2.С.228
–
255.
30.КружковС.Н.Нелинейныеуравнениясчастнымипроизводными(Лекции).
Ч.2.Уравненияпервогопорядка.М.:Изд
-
воМГУ,1970.
31.SerreD.Systemofconservationlaws:AchallengefortheXXIstcentury,in:B.
Enquist,W.Schmid(Eds.),MathematicsUnlimited
—
2001andBeyond.Berlin,
NewYork:Springer
-
Verlag,2001.P.1061
–
1080.
32.ЛионсП.-Л.(LionsP.-L.)Онекоторыхинтригующихпроблемахнелинейных
уравненийвчастныхпроизводных,вкниге:
«
Математика:границыиперспек
-
тивы
»
.М.:ФАЗИС,2005.С.193
–
211.
33.ТупчиевВ.А.Обобщенныерешениязаконовсохранения.М.:Наука,2006.
34.ЭвансЛ.К.Методыслабойсходимостидлянелинейныхуравненийсчаст
-
нымипроизводными.Новосибирск:ТамараРожковская(Белаясериявма
-
тематикеифизике;Т.2),2006.
35.HoldenH.,RisebroN.H.Fronttrackingforhyperbolicconservationlaws.
Springer,2007.
36.Nonlinearconservationlawsandapplications.UniversityofMinnesota,July
13
–
31,2009;
http://www.ima.umn.edu/2008-2009/SP7.13-31.09/index.html#schedule
37.DafermosC.M.Hyperbolicconservationlawsincontinuumphysics.Springer,
2010.(ВиздательствеРХДготовитсяпереводэтойкнигинарусскийязык.)
38.ГалкинВ.А.Анализматематическихмоделей:системызаконовсохранения,
уравненияБольцманаиСмолуховского.М.:БИНОМ.Лабораториязнаний,
2009.
39.ЛадыженскаяО.А.,СолонниковВ.А.,УральцеваН.Н.Линейныеиква
-
зилинейныеуравненияпараболическоготипа.М.:Наука,1967.
40.КрыловН.В.Лекциипоэллиптическимипараболическимуравненияхвпро
-
странствахГёльдера:учебноепособие.Новосибирск:Научнаякнига(Универ
-
ситетскаясерия;Т.2),1998.
Литература155
41.МилютинА.А.,ДмитрукА.В.,ОсмоловскийН.П.Принципмаксимума
воптимальномуправлении.М.:Изд
-
воЦПИпримеханико
-
математическом
факультетеМГУ,2004;
http://www.milyutin.ru/papers.html
42.Оптимальноеуправление
/
подред.Н.П.ОсмоловскогоиВ.М.Тихомирова.
М.:МЦНМО,2009.
43.КрасовскийН.Н.,СубботинА.И.Позиционныедифференциальныеигры.
М.:Наука,1974.
44.ЭвансЛ.К.Уравнениясчастнымипроизводными.Новосибирск:Рожковская
(Университетскаясерия;Т.7),2003.
45.ДемьяновВ.Ф.Минимакс,дифференцируемостьпонаправлениям.Л.:
Изд
-
воЛГУ,1974.
46.СубботинА.И.Обобщенныерешенияуравненийвчастныхпроизводных.
Перспективыдинамическойоптимизации.М.
-
Ижевск:НИЦ
«
РХД
»
,ИКИ,
2003.
47.Магарил-ИльяевГ.Г.,ТихомировВ.М.Выпуклыйанализиегоприложения.
М.:УРСС,2003.
48.ПшеничныйБ.Н.Выпуклыйанализиэкстремальныезадачи.М.:Наука,
1980.
49.ДубовицкийА.Я.,МилютинА.А.Задачинаэкстремумприналичииогра
-
ничений
//
ЖВМиМФ.1965.Т.5,№3.С.395
–
453;
http://www.milyutin.ru/papers.html
50.БеллманР.,КалабаР.Квазилинеаризацияинелинейныекраевыезадачи.М.:
Мир,1968.
51.ПшеничныйБ.Н.,СагайдакМ.И.Одиффернциальныхиграхсфиксиро
-
ваннымвременем
//
Кибернетика.1970.Т.2.С.54
–
63.
52.MaslovV.P.,BelavkinV.P.DesignoftheoptimalDynamicAnalyzer:Math
-
ematicalAspectsofSoundandVisualPatternRecognition,inMathematical
AspectsofComputerEngineering.EditedbyV.P.Maslov,K.A.Volosov.M.:
MIR,1988.P.146
–
237.
53.KolokoltsovV.N.,MaslovV.P.Idempotentanalysisandapplications.Dor
-
drecht:KluwerAcad.Publ.,1997.(Имеетсясхожаякнигатехжеавторовна
русскомязыке(1994).)
54.LitvinovG.L.Tropicalmathematics,idempotentanalysis,classicalmechanics
andgeometry.AMS,Contemp.Math.,2010;
arXiv:1005.1247v1
(Семинар
«
Глобус
»
,2009.вып.4)
55.PayneH.J.Modelsoffreewaytrafficandcontrol,in:SimulationCouncilProc.
28,MathematicalModelsofPublicSystems.EditedbyG.A.Bekey.1971.V.1.
P.51
–
61.
56.КуликовскийА.Г.,ПогореловН.В.,СеменовА.Ю.Математическиевопро
-
сычисленногорешениягиперболическихсистемуравнений.М.:Физматлит,
2001.
57.ПетровИ.Б.,ЛобановА.И.Лекцииповычислительнойматематике.М.:
Бином,2006.
58.ШвецовВ.И.Математическоемоделированиетранспортныхпотоков
//
Ав
-
томатикаителемеханика.2003.№11.С.3
–
46.
156Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
59.ЧарахчьянА.А.ОбалгоритмахрасчетараспадаразрывадлясхемыС.К.
Годунова
//
ЖВМиМФ.2000.Т.40,№5.С.782
–
796.
60.HelbingD.Trafficandrelatedself
-
drivenmanyparticlesystems
//
Reviewsof
modernphysics.2001.V.73,№4.P.1067
–
1141;
arXiv:cond-mat/0012229
61.СмирновН.Н.,КиселёвА.Б.,НикитинВ.Ф.,ЮмашевМ.В.Неустано
-
вившиесядвиженияавтотранспортанакольцевоймагистрали
//
Прикладная
математикаимеханика.2000.Т.64,№4.С.651
–
658.
62.СмирновН.Н.,КиселевА.Б.,НикитинВ.Ф.,ЮмашевМ.В.Математи
-
ческоемоделированиеавтомобильныхпотоковнамагистралях
//
Вестник
Московскогоуниверситета.Математика.Механика.2000.№4.С.39
–
44.
63.КиселевА.Б.,КокореваА.В.,НикитинВ.Ф.,СмирновН.Н.Математи
-
ческоемоделированиеавтотранспортныхпотоковнарегулируемыхдорогах
//
Прикладнаяматематикаимеханика.2004.Т.68,№6.С.1047
–
1054.
64.ХолодовЯ.А.,ХолодовА.С.,ГасниковА.В.,МорозовИ.И.,ТарасовВ.Н.
Моделированиетранспортныхпотоков
—
актуальныепроблемыипутиихре
-
шения
//
ТрудыМФТИ(специальныйвыпуск,посвященныйматематическому
моделированиютранспортныхпотоков
/
подред.акад.В.В.Козлова).2010.
Т.2,№4(8).С.152
–
162.
65.DaganzoC.F.Fundamentalsoftransportationandtrafficoperations.New
-
York:
ElsevierScienceinc.,1997.
66.AwA.,RascleM.Resurrectionof
«
secondorder
»
modelsoftrafficflow
//
SIAM
JournalofAppliedMathematics.2000.V.60.P.916
–
938.
67.GreenbergJ.M.ExtensionsandamplificationsofatrafficmodelofAwand
Rascle
//
SIAMJ.Appl.Math.2001.V.62,№3.P.729
–
745.
68.ZhangH.M.Anon
-
equilibriumtrafficmodeldevoidofgas
-
likebehavior
//
Transp.Res.B.2002.V.36.P.275
–
290.
69.МорозовИ.В.,ГасниковА.В.,ТарасовВ.Н.,ХолодовЯ.А.,ХолодовА.С.
Численноеисследованиетранспортныхпотоковнаосновегидродинамических
моделей
//
Компьютерныеисследованияимоделирование.2011.Т.3,№4.
С.389
–
412.
70.SiebelF.,MauserW.Synchronizedflowandwidemovingjamsfrombalanced
vehiculartraffic
//
e
-
print
arXiv:physics/0509124v2
,2006.
71.HelbingD.Improvedfluid
–
dynamicmodelforvehiculartraffic
//
Phys.Rev.E.
1995.V.51.P.3163
–
3169.
72.ЛадыженскаяО.А.Шестаяпроблематысячелетия:уравнениеНа
-
вье
—
Стокса,существованиеигладкость
//
УМН.2003.Т.58,№2(350).
С.45
–
78.
73.ЮдовичВ.И.Глобальнаяразрешимость
—
противколлапсавдинамике
несжимаемойжидкости,вкниге:
«
МатематическиесобытияXXвека
»
.М.:
Фазис,2003.С.519
–
548.
74.Проблемытурбулентности.Сборникработ.М.
–
Ижевск:НИЦ
«
РХД
»
,ИКИ,
2006.
75.PrigogineI.,HermanR.Kinetictheoryofvehiculartraffic.N.Y.:Elsevier,1971.
76.КацМ.Вероятностьисмежныевопросывфизике.М.:Мир,1965.
Литература157
77.КозловВ.В.АнсамблиГиббсаинеравновеснаястатистическаямеханика.
М.
–
Ижевск:НИЦ
«
РХД
»
,ИКИ,2008.
78.ВеденяпинВ.В.КинетическаятеорияпоМаксвеллу,БольцмануиВласову.
М.:Изд
-
воМГОУ,2005.
79.КарамзинЮ.Н.,ТрапезниковаМ.А.,ЧетверушкинБ.Н.,ЧубароваН.Г.
Двумернаямодельавтомобильныхпотоков
//
Матем.мод.2006.Т.18,№6.
С.85
–
95.
80.СухиноваА.Б.,ТрапезниковаМ.А.,ЧетверушкинБ.Н.,ЧубароваН.Г.
Двумернаямакроскопическаямодельтранспортныхпотоков
//
Матем.мод.
2009.Т.21,№2.С.118
–
126.
81.GaravelloM.,PiccoliB.TrafficFlowonNetworks.Volume1ofAIMSSeries
onAppliedMathematics.AIMS,2006.
82.GöttlichS.,KlarA.Modelhierarchiesandoptimizationfordynamicflowson
networks.Modelingandoptimizationofflowsonnetworks.Cetaro(CS),June
15
–
19,2009.C.I.M.E.Courses,2009;
http://php.math.unifi.it/users/cime/Courses/2009/01/200914-Notes.pdf
83.KurzhanskiyA.A.Modelingandsoftwaretoolsforfreewayoperationalplanning.
PhDthesis,Berkeley:UniversityofCalifornia,2007;(seealsoXiaotianSun,
PhDthesis,Berkeley:UniversityofCalifornia,2005;GabrielClementeGomes
Parisca,PhDthesis,Berkeley:UniversityofCalifornia,2004);
http://lihodeev.com/pubs.htmlhttp://www.eecs.berkeley.edu/Pubs/
TechRpts/2007/EECS-2007-148.pdf
;
84.КуржанскийА.А.,КуржанскийА.Б.,ВарайяП.Рольмакро
-
моделирова
-
ниявактивномуправлениитранспортнойсетью
//
ТрудыМФТИ(специаль
-
ныйвыпуск,посвященныйматематическомумоделированиютранспортных
потоков
/
подред.акад.В.В.Козлова).2010.Т.2,№4(8).С.100
–
118.
85.DaganzoC.F.Thecelltransmissionmodel:Adynamicrepresentationofhigh
-
waytrafficconsistentwiththehydrodynamictheory
//
Transp.Res.B.1994.
V.28,№4.P.269
–
287.
86.DaganzoC.F.Thecelltransmissionmodel,PartII:Networktraffic
//
Transp.
Res.B.1995.V.29,№2.P.79
–
93.
87.БуслаевА.П.,ТаташевА.Г.,ЯшинаМ.В.Освойствахрешенийодного
классасистемнелинейныхдифференциальныхуравненийнаграфах
//
Вла
-
дикавказкийматем.жур.,ВНЦРАН.2004.Т.6,№4.С.4
–
18.
88.НазаровА.И.Обустойчивостистационарныхрежимовводнойсистеме
ОДУ,возникающейпримоделированииавтотранспортныхпотоков
//
Вестник
СПбГУ.Серия1.Математика.Механика.Астрономия.2006.№3.С.35
–
43.
89.LubashevskyI.,KalenkovS.,MahnkeR.Towardsavariationalprinciplefor
motivatedvehiclemotion
//
Phys.Rev.E.2002.V.65.P.1
–
5.
90.LubashevskyI.,WagnerP.,MahnkeR.Towardsthefundamentalsofcar
followingtheory
//
e
-
print
arXiv:cond-mat/0212382v2
,2003.
91.NewellG.F.Nonlineareffectsinthedynamicsofcar
—
following
//
Oper.Res.
1961.V.9.P.209
–
229.
92.НовокшеновВ.Ю.Введениевтеориюсолитонов.М.
–
Ижевск:НИЦ
«
РХД
»
,
ИКИ,2002.
158Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
93.ИльинА.М.,ОлейникО.А.Асимптотическоеповедениерешенийзадачи
Кошидлянекоторыхквазилинейныхуравненийприбольшихзначенияхвре
-
мени
//
Матем.сб.1960.Т.51(93),№2.С.191
–
216.
94.OsherS.,RalstonJ.L
1
stabilityoftravelingwaveswithapplicationtoconvective
porousmediaflow
//
Comm.PureAppl.Math.1982.V.35.P.737
–
749.
95.WeinbergerH.F.Long
-
timebehaviorforregularizedscalarconservationlawin
absenceofgenuinenonlinearity
//
Ann.Inst.H.Poincaré,Anal.NonLinéaire.
V.7.1990.P.407
–
425.
96.LiuT.-P.Admissiblesolutionsofhyperbolicconservationlaws
//
Mem.Amer.
Math.Soc.1981.V.30,№240.P.1
–
78.
97.ChengK.-S.Asymptoticbehaviorofsolutionofaconservationlawwithout
convexitycondition
//
J.Diff.Equat.1981.V.40,№3.P.343
–
376.
98.ПетросянН.С.ОбасимптотикерешениязадачиКошидляквазилинейного
уравненияпервогопорядкасневыпуклойфункциейсостояния
//
УМН.1983.
Т.38,№2(230).С.213
–
214.
99.КружковС.Н.,ПетросянН.С.Асимптотическоеповедениерешенийзада
-
чиКошидлянелинейныхуравненийпервогопорядка
//
УМН.1987.Т.42,
№5(257).С.3
–
40.
100.JenningsG.Discreteshocks
//
Comm.PureAppl.Math.1974.V.27.P.25
–
37.
101.HartenA.,HymanJ.M.,LaxP.D.Onfinite
-
differenceapproximationsanden
-
tropyconditionsforshocks
//
Comm.PureAppl.Math.1976.V.29.P.297
–
322.
102.EngquistB.,OsherS.One
-
sideddifferenceapproximationsfornonlinearcon
-
servationlaws
//
Math.Comp.1981.V.36.P.321
–
351.
103.HenkinG.M.,PolterovichV.M.Shumpetriandynamicsasnon
-
linearwave
theory
//
J.Math.Econom.1991.V.20.P.551
–
590.
104.HenkinG.M.,PolterovichV.M.Adifference
-
differentialanalogueoftheBurg
-
ersequationandsomemodelsofeconomicdevelopment
//
Discreteandcontin
-
uousdynamicsystems.1999.V.5,№4.P.697
–
728.
105.MejaiM.,VolpertVit.Convergencetosystemsofwavesforviscousscalar
conservationlaws
//
AsymptoticAnalysis.1999.V.20.P.351
–
366.
106.EngelbergS.,SchochetS.Nonintegrableperturbationofscalarviscousshock
profiles
//
AsymptoticAnalysis.2006.V.48.P.121
–
140.
107.HenkinG.M.,ShananinA.A.AsymptoticbehaviorofsolutionsoftheCauchy
problemforBurgerstypeequations
//
J.Math.PurésAppl.2004.V.83.
P.1457
–
1500.
108.HenkinG.M.,ShananinA.A.,TumanovA.E.EstimatesforsolutionofBurgers
typeequationsandsomeapplications
//
J.Math.PurésAppl.2005.V.84.
P.717
–
752.
109.HenkinG.M.AsymptoticstructureforsolutionsoftheCauchyproblemfor
Burgerstypeequations
//
J.fixedpointtheoryappl.2007.V.1,№2.P.239
–
291.
110.SerreD.L
1
stabilityofshockwavesinscalarconservationlaws,in:Evolutionary
Equations
//
HandbookofDifferentialEquations,North
-
Holland,Amsterdam.
2004.V.1.P.473
–
553.
Литература159
111.ГасниковА.В.ОпромежуточнойасимптотикерешениязадачиКошидляква
-
зилинейногоуравненияпараболическоготипасмонотоннымначальнымусло
-
вием
//
ИзвестияРАН.Теорияисистемыуправления.2008.№3.С.154
–
163.
112.ГасниковА.В.СходимостьпоформерешениязадачиКошидляквазили
-
нейногоуравненияпараболическоготипасмонотоннымначальнымусловием
ксистемеволн
//
ЖВМиМФ.2008.Т.48,№8.С.1458
–
1487.
113.ГасниковА.В.Асимптотическоеповремениповедениерешенияначальной
задачиКошидлязаконасохраненияснелинейнойдивергентнойвязкостью
//
ИзвестияРАН.Серияматематическая.2009.Т.76,№6.С.39
–
76.
114.ГасниковА.В.Асимптотикаповременирешениязадачиораспаде
«
раз
-
мазанногоразрыва
»
длязаконасохранения
//
ТрудыМФТИ(специаль
-
ныйвыпуск,посвященныйюбилеюФУПМа).2009.Т.1,№4.С.120
–
125;
http://mipt.ru/nauka/trudy/N4.html
115.ХёрмандерЛ.Анализлинейныхдифференциальныхоператоровсчастными
производными.Т.1
–
4.М.:Мир,1986
–
1988.
116.GazisD.C.Trafficscience.N.Y.:Wiley,1974.
117.TreiberM.,HelbingD.Explanationofobservedfeaturesofself
-
organizationin
trafficflow
//
e
-
print
arXiv:cond-mat/9901239
,1999.
118.TreiberM.,HenneckeA.,HelbingD.Congestedtrafficstatesinempiricalobser
-
vationsandmicroscopicsimulation
//
Phys.Rev.E.2000.V.62.P.1805
–
1824.
119.ФонНейманДж.Теориясамовоспроизводящихсяавтоматов.М.:УРСС,
2010.
120.CremerM.,LudwigJ.Afastsimulationmodelfortrafficflowonthebasisof
Booleanoperations
//
Math.Comp.Simul.1986.V.28.P.297
–
303.
121.NagelK.,SchreckenbergM.Acellularautomationmodelforfreewaytraffic
//
Phys.IFrance.1992.V.2.P.2221
–
2229.
122.ChowdhuryD.,SantenL.,SchadschneiderA.Statisticalphysicsofvehic
-
ulartrafficandsomerelatedsystems
//
Phys.Rep.2000.V.329.P.199
–
329;
arXiv:cond-mat/0007053v1
123.NagataniT.Thephysicsoftrafficjams
//
ReportsonProgressinPhysics.2002.
V.65.P.1331
–
1386.
124.BenassiA.,FouqueJ.-P.Hydrodynamiclimitfortheasymmetricsimpleexclu
-
sionprocess
//
Ann.ofProbability.1987.V.15,№2.P.546
–
560.
125.KipnisC.,OllaS.,VaradhanS.R.S.Hydrodynamicsandlargedeviationfor
simpleexclusionprocesses
//
Comm.onPureandAppliedMathematics.1989.
V.42.P.115
–
137.
126.NishinariK.,MatsukidairaJ.,TakahashiD.Two
-
dimensionalBurgerscellular
automaton
//
e
-
print
arXiv:nlin/0102027v1
,2001.
127.БланкМ.Л.Точныйанализдинамическихсистем,возникающихвмоделях
транспортныхпотоков
//
УМН.2000.Т.55(333),№3.С.167
–
168.
128.BlankM.Ergodicpropertiesofasimpledeterministictrafficflowmodel
//
J.Stat.
Phys.2003.V.111,№3
–
4.P.903
–
930;
arXiv:math.DS/0206194
129.BlankM.Hysteresisphenomenonindeterministictrafficflows
//
J.Stat.Phys.
2005.V.120,№3
–
4.P.627
–
658;
arXiv:math.DS/0408240
160Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
130.МинлосР.А.Введениевматематическуюстатистическуюфизику.М.:
МЦНМО,2002.
131.MaerivoetS.,DeMoorB.Cellularautomatamodelsofroadtraffic
//
Physics
Reports2005.V.419,№1.P.1
–
64;
arXiv:physics/0509082
132.БуслаевА.П.,НовиковА.В.,ПриходькоВ.М.,ТаташевА.Г.,Яши-
наМ.В.Вероятностныеиимитационныеподходыкоптимизацииавтодорож
-
ногодвижения.М.:Мир,2003.
133.BuslaevA.P.,PrikhodkoV.M.,TatashevA.G.,YashinaM.V.Thedetermin
-
istic
—
stochasticflowmodel
//
e
-
print
arXiv:physics/0504139v1
,2005.
134.BuslaevA.P.,GasnikovA.V.,YashinaM.V.Selectedmathematicalproblems
oftrafficflowtheory
//
InternationalJournalofComputerMathematics.2012.
V.89,№3.P.409
–
432.
135.Явлениечрезвычайное.КнигаоА.Н.Колмогорове.М.:ФАЗИС,МИРОС,
1999.С.236
–
237.
136.БаренблаттГ.И.Автомодельныеявления
—
анализразмерностейискей
-
линг.Долгопрудный:Издательскийдом
«
Интеллект
»
,2009.
137.ИбрагимовН.Х.Практическийкурсдифференциальныхуравненийимате
-
матическогомоделирования.НижнийНовгород:ИздательствоНижегород
-
скогоуниверситета,2007.
138.ШестаковА.А.ОбобщенныйпрямойметодЛяпуновадлясистемсраспре
-
деленнымипараметрами.М.:КомКнига,2007.
139.VolpertA.I.,VolpertVit.A.,VolpertVl.A.Travelingwavessolutionsof
parabolicsystem
//
TranslationsofMathematicalMonographs.2000.V.140.
P.1
–
455.
140.КолмогоровА.Н.,ПетровскийИ.Г.,ПискуновН.С.Исследованиеурав
-
нениядиффузии,соединеннойсвозрастаниемколичествавещества,иего
применениекоднойбиологическойпроблеме
//
Бюл.МГУ.Математикаиме
-
ханика.1937.Т.1,№6.С.1
–
26.
141.РазжевайкинВ.Н.Решениятипабегущейволныдляуравненияреакции
—
нелинейнойдиффузии
//
ТрудыМФТИ(специальныйвыпуск,посвященный
юбилеюФУПМа).2009.Т.1,№4.С.99
–
119;
http://mipt.ru/nauka/trudy/N4.html
142.НаумкинП.И.,ШишмаревИ.А.Задачаораспадеступенькидляуравнения
Кортевега
—
деФриза
—
Бюргерса
//
Функц.анализиегоприл.1991.Т.25,
№1.С.21
–
32.
143.НаумкинП.И.,ШишмаревИ.А.ОраспадеступенькидляуравненияКор
-
тевега
—
деФриза
—
Бюргерса
//
Функц.анализиегоприл.1991.Т.26,№2.
С.88
–
93.
144.КазейкинаА.В.Асимптотическоеприбольшихвременахповедениерешений
некоторыханалоговуравнениятипаКортевега
—
деФриза.Диссертацияна
соисканиеученойстепеник.ф.
-
м.н.Москва:ВМиК,2012.
145.DuanR.,ZhaoH.Globalstabilityofstrongrarefacionwavesforthegeneralized
KdV
—
Burgersequation
//
NonlinearAnal.2007.V.66.P.1100
–
1117.
Литература161
146.LiuT.-P.,NishiharaK.Asymptoticbehaviorforscalarviscousconservation
lawswithboundaryeffect
//
Journalofdifferentialequations.1997.V.133.
P.296
–
320.
147.LiuT.-P.,MatsumuraA.,NishiharaK.BehaviorsofsolutionsfortheBurgers
equationwithboundarycorrespondingtorarefactionwaves
//
SIAMJ.Math.
Anal.1998.V.29,№2.P.293
–
308.
148.КуликовскийА.Г.,ЧугайноваА.П.Классическиеинеклассическиеразрывы
врешенияхуравненийнелинейнойтеорииупрогости
//
УМН.2008.Т.63,
№2(380).С.85
–
152;
http://www.mi.ras.ru/spm/pdf/007.pdf
http://www.mi.ras.ru/noc/lectures/16kulikovskii.pdf
149.КазейкинаА.В.Примерыотсутствиябегущейволныдляобобщенногоурав
-
ненияКортевега
-
деФриза
-
Бюргерса
//
Вестн.моск.ун
-
та.Сер.15.Вычисл.
матем.икиберн.2011.№1.С.17
–
24.
150.ШубинМ.А.Лекцииобуравненияхматематическойфизики.М.:МЦНМО,
2003.
151.ГабушинВ.Н.НеравенствамеждупроизводнымивметрикахL
p
при
0
<
p
∞
//
ИзвестияАНСССР.Серияматематическая.1976.Т.40,№4.
С.869
–
892.
152.ГабушинВ.Н.Неравенствадляпроизводныхрешенийобыкновенныхдиф
-
ференциальныхуравненийвметрикахL
p
(0
<
p
∞
)
//
Дифференциальные
уравнения.1988.Т.24,№10.С.1662
–
1670.
153.АрестовВ.В.Приближениенеограниченныхоператоровограниченны
-
мииродственныеэкстремальныезадачи
//
УМН.1996.Т.51,№6(312).
С.89
–
124.
154.ГодуновС.К.Проблемаобощенногорешениявтеорииквазилиненйыхуран
-
венийивгазовойдинамике
//
УМН.1962.Т.17,№3(105).С.147
–
158.
155.АрнольдВ.И.,ВишикМ.И.,ИльяшенкоЮ.С.,КалашниковА.С.,Кон-
дратьевВ.А.,КружковС.Н.,ЛандисЕ.М.,МиллионщиковВ.М.,Олей-
никО.А.,ФилипповА.Ф.,ШубинМ.А.Некоторыенерешенныезадачи
теориидифференциальныхуравненийиматематическойфизики
//
УМН.
1989.Т.44,№4(268).С.191
–
202.
156.ПановЕ.Ю.ОединственностирешениязадачиКошидляквазилинейного
уравненияпервогопорядкасоднойдопустимойстроговыпуклойэнтропией
//
Матем.заметки.1994.Т.55,№5.С.116
–
129.
157.Sixthemesonvariation.RobertHardt(Ed.).AMS.Studentmathematicallibrary.
V.26.2004.KeyfitzB.L.Holdthatlight!Modelingoftrafficflowbydifferential
equations.P.127
–
153.
158.KernerB.S.ThePhysicsofTraffic.Berlin:Springer,2004.
159.BandoM.,HasebeK.,NakayamaA.,ShibataA.,SugiyamaY.Dynamical
modeloftrafficcongestionandnumericalsimulation
//
Phys.Rev.E.1995.
V.51.P.1035
–
1042.
160.BarlovicR.,SantenL.,SchadschneiderA.,SchreckenbergM.Metastable
statesincellularautomatafortrafficflow
//
Eur.Phys.J.B.1998.V.5.P.793.
161.WiedemannR.SimulationdesVerkehrsflusses.Karlsruhe:UniversityofKarl
-
sruhe,1974.
162Гл.2.Математическиемоделитранспортныхпотоков
162.KernerB.S.,KonhäuserP.Clustereffectininitiallyhomogeneoustrafficflow
//
Phys.Rev.E.1993.V.48.P.2335
–
2338.
163.KernerB.S.,KonhäuserP.Structureandparametersofclustersintrafficflow
//
Phys.Rev.E.1994.V.50.P.54
–
83.
164.KernerB.S.,KlenovS.L.,KonhäuserP.Asymptotictheoryoftrafficjams
//
Phys.Rev.E.1997.V.56.P.4200
–
4216.
Глава3
ТеорияКернератрехфазвтранспортном
потоке
—
новыйтеоретическийбазис
дляинтеллектуальныхтранспортных
технологий
В1996
–
2002годахБ.С.КернерссотрудникамиконцернаДаймлер
провелидетальныеисследованияэмпирическихданных,измеренныхспо
-
мощьюдатчиковнамногочисленныхскоростныхавтомагистраляхмира
(вГермании,Голландии,Англии,США).Главныйрезультатэтихиссле
-
дованийбылсформулированвпредисловииккниге[1]:
«
Теориитранспортногопотокаиматематическиемодели,ко-
торыедоминируютвнастоящеевремявнаучныхжурналахиучеб-
ныхкурсахбольшинствауниверситетов,немогутобъяснитьни
сампереходотсвободногокплотномупотоку(trafficbreakdown),
ниосновныесвойствавозникающихврезультатеэтогоперехода
структуртранспортногопотока
»
.
ПоэтойпричинеБ.С.Кернерпредложилиразработалальтерна
-
тивнуютеориютранспортныхпотоков,названнуютеориейтрехфаз,
котораяможетпредсказатьиобъяснитьэмпирическиесвойстваперехода
кплотномупотоку(trafficbreakdown)ирезультирующихпространственно
-
временныхструктурвтранспортномпотоке[1]
–
[6].Какдостижения,так
икритикапредшествующихклассическихподходовктеориитранспортных
потоковпредставленывглаве10книги[1].Внастоящейглавекратко
излагаютсяосновныеположениятеориитрехфазКернеравсоответствии
с[1,2].
Цельэтойглавысостоитвтом,чтобыдатьчитателюопределенное
представлениеобэмпирическомбазисеиосновныхидеяхтеориитрехфаз.
ТемнеменееэтаглаванеможетзаменитькнигБ.С.Кернера,чтение
которыхнеобходимотем,ктохочетразобратьсявданнойтеории.Поэтой
причинеосновноевниманиеуделяетсянематематическомуобоснованию
техилииныхположенийтеориитрехфаз,авосновномкачественному
описанию.Единственноеисключениесоставляетп.3.11,вкоторомкрат
-
коописанастохастическаятрехфазнаямодельврамкахтеориитрехфаз
ЭтаглаванаписанаС.Л.Клёновым.АвторвыражаетблагодарностьБ.С.Кернеруза
предоставлениеоригинальныхрисунковизегокниг.
164Гл.3.ТеорияКернератрехфазвтранспортномпотоке...
инекоторыееерешения.Дляболееподробногоознакомлениясматемати
-
ческимирезультатамитеориитрехфазКернерарекомендуетсяпрочитать
главу11книги[1]ичастьIIIкниги[2].
Преждечемперейтикизложениюнекоторыхположенийтеориитрех
фазКернера,важноотметитьимевшиесянатотмоментфундаментальные
достижения(см.пп.2.1
–
2.3)поматематическойформулировкемоделей
транспортногопотока,атакжемногочисленныхэффектоввзаимодействия
междуводителями[7]
–
[29].Книмотносится,впервуюочередь,вве
-
деннаявмоделяхДМ
-
классазадержкаводителей[14]
–
[17],приводящая
кпереторможениюкакреакцииназамедлениеАТСвпереди[17,23,24];
формулировказадержкиводителейчерезмодельныефлуктуации,вве
-
денныевмоделяхНагеля
—
ШрекенбергаиА.Шашнайдера(см.обзоры
[23]
–
[26]);микроскопическоеописаниеslow
-
to
-
startruleвработахгруппы
М.Шрекенберга(см.обзоры[23]
–
[26]).Этиидругиематематические
формулировкивповеденияводителяявляютсятакжеважнымиэлементами
математическихмоделейтрехфаз(см.главу11книги[1]).
Несмотрянаэтидостижения,какбылосказановыше,предшествующие
моделинемогутобъяснитьнисампереходотсвободногокплотному
потоку,ниосновныесвойствавозникающихпространственно
-
временных
структур,наблюдаемыхвэмпирическихданных.Детальноеобъяснение
этого
«
парадокса
»
дановглаве10книги[1].Этотпарадоксобъясняется
оченьпросто:анализэмпирическихданных,которыйпозволилвыявить
фундаментальныеэмпирическиесвойствапереходаотсвободногокплот
-
номуиосновныесвойстварезультирующихпространственно
-
временных
структур,сталвозможнымтольковконце90
-
хгодов,когдасталодоступ
-
нымогромноеколичестводанныхизмеренийсоскоростныхмагистралей
ГерманиииГолландии.Инымисловами,выдающиесяученые,которыесо
-
здалимногочисленныемоделитранспортногопотока,перечисленныевыше
имногиедругие,простонемоглизнать,какимижереальнымисвойства
обладаетпереходотсвободногокплотномутранспортномупотоку.
Этифундаментальныеэмпирическиепространственно
-
временные
свойствапереходаотсвободногокплотномупотоку,атакжедругие
фундаментальныеэмпирическиесвойствафазовыхпереходоввтранс
-
портномпотокедетальноописанывп.2.4ичастиIIкниги[2].Врамках
даннойглавынетвозможностиостановитьсянарассмотрениивсехэтих
эмпирическихсвойствтранспортногопотока.Темнеменееповторимздесь
ещеразфундаментальныеэмпирическиесвойствапереходакплотному
транспортномупотокуиэмпирическиесвойствафазовыхпереходов
втранспортномпотоке(см.п.2.4).
Фундаментальныеэмпирическиесвойствапереходакплотномутранс
-
портномупотокуследующие:
3.1.Трифазытранспортногопотока165
1.Переходкплотномутранспортномупотоку(trafficbreakdown)яв
-
ляетсяF
→
Sпереходом(букваFсоответствуетfreeflow,т.е.свободному
потоку,букваSобозначаетфазусинхронизованногопотока,ванглийской
литературеsynchronizedflow).
2.ВероятностьспонтанногоF
→
Sпереходаявляетсярастущейфунк
-
циейвеличиныпотокаАТС.
3.Можетбытькакспонтанный,такииндуцированныйF
→
Sпереход
околоодногоитогожеузкогоместанадороге(bottleneck).
LWR
-
моделькинематическихиударныхволнвтранспортномпотоке,
дискретнойверсиейкоторойявляетсяCTM
-
модельДаганзо[13],немогут
описыватьпункты2и3,амодели,относящиесякДМ
-
классу,немогут
описыватьпункты1
–
3(см.главу2).
Фундаментальныеэмпирическиесвойствафазовыхпереходоввтранс
-
портномпотокеследующие:
а)Всоответствиисосвойствами1
–
3,указаннымивыше,переходот
свободногокплотномутранспортномупотоку(trafficbreakdown)является
F
→
SфазовымпереходомIрода.
б)Широкиедвижущиесякластеры(widemovingjams,обозначается
нижебуквойJ)возникаютспонтаннотольковсинхронизованномпотоке,
т.е.врезультатепоследовательностиF
→
S
→
Jфазовыхпереходов.
в)S
→
Jфазовыйпереходпроисходитпозднееичастосовсемвдругом
месте,чемF
→
Sфазовыйпереход.
LWR
-
теориякинематическихволннеможетописыватьпунктыб)ив),
атеория,основаннаянамоделяхДМ
-
класса,неможетописыватьпункты
а)
–
в).
3.1.Трифазытранспортногопотока
Теориятрехфазфокусируетсяглавнымобразомнафизикеплотно
-
готранспортногопотоканаскоростныхавтомагистралях.Иописывает
трифазытранспортногопотока,втовремякакклассическиетеории,
базирующиесянафундаментальнойдиаграмметранспортногопотока,рас
-
сматриваютдвефазы:свободныйпотокитакназываемыйплотный
поток(congestedtrafficванглийскойтерминологии).Вплотномпотоке
выделяютсядвефазы,соответственносуществуюттрифазытранспортного
потока:
1.Свободныйпоток
—
фазаF.
2.Синхронизованныйпоток
—
фазаS.
3.Широкийдвижущийсякластер(локальныйдвижущийсязатор,ван
-
глийскойлитературеwidemovingjam)
—
фазаJ.
166Гл.3.ТеорияКернератрехфазвтранспортномпотоке...
Фазаопределяетсякакнекотороесостояниетранспортногопотока,
рассматриваемоевпространствеивремени.
Следуетподчеркнуть,чтовтеориитрехфазразделениенасвободный
иплотныйпотокточнотакоеже,какивклассическихтеорияхЛайт
-
хилла
—
УиземаиДженералМоторс(см.п.3.3ниже).Фундаментальное
отличиетеорииБ.С.Кернерасостоитвтом,чтоонвыделяетдвефазы
вплотномпотокенаосновеобщихэмпирическихпространственно
-
вре
-
менныхсвойствтранспортногопотока,которыезавсегодыизмерений
остаютсяодниитеженаразныхавтодорогахмира.Другимисловами,
какопределениефазтранспортногопотока,такиостальныеположения
теории,приведенныевпп.3.1
–
3.10,основаныисключительнонаэмпири
-
ческихданных.
3.2.Свободныйтранспортныйпоток
—
фазаF
Всвободномтранспортномпотокедостаточномалойплотностиводи
-
телимогутпрактическисвободноустановитьжелаемуюдлянихскорость.
Эмпирическиеданные,относящиесяксвободномупотоку,показываютпо
-
ложительнуюкорреляциюмеждувеличинойпотокаq,измеряемойвколи
-
чествеАТСвединицувремени(проходящихчерезданноесечениедороги),
иплотностью
,измеряемойвколичествеАТСнаединицудлиныдороги
[18,19].Зависимостьпотокаqотплотности
длясвободногопотока
ограниченамаксимальнымзначениемвеличиныпотокаq
=
q
max
исоот
-
ветствующимкритическимзначениемплотности
=
crit
(рис.1),которые
могутбытьдостигнутывсвободномпотоке.
Рис.1.ЗависимостьпотокаqотплотностиАТС
всвободномпотоке[18,24]
3.3.Плотныйтранспортныйпоток
Вплотномтранспортномпотоке,которыйопределяетсятакже,как
ивклассическихтеорияхЛайтхилла
—
УиземаиДженералМоторс(см.
главу2),скоростьАТСменьше,чемминимальновозможнаяскорость
АТСвсвободномпотоке.Этоозначает,чтопрямаяснаклоном,равным
минимальнойскоростивтранспортомпотоке(штриховаялиниянарис.2),
разделяетвсеэмпирическиеданные(точки)наплоскостипоток
–
плотность
3.4.ОпределениефазJиSвплотномтранспортномпотоке167
надвеобласти:слеваотэтойпрямойнаходятсяданные,относящиеся
ксвободномупотоку,асправа
—
данные,относящиесякплотномупотоку.
Рис.2.ЗависимостьпотокаотплотностиАТСвсвободномиплотномпотоке[18,24]
Какследуетизданныхизмерений,возникновениеплотногопотока
обычнопроисходитвблизинеоднородностинаавтомагистрали,вызван
-
нойвъездомнаавтомагистраль,съездомснее,изменениемчислаполос,
сужениемдороги,подъемомит.п.Такоготипанеоднородность,вблизи
которойможетпроисходитьпереходкплотномутранспортномупотоку,
вдальнейшембудемназыватьузкимместомили
«
бутылочнымгорлом
»
[18,24].
3.4.ОпределениефазJиSвплотномтранспортномпотоке
Б.С.Кернерпоказал,чтофундаментальнаядиаграммаиееприменения
втомвиде,каконииспользуютсявклассическихтеорияхтранспортного
потока,неадекватнымобразомописываютсложнуюдинамикувплотном
транспортномпотоке.Онвыделяет,такимобразом,вплотномтранспорт
-
номпотокефазуSсинхронизованногопотока,ванглоязычнойлите
-
ратуре
«
synchronizedflow
»
,ифазуJширокогодвижущегосякластера
(локальныйдвижущийсязатор,
«
widemovingjam
»
).Определениефаз[J]
и[S]вплотномпотокеявляетсярезультатомобщихпространственно
-
временныхсвойствреальныхданных,полученныхврезультатеежедневных
измеренийпараметровтранспортногопотокавомногихстранахнаразлич
-
ныхскоростныхавтодорогахвтечениемногихлет.Б.С.Кернеропределил
фазыJиSследующимобразом.
Определениефазы[J]широкогодвижущегосякластера:
Заднийпонаправлениюдвиженияфронтширокогодвижущегосякла
-
стера(локальногодвижущегосязатора),гдеАТС,выезжающиеизкла
-
стера,ускоряютсявплотьдосвободногоилидосинхронизованногопотока,
движетсяпротивпотокаспостояннойсреднейскоростьюv
g
,проходячерез
всеузкиеместанаскоростнойавтомагистрали.Этохарактеристическое
свойствоширокогодвижущегосякластера.
Определениефазы[S]синхронизованногопотока:
168Гл.3.ТеорияКернератрехфазвтранспортномпотоке...
Рис.3.ДанныеизмеренийскоростиАТСвпространствеивремени(а)иихпредставление
накоординатно
-
временнойплоскости(б).Взятоиз[1]
Заднийпонаправлениюдвиженияфронтобластисинхронизирован
-
ногопотока,гдеАТСускоряютсявплотьдосвободногопотока,НЕ
обладаетхарактеристическимсвойствомширокогодвижущегосякластера.
Вчастности,заднийфронтсинхронизированногопотокачастофиксирован
вблизиузкогоместанаскоростнойавтомагистрали.
Необходимоподчеркнуть,чтоопределениефаз[J]и[S]вытекаетиз
эмпирическихпространственно
-
временныхсвойствплотногопотока,т.е.
исходнонеимеетникакогоотношенияккакой
-
либоматематике.Теорети
-
ческийсмыслэтихопределенийможнопонять,прочтяраздел6.1книги[1].
ДанныеизмеренийсреднейскоростиАТС(рис.3(а))иллюстрируют
определения[J]и[S].Нарис.3(а)имеютсядвепространственно
-
вре
-
3.5.Возникновениеплотногопотока(trafficbreakdown)
—
F
→
Sфазовыйпереход169
менныеструктурыплотногопотокаснизкойскоростьюАТС.Однаизних
распространяетсяпротивпотокаспочтипостояннойскоростьюзаднего
фронтачерезвсеузкиеместанаскоростнойавтомагистрали.Согласно
определению[J],этаобластьплотногопотокаотноситсякфазе
«
широкого
движущегосякластера
»
.Напротив,заднийфронтдругойобластиплотно
-
гопотокафиксированвблизиместасъездасавтомагистрали.Согласно
определению[S],этаобластьплотногопотокаотноситсякфазе
«
синхро
-
низированногопотока
»
(рис.3(а)и(б)).
Всекции6.1книги[1]былопоказано,чтоопределения[S]и[J]соот
-
ветственнодляфазсинхронизованногопотокаиширокогодвижущегося
кластераявляютсяосновойдлябольшинствагипотезтеориитрехфаз
исоответствующихмикроскопическихтрехфазныхмоделейтранспортного
потока.Необходимоотметить,чтоопределения[S]и[J]являютсянело
-
кальнымиимакроскопическими,иониприменимытолькопослетого,как
измеренымакроскопическиеданныевпространствеивремени,т.е.на
«
off
-
line
»
стадии.Этосвязаностем,чтодлячеткогоразделенияфазSиJна
основеопределения[S]и[J]нужнорассматриватьпрохождениеобластей
плотногопотокачерезузкиеместанаскоростнойавтомагистрали.Часто
эторассматриваетсякакнедостатокэтихопределенийфазплотногопото
-
ка.ОднакосуществуютлокальныекритериидляразделенияфазSиJбез
рассмотренияпрохожденияобластейплотногопотокачерезузкиеместа.
Этимикроскопическиекритерииотносятсякданнымизмеренияпарамет
-
ровдвиженияотдельныхАТСвплотномпотокеисостоятвследующем.
Есливэтихданныхнаблюдаетсятакназываемый
«
интервалпрерывания
потока
»
,т.е.когдавременнойинтервалмеждудвумяпоследовательнодви
-
жущимисяАТСвплотномпотокезначительнопревышаетсреднеевремя
(a)
del,jam
задержкиводителяприускоренииназаднем(попотоку)фронте
широкоголокальногокластера(1,3
–
2,1с),тоэтиданныеотвечаютфа
-
зеширокоголокальногокластера.Послетого,какспомощьюданного
критериявыявленывсеширокиекластерывплотномпотоке,остальные
состоянияплотногопотокаотносятсякфазесинхронизованногопотока.
3.5.Возникновениеплотногопотока(trafficbreakdown)
—
F
→
S
фазовыйпереход
Переходотсвободногокплотномупотокуванглоязычнойлитературе
известенкакtrafficbreakdown.Втеориитрехфазтакойпереходобъясня
-
етсявозникновениемфазысинхронизованногопотока,т.е.F
→
Sфазовым
переходом.
Такоеобъяснениеосновываетсянаимеющихсяданныхизмерений,
которыепоказывают,чтопослевозникновенияплотногопотокавблизи
узкогоместанаавтомагистрализаднийфронтвозникшегоплотногопотока
фиксированвблизиэтогоузкогоместа.Такимобразом,возникшийплотный
170Гл.3.ТеорияКернератрехфазвтранспортномпотоке...
Рис.4.Эмпирическийпримервозникновенияплотногопотокаиэффектгистерезисаубу
-
тылочногогорлаиз
-
завъезданаавтодорогу.(а,б)Средняяскорость(а)ипоток(б)на
автодорогевпространствеивремени(увеличениепотокапослевъездана(б)связаноспото
-
комвъезжающихнадорогуАТС).(в)Эффектгистерезисавплоскостипоток
-
плотность,
обозначенныйдвумястрелками,показывающимипереходкплотномупотокуиобратный
переходксвободномупотоку.1
-
минутныеданные.Взятоиз[1]
потокудовлетворяетопределению[S]фазысинхронизованногопотока.
Всамомделе,типичныйпримерпереходаизсвободноговсинхронизо
-
ванныйпотоквблизивъездапоказаннарис.4.Изрисункавидно,что
втовремякакскоростьАТСрезкоуменьшаетсявпроцессеперехода
(рис.4(а)),потокменяетсямало(рис.4(б)).Скачокскоростипримало
меняющемсяпотокеособеннонаглядновиденнарис.4(в).Втечение
всеговременипослепереходазаднийфронтмеждуплотнымисвободным
потокамификсированнавъездедороге.Поэтойпричинеплотныйпоток
соответствуетопределениюфазысинхронизованногопотока,поэтомувесь
плотныйпотокотноситсякфазесинхронизованногопотока.Образование
плотногопотокапримернов6:30(показанноестрелкойслеванаправо
нарис.4(в))иегоисчезновениепримернов7:45(показанноестрелкой
справаналевонарис.4(в))сопровождаетсягистерезисом,хорошоиз
-
вестнымвтеориифазовыхпереходов1рода,наблюдаемыхвшироком
классенеравновесныхфизических,химическихибиологическихсистем.
3.5.Возникновениеплотногопотока(trafficbreakdown)
—
F
→
Sфазовыйпереход171
ЭтосвойствоF
→
Sфазовогопереходаявляетсяобщимсвойствомреаль
-
ного(эмпирического)транспортногопотока,которыйтакжепредставляет
собойсложнуюсильнонеравновеснуюсистему.
Второйэмпирическийпримерпереходакплотномупотокупоказанна
рис.5.Наэтомпримереможновидеть,каквреальномтранспортном
потокеобразуютсяширокиедвижущиесякластеры(рис.5(б),координата
дорогиx
=
0км).Какможновидеть,врезультатепереходакплотному
потокунаузкомместе,связаннымсвъездомнаскоростнуюмагистраль,
сначалаобразуетсяфазаSсинхронизованногопотока.Действительно,
втечениевсеговременисуществованияплотногопотоканаэтомузком
местезаднийфронтплотногопотока,накоторомАТСускоряютсяиз
плотногопотокадосвободногопотока,фиксированнаэтомузкомместе.
ПоэтомупоопределениюфазвтеорииБ.С.Кернераврезультатеперехода
кплотномупотокуобразуетсяфазасинхронизованногопотока.Другими
словами,плотныйпотокобразуетсяврезультатеF
→
Sперехода.Напро
-
тив,широкиедвижущиесякластерывозникаютпозднееужевнутрифазы
синхронизованногопотока.ЭтотS
→
Jфазовыйпереходбудетрассмотрен
нижевп.3.9.
Такимобразом,переходотсвободногокплотномупотокувэмпи
-
рическихданныхестьF
→
Sпереходпервогорода.Этоэмпирическое
свойствоестьобщеесвойствореальныхтранспортныхпотоковнаскорост
-
ныхмагистралях.Напротив,вмоделяхДМ
-
класса,какбылообъяснено
вп.2.4,переходотсвободногокплотномупотокусвязансвозникновением
широкихдвижущихсякластеров.
Исходяизэмпирическихданных,былсделанвывод,чтосинхронизо
-
ванныйпотокможетвозникатьвсвободномпотокеспонтанно(спонтанный
F
→
Sпереход)илииндуцированнымобразом(индуцированныйF
→
Sпе
-
реход).СпонтанныйF
→
Sпереходозначает,чтопереходксинхронизован
-
номупотокупроисходитвслучае,когдадомоментапереходавокрестности
узкогоместасуществуетсвободныйпоток,асамфазовыйпереходпроис
-
ходитврезультатероставнутреннеговозмущениятранспортногопотока.
ВпротивоположностьэтомуиндуцированныйF
→
Sпереходпроисходит
из
-
завозмущениятранспортногопотока,котороепервоначальновозникает
нанекоторомудаленииотположенияузкогоместа,изатемпомерераспро
-
странениядостигаетокрестностиузкогоместа.Обычноиндуцированный
F
→
Sпереходсвязансраспространениемвнаправлениипротивпотока
областисинхронизованногопотокаилижеширокогодвижущегосякла
-
стера,которыепервоначальновозникливблизиследующеговнаправлении
потокаузкогоместа.Эмпирическийпримериндуцированногофазовогопе
-
рехода,приводящегоквозникновениюсинхронизованногопотока,показан
нарис.3:синхронизованныйпотоквозникаетблагодаряраспространению
противпотокаширокогодвижущегосякластера.
172Гл.3.ТеорияКернератрехфазвтранспортномпотоке...
Рис.5.Эмпирическийпримервозникновенияширокихдвижущихсякластероввсинхрони
-
зованномпотоке:(а)СкоростьАТСвпространствеивремени.(б)Скорость(слева)ипоток
(справа)натрехполосахдорогивобластисинхронизованногопотока(x
=
5,2км)ивобласти
широкихдвижущихсякластеров(x
=
0км).Взятоиз[1]
ПриродуF
→
Sфазовогопереходаможнообъяснитьспомощью
«
со
-
ревнования
»
вовремениипространстведвухпротивоположныхпроцессов:
ускоренияАТСприобгонеболеемедленногоАТСвпереди,названном
«
пе
-
реускорением
»
,ивслучае,когдаобгонневозможен,торможенияАТСдо
скоростиболеемедленногоАТС,названном
«
адаптацияскорости
»
.
«
Пере
-
ускорение
»
поддерживаетдальнейшеесуществованиесвободногопотока.
Напротив,
«
адаптацияскорости
»
ведетксинхронизованногопотоку.Было
постулировано,чтовероятностьобгона,котораясовпадаетсвероятностью
«
переускорения
»
,являетсяразрывнойфункциейплотности(рис.6):при
даннойплотностиАТСвероятностьобгонавсвободномпотокемного
больше,чемвсинхронизованномпотоке.
3.6.Бесконечноечислопропускныхспособностейскоростнойавтомагистрали173
Рис.6.Объяснениефазовогопереходакплотномупотоку(trafficbreakdown)наосновеZ
-
образнойнелинейнойфункциивероятностиобгона(вероятности
«
переускорения
»
)втеории
Б.С.Кернера.Пунктирнаялинияописываеткритическоезначениевероятностиобгонакак
функциюплотностиАТС(из[1])
Разрывнаяфункциявероятностиобгонаявляетсяоднойитойжекак
дляспонтанного,такидляиндуцированногоF
→
Sфазовогоперехода:
терминыспонтанныйииндуцированныйотличаютсятолькоисточником
возмущения,приводящегокF
→
Sфазовомупереходу.F
→
Sпереход
происходитприусловии,чтовероятностьобгонавнутривозмущениявсво
-
бодномпотокеменьше,чемкритическаявероятность.Этакритическая
вероятностьпоказанапунктирнойлиниейнарис.6.Другимисловами,не
имеетзначения,будетлиэтокритическоезначениевероятностиобгонадо
-
стигнутоблагодарявозмущениювсвободномпотоке(спонтанныйпереход)
илиблагодаряраспространениюдоузкогоместанекотороговозмущения,
возникшегоранеевдругойобластидороги(индуцированныйпереход).
Отметим,чтоF
→
SфазовыйпереходиобратныйS
→
Fфазовый
переходсопровождаютсягистерезисом.Этотгистерезиснеимеетникакого
отношениякхорошоизвестномугистерезисувматематическихмоделях
ДМ
-
класса,по
-
видимому,впервыенайденномувтеорииКернера
—
Кон
-
хойзера.Этотизвестныйгистерезис,описанныйвогромномколичестве
математическихработ(смотриработы[23]
–
[26];[33,34]иссылкивних),
описываетF
→
JиобратныйJ
→
Fфазовыйпереход.Какуженесколько
разотмечалось,спонтанныйF
→
Jпереходненаблюдаетсявреальном
транспортномпотоке.
3.6.Бесконечноечислопропускныхспособностейскоростнойав
-
томагистрали
Спонтанноеобразованиеплотногопотока,т.е.спонтанныйF
→
Sфа
-
зовыйпереходможетпроизойтивширокомдиапазонезначенийвеличины
потокаqвсвободномтранспортномпотоке.Основываясьнаэмпириче
-
скихданныхизмерений,былсделанвывод,чтосуществуетбесконечное
174Гл.3.ТеорияКернератрехфазвтранспортномпотоке...
числозначенийпропускнойспособностиавтомагистраливсвободномпо
-
токе.Этобесконечноечислозначенийпропускнойспособностинаходится
вдиапазонемеждуминимальнымq
th
имаксимальнымq
max
значения
-
мипропускнойспособности(см.рис.7).Есливеличинапотокаблизка
кмаксимальномузначениюпропускнойспособностиq
max
,тоужедоста
-
точномалоевозмущениевсвободномпотокевблизиузкогоместаприведет
кспонтанномуF
→
Sфазовомупереходу.Сдругойстороны,есливели
-
чинапотокаблизкакминимальномузначениюпропускнойспособности
q
th
,тотольковозмущениеоченьбольшойамплитудыспособнопривести
кспонтанномуF
→
Sфазовомупереходу.
Рис.7.Максимумиминимумпропускнойспособностискоростнойавтомагистраливтеории
трехфаз.Взятоиз[1]
Вероятностьвозникновениямалыхвозмущенийвсвободномтранс
-
портномпотокемноговыше,чемвероятностьвозникновениявозмущений
большойамплитуды.Поэтойпричине,чемвышевеличинапотокаqвсво
-
бодномпотокевблизиузкогоместа,темвышевероятностьспонтанного
F
→
Sфазовогоперехода.
Есливеличинапотокаqменьше,чемминимальнаяпропускнаяспособ
-
ностьq
th
,товозникновениеплотногопотока(F
→
Sпереход)невозможно.
Бесконечноечислозначенийпропускнойспособностиавтомагистрали
вблизиузкогоместаможетбытьобъясненотем,чтосвободныйпотокпри
значенияхвеличиныпотокаqвдиапазоне
q
th
q
q
max
являетсяметастабильным.Этоозначает,чтопривозникновениималых
возмущенийсвободныйпотоксохраняется,т.е.являетсяустойчивымотно
-
сительномалыхвозмущений.Однакодлябольшихвозмущенийсвободный
потококазываетсянеустойчивымипроисходитF
→
Sфазовыйпереход
ксинхронизованномупотоку.
Какужеупоминалосьвп.3.5,природуF
→
Sфазовогопереходаможно
объяснитьспомощью
«
соревнования
»
вовремениипространстведвух
3.6.Бесконечноечислопропускныхспособностейскоростнойавтомагистрали175
Рис.8.Пояснениесоревнованиямеждупереускорениемиадаптациейскорости,которое
объясняетбесконечноечислозначенийпропускнойспособностиавтомагистрали.Взятоиз
[1]
противоположныхпроцессов:ускоренияАТСприобгонеболеемедлен
-
ногоАТСвпереди,названный
«
переускорением
»
,ивслучае,когдаобгон
невозможен,торможенияАТСдоскоростиболеемедленногоАТС,на
-
званном
«
адаптацияскорости
»
.Нарис.8поясняетсяэтосоревнование
болеедетально.Нарис.8(а),которыйсоответствуетрис.6,стрелочка
внизозначает,чтоесливсвободномпотокевблизиузкогоместавозникает
локальноеуменьшениескоростиАТС,товероятностьобгонавнутриэтого
возмущенияпадает.Еслиэтоуменьшениевероятностиобгонастановит
-
сяменьше,чемкритическаявеличинавероятностиобгона,показанная
пунктирнойлиниейнарис.8(а),тоF
→
Sфазовыйпереходпроисходит
внутриэтоговозмущения;впротивоположномслучаевозмущениезатухает
исвободныйпотокостаетсянаузкомместе.Стрелочкавверхнарис.8(а)
означает,чтоеслиисходноесостояниеотвечаетфазесинхронизованного
потокаивэтомсостояниивозникаетслучайлокальногоувеличенияско
-
ростиАТС,товнутриданноговозмущениявероятностьобгонавозрастает.
Еслиэтовозрастаниевероятностиобгонапревышаеткритическоезначе
-
ние(каквышеотмечалось,этакритическаявероятностьобгонаотвечает
пунктирнойкривойнарис.8(а)),товобластивозмущенияпроисходит
S
→
Fпереход;впротивоположномслучаевозмущениезатухаетиостается
синхронизованныйпоток.
Бесконечноечислозначенийпропускнойспособностиавтомагистрали
вблизиузкогоместавтеориитрехфазфундаментальнопротиворечит
классическимтеориямтранспортногопотока(атакжеметодамуправле
-
176Гл.3.ТеорияКернератрехфазвтранспортномпотоке...
нияиавтоматическогорегулированиятранспортнымипотоками),которые
предполагаютсуществованиевлюбоймоментвременинекоторой(фикси
-
рованнойилислучайной)пропускнойспособности.
3.7.Широкиедвижущиесякластеры(локальныедвижущиеся
заторы)
—
фазаJ
Широкийдвижущийсякластерможетбытьназванширокимтолько
приусловии,чтоегоширина(вдольдороги)заметнопревышаетшири
-
нуфронтовкластера.СредняяскоростьдвиженияАТСвнутриширокого
движущегосякластерамногоменьше,чемскоростьАТСвсвободном
потоке.Назаднем(внаправлениипотока)фронтекластераАТСмогут
ускорятьсявплотьдосвободногопотока.Напереднемфронтекластера
АТС,подъезжающиекфронту,должнысильноуменьшатьсвоюскорость.
Согласноопределению[J],широкийдвижущийсякластеробычносохра
-
няетсреднююскоростьзаднегофронтаv
g
,дажеесликластерпроходит
черездругиефазытранспортногопотокаиузкиеместа.Величинапотока
сильнопадаетвнутриширокогодвижущегосякластера.
Какотмечалосьвп.2.4,эмпирическиерезультатыпоказывают,что
характеристическиепараметрыширокихдвижущихсякластеровнезависят
отвеличиныпотоканадорогеиособенностейузкогоместа(гдеикогда
кластервозник).Однакоэтихарактеристическиепараметрызависятот
погоды,дорожныхусловий,конструктивныххарактеристикАТС,процента
длинныхмашинит.п.Скоростьзаднегофронташирокогодвижущегося
кластераv
g
впротивоположномпотокунаправленииявляетсяхарактери
-
стическимпараметром,такжекакивеличинавыходногопотокаq
out
из
кластеравслучае,когдасвободныйпотокформируетсяпослекластера
(рис.9).
Рис.9.Трифазытранспортногопотокавплоскостипоток
-
плотностьвтеориитрехфаз
Кернера.Взятоиз[1]
3.8.Синхронизованныйтранспортныйпоток
—
фазаS177
Этоозначает,чторазныеширокиедвижущиесякластерыимеютоди
-
наковыепараметрыприодинаковыхусловиях.Благодаряэтомуэтипара
-
метрымогутбытьпредсказаны.Движениезаднегофронташирокогодви
-
жущегосякластераможетбытьпоказанонаплоскостипоток
–
плотность
спомощьюпрямой,называемойлинияJКернера(рис.9).НаклонлинииJ
Кернераравенскоростизаднегофронтаv
g
,втовремякаккоординатапе
-
ресечениялинииJКернерасосьюабсцисс(принулевомпотоке)отвечает
плотностиАТС
max
вширокомдвижущемсякластере(олинииJКернера
болееподробносмотривп.2.4.3).
Подчеркнем,чтоминимумпропускнойспособностиq
th
ивеличинавы
-
ходногопотокаизширокогодвижущегосякластераq
out
описываютдва
качественноразличныхсвойствасвободноготранспортногопотока.
Минимумпропускнойспособностиq
th
характеризуетF
→
Sфазовыйпе
-
реходвблизиузкогоместа,т.е.возникновениеплотногопотока(traffic
breakdown).Всвоюочередьвеличинавыходногопотокаизширокого
движущегосякластераq
out
характеризуетусловиясуществованиятаких
кластеров,т.е.фазыJ.Взависимостиотвнешнихусловий,такихкак
погода,процентдлинныхмашинвпотокеит.п.,атакжеотхарактеристик
узкогоместа,вблизикоторогоможетпроизойтиF
→
Sфазовыйпереход,
минимумпропускнойспособностиq
th
можетбытькакменьше(рис.9),
такибольше,чемвеличинавыходногопотокаq
out
.Важно,чтовеличина
выходногопотокаизширокогодвижущегосякластераq
out
оказывается
меньше,чеммаксимальновозможныйпотокq
max
всвободномпотоке
передкластером.Этоозначает,чтовсвободномпотокеводителимогут
выбиратьболеекороткуювременнуюдистанциюдоАТСвпереди,чемта
дистанция,которуюонипринимают,ускоряясьназаднемфронтеширокого
движущегосякластера.
3.8.Синхронизованныйтранспортныйпоток
—
фазаS
Вотличиеотширокихдвижущихсякластероввсинхронизованномпо
-
токекаквеличинапотокаq,такискоростьАТСмогутменятьсязаметным
образом.Заднийпонаправлениюпотокафронтсинхронизованногопотока
частофиксированвпространстве(см.определение[S]),обычновблизи
расположенияузкогоместа.Величинапотокаqвфазесинхронизованного
потокаможетоставатьсяпочтитакойже,какивсвободномпотоке,даже
еслискоростьАТСсильноуменьшается.
Посколькусинхронизованныйпотокнеимеетхарактеристического
свойства[J]фазыширокогодвижущегосякластераJ,втеориитрехфаз
предполагается,чтогипотетическиеоднородныесостояниясинхронизован
-
ногопотокапокрываютдвумернуюобластьвплоскостипоток
–
плотность
(см.заштрихованнуюобластьнарис.9).
178Гл.3.ТеорияКернератрехфазвтранспортномпотоке...
3.9.S
→
Jфазовыйпереход
Широкиедвижущиесякластерыневозникаютвсвободномпотоке,но
онимогутвозникатьвобластисинхронизованногопотока.Этотфазовый
переходназываетсяS
→
Jфазовыйпереход.ЭмпирическийпримерS
→
J
переходапоказаннарис.10.Такимобразом,образованиеширокихдви
-
жущихсякластероввсвободномпотокенаблюдаетсяврезультатекаскада
F
→
S
→
Jфазовыхпереходов:сначала,областьсинхронизованногопото
-
кавозникаетвнутрисвободногопотока.
Какбылообъясненовыше,такойF
→
Sфазовыйпереходпроисходит
вбольшинствеслучаеввблизиузкогоместа.Далеевнутрисинхронизован
-
ногопотокапроисходит
«
сжатие
»
потока,т.е.плотностьАТСвозрастает,
втовремякакихскоростьпадает.Этосжатиеназывается
«
пинч
»
эф
-
фект.Вобластисинхронизованногопотока,гдепроисходитпинчэффект,
возникаютузкиедвижущиесякластеры.Былопоказано,чточастотавоз
-
никновенияузкихдвижущихсякластеровтемвыше,чемвышеплотность
всинхронизованномпотоке.Померетогокакэтиузкиедвижущиеся
кластерынарастают,некоторыеизнихтрансформируютсявширокиедви
-
жущиесякластеры,другиежеисчезают.Широкиедвижущиесякластеры
вдальнейшемраспространяютсяпротивпотока,проходячерезвсеобласти
синхронизованногопотокаичерезвсеузкиеместа.
Рис.10.ДвойнаяZ
-
характеристикавтеориитрехфаз,поясняющаякаскадF
→
S
→
J
фазовыхпереходов.Взятоиз[1]
ЧтобыдетальнеепроиллюстрироватьS
→
Jфазовыйпереход,следует
заметить,чтовтеориитрехфазлинияJделитвсеоднородныесостояния
синхронизованногопотоканадвеобласти(рис.9).Состояниявышелинии
JКернераявляютсяметастабильнымиотносительнообразованияшироких
движущихсякластеров,втовремякаксостояниянижелинииJКерне
-
раявляютсяустойчивыми.Метастабильныесостояниясинхронизованного
потокаозначают,чтоотносительномалыхвозникающихвозмущенийсо
-
3.10.Неоднородныепространственно
-
временныеструктуры...179
стояниепотокаостаетсяустойчивым,однакоприбольшихвозмущениях
всинхронизованномпотокепроисходитS
→
Jфазовыйпереход.
КаскадF
→
S
→
Jфазовыхпереходовможнопояснитьнаоснове
двойнойZхарактеристикивтеориитрехфаз(рис.10).Пунктирнаялиния
междуфазойFифазойSкачественносоответствуеткритическойскорости
внутрилокальноговозмущениясвободногопотока,прикоторойпроисхо
-
дитF
→
Sфазовыйпереход.Другимисловами,F
→
Sфазовыйпереход
происходитвнутрилокальноговозмущениясвободногопотока,вкотором
скоростьменьше,чемкритическаяскорость(символическиэтотфазовый
переходпоказанстрелкоймеждуфазойFиSнарис.10).Пунктирная
линиямеждуфазойSифазойJкачественносоответствуеткритической
скоростивнутрилокальноговозмущениясинхронизованногопотока,при
которойпроисходитS
→
Jфазовыйпереход.Другимисловами,S
→
J
фазовыйпереходпроисходитвнутрилокальноговозмущениясинхрони
-
зованногопотока,вкоторомскоростьменьше,чемкритическаяскорость
(символическиэтотфазовыйпереходпоказанстрелкоймеждуфазойSиJ
нарис.10).
3.10.Неоднородныепространственно
-
временныеструктуры
транспортногопотока,состоящиеизфазSиJ
Вэмпирическихданныхможнонаблюдатьоченьсложныепростран
-
ственно
-
временныеструктурывплотномтранспортномпотоке,образо
-
вавшиесяврезультатеF
→
SиS
→
Jфазовыхпереходов.
Неоднороднаяпространственно
-
временнаяструктура,котораясостоит
толькоизсинхронизованногопотока,называетсяструктуройсинхро-
низованногопотока(СП).КогдазаднийфронтСПфиксированвблизи
узкогоместанадороге,апереднийфронтнераспространяетсяпротив
потока,такаяСПназываетсялокализованнойструктуройсинхрони-
зованногопотока(ЛСП).Однаковомногихслучаяхпереднийфронт
структурысинхронизованногопотокараспространяетсявнаправлении
противпотока.Еслиприэтомзаднийфронтпо
-
прежнемуостаетсяфик
-
сированнымвблизиузкогоместа,тоширинаобластисинхронизованного
потокаувеличивается.Такаяструктураназываетсярасширяющейсяструк
-
туройсинхронизованногопотока(РСП).Возможнатакжеситуация,когда
заднийфронтсинхронизованногопотокауженефи
-
ксированвблизиузко
-
гоместа,аобафронтасинхронизованногопотокадвижутсявнаправлении
противпотока.Такаяструктураназываетсябегущей,илимигрирующей
структуройсинхронизованногопотока(МСП).
Разницамеждупространственно
-
временнымиструктурами,состоящи
-
миизтолькосинхронизованногопотока,иширокимидвижущимисякла
-
стерамистановитсяособенноясной,когдаРСПилиМСПдостигаютсле
-
дующегоузкогоместа,расположенноговверхпотечениютранспортного
180Гл.3.ТеорияКернератрехфазвтранспортномпотоке...
потока.Вэтомслучаеструктурасинхронизованногопотока
«
захватыва
-
ется
»
наэтомузкомместе(такназываемый
«
catch
-
effect
»
ванглийской
терминологии),ивозникаетноваяпространственно
-
временнаяструкту
-
равтранспортномпотоке.Напротив,широкийдвижущийсякластерне
захватываетсявблизиузкогоместа,араспространяетсядальшепротив
потока,т.е.пробегаячерезузкоеместонадороге.Крометого,вотличие
отширокогодвижущегосякластераструктурасинхронизованногопотока,
дажееслионараспространяетсяввидеМСП,неимеетхарактеристи
-
ческихпараметров.ВрезультатескоростьзаднегофронтаМСПможет
заметноменятьсявпроцессераспространения,иэтаскоростьможетбыть
разнойуразныхМСП.Данныеособенностиструктурсинхронизованного
потокаиширокихдвижущихсякластероввытекаютизопределенияфаз
[S]и[J].Наиболеетипичнаяпространственно
-
временнаяструктураплот
-
ноготранспортногопотокасостоитизобеихфазSиJ.Такаяструктура
называетсяобщейструктуройплотногопотока(ОП).
Рис.11.ЕОПизмереннаянамагистралистремяузкимиместамиB
1
,B
2
,B
3
.Взятоиз[1]
Намногихскоростныхавтомагистраляхузкиеместа,связанныесвъез
-
дами
/
выездами,располагаютсяоченьблизкодругкдругу.Пространствен
-
но
-
временнаяструктура,вкоторойсинхронизованныйпотокохватывает
дваиболееузкихместа,называетсяединойструктуройплотного
потока(ЕП).ЕПможетсостоятьтолькоизсинхронизованногопотока,
тогдаонаназываетсяЕСП(единаяструктурасинхронизованногопотока).
Однакообычноширокиедвижущиесякластерывозникаютвсинхрони
-
зованномпотоке.ВэтомслучаеЕПназываетсяЕОП(единаяобщая
структураплотногопотока)(см.рис.11).
3.11.СтохастическиемоделиврамкахтеориитрехфазКернера181
Вданнойглавебылирассмотреныосновныекачественныеположения
теориитрехфазКернера.Этикачественныеположения,начинаяс2002
года,былииспользованыкактеоретическийбазисприсозданиицелого
рядамикроскопическихимакроскопическихтрехфазныхмоделейтранс
-
портногопотока(см.ссылкинаоригинальныеработывглаве11книги[1]).
Вследующемпунктеэтойглавыдаетсякраткийобзорстохастическихмик
-
роскопическихмоделейврамкахтеориитрехфазиприведенынекоторые
результатычисленныхрасчетов.
3.11.СтохастическиемоделиврамкахтеориитрехфазКернера
ТеориятрехфазКернераявляетсякачественнойтеорией.Различные
математическиетрехфазныемоделитранспортныхпотоковбылиразра
-
ботанывпоследниегодыврамкахтеориитрехфаз.Впервыемикро
-
скопическаятрехфазнаямодель,котораяможетвоспроизводитьэмпи
-
рическиесвойствапереходакплотномупотоку(trafficbreakdown)ире
-
зультирующихпространственно
-
временныхструктур,быларазработана
Б.С.КернеромиС.Л.Кленовымв2002году[35].Несколькимимесяца
-
мипозжеБ.С.Кернер,С.Л.КленовиД.Вольфпредложилитрехфазную
модельнаосновеклеточныхавтоматов(ККВ
-
модель)[36].Позднеебыли
такжеразработаныдругиемоделитранспортногопотокаврамкахтеории
трехфаз:Л.Дэвис[37],атакжеБ.С.КернериС.Л.Кленов[38]пред
-
ложилидетерминистическиемикроскопическиемоделитрехфаз;Х.Ли
иМ.Шрекенбергссоавторами[39],Р.ЯнгиК.Ву[40]иК.Гаоссоавто
-
рами[41]разработалиразличныетрехфазныемоделиклеточныхавтома
-
тов(КА);Дж.Лаваль[42]иС.Хугендорнссоавторами[43]разработали
макроскопическиемоделитрехфаз.Последниерезультатымоделирова
-
ниятранспортногопотока,проведенныеразличныминаучнымигруппами
вСША,Германии,Голландии,Китае,ЮжнойКореииЯпонииврамках
теориитрехфаз,можнонайтив[44]
–
[64].
3.11.1.Стохастическаямикроскопическаятрехфазнаямодель
транспортногопотока.Вданномпунктекраткорассматриваетсястоха
-
стическаямикроскопическаятрехфазнаямодельтранспортногопотока,
предложеннаяБ.С.КернеромиС.Л.Кленовымв[35,65].Вэтой
модели[65]использовалосьдискретноевремясшагом
,втовремя
какперемещениевпространствепредполагалосьнепрерывным.Ниже
будетрассмотренадискретнаяверсиямодели[65],сформулированная
в[62],вкоторойиспользуетсядостаточномелкаядискретизацияпро
-
странствасшагом
x(см.такжеформулировкудискретнойверсиимодели
в[63]).Приэтомвприведенныхнижеформулахкоординатаизмеряется
вединицах
x,втовремякакскоростьАТСиееускорениеизмеряются
соответственновединицах
v
=
x
/
и
a
=
v
/
,гдевременнойшаг
=
1с.
182Гл.3.ТеорияКернератрехфазвтранспортномпотоке...
УравнениядвиженияАТСвдискретнойверсии[62,63]стохастической
трехфазноймодели[65]транспортногопотоканаскоростной2
-
полосной
автодорогевприближенииидентичныхАТСзадаютсяследующимифор
-
мулами:
v
n
+
1
=
max(0,min(v
free
,v
n
+
1
+
n
,v
n
+
a
,v
s,n
)),x
n
+
1
=
x
n
+
v
n
+
1
,
(1)
v
n
+
1
=
max(0,min(v
free
,v
s,n
,v
c,n
)),(2)
v
c,n
=
(
v
n
+Δ
n
,еслиg
n
G
n
,
v
n
+
a
n
,еслиg
n
>
G
n
,
(3)
Δ
n
=
max(
−
b
n
,min(a
n
,v
ℓ
,n
−
v
n
)),(4)
гдеиндексnотвечаетдискретномувремениt
=
n
,n
=
0,1,2,...;x
n
иv
n
—
координатаискоростьАТСнавременномшагеn;v
free
—
макси
-
мальнаяскоростьАТСвсвободномпотоке;g
n
=
x
ℓ
,n
−
x
n
−
d
—
расстоя
-
ниедоАТСвпереди,индекс
ℓ
относитсяковсемпеременнымифункциям,
описывающимАТСвпереди,d
—
длинаАТС,котораяпредполагаетсяоди
-
наковойивключаетвсебятакжесреднеерасстояниемеждуАТС,когда
онистоятвнутриширокогодвижущегосякластера;v
n
—
величинаскорости
АТСбезшумовойкомпоненты
n
;v
s,n
—
безопаснаяскорость,опреде
-
леннаяниже;a
n
0иb
n
0;a
—
максимальноеускорение;G
n
—
мак
-
симальноерасстояние,накоторомводительсинхронизуетсвоюскорость
соскоростьюАТСвпереди(такназываемаядистанция
«
синхронизации
скорости
»
);
G
n
=
G(v
n
,v
ℓ
,n
),(5)
гдефункция(5):
G(u,w)
=
max(0,
k
u
+
(u
−
w)ua
−
1
),(6)
константаk
>
1,
z
—
означаетцелуючастьдействительногочислаz.
Решениямодели(1)
–
(6)пристационарномиоднородномдвижении
АТС(котороеотвечаетпотоку,гдеАТСнаходятсянаодинаковомрас
-
стояниидруготдругаидвижутсяспостояннойскоростью)показанына
рис.12(а)и(б).Всоответствиисфундаментальнойгипотезойтеориитрех
фаз(рис.9)фазасинхронизованногопотока(букваS)какнаплоскости
расстояние
–
скорость(рис.12(а)),такинаплоскостипоток
–
плотность
(рис.12(б))покрываетдвумернуюобласть(заштрихованнаяобластьна
рис.12).Длятогочтобыпояснитьсмыслэтойдвумернойобластидля
стационарныхсостоянийсинхронизованногопотока,рассмотримболее
подробнорисунок12(а).Видно,чтопринекоторойзаданнойвеличине
скоростиv
<
v
free
встационарномсостояниисуществуетбесконечноеко
-
личестворасстояниймеждуАТСвдиапазонеg
safe
g
G,гдеg
—
3.11.СтохастическиемоделиврамкахтеориитрехфазКернера183
Рис.12.СтационарныеоднородныесостоянияилинияJКернеравстохастическойтрехфаз
-
ноймодели:(а,б)свободныйпоток(F)исинхронизованныйпоток(заштрихованнаядвумер
-
наяобласть,обозначеннаябуквойS)наплоскостирасстояниемеждуАТС
–
скорость(а)ина
плоскостипоток
–
плотность(б).На(в)показаносоответствиемеждулиниейJиоднородными
стационарнымисостояниямимоделинаплоскостипоток
–
плотность,взятымииз(б)
расстояниемеждуАТС,G
=
G(v,v)
—
дистанциясинхронизациискорости
(5),взятаяприодинаковыхскоростяхАТС,g
safe
—
безопасноерасстояние
междуАТС,котороеявляетсярешениемуравненияv
=
v
safe
(g
safe
),где
безопаснаяскоростьv
s
встационарномоднородномсостоянииопределя
-
етсякакv
s
(g)
=
g
/
.Такимобразом,стационарныеоднородныесостояния
стохастическойтрехфазноймодели(рис.12)принципиальноотличаются
оттакихжесостоянийбольшинствапредшествующихмоделей,вкоторых
заданнойскоростиотвечаетодноединственноерасстояниемеждуАТС,
соответствующееточкенафундаментальнойдиаграмме.
Изрис.12(в)такжеможновидеть,чтолинияJКернеранеимеетника
-
когоотношениякфундаментальнойдиаграмместационарногооднородного
плотногопотокавмоделях,основанныхнафундаментальнойдиаграмме.
Действительно,втрехфазнойстохастическоймоделилинияJ,которая
находитсяизстационарногодвиженияширокогокластеравэтоймодели,
разделяетдвумернуюобластьстационарныходнородныхсостоянийсин
-
хронизованногопотоканадвечасти.Оказывается,чтовсоответствии
стеориейтрехфазстационарныеоднородныесостояниявышелинииJяв
-
ляютсяметастабильнымикобразованиюширокихдвижущихсякластеров,
асостояниянижелинииJявляютсяустойчивымикобразованиюшироких
кластеров.
184Гл.3.ТеорияКернератрехфазвтранспортномпотоке...
Чтобымоделироватьслучайноевремязадержкиводителякакпри
ускорении,такипризамедлениивразличныхтранспортныхситуациях
величиныa
n
иb
n
в(4)и(5)задаютсякакслучайныефункции:
a
n
=
a
(P
0
−
r
1
),b
n
=
a
(P
1
−
r
1
),
P
0
=
(
p
0
,еслиS
n
6=
1,
1,еслиS
n
=
1,
P
1
=
(
p
1
,еслиS
n
6=−
1,
p
2
,еслиS
n
=
1,
гдевеличины1
−
P
0
и1
−
P
1
представляютсобойвероятностидлявре
-
менизадержкиводителясоответственноприускоренииипризамедлении
АТС;p
0
(v)иp
2
(v)являютсяфункциямискоростиАТС,p
1
—
константа;
r
1
=
rand(0,1)представляетсобойслучайнуювеличину,равномернорас
-
пределеннуювинтервалеот0до1.
Случайнаякомпонента
n
вформуле(1)описываетслучайноезамедле
-
ниеилиускорениеиприменяетсявзависимостиоттого,тормозитлиАТС,
илиускоряется,илинеменяетсвоюскорость:
n
=
−
b
,еслиS
n
+
1
=−
1,
a
,еслиS
n
+
1
=
1,
(0)
,еслиS
n
+
1
=
0,
гдеS
—
этосостояниедвиженияАТСвотсутствиеслучайнойкомпоненты
n
,
S
n
+
1
=
−
1,еслиv
n
+
1
<
v
n
,
1,еслиv
n
+
1
>
v
n
,
0,еслиv
n
+
1
=
v
n
,
a
,
b
являютсяслучайнымиисточникамисоответственнодляускорения
изамедленияАТС:
a
=
a
(a)
(p
a
−
r),
b
=
a
(p
b
−
r),
аслучайныйисточник
(0)
=
a
(0)
−
1,еслиr
<
p
(0)
,
1,еслиp
(0)
r
<
2p
(0)
иv
n
>
0,
0востальныхслучаях
применяетсявотсутствиеускоренияилизамедленияисвязансневоз
-
можностьюточноподдерживатьзаданнуюскорость.Величиныp
a
иp
b
являютсявероятностямисоответственнослучайногоускоренияилитормо
-
женияАТС,p
(0)
иa
(0)
—
константы,r
=
rand(0,1),ступенчатаяфункция
(Хевисайда)
(z)определяетсякак
(z)
=
0приz
<
0и
(z)
=
1приz
0.
3.11.СтохастическиемоделиврамкахтеориитрехфазКернера185
Безопаснаяскоростьv
s,n
определяетсяследующимобразом:
v
s,n
=
min
v
(safe)
n
,v
(a)
ℓ
+
g
n
,где
v
(a)
ℓ
=
max
0,min
v
(safe)
ℓ
,n
,v
ℓ
,n
,
g
ℓ
,n
−
a
—
этотакназываемая
«
ожидаемая
»
(прогнозируемая)скоростьАТСвпе
-
реди,функцияv
(safe)
n
=
v
(safe)
(g
n
,v
ℓ
,n
)
задаетсябезопаснойскоростью
v
(safe)
(g
n
,v
ℓ
,n
),котораябылапредложенавмоделиС.Крауссассоавтора
-
ми[66]в1997годуикотораявсвоюочередьявляетсярешениемуравнения
П.Гиппса[67]:
v
(safe)
+
X
d
(v
(safe)
)
=
g
n
+
X
d
(v
ℓ
,n
),
гдеX
d
(u)
—
тормознойпуть,проходимыйАТС,движущимсяспервона
-
чальнойскоростьюuитормозящимспостояннымускорениемbвплоть
дополнойостановки.Вмоделисдискретнымвременемэтотпутьдается
формулойX
d
(u)
=
b
2
(
+
0,5(
−
1)
),
и
—
соответственноцелая
идробнаячастивеличиныu
/
b
.
Врассматриваемоймоделиавтодорогисдвумяполосамисменапо
-
лосыАТСпроисходитнезависимооттого,находятсялиэтиАТСвдали
иливблизинеоднородностейдороги,связаннойсвъездом
–
выездом.АТС
меняетполосу,еслинекоторыенеобходимыеусловиядляпереходаспра
-
войполосыналевую(R
→
L)илислевойполосынаправую(L
→
R)
выполняютсясовместносусловиямибезопасностиприсменеполосы.
Необходимыедлясменыполосыусловияимеютвид
R
→
L:v
+n
v
ℓ
,n
+
1
иv
n
v
ℓ
,n
,
L
→
R:v
+n
v
ℓ
,n
+
1
илиv
+n
>
v
n
+
1
.
Условиябезопасностиприсменеполосыимеютвид
g
+
n
>
min(v
n
,
,G
+n
),g
−
n
>
min(v
−n
,
,G
−n
),(7)
где
G
+n
=
G(v
n
,v
+n
),G
−n
=
G(v
−n
,v
n
),
верхниеиндексы
«
+
»
и
«
−
»
относятсясоответственнокАТСвпереди
ипозадинасоседнейполосе.
Еслиусловия(7)невыполняются,тоиспользуютсяболеежесткие
условиядля
«
вдавливания
»
АТСнасоседнююполосу:
x+n
−
x
−n
−
d
>
g
(min)
target
,гдеg
(min)
target
=
v
+n
+
d
.(8)
186Гл.3.ТеорияКернератрехфазвтранспортномпотоке...
Вдополнениек(8)используетсяусловие,чтоАТСпроходитсреднюю
точкуx
(m)
n
=
(x
+n
+
x
−n
)
/
2
междудвумясоседнимиАТСнасоседнейпо
-
лосе,т.е.следующиеусловиявыполняются:
x
n
−
1
<
x
(m)
n
−
1
иx
n
x
(m)
n
илиx
n
−
1
x
(m)
n
−
1
иx
n
<
x
(m)
n
.
Еслиусловиядлясменыполосывыполняются,АТСменяетполосу
свероятностьюp
c
<
1натекущемшаге.
Послесменыполосыскоростьv
n
устанавливаетсяравной
v
n
=
=
min(v
+n
,v
n
+Δ
v
(1)
),чтоописываетизменениескоростипослеманевра
посменеполосы.ПослесменыполосыкоординатаАТСнеменяется,
есливыполненыусловия(7),ионаустанавливаетсяравнойx
n
=
x
(m)
n
,если
выполненыусловия(8).Величины
Δ
v
(1)
,p
c
,
1
и
являютсяконстантами.
Болееподробнообиспользованныхпараметрахмодели,условияхсмены
полос,имоделиповеденияводителянавъезде
/
выездесоскоростнойав
-
тодорогиможнопрочитатьвглаве11книги[1].
3.11.2.Моделированиесвойствпространственно
-
временных
структурвтранспортномпотокевблизивъезданаскоростную
автомагистраль.ПредложеннаяБ.С.КернеромиС.Л.Кленовыммо
-
дельбылаиспользованадлятеоретическихисследованийтранспортного
потока,атакжедлямногихтранспортныхприложенийпредставленных
вкнигах[1,2]ивстатьях[54]
–
[57],[62,63].Вчастности,недавними
теоретическимиисследованиямитранспортныхпотоков,выполненными
сиспользованиемэтоймодели,являютсясозданныеБ.С.Кернером
теориипространственно
-
временныхструктурвтранспортномпотокеочень
высокойплотностинасильноперегруженнойавтомагистрали[54],атакже
теорияпространственно
-
временныхструктурплотногопотоканадвижу
-
щемся
«
бутылочномгорле
»
инамногополоснойавтомагистрали[62,63].
Недавно,Б.С.Кернерприменилданнуюмодельдляизученияперехода
кплотномупотокунасветофоревгородскихсетях[68],атакжедля
исследованияпредложенногов[69]принципаминимизациивероятности
возникновениязаторовдляоптимизациииуправлениясложнымигород
-
скимиимежгородскимитранспортнымисетями.
Чтобыпроиллюстрироватьнелинейныечисленныерезультаты,получа
-
емыеспомощьюпредложеннойБ.С.КернеромиС.Л.Кленовыммоде
-
ли,рассмотримнекоторыесвойствапространственно
-
временныхструктур
транспортногопотока,образующихсявблизиузкогоместа,связанного
свъездомнаскоростнуюавтодорогу,которыебылиполученыврамках
данноймоделив2002
–
2003годах[35,65].
Нарис.13приведенырезультатырасчетапространственно
-
временных
структур,возникающихвблизивъезданаавтодорогуиобластейихсуще
-
ствования(диаграммы)наплоскостискоординатамипотокпоосновной
3.11.СтохастическиемоделиврамкахтеориитрехфазКернера187
дорогеq
in
,приведенныйнаоднуиздвухполосдороги,ипотоксостороны
въезданадорогуq
on
.
Рис.13.Диаграммапространственно
-
временныхструктуртранспортногопотокавблизиизо
-
лированноговъезда(а)исоответствующиетипыпространственно
-
временныхструктур(б
–
ж),
относящиесякдиаграмме(а):СП(б
–
г)иОП(д
–
ж).Взятоиз[2]
188Гл.3.ТеорияКернератрехфазвтранспортномпотоке...
Нарис.13(а)показанадиаграммаэтихпространственно
-
временных
структур.ПоосиабсциссэтойдиаграммыоткладываетсяпотокАТС
q
on
,поосиординатуказанпотокАТСпоосновнойдорогеq
in
.Граница
F
(B)
S
наэтойдиаграммеразделяетсвободныйпотоквлевоотграницыот
структурплотногопотока,возникающихвблизивъездаАТС.Награнице
F
(B)
S
пространственно
-
временныеструктурыплотногопотокавозникают
спонтанно.ГраницаS
(B)
J
разделяетструктурысинхронизованногопотока
(СП)отобщейструктурыплотногопотока(ОП).Этоозначает,чтомежду
границамиF
(B)
S
иS
(B)
J
возникаютразличноготипаСП.Прибольшихq
on
ималенькихq
in
возникаетмигрирующаяструктурасинхронизованно-
гопотока
—
МСП(рис.13(г)).Приувеличенииq
on
МСПпревращается
врасширяющуюсяструктурусинхронизованногопотока
—
РСП
(рис.13(б)).
Еслиуменьшатьq
in
иувеличиватьq
in
,тонагранице,обозначенной
буквойW,РСПпревращаетсявлокализованнуюструктурусинхро-
низованногопотока
—
ЛСП(рис.13(в)).
Укажемещенекоторыеособенностиобщейструктурыплотногопото
-
ка
—
ОП,котораявозникаетвышеграницыS
(B)
J
надиаграмме(рис.13(а)).
Существуетграница,обозначеннаябуквойGвнутриобластиструктурОП.
Слеваотэтойграницы,послетогокакширокийкластервозникаетвсин
-
хронизованномпотоке,новыеширокиекластерыбольшенеформируются
(рис.13(ж)),ивозникаетрассасывающаясяобщаяструктураплот-
ногопотока(РОП).ПравееотграницыGвозникаетобщаяструктура,
вкоторойнепрерывнорождаютсяновыекластерывнутрисинхронизован
-
ногопотока(рис.13(д)).Однакоеслиуменьшатьпотокподорогеq
in
,
оставаясьвобластиОП,иперейтикзначениямq
in
меньше,чемq
out
(смыслпотокаq
out
объясненвп.2.4.3),тоширокиедвижущиесякластеры,
спонтанновозникающиевсинхронизованномпотокеОП,постепеннорас
-
сасываются,распространяясьпротивтечения.ВрезультатевозникаетОП,
показаннаянарис.13(е).Другаяособенностьобщейструктурысостоит
втом,чтоеслипотокизвъездаq
on
дальшеувеличивать,товозникает
некоторыйэффектнасыщения,связанныйсвозникновениемплотногопо
-
токанадороге,ведущейквъездуАТС.Этотэффектнасыщениясвязан
стем,чтопотоквнутриобластисинхронизованногопотокавОПдостигает
своегопредельногоминимальногозначения,обозначенногонарис.13(а)
какq
pinch
lim
.
РаспределениескоростиипотокавнутриОПструктурынарис.13(д)
какфункциявремениприразныхкоординатахвдольдорогипоказанона
рис.14.Можновидеть,чтосначалана16,5кмвозникаетF
→
Sфазовый
переходизсвободноговсинхронизованныйпоток.Через2кмпротивте
-
чения(x
=
14,5км)можновидетьразвивающиесяузкиекластерывнутри
3.11.СтохастическиемоделиврамкахтеориитрехфазКернера189
синхронизованногопотока.Померераспространенияэтихкластеровпро
-
тивтеченияамплитудакластеровувеличиваетсяиихширинавозрастает.
Врезультатенарастаниякластероввозникаетпоследовательностьширо
-
кихдвижущихсякластеров(x
=
8км),которыеобладаютхарактеристиче
-
скимипараметрами,описаннымивп.2.4.2.Вчастности,распространение
заднегофронтаэтихкластеровсоответствуетлинииJКернера,описанной
вп.2.4.3.
Рис.14.Одноминутныеданныевиртуальныхдетекторов,отвечающиеОПнарис.13(д).Въезд
наскоростнуюдорогуотвечаеткоординате16км.Взятоиз[2]
Болееподробносвойствапространственно
-
временныхструктур,полу
-
ченныеврезультатемоделирования,рассматриваютсяв[1,2]и[54,62,
63].
3.11.3.Трехфазнаямодельклеточныхавтоматовдлятранспортно
-
гопотока(ККВ
-
модель).ПредложеннаяКернером
—
Кленовым
—
Воль
-
фом(ККВ)модельтранспортногопотока[36]былапервоймодельютрех
фазнаосновеклеточныхавтоматов,врамкахкоторойоказалосьвоз
-
можнымсмоделироватьиобъяснитьэмпирическиесвойствапереходаот
свободногокплотномупотокуивозникающихврезультатеэтогоперехода
пространственно
-
временныхструктуртранспортногопотока[1,2].
190Гл.3.ТеорияКернератрехфазвтранспортномпотоке...
ПравиладлядвиженияАТСвККВмоделисостоятвследующем[36]:
v
n
+
1
=
max(0,min(v
free
,v
n
+
1
+
a
n
,v
n
+
a
,v
s,n
)),(9)
x
n
+
1
=
x
n
+
v
n
+
1
,(10)
v
n
+
1
=
max(0,min(v
free
,v
c,n
,v
s,n
)),(11)
v
c,n
=
(
v
n
+
a
,еслиg
n
>
G
n
,
v
n
+
a
sgn(v
ℓ
,n
−
v
n
),еслиg
n
G
n
,
(12)
гдеv
ℓ
,n
—
скоростьпредшествующегоАТС,sgn(x)
=
1дляx
>
0,sgn(x)
=
0
дляx
=
0,иsgn(x)
=−
1дляx
<
0.Дистанция
«
синхронизациискорости
»
G
n
выбираетсяследующимобразом
G
n
=
kv
n
,(13)
гдепостояннаяk
>
1.Такжекакивклассическоймоделиклеточныхав
-
томатовНагеля
—
Шрекенберга,безопаснаяскоростьвыбираласьравной
v
s,n
=
g
n
/
.(14)
Случайноеторможениеислучайноеускорениемоделировалисьдобав
-
лениемкскоростиАТСслучайногослагаемогоa
n
,где
n
=
−
1,еслиr
<
p
b
,
1,еслиp
b
r
<
p
b
+
p
a
,
0востальныхслучаях,
(15)
гдеp
a
иp
—
соответственновероятностислучайногоускоренияислучай
-
ноготорможения,которыезависелиоттекущейскоростиАТС,приэтом
p
a
+
p
b
<
1;r
=
rand(0,1).
Наиболееважныйновыйрезультаттеориитрехфазтранспортногопо
-
тока,полученныйспомощьюККВмодели,этовычислениевероятности
фазовогопереходаотсвободногоксинхронизованномупотоку(F
→
S
переход)взависимостиотвеличинытранспортногопотокаq.
3.11.4.Новаятрехфазнаямодельклеточныхавтоматовдлятранс
-
портногопотока(ККШ
-
модель).Какужеупоминалось,ККВмодель
былапервоймодельюклеточныхавтоматов,котораяпозволилаописать
переходксинхронизованномупотокуирезультирующиепространствен
-
но
-
временныеструктурыплотногопотока,найденныевреальныхдан
-
ных.Однако,моделированиеэффекта
«
переускорения
»
вККВмодели
осуществлялосьнеявным(модельным)образом,спомощьюслучайного
ускорения(
n
=
1в(15)).Этовчастности,послужилооднойизпричиндля
Кернера
—
Кленова
—
Шрекенбергапредложитьновуютрехфазнуюмодель
клеточныхавтоматов[71](ККШ
-
модель).Соднойстороны,ККШ
-
мо
-
дельспособнаописатьпереходотсвободногоксинхронизованномупотоку
3.11.СтохастическиемоделиврамкахтеориитрехфазКернера191
(F
→
Sпереход)ирезультирующиепространственно
-
временныеструктуры
плотногопотока.Сдругойстороны,этамодельспомощьюпростыхправил
явнымобразоммоделируетфизикудвиженияАТСвтранспортномпотоке
всоответствиисположениямитеориитрехфазКернера.
ККШ
-
модельсостоитизправил
«
ускорение
»
,
«
торможение
»
,
«
ран
-
домизация
»
и
«
движение
»
изклассическоймоделиклеточныхавтоматов
Нагеля
—
Шрекенберга[70],атакжеизправил
«
переускорениеиз
-
за
переходанабыструюполосу
»
1)
,
«
сравнениерасстояниясдистанцией
синхронизациискорости
»
,и
«
адаптацияскоростивпределахдистанции
синхронизации
»
изтеориитрехфазКернера[1,2].
ПравиладвиженияАТСвККШ
-
моделидлядорогииздвухполос
следующие[71]:
(a)
«
переускорениеиз
-
запереходанабыструюполосу
»
:
Переходнаболеебыструюполосу(сцельюобгона)выполняетсясве
-
роятностьюp
c
,когдавыполненыследующиеусловия
«
намерения
»
(16),
(17)ибезопасности(18):
R
→
L:v
+n
v
ℓ
,n
+
иv
n
v
ℓ
,n
,(16)
L
→
R:v
+n
v
ℓ
,n
+
илиv
+n
>
v
n
+
,(17)
g
+
min(v
n
,g
c
)илиg
−
min(v
−n
,g
c
).(18)
(b)
«
сравнениерасстояниясдистанциейсинхронизациискорости
»
:
Еслиg
n
G(v
n
),товыполняетсяправило(c)ипропускаетсяправило
(d).Напротив,еслиg
n
>
G(v
n
),товыполняетсяправило(d)ипропускается
правило(c).
(c)
«
адаптацияскоростивпределахдистанциисинхронизации
»
:
v
n
+
1
=
v
n
+
sgn(v
ℓ
,n
−
v
n
).(19)
(d)
«
ускорение
»
:
v
n
+
1
=
min(v
n
+
1,v
free
.(20)
(e)
«
торможение
»
:
v
n
+
1
=
min(v
n
+
1,g
n
.(21)
(f)
«
рандомизация
»
:
свероятностьюp,v
n
+
1
=
max(v
n
+
1
−
1,0).(22)
(g)
«
движение
»
:
x
n
+
1
=
x
n
+
v
n
+
1
.(23)
1)
Вкачестве
«
быстрой
»
полосырассматриваетсясоседняядляАТСполосадороги,на
которойскоростьвыше,чемнатекущейполосе.
192Гл.3.ТеорияКернератрехфазвтранспортномпотоке...
В(16)
–
(23)индексn
=
0,1,2,...равенномерувременногошага,x
n
иv
n
являютсякоординатойискоростьюАТС,v
free
—
этомаксимальная
скорость,g
n
=
x
ℓ
,n
−
x
n
−
d
—
эторасстояниедоАТСвпереди,d
—
длина
АТС;
G(v
n
)
=
kv
n
(24)
—
этодистанциясинхронизациискорости;нижнийиндекс
ℓ
маркирует
переменные,относящиесякАТСвпереди;обозначенияR
→
LиL
→
R
относятсясоответственнокпереходусправойполосыналевуюи,на
-
оборот,слевойнаправую;вправилахсменыполосы(16)
–
(18);верхние
индексы
«
+
»
и
«
−
»
обозначаютпеременныеифункции,относящиесясо
-
ответственнокАТСвпередиипозадинасоседнейполосе,междукоторыми
окажетсярассматриваемаяАТСпослесменыполосы,вчастности,g
+
n
обозначаетрасстояниемеждурассматриваемойАТСиАТСвпередина
соседнейполосе,g
−
n
обозначаетрасстояниемеждурассматриваемойАТС
иАТСпозадинасоседнейполосе;внеравенствах(16),(17)скорость
v
+n
(v
ℓ
,n
)устанавливалась
∞
,еслирасстояниеg
+
n
(g
n
)превышалонекоторое
достаточнобольшоерасстояниеL
a
;величиныv
free
,L
a
,
,kиg
c
являются
константами.
Какупоминалосьвыше,правила
«
ускорение
»
,
«
торможение
»
,
«
ран
-
домизация
»
и
«
движение
»
соответствуютмоделиклеточныхавтоматов
Нагеля
—
Шрекенберга[70],втовремякакправила
«
переускорениеиз
-
запереходанабыструюполосу
»
,
«
сравнениерасстояниясдистанцией
синхронизациискорости
»
,и
«
адаптацияскоростивпределахдистанции
синхронизации
»
относятсяктеориитрехфазКернера[1,2].
В[71]былопоказано,чтоэтинесколькоправилККШ
-
моделимо
-
гутмоделироватьфундаментальныеэмпирическиесвойствапереходаот
свободногоксинхронизованномупотоку(trafficbreakdown)исвойства
пропускнойспособностиавтомагистрали,найденныевреальныхданных,
измеренныхзамногиегодывразныхстранах,вчастности:характеристики
синхронизованногопотока,существованиекакспонтанноготакиинду
-
цированногопереходаксинхронизованномупотоку(trafficbreakdown)на
одномитомжеузкомместе(
«
бутылочномгорле
»
),атакжесвязанные
сэтимвероятностныехарактеристикипереходаксинхронизованномупо
-
токуипропускнойспособности.
3.12.ПрименениетеориитрехфазКернерадляинтеллектуальных
транспортныхтехнологий
Б.С.Кернерссотрудникамипредложиличастичновнедрилвэкс
-
плуатациюцелыйрядновыхметодовинтеллектуальныхтранспортных
технологий.Однимизвнедренныхиужеустановленныхнаскоростных
автодорогахпримененийтеориитрехфазявляетсяметодASDA
/
FOTO.
Литература193
МетодASDA
/
FOTOфункционируетвработающейон
-
лайнсистемере
-
гулированиятранспортныхпотоков,гденаосновеизмеренийвыделяются
фазыSиJвплотномтранспортномпотоке.Распознавание,отслеживание
ипрогнозированиеположенийфазSиJосуществляетсянаосновеме
-
тодовтеориитрехфаз.МетодASDA
/
FOTOреализованвкомпьютерной
системе,способнойбыстроиэффективнообрабатыватьбольшиеобъемы
данных,измеренныхдатчикамивсетискоростныхавтомагистралей(см.
примерыизтрехстраннарис.15).
ДальнейшееразвитиеприложенийтеориитрехфазКернерасвязано
сразработкойиусовершенствованиеммоделейдлятранспортныхси
-
муляторов,методоврегулированиявъездногопотоканаавтомагистраль
(ANCONA),методовколлективногорегулированиятранспортныхпотоков,
системыавтоматическогоассистентаводителяиметодовдетектирования
состояниятранспортногопотока,описанныхвмонографиях[1,2].
Однимиизпоследнихпримененийтеориитрехфазявляютсяобъяс
-
нениефизикиобразованиябольшихзатороввгородскихтранспортных
сетях[68],атакжеисследованиепооптимизациииуправлениюсложными
городскимиимежгородскимитранспортнымисетями,базирующеесяна
предложенномнедавноБ.С.Кернером[69]принципеминимизацииверо
-
ятностивозникновениязаторов.
Литература
1.KernerB.S.IntroductiontoModernTrafficFlowTheoryandControl.Berlin:
Springer,2009.
2.KernerB.S.ThePhysicsofTraffic.Berlin:Springer,2004.
3.KernerB.S.ExperimentalPropertiesofSelf
-
OrganizationinTrafficFlow
//
PhysicalReviewLetters.1998.V.81.P.3797
–
3800.
4.KernerB.S.ThePhysicsofTraffic
//
PhysicsWorld.1999.V.12,№8.
P.25
–
30.
5.KernerB.S.CongestedTrafficFlow:ObservationsandTheory
//
Transportation
ResearchRecord.1999.V.1678.P.160kt167.
6.KernerB.S.TheoryofCongestedTrafficFlow:Self
-
OrganizationwithoutBot
-
tlenecks
//
In:TransportationandTrafficTheory,editedbyA.Ceder.London:
ElsevierScience,1999.P.147
–
171.
7.LighthillM.J.,WhithamG.B.Onkinematicwaves:II.Theoryoftrafficflowon
longcrowdedroads
//
Proc.R.Soc.London,Ser.A.1955.V.229.P.281
–
345.
8.RichardsP.I.ShockWavesontheHighway
//
Oper.Res.1956.V.4.P.42
–
51.
9.УиземДж.Линейныеинелинейныеволны.М.:Мир,1977.
10.NewellG.F.ApplicationsofQueuingTheory.London:ChapmanandHall,1982.
11.NewellG.F.Nonlineareffectsinthedynamicsofcar
-
following
//
Oper.Res.
1961.V.9.P.209
–
229.
12.NewellG.F.Amovingbottleneck
//
Transp.Res.B.1998.V.32.P.531
–
537.
194Гл.3.ТеорияКернератрехфазвтранспортномпотоке...
Рис.15.Пространственно
-
временнаяструктуратранспортногопотока,полученнаяметодом
ASDA
/
FOTOвтрехстранах.Взято[1]
13.DaganzoC.F.Thecelltransmissionmodel:Adynamicrepresentationofhighway
trafficconsistentwiththehydrodynamictheory
//
Transp.Res.B.1994.V.28.№4.
P.269
–
287.
14.HermanR.,MontrollE.W.,PottsR.B.,RotheryR.W.Trafficdynamics:studies
incarfollowing
//
Oper.Res.1959.V.7.P.86
–
106.
15.GazisD.C.,HermanR.,PottsR.B.Carfollowingtheoryofsteadystatetraffic
flow
//
Oper.Res.1959.V.7.P.499
–
505.
16.GazisD.C.,HermanR.,RotheryR.W.Nonlinearfollowtheleadermodelsof
trafficflow
//
Oper.Res.1961.V.9.P.545
–
567.
17.GazisD.C.TrafficTheory.Berlin:Springer,2002.
18.MayA.D.TrafficFlowFundamentals.EnglewoodCliffs,NJ:Prentice
-
Hall,1990.
19.LeutzbachW.IntroductiontotheTheoryofTrafficFlow.Berlin:Springer,1988.
Литература195
20.DaganzoC.F.FundamentalsofTransportationandTrafficOperations.NewYork:
ElsevierScienceInc.,1997.
21.MuñozJ.C.,DaganzoC.F.TrafficandTransportationTheory.EditorM.A.P.
Taylor.Oxford:Pergamon,2002.P.441
–
462.
22.GartnerN.H.,MesserC.J.,RathiA.(editors)TrafficFlowTheory.Washington,
DC:TransportationResearchBoard,2001.
23.ChowdhuryD.,SantenL.,SchadschneiderA.Statisticalphysicsofvehicular
trafficandsomerelatedsystems
//
Phys.Rep.2000.V.329.P.199
–
329.
24.HelbingD.Trafficandrelatedself
-
drivenmanyparticlesystems
//
Rev.Mod.
Phys.2001.V.73.P.1067
–
1141.
25.NagataniT.Thephysicsoftrafficjams
//
Rep.Prog.Phys.2002.V.65.
P.1331
–
1386.
26.NagelK.,WagnerP.,WoeslerR.Stillflowing:Approachestotrafficflowand
trafficjammodelling
//
Oper.Res.,2003.V.51.P.681
–
716.
27.MahnkeR.,KaupuzsJ.,LubashevskyI.Probabilisticdescriptionoftrafficflow
//
Phys.Rep.2005.V.408.P.1
–
130.
28.RakhaH.,PasumarthyP.,AdjeridS.Asimplifiedbehavioralvehiclelongitudinal
motionmodel
//
Transp.Lett.2009.V.1.P.95
–
110.
29.DelitalaM.,TosinA.Mathematicalmodellingofvehiculartraffic:Adiscrete
kinetictheoryapproach
//
Math.ModelsMethodsAppl.Sci.2007.V.17.
P.901
–
932.
30.KernerB.S.,KlenovS.L.,HillerA.,RehbornH.Microscopicfeaturesofmoving
trafficjams
//
Phys.Rev.E.2007.V.73.046107.
31.KernerB.S.,KlenovS.L.,HillerA.Criterionfortrafficphasesinsinglevehicle
dataandempiricaltestofamicroscopicthree
-
phasetraffictheory
//
J.Phys.A:
Math.Gen.2006.V.39.P.2001
–
2020.
32.KernerB.S.,KlenovS.L.,HillerA.Empiricaltestofamicroscopicthree
-
phase
traffictheory
//
Non.Dyn.2007.V.49.P.525
–
553.
33.BlankM.Hysteresisphenomenonindeterministictrafficflows
//
J.Stat.Phys.
2005.V.120.№3
–
4.P.627
–
658.
34.MaerivoetS.,DeMoorB.Cellularautomatamodelsofroadtraffic
//
Phys.Rep.
2005.V.419.№1.P.1
–
64.
35.KernerB.S.,KlenovS.L.Amicroscopicmodelforphasetransitionsintraffic
flow
//
J.Phys.A:Math.Gen.2002.V.35.P.L31
–
L43.
36.KernerB.S.,KlenovS.L.,WolfD.E.Cellularautomataapproachtothree
-
phase
traffictheory
//
J.Phys.A:Math.Gen.2002.V.35.P.9971
–
10013.
37.DavisL.C.Multilanesimulationsoftrafficphases
//
Phys.Rev.E,2004.V.69.
016108.
38.KernerB.S.,KlenovS.L.Deterministicmicroscopicthree
-
phasetrafficflow
models
//
J.Phys.A:Math.Gen.2006.V.39.P.1775
–
1809.
39.LeeH.K.,BarlovicR.,SchreckenbergM.,KimD.MechanicalRestrictionversus
HumanOverreactionTriggeringCongestedTrafficStates
//
Phys.Rev.Lett.2004.
V.92.238702.
196Гл.3.ТеорияКернератрехфазвтранспортномпотоке...
40.JiangR.,WuQ.S.Spatial
–
temporalpatternsatanisolatedon
-
rampinanew
cellularautomatamodelbasedonthree
-
phasetraffictheory
//
J.Phys.A:Math.
Gen.2004.V.37.P.8197
–
8213.
41.GaoK.,JiangR.,HuS.-X.,WangB.-H.,WuQ.S.Cellular
-
automatonmodel
withvelocityadaptationintheframeworkofKerner’sthree
-
phasetraffictheory.
Phys.Rev.E.2007.V.76.026105.
42.LavalJ.A.Linkingsynchronizedflowandkinematicwaves
//
In:Trafficand
GranularFlow’05.EditorsA.Schadschneider,T.Pöschel,R.Kühne,M.Schreck
-
enberg,D.E.Wolf.2007.P.521
–
526.
43.HoogendoornS.,vanLintH.,KnoopV.L.MacroscopicModelingFramework
UnifyingKinematicWaveModelingandThree
-
PhaseTrafficTheory
//
Trans.Res.
Rec.2008.V.2088,P.102
–
108.
44.DavisL.C.Controllingtrafficflownearthetransitiontothesynchronousflow
phase
//
PhysicaA.2006.V.368.P.541
–
550.
45.DavisL.C.Effectofcooperativemergingonthesynchronousflowphaseoftraffic
//
PhysicaA.2006.V.361.P.606
–
618.
46.DavisL.C.DriverChoiceComparedtoControlledDiversionforaFreewayDouble
On
-
RampintheFrameworkofThree
-
PhaseTrafficTheory
//
PhysicaA.2006.
V.379.P.274
–
290.
47.JiangR.,HuaM.-B.,WangR.,WuQ.-S.Spatiotemporalcongestedtrafficpat
-
ternsinmacroscopicversionoftheKerner
—
Klenovspeedadaptationmodel
//
Phys.Lett.A.2007.V.365.P.6
–
9.
48.JiangR.,WuQ.-S.TowardanimprovementoverKerner
—
Klenov
—
Wolf
three
-
phasecellularautomatonmodel
//
Phys.Rev.E.2005.V.72.067103.
49.JiangR.,WuQ.-S.Dangeroussituationsinasynchronizedflowmodel
//
Physica
A.2007.V.377.P.633
–
640.
50.LiX.G.,GaoZ.Y.,LiK.P.,ZhaoX.M.Relationshipbetweenmicroscopic
dynamicsintrafficflowandcomplexityinnetworks
//
Phys.Rev.E.2007.V.76.
016110.
51.PottmeierA.,ThiemannC.,SchadschneiderA.,SchreckenbergM.Mechanical
RestrictionVersusHumanOverreaction:AccidentAvoidanceandTwo
-
LaneTraf
-
ficSimulations
//
In:TrafficandGranularFlow’05.EditorsA.Schadschneider,
T.Pöschel,R.Kühne,M.Schreckenberg,D.E.Wolf.Berlin:Springer,2007.
P.503
–
508.
52.SiebelF.,MauserW.Synchronizedflowandwidemovingjamsfrombalanced
vehiculartraffic
//
Phys.Rev.E.2006.V.73.066108.
53.WangR.,JiangR.,WuQ.-S.,LiuM.Synchronizedflowandphaseseparations
insingle
-
lanemixedtrafficflow
//
PhysicaA.2007.V.378.P.475
–
484.
54.KernerB.S.Atheoryoftrafficcongestionatheavybottlenecks
//
J.Phys.A:
Math.Theor.2008.V.41.
55.DavisL.C.DriverChoiceComparedtoControlledDiversionforaFreewayDouble
On
-
RampintheFrameworkofThree
-
PhaseTrafficTheory
//
PhysicaA.2008.
V.387P.6395
–
6410.
56.DavisL.C.RealizingWardropequilibriawithreal
-
timetrafficinformation
//
PhysicaA.2009.V.388.P.4459
–
4474.
Литература197
57.DavisL.C.Predictingtraveltimetolimitcongestionatahighwaybottleneck
//
PhysicaA.2010.V.389.P.3588
–
3599.
58.GaoK.,JiangR.,WangB.-H.,WuQ.S.Discontinuoustransitionfromfreeflow
tosynchronizedflowinducedbyshort
-
rangeinteractionbetweenvehiclesina
three
-
phasetrafficflowmodel
//
PhysicaA.2009.V.388.P.3233
–
3243.
59.WuJ.J.,SunH.J.,GaoZ.Y.Long
-
rangecorrelationsofdensityfluctuationsinthe
Kerner
—
Klenov
—
Wolfcellularautomatathree
-
phasetrafficflowmodel
//
Phys.
Rev.E.2008.V.78.036103.
60.JiaB.,LiX.-G.,ChenT.,JiangR.,GaoZ.-Y.Cellularautomatonmodelwith
timegapdependentrandomisationunderKerner’sthree
-
phasetraffictheory
//
Transportmetrica.2011.V.7.P.127
–
140.
61.TianJ.-F.,JiaB.,LiX.-G.,JiangR.,ZhaoX.-M.,GaoZ.-Y.Synchronized
trafficflowsimulatingwithcellularautomatamodel
//
PhysicaA.2009.V.388.
P.4827
–
4837.
62.KernerB.S.,KlenovS.L.Phasetransitionsintrafficflowonmulti
-
laneroads
//
Phys.Rev.E.2009.V.80.056101.
63.KernerB.S.,KlenovS.L.Atheoryoftrafficcongestiononmovingbottlenecks
//
J.Phys.A:Math.Theor.2010.V.43.42510.
64.KokuboS.,TanimotoJ.,HagishimaA.Anewcellularautomatamodelincluding
adeceleratingdampingeffecttoreproduceKerner’sthree
-
phasetheory
//
Physica
A.2011.V.390.P.561
–
568.
65.KernerB.S.,KlenovS.L.Microscopictheoryofspatial
-
temporalcongestedtraffic
patternsathighwaybottlenecks
//
Phys.Rev.E.2003.V.68.036130.
66.KraußS.,WagnerP.,GawronC.Metastablestatesinamicroscopicmodelof
trafficflow
//
Phys.Rev.E.1997.V.55.P.5597
–
5602.
67.GippsP.G.Abehaviouralcar
-
followingmodelforcomputersimulation
//
Trans
-
portationResearchB.1981.V.15.P.105
–
111.
68.KernerB.S.Physicsoftrafficgridlockinacity
//
Phys.Rev.E.2011.V.84.
045102(R).
69.KernerB.S.Optimumprincipleforavehiculartrafficnetwork:minimumproba
-
bilityofcongestion
//
J.Phys.A:Math.Theor.2011.V.44.092001.
70.NagelK.,SchreckenbergM.Acellularautomationmodelforfreewaytraffic
//
J.
Phys.(France)I.1992.V.2.P.2221
–
2229.
71.KernerB.S.,KlenovS.L.,SchreckenbergM.Simplecellularautomatonmodel
fortrafficbreakdown,highwaycapacity,andsynchronizedflow
//
Phys.Rev.E.
2011.V.84.046110.
Приложения
М.Л.Бланк
Процессысзапретамивмоделяхтранспортных
потоков
Изученонесколькопростыхмоделейтранспортныхпотоковввидепро
-
цессовсзапретами(какрешеточных,такиснепрерывнымпространством)
иустановленыявныеформулыдлянекоторыхсвязанныхснимистатистик.
Вчастности,полученатакназываемаяфундаментальнаядиаграмма,вы
-
ражающаязависимостьсреднейскоростидвиженияотплотностичастиц.
1.Введение
Однимизестественныхспособовматематическогомоделирования
транспортныхпотоковявляетсяихреализацияввидепроцессовсзапрета
-
ми(ExclusionProcesses).Последниепредставляютсобойсистемычастиц,
совершающихслучайныеблужданияивзаимодействующихпозакону
«
ис
-
ключенногообъема
»
(hardcore).Впервыепростейшуюрешеточнуюмодель
этоготипапредложилФ.Спитцерв1970г.,истехпорподобные,на
первыйвзглядпримитивные,моделинашливесьмаширокоеприменение
всамыхразличныхобластях,начинаясмоделейтранспортныхпотоков
[3,4,15,18,22],синтезапротеиновимолекулярныхмотороввбиоло
-
гии,ростаслучайныхповерхностейвфизике(см.[11,23])идоанализа
диаграммЮнгавтеориипредставлений[14].
Качественносточкизренияпорядкавзаимодействийчастицимеется
дватипапроцессовсзапретами:асинхронныеисинхронные.Впервом
случаенеболееоднойчастицыможетсдвинутьсявданныймоментвре
-
мени,авовтором
—
всечастицыдвигаютсяодновременно.Последний
вариантприводиткнеобходимостианализакратныходновременныхвза
-
имодействий,однакосточкизренияприложенийпредставляетсяболее
естественным.
Вработебудетизученонесколькопростыхмоделейтранспортныхпо
-
токовэтоготипа(какрешеточных,такиснепрерывнымпространством)
иустановленыявныеформулыдлянекоторыхсвязанныхснимистатистик.
Вчастности,полученатакназываемаяфундаментальнаядиаграмма,вы
-
ражающаязависимостьсреднейскоростидвиженияотплотностичастиц.
РаботабылачастичноподдержанагрантамиРФФИ.
200Приложения
Читательможетнайтисерьезныеобзорыпо
«
физическим
»
постановкам
задачпоэтойтематикев[13,18].
Мойсобственныйинтересктакогородазадачамвозниквсвязисо
следующимпрактическимнаблюдением.Иногдабыстрееидтипротивдви
-
жениявмедленнодвигающейсятолпелюдей(например,впереходеметро),
чемподвижению.Стандартнаявероятностнаямодельдиффузиичастицы
поилипротивпотокаявнопротиворечитэтомунаблюдению,чтоуказывает
наспециальную(неслучайную)внутреннююструктурупотокаврассмат
-
риваемомслучае.Однойизцелейнастоящейработыявляетсяобсуждение
того,какподобнаяструктуравозникаетизпроизвольных(случайных)на
-
чальныхконфигурацийчастиц.
Мыначнемисследованиеспростейшейдетерминированноймодели
нацелочисленнойрешетке(описаннойвразделе2).Этамодельможет
бытьполностьюизученаэлементарнымисредствами,имыприводимее
восновномвпедагогическихцелях.Однакодажеврамкахтакоймоде
-
лиотбрасываниеусловиярегулярностиначальнойконфигурациичастиц
приводиткнеобходимостизначительноболеесложногоматематического
анализа(см.[3,4]).Вдальнейшемоказалось,чтосточкизренияматемати
-
кипрощеизучать,напервыйвзгляд,значительноболеесложнуюмодель
—
процесссзапретамивнепрерывномпространстве.Вразделе3мыопишем
этумодельипокажем,чтоееограничениенамножествоконфигура
-
ций,расположенныхвцелочисленныхточках,инвариантно.Поэтомувсе
полученныерезультатыприменимытакжекмоделисдискретнымпро
-
странством.Недавновработе[8]былпредложенпринципиальноновый
подход,позволяющийполучатьточныерезультатыостатистикахпроцес
-
совсзапретамисдискретнымвременемдляцелогорядастохастических
моделей.Этотподходмывкратцеопишемвдвухпоследнихразделах.
Крометоговтеореме8.6мыизучимвлияниепрепятствий(например,
светофоров)настатистикистохастическихпроцессовсзапретами.
Всеизвестныеподходыканализурешеточныхсистемсущественно
используюткомбинаторнуюструктурупространстваконфигурацийчастиц
(отметим,например,идеюдвойственности
«
частица
–
пустаяпозиция
»
,ис
-
пользуемуювразделе2).Никакиханалоговподобныхкомбинаторных
структурвнепрерывномпространственет,чтоприводиткнеобходимости
разработкифундаментальноновогоподхода.
Процессысзапретамивнепрерывномпространственовынетолько
какмоделитранспортныхпотоков,ноисчистоматематическойточки
зрения.Первыерезультатынаэтутемуполученынедавнов[6],гдебыла
разработанаоригинальнаятехника,позволяющаяизучатьэргодические
(статистические)свойстватакихпроцессов.Главнойтехническойновинкой
здесьявляетсяметоддинамическогокаплинга(описанныйвразделе
6).Отметим,чтоэтотметоднетольконов,ноииспользуетсянестандарт
-
М.Л.Бланк.Процессысзапретамивмоделяхтранспортныхпотоков201
но:вместодоказательства(обычноговтеориикаплинга)существования
«
успешногосклеивания
»
(которогоможетинебытьвнашихусловиях)
мыиспользуемегоналичиеилиотсутствиевкачестведиагностического
средства.
2.Простейшаямодельнацелочисленнойрешетке
Начнемспростейшейодномерноймоделитранспортногопотока,вве
-
деннойв[22].Этамодельописываетсяследующейдинамическойсистемой
сдискретнымвременемидискретнымфазовымпространством
—
цело
-
численнойрешеткой
Z
,накоторойрасположенычастицы.Вследующий
моментвременикаждаячастицалибопередвигаетсявпереднаоднупо
-
зицию,еслионасвободна,либоостаетсянаместевпротивномслучае.
Вслучаеконечнойрешеткиспериодическимиграничнымиусловиями
анализу(восновномчисленному)этоймоделиинекоторыхееобобще
-
нийвпоследнеевремябылопосвященобольшоечислопубликаций(см.
[8,10,11,12,15,16]идальнейшиессылкивних).Наиболееинтерес
-
нымявлением,обнаруженнымвданныхработах,являетсянетривиальная
зависимостьсреднейскоростидвижениячастицотихплотностиV(
),
равная1при
∈
[0,1
/
2]и
1
−
1при
∈
(1
/
2,1].Нижемывыведемэтот
результатприпомощитехникидвойственныхотображенийдляпроизволь
-
ныхконечныхибесконечныхрешетокиначальныхконфигураций.Кроме
того,мыдадимполноеописаниепредельныхмножеств(соответствующих
стационарнымтранспортнымпотокам)иточнуюоценкудлиныпереходного
периода.Физическаяинтерпретацияописанногорезультата
—
этоналичие
фазовогоперехода
«
газ
–
жидкость
»
отсвободногодвижениячастиц(при
малойплотности)кпостоянномуналичиютранспортныхпробок(приболь
-
шойплотности).
Сточкизрениятеориидинамическихсистемописаннаявышемодель
можетбытьпредставленаследующимобразом.ПустьX
={
0,1
}
Z
—
мно
-
жествовсехвозможныхконфигураций
—
бинарныхпоследовательностей
x
=
x(i),i
∈Z
,единицывкоторойсоответствуютчастицам,анули
—
незанятымпозициямнарешетке.РассмотримотображениеT:X
→
X:
Tx(i):
=
(
1,еслиx(i)
=
0,x(i
−
1)
=
1илиx(i)
=
x(i
+
1)
=
1,
0востальныхслучаях.
Группуиз(болееодной)последовательностоящихчастицмыназовем
кластером;ачастицувпозицииi(т.е.x(i)
=
1),позицияпослекоторой
незанята(т.е.x(i
+
1)
=
0),назовемсвободной.Будемназыватьконфи
-
гурациюx
∈
Xрегулярной,еслиимеетсячисло
=
(X)(плотностьчастиц)
имонотоннаяфункция
(N)
→
0приN
→∞
,такие,чтодлялюбогоN
202Приложения
числочастицскоординатамиотn
+
1доn
+
NотличаетсяотN
не
болеечемнаN
(N)длялюбогоn.Заметим,чтоконфигурациянаконечной
решеткедлиныnспериодическимиграничнымиусловиямисоответствует
n
-
периодическойконфигурациинабесконечнойрешетке,котораяудовле
-
творяетусловиюрегулярностис
(N)
=
n
(1
−
)
/
N.Подсредней(по
пространству)скоростью(частиц)V(x)понимаетсясреднеезначение(если
онокорректноопределено)перемещениячастицвконфигурацииxвовре
-
мяследующейитерацииотображенияT.Отметим,чтовразделе4будет
введеноиизученоболеетонкоепонятиесреднейскоростииндивидуальной
частицы.
Теорема2.1.Длялюбойрегулярнойначальнойконфигурацииx
∈
X
сплотностью
6=
1
/
2черезнеболеечемt
c
(x)
=
1
2
−
1
(
|
1
2
−
(x)
|
)
итерацийотображенияTсредняяскоростьстанетравнаV
=
=
min(1,
1
−
1),иприлюбомt
t
c
(x)выполняетсяследующаяаль-
тернатива:конфигурацияT
t
xсостоитлиботолькоизсвобод-
ныхчастиц,либонеимееткластеровнезанятыхпозиций.Более
того,
∀
nдляn-периодическихначальныхконфигурацийограниче-
ние
6=
1
/
2снимается,дляt
c
(x)справедливалучшаяоценкаt
c
(x)
=
=
min(
(x)N,N
−
(x)N),иприt
t
c
(x)последовательность
{
T
t
x
}
t
становитсяn-периодическойпоt.
Доказательствоэтойтеоремыирядадругихрезультатовнастоя
-
щейработыоснованонаидеевведениядвойственнойдинамическойси
-
стемы(T
∗
,X
∗
),описывающейдинамикунезанятыхпозицийнарешетке
поддействиемосновногоотображенияT.Здесьдляконфигурацииx
∈
X
двойственнаяконфигурацияx
∗
определяетсясоотношениемx
∗i
=
1
−
x
i
для
всехi.Можнопоказать,что(Tx)
∗
=
T
∗
x
∗
привсехx
∈
X.Длярассмат
-
риваемоймоделиотображениеT
∗
отличаетсяотTтольконаправлением
движениячастиц,чтосводитанализкконфигурациямнизкойплотно
-
сти
∈
[0,1
/
2],посколькуб
´
ольшаяплотностьсоответствуетплотности
незанятыхпозицийменьшей1
/
2.Этонаблюдениерезкоупрощаетзадачу,
посколькудинамикавслучаевысокойплотностичастицнетривиальна
итрудноподдаетсянепосредственномуанализу.Далеепоказывая,что
длиналюбогокластерачастицнеможетвозрастать(т.е.вэтоймодели
немогутвозникатьтранспортныепробки),ачислосвободныхчастицубы
-
вать,мыприходимкописаннойвформулировкетеоремыальтернативе,что
иприводитктребуемымоценкам.
Рассмотримтеперьмодельдвижениясосверхбыстрымичастицами,
отличающуюсяотпредыдущейтем,чтонакаждомшагучастицасдвигается
впереддоследующейзанятойпозиции.
М.Л.Бланк.Процессысзапретамивмоделяхтранспортныхпотоков203
Теорема2.2.Длялюбойначальнойконфигурацииx,удовлетво-
ряющейзаконубольшихчиселсплотностью
(x)
6∈{
0,1
}
,средняя
скоростьчастицнезависитотвременииравна
1
(x)
−
1.
Качественнодинамикаэтоймоделибогаче,чемвмоделисмедленными
частицами,например,транспортныепробкитипичныдажедляконфи
-
гурациймалойплотности.Сдругойстороны,несмотрянаэто,средняя
скоростьдвижениячастицV(
)дляэтоймоделисовпадаетспредыдущим
случаемпривысокойплотностиианалитическипродолжаетеепрималой
плотности.
Сделаемнесколькозамечанийопростейшихобобщенияхиприложени
-
яхописанныхмоделей.Во
-
первых,часторассматриваетсявероятностная
постановка,прикоторойчастицапереходитнанезанятуюпозициюсза
-
даннойвероятностьюp(случайp
=
1возвращаетнаскописаннойдетер
-
минированнойзадаче).Какпоказываетчисленныйанализикачественные
рассуждения(см.[13,14,21,22]),результатыдлядетерминированного
случаявыглядяточеньпохожеидлястохастическойверсииприpдо
-
статочноблизкок1.Полныйматематическийанализздеськнастоящему
временипроведентолькодлямоделидвиженияконечногонаборачастиц
поокружности,анебесконечнойрешетке(см.[16,18]).Частичныйответ
вобщемслучаеполучентакжеприанализединамикивнепрерывном
пространстве(см.следующийраздели[6]).
Важнымпредставляетсявопросовозможностиописаниямногополос
-
ногодвиженияврамкахпроцессовсзапретами.Однойизвозможностей
здесьявляетсяизменениеусловияотом,чтонеболееоднойчастицы
можетнаходитьсяводнойпозициинарешетке,наусловиеомаксимальном
числеM
>
1частиц.ВслучаеM
=
2этамодельвточностисоответствует
двухполосномудвижению,априM
>
2представляетсобойнекоторое
упрощение.Математическийанализдетерминированнойпостановкидан
-
нойзадачипроведенв[3].
Досихпормыобсуждалитолькомодели,прикоторыхоказывается
справедливойточнаязависимостьмеждусреднейскоростьюдвижения
частициихплотностью.Какизвестно,экспериментальныеданныепо
-
казывают,чтовобщемслучаеоднойплотностичастицможетсоответ
-
ствоватьцелыйнаборсреднихскоростейилипоследнеепонятиеможет
небытькорректноопределено.Оказывается,чтопростыемодификации
рассматриваемыхнамимоделейдемонстрируютподобноеповедение(см.
[3,4,5,8,9,15]).Сточкизренияфазовыхпереходовописанноеповедение
соответствуетвозникновениюновой
«
гистерезисной
»
фазы.
Дадимтеперьматематическоеописаниенаблюденияодвижениипас
-
сивнойбыстройчастицы(имитирующейповедениеспешащегопрохожего)
вмедленномтранспортномпотоке,которыймысформулироваливнача
-
204Приложения
леданногораздела.Упрощаяситуацию,мыбудемполагать(какобычно
делаютвгидродинамике),чтодвижениенашейбыстройчастицыневлия
-
етнатранспортныйпотокиописываетсяследующимобразом.Положим
+x
(y):
=
min(i:y
<
iиx(i)
=
1),
−x
(y):
=
max(i:y
>
iиx(i)
=
1).Тогда
совместнаядинамика
T
±
конфигурациичастицx
∈
Xиположениябыстрой
частицыy
∈Z
определяетсякосымпроизведениемотображенияTиодного
изотображений
±
(знаксоответствуетдвижениюпо
/
противпотока),т.е.
T
±
(x,y):
=
(Tx,
±x
(y)).
Подскоростьювмоментtпассивнойчастицыбудемпониматьсум
-
марноерасстояние(сознаком),пройденноееюкэтомумоментувремени,
деленноенаt.Опираясьнаполученноеполноеописаниепредельныхмно
-
жествмоделимедленныхчастиц,мыполучаемследующийрезультат.
Теорема2.3.Длялюбойрегулярнойначальнойконфигурациис
плотностью
(x)
6∈{
0,1
/
2,1
}
вслучаенеограниченнойрешетки
средняяскоростьбыстройчастицыстремится(поt)к1при
1
/
2
идвижениивперед(попотоку),ик
−
max(1,1
/
(x)
−
1)придвижении
назад(противпотока).
3.Процессысзапретамивнепрерывномпространстве
Перейдемтеперькизучениюболееобщегоклассапроцессовсзапре
-
тамивнепрерывномпространствессинхроннымивзаимодействиями(т.е.
всечастицыпытаютсядвигатьсяодновременно).
Внепрерывномпространствекоординатноепредставлениеконфигура
-
ций(принятоевпредыдущемразделе)неудобно,ивместоэтогопредлага
-
етсяследующее.Подконфигурациейчастицx:
={
x
i
}
i
∈Z
будемпонимать
бесконечную(вобестороны)последовательностьдействительныхчисел
x
i
∈R
,которыеможноинтерпретироватькакцентрышаровзаданного
радиусаr
0(см.рис.1).Предполагается,чтоупорядочиваниепоин
-
дексусоответствуетестественномупорядкупозицийцентровшаров,т.е.
...
x
−
1
x
0
x
1
...Чтобыотметитьзависимостьотрадиусашара
r
0,мыиспользуемобозначениеx(r)итольковпредельномслучае
r
=
0неотмечаемэтойзависимости,т.е.x
≡
x(0).Будемговорить,что
конфигурацияx(r)допустима,если
x
i
(r)
+
r
x
i
+
1
(r)
−
r
∀
i
∈Z
(соответствующиешарынепересекаютсяимогуттолькокасаться),иобо
-
значимчерезX(r)пространстводопустимыхконфигураций.
Динамикавпространствеконфигурацийопределяетсяследующимоб
-
разом.Начнемстривиальнойконфигурации,состоящейизединствен
-
нойчастицы,находящейсявмоментвремениt
0вточкеx
t
0
∈R
(т.е.
М.Л.Бланк.Процессысзапретамивмоделяхтранспортныхпотоков205
✣✢✤✜
x
i
r
✲
v
i
✣✢✤✜
x
i
+
1
r
✲
v
i
+
1
Δ
i
Рис.1.Процесссзапретамивнепрерывномпространстве
x
t
≡{
x
t
0
}
).Вэтомслучаеполагаем
x
t
+
1
0
:
=
x
t
0
+
v
t
0
,
где
{
v
t
0
}
—
заданнаяпоследовательность(случайных)величин.Значения
v
t
0
естественнорассматриватькаклокальныескоростичастицывмомент
времениt.Такимобразом,полученныйпроцесс
—
этопростоеслучайное
блужданиев
R
.Обобщаяэтутривиальнуюпостановкунаслучайбеско
-
нечнойконфигурацииx(r)
∈
Xивновьинтерпретируя(бесконечнуювобе
стороныпоi
∈Z
)последовательность
{
v
t
i
}
i,t
каклокальныескорости
частицвконфигурацииx
t
(r)вмоментt,получаембесконечныйнабор
случайныхблужданий,ограниченныхусловиямисохраненияпорядкаиза
-
кономисключенногообъема(hardcoreexclusionrule).
Дляупрощенияизложениямыограничимсятолькослучаемнеотрица
-
тельныхлокальныхскоростей,собственнотолькоэтаситуацияосмыслен
-
навзадачахтранспортногомоделирования.Вобщемслучаеприанализе
локальныхскоростейобоихзнаковопределениястановятсясущественно
сложнее,нокакрезультаты,такидоказательствапочтинеизменяются
(см.[6]).
Длянеотрицательныхлокальныхскоростейрассматриваемыенамиза
-
претыозначают,чтоусловиедопустимостинарушаетсядляi
-
йчастицы
вмоментt
∈Z
+
тогдаитолькотогда,когданеравенство
x
t
i
(r)
+
v
t
i
+
r
x
t
i
+
1
(r)
−
r
перестаетвыполняться.Впоследнемслучаемыбудемговоритьокон-
фликтемеждучастицамиiиi
+
1,дляразрешениякоторогоприменяется
конструкциянормализации:
v
t
i
→N
(v
t
i
,x
t
(r)).
Позициичастицвмоментвремениt
+
1вычисляютсяпоправилу:
x
t
+
1
i
(r):
=
x
t
i
(r)
+N
(v
t
i
,x
t
(r))
∀
i.
Нормализацияможетбытьпроведенаразличнымиспособами(чтопри
-
водитксущественноразнымстатистическимсвойствам).Внастоящей
работемырассмотримтолькослабуюнормализацию(другиевозмож
-
ностиизученыв[6]),прикоторойвслучаеконфликталокальнаяскорость
206Приложения
меняетсятак,чтобысоответствующаячастицамоглапродвинутьсявперед
намаксимальновозможноерасстояние.Втерминахзазоров
Δ
i
(x
t
)
≡Δ
t
i
:
=
x
t
i
+
1
−
x
t
i
−
2r
междучастицамивконфигурацииx
t
нормализациязаписываетсяследую
-
щимобразом:
N
(v
t
i
,x
t
):
=
v
t
i
,еслиv
t
i
Δ
t
i
;
Δ
t
i
впротивномслучае.
Здесьважноотметить,чтомеждулюбымидвумяконфигурациямича
-
стицx(r),
´
x(
´
r)собщейпоследовательностьюзазоров
Δ
:
={Δ
i
}
имеется
взаимнооднозначноесоответствие
:
´
x
i
(
´
r)
=
(x
i
(r)):
=
x
i
(r)
−
2i(r
−
´
r)
∀
i
∈Z
.
Посколькунормализациязависиттолькоотзазоровмеждучастицами,
достаточнопровестианализслучаячастицнулевогорадиуса(r
=
0).Стати
-
стикавобщемслучаеr
>
0пересчитываетсяприпомощизаменыперемен
-
ных
.Сдругойстороны,полагаяr
=
1
/
2,x
0
i
(r)
∈Z∀
i
∈Z
иv
t
i
∈Z∀
i
∈Z
,
t
0,мыполучаем,чтоx
t
i
(r)
∈Z∀
i
∈Z
,t
0.Последнееозначает,что
системынацелочисленнойрешеткеинвариантныотносительновведенной
динамики.Поэтомунаширезультатыприводяткпринципиальноновому
подходудляанализарешеточныхсистем.Заметимвсеже,чтовслучае
r
=
0условиедопустимостиразрешаетналичиепроизвольного(идаже
бесконечного)числачастицводнойточкепространства,чтозапрещено
длярешеточнойсистемы.
Естественно,безспециальныхпредположенийоструктурелокальных
скоростей
{
v
t
i
}
i,t
никакиесодержательныерезультатыодинамикеподоб
-
ныхсистемневозможны.Будемполагать,чтоv
t
i
∈
[0,v]
∀
i
∈Z
,t
∈Z
0
:
=
=Z
+
∪{
0
}
ивыполненоодноизследующих(напервыйвзглядпротиво
-
положных)предположений:
(а)v
t
i
≡
v
t
0
∀
i
∈Z
,t
∈Z
0
и
∃
¯¯
v(
):
=
lim
t
→∞
1
t
t
−
1
P
s
=
0
min(v
s
0
,
)
∀
>
0почти
наверное(п.н.);
(б)
{
v
t
i
}
являютсянезависимымиодинаковораспределенными(н.о.р.),
какпоi,такипоt,случайнымивеличинами(с.в.).
Пересечениемеждумножествамилокальныхскоростей,удовлетворя
-
ющихпредположениям(а)или(б),непустоисодержитпринципиально
важныйслучайчистодетерминированныхскоростей:v
t
i
≡
v
∀
i
∈Z
,t
∈Z
0
.
Какмыпокажем,свойствавсехсистем,удовлетворяющихусловию(а),
близкикчистодетерминированномуслучаю.Поэтомувдальнейшеммы
М.Л.Бланк.Процессысзапретамивмоделяхтранспортныхпотоков207
будемговоритьопостановке(а)какодетерминированной
1)
,аопоста
-
новке(б)
—
какостохастической.
Заметим,чтокажущаясяпростейшейчистодетерминированнаяпоста
-
новкаv
t
i
≡
v
∀
i
∈Z
,t
∈Z
0
приводиткчрезвычайносложнойдинамике
частиц.Этовиднонапримеризтого,чтодетерминированнаядинамиче
-
скаясистема,описывающаядинамикуконфигурацийчастиц,вэтомслучае
оказываетсяхаотической,и,болеетого,топологическаяэнтропияэтой
системыбесконечна(теорема5.5).
Обычноматематическийанализсистемвзаимодействующихчастиц
начинаютсизученияинвариантныхраспределенийнанихи,выбравудач
-
ноеинвариантноераспределение,переходятканализуегостатистических
характеристик.Внашемслучаеэтотподходнеработает.Деловтом,
чтоурассматриваемыхнамисистемможетбытькакбесконечномного
инвариантныхраспределений,такиниодного(напомнимтривиальный
примероднойчастицы,совершающейасимметричноеслучайноеблужда
-
ние).Несмотрянаотсутствиеинвариантногораспределения,последний
примердемонстрирует,чтоздесьимеетсядругаяважнаястатистическая
характеристика
—
средняяскоростьдвижениячастиц,легковычисляемая
вэтомпримере.
4.Элементарныесвойства
Вэтомразделемыизучимвопросы,связанныесопределениямипо
-
нятийплотностиисреднейскоростичастицдляпроцессоввнепрерывном
пространстве.
Подплотностью
(x,I)конфигурацииx
∈
Xвограниченномсегмен
-
теI
=
[a,b]
∈R
будемпониматьчислочастицизx,центрыкоторыхx
i
находятсявI,деленноенадлину
|
I
|>
0сегментаI.Еслидлялюбойпо
-
следовательностивложенныхограниченныхсегментов
{
I
n
}
с
|
I
n
|
n
→∞
−−−→∞
предел
(x):
=
lim
n
→∞
(x,I
n
)
корректноопределен,тоэтотпределназовемплотностьюконфигурации
x
∈
X.Впротивномслучаерассматриваютсяверхняяинижняя(поотноше
-
ниюковсемвозможнымколлекциямвложенныхограниченныхсегментов
{
I
n
}
)плотностичастиц
±
(x).
Замечание4.1.(а)Если
(x)
<∞
,то
|
x
n
−
x
m
|
|
n
−
m
|→∞
−−−−−−→
1
/
(x).
1)
Заметим,что
{
v
t
0
}
можетбытьтраекториейдетерминированногохаотическогоотобра
-
женияf:[0,1]
→
[0,1],т.е.v
t
+
1
0
:
=
vf
t
(v
t
0
/
v),каки(несмотрянаназвание)реализацией
настоящейстохастическойцепиМаркова.
208Приложения
(б)Пустьконфигурацииx(r)
∈
X(r),r
>
0иx
∈
Xимеютобщуюпосле
-
довательностьзазоров
{Δ
i
}
.Тогда
±
(x(r))
=
±
(x)
1
+
2r
±
(x)
.
Лемма4.2.Верхняя
/
нижняяплотности
±
(x
t
)инвариантныот-
носительнодинамики,т.е.
±
(x
t
)
=
±
(x
t
+
1
)
∀
t.
Под(среднейповремени)скоростьюi
-
йчастицывконфигурации
x
∈
Xвмоментt
>
0будемпонимать
V(x,i,t):
=
1
t
t
−
1
X
s
=
0
N
(v
s
i
,x
s
)
≡
(x
t
i
−
x
0
i
)
/
t.
Еслипредел
V(x,i):
=
lim
t
→∞
V(x,i,t)
корректноопределен,назовемего(среднейповремени)скоростьюi
-
й
частицы.Впротивномслучаерассматриваютсянижняяиверхняяскорости
частицыV
±
(x,i).
Лемма4.3.Длялюбойконфигурацииx
∈
Xвыполнено
|
V(x,j,t)
−
V(x,i,t)
|
t
→∞
−−−→
0п.н.
∀
i,j
∈Z
.
Следствие4.4.Нижняяиверхняяскоростиi-йчастицыV
±
(x,i)
независятотиндексаi.
Доказательствоэтогорезультатакромевсегопрочегодемонстрирует
тотфакт,чтовдетерминированнойпостановкезазорымеждупоследо
-
вательнымичастицаминемогутсущественноувеличиваться.Следующее
утверждениепоказывает,чтопринекоторыхслабыхтехническихпредпо
-
ложениях(заведомовыполняемыхпривысокойплотностичастиц)боль
-
шиезазорысовременемисчезают.
Лемма4.5.Пустьx
∈
Xирассматриваетсятолькочистодетер-
минированнаяпостановка(т.е.v
t
i
≡
v).Предположим,что
∀
t
∃
j
>
>
t:
Δ
j
(x
t
)
<
v.Тогда
∀
i
∃
t
i
<∞
:
Δ
i
(x
t
)
<
2v
∀
t
t
i
.
5.Эргодическиесвойства
Сформулируемтеперьосновныерезультатыдляпроцессовсзапретами
внепрерывномпространстве.
Теорема5.1.Пустьплотность
(x)конфигурацииx
∈
Xкор-
ректноопределена.Тогдамножествопредельныхточекприt
→∞
последовательности
{
V(x,t)
}
t
∈Z
0
зависиттолькоот
(x).
М.Л.Бланк.Процессысзапретамивмоделяхтранспортныхпотоков209
Теорема5.2(фундаментальнаядиаграмма).Вдетерминированной
постановке
V(x)
=
lim
t
→∞
1
t
t
−
1
X
s
=
0
min(1
/
,v
s
0
)
=
v,если
(x)
1
/
v,
1
/
(x)впротивномслучае,
еслиv
t
0
≡
v.
Следствие5.3.Пустьдляконфигурацииx(r)
∈
X(r),r
>
0плот-
ность
(x(r))корректноопределенаипусть
∀
i,tv
t
i
≡
v.Тогда
V(x(r))
=
(
v,если
(x)
1
v
+
2r
,
1
/
(x(r))
−
2rвпротивномслучае.
Вчастности,дляверсиипроцессанацелочисленнойрешеткеполу-
чаем
V(x(1
/
2))
=
(
v,если
(x)
1
v
+
1
,
1
/
(x(1
/
2))
−
1впротивномслучае.
Замечание5.4.Последнийрезультатсовпадаетссоответствующим
утверждениемопроцессенарешетке,описанномвтеореме2.1(см.также
[3,22]).Несмотрянаэтосходство,врешеточномслучаеимеетсяважное
качественноеотличиединамики:привысокойплотностичастицынеми
-
нуемообразуютплотныекластеры(статическиетранспортныепробки).
Доказательствожетеоремы5.2вдействительностипоказывает,что
«
ти
-
пичное
»
поведениеконфигурацийвысокойплотностикачественноотлично:
онитакжеобразуюткластерычастиц(т.е.наборыпоследовательныхча
-
стиц,расстояниямеждукоторымистрогоменьшеv),ноэтикластерыне
стоятнаместе,апередвигаютсяспостояннойскоростьюкак
«
эшелон
»
.
Интересноотметить,чторанеебылразработанцелыйрядвесьмасложных
решеточныхмоделейдляимитацииподобногоповедения.
Вчистодетерминированнойпостановке(т.е.v
t
i
≡
v
∀
i,t)рассматривае
-
маясистемаописываетсядетерминированнымотображениемT
v
:X
→
Xиз
пространствадопустимыхконфигурацийвсебя.Покажем,чтоэтоотобра
-
жениесильнохаотическоевтомсмысле,чтоеготопологическаяэнтропия
бесконечна
1)
.Читательможетнайтидетальноеописаниеконструкций,
связанныхсэнтропиейдинамическойсистемыиеесвойств,например,
в[19].Чтобыобойтисложности,связанныеснекомпактностьюфазового
пространства,мыопределимтопологическуюэнтропиюотображенияT
v
1)
Обычноговорят,чтоотображениехаотическое,еслиеготопологическаяэнтропияпо
-
ложительна,поэтомубесконечноезначениеэнтропииговоритобоченьвысокомуровне
хаотичности.
210Приложения
(обозначениеh
top
(T
v
))каксупремумповсемметрическимэнтропиямэтого
отображенияотносительноеговероятностныхинвариантныхмер.
Теорема5.5.Топологическаяэнтропиячистодетерминирован-
ногопроцессасзапретамивнепрерывномпространствебесконеч-
на.
Доказательствоэтогорезультатаоснованонааналогичномутвержде
-
ниидлядействияотображениясдвига
v
:X
→
Xвнепрерывномпростран
-
стве:
(
v
x)
i
:
=
x
i
+
vi
∈Z
,x
∈
X.
Лемма5.6.Топологическаяэнтропияотображениясдвига
v
внепрерывномпространствебесконечна.
Идеяздесьсостоитвтом,чтобыпостроитьинвариантноеподмножество
пространстваконфигурацийX,накоторомотображение
v
изоморф
-
нополномуотображениюсдвигавпространствепоследовательностейсо
счетнымалфавитом.Замечаятеперь,чтотопологическаяэнтропияполного
отображениясдвигавпространствепоследовательностейсалфавитомиз
nэлементовравнаlnn,получаемнашеутверждение.
6.Каплинг
Однойизосновныхтехническихновацийвдоказательстверезультатов,
сформулированныхвпредыдущемразделе,являетсяконструкция
«
дина
-
мического
»
каплинга.
Напомним,чтоподкаплингомдвухмарковскихпроцессовx
t
иy
t
,
действующихнапространствеX,понимаетсяпредставлениеэтойпары
процессовнаобщемвероятностномпространстве.Инымисловами,кап
-
линг
—
этопроцесспар(x
t
,y
t
),определенныйнапространствепрямого
произведенияX
×
X,удовлетворяющийследующимусловиям:
P((x
t
,y
t
)
∈
A
×
X)
=
P(x
t
∈
A),P((x
t
,y
t
)
∈
X
×
A)
=
P(y
t
∈
A),
т.е.проекцииновогопроцессапарведутсебяточнотакже,какисходные
процессы.
Обсудимтеперьконструкциюдинамическогокаплингамеждудвумя
копиямиx
t
,
´
x
t
рассматриваемогонамимарковскогопроцесса.Обычнопри
анализесистемвзаимодействующихчастицнарешеткесасинхронными
взаимодействиямииспользуетсятакназываемый
«
равный
»
каплинг(см.,
например,[20]).Вэтомслучаекаплингсостоитвспариваниичастицпро
-
цессовx
t
,
´
x
t
,занимающиходинаковыепозиции.Послеспариваваниявсе
выборыслучайныхскоростейдляэлементоводнойпарыпредполагают
-
сяодинаковыми.Врассматриваемомнамислучаесистемссинхронными
взаимодействиямиэтотподходнеработает.Действительно,произвольное
М.Л.Бланк.Процессысзапретамивмоделяхтранспортныхпотоков211
числочастицможетсдвинутьсяодновременно,чтоприводиткситуации,
когдачастицы,принадлежащиепроцессамx
t
,
´
x
t
,обгоняютдругдруга,
ноприэтомнивкакоймоментвременинезанимаютодинаковыепози
-
ции.Крометого,имеетсяиболееважноепрепятствие:можетоказаться,
чтодвижениетолькооднойчастицыизпарызаблокировановмоментt
неспареннойчастицей.Врезультатеодновременногодвижениявсехэтих
частицполучаемследующуюдиаграмму:
•◦
•
−→
◦◦
◦
.Каквидим,старая
парауничтожается,ноприравномкаплингеноваяпаранеобразуется.
Здесьидалеемыиспользуемдиаграммноепредставлениедляконфигура
-
цийприкаплинге:спаренныечастицыобозначаютсячернымикружками,
анеспаренные
—
белыми,приэтомверхняястрокадиаграммыпоказыва
-
етx
-
частицы(т.е.частицыx
-
процесса),анижняястрокасоответствует
´
x
-
частицам.
Чтобыобойтиэтопрепятствие,мыивводимдинамический
1)
каплинг,
описанныйв[6,10].Отметимдлясравненияидейноблизкуюконструк
-
циюкаплингав[1,16],предложеннуюдляслучаярешеточныхсистем
сасинхроннымивзаимодействиями.Важнымпреимуществомдинамиче
-
скогокаплингапоотношениюкэтимконструкциямявляетсяограничен
-
ностьрасстояниймеждуэлементамиоднойпары(вконструкциях[1,16]
этирасстояниямогутстановитьсябесконечнобольшими).
Поддинамическимкаплингомпроцессовx
t
,
´
x
t
понимаетсяпоследо
-
вательноеспариваниедостаточноблизкорасположенныхчастицвразных
процессах,удовлетворяющееследующимусловиям.
(A1)Вмоментt
=
0всечастицыпредполагаютсянеспаренными.Ло
-
кальныескоростивзаимноспаренныхчастицвсегдаодинаковы.
(A2)Однаждысозданнаяпарачастицникогданеисчезает;приэтом
частицы,образующиеданнуюпару,могутменяться.
(A3)Частица,обгоняющаяподдействиемдинамикизаодиншагвре
-
менинекоторыенеспаренныечастицы,становитсяспареннойсоднойиз
них.
Согласно(A1)
–
(A3)частицы,принадлежащиеоднойпаре,двигаются
синхроннодотехпор,покалибонарушаетсяусловиедопустимостидля
однойизних(т.е.еедвижениезаблокированодругойчастицей),либоодна
изчастицвпарезаменяетсянеспареннойчастицей,принадлежащейтому
жепроцессу(см.рис.2).Удобнопредставлятьрезультаткаплингана
-
шихпроцесовкак
«
газ
»
,состоящийизординарных(неспаренных)частиц
и
«
гантелей
»
(пар).Спареннаяпреждечастица(элементгантели)может
наследоватьрольординарнойотодногоизсвоихсоседей.Длятогочтобы
удобнееотслеживатьпозициинеспаренныхчастиц,мыбудемназыватьих
1)
Слово
«
динамический
»
используетсядлятого,чтобыподчеркнутьто,чтовзаимноепо
-
ложениечастицводнойпаременяетсясовременем,вотличиеотравногокаплинга.
212Приложения
x
-
и
´
x
-
дефектамивзависимостиотпроцесса,ккоторомуонипринадле
-
жат.
ri❆
❆
❆
t
j
✲
v
j
=
v
i
❞
i
+
1
✲
v
i
+
1
❞
i
+
2
✲
v
i
+
2
❞
j
+
1
✲v
j
+
1
x
t
´
x
t
x
t
+
1
´
x
t
+
1
❞
i
ti
+
1
tj
❆
❆
❆
t
i
+
2
t
j
+
1
❆
❆
❆
Рис.2.Спариваниечастиц.Взаимноспаренныечастицыобозначенычернымикружками
исоединеныпрямымилиниями,адефекты
—
белымикружками.Вмоментtчастицыi
иjспарены,тогдакаквмоментt
+
1x
-
частицаiстановитсянеспаренной,а
´
x
-
частицаj
спариваетсясx
-
частицейi
+
1.Неспаренныевмоментtчастицыi
+
2иj
+
1спариваются
вмоментt
+
1
Практическидинамическийкаплингможетбытьреализовансамыми
разнымиспособами(вчастности,используятолькоидеюобгоначастиц).
Чтобыпродемонстрироватьгибкостьконструкции,мыопишемдругойпод
-
ход.Отметим,чтовдальнейшемтолькосвойства(A1)
—
(A3)использу
-
ютсявдоказательствах.
Подx
-
тройкой(
◦•
•
или
•◦
•
)впроцессепар(x
t
,
´
x
t
)понимаетсядве
взаимноспаренныечастицыиx
-
дефект,находящийсямеждуними,индекс
которогоотличаетсянаединицуотиндексаспареннойx
-
частицы.
´
x
-
тройка
(
•
◦•
или
•
•◦
)определяетсяаналогично.
Говорят,чтодвепарычастицпересекаютдругдруга,еслипря
-
мыелинии,соединяющиепозициичастицизоднойпары,пересекаются,
т.е.
•⋆
⋆•
(здесьвзаимноспаренныечастицыобозначеныодинаковыми
символами).
x
-
дефектвx
t
i
вместесближайшимкнему
1)
´
x
-
дефектомв
´
x
t
j
(
◦
◦
или
◦
◦
)назовемd-парой,если
|
x
t
i
−
´
x
t
j
|<
v,этапарадефектовнепересекается
сдругимивзаимноспареннымичастицами,иинтервал(x
t
i
,
´
x
t
j
)несодержит
другихдефектов.Будемговорить,чтоd
-
пара(i,j)меньшечемd
-
пара
(n,m),если
|
i
|<|
n
|
,илиi
<
n
—
вслучае
|
i
|=|
n
|
.Заметим,чтоситуация
i
=
nиj
6=
mможетпроизойти,вотличиеотситуацииi
6=
nиj
=
m.
1)
Еслиимеетсянесколькоближайших
´
x
-
дефектов,товыбираетсятот,которыйимеет
минимальныйиндекс.
М.Л.Бланк.Процессысзапретамивмоделяхтранспортныхпотоков213
Приведемдвапримера.Внаборе
◦••
••
двепервыхx
-
частицывместе
спервой
´
x
-
частицейобразуютx
-
тройку,несмотрянаналичиедополни
-
тельнойспареннойчастицывинтервалемеждуними.Сдругойстороны,
набор
•◦
◦•
несодержитнитроек,ниd
-
пар.
Параконфигураций(x
t
,
´
x
t
)называетсяправильной,еслионанесодер
-
житx
-
или
´
x
-
троек,d
-
парипересекающихсявзаимноспаренныхчастиц.
Правильностьпарыконфигураций(x
t
,
´
x
t
)вмоментtвобщемслучае
непрепятствуеттому,чтоподдействиемдинамикивмомент(t
+
1)пара
(x
t
+
1
,
´
x
t
+
1
)можетоказатьсянеправильной.Вчастности,могутвозникнуть
тройкиобоихтиповиd
-
пары,например
•
•◦
−→
•
•◦
или
◦
◦◦
−→
◦
◦◦
.
Здесьважно,чтоввидусохраненияпорядкачастицпересекающиесявза
-
имноспаренныечастицынемогутпоявиться.
Лемма6.1.Пустьпараконфигураций(x
t
,
´
x
t
)неимеетпересека-
ющихсявзаимноспаренныхчастиц.Тогдатройкиодноготипане
могутиметьобщихэлементов.
Поэтомувсетройкиодноготипамогутбытьустраненыодновременно.
Подустранениемx
-
или
´
x
-
тройкибудемпониматьследующее:бывший
дефектспариваетсясчастицейиздругогопроцесса,аспареннаяранее
частицастановитсянеспаренной:
◦•
•
−→
•◦
•
.
Устранениеd
-
парыещепроще:дефекты
«
аннигилируют
»
другдруга,
образуяспареннуюпаручастиц:
◦
◦
−→
•
•
.Вовсехслучаяхпозиции
частицсохраняются,аменяютсятолькоих
«
роли
»
.
Врезультатеконструкциядинамическогокаплингасостоитизследую
-
щихшагов.
1.Каждаяx
-
тройкарекурсивноустраняется:
◦•
•
−→
•◦
•
.
2.Каждая
´
x
-
тройкарекурсивноустраняется:
•
◦•
−→
•
•◦
.
3.Наименьшая
1)
d
-
парарекурсивноустраняется:
◦
◦
−→
•
•
.
Лемма6.2.Описаннаяпроцедуракаплингакорректноопределе-
на,приводиткмарковскомупроцессупариудовлетворяетуслови-
ям(A1)
—
(A3).
Чтобыобъяснитьнеобходимостьрекурсий,заметим,чтопростран
-
ственныесегменты,накоторыхрасположеныспаренныечастицы,могут
пересекаться.Поэтомуустранениеx
-
или
´
x
-
тройкиможетпривестиксо
-
зданиюновойтройкитогожетипа:
◦••
••
−→
•◦•
••
−→
••◦
••
.
1)
Порядокd
-
парможетменятьсяпослекаждойпроцедурырекурсии.
214Приложения
Заметимтеперь,чтоприрекурсияхвпроцедурекаплингадефектможет
сдвинутьсянапроизвольнобольшоерасстояниеотегоначальнойпозиции:
••
...
••
◦••
...
••
−→
••
...
••
••
...
••◦
.
Обозначимчерез
u
(x,I)плотностьx
-
дефектоввконечномсегментеI,
ачерез
u
(x):
=
u
(x,
R
)
—
верхнийпределвеличин
u
(x,I
n
),взятыйпо
всемвозможнымнаборамвложенныхконечныхсегментовI
n
,длиныкото
-
рыхстремятсякбесконечности.
Говорят,чтокаплингдвухмарковскихпроцессовx
t
,
´
x
t
почтиудачен,
есливерхняяплотностьx
-
дефектов
u
(x)стремитсякнулюповремени
почтинаверное.Этоопределениесущественноотличаетсяотпринятого
определенияудачногокаплинга(см.,например,[20]),которое,грубогово
-
ря,означает,чторассматриваемыепроцессысовременемстремятсядруг
кдругу.
Применяяпонятиепочтиудачногокаплингакрассматриваемымпро
-
цессамсзапретами,получаемследующийусловныйрезультат.
Лемма6.3.Пустьx,
´
x
∈
Xс
(x)
=
(
´
x)
>
0,ипредположим,что
имеетместопочтиудачныйкаплинг(x
t
,
´
x
t
),удовлетворяющийдо-
полнительномуусловиюотом,чторасстояниямеждувзаимно
спареннымичастицамиравномерноограниченысверхувеличиной
(t)
=
o(t).Тогда
|
V(x,0,t)
−
V(
´
x,0,t)
|
t
→∞
−−−→
0.
7.Схемадоказательстваосновныхэргодических
результатов
Начнемсдвухтехническихрезультатов.
Лемма7.1.Супремум
|
W
t
ij
|
:
=
x
t
i
−
´
x
t
j
повсемвзаимноспаренным
частицампридинамическомкаплинге(см.раздел6)процессов(x
t
,
´
x
t
)
равномерноограниченвеличинойvдлялюбогоt
∈Z
0
.
Лемма7.2.Пусть
(x)
=
(
´
x)ипустьприкаплинге
∀
i,jнайдется
такой(случайный)моментвремениt
ij
<∞
,чтоx
t
i
>
´
x
t
j
длялюбого
t
t
ij
.Тогдакаплингпочтиуспешен.
Принашихпредположениях(стандартный)удачныйкаплинг
1)
может
несуществовать(например,вслучаечистодетерминированнойпостановки
сдвумяравнораспределенныминачальнымиконфигурациями,сдвинутыми
друготносительнодруга).Поэтомулемма7.1неможетбытьприменена
непосредственнодлясравненияскоростейчастиц.Темнеменееоказы
-
вается,чтоэтонеявляетсясерьезнымпрепятствиемидажеотсутствие
1)
Удачныйкаплинг
—
когдапочтивсечастицысовременемоказываютсяспаренными.
М.Л.Бланк.Процессысзапретамивмоделяхтранспортныхпотоков215
удачногокаплингаможетбытьиспользовановкачестведиагностического
средства.
Идеядоказательстватеоремы5.1состоитвследующем.Рассмот
-
римдвепроизвольныхдопустимыхконфигурацииx,
´
xодинаковойплот
-
ности
>
0.Еслипредположить,чтоимеетсяпочтиудачныйди
-
намическийкаплингпроцессапарсначальнымиусловиямиx,
´
x,то
полемме7.1выполняютсяусловиялеммы6.3,откудаследует,что
|
V(x,0,t)
−
V(
´
x,0,t)
|
t
→∞
−−−→
0.Применениелеммы4.3доказываетнаше
утверждение.
Предположимтеперь,чтонетпочтиудачногодинамическогокаплинга.
Определимновыеслучайныевеличины:
W
t
ij
:
=
x
t
i
−
´
x
t
j
,i,j
∈Z
,t
∈Z
0
.
Тогда
V(x,i,t)
−
V(
´
x,j,t)
=
W
t
ij
/
t
−
W
0
ij
/
t.
Согласнолемме4.3средниескоростиразныхчастицводнойконфигурации
стремятсядругкдругусовременем.Поэтомудостаточнорассмотреть
случайi
=
j
=
0.ДляW
t
00
возможнытриследующихситуации.
(а)lim
t
→∞
W
t
00
/
t
=
0.Тогда
|
V(x,0,t)
−
V(
´
x,0,t)
|
|
W
t
00
|
/
t
+|
W
0
00
|
/
t
t
→∞
−−−→
0,чтопоследствию4.4влечетсовпадение
среднихскоростей.
(б)limsup
t
→∞
W
t
00
/
t
>
0.Тогда
∀
i
∈Z
i
-
ячастицаx
-
процессасовременем
обгонитлюбуючастицу
´
x
-
процесса,исходнорасположеннуюправее
точкиx
0
i
.Этонаблюдениевместесусловиемравенстваплотностей
позволяетприменитьлемму7.2,согласнокоторойкаплингпочти
успешен.Сдругойстороны,полемме7.1расстояниямеждувзаимно
спареннымичастицаминемогутпревыситьвеличиныv.Поэтомупо
лемме6.3имеем
|
V(x,0,t)
−
V(
´
x,0,t)
|
t
→∞
−−−→
0,чтопротиворечит
предположению(б).
(в)limsup
t
→∞
W
t
00
/
t
<
0.Меняяролипроцессовx
t
,
´
x
t
,возвращаемся
кслучаю(б).
Поэтомутолькопредположение(а)можетиметьместо.
Идеядоказательстватеоремы5.2состоитвпостроениидлякаждого
значенияплотностиспециальногосемействаконфигураций,остающегося
инвариантнымподдействиемдинамики.Показывается,чтодлялюбой
конфигурацииизэтогосемействавсечастицыдвигаютсяспостоянной
скоростью,котораяявновычисляется.Применяятеперьрезультаттеоре
-
мы5.1отом,чтоконфигурацииодинаковойплотностиимеютодинаковые
средниескорости,получаемтребуемоеутверждение.
216Приложения
8.Точныерезультатывстохастическойпостановке
Обсудимтеперьразработанныйнедавнов[8]новыйподходканализу
стохастическихсистемсзапретами,позволяющийврядеслучаевполу
-
читьявноеописаниедляфундаментальнойдиаграммывстохастической
постановке.
Напомнимобозначения.Поддопустимойконфигурациейx
t
вмо
-
ментвремениt
∈Z
+
∪{
0
}
будемпониматьупорядоченныйсчетныйна
-
борчастиц(шаров)радиусаr
0,центрырасположенывточкахx
t
:
=
=
(x
t
i
)
i
∈Z
⊂
R,x
t
i
+
r
x
t
i
+
1
−
r.Множествовсехдопустимыхконфи
-
гурацийобозначимчерезX
=
X(r,R).Черезv
>
0обозначиммакси
-
мальновозможноеперемещениеотдельнойчастицызаединицувремени,
т.е.0
x
t
+
1
i
−
x
t
i
v.Параметрp
∈
(0,1]определяетвероятностьпе
-
редвиженияотдельнойчастицы.Такимобразом,отдельнаячастицабез
взаимодействиясостальнымисовершаетстрогоасимметричноеслучайное
блужданиесоскачкамивеличиныv,происходящимисвероятностьюp.
Плотностьконфигурацииx
t
(числочастицнаединицудлины)опреде
-
ляетсякак
(x
t
):
=
lim
n
→∞
n
/
(x
t
n
−
1
−
x
t
0
),еслипоследнийпределимеет
смысл
1)
.
Рассмотримтри,напервыйвзгляд,принципиальноотличающихсятипа
процессовсзапретами.Вовсехслучаяхмырассматриваеммарковские
процессысдискретнымвременем,действующиенапространствеконфи
-
гурацийX
=
X(r,R),адинамикаотдельнойчастицывконфигурацииx
t
определяетсяследующимсоотношением:
x
t
+
1
i
=
min
{
x
t
i
+
v,x
t
i
+
1
−
2r
}
свероятностьюp,
x
t
i
свероятностью1
−
p.
(1)
Процессытипа1,обозначающиеся
(1)
,действуютнарешеткеR
=Z
1
,r
=
=
1
/
2,v
∈Z
1+
.Одинузелрешеткиможетбытьзанятнеболее,чемодной
частицей.Моделиэтоготипаширокоиспользуютсядляописаниядвиже
-
нияавтомобилейнаоднорядномшоссе(см.например[22,24],атакже
раздел3настоящейработы).
Процессытипа2,обозначающиеся
(2)
,такжедействуютнарешетке
R
=Z
1
,r
=
0,v
∈Z
1+
.Принципиальноеотличиесостоитвтом,одинузел
решеткиможетбытьзанятпроизвольнымчисломчастиц.Моделиэтого
типаснепрерывнымвременемназываютzero
-
rangeпроцессами(см.на
-
пример[17])иихудобноиспользоватьдлямоделированиялинийсвязи,
прикоторомчастицысоответствуютпакетаминформации,ожидающим
вочередяхксерверамсвязи,расположеннымвузлахрешеткиR.Сточки
1)
Односторонностьростаинтервалов(x
t
0
,x
t
n
−
1
)связанастем,чтовсечастицыдвигаются
воднусторону.Определениеплотностивобщемслучаесложнее(см.например[6]).
М.Л.Бланк.Процессысзапретамивмоделяхтранспортныхпотоков217
зренияквантовойстатистическоймеханикипроцессытипа1и2соотно
-
сятсякаквзаимодействующийгазФермиисвободныйгазБозе.
Процессытипа3,обозначающиеся
(3)
иявляющиесячастнымслу
-
чаемпроцессов,введенныхвработе[6](см.такжераздел3настоящей
работы),действуютужененарешетке,авнепрерывномпространстве
R
=R
1
,r
0,v
∈R
1+
.Нетруднопонять,чтоприr
=
1
/
2процессы
(3)
содержатвсетраекториипроцессов
(1)
,априr
=
0траекториипроцессов
(2)
,чтопозволяетодновременнополучатьаналитическиерезультатыдля
всехрассматриваемыхслучаев.
Однойизважнейшиххарактеристикрассматриваемыхпроцессовяв
-
ляетсясредняяскоростьдвижениячастицзавремяt
>
0:V(x,i,t):
=
=
(x
t
i
−
x
0
i
)
/
t.Вработе[6](см.такжераздел4)былопоказано,что
привесьмаобщихпредположениях(включающих,вчастности,динамику
частиц,двигающихсявпротивоположныхнаправлениях),заведомовыпол
-
ненныхвовсехрассматриваемыхвнастоящейработепроцессах,впределе
п.н.t
→∞
(еслионсуществует)статистикаV(x,i,t)зависиттолькоот
плотности
конфигурацииx.Поэтомудлявычислениясреднейскоро
-
стиV(x)
=
V(
(x)):
=
lim
t
→∞
V(x,i,t)(гдесходимостьпочтинаверное)
достаточноопределитьпоследнююдляспециальноподобранной(удобной
длявычисления)начальнойконфигурациитойжеплотности.Отметим,что
существованиепределаповремени,неговоряужеоявныхформулахдля
него,ранеебылодоказанотольковдетерминированнойпостановке(т.е.
приp
=
1),см.[6].
Теорема8.1.Дляпроцесса
(3)
∀
v,
∈R
1+
,p
∈
[0,1]идлялюбойдо-
пустимойначальнойконфигурацииплотности
средняяскорость
V(
,r)корректноопределенаивычисляетсяпоформулам:
V(
,r)
=
(1
−
2r
)V
1
−
2r
,0
,
V(
,0)
=
h
1
+
v
−
q
(1
+
v
)
2
−
4pv
i
/
(2
)
p
→
1
−−−→
min
{
1
/
,v
}
.(2)
Методдинамическогокаплинга(dynamicalcoupling),описанныйвраз
-
деле6иразработанныйв[6,7],позволяетполучитьполнуюинформацию
освойствахсреднихскоростейвдетерминированнойпостановке(т.е.при
p
=
1).Оннетребуетизучения(многочисленных)инвариантныхмерпро
-
цесса,нодаетлишьусловные(приусловииихсуществования)результаты
встохастическомслучае(хотяиприсущественноболееширокихпред
-
положенияхопроцессе:локальныескоростиv
=
v
i
-
н.о.р.случайные
величины).Встохастическомслучаеобойтианализинвариантныхмерне
удается.
Приведенныйвышеспособописанияпроцессовчерезконфигурации
упорядоченныхчастицудобендляанализадинамики,нонедопускает
218Приложения
p
=
1
(x)
V(x)
v
1
/
(x)
0
1
/
v
p
<
1
Рис.3.Фундаментальныедиаграммы(зависисостьсреднейскоростиотплотности)дляпро
-
цесса
(3)
сr
=
0.
наличияинвариантныхмер(стационарныхраспределений).Длявведения
последнихмыодновременноссамимипроцессамибудемрассматривать
ихмодификации,вкоторыхчастицынеотличимыдруготдруга,ивкото
-
рыхинвариантныемерыужеимеютсмысл.Соответствующиемножества
вероятностныхинвариантныхмермыобозначимчерез
M
(i)
p,v,r
,гдеиндекс
i
∈{
1,2,3
}
соответствуеттипупроцесса.Насегодняшнийденьмате
-
матическоеописаниеинвариантныхмердляпроцессов
(i)
посуществу
отсутствует,аединственныйклассификационныйрезультат[2]даетлишь
формальноеописаниеинвариантныхмердляпроцессов
(1)
,
(2)
приp
=
=
v
=
1иничегонеговоритдажеосуществованиинетривиальныхинвари
-
антныхмер.Чтобыуточнитьпоследнеепонятие,мыбудемназыватьмеру
нетривиальнойилимассивной,еслионаположительнаналюбомоткрытом
множестве.
Теорема8.2.Упроцесса
(3)
∀
v,r
∈R
1+
,
∈
(0,1
/
(2r)),p
∈
(0,1]
имеетсямассивнаяинвариантнаямера
(3)
p,r,v,
(являющаясятакже
трансляционноинвариантной,нонеэргодической),такая,что
E
(3)
p,r,v,
[
(3)
]
=
.
Следствие8.3.Дляпроцессов
(1)
,
(2)
выполненоутверждение
теоремы8.2.
Теорема8.4.Упроцесса
(1)
∀
v
∈Z
1+
,p,
∈
(0,1]приv
=
1име-
ется1-параметрическоесемействомарковскихпопространству,
эргодическихинвариантныхмер
{
(1)
p,1
/
2,1,
}
.Марковскийсдвигна
{
0,1
}
Z
сматрицейперехода(p
i,j
),i,j
∈{
0,1
}
индуцируетмеруиз
M
(1)
p,1,1
/
2
тогдаитолькотогда,когдаp
00
p
11
=
(1
−
p)p
10
p
01
.Прифик-
сацииплотности
мера
(1)
p,1
/
2,1,
единственнасредитрансляционно
инвариантныхмер.
М.Л.Бланк.Процессысзапретамивмоделяхтранспортныхпотоков219
При0
<
p
<
1инвариантныхмернемного,хотяимеетсяцелоесемей
-
ствонетрансляционноинвариантныхмер.Качественноотличнаситуация
вдетермированномслучае(приp
=
1):имеетсябесконечномноготранс
-
ляционноинвариантныхмерв
M
(1)
1,v,1
/
2,
.
Теорема8.5.Удетерминированногопроцесса
(1)
приv
=
p
=
1
имеетсямассивнаяинвариантнаямера
,являющаясявзвешенной
суммой2-хмермаксимальнойэнтропиидля
(1)
.Крометого,имеет-
ся1-параметрическоесемействоинвариантныхмер
,такихчто
E
[x
t
i
]
=
и
(1)
p,1
/
2,1,
p
→
1
−−−→
.
Досихпормырассматривалитолькопроцессысзапретами,действую
-
щимиводнородныхпространствах.Вработе[7]былапредложенаиизу
-
ченамодификациядетерминированнойверсиипроцесса
(3)
,учитывающая
наличиестатическихпрепятствий(светофоров)длядвиженияточечных
частиц(т.е.r
=
0).Зафиксируемпроизвольнуюточечнуюконфигурацию
z
=
(z
j
)
j
∈Z
∈
X(0,
R
),котораясоответствуетпозициямпрепятствий.Тогда
формула(1)переписываетсяследующимобразом:
x
t
+
1
i
=
min
{
x
t
i
+
v,x
t
i
+
1
,z
j(x
t
i
)
}
свероятностьюp,
x
t
i
свероятностью1
−
p.
(3)
гдеj(x
t
i
):
=
min
{
k
∈Z
:x
t
i
z
k
}
.Такимобразом
«
препятствия
»
приоста
-
навливаютдвижениечастиц.
Призаданныхv
>
0иконфигурациипрепятствийzобозначимчерез
zрасширеннуюконфигурациюпрепятствий,получаемуювставкоймежду
каждойпаройпоследовательныхпрепятствийz
i
,z
i
+
1
новых
(z
i
+
1
−
z
i
)
/
v
«
виртуальных
»
препятствийнарасстоянияхvдруготдруга,начинаясточ
-
киz
i
.Здесь
u
-
этоцелаячастьu.
Теорема8.6([9]).Длязаданныхv
>
0
<
p
<
1илюбыхконфигу-
рацийx,z
∈
X(0,
R
),длякоторыхплотности
(x),
(z)корректно
определены,
V(x,z)
=
(x)
+
(z)
−
p
(
(x)
+
(z))
2
−
4p
(x)
(z)
2
(x)
(z)
p
→
1
−−−→
min
{
1
/
(z),1
/
(x)
}
.
(4)
Можетпоказатьсястранным,чтомаксимальнаялокальнаяскоростьv
невходитявнымобразомвформулудлясреднейскоростиV(x,z),однако
последняяявнозависитотрасширеннойконфигурацииz,конструкция
которойсвязанасv,вчастности
(z)
1
/
v.
Интересноотметить,чтов[7]былопоказано,чтовболееобщей
постановкесневырожденнымраспределениемзначенийслучайныхн.о.р.
локальныхскоростейv
t
i
средниескоростидвижениячастицмогутнесу
-
ществовать.
220Приложения
9.Основныеидеииконструкциидоказательств
встохастическойпостановке
Последовательностьдоказательств:сначаладоказываемтеорему8.4,
проверяяинвариантностьмерынацилиндрическихмножествах.Получаем
отсюдаявнуюформулудлясреднейскоростидляпроцесса
(1)
сv
=
1.
Далееэтирезультатыпереносятсянаболеесложныеситуации,описанные
вдругихутверждениях.
Какужебылоотмечено,доказатьдажесуществованиесреднихскоро
-
стейдвижениячастицвстохастическомслучае,неговоряужеоявных
формулахдляних,неполучивпредварительнонетривиальныхинвари
-
антныхмер(которыеинтересныисамипосебе),неудается.Ключевым
результатомздесьявляетсядоказательствотеоремы8.4,аименнопостро
-
ениемарковскойинвариантноймерыдляпроцесса
(1)
приv
=
1,0
<
p
<
1.
Подмарковскоймеройздесьпонимаетсяединственнаяинвариантнаяме
-
радлямарковскогосдвигана
{
0,1
}
Z
сневырожденнойматрицейперехода
(p
ij
),i,j
∈{
0,1
}
,p
ij
0,
P
j
p
ij
=
1.Втерминахконфигурацийчастиц1
здесьсоответствуетналичиючастицывузлерешетки
Z
,а0
-
ееотсут
-
ствию.Условие
p
00
p
11
=
(1
−
p)p
10
p
01
(5)
призаданном0
<
p
<
1определяетодно
-
параметрическоесемействомар
-
ковскихмер
{
(1)
a
}
a
,a:
=
p
01
∈
(0,1).Инвариантностьэтихмеротноси
-
тельнодинамики(1)проверяетсявычислениеммерконечныхцилиндров
ибалансавероятностейпереходовмеждуними(собственноотсюдаивоз
-
никаетприведенноеусловие).Из(5)получаемp
10
=
(1
−
a)
/
(1
−
pa),
авсилуравенствамеждуплотностьючастиц
истационарнойве
-
роятностьюединицпримарковскомсдвигеимеем
=
a
/
(a
+
p
10
)
=
=
a(1
−
pa)
/
(1
−
pa
2
).Разрешаяпоследнееравенствоотносительнопа
-
раметраa,получаем
a
=
1
−
p
1
−
4p
(1
−
)
2p(1
−
)
.(6)
Поэтомуполученноесемействомероднозначноиндексируетсяплотностью.
Свойствомассивностимер
{
(1)
a
}
a
проверяетсянепосредственно,аихэр
-
годичностьдоказываетсяприпомощиметодадинамическогокаплинга.
Вдетерминированномслучае(p
=
1)описаннаяконструкциянепро
-
ходит(хотябыввидунеединственностивклассетрансляционноинва
-
риантныхмер).Однакоздесьприменимдругой(хорошоизвестныйв
гиперболическойтеории)подход,связанныйспостроениеммермакси
-
мальнойэнтропии(см.например[12]).Рассматриваютсяравномерное
распределениепериодическихточекпериодаnиихпределыприn
→∞
.
М.Л.Бланк.Процессысзапретамивмоделяхтранспортныхпотоков221
Показывается,чтоестьдватакихпредела,одинизкоторыхсоответствует
меремаксимальнойэнтропиидлясдвигавправона
{
0,1
}
Z
(исвязанскон
-
фигурациямиплотности
1
/
2),адругой
-
длясдвигавлево(исвязан
сконфигурациямиплотности
>
1
/
2).Далееприменяютсясоответствую
-
щиерезультатыдлятопологическихмарковскихцепей(см.например[12]).
Дляпостроениямер
помераммаксимальнойэнтропиииспользуется
либогиббсовскаяперестройка,либоихявноепредставлениевтерминах
марковскихсдвигов.
Сформулируемнесколькорезультатов,позволяющихперейтиотэтого
результатакболееобщейситуации.
Лемма9.1.Длялюбыхзаданныхv,pсправедливыследующиесо-
отношения:
1)
(1)
=
(3)
|
X(1
/
2,
Z
),
2)
(2)
=
(3)
|
X(0,
Z
),
3)
∀
r
>
0существуетгомеоморфизм
=
r
:X(r,
R
)
→
X(0,
R
),та-
койчто
◦
(3)
r
=
(3)
0
◦
,
4)
∀
u,v
>
0,0
<
p
1подрешеткаR
u,v
:
=
v
Z+
uинвариантна
относительнопроцесса
(3)
,т.е.x
0
⊂
R
u,v
=⇒
x
t
⊂
R
u,v
∀
t
>
0.
Последнеесвойствопозволяетперенестирезультатосуществовании
массивныхинвариантныхмерс
(1)
на
(3)
,однакоэтимерыуженеявля
-
ютсяэргодическими.
Перейдемквычислениюсреднихскоростейиначнемскраткойформу
-
лировкиполученныхранее(см.также[6])результатовосравнениисредних
скоростей.
Теорема9.2.Дляпроцесса
(3)
∀
v,r
∈R
1+
,
∈
(0,1
/
(2r)),p
∈
(0,1]
справедливоследующее.Пустьx
0
,y
0
∈
X(r,
R
)и
(x)
=
(y)
=
=
исредняяскоростьV(y)корректноопределена.Тогда
|
V(x,i,t)
−
V(y,j,t)
|
t
→
0
−−→
0длялюбыхi,j
∈Z
.
Полученноевтеореме8.4представлениедлямарковскойинвариант
-
ноймерыпроцесса
(1)
приv
=
1немедленнодаетформулудлясредней
скоростиV(
,p,1,1
/
2)
=
pp
10
=
p(1
−
a)
/
(1
−
pa)
∈
[0,p].Подставляя
значениеa
=
a(
)согласноформуле(6)получаем
V(
,p,v
=
1,r
=
1
/
2)
=
1
−
p
1
−
4p
(1
−
)
/
(2
).(7)
Всилутеоремы9.2илеммы9.1этотрезультатпереноситсянапро
-
цессы3
-
готипасv
=
1,r
=
1
/
2безизменения.Заметим,чтопоследняя
формулаизвестнавфизическихработахдляслучаяпроцессовтипа1сv
=
=
1(см.[24]).
Важноотметить,чтонаивныйпереходотv
=
1кv
>
1непосредственно
вклассерешеточныхпроцессов(используяинвариантностьподрешеток
222Приложения
сшагомкратнымv)невозможен(точнеетакимобразомможноизучать
лишьконфигурациималойплотности
<
1
/
v).Вместоэтогомывоспользу
-
емсясамоподобиемпроцессовтипа3,действующихвнепрерывномпро
-
странстве.Для
(3)
имеем:1
→
v
=⇒
→
/
v,V
v
=
1
(
,0)
→
vV
v
=
1
(v
,0).
Применяяэтипреобразованияподобияизчастногослучая(7)мыполучаем
общуюформулудлясреднейскорости(2):
V(
,p,v
>
0,r
=
0)
=
vV(v
,p,v
=
1,r
=
1
/
2)
=
1
+
v
−
p
(1
+
v
)
2
−
4pv
2
.
Всвоюочередь,результатыдля
(3)
спроизвольнымv
∈Z
+
непосред
-
ственнопереносятсяполемме9.1обратнонарешеточныеслучаи.
Обсудимтеперьпринципиальноотличающуюсяситуацию,описанную
втеореме8.6.Деловтом,чтонеоднородностьпространства,вкото
-
ромосуществляетсяколлективноеслучайноеблуждание(наличиепре
-
пятствий),вобщемслучаенедопускаетсуществованияинвариантных
мер
1)
.Поэтомуосновнойприменяемыйнамишагпостроениямассивной
инвариантноймерыневозможен.Упомянутоевформулировкетеоремы8.6
техническоеограничениенавыборzсостоитвследующем.Позадан
-
нойконфигурацииzизначениюv
>
0определимновуюрасширенную
конфигурацию
˜
z,полученнуювставкоймеждукаждойпаройэлементов
z
i
,z
i
+
1
новых
(z
i
+
1
−
z
i
)
/
v
‘виртуальных’препятствийначинаяотточ
-
киz
i
нарасстоянииvдруготдруга.Здесь
u
обозначаетцелуючасть
числаu.Вэтихтерминахограничениесостоитвсуществованииплотности
длярасширеннойконфигурации
˜
z.Отметим,чтоотсюданеследуетдаже
существованиеплотностидлясамойконфигурацииz.Используятехнику,
разработаннуювработе[7]длядетерминированнойверсииэтойзадачи,
удаетсяпоказать,чтовычислениесреднейскоростиV(x,z,v,p)сводится
канализумарковскогопроцессатипа2,действующего(вотличиеотуже
изученнойпостановки)нанеоднороднойрешеткеR:
=
˜
z.Существование
плотностиконфигурации
˜
zпозволяетперенестирезультатыполученные
дляобычнойрешетки
Z
нарассматриваемыйнеоднородныйслучай,что
изавершаетконструкцию,деталикоторойописаныв[9].
Литература
1.AngelO.TheStationaryMeasureofa2
-
typeTotallyAsymmetricExclusion
Process
//
J.Combin.TheorySer.A.2006.V.113,№4.P.625
–
635;
arXiv/0501005math.CO
2.BelitskyV.,FerrariP.A.InvariantMeasuresandConvergenceforCellular
Automaton184andRelatedProcesses
//
J.Stat.Phys.2005.V.118,№3
–
4.
P.589
–
623;
arXiv:math/9811103v1
1)
Длясуществованияинвариантныхмернеобходимохотябывыполнениеусловиястацио
-
нарностидляконфигурацийпрепятствийz.
М.Л.Бланк.Процессысзапретамивмоделяхтранспортныхпотоков223
3.BlankM.Ergodicpropertiesofasimpledeterministictrafficflowmodel
//
J.Stat.
Phys.2003.V.111,№3
–
4.P.903
–
930;
arXiv:math/0206194
4.BlankM.Hysteresisphenomenonindeterministictrafficflows
//
J.Stat.Phys.
2005.V.120,№3
–
4.P.627
–
658;
arXiv:math.DS/0408240
5.BlankM.Travellingwith
/
againsttheFlow.DeterministicDiffusiveDrivenSys
-
tems
//
J.Stat.Phys.2008.V.133,№4.P.773
–
796;
arXiv:0810.2205math.DS
6.BlankM.Metricpropertiesofdiscretetimeexclusiontypeprocessesincontinuum
//
J.Stat.Phys.2010.V.140,№1.P.170
–
197;
arXiv:0904.4585math.DS
7.BlankM.Exclusiontypespatiallyheterogeneousprocessesincontinua
//
J.Stat.
Mech.2011.P06016;
arXiv:1105.4232math.DS
8.БланкМ.Л.Нетривиальныеинвариантныемерыистатистикидляпроцессов
сзапретами,
//
ДокладыРоссийскойАН(принятокпубликации).
9.BlankM.DiscretetimeTASEPinheterogeneouscontinuum,
//
preprint,2011.
10.БланкМ.Л.,ПироговС.А.Оквазиуспешномкаплингемарковскихпроцессов
//
Пробл.передачиинформ.2007.Т.43,№4.С.51
–
67.
11.BorodinA.,FerrariP.L.,SasamotoT.Largetimeasymptoticsofgrowthmodels
onspace
-
likepathsII:PNGandparallelTASEP.
arXiv:0707.4207math-ph
,
2007.
12.БоуэнР.Методысимволическойдинамики.М.:Мир,1979.
13.ChowdhuryD.,SantenL.,SchadschneiderA.Statisticalphysicsofvehicular
trafficandsomerelatedsystems
//
PhysicsReports.2000.V.329.P.199
–
329;
arXiv:0007053cond-mat
14.ComtetA.,MajumdarS.N.,OuvryS.,SabhapanditS.Integerpartitionsand
exclusionstatistics:limitshapesandthelargestpartsofYoungdiagrams
//
J.Stat.
Mech.2007.P10001;
arXiv:0707.2312
15.EvansM.R.,RajewskyN.,SpeerE.R.Exactsolutionofacellularautomaton
fortraffic
//
J.Stat.Phys.1999.V.95.P.45
–
98.
16.EvansM.R.,FerrariP.A.,MallickK.Matrixrepresentationofthestationary
measureforthemultispeciesTASEP.
arXiv:0807.0327math.PR
,2008.
17.EvansM.R.,HanneyT.NonequilibriumStatisticalMechanicsoftheZero
-
Range
ProcessandRelatedModels
//
J.Phys.A:Math.Gen.2005.V.38.P.R195
–
R239;
arXiv:cond-mat/0501338
18.GrayL.,GriffeathD.Theergodictheoryoftrafficjams
//
J.Stat.Phys.2001.
V.105,№3
–
4.P.413
–
452;
http://psoup.math.wisc.edu/traffic/
19.КорнфельдИ.П.,СинайЯ.Г.,ФоминС.В.Эргодическаятеория.М.:Наука,
1980.
20.LiggettT.M.Interactingparticlesystems.N.Y.:Springer
-
Verlag,1985.
21.MaerivoetS.,DeMoorB.CellularAutomataModelsofRoadTraffic
//
Physics
Reports.2005.V.419,№1.P.1
–
64;
arXiv:physics/0509082
22.NagelK.,SchreckenbergM.Acellularautomatonmodelforfreewaytraffic
//
J.
PhysiqueI.1992.V.2.P.2221
–
2229.
23.PenroseM.D.Existenceandspatiallimittheoremsforlatticeandcontinuum
particlesystems
//
Probab.Surveys.2008.V.5.P.1
–
36.
24.SchadschneiderA.,SchreckenbergM.Cellularautomationmodelsandtraffic
flow
//
J.Phys.A:Math.Gen.V.1993.V.26.P.L679
–
L683.
Е.В.Гасникова
Овозможнойдинамикевмоделирасчета
матрицыкорреспонденций
1.Введение
ПослеработЕ.Т.Джейнса(конца50
-
хгодовXXвека)[1],
А.Дж.Вильсона(конца60
-
хгодовХХвека)[2],И.Пригожинасколле
-
гами,Г.Хакена(70
-
егодыXXвека)[3,4]влитературедостаточнопрочно
укрепиласьконцепцияоплодотворностиперенесениятермодинамического
формализма(см.,например,[5]
–
[14]ицитированнуютамлитературу)на
различныемакросистемы(вчастности,встречающиесявэкономике,био
-
логии,социальнойсфере[2]
–
[4];[15]
–
[24]).ВРоссиисистематические
исследованиявэтомнаправлениибылипредпринятыЛ.Н.Розоноэром
вначале1970
-
х[25](см.также[26]
–
[34]ицитированнуютамли
-
тературу).Упомянутаяконцепциячастоиспользуетсядлянахождения
равновесиямакросистемы.Аименно,поаналогиисфеноменологической
термодинамикой,вводитсявероятностноераспределениенамножестве
состояний,вкоторыхможетпребыватьмакросистема.Такоераспределе
-
ниеможет,например,совпадатьсинвариантноймеройэргодической
динамическойсистемы,порождающейрассматриваемуюмакросисте
-
му[11],илисфинальным(равнымстационарному)распределением
эргодического(например,марковского)случайногопроцесса,порож
-
дающегорассматриваемуюмакросистему[35]
–
[40].Еслиразмерность
макросистемыувеличивается,то,какправило,распределениесосредо
-
тачиваетсявокрестностинаиболеевероятногомакросостояния
1)
.Таким
образом,сростомвременинаблюдениязамакросистемойиразмерности
макросистемыследуетожидатьнахождениямакросистемысбольшой
вероятностьювмалойокрестностинаиболеевероятногомакросостояния
внезависимостиоттого,вкакомсостояниимакросистеманаходилась
сначала(иначеговоря,большуючастьвремени(иногда,ипросто,на
большихвременах)макросистемабудетпребыватьвмалойокрестности
наиболеевероятногомакросостояния).Естественнопоэтомуподравно-
весиеммакросистемыпониматьнаиболеевероятноемакросостояние.
1)
Заметим,чтоотмеченноеобстоятельство(концентрация)можетбытьпо
-
разномуобос
-
новано(какправило,достаточноэлементарныхкомбинаторныхсоображенийиформулы
Стирлинга[1,2,30,33].
Е.В.Гасникова.Овозможнойдинамикевмоделирасчета...225
Задачанахождениянаиболеевероятногомакросостояниячастосводится
(асимптотическипоразмерностисистемы)кзадачемаксимизацииэн-
тропийноподобногофункционалаприограничениях(втермодинамике
такимобразомможнополучитьстатистикиБольцмана,Ферми
–
Дирака,
Бозе
—
Эйнштейна[1,5]).Подробнееоприложенияхэтойконцепциисм.,
например,[1,2,30,33];[41]
–
[45]
1)
.
2.Возможнаядинамика,приводящаявасимптотике
(повремени)кстатическоймоделиА.Дж.Вильсона
расчётаматрицыкорреспонденций
Рассмотримдляначалаболеепростойпример,иллюстрирующийфор
-
мализм,описанныйвовведении.
Пример1(кинетикасоциальногонеравенства[23,47]).Вгородежи
-
ветN
≫
1(например,10000)пронумерованныхжителей.Укаждогоi
-
го
жителяестьвначальный(нулевой)моментвременицелое(неотрицатель
-
ное)количестворублейs
i
(0)(монетками,достоинствомводинрубль).Со
временемпронумерованныежители(количествокоторыхнеизменяется,
такжекакисуммарноеколичестворублей)случайноразыгрываютсвое
имущество.Пустьвмоментвремениt
0r
-
йжительимеетkрублей,
аl
-
йжитель
—
mрублей.Тогдаp
k;m
(t)
Δ
t
+
o(
Δ
t)естьвероятностьтого,
чтожителисномерамиrиl(1
l
N)встретятсяипопробуютразыграть
одинрубльпоследующемуправилу:свероятностью1
/
2жительсб
´
ольшим
номеромотдаёт1рубль(если,конечно,оннебанкрот)жителюсменьшим
номеромисвероятностью1
/
2наоборот.Будемсчитать,чтоp
k;m
(t)
≡
N
−
1
(
>
0).Приэтом
«
всреднем
»
вединицувремениосуществляется
N
/
2
встреч.Т.е.,скажем,при
=
1вединицувременикаждыйжительсве
-
роятностью,большей1
/
2,скем
-
тодолженвстретиться.Приблизительно
такуюпостановкузадачивконцеXVIIIвекапредложилизвестныйита
-
льянскийэкономистВильфредоПарето,чтобыобъяснитьсоциальное
неравенство.
1)
Укажемнекоторыечастовстречающиесявприложениях[41]
–
[45]формализмы,также
приводящиекзадачамоптимизацииэнтропийноподобныхфункционалов:принципнаиболь
-
шегоправдоподобия(приоценкенеизвестныхпараметровпопростойвыборке);принцип
максимумаапостериорнойвероятности;наименьшееотклонениевсмыслерасстоянияКуль
-
бака
—
Лейблера(энтропийноерасстояние)[46];принципнаименьшейнеопределенности
(энтропия
—
меранеопределенности)втеорииинформации(рассужденияопираютсявря
-
деслучаевнатеоремуШеннона
—
МакМиллана
—
Бреймана).Важнотакжеотметить,что
энтропийноподобныйфункционалчастоявляетсяфункциейЛяпуновадлядинамической
системы(например,системыобыкновенныхдифференциальныхуравнений,итерационного
процесса,уравнения(
-
ий)вчастныхпроизводныхэволюционноготипаит.п.),порождающей
рассматриваемуюмакросистему[12];[17]
–
[20].Пожалуй,наиболееяркимпримеромэтого
тезисаявляетсякинетическаятеория(Л.Больцман[8]).
226Приложения
Пустьc
s
(t)
—
доляжителейгорода,имеющихровноsрублейвмомент
времениt(заметим,чтоc
s
(t)
—
случайнаявеличина).Пусть
S
=
N
X
i
=
1
s
i
(0),
¯¯
s
=
S
N
.
Тогдапоэргодическойтеоремедляконечныходнородныхмарковскихце
-
пей(см.[18,19];[35]
–
[38]иупражнениениже):
1)
∀
q
=
0,...,S
∃
+
q
>
0,T
q
=
O(N):
∀
t
T
q
P
c
s
(t)
Ce
−
s
/
¯¯
s
−
1
q
√
N
,s
=
0,...,q
0,999,
гдеCопределяетсяизусловиянормировки:
S
X
s
=
0
Ce
−
s
/
¯¯
s
=
1,т.е.S
≈
1
¯¯
s
.
Скоростьсходимостиоцениваетсясверху,исходяизоценоквдоказатель
-
ствеэргодическойтеоремыдляоднородныхмарковскихцепейсконечным
1)
Эргодическаятеоремаиспользуетсядлянахожденияраспределенияслучайныхвеличин
c
s
(t)набольшихвременах.Далееиспользуютсязаконыбольшихчиселили,другимисловами,
явлениеконцентрацииинвариантной(стационарной)меры,окотороммыподробнеепогово
-
римвследующемпримере.Точнеенесамоэтоявление,аегоследствиеотом,что
«
хорошие
»
(например,липшицевы)функциина
«
хороших
»
компактныхпространствахсмеройбольшого
числаизмеренийпочтивездеблизкикмедиане[48].
Е.В.Гасникова.Овозможнойдинамикевмоделирасчета...227
числомсостояний
1)
.Какпоказываютчисленныеэксперименты,
2)
оценка
O(N)точная.Так,есливгороде10000жителейиединицавремени
—
день,топриначальном
«
социальномравенстве
»
свероятностью,близкой
кединице,через20
–
30лет(при
=
1)установится
«
социальноенера
-
венство
»
.Заметим,чтоописанныйвышеслучайныйпроцессобратимво
времени.Однаконаблюдаетсянеобратимаядинамикаc
s
(t).Новтаком
случаеможноудивлятьсятакжеитому,чтогаз,собранныйвначальный
моментводнойполовинесосуда,стечениемвремениравномернораспре
-
делитсяпососуду.
Приведемотчастисхожуюпостановкузадачи(тажесамаямерабудет
концентрироваться),восходящуюкВ.П.Маслову[33].Нижеприведен
фрагментегоинтервью2009года,посвященногообъяснениюфинансового
кризиса2008г.
В.П.Маслов:ПояснюназнаменитомтрюкеКоровьева
—
Фаго-
та
—
помнитебулгаковскогогероя,которыйразбрасывалвварьете
червонцы?Понятно,чтокому-тодосталосьбольшекупюр,кому-
томеньше,акто-товообщеосталсянисчем.Вопрос:есликупюр
миллион,тосколькодолжнобытьзрителей,чтобыниодинне
осталсябезбанкноты?Вродеоченьнеопределеннаязадача,неиме-
1)
Необходимо(дляпростотыформулировок,врамкахэтойсноскисчитаемвремядис
-
кретным)асимптотически(поразмерумакросистемы)оценитьвтороеповеличинемодуля
собственноезначениематрицыпереходныхвероятностей
—
инфинитезимальнойматрицы
(первоесобственноезначение,котороедлянеотрицательныхматрицчастоназываютчислом
Фробениуса
—
Перрона,равноединице,посколькуматрицастохастическая
—
всеэлементы
неотрицательныисуммавсехэлементоввлюбойстрокеравнаединице),определяющее
основаниегеометрическойпрогрессии,мажорируемойпоследовательностьнормотклонений
текущегосостоянияотстационарноговразличныемоментывремени[35]
–
[38].Здесьнельзя
неупомянутьотом,чтовэтомнаправлениизапоследниенесколькодесятковлетпроизо
-
шлаопределеннаяреволюция[49],которуюможнопояснитьрассмотреннымпримером1.
Несложнопроверить,чточисло(макро
-
)состояниймарковскойцепивэтомпримерерастет
быстрее,чемэкспоненциальносростомN.Втовремякакпопрошествиивсеголишь
O(N)тактовраспределениецепибудетужедовольноблизкокфинальному(предельно
-
му)
=
стационарному(инвариантному).Такимобразом,есливозникаетпотребностьбыстро
сгенерироватьдискретныеслучайныевеличины,которыемогутприниматьогромноечисло
значений,товрядеслучаевудаетсяподобратьтакуюмарковскуюцепь,котораябыстро
«
выйдет
»
настационарныйрежим,соответствующийжелаемомураспределению.Несколько
интересныхпримероввэтомнаправлении(модельИзингаидр.)собрано,например,всо
-
временномкурсемарковскихслучайныхпроцессов[38].Заметим,чтоприоценкахвторого
повеличинемодулясобственногозначенияактивноиспользуетсяужеупоминавшийсяприн
-
ципконцентрациимеры(см.[49,50]ицитированнуютамлитературу,атакжеприложение
А.В.Колесникова).
2)
Вэкспериментах,проведенныхТ.А.Нагапетяном,полученаоценкаT
q
=
2N,придоволь
-
нобольшихзначенияхqи
q
∼
1.НедавноА.В.Колесниковуудалосьспомощьютехники
статьи[50]доказатьэтуоценку.
228Приложения
ющаяоднозначногорешения.Итемнеменееответесть:примерно
квадратныйкореньизмиллиона,тоестьтысячазрителей.
Точнееговоря,какследуетизвышенаписанного,свероятностью,близ
-
койк1,долябанкротовбудетравнапримерно1
/
¯¯
s
∼
0,001,посколькупо
условию
¯¯
sN
=
S
=
10
6
иN
∼
√
S.Поэтомуколичествобанкротовсверо
-
ятностью,близкойк1,незначительноотличаетсяотN
/
¯¯
s
∼
1.
Упражнение
∗
(принципсжимающихотображенийифокусирующие
операторы,эргодическаятеоремадляконечныходнородныхмарковских
цепей[51]).
а)Покажите,чтоеслиоператор(вообщеговоря,нелинейный)Aдей
-
ствуетвполномметрическомпространствеXи
∃
k
∈
N:
∀
x,y
∈
X
→
(A
k
(x),A
k
(y))
(x,y),
∈
(0,1),
то
∃
!x
∗
∈
X:A(x
∗
)
=
x
∗
и
∀
x
∈
X
→
(A
n
(x),x
∗
)
=
O(
n
/
k
).
б)ПустьX
=
P
R
n++
—
множестволучейпространства
R
n
,лежащих
вовнутренностинеотрицательногоортанта,накоторомвведенаметрика
Биркгофа:
(x,y)
=
lnmin
n
:
x
y
x
o
=
lnmin
j,k
=
1,...,n
x
j
y
k
x
k
y
j
.
Здесьподэлементамиxиyвлевойчастиравенствапонимаютсялучи,авот
вправойчастиужекакие
-
товекторы,лежащиенасоответствующихлучах.
Какиеименновекторы
—
неважно.Покажите,чтоX
—
полноеметрическое
пространство.Покажите,чтоеслилинейныйоператорA:X
→
X(A
=
=k
a
ij
k
n
i,j
=
1
—
матрицаx
×
n)положительный,т.е.
∀
i,j
=
1,...,n
→
a
ij
>
0,
то
∃
∈
(0,1):
∀
x,y
∈
X
→
(Ax,Ay)
(x,y).
в)(стохастическийварианттеоремыФробениуса
—
Перрона,или
эргодическаятеоремадляконечныходнородныхдискретныхмар
-
ковскихцепей(д.м.ц.)).Следующиеусловиядлястохастическоймат
-
рицыn
×
xPравносильны:
1)
∃
m
0
∈N
:P
m
0
=k
p
ij
(m
0
)
k
n
i,j
=
1
>
0,т.е.
∀
i,j
=
1,...,n
→
p
i,j
(m
0
)
>
0;
2)P
—
эргодическаяматрица,т.е.
∃
~
p
∗
>
~
0:lim
m
→∞
P
m
=
~
p
∗
,
~
p
∗
,...,
~
p
∗
|
{z
}
n
T
,
причём
~
p
∗
являетсяединственнымрешениемсистемы:
~
p
∗
T
=
~
p
∗
T
P,
n
X
k
=
1
~
p
∗k
=
1.
1)
(S)
Е.В.Гасникова.Овозможнойдинамикевмоделирасчета...229
Пример2(модельрасчетаматрицыкорреспонденций[2]).Внеко
-
торомгородеимеетсяnрайонов,L
i
>
0
—
числожителейi
-
горайона,
W
j
—
числоработающихвj
-
мрайоне(числорабочихмест),x
ij
(t)
0
—
числожителей,живущихвi
-
мрайонеиработающихвj
-
мвмомент
времениt
0.Современемпронумерованныежители(количествокоторых
неменяется
1)
иравноN
=
P
n
i
=
1
L
i
=
P
n
j
=
1
W
j
)меняютместажительства
(квартиры).Считается,чтоотмеченныеизменениямогутпроисходитьтоль
-
козасчётобменаквартирами,т.е.
x
ij
(t)
0,
n
X
j
=
1
x
ij
(t)
≡
L
i
,
n
X
i
=
1
x
ij
(t)
≡
W
j
,i,j
=
1,...,n.(A)
Пустьвмоментвремениt
0r
-
йжительживетвk
-
мрайонеира
-
ботаетвm
-
м,аl
-
йжительживетвp
-
мрайонеиработаетвq
-
м.Тогда
p
L
k,m;p,q
(t)
Δ
t
+
o(
Δ
t)
—
естьвероятностьтого,чтожителисномерамиrиl
(1
r
<
l
N)поменяютсяквартирамивпромежуткевремени(t,t
+Δ
t).
1)
Заметим,чтоизвидаматрицыlim
m
→∞
P
m
=
~
p
∗
,
~
p
∗
,...,
~
p
∗
|
{z
}
n
T
следует,что
∀
~
p(0)
~
0
n
X
k
=
1
p
k
(0)
=
1
→
lim
m
→∞
~
p(m)
=
lim
m
→∞
(P
m
)
T
~
p(0)
=
~
p
∗
.
Этоусловиеозначаетравенствофинальногораспределения(lim
m
→∞
~
p(m))стационарному
~
p
∗
(
~
p
∗
=
P
T
~
p
∗
)внезависимостиотначальногораспределения
~
p(0).Заметимтакже,чтоусловия
1),2)равносильныследующимтребованиям:конечнаяоднороднаяд.м.ц.сматрицейпере
-
ходныхвероятностейP
—
неразложимая
=
неприводимая(т.е.изпроизвольногосостояния
«
можноприйти
»
влюбое,напередзаданное)инепериодическая(Н.О.Д.
{
k:[P
k
]
11
>
0
}=
1).
Еслиубратьусловиенепериодичности,то
∃
!
~
p
∗
>
~
0(
~
p
∗
∈
S):lim
N
→∞
1
N
N
X
m
=
1
P
m
=
~
p
∗
,
~
p
∗
,...,
~
p
∗
|
{z
}
n
T
(сходимостьпоЧезаро).
Еслиперейтикнепрерывномувремени,осуществляясоответствующийскейлинг,толегко
показать,чтонеобходимостьвусловиинепериодичностиисчезает.Еслижецепьразложима,
тосистема(S),вообщеговоря,ужебудетразрешиманеединственнымобразом.Финальное
распределениесуществует,ноужеможетзависетьоттого,скакогораспределениястартуем.
Соответствующийвариантэргодическойтеоремыприведен,например,в[37].Доказательство
в[37]такжебазируютсянапринципесжимающихотображений.Другое,болеевероятностное,
доказательствоэргодическойтеоремыдляконечныходнородныхд.м.ц.имеется,например,
в[35,38]ибазируетсянакаплинге(см.такжеприложениеМ.Л.Бланка).
1)
Посколькумыбудемследитьзасистемойнабольшихвременах,тосделанноепредпо
-
ложениекажетсянеестественным.Заметим,однако,чтоесли
«
номержителя
»
передаётся
егопотомкам(номерпапыпередаётсясыну,номермамы
—
дочери),топредположение
опостоянствесоставажителейвыглядитразумнымвпервомприближении.Здесьмытакже
пренебрегаеммиграционнымипотоками(городизолирован).
230Приложения
Естественносчитать,чтовероятностьвединицувремениобменаместами
жительствазависиттолькоотместпроживанияиработыобменивающих
-
ся.
Например,можносчитать,чтовремя,потраченноевпутиотрайонаi
дорайонаj,естьt
ij
0(вместоt
ij
вприводимуюнижеформулутакже
осмысленноподставлятьl
ij
0
—
расстояниеотрайонаiдорайонаj),а
p
L
k,m;p,q
(t)
≡
p
L
N
−
1
exp(
(t
km
+
t
pq
−
(t
pm
+
t
kq
))
/
2)
>
0,
гдеp
L
>
0,
>
0.Тогдапоэргодическойтеоремедляконечныходнородных
марковскихцепей(см.[18,19];[35]
–
[38]):
∀{
x
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
∈
(A)
→
lim
t
→∞
P(x
ij
(t)
=
x
ij
,i,j
=
1,...,n)
=
=
Z
−
1
n,n
Y
i
=
1,j
=
1
exp(
−
t
ij
x
ij
)
(x
ij
!)
−
1
def
=
p
{
x
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
,
гдестатсуммаZнаходитсяизусловиянормировкиполучившейсяпуассо
-
новскойвероятностноймеры[52].Распределениеp
{
x
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
намноже
-
стве(A)сконцентрированоприN
≫
1(см.ниже)вокрестностинаиболее
вероятногозначения
{
x
∗ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
,котороенаходится,какрешениезадачи
Е.В.Гасникова.Овозможнойдинамикевмоделирасчета...231
энтропийнолинейногопрограммирования:
1)
n,n
X
i
=
1,j
=
1
x
ij
ln(x
ij
/
e)
+
n,n
X
i
=
1,j
=
1
t
ij
x
ij
→
min
{
x
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
∈
(A)
.(1)
1)
Нетруднозаметить,чтозадачапоисканаиболеевероятногосостоянияасимптотически(по
n)эквивалентназадачемаксимизацииэнтропийногофункционала(воспользовалисьформу
-
лойСтирлинга):
lnp
{
x
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
∼−
n,n
X
i
=
1,j
=
1
x
ij
ln(x
ij
/
e)
−
n,n
X
i
=
1,j
=
1
t
ij
x
ij
+
const
n
намножестве(A).Посколькуфункционалстроговогнутыйирешениезадачимаксимизации,
безпредположенияцелочисленности
{
x
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
,считаемтаким,чтоx
∗ij
≫
1(таккакn
≫
1),
тоограничение
«
целочисленности
»
являетсядляданнойзадачинесущественным,ипримене
-
ниеасимптотическойформулыСтирлингабылозаконным.Обратимвниманиетакженато,
чтозадачамаксимизацииэнтропийногофункционаланамножестве(A),т.е.попринципу
Лагранжа[53](балансовыеограничения(A)перенесливфункционал)задача
L
{
x
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
;
~
L
,
~
W
=−
n,n
X
i
=
1,j
=
1
x
ij
ln(x
ij
/
e)
−
n,n
X
i
=
1,j
=
1
t
ij
x
ij
+
+
n
X
i
=
1
L
i
n
X
j
=
1
x
ij
−
L
i
+
n
X
j
=
1
W
j
n
X
i
=
1
x
ij
−
W
j
→
sup
x
ij
0,i,j
=
1,...,n
имеетипритомединственноерешениеTRIALRESTRICTION,котороеопределяетсяизсисте
-
мы:
∂
L
{
x
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
;
~
L
,
~
W
/
∂
x
ij
=−
ln(x
ij
+
L
i
+
W
j
−
t
ij
,i,j
=
1,...,n.
Приятнойособенностьюклассазадачэнтропийнолинейногопрограммирования(задачмак
-
симизацииэнтропийноподобныхфункционалов,приналичиилинейныхограниченийввиде
равенствинеравенствнанеотрицательномортанте)являетсяявная(легковыписываемая)
зависимостьрешенияпрямойзадачи,черездвойственныепеременные.Посколькуколи
-
чествоограничений(количестводвойственныхпеременных
—
множителейЛагранжа),как
правило,намногопорядковменьшечислапрямыхпеременных,тоэффективныечисленные
методыотысканиярешенийбазируютсянарешениидвойственнойзадачи,представляющей
собойзадачуминимизациивыпуклойфункциинанеотрицательномортанте[30,45,54].
Можнопоказать,см.[54],чтомногиепопулярныевлитературе[30,45]численныеметоды
решенияэтойдвойственнойзадачиявляютсябарьерно
-
мультипликативнымианалогамиква
-
зиградиентныхитерационныхметодов.Вчастности,книмотноситсяодинизпервыхметодов:
«
методбалансировки
»
,заключающийсявподстановкепрямыхпеременных,какфункций
двойственных,всистемуограничений(вметодепредполагается,чтоестьограничениятолько
ввидеравенств)иразрешениеполученнойсистемы(размерностькоторойкакразравначислу
двойственныхпеременных)относительнодвойственныхпеременных.Длярассматриваемого
далеечастногослучая
∀
i,j
=
1,...,n
→
t
ij
=
>
0,всеэтоможносделатьаналитически,
иврезультатеполучитьформулу(2).Отметимздесьтакжеэффективностьсепарабельных
(функционалдекомпозируетсяваддитивнуюсуммуфункцийодногоаргумента)алгоритмов
типаНестерова
—
Немировскогодлязадачэнтропийногопрограммирования,возникающих
принахожденииравновесиймакросистем[55].
232Приложения
Решениезадачи(1)можнопредставитькак
x
ij
=
exp(
−
1
−
L
i
−
W
j
−
t
ij
),
гдемножителиЛагранжа(двойственныепеременные)
{
L
i
}
n
i
=
1
и
{
W
j
}
n
j
=
1
определяютсяизравенствсистемы(A).Напрактикемыимееминформа
-
циюо
{
L
i
,W
i
}
n
i
=
1
и
{
t
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
.Решивзадачу(A),мынайдем
x
km
{
L
i
,W
i
}
n
i
=
1
;
{
t
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
n,n
k
=
1,m
=
1
.
Такойспособрасчетаматрицыкорреспонденцийвлитературечастоназы
-
ваютгравитационноймоделью:
x
ij
=
A
i
B
j
L
i
W
j
exp(
−
t
ij
),
где
{
A
i
}
n
i
=
1
и
{
B
j
}
n
j
=
1
определяютсяизсоотношений[2,30,32]:
A
i
=
n
X
j
=
1
B
j
W
j
exp(
−
t
ij
)
−
1
,B
j
=
n
X
i
=
1
A
i
L
i
exp(
−
t
ij
)
−
1
.
Описаннаямодель(точнееговоря,рассчитаннаяпоэтоймоделиматри
-
цакорреспонденций)активноиспользуетсявтеоретико
-
игровыхмоделях
(например,базирующихсянапринципахДж.Г.Вардропа)равновесно-
гораспределенияпотоков[32](см.также[56]иглаву1).Подробнее
обэтихмоделяхречьидетвглаве1(Е.А.НурминскогоиН.Б.Шамрай).
Одинизвозможныхспособовопределениявременивпути,взависимости
отзагрузкиребра,предложенвприложенииМ.Л.Бланка.Заметимтакже,
чтозадача(1)посвоимсвойствамоченьпохожанатранспортнуюзадачу
(см.приложениеА.В.Колесникова).
Перейдемтеперькисследованиюполученногостационарногорас
-
пределениявероятностейp
{
x
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
намакросостояниях
{
x
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
.
Если
1)
N
∼
nm,L
i
,W
j
∼
m,m
≫
1,
∀
i,j
=
1,...,n
→
t
ij
=
>
0,
тораспределениевероятностейp
{
x
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
намножестве(A)сконцен-
трировановO(
√
m)окрестности(почемуименновтакойокрестности,
будетпоказанониже)наиболеевероятногозначения
x
∗ij
≈
L
i
W
j
/
N
∼
m
/
n,i,j
=
1,...,n,(2)
1)
Отметим,чтохотявэтомслучаединамикарассматриваемойнамимакросистемыобра
-
тимаповремени(также,какивпримере1),макросистема(вкакомбысостояниионане
находиласьвнулевоймоментвремени)попрошествиидостаточнобольшоговремениока
-
жетсявмалойокрестностиравновесногомакросостояния(характеризующегосянаибольшим
извозможныхзначениемэнтропии)ибудетвдальнейшемпребыватьвэтойокрестности
подавляющуючастьвремени.Схожаяситуацияимеетместоивстатистическойфизике(см.,
например,[8,11,14,18,19,27]).
Е.В.Гасникова.Овозможнойдинамикевмоделирасчета...233
котороеищетсяспомощьюметодамножителейЛагранжа[2,53].
Формулу(2)можноинтерпретироватькакналичиеурайонов
«
потенциалов
притяжения
»
[2]:
L
i
/
√
N
∼
exp(
L
i
),i
=
1,...,n,иW
j
/
√
N
∼
exp(
W
i
),j
=
1,...,n,
произведениекоторыхдаётпассажиропотокx
∗ij
,i,j
=
1,...,n(асимпто
-
тическисовпадающийсматематическиможиданиемимедианой).
Исследуемтеперь,следуя[1,2,30],явлениеконцентрациистацио
-
нарногораспределенияp
{
x
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
вокрестностинаиболеевероятного
значения
{
x
∗ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
.Дляэтогопреждевсегозаметим,чтоизопределения
{
x
∗ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
(см.такжесноску8)следует
∀{
x
∗ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
∈
(A)
→
n,n
X
i
=
1,j
=
1
∂
lnp
{
x
∗ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
∂
x
ij
(x
ij
−
x
∗ij
)
0.
Поэтому
∀{
x
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
∈
(A)
∃
∈
[0,1]:lnp
{
x
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
lnp
{
x
∗ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
+
+
n,n
X
i
=
1,j
=
1
∂
2
lnp
{
x
∗ij
+
x
ij
(1
−
)
}
n,n
i
=
1,j
=
1
∂
x
2
ij
(x
ij
−
x
∗ij
)
2
2
.
Но
∂
2
∂
x
2
ij
lnp
{
x
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
=
∂
2
∂
x
2
ij
−
n,n
X
i
=
1,j
=
1
x
ij
lnx
i
j
=−
1
x
ij
.
Следовательно,приходимк
«
неравенствуоконцентрациимеры
»
:
∀
M
>
0,
∀{
x
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
∈
(A):
+
n,n
X
i
=
1,j
=
1
(x
ij
−
x
∗ij
)
2
2max
{
x
ij
,x
∗ij
}
M;
p
{
x
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
e
−
M
p
{
x
∗ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
.
Изэтогонеравенстваимеемрезультатоконцентрациираспределения
p
{
x
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
намножестве(A)вO(
√
m)окрестностинаиболеевероятного
значения
{
x
ij
}
n,n
i
=
1,j
=
1
:
∃
>
0:lim
t
→∞
P(
∀
i,j
=
1,...,n
→|
x
ij
(t)
/
x
∗ij
−
1
|
/
√
m)
0,999.
Упражнение
∗∗
(М.С.Ишманов,2010).Верноли,чтопрификсиро
-
ванномnиm
→∞
скоростьсходимостивэтомсоотношенииоценивается
какO(m)?
234Приложения
Замечание(одругихвозможныхподходахкисследованиюконцентра
-
циистационарногораспределения).Одинизспособоввосходиткметоду
вычисленияматематическихожиданийДарвина
—
Фаулера[2,5,9](метод
производящихфункцийианализихасимптотическогоповедениямето
-
домперевала)
—
вэтомслучаеконцентрациянаблюдаетсявокрестности
математическогоожидания(интересныеприложенияэтогометодавкомби
-
наторикеимеются,например,в[57],см.такжеприложениеА.А.Замятина
иВ.А.Малышевавэтойкнигеиконецследующегопункта).Исследование
концентрациивокрестностиматематическогоожиданияможнотакжепри
-
водить,например,используяпредельныемеры[58],методканонических
ансамблей[59]илиобобщённуюсхемуразмещения[60],нашедшиепри
-
менениякзадачамасимптотическойперечислительнойкомбинаторики,
1)
кисследованиюслучайныхматрициуравнений,кизучениюстатистиче
-
скихсвойствгруппыперестановоксприложениямиктеорииразбиений
(диаграммамЮнга)иасимптотическойтеориичисел,атакжектеории
предельныхформ.Кметодупроизводящихфункцийтакжетеснопримы
-
каютметодмоментов[60],методпуассоновскойигауссовскойаппрок
-
симации(методлокальнойпредельнойтеоремы)[7,60].Другойспособ
восходиткпринципуконцентрацииА.ПуанкареиП.Леви,получив
-
шемудальнейшееразвитиевработахВ.Д.Мильманаидр.[61]
—
вэтом
случаеконцентрациянаблюдаетсявокрестностимедианы
2)
.Взаключе
-
ниекраткогообзораметодовисследованияконцентрациимерыупомянем
теоремытаубероватипа[63]имартингальныенеравенства[62].Ввиду
всеговышесказанноговажноотметить,чтопоискнаиболеевероятного
распределения
—
этоособенностьработ,вкоторыхизучаютсяравновесия
макросистем.Нотакжеважнозаметить,чтонаиболеевероятноераспре
-
делениевсодержательныхзадачахасимптотически(поразмерусистемы)
эквивалентноматематическомуожиданию(вработе[2]соответствующие
выкладкипроделанынапримеремоделирасчетаматрицыкорреспонденций
А.Дж.Вильсона,см.такжеследующийпункт)имедиане[61].
Замечание(моделиД.Бернулли
—
Лапласа,П.иТ.Эренфестов).
Важнообратитьвниманиенато,чтоописанныйспособизученияравно
-
весныхсостояниймакросистемприменимкдостаточноширокомуклассу
макросистем(модельД.Бернулли
—
Лапласа,модельЭренфестов,круго
-
ваямодельМ.Кацаидр.(см.,например,[8,27,64]ицитированнуютам
1)
Вчастности,ктеориислучайныхграфов(компьютерные,транспортныесети
—
вопросы
надёжностиит.п.[24,39],см.такжеприложениеА.М.Райгородскоговэтойкниге).
2)
Этотпринциптакженашёлширокиеприменениявасимптотическойперечислительной
комбинаторике;вкачестведостаточноизвестногопримераможноупомянутьнеравенство
М.Талагранаиегоприложениякизучениюмакросвойств(связностьит.п.)случайных
графов[62](см.такжеприложенияА.М.РайгородскогоиА.В.Колесниковавэтойкниге).
Е.В.Гасникова.Овозможнойдинамикевмоделирасчета...235
литературу)),втомчислевстречающихсявэкономике,биологии,социаль
-
нойсфере[3,4];[15]
–
[24].
3.Общаясхемаисследованияравновесиймакросистем
Нижеприводится(вомногомподвлияниемработ[18,19],[65]
–
[67])
общаясхема,вкоторую
«
ложатся
»
примеры1и2.
Предположим,чтонекотораямакросистемаможетнаходитьсявраз
-
личныхсостояниях,характеризуемыхвектором
~
nснеотрицательными
целочисленнымикомпонентами(скажем,вмодели
«
кинетикасоциального
неравенства
»
n
i
(t)
—
количествожителейгорода,имеющихвмоментвре
-
мениt
0iрублей).Будемсчитать,чтовсистемепроисходятслучайные
превращения(химическиереакции).Пусть
~
n
→
~
n
−
~
+
~
,(
~
,
~
)
∈
J
—
все
возможныетипыреакций.Введем,следуяМ.А.Леонтовичу(1935)[19],
интенсивностьреакции(случайдискретноговременирассматривается
аналогичнымобразом):
(
~
,
~
)
(
~
n)
=
(
~
,
~
)
(
~
n
→
~
n
−
~
+
~
)
=
M
1
−
P
i
i
K
~
~
(
~
n)
Y
i:
i
>
0
n
i
(n
i
−
i
+
1),
гдеK
~
~
0
—
константыреакции(вхимическойкинетике
—
постоянные,
авсоциодинамике(В.Вайдлих[20])
—
необязательно);приэтомчасто
считают
P
i
n
i
(t)
≡
M(вчастности,впримерах1,2M
=
N).Т.е.
(
~
,
~
)
(
~
n)
—
вероятностьосуществлениявединицувремениперехода
~
n
→
~
n
−
~
+
~
:
вединицувремениравновероятновыбираются(
«
приближениесреднего
поля
»
)любыедважителягородаивзависимостиоттого,вкакихсостоя
-
нияхонинаходились,
«
случайно
»
переводятся(разыгрываютодинрубль)
вновыесостояния.Намакроуровневсеэтосоответствуетпринципам
химическойкинетики(закондействующихмассГульдберга
—
Вааге,
1864[18]).Такимобразом,динамикамакросистемызадаетсялинейной
полугруппой(однородныйдискретныймарковскийслучайныйпроцесс),
инфинитезимальныйоператоркоторойопределяетсяинтенсивностямире
-
акций
(
~
,
~
)
(
~
n).
Следующееутверждениеотображает(немногообобщая)известные
результатыа)В.В.Веденяпина[18],б)С.А.Пироговаидр.[19,65]
ив)обобщаетрезультатыВ.Вайдлихаидр.[20]наслучай,когдарас
-
сматриваетсяболееобщаясхема,чеммодельмиграциинаселения:
а)
h
~
~
n(t)
i≡h
~
~
n(0)
i⇐⇒
~
⊥
Lin
{
~
−
~
}
(
~
,
~
)
∈
J
.(inv)
б)Пустьвыполняетсяусловиеунитарности,которое,следуя
В.В.Веденяпину,будемназыватьусловиемШтюкельберга
—
Бати-
236Приложения
щевой
—
Пирогова
∃
~
>
~
0:
∀
~
X
~
:(
~
,
~
)
∈
J
K
~
~
Y
j
j
j
=
X
~
:(
~
,
~
)
∈
J
K
~
~
Y
j
j
j
(K
~
~
(
~
n)
≡
K
~
~
)(ШБП)
Тогда
«
пуассоновская
»
мера
(
~
n)
=
Q
i
n
i
i
e
−
i
/
n!(точнееговоря,мера,
индуцированнаяпуассоновскоймеройнамножестве(вообщеговоря,ко
-
нечном!),задаваемомусловиями(inv)),где
i
=
∗i
M,а
¯¯
∗
—
произ
-
вольноерешение(ШБП),будетинвариантнойотносительнопредложен
-
нойстохастическоймарковскойдинамики.Этамераэкспоненциально
быстроконцентрируется,сростомM,вокрестностинаиболеевероят-
ногосостояния(такжеудовлетворяющегоусловию(ШБП)),которое
ипринимаетсязаположениеравновесиямакросистемы.Задачапо
-
исканаиболеевероятногомакросостоянияасимптотическиэквивалентна
задачемаксимизацииэнтропийногофункционала(воспользовались
n!
=
√
2
n(n
/
e)
n
T(q
=
o(1))
—
формулойСтирлинга):
E(
~
n)
≈−
X
i
n
i
(ln(n
i
/
i
)
−
1)
намножестве,задаваемомусловием(inv).Отметим,чтоусловие(ШБП),
называемоетакжеусловиемунитарности[19],обобщаетхорошоиз
-
вестноевфизикеиэкономикеусловиедетальногоравновесия[20,38]:
∃
¯¯
>
~
0:
∀
(
~
,
~
)
∈
J
→
K
~
~
Y
j
j
j
=
K
~
~
Y
j
j
j
.
в)Пусть
∀
(
~
,
~
)
∈
J
→
X
i
i
=
X
i
i
;
i
,
i
∈{
0,1
}
,K
~
~
=
K
~
~
,
K
~
~
(
~
n)
=
K
~
~
exp
X
i:
i
=
1
u
i
(n
i
+
1)
−
X
i:
i
=
1
u
i
(n
i
)
,u
′i
(n
i
)
0.
Тогдамера
(
~
n)
=
exp
P
i
U
i
(n
i
)
Q
i
(n
i
!)
−
1
,гдеU
i
(n
i
)
=
2
n
i
P
=
1
u
i
(
)бу
-
детинвариантнойотносительнопредложеннойстохастическоймарковской
динамики.Этамераэкспоненциальнобыстроконцентрируется,сростом
M
≡
P
i
n
i
(t),вокрестностинаиболеевероятногосостояния,котороеипри
-
нимаетсязаположениеравновесиямакросистемы.Задачапоисканаиболее
вероятногомакросостоянияасимптотическиэквивалентназадачемакси
-
мизацииэнтропийноготипафункционала:
E(
~
n)
≈
X
i
−
n
i
ln(n
i
)
+
U
i
(n
i
)
Е.В.Гасникова.Овозможнойдинамикевмоделирасчета...237
намножестве,задаваемомусловием(inv).
Замечаниеб)ив).Впунктахб)ив)предполагалось,чтомарковский
процесснеразложим(неприводим)вклассе(inv):излюбогосостояния
можносовременемприйтивлюбоедругое(по
-
прежнемуоставаясьна
множестве(inv)).Отсюдаследуетединственностьинвариантноймеры.
Этоусловиеневыполняется,например,дляхорошоизвестноймодели
«
хищник
–
жертва
»
(кролики
–
трава)[3,15,17,22],вкоторойимеется
поглощающеесостояние:безхищников.Намещебудетвстречатьсяниже,
инеодинраз,этамодель.
Замечаниеб).Будемсчитать,чтоограничения(законысохранения)
(inv)задаютсяСЛАУa
~
n
=
~
d,гдеA
=k
A
kl
k
—
матрицамаксимального
ранга(k
=
1,...,m).ОбозначимчерезAмножествонеотрицательных
целочисленныхвекторов
~
n,удовлетворяющихa
~
n
=
~
d.Тогдаравновесие
~
n
∗
находитсякакрешениезадачиE(
~
n)
→
max
~
n
∈
A
(посколькуфункционалстро
-
говогнутыйисчитаемn
∗i
≫
1,тоцелочисленностьюпеременныхможно
пренебречь).ИспользуяпринципЛагранжа,можнопоказать,чторешение
этойзадачипредставляетсяввиде
n
i
(
~
y
∗
)
=
i
exp
X
k
A
ki
y
∗k
,
гдедвойственныепеременные(множителиЛагранжа)
~
y
∗
определяютсяиз
системыa
~
n(
~
y)
=
~
d.
Приведем,вомногомследуя[2],другойпуть(восходящийкДарви
-
ну
—
Фаулеру),покоторомуможноприйтиканалогичнымформулам.
Дляэтоговведемпроизводящуюфункцию
F(
~
z;A)
=
X
~
n
~
0
(
~
n)
Y
k
z
P
j
A
kl
n
l
k
=
Y
i
X
n
i
0
i
Q
k
z
A
ki
k
n
i
e
−
i
n
i
!
=
=
Y
i
exp
i
Y
k
z
A
ki
k
−
1
.
ТогдапоформулеКоши:
E[n
p
1
r
1
n
p
Q
r
Q
]
=
1
Z
1
(2
i)
m
dz
1
dz
m
×
"
Y
k
z
−
d
k
−
1
k
Y
q
,
Z
=
1
(2
i)
m
dz
1
dz
m
"
Y
k
z
−
d
k
−
1
k
F(
~
z;A)
#
.
238Приложения
ЗдесьматематическоеожиданиеE
n
p
1
r
1
n
p
Q
r
Q
считаетсяповероятност
-
ноймере,порожденноймеройПуассона
(
~
n),аинтегралыпоdz
k
берутся
вкомплекснойплоскостипозамкнутымконтурам,охватывающимточку
ноль.Используяметодперевала[68],асимптотическиоценимматемати
-
ческоеожидание:
E
n
p
1
r
1
n
p
Q
r
Q
≈
1
F(
~
z
∗
;A)
(lnz
∗1
)
−
P
q
p
q
(
Y
q
∂
∂
A
1r
q
p
q
F(
~
z
∗
;A)
)
,
где
«
точкаперевала
»
~
z
∗
определяетсякакрешениесистемы:
z
k
(
∂
F(
~
z;A)
/
∂
z
k
)
≈
d
k
F(
~
z;A),k
=
1,...,m.
Вчастности
1)
,
E[n
i
]
≈
i
Y
k
(z
∗k
)
A
ki
,D[n
i
]
≈
i
Y
k
(z
∗k
)
A
ki
,
где
~
z
∗
определяетсякакрешениесистемыуравнений:
X
i
A
ki
(
i
Y
k
z
A
ki
k
)
=
d
k
,k
=
1,...,m.
Очевиднасвязь
«
точкиперевала
»
~
z
∗
сдвойственнымипеременными
~
y
∗
:
z
∗k
=
exp(y
∗k
).
Контрпример(С.А.Пирогов).Условие(ШБП)являетсятолькодо
-
статочнымусловиеминвариантности
«
пуассоновской
»
меры.Действи
-
тельно,рассмотримсистемууравненийхимическихреакций(константы
реакцийKодинаковыипостоянны):
A
+
B
∗
K
−→
A
∗
+
B;B
+
C
∗
K
−→
B
∗
+
C;C
+
A
∗
K
−→
C
∗
+
A,
причем
n
A
(t)
+
n
A
∗
(t)
≡
n
B
(t)
+
n
B
∗
(t)
≡
n
C
(t)
+
n
C
∗
(t)
≡
N.
Заметим,чтоестьиещеодиннезависимыйзаконсохранения:
n
A
(t)
+
n
B
(t)
+
n
C
(t)
≡
const.
Можнопроверить,что
«
пуассоновская
»
мера(
«
∼
»
—
знакпропорцио
-
нальности)
(
~
n)
∼
C
n
A
N
C
n
B
N
C
n
C
N
∼
(1
n
A
e
−
1
/
n
A
!)
(1
n
C
∗
e
−
1
/
n
C
∗
!)
будетинвариантной,хотяусловие(ШБП),очевиднымобразом,невыпол
-
няется.
1)
Обратимвниманиенато,чтополучилосьE[n
i
]
≈
D[n
i
]
≫
1
—
этоозначаетконцентра
-
циюраспределенияслучайнойвеличиныn
i
в
p
D[n
i
]окрестностисвоегоматематического
ожиданияE[n
i
].
Е.В.Гасникова.Овозможнойдинамикевмоделирасчета...239
Всвязисэтимконтрпримеромзаметим,чтопонятиеравновесия
макросистемы
«
незавязано
»
наусловие(ШБП).Таквконтрпримере
С.А.Пироговаравновесиебудетсуществовать:
n
A
(
∞
)
≈
n
A
∗
(
∞
)
≈
n
B
(
∞
)
≈
n
B
∗
(
∞
)
≈
n
C
(
∞
)
≈
n
C
∗
(
∞
)
≈
N
/
2.
Вернемсякпримеру1
«
Кинетикасоциальногонеравенства
»
,длякоторого
(такжекакидляпримера2)выполняетсяусловиедетальногоравнове
-
сия,следовательносуществуетиединственноравновесие.Этотпример
демонстрируетситуацию,когдачислосостояний(dim
~
n)ичислореакций
(
|
J
|
)растутвместесростомM.Этообстоятельство,равнокакизависи
-
мостьK
~
~
(
~
n),непозволяютнапрямуюиспользоватьаппарат,разработан
-
ныйв[18,19,65,66],связанныйсанализомСОДУ,возникающейпри
каноническомскейлинге(M
→∞
так,что
∃
lim
M
→∞
~
n(0)
/
M
=
~
c
>
~
0)сто
-
хастическоймарковскойдинамики.Темнеменее,результатыэтогопримера
можноперенестиинаобщийслучай.Приэтомключевымместомявляет
-
сясуществованиепритермодинамическомпредельномпереходеM
→∞
,
|
J
|→∞
ненулевогофинальногораспределения[69,70].
Предположимтеперь,чтомножествоJнезависитотM,ивначальный
моментвременидлялюбогоiсуществуетпределc
i
(0)
=
lim
M
→∞
n
i
(0)
/
M,
K
~
~
(
~
n):
=
K
~
~
(
~
n
/
M).Тогда(Малышев
—
Пирогов
—
Рыбко[65])впроизволь
-
ныймоментвремениt
>
0идлялюбогоiсуществуетпределповероят
-
ности(заметим,чтоn
i
(t)
—
случайныевеличины,темнеменееc
i
(t)
—
уже
неслучайныевеличины)c
i
(t)
=
п.н.lim
M
→∞
n
i
(t)
/
M.Описанныйвышеприём
называетсяканоническимскейлингом.Врезультатетакогоскейлинга
приходимк
«
динамикеквазисредних
»
(терминологияВ.Вайдлиха[20]):
dc
i
dt
=
X
(
~
,
~
)
∈
J
(
i
−
i
)K
~
~
(
~
c)
Y
j
c
j
j
.(ДК)
Этижеуравненияможнополучитьипо
-
другому.Аименно,какприбли
-
женнуюдинамикусредних
¯¯
c
i
(t)
=
E[n
i
(t)
/
M].Приближеннуювтомсмысле,
чтопривыводе(ДК)используетсяприближение:F(
¯¯
c
i
(t))
≈
E[F(n
i
(t)
/
M)]
для
«
достаточнохороших
»
функцийF(например,полиномов).Этоверно
вслучаепикообразногораспределенияn
i
(t)
1)
.
Покажем,вомногомследуяБатищевой
—
Веденяпину[18],чтоесли
выполняютсяусловия(ШБП),тотраектория(ДК)сходитсякнеподвижной
1)
Заметим,чтоэтотпереходивозможностьегоиспользованиянуждаютсявстрогом
обосновании(идалеконевсегдаправомочны).Вкачествепримера,укажемпопулярныйвли
-
тературе[17,22]марковскийпроцесс
«
рождения
–
гибели
»
(приводящийксистемеуравнений
«
хищник
–
жертва
»
),длякоторого
«
флуктуациииграютрешающуюроль,качественноменяя
выводымакроскопическогоанализа
»
.
240Приложения
точке(какойименно,зависит,вообщеговоря,от
«
точкистарта
»
;номожно
сказатьиточнее:ктойединственнойнеподвижнойточкеизсемейства
неподвижныхточек,котораяпринадлежитаффинномумногообразию(inv),
инвариантномуотносительно(ДК))
1)
.Дляэтого,следуявторомуметоду
Ляпунова,введём(минус)энтропию:H
=
P
i
c
i
(ln(c
i
/
i
)
−
1)ипокажем,
чтоонаявляетсяфункциейЛяпуновадлясистемы(ДК).Обратимвни
-
мание,чтоинвариантнаямера(приканоническомскейлинге)
«
породила
»
функциюЛяпунова(см.п.б)).Этонеслучайно.Подобныезакономерности
наблюдаютсядлярассматриваемыхмоделейибезусловия(ШБП),идаже
безпредположенияотом,чтоинвариантнаямераконцентрируетсяоколо
единственногоположенияравновесия,тоестьаттракторомможетбыть
множествогораздоболеесложнойструктуры.Посчитаемполнуюпроиз
-
воднуюHвсилусистемы(ДК):
dH
dt
=
X
(
~
,
~
)
∈
J
K
~
~
Y
j
j
j
y
j
j
ln
Y
i
y
i
−
i
i
−
X
i
(
i
−
i
)
!
+
+
X
(
~
,
~
)
∈
J
K
~
~
Y
j
j
j
y
j
j
X
i
(
i
−
i
)
=
X
(
~
,
~
)
∈
J
K
~
~
Y
j
j
j
y
j
j
ln
Y
i
y
i
−
i
i
,
гдевведенообозначениеy
i
=
c
i
/
i
.Заметим,что
X
(
~
,
~
)
∈
J
K
~
~
Y
j
j
j
y
j
j
=
X
(
~
,
~
)
∈
J
K
~
~
Y
j
j
j
y
j
j
=
X
(
~
,
~
)
∈
J
K
~
~
Y
j
j
j
y
j
j
.
Такимобразом,
dH
dt
=−
X
(
~
,
~
)
∈
J
K
~
~
Y
j
j
j
y
j
j
Y
j
y
j
−
j
j
ln
Y
i
y
i
−
i
i
−
Y
j
y
j
−
j
j
+
1
!
0,
посколькуulnu
−
u
+
1
0приu
>
0,иравенстводостигаетсяводной
точкеu
=
1.
Естественно(ввидупримераС.А.Пирогова)теперьзадатьсявопро
-
сом:Ачтобудет,еслиусловия(ШБП)невыполняются,однакосистема
(ДК)имеетнавнутренностипересечениянеотрицательногоортантаиин
-
вариантногоаффинногомногообразия(inv)единственнуюнеподвижную
точку?Оказывается,имеетместо
Утверждение.Еслиэтаточкаэкспоненциальноглобальноустой-
чива,то1)всезаконысохранения(ДК)определяются(inv);2)около
положенияравновесияинвариантнаямерабудетэкспоненциально
1)
Стоитзаметить,чтоаттракторсистемы(ДК)дажеспостояннымикоэффициентамире
-
акции,по
-
видимому,вобщемслучаеможетбытьскольугодносложныммножеством[20].
Е.В.Гасникова.Овозможнойдинамикевмоделирасчета...241
быстроконцентрироваться(сростомM);3)скоростьсходимо-
стикравновесию(mixingtime[71])оцениваетсякакO(poly(M));
4)элементыкорреляционнойматрицыслучайноговектора
~
n(t)рав-
номерноограниченыповремени;5)предельныепереходыlim
M
→∞
иlim
t
→∞
перестановочны:lim
M
→∞
lim
t
→∞
∗=
lim
t
→∞
lim
M
→∞
∗
.
Обратимвнимание,чтомодель
«
хищник
–
жертва
»
,визложениип.7.3
книги[22]являетсяхорошимпримеромтого,чтоможетбыть,еслине
выполняетсяусловиеустойчивостиравновесия.
Результаты[17,20]ирядадругихработнаталкиваютнагипотезу:
аттрактординамическойсистемы(ДК),которыйкакмыотмечаливыше
можетбытьскольугодносложныммножеством(например,вприложениях
типичныслучаипредельныхциклов,несколькихположенийравновесий,
идажехаотическихаттракторов),являетсятакиммножеством,вмалой
окрестностикоторогонабольшихвременахсбольшойвероятностьюбудет
пребыватьрассматриваемаямакросистема.
Упражнение(модельЭренфестов[8,38,64]).Рядомстоятдвесобаки
сномерами1и2.Насобакахкак
-
торасположилисьM
=
2n
≫
1блох.
Скажем,вначальныймоментвсеблохисобралисьнасобакесномером
1.Накаждомшагеслучайноинезависимоотпредысторииопределяет
-
сяблоха(свероятностью1
/
Mбудетвыбраналюбаяизблох),которая
перепрыгиваетнадругуюсобаку.Микросостояниесистемыестьспособ
распределенияMразличныхблохподвумразличнымсобакам.Макро
-
состояниесистемыестьспособраспределенияMодинаковыхблохмежду
двумяразличнымисобаками.Микросостоянийбудет2
M
,амакросостояний
M
+
1.
ОбозначимчерезPматрицу(размера2
M
×
2
M
)переходныхвероятно
-
стейописаннойвышемикросокопическойдинамики.Длянасвдальнейшем
будетважнолишьодносвойствоэтойстохастическойматрицы:P
=
P
T
,
котороеследуетизобратимостидинамикивовремени.НопосколькуP
—
стохастическаяматрица,то
(1,...,1)
=
(1,...,1)P
T
=⇒
(1,...,1)
=
(1,...,1)P.
Откудасучетомнормировкираспределениявероятностейна1имеем,
чтовстационарномраспределениивсемикросостоянияравновероятны,
т.е.встационарномраспределениикаждомумикросостояниюприписана
вероятность2
−
M
.Нотогдавероятностьмакросостояния(k,M
−
k)вста
-
ционарномраспределенииравнаC
k
M
2
−
M
.Покажите,что
lim
m
→∞
P
|
n
1
(m)
−
n
2
(m)
|
M
3
√
M
0,99,
242Приложения
гдеn
1
(m)
—
числоблохнапервойсобакенашагеm,аn
2
(m)
—
навторой
(случайныевеличины).Т.е.относительнаяразностьчислаблохнасобаках
будетиметьпорядокмалостиO(1
/
√
M)набольшихвременах(T
2M).
Обратимвнимание,чтомарковскаяцепь
—
периодическая(период2).
Однако,посколькуречьидетовычислениевероятностейотносительных
величин,товданнойзадачеэтонеиграетроли.
Обозначим
(k)
=
inf
{
m
∈
N
∪{
0
}
:n
1
(m)
=
k
}
,
(k)
=
inf
{
m
∈
N:n
1
(m)
=
k,n
1
(0)
=
k
}
.
Временасоответственнопервогопопаданияипервоговозвращения
всостояниеk.Покажите,что
а)E
(k)
=
2
M
k!(M
−
k)!
M!
,и,вчастности,среднеевремявозвращения
внулевоесостояниеE
(0)
=
2
M
,гдеE
(k)
—
математическоеожидание
временипервоговозвращениявсостояниеk,еслиn
1
(0)
=
k,k
=
0,...,n;
б)E
n
(0)
=
1
M
2
M
(1
+
o(M)),гдеE
n
(0)
—
математическоеожидание
временипервогопопаданиявсостояние0,еслиn
1
(0)
=
n;
в)E
0
(n)
=
nlnn
+
n
+
O(1),гдеE
0
(n)
—
математическоеожидание
временипервогопопаданиявсостояниеn,еслиn
1
(0)
=
0.
Напримереэтоймоделиможноговоритьотом,чтовмакросистемах
возвраткнеравновесныммакросостояниямвполнедопустим,нопроис
-
ходитьэтоможеттолькочерезоченьбольшоевремя(циклыПуанкаре),
такчтонамможетнехватитьотведенноговремени,чтобыэтозаметить
(парадоксЦермело).Напомним,чтоописанныйвышеслучайныйпроцесс
обратимвовремени.Однаконаблюдаетсянеобратимаядинамикаотноси
-
тельнойразностичислаблохнасобаках(парадоксЛошмидта).
4.Заключение
Вприложенииобсуждаетсяконцепцияравновесиямакросистемы.
Приводятсяразличныеподходыкобоснованиюследующегопринципа:
равновесие
=
наиболеевероятноемакросостояниеинвариантной
(стационарной)мерыдинамическойсистемы(марковскогопроцес-
са),порождающейисследуемуюмакросистему.Рассматриваютсяпри
-
мерыконкретныхмакросистем.Вчастности,одинизпримеров
«
объясня
-
ет
»
популярнуювприложенияхмодельА.Дж.Вильсонарасчетаматрицы
корреспонденций.
Повторимвзаключениеописаннуювприложениисхему.
1.Макросистемасостоитизогромногочислапронумерованныхаген
-
тов,каждыйизкоторыхможетнаходитьсяводномизвозможныхсостоя
-
ний.Числосостояний,какминимум,нанесколькопорядковменьшечисла
Е.В.Гасникова.Овозможнойдинамикевмоделирасчета...243
агентов(иногдаможноибезэтоготребования).Распределениеагентов(с
учетомихномеров)посостояниямбудемназыватьмикросостоянием,абез
учетаномеров
—
макросостоянием.
2.Заданамарковскаядинамикараспределенияагентовпосостояниям,
восновукоторойнамикроуровнеположенаравноправностьагентоводного
типа(вприближениисреднегополя)изаранеепрописанныевозможности
случайныхпревращений(переходов)агентов(химическиереакции):рав
-
новероятновыбираетсяагентивзависимостиоттого,вкакомсостоянии
оннаходится,
«
случайно
»
переводитсявновоесостояние.Аналогично
рассматриваютсяпарныевзаимодействияивзаимодействия,вкоторых
участвуетбольшеечислоагентов.Намакроуровнеэтосоответствуетприн
-
ципамхимическойкинетики(Гульдберг
—
Вааг,1864).
Предполагается,чтоизлюбоговозможногомакросостоянияможнопе
-
рейтисогласнотакойдинамикевлюбоедругое(характерноевремятакого
переходаопределяетскоростьсходимостикравновесию).Такжесчитается,
чтоописаннаядинамикаимеетмакрозаконысохранения.Соотношения
(какправило,линейные)междумакровеличинами,которыенеменяются
современем.
Пустьвыполняетсяусловие:динамиказаданалинейнойполугруппой
(однородность),динамика
«
обратима
»
(детальныйбаланс,условиедина
-
мическогоравновесия).
Тогдаэргодическаямарковскаядинамикаприводитнабольшихвреме
-
нахкстационарной(инвариантной)пуассоновской(сложной)мере(прямое
произведениераспределенийПуассона)напространствемакросостояний.
Этамераэкспоненциальнобыстроконцентрируется,сростомчислааген
-
тов,вокрестностинаиболеевероятногомакросостояния,котороеиприни
-
маетсязаположениеравновесиямакросистемы.Задачапоисканаиболее
вероятногомакросостоянияасимптотически(почислуагентов)эквива
-
лентназадачемаксимизацииэнтропийногофункционала(воспользовались
формулойСтирлинга)намножестве(какправило,аффиннойструктуры),
заданномограничениями
—
законамисохранения.Этотжеэнтропийный
функционал(взятыйсознакомминус)возникаеткакфункцияЛяпуно
-
вадинамики,полученнойврезультатеканоническогоскейлингаисходной
марковскойдинамики.Отысканиепредельнойнеподвижнойточки(этой
динамики),вкоторуюпридетсистема,сводитсякрешениютойжесамой
задачиэнтропийнолинейногопрограммирования.
Литература
1.JaynesE.T.Probabilitytheory.Thelogicofscience.Cambridge:Cambridge
UniversityPress,2003;Papersonprobability,statisticsandstatisticalphysics.
Dordrecht:KluwerAcademicPublisher,1989.
244Приложения
2.ВильсонА.Дж.Энтропийныеметодымоделированиясложныхсистем.М.:
Наука,1978.
3.НиколисГ.,ПригожинИ.Самоорганизациявнеравновесныхсистемах.М.:
Мир,1979.
4.ХакенГ.Информацияисамоорганизация.Макроскопическийподходкслож
-
нымсистемам.М.:УРСС,2005.
5.ШредингерЭ.Статистическаятермодинамика.М.:ИЛ,1948.
6.КрыловН.С.Работыпообоснованиюстатистическойфизики.М.
–
Л.:Изда
-
тельствоАНСССР,1950.
7.ХинчинА.Я.Математическиеоснованиястатистическоймеханики.
М.
–
Ижевск:НИЦ
«
РХД
»
,ИКИ,2003.
8.КацМ.Вероятностьисмежныевопросывфизике.М.:Мир,1965.
9.ХуангК.Статистическаямеханика.М.:Мир,1966.
10.РюэльД.Статистическаямеханика.Строгиерезультаты.М.:Мир,1971.
11.КорнфельдИ.П.,СинайЯ.Г.,ФоминС.В.Эргодическаятеория.М.:Наука,
1980.
12.EvansL.C.Entropyandpartialdifferentialequations.Departmentofmathematics,
UCBerkeley,2003;
http://math.berkeley.edu/~evans/
13.МинлосР.А.Введениевматематическуюстатистическуюфизику.М.:
МЦНМО,2002.
14.КозловВ.В.АнсамблиГиббсаинеравновеснаястатистическаямеханика.
М.
–
Ижевск:НИЦ
«
РХД
»
,ИКИ,2008.
15.МарриДж.Нелинейныедифференциальныеуравнениявбиологии.М.:Мир,
1983.
16.СвирежевЮ.М.Нелинейныеволны,диссипативныеструктурыикатастрофы
вэкологии.М.:Наука,1987.
17.ГардинерК.В.Стохастическиеметодывестественныхнауках.М.:Мир,1986.
18.ВеденяпинВ.В.КинетическаяуравненияБольцманаиВласова.М.:Физмат
-
лит,2001.
19.МалышевВ.А.,ПироговС.А.Обратимостьинеобратимостьвстохастической
химическойкинетике
//
УМН.2008.Т.63.№1.С.3
–
36.
20.ВайдлихВ.Социодинамика:системныйподходкматематическомумоделиро
-
ваниювсоциальныхнауках.М.:УРСС,2010.
21.CastellanoC.,FortunatoS.,LoretoV.Statisticalphysicsofsocialbehavior
//
Reviewofmodernphysics.2009.V.81.P.591
–
646;
arXiv:0710.3256v2
22.ЗангВ.-Б.Синергетическаяэкономика:времяипеременывнелинейнойэко
-
номическойтеории.М.:Мир,1999.
23.DragulescuA.,YakovenkoV.M.Statisticalmechanicsofmoney
//
TheEuropean
PhysicalJournalB.2000.V.17.P.723
–
729;
arXiv:cond-mat/0001432v4
24.BaldiP.,FrasconiP.,SmythP.ModelingtheInternetandtheWeb:Probabilistic
methodsandalgorithms.PublishedbyJohnWiley&Sons,2003.
25.РозоноэрЛ.И.Обменираспределениересурсов(обобщенныйтермодинами
-
ческийподход)I,II,III
//
Автоматикаителемеханика.1973.№5,6,8.
26.ГорбаньА.Н.Обходравновесия.Новосибирск:Наука,1984.
27.ОпойцевВ.И.Нелинейнаясистемостатика.М.:Наука,1986.
Е.В.Гасникова.Овозможнойдинамикевмоделирасчета...245
28.МалишевскийА.В.Качественныемоделивтеориисложныхсистем.М.:На
-
ука,1998.
29.СергеевВ.М.Пределырациональности.М.:Фазис,1999.
30.ПопковЮ.С.Теориямакросистем:равновесныемодели.М.:УРСС,1999.
31.ЦирлинА.М.Методыоптимизациивнеобратимойтермодинамикеимикро
-
экономике.М.:Физматлит,2003.
32.ШвецовВ.И.,АлиевА.С.Математическоемоделированиезагрузкитранс
-
портныхсетей.М.:УРСС,2003.
33.МасловВ.П.Квантоваяэкономика.М.:Наука,2006.
34.ОлемскойА.И.Синергетикасложныхсистем:Феноменологияистатистиче
-
скаятеория.М.:КРАСАНД,2009.
35.ВеретенниковА.Ю.Параметрическоеинепараметрическоеоцениваниедля
цепейМаркова.М.:Изд
-
воЦПИпримеханико
-
математическомфакультете
МГУ,2000.
36.БоровковА.А.Эргодичностьиустойчивостьслучайныхпроцессов.М.:УРСС,
1999.
37.БулинскийА.В.,ШиряевА.Н.Теорияслучайныхпроцессов.М.:Физматлит;
Лабораториябазовыхзнаний,2003.
38.КельбертМ.Я.,СуховЮ.М.Вероятностьистатистикавпримерахизадачах.
Т.2.М.:МЦНМО,2010.
39.ВишневскийВ.М.Теоретическиеосновыпроектированиякомпьютерныхсе
-
тей.М.:Техносфера,2003.
40.ИвницкийВ.А.Теориясетеймассовогообслуживания.М.:Физматлит,2004.
41.Themaximumentropyformalism
/
Ed.byR.D.Levin,M.Tribus.Conf.Mass.
Inst.Tech.,Cambridge1978.MITPress,1979.
42.InternationalworkshopsonBayesianinferenceandmaximumentropymethodsin
scienceandengineering.AIPConf.Proceedings(holdseveryyearfrom1980).
43.KapurJ.N.Maximum
—
entropymodelsinscienceandengineering.JohnWiley
&Sons,Inc.,1989.
44.GolanA.,JudgeG.,MillerD.Maximumentropyeconometrics:Robustestima
-
tionwithlimiteddata.Chichester,Wiley,1996.
45.FangS.-C.,RajasekeraJ.R.,TsaoH.-S.J.Entropyoptimizationandmathemat
-
icalprogramming.Kluwer’sInternationalSeries,1997.
46.МасловВ.П.,ЧерныйА.С.Оминимизацииимаксимизацииэнтропиивраз
-
личныхдисциплинах
//
ТВП.2003.Т.48.№3.С.466
–
486.
47.БогдановК.Ю.Прогулкисфизикой.Библиотечка
«
Квант
»
В.98.М.:Бюро
Квантум,2006(глава18).
48.ЗоричВ.А.Математическийанализзадачестествознания.М.:МЦНМО,
2008.
49.DiaconisP.TheMarkovchainMonteCarlorevolution
//
Bulletin(NewSeries)of
theAMS.2009.V.49.№2.P.179
–
205;
http://www.ams.org/journals/bull/
2009-46-02/S0273-0979-08-01238-X/S0273-0979-08-01238-X.pdf
50.JoulinA.,OllivierY.Curvature,concentrationanderrorestimatesforMarkov
chainMonteCarlo
//
Ann.Prob.2010.V.38.№6.P.2418
–
2442;
http://www.yann-ollivier.org/rech/publs/surveycurvmarkov.pdf
246Приложения
51.КрасносельскийМ.А.,ЛифшицЕ.А.,СоболевА.В.Позитивныелинейные
системы.Методположительныхоператоров.М.:Наука,1985.
52.КингманДж.Пуассоновскиепроцессы
/
подред.А.М.Вершика.М.:
МЦНМО,2007.
53.Магарил-ИльяевГ.Г.,ТихомировВ.М.Выпуклыйанализиегоприложения.
М.:УРСС,2003.
54.ГасниковаЕ.В.Двойственныемультипликативныеалгоритмыдлязадачэн
-
тропийно
-
линейногопрограммирования
//
ЖВМиМФ.2009.Т.49.№3.
С.453
–
464.
55.НестеровЮ.Е.Введениеввыпуклуюоптимизацию.М.:МЦНМО,2010.
56.НурминскийЕ.А.,ШамрайН.Б.Прогнозноемоделированиеавтомобильного
трафикаВладивостока
//
ТрудыМФТИ(специальныйвыпуск,посвященный
математическомумоделированиютранспортныхпотоков
/
подред.акад.В.В.
Козлова).2010.Т.2.№4(8).С.119
–
129.
57.FlajoletP.,SedgewickR.Analyticcombinatorics.CambridgeUniversityPress,
2008;
http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/book.pdf
58.ВершикА.М.,ШмидтА.А.Предельныемеры,возникающиевасимптотиче
-
скойтеориисимметрическихгрупп
//
ТВП.1977.Т.22.№1.С.72
–
88;1978.
Т.23.№1.С.42
–
54.
59.СинайЯ.Г.Вероятностныйподходканализустатистикивыпуклыхломаных
//
Функц.анализиегоприл.1994.Т.28.№2.С.41
–
48.
60.КолчинВ.Ф.Случайныеграфы.М.:Физматлит,2004.
61.LedouxM.Concentrationofmeasurephenomenon.Providence,RI,Amer.Math.
Soc.,2001(Math.SurveysMonogr.V.89).
62.АлонН.,СпенсерДж.Вероятностныйметод.М.:Бином,2007.
63.ЯкымивА.Л.Вероятностныеприложениятауберовыхтеорем.М.:Наука,
2005.
64.ШиряевА.Н.Вероятность1,2.М.:МЦНМО,2007.
65.MalyshevV.A.,PirogovS.A.,RubcoA.N.Randomwalksandchemicalnet
-
works
//
Mosc.Math.J.2004.V.4.№2.P.441
–
453.
66.БатищеваЯ.Г.,ВеденяпинВ.В.II
-
йзаконтермодинамикидляхимической
кинетики
//
Мат.мод.2005.Т.17.№8.С.106
–
110.
67.ВеденяпинВ.В.,ОрловЮ.Н.Озаконахсохранениядляполиномиальных
гамильтониановидлядискретныхмоделейуравненияБольцмана
//
ТМФ.
1999.Т.121.№2.С.307
–
315.
68.ФедорюкМ.В.Методперевала.М.:УРСС,2010.
69.RybkoA.,ShlosmanS.PoissonhypothesisforinformationnetworksI,II.2004.
http://arxiv.org/abs/math/0406110v1
http://arxiv.org/abs/math-ph/0410053v1
70.РыбкоА.Н.Пуассоновскаягипотезадлябольшихсимметричныхкомму
-
никационныхсетей
//
Глобус.Общематематическийсеминар
/
подред.
М.А.ЦфасманаиВ.В.Прасолова.№4.М.:МЦНМО,2009.С.105
–
126.
71.MontenegroR.,TetaliP.MathematicalaspectsofmixingtimesinMarkovchains.
2006;
http://people.math.gatech.edu/~tetali/PUBLIS/survey.pdf
А.А.Замятин,В.А.Малышев
Введениевстохастическиемодели
транспортныхпотоков
1.Введение
Математическиемоделиавтомобильноготрафикамогутбытьвесьма
различны:отдифференциальныхуравненийсчастнымипроизводными,
средствсовременнойкомпьютернойфизикидосозданияигровыхмоделей,
гдеточкинавидеодвижутсяпосетиулицсперекрестками.Мырассмат
-
риваемздесьнекоторыестрогиевероятностныеподходыктранспортным
сетям.Основнаяцельэтогоприложения
—
нестолькопредставитьтехнику
решениязадач,сколькопредставитьметодику(иискусство)составле
-
нияадекватныхмоделей,которыеотличаютсянаглядностьюопределений
(основнойобъекттамименноавтомобиль,анепотоки)иоснованына
простыхинтуитивныхрассуждениях.Болеетого,всевводимыепостулаты
вэтихмоделяхдопускаютстатистическуюпроверку,широкиеуточнения
иобобщения,инеиспользуютсомнительныхфизическиханалогий.Во
-
обще,вероятностныемоделидолжнысвязыватьсяспсихикойводителей,
есливодителинероботы.Такойзаконченнойиобщепринятойтеориипо
-
канесуществует,здесьделаются,по
-
видимому,первыестрогиепопытки
установитьтакуюсвязь.
Втекствключеныупражнениядлялучшегоусвоенияматериала,
атакжезадачипосложнее,втомчислеи
«
публикабельные
»
.
Вероятностныйподходктранспортнымпотокамсуществуетужеболее
50лет,см.[1,2,3],однакоздесьмыдаемболеесовременнуютрактовку
ирассматриваемболеесложныезадачи.Втожевремямынеговорим
здесьодругихвероятностныхподходахкпроблемамтранспорта,например
[12,14],ониотраженывдругихчастяхэтойкниги.Мытакженичегоне
говоримогидродинамическомподходе,таккаксвязьегосостатистическим
подходомпокаматематическиплохоизучена.
Приложениесостоитизтрехчастей.Впервойданопостроениеслучай
-
ныхпотоковинекоторыемодели,отражающиекачественныеявленияна
автомагистрали.Втомчисленоваямодель,основаннаянасравнительно
недавнейтеориислучайныхграмматик.Вовторойчастипоказано,как
можнополучатьявныеформулыспомощьютехникипуассоновскихпото
-
248Приложения
ков.Втретьейрассмотренысложныесетидорогивычислениекритической
нагрузки,вышекоторойначинаютсяпробки.
2.Потокиавтомобилей
2.1.Маркированныеточечныеполя
Подсловомпотоквзависимостиотконтекстапонимаютлибосреднее
числоJавтомобилейвединицувремени,пересекающихсечениетранспорт
-
ногопутивданномнаправлении,либостатическуюслучайнуюконфигура
-
цию
...
<
x
i
<
x
i
−
1
<
...
автомобилейвданныймоментвремени,номожнопониматьегодинамиче
-
скикакмерунамножестветраекторий
{
x
i
(t)
}
автомобилей.
Чтотакоеконфигурацияавтомобилей.Максимальнодетальное
описаниерасположенияавтомобилейвданныймоментвременитаково.
Автомобильиндивидуалениемуприсваиваетсянекийиндекс
.Напри
-
мер,пустьестьавтотрассасkполосами1,2,...,k,представляемаяk
прямыми,параллельнымиосиx.Тогдаиндекс
=
(m,i)выделяетi
-
й
автомобильнаполосеm.Индексiнумеруетавтомобильнаполосе,так
чтоавтомобильiследуетзаавтомобилемi
−
1.Пустьd
—
длинаэтого
автомобиля,x
(t)
—
егокоордината(например,переднегобампера).Ав
-
томобилидвижутсявположительномнаправленииосиx.Далееиндекс
полосыопускается
—
читательможетегодобавлятьгденадо
—
иисполь
-
зуемтолькоиндексi.
Обозначимрасстояниеавтомобиляiдопредыдущегоавтомобилявре
-
альномпотокевмоментtчерез
d
+i
(t)
=
x
i
−
1
(t)
−
x
i
(t)
−
d
i
−
1
.
Обозначим(тожеважнаявеличинадляводителя)
d
−i
(t)
=
d
+i
+
1
(t)
—
расстояниедоследующегоавтомобиля.
Каквводятсявероятностинамножествеконфигураций.Формаль
-
ноточечныйслучайныйпотокнапрямойзадаетсявероятностноймеройна
множествевсехсчетныхлокальноконечных(тоестьконечныхнакаждом
ограниченноминтервале)подмножествпрямой.Иначеговоря,задается
согласованнойсистемойвероятностей
P(I
1
,k
1
;...;I
n
,k
n
)
того,чтовинтервалахI
j
,j
=
1,...,nнаходитсяровноk
j
частиц.
А.А.Замятин,В.А.Малышев.Введениевстохастическиемодели...249
Дляболееконкретногозаданияэтихраспределенийсуществуетдве
большиенауки:теориявосстановления(см.,например,[6])итео-
риягиббсовскихточечныхполей[23,24].Перваятеориясущественно
проще,ногодитсятольководномерномслучае.Втораяглубокосвязана
сфизикой,годитсяидлямногомерныхситуаций,нодовольносложна,имы
небудемеездеськасаться.
Самыйпростойслучайныйпотокпуассоновский,см.,например,[30].
Простейшийспособегопонятьтакой.Рассмотриминтервал[
−
N,N]
ибросимнанегонезависимоислучайно(точнееравномерно)M
=
[
N]
точек,где
>
0
—
некотораяконстанта,называемаяплотностью.Легко
вычислитьбиномиальнуювероятностьP
N,M
(k,I)того,чтовконечный
интервалIпопадетровноkточек.ПоследняяприN
→∞
стремится
кпуассоновскомувыражению
P(k,I)
=
{
|
I
|}
k
k!
e
−
|
I
|
.
Болееобщиепотокилегкостроятсянаполупрямой[0,
∞
).Именно,слу
-
чайныеточки
x
0
=
0,x
1
,...,x
n
,...
определяютсякаксуммынезависимыходинаковораспределенныхслучай
-
ныхвеличин
i
>
0,i
=
1,2,...,сраспределениемG(x):
x
1
=
1
,x
2
=
1
+
2
,...
Дляопределениятрансляционно
-
инвариантногопотоканавсейпрямой
остаетсяоднапроблема
—
гдеразместитьначальнуюточкупотока,откото
-
ройоткладыватьнезависимыевеличиныналевоинаправо.Дляэтогонадо
воспользоватьсяследующим(однимизосновных)утверждениемтеории
восстановления.ПустьP(t,t
+Δ
t)
—
вероятностьтого,чтовинтервал
(t,t
+Δ
t)попадетровнооднаточкаx
n
.Тогдаесли
i
имеютплотность,
тонаполупрямойпределlim
Δ
t
→
0
1
Δ
t
P(t,t
+Δ
t)существуетистремитсяпри
t
→∞
к
=
(E
)
−
1
.Предельная(приt
→∞
)плотностьвероятноститого,
чторасстояниеотточкиtдопервойслучайнойточкиx
i
>
tбольшеs,равна
произведению
навероятностьтого,что
i
=
x
i
−
x
i
+
1
>
s,тоестьравна
(1
−
G(s)).
Поэтомупервуюпосленачалакоординатточкупотокаследуетвзятьна
случайномрасстояниисэтойплотностью.Расстоянияжемеждуточками
будутпо
-
прежнемунезависимымиотфункциираспределенияG(x).
250Приложения
Альтернирующиепотоки.Расстояниямеждусоседнимиточкамипо
-
токанеобязательноодинаковораспределены.Распределениямогутчере
-
доваться.Например,возьмемдвепоследовательностислучайныхвеличин:
1
,
2
,...и
1
,
2
,...иположим
x
2n
=
1
++
n
+
1
++
n
,x
2n
−
1
=
1
++
n
+
1
++
n
−
1
.
Тогдапостроениепотоканавсейпрямойделаетсякакивыше.Внашем
случаечередуютсядлиныавтомобилейd
i
(независимыеиодинаковорас
-
пределенные)ифункцииd
+i
(независимыеиодинаковораспределенные).
Маркированныепотоки.Каждойточкеx
i
точечногопроцессаможет
бытьсопоставленавеличина
i
,принимающаязначениявнекотороммно
-
жествеS.Этувеличинувразныхслучаяхназываютмаркойилиспином
вточкеiиговорятослучайноммаркированномточечноммножестве(пото
-
ке,процессе).Онопределяетсямеройнапоследовательностяхпар(x
i
,
i
).
Прощевсего,когдазаданамеранасчетныхмножествах,тоестьзадан
потокбезмарок,авеличины
i
объявляютсянезависимымииодинаково
распределенными.Вразделе1.5??мыпостроиммаркированныйпроцесс,
гдемаркамиявляютсяскорости,причемихраспределениебудетсложным
образомкоррелироватьвовременистраекториямиточек.
Омарковскихпроцессах.Эволюциявовремениконфигурацийав
-
томобилейчастоиспользуетмарковскиепроцессы,инеобходимосказать
осоответствующейтерминологии.Частоопределениесамогопроцесса
иегосвойств(например,эргодичности)отличаютсявразныхисточниках.
Пояснимэто.Дляпростотыограничимсяслучаемдискретноговремени.
РассмотримнанекоторомфазовомпространствеXсистемумер(пере
-
ходныхвероятностей)P(A
|
x),определяющихвероятноститого,чтовмо
-
ментt
+
1процесспопадетвмножествоA
⊂
X,есливмоментtпроцесс
находилсявсостоянииx
∈
X.ЕсливсемерыP(A
|
x)одноточечные,тоэто
эквивалентнозаданиюдетерминированногоотображенияT:X
→
X,точнее
P(
|
x)
=
(T(x))
—
единичнаямеравточкеT(x).Тогдаговорятодетерми
-
нированномотображении,задающемдинамическуюсистему.
Заметим,чтосистемамерP(A
|
x)определяеточевиднымобразомпре
-
образованиеUмножествавероятностныхмернаXвсебя:
U
=
P(
|
x)d
(x).
Важнымявляетсяпонятиеинвариантной(относительноU)меры.Обычно
исследуетсяеесуществование,единственностьидругиесвойства.
Посистемепереходныхвероятностейможнопостроитьразныепосле
-
довательностислучайныхвеличин
n
созначениямивXилиихраспре
-
делений
n
наX,гдеP(
n
∈
A)
=
n
(A).Вероятностнымпространством
приэтомслужитмножествотраекторий
{
x
n
}
.Например,повероятностной
А.А.Замятин,В.А.Малышев.Введениевстохастическиемодели...251
инвариантноймерестроитсястационарныймарковскийпроцесскакпосле
-
довательность
n
,n
∈
Z
+
случайныхвеличинсозначениямивX.Илипо
заданнойначальноймере
0
наXстроитсяпоследовательность
n
,n
∈
Z
+
.
Подмарковскимпроцессомможетпониматьсякакоднаизтаких
последовательностейслучайныхвеличин,такивсесемействотакихпо
-
следовательностей
n
.Соответственноразнитсятерминология,например,
определениеэргодичности.Динамическаясистемасзаданнойинвариант
-
ноймерой
называетсяэргодической,еслилюбоеинвариантноемноже
-
ствоимеетмеру
нольилиединицу.Налюбойстационарныймарковский
процессможносмотретькакнадинамическуюсистему
—
сдвигвпро
-
странстветраекторий.Тогдапонятиеэргодичностисовпадаетспонятием
эргодичностиэтойдинамическойсистемы.
Однакочаще,когдаговорятомарковскомпроцессе,имеютввидуне
толькостационарныепроцессы.Наиболеечастоиспользуемымопреде
-
лениемэргодичностиявляетсяследующее.Процессназываетсяэргоди
-
ческим,еслисуществуетединственнаяинвариантнаямера
наX,идля
любойначальноймеры
0
приn
→∞
имеетместослабаясходимость
n
→
.
Отметим,чтомарковскиепроцессырезкоразделяютсянадваклас
-
са.Первыйкласс
—
длякоторыхсуществуетположительнаямеранаX
(необязательновероятностная),относительнокоторойвсемерыP(
|
x)
абсолютнонепрерывны.Книмотносятсяпочтивсеклассическиемар
-
ковскиепроцессы
—
конечныеисчетныецепиМаркова,диффузионные
процессыидругие.Такиепроцессыназываютсяэргодическими,если,во
-
первых,упреобразованиянетнетривиальныхинвариантныхмножеств,
аво
-
вторых,существуетединственнаяинвариантнаявероятностнаямера.
Вомногихслучаяхотсюдаследуетсходимостькэтойинвариантноймере
излюбогоначальногораспределения.Длясчетныхцепейэквивалентным
условиемявляетсяположительнаявозвратность,тоестьконечность(для
всехпарx,y
∈
X)среднеговременидостиженияyизx.
Второйклассхарактеризуетсятем,чтовсемерыP(
|
x)взаимносин
-
гулярны.Кэтомуклассуотносятсяпочтивсепроцессысбесконечным
числомчастиц.Теориятакихпроцессовсущественносложнее.
2.2.Связьскоростииплотностиспропускнойспособностью
Психикаводителявпростейшемпотоке.Полностьюмоделировать
психикуконечноневозможно,номногиезакономерностиочевидны.Так,
водительiвидитнесколькоавтомобилей(частотолькоодинвпередисебя)
впотокеивыбираетоптимальноедлясебярасстояниедопредыдущего
автомобиля.Еслискоростьv
i
−
1
(t)
=
dx
i
−
1
(t)
dt
меняетсямедленно,томож
-
носчитать,чтореакцияводителябыстрее,ивыбираемоерасстояниеD
+i
252Приложения
зависиттолькоотэтойскорости:
D
+i
=
D
+i
(v
i
−
1
)
(индексiговорит,чтофункцииD
+i
(v)разныедляразныхводителей).На
-
зовемпотокалгоритмическимвмоментt,еслидлявсехi
d
+i
(t)
=
D
+i
(v
i
−
1
(t)),
тоестьвсескоростипоследовательноопределяютсяпоскоростипервого
автомобиля.Конечно,насинтересуютнесамифункции,аихстати
-
стическиехарактеристики.ПривероятностномподходефункцииD
+i
(v)
становятсянезависимымиодинаковораспределеннымислучайнымифунк
-
циями,зависящимиотскоростиvпредыдущеговодителякакотпараметра.
Распределениеэтихфункцийнеможетбытьвыведеноизматематических,
статистических,физическихит.д.законов.Онозависитотиндивидуальной
иколлективнойпсихикиводителяидолжнонаходитьсяэкспериментально,
см.[22].
Детерминированнаядинамикабезобгона.Есливсеавтомобили,
водителиискоростиvодинаковы,томногиезадачирешаютсяпросто.Обо
-
значимчерезd
—
длинуавтомобиля,d
+
=
D
+
(v)
—
расстояниедовпереди
идущегоавтомобиля,котороеводительсоблюдает.Ужетакаядинамика
позволяетпонятьмногиекачественныеэффекты.
Определимпропускнуюспособностьдорогикакмаксимальновозмож
-
ныйпотокпоней:
J
max
=
max
v
v
(v),
гдемаксимумберетсяпоразрешенномуинтервалускоростей,а
(v)
=
k
d
+
D
+
(v)
—
плотностьавтомобилейнаk
-
полоснойдорогепризаданнойскоростиv.
Отсюдавидно,чтопропускнаяспособностьможетуменьшатьсяприуве
-
личениискорости.Этотпростойвыводговоритлишьотом,чтомногие
водителиувеличиваютрасстояниедовпередиидущегоавтомобиляпри
увеличенииегоскорости.
Случайнаядинамикабезобгона.Тожесамоеполучится,еслиско
-
ростиvодинаковы,функцииd
+i
случайныинезависимы,аихсредние
равны(длязаданногоv)некоторомучислуd
+
(v).Мывидим,чтосамфакт
нетривиальнойзависимостипропускнойспособностиотскороститриви
-
ален,идлянегосовершенноненужнывероятностныемодели.Однако
дляболеетонкихвопросоввероятностныемоделинеобходимы.Сейчасмы
введемдовольнообщуювероятностнуюмодельсоченьбогатымспектром
А.А.Замятин,В.А.Малышев.Введениевстохастическиемодели...253
фаз.Приэтомпроцессысзапретами(exclusionprocesses)появляютсякак
вырожденныйчастныйслучай.Другиемоделисм.[10,12,22].
Случайнаядинамикасобгоном(случайныеграмматики).Здесь
естественновозникаетсвязьстакимнедавнооткрытымобъектом,какслу
-
чайныеграмматики,см.[25].Мыдадимкраткоесодержательноеописание
однойтакоймодели.
Пустьвмоментt
=
0всеавтомобилинаходятсяналевойполуоси,дви
-
жениеоднополосное.Мыразбиваемполосудвижениянаклеткиопреде
-
леннойдлиныисчитаем,чтовкаждойклеткенеболееодногоавтомобиля.
Такимобразом,конечнаяпоследовательностьавтомобилейизображается
парой(S,r),гдеr
∈
Z,аS
—
конечнаяпоследовательность(слово)изтрех
символов0,1,2:
S
=
s
N
...s
2
s
1
.
Приэтом0соответствуетпустойклетке,1
—
активному(быстрому)води
-
телювклетке,2
—
спокойномуводителювклетке.ДлинасловаN
=
N(t)
ивсесимволыs
k
(t)могутменятьсявовремени,нотак,чтовсегдаs
1
(t)
6=
6=
0длявсехt
0.Впроизвольныймоментtкаждыйсимволs
k
(t)имеет
координатуx(s
k
(t)).Координатыоднозначноопределяются
x(s
k
(t))
=
x(s
1
(t))
−
k
+
1(1)
координатойx(s
1
(t))первогосимвола,которуюмыобозначимr
=
r(t).
Динамикамоделируетпроцессускоренийиторможенийотдельных
водителейиопределяетсякакцепьМаркова(S(t),r(t))снепрерывным
временемнамножествепар
{
(S,r)
}
.Интенсивностискачковопределяются
так.ИзмененияSиrнезависимыдруготдруга.Изменениеrмоделирует
движениевсегопотокаспостояннойскоростьюv.Именно,rувеличивается
наединицусвероятностьюvdtзавремяdt,ивсекоординатынемедленно
изменяютсясоответственноформуле(1).ДинамикаS,такимобразом,бу
-
детописыватьситуациюотносительнонекоторогоравномерногодвижения.
Этадинамиказадаетсяслучайнойграмматикой,тоестьспискомвозмож
-
ныхлокальныхзаменподслов(всегобудет5типовзамен)Sнадругое
подслово.Любыезаменыизприводимогонижеспискапроизводятсянеза
-
висимо,случайноиимеютразныеинтенсивности(всего4параметра).Вот
этотсписок.
1)10
→
01
—
быстрыйводительпередвигаетсяна1
-
говперед,осво
-
бождаясвободноеместозасобой,свероятностью
+0
dtзавремяdt;
2)120
→
021
—
быстрыйводительобгоняетспокойного,свероятно
-
стью
+1
dt;
3)22
→
202,21
→
201
—
предусмотрительныйводительтормозит,уве
-
личиваядистанциюпередсобой,свероятностью
−2
dt.Отметим,чтоздесь
254Приложения
увеличиваетсядлинаS(возникаетлишняясвободнаяячейка),чтове
-
детксдвигувсехавтомобилейсзадиэтоговодителяна1
-
гоназад.Это
нелокальныйскачок,реальноонрастянутвовремени,ноэтосовместимо
справиломсложенияотносительныхскоростей;
4)200
→
020
—
спокойныйводительускоряетсясвероятностью
+2
dt
(есливпередисеготочкизрениямногосвободногоместа).
Необходимосказать,чтодляточнойформулировкирезультатов,кото
-
рыемылишьобрисуем,надоделатьразнообразныескейлингипараметров
t,N,
.Этобудетсделановотдельнойстатье.Взависимостиот4пара
-
метровмогутбытьразнообразныетипы(фазы)движения.Мыприведем
толькотриизних.
Если
±2
малыпосравнениюсостальнымидвумяпараметрами,то
автомобилитипа2едутсинхронноиспостояннойскоростью,абыст
-
рыеавтомобилиимеютдополнительнуюотносительнуюскорость.Если
быстрыхавтомобилеймало,тоэтадополнительнаяскоростьопределяется
движениемодногоавтомобилясрединеподвижныхпрепятствийизависит
отплотности
2
автомобилейтипа2иплотностидырок
0
ипримерно
равна
v
rel
=
+0
0
+
2
+1
2
.
Если
−2
малапосравнениюсостальнымидвумяпараметрами(нетнело
-
кальныхэффектов),а
+2
имееттакойжепорядоккак
+0
,
+1
,торазница
междутипамистирается.Мыимеемтогдапроцесс,близкийктакназыва
-
емомуполностьюасимметричномупроцессусзапретами(TASEP
—
totally
asymmetricexclusionprocess),адлязначений
+0
=
+1
,
−2
=
0
полностьюснимсовпадающий(оTASEPсм.приложениеМ.Бланка
иссылкивнем).
Если
+2
мала,а
−2
великапосравнениюсостальнымидвумяпара
-
метрами,токартинаиная.Каждыйобгон120
→
021вызываетнемедленное
торможениеавтомобиля2и,какследствие,всепоследующиеавтомобили
замедляются.Дляавтомобилейближекконцусловазамедлениебудет
весьмасущественным,еслипотокдостаточноплотный(малоячеексну
-
лями),таккакмногоавтомобилейтипа2будеттормозиться.
Можноусложнятьвведеннуюдинамику,например,избежатьдискрети
-
зации(см.конецэтогораздела),вводявместонулейположительныеве
-
щественныечисла
—
расстояниямеждупоследовательнымиавтомобилями.
Этопотребуетсущественных(см.,однако,раздел2.5)переформулировок,
особеннодляскачковтипа3,носохранитгрубыекачественныеэффекты.
А.А.Замятин,В.А.Малышев.Введениевстохастическиемодели...255
2.3.Ростпробки
Есливходнойтранспортныйпотоквнекоторуюфиксированнуюоб
-
ластьравенJ
in
,авыходнойJ
out
<
J
in
,токоличествоавтомобилейвданной
областизавремяtувеличитсяна
t(J
in
−
J
out
).
Такбудет,однако,толькоеслирассматриваемаяобластьненаходится
насамомтранспортномпути.Например,еслиавтомобилискапливаются
впробкенасамойдороге,тоответдругой.Деловтомчтообластьсама
можетрастизасчетскапливающихсяавтомобилей.Чтобыуточнитьэти
утверждениянадоуточнитьмодель.
Пустьавтомобилиодинаковойдлиныdедутвпотоке(пооднойполосе)
соскоростьюvодинзадругимнаодинаковомрасстоянииd
+
междуними.
Пустьвтечениевремениtдвижениеостановленонекимпрепятствием,
например,краснымсветофором.Приэтомавтомобилиостанавливаются
нарасстоянииd
+0
<
d
+
допредыдущегоавтомобиля.
Упражнение1.Доказать,чтозавремяt
→∞
пробка(тоестьмакси
-
мальнаядлинаL(t)участка,гдевсеавтомобилистоят)передпрепятствием
будетиметьдлину,асимптотическиравную
L(t)
∼
t
→∞
tv
d
+
d
+0
d
+
−
d
+0
.(2)
По
-
видимому,этотрезультатзависитвдействительностилишьотсред
-
нихвеличиниостаетсявернымпривозможностиобгона.Этосделано
в[16]длянезависимогодвиженияавтомобилей(тоестькогдаавтомобили
немешаютдругдругу),причемскоростиавтомобилейимеютфлуктуации,
однакосредниескоростивсехавтомобилейодинаковыиравныv.Однако
доказательствотамсовсемнепросто.Другиемоделиростапробкисм.
в[17]иглаве2.
Локальныерасширенияисужениятрассы.Чтопроисходитприпе
-
реходеучасткадорогисkполосамивучастоксlполосами.Пустьэтот
переходпроисходитвточкескоординатойx
=
0.
Случайk
<
l.Пустьмаксимальноразрешеннаяскоростьравнаv
max
ипредполагаетсядисциплинированностьводителей.Пустьавтомобили
движутсяпоk
-
полоснойтрассесоскоростьюv
<
v
max
ибыстрееехать
невозможнопопричинефундаментальногосоотношениямеждуплотно
-
стьюавтомобилей
иихскоростью:
d
+
D
+
(v)
=
−
1
.
ТогдапоlполоснойтрасседлиныLавтомобилитеоретическимогутсохра
-
нить
идвигатьсястакойжескоростью,но
можетскорректироваться
256Приложения
так,чтоавтомобилисмогутдвигатьсябыстрееснекоторойбольшейско
-
ростьюv
1
.Выгодавовременибудет
L
v
−
L
v
1
.
Случайk
>
l.Тогдавозможнытриразныхситуации.
Свободныйпоток.Еслипотокоченьредкий,тоавтомобилибудут
подъезжатькточке0водиночкуинезаметятперехода.
Растущаяпробка.ОбозначимJ
k
—
текущийвходящийпотокиJ
l,max
—
максимальновозможныйпотокпоl
-
полоснойтрассе.ЕслиJ
k
>
J
l,max
,то
будетобразовыватьсяпробка,ичислоавтомобилейвпробкевсреднем
будетрастикакt(J
k
−
J
l,max
),аточнеекаквформуле(2).
Задержка.ВслучаеJ
k
<
J
l,max
практическоенаблюдениетаково:перед
сужениямимогутвозникатьпробкислучайнойдлины,которыеоднаконе
растутслишкомсильно.Соответствующихстохастическихмоделейпока
нет,дляэтогопреждевсегонужнынестационарныемоделиначалаиоста
-
новкидвижения.Некоторыеизэтихмоделеймысейчасопишем.
2.4.Моделиначаладвижения
Вработе[9]автомобилизадаютсяточками
...
<
x
i
(t)
<
x
i
−
1
(t)
<
...
напрямой.Вначальныймоментвремениt
=
0автомобилистоятиоб
-
разуютпуассоновскоеточечноеполесплотностью
<
1.Автомобили
могутиметьдвескорости:0или1;обгонызапрещены.Каждыйстоящий
автомобиль,черезнезависимоеэкспоненциальнораспределенноевремясо
средним1,начинаетдвигатьсясоскоростью1.Можетслучитьсятак,что
автомобильсномеромiдоедетдоавтомобиляi
−
1покатотещененачал
двигаться.Тогдаоностанавливаетсяиначинаетдвигатьсячерезэкспонен
-
циальноевремяпослетогокакначнетдвигатьсяавтомобильi
−
1.Такое
правилодействуетвсегда.Этотпроцессвнекоторомсмыслеописывает
выездавтомобилейизпробки.
Основнойрезультатсостоитвтом,чтосвероятностью1каждыйав
-
томобильбудетостанавливатьсятолькоконечноечислораз(приусловии
<
1).Пустьt
i
—
моментвремени,начинаяскоторогоавтомобильiвсе
времядвижется.Тогдадлялюбыхiиkилюбыхt
i
,t
i
−
1
,...,t
i
−
k
случайные
величины x
i
−
1
(t
i
−
1
)
−
x
i
(t
i
),x
i
−
2
(t
i
−
2
)
−
x
i
−
1
(t
i
−
1
),...,x
i
−
k
(t
i
−
k
)
−
x
i
−
k
+
1
(t
i
−
k
+
1
)
будутнезависимыиэкспоненциальнораспределены.Иначеговоря,после
выездаизпробкиавтомобилибудутобразовыватьпуассоновскуюконфи
-
гурациютойжесамойинтенсивностью
,чтоивначале.
А.А.Замятин,В.А.Малышев.Введениевстохастическиемодели...257
Пустьтеперьвмомент0пуассоновскийточечныйпотоксплотностью
находитсяналевойполуоси.Каждаяточкадвижетсясоскоростьюv
>
>
0,еслирасстояниедопредыдущейточкинеменьшенекоторогоd
eff
>
0,
истоитвпротивномслучае.Здесьочевидно,чтокаждаячастицанеоста
-
навливается,начинаяснекоторогомомента.Ноздесьможнополучить
больше.Рассмотримследующиеслучайныевеличины:
(1)
k
—
случайное
времяначаладвиженияk
-
йточки,
(2)
k
—
случайноевремя,начинаяско
-
торогоэтаточкабольшенеостанавливается,x
k
—
расстояниедопервой
точки,начинаясмомента
(2)
k
.
Задача1.Найтиасимптотикураспределенийэтихслучайныхвеличин
приk
→∞
.
Связьсзадачейзадержкиочевидна.Пустьестьдвеполосыинакаж
-
дойполосеинтенсивностьпотока
;объединенныйпоток,такимобразом,
имеетплотность2
.Автомобилямизпервойполосынадовтиснутьсяво
вторую.Алгоритмывтискиваниямогутбытьразными.Например,любой
автомобильвтискиваетсянезависимоотдругих,еслиегорасстояние(по
осиx)допредыдущегоипоследующегоавтомобиляизвторойполосыбыло
неменеенекоторогочислаd
+
.
2.5.Ближнийидальнийпорядокприменяющихсявовремени
скоростяхавтомобилей
Здесьавтомобилипредставляютсяточкамиx
i
.Савтомобилемiсвязы
-
ваетсяслучайныйпроцессw
i
(t),определяющийегоскоростьвмоментt
«
насвободнойдороге
»
(тоестьприотсутствиипрепятствияспереди).Ве
-
личинаэтойскоростикосвенноопределяетактивностьводителявданный
моментвремени.Будемговорить,чтоавтомобильiимеетвпередисебя
препятствиевмоментt,если
x
i
(t
−
0)
=
x
i
−
1
(t).
Процессыw
i
(t)взаимнонезависимыиопределяютсялишьпсихикойинди
-
видуальноговодителя.Предположим,чтосуществуютконстанты0
<
C
1
<
<
C
2
<∞
такие,чтодлявсехt,i
C
1
<
w
i
(t)
<
C
2
.
Потокзадаетсяначальнымположениемx
i
(0)автомобилей,аихдвижение
определяетсякак
x
i
(t)
=
x
i
(0)
+
t
0
v
i
(s)ds,
гдеv
i
(t)
—
определяемаянижескоростьавтомобилявпотоке.Приэтомна
-
чальныеположениятаковы,чторасстоянияd
+i
(0)независимыи,например,
258Приложения
экспоненциальнысзаданнымпараметром
(0).Процессбудетполностью
определен,еслидлявсехt
1
,...,t
n
,i
1
,...,i
n
мызададимконечномерные
распределениявекторов:
(v
i
1
(t
1
),...,v
i
n
(t
n
)),
гдесредииндексовi
k
могутбытьодинаковые.Этираспределенияполно
-
стьюопределяютсяследующимиправилами:
1)(правилосвободнойдороги)еслиниодинизавтомобилейi
1
,...,i
k
приk
nнеимеетвпередисебяпрепятствия,тораспределениевектора
v
i
1
(t
1
),...,v
i
k
(t
k
)совпадаетсраспределениемвектораw
i
1
(t
1
),...,w
i
k
(t
k
)
иявляетсянезависимымотраспределениявектораv
i
k
+
1
(t
k
+
1
),...,v
i
n
(t
n
);
2)(правилопрепятствия)еслиавтомобильiимеетвпередисебяпре
-
пятствиевмоментt,тоv
i
(t)
=
v
i
−
1
(t);
3)(правилаобгона)еслиавтомобильiимеетвпередисебяпрепятствие
вмоментt,тоонменяeтсяместамиспредыдущимавтомобилемснеко
-
торойинтенсивностью
втечение(случайного)интервалавременипока
w
i
(t)
>
v
i
−
1
(t).Смыслэтогоусловиясостоитвтом,чтоводительобгоняет,
еслиегоактивностьвысокавтечениенекоторогопромежуткавремени.
Ужедляэтогопростейшегоопределениятранспортногопотокасза
-
висимымиотвременискоростямиестьмногозадач.Некоторыеизнихмы
сейчассформулируем.
Назовемсвободнойфазойслучай,когдаавтомобильнезадерживается
приобгонедогоняемогоавтомобиля,тоестьинтенсивностьобгонаравна
бесконечности.Тогдадлялюбыхавтомобилейсиндексамиi,jихскорости
независимы,и,значит,ковариации
cov
ij
(t)
=
Ev
i
(t)v
j
(t)
−
Ev
i
(t)Ev
j
(t)
=
0.
Задача2.Длязаданныхраспределенийпроцессовw
i
(t)существует
константа0
<
0
<∞
такая,чтопри
<
0
существуетпредельныйста
-
ционарныйпроцесс(поiипоt),вкоторомковариацииcov
ij
(t)убывают
экспоненциальнопо
|
j
−
i
|
.
Назовемэтоттипдвиженияфазойсближнимпорядком.Существова
-
ниефазыдальнегопорядкаопределяетсяследующейгипотезой.
Задача3.Существуетконстантa0
<
cr
<∞
такая,чтопри
>
cr
су
-
ществуетпредельныйстационарныйпроцесс,вкоторомковариацииcov
ij
(t)
нестремятсякнулюпри
|
j
−
i
|→∞
.
Будетли
cr
=
0
предыдущейзадачи?
Этитрифазымогутиметьотношениекфазам,определеннымБ.С.Кер
-
нером[15].
А.А.Замятин,В.А.Малышев.Введениевстохастическиемодели...259
Задача4.Определитьподобныйпроцесссдлинамиd
i
,d
+i
,атакже
сдополнительнымииндексами,соответствующимиполосамдвижения,ис
поведениемводителя,зависящимнетолькоотследующей,ноиотпреды
-
дущегоавтомобиля.Какиедополнительныекачественныеэффектымогут
ловитьэтимодели?
3.Расчетсреднейскоростинаавтотрассе
Мыприводимздесьпростейшуюпостановкузадачиоснижениисред
-
нейскоростидвиженияавтомобиляпоавтотрассеиз
-
заслучайныхнепо
-
движных(авариииремонтныеработы)идвижущихся(медленныеав
-
томобили)препятствий.Цель
—
показать(полностьюрешивмодельные
задачи),чтовомногихслучаяхможнополучитьпростыекрасивыефор
-
мулы,позволяющиепонятьосновныепричинызамедления.Мычетко
формулируемтехническиепредположениядляполучениятакихформул.
Основноепредположениекасаетсяоднородноститрассы,именновъезда,
выездаавтомобилей,спецификиобгона.
3.1.Дорогакакодномернаясетьмассовогообслуживания
Следующаямодельзаимствованаиз[8],с.117.Пустьестьбесконеч
-
наядорогаидватипаавтомобилей,задаваемыеточкаминабесконечной
прямой,которыедвижутсяводномнаправлении.Автомобилипервоготипа
(быстрые)двигаютсяспостояннойскоростьюv
1
,автомобиливтороготипа
(медленные)имеютпостояннуюскоростьv
2
,гдеv
1
>
v
2
.
Предположим,чтобыстрыеавтомобиливначальныймоментвремени
образуютпуассоновскуюслучайнуюконфигурацию(пуассоновскийто
-
чечныйпоток)навсейпрямойсплотностью
1
.Медленныеавтомобили
расположенывмоментt
=
0вточках
x
0
=
0
<
x
1
<
...
<
x
n
<
...,
причемрасстоянияx
k
−
x
k
−
1
одинаковораспределенысосредним
−
1
2
(не
обязательноэкспоненциально).Медленныеавтомобилиедутнезависимо,
незамечаядругихавтомобилей.Быстрыеже
«
взаимодействуют
»
скаж
-
дымавтомобилем,скоторымихкоординатысовпадают.Именно,быстрым
автомобилямразрешенообгонятьмедленные.Когдабыстрыйавтомобиль
догоняетмедленный,тоестьихкоординатысовпадают,тоонсколько
-
товремениедетвместесмедленным,тоестьсоскоростьюv
2
.Через
экспоненциальнораспределенноевремяспараметром
онобгоняетмед
-
ленного,тоестьначинаетехатьсоскоростьюv
1
.Еслибыстрыйавтомобиль
догоняетгруппубыстрыхавтомобилей,следующихзамедленным,тообгон
происходитвпорядкеочереди,точнее,втомпорядке,вкоторомбыст
-
рыеавтомобилидогонялиданныймедленныйавтомобиль.Безограничения
общности,скоростимедленныхавтомобилейможносчитатьравныминулю
260Приложения
v
2
=
0,аскоростибыстрыхсоответственноравнымиv
=
v
1
−
v
2
.Поэтому
каждыймедленныйавтомобильможнопредставлятьузломобслуживания,
накоторыйприходятклиенты(быстрыеавтомобили)ивпорядкеочереди
(тоестьприбытия)ждутобслуживания(обгона),иобслуживаютсясин
-
тенсивностьюобслуживания
.
Теперьэтазадачаможетбытьсведенаклинейнойсетимассового
обслуживания,которуюмысейчасопишем.Имеетсябесконечнаяпосле
-
довательность
S
0
→
...
→
S
k
→
S
k
+
1
→
...
узловобслуживаниядвухтипов.КаждыйузелS
k
представляетсобойси
-
стемутипаM
/
M
/
1сдисциплинойобслуживанияFIFO(first
-
in
-
first
-
out),
тоестьобслуживаниевпорядкеестественнойочереди.Этиузлысоот
-
ветствуютмедленнымавтомобилям,атребования
—
быстрым.Например,
узелS
0
соответствуеткрайнемулевомумедленномуавтомобилю.Вторая
букваMозначаетэкспоненциальностьвремениобслуживания.Этовместе
сдисциплинойFIFOотвечаетформулировкенашеймодели.Перваябуква
Mозначаетпуассоновостьвходящегопотокаприбывающихтребований.
Так,наузелS
0
поступлениетребованийобразуетстационарныйпуассо
-
новскийпотоксинтенсивностью
1
v.Изэлементарнойтеорииочередей
известно,вопервых,чтоесли
1
v
<
,тоустанавливаетсястационарный
режимсвероятностямиP
n
того,чтодлинаочередиравнаn
P
n
=
(1
−
r)r
n
,r
=
1
v
.
Во
-
вторых,известно(теоремаБюрке(Burke)),чтовстационарномрежиме
выходящийпотокизсистемытипаM
/
M
/
1будетпуассоновскимсин
-
тенсивностьюравнойинтенсивностивходящегопотока,тоестьвнашем
случаеэто
1
v.
Послепервогоузла,сослучайным,ноодинаковымдлявсехавтомоби
-
лейвременнымсдвигом
x
1
−
x
0
v
,потоктребованийпоступаетнаузелS
1
,
гдетакжеустанавливаетсястационарныйрежим.
Найдемсреднююскоростьбыстрогоавтомобилянаинтервале(x
0
,x
N
),
N
→∞
.Приэтоммыбудемпредполагать,чтостационарныйрежимуже
установился.ВремяпроездаэтогоучасткаскладываетсяизNобгоновиN
путеймеждумедленнымиавтомобилями.
Среднеевремя,затрачиваемоебыстрымавтомобилемнаобгонмедлен
-
ного,составит
∞
X
n
=
0
(1
−
r)r
n
(n
+
1)
=
1
(1
−
r)
=
1
−
1
v
,
А.А.Замятин,В.А.Малышев.Введениевстохастическиемодели...261
втовремякаксреднеевремядвижениядоследующегомедленногоавто
-
мобиляесть
1
2
v
.
Поэтомурасстояниемеждусоседнимимедленнымиавтомобилями(всред
-
немравное
−
1
2
)быстрыйавтомобильвсреднемпроходитзавремя
(
−
1
v)
−
1
+
(
2
v)
−
1
.
Такимобразом,средняяскоростьбыстрогоавтомобилясоставит
v
mean
=
−
1
2
(
−
1
v)
−
1
+
(
2
v)
−
1
.
Вследующихразделахмырассмотримболеесложнуюситуациюсбо
-
лееобщимираспределениями.
3.2.Снижениесреднейскоростииз
-
заремонтныхработ
Подлиннойавтотрассеедутавтомобилиспостояннойскоростьюv,
встречаяпрепятствия.Препятствияобычноимеютмалыйразмервсравне
-
ниисрасстояниямимеждуними,поэтомуможнопредставлятьихточками.
Онивозникаютнапроизвольномучасткедороге(x,x
+
dx)
⊂
Rзавремя
(t,t
+
dt)
⊂
Rсвероятностью
dxdt.Точнееговоря,пары(местоимо
-
ментвозникновенияпрепятствия)(x
j
,t
j
)
∈
R
×
R
+
образуютпуассоновское
точечноеполе
Π
наR
×
R
+
синтенсивностью
.Другоеэквивалентное
определениесостоитвтом,чтодлялюбогоинтервалаI
⊂
Rестьпуассонов
-
скийпотокприбывающихпрепятствийинтенсивности
|
I
|
,причемвмомент
прибытияпрепятствиевыбираетточкуравномернонаинтервалеI.
Предположим,чтоj
-
епрепятствиянаходитсянадорогенекотороеслу
-
чайноевремя
j
,послечегооноубираетсясдороги.Будемсчитать,что
j
—
независимыеодинаковораспределенныеслучайныевеличинысфункцией
распределенияQ(t),независящиеотпуассоновскоготочечногополя
Π
.
Предположим,чтопервыедвамоментас.в.
j
конечны.Обозначимm
Q
=
=
E
j
иm
(2)
Q
=
E
2
j
.
Далеемыбудемрассматриватьдваслучая.Впервомслучаеобъезд
запрещениавтомобильвынужденстоятьдотехпор,поканеуберут
препятствие,послечегоавтомобильмгновеннонабираетсвоюскоростьv.
Вовторомслучаеобъездразрешен.Болееточно,автомобилютребуется
некотороеслучайноевремядлятого,чтобыобъехатьпрепятствиеили
группуавтомобилей,стоящихпередпрепятствием,причемвремяобгона
независитотразмераэтойгруппы.Обозначимчерез
m,i
случайноевремя
объездаi
-
мавтомобилемm
-
гопрепятствия.Мыпредполагаем,что
m,i
независимыиодинаковораспределенысфункциейраспределенияF(u).
Этипредположенияестественныдляслабойнагрузкидороги,тогдапе
-
262Приложения
редпрепятствиемнебудетмногоавтомобилей.Случайбольшойнагрузки
рассматриваетсяниже.
Нашейпервойзадачейбудетвычислениесреднейскоростиавтомоби
-
ля.Присделанныхпредположенияхавтомобилинемешаютдругдругу,
поэтомудостаточнорассмотретького
-
нибудьодногоизних.Обозначим
черезT(x)случайноевремя,затрачиваемоеавтомобилемнапрохождение
расстоянияx.Мыхотимнайтипределотношения
x
T(x)
приx
→∞
.
Пустьb
=
m
Q
,
—
с.в.сплотностьюраспределения
h(t)
=
m
−
1
Q
(1
−
Q(t)).(3)
Упражнение2.Показать,чтоh
—
плотность.
Отметим,что
E
=
1
m
Q
∞
0
t(1
−
Q(t))dt
=
1
m
Q
∞
0
(1
−
Q(t))d
t
2
2
=
1
2m
Q
∞
0
t
2
dQ(t)
=
m
(2)
Q
2m
Q
,
гдеm
(2)
Q
—
второймоментраспределенияQ(t).
Определимс.в.
=
min(
,
),гдеравенствопораспределению,при
этомс.в.
,
считаютсянезависимымиис.в.
имеетфункциюраспреде
-
ленияF(u).Положим
a
=
E
.
Теорема1.Свероятностью1приx
→∞
x
T(x)
→
v
1
+
abv
.(4)
Доказательство.Безограниченияобщностиможносчитать,что
автомобильвыезжаетвточкеx
=
0вмоментвремениt
=
0.ПустьT
0
(x)
—
времяпростояавтомобиля.Тогда,очевидно,T(x)
−
T
0
(x)
=
v
−
1
xи
x
T(x)
=
x
T(x)
−
T
0
(x)
+
T
0
(x)
=
1
v
−
1
+
x
−
1
T
0
(x)
.
Поэтомудостаточнонайтипределотношения
T
0
(x)
x
приx
→∞
.Мыхотим
показать,что
T
0
(x)
=
(x)
X
i
=
1
i
,(5)
где
i
—
н.о.р.с.в.,распределенныекак
,
(x)
—
с.в.спуассоновскимрас
-
пределениемспараметромbx,причем
i
и
(x)независимы.Смыслэтой
формулывтом,чтоавтомобильприпрохождениирасстоянияxвстретит
(x)препятствийипотеряетслучайноевремя
i
наi
-
мпрепятствии.
А.А.Замятин,В.А.Малышев.Введениевстохастическиемодели...263
Из(5)иусиленногозаконабольшихчиселлегкоследует,что
T
0
(x)
x
→
ab
п.н.приx
→∞
.
Докажем(5).Введеммаркированноепуассоновскоеточечноеполе
Π
1
наR
×
R
+
сконфигурацией(x
j
,t
j
,
j
),тоесть
j
—
маркавточке(x
j
,t
j
).
Следующееутверждениеможнонайтив[5]:
Лемма1.Маркированноеточечноеполе
Π
1
эквивалентнопорас-
пределениюпуассоновскомуполюнаR
×
R
2
+
синтенсивностью
dxdtdQ(t).
Препятствия,возникающиенадороге,удобнопредставлятьввидего
-
ризонтальныхотрезков,изображенныхнарис.1.Координатыначальной
точкиопределяютместоивремявозникновенияпрепятствия(пара(x
j
,t
j
)).
Длинаотрезка
—
времяпребыванияпрепятствиянадороге(марка
j
).
Рис.1
Возьмемпроизвольнуюпрямуюc
1
t
+
c
2
ирассмотримточкипересече
-
нияэтойпрямойсгоризонтальнымиотрезками.Обозначимчерез
{
x
i
}
—
пространственныекоординатыэтихточек,какпоказанонарис.1.Следу
-
ющаялеммадоказанав[7].
Лемма2.Конфигурация
{
x
i
}
образуетпуассоновскийпроцессин-
тенсивностиb
=
m
Q
.
Нарис.2изображенатраекториядвиженияавтомобиля,который
стартуетвточкеx
=
0вмоментвремениt
=
0.Обозначимчерезx
i
про
-
странственныекоординатыпрепятствий,которыевозникаютпридвижении
автомобиля,t
i
—
моментыихвозникновения,s
i
—
моментывремени,когда
автомобильвстречаетпрепятствие,u
i
—
моментывремени,когдаавтомо
-
бильизбавляетсяотпрепятствия,либоврезультатеобъездапрепятствия,
либоврезультатеисчезновенияпрепятствия;
i
=
u
i
−
s
i
—
задержкаав
-
томобилянаi
-
мпрепятствии.
264Приложения
Рис.2
Излеммы2ипространственно
-
временнойоднородностипуассонов
-
скоготочечногополя
Π
следует,чтоточкиx
i
образуютпуассоновский
процессинтенсивностиb.
Подвременемжизнипрепятствиябудемпониматьвремяегопребыва
-
ниянадороге.Назовемостаточнымвременемжизнипрепятствия
—
время
егонахождениянадорогепослетогокакегодогналавтомобиль.Другими
словами,этозадержкаавтомобиля,еслиобъездневозможен.
Лемма3.Остаточноевремяжизнипрепятствияимеетраспре-
делениесплотностьюh(s),гдеh(s)определяетсяформулой(3).
Всамомделе,изсвойствпуассоновскоготочечногополяследует,
чтоусловноераспределениеостаточноговременижизнипрепятствияпри
условии,чтополноевремяжизниравноt,совпадаетсравномернымрас
-
пределениемнаотрезке[0,t].Всилулеммы2вероятностьвозникновения
препятствиявинтерваледлиныdxравна
m
Q
dx
+
o(dx),авероятность
возникновенияпрепятствиясфиксированнымвременемжизниtвинтерва
-
ледлиныdxесть
tdQ(t)dx
+
o(dx),чтовытекаетизлеммы1.Поскольку
tdQ(t)dx
+
o(dx)
m
Q
dx
+
o(dx)
=
tdQ(t)
m
Q
естьусловнаявероятностьвозникновенияпрепятствиясфиксированным
временижизниt,топлотностьраспределенияостаточноговременижизни
препятствияимеетвид
∞
s
tdQ(t)
m
Q
ds
t
=
m
−
1
Q
(1
−
Q(s))ds
=
h(s)ds.
Леммадоказана.
Втомслучае,когдаобъездвозможен,автомобильпотеряетвремя,
котороеестьминимумизвремениобгонаиостаточноговременижизни
препятствия,т.е.
i
=
min(
,
).Теоремадоказана.
А.А.Замятин,В.А.Малышев.Введениевстохастическиемодели...265
Обсудимрезультат.Смыслконстантыaмыужепояснили,аконстанта
bимеетсмыслстационарнойплотностипрепятствийвпространстве.
Этотрезультатдовольноточенпрималойплотностиавтомобилей,так
какоколопрепятствийбудетпоодномуавтомобилю.Привысокойплот
-
ностиавтомобилейвремяобъездабудетпересчитываться(увеличиваться)
взависимостиотсреднейдлиныочередипередпрепятствием.
3.3.Снижениесреднейскоростииз
-
замедленныхавтомобилей
АвтотрассаописываетсядействительнойосьюR.Потокисчитаютсяне
оченьплотными,поэтомудлинаавтомобиляролинеиграет,ивданный
моментвремениположениеавтомобилязадаетсяточкойx
i
(t)
∈
R,гдеi
—
индекс,нумерующийавтомобили.Каждыйавтомобильимеетфиксирован
-
ныймаршрут:местоивремявъездаx
i,in
,t
i,in
,атакжепредписанноеему
местовыездаx
i,out
.Новремявыездаt
i,out
зависитотстепенизагруженно
-
стидороги.Мыопределяемсреднююскоростьавтомобиляiкак
V
i
=
x
i,out
−
x
i,in
t
i,out
−
t
i,in
.
Естьдватипаавтомобилей:быстрыеимедленные,каждыйдвижетсяспо
-
стояннойскоростьюслеванаправо.Убыстрыхавтомобилейскоростьv
1
,
умедленных
—
v
2
,гдеv
1
>
v
2
>
0.Пустьv
=
v
1
−
v
2
.Заметим,чтослучай
неподвижныхпрепятствийсоответствуетнулевойскоростиv
2
.Медлен
-
ныеавтомобилидвижутсядопунктаназначениянигденеостанавливаясь,
абыстрыедотехпор,поканедогонятвпередиидущиймедленныйав
-
томобиль.Послеэтогобыстрыйавтомобильiдвижетсявместесэтим
медленнымавтомобилемjнекотороеслучайноевремя
i,j
изатемобго
-
няетего,сразунабираяскоростьv
1
.Основноепредположениесостоит
втом,чтоэтислучайныевеличинынезависимыиодинаковораспределены
сфункциейраспределенияF(s).
Этафункцияраспределенияможетбытьнайденастатистическидвумя
способамикакпутемпрямойвыборки(оценкивремениожиданияобгона),
такипостатистикепрепятствийкобгону
—
плотностивстречногопотока.
Прибытиемедленныхавтомобилейзадаетсятемжесамымпуассо
-
новскимточечнымполем
Π
интенсивности
,котороебылоопределе
-
новпредыдущемразделе.Нампотребуютсятакженовыеобозначения.
Скаждыммедленнымавтомобилеммысвяжемслучайноерасстояние,ко
-
тороеемунеобходимопроехать.Будемпредполагать,чтоj
-
мумедленному
автомобилюнеобходимопроехатьслучайноерасстояние
j
,послечегоон
съедетсдороги.С.в.
i
независимыиодинаковораспределенысобщей
функциейраспределенияG(r).С.в.
j
независяттакжеотпуассоновского
266Приложения
точечногополя
Π
.Будемпредполагатьсуществованиепервыхдвухмомен
-
товс.в.
1
.Обозначимm
G
=
E
1
,m
(2)
G
=
E
2
1
.
Медленныйавтомобильневстречаетнасвоемпутипрепятствийипро
-
ходитсвойпутьсоскоростьюv
2
.Быстрымавтомобиляммогутмешать
медленные.Мырассмотримдваслучая.Впервомслучаеобгонзапрещен
ибыстрыйавтомобильвынужденследоватьзамедленнымдотехпорпока
медленныйавтомобильнедоедетдонужногоместа,послечегобыстрый
автомобильмгновеннонабираетсвоюскоростьv
1
.Вовторомслучаеобгон
разрешен.Болееточно,когдаi
-
йбыстрыйавтомобильдогоняетj
-
ймед
-
ленныйилигруппубыстрыхавтомобилей(следующихзаj
-
ммедленным),
емутребуетсяслучайноевремя
i,j
длятого,чтобыобогнатьj
-
ймедленный
автомобильиливсюэтугруппуавтомобилей.Приэтомвремяобгонане
зависитотразмерагруппы.С.в.
i,j
предполагаютсянезависимымииоди
-
наковораспределеннымисфункциейраспределенияF(u).
Пустьd
=
m
G
(v
−
1
2
−
v
−
1
1
).Введемс.в.
сплотностьюраспределения
g(x)
=
m
−
1
G
(1
−
G(x))ис.в.
=
min(v
2
1,1
,
),гдеравенствопораспреде
-
лениюис.в.
1,1
,
считаютсянезависимыми.Отметим,что
E
=
m
(2)
G
2m
G
.
Положимc
=
E
.
Теорема2.Свероятностью1приx
→∞
x
T(x)
→
¯¯
v
1
=
1
+
dc
1
+
dcv
1
v
−
1
2
v
1
.(6)
Доказательство.Покажем,чтоэтотслучайсводитсякрассмот
-
ренномуслучаюv
2
=
0.Введемсистемукоординат,котораядвижетсясо
скоростьюv
2
относительноисходной.Найдемсреднююскоростьбыстрого
автомобиляотносительноновойсистемыкоординатпоформуле(4),под
-
ставляяv
=
v
1
−
v
2
,b
=
m
G
v
2
,a
=
c
v
2
:
1
(v
1
−
v
2
)
−
1
+
mc
v
2
2
=
v
1
−
v
2
1
+
dcv
1
v
−
1
2
.
Тогдасредняяскоростьбыстрогоавтомобиляотносительноисходнойси
-
стемыкоординатсоставит
¯¯
v
1
=
v
1
−
v
2
1
+
dcv
1
v
−
1
2
+
v
2
=
1
+
dc
1
+
dcv
1
v
−
1
2
v
1
.
А.А.Замятин,В.А.Малышев.Введениевстохастическиемодели...267
4.Критерииобразованияпробоквсложных
транспортныхсетях
Обязательныматрибутомтранспортнойсети(например,городских
улиц)являетсяграф,гдемножествоVвершинпредставляетперекрест
-
ки(узлыилипунктыобслуживания),амножествореберL
={
(i,j)
}
—
отрезкипутейбезперекрестков.ПустьчислоперекрестковравноN.Мы
предполагаем,чтомеждудвумяперекресткамисуществуетнеболееодного
путибезперекрестков.
Наиболееразработаннымиявляютсядваклассасетей.Соднойсто
-
роны,это(поимениавторовивпорядкеувеличенияобщности)сети
Джексона,BCMP
-
сети,DB
-
сети(см.,например,[8,26]).Внихтребова
-
ние(сообщение,автомобиль,работа)обслуживаетсявкаждомпроходимом
имиузлеизатемвыбираетслучайноследующийузел.Сдругойстороны,
—
сетиКелли(см.[8]),гдекаждоетребованиеимеетзаранеефиксирован
-
ныймаршрут.Этидваклассасетейсвязаныкакобщейтехникой,так
иблизостьюрезультатов.Именноониобладаютзамечательнымсвойством
мультипликативности
—
стационарныераспределениявнихимеютвидтак
называемой,продакт
-
формы.Мырассматриваемтолькопервыйкласссе
-
тей.
4.1.Замкнутыесети
Еслипредполагается,чтоавтомобилинеприбываютизвнеинеубы
-
ваютвовне,тотакаясетьназываетсязамкнутой.Такимобразом,число
автомобилейвсетисохраняетсяидалееобозначаетсячерезM.Движе
-
ниеотдельногоавтомобиляопределяетсятак.Автомобильждетнекоторое
времянаперекресткеiизатемнаправляетсянаперекрестокj.Выборj
определяетсястохастическойматрицеймаршрутизации:P
={
p
ij
}
i,j
=
1,...,N
,
гдеp
ij
—
вероятностьтого,чтосперекресткаiавтомобильпоедет(после
ожидания)наперекрестокj(например,прямо,налево,направо),тоесть
поулице(i,j).
СтохастическаяматрицаPопределяетконечнуюцепьМарковасдис
-
кретнымвременем,множествомсостоянийV
={
1,...,N
}
.ЭтацепьМар
-
ковапредполагаетсянеразложимой.Вэтомслучаесистемалинейных
уравнений
P
=
,
=
(
1
,...,
N
)
⇐⇒
N
X
i
=
1
i
p
ij
=
j
,j
=
1,...,N(7)
268Приложения
имеетединственноерешение(сточностьюдопроизвольногомножителя).
Нормированноерешениеимеетвид
i
=
i
N
P
i
=
1
i
,i
=
1,...,N.
Скаждымузломi
∈
Vсвяжемфункцию
i
(n
i
)отчислаавтомобилейn
i
вi
-
музле,где
i
(0)
=
0и
i
(n
i
)
>
0приn
i
>
0.Этафункцияхаракте
-
ризуетпропускнуюспособностьданногоузлаиопределяетинтенсивность
выходящегоизузлапотокаавтомобилей.Именновероятностьтого,что
замалыйпромежутоквремениdtизузлаiвыедетавтомобиль,равна
i
(n
i
)dt
+
o(dt)приусловии,чтовузленаходитсяn
i
автомобилей.Исполь
-
зуятерминологиютеорииочередей,будемназывать
i
(n
i
)интенсивностью
обслуживаниявузлеi.
Порядок,вкоторомпропускаются(обслуживаются)прибывающие
вузелавтомобили,определяетсядисциплинойобслуживания.Простей
-
шийвариантдисциплиныобслуживания
—
этообслуживаниевпорядке
поступления.Вузлеприбывающиеавтомобилистановятсявочередьдруг
задругомвтомпорядке,вкоторомониприехали,иузелпропускает
автомобилисогласноэтойочереди.Есливузлеiнаходитсяn
i
автомобилей,
топервыйавтомобильвочередиобслуживаетсясинтенсивностью
i
(n
i
).
Болееобщаядисциплинаобслуживания
—
этодисциплинаразделения
общегоресурса,гдеподресурсомвданномслучаепонимаетсяпропускная
способностьузла.Согласноэтойдисциплинересурсделитсявнекоторой
пропорциимеждувсемиавтомобилями,находящимисявданныймомент
вузле.Вобщемслучаепредположим,чтоk
-
йавтомобильвi
-
музле
обслуживаетсясинтенсивностью
i,k
(n
i
)
i
(n
i
).Приэтомпотребуем,
чтобы
n
i
X
k
=
1
i,k
(n
i
)
=
i
(n
i
).
Например,общийресурсможетбытьразделенвравнойстепенимежду
всемиавтомобилямивочереди:
i,k
(n
i
)
=
i
(n
i
)
n
i
.
Вэтомслучаекаждыйизn
i
автомобилейпотратитэкспоненциальноевре
-
мясосреднимn
i
−
1
i
(n
i
)напрохождениеэтогоузла,приусловии,чточисло
автомобилейбудетсохранятьсяравнымn
i
.Есливзять
i,1
(n
i
)
=
i
(n
i
),то
получимдисциплинуобслуживаниявпорядкепоступления.Такимобразом,
интенсивности
i,k
(n
i
)полностьюопределяютдисциплинуобслуживания
вузлах.
А.А.Замятин,В.А.Малышев.Введениевстохастическиемодели...269
ДинамикасетиописываетсяспомощьюN
-
мерноймарковскойцепи
снепрерывнымвременем
(t)
=
(
i
(t),i
=
1,...,N),где
i
(t)
—
число
автомобилей,скопившихсявi
-
музлевмоментвремениt.Случайный
процесс
(t)принимаетзначениевпространствеS
M
,гдеS
M
—
множество
всехтакихвекторовснеотрицательнымицелочисленнымикоординатами
¯¯
n
=
(n
1
,...,n
N
),чтоn
1
+
...
+
n
N
=
M.
Пустьe
i
—
базисныйвектор,вкоторомi
-
якоординатаравна1,
аостальныекоординатыравны0.Изсостояния
¯¯
nмарковскаяцепь
(t)
можетперейтиводноизсостоянийT
i,j
¯¯
n
=
¯¯
n
−
e
i
+
e
j
,i
6=
j,синтенсивно
-
стью
(
¯¯
n,T
i,j
¯¯
n)
=
i
(n
i
)p
i,j
,(8)
приусловии,чтоn
i
6=
0.Переход
¯¯
n
→
T
i,j
¯¯
nсоответствуеттому,что,выехав
изузлаi,автомобильпоступаетвузелj.
Отметим,чтомарковскаяцепь
(t)однозначноопределяетсяматри
-
цеймаршрутизацииPинабороминтенсивностейобслуживаниявузлах
(
i
(n
i
),i
=
1,...,N).
Пусть
=
(
1
,...,
N
)
—
решениеуравнения(7),котороерассматри
-
ваетсякакформальноеуравнениедляинтенсивностей
i
входящихпото
-
коввузлы(встационарномрежимеониравнывыходящим).Решаяэти
уравнения,находим
i
,итогдастационарноераспределение
(n
1
,...,n
N
)
марковскойцепи
(t)будетиметьвид
(n
1
,...,n
N
)
=
1
Z
N,M
N
Y
i
=
1
n
i
i
i
(1)
i
(2)...
i
(n
i
)
,(9)
гденормирующиймножитель(малаястатсумма)
Z
N,M
=
X
n
1
++
n
N
=
M
N
Y
i
=
1
n
i
i
i
(1)
i
(2)...
i
(n
i
)
,
чтопроверяетсяподстановкойответа(9)вуравненияКолмогоровадля
стационарныхвероятностей,см.,например,[8,29].
4.2.Открытыесети
Рассмотримсеть,состоящуюизNузлов.Вотличиеотзамкнутойсети,
общеечислоавтомобилейвсетитеперьнефиксировано.Предположим,
чтоизвнесетивузелiпоступаетпуассоновскийпотокавтомобилейин
-
тенсивности
i
,i
∈{
1,...,N
}
.
ЗададимматрицумаршрутизацииP
={
p
ij
}
i,j
=
1,...,N
,гдематрицаP
неразложимаи
∀
i:
N
X
j
=
1
p
ij
1
∃
i
0
:
N
X
j
=
1
p
i
0
j
<
1.(10)
270Приложения
Какивслучаезамкнутойсети,p
i,j
—
этовероятностьтого,чтоизузла
iавтомобильедетвузелj.Вотличиеотзамкнутойсети,добавляется
вероятностьтого,что,выйдяизузлаi,автомобильпокидаетсеть.Эта
вероятностьпоопределениюравна
p
i0
=
1
−
N
X
j
=
1
p
ij
.
Какивслучаезамкнутойсети,пусть
i
(n
i
)
—
интенсивностьобслужи
-
ваниявi
-
музле.Тогдасинтенсивностью
i
(n
i
)p
i,0
автомобильпокидает
сетьпослевыходаизузлаi.
МыбудемописыватьдинамикусетиспомощьюN
-
мерногослучайного
процессаснепрерывнымвременем
(t)
=
(
i
(t),i
=
1,...,N),где
i
(t)
—
числоавтомобилейвi
-
музлевмоментвремениt.Случайныйпроцесс
(t)
являетсямарковскойцепьюснепрерывнымвременемиспространством
состоянийS,гдеS
—
множествоN
-
мерныхвекторовснеотрицательными
целочисленнымикоординатами
¯¯
n
=
(n
1
,...,n
N
).
Изсостояния
¯¯
nмарковскаяцепь
(t)можетперейтиводноизсосто
-
янийT
i,j
¯¯
n
=
¯¯
n
−
e
i
+
e
j
,T
i,0
¯¯
n
=
¯¯
n
−
e
i
,T
i
¯¯
n
=
¯¯
n
+
e
i
синтенсивностями
(
¯¯
n,T
i,j
¯¯
n)
=
i
(n
i
)p
i,j
,
(
¯¯
n,T
i,0
¯¯
n)
=
i
(n
i
)p
i,0
,
(
¯¯
n,T
i
¯¯
n)
=
i
,
(11)
приусловии,чтоT
i,j
¯¯
n,T
i,0
¯¯
n,T
i
¯¯
n
∈
S.
Такимобразом,марковскаяцепь
(t)однозначноопределяетсятри
-
плетом(
,
,P),где
=
(
1
,...,
N
)
—
векторинтенсивностейвнешних
потоков,
=
(
i
(n
i
),i
=
1,...,N)
—
наборинтенсивностейобслуживания
вузлахиP
—
матрицамаршрутизации.
Рассмотримформальноеуравнениедляинтенсивностейвходящихпо
-
токоввузлы(встационарномрежимеониравнывыходящим):
=
+
P
⇐⇒
i
=
i
+
N
X
k
=
1
k
p
ki
∀
i.(12)
Всилуусловия(10)инеразложимостиматрицыPэтоуравнениеимеет
единственноерешение,котороеможнопредставитьввиде
=
+
∞
X
n
=
1
P
n
.
Далеерассмотримслучай,когдаинтенсивностиобслуживания
i
(n
i
)
≡
i
независятотчислаавтомобилейвузлах.Введемнагрузки
А.А.Замятин,В.А.Малышев.Введениевстохастическиемодели...271
вузлахпоформуле
r
i
=
i
i
,i
=
1,...,N.
Следующуютеоремуможнонайти,например,в[8,20],онаназывается
иногдатеоремойГордона
—
Ньюэлла.
Теорема3.Марковскаяцепь
(t)являетсяэргодическойтогдаи
толькотогда,когдадлявсехi
=
1,...,Nбудетr
i
<
1.Приэтом
стационарноераспределениецепиимеетвид
(n
1
,...,n
N
)
=
N
Y
i
=
1
(1
−
r
i
)r
n
i
i
.
Изэтойтеоремылегкоследует,чтосредниедлиныочередейвстацио
-
нарномрежимеравны
m
i
=
r
i
1
−
r
i
.
Есливнекоторыхузлахi
1
,...,i
k
нагрузкастрогобольше1,томар
-
ковскаяцепь
(t)являетсятранзиентной(см.,например,[33]).Этосви
-
детельствуетотом,чтосредниеочередивузлахi
1
,...,i
k
стремятся
кбесконечностистечениемвремени.Подробныйанализоткрытыхсетей
данвработе[19].Вчастностипоказано,чтовузлах,гденагрузкаболь
-
ше1,средниеочередиувеличиваютсялинейносростомвремени.Приэтом
найденыскоростиростасреднихочередей.
4.3.Алгоритмвычислениякритическойнагрузкивзамкнутых
сетях
Этотразделоснованнаработе[18].Мырассмотримпоследователь
-
ностьзамкнутыхсетейJ
N
,N
=
1,2,...СетьJ
N
состоитизNузлов
иM
=
M(N)автомобилей.ИнтенсивностиобслуживаниявузлахсетиJ
N
независятотдлиныочереди:
i,N
(n
i
)
≡
i,N
.ПустьP
N
={
p
i,j,N
}
—
матрица
маршрутизациивN
-
йсети;P
N
предполагаетсянеразложимой.
Пусть
N
=
(
1,N
,...,
N,N
)
—
векторсположительнымикомпонентами,
удовлетворяющийуравнению
N
=
N
P
N
.(13)
Относительныенагрузкивузлахопределяютсякак
r
i,N
=
C
−
1
N
i,N
i,N
,
где
i,N
=
−
1
i,N
иC
N
=
max
i
=
1,...,N
i,N
i,N
.Очевидно,чтоr
i,N
∈
[0,1].
272Приложения
Всоответствиис(9)стационарноераспределениечислаавтомобилей
i,N,M
вузлахсетиJ
N
равно
P
N,M
(
i,N,M
=
n
i
,i
=
1,...,N)
=
1
Z
N,M
N
Y
i
=
1
r
n
i
i,N
,
гденормирующиймножитель(малаястатсумма)
Z
N,M
=
X
n
1
++
n
N
=
M
N
Y
i
=
1
r
n
i
i,N
.(14)
Многиеважныехарактеристикисетивыражаютсячерезстатсумму.
Упражнение3.Показать,чтосреднеечислоавтомобилейвi
-
музле
встационарномрежимеравно
m
i,N,M
=
E
i,N,M
=
r
i,N
Z
N,M
∂
Z
N,M
∂
r
i,N
.(15)
Нижемыбудемтребоватьслабуюсходимостьотносительныхнагру
-
зокr
i,N
.Точнее,определимвыборочнуюмерунаотрезке[0,1]:
I
N
(A)
=
1
N
X
i:r
i,N
∈
A
1,
гдеA
—
произвольноеборелевскоемножествоизотрезка[0,1].Предпо
-
ложим,чтоприN
→∞
мерыI
N
слабосходятсякнекоторойвероятностной
мереIзаданнойнаотрезке[0,1].
НасбудетинтересоватьслучайбольшихN,M,точнееN,M
→∞
,при
-
чемтак,что
M
N
→
=
const,тоестьудельноечислоавтомобилейнаодин
узелпостоянно.Именноэточислоопределяетсуществованиепробок.
Замечание1.Интереснонайтиконкретныепоследовательностирасту
-
щихграфов,длякоторыхпредельнаямераIявноописывается.Некоторые
примеры,гдемераIодноточечнасм.вссылкахкработе[18],см.также
с.157
–
160в[29].
ВтерминахпредельноймерыIмынайдемкритическоезначениеплот
-
ности
cr
,такчтопри
<
cr
средниедлиныочередейравномерноогра
-
ничены.Если
cr
,товузлесмаксимальнойотносительнойнагрузкой
средняядлинаочередистремитсякбесконечности,чтоозначаетвозник
-
новениепробки.
Положим
h(z)
=
1
0
r
1
−
zr
dI(r),
А.А.Замятин,В.А.Малышев.Введениевстохастическиемодели...273
гдеz
∈C\
[1,
+∞
).Функцияh(z)строговозрастаетна[0,1).Обозначим
cr
=
lim
z
→
1
−
h(z).
Будемпредполагать,что
cr
>
0.
Теорема4.
•
Если
<
cr
,тосредниеочередиравномерноогра-
ничены:существуеттакаяконстантаB,чтоm
i,N
<
B,равномерно
поN
1и1
i
N.
•
Если
cr
иi(N)удовлетворяетусловиюr
i(N),N
=
1,то
m
i(N),N
→∞
,приN
→∞
т.е.пробкибудутвтехузлах,гденагрузка
максимальна.
Приz
∈C\
[1,
+∞
)положим
S
N
(z)
=−
(1
+
N
)lnz
−
1
N
N
X
i
=
1
ln(1
−
zr
i,N
),
S(z)
=−
lnz
−
1
0
ln(1
−
zr)dI(r),
(16)
где
(1
+
N
)
=
M
N
.
Введемпроизводящуюфункцию(большуюстатсумму):
Ξ
N
(z)
=
∞
X
M
=
0
z
M
Z
N,M
=
N
Y
i
=
1
1
1
−
zr
i
,
|
z
|<
1.
ПоформулеКошииформуле(16)имеемследующеевыражениедлястат
-
суммы(14):
Z
N,M
=
1
2
i
Ξ
N
(z)
z
M
+
1
dz
=
1
2
i
exp(NS
N
(z))
z
dz,(17)
где
={
z
∈C
:
|
z
|=
<
1
}
.Длясредних,согласно(15),имеем
m
i,N
=
1
2
iZ
N
r
i,N
1
−
zr
i,N
exp(NS
N
(z))dz.(18)
Можнопоказать,чтодлястационарногораспределениядлиночередей
справедливаформула
P
N,M
(
1,N,M
=
n
1
,...,
K,N,M
=
n
K
)
=
=
1
2
iZ
N
z
−
1
K
Y
i
=
1
(1
−
zr
i,N
)(zr
i,N
)
n
i
exp(NS
N
(z))dz.(19)
274Приложения
Вдоказательстветеоремэтогоразделасущественнуюрольиграет
методперевала(см.[27]),точнееегообобщение,посколькуфункция
впоказателеэкспонентызависитотN.Изуравнения
∂
S
N
(z)
∂
z
=
0(20)
находятсяточкиперевала.Пустьz
0,N
—
кореньэтогоуравнения,лежащий
винтервале(0,1).
Упражнение4.Показать,чтовсекорниуравнения(20)действитель
-
ныиположительны.Всегдасуществуетединственныйкорень,лежащий
винтервале(0,1).
Пустьz
0
—
кореньуравнения
h(z)
=
z
⇐⇒
∂
S(z)
∂
z
=
0,(21)
лежащийвинтервале(0,1).
Упражнение5.
•
Доказать,чтопривсех
существуетпредел
lim
N
→∞
z
0,N
=
z
0
=
z
0
(
)
>
0.
•
Если
<
cr
,тоz
0
(
)
—
кореньуравнения(21);z
0
(
)строговозрас
-
таетпо
,z
0
(
)
∈
(0,1),lim
→
cr
−
z
0
(
)
=
1.
•
Если
cr
,тоz
0
=
1.
Вследующейтеоремемынаходимасимптотикустатсуммыипредельное
распределениедляпоследовательностизамкнутыхсетейJ
N
.
Теорема5.Пусть
<
cr
.
•
ПриN
→∞
статсуммаZ
N
исвободнаяэнергияF
N
=
1
N
lnZ
N
имеютследующиеасимптотики:
Z
N
∼
exp(NS
N
(z
0,N
))
z
0
p
2
NS
′′
(z
0
)
,F
N
=
1
N
lnZ
N
∼
S(z
0
).
•
Еслиприi
=
1,...,Kсуществуютпределыr
i
=
lim
N
→∞
r
i,N
,то
lim
N
→∞
m
i,N
=
z
0
r
i
1
−
z
0
r
i
,
lim
N
→∞
P
N,M
(
1,N,M
=
n
1
,...,
K,N,M
=
n
K
)
=
K
Y
i
=
1
(1
−
z
0
r
i
)(z
0
r
i
)
n
i
.
Такимобразом,впределемыполучаемоткрытуюсеть,состоящуюиз
независимыхочередей.
А.А.Замятин,В.А.Малышев.Введениевстохастическиемодели...275
Доказательствотеорем4и5.Мыприведемболееобщийрезультат,
изкоторогобудутследоватьтеоремы4и5.ПустьU
d
(v)
={
z
∈C
:
|
z
−
v
|<
<
d
}
.Рассмотримконтур
={
z
∈C
:
|
z
|=
z
0
(
)
}
.
Теорема6.Пусть
<
cr
иf(
,z),
∈Θ
,
—
семействофункций
голоморфныхвкольце
{
z
∈
C:z
0
(
)
−
0
<|
z
|<
z
0
(
)
+
0
}
принеко-
тором
0
>
0,равномерноограниченныхвэтомкольцеитаких,
чтодлязаданногодостаточномалого
>
0существуетта-
кое
u
>
0итакаяненулеваядействительнаяконстантаf
u
,что
|
f(
,z)
/
f
u
−
1
|<
приz
∈
U
2
u
(z
0
),
∈Θ
.
ТогдапридостаточнобольшихN,равномернопо
∈Θ
1
2
i
f(
,z)exp(NS
N
(z))dz
=
f
u
exp(NS
N
(z
0,N
))
p
2
NS
′′
(z
0
)
(1
+
N
),
где
|
N
|<
25
.
Доказательствоэтойтеоремыоснованонапримененииметодаперевала
(saddle
-
pointmethod)(см.[27]).Отличиеотстандартнойситуациисостоит
втом,чтофункциявпоказателеэкспонентызависитотN.Подробное
доказательствоможнонайтиворигинальнойстатье[18].
Доказательствотеоремы5.Используятеорему6,докажемпер
-
выйпункттеоремы5.Согласно(17)имеем
Z
N,M
=
1
2
i
exp(NS
N
(z))
z
dz,
где
={
z
∈C
:
|
z
|=
z
0
(
)
}
.Положивf(
,z)
=
z
−
1
,f
u
=
z
−
1
0
иприменив
теорему6,получим,чтодлялюбогодостаточномалого
>
0придостаточно
большихN
Z
N
=
exp(NS
N
(z
0,N
))
z
0
p
2
NS(z
0
)
(1
+
N
),
|
N
|<
25
.(22)
Второйпункттеоремы5доказываетсяаналогичносиспользованием
формулы(18)длясреднейочередииформулы(19)длясовместногорас
-
пределениядлиночередей.
Упражнение6.Доказатьтретьеутверждениетеоремы5,используя
теорему6иформулы(18),(19).
Доказательствотеоремы4.Чтобыдоказатьпервыйпункттеоре
-
мы4,рассмотримсемействофункций
f(
,z)
=
A
z
+
1
−
z
,
∈Θ=
[0,1],A
>
0,f
u
=
A
z
0
.
276Приложения
Зафиксируеммалое
>
0ивыберем
u
=
8
,A
=
16z
0
(1
−
z
0
)
.Потеореме6
имеемдлядостаточнобольшихNивсех
∈Θ
1
2
i
A
z
+
1
−
z
exp(NS
N
(z))dz
=
Aexp(NS
N
(z
0,N
))
z
0
p
2
NS(z
0
)
(1
+
N
),
|
N
|<
25
.(23)
РазделивнаZ
N
иприменив(22)кправойчастиполучившегосяравенства,
получимпридостаточнобольшихN
A
+
1
Z
N
1
2
i
1
−
z
exp(NS
N
(z))dz
=
A(1
+
′N
),
|
′N
|<
30
.
Изпоследнегоравенстваиформулы(18)следуетравномернаяограничен
-
ностьm
i,N
.
Докажемвтороеутверждениетеоремы4.Дляэтогопотребуетсясле
-
дующеесвойствомонотонности:прилюбыхM
2
M
1
>
0илюбомN
1
выполненоm
i,M
2
,N
m
i,M
1
,N
.
Посколькуz
0
(
)строговозрастаетпо
,z
0
(
)
∈
(0,1)и
lim
→
cr
−
z
0
(
)
=
1,
тофункция
z
0
(
)
1
−
z
0
(
)
монотонновозрастаетистремитсяк
∞
,когда
cr
.Поэтомудлялюбого
m
>
0существуеттакое
′
=
′
(m)
<
cr
,что
z
0
(
′
)
1
−
z
0
(
′
)
=
m
+
1.
Безограниченияобщностиможносчитать,чтоi(N)
≡
1иr
1,N
=
1.Если
взятьM
′
(N)
=
[
′
N],топотеореме5
lim
N
→∞
m
1,M
′
(N),N
=
z
0
(
′
)
1
−
z
0
(
′
)
.
Следовательно,придостаточнобольшихN
m
1,M
′
(N),N
>
z
0
(
′
)
1
−
z
0
(
′
)
−
1
=
m.
НоM
/
N
→
cr
>
′
,поэтомупридостаточнобольшихNимеем
M(N)
M
′
(N).Посвойствумонотонностиm
1,N
=
m
1,M(N),N
m
1,M
′
,N
>
m
длядостаточнобольшихN.Этодоказывает,чтоm
1,N
→∞
.
А.А.Замятин,В.А.Малышев.Введениевстохастическиемодели...277
Техническиеобобщенияиматематическиепроблемы.Мыпред
-
полагалимгновенноеперемещениемеждуперекрестками.Приэтомне
учитываютсявременадвиженияпоулицам.Этодопущениеоднаколегко
устраняетсяусложнениемграфа.Именновведениемдополнительныхвер
-
шинu
ij
,соответствующихулицам,исреднихвремен
ij
=
−
1
ij
пребывания
наулицах.Втерминахтеорииочередейэтозначит,чтоулицырассмат
-
риваютсякакузлыобслуживаниясбесконечнымчисломобслуживающих
устройствивремяобслуживанияэкспоненциальнораспределенососред
-
ним
ij
=
−
1
ij
.
Отметим,чторезультатыраздела4.1могутбытьобобщенынаслу
-
чай,когдасетьсодержитузлысбесконечнымчисломобслуживающих
устройств.Пусть,например,сетьсодержитодинузелтакоготипа(i
=
=
0)и
0,N
(n)
=
n
N
—
интенсивностьобслуживаниявэтомузле.Пусть
N
=
(
0,N
,...,
N,N
)
—
решениеуравнения(13).Тогдаотносительныена
-
грузкиопределимпоформуле
r
i,N
=
0,N
0,N
i,N
i,N
,
такчтоr
0,N
=
1.Согласно(9),стационарноераспределениедлиночередей
имеетвид
P
N,M
(
i,N,M
=
n
i
,i
=
1,...,N)
=
1
Z
N,M
1
(M
−
P
M
i
=
1
n
i
)!
N
Y
i
=
1
r
n
i
i,N
,
где
Z
N,M
=
X
n
1
++
n
N
M
1
(M
−
P
M
i
=
1
n
i
)!
N
Y
i
=
1
r
n
i
i,N
,
ибольшаястатсуммасетиравна
Ξ
N
(z)
=
e
z
N
Y
i
=
1
1
1
−
zr
i,N
.
Положим
q
i,N
=
r
i,N
p
N
,w
=
zp
N
,p
N
=
max
1
i
N
r
i,N
.
Тогда
Ξ
N
(w)
=
e
w
/
p
N
N
Y
i
=
1
1
1
−
wq
i,N
.
Впредположении,чтоp
N
N
→
>
0приN
→∞
мыможемнайтикрити
-
ческоезначениеплотности
поформуле
cr
=
−
1
+
lim
w
→
1
−
1
0
q
1
−
wq
dI(q),
278Приложения
где,какираньше,мераIестьслабыйпределприN
→∞
выборочныхмер
I
N
(A)
=
1
N
X
i:q
i,N
∈
A
1,
гдеA
—
произвольноеборелевскоемножествоизотрезка[0,1].
Вработе[21]длязамкнутыхсетейаналогичныерезультатыполучаются
дляслучаяболееобщейзависимостиинтенсивностейотдлиночередей
вузлах.
Приемусложненияграфапозволяетустранитьтакжедругоеограни
-
чение,чтодляданногоперекресткасредняядлительностькрасногосвета
однадлявсехнаправлений.Необходимовместовершиныi,соответству
-
ющейперекрестку,ввестинескольковершин(i,d),гдеdперечисляет
возможныенаправлениядвижениянаперекресткеi.Этоконечнонала
-
гаетограничениенасоответствующиевременаобслуживания
i,d
вновых
вершинахтипа
X
d
i,d
=
i
.
Мыограничилисьзадачей,когдавсистемевозникалахотябыодна
пробка.Интереснеерассмотретьситуацию,когдавразныхместахграфа
одновременновозникаетмногопробок.
Связьспрактикой.Этамодельудобнатем,чтовсееепараметры
можнооценить.Именнонапрактикестатистическиеоценкипараметров
p
ij
,
i
имеютвид(например,дляпостоянных
i
)
p
ij
∼
N
ij
(T)
P
j
N
ij
(T)
,
i
=
1
T
X
j
N
ij
(T),
гдеN
ij
(T)
—
числоавтомобилей,повернувшихзавремяTнаперекресткеi
внаправленииj.
Практическиинтереснапреждевсегозадачаоптимизациисветофоров,
котораяможетдостигатьсявыбором
i,d
,изасчетизмененияматрицыP
подсказкамиовыборемаршрута.Болеетого,вэкспоненциальноймодели
многиеслучайныевеличинынезависимы,и,значит,полностьюигнориру
-
етсяпроблемасинхронизациисветофоров.
Следуетсказать,чтопроблемасветофороввстохастическомконтексте
тольконачинаетизучаться,ипостановкизадачтамдолжныбытьболее
тонкими.Ранееданнаяпроблемаизучаласьвжидкостныхмоделях.Однако
поканетпонимания(атемболеевывода)связижидкостныхтранспортных
моделейсостохастическими(каквстатистическойфизике).
Литература
1.ХейтФ.Математическаятеориятранспортныхпотоков.М.:Мир,1966.
А.А.Замятин,В.А.Малышев.Введениевстохастическиемодели...279
2.RenyiA.Ontwomathematicalmodelsofthetrafficonadividedhighway
//
JournalofAppliedProbability.1964.V.1.P.311
–
320.
3.SolomonH.,WangP.NonhomogeneousPoissonfieldsofrandomlineswith
applicationstotrafficflow
//
Proc.SixthBerkeleySymp.onMath.Statist.and
Prob.1972.V.3.P.383
–
400.
4.SolomonH.GeometricProbability.Philadelphia:SIAM,1978.
5.DaleyD.,Vere-JonesD.AnIntroductiontotheTheoryofPointProcesses.V.1.
Springer,2003.
6.КоксД.,СмитВ.Теориявосстановления.М.:Мир,1967.
7.CoxD.R.,IshamV.Pointprocesses.ChapmanandHall,1980.
8.KellyF.Reversibilityandstochasticnetworks.N.Y.:Wiley,1979.
9.CaceresF.,FerrariP.,PecherskyE.Aslow
-
to
-
starttrafficmodelrelatedtoa
M
/
M
/
1queue
//
JournalofStatisticalMechanics:TheoryandExperiment.2007;
arXiv:0703709cond-mat
10.ИносэХ.,ХамадаТ.Управлениедорожнымдвижением.М.:Транспорт,1983.
11.Trafficflowtheory:Astate
-
of
-
the
-
artreport
/
EditorsGartnerN.H.,MesserC.J.,
RathiA.K.WashingtonDC:TransportationResearchBoard,2001.
12.BlankM.Ergodicpropertiesofasimpledeterministictrafficflowmodel
//
J.Stat.
Phys.2003.V.111.P.903
–
930.
13.JostD.,NagelK.ProbabilisticTrafficflowbreakdowninstochasticcarfollowing
models
//
TrafficandGranularFlow.2005.V.03.Part2.P.87
–
103.
14.LotitoP.,MancinelliE.,QuadratJ.-P.Amin
-
plusderivationofthefundamental
car
-
trafficlaw
//
AutomaticControlIEEETransactions.May2005.V.50,№5.
P.699
–
705.
15.KernerB.S.Introductiontomoderntrafficflowtheoryandcontrol.Berlin:
Springer,2009.
16.ЗамятинА.А.,МалышевВ.А.Накоплениенаграницедляодномернойсто
-
хастическойсистемычастиц
//
Проблемыпередачиинформации.2007.Т.43,
№4.С.68
–
82.
17.LighthillM.J.,WhithamG.B.Onkinematicwaves.II.Theoryoftrafficflowon
longcrowdedroads
//
Proc.R.Soc.London,Se.A.1955.V.229.P.281
–
345.
18.MalyshevV.,YakovlevA.CondensationinlargeclosedJacksonnetworks
//
Ann.Appl.Probab.1996.V.6,№1.P.92
–
115.
19.BotvichD.D.,ZamyatinA.A.Onfluidapproximationsforconservativenetworks
//
MarkovProcessesandRelatedFields.1995.V.1,№1.P.113
–
141.
20.FayolleG.,MalyshevV.,MenshikovM.Topicsintheconstructivetheoryof
countableMarkovchains.CambridgeUniversityPress,1995.
21.FayolleG.,LasgouttesJ.-M.AsymptoticsandScalingsforLargeProduct
-
Form
NetworksviatheCentralLimitTheorem
//
MarkovProcessesandRelatedFields.
1996.V.2,№2.P.317
–
349.
22.RevisedTrafficFlowTheory.Astate
-
of
-
artreport
/
EditorsGartnerJ.-M.,
MesserC.J.,RathiA.K.WashingtonDC:TransportationResearchBoard,2001.
23.РюэльД.Статистическаямеханика.Строгиерезультаты.М.:Мир,1971.
24.МалышевВ.А.,МинлосР.А.Гиббсовскиеслучайныеполя.М.:Наука,1985.
280Приложения
25.МалышевВ.А.Случайныеграмматики
//
Успехимат.наук.1998.Т.53,№2.
С.107
–
134.
26.SerfozoR.Introductiontostochasticnetworks.Springer,1999.
27.ФедорюкМ.В.Методперевала.М.:Наука,1977.
28.БуслаевА.П.,НовиковА.В.,ПриходькоВ.М.,ТаташевА.Г.,ЯшинаМ.В.
Вероятностныеиимитационныеподходыкоптимизацииавтодорожногодви
-
жения.М.:Мир,2003.
29.АфанасьеваЛ.Г.ОчеркИсследованияОпераций.М.:Изд
-
воЦПИприме
-
ханико
-
математическомфакультетеМГУ,2007.
30.КингманДж.Пуассоновскиепроцессы.М.:МЦНМО,2007.
31.BlytheR.A.,EvansM.R.Nonequilibriumsteadystatesofmatrix
-
productform:a
solver’sguide
//
JournalofPhysicsA:MathematicalandTheoretical.2007.V.40,
№46.
32.DerridaB.Non
-
equilibriumsteadystates:fluctuationsandlargedeviationsof
thedensityandofthecurrent
//
JournalofStatisticalMechanics:Theoryand
Experiment.July2007.
33.МалышевВ.А.Кратчайшееведениевсовременныевероятностныемодели.М.:
Изд
-
воЦПИпримеханико
-
математическомфакультетеМГУ,2009;
http://mech.math.msu.su/
˜
malyshev/Malyshev/Lectures/course.pdf
А.В.Колесников
Транспортнаязадачаиконцентрация
ПервыерезультатыоконцентрациибылиполученыП.Левивегокниге
пофункциональномуанализу[10].Самоназвание
«
концентрациямер
»
былопредложеноВ.Мильманом.Благодаряемужеявлениеконцентрации
приобрелобольшуюпопулярностьвматематическомсообществеинашло
многочисленныеприложениявфункциональноманализе,геометрии,веро
-
ятности,комбинаторикеитехническихнауках.
Средисугубоматематическихприложенийупомянем:1)новоедока
-
зательствотеоремыДворецкогоо
«
почтикруглых
»
сеченияхвыпуклых
тел,2)изопериметрическиетеоремысравненияМ.Громовадлямногообра
-
зийположительнойкривизныРиччи,3)приложениявтеориигауссовских
случайныхпроцессов(например,оценкистатистическогосупремума),4)
применениякдругимфункциональнымивероятностнымнеравенствам
(неравенстватипаСоболева,неравенстватипаБрунна
—
Минковскогодля
выпуклыхтелит.п.).Подробнееобэтомможноузнатьвкнигах[2,7,8,9].
Овероятностныхприложенияхсм.статью[11].Дляознакомленияснедав
-
нимирезультатамиоконцентрацииифункциональныхнеравенствахдля
логарифмическивогнутыхраспределенийтакжерекомендуемстатью[13].
Теоремыоконцентрациитакжепозволяютоценитьскоростьсходимости
системыкравновесномусостоянию(см.комментарийнижеиприложение
Е.В.Гасниковойнастоящегопособия).
Классическийпримерсвойстваконцентрациидаетстандартноенор
-
мальное(гауссовское)d
-
мерноераспределение
.Какизвестно,плотность
такогораспределениязадаетсяформулой
(x)
=
1
(2
)
d
/
2
exp
−
|
x
|
2
2
.
ДляпроизвольногомножестваAсосвойством
(A)
>
1
2
рассмотрим
егоr
-
окрестность:
A
r
={
x:
∃
y
∈
A:
|
x
−
y
|
r
}
.
Тогдавыполненоследующеенеравенствоконцентрации:
(A
r
)
1
−
1
2
e
−
r
2
2
.(1)
282Приложения
Какмывидим,P(A
r
)оченьбыстро(квадратичноэкспоненциально)стре
-
митсякединице.
Равномерноераспределение
наединичнойсфереS
d
−
1
⊂
R
d
также
обладаетаналогичнымсвойством:
(A
r
)
1
−
8
1
2
e
−
d
r
2
2
.(2)
Одноизважныхследствийнеравенствтакоготипа
—
неравенствадля
колебанийлипшицевыхфункций.Пустьf
—
1
-
липшицевафункция,т.е.
удовлетворяющаясоотношению
|
f(x)
−
f(y)
||
x
−
y
|
.Используяформулу
коплощади
g(x)d
=
∞
−∞
(
{
g
>
t
}
)dt,
из(1)можнополучитьнеравенствовида
n
x:f(x)
−
fd
>
t
o
2e
−
ct
2
длянекоторойуниверсальнойконстантыc.Полученноесвойствообычно
формулируетсяввиде
«
липшицевыфункциисбольшойдолейвероятности
малоотличаютсяотсвоегосреднегозначения
»
.
Несмотрянапростойвид,доказательство(1)нетривиально.Класси
-
ческийспособоснованнаописаниитакназываемых
«
изопериметрических
множеств
»
—
множеств,имеющихнаименьшуюграницусредимножеств
такойжемеры(вероятности).Вевклидовомпространстветаким,какиз
-
вестно,являетсяшар.Насфереихрольвыполняютсферические
«
шары
»
,
авпространстве,наделенномгауссовымраспределением,
—
полупро
-
странства
{
x:
h
x,a
i<
c
}
,a
∈R
d
,c
∈R
.Это
—
хорошоизвестныйвтео
-
риивероятностейрезультат,доказанныйВ.СудаковымиБ.Цирельсоном
(инезависимоотнихK.Бореллем,см.[1]).Изтогофакта,чтоr
-
окрест
-
ностиполупространствявляютсяполупространствами(т.е.опятьизопе
-
риметрическимимножествами),несложноизвлечьследствие,чтофункция
r
7→
F(A,r)
=
(A
r
)средивсехмножествфиксированнойвероятностиp
растетмедленнеевсегодляизопериметрическогоA.Дляэтогомножества
функцияF(A,r)явновычисляется,имыполучаем(1).
Указанныйспособплохтем,чтоявнонайтиизопериметрическиемно
-
жествавболееобщемслучаеневозможно.Существуетнесколькоподходов
кдоказательствунеравенстваконцентрации.Внастоящемпособиимы
опишемсвязьявленияконцентрациистранспортнойзадачей,возникшей
иразвившейсявсовершеннодругойобластиматематики.Связьэтабыла
найденавработеК.Мартон[12].
Транспортнаязадачаведетсвоюисториюотклассическойработы
Г.Монжа[14],написаннойв1781году.Вэтойработезадачабыласформу
-
А.В.Колесников.Транспортнаязадачаиконцентрация283
лированаследующимобразом:имеетсякучапескаиямаодинаковыхобъе
-
мов.Какзасыпатьпескомяму,потративнаименьшиеусилиянаперевозку?
Конечно,этонеединственнаявозможная
«
экономическая
»
формулировка
транспортнойзадачи.Речь,например,можетидтиоперевозегрузовсо
складовпозаданнымадресам.
Вдискретнойпостановкемыимеемнаборточек
{
x
i
}
,1
i
N.Задано
Nдругихточек
{
y
i
}
ифункциястоимостиc(x,y)(например,расстояниеили
квадратрасстояния).Какпостроитьвзаимно
-
однозначноеотображениеT,
сопоставляющеекаждойточкеизпервогонабораточкуизвторогонабора,
так,чтобысуммарнаястоимость
P
N
i
=
1
c(x
i
,y
i
)быланаименьшей?
Вдальнейшемтранспортнаязадачапереживалакакпериодызабвения,
такибурногоразвития.Наязыкесовременнойматематикитранспорт
-
наязадачабылапереформулированаирешенаЛ.Канторовичемв40
-
х
годахXXвека(см.[3])иполучилавдальнейшемназваниезадачиМон
-
жа
—
Канторовича.ВажнымшагомвработахКанторовичабылоприме
-
нениеразвитогоимвтеориилинейногопрограммированияметодадвой
-
ственностииформулировкатранспортнойзадачинаязыкетеориимеры
ифункциональногоанализа.Оприложенияхдвойственностиизадачтипа
транспортнойвтехническихнаукахсм.,например,главу2иприложение
Е.В.Гасниковойнастоящегопособия.
Пустьзаданапаравероятностныхраспределений
и
напростран
-
ствахX
=
Y
=R
d
.РешениемзадачиМонжа
—
Канторовичаназывается
распределениеmна
R
2d
,удовлетворяющееследующимусловиям:
1.ПроекцииmнаXиYравнысоответственно
и
:
pr
X
m
=
,pr
Y
m
=
.(3)
2.Распределениеmреализуетминимумследующегофункционала:
F
(m):m
→
X
×
Y
c(x,y)dm,
гдеc:X
×
Y
→R
—
некотораяфункция,называемаяфункциейстоимости
(costfunction).
ПривесьмаобщихпредположенияхзадачаМонжа
—
Канторовичаимеет
решение.
Вдальнейшеммыбудеминтересоватьсятолькослучаемc(x,y)
=
=|
x
−
y
|
2
.
ОбратимтеперьвниманиенаважноеотличиезадачиМонжа
—
Канто
-
ровичаотисходнойзадачиМонжа.ВзадачеМонжаречьидетоперевозе
груза,чтонаматематическомязыкесоответствуетзадачесуществования
отображенияT:X
→
Y,преобразующегораспределение
враспреде
-
ление
(последнееозначает,что
(A)
=
(
{
x:T(x)
∈
A
}
)иреализующего
284Приложения
минимумфункционала
W
2
2
(
,
)
=
R
d
|
x
−
T(x)
|
2
d
.
Оказывается,чтопривесьмаобщихусловиях(например,распределения
и
непрерывны)этизадачиэквивалентны.Еслиm
—
решениезадачи
Монжа
—
Канторовича,тоmсосредоточенонаграфикенекоторогоотоб
-
раженияT:m
{
(x,y):y
=
T(x)
}=
1.МыбудемназыватьTоптимальным
отображением.СуществованиеTбылодоказаноЯ.Бреньев[5].Более
того,имеетместоследующийудивительныйфакт.
Теорема1.Tимеетвид
T(x)
=∇
(x),
где
—
некотораявыпуклаяфункция.
Величина
W
2
(
,
)
=
s
R
d
|
x
−
T(x)
|
2
d
называетсярасстояниемКанторовича(такжеможновстретитьназвания
«
расстояниеКанторовича
—
Рубинштейна
»
и
«
расстояниеВасерштейна
»
).
Действительно,можнопроверить,чтоW
2
(
,
)являетсярасстояниемна
пространствевероятностныхраспределений.
Пустьтеперьраспределения
и
заданыплотностями
=
1
dx,
=
2
dx.СвойствоTотображать
в
аналитическизаписываетсяспо
-
мощьюформулызаменыпеременной:
2
(
∇
)detD
2
=
1
.
Еслирассматривать
какнеизвестнуюфункцию,томыполучаемурав-
нениеМонжа
—
Ампера.ПодD
2
=
D(
∇
)подразумеваетсяматрица
вторыхпроизводных(гессиан)функции
.
Сделаемважноетехническоезамечание.Выполненоочевидноетожде
-
ство
R
d
|
x
−
y
|
2
dm
=
R
d
|
x
|
2
d
−
2
R
d
h
x,y
i
dm
+
R
d
|
y
|
2
d
.
Поэтомупоискминимумафункционала
R
d
|
x
−
y
|
2
dmэквивалентенпоиску
максимумафункционала
R
d
h
x,y
i
dm.
Существование
можетбытьдоказаноразнымиспособами.Стандарт
-
ныйподходсостоитвпримененииметодадвойственностиКанторовича
иработестакназываемымициклическимонотоннымимножествами.При
А.В.Колесников.Транспортнаязадачаиконцентрация285
этомвыпуклость
получаетсяавтоматически.ДвойственнаязадачаКан
-
торовичапринимаетвид
Φ
(x)d
+
Ψ
(y)d
→
max,
гдефункционалмаксимизируетсясредифункций,удовлетворяющихусло
-
вию
Φ
(x)
+Ψ
(y)
|
x
−
y
|
2
.ОтображениеTсвязанос
Φ
следующим
образом:T(x)
=
x
−∇Φ
(x)(см.подробнеегл.1,[16]).
Формальное,нопоучительноедоказательствотогофакта,чтоTявляет
-
сяградиентом,можнополучитьпутемвыводауравненияЭйлера
—
Лагран
-
жа(см.[6]).ПустьT
—
произвольноеотображениеиз
в
.Решение
задачиМонжа
—
Канторовичаможноискать,какусловныйэкстремум
функционала
R
d
h
T(x),x
i
d
приусловии
(T)detDT
=
.СоставимфункционалЛагранжа:
R
d
h
T(x),x
i
+
(x)(
(T)detDT
−
)
dx.
Функция
играетрольмножителяЛагранжа.Чтобынайтипервуювари
-
ациюфункционалаЛагранжа,рассмотриминфинитезимальнуювариацию
T
(x)
=
T(x)
+
(x)
отображенияT.Здесь
—
гладкоевекторноеполескомпактнымносите
-
лем.Очевидно,
(T
)
≈
(T)
+
h
,
∇
(T)
i
.
Можнопроверить,что
det(DT
+
D
)
=
detDT
det(I
+
(DT)
−
1
D
)
≈
≈
detDT
1
+
Tr
DT
−
1
D
.
Такимобразом,перваявариацияфункционалаЛагранжаравна
R
d
h
(x),x
i
+
(x)
(T)Tr[DT
−
1
D
]
+
(x)
h∇
(T),
i
(T)
dx.
Заметим,чтоdiv(
(T
−
1
))
=
TrD
(T
−
1
)
=
Tr
DT
−
1
D
(T
−
1
).
Интегрируяпочастямиприменяязаменупеременных,несложноубе
-
дитьсявтом,что
R
d
(x)
Tr[DT
−
1
D
]
dx
=
R
d
(T
−
1
)div(
(T
−
1
))
dx
=
=−
R
d
∇
[
(T
−
1
)],
(T
−
1
)
dx
−
R
d
(T
−
1
)
D
(T
−
1
)),
∇
E
dx.
286Приложения
Следовательно,вариацияравна
R
d
h
(x),x
i
−
R
d
h∇
(T
−
1
)
,
(T
−
1
)
i
dx
=
0.
Пусть
=
u(T),гдеu
—
некотораяфункция.Применяяопятьформулу
заменыпеременных,получаем,чтодлялюбогогладкогополя
выполнено
R
d
h
(x),x
i−h∇
u(T),
(x)
i
dx
=
0.
Следовательно:
∇
u(T)
=
x
=⇒
T
−
1
=∇
u.
Такимобразом,T
−
1
=∇
u.Всилусимметричностизадачиотносительно
и
тожеутверждениеможносделатьдлясамогоотображенияT.
Вкачествеиллюстрацииэффективногоиспользованияоптимальной
транспортировкеванализеприведемдоказательствоМ.Громовакласси
-
ческогоизопериметрическогонеравенства.
Пример1.СредимножествфиксированноймерыЛебегашарыимеют
наименьшуюповерхностнуюмеру.
Доказательство.ПустьA
⊂R
d
—
борелевскоемножество,B
r
=
={
x:
|
x
|
r
}
—
шар,удовлетворяющийусловию
(A)
=
(B
r
),где
—
мера
Лебегана
R
d
.ПустьT
=∇
—
оптимальнаятранспортировка,отобража
-
ющая
|
A
в
|
B
r
.ПоформулезаменыпеременныхdetD
2
=
1наA(для
простотыизложениясчитаем,что
—
гладкаяфункция,хотяаргументы
нижелегкообобщаютсянанегладкийслучай).МатрицаD
2
симметрична
инеотрицательна,поэтому1
=
d
p
detD
2
Δ
d
всилунеравенствамежду
среднимарифметическимисреднимгеометрическим.Проинтегрируемэто
неравенствопоAиприменимтеоремуОстроградского
—
Гаусса:
d
(A)
A
Δ
dx
=
∂
A
h∇
,n
A
i
d
H
d
−
1
r
H
d
−
1
(
∂
A).
Здесьn
A
—
единичнаянормальк
∂
A,
H
d
−
1
—
(d
−
1)
-
мернаямераХау
-
сдорфа.Изсоотношения
(A)
=
(B
r
)
=
d
2
Γ
1
+
d
2
r
d
получаемклассиче
-
скоеизопериметрическоенеравенство
1
−
1
d
(A)
d
H
d
−
1
(
∂
A),
где
d
=
h
Γ
1
+
d
2
i
1
d
d
√
.Издоказательстваследует,чтонеравенстваста
-
новятсяравенствамивслучаеA
={k
x
−
x
0
k
r
}
.Такимобразом,шары
А.В.Колесников.Транспортнаязадачаиконцентрация287
имеютнаименьшуюповерхностнуюмерусредимножествфиксированной
мерыЛебега.
Пусть
—
некотороевероятностноераспределение.Энтропиейве
-
роятностногораспределенияg
относительно
называетсявеличина
Ent
(g)
=
gloggd
(мысчитаем,чтофункцияxlogxравнанулювточ
-
ке0).
Следующийрезультат,доказанныйМ.Талаграном[15],связываеттео
-
риюоптимальнойтранспортировкисфункцинальныминеравенствами.
Теорема2.Пусть
=
—
стандартноегауссовскоераспреде-
ление.Предположим,что
=
g
—
другоевероятностноерас-
пределение.ТогдаквадратрасстоянияКанторовичамеждуэтими
распределениямиоцениваетсяотносительнойэнтропиейg:
1
2
W
2
(
,g
)
R
d
g
loggd
:
=
Ent
(g).
Доказательство.Дляпростотыизложенияпредположим,чтоg
и
—
гладкиефункции(этобываетневсегда,нообщийслучайможно
свестикэтому).Рассмотримформулузаменыпеременной:
e
−
x
2
2
=
g(
∇
)e
−
|∇
|
2
2
detD
2
.
Прологарифмируемэтосоотношение:
-
x
2
2
=
logg(
∇
)
−
|∇
|
2
2
+
logdetD
2
.
Перепишемеговвиде
1
2
|
x
−∇
|
2
=h
x,x
−∇
i+
logg(
∇
)
+
logdetD
2
.
Проинтегрируемполученноенеравенствопо
.Заметим,что
∇
e
−
x
2
2
=
=−
xe
−
x
2
2
.Изформулыинтегрированияпочастямследует:
R
d
h
x,x
−∇
i
d
=
R
d
d
−
TrD
2
d
(напомним,чтоd
—
размерность).Следовательно,
1
2
R
d
|
x
−∇
|
2
d
+
R
d
(TrD
2
−
d
−
logdetD
2
)d
R
d
logg(
∇
)d
.
Заметимтеперь,что
TrD
2
−
d
−
logdetD
2
0.
288Приложения
Действительно,если
i
—
собственныезначенияматрицыD
2
,то
TrD
2
−
d
−
logdetD
2
=
d
X
i
=
1
i
−
1
−
logdet
i
0
(всилунеотрицательностифункцииx
−
1
−
lnx).Такимобразом,получаем
1
2
R
d
|
x
−∇
|
2
d
R
d
logg(
∇
)d
=
R
d
gloggd
.
Теорема3(К.Мартон).Есливероятностноераспределение
удо-
влетворяетнеравенствуТалаграна:
W
2
(
,g
)
C
R
d
g
loggd
,
то
удовлетворяетнеравенствугауссовскойконцентрации:
(A
r
)
1
−
2e
−
r
2
4C
,
(A)
1
2
.(4)
Вчастности,неравенствугауссовскойконцентрацииудовлетворя-
етгауссовскоераспределение.
Доказательство.Положим(A
r
)
c
=R
d
\
A
r
.Рассмотримоп
-
тимальнуютранспортировку
∇
вероятностногораспределения
1
=
=
1
(A)
×
I
A
ввероятностноераспределение
2
=
1
((A
r
)
c
)
I
(A
r
)
c
.
Всилутого,чторасстояниемеждуносителями
1
,
2
превосходитr,
имеемW
2
(
1
,
2
)
r.Всилунеравенстватреугольника(напомним,что
W
2
—
расстояние):
r
W
2
(
1
,
2
)
W
2
(
1
,
)
+
W
2
(
2
,
).
ПонеравенствуТалаграна
r
q
2CEnt
1
+
q
2CEnt
2
.
ТаккакEnt
1
=
log
1
(A)
,Ent
2
=
log
1
((A
r
)
c
)
,немедленнополучаем
r
2
4C
log
1
(A)
+
log
1
((A
r
)
c
)
.
Следовательно,
((A
r
)
c
)
2e
−
r
2
4C
.
Остаетсязаметить,что
((A
r
)
c
)
=
1
−
(A
r
).Теоремадоказана.
А.В.Колесников.Транспортнаязадачаиконцентрация289
Несложнопроверить,чтоприведенныевышеаргументыприменимы
кслучаюраспределениясплотностьюe
−
V
,гдеD
2
V
K
Id,K
>
0(нера
-
венствопонимаетсявматричномсмысле,эквивалентнаяформулировка:
h
D
2
V
v,v
i
Kдлялюбоговектораv
∈R
d
единичнойдлины).Вэтом
случаетакжеполучаемгауссовскуюконцентрацию.Тежесамыеаргументы
работаютдлясферыили,болееобщимобразом,длямногообразиясогра
-
ниченнымснизутензоромРиччи.
Напоследоккраткообсудимещеодноприложениетранспортнойзада
-
чи
—
оценкускоростисходимостикравновесномусостоянию.ПустьV
—
равномерновыпуклыйпотенциал:
D
2
V
K
Id,K
>
0.
РассмотримрешениеуравненияФоккера
—
Планка:
∂
t
∂
t
=Δ
t
+
div(
∇
V
t
),
t
=
t
dx
—
вероятностноераспределение.Оказывается,длядвухрешений
этогоуравнениявыполненонеравенство
d
dt
W
2
2
(
t
,
t
)
−
2K
W
2
2
(
t
,
t
)
(см.[16],пример9.10).Этоможнопроверить,непосредственнопродиффе
-
ренцироваврасстояниеКанторовичапопараметруt.Очевидно,этаоценка
даетэкспоненциальнуюскоростьсходимости
t
кравновесномураспре
-
делению:
W
2
(
t
,
t
)
W
2
(
0
,
0
)e
−
Kt
.
Приложениятакогородавключаютвсебяширокийклассуравнений,
являющихсяградиентнымипотокамиотносительнометрикиКанторовича.
Подробнееобэтомсм.в[4].
Литература
1.БогачевВ.И.Гауссовскиемеры.М.:Наука,1997.
2.ЗоричВ.А.Математическийанализзадачестествознания.М.:МЦНМО,
2008.
3.КанторовичЛ.В.Оперемещениимасс
//
ДАНСССР.1942.Т.37.
С.227
–
229.
4.AmbrosioL.,GigliN.,SavaréG.Gradientflowsinmetricspacesandinthe
Wassersteinspacesofprobabilitymeasures.LecturesinMath.ETHZurich,2008.
5.BrenierY.Polarfactorizationandmonotonerearrangementofvectorvalued
functions
//
Comm.PureAppl.Math.1991.V.44.P.375
–
417.
6.EvansL.C.PartialdifferentialequationsandMonge
-
Kantorovichmasstransfer.
In
«
Currentdevelopmentsinmathematics
»
.Cambridge,1997;Boston:Int.Press,
1999.P.65
–
126;
http://math.berkeley.edu/
˜
evans/
290Приложения
7.GromovM.MetricstructureforRiemannianandnon
-
Riemannianspaces.V.152.
Boston:Birkhäuser,1998.
8.MilmanV.,SchechtmanG.Asymptotictheoryoffinitedimensionalnormed
vectorspaces.LectNotesinMath.V.1200.Springer,1986.
9.LedouxM.Theconcentrationofmeasurephenomenon.MathematicalSurveys
andMonographs89.Amer.Math.Soc.,2001.
10.LevyP.Problèmeconcretesd’analysefonctionelle.Paris:Gauthier
-
Villars,1951.
11.LugosiG.Concentrationofmeasuresinequalities.Barcelona,2009;
http://www.econ.upf.edu/
˜
lugosi/anu.pdf
12.MartonK.AmeasureconcentrationinequalityforcontractiveMarkovchains
//
Geom.Func.Anal.1997.V.6.P.556
–
571.
13.MilmanE.OntheroleofConvexityinIsoperimetry,Spectral
-
GapandConcen
-
tration
//
Invent.Math.2009.V.177.N.1.P.1
–
43.
14.MongeG.Mémoiresurlathéoriedesdédlaisetderemblais.Histoirede
l’Acad’emicRoyaledesscience,1781.
15.TalagrandM.TransportationcostforGaussianandotherproductmeasures
//
Geom.Funct.Anal.1996.V.6.P.587
–
600.
16.VillaniC.TopicsinOptimalTransportation.Amer.Math.Soc.Providence.Rhode
Island,2003;
http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/villani/
Ю.Е.Нестеров,С.В.Шпирко
Стохастическоетранспортноеравновесие
Вомногихзадачахтеорииигрпредставляетсяестественнымввести
неопределенностьвпроцесспринятиярешения.Пустьимеетсяконечный
наборизMстратегий.Длякаждойrстратегии(r
=
1,...,M)стратегии
известнызатратыc
r
еереализации.Вотсутствииполнойинформациииг
-
рокуизвестноточноезначениеc
r
снекоторойпогрешностью
r
.Поэтому
скаждойстратегиейrимеетсмыслсвязатьнекоторуювероятностьp
r
выбораданнойстратегии.Разумеется,каждаявероятностьp
r
зависитот
распределения
r
.
Вдискретныхмоделяхвыбора([1])каждыйигрокруководствуется
принципомминимизациисвоихзатрат(максимизациифункцииполезно
-
сти):
p
r
=
Pr
{
c
r
+
r
=
min
1
i
M
(c
i
+
i
)
}
.
Какправило,выписатьтакуюзависимостьвявнойформебываеттрудно.
Однаковнекоторыхслучаяхвозможно.Так,влогит
-
моделивкачестве
распределения
r
используютдвойноеэкспоненциальное(распределение
Гумбеля).Тогда
p
i
=
e
−
c
i
/
.
M
X
r
=
1
e
−
c
r
/
,(1)
где
>
0
—
параметрраспределения.
Обозначимчерез
(c)градиентфункции
(
).Положимp
=
=
(p
1
,...,p
M
).Введемпотенциальнуюфункцию
(c)
=
ln
M
X
r
=
1
e
−
c
r
/
.(2)
Тогда(1)можетбытьзаписановвиде
p
=−
(c).(3)
Заметим,чтосвычислительнойточкизрениявыражения(2),(3)до
-
пустимылишьдлядостаточногомалогочисластратегийM.Однакодля
многихважныхклассахмоделейэтонетак.Вчастности,длятранспортных
задач,когдастратегиейигрокаявляетсямаршрутвсети.Сувеличением
292Приложения
размерасетиколичествомаршрутоврастетсэкспоненциальнойскоро
-
стью.Вданнойситуациипрямоеприменениеформул(2),(3)становится
численнонереализуемым.
Возможнолиразработатьпростуюпроцедурувычислениязначения
потенциальнойфункциитипа(2)иееградиентадлянекоторогомножества
маршрутоввсети?
Представляетсяинтереснымрасширитьаппаратлогит
-
моделинамо
-
делистохастическоготранспортногоравновесия.Вданноймоделифакти
-
ческиевременныезатратыскладываютсястихийнокакрезультаттогоили
иногораспределениятранспортногопотокавсети.
Чтобыперейтикформальномуописаниюнашеймодели,разработаем
предварительнонеобходимыйаппарат.Рассмотримсеть
N
,состоящуюиз
nузловиmнаправленныхдуг.Обозначимчерез
A
множествовсехдуг
из
N
.Длякаждойдуги
∈A
введемвеличинувременныхзатратt
0.
Далее,длямаршрутаrвведемфункциювременныхзатрат
c
r
(t)
=
X
∈
r
t
.
Заметим,чтоc
r
(t)линейнапоt.
Зафиксируемдваузлаpиkиобозначимчерез
R
множествовсех
маршрутовв
N
,соединяющихданныедваузла.Мыможемформально
ввестиследующуюхарактеристическуюфункцию
g
R
(t)
=
X
r
∈R
e
−
c
r
(t)
.(4)
Если
R=∅
,тоположимg
R
(t)
≡
0.
Заметим,чтодлялюбогоконечногомножества
R
даннаяфункция
корректнозаданаибесконечноечислоразнепрерывнодифференцируема.
Такжеg
R
(t)либоположительнадлявсехзначенийtлиботождественно
равнанулю.
Длямножествамаршрутов
R
мыможемтакжеформальноопределить
потенциальнуюфункцию
R
(t)
=
lng
R
(t).
Положим
∅
(t)
≡−∞
.Заметим,чтодля
R=R
1
∪R
2
при
R
1
∩R
2
=∅
следует
R
(t)
=
ln(e
R
1
(t)
+
e
R
2
(t)
).
Справедливаследующая
Лемма1.Если
R6=∅
,то
R
(t)выпуклапоt.
Далее,обозначимчерез
[i,j]дугу,соединяющуюдвасоседнихузлаi
иj.Через
R
l
p,k
обозначиммножествовсехмаршрутовв
N
,соединяющих
Ю.Е.Нестеров,С.В.Шпирко.Стохастическоетранспортноеравновесие293
узлыpиk,счисломдуг,равнымl.Заметим,чтоданныемножестване
пересекаютсяиихможнозадатьрекурсивнымобразом:
Дляl
=
1
R
1
p,k
=
[p,k],p,k
=
1,...,n.
Дляl
1имеем
R
l
+
1
p,k
=
S
i
∈
I(k)
S
r
∈R
l
p,i
{
r
∪
[i,k]
}
,p,k
=
1..,n,(5)
гдеI(k)
={
i:
[i,k]
6=∅}
.
Посколькучислоэлементовв
R
l
p,k
конечно,тосоответствующиехарак
-
теристическиефункциикорректнозаданы.Образуемизних(n
×
n)
-
мат
-
рицуG
l
(t):
[G
l
(t)]
k,p
=
g
R
l
p,k
(t),p,k
=
1,...,n.
Чтобыописатьаналитическуюструктуруданнойматрицы,введем
(n
×
n)
-
матрицуинциденцийE(t):
[E(t)]
(i,j)
=
(
e
−
t
[j,i]
,если
[j,i]
6=∅
,
0,если
[j,i]
=∅
,i,j
=
1,...,n.
Теорема1.Длялюбогоl
1справедливо
G
l
(t)
=
E(t)
E(t)
|
{z
}
lраз
.
Доказательство.Зафиксируемпроизвольныйузелpирассмот
-
римследующуювектор
-
функцию
a
l
p
(t)
=
G
l
(t)e
p
,
гдеe
p
—
p
-
йкоординатныйвекторизR
n
.Длядоказательстватеоремынам
достаточнопоказать,что
a
l
p
(t)
=
E
l
(t)e
p
.(6)
Докажемпоиндукции.Дляl
=
1сучетомопределенияматрицыE
1
(t)
≡
≡
E(t),данноеутверждениеочевидно.
Далее,предположим,чтооносправедливодлянекоторогоl
1.Тогда,
сучетомаддитивностиc
r
и(5),длялюбогоk
=
1,...,nимеем
[a
l
+
1
p
(t)]
(k)
=
X
r
∈R
l
+
1
p,k
e
−
c
r
(t)
=
X
i
∈
I(k)
X
r
∈R
l
p,i
e
−
t
[i,k]
−
c
r
(t)
=
=
X
i
∈
I(k)
e
−
t
[i,k]
a
l
i,p
(t)
=
X
i
∈
I(k)
[E(t)]
(k,i)
[a
l
p
(t)]
(i)
.
Тоестьg
l
+
1
p
(t)
=
E(t)g
l
p
(t)и(6)выполнено.Теоремадоказана.
294Приложения
Рассмотримтеперьдваважныхклассамаршрутовсети.
1)Множествовсехмаршрутовсравномерноограниченнымчисломдуг
(куммулятивныйкласс)
R
L
p,k
=
L
S
l
=
1
R
l
p,k
.
Дляпроизвольныхдвухузловpиkвведемкуммулятивнуюхарактери
-
стическуюфункциюпорядкаL
g
R
L
p,k
(t)
=
X
r
∈
R
L
p,k
e
−
c
r
(t)
=
L
X
l
=
1
g
R
l
p,k
(t).(7)
Составимизданныххарактеристическихфункцийматрицу
G
L
(t):
[
G
L
(t)]
(k,p)
=
g
R
L
p,k
(t)
,k,p
=
1,...,n.
Тогдапотеореме1даннаяматрицапредставимаввиде
G
L
(t)
=
L
X
l
=
1
E
l
(t).(8)
2)Множествовсехмаршрутовсети(асимптотическийкласс)
R
p,k
=
∞
S
l
=
1
R
l
p,k
Поаналогиискуммулятивнойфункциейвведемасимптотическуюха
-
рактеристическуюфункцию
g
R
p,k
(t)
=
X
r
∈
R
p,k
e
−
c
r
(t)
=
∞
X
l
=
1
g
R
l
p,k
(t)(9)
иматрицу
G(t):
[
G(t)]
(k,p)
=
g
R
p,k
(t)
,k,p
=
1,...,n.
Сучетомтеоремы1имеем
G(t)
=
∞
X
l
=
1
E
l
(t).(10)
Необходимоеидостаточноеусловиесходимостисуммы(10)можно
записатьвтерминахспектральногорадиусаматрицыE(t):
(t)
=
max
1
i
n
|
i
(E(t))
|<
1,
Ю.Е.Нестеров,С.В.Шпирко.Стохастическоетранспортноеравновесие295
гдечисла
i
(
)являютсясобственнымизначениямиданнойматрицы.
Справедлива
Теорема2.1.Областьопределенияматрицы
G(t)естьоткрытое
множество:
dom
G
={
t
∈
R
m
:
(t)
<
1
}
.
2.Если
¯¯
t
∈
dom
Gиt
¯¯
t,тоt
∈
G.
3.Для
∀
t
∈
dom
Gматрица
Gпредставимаввиде:
G(t)
=
(I
−
E(t))
−
1
−
I
=
E(t)(I
−
E(t))
−
1
=
lim
L
→∞
G
L
(t).(11)
Болеетого,длятакихtпроизводныепонаправлению
{D
G
L
(t)[h]
}
такжесходятся:
D
G(t)[h]
=
lim
L
→∞
D
G
L
(t)[h]
∀
h
∈
R
m
.(12)
4.Для
∀
t
∈
dom
Gспектральныйрадиусматрицы
Gесть
˜
(t)
≡
max
(
G(t))
=
(t)
1
−
(t)
.(13)
Перейдемтеперькописаниюнашеймоделитранспортногоравновесия.
Зададимтриеенеобходимыекомпоненты:
1.Стратегияводителей.
Вдетерминированныхтранспортныхмоделяхповедениеводителей
обычноописываетсяпервымпринципомВардропа:Каждыйводительвы-
бираетодинизкратчайшихпутейследованияизисточникавсток.
Влогит
-
модели(1)каждыйводительвыбираетмаршрутrизмножества
R
возможныхмаршрутовсвероятностью
p
r
(t)
=
e
−
c
r
(t)
/
.
X
q
∈R
e
−
c
q
(t)
/
,r
∈R
.(14)
Рассмотримтранспортныйпотокизузлаpвk.Обозначимкорреспон
-
денциюдляданнойпарычерезd.Тогда,сучетом(14)ожидаемыйпотокf
r
(f
r
=
f
r
(t)
∈
R
m
)помаршрутуrесть
f
r
(t)
=
d
e
−
c
r
(t)
/
.
X
q
∈R
e
−
c
q
(t)
/
,r
∈R
.(15)
Рассмотримдлякаждогомаршрутаr
∈R
векторинциденцийa
r
∈
∈{
0,1
}
m
.Тогдаожидаемыйпотокподугамf(t)
∈
R
m
можнозаписать
ввиде
f(t)
=
X
r
∈R
f
r
(t)
a
r
.(16)
296Приложения
Оказывается,(16)можнозаписатьвтерминахпотенциальнойфункции
R
(t)
=
ln
X
r
∈R
e
−
c
r
(t)
.(17)
Справедливаследующая
Лемма2.Длялюбого
>
0иt
∈
R
m
:t
/
∈
int(dom
R
),выполня-
ется
f(t)
=−
d
R
(t
/
).(18)
Доказательство.Поопределениюc
r
(t)
=h
a
r
,t
i
.Следовательно,
R
(t)
=
ln(
P
r
∈R
e
−h
a
r
,t
i
).Длядоказательства(18)остаетсяпростопро
-
дифференцироватьданнуюфункцию.
Такимобразом,вслучаелогит
-
моделиприходимкследующемуприн
-
ципу:
Зафиксируемвекторtвременныхзатратнадугах.Обозначим
через
R
множествовозможныхмаршрутовдлянекоторойпотоко-
образующейпары.Ипустьd-корреспонденцияданнойпары.Тогда
ожидаемыйпотокдляпарыбудетопределятьсякак
f(t)
=−
d
R
(t
/
).(19)
2.Реализациятранспортнойсети.
Обычновмоделяхтранспортногоравновесиярассматриваютвремен
-
ныезатратынадугахttкакфункцииотпотока:tt
=
tt(f)([2]).Для
существованияравновесиявтакихслучаяхнеобходимо,чтобыtt(f)мо
-
нотоннонеубывала.Вработах[3],[4]былапредложенатакназываемая
модельстабильнойдинамики.
Вданноймоделикаждаядуга
∈A
характеризуетсявеличиноймак
-
симальногопотока
¯¯
f
иминимальнымивременнымизатратами
¯¯
t
.Данные
величиныудовлетворяютследующемупредположению:
Еслиf
<
¯¯
f
,тоtt
=
¯¯
t
.Еслиf
=
¯¯
f
,тоtt
¯¯
t
.(20)
3.Заданиезагрузкивсети.
Обозначимчерез
OD
множествовсехпотокообразующихпар.Для
каждойтакойпары(p,k)
∈OD
зафиксируемвеличинуd
p,k
корреспонден
-
ции(заданаматрицакорреспонденций).Обозначимчерез
R
p,k
некоторое
множествомаршрутов,соединяющихpсk.Покажем,чтоточкастоха
-
стическоготранспортногоравновесияможетбытьнайденакакрешение
задачивыпуклойоптимизации:
min
{h
¯¯
f,t
i+
(t
/
):t
¯¯
t
}
,(21)
Ю.Е.Нестеров,С.В.Шпирко.Стохастическоетранспортноеравновесие297
где
>
0и
(t)
=
X
(p,k)
∈OD
d
p,k
R
p,k
(t).
Теорема3.Пусть
¯¯
t
/
∈
dom
.
1.Пустькорреспонденцияреализованатакимипотокамиf
p,k
,
что
X
(p,k)
∈
OD
f
p,k
<
¯¯
f.
Тогдазадача(21)разрешима.
2.Пустьt
∗
—
решение(21).Тогдаравновесныепотокиудовле-
творяютсоотношению
f
∗
p,k
=−
d
p,k
R
p,k
(t
∗
/
),(p,k)
∈OD
.
Равновесныепотокиудовлетворяютсоответствующимкорре-
спонденциям.
3.Равновесныйпотокf
∗
=
P
(p,k)
∈OD
f
∗
p,k
подуге
непревосхо-
дит
¯¯
f
.Болеетого,равновеснаяпара(t
∗
,f
∗
)удовлетворяетпред-
положению(20).
Доказательство.Наметимвкратцедоказательствокаждогоиз
утвержденийтеоремы.
1.Попредположению,длякаждойпары(p,k)найдетсяподмножество
R
′
p,k
⊆R
p,k
исовокупностьположительныхчисел
{
r
p,k
}
r
∈R
′
p,k
:
X
r
∈R
′
p,k
r
p,k
=
d
p,k
,(p,k)
∈OD
,
что
f
p,k
=
X
r
∈R
′
p,k
r
p,k
a
r
и
f
≡
X
(p,k)
∈OD
f
p,k
<
¯¯
f.
Представимцелевуюфункцию(21)ввиде
h
¯¯
f,t
i+
(t
/
)
=h
¯¯
f
−
f,t
i+h
f,t
i+
(t
/
).
Вданномвыражениирассмотримдвапоследнихслагаемых:
h
f,t
i+
(t
/
)
=h
f,t
i+
X
(p,k)
∈OD
d
p,k
R
p,k
(t
/
).
298Приложения
Можнодоказать,чтоданнаясуммаограниченаснизунекоторойконстан
-
той
:
h
f,t
i+
(t
/
)
.
Такимобразом,целеваяфункция(21)ограниченаснизулинейнойфункцией
сположительнымикоэффициентами:
h
¯¯
f,t
i+
(t
/
)
h
¯¯
f
−
f,t
i+
t
¯¯
t.
Следовательно,множествоуровнейцелевойфункцииограниченоизадача
(21)имеетрешение.
2.Попредположению,
¯¯
t
/
∈
domint(
R
p,k
).Следовательно,градиент
R
p,k
(t
/
)корректнозадандлялюбогоt
/
¯¯
t
/
.Остаетсяприменить
лемму2.
3.Выпишемдлярешениязадачи(21)условияКуна
-
Такера:
¯¯
f
+
(t
∗
/
)
=
s
∗
,
s
∗ (t
∗ −
t
)
=
0,гдеs
∗
0.
Обозначимf
∗
=
¯¯
f
−
s
∗
.Еслиf
∗
<
¯¯
f
,тоs
∗ >
0имыприходимк(20).
Теоремадоказана.
Чтобычисленнорешатьзадачуминимизации(21),необходимонай
-
тиэффективныйспособвычислениязначениясоответствующейцелевой
функциииееградиента.Найдемтакойспособдлядвухрассматриваемых
классовмножествмаршрутов:асимптотическомикуммулятивном.
1.Асимптотическийкласс.
Пусть
R
p,k
=
R
p,k
.Предположим,чтомыимеемматрицукорреспон
-
денцийD
∈
R
n
×
n
.Будемобозначатьчерез
h
,
i
M
скалярноепроизведение
двухматриц,стоящихвобеихчастях:
h
X,Y
i
M
=
m
P
i
=
1
n
P
j
=
1
X
ij
Y
ij
,X,Y
∈
R
m
×
n
.
Тогдазадачу(21)можнозаписать:
min
{h
¯¯
f,t
i+h
D,
ln
{
(I
−
E(t
/
))
−
1
−
I
}i
M
:t
¯¯
t
}
,(22)
гдечерезln(
)обозначена(n
×
n)
-
матрицаслогарифмомотсвоихкомпо
-
нент.
ОбозначимчерезF(t)нетривиальнуючастьданноговыражения:
F(t)
=h
D,
ln
{
(I
−
E(t
/
))
−
1
−
I
}i
M
.(23)
Выберемпроизвольноенаправлениеh
∈
R
m
ивычислимвдольнегочаст
-
нуюпроизводную:
D
F(t)[h]
=h
D,
D
(
ln
{
(I
−
E(t
/
))
−
1
−
I
}
)
i
M
Ю.Е.Нестеров,С.В.Шпирко.Стохастическоетранспортноеравновесие299
ОбозначимчерезB(t)[h]матрицу(n
×
n):
B(t)[h]
(i,j)
=
(
e
−
t
[j,i]
h
[j,i]
,если
[j,i]
6=∅
,
0,если
[j,i]
=∅
.
Длядвухматриц(n
×
n)BиCобозначимчерез
{
B
/
C
}
следующуюмат
-
рицу:
{
B
/
C
}
(i,j)
=
B
(i,j)
/
C
(i,j)
,i,j
=
1,...,n.
Можнопоказать,чтовтерминахB(t)[h]частнаяпроизводнаяпонаправ
-
лениюпредставимаввиде
D
F(t)[h]
=−h{
D
/
(I
−
E(t))
−
1
}
,(I
−
E(t))
−
1
B(t)[h](I
−
E(t))
−
1
i
M
.
ОбозначимчерезB
∗
[t][Y]оператор,сопряженныйкB(t)[h]:
h
B(t)[h],Y
i
M
=h
B
∗
(t)[Y],h
i∀
h
∈
R
m
,
∀
Y
∈
R
n
×
n
.
Тогда,cучетом
D
F(t)[h]
=h
F(t),h
i
получаемвыражениедляградиента
целевойфункции
F(t)
=−
B
∗
(t)[(I
−
E(t))
−
T
{
D
/
(I
−
E(t))
−
1
}
(I
−
E(t))
−
T
].
Такимобразом,чтобывычислитьградиент,намнеобходимовычислить
обратнуюматрицук(I
−
E(t)).ВхудшемслучаеэтопотребуетO(n
3
)
арифметическихопераций.
2.Куммулятивныйкласс.
Пусть
R
p,k
=
R
L
p,k
.Зафиксируемузелpиобозначим
a
l
k
(t)
=
R
l
p,k
(t
/
),
b
l
k
(t)
=
R
l
p,k
(t
/
),
)
k
=
1,...,n,l
=
1,...,L.
Отметим,чтонекоторыеизэтихфункциймогутбытьравны
−∞
.Это
означает,чтосоответствующеемножествомаршрутовпустое.
Оказывается,чтоданныефункцииможновычислитьрекурсивнымоб
-
разом:
Дляl
=
1
a
1
k
(t)
=
b
1
k
(t)
=
(
−
t
[p,k]
,если
[p,k]
6=∅
,k
=
1,...,n;
−∞
,если
[p,k]
=∅
.
Дляl
=
1,...,L
−
1имеем
a
l
+
1
k
(t)
=
ln(
P
i
∈
I(k)
e
(a
l
i
(t)
−
t
[i,k]
)
/
)
b
l
+
1
k
(t)
=
ln(e
b
l
k
(t)
/
+
e
a
l
+
1
k
(t)
/
)
)
k
=
1,...,n.(24)
300Приложения
НакаждойшагеlнеобходимосделатьO(m)арифметическихопераций.
Следовательно,длявычислениявсехфункцийb
L
k
(t),k
=
1,...,n,необхо
-
димоO(Lm)операций.
Интересноотметить,чтопри
→
0процесс(24)превращаетсявиз
-
вестныйалгоритмкратчайшегопутиБеллмана
—
Форда([6]).
Напрактикеоченьтруднополучитьполнуюматрицукорреспонденций,
необходимуюдля(21).Такчтоприходитсяисходитьизпредположения,
чтоунасестьлишьнеполнаяинформация,например,мыможемзнать
величинувсехкорреспонденций
Φ=
X
(p,k)
∈OD
d
p,k
.
Введемфункцию
R
p,k
=−
R
p,k
(t
/
).
Заметим,чтоесливодителииспользуютпривыборемаршруталогит
-
мо
-
дель,тоданнаяфункцияестьожидаемыеминимальныезатраты([1]).
ВведемдвавесовыхвектораPиQизR
n
скоординатами
P
i
>
0
∀
i
∈O
иP
i
=
0иначе,
Q
j
>
0
∀
j
∈D
иQ
j
=
0иначе.
ВкачествевесовPиQможновзятьвеличинучислажителейвузле
-
источникеиколичестварабочихмествузле
-
стоке.
Введемсначаластохастическуюкорреспонденцию.Будемсчитать,что
водитель,следующийизiвk,появляетсявсетисвероятностью
i,k
(t)
=
P
i
Q
k
e
−
R
i,k
(t)
P
(l,j)
∈OD
P
l
Q
j
e
−
R
l,j
(t)
(25)
Тогдаожидаемаякорреспонденциядлятакойпарыесть
Φ
i,k
(t).Ожида
-
емыйпоток,сучетомлеммы??,будет
f
i,k
(t)
=−Φ
i,k
(t)
R
i,k
(t
/
).(26)
Отсюда,общийпотоквсетибудет
f(t)
=
X
(i,k)
∈OD
f
i,k
(t)
=−Φ
X
(i,k)
∈OD
i,k
(t)
R
i,k
(t
/
).(27)
Задачапоискастохастическоготранспортногоравновесияформулируется
следующимобразом:
Найтитакиевекторыt
∗
иf
∗
,чтовыполненопредположе-
ние(20).
Ю.Е.Нестеров,С.В.Шпирко.Стохастическоетранспортноеравновесие301
Оказывается,такоерешениеможетбытьнайденоизследующейзадачи
оптимизации
min
t
¯¯
t
[
h
¯¯
f,t
i+Φ
(t
/
)],(28)
где
(t)
≡
(P,Q,t)
=
ln
P
i
∈O
P
j
∈D
P
(i)
Q
(j)
g
R
i,j
(t)
.
Внастоящейработеобсуждалисьосновныерезультатыстатьи[5].
Литература
1.AndersonS.P.,dePalmaA,ThisseJ.-F.Discretechoicetheoryofproduct
differentiation.MIT,Cambridge,1992.
2.SheffiY.UrbanTransportationnetworks:equilibriumanalysiswithmathematical
programmingmethods.Prentice
-
Hall,EnglewoodCliffs,1985.
3.NesterovY.Stabletrafficequilibria:propertiesandapplications
//
OptimEngineer
-
ing.2000.V.1.P.29
–
50.
4.NesterovY.,dePalmaA.Staticequilibriumincongestedtransportationnetworks.
NetworksandSpatialEconomics.2003.V.3.P.371
–
395.
5.NesterovY.Characteristicfunctionsofdirectedgraphsandapplicationstostochas
-
ticequilibriumproblems
//
OptimEngineering.2007.V.8.P.193
–
214.
6.ФордЛ.,ФалкерсонД.Потокивсетях.М.:Мир,1966.
А.М.Райгородский
Моделислучайныхграфовиихприменения
Вприложениидаетсяобзоросновныхсовременныхнаправленийвтео
-
риислучайныхграфов.Делаетсяакцентнасвязьмоделейслучайного
графастранспортнойпроблематикой.
1.Введение
Теорияграфовиграетогромнуюрольвфундаментальнойиприкладной
математике.Ейпосвященысотнимонографийитысячи
—
еслинедесятки
тысяч
—
статей.Разумеется,мынеможемставитьпередсобоюцельдать
наэтихстраницахсколь
-
нибудьподробноеизложениетеорииграфов.
Насбудетинтересоватьлишьоднонаправление,котороескаждымгодом
становитсявсеболееактуальным.Врамкахэтогонаправленияграфы
изучаютсясвероятностнойточкизрения.Типичнаяпостановкавопроса
(говорянесовсемстрого)такова:великаливероятностьтого,что
графобладаетданнымсвойством?Вопросисключительноважный,
имывэтомнеразубедимсяниже.Правда,внемнислованесказано
отом,какименномыпонимаемтермин
«
вероятность
»
.Всякийчеловек,
имеющийпредставлениеобаксиоматикеКолмогорова,хорошознает,что
можновложитьмножестворазныхсмысловвэтоттермин.Иегоможно
действительноопределятьпо
-
разному.Взависимостиотопределенияпо
-
лучитсятаилиинаямодельслучайногографа.Счистоматематических
позицийлюбаятакаямодельимеетправонасуществование.Однакодля
приложений
—
втомчислеприложенийктранспортнойпроблематике
—
некоторыеизэтихмоделейболееинтересны,некоторые
—
менее.Соответ
-
ственно,нижемырасскажемодвухклассахмоделей,каждыйизкоторых
задесятилетия,прошедшиесмоментасвоегопоявления,зарекомендовал
себяплодотворнымкакврамках
«
чистой
»
математики,такиврамках
ееразнообразныхприложений,средикоторыхнадежностьтранспортной
сети,ростинтернетаидругихсоциальныхибиологическихсетей,теория
алгоритмовипр.
РаботавыполненаприфинансовойподдержкегрантаРФФИ09
-
01
-
00294,грантаПре
-
зидентаРФМД
-
8390.2010.1,грантаподдержкиведущихнаучныхшколНШ
-
8784.2010.1.
А.М.Райгородский.Моделислучайныхграфовиихприменения303
Непретендуянаполнотуизложения(этобылобынелепо,таккак
издесьнаукаразросласьбезгранично),мыпостараемсявыделитьлишь
самыеосновныеипринципиальныемоментытеориислучайныхграфов.
2.МодельЭрдеша
—
Реньи
Этотразделмыпосвятимописаниюмоделислучайногографа,которая
возниклаисторическипервой.Нарубеже50
-
хи60
-
хгодовХХвекаэту
модельпредложиликлассикисовременнойкомбинаторикиитеорииверо
-
ятностейП.ЭрдешиА.Реньи(см.[1],[2],[3]).Отметим,чтоЭрдеш
—
это,пожалуй,однаизсамыхяркихфигурвматематикеХХвека.Ему
принадлежатсотнистатейизадач,которыеоказалиогромноевлияние
наразвитиемногихматематическихдисциплин.Реньитакжесыгралзна
-
чительнуюрольвформированиивенгерскойвероятностнойшколы,иего
именемназванматематическийинститутвБудапеште.
2.1.Формальноеописаниемодели
ПустьданомножествоV
n
={
1,...,n
}
,элементыкоторогомыназовем
вершинами.Именнонаэтоммножествемыбудем
«
строить
»
случайный
граф.Понятно,сталобыть,чтослучайнымбудетмножествореберграфа.
Мынехотимсейчасрассматриватьграфыскратнымиребрами(мультигра
-
фы),графыспетлями(псевдографы)иориентированныеграфы(орграфы).
Поэтомумысчитаем,чтопотенциальныхреберуграфанебольше,чем
C
2
n
штук.Будемсоединятьлюбыедвевершиныiиjребромснекоторой
вероятностьюp
∈
[0,1]независимоотвсехостальныхC
2
n
−
1парвершин.
Инымисловами,ребрапоявляютсявсоответствиисостандартнойсхемой
Бернулли,вкоторойC
2
n
испытанийи
«
вероятностьуспеха
»
p.Обозначим
черезEслучайноемножестворебер,котороевозникаетврезультатереа
-
лизациитакойсхемы.ПоложимG
=
(V
n
,E).Этоиестьслучайныйграф
вмоделиЭрдеша
—
Реньи.
Еслизаписыватьприведенноетолькочтоопределениевформатеак
-
сиоматикиКолмогорова,томыимеемвероятностноепространство
G(n,p)
=
(
Ω
n
,
F
n
,P
n,p
),
вкотором
Ω
n
={
G
=
(V
n
,E)
}
,
F
n
=
2
Ω
n
,P
n,p
(G)
=
p
|
E
|
(1
−
p)
C
2
n
−|
E
|
.(1)
Здесьчерез
|
A
|
обозначенамощностьмножестваA(количествоэлементов
внем),а2
A
—
этосовокупностьвсехподмножествмножестваA.
Элементсигма
-
алгебры
F
n
—
этонаборграфов.Еслинамхочетсянай
-
тивероятность,скоторойграфнаnвершинахобладаетданнымсвойством
A,томыпростобереммножество
A∈F
n
,состоящееизвсехграфов,для
304Приложения
которыхвыполненосвойствоA,ивычисляем
P
n,p
(
A
)
=
X
G
∈A
P
n,p
(G).
Такимобразом,вероятностьтого,например,чтослучайныйграфсвя
-
зен,
—
этовеличина,равнаясуммевероятностейвсехсвязныхграфов(на
фиксированноммножествевершин).Казалосьбы,всесовсемпростоимы
врядлиимеемшансынаткнутьсяздесьнанечтоособенноинтересное.
Однакоделообстоитпрямопротивоположнымобразом:спецификаверо
-
ятностныхметодов,которыеэффективноработаютвзадачахослучайных
графах,позволитнампронаблюдатьвесьманетривиальныеи,главное,
неожиданныеявления,которыевозникаютдажевэтойпростоймодели
икоторыевлекутприятныеследствиядляприложений.
Преждечемдвигатьсядальше,сделаемещерядполезныхзамечаний.
Во
-
первых,еслиp
=
1
2
,то,каквидноизформулы(1),вероятностьлю
-
богографаравна2
−
C
2
n
.Инымисловами,вэтомспециальномслучаевсе
графыравновероятныивсякоеутверждениеовероятностикакого
-
либо
свойства
—
это,посути,утверждениеодолеграфов,даннымсвойством
обладающих.
Вдействительности,мынетольконеобязаныпредполагать,чтоp
=
1
2
(хотяиэтотслучайоченьважен),мыдажеможемсчитать,чтосростом
величиныn(числавершин)вероятностьpвозникновенияребраизменяет
-
ся.Иначеговоря,p
=
p(n)
—
любаяфункция,значениякоторойзаключены
междунулемиединицей.Какправило,внаукеослучайныхграфахважны
даженесамивероятностисобытий,ноихпредельныезначения.Почему
этотак,мыскороувидим.
Скажем,наконец,чтосвойствовыполненопочтивсегда,еслиего
вероятностьстремитсякединицеприn
→∞
.
2.2.Транспортнаяинтерпретациямодели
Представимсебе,чтовнекоторойстранеесть10городов,которые
попарносоединеныдорогами.Этодовольносильноепредположение,но
покасохранимего.Допустим,каждаяиздорогзаопределенныйсрок
изнашивается(т.е.становитсянепроезжей)сизвестнойвероятностьюq.
Приэтомизносданнойдорогиникакнезависитотсовокупногоизноса
остальныхдорог.Спрашивается:каковамаксимальнаявероятностьq,при
которойсвероятностьюбольше1
/
2неисчезнетвозможностьперемещения
междулюбымидвумягородами?Посуществу,этовопросонадежности
транспортнойсети:чемвышеискомаявероятностьq,тем,разумеется,сеть
надежнее.
А.М.Райгородский.Моделислучайныхграфовиихприменения305
Нетрудновидеть,чтовопросонадежностисети
—
это,всвоюочередь,
вопрососвязностислучайногографа.Всамомделе,сопоставимкаждому
городувершинуi
∈
V
10
.Тогда
«
дорога
»
между
«
городами
»
iиj
—
это
ребро.Износдороги
—
этоисчезновениеребра.Значит,утверждение
«
до
-
рогаизнашиваетсясвероятностьюq
»
равносильноутверждению
«
ребро
появляетсясвероятностьюp
=
1
−
q
»
.Такимобразом,насинтересует,
каковаминимальнаявероятностьp,прикоторойвмоделиЭрдеша
—
Ре
-
ньиG(n,p)вероятностьсвязностиграфабольшеполовины(граф,скорее,
связен,чемнесвязен).
Понятно,чтоеслимызаменимчисло10другимчислом,тосоответ
-
ствующееминимальноеpможетизмениться.Этимиобусловленонаше
желаниерассматриватьнетолькопостоянныеp,ноинетривиальныефунк
-
цииp
=
p(n).
Впараграфе2.4мыобсудимрядстрогихутверждений,касающихся
сформулированноговышевопроса.Однакоестьунасиболеесроч
-
ноедело:все
-
такипредположениеотом,чтогородасвязаныдорогами
попарно,чересчурсильное,ивследующемпараграфемыприведеммо
-
дификациюмоделиЭрдеша
—
Реньи,врамкахкоторойэтопредположение
можнобудетадекватноослабить.
2.3.ОбобщениямоделиЭрдеша
—
Реньи
Пустьпо
-
прежнемуV
n
={
1,...,n
}
.Однакотеперьвероятностьребра
междувершинамиiиjмыобозначимчерезp
ij
.Инымисловами,мы,как
ираньше,проводимребранезависимодруготдруга,носразнымивероят
-
ностями.ВформатеаксиоматикиКолмогоровамыполучаемвероятностное
пространство
G(n,p
ij
)
=
(
Ω
n
,
F
n
,P
n,p
ij
),
вкотором
Ω
n
={
G
=
(V
n
,E)
}
,
F
n
=
2
Ω
n
,P
n,p
ij
(G)
=
Y
(i,j)
∈
E
p
ij
Y
(i,j)
6∈
E
(1
−
p
ij
).
Важныйчастныйслучайописанногопространстваполучается,коль
скоромыфиксируемнекоторыйграфH
n
=
(V
n
,E
n
)иполагаем
p
ij
=
(
p,(i,j)
∈
E
n
,
0,(i,j)
6∈
E
n
.
Иначеговоря,ребраграфаH
n
возникаютвслучайномграфенезависимо
друготдругасоднойитойжевероятностьюp
=
p(n)
∈
[0,1],аребра,
которыхвграфеH
n
нет,невозникаютвслучайномграфевовсе.Этот
вариантмоделипринятообозначатьG(H
n
,p).Вней
P
n,p
ij
(G)
=
p
|
E
|
(1
−
p)
|
E
n
|−|
E
|
.
306Приложения
Ясно,чтомодельG(H
n
,p)иестьтасамаямодель,котораявполне
адекватнавопросуонадежноститранспортнойсети.Насейразмыне
обязаныпредполагать,чтогородапопарносоединеныдорогами;мыможем
ссамогоначалазафиксироватьграфдорогH
n
иследитьзаизносомего
ребер.
2.4.Некоторыематематическиерезультатыонадежностисети
ПреждевсегосправедливаследующаятеоремаЭрдеша
—
Реньи.
Теорема1.РассмотриммодельG(n,p).Пустьp
=
clnn
n
.Еслиc
>
1,
топочтивсегдаслучайныйграфсвязен.Еслиc
<
1,топочтивсегда
случайныйграфнеявляетсясвязным.
Этотдовольнопростойсточкизрениядоказательствафактмыобосну
-
емвпараграфе2.5.Однакопривсейсвоейформальнойпростотетеорема1
несетвесьмасодержательнуюивкаком
-
тосмысленеожиданнуюинфор
-
мацию.Действительно,вернемсяквопросуонадежностисети.Пусть
числоnгородов,попарносоединенныхдорогами,растет.Тогда,разумеется,
величинаp
=
clnn
n
довольнобыстростремитсякнулю.Темнеменее,
теорема1утверждает,чтовероятностьсохранениясвязностиграфапри
уничтоженииегореберсвероятностьюq
=
1
−
pстремитсякединице.
Грубоговоря,еслигородов1000,томыможемпозволитьдорогамраз
-
рушатьсясвероятностью
≈
0,993,такчтоврезультатесвероятностью,
близкойкединице,перемещениемеждулюбымидвумягородамиоста
-
нетсявозможным.Поначалуэтокажетсяпротиворечащиминтуиции,но,
поздравомразмышлении,становитсяпонятно,вчемздесьсмысл.Дорог
унасC
2
n
=Θ
(n
2
),вероятностьизносадорогиравна1
−Θ
(lnn
/
n)(мы
пишемf
=Θ
(g)дляфункцийfиg,еслисуществуютконстантыc
1
,c
2
>
>
0,скоторымивыполненоc
1
g
f
c
2
g).Значит,ожидаемоеколичество
неизношенныхдорогимеетпорядокnlnn.Этогохватаетдлясохранения
связности.
Приопределеннойаккуратностиввыкладках,которыемычастично
проведемвпараграфе2.5,можнодоказать,например,такойфакт.
Теорема1
′
.РассмотриммодельG(n,p).Пустьp
=
clnn
n
.Еслиc
>
3,
топриn
>
100
P
n,p
(G)
1
−
1
n
.
Этотрезультатсовсемзамечателенсвоейконкретностью.Получа
-
ется,чтопритойжетысячегородовивероятностиизносадороги
1
−
3ln1000
1000
≈
0,98вероятностьсохранениясвязностинеменьше,чем
0,999!
А.М.Райгородский.Моделислучайныхграфовиихприменения307
Теорема1любопытнаещеитем,чтовнейнаблюдаетсярезкийска
-
чокот
«
почтивсегдасвязности
»
к
«
почтивсегданесвязности
»
.Функция
p(n)
=
lnn
n
служитсвоегородарубежом,преодолениекоторогоозначает
переходотненадежностикнадежности.Такойпереходпринятоназывать
фазовым,асоответствующуюфункциюp(n)
—
пороговой.
Следующаятеоремасодержитвсебеещеболееглубокуюинформацию
оприродесвязности
-
надежности.ОнабыладоказанасамимиЭрдешем
иРеньи(см.[1],[2],[3]).
Теорема2.РассмотриммодельG(n,p).Пустьp
=
c
n
.Еслиc
<
1,то
найдетсятакаяконстанта
=
(c),чтопочтивсегдаразмеркаж-
дойсвязнойкомпонентыслучайногографанепревосходит
lnn.
Еслижеc
>
1,тонайдетсятакаяконстанта
=
(c),чтопочти
всегдавслучайномграфеестьровнооднакомпонентаразмера
n.
Исновамыимеемфазовыйпереход
—
резкоеизменениесвойств
случайногографаприпреодолениинекоторогопорога.Вданномслучае
порогомслужитфункцияp
=
1
n
.Оказывается,чтоесливероятностьребра
вc
>
1раз
«
ниже
»
порога,товсесвязныекомпонентыграфа,скорее
всего,крошечные
—
имеющиелогарифмическийотобщегочиславершин
размер;еслижевероятностьребравc
>
1раз
«
выше
»
порога,то,скорее
всего,найдетсякомпонентасчисломвершинпорядкаn.Такаякомпонента
называетсягигантской.
Теорема2допускаетразличныеуточнения.Например,можноутвер
-
ждать,чтоприc
>
1,помимоединственнойгигантскойкомпоненты,вслу
-
чайномграфеничегосколь
-
нибудькрупногопочтиникогданевозникает:
всеостальныекомпонентысновалогарифмические.Можноещеаккурат
-
нееописыватьразмергигантскойкомпоненты.Вдействительности,верно
нетольконеравенство
n,ноиасимптотика
∼
n.АВ.Е.Степанов
доказал,что,опятьжеприp
=
c
n
,c
>
1,размергигантскойкомпоненты
асимптотическинормален(см.[4],[5],[6]).
Вцелом,изменениесвойствслучайногографаприизменениивероят
-
ностиребраpпринятотрактоватькакэволюциюграфа.Намкажется,что
несколькоправильнееговоритьосвоегородаисториимира.Сначала(при
p
≪
1
n
)имеетместо
«
феодализм
»
—
весьграфподеленнанесвязанные
междусобойлогарифмическиекусочки.Затем(приp
≫
1
n
)возникает
«
империя
»
—
гигантскаякомпонента.Наконец,приp
≫
lnn
n
империяуни
-
чтожает
«
окраины
»
идобиваетсяМировогогосподства
—
связности.
308Приложения
Втерминахнадежностисмыслтеоремы2такжеочевиден:можноеще
вlnnразуменьшитьвероятностьсохранностиотдельнойдороги,и,однако
же,еслиневсястрана,тозначительнаяеечастьокажетсяконсолиди
-
рованной,т.е.нелишеннойинфраструктуры
—
возможностисообщения
междулюбымидвумягородами.
Глубокийинтереспредставляет,конечно,устройствомира
«
внутри
»
фазовыхпереходов,т.е.приp
∼
1
n
иприp
∼
lnn
n
.Впервомслучаевсе
совсемсложно,имыотсылаемчитателяккнигам[7],[8],[9].Вовтором
случаеможносформулировать,например,следующийпонятныйрезультат.
Теорема3.Пустьp
=
lnn
+
c
+
o(1)
n
.Тогда
P
n,p
(Gсвязен)
→
e
−
e
−
c
,n
→∞
.
Вчастности,приp
=
lnn
n
вероятностьстремитсякe
−
1
.
Здесьужеречьнеидето
«
почтивсегдасвязности
»
или
«
почтивсегда
несвязности
»
.Здесьасимптотическаявероятностьсвязностиесть,ноона
лежитвстрогихпределахотнулядоединицы.
Все,очеммыговорилидосихпор,касалосьмоделиG(n,p).Есте
-
ственно,модельG(H
n
,p),будучиболееадекватнойреальности,является
иболеесложнойдляизучения.Главныйрезультатотносительноэтоймо
-
делипринадлежитГ.А.Маргулису(см.[11]).
Теорема4.Пусть
{
H
n
}
—
последовательностьграфов,реберная
связностькоторыхстремитсякбесконечностиприn
→∞
.Тогда
существуетпороговаяфункцияpдлясвойствасвязностислучай-
ногографавмоделиG(H
n
,p).Инымисловами,функцияpтакова,
чтодлялюбойфункцииp
1
c
1
p,гдеc
1
<
1,случайныйграфвмодели
G(H
n
,p
1
)почтивсегданесвязен,нодлялюбойфункцииp
2
c
2
p,где
c
2
>
1,случайныйграфвмоделиG(H
n
,p
2
)почтивсегдасвязен.Под
ребернойсвязностьюграфапонимаетсяминимальноеколичество
егоребер,удалениекоторыхвлечетпотерюсвязности.
Теорема4нетривиальна,иеедоказательство(атакжемассуссылокна
близкиерезультаты)можнонайтивкниге[8].Разумеется,поискпороговой
функции,существованиекоторойдоказываетсявтеореме4,
—
этовсякий
разсложнаязадача,повязаннаянаспецификуграфовизпоследователь
-
ности
{
H
n
}
.
Практическийсмыслтеоремы4банален:надостроитьдорогитак,
чтобысвязностьполучающегосяграфанеуклонноросла.Ксожалению,
вРоссииположение,какправило,противоположное.ДажевМосквеесть
многоулиц,перекрытиекоторыхозначаетфактическуюпотерюсвязно
-
сти.Например,таковыулицы,проходящиеподжелезнымидорогами:они
А.М.Райгородский.Моделислучайныхграфовиихприменения309
крайнередкиислужатединственнымилазейкамисоднойстороныполотна
надругую.
Вследующемпараграфемыдокажемтеорему1,авпараграфе2.6мы
обсудимосновныеидеидоказательстватеоремы2.Отметим,чтодопол
-
нительнуюинформациюоповедениислучайныхграфоввмоделиЭрде
-
ша
—
Реньиможнопочерпнутьизкниг[7],[8],[9]и[10].
2.5.Доказательствотеоремы1
Сперваобсудимслучайc
>
1.
ВведемслучайнуювеличинунапространствеG(n,p):
X
n
=
X
n
(G)
=
(
0,еслиGсвязен,
k,еслиуGровноkкомпонент.
Такимобразом,X
n
принимаетнеотрицательныецелыезначения,при
-
чемX
n
6=
1.Намнужнопоказать,чтоP
n,p
(X
n
=
0)
→
1приn
→∞
.Это
равносильноасимптотикеP
n,p
(X
n
1)
→
0.ПонеравенствуЧебышёва
P
n,p
(X
n
1)
MX
n
,инамостаетсяобосноватьстремлениекнулюма
-
тематическогоожидания.
ПредставимX
n
ввидесуммы
X
n
=
X
n,1
+
...
+
X
n,n
−
1
,
гдеX
n,k
=
X
n,k
(G)
—
числоk
-
вершинныхкомпонентграфаG.Занумеруем
всеk
-
элементныеподмножествамножествавершинV
n
случайногографа
внекотором(произвольном)порядке:K
1
,...,K
C
k
n
.Тогда,всвоюочередь,
X
n,k
=
X
n,k,1
+
...
+
X
n,k,C
k
n
,
кольскоро
X
n,k,i
=
X
n,k,i
(G)
=
(
1,еслиK
i
образуеткомпонентувG,
0,иначе.
Витоге
MX
n
=
n
−
1
X
k
=
1
C
k
n
X
i
=
1
MX
n,k,i
.
Очевидно,
MX
n,k,i
=
P
n,p
(K
i
образуеткомпонентувG)
P
n,p
(изK
i
вV
n
\
K
i
нетребервG).
Получаяпоследнеенеравенство,мыпростопренебреглиусловиемсвязно
-
ститойчастиграфаG,которая
«
сидит
»
намножествевершинK
i
(такую
310Приложения
частьпринятоназыватьиндуцированнымподграфомиобозначатьG
|
K
i
).
Далее,
P
n,p
(изK
i
вV
\
K
i
нетребервG)
=
(1
−
p)
k(n
−
k)
,
и,значит,
MX
n
n
−
1
X
k
=
1
C
k
n
X
i
=
1
(1
−
p)
k(n
−
k)
=
n
−
1
X
k
=
1
C
k
n
(1
−
p)
k(n
−
k)
.
Последняясуммасимметричнавтомсмысле,чтоееслагаемыеприk
иn
−
kравны.Рассмотримk
=
1:
n(1
−
p)
n
−
1
ne
−
p(n
−
1)
=
ne
−
c(lnn)(n
−
1)
n
=
n
1
n
c(1
+
o(1))
=
o(1),
посколькуc
>
1.
Оставшаясячастьрассуждениясостоитвдоказательстветого,что
слагаемыесk
>
1иk
<
n
−
1пренебрежимомалыпосравнениюспервым
слагаемым.Соответствующуювыкладкумыпропустим.Еслижеповерить
веесправедливость,тополучится,чтовсясуммадоминируетсяпервым
ипоследнимслагаемыми,асталобыть,ионастремитсякнулю.
Теорема1дляслучаяc
>
1доказана.
Теперьрассмотримслучайc
<
1.ОбозначимчерезX
n
количествоизо
-
лированныхвершинвслучайномграфе.Запишем
X
n
=
X
n,1
+
...
+
X
n,n
,
где
X
n,k
=
X
n,k
(G)
=
(
1,есливершинаk
∈
V
n
изолированнаявG,
0,иначе.
Тогда
MX
n
=
MX
n,1
+
...
+
MX
n,n
.
Всвоюочередь,
MX
n,k
=
P
n,p
(kизолированнаявG)
=
(1
−
p)
n
−
1
.
Такимобразом,
MX
n
=
n(1
−
p)
n
−
1
=
n(1
−
p)
n
(1
+
o(1))
=
(1
+
o(1))ne
−
clnn
=
(1
+
o(1))n
1
−
c
.
Заметим,чтоввидунеравенстваc
<
1выполненоMX
n
→∞
.
А.М.Райгородский.Моделислучайныхграфовиихприменения311
ПосчитаемдисперсиюслучайнойвеличиныX
n
:
DX
n
=
MX
2
n
−
(MX
n
)
2
=
M(X
n,1
+
...
+
X
n,n
)
2
−
(MX
n
)
2
=
=
MX
2
n,1
+
...
+
MX
2
n,n
+
X
i
6=
j
MX
n,i
X
n,j
−
(MX
n
)
2
=
=
MX
n,1
+
...
+
MX
n,n
+
X
i
6=
j
MX
n,i
X
n,j
−
(MX
n
)
2
=
=
MX
n
+
X
i
6=
j
MX
n,i
X
n,j
−
(MX
n
)
2
.
Далее,
MX
n,i
X
n,j
=
P
n,p
(iиjизолированывG)
=
(1
−
p)
2n
−
1
=
(1
+
o(1))(1
−
p)
2n
,
т.е.
X
i
6=
j
MX
n,i
X
n,j
=
n(n
−
1)(1
+
o(1))(1
−
p)
2n
=
(1
+
o(1))n
2
−
2c
=
(1
+
o(1))(MX
n
)
2
.
Витоге
DX
n
=
MX
n
+
(1
+
o(1))(MX
n
)
2
−
(MX
n
)
2
=
o
(MX
n
)
2
.
ПонеравенствуЧебышёва
P
n,p
(G)
P
n,p
(X
n
=
0)
=
P
n,p
(X
n
0)
=
P
n,p
(
−
X
n
0)
=
=
P
n,p
(MX
n
−
X
n
MX
n
)
DX
n
(MX
n
)
2
=
o(1),
ивтораячастьтеоремыдоказана.
2.6.Идеидоказательстватеоремы2
Метод,окотороммыбудемздесьговорить,восходиткР.Карпу(см.
[12]),ивтакомвидеонописанвкниге[9].Мылишьперечислимниже
основныешагирассуждения.
2.6.1.Простейшийветвящийсяпроцесс.ПустьZ
1
,...,Z
t
,...
—
независимыепуассоновскиевеличинысоднимитемжесредним
.Поло
-
жим
Y
0
=
1,Y
t
=
Y
t
−
1
+
Z
t
−
1.
Представлятьсебеописанныйтолькочтопроцессможнотак.Вначаль
-
ныймоментвремениестьодначастица.ЗатемонаприноситZ
1
потомков
иумирает.Заметим,чтоонаможетумереть,даженепринесяпотомства,
таккаквеличинаZ
1
равнанулюсположительнойвероятностью.Насле
-
дующемшагевсеповторяется:какая
-
точастица(порядокролинеиграет)
порождаетZ
2
новыхчастиц,асамагибнет.Итакдалее.Популяцияможет
312Приложения
выродиться,аможетижитьвечно.Хорошоизвестно,чтоимеютместо
следующиерезультаты.
Теорема5.Пусть
1.Тогдасвероятностью1процессY
t
вы-
рождается,т.е.P(
∃
t:Y
t
0)
=
1.
Теорема6.Пусть
>
1.Пусть
∈
(0,1)
—
единственноерешение
уравнения1
−
=
e
−
.ТогдапроцессY
t
вырождаетсяcвероятно-
стью1
−
,т.е.P(
∃
t:Y
t
0)
=
1
−
.
Доказательстватеорем5и6можнонайти,например,в[9].Впрочем,
этостандартныефактытеорииветвящихсяпроцессов(см.[13]).Забегая
вперед,скажем,чтовеличина
втеореме6иодноименнаявеличинавтео
-
реме2сутьодноитоже.ВероятностьвырожденияпроцессаY
t
иразмер
гигантскойкомпонентынапрямуюсвязаны.
2.6.2.Ветвящийсяпроцесснаслучайномграфе.Пустьданграф
G
=
(V,E):конкретныйграф,неслучайный.Зафиксируемкакую
-
нибудь
еговершинуv
1
∈
V.Назовемее
«
живой
»
,авсеостальныевершины
—
«
нейтральными
»
.Выберемсрединейтральныхвершинвсехсоседейвер
-
шиныv
1
.Послеэтогообъявимвершинуv
1
«
мертвой
»
,еесоседей
—
живыми,авсеостальныевершины
—
нейтральными.Сновазафиксируем
какую
-
нибудьживуювершинуv
2
.Выберемвсехеесоседейсрединей-
тральных.Вершинуv
2
отправимвцарствомертвых,авживыхостанутся
все,ктобылжив,кромеv
2
,иноворожденные
«
потомки
»
вершиныv
2
.
Продолжаяэтответвящийсяпроцесс,мывконцеконцовполучимклад
-
бищевершининиоднойживойвершины.Кладбищебудетваккурат
компонентой,содержащейv
1
.
ОбозначимчисложивыхвершинвмоментвремениtчерезY
t
,чис
-
лонейтральныхвершин
—
черезN
t
,ачислопотомковочереднойживой
вершины,отправляющейсявпоследнийпуть,
—
черезZ
t
.Тогда,очевидно,
Y
0
=
1,Y
t
=
Y
t
−
1
+
Z
t
−
1.
Разумеется,всевведенныевеличинызависятотграфаGиотпоследова
-
тельностивыбираемыхвершинv
1
,...ЕслиграфGпосчитатьслучайным,
топрилюбомвыборевершинv
1
,...получатсяслучайныевеличиныY
t
,
N
t
,Z
t
напространствеG(n,p).Насамомделе,ясно,конечно,чтораспре
-
деленияэтихвеличиннезависятотv
1
,...;поэтомумынигдезависимость
отвершининеуказываем.
Сразупонятно,чтоZ
t
неявляетсяпуассоновской.Темнеменее,она
похожанапуассоновскую.Деловтом,чтоонаимеетбиномиальноерас
-
пределениес
«
числомиспытаний
»
N
t
ивероятностью
«
успеха
»
p.Правда,
числоиспытанийсамослучайно.Посчастью,этонепроблема.Удается
А.М.Райгородский.Моделислучайныхграфовиихприменения313
доказать,чтоY
t
имеетвид
Y
t
=
t
+
1
−
t,
t
∼
Binom(n
−
1,1
−
(1
−
p)
t
).
Подробностиможнонайтив[9],имыихздесьнекасаемся.
Какизвестно,биномиальноераспределениесходитсякпуассоновскому,
кольскоровероятностьуспехаобратнопропорциональначислуиспыта
-
ний.Нечтоподобноеимеетместоиунас(p
=
c
/
n),ировнонаэтоммы
сыграемвитоге.
2.6.3.Случайc
<
1.Положимt
0
=
[
lnn],где
=
(c)
—
константа,
которуюмыподберемпозднее.Намхочетсядоказать,чтосбольшой
вероятностьюкаждаяизкомпонентслучайногографаимеетразмерне
большеt
0
.Норазмеркомпоненты
—
этомоментвырожденияпроцесса
Y
t
наслучайномграфе.Значит,интересующеенасутверждениеможно
записатьвследующемвиде:
P
n,p
(
∃
v
1
:Y
t
0
>
0)
→
0,n
→∞
.
Поскольку
P
n,p
(
∃
v
1
:Y
t
0
>
0)
nP
n,p
(Y
t
0
>
0),
достаточнонайтитакое
,прикотором
P
n,p
(Y
t
0
>
0)
=
o
1
n
.
Дальнейшиевыкладкибудутслегканеаккуратными,ноприжелании
ихможносделатьбезукоризненнострогими.Мыжехотиммаксимально
прояснитьосновнуюсутьподхода.Итак,
P
n,p
(Y
t
0
>
0)
=
P
n,p
(
t
0
t
0
)
≈
P
n,p
(Binom(n,1
−
(1
−
p)
t
0
)
t
0
)
≈
(сучетомасимптотики1
−
(1
−
p)
t
0
∼
pt
0
)
≈
P
n,p
(Binom(n,pt
0
)
t
0
)
≈
(сучетомцентральнойпредельнойтеоремы)
≈
∞
t
0
−
npt
0
√
npt
0
(1
−
pt
0
)
1
√
2
e
−
x
2
2
dx.
Посколькуc
<
1,нижнийпределинтегрированияимеетпорядок
√
t
0
.Стало
быть,весьинтегралнепревосходитвеличиныe
−
t
0
.Выберем
таким,
чтобыe
−
t
0
оказалосьменьше,чемe
−
2lnn
=
1
n
2
,ивслучаеc
<
1теорема
доказана.
314Приложения
2.6.4.Случайc
>
1.Этотслучайгораздосложнеепредыдущего.
Здесьветвящийсяпроцесснаграфенужно
«
запускать
»
неодинраз,
амногократно.Толькотакудаетсядоказать,чтопочтинавернякахотябы
водномзапускевозникнетгигантскаякомпонента.Подробностиможно
найтив[9],мыжелишьпоясним,откудавтекущейситуациипоявляется
константа
изформулировкитеоремыипочемуонасовпадаетсодно
-
именнойконстантойизтеоремы6.
Грубоговоря,идеяследующая.Намхочетсядоказать,чтоестьги
-
гантскаякомпонента.Тогда,какследствие,намнужно,чтобыветвящийся
процесснаграфеневырождалсядажеприt
≈
n.Инымисловами,необ
-
ходимо,чтобы
P
n,p
(Y
t
0)
→
0,t
≈
n,n
→∞
.
Унасp
=
c
n
.Значит,приt
∼
nвыполнено
1
−
(1
−
p)
t
∼
1
−
e
−
pt
∼
1
−
e
−
c
.
Применимцентральнуюпредельнуютеоремук
P
n,p
(Y
t
0)
≈
P
n,p
(Binom(n,1
−
e
−
c
)
n).
Интегрированиепойдетотминусбесконечностидо
n
−
n(1
−
e
−
c
)
p
n(1
−
e
−
c
)e
−
c
.
Если
<
1
−
e
−
c
,томыполучимискомоестремлениевероятностикнулю.
Если
>
1
−
e
−
c
,товероятность,напротив,будетстремитьсякединице.
Такимобразом,критическоезначение
,вплотьдокоторогоестьименно
стремлениекнулю,
—
эторешениеуравнения
=
1
−
e
−
c
или,чторав
-
носильно,1
−
=
e
−
c
.Аэтоиестьуравнениеизтеоремы6,кольскоро
мызаменяемнаc.
3.МоделиБарабаши
—
Альберт
Вэтомразделемыпоговоримосамыхсовременныхмоделяхслучайных
графов,которыепризваныописыватьростразличныхсетей
—
социаль
-
ных,биологических,транспортных.Новпервуюочередьречьпойдет
обинтернете.В90
-
егодыХХвека,когдаинтернеттолькозарождался,
исследователиужезадалисьвопросом,какимзаконамподчиняетсярост
интернетаикакованаиболееадекватнаямодельдляописаниясвойствэтой
сети.ОднимиизпервыхздесьбылиА.
-
Л.БарабашииР.Альберт.Они
нашлирядважныхэмпирическихзакономерностейвповеденииинтерне
-
таинаихосновепридумалимодель,которуювпоследствиипо
-
разному
формализовывалимногиеавторы.Соответственно,мыпостроимнаше
А.М.Райгородский.Моделислучайныхграфовиихприменения315
изложениеследующимобразом.Впервомпараграфемырасскажеморе
-
зультатахБарабаши
—
Альберт.Вовторомпараграфемыопишеммодель
Б.БоллобашаиО.Риордана,котораявесьманеплохоложитсянастати
-
стикиБарабаши
—
Альберт.Втретьем,четвертомипятомпараграфахмы
обсудимвозможныеуточнениямоделиБоллобаша
—
Риордана.
3.1.НаблюденияБарабаши
—
Альберт
Всвоихработах[14],[15],[16]БарабашииАльберт,атакже
Х.Джеонгописалитестатистикиинтернета,которыелегливосновунауки
оростеэтойсети
—
науки,имеющейглубокиеприложениякаквсоб
-
ственноинтернетскойпроблематике,такивмногочисленныхблизких
дисциплинах.Вдействительности,большинствореальныхсетей(социаль
-
ные,биологические,транспортныеипр.)имеютпохожую
«
топологию
»
.
Итак,спервадоговоримсяотом,чтомыпонимаемподсетьюинтернет.
Этотакназываемыйвеб-граф,вершиныкоторогосутькакие
-
либокон
-
кретныеструктурныеединицывинтернете:речьможетидтиостраницах,
сайтах,хостах,владельцахипр.Дляопределенностибудемсчитать,что
вершинамивеб
-
графаслужатименносайты.Ребрамижемыбудемсо
-
единятьтевершины,междукоторымиимеютсяссылки.Приэтомразумно
проводитьстолькоребермеждудвумявершинами,сколькоестьссылок
междусоответствующимисайтами.Болеетого,ребраестественносчитать
направленными.Такимобразом,веб
-
графориентированионможетиметь
кратныеребра,петлиидажекратныепетли(ссылкивполнемогутид
-
тисоднойстраницыданногосайтанадругуюегостраницу).Этотакой
«
псевдомультиорграф
»
.Сразупонятно,чтодляподобного
«
зверя
»
модель
Эрдеша
—
Реньиврядлиподходит.
Теперьмыготовыперечислитьсамыеосновныемоментыисследования
Барабаши
—
Альберт.Посуществу,этихмоментоввсеготри.Во
-
первых,
веб
-
граф
—
этовесьмаразреженныйграф.Унегонаtвершинахпримерно
ktребер,гдеk
1
—
некотораяконстанта.Длясравнения,уполного
графанаtвершинахC
2
t
=Θ
(t
2
)ребер.Однако
—
иэтово
-
вторых,
—
диаметрвеб
-
графаисключительноскромен.В1999годуонимелвеличину
(см.[16])5
–
7.Этохорошовсемизвестноесвойстволюбойсоциальнойсе
-
ти,котороепринятовобыденнойречихарактеризоватьвыражением
«
мир
тесен
»
.Например,говорятотом,чтолюбыедвачеловекавмире
«
знакомы
через5
–
6рукопожатий
»
.Точнотакжеисайты:
«
кликая
»
поссылкам,
можнослюбогосайтаналюбойдругойперейтиза5
–
7нажатийклавиши
компьютерноймыши.Конечно,тутестьважнаяоговорка.Некоторыеедва
появившиесясайтымогутнебытьсвязанысвнешнимпоотношениюкним
миром.Несколькоправильнеесказать,чтоввеб
-
графеестьгигантская
компонента,иужееедиаметрневелик.Такимобразом,веб
-
графочень
316Приложения
специфичен:будучиразреженным,он,темнеменее,визвестномсмысле
тесен.
В
-
третьих,увеб
-
графавесьмахарактерноераспределениестепеней
вершин.Эмпирическаявероятностьтого,чтовершинавеб
-
графаимеет
степеньd,оцениваетсякакc
/
d
,где
≈
2,1,аc
—
нормирующиймно
-
житель,вычисляемыйизусловия
«
суммавероятностейравна1
»
.Этот
любопытныйфактроднитинтернетсоченьмногимиреальнымисетями
—
биологическими,социальными,транспортными.Всеониподчиняютсясте
-
пенномузакону,толькоукаждойизнихсвойпоказатель
.
Ввидуперечисленныхнаблюдений,неостаетсяникакихсомненийвтом,
чтомодельЭрдеша
—
Реньинеприменимадляописанияростаинтернета
иподобныхсетей.Еслиподборомвероятностиpещеможнодобиться
разреженностиитесноты(хотяинестемипараметрами),тостепенной
законсовсемужнеимеетотношенияксхемеБернулли,врамкахкоторой
появляютсяребраобычногослучайногографа.ВмоделиG(n,p)степень
каждойвершиныслучайногографабиномиальнаспараметрамиn
−
1иp,
ипритехp,которыемало
-
мальскигарантируютразреженность(т.е.при
p
=Θ
(1
/
n)),указанноебиномиальноераспределениеаппроксимируется
пуассоновским,авовсенестепенным.
СамиБарабашииАльбертпредложилиоченьразумныйвзгляднапро
-
цессформированияинтернета.Давайтесчитать,сказалиони,чтовкаждый
моментвременипоявляетсяновыйсайт,иэтотсайтставитфиксированное
количествоссылокнасвоихпредшественников.Накогоонпредпочтет
сослаться?Наверное,натех,ктоитакужепопулярен.Можнодопустить,
чтовероятность,скоторойновыйсайтпоставитссылкунаодинизпрежних
сайтов,пропорциональначислуужеимевшихсянатотсайтссылок.
Моделислучайныхграфов,основанныенаописаннойидее,называются
моделямипредпочтительногоприсоединения.ВсвоихработахБара
-
башииАльбертникакнеконкретизировали,какуюименноизэтихмоделей
онипредлагаютрассматривать.Аэтимоделиисключительноразнородны
посвоимсвойствам.Ведьможноставитьссылкинезависимодруготдруга,
аможноещеизависимостимеждуразнымиссылкамисодногосайта
учитывать.Витогеудаетсядоказатьдажетакойзабавныйфакт(см.[17]).
Теорема7.Пустьf(n),n
2,
—
произвольнаяцелочисленнаяфунк-
ция,такая,чтоf(2)
=
0,f(n)
f(n
+
1)
f(n)
+
1длявсехn
2
иf(n)
→∞
приn
→∞
.ТогдасуществуеттакаямодельтипаБара-
баши
—
Альберт,чтовнейсвероятностью,стремящейсякединице
приn
→∞
,случайныйграфсодержитвточностиf(n)треугольни-
ков.
А.М.Райгородский.Моделислучайныхграфовиихприменения317
ОднуизнаиболееправильныхспецификациймоделиБарабаши
—
Аль
-
бертпредложиливначаледвухтысячныхгодовБ.БоллобашиО.Риордан.
Вследующемпараграфемыееобсудим.
3.2.МодельБоллобаша
—
Риордана
Наиболееполноэтамодельописанавкниге[8]иобзоре[17].Также
имеетсямалодоступнаякнига[18].Мыпредставимздесьдвеосновныхи,
посути,совпадающихмодификацииэтоймодели.Воднойдаетсядинами
-
ческое,авдругойстатическоеописаниеслучайности.Интуитивноболее
понятнадинамическаямодификация,снееиначнем.
3.2.1.Динамическаямодификация.Спервапостроимпоследова
-
тельность(случайных)графов
{
G
n
1
}
,вкоторойуграфасномеромnчисло
вершиниреберравноn.Затемсделаемизнеепоследовательность
{
G
n
k
}
,
вкоторойуграфасномеромnчисловершинравноn,ачислореберравно
kn,k
∈N
.
Итак,пустьG
1
1
=
(
{
1
}
,
{
(1,1)
}
),т.е.вначальныймоментвремениесть
однавершинаиоднапетля.ПустьтеперьграфG
n
−
1
1
ужепостроен.Унего
вершиныобразуютмножество
{
1,...,n
−
1
}
,ареберунеготожеn
−
1
штука.Добавимвершинуnиребро(n,i),укоторогоi
∈{
1,...,n
}
.Ребро
(n,n)будетпоявлятьсясвероятностью
1
2n
−
1
;ребро(n,i)возникнетсве
-
роятностью
degi
2n
−
1
,гдеdegi
—
степеньвершиныiвграфеG
n
−
1
1
.Очевидно,
чтораспределениевероятностейзаданокорректно,поскольку
n
−
1
X
i
=
1
degi
2n
−
1
+
1
2n
−
1
=
2n
−
2
2n
−
1
+
1
2n
−
1
=
1.
СлучайныйграфG
n
1
построен,ионудовлетворяетпринципупредпочти
-
тельногоприсоединения.
ОсталосьперейтикG
n
k
.БеремG
kn
1
.Этографсknвершинамииkn
ребрами.Делиммножествоеговершиннапоследовательныекускиразме
-
раk:
{
1,...,k
}
,
{
k
+
1,...,2k
}
,...,
{
k(n
−
1)
+
1,...,kn
}
.
Объявляемкаждыйкусок
«
вершиной
»
,аребрасохраняем,т.е.еслибыли
ребравнутрикуска,тобудуткратныепетли,абылиребрамеждудвумя
различнымикусками
—
будуткратныеребра.Внешне
—
вполнесебеинтер
-
нет,какмыегоипредставляли.Вершинсталоn,аребер
—
по
-
прежнему
kn.Цельреализована.
3.2.2.Статическаямодификация,илиLCD
-
модель.Введемтакой
объект,которыйназываетсялинейнойхордовойдиаграммой.Вообще
-
то,онвозниквтопологииитеорииузлов(см.,например,[19]),ноего
318Приложения
комбинаторикаоказываетсянапрямуюсвязанасформированиемвеб
-
гра
-
фа.
Итак,зафиксируемнаосиабсцисснаплоскости2nточек:1,2,3,...
...,2n.Разобьемэтиточкинапары,иэлементыкаждойпарысоединим
дугой,лежащейвверхнейполуплоскости.Полученныйобъектназовем
линейнойхордовойдиаграммой(linearizedchorddiagramили,короче,
LCDпо
-
английски).Дугивнеммогутпересекаться,лежатьдругпод
дружкой,нонемогутиметьобщихвершин.КоличестворазличныхLCD
легкосчитается.Оноравно
l
n
=
(2n)!
2
n
n!
.
ПокаждойLCDпостроимграфсnвершинамииnребрами.Действуем
так.Идемслеванаправопоосиабсцисс,поканевстретимвпервыеправый
конецкакой
-
либодуги.Пустьэтотконецимеетномерi
1
.Объявляем
набор
{
1,...,i
1
}
первойвершинойбудущегографа.Сноваидемотi
1
+
1
направодопервогоправогоконцаi
2
какой
-
либодуги.Объявляемвторой
вершинойграфанабор
{
i
1
+
1,...,i
2
}
.Итакдалее.Посколькуправых
концовудугвданнойдиаграммеnштук,получаемвсегоnвершин.Аребра
порождаемдугами.Инымисловами,двевершинысоединяемребром,коль
скоромеждусоответствующиминаборамиестьдуга.Ребраориентируем
справаналево.Аналогичновозникаютпетли.Дугn,иреберn.
ТеперьсчитаемLCDслучайной,т.е.полагаемвероятностькаждой
диаграммыравной1
/
l
n
.Возникаютслучайныеграфы.Можнопоказать,
чтотакиеграфыпосвоимвероятностнымхарактеристикампрактически
неотличимыотграфовG
n
1
.
Графысnвершинамииknребрамиполучаемтемжеспособом,что
ивпредыдущемпункте.
3.2.3.Некоторыерезультаты.ЗамечательнамодельБоллоба
-
ша
—
Риордананетолькотем,чтосеепомощьюнаводитсяпорядок
в
«
каше
»
,которую
«
заварили
»
БарабашииАльберт,ноещеитем,
чтоонаполностьюадекватнаэмпирическимнаблюдениям.Преждевсего
справедлива
Теорема8.Длялюбогоk
2илюбого
>
0
P
(1
−
)
lnn
lnlnn
diamG
n
k
(1
+
)
lnn
lnlnn
→
1,n
→∞
.
Напервыйвзгляд,утверждениекажетсянепонятным.Ну,хорошо:диа
-
метрплотносконцентрирован(повероятности)околовеличиныlnn
/
lnlnn.
Аунасведькакие
-
то5
–
7были?Такничегостранного.Вершинвинтер
-
А.М.Райгородский.Моделислучайныхграфовиихприменения319
нетеобразца1999годаоколо10
7
.Значит,
ln10
7
lnln10
7
=
7ln10
ln7
+
lnln10
≈
6.
Фантастическоепопадание.Отметим,чтопринедавнейпроверкесдругими
цифрамиэмпирикасноваподтвердилась.
Теорема8доказанавработе[20]авторамимодели.Авработе[21]
былавнесенаясностьиввопросораспределениистепенейвершин.
Теорема9.Длялюбогоk
1илюбогоd
n
1
/
15
M
|{
i
=
1,...,n:deg
G
n
k
i
=
d
}|
n
∼
2k(k
+
1)
(d
+
k
+
1)(d
+
k
+
2)(d
+
k
+
3)
.(2)
Посколькуk
—
константа,выражениевправойчасти(2)имеетвид
const
/
d
3
.Даэтожевточностистепеннойзакон!Правда,вформулировке
теоремынаписаноматематическоеожидание,аневероятность,ноодноиз
другогополучаетсязасчетмартингальныхнеравенствисоответствующих
теоремоплотнойконцентрациимерыоколосреднего(см.[21]).
Утеоремы9естьвсежедванеприятныхмомента.Первыйсостоит
втом,чтостепеньdвстепенномзаконе,которыйвнейустанавливается,
равнане2,1,а3.Второй
—
этоограничениеd
n
1
/
15
,котороеставиткрест
напрактическойприменимоститеоремы.Дажеприn
≈
10
12
,чеговприроде
(пока)небывает,мыимеемлишьd
10
4
/
5
,иэтонелепо.
ПоследнийнедостатокнедавноустранилЕ.А.Гречников
—
исследо
-
ватель
-
разработчиквЯндексе,которыйполучилболееточныйрезультат
практическибезограниченийнаd(см.[22]).
Первымженедостаткомзанималисьмногои,вчастности,предлагали
различныеальтернативныемодели.Двеизтакихмоделеймыобсудим
впараграфах3.3и3.4.Нопреждескажемещенесколькословосвойствах
LCD
-
модели.
ПустьH
—
фиксированныйграф.Обозначимчерез
(H,G
n
k
)случайную
величину,равнуюколичествуподграфовграфаG
n
k
,изоморфныхграфуH.
Какраспределенаэтавеличина?Изучалиеематематическоеожидание
вразныхспециальныхслучаях.Например,вработе[17]приводитсягро
-
моздкаяобщаяформулаипараеесимпатичныхследствий,которыемы
выпишемиздесь.
Теорема10.Пустьk
2.ПустьтакжеK
3
—
полныйграфнатрех
вершинах.Тогда
M(
(K
3
,G
n
k
))
=
(1
+
o(1))
k
(k
−
1)
(k
+
1)
48
(lnn)
3
приn
→∞
.
320Приложения
Теорема11.Пустьфиксированыk
2иl
3.ПустьтакжеC
l
—
циклнаlвершинах.Тогда
M(
(C
l
,G
n
k
))
=
(1
+
o(1))
c
k,l
(lnn)
l
приn
→∞
,гдеc
k,l
—
этоположительнаяконстанта.Болеетого,
приk
→∞
имеемc
k,l
=Θ
(k
l
).
СтудентыМФТИА.РябченкоиЕ.Самосватнедавно(внесколько
иной,нооченьблизкоймодели)установилиследующийобщийфакт.
Теорема12.ПустьзаданграфH,степенивершинкоторогорав-
ныd
1
,...,d
s
.Обозначимчерез
(d
i
=
m)числовершинвH,степень
каждойизкоторыхравнаm.Тогда
M(
(H,G
n
k
))
=Θ
n
(d
i
=
0)
(
√
n)
(d
i
=
1)
(lnn)
(d
i
=
2)
.
Зависимостьотkзанесенавконстанту
Θ
.
Надополагать,чтонечтоподобноебылоизвестноиавторамста
-
тьи[17],номыничегопохожеговлитературеневстречали.Атакаязапись
результатаоченьудобна.Скажем,втеореме10речьидетпроK
3
.Ясно,
чтодляK
3
выполнено
(d
i
=
0)
=
(d
i
=
1)
=
0,
(d
i
=
2)
=
3.
Потеореме12
M(
(K
3
,G
n
k
))
=Θ
((lnn)
3
),
иэтопрекрасносогласуетсятеоремой10.Аналогичноможноразобраться
исциклами(теорема11).АесливзятьK
4
—
полныйграфначетырех
вершинах,
—
тотеорема12скажет,чтосредняяеговстречаемостьввеб
-
графепостоянна.Инымисловами,
«
тетраэдров
»
ввеб
-
графахпочтине
бывает.
Отметим,чтовреальномвебеслучаютсянетолькотетраэдры,но
икликикудабольшеймощности.Этосвязаносдеятельностьюспаме
-
ров,которыеискусственнорасставляютссылки,желаяповыситьрейтинги
сайтов,заплатившихзараскрутку.СпамвмоделиБоллобаша
—
Риордана
неучтен,иэтотожеминус.
Последнийвэтомпунктелюбопытныйсюжетсвязансраспределением
непервых,атакназываемыхвторыхстепенейвершинслучайноговеб
-
графа.Речьидетовеличине
d
2
(t)
=|{
(i,j):i
6=
t,j
6=
t,(i,t)
∈
G
n
1
,(i,j)
∈
G
n
1
}|
.
ЭтавеличинадляданнойвершиныtграфаG
n
1
равначислуребер,выхо
-
дящихизвершин,которыеявляютсясоседямивершиныt,иневедущих
вt.ГрафG
n
k
сk
2устроенсложнееивэтомконтекстепоканерассмат
-
ривался.НедавноЛ.А.ОстроумоваприучастииГречниковаустановила
следующийрезультат(см.[23]).
А.М.Райгородский.Моделислучайныхграфовиихприменения321
Теорема13.Длялюбогоd
>
1выполнено
M
|{
t
∈
G
n
1
:d
2
(t)
=
d
}|
n
=
4
d
2
1
+
O
ln
2
d
d
+
O
d
2
n
.
Инымисловами,приполномотсутствиикаких
-
либоограничениймы
имеемстепеннойзаконидлявторыхстепеней.
3.3.МодельБакли
—
Остгус
Простейшаяидеяотом,какможно,слегкамодифицировавмодель
Боллобаша
—
Риордана,получитьотличныйоттройкипоказательвстепен
-
номзаконераспределениястепенейвершин,пришлавголовупрактически
одновременносразудвумнезависимымгруппамисследователей,которые
встатьях[24],[25]предложилиследующуюконструкцию.Зафиксируем
положительноевещественноечислоa.Спервапостроимпоследователь
-
ностьслучайныхграфов
{
H
n
1,a
}
.ГрафH
1
1,a
совпадаетсграфомG
1
1
из
пункта3.2.1.УграфаH
n
−
1
1,a
вершиныобразуютмножество
{
1,...,n
−
1
}
,
ареберунегоn
−
1штука.Добавляемвершинуnиприсоединяемребро
(n,i),дабыполучитьграфH
n
1,a
.Ребро(n,n)появляетсясвероятностью
a
(a
+
1)n
−
1
,аребро(n,i)
—
свероятностью
(degi)
−
1
+
a
(a
+
1)n
−
1
.ГрафH
n
k,a
получаемизграфаH
kn
1,a
стандартнойсклейкой(см.п.3.2.1).
Ясно,чтоприa
=
1мывозвращаемсякмоделиБоллобаша
—
Риорда
-
на.Вообще,числоaинтерпретируюткак
«
начальнуюпритягательность
»
каждойвершины.Самиавторымоделинедоказалиниодногострогого
утвержденияотносительнотехилииныхеехарактеристик.ЗатоП.Бакли
иД.Остгусобосновалив[26]следующуюважнуютеорему(иименно
поэтомумодельноситьтеперьимяБакли
—
Остгус).
Теорема14.Длялюбогоk
1,любогоцелогоa
1илюбого
d
n
1
/
100(a
+
1)
M
|{
i
=
1,...,n:deg
H
n
k,a
i
=
d
}|
n
=Θ
(d
−
2
−
a
).
Насамомделе,авторытеоремы14писалидажеасимптотикуматема
-
тическогоожидания.Однакомынеприводимее,таккакпривсейсвоей
важностирезультатневполнеудовлетворителен.Деловтом,чтовнемa
целое.Инымисловами,мынеможемподставитьвместоaвеличину0,1,
желаяполучитьвитогеправильныйстепеннойзакон(споказателем2,1).
Крометого,ограничениеd
n
1
/
100(a
+
1)
ещеужаснееограниченияd
n
1
/
15
изтеоремы9.
ОбепроблемынедавноустранилГречников(см.[27]).
322Приложения
Теорема15.Длялюбогоk
1,любогоa
>
0илюбогоd
k
M
|{
i
=
1,...,n:deg
H
n
k,a
i
=
d
}|
n
∼
(a
+
1)
Γ
(ka
+
a
+
1)
Γ
(ka)
d
−
2
−
a
.
Такимобразом,модельБакли
—
Остгусивпрямьадекватнеемодели
Боллобаша
—
Риордана.
3.4.Моделькопирования
Здесьмыопишемещеоднуоченьинтереснуюмодель,котораятакже
призва