close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задачи ЕГЭ - Логические выражения

код для вставкиСкачать
О.Б. Богомолова,
Д.Ю. Усенков
Логические задачи на ЕГЭ: имена и логические выражения I
. Равносильность логических выражений
Закон тождества:
А = А
Закон непротиворечия:
A
& ¬
A
= 0
Закон исключенного третьего:
A v
¬
A
= 1
Закон двойного отрицания:
¬ ¬
A
= A
Законы Моргана:
¬(
A v B
)= ¬А & ¬В
¬(
A
& B
)= ¬А v
¬В
Правила коммутативности:
A
& B
= B
& A
A v B
= A v B
Правила ассоциативности: (A & B) & C = A & (B & C)
(A v B) v C = A v (B v C)
Правила дистрибутивности: (A 䈩‫B⡁(
䌩‽C䄠
⡂(䌩
(A
& B) v (A & C) = A & (B v C)
(A v B) & (A
v
C) = A v (B & C)
Основные законы логики
II. Определение логического выражения по таблице истинности
2011
-
A9.
Символом F
обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X
, Y
, Z
.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F
:
X
Y
Z
F
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
Какое выражение соответствует F
?
1) X ¬Y
걚
2) ¬X ¬Y
Z
3) ¬X ¬Y
Z
4) X ¬Y
걚
II. Определение логического выражения по таблице истинности
Решение
X
Y
Z
X 걙
걚
F
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
Каждое
предложенное
выражение
проверяется
по
таблице
истинности
построчно
.
Если
в
какой
-
либо
строке
обнаружено
несоответствие,
то
далее
можно
проверку
не
продолжать
.
1) X 걙
걚
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
II. Определение логического выражения по таблице истинности
Решение
X
Y
Z
¬X 걙
Z
F
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
Каждое
предложенное
выражение
проверяется
по
таблице
истинности
построчно
.
Если
в
какой
-
либо
строке
обнаружено
несоответствие,
то
далее
можно
проверку
не
продолжать
.
1) ¬X 걙
Z
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
II. Определение логического выражения по таблице истинности
Решение
X
Y
Z
¬X 걙
Z
F
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
Каждое
предложенное
выражение
проверяется
по
таблице
истинности
построчно
.
Если
в
какой
-
либо
строке
обнаружено
несоответствие,
то
далее
можно
проверку
не
продолжать
.
1) ¬X 걙
Z
0
1
1
1
0
II. Определение логического выражения по таблице истинности
Решение
X
Y
Z
X 걙
걚
F
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
Каждое
предложенное
выражение
проверяется
по
таблице
истинности
построчно
.
Если
в
какой
-
либо
строке
обнаружено
несоответствие,
то
далее
можно
проверку
не
продолжать
.
1) X 걙
걚
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
Вывод:
правильным является ответ № 4 (
X 걙
걚
)
III. Определение, какое имя соответствует предложенному логическому условию 2011
-
A15.
Какое из приведенных имен удовлетворяет логическому условию:
¬ (последняя буква гласная →
первая буква согласная) вторая буква согласная
1) ИРИНА
2) АРТЕМ
3) СТЕПАН
4) МАРИЯ
III. Определение, какое имя соответствует предложенному логическому условию
Решение
Составляем
таблицу
.
Прежде
всего,
формулируем
в
ней
логические
значения,
соответствующие
указанным
в
исходном
выражении
условиям
.
¬ (последняя буква гласная →
первая буква согласная) вторая буква согласная
Имя
X
1
:
последняя
буква
гласная
X
2
:
первая
буква
согласная
X
3
:
вторая
буква
согласная
X
4
:
X
1
→
X
2
X
5
:
¬
X
4
Результат
:
X
5
X
3
ИРИНА
АРТЕМ
СТЕПАН
МАРИЯ
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
Операция следования (
→
) дает 0 только в одном случае –
когда из 1 следует 0 1
0
0
0
Операция И дает значение 1 только когда все значения переменных равны 1
1
0
0
0
ИРИНА
1
0
1
0
1
1
Правильный ответ -
№ 1 (имя ИРИНА
)
IV. Определение числа, для которого истинно логическое высказывание 2009
-
A7.
Для какого из указанных значений X
истинно высказывание
¬ ((X>2) →
(X>3))
?
1
)
1
2
)
2
3
)
3
4
)
4
III. Определение, какое имя соответствует предложенному логическому условию
Решение
Составляем
таблицу
и
проверяем
каждый
из
предлагаемых
вариантов
ответов
.
Значение Х
Y
1
:
X>2
Y
2
:
X>3
Y
3
:
Y1 →
Y2
Результат
:
¬ Y3
1
2
3
4
0
0
1
1
0
0
0
1
Операция следования (
→
) дает 0 только в одном случае –
когда из 1 следует 0 Правильный ответ -
№ 3 (число 3
)
1
1
0
1
0
0
1
0
3
1
0
0
1
IV. Определение числа, для которого истинно логическое высказывание 2009
-
B
4.
Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание (50<X∙X) →
(50>(X+1) ∙(X+1))
?
Важное
замечание
.
Искомое
число
должно
быть
целым
и
наибольшим
.
Такое
условие
означает,
что
в
результате
решения
логического
уравнения
мы
должны
получить
диапазон
значений
Х,
который
распространяется
от
требуемого
наибольшего
значения
в
сторону
уменьшения
.
IV. Определение числа, для которого истинно логическое высказывание
Решение –
способ 1
1
.
Строим
интервал
для
условия
50
<
X∙X
,
преобразовав
его
в
эквивалентное
условие
X∙X
㔰
;
не
забудем,
что
речь
идет
только
о
целых
числах
.
Вывод
:
это
значения
Х
8
.
8
Х
2
.
Строим
интервал
для
условия
50
>(X+
1
)
∙(X+
1
)
.
Эквивалентное
ему
условие
:
(X+
1
)
∙(X+
1
)
㔰
.
Отсюда
Х
6
.
Х
6
IV. Определение числа, для которого истинно логическое высказывание
Решение –
способ 1
3
.
Интерпретируем
логическую
операцию
следования
(
→
)
для
построенных
интервалов
.
Заштрихованные
значения
соответствуют
логической
единице,
а
не
заштрихованные
–
нулю
.
Операция
следования
при
этом
«направлена
сверху
вниз»
и
дает
значение
0
только
когда
из
1
следует
0
,
а
в
остальных
случаях
получается
значение
1
(истина)
.
8
Х
Х
6
Х
0
→ 1
= 1
0
→ 0
= 1
1
→ 0
= 0
6
8
Для данной точки 1
→
0
= 0
7
Правильный
ответ
:
так
как
число
8
не
входит
в
интервал,
подходящим
наибольшим
целым
является
число
7
.
IV. Определение числа, для которого истинно логическое высказывание
Решение –
способ 2
C
начала
рассмотрим,
когда
истинна
операция
следования
.
Ее
результат
–
«ложь»
в
единственном
случае
–
когда
из
1
следует
0
,
и
«истина»
–
в
остальных
случаях
.
Представим
исходное
выражение
как
три
возможных
варианта
систем
неравенств
.
(50<
X
∙
X
) →
(50>(
X
+1) ∙(
X
+1)) );
1
(
)
1
(
50
,
50
X
X
X
X
);
1
(
)
1
(
50
,
50
X
X
X
X
);
1
(
)
1
(
50
,
50
X
X
X
X
IV. Определение числа, для которого истинно логическое высказывание
Решение –
способ 2
Для
поиска
решений
неравенств
нужно,
когда
неравенство
ложно
(значение
0
),
изменить
знак
неравенства
на
противоположный,
причем
строгое
неравенство
преобразуется
в
нестрогое
и
наоборот
.
);
1
(
)
1
(
50
,
50
X
X
X
X
;
50
)
1
(
)
1
(
,
50
X
X
X
X
);
1
(
)
1
(
50
,
50
X
X
X
X
;
50
)
1
(
)
1
(
,
50
X
X
X
X
);
1
(
)
1
(
50
,
50
X
X
X
X
;
50
)
1
(
)
1
(
,
50
X
X
X
X
IV. Определение числа, для которого истинно логическое высказывание
Решение –
способ 2
Так
как
значение
(
X
+
1
)∙(
X
+
1
)
заведомо
больше,
чем
значение
X
∙
X
,
первая
система
неравенств
не
имеет
решения
.
;
50
)
1
(
)
1
(
,
50
X
X
X
X
;
50
)
1
(
)
1
(
,
50
X
X
X
X
;
50
)
1
(
)
1
(
,
50
X
X
X
X
††††††††
††††††††
.
Решение
в
целых
числах
–
интервал
значений
]
-
,
6
]
.
50
)
1
(
)
1
(
X
X
50
1
X
7
1
X
6
X
Решение
в
целых
числах
третьей
системы
неравенств
–
пересечение
интервалов
значений
]
-
,
7
]
и
[
7
,
+
[
,
которое
равно
числу
7
.
Нам из решений систем уравнений требуется наибольшее целое число. Оно равно 7
. V. Определение решения логического уравнения
2004
-
B
2
.
Укажите
значения
переменных
K
,
L
,
M
,
N
,
при
которых
логическое
выражение
(¬
K
M
)
→
(¬
L
M
N
)
ложно
.
Ответ
запишите
в
виде
строки
из
четырех
символов
:
значений
переменных
K
,
L
,
M
и
N
(в
указанном
порядке)
.
Например,
строка
1101
соответствует
K
=
1
,
L
=
1
,
M
=
0
,
N
=
1
.
Решать
такие
задачи
можно
путем
составления
полной
таблицы
истинности
(или
ее
части
до
обнаружения
правильного
ответа)
.
Однако
можно
облегчить
работу,
если
«отсечь»
значения
переменных,
приводящие
к
заведомо
неправильному
результату
.
Для
этого
нужно
«расплести»
заданное
выражение
в
порядке,
обратном
последовательности
его
решения
.
V. Определение решения логического уравнения
Решение –
способ 1 (логические рассуждения)
(¬ K
M
⤠
→
(¬
L
M
N
)
При
вычислении
заданного
выражения
последней
выполняется
операция
следования
(
→
)
.
Вспомним,
что
она
дает
результат
0
(требуемое
«ложно»)
только
когда
из
1
следует
0
.
Поэтому
необходимо,
чтобы
одновременно
выполнялись
условия
:
¬
K
M
㴠=
и ¬
L
M
N
㴠0
. Теперь
рассмотрим
второе
условие,
так
как
операция
ИЛИ
дает
нуль
в
единственном
случае
:
когда
все
три
составляющие
логического
выражения
равны
нулю
.
Поэтому
требуемые
значения
переменных
:
L
=
1
,
М
=
0
,
N
=
0
.
Вернемся
к
первому
условию
.
Если
М
=
0
,
то
для
его
выполнения
требуется,
чтобы
К
было
равно
0
.
Ответ
:
0
1
0
0
V. Определение решения логического уравнения
Решение –
способ 2 (наглядные рассуждения)
1
.
Операция
следования
дает
результат
«ложно»
в
единственном
случае
:
1
→
0
.
(¬ K
M
⤠
→
(¬
L
M
N
)
=
2
.
Логическое
выражение
справа
(
2
операции
ИЛИ)
ложно
только
когда
все
его
аргументы
равны
0
,
поэтому
начинаем
с
него
.
(¬ K
M
⤠
→
(¬
L
M
N
)
=
L = V. Определение решения логического уравнения
Решение –
способ 2 (наглядные рассуждения)
3
.
Итак,
определено
единственное
возможное
значение
М
=
0
.
Подставим
его
в
левое
выражение,
тогда
для
получения
результата
«истина»
остается
единственный
вариант
значения
¬
K
=
1
.
(¬ K
M
⤠
→
(¬
L
M
N
)
=
L = K = 4
.
Раскроем
операции
НЕ
(инвертируем
полученные
для
них
значения
1
/
0
)
и
запишем
полученные
значения
переменных
в
требуемом
порядке
:
K
=
0
,
L
=
1
,
M
=
0
,
N
=
0
.
V. Определение решения логического уравнения
2006
-
B
2
.
Укажите
значения
логических
переменных
K
,
L
,
M
,
N
,
при
которых
логическое
выражение
(
K
M
)
→
(
M
¬
L
N
)
ложно
.
Ответ
запишите
в
виде
строки
значений
переменных
K
,
L
,
M
и
N
(в
указанном
порядке)
.
Например,
строка
0101
соответствует
K
=
0
,
L
=
1
,
M
=
0
,
N
=
1
.
Решение
Начнем
с
операции
следования
(
→
),
которая
должна
выполняться
последней
.
Она
дает
0
только
когда
из
1
следует
0
.
Тогда
одновременно
должны
выполняться
условия
:
K
M
=
1
и
M
¬
L
N
=
0
.
Рассмотрим
второе
условие
.
Оно
предполагает
единственный
набор
переменных
:
М
=
0
,
L
=
1
,
N
=
0
.
Для
выполнения
первого
условия
при
М
=
0
надо,
чтобы
К
было
равно
1
.
Остается
записать
значения
переменных
в
требуемом
порядке
:
К
=
1
,
L
=
1
,
М
=
0
,
N
=
0
.
V
I
. Определение количества решений логического уравнения
2005
-
B
2.
Сколько различных решений имеет уравнение (
K
L
M
⤠
⢬
L
¬
M
N
⤠㴠=
где K
, L
, M
, N
-
логические переменные?
Решение –
способ 1 (логические рассуждения)
Результат
логической
операции
ИЛИ
равен
1
,
когда
хотя
бы
один
операнд
равен
1
.
Тогда
исходное
логическое
уравнение
распадается
на
два
уравнения,
из
которых
достаточно,
чтобы
выполнялось
хотя
бы
одно
любое
:
K
L
M
㴠=
; ¬
L
¬
M
N
㴠=
. В
первом
уравнении
результат
операции
И
равен
1
в
единственном
случае
–
когда
все
операнды
равны
1
.
Значит,
K
=
L
=
M
=
1
.
Тогда
второе
уравнение
не
выполняется
при
любом
N
(
N
=
0
или
N
=
1
),
т
.
е
.
N
нам
годится
любое
.
Итак,
имеем
2
решения
исходного
уравнения
(
1
1
1
0
и
1
1
1
1
)
.
Аналогично,
второе
уравнение
справедливо
тоже
только
если
L
=
M
=
0
и
N
=
1
.
Но
тогда
первое
уравнение
не
выполняется
при
любом
K
.
Значит,
имеем
еще
2
решения
исходного
уравнения
(
0
0
0
1
и
1
0
0
1
)
.
Вывод
:
общее
количество
возможных
различных
решений
равно
4
.
V
I
. Определение количества решений логического уравнения
Решение –
способ 2 (наглядные рассуждения)
1
.
Результат
операции
ИЛИ
ложный
в
единственном
случае
–
когда
оба
операнда
равны
нулю,
и
истинный
в
трех
остальных
случаях
.
(
K
L
M
⤠
⢬
L
¬
M
N
⤠㴠1
=
=
=
=
V
I
. Определение количества решений логического уравнения
Решение –
способ 2 (наглядные рассуждения)
2
.
Рассмотрим
первый
возможный
вариант
:
(
K
L
M
⤠
⢬
L
¬
M
N
⤠)1
=
L = M = Полученные
решения
для
левого
и
правого
выражений
противоречат
друг
другу
.
Следовательно,
для
данного
варианта
решений
не
существует
.
V
I
. Определение количества решений логического уравнения
Решение –
способ 2 (наглядные рассуждения)
3
.
Рассмотрим
второй
вариант
.
Начнем
с
левого
выражения,
так
как
операция
И
дает
результат
1
в
единственном
случае
–
когда
все
переменные
имеют
значения
1
:
(
K
L
M
⤠
⢬
L
¬
M
N
⤠㴠1
=
¬
L = ¬
M = 2 решения
V
I
. Определение количества решений логического уравнения
Решение –
способ 2 (наглядные рассуждения)
4
.
Рассмотрим
третий
вариант
.
Начнем
с
правого
выражения,
где
возможен
единственный
вариант
решения
:
(
K
L
M
⤠
⢬
L
¬
M
N
⤠㴠1
=
L = M = 2 решения
V
I
. Определение количества решений логического уравнения
Решение –
способ 2 (наглядные рассуждения)
5. Таким образом, в трех рассмотренных вариантах мы получили:
•
в первом варианте решений нет;
•
во втором варианте два решения;
•
в третьем варианте еще два решения (не совпадающие с вторым вариантом!).
Следовательно, общее количество решений в данной задаче равно 4
.
V
I
. Определение количества решений логического уравнения
2008
-
B
2.
Сколько различных решений имеет уравнение ((K 䰩L
–
> (L 䴠
丩⤠㴠0
где K
, L
, M
, N
-
логические переменные?
Решение
Операция
следования
дает
0
в
единственном
случае
:
когда
из
1
следует
0
.
Тогда
исходное
уравнение
превращается
в
систему
уравнений
:
.
0
;
1
N
M
L
L
K
Операция
ИЛИ
в
первом
уравнении
дает
1
в
трех
случаях
:
{
K
=
L
=
1
}
,
{
K
=
0
,
L
=
1
}
и
{
K
=
1
,
L
=
0
}
.
•
Переменная
K
во
второе
уравнение
не
входит,
тогда
в
первых
2
случаях
второе
уравнение
выполняется
при
{
M
=
0
,
N
=
1
}
,
{
M
=
1
,
N
=
0
}
и
{
M
=
N
=
0
}
–
2
раза
по
3
варианта
.
•
В
третьем
случае
второе
уравнение
выполняется
при
любых
M
и
N
;
это
дает
4
варианта
:
{
M
=
N
=
0
}
,
{
M
=
N
=
1
}
,
{
M
=
1
,
N
=
0
}
и
{
M
=
0
,
N
=
1
}
.
Всего
вариантов
сочетаний
значений
переменных
:
3
+
3
+
4
=
10
.
V
I
. Определение количества решений логического уравнения
Решение
Для
большей
наглядности
можно
построить
«дерево
вариантов»
:
Всего 10 вариантов
V
I
. Определение количества решений логического уравнения
2010
-
B
4.
Сколько различных решений имеет уравнение J 걋¬
䰠
걍¬
⡎(
걎⤠㴠0
где K
, L
, M
, N
-
логические переменные?
Решение
1
.
Комбинация
(N
¬丩
всегда
равна
1
,
тогда
N
принципиально
может
быть
любым
.
Поэтому
N
можно
временно
исключить
из
рассмотрения
.
2
.
Операция
И
дает
в
результате
0
,
если
хотя
бы
один
операнд
равен
0
.
3
.
«Активных»
переменных
-
операндов
(значения
которых
могут
влиять
на
результат
логического
выражения)
у
нас
четыре
.
Не
повторяющихся
комбинаций
из
n
элементов,
каждый
из
которых
может
иметь
значение
0
или
1
,
будет
2
n
.
Тогда
4
переменные
дают
2
4
=
16
возможных
комбинаций
.
Нам
годятся
все
такие
комбинации,
кроме
одной
–
когда
все
операнды
равны
1
.
Значит,
пригодных
нам
комбинаций
будет
15
.
Вспомним,
что
N
может
принимать
любое
из
двух
значений
(
0
или
1
)
.
Следовательно,
с
учетом
N
возможно
2
∙
15
=
30
возможных
комбинаций
пяти
переменных,
при
которых
логическое
уравнение
верно
.
V
I
. Определение количества решений логического уравнения
201
1
-
B10
.
Сколько различных решений имеет уравнение
((J →
K) →
(M 丠
䰩⤠
⠨䨠
걋⤠
→
¬(M 丠
䰩⤠
⡍(
→
J) = 1
,
где J, K, L, M, N –
логические переменные?
Решение
1
.
Последняя
по
порядку
выполнения
–
операция
И
.
Ее
результат
равен
1
только
если
все
операнды
равны
1
.
Тогда
взамен
исходного
уравнения
получаем
систему
:
.
1
;
1
)
(
)
(
;
1
)
(
)
(
J
M
L
N
M
K
J
L
N
M
K
J
2
.
Рассмотрим
первые
два
уравнения
.
Отрицание
выражения
(J
→
K)
равно
(J
¬K)
.
То
есть
первые
два
уравнения
системы
эквивалентны
уравнениям
:
A
B
=
1
и
A
B
=
1
,
из
чего
следует,
что
A
=
B
.
Тогда
вместо
первых
двух
уравнений
системы
можно
записать
:
(J →
K) = 1 и (
M 丠
L
) = 1 или (J →
K) = 0 и (
M 丠
L
⤠㴠0
V
I
. Определение количества решений логического уравнения
Решение
Итак, (J →
K) = 1 и (
M 丠
L
) = 1 или (J →
K) = 0 и (
M 丠
L
⤠㴠0
.
3
.
1
.
В
первом
случае
(
M
N
L
)
=
1
только
когда
M
,
N
,
L
равны
1
.
Тогда
в
третьем
уравнении
системы
(
M
→
J
)
=
1
получаем
1
J
=
1
.
Значит,
J
=
1
.
Тогда
1
K
=
1
и
K
тоже
может
быть
равно
только
1
.
Итого
в
данном
случае
возможен
один
вариант
значений
переменных
:
J
=
K
=
M
=
N
=
L
=
1
.
3
.
2
.
Во
втором
случае
(
M
N
L
)
=
0
,
если
хотя
бы
одна
переменная
равна
нулю
.
Таких
переменных
три,
значит
всех
возможных
комбинаций
2
3
=
8
.
Одна
комбинация
(все
три
переменных
равны
1
)
не
подходит
.
Значит,
имеем
7
подходящих
вариантов
.
(J
→
K)
=
0
выполняется
только
когда
J
=
1
,
а
K
=
0
.
Тогда
в
третьем
уравнении
M
1
=
1
при
любом
значении
М
.
Значит,
допустимо
7
вариантов
наборов
переменных
:
J
=
1
,
K
=
0
,
M
,
N
,
L
любые,
но
одновременно
не
равные
1
.
Итого
возможных
вариантов
значений
переменных
7
+
1
=
8
.
Автор
beta_94
Документ
Категория
Школьные материалы
Просмотров
1 508
Размер файла
6 282 Кб
Теги
егэ, логические, выражения, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа