close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Метод подобных операторов в спектральном анализе дифференциальных операторов второго порядка с негладким потенциалом

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Карпикова Алина Вячеславовна
МЕТОД ПОДОБНЫХ ОПЕРАТОРОВ
В СПЕКТРАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО
ПОРЯДКА С НЕГЛАДКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ
01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный
анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Воронеж 2015
Работа выполнена в Воронежском государственном университете.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Баскаков Анатолий Григорьевич.
Официальные оппоненты:
Шульман Виктор Семенович,
доктор физико-математических наук,
профессор, Вологодский государственный
университет, кафедра высшей математики,
профессор,
Ускова Наталья Борисовна,
кандидат физико-математических наук,
доцент, Воронежский государственный
технический университет, кафедра высшей
математики и физико-математического
моделирования, доцент.
Ведущая организация: Южный федеральный университет.
Защита состоится 17 ноября 2015 года в 15 часов 10 минут на заседании
диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном
университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского
государственного университета, а также на сайте
http://www.science.vsu.ru/disserinfo&cand=2777.
Автореферат разослан сентября 2015 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Гликлих Юрий Евгеньевич
Общая характеристика работы
Актуальность работы. В диссертационной работе рассматриваются
задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств дифференциальных операторов
второго порядка с негладким комплексным потенциалом, определяемых
периодическими и квазипериодическими краевыми условиями. Одним из
самых распространенных методов исследования в теории возмущений линейных операторов является резольвентный метод, который основывается на представлении проекторов Рисса возмущенных операторов с помощью интегральной формулы Коши. Однако изучаемые операторы не всегда удовлетворяют условиям, необходимым для применения этого метода.
В первую очередь это связано с оценкой проекторов, при получении оценок
безусловной равносходимости спектральных разложений.
В качестве метода исследования выбран метод подобных операторов, который берјт свој начало с метода Пуанкаре нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений и тесно связан с методом A.M.
Ляпунова кинематического подобия дифференциальных операторов, абстрактным вариантом замены Крылова-Боголюбова.
Впервые метод подобных операторов был изложен К.О. Фридрихсом
для возмущенных самосопряженных операторов с абсолютно непрерывным
спектром. Дальнейшее свој развитие метод подобных операторов получил в
работах А.Г. Баскакова и его учеников, который стал использовать технику
абстрактного гармонического анализа линейных операторов.
Суть метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого дифференциального оператора в оператор, спектральные свойства
которого близки к спектральным свойствам хорошо изученного оператора.
Тем самым значительно упрощается изучение исследуемого оператора.
3
Метод подобных операторов применяется к исследованию спектральных свойств широкого класса дифференциальных операторов. Описанное
в диссертации применение метода позволяет более глубоко изучить спектральные свойства исследуемого дифференциального оператора ШтурмаЛиувилля: получить уточненную, по сравнению с известной ранее, асимптотику спектра.
Наиболее сильные результаты по асимптотике собственных значений
1
оператора Хилла-Шрјдингера получены Марченко В.А. , для рассматриваемого нами дифференциального оператора, в случае вещественнозначно-
2
3
го потенциала. Также отметим работы А.М. Савчука , и А.А. Шкаликова ,
в которых проведены исследования для потенциала из пространства
W2?1 ,
поэтому и оценки являются более грубыми по сравнению с приведенными
в диссертации.
Недавние исследования ряда математиков (Х.Р.Мамедова, П. Джакова, Б.С. Митягина, А.А.Шкаликова, О.А.Велиева, Н.Дернека) по условиям
спектральности дифференциальных операторов второго порядка показывали важность получения более точных асимптотических формул для собственных значений и уточненных оценок отклонений проекторов от классических систем проекторов. Получение таких уточненных формул для собственных значений изучаемых дифференциальных операторов важны при
оценке лакун в спектре соответствующего оператора ХиллаШредингера,
рассматриваемого в
L2 (R),
в случае периодического комплексного потен-
циала. Таким образом, тема диссертации является актуальной.
1 Марченко
В. А. Операторы Штурма Лиувилля и их приложения/ В. А. Марченко М.: Наука,
1977. С. 330.
2 Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами / А. М. Савчук,
А. А. Шкаликов // Мат. заметки. 1999. Т. 66. ќ 6. С. 897912.
3 Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциаламираспределениями / А. М. Савчук,
А. А. Шкаликов // Тр. ММО. 2003. ќ 64. С. 159212.
4
Цель работы.
1. Построение оператора преобразования оператора Штурма-Лиувилля
к оператору с блочно-диагональной матрицей.
2. Спектральный анализ дифференциальных операторов, возмущенных
оператором ГильбертаШмидта:
?
получение асимптотических оценок собственных значений;
?
получение оценок спектральных проекторов и оценок равносходимости спектральных разложений.
Методы исследования. Для исследования спектральных свойств рас-
сматриваемых операторов используется метод подобных операторов, спектральная теория дифференциальных операторов.
Научная новизна. Основные результаты, полученные в диссертацион-
ной работе, являются новыми. Отметим некоторые из них:
1. Разработана абстрактная схема применения метода подобных операторов для операторов, близких к рассматриваемому оператору Штурма
Лиувилля.
2. Исследованы спектральные свойства несамосопряженного оператора
Штурма-Лиувилля с негладким потенциалом, задаваемого периодическими и квазипериодическими краевыми условиями:
?
получены новые асимптотические оценки для собственных значений оператора ШтурмаЛиувилля;
?
получены оценки отклонений спектральных проекторов возмущенного и невозмущенного операторов (получены оценки безусловной
равносходимости спектральных разложений).
5
Практическая и теоретическая значимость. Полученные в работе
результаты носят теоретический характер и строго обоснованы широким
использованием методов спектральной теории операторов и дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Крым-
ских осенних математических школах [6], [8], [9], на Крымской международной математической конференции [7], [10], на Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна [4], на весенней математической школе
ѕПонтрягинские чтения XXIї
[5], на математическом интернет-семинаре
ISEM (Германия, Блаубойрен) [11], на конференции, посвященной 100-летию
Б.М. Левитана Спектральная теория и дифференциальные уравнения
[12], на семинарах А.Г.Баскакова, а также на научных сессиях ВГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в ра-
ботах [1-12]. Работы [1], [2], [3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
четырех глав, разделенных на параграфы, и библиографии, содержащей 61
наименование. Общий объем диссертации - 123 страницы.
Содержание диссертации
В первой главе введены используемые в диссертации понятия спектральной теории операторов, которые необходимы при формулировании основных результатов (
первый параграф
). Также приводятся определения и тео-
ремы метода подобных операторов (
второй параграф
). В основе метода
лежат понятия подобных операторов и допустимой тройки, формулируется основная теорема метода подобных операторов. В
фе
третьем парагра-
вводится в рассмотрение исследуемый в диссертации дифференциаль-
6
ный оператор второго порядка с негладким потенциалом
L2 [0, ?] ? L2 [0, ?],
? ? [0, 1],
ференциальным выражением
{
L? : D(L) ?
порожденный на промежутке
l(x) = ?x?? ? vx,
[0, ?]
диф-
с областью определения
}
D(L? ) = x ? W22 [0, ?] : x(?) = ei?? x(0), x? (?) = ei?? x? (0) .
Во второй главе метод подобных операторов применяется к исследованию спектральных свойств абстрактных линейных операторов, близких
первом параграфе
к изучаемому оператору. В
метод подобных операто-
ров применяется к абстрактным линейным операторам, действующих в
сепарабельном гильбертовом пространстве
A ? B,
где оператор
ГильбертаШмидта
B
H.
Рассматривается оператор
принадлежит двустороннему идеалу операторов
S2 (H),
оператор
A = A? : D(A) ? H ? H самосо-
пряженный оператор с компактной резольвентой, спектр
?(A? )
которого
образует последовательность собственных значений вида
)2
?
(2n + ?) , ? > 0, n ? Z+ ,
?n =
?
(
)2
?
?n,? =
(2n + ?) , ? > 0, n ? Z,
?
(
для
? ? {0, 1},
для
? ? (0, 1).
Вводятся ортогональные проекторы Рисса, которые для любого
x?H
определяются следующим образом:
P0,n x = (x, en )en + (x, e?n )e?n ,
n ? N,
n ? Z,
P?,n x = (x, e?,n )e?,n ,
P1,n x = (x, en )en + (x, e?n?1 )e?n?1 ,
где
en , n ? Z, собственные
e?,n собственные
P0,0 x = (x, e0 )e0 ,
? ? (0, 1),
n ? Z+ ,
? = 1,
A?
?=0
функции оператора
функции для
? = 0,
для
и
?=1
и
? ? (0, 1).
Наряду с указанными трансформаторами рассматриваются последовательности трансформаторов вида:
Jm X = J?,m X = J(X ? P(m) XP(m) ) + P(m) XP(m) ,
7
?m X = ??,m X = ?(X ? P(m) XP(m) ).
Во
втором параграфе
строится абстрактная схема применения метода
подобных операторов для операторов, близких к рассматриваемому оператору ШтурмаЛиувилля. Рассмотрена основная теорема о подобии, а
также получено асимптотическое представление для оператора
В пространстве
S2 (H)
A? ? B.
определяется семейство трансформаторов
J?,m ,
??,m , m ? 0, ? ? [0, 1], задаваемое на операторах X ? S2 (H) формулами:
?
?
?
Jper X =
Pk XPk =
Pk XPk +
Pk XP?k + P0 XP0 , X ? S2 (H),
k?0
Jap X =
?
k?Z
Pn XPn =
n?0
J? X =
?
?
k?Z
Pn XPn +
n?Z
Pn XPn ,
?
Pn XP?n?1 , X ? S2 (H),
n?Z
X ? S2 (H),
? ? (0, 1),
n?Z
?? X =
?
??,i ?=??,j
Для оператора
P?,i XP?,j
,
??,i ? ??,j
A = A?
X ? S2 (H),
? ? [0, 1].
вводится пространство допустимых возмущений
U(f ) (со своей нормой ? · ?? ), состоящее из операторов, входящих в S2 (H).
Теорема 2.1.
Пусть число m ? Z+ удовлетворяет условию
1
??,m ?B?? < ,
4
где постоянная ??,m из определения допустимой тройки.
Тогда оператор A ? B = A? ? B подобен оператору вида
e = A? ? P(m) XP
e (m) ?
A? ? Jm X
?
e k,
Pk XP
? ? {0, 1},
k?m+1
e = A? ? P(m) XP
e (m) ?
A? ? J m X
?
e k,
Pk XP
? ? (0, 1).
|k|?m+1
Оператор Xe является решением нелинейного уравнения
X = B?X ? (?X)(JB) ? (?X)J(B?X) + B,
8
в котором J = J?,m, ? = ??,m, и уравнение рассматривается в гильбертовом пространстве S2(H). Преобразование подобия оператора A? ? B в
e
оператор A? ? J?,mXe осуществляет оператор I + ??,mX.
Спектр оператора A? ? B, где ? ? (0, 1), допускает
представление в виде объединения
Теорема 2.4.
?(A? ? B) = ?
e(m)
?
en , |n| ? m + 1}
{?
непересекающихся множеств, где ?e(m) конечное множество с числом
точек, не превосходящем 2m + 1 и собственные значения ?en, |n| ? m + 1,
допускают представление вида
?2
?n2 (B)
2
e
?n = 2 (2n + ?) ? (Ben , en ) +
?(n), |n| ? m + 1.
?
2n + ?
Если ? ? {0, 1}, то спектр оператора A? ? B допускает представление
в виде объединения
(
)
?(A? ? B) = ?
e(m)
?
?
?n ,
n?m+1
взаимно непересекающихся множеств, где ?e(m) конечное множество с
числом точек, не превосходящем 2m+1, а множества ?n = {?+n , ??n }, n ?
m + 1 не более чем двухточечные, причем собственные значения ?±
n,n ?
m + 1, допускают представление вида
?±
n
?2
= 2 (2n + ?)2 ? µ±
n + ?n (B)?(n),
?
n ? m + 1,
где последовательности ? и ? принадлежат пространству l и µ±n собственные значения матрицы оператора PnB|Hn
4
3
.
Для любого ненулевого оператора
X
из
S2 (H)
и любого
? ? [0, 1]
рас-
смотрим двустороннюю последовательность чисел вида
?n (X) = ??,n (X) =
?1
?X?2 2
?
?
1
1
max{(
?XP?,k ?22 ) 4 , (
?P?,k X?22 ) 4 }.
|k|?n
|k|?m+1
9
Отметим, что
В
?n (X) ? 0,
третьем параграфе
при
n ? ?.
получены оценки равносходимости спектральных
разложений для абстрактных операторов
A?
и
A? ? B,
где
B ? S2 (H).
? ? Z+ (если ? ? {0, 1}) символом
?
?
P(?) обозначается проектор P(?) =
Pk =
P?,k . Для ? ? Z (если
k??
k??
?
? ? (0, 1)) через P (?) обозначается проектор P (?) =
Pk .
Для произвольного подмножества
Пусть
e(m) , P
en , n ? m + 1, спектральные
P
ные по оператору
символом
через
Pe(?)
? ? Z+ \{0, ..., m}
(не обязательно конечного)
обозначим спектральный проектор
? ? (0, 1)
P (?)
проекторы Рисса, построен-
A? ? B, где ? ? {0, 1}, и множествам ?(m) , ?n , n ? m + 1.
Для любого подмножества
Если
k??
?e
P(?).
k??
и
? произвольное
обозначается спектральный проектор
спектральный проектор
Z\{?m, ..., m},
?
Pk , а через Pe(?) подмножество из
? e
Pk .
k??
k??
Для любого оператора
?(?, X)
X ? S2 (H)
обозначается величина
Теорема 2.6.
Pek ? P(m) ?
|k|=m+1
e(m) +
?P
??Z
через
max ?n (X).
n??
Существуют числа m ? Z+, C > 0 такие, что
n
?
?Pe(m) +
и любого подмножества
n
?
n
?
Pk ? ?
|k|=m+1
ek ? P(m) ?
P
k=m+1
n
?
Pk ? ?
k=m+1
C
|?n (B)|,
?n
C
|?n (B)|,
n
? ? (0, 1),
? ? {0, 1}.
Третья глава содержит вывод основных формул, используемых для получения асимптотики собственных значений оператора
вые три параграфа
) В
четвертом параграфе
L? , ? ? [0, 1]
пер-
(
третьей главы осуществля-
ется предварительное преобразование исследуемого оператора к оператору
ГильбертаШмидта с использованием следующей теоремы.
Теорема 3.1.
Для любого числа k ? Z+ такого, что
???,k V ?2 < 1,
10
оператор L? = L0? ? V подобен оператору
A? ? B = L0? ? J?,k V ? B0 ,
где A? = L0? , оператор
B0 = (I + ??,k V )?1 (V ??,k V ? (??,k V )J?,k V ),
причем имеет место равенство
(A? ? B)(I + ??,k V ) = (I + ??,k V )(A ? J?,k V ? B0 ).
Оператором преобразования оператора A? ? B в оператор A? ? B =
A ? J?,k V ? B0 является обратимый оператор I + ??,k V.
Основные результаты диссертации приведены в четвертой главе и получены с использованием величин, которые определяются коэффициентами
Фурье
vb(n), n ? Z, потенциала v . Символом lp (J), где p ? [1, ?), J ? {N, Z},
обознается банахово пространство суммируемых на
следовательностей комплексных чисел, при этом
J
со степенью
l1 (Z) банахова
p
по-
алгебра
двусторонних последовательностей со сверткой в качестве умножения.
Пусть ? ? {0, 1}. Тогда существует такое натуральное
число m ? 1, что спектр оператора L? представим в виде
Теорема 4.1.
?(L? ) = ?(m)
?
(
?
)
?n ,
(1)
n?m+1
где ?(m) конечное множество, состоящее не более чем из 2m + 1 чисел,
а множества ?n = {?+n } ? {??n }, n ? m + 1, не более чем двухточечные
и имеет место следующее асимптотическое представление собственных
значений:
??
n =(
?
?(2n + ?) 2
) ? vb(0) ? vb(?2n ? ?)b
v (2n + ?) + ?1? (n),
?
11
где n ? ?(?) = {n ? Z+ : vb(?2n ? ?)bv(2n + ?) ?= 0} и последовательности
?1? удовлетворяют оценкам:
|?1? (n)| ? wn
1 ?
? (n),
n 1
где последовательности ?1? принадлежит пространству l2 и последовательность w представима в виде
(
)1
|b
v (?2n ? ?)|
|b
v (2n + ?)| 2
wn = 2 +
+
, n ? ?(?).
|b
v (2n + ?)|
|b
v (?2n ? ?)|
Определение 4.1. Пусть
? ? {0, 1}. Потенциал v ? L2 [0, ?] называется
устойчивым на бесконечном подмножестве
постоянные
? ? 2N + ?,
если существуют
Ci = C(?, ?) > 0, i = 1, 2, и конечное множество ?0 из ? такое,
что для всех
n
из
?\?0
имеют место оценки
C1 |b
v (?2n ? ?)| ? |b
v (2n + ?)| ? C2 |b
v (?2n ? ?)|.
Пусть ? ? {0, 1}. Тогда существует такое натуральное число m ? 1, что спектр оператора L? представим в виде (1). Если
потенциал v устойчив на множестве ? ? 2N + ?, то имеет место следующее асимптотическое представление собственных значений:
Теорема 4.3.
??
n =(
?
?(2n + ?) 2
) ? vb(0) ? vb(?2n ? ?)b
v (2n + ?) + ?3? (n), n ? m + 1,
?
где последовательности ?3? удовлетворяют оценкам:
|?3? (n)| ?
1 ?
? (n).
n 3
Последовательности ?3? принадлежат пространству l2.
Пусть ? ? {0, 1}. Тогда существует такое натуральное
число m ? 1, что спектр оператора L? представим в виде (1) и имеет
место следующее асимптотическое представление собственных значений:
Теорема 4.5.
??
n =(
?(2n + ?) 2
) ? vb(0) + ?5? (n),
?
12
где последовательности ?5? удовлетворяют оценкам:
1
1
|?5? (n)| ? ? |b
v (2n + ?)| 2 ?1 (n),
n
если n ? ?1(?) = {n ? Z+ : vb(?2n ? ?) = 0, vb(2n + ?) ?= 0} и
1
1
v (?2n ? ?)| 2 ?2 (n),
|?5? (n)| ? ? |b
n
если n ? ?2(?) = {n ? Z+ : vb(?2n ? ?) ?= 0, vb(2n + ?) = 0}, где символами ?1(n), ?2(n) обозначаются последовательности, принадлежащие
пространству l2.
Пусть ? ? (0, 1). Тогда существует такое натуральное
число m ? 1, что спектр оператора L? представим в виде (1) и имеет
место следующее асимптотическое представление собственных значений:
Теорема 4.7.
??
n =(
?(2n + ?) 2
) ? vb(0) + ?7? (n),
?
где последовательности ?7? удовлетворяют оценкам:
|?7? (n)| ?
1 ?
? (n).
n 7
Последовательности ?7? принадлежат пространству l2.
Аналогичные результаты были получены в диссертации для случая, когда потенциал
Во
v
является функцией ограниченной вариации.
втором параграфе
четвертой главы формулируются оценки равнос-
ходимости спектральных разложений.
Пусть выполнены условия теорем 2.1 и 3.1. Тогда для
любого подмножества ? ? Z\{m, ..., m} имеют место оценки (безусловной равносходимости спектральных разложений)
Теорема 4.9.
.
?Pe(?) ? P (?)?2 ?
C1
1
?(?(?)) 2
13
,
? ? (0, 1),
C1 > 0,
e
?P(?)
? P(?)?2 ?
C1
? ? {0, 1},
,
1
(?(?)) 2
C1 > 0.
Если в условиях предыдущей теоремы вместо проекторов P (?), P(?) рассмотреть проекторы вида
Теорема 4.10.
(I + ??,k V )P (?)(I + ??,k V )?1 ,
(I + ??,k V )P(?)(I + ??,k V )?1 ,
то оценки примут следующий вид:
?Pe(?) ? (I + ??,k V )P (?)(I + ??,k V )?1 ?2 ?
C1
e ? ? (0, 1),
?B?2 ?(?, X),
?(?(?))
e
?P(?)
? (I + ??,k V )P(?)(I + ??,k V )?1 ?2 ?
C1
e ? ? {0, 1},
?B?2 ?(?, X),
(?(?))
где постоянная C1 > 0.
Существуют числа m ? Z+, C1 > 0 такие, что
Теорема 4.11.
n
?
?Pe(m) +
Pek ? P(m) ?
|k|=m+1
e(m) +
?P
n
?
|k|=m+1
ek ? P(m) ?
P
n
?
C1
Pk ? ? ? ,
n
n
?
Pek ? P(m) ?
|k|=m+1
e(m) +
lim ?P
n??
C1
Pk ? ? ? ,
? n
? ? (0, 1),
? ? {0, 1}.
Имеют место следующие оценки
lim ?Pe(m) +
n??
n
?
k=m+1
k=m+1
Следствие 4.1.
n
?
n
?
Pk ? = 0,
? ? (0, 1),
|k|=m+1
n
?
ek ? P(m) ?
P
k=m+1
Pk ? = 0,
? ? {0, 1}.
k=m+1
Список публикаций по теме диссертации
[1] Карпикова
А. В.
Асимптотика
спектра
оператора
Хилла
Шредингера/ А. В. Карпикова // Научные ведомости Белгородского
государственного университета.Серия: Физика. Математика. 2014. Т. 176. ќ 5. С. 3437.
14
[2] Карпикова
А. В.
Асимптотика
собственных
значений
интегро
дифференциального оператора с периодическими краевыми условиями/ А. В. Карпикова //Вестник Воронежского государственного университета.Серия: Физика. Математика. 2015. ќ 1. С. 153156.
[3] Карпикова А. В. Асимптотика собственных значений оператора ШтурмаЛиувилля с периодическими краевыми условиями/ А. В. Карпикова // Уфимский математический журнал.Серия: Физика. Математика.
2014. Т. 6. ќ 3. С. 2834
[4] Карпикова А. В. Асимптотика собственных значений оператора ХиллаШредингера с квазипериодическими краевыми условиями / А. В. Карпикова // Труды Воронежской Зимней Математической Школы С.Г.
Крейна. 2013. С. 113114.
[5] Карпикова А. В. Спектральный анализ оператора ШтурмаЛиувилля
с периодическими краевыми условиями / А. В. Карпикова // Современные методы теории краевых задач, материалы Воронежской Весенней Математической Школы Понтрягинские чтения - XXI. 2014. С. 8889
[6] Карпикова А. В. Спектральный анализ оператора ХиллаШредингера
с негладким потенциалом / А. В. Карпикова // XXIII Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум, Сборник тезисов. 2012. С. 31.
[7] Карпикова
А. В.
Асимптотика
собственных
значений
оператора
Хилла-Шредингера с квазипериодическими краевыми условиями /
А. В. Карпикова // XXIV Крымская Осенняя Математическая ШколаСимпозиум, Сборник тезисов. Том 4. 2013. С. 113114.
15
[8] Карпикова А. В. Об асимптотике собственных значений оператора
ХиллаШредингера / А. В. Карпикова // Международный научный
журнал "Спектральные и эволюционные задачи". 2012. С. 9598.
[9] Карпикова А. В. Об асимптотике собственных значений оператора
ХиллаШредингера / А. В. Карпикова // Международный научный
журнал "Спектральные и эволюционные задачи". 2011. Т. 1. С. 135139.
[10] Karpikova
A. V.
Asymptotics
of
eigenvalues
of
the
SturmLiouville
operator with quasiperiodic boundary conditions / A. V. Karpikova //
Intern. Scientic Journal "Spectral and Evolution Problems". 2013. Vol. 23. P. 171173.
[11] Karpikova A. V. Exponential splitting methods / A. V. Karpikova //
Workshop of the 16'th Internet Seminar on the Evolution Equations. 2013. P. 1315.
[12] Karpikova A. V. Spectral analysis of Sturm-Liouville operator with periodic
boundary conditions / A. V. Karpikova // Spectral Theory and dierential
equations. International conference dedicated to the centenary of B.Levitan
. 2014. P. 20.
Работы [1],[2],[3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых
научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
173 Кб
Теги
анализа, негладкие, дифференциальной, метод, спектральная, подобные, оператора, потенциал, порядке, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа