close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

124.Моделирование процессов деформирования и разрушения композитов Част.

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Пермский государственный технический университет
В.Э. ВИЛЬДЕМАН
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ
КОМПОЗИТОВ
Часть 2
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
ЗАКРИТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
РАЗУПРОЧНЯЮЩИХСЯ СРЕД
Рекомендовано учебно-методическим объединением
высших учебных заведений Российской Федерации
по образованию в области авиации, ракетостроения и космоса
в качестве учебного пособия для студентов,
обучающихся по направлению 551600
и специальности 121000 — «Конструирование и производство
изделий из композиционных материалов»
ПЕРМЬ 2000
УДК 539.3
В46
Рецензенты:
член-корреспондент РАН, доктор технических наук,
профессор В.Н. Анциферов,
член-корреспондент РАН, доктор технических наук,
профессор В.П. Матвеенко
Внльдеман В.Э.
В46 Моделирование процессов деформирования и разрушения композитов. Ч. 2:
Основы математической теории закритнческой деформации разупрочняющнхся сред: Учеб, пособие / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2000. 70 с.
ISBN 5-88151-247-2
Приведены основные положения и соотношения механики устойчивого закритического деформирования и разрушения повреждённых тел с зонами разупрочнения,
рассмотрены вопросы формулировки соответствующих краевых задач и доказательства
единственности их решений. Закономерности механического поведения материалов на
стадии деформационного разупрочнения проиллюстрированы результатами экспери­
ментальных исследований.
Предназначено для студентов специальности “Конструирование и производство
изделий из композиционных материалов’1
ISBN 5-88151-247-2
О
Пермский государственный
технический университет, 2000
ВВЕДЕНИЕ
1. Закритическая стадия деформирования материалов
4
6
2. Граничные условия с учетом свойств нагружающей системы......
17
3. Определяющие соотношения для сред с разупрочнением..............
22
4. О признаке закритической деформации
и постулате устойчивости неупругого деформирования
в связи со свойствами нагружающей системы
27
5. Оценка устойчивости процесса закритической деформации
31
6. Единственность решения краевых задач
для тел с зонами разупрочнения
37
7. Экстремальные и вариационные принципы механики
устойчивого закритического деформирования
42
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
50
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
51
ПРИЛОЖЕНИЕ. Экспериментальное исследование
закритической стадии деформирования
57
К числу важных механических явлений, требующих специального
изучения, относится закритическое деформирование
структурнонеоднородных сред, реализуемое только при определенных условиях на­
гружения, сопровождающееся разупрочнением материала при равновесном
росте дефектов и проявляющееся в наличии ниспадающих участков на
диаграммах деформирования.
Анализ закономерностей и описание процессов накопления повреж­
дений материалов на закритической стадии деформирования является важ­
ной задачей механики композитов. Не потеряли актуальность вопросы
обоснования континуальных моделей разупрочняющихся сред и определе­
ния области их применимости. Возникает ряд математических проблем,
связанных с постановкой и решением соответствующих нелинейных крае­
вых задач. Уточненный расчет конструкций с использованием полных диа­
грамм требует, кроме того, определения условий устойчивости закритического деформирования в ослабленных зонах.
В настоящем пособии анализируются разработанные положения ме­
ханики квазистатических процессов устойчивого закритического деформи­
рования и разрушения повреждённых тел с зонами разупрочнения при ма­
лых упругопластических деформациях, вопросы формулировки соответст­
вующих краевых задач и доказательства единственности их решений.
Рассмотрены вопросы использования понятий и соотношений теории
пластичности, базирующейся на концепции существования предельных
поверхностей в пространствах напряжений и деформаций, применительно
к деформируемым телам на стадии разупрочнения. Сформулирован необ­
ходимый и дополнительный по отношению к постулату пластичности при­
знак закритической деформации.
Отличительной особенностью рассматриваемой постановки краевой
задачи является замена критериев прочности на условия устойчивости за­
критической деформации. Разрушение описывается как результат потери
устойчивости процесса деформирования материала на закритической ста­
дии. На основе подхода Друккера сформулирован расширенный постулат
устойчивости для механической системы, включающей как исследуемое
деформируемое тело, так и нагружающую систему. Приведено условие ус­
тойчивого деформирования разупрочняющегося материала. Отмечено ста­
билизирующее влияние нагружающей системы в случае достаточной ее
жесткости.
Изложено доказательство теоремы, согласно которой полученное не­
равенство устойчивости является достаточным условием единственности
решения сформулированной при использовании тензорно линейных ин­
крементальных определяющих соотношений краевой задачи для тел с зо­
нами разупрочнения. Приведены экстремальные принципы механики закритического деформирования для тел с граничными условиями третьего
рода и соответствующие вариационные принципы.
Потеря несущей способности силовой конструкции, даже если и
представляется внезапной со стороны стороннего наблюдателя, является
результатом многообразных физических процессов, накопления поврежде­
ний на различных структурных уровнях твердых тел [43]. Это могут быть, в
частности, явления пластического деформирования, дисперсного разруше­
ния и прорастания макротрещины, сопровождающиеся эффектами пере­
распределения напряжений между элементами структуры композиционных
материалов. То, что называют «моментом разрушения», является не нача­
лом и не концом процесса, а соответствует переходу от стабильной к не­
стабильной стадии [66].
Проблема описания перехода от микро- к макроразрушению является
очень важной для механики композитов. При этом существует много раз­
личных исходных предпосылок и методов оценки прочности с позиций
структурной механики. В настоящее время развивается подход, согласно
которому макроразрушение рассматривается как результат потери устой­
чивости сопряженного с накоплением повреждений процесса деформиро­
вания. Процесс нагружения упругопластической системы становится неус­
тойчивым, если сколь угодно малому продолжению этого процесса соот­
ветствует катастрофическое развитие перемещений и деформаций. При
этом ключевую роль в изучении вопросов устойчивости, связанных с про­
блемой разрушения, играет анализ особого рода нелинейности — ниспа­
дающей ветви на диаграмме деформирования и свойств нагружающей сис­
темы.
Как известно, жесткость тела (или обратная ей величина — податли­
вость) характеризует изменение нагрузки при перемещении, связанном с
деформацией. При предельно податливом или “мягком” нагружении, когда
к находящемуся в однородном напряженном состоянии телу прикладыва­
ются не зависящие от его сопротивления силы, разрушение происходит
при достижении максимальных напряжений. В другом предельном случае,
когда обеспечиваются заданные перемещения точек границы (“жесткое44
нагружение), а также при конечной, но достаточной жесткости нагружаю­
щей системы возможно равновесное протекание процесса накопления по­
вреждений, что находит свое отражение на диаграмме деформирования в
виде ниспадающей ветви.
Экспериментально подтверждено [27, 55], что сопротивление разру­
шению определяется не только прочностными постоянными материала, но
и зависит от жесткости нагружающей системы, в которую входят нагру­
жающее устройство (испытательная машина, передающие нагрузки сило­
вые и кинематические элементы конструкций, рабочие жидкость и газ) и
само деформируемое тело, окружающее область повреждения [66].
В связи с этим авторы работы [20] высказали сомнение по поводу
возможности найти и измерить некоторую константу, характеризующую
сопротивление разрушению материала, будь то критическая величина со­
противления отрыву, поверхностная энергия по Гриффитсу или работа
пластических деформаций в тонком поверхностном слое по Оровану. На­
пример, в случае учета податливости нагружающего устройства в задаче о
растяжении тонкой пластины с трещиной, эта величина входит явным об­
разом в формулу для нахождения среднего разрушающего напряжения.
При этом известная формула Гриффитса имеет место в частном случае при
податливости, равной нулю (очень жесткая машина, не подпитывающая
исследуемый образец упругой энергией) [20]. Пренебрежение влиянием
податливости системы образец-испытательная машина приводит к тому,
что за характеристику трещиностойкости материала принимается значение,
связанное с конкретной испытательной машиной и конкретной конфигура­
цией образца.
Необходимость учета свойств нагружающих систем, влияние кото­
рых может быть весьма существенным, отмечалось в работах Э. Зибеля и
С. Швайгерера (1939), В. Шпета (1938), П.Г Кириллова (1950), М.Э. Гарфа
(1950), Е. Орована (1955), а также М.В. Якутовича, Ф.С. Савицкого, Б.А.
Вандышева, Б. Скабелина (1948), Е.М. Шевандина и др. [22].
Существует тесная связь податливости нагружающей системы с ки­
нетикой и локальностью процесса разрушения [66]. Например, в инженер­
ной практике отмечено существенное отличие в характерах разрушения
гидравлических и пневматических сосудов давления и трубопроводов. С
точки зрения же традиционных постановок краевых задач эти случаи экви­
валентны. В связи с этим, граничные условия, не учитывающие изменений
внешних нагрузок, связанных с изменением конфигурации тела в процессе
деформирования и повреждения, не вполне соответствуют реальным усло­
виям работы элементов конструкций и производимых испытаний [13].
С этой точки зрения для более адекватного описания процессов де­
формирования, накопления повреждений и разрушения целесообразным
является использование граничных условий третьего рода [2], позволяю­
щих расширить физическую базу имеющихся моделей механики структур­
но-неоднородных сред, уточнить прочностные оценки, определить резервы
несущей способности и прогнозировать катастрофичность разрушения
конструкций.
По мнению Я.Б. Фридмана [65], обращение к рассмотрению полных
диаграмм (имеющих ниспадающую ветвь и полученных на жестких испы­
тательных машинах) при поиске характеристик разрушения явилось есте­
ственным результатом развития представлений об этом явлении.
Все физические процессы, протекающие в материале при нагруже­
нии, отражены в полных диаграммах деформирования, причем ниспадаю­
щие участки этих диаграмм соответствуют отдельным стадиям разруше­
ния. Такой характер поведения материала на заключительной стадии де­
формирования материала во многих случаях ассоциируется с формирова­
нием или развитием макродефекта. В связи с этим, наряду с явным описа­
нием трещины в деформируемом теле перспективным является феномено­
логическое направление механики разрушения, описывающее поведение
материала на стадии формирования и роста макротрещины. Начало этому
направлению положено С.Д. Волковым [13,16].
Использование данного подхода связано с предположением, что ме­
ханическое поведение сколь угодно малого объема материала при наличии
разрывов, соизмеримых с его размерами, аналогично поведению макрооб­
разца на заключительной стадии деформирования. Это в определенной
степени отражает автомодельность процесса разрушения.
Согласно гипотезе макрофизической определимости А.А. Ильюшина,
каждой точке среды может быть поставлен в соответствие макрообразец в
виде тела конечных размеров, находящийся в однородном напряженнодеформированном состоянии и на котором могут быть в принципе изучены
все процессы, протекающие в изображаемой точке среды.
Указанное соответствие может быть установлено следующим обра­
зом: перемещения границ рабочей зоны воображаемого идеального одно­
родного образца из материала, заполняющего элементарный деформируе­
мый объем, в условиях однородного напряженного состояния при одина­
ковых нагрузках должны совпадать с перемещениями границ рабочей зоны
экспериментального образца на всех стадиях деформирования, включая
стадию формирования и роста макротрещины. На основе этих предполо­
жений могут быть использованы принятые в механике деформируемого
твердого тела феноменологические уравнения и критерии.
Закритическое деформирование структурно-неоднородных сред,
подверженных деструкции различной природы при механическом воздей­
ствии, является одним из важных механических процессов, требующих
проведения специальных исследований. Критическое напряженнодеформированное состояние соответствует моменту достижения макси­
мальных для данного материала в данных условиях значений напряжений,
а закритическая стадия характеризуется снижением уровня напряжений
при прогрессирующих деформациях [15, 45, 66].
Отмеченная особенность механического поведения свойственна ме­
таллам [1, 28, 29, 62, 69], причем как для связи условных, так и истинных
напряжений и деформаций, геологическим [57], керамическим, полимер­
ным и композиционным, а также другим материалам. В приложении к на­
стоящему пособию приведены результаты экспериментальных исследова­
ний закритической стадии деформирования: полные равновесные диа­
граммы деформирования легированных, мартенситно-стареющей, аусте­
нитной сталей, титановых и других сплавов, органических волокон, цирко­
ниевой керамики, наполненного полиэтилена, гранита, песчаника и других
горных пород. Обзор работ в области исследования и описания закритической стадии деформирования приведен в монографии [9].
Закритическая стадия деформирования материалов эксперименталь­
но исследовалась Я.Б. Фридманом и Б.А. Дроздовским [20], Ф.С. Савицким
и Б.А. Вандышевым [55], С.Д. Волковым с соавторами [28, 69], А.А. Лебе­
девым и Н.Г Чаусовым [29, 34, 36], В.В. Стружановым и В.И. Мироновым
[62], Р.А. Васиным и др. [1].
Вопросы теоретического описания указанного механического явле­
ния рассматривались в работах С.Д. Волкова [12-17], чьи идеи
предопределили многие направления исследований в этой области, В.А.
Ибрагимова и В.Д. Юпошникова [23], А.М Линькова [38], Л.В. Никитина
[39, 40] и Е.И. Рыжака [41, 52-54], А.Ф. Ревуженко и Е.И. Шемякина [51],
В.В. Стружанова [58-62], Я.Б. Фридмана [66], особо подчеркивавшего
важность учета жесткости нагружающей системы при изучении проблемы
разрушения, и др. Следует отметить также работы 3. Бажанта [70], А. Пал­
мера, Д. Майера, Д. Друккера [42] и П. Пежины [38].
Монография В.В. Стружанова и В.И. Миронова [62] содержит поста­
новки и решения ряда новых краевых задач, которые демонстрируют, что
конструктивные элементы сохраняют свою несущую способность и в слу­
чае перехода части материала к процессу разупрочнения, а характеристики
разупрочнения во многом определяют кинетику разрушения деформируе­
мых тел. Результаты исследований автора, Ю.В. Соколкина и А.А. Ташкинова вопросов устойчивости закритического деформирования структурно­
неоднородных материалов, свойств решений квазистатических краевых за­
дач механики упругопластических тел с зонами разупрочнения и гранич­
ными условиями контактного типа, позволяющими учесть при решении
свойства нагружающей системы, представлены в монографии [9], а также в
работах [2, 7, 8, 11].
Значительные успехи достигнуты в изучении закономерностей закри­
тического деформирования горных пород, а также учета их при расчете и
анализе напряженного состояния и устойчивости среды в окрестностях
горных выработок, что отражено в работах А. Драгона и 3. Мруза [19],
И.М. Петухова и А.М. Линькова [46, 47], А.Ф. Ревуженко [50], А.Н. Ставрогина и А.Г Протосени [57], А.Б. Фадеева [64] и др.
На основе анализа научных публикаций можно сделать вывод о том,
что в последние десятилетия активно формируется новое направление ме­
ханики деформируемого твердого тела: теория устойчивой закритической
деформации, или деформационного разупрочнения.
Материал на закритической стадии деформирования не удовлетворя­
ет постулату Друккера [21] и классифицируется как реологически неустой­
чивый [40]. Однако многие реальные материалы адекватно описываются
именно моделями реологически неустойчивых материалов. При этом в за­
мену требования реологической устойчивости выдвигается принцип устой­
чивости дня тела в целом: состояние материала является реализуемым, ес­
ли в этом состоянии он находится в составе устойчивой механической сис­
темы [40,41].
Усовершенствование моделей материала с целью описания накопле­
ния повреждений на закритической стадии деформирования является важ­
ной задачей механики композитов. Уточненный расчет конструкций с ис­
пользованием полных диаграмм требует, кроме того, развития методов ре­
шения краевых задач с учетом разупрочнения материала [9, 11, 23, 59, 60,
62] и получения условий устойчивости закритического деформирования в
ослабленных зонах. Естественно, что это должно базироваться на эффек­
тивных экспериментальных методах построения равновесных диаграмм
деформирования.
В работах [41, 52-54] теоретически обоснована осуществимость со­
стояний материала, соответствующих ниспадающей ветви диаграммы де­
формирования. На основе теорем Адамара и Ван Хофа, дающих локальные
необходимые и достаточные условия устойчивости для упругих тел, и их
обобщений на случай упругопластических тел показано, что даже при на­
личии “падающей” диаграммы тело, закрепленное на границе с достаточ­
ной (даже не обязательно очень большой) жесткостью, может быть устой­
чиво. Нет принципиальных препятствий к регистрации таких состояний в
эксперименте, в частности, при одноосном растяжении или сдвиговом (в
девиаторном смысле) деформировании, и интерпретации соответствующих
экспериментальных данных в терминах присущего материалу свойства ра­
зупрочнения.
Принципиально важно, что в зависимости от условий нагружения
каждая точка на ниспадающей ветви диаграммы деформирования может
соответствовать моменту разрушения. Деформирование данного рода осу­
ществимо лишь для локального объекта в составе механической системы с
необходимыми свойствами. В противном случае происходит неравновес­
ное накопление повреждений и макроразрушение как результат потери ус­
тойчивости процесса деформирования на закритической стадии.
В области разупрочнения возможно также возникновение локализа­
ции деформации в виде полос сдвига. Ниспадающая ветвь наблюдается то­
гда, когда есть механизмы и условия постепенной диссипации упругой
энергии. Таким образом, рассматриваемые состояния материала можно на­
звать условно реализуемыми.
Возможно, для иллюстрации уместно использовать несколько отвле­
ченную аналогию. Деформирование разупрочняющейся среды устойчиво
примерно в той же мере, в какой устойчива более или менее вязкая жид­
кость в некотором сосуде. Потеря устойчивости происходит, если стенки
сосуда не обладают достаточной жесткостью. В данном случае роль сосуда
аналогична роли нагружающей системы.
Основная трудность при экспериментальном построении полных
диаграмм (см. приложение) состоит в создании достаточной жесткости
системы нагружения элемента материала. Поскольку испытательная маши­
на воспринимает точно ту же нагрузку, что и образец, то естественно, что
указанная нагрузка вызывает не только удлинение образца, но и некоторую
упругую деформацию станины, зажимов и других частей машины. Чем
больше эта деформация, тем податливее испытательная машина. С этой
точки зрения растягиваемый образец и нагружающее устройство могут
быть рассмотрены как соединенные последовательно упругие элементы
разной жесткости. Величина жесткости испытательной машины может
быть выражена отношением нагрузки к перемещению захвата, обусловлен­
ному деформациями всех частей машины.
Обычные испытательные машины имеют жесткость порядка 5 -г-60
МН/м, для пресса Гагарина указанная характеристика — 55 МН/м, для раз­
рывной машины Р-5 — 15 МН/м. Жесткость испытательной машины Инстрон-1195 зависит от величины рабочих нагрузок и увеличивается от 6 -г 8
МН/м при нагрузках, меньших 500 Н, до 57 МН/м при нагрузках 2000 Н и
более. С целью исследования закритической стадии деформирования мате­
риалов разработаны устройства для увеличения жесткости стандартных
машин, специальные образцы [34, 36], а также испытательные машины с
быстродействующей обратной связью. Жесткость специально сконструи­
рованных машин может достигать 165 МН/м.
Однако даже при использовании машин очень большой жесткости
может оказаться невозможным построение полных диаграмм деформиро­
вания, что зависит от конфигурации испытательных образцов. Это связано
с тем, что по отношению к ослабленной зоне основной объем образца яв­
ляется также частью нагружающей системы, включающей, кроме того, на­
гружающее устройство. При правильном же подборе формы и размеров
образца с учетом свойств испытательной машины частичная или полная
реализация закритической стадии деформирования вполне осуществима
(при отсутствии в силу структурной неоднородности материала механизма
локализационной формы потери устойчивости).
Ниспадающая ветвь графика деформационной зависимости при ис­
пытаниях металлических образцов является отражением, большей частью,
равновесного прорастания магистральной трещины. В отдельных случаях
это справедливо и для композитов. Вместе с теА
м, если прочностные и де­
формационные свойства элементов структуры неоднородной среды суще­
ственно отличаются, что характерно для большинства композиционных
материалов, то формирования выраженной макротрещины может не про­
исходить. Однако развитое дискретное рассеянное разрушение слабых
элементов и в этом случае приводит к спаду на диаграмме. Хаотичность
включений обеспечивает последовательность возникновения зон разруше­
ния в отдаленных друг от друга частях неоднородной среды, что создает
преграду для локализации деформаций и позволяет с использованием ве­
роятностных подходов определять связи между средним напряжением и
средней деформацией. Определенная структурная неоднородность обеспе­
чивает преимущественный вид деформации, отличный от локализованного.
В частности, для тел волокнистой структуры ниспадающий участок диа­
граммы возникает в результате последовательного обрыва неравнопрочных
волокон [31]. Характер процесса разрушения неоднородных сред сущест­
венно зависит от степени разброса свойств элементов структуры, поэтому
статистические характеристики прочности этих элементов во многом пре­
допределяют параметры ниспадающей ветви, в частности, её наклон, кото­
рый отражает склонность материала к хрупкому разрушению.
Структурное разрушение в качестве, по крайней мере, одной из
причин существования ниспадающей ветви на диаграммах деформирова­
ния неоднородных сред отмечено в работах [4-6, 10, 56, 63] на основании
результатов математического моделирования процессов накопления по­
вреждений слоистых, зернистых и волокнистых композитов. Описание
процессов деформирования и разрушения в рамках использованных моде­
лей структурно-неоднородных сред позволило зарегистрировать и исследо­
вать эффект роста предельных деформаций при увеличении жесткости на­
гружающей системы.
Для объяснения данного эффекта механического поведения можно
воспользоваться энергетическим подходом механики разрушения [44] и
рассмотреть соотношение между расходуемой (сумма приращений энергии
упругой деформации и работы разрушения) и подводимой (приращение
работы внешних сил) энергиями при виртуальном, в данном случае не при­
ращении длины трещины, а увеличении доли разрушенных элементов и,
следовательно, приращении закритической деформации неоднородной
среды, вызванных мгновенно действующим возмущением.
Если при этом под работой разрушения понимать диссипацию энер­
гии, связанную с процессом накопления повреждений, то для элементарно­
го объема материала работа разрушения и увеличение потенциальной
энергии упругого деформирования составят удельную работу деформации,
которая на любом интервале деформации находится как площадь под кри­
вой равновесной диаграммы. На участке упругого деформирования работа
деформации равна приращению упругой энергии (работа разрушения равна
нулю), на площадке текучести приращение упругой энергии отсутствует, а
работа деформации равна работе разрушения, точнее, величине диссипа­
ции энергии при пластическом деформировании. На участке ниспадающей
ветви работа разрушения больше, чем работа деформации. Это отличие
тем сильнее, чем круче спадает диаграмма на заключительной стадии де­
формирования. Процесс разрушения дополнительно (кроме притока энер­
гии извне) поддерживается за счет освобождения потенциальной энергии
упругого деформирования.
Приращение работы внешних сил связано с перемещениями точек
границы деформируемого тела, обусловленными уменьшением его жестко­
сти в процессе разрушения и определяемыми взаимодействием с нагру­
жающей системой. Превосходство суммы приращений энергии упругой
деформации и работы разрушения над приращением работы внешних сил,
которое тем меньше, чем выше жесткость нагружающей системы, является
по сути условием устойчивости процессов структурного разрушения и закритического деформирования композита. Оно свидетельствует о том, что
самопроизвольное (без увеличения внешней нагрузки) продолжение раз­
рушения невозможно, поскольку для совершения работы разрушения не
хватает подводимой и освобождающейся энергии. Невыполнение данного
условия соответствует лавинообразному росту дефектов, то есть динамиче­
скому разрушению.
Структурное разрушение, сопровождаемое разупрочнением неодно­
родной среда, является механизмом диссипации упругой энергии, доста­
точным для аккомодации к заданному процессу макродеформирования при
ограничении притока механической энергии со стороны достаточно жест­
кой нагружающей системы. Элементарные акты частичной или полной по­
тери несущей способности отдельными элементами структуры на началь­
ном этапе деформирования проявляют себя как случайные события, опи­
сываемые в рамках статистических представлений, в то время, как этапы
локализаций и формирования макродефекта определяются преимущест­
венно условиями перераспределения энергии между деформируемым те­
лом и нагружающей системой [6].
Отметим и еще одну закономерность деформирования. В структуре
неоднородного тела обнаруживаются локальные области, лавинообразное
разрушение которых не зависит ни от жесткости внешнего стеснения тела,
ни от шага нагружения. Это свидетельствует о локальной потере устойчи­
вости процесса накопления повреждений. Подобная, дискретная, диссипа­
ция энергии наблюдается на закритической стадии деформирования и про­
является в виде отдельных более или менее протяженных срывов на диа­
граммах. Наблюдается смена стадий стабильного и нестабильного струк­
турного разрушения.
Данное явление происходит вследствие того, что, как было отмече­
но, процесс структурного разрушения неоднородного тела осуществляется
за счет не только внешнего (нагружающая система), но и внутреннего ис­
точника подводимой механической энергии. Последний связан с освобож­
дением потенциальной энергии упругого деформирования при локальной
разгрузке элементов структуры [3] в объеме активно деформируемого тела,
окружающем области самоподдерживаемого, или, по терминологии Е.И.
Шемякина [68], свободного разрушения. Поэтому даже в случае предельно
“жесткого” монотонного нагружения характер накопления повреждений на
структурном уровне полностью не контролируется.
Связь вида ниспадающих участков диаграммы с механизмами и ста­
диями разрушения отмечена в работе [29]. Каждая из этих стадий может
характеризоваться автомодельным ростом трещины по четко выраженному
механизму. На полных диаграммах деформирования этим стадиям соответ­
ствуют линейные участки ниспадающих ветвей, изменения наклона кото­
рых адекватно отражают изменения микромеханизмов роста вязкой тре­
щины [29]. Следует отметить, что еще в 1917 году А.М. Драгомиров уста­
новил связь между видом излома и характером снижения нагрузки после
максимума при изгибе надрезанных образцов (кристаллические участки в
изломе соответствовали срывам нагрузки) [44].
С.Д. Волковым высказана идея, что характер распределения напря­
жений в вершине трещины, в принципе, повторяет ниспадающий участок
кривой на полной диаграмме деформирования материала, полученной при
испытании гладкого образца [13, 15]. Проблема сингулярности задачи при
этом решается автоматически вследствие убывания до нуля сопротивления
материала в особой точке (вершина трещины), где деформация максималь­
на и равна предельной для полностью равновесного состояния [37]. По
мнению автора работы [13], критерий роста макротрещины следует рас­
сматривать как условие потери устойчивости сопротивления разрушению
тех элементов материала, которые находятся в малой окрестности особой
точки. Жесткость нагружающей системы для элемента материала у верши­
ны трещины может быть конечной и достаточной для устойчивой закритической деформации в этой зоне, чем и объясняется возможность существо­
вания равновесных трещин.
Существует связь диаграммы деформирования с энергоемкостью
процесса разрушения [57]. Площадь под ниспадающей ветвью полной диа­
граммы определяет, вместе с тем, и работоспособность материала на ста­
дии формирования макротрещины. С.Д. Волков предположил связь этой
величины с характеристиками трещиностойкости материалов [13]. К на­
стоящему времени А.А. Лебедевым и Н.Г Чаусовым разработан и экспе­
риментально обоснован экспресс-метод оценки трещиностойкости пла­
стичных материалов по параметрам ниспадающих участков полных диа­
грамм деформирования [35].
Существуют определенная аналогия и общность между подходами
механики распространения трещин и феноменологической механикой раз­
рушения. В частности, в рамках первой теории рассматриваются докритические диаграммы разрушения, представляющие собой зависимости сред­
него растягивающего напряжения в неповрежденном сечении образца от
длины трещины при различных начальных длинах последней. Геометриче­
ское место критических (соответствующих динамическому росту трещин)
точек индивидуальных кривых называется критической диаграммой раз­
рушения. Естественно, что при испытаниях гладких образцов критическая
точка соответствует пределу прочности.
Не рассматривая явным образом трещины и разрывы и описывая по­
ведение материала с использованием ниспадающей ветви диаграммы де­
формирования, можно заключить, что она, по сути, также представляет со­
бой критическую диаграмму, поскольку является геометрическим местом
критических точек для образцов с различной степенью поврежденности,
получаемых в результате равновесного деформирования до той или иной
степени и последующей упругой разгрузки.
При описании докритического роста дефекта используется также
подход Дж. Р. Ирвина [44], состоящий в рассмотрении зависимости работы
разрушения R от длины трещины как характеристики сопротивления росту
трещины. Если в рамках феноменологического подхода под работой раз­
рушения понимать диссипацию энергии, связанную с процессом накопле­
ния повреждений, то она может быть вычислена с использованием диа­
граммы деформирования на любом интервале деформаций. Получаемая
таким образом графическая зависимость работы разрушения от величины
деформации носит характер, аналогичный известным в механике разруше­
ния ^-кривым.
Феноменологический подход дает возможность не сталкиваться с
проблемами моделирования сложной геометрии реальных трещин и разры­
вов в поврежденных структурно-неоднородных средах и определения пло­
щади поверхности разрушения вместе с фактом её неограниченного воз­
растания по мере более детального рассмотрения. В то же время, он позво­
ляет описывать все этапы повреждения, включая переход к нестабильной
стадии, функциями состояния материала и использовать при этом энерге­
тические соотношения механики разрушения и полные диаграммы дефор­
мирования материала.
Реализация закригической стадии деформирования в элементах кон­
струкций или сооружений приводит к использованию прочностных резер­
вов и повышению их безопасности. Полнота реализации несущей способ­
ности материала определяется степенью закригической деформации. При
этом экспериментальная оценка опасности разрушения должна произво­
диться с учетом и сопоставлением податливости реальной нагружающей
системы, что определяется условиями эксплуатации, и податливостью ла­
бораторного испытательного оборудования [66].
Кроме того, следует отметить важность практически не исследован­
ной ранее задачи определения условий устойчивого закритического де­
формирования элементов структуры в составе композиционного материала
как базы для создания материалов с повышенными механическими харак­
теристикам и (эти вопросы будут рассмотрены в третьей части данного по­
собия).
Оптимальное (с точки зрения протекания процессов повреждения в
равновесном режиме) проектирование требует математического описания
закритического деформирования, которое не сводится лишь к аппроксима­
ции диаграмм, имеющих ниспадающие участки. Не потеряли актуальность
вопросы обоснования континуальных моделей разупрочняющихся сред и
определения области их применимости. Возникает ряд математических
проблем, связанных, в первую очередь, с изучением устойчивости процесса
деформирования и единственности решения краевой задачи [2], возможной
сменой типа дифференциальных уравнений, а также необходимостью учета
свойств нагружающей системы, разработкой определяющих соотношений
(даже для изотропных материалов), развитием численных методов и созда­
нием эффективных итерационных процедур решения такого рода нелиней­
ных задач.
2. Граничные условия с учетом свойств нагружающей системы
Важность понятия “нагружающая система” с точки зрения исследо­
вания процессов деформирования и разрушения была отмечена в [66]. Да­
дим следующее определение этого понятия.
Нагружающая система — это совокупность твёрдых, жидких и/'или
газообразных тел, деформирующихся в результате передачи нагрузки рас­
сматриваемой области. При изменении состояния, например, поврежде­
нии среды в этой области внешняя по отношению к ней нагрузка изменяет­
ся в зависимости от упругих свойств и конструктивного устройства нагру­
жающей системы.
Непосредственное включение нагружающей системы как совокупно­
сти деформируемых тел в расчётную схему или краевую задачу является
далеко не всегда рациональным и часто невозможным, так как приводит к
неоправданному усложнению рассматриваемой области. Учесть же влия­
ние нагружающей системы, тем не менее, можно на основе введения ха­
рактеризующего “оператора влияния” [25], устанавливающего связь сило­
вых и кинематических величин во всех граничных точках нагружающей
системы, которые могут вступить во взаимодействие с исследуемой обла­
стью. При этом характеризующий оператор должен строиться для нагру­
жающей системы в отдельности, без учёта деформируемого тела. Влияние
нагружающей системы может быть учтено путём включения указанного
оператора в краевые условия для деформируемой области.
Рассмотрим деформируемое тело £2 с границей 2 и в отдельности от
него некоторую фиктивную ограниченную двусвязную область упругого
материала £2' с жестко закрепленной внешней границей и внутренней по­
верхностью 2 ', мало отличающейся от 2 . Деформируемое тело £2' будет
в дальнейшем играть роль нагружающей системы.
В каждой точке г е£2' справедливы уравнения равновесия, геомет­
рические соотношения Коши и физические уравнения теории упругости. К
точкам поверхности 2 ' приложим усилия - S J такие, что вызванные ими
перемещения - и° граничных точек обеспечат совпадение конфигураций
поверхностей 2 ' и 2 . Связь указанных величин описывается уравнениями
0)
где G (r',r) — тензор Грина для области £2'
Указанный тензор характеризует свойство податливости тела £2' как
нагружающей системы и устанавливает связь между перемещениями точек
границы области £2' и вызвавшими их усилиями, приложенными на той же
границе, при отсутствии тела Q . Если известен характеризующий свойство
жесткости нагружающей системы тензор N (r',r), то в аналогичных усло­
виях отсутствия тела С1 можно записать и обратные соотношения:
S,0(r') = JiViy( r ',r ) « ° ( r № .
(2)
Тензор N (r',r), как и тензор Грина, однозначно определяется упру­
гими свойствами и геометрией тела О.'
Построение тензоров G (r',r) и N (r',r) представляет собой специ­
альную задачу, которая в случае дискретного представления эквивалентна
задаче нахождения матрицы влияния А.А. Ильюшина [25,49] или обратной
ей.
Мысленно поместим внутрь области Q ' тело Q. без деформации по­
следнего, поскольку осуществленные перемещения точек поверхности I '
обеспечивают совпадение конфигураций Z ' и I . Идеально скрепив тела
по границе раздела, снимем усилия - S° В результате совместной дефор­
мации двух областей на границе Е е Q возникнут усилия
(3)
г
а точки границы раздела претерпят перемещения
(4)
Представим связь величин S°(r) и и°(г) в тензорно линейном виде:
(5)
Соответствующие
коэффициенты
пропорциональности
и
<2//(r,S°) при заданных во всех точках границы значениях и°(г) или S,°(r),
согласно (1) и (2), находятся из уравнений
Qo 0”)s; (г')= | Gt](г', r) s ; (г y i .
Если принять допущение, что величины
в произвольной
точке границы с текущей координатой г не зависят от величин
- и, j во
всех точках границы, кроме рассматриваемой, а изменение коэффициентов
жесткости Rjj(г,и) на интервале от и 0 до и пренебрежимо мало, то урав­
нения (3) для всех г € Z можно представить в упрощенном варианте:
5 ; ( г ) - 5 ,( г ) = ^ ( г ,и * ) « у(г).
(7)
В результате принятия аналогичных упрощающих гипотез из (4), (1)
и (5) следуют уравнения
» ;( r ) - « ,( r ) = ^ ( r , S e)Sy(r)
(8)
и становится очевидным переход к граничным условиям контактного типа,
сформулированным с учётом конечной и ненулевой жёсткости нагружаю­
щей системы:
[ст,у (г)и; (г) + R,j (r)Uj (г)]| ^ =S,°( г),
(9)
[и,(г) + <2,y( r ) a 7i( r K ( r ) | iu = ы '(г),
(10)
где л* (г) — направляющие косинусы вектора нормали к поверхности тела
Q в точке с координатой г
Величины 5° и и] на границе Z = 2,s
связаны соотношениями
(5), из которых следует взаимная обратность уравнений (9) и (10), что в
общем случае позволяет использовать граничные условия одного вида для
всей поверхности.
Согласно рассмотренным краевым условиям, на части границы об­
ласти Q номинально, то есть без учета ее сопротивления внешней нагруз­
ке, заданы перемещения u j(r в ! и) в соответствии с выбранной програм­
мой деформирования.
На другом участке поверхности также номинально, в данном случае
без учета деформации тела Q и, соответственно, перемещений его гранич­
ных точек, заданы внешние усилия S ° ( r e Z s ), определяемые выбранной
программой нагружения. Действительные перемещения ui и усилия
S, = Cij-rij определяются взаимодействием деформируемого тела и нагру­
жающей системы.
Такой же вид имеют граничные условия, если устройство нагру­
жающей системы таково, что изменение прикладываемого внешнего уси­
лия в любой точке границы определяется только вызванным деформацией
тела Q перемещением указанной точки и не зависит (или почти не зави­
сит) от перемещений всех других точек границы. В этом случае жёсткость
и податливость нагружающей системы определяются следующим образом:
л,у(г.и °)= as;(r)/a»;(r).
& ,(r,s °)= a<;(r)/as;(r).
(ii)
В приведённых граничных условиях явным образом учитывается из­
менение внешних нагрузок, связанное с изменением конфигурации тела
вследствие деформации или повреждения, чем обычно пренебрегают, ко­
гда деформации малы. Однако, подобно тому, как малые деформации мо­
гут привести к весьма большим напряжениям и являются предмегом изу­
чения механики деформируемого твёрдого тела, так и малые перемещения
границ при высокой жёсткости системы нагружения являются причиной
резкого изменения внешних нагрузок и заслуживают внимания. Это, повидимому, в первую очередь, относится к задачам теории устойчивости и
механики разрушения.
Рассмотренные граничные условия дополняют задачу информацией
о свойствах нагружающей системы и позволяют описывать перераспреде­
ление механической энергии между ней и деформируемым телом при по­
вреждении последнего.
Для любого распределения в теле С1 с границей I напряжений а у,
уравновешенного внешними S, и массовыми силами
, и для любого по­
ля перемещений и{ с соответствующим ему распределением деформаций
е у справедливо уравнение:
Приведенное тождество называется уравнением виртуальных работ или
математическим выражением известной теоремы Клапейрона.
Согласно граничным условиям (9) и (10),
J о jjZjjdQ = J X ,u ,d a + J (5; -
+ J ( i f - Q&Sk)S,<IL.
Разделение поверхностного интеграла на два является необязательным, по­
скольку используемые граничные условия могут быть приведены к едино­
му виду на всей поверхности.
Полученное соотношение позволяет дать несколько отличную от
традиционной формулировку теоремы Клапейрона.
a Vr e l ( Q ) сг,уЛ; = 5 “ -RjjUJt тогда работа номинально заданных гра­
ничных усилий на действительных перемещениях определяется соотноше­
нием
включающем удвоенное значение упругой энергии нагружающей системы,
соответствующее действительным перемещениям граничных точек.
Если V r e l ( f t ) Uj = и° jknk , то величина работы действи­
тельных усилий на номинально заданных перемещениях, определяемая по
формуле
включает в себя удвоенное значение упругой энергии нагружающей систе­
мы, соответствующее действительным граничным усилиям.
Соотношения (9) и (10) относятся к третьему типу краевых условий в
задачах математической физики, согласно которым на границе задаются не
значения функции (задача Дирихле) или ее производной (задача Неймана)
в отдельности, а некоторая их комбинация.
В предельных случаях “мягкого” или “жёсткого” нагружений (при
Rjj = 0 либо Qtj = 0, на участке свободной поверхности S° = 0 и RfJ = 0)
граничные условия (9) и (10) по форме совпадают с традиционно исполь­
зуемыми.
3. Определяющие соотношения для сред с разупрочнением
Весьма важной для современной теории пластичности является кон­
цепция о существовании предельных поверхностей в пространстве внут­
ренних параметров: поверхности нагружения / в пространстве напряже­
ний и поверхности деформирования F в пространстве деформаций. Форма
и размеры указанных поверхностей определяются компонентами тензоров
напряжений, пластических деформаций г? и историей пластического де­
формирования, которую можно формально отразить некоторыми парамет­
рами X/, изменяемыми только при изменении е% [30]:
( 12)
Полные деформации, равно как и их йриращения, состоят из упругой и
пластической составляющих:
Ц
= 4
+ 4
>
d e ij - d s v + d e u ■
Пусть данный путь нагружения приводит ко вполне определенному
деформированному состоянию независимо от выбора системы координат
Тогда функции нагружения и деформирования, описывающие предельные
поверхности, зависят от инвариантов напряженного и деформированного
состояний:
( 13)
Здесь
— инварианты тензора пластических деформаций. Количество
независимых инвариантов N , используемых в качестве аргументов указан­
ных функций, определяется типом анизотропии среды.
В качестве основного принципа, закладываемого в основу построе­
ния теории пластичности, может быть использован принцип максимума
скорости диссипации Мизеса [24]. Перейдя от скоростей к приращениям
пластических деформаций, сформулируем принцип максимума следующим
образом: при фиксированных параметрах е£, X/ для любого данного зна­
чения компонент приращений деформаций dsfj имеет место неравенство
o y d s f к OydBf,
(14)
где а у — действительные значения компонент тензора напряжений, соот­
ветствующие предельной поверхности при данном значении в£;
&у —
компоненты любого возможного напряженного состояния, допускаемого
данной функцией нагружения
•$ ■ X/) ^ О- Инварианты тензора на­
пряжений в состоянии а у обозначены как
Из приведенного неравенства следует, что поверхность нагружения
является невогнутой, вектор приращения пластической деформации в ре­
гулярной точке предельной поверхности направлен по ее внешней нормали
(принцип градиентальности), а в особой точке лежит внутри или на грани­
це конуса внешних нормалей [30]. Как видим, в данной части факт разу­
прочнения материала не приводит к противоречию с традиционными по­
ложениями теории пластичности.
Особенность механического поведения материалов на стадии разу­
прочнения, приводящая к некоторому расширению традиционных пред­
ставлений, заключается в том, что при закритическом деформировании
точка нагружения, принадлежащая поверхности нагружения, смещается
внутрь первоначальной предельной поверхности:
(15)
Отметим при этом, что в качестве условия активного нагружения
можно принять условие положительности диссипации:
c ijdsfj >0,
f i a)< )> 0.
(16)
a=l
При изотропном разупрочнении материала изменение конфигурации
поверхности нагружения представляется подобным тому, как сдувается
воздушный шар.
То же самое можно сказать и о поверхности деформирования. Вместе
с приращениями полных и пластических деформаций, соответствующим
условиям (16), упругая часть деформаций в*- на закритической стадии
уменьшается таким образом, что точка, описывающая процесс в простран­
ство деформаций и лежащая на поверхности деформирования, также сме­
щается внутрь первоначальной предельной поверхности (рис. 1):
dF
3F .
dF , п
dF ,
(17)
Кроме того, возникает и трансляция всей поверхности деформирования
на вектор d ep [62]. Вид предельных поверхностей, разделяющих области
упругого и неупругого деформирования, как при упрочнении, так и при ра­
зупрочнении исследуется в работе [58].
Рис, 1. Изменения предельных поверхностей
на закритической стадии деформирования
Подобие в поведении двух предельных поверхностей естественно,
поскольку напряжения и деформации, соответствующие внутренним и гра­
ничным точкам поверхностей нагружения и деформирования, должны
быть связаны соотношениями теории упругости.
В случае нейтрального нагружения
d f = - ^ - d a y =0,
day
dF = ^ - d z y = 0,
дву
(18)
а также при разгрузке, когда
df =
dutj
<0,
dF =
dz tJ
< 0,
(19)
пластические деформации не возникают: dzfj = 0, dxi = 0, а предельные
поверхности не изменяются.
При пластическом деформировании, согласно принципу градиентальности,
м
- кЖ .ш К *г
до у
д*у ’
( 20 )
где к и К — скалярные коэффициенты, удовлетворяющие условиям d f - О
и dF = 0. В то же время в рамках теории приращения деформаций опреде­
ляющие соотношения могут быть записаны в виде [30]:
7
Здесь
=Jijkldc kl +Q J
(21)
J
d a /y д о ш
— компоненты тензора модулей упругой податливости, а коэф­
фициент Q (в случае конической особенности на поверхности нагружения
вводится совокупность коэффициентов Qa и поверхностей / а [30]) опре­
деляется состоянием GiJf efj и историей нагружения, но не зависит от do у
и поэтому считается известным.
В отличие от традиционной теории пластичности при описании закригической стадии деформирования материала следует допустить отрица­
тельные значения коэффициента
= 0,
Q >0,
< 0,
d f < 0;
df da и > 0;
( 22)
day
df
—
day
< 0,
O yd zfj
> 0.
Ga
Уравнения связи приращений напряжений и приращений пластиче­
ских деформаций могут быть получены из выражений для полного диффе­
ренциала функции нагружения (15), в частности, с использованием соот­
ношений
d in - A ^ d z fj.
В данной точке нагружения коэффициенты
Zf/д а у , d f/d z fj, (Э //5 хп)4 л)
представляют собой вполне определен­
н ее постоянные [24]. Как показано в [30], любая теория пластичности с
гладкой поверхностью может быть в активном процессе представлена
дифференциально-линейными соотношениями.
В общем случае анизотропии дифференциальные тензорно линейные
определяющие соотношения представим в виде
dOy = С 'Ц Л я1Л;Кх,.х)<1ет„,
(23)
гДе %— индикатор, отражающий характер процесса: активное нагружение
(X = 1) или разгрузка. При разгрузке и повторном нагружении до предела
упругости х = 0 • В сокращенных обозначениях будем писать
Уравнения типа (23) являются широко используемыми в теории ус­
тойчивости упругопластических систем [32], особенность же их примени­
тельно к разупрочняющимся материалам заключается в появлении отрица­
тельных компонент тензора С ' на закритической стадии деформирования.
4. О признаке закритической деформации и постулате устойчивости
неупругого деформирования в связи со свойствами нагружающей
системы
Пусть тело из деформируемого состояния А перешло в бесконечно
близкое состояние В (при постоянной температуре). Признаком того, что
переход сопровождался закритическими деформациями, будем считать
выполнение неравенства
At y f e * <0 .
(25)
Если в процессе указанного перехода из состояния А в состояние В
возникает необратимая часть деформаций dzfj, обнаруживаемая при раз­
грузке, когда упругая часть деформаций ds
исчезает, то можно сформу­
лировать другой, возможно, более точный, признак закритической дефор­
мации:
da ijdzfj < 0.
(26)
Неравенство (26) не изменится, если приращения напряжений выра­
зить через приращения упругих частей деформаций согласно закону Гука:
Сцтп^тп&у < 0, а также левую и правую части неравенства домножиггь на
положительно определенную форму
dzkld zk l> 0.
Учитывая, что
dzu = dZjjSfcSjt = d z ^ b ^ d ^ , получим эквивалентную (26) запись призна­
ка закритической деформации:
dee„ dB $< 0.
(27)
Отметим, что признак возникновения необратимой части деформа­
ции d&%, вызванной, в общем случае, различными механизмами, включая
структурное разрушение, устанавливается постулатом пластичности А.А.
Ильюшина, согласно которому работа внешних сил на замкнутом по де­
формациям цикле является положительной [26]. Поведение разупрочняющихся сред на закритической стадии деформирования удовлетворяет ука­
занному утверждению. Вследствие этого, в рамках постулата А.А. Илью­
шина закритическая деформация не отличается от пластической. Таким
образом, неравенство (26) может рассматриваться как необходимый и до­
полнительный по отношению к постулату пластичности признак закрити­
ческой деформации.
При исследовании диссипативных процессов в механике сплошных
сред также широкое признание получил предложенный Друккером [21] по­
стулат устойчивости, имеющий большое значение, в частности, для теории
пластичности [30]. Постулат базируется на предположении, что новая не­
обратимая деформация не может возникнуть самопроизвольно. Для её соз­
дания нужно затратить энергию. Если в замкнутом цикле приложения и
снятия внешних сил возникает пластическая деформация, то работа этих
сил на вызванных ими перемещениях должна быть положительной. Со­
гласно определению Друккера, материал на стадии разупрочнения, рас­
сматриваемый в отрыве от окружающей его деформируемой среды, клас­
сифицируется как неустойчивый.
При этом автор известного постулата отмечал, что понижение кри­
вых напряжение — деформация наблюдается все же у горных пород, бето­
на, плотных грунтов, затвердевших глинистых почв и металлов, а приме­
нение лишь в противном случае термина “устойчивый” не вполне оправда­
но. Тем не менее, определение материала с ниспадающей ветвью диаграм­
мы деформирования как “неустойчивого” приводит к сомнениям по поводу
его существования. Сама осуществимость состояний материала на стадии
разупрочнения требует специальных доказательств [41, 52].
Обратим внимание на то, что при формулировке постулата не учиты­
вается работа деформирования нагружающей системы, характеризуемой в
общем случае некоторой ненулевой и ограниченной жесткостью. Покажем,
что если подход Друккера применить к механической системе, включаю­
щей кроме деформируемого тела также и систему нагружения, то разу­
прочнение материала не будет в обязательном порядке приводить к нару­
шению соответствующего расширенного постулата устойчивости. Явление
неустойчивости будет регистрироваться только при недостаточной жестко­
сти нагружающей системы, что в большей степени соответствует экспери­
ментальным данным.
Рассмотрим твёрдое деформируемое тело, находящееся в статиче­
ском равновесии под действием совокупности поверхностных нагрузок S и
объёмных сил F Предположим, что при приложении добавочных сил AS
и AF равновесие тела сохранится, а напряжения, деформации и переме­
щения в теле получат приращения Д а, Де, Ли соответственно. В случае,
когда добавочные нагрузки вызывают необратимые деформации, при сня­
тии дополнительных сил точки тела не возвращаются в исходное деформи­
рованное состояние.
Обозначим соответствующие отклонения перемещений А и ', кото­
рые состоят из упругих и пластических компонент. Если для любых систем
дополнительных сил конечной или бесконечно малой величины внешний
источник совершает положительную работу на производимых им смеще­
ниях, то состояние равновесия тела является полностью устойчивым в
большом или, соответственно, в малом. Существует энергетический барь­
ер, препятствующий передвижению системы в любую соседнюю конфигу­
рацию.
Используя введённую при записи граничных условий (9) характери­
стику жёсткости нагружающего устройства или системы, сформулируем
постулат устойчивости следующим образом.
В процессе нагружения суммарная работа дополнительных усилий,
связанная с деформированием твёрдого тела и нагружающей системы,
является положительной:
Лщ
Д ы ,-
j J (85, + Rybuj ytUidZ + J J bFjdUjdQ > 0;
E0
Q0
(28)
суммарная работа дополнительных усилий, связанная с деформированием
твёрдого тела и нагружающей системы, за полный цикл нагружения и
разгрузки является неотрицательной:
J
Д
и}
Ли}
| (85, + R,j8u})du;dZ + j J 8F,du;dn 20.
so
no
(29)
Величины 8Sit 8Fh 8uit SmJ представляют собой разности текущих и
исходных значений и изменяются от нуля до ASit &Fit k u jt Аи\ соответст­
венно. В предельном случае, когда жёсткость нагружающей системы равна
нулю, сформулированный постулат устойчивости совпадает с постулатом
Друккера [21]. Естественно, что равенство нулю в соотношении (29) имеет
место только в том случае, когда изменения в теле носят упругий характер.
Неравенства (28) и (29) соответствуют определению устойчивости в
большом. Постулат устойчивости в малом выражается неравенствами
J (85, + R fjb U j^ d Z + J bFfiUjdQ > 0,
z
n
J
z
(85, + Rjjbu'j ) 8u !d l + f S Ffiu l-d n 2 0.
n
(30)
(31)
Согласно уравнению виртуальных работ [33], из неравенства (30)
следует, что при нагружении устойчивому состоянию равновесия соответ­
ствует условие
J 8стvSe9d a + f RjjbujbitjdL > 0.
n
z
(32)
В соответствии с признаком закритической деформации, сопровож­
даемой разупрочнением материала, 8а,у5е;у < 0, что часто считается также
признаком неустойчивости. Однако при достаточной жёсткости нагру­
жающей системы деформирование разупрочняющегося материала даже во
всём объёме тела Q , согласно сформулированному постулату и следствию
(32), определяется как устойчивое.
Таким образом, учет свойств механической системы, передающей
нагрузку рассматриваемой деформируемой области или телу, позволяет
выявить стабилизирующее влияние жесткой нагружающей системы на ста­
дии деформирования, которая, согласно постулату Друккера, безусловно
классифицируется как неустойчивая. Выполнение условия (32) обеспечи­
вает устойчивое деформирование “неустойчивых” (по Друккеру) материа­
лов.
5. Оценка устойчивости процесса закритической деформации
Поскольку квазистатический процесс деформирования является
следствием движения материальных частиц, то устойчивость понимается в
данном случае, естественно, как устойчивость бесконечно медленного
движения [32]. Будем основываться на определении устойчивости движе­
ния А.М. Ляпунова с учетом особенностей его использования в механике
деформируемого твердого тела [18, 32].
Если по любой паре положительных сколь угодно малых чисел a Y и
а 2 можно найти такие положительные числа Pj и р 2, что при всяких
возмущениях в данный момент времени параметров нагружения 5и° (г) и
85,° (г), удовлетворяющих условиям
(33)
вызванные этими мгновенными возмущениями отклонения параметров
движения 5му(г) и 8е,у(г) в настоящий и любой последующий моменты
времени таковы, что
(34)
то невозмущенный процесс деформирования является устойчивым, в про­
тивном случае — неустойчивым.
Определение устойчивого состояния равновесия базируется на ана­
лизе поведения системы при фиксированных внешних параметрах и явля­
ется частью рассмотренного определения устойчивого процесса деформи­
рования при непрерывном и медленном изменении параметров нагруже­
ния. Один из путей отыскания момента потери устойчивости указывают
теоремы Лагранжа — Дирихле и Ляпунова [18]. Рассматривая малые от­
клонения от основного состояния, можно судить о характере равновесия по
знаку приращения полной потенциальной энергии механической системы.
Пусть в некоторой зоне С10 деформируемого тела Q имеет место ра­
зупрочнение материала в процессе деформирования. Для оценки устойчи­
вости закритической деформации, сопровождающейся равновесным рос­
том дефектов, воспользуемся энергетическим подходом механики разру­
шения [44], приводящим к неравенству
ААе <AW + AAf ,
(35)
устанавливающему связь приращений работы внешних сил &Ае, энергии
упругой деформации AW и работы разрушения ДЛу при виртуальном
приращении закритических деформаций.
Приращение работы внешних сил связано, как уже было сказано, с
перемещениями 5и точек границы деформируемого тела, обусловленными
уменьшением его жесткости в процессе разрушения. Выражение для вы­
числения работы внешних сил на основе рассмотренных граничных условий контактного типа можно представить в виде
Для области Q с границей I с учетом того, что условия (9) могут
быть получены из условий (10) и наоборот, неравенство (35) представим в
виде
(37)
При записи последнего неравенства принято, что связь малых при­
ращений напряжений и малых приращений деформаций может быть пред­
ставлена дифференциально линейными соотношениями (24). Коэффициен­
тами пропорциональности на стадии упрочнения являются компоненты
тензора С , а на закритической стадии деформирования компоненты тен­
зора модулей разупрочнения D , взятые со знаком минус.
Как известно, работа внешних сил на статически им соответствую­
щих перемещениях равна удвоенной упругой энергии тела. Покажем спра­
ведливость аналогичного уравнения, включающего виртуальные переме­
щения и деформации. Умножим уравнение равновесия в предположении
для простоты отсутствия массовых сил на 5м,, проинтегрируем по объему
и используем формулы Гаусса — Остроградского и Коши:
J <т,уу5м,<Ю= J (ауЬщ) .d& - J а,у5ы,у<Ю=
=J <ЗуПjbiijdL -J 0 (У
5ёijdn =0.
£
a
В связи с этим неравенство (37) сводится к виду
J
RijbUjbUjdL +
^DjjMnbZmnbZjjCKl.
(38)
Таким образом, условие устойчивости закритической деформации в
ослабленной зоне £2„ деформируемого тела О. с условиями на границе в
виде (9) имеет вид (38) и эквивалентно неравенству (32), полученному при
рассмотрении расширенного постулата устойчивости.
Отметим, что при анализе устойчивости необходимо исключить ди­
намические вариации смещений в области разупрочнения [38]. Использо­
вание других полей смещений означало бы экстраполяцию соотношений,
описывающих закритическое деформирование, на условия, в которых они
могут быть заведомо неприменимы.
Рассмотрим другой способ вывода условий устойчивости, приводя­
щий, как будет показано, к эквивалентным результатам и основывающийся
на анализе функционала полной энергии деформируемой системы, опреде­
ленного с учетом ненулевой жесткости нагружающей системы. Для этого
уместно использовать схему погружения деформируемого тела Q в об­
ласть Q ', обеспечивающую по своим свойствам требуемые условия на
границе Q , тем самым моделируя взаимодействие двух указанных систем.
Выражение для нахождения полной энергии деформируемого тела
имеет вид
(39)
С учетом граничных условий (9) работа внешних сил определяется
по формуле
£
Таким образом,
9
-I
э = J J OydSydn + - J (RyUjUi - 2S°u,)dL,
no
z
n
z
J
x
J
ЬгЭ = C'ljmn(z, = lJSe^SeydQ + R ^ u ^ d L .
При возможном отклонении от равновесного положения первая ва­
риация от полной энергии должна быть равна нулю: 8Э= 0. Об устойчиво­
сти равновесного состояния можно судить по знаку второй вариации от
полной энергии [18]. Если исходное состояние устойчиво, то вторая вариация положительна: 8 2Э > 0.
Получим условие локальной устойчивости закритического деформи­
рования материальной точки нагруженного тела. Для этого мысленно уда­
лим из тела элементарный параллелепипед объемом d£l в окрестности
рассматриваемой точки. Если на гранях получившейся полости приложить
напряжения
(штрих для отличия от напряжений в общепринятом смыс­
ле), это вызовет ее деформации s ;y. Установим связь между введенными
таким образом напряжениями и деформациями:
(41)
Тензор V(r) может быть назван тензором жесткости нагружающей
системы в точке и характеризует деформационные свойства всего тела, а
также нагружающего устройства, которое обеспечивает заданные переме­
щения или усилия на границе.
С использованием введенного тензора работа внешних сил при вир­
туальном приращении закритической деформации в области Q 0 с границей
Е0 может быть представлена выражением
Сравнивая последнее равенство с формулой для вычисления приращения
работы деформации
получим, что устойчивому состоянию соответствует условие
ДД, - ДД. = ^ J (v ijmn - DipJfizmbZjjdCl > 0.
а.
Если перейти к элементарному объему <К10 и ввести тензорную ве­
личину S — сравнительную “жесткость” нагружения,
S ijmn(r)= V iJmn( r ) - D iJnm(r),
(43)
то условие устойчивости закритического деформирования элементарной
частицы материала в теле конечных размеров будет эквивалентно требова­
н и ю положительности квадратичной формы тензора S :
Sy'rmtemnte'j > 0 -
(44)
Рассмотрим вопрос нахождения тензора жесткости нагружающей
системы в точке. Запишем выражение для приращения работы внешних
сил в виде
ДД = j(c r* - — ^Su^bu.njdL.
(45)
So
Из сравнения (45) и (42) следует, что компоненты искомого тензора могут
быть найдены по формуле
Vijrm =
2 дик
+
dxnЪы ) .
Как видим, жесткость нагружающей системы в точке зависит от со­
отношения внутренних усилий и перемещений. Эго естественно, поскольку
перемещение любой точки деформируемого тела определяется деформа­
циями всех его материальных частил, а также перемещениями границ и, в
этом смысле, является интегральной величиной, характеризующей жест­
кость нагружающей системы. Связь внутренних усилий с перемещениями
отражает жесткостные характеристики всех материальных частиц и эле­
ментов нагружающего устройства в совокупности.
Согласно этому в работе [16] введено понятие эквивалентной жест­
кости системы нагружения, связывающей перемещение рассматриваемой
точки в направлении действия главного напряжения на элементарной пло­
щадке. Условие устойчивости закритического деформирования области
малых, но конечных размеров, полученное в [16], следует из соотношений
(44), (43) и (46), однако лишь в том случае, если записать их применитель­
но к главным осям, частные производные в (46) заменить отношением аб­
солютных величин, dx заменить на Ах и принять, что каждая компонента
тензора S должна быть положительна (условие достаточное, но не являю­
щееся необходимым для выполнения (44)).
Устойчивость состояния свидетельствует об отсутствии его бифурка­
ции, что само по себе не исключает возможность бифуркации процесса де­
формирования [32]. В общем случае не исключены ситуации, когда со­
стояние единственно, но неоднозначно продолжение процесса. В связи с
этим, утверждение об устойчивости процесса закритической деформации
требует в дополнение к полученным условиям устойчивости состояний ма­
териала доказательства также и их достаточности для отсутствия бифурка­
ции процесса, что эквивалентно требованию единственности решения
краевой задачи, сформулированной относительно малых приращений
внутренних и внешних параметров. Этот вопрос будет рассмотрен далее.
6. Единственность решения краевых задач для тел с зонами
разупрочнения
Пусть в произвольной декартовой системе координат определяющие
соотношения, связывающие приращения тензора напряжений d a и тензора
деформаций de во время непрерывного нагружения элемента материала,
задаются в тензорно линейном виде (24).
Будем предполагать наличие исходного напряженно-деформирован­
ного состояния, то есть считать, что в момент, предшествующий рассмат­
риваемому, имеют место и известны ненулевые поля напряжений a ( r ) ,
деформаций е(г) и перемещений u(r). Примем отмеченную ранее концеп­
цию о существовании предельных поверхностей: поверхности нагружения
в пространстве напряжений и поверхности деформирования в пространстве
деформаций, а также принцип максимума скорости диссипации Мизеса,
выражающийся в неравенстве (14).
В общем случае некоторая часть деформируемого тела находится в
состоянии пластического деформирования, другая область — в состоянии
разупрочнения. В процессе закритической деформации для каждой точки
этой области поверхность максимальных напряжений и критических со­
стояний непрерывно изменяется. Третья область может находиться в со­
стоянии разгрузки после предшествовавшей пластической или закритиче­
ской деформации. Наконец, в оставшейся части тела имеют место только
упругие деформации.
Ограничимся рассмотрением материалов, обладающих диаграммами
деформирования с обычными ниспадающими участками (падение напря­
жений сопровождается ростом деформаций) и мягкими характеристиками
[48], так что С '(е,х = 1)< С '(е = 0,х) = С . В данном случае активное на­
гружение связано с выполнением неравенства a^-rfs^ > 0. Упругое поведе­
ние материала определяется постоянным тензором модулей упругости С .
Приращения деформаций малы, так что выполняются соотношения
Коши, связывающие их с вектором приращения перемещения,
(47)
и справедливы уравнения равновесия среды (X — заданные объемные си­
лы)
d^ij.j + dXj = 0.
(48)
Условия нагружения тела £2 с границей 2 = 2 5 + 2 и определим с
помощью граничных условий контактного типа в форме
(daytij + R9duj)|Is = dS; ,
(49)
(du, + Q,jda jk4 \ u =
(50>
•
Характеристики жесткости i^ ( u ,r ) и податливости Q, (S,r) нагружающей
системы удовлетворяют следующим условиям:
Ve
^ 0, Qijejei > 0, RjkQjg = 5;у .
(51)
Номинально, без учета деформации или сопротивления тела, задаваемые
приращения усилий и перемещений на границе связаны соотношениями
dS° = Rjjduj, d u ^ Q y d S j,
(52)
из которых вместе с (51) следует взаимная обратность уравнений (49) и
(50), что в общем случае позволяет использовать граничные условия одно­
го вида для всей поверхности. В связи с этим, из (47}-{50) следуют соот­
ношения
J dSJdUjdL = J (dcijd&jj - dXjdu^dQ + J R^dUjdu^dL,
(53)
J dS,du°di: = j(d G IJd£lj- d X idul)ctn+ ^ Q y d S j d S ^ ,
2sIii
О
(54)
где dSi = Лт,уЛу|г
Уравнения (53) и (54) аналогичны уравнению виртуальных работ
[33] и, как и условие устойчивости (32), являются основой доказательства
основных теорем механики неупругого деформирования тел с граничными
условиями контактного типа.
Теорема 2. Пусть для ограниченного поверхностью 2 тела £2, со­
держащего область £2Сс £2 (2 g £20), выполняются неравенства
£2 - £2e. Cljmn(e,x = 0^/шЛу > О»
где h — произвольный, a g — какой-либо симметричные тензоры второго
ранга, причем множество, где C ^ ( s , x = iywAy = 0, имеет меру нуль.
Тогда
j C 'mn(е,
X= 1)56^,58
n
у{£1+ j RybUjSujdZ. >
Z
является достаточным условием существования не более одного решения
задачи (24), (47)-(50).
Доказательство. Предположим противное: существуют два различ­
ных решения
этом случае поля
du- = dufi - du\2\
dz'ij = deft - d e jf\ do^ = d a ^ - d a ^
также удовлетворяют всем уравнениям краевой задачи при нулевых массо­
вых силах и граничных условиях
(dc'yrij + V ) ) | l5 = °.
И
+ Q,jfo'jknk)\Zu = 0 •
(57)
Граничные условия, как было отмечено, могут быть приведены к единой
форме. В данном случае, уравнение (53) приобретает вид
J
n
dG'yde'ijdn =
-J
s
Rydu'jdu’idL.
(58)
= e s
Очевидно, что правая часть последнего уравнения не может быть положи­
тельной. В случае неединственности решения исходной краевой задачи ин­
теграл по объему должен быть отрицательным, в противном случае оба ин­
теграла равны нулю.
Неотрицательность выражения, стоящего под знаком объемного ин­
теграла, для области Q в случаях активного нагружения либо разгруз­
ки как по одному, так и другому решениям следует из (55). Если в указан­
ной области упругая разгрузка имеет место согласно лишь одному реше­
нию, например, первому, то, положив а* = а у + d c f f , из принципа макси­
мума Мизеса (14) получим
d o $ d s f pй О,
следовательно, и в этом случае объемный интеграл в выражении (58) явля­
ется неотрицательным. Вместе с фактом неположительности правой части
(58) это свидетельствует о единственности решения краевой задачи для уп­
ругопластического упрочняющегося тела (.Q0 = 0) с граничными условия­
ми в форме (49) и (50).
Если, согласно различным решениям краевой задачи, в каждой точке
области С10 имеет место активное нагружение (% = 1), то при выполнении
условия устойчивости закритической деформации (56) равенство (58) не­
возможно, что свидетельствует о наличии связанного с исходным предпо­
ложением противоречия.
Однако возможен вариант, когда в некоторой области Г2' с П0 со­
гласно одному из решений, например, первому, имеет место упругая раз­
грузка. Принимая во внимание, что в этом случае
г., dz®
“a jy _ ^ijmnu^mrty
С , d z ^ne »
uda®
u ij = ^ijmnut,m
для любой точки из указанной области запишем
d^jdz'ij = Cijmd z ® c k f - I d v f d z f - C,jmnd z ^ d z f p + d v f d z f
Следовательно,
da'ijdzlj - C'tJmn(z,x = Ijdz'^dz’j =
= [Сцтн - Qjmn (e, X =
- d a f d z f p > 0.
Знак последнего неравенства определяется направленностью векто­
ров d a ^ и d e ^ p соответственно внутрь поверхности нагружения и по
внешней нормали к ней и тем фактом, что рассматриваемый материал, как
было оговорено, обладает мягкой характеристикой.
Поэтому, обращаясь к (58), запишем
J < W e ,x =
О
Rijduldu'dL < 0 ,
I
придя и в этом случае к противоречию с условием (56). Теорема доказана.
После вывода условия устойчивости, выполнение которого означает
отсутствие бифуркации процесса закритической деформации, о чем свиде­
тельствует доказанная теорема единственности, требует уточнения вопрос
определения самого критического напряженного состояния. Традиционно
используемые критерии разрушения, основанные на сравнении значения
некоторой функции компонент тензора напряжений или деформаций с ее
предельным значением, обычно не включают в себя жесткость нагружаю­
щей системы и соответствуют нулевой жесткости. В этом случае подобные
критерии могут быть использованы для оценки критического напряженно­
го состояния. Предельное состояние материала будем характеризовать со­
четанием двух условий: условия закритической деформации и условия по­
тери устойчивости этого процесса.
Таким образом, деформирование и разрушение нагруженного тела,
сопровождаемые возникновением и развитием поврежденных зон, облас­
тей закритической деформации, поведение которых находит отражение на
диаграмме деформирования в виде ниспадающей ветви, а также зон раз­
рушенного материала, можно исследовать как единый процесс, описывае­
мый при квазистатическом нагружении краевой задачей, состоящей из
замкнутой системы уравнений: уравнений равновесия (48), геометрических
соотношений (47), определяющих соотношений в форме (24), условий за­
критической деформации и устойчивости этого процесса (56), а также гра­
ничных условий (49) и (50).
Существование, единственность и непрерывная зависимость реше­
ния от данных задачи являются необходимыми признаками корректности
ее постановки. Единственность решения указанной задачи свидетельствует
об однозначном соответствии искомого процесса нагружения (деформиро­
вания) элементов тела и заданного процесса внешнего нагружения. Отсут­
ствие же в математическом смысле решения говорит о невозможности рав­
новесного сопротивления тела приложенным внешним нагрузкам, то есть о
макроразрушении.
7.
Экстремальные и вариационные принципы
механики устойчивого закритического деформирования
Используем изложенную ранее схему погружения деформируемого
тела Q с границей Z в фиктивную ограниченную двусвязную область уп­
ругого материала Q ' с требуемыми свойствами и жестко закрепленной
внешней границей.
Если внутренняя граница I ' области f2' в недеформированном со­
стоянии отличается от Z в каждой точке на соответствующий вектор сме­
щения du°(r), принимаемый в качестве номинально задаваемого прира­
щения перемещений для точек поверхности Z , а свойства области П ' та­
ковы, что для совпадения границ требуется приложение в точках Е ' уси­
лий, отличающихся лишь знаком от номинально задаваемых dS °(r), то в
результате описанной процедуры стыковки тела Q и области П ' на общей
границе устанавливаются условия типа (49) и (50), а тело Q ' может слу­
жить моделью нагружающей системы.
Поля du(r), de(r) и d a(r) в теле Q., вызванные несовпадением ис­
ходных границ областей П, и £2', удовлетворяют уравнениям (24), (47) и
(48) при (49) и (50). Допустим существование области разупрочнения Q 0 и
выполнение условий (55) и (56). Поля, удовлетворяющие всем указанным
уравнениям и неравенствам, будем называть действительными.
Пусть da ij — статически возможные приращения напряжений в об­
ласти £2, удовлетворяющие уравнениям равновесия (48) и статическим ус­
ловиям сопряжения
s d c vnj
|Е
(59)
но такие, что соответствующие им, согласно определяющим соотношениям
(24), возможные приращения деформаций dz^ не обязательно выражаются
через непрерывные перемещения. В области £2' соотношения Коши вы­
полняются, отклонение статически возможных полей от действительных
возникает вследствие отличия возможных и действительных усилий на
общей границе.
Теорема 3. Абсолютный минимум функционала
W * = j d G l d s 'j d Q - j Q ^ d S j d S - - d S * d S '- - d S j d S ^ d Z ,
n
s
2
(60)
определенного для всех статически возможных полей, отвечает действи­
тельному полю приращений напряжений.
Для доказательства рассмотрим следующие равенства:
J ( d a ‘ - d a ,y)de,,dC! = j(d S * - d S i)duldZ +
П+П'
£(П)
(6 1 )
+ J (dS- - dSj \d u ° - du,)dL = J (dS* - dS)du°dZ,
Utt)
2
полученные при использовании последовательно соотношений Коши при­
менительно к действительному полю деформаций, уравнений равновесия и
теоремы Гаусса — Остроградского.
Преобразуем подынтегральное выражение в (61):
2(Лт* - dCi/jdZij =
(62 )
= ( d y f e y - Л гуЛ у) - [da* (de* - de,j) + dziJ(daij - da*)].
Определим знак следующей величины
Л = da* (<**• - d sv ) +
—
Сутп(^7 X=
г,у - d a* ) -
JAiy— J.
~d&nm
В областях активного нагружения по всем статически возможным и
действительному продолжениям процесса Л = 0 в любой точке С1 и П ' В
зонах упругого деформирования и разгрузки, производимой как do у, так и
dv,j
л
=
[C ijm n ~
Q p m ( e >
X
=
1
) ] ( ^ е * т л
-
d z m n\ d z ] j -
что определяется отмеченными ранее свойствами рассматриваемых мате­
риалов. В случае, когда day вызывают нагружение, а do у — разгрузку,
придем к аналогичному неравенству:
л=
\cijm
n- c;Jmn(z, %=i
пу>о .
т
)\&
d zt
Если согласно статически возможному приращению напряжений
da у имеет место разгрузка, а активное нагружение соответствует действи­
тельным приращениям da у, то
л = [Cijmn - с 'цтп(е, X = О ]* !* * # - 2dcsljdzfj > 0.
Знак последнего неравенства был обоснован при доказательстве теоремы 2.
Следовательно,
|л < ю SO.
Я + Я '
Согласно уравнению виртуальных работ для области £2' и условию
(56) при замене вариаций (5^- = -Q ySSj) для dzy ф dzy,
jc;Jmn(z, х = 1) [ < я - & ия1 4 - а (У]л 2=
Я + Я '
= J Сут„(е, X = l)[d C - ^ J ^ e * - ^е,у]<Ю +
Я
+ j Q u( d S '- d S j l d S * - d S i)dZ> 0.
I
Тем самым доказано, что
-
-
> о,
(63)
Я + Я '
а значит
- d tty fcJd Q S 2J (<£,*- dS)du]dL .
J
Я + Я '
(64)
т
Равенство имеет место при совпадении статически возможных и действи­
тельных полей.
Согласно уравнению виртуальных работ, а также условиям сопряже­
ния (59) и du] - dut = QydSj,
J d<j*de-jdn = J dS*(du° - du')dZ = J Q9dSjdS*dZ,
Я '
2
I
J doydZydQ. = j
a
z
= J QvdSjdStdZ.
z
Следовательно,
Jda\<b*vdCl-\[idS'du] - QydSjdS*)dZ Z
n
z
>JdoydSydn - J(idSidu] -OydSjdS^dL =J dS,du,dZ
n
z
I
Справедливость сформулированного экстремального принципа доказана.
В частном случае, когда на части 1 и поверхности I заданы условия
“жесткого” нагружения (j2,y = 0), а на другой части поверхности l s — ус­
ловия “мягкого” нагружения (Ry = 0) и требуется, чтобы статически воз­
можные поля удовлетворяли равенству
^ • " 4
-* г.
соотношение (65) приобретает вид
| Jdol-de'-dCl - J dS*du,dL >^Jdeydeydn - JdS fadL =
a
zu
a
ztt
= ± ld S ,d u ld Z - ± l d S , d u ldZ
zs
zu
и совпадает с выражением известного экстремального принципа, получен­
ного с использованием традиционных граничных условий [67].
В рамках рассмотрения статически допустимых полей, отличающих­
ся бесконечно мало от действительного,
da*j
=da у +8(<fey),
функционал W* принимает экстремальное значение при выполнении усло­
вия его стационарности по отношению к вариациям 5(</а,у), удовлетво­
ряющим уравнениям равновесия. В этом случае уравнение
J b{doi])d z ij< K l-\ 8(<Я>,)И- QydSj]dZ =0
Q
Z
выражает модифицированный вариационный принцип для упругопласти­
ческих тел с возможными зонами разупрочнения и граничными условиями
контактного типа.
Второй экстремальный принцип касается кинематически возможных
приращений деформаций dzijy связанных с приращениями перемещений
dUj соотношениями Коши и удовлетворяющих на границе областей Q и
Q' кинематическим условиям сопряжения
(66)
но таких, что соответствующие им согласно определяющим соотношениям
возможные приращения напряжений
в области Q не обязательно
удовлетворяют уравнениям равновесия. В области £1' уравнения равнове­
сия выполняются, отклонения кинематически возможных полей от дейст­
вительных возникают вследствие отличия возможных и действительных
перемещений на общей границе.
Теорема 4. Абсолютный максимум функционала
определенного для всех кинематически возможных полей, отвечает дей­
ствительному полю приращений деформаций.
Рассмотрим интеграл
П+П'
т)
( 68)
Г(Л')
и тождество
2(ds,j - d e v)d o 9 =
• (dS9dg9 - d o 9<k9) - [ & 9(<S9 -tfo9) + do9((k9
Определим знак следующей величины
П+О'
-
п +су
J Qmn(e,X =ОИтл ~ dem„\dB,j - de^dn.
П+С У
-<%)].
В областях активного нагружения по всем кинематически возмож­
ным и действительному продолжениям процесса А = 0. В зонах упругого
деформирования и разгрузки, производимой как do у , так и do у ,
Л = [Cijmn ~ Q«n(e,X =
- <ктп){<&ч ~ <ky) > 0,
что определяется отмеченными ранее свойствами рассматриваемых мате­
риалов. К аналогичному выражению для величины А придем и при рас­
смотрении случая, когда do у вызывают нагружение, a do у — разгрузку.
Если согласно кинематически возможному приращению деформаций
dZy имеет место активное нагружение, а упругая разгрузка соответствует
действительным приращениям d zijy то
=
А [Сфт, - c;jmn(e,x
=
- IdGydzfj > 0
.
Истинность подобного неравенства уже была обоснована при доказатель­
стве теоремы 2.
Согласно уравнению виртуальных работ для области ГУ и условию
(56) при d Z y * d Z y ,
J C\jmn (e, X =
“
\& ij “ * 0
=
Q+O'
= JQy»m(s »X = 0[^ш л ~
~
JdE2 +
Cl
+ J Rjj{duj - dUj^dUj - diij)dL > 0.
s
Таким образом доказано, что
~ & ij) + do у (<fe^ q
> 0,
+c y
а следовательно,
\
jid a y d E y - d c y d e ^ d C l*
1 Cl+Cl'
j { d t y - d siJ)d a lJd n .
Q+Q'
Согласно условиям сопряжения (66) и dS° - d S , = Ryduy,
(69)
JddijdZytKl = J(dS; - R yd S jp u . -c to )d L =
СУ
Z
J
= (dS°du° - 2jdS°dui + RydSjdu^dZ,
z
JdcydBydQ = J(dS; - R,?du;)(du° - dd,.)ds =
П '
I
J
= (dS°du° - 2dS°dUj + Rtjdujdu)dL.
E
Возвращаясь к (69) с учетом (68) и последних соотношений, получим
J
| da,y<ie;y<iQ - (У-ЩсЕ* - R ^ j d u ^ d Z >
n
z
J
J{2dutdS° - Rydujdu^dZ = -J du,dS°dL.
П
Z
> dcydEydCl -
(70)
z
Экстремальный принцип доказан.
В частном случае, когда
^ ’1е$ =
^1
еы
=
= м/'1еи ““ Ui ’
неравенство (70) имеет вид
JdUjdSjdL - ^JddydiydQ <
Is
<
л
JdUjdSjdL - i JdOydEydn = ^JdS, A,aK - 1J
E $
О
Е$
Z „
и совпадает с выражением известного экстремального принципа, получен­
ного с использованием традиционных граничных условий [67].
При рассмотрении кинематически допустимых полей, отличающихся
бесконечно мало от действительного,
diy =dEy+S(dzy),
функционал W принимает экстремальное значение при выполнении усло­
вия его стационарности по отношению к вариациям 5(^6^), удовлетво­
ряющим соотношениям Коши. В этом случае уравнение
Jda^ds^dD . -J5(<fc,)[aS;-fydu^dZ = О
Q
Г
выражает второй модифицированный вариационный принцип для упруго­
пластических тел с возможными зонами разупрочнения и граничными ус­
ловиями контактного типа.
Согласно сформулированным принципам,
W* > W > W ,
где
W = j [ - d S ° - dS^jdu°dL = J ( A , - - dutydS°dL ,
г 2
г
2
что создает условия для получения верхней и нижней границ в приближен­
ном решении краевых задач.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Потеря устойчивости накопления повреждений на заключительной
стадии деформирования означает, что образование и рост трещин приобре­
тает лавинообразный характер. Это проявляется в виде макроразрушения
тела и происходит, как уже отмечалось, когда выделяющаяся вследствие
разгрузки частей тела упругая энергия совместно с энергией, подводимой
со стороны нагружающего устройства, начинают превышать энергетиче­
ские потребности процесса трещинообразования. Опыты и расчеты под­
тверждают, что моменту потери устойчивости может соответствовать лю­
бая точка на ниспадающей ветви в зависимости от характеристик среды в
ослабленной зоне, доли ее в объеме деформируемого тела, жесткости ос­
новного объема в текущий момент, а, кроме того, и нагружающей системы.
Обеспечение условий реализации закритического деформирования
элементов конструкций и сооружений является средством использования
резервов несущей способности и повышения их живучести — способности
оказывать сопротивление внешним нагрузкам на стадии формирования и
роста системы трещин или разрушения части элементов конструкций. Кон­
струкция должна быть спроектирована таким образом, чтобы обеспечива­
лась необходимая для сдерживания процесса накопления повреждений же­
сткость системы нагружения тех участков, где максимальна концентрация
напряжений от внешней нагрузки. Это достигается путем выбора допусти­
мых в смысле жесткости граничных условий и геометрических параметров
данного несущего элемента.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Васин Р.А., Еникеев Ф.У., Мазурский М.И. О материалах с падающей
диаграммой // Изв. АН. МТТ. — 1995. — № 2. — С. 181-182.
2. Вильдеман В.Э. О решениях упругопластических задач с граничными
условиями контактного типа для тел с зонами разупрочнения // ПММ.
— 1998. — Т. 62, вып. 2. — С.304-312.
3. Вильдеман В.Э. Эффект локальной разгрузки при активном деформи­
ровании композита // Деформирование и разрушение структурно не­
однородных материалов. — Свердловск: УрО АН СССР, 1992. — С.
102-106.
4. Вильдеман В.Э., Зайцев А.В. Равновесные процессы разрушения зер­
нистых композитов // Механика композит, материалов. — 1996. — №
6. — С. 808-817.
5. Вильдеман В.Э., Рочев И.Н. Кинетика разрушения волокнистых ком­
позитов с упругопластической матрицей // Матем. моделирование сис­
тем и процессов. — 1996. — № 4. — С. 14-19.
6. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Зайцев А.В. Эволюция структурных
повреждений и макроразрушение неоднородной среды на закритической стадии деформирования // Механика композит, материалов. —
1997. — Т. 33, № 3. — С. 329-339.
7. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Краевая задача меха­
ники деформирования и разрушения поврежденных тел с зонами ра­
зупрочнения // ПМТФ. — 1995. — №6. — С. 122-132.
8. Вильдеман 5.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Краевые задачи кон­
тинуальной механики разрушения: Препринт / УрО РАН. — Пермь,
1992. — 77 с.
9. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого
деформирования и разрушения композиционных материалов / Под
ред. Ю.В. Соколкина. — М.: Наука, Физматлит, 1997. — 288 с.
10. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Тспикинов А.А. Прогнозирование не­
упругого деформирования и разрушения слоистых композитов // Ме­
ханика композит, материалов. — 1992. — № 3. — С. 315-323.
11. Вильдеман В.Э., Тспикинов А.А. Расчет несущей способности толсто­
стенных труб с использованием полных диаграмм деформирования //
Проблемы прочности. — 1994. — № 8. — С. 48-54.
12. Волков С Д Методы решения краевых задач механики разрушения:
Препринт / УНЦ АН СССР, Ин-т металлургии. — Свердловск, 1986.
— 68 с.
13. Волков С.Д. Проблема прочности и механика разрушения // Пробл.
прочности. — 1978. — № 7. — С. 3-10.
14. Волков СД. Функция сопротивления материалов и постановка краевых
задач механики разрушения: Препринт / УНЦ АН СССР, Ин-т метал­
лургии. — Свердловск, 1986. — 65 с.
15. Волков С Д , Дубровина Г.И., Соковнин Ю.П. О краевой задаче меха­
ники разрушения // Пробл. прочности. — 1978. — № 1. — С. 3-7.
16. Волков С Д , Дубровина Г.И., Соковнин Ю.П. Устойчивость сопротив­
ления материала в механике разрушения // Пробл. прочности. — 1978.
— №6. — С. 65-69.
17. Волков С Д , Ставров В.П. Статистическая механика композитных ма­
териалов. — Минск: Изд-во БГУ, 1978. — 208 с.
18. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. — М.: Наука,
1967.— 984 с.
\9.Драгон А., Мруз 3. Континуальная модель пластическихрупкого пове­
дения скальных пород и бетона // Механика деформируемых твердых
тел: Направления развития. — М.: Мир, 1983. — С. 163-188.
20. Дроздовский Б.А., Фридман Я.Б. Влияние трещин на механические
свойства конструкционных сталей. — М.: Металлургиздат, 1960. —
260 с.
21. Друккер Д. О постулате устойчивости материала в механике сплошной
среды // Механика (сб. переводов). — 1964. — № 3 (85). — С. 115—
128.
22. Зилова Т.К., Фридман Я.Б. О механических испытаниях с переменной
податливостью нагружения // Завод, лаборатория. — 1956. — Т. 22, №
6. — С. 712-717.
23. Ибрагимов В.А., Клюитиков В.Д. Некоторые задачи для сред с па­
дающей диаграммой // Изв. АН СССР. МТТ. — 1971. — № 4. — С.
116-121.
24. Ивлев Д Д , Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического те­
ла. — М.: Наука, 1971. — 232 с.
25. Ильюшин А .А Загадки механики твердых деформируемых тел // Не­
решенные задачи механики и прикладной математики. — М.: Изд-во
МГУ, 1977. — С. 68-73.
26. Ильюшин АЛ. О постулате пластичности // ПММ. — 1961. — Т. XXV
— С. 503-507.
27. Испытание на растяжение при различных запасах упругой энергии /
Т.К. Зилова, Б.А. Палкин, Н .И Петрухина и др. // Завод, лаборатория.
— 1959. — Т. 25, № 1. — С. 76-82.
28. К теории накопления повреждений /Г.И Дубровина, Ю Л . Соковнин,
Ю Л . Гуськов и др. // Пробл. прочности. — 1975. — N° 2. — С. 21-24.
29. Кинетика разрушения листового пластичного материала на заключи­
тельной стадии деформирования / А.А. Лебедев, Н.Г Чаусов, О.И Маpycuu и др. //Пробл. прочности. — 1988. — № 12. — С. 18-25.
30. Клюшников БД. Математическая теория пластичности. — М.: Изд-во
МГУ, 1979. — 208 с.
31. Клюшников В.Д. Устойчивость деформирования; трактовки и методы
// Математические методы механики деформируемого твердого тела.
— М.: Наука, 1986. — С. 48-55.
32. Клюшников В.Д. Устойчивость упруго-пластических систем. — М.:
Наука. — 1980. — 240 с.
33. Койтер В.Т. Общие теоремы теории упруго-пластических сред. — М.:
Изд-во иностр. лит-ры. — 1961. — 79 с.
34. Лебедев А.А., Чаусов Н.Г. Установка для испытания материалов с по­
строением полностью равновесных диаграмм деформирования //
Пробл. прочности. — 1981. — № 12. — С 104-106.
35. Лебедев А.А., Чаусов Н.Г Экспресс-метод оценки трещиностойкости
пластичных материалов: Препринт / АН СССР, Ин-т пробл. прочно­
сти. — Киев, 1988. — 43 с.
36. Лебедев А.А., Чаусов Н.Г., Евецкии Ю.Л. Методика построения пол­
ных диаграмм деформирования листовых материалов // Пробл. проч­
ности. — 1986. — № 9. — С. 29-32.
37. Лебедев А.А., Чаусов Н.Г., Зайцева Л.В. Влияние вида напряженного
состояния на кинетику разрушения и трещиностойкость мартенситностареющей стали. Сообщение 1. Исследование стадийности процесса
разрушения // Проблемы прочности. — 1991. — № 8. — С. 3-13.
38. Линьков А.М. Об условиях устойчивости в механике разрушения //
Докл. АН СССР — 1977 — Т. 233, № 1. — С. 45-48.
39. Никитин Л.В. Закритическое поведение разупрочняющегося материа­
ла // Докл. АН. — 1995 — Т. 342, № 4. — С. 487- 490.
40. Никитин Л.В. Направления развития моделей упруговязкопластиче­
ских тел // Механика и научно-технический прогресс. Т. 3. Механика
деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1988. — С.136-153.
41. Никитин Л.В., Рыжак Е.И. Об осуществимости состояний материала,
соответствующих “падающему” участку диаграммы // Изв. АН СССР.
М П . — 1986. — №2. — С. 155-161.
42. Палмер А., Майер Г., ДракерД. Соотношение нормальности и выпук­
лости поверхностей текучести для неустойчивых материалов или эле­
ментов конструкций // Прикладная механика. Сер. Е. 1967. — Т. 34. —
№ 2. — С. 232-241.
43. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни дефор­
мации твердых тел. — Новосибирск: Наука, 1985. — 229 с.
'J 44. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разруше­
ния. — М.: Наука, 1985. — 504 с.
45. Пежина П. Моделирование закритического поведения и разрушения
диссипативного твердого тела // Теоретические основы инженерных
расчетов. — 1984. — Т. 106, № 4. — С. 107-117.
46. Петухов И.М., Линьков А.М. Механика горных ударов и выбросов. —
М.: Недра, 1983.-- 280 с.
47. Петухов И.М., Линьков А.М., Работа Э.Н. О решении дискретизиро­
ванных задач горной геомеханики с учетом разупрочнения и разгрузки
// ФТПРПИ. — 1981. — № 3. — С. 26-33.
48. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. — М.: Изд-во
МГУ, 1984. — 336 с.
49. Победря Б.Е., Шешенин С.В. О матрице влияния // Вести. МГУ Сер. 1.
Матем. механ. — 1979. — № 6. — С. 76-81.
50. Ревуженко А.Ф. О напряженно-деформированном состоянии разу­
прочняющегося массива вокруг выработок // ФТПРПИ. — 1978. —
№2.
5\. Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. К вопросу о плоском деформировании
упрочняющихся и разупрочняющихся пластических материалов //
ПМТФ. — 1977. — № 3. — С. 156-174.
52. Рыжак Е.И. К вопросу об осуществимости однородного закритиче­
ского деформирования при испытаниях в жесткой трехосной машине
//Изв. АН СССР. МТТ. — 1991.— № 1. — С. 111-127.
53. Рыжак Е .К Об устойчивом закритическом деформировании в неже­
сткой трехосной испытательной машине // Докл. АН. — 1993. — Т.
330, № 2. — С. 197-199.
54. Рыжак Е.И. Об устойчивом закритическом деформировании упруго­
пластических образцов, стесненных обоймой конечной жесткости //
Изв. АН СССР. МТТ. — 1995. — № 3. — С. 117-135.
55. Савицкий Ф.С, Вандышев Б.А. Жесткость испытательных машин и ее
влияние на спадающий участок диаграммы растяжения и изгиба // За­
вод. лаборатория. — 1956. — Т. 22, № 6. — С. 717-721.
56. Соколкин Ю.В., Вильдеман В.Э., Зайцев А.В., Рочев И.Н. Накопление
структурных повреждений и устойчивое закритаческое деформирова­
ние композитных материалов // Механика композитных материалов.
— 1998. — Т.34, №2. — С. 234-250.
57 Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г Механика деформирования и разру­
шения горных пород. — М.: Недра, 1992. — 224 с.
58. Стружанов В.В. Ассоциированный и инкрементальный законы пла­
стического течения для сред, проявляющих деформационное разу­
прочнение // Известия УрГУ — 1998. — № 10. — С. 92-101.
59. Стружанов В.В. О применении полных диаграмм деформирования в
расчетах на прочность // Пробл. прочности. — 1988. — № 5. — С.
122-123.
60 Стружанов В.В. О разрушении диска с ослабленной центральной зо­
ной // Изв. АН СССР. МТТ. — 1986. — № 1. — С. 135-141.
61. Стружанов В.В. Об одном подходе к исследованию разрушения ме­
ханических систем // Пробл. прочности. — 1987. — № 6. — С. 57-63.
62. Стружанов В.В., Миронов В.И. Деформационное разупрочнение ма­
териала в элементах конструкций. — Екатеринбург: УрО РАН, 1995.
— 191 с.
63 Ташкинов А.А., Вильдеман В.Э. Упругопластическое деформирование
и структурное разрушение слоистых металлокомпозитов // Деформи­
рование и разрушение структурно-неоднородных материалов и конст­
рукций. — Свердловск: УрО АН СССР, 1989. — С. 36-55.
64 Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. — М.: Недра,
1987. — 221 с.
65 Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. 4.1. Деформация и
разрушение. — М.: Машиностроение, 1974. — 472 с.
66 Фридман Я.Б. Оценка опасности разрушения машиностроительных
материалов // Теоретические основы конструирования машин. — М.:
Гос. научн.-тех. изд-во машиностр. лит-ры, 1957. — С. 257-281.
67. Хилл Р. Математическая теория пластичности. — М.: Гос. изд-во тех,теор. лит-ры, 1956. — 407 с.
68. Шемякин Е.И. О свободном разрушении твердых тел // Докл. АН
СССР. — 1988. — Т. 300, № 5. — С. 1090-1094.
69. Экспериментальные функции сопротивления легированной стали при
растяжении и кручении / С.Д. Волков, Ю.П. Гуськов, В.И. Кривоспицкая и др. //Пробл. прочности. — 1979. — № 1. — С. 3-6.
70. Bazant Z.P. Stable states and paths of structures with plasticity or damage //
J.Eng.Mech. — 1988. — V. 114, N. 12. — P. 2013-2034.
ПРИЛОЖ ЕНИЕ
Экспериментальное исследование
закритической стадии деформирования
ЖЕСТКОСТЬ ИСПЫТАТЕЛЬНОЙ МАШИНЫ И ЕЕ ЗНАЧЕНИЕ
ДЛЯ ОЦЕНКИ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
ПРИ СТАТИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ*
Жесткостью машины Ки принято называть отношение величины на­
грузки (Р) к абсолютному суммарному упругому удлинению нагруженных
частей машины А/м. Упругая энергия (А = РД/М/ 2 ), накопленная в нагру­
женных частях податливой машины, больше, чем в жесткой (рис. 1). Вели­
чина Кы определяет вид диаграммы в области зуба текучести (рис. 2) и мо­
мент разрушения на закритической стадии деформирования (рис. 3).
А б с о л ю т н а я у п р у г а я д еф орм ац и я м а ш и н а/
Рис. 1. Схема, иллюстрирующая жест­
кость испытательных машин: К \ — жест­
кая машина; К 2 — податливая машина; I
— предельно податливая машина; I I —
предельно жесткая машина
Рис. 2. Влияние жесткости испытательной
машины на характер диаграмм деформи­
рования в области зуба текучести:
OAFG — случай записи диаграмм на
податливой машине, когда зуб текучести
не проявляется; O A B D G — случай записи
на машине большой жесткости
Абсолютное удлинение образца АI,нм
Рис. 3. Диаграммы, полученные при испытании образцов диаметром 5 мм из стали
ЗОХГСА на машинах различной жесткости: 1 — 50 МН/м; 2 — 14 МН/м; 3 — 4 МН/м
*Методы испытания, контроля и исследования машиностроительных материалов:
Справочное пособие / Под ред. АТ. Туманова. Т. 2.: Методы исследования механиче­
ских свойств металлов. — М.: Машиностроение, 1974. — 320 с.
ЗАКРИТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ЛЕГИРОВАННОЙ СТАЛИ
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И КРУЧЕНИИ*
При построении равновесной диаграммы деформирования только в
малом (в макроскопическом смысле) элементе материала будет сформиро­
вана, магистральная трещина. Оставшаяся вне этой доли часть образца вме­
сте с упругими элементами нагружающего устройства испытательной ма­
шины образуют систему нагружения, для увеличения жесткости которой
используются специальные образцы (рис. 4, 5).
If[7
1*72
лч
Ш
щ
.W
Рис. 1. Образец для построения функции
сопротивления материала при одноосном
растяжении
Р. кГ/ии
ЩШ
T tr
ТЕШяГI «а
210
т
Рис.З. Образец для построения функции
сопротивления материала при кручении
(чистом сдвиге)
1
Рис.2. Функция сопротивления стали
ЗОХГСА при одноосном растяжении
Рис. 4. Функция сопротивления стали
ЗОХГСА при кручении (чистом сдвиге)
Если жесткость системы нагружения достаточно велика и задано пе­
ремещение подвижного захвата, то равновесное сопротивление материала
после перехода через максимум (предел прочности) устойчиво (рис. 6, 7). В
противном случае образец разрушается динамически. При этом невозмож­
но экспериментально получить равновесную ниспадающую ветвь.
*Экспериментальные функции сопротивления легированной стали при растяжении и
кручении / С.Д Волков, Ю.П. Гуськов, В.И. Кривоспицкая, В.И. Миронов, Ю.П. Соковнин, ПС. Соколов // Проблемы прочности. — 1979. — №1. — С. 3-6.
ВЛИЯНИЕ ВИДА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
НА КИНЕТИКУ РАЗРУШЕНИЯ МАРТЕНСИТНО-СТАРЕЮЩЕЙ СТАЛИ*
Проведены эксперименты на одноосное растяжение стальных образ­
цов различной геометрии. С уменьшением радиуса концентратора отменается тенденция к охрупчиванию и уменьшению ширины зоны, в которой
происходит слияние пор и микротрещин в макротрещину (рис. 8,9).
Рис.8. Полные диаграммы деформирования испытанных образцов из стали: 1 — глад­
кий образец 2, 3, 4, 5 — образцы с исходным радиусом R20, RIO, R4, R2
Рис. 9. Образцы для испытаний на статическое растяжение на жесткой машине
Лебедев А.А., Чаусов Н.Г., Зайцева Л.В. Влияние вида напряженного состояния на
кинетику разрушения и трещиностойкость мартенситно-стареющей стали // Проблемы
прочности — 1991. — № 8 . — С. 3-13.
КИНЕТИКА РАЗРУШЕНИЯ ЛИСТОВОЙ АУСТЕНИТНОЙ СТАЛИ
НА ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОЙ СТАДИИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ*
Исследована кинетика разрушения листовой метастабильной аусте­
нитной стали ( а 0 2 = 283 МПа, о 3 =575 Мпа). На рис. 10 показан типич­
ный участок полной диаграммы деформирования, полученной при испыта­
ниях образцов специальной конфигурации (рис. И), обеспечивающей по­
вышенную жесткость нагружающей системы в рабочей зоне.
Рис. 10. Участок полной диаграммы де­
формирования стали
Рис. 11. Схема образца, вырезанного из
листа в поперечном направлении к про­
катке
* Лебедев А А , Чаусов Н.Г., Марусий О.И. и др. Кинетика разрушения листовой аусте­
нитной стали на заключительной стадии деформирования // Проблемы прочности. —
1989. — № 3. — С. 16-21.
КИНЕТИКА РАЗРУШЕНИЯ ТОНКОЛИСТОВЫХ ПЛАСТИЧНЫХ
МАТЕРИАЛОВ ПРИ ИЗОТЕРМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ'
Эксперименты осуществляли на образцах из алюминиевого сплава
АМдС при фиксированных температурах и по следующей схеме: равновес­
ное нагружение при температурах 293 и 77 К до получения естественной
макротрещины, полная разгрузка, изменение температуры и последующее
равновесное нагружение до полного разделения образца на части. На
рис. 12 также показан микрорельеф поверхности излома образца, испытан­
ного при теплосмене 77 -> 293 К. Отчетливо видны три зоны: зона А авто­
модельного роста трещины при температуре77 К, переходная зона Б, кото­
рой соответствует зона I на кривой 4, и зона В автомодельного роста тре­
щины при температуре испытаний 293 К.*
Рис. 12. Полные диаграммы деформирования сплава АМпС: 1,3 — при фиксирован­
ных температурах испытаний 293 и 77 К соответственно; 2 — с учетом теплосмены 293
—►77 К; 4 — с учетом теплосмены 77 —> 293 К на стадии деформирования, соответст­
вующей росту макротрещины в материале образца
* Чаусов Н.Г., Евецкий Ю.Л., Лебедев АА. Кинетика разрушения тонколистовых пла­
стичных материалов при изотермическом нагружении // Проблемы прочности. — 1989
— №2. — С 12-16.
ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАЗВИТИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ТРЕЩИН
В СПЛАВЕ АМгб ПРИ МАЛОЦИКЛОВОМ НАГРУЖЕНИИ*
Исследуется поведение образцов с трещинами (рис. 13). При мягком
нагружении происходит страгивание трещины, устойчивый и неустойчи­
вый (скачкообразный) рост трещины. При жестком — периодическое по­
вторение этих этапов (рис. 14).*
Рис. 13. Общий вид образца для испытаний
Рис. 14. Диаграмма квазистатического деформирования образцов с поверхностной
трещиной при мягком (1) и жестком (2) режимах нагружения. Толстые и тонкие линии
соответствуют устойчивым и неустойчивым процессам.
* Стрижало В.А, Красовский А.Я., Камплинский А.Л. Закономерности развития по­
верхностных трещин в сплаве АМгб при малоцикловом нагружении // Проблемы
прочности. — 1984. — jYs 7. — С. 23-32.
Наличие падающего участка на диаграмме «истинное напряжение
— логарифмическая деформация» наблюдается при деформации разнооб­
разных материалов в условиях высоких температур ( Т > 0 ,5Г*, где I * —
температура плавления) и низких скоростей деформации.
W
(Ь)
(с)
Рис. 15. Процесс деформационного пре­
образования структуры в титановом спла­
ве ВТ5-1
Рис. 16. Диаграмма деформирования ти­
танового сплава ( а в МПа, 8 в % )
Падающая кривая а — е наблюдается при развитии в ходе горячей
деформации динамической рекристаллизации, сопровождаемой уменьше­
нием размеров зерен. Исходному состоянию сплава соответствует крупно­
зернистая пластинчатая ( а + Р) структура. По мере увеличения деформа­
ции она постепенно трансформируется в мелкозернистую равноосную
( а + Р) структуру, что сопровождается уменьшением а и переходом в
сверхпластическое состояние. При горячей деформации происходит фазо­
вое превращение а -фазы в р -фазу, а предел текучести а -фазы примерно в
6 раз больше, чем P -фазы. Поэтому падение а обусловлено, по крайней
мере, тремя факторами: уменьшением размера зерен, уменьшением объема
более прочной а-фазы и изменением формы а-частиц (рис. 15, 16).
* Васин ? А., Еникеев Ф У , Мазурский М.И. О материалах с падаюшен диаграммой
Изв. РАН. МТТ — 1995. — № 2.*— С. 181-182.
ИСПЫТАНИЯ ПУЧКОВ АРМИРУЮЩИХ ВОЛОКОН’
Рис. 17. Диаграмма растяжения пучка органических волокон, полученная на машине
FP-10, и функция распределения прочности волокон (£=1,15-103 Мпа): 1 — экспери­
ментальная кривая; 2 — аппроксимация эмпирической функции распределения (точки)
прочности волокон при помощи распределения Вейбулла; 3 — теоретическая кривая.
Испытания проводились на базе 400 мм.
Неодновременное разрушение волокон при растяжении пучка (рис.
17, 18) объясняется рассеянием их прочностных характеристик, что приво­
дит к нелинейности диаграммы и появлению ниспадающего участка. На­
чальный нелинейный участок обусловлен неодновременным вступлением в
работу разнодлинных волокон (дисперсия степени разнодлинности не пре­
вышает 0,1 %).
Рис 18. Разрушенный образец органопластика
’ Разрушение конструкций из композитных материалов / И.В. Грушецкий, И.П. Димитриенко, А.Ф. Ермоленко и др.. Под ред. В.П. Тамужа, В.Д. Протасова. — Рига: Зинатне. 1986 — 264 с.
ДЕФОРМИРОВАНИЕ НАПОЛНЕННОГО ПОЛИЭТИЛЕНА
ВЫСОКОЙ ПЛОТНОСТИ ПОД ДАВЛЕНИЕМ*
Образцы цилиндрической формы получали методом литья под дав­
лением с последующим отжигом в течение 2 часов при 120°С. При растя­
жении образцов наблюдалось их разрушение без образования шейки. Ко­
эффициент Пуассона матрицы (ПЭВП) v=0,38. На диаграммах деформиро­
вания обнаруживаются протяженные ниспадающие участки (рис. 19).
Рис. 19. Диаграммы деформирования матрицы (1) и наполненного ПЭВП (2-4) при
гидростатическом давлении/т=0,1 (1); 1,0 (2); 10,0 (3); 30,0 МПа (4); скорости дефор­
мирования: 6 =1,0-10"3 (а); 1,0* 10“2 с-1 {6). Т - 303’С
*Гольдман А.Л., Кокотов Ю.В., Меш Г.Э., Яновский Э.А, Баклановская Т.И. Переход
хрупкость-пластичность при деформировании наполненного полиэтилена высокой
плотности под давлением // Механика композитных материалов. — 1987 — №3. — С
532-534.
ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ
ЦИРКОНИЕВОЙ КЕРАМИКИ*
Закритическая стадия деформирования, сопровождаемая 30%-ным
снижением истинных напряжений, была зарегистрирована в опытах на вы­
сокотемпературное одноосное растяжение (скорость деформирования
6,5* 10~5 с '1) образцов из циркониевой керамики (рис.20).
Номинальная деформация 8, %
О
10
20
30
8 = ln(l + г)
Рис. 20. Результаты одноосного растяжения образца из циркониевой керамики
* Wakai F. Superplasticity of ceramics // Ceramics International. — 1991. — V. 17. — P 153163.
Горная порода представляет собой сложную неоднородную среду,
состоящую из структурных элементов (зерен) с отличающимися друг от
друга физическими и механическими свойствами и цемента, заполняющего
пространство между ними. Наиболее существенными особенностями в по­
ведении горных пород являются эффект увеличения объема (дилатансия) в
процессе необратимой деформации в условиях трехосного неравнокомпо­
нентного сжатия и наличие максимума и ниспадающей ветви на диаграмме
напряжение — деформация (рис. 21).
а
Рис. 21. Зависимость напряжения A<Ji = CTj - 0 2 от деформации 6]
невыбросоопасного песчаника (б)
б*
для
гранита (а) и
*Ставрогин АН., Протосеня А Г Механика деформирования и разрушения горных
пород. — М.. Недра, 1992. — 224 с.
ДЕФОРМАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ХРУПКИХ ГОРНЫХ ПОРОД'
Явление разупрочнения на закритической стадии деформирования
свойственно горным породам различной природы (рис. 22, 23).
Рис. 22. Полные диаграммы деформирования (одноосное сжатие) образцов горных по­
род: 1 — мрамор; 2 — гранит биотитовый; 3 — плагиогранит биотитовый; 4 — песча­
ник н. в. о.; 5 — плагиогранит; б — диабаз; 7 — талькохлорит, 8 — песчаник в. р.
V5
^3
г /
V
ш л
у
Ч4
J
У
Рис. 23. Полные объемные деформации образцов горных пород (а); то же в допредель­
ной области деформирования (б). Уел. обозн. см. на рис.22
’ Ставрогин АН., Певзнер Е.Д., Тарасов Б.Г Запредельные характеристики хрупких
горных пород // Физико-техн. проблемы разработки полезных ископаемых. — 1981. —
№ 4.— С. 8-15.
Валерий Эрвинович Вильдеман
Моделирование процессов
деформирования и разрушения композитов
Часть 2
Основы математической теории
закритической деформации
разупрочняюпшхся сред
Учебное пособие
Корректор И.Н. Жеганина
Лицензия ЛР jYs 020370 от 29.01.97
Подписано в печать 21. 03.2000. Формат 60x90/16. Печать офсетная.
Набор компьютерный. Уел. печ. л. 4,5.
Тираж 80 экз. Заказ 32.
Редакционно-издательский отдел Пермского государственного технического университета
Отпечатано на ризографе в отделе
Электронных издательских систем ОЦНИТ
Пермского государственного технического университета
614600. г. Пермь. Комсомольский пр., 29а. кЛ 13
т.(3422)198-033
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
59
Размер файла
3 756 Кб
Теги
процессов, моделирование, 124, разрушение, деформирования, часть, композитор
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа