close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Классикалык механика Кайырбаев

код для вставкиСкачать
 3
Қайы
рбаев Қ.Қ.
КЛАССИКАЛЫҚ
МЕХАНИКА
НЕГІЗДЕРІ
Павлодар, 2005
4
Министерство образования и науки Республики Казахстан
Павлодарский государственный педагогический институт
Қайырбаев Қ.Қ.
КЛАССИКАЛЫҚ
МЕХАНИКА НЕГІЗДЕРІ
Павлода
р 2006
5
УДК
531 (071)
ББК
22.2 я 73
23
Баспаа Павлодар мемлекеттік педагогикалы институтыны
ылыми кеес
i
сынан
Пікір жазан:
С. Торайыров атындаы Павлодар мемлекеттік университетіні физика, математика жне информатика институтыны директо
ры, физика
-
математика ылымдарыны докторы, профессор С.К. Тлеукенов.
айырбаев ..
23
Классикалы механика негіздері. Оулы. -
Павлодар: ПМПИ баспасы, 2006. -
176 б.
Оулыты авторы физика
-
математика ылымдарыны кандидаты, доцент, Павлодар мемл
екеттік педагогикалы институтыны профессоры.
Оулыты
басты
масаты
-
Классикалы
механиканы
негізгі
идеялары
мен
дістерін
студенттерге
таныстыру
. Клеміні біршама аздыына арамастан бл оулы келешекте теориялы физиканы баса блімдерін жете ме
геру шін ажетті дайындыты амтамасыз ететін елеулі басшылы бола алады.
Оулыты
негізіне
Классикалы
механика
курсынан
педагогикалы
институттарды
физика
мамандыына
арналан
бадарламаа
сйкес
, соы
40 жыл
ішінде
авторды
студенттерге
оыан
др
істері
алынды
.
Оулы
университеттер
мен
педагогикалы
оу
орындарыны
физика
-
математика
факультеттеріні
студенттері
мен
стаздар
ауымына
арналан
.
Павлодар
мемлекеттік
педагогикалы
институтыны
физика
кафедрасы
малдады
.
© айырбаев
.
., 2006.
© Павлодар
мемлекеттік
педагогикалы
институты
, 2006.
6
I
-
ТАРАУ
КІРІСПЕ
§1. Классикалы
қ
механика
п
ә
ні
ж
ә
не
б
ө
ліктері
лемде
кездесетін
те
са
б
лшектерден
, атом
, молекула
ж
не
р
т
рлі
рістен
бастап
, е
лкен
деп
арастыратын
галактика
а
дей
інгі
заттарды
ба
р
лы
ы
немі
здіксіз
оз
алыста
болады
. Заттар
оз
алысыны
т
рі
те
к
п
те
ж
не
р
т
рлі
. Осы
заттар
оз
алыс
зандарын
арастыратын
теориялы
физика
негізінен
мынандай
б
ліктерден
т
рады
: классикалы
механика
, электродин
а
мика
, квантты
ме
ханика
, статистикалы
физика
ж
не
термодинамика
, атом
физикасы
, ядро
физикасы
.
Заттар
оз
алысыны
е
арапайым
т
рі
–
механикалы
қ
қ
оз
ғ
алыс
. Мех
а
никалы
қ
қ
оз
ғ
алыс
деп
уа
ыт
згерісіне
байланысты
механикалы
денелерді
ке
істікте
орын
ауыстыруын
айтады
.
Клас
сикалы
механиканы
зандарын
толы
т
сіну
шін
мынандай
шам
а
лар
енгізіледі
, масса
, к
ш
, инерциалы
сана
ж
йесі
. Ньютон
за
дары
, Гал
и
лейді
салыстырмалылы
принципі
.
Механикалы
денелерді
, оз
алысын
арастыру
кезінде
ашыл
ан
негізгі
за
дар
, кейбір
т
зету
лерден
кейін
теориялы
физиканы
бас
а
б
ліктерінде
де
олданылады
. Мысалы
: энергия
, импульс
ж
не
импульс
моментіні
са
талу
за
дары
.
Теориялы
физиканы
рбір
б
ліктеріні
негізгі
за
дарыны
олдану
шегі
болатыны
сия
ты
классикалы
механика
за
дарыны
да
зіндік
олдану
шегі
бар
. Мысалы
: Эйнштейн
салыстырмалы
лы
теориясы
бойынша
жылдамды
ν
жары
ты
жылдамды
ына
с
шамалас
болса
кез
келген
/
макро
, микро
зат
/ заттарды
оз
алысын
классикалы
механиканы
зандарымен
а
ы
тау
а
болмайды
. М
ндай
заттар
оз
алысы
р
елятивистік
квантты
теори
я
ны
за
дарымен
аны
талады
. Макроскопиялы
денелер
оз
алысыны
жы
л
дамды
ы
ν
~
с
болса
, оларды
оз
алысын
салыстырмалы
лы
теориясыны
зандарымен
аны
тайды
, ал
микроскопиялы
денелер
оз
алысыны
жылда
м
ды
ы
ν
<
c
болса
, оларды
оз
алысы
релятивистік
емес
квантты
механика
за
дарымен
аны
талады
. Макроскопиялы
денелерді
жылдамды
ы
ν
<<
с
бол
анда
ы
, оларды
оз
алысы
классикалы
механика
за
дарымен
зерттеледі
.
Классикалы
механика
–
механикалы
денелерді
баяу
оз
алысын
сипа
т
тайды
. Классикалы
механика мынандай ш б
лімнен т
рады: кинематика, д
и
намика, статика
. Кинематика
–
денелер оз
алысын сол оз
алысты ту
ызатын себептерге байланыссыз арастыратын классикалы
механиканы
б
лімі. 7
Динамика
–
механикалы
денелерді
оз
алыс
ын сол оз
алысты ту
ызатын себептерге байланысты арастыратын классикалы
механиканы
е
бір к
рделі б
лімі. Статика
–
денелерді
тепе
-
те
дік шарттарын арастырады.
§2. Классикалы
қ
механикада қарастырылатын денелер моделі
Жалпы ал
анда механикалы
де
нелерді
оз
алысы те к
рделі, йткені ол арастырып отыр
ан денелерді
формасына, лшем
іне
ж
не та
ы бас
а асиеттеріне байланысты. Осы себептен денелер оз
алысын арастыр
ан кезде сол денелерді
кейбір асиеттерін ескермеуге болатындай жорамал жас
а
лады
, бас
аша айт
анда механикалы
денелерді
моделін енгізу керек. Олар
а мыналар жатады: материалды
қ
н
ү
кте, материалды
қ
н
ү
ктелер ж
ү
йесі, механик
а
лы
қ
ж
ү
йе, абсолюттік қ
атты дене ж
ә
не т
ұ
тас орта.
Материалды
қ
н
ү
кте
–
арастырып отыр
ан есепті
шартына байлан
ы
с
ты лшемдерін ескермеуге болатын дене. Мысалы: к
нді айнал
ан кезде жерді материалды
н
кте деп есептеуге болады, йткені траекторияны
ради
у
сы жерді
радиусына
те лкен.
Материалды
қ
н
ү
ктелер ж
ү
йесі
–
механикалы
денелер жиынты
ын м
а
териалды
н
ктелер ж
йесі деп атау
а болады, егер р бір денені материалды
н
кте деп арастыру
а болса. Материалды
қ
н
ү
ктелер ж
ү
йесін
механикалы
қ
ж
ү
йе
деп атаймыз, егер рбір н
ктені
оз
алысы бас
а ал
ан н
ктелерге т
уелді болса.
Механикалы
қ
ж
ү
йені абсолюттік қ
атты
дене
деп атаймыз, егер кез келген екі н
ктені
ара
ашы
ты
ы оз
алыс кезінде згермейтін болса. Тұтас орта –
газдар, с
йы
тар. §3. Ке
ң
істік пен уа
қ
ыт туралы ұ
ғ
ым
Денелер оз
алысы уа
ыт згерісіне байланысты ке
істікте бол
а
ты
ды
тан, уа
қ
ыт
ж
не ке
ң
істік
туралы ым, тек ана классикалы
механика шін емес физиканы
барлы
б
лімдері шін де негізгі ымдар болып табыл
а
ды. Ке
істік асиеттері геометрияда, ал уа
ыт –
хронометрияда жеке
-
жеке арастырылатын болса, физикада осы ымдар материямен оса арастыры
лады да
материяны
мір с
руіні
формалары болады. Классик
а
лы
қ
механикада денелерді
ң
баяу қ
оз
ғ
алысы қ
арастырылатынды
қ
тан,
т
жірибелерді
н
тижелерін салыстыра келіп ке
істік пен уа
ыт туралы арапайым ым абылданды.
Ке
ң
істік –
здіксіз, біртекті ж
не из
отропты, ал оны
лшемдері эвклид геометриясыны
аксиомалар жиынымен сипатталады
.
8
Уа
қ
ыт –
ке
істікті
кез келген б
ліктерінде біркелкі таралады да, здіксіз ж
не біртекті.
Денелерді
механикалы
асиеттері ке
істікті
кез келген б
лігінде ж
не кез келген
уа
ыт мезетінде згермейтін болса, ондай ке
ң
істікті
ж
ә
не уа
қ
ытты біртекті деп атайды.
§4. С
ана
қ
ж
ү
йесі
Кез келген материалды
н
ктені
оз
алысын аны
тау шін бас
а бір д
е
не тадап алып осы денеге атысты
,
арастырып отыр
ан н
ктені
оз
алысын сипатта
у керек. Осындай денемен байланыс
қ
ан тік б
ұ
рышты координаттар ж
ү
йесімен, уа
қ
ытты есептеу ү
шін керекті са
ғ
аттан т
ұ
ратын
ж
йені сана
қ
ж
ү
йесі
деп атайды.
Классикалы
механикада
оз
алыс за
дарын арастыр
ан кезде мын
а
дай ү
ш постулатты негізге алады.
1. Меха
никалы
қ
қ
оз
ғ
алысты сипаттайтын
кез келген физикалы
шам
а
ларды бір уа
ыт мезетінде лшеуге болады. Бас
аша айт
анда лшеуіш приборларды
лшенеті
физикалы
шама
а тигізетін серін ескермеуге болады.
2. Белгілі бір механикалы
қ
процесті
ң
тетін уа
ыты кез ке
лген оз
алыста
ы сана
ж
йелерінде бірдей болады, я
ни
м
нда
ы ек
і сана
ж
иесіне атысты процес
ті ту уа
ыты.
3.
Кез келген қ
оз
ғ
алыста
ғ
ы сана
қ
ж
ү
йелерінде
механикалы
денелерді
ар
а
ашы
ты
ы бірдей болады, я
ни
Б
дан кез келген екі н
ктені
ара
ашы
ты
ы
,
кезкелген
сана
ж
й
есіне атысты згермейтіндігін к
реміз
=
тр
Осы постулатарды
шеуі де тек ана классикалы
қ
механикада
орындалады.
9
II
–
ТАРАУ
КИНЕМАТИКА
Механиканы
кинематика б
лімінде денелерді
оз
алысын сол оз
алысты тудыратын себептерге байланыссыз арастырады. арастырып отыр
ан денелер моделіне байланысты кинематиканы б
ө
лшектер
(н
ү
кте
лер)
ж
не қ
атты денелер
кинематикасы деп б
луге болады. Денелерді
кинематик
а
лы
сипаттамасына мыналар жатады: 1.
оз
алыс те
деуі (
оз
алыс за
дары
);
2.
оз
алысты
траекториясы
;
3.
оз
алыс жылдамды
ы
;
4.
оз
алыс деуі.
Осыларды аны
тау денелерді
кинематикалы
за
дылы
тарын табу болады.
Б
Ө
ЛШЕКТЕРДІ
Ң
КИНЕМАТИКАЛЫ
Қ
СИПАТТАМАСЫН АНЫ
Қ
ТАУ Ә
ДІСТЕРІ
Б
лшектерді
(жалпы денелерді
) кинематикалы
сипат
тамасын аны
тауды
ш дісі бар:
векторлы
қ
, координатты
қ
ж
ә
не таби
ғ
и ә
діс.
Енді осылар
а жеке
-
жеке то
талайы
.
§1.
Вект
орлы
қ
ә
діс
арастырылып отыр
ан М н
ктені
оз
алысын, бас н
ктесі бір О н
ктесіне бекітілген декартты
координаттар ж
йесіне атысты арастырайы
.Координатты
бас н
кт
есінен оз
алыста
ы н
ктеге ба
ы
ттал
ан т
зу ж
ргіземіз.
Ол т
зуді сол н
ктені
радиус
-
векторы
деп атаймызда деп белгілейміз. Н
кте оз
ал
ан кезде
оны
радиус
-
векторы уаыт бойынша згеріп отырады. Оны математикалы
т
рде былай жазады:
(1)
Осындай функционалды
атысты қ
оз
ғ
алыс те
ң
деуі
немесе қ
оз
ғ
алыс за
ң
ы
деп атайды. оз
алыста
ы н
ктені
рбір уа
ыт мезетіне с
йкес зіні
радиус
-
векторы б
о
лады. Осы радиус
-
векторларды
р
айсысыны
штарын бастыра исы
ж
ргізсек ол KML
траекториясымен с
йкес келеді. Осылай аны
тал
ан трае
к
торияны радиус
-
векторды
годографы
деп атайды
(1
-
сурет)
.
10
оз
алыста
ы н
ктені
келесі кинематикалы
сипаттамасы жылдамды
, ол векторлы
қ
шама
. Жылдамды
қ
векторы
дегеніміз бірлік уа
ыт ішіндегі радиус
-
векторды
згерісін сипаттайтын шама. Бас
аша айт
анда
мтыл
анда аты
на
сыны
мтылатын шегіне те
шама
(2)
1
-
суреттен мтыл
анда
до
аны керіп т
р
ан хордасы М н
ктесіне т
сірілген жанамамен ба
ыттас болу
а мтылады.
Сонды
тан жылдамды
векторы траектория
а жанама бойымен ба
ытталады да, былай аны
талады , м
нда
ы траектория
а т
сірілген жанаман
ы
бірлік векторы. Егер оз
алыс траекториясы т
зу сызы
болса, онда жылдамды
ба
ыты згермейді, оны
модулы ана згеруі м
мкін. Жалпы жа
дайда н
кте оз
алысыны
жылдамды
ы ба
ыты бойныша да шамасы бойынша да згереді. исы
сызы
ты оз
алыс кезінде ж
ылдамды
ты
модулі згермей ба
ыты ана згерсе, онда оны ше
бер бойымен бір алыпты оз
алады дейді.
Өң
деу векторы
деп, бірлік уа
ыт ішіндегі жылдамды
векторыны
згерісін айт
а
ды, бас
аша айт
анда мтыл
анда, атынасыны
мтыл
ан шегін айтады, я
ни (3)
Егер 2
-
су
реттегі жылдамды
векторын зіне
-
зін параллель етіп ке
істікті
бір н
ктесіне к
шіріп, осы жылдамды
векторларыны
штарын осат
ын болса
бір исы
сызы
аламыз, оны жылдамды
қ
векторыны
ң
годографы
деп ата
й
ды
(3
-
сурет).
мтыл
анда до
асын керіп т
р
ан
хорда
сы
н
ктесіне т
с
рілген жанаманы
бойымен ба
ытас болу
а тырысады. Сонды
тан (3
’
)
М
нда
ы жылдамды
годографына ж
ргізілген жанаманы
бірлік ве
к
торы. 11
Н
кте оз
алыс за
ы
н
аны
тау шін координатты
дісті
ш т
рі олданылады.
1.
Тік б
рышты декардты
координат
2.
Цилиндрлік координат
3.
Сфералы
координат
Осы дістерді жеке
-
жеке арастырайы
.
§2. Декардты
қ
координат ә
дісі
оз
алыста
ы материалды
н
к
тені
оз
алысын oxyz т
ік б
рышты декардты
координат сіне атысты арастырайы
(2
-
сурет).
Н
кте оз
ал
ан кезде оны
x,y,z координаталары уа
ыт
а байланысты згеріп отырады. Я
ни,
,
, (4)
Осы (4) рнекті нктені қ
оз
ғ
алыс за
ң
ы
немесе қ
оз
ғ
алыс теңдеуі
деп атайды. Осы оз
алыс тедеуі н
ктені
траекториясыны
параметрлік те
деуі де болып т
а
былады
,
йткені (4)
-
ші те
деуден уа
ытты жою ар
ылы н
ктені
трае
кторияс
ы
ны
те
деуін табу
а болады.
Мысалы: ,
нкте озалысыны тедеуі болсын. Сонда осы тедеуді
екі жа
ын квадраттап зара
осса
,
б
л траекториян
ы (
ше
берді
)
те
деуі.
Н
ктені
радиус
-
векторын, кез келген вектор сия
ты оны
ox
,
oy
,
oz
координат стеріне т
сірілген проекциялары x
,
y
,
z
ар
ылы жазу
а болады. (5)
м
нда
ы стеріні
бірлік векторлары.
(5)
-
ші рнекпен аны
талатын радиус
-
вектордан (2) ж
не (3) рнектерге с
йкес уа
ыт бойынша туынды ала отырып, н
ктені
жылдамды
ы мен деуін былай аны
тау
а болады.
,
(6)
.
(7)
12
(6)
мен (7)
-
ші рнектен жылдамды
векторымен деу векторыны
проекциял
а
рын былай табамыз,
(8)
.
(9)
Егер кез келген векторды
координат сіне проекциялары белгілі болса, онда ол векторды
шамасы мен ба
ытын аны
тау
а болады. Жылдамды
ве
к
торы мен деу векторыны
шамасы былай
аны
талады:
.
(10)
.
(11)
Жылдамды
векторы мен деу векторыны
ба
ытын аны
тау шін
оларды
ба
ытта
ыш косинустарын аны
тауымыз керек. Ол былай аны
талына
ды
,
(
12) (13)
§3. Цилиндрлік координат ә
дісі
оз
алыста
ы н
ктені
кинемати
-
калы
сипаттамаларын
цилиндрлік коор
-
динат дісімен де аны
тау
а болады. М
нда ке
істіктегі н
ктені
оз
алы
-
сын м
ы
нандай ш скалярлы
шамалар
-
мен аны
тайды
.
(14)
Осындай функционалды
т
уелді
-
лікті цилиндрлік координатта
ы қ
оз
ғ
а
-
лыс те
ң
деуі
деп атайды. Н
ктені
радиус
-
векторын цилиндрлік координаттар ар
ылы былай рне
к
теуге болады.
, (15)
4
-
с
уретте к
рсетілген -
ц
илиндрлік координат сіні
бірлік ве
к
торы
немесе орта
деп аталады. Н
ктені
декартты
координаттары мен ц
и
линдрлік координаттары арасында
ы байланыс былай рнектеледі:
13
(16)
Оларды
бірлік векторларыны
арасында
ы байланыс
(17)
Осы (17) рнекте
цилиндрлік координатты
бі
рлік векторы айнымалы шама екенін к
реміз. Олар ба
ыты бойынша згереді. Сонды
тан (17)
-
ші рнектен туынды алса
, онда
(18)
оз
алыста
ы н
ктені
жылдамды
ын аны
тау шін (15)
-
ші рнекпен аны
талатын радиус
-
вектордан уа
ыт бойынша туынды аламыз. Сонда
(19)
Осы
дан цилиндрлік координат стеріне т
сірілген жылдамды
вектор
ы
ны
проекцияларын былай аны
тау
а болады.
(20)
М
нда
ы -
жылдамды
векторыны
радиалды
раушысы,
-
к
лдене
раушысы,
-
акциалды
раушысы деп аталады. Егер жы
лдамды
вектор
ы
ны
проекциялары белгілі болса, онда жылдамды
ты
шамасы былай аны
талады
:
(21)
Енді осы сия
ты оз
алыста
ы н
ктені
деуін цилиндрлік координат
т
а табу шін (19) рнекпен аны
талатын жылдамды
векторынан уа
ыт бойынша туынды алып, (18)
-
ші рнекті ескере отырып деу векторыны
раушыларын былай аны
таймыз.
(22)
О
сыдан деу векторы
(23)
Сондыт
ан
толы
деуді
шамасы
(24) рнегімен аны
талады.
Егер z
нлге тепе
-
те
болса, онда цилиндрлік координат полярлы
қ
координат
қ
а
к
шеді де н
ктені
жазы
оз
алысын сипатт
айды. Н
ктені
ж
а
зы
оз
алысы (
r
, ) -
координаталармен 14
аны
талады, олар уа
ыт згерісіне байланысты згеріп отырады, сонды
тан (2
6
)
Осы (2
6
) -
шы рнек полярлы
коорди
наттар дісі бойынша н
ктені
жазы
қ
қ
оз
ғ
алысыны
ң
те
ң
деуі
деп аталады. Осыдан уа
ытты жою ар
ылы нктені траектори
я
сын аны
таймыз
,
(2
7
)
(2
7
)
-
ші
те
деу
полярлы
координаттар
дісіндегі
н
ктені
жазы
оз
алысыны
трае
к
ториясы
болып
табылады
.
§ 4 Сфералы
қ
координат ә
дісі
Енді
н
кте
оз
алысыны
за
дарын
сфералы
координаттар
ж
йесінде
аны
тауды
арастырайы
. Кеістіктегі н
ктені
оз
алысы мынандай (
r
, , φ
) шамалармен аны
талады (5
-
суре
т). Н
кте оз
алысы з
дік
сіз бол
анды
тан б
л шамалар уа
ыт бойынша з
дік
сіз згереді. Оны математикалы
т
рде былай жазады: (2
8
)
Осыны
н
ктені
сфералы
координаттар
ж
йесіндегі
қ
оз
ғ
алыс
за
ң
ы
дейді
.
Н
ктені
декартт
ы
координаттарымен
сфералы
координаттары
ны
арасында
ы
байланыс
былай
аны
талады
.
(29
)
(30
)
Сфералы
координаттар ж
йесі
-
ні
бірлік векторлары (
), де
-
картты
к
о
ординаттар ж
йесіні
бірлік векторларымен (
) мынандай байланыста б
о
лады.
(3
1
)
Осы (3
1
)
-
ш
і
рнектен сфералы
координаттар ж
йесіні
бірлік векторларыны
уа
ыт згерісіне байланысты ба
ыты жа
ынан згеретіндігін к
реміз, со
н
ды
тан уа
ыт бойынша алын
ан туынды,
(3
2
)
15
оз
алыста
ы М н
ктесіні
радиус
-
векторы былай рнектеледі (3
3
)
Осы рнектен уа
ыт бойынша туынды (бірінші ж
не екінші) алып ж
не (3
2
)
-
ші рнекті пайдаланып, М н
ктесіні
жылдамды
ы мен деуін а
ы
таймыз
,
,
(3
4
)
,
(35
)
,
(36
)
м
нда
ы (37
)
те
болады да, -
деуді
радиалды
, -
меридианалды
, -
азимутальды
раушылары деп аталады.
§5. Таби
ғ
и ә
дісі
Н
ктені
оз
алысын таби
ғ
и әдісті
пайдаланып аны
тау шін сол н
кте оз
алысыны
траекториясыны
т
рі берілген болуы керек. Осы траектори
я
ны
т
рі білгілі бол
анда, н
кте оз
а
лысын былай
анытайды
:
1.
Сол траекторияны
бойынан бір н
ктені белгілеп аламыз да, оны оз
алысты
бас н
ктесі деп есептейміз (
6
-
с
у
ретте -
н
ктесі).
2.
оз
алысты
ба
ытын аны
таймыз
(оны стрелкамен крсетеміз)
.
3.
н
к
тесінен бастап, до
аны
зынды
ын есептейміз де оны деп белгілеп ара
ашы
ты
деп атаймыз. н
ктесі траектория бойымен оз
ал
анда, ара
ашы
ты
ы уа
ыт бойынша зг
ереді, бас
аша айт
анда (
3
8
)
Осыны н
ктені
оз
а
-
лыс те
деуі немесе оз
алыс за
ы деп атайды. Егер белгілі болса, жылдамды
ты
алгебралы
шамасын
аны
тау
-
а болады:
(39
)
16
Жылдамды
векторлы
шама бол
анды
тан ж
не оны
ба
ыты траект
о
рияны
кез келген н
ктесіне т
сірілген жанаманы
ба
ытымен ба
ыттас бол
а
тынды
тан, былай жазу
а болады:
(4
0
)
жанаманы
бірлік векторы.
Осы дісте оз
алыста
ы н
ктені
деуін аны
тау шін таби
и с
а
на
ж
йесін енгізуіміз керек. Осы сана
ж
йесі оз
алыста
ы н
ктемен бірге траектория бойымен оз
алыста болады. Осындай сана
ж
йесін енгізу шін траекторияны
н
ктесіне жанама ж
ргізейік, оны
бірлік векторын деп білгілейік. Осы н
ктесі ар
ылы ге перпендикуляр жазы
ты
ж
ргіземіз, б
л ж
азы
ты
ты нормаль
жазы
ты
деп атаймыз
(7
-
сурет)
.
н
ктесі ар
ылы тетін кез келген сызы
-
ге
перпендикуляр болады. уа
ыт мезетінде оз
алыста
ы н
кте траектория бойымен н
ктесінен н
ктесіне орын ауыстырды дейік. Осы н
ктеге жанама ж
ргізейік те оны
бірлік векторын деп белгілейік. Осы
векторын зін зіне параллель етіп н
ктесіне жылжытайы
та ж
не векторылары ар
ылы ж
а
зы
ты
ын ж
ргізейік. Сонда н
ктесі н
ктесіне шексіз жа
ында
ан жа
дайда жазы
ты
ы белгілі бір шекке мтылады. Осы кезде пайда бол
ан жазы
ты
т
ү
зеткіш
жазы
ты
ы (н
ктені
оз
алатын жазы
ты
ы) бол
а
ды. Осы т
зеткіш жазы
ты
пен нормаль жазы
ты
ыны
иылысу сызы
ын бас нормаль
деп атайды да оны
бірлік векторын деп белгілейді. Т
зеткіш ж
а
зы
ты
та жат
ан бірлік векторыны
ба
ыты векторлары з ара перпендикуляр координаттар ж
йесін райтындай етіп та
дап алынады. Осындай координаттар ж
йесін таби
ғ
и
ко
ординаттар ж
йесі деп атайды. М
нда
ы таби
и шб
рыш деп аталады. Таби
и координат ж
йесі оз
алыста
ы н
ктемен бірге траектория бойымен оз
алып отырады. Со
н
ды
тан таби
и координаттар ж
йесіні
бірлік векторы траекторияны
т
ріне б
айланысты ба
ыты жа
ынан згеріп отырады
(7
-
сурет)
. 17
оз
алыста
ы н
ктені
деуі
табу шін /40/
-
шы рнектен туынды ал
а
мыз. (41)
Анали
тикалы
геометриядан белгілі Фрэ
не рнегі бойынша былай т
рлендіруге болады:
м
нда
ы
,
-
нормаль жазы
ты
ыны
бірлік векторы;
-
траекторияны
исы
ты
радиусы.
Со
ы рнекті (41)
-
ші рнекке ойса
, (42)
Осы рнек деу векторын аны
тайд
ы. Енді деу векторыны
таби
и стерге проекциясын табайы
:
(43)
(44)
(45)
(43)
-
ші рнекпен аны
талатын деуді
раушысын нормаль
деу деп, (44)
-
ші рнектегі -
тангенсиаль
деу деп атайды. ‡деуді
нормаль ж
не
тангенсиаль раушылары белгілі болса, толы
деуді
шамасын таба аламыз:
.
(46)
Енді бірнеше дербес жа
дайларды арастырайы
:
1)
Егер болса, ондай оз
алыс демелі исы
сызы
ты болады
(8
-
сурет)
.
2)
Егер болса, ондай оз
алыс
кемімелі исы
сызы
ты оз
алыс болады (9
-
сурет)
.
18
3)
Егер бол
анда, бір
алыпты исы
сызы
ты оз
алыс болады.
4)
Егер бол
анда, бір
алыпты т
зу сызы
ты оз
алыс болады. Осы дербес жа
дайлардан деуді
нормаль раушысы жылдамды
вект
о
рыны
ба
ыт бойынша згеруін сипаттайтынды
ын, ал тангенсиаль раушысы жылдамды
векторыны
шама жа
ынан згерісін сипаттайты
н
ды
ын к
реміз.
§6. Қ
атты де
нелерді
ң
ілгерілемелі қ
оз
ғ
алысы
атты денелер оз
алысыны
кинематикалы
сипаттамасына к
шпес б
рын алдымен еркін оз
алыста
ы атты денені
еркідік д
ә
режесін
аны
тайы
. Денелерді
ң
еркіндік
д
режесі деп, осы денелерді
еркін оз
алысыны
санын айтады. Бас
аша ай
т
анда, денелерді
еркін оз
алысын аны
тайтын к
о
ординаттар санын айтады.
Бізге белгілі денелерді
оз
алысын аны
тау шін бір т
зуді
бойында жатпайтын денені
ш н
ктесіні
оз
алысын аны
таса
жеткілікті. рбір н
ктені
оз
алысы декартты
координатта
р ж
йесінде (
x
, y
, z
) координаттары бойынша аны
талатынды
тан атты денені
кез келген ш н
ктесіні
А (х
А
, у
А
, z
A
), B
(
x
B
, y
B
, z
B
), жне C
(
x
C
, y
C
, z
C
) озалысы
н аны
тау керек
(10
-
сурет)
.
атты денені
аны
тамасы бойынша оны
кез келген екі н
ктесіні
ар
а
ашы
ты
ы
т
ра
ты болып алатынды
тан аналитика
-
лы
геометриядан белгілі екі н
ктені
ара
ашы
ты
ын аны
-
тайтын мына т
мендегідей ш те
деу жазу
а болады.
т
р.
т
р.
т
р.
Осы тендеулерді шешу ар
ылы ш белгісізді аны
таймыз. Сонда, то
ыз белгісізді
шеуін аны
та
анда, алтауы алады. Осыдан 19
еркін оз
алыста
ы денені
еркіндік д
режесі алты
а те
. Егер денелерді
оз
алысы белгілі бір шарттар
а с
йкес шектелген болса, онда оны
еркіндік д
р
ежесіні
саны аза
я
ды. Мысалы: Егер атты дене бір н
ктесінен бекітілген болса, онда оны
еркіндік д
режесі шке те
, йткені ол (
x
, y
, z
) с
теріні
айналасында ш т
уелсіз а
й
налма
лы
оз
алыс жасай алады. Е
гер арастырылып отыр
ан дене о
залыс кезінде бір
ж
а
зы
ты
та жататын болса, оны
еркіндік д
режесі екіге те
, йткені ол осы ж
а
зы
ты
та (
x
, y
) с
терімен екі ілгерлемелі оз
алыс жасай алады. Егер оз
алыста
ы арастырып отыр
ан дене екі н
ктесі ар
ылы бекітілген болса, онда оны
еркіндік д
режесі бірге т
е
, йткені осы екі н
ктені осатын т
зуді
айналасында ана айнала алады.
Жалпы ал
анда атты дене
оз
алысын екіге б
луге болады: і
лгерілемелі ж
ә
не айналмалы.
Біз осы та
ырыпта атты денелерді
ілгерілемелі оз
алысын арастырайы
. Ілгерілемелі қ
оз
ғ
ал
ыс
деп атты денені
кез келген екі н
ктесін осатын т
зу зіне
-
зі параллель оз
ал
анда
ы оз
алысты айтады. Осы оз
алысты сипаттау шін, оны екі сана
жйесіне атысты арастырайы (11
-
сурет). Біреуі озалмайты
сана ж
йесі
болсын, екінші
сі
оз
алыста
ы денені
0
/
н
ктесіне бекітілген жылжы
-
малы сана
ж
йесі болсын. Осы денені
кез келген бір М н
ктесіні
оз
алысын оз
алмайтын oxyz
сана
ж
йесіне атысты радиус
-
вектормен, ал жылжымалы сана
ж
йесіне атысты радиус
-
векторымен аны
тайы
.
Жылжымалы сана
ж
йесіні
бас н
ктесі 0
/ оз
алмайтын oxyz
сана
ж
йесіне атысты радиус
-
векторымен
аны
та
ла
тын болсын. Сонда, ОМО
' векторлы
шб
рыштан (
47)
атты денені
ж
не оны
ілгерілемелі оз
алысыны
аны
тамасына с
йкес:
= т
ра
ты
Сонды
тан векторыны
проекциялары да т
ра
ты, я
ни (
a
=
т
р
. b
=
т
р
. c
=
т
р
.)
.
20
(47) рнекті
(x,y,z
) с
ь
теріне проекцияларын табайы
: сонда
(48)
(47) рнектен уа
ыт бойынша туынды алса
ілгеріле
мелі
оз
алыста
ы атты денені
кез келген М н
ктесіні
жылдамды
ын ж
не деуін былай табамыз:
(49)
Осы
рнектен
атты
денені
ілгерілемелі
оз
алысы
кезінде
оны
кез
келген
екі
н
ктесіні
жылдамды
тары
мен
деулеріні
бірдей
болатыны
к
реміз
, со
н
ды
тан
атты
денені
ілгерілемелі
оз
алысыны
кинематикалы
сипаттам
а
сын
аны
тау
шін
оны
бір
нктесіні
кинематикалы
си
паттамасын
анытау
жеткілікті
, оны
ткен
та
ырыпта
келтірілген
дістер
б
ойынша
т
а
бамыз
.
§7. Қ
атты
денелерді
ң
айналмалы
қ
оз
ғ
алысы
.
Лездік
б
ұ
рышты
қ
жылдамды
қ
Айналмалы қ
оз
ғ
алыс
деп, айналу сі деп аталатын бір т
зуді
бойында жат
ан н
ктелер оз
алмайтын, ал ал
ан н
кте
-
лерді
барлы
ы да ше
бер бойымен оз
алатын атты дене
ні
оз
алысын айтады. Айналмалы оз
алысты алу шін денені
кез келген екі н
ктесін бекітсек бол
аны. Денені
осындай
айналмалы
оз
алысын
арастырайы
. Сонда
осы
денені
барлы
н
ктелері
OZ сіні
айналасында
ше
бер
бойымен
оз
алады
. Сондай
денені
бір
М
н
ктесіні
радиусы
ше
бер
бойымен
оз
алысын
арастырайы
. Осы
М
н
ктені
оз
алысы
ОМ
/
ММ
//
жазы
ты
ыны
б
рылу
б
рышымен
сипатталады
. Сонда
,
осы
φ
=
φ
(
t
)
(50)
айна
л
малы
озалыс
заы
болады
. 21
Осы
арастырып
отыр
ан
н
ктеміз
Δ
t
уа
ыт
ішінде
траектория
бойымен
М
1
н
ктесіне
орын
ауыстырды
дейік
. Сонда
радиус
-
векторды
згерісі
шамасы
бойынша
Осы
рнекті
о
жа
ы
екі
векторды
векторлы
к
бейтіндісіні
модуліне
сас
екіндігін
к
реміз
. Егер вектор деп, оны айналу сімен ба
ыттал
ан деп есептесек, онда
бл
рнекті былай жазу
а болады,
(51)
векторыны
Δ
t
-
а атынасыны
Δ
t
→0 мтыл
анда
ы щегін лездік б
ұ
рышты
қ
жылдамды
қ
деп атайды да, оны деп белгілейді,
,
(52)
а
л атысыны
Δ
t
→0 мтыл
анда
ы шегін н
ктені
сызы
қ
ты
қ
жылдамды
ғ
ы деп атайды. Сонда (51) рнекті
екі жа
ын б
ліп, шекке к
шсек, б
рышты
ж
не сызы
ты
жылдамды
тар арасында
ы байланысты табам
ыз.
(53)
Осы (53) рнекті ба
ыты жа
ынан згеріп отыратын кез келген вект
о
ры шін жазу
а болады
,
(54)
Егер жылжымалы сана
ж
йесі айналмалы
оз
алыста
ы денемен байл
а
ныста болса ж
не оны
бірлік векторлары болса, онда (54) рнек бойынша
. (55)
о
сы рнекті Пуассон те
дігі деп атайды.
(53) рнектен уа
ыт бойынша туынды алып деу
ді аны
таймыз, (56)
м
нда
ы
-
б
рышты
деу деп аталады.
22
§8
.
Материалды
қ
н
ү
ктені
ң
бір сана
қ
ж
ү
йесінен екінші сана
қ
ж
ү
йесіне ө
ткендегі жылдамды
қ
пен ү
деу векторларыны
ң
ө
згерістері
Енді біз н
ктені
бір уа
ыт мезетіндегі екі оз
алыс
а атыс
ан кездегі оны
жылдамды
ы мен деуіні
алай згеретіндігін табайы
. Ол шін М н
ктесіні
оз
алысын екі сана
ж
йесіне атысты арастырайы
. (14
-
сурет). Біреуі OXYZ
жылжымайтын, ал екіншісі O
′
X
′
Y
′
Z
′ жылжымалы сана
ж
йесі болсын. Б
дан былай арай жылжымайтын сана
ж
йесін К, ал жылж
ы
малы сана
ж
йесін К′ деп атайы
. К′ ж
йесі К ж
йесіне ара
анда еркін оз
алады деп арастырамыз. Бас
аша айт
анда К′ ж
йесі жылдамды
пен ілгерілемелі ж
не б
рышты
жылдамды
пен айналмалы оз
алады деп есе
п
тейік. М н
ктесіні
оз
алысын К ж
йесіне атысты радиус -
векторымен К′ жйесіне атысты радиус
-
векторымен аны
тайы
. Сонда ОМО′ шб
рышынан
(57)
болады (14
-
сурет).
К сана
ж
йесіні
бірлік векторларын деп белгілейік. К сана
ж
й
е
сі оз
алмайтын бол
анды
тан, бірлік векторлары шамасы жа
ынан да ба
ыты жа
ынан да т
ра
ты. К′ сана
ж
йесі еркін оз
алатынды
тан бірлік векторлар уа
ыт згерісіне байланысты ба
ытын згертіп отырады да шамасы жа
ынан т
ра
ты болады. М н
ктесіні
жылдамды
ын аны
тау шін, жылдамды
ты
аны
тамасы бойынша (57) рнектен уа
ыт бойынша туынды аламыз. (58)
м
нда
ы
(59)
нктені сана жйесіне атысты радиус
-
векторы бол
анды
тан
,
т
ра
ты. Сонды
тан -
дан уа
ыт бойынша алы
н
ан туынды мына
ан те
,
23
,
(60)
ал
(61)
бол
анды
тан б
дан уа
ыт бойынша алын
ан туынды мына
ан те
,
(62)
ал
(63)
бол
анды
тан ж
не м
нда
ы уа
ыт
а т
уелді функция бол
анды
тан осы ′ радиус -
векторынан уа
ыт бойынша алын
ан т
уындыны былай есептеп шы
арамыз,
.
(55) рнекпен аны
тал
ан П
уассон те
дігін олданып со
ы жа
шада
ы рнекті т
рлендіруге болады. Сонда
(64)
м
нда
ы
. (65)
Сонымен (60), (62) ж
не (64) рнектерді (58)
-
ші рнек
ке ойып М н
ктесіні
К сана
ж
йесіне атысты жылдамды
ын былай аны
таймыз:
(66)
Осы рнек н
кте оз
алысыны
жылдамды
тарын қ
осу теоремасы
деп аталады. М
нда
ы
(67)
н
ү
ктені
ң
ауыспалы жылдамды
ғ
ы деп аталады. Сонда (66) ө
рнектен
(68)
Н
ктені
жылжымайтын сана
ж
йесіне атысты оз
алысын абс
о
люттік қ
оз
ғ
алыс
деп ата
йды. Сонда (68) рнектегі -
арастырып отыр
ан н
ктені
абсолюттік жылдамды
ы болады. Н
ктені
жылжымалы сана
ж
йесіне атысты оз
алысын салыстырмалы деп атайды. Содан (68) рнектегі н
ктені
салыстырмалы жы
лдамды
ы болады. оз
алыста
ы н
кте жылжымалы сана
ж
йесіні
бір н
ктесіне бекітілгендегі оны
24
оз
алмайтын сана
ж
йесіне атысты оз
алысын ауыспалы қ
оз
ғ
алыс
деп атайды да, жылдамды
пен деуін ауыспалы деп атайды. (67) рнекке ара
анда н
ктені
ауыспа
лы оз
алысы екі м
шеден т
рады. Оны
біреуі (62) рнекте к
рсетілген жылжымалы сана
ж
йесіні
ілгерілемелі оз
алысыны
салдарынан болса, екіншісі осы жылжымалы сана
ж
йесіні
айналмалы оз
алысыны
салдарынан болады, Ол мына
ан те
.
Сонымен (68) рнекті былай т
жырымдаймыз; оз
алыста
ы н
ктені
а
б
солют жылдамды
ы оны
салыстырмалы жылдамды
ымен ауыспалы жылда
м
ды
ын
ы
геометриялы
осындысына те
.
Енді осы н
ктені
абсолюттік деуін аны
тайы
. Ол шін деуді
аны
тамасы бойынша
(66) рнекпен аны
талатын жылдамды
векторы
нан уа
ыт бойынша туынды алайы
,
(69)
(60) рнек бойынша, м
нда
ы
(70)
М н
ктесіні
абсолюттік деуі
. Енді (65) рнекті пайдаланып
Осы рнекті
со
ы жа
шасыны
ішіндегі осынды
а (55) рнекпен аны
тал
ан Пуассон те
дігін пайдаланса
, онда б
л рнекті былай жазу
а б
о
лады .
(71)
М
нда
ы
(69) рнекті
со
ы м
шесін былай т
рлендіруге болады.
Осы
ан (64) рнекті пайдаланса
, онда
.
(72)
Осы табыл
ан (70), (71), (72) рнектерді пайдаланып ж
не екіндігін ескере отырып (69) рнектен оз
алыста
ы н
ктені
абсолюттік деуін былай аны
таймыз
25
(
73)
м
нда
ы -
салыстырмалы деу.
(74)
Б
дан М н
ктесіні
ауыспалы деуі ш деуден т
ратынды
ын к
реміз, -
жылжымалы сана
ж
йесіні
ілгерілемелі оз
алысыны
салдарынан б
о
латын, жылжымалы сана
ж
йесіні
бір
алыпсыз айналмалы оз
алыс
ыны
салдарынан болатын ж
не -
центрге тар
т
ыш деуді
салдарынан болатын, ал
(75)
осымша деу немесе Кориолис деуі деп аталады. Б
л Кориолис деуіні
па
й
да болуы арастырып отр
ан М н
кте
сі
ні
бір уа
ыт
мезетінде екі оз
алыс
а бірдей атыс
атындыыны
салдарынан болады. Б
л осымша деу мынандай ш жа
дайда нольге те
болады:
1.
бас
аша айт
анда жылжымалы сана
ж
йесі тек ілгерілемелі оз
алса,
2.
я
ни М н
ктесі жылжымалы сана
ж
йесінде тынышты
та т
рса,
3.
болса, я
ни М н
ктесіні
жылжымалы сана
ж
йесіне атысты жылдамды
ыны
ба
ыты жылжымалы сана
ж
йесіні
б
рышты
жылдамды
ымен ба
ыттас болса.
26
III
ТАРАУ
Н
ЬЮТОН МЕХАНИКАСЫНЫ
Ң
НЕГІЗДЕРІ
Б
л тарауда біз динамиканы
негізгі за
дарын арастырамыз. Динамика -
классикалы
механиканы
е
к
рделі негізгі б
лімі. Бас
аша айт
анда, дин
а
мика -
денелер оз
алысын осы оз
алысты тудыратын себептермен байлан
ы
сты арасты
ратын механиканы
б
лімі.
Динамиканы
негізгі т
сініктері -
к
ш, масса, инерциалды сана
ж
йесі болады да, негізгі за
дары Ньютон за
дары, Галилейді
салыстырмалылы
принциптері. Динамиканы
осы т
сініктемелері мен негізгі за
дары Нюьто
н
ны
1687 жылы жазы
л
ан «
Табиат
философиясыны
математикалы
бастам
а
сы» деген е
бегінде келтірілген. Осыдан, классикалы
механиканы
даму
кезеі
ба
с
талады.
§1. К
ү
ш ж
ә
не масса туралы т
ү
сінік
Н
кте оз
алысыны
кинематикалы
сипаттамасынан, динамикалы
с
и
паттамасына к
шкен
кезде, жа
адан физикалы
ымдар енгізу ажет. Ондай ымдар
а: к
ш, масса, инерциалды
сана
ж
йесі жатады. Механикада ден
е
лерді
механикалы
оз
алысын арастыратыны белгілі. Денелерді
оз
алысы пайда болуы шін белгілі себептер болуы ажет. Қ
оз
ғ
алыс
д
егеніміз уа
ыт згерісімен байланысты денелерді
ке
істікті
бір н
ктесінен екінші н
ктесіне орын ауытыруы бола
ты
нды
тан, оны денелерді
з ара серлесу салдарынан, ол денелерді
оз
алыс
а келуі немесе формалары згеруі м
мкін. Бірінші жа
дайда денелерді
з ара сері динамикалы
қ
т
рде, екінші жа
дайда статик
а
лы
қ
т
рде беріледі деп атайды. Динамикалы
т
рде денелерді
з ара серіні
берілуі , сол денелерді
бір
-
бірімен жанас
ан кезінде ана болмайды, сонымен атар, ол денелер бір
-
бірінен белгілі ашы
ты
та т
р
анда да (
р т
рлі к
ш рістері серінен) болады, ал статикалы
сері денелерді
тек бір
-
бірімен тиіскен кезінде ана беріледі. Сонымен, к
ш -
денелерді
з ара мех
а
никалы
серіні
санды
м
ні болып табылады. Егер, денеге бірнеше к
штер сер етсе, онда ол к
штер -
к
штерді
беттесу принципіні
шарттарын оры
н
дау ажет. К
ү
штерді
ң
беттесу принципіні
ң
шарттары
мынадай: 1.
Кез келген бір денеге сер ететін к
штер, сол дене тынышты
та т
р
ма, немесе оз
алыста ма, о
ан байланысты емес, 27
ж
не сол сер ететін к
штерді
т
ріне де, санына да байланыссыз. Осыны к
ү
штерді
ң
т
ә
уелсіздік принципі
деп атайды. Осы принцип бойынша, н
ктеге т
сірілген бірнеше к
штерді
са
л
дарынан осы н
ктені
алатын деуі рбір к
шті
ту
ыз
ан деулеріні
геоме
т
риялы
осындысына те
. Мыса
лы:
,
м
нда
ы -
бірінші н
ктеге бас
а н
ктелер т
р
ысынан т
сірілген к
штер салдарынан пайда болатын деу.
2.
Кез келген н
ктеге, сер ететін бірнеше к
штерді
орыт
ы к
ші, осы сер етуші к
штерді
геометриялы
осындысына те
болады.
3.
Егер бір материалды
н
ктеге, орыт
ы к
ші нольге те
бірнеше к
штер сер ететін болса, онда ол н
ктені
механикалы
к
йі згермейді.
Осы жо
арыда келтірілген к
шті
аны
тамасын толы
деп есептеуге болмайды. йткені, к
шті
аны
тамасы толы
болуы шін, ол к
шті
сері андай физ
и
калы
шамалар
а байланысты болатынды
ын к
рсетуіміз керек
. Осы т
р
ыдан ара
анда, денені
массасы деген ым е
гізуіміз ажет. Шынды
ында да, белгілі бір к
шпен, бірнеше денеге сер ет
кен уа
ытта т
жірибелерді
к
рсетуіне ара
анда, осы т
сірілген серді рт
рлі денелерді
рт
рлі абылдайтыны белгілі.
Денелерді
здерін
е т
сірілген механикалы
серді
абылда
ыш абілетін, сол денені
инерттік массасы
деп атайды да m
u
-
деп белгілейді.
Т
жірибелерді
к
рсетуіне ара
анда Ньютон механикасыны
шегінде денені
инерттік массасы мынадай ш шартты орындауы ажет:
1.
Кез келген денеге сер етуші к
шті
, осы кшті
серінен денені
ал
ан деуіне атынасы т
ра
ты шама ж
не ол инерттік масса
а пропо
рционал бол
а
ды. Я
ни:
т
р.
(1)
2.
Релятивисттік емес механикада инертт
і
к масса аддитивті болады, бас
аша айт
анда кез келген к
рделі механикалы
ж
йені
массасы, осы ж
йені райтын массаларды
осы
ндысына те
болады
,
m
= m
1
+
m
2
+
m
3
+ …+
m
k
28
3.
Релятивисттік емес механикада /
υ
‹‹с/, денені
инерттік массасы мен, г
равитациялы
массасы те
болады
,
m
u
=m
г
Денені
салма
ы бойынша аны
тал
ан массасы
, сол денені
ауырлы
немесе гравитациялы
массасы дейді
,
(2)
§2. Ньютон за
ң
дары
Динамиканы
негізгі за
дарына Ньютон за
дары жатады. Ол т
жірибелерде
алын
ан мынандай за
дар:
Ньютоны
ң
бірінші за
ң
ы: Егер бір денеге бас
а денелер т
р
ысынан сер болмаса, онда ол зіні
тынышты
та
ы ж
не бір алыпты т
зу сызы
ты оз
алыста
ы к
йін са
тайды. Ол асиетті -
инерция
деп атайды. Сонды
тан Ньютонны
бірінші за
ы
инерция за
ы дейді.
Ньютоны
ң
екінші за
ң
ы: Денеге т
сірілген к
шті
серінен, сол денен
і
алатын деуі к
шке тура пропорционал да денені
массасына кері пропорционал.
(3)
осыдан
(4)
Ньютонны
екінші за
ы таби
атты
фундаменталды
за
ыны
бірі бол
а
ды
.
Олай деп аталатын себебін, келесі та
ырыптарда д
лелдейтін боламыз. Я
ни денеге т
сірілген к
ш ж
не сол денені
массасы белгілі болса, сол денені
оз
алыс за
ын
табуа болады
. Осы (4) рнекпен жазыл
ан Ньютонны
екінші за
ын, кезінде Ньютон з е
бегінд
е басаша т
рде келтірген. Релятивисттік емес
механикада масса т
ра
ты болты
нды
тан, (4) рнекті былай жазу
а болады.
.
(5)
М
нда
ы
(6)
денені
оз
алыс м
лшері немесе импульсі. Ньютонны
екінші за
ыны
(5) рнек бойынша жазыл
ан т
рі (4) рнек бойынша жазыл
ан т
ріне ара
анда мбебап болады, йткені (5) рнекті, денелерді
оз
алысы кезінде оны
ма
с
сасы згерсе де, згермесе де 29
олдану
а болады. Ал, (4) рнекті тек ана m
= const
бол
анда ана пайдаану
а болады.
Релятивисттік механикада /
υ
~c/ болан кезде,
болатыны белгілі. Сонды
тан, Нюьтонны
екінші за
ыны
(5) рнекпен ж
а
зыл
ан т
ріндегі импульс
(7)
болады.
Ньютонны
ң
ү
шінші за
ң
ы: Кез келген о
шаулан
ан екі денені
з ара сері, шамасы жа
ынан те
, ба
ыты жа
ынан арама
-
арсы болады да, сол д
е
нелерді осатын т
зуді
бойында жатады.
(8)
Ньютонны
шінші за
ында
ы осы сер етуші к
штер, жеке денелерге
т
седі. Бас
аша айт
анда бір денені
екінші денеге сер етуші к
шін, екінші денені
бірінші денеге арсы сер етуші к
ші деп арастыру
а болады.
§3. Инерциялды
қ
сана
қ
ж
ү
йесі. Галилейді
ң
салыстырмалылы
қ
принципі
Динамиканы
негізгі ымдарыны
бірі ин
ерциялды
қ
сана
қ
ж
ү
йесі
, ал негізгі за
дарыны
біріне Галилейді
ң
салыстырмалы
-
лы
қ
принципі
жатады. Бізге белгілі бір денені
оз
алысын сипаттау шін ол денені
оз
алысын бас
а денеге атысты арастыруымыз керек. Осы со
ы денелермен байл
а
ныс
ан координатт
ар ж
йесін сана
қ
ж
ү
йесі
деп атаймыз. Т
жірибелерді
к
рсетуіне ара
анда денелер оз
алыстарыны
за
далы
тары рт
рлі сана
ж
йесінде рт
рлі болады. Мысалы: кез келген бір сана
ж
йесін алатын бо
л
са
,
осы сана
ж
йесіне атысты механикалы
оз
алысты
е
арапайым т
рлеріні
за
ыны
зі к
рделі болып к
рінуі м
мкін. Сонды
тан денелерді
оз
алысын сипаттау кезінде сана
ж
йесін та
дап алуды
зі ерекше. Осындай сана
ж
йесін та
дап алуды ке
ң
істік
пен уа
қ
ытты
ң
симметриясымен байлан
ы
с
-
тыру
а болады. Шынында
да
кез келген сана
ж
йесіне атысты ке
істікті
біртектілік ж
не изотропты
ассиеттерімен уа
ытты
бертектілік асиеті орындал
-
мауы м
мкін. Сонды
тан жалпы ал
анда бізді
арастыратын сана
30
ж
йесінде ке
істік пен уа
ытты
жо
арыда келтірілген асиеттері орындалатын болуы керек. М
ндай сана
ж
йесінде материалды
н
кте зіні
тынышты
немесе бір
алыпты т
зу сызы
ты оз
ал
анда
ы к
йін са
тайтын болады. Осындай сана
ж
йесін инерциялды
қ
сана
қ
ж
ү
йесі
деп атайды. Инерциялды
қ
сана
қ
ж
ү
йесі
деп, тынышты
та т
р
ан немесе бір
алыпты т
зу сызы
ты оз
алыста
ы сана
ж
йесін
де
айту
а болады. Егер с
а
на
ж
йесі демелі оз
алыста болса, онда оны инерциялды
қ
емес сана
қ
ж
ү
йесі
деп атайды. Таби
атта инерциялды
сана
ж
йесі болмайды. Біра
о
ан жа
ын болатын гелиоцентрлі
к сана
ж
йесін атау
а болады. Ол
,
бас н
ктесі к
нні
центріне орналас
ан, ал координаттар осі жылжымайды деп есептелеті
ш ж
лдыз
а ба
ыттал
ан сана
ж
йесі. Ал бас н
ктесі жерді
центріне орн
а
лас
ан сана
ж
йесін геоцентрлік сана
қ
ж
ү
йесі
деп атаймыз. О
сы негізгі и
н
е
рциялды
сана
ж
йесіне атысты к
птеген денелер бір
алыпты т
зу с
ы
зы
ты оз
алыста болуы м
мкін. Осы денелермен байланыс
ан координаталар ж
йесінде инерциялды
сана
ж
йесі деп арастыру
а болады. Осыдан, осы
н
дай к
птеген инерциялды
сана
ж
йесінде де механикалы
оз
алыс за
дарыны
т
рі бірдей бола ма?, -
деген за
ды с
ра
туады. Осы с
ра
а Г
а
лилейді
салыстырмалылы
принципі жауап береді. Б
л принцип былай т
жырымдалады:
Механикалы
оз
алысты
барлы
за
дары кез келген инерциялды
с
а
на
ж
йесінде бірдей болады. Сонымен Галилейді
салыстырмалылы
при
н
ципі инерциялды
сана
ж
йелеріні
бір
-
біріне пара
-
пар е
ке
ндігін к
рсетеді. Математикалы
т
рде оны былай айтады: механикалы
оз
алысты
барлы
за
дары бір инерцияалды
сана
ж
йесінен, екі
нші инерциялды
сана
ж
йесіне к
шкенде ковариантты (формаларын згертпейді) болады. Б
ны д
лелдеу шін релятивистік емес механика
-
да
ы денелерді
бір
-
біріне сер е
т
кен уа
ытыны
бар
-
лы
сана
ж
йелерінде бірдей болатынын пайдалана
-
мыз. t
= t
/
Енді К ж
не
К
/
сана
ж
йесімен
М н
ктесін арас
-
тырайы
. К
/
-
ж
йесі К жйе
-
сіне ара
анда -
жылдам
-
ды
пен оз
алады деп есеп
-
31
тейік. 15
-
суреттегі ОМО
/
-
векторлы
б
рышы
-
нан:
(9
)
м
нда
ы Егер бастап
ы уа
ыт мезетінде К ж
не К
/
ж
йелеріні
бас н
ктелері бір н
ктеде орналас
ан ж
не К
/
сана
ж
йесіні
оз
алысы бір сті
бойымен ба
ыттал
ан болса, мыс
алы:
OX
с
іні
бойы
мен, онда (9) рнекті стерге пр
о
екциялай отырып, х=х`,+R
х0` ,
у=у`
,
z
=
z
` t
=
t
`
(10
)
Осы (10) рнекпен аны
талатын те
деулерді Галилейді
координаталы
т
рлендіруі деп атайды. (9) рнектен уа
ыт бойынша туынды алып
, н
кте оз
алысыны
жылдамды
ын былай аны
таймыз.
. (11)
1905ж. Эйнштейн зіні
жалпы салыстырмалылы
теориясын аш
аннан кейін осы теорияны
негізінде Галилейді
салыстырмалылы
принципін арастыра келіп, б
л принципті
тек ана механикалы
оз
алысты
за
дарына ана емес таби
атта кездесетін барлы
оз
алыс за
дары шін де д
рыс болаты
н
ды
ын д
лелдеген. Галилейді
салыстырмалылы
принципін Эйнштейн былай толы
тыр
ан
; к
ез келген инерциялы
с
ана
ж
йелерінде ф
и
зиканы
барлы
за
дары бірдей формада теді. Бас
аша айт
анда Галилейді
салыстырмалылы
принципін жылу оз
алыстарына да ж
не жары
оз
алыстарыны
да за
ына т.с.с. олдану
а болады. Сонды
тан Галилейді
сал
ы
стырмалылы
принципі б
кіл т
аби
атты
фундаменталды
принципіне жатады.
§4. Механикалы
қ
ж
ү
йе қ
оз
ғ
алысыны
ң
теңдеуі.
Массалары m
1
, m
2
, …
,
m
n
материалды
н
ктеден т
ратын механикалы
ж
йені
оз
алыс за
ын арастырайы
. Ол шін осы ж
йені
рбір н
ктесіні
оз
алысын аны
тайтын Ньюто
нны
екінші за
ына с
йкес дифференциалды
те
деуді былай жазу
а болады:
(i = 1;2;…;n)
(12)
Б
л те
деуді
о
жа
ында
ы -
к
ші ж
йеге сер е
тетін ішкі ж
не сырт
ы к
штерді
геометриялы
осындысына те
орыт
ы к
ш.
Механикалы
ж
йеге сер ететін сырт
қ
ы к
ү
ш деп ж
йені райтын н
ктелерге осы ж
йеде жатпайтын денелерді
серінен болатын к
шті айтамыз, оны деп белгілейміз.
Жалпы жа
дайда
32
Б
л сырт
ы к
ш уа
ыт
а, ж
йе н
ктелеріні
координаттарына ж
не жылда
м
ды
векторларына т
уелді болады деген с
з.
Механикалы
ж
йені райтын н
ктелерді
з ара сер к
шін ішкі к
ү
штер
деп атайды. Ішкі к
шті деп бел
гілейміз, о
л ж
не j
номерлерімен белгіленген н
ктелерді
з ара сер к
ші. Б
лар Ньютонны
III
-
ші заын ана
аттандырады. Я
ни , а
л -
б
л осынды
а j
=
i
деген м
ш
е кірмейтіндігін к
рсетеді. Сонымен ж
йеге сер ететін орыт
ы к
ш
.
Сонды
тан
(
i
=1,2,…
n
)
(13)
м
нда
ы
-
-
номерлі
н
ктені
(
масса
сы
) радиус
-
векторынан
уа
ыт
бойынша
алын
ан
екінші
туынды
бас
аша
айт
анда
осы
н
ктені
деуі
. О
сы
тедеу
материалды
н
кте
лер
ден
т
ратын
ме
ханикалы
ж
йені
дифференциалды
қ
те
ң
деуі
де
п
аталады
. Осы
те
деуді
шешу
ар
ылы
механик
а
лы
ж
йені
оз
алыс
за
ын
аны
таймыз
.
§5. Динамиканы
ң
негізгі
есептері
ж
ә
не
оны
ң
ал
ғ
ы
шарттары
.
Классикалы
қ
механиканы
ң
себептік принципі
Массалары m
1
, m
2
, …
m
n
н
ктелерден т
ратын механикалы
ж
йені
еркін оз
алысын арастырайы
.
Механикалы
ж
йені
еркін қ
оз
ғ
алысы
деп кез келген уа
ыт мезетінде осы ж
йені
рбір н
ктесіні
орын ауыстыруын
ж
не оларды
жылда
м
ды
қ
тарын
аны
тау
а болатындай оз
алысты айтамыз. Ж
йелерді
еркін емес оз
алыстарын кейін арастырамы
з. Бас
аша айт
анда, еркін оз
алыс деп ж
йе оз
алысын декартты
сана
ж
йесіне атысты арастыр
анда кез келген уа
ыт мезетінде оны
3
n
координаттарын ж
не 3
n
жылдамды
векторларыны
проекцияларын, я
ни
;
33
;
а
ны
тау
а
болатын
оз
алысты
айтамыз
. Механикалы
ж
йені
еркін
оз
алысын
аны
тау
шін
, оны
рбір
н
ктесіні
оз
алысын
аны
тайтын
д
и
ференциалды
те
деуді
Ньютонны
II
-
ші
за
ы
бойынша
былай
жазамыз
(
i
=1,2,…
n
)
(13)
Осы
те
деуді
шешуіне
анализ
жасай
келе
динамиканы
мынадай
негізгі
екі
есебі
бар
екіндігін
к
реміз
:
1.
Динамиканы
ң
негізгі
есебі (тура);
2.
Динамиканы
ң
кері
есебі.
Динамиканы
негізгі есебінде механикалы
ж
йеге сер ететін ішкі к
штер -
, сырт
ы к
штер ж
не масса m
i
-
белгілі деп есептеп, осы ж
йені
оз
алыс за
ын табу керек. Б
ны табу шін (13) те
деуді
x
,
y
,
z
осьтеріне проекцияларынан шы
атын мынандай дифференциалды
те
деулер ж
йесін шешу керек:
(
i
=1,2,…
n
) (13
’
)
Динамиканы
кері есебінде ж
йені райтын н
ктені
массалары m
i
ж
не оларды
оз
алыс за
дары -
белгілі деп есептеп, осы ж
йеге с
ер ететін орыт
ы к
шті табу керек. Динамиканы
б
л есебін н
ктелерді
радиус
-
векторларынан уа
ыт бойынша екі рет туынды алып оны н
ктелерді
массаларына к
бейту ар
ылы шешуге болады. Я
ни
(
i
=
1,2,…
n
)
Сонымен
динамиканы
кері
есебін
шешу
шін
берілген
радиус
-
вектордан
уа
ыт
бойынша
екі
рет
туынды
алу
жеткілікті
. М
нда
динамиканы
негізгі
есебін
шешу
иын
а
со
ады
, йткені
ол
(13
’
) тендеуінен
екі
рет
интеграл
алуды
ажет
етеді
. Сонымен
динамикан
ы
негізгі
есебін
шешу
кезінде
кездесетін
кейбір
иыншылы
тарды
алдын
алу
шін
мынадай
бір
дербес
есепті
арастырайы
.
34
Массасы
m
материалды
н
кте
біртекті
ауырлы
к
шіні
серінен
оз
алатын
болсын
. Осы н
ктені
оз
алыс за
ын та
байы
.
Егер декартты
сана
ж
йесін
мына (16
-
суретте) к
рсетілгендей алса
,
онда осы н
ктені
оз
алыс
ы
н
аны
тай
-
тын дифференциалды
тендеулер (13
’
) тендеуге с
йкес былай жазылады:
Осыдан н
ктені
оз
алыс за
ыны
сол н
ктені
массасына т
уелсіздігін к
реміз. Осы те
деуден уа
ыт бойынша интеграл алып н
ктені
оз
алыс за
ын былай аны
таймыз:
(14)
с
1
, с
2
,… с
6
-
т
ра
ты сандар.
Осы тед
еуден н
кте оз
алысыны
траекториясы , сь
теріне атысты т
зу сызы
ты, ал сіне атысты парабола ек
е
ндігін к
реміз.
Сонды
тан с
1
, с
2
,… с
6
-
т
ра
ты сандар
а рт
рлі к
птеген м
ндер бе
ре от
ы
рып, біз бірнеше т
зу сызы
тарда
ж
не параболаларда
иылыс
ан рт
рлі исы
тар аламыз. Ол исы
тар арастырылып отыр
ан н
ктені
траект
о
рияларын к
рсетеді.
Сонымен н
ктеге оз
алыс тудыратын к
ш белгілі болса, ол сол н
ктені
траекториясын д
л аны
тау
а жеткіліксіз. Жа
а
ы т
зу сызы
тармен параб
о
лаларды
иылысуынан шы
атын исы
тарды
айсысы н
ктені
шы
трае
к
торисына с
йкес келетіндігін к
рсету шін н
кте оз
алысыны
ал
ы шартт
а
рын білу керек.
Н
кте оз
алысыны
ал
ғ
ы шарттары
деп бастап
ы уа
ы
т мезе
тіндегі н
ктені
т
р
ан орыныны координатысы
мен сол н
ктені
жылдамды
векторыны
координат стеріне прое
к
циялары
-
ны
шамасын білуіміз керек. Мысалы: арастырылып отыр
ан есепте, (15)
35
Сонда осы ал
ы шарттарды пайдаланып (14) рнектен c
2
=0, c
4
=0, c
6
=0 екендігін ж
не с
1
=
υ
0
cos
α
, c
3
=
υ
sin
α
, c
5
=0 екендігін к
реміз. Сонды
тан
оз
алыс
тедеуін
(14) рнекті
былай
жазамыз
:
Б
л н
кте оз
алысыны
те
деуі болад
ы. Осыдан уа
ытты жойса
н
кте оз
алысыны
траекториясын табамыз
,
Сонымен
н
кте
оз
алысыны
ал
ы
шарттары
белгілі
болса
ана
осы
н
кте
оз
алысын
тудыратын
к
шті
серінен
сол
н
ктені
траектори
я
сын
д
л
аны
тау
а
болады
.
Енді
ди
намиканы
негізгі
есебін
шешуге
к
шейік
. Егер
(13) те
деулеріні
шешімі
болатын
болса
, онда
оны
векторлы
т
рде
былай
рнектеуге
болады
:
(
i
=1,2,…
n
)
(16)
м
нда
ы
,
с
1
, с
2
,…с
6
n
-
т
ра
ты сандар. Олар мына ал
ы шарттардан аны
талады
,
(15`)
(16) рнектен уа
ыт бойынша туынды алып ж
йені райтын н
ктелерді
оз
алыс жылдамды
тарын былай жазамыз:
(
i
=1,2,… n
)
(17)
(
16), (17) рнектерге (15
/
) ал
ы шарттарды пайдаланып былай жазамыз:
(
i
=1,2,…
n
)
Б
л 6
n
т
ра
ты сандар
а атысты 6
n
-
алгебралы
дифференциалды
те
деу. Осы тендеуді шешу ар
ылы с
6
n
т
ра
тыларды былай табамыз:
(18)
Енді осы табыл
ан т
ра
ты сандар м
нін (16), (17) рнектерге ойып механик
а
лы
ж
йені райтын н
ктелерді
орын ауыстыруын ж
не оларды
оз
алыс жылдамды
тарын былай аны
таймыз;
(19)
36
Динамиканы
негізгі есебіні
шешу жолын талдай отырып мынандай орытындылар шы
ару
а болады:
Кез келген уа
ыт мезетінде механикалы
ж
йені
еркін оз
алысын аны
тау шін оны райтын н
ктелерді
ради
у
с
-
векторларын ж
не оз
алыс жы
л
дамды
тарын аны
таса
жеткілікті.
Егер механикалы
ж
йені райтын н
ктелерді
оз
алыс за
дары бастап
ы уа
ыт мезетінде белгілі болса, онда оларды
келешектегі кез келген уа
ыт мезетіндегі оз
алыс за
дарын Ньютонны
II
-
ші за
ы бойынша аны
талатын дифференциалды
те
деуді шешу ар
ылы табу
а болады.Осыны классикалы
қ
механиканы
ң
себептік принципі
деп атайды.
37
IV
ТАРАУ
Б
Ө
ЛШЕКТЕР ДИНАМИКАСЫ. ДИНАМИКАНЫ
Ң
НЕГІЗГІ ТЕОРЕМАЛАРЫ
Механикалы
ж
йе оз
алы
сын зерттеу шін осы механикалы
ж
йені
қ
оз
ғ
алыс м
ө
лшерімен
ж
не ос
ы ж
йеге т
сірілген к
ү
ш ә
серінің
арасында
ы байланысты арастыру керек. Ол шін қ
оз
ғ
алыс м
ө
лшері
ж
не к
ү
ш ә
серіні
ң
м
ө
лшері
деген ымдар енгізу керек. Механикалы
ж
йені
оз
алыс м
лшер
іне мыналар жатады.
1.
Векторлы
шама -
оз
алыс м
лшері (импульс),
2.
Скалярлы
шама -
кинетикалы
энергия.
Ал ж
йеге т
сірілген к
ш серіні
м
лшеріне мыналар жатады. 1.
Векторлы
шама -
к
ш импульсі,
2.
Скалярлы
шама -
к
ш ж
мысы.
Механикалы
ж
йені
оз
алыс м
л
шерімен о
ан т
сірілген к
ш сері м
лшеріні
арасында
ы байланыс динамиканы
негізгі теоремаларында арастырылады. Осы теоремалардан к
ү
штерді
ң
белгілі бір дербес жа
ғ
дайларында механикалы
ж
йе оз
алысын сипаттайтын шамаларды
т
ра
ты болып алатын жа
дайы
болады. М
ны осы шамаларды
са
қ
талу за
ң
ы деп атайды. Енді осы динамиканы
негізгі теоремаларына ж
не оз
алыс м
лшеріні
шамаларына жеке
-
жеке то
талайы
.
Бізге белгілі кез келген механикалы
ж
йені
оз
алысын ілгерілемелі
ж
не айналмалы
деп екіге б
луге болады. М
нда ілгерілемелі оз
алыс, ве
к
торлы
шама -
оз
алыс м
лшерімен сипатталатын болса, ж
йені
айналмалы оз
алысы, вектолы
шама -
оз
алыс м
лшеріні
моментімен (кинетикалы
моментімен) сипатталады.
§1. Нүктені
ң
қ
оз
ғ
алыс м
ө
лшері (импульс), қ
оз
ғ
а
лыс м
ө
лшеріні
ң
м
о
менті (импульс моменті) ж
ә
не кинетикалы
қ
энергиясы.
Массасы m
н
ктені
оз
алыс м
лшері -
векторлы
шама, ол н
ктені
массасы мен жылдамды
векторыны
к
бейтіндісіне те
,
(1)
Егер массалары m
1
, m
2
, …
m
n
н
ктелерден т
ратын механикалы
ж
йені
оз
алысын арастыратын болса
, онда ж
йені
оз
алыс м
лшері осы ж
йені райтын материалды
н
ктелерді
оз
алыс м
лшеріні
осындысына те
;
38
(2)
Массасы m
н
ктені
кинетикалы
энергиясы деп
сол
н
ктені
массасы мен жылдамды
ыны
квадратыны
к
бейтіндісіні
жартысына те
скалярлы
ш
а
маны айтады,
(3)
Механикалы
ж
йені
кинетикалы
энергиясы деп осы ж
йені райтын материалды
н
ктелерді
кинетикалы
энергияларыны
осындысына те
ск
а
лярлы
шаманы айтады,
.
(4)
К
ү
ш импульсі
ж
йеге
т
сірілген к
ш серін сипаттайтын векторлы
ш
а
ма. Ол шамасы жа
ынан ж
йеге т
сірілген к
шті сол к
ш сер еткен уа
ыт
т
ы к
бейтіндісіне те
.
(5)
К
ү
ш ж
ұ
мысы
ж
йеге т
сірілген к
шті
серін
сипаттайтын скалярлы
шама. Ол шамасы жа
ынан ж
йеге т
сірілген к
шпен осы к
шті
серінен ж
йені
орын ауыстыр
ан кездегі орын ауыстырудын шамасыны
скалярлы
к
бейтіндісіне те
.
(6)
Ж
йені
айналмалы
оз
алысын сипаттайтын векторлы
шама -
оз
алыс м
лшеріні
моменті (кинетикалы
моменті) болып табылады. Осы кинетик
а
лы
моментіні
аны
тамасын екі т
рлі бер
уге болады;
Массасы m
н
ктені
осы н
ктеден ашы
ты
та т
р
ан полюс деп а
тал
а
тын 0 н
ктесіне атысты кинетикалы
м
о
менті деп, осы н
ктені
радиус
-
векторымен оз
алыс м
лшеріні
вектолы
к
бейтіндісіне те
шаманы айтады.
(7)
Н
ктені
ське атысты кинетикалы
моменті деп осы н
ктені
полюске атысты моментіні
полюс ар
ылы тетін оське т
сірілген проекциясын айтады
(17
-
сурет)
.
векторыны
сіне проекциясы.
Енді осы оз
алыс м
лшерін сипа
ттайтын шамаларды
згерісін жеке
-
жеке арастырайы
.
39
§2. Н
ү
ктені
ң
қ
оз
ғ
алыс м
ө
лшеріні
ң
ө
згерісі туралы теорема
Массасы m
материалды
н
ктені
белгілі бір к
шіні
серінен бол
а
тын оз
алысын арастырайы
. Н
ктені
м
ндай оз
алысын
зерттеу шін Ньютонны
II
-
за
ына с
йкес мынандай
дифференциалды
те
деу жазамыз,
m
-
т
ра
ты шама бол
анды
тан, б
л те
деуді былай жазу
а болады.
(8)
о
сыдан мынандай т
жырым жасау
а болады;
Н
ктені
оз
алыс м
лшеріне
уа
ыт бойынша алын
ан туынды осы н
ктеге сер ететін к
штерді
орыт
ы к
шіне те
.
Массасы m
1
, m
2
, …
m
n
н
ктелерден т
ратын механикалы
ж
йені арастыратын болса
м
ндай ж
йе шін мынадай теор
ема т
жырымдау
а б
о
лады;
Теорема:
Механикалы
ж
йені
оз
алыс м
лшеріне
уа
ыт бойынша алын
ан туынды осы ж
йеге сер ететін сырт
ы к
ш
терді
бас векторына те
болады,
.
(9)
Енді осы тео
реманы д
лелдейік. Ол шін арастырып отыр
а
н
ж
йені
массасы m
i
н
ктесі шін Ньютонны
II
-
за
ына с
йкес дифференциалды
те
деу жазайы
. Ол мына
ан те
,
(i=1,2,… n)
м
нда
ы
н
к
тесіне сер ететін сырт
ы к
штерді
орыт
ы к
ші.
-
m
i
н
ктесіне сер ететін ішкі к
штерді
орыт
ы к
ші.
Осындай тендеуді механикалы
ж
йені
рбір н
ктесі шін жазып оларды зара осатын болса
, онда арастырып отыр
ан механикалы
ж
йені
оз
алысын аны
тайтын мынандай те
деу аламыз:
40
м
нда
ы
механикалы
ж
йеге сер ететін сырт
ы к
штерді
бас векторы
деп аталады, ал механикалы
ж
йеге сер ететін ішкі к
штерді
осындысы. Ол Ньютонны
III
-
за
ы бойынш
а нольге те
болады. Сонымен со
ы рнек (9) рнекпен пара
-
пар е
ке
ндігін к
реміз. Сонды
тан те
о
рема д
лелденді деп есептеуге болады.
§3. Н
ү
ктені
ң
қ
оз
ғ
алыс м
ө
лшері моментіні
ң
ө
зг
ерісі туралы теорема
Енді материалд
ы
н
ктені
оз
алыс м
лшері моментіні
згірісі туралы теореманы арастырайы
. Ол теорема былай о
ылады:
оз
алыс м
лщері моментіне
уа
ыт бойынша алын
ан туынды осы оз
алысты ту
ызатын сырт
қ
ы к
ү
штерді
ң
моментіне те
. Осы теореманы д
лелдейік. Ол шін
н
ктені
оз
алысын аны
тайтын дифференциалды
те
деуді жазайы
,
Осы те
деуді
екі жа
ында н
ктені
радиус
-
векторына векторлы
т
рде к
бейтейік. Сонда
(10)
м
нда
ы
,
-
н
ктеге атысты к
ш моменті деп аталады да, былай белгіленеді,
.
Енді алдын ала мынандай бір атысты арастырайы
.
йткені жне m
векторы
коллинеар бол
анды
тан, оларды
векторлы
к
бейтіндісі нольге те
, .
Сонымен
,
осы сон
ы рнекті (10) рнекпен салыстырса
, онда
41
, .
(11)
м
ндаы
,
о
залыстаы нктені О нктесіне атысты импульс мо
менті.
Сонымен
,
теорема д
лелденді.
§4. Н
ү
ктені
ң
кинетикалы
қ
энергиясыны
ң
ө
згерісі туралы теорема
Енді н
ктеніні
кинетикалы
энергиясыны
згерісін арастырайы
. Ол шін оз
алысты сипатт
айтын дифференциалды
те
деуді жазайы
та оны
екі жа
ында н
кте оз
алысыны
жылдамды
векторына скаляр т
рде к
бейтейік. Сонда
.
Б
л те
деуді
сол жа
ын былай т
рлендіруге болады.
.
М
нда
ы
н
ктені
кинетикалы
энергиясы, уатты
ш
а
масын к
рс
етеді. Cонды
тан, со
ы рнекті былай жазу
а болады,
.
Осы те
деуді
екі жа
ынан интеграл алса
, онда былай болады, немесе
(12)
м
нда
ы А -
сырт
ы к
штерді
ж
мысы. Осы (12) рнек н
ктені
кинетикалы
энергиясыны
згерісі туралы теореман
ы т
жырымдайды да былай о
ылады;
Материалды
н
ктені
кинетик
алы
энергиясыны
зг
ерісі сырт
ы к
штерді
ж
мысына те
.
42
§5. Н
ү
ктені
ң
қ
оз
ғ
алыс м
ө
лшеріні
ң
, қ
оз
ғ
алыс м
ө
лшері моментіні
ң
ж
ә
не кинетикалы
қ
энергиясыны
ң
са
қ
талу за
ң
дары.
Жо
арыда айтыл
ан оз
алыс м
лшерін сипаттайтын шамаларды
згерісі туралы теорема
ларды пайдаланып осы шамаларды
са
талу за
дарын аны
тау
а болады. Шынды
ында б
л теоремалар
а с
йкес осы шамалар са
талады сол уа
ытта егер н
ктеге сер етуші сырт
ы к
штерді
орыт
ы к
штері нольге те
болса. Сонымен (8) рнектен егер нольге те
болса, .
Ал (9) рнекте те
болса,
(13)
б
л оз
алыс м
лшеріні
са
талу за
ы.
(11) рнектен те
болса, онда т
ра
ты (14)
Б
л оз
алыс м
лшері моментіні
са
талу за
ы. Осы векторлы
те
деуді ox
, oy
, oz
стеріне проекциялайтын
б
олса
, онда біз ш скалярлы
те
деу аламыз:
(15)
(12) рнекті пайдаланып те
болса, онда Е
к
=
т
р
(16) б
л энергияны
са
талу за
ы болып табылады.
43
V
ТАРАУ
Б
Ө
ЛШЕКТЕР Ж‡ЙЕСІНІ
Ң
ДИНАМИКАСЫ
§1. Қ
оз
ғ
алысты
ң
диффер
енциалды
қ
те
ң
деуіні
ң
бірінші ж
ә
не екінші интегралы туралы т
ү
сінік
Массалары m
1
, m
2
, … m
n
материалды
н
ктелерден т
ратын механикалы
ж
йе оз
алысыны
дифференциалды
те
деуін Ньютонны
екінші за
ына с
йкес былай жазамыз:
(
i
=1
,2,3,… n
)
,
(1)
м
нда
ы -
ж
йеге сер ететін сырт
ы ж
не ішкі к
штерд
і
геометриялы
осындысына те,
(
i
=1,2,… n
)
.
(2)
ткенде III
-
тарауды бесінші та
ырыбында айт
анымыздай осындай ж
йені
оз
алысын аны
тау шін осы ж
йені райтын н
к
телерді
3
n
коо
р
динаталарын ж
не 3
n
жылдамды
векторыны проекцияларын білуіміз керек. Бас
аша айт
анда,
немесе
(3)
Механикалы
ж
йе оз
алысы кезінде (3)
-
рнекпен аны
талатын пар
а
метрлерді
р
айсысы уа
ыт бойынша згереді. Біра
та осы параметрле
р
ден т
уелді болатын кейбір функция ж
йе оз
алысы кезінде згермей т
ра
ты б
о
лып
алады. Осындай функцияны оз
алысты
дифференциалды
те
деуіні бірінші интегралы
деп атайды. М
ны былай жазу
а болады;
=
т
р.
(4)
-
т
ра
ты шама ал
ы шарттар бойынша аны
талады. Со
нымен ж
йе н
ктелеріні
координаттарына, жылдамы
ына ж
не уа
ыт
а т
уелді болатын f
α
функция ж
йені
оз
алысы кезінде згермейтін болса, ондай функцияны оз
алысты диффенциялды
те
деуіні
бірінші интегралы
деп атайды. Жалпы ал
анда оз
алысты
бірінші и
нтегралыны
саны S
≤6
n
болады. Егер ж
йені
оз
алысын аны
тайтын дифференциалды
тендеуді айнымалылар
а толы
айыру
а болатын болса, онда S
=6
n
болады. Шынында да егер (1) тендеуді
а
й
нымалыларын айыру
а болатын болса, онда б
л те
деулер ж
йесін шешуге б
о
ла
ды ж
не оны шешімін мына т
рде жазу
а болады;
44
(
i
=1,2,3,…, n
)
,
(5)
м
нда
ы с
1
, с
2
, …,с
6
n
-
т
ра
ты сандар. Осы (5) -
рнектен уа
ыт бойынша туы
н
ды алып жылдамды
векторын табамыз; (
i
=1,2,
3,…, n
)
.
(6)
Осы со
ы (5), (6)
-
рнектерді біріктіріп шешіп, онда
ы с
α
-
т
ра
ты шамаларды аны
тау
а болатын рнекті былай табу
а болады,
(
α
=
1,2,…, 6
n
)
,
м
нда
ы
.
Механикалы
ж
йе оз
алы
сыны
дифференциалды
те
деуіні бірінші интегралы мен оса, оны
екінші интегралы да болады. Ж
йе оз
алысыны
диффенциалды
те
деуіні
екінші интегралы
деп ж
йені райтын н
ктелерді
координаттарына, 3
n
т
ра
ты шама
а ж
не уа
ыт
а т
уелді функцияны ай
тады, егер б
л функция оз
алыс кезінде т
ра
ты м
нін са
тайтын болса,
= т
р
.
(7)
Шынын айт
анда механикалы
ж
йе оз
алысыны
бірінші ж
не екінші интегралдарыны
барлы
ы бірдей механикада ма
ызды роль ат
арады деп а
й
ту
а болмайды. Оларды ішінде кейбіреулері ке
істік пен уа
ытты
симме
т
риялы
асиетіне байланысты, бас
аша айт
анда олардын біртектілік, изотро
п
ты
асиеттеріне байланысты т
ра
ты болып алатын оз
алысты
осындай бірінші интегралдарын жеке топ
а б
ліп алады да, оларды са
талу за
дары деп атайды,
= т
р
.
(8)
М
ндай са
талу за
дарына энергияны
, оз
алыс м
лшеріні
ж
не оз
алыс м
лшері моментіні
са
талу за
дары жатады.
§2. К
ү
ш ж
ұ
мысы. К
ү
ш ө
рісіні
ң
потенциалдылы
ғ
ы ж
ә
не потенциалды
қ
энергия
К
ш ж
мысы денеге т
сірілген к
ш серін сипаттайтын скалярлы
қ
шама
. Ол осы денені
кинетикалы
энергиясыны
сімшесіне те
. Кеністікті
бір О
н
ктесінде к
ш центрі орналас
ан деп есептейік
(18
-
сурет)
. Сонда осы центрді айналасында
к
ш рісі пайда болады.
Осы рісте т
р
ан кез келген
материалды
н
ктеге белгілібір к
ш сер етеді. Осы 45
к
шті
серінен материалды
н
кте
оз
алыс
а келеді, я
ни арастырып отыр
ан н
кте рісті бір н
ктесінен екінші н
ктесін
е орын ауыстырады.
Сонымен массасы m
н
ктені рісті
бір А н
ктесінен В н
ктесіне орын ауыстыр
ан кездегі к
шті
жасайтын ж
мысын табайы
. Ол шін осы АВ жо
л
ды са
б
л
і
ктерге б
лейік те, ос
ы
б
л
і
ктегі элементар ж
мысты т
а
байы
. Ол
(9)
М
нда
ы -
арастырылып отыр
ан н
ктені
радиус
-
векторыны
сімшесі.
Кеістікті
А н
ктесінен В н
ктесіне дейін орын ауыстыр
ан кездегі к
ш рісіні
жасайты
н толы
ж
мысы са
б
л
і
ктердегі элементар ж
мыс
т
ы осындыларына те
. Сонды
тан
.
(10)
Математикалы
анализ курсынан белгілі (10)
-
рнекпен аны
талатын исы
сызы
ты интегралды
м
ні
арастырып отыр
ан н
ктені
, рісті А н
ктесінен В н
ктесіне дейінгі орын ауыстыру жолыны
т
ріне байланысты б
о
луы да немесе байланысты болмауы да м
мкін. Егер жо
арыда
ы исы
с
ы
зы
ты интегралды
м
ні орын ау
ыстыру жолына байланысты болмаса, онда (9) -
рнекпен аны
талынатын элементар ж
мысты н
ктені
координатына ана т
уелді болатын бір U
(
x
,
y
,
z
) скаляр функцияны
толы
дифференциалына те
деп алу
а болады,
. (11)
Сонда толы
ж
мыс (10) -
рн
ек бойынша, .
(12) Осыдан толы
ж
мыс н
ктені
координатына т
уелді U
(
x
,
y
,
z
) функци
я
сыны
бастап
ы ж
не со
ы н
ктедегі м
ндеріні
айырмасына те
екендігін к
реміз.
Жо
ар
ы (11), (12)
-
ші атыстарды ана
ат
тандыратын к
ш рісін поте
н
циалды
қ
к
ү
ш ө
рісі
деп атаймыз да, м
нда
ы U
(
x
,
y
,
z
) функциясын осы к
ш рісінде т
р
ан материалды
н
ктені
потенциалды
қ
энергиясы
деп атаймыз. Егер н
ктені оз
алыс
а келтіретін к
ш белгілі болса, онда осы н
ктені
п
о
тенциалды
э
нергиясын (12)
-
рнекке с
йкес былай аны
тау
а болады,
(13)
Осыдан потенциалды
энергияны
аддитивті шама екендігін к
реміз, бас
аша айт
анда потенциалды
энергияны
м
ні С
-
т
ра
ты 46
шама
а байлан
ы
сты, б
л шаманы аны
тау шін н
ктені
ал
аш
ы кездегі т
р
ан орнын білу керек. Сонымен кез келген материалды
н
ктені
потенциалды
энергясыны
болуы сол н
кте т
р
ан к
ш рісіні
потенциалды болуымен байланысты.
Енді осы к
ш рісіні
потенциалдылы
ыны
дифференциалды
шартын табайы
. Ол шін жо
ырыда ай
анда
ымыздай (10)
-
рнекпен аны
талынатын исы
сызы
ты интегралды
м
ні ж
рген жол
а т
уелсіз болатынды
ын еске
р
сек, онда б
л интегралды
м
ні т
йы
контур бойынша нольге те
, .
О
с
ыдан Сто
кс теоремасы бойынша беттік инт
еграл
а к
шсек, онда
.
М
н
да
ы
т
йы
контур керіп т
р
ан бет. Б
л шарт кез келген бет шін орындалатынды
тан ж
не ол нольге
те
болма
анды
тан
(14)
болуы керек.
Осы (14) -
рнек орындалатын болса, м
ндай к
шті
рісі потенциалды болып табылады. Сонды
тан (14) -
рнекті потенциалды
рісті
дифференц
и
алды
шарты
деп атайды. Математикалы
анализ курсынан белгіл
і
.
Осыны пайдаланып (14)
-
рнекті (
x
,
y
,
z
) с
ь
теріне проекциялайтын болса
, онда
.
(14
/
)
Осыдан н
ктеге сер ететін к
шті
ox
, oy
, oz
с
те
ріне проекциялары (14
/
)
-
шартты ана
аттандыратын болса, ондай к
шті
рісін потенциалды
қ
ө
ріс
деп атайды. (14) ж
не (14
/
)
-
рнекті ана
аттандыратын потенциалды
к
ш рісі йынды ріс емес екендігін к
реміз. Егер болмаса, м
ндай к
ш
рісін қ
ұ
йынды ө
ріс
деп атайды. Матанализ курсынан белгілі
болатынды
ын ескерсек ж
не оны (14)
-
рнекпен салыстырса
, онда, ,
(15)
екіндігін к
реміз. Б
дан былай ар
ай егер арастырып отыр
ан к
шті
рісі п
о
тенциалды болса, онда ол рісті ту
ызатын к
шті былай жазамыз:
47
.
(15
/
)
М
нда
ы
.
(16)
Б
дан былай арай ос
ы белгілерді
ішінен к
ш рісі потенциалды болса
,
онда к
шті былай жазатын боламыз;
.
(17)
Кез келген н
ктесінде потенциалды
энергия т
ра
ты болатын бетті э
к
випотенциалды бет
деп атайды, немесе потенциал дегейі т
ра
ты бет деп атайды. (17) -
рнек бойынша н
ктеге сер ететін к
ш р уа
ытта эквипотенц
и
ал бетке перпендикуляр ж
не потенциалды
энергияны
азаю жа
ына арай ба
ытталады.
Потенциалды
к
ш рістері оларды
физикалы
ма
ы
насына а
рай рт
рлі болады. Соларды жеке арастырайы
.
1. Біртекті ө
ріс.
Біртекті ріс деп -
т
ра
ты болатын рісті айтамыз. Б
л рісте (13) -
рнекке с
йкес н
ктені
потенциалды
нергиясы:
.
Егер н
ктеге сер ететін
к
шті
ба
ыты декартты
координат ж
йесіндегі oz
сімен ба
ыттал
ан болса, онда
.
Осыдан z
=
т
ра
ты жазы
ты
ына параллель
ox
y беті эквипотенциал бет бол
а
ды. Біртекті
ріске
жазы
конденсаторды
астарларыны
арасында
ы
электр
рісі
ж
не
жерді
тартылу
к
ші
рісі
жатады
.
2. Аксиалды -
симметриалды ө
ріс.
Аксиалды
-
симметриалды ріс деп
к
ш рісін айтады. М
нда
ы -
арасты
рып отыр
ан н
ктені
симметрия сі деп аталатын декартты
координаттар
ж
йесіндегі oz
сінен ара
ашы
ты
ы. Аксиалды
-
симметриалды
рісті мысалы ретінде, бойымен ток ж
ріп т
р
ан шексіз зын ткізгішті
тудыратын электр рісін айту
а болады. Б
л рісте (13) -
рнекке с
йкес потенциалды
энергия
.
Осыда
н эквипотенциалды бет =
т
ра
ты б
о
латын оакциалды цилиндр екендігін к
реміз.
3. Орталы
қ
-
симметриялы
қ
ө
ріс.
Орталы
-
симметриялы
ріс деп
48
к
шті
рісін айтады. Орталы
-
симметриялы
рісті тудыратын к
штерге н
ктелік зарядты электростатикалы
к
ші, денелерді
гравитациялы
тарт
ы
лыс к
ші ж
не серпімділік к
ші жатады. Осы рістегі потенциалды
энергия (13) -
рнекке с
йкес
.
Осыдан эквипотенциал бет деп радиусы r
=
т
р
а
ты сфералы
бетті айту
а болады. Осы жо
арыда айтыл
андарды арастыра отырып, м
нда
ы F
ж
не U
уа
ыт
а тікелей байланысты емес екендігін к
реміз, м
ндай к
ш рісін стаци
о
нарлы
қ
к
ү
ш ө
рісі
деп, ал уаытка байланысты болса, ондай к
ш рісін стационарлы
қ
е
мес к
ү
ш ө
рісі
деп атайды.
Егер біз массалары m
1
, m
2
, … m
n
зара серлесетін н
ктелерден т
ратын механикалы
ж
йені арастыратын болса
, онда м
ндай ж
йені
толы
поте
н
циалды
энергиясын, осы ж
йеге сер ететін сырт
ы ж
не ішкі к
штерді
т
у
дыратын потенциа
лды
энергияларыны
осындысы ретінде жазу
а болады, .
(18)
М
нда
ы
(19)
. (20)
Осы (19) ж
не (20)
рнектермен аны
талатын U
(
e
)
ж
не U
(
i
)
-
с
йкес сырт
ы ж
не ішкі к
штерді
потенциалды
энергиялары. Б
дан былай арай егер арастырып отыр
ан механикалы
ж
йе потенциалды к
ш рісінде оз
алатын болса, онда ол ж
йені
оз
алысын аны
тайтын дифференциалды
те
деуді былай жазамыз:
.
(i=1,2,… n)
(21)
М
нда
ы
Таби
атта
кездесетін
барлы
механикалы
ж
йелерді
мынадай
т
рт
топ
а
б
луге
болады
;
1. Т
ұ
йы
қ
немесе
о
қ
шаулан
ғ
ан
ж
ү
йе
.
М
ндай
ж
йені
толы
потенциалды
энергиясы
осы
ж
йені
райтын
са
б
лшектерді
зара
серінен
болатын
(
ішкі
к
штер
) потенциалды
энергиядан
т
рады
. Бас
аша
айт
анда
ішкі
потенциалды
энергиядан
т
рады
;
49
.
2. Сырт
қ
ы
к
ү
штерді
ң
стационар
поте
нциалды
қ
к
ү
ш
ө
рісінде
т
ұ
р
ғ
ан
ж
ү
йелер
.
М
ндай
ж
йелерді
толы
потенциалды
энергиясы
сырт
ы
ж
не
ішкі
к
штерді
серінен
болатын
потенциалды
энергияларды
осындысына
те
болады
, біра
сырт
ы
к
шті
серінен
болатын
потенциалды
энергия
уа
ыт
а
тікелей
ба
йланысты
болмайды
;
.
3. Сырт
қ
ы
к
ү
штерді
ң
стацио
н
а
р
емес
потенциалды
қ
к
ү
ш
ө
рісінде
т
ұ
р
ғ
ан
ж
ү
йелер
.
М
ндай
ж
йелер
шін
сырт
ы
к
штер
серінен
болатын
потенциалды
энергия
уа
ыт
а
тікелей
байланысты
болады
да
.
4. Бас
қ
а
қ
ал
ғ
ан
ж
ү
йелер
.
Олар
а
йынды
болатын
к
ш
рісінде
т
р
ан
ж
йелер
, кедергі
к
шіні
рісіндегі
ж
йелер
та
ы
да
бас
алар
жатады
.
§3. Механикалы
қ
энергияны
ң
са
қ
талу
за
ң
ы
ж
ә
не
оны
ң
уа
қ
ытты
ң
біртектілігімен
байланысы
Физикада
ы
са
талу
за
дарын
арастыру
шін
,
осы
са
талатын
физикалы
шамалар
,
механикалы
ж
йелерді
ай
т
ріне
жататынды
ын
білуіміз
керек
. Механикалы
ж
йені
энергиясыны
са
талу
за
ын
былай
т
жырымдау
а
б
о
лады
:
Егер
оз
алыста
ы
механикалы
ж
йе
т
йы
болса
немесе
ол
ж
йе
сырт
ы
стационарлы
потенциалды
к
ш
рісінде
болса
ана
оны
энергиясы
са
талады
. Осы
энергияны
са
талу
за
ы
уа
қ
ытты
ң
біртектілігіні
ң
салдарынан
болады
. Энергияны
са
талу
за
ын
аны
тау
шін
арастырып
отыр
ан
т
йы
ж
йе
ж
не
сырт
ы
стационарлы
потенциалды
к
ш
рісінде
т
р
ан
ж
йе
шін
ол
тек
ана
ж
йені
райтын
са
б
лшектерді
зара
ара
ашы
ты
тарына
байланысты
болатын
ішкі
потенциалды
энергиядан
т
рады
,
(22)
Ал
сырт
ы
стационарлы
потенциалды
к
ш
рісін
де
т
р
ан
ж
йе
щін
толы
потенциалды
энергия
ішкі
ж
не
сырт
ы
к
штерді
50
серінен
болатын
потенц
и
алды
энергияларды
осындысына
те
болады
, біра
сырт
ы
к
шті
потенц
и
алды
энергиясы
уа
ыт
а
тікелей
т
уелді
болмайды
. Сонды
тан
.
(23)
Сонымен
арастырып
отыр
ан
екі
ж
йе
шін
де
толы
потенциалды
энергия
уа
ыт
а
тікелей
т
уелді
еместігін
к
реміз
. Сонды
тан
.
(24)
Егер
осы
ж
йені
толы
потенциалды
э
нергиясы
уа
ыт
а
тікелей
ба
й
ланысты
болса
, я
ни
уа
ыт
біртекті
болмайтын
болса
, (24) -
рнекті
о
жа
ында
U
-
дан
уа
ыт
бойынша
алын
ан
дербес
туынды
болуы
керек
еді
, я
ни
.
Енді
арастырып
отыр
ан
ж
йені
оз
алысын
аны
тайтын
дифференц
и
алды
те
деуді
жазайы
. М
нда
, егер
ж
йеге
сер
ететін
к
штерді
потенциа
л
дылы
ын
ескеретін
болса
, оз
алысты
сипаттайтын
дифференциалды
те
деу
былай
жазылады
:
.
(
i
=1,2,…
n
)
,
(25)
Осы
т
е
деуді
екі
жа
ын
да
н
ктені
жылдамды
векторына
к
бейтейік
.
Сонда
,
.
Б
л
те
дікті
сол
жа
ын
былай
т
рлендіруге
болады
:
.
Сонда
жо
ар
ы
те
деу
мына
т
рге
келеді
,
,
(
i
=1,2,…
n
)
.
оз
ал
ысты
осындай
те
деуін
ж
йені
райтын
барлы
н
ктелер
шін
жазып
, оларды
м
шелеп
осатын
болса
, онда
т
тас
ж
йені
оз
алысын
аны
тайтын
мынандай
дифференциалды
те
деу
аламыз
,
.
51
Осы
те
деуді
о
жа
ын
(24) -
рнекпен
салыстыра
отыр
ып
, оны
те
екендігін
к
реміз
. Сонда
,
,
о
сыдан
.
(26)
Осы
(26) -
рнектен
квадратты
жа
шаны
ішінде
т
р
ан
шаманы
т
ра
ты
екендігін
к
реміз
, оны
Е
-
рпімен
белгілейді
де
, ж
йені
толы
мех
а
никалы
энергиясы
деп
атайды
,
т
ра
ты
.
(27)
Ж
йені
толы
механикалы
энергиясы
екі
энергияны
осындысына
те
болады
. Оны
біреуі
.
(28)
Кинетикалы
энергия
. Екіншісі
,
потенциалды
энергия
U
=
U
(
x
,
y
,
z
)
.
К
инетикалы
энергия
ж
йені
оз
алыс
жылдамды
ына
т
уелді
болады
да
, потенциалды
энергия
ж
йені
раушы
б
лшектерді
зара
орналасуына
байланы
сты
болады
. Ж
йені
толы
механикалы
энергиясы
са
талатын
болса
, ондай
ж
йені
консервативті
деп
атайды
, ал
то
л
ы
механикалы
энергиясы
са
талмайтын
ж
йені
консервативті
емес
деп
атайды
.
§4. Консервативті
емес
ж
ү
йені
ң
кинетикалы
қ
энерг
иясыны
ң
ө
згерісі
ту
ралы
теорема
ткен
та
ырыпта
айт
андай
, консервативті
емес
ж
йені
толы
механ
и
калы
энергиясы
оз
алыс
кезінде
са
талмайды
. Сонды
тан
осы
энергияны
згерісін
аны
т
ау
керек
. Ол
кинетикалы
энергияны
згерісі
туралы
теорема
бойынша
аны
талады
. Осы
теоре
маны
т
жырымдау
шін
(28) кинетикалы
энергиядан
толы
дифференциал
алайы
,
.
(29)
Жалпы
айт
анда
консервативті
емес
ж
йені
т
йы
ж
йе
деп
арастыру
а
болмайды
. М
ндай
ж
йелерді
потенциалды
емес
к
шт
ер
рісіндегі
ж
йелер
деп
арастыруымыз
керек
. Сонды
тан
52
м
ндай
ж
йелер
оз
алысын
сипатта
й
тын
дифференциалды
те
деуді
былай
жазамыз
,
.
(
i
=1,2, …
n
)
,
(30)
Осы
оз
алыс
те
деуін
пайдаланып
(29) -
рнекті
былай
жа
зу
а
болады
,
.
(31)
Осы
(31) -
рнек
ж
йені
кинетикалы
энергиясы
згерісіні
диффере
н
циалды
т
рі
болады
да
, оны
былай
т
жырымдау
а
болады
:
Ж
йені
кинетикалы
энергиясыны
згерісі
сол
ж
йеге
сер
ет
етін
сырт
ы
ж
не
ішкі
к
штерді
жасайтын
элементар
ж
мыстарыны
осындысына
те
болады
.
Енді
осы
теореманы
интегралды
т
рін
арастырайы
. Ол
шін
арастырып
отыр
ан
ж
йе
(
t
2
-
t
1
) -
уа
ыт
ішінде
ке
істікті
бір
А
б
лігіне
н
В
б
лігіне
орын
ауыстырды
дейік
(19
-
сурет
). Сонда
ж
йені
рбір
н
ктесі
A
i
B
i
сызы
ыны
бойымен
орын
ауыстырады
. Сонда (31)
-
рнектен уа
ыт бойынша интеграл алатын болса
, онда
,
(32)
м
нда
ы
(33)
Осыдан кинетикалы
энергияны
згерісі туралы теореманы былай т
жырымдау
а болады:
Ж
йені
кинетикалы
энергиясыны
згерісі ішкі ж
не сырт
ы к
штердін ж
а
сайтын толы
ж
мыстарыны
осындысына те
болады.
Егер ішк
і к
штерді
жасайтын толы
ж
мысы ж
йені райтын б
лшектерді
зара орналасуына байланысты болмаса, онда ол по
тенциалды
энергияны
згерісіне те
болады да, A
(i)
=
-
ΔU
Онда
(32) -
рнектен
A
(e)
=ΔT+ΔU
,
(34)
53
болаты
нды
ын
к
реміз
. Осыдан
мынандай
орытынды
шы
ады
: ж
йеге
сер
еткен
сырт
ы
к
штерді
толы
ж
мысы
сол
ж
йені
кинетикалы
ж
не
поте
н
циалды
энергияларыны
згеруіне
ж
мсалады
. (34) -
рнектен
к
штерді
ж
а
сайтын
ж
мысы
о
ж
не
теріс
та
балы
болатынды
ын
к
ре
міз
. Егер
ж
йе
йкеліс
к
шіні
серінде
болса
, онда
йкеліс
к
шіні
жасайтын
ж
мысы
теріс
болады
. §5. Т
ұ
йы
қ
механикалы
қ
ж
ү
йе
импульсыны
ң
са
қ
талу
за
ң
ы
. Оны
ң
кең
істікті
ң
біртектілігімен
ж
ә
не
Ньютонны
ң
III
-
ші
за
ң
ына
байланыстылы
ғ
ы
оз
алыста
ы
т
йы
мех
аникалы
ж
йе
шін
, оны
энергиясыны
са
талуымен
бірге
импульсыда
са
талады
,
.
(35)
Импульсты
са
талу
за
ы
ке
ң
істікті
ң
біртектілік
асиетіні
саладрынан
болады
.
Шынды
ында
да
ке
істік
бі
ртекті
болатынды
тан
оны
кез
келген
бір
б
лігінен
, екінші
бір
б
лігіне
ж
йені
т
тас
к
йінде
зіне
-
зін
параллель
орын
ауыстыр
анда
б
л
ж
йені
потенциалды
энергиясы
згермейді
.
Ж
йені
т
тас
к
йінде
зіне
-
зін
параллель
орын
ауыстыру
дегеніміз
, оны
рбі
р
н
ктесіні
белгілі
бір
ашы
ты
а
орын
ауыстыруын
айтады
, ж
не
б
л
н
ктелерді
радиус
-
векторлары
мынандай
атыста
болады
(20
-
сурет
)
.
.
Осыдан
.
(36)
Егер
ж
йе
ні
т
тас
к
йінде
орын
ауыстыр
ан
кезде
оны
потенциалды
эне
р
гиясы
згере
-
тін
болса
, онда
ол
згерісті
былай
жазу
а
болар
еді
;
.
(37)
Кеістікті
біртектілік
асиетіні
салдарынан
ж
йені
т
тас
к
й
інде
зіне
-
зін
параллель
орын
ауыстыр
ан
кезде
оны
потенциалды
энергиясы
згермейді
,
Δ
U
=0
.
Сонды
тан
(37) -
ші
рнекке
с
йкес
, бол
анды
тан
мына
осынды
0
-
ге
те
. 54
. (38)
Енді
арастырып
отыр
ан
ж
йені
оз
алысын
сипаттайтын
диффере
н
циалды
те
деу
жазамыз
. Оны
ж
йені
райтын
н
ктені
массасы
т
ра
ты
б
о
латынды
тан
ж
не
т
йы
ж
йе
бол
анды
тан
былай
жазамыз
, (25) -
рнектен
.
,
(25)
Осы
рнекті
ж
йені
райтын
барлы
н
ктелер
шін
жазып
, оларды
зара
осып
, шы
ан
рнекті
о
жа
ын
(38)
-
ші
рнекке
с
йкес
0
-
ге
те
екендігін
ескерсек
, онда
.
Осыдан
т
ра
ты
.
(39)
Осы
шы
ан
те
деуді
ж
ү
йе
импульсінің
са
қ
талу
за
ң
ы
деп
атайды
. Б
л
векто
р
лы
те
деу
. Осы
векторлы
те
деуді
ox
, oy
, oz
осьтеріне
проекцияласа
, біз
м
ы
нандай
ш
скаляр
те
деу
аламыз
,
т
ра
ты
,
т
ра
ты
, (40)
т
ра
ты
,
Сонымен
ке
істікті
біртектілігіні
ар
асында
біз
та
ы
да
оз
алысты
ш
бірінші
интегралын
алды
. Б
л
(40) -
рнекпен
к
рсетілген
импульс
вект
о
р
ыны
проекцияларыны
т
ра
тылы
ы
.
Енді
импульс
са
талу
за
ыны
Ньютонны
III
-
ші
за
ымен
байланысын
к
рсетейік
. Бізге
белгілі
потенциалды
энергияны
градиенті
сер
етуші
к
штерге
те
. Сонды
тан
арастырып
отыр
ан
т
йы
ж
йеміз
шін
толы
п
о
тенциалды
энер
гия
ішкі
к
штерді
потенциалды
энергияларына
те
болады
. Сонды
тан
да
оны
градиенті
ішкі
к
штерді
осындысына
те
,
.
Осыдан
(38)
-
ші
шарт
бойынша
,
.
(41)
55
Егер
арасты
рып
отыр
ан
ж
йе
екі
н
ктеден
ана
т
ратын
болса
, онда
(41)
-
ші
рнек
бойынша
,
.
Б
л
екі
н
ктеден
т
ратын
т
йы
ж
йе
шін
Ньютонны
III
-
ші
за
ына
с
йкес
сер
ж
не
арсы
сер
ететін
к
штер
болып
табылады
. Сонды
тан
, (41)
-
ші
рнекті
Нью
тонны
III
-
ші
за
ыны
жалпылан
ан
т
рі
деп
арастыруа
болады
.
§6. Т
ұ
йы
қ
емес
ж
ү
йе
импульсыны
ң
ө
згерісі
туралы
теорема
Егер
арастырылып
отыр
ан
оз
алыста
ы
ж
йе
т
йы
болмаса
, онда
оны
импульс
векторы
са
талмайды
. Сонды
тан
оны
згерісін
аны
тау
ажет
. Ол
импульс
векторыны
згерісі
туралы
теорема
бойынша
аны
талады
.
ТЕОРЕМА
: Ж
йе
импульсынан
уа
ыт
бойынша
алын
ан
толы
туынды
осы
ж
йеге
сер
ететін
сырт
ы
к
штерді
бас
векторына
те
болады
,
.
(42)
М
нда
ы
-
сырт
ы к
шті
бас векторы
деп аталады.
ж
йені
импульсі.
Теореманы д
лелдеу шін (30)
-
шы рнекпен к
рсетілген дифференциа
л
ды
те
деуді жазамыз,
.
(30)
Сонда импульс векторынан уа
ыт бойынша алын
ан туындыны
.
Б
л те
деуді
о
жа
ында
ы осындыны
со
ысы (41)
-
ші рнекте к
рсетілген Ньютонны
III
-
ші за
ына с
йкес 0
-
ге те
. Сонды
тан,
.
Теорема д
лелденді.
56
§7. Сырт
қ
ы к
ү
штер ө
рісіні
ң
симметриялылы
ғ
ы ж
ә
не т
ұ
йы
қ
емес ж
ү
йе импульсыны
ң
кейбір қ
ұ
раушы
ларыны
ң
са
қ
талуы туралы теорема
ткен та
ырыпта айт
андай т
йы
емес ж
йені
импульс векторы са
талмайды. Біра
кейбір дербес жа
дайларда и
пульс векторыны
раушыларыны
са
талуы м
мкін. Осыны д
лелдеу шін т
йы
емес ж
йеге сер ететін к
штер потенциалды деп арастырайы
, я
ни
.
Сонда
импульс
векторыны
згерісі
туралы
теорема
а
с
йкес
(42)
-
ші
рнекті
былай
жазамыз
,
.
(43)
Осы
те
деуді
екі
жа
ын
кез
келген
бірлік
вектор
-
а
скаляр
к
бейтейік
, .
(44)
Осы
те
дікті
екі
жа
ын
ж
еке
-
жеке
арастырайы
.
-
т
ра
ты
вектор
бол
анды
тан
(44)
-
ші
рнекті
сол
жа
ын
былай
т
рлендіреміз
,
.
М
нда
ы
-
импульс
векторыны
-
векторыны
ба
ытына т
сірілген проекциясы. Математик
алы
анализ курсынан белгілі атыс бойы
н
ша (44)
-
ші рнекті
о
жа
ын былай т
рлендіруге болады,
.
Осы табыл
ан рнектерді (44)
-
ші рнекке ойса
,
.
(45)
Егер болса, -
т
ра
ты болады. Осыдан мынандай теорема т
жырымдау
а болады.
ТЕОРЕМА
. Сырт
ы потенциалды
к
ш рісінде т
р
ан т
тас механикалы
ж
йені кеістікте векторыны
ба
ытымен зіне
-
зін параллель орын а
у
ы
стыр
ан кезде ж
йені
потенциалды
энергиясы 57
згермесе, онда м
ндай ж
йені
импульс векторыны
осы ба
ыт
а проекциясы са
талады.
§8. Бір сана
қ
ж
ү
йсінен екінші сана
қ
ж
ү
йесіне ө
ткен кездегі механикалы
қ
ж
ү
йені
ң
импульс векторыны
ң
ө
зг
е
рісі . Инерция ц
ентрі
Кез келген ж
йені
еркін оз
алысын (ж
йе екі н
ктеден т
ратын болса да) арастыр
ан кезде оны
оз
алысын екі т
рге б
луге болады. Т
тас ж
йені
ілгерілемелі оз
алысы ретінде ж
не ж
йені райтын б
лшектерді
бір
-
біріне атысты оз
алысы ретінде.
Сонды
тан мндай механикалы
ж
йені
оз
алысын арастыр
ан кезде оны бір уа
ыт мезетінде екі сана
ж
йесіне атысты арастыру
керек
. Ол сана
ж
йесіні
біреуі
-
оз
алмайтын, екіншісі -
оз
алыста
ы сана
ж
йесі. оз
алмайтын сана
ж
йесі лабораториялы
қ
сан
а
қ
ж
ү
йесі
немесе л -
ж
ү
йесі
деп аталады. Оны К деп белгілейік. оз
алмалы сана
ж
йесіні
бас н
ктесін механикалы
ж
йені
ішінде жат
ан кез келген бір 0
/
н
ктесіне орналыстырайы
та оны К
/
-
деп белгілейік. Осы К ж
не К
/
екеуі де инерциялы
сана
ж
йесі болс
ын ж
не К
/
ж
йесі К сана
ж
й
е
сіне ара
анда т
ра
ты жылдамды
пен оз
алады деп есептейік. Сонда осы К сана
ж
йесінен К
/
сана
ж
йесіне ткен кездегі механикалы
ж
йені
импульс ве
к
торыны
алай т
рленетіндігін арастырайы
. Ол шін
арастырылып отыр
ан механикалы
ж
йені
массасы m
i
-
н
ктесіні
К сана
ж
йеге атысты жылда
м
ды
ын , К' сана
ж
йесіне атысты жылдамды
ын деп белгілейік, сонда оз
алыстарды осу теоремасы бойынша
.
(47)
Осы те
дікті
екі жа
ын нктесіні массасына к
бейтіп, шы
ан рнекті механикалы
ж
йені
барлы
н
ктелері шін жазып, оларды зара с
йкес осатын болса
, онда
.
(*)
М
нда
ы
-
механикалы
ж
йені
К сана
ж
йесіне атысты и
м
пульсі,
-
механикалы
ж
йені
К
/
сана
ж
йесіне атысты и
м
пуль
сі,
58
-
арастырылып отыр
ан механикалы
ж
йені
массасы,
ал
.
(48
)
(48) -
арастырылып отыр
ан механикалы
ж
йені
К
/
сана
ж
йесіні
бас н
ктесіне атысты импульс векторы.
Осы белгілерді пайдаланып
(*) тедеуді
, былай жазамыз
.
(49)
арастырылып отыр
ан андай да болмасын механикалы
ж
йені
ішінде бір жал
ыз н
кте болады, оны С рпімен белгілейі
к
. Егер осы н
к
теге оз
алмалы К
/
сана
ж
йесіні
бас н
ктесін орналастырса
, онда
.
Осы н
ктені механикалы
ж
йені
инерция центрі
немесе массалар
центрі
деп атайды, ал жылжымалы сана
ж
йесін центральный
немесе Ц
-
сана
қ
ж
ү
йесі
деп атайды. Сонымен
(49)
-
ші рнекті былай жазу
а болады
,
.
(50)
осыдан .
(51)
Б
л те
дік механикалы
ж
йені
инерция центріні
оз
алыс жылда
м
ды
ын аны
тайды. Осы рнектен мынандай орытынды шы
ады: т
тас мех
а
никалы
ж
йені
ілгерілемелі оз
алысы оны
инерция центріні
оз
алысына пара
-
пар.
(51)
-
ші рнекпен берілген ж
йені
инерция центріні
оз
алысын ди
ф
ференциал т
рінде жазып, шы
ан рнектен интегр
ал алатын болса
, онда м
е
ханикалы
ж
йені
инерция центрін аны
тайтын радиус
-
векторды былай таб
а
мыз;
.
Осы те
деуді интегралдау ар
ылы инерция центріні
радиус
-
векторын Л
-
ж
йесінде аны
тайтын рнекті табамыз,
.
(52)
Осы (52)
-
ші рнек механикалы
ж
йені
инерция центріні
немесе массалар центріні
координаттарын аны
тайды.
59
§9. Механикалы
қ
ж
ү
йені
ң
инерция центріні
ң
қ
оз
ғ
алысы тура
лы теорема. Кенига теоремасы
Механикалы
ж
йені
инерция центрі туралы ымды енгізгеннен кейін ж
не осы
ан байланысты (50)
-
ші рнек бойынша импульс векторын аны
тау
а бол
а
тынды
тан 6
-
ші та
ырыпта к
рсетілген т
йы
емес ж
йені
импульс вектор
ы
ны
згеруі туралы теорема
(42)
былай жазылады,
.
(53)
Осы (53)
-
ші рнекті механикалы
ж
йені
инерция центріні
оз
алысын аны
тайтын теорема деп атайды. Б
л теореманы былай т
жыр
ымдау
а болады:
Механикалы
ж
йені
инерция центріні
оз
алысын, массасы арастырылып отыр
ан ж
йені
масассына те
ж
не осы ж
йеге сер ететін барлы
сырт
ы к
штерді
геометриялы
осындысына те
к
шті
серінен б
о
латын бір фиктивті н
ктені
оз
алысынд
ай деп арастыру
а болады. Егер сырт
ы к
штерді
геометриялы
осындысы 0
-
ге те
болса, онда (53) -
ші рнектен
б
дан
механикалы
ж
йеге
сер
ететін
ішкі
к
штер
ж
йені
оз
алыс
жылда
м
ды
ын
згерте
алмайтынды
ын
к
реміз
.
Механикалы
ж
йені
инерция центрі туралы ымды енгізуге байланысты, ж
йені
кинетиклы
энергиясыны
згерісі туралы мынандай бір ерекше теорема д
лелдеуге болады. Оны Кенига теоремасы
дейді.
Б
л теорема бойынша механикалы
ж
йені
кинетикалы
энергиясын екі т
рлі кинетикалы
энергияны
осындысы т
рінде арастыру
а болады. Оны
біріншісі -
т
тас ж
йені
ілгерілемелі оз
алысыны
кинетикалы
энергиясы, екіншісі -
ж
йені райтын б
лшектерді
бір
-
біріне атысты оз
алыс
ы
кезінде пайда болатын э
нергия,
.
(54)
Б
л теореманы д
лелдеу шін Ц
-
ж
йесіне атысты жазыл
ан (47)
-
ші рнекті пайдаланып арастырылып отыр
ан механикалы
60
ж
йені
толы
кин
е
тикалы
энергиясын есептесек жеткілікті. Шыны
н
да да
.
М
нда
ы Ц
-
ж
йесіне атысты , .
Сонды
тан .
(54)
Теорема д
лелденді. Егер осы Кенига теоремасын ескерсек, онда кез келген м
е
ханик
алы
ж
йені
толы
энергиясын былай жазу
а болады,
.
(55)
М
нда
ы
.
(56)
Квантты
механика курсын о
ы
ан кезде са
б
лшектерді
толы
эне
р
гиясыны
здікс
із болмай, зілісті болатынды
ын к
реміз. Сонда са
б
лшектерді
толы
энергиясыны
зілісті болуы осы (56)
-
ші рнекпен аны
талын
ан ішкі энергияны зілісті болуыны
салдарынан болады.
§10. Т
ұ
йы
қ
механикалы
қ
ж
ү
йе ү
шін импульс моментіні
ң
са
қ
талу за
ң
ы, он
ы
ң
кеңістікті
ң
изотропты
қ
қ
асиеті мен ж
ә
не Ньютонны
ң
III
-
ші за
ң
ымен байланысы
Т
йы
механикалы
ж
йені
оз
алысы кезінде, оны
оз
алыс м
лшеріні
моменті (импульс моменті) са
талады. Импульс моментіні
б
л са
талу за
ы кеістікті
изотропты
асиетіні
салдарынан болады, бас
аша айт
анда кеістікте т
тас механикалы
ж
йені кез келген ба
ыт
а б
р
ан кезде, ж
йені
механикалы
асиеттеріні
згермеуіне байланысты, (оны
ішінде п
о
тенциалды
энергиясы да згермейді).
Т
тас механикалы
ж
йені кез келген Δφ
-
б
ры
ш
а б
ру шін, ол 2
-
тарауда
ы, 7
-
та
ырыпта арастыр
ан атты денелерді
белгілі бір т
ра
ты осьтен айнал
аны т
різді. Сонды
тан сол та
ырыпта айтыл
анды ескере отырып арастырылып отыр
ан механикалы
61
ж
йені б
рышына б
р
ан кез
де, оны
рбір н
ктесіні
радиус
-
векторы мынандай сімше алатынды
ын к
реміз,
.
(57)
Механикалы
ж
йені -
б
рышына б
р
ан кезде оны
потенциалды
энергиясы згеретін бо
лса, онда ол згерісті былай табамыз:
.
Кеі
стікті
изотропты
асиеті бойынша, ж
йені
потенциалды
энерги
я
сы згермейді, я
ни Δ
U
=0. Сонды
тан, .
Осыдан нольге те
болма
анды
тан,
.
(58)
Енді
т
йы
ж
йе
оз
алысын
аны
тайтын
дифференциалды
тендеуді
ж
а
зайы
:
.
(
i
=1,2,… n
)
,
(59)
Осы тендеуді
екі жа
ын массасы m
i
-
н
ктен
і
аны
тайтын радиус
-
вектор
а векторлы
т
рде к
бейтсек,
.
(
i
=1,2,… n
)
,
(60)
Осы тедеуді рі арай т
рлендірместен б
рын алдын
-
ала мынандай атысты
д
рысты
ын арастырайы
,
.
М
нда
ы
.
йткені
-
кол
л
енияр векторлар.
Сонда
. (61)
Сонды
тан (60)
-
шы рнекті былай жазу
а болады,
62
.
Осындай теде
уді механикалы
ж
йені
рбір н
ктесі шін жазып, шы
ан тендеуді зара с
йкес осатын болса
, онда
.
Осы тедеудін о
жа
ы (58)
-
ші шарт
а с
йкес нольге те
болады. Сонды
тан
.
Осыдан т
йы
ж
йе оз
алысы кезін
де шаманы
т
ра
ты болып алатынды
ын к
реміз, оны рпімен белгілесек, онда
тр
.
(62)
М
нда
ы векторы
н
импульс моменті
н
емес ж
ү
йені
ң
кинетикалы
қ
м
о
менті
(немесе ж
ү
йені
ң
механикалы
қ
моменті)
деп атайды. (62)
-
импульс м
о
ментіні
са
талу за
ыны в
екторлы
т
рі. Осы векторлы
те
дікті x
,
y
,
z
коорд
и
наталарына проекцияласа
, онда мынандай ш скалярлы
те
деу аламыз:
т
р,
т
р, (63)
т
р,
Осы (63) рнек импульс моментіні
са
талу за
ыны скалярлы
рнегі б
о
лып табылады да, ж
йе оз
алысын аны
тайтын дифференциалды
қ
те
ң
деуді
ң
бірінші интегралы
болады. Сонымен механикалы
ж
йені
оз
алысын аны
тайтын дифференциалды
те
деуді
жеті бірінші интегралы
ны
бар екендігін к
реміз. Ол (27) рнекпен аны
талатын энергияны
са
талу за
ы; (40) рнекпен аны
талатын скалярлы
т
рде жазыл
ан ш оз
а
лыс м
лшері векторыны
x
,
y
,
z
осьтеріне проекцияларыны
са
талу за
ы ж
не (63) рнекпен аны
талатын ш импульс моментіні
са
талу за
ы. Импульс моментіні
са
талу за
ы Ньютонны
III
-
ші за
ымен байлан
ы
сты екендігін д
лелдейік. Шынында да т
йы
тізбек шін
.
63
Осыны пайдаланып (58) шартты былай жазу
а болады.
.
(
64)
М
нда
ы
,
(65)
трізді те
дік к
ү
ш моменті
деп аталады. Сонда
(64)
рнектен механикалы
ж
йеге сер ететін ішкі к
штер моментіні
геометриялы
осындысы нольге те
болады деген орытынды шы
ады. (64) рнекке ішкі к
штер моменті ос
-
остан кі
реді,
.
Ньютонны
III
-
ші
за
ы
бойынша
сонды
тан
, со
ы
тедікті
былай
жазу
а
болады
:
.
М
нда
ы
бол
анды
тан со
ы рнек нольге те
болып шы
ады. Сонда
.
Сонды
тан
(62) рнекпен
аны
талатын
импульс
моме
нтіні
са
талу
за
ыны
Ньютонны
III
-
ші
за
ымен
байланыстылы
ы
д
лелденді
.
§11. Т
ұ
йы
қ
емес
механикалы
қ
ж
ү
йені
ң
импульс мом
ентіні
ң
ө
згерісі туралы теорема
Массалары m
1
, m
2
, … m
n
н
ктелерден т
ратын механикалы
ж
йені арастырайы
. Б
л ж
йеге сырт
ы ж
не ішкі к
штер сер етсін. Бас
аша айт
анда арастырылып отыр
ан ж
йеміз т
йы
емес деп есептейік. Т
йы
емес ж
йені
оз
алыс
ын аны
тайтын диффренциалды
те
деу
(
i
=1,2,… n
)
.
(66)
Осы те
деуді
екі жа
ында массасы m
i
-
н
ктені
радиус
-
векторына векторлы т
рде к
бейтейік,
, (
i
=1,2,…
n
)
.
(61) рнек бойынша осы тедікті сол жа
ын ауыстыра отырып былай жазу
а болады:
64
.
Осындай тедеуді арастырып отыр
ан ж
йені
барлы
н
ктелері шін жазып, шы
ан тедеулерді с
йкес бір
-
біріне осатын болса
, онда
.
(64) рнек бойынша осы те
деуді
о
жа
ында
ы со
ы осынды
нольге те
, осыдан:
.
немесе
.
(67)
М
нда
ы
(68)
сырт
қ
ы
к
ү
штер
моментіні
ң
бас
векторы
деп
аталады
. (67) рнек
т
йы
емес
ж
йе
шін
импульс
моментіні
згерісін
аны
тайды
. М
ны
былай орытындылау
а болады: импульс моментінен уа
ыт бойынша алын
ан туы
н
ды сырт
ы к
штер моментіні бас в
екторыны
геометриялы
осындысына те
. Осы импульс моментіні згерісі туралы теореманы
векторлы
т
рі бол
а
ды.
§12. Сырт
қ
ы
к
ү
штер
ө
рісіні
ң
симметриялылы
ғ
ы
ж
ә
не
т
ұ
йы
қ
емес ж
ү
йені
ң
импульс моменті векторыны
ң
кейбір қ
ұ
раушыларыны
ң
са
қ
талуы туралы теорема
Біз ткен та
ырыпта т
йы
емес ж
йені импульс моментіні
са
талмайтынды
ын, оны
згерісі (67) рнек бойынша аны
талатынды
ын к
рдік. Б
дан т
йы
емес ж
йелер шін импульс моменті векторыны барлы
раушыларын
ы
да са
талмайды деген орытынды шы
пайды. Шыны
н
да да сырт
ы к
штер рісіні
симметриясына байланысты кейбір дербес жа
дайда импульс моменті векторыны кейбір раушыларыны са
талуы м
мкін. М
ы
нандай дербес жа
дайды арастрайы
. арастырып отыр
ан ж
йеге сер ететін сырт
ы к
ш потенциалды болсын. Б
ас
аша айт
анда .
(69)
Сонда б
л к
шті
моменті (68) -
рнек бойынша
65
.
(70)
Осы векторлы
те
деуді oz
-
сіне проекциясын жазайы
,
.
(71)
Осы
жазыл
ан
рнекті
есептеу
шін
(
x
i
,
y
i
, z
i
)
координаталар
а
т
уелді
функциясын
арастырайы
ж
не
осы
функциядан
кез
келген
бір
φ
z
-
б
рышы
бойынша
туынды
алайы
,
.
(71
)
М
нда
ы φ
z
-
б
рышы т
тас механикалы
ж
йені
oz
сінен б
р
анда
ы б
рыш. Ψ
(x
i
,
y
i
, z
i
) функциясынан φ
z
ар
ылы туынды алу шін (x
i
,
y
i
, z
i
) декартты
координаталар ж
не сфералы
координаталар арасында
ы мынандай атысты пайдаланамыз,
(72)
Сонда Осы
, со
ы рнект
е
рді пайдаланып, (71
)
рнектен мынаны табамыз,
.
Осы тедеуді екі жа
ын ȥ -
а ыс
артса
,
.
Осы табыл
ан рнекті (71) -
рнекке ойса
,
.
(73)
Т
йы
емес механикалы
ж
йені
импульс моменттеріні
згерісін к
рсететі
н (67) -
векторлы
тедеуді
oz
-
сіне проекциясын жазса
, онда
66
.
(74)
Осы арастырылып отыр
ан жа
дайда біз т
тас механикалы
ж
йені oz
сіні
айналасында φ
z
-
б
рышына б
рды
деп есептедік. Осы
сия
ты біз т
тас механикалы
ж
йені ox
, oy
сьтеріні
айналасында да белгілі бір б
рыш
а б
ра аламыз. Сонды
тан (74) -
тендеуді жалпылама т
рде былай жазу
а болады,
(
α
= x
, y
, z
)
.
(75)
Осыдан
мы
нандай
теорема
т
жырымдау
а
болады
: егер
сырт
ы
потенциалды
к
ш
рісінде
т
р
ан
т
тас
механикалы
ж
йені
кез
келген
бір
α
сіні
айнал
а
сында
белгілі
бір
б
рыш
а
б
р
ан
кезде
, оны
потенциалды
энергиясы
згермейтін
болса
(
), онда
б
л
ж
йені
импульс
моменті
векторыны
осы
α
сіне
проекциясы
т
ра
ты
шама
болады
. (
L
α
=т
р).
67
VI
ТАРАУ
АНАЛИТИКАЛЫ
Қ
МЕХАНИКА НЕГІЗДЕРІ
Классикалы
механикада біз негізінен еркін материалды
н
кте немесе берілген еркін механикалы
ж
йел
ер оз
алысын арастырды
. Еркін матер
и
алды
қ
н
ү
кте қ
оз
ғ
алысы
деп, оз
алысы тек ана берілген ал
ы шарттармен ж
не тікелей сер етуші к
шпен аны
талатын материалды
н
ктені оз
алысын айтады. Еркін механикалы
қ
ж
ү
йе
деп, рбір н
ктені радиус
-
векторы ж
не жылдамды
тары берілген ал
ы шарттармен ж
не тікелей сер етуші к
шпен аны
талатын материалды
н
ктелер ж
йесін айтамыз. Еркін м
а
териалды
н
кте мен еркін механикалы
ж
йені оз
алыстары Ньютон за
дарына ба
ынады. Классикалы
механикада біз осыны арастырд
ы
. Т
а
би
атта кездесетін материалды
н
кте мен материалды
н
ктелер ж
йесі (м
е
ханикалы
ж
йе) еркін болмайды. Сонды
тан біз енді еркін емес материалды
н
ктені
ж
не еркін емес н
ктелер ж
йесіні оз
алысын арастыру
а к
шеміз.
§1. Байланыстар ж
ә
не олард
ы
ң
классификациясы. Ж
ү
йені
ң
еркіндік д
ә
режесі. Белсенді к
ү
штер ж
ә
не байланыстар реакциясыны
ң
к
ү
ші
Еркін емес материалды
қ
н
ү
кте
деп, оз
алысы берілген ал
ы шарттар
а ж
не тікелей сер етуші к
шке байланыссыз шектелген материалды
н
ктені айтады. Еркін ем
ес немесе байланыс
қ
ан механикалы
қ
ж
ү
йе
деп, рбір н
ктелерді
р
а
диус
-
векторын ж
не жылдамды
тарын байланыстыратын осымша шарттар мен шектелетін материалды
н
ктелер ж
йесін айтады. Ж
йелерді орын ау
ы
стыру бостанды
ын шектейтін осымша шарттарды байланыст
ар
деп атайды. Байланыстар сер ететін механикалы
ж
йені
орын ауыстыруын ж
не жылдамды
тарын шектеумен атар ж
йе н
ктелеріні
траекториясында згертуі м
мкін. М
ны ж
йеге т
сірілген байланыстар тарапынан к
ш сер етеді деп арастыру
а болады. Осындай к
ш байланыстар рекциясыны
ң
к
ші деп аталады. Байланыстар реакциясыны к
ші
-
механикалы
ж
йеге т
сірілген ба
й
ланыстарды
серін алмастыратын к
ш. Сонымен еркін емес механикалы
ж
йені райтын материалды
н
ктелерді
р
айсысына екі т
рлі к
ш сер етеді. Бі
ріншісі
-
белсенділік к
ү
ш ол н
ктеге сер ететін ішкі ж
не сырт
ы к
штерді
осындысына те
, 68
.
Екіншісі –
байланыстар реакциясының к
ү
ші
, оны деп белгілейміз.
Сонымен еркін емес механикал
ы
жйе нктелеріні оз
алысын аны
тайтын дифференц
и
алды
тендеуді былай жаза аламыз:
,
(
i
=1,2,…,
n
)
.
немесе
(1)
n –
ж
йені райтын н
ктелердін саны. Ба
йланыстар –
те
деу т
рінде беріледі. Байланыстар теңдеуі
деп, байланыста
ы механикалы
жйе н
ктелеріні
жы
л
дамды
ы мен координаттары ана
аттандыратын тедеуді айтады. Байланыс тедеуін жалпы т
рде былай жазады:
м
нда
ы
К
–
жйеге
т
сірілген
байланыстар
, саны
.
Байланыста
ы
механикалы
ж
йені
оз
алысын
шектейтін
байлан
ы
старды
рт
лі
асиеттеріне
арай
мынандай
т
рт
т
рге
б
леді
:
1.
Голономды
ж
не голономды
емес;
2.
Стационарлы
ж
не стационарлы
емес;
3.
¦стамды ж
не стамсыз;
4.
Идеалды
ж
не реалды
.
Голономды
қ
немесе геометриялы
қ
байланыс деп, тек ана н
ктені
т
р
ан орнын шектейтін ж
не байланыс те
деуі тек ана н
ктені
координатасына ж
не жалпы жа
дайда уа
ыт
а да т
уелді болатын байланысты айтады. Оны
тедеуі мына т
рде берілген,
,
.
(2)
Голономды
байланыс тек ана ж
йені
орын ауыстыруын ана шектеп оймайды, сонымен атар ж
йені жылдамды
ын да шектейді. Шынында да (2) байланыс тедеуінен уа
ыт бойынш
а туынды алса
,
,
.
(3)
Осы рнек байланыстарды
ң
дифференциалды
қ
теңдеуі
деп аталынады. Байланыстарды
дифференциалды
те
деуінен мынаны а
ару
а болады. Ба
й
ланыстар ж
йе оз
алы
сыны
жылдамды
69
векторын шектемейді, тек ана онын -
векторына параллель раушысын ана шектейтіндігін к
реміз. Байлан
ы
старды
(3) –
дифференциалды
тедеуін толы
дифференциалды
т
рге келтіруге болады, я
ни, .
Сонан со
шы
ан рнекті интегралдау
а болады, сонды
тан голономды
байланысты интегралданатын байланыс деп атайды.
Голономды
қ
емес немесе интегралданбайтын байланыстар
деп, байлан
ы
стар тедеуін (2)
-
рнекке келтіруге болмайтын байланысты айтады.
Стац
ионарлы
қ
байланыс
деп, уа
ыт ткен сайын згермейтін
,
яни
ба
й
ланыс тедеуіне уа
ыт тікелей кірмейтін байланысты айтады. Стационарлы
қ
емес байланыс
деп, уа
ыт ткен сайын згеретін
,
яни
байланыс тедеуі уа
ыт
а т
уелді байланысты айтады. ¦стамды байла
ныс
деп, н
ктелер ж
йесіні
оз
алысына з серін немі са
тайтын байланысты айтады. ¦стамды байланыс мысалына оз
алыс кезінде
-
немі белгілі бір жазы
ты
та жататын денелер оз
алысын шектейтін шартта
р
ды айту
а болады. ¦стамды байланыс тендеу т
рінде беріл
еді. Мысалы, егер материалды
н
кте оз
алыс кезінде немі радиусы а
-
а те сфералы
бетте жатса, онда стамды байланыс тедеуі мынандай болады;
x
2
+
y
2
+
z
2 = a
2
.
¦стамсыз байланыс
деп, белгілі бір уа
ыт аралы
тарында серін айталап отыратын немесе то
тата
тын байланысты айтады. ¦стамсыз байланыс те
сіздік т
рінде жазылады. Мысалы, егер материалды
н
кте оз
алыс кезінде немі радиусы а
-
а те, сфераны
ішкі б
ліктерінде жататын болса, онда, x
2
+
y
2
+
z
2
a
2
.
¦стамды байланыстар ж
йені еркіндік д
режесін азайтады. Механик
а
лы
қ
ж
ү
йенің еркіндік д
ә
режесі
деп, осы ж
йені
оз
алысын аны
тайтын т
уелсіз координаттар санын айтады. n
–
материалды
н
ктеден т
ратын мех
а
никалы
ж
йені еркіндік д
режесі S
=3
n
. Егер
осы
ж
йеге к
стамды байл
а
ныс с
ер ететін болса, онда м
ндай ж
йені
еркіндік д
режесі S
=3
n
-
k
. Бас
аша айт
анда стамды байланыс ж
йені еркіндік д
режесін кемітеді.
Идеалды
ж
не реалды
байланыстарды
толы
а
ны
тамаларын беру шін осы байланыстарды
кейбір геометриялы
асиеттерін біл
уіміз ажет. Оны келесі та
ырыптарда арастыратын боламыз. азір біз идеалды
ж
не р
е
алды
байланыстарды аны
тамасын тек 70
ана белгілі бір бетте немесе т
зуді бойымен оз
алатын материалды
н
кте шін берейік.
Егер байланыс реакциясыны
к
ші, н
кте оз
алатын бетке немесе т
зуге т
сірілген нормаль ба
ытымен ба
ытталатын болса, ондай байланысты идеа
л
ды
қ
байланыс
деп атайды. Егер байланыс реакциясыны
к
ші н
кте оз
алатын бетке немесе исы
а т
сірілген нормальды
ба
ытына б
рыштай ба
ытталатын болса, онд
ай байланысты реалды
қ
байланыс
деп атайды.
§2. Байланыс
қ
ан механикалы
қ
ж
ү
йелер
қ
оз
ғ
алысыны
ң
жалпы те
ң
деуі Еркін оз
алатын механикалы
ж
йелерді
жалпы есебі сия
ты (тура ж
не кері есептер) еркін емес механикалы
ж
йе оз
алыс за
дары туралы да жалпы динамикалы
есеп т
жырымдау
а болады. Еркін емес механикалы
ж
йе оз
алысы туралы жалпы динамикалы
есепті былай т
жырымдау
а б
о
лады
.
Белгілі бір белсенді к
ү
ш ж
ә
не берілген байланыстар теңдеуі бойынша ж
ү
йені
ң
қ
оз
ғ
алыс за
ң
ын ж
ә
не б
айланыстар реакциясыны
ң
к
ү
шін табу
ғ
а б
о
лады.
Б
л есеп байланыстар те
деулері мен ж
йе оз
алысыны
дифференц
и
алды
те
дулерін біріктіріп шешу ар
ылы аны
талады, я
ни,
(4)
М
нда
ы n
-
ж
йені райтын н
ктелер саны,
k
-
ж
йеге т
сірілген байланыстарды
саны.
(4)
-
рнекпен аны
талынатын тедеулер ж
йелеріні
саны (3
n
+
k
)
-
а те
, ал осы те
деулер ж
йесін шешу ар
ылы аны
тайтын белгісіздерді
саны 6
n
, олар 3
n
-
белгісіз координатала
р ж
не 3
n
-
реакция к
шіні
проекциялары. Сонымен, жалпы жа
дайда (
k
<3
n
), ал аны
тау
а тиісті белгілісіздерді
саны 6
n
, берілген тедеулер ж
йесіні
санынан к
п: 6
n
>(3
n
+
k
). Сонды
тан, математикалы
т
р
ыдан арастыр
анда берілген есеп аны
талма
ан деп атала
ды. Б
л есепті шешуді
мынадай екі т
рін к
рсетуге болады.
1.
Ж
йеге т
сірілген байланыстарды
идеалдылы
ынан жне ж
йе н
ктелеріні
координаталарымен байланыстар реакциясы к
шіні
ар
а
сы
да
ы байланыстардан шыатын (3
n
-
k
) атыстарды пайдаланып, (4) -
рнекпен
аны
талатын те
деулер ж
йесін толытырады
,
шыан тедеуді Лагранж те
деуіні
бірінші т
рі деп 71
атайды. Осы те
деулерден ж
йе н
ктелеріні
координаталарын ж
не байланыстарды
реакция к
шін табу
а болады.
2.
(4) -
те
деулер ж
йесін (3
n
-
k
) т
уелсіз немесе жалпы
лан
ан деп аталынатын координаталар ар
ылы рнектелген байланыстар реакциясыны
к
ші тікелей кірмейтін, Лагранж те
деуіні
екінші т
рі деп, аталынатын дифференциалды
тедеулермен алмастару
а болады. Сонда осы те
деуден е
алдымен ж
йе н
ктелеріні
оз
алы
с заын аны
тайтын тедеуді табамыз да, содан кейін (4) -
те
деулер ж
йесінен белгісіз байланыстар реакциясы к
шін аны
таймыз. §3. Виртуальды орын ауыстыру ж
ә
не идеалды
қ
байланыстар аны
қ
тамалары (идеалды
қ
байланыстар постулаты)
Голономды
байланыстар
ды
жалпы асиеттерін зерттеу шін, механ
и
калы
ж
йені
ы
қ
тималды
қ
, виртуальды
қ
ж
не шын
орын ауыстыруы деген ымдар енгізу ажет. Байланыстар механикалы
ж
йені райтын н
ктелерді
р айсысыны
те аз Δ
t
уа
ыты ішіндегі, орын ау
ыстыруларын шектейді. Шынында да, механикалы
ж
йеге к стамды, голономды
байланыстар
(α =1,2, …, k
)
.
(2)
сер ететін болса, онда ж
йені
рбір н
ктесіні
жылдамды
ы мынанд
ай к шартты ана
аттандыруы керек,
,
(
α
= 1,2,… k
)
.
(5)
Сонды
тан
, ж
йе
н
к
телеріні
шексіз
аз
орын
ауыстырулары
зара
мынадай
атыстармен
байланыс
ан
болады;
,
(α = 1,2,… ,
k
)
.
(6)
Механикалы
ж
йе н
ктелеріні
шексіз аз орын ауыстыруын ы
қ
тималды
қ
орын ауыстыру
деп атайды, егер ол ж
йеге т
сірілген байлан
ы
стармен сыбайлас болса, бас
аша айт
анда (6
) –
атысты ана
аттандыратын болса. Механикалы
ж
йе н
ктелеріні
шексіз аз орын ауыстыруын шын орын ауыстыру
деп атайды, егер (6)
–
атыстарды ана
аттандырумен оса, (1)
–
оз
алыс те
деулерін ана
аттанды
-
ратын болса. Ж
йе н
ктелеріне т
сірілген бе
л
сенд
і ж
не байланыстар реакциясы к
штеріні
серінен пайда болатын н
ктені
шын орын ауыстыруын деп белгілейтін боламыз. 72
Ж
йе н
ктелеріні
ы
тималды
ж
не шын орын ауыстыруларыны
ар
а
сында
ы айырмашылы
ты мынандай мысал ар
ылы т
сінді
руге болады. Мат
е
риалды
н
кте белгілі бір бетте оз
алатын болсын, сонда оны
ы
тималды
орын ауыстыруы осы бетке жанама жазы
ты
та жатады да, соларды
ішіндегі біреуі, атап айт
анда н
ктені
траекториясына ж
ргізілген жанаманы
бой
ы
мен ба
ыттал
ан ы
тима
лды
орын ауыстыруы шын орын ауыстыру болады.
Енді кез келген н
ктені
шексіз аз ашы
ты
та жат
ан ж
не /
екі ы
тималды
орын ауыстыруларын арастырайы
. Осындай орын ауыстыр
у
ларды
айырмасын н
ктені
виртуа
льды орын ауыстыруы
деп атайды да оны деп белгілейді. .
(7)
Н
ктені
/
ж
не ы
тималды
орын ауыстырулары шін (6) –
ат
ысты жазып, шы
ан рнекті
біріншісінен екіншісін алса
, онда
,
(α = 1,2,…, k
)
.
(8)
Егер ж
йеге т
сірілген байланыс стационарлы
болса онда ы
тимал
ды
орын ауыстыру ана
аттандыратын (6) –
атыс мынандай т
рге к
е
леді;
,
(
α
= 1,2,…, k
)
.
(9)
Осы (9) ж
не (8) -
рнектерді салыстыра отырып, н
ктені
виртуальды орын ауыстыруы, ж
йеге т
сірілген стацио
нарлы
байланыстарды
серінен болатын ы
тималды
орын ауыстыру
а пара
-
пар екендігін к
реміз. Сонды
тан, н
ктені
виртуальды орын ауыстыруы т
ра
ты уа
ыт мезетіндегі (
t
=
т
ра
ты) байланыстарды
серінен м
мкін болатын орын ауыстыру, ол ж
йеге т
сірілген к
ш
терді
серінен болмайды, сонды
тан оны
за
ты
ы да бо
л
майды. Стационарлы
қ
байланыста т
ұ
р
ғ
ан ж
ү
йелер ү
шін ы
қ
тималды
қ
ж
ә
не ви
р
туальды
қ
орын ауыстыруларды
ң
ма
ғ
ынасы бірдей.
Математика курстарынан белгілі, (7) -
рнекке сас атыстарды фун
к
цияны
вариациял
ары дейді. Сонда (7) -
рнектегі ж
йе н
ктесіні
радиус
-
векторыны
вариациясы болады да оны былай жазу
а болады;
.
(10)
73
М
нда
ы δ
x
i
, δy
i
, δz
i
–
x
i
(
t
),
y
i
(
t
), z
i
(
t
) функцияларыны
вариациялары. Сонда, x
i
(
t
) функциясыны
δ
x
i
вариациясы деп уа
ыт згерісіне т
уелсіз (
t
=т
р), н
ктені
x
i
(
t
) функциясына жа
ын жат
ан x
i
/
(
t
) функциясына ткен кездегі орын ауыстыруын айтады. x
i
(
t
) функциясыны
dx
i
дифференциалы
мен δх
i
вариаци
я
сыны
арасында
ы айырмашылы
ты мына 21
-
суреттен к
руге болады. Ж
йе н
ктелеріні
координаттарын вариацияла
анда, кез келген т
різдес функцияларды
сімшесі пайда болады. Сонды
тан (8) –
те
дікті
сол жа
ын функциясыны
вариациясын есептеу ережесі ретінде олдану
а болады, я
ни ,
(
α
= 1,2,…, k
)
.
(11)
Механикалы
ж
йені
i
–
н
ктесіне т
сірілген белсенді к
штер мен байланыстар реакциясы к
шіні
серінен н
ктені
виртуальды
орын ау
ы
стыруы кезіндегі істелетін ж
мысты, виртуальды
қ
ж
ұ
мыс
деп атайды. Ол белсенді к
штерді
виртуальды ж
мысы ж
не байланыстар реакциясы к
штеріні
виртуальды ж
мыстарыны
осындысына те
.
δ
A
= δA
F
+ δA
R
.
(12)
М
нда
ы
(13)
Виртуальды
орын ауыстыру ж
не байл
аныстар реакциясы к
шіні
ви
р
туальды ж
мысы туралы ымды пайдаланып идеалды
байланысты
аны
тамасын былай беруге болады
;
Ж
йені
кез келген виртуальды
орын ауыстыруында барлы
байлан
ы
стар реакциясы к
шіні
виртуальды
ж
мыстарыны
осындысы нольге те
болса, ондай байланыстарды идеалды ж
ә
не ұ
стамды байланыстар
деп атайды, я
ни .
(14)
Осы т
жырымды кейде идеалды
қ
байланыстар постулаты
деп те атайды. Идеалды
байланыстар шарты (14)
-
рнекті пайдаланып, голономды
м
е
ханкалы
ж
йені
оз
алысын аны
тайтын те
деулер ж
йесін алу
а болады. Оны (8)
-
рнектен н
ктелерді
к т
уелді координаттарыны
вариацияларын жою ар
ылы табу
а болады. Ол 74
шін (8)
-
рнекті
рбір м
шесін белгісіз (
-
λ
α
) к
бейтеміз де шы
ан те
діктерді (14)
-
тедікпен осамыз. Сонда, .
(15)
М
нда, к
-
координаттар вариациясы т
уелді; ал ал
ан (3
n
-
k
) координаттар в
а
риациясы т
уелсіз.
λ
α
белгісіз к
бейткішті, к т
уелді координатта
р вариациясыны
алды
н
да
ы коэффициенттер нольге те
болатындай етіп та
дап аламыз, сонда (15)
-
те
деуде т
уелсіз координаттар вариациясына байланысты (3
n
-
k
) м
ше алады. Сонды
тан (15)
-
те
дік орындалуы шін т
уелсіз координаттар вари
а
цияларыны
алдында
ы
коэффициенттер нольге те
болуы керек. Осыдан ид
е
алды
байланыстар реакциясы к
шін табамыз, ,
(
i
=1,2,…, n
)
.
(16)
Осы (16)
-
рнекпен аны
талатын байланыстар реакциясы к
шіні
м
нін (4)
-
рнекке ойып, мынанда
й те
деулер ж
йесін аламыз, (17)
Осы те
деулер ж
йесі Лагранж те
ң
деулеріні
ң
бірінші т
ү
рі
деп аталынады. Б
л те
деулерді
саны (3
n
+
k
), сонды
тан механикалы
ж
йе н
ктелеріні
3
n
коо
р
динаталарын ж
не к белгісіз
λ
α
к
бейткіштерді аны
тау
а болады.
§4. Виртуальды
қ
орын ауыстыру принципі
Виртуальды
орын ауыстыру принципі, идеалды
ж
не
с
тационарлы
байланыстарды
серіндегі голономды
механикалы
ж
йені
тепе
-
те
дік шарттарын арастырады. Б
ұ
л принцип
т
і былай т
ұ
жырымдау
ғ
а болады
.
Голономды
қ
, идеалды
қ
, стационарлы
қ
, ж
ә
не ұ
стамды
байланыста
ы механкалы
ж
йені
тепе
-
тедікте болуы шін, осы ж
йеге сер ететін барлы
белсенді к
штерді
виртуальды
ж
мыстарыны
осындысы кез келген виртуальды
орын ауыстыруда нольге
те
болуы ажет ж
не жеткілікті, я
ни ж
йе тепе
-
те
дікте болады сол уа
ытта, егер .
(18)
75
Е
ң
алдымен (18)
–
шартты
ң
орындалуыны
ң
қ
ажеттілігін д
ә
лелдейік.
Ол шін n
материалды
н
ктелер жи
ынынан т
ратын механикалы
ж
йе тепе
-
те
дікте т
р деп есептейік. Сонда ж
йені
кез келген M
i
н
ктесіде тепе
-
тендікте болады, бас
аша айт
анда осы н
ктеге сер ететін белсенді к
штер мен байланыстар реакциясы к
шіні
те
серлі к
ші нольге те
,
,
(
i
= 1,2,… n
)
.
(19)
Осы те
дікті рбір м
шесін н
ктелер радиус
-
векторларыны вариациясына к
бейтіп, шы
ан те
деулерді с
йкес осса
, .
(20) Идеалды
байланыстар постулаты (14) -
рнекті ескерсек (20) -
рнектен (18) –
шартты орындалуы ажет екендігі д
лелденеді. Енді (18)
–
шарттың орындалуы жеткілікті екенін д
ә
лелдейік.
Ол шін арастырылып отыр
ан ж
йе (18)
–
шартты
орындалуына арамастан, тепе
-
те
дік алпынан шы
ып оз
ала бастайды деп жорамалдайы
. Олай болса dt
уа
ыт мезетінде н
ктелерді
шын орын ауыстырулары белсенді к
штер мен байланыстар реакциясы к
штеріні
те
серлі к
штеріні
ба
ыты мен ба
ыттас болады. Сонды
тан, .
(21)
Стационарлы
байланыстар шін болатын
ды
тан (21)
–
ші рнекті былай жазамыз,
.
Идеалды
байланыстар постулаты бойынша
.
сонды
тан,
.
(22)
Б
л (18)
-
шарт
а айшы келеді, сонды
тан бізд
і
жорамалымыз д
рыс бо
л
ма
аны. Сонымен (18)
–
шартты
орындалуы голономды
ж
йені
тепе
-
тедігіні
ажетті ж
не жеткілікті шарты болады.
Дербес мысал ретінде виртуальды
орын ауыстыру принципін, арапайым механикалы
ж
йе, еркін материалды
н
ктені
тепе
-
т
е
дік шартын аны
тау шін олданайы
. Б
л жа
дайда (18) -
рнекпен аны
талатын шартты былай жазамыз, 76
.
(23)
Еркін материалды
н
ктені арастырып отыр
анды
тан, оны
коорд
и
наттарыны
вариациял
ары бір
-
біріне т
уелсіз, сонды
тан (23)
–
те
дік орынд
а
луы шін осы т
уелсіз вариацияла
р
ды
алдында
ы коэффициенттер нольге те
болуы керек,
F
x
=0, F
y
=0, F
z
=0
.
(24)
Б
л физикадан белгілі еркін материалды
н
ктені
тепе
-
те
дік шарты.
§5. Еркін емес механикалы
қ
ж
ү
йені
ң
тепе
-
те
ң
дік шарттары. Жалпылан
ғ
ан координаттар ж
ә
не жалпылан
ғ
ан к
ү
штер
Виртуальды
орын ауыстыру принципі бойынша еркін емес механикалы
ж
йені
тепе
-
тедік шарттарын аны
тау шін, жалпылан
ғ
ан коорд
инаттар ж
ә
не жалпылан
ғ
ан к
ү
штер
деген ымдар енгізу керек.
Механикалы
ж
йені
жалпылан
ан (немесе т
уелсіз) координаттары деп, ж
йені
кеістіктегі орнын бір м
нді аны
тайтын q
1
, q
2
, …, q
s
кез келген (3
n
-
k
) шамаларды айтады. Жалпылан
ан координаттар сан
ы S
=3
n
–
k
ж
йені
еркіндік д
режесіне те
болады да, оларды
лшем бірліктері кез келген болуы м
мкін. Механикада жалпылан
ан координаттар лшем бірлігіне зынды
лшемін немесе лшем бірлігі жо
шаманы (б
рышты
айнымалылар) алады.
Жалпылан
ан координатт
ар мынадай екі шартты ана
аттандырады: 1.
Ж
йе н
ктелеріні
декартты
координаттары ж
не радиус
-
векторлары жа
л
пылан
ан координаттар
а т
уелді бір м
нді функциялар болуы керек я
ни, стационарлы
емес байланыстар шін
,
(25)
ал стационарлы
байланыста
ы ж
йелер шін, .
(26)
2.
Ж
йені
жалпылан
ан координаттары о
ан т
сірілген байланыстармен с
ы
байлас болуы керек. Бас
аша айт
анда (2)
–
б
айланыстар те
деуіндегі рад
и
ус
-
векторларды жалпылан
ан координаттармен алмастыр
анда ол те
деу нольге те
болуы керек.
Енді идеалды
, стационарлы
ж
не голономды
механикалы
ж
йені
тепе
-
те
дік шарттарын аны
тау
а к
шейік. Ол шін q
1
, q
2
, …, q
s
жалпылан
а
н коо
р
динаттары белгілі ж
не ж
йені
барлы
н
ктелеріні
радиус
-
векторлары (26) -
рнек сия
ты аны
талады деп есептейік. Сонда ж
йені
т
уелді координаттар вариациясын, оны
77
т
уелсіз δ
q
1
, δq
2
, …, δq
s
виртуальды орын ауыстырулары ар
алы былай алмастыру
а б
олады.
,
(
i
=1,2,… n
)
.
(27)
Осы табыл
ан шамаларды (18) –
виртуальды
орын ауыстыру принципіне ойса
, ,
осындыларды орын ауыстырса
, .
(28)
М
нда
ы .
(29)
(α=1,2,…, s
)
.
Q
α
т
уелсіз жалпылан
ан координаттар
а с
йкес жалпылан
ғ
ан к
ү
ш
деп атайды. Сонымен, жалпылан
ан координаттар ар
ылы (18) –
виртуальды
орын ауыстыру принципін (28) ж
не (29) рнектерге с
йкес былай жазамыз,
.
(30)
М
нда
ы δ
q
α
–
виртуальды орын ауыстырулар зара т
уелсіз бол
анды
тан, (30)
-
рнектегі осынды нольге те
болуы шін, т
уелсіз виртуальды
ор
ын ау
ы
стыруларды
алдында т
р
ан барлы
коэффициенттер жеке
-
жеке нольге те
болуы ажет, я
ни Q
α
= 0
,
(
α
=1,2,…, s)
.
(31)
Осы (31) -
рнекпен берілген те
деуге байланыстар реакциясы к
ші кірмейді де, оны идеальды
ж
не стационарлы
байланыстарда
ы кез келген голономды
механикалы
ж
йені
тепе
-
те
дігіні
ажетті ж
не жеткілікті шарты деп ата
й
ды.
Мысал ретінде, механикалы
ж
йеге сер ететін белсенді к
штер поте
н
циалды болатын дербес жа
дайды арастырайы
, я
ни ,
(i =1,2,…, n)
.
(32)
М
нда
ы -
ж
йені
толы
потенциалды
энергиясы. Осы потенциалды
энергияны (26) рнекке с
йкес q
1
, q
2
, …q
s
жалпылан
ан координа
ттар
а да т
уелді деп есептеп туынды алатын болса
, онда
78
.
(33)
Осы (33) ж
не (32) рнектерді пайдаланып, (29) рнекпен аны
талатын жалпылан
ан к
шті былай аны
тау
а болады,
.
(34)
Сонды
тан, (31) -
рнекпен берілген тепе
-
тедік шарттарын мына т
рде жазу
а болады:
.
(35)
Осыдан мынадай орытынды шы
ады:
Потенциалды
к
штер рісінде т
р
ан механикалы
ж
йе тепе
-
те
дікте т
руы шін, оны потенциалды
энергиясы белгілі бір стационарлы
м
ндер абылдауы ажет. Осы (35) –
те
деулер ж
йесін шешіп, механикалы
ж
йені
бірнеше тепе
-
тедік орындарда т
ратынды
ын табу
а болады, бас
аша айт
анд
а, потенциа
л
ды
энергияны
стационарлы
к
йлері с
йкес келетін жалпылан
ан коорд
и
наттарды
бір немесе бірнеше м
нін q
0
(q
10
, q
20
, …q
s0
) табамыз. Б
л потенциа
л
ды
энергияны
е
кіші немесе е
лкен м
ндері болуы міндетті емес, йткені (35) к
п айнымалыдан т
уелді функцияны
экстремумын зерттеуді
жеткілікті шарты емес, тек ана ажетті шарты. Тепе
-
тедік к
йді т
рт т
рі болады: орны
қ
ты, орны
қ
сыз, тал
ғ
амсыз
ж
не ерто
қ
ым
т
різдес. Тепе
-
тедік к
йіні орны
ты т
ріне потенциалды
энергияны
е
аз м
ні с
йке
с келеді. Егер тепе
-
те
дік алыпта т
р
ан механикалы
ж
йені бір аз ш
а
ма
а орын ауыстыр
анда пайда болатын к
ш б
рын
ы тепе
-
тедік алпына арай ба
ытталатын болса, ж
йені
ондай тепе
-
тедік к
йін орны
қ
ты
деп ата
й
ды. Тепе
-
тедік к
й
іні орны
сыз т
ріне п
отенциалды
энергияны
е
к
п м
ні с
йкес келеді. Егер тепе
-
тедік алыпта т
р
ан механикалы
ж
йені бір аз шама
а орын ауыстыр
анда пайда болатын к
ш ж
йені осы тепе
-
тедік алпынан алыстату
а ба
ытталатын болса, ж
йені
ондай тепе
-
тедік к
йін о
р
ны
қ
сыз
д
еп атайды. Егер тепе
-
тедік алыпта т
р
ан механикалы
ж
йені кез келген ба
ыт
а орын ауыстыр
ан кезде оны потенциалды
энергиясы згермейтін болса, ж
йені
ондай тепе
-
тедік к
йін тал
ғ
амсыз
деп атайды. Механикалы
ж
йені
тал
амсыз тепе
-
тедік к
йіні
мысалы ретінде, горизонталь жазы
ты
та жат
ан біртекті шарды алу
а болады. 79
Егер механикалы
ж
йені
т
р
ан тепе
-
тендік к
йіні
орны
ты немесе орны
сыз болуы, осы алыптан ж
йені орын ауыстыру ба
ытына байланысты болса, ж
йені
ондай тепе
-
те
дік к
йін ер
то
қ
ым т
ә
різдес
деп атайды.
Механикалы
ж
йені
т
р
ан орны тепе
-
тедік к
йіні
ай т
ріне жат
а
тынын аны
тау шін, осы орынны
айналасында U=U(q
1
, q
2
,…, q
s
) потенциа
л
ды
бетті т
рін аны
тау ажет. Мына т
менгі 22
-
суреттерде, мысал ретінде еркіндік д
режес
і S=2 те
механикалы
ж
йені
рт
рлі тепе –
тедік к
йлеріне с
йкес келетін потенциалды
беттері к
рсетілген.
80
а) –
орны
ты, б) –
ор
-
ы
сыз, в) –
тал
амсыз, тепе
-
тедік кйлері, г)
ертоым т
різдес тепе
-
тендік т
рі, м
н
-
а
ы АА –
орны
ты, ВВ –
орны
сыз ж
не СС –
тал
амсыз тепе
-
тендік т
рлеріне с
йкес ке
-
еді.
§6. Лагранж теңдеуіні
ң
екінші т
ү
рі (Даламбер принципі бойынша қ
орытып шы
ғ
ару)
Байланыс
ан механикалы
ж
йені
оз
алысын зерттеу шін жалп
ы
лан
ан (т
уелсіз) координаттар
а т
уелді дифференц
иалды
те
деуді олданатынды
ы 2
-
та
ырыпта айтыл
ан болатын. Б
л те
деулерді Лагранж те
деуіні
екінші т
рі деп атайды, б
дан былай б
л те
деулерді Лагр
ан
ж те
ң
деулері
деп атайтын боламыз. Лагранж те
деул
еріні
бір ерекшелігі, олар
а бе
лгісіз байланыстар ре
акциясыны
к
ші кірмейді, сонды
тан еркін емес мех
а
никалы
ж
йені
динамикалы
есептерін шешу о
ай болады.
Лагранж те
деулерін орытып шы
аруды
екі т
сілі бар. Оларды
біріншісі, (4) –
те
деулер ж
йесінен е
алдымен байланыстар реакциясы к
шін, содан со
ж
йе н
ктелеріні
т
уелді координаттарын жою ар
ылы, екіншісі, классикалы
механканы
негізгі принциптеріні
бірі болып табылатын, Остр
о
градский
-
Гамильтон принциптерінен шы
ады. Б
л та
ырыпта Лагранж те
деулерін бірінші т
сілмен табайы
. Ол шін n
матери
алды
н
ктелерден т
ратын механикалы
ж
йені арастырайы
. Б
л ж
йеге к идеалды
, стамды, голономды
ж
не стационарлы
(немесе стаци
о
нарлы
емес) байланыстар сер ететін болсын. Сонда (4)
-
те
деулер ж
йесінен байланыстар реакциясы к
шін жою шін, осы те
де
улерді
р
айсысын ж
йе н
ктелеріні
81
виртуальды
орын ауыстыруларына скаляр т
рде к
бейтіп шы
ан те
деулерді с
йкес осатын болса
, онда
.
(36)
Идеальды
байланыстар постулаты (1
4)
-
рнекке с
йкес (36)
-
те
деудегі со
ы осынды нольге те
, сонды
тан,
.
(37)
Осы те
деулер Лагранж
-
Даламбердін дифференциалды
-
вариациалды
принципіні
математикалы
рнегі болады
Лагранж
-
Далам
бер принци
пін былай т
жырымдау
а болады:
Голономды
, идеальды
ж
не стамды байланыста
ы механикалы
ж
йеге сер ететін барлы
белсенді к
штерді
ж
не Даламберді «инерция к
ші» деп аталатын к
штерді
виртуальды
ж
мыстарыны
осы
ндысы кез келген виртуальды
орын ауыстыруда нольге те
. (37) –
те
деулерді голономды
ж
йені
динамикасыны
жалпы те
деуі немесе механиканы
ң
ә
мбебап те
ң
деуі
деп те атайды. Осы те
деулерді пайдаланып Лагранж те
деулерін аны
тау шін q
1
, q
2
, …
q
s
жалпылан
ан координаттар
а к
шу керек ж
не т
уелді координаттар вариацияларын жою керек. Ол шін ж
йе н
ктелеріні
радиус
-
векторларын жалпылан
ан координаттар ар
ылы рнектейік, я
ни
,
(
i
=1,2,…, n
)
.
(38)
Ос
ыдан
,
(
i
=1,2,…, n
)
.
(39)
(38)
-
рнектен
уа
ыт
бойынша
туынды
алса
, онда
,
(
i
=1,2,…, n
)
.
(40)
М
нда
ы
скаляр
шама
ж
йені
жалпылан
ан
жылдам
ды
ы
деп
атал
а
ды
. Егер
жалпылан
ан
координаттарды
лшем
бірлігіне
зынды
лшем
бірілігі
алынса
, онда
жалпылан
ан
жылдамды
лшем
бірлігі
сызы
ты
жы
л
дамды
ты
лшем
бірлігіндей
болады
.
(40) –
тедіктен
мынадай
екі
тепе
-
тедікті
алу
а
болады
. .
(41)
82
(37)
–
тедеулерге
(39) -
рнектен
виртуальды
орын
ауыстыруды
м
ндерін
ойып
шы
ан
тедеулердегі
i
ж
не
α
индекстері
бойынша
осындыларды
орынын
ауыстырс
а
, онда
,
(42)
немесе
.
(43)
М
нда
ы
,
(
α
=1,2,…, s
)
.
(29)
жалпылан
ан
к
штер
, ал
,
(
α
= 1,2,…, s
)
.
(44)
Ж
алпылан
ан
координаттар
вариациясы
δ
q
α
зара
т
уелсіз
бол
анды
тан
(43) –
осынды
нольге
те
болуы
шін
δ
q
α
жалпылан
ан
координаттар
вариациял
а
рыны
алдында
ы
коэффициенттер
нольге
те
болуы
керек
, сонды
тан
A
α
=Q
α
,
(α = 1,2,…, s)
.
(45)
Осы
те
деуле
рді
Лагранж
те
деулері
деп
атау
а
болады
. Б
л
тедеулерді
ашып
жазу
шін
(44) -
рнекпен
аны
тал
ан
А
α
шамасыны
физикалы
ма
ынасын
арастырайы
. Ол
шін
мынандай
т
рлендірулер
жасайы
:
.
Осы
ан
(41) –
тепе
-
тедіктерді
олданса
, онда
.
Сонды
тан
, (44) -
рнек
бойынша
.
Осыдан
.
(46)
М
нда
ы
-
жалпылан
ан
координаттар
мен
жалпылан
ан
жылда
м
ды
тар
ар
ылы
рнек
телген
, ж
йені
кинетикалы
энергиясы
.
Сонымен
жалпылан
ан
координаттар
а
т
уелді
(45) -
рнекпен
берілген
Лагранж
те
деулерін
былай
жазу
а
болады
, 83
,
(
α
= 1,2,…, S
)
.
(47)
Осы
алын
ан
Лагранж
тедеулерін
пайдаланып
кез
келген
голономды
, идеальды
ж
не
стамды
байланыста
ы
механикалы
ж
йені
оз
алысын
аны
тау
а
болады
. М
нда
ы
белгісіздер
, ж
йе
н
ктелеріні
орнын
бір
м
нді
аны
тайтын
q
α
жалпылан
ан
координаттар
. Осы
белгісіздер
мен
Лагранж
те
деулеріні
саны
бірдей
ж
не
олар
механикалы
ж
йені
еркіндік
д
режесіне
те
.
§7. Лагран
ж
функциясы
ж
ә
не
ә
сер
функциясы
Лагранж
те
деулеріні
структурасы
(47) -
рнектерге
ара
анда
Q
α
жа
л
пылан
ан
к
шке
ж
не
ж
йе
н
ктелеріні
жалпылан
ан
координаттарына
, жа
л
пылан
ан
жылдамды
тарына
т
уе
лді
кинетикалы
энергиясына
тікелей
байланысты
екіндігін
к
реміз
. Енді
механикалы
ж
йеге
т
сірілген
жалпылан
ан
к
штерге
байланысты
Лагранж
те
деулеріні
рнегін
табайы
. арастырылып
отыр
ан
ж
йеге
сер
ететін
белсенді
к
штер
потенциалды
болсын
, я
ни
,
(
i
=1,2,… n
).
(48)
М
нда
ы
, U
=
U
(
q
1
, q
2
, …
q
s
; t
) –
ж
йені
толы
потенциалды
энергиясы
, ол
ж
йе
н
ктелеріні
жалпылан
ан
жылдамды
тарына
т
уелді
емес
, сонд
ы
тан
,
(
α
= 1,2,…
S
).
(49)
Механикалы
ж
йеге
т
сірілген
к
штер
потенциалды
бол
анда
, Q
α
жалп
ы
лан
ан
к
штер
(34) -
рнекке
с
йкес
.
(34)
Осы
(34) –
ж
не
(49) -
рнектерді
пайдаланып
(47) –
Лагранж
тедеулерін
былай
жазу
а
болады
, немесе
,
(
α
= 1,2,…
s
)
.
(50)
М
нда
ы L
=
T
-
U
-
механикалы
ж
йені
кинетикалы
энергиясы мен потенц
и
алды
энергияларыны
айырмасы.
84
Механикалы
ж
йе н
ктелеріні
q
α
жалпылан
ан координаттарынан, жалпылан
ан жылдамды
тарынан ж
не уа
ыттан т
уелді мынандай функци
я
ны
(51)
Лагранж ф
у
нкциясы
немесе ж
ү
йелер лагранжианы
деп атайды.
Лагранж функциясынан рыл
ан мынадай интегралд
ы (уа
ыт бойынша алын
ан)
(энергия уа
ыт),
(52)
ә
сер функциясы
деп атайды.
Енді механикалы
ж
йеге т
скен к
штер жалпылан
ан потенциалды б
о
латын жа
дайды арастырайы
, я
ни
,
(α = 1,2,….,
S
).
(53)
М
нда
ы -
жалпылан
ан потенциал немесе жылдамды
а т
уелді потенциал деп аталады. Жалпылан
ан к
штерді
осы м
ндерін (47)
-
рнектерге ойып Лагранж те
деулерін (50) -
рнектер т
ріне келтіруге болады, бі
ра
м
нда
ы Лагранж функциясы ж
йені
кинетикалы
энергиясы мен оны
жалпылан
ан потенци
а
лыны
айырмасына те
болады,
.
(54)
Жалпылан
ан потенциалды к
штер сер ететін ж
йені
мысалына сырт
ы электромагниттік рісте оз
алатын зарядтал
ан б
лшектер ж
йесін алу
а болады. М
ндай ж
йелер шін Лагранж функциясы былай жазылады,
. (55)
М
нда
ы, -
электромагниттік рісті
векторлы
потенциалы,
φ(
x
,
y
,
z
,
t
) –
электромагниттік рі
сті
скалярлы
потенциалы. §8. Лагранж функциясыны
ң
энергияны
ң
са
қ
талу за
ң
ымен байланысы
Механикалы
ж
йеге т
сірілген потенциалды немесе жалпылан
ан п
о
тенциалды к
штерді
серінен болатын ж
йе оз
алысыны
те
деулерін (Л
а
гранж те
деулерін) жаз
ан ке
зде, ткен та
ырыпта біз Лагранж функциясын формальды т
рде енгізген болатынбыз. Шынды
ында б
л функция механик
а
лы
ж
йе к
йлерін сипаттайтын ма
ызды функция.
85
Лагранж функциясыны
физикалы
ма
ынасын, байланыс
ан ж
йелерді сырт
ы симметриялы к
ш рістері
ндегі оз
алысын аны
та
ан кезде, осы Л
а
гранж тендеулеріні
бірінші интегралын тап
анда білгеміз, (я
ни са
талу за
дарын тап
анда). оз
алыс (Лагранж) тедеулеріні
бірінші интегралын Л
а
гранж функциясыны
т
ріне арап о
ай табу
а болады. арастырылып оты
р
ан ж
йені
лагранжианы уа
ыт
а тікелей т
уелсіз (
) болсын. Сонда Лагранж фукциясынан уа
ыт бойынша алын
ан толы
туынды
.
(50) -
рнекпен берілген Лагранж те
деуі бойынша
.
Сонды
тан Осыдан,
.
(56)
Осыдан, егер ж
йені
лагранжианы уа
ыт
а тікелей т
уелсіз болса (я
ни ), онда ж
йе оз
алысы кезінде, ж
йені
толы
энергиясы деп атал
а
тын мынандай шама са
талады
т
р.
(57)
Ж
йені
толы
энергиясыны
осы аны
тамасы к
птеген жа
дайларда, кинетикалы
энергиямен потенциалды
энергияларды осындысына те
бол
а
тын механикалы
энергияны аны
тамасындай екендігін д
лелдейі
к.
Е
алдымен потенциалды к
ш рісінде т
р
ан ж
йені арастырайы
. Сонда (51) -
рнекке с
йкес Лагранж функциясында
ы потенциалды
энергия, жалпылан
ан жылдамды
а т
уелсіз бол
анды
тан (57) -
рнектегі осынды
(58)
Сонды
тан Е толы
энергия, (57) -
рнекке с
йкес,
E
=2
T
-
L
=2
T
-
(
T
-
U
)=
T
+
U
.
Кинетикалы
ж
не потенциалды
энергияларды
осындысына те
. 86
Енді т
ра
ты электр ж
не магнит рісіндегі зарядтал
ан б
лшектін еркін оз
алысын арастырайы
. Сонда (55) -
рнекпен аны
талаты Лагранж фун
к
циясын былай жазу
а болады.
.
М
нда
ы
ал .
Сонды
тан толы
энергия
.
Осы арастырыл
ан
мысалдардан, жо
арыда келтірілген толы энергияны
жа
а аны
тамасы, механикалы
энергияны
аны
тамасына ара
анда жалп
ы
лан
ан екендігін к
реміз, сонды
тан (57) рнекті энергияны
ң
жалпыланған са
қ
талу за
ң
ы
деп атайды.
андай да болмасын ж
йелерге (механика
лы
, жылулы
, электрлік, атомды
, т.б.) с
йкес Лагранж функциясын аны
тау
а м
мкіншілік болса, онда (57) -
рнек бойынша толы
энергияны са
талу за
ын, я
ни Лагранж те
деулеріні
бірінші интегралын табу
а болады.
Толы
энергияны
са
талу за
ы, Лагранж фун
кциясы уа
ыт
а тікелей т
уелсіз болмаса ана орындалады. Лагранж функциясыны
уа
ыт
а тікелей т
уелсіз болмауыны екі т
рі бар. Біріншісі, ж
йеге т
сірілген байланыстар ст
а
ционарлы
болуы керек, екіншісі ж
йеге сер ететін к
штерде уа
ыт
а т
уелсіз болуы к
ерек, бас
аша айт
анда т
ра
ты к
штер болуы керек. Міне осындай екі жа
дайда ана механи
калы
ж
йе консервативті болады
(толы
энергиясы са
талады).
§9. Механикалы
қ
ж
ү
йені
ң
жалпылан
ғ
ан импульсі ж
ә
не циклдік координаттары
Механикалы
ж
йені
жалпылан
ан
импульсі деп, мынандай рнекпен аны
талатын скаляр шамаларды айтады, ,
(
α
= 1,2,….,
s
).
(59)
Егер q
α
жалпылан
ан координаттар зынды
лшемімен лшенген болса, онда P
α
жалпылан
ан импульс лшемі алыпты импульс лшеміндей бол
ады; егер q
α
-
лшемсіз б
рышты
айнымалылар болса, онда P
α
жалпылан
ан импульс лшем бірлігі, импульс моменті лшем бірлігіндей.
87
Электромагниттік рістегі зарядтал
ан еркін б
лшектерді
жалпылан
ан импульсі (55) -
рнекке с
йкес,
(60)
Жалпылан
ан импульсті (59) -
рнегін пайдаланып, (50) –
Лагранж те
деулерін былай жазу
а болады:
,
(
α
= 1,2,….,
s
).
(61)
Лагранж функциясына кейбір жалпылан
ан координаттар здері кірмей оларды
уа
ыт бойынша туындылары кіретін жа
дайлар болады. Осындай к
о
ординаттарды циклдік координаттар
деп атайды. Сонымен, q
α
жалпылан
ан координаттарды циклдік деп атайды, егер . Сонды
тан, осы q
α
циклдік координаттар
а с
йкес P
α
жалпы
лан
ан импульстар шамалары т
ра
ты болады, шынында да егер болса, онда (61) –
ші рнекке с
йкес
P
α
=
т
р.
(62)
Мысал ретінде, біртекті ауырлы
к
шіні
серінде т
р
ан материалды
н
ктені арастырайы
. Егер декартты
координа
ттар ж
йесіні
z
сін, еркін т
су деуіні
ба
ытына арсы ба
ыттаса
, онда материалды
н
кте шін Л
а
гранж функциясын былай жазу
а болады.
.
(63)
Б
ан х ж
не y
координаттары тікелей кірмейді, (циклдік к
оординаттар болады) сонды
тан, материалды
н
ктені
импульс векторыны екі проекци
я
сы т
ра
ты болады:
т
р,
т
р
.
§10. Функционал туралы ұ
ғ
ым ж
ә
не оны
ң
бірінші вариациясы
Лагранж те
деулерін орытып шы
аруды
екінші т
сілін арастырайы
, ол шін, е
алдымен бір немесе бірнеше функциялар
а т
уелді исы
сызы
ты интегралды
экстремальды
асиеттерін 88
зерттейтін математиканы
бір ерекше б
лімі –
вариациялы
есептеуді
кейбір элементтерімен танысайы
.
Вариациялы
есептеуді
дамуына себеп бол
ан брахистохрон туралы
есеп. Ол есеп мынандай.
Массасы m
материалды
н
кте ауырлы
к
шіні серінен, бастап
ы жылдамды
сыз, вертикаль жазы
ты
та бір О
н
ктесінен А н
ктесіне бірнеше исы
сызы
бойымен т
сетін болсын (23 суре
тті ара). Сонда н
ктені
т
су уа
ытын мынандай исы
сызы
ты интегралмен табу
а болады,
. (64)
Б
л интеграл белгісіз y
(
t
) функциясына т
уелді. Осы О
ж
не А н
ктелерін осатын исы
сызы
тарды
ішінен,
арастырылып отыр
ан н
ктені е
аз уа
ыт ішінде т
сетін исы
сызы
ты табу керек.
Сонды
тан іздестіріліп отыр
ан исы
брахистохрон (брахистос –
грекшке ыс
а, хронос
-
уа
ыт) деп аталады. (64) -
рнек т
різдес шамаларды математ
и
када функционалдар
деп атай
ды.
Сонымен, бір ана y
(
x
) функция
а т
уелді исы
сызы
ты интегралды арапайым функционал деп атап оны мына т
рде жазу
а болады, .
(65)
Вариациялы
есептеуді
негізгі есебіне осы, (65) -
рнекпен берілген функционалды
экстре
мумын аны
тайтын ж
не мынандай шекаралы
ша
р
ттарды
y
(
x
1
) = y
1
, y
(
x
2
) = y
2
(66)
ана
аттандыратын y
(
x
) функциясын табу жатады.
арастырылып отыр
ан вариациялы
есептеуді
шешуі y
(
x
) функциясы болсын. Сонда J
функционалды
экстремумы бол
уы шін осы y
(
x
) функциясы андай шарттарды ана
аттандыру керектігіні
ажетті
шартын табу керек. Ол шін 24
-
суретте к
рсетілгендей y
(
x
) функциясына жа
ын орналас
ан y
1
(
x
) функциясын алайы
,
y
1
(
x
) = y
(
x
)+
αη
(
x
)
.
(67)
М
нда
ы, η
(
x
) –
кез келген функция, ол мынандай шекарлы
шарттарды ана
аттандыратын болсын
89
η(
x
1
) = η
(
x
2
)=0
(68)
α
–
шамасы аз санды
параметр.
(67) -
рнекті (65) -
рнекке ойып, тек ана α параметріні
функциясы б
о
латын мынандай рнек аламыз,
.
(69)
Сонды
тан, (65) функционалды
экстремумын табуды орнына, бір ана α п
а
раметрге т
уелді (69) –
функцияны
экстремумын аны
тау жеткілікті. Ол шін (69) –
функциядан α параметр бойынша туынды алып, шы
ан рнекті
α
=
0 бол
анда
ы м
нін нольге те
еу керек. Сонды
тан, алдымен J
функциясынан α бойынша туынды алайы
,
.
(70)
О
жа
та
ы екінші интегралды б
лімшелеп интегралдаса
,
.
(71)
М
нда
ы интегралдан
ан м
шеге жо
ар
ы ж
не т
менгі шектерін ой
анда (68) –
шекарлы
шарттар бойынша нольге те
. Сонды
тан (71) -
рнекті (70) -
рнекке ойса
,
.
Осыдан
.
(72)
М
нда
ы, η(х) кез келген функция бол
анды
тан (72) -
рнек орын
далу шін интегралды
астында т
р
ан η(х) функциясыны алдында
ы коэффициенті нольге тепе
-
те
болыу керек, я
ни
. (73)
Б
л Эйлер теңдеуі
деп аталады. Сонымен іздестіріп отыр
ан y
(
x
) фун
к
циясы
жо
арыда айтыл
ан вариациялы
есепті
шешімі болуы шін, ол Эйлер тедеуін ана
аттандыруы керек. Осы шы
ан орытындыны бас
аша да т
жырымдау
а болады, егер функционалды бірінші вариациясы туралы ым енгізсек. Мына т
мендегідей т
рде аны
талатын шаманы (65) –
функционалды бірінші вариациясы деп атайды,
90
. (74)
(72) -
рнекті ескерсек, онда
. (75)
М
нда
ы δ
y
-
y
(
x
) функциясыны вариациясы,
δ
y
=
αη
(
x
)=
y
1
(
x
) –
y
(
x
)
.
(76) Жо
арыда алын
ан (75)
-
рнектен мынандай орытынды шы
ару
а бол
а
ды: вариациялы
есепті шешуі болатын y
(
x
) функциясы δJ
функционалды
бірінші вариациясын нольг
е айналдыру керек. Б
л т
жырым жо
арыда
ы (73)
-
рнекті орындалуына пара
-
пар.
Вариацияларды есептеу ережелеріні
кейбіреуін арастырайы
. Кез ке
л
ген y
(
x
) функциясын вариацияла
ан кезде оны
y
/
(
x
) туындысы да вариаци
я
ланады, сонды
тан вариациялау аны
тамас
ы бойынша
.
(77)
Екінші жа
ынан (76) -
рнектен х ар
ылы дифференциал алса
, онда
.
(78)
Осы (77) ж
не (78) рнектерді салыстыра келіп,
(79)
я
ни, диффренциалдау ж
не вариациялау амалдарын зара алмастыру
а бол
а
тынын к
реміз.
Енді интегралдау ж
не вариациялау амалдарын да зара алмастыру
а б
о
л
атынын к
рсетейік. Ол шін (70)
-
рнек
тегі α
=0
деп, шы
ан рнекті екі жа
ын α
-
а к
бейтіп, (74), (76) ж
не (77) -
рнектерді ескеріп мынаны табамыз,
немесе
(80)
Осыдан интегралдау ж
не вариациялау амалдар
ын да зара алмастыру
а бол
а
тынды
ын к
реміз.
91
Вариациялы есептеуді негізгі есебін, функционал S
т
уелсіз y
i
(
x
) ж
не оны y
i
/
(
x
) туындыларына байланысты болатын функциялар шін де жазу
а б
о
лады, я
ни
.
(81)
Сонда о
сы функционалды вариациясын мына т
рде жазу
а болады,
.
(82)
y
i
(
x
) функциялары т
уелсіз бол
анды
тан δ
y
i
вариациялары да т
уелсіз болады. Сонды
тан, δ
J
=0 болуы шін δ
y
i
т
уелсіз вариацияларды алдында
ы коэфф
и
циенттер нольге те
болуы керек.
Сонымен, y
i
(
x
) функциялары (81) –
функционалды экстремумын аны
тау шін мынандай Эйлер тедеулер ж
йесін ана
аттандырулары керек,
,
(
i
=1,2,… s
)
.
(83)
Осы тедеулер ж
йесіне формальды т
рде мынандай алмастырула
р жасаса
:
ж
не F→L,
Онда (83) –
тедеулдер (50) –
Лагрнаж тендеулеріне с
йкес келеді. Сонды
тан Лагранж тендеулері механиканы кейбір вариациялы
есептері шін Эйлер тедеулері сия
ты болады деген орытынды шы
ады.
§11. Экстремальды
қ
ә
сер принципі
(Остроградский –
Гамильтон принципі)
Енді Лагранж тендеулері механиканы
кейбір вариациялы
есептері шін Эйлер тедеуі болатынды
ын к
рсетейік. Ол шін механикалы
ж
йені
ко
н
фиурациялы
қ
кеңістігі
деген ым енгізейік.
Механикалы
ж
йен
і конфигурациялы
кеістігі деп, q
1
, q
2
, …,
q
s
, жа
л
пылан
ан координаттар
а ж
не t
уа
ыт
а т
уелді (
s
+1) лшемді ке
істікті айт
а
ды.
Егер абсцисса сіні бойына t
уа
ытты ал ордината сіні
бойына q
α
жалпылан
ан координаттар жиынын салса
, онда осы жазы
т
ы
та жат
ан (
q
α
, t
) координаттары мен аны
талатын н
кте t
92
уа
ыт мезгіліндегі ж
йені
белгілі бір конфигурациясына с
йкес келеді.
Механикалы
ж
йе (
t
2
-
t
1
) уа
ыт ішінде А конфигурациясынан В конфигурациясына орын ауыстырды дейік (25
–
суретті ара) ж
не ж
йег
е т
сірілген байланыстар оны
ы
тималды
орын ауыстыруын шек
темейтін болсын, бас
аша айт
ан
да, ж
йе А конфигурациясынан В конф
и
гур
а
циясына ы
тималды
орын ауыстыруды бірнеше траекториялармен те алатын болсын, ал солардын ішінде біреуі ана (АСВ) ж
йені ш
ын орын
ауыстыруына с
йкес келсін
.
Осы шын орын ауыстыру траекториясын, м
мкін болатын бірнеше ы
тималды
орын ауыстыруларды ішінен алай б
ліп алу
а болады, деген с
ра
а экстремалды
сер принцпі (Остроградский
-
Гамильтон принципі) жауап береді. Идеалды
байланыста ж
не потенциалды
(немесе жалпылан
ан потенциалды
) белсенді к
штер рісінде т
р
ан голономды
механикалы
ж
йелер шін б
л принципті былай т
жырымдау
а болады;
Механикалы
қ
ж
ү
йені
ң
А конфигурациясынан В конфигурациясына, м
ү
мкін болатын бірнеш
е ы
қ
тималды
қ
орын ауыстыруларыны
ң
ішінен, шын орын ауыстыру ә
сер функциясыны
ң
экстремалды
қ
(к
ө
п жа
ғ
дайда е
ң
аз) м
ә
ніне с
ә
йкес келеді.
Бас
аша айт
анда механикалы
ж
йені
шын орын ауыстыру траекториясында (52)
–
сер функциясыны бірінші вариациясы нольге т
е
болуы керек, я
ни
.
(84)
Идеалды
байланыста ж
не жалпылан
ан потенциалды
белсенді к
штер рісіндегі голономды
механикалы
ж
йені шын орын ауыстыру траектори
я
сын табуда, (84)
–
шартты
орындалуы ажетті
екендігін д
лелдейік. Ол шін механиканы
жалпы те
деулері деп аталатын (43)
–
тедеулерді
жалпылан
ан ко
ординаттар ар
ылы жазыл
ан (47)
–
тедеулерді пайдаланамыз,
.
М
нда
ы Q
α
жалпылан
ан к
штерді, (53)
-
рнекке с
йкес жалпылан
ан пот
е
н
циал ар
ылы алмастырса
, онда
93
. (85)
М
нда
ы ж
не .
Енді δ
Т ж
не δ
V вариацияларды есептейік. Кинетикалы
энергияны
δТ вариациясын былай жазу
а болады.
.
М
нда
ы,
,
екендігін ескерсек, онда
. (86)
Осы сия
ты, δV
есептесек, онда
.
(87)
Осы шы
ан (86)
-
рнектен (87)
-
рнекті алып, (85)
-
рнекті
ескерсек, онда
.
Осында
ы T
-
V
= L
Лагранж функциясы да, ж
не (
α
= 1,2,…,
s
)
жалпылан
ан импульс екенін ескерсек, онда жо
арыда
ы тедікті былай жазу
а болады,
.
(88)
Осы тедікті екі жа
ын dt
а к
бейтіп, t
1
ден t
2
ге дейін уа
ыт бойынша инт
е
грал алса
, Осы тедікті о
жа
ына интегралдау шектерін ойып ж
не δ
q
α
(
t
1
) = δ
q
α
(
t
2
) = 0 екенін ескерсек, онда
.
Интегралдау жне вариациалау амалдары зара алмастыруа болатынын ескерсек, онда (80)
-
рнекке
сйкес, соы тедікті былай 94
жазамыз б
л (84) шартты орындалуыны
ажеттілігін д
лелдейді.
§ 12. Лагранж теңдеулерін экстремалды
қ
ә
сер
принципі бойынша қ
орытып шы
ғ
ару
Лагранж тедеулерін экстремальды
сер принципі бойынша орытып шы
ару шін (84)
–
шартты
орындалуыны
жеткілікті екенін д
лелдесек бол
аны. Ол шін жо
арыда
ы 25
-
суретте к
рсетілген АСВ шын орын ауыст
ы
руынан бас
а, осы
ан жа
ын жат
ан АС
В ы
тималды
орын ауыстыруды арастырайы
. Сонда δ
S
сер функциясыны
сімшесін былай табу
а болады;
(89)
М
нда
ы функциясын δq
α
ж
не д
режелер бойынша атар
а жіктеп, шы
ан рнекті
тек ана бірінші ретті аз шамаларымен ше
к
телсек; онда
,
(90)
егер δ
q
α
(
t
1
) = δ
q
α
(
t
2
) = 0 екенін ескерсек, онда (90) рнектен (91)
болатында
ын к
реміз. Экстремальды
сер принципі бойынша шын орын ауыстыруда δ
S
=0 болуы керек, сонды
тан (91)
-
рнекпен аны
талатын δ
S
=0 болуы шін, барлы
δq
α
т
уелсіз вариацияларды
алдында
ы коэффициенттер нольге те
болуы керек, я
ни
.
(α = 1,2 ,…, s).
Б
л Лагранж тедеулері.
Экстремальд
ы
сер принципінен мынандай ма
ызды салдар шы
ады:
Механикалы
ж
йені
Лагранж функциясы жалпылан
ан координаттар
а ж
не уа
ыт
а т
уелді болатын кез келген функциядан уа
ыт б
ойынша алын
ан туындыдай д
лдікпен аны
талады.
Шынында да, бір механикалы
ж
йені ж
не екі Л
а
гранж функциясын арастырайы
, олар бір
-
бірімен мынандай байланыста бо
л
сын,
95
.
(92)
М
нда
ы, f
(
q
,
t
) кез келген функция.
Сонда осы функциялар
а с
йкес рыл
ан сер функцияларыны зара мынандай байланыста болатынды
ын а
ару иын емес,
т
р, (93)
м
нда
ы
Т
ра
ты шамаларды
вариациясы нольге те
бола
ты
нды
тан (93) рнекке с
йкес δ
S
= 0 болса, онда δ
S
*
= 0 болады. Сонды
тан, ж
йені L
лагранжианынан L
*
к
шкенде Лагранж тендеулері згеріссіз алады.
§13. Вариациялы
қ
инте
гралды
қ
принцип
Экстремальды
сер принципін (Остроградский –
Гамильтон принципін) консервативті емес белсенді к
штер рісіндегі голономды
ж
йелер шін де олдану
а болады, я
ни ж
йеге сер ететін жалпылан
ан к
штерді (53)
-
рнек т
рінде жазу
а болмайтын
ж
йелер шін. Осындай голономды
ж
йелер шін экстремальды
сер принципін былай т
жырымдау
а болады:
Консервативті емес белсенді к
штерді
серінен механикалы
ж
йені
шын орын ауыстыруы, ж
йені
кинетикалы
энергиясыны
вариациясымен барлы
белсенді к
штерді
виртуалды ж
мыстарыны
осындысынан алын
ан интеграл нольге те
болуына с
йкес келеді, я
ни
, (94)
м
нда
ы, δА
F
–
белсенді к
штерді
виртуалды
ж
мысы,
.
(95)
Осы (94)
-
рнекті, арастырып отыр
ан голономды
ж
йелер шін в
а
риациялы
қ
интегралды
қ
принцип
деп атайды. Осы принципті олданып (47)
-
рнекпен аны
талатын Лагранж тедеулерін шы
арып алу
а болатынды
ын к
рсетейік. Шынында да, (
94)
-
рнекке (86)
-
рнекпен аны
талатын, ж
йені
кинетикалы
энергиясыны вариациясын ж
не (95)
-
рнектен белсенді к
штерді
виртуалды
ж
мысыны
м
ндерін ойса
, онда
96
, (96)
осыдан, δ
q
α
т
уелсіз жалпылан
ан к
оординаттар вариациясы екендігін ескерсек, онда (96) тедеуді нольге те
болуы шін, осы δ
q
α
вариацияларды алдында т
р
ан барлы
коэффициенттер нольге те
болуы керек, ол (47)
–
Лагранж тендеулері болады.
Сонымен, (94)
-
рнекпен берілген вариациялы
интегр
алды
принцип еркін ж
не идеалды
байланыста
ы еркін емес голономды
ж
йелерді
барлы
динамикасын жина
ы т
рде амтитынын к
реміз. Б
дан бас
а б
л принципті голономды
емес механикалы
ж
йелер шін де олдану
а болады. Осыдан, классикалы
механиканы руд
ын екі дісі бар екендігі шы
ады; индуктивтік
ж
не дедуктивтік.
Индуктивтік дісті
негізіне, т
жірибеден шы
атын Ньютонны
дифференциалды
тедеулері жатады, ал дедуктивтік дісті
негізіне, экстремальды
сер принципі жатады да (47)
-
рнекпен берілген о
з
алыс тедеулері (Лагранж тендеулері), механиканы
кейбір есептері шін Эйлер тедеулері болып табылады. Идуктивтік дісті к
рнекілігімен арапайымдылы
ына арамастан классикалы
механиканы руда дедуктивтік дісті
арты
шылы
ы к
п. Б
л дісті
арты
шылы
ы, біріншіден, жалпылан
ан координаттар ж
йесін та
дап алу
а байланыссызды
ы, осыны
салдарынан сана
ж
йесіне т
уелсіздігінде, ал индуктивтік дісті негізіне Ньютонны
оз
алыс тедеулері олданылады. Сонды
тан б
л дісте тек ана инерциалды
сана
ж
йесін олданамыз. Шынында да, экстремальды
сер принципіне тек ана кинетикалы
ж
не потенциалды
энергиялар кіреді де, олар сана
ж
йесіне т
уелсіз болады.
Дедуктивтік дісті екінші арты
шылы
ы, оны еркіндік д
режесі шексіз к
п ж
йелер шін де олда
ну
а болады, я
ни механикалы
емес ж
йелер, мысалы, серпімді орта, электромагниттік ріс ж
не са
б
лшектер рісі. Бас
аша айт
анда, физиканы барлы
салалары шін (84)
-
рнек т
різдес экстремальды
сер принципін т
жырымдап, соны н
тижесінде “
оз
алыс те
деулерін
” алу
а болады. Мысалы, классикалы
электродинамикада
ы Максвелл тедеулері, квантты
механикада
ы Шредингер тендеулерін т.с.с. Физиканы рбір б
ліктері шін жазыл
ан экстремальды
сер принциптеріні бірдей болуы материяны
ң
бірт
ұ
тасты
ғ
ында
ж
не рт
рлі физикалы
процестерді
пайда болу т
рлеріні
састы
анда.
97
§14. Гамильтон теңдеулері ж
ә
не Гамильтон функциясы. Гамильтон теңдеулерін экстремальды
қ
ә
сер принципінен қ
орытып шы
ғ
ару
Жо
арыда арастырыл
ан оз
алыс тедеулері, еркін механикалы
ж
йе
ні
оз
алысын аны
тайтын Ньютон тедеулері; еркін емес механикалы
ж
йені
оз
алыстарын аны
тайтын Лагранж тедеулері екінші ретті дифференциалды
тедеулерге жатады. Математикадан белгілі, кез келген s
екінші ретті дифференциалды
тедеулер ж
йесін
оан
пара
-
пар 2
s
бірінші ретті тендеулер ж
йесімен алмастыру
а болады. Бірінші ретті дифференциалды
тедеулер т
рінде жазыл
ан, механикалы
ж
йені
оз
алыс тедеулерін, оз
алысты
кононды
қ
теңдеуі
деп, немесе Гамильтон теңдеулері
деп атайды.
Механикалы
ж
йе оз
алыстарын Лагранж дісімен (Лагранж тедеулері ар
ылы) арастыр
анда, t
уа
ытты ж
не ж
йе н
ктелеріні
q
α
жалпылан
ан к
о
ординаттарын т
уелсіз айнымалылар деп арастырды, ал жалпылан
ан жы
л
дамды
тарды Лагранж функциясына ж
не Лагран
ж тедеулеріне тікелей кіретінд
і
гіне арамастан оларды т
уелді айнымалылар деп есептеді. М
ны, ж
йе оз
алысын аны
тау шін Лагранж дісінде конфигурациялы
кеістіктегі н
кте траекториясы деген ымды енгізуден бай
ау
а болады. Шынды
ында да, м
дай кеістікте кез келген н
ктені
траекториясын аны
тау шін тек ана s
ал
ы шарттар беріледі, ал ж
йе оз
алысын толы
аны
тау шін мынандай та
ыда s
шарттар берілуі керек. Осыны салдарынан, конфигурациялы
кеістікті
кез келген н
к
тесі ар
ылы шексіз к
п, ж
йе н
ктелеріні
траекториялары теді. Сонды
тан да, жалпылан
ан коо
рдинаттармен оса жалпылан
ан ж
ы
лдамды
тарды да (немесе жалпылан
ан импульсті) т
уелсіз айнымалылар деп арастыру керек (Гамильтон дісінде осылай арастырылады).
Сонымен, Гамильтон дісінде т
уелсіз айнымалылар ретінде ж
йені
s
жалпыан
ан координаттары q
1
,
q
2
,
...,
q
s
ж
не (59) рнекпен аны
талатын s
жалпылан
ан импульстары p
1
,
p
2
,…,
p
s
алынады. Механикалы
ж
йе оз
алысыны
геометриялы
интерпретациясын беру шін фаза
лы
қ
ке
ң
істік
туралы ым енгізу керек. Координаттар осьтеріне s
жалпылан
ан координаттар q
α
ж
не s
жалпылан
ан импульстар p
α
салу
а болатын 2
s
лшемді ке
істікті фазалы
қ
ке
ң
істік
дейді. Фазалы
ке
істікті рбір н
ктесіне ж
йені
белгілі бір к
йі с
йкес ке
леді (ондай н
ктені кескіндегіш н
кте деп атайды). Ж
йе оз
алысы кезінде кескіндегіш н
кте фазалы
ке
істікте исы
98
сызады
, оны механикалы
ж
йені фазалы
қ
траекториясы
дейді. Конфигурациялы
кеістікке ара
анда фазалы
ке
істікті
рбір н
ктесі ар
ылы м
еханикалы
ж
йені жал
ыз бір ана фазалы
траекториясы теді. Осы айтыл
ан діс ар
ылы ж
йе к
йін сипаттайтын, механикалы
ж
йе оз
алысыны
тедеуін орытып шы
аруды
бірнеше т
сілдері бар. С
о
ны
біреуі, математикадан белгілі, Лежандр т
рлендіруі деп ат
алады. Б
л т
сілмен, термодинамикалы
параметрлерді
біріншісінен екіншісіне к
шкен кезде термодинамикалы
функцияларды т
рлендіру шін термодинамикада ке
інен олданады. Бізді
арастырып отыр
ан жа
дайымызда Лежандр т
рлендіруін, Лагранж дісінде олданы
латын q
α
ж
не айнымалылардан, q
α
ж
не р
α
айнымалылар
а к
шу шін былай пайдалану
а болады. Ж
йе н
ктелеріні q
α
жалпылан
ан координаттарына, жалп
ы
лан
ан жылдамды
тарына ж
не t
уа
ыт
а т
уелді ж
йе Лагранжи
а
н
ынан толы
дифференциал алайы
, .
(97)
арастырылып отыр
ан ж
йеге тек ана жалпылан
ан потенциалды (н
е
месе потенциалды) к
ш сер етеді деп есептеп, (59)
-
ж
не (61)
-
рнектерге с
йкес, мынандай алмастырулар жа
саса
, (97)
–
тедік мынандай т
рге келеді,
.
(98)
Мына тедікті ескерсек
онда (98)
–
тедікті былай жазу
а болады,
немесе
.
(99)
Осы тедікті
о
жа
ында dq
α
, d
р
α
ж
не dt
дифференциалдарыны
болуы, сол жа
та
ы дифференциал белгісіні астында т
р
ан м
ше, ж
йе н
ктелеріні
жалпылан
ан 99
координаттарына, жалпылан
ан импульстарына ж
не уа
ыт
а т
уелд
і функция екендігін к
рсетеді, я
ни
.
(100)
Осы функцияны Гамильтон функциясы немесе механикалы
қ
ж
ү
йені
ң
гамил
ь
тонианы
деп атайды. 8
-
та
ырыпта айт
анымыздай, егер ж
йені
лагранжианы уа
ыт
а тікелей т
уелді бол
маса, онда (100)
–
тедеуді
о
жа
ында т
р
ан осынды т
ра
ты болатынды
ы д
лелденіп, осы т
ра
ты шаманы ж
йені т
о
лы
энергиясы деп ата
ан болатынбыз. Сонды
тан, уа
ыт
а тікелей т
уелді болмаса, Гамильтон функциясын ж
йені толы
энергиясы деп атау
а болад
ы, б
л Гамильтон функциясыны
физикалы
ма
ынасы, Н = Е
=
тр.
Гамильтон функциясыны
толы
дифференциалын табайы
,
.
Осы шы
ан рнекті (99)
-
рнекпен салыстырса
, онда мынандай тедеудер аламыз;
,
(α = 1,2,…,
S
)
.
(101)
ж
не
.
(102)
(101)
–
те
деулер Гамильтон те
ң
деулері немесе қ
оз
ғ
алысты
ң
кононды
қ
те
ң
деулері
деп аталады. Гамильтон те
деулері ар
ылы механикалы
ж
йелерді
оз
алысын q
α жалпылан
ан координат
-
тармен р
α
жалпылан
ан и
м
пульстарды
згерісіне байланысты аны
тау
а болады. Гамильтон те
деулері 2
s
белгісіз функциялар q
α
(
t
) ж
не р
α
(
t
) табу шін арнал
ан бірінші ретті 2
s
дифференциалды
тедеулер ж
йесі болып табылады. (102)
–
т
едеу, механикалы
ж
йені гамильтонианымен лагранжианыны
уа
ыт
а т
уелді болуы немесе т
уелді болмауы бір мезетте болатынды
ын к
рсетеді. Ж
йе гамильтонианыны
уа
ыт
а тікелей т
уелсіздігінен ж
йені толы
энергиясыны
са
талатынды
ын д
лелдейік. Ол ш
ін Гамильтон функциясынан уа
ыт бойынша толы
туынды алайы
, .
(103)
осы тедеудегі ж
не айнымалыларды (101)
–
оз
алысты
кононды
тедеулеріне с
йкес м
ндерім
ен алмастырса
, онда тедеуді
о
жа
ында
ы осынды нольге те
болады, сонды
тан
100
. (104)
Осыдан, егер Гамильтон функциясы уа
ыт
а тікелей т
уелді болмаса , онда ол ж
йе
ні
Е толы
энергиясына те
болады
H
(
q
1
, q
2
,…,
q
s
;
p
1
, p
2
,…
p
s
) =
E
=
тр
.
(105)
Механикалы
ж
йелер оз
алысын Гамильтон тедеулері ар
ылы аны
тау шін, есептеуді мынандай т
ртіпте ж
ргізу керек:
1.
арастырылып отыр
ан механикалы
ж
йені
s
еркіндік д
режесін аны
тау,
2.
Сан жа
ынан механикалы
ж
йені
s
еркіндік д
режесіне те
q
α
жалп
ы
лан
ан координаталар тадап алу,
3.
Ж
йені
, q
α
жалпылан
ан координаттар
а ж
не жалпылан
ан жылда
м
ды
тар
а т
уелді кинетикалы
энергиясым
ен потенциалды
энергиясын т
а
бу,
4.
(51)
-
рнекке с
йкес Лагранж функциясын табу, я
ни L
= T
-
U
, 5.
(59)
-
рнекті пайдаланып, ж
йені
p
α
жалпылан
ан импульсін табу,
6.
Шы
ан тедеулерді шешіп жалпылан
ан жылдамды
тарды тауып (100)
–
тедеулерге
с
йкес ж
йе н
ктелеріні
q
α
жалпылан
ан координаттарына p
α
жалпылан
ан импульстарына ж
не t
уа
ыт
а т
уелді H
(
q
α
, p
α
, t
) Гамильтон функциясын табу,
7.
Гамильтон функциясы бойынша (101)
-
рнекке с
йкес Гам
и
льтон тедеулерін жазу,
8.
Шы
ан тедеулерді интегралдау
ар
ылы ж
йе н
ктелеріні
оз
алыс задарын табамыз.
оз
а
лысты кононды
тедеулерін ж
не Гамильтон функциясын аны
тау
а арнал
ан мынандай есептерді арастырайы
.
1.
Массасы m
еркін материалды
н
ктені рісіндегі оз
алысын арастыра
йы
. М
ндай н
кте оз
алысы шін Лагранж функциясын дека
р
тты
координа
ттар ар
ылы былай жазу
а болады
,
.
Сонды
тан
(106)
Осы табыл
ан айырма (100)
-
рнекке с
йкес Гамильтон функциясы болуы шін, м
нда
ы жалпылан
ан жылдамды
тарды р
x
, р
y
, р
z
жалпылан
ан импульстармен алмастыру керек. Ол шін арастырылып отыр
ан жа
дай шін 101
екендігін ескерсек, онда рісінде оз
алатын н
кте ші
н Гамильтон фун
к
циясы былай жазылады да, (107)
н
кте оз
алысыны
кононды
тендеулері декартт
ы
координаттар арылы мынандай болады :
(108)
Осы нкте шін Г
амильтон функциясы мен озалысты кононды тедеулер
і
, сфералы координаттар жйесінде былай жазылады:
(110)
ж
не
.
(111)
2. зара тартылыс к
шіні
(Ньютон за
ына с
йкес) серінен x
о
y
жазы
ты
ында оз
алатын M
1
ж
не М
2
н
ктелерден т
ратын ж
йені
Гамильтон функциясын ж
не оз
алысты
кононды
тедеулерін жаз
айы
. Н
ктелерді
массалары m
1 ж
не m
2
, ал бастап
ы уа
ыт мезетінде оларды массалар центрі тынышты
та т
р
ан деп есепте
йік
.
зара тартлыс к
шіні
серінен болатын екі материалды
н
ктеден т
ратын ж
йені
оз
алысын, ішкі к
штерді
серінен деп есептеуге болады. Ж
йені массалар центрі оз
алысы туралы теорема
а (
IV
–
тарау, 9 та
ырып) с
йкес, ішкі к
штер ж
йені массалар центріні
оз
алысын згертпейді. Со
н
ды
тан оз
алыс кезінде арастырылып отыр
ан ж
йені
массалар центрі т
ы
нышты
та алады, йткені есепті шарты бойынша бастап
ы уа
ыт мезетінде ол тынышты
та т
р. Сонымен, сана
ж
йесіні
бас н
ктесін ж
й
ені
массалар центріне орналыстырып, M
1
ж
не М
2
н
ктелерді сана
102
ж
йесіні
бас н
ктесінен ара
ашы
тарын с
йкес r
1
ж
не r
2
деп белгілейік (26
-
с
у
ретті ара).
арстырып отыр
ан механикалы
ж
йені еркінді д
режесі s=2 те
. Шынында да M
1
ж
не М
2
н
ктелеріні
орнын (r
1
, φ
) ж
не (r
2
, π
+
φ
) полярлы
координаттар ар
ылы табу
а болады. Егер осы M
1
ж
не М
2 н
ктелеріні ара
ашы
ты
ын r деп белгілесек, онда r=r
1
+r
2
ж
не массалар центріні координатасын аны
тайтын m
1
r
1
=m
2
r
2
рнекті ескеріп, r
1
ж
не r
2 ашы
ты
тарды r а
р
ылы былай рнектеуге болады,
.
Сонды
тан, ж
йені оз
алысын (r, φ
) координаттары ар
ылы аны
тау
а бол
а
ды, б
лар ж
йені жалпылан
ан координаттары болады.
Механикалы
ж
йені кинетикалы
энергия
сы
.
М
нда
ы υ
1
2
ж
не υ
2
2
полярлы
координаттар ар
ылы рнектесек,
Сонды
тан
.
зара тартылыс к
шіні
потенциалы, ,
–
тартылыс т
ра
тысы.
Сонымен арастырылып отыр
ан ж
йені
лагранжианын былай жазамыз,
.
(112)
Лагранж функциясыны уа
ыт
а тікелей т
уелді емес екендігін к
реміз, сонды
тан Н Гамильтон функциясы да уа
ыт
а тікелей т
уелді болмайды да,
ол (105) -
рнекке с
йкес толы
механикалы
энергия
а те болады.
103
Лагранж функциясын (112) -
рнекті пайдаланып (59) -
рнекке с
йкес P
α
жалпылан
ан импульстарды табамыз
.
(113)
Осыдан
.
(114)
Осы жо
арыда айтыл
андарды ескеріп Гамильтон функциясын былай жазамыз,
.
(115)
Осыдан Гамильтон тедеулерін былай жаз
уа болады
;
(116)
§15. Гамильтон теңд
еулерін интегралдау ә
дістері.
Пуассон жа
қ
шасы
Еркіндік д
режесі s
механикалы
ж
йені оз
алысы 2
s
Гамильтон тедеулерімен аны
талады:
(α = 1,2,… s
)
.
(117)
Осы (117)
–
тедеулер ж
йесін интегралдау деп, t
уа
ыт
а ж
не 2
s
т
ра
ты шамалар
а т
уелді p
α
жалпылан
ан импульстармен q
α
жалпылан
ан координа
т
тарды табуды айтады. Осы табыл
ан,
р
1
, р
2
, …, р
s
; q
1
, q
2
, …
q
s
функциялар ж
йесі ана
аттандыратын мынандай
φ(
q
1
, q
2
,… q
s
; р
1
, р
2
, … р
s
, t
) = С (118)
атысты (117)
–
дифференциалды
тедеулер ж
йесіні бірінші интегралы деп атайды. Бірінші интегралды сол жа
ында т
р
ан, p
α
жалпылан
ан импульстан, q
α
жалпылан
ан координаттардан ж
не t
уа
ыттан т
уелді функция, ж
йе оз
алысы кезінде (ал
ы шартта
р
а байланыссыз) т
ра
ты болып алады. 104
Енді (118)
–
атыс Гамильтон тедеулеріні
бірінші интегралы болуы шін андай шарттарды орындау керектігін табайы
. Бірінші интегралды аны
тамасы бойынша,
(119)
фу
нкциясы, м
нда
ы р
α
ж
не q
α
айнымалыларды
орынына, Гамильтон тедеулерін шешкенде табылатын р
α
ж
не q
α
айнымалыларды
м
ндерін ой
анда т
ра
ты болып алуы керек. Сондытан, (119)
–
функциядан уа
ыт бойынша алын
ан толы
туынды нольге те болуы керек, я
ни
.
(120)
Осында
ы ж
не айнымалыларды
(117)
–
Гамильтон тедеулеріне с
йкес Н Гамильтон функциясымен алмастырса
(121)
немесе
(122)
м
нда
ы
.
(123)
Пуассон жа
қ
шасы
деп аталады. Сонымен, кез келген f
(
q
α
,
р
α
,
t
) функциясы оз
алысты кононды
тед
е
улеріні бірінші инт
егралы болуыны ажетті ж
не жеткілікті шарыты
. (124)
Егер f
функциясы уа
ыт
а тікелей т
уелді болмаса , онда
(
H
,
f
)=0,
(125)
я
ни,
f
функциясымен Гамильтон функциясынан рыл
ан Пуассон жа
шасы нольге те болу керек.
Пуассон жа
шасын пайдаланып, (101)
–
Гамильтон тедеулерін q
α
ж
не р
α
айнымалылар
а атысты симметриалы т
рде жазу
а болады. Ол шін (123)
–
Пуассон жа
шасында
ы f
= р
i
, ж
не f
= q
i
ойса
, онда
.
(126)
Сонды
тан, (101)
–
оз
алысты ко
нонды
тендеуін былай жазу
а болады,
105
,
(
i
= 1,2,… s
)
.
(127)
Пуассон жа
шасын тек ана Н ж
не f
функциялары шін ана емес, кез келген ос функциялар f
(
q
, p
, t
) ж
не g
(
q
, p
, t
) шін де жазу
а болады. Б
л жа
дайда Пуассон жа
шасы былай жазылады;
.
(128)
Егер f
немесе g
функциялары жалпылан
ан кордин
аттармен немесе жалпылан
ан импульстармен с
йкес келсе, онда (128)
–
Пуассон жа
шасы
. (129)
Егер осында
ы f
функциясы, q
i
ж
не p
i
фукцияларымен алмастырса
, онда
(q
i
, q
k
)= (p
i
, p
k
)=0, (p
i
, q
k
) = δ
ik
,
(130)
м
нда
ы
(131)
(130)
-
рнек
негізгі
немесе
фундаментальды
Пуассон
жа
шасы
деп
аталады
.
Кез
келген
q
k
ж
не
p
k
шамаларды
к
о
нонды
т
йіндес
шамалар
деп
ата
й
ды
, егер
олар
мынан
дай
шартты
ана
аттандырса
(q
k
, q
k
) = (p
k
, p
k
) = 0,
(p
k
, q
k
) = 1
.
(132)
106
VI
І
ТАРАУ
ОРТАЛЫҚ
-
СИММЕТРИЯ ӨРІСІНДЕГІ ҚОЗҒАЛЫС
§
1. Бір өлшемді (жинақы) эффективті потенциал
Массалары жне болатын екі нктелік блшектерді арасындаы зара серлесу жйесіндегі салыстырмалы озалысын зерттеу сырты орталы
-
симметрия рісіндегі келтірілген массасы те бір блшекті озалысы туралы эквивалентті есепті
шешуге келтіріледі. Екі денені осы иын блігін орталы
-
симметрия рісіндегі озалыс туралы есеп деп атайды. Еске тсіре кетелік, егер =
болатын болса, онда масс
асы озалмайтын
ауыр блшекті серінен туатын сырты орталы
-
симметрия рісіндегі жеіл блшекті озалысы туралы айтуа болады. Екі дене туралы есепті осы дербес жадайын арастыратын боламыз.
Сонымен,
орталы
-
симметрия рісіндегі массалы нктелік блшекті озалысын арастырайы. Осы рісте блшекті потенциалды энергиясыны тедеуі , мндаы -
блшектен рісті центрі деп аталаты
н андайда бір озалмайтын нктесіне дейінгі ашыты.
стационарлы кш рісіндегі блшекті озалысы кезінде оны толы механикалы энергиясы мен ріс центрімен салыстырандаы импульс моменті саталады. векторыны баытыны згеріссіз саталуы орталы
-
симметрия рісіндегі блшекті озалысы жазы болатындыына келеді, яни блшекті траекториясы векторына перпендикуляр жазытыында жатады.
рісіндегі блшекті жазы озалысын сипаттау шін полярлы координаттарды енгізейік, сонымен атар координаттарды полярлы жйес
іні полюсі рісті центрімен орта, ал полярлы сті зірше еркімізше баыттайы. Осылайша, орталы
-
симметрия рісіндегі блшекті озалысын зерттеу жне функ
цияларын анытауа келтіріледі. Осы есепті шешуін табуды е жеіл жолы мынадай: энергия мен импульс моментіні абсолютті мніні саталу задары арылы
107
(1)
Шынында да, пол
ярлы координаттарды жне радиус
-
векторы мен жылдамды шін бізге белгілі , .
(2)
,
рнектерді
пайдал
ана отырып жоарыдаы саталу задарын мынадай трге келтіруге болады:
,
(3)
.
(4) Алынан тедіктер жне белгісіз функциялара атысты
бірінші ретті дифференциялды тедеулерді сипаттайды.
Соы тедеулер жйесіндегі жне айнымалыларын оай бліп алуа болады. Шынында да соы тед
еудегі брышты жылдамдыты механикалы момент арылы рнектеп
,
(5)
(3)
-
тедеудегі жылдамдыты орнына оямыз да, оны мына трде жазамыз
(6)
мндаы
(7)
функциясын бір лшемді жинақы (эффективті) потенциал
деп атайды. Бл дегеніміз орталы
-
симметрия рісіндег
і блшек озалысыны
радиал блігін
,
рісте (7)
-
эффективті потенциал энергиясы бар рісті бір лшемді озалыс деп арастыруа болатындыын крсетеді. Жне де (7)
-
жинаы потенциала кіретін шамасын центрден тепкіш потенциал деп ат
айды.
Расында да, бл атау соншалыты стті ойылмаан, йткені наты жадайда крсетілген шама блшекті кинетикалы энергиясыны блігі болып табылады. Осы энергия блшекті ріс центріне атысты айналмалы озалысымен байланысты.
рі
арай (6)
-
тедеуін
ен мынаны табамыз:
108
(8)
немесе , айнымалыларын бліп интегралдау арылы:
.
(9)
озалысты екінші интегралынан (9)
,
функциясын ан
ытауа болады, оны (5) тедеуг
е ойанда таы да бір екінші интегралды алуа болады:
.
(10)
Алынан (9) жне (10)
-
рнектер
оз
алысты екінші интегралдары брын айтылып кеткен блшекті озалысы болатын жазытыты тедеуімен
(11)
бірігіп, берілген орталы
-
симметрия рісіндегі блшекті озалысы
туралы
есепті толы шешуін береді. Есепті алынан жалпы шешулері бастапы шарттармен аныталатын алты кезкелген тратылардан трады, яни . (9)
-
тедеудегі интеграл алдындаы таба бастапы радиалды жылдамдыты табасымен йлесімді болуы ажет
. (11)
-
тедеуімен берілген жазытытаы блшекті траекториясыны тедеуін екі тсілмен алуа болады. Біріншіден, кейбір жадайларда мны (9)
-
жне (10)
-
озалыстарды
екінші интегралдарымен аныта
латын жне функцияларынан уаытты жою арылы табуа болады. Сонымен атар, кез келген орталы
-
симметрия ріс
-
інде озалып келе жатан блшекті траек
-
ториясыны
тедеуін квадратура трінде жазу
-
а
болады. Шынында да (5)
-
жне (8)
-
тедеулер
-
ден алынан dt диффе
-
ренциялды жою арылы (12)
1
-
сурет
Р
n.
ось
О
109
табамыз. Осыдан .
(13)
(13)
-
өрнек
кез келген орталық
-
симметрия өрісінде қозғалып келе жатқан бөлшектің траекториясының жалпы теңдеуін береді.
Енді орталы
-
симметрия рісінде озалып келе жатан блшекті траекториясыны перицентрі Р болатын, яни бл жадайда айнымалысы е кіші мнді абылдайтын жадайды арастырайы. Бл жадайда брыштарыны санаы жргізілетін полярлы ось ретінде блшекті траекториясыны Р перицентрі ары
лы тетін жне апсида деп аталатын ОР тзуін тадап алан ыайлы болады.Сонда перицентрі болатын траекторияларды тедеуі мынадай болады .
(14)
Бл тедеудегі интегарал алдында тран екі таба сйк
ес келетін траекторияның ОР апсидасына қатысты симметриялы
екендігін крсетеді. Шынында да, траекторияны координаттары болатын кезкелген нктесі шін ОР апсидасына атысты оан симметриялы болатын нктесі бар болады. нктесіні сйкес координаталары .
Сонымен Р перицентріне ие орталы
-
симметрия рісіндегі блшекті траекториясыны тедеуін мынадай трде жазуа болад
ы:
.
(15)
орытынды
ретінде, екі дене туралы есепке сас бір блшек туралы есепті шешуде жалпы жадайда (
) барлы жоарыда келтірілген формулаларда алмастыр
уын жасау керек, ал рісті
центрі жне блшектерді массалар центрімен сйкес келеді деп крсетіп кетуге болады. Сонымен атар, (13)
-
жне (15)
-
формулалары -
блшекті траекториясын аныт
айды (немесе блшекті φ полярлы брыштан бастап алынан r салыстырмалы ашытыыны туелділігін). жне наты блшектерді траекторияларын ц
-
жйесінде анытау шін
110
,
(16)
формулаларын олдану ажет.
§
2 Орталық
-
симметрия өрісіндегі қозғалысты сапалы зерттеу
Орталы
-
симметрия рісіндегі блшекті озалысы туралы есепті жалпы шешуін таппас брын оны сапалы зерттеуін жргізуден бастау
дрыс болады, яни r координатыны згерісіні рсат етілетін немесе тыйым салынан айматардаы озалысты трін анытау, рсат етілетін айматан тыйым салынан аймаа кшу нктесін жне рбір рсат етілетін айматаы озалыс сипаттамасын анытау.
Орталы
-
симметрия рісіндегі озалысты осындай сапалы талдануы жалпы жадайда L механикалы моментті белгіленген ртрлі мндері шін рылатын бір лшемді жинаы потенциалды жне блшекті толы энергиясыны графиктері кмегім
ен жргізіледі.
функцияны жне Е толы энергияны графиктері бойынша алдымен айнымалыны згеру облысын анытауа болады. Шынында да, блшекті таза радиалды озалысыны кинетикалы
энергиясы аныталан о шама болатындыынан, энергияны саталу заынан (6) тмендегі тесіздік шыады
.
(17)
Осы тесіздіктен координатыны крсетілген згеру облысы ан
ыталады. Рсат етілген жне тыйым салынан айматы бліп тратын айналу нктелері (немесе озалыс шекаралары) .
(18)
Мысал ретінде орталы
-
симметрия рісіндегі -
блше
кті озалысыны
сапалы зерттеуін келтірейік. Осы рісте оны потенциялды энергиясы мынадай
.
(19)
Зерттеу шін (19)
-
потенциалды функцияны тадай отырып, біз сол сияты ке ауымды физикалы
есептерді арастыран
-
дыымызды ескерте кетелік. Шынында, n=1 боланда (19)
-
фун
к
ция кулонды рістегі потенциалды энергияны сипаттайды, яни тартылыс рісінде, егер (аспан механикасыны есептері) немесе нктелік зарядты электорс
татикалы рісінде. n=6 бастап 111
(19)
-
потенциалды функциясы молекулалы физика есептерінде молекулалар ар
а
сындаы зара ркеттесуді сипаттау шін (Ван
-
дер
-
Ваальс потенциалы) олданылады.
Алдымен α>0 жне жадайын (тартылысты лсіз с
ингулярлы рісі) арастырайы. жне , боландаы крсетілген параметрлерді мндерімен озалып келе жатан -
блшекті бір
лшемді
жинаы потенциалы мынадай:
.
(20)
Осы функцияның графигі төменде 2
-
суретте көрсетілген.
озалысты
сапалы зерттеу шін жне болан
жадайлардаы осы исыты асимптоталарын зертте
сек жеткілікті, ал содан кейін оны экстремумдарыны ммкін мндеріні r сімен иылысу нктелерін ескеріп граф
икті аяына дейін салуа болады.
2
-
суретте (20)
-
потенциа
л
-
ды исыыны асимптоталы бліктері алы сызытармен салынан. жне Е графиктерінен E>0 боландаы рсат етілген облысы интервалы болады, яни радиусы r
1
шеберінен баса векторына перпендикуляр барлы шексіз жазытытар. Демек, осы жадайдаы -
блшекті озалысы инфинитивті болады; ол гиперболалы типті траектория арылы жзеге асады (3
-
суретте тыйым салынан облыс штрихпен крсетілген).
Сонымен атар -
блшек шексіздіктен келіп О кштік центрге r
1
ашытыа дейін жаын
дап, одан кейін арастырылып отыран жадайдаы блшекті озалыс процесі шашырау процесі болып табылады
. E=0
боланда да озалыс жоарыдаыдай сипатта болады, біра энергияны теріс жне о мндеріні кйлеріні арсындаы осы жадайды (оианы) аралы
мнін E=0
боландаы блшекті озалысы параболалы типті траектория бойымен орындалады. 0
r
1
r
2
r
3
r
4
r
0
E=0
E<0
E=(U
эфф
)min
r
U
эфф
(r)=
-
α/r
n
+L
2
/2μr
2
E>0
2
-
сурет
112
Е<0 шін r
3
жне r
4
радиустарымен шектелген шебер рсат етілген айма болып табылады да, -
блшекті озалысы финиттік
деп аталады. Екі
денені эквиваленттік есебінде -
блшекті финиттік озалысына m
1
жне m
2
блшектерді байланан кйлері сйкес келеді, яни m
1
жне m
2
блшектер зара бірттас жйені райтын кйлер (мысалы электрон жне протон байланан кйде сут
егі атомын райды, ал екі зара серлесуші екі А жне В атомдар –
екі атомды АВ молекуланы).
потенциялды шырдаы -
блшекті финиттік озалысыны траекториясын шартты трде эллиптикалы типті траекториялар
деп белгілейік. Крсетілген траекториялар тек сол жадайда ана тйы орбиталар болады, егер жне периодтар, жне айнымалыларыны згерістері зара лшемдес
бо
лса, яни егер
(21)
немесе
(22)
мндаы n
–
рационал сан (бтін немесе блшек).
Кез
келген бастапы шарттар шін байланан кйлер орбиталары тйы исы
тар болатын (эллипс) жалыз орталы
-
симметрия потенциялдары кулонды потенциял жне ш лшемді
изотропты осцилляторды потенциялы . Осыны Бертран теоремасы
дейді.
немесе деп айырмашылыы те тмен болатын орталы
-
симметрия рісінде
,
-
ді рационалды блігі болып табылмайды. Сондытан жалпы жадайда финиттік озалысты траекториясы тйы болмайды. озалыс процесінде блш
ек шексіз сан рет перицентр мен апоцентр арылы теді жне шексіз лкен аралытаы саинасын тыыз толтырады. Ереже бойынша озалысты
блшекті лкен сті рісті центріне атысты прецессияланатын эллипсті айналуы ретінде елестетуг
е Р
0
r
1
3
-
сурет
113
болады.
шін
саинасы радиусы болатын шеберге сыылады, блшекті озалысы осы шебер бойынша теді. Крсетілген дгелек орбита бойымен жасалан озалыс трасыз болады, йткені нктесіне эффективті потенциа
лды е кіші мні сйкес келеді. Осыдан блшекті е кіші озалысыны ауытуы оны дгелек орбитасын згерте алмайды. , n жне L=0 дл сол парамтрлеріні м
ндері
шін (20) жинаы потенциа
лды графигі 5
-
суретте крсетілген. Осы жадайдаы рсат етілген аумаы:
шін
барлы шексіз аймаы , ал шін -
аймаы. Кез келген баса бастапы шарттар шін –
таза радиалды (бір лшемді).
Шынында да, тедігі тмендегі талаптара бара
-
бар: . Энергияны кез келген мндері шін кштік ріс блшектерді зіне жинап алуы бден ммкін: шін кез келген
лкен
ашытытан, ал шін ашытытан
. Егер жне болса, онда блшек шексіздікке кетеді.
Енді жағдайымен шектеліп, болғандағы күшті тартылыстың сингулярлы өрісін (19) қарастырайық. Осы жағдай үшін (20)
-
жинақы потенциялдың графигі 6
-
суретте көрсетілген. Рұқсат етілген аймақтар: үшін –
радиусы болатын дөңгелек, -
барлық шексіз жазықтық , ал үшін екі рұқсат етілген аймақ бар. Олар потенциалдық тосқау
-
ылмен бөлінген және аймақта
р. аймақтағы бөлшектің қозғалы
-
сы спираль тәріздес траек
-
0
r
3
r
4
4
-
сурет
r
0
r
0
E>0
E<0
5
-
сурет
r
E
0
=(U
эфф
)max
0
r
1
r
2
r
3
r
0
r
4
E<0
E>0
U
эфф
(r)=
-
α/r
n
+L
2
/2μr
2
; n>2
6
-
сурет
114
ториялар бойымен жүзеге асатын алыста орналасқан қашықтықтан центрге құлауы болып табылады. Ерекше жағдайларда бөлшектің центрге құлауы неғұрлым ыңғайлы траектория бойынша жүз
еге асады, мысалы шеңбердің доғасы бойымен. болғанда бөлшектерді күштік өріспен орап алуы оның бастапқы радиалды жылдамдығының таңбасына тәуелсіз түрде орындалады: болғанда бөлшек әрдайым центрге жақындай отр
ып оның үстіне құлайды, ал үшін уақыттың қандай да бір
t
1
мезетіне дейін r
1
айналыс нүктесіне түспейінше және өзінің радиалды жылдамдығының бағытын өзгертпейінше, өрістің центрінен алшақтағаннан кейін сол центрге құлайды. Центрге құлау
шартын (17)
-
теңсіздігінен алуға болады, егер оны
(23)
трінде жазып, r
-
ді нлге мтылдырамыз. Сонда .
(24)
Міне, дәл осыған (19
)
-
өрістерінің
әлсіз және күшті сингулярлы болып бөлінуі негізделген
.
(19)
-
кшті сингулярлы рісте боланда кштік центр блшекті алыс ашытытан басып алады, егер болса, жне кез келген ашытытан шексізді
кке кетеді, егер болатын болса. жне боланда радиусы r
4
болатын дгелек орбита бойымен озалысы ммкін болады. Біра бл озалыс траты емес, йткені егер блшекке соншалыты аз ш
амада радиалды импульс беретін болса ол не центрге лайды, не шексіздікке кетеді. боланда бастапы координатпен салыстыранда блшек немесе аймаында озала
ды, сонымен атар аймата блшекті озалысы боланда оны центрге лауынан ешандай ерекшелігі жо. аймата озалыс
инфинитивті болады жне озалыс гиперболалы траектория бойынша
жзеге асады, яни блшекті шашырау процесі жреді. Жне де мынаны ескерте кеткен жн, егер потенциялды тосауылды шыына жеткен Е энергияны мнінде шашырау 0
7
-
сурет
а
б
в
115
процесіні кейбір аномальдыы крінуі ммкін. Шынында да, егер Е энергияны мні мніне жаын болса, онда r
4
-
ке жаын r
-
ді мндеріні аралыында блшек аырын жылжып теді. Дл осы уаытта, оны радиус
-
векторыны айналуы жеткілікті лкен брышты жылдамдыпен жаласады. Сондытан тежелу уаыты жне р
адиалды жылдамдыыны баытыны згеру аралыында блшек рісті О центрі бойымен одан алыстаанша бірнеше айналыс жасауа лгереді (7
-
сурет, а исыы). Сотыысулар теориясында бл былыс орбиталау құбылысы
деп аталады.
Керісінше, егер Е мні нлге жаы
н болан сайын, блшекті траекториясы тзулене тседі (7
-
сурет, б, в исытары).
(19) тартылыс өрісінде
n=2 бастап блшекті бір лшемді жинаы потенциалы мынадай трде болады:
(24)
Бл функцияларды графикте
рі 8
-
суретте крсетілген, осы суреттерден болан жадайда кез келген Е жне шін блшек рісті центріне лауы ммкін (тым жаын немесе те алыс ашытытан), ал E>0 бастап траектория
бойымен 3
-
суретте крсетілген исыа сас, тек инфинитивті озалыс ана болуы ммкін. Екінші жадайда Е жеткілікті лкен мнінде орбиталау былысы крінуі ммкін.
Енді тебіліс рісіндегі блшекті озалысын арастырайы:
.
(26)
Осындай рісте озалып келе жатан блшекті бір
лшемді
жинаы потенциалыны графигі 8, б
-
суретте крсетілген потенциалды исыа сас. r
r
0
E>0
E<0
0
0
r
0
E>0
a
б
8
-
сурет (а, б)
r
116
Осыдан (25)
-
тартылыс рісінде тек E>0 бастап инфинитивті озалыс бол
уы ммкін. Осы жадайа байланысты блшекті траекториясы 9
-
суретте крсетілген. Егер блшекті озалысы гиперболалы траектория бойымен тетін болса, онда рісті центрі оны ішкі фокусымен сйкес келеді. Осылайша (26)
-
рісті
инфинитивті озалысы (19)
-
рістегі
осыан сас озалыстан айырмашылыы осындай (3
-
суретті ара).
§
3 Кеплер есебі
Орталы
-
симметрия рісіні ерекше жадайы ретінде -
блшекті потенциалды энергиясы r
-
ге кері пропорционал болатын (немесе осыан сас екі де
не туралы есептегідей m
1
жне m
2
массалы блшектерді серлесу энегиясы) ньютонды тартылыс рісі мен кулонды электросатикалы рісті жатызуа болады. Бл рістер гравитациялы ріске араанда тартылыс жне де тебіліс рістері бола алады.
кулонды рістегі -
блшекті озалыс
ы
туралы есепті (немесе сол за бойынша серлесетін m
1
жне m
2
екі блшектен тратын жйедегі салыстырмалы озалысы туралы эквивалентті есепті) Кеплер есебі деп атау абылданан. Біз ал
дымен кулонды тартылыс рісіндегі -
блшекті озалысы туралы есепті арасытырайы
. Осы рісте α тратысын о деп аламыз. Егер болатын болса, онда бл есеп аспан механикасыны есебі, ал ,мндаы z –
атом ядросыны реттік номері жне е –
электрон заряды болатын болса, онда сутектес атом туралы есепті классикалы варианты болатынын ескере кетелік.
Бізді міндетіміз -
блшекті траекторясыны наты трі мен оны ммкі
н болаты
н
орбиталар бойымен жасалан озалысыны задарын анытау болып табылады. Кулонды р
істегі блшекті жинаы потенциа
лы шін арналан рнектен
,
(27)
Е толы энергияны кез келген ммкін бол
атын мндері шін жне боланда
,
r координаты е кіші мндерді абылдауы ммкін екендігі крініп тр. Осы r координаты мына рнекпен аныталынады:
r
0
0
P
n. ось
9
-
сурет
117
.
(28)
Сондытан блшекті
трае
кториясыны тедеуін (15)
-
жалпы формулаа сілтеме жасай оты
рып алуа болады. (15)
-
рнегіне
рнегін
ойып, (29)
рнегін
аламыз.
Осы рнекті о жа блігіндегі интеграл -
ді ойанда таблицалы трге келтіріледі
.
(30)
Осыдан .
(31)
Демек блшекті траекториясыны осы рнегі мына трге (32)
келеді, мндаы , .
(33)
Алынан (32)
-
тедеуі екінші ретті исыты фокальді теңдеуі
деп аталады, яни рісті О центрімен сйкес
келетін екінші ретті исыты фокустарыны бірі координатты басы болып алынатын осы исыты тедеуі. Осыан оса ε тратысын екінші ретті исыты эксцентриситеті, ал р
тратысын –
фокальдық параметр
деп атайды. Кез келген екінші ретті исыты (гипер
бола, парабола, эллипс немесе шебер) фокальді параметрі оны фокусы мен ОР
апсидасына перпендикуляр ОУ
сімен иылысатын нктесі арасындаы ашытыа те.
118
Есепті осы алын
ан
шешуі лсіз сингулярлы (19)
-
тартылыс рісіндегі -
блшекті озалысыны сапалы зерттелуімен толытай сйкес келеді. Шынында да, (32)
-
рнегінен
(31)
-
екінші ретті исыты экстренситеті шін кулонды тартылыс рісіндегі -
блшекті траекториясы:
а) егер E
>0
болса, (
ε
>1
) гипербола;
б) егер E
=0
болса, (
ε
=1
) парабола;
в) егер болса, радиусы болатын (
ε=0
) шебер болуы ммкін екендігі аны.
Бір сол за бойынша зара серлесетін екі д
ене туралы эквивалентті есеп
т
е блшектерді райсысыны траекториялары массаларыны жалпы центрімен сйкес келетін екінші ретті исытар болады. Мысал ретінде 10
-
суретте массалары m
1
жне
m
2
болатын блшектерді эллиптикалы орбиталары крсетілген. Осы сурет E>0
жне («Жер –
Кн жйесі») жадайа сйкес келеді. Эллиптикалық қозғалысты
тереірек арастырайы. (33)
-
рнегін
ойанда -
блшекті эллиптикалы орбитасыны лкен жне кіші жартылай стері мен оны айналу периодын есепті E, L
жне
негізгі тратылары арылы крсетуге ммкіндік береді:
(34)
жне (35)
Р
E, L
2
<L
1
O
y
x
E, L
1
12
-
сурет
Р
r
M
P
O
x
y
10
-
сурет
С
m
2
11
-
сурет
119
мндаы . Эллиптикалы орбитаны кіші жартылай сі блшекті ε энергиясына
н алайша туелді болса, солайша оны L
механикалы моментінен
де
туелді болады, ал лкен жартылай сі –
тек энергиядан. Сондытан энергияны берілген осы мнінде блшекті механикалы моменті нерлым кіші болса, сорлым оны эллиптикалы орбитасы жина
ы (сплюшена) болады (12
-
сурет). -
блшекті рісті центріне дейінгі е лкен жне е кіші араашытыын (немесе оны траекториясыны перицентрі мен апоцентріні координаттары)
(36)
рнектеріме
н анытауа болады.
(35), (36) формулалары кмегімен атынасын есептеуге жне Кеплерді шінші заыны орындалуын тексеруге болады. -
блшек шін крсетілген атынас
.
(37)
Енді «Планета –
Кн » жйесін арастырайы. Осы жйе шін , мндаы m
1
–
планетаны массасы, ал m
2
–
кнні массасы. жадайы шін (
жне кн озалмайды деп ес
ептеуге болады) жйені келтірілген массасы жне a=a
1
, мндаы а
1
–
планетаны эллиптикалы орбитасыны лкен жартылай сі. (37)
-
тедігінде крсетілген μ, жне а
мндерін ойанда:
тра
ты
(38)
бл рнектен атынасыны осы жуытауы кндік жйені барлы планеталары шін бірдей екендігі крініп тр.
Енді осы Кнні озалысын ескер
етін
болса
(
m
2
шексіздікке мтылмайды), онда (39)
алу керек. Осы жадайда атынасы мынадай болады
120
(40)
Осыдан Кеплерді алашы екі (32), (4) задарына араанда шінші за (38) лкен длд
ікпен алынанмен жуытап алынады.
E>0
боланда рісіндегі -
блшекті озалысы рісті
центрін орап тетін гиперболалы траекториялар (13
-
сурет) бойымен теді.
Осындай траекторияларды асимптоталары ОМ
1
жне ОМ
2
сулелеріне параллель тзулер болады. Осы сулелер Ох
полярлы сіні баытымен брыштарын райды. рісті центріне дейінгі е кіші араашытыты
(41)
E=0
боланда (41
)
-
канонды иманы эксцентриситеті бірге те. Бл -
блшекті озалысы асимптоталары Ох
сіне параллель (
) болатын
,
пар
а
болалы траектория бойымен тетінін круге болады. Жне де осы параболалы траекторияны п
ерицентрінен О
нктесіне дейінгі ашыты те. Кулонды тартылыс рісіндегі
осы инфинитивті озалыс орындалады, егер -
блшек шексіз алыс орналасан нктеден v(0)=0
бастапы жылдамдыпен озалатын болса.
Енд
і Кулонды тебіліс рісіндегі -
блшекті озалысын арастырайы
. Осы рісте блшекті потенциа
лды энергиясы
М
1
М
2
Р
О
у
х
13
-
сурет
Р
у
х
О
14
-
сурет
121
.
(42)
Жоарыда крсетілгендей осы жадай шін толы энергиясы
E>0 болатын инфинитивті озалыс ана орындалады. Осыан сйкес траекторияны тедеуін табу шін (15)
-
жалпы формуласына айта оралу керек. Сонымен атар барлы аралы есептеулер Кулонды тартылыс рісіндегі -
блшекті озалысы
н ар
астыранда жасалынан амал
дар айталанылады. Нтижесінде
(43)
рнегін
аламыз, мндаы р
жне ε
параметрлері (34)
-
формулаларымен аныталынады.
(43)
-
тедеуі (42)
-
рісіндегі
-
блшекті траекториясы рісті центріні жанынан тетін гипербола болады (14
-
сурет). Осы жадайда рісті центрі гиперболаны сырты фокусымен сйкес келеді.
§
4 Рунге
-
Ленц векторы және Кулондық өрістің «жасырын» симметриясы
Жоарыда алынан Бертран тео
ремасы орталы
-
симметрия рісітеріні ішінен Кулонды ріс пен ш
лшемді изотропты осцилляторды рісіне ерекше кіл бледі: егер кез келген орталы
-
симметрия рісінде блшекті фини
ттік озалысы
жалпы жадайда (яни E
жне
L
-
ді кез келген мндерінде) розетка тріздес траектория бойымен тетін болса, онда крсетілген рісте ол тйы эллиптикалы орбиталар бойымен озалыса келеді.
жне рістеріні
крсетілген ерекшеліктері квантты механикалы жадайда да саталады. Квантты механика кез келген сфералы
-
симметриялы шырда -
блшекті (мысалы, потенци
а
лды энергияа ие болатын
,
сілтілік литий
металыны атомындаы электронны) энергия дегейлеріні байланысан кйлері m
жне
l
екі квантты сандарыны функциясы болатындыын крсетеді, яни E
nl
=f(n, l),
мндаы n –
негізгі квантты сан (немесе атомны электронды блтшасы) жне l
–
электронны орбиталды механикалы моментін анытайтын орбитальдік квантты сан (мндаы Планк тратысы). Сутек 122
атомыны энергетикалы дегейін
дегі
электронны потенциялды энергиясы болатын болса,
онда бл дегейлер бір ана n
квантты санына туелді болады, яни E
n
=f(n)
. Бл дегеніміз сутек атомы бірдей n
, біра ртрлі l квантты саннан тратын бірнеше байланысан кйлерде E
n
энергияа ие болады. Осыан байланысты кулонды
рістегі электр
о
н энергия дегейі l
орбитальды квантты сан бойынша кездейсо азындалу былысы орындалады деп айтуа болады. Энергия дегейіні осындай болуы,
сонымен атар
,
ш лшемді изотропты (біртекті) осцилляторда да крінеді. Енді біз «кулонд
ы
рісті осы крсетілген ерекш
елігі неге негізделген?» деген сраа жауап беріп крейік. Тек кулонды рісте блшекті озалысы кезінде ана жне шамаларымен атар (44)
Рунге
-
Ленц векторы
деп аталатын векторлы шама да саталуы ммкін екендігін крсетейік.
векторыны саталуы шін (45)
орынд
алуы керек
.
Блшекті озалысыны тедеуін (46)
жне вектор
ыны анытамасын пайдалана отырып,
(47)
болатындыын крсетуге болады.
Ос
ыан оса (48)
екендігі аны.
(44)
-
тедігіне (45), (46)
-
рнектерін
ою арылы, (44)
-
шарты (49)
болып згереді.
Крсетілген шарт
ты анааттандыратын потенциа
лдарды тріндегі функцияларды арасынан іздеп крелік; сонымен атар
(49)
-
тедігі былайша згереді r
k
+(
1
+k)=0, мндаы k=
-
1. Демек, 123
(46)
-
шартын анааттандыратын бір ана потенциа
л бар, ол
-
кулонды потенциал.
Сонымен, кулонды рісте озалатын блшек шін энергия жне импульс моментімен атар Рунге
-
Ленц векторы да саталады
.
(50)
векторыны абсолют мнін табамыз. Ол шін алдын ала векторын
ы
цилиндрлік координат
тар
жйесіні сіне проекциясын жазамыз:
.
(
51)
Осыдан (52)
болатындыы крініп тр, демек
немесе екендігін ескеріп, .
(53)
мндаы ε –
екінші ретті исыты эксцентриситеті. Осы себепке байланысты векторын кейде эксцентриситет векторы
деп атайды. векторыны баыты рісті центрін блшек траекториясыны перицентрімен (
немесе егер блшекті озалысы финиттік болатын болса, оны эллипсті лкен сімен) осатын тзуді баытымен сйкес келеді.
(50)
-
векторы кулонды рісіндегі блшекті озалысыны
таы бір бірінші интегралы болады. Бл ріс жне шамаларынан туелсіз, йткені жне векторлары зара перпендикуляр.
124
Механикалы жйеде андай да бір физикалы шаманы саталуы оны симметриясыны салдары. Бл деге
німіз координат пен уаытты трлендіруді андай да бір ттастыымен салыстырандаы озалыс тедеулері жйесіні инварианттылы болуы. Энергия E жне блшекті импульс моментті
саталуына келетін
рісті
о
сы симметриясы кеістік пен уаытты асиеттерінен
шыады, сондытан оны геометриялық симметрия
деп атайды. кулонды ріс осы крсетілген симметриядан баса да осымша симметрияа да ие болатындыын В.А. Фок крсеткен болатын. Бл
симметрия блшекті финиттік озалысы кезінде крінеді. андай да бір ξ, η, ζ, χ
евклидтік кеістікте болатын блшекті озалыс тедеуін трлендіруге болады. Осы координаталар импульс векторымен былайша байланысан:
(54)
мндаы р
0
–
энергиясы -
ге те еркін блшекті импульсі. векторыны саталуы мен блшекті финиттік озалысыны траекториясыны тйытыына келетін осы кулонды р
іс симметриясын жасырын
немесе динамикалық симметрия деп атайды.
Осында
й
жасырын симметрияа рісі де ие болады.
векторыны саталуын олдану кулонды рістегі блшекті траекториясын табу туралы есепті шешуд
і е тиімді дісін береді. Осы масатпен (52)
-
рнекті
скаляр трде векторына кбейт
еміз де деп белгілейміз; крсетілген амал (55)
тедігіне келеді, осыдан алмастыруын жасаймыз да α
-
а ысартып
мынаны аламыз:
.
(56)
125
VII
І
ТАРАУ
БӨЛШЕКТЕРДІҢ ШАШЫРАУЫНЫҢ КЛАССИКАЛЫҚ ТЕОРИЯСЫНЫҢ НЕГІЗДЕРІ
Орталы
-
симметрия кш рісіндегі блшектерді шашыра
уы туралы есеп блшектерді серпімді шашырауымен байланысты есепке сас. Оны таза классикалы секілді, квантты механикалы шешуі де бар. Егер шашырайтын блшектерді лшемі атомдікіндей болса, онда квантты механика кмегімен оны нерлым толы шешімін
алуа болады.
§
1 Бөлшектің шашырауы туралы есептің қойылымы
Блшектерді шашырауы туралы есеп детте келесі трде беріледі. Массалары m
1
жне жылдамдытары болатын бірдей блшектерден ралан біртекті шо шексіз лкен ашытыта
н лабороториялы сана жйесіне атысты (мысалы, Резерфордты белгілі тжірибесіндегідей, яни -
блшектер шоы металды бетіне лайды
) тыныштыта тран блшектерді (массалары m
2
) стіне келіп лайды. шып келген блшектер мен бас
а
блшектерді зара серлесуі нтижесінде екі жаты блшектері де жан
-
жаа шашырайды. m
1
жне m
2
екі блшектер арасындаы зара серлесу заын біле отырып бірлік уаытта dΩ
1
денелік брыша шашыраан m
1
блшектер мен бірлік уаытта dΩ
2
денелік брыша шашыраан m
2
блшектерді санын анытау ажет.
ойылан
есепті шешуін жеілдетуге болад
ы
, егер шып келген m
1
блшектерді шоы мен баса блшектерді жиынтыы сиректелген болса. Осы жадайда бір тектес блшектер арасындаы зара серлесуін ескермеуге бо
лады, ал шоты блшектері мен баса блшектерді сотыысуын бір еселі деп аламыз осыны кмегімен жоарыда алынан m
1
жне m
2
екі жп блше
к
терді массалар центрімен сйкес келетін (р трлі байланысан сана жйелері бір
-
біріне атысты тыныштыта болады
, йткені крсетілген массалар центрі л
-
жйеге атысты -
ге те бірдей жылдамдыпен озалады
)
О
кштік центрді рісіндегі
фиктивті -
блшекті озалысы
туралы эквивалентті есепке келтірі
леді. О
кштік центрмен байланысан сана жйесін ц
-
жүйесі
деп атаймыз.
126
Сондытан, жеткілікті трде сиретілген m
1
блшектерді шоы, соншалыты сиретілген m
2
нысана
-
блшектерге шашырауы туралы есеп жалан -
блшектерді озалмайтын кштік центр рісімен ша
шы
рауы туралы есепке келтіріледі. Сондытан, наты шашыраан блшектерді брышты лестірулерін іздемес брын, алдымен жалан -
блшектер шін арналан осындай есепті алдын
-
ала шешу ажет
. §
2 -
бөлшектердің шашырауының тиімді қимасы.
Массасы жне жылдамдыы болатын -
блшектерді біртекті шоыны озалмайтын О
кштік центр арылы шашырауын арастырайы (фиктивті -
блшекті жылдамдыы m
1
жне m
2
наты блшектерді салыстырмалы жылдамдыымен сйкес келуі керек). Айталы шін
-
блшекті потенциалды энергиясы нлге мтылады; со
ндытан оны толы энергиясын трінде беруге болады.
-
блшекті аынын оны интенсивтілігімен (немесе тыыздыымен) сипаттаймыз, яни бірлік уаытта шашыратыш кштік центрден те алыс ашытытан тадап а
лынан шоты клдене имасыны бірлік ауданы арылы тетін блшект
е
рді санымен.
О
кштік ріс арылы -
блшекті шашырауы гиперболалы типті траектория бойымен теді (16
-
сурет). Осы суретте -
тебіліс рісінде
гі екі -
блшекті шашырау траекториясы крсетілген. р -
блшекті шашырау траекториясы екі параметрмен сипатталады: 16
-
сурет
127
белгілегіш параметр
ρ
жне χ
шашырау бұрышы
. Белгілегіш параметр
дегеніміз кштік ріс болмаа
нда блшек е жа
ын
ашытыта шашыратыш центр
ді айналып туін айтамыз. -
блшекті шашырау бұрышы
траекторияа тсірілген асимптоталар арасындаы брыш (бл брыш бір уаытта ц
-
жүйесіндегі
m
1
жне m
2
наты блшектер шін де шашырау брышы болады). ρ
жне χ
параметрлері арасында функционалды туелділік бар болады , сонымен атар туындысы ереже бойынша теріс шама болады, яни ρ параметрі скен сайын кез келген жерде орналасан блшекке с
ер ететін кш азаяды да, нтижесінде χ
брышы кішірейе бастайды. Кейбір жадайда функциясы кпмнді
болуы ммкін. Орталлы
-
симметрия рісіндегі шашырау процесі блшектер шоыны аксиалды симметриясын бза алмайды. Сондытан -
блшектерді шашырауы -
блшекті бастапы жылдамдыыны векторына параллель ріс центрі арылы тетін OZ
тзуі бойымен атысатын барлы жазытытарда бірдей болады. Осыдан (
χ, χ+dχ
) интервалында орналасан χ брышы
нда белгілегіш ρ параметрлері (
ρ, ρ+d ) интервалында жататын блшектер ана шашырайды. Сондытан бірлік уаыт ішінде χ
жне χ+dχ
мндері арасынан алынан χ
брыша шашырайтын -
блшекті саны шо тыыздыы n
мен радиустары ρ
жне ρ+d
болатын шеберлер арасындаы саинаны ауданына кбейткенге те, яни .
Біра алынан dN
саны шашырау процесін сипаттауа ыайсыз, йткені ол тсетін шо тыыздыына туелді. Сондытан dN
саныны орнына (1)
атынасы
енгізіледі.
Ауданны лшеміне ие болатын d
σ
шамасын шашыраудың эффективті дифференциалдық қимасы
деп атайды. Ол бірлік уаытта шексіз аз шашырау брышыны (
χ, χ+dχ
) интервалында шашырайтын -
блшектерді салыстырмалы санын крсетеді. Шашырауды эффективті имасы d
σ
толыымен шашыратыш рісті
трімен аныталады да шашырау процесіні шашырау процесіні маызды сипаттамасы болып табылады. Егер ρ
жне χ
параметрле
рі арасындаы байланыс зара бір мнді болса, онда -
блшектерді шашырауыны дифференциалды имасын
128
(2)
тріне келтіруге болады, немесе (3)
мндаы .
(4)
Егер функциясы кпмнді болса, онда (2) тедігіні о жа блігіндегі осы функция бойынша рне
ктеріні осындысын алу ажет.
функциясыны физикалы маынасы бар болады, егер (3) рнегінде шашырау брышыны рнегінен dχ
элементінен рісті О центрі арылы 2χ
жне 2(χ+dχ)
брыштарына ие болатын конустарымен кесіліп алынан бірлік радиусты сфера бетіні шексіз аз элементі к
рінетін
денелік брыш элементіне кшетін болса. Онда
,
(5)
.
(6)
Осыдан
функциясы бірлік уаытта бір денелік б
рыша
шашырайтын блшектерді салыстырмалы санын анытай
тын
ды
ын
креміз
. Сонымен атар, егер шашырауды эффективті имасы тсетін блшектер шоыны тыыздыынан туелсіз екенін ескерсек, онда шамасын dΩ
денелік брышты элементіне жекеленген блшектерді шашырау ытималдыымен сйкестендіруге болады, ал функциясын оны тыыздыымен сйкестендіруге болады. Егер шашырау брышы χ
О
-
ден бастап π
-
ге дейін згеретін болса, онда келесі тедеу орындалады
.
(7)
Мны тексеру оай, егер (мадайлас сотыысуда жне болады) болса.
Дифференциалды имадан баса, шашырауды толы эффективті имасын арастырады. Оны (2) немесе (3) рнектерін χ
-
ны ммкін болатын мндері бойынша интегралдау арылы алуа болады, яни .
(8)
Шашырауды толы имасы барлы баыт бойынша бірлік уаытта шашырайтын блшектерді жалпы dN
саныны n
129
тыыздыына атынасы
на
те. Осы жадайда, яни -
блшектерді шашыратыш центрімен зара серлесуін ескермейтін жадайда, андай да бір ашытытан шашырауды толы имасы
(9)
те болады, шамасын өзара әсерлесудің эффективті радиусы
деп атайды. §
3
Ұшып келген және бастапқыда тыныштықта болған бөлшектердің шашырауының эффективті қимасы
Мас
салары m
1
болатын блшектер шоыны m
2
массалы баса блшектерге шашырауы туралы негізгі есепке айтып келе отырып, m
1
~
m
2
жалпы жадайы шін (2)
-
рнек осы блшектерді шашырауыны эффективті имасын анытайды. Осы блшектерді шашырауы ц
-
жүйесінде
χ
шашыра
у брышына байланысты. Дл осы жадай шін тек ана лабороториялы сана жйесінде крсетілген формуланы χ
-
ны сотыысу диаграммасыны кмегімен Q
1
жне Q
2
шашырау брыштары арылы рнектеу керек. Сонымен атар (3) рнегін
(10)
формуласы трінде жазып пайдаланан жн. Алдымен шып келген m
1
блшектер шін d
σ
1
шашыраудың
дифференциалдық қимасын жазайы. ш жадай болуы ммкін:
1.
m
1
<
m
2
. туелділігі осы жадай шін мына
формулас
ымен бір мнді аныталады, ,
(11)
мндаы . Демек, m
1
<
m
2 боланда шып кірген блшектерді шашырауыны эффективті имасы dσ
1
мынадай трде жазылатын болады
.
(12)
130
2.
m
1
=
m
2
. Бл (13)
боланда е арапайым жадай болады, демек, .
(14)
3.
m
1
>
m
2
. Осы жадайда функциясыны екі тармаы болады: мен тарматар, сонымен атар шамасы (11) рнегімен
анталынады, ал .
(15)
d
σ
1
шашырау имасын алу шін (10) рнегінен функци
ясыны екі тармаы бойынша осынды алу ажет. Нтижесінде (16)
рнегін
аламыз.
χ
-
ны беріліс брышынан туелділігі m
1 жне
m
2
блшектер массаларыны кез келген атынасында болады, осыдан .
(17)
Сондытан бастапқыда тыныштықта болған m
2
бөлшектердің шашырауының d
σ
2
дифференциалды қиманы
рашанда (18)
тріне ие бо
лады, мндаы .
131
§
4 Шашырау теориясының кері есебі
Шашырауды дифференциалды имасын есептеу (2)
-
рнектен крініп трандай белгіле
гіш параметріні Ȥ шашырау брышынан функционалды туелділігін табуа келтіріледі. Осы масатпе
н андай да бір -
блшекті шашырауыны
траекториясын арасытырайы. Орталы
-
симметрия рісінде озалып келе жатан блшекті траекториясы оны ОР апсидасына атысты
симметриялы. Егер осы тзу мен тсетін шоты баыты арасындаы б
рышты
арылы белгілесек, онда шашырау брышы Ȥ (19)
трінде жазуа болады, мндаы жоары табалар тебіліс рісіне, ал тменгілері тартылыс рістеріне сйкес келеді. брышы (15
) рнекке
сйкес (20)
интегралымен аныталынады. Бдан -
блшекті шашырау брышы оны Е
толы энергиясы мен L
импульс моментіні функциясы болып табылады
, яни . Сондытан сол (19
), (20) атынастары айын емес трде аныталады жне шыатын туелділік болады.
ρ
жне χ
арасындаы осы байланыс натылы
болу шін, импульс моментін оны белгілегіш параметрі арылы рнектейік. 17
-
сурет арылы (21)
екендігін крсетуге болады. Сонымен атар жоарыда крсетілгендей .
(22)
μ
z
ρ
α
χ
Р
n. ось
0
n. ось
Р
0
χ
17
-
сурет
132
(20) рнегіне (21), (22) рнектерін (19) атынастарын ескере отырып
оятын болса
, мынадай нтиж
ені аламыз ,
(23)
мндаы χ алдында тран жоары таба тебіліс рістеріне сйкес келеді. Осы атынаспен ізделін
е
ді
жне
функционалды туелділік аныталынады.
(23) атынасы -
блшекті лсіз сингулярлы тартылыс рісінде жне кез келген тебіліс рісінде озаланда ана орындалады. Тек ана осы жадайларда ана крсетілген атынастар бір мнді туелді
лікке келеді
.
бастап тартылыс рісінде жоарыда крсетілгендей орбиталау эффекті (былысы) байалады, яни -
блшектерді траекторияларыны оралуы. Осы былысты ескергенде функциясыны кпмнділігіне келеді, сонымен атар шашырауды классикалы теориясыны негізгі (2) формуласын ,
(24)
трінде жазуа болады, мндаы осынды кпмнді функциясыны барлы тарма
тары
бойынша жргізіледі. Жекеленген жадайларда фунционалды туелділігін
,
геометриялы трыда (24) формуласына арамай шешуге болады. Сондытан, -
блшектерді андай да m
1
жне m
2
жп блшектерді массал
ар орталыымен сйкес келетін озалмайтын кштік центр рісі арылы шашырауыны дифференциалды имасы толыымен (2), (22) формулаларымен аныталынады. Егер осы формулаларда алмастыруын жасаса, онда олар массалары m
жеіл жне жы
лдамдытары массасы M>>m болатын белгілегіш
-
блшектерді шашырауыны дифференциалды имасын анытайды. Осыдан шашыраудың макроскопиялық қимасын
(яни жекеленген m
блшектреді бірлік уаытта тсетін шоты б
аытына θ брыш жасай отырып шашырау ытималдыы
) алу шін (6) толы имасын 1см
3
келетін шашыраыш N
белгілегіш
-
блшектерді санына кбейтсек жеткілікті, яни .
(26)
133
m
1
жне m
2
блшектеріні шашырауы
ны ималарын есептеу туралы тура есеппен атар белгілі серлесу заы бойынша шашырауды кері есебін шешу ателігі туады, яни шашыраыш потенциалды трін блшектерді серпімді шашырауы жніндегі эксперимент
тік мндері бойынша анытау туралы есептер. Сотыысан блшектерді (мысалы, атомдар немесе иондар) зара серлесу потенциалыны трін L
-
ді
берілген мнінде шашырау брышыны энергиядан туелділігі туралы белгілі тжірибе бойынша жне де тебіліс рісіні ізделінді потенциалы боланда r
-
ді монотонды функциясы болып табылады (Хойтты шашырау туралы кері есебі).
L
-
ді белгіленген мні шін блшектерді шашырауы бойынша ткізілген тжірибеде тікелей
L дифферен
циалды иманы χ
жне Е
-
ден туелділігі немесе функци
а
сы аныталынатын
-
дыын ескере кетелік. Сонымен атар туелділігін (
) жазытыында кейбір исытарыны
траты
тзуімен иылысу нктелері бойынша табуа болады; крсетілген исытар (4) рнегінен шыатын (26)
тедеумен аныталады.
Берілген туелділігі арылы ізделінді потенциал ан
ы
та
латын
тедеу ретінде (21) атынасы алынады. Осы атынасты (27)
трінде жазуа болады. ізделінді функция секілді V(r)
жинаы потенциалы да r
-
ді монотонды функциясы. Со
ндытан V(r)
функциясы кері r(V)
бірмнді функциясы бар болады. (27) рнегінде жаа туелсіз V
айнымалысына кше отырып, (28)
r(V)
0
r
min
V
18
-
сурет
134
рнегін
аламыз. (28) тедігі Абельді интеграл
ды тедеуіне келеді. Оны шешу жолы жеіл. Нтижесінде
:
(29)
тедеуін аламыз.
Сонымен, туелділігін
біле отырып, r
-
ді V
-
ны функциясын айырымы ретінде анытауа болады. арастырылан
дісті кемшілігі траты
шін
блшектерді шашырау экспериментін жзеге асыруды иындыында. Тжірибелік мндерді эффективті иманы Е
-
ні берілген мнінде
,
χ
шашырау брышынан туелділігі бойынша алу лдеайда жеіл. Осы жадай шін шашырауды кері есе
бін
і шешуін О.Б. Фирсов тапан
болатын.
§
5 Резерфорд формуласы
Шашырауды классикалы теориясыны Кулон заы (30)
арылы зара серлесетін
,
спині жо зарядталан блшектерді шашырауын зеттеуде олданылатын таы бі
р мысалын арастырайы. Айталы, массасы m
1
, заряды
z
1
e
жылдамдытары болатын блшектерді біртекті шоы массалары m
2
жне зарядтары z
2
e
болатын, бастапыда тыныштыта болан нысана
-
блшектерді стіне ласын ((30) зара серлесу за
ындаы
α траты z
2
z
1
e
2
те болсын).
Алдымен ц
-
жйедегі кулонды
шашырауды дифференциалды имасын
есептеп шыарайы. Осы шін ажет болатын туелділігін (22) жалпы рнегін пайдалана отырып, алуа болады
.
(31)
(31) рнегінде жаа туелсіз айнымалысына кшіп, арапайым интегралдауды пайдалана отырып
135
бдан .
(32)
Осыдан туелділігін
алу шін (30) рнегін белгілі тригонометриялы тедеуімен салыстырайы. Нтижесінде (33)
табамыз. (33) рнегін χ брышы бойынша дифференциалдап жне алынан нтижені (2) ф
ормуласына ойып ц
-
жйесінде кулонды шашырауды ізделінді дифференциалды имасын ,
(34)
немесе
.
(35)
алуа болады. (34) жне (35) рнектер Резерфорд формуласы
деп атала
ды. Бл формуладан кулонды шашырауды дифференциалды имасы осы жадай шін блшектерді траекториясы ртрлі болатындыына арамастан зарядталан блшект
е
рді тартылуы мен тебілуіне байланысты емес.
Кулонды шашырауды ерекшелігі кіші брыштара шашыра
йтын блшектер шін дифференциалды иманы крт суі болып табылады: боланда дифференциалды иманы зі де жне оны бірінші туындысы да шексіздікке айналады. Бл арта арай шашырайтын блшектерді бір бл
ігіні соншалыты аз болуына, ал шашырауды толы имасыны шексіз лкен болуына келеді, бан тікелей кз жеткізуге болады. Шынында да, (34) 136
рнегін
χ
-
ны барлы мндері бойынша 0
-
ден π
-
ге дейін интегралдай отырып
.
(36)
рнегін
аламыз. (34), (35) эффективті ималараны осындай болуыны себебі кулонды рісіні алыстан сер ету сипаттамасы болып табылады. Енді жне нерлым ызыты жадайлармен ш
ектеліп, л
-
жйесіне кшелік. л
-
жйесіне шып келген m
1
блшектерді шашырауыны дифференциалды имасын боланда алу шін, (34) немесе (36) формулаларында алмастыруын жасаса жеткілікті. Нтижесінде мынаны а
ламыз: ,
(37)
сонымен атар эффективті има болады (нысана
-
блшектер сотыысаннан кейін де тыныштыта болады).
(37) формула
ны
алаш рет 1991 жылы Резерфорд ашан болатын. Осы формуланы
α
-
блшектерді шашырауы бойынша алынан эксперименттік мндермен салыстыру негізінде Резерфорд атомды ядроны ашты. Осы зерттеуде келесі жадай маызды орына ие болды: кулонды шашырауды дифференциалды имасы, кейіннен релятивистік былыс
тарды ескермей есептелініп алынан квантты механикалы имамен длме
-
дл келеді. Атомды ядроны ашылуы кп жылдара созылар еді, егер оны бар екендігіні
,
классикалы дллді дрыстыын крсеткен осы бір тааларлы жадай болмаса. Егер шып келген б
лшектер
мен нысана
-
блшектерді массалары бірдей болса (яни ), онда χ
брышыны шып келген блшектерді шашырау брышы мен алашында тыныштыта тран блшектерді кері айту брышы арасындаы байланыс: атыстарымен аныталынады. Осы атыстарды (34) формуласына ойанда шып
келген жне алашында тыныштыта тран блшектерді эффективті ималарыны келесі рнектерін береді:
137
,
(38)
жне .
(39)
Егер екі блшекті тек ана массасы емес, сонымен атар баса да сипаттамалары сас болса, яни блшектер зара бара
-
бар блшектер болс
а, онда шашыраудан кейін шып
келген жне алашында тыныштыта тран блшектерді жеке арастыруды маынасы жо. Демек, барлы блшектер шін орта шашырауды эффективті имасын жне шамаларын осып жне де брыштарын орта брышымен алмастыра отырып, алуа болады. Осы жадайда алынан бара
-
бар блшектерді кулонды шашырауыны эффективті имасы мынаан те болады: .
(40)
Біра осы форм
уланы эксперименттік мндермен салыстыранда дрменсіз. Осындай процесті дифференциалды имасы шынында (40) рнегінен ерекшелінетін формуламен рнектеледі: .
(41)
(41) квантты механика формуласында осымша интерференциалы мш
ені пайда болуы квантты механикадаы бара
-
бар блшектерді толытай ай
ы
руа болмайтын жадайа негізделген (классикалы механикада бірдей блшектерді траекториялары бойынша айыруа болады). Бл бара
-
бар блшектерді алмасатын әсерлесу
деп аталатын квантты
эффекті пайда болуына трткі болды. (40) формуласындаы осымша мшемен сипатталатын интерференция шашырауды дифференциалды имасыны суіне келеді (мысалы 45
0
–
екі есе ). 13
8
§
6 Күштік центрмен бөлшектерді басып алу қимасы
Кштік сингулярлы тартылыс
рісінде ,
(42)
шексіз лкен ашытытан кштік рісті блшектерді басып алуы ммкін. Блшектерді шашырауы секілді, крсетілген процес
ті
басып алуды эффективті имасы арылы сипаттауа болады. Басып алудың толық қимасы
кштік центрден жеткілікті алыс ашытыта бірлік уаытта кштік центрмен басып алынан берілген шоты блшектер саныны осы шоты тыыздыына атынасы трінде, шашырауды толы имасына сас аныталынады. Егер кштік центрге шо
ты тек кздеу параметрлері (43)
тесіздігін анааттандыратын блшектер ана лайтын болса, онда кштік центрмен блше
к
терді басып алуды толы имасы
(44)
те болады. рісіні
центріне лайтын, масссалары m
жне жылдамдытары болатын блшектерді біртекті шоы шін басып алуды толы имасын есептейік. Осындай рістегі шо блш
егіні жинаы потенциалы (45)
трде болады. нктесінде крсетілген потенциал
ды мынаан
(46)
те максимумы болады. 139
рісіні центрі арылы шексіз лкен ашытытан, толы энергиясы болатын блшектер ана басып алынуы ммкін.
Блшектерді басып алынуы ммкін болатын кздеу параметріні максимал мнін
тедеуін шеше отырып,
табуа болады. Осыдан ,
(47)
табамыз, демек, басып алуды ізделінді имасын ,
(48)
трінде жазуа болады. n=2 , боланда алынан рн
екті о жа блігі 0
0
тріндегі аныталмаандыа айналады. Біра, осы аныталмаандыты шешуді орнына, есепті айтадан басынан бастап шешкен жеіл болар еді. рісіні
центріне блшектерді лауы тек сол жадайда ммкін болар ед
і, егер немесе шарты анааттандырылатын
болса, яни рісті центрімен тек ана кздегіш ашытыы -
тен аспайтын блшектер ана басып алынады. Сондытан n=2
шін (42) рісіні басып ал
у имасы
(49)
те болады. Нктелік кздер арылы пайда болатын n<2
шін лсіз сингулярлы тартылыс рісінде, болатын блшектерді басып алынуы ммкін емес. Біра жада
й негізінен згереді, егер ріс
кзі –
алыстатылан дене болса. Мысал ретінде Жерді метеориттік блшектерді басып алуын арастырайы.
лау
шарты ретінде бл жадайда рісті центрінен блшектерді 0
R
P
19
-
сурет
140
гиперболалы траектория
-
сыны перигеясына дейінгі аш
ыты Жер радиуысы
-
нан кіші болсын деген талап болады. Блшектер
-
ді басып алынуы ммкін болатын -
ны максимал мндері
шарты бойынша аныталынады. Бл ,
(50)
немесе тедеуін шешуге келеді.
Осыдан шамасын анытай отырып, ,
(104)
рнегін
табамыз, мндаы -
екінші космосты жылдамды. шін
алынан има Жерді геометриялы имасыны ауданына жаындайды. 141
ІХ ТАРАУ
МАССАСЫ АЙНЫМАЛЫ НҮКТЕ ҚОЗҒАЛЫСЫНЫҢ
НЕГІЗГІ ТЕҢДЕУЛЕРІ
КІРІСПЕ
Массасы айнымал
ы денелер механикасы –
теориялы механиканы ауматы зерттеу саласы. Механика дамуыны осы баытыны негізгі мселесі болып массасы уаыт бойынша згеретін денелерді озалысы мен тепе
-
тедігін зерттеу саналады. Массасы айнымалы денелер озалысын зерттеу
идеясы ХІХ асырды соына арай туындады. Бл кездегі зымыранды техниканы, баылаыш астрономияны жне электродинамиканы дамуы механиканы біратар жаа есептерін арастыруа келді. Мндай есептерде озалатын денені массасы уаыт функциясы немесе жылдамды функциясы болып келеді. Классикалы механика негізінде Ньютон тжырымдаан материалды нкте озалысыны задары арастырылады. Бл салада озалысты сипаттайтын барлы рнектер –
материалды нктені деуі, массасы жне оан сер ететін кшті
арасындаы байланысты крсететін Ньютонны 2
-
ші заыны салдары.
Алайда, Ньютонны 2
-
ші заы массасы траты материалды нкте озалысын арастыранда ана орынды. Ал егер озалыс барысында нктені массасы згеретін болса, онда озалыс заын кптеге
н мселелерді ескере отырып жалпы трде жазу ажет.
озалыс
кезінде массасы згеретін денелерді мысалы ретінде ртрлі басарылатын зымырандарды, реактивті озалтышы бар шатарды, реактивті снарядтар, миналарды жне торпедаларды келтіруге болады. Осы
ндай озалысты кптеген табии былыстарда да байауа ммкіндік бар. Мысалы, Кнні массасы арышты ша
-
тозаны осылуынан артса, сулелену салдарынан кемиді. Массасы айнымалы денелер механикасыны планеталар озалысын зерттеуде де маызы зор. 142
Масса
сы згеретін нкте динамикасыны негізгі заын 1897 жылы Ленинград политехникалы институтыны профессоры И.В.Мещерский зіні магистрлік диссертациясында ашан болатын. Айтылан озалыс жайлы Мещерскийді алан негізгі тедеуі р трлі дербес есептер ші
н оларды задылытарын орнатуа ммкіндік берді. Мещерский ебегіні негізін райтын гипотезаларды бірі –
жаын сер гипотезасы. Жоарыда айтылан Ньютонны 2
-
ші заы Мещерский тедеуіні дербес жадайы болып келеді. 1904 жылы Мещерский блшектерді бір
уаытта осылуы мен ажырауын ескере отырып массасы айнымалы нкте озалысына атысты лкен, ке клемді ебегін жарыа шыарды.
Массасы айнымалы денелер механикасына ататы орыс оымыстысы Циолковскийді осан лесі зор болды. 1903 жылы ол зіні «Реа
ктивті ралдармен лемдік кеістіктерді зерттеу» атты ебегін жазды. Мнда массасы айнымалы денелерді тзу сызыты озалысыны біратар ызыты жадайлары арастырылан. Циолковский орытып шыаран зымыранны жылдамдыы мен массасын байланыстыратын рн
ек лемдік атаа ие болды жне конструкторлы бюроларды алдын ала есептеулерінде ке олданыс тапты. Циолковский алашы болып блшектерді ажыратылу процесіні отайлылыына баа берді жне зымырандарды пайдалы сер коэффициентін анытады.
Массасы ай
нымалы денелер механикасында Циолковский уаыт згерісіне байланысты нкте массасы здіксіз де жне секірмелі де згеретіндігі жайлы идеяны сынды. Циолковский ортаны йкеліс кшіні зымыран жылдамдыына серін зерттеді. Сонымен, Мещерский мен Циолковский
ді ебектері бір
-
бірін толытыра отырып, осы айтылан теориялы механика саласыны негізін алады деп айтуа болады.
Ендігі кезекті шетелдік алымдара беретін болса, оларды атарына Годдардты, Обертті, Гоманды жне Леви
-
Чивитаны жатызуа болады. Годд
ард теориялы зерттеулер жргізе отырып, келесі бір вариациялы есепті тжырымдады: берілген массаны берілген биіктікке ктеру шін зымыранны е аз жанармай оры андай болу керек? Осы есепті шешу шін Годдардты 1919 жылы сынан дісі аса арапайым жне
айта аларлытай мазмна ие болан жо. Алайда, Годдард биіктікке ктерілу барысында от
айлы режімдер бар екендігі жайлы
наты длелдемелер берді.
Годдард есебіні наты математикалы шешімін Гамель анытады. Кейін бл есепті белгілі алымдар Тзян, Эванс
жне 143
Лейтман зерттеген болатын. Орыс алымдары Космодемьянский, Охоцимский да осы есепті шешу шін з лестерін осты.
Оберт зіні «Космосты кеістіктегі зымыран» атты ебегінде Годдард есебіні шешімін ешбір озалыс тедеуінен шыпайтын кейбір экстре
малды принципке негізделе отырып анытауа тырысты.
1950
-
ші жылдарды соы мен 1960
-
шы жылдарды басында зымыран озалысыны отайлы режімдерін анытау масатында варияциялы есептеулерді олданылуына негізделеген кптеген ебектер шет елдерде жары к
ре бастады.
Леви
-
Чивита з ебектерін ажыратылатын блшектерді абсолют жылдамдытары 0
-
ге те болан жадайдаы массасы айнымалы нкте озалысыны негізгі тедеуін анытауа арнады.
Массасы айнымалы денелер озалысыны теориясын растыру, негізгі тео
ремаларды тжырымдау, жалпыланан координаттарда озалыс тедеуін орытып шыару жне біратар дербес есептерді шешу кптеген кеес алымдарыны жмыстарында орын алды.
Массасы айнымалы денелер механикасы –
ХХ
-
асырды ылымы. ХХ
-
асырды басында механи
каны бл блімін негізінен астрономдар мен инженерлер растыран болатын. Планета аралы саяхат идеясы кптеген алымдарды осы салада зерттеулер жргізулеріне талпындырушы кш болды деуге болады.
Зымыранды техника бізді заманымызда нерксіпті басты
саласы болып келеді. Реактивті озалыс теориясын массасы айнымалы денелер механикасыны негізгі мазмнды блігі ретінде арастыруа болады.
Массасы айнымалы денелер механикасы планета аралы саяхаттар жайлы иял
-
ажайып проектілер серінен арынды дами
бастады. Алайда, ол Жерде наты олданыс тапаннан кейін ана космоса шуды ылыми базасы болды.
§1. Қозғалыс мөлшерінің сақталу заңы.
Массасы айнымалы нкте озалысыны негізгі задарын анытау шін массасы траты нкте озалысын анытайтын задар
ды олдануа болады.
Массасы айнымалы нкте озалысын сипаттайтын іргелі задарды біріне механикалы озалыс млшеріні саталу заы жатады. Механикалық қозғалыстың өлшемі болып (егер ол механикалық қозғалыс сияқты сақталатын болса) қозғалыс 144
мөлшерінің
векторы алынады. озалыс
млшеріні саталу заыны бастапы трін е алаш рет Декарт (1596
-
1650
ж.ж.
) ашан, сонымен бірге ол осы зады олдану барысында оны маызды екенін крсетті. Декарт осы саталу заын длелдеу кезінде арапайым былыстара, ат
ап айтанда, абсолют серпімді соы жне инерция заына сйенді; теориялы механиканы рі арай дамуында осы за аксиома ретінде арастырылды жне механиканы кинетикалы рылымыны негізі болды. Ол за бойынша: тұйықталған нүктелер жүйесіндегі (сыртқы күш әсер етпегендегі) кез келген механикалық процестерде қозғалыс мөлшері тұрақты болып қалады
. Механикалы нктелер жйесін тйыталан деп атаймыз, егер жйедегі блшектер озалысына ішкі кштер ана сер етсе немесе жйедегі блшектерді зара серле
суі ана арастырылса. озалыс млшеріні саталу заын массасы траты нктелер жйесіне арналан озалыс млшері жайлы теоремаа негізделе отырып длелдеуге болады. Нктелер жйесі озалыс млшеріні згеру теоремасына сйкес озалыс млшерінен уаыт
бойынша алынан туынды жйеге сер ететін барлы сырты кштерді орыты кшіне те, яни
,
(1)
мндаы
–
жйені райтын блшектерді озалыс млшерлеріні осындысы
, ал –
жйеге сер е
тетін сырты кштерді орыты кші. Егер ж
ү
йе т
ұ
йықталған
болса, онда сыртқы күштердің қорытқы
күш
і
болады.
Сонда (1)
-
ші өрнектен
,
мндаы -
жйені бастапы озалыс млшері.
Массасы M=M(t)
айнымалы нктені жне одан ажыратылатын массалары блшектер жйесін массалары траты n
нктелер жиынтыы деп арастыруа болады. Кез
-
келген бастапы уаыт мезетінде орта жйені озалыс млшерін десек, сырт
ы
кштер болмауына байланысты вектор келесі уаыттарда траты 145
болып ала береді. Ішкі кштерді механикалы жйені озалыс млшеріні векторын згерте алмайтындыы бізге белгілі.
Массасы М
айнымалы нктені біз массасы уаыт бой
ынша згеретін жеткілікті кішкентай денені ауырлы центрі ретінде арастырамыз. Бл жадайда массаны згеру процесі кезінде озалыстаы денемен байланысан координат сьтеріне атысты М
массалар центріні салыстырмалы ыысулары айтарлытай аз болады да,
оларды ескермеуге болады. Математикалы трыдан арастыранда
массасы айнымалы нүкте –
қозғалыс кезінде өзгеретін кейбір шекті массасы бар геометриялық нүкте.
Массасы М
нктені блінетінін болжай отырып жне ажыратылатын блшектерін
орта механикалы жйеге біріктіре отырып, классикалы механикадан белгілі массалары траты нктелер механикалы жйесіні крсетілуіне келеміз. Осындай механикалы жйені бір бліміні, яни, блшектеріні озалысын біле тра, біз
орталы ажыратушы нктені озалысын анытай аламыз. Массасы айнымалы нктелерді озалысын бл діспен зерттеу ммкін болса да, тжірибе жаынан орындалмайды, себебі айтылан діс n
денелерді озалысы жайлы аспан механикасыны есебін шешуді ажет ете
ді. n=3
боланны зінде де, мндай есепті шешуде жалпы жадайда математикалы иындытара тірелеміз.
рі
арай баяндау барысында орталы масс
а
сы М
нктеден блшектерді ажыратылуын тсіндіретін физика
-
химиялы процестерді арастырмаймыз; барлы бізді зе
йініміз ажыратушы центрді механикалы озалысын зерттеуге баытталан болады.
§2. Күштердің тәуелсіз әсерінің заңы.
Массалары блшектерден ралатын жйе белгілі бір кш рісінде орналасты дейік, онда ажыратушы центрді жылдамдыын
ы згерісі тек ана ажыратылан блшектерді озалысымен ана емес, сонымен атар, сырты кш серімен де аныталады. Блшектерді ажырату процесіні себебінен массасы М
нкте жылдамдыыны згерісі арастырылып отыран блшектер жйесіне атысты ішкі бол
ып саналатын кейбір кшті серін бейнелейді. Классикалы механикадан андай да бір материалды нкте озалысыны белгілі бір уаыт аралыында бірнеше кшті серінен згерісі жне зге кштерге туелсіз сер ететін р бір кшті серінен болатын згерісі
бірдей екендігі белгілі. Механикада күштер бір
-
бірін индуцияламайды (бір
-
біріне тәуелсіз). 146
Кштерді туелсіз сер ету заыны салдары ретінде кш параллелограмм заы мен деу параллелограмм заы
болып
саналады. Егер блшектерді ажырау процесіне негізд
елген жылдамды сімшесі -
ге, ал сырты кштер рісіні серіне негізделген жылдамды сімшесі -
ге те болса, онда жылдамдыты толы сімшесі
келесі векторлы рнек бойынша аныталады:
.
(2
)
Осыны екі жаын dt
-
а блсек, онда
.
(3)
Бұл (3)
-
ші өрнек күштердің тәуелсіз әсер ету заңының математикалық мағынасын береді.
Келесі арапайым болжам ретінде массасы М
негізгі нктеден блшектерді ажырауы кезіндегі жаыннан сер
ету болжамы алынады. Біз массасы М
нктеден ажыратылатын блшек оны озалыс
мөлшерін М мен -
ның әсері кезінде ғана
згертеді деп санаймыз; блшек М
нктесіне атысты салыстырмалы жылдамдыа ие боланнан бастап, оны М
нктесіне сері жойылады. Классикалы механика есептеріндегі андай да бір байланыс зілгенде пайда болатын соы кшіне сас блшекті ажырау мезетіндегі сер ету жне кері сер ету заы бойынша элементар реактивті кш пайда болады. Жаыннан сер ету гипотезасы массасы айнымалы нкте озалысыны дифференциалдық теңдеуін
алуа ммкіндік береді. Егер ажыратылан блшектер жиынтыыны массасы М
нктеге серін ескерсек, онда здіксіз ажырату процесінде озалы
сты интегродифференциялдық теңдеуіне келеміз.
озалысты
негізгі тедеулерін шыаруда М
нктесіні массасыны згеру процесі здіксіз деп арастырылады. Жалпы есептерде массаны згерісі здікті болатын болса, онда ол есепті шешуге массасы траты денел
ер шін классикалы механиканы теормаларын олдануа болады. Сонымен атар, нкте массасыны уаыт бойынша бірінші туындысы озалыс кезінде шекті болып алады
.
147
§3. Мещерский теңдеуі
Уаыт те массасы згеріп отыратын андай да бір нктені арастырайы. t
уаыт мезетінде бл нктені массасы М
болсын. Берілген нктені озалысын Oxyz
озалмайтын
координаттар жйесіне атысты зерттейміз (1
-
сурет)
.
М
нктесіні t
уаыт мезетінде абсолют жылдамдыы болсын, осыан сй
кес, оны озалыс млшері:
.
(4)
dt
уаыт аралыында M
нктесі зінен массасы (
-
dM
) блшекті ажыратсын жне осы блшекті абсолют жылдамдығы
болсын. Онда толы жйені озалыс млшері (
t+dt
) уаыт мезетінде мы
наан те:
,
(5)
мндаы арастырып отыран нктені жылдамды сімшесі .
озалыс
млшеріні саталу заы бойынша:
,
яни
.
(6)
(6)
-
шы рнектегі (
) екінші ретті аз шаманы ескермегенде мынаны табамыз:
. (7)
Бл рнек массасы М
негізгі нктені массасы те блшек бліп шыаранда туындайтын жылдамды сімшесін анытайды. 148
Егер масса
сы М
нктеге сырты кш сер етсе, онда нкте жылдамдыыны сімшесі Ньютонны екінші заы бойынша былай аныталады:
. (8)
Кштерді сер етуіні туелсіздік заына байланысты ма
ссасы айнымалы нкте жылдамдыыны толы згерісі:
.
(9)
Бл рнекті М
–
а кбейтіп, dt
-
а блсек, массасы айнымалы нктені озалыс тедеуі мына трге келеді:
(10)
–
бл тедеу Мещерский теңдеуі
деп аталады. –
ажыратылан блшектерді салыстырмалы жылдамдыы, ал –
ажыратушы нкте массасыны секундты шыыны екенін ескерсек, онда
.
(11)
–
реактивті немесе осымша кш. Жоарыдаы рнекті (10)
-
шы рнекке
ойса, келесіні аламыз:
.
(10
/
)
Бл рнек массасы айнымалы нкте озалысыны дифференциалды заын бейнелейді. Ол за бойынша: кез
-
келген уақыт мезетінде бөлшектерді ажырататын нүкте массасы мен оның үдеуінің көбейтіндісі сыртқы және реактивті күштердің геометриялық қосындысына тең болады. Егер мшесін тедеуді сол жаына ауыстырса, (10)
-
шы тедеуді мына трде жазамыз:
.
(12)
Дербес жадайда ажыратылатын блшектерді абсолют жылдамдыы нлге те болса, (12)
-
ші рнек мынадай трге келеді:
,
(13)
яни, егер ажыратылат
ын бөлшектердің абсолют жылдамдықтары нөлге тең болса, онда массасы айнымалы 149
нүктенің қозғалыс мөлшерінен алынған туынды оған әсер ететін сыртқы күштердің қорытқы күшіне тең.
Ажыратылан блшектерді салыстырмалы жылдамдытары нлге те болан жадайда (10
)
-
шы тедеуді былай жазамыз:
,
(14)
яни, бл жадайда массасы айнымалы нктені озалыс тедеуі массасы траты нктені озалыс тедеуі сияты жазылады. Біра (14)
-
ші тедеудегі М
масса уа
ыта
туелді функция.
Зымыранды техника саласына байланысты кптеген есептер жйесінде ажыратылатын блшектерді салыстырмалы жылдамдытары траты жне траекторияа жргізілген жанама бойымен баытталан деп алынады. Сонда:
,
мндаы
V
=
const
, ,
–
траекторияа
жргізілген
жанама
ны
бірлік
вектор
ы,
ол озалыс баытымен жылдамды векторы бойынша баытталан. Онда (10)
-
шы тедеу:
(15)
немесе
.
(16)
Ег
ер сырты кштерді орыты кші озалыстаы нктені массасына пропорционал десек, яни жне деп алса, онда (15)
-
ші рнектен немесе
.
(1
7)
функциясын енгізсек, онда:
.
(18)
§4
. Қозғалыстың скаляр теңдеулері
Массасы айнымалы нкте озалысыны кейбір тедеулеріні координат сьтеріне проекцияларын арастырайы. Егер Ox
yz
озалмайтын сьтер жйесін тадайтын болса, онда жалпы 150
жадайда (10
/
) озалысты негізгі тедеуіні проекциялары тмендегідей болады:
(19)
Мндаы F
x
,F
y
,F
z
–
сырты сер ететін кштерді те серлі кшіні проекцияларыны мні,
-
нкте деуіні проекциялары, ал –
блшектерді ажыратылуына негізделген осымша (реактивті) кшті проекциялары. Жалпы жадайда (19)
-
шы тедеулерді о жа бліктері озалыстаы нктені координаттарына, жылдам
дыына жне уаыта туелді. Тедеулерді о жа бліктерін кейбір арапайым функциялармен крсете отырып, біратар интегралданатын есепте
р
ді зерттеуге болады. Осы кзараса негізделетін болса, онда массасы айнымалы нкте озалысыны кейбір ережеге баы
натын динамикасын руа ммкіндік туады. Біз ережеге сай осы тсінікті, алайда, таза математикалы концепцияа негізделмейтін боламыз. Барлы есептерде е алдымен тжірибе нсауларына, наты объектілерді сына нтижелеріне жне теориялы зерттеулерге с
йене отырып, істі механикалы мнін тсінуге мтылатын боламыз. Теориялы ммкін болатын слбаларды зерттеуді орнына наты былыстарды задылытарын іздейміз.
Ажыратылан блшектерді абсолют жылдамдыы нлге те болатын жадайд
а массасы айнымалы нктені озалыс тедеуіні Ox,Oy,Oz
сьтеріне тсірілген проекцияларын келесі трде жазуа болады:
(20)
Мндаы –
жылдамдыты координат сьтеріне тсірілген проекциялары. (20)
-
шы тедеулер
ге сас тедеулер (19)
-
шы тедеулерге араанда лдеайда арапайым, себебі, оларды растыру кезінде блшектер ажыратылуыны кейбір гипотетикалы заы негізге алынан болатын. Зымырандарды озалыс теориясында гипотезасы орындалм
айды,
біра аспан механикасыны есептерінде (20)
-
шы тедеулер ке жне жемісті олданыс табуда. 151
Ажыратылатын блшектерді салыстырмалы жылдамдытары н
лге те жадай шін массасы айнымалы нкте озалысыны тедеулері, трі бойынша, массасы траты нкте озалысыны
арапайым тедеулеріне сйкес келеді. (14)
-
рнектен:
(21)
Бір араанда гипотезасы жасанды жне практикалы мні жо болып крінуі ммкін. Блшектерді аж
ырауы реактивті кшті пайда болуынсыз
-
а тетін массасы айнымалы дене озалысыны кптеген жадайларын крсетуге болады. Мысал ретінде блокты айналуын жне одан жіпті оралып тсуін арастырайы (2
-
сурет)
.
Блокты А
нктесіні жылдамдыы , мндаы –
блокты брышты жылдамдыы, –
радиус. dM
жіп элементіні жылдамдыы да шамасына те болады. Сондытан, ажыратылатын
массасы dM
жіп блігіні
салыстырмалы жылдамдыы бл жада
йда нлге те болады.
Массасы айнымалы нктені сырты баллистикасыны кп есептері шін осымша болжамдар жасауа болады. Реактивті кшті баыты траекторияа жргізілген жанама бойымен баытталан, ауырлы кшіні рісі біртекті жне Жер жазы деп болжай
ы. Ортаны кедергі кші нкте траекториясына жргізілген жанама бойымен жне жылдамды векторына арама
-
арсы баытталсын. Бл кшті шамасын келесі трде крсетуге болады:
,
мндаы –
мадайлы кедергіні коэффици
енті, –
Жер бетіндегі жне z
биіктіктегі ауаны тыызды
тары
, S
–
объектіні сипаттамалы ауданы.
деп алса, кедергі кшін мына трде жазамыз:
,
А
R
ω
2
-
сурет
152
мндаы .
Кштерге атысты жасалан жеілдіктерді ескерсек, массасы айнымалы нкте траекториясы жазы исы болатынын креміз. (3
-
сурет) Сондытан озалыс тедеулеріні Оx
жне Оz
сьтеріне проекцияларын келесі трде жазуа болады:
,
(22)
боландытан
,
(22)
-
рнекті мына трде крсетуге болады:
.
(
23)
Егер Мещерскийді негізгі векторлы тедеуін траекторияны жанамасы мен нормальа проекциялайтын болса, онда
брышыны санау баытын тадаса, онда
0
х
z
Mg
n
0
M
Ф
3
-
сурет
153
.
Сондытан, озалысты негізгі тедеулерін келесі трде жазуа болады:
Осы тедеулерге екі кинематикалы атысты осатын болса, массасы айнымалы
нкте озалысыны дифференциялды тедеулеріні жйесін аламыз:
.
(24)
Мндаы туелсіз айнымалы ретінде уаыт алынады.
Алынан тедеулер жйесін кейбір дербес жадайлар шін туелсіз айнымалысына атысты трле
ндіруге болады. Есептеулерден кейін келесіні аламыз:
.
(25)
(24) жне (25) тедеулер жйесі артиллериялы снарядтарды сырты баллистика курсында кеінен олданылады.
154
Х ТАРАУ
ЦИОЛКОВСКИЙДІҢ ЕКІ ЕСЕБІ
§1. Ц
иолковскийдің бірінші
есебі. циолковский өрнегі
Массасы
айнымалы нкте динамикасыны дербес есептерін шешу
дістерін крсету шін тзу сызыты озалысты кейбір арапайым жадайларын арастырайы. Массасы айнымалы нкте ауасыз кеістікте ешандай сырты кшті серінсіз оза
лып келе жатыр дейік. Ажыратылан блшектерді салыстырмалы жылдамдытары шама жаынан траты болсын, сонымен атар, олар негізгі нктені жылдамдыына арсы баытталсын. Нктені озалыс жылдамдыы мен озалыс заын анытайы. (15)
-
ші тедеуді олданып
, мынаны табамыз:
,
(26)
немесе
.
(27)
болсын, мндаы f(t) –
массаны згеру задылыын анытайтын функция, бастап
ы уаыт мезетінде f(0)=1
. (27)
-
ші тедеуді интегралдааннан кейін:
.
боланда болсын, онда . Сонымен, мынадай рнек
шыады:
.
(28)
(28)
-
ші рнекті алаш рет К.Э.Циолковский зерттеді, сондытан бл рнек Циолковский өрнегі
деп аталады. Массасы айнымалы нкте
ні
озалыс жылдамдыы бастапы масса мен соы (алан) массаны атынасына туелді болатыны (28)
-
ші рнектен аны байал
ады. Ажырау процесі соындаы нкте массасын десек, ал ажыратылан массаны (отын массасын) m
десек, онда жану процесі соында нктені алатын жылдамдыы шін, боланда, (28)
-
ші рнектен мынад
ай атыс аламыз:
,
(29)
155
мндаы –
Циолковский саны.
Циолковский рнегінен келесі негізгі
мынандай
орытындылар шыады:
1. Ажыратылан блшектерді салыстырмалы жылдамдыы нерлым лкен болс
а, массасы айнымалы нкте жылдамдыы блшектерді ажырату процесі соында сорлым лкен болады. Яни, блшектерді салыстырмалы жылдамдыы екі есе лкейсе, нктені жылдамдыы да екі есе артады .
2. Нктені бастапы массасыны блшектерді ажырау процесі
ні соындаы массасына атынасы ссе, онда массасы айнымалы нктені жылдамдыы да седі. Басаша айтанда, Циолковский саны аншалыты лкен болса, активті айматы соындаы нкте жылдамдыы соншалыты лкен болады.
3. Ажырату процесі соындаы массасы айнымалы нктені жылдамдыы массаны згеру заына (озалтышты жмыс режімі
не
) туелсіз, басаша айтанда, масса орыны жануы аырын немесе жылдам туіне туелсіз. Циолковский санына нктені озалыс жылдамдыы сйкес келеді.
1914 жылы Циолковский (
29) логарифмдік заын келесі теорема трінде тжырымдады: Зымыран массасы мен реактивті аспаптағы жарылғыш заттардың массасы геометри
ялық прогрессия бойынша өскенде
зымыранның жылдамдығы арифметикалық прогрессия бойынша артады.
Шынында да, (29)
-
шы рнекті келесі трде жазуа болады:
.
(30)
Мысалы –
2,4,16,32...
мндеріне ие болса, онда атынасы мндерін абылдайды.
Циолковский рнегін
ен мынадай маызды практикалы орытынды шыады: Активті айматы соында массасы айнымалы нктені жылдамдыы лкен болу шін салыстырмалы отын орын лайтуды орнына ажыратылған бөлшектердің салыс
тырмалы жылдамдықтарын арттырған
оңтайлы.
Енді блшектерд
і ажыратуды дербес гипотезаларын арастырайы. Ажыратылатын блшектерді абсолют жылдамды
-
тары нлге те дейік. Егер болса, онда (13)
-
ші тедеуден мынаны аламыз:
,
156
осыдан
.
Сонымен, ажыратыл
атын блшектерді абсолют жылдамдытары нлге те болса, сонымен атар, сырты кш сер етпесе, онда орталы ажыратушы нктені жылдамдыы нкте массасына кері пропорцианал седі.
Егер блшектерді салыстырмалы жылдамдытары мен сырты кш сері нлге те
болса, онда (14)
-
ші тедеуден:
,
яни, ажыратылатын блшектерді салыстырмалы жылдамдытары нлге те боланда сырты кш серінсіз массасы айнымалы нкте біралыпты жне тзу сызыты озалады.
Енді тадап алынан координаттар басына атысты
ажыратушы нктені орын ауыстыру заын (озалыс заын) анытайы. (28)
-
ші тедеуден:
.
Осыны интегралдау арылы мынаны аламыз:
.
(31)
Егер ажыратылатын блшектерді абсолют жылда
мдытары нлге те болса, онда
,
(32)
ал, салыстырмалы жылдамдытары нлге те болса, онда:
.
(33)
(31) мен (32) рнектерінен кріп отыраным
ыздай, озалыс заы массаны згеруі туралы гипотезаны ажет етеді, яни f(t)
функциясыны трін білу
керек.
§2.Массаның өзгеру заңдары.
Массаны згеру заына келетін болса, ол реактивті озалтышты
(двигатель) жмыс режімімен, яни массаны секундт
ы шыынымен аныталады. Сонымен, масса згеруіні екі заын атап тейік, олар:
1)
–
масса згеруіні сызыты заы
;
2)
–
масса згеруіні крсеткіштік заы.
Мндаы –
траты шама.
157
Егер
болса, секундты масса шыыны болады, яни, масса згеруіні сызыты заы ажыратылатын блшектерді траты секундты шыынына сйкес келеді. Ал, реактивті кш былай жазылатындытан
,
Циолковскийді блш
ектерді ажыратылуыны салыстырмалы жылдамдыы траты болатындыы жайлы гипотезасы бойынша реактивті кш
болады. Сонымен, Циолковскийді гипотезасын ескергенде масса өзгеруінің сызықты
қ
заңы тұрақты реактивті күшке сәйкес келетіндігі
н көреміз.
Секундты масса шыынын деп белгілесек, онда
.
(34)
Осыдан кретініміздей
, масса згеруіні сызыты заыны рнегіне кіретін параметрі секундты ма
сса шыыныны нктені бастапы массасына атынасын крсетеді. Біз шамасын массаның меншікті секундтық шығыны
деп атайтын боламыз.
Траты реактивті кшке негізделген озалыстаы нктені деуі
массаны уаыт те згеруіне байланысты
айнымалы шама болады. Ол деуді десек, масса згеруіні сызыты заы бойынша:
(35)
болады.
Нкте массасы крсеткіштік за бойынша згереді десек жне Циолковский гипотезасын ескерсек, онда реактивті кш берілген уаыт мезетіндегі нктені массасына пропорционал болады, яни
.
Ал реактивті кшке негіздлген деу:
158
.
(36)
Сонымен, ажыратылатын бөлшектердің салыстырмал
ы жылдамдықтары тұрақты болған жағдайда масса өзгеруінің көрсеткіштік заңы реактивті күшке негізделген тұрақты үдеуге сәйкес келеді.
Реактивті кш деуіні ауырлы кш деуіне атынасы асқын жүк
деп аталады. Крсеткіштік за шін асын жк:
.
(37)
Масса згеруіні крсеткіштік заы бойынша секундты шыын болса, онда
шамасы секундты шыынны берілген уаыт мезетіндегі нкте массасына атынасын сипаттайды
(31)
-
ші рнектен массасы айнымалы нктені озалыс заын уаыт функциясы трінде табуа болады. Шынында да, егер , онда
,
(38)
егер , онда
.
(
39)
§3. Циолковскийдің екінші есебі
Массасы айнымалы нкте біртекті ауырлы кш рісінде тік жоары арай озалсын жне оны бастапы жылдамдыы болсын. Уаыт функциясы ретінде жылдамды пен араашыты
ты
згеру задарын масса згеруіні
р трлі задары шін анытау керек жне нктені максимал ктерілу биіктігін анытау керек.
Ажыратылан блшектерді салыс
-
тырмалы жылдамдыы шамасы бойынша Н
s
а
O
Mg
М
Ф
z
s
p
4
-
сурет
159
траты жне тігінен тмен арай баытталан болсын. (4
-
сурет)
Массасы М нкте
Oz
сім
ен озалсын. (15)
-
ші тедеуді Oz
сіне проекцияласа, онда
.
(40)
немесе
.
(41)
Циолковскийді гипотезасы бойынша V=const боландытан, (41)
-
ші тедеуді бы
лай жазу ыайлы:
.
(42)
Осыны интегралдаса, онда
(43)
немесе бастапы шартты ескерсек, яни t=0
боланда , онда
.
(44)
озалыс
заын табу шін (44)
-
ші тедеуді таы бір рет интегралдаймыз, сонда боланда мынаны аламыз:
.
(45)
(45)
-
ші рнектен, егер , онда
,
(46)
егер , онда
.
(47)
Енді нктені е максималды ктерілу биіктігін анытайы. Массаны згеру заы болсын. боланда ,
сондытан
,
осыдан
.
(48)
Егер нктені массасы нлге дейін кеми алса, онда немесе шарттары орындаланда ана ктерілу биіктігі шектелген болады. шартыны маынасын ыну шін сырты ауырлы 160
кші рісіндегі массасы айнымалы нктені салыстырмалы тепе
-
тедігін арастырайы. Бл жадайда (49)
осыдан
.
Сонымен, нктені салыстырмалы тепе
-
тедік жадайына сйкес келеді. Егер болса, онда реактивті кш ауырлы кшінен арты; егер болса, онда реактивті кш ауырлы кшінен кем болады. (46)
-
шы рнектен
кретініміздей, боланда нкте біртекті тартылыс рісінде (
) деумен озалады.
(48)
-
ші рнектен t
уаытты (46)
-
шы рнекке ою арылы максималды ктерілу биіктігін табамыз (
нктесіне де
йінгі бкіл траекторияда жану процесі жреді деп есептейміз):
.
(50)
(46) мен (50) рнектері механикадан белгілі біралыпты айнымалы озалыс шін арналан рнектерге сйкес келеді, егер нктені деуі болса.
Мас
са згеруіні сызыты заы шін
.
Егер болана дейінгі барл
ы шу аймаында реактивті кш деуі ауырлы кш деуінен кем болса, онда озалыс уаыты мына тедеуден аны
талады:
.
Ал максималды к
терілу
биіктігін (47)
-
ші тедеу бойынша табамыз.
§4. Циолковский есептеріндегі қозғалыстың
оңтайлы режімдері.
арастырып
отыран массасы айнымалы нктені тзу сызыты озалысыны арапайым жадайлары практикалы маызды жаа бір есептерді тжырымд
ауа ммкіндік береді. Оларды біз озалысты отайлы режімдерін анытауа атысты есептер деп атаймыз. (31), (44) жне (45) рнектерінен кретініміздей, нкте 161
озалысыны
негізгі интегралды сипаттамалары (
) озалыстаы
нкте массасы
ны згеру заын бейнелейтін f(t)
функциясыны тріне туелді Масса згеруіні р трлі задарында жылдамдыты жне s араашытыты згеру задары р трлі болады. Егер f(t)
функциясы параметріне дейінгі длд
ікпен берілсе, онда нктені озалыс сипаттамалары параметріні згеруіне туелді згеріп отырады.
Масса оры (отын оры) берілсін:
,
мндаы –
нктені отынсыз массасы (яни корпус массасы, озалтыш (двигатель) массасы, басаратын аспаптар кіретін зымыранны
з массасы жне пайдалы жк массасы). Масса згеретін озалыс аймаын –
активті
, ал масса згермейтін озалыс аймаын –
пассивті
деп атаймыз. Циолковскийді бірінші есебіні шешімінен активті айматы соындаы озалыс жылдамдыы шін келесі рнек аламыз:
.
(51)
Бл рнектен жылдамды функциясыны тріне туелсіз, ол ажыратылан m
массаны млшеріне туелді екенін креміз.
Бл нтижені келесі ойлардан тсінуге болады. Сырты кштерді сері жо кеістікте V=const
боланда М
Е
массасы алатын озалыс млшері масса орын жмсау заына туелсіз болып келеді. Бкіл масса орын t=0 уаыт мезетінде бірден ажыратса та, белгілі бір
за уаыт аралыында ажыратса та, жылдамды згермейді. М
асса орын
лезде ажыратуды отынды лезде жау деп атаймыз. Масса орын лезде жау классикалы механика есептеріндегі соы былысына сйкес келеді. Л
езде жау кезінде масса
сы айнымалы нкте шін соы кшіні рлін ажыратушы нкте мен ажыратылан блшекті контактілі серлесу мезетіндегі массаны ажырауы нтижесінде пайда болан реакция атарады.
Циолковскийді бірінші есебіндегі активті айматы зындыы масса згеруіні а
былданан заына туелді болып келеді. Б
ар масса орын лезде жаан кезде активті айма зындыы нлге те болады. Масса згеруіні крсеткіштік заы шін (31)
-
ші рнектен мынаны аламыз:
.
Активті айматы соында б
оланда , жне болады, сонда
162
.
(52)
белгілі боландытан, ,
осыдан
.
(53)
(52)
-
ші рнектен t уаытты жойса
, онда
.
(54)
Лезде жану жадайына , яни сйкес келеді, сонда (54)
-
ші рнектен шыады. Егер (54)
-
ші рнектегі деп санаса (ол отынны шексіз аз секунд
ты шыына сйкес), онда болады. Активті айматы соындаы жылдамды параметріне туелсіз жне (51) мен (53) рнектеріні негізінде былай аныталады:
.
(55)
Біртекті ау
ырлы кш рісіндегі тігінен жоары арай озалатын массасы айнымалы нктені е максималды ктерілу биіктігін табайы. Массаны згеру заын
деп алайы. Егер масса оры берілсе, (46)
-
шы жне (53)
-
ші рнектерді пайдаланып, оз
алысты
активті аймаыны зындыын былай анытаймыз:
.
(56)
Ал озалысты пассивті аймаыны зындыы мынаан те:
.
Сонымен, толы ктерілу биіктігін былай жазуа болады:
.
(57)
Егер бастапы жылдамды, отын оры жне блшектерді ажырауыны салыстырмалы жылдамдыы берілген болса, онда ктерілу биіктігі массаны меншікті шыыныны функциясы болып келеді.
Енді параметріні ай мнінде биіктік максималды болатынын анытайы. Ктерілу биіктігіні е лкен мнін аматамасыз ететін массаны згеру режімін отайлы режім деп 163
атаймыз. Отайлы режімні сипаттамаларын анытау шін функциясын зерттейік. H биіктікті бойынша дифференциалдап, туындыны нлге теестірсек, онда
,
осы рнекті
ышамдай отырып, биіктікті экстремалды мніне сйкес келетін параметріні мнін мына тедеумен анытаймыз:
.
(58)
боландытан, (58)
-
ші атыстан шін ктерілу биіктігі максималды болатыны шыады. Бл жадайда ктерілуді максималды б
иіктігі:
,
(59)
мндаы –
Циолковский рнегі бойынша алынан жылдамды.
Сонымен, біртекті ауырлық күш өрісінде кедергі күшін ескермеген жағдайда көтерілу биіктігінің максималды мәніне жету үшін берілген отын қорын
мүмкіндігінше тез жағу керек.
Біра, кейбір жадайларда нкте лкен асын жктерге ие болмауы шін отынны салыстырмалы аз меншікті шыыны ажет болуы ммкін. Ол шін мынадай экстремалды есеп тжырымдайы: параметріні андай мндері
нде активті айма е лкен мнге ие болады.
(56)
-
шы рнектен жолды функциясы ретінде аламыз. шамасын бойынша дифференциалдаса жне алынан туындыны н
лге
теестірсек, онда
,
осыдан
.
(60)
дербес жадайда
.
(61)
шамасынан бойынша екінші туынды ала отырып, (61)
-
ші рнекпен
аныталатын шін активті айма максималды болатындыын креміз. боланда реактивті кшке негізделген деу
ауырлық күші үдеуіне
н екі есе көп болғанда ғана
отайлы 164
режім орындалады. Активті айма соындаы жылдамды мына рнекпен
аныталады:
.
Осыан (61)
-
ші рнекпен есептелген мнін ойса, онда
(62)
аламыз.
Енді максималды активті айматы амтамасыз ететін режім шін толы ктерілу биіктігін есептеуге болады. Активті айматы зындыы
мынаан те:
,
Активті айм
аты соында нктені алатын жылдамдыы:
боландытан, ктерілу биіктігі былай аныталады:
.
(63)
дербес жадай шін
.
(64)
(64) пен (59) рнектерін салыстыра отырып, отын орын лезде жаандаы ктерілу биіктігі отын орын баяу жаандаы, яни максималды активті айматы амтамасыз еткендегі ктерілу биіктігінен екі есе арты болатынын креміз. Енді массаны меншік
ті шыындарын згерткен кезде биіктіктен аншалаты тылатынымызды анытайы, яни шамасын есептейік. болсын. берілген деп, биіктікті функциясы р
етінде табайы.
Келесі рнектерді жазайы:
.
Ал боландытан
,
десек, мндаы n реактивті кшке негізделген асын жк, онда ктерілу биіктігі шін келесі рнек аламыз:
165
.
(65)
n=1
боланда салыстырмалы тепе
-
тедік орындалады, n=2 боланда реактивті кш деуі 2g
т.с.с. болады. мні берілген отын орын лезде жауа сйкес келеді. Сонымен,
немесе
.
(66)
Бл рнектен n=4
боланда биіктіктен тылу 25%
, ал n=50
боланда 2%
болатынын креміз. Таы бір ескеретін жадай, n
скен сайын (
) берілген масса орыны
жану уаыты азайып отырады. (59)
-
шы рнектен келесіні аламыз:
.
арастыруа
салыстырмалы тепе
-
тедіктегі Т
жану уаытын енгізсек, онда
.
Бл атыс жану уаытыны згеру заын асын жкті функциясы ретінде рнектейд
і.
Сйкес нтижелерді масса згерісіні сызыты заы шін де алуа болады. Берілген масса орымен активті айматы соында нктені максимал жылдамдыын амтамасыз ететін режімге тоталатын болса, ол режім масса орын лезде жау арылы ана іске асырылад
ы. Шынында да, лезде жау кезінде реактивті кш соы кшіне сйкес келеді жне осы кшті сері кезінде шекті кштерді (мысалы ауырлы кші) серін ескермеуге болады. Б
асаша айтанда, шексіз аз уаыт аралыында ауырлы кшіні серінен жылдамдыты азаю
ы да шексіз аз болады.
166
§5. Кедергісі квадраттық заңмен өзгеретін ортадағы массасы айнымалы нүктенің қозғалысы.
Массасы айнымалы нкте тзу сызыты озалсын, ортаны кедергі кшін жылдамды квадратына пропорционал, ал массаны згеру заы
н
сызыты деп с
анаймыз. Осылай ойылан есеп массасы айнымалы нктені абсолют тегіс клдене жазытытаы озалысын сипаттайды. Мнда нкте салмаы
жазытыты нормаль реакциясымен теестіріледі. арастырылан жадай шін алынатын орытынды реактивті шаты горизонтал
ь баытта шуын крсетеді.
Нкте озалатын тзу сі болсын. (5
-
сурет)
Бұл жағдайда қозғалыс теңдеуі мынадай түрде болады: .
(67)
Жасалан болжамдара сйкес
, , .
деп алса, (67)
-
ші рнектен келесі шыады:
.
(68)
Айнымалыларды ажыратып, интегралдааннан кейін ,
(69)
мндаы –
интегралдау
тратысы. t=0
боланда деп санаймыз, онда (69)
-
рнекті жылдамдыа атысты есептей отыра келесіні аламыз:
,
(70)
мндаы . Практикалы ызыты жадайлар шін n>10
, ал s
M
O
Q
1
s
5
-
сурет
167
–
дрыс блшек. Сондытан уаытты кейбір мнінен бастап, боланда, мндаы –
аз шама, нкте жы
лдамдыы -
ге дейінгі длдікпен келесі траты шамаа те болады :
,
(71)
мндаы –
уаыт мезетіндегі нктені бастапы салмаы, ауырлы кшіні деуі.
кедергі кшін, оны тжірибелік аэродинамикадаы арапайым рнегімен салыстыра отырып, мынадай орытындыа
келеміз:
.
(72)
(72)
-
ші рнекте
гі –
кедергіні аэродинамикалы коэффи
-
циенті, –
алыпты жадайдаы техникалы бірліктер жйесінде шамаа те болатын ауаны тыыздыы жне S
–
сипаттамалы аудан.
(72
)
-
ші рнекті олдана отырып, шекті жылдамдыты келесі трде жазуа болады:
.
(73)
Мысалы, егер (
параметріні мнін біз кел
есі ойлара негізделіп алды: жану 1200с созылады, осы уаытта 1800кГ жанармай жанып кетеді) болса, онда
немесе, басаша айтанда, дене 1400км/са шекті жылдамдыа ие болады.
Массасы айнымалы нкте жылдамдыы мніне жетуге ажет уаытты есептейік. жылдамдыты анытау длдігін 4% деп алайы, онда (60)
-
шы рнектен келесі шыады: .
168
Бл рнекті шамасына атысты шешетін
болса, онда .
Біз арастыран дербес мысал шін ,
сондытан
,
осыдан
.
Сонымен, егер жылдамдыты лшейтін ралды длдігі 4% болса, онда 644с уаыттан кейін ол
траты озалыс жылдамдыын крсетеді.
(60)
-
шы рнекке негізделе отырып, араашытыты згеру заын анытауа болады. Шынында да,
,
осыдан
(74)
немесе
.
Кез
-
келген n
шін
интегралы белгілі функциялар арылы есептелмейтіндігі белгілі. Біз бл интегралды, интеграл астындаы функцияны арапайым функциялармен алмастырып, жуытап шешеміз. Сонда .
Сонымен, і
зделінді интегралды жуы мні мынаан те:
.
арастырып
отыран есеп шін нктені тетін жолын келесі трде жазамыз.
169
.
(75)
Масса оры берілген болсын, онда активті айматы со
ында f=f
Е
= const; сонымен атар ,
Сондытан s
жолды параметріні функциясы ретінде келесі трде жазуа болады
:
.
(76)
Масса кемитін ж
адайда f
Е
<1 болатындытан,
шамасы меншікті секундты шыын пен 0 аралыында згергенде 0 мен аралыында згере алады. шамасы артанда м
онотонды азаяды.
функциясыны да артанда монотонды азаятындыын крсетуге болады. Шынында да, s
жолдан бойынша туынды алса, онда
.
0
-
ден -
ке дейін аралытаы -
ны кез
-
келген мні шін туындысы теріс екенін длелдеу шін квадрат жашаны ішінде тран рнекті о екенін длелдесек жеткілікті. Есепті шарты бойынша -
дрыс
блшек. Оны деп алайы, мндаы y>
1; n
крсеткіші 0
-
ден -
ке дейін згере алады, егер меншікті секундты шыын -
тен 0
-
ге дейін згерсе. Жаа белгілеулерді енгізе отырып, келесіні аламыз:
.
немесе (77)
боландытан,
170
жне .
болады.
(77)
-
ші тесіздік рашан орындалады; сондытан (тедік жадайы болана сйкес келеді), осыдан ; осы арылы –
монотонды кемитін функция екені длелденеді. боландаы интервал шекарасында s зіні
е
лкен мніне жетеді.
(76)
-
шы рнектен боланда болатынын креміз.
Сонымен, егер массасы айнымалы нүктенің түзу сызықты қозғалысы екі күштің, яғни реактивті және ортаның кедергі күштерінің әсерінен болса, онд
а ең оңтайлы меншікті шығын шексіз аз болу керек.
Осы парадоксты нтижені массасы траты нкте динамикасыны арапайым мысалы арылы тсіндіруге болады. Келесі есепті арастырайы: «Кедергісі жылдамдыты квадратына пропорционал болатын ортада абсолют те
гіс жазыты бетінде нкте тзу сызыты озалсын жне бастапы жылдамдыы болсын. Нкте толы тотаана дейінгі жолды табу керек». Массасы М
0
болатын нктені озалыс тедеуін Ньютонны екінші заына негізделіп келесі трде жазу
а
болады:
немесе
,
(78)
мндаы .
(78)
-
ші рнекті бір рет интегралдаса жне t=0 боланда болатынын ескерсек, онда
.
Екінші рет интегралдаса, онда араашытыты уаыт функциясы ретінде анытаймыз:
.
171
t=
0 боланда s=
0 шартынан траты шаманы анытаймыз; нтижесінде
келесі шыады:
.
мен s
шамаларына арналан рнектерден жадайда болатынын оай круге болады. Егер ортаны кедергі кштері жылдамды азайанда жеткілікті тез кем
ісе, онда кинетикалы энергияны бастапы оры нкте шексіз лкен жол жру шін жеткілікті.
(76)
-
шы рнекпен аныталатын массасы айнымалы нкте озалысыны заымен сйкестік жргізе отырып массасы айнымалы нкте шін бастапы кинетикалы энегияны рлін жанармай орыны
энергиясы атарады деп айта аламыз, себебі шекті шама жне ажыратылатын блшектерді салыстырмалы жылдамдыы 0
-
ге те емес.
Тжірибелік кзарас бойынша алынан нтижед
ен келесі орытынды жасауа болады: сыртқы күштердің жалпы балансында ортаның кедергі күштерінің мәндері неғұрлым үлкен болса, түзу сызықты қозғалыстың ең үлкен жолын қамтамасыз ететін жанармайдың оңтайлы шығыны соғұрлым кем болады.
172
ҚОЛДАНЫЛҒАН
ӘДЕБИЕТТЕР
1.
Айзерман М.А. Классическая механика. –
Москва: Просвеще
-
ние, 1974 –
367. 2.
Арнольд В.И. Математические методы классической механи
-
ки.
–
Москва: Наука, 1980 –
552.
3.
Арцимович Л.А., Лукьянов С.Ю. Движение заряженных ч
астиц в электрических магнитных полях. –
Москва: Наука, 1972 –
486.
4.
Ветчинкин В.П. Вертикальное движение ракет. Избранные труды, т.І.
5.
Голубева О.В. Теоретическая механика // Учебное пособие для вузов. –
Москва: Высшая школа, 1976 –
350.
6.
Гольдстейн
Г. Классическая механика. –
Москва: Наука, 1980 –
552.
7.
Гурин А.И. Основы механики тел переменной массы и ракетодинамики, ч.І.
8.
Егоров В.А. О решении одной вырожденной вариационной задачи и оптимальном объеме космической ракеты, т. ХХІІ.
9.
Жирнов Н.И
. Классическая механика. –
Москва: Просвещение, 1982 –
302.
10.
Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Механика. –
Москва: Наука, 1973
–
455.
11.
Некрасов А.И. Курс теоретической механики, т.І.
12.
Охоцимский Д.Е. К теории движения ракет, т.Х.
13.
Терлецкий Я.П. Теорети
ческая механика // Учебное пособие для университетов. –
Москва: Издат. Университета дружба народов, 1987.
–
158.
173
МАЗМҰНЫ
І т
арау
Кіріспе ................................
................................
...............................
3
§1. Классикалық механика пәні және бөліктері ............
3
§
2. Классикалы
қ
механикада қарастырылатын денелер моделі
................................
................................
.............
4
§3.
К
е
істік пен уа
ыт туралы ым
................................
................................
.............
4
§4.
С
ана
ж
йесі
................................
................................
................................
.............
5
ІІ т
арау
КИНЕМАТИКА
Б
ө
ЛШЕКТЕРДІ
Ң
КИНЕМАТИКАЛЫ
Қ
СИПАТТАМАСЫН АНЫ
Қ
ТАУ Ә
ДІСТЕРІ
§1. Векторлы
қ
ә
діс
................................
................................
......
7
§
2. Декардты
қ
координат ә
дісі
................................
..............
9
§3.
Цилиндрлік координат дісі
................................
................................
..................
10
§4.
Сфералы
координат дісі
................................
................................
.....................
12
§
5. Таби
и дісі
................................
................................
................................
.............
13
§
6. атты денелерді
ілгерілемелі оз
алысы
................................
..........................
.17
§
7. атты денелерді
айналмалы оз
алысы. Лездік б
рышты
жылдамды
................................
................................
..............
19
§
8. Материалды
н
ктені
бір сана
ж
йесінен екінші сана
ж
йесіне ткендегі жылдамды
пен де
у векторларыны
згерістері
................................
................................
....
20
ІІІ т
арау
НЬЮТОН МЕХАНИКАСЫНЫ
Ң
НЕГІЗДЕРІ
§
1. К
ш ж
не масса туралы т
сінік
.........................................................25
§
2. Ньютон за
дары
.....................................................................
.............27
§
3. Инерциялды
сана
ж
йесі. Галилейді
салыстырмалылы
принципі
........................................28
§
4. Механикалы
ж
йе оз
алысыны
тедеуі
......................................30
§
5. Динамиканы
негізгі есептері ж
не оны
ал
ы шарттары
174
Классикалы
механиканы
себептік принципі ................................
...................
31
IV т
арау
БӨЛШЕКТЕР ДИНАМИКАСЫ. ДИНАМИКАНЫ
Ң
НЕГІЗГІ ТЕОРЕМАЛАРЫ
§
1. Нктені
оз
алыс м
лшері (импульс), оз
алыс м
лшеріні
м
о
менті (импульс моменті) ж
не кинетикалы
энергиясы
................................
36
§
2. Н
ктені
оз
алыс м
лшеріні
згерісі туралы теорема
................................
...
38
§
3. Н
ктені
оз
алыс м
лшері
моментіні
згерісі туралы теорема
................................
................................
.........................
39
§
4. Н
ктені
кинетикалы
энергиясыны
згерісі туралы теорема
................................
................................
.........................
40
§
5. Н
ктені
оз
алыс м
лшеріні
, оз
алыс м
лшері моментіні
ж
не кинетикал
ы
энергиясыны
са
талу за
дары ................................
............
41
V
т
арау
Б
ө
ЛШЕКТЕР Ж‡ЙЕСІНІ
Ң
ДИНАМИКАСЫ
§1. оз
алысты
дифференциалды
те
деуіні
бірінші ж
не екінші интегралы туралы т
сінік
................................
................................
.
42
§2
. К
ш ж
мысы. К
ш рісіні
потенциалды
лы
ы ж
не потенциалды
энергия
................................
................................
..................
43
§3. Механикалы
энергияны
са
талу за
ы ж
не оны
уа
ытты
біртектілігімен байланысы
................................
.........................
48
§4. Консервативті емес ж
йені
кинетикалы
энергиясыны
згерісі туралы теорема
................................
................................
50
§5. Т
йы
механикалы
ж
йе и
мпульсыны
са
талу за
ы. Оны
кеістікті
біртектілігімен ж
не Ньютонны
III
-
ші за
ына байланыстылы
ы
................................
........................
52
§6. Т
йы
емес ж
йе импульсыны
згерісі туралы теорема
................................
..
54
§7. Сырт
ы к
штер рісіні
симметриялылы
ы ж
не т
йы
емес ж
йе импульс
ыны
кейбір раушыларыны
са
талуы туралы теорема
................................
................................
.......................
55
§8. Бір сана
ж
йсінен екінші сана
ж
йесіне ткен кездегі
механикалы
ж
йені
импульс векторыны
зге
рісі
.
Инерция центрі
................................
................................
................................
.......
56
§9. Механикалы
ж
йені
инерция центріні
оз
ал
ысы туралы теорема. Кенига теоремасы
................................
...................
58
§10. Т
йы
механикалы
ж
йе шін импульс моментіні
са
талу за
ы, оны
кеістікті
изотропты
асиеті мен ж
не Ньютонны
III
-
ші за
ымен байланысы
................................
.............................
59
§11. Т
йы
емес механикалы
ж
йені
импульс мом
ентіні
згерісі туралы теорема
................................
................................
.......................
62
§12. Сырт
ы к
штер рісіні
симметриялылы
ы ж
не т
йы
емес ж
йені
импульс моменті векторыны
175
кейбір раушыларыны
са
талуы туралы теорема
................................
.........
63
VI
т
арау
АНАЛИТИКАЛЫ
Қ
МЕХАНИКА НЕГІЗДЕРІ
§1. Байланыстар ж
не оларды
классификациясы. Ж
йені
еркіндік д
режесі. Белсенді к
штер ж
не байланыстар реакциясыны
к
ші
................................
................................
.........
66
§2. Байланыс
ан механикалы
ж
йелер
оз
алысыны
жалпы те
деуі
................................
................................
...............
69
§3. Виртуальды орын ауыстыру ж
не идеалды
ба
йланыстар аны
тамалары (идеалды
байланыстар постулаты)
................................
............
70
§4. Виртуальды
орын ауыстыру принципі
................................
...............................
73
§5. Еркін емес механикалы
ж
йені
тепе
-
те
дік шарттары. Жалпылан
ан координаттар ж
не жалпылан
ан к
штер
................................
...
7
5
§6. Лагранж тедеуіні
екінші
т
рі (Даламбер принципі бойынша орытып шы
ару)
................................
...............
79
§7. Лагранж функциясы ж
не сер функциясы
................................
.........................
82
§8. Лагранж функциясыны
энергияны
са
талу за
ымен байланысы
................................
................................
..................
83
§9. Механикалы
ж
йені
жалпылан
ан импульсі ж
не циклдік координаттар
ы
................................
................................
85
§10. Функционал туралы ым ж
не оны
бірінші вариациясы
.............................
86
§11. Экстремальды
сер принципі
(Остроградский –
Гамильтон принципі)
................................
............................
90
§
12. Лагранж тедеулерін экстремалды
сер
принципі бойынша орытып шы
ару
................................
..........
93
§13. Вариациялы
и
нтегралды
принцип
................................
..............
9
4
§14. Гамильтон тедеулері ж
не Гамильтон функциясы. Гамильтон тедеулерін экстремальды
сер принципінен орытып шы
ару
................................
................................
..............
96
§15. Гамильтон тедеулерін интегралдау дістері.
Пуассон жа
шасы
................................
................................
...........
102
VI
І
т
арау
О
РТАЛЫҚ
-
СИММЕТРИЯ ӨРІСІНДЕГІ ҚОЗҒАЛЫС
§
1. Бір лшемді (жинаы) эффективті потенциал
................................
...................
105
§
2
.
Орталы
-
симметрия рісіндегі озалысты сапалы зерттеу
............................
109
§
3
.
Кеплер есебі
................................
................................
................................
..........
115
§
4
.
Рунге
-
Ленц векторы жне Кулонды рісті «жасырын» симметриясы
................................
................................
.....................
120
176
V
II
І
т
арау
БӨЛШЕКТЕРДІҢ ШАШЫРАУЫНЫҢ КЛАССИКАЛЫҚ ТЕОРИЯСЫНЫҢ НЕГІЗДЕРІ
§
1
.
Блшекті шашырауы туралы есепті ойылымы
................................
............
124
§
2
.
-
блшектерді шашырауыны тиімді имасы
................................
..............
125
§3
.
Ұшып келген және бастапқыда тыныштықта болған бөлше
ктердің шашырауының эффективті қимасы
................
128
§
4
.
Шашырау теориясыны кері есебі
................................
................................
......
130
§
5
.
Резерфорд формуласы
................................
................................
..........................
133
§
6
.
Кштік центрмен блшектерді басып алу имасы
................................
............
136
ІХ т
арау
МАССАСЫ АЙНЫМАЛЫ НҮКТЕ ҚОЗҒАЛЫСЫНЫҢ
НЕГІЗГІ ТЕҢДЕУЛЕРІ
Кіріспе
................................
................................
................................
.....
1
40
§1. озал
ыс млшеріні саталу заы
................................
.....
142
§2. Кштерді туелсіз серіні заы
................................
................................
.......
144
§3. Мещерский тедеуі
................................
................................
..............................
146
§4. Қозғалыстың скаляр теңдеулері
................................
................................
..........
148
Х т
арау
ЦИОЛКОВСКИЙДІҢ ЕКІ ЕСЕБІ
§1. Циолковскийдің бірінші есебі. циолковский өрнегі
................................
..........
153
§2.
Массаны згеру за
дары
................................
................................
....................
155
§3. Циолковскийдің екінші есебі
................................
................................
...............
157
§4. Циолковский есептеріндегі қозғалыстың
оңтайлы режімдері
................................
................................
................................
15
9
§5. Кедергісі квадраттық заңмен өзгеретін ортадағы массасы айнымалы нүктенің қозғалысы
................................
.............................
164
Қолданылған
әдебиеттер
................................
................................
.........................
171
177
Қайырбаев
Қ.Қ.
КЛАССИКАЛЫҚ МЕХАНИКА НЕГІЗДЕРІ
Оқулық
Басу
а ол ойылды 08.02.2006.
Гарнитура Times. Форматы 29,7
42
. Офсеттiк а
азы.
К
лемi 6,2 шартты б.т. Таралымы 300 дана.
Тапсырыс № 0063.
Павлодар ме
млекеттiк педагогикалы
институтыны
редакциялы
-
баспа б
лiмi
140000, Павлодар ., Мир к
шесi, 60
E
-
mail: rio@ppi.kz
Автор
nurzhak_18
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6 377
Размер файла
3 437 Кб
Теги
механика, кайырбаев, классикалык
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа