close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Лекции ОВТАказ

код для вставкиСкачать
1. Сызықты кеңістіктер
Векторлық және тензорлық анализ кеңістікпен уақытқа
қатысты істелінетін
физикалық есептерді
шығару үшін
қолданылатын математикалық құрал. Векторлық және тензорлық
анализінің басты ұғымы
кеңістіктің математикалық моделі
болады.
1.Бос емес x, y,z.... жиынына сызықтық немесе векторлық
кеңістік деп аталады,егер
ол мына аксиомаларды
қанағаттандырса:
І. Қосу аксиома – кез келген L жиынына жататын х,у
элементтері үшін z  L 3ші элементі бір мәнді анықталған , ол х+у
деп белгіленетін және мынандай ақиқат болатындай.: 1. х+у=y+xкоммутативтік қасиет
2. x+(y+z)=(x+y)+z ассоциативтік қасиеті
3. L жиынында бос элемент бар және кез келген
x,
Lx
x




,
х
,х

х

4. кез келген L жиынын х элементіне x
Болатындай қарама – қарсы элементі болады.
ІІ. Санға көбейту аксиомасы кез келген альфа және x  L үшін


x
x  L элементі анықталады және де 1. 
1. 1*х=x
x







2. 









3. 
Сызықтық кеңістіктер жиыны ішінен эвклидтік кеңістіктер Ежиынтығы қосымшасына ең үлкен мән анықталған.
2. Сызықты кеңістіктер эвклидтік деп аталады , егер
скалярлық көбейтіндісі берілсе.
3. Екі аргументтің х,у  L нақты сандық функциясы
(х,у)  R скалярлық көбейтіндісі деп аталады, егер мына теңдіктер
орындалса:
1. (х,у)=(y,x)
2. (x1+x2y)=(x1 y)+(x2 y)
3. (  x,y)=  (x,y)
4. (x,x)  0, (x,x)=0 егер x= 
Эвклидтік кеңістікті скалярлық көбейтіндісі бар сызықты
кеңістік деп аталады. Сызықты кеңістіктің басқа түрі – сызықты
мөлшерлі кеңістік.
4.L сызықтық кеңістігінде анықталған сандық функция //х//
норма деп аталады, егер мына аксиомаларды қанағаттандырса:
1. //х//  0 және //х//=  x= 
2. //x+y// //x////y//
3. //dx//=/d/*//x//
Эвклидтік кеңістікте Е норма скаляр көбейтіндісі негізінде
мына формула көмегімен енгізіледі.
//х//  / x, x/
Скалярлық көбейтіндінің қасиеттері норманың барлық
аксиомалардың орындалуына кепілдік береді.
2. Арифметикалық кеңістік
Физикалық қосымша үшін ең маңыздысы п-өлшемді
арифметикалық кеңістік Rn
5.n-өлшемді арифмитикалық кеңістіктің Rn элементтеріне n
нақты
сандардың
реттелген
тізбектері
жатады.
ол Rn кеңістігінің элементінің компоненті. Rn
элементтер қосындысын әр компоненттік қосынды ережесімен
анықталады.





z

x

y

x

y
,
x

y
....,
x

y
(1)
1
1
2
2
n
n
n
R
элементін санға көбейту.

(2)





,


,....,


1
2
n
Rn кеңістігінде скаляр көбейтінді.

x
,y
xjyj (3)
j
1
n
П-мөлшерлі арифметикалық кеңістіктің элементтерін п
өлшемді декарттық координаталар жүйесі деп нүктелердің радиус
векторлары ретінде геометриялық түрден қарастыруға болады. Біз
тұрып жатқан үш өлшемді кеңістіктің радиус векторларымен
көрсетілген R3 кеңістігі ерекше көрнекті . Функцияның әр түрлі
белгілеулері орындалады. Жалпы жағдайда функцияның f(M) деп
жазады. Мұндағы М –кеңістіктің нүктелерін бейнелейді. Егер
кеңістікте 0 нүктесінің центрі берілсе, онда f функциясын
аргументін радиус векторы деп алады және функцияны мына
түрде жазады.
Егер кеңістікте кейбір координаталар жүйесі берілсе , онда
f=f(x,y,z)
3. Векторлық функциялар.
1 анықтама.
функцияны бір айнымалы векторлық
функция
деп
аталады
және
былай
белгіленеді:
Бір аргументті векторлық функцияның геометриялық
бейнесі координаталар уақытқа байланысты өзгеретін қозғалыс
материалдық нүктенің радиус векторы болып саналады.
Физикалық қосымшасында үш өлшемді кеңістіктерде нүктеден
нүктеге өзгеретін векторлық толқындарымен және өрістермен жиі
жұмыс жасайды. (Мысалы, электромагниттік толқындар, күш
өрістері)Осындай өрістердің математикалық моделдер тобы көп
айнымалы функция векторы көрсетілді.
2
анықтама.
функцияны көп айнымалы векторлық функция деп
аталады
және
деп белгіленеді.
Fj(x)= fj(x1,x2,…..xn) j=1,2,…,n
Кейде векторлық функцияларды векторлық өрістер деп
аталады, егер n=1 болса, онда функция векторларды скалярлық
функциялар немесе скалярлық өрістер деп аталады. Скалярлық
өріс мысалы деп, қоршаған атмосфераның температуралар өрісін
қарастыруға болады.
4. Векторлық функциялардың шегі
Анықтама 1.(Коши бойынша)
f: (   Rk)  Rn
-  жиынының Rn кеңістігіне кескіндейтін функция болсын
және х0 амега жиынының шекті нүктесі. Rn кеңістігінде жататын
векторын
функциясының шегі деп аталады, егер
ң шегі болады, егер әрбір  0  0 , сондай
  0 болса, онда әрбір х   жататын,0  //х-х0//Rk   осы шартты
қанағаттандырса // f(х)-А//   осы теңсіздігі орындалады.
Кез келген   0 ()0, кез келген х  , 0 //xx0//R 
//
//Rn  
Теорема 1.
: (   Rk)  Rn
: (   Rk)  Rn
: (   Rk)  R
Осы үш функция екі векторлық және бір скалярлық   Rk
жиынында анықталған функциялар болсын. Х0 – сол жиынның
шекті
функциясы
және
болсын.
Сонда
k
Дәлелдеу.
болсын, С-тұрақты
Сонда
Скалярлық көбейтіндіден басқа физикалық қосымшасында
үшөлшемді векторлардың векторлық көбейтіндісі жиі кездеседі
– ортонормаланған базистік декарттық координаталар
жүйесі берілсін. Яғни, екі векторлық өріс: f: Rk  R3
g: Rk  R3
Нормаланған базис бойынша векторларға бөліктеу түрінде
жазамыз.
f(х) = f1(х)i+ f2(х)j+ f3(х)k
g(х) = g1(х)i+ g2(х)j+ g3(х)k
Векторлық көбейтіндісі деп мына ереже бойынша түзілген
векторлық өріс деп атайды.
Математикалық және физикалық дәстүрлері бойынша
векторлық көбейтіндісінің келесі белгілеулерінің тепе-тең деп
есептейміз.
Теорема 2.
Егер
х0
-
: (   Rk)  R3
: (   Rk)  R3

жиынының
шекті
А  R3
В  R3
нүктесі.
Сондықтан
5. Векторлық функцияның үздіксіздігі
 жиынының х0 нүктесінде үздіксіздік деп
: (   Rk)  Rn
аталады,егер кез келген   0 болса, кез келген х  

//
x
x

; //f(х) - f0(х)//Rn  
0//
R
k
Егер де х0  жиынының шекті нүктесі болса, онда үздіксіздік
анықтамасы былай болады.
Изоляцияланған нүктелерде кез келген функция үзіліссіз
болады.
6. Векторлық функция бір айнымалы арқылы
дифференциалдау
Функцияның дифференциалдану түсінігінің туындысының
түсінігі тығыз байланысқан.
Анықтама 1.
Х0(а,в) нүктесінде : (а,в)  Rn векторлық функциясын f(х0)
туындысын шек
деп
 аталады.

/f(x
)f(x
)/
0
=
xx
0

f (x0 )
x
(1)
Функцияның дифференциалдау мен туындысының байланысты 1
теорема орнатады.
Теорема 1.
Егер
: (а,в)  Rn функциясы
Х0(а,в) нүктесінде
дифференциалданатын болса, онда оның f(х0) туындысы болатын,
ал функцияның дифференциалы болатын
d
(х0)=
(х0)dx
(2)
Дәлелдеу.
f ( x0 )
fj( x0 )
 {
2 теорема бойынша
=fj(х0)
x
x
(j=1,2,…n)
Осыдан шығатын 3 теңдік дұрыс.
Теорема 2.
f(х) функциясы Х0(а,в) дифференциясын және векторлық
функцияның компоненттері берілген.
(х)={ f1(х), … fn(х)} оның туындысы
(х)={ f/ 1(х), … f/ n(х)}
Теорема 3.
Егер
: (а,в)  Rn
: (а,в)  Rn
: (а,в)  R
функциялары Х0(а,в) нүктесінде дифференциалданатын
болса, онда
(h )/ (x0)= h/(x0) (x0)+ : (x0) / (x0)
( )/ (x0)= /(x0) (x0)+ (x0)/ (x0)
7. Кеңістіктегі қисықтар.
Бір аргументті
векторлық функцияның туындысының
түсінікті геометриялық мағынасы болады.
Анықтама 1.
: (   Rk)  R3
f(х) векторының R3 кеңістіктің тіркелген 0 нүктесіне қоямыз.
f(х); х   вектор соңындар жиынын f(х)векторлық
функциясын гадографы деп атаймыз.
Берілген
годограф жалпы анықтамасында берілген
функцияға қосымша шарттарын қосу қажет.
Анықтама 2.
: (а,в)  R3 үзіліссіз векторлық функция гадографы
бағдарланған С қисықты айтайық. Ал f функциясын С қисықтық
векторлық тапсырмасы немесе осы қисықтың параметрлерін
айтайық.
Айталық, қисықты айналу бағыты бағдарланған деп айту
себебіміз анықтамада қисықтың айналу бағыты берілген және ол f
функциясын х аргументінің өсуіне сәйкес келеді.
Егер f функциясы дифференциалдық болса, онда қисықтың
дифференциалдау нүктелерінде жанамасы болады.
Теорема.
Бағдарланған қиық мынандай векторлық теңдеумен берілсін.
=
( ), а  х  в және f(х) функциясы Х0(а,в) нүктесінде
/
дифференциалдансын.Онда
= f/(х) векторы қисықты х = х0
аргументінің мәні анықталатын және х аргументінің өсу жағына
бағытталған нүктеде жанайды.
8. Жанама, нормаль, жанама жазықтық.
1) жанама теңдеуі
x f1(t) y f2(t) z  f3(t)
/
/
/
f (t) = f2 (t) = f3 (t)
Мұндағы (t) (f1(t) f2(t) f3(t)) векторлық функциялар.
Берілген нүктелердегі жанаманың теңдеуі = f(t) +  f/(t)
2) көрсетілген нүктелердегі жазық қисықтың нормалі деп
түзу берілген жазықтықта
орналасқан түзуді айтамыз.Ол О нүктесі арқылы өтеді және
жанамаға перпендикуляр.

  (t) +  - нормаль теңдеуі.
 / 

(



y
t)
i
x(
t)j
Мысалы. С: у=х2 түзуі берілсін. Р(0:0) нүктесінде жанама
жүргізілген.
Шешуі. Векторлық сызықты беру үшін алдымен біздің
сызығымыздың параметрлік көрінісін құрастырамыз.
С:
x  t

2
y  t
  

С: (t) xiyjtit2j


 /

i

2
*
0
ji



2
t
j
f (t)
f (t) P
 


R

(
0
i

0
j
)

i

i
(
0

)

j
(
0

0
)
x1 y0

0
0
/
  
ОХ-жанама.
9. Евклидтік кеңістіктегі сызықтар
Егер f/ функциясы f – тен үзіліссіз өзгерудің нәтижесінде
шықса,
f:F  F / (1)
Егер бір кескінін өзара бір мәнді болса, онда (1) кескінінің
болуының мына кескін шығады.
f-1 : F/  F
(2)
– 1
Егер f, f
үзіліссіз болса, онда мұндай кескіндер
гомеоморфты немесе топологиялық кескіндер деп ататлады.
Элементар қисық деп (а,в) ашық кесіндісінен тополргиялық
өзгерудің көмегімен алуға болатын фигураны айтады.
x  f1(t)

 : y  f2(t)
z  f (t)
3

(3) элементар қисықтың параметрлік берілуі.
Кеңістікте координаталар жүйесі енгізілген жағдайда (яғни
j, k ) онда (3) теңдіктен алатынымыз.
базис i,
  

:f
(
t
)

f
(
t
)
i
f
(
t
)
j

f
(
t
)
k (4)
1 
2
3
Бұл элементар қисықтың векторлық берілуі
10. Жанама түсінігі. Жанама теңдеуі.


С: r  f (t) (1)
t [T0,T] P(t) сызқтағы нүкте
Жанамада ағымдағы М нүктесін қарастырайық. Жанама
теңдеуін алу үшін жанама бойымен жылжитын М нүктесі
қадағалайтын қандай да бір R векторлық функциясының өзгеру
заңынтабу
керек.
РМ –сызық ОRМ үшбұрышты қарастырамыз.


Rf(t)
f(t)
(2) берілген сызыққа көрсетілген нүктесіндегі
жанама теңдеуі.
(2)теңдеудегі бірінші қосылған жанама жүргізіп жатқан
нүктені сипаттайды. Екінші қосылғыш жанаманың бағытын
сипаттайды.  -айнымалы жанамада орналасқан нүктелердің
параметрі. Екі теңдеудің қатынастарды алуға болады.
x f1(t)f /1(t)

/
y f 2(t)f2(t)
z  f (t)f (t)
3
3


y  f 2 (t )
 
f / 2 (t )


x  f1 (t )
 
f /1 (t )


z  f 3 (t )
 
f 3 (t )


R(x, y, z) -
координаталар
x

f
(
t
)y

f(
t
)z

f(
t
)
1
 /2  3 (3)
/
f1
(
t
) f
f
(
t
)
(
t
)
3
2
11. Тегіс қисыққа жүргізілген нормаль.
Кеңістік қисыққа жүргізілген нормаль жазықтық.


С: r  f (t) (1)- тегіс қисық
P(t) сызқтағы нүкте
f/ (t) – бағытты анықтайды.
Берілген нүктедегі тегіс қисыққа жүргізілген нормаль деп
сызық берілген жазықтықта орналасқан түзуді айтады. Ол Р
нүктесі арқылы өтеді және жанамаға перпиндикуляр.
N- нормаль векторы.

 / 
/
N


y
(
t)
i
x(
t)j

 
f(t)N (2) –
нормаль теңдеуі
Мысал 2:
Шешуі:







(
0
i

0
j
)


(
0
i

j

i
(
0



0
)

j
(
0


)
P
(
0
,
0
)
x1 y0

0
0
С- кеңістік қисығына Р нүtктесі арқылы шексіз көп нормаль
жүргізуге болатын жағдайда, осы барлық нормальдар берілген
нүктедегі қисыққа жүргізілген нормаль жазықтық деп аталады,
қандайда бір жазықтықта орналасады.РМ перпиндикуляр f/(t)
Р(х0 у0 z0)
/
/
(
x

x
),
f
(
t
)

(
y

y
)
f
(
t
)

(
z

z
)
f
(
t
)

0
(3)
0
1
0
2
0
3
12. Скаляр өріс. Деңгей сызықтары және беттері.
функциясы берілген скаляр өрісті қарастырайық.
Скаляр өрістің деңгейінің беті деп U(М) функциясы тұрақты мән
қабылдайтын нүктелердің геометриялық түрлерін айтады, яғни
U(x,y,z)=С
(2)
Осы теңдеуде шамаға әр түрлі мән бере отыра, өрісті
қарастыратын деңгейдің әртүрлі беттерін аламыз. Өрістің әрбір
нүктесі арқылы бір ғана деңгей беті өтеді. Оның теңдеуін (2)
теңдеуіне нүктенің координаталар арқылы табуға болады.
U= 1x2y2z2
UU
(x,y,z)
Осы функция пайда болған скаляр өріс үшін деңгей беті
центрлері координаталар басында болатын, көптеген концентрлі
сфералар болып табылады.
2
1
x
y2z2  C
Жеке жағдайда С=1 болғанда, x2y2z20, яғни сфера
нүктеге кішірейіп тартылады.
Температуралық өрістердің деңгей бетінің біркелкі қызған
жібі үшін ортақ өсі жұп болатын дөңгелек цилиндрлар болып
табылады. U= U(х,у) жазық өріс жағдайда
U(х,у) = С теңдігі өріс деңгейін сызығы теңдеуі болып
табылады. Яғни,
деңгей сызығы
бұл нүктелерде U(х,у)
функциясы тұрақты мәнін сақтайтын О(х,у) жазықтығындағы
сызық. Мысалы, митереологияда изобаралар мен изотермалардың
көзі бірдей орташа қысымдар мен температуралардың сызықтары,
деңгей сызықтар және нүктенің координаталардың функциясы
болып табылады.
Деңгей сызықтары математикада беттерді қималар әдсімен
зерттеуге қолданады.
13. Бағыт бойынша туынды.
өрісі берілген кеңістікте қандайда бір М нүктесін
алып, М нүктесінің  бағытымен қозғалғанда U функциясының
өзгеріс жылдамдығы н табамыз.  векторы М нүктесінен

,cos
,cos
 бағыттауыш косинустар болсын.
басталсын және cos
U функциясы қандайда бір М1 нүктесінде  бағытымен орын
ауыстырғанда пайда болатын өсімшесі былай болады.

U

U
(
M
)
U
(
M
)

U

U
(
x


x
:
y


y
:
z


z
)
1
немесе
онда
2
2
2



/
MM
/


x


y


z
U=U(М) функциясына М нүктесінде 
1
UU
(x,y,z)
бағыты бойынша туындысы
(
M
)

U
(
M
)
dU

UU
1

lim

lim
- шек


0
M

M/
d

MM
/
1
 
деп
аталады.

бағыты бойынша туынды осы бағыт бойынша
нүктесіндегі функциясын өзгеру жылдамдығын сипаттайды.
М
Егер
dU
0
d
болса, онда функция
dU
 0 болса, онда U
d
dU
d - шамасы
функциясы


бағытында өспелі. Егер
бағытында кемімелі.
М нүктесіндегі 
бағыты бойынша
функциясының мезетін өзгеріс жылдамдығын көрсетеді.
U
dU
d
- неғұрлым үлкен болса, соғұрлым U функциясы тез
өзгереді. Бағыт бойынша туындының физикалық мағынасы
осында. U(x,y,z) функциясы М нүктесінде дифференциалды деп
есептеп,
бағыт бйынша туындыны
есептеу формуласын
қорытайық. Онда оның М нүктесіндегі толық өсімшесін мына
түрде жазуға болады.

dU
dU
dU

U


x


y


z


x


y


z
1
2
3
dx
dy
dz

,
,


0 кездегі шексіз кіші
1
2
3
функциялар . Себебі

x
cos


y
cos


z
cos

dU
dU
dU dU dU
cos

cos

cos

cos

cos

cos


2
3
dx
dy
dz
d
d
 






шекке көшіп, бағыт бойынша туындыны есептеу
формуласын аламыз.
  0



dU
dU
dU dU
cos
cos
cos

dx dy dz (2)
d



cos(


)

sin

өріс жағдайында , cos
2
cos  0 ,сонда (2) формула мына түрде келеді.
UU(x,y)жазық
dU
dU dU
cos

 sin


dx
dy
d
Ескерту.
dUdUdU
Бағыт бойынша туынды түсінігі dx, dy, dz дербес туындылар
түсінігінің жалпылама түсінігі болып табылады. Олардың ОХ,
ОУ, ОZ кординаталық өстердің бағыты бойынша Uфункциясының
туындысы ретінде қарастыруға болады. Егер  бағыты ОХ өсінің
бағытымен сәйкес келсе, онда екінші формулада
қойып,


2
2
  0 ,  , 
dU dU

аламыз.
d dx
14. Скаляр өрісінің градиенті және оның қасиеттері.
dU
d
туындысы неғұрлым үлкен мәнге ие болатын бағыт скаляр
өрісінің градиенті деп аталады векторды көрсетеді.
Координаталары М(х,у,z) нүктесінде U(x, y, z) функциясының
дербес туындыларының мәні болып табылатын вектор
функциясын градиенті деп ататлады және gradU деп белгіленеді.
gradU  (
dUdUdU
dU
dU
dU
, , ) немесе gradU  i j k
dx dy dz
dxdy dz
- векторлық шама.
U скаляр өрісі градиентінің векторлық өрісін тудырады.
Екінші теңдеуді мына түрде жазуға болады.
dU
dU
egradU
/gradU
/cos
(3)
d
d
/gradU
/  векторымен  бағыты арсындағы бұрыш.
(3) формуласынан бағыт бойынша туындысының cos 1
болғанда, яғни   0 болғанда ,ең үлкен мәнге ие болатыны
көрінеді.
Градиент бағыты  бағытымен сәйкес келеді. Оның бойымен
функция бәрінен де жылдам өзгереді, яғни функцияның градиенті
функцияның ең тез өсуін бағытын көрсетеді.
М нүктесіндегі U функциясының
ең үлкен өзгеріс
жылдамдығы мынаған тең.
gradU
2

dU
dU
dU


gradU 



 
 


dx
dy
dz




2
2
Градиентінің физикалық мәні осында. Әр нүктедегі өріс
градиенті бір мәнді анықталған вектор болып табылады.
Градиент функциясының қасиеттері.
1. Градиент берілген нүкте арқылы өтетін деңгей
жазықтығына нормаль бойынша бағытталған.
Дәлелдеу.
Шынында әр бір бағыт бойынша деңгей жазықтығы бойымен
dU

cos  0,  
U  C немесе
=0
онда
d
2
2. grad(U+V)= gradU+ gradV
3. gradCU=CgradU C=const
4.gradUV=U gradV+ VgradU
UVgradU

UgradV

5. grad V
2
V
df
6. grad f(U)= dUgradU
Бұл қасиеттер градиент анықтамасы негізінде дәлелденді.
Ескерту.
Келтірілген градиент қасиеттері жазық өріс үшін де дұрыс
болып қалады.
15. Векторлық өріс. Өрістің векторлық сызықтары.
а=а(М) векторымен берілетін векторлық өрісті қарастырамыз.
Өрісті оқуды векторлық сызықтар түсінгенмен бастаған ыңғайлы.
Олар өрістік қарапайым геометриялық мінездемелері болып
табылады. Өрістің а-векторлық сызығы деп әрбір М нүктесінде
жүргізілген жанаманың оған сәйкес А(М) векторлық бағыты бар
сызық аталады. Бұл түсінік нақты өрістер үшін анық физикалық
мағынаға ие. Мысалы, ағымдағы сұйық жылдамдығының өрісінде
векторлық өрістер болып бойымен сұйықтықбөлшектері (ток
сызықтар) қозғалыста жатқан сызықтар табылады. Магнит өрісі
үшін векторлық сызықтар солтүстік полюстен шығып, оңтүстік
полюстен аяқталатын сызықтар болады. Қандай да бір тұйық
сызық арқылы өтетін өрістің барлық векторлық сызықтық тобы
(қосылы) векторлық түтік деп аталады.
Векторлық сызықты оқуды ,оның векторлық сызықтарына
орналасқан оқудан бастайды.
a=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k (1)
өрістің векторлық сызықтары
dх P(x,y,z)= dу/ Q(x,y,z)=dz/ R(x,y,z) (2)
(2) түрдегі дифференциалдық теңдеулер жүйесіменг
суреттеледі. Шынында да, Р, Q өрістің векторлық сызығы
r=xi+yj+zk оның радиус векторы болса, онда dr=dxi+dyj+dzk
векторы жанама бойынша М нүктесінде
Р, Q сызығынаа
бағытталады. а және dr векторының коллениарлығының күшіне
олардың проекциясының пропорционалдығы , яғни теңдігі
шығады.
16. Өріс ағыны.
Векторлық өріс (1) вектормен құрылсын. а(М) векторды
стационар қозғалып жатқан қандайда бір сұйық ағынын
жылдамдық векторы деп есептейік, қандай да бір S беті осы
ағымда болсын және сұйықты өткізсін. S бет арқылы сұйықтың
қандай мөлшері ағатынын есептейміз. S бетінің қандайда бір
жағын таңдайық.
n=(cos, cos ,cos) –нормаль бірлік векторы қарастырылып
жатқан S бетінің жағына перпендикуляр болсын. Бетті элементар
S1, S2... Sn аудандарға бөліп тастаймыз. Әрбір бөлікте Мi (i=1,2,..n)
нүкьесін таңдап, әрбір а(М1),а(М2)....а(Мn) нүктелерінде а(М)
жылдамдық векторының мәнін есептейміз. Әрбір бөлікті
жуықтап, тегіс деп, ал а векторды модулі бойынша тұрақты және
бөліктің әрбір нүктесіне бірдей бағытталған деп есептейміз. Онда
бөлік уақыт аралығында S1 арқылы жуық шамамен Кi=Hi Si ,
болатын сұйық мөлшері ағады, мұндағы Si - і-нді бөліктің
ауданы, Hi а(М) құраушысымен і цилиндрдің биіктігі, бірақ Ніпі
=пр пі а(Мі) = а(Мі) пі нормаліне а(Мі) векторының проекциясы
болып табылады. Мұндағы пі Мі нүктесіндегі бетке жүргізілген
нормалдың бірлік векторы. Осыдан бірлік уақыт аралығында
барлық S бет арқылы ағып өтетін жалпы сұйық мөлшерін
сумманы табу арқылы есептейміз.
K=а(Мі) пі Si
Сұйық ізделінді мөлшердің нақты мәнін элементер
бөліктерден санының шексіз ұлғаюы олардың өлшемдерінің
(бөліктердің диаметрлері) 0-ге ұмтылған кездегі
табылған
суммадан шек алу арқылы табамы
K=limа(Мі) пі Si = K=а(Мі) п dS
n i=0
maxdi=0
а(М) өрістің физикалық мағынасына қарамастан алынған
интегралды векторлық өрісінің ағыны деп атайды. S бет арқылы
өтетін а векторлық ағыны деп векторлық өрістің скаляр
туындысынан бетке нормалін бірлік векторына бет бойынша
интеграл аталады.
Яғни,
Вектор ағынының
әр түрлі
жазылуы
формаларын
қарастырайық.
А-векторының к ағыны скаляр шама екенін айта кетеміз. К
шамасы бірлік уақыт аралығында S бет арқылы ығатын сұйық
көлеміне тең . ағынның физикалық мағынасы осында.
Бет тұйық болып V көлемді шектеп тұрған жағдайды ерекше
деп қарастыруға болады. Онда вектор ағымын мына түрде жазады.
Бұл жағдайда п векторлық бағыты ретінде ішкі нормаль
бағытын алады да, ағын туралы S бетінің ішінен айтады. Егер а
а(М) векторлық өріс ағып жатқан сұйықтың жылдамдық өрісі
болса, онда к ағын шамасы тұйық бет арқылы облысына ағып,
бірлік уақыт аралығында оған құйылатын сұйық мөлшері
арасында айырманы береді. Сонымен бірге, к 0-ден артық болса,
онда көлемнен ағып кіретін сұйық көлеміне қарағанда ағып
шығатын сұйық көбірек болады.
Бұл облыс ішінде қосымша көздер бар екенін білдіреді. Егер
к 0-ден кіші болса, онда облысының ішінде сұйық шығынын
сіңіретін ағана болады. Көздер- векторлық сызықтар басталатын
нүктелер, ал ағындар векторлыық сызықпен аяқталатын нүктелер
деп аталатын болады. Осылай электр өрісінде көз оң заряд,ал ағын
магниттің теріс заряды болып табылады.
Егер к 0-ге тең болса, көлемнен бірлік уақыт аралығында
қанша сұйық ағып кірсе, сонша сұйық шығады. Облыс ішінде
немесе көздер де ағындар да жоқ немесе олардың әсері өзара
компенсацияланады.
17. Өріс дивергенциясы. Остроградский – Гаусс
формуласы.
Векторлық өрісінің маңызды мінездемесі өрістің көздері мен
ағынының бөлінуімен интенсивтілігін сипаттайтын дивергенция
P
(
x
,
y
,
z
)
i

Q
(
x
,
y
,
z
)
j

R
(
x
,
y
,
z
)
k
болып табылады. Векторлық өрістің а(М) 
М нүктесіндегі дивергенция деп
dP
dQ
dR
diva
(
M
)

dx
dy
dz
*
Осы түрдегі скаляр аталады және дивергенция div деп
белгіленеді.
Дивергенцияның кейбір қасиеттерін атап өтейік.
1. Егер а тұрақты вектор болса, онда divа=0
2. div(Са)=Cdiva
C=const
3. div(a+b)= diva+ divb, яғни 2 вектордың функциясының
суммасының дивергенциясы қосылған дивергенциясының
сммасына тең.
4. Егер U скаляр функциясы , ал а векторлық , онда div(Uа)=U
diva+a gradU.
Ағын және векторлық өріс дивергенциясы түсініктерін
қолданып, анализді белгілі Остраградский-Гаусс теориясы
векторлық түрде жазайық.


dP
dQ
dR




dxdydz

Pdydz

Qdxdz

Rdxdy
(5)






dx
dy
dz


Остраградский-Гаусс формуласы тұйық S бет арқылы ішкі
нормаль бағытында , яғни ішінен векторлық өрістің ағыны
берілген бетпен шектелген. V көлемі бойынша осы вектордың
өріс дивергенциясы үштік интегралға тең дегенді білдіреді.
a
dS

n

V
divadv
(6)
s
М нүктесіндегі векторлық өрістің дивергенциясы деп М
нүктесі қоршап тұрған S бет арқылы өріс ағынының бет М ( V  0 )
нүктесіне тартылуға шартымен осы бетпен шектелген дененің
көлемін қатынасының шегі аталады.
1
diva
(
M
)
lim
a
dS
(7)
n

V
Дивергенция анықтамасы 7 * формуласына эквивалентті.
Анықтамадан көрініп тұрғандай нүктедегі векторлық өрістің
дивергенциясы скаляр шама болып табылады. Ол берілген
векторлық өрісте скаляр өрісін қалыптастырады. Ағынның
физикалық мағынасына байланысты (а(М) сипаттайтын сұйықтың
жалған стационар ағынның жылдамдықтар өрісі деп есептеледі):
Divа(М)  0 болғанда, М нүктесіндегі сұйық жұтатын ағыны.
М нүктесіндегі қуаттылығын (интенсивтілігін , тығыздығын)
сипаттайды. Дивергенцияның физикалық мағынасы осында.
Егер тұйық S бетпен шектелген V көлемде көздер де
ағындар да болмаса, онда divа=0 болатыны түсінікті. Әр бір
нүктеде өріс дивергенциясы 0-ге тең болатын векторлық өріс,
яғни divа(М)=0 соленойдтық немесе түтіктік деп аталады.
18. Өріс циркуляциясы.
Qy
Rz
Векторлық өріс а(М) Px
векторынан пайда болсын.
Осы өрісте қандай да бір тұйық L қисығын алып, онда белгілі бір
бағытта таңдап аламыз. R=xi+yj+zk L контурындағы М нүктесінің
радиус векторы . dr=dxi+dyj+dzk векторы қисыққа жанама
бойынша оның айнымалы бағытында бағытталған және /dr/=dl
.мұндағы dl-қисық доғасының дифференциалы.
2
2
2



dl

dx

dy

dz
L контурына жанасатын а векторының скаляр туындының dr
векторына қатынасынан тұйық L контуры бойынша қисық
сызықты интеграл L бойымен а векторының циркуляциясы деп
аталады.
С  L adr (8)
Циркуляциясына жазудың әр түрлі формуланы қарастырайық.
adr=ardl=Pdx+Qdy+Rdz
Pdx

Qdy

Rdz
С= 
(9)
L
Мұндағы ar векторы L қисығының айналасының бағытында
жүргізілген а векторын  жанамасына проекциясы.
(9)формула түрінде жазылған С – циркуляциясының
қарапайым физикалық мағынасы бар: егер L қисығы күштік өрісте
орналасса, онда циркуляция бұл материалдық нүктені L бойымен
жылжытқандағы а(М) өрісінің күштік жұмысы.Тұйық векторлық
сызықтар бойынша циркуляция 0-ден өзгеше айта кетеміз. Себебі
векторлық сызықтарының әрбір нүктеде adr скаляр туындысы,
егер а векторының бағыты векторлық сызықтарының айналу
бағыттарымен сәйкес келсе-оң, кері жағдайда- теріс белгіні
сақтайды.
19. Өріс роторы. Стокс формуласы.
a

P
(
x
,
y
,
z
)
i

Q
(
x
,
y
,
z
)
j

R
(
x
,
y
,
z
)
k
векторлық
өрістің роторы деп
ijk


d
d
d
dR
dQ
dP
dR
dQ
dP



rota



i

j


k (10)
 




dx
dy
dz
dy
dz
dz
dx
dx
dy




PQR
Осы формуламен анықталатын векторды айтады.
Ротордың кейбір қасиеттері.
1. егер а тұрақты вектор болса, онда rot=0
2. rot(Ca)=Crota C=Const
3. rot(a+b)=rota+rotb
4. U скаляр функция а(М) векторлық функция болса, онда
rot(Ua)=Urota+gradU*a
Ротор және циркуляция векторлық өрісінің түсініктерін
пайдаланып,математикалық
талдауда Стокс формуласын
жазайық.




dR
dQ
dP
dR
dQ
dP






Pdx

Qdy

Rdz


dydz


dxdz


dxdy


(11)






dy
dz
dz
dz
dz
dy






L
S
Осы формуланың сол жағы а векторының L контуры
бойынша циркуляциясы оң жағындағы интеграл L контурмен
шектелген S бет арқылы өтетін rota векторының
ағыны болып табылады. Осыдан стокс формуласын мына
түрде жазуға болады.
a

rot
adS
rdl
n


(12)
L
S
Стокс формуласының мұндай түрін оның векторлық түрі деп
атайды. Бұл формулада L контурындағы оң бағыт және S беттің
жағы Стокс теориясындағыдай өзара байланысқан.
(12) формула L тұйық контур бойымен а векторының
циркуляциясы а векторлық өрісінде жатқан және L контурмен
шектелген S бет арқылы осы а векторының роторын ағынына тең
екенін көрсетеді.
(11) формуланы қолданып (1) ге эквивалентті және
координаталық жүйеге тәуелсіз өріс роторын басқа анықтамасын
беруге болады. Ол үшін М нүктесі L контуры бар. Ең кіші S аудан
үшін (12) Стокс формуласын қолданамыз.
rot
adS

rot
a
(
M
)
S

n
n
0
S
Мұндағы М0 – S ауданының қандай да бір орталық нүктесі.
Онда (12) формуланы мына түрде жазуға болады.
1
rot
a
(P
) a
n
rdl
SL
Lконтуры М нүктесіне тартылсын
S  0 шекке көшіп алатынымыз:
,сонда
М0  М,
ал
1
rot
a
(
M
)
lim
a
dl
n
r

S
L
М нүктесіндегі а вектордың роторы деп әрбір бағыттағы
проекциясы осы бағытқа перпендикуляр тегіс іс бөліктің векторы
бойынша а вектордың циркуляциясының осы бөліктің ауданының
қатынасын шегіне тең вектор аталады.
Анықтамадан көрініп тұрғандай а(М) векторының роторы
өзінің векторлық өрісін тудыратын векторлық шама болып
табылады.
Векторлық өріс роторына физикалық түсінік берейік. Тұрақты
 бұрыштық жылдамдықпен ОZ өсінің айналасында айналатын
қатты дененің сызықтық жылдамдығының өріс роторын табамыз:

yi

xj
ijk

d
d
d d
x
y
d
x
d
y
 d


rota
(
M
)


0

i

0

j


k

2




dx
dy
dz
dx
dy
 dz
 dz



y
x
0


   
Бұл өрісінің роторы айналу өсіне параллель бағытталған.
Оның модулі айналудың 2 еселенген бұрыштық жылдамдығына
тең. Сандық көбейткішіне дейінгі дәлдікпен жылдамдықтың өріс
роторы қатты дененің айналуын бұрыштық жылдамдығы болып
табылады. Осымен ротор түсінігімен байланысты.
Ескерту.
Ротор анықтамасының ротордың бағыты айналасындағы
циркуляция S ауданының нормалімен сәйкес келмейтін кез келген
бағыт айналасындағы циркуляциямен салыстырғанда үлкенірек
мәнге ие бағыт екені көрінеді. Сондықтан ротор мен циркуляция
арасындағы байланыс градиент пен бағыт
бойынша
туындысының арасындағы байланысқа ұқсас.
20. Гамильтон операторы.
Бірінші ретті векторлық дифференциалды амалдар.
U скаляр өріспен а векторлық өріске қолданылатын негізгі
диф.амалдар gradU, rota diva болып табылады. Градиент,
дивергенция, ротор алу амалдары бірінші ретті векторлық амалдар
деп аталады. (оларда тек 1ші туындылар қолданылады)
Бұл амалдарды Гамельтон операторының көмегімен жазған
ыңғайлы.
d d d

 i j k
dxdydz
Бұл символдық вектордың набло операторы деп те анайды.
Ол тек скаляр немесе векторлық функциямен бірге белгілі бір
мәнге ие болады.  вектордың и скалярға немесе а векторға
символдық көбейту әдеттегі векторлық алгебраның ережемен
d d d
жүргізіледі. Ал dx, dy, dzсимволын U P,Q,R шамасына көбейтуді осы
шамадан сәйкес дербес туынды алу деп түсінеді.
Гамельтон операторын қолданып, бірінші ретті диф.амалдар
аламыз.
1.
2.
3.
d d
dU
dU
dU
d
U

U

i
j
k
i j k gradU
dx
dy
dz
dxdy dz
d d
dP
dQ
dR
d
(Pi

a

i
 jk
diva
Qj
Rk
)   
dx
dy
dz
dxdydz
ijk
d d d
 rota
xa 
dx dy dz
PQR
Гамельтон операторы басқа амалдарды жазу және өріс
теориясындағы
әр түрлі
формулаларды шығару үшін
қолданылады. Оны қолдану кезінде векторлық алгебра мен
диф.ережесін қолдану керек. Жеке жағдайда бағыты бойынша
туынды мына түрде жазуға болады.
dU

(cos

cos

,cos
)

Pue

/
e/U мұндағы e
d

21. Екінші ретті векторлық диф.амалдар.
Скаляр немесе векторлық өріске Гамельтон операторын
қолданғаннан кейін осы операторды қайтадан қолдануға болатын
жаңа өріс пайда болды. Нәтижесінде екінші ретті векторлық
диф.амалдар алынады. Екінші ретті диф.амалдардың 5түрі бар.
1. divgradU
2. rotgradU
3. divrota
4. graddiva
5. rotrota
Гамильтон
операторын
қолданып
екінші
ретті
диф.амалдардың
өрнектерін
жазамыз.Оператордың
тек
оператордың арғы жағында орналасқан көбейткішке әсер ететіін
аңғару қажет.
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
Ud
Ud
U






U








U

1. divgradU
2
2
2
2
2
2
dx
dy
dz
dxdydz
divgradU  U
  
Лапластың U  0 диф.теңдеуін математикалық физиканың әр
түрлі бөлімдерінде маңызды рөл атқарады.
Лаплас теңдігінің шешімдері
ретінде гармоникалық
функциялар болып табылады.



x
(

U
)


x

U

0
2. rotgradU 
Себебі екі бірдей вектордың көбейтіндісі 0-ге тең. Бұл
градиент өрісі құйынды емес өріс дегенді білдіреді.
d
d
d







diva
i

diva
j

diva
k

3.
graddiva a
dxdydz
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Pd
Qd
R
Pd
Q
d
R
Pd
Qd
R
d

d
d
 
i

2 
j

 2 
k
2
dx
dydx
dz
dy dx
dy
dy
dz
dy dx
dz
dydx
dz
0
4. divrota xa
Себебі, ішінде екі бірдей үш вектордың аралас көбейтіндісі 0ге тең. Бұл құйын өріс соленоидты дегенді білдіреді.




x

xa



a


a

graddiva


a
5. rotrota 
6.
22. Векторлық
қасиеттері
өрістердің
негізгі
кластардың
кебір
2. Соленоидтық өріс.
Барлық нүктеде өріс дивергенция 0-ге тең болатын векторлық
өріс соленоидты өріс деп аталады.Соленоидты өрістердің
мысалдары: айналып жатқан қатты дененің
сызықтық
жылдамдықтарының өрісі бойымен электр тогы ағатын түзу
сызықты өткізгішпен берілетін магнит өрісі және т.б. болып
табылады.Соленоидты өрістің кейбір қасиеттерін келтірейік.
1. Соленоидты өрісте әр бір тұйық бет арқылы өтетін а
векторының ағыны 0-ге тең. Соленоидты өрістің көздері мен
ағымдары жоқ.
2. соленоидты өрістің қандай да бір векторлық өрісінің ротор
өрісі болып табылады, яғни егер diva=0 болса, онда а=rotb
болатын в өрісі болады.в векторы а өрісінің векторлық
потенциалыдеп аталады. Осы қасиеттердің кез келген
соленоидты өрісінің анықтамасы ретінде алуға болар еді.
3. Соленоидты өрісте векторлық түтікшенің көлденең қимасы
арқылы өтетін а векторының ағыны тұрақты мәнін сақтайды.
Түтікшенің интенсивтілігі деп аталады.
2.Потенциалды өріс.
Егер өрістің барлық нүктесінде ротор 0-ге тең болса, онда а
векторының өрісі потенциалды өріс деп аталады (немесе
құйынсыз, градиентті өріс)Потенциалды өрістің мысалдары:
нүктелік зарядтың кернеулігінің электр өрісі болып табылады.
Қасиеттері.
1. Әр бір тұйық контур бойымен осы өрістегі а потенциалды
өрісінің циркуляциясы 0-ге тең.
2. а потенциалды өрістен басы М1 және соңы М2 нүктедегі әр бір
Pdx

Qdy

Rdz

Lқисығы бойымен
қисық сызықты интеграл
L
тек қана М1, М2 нүктелерінің орналасуына тәуелді және
қисықтың формасына тәуелді емес.
3. Потенциалды өріс қандай да бір U(x, y, z) скаляр функциясының
градиент өрісі болып табылады, яғни егер rota=0болса, онда
а=gradU болатындай U(x, y, z) функциясы болды.
3.Гармоникалық өріс.
Егер а векторлық өрісі бір уақытта потенциалды және
соленоидты болса, онда ол гармоникалық өріс деп аталады.
Гармоникалық өрісінің мысалы. Көздер мен ағымдар болмаған
кезде сұйықтың
стационар құйынсыз ағынының сызықтық
жылдамдығының өрісі болып табылады. а өрісі потенциалды
болғандықтан , оны а=gradU түрінде жазуға болады. Мұнда
UU
(x,y,z) өріс потенциалы , бірақ өріс сонымен қатар соленоидты
болғандықтан diva=divgradU=0 U  0
Яғни а гармоникалық өрісінің U потенциалдық функциясы
Лапласының диф.теңдеудің шешуі болып табылады. Мұндай
функция гармоникалық деп аталады.
Автор
nurzhak_18
Документ
Категория
Филология
Просмотров
2 003
Размер файла
731 Кб
Теги
лекция, овтаказ
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа