close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Интегралы

код для вставкиСкачать
Определенный интеграл
900igr.net
Задача о вычислении площади плоской фигуры
Решим задачу о вычислении площади фигуры, ограниченной графиком функции , отрезками прямых
, и осью Ox
.Такую фигуру называют криволинейной трапецией x
f
y
a
x
b
x
a
b
1
i
x
i
x
Задача о вычислении площади плоской фигуры
Разобьем отрезок b
a
,
на n
частей точками b
x
x
x
x
x
x
a
n
i
i
,...,
,
,...,
,
,
1
2
1
0
. При этом криволинейная трапеция разобьется на n
элементарных криволинейных трапеций. Заменим каждую такую криволинейную трапецию прямоугольником с основанием 1
i
i
i
x
x
x
, где n
i
,..,
2
,
1
и высотой i
x
f
h
, где i
x
-
произвольно выбранная внутри отре
зка i
i
x
x
,
1
точка.
Задача о вычислении площади плоской фигуры
Площадь прямоугольника будет равна i
i
i
x
x
f
S
, а площадь всей криволинейной фигуры приблизительно будет равна сумме площадей всех прямоугольников: n
i
n
i
i
i
i
x
x
f
S
S
1
1
.
Определенный интеграл
Определение.
Выражение n
i
i
i
x
x
f
1
, где 1
i
i
i
x
x
x
,
называется интегральной суммой функции x
f
на отрезке b
a
,
.
Определенный интеграл
Определение.
Если существует конечный n
i
i
i
x
x
x
f
i
1
0
max
lim
, не зависящий ни от способа разбиения отрезка b
a
,
на части, ни от выбора точек i
i
i
x
x
x
,
1
, то этот предел называется определенным интегралом функции x
f
на отрезке b
a
,
и обозначается b
a
dx
x
f
.
Определенный интеграл
Замечание.
С геометрической точки зрения при 0
x
f
b
a
dx
x
f
равен площади криволинейной трапеции
Теорема о существовании определенного интеграла
Теорема.
Если функция x
f
непрерывна на отрезке b
a
,
, то i
i
n
i
x
x
x
f
i
1
0
max
lim
существует и конечен, т.е. существует и конечен b
a
dx
x
f
.
Свойства определенного интеграла
1.
a
a
dx
x
f
0
;
2. b
a
a
b
dx
;
3. b
a
a
b
dx
x
f
dx
x
f
;
4. b
a
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
x
f
2
1
2
1
;
Свойства определенного интеграла
5.
b
a
b
a
dx
x
f
K
dx
x
Kf
;
6
.
b
a
c
a
b
c
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
;
7
.
b
a
dx
x
f
0
, если 0
x
f
.
Теорема о среднем
Если функция непрерывна на то существует такая точка что ],
,
[
b
a
).
)(
(
)
(
a
b
f
dx
x
f
b
a
)
(
x
f
y
a
b
],
,
[
b
a
Вычисление определенного интеграла
Теорема
.
Пусть x
F
-
первообразная функции x
f
. Тогда b
a
a
F
b
F
dx
x
f
.
Эту формулу называют формулой Ньютона
-
Лейбница, из которой следует, что для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную подынтегральной функции.
Пример
Вычислить .
dx
e
x
3
0
3
0
3
1
3
3
1
3
0
3
1
3
0
3
1
3
0
3
3
3
e
e
e
dx
e
dx
e
x
x
x
e
e
e
e
1
3
1
1
3
1
3
1
Вычисление интеграла
Теорема
(Замена переменной в определенном интеграле
). Пусть x
f
непрерывна на b
a
,
, а функция t
x
непрерывна вместе со своей производной t
на отрезке ,
, причем a
, b
. Тогда dt
t
t
f
dx
x
f
b
a
.
Пример
2
1
2
3
0
2
2
2
1
2
,
3
1
,
0
2
,
1
1
1
1
tdt
t
t
t
x
t
x
tdt
dx
t
x
t
x
t
x
x
xdx
1
3
1
2
3
8
2
3
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
3
2
2
t
t
dt
t
dt
t
3
8
3
4
2
1
3
7
2
1
3
1
2
3
8
2
Теорема (Интегрирование по частям в определенном интеграле).
Если функции x
u
u
, x
v
v
и их производные x
u
и x
v
непрерывны на отрезке b
a
,
, то b
a
b
a
b
a
vdu
v
u
udv
.
Пример
e
e
e
x
dx
x
x
x
x
v
dx
dv
x
dx
du
x
u
xdx
1
1
1
ln
,
,
ln
ln
1
1
1
ln
ln
ln
1
1
1
e
e
x
e
e
dx
x
x
e
e
e
Несобственный интеграл
Замечание.
dx
x
f
a
не является определенным интегралом. Считается по определению, что a
b
a
b
dx
x
f
dx
x
f
lim
. Если этот предел конечен, то a
dx
x
f
, называемый несобственным, сходится. Если же этот пр
едел не является конечным, то интеграл расходится.
Пример
. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость)
.
Этот несобственный интеграл расходится. 0
2
4
x
xdx
2
2
2 2
0
0 0
2
1 ( 4) 1
lim limln( 4)
4 2 4 2
1
lim(ln( 4) ln4)
2
b
b
b b
b
xdx d x
x
x x
b
Пример
Несобственный интеграл 2
0
4
dx
x
1 1
lim ( )
2 2 2 2 2 4
b
b
arctg arctg
Геометрические приложения определенного интеграла
Вычисление площадей
Площадь фигуры в декартовых координатах.
Площадь такой фигуры, называемой криволинейной трапецией, вычисляют по формуле b
a
dx
x
f
S
.
0
x
f
y
a
b
x
y
Вычисление площадей
Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций x
f
y
1
, x
f
y
2
, x
f
x
f
2
1
и двумя прямыми a
x
и b
x
определяется по формуле
b
a
dx
x
f
x
f
S
1
2
Вычисление площадей
В случае параметрического задания кривой
, площадь фигуры, ограниченной прямыми , осью Ох
и кривой вычисляют по формуле где пределы интегрирования определяют из уравнений .
,
)
(
)
(
2
1
t
t
dt
t
t
S
)
(
),
(
2
1
t
b
t
a
.
b
x
a
x
,
),
(
),
(
t
y
t
x
Вычисление площадей
Площадь полярного сектора
вычисляют по формуле d
r
S
)
(
2
1
2
. α
β
)
(
r
r
Примеры
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и 3
2
2
x
x
y
1
2
x
y
Продолжение
Получим
dx
x
x
x
S
1
2
2
2
1
3
2
1
2
2
4
2
2
dx
x
x
1
2
2
3
2
2
3
2
x
x
x
6
3
8
2
2
1
3
1
2
4
2
4
3
8
2
2
1
3
1
2
9
2
9
2
2
1
8
3
2
1
2
2
2
2
dx
x
x
Примеры
Найти площадь эллипса . Параметрические уравнения эллипса 1
2
2
2
2
b
y
a
x
.
sin
,
cos
t
b
y
t
a
x
у
a
b
о
.
2
2
)
2
sin
2
1
(
4
2
1
2
2
cos
1
4
sin
4
)
sin
(
sin
4
2
/
0
2
/
0
2
/
0
2
0
2
/
ab
ab
t
t
ab
dt
t
ab
tdt
ab
dt
t
a
t
b
S
х
Пример
Площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли и лежащей вне круга радиуса :
2
cos
2
2
a
r
6
/
0
2
2
6
/
0
2
6
/
0
2
)
4
1
2
sin
4
1
(
2
2
1
2
cos
2
1
a
a
d
a
d
a
2
a
r
)
3
3
(
8
)
6
2
3
(
4
)
6
3
(sin
4
1
2
2
2
a
a
a
)
3
3
(
2
2
a
S
Вычисление длины дуги
Если кривая задана параметрическими уравнениями ,
, то длина ее дуги ,
где –
значения параметра, соответствующие концам дуги .
t
x
t
y
dt
t
t
l
t
t
2
1
2
2
2
1
t
,
t
Длина дуги в декартовых координатах
Если кривая задана уравнением ,
то , где a, b
–
абсциссы начала и конца дуги .
Если кривая задана уравнением , то , где c, d
–
ординаты начала и конца дуги x
f
y
dx
x
f
l
b
a
2
1
y
g
x
dy
y
g
l
d
c
2
1
b
a
d
c
Длина дуги в полярных координатах
Если кривая задана уравнением в полярных координатах , то ,
где –
значения полярного угла, соответствующие концам дуги . d
l
2
2
,
Примеры
Вычислить длину дуги кривой от точки до .
, тогда 3
x
y
0
0
,
O
8
4
,
B
2
1
2
3
2
3
x
x
y
dx
x
l
4
0
4
9
1
4
0
4 9 9
1 1
9 4 4
xd x
3
2
4
0
4 2 9 8
1 10 10 1
9 3 4 27
x
Вычисление объема тела вращения.
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox
криволинейной трапеции, ограниченной кривой , отрезком оси абсцисс и прямыми , вычисляется по формуле .
x
f
y
b
x
a
b
x
,
a
x
b
a
x
dx
x
f
π
V
2
Вычисление объема тела вращения
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy
фигуры, ограниченной кривой , отрезком оси ординат и прямыми , вычисляется по формуле .
y
g
x
d
y
c
d
y
,
c
y
d
c
y
dy
y
g
V
2
Вычисление объема тела вращения
Искомый объем можно найти как разность объемов, полученных вращением вокруг оси Ox
криволинейных трапеций, ограниченных линиями и Рис. 14
А
0
1
1
y
2
x
y
x
y
x
y
2
x
y
Решение
Тогда 1
0
2
2
1
0
2
dx
x
dx
x
V
x
1 1
4
0 0
xdx x dx
1
0
5
1
0
2
5
2
x
x
10
3
5
2
Автор
ke
Документ
Категория
Презентации
Просмотров
178
Размер файла
555 Кб
Теги
интеграл
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа