close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Векторная алгебра

код для вставкиСкачать
9 ГЛАВА 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. §1. Понятие вектора и линейные операции над векторами
. Векторные величины ( векторы ) — такие величины, которые, кроме своего численного значения, характеризуются еще направленностью. Геометрическим вектором называется направленный отрезок. Вектор называется нулевым, если его начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными. Утверждение.
Каковы бы ни были вектор a
и точка P, существует, и при том единственый, вектор PQ
с началом в точке P, равный
вектору
a
. Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, существует лишь одна прямая, проходящая через точку P параллельно той прямой, на которой лежит вектор a
. На указанной прямой существует единственная точка Q
такая, что отрезок PQ
имеет длину, равную длине вектора a
и направлен в ту же сторону, что и вектор a
. Утверждение доказано. Иными словами, точка приложения данного вектора a
может быть выбрана произвольно. В соответствии с этим векторы, изучаемые в геометрии, называются свободными ( они определены с точностью до точки приложения ). Каким же преобразованиям можно подвергать векторы? Линейными операциями над векторами называют операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественные числа. Остановимся на них подробнее. Суммой a b двух векторов a
и b называется вектор, идущий из начала вектора a
в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a
. 10 Правило сложения двух векторов, содержащееся в этом определении, называется “правилом треугольника” ( рис. 2.1 ). Правило сложения векторов обладает теми же свойствами, что и правило сложения вещественных чисел: 1. Переместительное свойство. a b b a
Д о к а з а т е л ь с т в о. Приложим два произвольных вектора a
и b к общему началу O
. Обозначим буквами A
и B
концы векторов a
и b соответственно и рассмотрим параллелограмм OBCA
( рис.2.2 ) Из определения равенства векторов следует, что BC OA AC OB a b, . Из определения суммы векторов и из треугольника OAC
следует, что диагональ OC
указанного параллелограмма представляет собой сумму векторов a b
, а из треугольника OBC
следует, что таже самая диагональ OC
представляет собой сумму векторов b a. Свойство доказано. При доказательстве обосновано еще одно правило сложения векторов, называемое “правилом параллелограмма”: если векторы a
и b
приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма a b
( или b a
) этих векторов представляет собой диагональ указанного параллелограмма, идущую из общего начала векторов a
и b
. 2. Сочетательное свойство ( ) ( )a b c a b c
. Д о к а з а т е л ь с т в о. Приложим вектор a
к произвольной точке O
, вектор b
к концу вектора a
и вектор c
к концу вектора b
( рис. 2.3 ). Обозначим буквами A
, B
и C
концы векторов a
, b
и c
соответственно. Тогда a b c OA AB BC OB BC OC
, a b c OA AB BC OA AC OC
. Свойство доказано. Рис. 2.1. Рис. 2.2. Рис. 2.3. 11 3. Существует нулевой вектор 0
такой, что a 0 a
для любого вектора a
. Д о к а з а т е л ь с т в о. Непосредственно вытекает из определения суммы двух векторов. 4. Для любого вектора a
существует противоположный ему вектор a такой, что a a 0
. Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим вектор a, как вектор коллинеарный вектору a
, имеющий одинаковую с a
длину и противоположное направление. Тогда, взятая согласно определению суммы двух векторов, сумма вектора a
с таким вектором a дает нулевой вектор. Свойство доказано. Свойства 1 — 4 позволяют распространить правило сложения на сумму любого конечного числа векторов. Сумма любого числа векторов может быть построена с помощью следующего правила: если приложить вектор a
2
к концу вектора a
1
, вектор a
3
—
к концу вектора a
2
, ..., вектор a
n
—
к концу вектора a
n
1
, то сумма a a a
1 2 n
будет представлять собой вектор, идущий из начала вектора a
1
в конец вектора a
n
.
Сформулированное правило сложения называется “правилом замыкания ломаной до многоугольника” ( на рис. 2.4 ломаная OA A A A
n1 2 3
замыкается до многоугольника путем добавления звена OA
n
). Свойства 1 — 4 позволяют решить вопрос об определении разности выух векторов. Разностью a b
в векторов a
и b
называется такой вектор c
, который в сумме с вектором в дает вектор a
. Утверждение. Существует, и при том единственный, вектор c
, представляющий собой разность a b
, при чем этот вектор равен c a b , где b
— вектор, противоположный b
. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рис. 2.4. 12 С у щ е с т в о в а н и е. Действительно, если c a b
, то из свойств 1 – 4 следует, что c b a b b a b b a 0 a ( ) ( )
, т.е. вектор c
представляет собой разность a b
. Е д и н с т в е н н о с т ь. Пусть кроме вектора c a b
, существует еще один вектор d
, такой что d b a . Следовательно, с одной стороны ( )d b b a b c
, а с другой ( ) ( )d b b d b b d 0 d , т.е. c d
. Утверждение доказано. Из определения разности двух векторов и из правила треугольника сложения векторов вытекает правило построения разности a b
: разность a b
приведенных к общему началу векторов a
и b
представляет собой вектор, идущий из конца вычитаемого вектора b
в конец уменьшаемого вектора a
( рис. 2.5 )
. Произведением a
( или a
† вектора a
на вещественное число называется вектор b
, коллинеарный вектору a
, имеющий длину, равную a
, и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора a
в случае > 0 и противоположное направлению вектора a
в случае < 0. Геометрический смысл этой операции состоит в том, что при умножении вектора a
на число , вектор a
“растягивается” ( при 1
“сжимается” ) в “раз”. Замечание. В случае, когда 0
или a
0
, произведение a
представляет собой нулевой вектор, направление которого неопределенно. Операция умножения вектора на число обладает следующими тремя свойствами: 5. Распределительное свойство числового сомножителя относительно суммы векторов ⠩a b a b
; Рис. 2.5. 13 Д о к а з а т е л ь с т в о. Приложим векторы a
и b
к общему началу О
и построим на них параллелограмм, диагональ которого будет представлять собой сумму a b
( рис. 2.6 ). При “растяжении” сторон параллелограмма в раз в силу свойств подобия диагональ также “растягивается” в раз ( > 1 ), но это и означает, что a a a
( )
. Свойство доказано. 6. Распределительное свойство векторного сомножителя относительно суммы чисел ( )
a a a
; 7. Сочетательное свойство числовых сомножителей ⠩ ( )a a
. Теорема 2.1. Если вектор b
коллинеарен ненулевому вектору a
, то существует вещественное число такое, что b a
. Д о к а з а т е л ь с т в о. Приложим векторы a
и b к общему началу О
. Тогда эти векторы расположатся на одной прямой, на которой мы выберем начало отсчета, масштабный отрезок и положительное направление. Возможны два случая: 1. векторы a
и b направлены в одну сторону ( рис. 2.7 ) ; 2. указанные векторы направлены в противоположные стороны. Обозначим буквами A
и B
концы векторов a
и b соответственно. Поскольку a
ненулевой, то точка A
отлична от O
. Тогда, исключив случай совпадения точки A
и точки B
( = 1 ) можно утверждать, что точка O
делит направленный отрезок B
A
в некотором отношении ( обозначим его через ), т.е. B
O
OA
(2.1) или OB OA
. (2.2) В случае, когда векторы a
и b
направлены в одну сторону, точка O
лежит вне отрезка B
A
и поэтому отношение (2.1) отрицательно, а > 1. Если же a
и b
Рис. 2.6. Рис. 2.7 14 направлены в противоположные стороны, то точка O
лежит внутри отрезка B
A
и потому отношение (2.1) положительно, а < 1. Докажем, что в обоих случаях b a
. Достаточно доказать что, два вектора b и a
1. коллинеарны, 2. имеют одинаковую длину, 3. имеют одинаковое направление. Коллинеарность векторов b и a вытекает из коллинеарности векторов a
и b и определения произведения вектора на число. Равенство длин векторов b и a непосредственно следует из определения произведения вектора на число и соотношения (2.2). Наконец, тот факт, что b и a имеют одинаковое направление, следует из определения произведения вектора на число и из того, что > 0, когда a
и b одинаково направлены, и < 0, когда a
и b противоположно направлены. Теорема доказана. Линейной комбинацией n
векторов a a a
1 2
,,,
n
называется сумма произведений этих векторов на произвольные вещественные числа, т.е. выражение вида ㄱ 2 2
a a a
n n
, (2.3) где ㄲ
,
n
— любые вещественные числа. Векторы a a a
1 2
,,,
n
называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа ㄲ
,
n
, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов a a a
1 2
,,,
n
с указанными числами обращается в нуль, т.е. имеет место равенство ㄱ 2 2
0a a a
n n
. Векторы a a a
1 2
,,,
n
, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Другими словами, векторы a a a
1 2
,,,
n
называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации (2.3) возможно лишь в случае, когда все числа ㄲ
,
n
равны нулю. Теорема 2.2. Если хотя бы один из векторов a a a
1 2
,,,
n
является нулевым, то эти векторы являются линейно зависимыми. Д о к а з а т е л ь с т в о. 15 Пусть для определенности a
1
0
⠠всегда можно поменять порядок следования, чтобы нулевым оказался первый вектор ), а остальные векторы a a a
2 3
,,,
n
произвольны. Тогда обращается в нуль линейная комбинация (2.3) указанных векторов с числами ㄲ 3
,,, n
, одно из которых отлично от нуля. Теорема доказана. Теорема 2.3. Если среди n векторов какие-либо m векторов ( m < n ) линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, ради определенности, векторы a a a
1 2
,,,
m
линейно зависимы, а векторы a a a
m m n 1 2
,,,
произволен ( поменяв порядок следования векторов, всегда можно добиться того, чтобы линейно зависимыми оказались первые m
векторов ). По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа ㄲ
,
m
, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что имеет место равенство ㄱ 2 2
0a a a
m m
. Это равенство сохранится, если добавить в его левую часть равное нулю слагаемое 0 0 0
1 2
a a a
m m n
,,,
, т.е. справедливо равенство ㄱ 2 2 1 2
〰 0 0a a a a a a
m m m m n
. Так как среди чисел ㄲ
〰,,,, m
хотя бы одно отлично от нуля, то последнее равенство доказывает линейную зависимость векторов a a a
1 2
,,,
n
. Теорема доказана. Теорема 2.4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность. Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть два вектора a
и b
линейно зависимы. Докажем. коллинеарность этих векторов. По определению линейной зависимости существуют такие вещественные числа и , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что справедливо равенство a b
0
. (2.4) Пусть для определенности 0
тогда из равенства (2.4) получим b a . Обозначая , получим b a
. По определению произведения вектора на число вектора a
и b
коллинеарны. 16 Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть вектора a
и b
коллинеарны. Докажем, что эти векторы линейно зависимы. Если хотя бы один из векторов a
и b
нулевой, то эти векторы линейно зависимы в силу теоремы 2.2. Пусть векторы a
и b
ненулевые, тогда в силу теоремы 2.1 следует, что существует такое вещественное число , что b a
, или a b
( )1 0
. Так как из двух чисел , -1 одно заведомо отлично от нуля, то полученное равенство доказывает линейную зависимость векторов a
и b. Теорема доказана. Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях. Теорема 2.5. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность. Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть три вектора a
, bи c
линейно зависимы. Докажем компланарность этих векторов. По определению линейной зависимости существуют такие вещественные числа , и хотя бы одно из которых отлично от нуля, что справедливо равенство a b c
0
. (2.5) Пусть для определенности 0
тогда из равенства (2.5) получим c a b . Обозначая , , получим c a b
. (2.6) Если все три вектора приложены к общему началу О
, то из равенства (2.6) следует ( по правилу параллелограмма ), что вектор c
равен диагонали параллелограмма, построенного на двух векторах: на векторе a
, “растянутом” в раз и на b
, “растянутом” в раз. Значит векторы a
, b
и c
лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. Эти рассуждения не относятся к случаю, когда a
и b коллинеарны. В жтом случае векторы a
, b и c
лежат на двух, проходящих через точку О
прямых, т.е. опять же компланарны. 17 Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть векторы a
, b
и c
компланарны. Докажем, что эти векторы линейно зависимы. Пусть в тройке векторов a
, b
и c
ни одна пара векторов не коллинеарна, в противном случае эта пара линейно зависима по теореме 2.4, а значит по теореме 2.3 и все три вектора линейно зависимы. Перенесем три компланарных вектора a
, b
и c
на одну плоскость и приведем их к общему началу О
( см. рис. 2.8 ). Проведем через конец С
вектора c
прямые, параллельные векторам a
и b. Обозначим буквой А точку пересечения прямой, параллельной вектору b, с прямой, на которой лежит вектор a
, а буквой В
точку пересечения прямой, параллельной вектору a
с прямой, на которой лежит вектор b ( существование этих точек пересечения следует из того, что a
и b не коллинеарны ). В силу правила параллелограмма сложения векторов вектор c
равен c
OA OB
. (2.7) Так как OA
коллинеарен ненулевому вектору a
, то по теореме 2.1 существует вещественное число , такое что OA
a
. (2.8) Аналогично, OB
b
. (2.9) Подставляя (2.8) и (2.9) в (2.7), получим c a b
. или a b c
( )1 0
. Так как из трех чисел , , -1 одно заведомо отлично нуля, то последнее равенство доказывает линейную зависимость векторов a
, b и c
. Следствие. Каковы бы ни были неколлинеарные векторы a
и b
для любого вектора c
, лежащего в одной плоскости с векторами a
и b найдутся такие вещественные числа и , что c a b
. Теорема 2.6.
Любые четыре вектора линейно зависимы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рис. 2.8. 18 Пусть среди четырех векторов a
, b
, c
и d
никакая тройка векторов не компланарна, в противном случае в силу теорем 2.5 и 2.3 все четыре вектора линейно зависимы. Приведем все четыре вектора a
, b
, c
и d
к общему началу О
и проведем через конец D
вектора d
плоскости, параллельные плоскостям, определяемым парами векторов bc ac, и ab ( т.к. векторы некомпланарны, значит они определяют некоторую плоскость ). Точки пересечения указанных плоскостей с прямыми, на которых лежат векторы a
, b
и c
, обозначим соответственно А, В и С
. Из параллелограмма OCDE
( рис. 2.9. ) по правилу параллелограмма сложения векторов вытекает, что d
OC OE
, а из параллелограмма OBEA
, что OE OA OB
. Т.е. d
OA OB O
C
. (2.10) Так как вектор OA
коллинеарен ненулевому вектору a
, следовательно, по теореме 2.1 найдется вещественное число , такое что OA
a
(2.11) Аналогично OB OC
b c, = . (2.12) Подставим (2.11) и (2.12) в (2.10), получим d a b c
или a b c d
( )1 0
. Так как из четырех чисел , , , -1 одно заведомо отлично от нуля, то последнее равенство доказывает линейную зависимость векторов a
, b, c
и d. Следствие. Каковы бы ни были некомпланарные векторы a
, b
и c
для любого вектора d найдутся такие вещественные числа , , , что d a b c
.
(2.13)
§2 Понятие базиса. Аффинные координаты. Рис. 2.9. 19 1. Три линейно независимых вектора a
, b
и c
образуют в пространстве базис, если любой вектор d
может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов a
, b
и c
, т.е. если для любого вектора d
найдутся такие вещественные
, и , что справедливо равенство d a b c
. 2. Два лежащих в плоскости линейно независимых вектора a
и b
образуют на этой плоскости базис, если любой лежащий в плоскости вектор c
может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов a
и b
, т.е. если для любого вектора c
найдутся такие вещественные числа и , что справедливо равенство c a b
. Справедливы следующие фундаментальные утверждения: 1. любая тройка некомпланарных векторов a
, b
и c
образует базис в пространстве; 2. любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов a
и b
образует базис в этой плоскости. Доказательство первого утверждения вытекает непосредственно из теоремы 2.5 и следствия теоремы 2.6; второго из теоремы 2.4 и следствия теоремы 2.5. Для определенности будем рассматривать базис в пространстве. Итак, пусть a
, b
, c
— произвольный базис в пространстве, т.е. произвольная тройка некомпланарных векторов. Равенство (2.13) называется разложением вектора d
по базису a
, b
, c
, а числа , и — координатами вектора d
относительно базиса a
, b
, c
. Утверждение. Каждый вектор d
может быть единственным способом разложен по базису a
, b
, c
( или: координаты каждого вектора d
относительно базиса a
, b
, c
определяются однозначно ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что для некоторого вектора d
, наряду с разложением (2.13), справедливо еще и другое разложение по тому же самому базису d a b c
. (2.14) Вычтая почленно (2.14) из (2.13) получим ( ) ( ) ( )
a b c 0
. В силу линейной независимости базисных векторов a
, b
, c
следует 20 0 0 0,, , или ,, . Утверждение доказано. Теорема 2.7. При сложении двух векторов d
1
и d
2
их координаты ( относительно любого базиса a
, b, c
) складываются. При умножении вектора d
1
на любое число все его координаты умножаются на это число. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть d a b c
1 1 1 1
, d a b c
2 2 2 2
.Тогда в силу свойств 1— 7 линейных операций d d a b c
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )
d a b c
1 1 1 1
( ) ( ) ( )
. Теорема доказана. Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса a
, b
, c
и некоторой точки O
, называемой началом координат. Аффинными координатами любой точки M
называются координаты вектора OM
( относительно базиса a
, b
, c
). Так как каждый вектор OM
может быть, и при том единственным способом, разложен по базису a
, b, c
, то каждой точке пространства M
однозначно соответствует тройка аффинных координат Частным случаем аффинных координат являются декартовы прямоугольные координаты. §3. Проекция вектора на ось и ее свойства. Определим проекцию вектора a
AB
на произвольную ось u
. Пусть A
и B
— основания перпендикуляров, опущенных на ось u
из точек А
и В
соответственно. Проекцией вектора a
на ось u
называется величина A
B
направленного отрезка AB
оси u
. и обозначается пр
u
a
. Построение проекции вектора a
AB
на ось u
иллюстрируется на рис. 2.10. Теорема 2.8. Проекция вектора a
на ось u равна длине вектора a
на косинус угла наклона вектора a
к оси u.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 21 Обозначим через v ось, проходящую через начало A вектора a
и имеющую то же направление, что и ось u ( рис. 2.10 ), и пусть С
— проекция B
на ось v.
Тогда B
AC
равен углу наклона вектора a AB
к любой из осей u или v, причем точка С
заведомо лежит в проектирующей плоскости
.
Далее A
B
A
C
, т.к. оси u
и v
параллельны и одинаково направлены и отрезки этих осей, заключенные между параллельными плоскостями и , равны. Так как по определению п р
u
A B
a
, то п р
u
AC
a , но AC AB AB
v
п р cos cos
a
. Таким образом, п
р
u
a a
cos
Теорема доказана.
В случае декартовой прямоугольной системы базисные векторы принято обозначать не буквами a b c,, , а буквами i
j
k
,,
. Каждый из векторов i
j
k
,,
имеет длину, равную единице, причем эти три вектора взаимно ортогональны ( обычно направления векторов i
j
k
,,
берут совпадающими с направлениями декартовых осей Ox Oy
,
и O
z
соответственно ). В силу доказанного выше, каждый вектор d
может быть, и притом единственным способом разложен по декартовому прямоугольному базису i
j
k
,,
, т.е. для каждого вектора d
найдется и притом единственная, тройка чисел X Y
Z
,, ( вместо ) такая, что справедливо равенство d i
j
k
X
Y
Z
. (2.15) Числа X Y
Z
,, называются декартовыми прямоугольными координатами вектора d и обозначаются d X Y Z
,,
. Если М
— любая точка пространства, то декартовы прямоугольные координаты этой точки совпадают с декартовыми прямоугольными координатами вектора OM
. Геометрический смысл декартовых прямоугольных координат вектора выяcняет следующая теорема. Теорема 2.9. Декартовы прямоугольные координаты X Y
Z
,,
вектора d
равны проекциям этого вектора на оси Ox Oy
,
и Oz
соответственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рис. 2.10. 22 Аналогично рассуждениям, проведенным при доказательстве теоремы 2.6 ( рис. 2.11 ) получим, что d
OA OB O
C
. OA X OB Y OC Z
i j k,, . (2.16) Но в случае декартовой прямоугольной системы параллелепипед, построенный на базисных векторах i
j
k
,,
и имеющий вектор d своей диагональю, является прямоугольным. Поэтому проекции d на оси Ox Oy
, и O
z
соответственно равны величинам OA OB,
и O
C
. Докажем теперь, что OA X OB Y OC
Z
,,
. Убедимся, например, в равенстве OA
X
. Из (2.16) и так как i — единичный вектор следует, что OA X
. Но и знаки чисел OA
и X
совпадают, т.к. в случае, когда векторы OA
и i направлены в одну сторону, оба числа OA
и X
положительны, а в случае когда векторы OA
и i
направлены в противоположные стороны, оба числа OA
и X
отрицательны. Итак, OA X
. Аналогично доказываются равенства OB Y
и OC
Z
. Теорема доказана. Обозначим через , и углы наклона вектора d
к осям Ox Oy
,
и Oz
соответственно. Три числа cos,cos
и cos
называются направляющими косинусами вектора d. Из теорем 2.9 и 2.8 вытекают следующие формулы для координат X
, Y
и Z
вектора d: X Y Z
d d dcos,cos,cos
. (2.17) Так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон, то из равенств OA X OB Y
,
и OC
Z
, получим d
X Y Z
2 2 2
. (2.18) Из формул (2.17) и (2.18) вытекают следующие выражения для направляющих косинусов вектора d через координаты этого вектора: cos,,
X
X
Y
Z
Y
X
Y
Z
Z
X
Y
Z
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cos cos
. (2.19) Возводя в квадрат и складывая равенства (2.19), получим, что cos cos cos
2 2 2
1
, т.е. сумма квадратов направляющих косинусов для любого вектора равна единице
. Рис. 2.11. 23 Утверждение. При сложении двух векторов d
1
и d
2
их проекции на произвольную ось u складываются. При умножении вектора d
1
на любое число проекция этого вектора на любую ось u также умножается на число . Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана произвольная ось u
и любые векторы d
1
и d
2
. Введем декартовы прямоугольные координаты так, чтобы ось u
совпала с осью O
x
. Пусть d i
j
k
1 1 1 1
X
Y
Z
, d i
j
k
2 2 2 2
X
Y
Z
. Тогда в силу теоремы 2.7 d d i j k
1 2 1 2 1 2 1 2
X X Y Y Z Z
, d i
j
k
1 1 1 1
( ) ( ) ( )X
Y
Z
. Но по теореме 2.9 и т.к. ось u
совпадает с осью O
x
, можно утверждать, что X X X X X
u u u u u1 1 2 2 1 2 1 2 1 1
п р п р п р п р п рd d d d d,,,( )
Таким образом, п
р п р п р п р
u u u u
X( ),d d d d d
1 2 1 2 1 1
. Утверждение доказано. §4. Скалярное произведение двух векторов. Определение 1. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов a
и b
обозначим символом ab, тогда
ab a b
cos
, (2.20) где — угол между векторами a
и b
. Сформулируем другое определение скалярного произведения двух векторов, эквивалентное определению 1. Для этого воспользуемся понятием проекции вектора b
на ось, определяемую вектором a
. На основании теоремы 2.8 получим пр
a
b b
cos
†††††††††††††††††††††††††††††††††.
(2.21) Из (2.20) и (2.21) имеем ab a b
п р
a
. (2.22) или, если поменять ролями векторы a
и b
ab b a
п р
b
. (2.23) 24 Определение 2. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Теорема 2.10. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть векторы a
и b
ортогональны, — угол между ними. Тогда cos
0
и из формулы (2.20) ab
0
. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть ab
0
. Докажем, что a
и b
ортогональны. Исключим тривиальный случай, когда хотя бы один из векторов a
и b
является нулевым, т.к. нулевой вектор имеет неопределенное направление и его можно считать ортогональным любому вектору. Если же оба вектора a
и b
ненулевые, то a 0
и b 0
, и поэтому из равенства ab 0
и из формулы (2.20) следует, что cos
0
, т.е. векторы a
и b
ортогональны. Теорема доказана. Прежде чем сформулировать следующее утверждение, уточним понятие угла между a
и b
. Приведем произвольные векторы a
и b
к общему началу О ( рис. 2.12 ). Тогда в качестве угла между a
и b
можно взять любой из 1
и 2
. Действительно, сумма углов 1
и 2
равна 2
и поэтому cos cos
ㄲ
, а в определение скалярного произведения входит только косинус угла между векторами. Из двух углов 1
и 2
один заведомо не превосходит . В дальнейшем под углом между двумя векторами угол, который не превосходит . Теорема 2.11. Два ненулевых вектора a
и b
составляют острый ( тупой ) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно ( отрицательно ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Рис. 2.12.
25 В силу (2.20) знак скалярного произведения совпадает со знаком cos
. cos
0
тогда и только тогда, когда — острый угол и cos
0
тогда и только тогда, когда угол — тупой. Теорема доказана. Скалярное произведение векторов обладает следующими четырьмя свойствами: 1. Переместительное свойство ab ba
. Д о к а з а т е л ь с т в о. Вытекает непосредственно из формулы (2.20). 2. Cочетательное свойство относительно числового множителя a b ab
; Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя формулу (2.23), имеем a b b a b a ab
п р п р
b b
. Свойство доказано. 3. Распределительное свойство относительно суммы векторов a b c ac bc
; Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя формулу (2.23), имеем a b c c a b c a b c a c b ac bc
п р п р п р п р п р
c c c c c
. Свойство доказано. 4. aa 0
, если a
— ненулевой вектор, и aa
0
, если a
— ненулевой вектор. Д о к а з а т е л ь с т в о. Непосредственно из формулы (2.20) вытекает, что aa a 2
0
, когда a 0
и aa a 2
0
, когда a 0
. Свойство доказано. Теорема 2.12. Если два вектора a
и b
определены своими декартовыми прямоугольными координатами a b
X Y Z X Y Z
1 1 1 2 2 2
,,,,, , то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е. ab X X
Y
Y
Z
Z
1 2 1 2 1 2
. (2.24) 26 Д о к а з а т е л ь с т в о. Учитывая, что базисные векторы i
j
,
и k
являются попарно ортогональными и имеют единичную длину, получим следующие скалярные произведения ii
j
i ki
ij jj kj
ik jk kk
1 0 0
0 1 0
0 0 1
,,,
,,,
,,.
Далее, т.к. a i
j
k
b i
j
k
X
Y
Z
X
Y
Z
1 1 1 2 2 2
, и, опираясь на свойства скалярного произведения, получим ab ii i
j
ik
j
i
jj
j
k ki k
j
kk i j k
X X X Y X Z Y X YY Y Z Z X Z Y
Z Z X X YY Z Z X X YY Z Z
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2
1 2
2
1 2
2
1 2 1 2 1 2
.
Теорема доказана. Следствие.
Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов a
X Y Z
1 1 1
,,
и b
X Y Z
2 2 2
,,
является равенство X X
Y
Y
Z
Z
1 2 1 2 1 2
0
. Следствие.
Угол между векторами a
X Y Z
1 1 1
,,
и b
X Y Z
2 2 2
,,
определяется по формуле
cos X
X
Y
Y
Z
Z
X Y Z X Y Z
1 2 1 2 1 2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
. (2.25)
§ 5. Определители 2–го и 3–го порядков. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая произвольное число m строк и произвольное число n столбцов. Для обозначения матрицы используют либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки: a a a
a a a
a a a
n
n
m m mn
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
............
...
или a a a
a a a
a a a
n
n
m m mn
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
............
...
. Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то матрица называется квадратной. 27 Числа a
ij
, входящие в состав матрицы, называются ее элементами. В записи a
ij
первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j номер столбца. Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов: A
a a
a a
11 12
21 22
. (2.26) Определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, назовем число a a
a a
a a a a
11 12
21 22
11 22 12 21
. Утверждение. Для того, чтобы определитель второго порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы элементы его строк ( столбцов ) были пропорциональны. Д о к а з а т е л ь с т в о: Если a
a
a
a
11
21
12
22
или a
a
a
a
11
12
21
22
, значит a a a a
11 22 12 21
следовательно определитель равен нулю. Утверждение доказано. Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из девяти элементов: a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
. (2.27) Определителем третьего порядка, соответствующим такой матрице, назовем число, равное a a a
a a a
a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 22 33 12 23 31 13 21 32
13 22 31 12 21 33 11 23 32
.
(2.28) Главной диагональю матрицы (2.28) называется диагональ, образованная элементами a a a
11 22 33
,,
. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ, образованная элементами a a a
31 22 13
,,
. Хотя выражение определителя третьего порядка является достаточно громоздким, закон его составления оказывается весьма простым. В самом деле, один из трех членов определителя, входящих в его выражение со знаком плюс, будет произведением элементов главной диагонали, каждый из двух других — произведением элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, с добавлением 28 третьего множителя из противоположного угла матрицы. Члены, входящие в (2.28) со знаком минус, строятся таким же образом, но относительно второй диагонали. На рисунке слева схематически указано правило вычисления положительных членов определителя третьего порядка, справа — правило вычисления его отрицательных членов. Правило составления шести слагаемых, входящих в выражение (2.28), опирающееся на указанные две схемы, называется правилом треугольника. § 6.Основные свойства определителей. Свойства будем формулировать и устанавливать применительно к определителям третьего порядка, хотя, конечно, они справедливы и для определителей второго порядка и, вообще для определителей любого порядка n [1]. Свойство 1.
Величина определителя не изменится, если строки и столбцы этого определителя поменять местами, т.е. a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 21 31
12 22 32
13 23 33
. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно расписать определители, стоящие в левой и правой частях, по правилу треугольника и убедиться в равенстве полученных при этом членов. Из свойства 1 вытекает, что всякое утверждение о строках определителя справедливо и для его столбцов и обратно, т.е. в определителе строки и столбцы равноправны. Поэтому все дальнейшие свойства определителя можно формулировать и для строк, и для стобцов, а доказывать или только для строк, или только для столбцов. Свойство 2.
Перестановка двух строк ( или двух столбцов ) определителя равносильна умножению его на число ( -1 ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Аналогично доказательству свойства 1, используя правило треугольника. Свойство 3.
Определитель, содержащий две одинаковые строки ( или два одинаковых столбца ), равен нулю. 29 Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, при перестановке двух одинаковых строк с одной стороны определитель не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2 он изменит знак на противоположный. Таким образом, = -
, т.е. 2
= 0, или = 0. Свойство доказано. Остальные свойства приведены без доказательства. Все они получаются элементарным разложением по правилу треугольника. Свойство 4.
Если все элементы некоторой строки ( или некоторого столбца ) определителя умножить на некоторое число , то сам определитель умножается на . Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки ( или некоторого столбца ) определителя можно выносить за знак этого определителя. Например, a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
. Свойство 5.
Если все элементы некоторой строки ( или некоторого столбца ) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю. Свойство 6.
Определитель, содержащий две пропорциональные строки ( или два пропорциональных столбца ), равен нулю. Свойство 7.
Если каждый элемент n-ой строки ( или n-го столбца ) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, первый из которых имеет в n-й строке ( n-м столбце ) первые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и исходный определитель, в остальных строках ( столбцах ), а второй определитель имеет в n-й строке ( n-м столбце ) вторые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и исходный определитель, в остальных строках ( столбцах ). Н а п р и м е р, a a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
11 11 12 12 13 13
21 22 23
31 32 33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
. Свойство 8. Если к элементам некоторой строки ( или некоторого столбца ) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки ( другого 30 столбца ), умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится. Для формулировки еще одного фундаментального свойства определителя введем новые понятия. Минором данного элемента определителя n-го порядка называется определитель(n-1)-го порядка, полученный из данного определителя путем вычеркивания той строки и того столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Например, минор элемента a
11
равен a a
a a
22 23
32 33
, минором элемента a
21
служит определитель a a
a a
12 13
32 33
и т.д. Алебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со знаком “+”, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, есть число четное, и со знаком “–” в противном случае. Таким образом, соответствующие алгебраическое дополнение и минор могут отличаться только знаками. Свойство 9.
Сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой ( другой ) строки равна величине этого определителя ( равна нулю ). Аналогичное свойство справедливо и применительно к столбцам определителя. §7. Векторное и смешанное произведение векторов. Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой — вторым и какой — третьим. При записи тройки векторов векторы располагаются в порядке их следования. Тройка некомпланарных векторов abc
называется правой ( левой ), если выполнено одно из следующих условий: 31 1. если, будучи приведены к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указанный и средний пальцы правой ( левой ) руки; 2. если после приведения к общему началу вектор c
располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами a
и b
, откуда кратчайший поворот от a
и b
кажется совершающимся против часовой стрелки ( по часовой стрелке ); 3. если, находясь внутри телесного угла, образованного приведенными к общему началу векторами a
, b
, c
, мы видим поворот от a
к b
и от него к c
совершающимся против часовой стрелки ( по часовой стрелке ). Аффинная или декартова система координат называется правой ( левой ), если три базисных вектора образуют правую ( левую ) тройку. Для определенности, в дальнейшем будут рассматриваться только правые системы координат. Векторным произведением вектора a
на вектор b
называется вектор c
, обозначаемый символом c ab
и удовлетворяющи.й следующим трем требованиям: 1. длина вектора c
равна произведению длин векторов a
и b
на синус угла между ними, т.е. c ab a b
sin
††††††††††††††††††††††††
㈮㈹⤠
㈮2вектор c
ортогонален к каждому из векторов a
и b
; 3. вектор c
направлен так, что тройка векторов abc
является правой. Теорема 2.13.
Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения. Д о к а з а т е л ь с т в о: Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть векторы a
и b
коллинеарны. Тогда, угол между ними = 0, либо = , т.е. sin
= 0, значит, из (2.29) следует, что вектор c ab
— нулевой. правая левая 32 Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть векторное произведение ab 0
. Докажем, что векторы a
и b
коллинеарны. Прежде всего, исключим тривиальный случай, когда хотя бы один из векторов a
или b
является нулевым ( нулевой вектор имеет неопределенное неправление и его можно считать коллинеарным любому вектору ). Если же оба вектора a
и b
ненулевые, то a 0
и b 0
и поэтому из равенства ab 0
и из формулы (2.29) вытекает, что sin
= 0, т.е. векторы a
и b
коллинеарны. Теорема доказана. Геометрический смысл векторного произведения освещает следующая теорема. Теорема 2.14. Длина векторного произведения ab
равна площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a
и b
. Д о к а з а т е л ь с т в о: Так как площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон этого параллелограмма на синус угла между ними, то доказательство теоремы непосредственно вытекает из формулы (2.29). Теорема доказана. Ортом произвольного ненулевого вектора c
называется единичный вектор, коллинеарный c
и имеющий одинаковое с c
направление. Теорема 2.15.
Если c
— какой-нибудь вектор, — любая содержащая его плоскость, e
— единичный вектор, лежащий в плоскости и ортогональный к c
, g
— единичный вектор, ортогональный к плоскости и направленный так, что тройка ecg
является правой, то для любого лежащего в плоскости вектора a
справедлива формула ac a c g
п р
e
(2.30) Д о к а з а т е л ь с т в о: Достаточно доказать, что векторы, стоящие в левой и правой частях (2.30), 1) имеют одинаковую длину, 2) коллинеарны, 3) имеют одинаковое направление. Из теоремы 2.14 ac S
, где S — площадь построенного на приведенных к общему началу векторах a
и c
параллелограмма. Длина вектора, стоящего в правой части (2.30), равна c a п р
e
S
, т.к. если за основание Рис. 2.13. 33 указанного параллелограмма принять вектор c
, то высота его h будет равна п р
e
a
( рис. 2.13 ). Коллинеарность векторов, стоящих в левой и правой частях (2.30) вытекает из того, что оба эти вектора ортогональны к плоскости : ac
— по определению векторного произведения, а вектор п
р
e
a c g
— т.к. вектор g
по условию ортогонален плоскости . Остается проверить, что векторы, стоящие в левой и правой частях (2.30) одинаково направлены. Векторы ac
и g
одинаково направлены ( противоположно направлены ), когда тройка acg
является правой ( левой ), т.е. когда векторы a
и e
лежат по одну сторону от c
( по разные стороны от c
) и проекция п
р
e
a
является положительной ( отрицательной ), но это и означает, что векторы ac
и п
р
e
a c g
всегда одинаково направлены. Теорема доказана. Векторное произведение обладает следующими свойствами. 1. Свойство антиперестановочности сомножителей: ab ba
. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть c ab
, d ba
. Если векторы a
и b
коллинеарны, то в силу теоремы 2.13 c d 0 , и свойство доказано. Если же a
и b
не коллинеарны, то векторы c
и d
имеют одинаковую длину ( по формуле 2.29 ) и коллинеарны, т.к. оба ортогональны к плоскости, определяемой векторами a
и b
. Но тогда, либо c d
, либо c d . Если бы выполнялось первое равенство, то по определению векторного произведения обе тройки abc
и bac
оказались бы правыми, что невозможно в силу противоположной ориентации этих троек. Отсюда, c d . Свойство доказано. 2.Сочетательное свойство относительно числового множителя: a b ab
. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть c a b
, d ab
. Если векторы a
и b
коллинеарны или 0, то в силу теоремы 2.13 и определения произведения вектора на число c d 0
, и свойство доказано. 34 Пусть векторы a
и b
не коллинеарны и 0
Обозначим через угол между векторами a
и b
, а через угол между векторами a
и b
. По определению длины векторного произведения и произведения вектора на число можно утверждать, что c a b d a b
sin,sin . При этом могут представиться два случая: 1) , когда 0
и векторы a
и a
направлены в одну сторону ( рис. 2.14 ); 2) , когда 0 и векторы a
и a
направлены в противоположные стороны ( рис. 2.15 ). В обоих случаях sin sin
и векторы c
и d
имеют одинаковую длину. Векторы c
и d
коллинеарны, т.к. из ортогональности к плоскости, определяемой векторами a
и b
, следует ортогональность и к плоскости, определяемой векторами a
и b
. Для доказательства равенства векторов c
и d
остается проверить, что эти вектора имеют одинаковое направление. Пусть 0 (
0 ), тогда векторы a
и a
одинаково направлены ( противоположно направлены ), следовательно, векторы ab
и a b
тоже одинаково направлены ( противоположно направлены ), а значит векторы d ab
и c a b
всегда одинаково направлены. Свойство доказано. 3. Распределительное свойство относительно суммы векторов: a b c ac bc
. Доказательство этого свойства будет приведено ниже, после введения ряда необходимых понятий. 4. Для любого вектора a
aa 0
. Д о к а з а т е л ь с т в о. Вытекает из теоремы 2.13 и из того, что любой вектор a
коллинеарен сам с собой. Рис. 2.14. Рис. 2.15. 35 Теорема 2.16.
Если два вектора a
и b
определены своими декартовыми прямоугольными координатами a
X Y Z
1 1 1
,,
, b
X Y Z
2 2 2
,,
, то векторное произведение этих векторов имеет вид: ab
Y Z Y Z Z X Z X X Y X Y
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
,,
, (2.31) или ab
i j k
X Y Z
X Y Z
1 1 1
2 2 2
. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как a i
j
k
X
Y
Z
1 1 1
, b i
j
k
X
Y
Z
2 2 2
, то, используя свойства векторного произведения, получим ab i j k i j k ii ij ik
ji jj jk ki kj kk
X Y Z X Y Z X X X Y X Z
Y X YY Y Z Z X Z Y Z Z
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(2.32) Базисные векторы взаимно ортогональны, образуют правую тройку и имеют одинаковую длину, поэтому ii 0 ji k ki j
ij k jj 0 kj i
ik j jk i kk 0
,,,
,,,
,,.
Подставляя эти равенства в (2.32), имеем равенство ab i j k
( ) ( ) ( )
Y Z Y Z Z X Z X X Y X Y
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
эквивалентное (2.31). Теорема доказана. Следствие.
Если два вектора a
X Y Z
1 1 1
,,
, b
X Y Z
2 2 2
,,
коллинеарны, то их координаты пропорциональны, т.е. X
X
Y
Y
Z
Z
1
2
1
2
1
2
. Пусть даны три произвольных вектора a
, b
и c
. Вектор a bc
называется двойным векторным произведением. Его геометрический смысл содержит следующая теорема: Теорема 2.17.
Для любых векторов a
, b и c
справедлива формула a bc b ac c ab . Число ab c
называется смешанным произведением векторов a
, b
и c
. 36 Теорема 2.18. Смешанное произведение ab c
равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a
, bи c
, взятому со знаком плюс, если тройка abc правая, и со знаком минус, если тройка abc левая. Если векторы a
, bи c
компланарны, то их смешанное произведение равно нулю. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если векторы a
и b
коллинеарны, то в силу теоремы 2.13 ab
0
, следовательно, и ab c 0
. Пусть векторы a
и b
не коллинеарны. Обозначим через S
площадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a
и b
, и пусть e
— орт векторного произведения ab
. Тогда по теореме 2.14 имеем ab e
S
. Откуда ab c e c ec e c c S S S S
e e
п р п р
. (2.33) Пусть a
, b
и c
не компланарны. Тогда п
р
e
hc
— высоте параллелепипеда с точностью до знака. Следовательно, с точностью до знака правая часть (2.33) равна объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a
, b
и c
( рис. 2.16 ). Определимся в знаке. Очевидно, если векторы e
и c
лежат по одну сторону от плоскости, определяемой векторами a
и b
, то п
р
e
hc
, если же по разные, то п
р
e
hc
. Другими словами, если тройки abc
и abe
одной ориентации, т.е. обе правые или обе левые, то п
р
e
hc , если эти тройки противоположной ориентации, то п
р
e
hc . Так как тройка abe
— правая, то п
р
e
hc
, если abc
— правая тройка и п
р
e
hc , если abc
— левая тройка, т.е. ab c hS V
. Если векторы a
, b
и c
компланарны, то c
лежит в плоскости, определяемой векторами a
и b
, а значит п
р
e
c 0
, следовательно, ab c
0
. Теорема доказана. Следствие. Справедливо равенство ab c a bc
. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из переместительного свойства скалярного произведения следует, что a bc bc a
. Значит, достаточно доказать, что ab c bc a
. Рис. 2.16. 37 С точностью до знака это равенство очевидно, так как его правая и левая части по абсолютной величине, равны объему параллелепипеда, построенного на векторах a
, b
и c
, но знаки правой и левой частей совпадают, т.к. обе тройки abc
и bca
имеют одинаковую ориентацию. Следствие доказано. Аналогично доказывается, что bc a b ca
, т.к. b ca ca b
. Итак ab c bc a ca b . Циклическая перестановка векторов не меняет величины смешанного произведения. Если же перестановка не циклическая, то смешанное произведение меняет знак на противоположный. Доказанное равенство ab c a bc
позволяет записывать смешанное произведение трех векторов a
, b
и c
просто в виде abc
, не указывая при этом, какие именно два вектора ( первые или последние ) перемножаются векторно. Следствие. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Д о к а з а т е л ь с т в о. Компланарность векторов влечет равенство нулю их смешанного произведения ( см. теорему 2.18 ). Обратное следует из того, что для некомпланарных векторов смешанное произведение равно отличному от нуля объему параллелепипеда. Следствие доказано. Теорема 2.19.
Если три вектора a
, b
и c
определены своими декартовыми прямоугольными координатами a
X Y Z
1 1 1
,,
, b
X Y Z
2 2 2
,,
, c
X Y Z
3 3 3
,,
, то смешанное произведение abc
этих векторов равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т.е. abc X Y Z
X Y Z
X Y Z
1 1 1
2 2 2
3 3 3
. (2.34) Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как, abc ab c
, и т.к. ab
определяется формулой (2.31), то из (2.24) для скалярного произведения имеем abc X
Y
Z
Y
Z
Y
Z
X
Z
X
Z
X
Y
X
Y
3 1 2 2 1 3 1 2 2 1 3 1 2 2 1
( ) ( ) ( )
или abc
X
Y Z
Y Z
Y
X Z
X Z
Z
X Y
X Y
3
1 1
2 2
3
1 1
2 2
3
1 1
2 2
, 38 а это формула — не что иное, как разложение определителя (2.34) по третьей строке. Теорема доказана. Вернемся теперь к доказательству распределительного свойства векторного произведения. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим отдельно два случая: 1) векторы a
, b
и c
— компланарны; 2) векторы a
, b
и c
— некомпланарны. 1. Векторы a
, b
и c
, будучи приведены к общему началу, располагаются в одной плоскости . Пусть e
— единичный вектор, лежащий в плоскости и ортогональный к c
, а g
— единичный вектор, ортогональный к плоскости и направленный так, что тройка ecg
является правой. Тогда по теореме 2.15 ac a c g п р
e
, bc b c g
п р
e
, а значит ( ) ( )a b c a b c g a c g b c g ac bc п р п р п р
e e e
. 2. Так как три вектора ( ),a b c ac
и bc
ортогональны к c
, следовательно они компланарны, а значит линейно зависимы, т.е. найдутся такие числа ,
и не все равные нулю, что справедливо равенство: a b c ac bc
. Докажем, что . Умножим скалярно вектор ( )a b c
на вектор b
и, используя, что скалярное произведение bc b 0
, получим a b c b ac bc b ac b bc b ac b . Так как векторы a
, b
и c
некомпланарны, значит скалярное произведение ac b
отлично от нуля и для доказательства равенства достаточно доказать равенство скалярных произведений a b c b
и ac b
. По абсолютной величине эти скалярные произведения равны объемам параллелепипедов с равновеликими основаниями и с общей высотой h
, опущеной из конца вектора c
( рис. 2.17 ). Равенство знаков смешанных произведений следует из определения правой и левой тройки. Очевидно, что тройки acb
и ( )
a b cb
одной ориентации, следовательно Аналогично доказывается равенство . Свойство доказано. Рис. 2.17 
Автор
serejakozachenko
Документ
Категория
Математика
Просмотров
1 457
Размер файла
468 Кб
Теги
geomet2
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа