close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

4. Планы и УММ к практическим занятиям

код для вставкиСкачать

Кафедра математики, теории и методики обучения математике Глазовского государственного педагогического института им. В.Г. Короленко
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Направление 010500 Математическое обеспечение
и администрирование информационных систем
1 курс, 2 семестр
Составитель: кандидат физико-математических наук,
доцент Л.Т. Крежевских
Глазов 2012
Геометрия и топология
II семестр
Модуль 1:Векторы. Линейные операции над векторами. Базис. Координаты вектора. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат. Прямая линия на плоскости. Основные аффинные и метрические задачи на прямую.
Модуль 2:Плоскость в пространстве. Прямая в пространстве. Прямые и плоскости в пространстве. Основные аффинные и метрические задачи. Линии второго порядка.
Модуль 3:Поверхности вращения. Цилиндрические поверхности. Конические поверхности. Эллипсоиды. Гиперболоиды. Параболоиды.
Практические занятия
№ практического занятияТема практического занятияПрактическое занятие №1Векторы. Линейные операции над векторами. Базис. Координаты вектора. Практическое занятие №2Скалярное произведение векторов. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат.Практическое занятие №3Векторное и смешанное произведения векторов.Практическое занятие №4Прямая линия в аффинной системе координат. Основные аффинные задачи на прямую.Практическое занятие №5Прямая линия в прямоугольной декартовой системе координат. Основные метрические задачи на прямую.Контрольная работа №1 по темам модуля 1 (2 часа)Практическое занятие №6Плоскость в пространстве. Основные аффинные и метрические задачи.Практическое занятие №7Прямая линия в пространстве. Прямые и плоскости в пространстве. Основные аффинные и метрические задачи.Практическое занятие №8Эллипс. Гипербола.Практическое занятие №9Парабола. Понятие о классификации линий второго порядка.Контрольная работа №2 по темам модуля 2 (2 часа)Практическое занятие №10Поверхности вращения. Цилиндрические поверхности.Практическое занятие №11Конические поверхности. Эллипсоиды. Гиперболоиды. Параболоиды.Контрольная работа №3 по темам модуля 3 (2 часа)
Список литературы для подготовки к практическим занятиям
1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений по специальности "Информатика". − 2-е изд., перераб. / Составители: Л.Т. Крежевских, И.Л. Мирошниченко. − Глазов: Глазов. гос. пед. ин-т, 2007. − 96 с.
2. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Пособие к практическим занятиям для студентов факультета социальных и информационных технологий. / Составители: Л.Т. Крежевских, И.Л. Мирошниченко. − Глазов: Изд. центр ГГПИ, 2005. − 96 с.
3. Методическая разработка к практическим занятиям по геометрии (электронный вариант) / Составитель: Л.Т. Крежевских. − Глазов: 2007.
Перечень типовых задач по теме
"Векторы. Линейные операции над векторами.
Базис. Координаты вектора"
Предварительно необходимо:
● изучить §§ 1−5 по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии;
● выполнить в тетрадях для практических занятий следующие практические задания из методического пособия [1]: занятие 5, №№ I.1- I.23; занятие 6, №№ I.1 - I.12;
● ознакомиться с решениями задач: занятие 5, №№ II.1 − II.4; занятие 6, №№ II.1 − II.4.
Задачи
1. М − точка пересечения медиан АА1, ВВ1 и СС1 треугольника АВС. Выразить вектор через векторы и .
2. ABCD − произвольный тетраэдр, Е − середина ребра BD. Выразить вектор через векторы , и .
3. Доказать, что если АА1 − медиана треугольника АВС, то .
4. Доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом тогда и только тогда, когда .
5. Доказать, что если А, В, С, D, E и F − середины сторон произвольного шестиугольника, то .
6. Доказать векторным методом, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
7. Даны векторы , и . Построить вектор . Рассмотреть два случая: а) ; б) векторы , и попарно неколлинеарны.
8. АВСD − параллелограмм, О − точка пересечения его диагоналей, Е - середина стороны AD. Выразить вектор через векторы и .
9. АВСА1В1С1 − произвольная треугольная призма, Р − середина ребра АА1. Не выполняя дополнительных построений, найти вектор .
10. Даны три вектора (5; 0), (−6; 1), (−22; 3). Найти координаты вектора в базисе , .
11. Даны векторы (3; −1), (1; −2), (−1; 7). Найти координаты вектора в базисе , .
12. АА1, ВВ1, СС1 − медианы треугольника АВС, М − его центр тяжести (точка пересечения медиан). Найти координаты вектора а) в базисе ; б) в базисе ; в) в базисе .
13. Р − точка пересечения диагоналей произвольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Найти координаты вектора а) в базисе ; б) в базисе .
14. Даны векторы (2; −3), . При каких значениях t будут коллинеарны векторы и ?
15. При каком значении m векторы (4m; 2; 0), (2; m; m + 1) коллинеарны?
Перечень типовых задач по теме
"Скалярное произведение векторов.
Аффинная и прямоугольная декартова системы координат"
Предварительно необходимо:
● изучить §§ 6, 10, 11 по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии;
● выполнить в тетрадях для практических занятий следующие практические задания из методического пособия [1]: занятие 7, №№ I.1- I.15; занятие 8, №№ I.1 - I.3; I.5 − I.16;
● ознакомиться с решениями задач: занятие 7, №№ II.1, II.3, II.5; занятие 8, №№ II.1, II.2, II.4.
Задачи
16. Вычислить скалярное произведение векторов и , если и угол между векторами и равен 120º.
17. При каком значении m векторы (6; 0; 12) и (−8; 13; m) ортогональны?
18. Найти длину вектора , если а) ; б) (2; −2), (1; −2).
19. Выяснить, каким является треугольник АВС (остроугольным, прямоугольным или тупоугольным), если (1; 4), (5; −8).
20. В четырёхугольнике АВСD (2; 0), (−5; 3), (10; 1). Выяснить, будут ли диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны.
21. Известно, что . При каком значении х векторы и перпендикулярны?
22. Доказать векторным методом, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
23. О − точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD. Найти: а) координаты точки D в системе координат ;
б) координаты точки А в системе координат .
24. Даны три вершины параллелограмма АВСD: А(1; 0), В(2;3), С(3;2). Найти координаты четвёртой вершины и точки О пересечения диагоналей.
25. N − середина отрезка АВ, Р − середина отрезка NB. Найти, в каком отношении а) точка А делит направленный отрезок ; б) точка N делит направленный отрезок .
26. Доказать, что четырёхугольник АВСD является трапецией (а не параллелограммом), и найти длину её средней линии, если А(0; 7; 1), В(2; 10; 2), С(5; 3; 2), D(1; −3; 0).
27. Доказать, что точки А(2; 2), В(−1; 6), С(−5; 3) и D(−2; −1) являются вершинами квадрата.
Перечень типовых задач по теме
"Векторное и смешанное произведения векторов"
(решаются в прямоугольной декартовой системе координат )
Предварительно необходимо:
● изучить §§ 7−9 по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии;
● выполнить в тетрадях для практических занятий следующие практические задания из методического пособия [1]: занятие 9, №№ I.1- I.20;
● ознакомиться с решениями задач: занятие 9, №№ II.1 − II.3.
Задачи
28. Найти площадь и длину высоты BH параллелограмма ABCD, проведённой к основанию AD, если A(4; 0; 1), B(0; −2; 1), D(1; 0; 0).
29. Вычислить площадь и длину высоты BH треугольника, вершины которого находятся в точках А(3; 4; −2), В(1; −1; 2)), С(3; 2; −1).
30. Даны точки M(1; 2; 0), N(3; 0; −3), K(5; 2; 6). Вычислите площадь и длину высоты NH треугольника MNK.
31. Даны вершины треугольника P(1; −1; 2), Q(5; −6; 2) и R(1; 3; −1). Вычислить его площадь и длину его высоты QH.
32. Даны вершины параллелепипеда ABCDA1B1C1D1: А(1; −1; 1), В(0; 2; 1), D(1; 1; 3), А1(2; 0; 2). Найти его объём и длину высоты А1Н.
33. Вычислить объём и высоту DН треугольной пирамиды, вершины которой находятся в точках А(2; 1; −1), В(3; −2; −7), С(5; 1; −1), D(1; 4; −3).
34. Даны вершины тетраэдра А(2; 3; 1), В(4; 1; −2), С(6; 3; 7), D(−5; −4; 8). Найти его объём и длину высоты DH.
35. Даны вершины А(4; 0; −1), В(5; 1; 1), С(3; 3; −1), А1(6; 2; 0) треугольной призмы ABCA1B1C1. Найти объём призмы и длину её высоты A1H.
36. Будут ли компланарны векторы:
а) ;
б) ?
37. Выяснить, лежат ли точки М(1; 2; 3), N(1; 3; 2), P(0; 2; 4) и Q(0; 1; 3) в одной плоскости.
Перечень типовых задач по теме
"Прямая линия на плоскости в аффинной системе координат.
Основные аффинные задачи на прямую"
Предварительно необходимо:
● изучить §§ 15−17 по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии;
● выполнить в тетрадях для практических занятий следующие практические задания из методического пособия [1]: занятие 10, №№ I.1 - I.14, I.17 - I.20;
● ознакомиться с решениями задач: занятие 10, №№ II.1 − II.3.
Задачи
(решаются в аффинной системе координат )
38. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(7; −2) а) параллельно оси Ох; б) параллельно оси Оy; в) параллельно прямой х − у + 4 = 0; г) параллельно прямой у = 5х + 3.
39. Найти уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника А(5; −4), В(−1; 3), С(−3; −2) параллельно противоположным сторонам.
40. Составить уравнения медиан треугольника с вершинами А(2; 3), В(−3; 5) и С(7; −1).
41. Доказать, что четырёхугольник АВСD, где А(−2; −2), В(−3; 1), С(7; 7) и D(3; 1), является трапецией. Составить уравнения средней линии и диагоналей этой трапеции.
42. Выяснить взаимное расположение прямых:
а) и ;в) 6х + у − 1 = 0 и 6х − у − 1 = 0;
б) 2х − 7у − 9 = 0 и 8х − 28у + 1 = 0;г) х − 5 = 0 и 3у + 1 = 0.
43. При каком значении а следующие пары прямых параллельны:
а) 3х − 2у + 11 = 0 и ах − 4у + 3 = 0;б) х − ау + 5 = 0 и 3х − 2у + 1 = 0?
44. При каких значениях m и n прямые mх + 8у + n = 0 и 2х + mу - 1 = 0 совпадают?
45. Через точку пересечения прямых 5х + 3у − 9 = 0 и х + 2у − 1 = 0 провести прямую (т.е. найти её уравнение), проходящую: а) через начало координат; б) параллельно оси Ох; в) параллельно оси Оy; г) через точку М(7; −1).
Перечень типовых задач по теме
"Прямая линия в прямоугольной декартовой системе координат.
Основные метрические задачи на прямую"
Предварительно необходимо:
● изучить §§ 18, 19 по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии;
● выполнить в тетрадях для практических занятий следующие практические задания из методического пособия [1]: занятие 11, №№ I.1 - I.14;
● ознакомиться с решениями задач: занятие 11, №№ II.1, II.2.
Задачи
(решаются в прямоугольной декартовой системе координат )
46. Найти уравнение прямой d, проходящей через точку М0 и перпендикулярной прямой m, если а) М0(6; −11), m: 4х - у + 5 = 0; б) М0(−1; 1), m: 2х + 3у − 1 = 0.
47. Найти уравнение серединного перпендикуляра к отрезку АВ, если А(5; −1), В(3; 7).
48. Даны две вершины А(3; −1) и В(5; 7) треугольника АВС и точка N(4; 1) пересечения его высот. Найти уравнения сторон этого треугольника.
49. АВСD − прямоугольник, А(3; −5), (DC): х - 4у + 3 = 0. Найти уравнения прямых (АВ) и (АD).
50. Точка А(2; −5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой х - 2у − 7 = 0. Вычислить площадь этого квадрата.
51. Даны уравнения двух прямых, содержащих стороны прямоугольника: 3х − 2у − 5 = 0 и 2х + 3у + 7 = 0 и одна из его вершин А(−2; 1). Вычислить площадь этого прямоугольника.
52. Вычислить расстояние между параллельными прямыми:
а) d1: 3х − 4у − 10 = 0 и d2: 6х − 8у + 5 = 0;
б) d1: 5х − 12у + 26 = 0 и d2: 5х − 12у − 13 = 0.
53. Найти тангенс направленного угла между прямыми:
а) d1: у = 4х − 9; d2: у = −х + 3;
б) d1: ; d2: 3х − 2у − 81 = 0;
в) d1: х − у = 0; d2: х + 2у − 3 = 0.
54. При каком значении b следующие пары прямых перпендикулярны:
а) х + bу − 2 = 0 и 2х + 3у - 7 = 0;
б) 7х − 2у + 9 = 0 и bх + у - 3 = 0;
в) 3х + у − 4 = 0 и 5х + bу − 2 = 0?
55. Выяснить, будут ли прямые d1 и d2 взаимно перпендикулярными:
а) d1: 4х − 4у + 1 = 0; d2: 3х − 3у − 1 = 0;г) d1: ; d2: 3х + 4у - 72 = 0;
б) d1: ; d2: ;д) d1: ; d2: 5х − 6у = 0.
в) d1: ; d2: у = −3х + 1;
56. Две прямые пересекаются в точке А(2; −1). Одна из них проходит через начало координат, другая − через точку В(5; 1). Найти направленный угол между этими прямыми.
Перечень типовых задач по теме "Плоскости в пространстве"
Предварительно необходимо:
● изучить §§ 20 − 24 по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии;
● выполнить в тетрадях для практических занятий следующие практические задания из методического пособия [1]: занятие 12, №№ I.1 - I.14;
● ознакомиться с решениями задач II.1, II.2, II.4 (занятие 12).
1. Аффинные задачи
(решаются в аффинной системе координат О )
1. Найти уравнение плоскости , проходящей через точку и содержащей ось Оу. 2. Найти уравнение плоскости , проходящей через точки и параллельно оси Оz.
3. Найти уравнение плоскости , проходящей через точку и параллельной плоскости .
4. Найти уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно координатной плоскости Охz. Решить задачу двумя способами.
5. Даны вершины тетраэдра , , , . Найти:
а) уравнение плоскости , содержащей ребро ВС и параллельной ребру AD;
б) уравнение плоскости , проходящей через вершину D и параллельной грани АВС.
6. Выяснить взаимное расположение трех плоскостей:
а) ;б) ; ; ; ; . 2. Метрические задачи
(решаются в прямоугольной декартовой системе координат О)
7. Найти уравнение плоскости , проходящей через точку и перпендикулярной плоскостям и .
8. Найти уравнение плоскости , проходящей через точку и перпендикулярной оси Оу. 9. Найти уравнение плоскости , проходящей через точки и и перпендикулярной плоскости .
10. Найти длину высоты тетраэдра ABCD, проведенной из вершины D, если , , , (не пользуясь смешанным и векторным произведениями векторов).
11. Найти величину угла между гранями ACD и ABD тетраэдра ABCD, если , , , .
12. Выяснить, будут ли плоскости и взаимно перпендикулярными:
а) ; ;
б) ; ;
в) ; .
Перечень типовых задач по теме "Прямые в пространстве"
Предварительно необходимо:
● изучить §§ 25, 26 (п. 1), 27 (п. 1) по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии;
● ответить на контрольные вопросы и выполнить в тетрадях для практических занятий все контрольные задания из пункта I занятия 13 (см. методическое пособие [1]); ● ознакомиться с решениями всех задач из пункта II занятия 13.
1. Аффинные задачи
(решаются в аффинной системе координат О)
13. Найти:
а) канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через две точки и ;
б) канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору ;
в) уравнения прямой, образованной пересечением плоскостей и ; плоскости и координатной плоскости Oxz.
14. Найти координаты направляющего вектора прямой 15. Найти канонические уравнения прямой , проходящей через точку и параллельной прямой 16. Найти параметрические уравнения прямых:
а) б) 17. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку и параллельной оси Ох. 18. Определить взаимное расположение следующих пар прямых в пространстве:
а) и ;
б) и в) и 2. Метрические задачи
(решаются в прямоугольной декартовой системе координат О)
19. Найти канонические уравнения прямой , проходящей через точку и перпендикулярной прямым и .
20. Найти величину угла между прямыми:
а) и б) и 21. Выяснить, будут ли прямые и взаимно перпендикулярными:
а) ; б) Перечень типовых задач по теме
"Прямые и плоскости в пространстве"
Предварительно необходимо:
● изучить §§ 26 (п. 2), 27 (п. 3, 4) по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии, а также знать материал §§ 20 - 22, 24 (п. 1), 25;
● ответить на контрольные вопросы и выполнить в тетрадях для практических занятий все контрольные задания из пункта I занятия 14 (см. методическое пособие [1]);
● ознакомиться с решениями всех задач из пункта II занятия 14.
1. Аффинные задачи
(решаются в аффинной системе координат О)
22. Найти уравнение плоскости , проходящей через точку и параллельной прямым и 23. Найти уравнение плоскости , содержащей прямую и параллельной прямой .
24. Найти уравнение плоскости , содержащей прямые и .
25. Найти уравнение плоскости , содержащей прямые и .
26. Найти уравнение плоскости , проходящей через точку и содержащей прямую 27. Найти уравнение плоскости , содержащей прямую и параллельной прямой .
28. Найти уравнение плоскости , проходящей через точки и и параллельной прямой .
29. Выяснить взаимное расположение прямой и плоскости :
а) ; ;
б) ;
в) ;
г) ; .
2. Метрические задачи
(решаются в прямоугольной декартовой системе координат О)
30. Найти уравнение плоскости , проходящей через точку и перпендикулярной прямой . 31. Найти уравнение прямой , проходящей через точку и перпендикулярной плоскости .
32. Найти уравнение плоскости , проходящей через точку , параллельной прямой и перпендикулярной плоскости .
33. Найти уравнение плоскости , содержащей прямую и перпендикулярной плоскости .
34. Найти синус угла между прямой d: и плоскостью σ: .
35. Выяснить, будут ли прямая и плоскость взаимно перпендикулярными:
а) б) ; . Перечень типовых задач по теме "Эллипс"
Предварительно необходимо:
● изучить § 28 по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии, выучить все определения, формулировки свойств, формулы и уравнения; ● ответить на контрольные вопросы и задания I.1 - I.6 занятия 15 (см. методическое пособие "Линейная алгебра и аналитическая геометрия"); ● ознакомиться с решением задачи II.2 занятия 15.
Задачи
(решаются в прямоугольной декартовой системе координат О)
36. Дано каноническое уравнение эллипса . Найти большую и малую полуоси, фокальное расстояние, координаты вершин, фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис, фокальные радиусы точки и выполнить чертеж эллипса, его фокусов и директрис, если:
а) , ;
б) , ;
в) , .
37. Найти каноническое уравнение эллипса и выполнить чертеж эллипса, его фокусов и директрис, если известно, что:
а) фокальное расстояние равно 6, а большая полуось равна 5;
б) малая полуось равна 3, уравнения директрис , ;
в) малая полуось равна 4, эксцентриситет равен ;
г) эллипс проходит через точку , эксцентриситет равен .
38. Меридиан Земного шара имеет форму эллипса, отношение осей которого равно 299 : 300. Определить эксцентриситет земного меридиана.
39. Орбита Земли относительно Солнца - эллипс с полуосью млн. км и эксцентриситетом . Найти разность максимального и минимального расстояний от Земли до Солнца, если Солнце находится в одном из фокусов орбиты Земли.
40.Масимальное удаление ракеты от поверхности Земли - 197 млн. км, минимальное - 147 млн. км. Составить уравнение траектории движения ракеты, если она движется вокруг Земли по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Земля.
41. Орбита космической ракеты представляет собой эллипс, эксцентриситет которого равен 0,14. Найти отношение полуосей этого эллипса.
42. Земля движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Наименьшее расстояние от Земли до Солнца равно приблизительно 147500000 км, а наибольшее - 152500000 км. Найти большую полуось и эксцентриситет орбиты Земли.
Перечень типовых задач по теме "Гипербола"
Предварительно необходимо:
● изучить § 29 по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии, выучить все определения, формулировки свойств, формулы и уравнения; ● ответить на контрольные вопросы и задания I.7 - I.13 занятия 15 (см. методическое пособие "Линейная алгебра и аналитическая геометрия"); ● ознакомиться с решением задачи II.1 занятия 15.
Задачи
(решаются в прямоугольной декартовой системе координат О)
43. Дано каноническое уравнение гиперболы . Найти действительную и мнимую полуоси, фокальное расстояние, координаты вершин, фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис, уравнение сопряженной с ней гиперболы и выполнить чертеж гиперболы, ее фокусов, асимптот и директрис, если:
а) ;
б) ;
в) .
44. Дано уравнение гиперболы . Привести его к каноническому виду и найти действительную и мнимую полуоси, фокальное расстояние, координаты вершин, фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис и выполнить чертеж гиперболы, ее фокусов, асимптот и директрис, если:
а) ;
б) ;
в) .
45. Найти каноническое уравнение гиперболы и выполнить чертеж гиперболы, ее фокусов, асимптот и директрис, если известно, что:
а) мнимая полуось равна 4, эксцентриситет равен , Оу - мнимая ось гиперболы;
б) фокальное расстояние равно , уравнения асимптот , , Оу - мнимая ось гиперболы;
в) гипербола проходит через точку , уравнения асимптот , , Оу - мнимая ось гиперболы;
г) гипербола проходит через точку , эксцентриситет равен , Оу - мнимая ось гиперболы;
д) мнимая полуось равна , уравнения директрис , .
46. Падающая на крышу тень имеет форму гиперболы, расстояние между фокусами которой равно 20. Найти каноническое уравнение этой гиперболы, если ее эксцентриситет равен .
Перечень типовых задач по теме "Парабола"
Предварительно необходимо:
● изучить § 30 по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии, выучить все определения, формулировки свойств, формулы и уравнения; ● ответить на контрольные вопросы и задания I.14 - I.19 занятия 15 (см. методическое пособие "Линейная алгебра и аналитическая геометрия"); ● ознакомиться с решением задачи II.3 занятия 15.
Задачи
(решаются в прямоугольной декартовой системе координат О)
47. Дано каноническое уравнение параболы . Определить фокальный параметр, координаты фокуса, уравнение директрисы, эксцентриситет параболы и выполнить чертеж параболы, ее фокуса и директрисы:
а) ;г) ;б) ;д) .в) ; 48. Дано уравнение параболы . Привести его к каноническому виду и определить ось и фокальный параметр параболы:
а) ;г) ;б) ;д) .в) ; 49. Найти каноническое уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, и выполнить чертеж параболы, ее фокуса и директрисы, если:
а) фокус имеет координаты ;
б) уравнение директрисы ;
в) парабола проходит через точку , Ох - ось параболы.
50. Камень, брошенный под острым углом к горизонту, описал дугу параболы и упал на расстоянии 16 м от начального положения. Определить фокальный параметр параболической траектории, зная, что наибольшая высота, достигнутая камнем, равна 12 м.
51. Мостовая арка имеет форму параболы. Определить фокальный параметр этой параболы, зная, что пролет арки равен 24 м, а высота - 6 м.
52. Зеркало автомобильной фары имеет в разрезе форму параболы. Диаметр зеркала 20 см, глубина - 10 см. Найти фокальный параметр зеркала.
53. Струя воды, выбрасываемая фонтаном, имеет форму параболы, фокальный параметр которой р = 0,1 м. определить высоту струи, если известно, что она падает в бассейн на расстоянии 2 м от места выхода.
54. Поперечное сечение крыши вагона имеет форму параболы. Ширина крыши 3,6 м. Определить высоту крыши, если на расстоянии 1,44 м от края высота крыши 0,48 м.
55. Стальной трос подвешен за два конца. Точки крепления расположены на одинаковой высоте. Расстояние между ними равно 20 м. Величина его прогиба на расстоянии 2 м от точки крепления, считая по горизонтали, равна 14,4 см. Определить величину прогиба этого троса в середине между точками крепления, приближенно считая, что трос имеет форму дуги параболы.
Перечень типовых задач по теме
"Понятие о классификации линий второго порядка"
Предварительно необходимо:
● изучить § 31 по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии; ● выполнить в тетрадях для практических занятий задания для самостоятельной работы, приведённые после § 31 электронных текстов лекций.
Задачи
56. Определить вид линии второго порядка:
а) у2 - 4 = 0;ж) х2 = −6у;
б) ;з) ;
в) ;и) ;
г) у2 = 17х;к) у2 = 0;
д) ;л) х2 − 11 = 0;
е) х2 = 0;м) х2 + 16 = 0.
57. Определить вид линии второго порядка:
а) х2 − у2 = −1;г) х2 = у;
б) х2 + у2 = −1;д) у2 + =0.
в) у2 = х;
58. Привести уравнение к каноническому виду и определить вид кривой:
а) 7х2 + 5у2 = 0;з) 11х − 4у2 = 0;
б) 9х2 + 16у2 - 144 = 0;и) 19х2 − 4у = 0;
в) 3у2 + 8 = 0;к) 3х2 − 14у2 + 7 = 0;
г) 2х2 − 1 = 0;л) 3х2 + 7 = 0;
д) х2 − 4у2 = 0;м) 12х2 + у2 + 1 = 0;
е) 5х2 − 2у2 - 1 = 0;н) 13х2 + у = 0.
ж) ;
59. Привести уравнение к каноническому виду и определить вид кривой:
а) 15х2 − у2 - 5 = 0;д) 6х2 + 10у2 - 1 = 0;
б) х2 − 13у2 = 0;е) 5х2 + 2у2 + 2 = 0;
в) 7х + 19у2 = 0;ж) 25у2 − 1 = 0.
г) 17х2 + 3 = 0;
60. Определить координаты центра и радиус окружности:
а) х2 + у2 − 2х + 4у − 4 = 0;б) х2 + у2 + 6х + 8у = 0.
Перечень типовых задач по теме
"Поверхности вращения. Цилиндрические поверхности"
Предварительно необходимо:
● изучить параграфы "Поверхности. Метод сечений", "Поверхности вращения" и "Цилиндрические поверхности" по конспектам лекций по аналитической геометрии или по учебнику: Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Часть 1. − М.: Просвещение, 1986;
● ответить на контрольные вопросы и задания I.17 - I.19 занятия 16 из методического пособия [1];
● ознакомиться с решениями следующих задач из методического пособия [3]:
− тема 1, задачи 1.1, 1.2;
− тема 2, задачи 1.1 − 1.3.
Задачи для решения на практическом занятии:
[3], тема 1, №№ 2.1 − 2.7;
тема 2, №№ 2.1 − 2.4.
Задачи для самостоятельного решения:
[3], тема 1, №№ 3.1 − 3.7;
тема 2, №№ 3.1 − 3.4.
Перечень типовых задач по теме
"Конические поверхности. Эллипсоиды.
Гиперболоиды. Параболоиды"
Предварительно необходимо:
● изучить параграфы "Конические поверхности. Понятие о конических сечениях", "Эллипсоиды", "Гиперболоиды", "Параболоиды" по конспектам лекций по аналитической геометрии или по учебнику: Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Часть 1. − М.: Просвещение, 1986;
● ответить на контрольные вопросы и задания I.20 - I.22, I.1 - I.16 занятия 16 из методического пособия [1];
● ознакомиться с решениями следующих задач:
[1], занятие 16, задачи II.1, II.4;
[3], тема 3, задачи I.2, I.3;
[3], тема 4, задача I.3
Задачи для решения на практическом занятии:
[3], тема 3, №№ 2.3 − 2.5;
тема 4, №№ 2.4 − 2.6.
Дополнительно:
1. Привести уравнение к каноническому виду и определить вид поверхности:
а) 3х + 10у2 = 0;д) 2у2 - 17 = 0;
б) 5х2 − 12у2 = 0;е) 9х2 + у2 − z2 = 0;
в) 4х2 − 2у2 + 3z2 = 0;ж) х2 − у2 + z2 = 0;
г) 6у2 − 25z2 + 150 = 0;з) 100х2 − 16z2 − 1 = 0.
2. Привести уравнение к каноническому виду и определить вид поверхности:
а) ;г) 3х2 + 2у2 − z2 + 1 = 0;
б) х2 − у2 − 1 = 0;д) 25х2 − 4у2 − 100z2 − 25 = 0;
в) х2 − 3у2 − 7z2 +1 = 0;е) 9х2 − у2 − 9z2 + 9 = 0.
Задачи для самостоятельного решения:
[1], занятие 16, №№ III.1 − III.4, IV.1 − IV.3, V.2, V.3;
[3], тема 3, №№ 3.3 − 3.5;
тема 4, №№ 3.4 − 3.7.
Кафедра математики, теории и методики обучения математике Глазовского государственного педагогического института им. В.Г. Короленко
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
"ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ"
Направление 010500 Математическое обеспечение
и администрирование информационных систем
2 курс, 3 семестр
Составитель: кандидат физико-математических наук,
доцент Л.Т. Крежевских
Глазов 2012
Геометрия и топология
III семестр
Модуль 1:Преобразования плоскости.
Модуль 2:Линии в трёхмерном евклидовом пространстве.
Модуль 3:Поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве.
Практические занятия
№ практического занятияТема практического занятияПрактическое занятие №1Движения плоскости. Виды и свойства движений.Практическое занятие №2Аналитическое выражение движений и его частные случаи.Практическое занятие №3Подобия плоскости, гомотетия, их свойства.Практическое занятие №4Аналитическое выражение гомотетии и подобия.Практическое занятие №5Аффинные преобразования плоскости, их свойства и аналитическое выражение. Перспективно-аффинные преобразования плоскости, их свойства.Контрольная работа №1 по темам модуля 1 (2 часа)Практическое занятие №6Длина дуги. Касательная к кривой.Практическое занятие №7Кривизна и кручение кривой.Практические занятия №8, 9Канонический репер. Сопровождающий трёхгранник кривой.Контрольная работа №2 по темам модуля 2 (2 часа)Практическое занятие №10Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Практические занятия №11, 12Первая квадратичная форма поверхности и её приложения.Практические занятия №13, 14Вторая квадратичная форма поверхности и её приложения.Контрольная работа №3 по темам модуля 3 (2 часа)
Список литературы для подготовки к практическим занятиям
1. Методическая разработка к практическим занятиям по геометрии (электронный вариант) / Составитель: Л.Т. Крежевских. − Глазов, 2012.
2. Методическая разработка для подготовки к практическим занятиям по дифференциальной геометрии (электронный вариант) / Составитель: Л.Т. Крежевских. − Глазов, 2012.
3. Методические рекомендации по подготовке к практическим занятиям и зачёту по курсу "Дополнительные главы геометрии" (электронный вариант) / Составитель: Л.Т. Крежевских. − Глазов, 2012.
4. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Часть 1. − М.: Просвещение, 1986.
Перечень типовых задач по теме
"Движения плоскости. Виды и свойства движений"
Предварительно необходимо:
● изучить по конспектам лекций или по учебнику [4] теоретические сведения по темам "Отображения и преобразования", "Движения плоскости. Виды движений", "Свойства движений";
● познакомиться с решениями задач из методического пособия [1]: тема 6, задачи 1.1, 1.2.
Задачи для решения на практическом занятии: [1], тема 6, №№ 2.1 − 2.6.
Дополнительно: построить образ окружности при симметрии относительно точки .
Задачи для самостоятельного решения: [1], тема 6, №№ 3.1 − 3.4.
Перечень типовых задач по теме
"Аналитическое выражение движений"
Предварительно необходимо:
● изучить по конспектам лекций или по учебнику [4] теоретические сведения по теме "Аналитическое выражение движений и его частные случаи";
● познакомиться с решениями задач из методического пособия [1]: тема 7, задачи 1.1, 1.2.
Задачи для решения на практическом занятии: [1], тема 7, №№ 2.1 − 2.4, 2.6.
Дополнительно:
1. Найти аналитическое выражение параллельного переноса на вектор и координаты образа и прообраза точки М (1; 2) в данном параллельном переносе.
2. Найти аналитическое выражение поворота вокруг начала координат на угол 120º; −45º.
3. Найти координаты образа и прообраза точки М при симметрии относительно а) оси абсцисс; б) оси ординат.
Задачи для самостоятельного решения: [1], тема 7, №№ 3.1, 3.3, 3.4.
Перечень типовых задач по теме
"Подобия плоскости, гомотетия, их свойства"
Предварительно необходимо:
● изучить по конспектам лекций или по учебнику [4] теоретические сведения по теме "Подобия плоскости. Гомотетия";
● познакомиться с решением задачи 1.1 из методического пособия [1] (тема 9).
Задачи для решения на практическом занятии: [1], тема 9, №№ 2.1, 2.2, 2.5.
Дополнительно:
1. Построить образ прямого угла АВС в гомотетии с центром М0 и коэффициентом ; , если: а) точка М0 лежит внутри угла АВС; б) точка М0 лежит вне угла АВС.
2. Гомотетия задана центром гомотетии М0 и парой соответственных точек . Построить образ данной точки Р.
Задачи для самостоятельного решения: [1], тема 9, №№ 3.1, 3.2, 3.4.
Перечень типовых задач по теме
"Аналитическое выражение гомотетии и подобия"
Предварительно необходимо:
● изучить по конспектам лекций или по учебнику [4] теоретические сведения по указанной теме;
● познакомиться с решением задачи 1.2 из методического пособия [1] (тема 9).
Задачи для решения на практическом занятии:
1. Найти аналитическое выражение гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом m = 6 и координаты образа и прообраза точки М (−5; 3).
2. Найти аналитическое выражение гомотетии с центром в точке М0(8; −4) и коэффициентом и координаты образа и прообраза начала координат.
3. Дано аналитическое выражение подобия плоскости f:
Определить, будет ли подобие f подобием I рода или II рода. Вычислить определитель матрицы данного преобразования. Найти координаты образа и прообраза начала координат.
Задачи для самостоятельного решения:
1. [1], тема 9, № 3.3
2. Дано аналитическое выражение подобия плоскости g:
Определить род подобия g. Вычислить определитель матрицы данного преобразования. Найти координаты образа и прообраза точки М (1; −7).
Перечень типовых задач по теме
"Аффинные преобразования плоскости, их свойства
и аналитическое выражение.
Перспективно-аффинные преобразования плоскости, их свойства"
Предварительно необходимо:
● изучить по конспектам лекций или по учебнику [4] теоретические сведения по указанным темам;
● познакомиться с решениями задач из методического пособия [1]: тема 10, задачи 1.1 − 1.3.
Задачи для решения на практическом занятии: [1], тема 10, №№ 2.1 − 2.6.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Построить образ точки Х в перспективно-аффинном преобразовании f, заданном осью d0 и парой соответственных точек , если:
а) ;б) ;
в) ;г) .
2. Аффинное преобразование плоскости задано формулами:
а) Определить род этого преобразования;
б) Найти координаты образа и прообраза точки N (−1; 3).
3. Выяснить, будет ли преобразование аффинным.
Перечень типовых задач по теме
"Длина дуги. Касательная к кривой"
Предварительно необходимо изучить по конспектам лекций теоретические сведения по темам "Векторная функция одного скалярного аргумента", "Понятие линии. Гладкие линии" и "Касательная к кривой. Длина дуги".
Задачи для решения на практическом занятии: [2], тема 1, №№ 1.2 − 1.5.
Дополнительно:
1. Вычислить длину дуги кривой заключённой между точками М1 (t1 = π) и М2 (t2 = 2π).
2. Вычислить длину дуги кривой заключённой между точками М1 и М2 (t2 = π).
Задачи для самостоятельного решения:
1. Вычислить длину дуги кривой заключённой между точками М1 (t1 = 0) и М2 .
2. Вычислить длину дуги кривой заключённой между точками М1 (t1 = π) и М2 (t2 = 2π).
3. [2], тема 1, №№ 2.2 − 2.4.
Перечень типовых задач по теме
"Кривизна и кручение кривой"
Предварительно необходимо изучить по конспектам лекций теоретические сведения по теме "Канонический репер. Кривизна и кручение кривой".
Задачи для решения на практическом занятии: [2], тема 2, №№ 1.1 − 1.5.
Задачи для самостоятельного решения: [2], тема 2, №№ 2.1 − 2.4.
Перечень типовых задач по теме
"Канонический репер. Сопровождающий трёхгранник кривой"
Предварительно необходимо изучить по конспектам лекций теоретические сведения по темам "Канонический репер. Кривизна и кручение кривой" и "Сопровождающий трёхгранник кривой".
Задачи для решения на практических занятиях: [2], тема 3, №№ 1.1 − 1.3.
Дополнительно:
1. Найти координатные векторы, уравнения координатных прямых и плоскостей сопровождающего трёхгранника линии в точке М0 (t0 = π).
2. Найти координатные векторы, уравнения координатных прямых и плоскостей сопровождающего трёхгранника линии в точке М0 (t0 = 0).
Задачи для самостоятельного решения:
1. Найти координатные векторы, уравнения координатных прямых и плоскостей сопровождающего трёхгранника линии в точке М0 (t0 = 0).
2. Найти координатные векторы, уравнения координатных прямых и плоскостей сопровождающего трёхгранника линии в точке М0 (t0 = π).
3. [2], тема 3, №№ 2.1 − 2.3.
Перечень типовых задач по теме
"Касательная плоскость и нормаль к поверхности"
Предварительно необходимо изучить по конспектам лекций теоретические сведения по указанной теме.
Задачи для решения на практическом занятии: [2], тема 4, №№ 1.1 − 1.5.
Задачи для самостоятельного решения: [2], тема 4, №№ 2.1 − 2.4.
Перечень типовых задач по теме
"Первая квадратичная форма поверхности и её приложения"
Предварительно необходимо изучить по конспектам лекций теоретические сведения по указанной теме.
Задачи для решения на практических занятиях: [2], тема 5, №№ 1.1 − 1.6.
Задачи для самостоятельного решения: [2], тема 5, №№ 2.1 − 2.4.
Перечень типовых задач по теме
"Вторая квадратичная форма поверхности и её приложения"
Предварительно необходимо изучить по конспектам лекций теоретические сведения по указанной теме.
Задачи для решения на практических занятиях: [2], тема 6, №№ 1.1 − 1.5.
Задачи для самостоятельного решения: [2], тема 6, №№ 2.1 − 2.5.
Кафедра математики, теории и методики обучения математике Глазовского государственного педагогического института им. В.Г. Короленко
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
"ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ"
Направление 010500 Математическое обеспечение
и администрирование информационных систем
2 курс, 4 семестр
Составитель: кандидат физико-математических наук,
доцент Л.Т. Крежевских
Глазов 2012
Геометрия и топология
IV семестр
Модуль 1:Изображение фигур в параллельной проекции.
Модуль 2:Аксонометрия.
Модуль 3:Эпюр двух и трёх проекций.
Практические занятия
№ практического занятияТема практического занятияПрактические занятия №1, 2Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции.Практические занятия №3, 4Построение сечений призм и пирамид.Контрольная работа по темам модуля 1 (2 часа)Практическое занятие №5Позиционные задачи в аксонометрии.Практическое занятие №6Метрические задачи в аксонометрии.Контрольная работа по темам модуля 2 (2 часа)Практические занятия №7, 8Решение позиционных задач на эпюре двух проекций.Практические занятия №9, 10Решение метрических задач на эпюре двух проекций.Практическое занятие №11Эпюр трёх проекций.Контрольная работа по темам модуля 3 (2 часа)
Список литературы для подготовки к практическим занятиям
1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Часть 2. − М.: Просвещение, 1987.
2. Павлова А.А. Начертательная геометрия. − М.: ВЛАДОС, 2005.
3. Нартова Л.Г., Якунин В.И. Начертательная геометрия. − М.: Дрофа, 2003.
Перечень типовых задач по теме
"Изображение плоских и пространственных фигур
в параллельной проекции"
Предварительно необходимо изучить по конспектам лекций или по учебнику [1] теоретические сведения по темам "Понятие, свойства и аналитическое выражение аффинных отображений. Аффинная эквивалентность фигур", "Параллельное проектирование и его свойства", "Правила изображения плоских фигур в параллельной проекции", "Изображение многогранников в параллельной проекции", "Изображение цилиндра, конуса, шара", "Полные и неполные изображения. Понятие о позиционной задаче".
Задачи
1. Построить изображение: а) прямоугольника с отношением сторон 2:3; б) равнобокой трапеции с отношением оснований 2:5.
2. Построить изображение правильного треугольника, вписанного в окружность.
3. Построить изображение: а) правильного шестиугольника, вписанного в окружность; б) правильного восьмиугольника, вписанного в окружность.
4. Построить изображение правильного шестиугольника, используя свойства правильного шестиугольника.
5. Дано изображение А, В, D трёх вершин и правильного шестиугольника . Достроить его изображение.
6. Дано изображение С, D и E трёх соседних вершин правильного шестиугольника. Достроить изображение остальных его вершин.
7. Построить изображение произвольного семиугольника.
8. Построить изображение окружности и её сегмента с углом: а) 30º; б) 60º; в) 45º; г) 75º; д) 105º.
9. Построить изображение окружности и её сектора с углом: а) 30º; б) 60º; в) 45º; г) 75º; д) 105º.
10. Дано изображение произвольного треугольника и двух его высот. Построить изображение центра описанной около этого треугольника окружности.
11. Дано изображение произвольного треугольника, вписанного в окружность. Построить изображение его высот.
12. Построить изображение: а) треугольной призмы, вписанной в цилиндр; б) треугольной призмы, описанной около цилиндра.
13. Построить изображение: а) пятиугольной призмы, вписанной в цилиндр; б) пятиугольной призмы, описанной около цилиндра.
14. Построить изображение: а) треугольной пирамиды, вписанной в конус; б) треугольной пирамиды, описанной около конуса.
15. Построить изображение: а) правильной четырёхугольной пирамиды, вписанной в конус; б) правильной четырёхугольной пирамиды, описанной около конуса.
16. Построить изображение треугольной пирамиды, вписанной в шар.
17. Дано изображение четырёхугольной призмы АВСDA1B1C1D1, , . Построить точки пересечения прямой (МР) с плоскостями остальных четырёх граней призмы и с диагональной плоскостью (АСС1).
18. Дано изображение треугольной призмы АВСA1B1C1. Точка М принадлежит верхнему основанию АВС, Р − боковой грани АСC1A1. Построить точки пересечения прямой (МР) с плоскостями остальных боковых граней и нижнего основания.
19. Дано изображение четырёхугольной призмы АВСDA1B1C1D1. Точка М принадлежит грани АВВ1A1, Р − грани СDD1C1. Построить точки пересечения прямой (МР) с плоскостями остальных четырёх граней призмы и с диагональными плоскостями (АСС1) и (BDD1).
20. Дано изображение треугольной пирамиды АВСD. Точка М лежит в плоскости основания АВС (вне основания), Р − в боковой грани. Построить точки пересечения прямой (МР) с плоскостями остальных боковых граней пирамиды.
21. Дано изображение четырёхугольной пирамиды АВСDЕ, , . Построить точки пересечения прямой (МР) с плоскостями двух других боковых граней и с плоскостью основания.
22. Дано изображение пятиугольной пирамиды SАВСDЕ (S − вершина), , . Построить точки пересечения прямой (МK) с плоскостями остальных трёх боковых граней и с плоскостью основания.
Перечень типовых задач по теме
"Построение сечений призм и пирамид"
Предварительно необходимо изучить по конспектам лекций или по учебнику [1] теоретические сведения по темам "Полные и неполные изображения. Понятие о позиционной задаче" и "Построение сечений призм и пирамид".
Задачи
23. Построить сечение пятиугольной призмы ABCDEA1B1C1D1E1 плоскостью, заданной тремя точками M, P и Q, если:
а) две из них лежат на соседних боковых рёбрах, а третья − на боковой грани, не содержащей ни одно из этих рёбер;
б) эти точки лежат на трёх соседних боковых рёбрах;
в) одна из них лежит на боковом ребре, а две − в боковых гранях, не содержащих это ребро;
г) эти точки лежат на трёх соседних боковых гранях;
д) две из них лежат на соседних боковых гранях, а третья − на боковой грани, противоположной их общему ребру;
е) две из них лежат на боковых рёбрах, а третья − вне призмы;
ж) одна из них лежит на боковом ребре, одна − на боковой грани, одна − вне призмы;
з) одна из них лежит в боковой грани, а две − вне призмы;
и) одна из них лежит на боковом ребре, а две −вне призмы.
24. Построить сечение шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскостью, заданной тремя точками M, P и Q, если:
а) эти точки лежат на трёх соседних боковых рёбрах;
б) эти точки лежат в трёх соседних боковых гранях;
в) эти точки лежат на боковых рёбрах через одно;
г) эти точки лежат в боковых гранях через одну;
д) точка М лежит на боковом ребре, точки P и Q − в соседних боковых гранях;
е) точки М и Р лежат на боковых рёбрах, Q − в боковой грани, не содержащей М и Р;
ж) М лежит на боковом ребре, Р − в боковой грани, Q − вне призмы;
з) М лежит на боковом ребре, Р и Q − вне призмы;
и) М и Р лежат в боковых гранях, Q − вне призмы.
25. Построить сечение пятиугольной пирамиды SABCDE плоскостью, заданной тремя точками M, P и Q, если:
а) две из них лежат на соседних боковых рёбрах, а третья − на боковой грани, не содержащей ни одно из этих рёбер;
б) эти точки лежат на трёх соседних боковых рёбрах;
в) одна из них лежит на боковом ребре, а две − в боковых гранях, не содержащих это ребро;
г) эти точки лежат на трёх соседних боковых гранях;
д) две из них лежат на соседних боковых гранях, а третья − на боковой грани, противоположной их общему ребру;
е) две из них лежат на боковых рёбрах, а третья − вне пирамиды;
ж) одна из них лежит на боковом ребре, одна − на боковой грани, одна − вне пирамиды;
з) одна из них лежит в боковой грани, а две − вне пирамиды;
и) одна из них лежит на боковом ребре, а две −вне пирамиды.
26. Построить сечение шестиугольной пирамиды SABCDEF плоскостью, заданной тремя точками M, P и Q, если:
а) эти точки лежат на трёх соседних боковых рёбрах;
б) эти точки лежат в трёх соседних боковых гранях;
в) эти точки лежат на боковых рёбрах через одно;
г) эти точки лежат в боковых гранях через одну;
д) точка М лежит на боковом ребре, точки P и Q − в соседних боковых гранях;
е) точки М и Р лежат на боковых рёбрах, Q − в боковой грани, не содержащей М и Р;
ж) М лежит на боковом ребре, Р − в боковой грани, Q − вне пирамиды;
з) М лежит на боковом ребре, Р и Q − вне пирамиды;
и) М и Р лежат в боковых гранях, Q − вне пирамиды.
27. Построить сечение треугольной призмы плоскостью, заданной тремя точками, лежащими вне призмы.
28. Построить сечение четырёхугольной пирамиды плоскостью, заданной тремя точками, лежащими вне пирамиды.
Перечень типовых задач по теме
"Позиционные задачи в аксонометрии"
Предварительно необходимо изучить по конспектам лекций или по учебникам [1]−[3] теоретический материал по темам "Понятие аксонометрического проектирования. Коэффициент искажения. Виды аксонометрических проекций", "Задание точек, прямых и плоскостей в аксонометрии" и "Позиционные задачи в аксонометрии".
Задачи
1. Построить вторичную проекцию N3 точки по её аксонометрической проекции N, если эта точка лежит в плоскости (АВС).
2. Построить вторичную проекцию N3 точки по её аксонометрической проекции N, если эта точка лежит в плоскости, заданной точкой А (А3) и следом l = l3.
3. Построить аксонометрическую проекцию D точки по её вторичной проекции D3, если эта точка лежит в плоскости (АВС).
4. Построить аксонометрическую проекцию D точки по её вторичной проекции D3, если эта точка лежит в плоскости, заданной точкой А (А3) и следом l = l3.
5. Построить следы прямой, заданной двумя точками М (М3) и К (К3), на координатных плоскостях аксонометрической системы координат.
6. Построить следы прямой, заданной своей аксонометрической l и вторичной проекцией l3, на координатных плоскостях аксонометрической системы координат.
7. Построить следы плоскости, заданной тремя точками P (P3), Q (Q3) и N (N3), не лежащими на одной прямой, на координатных плоскостях аксонометрической системы координат (рис. 1).
8. Построить следы плоскости, заданной точкой А (А3) и следом l = l3 на плоскости Оху, на координатных плоскостях Oxz и Oyz аксонометрической системы координат (рис. 2).
9. Построить аксонометрическую и одну из вторичных проекций линии пересечения двух плоскостей, каждая из которых задана точкой и следом на координатной плоскости Оху аксонометрической системы координат.
10. Построить аксонометрическую и одну из вторичных проекций точки пересечения прямой и плоскости, если прямая задана двумя точками А (А3) и В (В3), а плоскость − точкой С (С3) и следом m = m3. на координатной плоскости Оху аксонометрической системы координат.
Перечень типовых задач по теме
"Метрические задачи в аксонометрии"
Предварительно необходимо изучить по конспектам лекций или по учебникам [1]−[3] теоретические сведения по темам "Метрические задачи в аксонометрии", "Основные сведения о правильных и полуправильных многогранниках" и "Построение прямоугольной диметрии правильных и полуправильных многогранников".
Задачи
11. Построить истинную величину отрезка CD, параллельного оси Ох, если дана аксонометрическая проекция этого отрезка и истинная величина единичного отрезка.
12. Построить истинную величину отрезка PN, параллельного оси Оy, если дана аксонометрическая проекция этого отрезка и истинная величина единичного отрезка.
13. Построить истинную величину отрезка QS, лежащего в плоскости Оху, если дана аксонометрическая проекция этого отрезка и истинная величина единичного отрезка (рис. 3а).
14. Построить истинную величину отрезка KM, лежащего в плоскости Оху, если дана аксонометрическая проекция этого отрезка и истинная величина единичного отрезка (рис. 3б).
15. Построить истинную величину отрезка KP, лежащего в плоскости Оху, если дана аксонометрическая проекция этого отрезка и истинная величина единичного отрезка (рис. 4).
16. Построить прямоугольную диметрическую проекцию усечённого куба.
17. Построить прямоугольную диметрическую проекцию усечённого тетраэдра.
18. Построить прямоугольную диметрическую проекцию кубооктаэдра.
19. Построить прямоугольную диметрию и прямоугольную изометрию цилиндра.
20. Построить прямоугольную диметрию и прямоугольную изометрию конуса.
21. Построить прямоугольную диметрию и прямоугольную изометрию правильной четырёхугольной призмы, у которой боковое ребро в 2 раза больше стороны основания.
22. Построить прямоугольную диметрию и прямоугольную изометрию правильной четырёхугольной пирамиды, у которой высота в 2 раза больше стороны основания.
Перечень типовых задач по теме
"Решение позиционных задач на эпюре двух проекций"
Предварительно необходимо изучить по конспектам лекций или по учебникам [1]−[3] теоретические сведения по темам "Понятие об эпюре двух проекций", "Решение позиционных задач на эпюре двух проекций".
Задачи
1. Выяснить взаимное расположение двух прямых m и n (рис. 5):
2. Лежат ли точки A, B, C, D на прямой d (рис. 6)?
3. Провести через точки А и В прямую (рис. 7).
4. Построить вертикальную проекцию точки М, лежащей в данной плоскости (АВС), по её горизонтальной проекции (рис. 8).
5. Даны прямая (АВ) и точка К. Провести через точку К прямую m, параллельную прямой (АВ) (рис. 9).
6. Построить точку пересечения прямой l и плоскости (PQR) (рис.10).
7. Построить линию пересечения плоскостей (MNK) и (PQR) (рис. 11).
8. Построить следы прямой p на горизонтальной и вертикальной плоскостях (рис. 12).
9. Построить след прямой а:
1) на горизонтальной плоскости Н (рис. 13);
2) на вертикальной плоскости V (рис. 14).
10. Построить след плоскости (АВС):
1) на горизонтальной плоскости Н (рис. 15);
2) на вертикальной плоскости V (рис. 16).
Перечень типовых задач по теме
"Решение метрических задач на эпюре двух проекций"
Предварительно необходимо изучить по конспектам лекций или по учебникам [1]−[3] теоретические сведения по темам "Понятие об эпюре двух проекций", "Решение метрических задач на эпюре двух проекций".
Задачи
11. Найти истинную величину отрезка PQ (рис. 17).
12. Найти истинную величину отрезка MN (рис. 18).
13. Найти истинную величину угла наклона прямой m к плоскости H (рис. 19).
14. Найти истинную величину угла наклона прямой d к плоскости H (рис. 20).
15. Найти истинную величину угла наклона прямой p к плоскости V (рис. 21).
16. Найти истинную величину угла наклона прямой t к плоскости V (рис. 22).
17. Построить истинный вид треугольника RST (рис. 23).
18. Построить истинную величину угла АВС (рис. 24).
Перечень типовых задач по теме
"Эпюр трёх проекций"
Предварительно необходимо изучить по конспектам лекций или по учебникам [1]−[3] теоретические сведения по теме "Эпюр трёх проекций".
Задачи
19. Построить профильную проекцию отрезка АВ по его горизонтальной и вертикальной проекциям (рис. 25).
20. Построить горизонтальную проекцию отрезка АВ по его вертикальной и профильной проекциям (рис. 26).
21. Построить вертикальную проекцию отрезка АВ по его горизонтальной и профильной проекциям (рис. 27).
22. Построить профильную проекцию прямой l по её горизонтальной и вертикальной проекциям (рис. 28).
23. Построить горизонтальную проекцию прямой l по её вертикальной и профильной проекциям (рис. 29).
24. Построить вертикальную проекцию прямой l по её горизонтальной и профильной проекциям (рис. 30).
25. По двум проекциям фигуры построить её третью проекцию (рис. 31).
26. По прямоугольной диметрической проекции данной фигуры (рис. 32) построить эпюр трёх её проекций.
27. Построить эпюр трёх проекций фигуры (рис. 33).
28. По эпюру трёх проекций восстановить форму фигуры (рис. 34).
Автор
wegas22
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1 036
Размер файла
1 455 Кб
Теги
умм, план, практическая, занятия
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа