close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Кванттык механикагакириспе

код для вставкиСкачать
Қазақстан Республикасы білім жəне ғылым министрлігі
А.Қ. Ахметов
КВАНТТЫҚ МЕХАНИКАҒА
КІРІСПЕ
Алматы
Ғылым
2003
Ш.Есенов атындағы Ақтау мемлекеттік университетінің Ғылыми Кеңесінің
шешімімен баспаға ұсынылған
РЕЦЕНЗЕНТТЕР:
– физика-математика ғылымдарының докторы,
профессор М. Құлбеков
– физика-математика ғылымдарының кандидаты,
профессор А. Жалғасов
– педагогика ғылымдарының кандидаты,
профессор Ғ. Имашев
А.Қ. Ахметов
Кванттық механикаға кіріспе. – Алматы: Ғылым, 2003. – 229 б.
Қазақстан Республикасы білім жəне ғылым министрлігі университеттер мен
педагогикалық институттардың студенттеріне оқулық ретінде ұсынуды мақұлдаған.
Кітапта кванттық механиканың негізгі ұғымдары мен кейбір физикалық
құбылыстардың түсіндірілуі қарастырылған. Кванттық механиканың негізгі
оқулықтарына көмекші құрал ретінде пайдалануға болады. ¤ңделіп жəне
толықтырылып 2-ші рет басылуы.
ISBN
5-628-020240-0
© Ахметов А.Қ., 2003
Мазмұны
cтр.
Кіріспе
1– тарау. Кванттық механиканың тəжірибелік негіздері.
§ 1. Абсолют қара дененің сəуле шығаруы.
§ 2. Жарық кванттары.
§ 3. Атомның планеталық моделі. Бор постулаттары .
2 – тарау. Бөлшектердің толқындық қасиеттер.
§ 1. Де Бройль болжамы.
§ 2. Фазалық жəне группалық жылдамдықтар. Толқындық пакет.
3-тарау. Кванттық механиканың негізгі ұғымдары.
§ 1. Еркін қозғалыстағы бөлшектің толқындық функциясы.
§ 2. Кванттық механикадағы суперпозиция принципі.
§ 3. Микробөлшектердің кеңістіктің əртүрлі нүктелерінде болу ықтималдылығы.
4-тарау. Кванттық механиканың математикалық апппараты.
§ 1. Физикалық шамаларды сызықтық, өзара түйіндес операторлармен
сипаттау.
§ 2. Негізгі физикалық шамалардың операторлары.
5-тарау. Кванттық механиканың негізгі теңдеуі – Шредингер теңдеуі.
§ 1. Шредингер теңдеуі жəне оның негізгі қасиеттері.
§ 2. Ток үзіліссіздігінің теңдеуі.
§ 3. Шредингер теңдеуінен классикалық қозғалыс теңдеулеріне шектік өту.
§ 4. Операторларды уақыт бойынша дифференциалдау.
Классикалық жəне кванттық Пуассон жақшалары.
§ 5. Эренфест теоремалары.
6-тарау. Кванттық механикадағы сақталу заңдары.
§ 1. Стационар күйлер. Энергияның сақталу заңы.
§ 2. Импульстің сақталу заңы.
§ 3. Импульс моментінің сақталу заңы.
§ 4. Күйлердің жұптылығы жəне жұптылықтың сақталу заңы.
7-тарау. Бір өлшемді қозғалыстардың жалпы қаситтері.
§ 1. Потенциялық шұңқырдағы бөлшек қозғалысы жайындағы есеп.
§ 2. Бөлшектің еркін қозғалысы.
§ 3. Квазиклассикалық жуықтау (ВКБ - тəсіл).
§ 4. Бөлшектің потенциалық тосқауыл арқылы тікелей өтуі. Туннельдік
эффект.
§ 5. Электрондардың металл бетінен салқын эмиссиясы.
8-тарау. Сызықтық гармоникалық осциллятор.
§ 1. Классикалық жəне Бор теорияларындағы гармоникалық осциллятор.
§ 2. Гармоникалық осциллятор энергиясының меншікті мəндері мен
меншікті функциялары.
§ 3. Гармоникалық осциллятордың нольдік энергиясы жəне анықталмағандық қатынас.
§ 4. Гармоникалық осциллятордың сұрыптау ережелері.
9-тарау. Көріністер теориясының негіздері.
§ 1. Координаталық көрініс (х – көрініс).
6
7
7
12
19
28
28
31
39
39
40
42
44
44
50
54
54
59
60
64
67
69
69
70
72
73
74
74
78
84
91
97
100
100
102
108
111
113
113
116
стр.
§ 2. Импульстік көрініс (Р – көрініс).
§ 3. Матрицалық көрініс.
10-тарау. Орталық симмметриялы күш өрісіндегі бөлшек қозғалысының
жалпы теориясы.
§ 1. Сфералық координаттар жүйесіндегі Шредингер теңдеуі.
§ 2. Толқындық функцияның бұрыштық бөлігі үшін Шредингер теңдеуін
шешу.
§ 3. Импульс моменті операторының меншікті мəндері мен меншікті
функциялары.
§ 4. Кванттық жəне классикалық нəтижелерді салыстыру.
11-тарау. Ротатордың кванттық теориясы.
§ 1. Ротатордың меншікті функциялары.
§ 2. Сұрыптау ережелері.
§ 3. Екі атомды молекулалардың спектрі.
12-тарау. Сутегі тəріздес атом теориясы (Кеплер мəселесі).
§ 1. Толқындық функцияның радиалдық бөлігінің шешуі.
§ 2. Сутегі тəріздес атомның кванттық теориясының нəтижелерін классикалық тұрғыдан сипаттау.
§ 3. Сұрыптау ережелері. Сутегі тəріздес атомның сəуле шығару спектрлері
§ 4. Ядро қозғалысын ескеру.
13-тарау. Сəуле шығарудың қарапайым кванттық теориясы.
§ 1. Ерікті жəне еріксіз кванттық өтулер. Эйнштейн коэффициенттері.
§ 2. Ерікті жəне еріксіз өтулердің ықтималдылығын анықтау.
14-тарау. Шредингер теңдеуін жуықтап шешу əдістері.
§ 1. Ұйытқу теориясының негізгі теңдеулері.
§ 2. Энергиялық деңгейлерінің азғындалмайтын жағдайы.
§ 3. Энергиялық деңгейлердің азғын жағдайы үшін ұйытқу теориясы.
§ 4. Штарк эффектісі.
15-тарау. Электронның спині. Сыртқы магнит өрісіндегі атом.
§ 1. Электронның спиндік қасиетінің бар екендігінің тəжірибеде дəлелденуі.
§ 2. Спиндік операторлар. Олардың меншікті функциялары.
§ 3. Электронның спинді ескергендегі толқындық функциясы. Паули
теңдеуі
§ 4. Сыртқы магнит өрісіндегі атом. Қарапайым Зееман эффектісінің
теориясы.
16-тарау. Бірдей бөлшектер жүйесі.
§ 1. Бірдей бөлшектердің ажыратылмау қағидасы.
§ 2. Симметриялы жəне антисимметриялы күйлер.
§ 3. Бозе жəне Ферми бөлшектер. Паули қағидасы.
§ 4. Элементтердің периодтық таблицасы.
17-тарау. Гелий атомының қарапайым теориясы.
§ 1. Моменттерді қосу жəне Рессел – Саундерс байланысы.
§ 2. Пара – жəне ортогелий.
§ 3. Гелий атомының энергиялық спектрі.
Əдебиеттер.
118
120
120
123
130
132
136
136
140
143
150
150
157
159
162
164
164
168
173
173
176
178
181
188
188
192
195
198
207
207
212
215
218
219
219
225
226
229
КІРІСПЕ
Кванттық
механика
атомдық
деңгейдегі
бөлшектердің
қозғалысы
мен
əсерлесулерінің жалпы заңдылықтарын зерттейді жəне осы заңдылықтарға сүйене
отырып атом ядросының, атомның, молекулалар мен қатты денелердің құрылысы
теориялары мен қасиеттерін тағайындайды.
Классикалық физиканың атомдардың қасиеттері мен құрылысын жəне олардың
жарықпен əсерлесуін түсіндіре алмауына байланысты физиканың жаңа бөлігі–
кванттық механика пайда болды.
Кванттық механика, физиканың басқа да бөліктері сияқты, нақты физикалық
құбылыстарды математикалық кескіндер (өрнектер, қатынастар) түрінде сипаттайды.
Бұл кескіндер негізгі математикалық объектілерден: функциялардан, матрицалардан,
операторлардан
жəне
олардың
арасындағы
қатынастардан
құралады.
математикалық образдар мен физикалық объектілер – электрондар, атомдар
Осы
жəне
молекулалар арасындағы сəйкестік негізгі физикалық ұғымдар арқылы тағайындалады.
Бір жағынан, бұл физикалық ұғымдар математикалық заңдылықтар мен əдістерді
пайдалануға болатын математикалық объектілермен сипатталуы қажет, ал екінші
жағынан, физикалық кұбылыстың мазмұны осы физикалық үғымдар арқылы
сипатталатын физикалық құбылыстар мен тəжірибелерді қарастыру нəтижесінде
тағайындалады.
Кванттық механика теориялық физиканың өте тез дамып келе жатқан тарауы.
Ол – кванттық электродинамика, кванттық мезодинамика, қатты денелердің кванттық
теориясы, тағы сол сияқты көптеген жаңа ғылымдардың негізінде жатыр. Бұл оқулық
орыс тілінде жарық көрген көптеген оқулықтар мен қосымша əдебиеттерді
басшылыққа ала отырып жəне педагогикалық институттарда кванттық механиканы
оқытудың қазіргі бағдарламасына сəйкестендіріліп жазылған.
Бұл кітап өзінің алдына қойған мақсаты жөнінен кванттық механикаға тек кіріспе
ғана. Кітаптың негізіне автордың ұзақ жылдар бойы Атырау жəне Ақтау мемелекеттік
университеттерінде
оқыған
лекцияларының
қолжазбалары
алынған.
Кванттық
механика жайындағы білімін əрі қарай жалғастырып, тереңдете түскісі келетін
оқырмандарды кітаптың соңында келтірілген қосымша əдебиеттерге жолдаймыз.
Профессор А.Қ. Ахметов.
1
ТАРАУ
КВАНТТЫҚ МЕХАНИКАНЫҢ ТƏЖІРИБЕЛІК НЕГІЗДЕРІ
§1. Абсолют қара дененің сəуле шығаруы. Планк болжамы.
Электромагниттік құбылыстардың ішінде тепе-теңдік қалыптағы сəуле шығару
құбылысьның алатын орны ерекше. Осы құбылыстың теориясын жасау үрдісі
нде физиканың жаңа бөлімі - кванттық механика тағайындалды. Сырты жылулық
сəуле шығармайтын материалмен қапталған, Т - температураға дейін қыздырылған, іші
қуыс дененің жылу сəулелерін шығаруын тепе-теңдік қалыптағы сəуле шығару деп
қарастыруға болады. Осы қуыста кішкене саңылау жасалса, онда сырттан түсірілген
электромагниттік сəулелер қуыс ішінде түгел қалады, яғни бұл денені абсолют қара
дене ретінде қабылдауға болады.
Қуыстың қабырғалары электромагниттік толқындарды шығарып жəне жұтып ала
алады. Тепе-теңдікте 1 сек ішінде бөлініп шығатын сəулелер мен жұтып алатын
сəулелердің шамалары бірдейлігінен, қуыстың ішінде энергия тығыздығы
U=
(
1
E2 + H 2
8π
)
тұрақты электромагниттік өріс пайда болады.
Қуыстың ішінде жылулық сəулелердің спектрі біртұтас болады. Бұл сəулелердің
спектрлік құрамын қарастыру үшін спектрлік шамаларды енгізу қажет. Жиіліктің
шексіз аз dw аралығы үшін
энергия тығыздығы du осы жиілік аралығына
пропорционал деп қарастыра аламыз:
dU= ρwdw
(1.1)
Коэффициент ρw- сəуле шығарудың спектрлік тығыздығы деп аталады. Жиілігі
нольден шексіздікке дейін өзгеретін біртұтас спектр үшін:
∞
U = ∫ ρ w ⋅ dw
(1.2)
0
Кирхгоф термодинамиканың екінші бастамасына сүйене отырып, абсолют қара
дененің спектрлік тығыздығы оның Т-температурасына ғана байланысты да, оның
қандай материалдан жасалғанына тəуелсіз екендігін дəлелдеді:
ρwdw = ƒ(w,T)dU
(1.3)
Мұнда ƒ(w,T) - универсал функция.
Абсолют қара дененің ішкі қабырғасын осцилляторлардың жиыны ретінде
қарастырып, олардың орташа энергиясы Ē-мен спектрлік тығыздығы арасындағы
байланысты классикалық физика мынадай түрде тағайындалды:
ρw =
w2
E
π 2c3
(1.4)
Энергияның орта мəнін анықтау үшін классикалық статистикалық жүйеде əрбір
еркіндік дəрежесіне 1/2 кТ энергия сəйкес келеді деген теореманы пайдалануға
болады. Ал гармоникалық осциллятордың орташа энергиясы потенциалық энергияның
орта мəніне сəйкес келетіндіктен, орташа энергия кТ-ге тең болады.
Ē = кТ
(1.5)
Орташа энергияның осы мəнін (1.4)-ші қатынасқа қойсақ Рэлей-Джинс өрнегін
аламыз:
w2
кТ
π 2c3
(1.6)
w
ρwdw= w3 ⋅ f  dw
(1.7)
ρw =
Бұл өрнек Вин заңын
T 
қанағаттандырады, себебі (1.6)-шы өрнекті былай жазуға болады:
ρw=
w3
 w
π 2c 3  
 kT 
Вин өрнегі термодинамикаға негізделіп, қорытылған. Сондықтан абсолют қара
дененің сəуле шығаруын түсіндіру үшін ұсынылған кез келген жаңа теориялар мен
болжамдар Вин заңын қанағаттандыруы керек, яғни өрнекке жиіліктің үшінші
w
дəрежесі мен   - қатынасы енуі қажет.
T 
Рэлей-Джинс өрнегі сəуле шығару жиілігінің төменгі мəндерінде тəжірибелік
деректермен сəйкес келеді де, керісінше, жиіліктің мəні артқан сайын эксперимент пен
Вин теориясының арасындағы қайшылық ұлғая береді (1.1-сурет).
Рэлей-Джинс
өрнегін
пайдаланып,
электромагниттік
сəуле
шығару
энергиясының тығыздығын табайық:
∞
w2
⋅ кTdw → ∞
π 2c3
0
U =∫
(1.8)
Бұл нəтиже материалық денелер мен сəуле шығарудың арасындағы тепе-теңдік
тек шексіз сəуле шығару жағдайында ғана болатындығын көрсетеді. Яғни сəуле
шығарушы денелердің осцилляторлары энергияны температура абсолюттік нольге
жеткенше шығара беруі қажет. Бірақ, бұл қорытынды сəуле шығару мен материялық
центрлердің арасындағы тепе-теңдік кез келген температурада бола алады деген
тəжірибелік дерекке қайшы келеді. П. Эренфест (1.8)-ші қатынасты "ультракүлгін
апат" деп атады. Сонымен, классикалық физиканың негізгі заңдарына сүйене отырып,
ешқандай қосымша болжамдарсыз қорытылып шығарылған Рэлей-Джинс өрнегі
абсолют қара дененің сəуле шығару құбылысын түсіндіре алмады.
ρw
ρ0
1,2
1.1-сурет. Абсолют қара дененің сəуле шығару спектрі.
Штрих сызық – Рэлей-Джинс теориясы.
Үзіліссіз сызық – экспериментпен сəйкес
келетін Планк теориясы.
0,9
0,6
ρ 0 = (кТ )3 / π 2 с 3 h 2
w0 = кТ / h
0,3
x=
0
3
6
9
12
w
w0
Абсолют кара дененің сəуле шығаруын түсіндіру үшін М. Планк (1900 ж.)
микроскопиялық денелердің (атомдар, молекулалар) сəуле шығару энергиясы үзіліссіз
емес, үзілісті-дискретті мəндерге ғана ие болады деген болжам ұсынды. Бұл
осциллятордың энергиясы ең аз ε энергиясына еселі, белгілі дискретті мəндерге ғана
ие бола алады:
Е = n ⋅ ε , n = 1,2,3...
(1.9)
Бұл жағдайда энергияның орта мəні
Е=
ε
е
ε / кТ
(1.10)
−1
(1.10)-шы өрнекті (1.4) қатынасқа қойып, сəуле шығарудың спектрлік
тығыздығының өрнегін аламыз:
ρw =
w 2ε
π 2 ⋅ c 3 e ε / кТ − 1
(
)
(1.11)
hw
π c e hw / кТ − 1
(1.13)
(1.11) өрнекті (1.7)-ші термодинамикалық Вин заңдылығына сəйкестендіру
үшін энергия ε жиілік w - ға пропорционал деп алсақ жеткілікті:
ε = hw
(1.12)
Сонда спектрлік тығыздық үшін Планк өрнегіне келеміз:
ρw =
2 3
(
)
мұнда h = 1,05 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с − Планк тұрақтысы.
Жиіліктің аз мəндері үшін ( hw / кТ >> 1 ) (1.13)-ші өрнектегі ехр ( hw / кТ )
экспонентті -( hw / кТ ) бойынша қатарға жіктеуге болады. Егер бұл қатардың тек
сызықтық мүшелерімен шектелсек
e hw / кТ ≅ 1 +
hw
кТ
(1.14)
онда (1.13) Планк өрнегі Рэлей-Джинс өрнегіне ауысады. Ал, жиіліктің жоғары
мəндерінде ( hw / кТ >> 1 ) (1.13)-ші өрнектің бөліміндегі бірлікті ескермеуге болады,
сонда спектрлік тығыздықтың өрнегі
hw
3
ρw =
hw − кТ
e
π 2c3
(1.15)
Жылулық сəуле шығарудың спектрлік тығыздығы мен жиіліктің арасындағы
тəуелділікті сипаттайтын (1.13)-Планк өрнегі тəжірибеге дəл сəйкес келеді (1.1-сурет).
Енді электромагниттік сəуле шығару энергиясының тығыздығын анықтасақ:
∞
∞
h
w 3 dw
k 4T 4 x 3 dx
U = 2 3 ∫ hw / kT
= 2 3 ∫ x
π c 0e
−1 π c h 0 e −1
Мұнда х =
hw
π4
белгілеу енгізілген жəне интегралдың
тең болатындығын ескерсек,
kT
15
төмендегідей қатынас аламыз:
∞
hw 3 dw
π 2k 4 4
U = ∫ 2 3 hw / kT
=
T = σT 4
3 3
− 1) 15c h
0 π c (e
(1.16)
Бұл Планк болжамы ұсынылғанға дейін белгілі тəжірибелік деректерге сүйеніп
тағайындалған Стефан-Больцман заңы. Мұнда
σ = π 2 k 4 / 15c 3 h 3 = 7.56 ⋅ 10 −15 ' эрг см −3 град −4
(1.17)
(1.17) қатынастан Планк тұрақтысының мəнін табуға болады. Планк тұрақтысын
Виннің ығысу заңымен де байланыстыруға болады:
λ max ⋅ T = 2πch / 4.965k = b
(1.18)
мұнда b = 0,29 см град.
Сонымен, Планк болжамына сəйкес жылулық сəуле шығару немесе жұту сияқты
процестер кванттық түрде жүреді, яғни бұл процестердегі микробөлшектердің
энергиялары классикалық физикадағыдай үзіліссіз түрде емес, керісінше, үзілістідискретті мəндерге ғана ие болады.
§2. Жарық кванттары
Абсолют қара дененің ішкі қабырғасын осцилляторлардан тұрады деп алып, олар
энергияны үзілісті түрде шығарады деген Планк болжамының жеткілікті физикалық
негізі болмады. Сондықтан А. Эйнштейн (1905 ж.) бұл болжамды дамытып, тек
абсолют қара дененің жылулық сəуле шығаруы ғана емес, электромагниттік
сəулелердің өзі де жеке бөлшектерден-фотондардан тұрады деген жаңа, тың болжам
ұсынды. Яғни, Эйнштейн теориясы бойынша, электромагниттік өріс тыныштық
массасы нольге тең бөлшектерден-фотондардан тұрады. Бұл болжам бойынша
электромагниттік өріс энергиясы:
E = hw
(1.19)
импульсі:
r
r
p = hk
(1.20)
r
фотондардан тұрады. Мұндағы: k =
2π r 0
2π
k − толқындық вектор, k =
− толқындық сан.
λ
λ
Фотондар болжамына сүйене отырып, Эйнштейн (1905 ж.) фотоэффект құбылысының
теориясын жасады. Фотоэффект деп электромагниттік сəуленің əсерінен металдардан
электрондардың ұшып шығу процесін айтады. 1.2-суретте жарықтың əсерінен
болатын фотоэффект құбылысын бақылайтын тəжірибелік қондырғының схемасы
келтірілген. Ауасы сорып алынған колбадағы А жəне В металл пластиналарының
арасындағы потенциалдар
айырмасы V болсын.
Пластиналар
вакуумда
болғандықтан тізбекте ток жүрмейді. Пластиналардың бірінің ішкі бетіне жарық
ағынын түсіргенде тізбекте электр тогының пайда болатындығын гальванометр С –
стрелкасының қозғалуынан білуге болады. Токтың жүру себебі – жарық сəулелері
пластина бетінен электрондарды жұлып шығаруы немесе пластиналардың арасындағы
кеңістікте бос электрондардың пайда болуының нəтижесі.
S
*
A
B
G
1.2-сурет. Тəжірибелік
қондырғының схемасы.
Жарықтың жиілігі тұрақты болған жағдайдағы металл бетіне түсетін жарықтың
қарқындылығы мен фотоэффект тогының арасындағы тəуелділік 1.3-суретте
келтірілген.
I
1.3 сурет. Фотоэффект тогының жарық
қарқындылығына тəуелділігі.
V
i
Эйнштейн фотоэффект құбылысындағы электрондармен əсерлесетін жарық
ағынын толқын түрінде емес, корпускулалар ағыны – кванттар ретінде қарастыруды
ұсынды. Электродты жарықтандырған кезде жарық кванттары электрондармен
əсерлеседі, квант жұтылады да, оның энергиясы электронға беріледі. Электронның
максимум энергиясы мынадай қатынас бойынша анықталынады:
mϑ 2
= hw − A
2
(1.21)
мұндағы: hw - металл бетіне түсетін фотондардың энергиясы, А – электрондардың
металл бетінен шығу жұмысы. Бұл теңдеу бойынша фотоэлектрондардың энергиясы
mϑ 2
- жарық сəулелерінің тығыздығына тура пропорционал. Егер электрондардың
2
энергиясын U -үдеткіш потенциал арқылы e0U = m0ϑ 2 / 2 қатынасынан анықтасақ,
(U , w) - графигіндегі түзудің көлбеулігі h / e0 шамасына тең болады (Милликен тəжі-
рибесі). Тəжірибеден көлбеулікті анықтап жəне элементар зарядтың e0 = 1,6 ⋅ 10 −19 K
мəнін пайдалансақ, Планк тұрақтысы h - тың сан шамасын есептеп шығаруға болады.
Милликен тəжірибесінен анықталған Планк тұрақтысының шамасы абсолют қара
дененің теориясы есептеген h -тың мəнімен бірдей болды. Бұл (1.21)-ші теңдеуді
фотоэффект құбылысына пайдаланудың дұрыс екендігін көрсетеді.
Фотоэффект процесі жүруі үшін металл бетіне түсетін жарықтың жиілігі
мынадай шартты қанағаттандыруы қажет:
W>
A
h
(1.22)
Эйнштейн ұсынған жарықтың кванттық теориясы фотоэффект
кұбылысын
зерттеу нəтижесінде тағайындалған заңдылықтарды толық түсіндіре алды. Кеңістікте
электромагниттік толқын түрінде таралатын жарықтың фотоэффект құбылысында
бөлшектік табиғаты айқын байқалды.
Эйнштейннің фотондар теориясының дұрыстығы рентген сəулелерінің еркін
(байланысы əлсіз) электрондарда шашырауын зерттеу нəтижесінде толық дəлелденді
(Комптон эффектісі, 1923 ж.). Комптон тəжірибесінің схемасы 1.4-ші суретте
көрсетілген. Рентген трубкадан шыққан сəулелер R графитте шашырайды да, бірнеше
саңылаулардан өткеннен кейін рентгендік спектрографтың кристалына келіп түседі.
Рентген трубкасының осі мен R-радиаторды бірге бұру нəтижесінде θ − шашырау
бұрышын өзгертуге болады. 1.5-ші суретте шашыраған сəулелердің қарқындылығы
шашырау бұрышының өзгеруіне байланысты үлестірілуі берілген. Графиктен мынадай
заңдылықтарды байқауға болады:
кристалл
θ
R
T
1.4-сурет. Комптон тəжірибесінің схемасы.
1) шашыраған сəулелердің арасында толқын ұзындығы - λ , алғашқы рентген
сəулелерімен қатар, толқын ұзындығы λ ′ сəулелер де кездеседі;
2) толқын ұзындығының өзгеруі ∆λ = λ − λ ′ шашырау бұрышына тура
пропорционал;
3) шашырау бұрышы артқан сайын түскен рентген сəулелерінің интенсивтілігі
төмендеп, шашыраған сəулелердің қарқындылығы арта береді.
А
MD
С
900
D
1360
К - сызық
В
450 шашыраған
сəулелер
6 0 30 ′
70
7 0 30 ′
1.5-сурет. Графиттегі Комптон эффектісі.
6 0 30 ′
70
7 0 30 ′
Енді осы Комптон эффектісінің қарапайым теориясын құрастырайық. Егер
жарықта бөлшектік қасиет болмай, оны тек толқын деп қарастырсақ, онда дифракция
құбылысы бойынша, жарық толқындары тарау жолындағы кедергілерді айналып өтуге
тиіс. Яғни, классикалық теория бойынша еркін электрондарда шашыраған жарықтың
жиілігі өзгермейді (w = w′) . Ал, кванттық теория бойынша, фотон энергиясының белгілі
бір бөлігін электронға беріп, оның шашырағаннан кейінгі жиілігі бастапқы жиіліктен
кем болады.
r
hω ′, hк ′
r
hω , hк
θ
r
mυ
1.6 – сурет. Комптон тəжірибесінің диаграммасы
Рентген сəулелерін шашыратқыштар ретінде құрамындағы электрондары
атомдармен əлсіз байланысқан денелер (парафин, графит) алынған. Рентген
сəулелерінің энергиясы өте үлкен болғандықтан есептеулерде атомдағы
электрондардың энергияларын ескермей, оларды еркін, тыныштық күйде деп
қарастыра аламыз. Сондықтан əсерлескенге дейін электронның энергиясы E 0 = m0 c 2 ,
ал, импульсы Р0 нольге тең деп қабылдаймыз (1.6-сурет).
Рентген сəулелерімен соқтығысқаннан кейін электрондар өте үлкен энергия алуы
мүмкін болғандықтан, есептеулерде бөлшектердің массалары үшін салыстырмалы
теорияның негізгі өрнектерін пайдаланамыз:
E e = mc 2 ;
m0
m=
(1.23)
1−ϑ 2 / c2
Жарық жиілігінің шашырау бұрышына тəуелділігін анықтау үшін, фотондарды
бөлшектер деп қарастырып, энергия мен импульстің сақталу заңдарын жазалық:
hw + mc 2 = hw′ + m0 c 2
(1.24)
r
r
r
hк = hк ′ + mϑ
(1.25)
бұдан
mc 2 = h ( w − w′) + m0 c 2
r
r r
mϑ = h ⋅ (к − к ′)
теңдеудің екі жағын да квадраттап, толқындық санның к =
w
c
екендігін ескеріп,

теңдеулерді қоссақ, теңдеулердің сол жағы: m 2 ⋅ c 4 − m 2 ⋅ c 2 ⋅ ϑ 2 = m 2 ⋅ c 4 1 −

сонда жалпы тендеу:
(
)
(
)
ϑ2 
 = m02 ⋅ c 4
c 2 
m02 ⋅ c 4 = m0 ⋅ c 4 + h 2 w 2 − 2 ww′ + w′ 2 − h 2 w 2 − 2ww′ cos θ + w′ 2 + 2m0 ⋅ c 2 ⋅ h(w − w′)
2
Жақшаларды ашып ұқсас мүшелерді жинақтайық, сонда:
m0 ⋅ c 2 (w − w′) = hww′(1 − cosθ )
2
Мұнда θ − рентген сəулелерінің шашырау бұрышы. Енді
толқын ұзындығын пайдаланамыз:
(λ − λ ′) ⋅
w
= λ рентген сəулелерінің
c
m0 c
θ
= 2 sin 2
2πh
2
λ ′ - шашыраған рентген сəулелерінің толқын ұзындығы. Сонда рентген сəулелерінің
толқын ұзындықтарының өзгерісі:
∆λ = (λ − λ ′) = 2 ⋅ λ 0 ⋅ sin 2
мұндағы λ0 =
θ
(1.26)
2
2πh
= 2,426 ⋅ 10 −11 см -электронның комптондық толқын ұзындығы.
m0 c
Сонымен, жарық сəулелерінің əрі толқындық, əрі бөлшектік қасиеттері
(бөлшектік – толқындық дуализм) бар екендігін байқадық. Комптон эффектісінің
кванттық теориясы электрон мен жарық квантының арасындағы импульстық,
энергиялық, бұрыштық байланыстарды толық сипаттай алды.
§ 3. Атомның планеталық моделі. Бор постулаттары.
Атомның Бор – Резерфорд жасаған моделі Планктың кванттар жөніндегі болжамын атом құрылысына пайдаланудың алғашқы қадамы болды. Бор теориясының
негізіне Резерфорд тағайындаған атомның планеталық моделі алынған. Резерфорд
моделін классикалық теория тұрғысынан қарастырайық.
у
θ
2е0
υ
в
r
r
φ
х
+ Ze0
1.7-ші сурет.
Мұнда Ze0 - ядроның заряды, θ − зарядталған бөлшектің атом ядросында шашырау
бұрышы, ϕ − азимуттық бұрыш.
Заряды + Ze0 ядро мен сыртқы электрондық қабықшасында бір электрон бар
жүйені қарастырайық. Мұндай жүйелер – сутегі тəріздес атомдар деп аталады (сутегі,
литий, натрий т.б.). Полярлық координаттар системасында ( r , ϕ ) электронның
жылдамдығы
υ 2 =υ 112 +υ 21= &r 2 + r 2ϕ& 2 (1.27)
r& =
dr
dϕ
, ϕ& =
dt
dt
T=
m0
⋅ r& 2 + r 2ϕ& 2
2
Кинетикалық энергия:
Потенциялық энергия:
(
U (r ) = −
)
(1.28)
Ze02
r
(1.29)
m0 - электронның массасы. Осы жүйені сипаттайтын Лагранж функциясы:
L = T −U =
(
)
m0 2 2 2 Ze02
⋅ r& + r ϕ& +
2
r
(1.30)
Жеке, тəуелсіз қозғалыстар үшін жалпы түрдегі қозғалыс теңдеулері:
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂q& i ∂qi
(1.31)
мұндағы qi − жалпылама координаттар, q& i − жалпылама жылдамдықтар, i − 1,2,3,... жүйенің еркіндік дəрежесі.
Енді біздің жағдайымыз үшін (1.31)-ші теңдеулерді мынадай түрде жазуға болады:
d
∂L
=0
Pr −
∂r
dt
(1.32)
d
∂L
Pϕ −
=0
dt
∂ϕ
(1.33)
∂L
= 0 , сонда
∂ϕ
Pϕ = m0 r 2 ⋅ ϕ& = const
ϕ - циклдік координата болғандықтан:
(1.34)
(1.34)-бұрыштық моменттің сақталу заңы. Энергияның сақталу заңы (1.30)-Лагранж
функциясына уақыттың айқын түрде енбегендігінен шығады ( E = T + U = const ).
Қарастырып отырған есебімізді жеңілдету үшін, атомдағы электронның
орбитасын дөңгелек деп алалық:
r = const ,
r& = 0 , Pr = m0 r& = 0
(1.35)
сонда:
dL
= 0 немесе:
dr
Ze 2
dL m0
=
⋅ rϕ& 2 − 20 = 0 бұдан:
dr
2
r
Ze 2
ϕ& 2 = 30
r
(1.36)
Сонда жүйенің энергиясы:
E = T + U ( r ) = 1 / 2 ⋅ U (r )
(1.37)
П. Эренфест атомды сипаттайтын негізгі параметрлерді жүйенің адиабаттық
инварианты деп аталатын шама арқылы өрнектеуді ұсынды:
(1.38)
∫ Pi dq i = J i
мұндағы Pi − жалпылама импульстар, qi − жалпылама координаттар. Адиабаттық
инварианттар системаның параметрлері баяу (адиабаттық) өзгергенде тұрақты болуы
қажет. Біздің жағдайымызда жүйенің тек бір еркіндік дəрежесі болғандықтан:
Pϕ = m0 r 2ϕ& =
бұдан
ϕ& 2 =
J
2π
J2
4π 2 m 20 ⋅r 4
(1.39)
(1.40)
(1.36)-шы жəне (1.40)-шы формулалардан:
r=
J2
4π 2 m0 Ze 20
ϕ& = w = 2πv =
атомның толық энергиясы:
8π 3 m0 Z 2 e 40
J3
Ze 20
m0 Z 2 e 40
2
Е=−
= −2π =
r
J2
(1.41)
(1.42)
(1.43)
электронның сəуле шығару жиілігі
w0 dE 4π 2 m0 Z 2 e 40
v0 =
=
=
2π dJ
J3
v = к ⋅ v 0 , к = 1,2,3,...
(1.44)
(1.45)
Сонымен, атомның классикалық теориясы бойынша электронның сəуле шығару
жиілігі электронның механикалық айналу жиілігіне тең немесе пропорционал.
Классикалық электродинамикада үдемелі қозғалыстағы зарядталған бөлшек үзіліссіз
энергия бөліп шығаруы қажет:
−
dE 2e 02 a 2
=
dt
3c 3
(1.46)
яғни, атомның Резерфорд ұсынған планетарлық моделі бойынша, ядроны айнала
қозғалатын электрон үзіліссіз энергия бөліп шығара отырып, белгілі бір уақыттан
кейін ядроға құлауы керек. Бірақ бұл тұжырым атомның электрлік бейтарап жəне
орнықты жүйе екендігіне қайшы келеді. Осы қайшылықты жою үшін Бор (1913 ж.)
атомның классикалық планеталық моделін төмендегідей екі постулатпен толықтырды.
1 постулат: Əрбір атом дискретті стационар күйлерге ие, бұл күйлердегі
электрондар үдей қозғалғанмен де, энергия бөліп шығармайды. Бор теориясы
бойынша, бұл стационар күйлер адиабатты инварианттарды h − Планк тұрақтысын
кванттау арқылы анықталады.
(1.47)
∫ Pi dq i = J i = nh
мұнда n − кванттық сан, ол тек бүтін мəндерге ие болады. n = 1,2,3,...
2 постулат: Электрон энергиясы E n , n кванттық күйден, энергиясы E n′ − n′
квант- тық күйге E n′ < E n ауысқанда атом энергиясы тең сəуле бөліп шығарады жəне
бұл сəулелердің жиілігі мынадай қатынас бойынша анықталады:
Wnn′ =
E n − E n′
h
(1.48)
Бор постулаттарының дұрыстығы 1913 ж. Франк-Герц тəжірибесінің негізінде
тағайындалды. Атом күйлерінің дискретті екендігі Франк-Герц (1913 ж.)
тəжірибелерінде дəлелденді (1.8 сурет). Қыздырылған катодқа U − үдеткіш потенциал
берілсін. Үдетілген электрондар қысымы I атм сынап буында қозғалып алдына А тор
орналасқан В пластинаға бағытталады. Тор мен пластинаның арасына U к − кедергі
потенциал берілген (~ 0,5 В). Сонда энергияларының шамасы осы кедергі
потенциалдан артық электрондар ғана В пластинаға жетеді. Гальванометр пластинаға
түскен электрондардың тогын көрсетеді.
Uк
К
1.8 сурет. Франк – Герц
тəжірибесінің схемасы.
Г
U
А
В
Тəжірибеде вольтамперлік тəуелділік зерттелген (1.9 сурет). Ток максимумдары
бірінен бірі бірдей қашықтықта орналасқан. Бірінші максимум U = 4,1 В нүктесінде, ал
қалған максимумдардың арасы 4,9 В тең. Вольтамперлік тəуелділіктің графигін
түсіндіру үшін электрондар сынап атомдарымен серпімсіз соқтығысқанда, атомдар
шамасы 4,9 В болатын дискретті энергияны жұтып алады деп қабылдау қажет. Ал,
электрондардың энергиясы
4,9 Вольттан кем жағдайда, олардың атомдармен
соқтығысуы серпімді түсуге жеткілікті болады. Яғни, В пластинаға соқтығысуынан
серпімді электрондар ғана келіп түседі, сондықтан потенциалдар айырымы 4,9 В
болғанда ток күші төмендей бастайды. Электрондардың бөлігі серпімсіз соқтығысудан
кейін А тордан өтіп, В пластинаға түсуге жеткілікті потенциалдар айырымында ток
күші кері ұлғая бастайды. Потенциалдар айырымы 9,8 В болғанда, электрондар бірінші
серпімсіз соқтығысудан кейін торға екінші серпімсіз соқтығысуға жеткілікті 4,9 В
энергиямен жетеді. Екінші серпімсіз соқтығысқаннан кейін электрон энергиясынан
түгел айырылып В пластинаға жете алмайды. Сондықтан ток күші кері төмендей
бастайды (графиктегі екінші максимум). Кейінгі максимумдар да осылай түсіндіріледі.
Тəжірибеден сынап атомдарының негізгі күйі мен бірінші қозған күйінің
энергияларының айырымы 4,9 В, яғни атомның күйлері дискретті болады деген
тұжырымға келеміз.
І
1.9 сурет. Франк – Герц тəжірибесіндегі
Вольтамперлік тəуелділік.
4,1
9,0
13,9
18,8
U; B
Бор постулаттарын сутегі тəріздес атомдар теориясын құруға пайдаланайық.
(1.47)-ші қатынаста бір ғана айнымалы бар: qi = ϕ Сонда:
J = 2π ⋅ nh
(1.49)
Бұдан: n - ші орбитаның радиусы (1.41)-ші өрнектен:
rn =
n2h 2
m0 Ze02
(1.50)
n деңгейдегі электронның энергиясы
En = −
егер n = 1 болса,
m0 Ze04
2h 2 n 2
h2 1
1
r1 =
⋅ = a0
2
Z
m 0 e0 Z
мұндағы
h2
a=
= 0,529 ⋅ 10 −8 cм
2
m0 e0
(1.51)
(1.52)
(1.53)
электронның 1- ші бор орбитасының радиусы.
Енді бор орбиталарымен қозғалатын электронның толық энергиясын табалық.
Бұл энергия потенциялық энергия:
Ze02
Z 2 e04 m0
U (r ) = −
=− 2 2
rn
h n
мен кинетикалык энергияның
қосындысына тең болады:
(1.54)
m0ν n2 1 Z 2 e04 m0
T=
=
2
2 h 2n2
(1.55)
1 Z 2 e04 m0 1
⋅ 2
En = T + U = − ⋅
2
h2
n
(1.56)
Сонда бірінші бор орбитасындағы электронның энергиясы:
En = −
Z 2 e04 m0
2h 2
(1.57)
Электрон бір орбитадан келесі орбитаға ауысқанда бөлінетін сəуленің жиілігі
Wnn′
m0 e04
1 
1 
 1
 1
=−
⋅ Z 2  12 − 2  = RZ 2  12 − 2 
3
2h
n 
n 
n
n
(1.58)
(1.58)-ші өрнек Бальмер формуласы деп аталады, ол Бор постулаттарынан бұрын
тəжірибе негізінде тағайындалған (1885 ж.).
R=
m0 e04
= 2,07 ⋅ 1016 c −1 - Ридберг тұрақтысы.
3
2h
Бальмер формуласы мен Ридберг тұрақтысының мəндерінің дұрыс алынуы Бор
теориясының негізгі жетістіктерінің бірі болды. Жартылай кванттық теория болып
табылатын Бор теориясының негізгі кемшіліктері мыналар:
Біріншіден, бұл теория бойынша спектрлік сызықтардың тек жиіліктерін
есептеуге болады, ал олардың қарқындылығын есептеу мүмкін болмады.
Екіншіден, Бор теориясын пайдаланып, көп электронды атомдар теориясын
жасау мүмкін емес.
Сондықтан Н. Бор негізгі постулаттарды сəйкестендіру кағидасымен толықтыруды ұсынды. Бұл қағидаға сəйкес тəжірибеде дəлелденген ескі теорияның негізгі
қорытындысы жаңа теорияның шекті жағдайы болуы тиіс. Мысалы: кванттық
механиканың нəтижелері h → 0 жағдайда толығынан классикалық теорияның
нəтижелеріне айналуы керек.
2 ТАРАУ
БӨЛШЕКТЕРДІҢ ТОЛҚЫНДЫҚ ҚАСИЕТТЕРІ
§ 1. Де Бройль болжамы
Жарықтың бөлшектік жəне толқындық қасиеттері тəжірибеде дəлелденген.
Жарықтың осы қасиеттеріне сүйене отырып француз физигі Луи де Бройль
бөлшектердің де толқындық қасиеттері бар деген болжам жасады (1924). «Оптикада,деп жазады ол, – жүздеген жылдар бойы жарықтың тек толқындық қасиеттері
қарастырылып, корпускулалық қасиеттеріне толық көңіл бөлінбеді, ал материя
теориясында осыған керісінше қате жасалынған жоқ па екен? Мүмкін біз "бөлшек"
көрінісі жайында көбірек ойлап, толқындық көрінісіне енжар қараған шығармыз?» Де
Бройль қойған негізгі сұрақ осы болды. Материялық бөлшектердің толқындық
қасиеттері бар деп болжаудың мынадай себептері болды: XIX ғасырдың басында
Гамильтон геометриялық оптика мен механиканың арасында терең ұқсастық бар
екендігін байқады. Əртүрлі табиғат құбылыстарын сипаттайтын физиканың негізгі екі
саласының негізгі заңдылықтарын математикалық жағынан бірдей түрде тепе-теңдік
формада беруге болатындығы тағайындалды. Де Бройль болжамы бойынша энергиясы
E = mc 2
импульсі
(2.1)
r
r
Р = mυ
массасы
m = m0
Бөлшектер ағынына энергиясы:
1 − !1 − υ
2
c2
E = hw
r
r
P = hk
импульсі
(2.2)
(2.3)
(2.4)
толқындар сəйкес келеді.
(2.1-2.4) қатынастардан бөлшектің толқындық жəне корпускулярлық қасиеттерін
байланыстыратын мынандай қатынас аламыз:
h
h
=
(2.5)
λ
P mυ
λ - бөлшектің де Бройль толқын ұзындығы, h = 2πh .
Егер материялық бөлшек потенциялық U ( x, y, z ) өрісте қозғалса, жарық сəулесі
P=
h
немесе λ =
қозғалысын көрсеткіші µ ( x, y, z ) оптикалық біртекті емес ортада қарастыруға болады.
Мұндай ұқсастық тек классикалық механика мен геометриялық оптиканың арасында
ғана болады. Бірақ геометриялық оптика жарықтың барлық қасиеттерін түгел түсіндіре
алмайды. Интерференция, дифракция сияқты құбылыстарды түсіндіру үшін
толқындық оптиканы пайдалану қажет. Ал геометриялық оптика толқындық
оптиканың шектік жағдайы болып табылады. Екінші жағынан, механиканың да
қолданылу шегі бар. Мысалы, ол атомдық жүйелердегі энергиялық деңгейлердің
дискреттілігін түсіндіре алмайды. Де Бройльдің негізгі идеясы механика мен
оптиканың арасындағы ұқсастықты кеңейтіп, толқындық оптиканы классикалық
механикаға қарағанда тереңірек, атомдық деңгейдегі құбылыстарды түсіндіре алатын
толқындық механикаға сəйкестендіру. Электрондардың толқындық қасиеттерінің бар
екендігі Дэвидсон-Джермер тəжірибесінде, электрондардың дифракция құбылысын
бақылау нəтижесінде тағайындалды. (2.1 сурет).
Э. З.
G
2.1-сурет. Дэвидсон-Джермер
тəжірибесінің схемасы.
θ
шашыраған
электрондар
Ni
Электрондық зеңбіректен (Э.З.) ~ 50 эВ энергиямен шыққан электрондар никель кристалына перпендикуляр бағытталған. Кристалл бетін жазық дифракциялық
тор ретінде қарастырьш,
одан шығатын
электрондардың қандай
бұрышқа
бағытталатынын гальванометр арқылы анықтайды. Егер электрондардың
дифракциялық қасиеті болса, онда дифракциялық максимумның орнын төмендегіше
анықтайды:
1 ⋅ 2 ⋅ 10−7
d sin θ = nλ немесе d sin θ = n ⋅
U
потенциал,
n − дифракциялық
максимумның
U − үдеткіш
d − дифракциялық тор тұрақтысы.
(2.6)
орналасу
реті,
Тəжірибенің нəтижелері 2.2-ші суретте келтірілген. Дэвидсон-Джермер
тəжірибелері электрондардың толқындық қасиетінің бар екендігін жəне (2.5)-ші де
Бройль формуласының дұрыс екендігін дəлелдеді.
J
2.2-сурет. Шашыраған электрондардың
қарқындылығының бөлшектердің
энергиясынан тəуелділігі.
U
2. Фазалық жəне группалық жылдамдықтар. Толқындық пакет.
Де Бройль бос бөлшектердің козғалысын толқындық функциямен сипаттауды
ұсынды. Жеке жағдайда мұндай функцияның орнына жарық қозғалысын сипаттайтын
монохроматты жазық толқынды пайдалануға болады:
ψ ( x, t ) = Ae
x

− 2πi  vt − 
2

(2.7)
i
( Et − px )
немесе
ψ ( x, t ) = Ae −i ( wt − kx ) = Ae h
(2.8)
Де Бройль толқындарының кеңістікте таралуын қарастырып, олардың фазалық
жəне топтық жылдамдықтарын табалық. Егер толқын х нүктесінен X = x + ∆X
нүктесіне ∆t уақыттың ішінде орын ауыстырса яғни ∆t ішінде фаза ϕ = (Et − px )
i
х
h
нүктесінен х1 нүктесіне ауысады, сонда фазаның тұрақтылық шартынан
Et1 − px1 = Et − px = const
E (t1 − t ) − p( x1 − x) = 0
(2.9)
бұдан фазалық жылдамдық
u=
∆x E c 2
= =
>c
∆t
p ϑ
(2.10)
(2.10)-қатынастан микробөлшектер қозғалысына сəйкес келетін монохроматты жазық
толқынының фазалық жылдамдығының жазық жылдамдығынан артық болатындығын
көреміз. Арнайы салыстырмалы теориясы бойынша бөлшектердің таралу
жылдамдығы, жалпы кез келген мəліметтің берілу жылдамдығы жарық
жылдамдығынан артық болмауы тиіс. Сондықтан (2.10)-қатынас монохроматты жазық
толқындардың жеке бөлшектердің қозғалысын сипаттай алмайтындығын көрсетеді.
Жеке бөлшектердің қозғалысын сипаттау үшін жиілігі біріне бірі жақын, бірнеше
монохроматты жазық толқындарды жинастырып, толқындық пакет құрған дұрыс.
Мұндай толқындық пакеттің қорытқы амплитудасын бөлшектің кеңістіктің əртүрлі
нүктелерінде болуы ықтималдығымен байланыстыруға болады. Толқындық пакеттің
қорытқы
амплитудасының
таралу
жылдамдығы,
бөлшектердің
топтық
жылдамдығынан кем, ал Де Бройль толқындары үшін толқындық пакеттің фазалық
жылдамдығы бөлшектердің топтық жылдамдығына тең болатындығын дəлелдейік. Ол
үшін толқындық сандары
к0 −
∆к
мен
2
к0 +
∆к
2
аралығында жататын жазық толқындардан толқындық пакет құрамыз. Мұндай
пакеттің таралуын сипаттайтын толқындық функция
Ψ(x, t ) =
к0 +
∫
к0 −
∆к
2
∆к
2
а(к)l −i( wt−кх) dx
(2.11)
A
яғни берілген аралықта тұрақты деп
∆к
қарастырайық. w = f (k ) функциясын k = k 0 нүктесінің аймағында Тейлор қатарына
мұнда w = f (к ) , ал амплитуда a(к ) =
жіктейміз:
w = w(к 0 ) + к − к 0 )
∂w
∂к
к = к0
+
(к − к 0 ) 2 ∂ 2 w
⋅ 2
2!
∂к
(2.12)-ші қатардың алғашқы екі
ретті аз шама деп ескермеген мүшеміз:
w2 =
к = к0
+ ... = w0 + w1 + w2 ...
мүшесімен
(2.12)
шектелелік, w = w0 + w1 . Екінші
(к − к 0 ) 2 ∂ 2 w
2
∂к 2
(2.13)
Сонда (2.11) толқындық функция мынадай түрге келеді:
Ψ ( x, t ) = Be −i ( w0t −к0 x )
мұнда B = A
sin ξ
(2.14)
(2.15)
ξ
ξ=
∆к
( x − w0′ ⋅ t )
2
(2.16)
(2.15), (2.16)-шы қатынастардан микробөлшек қозғалысын сипаттайтын толқындық
пакеттің кеңістікте де, уақыт бойынша да тұрақты болмайтындығын көреміз. Енді
толқыңдық пакеттің қозғалыс жылдамдығын табу үшін амплитуданың белгілі бір
мəнінде ξ
∆к
( x − w0′ ⋅ t ) = соnst
2
деп қарастырып, бұдан жылдамдық U
ξ=
U =
(2.17)
∂x
∂w
= w0′ =
∂t
∂к
(2.18)
∆к
x
2
(2.19)
Толқындық пакеттің кеңістікте шоғырлануын қарастыралық. (2.17)-ші өрнектен
t = 0 деп алсақ, онда
ξ=
Толқындық пакеттің амплитудасының квадраты, өзінің максимум мəніне ξ → 0
болғанда жетеді:
B 2 = A2
(2.20)
Амплитуда
квадратының басқа салыстырмалы максимумдерінің мəндері
3π 5π 7π
,±
,±
... үшін амплитудалар:
2
2
2
4
4
 3π 
 5π 
2
2
B2±
, B2±
,...
= A
= A
2
9π
25π 2
 2 
 2 
Ал, ξ = ±π ,±2π ,... мəндерінде толқындық пакеттің амплитудасы нольге тең.
ξ =±
(2.21)
Толқындық пакеттің кеңістікте шоғырлануының негізгі облысы [− π ,+π ] аралығы.
Яғни
1
2
ξ = (2ξ 0 ) =
1
∆k ⋅ ∆x = π
2
(2.22)
Бірақ толқындық пакеттің амплитудасы бұл облыстың сыртында да нольден өзгеше
болатындықтан (2.22) теңдікті теңсіздікпен алмастыралық:
∆k ⋅ ∆x ≥ 2π
(2.23)
(2.23)-шы өрнектен монохроматты жазық толқындардан кұрылған толқындық пакеттің
микробөлшектердің қозғалысын сипаттай алмайтындығын көреміз. Енді толқындық
пакеттің уақыт бойынша шоғырлануын қарастыралық, ол үшін (2.16) қатынастан х = 0
деп алсақ
ξ =−
∆k
⋅w
2
(2.24)
Жоғарыдағы талдауды қайталасақ, төмендегі қатынасқа келеміз
∆w ⋅ ∆t ≥ 2π
(2.25)
Толқындық пакеттің кеңістікте таралуында екінші ретті аз шама деп ескерілмеген
мүшенің толқындық процеске тигізетін əсерін қарастыралық:
w2 =
(k − k 0 ) 2 ∂ 2 w
⋅ 2
2!
∂k
k = k0
Егер толқындық пакеттің дисперсиясы болмай, яғни пакет тек монохроматты жазық
толқындардан тұрса, онда (2.13) теңдеуді ескермеуіміз дұрыс. Себебі, мұндай
кеңістікте пакет өзгермейді, тұрақты фазалық жылдамдықпен қозғалады. Керісінше,
дисперсия құбылысы болса, онда (2.13) мүшені ескермеу мүмкін емес, себебі мұндай
толқындық пакеттің фазалық жылдамдығы тұрақты болмайды, толқындық пакеттің
формасы уақыт бойынша өзгеріп, сейіле бастайды.
Осы алынған нəтижелерді де Бройль толқындарына қолданайық (2.3 сурет).
(2.18)-ші қатынас бойынша толқындық пакеттің жылдамдығы мынаған тең:
∆Р
∆x ~ π
2h
фазалық жылдамдық
∆ξ =
группалық жылдамдық
u =v
U =
c
v
ξ=
-2π
π
-π
∆Р
x
2h
2π
-1
Сурет 2.3. Де Бройль толқындарынан кұрылған толқындық
пакеттің кеңістіктегі t уақыт моментіндегі формасы.
υ =
∂w ∂Е
=
∂k ∂Р
(2.26)
Ал бөлшектің энергиясы E = p 2 c 2 + m 2 c 4 бұдан
v=
pc 2 mvc 2
=
=v
E
mc 2
(2.27)
яғни де Бройль толқындарынан тұратын толқындық пакеттің топтық жылдамдығы
бөлшектің қозғалыс жылдамдығына тең. (2.24) қатынасты түрлендіру нəтижесінде
2π h
= ,
к
p
∆к =
2π∆p
h
(2.28)
мұндай өрнекке келуге болады:
∆p ⋅ ∆x ≥ h
(2.29)
(2.29) теңсіздік кванттық механикада анықталмаған қатынас деп аталады, оны В. Гейзенберг тағайындаған. Бұл қатынас бойынша микробөлшектердің координаталары мен
импульстерін нольге тең дəлдікпен анықтау мүмкін емес. Сондықтан кванттық
механикада классикалық физиканың негізгі ұғымдарының бірі– материалдық нүктенің
траекториясы ұғымы өзінің мағынасын жояды. Мысалы, атомдағы электронның
траекториясының болмауы, оның басқа да динамикалық характеристикаларының
жойылуына соқтырады. Бұл тек кванттық объектілерден тұратын жүйелерден
логикалық тұйықталған механика кұруға болмайтындығын көрсетеді. Электронның
қозғалысын сандық тұрғыдан сипаттау үшін классикалық механика заңдылықтарына
бағынатын физикалық объектілер қажет болады. Егер электрон мұндай "классикалық
объектімен" əсерлессе, онда бұл объектінің де күйі өзгереді. Бұл өзгерістің түрі мен
мөлшері электронның күйіне байланысты болады. Сондықтан кванттық механикада
классикалық объектіні — "прибор" деп, ал оның электронмен əсерлесуін "өлшеу" деп
атайды. Бірақ мұндай "өлшеу" физик-экспериментатордың өлшеу процесімен бірдей
емес екендігін ескерген дұрыс. Кванттық механикада "өлшеу" деп бақылаушыға
байланысты емес жəне тəуелсіз жүретін классикалық жəне кванттық объектілердің
арасындағы кез келген əсерлесуді айтады. Сонымен, "прибор" деп жұмыс принципі
классикалық физика заңдылықтарына бағынатын физикалық объектіні айтамыз.
Енді бөлшектердің толқындық қасиетінің бөлшектердің құрылымымен тікелей
қатынасы бар ма, жоқ па соны қарастыралық. Э. Шредингер толқындық қасиет
микробөлшектердің құрылымымен тікелей байланысты жəне бөлшектің кеңістікте
"қожырауы" - (ΨΨ ∗ )-ге тең деген интерпретация ұсынды. Мұндай түсініктің қате екені
тағайындалды. Анықталмағандық қатынастан толқындық пакеттің сейілу уақыты
t=
m0
(∆x )2
h
(2.30)
теория бойынша өлшемі микробөлшектің радиусына жуық толқындық пакетті
кұрастыруға əр уақытта да болады. Бірақ мұндай бөлшек орнықты болмайды. Себебі
пакетті құрайтын əрбір монохроматты жазық толқынның фазалық жылдамдығы
толқындық санға не импульске тəуелді болады. Сондықтан толқындық пакет уақыт
өткен сайын ұлғайып, сейіле бастайды. Егер қарастырылып отырған бөлшек
макробөлшек болса, мысалы массасы т = 1 г., мөлшері ∆х = 0,1 см, бұл жағдайда
толқындық пакеттің сейілу уақыты t = 1025 с. яғни мұндай толқындық пакет іс жүзінде
сейілмейді. Керісінше, бөлшек – электрон болса, m =10-31 г., х = 10 см., онда сейілу
уақыты t = 10-26 с. Мұндай толқындық пакет лезде сейіледі, яғни, электрондарды жеке
толқындардың жиыны деп қарастыруға болмайды.
Қазіргі уақытта толқындық функцияның М. Борн ұсынған статистикалық интерпретациясы қабылданған. Борн бойынша толқындық функцияның модулінің квадраты
2
Ψ бөлшектің кеңістіктің əртүрлі нүктелерінде болу ықтималдылығының тығыздығын
сипаттайды:
W~ Ψ
2
Статистикалық интерпретация бойынша толқындық қасиет бөлшектің
структурасымен тікелей байланысты емес, сондықтан электрондарды немесе басқа да
бөлшектерді нүктелік бөлшек деп қарастыра беруге болады. Толқындық функцияның
уақыт бойынша өзгеруі микробөлшектердің кеңістіктің əртүрлі нүктелерінде болу
ықтималдылығының өзгеруін көрсетеді. Ал микробөлшектің кұрылымы Борн
интерпретациясында мүлдем қарастырылмайды. Бірақ бұл интерпретация жеке
микробөлшектердің қозғалысын түсіндіре алмады.
3 ТАРАУ.
КВАНТТЫҚ МЕХАНИКАНЫҢ НЕГІЗГІ ¦ҒЫМДАРЫ
§1. Еркін қозғалыстағы бөлшектің толқындық функциясы
Классикалық механикада бөлшектің қозғалысы динамикалық айнымалылар деп
аталатын координата, импульс сияқты физикалық шамалар арқылы сипатталады.
Əрбір уақыт моментінде бұл физикалық шамалар нақты мəндерге ие болады.
Сондықтан классикалық механикада бөлшектің қозғалысын сипаттаудың негізгі
мақсаты осы динамикалық айнымалылардың уақытқа тəуелділігін тағайындау болып
табылады. Ал, кванттық механикада динамикалық айнымалылардың əртүрлі
мəндерінің ықтималдылығы мен олардың орта мəндері ғана қарастырылады.
Кванттық механикада атомдық объектілердің қасиеттері толқындық функция
немесе күй фунциясы деп аталатын арнайы функциямен сипатталады. Жалпы
жағдайда, толқындық функция координаталар мен уақытқа байланысты күрделі
функция ψ ( x, y, z, t ) . Толқындық функция микробөлшектердің қозғалысын сипаттайтын белгілі бір дифференциялық теңдеуді қанағаттандыруы қажет. Бұл тендеу
Шредингер теңдеуі деп аталады. Шредингер теңдеуінің кванттық механикадағы орны
классикалық физикадағы Ньютон заңдарымен шамалас.
Массасы m0 , импульсі р, энергиясы Е = р2/2m0 релятивті микробөлшектің еркін
қозғалысын қарастырайық. Мысал ретінде потенциал айырмашылық U электрондық
түтінше арқылы өтетін электрондар ағынының қозғалысын алайық. Бұл
электрондардың
Импульсі p = 2m0 e0U
мұнда е0 - электронның заряды, т0 - массасы.
Дэвидсон-Джермер тəжірибелерінің нəтижесінде электрондар ағыны периодтық
құрылымды денелермен (кристалдар, фольга) əсерлескенде электрондардың кеңістікте
үлестірілуін бақылауға болатындығы тағайындалған еді. Бұл толқындық процесті
сипаттайтын толқындардың ұзындығы мен электрондардың қозғалыс жылдамдығы
арасындағы байланыс
λ=
h
2π
=
m0 v
k
(3.1)
r
Осы тəжірибелік деректерге сүйене отырып, импульсі p электронның еркін
қозғалысына де Бройльдің жазық толқындарын сəйкестендіруге болады:
rr
r
Ψ (r , t ) = Ae − i ( wt −k r )
мұнда
E
p2
w= =
,
h 2m0 h
r
r k
p=
h
(3.2)
(3.3)
Сонымен белгілі бір энергиясы мен импульсі бар еркін бөлшектің қозғалысы (3.2)
формуламен өрнектелетін толқындық функциямен сипатталады.
§2. Кванттық механикадағы суперпозиция принципі
Кванттық механиканың негізгі ұғымдарының бірі – күйлерді суперпозициялау
принципі. Қысқаша түрде бұл қағида мынадай екі тұжырымнан тұрады:
1. Егер система Ψ1 жəне Ψ2 толқындық функцияларымен сипатталатын кванттық
күйлерде болса, онда система осы функциялардың сызықтық түрлендіруі болатын
мынадай күйде де бола алады
Ψ = a1Ψ1 + a 2 Ψ2
(3.4)
a1 , a 2 — уақытқа тəуелсіз, кез келген комплекс сандар.
2. Егер бір күйді сипаттайтын толқындық функцияны кез келген, нольге тең емес
комплекс санға көбейтсек, жаңа алынған В функция да сол күйді сипаттайды.
Күйлердің суперпозициялық қағидасы орындалуы үшін толқындық функциялар
қанағаттандыратын Шредингер теңдеулері сызықтық теңдеулер болуы қажет. Жалпы
жағдайда, жүйе бірінен бірі айырмашылығы аз физикалық шамалармен сипатталатын
күйлерден тұрьш, олар Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 - толқындық функциялармен өрнектелсе, кванттық
суперпозиция қағидасы бойынша,
Ψ = a1 Ψ1 + a 2 Ψ2 + a3 Ψ3 + ... + a n Ψn
(3.5)
немесе
Ψ=
n
∑
i =1
ai Ψi
(3.6)
толқындық функциямен сипатталатын күрделі күйде де болуы қажет. Егер
суперпозицияға енетін күйлердің бірінен бірінің айырмашылығы шексіз аз шама
болса, (3.6)-шы формуладағы қосындыны интегралға ауыстыру қажет. Мұндай
жағдайдың мысалы ретінде Ψ (x, y, z , t ) функциясымен сипатталатын кез келген
толқындық өрісті де Бройль толқындарының суперпозициясы ретінде қарастыруға
болатындығын көрсетейік:
rr
Ψ p ( x, y , z , t ) =
1
(2πh )3 / 2
e
−i
( Et − pr )
h
(3.7)
Кез келген кванттық күйдің толқындық функциясы
Ψ ( x, y, z , t ) = ∫ ∫ ∫ a ( p x , p y , p z , t )Ψ p ( x, y, z , t )dp x dp y dp z
(3.8)
+∞
r
мен p( p x , p y , p z ) - де Бройль толқындарының амплитудасы жəне
−∞
мұнда a ( p x , p y , p z )
импульсі.
(3.5)-ші қатынас Ψ (x, y, z , t ) функциясын үшінші ретті Фурье қатарына жіктеумен
пара-пар. Бұл тұжырымды дəлелдеу үшін мынадай белгілеу
ϕ ( p x , p y , p z , t ) = a ( p x , p y , p z , t )e
−i
Et
h
Сонда (3.7)-ші өрнектің негізінде (3.8)-ші теңдеуді былай жазуға болады:
(3.9)
Ψ ( x, y , z , t ) = ∫
−∞
∫ ∫ϕ
+∞
(p
x
, p y , p z , t )e
i
px ⋅x+ p y ⋅ y + pz ⋅z
h
dp x dp y dp z
(2πh )3 / 2
(3.10)
Сонымен, кванттық суперпозиция принципі бойынша кезкелген күйді де Бройль
r
толқындарының импульсі p( px , p y , pz ) бөлшек күйлерінің суперпозициясы ретінде
қарастыруға болады.
§ 3. Микробөлшектердің кеңістіктің əртүрлі нүктелерінде болу
ықтималдылығы
Кванттық механикада жүйенің күйін сипаттау үшін Ψ (x, y, z , t ) толқындық
функция берілсін. Осы функцияның модулінің квадраты
2
Ψ ( x, y, z , t )Ψ * ( x, y, z , t ) = Ψ
(3.11)
бөлшектің кеңістіктің белгілі бір бөлігінде болу ықтималдылығына пропорционал
болады. Ал, бөлшекті q1 , q 2 ,...q n нүктесінің төңірегінде dϑ = dq1 ⋅ dq 2 ,...dq n кішкене
көлемде табу ықтималдылығы:
2
dW = Ψ * ⋅ Ψdq1 ⋅ dq 2 ,...dq n = Ψ dϑ
(3.12)
Жеке жағдайда, бір бөлшек үшін декарт координаталар жүйесінде (3.12)-ші қатынасты
былай жазуға болады:
2
dW = Ψ * ( x, y, z ) ⋅ Ψ ( x, y, z )dxdydz = Ψ ( x, y, z ) dxdydz
(3.13)
Кванттық механиканың негізгі ерекшілігі – жүйенің күйі комплексті толқындық
2
функциямен сипатталады жəне оның модулінің квадраты Ψ = Ψ ⋅ Ψ * бөлшектердің
кеңістіктің белгілі бір бөлігінде болу ықтималдылығының тығыздығына тең болады.
Бұл тұжырымнан мынадай екі салдар шығады: біріншіден, Ψ − функцияны кез келген
l фазалық көбейткішке көбейткеннен бөлшектердің кеңістікте болу ықтималдылық
тығыздығы:
2
dw = Ψ
(3.14)
жəне толқындық функция сипаттайтын физикалық шаманың мағынасы өзгермейді.
Мұнда l − кез келген нақты сан. Екіншіден, микробөлшекті кез келген V-көлемде табу
ықтималдылығы (3.14)- ші формула бойынша
2
W = ∫ dw = ∫ Ψ dv
(3.15)
γ
Егер соңғы өрнектегі интеграл бүкіл кеңістік бойынша алынса, онда ықтималдылық
анықтыққа ауысады, бөлшек кеңістікте қалай да табылады. Сондықтан, Ψ − функцияны
бірге нормалай аламыз:
+∞
2
(3.16)
∫ Ψ dv = 1
−∞
Сонымен, толқындық функция нормалануы қажет, яғни оның модулінің квадраты
интегралдануы керек. Бұл шарт толқындық функцияның шексіздікте өте тез кемитін
(өшетін) функция болуы керек екендігін талап етеді.
4 ТАРАУ.
КВАНТТЫҚ МЕХАНИКАНЫҢ МАТЕМАТИКАЛЫҚ
АППАРАТЫ
§1. Физикалық шамаларды сызықтық, өзара түйіндес операторлармен
сипаттау
Кванттық механиканың математикалық аппаратының негізіне – кванттық жүйе
координаталарға тəуелді Ψ (x, y, z , t ) функциясымен сипаттальш, осы функцияның
модулінің
квадраты
координаталар
мəндерінің
кеңістікте
үлестірілуінің
ықтималдылығын көрсетеді деген тұжырым жатыр.
Көптеген тəжірибелер кейбір физикалық шамалардың белгілі бір жағдайларда
үзілісті мəндерге ие болатынын көрсетеді. Классикалық физикада мұндай жағдай
белгісіз еді. Сондықтан классикалық физикада физикалық шамалар үзіліссіз,
дифференциалданатын функциялармен сипатталады. Ал кванттық механикада
физикалық шамалар үзіліссіз де, дискретті де мəндерге ие болуы мүмкін. Мысалы: бос
электрондардың координатасы, импульсі үзіліссіз мəндерге, ал атомдардағы
электронның энергиясы Е мен импульс моменті М дискретті мəндерге ие болады.
Мысалы, Бор теориясы бойынша сутегі атомындағы электронның энергиясының
мəндері үзілісті:
E=−
m0 Z 2 e04
,
2h 2 n 2
n = 1,2,3...
(4.1)
Үзіліссіз, дифференциалданатын функциялармен дискретті мəндерге ие болатын
физикалық шамаларды сипаттау мүмкін емес. 1925 жылы алдымен Гейзенберг, кейін
Дирак кванттық механикадағы физикалық шамалардың математикалық көрінісі
ретінде функцияларды емес, операторларды пайдалану керек екендігін тағайындады.
Математикада функция деп белгілі бір нақты сандарға басқа бір сандарды
сəйкестендіруді айтады. Ал, операторлар деп белгілі бір функцияларға басқа белгілі
функцияларды сəйкестендіруді айтамыз.
Lˆ U ( x) = v( x)
(4.2)
Мысалы: Lˆ =
∂
, U ( x) = x 2 , ln x, e x ,
∂x
онда
v( x) = 2 x,1 / x, e x
Классикалық механикада қозғалыстың үзіліссіз болуына байланысты
пайдаланылатын функциялар белгілі бір талаптарға сəйкес болу керек. Үзіліссіз,
дифференциалданатын, шектелген жөне модулінің квадраты интегралданатын
функцияларды регуляр функциялар деп атайды. Осы сияқты кванттық механикадаға
операторлар да белгілі бір талапқа жауап беруі кажет. Кванттық механикада күйлерді
суперпозициялау кағидасы бұзылмауы үшін тек сызықтық жөне өзара түйіндес
операторлар ғана пайдаланылады. Оператор L̂ сызықтық деп аталады, егер төмендегі
шарт орындалса:
Lˆ [C1U 1 ( x) + C 2U 2 ( x)] = C1 Lˆ U 1 ( x) + C 2 Lˆ U 2 ( x)
(4.3)
Оператор L̂ өзара түйіндес деп аталады, егер мынандай теңдік орындалса
*
ˆ U ( x)dx = ∫ U ( x) Lˆ*U * ( x)dx
(4.4)
∫ U 1 ( x) L
2
2
1
∂
Мысалы Pˆx = −ih операторының өзара түйіндес оператор екендігін дəлелдейік:
∂x
+∞
∂U 2
∂U * ( x)
dx = −ihU 1* ( x)U 2 ( x) + ∞ + ih ∫ U 2 ( x) 1
dx = ∫ U 2 ( x) Pˆx*U *1( x)dx
−∞
−∞
∂x
∂x
*
мұнда U 1 U 2 ± ∞ = 0 .
+∞
− ih ∫ U 1* ( x)
Сызықтық жəне түйіндес операторлар эрмиттік операторлар деп аталады.
L̂ операторының өзара түйіндестігін сипаттайтын (4.4)-ші функционалдық
теңдеуді қысқаша мынадай түрде жазуға болады:
Lˆ = Lˆ*
(4.5)
Сызықтық операторлардың негізгі қасиеттері:
1. Ĉ операторы Â жəне B̂ операторларының қосындысы деп аталады, егер
мынадай қатынас орындалса:
Сˆ Ψ = Aˆ Ψ + Bˆ Ψ, Cˆ = Aˆ + Bˆ
(4.6)
2. С операторы А жəне В операторларының көбейтіндісі болады, егер
( )
Сˆ Ψ = Aˆ Bˆ Ψ
(4.7)
шарты орындалса.
Операторларды қосуға, көбейтуге, тағы басқа амалдарды қолдануға болады, бірақ
олардың орындарын ауыстыруға болмайды. Ψ-толқындық функциясымен
сипатталатын кванттық күйдегі физикалық шама L-дің орта мəні кванттық механикада
мынадай қатынас бойынша анықталынады:
L = ∫ Ψ ∗ ( x )Lˆ Ψ ( x )dx
(4.8)
Мұнда L̂ - физикалық шама L – ге сəйкес келетін сызықтық, өзара түйіндес оператор.
(4.8)-ші теңдеудің комплекс түйіндесін анықталық:
L ∗ = ∫ Ψ ∗ ( x )Lˆ∗ Ψ ∗ ( x )dx
(4.9)
(4.8)-ші жəне (4.9)-шы теңдеулерді (4.4) – ші теңдеуімен салыстырсақ:
L = L∗
(4.10)
Яғни, кванттық механикада физикалық шаманың орта мəні əр уақытта да нақты
болады. Сонымен кванттық механикада барлық физикалық шамаларға сызықтық
(суперпозиция қағидасы сақталуы үшін) жəне өзара түйіндес (физикалық шаманың
орта мəні нақты болуы қажет) операторлар сəйкестендіріледі.
Физикалық шаманың орта мəні жайындағы қосымша деректерді орташа
квадраттық ауытқу деп аталатын шама арқылы да алуға болады: ∆Lˆ = Lˆ − L
(∆L )2 = ∫ Ψ ∗ (x )(∆Lˆ )2 Ψ ′(x )dx
(4.11)
осы (4.12) теңсіздікті дəлелделік.
(4.11) теңдеуге сызықтық
пайдалансақ:
∆L2 ≥ 0
(4.12)
операторлардың
өзара
(
)
)
(
түйіндестік
қасиетін
2
∆L2 = ∫ Ψ ∗ ( x ) ∆Lˆ Ψ ( x ) dx = ∫ ∆Lˆ Ψ ( x ) dx ≥ 0
енді қарастырылып отырған физикалық шама бір ғана мəнге ие болсын, онда
L = L, ∆Lˆ = Lˆ − L = 0, ∆L2 = 0, ∆Lˆ Ψ = 0 немесе, (Lˆ − L )Ψ = 0 бұдан
Lˆ Ψ ( x ) = LΨ ( x )
(4.13)
Кванттық механикада көбінесе L операторы дифференциалдық оператор түрінде
берілетін болғандықтан (4.13) теңдеу операторына сəйкес келетін меншікті мəндерді
анықтауға мүмкіндік беретін дифференциалдық теңдеу болып табылады. Ал,
дифференциалдық теңдеулердің шешуі L операторының кез келген мəндерінде бола
бермейді. (4.13)-ші дифференциалдық теңдеудің шешуі болатын мəндер: L1, L2, L3,... Lоператорының меншікті мəндері деп, ал оларға сəйкес келетін теңдеудің шешулері:
Ψ1, Ψ2, Ψ3,...– меншікті функциялар деп аталады. Мысал ретінде екі жағынан бекітілген
сымның тербелісін қарастыралық. Тербеліс теңдеуі:
∂ 2U ( x )
+ K 2U ( x ) = 0
2
∂x
0
l
U (x) = 0, егер x=0 жəне x=1 болса, осы қатынасты (4.3) теңдеумен салыстырсақ:
∂x 2
π 2n2
Lˆ = − 2 − оператор: меншікті функциялар. Ln = K 2 = 2 − операторының меншікті
∂x
l
2
2
2
π 4π 9π
π
2π
3π
мəндері. Ln : 2 , 2 , 2 ,... егер n=1,2,3,… болса Ψn : sin x, sin x, sin x,... меншікті
l
l
l
l
l
l
функциялары.
Оператордың меншікті мəндерінің жиыны спектр деп аталады. Егер оператор
дискретті меншікті мəндерге ие болса, онда оның спектрі дискретті болады. Ал,
оператордың меншікті мəндері үзіліссіз болса, онда оның спектрі де біртұтас немесе
үзіліссіз болғаны. Кейбір операторлар кей жағдайда дискретті, кей жағдайда үзіліссіз
меншікті мəндерге де ие болуы мүмкін. Lˆ , Mˆ операторлары коммутативті деп аталады,
егер төмендегі қатынас орындалса
[Lˆ, Mˆ ] = Lˆ Mˆ − Mˆ Lˆ = 0
(4.14)
р физикалық шамалар L жəне М бір мезгілде нақты мəндерге ие болса, онда олардың
операторлары коммутативті болады. Егер осы екі L̂ жəне M̂ операторлар
коммутативті болса, оларға ортақ меншікті функция пайдалануға болады
ΨL = ΨM = ΨLM
(4.15)
Сонымен, оператордың коммутативтілігі физикалық шамалардың бір мезгілде
өлшенетіндіктерінің керекті жəне жеткілікті шарты болып табылады.
Теорема: Ψm , Ψn меншікті функциялары өзара ортогоналды болады, егер
Ψm* Ψn dx = 0
(4.16)
қатынас орындалса.
Дəлелделік:
Lˆ Ψn = Ln Ψn
*
Lˆ* Ψm = Lm Ψm
жоғары теңдікті сол жағынан Ψm * − функциясына, ал төменгі теңдікті дəл солай Ψn −
функциясына көбейтіп, екі теңдікті бірінен бірін алып, интегралдасақ:
* ˆ
Ψn dx − ∫ Ψn Lˆ Ψm* dx = ( Lm − Ln ) ∫ Ψm* Ψn dx
(4.17)
∫ Ψm L
(4.17)-ші теңдеудің сол жағын (4.4) қатынасымен салыстыралық, сонда (4.17)-ші
теңдеудің сол жағы нольге тең, демек
( Lm − Ln ) ∫ Ψm* Ψn dx = 0
егер m ≠ n болса, ∫ Ψm* Ψn dx = 0
(4.18)
ал, егер т = п болса (4.17)-ші қатынастан ∫ Ψm* Ψn dx = 1 бұл толқындық функцияларды
нормалау шарты. (4.16) жəне (4.18) қатынастарды біріктіріп жазуға болады:
*
(4.19)
∫ Ψm Ψn dx = δ mn
(4.19) меншікті функциялардың ортонормалдық шарты деп аталады.
Мұнда:
0 егер m ≠ n
1 егер m = n
δ mn 
(4.20)
δ mn - Кронекер белгісі.
L̂ жəне M̂ операторлар өзара түйіндес операторлар болсын, яғни олар үшін (4.4)-ші
шарт орындалсын. Енді осы
операторлардың көбейтіндісін қарастырайық: L̂ -
операторы өзара түйіндес болғандықтан
*
∫U1
( x) Lˆ Mˆ U 2 ( x)dx = ∫ ( Mˆ U 2 )( x) Lˆ*U 1* ( x)dx
Ал M̂ операторының өзара түйіндестігінен:
ˆ U ) Lˆ U dx
∫ (M
2
1
*
*
= ∫ ( Lˆ*U 1* )( Mˆ U 2 )dx = ∫ U 2 ( x) Mˆ * Lˆ*U 1* ( x)dx
Бұдан
*
∫U1
( x) Lˆ Mˆ U 2 ( x)dx = ∫ U 2 ( x) Mˆ * Lˆ*U 1* ( x)dx
Демек, екі өзара түйіндес операторлардың көбейтіндісі де өзара түйіндес
оператор болуы үшін бұл операторлар коммутативті болуы қажет.
§2. Негізгі физикалық шамалардың операторлары
Динамиканың айнымалыларды сипаттайтын операторлар сызықтық жəне өзара
түйіндес операторлар болуы қажет. ψ * ( x) ⋅ Ψ ( x) − шамасы бөлшектің кеңістіктің хнүктесінде болу ықтималдылығын көрсетеді. Сонда, координатаның орта шамасы
x = ∫ Ψ * ( x) xˆΨ ( x)dx
(4.21)
(4.8)-ші қатынасты (4.21) теңдікпен салыстырсақ, х координата операторының кез
келген f (x) функциясына əсері осы функцияны х − қа көбейткенмен бірдей:
Xˆf ( x) = Xf ( x)
демек бұдан х шамасының операторы осы координатаның өзіне тең болғаны
Xˆ = X
Xˆ = X , Yˆ = Y , Zˆ = Z
Координата
(4.22)
координаталардың операторлары сол шамалардың өзіне тең болады. Сонда, тек
координаталарға байланысты функция Uˆ ( x, y, z ) = U ( x, y, z ) − потенциялық энергия
операторы. Импульстің операторын анықтау үшін, де Бройль болжамы бойынша Р
импульсі бар микробөлшекке толқындық саны
K=
P
h
жəне жиілігі
w=
E
жазық
h
толқын сəйкестендірілетіндігін пайдаланайық. Ал, импульстің меншікті мəндерін
анықтайтын
P̂x Ψ = Px Ψ (4.23)
теңдеудің шешуі
Ψ ( x ) = Ae
− i ( wt − k x x )
= Ae
i
( Et − Px x )
h
(4.24)
(4.23)-ші жəне (4.24)-тегі қатынастарды салыстыру нəтижесінде P̂x операторы
∂
Pˆx = −ih
∂x
(4.25)
түрінде берілетіндігін көреміз.
Импульс: Pˆx = −ih∇ , ал компоненттері
∂
∂
∂
Pˆx = −ih , Pˆy = −ih
, Pˆz = −ih
∂x
∂y
∂z
(4.26)
мынадай коммутативтік қатынасты қарастырайық
XˆPˆx − Pˆx Xˆ = ?
∂f
∂f
XˆPˆx = −ih ,
Pˆx Xˆ = −ihx − ihf
∂x
∂x
егер осы теңдіктерді бірінен бірін алып, f - тің шамасы бірге тең кез келген функция
екендігін ескерсек:
XˆPˆx − Pˆx Xˆ = ih
(4.27)
ал координаталар мен импульстердің басқа компоненттері үшін:
YˆPˆy − Pˆy Yˆ = ih
ZˆPˆz − Pˆz Zˆ = ih
(4.28)
бұл өрнектер анықталмағандық қатынастардың операторлық түрде жазылуын сипаттайды.
r
Бұрыштық момент - M . Классикалық физикада импульс моменті бөлшектің
радиус-векторының оның импульсіне векторлық көбейтіндісіне тең
[ ]
r
rr
M = ZP
Кванттық теорияда импульс моментінің проекцияларына операторлар
сəйкестендіріледі:
r
 ∂
∂ 
M x = YˆPˆz − ZˆPˆy = −ih Y
− Z 
∂y 
 ∂z
r
∂
 ∂
M y = ZˆPˆx − XˆPˆz = −ih Z
−X 
∂z 
 ∂x
r
 ∂
∂ 
M z = XˆPˆy − YˆPˆx = −ih X
− Y 
∂x 
 ∂y
ал,
r
M 2 = Mˆ x2 + Mˆ y2 + Mˆ z2
(4.29)
(4.30)
(4.31)
(4.32)
Импульс моменті векторы компоненттерінің арасындағы коммутативтік қатынастар:
r
M y Mˆ z − Mˆ z Mˆ y = ihMˆ x
(4.33)
r
M z Mˆ x − Mˆ x Mˆ z = ihMˆ y
(4.34)
r
M x Mˆ y − Mˆ y Mˆ x = ihMˆ z
(4.35)
яғни, бұрыштық момент векторы компоненттерінің операторлары өзара коммутативті
r
емес.Ал, M 2 − импульс моменті операторының квадраты Mˆ x , Mˆ y , Mˆ z операторларымен
коммутативті:
r
M 2 Mˆ x − Mˆ x Mˆ 2 = 0
r
M 2 Mˆ y − Mˆ y Mˆ 2 = 0
r
M 2 Mˆ − Mˆ Mˆ 2 = 0
z
(4.36)
z
Кинетикалық энергия операторы:
Pˆ 2
h2 2
ˆ
T=
=−
∇
2 m0
2 m0
мұнда
(4.37)
∂2
∂2
∂2
∇ = 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
2
(4.38)
Толық энергия операторы.
Толық энергияның операторын осы оператордың меншікті мəні бөлшектің
энергиясына Е тең болатындай етіп таңдап алу қажет. Яғни ÊΨ = EΨ теңдеуі
канағаттануы үшін, бұл теңдеудің шешуін (4.28)- монохроматты жазық толқын
түрінде алу керек. Сонда:
∂
Eˆ = ih
∂t
(4.39)
Гамильтон функциясының операторы.
Классикалык физикада Гамильтон функциясы деп бөлшектердің импульсі мен
координаталары арқылы өрнектелген толық энергияны айтады. Бір бөлшектің толық
знергиясы кинетикалық жəне потенциялық энергиялардың қосындысына тең:
r r
Pˆ 2
H (r , p ) =
+ U (r )
2m0
Кванттық механикада Гамильтон функциясына оператор сəйкес келуі қажет.
r
r
h2 2
Hˆ = Tˆ + Uˆ (r ) = −
∇ + U (r )
2m0
(4.40)
5 ТАРАУ. КВАНТТЫҚ МЕХАНИКАНЫҢ НЕГІЗГІ ТЕҢДЕУІ –
ШРЕДИНГЕР ТЕҢДЕУІ
§ 1. Шредингер теңдеуі жəне оның негізгі қасиеттері
Планк болжамы, Эйнштейннің фотондар теориясы жəне де Бройльдің
бөлшектердің толқындық қасиеті жайындағы болжамы микробөлшектер
қозғалысының жалпы теориясын жасаудың алғашқы қадамдары ғана болды.
Кванттық механиканың фундаменталдық негізін қалауда ең ірі қадам жасаған
австрия ғалымы Э. Шредингер болды. Ол микробөлшектердің қозғалысын толқындық
теңдеумен сипаттауды ұсынды. Шредингер теңдеуі кванттық механиканың негізгі
постулаты болып табылады жəне оны ескі классикалық физикаға сүйене отырып,
қорытып шығаруға болмайды.
Классикалык злектродинамикадан белгілі толқындық теңдеуден Шредингер
теңдеуіне қалай келуге болатындығын қарастырайық
r
r
1 ∂ 2 Ψ (r , t )
∇ Ψ (r , t ) − 2
=0
U
∂t 2
2
(5.1)
r
Мұндағы Ψ (r , t ) - толқындық функция, ол U − фазалық жылдамдықпен тарайтын
толқындық процесті сипаттайды. Егер толқын монохроматты жазық толқын болса,
онда (5.1) теңдеудің шешуін мынадай түрде іздестіреміз:
i
( Et − pr )
r
r
Ψ (r , t ) = Ae h
= Ψ (r )e −iwt
rr
(5.2)
Мұнда,
i rr
pr
r
Ψ (r ) = Ae h
(5.3)
тек координаталарға ғана байланысты функция.
(5.2) теңдеуді (5.1) - ге қойсақ
r w2
r
∇ Ψ ( r ) + 2 Ψ (r ) = 0
u
(5.4)
r 4π 2
r
∇ 2 Ψ (r ) + 2 Ψ (r ) = 0
(5.5)
2
Мұндағы w, u -екі параметрдің орнына монохроматты жазық толқынның толқын
ұзындығын алалық:
λ
Енді толқын ұзындығын λ -ның орнына микробөлшектің де-Бройль толқындарының
толқын ұзындығын алалық. (Монохроматты жазық толқынды де-Бройль
толқындарымен ауыстырамыз!);
r
r
p2
∇ Ψ (r ) + 2 Ψ (r ) = 0
h
2
(5.6)
р - микробөлшектің импульсі.
Микробөлшектің толық энергиясынан:
E=
импульсті анықтап P = 2m0 [E − U (r )]
(5.6)-шы теңдеуге қойсақ:
r
r
p2
+ U (r )
2m 0
r 2m
r
r
∇ 2 Ψ (r ) + 2 0 [E − U (r )]Ψ (r ) = 0
h
(5.7)
(5.8)
(5.8)-ші теңдеуді Шредингердің стационар теңдеуі деп атайды. Бұл стационар
теңдеуді сфералық координаталар (r ,θ , ϕ ) жүйесінде де жазуға болады:
∂ 2 Ψ (r ,θ , t ) 2 ∂Ψ (r ,θ , t )
1
∂ 
∂Ψ 
+
+ 2
 sin θ
+
2
r
∂r
∂θ 
r sin θ ∂θ 
∂r
r
1
∂ 2 Ψ 2m 0
+ 2 [E − U (r )]Ψ (r ,θ , t ) = 0
2
2
r sin θ ∂ϕ
h
(5.9)
Стационар теңдеумен қатар Шредингердің уақытқа байланысты толық теңдеуін
r
де алуға болады. Ол үшін (5.2)-ші формуладан Ψ (r ) -ді табамыз:
r
r
Ψ (r ) = Ψ (r , t )e iwt
(5.10)
(5.10)-ды (5.8)-ші теңдеуге қойып, түрлендірсек:
ih
r
r
r
∂Ψ (r , t )
h2 2 r
=
−
∇ Ψ (r , t ) + U (r )Ψ (r , t ) = 0
2
∂r
2 m0
(5.11)
(5.11)-ші теңдеу Шредингердің уақытқа байланысты толық теңдеуі деп аталады.
Шредингер теңдеуіне дербес туындылы екінші ретті Штурм-Лиувилль теңдеулер
типін қанағаттандыратын мынадай талаптар қойылады:
r
1) Толқындық функция Ψ (r , t ) үзіліссіз, шектелген жəне бір мəнді болуы керек.
Бұл шарт орындалу үшін толқындық теңдеудің тек кейбір мəндерде ғана болады. Бұл
жағдайда мұндай параметр энергия Е жəне оның меншікті мəндері E1 , E 2 , E3 ,... осы
мəндерге сəйкес келетін толқындық теңдеудің шешулері меншікті функциялар деп
аталады: Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 ,... Энергияның мүмкін мəндерінің жиыны энергетикалық спектр
құрайды. Егер бөлшектің қозғалысы кеңістікте шектелген болса, онда энергетикалық
спектрдің үзіліссіз болатындығын көреміз.
2) Толқындық функцияның бірінші туындысы болуы керек, жəне ол үзіліссіз, əрі
шектелген болуы қажет.
r 2
3) Толқындық функцияның модулінің квадраты- Ψ (r , t ) интегралдануы қажет
жəне интеграл шектелген болуы керек. Шредингер теңдеуінің
шешулерінің
физикалық мағынасын қарастырайық. Классикалық физикадағы U − фазалық
жылдамдықпен таралатын толқындық процесті сипаттайтын теңдеуді алып
r
r
1 ∂ 2 Ψ (r , t )
i∇ Ψ ( r , t ) = 2
U
∂t 2
2
оны уақытқа байланысты Шредингер теңдеуімен салыстырайық:
ih
r
r
r
∂Ψ (r , t )
h2 2 r
=−
∇ Ψ (r , t ) + U (r )Ψ (r , t ) = 0
∂t
2 m0
Классикалық физикадағы толқындық теңдеудің
шешулерінің түрі:
r
[
r
a cos (k r − wt ) + δ
]
Бірақ мұндай нақты шешулер Шредингер теңдеуін қанағаттандыра алмайды. rСебебі
r
r
оның шешуі тек комплексті болуы қажет. Мысалы U = 0 болғанда Ψ (r , t ) = Ae −i ( wt −kr )
Шредингер теңдеуінің ерекшелігі – бұл тендеуге уақытқа бірінші ретті, координаталарға екінші ретті тəуелді туындылардың шешуі параметрдің кез келген
мəнінде емес, меншікті мəндер деп аталатын енуінде. Екінші жағынан, біз іздестіріп
отырған толқындық теңдеу де-Бройль толқындарының w − жиілікке бірінші дəрежеде
тəуелді дисперсия заңдылығына сəйкес келеді:
w=
h
( K x2 + K y2 + K z2 )
2m 0
Бұл фактінің Шредингер теңдеуін түсінуде маңызы зор. Ол Шредингер теңдеуінің
дербес жағдайда бұл теңдеудің физикалық ортада таралатын нақты толқындарды
сипаттай алмайтындығын көрсетеді. Ал, кейбір əдебиеттерде материяның тұрғын
немесе қозғалыстағы толқындары, олардың түйіні немесе жалы туралы айтылса, олар
тек кванттық процестің көрнекі болуы үшін ғана пайдаланылғаны. Қазіргі уақытта
қабылданған кванттық механиканың статистикалық интерпретациясы бойынша
Шредингер тендеулерінің шешулерінің мағынасының мүлдем басқа болатындығы 2ші тараудан белгілі. (5.11)-ші теңдеуді мынадай түрде де жазуға болады:
r
r
∂Ψ (r , t )
ih
= Hˆ Ψ (r , t )
∂t
(5.12)
(5.12)-ші теңдеу уақыт бойынша бірінші дəрежелі теңдеу болғанмен де, жорамал
санның болуына байланысты бұл теңдеудің периодтық шешулері болады. Сондықтан
Шредингер теңдеуін көптеген жағдайда толқындық теңдеу деп те атайды, ал оның
шешулері – уақытқа тəуелді функциялар – толқындық функциялар деп аталады. Егер
Ĥ -гамильтон операторының түрі берілген болса, (5.12)-ші теңдеуден алғашқы уақыт
r
моменттерінде белгілі Ψ (r , t ) толқындық функцияның кейінгі уақыт моменттеріндегі
барлық мəндерін де анықтауға болады. Сондықтан Шредингер толқындық теңдеуі
кванттық механикада себеп- салдар принципін сипаттайды.
Энергиясы нақты мəндерге ие болатын күйлер жүйенің стационар күйлері деп
аталады. Стационар күйлер Ĥ − гамильтон операторының меншікті функциялары
r
больш табылады, Ψ (r , t ) толқындық функцияларымен сипатталады, яғни бұл
функциялар (5.12)-ші теңдеуді канағаттандырады. Энергияның мүмкін мəндерінің ең
кішісіне тең болатын стационар күй жүйенің қалыпты немесе негізгі күйі деп аталады.
§2. Ток үзіліссіздігінің теңдеуі
r
Классикалық электродинамикада ток тығыздығы j мен электр заряды
тығыздығы ρ арасындағы байланысты тағайындайтын
r
∂ρ
+ divj = 0
∂t
(5.13)
ток үзіліссіздігінің теңдеуінің кванттық механикада толқындық функция арқылы
қалай жазылатындығын қарастыралық. Ол үшін Шредингер теңдеуін түрлендіріп,
мынадай түрде жазамыз:
r
r
r
∂Ψ (r , t )
ih 2 r
i
−
∇ Ψ (r , t ) + U (r )Ψ (r , t ) = 0
∂t
h
2 m0
(5.14)
Осы теңдеуге комплекс түйіндес тендеу:
r
r
r
∂Ψ * (r , t )
ih 2 * r
i
+
∇ Ψ (r , t ) − U (r )Ψ * (r , t ) = 0
∂t
h
2m 0
(5.15)
(5.14)-ші теңдеуді сол жағынан Ψ * -ге (5.15)-ші теңдеуді Ψ -ге көбейтіп, бірінен бірін
алсақ:
∂
ih
ΨΨ * +
∇ Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ = 0
∂t
2m0
(
)
(
)
(5.16)
Бұл теңдеудің екі жағында е0 қарапайым электр зарядына көбейтсек:
 ie h

∂
e0 ΨΨ * + div  0 Ψ∇Ψ * − Ψ *∇Ψ  = 0
∂t
 2m 0

(
)
(
)
(5.17)
(5.13) жəне (5.17) теңдеулерді салыстырсақ, электр зарядының тығыздығына:
r
r
ρ = e0 Ψ * ( r , t ) Ψ ( r , t )
(5.18)
шамасының, ал ток тығыздығына
(
r ie0 h
r
r
r
r
j=
Ψ (r , t )∇Ψ * (r , t ) − Ψ * (r , t )∇Ψ (r , t )
2m 0
)
(5.19)
- ток тығыздығы ықтималдылығының векторы сəйкес келетіндігін көреміз. (5.17)ші теңдеу кванттық механикада электр зарядының сақталу заңдылығын
сипаттайды. Монохроматты толқындар үшін
i
r
r −
Ψ (r , t ) = Ψ (r )e h Et
(5.20)
ρ = e0 ΨΨ *
(5.21)
сонда заряд тығыздығы
уақытқа тəуелді болмайды.
Егер толқындық функциялар нақты ( Ψ = Ψ * ) болса, ток тығыздығы əр уақытта да
нольге тең болады. Ал r егер
бөлшек еркін болса толқындық функция қума толқынмен
r
i
pr
h
сипатталады Ψ = L e , мұндағы L - мерзім ұзындығы, егер осы қатынасты Ψ - дің
орнына (5.9) жəне (5.10) теңдеулерге қойсақ, заряд тығыздығы мен ток тығыздығы
үшін төмендегідей теңдіктерді аламыз:
−3 / 2
ρ = e0 ΨΨ * = L−3 ⋅ e0
r
e r
r
j = 0 3 P = ρv
m0 L
Бұл өрнектерден егер заряд бүкіл көлемде бірқалыпты ыктималдылықпен үлестірілген
болса заряд тығыздығының осы зарядтың бүкіл көлемде қатынасына тең
болатындығын, ал ток тығыздығы мен заряд тығыздығының арасындағы байланыс
классикалық электродинамикадағы осы шамалар арасындағы қатынаспен бірдей
екендігін көреміз.
(5.17)-ші теңдеудегі ΨΨ * = w -бөлшектердің орташа тығыздығы деп қабылда- сақ,
ток тығыздығы S - аудан бірлігі арқылы 1 секунд ішінде өтетін бөлшектердің орташа
ағынын береді. Сонда (5.17)-ші теңдеуді бөлшектер санының сақталу заңы ретінде
қарастыра аламыз.
(5.17)-ші теңдеуді V шектелген көлем бойынша интегралдап, Гаусс теоремасын
қолдансақ:
r
∂
∫ wdv = − ∫ divj dv = − ∫ j n ds
v
s
∂t v
(5.22)
§ 3. Шредингер теңдеуінен классикалық қозғалыс теңдеулеріне
шектік ету
Классикалық механикада Гамильтон-Якоби теңдеуі материялық нүктенің
қозғалысын сипаттайтын сызықтық емес дифференциялық теңдеу болып табылады.
Осы тендеудің қорытылып шығарылуын қысқаша еске түсірейік. Тұйықталған жүйе
үшін энергияның сақталу заңдылығын жазалық:
r
p2
+ U (r )
2m 0
(5.23)
S (t ) = ∫ 0t Ldt = S − Et
(5.24)
S = ∫ 0t 2Tdt
(5.25)
E=
осы жүйенің əсер функциясы
мұндағы L = T − U , ал
қысқа əсер функциясы деп аталады. Осы функцияның уақытқа айқын түрде тəуелді
емес екендігін дəлелдейік:
dS = 2Tdt = p x dx + p y dy + p z dz
(5.26)
Екінші жағынан толық дифференциал dS :
dS =
∂S
∂S
∂S
∂S
dt +
dx +
dy +
dz
∂t
∂x
∂y
∂z
(5.27)
(5.26) жəне (5.27)-ші теңдеулердің сол жақтары тең, демек
∂S
r
= 0 жəне p = gradS
∂t
(5.28)
(5.20) - шы теңдеуді былай түрлендіріп жазып:
r
− p2
+ U (r ) − E = 0
2m 0
(5.29)
импульстің орнына (5.28)-ді қойсақ, стационар Гамильтон-Якоби теңдеуін аламыз:
r
1
( gradS ) 2 + U (r ) − E = 0
2m0
(5.30)
Гамильтон-Якоби теңдеулерінің уақытқа байланысты толық түрін де алуға болады. Ол
үшін (5.24)-ші теңдеуді уақыт бойынша дифференциалдап
∂S (t )
= −E
∂t
(5.3)
r ∂S (t )
1
[ grad ( S )]2 + U (r ) +
=0
2m0
∂t
(5.32)
стационар Гамильтон-Якоби теңдеуіндегі толық энергия Е-нің орнына қойсақ,
уақытқа байланысты Гамильтон-Якоби теңдеуін аламыз.
Енді Шредингер теңдеуінен осы классикалық қозғалыс теңдеулеріне қалай
ауысуға болатындығын көрсетейік. Ол үшін Шредингер теңдеуін түрлендіріп жазалық.
Толқындық функцияны мынадай түрде жазсақ
i
rr
( − Et + pr )
r
Ψ (r , t ) = Ae h
rr
S (t ) = − Et + pr
(5.33)
(5.34)
əсер функциясына сəйкес келеді. Сонда толқындық функция
i
S (t )
r
Ψ (r , t ) = Ae h
(5.35)
Шредингердің стационар теңдеуін қарастырғанда да толқындық функция мен
қысқа əсер функцияның арасындағы байланысты (5.33)-ші өрнек түрінде қалдырған
дұрыс:
i
S
r
Ψ (r ) = Ae h
Шредингердің операторлық түрде жазылған
(5.36)
теңдеуін пайдаланамыз
 Pˆ 2

r
ˆ r

 2m + U ( r ) − E Ψ (r ) = 0
 0

(5.37)
Бұл өрнектегі импульстің орнына
өрнегін алып, оны квадраттасақ
P̂ = −ih∇
(5.38)
[
]
2
Pˆ 2 Ψ = ( gradS ) − ih∇ 2 S Ψ
(5.39)
Енді (5.39)-ны (5.37)-ге қойсақ, қысқа əсер функциясы арқылы жазылған Шредингер
теңдеуіне келеміз:
1
ih 2
grad ( S ) 2 + U (r ) − E +
∇ S =0
2m0
2 m0
Осы теңдеуді (5.30) стационар Гамильтон-Якоби тендеуімен салыстыралық. Бұдан,
кванттық механикадағы жүйелердің (бөлшектердің) күйін сипаттайтын Шредингер
теңдеуінен классикалық қозғалыс теңдеулеріне шектік өту үшін h = 0 деп алсақ
жеткілікті болатындығын көреміз.
Ал, егер h ≠ 0 болмаған жағдайда классикалық теңдеулерге өту үшін
(gradS )2 ff ∇ 2 S
(5.40)
шарты орындалса жеткілікті болады. Бұл жағдайда алынған теңдеулер
квазиклассикалық теңдеулер деп аталады.
§4. Операторларды уақыт бойынша дифференциалдау.
Классикалық жəне кванттық Пуассон жақшалары.
Кез келген, координаталар мен импульстерге байланысты физикалық шама
берілген болсын:
L = L ( xi , p i , t )
(5.41)
Тұйықталған физикалық жүйенің Гамильтон функциясы
Pi 2
r
H=
+ U (r )
2m 0
(5.42)
Бұдан канондалған қозғалыс теңдеулерін алуға болады:
xi =
∂H
∂p i
(5.43а)
Pi = −
∂H
∂xi
(5.43б)
Сонда физикалық шама L - дің уақыт бойынша өзгерісі
 ∂L &
dL ∂L
∂L & 
=
dt + ∑ 
Xi +
Pi 
i ∂x
dt
∂t
∂pi 
 i
(5.44)
X& i жəне P&i шамаларының орныныа (5.43а) жəне (5.43б) қатынастарын қойсақ
dL ∂L
=
dt + {H , L}
dt
∂t
(5.45)
мұндағы
{H , L} = ∑i  ∂H
∂L ∂H ∂L 

−
 ∂pi dxi ∂xi ∂pi 

классикалық Пуассон жақшалары деп аталады. Егер физикалық шама
айқын түрде тəуелді болмаса
dL
=0
dt
(5.46)
L уақытқа
онда
dL
= {H , L}
dt
(5.47)
L = const
(5.48)
яғни Пуассон жақшалары физикалық шаманың уақыт бойынша өзгерісін сипаттайды.
Ал, егер Пуассон жақшалары нольге тең болса, онда
физикалық шама L қозғалыс интегралы болып табылады, оған белгілі бір сақталу
заңдылығы сəйкес келеді.
Енді классикалық Пуассон жақшаларын кванттық жағдайға жалпыдайық.
Кванттық механикада физикалық шамалардың орнына оларға сəйкес келетін
оператордың орта мəндері алынатындығы белгілі.
L = ∫ Ψ * ( x) Lˆ Ψ ( x)dx
(5.49)
(5.49)-шы өрнекті уақыт бойынша дифференциялдайық:
Бұл теңдеулердегі
dL
∂Lˆ
∂Ψ * ˆ
∂Ψ
= ∫ Ψ*
Ψdx + ∫
LΨdx + ∫ Ψ * Lˆ
Ψdx
dt
∂t
dt
∂t
∂Ψ
i
∂Ψ * i ˆ *
= − Hˆ Ψ ,
= HΨ
h
h
∂t
∂t
(5.50)
(5.51)
Сонда (5.50)-ші өрнектің орнына мынадай қатынас аламыз:
{ }
мұндағы
dL ∂L
=
+ H,L
dt
∂t
(5.52)
{H , L}= hi (Hˆ Lˆ − LˆHˆ )
(5.53)
кванттық Пуассон жақшалары деп аталады. Егер физикалық шама L -дің орта мəні
уақыт t -ға айқын түрде тəуелді болмаса, онда кванттық Пуассон жақшалары осы
физикалық шаманың уақыт бойынша өзгерісін сипаттайды.
{ }
dL
= H, L
dt
(5.54)
Ал, егер де Пуассон жақшалары нольге тең болса, онда физикалық шама L -дің орта
мəніне кванттық механикада кеңістік пен уақыттың симметриялығына байланысты
белгілі бір сақталу заңдылығы сəйкес келеді:
dL
= 0 , L = const
dt
яғни физикалық шаманың орта мəні сақталады, жəне
L̂ –операторы
Ĥ гамильтонианмен коммутативті болады. Сонымен қатар, осы динамикалық
айнымалының L̂ - операторына сəйкес келетін L меншікті мəнінің ықтималдығы да
сақталады. Бұны дəлелдеу үшін L мəнінің ықтималдығын жазалық:
wn = a n
r
2
2
r
= ∫ U n* (r )Ψ (r , t )dv
мұндағы U n (r ) - L̂ операторының Ln меншікті мəніне сəйкес келетін меншікті функция,
Ψ - L̂ операторы өлшенетін стационар күйдің толқындық функциясы. wn ықтималдылықтың уақытқа тəуелсіздігін дəлелдеу үшін n -күйдің a n - дербес
амплитудасын айқын түрде жазайық:
i
En t
r
r
r
r
a n = ∫ U (r )Ψ (r , t )dv = e h ∫ Ψ (r )U n* (r , t )dv
*
n
i
En t
r
мұнда Ψ (r , t ) = Ψ (r )e h . Сонда
an
2
2
= ∫ Ψ (r )U n* (r )dv = const
яғни ықтималдылықтың уақытқа тəуелді емес екендігін жəне тұрақты болатындығын
көреміз.
§ 5. Эренфест теоремалары
Классикалық
қозғалыс
теңдеулерінің
кванттық
механикада
қалай
жазылатындығын қарастырайық. Ол үшін физикалық шама L - дің орнына координата
х-пен импульс р -ны аламыз.
1. L = x . Бұл жағдайда (5.54)-ші қатынастан х-тің уақыт бойынша өзгерісі
(
dX i ˆ ˆ ˆ ˆ
= HX − X H
dt
h
)
(5.55)
мұндағы
Pˆ 2
Hˆ = x + U x
2m 0
(5.56)
Гамильтон операторы. Осы операторды (5.55)-ші теңдікке қойып, координата х-пен
потенциялық энергия операторының коммутативтік екендігін ескерсек:
dX Pˆx
=
dt
m0
(5.57)
dY Pˆy
=
dt
m0
(5.58)
dZ Pˆz
=
dt
m0
(5.59)
осы сияқты у жəне z үшін
2. Енді физикалық шама L -дің орнына импульсті алалық
L = Px
Сонда
(
dPx i ˆ ˆ
= HPx − Pˆx Hˆ
dt
h
)
(5.60)
Импульстің операторлары өзара коммутативті болғандықтан (5.60)-шы өрнектің
орнына мынадай қатынасқа келеміз:
(
dPx i
= U ( x) Pˆx − PˆxU ( x)
dt
h
)
(5.61)
импульс операторының орнына (5.61)-ге оның мəнін қойсақ ,
онда
∂
Pˆx = −ih
∂x
dPx
∂U ( x)
=−
= Fx
dt
∂x
(5.62)
импульстің басқа компоненттері үшін
∂U ( y )
= Fy
∂y
(5.63)
dPz
∂U ( z )
=−
= Fz
∂z
dt
(5.64)
dPy
dt
=−
(5.57- 5.69) жəне (5.62-5.64)-ші өрнектер кванттық механикада Эренфест теоремалары
деп аталады. Бұл теоремалар бойынша классикалық қозғалыс теңдеулерінің кванттық
баламаларын табу үшін классикалық теңдеулердегі физикалық шаманың орнына
оларға сəйкес келетін операторлардың орта мəндерін алса жеткілікті.
6 ТАРАУ
КВАНТТЫҚ МЕХАНИКАДАҒЫ САҚТАЛУ ЗАҢДАРЫ
§1. Стационар күйлер жєне энергияның сақталу заңы
Тұйықталған жүйенің Гамильтон функциясы уақытқа айқын түрде тєуелді
болмайды, себебі мұндай физикалық жүйелер үшін барлық уақыт кезеңдері өзара
эквивалентті. Кванттық Пуассон жақшаларынан кез келген оператор өзімен-өзі
коммутативті болғандықтан, сыртқы өріске орналаспаған жүйе үшін Гамильтон
функциясы сақталатын шама болады. Классикалық механикадан сақталатын
Гамильтон функциясы тұйықталған жүйе үшін толық энергияға тең болатындығы
белгілі.
Кванттық механикадағы энергияның сақталу заңы былай оқылады: "егер берілген
кванттық күйде жүйенің энергиясы нақты мəнге ие болатын болса, онда энергияның
осы күйдегі мəні уақыт бойынша өзгермейді".
L = H = T + U = const
Энергия нақты мєнге ие болатын кванттық күйлер жүйенің стационар күйлері деп
аталады. Стационар күйлерді сипаттайтын функциялар Гамильтон операторының
меншікті функциялары болып табылады, Ψ − толқындық функциямен сипатталады
жөне
Hˆ Ψn = E n Ψn
(6.1)
теңдеуін қанағаттандырады.
Мұнда Еп — энергиянын меншікті мєндері.
ih
∂Ψn
= E n Ψn
∂t
бұл теңдеуді уақыт бойынша тікелей интегралдасақ, мынадай өрнек аламыз:
(6.2)
Ψn (q n , t ) = Ψn (q )e
i
− Ent
h
(6.3)
(6.3)-қатынасы стационар толқындық функция мен t -уақыттың арасындағы
тəуелділікті тағайындайды. Ψn (q) -координатаға байланысты функция. Энергияның
мүмкін мєндерінің ең төменгісі – жүйенің негізгі күйі деп аталады. Кейде стационар
күйлердің ішінде энергияның бір меншікті мөніне бірнеше меншікті функциялар
сəйкес келетін жағдайлар да кездеседі:
Ψn1 --------------------------------m=+1
E n ------------------------------ Ψn2 --------------------------------m=0
Ψn3 --------------------------------m=-1
Мұндай жағдай кванттық механикада энергиялық деңгейлердің "азуы" деп
аталады.
§ 2. Импульстің сақталу заңы
Тұйықталған бөлшектер жүйесін қарастырайық. Мұндай жүйелер үшін
кеңістіктің барлық нүктелері өзара эквивалентті болғандықтан жүйенің
гамильтонианы жүйені кеңістікте кез келген параллель бағытқа орын ауыстырғаннан
өзгермеуі кажет. Жүйенің кеңістікте аз шамаға параллель орын ауыстыруын
r
қарастырайық. Мұндай орын ауыстырулар нөтижесінде əрбір бөлшектің rn - радиусr
векторы δr өсімше алуы керек:
r
r
r
r
r1 + δr , r2 + δr , r3 + δr …….
r r
Бұл жағдайда жүйені сипаттайтын толқындық функция Ψ (r1 , r2 ,...) -мынадай
r
r r
r
Ψ (r1 + δr , r2 + δr ,...) - функцияға ауысуы қажет, яғни
r
r r
r
r r
r
r
r
r r
Ψ (r1 + δr , r2 + δr ,...) = Ψ (r1 , r2 ,...) + δr ∑ ∇ a Ψ (r1 , r2 ,...) = 1 + δr ∑ ∇ a Ψ (r1 , r2 ,...)
(6.4)
(
a
мұндағы
a
(1 + δrr ∇ )
∑
a
)
(6.5)
a
қатынасын тұйықталған жүйенің кеңістікте параллель орын ауыстыруын іске асатын
оператор ретінде қарастыруға болады. Кеңістіктің біртектілік қасиетінен (6,5)операторының Гамильтон операторымен коммутативті екендігі шығады:
r
r
1 + δr ∑ ∇ a Hˆ − Hˆ 1 + δr ∑ ∇ a = 0
(6.6)
(
)
a
(
a
)
Жақшаларды ашсақ, мынадай қатынасқа келеміз:
( ∇ )Hˆ − Hˆ ( ∇ ) = 0
∑
a
a
∑
a
a
(6.7)
Кванттық Пуассон жақшалары бойынша кез келген оператордың Гамильтон
операторымен коммутативтілігі осы оператор арқылы сипатталатын физикалық
шаманың сақталатынын көрсетеді. Ал кеңістіктің біртектілігін сипаттайтын
физикалық шама жүйенің импульсі, олай болса (6.7)-ші қатынас кванттық механикада
( ∇ ) операторы - тұйықталған жүйенің толық
импульстің сақталу заңын сипаттайды.
∑
a
a
импульсіне сєйкес келеді, ал қосындыға кіретін єрбір мүше ∇ a − жеке бөлшектердің
импульсін сипаттайды.
Шындығында да, бұрынғы өткен материалдардан жеке бөлшектің импульсі
операторының Pˆx = −ih∇ x , Pˆy = −ih∇ y , Pˆz = −ih∇ z , ал толық импульстің P̂ = −ih∇ екендігі
белгілі.
3. Импульс моментінің сақталу заңы
Кеңістіктің біртектілігімен қатар тағы бір қасиеті бар, ол кеңістіктің
изотроптылық қасиеті. Яғни тұйықталған жүйені кеңістікте кез келген бұрышқа
r
бұрғаннан гамильтониан Ĥ өзгермеуі тиіс. Жүйенің кеңістікте шексіз аз δϕ -бұрышқа
бұрылуын қарастырайық. Осы бұрудың нєтижесінде радиус-вектордың алатын
µсімшесі:
δra = [δϕ ⋅ ra ]
r
r r
ал əрбір жеке бөлшек үшін радиус вектордың шамасы:
r
r1 + δr1 , r2 + δz 2 ,...
r
Сонда кеңістікте тұйықталған жүйенің шексіз аз δϕ бұрышына бұрылуы
r r
нəтижесінде
осы
жүйені
сипаттайтын
Ψ (r1 , r2 ,...) − толқындық
функциясы
r
r r
r
Ψ (r1 + δr1 , r2 + δr2 ,...) функциясына ауысады:
r
r r
r
r
r
r r
r sr
r
r
r rr
Ψ (r1 + δr1 , r2 + δr2 ,...., rn + δrn ) = Ψ (r1 , r2 ,...) + δϕ ∑ [ra ∇ a ]Ψ (r1 , r2 ,..., rn ) = 1 + δϕ ∑ [ra ∇ a ] Ψ (6.8)
(
a
a
)
Мұнда жүйенің шексіз аз бұрышқа бұрылуын іске асыратын оператор ретінде
(1 + δϕr
rr
)
∑ [ ra ∇ a ]
a
(6.9)
қатынас қарастыруға болады.
Бұл оператор, кеңістіктің изотропиялық қасиеті шартынан, гамильтон операторымен
коммутативті болады. Сонда:
r
rr
ˆ − Hˆ ∑ [rr ∇ ] = 0
∑ [ ra ∇ a ] H
(6.10)
a a
(
a
)
(
a
)
Кеңістіктің изотропиялық қасиетіне сєйкес келетін физикалық шама жүйенің
импульс моменті. Сонда (6.10)- қатынасы кванттық механикада импульс моментінің
сақталу заңын сипаттайды.
rr
∑ [ ra ∇ a ] - операторы тұйықталған жүйенің толық импульс моментіне сəйкес келеді.
(
a
)
Мұнда қосындыға кіретін єрбір мүше жеке бөлшектердің импульс моментін
сипаттайды.
§4. Күйлердің жұптылығы жєне жұптылықтың сақталу заңы
Кеңістіктің біртектілігі жəне изотропиялық қасиетінен басқа Гамильтон
операторын өзгеріссіз қалдыратын тағы бір қасиеті бар, ол кеңістіктік инверсия, яғни
тұйықталған жүйенің бөлшектерінің координаталарьның таңбаларын қарама-қарсыға
аударғанда, Гамильтон функциясының операторы
өзгермейді:
r
r
Ψ (r ) = Ψ (−r )
Арнайы инверсия операторы ұғымын енгізейік - P̂ . Бұл операторды пайдаланып
кеңістіктің инверсиялық қасиетін мынадай түрде жазуға болады:
r
r
r
Pˆ Ψ (r ) = Ψ (− r ) = − Ψ (r )
(6.11)
жалпы жағдайда, кез келген сызықтық, өзара түйіндес оператор үшін:
r
r
Pˆ Ψ (r ) = PΨ (r )
(6.12)
Мұндағы Р- P̂ операторының меншікті мөні. Бұл меншікті мєнді анықтау үшін (6.12)ші теңдеуге тағы бір рет P̂ — операторымен єсер етелік, сонда (6.11)- ші қатынасты
ескерсек:
r
r
r
Pˆ 2 Ψ (r ) = P 2 Ψ (r ) = Ψ (r )
(6.13)
2
Бұдан
P = 1 немесе P = ±1
(6.14)
r
Сонымен P̂ - операторының єсері нəтижесінде тұйықталған жүйені сипаттайтын Ψ (r ) толқындық функциясы таңбасын не өзгертеді, не өзгертпейді. Егер толқьндық
функция таңбасын өзгертпесе онда ол жұп функция деп, ал таңбасын қарама қарсыға
өзгертсе тақ функция деп аталады.
Гамильтон операторының кеңістіктік инверсия операторымен коммутативтілігі
жұптылықтың сақталу заңы деп аталады. Ол былай оқылады: "Егер тұйықталған
бөлшектер жүйесінің белгілі бір жұптылығы болса, онда осы жұптылық уақыт
бойынша өзгермейді".
7 ТАРАУ. БІР ӨЛШЕМДІ ҚОЗҒАЛЫСТЫҢ ЖАЛПЫ ҚАСИЕТТЕРІ
1. Потенциялық шұнқырдағы бөлшек қозғалысы жайындағы есеп
Бөлшектің энергиясының дискретті мəндерге ие болатындығын көрсететін
қарапайым мысалы ретінде шексіз терең потенциал шұңқырдағы микробөлшектің
қозғалысын қарастыралық.
Шұңқырдағы бөлшектің энергиясы Е болсын. Бұл бөлшектің кинетикалық
энергиясы
потенциялық энергиядан кем болатындықтан T < U (x) , потенциялық
энергияның нольге тең болатын мєнін потенциялық шұңқырдың түбінен алалық. 7.1ші суретте көрсетілген потенциялық өріс үшін кеңістікті мынадай үш облысқа бөлуге
болады:
U (x )
U 01
U 0

U (x ) =  0
U
 0
Ψ
U0
I
II
0
III
i
7.1- сурет. Потенциялық шұңқыр
егер х < 0
егер 0 ≤ х ≤ 1
егер х > 1
(7.1)
Біздің мақсатымыз: бір өлшемді қозғалыс үшін 7.1- ші суретте берілген потенциялық
облыстарға сөйкес келетін Шредингердің стационар теңдеулерін шешу. Бірінші жəне
үшінді облыстар үшін:
∇ 2 ΨI , III ( x) +
2m0
[E − U ( x)]ΨI , III ( x) = 0
h2
(7.2)
2m 0
EΨ2 ( x) = 0
h2
(7.3)
2m 0
E
h2
(7.4)
2-ші облыста U ( x) = 0 болғандықтан (7.2)-ші теңдеу мынадай түрде жазылады:
∇ 2 Ψ2 ( x) +
Белгілеу енгізейік,
к2 =
Сонда екінші облыс үшін жазылған Шредингер теңдеуі мынадай түрге келеді:
d 2 Ψ ( x)
+ K 2 Ψ2 ( x) = 0
dx 2
(7.5)
Классикалық механика заңдылықтарымен сипатталатын бөлшек үшін (7.5)-ші
теңдеудің шешулерін гармоникалық тербелістер түрінде жазуға болады:
Ψ2 ( x) ≅ cos kx, sin kx
1-ші жөне 3-ші облыстар үшін U = U 0 > E , сондықтан төмендегідей белгілеу енгізсек,
η2 =
(7.2)- ші теңдеу мынадай түрге келеді:
2m0
(U 0 − E )
h2
d 2 Ψ1,3
dx
2
+ η 2 Ψ1,3 = 0
(7.6)
(7.7)
Ал, бұл теңдеудің шешуі экспоненттер түрінде беріледі:
Ψ1,3 ( x) ≅ e ±ηx
(7.8)
Шредингер теңдеуі стандарт шарттарды канағаттандыруы үшін x -тің мєндері
шексіз өскенде теңдеудің шешуі шексіз кемуі қажет. Сондықтан 1- ші облыста, яғни
X < 0 болғанда (7.8)-ші теңдеуде жоғарғы таңбаны, ал 3-ші облыста (Х>0) төменгі
таңбаны алу қажет.
Ψ1,3 ( x) = B1,3 e −ηx + A1,3 e +ηx
(7.9)
2- ші облыс үшін
Ψ2 ( x) = B2 cos kx + A2 sin kx
(7.10)
Сонымен біз 7.1-ші суретте көрсетілген єрбір үш облыс үшін Шредингер
теңдеулерінің шешулерін тағайындадық. Қарастырылып отырған есепті жеңілдету
үшін потенциялық шұңқыр шексіз терең (U 0 → ∞ ) деп алалық. Онда (7.6)-шы
қатынастан η мєндері де шексіздікке ұмтылады. Бұл жағдайда (7.9)-шы теңдеуден
Ψ1 = Ψ3 = 0 болатындығын көреміз. Егер толқындық функция нольге тең болса, онда
бұл функциялар сипаттайтын кеңістіктің бөліктерінде бөлшектің жоқ болғаны.
Сондықтан бұдан былай 1- ші жөне 3-ші облыстарды қарастырмауға болады. Енді 2-ші
облысқа оралайық. Потенциялық шұңқырдың ішінде (7.10)-шы теңдеудің шешулері
үшін шекаралық шарттар:
X = 0 болғанда
Ψ2 ( x) x = 0 = 0
(7.11)
жєне
X = l болғанда
Ψ2 ( х ) х = l = 0
(7.12)
Бұлардан
(7.11)ші
шарт
орындалуы
үшін
В2=0,
ал
энергияның
меншікті мєндері үшін к = п π , мұндағы п = 1, 2, 3, т.б. п = 0
мəнінде толқындық функция нольге тең болғандықтан, алға карай бұл мєнді
қарастырмаймыз. Сонда
k2 =
2 m0
n 2π 2
E
=
бұдан,
n
h2
l2
π 2h 2 2
En =
n
2 m0 l 2
(7.13)
Энергияның осы меншікті мєндеріне сєйкес келетін меншікті функциялар:
Ψn ( х ) = A2 sin
nπ
x
l
(7.14)
А2 коэффициентін толқындық функцияны нормалау шартынан анықтауға болады:
l
∫A
sin kx 2 dx = 1
2
0
бұдан:
2
l
A2 =
Сонымен потенциялық шұңқырдағы микробөлшектің қозғалысын сипаттайтын
толқындық функция
Ψn ( x ) =
2
πn
sin x
l
l
(7.15)
Энергияның меншікті мєндерімен, меншікті функцияларының кейбір мəндерін
жазалық:
π 2h 2
n =1
E1 =
n=2
E 2 = 4E1 ,
n=3
E 3 = 9E1 ,
,,,
,,,
2 m0 l
2
,
2
π
sin x
l
l
Ψ1 =
2
2π
sin
x
l
l
2
3π
Ψ3 =
sin
x
l
l
Ψ2 =
,,,
Сонымен, егер бөлшектің қозғалысы потенциялық шұңқыр ішімен ғана
шектелген болса, онда оның энергиясы тек дискретті мєндерге ие болады.
§ 2. Бөлшектің еркін қозғалысы
Кванттық механиканың өте қарапайым, бірақ көрнекті есептерінің бірібөлшектің бүкіл кеңістікте (− ∞ < x < +∞ ) еркін қозғалысы. Бөлшекке єсер ететін күш
жоқ болғандықтан, потенциялық энергия тұрақты болады жөне оны нольге тең деп
қабылдай аламыз, U = 0 . Классикалық механикада бұл жағдайда Гамильтон функциясы
кинетикалық энергияға тең болады:
H =T =
p2
2m0
(7.16)
Қозғалыс бір өлшемді болғандықтан импульс операторының орнына оның берілген
ось бойынша құраушыларын алуға болады Pˆx = Pˆ ,
ал Гамильтон операторы
∂
Pˆx = −ih
∂x
(7.17)
1 ˆ2
h2 2
Hˆ =
Px = −
∇x
2m 0
2m0
(7.18)
Бұл жағдайда Шредингер теңдеуі:
−
егер
2 m0
E = k2
h2
h2 d 2
Ψ ( x) = EΨ ( x)
2m0 dx 2
(7.19)
деп белгілесек, (7.19)-шы тендеудің дербес шешуі мынадай болады:
Ψ1, 2 ≈ e ± ikx
(7.20)
Бөлшектің энергиясы оң мєнді болғанда Е > 0, (7.20)-шы шешу бүкіл кеңістікте
үзіліссіз жєне шектелген болады. Яғни, микробөлшек бүкіл кеңістікте еркін
қозғалғанда оның энергиясының меншікті мєндерінің спектрі үзіліссіз болады.
Егер Ψ1 жєне Ψ2 функцияларын (7.19)- шы Шредингер теңдеуіне қойсақ, онда
осы екі меншікті функцияларға энергияның бір меншікті Е мєні сєйкес келетіндігін
көреміз. Ол бұл энергиялық деңгейдің "азған" екендігін көрсетеді жəне осы жағдайда
азғындық реті екіге тең болады.
Азғандықтың физикалық мағынасын түсіну үшін энергияның меншікті
функцияларының импульс операторының да меншікті функциялары бола ала ма, жоқ
па соны қарастыралық. Кинетикалық энергия мен импульстің арасындағы байланыс
2m 0 E = P
Енді (7.17)- ші қатынасты пайдалансақ,
∂Ψ1
d Px x
= −ih e h = PΨ1
∂x
dx
i
∂Ψ2
d h Px x
− ih
= −ih e
= − PΨ2
∂x
dx
i
− ih
Бұл қатынастар шындығында да энергия операторының меншікті
функцияларының импульс операторының да меншікті функциялары болатындығын
көрсетеді жəне бір меншікті функцияға импульстің +р меншікті мєні, екіншісіне -р
меншікті мєні сєйкес келеді. Сонымен, энергияның меншікті функцияларының
азғындығы еркін қозғалыстағы бөлшектің түзу сызықты қозғалысының бағытының
анықталмағандығына байланысты болады. Мєндері үзіліссіз спектр болатын меншікті
iPx
x
h
функциялардың тағы бір қасиетін қарастырайық. e функциясы х -айнымалы − ∞ пен
+ ∞ -ке дейін өзгергенде шектелген болғанмен де, оның модулінің квадратынан
алынған интеграл (нормалау шарты бойьшша) жинақталмайды:
+∞
∫
−∞
+∞
Ψ Ψdx = ∫ e
*
−∞
i
Px
x
h
e
−i
Px
x
h
+∞
dx = ∫ dx → ∞
−∞
(7.21)
яғни, бұл функцияларда бүрыннан белгілі əдістермен нормалау мүмкін емес. Жалпы
оператордың меншікті мəндері үзіліссіз болған жағдайдың бєрінде де меншікті
функциялардың осы қасиеті сақталады. Дискретті жəне үзіліссіз спектрлердің
арасындағы осы айырмашылықтарға єрдайым көңіл бөлу қажет. Спектр дискретті
болғанда, Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 т.б. меншікті функцияларға λ1 , λ 2 , λ3 ... т.б. дискретті меншікті
мєндер сєйкес келеді, ал үзіліссіз спектр жағдайында Ψ ( x, λ ) меншікті функциясының
мєні үзіліссіз болатын λ параметріне тєуелді болады. Мүндай функцияларды
нормалау мүмкіндіктерінің бірін М. Борн ұсынды. Борн бойынша Ψ (x) толқындық
функцияға шекаралық шарттың орнына, мерзімділік шарт қойылады:
Ψ ( x) = Ψ ( x) + L
(7.22)
Мұнда параметр L - мерзімділік ұзындығы деп аталады. L кез келген үлкен
шамаға ( L → ∞ ) ие бола алады. Себебі, бұл параметр есептеулердің соңғы
нєтижелеріне айқын түрде енбейді. (7.22)- ші шарт бойынша
e ikx = e ik ( x + L )
(7.23)
ikx
бұдан e = 1 , яғни
K=
2πn
L
(7.24)
мұнда n = 0,±1,±2,±3,....
екінші жағынан k 2 =
2 m0
E болғандықтан, энергияның меншікті мєндері
h2
h 2 k 2 2π 2 h 2 n 2
=
En =
2m0
m0 L2
(7.25)
L -дің бүкіл мəнінде Ψ периодты функция болғандықтан, нормалау шартын былай
жазуға болады:
L/2
∫
Ψ * Ψdx =1
(7.26)
−L / 2
Бұл теңдеуге Ψ = Ae ikx
мєнін қойсақ, онда
A=
1
(7.27)
L
Сонда нормаланған шешу мынадай түрде жазылады:
1
2
Ψn ( x) = L e
(7.28)-ші
функциялар
нормалануы
лар екендігін де көрсетуге болады:
ikx
1
2
=L e
i
2πn
x
L
мен
қатар
ортогонал
(7.28)
функция-
sin π ( L ′ − L) 0 егер L ≠ L ′
=
(7.29)
π ( L ′ − L)
1 егер L = L ′
Сонымен, жасанды түрде мерзімділік ұзындығы L ұғымын енгізу арқылы,
1 L/2 −
∫ Ψ ΨL dx =
∫ e
−L / 2
L −L / 2
L/2
*
L′
2πn
( L′ − L )
L
dx =
үзіліссіз спектрді қалай дискретті спектрге айналдыруға бо-латындығын, Борн үсынған
єдіспен көрсеттік. Шектік жағдайда, L шексіздікке ұмтылғанда, керісінше үзіліссіз
спектрге ауысамыз. Шындығында да
K=
P m0 v
=
екендігін ескерсек көршілес
h
h
орналасқан деңгейлердің энергияларының ара қашықтықтарын анықтай аламыз:
∆E =
h 2 k 2π
2πh
⋅
=v
m0 L
L
(7.30)
Бұдан, L → ∞ болғанда ∆E → ∞ , яғни энергия үзіліссіз мəндерге ие бо-лады.
Бөлшектің бір өлшемді еркін қозғалысындағы үзіліссіз спектрді нормалаудың
тағы бір мүмкіндігі δ - функцияны пайдалану. Егер Ψ меншікті функциясын мынадай
түрде алсақ,
Ψ ( p ) = Ae
i
Px
h
i
Px
h
,
Ψ ( p ) = Ae
онда δ -функцияны пайдаланып осы нормалау шартын былай жазуға болады:
∫Ψ
*
( p ′)Ψ ( p )dx = A
бұдан
2 +∞
∫
−∞
*
dxe
 P P′ 
ix  − 
h h 
A=
меншікті функция
= A 2 2πhδ ( p − p ′) = δ ( p − p ′)
1
(7.32)
(7.33)
2πh
Ψ ( p) =
(7.31)
1
2πh
e
p
i x
h
(7.34)
Толқындық функцияларды қарапайым нормалау шарты мен δ -функция арқылы
нормалауды салыстырайық. Ол үшін қарапайым нормалауды (Борн өдісі) мынадай
түрде жазалық:
1, егер мына аралықта n1 < n2 орналасқан
n2
∑ ∫ Ψn′ Ψn dx
n′= n1
*
=
болса.
0, егер n′ − n1 > n2 аралығының сыртында жатса
δ - функцияға нормаланған толқындық функциялар үшін
1, егер p ′ − p1 < p 2 мына аралығының ішінде
p2
∫
p1
dp ′∫ Ψ * ( p ′)Ψ ( p)dx =
орналасса.
0, егер p ′ − p1 < p 2 аралығының сыртында
орналасқан болса
Сонымен, микробөлшектің потенциялық шұңқырдағы (шектелген) жєне
кеңістіктегі еркін (шектелмеген) қозғалыстарын қарастыру нəтижесінде, кеңістіктің
U > E нүктелерінің барлығында спектр үзіліссіз болады деген қортындыға келеміз.
§ 3. Квазиклассикалық жуықтау (ВКБ — тєсіл)
Алдыңғы тарауда біз h → 0 болғанда кванттық теңдеулердің толығынан
классикалық қозғалыс теңдеулерінде ауысатындығын көргенбіз. Яғни, S єсер
функциясы арқылы жазылған Шредингер теңдеуі
1
1
( gradS ) 2 + U − E − ih
∇2S = 0
2m0
2m 0
(7.35)
Планк түрақтысы нольге тең болғанда классикалық механиканың Гамильтон-Якоби
теңдеуімен эквивалентті болады.
Бір өлшемді қозғалыс жағдайында (7.35)- ші теңдеу мынадай түрде жазылады:
ihS ′′( x) + S ′ 2 ( x) + 2m0 ( E − U ) = 0
(7.36)
(7.36)-шы теңдеудің шешуін шамасы аз h параметрі арқылы іздестіреміз
S ( x) = S 0 ( x) + hS1 ( x) + h 2 S 2 ( x) + ...
(7.37)
(7.37)-ші қатардың тек алғашқы екі мүшесімен шектеліп,
S ( x) = S 0 ( x) + hS1 ( x)
(7.38)
оны (7.36)- шы теңдеуге қойсақ, мынадай өрнек аламыз:
2
2m0 ( E − U ) − S 0′ + h(iS 0′′ − 2S 0′ ⋅ S1′ ) = 0
(7.39)
Соңғы теңдеуде тепе- тендік шарты орындалуы үшін h параметрі жоқ мүшелер нольге
тең болуы керек
2
2m0 ( E − U ) − S 0′ = 0
(7.40)
iS 0′′ − 2 S 0′ ⋅ S1′ = 0
(7.41)
(7.40)- шы шарттан 2m0 ( E − U ) = p екендігін ескерсек:
S 0′ = ± 2m0 ( E − U ) = ± p
(7.42)
бұдан
x
S 0 = ± ∫ dx ⋅p
(7.43)
x0
мұнда х0 – қозғалыс жүретін түзу сызықтың бойынан алынған, бекітілген нүкте. (7.41)ші теңдеуден S1 ( x) - ті табуға болады:
S1 =
i S 0′′ i
− ln(ln S ′)
2 S 0′ 2
бұл теңдеуді интегралдасақ
S1 ( x ) =
Енді
(7.41)-ші
жөне
алынған теңдеуге қойсақ
i
i
ln S 0 = ln p = i ln p
2
2
(7.42)-ші
нєтижелерді
x
S ( x) = ± ∫ dx ⋅ p + ih ln p
(7.44)
(7.38)-
ші
жуықтап
(7.45)
x0
Толқындық функция Ψ мен S - əсер функциясының арасындағы байланысты альш
Ψ ( x) = e
i
S ( x)
h
(7.46)
ондағы S(х) функциясының орнына (7.45)- ші теңдеуді қойсақ мынадай қатынасқа
келеміз
i
i
Spdx
Spdx 
1 
h
h

Ψ (x ) =
C
e
+
C
e
1
2

p 

(7.47)
Шредингер теңдеуінің шешуі жуықтап алынған (7.47)-ші толқындық функциямен
сипатталуы Вентцель-Крамерс-Бриллюэннің жуықтау тəсілі деп, қысқаша ВКБ - тєсілі
деп аталады.
Енді микробөлшектің кез келген формалы, бір өлшемді потенциялық
шұңқырдағы қозғалысын қарастырайық (7.2-сурет). E f U min − белгілі бір стационар
күйдің энергиясы болсын.
Бір өлшемді қозғалыстың жалпы
қасиеттері
бойынша
энергияның
мəндері дискретті
спектрге жатады
жəне осы мєндерге
сєйкес келетін
энергиялық деңгей азбаған болады. Бұл
деңгейдің
потенциялық
қисықпен
қиылысу нүктелері x = a жєне x = b
классикалық бұрылыс
нүктелеріне
E
сəйкес келеді, бұл
нүктелерде
І
ІІ
ІІІ
кинетикалық энергия нольге тең болады,
классикалық микробөлшек шүңқыр
x=a
x=b
қабырғаларына соқтығысып,
кері
(7.2 сурет)
серпіледі. Ал, кванттық механикада
бөлшектердің классикалық физикада өтуге мүмкін емес бірінші ( x p a ) жєне үшінші
( x f b ) обылыстарға да өту ыктималдығының нольге тең болмайтындығы белгілі.
Кеңістіктің єртүрлі нүктелеріндегі бөлшектің қозғалысын ВКБ—тєсілін
пайдаланып қарастырайық. Шүңқырдың ішінде, яғни екінші обылыста (а < х < b )
энергия Е f U жєне импульс р-ның мєні нақты. Сондықтан (7.47)-ші жалпы шешу
мынадай түрде беріледі:
U
С
x
sin  ∫ pds + θ 
a

p
Ψ11 =
немесе
Ψ11 =
′
d
sin  ∫ pds + θ 
p
x

С′
(7.48а)
(7.48б)
Классикалық шұңқырдағы бөлшек енуі мүмкін емес обылыстар (I, III) үшін энергия
Е < U, ал импульс р жорымал мєндерге ие болады. Бұл жағдайда (7.47)-ші жалпы
шешу
Ψ=
мұнда | p | нақты сан
A′
i
eh
∫ p dx
+
p
B′
i
eh
∫ p dx
(7.49)
p
p = 2m0 (U − E )
(7.50)
x → ∞ болғанда толқындық функцияның шектелген болуы қажет деген стандарт
шартты қанағаттандыру үшін (7.49)-шы өрнектегі екінші мүшенің алдындағы
коэффициент В-ты нольге теңестіреміз. Сонда I-ші облыс үшін (х<а) жалпы шешу
былай жазылады:
ΨI =
A
e
i
h
x
∫
p dξ
(7.51)
a
p
Ал үшінші обылыс (x > b ) үшін
ΨIII | =
B
e
ib
∫ p dξ
hx
(7.52)
p
Бірақ ВКБ-тєсілімен алынған үш шешуде (7.48), (7.51), (7.52)- бөлшектің бұрылыс
нүктелерінен алыс болғанда ғана дұрыс болады. Себебі х = а жєне х = b нүктелерінде
Е = U болады. Ал импульс р бұрылыс нүктелерінде нольге тең жəне
1
p
шексіздікке
ұмтылады. Сондықтан келесі мєселе: х = а жєне х = b нүктелерінде осцилляциялық
жөне экспоненциалдық шешулерді Шредингер теңдеуін қанағаттандыратын қылып
біріктіру (тігу) қажет. Бұл мєселе толығынан єдебиетте қарастырылған жəне мынадай
нєтиже алынған. Егер бөлшек потенциялық шұңқырдың сыртында, I-ші облыста болса,
онда толқындық функция (7.51)-ші өрнекпен сипатталады, ал бөлшек потенциялық
шұңқырдың ішінде, II-ші облыста болса, толқындық функция:
ΨII =
π
1 x
sin  ∫ pdξ + 
4
p ha
2A
(7.53)
Ал, егерде бөлшек х осінен оңға қозғалып, III-ші облыста (х > b) болса, онда
толқындық функция (7.52)-ші өрнекпен беріледі де, II- ші облыста
ΨII =
π
1 x
sin  ∫ pdξ + 
4
p ha
2B
(7.54)
толкындық функциямен сипатталады.
Алынған қатынастарды түсіну үшін гармоникалық осциллятор үшін жазылған
Шредингер теңдеуінің бесінші энергиялық деңгей үшін табылған дєл шешуі мен
ВКБ-тəсілі арқылы жуықтап алынған шешулердің нєтижелерін салыстырайық (7.3,
7.4-суреттер).
а)
6)
7.3—сурет. Шредингер теңцеуінің дəл шешіпуі мен квазикласси-калық ВКБ—тəсілімен жуықгап алынған
шешуді салыстыру.
а) Сызықтық гармоникалық осциллятордың п = 5 энергиялық деңгей үшін
Шредингер функциясы
б) Осы жағдай үшін ВКБ жуықтауы.
Суреттерден классикалық бақылауға мүмкін облыста ВКБ-жуықтаудың
кванттық шешуді аппроксимациялайтындығын көреміз. Ал, осы облыстың
шекарасында квазиклассикалық жуықтау классикалық шешуге ауысады. ВКБтəсілімен алынған толқындық, функция бөлшек I-ші облыстан II-ші облысқа жəне II-
ші облыстан ІІІ-ші облысқа ауысқанда үзіліссіз болуы үшін (7.51) жəне (7.54)-ші
функциялар бірдей болуы қажет:
π
π
1 x
1b
A sin  ∫ pdξ +  = B sin  ∫ pdξ + 
4
4
ha
hx
а)
(7.55)
б)
7.4-сурет. а) Шредингер шешуін классикалық үлестіру сызығымен салыстыру.
б) Осы жағдай үшін квазиклассикалық жуықтау
Бұл теңдік орындалуы үшін фазалардың қосындысы π − ге пропорционал болуы керек:
π  1b
π
1 x
 ∫ pdξ +  +  ∫ pdξ +  = π (n + 1)
4 h x
4
ha
(7.56)
мұнда A = (−1) n B шы қатынастан
1

p ( x)dx = whπ  n + 
a
2

b
∫
(7.57)
мұндағы
b
∫
a
pdx =
1
∫ pdx
2
екендігін ескерсек (7.57)-ші теңдік мынадай түрге келеді
∫
1

p ( x)dx = 2πwh n + 
2

(7.58)
Бұл қатынас ВКБ-жуықтауында микробөлшектің стационар күйлерін анықтайды.
Ол жалпы физика курсынан белгілі Бор – Зоммерфельд кванттау ережесіне сєйкес
келеді. Айырмашылығы – кванттық сан n емес, n + 1 / 2 болуында. (7.58)- ші кванттық
теорияда гармоникалық осциллятордың
нольдік тербелісі
1
2
энергиясының E = wh
болатындығын көрсетеді, ал Бор – Зоммерфильд теориясында п=0 болғанда
гармоникалық осциллятордың энергиясы нольге тең болатын. ВКБ – жуықтау тєсілін
пайдаланып кванттық механиканың көптеген мəселелерін шешуге болады. Солардың
біріне микробөлшектердің потенциялық тосқауылдан тікелей өтуі — туннельдік
эффект жатады. ВКБ – тєсіліне сүйене отырып дифференциалық теңдеулерді
зерттеудің жаңа єдістері де тағайындалған.
§ 4. Бөлшектің потенциялық тосқауыл арқылы тікелей өтуі. Туннельдік
эффект
Классикалық механика бойынша бөлшек кеңістіктің тек толық энергия
потенциалық энергиядан артық, болатын нүктелерінде ғана бола алады. Себебі бөлшектің кинетикалық энергиясы əр уақытта да нольден үлкен шама:
P
= E − U ( x) > 0
2m0
(7.59)
Егер U(х)<Е болса, онда (7.59)- шы теңдеуден импульс жорымал мəндерге ие
болатындығын көреміз. Бұл классикалық механика бойынша мүмкін емес жағдай.
Сондықтан кеңістіктің U>Е жəне Е >U болатын облыстары потенциялық тосқауылмен
шектелгенде бөлшектің бір облыстан екінші облысқа тікелей өтуі классикалық
механика бойынша мүмкін емес жағдай. Ал кванттық механикада импульстің
жорымал мєндері (ВКБ-тəсілі) координатаға экспоненциалды түрде тəуелді толқындық
функциямен анықталады. Сондықтан, потенциялық тосқауыл ішіндегі бөлшектің
қозғалысын сипаттайтын толқындық функция нольден өзгеше болады, яғни бөлшектің
потенциялық тосқауылдан тікелей өтуінің ықтималдылығы да нольге тең болмайды.
Ал микробөлшектер үшін бұл кұбылыс тєжірибеде бақылауға болатындай дєрежеде
болады. Бөлшектердің потенциялық тосқауыл арқылы тікелей өту құбылысы
туннельдік эффект деп аталады. Туннельдік эффект тек кванттық механикаға тєн
құбылыс жєне оның классикалық физикада ешқандай баламасы жоқ.
U (x)
U0
түскен толқындар
шашыраған
толқындар
0

U ( x) = U 0
0

E
1
2
0
3
егер х < 0
егер 0 ≤ х ≤ 1
егер х > 1
өткен
толқындар
l
7.5-сурет. Бөлшектердің потенциялық тосқауылдан өтуі.
Бөлшек оң бағытта х осінің бойымен қозғалып I-ші облыста ( ∞ < x < 0 ) таралу жолында
x=0 нүктесінде Е < U(х) потенциялық тосқауылға ( 0 ≤ x ≤ l ) жолығып, одан өткеннен
кейін кері Е > U(х) болатын III-ші облысқа (х > l) µтсін (7.5-сурет). Потенциялық
тосқауылдың бастапқы жєне соңғы нүктелері
U(х) = Е
шартынан анықталады. Осы бөлшектің қозғалысына сєйкес келетін де Бройль
толқындарының кейбірі потенциялық тосқауылдан кері шашырайды, ал бір бөлігі
тосқауылдан тікелей өтіп, III-ші облысқа шығады да əрі қарай таралады. Бөлшектердің
потенциялық тосқауылдан тікелей өтуінің ықтималдылығын анықтау үшін осы үш
облыста таралатын толқындар үшін Шредингердің стационар теңдеулерін жазалық:
d 2 Ψ1 ( x)
+ k 2 Ψ1 ( x) = 0
2
dx
2
d Ψ2 ( x)
+ k 2 n 2 Ψ2 ( x) = 0
2
dx
d 2 Ψ3 ( x)
+ k 2 Ψ3 ( x) = 0
2
dx
мұндағы
k2 =
2 m0
E,
h2
n2 =
E −Um
E
(7.60)
(7.61)
(7.62)
Uт- потенциялық тосқауылдың биіктігі. Егер Е > Uт болса параметр п нақты мєндерге
ие болады, ал Е < Uт жағдайда n -нің мəні жорымал: n = iInI . (7.60)- (7.62)-ші
тендеулердің шешуін төмендегідей түрде іздейміз:
Ψ1 ( x) = A1e ikx + B1e ikx
(7.63)
Ψ2 ( x) = A2 e iknx + B2 e −iknx
(7.64)
ikx
− ikx
Ψ3 ( x) = A3 e + B3 e
(7.65)
мұнда A1e ikx - I-ші облысқа түскен толқындарды, B1e ikx -I-ші облыстан шашыраған
толқындарды, A3 e ikx - ІІІ-і облысқа өткен толқындарды сипаттайды.
III-ші облыста шашырайтын толқындар жоқ болғандықтан коэффициент В3=0
деп қабылдаймыз. Толқындық функциялардың үзіліссіздігінен шекаралық шарттарды
мынадай түрде жазуға болады:
Ψ1 ( x) x = 0 = Ψ2 ( x) x = 0
Ψ2 ( x) x = l = Ψ3 ( x) x = l
(7.66)
жəне толқындық функциялардың бірінші туындыларының үзіліссіздігінен
dΨ1
dx
dΨ2
dx
x =0
x =l
dΨ2
dx
dΨ
= 3
dx
=
x = 0
x =l
(7.67)
Егер (7.66)-шы жєне (7.67)-ші қатынастарға толқындық функциялардың мєндерін
қойсақ, онда
A1 + B1 = A2 + B2
(7.68а)
iknl
− iknl
ikl
A2 e + B2 e
= A3 e
(7.68б)
A1 − B1 = n( A2 − B2 )
(7.68в)
n( A2 e iknl − B2 e − iknl ) = A3 e ikl
(7.68г)
Сонымен біз A1 , A2 , B1 , B2 , A3 − бес белгісіз коэффициенттері бар (7.68 а,7.68 г) төрт
теңдеу алдық. A1 коэффициенті арқылы қалған
A2 , B1 , B2 , A3 коэффициенттерін
сипаттайық.
B2 =
2(n − 1)e iknl
A
(1 + n )2 e −iknl − (1 − n )2 e iknl 1
2(n + 1)e − iknl
A2 =
A
(1 + n )2 e −iknl − (1 − n )2 e iknl 1
2
(
1 − n ) (e − iknl − e iknl )
B1 =
A
(1 + n )2 e −iknl − (1 − n )2 e iknl 1
A3 =
4ne − ikl
(1 + n )2 e −iknl − (1 − n )2 e iknl
A1
(7.69)
(7.70)
(7.71)
(7.72)
Микробөлшектердің потенциялық тосқауылда шашырау коэффициенті ұғымын
енгізейік. Шашырау коэффициенті деп тосқауыл бетінен шашыраған толқындар
ағынының потенциалдық тосқауыл бетіне түскен толқындар ағынына қатынасына тең
шаманы түсінеміз:
R=
j шашыр
j т‰скен
(7.73)
Сонымен қатар потенциялык тосқауылдың "мөлдірлік" коэффициенті үғымын да
енгізелік:
D=
jµткен
jт‰скен
(7.74)
Бұл коэффициент тосқауыл бетіне түскен толқындардың қандай бөлігі одан тікелей
өтіп шығатындығын көрсетеді. Толқындар ағынының шамасын есептеу үшін
бұрыннан белгілі (5.19) өрнегін пайдаланамыз:
ihk
j=
2 m0
 ∂Ψ ∗
∂Ψ 
 Ψ

− Ψ∗
∂
x
∂
x


(7.75)
Бүл өрнекке (7.63)-(7.65)-ші қатынастардың керекті бөліктерін қойсақ, түскен
толқындар ағыны үшін:
ihk 2
A1
m0
jт‰скен =
(7.76)
осы сияқгы түскен толқындардың шашыраған жєне өткен бөліктері:
jшашыр = −
jµткен =
ihk 2
B1
m0
(7.77)
ihk
2
A3
m0
(7.78)
Енді де Бройль толқындарының потенциялық тосқауылдан шашырау жєне
мөлдірлік коэффициенттерін анықтасақ:
R=
B1
D=
A3
A1
A1
2
(7.79)
2
2
(7.80)
2
Классикалық теория бойынша, егер бөлшектің энергиясы Е потенциялық энергиядан
артық болса, Е > Uт онда
R=0
жєне D = 1
ал, кванттық теория бойынша
R ≠ 0 жєне D ≠ 1
Керісінше, бөлшектің толық энергиясы Е потенциялық тосқауыл биіктігінен кем
Е < Uт болса, онда классикалық теория бойьшша
R =1
жєне D = 0
ал, кванттық теория бойынша
R ≠ 1 жєне
D≠0
Е > Uт болғанда кванттық механика бойынша мөлдірлік коэффициенттерінің нольге
болмайтындығын дєлелдейік. Қарастырып отырған жағдайымызда параметр n = i n , ал
мөлдірлік коэффициенті D =
A3
A1
2
2
мұндағы
2
A3
2
∗
= A3 ⋅ A3 =
16 n e
−2 k n 1
(1 + n )
2 2
A1
2
(7.81)
осы қатынасты (7.80)-ші өрнектегі D − ның орнына қойып, түрлендірулер жасасақ
D=
2
16 n
(1 + n )
2 2
D = D0 e
2 x2
∫
h x1
e
−2 k n 1
(7.82)
2 m0 (U m − E )dx
(7.82)-ші өрнекке мынадай белгілеулер енгізсек
D0 =
2
16 n
(1 + n )
2 2
жєне
n =
1
2m0 (U m − E )
h
екендігін ескерсек, потенциялық тосқауылдың мөлдірлік коэффициенті
2
D = D0 e h
2 m0 (U m − E )l
(7.83)
мұнда l - потенциялық тосқауылдың ені. Егер потенциялық тосқауылдың формасы кез
келген болса (7.83)-ші өрнек мынадай түрге келеді:
D = D0 e
2 ч2
∫
h ч1
2 m0 (U m − E )dx
(7.84)
Планк тұрақтысының мєні h → 0 болғанда мөлдірлік коэффициенті нольге тең болады,
яғни бөлшектің потенциялық тосқауылдан тікелей өтуі мүмкін емес. Бүл классикалық
шектік жағдай.
Микробөлшектердің потенциялық тосқауыл арқылы тікелей өту құбылысы
бөлшектердің толқындық қасиеті бар екендігінің тікелей салдары болып табылады.
§ 5. Электрондардың металл бетінен салқын эмиссиясы
Туннельдік эффект теориясы металдар теориясында, ядролық физикада жөне
физиканың басқа тарауларындағы классикалық физика түсіндіре алмаған
құбылыстарды түсіндіре алады. Солардың ішіндегі ең маңыздыларының біріэлектрондардың металл бетінен салқын эмиссиясы яғни, сыртқы электр өрісінің
єсерінен электрондардың металл бетінен ұшып шығуы. Фотоэффект құбылысынан
металлдағы электрондардың сырттан түскен фотонның hw энергиясының бір бөлігін
жұтып алатындығы белгілі. Осы құбылыстың нєтижесінде электрон металл бетінен
1
m0 v 2 = hw − A
2
(7.85)
кинетикалық энергиямен ұшып шығады (Эйнштейн теңдеуі). Бұл теңдеуден
электрондардың металл бетінен ұшып шығу жұмысының электрондардың
энергиясының потенциялық тосқауыл энергиясынан артық қылуға жеткілікті минимум
энергияның мөлшері екендігін көреміз. Егер металлдағы электрондардың
(электрондық газдың) температурасы абсолюттік нольден жоғары болса,
электрондардың бір бөлігі Ферми деңгейінен жоғары энергиялық деңгейлерге
орналасады. Электрондық газдың кинетикалық энергиясын металды қыздыру
нєтижесінде арттырса онда кейбір электрондардың энергиясы потенциялық тосқауыл
энергиясынан артық болып, олар металл бетіне ұшып шығады, металда электр тогы
пайда болады. Мұндай құбылыс термоэлектрондық эмиссия деп аталып, оның
электрондық лампаларда пайдаланылатындығы белгілі. Металда электр тогы сонымен
қатар төменгі температураларда сыртқы электр өрісінің єсерінен де пайда болуы
мүмкін.
r
Металл бетіне х осіне қарсы бағытталған, кернеулігі E электр өрісін түсірелік.
Өріс түсірілгеннен кейінгі потенциялық энергия
r
U ( x ) = U 0 − e0 Ex
(7.86)
Потенциялық энергияның графигінен (7.6-сурет) – сыртқы электр өрісінің
єсерінен екі жағынан шектелген потенциялық тосқауылдың пайда болатындығын
көреміз. Туннельдік эффектінің салдарынан электрондардың осы потенциялық
тосқауылдан тікелей өтіп, металл бетіне шығуының мөлдірлік коэффициенті
U (x )
D = D0 e
өріс жоқ кездегі потенциал
U0
r
E
вакуум
2
h
x1
∫
2 m0 (U ( x )− E )dx
(7.87)
Мұндағы интегралдың шегі x1 -дің
мєні мынадай шарттардан анықталады:
t
өріс түсірілген жағдайда
0
x0
x1
x
7.6 - сурет.Электрондардың
салқын эмиссиясы.
U0E
e0 ε
(7.88)
2
3/ 2
2m0 e0 ε ⋅ x1
3
(7.89)
бұдан
U 0 − e0 Ex1 = E
x1
Сонда интеграл
2m 0
x1
∫
0
U ( x ) − Edx =
(7.88) жөне (7.89) қатынастарын пайдаланғанда, потенциялық тосқауылдың мөлдірлік
коэффициенті былай жазылады:
D = D0
3
4
2m
(U 0 − E )
e 0 hε
= D0 e
ε0
ε
(7.90)
мұндағы ε 0 − электрондардың металл бетіне шығу жұмысына тєуелді шама. Салқын
эмиссия тогының тығыздығы мөлдірлік коэффициентіне пропорционал шама:
j = j0 D = j e
'
0
ε0
ε
(7.91)
Бұл өрнектен салқын эмиссия құбылысын бақылау үшін қажетті сыртқы электр
өрісінің кернеулігінің ε − 10 6 в / cм болуы керек екендігін есептеп шығаруға болады. Бұл
шама тєжірибелік деректерге сєйкес келеді.
8 ТАРАУ. СЫЗЫҚТЪІҚ ГАРМОНИКАЛЬІҚ ОСЦИЛЛЯТОР
§ 1. Классикалық жєне Бор теорияларындағы гармоникалық
осциллятор
Гармоникалық осциллятор жайындағы есеп теориялық физиканың негізгі
тарауларына жатады. Гармоникалық осциллятор теориясын пайдаланып карапайым
тербелістер теориясын құруға болады жєне оны механикада, классикалық
электродинамикада, радиофизикада, физиканың басқа да тарауларында пайдаланады.
Көптеген жағдайда жүйенің күрделі қозғалысын қарапайым тербелістерге жіктеуге
болады.
Алдымен классикалық теориядағы гармоникалық осцилляторды қарастырайық.
Массасы m0 , заряды e0 материалдық нүктеге
F = − kx
(8.1)
∂ 2u
серпімді күш єсер етсін, k − серпімділік коэффициенті, k = 2 x = 0
∂x
Сонда гармоникалық осциллятордың қозғалыс теңдеуін мынадай түрде жаза аламыз:
m0 x − kx
(8.2)
ал, оның шешуі
мұнда w =
x = a cos wt
(8.3)
k
− дµңгелек жиілік. Классикалық электродинамикадан зарядталған
m0
бөлшектің сєуле шығару қарқындылығы
л
2e 20 2 e 02 a 2 4
w
x =
3c 3
3c 3
8.4)
kx 2 m0 w 2 a 2
=
cos 2 wt
2
2
(8.5)
Wk =
Потенциялық энергия:
U ( x ) = − ∫ F ( x )dx =
x
0
Кинетикалық энергия
m0 x& 2 m0 a 2 w 2
T=
=
sin 2 wt
2
2
(8.6)
Сонда, толық энергия
E = T = U (x ) =
m0 a 2 w 2
2
(8.7)
Сонымен, классикалық теорияда гармоникалық осциллятор энергияны үзіліссіз
шығарады, сəуле шығару жиілігі механикалық тербеліс жиілігіне тең немесе
пропорционал болады. Жартылай кванттық Бор теориясы да гармоникалық
осциллятор теориясына кейбір жаңа моментгер қосады. Бұл теория бойынша
адиабаттық инварианта:
∫ P dx = nh
(8.8)
x
мұнда п = 1, 2, 3,... кванттық сан.
Px dx = m0 x&
dx
= m0 a 2 w 2 sin 2 wtdt
dt
(8.9)
Сонда
m0 a 2 w 2
E=
2
екендігін ескерсек
∫ P dx = nh = E
x
(8.10)
n
2π
w
бұдан Бор теориясындағы гармоникалық осциллятордың толық энергиясы
E n = nhw
(8.11)
мұнда n = 1,2,3,... Егер n = 0 , энергия E Бор = 0.
Сонымен, жартылай кванттық Бор теориясы бойынша гармоникалық осциллятордың
энергиясы дискретті мəндерге ие болады, электромагниттік сєулелер осциллятор
бірінші, жоғары энергиялық деңгейден екінші, төмен энергиялық деңгейге ауысқанда
бөлініп шығады.
§ 2. Гармоникалық осциллятор энергиясының меншікті мəндері мен
меншікті функциялары
Енді кванттық теориядағы гармоникалық осцилляторды қарастырайық. Ол үшін
потенциялық энергияның X-ке тєуелділігін қарастырайық. Графиктен, потенциялық
тосқауылдың сыртында толқындық функцияның өсетін де, кемитін да шешулері
болатындығын көреміз.
U (x )
Ψµсет
Ψµсет
Ψкем
Ψкем
0
Біздің мақсатымыз, толқындық функцияның
өсетін мєндерінен құтылып, бір өлшемді
қозғалыс үшін Шредингер
теңдеуін
шешіп, энергияның меншікті мəндері мен
оларға сєйкес келетін меншікті функцияларды анықтау. Гармоникалық осциллятор
үшін Шредингер теңдеуі:
E < U (x )
8.1-сурет. Энергияның кез келген мєніне сєйкестендірілген толқындық функция.
m0 w 2 x 2 
d 2 Ψ 2 m0 
+ 2 E −
 Ψ (x ) = 0
2 
dx 2
h 
Мынадай белгілеулер енгізелік:
α=
жєне ξ = x β =
2m 0
E,
h2
β=
(8.12)
α 2E
=
β hw
mw
1
= 0 ,
2
h
x0
(8.13)
x
- өлшемсіз айнымалы.
x0
Сонда (8.12)-ші теңдеудің орнына мынадай теңдеу аламыз:
d 2Ψ
+ λ − ξ 2 Ψ (ξ ) = 0
dξ 2
(
)
(8.14)
Бұл функцияның айнымалысы ξ → ±∞ ұмтылса (λ << ξ 2 ) , онда (8.14)-ші теңдеу былай
жазылады:
Ψ∞′′ − ξ 2 Ψ∞ = 0
(8.15)
Бұл теңдеудің шешуін мынадай түрде іздестіреміз:
Ψ∞ e aξ
(8.16)
Бұл қатынасты (8.16)-ші теңдеуге қойсақ, онда
4a 2ξ 2 e aξ − ξ 2 e aξ = 0
(8.17)
2
Бұдан 4a − 1 = 0
бұдан a = ± 1 2
2
2
2
Сонда (8.16)-шы шешудің орнына мынадай қатынас аламыз:
1
Ψ∞ = С1e 2
ξ2
1
+ C2e 2
ξ2
(8.18)
ξ → ±∞ ұмтылғанда, толқындық функция шектелген болуы керек шартынан,
C 2 = 0, C1 = 1 болуы қажет. Енді (8.18) мынадай түрге келеді:
1
Ψ∞ = e 2
ξ2
(8.19)
Сонда (8.14)-ші теңдеудің шешуі былай жазылады:
1
ξ2
Ψ (ξ ) = Ψ∞U (ξ )e 2 U (ξ )
Енді (8.14)-ші теңдеу мынадай түрге келеді:
U ′′(ξ ) − 2ξU ′(ξ ) + (λ − 1)U (ξ ) = 0
(8.20)
Бұл теңдеудің шешуін қатар ретінде іздестіреміз:
U (ξ ) = a0 + a1ξ + a 2ξ 2 + ...a nξ n =
n
∑
k =1
akξ k
(8.21)
(8.21)-ші қатарды (8.20)-шы теңдеуге қойып, қосындының индексін бір мєнге
келтіреміз:
k
∑ ξ [(k + 2 )(k + 1)a k + 2 − a k (2 k + 1 − λ )] = 0
(8.22)
k =0
Бұл рекурренттік қатынас:
ak +2 =
2k + 1 − λ
ak
(k + 2)(k + 1)
Бұдан k → ∞ жағдайда
ak +2 2
≈
ak
k
(8.23)
(8.21)-ші дəрежелі қатардың eξ түрінде өсетіндігін көреміз. Мұны дєлелдеу үшін
функциясын қатарға жіктейік
2
eξ = 1 + ξ 2 +
2
ξ4
2!
+
ξ6
3!
+ ... +
ξk
+
ξ k +2
k k

 !  + 1!
2 2 
+ ... = 1 + ξ 2 + ... + bk ξ k + ... + bk + 2 S
бұдан
bk + 2
bk
k 
 !
k
2
=   =
k
 2
 + 1!
2 
- жоғарыда айтылған тұжырым дєлелденді.
(8.21)-ші қатар k max = n мєнімен шектеліп, a n ≠ 0 жєне a n+ 2 = 0 болса, онда
λ = 2n + 1
(8.24)
1

E n = hw n + 
2

(8.25)
(8.13)-ші қатынас бойынша λ n = 2 E n / hw
Сонда кванттық механикадағы гармоникалық осциллятордың энергиясының меншікті
мəндері:
мұндағы п = 0, 1, 2, 3,...
Егер n=0 болса, гармоникалық осциллятордың нольдік энергиясы:
E0 =
1
hw
2
(8.26)
(8.26)-ші рекуреттік қатынастан (8.21)-ші полиномның жұптылығы n санының мєнінің
жұптылығына байланысты екендігін көреміз. Сондықтан полиномды былай жазуға
болады:
U n (ζ ) = a nξ + a n − 2ξ
n
a0 ,
n−2
егер n - жұп болса
+ ... +
(8.27)
a1ξ , егер
n - тақ болса
a n = 2 n деп қабылдап, (8.23)- ші рекуренттік формуладан калған коэффициенттердің
мєндерін анықтайық.
ак коэффициенттері үшін λ = 2n + 1 болғанда
a k (λ − 1 − 2k ) = a k (2n + 1 − 1 − 2k ) = a k (2n − 2k ) = − a k + 2 (k + 2 )(k + 1)
немесе
a n− 2 = − a n (n − 1) / (2 ⋅ 2 ) = −2 n n(n − 1) / 1!
a n− 4 = −a n − 2 (n − 2 )(n − 3) / (2 ⋅ 4 ) = 2 n − 4 n(n − 1)(n − 2 )(n − 3) / 2!
an = 2 n
жєне λ = 2n + 1 болатын (8.21)-ші дєрежелі қатар Эрмит полиномы деп
аталады:
U (ξ ) = H n (ξ ) = (2ξ ) n −
n(n −1)
n(n − 1)(n − 2)(n − 3)
(2ξ ) n−2 +
(2ξ ) n−4 + ... +
1!
2!
a1ξ , егер n - тақ болса
(8.28)
a 0 , егер
n - жұп болса
жеке жағдайларда H 0 (ξ ) = 1
егер n = 0
H 1 (ξ ) = 2ξ
егер n = 1
H 2 (ξ ) = 4ξ 2 − 2 егер n = 2
H 3 (ξ ) = 8ξ 3 − 12ξ егер n = 3 …
Эрмит полиномын тұйықталған күйде де жазуға болады:
H n (ξ ) = (−1) e
n
d n e −ξ
dξ n
−ξ 2
(8.29)
2
(8.30)
Сонымен, энергияның меншікті Еп мєнін сипаттайтын толқындық функция мынадай
түрде жазылады:
Ψn (ξ ) = С n e
1
− ξ2
2
H n (ξ )
(8.31)
Сп -коэффициентін толқындық функцияны нормалау шартынан анықтауға болады.
+∞
∫
−∞
H n (ξ ) = (−1) n e s
2
4
−ξ 2
d e
dξ n
n
+∞
∫
−∞
e −ξ H n2 (ξ )dξ = 1
2
болғандықтан теңдіктің оң жағындағы интегралды былай
түрлендіріп жазуға болады:
+∞
∫e
−∞
Енді
жєне
Ψn dξ = С n2 x0
−ξ 2
+∞
C n−2
d n e −ξ
H (ξ )dξ = (−1) ∫ H n (ξ )
dξ =
x0
dξ n
−∞
2
n
2
n
d n H n (ξ )
= 2 n ⋅ n!
dξ n
+∞
∫
−∞
e −ξ dξ = π ; екендігін ескерсек:
2
Cn =
1
(8.32)
2 n ⋅ n! π x0
Сонда толық шешу
Cn =
1
(8.33)
2 n ⋅ n! π x0
Сонымен, кванттық механикадағы гармоникалық осциллятордың энергиясының
меншікті мєндері мен оларға сəйкес келетін меншікті функциялар (8.25)-ші жəне
(8.33)-ші өрнектермен анықталады. Энергияның меншікті мəндерінің спектрлерін
қарастырайық.
n=0
n =1
n=2
1
E 0 = hw,
2
E1 =
E2 =
Ψ0 ( x ) =
1
πx 0
e
1 x 
−  
2  x0 
2
3
hw,
2
 x
2
2 
1 x 
−  
x
2 x
0
Ψ1 ( x ) =   e  0 
2 πx 0
5
hw,
2
 x 
4  − 2 1  x 2
−  
x0
2 x
Ψ2 ( x ) =  
e  0
8 πx 0
Бірінші толқындық функция x − тің ( x → ±∞ мєнінен басқа) қандай мєндерінде
болса нольге тең болмайды. Екінші толқындық функция x = 0 нүктесінде нольге тең
болады. Толқындық функция нольге тең болатын нүкте түйін деп аталады. Ал үшінші
толқындық функция x =
x0
± 2
нүктелерінде нольге тең, яғни түйіндердің саны екіге тең
болады. Бұдан меншікті функциялардың түйіндерінің саны n кванттық санының
мєндеріне тең болатындығын көреміз.
U (x)
3
│Ѱ2│2
2
│Ѱ1│2
1
│Ѱ0│2
ρ1
ρ0
ρ 2
2
2
2
5
E2 = hw
2
3
E1 = hw
2
E1 =
hw
2
n=0
0
x
8.2-сурет. Энергияньң меншікті мəндері, кванттық сан п = 0, 1, 2 болғанда гармоникалық осциллятордың
меншікті функцияларын классикалық теориямен (үзікті сызық) салыстыру
Графиктен п-нің үлкен мєндерінде кванттық механиканың нəтижелерінің
классикалық физиканың мєндеріне жуық келетіндігін көреміз.
§ 3. Гармоникалық осциллятордын нольдік энергиясы жəне
анықталмағандық қатынас
1

E = hw n +  қатынастан n = 0 тең болғанда гармоникалық осциллятордың
2

1
энергиясының нольге тең болмайтындығын көреміз.
E 0 = hw - бұл шама
2
гармоникалық осциллятордың нольдік энергиясы деп аталады.
Ал, жартылай кванттық Бор теориясы бойынша негізгі күйде гармоникалық
осциллятордың энергиясы нольге тең болады. Шредингер теориясындағы
гармоникалық осциллятордың нольдік энергиясының болуы анықталмағандық
қатынастың яғни бөлшектердің толқындық қасиеті бар екендігінің тікелей салдары
екендігін дєлелдейік. Гейзенбергтің анықталмағандық қатынасын мынадай түрде
жазалық:
x2 ⋅ p2 ≥
h2
4
Гармоникалық осциллятордың толық энергиясының орта мəні:
(8.34)
E=H=
m w2 2
p2
+ 0
x
2m0
2
Егер мұндағы импульстің
импульстің мєнін қойсақ:
квадратының
E≥
m0 w 2 2
h2
+
x
2
8m 0 x 2
(8.35)
орнына
(8.34)-ші
қатынастағы
(8.36)
(8.36)-шы қатынастан гармоникалық осциллятордың энергиясының x 2 − тың қаңдай
мєнінде де нольге тең болмайтындығын көреміз. Шынында да, егер x 2 → 0 ұмтылса,
(8.36)-шы өрнектегі бірінші мүше шексіздікке ұмтылады. Ал егерде x 2 → ∞ болса, онда
(8.36)-шы теңдеудің екінші мүшесі шексіздікке ұмтылады. Енді гармоникалық
осциллятор энергиясының x2 − тың қандай мєнінде минимум мəнге тең болатындығын
анықталық. Ол үшін (8.36)-шы қатынасты x 2 бойынша дифференциалдап, нольге
теңестіреміз:
m0 w 2
h2
−
=0
2
8m 0 x 2
(8.37)
h2
1
x =
= x 20
2m 0 w 2
(8.38)
( )
бұдан
2
(8.38)-ші қатынасты (8.38)-ға қойьш, энергияның минимум мəнін анықтаймыз:
E≥
Сонымен
гармоникалық
hw hw hw
+
=
4
4
2
осциллятордың
(8.39)
нольдік
энергиясының
E0 =
hw
2
екендігін көреміз. Гармоникалық осциллятордың нольдік энергиясының болуы
микробөлшектің толқындық қасиетінің бар болуының тікелей салдары. Егер
осциллятордың энергиясы нольге тең болса, бөлшек тыныштық күйде болуы керек.
Шектің импульсі мен координаты бір уақытта нольге тең дəлдікпен белгілі болады,
бұл Гейзенбергтің анықталмағандық қатынасына қайшы келеді. Көптеген тєжірибелік
деректер кванттық теорияның тұжырымының дұрыс екендігін көрсетеді.
Кристалдың температурасы өзгергенде онда шашырайтын жарықтардың да
өзгеретіндігін дєлелдейтін тєжірибені қарастырайық. Жарықтың шашырауы
атомдардың тербелісіне байланысты. Температура төмендеген сайын, классикалық
механика бойынша, атомдардың тербеліс амплитудасы да нольге дейін төмендейді
жєне жарықтың жайылып шашырауы қажет. Ал, кванттық механика бойынша
температура төмендегенде (T → 0) тербелістің орташа амплитудасы нольге емес,
осциллятордың нольдік энергиясының болуына байланысты, белгілі бір шекті мєнге
ұмтылады. Сондықтан жарық кристалдан жайылып шашырауы тиіс. Кристалдан
шашыраған жарықтардың қарқындылығын өлшеу нєтижесінде гармоникалық
осциллятордың нольдік энергиясының болатындығы тєжірибеде дєлелденген.
§ 4. Гармоникалық осциллятордың сұрыптау ережелері
Гармоникалық осциллятордың сєуле бөліп шығару мəселесін кванттық теория
тұрғысынан қарастырайық. Ол үшін мынадай штрицалық элементтерді
X n′,n = ∫ Ψ n* XˆΨn dx
(8.40)
есептеу қажет. Мұндағы
1
Ψn ( x ) = C n e
1 x 
 
2  x0 
2
 x
H n 
 x0



(8.41)
(8.41)-ші қатынасты (8.40)-шы матрицалық элементтерге қойсақ, онда
 1 C n −1

1 C n−1
δ n′+1,n +
δ n′−1,n 
X n′,n = x0 
2 Cn
 2 Cn

(8.42)
(8.42)-ші формуламен берілген матрицалық элементтер нольден өзгеше болуы үшін
n − бас кванттық сан мынадай мєндерге ие болуы қажет: n ′ = n − 1 жєне n ′ = n + 1 . Яғни,
гармоникалық осциллятордың сұрыптау ережелері:
∇n = ±1
(8.43)
Сонда (8.42)-ші матрицалық элементтер түрге келеді:
X n−1, n = X 0
n
2
(8.44)
X n+1,n = X 0
n+2
2
(8.45)
E n − E n−1
h
(8.46)
Сəуле шығару жиілігі
wn,n −1 =
n=4
w
n=3
w
n=2
w
n=1
w
E4/h
E3/h
E2/h
E1/h
n=0
w
8.3-сурет. Гармоникалық осциллятордың рұқсат етілген өтулері.
E0/h
Гармоникалық осциллятордың сєулені ерікті түрде тек жоғары энергиялық деңгейден
төменгі деңгейде орын ауыстырғанда ғана бөліп шығаратындықтан, сєуле шығару
қарқындылығы мынадай қатынастан анықталады:
Wn ,n −1 =
2e 02 w 2
2e 02 w 2
h
x
⋅
n
=
(E n E 0 )
3m0 c 3
3m0 c 3
(8.47)
9 ТАРАУ. КӨРІНІСТЕР ТЕОРИЯСЫНЫҢ НЕГІЗДЕРІ
Шредингер теңдеуі кеңістіктік координаталар мен уақытқа тєуелді толқындық
функциямен сипатталады. Бұл жағдайда толқындық функция координаталық көріністе
берілген деп айтылады.
Кванттық механикада координаталық көріністен басқа импульстік, матрицалық
(энергетикалық) жəне тағы басқа да көріністер пайдаланылады.
Гармоникалық осциллятор теориясы негізінде бұл көріністерді жєне олардың
арасындағы байланысты талқылайық. Осы мақсатта классикалық теориядан белгілі
импульс пен координатаның арасындағы байланысты сақтай отырып, гамильтонианды
былай жаза аламыз:
Pˆ 2
m w2 ˆ 2
Hˆ = x + 0
X
2m 0
2
(9.1)
пен арасындағы коммутативтік қатынас мынадай түрде болатындығы белгілі:
h
Pˆx Xˆ − XˆPˆx =
i
(9.2)
Осы шартты қанағаттандыру үшін кванттық механикада əрқайсысы өзінің
көріністерімен байланысты болатын əртүрлі əдістер қарастырылады. Біз негізі үш
көріністі жəне олардың арасындағы байланысты қарастырамыз.
1. Координаталық көрініс (х-көрініс)
Импульсті оператор ретінде қарастырып, х-ті сан деп алайық:
h d
Pˆx =
i dx
(9.3)
шамасы (9.2)-теңдікпен Ψ (x ) - толқындық функциясына єсер еткен жағдайда
P̂x операторының меншікті мєні болып табылады:
(Pˆ Xˆ − XˆPˆ )Ψ(x ) = hi
(9.4)
h 2 d 2 m0 w 2 2
Hˆ =
+
X
2m0 dx 2
2
(9.5)
x
x
(9.3)-ші қатынасты (9.1)-ші қатынасқа қойсақ гамильтониан мынадай түрде жазылады:
Бір өлшемді гармоникалық осциллятор үшін Шредингер теңдеуінен ( x-көріністе)

d3
 E − Ax 2 + B 2
dx


Ψ ( x ) = 0

(9.6)
Мұнда,
4
m0 w 2
B
h2
h
A=
,B =
, x0 =
=
A
m0 w
2
2m 0
(9.7)
энергияның меншікті мєндерін табамыз:
1

E n = hw n + 
2

(9.8)
мұндағы: n = 0,1,2,3,...
Ал меншікті функциялар мынадай қатынаспен анықталады:
Ψn ( x ) =
1
2 n ⋅ n! π ′x0
e
2
1 x 
 


2  x0 
(9.9)
жəне олар нормалау шартын қанағаттандырады:
∞
∫
−∞
Ψn ( x ) dx = 1
2
(9.10)
Кванттық теорияның негізгі қағидалары бойынша тєжірибеде бақыланатын
шамалар операторлардың орташа мєндері больш табылады, ал толқындық
функцияның өзі көмекші роль атқарады. Гармоникалық осциллятор теориясында
маңызды шамалардың бірі координаталардың матрицалық элементтері:
∞
x n′n = ∫ Ψ n*′ xˆΨn dx
9.11)
ал импульс үшін:
−∞
Pn′n =
∞
∫
−∞
*
Ψ
h d
Ψn dx
n′ i dx
Соңғы
интегралды шешу үшін гармоникалық осциллятордың
функциялары мен єртүрлі мəндерінің арасындағы қатынастарды аламыз:
 n

n +1
Ψn+1 
x ⋅ Ψn = x0  Ψn −1 +
2
 2

 n

h dΨn
n +1
= −im0 wx0  Ψn −1 −
Ψn +1 
i dx
2
 2

(9.12)
толқындық
(9.13)
(9.14)
толқындық функциялардың ортонормалау шартын ескере отырып,
∞
∫
−∞
Ψ n*′Ψn dx = δ n′n
координатаның матрицалық элементтері үшін 0-ден өзгеше болатын төмендегідей
мєндерді табамыз:
x n −1,n =
n
n +1
, x n +1,n = x0
2
2
(9.15)
жəне импульс үшін
Pn −1,n = −im0 wx n −1,n , Pn +1,n = −im0 wx n +1,n
(9.16)
§ 2. Импульстік көрініс (Р—көрініс)
h
Pˆx Xˆ − XˆPˆx =
қатынасында импульсті жєй сан деп қабылдап, ал коорданатаны
i
оператор деп алайық:
h d
Xˆ −
i dP
(9.17)
Бұл оператордың енді импульске тəуелді толқындық функцияға єсері
нєтижесінде мына теңдеу орындалуы керек:
(Pˆ Xˆ − XˆPˆ )ϕ (P ) = hi ϕ (P )
x
(9.18)
x
Гармоналық осциллятор теориясын импульстік көріністе тағайындайық:
Pˆ 2
m w2 2
Hˆ = x + 0
X
2m 0
2
теңдеуіне (9.17)-ден x − тің операторлық мəнін қойсақ мынадай қатынас аламыз:
d 

2
 E − A1 P + B1
ϕ (P ) = 0
dP 2 

мұнда
(9.19)
m0 w 2 h 2
B1
2
1
,
A1 =
2 m0
(9.20)
Бұдан гармоналық осциллятор үшін х-көріністен р-көрініске ауысқан кезде толқындық
теңдеуге басқа белгілеулер енгізілетіндігін көреміз:
E
λ1 =
2E
hw
=
A1 ⋅ B1
Сонда негізгі теңдеу мынадай түрде жазылады:
ϕ ′′ + (λ1 − η 2 )ϕ = 0
(9.21)
Бұл теңдеуді шешу нєтижесінде p − көріністегі энергияның меншікті мєндері мен
меншікті функцияларын анықтаймыз:
En =
ϕ n (P ) =
λ1hw
1

hw n + 
2
2

(− i )n
2 n ⋅ n! πP0
e
1 P

2  P0




(9.22)
2
P
⋅ H n 
 P0



(9.23)
толқындық функция ϕ (P ) ортонормалау шартын қанағаттандыруы керек:
∞
∫ dP ⋅ϕ (P )ϕ (P ) = δ
*
n′
n
n′n
(9.24)
−∞
Бұл жағдайда ϕ (P ) − Ψ (x ) толқындық функциясының Фурье-бейнесі болып табылады:
Ψ (x ) =
ϕ (P ) =
Егер мынадай қатынасты ескерсек
1
2πh
1
2πh
P
∫Ψ
(P )e h
∫Ψ
(x )e
i
−i
x
dP
P
x
h
dx
(9.25)
(9.26)
P
−i ( x − x′ )
1
h
dPe
= δ ( x − x ′)
2πh ∫
толқындық функция:
Ψ (x ) =
P
−i ( x − x′ )
1
∫ dx ′Ψ ( x ′ )∫ d Pe h
2πh
(9.27)
Фурье түрлендіруді пайдаланып, жəне:
Ψn ( x ) =
1
2 n ⋅ n! πx0
e
1 x 
−  
2  x0 
2
 x
⋅ H n 
 x0



екендігін ескерсек, импульстік толқындық функция:
ϕ n (P ) =
=
ϕ ( p ) − толқындық
1
2π
1
2πh
⋅
⋅
∞
1
2 n ⋅ n! πx0
∞
1
2 n ⋅ n! πx0
∫ dxe
1 x 
−  
2  x0 
2
−∞
∫ dξ e
1
− ξ2
2
−∞
⋅e
−i
Px0
h
⋅e
ξ
−i
 x
H n 
 x0
Px
h

 =

H n (ξ )
(9.28)
функцияны импульстер кеңістігінде анықтағаннан кейін
координаталар мен импульстер үшін матрицалық элементтерді төмендегідей өрнектер
бойынша табамыз:
*
 h d 
x n′n = ∫ Ψ  −
ϕ n dP
i dP 
n′ 
(9.29)
Pn′n = ∫ ϕ n*′ ⋅Pˆ ϕ n dP
(9.30)
§ 3. Матрицалық көрініс
(9.2)-ші қатынасты импульс P мен X − координатаны матрицалар түрінде жазу
арқылы да қарастыруға болады:
(Pˆ Xˆ ) − (XˆPˆ ) = hi I
x
(9.31)
x
мұндағы: I − бірлік матрица. Гамильтониан:
( )
2
Pˆx
m0 w 2 ˆ
ˆ
H=
+
X
2 m0
2
( )
2
(9.32)
Бұл жағдайда (9.17) жєне (9.18)-ші қатынастардағы матрицалық элементтер мынадай
үзіліссіз диагональды матрицалар құрайды:


(x ) = 



 0 1/2 0 0 . . . 
х00 х01 х02 . . . 



 1/2 0 2/2 0. . . 
х10 х11 х12 . . . 
= x=

х 20 х 21 х 22 . . . 
 0 2/2 0 3/2. . . 



. . . . . . . . . . . . 
 . .. ... .. . ... ... 
(9.33)


(Р ) = 



 0 - i 1/2 0 0 . . . 
P00 P01 P02 K 




P10 P11 P12 K 
i 1/2 0 - i 2/2 0. . .
=
m
wx
=


0
0
P20 P21 P22 K 


0
i
2/2
0
i
3/2
.
.
.




K K K K
 . .. ... ... ... ... 
(9.34)
Бұл матрицалар Pn′n = P n′n* қатынасы орындалатын эрмиттік матрицалар болып табылады.
Екі матрицаның көбейтіндісі сєйкес жолдың бағанаға көбейтіндісінің
қосындысына тең болатындығын ескерсек:
∞
(PX )n′n = ∑ Pn′k X k ′n
(9.35)
k =0
(9.33) жєне (9.34)-ші өрнектердің көмегімен (9.31)-ші қатынас былай жазылады:
(PX )n′n − ( XP )n′n
Бұл теңдіктің оң жағы
h
= ∑ (Pn′n X kn − X k ′n X kn ) = δ nn′
k
i
(9.36)
h
- ге көбейтілген бірлік матрица. Сондықтан кванттық
i
теорияның негізгі қатынасы (9.32)-ші өрнек матрицалық көріністе дұрыс жазылған
болады. Енді гамильтонианның матрицалық элементтерін жазалық, (9.33)-ші жєне
(9.34)-ші қатынастардан:
H n′n
 1
 h
m0 w 2
= 
Pn′k Pkn −
X n′k X kn  = δ nn′
k 2m
2

 i
∑
(9.37)
Бұл теңдікке координата мен импульстің матрицалық элементтерінің мєндерін қойсақ.
Бұдан (Н) гамильтонианның диагональды матрица екендігі шығады:



Нˆ = hw 



( )
1 / 2 0 0 0 ... 

0 1 / 2 0 0 . .. 
0 0 5/2 0 . . . 

. . . . . . . . . . . . . . . 
(9.38)
Егер қарастырылатын шама диагональды матрица құраса, онда ол Шредингер
толқындық теңдеуінің тілінде бұл оператордың меншікті мєндерінің, матрицаның
диагональдық элементтерімен анықталатындығын көрсетеді. Сонымен, гармоникалық
осциллятор теориясын қарастыру салдарында бұл үш көріністің де координата мен
импульстің матрицалық элементтері үшін бірдей нєтиже беретіндігін көреміз.
Осы көріністермен қатар, кванттық механикада тағы басқа да көріністер қатары
қарастырылады. Олар: Шредингер көрінісі, Гейзенберг көрінісі, өзара əсер көрінісі.
10 ТАРАУ. ОРТАЛЫҚ СИММЕТРИЯЛЫ КҮШ ӨРІСІНДЕГІ БӨЛШЕК
ҚОЗҒАЛЫСЫНЫҢ ЖАЛПЫ ТЕОРИЯСЫ
§ 1. Сфералық координаттар жүйесіндегі Шредингер теңдеуі
Орталық симметриялы күш өрісіндегі бөлшек қозғалысының негізгі ерекшелігі,
мұндай күштердің потенциалы тек қашықтыққа ғана байланысты функция жəне
бұрыштарға тєуелді болмайды. Бұл теория ротатордың кванттық теориясының ал,
ротатор екі атомды молекулалар спектрін зерттеудің, сутегі жєне сутегі тєріздес
атомдар теориясының негізінде жатыр.
Орталық симметриялы күш өрісіндегі бөлшек қозғалысын сфералық
координаттар жүйесінде қарастырған ыңғайлы. Ол үшін осы коодинаттар жүйесіндегі
стационар Шредингер теңдеуін жазалық:
d 2 Ψ (r.θ .ϕ ) 2 dΨ
1
d 
dΨ 
+
+ 2
 sin θ
+
2
r dr r sin θ dθ 
dθ 
dr
1
d 2 Ψ 2 m0
+ 2
+ 2 [E − U (r )]Ψ (r.θ .ϕ ) = 0
r sin 2 θ dϕ 2
h
(10.1)
Бұл теңдеуге мынадай белгілеулер енгіземіз:
∇ 2r =
1 d  2 d  2 2 m0
r
, k = 2 [E − U (r )]
h
r 2 dr  dr 
(10.2)
1 d 
d 
1
d
 sin θ
+
2
sin θr dθ 
dθ  sin θ dϕ 2
(10.3)
∇ 2θ ,ϕ =
Сонда сфералық координаттар жүйесіндегі Шредингер теңдеуі мынадай түрге келеді:
 2 1 2 
2
 ∇ r + 2 ∇ θ ,ϕ Ψ (r ,θ , ϕ ) + k Ψ (r ,θ , ϕ )
r


(10.4)-ші теңдеудің
қарастырамыз:
шешуін
екі
тєуелсіз
функцияның
(10.4)
көбейтіндісі
Ψ ( x, y, z ) = R(r )Y (θ , ϕ )
Бұл функцияны Шредингер теңдеуіне қойьш,
лар бойынша жинақтасақ мынадай теңдік аламыз:
r 2 ∇ 2 R(r )
∇ 2θ ,ϕ Y (θ , ϕ )
+ k 2r 2 = −
R(r )
Y (θ , ϕ )
бір
типтес
ретінде
(10.5)
айнымалы(10.6)
(10.6)-шы теңдеудің оң жағында тек бұрыштарға, сол жағында қашықтыққа
байланысты шамалар орналасқан. Бұл теңдік орындалуы үшін теңдіктің екі жағында
r − ге де, θ мен ϕ − ге де тєуелсіз A параметріне теңестіруге болады. Сонда:
A

∇ r2 R (r ) +  k 2 − 2  R (r ) = 0
r 

2
∇θ ,ϕ Y (θ , ϕ ) + AY (θ , ϕ ) = 0
(10.7)
(10.8)
Енді (10.8)-ші теңдеуде біріне бірі тєуелсіз екі бұрыш (θ , ϕ ) болғандықтан,
Y (θ , ϕ ) функциясын тағы да екі функцияның көбейтіндісі ретінде қарастырамыз:
Y (θ , ϕ ) = ρ (θ )Φ(ϕ )
(10.9)
2
жєне бөлу параметрі ретінде m
шамасын алсақ, (10.8)-ші теңдеудің
орнына мынадай екі теңдеу алынады:

m2 

 ρ (θ ) = 0
∇θ ρ (θ ) +  A −
2
sin
θ


2
2
∇ ,ϕ Φ (ϕ ) + m Φ(ϕ ) = 0
2
(10.10)
(10.11)
Бұл теңдеулерде мынадай белгілеулер енгізілген
∇θ2 =
d 
1 d 
 sin θ

sin θ dθ 
dθ 
10.12)
∇ ϕ2 =
d2
dϕ 2
10.13)
Сонымен, энергияның меншікті мєндері Ei мен меншікті функцияларын Ψi анықтау
үшін (10.7), (10.10) жєне (10.11)-ші үш теңдеу алдық. Мұнда (10.11)-ші теңдеу бір
белгісіз параметрден (m 2 ), ал (10.7) жєне (10.10)-шы теңдеулер екі белгісіз
параметрлерден (A, m 2 немесе A, k 2 ) тұрады. R(r ), ρ (θ ), Φ(ϕ ) функциялары толқындық
функцияны нормалау шартын қанағаттандыруы қажет:
π
∞
*
2π
*
∫ Ψ Ψd x = ∫ r R (r )R(r )dr ∫ ρ (θ )ρ (θ )sin θdθ ∫ Φ (ϕr )Φ(ϕ )dϕ =1
*
3
2
*
0
0
(10.14)
0
Бұл қатынастан нормалау шартының єр функция үшін жеке орындалуы қажет
екендігін көреміз:
∞
R * (r )R(r )dr = 1
(10.15)
∫ ρ (θ )ρ (θ )sin θdθ = 1
(10.16)
∫r
2
0
π
∗
0
2π
∫ Φ (ϕr )Φ(ϕ )dϕ =1
*
(10.17)
0
§2. Толқындық, функцияның бұрыштық бөлігі үшін Шредингер теңдеуін
шешу
Құрамында тек бір ғана белгісіз параметр болғандықтан, алдымен (10.11)-ші
теңдеуден бастап шешелік. Бұл теңдеудің шешуі
Φ(ϕ ) = С m e imϕ
(10.18)
түрінде ізделеді. Мұндағы m -оң жəне теріс мєндерге ие бола алады. Толқындық
функцияның бір мєнді болуы керектігінен, Φ(ϕ ) функциясына мерзімділік шарт
қоямыз:
Φ(ϕ ) = Φ(ϕ + 2π )
(10.19)
2πim
Бұл шарттан e = 1
Эйлер формуласын пайдалансақ,
e 2πim = cos 2πm + i sin 2πm = 1
бұдан m - параметрінің меншікті мєндерін аламыз:
m = 0,±1,±2,±3,...
(10.20)
Параметр т-магниттік кванттық сан деп аталады. С m коэффициентінің мəнін табу үшін
(8.17)-ші Φ(ϕ ) функциясын нормалау шартын пайдаланамыз.
2π
∫
0
Бұл шарттан С m коэффициенті
С m*e −imϕ C m e imϕ dϕ = 1
Сm =
1
(10.21)
2π
т параметрінің меншікті мєндері анықталғаннан кейін толқындық функцияның
сфералық бұрышқа байланысты бөлігі (10.10)-шы теңдеуді шешуге кірісе аламыз. Бұл
теңдеуге жаңа айнымалы енгіземіз
x = cos θ
(10.22)
Сонда
sin 2 θ = 1 − x 2 ,
dx
d
d
= − sin θ ,
= − sin
dθ
dθ
dx
(10.23)
(10.22) жєне (10.23)-ші теңдеулердің негізінде (10.10)-шы теңдеу мынадай түрде
жазылады:
[(1 − x ) ρ (x )] ′+  A − 1m− x  ρ (x ) = 0
2
2

(10.24)

Соңғы теңдеуде x = ±1 мєні айрықша нүктелер болып табылады, яғни
ρ ( x ) функциясының алдындағы коэффициенттердің бірі шексіздікке ұмтылады.
Мұндай таралудан арылу үшін (10.24)-ші теңдеудің шешуін мынадай түрде
іздестіреміз:
S/2
U ( x ) = (1 − x 2 ) ρ ( x )
(10.25)
S /2
(10.25)-ші шешуді (10.24)-ші теңдеуге қойып тендеуді (1 − x 2 ) шамасына қысқартсақ
мынадай теңдеу аламыз:
(1 − x )U (x ) − 2 x(s + 1)U (x ) +  A − s
2

2
−s+
s 2 − m2
1− x

U ( x ) = 0

(10.26)
Бұл теңдеудің соңғы мүшесіндегі ерекшеліктен кұтылу үшін
s = ±m
(10.27)
деп алсақ жеткілікті.
Негізгі теңдеу тек m 2 -қа ғана байланысты болғандықтан, (10.26)-ші теңдеудің шешімі
s-тің екі мєнін де қанағаттандыратындықтан, бұл екі шешімнің арасында сызықтық
тєуелділік болуы қажет.
ρ (m ) = Aρ (− m )
(10.28)
Сондықтан (10.26)-шы теңдеудің шешуін
s=m≥0
(10.29)
болған жағдайда қарастырамыз.
(10.29)-шы қатынастың негізінде (10.26)-шы теңдеу мынадай түрге келеді:
(1 − x )U ′′(x ) − 2 x(m + 1)U ′(x ) + [A − m(m − 1)]U (x ) = 0
2
(10.30)
Соңғы теңдеуде айрықша нүктелер жоқ болғандықтан, оның шешуін полином түрінде
іздестіреміз:
U (x ) = ∑ ak x k
(10.31)
k −1
Бұл полиномды (10.30)-шы теңдеуге қоюдың
∑
k −1
{k (k − 1)a x
k
k −2
[
]}
+ a k A − (k + m )(k + m + 1)x k = 0
(10.32)
жєне x − тың дəрежелері бірдей мүшелерін жинақтау нєтижесінде, мынадай қатынасқа
келеміз:
{
(
k + 2)( л + 1)a k + 2 + [A − (k + m )(k + m + 1)]a k }x k
k −1
∑
=0
бұдан рекуренттік қатынас
ak +2 =
A − (k + m )(k + m + 1)
ak
(k + 2)(k + 1)
(10.33)
(10.31)-ші қатардың барлық коэффициенттерінің арасындағы байланысты
тағайындайды. (10.31)-ші қатардың дєрежесінің максимум мєні k = q мєнімен шектеліп,
aq ≠ ο
a q + 2 = 0,
шарт орындалса, А параметрінің мəні
A = (q + m )(q + m + 1)
(10.34)
болады. Мұнда, q = 0,1,2,3,...
Орбиталық кванттық сан ұғымын енгізсек
l=q+m
(10.35)
бұл кванттық санның q жəне т кванттық сандар сияқты мєндерге ие болатындығын,
бірақ тек оң мєндер алатындығын көреміз:
l = 0,1,2,3,...
(10.36)
Сонымен қатар (10.35)-ші қатынастың негізінде
l≥m
(10.37)
(10.34)-ші жєне (10.35)-ші өрнектердің негізінде
A = l(l + 1)
(10.38)
Енді (10.30)-шы теңдеу мынадай түрге келеді:
(1 − x )2 U (x ) − 2 x(m + 1)U (x ) + [l(l + 1) − m(m + 1)]U (x ) = 0
(10.39)
мұнда
a 0
U ( x ) = a l − m x l − m + a l − m − 2 x l − m − 2 + ... + 
a1 x
(10.40)
функциясын жинақталған күйде жазалық. Ол үшін
(1 − x )v′ + 2 xlv = 0
2
теңдеуін қанағаттандыратын
(10.41)
v = ( x 2 − 1)
l
(10.42)
функциясын енгізейік. Лейбниц ережесін пайдаланып (10.41)-ші теңдеуді (l + m + 1) рет
дифференциялдап, мынадай белгілеу енгізсек:
v (l + m ) =
l
d l+m 2
x − 1 = U 1 (x )
l+ m
dx
(
)
(10.43)
онда U 1 (x ) функциясы үшін келесі теңдеу аламыз:
(1 − x )U ′′(x ) − 2 x(m + 1)U ′(x ) + (l + m + 1)(l − m )U (x ) = 0
2
(10.44)
бұл теңдеу тұрақты шамаға тең дєлдікпен (10.40)-шы теңдеуге сєйкес келеді. Яғни,
U ( x ) жєне U 1 ( x ) функцияларының арасында сызықтық тєуелділік болады:
U ( x ) = CU 1 ( x )
(10.45)
ρ (θ ) функциясы əзірге нормаланбағандықтан C коэффициентінің мєнін m = 0 болғанда
соңғы (10.45)-ші шешу Лежандр полиномына
1
1
1
[(
)]
1 d l x2 −1
P(x ) = l
2 l!
dx l
ауысатындай қылып,
1
- ге теңестірген дұрыс.
2 l l!
l
(10.46)
Сонда
U (x ) =
l
1 d l+m 2
x −1
l
l+m
2 l! dx
(
)
(10.47)
Бұл теңдеудің жєне (10.25)-ші теңдеудің негізінде
P l ( x ) =C ml P l (x )
m
m
(10.48)
мұнда C ml -нормалау P (x ) -коэффициенті толықтырылған Лежандр полиномы
m
l
(
P l (x ) = 1 − x 2
m
)
m/2
(
)
l
d l+ m  x 2 − 1 


dx l + m  2 l ⋅ l! 
(10.49)
(10.49)-шы теңдеу Лежандр полиномының төмендегідей қасиетіне
P l ( x ) = (− 1)
m
m
(l + m )! ρ m (x )
(l − m )! l
(10.50)
байланысты m − кванттық санының оң жєне теріс мєндерін түгел қанағаттандырады.
(10.49) жєне (10.50)-ші қатынастандардың негізінде m > l болғанда P ml нольге тең
болғандықтан, m − кванттық саны мынадай мєндерге ие болады:
m = 0,±1,±2,±3,...,± l
(10.51)
m
m
C l -коэффициент P l (θ ) функциясын нормалау шартынан анықталады:
π
∫
ρ (θ )ρ (θ ) sin θdθ =
*
∫ (ρ ) ρ (x )dx = 1
1
m *
l
m
l
(10.52)
−1
0
Бұл теңдеуге (10.48)-ші шешімді қойып, (10.50)-ші өрнекті ескерсек төмендегідей:
(− 1)m (l + m )! C m 2 1∫  d l−m (x 2 − 1)l   d l+m (x 2−1 )l dx = 1
  l+m

(2 l ⋅ l!)2 (l − m )! l −1 dx l−m
  dx

қатынасқа келеміз. Туындылардың ретін ауыстыру теоремасын пайдаланып:
(− 1)m (l + m )! C m 2 1∫ (1 − x 2 )l d 2l (x 2 − 1)l dx = 1
dx 2l
(2 l ⋅ l!)2 (l − m )! l −1
жəне
d 2 l n 2l!
x =
dx 2 l
0
(n = 2l )
(n < 2l )
теңдігін ескерсек жєне сонымен қатар төмендегідей интегралды
∫ (1 − x
1
−1
2
(
l!) 2 2 l +1
) dx = (2l + 1)
2 l
пайдалансақ, C ml нормалау коэффициенті үшін мынадай өрнекке келеміз:
C ml =
(2l + 1) (l − m)!
2 (l + m )!
Сонда толқындық функцияның θ − сфералық бұрышқа байланысты бөлігі үшін:
(10.53)
(2l + 1) (l − m)! ρ m (cosθ )
(10.54)
l
2 (l + m )!
(10.18), (10.54) теңдеулердің негізінде (10.8)-ші Y ml (θ , ϕ ) − шар функциясы енді мынадай
ρ ml (θ ) =
түрде жазылады:
Y l (θ , ϕ ) = ρ l (θ )Φ m (ϕ ) =
m
m
2l + 1 (l − m )! m
ρ l (cos θ )e imϕ
4π (l + m )!
(10.55)
Мұндай шар функцияларын ортонормалау шарты:
(Y ) Y
m *
l
dΩ = δ ll′ ⋅ δ mm′
m
l
(10.56)
m жəне A параметрлерінің меншікті мєндері анықталғаннан кейін толқындық
функцияның R(r ) радикалық бөлігі үшін жазылған (10.7)-ші теңдеуді шешуге кірісуге
болады. Бірақ бұл теңдеуді шешу үшін U (r ) − потенциялық энергияның түрін білу
қажет. Ал потенциалдың түрі дербес жағдайлар үшін єртүрлі болатындықтан,
радиалдық бөлік тек жеке жағдайлар үшін ғана шешіледі.
∫
§ 3. Импульс моменті операторының меншікті мєндері мен меншікті
функциялары
Орталық симметриялы күш өрісіндегі бөлшек қозғалысын қарастыру
нєтижесінде
l
кванттық санының
∇ 2θ ,ϕ − операторының
меншікті мєнін
сипаттайтындығын көрдік. Ал, ∇ 2θ ,ϕ − операторы Гамильтон операторының бөлігі
болып табылады :
h
h2 2
h2
2
ˆ
H =−
∇ + U (r ) = −
∇r −
∇ 2θ ,ϕ + U (r )
2
2m 0
2m 0
2m 0 r
(10.57)
Осы операторды классикалық Гамильтон функциясымен:
P 2r
M2
H=
+
+ U (r )
2m 0 2 m 0 r 2
(10.58)
салыстырсақ (− h 2 ∇ 2r ) − операторына
P 2r − радиалдық
импульстің квадратының,
2
2
2
(− h ∇θ ,ϕ ) − операторына M − импульс моменті векторы квадратының сєйкес
келетіндігін көреміз.
Осы сєйкестіктерді толығырақ зерттелік. Классикалық механикада импульс
моментінің мынадай өрнекпен сипатталатындығы белгілі:
r
rr
M = [r p ]
(10.59)
(10.59)-ші өрнекті кванттық жағдайға жалпылау үшін бұл теңдіктегі классикалық
импульстің орнына оған сєйкес келетін операторды алуымыз қажет:
rˆ
P = −ih∇
(10.60)
Сонда (10.59)-дың орнына мынадай қатынас аламыз:
rˆ
rr
M = −ih[r ∇ ]
(10.61)
Бұдан сфералық жєне декарттық координаттар жүйесіндегі M̂ − операторының
құраушыларының арасындағы байланыс:
h
d
d 
Mˆ x = − sin ϕ
+ cos ϕ ⋅ ctgθ

i
dθ
dϕ 
(10.62)
h
d
d 
Mˆ y = cos ϕ
+ sin ϕ ⋅ ctgθ

i
dθ
dϕ 
(10.63)
h d
Mˆ я =
i dϕ
(10.64)
h d
h
d
Ψ (r ,θ , ϕ ) = R(r )ρ (θ )
Φ (ϕ ) =
i dϕ
i
dϕ
h
= imR(r )ρ (θ )Φ (ϕ ) = hmΨ (r ,θ , ϕ )
i
(10.65)
Енді Ψ (r ,θ , ϕ ) − толқындық функцияға M̂ я операторымен єсер етелік, сонда:
Бұдан M̂ я операторының меншікті мєні
M z = hm
(10.66)
екендігін көреміз. Мұндағы
m = 0,±1,±2,...
(10.67)
(10.66) жəне (10.67)-шы қатынастар m − магниттік кванттық санының импульс моменті
векторы операторының z осіне проекциясын, яғни кеңістіктік кванттауды
сипаттайтындығын көреміз. Енді M̂ 2 операторымен толқындық функцияға єсер етелік.
Сонда
Mˆ 2 Ψ (r ,θ , ϕ ) = h 2 AΨ (r ,θ , ϕ ) = h 2 l(l + 1)Ψ (r ,θ , ϕ )
(10.68)
мұндағы
l = 0,1,2,3,...
(10.69)
(10.68) жəне (10.69)-ші теңдеулерден импульс моменті векторының квадратының
дискретті мєндерге ие болатындығын жєне l орбиталық кванттық санымен
сипатталады деген тұжырымға келеміз.
§ 4. Кванттық жəне классикалық нєтижелерді салыстыру
Кванттық
механикада
алынған
нєтижелерді
талқылау үшін,
бұл
нəтижелердің классикалық баламасы табылады, немесе нəтижелер жартылай кванттық
Бор теориясымен салыстырылады.
Орталық симметриялы күш өрісіндегі бөлшек қозғалысын Бор теориясы
тұрғысынан қарастырғанда классикалық импульс моментінің сақталу заңын
пайдаланамыз. Бұл заң бойынша қозғалыс бір жазықтықта болып, импульс моментінің
векторы осы жазықтыққа перпендикуляр бағытталады:
M Б = Pϕ =
dT
= m0 r 2ϕ& = const
dϕ&
(10.70)
Бұл қатынасты Планк тұрақтысына кванттасақ, импульс моментінің дискретті
мєндерге ие болатындығын көреміз:
бұдан
Pϕ = nϕ h
(10.71)
∫ Pϕdϕ = nϕ ⋅ h
Мұндағы
nϕ = 1,2,3,...
(10.72)
немесе
M Б2= P ϕ2 = n ϕ2 ⋅h 2
(10.73)
Егер z − осі орбита жазықтығына перпендикуляр болмаса, онда Бор теориясы бойынша
импульс моменті векторының z − осіне проекциясы
(M Б )z = nϕ ⋅ h 2
(10.74)
мұнда
n Ψ = nϕ ,− nϕ + 1,...0,..., nϕ − 1, nϕ
(10.75)
Сондықтан толық импульс моменті M̂ мен z − осінің арасындағы бұрышы мынадай
қатынаспен анықталады:
cos α =
nΨ
nϕ
(10.76)
Z
r
MБ
яғни, α бұрышы дискретті мєндерге ие
болады. Бор теориясы
бойынша кеңістіктік
квантталу 10.1-суретте
көрсетілген.
α
φ
Z
Z
Z
r
MБ
r
MБ
r
MБ
а) М z = +h
б) М z = −h
в) М z = 0
10.1-сурет. Кеңістіктік квантталу
r
Бұл суреттен nΨ = −nϕ болғанда M векторының z осіне параллель болатындығын
r
көреміз (10.1 сурет, а), ал nΨ = nϕ жағдайына M векторының z осіне қарсы бағытталуы
сєйкес келеді. Ал, nΨ = 0 вариантында осы екі вектор перпендикуляр болады. Енді осы
Бор теориясының негізгі нєтижелерін кванттық теориямен салыстыралық:
Кванттық теория
M кв 2 = h l(l + 1)
2
2
Бор теориясы
M Б2=n ϕ2 ⋅h 2
l = 0,1,2,...
(M z )кв 2 = mh
n = 1,2,3,4...
(M z ) Б 2 = n Ψ h
n Ψ = −nϕ ...0...nϕ −1 , nϕ
m = −l,−l + 1,...0,...l − 1, l
Кванттық теория бойынша негізгі күйдегі (l = 0) атомның импульс моменті
нольге тең, ал классикалық теория бойынша бұл шама нольге тең емес.
Спектроскопиялық тєжірибелік деректер кванттық механиканың нєтижесінің дұрыс
екендігін көрсетеді.
Бор теориясы бойынша орбиталық моменттің бағытына z осін алуға болады.
Сонда
(M z )Б2 =nϕ2 ⋅h 2 = M M2
n Ψ = nϕ
бұдан
(10.77)
ал кванттық теорияда
m = 1,
болғанда
(M z )кв2 = l 2 ⋅ h 2
Ал,
(M z )кв2 = l 2 ⋅ h 2 + h 2 ⋅ l =(M z )кв2 +h 2 ⋅ l
(10.78)
(10.78)-ші
қатынаста h 2 ⋅ l -қосымша мүшенің
пайда
болуы Mˆ x , Mˆ y , Mˆ z
операторларының өзара коммутативті емес екендігінің салдары. Сондықтан,
M Z = M Z max = h ⋅ l болғанда M̂ x жєне M̂ y компоненттері нольге тең болмайды,
керісінше, белгілі бір минимум мєнге ие болады:
M 2 кв = M 2 Z max + (∇M x )
2
+ (∇M y )
2
min
min
(∇M x )2 жєне (∇M y )2 шамаларының минимум мəндері анықталмағандық қатынастан
табылады:
(∇M x )2 min (∇M y )2 min 1 (Mˆ x Mˆ y − Mˆ y Mˆ x ) =
4
1
1
1
= h 2 Mˆ 2 Z max = h 2 ⋅ h 2 l 2 = h 4 l 2
4
4
4
Бөлшек қозғалысының x жəне у осьтеріне симметриялығынан,
болады деп қарастыра аламыз. Сонда
(∇M x )2 min = (∇M y )2 min
= h2 ⋅
(10.79)
(∇M x )2 min = (∇M y )2 min
l
2
(∇M x )2 min жєне (∇M y )2 min мүшелерінің қосыңдысы (10.78)-ші теңдеудегі
h 2 ⋅ l қосымша
мүшені береді.
Сонымен, бұл қосымша мүшенің табиғаты, гармоникалық осциллятордың
кванттық теориясындағы нольдік энергия сияқты, анықталмағандық қатынасқа
байланысты. l орбиталық кванттық санның мєні өте үлкен болғанда (10.78)-ші
қатынаста h 2 ⋅ l мүшесін h 2 l 2 − ге қарағанда аз шама деп қарастырып, ескермеуге
болады. Бұл жағдайда кванттық теорияның нєтижелері жартылай классикалық Бор
теориясының нєтижелеріне шектік ауысады.
11 ТАРАУ. РОТАТОРДЫҢ КВАНТТЫҚ ТЕОРИЯСЫ
§ 1. Ротатордың меншікті функциялары
Бұрыштық моменттің квадратының меншікті функцияларын ротатордың, яғни
материялық нүктенің сфера бойынша еркін қозғалысының кванттық теориясын
құрастыруға қолданалық.
Ротатор теориясының негізгі нєтижелерін екі атомды молекулалардың спектрін
зерттеуге пайдалануға болады.
Алдымен, жартылай кванттың Бор теориясындағы ротаторды қарастырайық.
Координаттар жүйесінің басын материалдық нүкте қозғалатын радиусы r = a = const
сфераның ортасына орналастырайық. Бұл жағдайда потенциялық энергия тұрақты
болады:
U (r )U (a ) = const
(11.1)
Потенциялық энергияны кез келген мєнінен бастауға болатындықтан:
U (a ) = 0
(11.2)
деп қабылдай аламыз. Сонда ротатордың толық энергиясы оның кинетикалық
энергиясына тең болады:
m0 a 2ϕ& 2
E =T =
2
(11.3)
Бұдан бұрыштық моментке эквивалентті жалпылама импульс:
Pϕ =
dT
= m0 a 2ϕ 2
dϕ&
(11.4)
Бор теориясы бойынша кванттасақ:
Pϕ = nϕ h
(11.5)
Сонда, ротатордың толық энергиясы:
E=
n ϕ2 h
2I
(11.6)
мұнда I = m0 ⋅ a 2 − инерция моменті.
Ротатордың кванттық теориясын құрастыру барысында бұл есептің орталық
симметриялы өрістегі бөлшек қозғалысының дербес жағдайы екендігін ескереміз.
Сондықтан, R(r ) − радиал функцияны анықтау үшін мынадай теңдеуді пайдалана
аламыз:
l(l + 1) 
 2m
∇ r2 R (r ) +  2 0 E −
R (r ) = 0
(11.7)
r 2 
 h
Ротатор үшін r = a = const болғандықтан ∇ r2 R(a ) = 0, демек (11.7) теңдеуден ротатордың
энергиясы
El =
h 2 ⋅ l(l + 1) h 2 l(l + 1)
=
2I
2m 0 a 2
(11.8)
Бұл өрнекті Бор теориясындағы ротатордың энергиясы (11.6)-мен салыстырсақ,
энергия E Бор ~ n ϕ2 , ал кванттық теорияда екендігін көреміз. Бұл айырмашылық Mˆ x , Mˆ y
жєне M̂ z бұрыштың момент операторларының өзара коммутативті емес екендігіне
байланысты жєне ол кванттық теорияның негізгі ерекшеліктеріне жатады. Кванттық
жєне Бор теорияларының арасындағы сєйкестілікті тек қана l кванттық сандарының
үлкен мєндерінде l 2 >> 1 ғана байқауға болады. (11.8)-ші өрнек
бойынша ротатордың
r
энергиясы тек l орбиталық кванттық санға тєуелді де, M бұрыштық моменттің Z
осіне проекциясын сипаттайтын m − магниттік кванттық сан бұл өрнекке кірмейді.
Бірақ осы E l энергияның меншікті мєндеріне сєйкес келетін Y (θ , ϕ ) меншікті
функциялары m кванттың санына тєуелді: m саны − l ден + l мєніне дейін өзгеретін
r
болғандықтан, E l энергиясының єрбір мєніне бірінен бірінің айырмашылығы M
бұрыштық
моментінің Z осіне бағытталуына байланысты болатын (2l + 1) өзара
ортогонал меншікті функциялар сєйкес келеді. Бұл жағдайда E l энергиялық деңгей
(2l + 1) ретті "азған" делінеді.
Ротатордың энергиялық деңгейлерінің азғын болуы физикалық тұрғыдан
ротатордың орталық симметриялы жүйе болуының, яғни, координаттар осінің басы
арқылы өтетін барлық бағыттардың бірінен бірінің айырмашылығы жоқ болуының
салдары. Осы тұрғыдан кез келген орталық – симметриялы жүйелердің барлығында да
азған күйлер болуы қажет.
Ал егер де жүйеде белгілі бір бағыт анықталғанr болса, мысалы, сыртқы магнит
өрісінің єсері, онда орталық симметрия бүзылады, M бұрыштық моменттің барлық
моменттері өзара эквивалентті болмайды, яғни азғындық реті азаяды, не мүлдем
жойылады.
Спектрлік терминологияда єртүрлі энергиялық деңгейлер – термдер деп
аталады. Мысалы, l = 0 мєніне сєйкес келетін деңгей s − терм, l = 1 болғанда деңгей
p − терм деп аталады. Сол сияқты d − термде l = 2, f − термде l = 3 болады. Ал, біз
қарастырып отырған жағдайларда ротатор егер l = 0 болса, s − күйде l = 1 болғанда
p − күйде т.с.с. делінеді. Ротатордың s − жєне p − күйлерін толығырақ қарастыралық.
s − күйде l = m = 0 болғандықтан E 0 = 0 мєніне сєйкес келетін меншікті функция:
1
Y00 =
бұдан осы күйдің ықтималдылық тығыздығы
2
Y00
=
(11.9)
4π
1
4π
(11.10)
p -күйде l = 1 , ал т кванттың саны 0, 1, -1 мєндеріне ие болады.
Сонда энергияның меншікті мєніне: E1 =
Y1−1
h2
үш меншікті функция сєйкес келеді:
I
3 −iϕ
=−
e ⋅ sin θ
(11.11)
8π
3
cosθ
4π
3 iϕ
Y11 =
e ⋅ sin θ
8π
Y10 =
(11.12)
(11.13)
Ал ықтималдылық тығыздықтары мынадай өрнектермен беріледі:
2
2
Y1−1 = Y11 =
Y10
2
=
3
sin 2 θ
8π
3
cos 2 θ
4π
Графиктік түрде (11.10, 11.14, 11.15)-ші
үлестірілуі 11.1-ші суретте берілген.
(11.14)
(11.15)
ықтималдылық тығыздықтарының
|Y0
02
|
2
|Y1ϭ1|
Z
Z
|Y1
02
|
Z
1
4π
3
4π
Y
Y
3
8π
l=m=0
Y
M (m=-1)
l =1, m =ұ1
l = 1, m = 0
11.1 сурет. Ротатордың ықтималдылық тығыздықтарының үлестірілуі
(11.10)-шы өрнектен жєне 11.1-ші суреттің а) - бөлігінен s -күйдегі ротатордың М
бұрыштық моментінің бағыты θ бұрьшына тəуелді еместігін көреміз. Бұл түсінікті де,
себебі бүл жағдайда момент M 2 = h 2 l (l + 1) нольге тең болады. Тыныштық күйдегі
материалық нүкте радиусы а-ға тең сфералық беттің кез келген орнында бола алады.
Ротатордың s -күйінің классикалық баламасы жоқ. (11.14)-ші өрнектен жєне б)
суреттен l = 1 , m = ±1 тең болатын р-күйдегі ротатордың барлық траекторияларының
ішіндегі ең ықтималдысы (ху) жазықтығына орналасады жєне т =+1 мен т = -1
мєндерінің арасындағы айырмашылық айналу бағыттарына байланысты болады.
Оның ішінде m = 1 болғанда ротатор оң бағытқа (М бұрыштық моментінің векторы z
осіне параллель),
ал т = -1 жағдайында сол бағытқа (М векторы z осіне
антипараллель) айналады. l = 0 жєне m = 0 мєндеріне ротатордың ықтимал орбитасы z
осінің бойында жатады. Бұл жағдайда момент z осіне перпендикуляр бағытталады.
§ 2. Сұрыптау ережелері
Кванттық сандардың қандай өзгерістерінде кванттық өтулердің мүмкін
болатындығын анықтайтын сұрыптау ережелерін тағайындайтын матрицалық
элементтер мынадай түрде жазылады:
(r )llm′m′ = ∫ (Yl′m′ )* rrˆYl m dΩ
(11.16)
Егер кванттық сандардың кейбір өзгерістерінде (11.16)-шы матрицалық элемент
нольге тең болса, онда мұндай кванттық өтулер тиым салынған болады (сəуле шығару
болмайды). Сұрыптау ережелері белгілі болса сєуле шығарудың жиілігі мен
қарқындылығын оңай есептеп шығара аламыз.
х, у жєне z координаттарының орнына төмендегідей жаңа айнымалылар
енгізейік:
Z = a cos θ
(11.17)
iϕ
ξ = x + iy = a sin θe
(11.18)
− iϕ
η = x − iy = a sin θe
(11.19)
Физикалық түрғыдан мұндай түрлендіру ротатордың қозғалысын үш бөлікке:
z осінің бойымен тербелісіне жєне ξ , η айнымалыларымен сипатталатын, (ху)
жазықтығында жататын, оң жєне теріс бағыттағы айналуларға жіктеуге сєйкес келеді.
Ал, жалпы осы үш айнымалы (z, ξ , η ) бірігіп материялық нүктенің сфера бойымен
толық қозғалысын сипаттайды.
Жаңа айнымалыларды пайдаланғанда сұрыптау ережелерін анықтау үшін
мынадай матрицаларды есептеу қажет болады:
(Z )llm′m′ = ∫ (Yl′m′ )* cosθYl m dΩ
(11.20)
(ξ )llm′m′ = ∫ (Yl′m′ )* sin θe iϕ Yl m dΩ
(η )llm′m′ = ∫ (Yl′m′ )* sin θe − iϕ Yl m dΩ
(11.21)
(11.22)
Бұл қатынастарды біз а = 1 деп алдық.
Y (θ , ϕ )
шарлық функциялардың арасындағы
пайдалансақ:
рекурренттік
cosθYl m = AY 2 l +1 + BY m l −1
sin θe
± iϕ
Y = A± Y
m
l
m ±1
l +1
+ B± Y
қатынасты
(11.23)
(11.24)
m ±1
l −1
мұндағы А жєне В коэффициенттерін анықтау үшін Лежандр полиномын
P ml =
(2l )! (1 − x 2 )m2  x l− m − (l − m)(l − m − 1) x l−m−2 + ...


2 ⋅ l(2l − 1)
2 l ⋅ l!(l − m )!


(11.23)-ші қатынасқа қойып, теңдіктің екі жағында e imϕ (1 − x ) 2 − ге қысқартсақ
А жєне В үшін мынадай мєндер аламыз:
m
A(l, m ) =
(l + 1 − m)(l + 1 + m) , B(l, m) = (l + m)(l − m) ,
(2l + 1)(2l + 3)
(2l + 1)(2l − 1)
(11.25)
(l + 1 ± m)(l + 1 ± m ) ,
(2l + 1)(2l + 3)
(11.26)
Осы сияқты
A± (l, m ) = ±
B± (l, m ) = ±
(l ± m )(l − 1 ± m ) ,
(2l + 1)(2l − 1)
Шар функцияларының ортонормалық шарты
(Z )l′lmm′ = const ⋅ δ m′,m ⋅ δ l′,l±1
(ξ )l′lmm′ = const ⋅ δ m′,m±1 ⋅ δ l′,l±1
(η )l′lmm′ = const ⋅ δ m′,m−1 ⋅ δ l′,l±1
(11.27)
(11.28)
(11.29)
Бұл өрнектерден ротатордың сұрыптау ережелерін аламыз:
а) z осінің бойымен тербелмелі қозғалыс үшін
∇m = m ′ − m = 0, ∇m = 0
∇l = l ′ − l = ±1
(11.30)
∇m = −1, ∇l = ±1
(11.31)
б) оң бағыттағы айналмалы қозғалыс үшін
в) сол бағыттағы айналмалы қозғалыс жағдайында
∇m = +1, ∇l = ±1
(11.32)
Сонымен рұқсат етілген кванттық өтулер үшін l жєне т кванттық сандардың өзгерісі:
∇m = 0,±1
(11.33)
∇l = ±1
(11.34)
болуы қажет.
Сұрыптау ережелері тағайындалғаннан кейін ротатордың сєуле шығару
жиіліктерін де анықтау жеңілге түседі:
wl,l′ = 2πv ll′ =
E l − E l′
h
(11.35)
Мұндағы E l − энергияның орнына (11.8)-ші мєнді єкеліп қойсақ (11.35)-ші өрнек
мынадай түрге келеді:
wl ,l′ =
h
[l(l + 1) − l′(l′ + 1)]
2I
(11.36)
Ал (11.32), (11.33)-ші сүрыптау ережелерінің негізінде
h
l
I
h
= − (l + 1)
I
wl ,l′−1 =
wl ,l′+1
(11.37)
(11.38)
жəне мұндағы wl,l −1 жиілік жоғарғы энергиялық деңгейден төменгі деңгейге ауысуға,
ал wl ,l +1 − керісінше, төмендеген жоғарғы деңгейге өтуге сєйкес келеді.
§ 3. Екі атомды молекулалар спектрлері
Спектрлердің үш түрі болатындығы белгілі: қызған денелер бөліп шығаратын
үзіліссіз спектр (мысалы, спектрлік үлестірілуі Планк өрнегімен сипатталатын
абсолют қара дененің сєуле шығару), атомдағы электродтардың бір энергиялық
күйден басқа күйлерге ауысқанда бөліп шығаратын сызықтық спектрлер (мысалы
сутегі атомындағы Бальмер сериясы) жєне молекулалардың жолақ спектрлері. Жолақ
спектрлердің молекулалардың айналмалы қозғалысының нєтижесінде пайда
болатындығын көрсетейік.
Бірінен бірі түрақты r қашықтыққа орналасқан массалары m1 жəне m2
атомдардан тұратын молекуланы қарастырайық. Жуықтап алғанда мұндай
молекуланың мысалы ретінде екі атомды HCl молекуласын қарастыруға болады.
Бөлшектердің саны екіден көп болған жағдайда олардың ауырлық орталығының
массасы барлық бөлшектердің массаларының қосындысына:
mсум = ∑ mi
(11.39)
тең бір бөлшек түрінде қозғалады. Ал атомдардың салыстырмалы қозғалысы
келтірілген масса деп
1
mкелг
∑
i
1
mi
Y
аталатын шамамен сипатталады.
ο
x2
x1
m2
11.2-сурет.
ο
m1
x0=0
Екі атомды молекуланың схемасы
(11.40)
Егер молекуланың ауырлық орталығы тыныштық күйде болса, (x a⋅k = 0) онда
бірінші жєне екінші бөлшектердің координаталары x1 мен x 2 салыстырмалы
координата x − пен мынадай қатынастар арқылы байланыстырылады:
1
x1 =
m2 x
,
m1 + m2
x2 = −
m1 x
,
m1 + m2
Бұдан екі атомды молекуланың инерция моменті
I = m1 x 21 + m 2 x 22 = m келг ⋅ x 2
(11.41)
(11.41)-ші өрнек бір материялық нүктенің инерция моментімен
сəйкес келеді. Мұнда бөлшекгщ массасының орнына келтірілген масса, ал
координатының
орнына
салыстырмалы
координата
алынған.
Сондықтан
алға
қарай
ротатордың
инерция
моментінің
орнына
(11.41)-ші өрнекті х = а тең деп алып, пайдалануға болады.
Егер сєуле шығару тек ротаторлық өтулерге байланысты болса, (11.37)-ші
қатынас бойынша, жиілік
wl,l −1 2 Bl
(11.42)
мұнда
B=
h
h
=
2 I 2mкелг ⋅ a 2
(11.43)
Бұл өрнектерден екі
w43 =4w10
атомды молекуланың
w32 =3w10
ротаторлық спектрлеw21 =2w10
рі бірімен бірі бірдей
w10
қашықта орналасқан
сызықтардың жиыны
екендігін көреміз.
Ротаторлық спектрлер
w10 w21 w32 w43
қашық инфрақызыл
облысқа орналасқан
дықтан (толқын ұзындықтары шамамен
100-300 мкм), оларды
11.3 сурет. Ротатордың спектрі
зерттеу біршама қиындыққа түседі.
Мысалы, НСІ молекуласында мұндай сызықтар жұтылу спектрлері түрінде
бақыланған. Сызықтардың ара қашықтықтарын зерттеу арқылы молекуланың инерция
моментінің шамасын бағалауға болады.
Ротаторлық спектрмен қатар молекуланың ішкі тербелістеріне байланысты
туатын вибрациялы – ротаторлық спектрлерді де зерттеуге болады. Бұл спектрлер
инфрақызыл облыстан жақындау орналасқан, сондықтан оларды зерттеу ротаторлық
спектрлерге қарағанда жеңілірек.
Атомдардың арақашықтығы тұрақты болмаған жағдайдағы екі атомды молекула
теориясын жалпылама түрде қарастырайық. Бұл жағдайда молекуланы
осциллятордағы ротатор ретінде қарастыруға болады.
Алдымен, U (r ) − потенциялық энергия қисығының графигінің қандай
болатындығын тағайындайық. Біріншіден, атомдар біріне бірі шексіз жақын орналаса
4
3
2
1
0
алмайтындықтан, U (r → 0) → ∞ деп алайық. Екіншіден, r → ∞ болғанда атомдардың
єерлесуі шексіз аздығына байланысты, U (r → ∞ ) → 0 деп қабылдаймыз. Сонымен
қатар, молекула орнықты жүйе болғандықтан атомдардың арақашықты белгілі бір
шамаға (r = a ) тең болғанда потенциялық энергия U (r ) теріс шамаға ие болады жєне
өзінің ең аз мєнін алады. Молекуладағы атомдардың потенциялық энергиясының
атомдардың арақашықтығына тєуелділігі 11.4-ші суретте келтірілген.
Егер молекуланың тепе-теңдік қалыптан ауытқуы x = (r − a ) − көп үлкен болмаса,
(x << a )U (r ) потенциялық энергияны х = а нүктесінің төңірегінде қатарға жіктеуге
болады:
U (r ) = U (a + x ) = U (a ) + xU ′(a ) +
x2
U ′′(a ) + ...
2
(11.44)
U(r)
11.4-ші сурет. Екі атомды
Молекуланың
потенциялық
энергиясының ара қашықтыққа
тєуелділігі.
r=a
Қатардың алғашқы үш
мүшесімен
шектеліп,
r=a
нүктесінде U(r)
E1
минимум мєнге тең
D
E0
болатындығын,
яғни
U΄(а)=0 екендігін жєне
U΄΄(а)>0 болатынын ескерсек, (11.44)-ші өрнек мынадай түрге келеді:
mкелг ⋅ w 2 x 2
U (r ) = − D +
(11.45)
2
Мұндағы U΄΄(а)=mкелг ·w2 жєне U(а)=-D – молекуланың серпімділік коэффициенті мен диссоция
энергиясы.
Қарастырылып отырған жағдай үшін потенциялық энергия сфералық
симметриялы болғандықтан молекуланың энергиялық деңгейлерін анықтау үшін
толқындық функцияның радиалдық бөлігі үшін жазылған Шредингер теңдеуін аламыз.
Біздер үшін атомдардың тек салыстырмалы қозғалысын қарастыру жеткілікті
болғандықтан (11.7)-ші тендеудегі масса т-нің орнына келтірілген масса mкелт алсақ,
бұл өрнек мынадай түрге келеді
 2m
∇ r2 R(r ) +  келг
(E − U (r ) − ) − l(l +2 1) R(r ) = 0
2
r
 h

(11.46)
Егер
∇ r2 R(r ) =
екендігін ескеріп, жаңа функция
d 2 R 2 dR 1 d 2
+
=
R(r )
dr 2 r dr r dr 2
U (r ) = r ⋅ R(r )
енгізсек (11.46)-ның орнына мынадай жаңа теңдеу аламыз:
(11.47)
(11.48)
x << a болғандықтан
белгілеулер енгізсек
d 2U 2mкелг 
w 2 x 2 h 2 l(l + 1) 
+
−
 E + D − mкелг
U (r ) = 0
2
h2 
dr 2
2mкелг ⋅ r 2 
1
1
1
≅ 2
бұл теңдеуде 2 =
деп қабылдап
2
r
(a + x ) a
E + D − Bhl(l + 1) = E ′
(11.49)
төмендегідей
(11.50)
мұнда
B=
h
, ал
2I
I = m келг ⋅ a 2
(11.51)

w2 x 2 
 E ′ − mкелг
U (r ) = 0
2 

(11.52)
сонда (11.49)-ші теңдеу мынадай түрге келеді
U ′′(r ) +
2mкелг
h2
бұл теңдеу (7.12)-ші гармоникалық осциллятор теңдеуімен сєйкес келеді, сондықтан
1

E ′ = hw n + 
2

(11.53)
мұндағы п = 0, 1, 2,...
Сонымен, молекуланың ротаторлық жєне тербелмелі қозғалыстарын ескерген
жағдайдағы энергиясы
1

E = − D + Bhl(l + 1) + hw n + 
2

(11.54)
мұнда бірінші мүше диссоция энергиясы, ал екінші жєне үшінші мүшелер
молекуланың тербелмелі қозғалысына байланысты энергиялар.
Молекулалар үшін дискретті энергиялық деңгейлердің саны шектелген болады.
Себебі, мынадай
1
шарт Bhl(l + 1) + hw n +  ≥ D орындалған жағдайда молекула жеке

2
атомдарға ыдырауы қажет.
Кванттық сандардың үлкен мєндерінде молекулалардың ыдырауын былай
түсіндіруге болады: n >> 1 болғанда, тербеліс амплитудасының үлкен болатыны
соншалық, мұндай қашықтықта атомдар өзара єсерлеспейді, сондықтан молекуланы
атомдардың байланысқан күйі ретінде қарастыру мүмкін болмайды.
Ал, молекуланың айналмалы энергиясын сипаттайтын l орбиталық сандардың
үлкен мєндерінде орталықтан тепкіш күштер молекуладан атомдарды жұлып жібере
алады.
Енді вибрациялы – ротаторлық спектрлерді қарастырайық. Вибрациялық
энергияның мөлшері ротациялық энергиядан артық болғандықтан, ( λвибр ~ 10 мкм,
ал λ рот ~ 100 мкм) спектрдің шкаладағы орны вибрациялық энергияға байланысты
болады. Ерікті (спонтады) өтулер тек жоғарыдан төмен болғандықтан, сəуле шығару
жиілігі үшін сұрыптау ережелерінен жиілік:
w′ =
(11.54)-ші бойынша:
E (n, l ) − E (n − 1, l ± 1)
h
w′ = w + wll′
(11.55)
Мұнда (11.37) жєне (11.38)-ші формулалар бойынша wll′ = 2 Bl, wll′+1 = −2 B(l + 1) ал
w=
E n − E n−1
. Сонымен жиіліктің екі түрлі мєндерін ("бұтақтарын") алдық
h
w + = wвибр + 2 Bl жєне w − = wвибр + 2 B(l + 1)
(11.56)
Мұндай вибрациялы-ротаторлық спектрлерді, мысалы, НСІ молекуласында бақылауға
болады.
Вибрациялы-ротаторлық спектрлерді пайдаланьш, молекулалардың құрылымын
зерттеуге болады.
Мұндай спектрлер молекулалардың инерция моментін, изотоптық кұрылысын
анықтауға мүмкіндік береді.
12 ТАРАУ. СУТЕГІ ТƏРІЗДЕС АТОМ ТЕОРИЯСЫ
(КЕПЛЕР МƏСЕЛЕСІ)
§ 1. Толқындық функцияның радиалдық бөлігінің шешуі
Сутегі тєріздес атом деп – сыртқы электрон кабықшасында бір электроны бар
атомдарды айтамыз. Оған периодтық таблицаның бірінші группасындағы элементтер
жатады: H, Li, Na, т.б. Бор тағайындаған сутегі тєріздес атомның теориясы-жартылай
классикалық теория болып табылады да, атомның көптеген қасиеттерін түсіндіре
алмайды. Мысалы, Бор теориясын пайдаланып атомдардың сєуле шағылу
спектрлерінің қарқындылығын есептеу немесе көп электронды атомдар теориясын
құру мүмкін емес.
Ал, кванттық механикада бұл сияқты мєселелерді шешу онша қиынға түспейді.
Бір электронның атомдағы қозғалысы математикалық тұрғыдан планеталардың Күнді
айнала қозғалысына (Кеплер мєселесі) ұқсас жєне гармоникалық осциллятор мен
ротатор есептері сияқты дєл шешілетін болғандықтан, тєсілдік тұрғыдан да пайдасы
зор.
Электронның
ядромен
єсерлесу
энергиясы
ядромен
электронның
арақашықтығына ғана байланысты функция:
U (r ) = −
Zl 20
r
(12.1)
Сондықтан, сутегі тєріздес атом теориясын орталық симметриялы күш өрісіндегі
бөлшек қозғалысы теориясының дербес жағдайы деп қарастыруға болады.
Санақ жүйесінің басын ядроға орналастырып, толқындық функцияның
Ψ (r ,θ , ϕ ) = R(r )Y (θ , ϕ ) бүрыштық бөлігінің Y (θ , ϕ ) шешуі белгілі деп есептесек, радиалдық
бөлігі үшін Шредингер теңдеуі былай жазылады:
Zl 20 h 2 l(l + 1)
d 2 R(r ) 2 dR 2m0 
+
+
−
E +
R(r ) = 0
r dr h 2 
r
dr 2
2m0 r 2 
(12.2)
Тиімді потенциялық энергия ұғымын енгізейік:
U эф = −
Zl 20 h 2 l(l + 1)
+
r
2m 0 r 2
(12.3)
мұндағы бірінші мүше кулондық єсерлесуге, ал екінші мүше – орталықтан тепкіш
күштерге байланысты шамалар. Осы потенциялық энергияның қашықтыққа тєуелділік
графигін тұрғызайық.
Графиктен егер электронның толық энергиясы Е < 0 болса, онда оның
қозғалысы кеңістіктің екі жағынан да потенциялық тосқауылмен шектелген, яғни,
электронның энергиясы дискретті мєндерге ие болады (эллиптикалық орбиталар),
керісінше егер Е > 0 болса, онда 12.1- ші суреттегі графиктің оң жағынан тосқауыл
болмайды (гиперболалық орбиталар), ал электронның энергиясы үзіліссіз мєндерге ие
болады.
Электронның атомдағы
орны rmax мєнімен шектелген
болғандықтан, сутегі тєріздес
атом теориясын кұрғанда
ондағы электронның энергиясының мəндерін 0-ден кіші
деп қарастырамыз. (12.2)-ші
теңдеуді мынадай түрде
түрлендіріп жазалық:
Uэф
Е>0
0
E<0
rmin
rvax
φ
12.1 сурет. Тнімді потенциялық
энергияның қашықтыққа тєуелділігінің
графигі. Үзік сызықпен
толқындық
функцияның өзгерісі берілген.
d 2 R 2 dR 
2 B l(l + 1) 
+
+ − A +
−
R = 0
2
r dr 
r
dr
r2 
(12.4)
m0 Zl 20
2m
= B > 0, − 2 0 E = A > 0
2
h
h
(12.5)
мұнда
Мынадай жаңа айнымалы енгізсек:
ρ (r ) = 2 ⋅ A ⋅ r
(12.6)
(12.4)-ші өрнектің орнына мынадай теңдеу аламыз:
R ′′( ρ ) +
1
B
l(l + 1) 
R ′( ρ ) +  +
ρ−
R(ρ ) = 0
ρ
ρ2 
A
4
2
мұндағы
R ′( ρ ) +
(12.7)
dR( ρ )
dρ
r → 0 жєне r → ∞ болғанда (12.7) теңдеуде шексіз артатын жєне шексіз кемитін
мүшелер кездеседі. Біздің мақсатымыз (12.7) теңдеуден мұндай жинақсыздықты жою,
ол үшін:
1) r → 0 болғанда, (12.7) теңдеудің орнына
R∞′′ −
1
R∞ = 0
4
(12.8)
теңдеуін аламыз. (12.8) теңдеудің шешуін мынадай түрде ізделік:
R∞ = C1e
1
ρ
2
+ C2 e
1
ρ
2
(12.9)
Бұл теңдеудегі шексіз артатын екінші мүшеден құтылу үшін C 2 = 0, C1 = 1 деп алалық.
Сонда
R∞ = e
2) r → 0 болғанда
R ′′ +
(12.11)-ші теңдеудің шешуін
2
ρ
R∞′ −
1
ρ
2
(12.10)
l(l + 1)
ρ2
R0 = 0
R0 = ρ q
(12.11)
(12.12)
деп қарастырамыз. Енді
q(q + 1) − l(l + 1) = 0 бұдан q 2 + q − l(l + 1) = 0
1 
1
q1, 2 = − ±  l + ; q1 = l ⋅ q 2 = −(l + 1)
2 
2
Сонда:
R0 = C1 ρ l + C 2 ρ − (l +1)
C1 = 1, C 2 = 0 болғандықтан
R0 = ρ
l
(12.13)
(12.14)
(12.15)
(12.7)-ші теңдеуді былай түрлендіріп жазайық:
d 2 (R ⋅ ρ )  1
B
l(l + 1) 
+
−
+
−

( ρR ) = 0
dρ 2
ρ2 
 4 ρ A
(12.16)
(12.16) теңдеудің жалпы шешуін мынадай түрде қарастырамыз:
R = R0 ⋅ R∞ ⋅ U ( ρ )
1
ρ
Ал, (ρR ) = ρ l +1e 2 U (ρ )
Сонда (12.17)-ші негізгі теңдеуіміз мынадай түрге келеді:
 B

− l − 1U ( ρ ) = .0
 A

ρU ′′ + [2(l + 1) − ρ ]U ′ + 
(12.17)
(12.18)
(12.19)
(12.19)-шы теңдеудің шешуін дєрежелі қатар түрінде іздейміз
U (ρ ) =
∑
v =0
av ρ v
(12.20)
Бұл шешуді (12.19)-ші теңдеуге қойып, индекстерін бір мєнге келтірсек мынадай
өрнек аламыз:
  B


− l − 1 + av +1 [v(v + 1) + 2(v + 1)(l + 1)] = 0
(12.21)
a v 
v =0

  A

B
− l −1− v
A
(12.22)
a v +1 = −
a
[v(v + 1) + 2(v + 1)(l + 1)] v
(12.20)-шы қатарды максимум к мєнімен шектеп, a к ≠ 0, a к + 2 = 0 деп алсақ, (12.22)-ші
∑ρ
v
қатынастан
B
l +1+ v = n
(12.23)
A
Мұнда п-1,2,3,... бас кванттық сан, l = 0,1,2,...; к = 0,1,2,... Осы өрнектерді ескергенде
(12.20)-шы қатар мынадай түрде жазылады:
 к к (к + s ) к −1 к + j (к − 1)(к + s )к (к + s − 1) к −2 
U = (− 1)  ρ −
ρ +
ρ ... =
1!
2!


(12.24)
к
+
j
к
к!(к + s )!
к− j
= ∑ (− 1) ρ
j =0
j!(к − j )!(к + s − j )!
(12.24)-ші қатар к − ретті жалпыланған Ляггер полиномы деп аталады. Мұндағы
S = 2l + 1. Ляггер полиномын тұйықталған түрде де жазуға болады:
d к −ρ
s
U =Q к ( ρ ) = e ρ ρ − s
e ⋅ ρ к+s
(12.25)
к
dρ
к
(
)
Сонда толқындық функцияның радиалдық теңдеуінің шешуі
Rnl ( ρ ) = C nl e
мұндағы ρ = 2 Ar ,
a0 =
h2
− бірінші
m0 e 2
Бор
B
A
сонда ρ =
= n,
орбитасының
1
ρ
2
ρ l Q 2nl +−11 ( ρ )
2Z
r
na 0
(12.26)
радиусы.
C nl − коэффициенті
радиалдық
функцияның нормалау шартымен анықталады:
 Z
C nl = 
 na 0



3/ 2
4
n(n − l − 1)(n + l )!
(12.27)
Енді
 Z 

Rnl (r ) = 
 na 0 
×e
Толық толқындық функция
Zr
na0
3/ 2
l
 2 Zr 
4

 ×
n(n − l − 1)(n + l )!  na 0 
2 l +1
 2 Zr 


Q
na
0


n − l −1
Ψn ,l ,m (r ,θ , ϕ ) = Rnl (r )Y l (θ , ϕ )
m
(12.28)
(12.29)
Энергияның меншікті мəндері:
En = −
−R=
e 04 m0
− Ридберг тұрақтысы.
2h 3
Сутегі
тєріздес
атомның
жағдайда толқындық функция:
негізгі
Z 2 e 40
hZ 2
=
−
R
2a 0 n 2
n2
күйлерін
(12.3)
карастырайық: n = 1, m = 0. Бұл
Ψ1,0, 0, = R1, 00 (r )Y 0 (θ , ϕ )
0
(12.31)
мұнда
Y 0 (θ , ϕ ) = ρ 0 (θ )Φ 0 (ϕ ) =
0
0
1
4π
Zr
a0
(12.32)
сонда
Ψ1,0, 0, = Ce
(12.33)
(12.33)-ші толқындық функцияның нормалау шарты мынадай түрде жазылады:
∫Ψ
*
1, 0 , 0
Ψ1, 0, 0 d 3 x = ∫ Ψ *1,0, 0 Ψ1, 0,0 r 2 drdΩ
Бұл қатынасқа
Ψ1, 0,0 − функциясының мєндерін қойып жєне бұл функцияның
θ , ϕ − бүрыштарына тєуелсіздіктерін ескерсек:
2Z
∞
C 2 ⋅ 4π ∫ e na0 r 2 dr = 1
0
бұдан
С=
1 Z

4π  a 0



3/ 2
Сонда ең төменгі кванттық күйдің толқындық функциясы:
Ψ1,0, 0,
1 Z 
 
=
π  a 0 
3/ 2
e
Zr
a0
(12.34)
Ал сутегі тєріздес атомның энергиясының меншікті мєндері
E1 = − RhZ 2
(12.35)
Энергиялық деңгейлер қосымша деңгейлерге негізгі күйде бөліктенбейді. Себебі азғын
күйлердің саны: S = n 2 қатынасымен анықталынады: n = 1, S = 1, ал екінші n = 2 деңгей
төрт деңгейшелерге бөліктенеді:
n=2
S=4
1
Ψ2,1, 0 ; Ψ2,1, −1 ; Ψ2,1,1 ; Ψ2, 0,0 ; E 2 = − RhZ 2
4
n=3
Ψ3, 2, 0 ; Ψ3, 2,1 ; Ψ3, 2, −1 ; Ψ3, 2, 2 ;
S =9
Ψ3, 2, −2 ; Ψ3,1, 0 ; Ψ3,1,1 ; Ψ3,1, −1 ; Ψ3, 0, 0
1
E 3 = − Rh Z 2
9
§ 2. Сутегі тəріздес атомның кванттық теориясының нəтижелерін
классикалық тұрғыдан сипаттау
Классикалық теорияда
2
Pϕ
Ze 2
1 2
Pr= E + 0 −
2m0
r
2m0 r 2
(12.36)
шамасының нольден үлкен болатындығы белгілі. Эллиптикалық орбиталар үшін
(E = − E < 0) бұл шарт орындалады, егер радиус r мынадай аралықта жатса:
rmin << r ≤ rmax . Ал радиустың бұл мəндері (13.36)-шы қатынасты нольге теңестіру
арқылы табылады. Энергияның (13.30)-шы кванттық мəнін пайдалансақ:
rmax =
min
n 2 a0
Z
2

1 ± 1 − P ϕ

n2h 2





(12.37)
Егер полярлық координаттарда жазылған эллипс теңдеуін пайдалансақ:
r=
мұндағы параметр p =
P
1 + ε cos ϕ
(12.38)
b2
, яғни кіші жартылай осьтің − b квадратының a − үлкен
a
жартылай оське қатынасына тең, ал эллипстің эксцентриситеті ε =
a2 − b2
, (12.38)-ші
a
қатынастан rmax жəне rmin шамалары үшін төмендегідей өрнектер аламыз:
rmax = a (1 + ε )
(12.39)
(12.40)
rmin = a(1 − ε )
Бұл алынған мəндерді (12.37)-ші нəтижемен салыстырсақ
n 2 a0
=a
z
P ϕ2
1−
Бұдан кванттық
n 2 a0
=a
z
n 2h 2
(12.41)
=ε
(12.42)
шамасының классикалық баламасы эллипстің үлкен
жартылай осіне, ал эксцентриситеттің (12.42)-ші өрнекке, Бор теориясындағы
2
P ϕ2 = n 2 ⋅ h 2 = h 2 ⋅ (l + 1) жəне кванттық теориядағы P ϕ2 = h 2 l(l + 1) мəндерін қойсақ:
2
(
l + 1)
1−
E Бор =
n2
E кв = 1 −
l(l + 1)
n2
(12.43)
2
(12.44)
бұл қатынастардан Бор теориясы бойынша эксцентриситет нольге l = (n − 1) мəнінде
тең болатындығын көреміз. Ал кванттық теорияда l = n − 1 болғанда эксцентриситет
өзінің минимум мəніне тең болады:
E квmin =
1
n
(12.45)
Сондықтан, кванттық механикада кванттық күйлерді l = (n − 1) болғанда классикалық
дөңгелек орбиталардың баламасы ретінде ғана қарастыруға болады.
§ 3. Сұрыптау ережелері. Сутегі тəріздес атомның сəуле шығару
спектрлері
Сутегі тəріздес атомның қандай жағдайда сəуле шығаратындығын анықтау, яғни
сұрьштау ережелерін тағайындау үшін мынадай матрицалық элементтерді есептеу
қажет:
(r )nn′llm′m′ = ∫ Ψn*′l′m′ rrˆΨn,l,m d 3 x
(12.46)
мұнда
m
Ψn ,l ,m =Y l (θ , ϕ )Rnl (r )
(12.47)
Егер толқындық функцияны (12.46)-шы матрицалық элементтерге қойсақ
(r )nlm ∫ dΩ(Y
n′l′m
m′
l′
)
*
r m∞
r
rˆ
Y ∫ R *n′l′ rˆRnl r 2 dr
r l0
(12.48)
θ жəне ϕ бұрыштары бойынша интегралдау орбиталық кванттық сан l мен магниттік
кванттық сан m бойынша сұрыптау ережелерін береді:
∇ l = l ′ − l = ±1
∇m = m′ − m = 0,±1
Сонда (12.46)-шы теңдеудің орнына мынадай матрицалық элемент аламыз:
(r )
n′l′m
nlm
∞
δ m′m 
*
3
= const 
δ l′,l ±1 ∫ R n′,l′±1 r Rnl dr
δ
 m′,m±1 
0
(12.49)
Егер (12.39)-шы қатынастағы интегралды есептейтін болсақ, онда бұл интегралдың
кванттық сан n′ − тың қандай мəнінде де 0-ге тең болмайтынын көреміз, сондықтан
сутегі тəріздес атомның сұрыптау ережелерін мынадай түрде жазуға болады:
∇l = ±1, ∇m = 0,±1
(12.50)
n − кез келген мəнге ие бола алады.
Сəуле шығару жиілігі
E n − E n′
= (n ′l ′) − (nl )
h
wnn′ =
(12.51)
 En 
 = (nl ) спектрлік терм деп аталады
 h 
Z 2 l 20
En = −
= − RhZ 2
2a 0 n 2
мұндағы 
4
2
(nl ) = m0 l30 ⋅ Z 2
2h
n
=
RZ 2
,
n2
ал R =
m0 l 40
2h 3
(12.52)
1 
 1
(12.53)
wnn′ = RZ 2  2 − 2 
n 
 n′
- Бальмер формуласы. Сутегі атомы үшін (z = 1, n = 1) − төменгі энергиялық күйге өтуге
сəйкес келетін Лайман сериясы
1 1 
w лайµ = (1s ) − (np ) = R 2 2 
1 n 
мұнда n = 2,3,4,...
Бальмер сериясы үшін (n = 2)
WБ′ = (2s ) − (np )
WБ′′ = (2 p ) − (ns )
WБ′′ = (2 p ) − (nd )
Е, эВ
13,5
1 
 1
W Б = R 2 − 2 
n 
2
n = 3,4,5,...
12
10
Бальмер сериясы
0
Лайман сериясы
12.2 сурет.
Сутегі атомының спектрлік сызықтары
§4. Ядро қозғалысын ескеру
Сутегі тəріздес атом теориясын жасаған кезде атомның ортасындағы ядроның
қозғалысын ескеріп, есептеулерге пайдаланған дұрыс. Ол үшін негізгі өрнекке кіретін
m0 − электрон массасының орнына электрон мен ядроның келтірілген массасын алу
қажет:
mкелг =

m0 M яд
m
m 
= 0 ≈ m0 1 − 0 
m0 + M яд m0
 M яд 
(12.54)
Сонда Ридберг тұрақтысы мынадай түрде жазылады:
R=

mкелг e 40
m 
= R∞ 1 − 0 
3
2h
 M яд 
(12.55)
Спектрлік термдердің (12.42)-ші өрнекпен берілетін мəндері де бұл жағдайда
өзгешерек болады:
z 2 R∞
(nl ) = 2
n

m 
1 − 0 
 M яд 
(12.56)
Ал сəуле шығару жиілігі мынадай өрнекпен анықталады:

m  1
1 
wnn′ = Z 2 R∞ 1 − 0  12 − 2 
n 
 M яд  n
Бұл
өрнектің
бұрышы
сəуле
шығару
жиілігінен
(12.57)
айырмашылығы

m 
1 − 0  көбейткішінде ғана. Сəуле шығару жиілігі тек атом ядросының массасына
 M яд 
тəуелді болғандықтан, атомдардың массаларын спектроскопиялық əдіспен де
анықтауға болады.
Осы əдіспен табиғатта ауыр сутегінің, иондалган гелий атомының бар екендігі
дəлелденді. Күннің спектрін зерттеу нəтижесінде жиіліктері
 1
1 
w2 n1 = R 2 − 2 
n1 
2
(12.58)
заңдылығымен орналасқан қосымша спектрлік сызықтары бар екендігі тағайындалды.
Мұндағы n1 мынадай мəндерге ие болады:
5
7
9
, 3, , 4, , 5,...
(12.59)
2
2
2
Бұл серия сутегі атомының Бальмер сериясы (n = 3,4,5,...) мен Пикеринг сериясы деп
5 7 9
аталатын, жартылай бүтін кванттық сандарға n1 = , , ,... ие болатын спектрлік
2 2 2
n1 =
сызықтардың қосындысына тең. Пикеринг сериясының сутегі атомдарының сəуле
шығаруына байланысты ма, жоқ иондалған гелий атомының спектрлік сызықтары ма
деген сұраққа жауап беру үшін тəжірибеден Ридберг түрақтысының мəнін анықтау
қажет болды. Сутегі болған жағдайда Ридберг тұрақтысы
1 

R H = R ∞ 1 −

 1840 
(12.60)
1 

R He = R∞ 1 −

 7360 
(12.61)
мəніне, ал, гелий атомы үшін
болуы қажет.
Үқыпты жүргізілген спектроскопиялық тəжірибелер Ридберг түрақтысының
(12.61)-ші өрнекпен сəйкес келетіндігін көрсетті. Яғни, Пикеринг сериясы иондалган
гелий атомының спектрі болып табылады.
13 ТАРАУ. СƏУЛЕ ШЫҒАРУДЫҢ КАРАПАЙЫМ КВАНТТЫҚ ТЕОРИЯСЫ
§ 1. Ерікті жəне еріксіз кванттық өтулер.
Эйнштейн коэффициентері
Классикалық электродинамика бойынша үдемелі қозғалыстағы зарядталған
бөлшек жарық сəулесін шығару көзі болып табылады жəне уақыт бірлігі ішінде
бөлініп шығатын сəуле энергиясы төмендегідей қатынастан анықталады:
r
2e 20 &r& 2
Wkл = 3 r
3c
r
(13.1)
мұнда &r& = a − бөлшектің үдеуі.
Егер сəуле шығару көзі ретінде бір өлшемді гармоникалық осциллятор алынса,
x = a ⋅ cos wt
(13.2)
онда сəуле шығару жиілігі осциллятордың механикалық тербеліс жиілігіне тең, ал
сəуле шығару энергиясы амплитуданың квадратына a 2 , пропорционал болады:
e 02 a 2 w 4
(13.3)
3c 3
2π
периоды T = , x = f (t ) − күрделі заңдылыққа бағынса,
w
Wkл =
Егер
зарядтың
қозғалыс
онда f (t ) функциясын Фурье қатарына жіктеуге болады:
x = ∑ а к cos wк t
к
(13.4)
яғни сəулені жиілігі wк = кw(к = 1,2,3) осцилляторлар жүйесі бөліп шығарады деп
қарастыра аламыз. Бұл жағдайда сəулені тек негізгі тон (к = 1) ғана емес, қалған кw
гармоникаларды бөліп шығарады, ал сəуле шығару қарқындалығы сəйкес
гармониканың амплитудасының квадратына a к2 пропорционал болады.
Сонымен, классикалық теория бойынша жүйенің сəуле шығаруы осы жүйенің
механикалық қасиеттерімен толық сипатталады. Атап айтқанда, сəуле шығару жиілігі
жүйенің механикалық тербеліс жиілігіне не тең, не еселі, ал сəуле шығару
интенсивтілігіне сəйкес гармониканың амплитудасының квадратына пропорционал
болады.
Ал, кванттық механикада сəуле шығару мəселесін классикалық физикаға
қарағанда мүлде өзгеше қарастырған жөн.
Себебі, кванттық механика бойынша бөлшек (бөлшектер жүйесі)
электромагниттік сəулелерді жоғарғы энергиялық деңгейден төменгі энергиялық
деңгейге ауысқанда ғана бөліп шығарады.
Сəуле шығару мəселесін кванттық механика тұрғысынан алғаш қарастырған
Эйнштейн (1917 ж.) болды. Ол кванттық жүйенің ерікті жəне еріксіз түрдегі сəуле
шығаруларын А, В коэффициентерімен сипаттауды ұсынды
коэффициенттердің арасындағы байланысты тағайындады (13.1 сурет).
n
жəне
осы
En
Ann΄
Bnn΄
Bn΄n
n΄
En΄
13.1 сурет. Ерікті жəне еріксіз өтулер
Сəуле шығарудың кванттық теориясының негізгі идеялары мынадай: атомның не
атомдар жүйесінің бір электронының энергиясы E n , n − кванттық күйде болсын. Сонда
бұл электронның уақыт бірлігі ішінде еркін түрде энергиясы E n′ , n′ − күйге ауысуының
ықтималдығы Ann′ болсын. Бұл жағдайда электрон энергиясы
hw = E n − E n ′
(13.5)
фотон бөліп шығарады. Егер осы деңгейдегі қозған атомдардың саны N n болса, уақыт
бірлігі ішінде жүйенің ерікті сəуле шығару қарқындылығы:
с .ш .
W ерікті
= N n ⋅ hw ⋅ Ann′
(13.6)
Егер n − күйдегі атомдарды сыртқы электромагниттік сəулелердің əсері арқылы қозған
күйге келтірсе, онда атомдар жоғарыдан-төмен еріксіз түрде сəуле шығарып ауыса
бастайды. Екінші жағынан, сыртқы сəуленің əсерінен атомдар энергия жұтып,
төменнен жоғары деңгейге де ауысулары мүмкін. Эйнштейн бөлшектердің еріксіз
түрде, жоғарыдан төмен орын ауыстыру ыктималдылығын Bnn′ , еріксіз түрде
энергиясы төмен деңгейден жоғары деңгейге өтуін Bn′n коэффициенттері арқылы
сипаттауды ұсынды. Еріксіз өтулердің саны спектрлік тығыздық ρ w − ға пропорционал
деп есептесек, сəуле жұтып алу не бөліп шығару энергиясының мəндерін былай жазуға
болады:
с .ш .
W ерікcіз
= N n ⋅ Вnn′ ⋅ hwρ w
(13.7)
жуту
W ерікcіз
= N n′ ⋅ Вn′nn ⋅ hwρ w
(13.8)
мұнда N n′ − n ′ деңгейдегі атомдардың саны. Атомдардың жоғарыдан төмен жəне
төменнен жоғары ауысуларының саны тең жағдайда қарастырайық:
N n Ann′ + N n ρ w Bnn′ = N n′ ρ w Bn′n
(13.9)
Яғни, қызған атомдар мен олар бөліп шығаратын жəне өздеріне кері əсер ететін
сəулелер термодинамикалық тепе-теңдік күйде болсын. Бұл жағдайда атомдар мен
бөлініп шығатын сəулелер тұйықталған жүйе құрайды. Электрондардың
энергия
бойынша үлестірілуі Максвеллдің үлестірілу заңдылығымен сипатталатындығын
ескерсек
En
kT
N n = C ⋅ e , N n′ = C ⋅ e
En ′
kT
(13.9)-ші теңдеу былай жазылады:
Ann′ e
En
kT
+ ρ w Bnn′ e
En
kT
= ρ w Bn′n e
En
kT
(13.10)
Бұл теңдеудің екі жағында e E kT − ға көбейтіп, hw = En − En ′ екендігін пайдалансақ,
спектрлік тығыздық үшін төмендегідей өрнек аламыз:
n
ρw =
Ann′
Bnn′
Bnn′ hw kT
e
−1
Bn′n
(13.11)
Абсолют қара дененің сəуле шығаруының спектрлік тығыздығы атомдар мен
молекулалардың нақтылы құрылысына тəуелсіз болғандықтан (13.11)-ші формуланы
Планк формуласымен:
ρw =
салыстыруға болады. Сонда:
hw3
1
⋅ hw kT
2 3
π c e
−1
Bnn′ = Bn′n =
π 2c3
hw 3
Ann′
(13.12)
(13.13)
Бұл қатынастардан еріксіз түрде жоғарыдан-төмен жөне төменнен-жоғары өтулердің
ықтималдылығы Ann′ коэффициентіне пропорционал екендігін көреміз. Сондықтан,
атомдар мен молекулалардың сəуле шығаруын сипаттау үшін осы коэффициенттердің
бірінің мəнін білсек жеткілікті.
2. Ерікті жэне еріксіз сəуле шығарулардың
ыктималдылығын анықтау
Кванттық механика бойынша атомдағы электрондардың еріксіз түрде бір күйден
екінші күйге орын ауыстыруы олардың сыртқы электромагниттік сəулемен
əсерлесуінің салдары деп түсіндіріледі. Ал электрондардың ерікті, спонтанды түрде
қозған күйден төменгі деңгейге ауысуын Шредингер теориясы тұрғысынан түсіндіру
мүмкін болмады. Бұл мəселе кванттық электромагниттік өріс теориясына негізделген
сəуле шығару теориясы жасалғаннан кейін ғана түсіндірідді. Бұл теория бойышиа
электрондар тек нақты фотондармен ғана емес, виртуал – пайда болуы мүмкін,
фотондармен де, яғни электромагниттік вакууммен де əсерлесе алады. Осындай
əсерлесу нəтижесінде ғана жүйе спонтанды түрде сəуле шығарады. Электрондардың
виртуал фотондардың өрісімен əсерлесуінің классикалық аналогы ретінде үдемелі
қозғалыстағы зарядталған бөлшекке осы зарядтың өзі тудырған элек-тромагниттік
өрістің кері əсер етуін сипаттайтын Планктың сəуле үйкеліс күшін қарастыруға
болады:
r
2e 2 r
Fc.ш = 30 &r&&
3c
Кейбір қосымша шарттар орындалғанда бұл электромагниттік өріс жарық
сəулелері түрінде электроннан бөлінуі мүмкін, кванттық электродинамикада бұл
құбылыс фотондардың виртуал күйден нақты фотондарға ауысуына сəйкес келеді.
Кванттық электродинамикаға сүйене отырып А жəне В коэффициенттерінің
мəндерін дəл анықтауға, яғни кванттық сəуле шығару мəселесін толық шешуге
болады. Классикалық сəуле шығару теориясын кванттық жағдайға жалпылап, А
коэффициентінің мəнін анықталық. Бұл жалпылаудын нəтижесінде екінші ретті
кванттауға негізделген кванттық теориямен сəйкес келетінін ескертеміз.
Классикалық физикада сəуле шығару энергиясын сипаттайтын (13.1)-ші өрнекті
r
кванттық жағдайға аударайық. Ол үшін классикалық r шамасының орнына оның
кванттық баламасын аламыз:
r r
r
r
r = ∫ Ψ * (r , t ) rˆΨ (r , t )d 3 x
(13.14)
Екінші жағынан, кванттық теория бойынша уақыт бірлігі ішінде бөлініп шығатын
сəуленің энергиясы
Wкв = g n g n′ Ann′ ⋅ hw
(13.15)
мұндағы g n g n′ − n жəне n′ деңгейлерінде электронның бар-жоқтығын сипаттайтын
коэффициенттер. Бұл коэффициенттердің ену себебі Паули қағидасы бойынша бір
энергиялық деңгейде төрт кванттық сандары бірдей екі электронның болуы мүмкін
еместігін ескеру қажеттілігінде. (13.1)-ші жəне (13.15)-ші өрнектерді салыстырып,
(13.14)-ші формуланы ескерсек:
g n g n′ hwAnn′ =
2e 20 &r&
r
3c 3
(13.16)
Соңғы теңдікте екі рет орта шама алынған, алғашқысы
r
r&& − кванттық орта шама,
кейін сызықшамен белгіленген уақыт бойынша орташалау.
Атомдағы электрон энергиялы E n жəне E n′ болатын тек екі күйде ғана бола
алсын. Сонда кванттық суперпозиция принципі бойынша толқындық функция:
i
i
En t
r
′ En t
Ψ (r , t ) = С n е h + С n е h
мəні:
Бұл қатынасты ескергенде
(13.17)
r
r − радиус вектордың кванттық механикалық орта
r
r
r
2r
2r
r = C n rnn + C n′ rn′n′ +C n*Cn ′e iwt rnn′ +C n*Cn ′e −iwt rn′n
мұнда
w = wnn′ =
ал матрицалық элементтер:
E n − E n′
h
r
* r
* r
rn′n = ∫ Ψ n′ (r )rˆΨ n (r )d 3 x
(13.18)
(13.19)
(13.20)
төмендегідей шексіз матрица құрайды:


(r ) = 



r00 r01 r02 K 

r10 r11 r12 K 
K K K K

rn 0 rn1 rn 2 K 
(13.21)
Бұл матрицаның жолдарын бағанаға, бағаналарын жолдарға ауыстырсақ, (13.20)-шы
формуланың негізінде комплекс-түйіндес
r *nn′ = rn′n
(13.22)
матрица аламыз.
(13.22)-шы қатынасты қанағаттандыратын матрицалар эрмиттік немесе өзара түйіндес
матрицалар деп аталады.
Кванттық механикада тек эрмиттік матрицалар ғана пайдаланылады. (13.20)-шы
матрицалық элементтер уақытқа тəуелсіз болғандықтан (13.18)-ді (13.16)-шы теңдікке
қойғаннан кейін мынадай қатынасқа келеміз:
g n ⋅ g n′ hwAnn′
4е 20 4
2
2
= 3 w C n C n′ rn′n
3с
2
(13.23)
Бұл қатынасты аларда периодтық функциялардың уақыт бойынша орта мəні нольге
тең екендігі пайдаланылған, себебі:
1
τ
τ
∫e
± 2 iwt
dt = 0
0
(13.23)-ші теңдікті əрі қарай талдау жасау үшін, дəл қорытылуы тек кванттық
электродинамикада келтірілетін қосымша материалдарды пайдаланамыз. Кванттық
механикада тек стационар процестер ғана қарастырылатындықтан, электронның
2
n − деңгейдеболуының ықтималдылығы C n = const болуының ешқандай қайшылығы
жоқ. Ал, сəуле шығару процесінде С n коэффициенті секірмелі өзгеретін жағдайда не
істеу керек? Бұл сұраққа кванттық механика нақты жауап бере алмайды. Сондықтан,
физикалық тұрғыдан қайшылығы жоқ, қорытылуы тек кванттық электродинамикада
ғана алынатын қосымша деректерді пайдаланамыз.
Паули кағидасы бойынша электрон n деңгейде болып, n′ деңгей бос болғанда
ғана кванттық өту мүмкін болатындықтан, (13.23)-ші теңдікке С n коэффициенттерінің
орнына олардың бастапқы мəнін −C n0 қоямыз. Жəне
g n ⋅ g n′ = C n C n′
2
2
2
2
= С n0 1 − С n0′ 


деп алсақ С n0 = 1,С n0′ = 0 болғанда g n ⋅ g n′ = 1 болатындығын көреміз. Сонда
Ann′
4е 02 w 3
=
rn′n
3hс 3
Bnn′ = Bn′n =
ал сəуле шығару қарқындылығы:
4π 2 е 20
rn′n
3h 2
Wnn′ = hwAnn′ =
бұл формулаларда
rn′n
2
2
(13.24)
2
4e 02 w 4
rn′n
3c 3
= X n′n + Yn′n + Z n′n
2
2
(13.25)
2
2
(13.26)
(13.27)
мұнда
X n′n = ∫ Ψ n*′ XˆΨn dx
(13.28)
Сонымен, Шредингер теориясы сəуле шығару процесін сипаттайтын негізгі
классикалық физикалық шамаларды кванттық жағдайға ауыстыруға толық мүмкіндік
береді.
(13.26)-ші жəне (13.27)-ші формулалардан сəуле шығару қарқындылығы нольден
өзгеше болуы үшін X n′n , Yn′n жəне Z n′n матрицалық элементтерінің ең болмаса бірінің
нольге тең болмауы керек екендігін көреміз. Мұндай өтулер кванттық механикада
рұқсат етілген өтулер деп аталады. Кванттық механиканың көптеген мəселелерінде тек
матрицалық элементтерді ғана есептеп, олардың көмегімен кванттық сандар қалай
өзгергенде кванттық өтулердің болатындығын тағайындайтын сұрыптау ережелерін
анықтауға болады.
Егер сұрыптау ережелері белгілі болса, сəуле шығару жиілігінің қандай мəндерге
ие болатындығын білуге болады. Классикалық электродинамикада бірі сұрыптау
ережелері берілген жүйе бөліп шығаратын əртүрлі гармоникаларды анықтаумен
эквивалентті. Егер берілген кванттық сандардың өзгерісінде матрицалық элементтер
нольге тең болса, онда сəуле шығару болмайды, ал мұндай өтулер рұқсат етілмеген
өтулер деп аталады.
14 ТАРАУ. ШРЕДИНГЕР ТЕҢДЕУІН ЖУЫҚТАП ШЕШУ ƏДІСТЕРІ
§ 1. Ұйытқу теориясының негіздері теңдеулері
Кванттық механиканың есептерінің барлығын бірдей нольге тең дəлдікпен шешу
мүмкін емес. Ал көптеген жағдайларда энергия мен толқындық функцияның мəндерін
тек жуықтап қана анықтауға болады. Сондықтанда кванттық механикада Шредингер
теңдеуін жуықтап есептеу тəсілдері кеңінен пайдаланылады. Мұндай мүмкіндіктердің
кең тараған түрінің бірі – ұйытқу теориясы.
Кванттық механикада атомдағы электрондардың қозғалысын қарастыру үшін
негізгі əсер етуші күш ретінде ядро мен электронның арасындағы əсерлесу күштері
алынады. Ал ұйытқу ретінде электрондардың арасындағы өзара кулондық тебіліс
күштері қарастырылады. Егер атомды сыртқы электр немесе магнит өрісіне
орналастырса, онда бұл өріс шамасы жағынан ядроның электр өрісінен көп кем болады
да, ұйытқу ретінде электрондардың сыртқы электр немесе магнит өрісіндегі
қозғалысын қарастыра аламыз.
Жүйенің гамильтонианы уақытқа байланысты болмайтын стационар құбылыстар
үшін ұйытқу теориясын қарастырайық. Бұл жағдайда жүйенің гамильтонианы
Hˆ = Tˆ + Vˆ = Tˆ + Vˆ0 + Vˆ ′ = Hˆ 0 + Vˆ ′
(14.1)
мұндағы ұйытқу операторы V ′ << V , ал потенциялық энергияның негізгі бөлігі V 0 − дəл
шешілетін
Hˆ 0 Ψ n0 = E 0nΨ n0
(14.2)
0
Шредингер теңдеуін қанағаттандырады. Егер V ′ = 0 болса, бұл теңдеудің E n жəне Ψ n0
мəндерімен сипатталатын дəл шешулері болады. Бірақ V ′ нольге тең болмағандықтан
біз мынадай теңдеуді шешуіміз қажет:
(Hˆ 0 + Vˆ ′)Ψ = EΨ
(14.3)
Біздің міндетіміз – осы теңдеуден V ′ ұйытқу энергиясын ескерген жағдайда жуықтап
болса да E n − энергиясының меншікті мəндері мен оларға сəйкес келетін Ψn − меншікті
функцияларды анықтау.
¦йытқу теориясы бойынша Е мен Ψ − дің мəндері қатар түрінде ізделеді:
Ψ = Ψ 0 + Ψ ′ + Ψ ′′ + K
E = E 0 + E ′ + E ′′ + K
(14.4)
(14.5)
0
0
мұндағы E ′, Ψ ′ жəне E ′′, Ψ ′′ − Ψ , E шамаларына қарағанда бірінші жəне екінші реті аз
шамалар,
ал, ұйытқу энергиясын V 0 − потенциалының энергиямен шамасы аз
λ − параметрінің (λ << 1) көбейтіндісі
V′ =V 0 ⋅λ
ретінде өрнектеуге болады.
(14.4) жəне (14.5)-ші өрнектерде бірінші ретті аз шамалармен шектеліп, оларды (14.3)ші теңдеуге қойсақ Ψ ′ жəне E ′ мəндерін анықтау үшін мынадай қатынас аламыз:
(E 0 + E ′ − Hˆ 0 − Vˆ ′)(Ψ 0 + Ψ ′) = 0
(14.6)
мəндерінің шамаларына қарай жинақтасақ:
(E 0 − Hˆ 0 )Ψ 0 + [(E ′ − Vˆ ′)Ψ 0 + (E 0 − Hˆ 0 )Ψ ′]+ (E ′ − Vˆ ′)Ψ ′ = 0
(14.7)
¦йытқу теориясының бірінші ретті жуықталған шешулерін табу үшін (E ′ − Vˆ ′)Ψ ′ − екінші
ретті шаманы нольге тең деп алып, дəл шешу (E 0 − Ĥ 0 )Ψ 0 − екендігін ескереміз, сонда
бұл (14.7)-ші теңдеуден нольдік жуықтауда
(E 0 − Hˆ 0 )Ψ n0′ = 0
(14.8)
қатынасын канағаттандыратын энергияның меншікті мəндері
E 01 , E 02 , E 03 ,..., E n0 ,...
мен меншікті функцияларын
Ψ 01 ,Ψ 02 ,Ψ 03 ,...,Ψ n0 ,...
анықтауға болады. Сонда (14.7)-ші теңдеудің орнына төмендегідей теңдеу аламыз:
(E 0 − Hˆ 0 )Ψ ′ = −(E ′ − Vˆ ′)Ψ 0 n
(14.9)
Енді алғашқы уақыт моментінде жүйе n′ = n кванттық күйде болсын. Сонда дəл
шешуде E 0 = E n0 , Ψ 0 =Ψ n0 болғандықтан бірінші ретті жуықтау үшін E ′ = E n′ , Ψ ′ = Ψ ′ деп
алсақ; (14.9)-шы теңдеуді былай жазуға болады:
(E n0 − Hˆ 0 )Ψn′ = −(En′ − Vˆ ′)Ψ n0
(14.10)
Кез келген функцияны ортонормаланған функциялардың толық жүйесі бойынша
қатарға жіктеуге болатындықтан, Ψ n0′ фукнциясын мынадай қатар түрінде іздестіреміз:
Ψn′ = ∑ C n′ Ψ n0′
(14.11)
′
n
Ендігі біздің міндетіміз – осы Фурье қатарындағы белгісіз C n′ , коэффициенттерін анықтау болып табылады. (14.11)-ші өрнекті (14.10)-шы теңдеуге қойсақ:
0
ˆ 0 )Ψ 0′ = −(E ′ − Vˆ ′)Ψ 0′
∑ С n′ (E n − H
(14.12)
n
n
n
′
n
ал (14.8)-ші теңдікті ескерсек (14.12) теңдеу мынадай түрде жазылады:
∑ С n′
n′
(E
0
n
)
(
)
− E n0′ Ψ n0′ = − E n′ − Vˆ ′ Ψ n0
(14.13)
§ 2. Энергиялық деңгейлердің азғындалмайтын жағдайы
Егер берілген жүйе азбаған болса, яғни энергияның əрбір E n0 меншікті мəніне Ψ n0
меншікті функциялардың бір мəні сəйкес келсе, (14.13) теңдеуді сол жағынан Ψ 0n* − ге
көбейтіп, бүкіл кеңістік бойынша интегралдасақ, мынадай қатынасқа келеміз:
∑ С (E
n′
n′
0
n
)
− E n0′ δ nn′ = − E ′ + ∫ Ψ 0n*Vˆ ′′Ψ n0d 3 x
(14.14)
мұнда Ψ n0 − меншікті функциялардың ортонормалық шарты
∫Ψ
0*
n
Ψ n0′ d 3 x = δ nn′
(14.15)
пайдаланылған.
(14.14)-ші өрнектің сол жағы нольге тең болғандықтан n′ = n болғанда
0
(E n − E n0′ ) = 0, ал n′ ≠ n жағдайында δ nn′ = 0, ізделіп отырған қосымша энергия үшін:
E n′ = Vnn′
(14.16)
мұндағы
V ′∫ Ψ 0nVˆ ′Ψ n0d 3 x
(14.17)
Сонымен, жүйенің ұйытқу нəтижесінде алатын қосымша энергиясы ұйытқу
энергиясының орта мəніне тең болады.
Енді ұйытқу теориясының бірінші ретті жуықтауын сипаттайтын (14.13)-ші
Шредингер теңдеуін түрлендіріп жазайық:
∑ С (E
n′′
n′′
0
n
)
− E n0′′ Ψ n0′′ = −(E n′ − V ′)Ψ n0
(14.18)
Бұл тендеудің сол жағынан Ψ 0n* (мұнда n′ ≠ n ) функциясына көбейтіп,
ортонормалық шартты ескеріп, бүкіл кеңістік бойынша интегралдасақ, С n′
коэффициенті үшін мынадай қатынас аламыз:
Vn′n
E n0 − E n0′
(14.19)
V ′∫ Ψ n0′Vˆ ′Ψ n0d 3 x
(14.20)
Ψn′ = C n Ψ n0 + ∑ `Cn′ Ψ n0′
(14.21)
С n′ =
мұндағы
Сонда Ψn′ функциясы үшін
n′
Қосындыдағы штрих қосу n′ = n мəнінен басқаларының бəрі бойынша
жүргізілетіндігін көрсетеді. (14.21)-ші өрнектегі белгісіз коэффициент C n′ нольдік
жуықтаудағы толық толқындық функцияларды
Ψn =Ψ n0 + Ψn′ =C 0nΨ n0 + ∑ `Cn′ Ψ n0′
(14.22)
′
n
нормалау шартынан анықталады:
∫Ψ
мұнда
Ψn d 3 x = 1
*
n
(14.23)
C n0 = 1 + C n
(14.24)
(14.22)-ші толқындық функцияны (14.23)-ке қойьш, тек бірінші ретті аз шамалармен
шектелсек, мынадай өрнекке келеміз:
0
2
(14.25)
С n0 ∫ Ψ 0*nΨ n0d 3 x + ∑ ' C 0n*C n′ ∫ Ψ 0*nΨ n0′ d 3 x +C n*′ C ∫ Ψ 0n*′Ψ n0d 3 x = 1
n
n′
{
}
Сонда толқындық функцияның ортонормалық шартынан
C n0 = 1
(14.26)
ал (14.24)-ші теңдіктен C n = 0 . Сонда ұйытқу теориясының бірінші ретті жуықтауы
бойынша толқындық функция
Ψn =Ψ n0 + ∑ '
n′
Vn′′n
Ψ n0′
0
0
E n − E n′
(14.27)
Сонымен, толқындық функция Ψn′′ энергияның меншікті мəні E n′′ сияқты ұйытқу
энергиясының бірінші дəрежесіне пропорционал болады.
§ 3. Энергиялық деңгейлердің азғын жағдайы үшін ұйытқу теориясы
Енді E n0 энергияның меншікті бір мəніне j меншікті функциялар Ψ n0 ,Ψ n0 ,...,Ψ n0
сəйкес келген жағдайдағы ұйытқу теориясын қарастырайық.
Бұл функциялардың кез келген сызықтық түрленуі де
1
2
j
j
Ψ n0 = ∑ C 0i Ψ n0i
i =1
энергиясының меншікті мəндері E n0 болатын нольдік жуықтаудағы Шредингер
теңдеуінің шешуі болып табылады:
(E − Hˆ )Ψ
0
n
0
0
n
=0
Егер жүйеге энергиясы V ′ ұйытқу қосылса C 0i коэффициенттерінің арасында байланыс
пайда болатындығын көрсетелік. Ол үшін (14.10)-ші теңдеуді сол жағынан Ψ 0n*
функциясына көбейтіп, бүкіл кеңістік бойынша интегралдайық, сонда
i
∫ Ψ (E
0*
0
n
)
0*
− Hˆ 0 Ψ ′d 3 x = − ∫ Ψ ni (E n′ − V ′)Ψ n0d 3 x
(14.28)
Туындыларды ауыстыру теориясын пайдалансақ (14.28)-ші теңдіктің орнына мынадай
теңдік аламыз:
0*
0
0
0* 3
0 3
(14.29)
∫ Ψ ′(E n − Hˆ )Ψ n d x = −∫ Ψ n (E n′ − Vˆ ′)Ψ n d x
ni
Мұндағы Ψ функцияның (
ескерсек мынадай теңдікке келеміз:
0*
ni
)
i
i
E − Hˆ 0 Ψ 0n*i = 0 Шредингер теңдеуінің шешуі екендігін
0
n
j
0
0 3
∫ Ψ ni (En′ − V ′)∑ C i′ Ψ ni d x = 0
0*
(14.30)
i ′=1
Ψ n0i меншікті функциялары ортонормаланған деп алсақ
∫Ψ
0*
ni
Ψ n0i d 3 x = δ ni ni
онда (14.30)-шы теңдіктің орнына төмендегідей теңдеу жазамыз:
(
)
j
C i E n′ − Vii′ = ∑ C 0i Vi′i′
(14.31)
Vii′ = ∫ Ψ 0n*i Vˆ ′Ψ ni0d 3 x
(14.32)
0
i ′=1
мұндағы
Vii′′ = ∫ Ψ 0n*i Vˆ ′Ψ ni0′ d 3 x
(14.33)
(14.31)-ші теңдеудегі қосындының жоғарғы жағындағы штрих қосудың i = j мəнінен
басқа мəндерді түгел қамтитындығын көрсетеді. (14.31)-дегі индекс i − дің бірден j − ге
дейінгі аралықтағы кез келген мəнге ие болатындығынан, энергияның E n′ жəне C 0i
коэффициенттердің белгісіз мəндері үшін j − біртекті теңдеулер жүйесін аламыз
C i (E n′ − V11′ ) −C 02V12′ − K −C 0jV1′j = 0
0
−C 01V21′ +C 2 (E n′ − V22′ ) − K −C 0jV2′ j
0
.......................................................
(14.34)
.......................................................
−C 01V j′1 −C 02V j′2 − K +C jj (E n′ − V jj′ ) = 0
0
Егер Ψ n0 толқындық функцияның нормалау шартын
∫Ψ
Ψ n0d 3 x = 1
0*
n
(14.35)
қанағаттандыратындығын ескерсек,
ұйытқу энергиясы E n′ пен C 0i − белгісіз
коэффициенттерді анықтау қиынға түспейді.
(14.34)-ші жүйенің нольден өзгеше шешулері болу үшін оның
анықтауышы нольге тең болуы қажет, сонда E n′ − тың мəндерін табу
үшін мынадай теңдеу аламыз:
(E n′ − V11′ ),V12′ ,...,−V1′j
− V21′ , (E n′ − V22′ ),...,−V2′ j
=0
(14.36)
− V j′1 ,−V j′2 ,..., (E n′ − V jj′ )
Бұл теңдеу ғасырлық теңдеу деп аталады. Термин аспан механикасынан алынған.
Егер ғасырлық теңдеудің бірнеше түбірі болса ( j − ге тең болуы міндетті емес),
онда əрбір түбірге (14.34)-ші теңдікті пайдаланып анықталған C 0i − коэффициенттер
сəйкес келеді. Яғни, E n′ қосымша энергияның мəндеріне сəйкес келетін меншікті
функциялар да əртүрлі болады. Сонымен, энергиясы V ′ болатын ұйытқу қосылғанға
дейін жүйенің күйі j − ретті азғын болса, ұйытқудың əсерінен азғындық реті азаяды, ал
кей жағдайда мүлдем жойылуы да мүмкін.
§ 4. Штарк эффектісі
Егер атомды сыртқы электр өрісіне орналастырса, онда атомның энергиялық
деңгейлері қосымша деңгейшелерге азғындалады. Бұл құбылыс 1913 жылы
тағайындалған жəне ол Штарк эффектісі деп аталады. Тəжірибелерде электр өрісінің
сутегіге жəне басқа да атомдарға əртүрлі əсер ететіндігі байқалған. Атап айтқанда, өріс
кернеулігінің аз мəндерінде сутегі атомдарының энергиялық деңгейлерінің азуы
өрістің кернеулігінің бірінші дəрежесіне (сызықтық Штарк эффектісі), ал басқа
атомдар үшін бөліктену өрістің екінші дəрежесіне пропорционал (квадраттық Штарк
эффектісі) болатындығын көруге болады.
Классикалық теория түрғысынан Штарк эффектісін түсіндіру мүмкін болмады,
тек кванттық механика ғана бұл құбылыстың теориясын құра алды.
Сутегі атомы үшін сызықтық Штарк эффектісін қарастырайық. Мысал үшін
екінші кванттық деңгеймен (n = 2) шектелейік. Сырткы өріс кернеулігі ( ε ~ 10 4 − 10 5
В/см) атомның ішкі, ядро құрайтын өрісінен ( ε яд ~ 5 ⋅ 10 9 В/см) көп кем болғандықтан,
Штарк эффектісін түсіндіру үшін энергиялық деңгейлердің азғындық жағдайы үшін
жасалған ұйытқу теориясын пайдалануға болады. ¦йытқу энергиясы ретінде
электронның сыртқы электр өрісіндегі потенциялық энергиясын аламыз:
V ′ = e 0 εz
¦йытқу болмаған жағдайда электронның энергиясы
E 02 = −
Rh
4
жəне осы мəнге сəйкес келетін меншікті функциялар
Ψ 01 = Ψ2, 0,0 = R20 (r )Y 00=
R20 (r )
4π
3
R21 cos θ
4π
1
Ψ 02 = Ψ2,1, 0 = R21 (r )Y 01=
Ψ 03 = Ψ2,1,1 = R21 (r )Y 11=
3
sin θ iϕ
R21 (r )
e
4π
2
Ψ 04 = Ψ2,1, −1 = R21 (r )Y −11= −
3
sin θ −iϕ
R21 (r )
e
4π
2
(14.38)
(14.39)
(14.40)
(14.41)
жəне ϕ бұрыштарын декарттық координаттарға ауыстырсақ бұл функциялар
мынадай түрге келеді:
Ψ 01 = f1 (r )
(14.42)
0
Ψ 2 = f 2 (r )z
(14.43)
θ
Ψ 03 = f 2 (r )
x + iy
Ψ 04 = − f 2 (r )
2
x − iy
2
(14.44)
(14.45)
мұндағы
f1 =
f 2 (r ) =
R20 (r )
(14.46)
3 R21 (r )
4π r
(14.47)
1
4π
Ал, электронның жалпы толқындық функциясы
4
Ψ 0 =∑ C 0i Ψ 0i
i =1
(14.48)
Біздің жағдайымызда жүйенің азғындық реті төртке тең ( j = 4) болғандықтан белгісіз
коэффициенттер C 0i мен жүйенің ұйытқылмаған күйін сипаттайтын E 02 энергияға
қосымша E ′ мəнін табу үшін (14.34)-ші қатынастан мынадай теңдеулер жүйесін
аламыз:
)
−C V ′ +C (E ′ − V ′ ) −C V ′ −C V ′ = 0
−C V ′ −C V ′ +C (E ′ − V ′ ) −C V ′ = 0
−C V ′ −C V ′ −C V ′ +C (E ′ − V ′ ) = 0
0
(
0
0
0
С 1 E 2′ − V11′ −C 2 V12′ −C 3 V13′ −C 4 V14′ = 0
0
1
0
21
0
1
мұндағы
22
0
31
22
3
0
41
0
23
3
42
3
(14.49)
0
3
33
0
2
24
4
0
2
0
1
0
2
2
34
4
0
43
4
4
44
′
′
Vi′i = ∫ Ψ 0i*′Vˆ Ψ 0i d 3 x = e0 ε ∫ Ψ 0i*′ Zˆ Ψ 0i d 3 x
(14.50)
Көлем бойынша интегралдау нəтижесінде
V11′ , V22′ , V33′ , V13′ , V23′ , V14′ , V24′ , V34′
матрицалық элементтер нольге тең болады, себебі əрбір көрсетілген матрицалық
элементтің интегралына z, x жəне y координаттарымен салыстырғанда тақ функциялар
кіреді. Тек үш координаттың жұп функциясы болып табылатын V12′ жəне V21′ = V12′
матрицалық элементтері ғана нольден өзгеше болады:
V12′ = V21′ = e0 ε ∫ f1 (r ) f 2 (r )z 2 d 3 x
(14.51)
Бұл теңдеуге (14.46) жəне (14.47)-ші қатынастардан f (r ), f (r ) функцияларының мəндерін
əкеліп қойып, жəне
R20 =
r
1
2 2a 3 20

r 
 2 − e 2 a0
a0 

ал
R21 =
1
2 6a 5 20
re
r
2 a0
екендігін ескеріп, θ жəне ϕ бұрыштары бойынша интегралдағаннан кейін мынадай
теңдеуге келеміз:
eε ∞ 
r
V21′ = V12′ = 0 4 ∫ r 4  2 −
a0
24a 0 0 
r
 a0
e dr

(14.52)
Егер
∞
∫e
−ρ
ρ S dρ = r (s + 1)
0
болатындығын ескерсек:
V12′ = V21′ = −3e0εa 0
Vi′′i − матрицалық
элементтердің осы келтірілген мəндерін
энергиялық E 2′ мəндері үшін мынадай ғасырлық теңдеу аламыз:
E 2′
3a 0
0
0
3a 0 e0 ε E 2′ 0
0
0
E 2′
0
0
E 2′
0
0
(14.54)-ші теңдеуді мынадай түрде жазуға болады:
(
0
)
E ′ 2 E ′ 22 −9a 02 e 02 ε 2 = 0
2
Бұл теңдеудің төрт түбірі бар:
=0
ескерген
(14.53)
жағдайда
(14.54)
E 2′
(1)
= −3a 0 e0 ε
E 2′
(2 )
= −3a 0 e0 ε
E 2′
(3 )
= E 2′
Ал, бұл энергияның əрбір мəніне
C i коэффициенттері сəйкес келеді:
C1
C1
C1
C1
(1)
(4 )
(14.55)
=0
теңдеу
(14.49)-шы
(1)
= C 2 ; C3
(1)
= C4
(1)
(2 )
= −C 2 ; C 3
(3 )
= −C 2 ; C 3 , C 4
(4 )
= C 2 ; C3 , C 4
(2 )
= C4
(3 )
(3 )
(3 )
(4 )
(4 )
əртүрлі
=0
(2 )
(4 )
бойынша
(2 )
=0
≠0
(14.56)
≠0
Сонымен энергиясы:
E2
деңгейге, нольдік жуықтауда
(1)
= E 02 + E 2′
Ψ 0(1) = С1
(1)
(1)
=−
Rh
− 3e0 a 0ε
4
(14.57)
+ Ψ2,1, 0 )
(14.58)
(Ψ
2,0, 0
меншікті функция сəйкес келеді.
Егер толқындық функцияның нормалау шартын
∫Ψ
0 (1)*
ескерсек (14.58)-ші функция:
Ψ 0(1) =
Ψ 0(1) d 3 x = 1
(Ψ
+ Ψ2,1, 0 )
(14.59)
(2 )
Rh
+ 3e0 a 0 ε
4
(14.60)
− Ψ2,1, 0 )
(14.61)
1
2,0, 0
2
Ал, келесі кванттық күй үшін
E2
(2 )
= E 02 + E 2′
Нольдік жуықтаудағы толқындық функция
Ψ 0 (2 ) =
1
2
=−
(Ψ
2, 0 ,0
(14.55)-ші қатынастардан, E 2 (3 ) = E 2 (4 ) + E ′ 02 күйлер электр өрісінде ұйытқуға
ұшырамайтындықтан, бұл күйлер үшін мынадай толқындық функцияларды
Ψ 0(3) = Ψ2,1,1
Ψ
0 (4 )
= Ψ2,1, −1
(m = +1)
(m = −1)
немесе олардың сызықтық түрленулерін пайдалануға болады, яғни m = ±1 болғанда
электр өрісіндегі жүйенің энергиялық деңгейлері азғын болады.
Сонымен, егер импульс моментінің z − осіне проекциясы нольге тең болмаса
(m = ±1) , электронның қозғалысы негізінен (xy ) жазықтығында болады, сыртқы электр
өрісінде энергиялық деңгейлер бөліктенбейді. Ал, егерде моменттің z осіне
проекциясы нольге тең болса (m = 0) , электрон z осі арқылы өтетін жазықтықта
қозғалады, сыртқы электр өрісінде энергиялық деңгейлер қосымша деңгейшелерге
бөліктенеді
Rh
+ 3e0 a 0 ε
4
Rh
−
4
Rh
−
− 3e0 a 0ε
4
−
−
Rh
4
а)
б)
14.1 сурет. Сутегі атомының екінші энергиялық деңгейінің электр
өрісінде бөлектенуі (сызықтық Штарк эффектісі)
а) өрісі жоқ болғанда (ε = 0)
б) электр өрісіндегі (ε ≠ 0) энергиялық деңгейлер
Сызықтық Штарк эффектісін былай түсіндіруге болады: n = 2 кванттық күйде
атомдағы электронның қозғалысын сипаттайтын толқындық функция орталық
симметриялы болмайды, атомда p ′ электр моменті пайда болады, сондықтан электр
өрісіне (E x = E y = 0, E z = ε ) орналастырылған атом
rr
V ′ = −( pE ) = − pε cos γ
(14.62)
қосымша энергияға ие болады. Мұндағы γ − атомның электрлік диполдық моменті мен
z − осінің арасындағы бұрыш. (14.62)-ші теңдікті (14.55)-ші қатынастармен
салыстырсақ, атомның электрлік моментінің p = 3e0 a0 тең болатындығын жəне Ψ 0(1)
шешуінің бұрыш γ = 0, Ψ 0(2 ) бұрыш γ = π мəндеріне сəйкес келетіндігін көреміз.
Ал, энергияның E 2 (3 ) , E 2 (4 ) мəндері үшін γ = ±
π
2
болады деп қабылдасақ, электрлік
момент өріс кернеулігіне перпендикуляр бағытталады да, атом қосымша энергияға ие
болмайды.
Сонымен, сутегі атомының n = 2 деңгейі үшін сызықтық Штарк эффектісінің
r
болу себебі p электр моментіне байланысты. Кванттық механика
теориясы
~
4
тұрғысынан жасалған есептеулер əлсіз электр өрісі ( ε 10 В/см) үшін тəжірибелік
деректермен өте жақсы сəйкес келеді.
15 ТАРАУ. ЭЛЕКТРОННЫҢ СПИНІ. СЫРТҚЫ МАГНИТ
ӨРІСІНДЕГІ АТОМ
§ 1. Электронның спиндік қасиетінің бар екендігінің тəжірибеде
дəлелденуі
Шредингер теориясы атомдағы
электронның
орбиталық қозғалысына
байланысты орбиталық жəне магниттік механикалық моменттерінің бар екендігін
көрсетті. Бірақ көптеген тəжірибелік деректер Шредингер теориясының электронның
кейбір қасиеттерін түсіндіре алмайтындығын байқатты. Осы тəжірибелерді
қарастырайық:
1. Эйнштейн – Де Гааз тəжірибесі.
Бұл тəжірибеде мынадай теориялық қатынас зерттелген:
µz
Mz
= −g
e0
2m 0 c
(15.1)
Мұндағы µ z − орбиталық магниттік моменті; M z − механикалық моменттің z осіне
проекциясы; g − Ланде кµбейткіші. Шредингер теориясы бойынша Ланде көбейткіші
g = 1 тең болуы керек. Тəжірибеде
ферромагнит стержень кварц жіпке
ілінген. Катушка арқылы электр
тогы жүргенде стержень магниттеліп, онда механикалық жəне
магниттік
моменттер пайда
1
3
~
болады.
2
15.1 сурет. 1- кварц жіп; 2 -ферромагнит стержень;
3-тогы бар катушка.
Механикалық моменттің мөлшері кварц жіптің иірілуін бақылау арқылы
тағайындалады. Егер тогы бар катушка арқылы айнымалы электр тогын жіберсек,
стерженьде айнымалы механикалық момент пайда болып, ферромагнит стержень
тербелмелі қозғалысқа ұшырайды. Оның шамасын кварц жіптің ширатылуын
пайдаланып есептеп шығарады. Тəжірибелік бақылауды жеңілдету үшін резонанс
құбылысын да пайдалануға болады. ксперименттің нəтижесінде гидромагниттік
қатынастың
 µz

Mz

 теріс

мəнге
ие
болатындығы
тағайындалды.Бұл
дерек
ферромагниттік стерженнің магниттелуі электрондардың қозғалысына байланысты
екендігін тағайындады. Бірақ тəжірибе Ланде көбейткішінің мəнінің бірге емес, екіге
тең болатындығын (g = 2) көрсетті. Бұл нəтиже Шредингер теориясына қайшы келеді.
Көбейткіштің бұл мəні электронның спиндік қасиеті тағайындалғаннан кейін ғана
түсіндірілді.
2. Штерн-Герлах тəжірибесі.
Бұл тəжірибеде бір валентті атомдар шоғының біртекті емес магнит өрісінде
қозғалысын бақылау нəтижесінде кеңістік кванттау құбылысы қарастырылады.
Тəжірибеде мынадай теориялық қатынас тексерілген:
M z = −mµ 0
(15.2)
Мұндағы µ 0 =
e0 h
электронның Бор магнетоны, m – магниттік кванттық сан.
2m 0 c
Бұл
тəжірибеде х осінің бойымен таралатын бір валентті атомдар (сутегі, литий, күміс т.б.)
ағыны кернеулік векторы х осіне перпендикуляр
біртекті емес магнит.
Z
Э
z осінің бойымен бағытталған,
15.2 сурет. Бір валентті атомдардың магниттік моментін
тағайындайтын Штерн-Герлах тəжірибесі.
N
ρ
х
S
өрісі арқылы өтеді (H = H z , H x = 0, H y = 0) . Сонда магниттік заряды бар, ұзындығы l
магниттік дипольге
r
r
µ = e маг ⋅ l
(15.3)
z осінің бойымен бағытталған мынадай күш əсер етеді:
Fz = e маг н {H ( z ) − H ( z − l cos α )} =
e маг н ⋅ l ⋅ cos α
dH
dH
dH
= +µ z
= −µ 0
⋅m
dZ
dZ
dZ
(15.4)
Fz күштің əсерінен бөлшектің t уақыт аралығында ығысу шамасын анықтайық. Егер
бөлшек υ жылдамдықпен магнит өрісіне перпендикуляр қозғалып L = υ ⋅ t жол жүрсе,
онда оның z осі бойынша ығысуы
1
1 L2 Fz dH
δ z = wt 2 =
(15.5)
2
2 υ 2 M dZ
F
бұл теңдеуде үдеу w = z , Fz − күші (15.4)-қатынасынан алынған, ал M − атомның
M
массасы.
r
(15.5)-ші теңдеуден магниттік момент µ бөлшектер шоғы біртекті емес магнит өрісі
r
арқылы өткенде бөліктенуі қажет жəне шоқтың бөліну саны − µ магниттік моменттің
магнит өрісінің бағытына проекциясының санымен анықталынады.
Штерн-Герлах тəжірибесінде атомдар шоғы негізгі күйде (l = m = 0) алынған.
Бұл s − күйде атомның механикалық жəне магниттік моменттері нольге тең, сондықтан
атомдар шоғы бөліктенбей, экранның бір нүктесіне түсуі тиіс.
Ал, егер атомдар p − күйде болса, яғни l = 1, m = 0,±1, онда атомдар шоғы үшке
бөліктенуі керек:
δ z = 0, егер m = 0.
ал δ z = ±
1 L2 Fz dH
, егер m = ±1.
2 υ 2 M dZ
Ал, Штерн-Герлах тəжірибелерінде негізгі күйдегі атомдардың екі шоққа
бөлінетіндігі байқалған. Бұл s − күйдегі атомдардың магниттік моментке ие
болатындығын жəне бұл магниттік моментті z осіне проекциясы екі мəнге ие
болатындығын көрсетеді. Тəжірибелер осы магниттік моменттің мəнінің Бор
магнетонына
µ0 =
e0 h
2m 0 c
(15.6)
тең болатындығын көрсетеді.
Осы екі тəжірибенің нəтижелерін теорияға сəйкестендіру үшін Уленбек жəне
Гаудсмит атомдағы электронның орбиталық моментімен қатар меншікті механикалық
жəне магниттік моменттері болуы қажет деген жаңа болжам ұсынды. Бұл механикалық
момент спин деп аталады. Уленбек жəне Гаудсмит болжамы бойынша электронның
меншікті механикалық моменті 1/2-ге, ал оның z осіндегі проекциясы
1
Sz = ± h
2
(15.7)
тең болуы қажет, яғни меншікті механикалық моменттің z − осіне проекциясын
1
сипаттайтын кванттық сан бүтін емес, жартылай бүтін санға ие болуы керек  ms = ±  .

2
Бүтін сандарға қарағанда, жартылай бүтін сандардың негізгі ерекшелігі, олар
əруақытта да жұп санды күйлер береді. Мысалы S = 1 / 2 болғанда кванттық күйлер
саны екеу: m s = +
1
1
жəне m s = − ал, S = 3 / 2 болса күйлердің саны төртке тең болады.
2
2
Электронның спиндік қасиеті тағайындалғаннан кейін атомдардың спектрлік
сызықтарының мультипольдік бөліктенуі, магниттік моменті сияқты құбылыстарды
дұрыс түсіндіру мүмкін болды.
§ 2. Спиндік операторлар. Олардың меншікті функциялары
Кванттық
механикада
физикалық
шамаларға
операторлар
сəйкестендірілетіндігі белгілі. Мысалы, механикалық моменттің операторлары:
Mˆ x , Mˆ y , Mˆ z , толық момент операторы Mˆ 2 = Mˆ 2x+ Mˆ 2y+ Mˆ z2 жəне осы операторлардың
арасындағы коммутативті қатынастар
Mˆ x Mˆ y − Mˆ y Mˆ x = ihMˆ z ,...
Осы сияқты электронның механикалық моменттеріне операторлар
сəйкестендірелік, ал коммутативтік қатынасты мынадай түрде жазамыз:
Sˆ x , Sˆ y , Sˆ z
Sˆ x Sˆ y − Sˆ y Sˆ x = ihSˆ z
(15.8)
Электронның меншікті механикалық моменті кванттық механикада спиндік
момент деп, ал осы моментті сипаттайтын кванттық сан – спиндік кванттық сан деп
аталады. Паули спиндік момент операторларын екі қатарлы матрицалар түрінде
жазуды ұсынды:
h
h
h
Sˆ x = (σˆ x ), Sˆ y = (σˆ y ), Sˆ z = (σˆ z )
2
2
2
Мұнда (σˆ x ), (σˆ y ), (σˆ z ) − Паули операторлары:
(15.9)
 0 1
0 − i
, (σˆ ) = 
,
y



0
i


1 0 
(σˆ x ) = 
1 0 
, (σˆ )2 = (σˆ )2 = (σˆ )2 = I
(σˆ x ) = 
y
z
 x
 0 − 1
1 0 
мұнда I =   − бірлік матрица
 0 1


Егер (15.10)-ші матрицаларды (15.8)-ші қатынасқа қойсақ:
(σˆ x )(σˆ y ) − (σˆ y )(σˆ x ) = 2i(σˆ z )
бұдан
(σˆ x )(σˆ y ) = −(σˆ y )(σˆ x )
жəне осы қатынасты (15.12)-ге қойсақ
(σˆ )(σˆ ) = −i(σˆ )
y
x
z
(15.10)
(15.11)
(15.12)
(15.13)
(15.14)
екендігін тағайындауға болады.
Спиндік момент операторларының квадраты
3
Sˆ 2 = Sˆ 2x + Sˆ 2y + Sˆ 2z = h 2 I
4
бұдан, осы оператордың меншікті мəні:
S2 =
3 2
h = l S (l S + 1)h 2
4
(15.16)
мұнда l S = 1 / 2 − cпиндік кванттық сан
(15.17)
спиндік моменттің z осіне проекциясының операторы Sˆ z = ±h / 2(σˆ z ), оның меншікті
мəні
m S = ±1 / 2
(15.18)
мұнда m S − магниттік спиндік кванттық сан деп аталады.
Электронның
спиндік
қасиеті
тағайындалғанға
дейін
оның
күйі
Ψ ( x, y, z , t ) − толқындық функциямен сипатталатын еді, енді осы функцияға электронның
спиндік қасиетін енгізу қажет: Ψ (x, y, z, t , S Z ) ,
мұндағы s z = ±1 / 2h . Сондықтан
Ψ ( x, y, z , t , S Z ) функциясының орнына екі функция жазу қажет болады:
1 

Ψ1  x, y, z , t ,+ h 
2 

жəне
1 

Ψ1  x, y, z , t ,− h 
2 

Паули электронның спиндік қасиетін ескергеннен кейінгі толық толқындық
функцияны екі қатарлы матрица түрінде жазуды ұсынды:
ΨΨ1 ,Ψ2
 
1  
 Ψ1  x, y, z , t ,+ h 0 
2  
 
=

1
 Ψ2  x, y, z , t ,− h 0 
2  
 
(15.19)
мұндағы Ψ1 жəне Ψ2 функцияларының айырмашылығы тек спиннің бағытына
байланысты. Бұл функцияға комплекс түйіндес функция
Ψ
*
Ψ1 , Ψ2
 *
1  *
1 
 Ψ1  x, y, z , t ,+ h Ψ2  x, y, z , t ,− h  
=
2 
2 




0
0


Егер электронның спиндік моменті мен оның ауырлық орталығы арасындағы
байланысты ескерсек, онда электронның күйін сипаттайтын толық толқындық
фукцияны төмендегідей түрде жазуға болады:
Ψ1 ( x, y, z , t , s z ) = Ψ1 ( x, y, z , t )ϕ (s z )
(15.20)
Енді толық толқындық функцияға екі қатарлы матрица түрінде берілген
(L̂ ) =
 L11

 L21
L12 

L22 
(15.21)
физикалық шаманың операторымен əсер етелік. Сонда
(L̂ )Ψ
Ψ1 , Ψ2
 L11
= 
 L21
L12   Ψ1

L22   Ψ2
0   L11 Ψ1 + L12 Ψ2
=
0   L21 Ψ1 + L22 Ψ2
0

0 
(15.22)
§ 3. Электронның спинді ескергендегі толқындық функциясы.
Паули теңдеуі
Енді электронның спиндік қасиетін ескергендегі қозғалыс теңдеуін, яғни
Паули теңдеуін қарастырайық. Ол үшін Шредингер теңдеуіндегі гамильтонианды
r
r
электронның µ магниттік моменті мен сыртқы магнит өрісі H арасындағы əсерлесуді
ескеретін қосымша мүшемен
( )
eh
rr
∇ U = − µH =
[(σˆ )H ]
2m 0 c
(15.23)
толықтырайық. Мұндағы (σ̂ ) − Паулидің спиндік матрицалары. Сонда Шредингер
теңдеуі мынадай түрде жазылады:
 d

0
ih − Hˆ + ∇U Ψ = 0
 dt

(15.24)
мұнда Шредингер теңдеуінің гамильтонианы:
2
1  rˆ e0 rˆ 
0
ˆ
H =
 p + A  − e0ϕ + U
2m0 
c 
(15.25)
r
ϕ жəне A электромагниттік өрістің скалярлық жəне векторлық потенциалдары. Енді
гамильтонианға (15.23)-ші қосымша энергияны қосып жазсақ:
2
1  rˆ e0 rˆ 
ˆ
H=
 p + A  − e0 ϕ + U + ∇U
2m 0 
c 
(15.26)
Енді Шредингер теңдеуінің мынадай түрде жазылған түрін алайық
ih
dΨΨ1Ψ2
dt
= Hˆ ΨΨ1Ψ2
(15.27)
мұнда ΨΨ Ψ − спиндік ескергендегі толық толқындық функция. Ĥ − тың орнына (15.26)ны қойсақ:
1
2
ih
dΨΨ1Ψ2
dt
 1
=
 2m0
2

 rˆ e0 rˆ 
p
+
A

 − e0ϕ + U + ∇U ΨΨ1Ψ2
c 


(15.28)
Гамильтонианды мынадай түрде жазайық:
(Hˆ ) = Hˆ
0
I+
Н
e0 h
[(σˆ )H ] =  11
2m 0 c
 Н 21
(15.29)-ды (15.27)-ші теңдеуге қойсақ:
ih
dΨΨ1Ψ2
dt
 H 11 H 12  Ψ 1
 
= 
 H 21 H 22  Ψ 2
0

0 
H 12 

H 22 
(15.29)
 H 11 Ψ 1 + H 12 Ψ 2 0 


 H 21 Ψ 1 + H 22 Ψ 2 0 
(15.30)
Бұдан электронның спинінің бағытталуына байланысты мынадай екі теңдеу аламыз:
ih
dΨ1
= H 11 Ψ1 + H 12 Ψ2
dt
(15.31)
ih
dΨ2
= H 21 Ψ1 + H 22 Ψ2
dt
(15.32)
жəне
Енді (15-29) Гамильтон операторын ашып жазалық:
(Hˆ ) = Hˆ
0
I+
e0 h
[(σˆ )H ] = Hˆ 0 I + e0 h {(σˆ x )H x + (σˆ y )H y + (σˆ z )H z }
2 m0 c
2 m0 c
мұнда Паулидің спиндік матрицаларының мəндерін қойсақ:
(Hˆ ) = Hˆ
0
0  e0 h  0 1 
 0 -i
 +
 H x + 

1 2m0 c 1 0 
i 0
1

0

1 0 
 H y + 
 H z 

 0 -1  
(15.33)
Бұдан (15.29)-шы теңдеудегі матрицалық мүшелердің мəндері
eh
H 11 = Hˆ 0 + 0 H z
2 m0 c
H 12 =
H 21
e0 h
(H x − iH y )
2m0 c
eh
= 0 (H x + iH y )
2m 0 c
(15.34)
eh
H 22 = Hˆ 0 − 0 H z
2m0 c
Енді осы алынған нəтижелерді (15.31) жəне (15.32)-ші теңдеулерге қойсақ,
электронның спиндік қасиетін ескергендегі күйін сипаттайтын Паули теңдеулерін
аламыз:
e h
dΨ1
= Hˆ 0 Ψ1 + 0 {H z Ψ1 + (H x − iH y )Ψ2 }
dt
2m 0 c
(15.35)
e h
dΨ2
= Hˆ 0 Ψ2 + 0 {(H x + iH y )Ψ1 − H z Ψ2 }
dt
2m 0 c
(15.36)
ih
ih
Бұл уақытқа тəуелді толық теңдеулер. Сонымен қатар, уақытқа байланыссыз Паулидің
стационар теңдеулерін де алуға болады. Ол үшін (15.35), (15.36)-шы теңдеулердегі
 d
 ih  − ның орнына энергия операторы Ê аламыз, сонда
 dt 
e h
EΨ1 = Hˆ 0 Ψ1 + 0 {H z Ψ1 + (H x − iH y )Ψ2 }
2m 0 c
e h
EΨ2 = Hˆ 0 Ψ2 + 0 {(H x + iH y )Ψ1 − H z Ψ2 }
2m 0 c
(15.37)
(15.38)
(15.35)-(15.38) теңдеулер электронның спиндік қасиетін ескергендегі алғашқы
қозғалыс теңдеулері немесе Паули теңдеулері деп аталады. Бұл теңдеулерге
электронның меншікті магниттік моментінің абсолют мəнінің эмпирикалық түрде
енгізілгенін ескерген жөн. Сондықтан, Паули теңдеулері электронның күйін толық
ескеретін Дирак теориясының алғашқы сатысы ғана болды.
§ 4. Сыртқы магнит өрісіндегі атом. Қарапайым Зееман эффектісінің
теориясы
r
Кернеулігі H , z осімен бағытталған сыртқы магнит өрісіндегі
қозғалысын қарастырайық:
H x = H y = 0,
электронның
Hz = H
(15.39)
Сонда гамильтониан:
2
( )
1  rˆ e rˆ 
 p + A  + U ( z )
Hˆ =
2m0 
c 
Магнит
байланыс
өрісінің
кернеулігі
мен
векторлық
r
r
H = rotA
(15.39)-шы қатынастарды қанағаттандыру үшін
құраушылары мынадай мəндерге ие болуы керек:
(15.40)
потенциалдың
векторлық
H
y
2
H
Ay = x
2
Az = 0
арасындағы
(15.41)
потенциалдың
Ax = −
(15.42)
Сонда гамильтониан:
1  ˆ e0 H
Hˆ =
 Px
2m0 
2c
1 ˆ2 ˆ2 ˆ2
=
P x +P y +P z
2m 0
(
2
2
  ˆ e0 H  ˆ 2 
y  +  Py
x  P z  + U (z ) =
2c 

 
e0 H ˆ 2 ˆ 2
e 02 H 2
+
xˆP y + yˆP x +
(xˆ + yˆ ) + U (z )
2m 0 c
8m 0 c 2
)
(
)
(15.43)
Сыртқы магнит өрісінің кернеулігі өте əлсіз болсын. Онда (15.43)-ші теңдеудегі екінші
мүшемен салыстырғанда үшінші мүшені екінші ретті аз шама деп қабылдап,
ескермеуге болады (H >> H 2 ) . Сонда (xˆPˆ 2x + yˆ Pˆ 2y ) = Mˆ z екен- дігін ескерсек, гамильтониан
e H
e H
h2 2
Hˆ =
∇ + U ( z ) = 0 Mˆ z = Hˆ 0 + 0 Mˆ z
2m 0
2m0 c
2 m0 c
Енді гамилътонианның осы мəнін Паули теңдеуіне
(15.44)
dΨ
ˆ

e0 h
[(σˆ )H ]ΨΨ1 ,Ψ2 = ih Ψ1 ,Ψ2
H +
dt
2m 0 c


қоямыз. Бұдан (15.44)-ті ескерсек
[
]
dΨΨ1 ,Ψ2
 ˆ0

e0 h ˆ
M z + h(σˆ ) ΨΨ1 , Ψ2 = ih
H +
2m0 c
dt


(15.45)
(15.46)
Мұндағы Паули матрицаларының меншікті мəндері бірге тең. (15.46)- шы теңдеудің
орнына спиндердің бағытына байланысты екі теңдеу жазуға болады:
 ˆ0

e0 h
(m + 1)Ψ1 = ih dΨ1
H +
2 m0 c
dt


 ˆ0

e0 h
(m − 1)Ψ1 = ih dΨ1
H +
2m0 c
dt


(15.47) жəне (15.48)-ші теңдеулердің
энергияның меншікті мəндері
Ψ2
n ,l , m
1
Sz = + h
2
(15.47)
егер
1
Sz = − h
2
(15.48)
меншікті
E1 = E0 +
e0 hH
(m + 1)
2m0 c
егер
E 2 = E0 +
e0 hH
(m − 1)
2 m0 c
егер
= R(r )Y l (θ , ϕ )
егер
функциялары: Ψ1 n ,l ,m = R(r )Y ml (θ , ϕ )
1
Sz = + h
2
(15.49)
1
Sz = − h
2
(15.50)
m
Мұндағы
жиілігі деп аталады. Сонымен, сыртқы
магнит өрісі электронға қосымша айналу
моментін береді (15.3 сурет) жəне осы
момент салдарынан
энергетикалық
деңгейлер
қосымша
деңгейшелерге
бөлінеді (15.3 сурет).
ℓ
r
S
r
S
15.3 сурет. Сыртқы магнит өрісіндегі атомның прецессиясы
1
S =+ h
2
1
S =− h
2
__________ __________ m = +1 ___________
______________
______________ m = 0
______________ m = −1
_________
2p
__________
e0 H
w0 − Лормор прецессиясының
2m0 c
m=0
___________
________________ m = +1
________________ m = 0
___________ m = −1
___________ m = 0
ls
15.4 сурет. Сыртқы магнит өрісіндегі атомның энергиялық деңгейлері
Əлсіз сыртқы магнит өрісіндегі атомның энергиялық деңгейлерінің қосымша
деңгейшелерге ыдырау құбылысы Зееман эффектісі деп аталады. Бұл құбылыстың
болуы электронның спиндік қасиеттерінің бар екендігінің салдары.
1896 жылы Зееман сыртқы магнит өрісінің атомның спектрлік сызықтарына
əсерін бақылады. Сол мезгілден бастап атом құрылысын, əсіресе атомның магнттік
қасиеттерін, зерттегенде Зееман эффектісінің атқаратын ролі өте зор екендігі
байқалды. Бұл эффектіні зерттеу нəтижесінде атомдағы электронның көптеген
қасиеттері, алдымен оның спиндік жəне магниттік моменттері бар екендігі
тағайындалғандықтан, Зееман эффектісін классикалық жəне кванттық теориялар
тұрғысынан қарастырайық. Г.А. Лоренц дамытқан классикалық теория бойынша
энергия бөліп немесе жұтып алатын атом орналасқан сыртқы магнит өрісінің
кернеулігіне перпендикуляр бағытта бақылағанда спектрлік сызықтар үш құраушыға
w0 +
e0
H,
2m 0 c
w0 ,
w0 −
e0
H
2 m0 c
бөліктенуі қажет.
Зееман тəжірибесінде натрий жалынды шам электромагниттің полюстерінің
арасында орналасқан. Тəжірибеде сыртқы өріс күшейгенде, В – спектрлік сызықтың
ұлғаятындығы байқалды. Яғни, Зееман спектрлік сызықтардың бөліктенуін көрген
жоқ. Егер де Зееман тəжірибесінде өрісті одан əрі күшейтіп, айыру мүмкіндігі жоғары
спектрлік аспап пайдаланса, ол натрий спектрінің үш сызықшаға бөліктенгенін
бақылаған болар еді. Көптеген тəжірибелер спектрлердің бөліктенуінің Лоренц
болжағаннан гөрі күрделірек болатындығын көрсетті. Тек кейбір атомдарда ғана
магнит өрісінде Лоренц триплеті бақыланады. Бұл тəжірибелер қарапайым Зееман
эффектісі деп, спектрлік сызықтардың бөліктенуінің өзгеше болатын басқа
тəжіребелер күрделі Зееман эффектісі деп аталады.
Қарапайым Зееман эффектісін Шредингер теориясы тұрғысынан қарастырайық.
Магнит өрісі уақыт бойынша өзгермейді деп алайық. Сонда Шредингер теңдеуін
магнит өрісінің əсерін ескеретін қосымша мүшелермен толықтыру қажет болады.
Магнит өрісінде зарядталған бөлшекке əсер ететін күштердің бөлшектің
траекториясын ғана өзгертіп, ешқандай жұмыс жасамайтындығы белгілі. Сондықтан
тұрақты магнит өрісінде энергия сақталады. Магнит өрісінің əсерін ескеру үшін
гамильтонианға мынадай өзгерту енгізсе жеткілікті:
r
r e r
P→P− 0 A
c
мұнда бөлшектің, импульсі, А – магнит өрісінің векторлық потенциалы. Сонымен,
қарастырып отырған жағдай үшін классикалық Гамилътон функцияның түрі мынадай
болады
H=
1  r e0 r 
 P − A  + U (x, y , z )
2m 0 
c 
(15.51)
Енді осы гамильтонианның орнына кванттық Гамильтон операторын алу қажет. Ол
үшін (15.51)-ші теңдеудегі физикалық шамалардың орнына оларға сəйкес
операторларды алу қажет:
r e r
e rˆ
h
P− 0 A→ ∇− 0 A
c
i
c
немесе құраушылары бойынша
e0
c
e
Py − 0
c
e
Pz − 0
c
Px −
r
h d e0
Ax →
− Ax
i dx c
r
h d e0
Ay →
− Ay
i dy c
r
h d e0
Az →
− Az
i dz c
Сонда (15.51)-ші теңдеудің орнына мынадай кванттық гамильтониан аламыз:
2
2
2
 h d e
  h d e0
  h d e0
 
0
− Ax  + 
− Ay  + 
− Az   + U ( x, y, z )
(15.52)

  i dy c
 
 i dx c
  i dz c
Осы оператормен Ψ (x, y, z ) толқындық функцияға əсер етіп, жақшаларды ашып,
1
H=
2m 0
операторлардың арасындағы коммутативтік қатынастарды ескерсек:
 d2
d2
d2 
1 h e0  dAx dAy dAz 

Ψ −
 2 + 2 + 2 + Ψ + U −
+
+
2
m
i
c
dx
dy
dz
dx
dy
dz
0




2
e
he 
1
d
d
d 
−
⋅ 2 ⋅ 0  Ax
+ Ay
+ Az Ψ + 0 Aˆ 2x + Aˆ 2y + Aˆ 2z Ψ =
2m0
2m 0 c
i c  dx
dy
dz 
2
r
ie0 h r
ie0 h
e 20 r 2
h
2
=−
∇ Ψ+
AgradΨ + UΨ +
divA A +
A Ψ
2m0
m0 c
2m 0 c
m0 c
h2
ˆ
H =−
2m 0
(
(
)
(15.53)
)
Магнит өрісінің бөлшекке əсері электр өрісіне қарағанда көп кем болғандықтан əлсіз
e 20 r 2
A мүшесін ескермеуге болады. Екінші жағынан, векторлық
магнит өрісі үшін
2m0 c
r
потенциалға ешқандай шарт қойылмағандықтан, оны divA = 0 болатындай қылып алуға
болады. Сонда магнит өрісінде қозғалатын микробөлшек үшін гамильтониан мынадай
түрге келеді:
r
h 2 2 ie 20 h r
Hˆ = −
∇ +
Agrad + U (r )
2m0
m0 c
Енді бұл жағдай үшін Шредингер теңдеуі:
∇2Ψ +
(
)
2e0 r
2m
AgradΨ + 2 0 (E − U )Ψ = 0
im0 c
h
(15.54)
(15.55)
Сыртқы магнит өрісі жоқ болған жағдайдағы Шредингер теңдеуі мен (15.55)-ші
теңдеудің айырмашылығы мынадай
(
2e0 r
AgradΨ
im0 c
)
қосымша мүшеде.
(15.55)-ші Шредингер теңдеуін пайдаланып Зееман эффектісінің теориясын
r
құрайық. Нақты сутегі немесе сутегі тəріздес атом алып, оны кернеулігі H , z осімен
бағытталған сыртқы магнит өрісіне орналастырайық.
(H
x
= H y = 0, H z = H )
r
r
1
2
1
2
Бұл жағдайда H = rotA, бұдан Ax = − H y , Ay = − H x Az = 0 болуы керек екендігін кереміз.
Себебі
dAz dAy
−
=0
dy
dz
dA
dA
H y = rot y A = x − z = 0
dz
dx
dAy dAx
H z = rot z A =
−
=H
dx
dy
H x = rot x A =
шарты орындалуы қажет. Бұл қатынастарды ескергенде (15.55)-ші Шредингер
теңдеуіндегі қосымша мүше мынадай түрге келеді:
r
dΨ
dΨ
dΨ 1  dΨ
dΨ  1 dΨ
= H
AgradΨ = Ax
+ Ay
= Az
= H  x
−y
dx
dy
dz 2  dy
dx  2 dϕ
(15.56)
Мұнда Декарт жүйесімен сфералық координаттар жүйесінің арасындағы (5 тарау)
қатынастар ескерілген.
Енді (15.55)-ші Шредингер теңдеуі мынадай түрде жазылады:
∇2Ψ +
ie0 dΨ 2m0
H
+ 2 (E − U )Ψ = 0
hc dϕ
h
(15.57)
Қарастырып отырған жағдайымыз орталық симметриялы күш өрісіндегі
зарядталған бөлшектің қозғалысына сəйкес келетіндіктен, соңғы теңдеудің шешуін үш
функцияның көбейтіндісі ретінде іздестіреміз:
Ψ (r ,θ , ϕ ) = R(r )ρ (θ )Φ(ϕ )
бұдан
dΨ
= imΨ
dϕ
ал
−
ie0 dΨ
e H
H
=m 0 Ψ
hc dϕ
hc
бұл өрнекті ескергенде Шредингер теңдеуі:
∇2Ψ +
2m 0
h2


e Hh
 E + m 0
− U Ψ = 0
2m 0 c


(15.58)
Мынадай белгілеу енгізіп
e0 h
H = E′
2m 0 c
(15.59)
2m 0
(E ′ − U )Ψ = 0
h2
(15.60)
E+m
(15.58)-ші теңдеуді көшіріп жазсақ
∇2Ψ +
энергияның меншікті мəндері E n мен магнит өрісі болған жағдайдағы энергияның
меншікті мəндері E n′ арасындағы айырмашылық − m
e0 h
шамасында.
2 m0 c
Бірақ кванттық сан m орбиталық кванттық сан l − ге байланысты (2l + 1) мəнге ие
болатындықтан, сыртқы магнит өрісіне орналасқан атомның энергиялық деңгейлері
(2l + 1) деңгейшелерге бөліктенеді. Ал меншікті функциялар өріс жоқ болғандағы
меншікті функциялармен бірдей болады, өзгермейді. Бұл сыртқы магниттік өрістің
m кванттық санға байланысты энергиялық деңгейлердің азғындығын жоятындығын
көрсетеді. Спектрлік сызықшалардың арақашықтығы магнит өрісінің кернеулігіне
пропорционал −
e0 h
жəне n, l кванттық сандарына тəуелді болмайды. Спектрлік
2m0 c
сызықшалардың жиілігі
w=
E к − Ei E к′ − Ei′
e
e
=
− ∇m 0 H = w0 − ∇m 0 H
h
h
2 m0 c
2m 0 c
(15.61)
мұнда w0 − магнит өрісі жоқ болғандағы спектрлердің жиілігі. Магниттік сан үшін
сұрыптау ережелері бойынша m = 0,±1, яғни сыртқы магнит өрісінің əсері нəтижесінде
жиілігі w спектрлік сызық үш сызықшаға бөліктенуі кажет. Бұл сызықшалардың
жиіліктері
w0 −
e0
H,
2 m0 c
w0 ,
w0 +
e0
H
2 m0 c
Ал, бұл нəтиже классикалық Больцман теориясы болжаған қарапайым
триплеттерге сəйкес келеді.
Сонымен, кванттық Шредингер теориясы магнит өрісіндегі атом үшін
классикалық
Больцман
теориясына
жаңа
деректер
қоспайды.
Жалпы,
Лоренцтің
қарапайым
триплет
сызықтары
кейбір
жеке
жағдайларда, яғни өрістің кернеулігі үлкен болғанда байқалады, ал
əлсіз өрістерде тек қана синглеттік спектрлік сызықтар ғана бақыланады. Мысалы,
əлсіз магнит өрісіндегі сутегі атомының спектрлік сызықтарының саны Лоренц
теориясына (демек Щредингер теориясына да) қайшы келеді. Бұл сəйкес
келмеушіліктің негізгі себебі Шредингер теориясында электронның спиндік қасиеті
ескерілмейді.
16 ТАРАУ. БІРДЕЙ БӨЛШЕКТЕР ЖҮЙЕСІ
§ 1. Бірдей бөлшектердің ажыратылмау қағидасы
Бірдей бөлшектер деп калыпты жағдайда массалары, зарядтары, спиндері жəне
т.б. характеристикалары бірдей бөлшектерді айтады.
Классикалық механикада бірдей бөлшектерді олардың физикалық қасиеттеріне
қарап ажыратуға болады. Мысалы, белгілі бір уақыт моментінде бірдей бөлшектер
жүйесі берілген болса, онда бөлшектерді нөмірлеп алып, кейін оларды қозғалыс
процесінде траекторияларына қарай айыруға болады, яғни кез келген уақыт
моментінде кез келген бөлшекті айырып ала аламыз. Енді кванттық механикада бірдей
бөлшектерді бірінен-бірін ажыратуға бола ма, жоқ па, соны қарастырайық. Ол үшін
N бірдей бөлшектер жүйесін алып, к , j − ші бөлшектердің координаталарын q к , q j
арқылы белгілейік. Бөлшектердің массасы m, сыртқы өріс энергиясы U (q к , t ) , к жєне
j бөлшектердің өзара əсерлесу энергиясы W (q к , q j ) , болсын. Мұнда q к деп бөлшектің
ауырлық орталығының орнын көрсететін үш кеңістіктік координата (x, y, z ) мен
спиндік координатаны
гамильтонианы:
айтамыз.
SZ
Сонда
мұндай
бөлшектер
жүйесінің
 h2 2
 N
 −
∇ к +U (q к , t ) + ∑ W (q к , q j )
(16.1)
к =1
 2 m0
 i ≠ j =1
Мұнда бөлшектердің бірдейлігі бөлшектердің массалары m , сыртқы өрістегі
энергиясы U жəне єсерлесу энергиясы W бірдей болып алынуы арқылы ескерілген.
Hˆ (q1 , q 2 ,..., q к ,..., q j ,..., q N , t ) =
N
∑
Гамилътонианның бұл қасиеті кез келген сыртқы өрісте де сақталады, яғни барлық
бөлшектерге сыртқы өріс бірдей єсер етеді. Егер осы бөлшектер жүйесінің j, к − шы
бөлшектерінің орындарын ауыстырсақ, гамильтониан өзгермейді. Себебі, мұндай
орын ауыстыру (16.1)-ші теңдеудегі қосындыларға кіретін қосылғыштардың
орындарын ауыстырумен бірдей. Жүйені құрайтын кез келген ( j , к ) жұп бөлшектер
үшін гамильтонианның бұл қасиетін мынадай түрде жаза аламыз:
Hˆ (q1 , q 2 ,..., q к ,..., q j ,..., q N , t ) = Hˆ (q1 , q 2 ,..., q j ,..., q к ,..., q N , t )
(16.2)
Егер жүйеде ең болмаса бір бөлшек өзгеше болса, онда осы бөлшектің
орнын басқа бөлшекпен ауыстырғанда (16.2)-ші қатынас орындалмайды. Сондықтан
(16.2)-ші өрнек бірдей бөлшектер жиынының гамильтонианының ең жалпы қасиетін
сипаттайды.
Бірдей бөлшектер жүйесінің гамильтонианы кез келген жұп бөлшектердің
орындарын ауыстыруға инвариантты.
Бөлшектердің орындарын ауыстыру жағдайы алға қарайда жиі кездесетіндіктен
арнайы бөлшектердің орнын ауыстыру операторын P̂кj енгізейік. P̂кj − операторы к − шы
жəне j − шы бөлшектердің орын ауыстырылуы қажет екендігін көрсететін белгі.
Мысалы, бізге f (q1 , q 2 ,..., q к ,..., q j ,...) функциясы берілген болса, онда P̂кj операторының
єсері нєтижесінде жаңа f ′ функциясын аламыз:
Pˆкj f (q1 , q 2 ,..., q к ,..., q j ,...) = f ′(q1 , q 2 ,..., q j ,..., q к ,...)
(16.3)
P̂кj операторы сызықтық операторларға жатады.
Енді осы P̂кj операторын пайдаланып (16.2)-ні теңдікті төмендегіше жазамыз:
Pˆкj Hˆ (q1 , q 2 ,..., q к ,..., q j ,..., q N , t ) = Hˆ (q1 , q 2 ,..., q j ,..., q к ,..., q N , t )Pˆкj
(16.4)
(16.4)-ші өрнек орын ауыстыру операторы P̂кj бірдей бөлшектер жүйесінің
гамильтонианымен коммутативті екендігін көрсетеді. Гамильтонианның осы қасиетін
пайдаланып, бірдей бөлшектер жиынының күйін сипаттайтын толқындық
функцияларды қарастырайық. Бірдей бөлшектерден тұратын жүйенің толқындық
функциясын Ψ (q1 , q2 ,..., qк ,..., q j ,..., q N , t ) арқылы белгілейік. Бұл функция Шредингер
теңдеуін қанағаттандыруы керек:
ih
dΨ (q1 , q 2 ,..., q к ,..., q j ,..., q N , t )
dt
= Hˆ Ψ (q1 , q 2 ,..., q к ,..., q j ,..., q N , t )
(16.5)
Осы теңдеудегі к, j − шы бөлшектердің орнын ауыстыралық. Ол үшін (16.5)-ші
теңдеуге орын ауыстыру операторымен P̂кj əсер етеміз:
( )
Pˆкj Hˆ Ψ = ih
(
d Pˆкj Ψ
dt
)
(16.6)
операторларының коммутативтілігі қасиетін пайдалансақ, (16.6) теңдеуді
мынадай түрде жазуға болады:
Pˆкj , Hˆ
(
)
Hˆ Pˆкj Ψ = ih
(
d Pˆкj Ψ
)
(16.7)
dt
(16.7) жəне (16.5) теңдеулерді салыстыралық.
Сонда, егер Ψ (q1 , q 2 ,..., q к ,..., q j ,..., q N , t ) функциясы Шредингер теңдеуінің шешуі
болып табылса, онда
Pˆкj Ψ = Ψ ′(q 1 , q 2 ,..., q j ,..., q к ,..., q N , t )
(16.8)
функциясы
да
Шредингер
теңдеуінің
шешуі
болып
табылатынын
көреміз. Орын ауыстыруды єрі жалғастыра отырып, бірінен бірінің
айырмашылығы бөлшектердің кеңістікте үлестірілуіне байланысты болатын
Ψ ′′, Ψ ′′′,... т.б. толқындық функцияларды алуға болады.
Яғни, Ψ ′ функциясы да Ψ функциясы сияқты жүйенің мүмкін күйлерінің бірі
болып табылады. Оның Ψ функциясынан айырмашылығы к − шы бөлшек бұрын
j − шы бөлшек болған күйге ауысқан жєне керісінше бөлшек j − шы бөлшек к − шы
күйге орналасқан. Осы толқындық функциялар бірдей ме, жоқ, бірінен бірі өзгеше ме
соны қарастырайық. Алдымен 16.1 суретті талқылайық.
А
х΄1
х΄1
А
х1
В
х΄2
В
х΄2
х2
а) классикалық теория бойынша
б) кванттық механика бойынша
16.1 сурет.
Бірінші бөлшек A − күйде, ал екінші бөлшек B − күйде деп қарастырғанда біз
кейбір қиындықтарға тап боламыз. Себебі атомдықтұрғыдан қарастырғанда бірдей
бөлшектерді бірінен бірін олардың күйлеріне, мысалы олардың кеңістіктегі
орындарына, энергиялары мен импульстерінің мөлшеріне қарап ажырата аламыз.
Классикалық механикада бөлшектердің траекториясын бақылауға болатындықтан,
олардың t = 0 уақыт моментіндегі орнына байланысты, кейінгі уақыт моменттерінде
бірінші немесе екінші бөлшектердің кеңістіктегі орындарын көрсете аламыз. Бірақ
кванттық механикада бірдей бөлшектерді бұлай ажырату мүмкін емес. Бөлшектердін
орнын t = 0 уақыт моментінде белгілеп алғанмен де, əртүрлі бөлшектерді сипаттайтын
толқындық пакеттер сейіліп, бірімен бірі тез беттеседі де, t > 0 уақыт моменттерінде
бірдей бөлшектерді ажырату мүмкін болмайды. Осы айтылғандарды 16.1 суретпен
көрсетуге болады.
16.1 а) суретте t = 0 моментте бөлшектердің орны x1 жєне x 2 көрсетілген.
Бөлшектердің қозғалысы, классикалық механика бойынша, траекториямен
сипатталған.
16.2 б) суретте t = 0 уақыт моментінде x1 жєне x 2 нүктелердің төңірегіндегі
толқындық пакеттер алынған жєне олардың қозғалысы көрсетілген.
Суретте штрихталған облыс Ψ
2
мєнінің үлкен шамаларына сəйкес келеді. Бос,
штрихталмаған облыстарда Ψ − тың мєні аз. Толқындық пакеттер беттескен
облыстарда бөлшектерді ажырату мүмкін емес.
Тағы бір мысал қарастырайық. Бөлшек кедергімен бөлінген жəшікте болсын
(16.2 сурет). Кедергіні потенциалық тосқауыл ретінде қарастыруға болады.
2
а
Ψа΄
Ψа
в
Ψв
Ψв΄
Егер бөлшектің энергиясы потенциялық
тосқауылдың биіктігінен кіші болса,
классикалық механика бойынша жєшіктің
ортасындағы кедергіден өтіп, келесі
облысқа
шығуы
мүмкін
емес.
Сондықтан бөлшектердің кедергінің оң
не сол жағында екендігін оңай білеміз.
16.2 сурет
Ал, кванттық механикада бөлшектің потенциалық тосқауылдан өту ықтималдығы
нольден өзгеше болады. Егер бастапқы уақыт моментінде бөлшектердің толқындық
функцияларын Ψа жєне Ψв деп белгілесек, белгілі бір уақыт өткеннен кейін
толқындық функциялар Ψа′ жєне Ψв′ болып, a бөлшегі жəшіктің оң бөлігіне өтіп, ал в
бөлшегі кедергінің сол жағында болуы мүмкін (үзік сызықтар), уақыт t → ∞
ұмтылғанда Ψа′ жєне Ψв′ толқындық функциялары бірдей болып, жєшіктің екі
бөлігіндегі максимумдар симметриялы болады. а − бөлшектің жєшіктің бір бөлігінде
болуының ықтималдылығы в − бөлшегінің ықтималдылығымен бірдей болады да,
алғашқы уақыт моментіндегі бөлшектердің кеңістікте орналасуының симметриялы
еместігінен ешқандай белгі қалмайды.
Сонымен, кванттық механикада бірдей бөлшектерді олардың күйлеріне қарап
ажырату мүмкін еместігін көреміз. Бұл табиғатта бірдей бөлшектерді бірінен бірін
ажырату мєселесінің болмауы керек екендігін, яғни бірдей бөлшектердің жиынының
жалпы күйі туралы ғана айтылып, жеке бөлшектердің күйі жайында мəселе қозғап
қажеті жоқтығын дєлелдейді. Бұл айтылғандар кванттық механикада бірдей
бөлшектердің ажыратылмау қағидасы түрінде тұжырымдалады. Бірдей бөлшектер
жиынында бірдей бөлшектердің орындарын ауыстырғанда өзгермейтін күйлер ғана
орын алады.
§ 2. Симметриялы жəне антисимметриялы күйлер
N
бірдей
бөлшектер
Ψ (q1 , q2 ,..., qк ,..., q j ,..., q N , t ) болсын.
бөлшектерінің
орындарын
жүйесін
сипаттайтын
толқындық
функция
Егер осы жүйенің кез келген к жєне j − ші
ауыстырсақ жүйенің мүмкін күйлерінің бірі
Ψ ′(q1 , q 2 ,..., q j ,..., q к ,...)
толқындық функциясын аламыз. Бірдей бөлшектердің
ажыратылмау қағидасы бойынша бұл жаңа күйді жүйенің бұрынғы күйлерінен айыру
мүмкін емес, яғни Ψ жєне Ψ ′ функциялары жүйенің бір күйін сипаттайды.
Бір физикалық күйді сипаттайтын əр түрлі толқындық функциялардың бірімен
бірі өзгешелігі ажыратылмау қағидасы бойынша тұрақты шамаға тең болуы керек:
Ψ (q1 , q 2 ,..., q к ,..., q j ,..., q N , t ) = λΨ (q1 , q 2 ,..., q j ,..., q к ,..., q N , t )Pˆкj
(16.9)
мұнда λ − тұрақты көбейткіш. Бұл теңдікті орын ауыстыру операторын пайдаланып
былай жазуға болады:
Pˆкj Ψ (q1 , q 2 ,..., q к ,..., q j ,..., q N , t ) = λΨ (q1 , q 2 ,..., q j ,..., q к ,..., q N , t )Pˆкj
(16.10)
(16.10)-шы өрнектен λ − параметрінің P̂кj операторының меншікті мєні екендігін
көреміз. Демек, (16.10)-шы теңдеу P̂кj − орын ауыстыру операторының меншікті
мєндері мен меншікті функцияларын анықтауға мүмкіндік беретін теңдеу. λ − ның
мєнін анықтау үшін (16.10) теңдеуіне P̂кj − операторымен тағы да єсер етеміз:
Pˆкj (Pˆкj ⋅ Ψ ) = λ (Pˆкj ⋅ Ψ ) = λ2 Ψ
(16.11)
бұдан P̂кj − операторының меншікті мєндері:
λ = ±1
(16.12)
Сонымен, P̂кj − операторының меншікті функциясы болып к жəне j − ші бөлшектердің орындарын ауыстырғанда таңбасы өзгермейтін, не өзгеретін кез келген екі
толқындық функциялар болып табылады. Егер бөлшектердің орындарын
ауыстырғанда толқындық функциянын таңбасы өзгермесе, онда толқындық функция
симметриялы деп аталады.
Pˆкj ΨS = + ΨS
(16.13)
Егер, керісінше, P̂кj орын ауыстыру операторының əсері нєтижесінде толқындық
функциясы таңбасын қарама қарсыға өзгертсе, толқындық функция антисимметриялы
деп аталады:
Pˆкj ΨS = − ΨS
(16.14)
Симметриялы жəне антисимметриялы күйлердің біріне бірінің ауыспайтындығын
дєлелдейік. Ол үшін Шредингер теңдеуін
ih
dΨ
= Hˆ Ψ
dt
(16.15)
алып, оны былай түрлендіріп жазайық:
dt Ψ
1
= Hˆ Ψdt
ih
(16.16)
мұнда d t Ψ толқындық функцияның d t уақыт аралығындағы өсімшесі, t = 0 уақыт
моментінде Ψ − координаталардың симметриялы толқындық функциясы болсын.
Гамильтон операторы Ĥ симметриялы оператор болғандықтан, ĤΨ − функциясы да
координаталардың симметриялы функциясы болады, яғни өсімше d t Ψ бөлшек
координаталарының симметриялы функциясы. Орын ауыстыру операторын
пайдаланып бұл аталғандарды былай жаза аламыз:
Pˆкj (Hˆ ΨS ) = Hˆ (Pˆкj ΨS ) = Hˆ ΨS
(16.17)
Бұдан (16.16)-шы теңдеудің негізінде, барлық к, j жұп бөлшектер үшін
Pˆкj (d t ΨS ) = d t ΨS
(16.18)
Сонымен, біздің дєлелдеуіміз бойынша функция Ψ кез келген уақыт моментінде
(t = 0) симметриялы болса, онда Ψ функциясының симметриялылығы кейінгі жєне
болашақ уақыт моменттерінде де сақталады. Тап осындай түрде антисимметриялы Ψa
толқындық функциясының таңбасының да сақталатындығын дєлелдеуге болады. Бұл
жағдайда
Pˆкj Ψa = −Ψа
(16.19)
одан
Pˆкj (d t Ψa ) = − d t Ψa
(16.20)
сонда (16.16)-шы теңдеудің негізінде:
Pˆкj (d t Ψa ) = − d t Ψa
(16.21)
яғни
антисимметриялық
функцияның
өсімшесі
де
антисимметриялы
болады.
Сондықтан
жүйе
антисимметриялы
толқындық
функциямен
сипатталса, онда бұл жүйенің толқындық Ψа функциясы єр уақытта да
антисимметриялы болады.
Бұл дəлелдеулер кванттық күйлердің екі класқа бөлінуінің (симметриялы жєне
антисимметриялы) абсолютті болатындығын көрсетеді: егер жүйе белгілі бір уақыт
моментінде кез келген күйде байқалған болса, онда бүл күй сақталады, басқа күйге
ауыспайды.
§ 3. Бозе жəне Ферми бөлшектері. Паули қағидасы
Тəжірибелер мен бақылаулар табиғатта симметриялы толқындық функциямен де
жєне антисимметриялы толқындық функциямен де сипатталатын бөлшектер
болатындығын көрсетеді. Егер бөлшектер симметриялы толқындық функциямен
сипатталса, олардың спиндері нольден басталатын бүтін сандарға пропорционал:
S z = m s h,
m s = 0, ± 1, ±2, ±3,...
Мұндай бөлшектер Бозе бөлшектері (бозондар) деп аталады. Олардың жиыны БозеЭйнштейн статистикасына бағынады. Керісінше, берілген бөлшектердің күйі
антисимметриялы толқындық функциямен сипатталса, олардың спиндері жартылай
бүтін сандарға пропорционал болады:
1
3
5
m s = ± , ± , ± ,...
2
2
2
Мұндай бөлшектер Ферми бөлшектері (фермиондар) деп аталады. Олардың жиыны
Ферми-Дирак статистикасына бағынады. Табиғатта кездесетін қарапайым
бөлшектердің спиндері 0, 1 / 2 жəне 1 − ге тең. Бұның ішінде: электронның, протонның,
нейтронның, µ − мезонның жєне олардың антибөлшектерінің спиндері ± 1 / 2 − ге тең.
Сондықтан бұл бөлшектер фермиондарға жатады. к −, π мезондарыньщ спиндері 0 − ге
тең. Олар бозондар болып табылады. Спині 1 − ге тең бөлшек – фотон. Табиғатта
кездесетін карапайым бөлшектер не фермиондарға, не бозондарға жатады.
Егер жүйе фермиондардан тұратын болса, онда Шредингер теңдеуінің шешуі
антисимметриялы толқындық функциялар болады. Ал бозондар жүйесі – симметриялы
функциялармен сипатталады. Екі бөлшектен тұратын жүйені қарастырайық. Осы
жүйені сипаттайтын Ψ (1,2) − толқындық функция Шредингер тендеуінің шешуі болсын.
Онда бірдей бөлшектердің ажыратылмау қағидасынан Ψ (2,1) − функциясы да (16.5)-ші
теңдеудің шешуі болады. Осы екі шешуден антисимметриялы жөне симметриялы
функциялар алу үшін мынадай комбинациялар
Ψa = A[Ψ (q1 , q 2 ) − Ψ (q 2 , q1 )]
Ψs = B[Ψ (q1 , q 2 ) + Ψ (q 2 , q1 )]
құрастыру қажет.
Мұндай толқындық функцияларды антисимметриялау жəне симметриялау
қағидасын N бірдей бөлшектер жүйесіне да жалпылауға болады. Мұндай жүйеде орын
ауыстырулардың мүмкін саны N ! Əрбір келесі функция алғашқы Ψ (q1 , q 2 ,...q N )
функциядан кез келген екі жұп бөлшектердің орындарын тізбектен ауыстыру арқылы
алынады. v тізбектен екі бөлшектің (к, j ) орындарын ауыстырғанда пайда болатын
толқындық функцияны Pˆv Ψ (q1 , q 2 ,...q N ) деп белгілейік. Сонда тұрақты санға дейінгі
дєлдікпен алынған симметриялы жəне антисимметриялы функциялар:
(16.22)
Ψs = A∑ Pˆv Ψ (q1 , q 2 ,..., q N , t )
v
v
Ψa = B ∑ (− 1) Pˆv Ψ (q1 , q 2 ,..., q N , t )
(16.23)
v
Кванттық механика көп бөлшектердің қозғалысын көптеген жағдайда дєл
есептеп шыға алмайды. Көбінесе, бұл жағдайда ұйытқулар теориясын пайдаланады.
Мұнда нольдік жуықтауда бөлшектер єсерлеспейді деп қабылданады да, ал олардың
өзара єсерлесуі теорияның жоғарғы ретті жуықтауларында ескеріледі. Нольдік
жуықтаудағы жүйенің гамильтон функциясының операторы жеке бөлшектердің
гамильтониандарының қосындысына тең болады:
Hˆ 0 =
N
∑
l =0
Hˆ (l )
Бұл жағдайда Ĥ операторының меншікті функциялары жеке бөлшектердің
операторларының меншікті функцияларының көбейтіндісі немесе сызықтың
комбинацияларының көбейтіндісі түрінде беріледі.
Ψnl (l ) функциясы мынадай теңдеуді қанағаттандырсын
[Hˆ (l ) − ε ]Ψ
nl
nl
(l ) = 0
мұнда nl − l − ші бөлшектің кванттық күйін сипаттайтын кванттық сандардың жиыны.
Сонда, E = ∑ ε nl меншікті мəндерін қанағаттандыратын Ĥ − операторының меншікті
l
функциялары
Ψn1 (q1 ) Ψn2 (q 2 ),..., ΨnN (q N )
Функцияларының сызықш комбинациясы болады.
Паули фермиондардың мынадай қасиетін байқаған: бір кванттық деңгейде
(n, l, m, m S )S − 4 кванттық сандары бірдей 2 фермион бола алмайды. Бұл Паули қағидасы
деп аталады.
§ 4. Элементтердің периодтық таблицасы
Химиялық элементтердің Д.И. Менделеев тағайындаған периодтық заңдылығы
табиғаттағы маңызды заңдылықтарға жатады. Табиғаттағы элементтердің орналасу
қағидасын түсіну үшін єрбір элемент оның алдындағы элементтердің ядросына бір
протон, қажетті нейтрон жєне электрондық қабықшаға бір электрон қосу арқылы
алынады деп қарастырайық.
Нейтронды периодтық таблицаның нолінші элементі ретінде қарастыруға
болады, оның заряды нольге тең, массасы протон массасына жуық. Сутегі бірінші
элемент. Оның ядросы бір протоннан, электрондық қабықшада бір электрон орналасқан. Қалыпты жағдайда бұл элементтің негізгі күйі n = 1, m = 0, l = 0, mS = ±1 / 2
кванттық сандармен сипатталады. Осы n = 1 күйіне тағы бір электрон орналасуына
болады. Бұл электронның спині Паули қағидасы бойынша алғашқы электронның
спиніне қарсы бағытталуы керек.
Сонымен, ядроға тағы бір протон, екі нейтрон қосылып, бірінші электрондық
қабықшаға тағы бір электрон қоссақ, периодтық жүйенің екінші элементін – гелийді
аламыз. Гелийдің екі электроны n = 1, m = 0, l = 0, mS = ±1 / 2 күйлерін толық камтиды.
Сондықтан бірінші қабықша толықтырылған болып есептеледі жєне ол
K − электрондық қабықша деп аталады.
Үшінші элементті алу үшін келесі үшінші электрон екінші электрондық
қабықшаға орналасуы керек. Ядросында үш протон, төрт нейтрон, электрондық
қабықшада үш электрон бар химиялық элемент литий (Li ) деп аталады. Литийден
бастап, екінші электрондық кабықша − L − қабықша толтырыла бастайды жєне бұл
екінші периодтың бірінші элементі болып табылады. L электрондық қабықшаға
2n 2 = 2 ⋅ 2 2 = 8 электрон орныға алады.
Мұның ішінде s − күйде , p − күйде 6 электрон орналасады. Протондар мен
нейтрондардың санын бірге арттыра отырып Be → B → C → N → O → F → H → Ne − ге
жеткенде L қабықшадағы электронның саны 8-ге толады.
Na элементінен үшінші период басталады. Бұл үшінші − M қабықшада небары
18 электрон орналаса алады.
17 ТАРАУ. ГЕЛИЙ АТОМЫНЫҢ ҚАРАПАЙЫМ ТЕОРИЯСЫ
§ 1. Моменттерді қосу жəне Рессел-Саундерс байланысы
Гелий атомы периодтық таблицаның екінші элементі. Оның электрон
қабықшасында екі электрон бар, ядросы екі протоннан жəне екі нейтроннан тұрады.
Көп электронды атомдарды қарастырудың негізгі ерекшеліктерінің бірі-бұған
кіретін электрондардың орбиталық жəне спиндік моменттерінің қалай қосылатындығында.
Гелий атомында єрбір электронның орбиталық моменті
L 21 = h 2 l 1 (l 1 + 1), L 22 = h 2 l 2 (l 2 + 1)
(17.1)
жəне спиндік моменті:
S 21= h 2 s1 (s1 + 1), S 22 = h 2 s 2 (s 2 + 1)
(17.2)
Атомның толық моментін анықтаудың екі мүмкіншілігі бар. Алғашқысы,
алдымен электрондардың орбиталық жєне спиндік моменттерін жеке-жеке анықтап,
толық момент осы жекеленген орбиталық жəне спиндік моменттердің векторлық
қосындысына тең болады:
r r
L = L1 + L2
r r r
S = S1 + S 2
толық момент:
r r r
j =L+S
(17.3)
rr
(17.3) бойынша моменттерді қосу − LS байланысы немесе Рессел-Саундерс байланысы
деп аталады. Бұл байланыс негізінен жеңіл атомдарда кездеседі.
Толық моментті анықтаудың екінші мүмкіндігі – алдымен əрбір электронның
толық моменті анықталады да, атомның моменті осы екі электронның толық
моменттерінің векторлық қосындысына теңr болады: r
r
r
r
r
j1 = L1 + S1 , j 2 = L2 + S 2
r r r
j = j1 + j 2
(17.4)
r r
Мұндай байланыс ( j j ) байланысы деп аталады. Мұндай байланыста сақталу заңдары
тек толық момент үшін орындалады, яғни күшті спин – орбиталық байланыс
жағдайында ғана кездеседі. Негізінен бұл байланыс ауыр атомдарда орындалады.
Спиндік жєне орбиталық моменттерінің арасындағы байланысы РесселСаундерс байланысына жататын екі электроннан тұратын гелий атомының толқындық
функциясын қарастырайық.
Электрондар Паули қағидасына бағынатындықтан толық толқындық функция
төрт кванттық санды орын
ауыстыруға антисимметриялы
болуыr қажет:
r r
r r
r
(
)
(
)
(
)
r r
r r
r r
Ψ a = C S1 , S 2 Ψn1n2 (r1 , r2 ) = −C S 2 , S1 Ψn2 n1 (r1 , r2 ) = −C S 2 , S1 Ψn1n2 (r2 , r1 )
Рессел-Саундерс байланысында электронның орбиталық жəне спиндік моменттерінің
арасындағы байланыс єлсіз болғандықтан, толық толқындық функция спиндік жєне
координаттық бөліктердің кµбейтіндісі түрінде жазылады. Сонда Шредингер
теңдеуінің мынадай екі түрлі шешуі болады:
r r
r r
Ψ a = C c (S1 , S 2 )⋅ Ψ a (r1 , r2 )
(17.5)
жєне
(
)
r r
′
r r
Ψ a = C а S1 , S 2 ⋅ Ψ с (r1 , r2 )
(17.6)
Толқындық функцияның координатқа байланысты бөлігін қарастыралық,
n1 ≠ n2 болса:
r r
1
a
Ψ n1n2 (r1 , r2 ) =
(u + υ )
2
r r
1
c
Ψ n1n2 (r1 , r2 ) =
(u − υ )
2
мұнда:
r
r
u = Ψn1 (r1 )Ψn2 (r2 )
υ = Ψn (r2 )Ψn (r1 )
r
r
(17.7)
(17.8)
(17.9)
(17.10)
(17.5) жєне (17.6) толқындық функциялардың спиндік бөліктерін қа-растырайық.
Əрбір электронның спиндік функциясын спиндік оператордың z осіне проекциясының
меншікті функциялары түрінде қабылдалық:
1
2
Ал, спиндік оператордың квадраты:
h
Sˆ z = (σ̂ z )
2
(17.11)
[
h2
Sˆ 2 = Sˆ 2x + Sˆ y2 + Sˆ 2z =
(σˆ x )2 + (σˆ y )2 + (σˆ z )2
4
]
(17.12)
мұндағы (σ ) − Паули матрицалары
1 0 
− i
, (σˆ ) = 

0  z  0 − 1



C 
функциясы C =  1  мынадай
 C2 
0
 0 1
, (σˆ y ) = 

i
1 0 

(σˆ x ) = 
Сонда бір электронның спиндік
екі теңдікті
қанағаттандыруы қажет:
C 
h C 
Sˆ z C =  1  = λ1h 1 
2  C2 
 C2 
[
h
2
2
2
Sˆ 2 C = (σˆ x ) + (σˆ y ) + (σˆ z )
4
]  CC
(17.13)

C 
 = λ1h 2  1 
 2
 C2 
1
(17.14)
(σˆ x )2 = (σˆ y )2 = (σˆ z )2 = I − бірлік матрица екендігін ескерсек,
(17.14)-ші теңдеуден λ 2 = 3 4 екендігін көреміз. Ал λ1 − дің мєнін анықтайтын теңдеу
төмендегідей екі біртекті алгебралық теңдеуді шешумен пара-пар:
1

C1  − λ1  = 0
2

1

C 2  + λ1  = 0
2

бұдан электронның спинінің z осінің
байланысты екі түрлі шешуі алынады:
бойымен
бағытталу мүмкіндіктеріне
1)λ 2 = + 1 , C1 = 1, C 2 = 0
2
осіне параллель бағытталған. (1 / 2) − меншікті мєнінен сəйкес келетін
Спин z
толқындық функция:
1 1
С  =  
2 0
2)λ1 = + 1 , C1 = 0, C 2 = 1
2
(17.15)
Бұл жағдайда спин z осіне қарсы параллель бағытталған. Ал толқындық
функция:
 1   0
С  −  =  
 2  1 
(17.16)
Гелий атомының екі электронының толық спиндік функциясын спиндерінің
бағытталуына байланысты єртүрлі болатын спиндік функциялардың суперпозициясы
ретінде қарастырайық:
(
)
r r
1 1
1  1
 1 1
1 1
(17.17)
С S1 , S 2 = a1C1  C 2   + a 2 C1  C 2  −  + a3 C1  − C 2   + a 4 C1  C 2  
2 2
2  2
 2 2
2 2
С1 (± 1 / 2 ), С 2 (± 1 / 2) 1- ші 2- ші электрондардың спиндікфункциялары a1 , a 2 , a 3 , a 4 Клебш-
Жордан коэффициенттері. Енді (17.17) спиндік функция толық спиннің z осіне про-
екциясы операторының меншікті функциясы болатындай қылып ai коэффициенттерінің мєндерін анықталық. Нольден өзгеше болатын шешулер үшін λ1 жəне λ 2
параметрлерінің мəні төмендегідей болуы қажет:
1)λ 2 = 2, a1 = 1, a 2 = a 3 = a 4 = 0
λ1 = 1
толық спин бірге тең жєне z осінің бойымен бағытталған. Бұл жағдайдан толық
спиндік функция
(
)
r r
1 1
С c S1 , S 2 = C1  C 2  ,
2 2
2)λ 2 = 2, a 4 = 1, a1 = a 2 = a 3 = 0
r
r
S1 ↑ ↑ S 2
(17.18)
λ1 = −1
Спиндік функция
(
)
r r
r
r
 1  1
(17.19)
С c S1 , S 2 = C1  − C 2  − , S1 ↑ ↑ S 2
 2  2
Толық спин бірге тең жєне z осіне қарсы бағытталған. Екі электронның спині
параллель.
3)λ 2 = 2, a 2 = a3 =
1
2
, a1 = a 4 = 0
λ1 = 0
Бөлшектердің спиндері параллель жєне 2 осіне перпендикуляр болады. Спиндік
функция симметриялы болады:
(
)
r r
1  1  1
 1   1 
С c S1 , S 2 =
C1  C 2  −  − C1  − C 2  
2  2  2
 2   2 
(17.20)
4)λ 2 = 0,
λ1 = a 2 = a3 =
1
2
, a1 = a 4 = 0
толық спин нольге тең.
Бөлшектердің спиндері антипараллель. Спиндік функция:
(
)
r r
1  1  1
 1   1 
С a S1 , S 2 =
C1  C 2  −  − C1  − C 2  
2  2  2
 2   2 
(17.21)
Нольге тең болмайтындай қыльш Клебш-Жордан коэффициенттерін таңдап
алғандықтан, төрт шешуде бірге нормаланған. Толық толқындық функцияға кері
көшейік:
r r
a
r
Ψ a = C c (S1 S 2 ) Ψ n n (r1 r2 )
(17.22)
Мұндай үш шешу болады: (17.18), (17.19), (17.20). Бұлардың ішінде:
r r
c
r
Ψ a = C a (S1 S 2 ) Ψ n n (r1 r2 )
(17.23)
бір күй. Мұндағы толқындық функциялардың координаттық бөлігі егер n1 ≠ n2 :
1 2
1 2
Ψ a ,c =
1
2
(u ± υ )
(17.24)
Ал, егер екі электронда бір кванттық күйде болса n1 ≠ n2 , онда толқындық теңдеудің
координатшқ бөлігінщ симметриялы бір ғана шешуі болады:
r r
Ψ a = C a (S1 S 2 )⋅ Ψ C
(17.25)
1
ал
r
r
Ψ c = U = Ψn1 (r1 )Ψn1 (r2 )
§ 2. Пара жəне ортогелий
Гелий атомының күйін сипаттайтын толқындық функциялардың симметриялы
жөне антисимметриялы екі түрі болатындығын дєлелдедік. Күйлердің бір түрі
электрондардың спиндерінің қарсы бағытталған жағдайына сəйкес келеді. Гелий
атомының бұл типі – парагелий деп аталады (17.1 а) сурет)
-е 0
-е 0
● +2 е 0
+2 е 0 ●
-е 0
-е 0
а) парагелий
б) ортогелий
17.1 сурет
Бұл жағдайда толқындық функция координаттардың орындарын ауыстыруына
симметриялы болады. Күйлердің екінші түрінде екі электронның спиндері параллель
бағытталады, ал толқындық функция координаттардың орындарын ауыстыруға
антисимметриялы болады. Мұндай гелий атомы ортогелий деп аталады. (17.1 б сурет).
Парагелий жєне ортогелий күйлері тұйықталған. Сондықтан олар біріне-бірі ерікті
түрде ауыспайды. Екі күйдің бірінен бірінің тұйықталғандығын былай дəлелдеуге
болады. Ортогелийден парагелийге дипольдық өтудің моментінің матрицалық
элементі:
(
)
(
)
r
r r r r
r r
r r r r
r r
rc ,a = ∫ Ψ *c (r1 , r2 ) rˆ1 + rˆ2 Ψ a (r1 , r2 )d 3 x1 d 3 x 2 = ∫ Ψ *c (r2 , r1 ) rˆ1 + rˆ2 Ψ a (r2 , r1 )d 3 x 2 d 3 x1 =
r r r r
r r
= − ∫ Ψ *c (r1 , r2 ) rˆ1 + rˆ2 Ψ a (r1 , r2 )d 3 x1 d 3 x 2
(
)
нольге тең болады, себебі
r
r
rc ,a = − ra ,c
(17.26)
(17.27)
яғни бір күйден екінші күйге дипольдық өтуге тыйым салынған. Бірақ, гелий
атомдарын сырттан түсетін атомдар арқылы атқылау нəтижесінде парагелийден
ортогелийге ауыстыруға болады.
Мысалы: Ортогелийді спиндері төмен бағытталған электрондармен атқылайық.
Сонда бұл электронның бірі қабықшадағы электрондардың бірінің орнына келіп
орналасуы мүмкін. Яғни ортогелийдің орнына парагелий аламыз.
§ 3. Гелий атомының энергиялық спектрі
r
Гелий атомының толық моменті L атомға кіретін екі электронның
бүтін
r r
сандарға ие болатын орбиталық моменттерімен l1 , l 2 анықталады. Жеке жағдайда
r
r
l1 = l 2 = 1 деп алсақ екі электронда p − күйде, онда толық момент векторларды қосу
ережелері бойынша мынадай мєндерге ие болады: L=2, 1, 0.
1) L = 2
r
l1
r
l2
L = l1 + l 2 = 2
2) L = 1. Қосылатын моменттердің векторлары 60° бұрыш жасай орналасқан.
1
r
l
r
l2
L = l1 + l 2 −1 = 1
3) L = 0. Моменттер антипараллель:
r
l1
r
l2
L = l1 + l 2 = 2
Жалпы жағдайда l 1 ≥ l 2 болғандықтан L төмендегідей бүтін сан мəндерге ие болады:
L = l 1 + l 2 , l 1 + l 2 − 1, l 1 + l 2 − 2,..., l 1 − l 2
Күрделі атомдардың энергиялық деңгейлеріне
күйлерді мынадай символдармен белгілейді:
L=0
L =1
L =2
L =3
сєйкес
келетін кванттық
S – күй
Р – күй
F – күй
D – күй
Гелий атомының энергиялық деңгейлерін қарастырайық. Ең төменгі энергиялық
деңгейге толық орбиталық моменттің L = 0 мєні сəйкес келеді. Бұл жағдайда екі
электрон да (1s 1s ) 1 S 0 электрондардың спиндері қарсы бағытталған болады. Атомның
термин сипаттайтын єріптің сол жақ жоғары бұрышындағы индекс күйлердің мүмкін
мєндерін (мультиплеттілігін) көрсетеді.
Келесі термде бір электрон 1s − күйде, ал екінші электрон 2s − күйде орналасады.
Бұл жағдайда парагелий де (1s 2s ) 1 S 0 , ортогелий де (1s 2s ) 3 S1 о болуы мүмкін.
Ортогелийдің (1s 2s ) 3 S1 күйі метастабилді деп аталады,
себебі бұл күйден төмен
орналасқан парагелийдің энергиялық деңгейіне ауысуы сұрыптау ережелері бойынша
тиым салынған болып табылады. Парагелийдің деңгейлерінің жиыны синглеттік (спин
нольге тең), ал ортогелийдің энергиялық деңгейлерінің жүйесі триплеттік (спин бірге
тең) деңгейлер деп аталады.
Гелий атомының энергиялық деңгейлерінің жалпы схемасы 17.2-ші суретте берілген.
E, эВ
(1s 2p) 3 p2
(1s 2p) 3 p2
(1s 2p) 3 p2
(1s 2p)
(1s 2s)
2
(1s 2s) 3 p1
19,77
2058A
1830A
1089A
584A
6
4
2
парагелий
17.2 сурет.
ортогелий
Гелий атомының энергиялық деңгейлерінің схемасы
ƏДЕБИЕТТЕР
1. Голдин Л.Л., Новикова Г.И. Введение в квантовую физику. - М.:
Наука, 1988. - 328 с.
2. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. - М.: Высшая школа,
1963. - 620 с.
3. Вихман Э. Квантовая физика. - М.: Наука, 1977. - 416 с.
4. Грашин А.Ф. Квантовая механика. - М.: Просвещение, 1974.- 207 с.
5. Ферми Э. Квантовая механика. - М.: Мир, 1968. - 368 с.
6. Бом Д. Квантовая теория. - М.: Физматгиз, 1961. - 728 с.
7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики.
Книга 2. Квантовая механика. - М.: Наука, 1972. - 368 с.
8. Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механиха и атомная физика.- М.:
Просвещение, 1970. - 423 с.
9. Давыдов А.С. Квантовая механика. - М.: Наука, 1973. - 704 с.
10.Тарасов Л.В. Основы квантовой механики. - М.: Высшая школа,
1978. - 287 с.
11. Медведев Б.В. Начала теоретической физики. - М.: Наука, 1977. -496 с.
12. Де Бройлъ Л. Соотношение неопределенностей Гейзенберга и вероятностная интерпретация волновой механики. - М., 1986. - 344 с.
13. Друкарев Г.Ф. Квантовая механика. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1988. - 200 с.
14. Липкин Г. Квантовая механика. Новый подход к некоторым проблемам.
- М.: Мир, 1977. - 592 с
15. Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика. - М.: Наука,
1976. - 336 с.
Автор
nurzhak_18
Документ
Категория
Образование
Просмотров
3 413
Размер файла
1 273 Кб
Теги
кванттык, механикага кiрiспе
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа