close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

6 Metodicheskie rekomendatsii dlya studentov

код для вставкиСкачать

Методические материалы
по организации
самостоятельной работы
студентов
по геометрии и топологии
ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
ПО ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ
Самостоятельная работа студентов является одной из основных форм учебного процесса. Цель самостоятельной работы студентов, обучающихся в педагогическом институте, состоит в том, чтобы научиться самостоятельно овладевать теорией и применять ее в практике работы в школе.
Самостоятельная работа осуществляется как в аудиторной (выполнение различных индивидуальных, творческих заданий и т.д.), так и во внеаудиторной (самостоятельное изучение теоретических вопросов, индивидуальные домашние задания практического характера, работа над рефератами, выполнение курсовых и выпускных квалификационных работ и т.д.) форме и контролируется преподавателем. Формы контроля за самостоятельной работой студентов могут быть различными: контрольные работы по теории, по практическим вопросам (решение задач), собеседования, компьютерное тестирование и т.д. Результаты контроля являются основанием для оценки текущей успеваемости студентов (аттестация) и могут учитываться в той или иной степени при сдаче экзамена.
Основные этапы работы над изучаемым материалом таковы: изучение теоретического материала по лекциям и учебникам, контроль усвоения материала с помощью контрольных вопросов, отработка полученных знаний при решении задач.
Конечной целью самостоятельного изучения любого теоретического вопроса является умение применять его при решении задач. Для успешного решения геометрических задач необходимо уметь решать типовые задачи, что предполагает владение студентом умениями и навыками, перечисленными в разделе "Перечень обязательных практических умений и навыков". Например, чтобы решить задачу 1.4 из раздела "Задания для самостоятельной работы студентов", необходимо уметь решать типовые задачи, сформулированные в перечне обязательных практических умений и навыков в разделах "Элементы векторной алгебры" и "Метод координат на плоскости и в пространстве" под номерами 12), 15), 8) и 17).
Контрольные вопросы, решение типовых задач и задания для самостоятельной работы студентов по каждой теме курса "Геометрия" содержатся в методических рекомендациях [4]  [8] списка основной литературы, рекомендуемой для самостоятельной работы студентов. Перед тем, как приступить к выполнению этих заданий, студентам следует ознакомиться с теоретическими сведениями по данной теме, ответить на предлагаемые контрольные вопросы и познакомиться с образцами решения задач, которые также приводятся в указанных источниках. При самостоятельном решении задач по аналитической геометрии студенты могут использовать также методическую разработку [3], в которой приводятся примеры решения задач по всем разделам аналитической геометрии и предлагается большое количество задач для самостоятельного решения.
ЛИТЕРАТУРА, РЕКОМЕНДУЕМАЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
Основная:
1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия: Учеб. пособие. В 2 ч. Ч.1. - М.: Просвещение, 1986. − 335 с. − Доп. Мин. образования РФ.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия: Учеб. пособие. В 2 ч. Ч.2. - М.: Просвещение, 1987. - 351 с. − Доп. Мин. образования РФ.
3. Индивидуальные задания по аналитической геометрии: для студ. 1 курса математического факультета / Сост.: Л.Т. Крежевских. - Глазов. гос. пед. ин-т. - Глазов, 2003. − 60с.
4. Линейная алгебра и аналитическая геометрия / Сост.: Л.Т. Крежевских, И.Л. Мирошниченко. - Глазов: Изд. центр ГГПИ, 2007. − 6с.
5. Методические рекомендации по подготовке к практическим занятиям по курсу "Геометрия". Часть 1. Аналитическая геометрия / Сост.: В.С. Пономарев, Л.Т. Крежевских, В.Т. Захарова. - Глазов, 1995. − 60с.
6. Методические рекомендации по подготовке к практическим занятиям по курсу "Геометрия". Часть 2. Аналитическая геометрия / Сост.: В.С. Пономарев, Л.Т. Крежевских, В.Т. Захарова. - Глазов, 1995. − 55с.
7. Методические рекомендации по подготовке к практическим занятиям по курсу "Геометрия". Часть 6. Преобразования плоскости. / Сост.: В.Т. Захарова. - Глазов: ГГПИ, 1997. − 29с.
8. Практические занятия по проективной геометрии и методам изображений (Методические рекомендации в помощь студентам) / Сост.: В.С. Пономарев, Л.Т. Крежевских. - Глазов, 1993. − 65с.
9. Сборник задач по геометрии: Учеб. пособие / Под ред. В.Т. Базылева. - М.: Просвещение, 1980. - 238 с. − Доп. Мин. образования РФ.
10. Сборник задач по геометрии: Учеб. пособие. - М.: Просвещение, 1973. - Ч.1. - 209 с. − Доп. Мин. образования РФ.
11. Сборник задач по геометрии: Учеб. пособие. - М.: Просвещение, 1975. - Ч.2. - 200 с. − Доп. Мин. образования РФ.
12. Степанов Н.А., Жогова Т.Б., Казнина О.В. Геометрия I: Учеб. пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов. - Н.Новгород: Изд-во НГПУ, 2007. − 299с. − Доп. УМО Мин-ва образования и науки РФ.
13. Степанов Н.А., Жогова Т.Б., Казнина О.В. Геометрия II: Учеб. пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов. - Н.Новгород: Изд-во НГПУ, 2007. − 299с. − Доп. УМО Мин-ва образования и науки РФ.
Электронные пособия:
14. Тексты лекций по аналитической геометрии. − Глазов, 2006.
15. Материалы для практических занятий и самостоятельной работы по аналитической геометрии. − Глазов, 2011.
16. Методическая разработка к практическим занятиям по геометрии. − Глазов, 2007.
17. Методическая разработка для подготовки к практическим занятиям по дифференциальной геометрии. − Глазов, 2004.
18. Методические рекомендации по подготовке к практическим занятиям и зачёту по курсу "Дополнительные главы геометрии". − Глазов, 2006.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ "ГЕОМЕТРИЯ"
Тема "Элементы векторной алгебры. Метод координат
на плоскости и в пространстве"
1.1. В параллелограмме ABCD Р - точка пересечения диагоналей, М - середина AD, К - середина РС. Найдите:
а) координаты вектора в базисе , ;
б) координаты точки D в системе координат Р, , ;
в) формулы преобразования координат при переходе от системы координат Р, , к системе координат К, , ;
г) координаты точки D в системе координат К, , , пользуясь формулами, выведенными в пункте в).
1.2. Даны координаты вершин треугольника А(1; 0; 2), В(1; 1; 3), С(0; 2; 1). Найдите:
а) длины всех его сторон;
б) величины внутренних углов;
в) длины медиан и средних линий;
г) длины биссектрис;
д) площадь треугольника (пользуясь векторным произведением векторов);
е) длины высот.
1.3. Даны координаты вершин тетраэдра: A(0; 0; 2), B(1; -1; 0), C(-1; 1; 3), D(1; 1; 0). Найдите:
а) длины ребер тетраэдра;
б) величины плоских углов при вершине D;
в) площади боковых граней (пользуясь векторным произведением векторов);
г) объем тетраэдра (пользуясь смешанным произведением трех векторов);
д) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины D;
е) величины двугранных углов при основании АВС;
ж) величины углов между боковыми ребрами и плоскостью основания АВС.
1.4. Докажите, что в произвольном тетраэдре
а) отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами тяжести противоположных граней (медианы тетраэдра), пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершин тетраэдра (эта точка называется центром тяжести тетраэдра);
б) отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра (средние линии тетраэдра), пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;
в) центр тяжести тетраэдра совпадает с точкой пересечения его средних линий;
г) если тетраэдр правильный, то его противоположные ребра попарно взаимно перпендикулярны;
д) если тетраэдр правильный, то три его средние линии равны между собой и попарно взаимно перпендикулярны.
Тема "Прямая линия на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве"
2.1. Даны координаты двух вершин А(3; 0) и В(1; 2) квадрата ABCD. Найдите:
а) уравнения прямых, содержащих его диагонали, не находя координат вершин С и D;
б) уравнения прямых, содержащих стороны квадрата.
2.2. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(0; 6), В(-2; 2), С(4; 0). Найдите:
а) уравнения прямых, содержащих стороны треугольника;
б) уравнения прямых, содержащих его высоты;
в) уравнения прямых, содержащих его биссектрисы;
г) координаты центра тяжести треугольника АВС;
д) координаты центра вписанной окружности;
е) радиус вписанной окружности;
ж) координаты центра описанной окружности;
з) координаты ортоцентра треугольника АВС;
и) длины высот треугольника АВС.
2.3. Даны вершины тетраэдра A(1; 0; 3), B(1; 1; 2), C(0; 0; 1) и D(1; 1; 4). Найдите:
а) уравнения плоскостей, содержащих его грани;
б) длину высоты, опущенной из вершины D на основание АВС;
в) уравнения прямых, содержащих боковые ребра;
г) двугранные углы при основании;
д) углы между боковыми ребрами и основанием;
е) уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости (АВС);
ж) уравнение плоскости, содержащей ребро CD и параллельной ребру АВ;
з) уравнение плоскости, проходящей через точку В перпендикулярно ребру АС;
и) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно ребру BD;
к) уравнение прямой, содержащей высоту тетраэдра, опущенную из вершины D на основание АВС;
л) уравнение линии пересечения плоскости (АВС) с координатными плоскостями Oxy, Oyz, Oxz;
м) координаты точек пересечения прямой AD с координатными плоскостями Oxy, Oyz, Oxz;
н) координаты точек пересечения плоскости (АВС) с осями координат Ox, Oy, Oz.
2.4. Даны координаты трех вершин параллелепипеда ABCDA1B1C1D1: А(0; 0; 0), В(3; 0; 0), D(1; 1; 0) и А1(2; 1; 4);
а) найдите уравнения плоскостей, содержащих его грани;
б) найдите уравнения прямых, содержащих его ребра;
в) найдите длину высоты A1H параллелепипеда, опущенной из вершины А1 на плоскость основания АВСD;
г) найдите уравнение прямой, содержащей высоту A1H;
д) найдите координаты точки пересечения плоскости (ADM), где М - середина ребра СС1, с прямой ВВ1;
е) докажите, что прямые А1М и BD являются скрещивающимися;
ж) выясните взаимное расположение прямой DP и плоскости (MNK), где M - середина AB, N - середина AD, K - середина AA1, P - центр грани ABB1A1.
Тема "Линии второго порядка. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям"
3.1. Уравнения асимптот гиперболы с центром в начале координат и действительной осью Ох имеют вид: и , а ее эксцентриситет равен .
а) найдите каноническое уравнение гиперболы;
б) найдите координаты ее вершин, фокусов и уравнения директрис;
в) найдите координаты какой-либо точки гиперболы, отличной от ее вершин, и фокальные радиусы этой точки;
г) изобразите эту гиперболу.
3.2. Парабола с вершиной в начале координат и осью Ох проходит через точку М.
а) найдите каноническое уравнение параболы;
б) найдите координаты фокуса и уравнения директрисы;
в) изобразите эту параболу.
3.3. Приведите общее уравнение линии второго порядка к каноническому виду и изобразите данную линию: .
3.4. Найдите уравнение поверхности, полученной вращением линии вокруг оси Ох, определите вид этой поверхности и изобразите ее.
3.5. Определите вид цилиндрической поверхности, заданной уравнением , найдите уравнение ее направляющей и направление образующих и изобразите эту поверхность.
3.6. Определите вид поверхности, заданной уравнением и изобразите эту поверхность.
3.7. Найдите уравнения прямолинейных образующих поверхности второго порядка Ф, проходящих через точку М  Ф:
а) Ф: , М(2; 0; 2);
б) Ф: , М(; 1; 0).
Тема "Преобразования плоскости"
4.1. Дана точка М(2; 1). Найдите:
а) аналитическое выражение гомотетии с центром М и коэффициентом m = 3;
б) координаты образа и прообраза точки А(5, 2);
в) уравнения образа и прообраза прямой l: 3x + y - 1 = 0.
4.2. На биссектрисе данного угла АВС взята точка О. Окружность с центром в точке О пересекает сторону ВА угла в точках M и N, а сторону ВС - в точках Р и Q. Докажите, что:
а) MN = PQ;
б) MQ = PN;
в) MP  NQ;
г) точка пересечения отрезков MQ и PN лежит на биссектрисе угла ABC.
4.3. Окружности 1 и 2 неравных радиусов касаются в точке К. через точку К проведены прямые а и в. прямая а пересекает 1 в точке А1, 2 - в точке А2; прямая в пересекает 1 в точке В1, 2 - в точке В2. Докажите, что:
а) А1В1  А2В2;
б) середины отрезков А1В1 и А2В2 и точка К лежат на одной прямой.
4.4. Докажите методом аффинных преобразований, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Тема "Линии в трёхмерном евклидовом пространстве"
5.1. Найдите уравнение касательной к линии:
а) вточке ;б) в точке В(0; 0; 0).
5.2. Найдите длину дуги линии от точки М1 (t1 = -1) до точки М2 (t2 = 3).
5.3. Найдите кривизну, радиус кривизны и кручение линии в точке М .
5.4. Найдите координатные векторы канонического репера линии в точке М (t = 1).
5.5. Найдите уравнения касательной, главной нормали, бинормали, соприкасающейся плоскости, спрямляющей плоскости и нормальной плоскости линии в точке М (t = 1).
Тема "Поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве"
6.1. Найдите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности:
а) вточке ;
б) в точке В (−1; 1; 0);
в) в точке С (1; 1; 3).
6.2. На поверхности найдите длину дуги линии v = 3u между точками М1 (u1 = 1, v1=3) и М2 (u2 = 2, v2 = 6).
6.3. Найдите, под каким углом пересекаются линии 3u + v - 1 = 0 и на поверхности 6.4. Найдите нормальную кривизну линии u + 2v - 2 = 0 на поверхности в точке А (u = 0, v = 1).
6.5. Определите характер точки Р(0;2;−2) на поверхности .
6.6. Вычислите главные кривизны, полную и среднюю кривизны поверхности z = xy в точке М (1; 1; 1).
Тема "Методы изображений"
7.1. Построить изображение правильной n-угольной пирамиды (n = 3, 4, 5, 6), вписанной в конус.
7.2. Построить изображение правильной n-угольной призмы (n = 3, 4, 5, 6), вписанной в цилиндр.
7.3. Построить изображение правильной n-угольной пирамиды (n = 3, 4, 5, 6), описанной около конуса.
7.4. Построить изображение правильной n-угольной призмы (n = 3, 4, 5, 6), описанной около цилиндра.
7.5. Построить точки пересечения прямой, походящей через две точки, лежащие на двух гранях (смежных, несмежных) n-угольной призмы (n = 4, 5, 6), с плоскостями остальных боковых граней и оснований призмы.
7.6. Построить точки пересечения прямой, походящей через две точки, лежащие на двух гранях (смежных, несмежных) n-угольной пирамиды (n = 4, 5, 6), с плоскостями остальных боковых граней и основания пирамиды.
7.7. Построить сечение n-угольной призмы (n = 5, 6) плоскостью, проходящей через три точки, лежащие на рёбрах или гранях призмы.
7.8. Построить сечение n-угольной пирамиды (n = 5, 6) плоскостью, проходящей через три точки, лежащие на рёбрах или гранях пирамиды.
7.9. Построить следы прямой, заданной двумя точками (своей аксонометрической и одной из вторичных проекций), на координатных плоскостях аксонометрической системы координат.
7.10. Построить следы плоскости, заданной тремя точками (точкой и следом), на координатных плоскостях аксонометрической системы координат.
7.11. Построить прямоугольную диметрическую проекцию куба, правильного тетраэдра и правильного октаэдра.
7.12. Построить прямоугольную диметрическую проекцию кубооктаэдра.
7.13. Построить истинную величину отрезка, параллельного оси Ох (Oy), если дана аксонометрическая проекция этого отрезка.
7.14. Построить истинную величину отрезка, лежащего в плоскости Охy, если дана аксонометрическая проекция этого отрезка.
7.15. Построить на эпюре двух проекций след данной прямой (плоскости) на горизонтальной и вертикальной плоскостях.
7.16. Построить на эпюре двух проекций точку пересечения прямой с плоскостью.
7.17. Построить на эпюре двух проекций линию пересечения двух плоскостей.
7.18. Построить на эпюре двух проекций истинную величину данного отрезка (угла).
7.19. Построить на эпюре двух проекций истинную величину углов наклона данной прямой к горизонтальной и вертикальной плоскостям.
7.20. По двум проекциям фигуры (точки, прямой, отрезка, треугольника) построить на эпюре трёх проекций её третью проекцию.
РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ ПО ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ
Методические рекомендации
по организации самостоятельной работы
студентов во II семестре
Во втором семестре начинается изучение дисциплины "Геометрия". По всему материалу второго семестра разработаны электронные тексты лекций.
1. В начале первой лекции преподаватель знакомит студентов с последовательностью работы с электронным вариантом лекций. Работа с электронными методическими материалами - это один из видов самостоятельной работы студентов. При подготовке к лекциям можно заниматься в компьютерном классе, но наиболее удобно иметь все конспекты лекций в распечатанном виде и заниматься по ним (при подготовке к лекциям, практическим занятиям, контрольным работам, экзаменам). Распечатанные конспекты лекций нужно всегда приносить на лекции и на практические занятия.
Внимание! Наличие электронного варианта лекций не освобождает студента от обязательного посещения всех лекций и практических занятий!
2. При подготовке к каждой лекции, начиная со второй, студент выполняет следующую работу с конспектами лекций и с электронными материалами:
Повторяет материал предыдущей лекции и отвечает на вопросы, сформулированные в конце каждого параграфа.
Внимательно читает материал предстоящей лекции.
Таким образом, на лекцию он приходит подготовленным к восприятию нового материала. 3. На каждой лекции преподаватель формулирует все необходимые определения, свойства, теоремы, сопровождая их чертежами и пояснениями. Если доказательство теоремы или свойства не сложное, то дает схему этого доказательства. Подробно студент изучает доказательство самостоятельно. Если доказательство может вызвать трудности у студента, преподаватель останавливается на наиболее сложных моментах.
По ходу лекции преподаватель дает рекомендации по практическому приложению теории к решению геометрических задач, по подготовке к практическому занятию по данной теме, по использованию электронных методических материалов, учебников, методических пособий и другой литературы.
4. При подготовке к практическому занятию студенту необходимо:
а) выучить все определения, формулы, формулировки свойств и теорем по теме занятия, понять их геометрический смысл;
б) выполнить пункты I, II из методического пособия [4], а также решить задачи из пункта V указанного пособия по теме предыдущего занятия.
5. Отдельные темы преподаватель может вынести на самостоятельное изучение, дав на лекции или на практическом занятии лишь некоторые рекомендации.
Контроль за самостоятельной работой (КСР) студентов по изучению теории и ее применению к решению задач осуществляется на специальных занятиях по отдельному расписанию, составленному деканатом, а также на практических занятиях. Контроль может осуществляться в различных формах: в виде коллоквиумов в устной или письменной форме, математических диктантов, индивидуальных собеседований, контрольных работ, компьютерного тестирования.
6. Для занятий геометрией каждому студенту необходимо иметь:
1) Папку-файл (или папку-уголок) с распечатанными электронными текстами лекций по аналитической геометрии.
2) Общую тетрадь для работы на лекциях по геометрии.
3) Общую тетрадь для практических занятий и домашних заданий (домашнее задание по каждой теме должно быть оформлено сразу после практического задания, а не в конце тетради!).
4) Тонкую тетрадь для контрольных работ.
5) Хорошо отточенный карандаш средней мягкости.
6) Линейку.
7) Циркуль.
8) Ластик.
9) Цветную пасту, карандаши или тонкие фломастеры.
10) Бумагу для черновиков (любую).
11) Авторучку с синей (или черной) пастой.
На каждую лекцию необходимо приносить все, что указано в пунктах 1), 2), 5) − 9), 11).
На каждое практическое занятие необходимо приносить все, что указано в пунктах 1) − 11), а также:
12) Учебную программу по геометрии для студентов по специальности "Математика и информатика".
13) Методическое пособие "Линейная алгебра и аналитическая геометрия". - Глазов, 2007.
14) Индивидуальные задания по аналитической геометрии. Для студентов 1 курса математического факультета. - Глазов, 2003.
Контроль за самостоятельной работой студентов во II семестре
Контроль за самостоятельной работой студентов по геометрии во втором семестре осуществляется в форме аудиторных контрольных работ и проверки выполнения индивидуальных заданий.
Аудиторные контрольные работы проводятся по следующим темам:
1. Элементы векторной алгебры. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат. Прямая линия на плоскости.
2. Прямые и плоскости в пространстве. Линии второго порядка.
3. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям.
Для подготовки к контрольным работам по теме 1 необходимо знать материал §§1−5 электронных текстов лекций по аналитической геометрии, по теме 2 − материал §§6−11. Кроме того, нужно выполнить все задания для самостоятельной работы, сформулированные в конце каждого параграфа.
Примерные вопросы и задания контрольных работ по темам 1 и 2 содержатся в методическом пособии "Линейная алгебра и аналитическая геометрия". − Глазов, 2007 (см. пункт I занятий 5−9) и в "Методических рекомендациях по подготовке к практическим занятиям по курсу "Геометрия". Часть1 (Аналитическая геометрия)". − Глазов, 1995 (см. пункт 2 каждого занятия).
Примерные практические задания контрольных работ по темам 3 и 4 также содержатся в указанных источниках, в электронных пособиях [15] и [16] и в перечне тренировочных задач, приведённом ниже.
Кроме аудиторных контрольных работ студенты выполняют в течение семестра по несколько индивидуальных заданий, каждое из которых включает одну задачу. Эти задания содержатся в сборнике "Индивидуальные задания по аналитической геометрии" − Глазов, 2003. Несколько тем практических занятий ведущий преподаватель выносит на самостоятельное изучение и контролирует его с помощью таких индивидуальных заданий. Например, на самостоятельное изучение выносятся темы:
1. Решение задач на преобразование аффинной и прямоугольной декартовой систем координат.
2. Решение задач на полярные координаты.
Ведущий преподаватель может расширить этот список по своему усмотрению.
В указанном сборнике даются образцы решения задач по каждой теме и предлагается по каждой теме по 30 вариантов заданий. Прежде чем приступить к выполнению индивидуального задания, студент должен изучить теоретические сведения по данной теме по электронным текстам лекций, внимательно прочитать и постараться понять образец решения такой задачи и лишь после этого приступить к решению задачи своего варианта.
В разделе "Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям" на самостоятельное изучение выносятся темы:
− "Эллипсоиды";
− "Гиперболоиды";
− "Параболоиды".
На лекции преподаватель подробно излагает материал об одной из пяти поверхностей (например, "Гиперболический параболоид"). Остальные четыре поверхности (эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический параболоид) студенты изучают самостоятельно по плану, данному на лекции преподавателем.
Каждую из четырёх поверхностей (эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид) студенты изучают самостоятельно по следующему плану:
1. Определение изучаемой поверхности и её канонического уравнения.
2. Определение полуосей поверхности.
3. Геометрические свойства (достаточно сформулировать): расположение в пространстве (только для эллипсоида и эллиптического параболоида), симметричность (а для эллиптического параболоида и несимметричность), точки пересечения поверхности с её осями симметрии (вершины), оси поверхности (а для гиперболоидов - мнимые и действительные оси), асимптотический конус и его каноническое уравнение (только для однополостного и двуполостного гиперболоидов).
4. Определение и каноническое уравнение соответствующей поверхности вращения (т.е. эллипсоида вращения, однополостного гиперболоида вращения, двуполостного гиперболоида вращения, эллиптического параболоида вращения).
5. Как получить изучаемую поверхность из соответствующей поверхности вращения.
6. Изображение исследуемой поверхности по её каноническому уравнению. При этом вместе с однополостным (двуполостным) гиперболоидом следует изобразить его асимптотический конус.
Контроль за самостоятельной работой студентов по теме "Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям" осуществляется в форме аудиторной контрольной работы по темам: "Поверхности вращения", "Цилиндры", "Конусы", "Эллипсоиды", "Гиперболоиды", "Параболоиды".
Рекомендации
по подготовке к контрольным работам
по разделу "Изучение поверхностей
второго порядка по каноническим уравнениям"
1. В контрольную работу по теме "Изучение поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям" включены задачи следующих типов:
[2], задания 22 (с. 47−49), 23 (с. 49−50);
[3], занятие 16, №№ II.1 − II.3, III.1 − III.4, IV.1 − IV.3, V.2, V.3;
[4], темы 1, 2, 3, тема 4, №№ 2.6, 3.4 −3.7.
Литература
1. Геометрия. Учебная программа для студентов по специальности 032100.00 - "Математика" с дополнительной специальностью "Информатика"/ Составитель: Л.Т.Крежевских. - Глазов,2008.
2. Индивидуальные задания по аналитической геометрии / Составитель: Л.Т. Крежевских. - Глазов, 2003.
3. Линейная алгебра и аналитическая геометрия / Составитель: Л.Т. Крежевских, И.Л. Мирошниченко. - Глазов, 2007.
4. Методические разработка к практическим занятиям по геометрии /Составитель: Л.Т.Крежевских. - Глазов, 2007 (электронный вариант).
Тренировочные задачи для подготовки
к контрольным работам II семестра
Тема "Элементы векторной алгебры. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат"
1. Диагонали АС и ВD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Найти координаты вектора в базисе .
2. Найти координаты точки А, если В(3; 1; 0), (2; 1; 2).
3. M(0; 1; 3), N(2; -2; 0). Найти: а) координаты точки P, делящей направленный отрезок в отношении λ = −2; б) координаты середины К отрезка MN; в) простое отношение (MN, Q) трёх точек M, N и Q, если Q .
4. Будут ли векторы и коллинеарными и почему?
а) (6; −9; 12), (−2; 3; 4);в) (−1; −2; 1), (2; 4; −2);
б) (1; 0; 3), (0; 1; 0);г) (3; −6; 0), (7; 14; 0).
5. Будут ли векторы (25; 11; −1) и (12; −17; 113) ортогональными и почему?
6. Не находя координат вектора , найти расстояние между точками C(2; 1; 4) и D(5; 1; 0).
7. Найти длину вектора , если (1; −3; 0), (0; −1; 1).
8. Найти косинус угла между векторами (1; 0; 1) и (2; 1; −1).
9. В треугольнике ABC A(3; 2; 1), B(4; 0; 1), C(3; -1; 2). Найти косинус угла A; угла B.
10. В треугольнике ABC (2; 1; 0), (1; −1; 3). Найти косинус угла B; угла C.
11. Найти площадь и высоту QH треугольника PQR, если P(6; 3; 0), Q(5; 4; 1), R(3; 4; 0).
12. Найти площадь и высоту NH, проведённую к стороне MQ параллелограмма MNPQ, если M(1; 0; 1), N(2; 1; 0), Q(0; -1; 1).
13. Найти объём и высоту A1H параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если A(0; 1; 2), B(3; 0; 1), D(2; 2; −1), A1(1; 1; 1).
14. Найти объём и высоту A1H треугольной призмы ABCA1B1C1, если A(−3; −2; 1), B(0; 1; 1), C(−1; 0; 1), A1(2; 1; 2).
15. Найти объём и высоту DH тетраэдра ABCD, если A(1; 1; 1), B(2; 0; 1), C(−1; 3; 1), D(1; 2; 3).
Тема "Прямая линия на плоскости"
1. Прямая d задана точкой M0(6; −7) и направляющим вектором (4; 1). Найти: а) каноническое уравнение прямой d; б) параметрические уравнения прямой d.
2. Найти уравнение прямой, заданной двумя точками N(2; 1) и P(5; -1).
3. Найти общее уравнение прямой, заданной точкой M0(3; 2) и угловым коэффициентом k = 4.
4. Дано общее уравнение прямой d: 2x - 5y + 3 = 0. Найти: а) уравнение прямой d с угловым коэффициентом; б) уравнение прямой d "в отрезках".
5. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M0(3; 1) и параллельной прямой l: 2x - y - 1 = 0.
6. Выяснить, пересекает ли прямая d: x + y − 4 = 0 отрезок [MN], если: а) M(2; 0), N(6; −1); б) M(0; 3), N(−5; 7).
7. В прямоугольной декартовой системе координат прямая задана уравнением d: 7x − 9y + 5 = 0. Найти: а) координаты её направляющего вектора ; б) координаты её вектора нормали .
8. Найти уравнение прямой d, заданной точкой M0(−4; 5) и вектором нормали (3; −2).
9. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M0(1; 3) и перпендикулярной прямой l: 2x − 7y + 3 = 0.
10. Найти расстояние от точки M0(−5; 1) до прямой d: 3x + 4y − 4 = 0; до прямой m: ; до прямой l:.
11. Выяснить взаимное расположение прямых d1 и d2:
а) d1: x − 2y + 4 = 0; d2: 3x − 6y − 1 = 0;
б) d1: ; d2:;
в) d1: 3x + y − 2 = 0; d2: 3y − 2 = 0.
12. Будут ли прямые 3x − 7y + 10 = 0 и 7x − 3y − 1 = 0 взаимно перпендикулярными и почему?
13. Найти тангенс направленного угла между прямой d1: y = 2x - 5 и прямой d2: y = 6x + 1.
14. Найти тангенс направленного угла между прямой d1 и прямой d2, если:
а) d1: y = x - 1; d2: 3x + 2y - 4 = 0;
б) d1: 2x - y = 0; d2: 6x + 3y - 5 = 0;
в) d1: ; d2: y = 3x.
Тема "Плоскость и прямая в пространстве"
1. Найти уравнение плоскости σ, походящей через точку K0(0; 6; -5) и содержащей ось Ох.
2. Найти уравнение плоскости σ, походящей через точки Р(2; 3; -1) и Q(5; 0; 4) и параллельной прямой m: .
3. Найти уравнение плоскости σ, содержащей прямую а: и параллельной прямой b: .
4. Найти уравнение плоскости σ, содержащей прямые l: и m: .
5. Найти уравнение плоскости, походящей через точку S0(2; 2; -3), параллельной прямой d: и перпендикулярной плоскости σ: 5х - z = 0.
6. Найти уравнение плоскости, содержащей ось Oz и перпендикулярной плоскости γ: 7x + y - z + 18 = 0.
7. Найти уравнение плоскости, содержащей прямую n: и перпендикулярной плоскости α: 3y + 5z - 9 = 0.
8. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(0; 0; 1) и В(3; 4; 2) и перпендикулярной плоскости β: 2х - 5y + 7z - 8 = 0.
9. Выяснить взаимное расположение прямых d1 и d2:
а) d2: ;
б) 10. Выяснить взаимное расположение прямой d и плоскости σ:
а) d: ;σ: 2х + 3y + z - 1 = 0;
б) σ: 4х - 3y - 6z - 5 = 0;
в) d: ;σ: 3х - 2y + 2z - 21 = 0.
11. Найти величину φ угла между прямыми и 12. Найти величину φ угла между прямой и плоскостью 2х - z + 1 = 0.
Тема "Линии второго порядка"
1. Дано каноническое уравнение эллипса . Найти большую и малую полуоси, фокальное расстояние, координаты вершин, фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис, фокальные радиусы точки М и выполнить чертёж эллипса, его фокусов и директрис.
2. Привести уравнение эллипса к каноническому виду и найти большую и малую полуоси, фокальное расстояние, координаты вершин, фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис, фокальные радиусы точки М и выполнить чертёж эллипса, его фокусов и директрис.
3. Найти действительную, мнимую полуоси гиперболы , фокальное расстояние, координаты вершин, фокусов, уравнения асимптот и директрис, уравнение сопряженной с ней гиперболы и выполнить чертёж гиперболы, её фокусов, асимптот и директрис.
4. Найти фокальный параметр параболы , координаты фокуса, уравнение директрисы, эксцентриситет и выполнить чертёж параболы, её фокуса и директрисы.
5. Привести уравнение к каноническому виду и определить тип линии второго порядка:
а) 9x2 + 5y = 0;е) x2 + 3y2 - 1 = 0; б) 3x2 + 17 = 0;ж) 2x2 + y2 + 2 = 0; в) 36x2 - 19y2 = 0;з) 12y2 = 0; г) 15x2 - 4y2 + 60 = 0;
д) 6x2 - 10y2 - 1 = 0;и) . Тема "Поверхности второго порядка"
1. Найти уравнение поверхности Φ, образованной вращением
а) линии вокруг оси Оу;
б) линии вокруг оси Ох;
в) линии вокруг оси Оz.
2. Найти уравнение цилиндрической поверхности Φ с направляющей
а) и образующими, параллельными вектору (оси Оу);
б) и образующими, параллельными вектору (оси Оz);
в) и образующими, параллельными вектору (оси Оx).
3. Определить вид цилиндрической поверхности Φ, найти уравнение её направляющей γ и направление образующих:
а) Φ: 4у2 + 25z2 - 100 = 0;б) Φ: x2 - 3y2 + 3 = 0;в) Φ: 9x2 - 4z2 - 36 = 0.
4. Найти уравнение конической поверхности второго порядка с вершиной в начале координат и направляющей
а) б) в) 5. Найти уравнение направляющей γ и ось конической поверхности второго порядка Φ:
а) Φ: 9х2 - у2 - 3z2 = 0; б) Φ: 16x2 + 9y2 - z2 = 0;в) Φ: 2x2 - 5y2 + 10z2 = 0.
6. Привести уравнение к каноническому виду и определить вид поверхности:
а) 4x2 − 7y2 - 2z2 = 0;г) x2 - 2y2 + 6z = 0;
б) 36x2 − 4y2 - 9z2 - 36 = 0;д) 4x2 - 25y2 - 25z2 + 100 = 0.
в) 32x- y2 = 0;
Методические рекомендации по организации
самостоятельной работы студентов в III семестре
В III семестре студенты изучают геометрические преобразования плоскости, n-мерную геометрию (в обзорном порядке), элементы топологии и дифференциальной геометрии. Промежуточная аттестация в III семестре проводится в форме зачёта.
Требования к зачету по разделу
"Геометрические преобразования плоскости"
Вопросы по теоретической части
1. Понятие инъективного, сюрьективного, биективного отображения. Примеры. Понятие преобразования множества.
2. Понятие движения плоскости. Свойства движений.
3. Виды движений плоскости (их определения, обозначения, задание, построение образов точек).
4. Аналитическое выражение движений и их частных видов.
5. Понятие преобразования подобия плоскости. Свойства преобразования подобия.
6. Понятие и свойства гомотетии. Построение образов точек в данной гомотетии.
7. Аналитическое выражение гомотетии и подобия.
8. Понятие аффинного преобразования плоскости. Свойства аффинных преобразований.
9. Аналитическое выражение аффинных преобразований.
10. Перспективно-аффинные преобразования плоскости (определение, свойства, задание, построение образов точек).
Для сдачи практической части зачёта по разделу "Геометрические преобразования плоскости" необходимо выполнить зачётную контрольную работу № 1 по данной теме.
Тренировочные задачи по теме
"Преобразования плоскости"
1. Построить образ данного луча [QR) при:
а) повороте вокруг данной точки М0 (QR) на угол φ = −45º;
б) повороте вокруг данной точки М0 (QR) на угол φ = 150º.
2. Построить образ данного тупого (острого, прямого) угла NST при:
а) осевой симметрии с осью d;
б) параллельном переносе на данный вектор ;
в) повороте на угол φ = 60º вокруг данной точки М0 , лежащей внутри угла NST; вне угла NST;
г) центральной симметрии относительно точки М0 , лежащей внутри угла NST; вне угла NST.
3. Построить образ данного треугольника DEF при:
а) центральной симметрии относительно точки М0 , лежащей вне ∆ DEF;
б) осевой симметрии с осью d, не имеющей общих точек с ∆ DEF;
в) повороте вокруг точки М0, лежащей вне ∆ DEF, на угол φ = −45º, −120º, 60º, 150º.
4. Построить образ данного луча при гомотетии с центром в точке М0 и коэффициентом .
5. Построить образ данного угла XYP при гомотетии с центром в точке М0, лежащей вне угла XYP (внутри угла XYP), и коэффициентом .
6. Построить образ данного треугольника UVW при гомотетии с центром в точке М0, лежащей вне ∆ UVW, и коэффициентом .
7. Найти аналитическое выражение данного преобразования f и координаты образа R' и прообраза точки R(-6; 3), если:
а) f − параллельный перенос на вектор (7; −4);
б) f − центральная симметрия с центром М0 (0;12);
в) f − поворот вокруг начала координат на угол ; ; ; = 30º;
г) f − гомотетия с центром в точке М0 (9;2) и коэффициентом .
8. Дано аналитическое выражение некоторого преобразования f. Выяснить, будет ли f аффинным преобразованием или движением; определить его род; найти его инвариантные точки, если
а) в) б) г) ЛИТЕРАТУРА
1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия: Учеб. пособие. В 2 ч. Ч.1. - М.: Просвещение, 1986. − 335 с. − Доп. Мин. образования РФ.
2. Методические рекомендации по подготовке к практическим занятиям по курсу "Геометрия". Часть 6. Преобразования плоскости. / Сост.: В.Т. Захарова. - Глазов: ГГПИ, 1997. − 29 с.
3. Степанов Н.А., Жогова Т.Б., Казнина О.В. Геометрия I: Учеб. пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов. - Н.Новгород: Изд-во НГПУ, 2007. − 299 с.
4. Судибор Г.П. Элементы аналитической геометрии и геометрических преобразований. − Минск: Вышэйшая школа, 1981. − 160 с.
Электронные пособия
1. Методическая разработка к практическим занятиям по геометрии / Сост. Л.Т. Крежевских. − Глазов, 2012.
Требования к зачету по разделу
"Элементы топологии и дифференциальной геометрии"
Вопросы по теоретической части
1. Понятие и примеры метрических пространств. ε-окрестность точки в метрическом пространстве.
2. Понятие и примеры топологических пространств. Открытые и замкнутые множества. Окрестность точки в топологическом пространстве.
3. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы топологических пространств. Предмет топологии.
4. Понятие и примеры элементарных и гладких линий в трёхмерном евклидовом пространстве. Задание линии.
5. Касательная к линии. Длина дуги.
6. Кривизна и кручение линии. Понятие о плоской линии.
7. Канонический репер линии в точке.
8. Сопровождающий трёхгранник линии в точке.
9. Понятие и примеры элементарных и гладких поверхностей в трёхмерном евклидовом пространстве. Задание поверхности.
10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
11. Первая квадратичная форма поверхности и её геометрические приложения.
12. Вторая квадратичная форма поверхности.
13. Понятие о нормальной кривизне гладкой линии на поверхности, её вычисление.
14. Понятие об индикатрисе кривизны поверхности. Эллиптические, гиперболические, параболические точки.
15. Понятие о главных кривизнах, полной и средней кривизнах поверхности, их вычисление.
№ п/пВид деятельностиКол-во баллов
за 1 у.е.Норматив
за 1 у.е. для автом. зачета по теории1.Посещение лекций0222.Ведение отдельной тетради для лекций (аккуратность, полнота, грамотность, правильность и эстетическая привлекательность записей и чертежей)0535 1) Студент, имеющий нормативное количество баллов за все учебные единицы, освобождается от сдачи теоретической части зачета.
2) Студент, не получивший нормативного количества баллов только за 1 учебную единицу, должен представить в недельный срок со дня этой лекции соответствующий конспект, удовлетворяющий всем требованиям, перечисленным в пункте 2 таблицы. Если такой факт в течение семестра больше не повторится, то студент также будет освобожден от сдачи теоретической части зачета. В противном случае на студента распространяется пункт 3).
3) Студент, не получивший без уважительной причины нормативного количества баллов за 2 учебные единицы и более, сдает теоретическую часть зачета, причем предварительно он должен представить конспекты всех лекций, в том числе пропущенных или незачтенных, удовлетворяющие всем требованиям, перечисленным в пункте 2 таблицы.
4) При пропуске лекций по уважительной причине студент обязан на первой после этого пропуска лекции представить документ, подтверждающий уважительность причины, а в течение следующей недели - конспект пропущенных лекций. В противном случае на студента распространяется пункт 3).
Практическая часть зачета состоит из выполнения двух зачетных контрольных работ по разделам "Линии в трехмерном евклидовом пространстве" и "Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве".
К зачетным контрольным работам допускаются студенты, выполнившие три условия:
1. Сдавшие теоретическую часть зачета.
2. Написавшие математический диктант с оценкой "зачтено".
3. Посетившие все практические занятия и имеющие отдельную тетрадь со всеми решенными на занятиях задачами и со всеми выполненными домашними заданиями.
Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, студент к зачетным контрольным работам не допускается до тех пор, пока не будут выполнены все условия.
При подготовке к практическим занятиям рекомендуется пользоваться разработкой [1].
При подготовке к математическому диктанту и зачётным контрольным работам по темам "Линии в трёхмерном евклидовом пространстве" и "Поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве" рекомендуется пользоваться учебно-методическим пособием [2].
Тренировочные задачи по теме
"Линии в трёхмерном евклидовом пространстве"
1. Найдите уравнения касательной и нормали к плоской линии:
а) в точке А(−1; 2);
б) в точке В ;
в) в точке М0(x0; y0).
2. Найдите длину дуги линии от точки М1(t1 = −1) до точки М2 (t2 = 3).
3. Найдите кривизну, радиус кривизны и кручение линии в точке М .
4. Составьте натуральные уравнения линии 5. Найдите координатные векторы канонического репера линии в точке М(t = 1).
6. Найдите уравнения касательной, главной нормали, бинормали, соприкасающейся плоскости, спрямляющей плоскости и нормальной плоскости линии
в точке М(t = 1).
Тренировочные задачи по теме
"Поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве"
1. Найдите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности:
а) в точке А(u = 2, v = );
б) в точке В (−1; 1; 0);
в) в точке С(1; 1; 3).
2. На поверхности найдите длину дуги линии v = 3u между точками М1 (u1 = 1, v1 = 3) и М2(u2 = 2,v2 = 6). 3. Найдите, под каким углом пересекаются линии 3u + v - 1 = 0 и v - 1 = 0 на поверхности 4. Найдите площадь четырехугольника на круговом цилиндре ограниченного линиями u = 0, u = 3, v = 0, v = 2.
5. Найдите нормальную кривизну линии u + 2v - 2 = 0 на поверхности в точке А(u = 0, v = 1).
6. Найдите уравнение индикатрисы кривизны поверхности в начале координат.
7. Определите характер точки Р(0; 2; 2) на поверхности .
8. Вычислите главные кривизны, полную и среднюю кривизны поверхности z = xy в точке М (1; 1; 1).
Электронные пособия
1. Методическая разработка для подготовки к практическим занятиям по дифференциальной геометрии / Сост.: Л.Т. Крежевских. − Глазов, 2012.
2. Методические рекомендации по подготовке к практическим занятиями зачёту по курсу "Дополнительные главы геометрии" / Сост.: Л.Т. Крежевских. − Глазов, 2012.
Методические рекомендации по организации
самостоятельной работы студентов в IV семестре
При изучении данного курса прежде всего необходимо регулярно посещать все лекции и практические занятия. Студенту следует помнить, что наряду с изучением теоретического материала необходимо решать большое количество геометрических задач, выполняя большое количество чертежей. Только при этом условии можно усвоить материал и научиться правильно и качественно выполнять чертежи.
Прежде чем приступать к решению той или иной геометрической задачи, надо ясно изучить её условия, вспомнить содержание соответствующей темы по конспектам лекций и учебнику и представить геометрическую схему решения, т. е. установить последовательность выполнения геометрических построений. Для этого путём воображения надо представить положения заданных геометрических объектов в пространстве.
При изучении разделов "Изображение фигур в параллельной проекции", "Аксонометрия" и "Эпюр двух и трёх проекций" полезно прибегать к моделированию изучаемых геометрических сочетаний. Значительную помощь в этом оказывают зарисовки воображаемых моделей, а также их простейшие макеты, которые можно изготовить из бумаги, картона, пластилина, деревянных и проволочных шпилек и другого подручного материала.
Все графические построения выполняются чертежными инструментами (циркуль, угольник, линейка). На чертеже должны быть сохранены все вспомогательные линии. Вспомогательные линии рекомендуется выполнять остро заточенным карандашом. Линии видимого контура обводятся сплошной толстой линией мягким карандашом (ТМ или М). Искомые линии желательно выделять цветными карандашами, пастой, тонкими фломастерами.
Требования к теоретической части зачета
№ п/пВид деятельностиКол-во учебных единиц (у.е.)Норматив
для автом. зачета по теории1.
2.Посещение лекций
Ведение отдельной тетради для лекций (аккуратность, полнота, грамотность, правильность и эстетическая привлекательность записей и чертежей)11
1122 балла
"+" за конспект
каждой лекции
1) Студент, посетивший все лекции и имеющий "+" за конспект каждой лекции, освобождается от сдачи теоретической части зачета.
2) Студент, получивший " ̶ " за конспект только одной лекции, должен представить в недельный срок со дня этой лекции соответствующий конспект, удовлетворяющий всем требованиям, перечисленным в пункте 2 таблицы. Если такой факт в течение периода изучения данной дисциплины больше не повторится, то студент также будет освобожден от сдачи теоретической части зачета. В противном случае на студента распространяется пункт 3).
3) Студент, получивший без уважительной причины " ̶ " за конспекты двух и более лекций, сдает теоретическую часть зачета, причем предварительно он должен представить конспекты всех лекций, в том числе пропущенных или незачтенных, удовлетворяющие всем требованиям, перечисленным в пункте 2 таблицы.
4) При пропуске лекций по уважительной причине студент обязан на первой после этого пропуска лекции представить документ, подтверждающий уважительность причины, а в течение следующей недели - конспект пропущенных лекций. В противном случае на студента распространяется пункт 3).
Перечень вопросов к теоретической части зачета
1. Понятие аффинного преобразования плоскости и пространства. Свойства и аналитическое выражение аффинных преобразований. Частные случаи аффинных преобразований, их аналитическое выражение (§1).
2. Понятие параллельной проекции точки, фигуры. Параллельное проектирование и его свойства. Понятие об ортогональном и косоугольном проектировании (§2).
3. Понятие об изображении фигур в параллельной проекции. Свойства фигур, сохраняющиеся на изображении(§3).
4. Правила изображения плоских фигур в параллельной проекции (треугольник, параллелограмм, трапеция, четырехугольник, n-угольник (n > 4), окружность) (§3).
5. Правила изображения пространственных фигур в параллельной проекции (параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус, шар) (3).
6. Аксонометрические проекции и их свойства(§5).
7. Понятие о коэффициенте (показателе) искажения. Виды аксонометрических проекций (триметрия, диметрия, изометрия) (§5).
8. Задание точек, прямых, плоскостей в аксонометрии. Понятие следов (§6).
9. Правильные многогранники. Взаимность правильных многогранников. Развертки многогранников (§9).
10. Полуправильные многогранники, их связь с правильными (§9).
11. Построение прямоугольной диметрической проекции правильных и полуправильных многогранников(§10).
12. Понятие об эпюре двух проекций и методе Монжа (§11).
13. Определение по эпюру двух проекций положения точки в пространстве (в какой четверти она находится) и, наоборот, по словесному описанию положения точки в пространстве построение эпюра двух ее проекций (§11).
14. Частные случаи расположения прямой относительно горизонтальной и вертикальной плоскостей (§12).
15. Определение по эпюру взаимного расположения двух прямых в пространстве (§13).
16. Понятие об эпюре трех проекций. Построение по данным двум проекциям точки ее третьей проекции (§15).
Требования к практической части зачета
1. Практическая часть зачета будет проходить в два этапа.
I этап: зачетная контрольная работа по темам "Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции" (см. типовые задачи 1.1−1.10, сформулированные ниже) и "Аксонометрия" (см. типовые задачи 2.1−2.10).
II этап: зачетная контрольная работа по теме "Эпюр двух и трех проекций" (см. типовые задачи 3.1−3.17).
К зачетным контрольным работам допускаются студенты, выполнившие два условия:
1) Сдавшие теоретическую часть зачета.
2) Посетившие все практические занятия и имеющие отдельную тетрадь со всеми решенными на занятиях задачами и со всеми выполненными домашними заданиями.
Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, студент к зачетным контрольным работам не допускается до тех пор, пока не будут выполнены все условия.
2. Прежде чем приступить к подготовке к зачетным контрольным работам, необходимо выучить теорию.
3. На зачет нужно принести хорошую белую бумагу (не менее 3 листов) формата А4 или тонкую тетрадь, а также бумагу для черновика, хороший карандаш средней мягкости, линейку, циркуль, ручку, ластик.
4. Все построения выполняются карандашом, надписи на чертеже − ручкой. Искомые точки или прямые можно выделять другим цветом.
5. Чертеж к одной задаче должен занимать не менее одной тетрадной страницы.
Перечень типовых задач к зачету
Тема 1: "Изображение плоских и пространственных фигур
в параллельной проекции"
1.1. Построение изображений треугольника, параллелограмма, трапеции, произвольного четырёхугольника, произвольного n-угольника (n > 4), окружности.
1.2. Построение изображений пространственных фигур (параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара).
1.3. Построение изображения n - угольной призмы (n = 3, 4, 5, 6), вписанной в цилиндр.
1.4. Построение изображения n - угольной пирамиды (n = 3, 4, 5, 6), вписанной в конус.
1.5. Построение изображения n - угольной призмы (n = 3, 4, 5, 6), описанной около цилиндра.
1.6. Построение изображения n - угольной пирамиды (n = 3, 4, 5, 6), описанной около конуса.
1.7. Построение точки пересечения прямой, проходящей через две точки, лежащие на двух гранях n-угольной призмы (n = 4, 5, 6), с плоскостями остальных боковых граней и оснований призмы.
1.8. Построение точки пересечения прямой, проходящей через две точки, лежащие на двух гранях n-угольной пирамиды (n = 4, 5, 6), с плоскостями остальных боковых граней и основания пирамиды.
1.9. Построение сечения n-угольной пирамиды (n = 4, 5, 6) плоскостью, проходящей через три точки, лежащие на ребрах или на гранях пирамиды.
1.10. Построение сечения n-угольной призмы (n = 4, 5, 6) плоскостью, проходящей через три точки, лежащие на ребрах или гранях призмы.
Тема 2: "Аксонометрия"
2.1. Построение вторичной проекции точки по ее аксонометрической проекции, если эта точка лежит в плоскости, заданной тремя точками.
2.2. Построение вторичной проекции точки по ее аксонометрической проекции, если эта точка лежит в плоскости, заданной точкой и следом.
2.3. Построение аксонометрической проекции точки по её вторичной проекции, если эта точка лежит в плоскости, заданной тремя точками.
2.4. Построение аксонометрической проекции точки по её вторичной проекции, если эта точка лежит в плоскости, заданной точкой и следом.
2.5. Построение следов прямой, заданной двумя точками, на координатных плоскостях аксонометрической системы координат.
2.6. Построение следов плоскости, заданной тремя точками, на координатных плоскостях аксонометрической системы координат.
2.7. Построение прямоугольной диметрической проекции правильного гексаэдра (куба), правильного тетраэдра и правильного октаэдра. 2.8. Построение прямоугольной диметрической проекции кубооктаэдра.
2.9. Построение истинной величины отрезка, параллельного оси Ох (Оу), если дана аксонометрическая проекция этого отрезка.
2.10. Построение истинной величины отрезка, лежащего в плоскости Оху, если дана аксонометрическая проекция этого отрезка.
Тема 3: "Метод Монжа"
3.1. Определение по эпюру двух проекций положения точки в пространстве (в какой четверти она находится) и наоборот, по словесному описанию положения точки в пространстве построение эпюра двух её проекций.
3.2. Определение по эпюру двух проекций прямой (отрезка) положения прямой (отрезка) относительно плоскостей H и V и наоборот, по словесному описанию положения прямой (отрезка) относительно плоскостей H и V построение эпюра двух проекций этой прямой (отрезка).
3.3. Определение по эпюру взаимного расположения двух прямых в пространстве.
3.4. Построение на эпюре следов данной прямой на плоскостях H и V.
3.5. Построение на эпюре следов данной плоскости на плоскостях H и V.
3.6. Построение на эпюре точки пересечения прямой с плоскостью.
3.7. Построение на эпюре линии пересечения двух плоскостей.
3.8. Построение на эпюре истинной величины отрезка.
3.9. Построение на эпюре истинной величины углов наклона прямой к плоскостям H и V.
3.10. По горизонтальной и вертикальной (фронтальной) проекции точки уметь строить её профильную проекцию.
3.11. По вертикальной и профильной проекции точки уметь строить её горизонтальную проекцию.
3.12. По горизонтальной и профильной проекции точки уметь строить её вертикальную проекцию.
3.13. По горизонтальной и вертикальной проекции прямой (отрезка) уметь строить её профильную проекцию.
3.14. По горизонтальной и профильной проекции прямой (отрезка) уметь строить ее вертикальную проекцию.
3.15. По вертикальной и профильной проекции прямой (отрезка) уметь строить ее горизонтальную проекцию.
3.16. Построение ортогональных проекций данной фигуры на две (три) взаимно перпендикулярные плоскости.
3.17. Определение общего вида фигуры по ее ортогональным проекциям на две (три) взаимно перпендикулярные плоскости.
Темы практических занятий
Занятие №1. Аффинные преобразования плоскости и пространства.
Знать: теоретический материал § 1.
Занятия №2−3. Изображение фигур в параллельной проекции.
Знать: теоретический материал §§ 2 − 4.
Уметь: решать типовые задачи 1.1 − 1.6.
Занятия №4−5. Построение сечений многогранников.
Знать: теоретический материал §§ 2 − 4.
Уметь: решать типовые задачи 1.7 − 1.10.
Занятие №6. Позиционные задачи в аксонометрии.
Знать: теоретический материал §§ 5 − 7.
Уметь: решать типовые задачи 2.1 − 2.6.
Занятие №7. Метрические задачи в аксонометрии.
Знать: теоретический материал §§ 8 − 10.
Уметь: решать типовые задачи 2.7 − 2.10.
Зачетная контрольная работа №1.
Занятие №8. Решение позиционных задач на эпюре двух проекций.
Знать: теоретический материал §§ 11 − 13.
Уметь: решать типовые задачи 3.1 − 3.7.
Занятие №9. Решение метрических задач на эпюре двух проекций.
Знать: теоретический материал § 14.
Уметь: решать типовые задачи 3.8, 3.9.
Занятия №10−11. Эпюр трёх проекций.
Знать: теоретический материал § 15.
Уметь: решать типовые задачи 3.10 − 3.17.
Зачетная контрольная работа №2.
Тренировочные задачи для подготовки к зачету
Тема 1: "Изображение плоских и пространственных фигур
в параллельной проекции"
1.1. Построить изображение
а) равнобокой трапеции с отношением оснований 5:2;
б) прямоугольной трапеции с отношением оснований 2:1;
в) данного четырехугольника ABCD (рис. 1);
г) данного шестиугольника ABCDEF (рис. 2);
д) данной окружности.
1.2. Построить изображение
а) правильной четырехугольной призмы;
б) правильной треугольной пирамиды;
в) цилиндра;
г) конуса;
д) шара.
Построение описать.
1.3. Построить изображение n - угольной призмы (n = 4, 5, 6), вписанной в цилиндр.
1.4. Построить изображение n - угольной пирамиды (n = 4, 5, 6), вписанной в конус.
1.5. Построить изображение n - угольной призмы (n = 4, 5, 6), описанной около цилиндра.
1.6. Построить изображение n - угольной пирамиды (n = 4, 5, 6), описанной около конуса.
1.7. Построить точки пересечения прямой , проходящей через точки и , с плоскостями остальных боковых граней и оснований пятиугольной призмы (рис. 3).
1.8. Построить точки пересечения прямой, проходящей через точки и , с плоскостями остальных боковых граней и плоскостью основания пирамиды (рис. 4).
1.9. Построить сечение плоскостью а) четырехугольной пирамиды (рис. 5);
б) пятиугольной пирамиды (рис. 6).
1.10. Построить сечение плоскостью а) четырехугольной призмы (рис. 7);
б) пятиугольной призмы (рис. 8).
Примечание. Размеры всех чертежей в задачах 1.7-1.10 необходимо увеличить в 2 раза.
Тема 2: "Аксонометрия"
2.1. Построить вторичную проекцию точки по ее аксонометрической проекции , если эта точка лежит в плоскости (рис. 9).
2.2. Построить вторичную проекцию точки по ее аксонометрической проекции , если эта точка лежит в плоскости, заданной точкой и следом (рис. 10).
2.3. Построить аксонометрическую проекцию Р точки по ее вторичной проекции , если эта точка лежит в плоскости (рис. 11).
2.4. Построить аксонометрическую проекцию Р точки по ее вторичной проекции , если эта точка лежит в плоскости, заданной точкой и следом (рис. 12).
2.5. Построить следы прямой, заданной двумя точками , , на координатных плоскостях аксонометрической системы координат (рис. 13).
2.6. Построить следы плоскости, заданной тремя точками , и , на координатных плоскостях аксонометрической системы координат (рис. 14).
2.7. Построить прямоугольную диметрическую проекцию правильного гексаэдра (куба), правильного тетраэдра и правильного октаэдра.
2.8. Построить прямоугольную диметрическую проекцию правильного икосаэдра и правильного додекаэдра.
2.9. Построить истинную величину отрезка MN, параллельного оси Ох (Оу), если дана аксонометрическая проекция этого отрезка (рис. 15, 16).
2.10. Построить истинную величину отрезка MN, лежащего в плоскости Оху, если дана аксонометрическая проекция этого отрезка (рис. 17).
Тема 3: "Метод Монжа"
3.1. Определить, в какой четверти находится точка (рис. 18):
3.2. а) Определить по эпюру двух проекций отрезка положение этого отрезка относительно плоскостей и (рис. 19):
б) Построить эпюр двух проекций прямой l, если
1) ;
2) , где ;
3) ;
4) ;
5) l - прямая общего положения.
3.3. Определите по эпюру взаимное расположение двух прямых p и q в пространстве (рис. 20):
3.4. Построить на эпюре следы прямой m на плоскостях H и V (рис. 21):
3.5. Построить на эпюре следы плоскости на плоскостях H и V (рис. 22):
3.6. Построить на эпюре точку пересечения прямой и плоскости (рис. 23):
3.7. Построить на эпюре линию пересечения плоскостей и (рис. 24):
3.8. Построить истинную величину отрезка (рис. 25):
3.9. Построить на эпюре истинную величину угла наклона прямой к плоскости и угла наклона прямой к плоскости (рис. 26):
3.10. По горизонтальной и вертикальной проекциям построить профильную проекцию точки Р (рис. 27).
3.11. По вертикальной и профильной проекциям точки построить ее горизонтальную проекцию (рис. 28).
3.12. По горизонтальной и профильной проекциям точки Р построить ее вертикальную проекцию (рис. 29):
3.13. По горизонтальной и вертикальной проекциям данной фигуры построить ее профильную проекцию (рис. 30).
3.14. По горизонтальной и профильной проекциям данной фигуры построить ее вертикальную проекцию (рис. 31).
3.15. По вертикальной и профильной проекциям данной фигуры построить ее горизонтальную проекцию (рис. 32).
Примечание. Размеры всех чертежей в задачах 3.6−3.15 необходимо увеличить в 2 раза.
3.16. Построить ортогональные проекции данной фигуры на три взаимно перпендикулярные плоскости (рис. 33).
3.17. Определить вид фигуры по ее ортогональным проекциям на три взаимно перпендикулярные плоскости (рис. 34).
Основная литература
1.Локтев О. В. Краткий курс начертательной геометрии. М.: Высш. шк., -2006.-136с. - Рек. Мин. образования РФ.2.Нартова Л.Г. Начертательная геометрия: Учеб. для вузов. -М:Дрофа,2003.-208 с. - Доп. Мин. образования и науки РФ.3а.Павлова А. А. Начертательная геометрия: Учебник для студ. высш. учеб. заведений. - М. : Владос,1999. -304 с. - Рек. Мин. образования РФ3б.Павлова А. А. Начертательная геометрия :Учебник для студ. высш. учеб. заведений. - 2-е изд., перераб. и доп . - М.:Владос,2005.-302с. - Рек. Мин. образования и науки РФ.4.Гордон В.О. Курс начертательной геометрии: Учеб. пособие. - М.: Наука,1971. - 351 с. - Доп. Мин. образования РФ.
Дополнительная литература
1.
Георгиевский,О.В. Сборник задач и заданий по начертательной геометрии. - М.:Архитектура - С,2006.- 128с.2.Локтев О.В. Задачник по начертательной геометрии: Учеб. пособие для студ. высших технич. заведений. - М.:Высшая школа,2002.-104с. - Рек. Мин. образования РФ.3.Павлова А.А., Глазкова И.В. Начертательная геометрия: в 2ч.: практикум для студ. вузов. - Ч.1.- М.: Владос,2005.-96 с.4.Павлова А.А., Глазкова И.В. Начертательная геометрия: в 2ч.: практикум для студ. вузов. - Ч. 2.- М.: Владос,2005.-96 с.
Список рекомендательной литературы
1. Арустамов Х.А. Сборник задач по начертательной геометрии с решениями. - М.: Машгиз, 1952.
2. Бубенников А.В., Громов М.А. Сборник задач по начертательной геометрии. - М.: Высшая школа, 1963.
3. Виноградов В.Н. Начертательная геометрия. - М.: Просвещение, 1989.
4. Вольберг О.А. Лекции по начертательной геометрии. - М., 1941.
5. Глаголев Н.А. Начертательная геометрия. - М., 1953.
6. Глазунов и Четверухин. Аксонометрия. - М., 1953.
7. Забронский В.В. Сборник задач по начертательной геометрии. - М.: Машгиз, 1963.
8. Зеленин Е.В. Начертательная геометрия и черчение. - М., 1953.
9. Козловский Ю.Г. Методика курса "Начертательная геометрия". - Минск: Вышейшая школа, 1971.
10. Котов И.И. Начертательная геометрия. - М.: Высшая школа, 1970.
11. Котов И.И. и др. Сборник задач по начертательной геометрии. - М.: Высшая школа, 1970.
12. Липкин А.Н. Начертательная геометрия в чертежах. - М.: Просвещение, 1964.
13. Начертательная геометрия. 2-е изд., перераб. и доп. Под ред. Н.Ф. Четверухина. - М.: Высшая школа, 1963.
14. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение. - М.: ВЛАДОС, 2005.
Автор
wegas22
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
307
Размер файла
825 Кб
Теги
6_metodicheskie_rekomendatsii_dlya_studentov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа