Забыли?

?

# 200253

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``` H
X Y D(A) µ X: x 2 D(A) y 2 Y; A y = Ax: D(A) A: R(A) = fy 2 Y:9x 2 D(A);y = Axg
A: A:X!Y D(A) µ X )
D(A) A x;y 2 D(A); ®x +¯y 2 D(A) ®;¯ 2 K;
)
A(®x + ¯y) = ®Ax + ¯Ay x;y 2 D(A) ®;¯ 2 K:
y
1
;y
2
2 R(A) ®;¯ K: x
1
2 D(A) y
1
;
x
2
2 D(A) y
2
; Ax
1
= y
1
;Ax
2
= y
2
: A;
®y
1
+¯y
2
= ®Ax
1
+¯Ax
2
= A(®x
1
+¯x
2
):
®x
1
+¯x
2
2 D(A) ®y
1
+¯y
2
; R(A):­
)
D(A) = X; A X;
)
D(A) = X; A X:
A x
0
2 X; Ax!Ax
0
x!x
0
; "> 0 ±(") x;
kx ¡x
0
k
X
< ±; kAx ¡Ax
0
k
Y
<":
x
0
2 X X:
X;Y A:X!Y A )
A x = 0
)
A X
)
A 3) ) 2) 2) ) 1): x
0
2 X A x
0
; kAx ¡Ax
0
k
Y
!0
kx ¡ x
0
k
X
!0: kA(x ¡ x
0
)k
Y
!0 kx ¡ x
0
k
X
!0:
z = x ¡ x
0
: kAzk
Y
!0 kzk
X
!0; A 1) )3): A A
"> 0 ±(") x;y 2 X kx ¡yk
X
< ±; kAx ¡Ayk
Y
<";
kA(x¡y)k
Y
<": z = x¡y; ­
A c > 0 x 2 X
kAxk
Y
6 ckxk
X
:
X Y:
X;Y A:X!Y A A A X; "> 0 ±("); 8x:kxk
X
< ±(") kAxk
Y
<": x 2 X;x 6= 0; y =
±x
2kxk
: kyk
X
< ±;
kAyk
Y
<": kAyk
Y
6
2"
±
kxk
X
: c =
2"
±
; kAxk
Y
6 ckxk
X
x 2 X:
A c > 0; kAxk
Y
6 ckxk
X
x 2 X: A
­
x 2 X; Ax = 0; KerA:
A:X!Y X:
A;KerA = fx 2 X:Ax = 0g;
X; x;y 2 KerA ®;¯ 2 K; ®x +¯y 2 KerA; A(®x +¯y) = ®Ax +¯Ay =
= ® ¢ 0 +¯ ¢ 0 = 0:
x
n
2 KerA; X x
0
: x
0
2 KerA: A Ax
n
¡!Ax
0
x
n
¡!x
0
; Ax
n
= 0; Ax
0
= 0; x
0
2 KerA:­
A kAxk
Y
kxk
X
6 c x
0
=
x
kxk
;
kAx
0
k 6 c kx
0
k = 1:
c fkAxk:kxk = 1g;
inf c = sup
kxk=1
kAxk:
kAk = sup
x6=0
kAxk
Y
kxk
X
:
kAk x
0
2 X;
kAx
0
k
Y
= kAkkx
0
k
X
:
X;Y A:X!Y R(A) Y A:X!Y fx 2 X:kAxk
Y
< 1g X;Y A:X!Y R(A) ½ Y A X;Y A:X!Y Ker(A) X: A H x 2 H; kAxk
H
= kAk ¢ kxk
H
:
x X Y 0x = 0 I X A R
n
e
1
;:::;e
n
R
m
f
1
;:::;f
m
: x 2 R
n
x =
n
X
i=1
x
i
e
i
;Ax = A
³
n
X
i=1
x
i
e
i
´
=
n
X
i=1
x
i
Ae
i
:
Ae
i
2 R
m
f
1
;:::;f
m
R
m
Ae
i
=
m
X
k=1
a
ki
f
k
:
a
ki
;(k = 1;2;:::;m;
i = 1;2;:::;n); Ae
1
;Ae
2
;:::;Ae
n
f
1
;:::;f
m
: X = Y = l
2
;(®
i
)
1
i=1
x(x
1
;x
2
;:::;x
i
;:::) 2 l
2
Ax = (®
1
x
1
;:::;®
i
x
i
;:::) 2 l
2
:
kAxk
2
l
2
=
1
X
i=1
j®
i
x
i
j
2
6 sup
i
j®
i
j
1
X
i=1
jx
i
j
2
= c
2
kxk
2
l
2
;
kAk 6 sup
i
j®
i
j = c:
X = Y = C[a;b]: x(t) 2 C[a;b] y(t) = Ax(t) =
b
Z
a
K(t;s)x(s) ds;
K(t;s) t;s:
K(t;s); y(t): A C[a;b] A C[a;b] kAk = max
a6t6b
b
Z
a
jK(t;s)jds:
A(®x +¯y) =
b
Z
a
K(t;s)
¡
®x(s) +¯y(s)
¢
ds =
= ®
b
Z
a
K(t;s)x(s) ds +¯
b
Z
a
K(t;s)x(s) ds:
A kAxk
C[a;b]
= max
a6t6b
j
b
Z
a
K(t;s)x(s)dsj 6 max
a6t6b
b
Z
a
jK(t;s)j max
s2[a;b]
jx(s)jds =
= max
a6t6b
b
Z
a
jK(t;s)j dskxk
C[a;b]
:
A kAk 6 max
a6t6b
b
Z
a
jK(t;s)j ds = c:
c k(t) =
b
Z
a
K(t;s) ds;t 2 [a;b];
t
0
2 [a;b]
max
a6t6b
b
Z
a
K(t;s)ds =
b
Z
a
K(t
0
;s) ds:
K(t
0
;s) [a;b] x
0
(s) = signK(t
0
;s) kAk >
kAx
0
k
kx
0
k
= max
a6t6b
j
b
Z
a
K(t;s)x
0
(s)dsj = max
a6t6b
b
Z
a
jK(t;s)jds =
=
b
Z
a
jK(t
0
;s)jds = c:
K(t
0
;s) [a;b]; x
h
(s) x
0
(s) = signK(t
0
;s):
kAk > lim
h!0
j
b
Z
a
K(t
0
;s)x
h
(s)dsj =
b
Z
a
jK(t
0
;s)jds = c:
­
K(t;s) x(t) 2 L
p
[a;b];p > 1 y(t) [a;b] t
0
K(t
0
;s) s 2 [a;b] jK(t
0
;s)j 6 M: x(s) y(t
0
) =
b
Z
a
K(t
0
;s)x(s)ds
jy(t
0
)j 6
b
Z
a
jK(t
0
;s)jjx(s)jds 6 Mkxk
L
1
[a;b]
:
y(t) 2 C[a;b] jy(t) ¡y(t
0
)j 6
b
Z
a
jK(t;s) ¡K(t
0
;s)jkxkds!0
t!t
0
: A:L
p
[a;b]!C[a;b]: kAxk
C[a;b]
= max
a6t6b
¯
¯
¯
b
Z
a
K(t;s)x(s) ds
¯
¯
¯
6 max
a6t6b
b
Z
a
jK(t;s)jjx(s)j ds 6
6 Mkxk
L
1
[a;b]
6 M(b ¡a)
1=q
kxk
L
p
[a;b]
:
K(t;s) x(t) 2 C[a;b] K(t;s) c > 0;
b
R
a
jK(t;s)j ds 6 c t 2 [a;b];
t
1
2 [a;b]
b
R
a
jK(t
1
;s) ¡K(t;s)j ds ¡!0 t
1
!t:
C[a;b]:
y 2 C[a;b] ­
X = Y = L
2
[a;b] K(t;s) [a;b] £[a;b]:
b
Z
a
b
Z
a
jK(t;s)j
2
ds dt = M
2
< 1:
K(t;s) L
2
[a;b]:
kAxk
2
L2[a;b]
=
b
Z
a
¯
¯
¯
¯
b
Z
a
K(t;s)x(s)ds
¯
¯
¯
¯
2
dt 6
6
b
Z
a
b
Z
a
jK(t;s)j
2
dsdt ¢
b
Z
a
jx(s)j
2
ds = c
2
kxk
2
:
kAk 6 M:­
X = C
1
[0;¼] kxk
X
= max
a6t6b
jx(t)j;Y = C[0;¼]:
d
dt
:C
1
[0;¼]!C[0;¼]:
X = C
1
[0;¼] C[0;¼] x
n
(t) = sin(nt);n = 1;2;:::; kx
n
k = 1 kAx
n
k = kncos(nt)k = n max
06t6¼
j cos(nt)j = n!1:
C[a;b] Ax(t) =
b
Z
a
K
0
(t;s)
jt ¡sj
°
x(s)ds;
K
0
(t;s) t s;0 < ° < 1 A:C[a;b]!C[a;b] Ax(t) = x(t)m(t) m(t) 2 C[a;b]:
A X Y A;B;:::
X Y;
B(X;Y ):
B(X;Y ) B(X;Y ) (A+B)x = Ax +Bx;(®A)x = ®Ax:
A+B ®A (A+B)(®x +¯y) = A(®x +¯y) +B(®x +¯y)
=®Ax +¯Ay +®Bx +¯By = ®(A+B)x +¯(A+B)y;
k(A+B)xk = kAx+Bxk 6 (kAk+kBk)x; kA+Bk 6 kAk+kBk;
k®Axk 6 j®jkAkkxk; k®Axk 6 j®jkAk:
A 2 B(X;Y )
kAk kAk = sup
x6=0
kAxk
Y
kxk
:
B(X;Y ) ­
B(X;Y ) (A
n
)
1
n=1
½ B(X;Y ):
A
n
2 B(X;Y ) A 2 B(X;Y );
kA
n
¡Ak!0 n!1:
A
n
2 B(X;Y ) B(X;Y ):
A
n
2 B(X;Y ) A 2 B(X;Y ) A
n
x ¶Ax n!1 x kxk 6 1:
kA
n
x ¡Axk 6 kA
n
¡Ak ¢ kxk 6 kA
n
¡Ak;
x 2 X kxk 6 1:
"> 0 N(")
n > N(") kA
n
x ¡Axk 6
"
2
kxk 6 1:
sup
kxk61
kA
n
x ¡Axk 6
"
2
<":
kA
n
¡Ak <" n > N("); kA
n
¡Ak!0 n!1:
­
A
n
¶ A n!1 M ½ X A
n
x ¶ Ax n!1 M:
X;Y (A
n
) ½ B(X;Y ) A; x 2 X kA
n
x ¡Axk
Y
!0 n!1:
(A
n
) kA
n
x ¡Axk = k(A
n
¡A)xk 6 kA
n
¡Akkxk:
(A
n
);
`
2
fe
i
g
1
i=1
: x 2`
2
x =
1
P
i=1
C
i
e
i
;
C
i
= (x;e
i
)
`
2
;
n
P
i=1
C
i
e
i
x L
n
= L
(e
1
;:::;e
n
)
ª
: P
n
;
x P
n
x L
n
:
kP
n
x ¡xk
2
= k
1
X
i=n+1
C
i
e
i
k
2
=
1
X
i=n+1
kC
i
k
2
6 kxk
2
;
k(P
n
¡I)xk
2
6 kxk
2
: k(P
n
¡I)k 6 1
kP
n
x¡xk!0 n!1;
1
P
i=n+1
kC
i
k
2
x = e
n+1
;
kxk = 1 kP
n
¡Ik > k(P
n
¡I)xk = kxk = 1;
P
n
e
n+1
= 0: kP
n
¡ Ik = 1: P
n
!I A
n
A
n
(®x+¯y) = ®A
n
x+¯A
n
y;
A A B(X;Y ):
Y B(X;Y ) (A
n
)
1
n=1
B(X;Y ): A 2 B(X;Y ) kA
n
¡Ak!0 n!1:
"> 0 N("); m;n > N(") kA
n
¡A
m
k <": x 2 X
(A
n
x) ½ Y:
kA
n
x ¡A
m
xk = k(A
n
¡A)
m
)xk 6 kA
n
¡A
m
k ¢ kxk 6"kxk:
Y y 2 Y;
y = lim
n!1
A
n
x: A:X!Y;
Ax = y = lim
n!1
A
n
x:
A A (A
n
)
1
n=1
(kA
n
k)
1
n=1
m > 0; kA
n
k 6 m n 2 N: kA
n
xk 6 kAkkxk 6 mkxk x 2 X:
kAxk 6 mkxk;
kAk 6 m: A 2 B(X;Y ):
m!1kA
n
x ¡Axk 6"kxk; kA
n
¡Ak 6"
n > N(") ­
K
n
(t;s) [a;b] £ [a;b]; K(t;s) A
n
x(t) =
b
Z
a
K
n
(t;s)x(s)ds:
Ax(t) =
b
Z
a
K(t;s)x(s)ds:
A
n
¡A K
n
(t;s) ¡K(t;s): kA
n
¡Ak = max
a6t6b
b
Z
a
jK
n
(t;s) ¡K(t;s)jds ¡¡¡!
n!1
0:
K(t;s) [0;1] £[0;1] K(t;s) =
K
0
(t;s)
jt ¡sj
°
;0 < ° < 1;
K
0
(t;s) K(t;s) C[0;1] K
n
(t;s) =
(
K
0
(t;s)
jt¡sj
°
;jt ¡sj >
1
n
;
n
°
K
0
(t;s);jt ¡sj <
1
n
;
kA
n
¡Ak = max
06t61
¯
¯
¯
1
Z
0
¡
K
n
(t;s) ¡K(t;s)
¢
ds
¯
¯
¯
=
= max
06t61
t+
1
n
Z
t¡
1
n
¯
¯
¯
K
0
(t;s)
1
jt ¡sj
°
¡n
°
¯
¯
¯
ds 6
C
n
1¡°
¡¡¡!
n!1
0:
Y (A
n
) ½ B(X;Y ); B(X;X) =
= B(X): B(X) (AB)x = A(Bx):
A;B 2 B(X): AB 2 B(X):
BA 6= AB A;B 2 B(X) AB = BA:
A;B 2 B(X) kABk 6 kAk ¢ kBk;kBAk 6 kBk ¢ kAk;
B(X) I A
k
A:A
2
= A¢A;
:::;A
k
= A¢ A
k¡1
;A
0
= I kA
k
k 6 kAk
k
:
P
N
(A) =
N
X
k=0
a
k
A
k
'(¸) =
1
P
k=0
a
k
¸
k
j¸j < R ¸;A 2 B(X);kAk < R: '(A) A '(A) =
1
X
k=0
a
k
A
k
;
'(A) = e
A
=
1
P
k=0
A
k
k!
'(A) =
1
P
k=0
A
k
kAk < 1
(A
n
);(B
n
) ½ B(X): A
n
¶A;B
n
¶B;
A
n
B
n
¶AB:
C[0;1] A [0;1] £[0;1] K(t;s) A
n
P
n
(t;s);
max
06t;s61
jP
n
(t;s) ¡K(t;s)j ¡¡¡!
n!1
0:
A
n
A
X;Y (A
n
)
1
n=1
B(X;Y ): c > 0 B[x
0
;r];r > 0; kA
n
xk 6 c x 2 B[x
0
;r]; (A
n
x) B[x
0
;r]:
¡
kA
n
k
¢
x 2 X;x 6= 0 z = x
0
+
x
2kxk
r; B[x
0
;r]:
kz ¡x
0
k = r=2 < r: A
n
z c c > kA
n
zk =
°
°
°
r
2kxk
A
n
x +A
n
x
0
°
°
°
>
r
2kxk
kA
n
xk ¡kA
n
x
0
k >
>
r
2kxk
kA
n
xk ¡c:
x
0
2 B[x
0
;r]; kAx
0
k 6 c: kA
n
xk 6
4c
r
kxk;x 2 X:
kA
n
k 6
4c
r
kxk n 2 N;
¡
kA
n
k
¢
­
(A
n
x) Y x X;
¡
kA
n
k
¢
¡
kA
n
xk
¢
¡
kA
n
k
¢
: B[x
0
;r
0
];r
0
> 0;x
0
2 X: ¡
kA
n
xk
¢
x
1
B(x
0
;r
0
) n
1
2 N kA
n
1
x
1
k > 1:
A
n
1
x
1
B
1
(x
1
;r
1
) ½ B[x
0
;r
0
] kA
n
1
xk > 1 x 2 B
1
[x
1
;r
1
];r
1
< r
0
=2: B
1
[x
1
;r
1
] ¡
kA
n
xk
¢
x
2
2 B
1
(x
1
;r
1
) n
2
> n
1
;
kA
n
2
x
2
k > 2 kA
n
2
xk > 2 x 2 B
2
[x
2
;r
2
];r
2
< r
1
=2;
(x
k
)
r
k
< r
k¡1
=2; r
k
!0 k!1: x
¤
2 B[x
k
;r
k
];k = 1;2;:::: kA
n
k
x
¤
k > k; x
¤
(A
n
x
¤
) ­
sup
n
kA
n
k = 1;
¹x 2 X;
kA
n
¹xk = 1:
X Y (A
n
) ½ B(X;Y ): A
n
!A 2 B(X;Y );n!1; )
¡
kA
n
k
¢
)
A
n
!A;n!1; X
0
; X:
A
n
!A 2 B(X;Y ) n!1 A
n
x ¡¡¡!
n!1
Ax;x 2 X: ¡
kA
n
xk
¢
kAxk ¡
kA
n
k
¢
: X
0
X:
x 2 X; x 62 X
0
: "> 0
x
0
2 X
0
kx ¡x
0
k <": c = sup
n=0;1;:::
kA
n
k;
A
0
= A: A
n
!A n!1
kA
n
x ¡Axk = kA
n
(x ¡x
0
) +(A
n
x
0
¡Ax
0
) +A(x
0
¡x)k 6
6 kA
n
kkx ¡x
0
k +kA
n
x
0
¡Ax
0
k +kAkkx
0
¡xk 6 2c"+kA
n
x
0
¡Ax
0
k:
A
n
x
0
Ax
0
X
0
; N;
kA
n
x
0
¡Ax
0
k <": n > N
kA
n
x ¡Axk < ~";
A
n
!A n!1 ­
[a;b] £ [a;b] ¡
K
n
(t;s)
¢
: x(t) x
n
(t) =
b
Z
a
K
n
(t;s)x(s) ds;n = 1;2;:::;
x(t): x
n
:
L
2
[a;b] [a;b] f'
j
g
1
j=1
: n x(t):
S
n
(t) =
n
X
j=1
c
j
'
j
(t) =
n
X
j=1
'
j
(t)
b
Z
a
x(s)'
j
(s) ds =
=
b
Z
a
n
X
j=1
'
j
(t)'
j
(s)x(s) ds =
b
Z
a
K
n
(t;s)x(s) ds;
K
n
(t;s) =
n
P
j=1
'
j
(t)'
j
(s) ds:
A
n
x(t) =
b
Z
a
K
n
(t;s)x(s) ds;
C[a;b] C[a;b]
kA
n
k = max
a6t6b
b
Z
a
jK
n
(t;s)j ds:
¡
x
n
(t)
¢
[a;b] x(t) 2 C[a;b]; )
9M > 0 kA
n
k 6 M;
)
A
n
x(t) x(t) C[a;b] Ax =
b
Z
a
!(t)x(t) ds;x(t) 2 C[a;b];
!(y) (a;b) A
n
x =
n
X
k=1
A
n
k
x(t
n
k
);
t
n
k
[a;b] t
n
k
6= t
m
k
;
n 6= m; A
n
k
x(t) 2 C[a;b] A
n
x!Ax n!1; kA
n
k =
n
X
k=1
jA
n
k
j:
n: !(t) x(t) 2 C[a;b]; )
9M > 0 n
P
k=1
jA
n
k
j 6 M n 2 N;
)
n:
A
X; D(A)
X; D(A) = X: A:X!Y D(A);
c > 0;
kAxk 6 ckxk;8x 2 D(A):
X Y A D(A) µ X D(A) = X:
A;
A;
)
Ax =
Ax x 2 D(A);
)
k
Ak = kAk:
x 2 D(A);
A = A; Ax = Ax x 2 D(A): D(A) X: x 2 X; x 62 D(A) D(A) x
n
; kx
n
¡xk!0: Ax = lim
n!1
Ax
n
:
(x
n
); x:
(Ax
n
) ½ Y; kAx
n
¡Ax
m
k 6 kAk ¢ kx
n
¡x
m
k ¡¡¡¡!
n;m!1
0:
Y Y; (x
0
n
) ½ D(A) x 2 X: y
1
= lim
n!1
Ax
n
;y
2
= lim
n!1
Ax
0
n
;
ky ¡y
1
k 6 ky ¡Ax
n
k +kAx
n
¡Ax
0
n
k +kAx
0
n
¡y
1
k!0
n!1; y
1
= y
2
:
A A: A kAx
n
k 6 kAk ¢ kx
n
k;
n!1
k
Axk 6 kAk ¢ kxk:
k
Ak 6 kAk:
k
Ak = sup
x2X;
kxk61
k
Axk > sup
x2D(A);
kxk61
k
Axk = kAk:
k
Ak = kAk:­
A A H (A
n
) ½ B(H) sup
n
¯
¯
(A
n
x;y)
¯
¯
< 1 x;y 2 H: sup
n
¯
¯
A
n
¯
¯
< 1:
X Y M 2 B(X;Y )
sup
A2M
°
°
Ax
°
°
= f(x) < 1 x 2 X: sup
A2M
°
°
A
°
°
< 1:
Ax = y;
x X;y Y;A X Y:
y 2 Y: A:
A:X!Y D(A) µ X R(A) µ Y: A
D(A) R(A);
A A
¡1
; x = A
¡1
y;
A D(A) R(A)
KerA = fx 2 D(A):Ax = 0g = f0g:
A X Y: x 2 X A0 = A(0 ¢ x) = 0 ¢ Ax = 0: x 6= 0; Ax = 0:
KerA = f0g:
KerA = f0g Ax = Ay: A(x ¡y) = 0 x ¡y 2 KerA: x = y:­
A D(A) R(A) A
¡1
R(A) D(A) A:X!Y A
¡1
:Y!X
y
1
;y
2
2 R(A); y
1
= A
¡1
x
1
;y
2
=
= A
¡1
x
2
: R(A) ®
1
y
1
+®
2
y
2
= A(®
1
x
1
+®
2
x
2
) 2 R(A):
R(A) D(A) ®
1
A
¡1
y
1
+®
2
A
¡1
y
2
= ®
1
x
1
+®
2
x
2
= A
¡1
(®
1
y
1
+®
2
y
2
);
A
¡1
:­
A:X!Y; A
¡1
:Y!X R(A) D(A) A
¡
1
Ax = x;x 2 D(A);
AA
¡1
Ay = y;y 2 R(A):
A A
¡1
A
¡1
R(A) m> 0 x 2 D(A) kAxk > mkxk:
A
¡1
D(A
¡1
) = R(A): c > 0 kA
¡1
yk 6 ckyk y 2 R(A):
x 2 D(A) y = Ax:
kA
¡1
Axk = kxk 6 ckAxk;
kAxk >
1
c
kxk;
m= c
¡1
:
x 2 KerA;
Ax = 0: 0 > mkxk; x = 0: KerA = f0g: A
¡1
; R(A) D(A): x = A
¡1
y;
kAA
¡1
yk > mkA
¡1
yk
y 2 Y:
kA
¡1
yk 6 ckyk;
c = m
¡1
:­
A:X!Y R(A) = Y; A A
¡1
A X:
X
Y A:X!Y X Y A
¡1
:Y!X X k ¢ k
1
k ¢ k
2
X kxk
1
6 ckxk
2
x 2 X; X
k
(k = 1;2) X k ¢ k
k
: kxk
1
6 ckxk
2
I:X
2
!X
1
I
¡1
:X
1
!X
2
kxk
2
6 c
1
kxk
1
:­
X;Y A X
Y; A C[0;1] Ax(t) ´ x(t) ¡
1
Z
0
t
2
s
3
x(s) ds = y(t);
Ax(t) = y(t): x(t) = y(t) +t
2
c;
c =
1
Z
0
s
3
x(s) ds:
x(s);
c =
1
Z
0
s
3
(cy(s) +cs
3
) ds =
6
5
1
Z
0
s
3
y(s) ds:
y(t) 2 C[0;1] x(t) = y(t) +
6
5
1
Z
0
t
2
s
3
y(s) ds ´ A
¡1
y(t):
A:
X A;B:X!X D(A) = D(B) = X: (AB)
¡1
(BA)
¡1
: A
¡1
B
¡1
?
X A:X!X D(A) = X: x
n
2 X kx
n
k = 1 Ax
n
!0 n!1: A A:`
2
!`
2
x = (x
1
;:::;x
n
;:::) 2`
2
Ax = (¸
1
x
1
;:::;¸
n
x
n
;:::); (¸
n
)
1
n=1
½ R sup
n
j¸
n
j < 1:
(¸
n
); A A
¡1
: A
¡1
?
c(t) 2 C[0;1];c(t) > 0 t 2 [0;1]: x
00
+ c(t)x = y(t);x(0) = x(1);x
0
(0) = x
0
(1) Ax = y;
A:X!Y y 2 R(A) A
¡1
y; x =
A
¡1
y A
y 2 Y: ~x Ax = ~y:
k~x ¡xk 6 kA
¡1
k~y ¡yk:
k~y ¡yk!0 k~x¡xk!0: y x )
x y 2 Y;
)
)
y 2 Y:
A:
y 2 Y; A:X!Y A
¡1
r
:Y!X A:X!Y;
AA
¡1
r
= I
y
y 2
Rs(A): A
¡1
l
:Y!X A; A
¡1
l
A = I
x
x 2 D(A):
A:X!Y y 2 R(A);
KerA = f0g; A A A
¡1
l
:
1) )2): y 2 R(A); y = 0 x = 0; KerA = f0g:
2) )1): KerA = f0g; A D(A) R(A) 1) ) 3): x 2
X 8y 2 R(A): A
¡1
l
:R(A)!X;
y 2 R(A) x 2 X; Ax = y:
y 2 Y n R(A) A
¡1
l
A
¡1
l
= 0: A
¡1
l
y 2 R(A) y = Ax; x = A
¡1
l
y = A
¡1
l
Ax = x; A
¡1
l
A = I
x
:
3) ) 1): A x
1
=
A
¡1
l
y x
2
= A
¡1
l
y; x
1
¡x
2
= A
¡1
l
(0) = 0:­
A:X!Y y 2 Y;
R(A) = Y; A A A
¡1
r
:
1),2) R(A):
1) ) 3): y 2 Y ex Y X; y 2 Y ex 2 X: A
¡1
r
: ex = A
¡1
r
y: A
¡1
r
A: ex AexA = AA
¡1
r
y = y; AA
¡1
r
= I
y
;
3) )1): A:X!Y A
¡1
r
:Y!X: 8y 2 Y x = A
¡1
r
y:
Ax = AA
¡1
r
y = I
y
y = y:­
`
2
fe
i
g
1
i=1
;e
i
= (0;:::;1
|{z}
i
;0;:::):
A Ae
1
= 0;Ae
i
= e
i¡1
;k = 2;3;::::
A kAk = 1:
A
¡1
r
A
¡1
r
e
i
= e
i+1
+c
i
e
1
;i = 1;2;:::;
i
;i = 1;2;::: 1
P
i=1
jc
i
j
2
< 1:
A
¡1
r
A:
AA
¡1
r
e
i
= A(e
i+1
+c
i
e
1
) = Aei +1 +c
i
Ae
1
= e
i
;i = 1;::::
A:KerA = fx 2`
2
:Ax = 0g:
x 2 X;x =
1
P
i=1
x
i
e
i
2 KerA:
A(
1
X
i=1
x
i
e
i
) =
1
X
i=1
x
i
Ae
i
= x
1
¢ 0 +
1
X
i=2
x
i
e
i¡1
= 0:
e
1
= (1;0:::;0;:::) 2 KerA KerA e
1
: A R(A) =`
2
: 8y 2`
2
: y =
1
P
i=1
y
i
e
i
x =
1
P
i=1
x
i
e
i
x
i+1
= y
i
;i = 1;2;::::;x
1
= a;a 2 R;
a Ax = y y 2`
2
A:`
2
!`
2
Ae
i
= e
i+1
;i = 1;2;::::
KerA = f0g A A ¡1
l
: R(A):
A 2 B(X;Y ) A
¡1
l
A
¡1
r
: A
¡1
A
¡1
= A
¡1
l
= A
¡1
r
;
D(A
¡1
) = Y R(A
¡1
) = X;
A
¡1
l
A
¡1
r
A
¡1
l
A
¡1
r
;
kerA = f0g;R(A) = Y:
A D(A) = X
R(A) = Y; A A 2 B(X;Y );
A
¡1
­
A
¡1
l
A
¡1
r
u "= x ¡u r = y ¡Au u r A y:
X A:X!X;A 2 B(X): k(A) = kAk ¢ kA
¡1
k A: k(A) = k(A
¡1
)
k(A) > 1; AA
¡1
= I kIk = 1 6 kAk ¢ kA
¡1
k = k(A):
x = A
¡1
y;A"= r;"= A
¡1
r kyk 6 kAk ¢ kxk;kxk 6 kA
¡1
k ¢ kyk;
krk 6 kAk ¢ k"k;k"k 6 kA
¡1
k ¢ krk:
k"jkxk k
¡1
(A)
krk
kyk
6
k"k
kxk
6 k(A)
krk
kyk
;
k(A); k"k
kxk
>
kA
¡1
kkrk
kAk
¡1
kyk
= k(A)
krk
kyk
:
k"k
kxk
>
kAk
¡1
krk
kA
¡1
kkyk
= k
¡1
(A)
krk
kyk
:
X A;B:X!
X D(A) = D(B) = X;
AB = BA:
A
¡1
: A
¡1
B = BA
¡1
;
A;B 2 B(X); B kABk 6
kAk
kB
¡1
k
:
X A:X!X X (x
n
) ½ D(A) kx
n
k = 1; kAx
n
k!0 n!1: A X A:X!X x ¡Ax = y:
A 2 B(X) X A 2 B(X)
kAk < 1: I ¡ A k(I ¡A)
¡1
k 6
1
1 ¡kAk
;kI ¡(I ¡A)
¡1
k 6
kAk
1 ¡kAk
:
B(X) I +A+A
2
+:::+A
n
+::::
kIk+kAk+kA
2
k+:::+kA
n
k+:::6 kIk+kAk+:::+kAk
k
+:::6
1
1 ¡kAk
:
kAk < 1: S
n
=
n
X
k=0
A
k
S =
1
P
k=0
A
k
: S
n
(I ¡A) = I ¡A
n+1
;(I ¡A)S
n
= I ¡A
n+1
:
kAk < 1;
S(I ¡A) = (I ¡A)S S I ¡A: S
kS
n
k 6 1 +kAk +¢ ¢ ¢ +kAk
n
=
1 ¡kAk
n+1
1 ¡kAk
;
kI ¡S
n
k 6 kAk +¢ ¢ ¢ +kAk
n
=
kAk ¡kAk
n+1
1 ¡kAk
:
n!1;
­
f(x) = Ax+y; kAk < 1:
x ¡¸Ax = y:
X A 2 B(X)
k¸k <
1
kAk
I ¡¸A (I ¡¸A)
¡1
= I +¸A+¸
2
A
2
+:::+¸
n
A
n
+::::
B(X):
A;A
¡1
2 B(X);
G B(X); B(X) A A
¡1
B
1
= fB 2 B(X):kA¡Bk <
1
A
¡1
gB
2
= fB 2 B(X):kA
¡1
¡Bk <
1
A
g
B B
1
B
¡1
= A
¡1
1
X
n=0
[(A¡B)A
¡1
]
n
B
¡1
=
1
X
n=0
[A
¡1
(A¡B)]
n
A
¡1
;
kB
¡1
¡A
¡1
k 6
kA
¡1
k
2
kA¡Bk
1 ¡kA¡BkkA
¡1
k
;
B
"
2 G kB
"
¡Ak!0 "!0 kB
¡1
"
¡A
¡1
k!0 "!0:
B B
2
B
¡1
= A
1
X
n=0
[(A
¡1
¡B)A]
n
B
¡1
=
1
X
n=0
[A(A
¡1
¡B)]
n
A;
kB
¡1
¡Ak 6
kAk
2
kA
¡1
¡Bk
1 ¡kA
¡1
¡BkkAk
;
B
"
2 G kB
"
¡A
¡1
k!0 "!0 kB
¡1
"
¡A
¡1
k!0 "!0 B
1
B
2
A 2 G kA¡Bk < kA
¡1
k
¡1
kI ¡BA
¡1
k = k(A¡B)A
¡1
k < 1;
kI ¡A
¡1
Bk = kA
¡1
(A¡B)k < 1:
BA
¡1
= I ¡(I ¡BA
¡1
) A
¡1
B =
= I¡(I¡A
¡1
B) (BA
¡1
)
¡1
= AB
¡1
=
1
X
n=0
(I ¡BA
¡1
)
n
=
1
X
n=0
[(A¡B)A
¡1
]
n
(A
¡1
B)
¡1
=
= B
¡1
A =
1
X
n=0
(I ¡A
¡1
B)
n
=
1
X
n=0
[A
¡1
(A¡B)]
n
:
B B
¡1
kB
¡1
¡A
¡1
k 6 kA
¡1
k
1
X
n=0
[kA¡BkkA
¡1
k]
n
6
kA
¡1
k
2
kA¡Bk
1 ¡kA¡BkkA
¡1
k
;
B
"
2 G kA¡B
"
k!0 "!0 kB
¡1
"
¡A
¡1
k!0 "!0:­
B(X) kA
¡1
k
¡1
A ­
A 2 B(X) A
n
½ B(X) n
0
2 N A
n
A
¡1
n
¶A
¡1
n!1:
n
0
2 R n > n
0
kA
n
¡Ak <
1
kA
¡1
k
:
A
n
n > n
0
A
¡1
n
k(A ¡ A
n
)A
¡1
k < 1 1
P
n=0
[(A¡A
n
)A
¡1
]
k
= [I ¡(A¡A
n
)A
¡1
]
¡1
A
¡1
n
= A
¡1
[I ¡(A¡A
n
)A
¡1
]
¡1
:
n!1: lim
n!1
(I ¡A
¡1
(A¡A
n
))
¡1
= I
A
¡1
n
¶A
­
A B kA¡Bk¢kA
¡1
k < 1 Bu = y +±y;
±y u u = B
¡1
(y + ¢y): kx ¡ukjkxk; B = A+¢A;
u ¡x = (B
¡1
A¡I)x +B
¡1
¢y:
B
¡1
ku ¡xk 6 kA
¡1
k
k¢Akjxk +k¢yk
1 ¡k¢Ak ¢ kA
¡1
k
:
kxk ku ¡xk
kuk
6
k(A)
1 ¡k(A)k¢Ak=kAk
Ã
k¢Ak
kAk
+
k¢yk
kyk
!
:
A
n
¶ A n!1 (A
n
) ½ B(X) A ½ B(X) A
n
n
0
(A
¡1
n
) X;Y A
n
;A 2 B(X;Y ) (A
n
) A ¡
A
¡1
n
¢
2 B(Y;X);
R(A) = Y: A
n
x
n
= y Ax = y y 2 Y sup
n
kA
¡1
n
k < 1:
¸; x(t) ¡¸
b
Z
a
K(t;s)x(s)ds = y(t);
K(t;s) [a;b] £[a;b] x(t);y(t) 2 C[a;b]:
x ¡¸Ax = y;
A K(t;s) ­ = [a;b] £ [a;b] ¸
j¸jkAk < 1: y(t) 2 C[a;b] x(t) j¸jkAk < 1; x(t) = (I ¡¸A)
¡1
y = y +¸Ay +¸
2
A
2
y +::::
M = max
(t;s)2­
jK(t;s)j: kAk 6 M(b ¡a) j¸jkAk < 1 ¸ j¸j <
1
M(b ¡a)
:
¸ A
Ax(t) =
b
Z
a
K(t;s)x(s)ds:
A
2
y(t) = A(Ay) =
b
Z
a
K(t;s)
³
b
Z
a
K(s;¿)y(¿)d¿
´
ds =
=
b
Z
a
³
b
Z
a
K(t;s)K(s;¿)ds
´
y(¿)d¿:
b
Z
a
K(t;s)K(s;¿)ds = K
2
(t;¿);
K
1
(t;¿) = K(t;¿)
K
2
(t;¿) K(t;s):
A
2
y(t) =
b
Z
a
K
2
(t;¿)y(¿)d¿;
¿ s;
A
2
y(t) =
b
Z
a
K
2
(t;s)y(s)ds:
A
3
y(t) = A(A
2
y) =
b
Z
a
K(t;s)
³
b
Z
a
K
2
(s;¿)y(¿)d¿
´
ds =
=
b
Z
a
³
b
Z
a
K(t;s)K
2
(s;¿)ds)y(¿)d¿ =
b
Z
a
K
3
(t;s)y(s) ds;
K
3
(t;¿) =
b
R
a
K(t;s)K
2
(s;¿) ds K(t;s)
A
n
y(t) =
b
Z
a
K
n
(t;s)y(s) ds;
K
n
(t;s) =
b
Z
a
K(t;¿)K
n¡1
(¿;s) d¿ A
n+m
= A
n
¢ A
m
= A
m
¢ A
n
K
n+m
(t;s) =
b
Z
a
K
n
(t;¿)K
m
(¿;s) d¿ =
b
Z
a
K
m
(t;¿)K
n
(¿;s)d¿:
­ = [a;b] £[a;b]:
x(t) = y(t) +¸
b
Z
a
K
1
(t;s)y(s)ds +¸
2
b
Z
a
K
2
(t;s)y(s)ds +:::
+¸
n
b
Z
a
K
n
(t;s)y(s)ds +:::;
K
1
(t;s) +¸K
2
(t;s) +:::+¸
n¡1
K
n
(t;s) +::::
jK
2
(t;s)j 6
b
Z
a
jK(t;¿)jjK
m
(¿;s)jd¿ 6 M
2
(b ¡a);
:::
jK
n
(t;s)j 6 M
n
(b ¡a)
n¡1
:
j¸
n¡1
K
n
(t;s) 6 j¸j
n¡1
M
n
(b ¡a)
n¡1
= Mq
n¡1
;
q = j¸jM(b ¡ a) < 1: 1
P
n=1
q
n
;0 < q < 1: R(t;s;¸)
R(t;s;¸) = K(t;s) +¸K
2
(t;s) +:::+¸
n¡1
K
n
(t;s) +::::
R(t;s;¸) t s j¸j <
1
M(b¡a)
y(s) y(t);
y(t) +
b
Z
a
K(t;s)y(s)ds +¸
b
Z
a
K
2
(t;s)y(s)ds +::::
x(t) = y(t) +¸
b
Z
a
R(t;s;¸)y(s)ds:
R(t;s;¸) K(t;s):­
¸ ¸ K
2
(t;s) = 0 K(t;s) = = sin(t) cos(s);
0 6 t;s 6 ¼:
x(t) = ¸
1
Z
0
tsx(s)ds +y(t):
x(t) = ¸
t
Z
a
K(t;s)x(s) ds +y(t):
K(t;s) =
(
K(t;s);s 6 t;
0;s > t:
jK
2
(t;s)j 6
t
Z
s
jK(t;¿)jjK(¿;s)j d¿ 6 M
2
jt ¡sj 6 M
2
(b ¡a);
:::
K
n
(t;s) 6
M
n
jt ¡sj
n¡1
(n ¡1)!
6
M
n
(b ¡a)
n¡1
(n ¡1)!
:
¸: x(t) = y(t) +¸
t
Z
a
R(t;s;¸) y(s) ds:
R(t;s;¸) R(t;s;¸) = K(t;s) +¸
t
Z
s
K(t;¿)R(¿;s;¸) ds:
K(t;s) t s y(t) C[a;b] x(t) = e
t
+
t
Z
0
e
t¡s
x(s) ds:
¸ = 1 K(t;s) = e
t¡s
K
2
(t;s) =
t
Z
s
e
t¡¿
e
¿¡s
d¿ = e
t¡s
(t ¡s);
K
3
(t;s) =
t
Z
s
e
t¡¿
e
¿¡s
d¿ = e
t¡s
(t ¡s)
2
2!
;
:::
K
n
(t;s) = e
t¡s
(t ¡s)
n¡1
(n ¡1)!
:
R(t;s;1) R(t;s;1) = e
t¡s
+e
t¡s
t ¡s
1!
+:::+e
t¡s
(t ¡s)
n
n!
+:::= e
2(t¡s)
:
x(t) = e
t
+
t
Z
0
e
2(t¡s)
e
s
@s = e
2t
:
R(t;s;¸) R(t;s;¸) = K(t;s) +¸
b
Z
a
K(t;¿)R(t;¿;¸)d¿;
R(t;s;¸) = K(t;s) +¸
b
Z
a
R(t;¿;¸)K(¿;s)d¿:
x(t) +¸
b
Z
a
R(t;s;¸)x(s)ds = Bx(t)
x(t) ¡¸
b
Z
a
K(t;s)x(s)ds = Ax(t):
x(t) ¡
t
Z
0
(t ¡s)x(s)ds = t
2
:
X Y A:X!Y D(A) ½ X f(x;Ax):x 2
D(A);Ax 2 R(A)g A Gr
A
A Gr
A
X £Y A A Gr
A
X£Y (x
n
;Ax
n
) ½ Gr
A
(x
0
;y
0
)
x
n
!x
0
Ax
n
!y
0
X £ Y (k(x;Ay)k = kxk + kAyk)
k(x;Ay)k = kxk + kAyk X £ Y A y
0
= Ax
0
(x
0
;y
0
) = (x
0
;Ax
0
) 2 Gr
A
A:X!Y Gr
A
X £Y A:x!Y A 2 B(X;Y ) D(A) =
X A A A
¡1
A
¡1
A A
¡1
²
Gr
A
= f(x;Ax):x 2 D(A);Ax 2 R(A)g
²
Gr
¡1
A
= f(y;A
¡1
y):y 2 R(A);A
¡1
y 2 D(A)g:
Gr
¡1
A
Gr
¡1
A
= f(Ax;x):x 2 D(A);Ax 2
R(A)g: Gr
¡1
A
Gr
A
­
A 2 B(X;Y ) A
¡1
A
¡1
C[0;1] A =
d
dt
C
1
[0;1] ½ C[0;1] (x
n
) ½ C
1
[0;1] x
0
(t) Ax
n
= (x
n
)
0
y
0
x
0
2 C
1
[0;1] y
0
= Ax
0
y
0
= (x
0
)
0
l
2
(e
n
)
1
n=1
l
2
A Ae
n
= ¸
n
e
n
n = 1;2;::: j¸
n
j!1 n!1 kAe
n
k = j¸
n
j inf
n
j¸
n
j = C
A
> 0
A
¡1
y 2 l
2
;
y =
1
X
k=1
y
k
e
k
;A
¡1
y =
1
X
k=1
¸
¡1
k
y
k
e
k
;
kA
¡1
yk
e
2
6 sup
k
j¸
¡1
k
j ¢ kyk
e
2
; kA
¡1
k 6 C
¡1
A
< 1:
A
¡1
A A X Y Gr
A
½ X £Y k(x;Ax)k = kxk +kAxk Gr
A
P
1
:Gr
A
!X P
1
(x;Ax) = x P
1
kP
1
(x;Ax)k = kxk 6 kxk +kAxk kP
1
k 6 1 P
1
Gr
A
X P
¡1
1
:X!Gr
A
P
2
:Gr
A
!Y P
2
(x;Ax) = Ax P
2
A = P
2
± P
¡1
1
­
X X £Y A:X!Y X Y X Y A:H!H ²
KerA H
²
B 2 B(H) A+B A H ²
D(A) ²
R(A) X f:X!R(C); f(x);x 2 X:
f f(®x + ¯y) = ®f(x) + ¯f(y) x;y 2 X;
®;¯ 2 R(C) f C > 0 jf(x)j 6 Ckxk
x 2 X C sup
kxk=1
jf(x)j kfk X = R
n
;e
1
;:::;e
n
2 R
n
x 2 R
n
x =
n
P
k=1
x
k
e
k
f x f(x) = f
³
n
X
k=1
x
k
e
k
´
=
n
X
k=1
x
k
f(e
k
) =
n
X
k=1
x
k
y
k
= (x;y)
R
n
;
y = (y
1
;:::;y
k
;:::;y
n
);y
k
= f(e
k
): jf(x)j = j(x;y)j 6
6 kyk
R
n
¢ kxk
R
n
R
n
kfk 6 kyk
R
n
:
X = C[a;b] f(x) =
=
n
P
k=1
C
k
x(t
k
) ft
k
g
n
k=1
[a;b] x(t) 2 C[a;b]
jf(x)j 6
n
X
k=1
jC
k
jjx(t
k
)j 6
n
X
k=1
jC
k
j max
a6t6b
jx(t)j;kfk 6
n
X
k=1
jC
k
j:
C[a;b] f(x) =
b
Z
a
a(t)x(t) dt;
a(t) kfk 6
b
R
a
ja(t)j dt:
X B(X;R) R
n
X X
¤
:
X
¤
(f
n
)
1
n=1
½ X
¤
f 2 X
¤
²
kf
n
¡fk ¡¡¡!
n!1
0;
²
f
n
(x) ¡¡¡!
n!1
f(x) x 2 X:
X (x
n
) ½ X X x 2 X f 2 X
?
f(x
n
)!f(x) n!1
X X
0
f
0
: f:X!R(C) f
0
; kfk = kf
0
k:
X X
X
0
; (
X
0
= X: x
1
;x
2
;:::
X
0
X
0
:
X
0
=
1
[
n=1
X
n
;X
n
= fX
0
;x
1
;:::;x
n
g:
f
0
; X
0
; f
0
X
1
= X
0
+fx
1
g X
1
x = x
0
+tx
1
;t 2 R;x
0
2 X
0
:
y
0
+t
0
x
1
; y
0
2 X
0
t
0
2 R x
0
+tx
1
= y
0
+t
0
x
1
;
x
0
¡y
0
= (t ¡t
0
)x
1
:
t
0
= t x
0
= y
0
t
0
6= t x
1
X
0
X
1
f
1
f
1
(x) = f
0
(x
0
) ¡°t;
° x 2 X
1
z
1
;z
2
2 X
0
f
0
:
f
0
(z
1
) ¡f
0
(z
2
) =f
0
(z
1
¡z
2
) 6 kf
0
(z
1
¡z
2
)k 6 kf
0
k ¢ kz
1
¡z
2
k 6
6 kf
0
k ¢ kz
1
+x
1
k +kf
0
k ¢ kz
2
+x
1
k:
f
0
(z
1
) ¡kf
0
k ¢ kz
1
+x
1
k 6 f
0
(z
2
) +kf
0
k ¢ kz
2
+x
1
k:
z
1
z
2
X
0
f
0
(z
2
)+kf
0
k¢kz
2
+x
1
k C C z
1
¯ = inf
z
2
2x
0
kf
0
k ¢ kz
2
+x
1
k +f
0
(z
2
)
ª
:
z
2
z
1
X
0
f
0
(z
1
)¡kf
0
k¢ kz
1
+x
1
k 6 C
1
C
1
z
2
® = sup
x
1
2X
0
f
0
(z
1
) ¡kf
0
k ¢ kz
1
+x
1
k
ª
:
f
0
(z
1
) ¡kf
0
k ¢ kz
1
+x
1
k 6 sup
x
1
2X
0
f
0
(z
1
) ¡kf
0
k ¢ kz
1
+x
1
k
ª
6
6 inf
z
2
2x
0
kf
0
k ¢ kz
2
+x
1
k +f
0
(z
2
)
ª
6 kf
0
k ¢ kz
2
+x
1
k +f
0
(z
2
):
° ® 6 ° 6 ¯:
z 2 X
0
f
0
(z) ¡kf
0
k ¢ kz +x
1
k 6 ° 6 f
0
(z) +kf
0
k ¢ kz +x
1
k:
° ° 2 [®;¯] f
0
x = x
0
2 X
0
t = 0 f
1
(x) = f
0
(x
0
)
f
1
f
0
kf
1
k = kf
0
k
° f
0
(z
1
) ¡kf
0
k ¢ kz
1
+x
1
k 6 °:
jtj z
1
=
x
0
t
t > 0 f
0
(x
0
) ¡°t 6 kf
0
k ¢ kx
0
+tx
1
k
f
1
(x) 6 kf
0
k ¢ kxk:
t < 0 f
1
(x) > ¡kf
0
k ¢ kxk:
jf
1
(x)j 6 kf
0
k ¢ kxk kf
1
k 6 kf
0
k:
kf
0
k = sup
x2X
0
kxk=1
jf
0
(x)j 6 sup
x2X
1
kxk=1
jf
0
(x)j = sup
x2X
1
kxk=1
jf
1
(x)j = kfk:
kf
1
k = kf
0
k
f
1
X
2
= X
1
+fx
2
g X
0
X ­
X X = R
2
kxk
R
2
= maxfjx
1
j;jx
2
jg
L = fx 2 R
2
:x
1
¡2x
2
= 0g: L f
0
(x) = x
1
x 2 L: R
2
X 6= 0 X X
¤
6= 0 X
X x
0
2 X x
0
6= 0 X )
kfk = 1;
)
f(x
0
) = kx
0
k:
X
0
x
0
= 0 x 2 X
0
x = tx
0
t 2 K; f
0
(x) = tkx
0
k f
0
kf
0
k = 1 jf
0
(x)j = jtj ¢ kx
0
k = ktx
0
k = kxk;
f
0
(x
0
) = kx
0
k f
0
X f:X!R(C) ­
x;y 2 E
x 6= y f 2 X
¤
f(x) 6= f(y);
f x y X:
R
2
X X
0
x
0
½(x
0
;X
0
) = d > 0 f 2 X
¤
)
f(x
0
) = 1;
)
f(x) = 0 x 2 X
0
;
)
kfk =
1
d
:
X
1
= X
0
+ fx
0
g;
x = y +tx
0
;y 2 X
0
;t 2 R:
X
1
f
0
(x) = t jf
0
(x)j = jtj =
jtj ¢ kxk
kxk
=
1
k
x
t
k
¢ kxk =
1
k
y
t
+x
0
k
¢ kxk 6
1
d
¢ kxk;
d = inf
y2X
0
kx
0
¡yk 6 kx
0
¡yk:
kfk 6
1
d
: x 2 X
0
t = 0 f
0
(x) = 0 x = x
0
t = 1 f
0
(x
0
) = 1:
kf
0
k >
1
d
x
0
X
0
d 6 kx
0
¡y
n
k < d +
1
n
(y
n
) ½ X
0
1 = f
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) ¡f
0
(y
n
) = f
0
(x
0
¡y
n
) 6
6 jf
0
(x
0
¡y
n
)j 6 kf
0
k ¢ kx
0
¡y
n
k < kf
0
k
³
d +
1
n
´
:
n!1 1 6 kf
0
k ¢ d kf
0
k >
1
d
f
0
X ­
M X f 2 X
¤
f(x) = 0 x 2 M f = 0 f(x) = 0 x 2 X
M = X: x 2 X (x
n
) ½ M x
n
!x
n!1 f(x
n
)!f(x) f: f(x
n
) = 0 f(x) = 0 x 2 X f = 0
M 6= X x
0
2 X n
M ½(x
0
;
M) = d > 0 f 2 X
?
kfk =
1
d
f(x
0
) = 1 f(x) = 0 x 2
M f = 0 f(x
0
) = 1 ­
fx
k
g
n
k=1
X ff
e
g
n
e=1
X f
e
(x
k
) =
½
1;k = e;
0;k 6= e;k;e = 1;2;:::;n:
x
1
X
1
x
2
;¢ ¢ ¢;x
n
3:1:2 f
1
2 X
¤
f
1
(x
1
) = 1 f
1
(x
i
) = 0
i = 2;3;:::;n x
2
X
2
= L
¡
fx
1
;x
3
;:::;x
n
g
¢
f
2
2 X
¤
x
2
X
2
; f
2
(x
2
) = 1 f
2
(x) = 0 x 2 fx
1
;x
3
;:::;x
n
g ­
fx
k
g
1
k=1
½ X ff
e
g
n
e=1
½ X
¤
f
e
(x
k
) =
½
1;e = k;
0;e 6= k;k;e = 1;2;:::;n:
ff
k
g
n
k=1
½ X
¤
X fx
e
g
n
e=1
n = 1 f
1
6= 0 y
1
2 X f
1
(y
1
) 6= 0 x
1
=
y
1
f(y
1
)
m x 2 X y = x¡
m
P
i=1
f
i
(x)x
i
f
k
(y) = f
k
(x) ¡
m
X
i=1
f
i
(x)f
k
(x
i
) = f
k
(x) ¡f
k
(x) = 0 k = 1;2;:::;m:
f
m+1
(y) = 0 x 2 X f
m+1
(x) =
m
X
k=1
f
k
(x)f
m
(x
k
)
f
m+1
=
m
X
k=1
f
m
(x
k
)f
k
:
ff
1
;:::;f
m
;f
m+1
g
y
m+1
f
m+1
(y
m+1
) 6= 0;x
m+1
=
y
m+1
f(y
m+1
)
:
­
x
0
(t) C[0;1] x
0
(t) 2
C[0;1] L = f®x
0
(t) ® 2 Rg L f
0
:f
0
(x) =
¸ x = ¸x
0
kf
0
C[0;1]
L = fx 2 R
2
:
x
1
¡ x
2
= 0g: L f
0
(x) =
1
2
x
1
kxk
k
= maxfjx
1
j;jx
2
jg kxk
c
=
q
x
2
1
+x
2
2
:
H ½ H f
0
H X x 2 X kxk = fsupjf(x)j:f 2 X
¤
;kfk = 1g:
f R
n
f(x) = (x;y) y = (y
1
;:::;y
n
) y
i
= f(e
i
) e
1
;:::;e
n
R
n
kfk 6 kyk:
x
0
= ( y
1
; y
2
;:::; y
n
);kx
0
k = 1
kyk =
n
X
k=1
jy
k
= jf(x
0
)j 6 kfk ¢ kx
0
k = kfk:
kf
0
k = kyk
f 2 (R
n
)
¤
y 2 R
n
kfk = kyk (R
n
)
¤
R
n
H
H f 2 H
¤
y 2 H x 2 H
f(x) = (x;y)
H
;kfk = kyk:
L = Kerf = fz 2 H:f(z) = 0g L
H L = H f = 0 y = 0
L ½ H H = L ©L
?
z
0
?L f(z
0
) 6= 0
x 2 H z = x ¡
z
0
f(z
0
)
¢ f(x) L f(z) = f(x) ¡
f(z
0
)
f(z
0
)
¢ f(x) = 0:
z?z
0
(z;z
0
)
H
= 0 = (x;z
0
)
H
¡
(z
0
;z
0
)
H
f(z
0
)
¢ f(x):
f(x) = (x;y)
H
;y =
f(z
0
)
kz
0
k
2
¢ z
0
:
jf(x)j = j(x;y)
H
j 6 kyk ¢ kxk:
kfk 6 kyk x = y kfk >
jf(y)j
kyk
=
j(y;y)j
kyk
= kyk:
y y
1
y
2
H f(x) = (x;y
1
) = (x;y
2
) (x;y
1
¡y
2
) = 0 x 2 H x = y
1
¡y
2
ky
1
¡y
2
k = 0
y
1
= y
2
­
H
¤
H H H
¤
:
C[a;b]
C[a;b] f(x) =
b
Z
a
x(t)dg(t);
g(t) 2 V [a;b] kfk =
b
_
a
(g):
f jf(x)j 6
b
Z
a
jx(t)jdg(t) 6
b
Z
a
dg(t) ¢ max
a6t6b
jx(t)j 6
b
_
a
(g) ¢ kxk
C[a;b]
;
b
W
a
(g) g:
kfk 6
b
W
a
(g) f f 2 (C[a;b])
¤
f g f(x) =
b
Z
a
x(t)dg(t);
b
_
a
(g) 6 kfk:
C[a;b] B[a;b] kxk
B[a;b]
=
= sup
a6t6b
jx(t)j: f B[a;b] F kFk = kfk y
a
(t) = 0;y
¿
(t) =
½
1;t 6 ¿;
0;t > ¿; ¿ > a:
F g(¿) = F(y
¿
) g [a;b]:a = t
0
< t
1
<
:::< t
n¡1
< t
n
= b "
k
= (g(t
k
) ¡g(t
k¡1
)) n
X
k=1
jg(t
k
) ¡g(t
k¡1
)j =
n
X
k=1
"
k
(g(t
k
) ¡g(t
k¡1
)) =
=
n
X
k=1
"
k
¡
F(y
t
k
) ¡F(y
t
k¡1
)
¢
= F
¡
n
X
k=1
"
k
(y
t
k
(t) ¡y
t
k¡1
(t))
¢
6 kFk ¢ kv)k;
v(t) =
n
X
k=1
"
k
(y
t
k
(t) ¡y
t
k¡1
(t)):
t v(t) 0;§1 kvk = 1 b
_
a
(g) 6 kFk = kfk:
kfk =
b
W
a
(g) F g 2 V [a;b] F f x(t) "> 0 ± > 0 jx(t
0
) ¡x(t
00
))j <"
jt
0
¡t
00
j < ±: ± [a;b] ± x
"
(t) x
"
(a) = x(a);x
"
(t) = x(t
k
); t
k¡1
< t 6 t
k
;k = 1;2;:::;n:
x
"
(t) =
n
X
k=1
x(t
k
)
¡
y
t
k
(t) ¡y
t
k¡1
(t)
¢
:
kx
"
(t) ¡x(t)k <" t 2 [a;b] F(x
"
) =
n
X
k=1
x(t
k
)
¡
g(y
t
k
) ¡g(y
t
k¡1
)
¢
;
b
R
a
x(t)dg(t) ±
jF(x
"
) ¡
b
Z
a
x(t)dg(t) <":
jF(x) ¡F(x
"
)j 6 kFk ¢ kx ¡x
"
k 6 kFk ¢":
jF(x) ¡
b
R
a
x(t)dg(t)j <"
x 2 C[a;b] F(x) = f(x) ­
g f g g(a) g f f 2 (C[a ¡1;1])
¤
f(x) =
x(¡1) +x(1)
2
+
1
Z
¡1
tx(t)dt:
g(¡1) = 0 g(t) [¡1;1] g
0
(t) = t t = ¡1 t = 1 1
2
g(t) =
8
<
:
0;t = 1;
t
2
2
;¡1 6 t 6 1;
1;t = 1:
1
_
¡1
(g) = 2:
kfk = 2:
f 2 (C
1
[a;b])
¤
f(x) = ®x(a) +
b
Z
a
x
0
(t)dg(t);
® g 2 V [a;b]
f 2 (C[a;b])
¤
kfk 1) f(x) = ®x(a) +¯x(b);®;¯ 2 R;
2) f(x) =
b
R
a
p(t)x(t) dt;p(t) 2 C[a;b];
3) f(x) =
b
R
a
x(t)dt ¡x(
a+b
2
):
f(x) = x(0)
C[¡1;1] f(x) =
b
R
a
x(t)g(t) dt
X;Y A:X!Y A 2 B(X;Y );
f Y; f 2 Y
¤
: x 2 X g(x) = f(Ax):
X:
g(®x +¯y) = f
¡
A(®x +¯y)
¢
= f(®Ax +¯Ay) =
= ®f(Ax) +¯f(Ay) = ®g(x) +¯g(y);
jg(x)j = jf(Ax)j 6 kfk ¢ kAxk 6 kfk ¢ kAk ¢ kxk;
kgk 6 kfk ¢ kAk:
f 2 Y
¤
g 2 X
¤
A
¤
A
¤
:Y
¤
!X
¤
A:X!Y A
¤
f = g f(Ax) = A
¤
f(x) x 2 X:
A
¤
2 B(Y
¤
;X
¤
):
A
¤
Y
¤
X
¤
kA
¤
k = kAk:
f
1
;f
2
2 Y
¤
®;¯ 2 K A
¤
(®f
1
+¯f
2
) = ®A
¤
f
1
+¯A
¤
f
2
:
A
¤
(®f
1
+¯f
2
)(x) = (®f
1
+¯f
2
)(Ax) = ®f
1
(Ax) +¯f
2
(Ax) =
= ®A
¤
f
1
(x) +¯A
¤
f
2
(x)
A
¤
; kgk = kA
¤
fk 6 kAk ¢ kfk;
kA
¤
k 6 kAk:
x
0
2 X Ax
0
6= 0: f
0
2 Y
¤
kf
0
k = 1 f
0
(Ax
0
) = kAx
0
k:
kAx
0
k = f
0
(Ax
0
) = jf
0
(Ax
0
)j = jA
¤
f
0
(x)j 6 kA
¤
k ¢ kf
0
k ¢ kx
0
k:
kAk 6 kA
¤
k:­
A 2 B(X;Y ) A
¤
2 B(Y
¤
;X
¤
); (A+B)
¤
= A
¤
+B
¤
;(®A)
¤
= ®A
¤
:
(A+B)
¤
f(x) = f(A+B)(x) = f(Ax) +f(Bx) = A
¤
f(x) +B
¤
f(x);
(®A)
¤
f(x) = f(®A)(x) = ®f(Ax) = ®A
¤
f(x):
­
kAk = kA
¤
k:
X = Y:
(AB)
¤
= B
¤
A
¤
;I
¤
= I:
A A
¡1
; A
¤
(A
¤
)
¡1
= (A
¡1
)
¤
:
g = A
¤
f y = Ax:
(A
¤
)
¡1
g(y) = f(y) = f(Ax) = A
¤
f(x) = g(x) = g(A
¡1
y) = (A
¡1
)
¤
g(y);
(A
¤
)
¡1
= (A
¡1
)
¤
­
X = Y = l
2
C x 2 l
2
: A:l
2
!l
2
Ax = (0;:::;0
|
{z
}
n
®
1
x
1
;:::);
¡
®
i
¢
1
i=1
C:
f(Ax) = (Ax;y)
l
2
=
1
X
i=1
®
i
x
i
y
i+k
=
1
X
i=1
x
i
®
i
y
i+k
=
1
X
i=1
x
i
®
i
y
i+k
= A
¤
f(x):
A
¤
f(x) = (x;z)
l
2
=
1
X
i=1
x
i
z
i
;
z = A
¤
y;z
i
=
®
i
y
i+k
:
A
¤
y = (
®
1
y
k+1
;
®
2
y
k+2
;:::):
`
2
:
X = Y = L
2
[a;b]:
Ax(t) =
b
Z
a
K (t;s)x(s) ds
K (t;s) b
Z
a
b
Z
a
jK (t;s)j
2
dt ds < 1:
(L
2
[a;b])
¤
L
2
[a;b]:
f(Ax) = (Ax;y)
L
2
[a;b]
=
b
Z
a
Ax(t)y(t) dt =
b
Z
a
³
b
Z
a
K (t;s)x(s) ds
´
y(t) dt =
=
b
Z
a
x(s)
³
b
Z
a
K (t;s)y(t) dt
´
ds =
b
Z
a
x(t)
³
b
Z
a
K (s;t)y(s) ds
´
dt =
=
b
Z
a
x(t)z(t) dt = (x;z) = A
¤
f(x);
z(t) = A
¤
y(t) =
b
Z
a
K (s;t)y(s) ds:
K (s;t) K (t;s):
L
2
[0;1] Ax(t) =
t
Z
0
t
2
sx(s) ds:
f(Ax) = (Ax;y)
L
2
[0;1]
=
1
Z
0
Ax(t)y(t)dt =
1
Z
0
³
t
Z
0
t
2
sx(s) ds
´
dt =
=
1
Z
0
x(s)
³
1
Z
s
t
2
sy(t) dt
´
ds =
1
Z
0
³
1
Z
t
s
2
ty(s) ds
´
x(t) dt = (x;A
¤
y)
L
2
[0;1]
:
A
¤
y(t) =
R
ts
2
y(s) ds:
Ax = y;
A 2 B(X;Y ): y 2 Y; R(A) = Y: R(A) A:
X;Y A:X!Y R(A) ½ Y R(A) y 2 Y f(y) = 0 f 2 Y
¤
;
A
¤
f = 0:
L L =
\
f2Y
¤
;A
¤
f=0
Kerf;Kerf = fy 2 Y:f(y) = 0g ½ Y:
Kerf Y Kerf L Y: R(A) = L:
y 2 R(A); y Ax = y f 2 Y
¤
A
¤
f = 0:
f(y) = f(Ax) = A
¤
f(x) = 0(x) = 0:
y 2 L; R(A) ½ L: L =
L;
R(A) ½ L:
y
0
2 L;
R(A): R(A): f
0
; f
0
(y
0
) = 1; f
0
(y) = 0 y = Ax 2
R(A): A
¤
f
0
(x) = f
0
(Ax) = f
0
(y) = 0: f
0
A
¤
f
0
= 0: y
0
2 L f
0
(y
0
) = 0; L ½
R(A):
R(A) = L = fy 2 Y:
f(y) = 08f 2 Y
¤
;A
¤
f = 0g:­
Ax = y y R(A) A
¤
f = 0;
y Ax = y y 2 Y; A
¤
f = 0 A
¤
f = 0 R(A) = Y:
X = R
m
;Y = R
n
;A:X!Y A = (a
ij
):
A
¤
Ax = y;
m
X
j=1
a
ij
x
j
= y
j
;i = 1;2;:::;n:
R(A) R
m
: y 2 R
n
n
X
i=1
y
i
z
i
= 0
z 2 R
n
; A
T
z = 0 n
X
i=1
a
ij
z
i
= 0;j = 1;2;:::;m:
x(t) +3
1
Z
0
(2ts ¡4t
2
)x(s) ds = 1 ¡2t:
u(t) +3
1
Z
0
(2ts ¡4s
2
)u(s) ds = 0
u(t) = ¡6t
1
Z
0
su(s) ds +12
1
Z
0
s
2
u(s) ds;
u(t) = 6(2c
1
¡tc
2
):
c
1
c
2
c
1
=
1
Z
0
s
2
(12c
1
¡6sc
2
) ds;
c
2
=
1
Z
0
s(12c
1
¡6sc
2
) ds:
2c
1
= c
2
: u(t) = 6c(1 ¡t); c 1
Z
0
(1 ¡2t)(1 ¡t) dt =
1
6
6= 0:
X;Y f:B(X;Y )!B(Y
¤
;X
¤
);f(A) = A
¤
H A; Ax = (x;y)z; y;z 2 H f H f(x) = (x;y);x 2 H;y H: H H
¤
; kfk = kyk: H:
H A:H!H;A 2 B(H): A A
¤
:H
¤
!H
¤
x;y 2 H
(Ax;y)
H
= (x;A
¤
y)
H
:
A A = A
¤
; (Ax;y)
H
= (x;Ay)
H
:
x;y 2 H:
R
n
(a
ij
);i;j = 1;:::;n; A = A
¤
A:C
n
!C
n
(a
ij
);
i;j = 1;:::;n: A = A
¤
a
ij
=
a
ji
;i;j =
= 1;:::;n:
L
2
[a;b] K (t;s) = K (s;t):
L
2
[0;1] Ax(t) = m(t)x(t);m(t) 2 C[a;b]
m(t) A A B H: A+B ®A; ® ¡
(A+B)x;y
¢
=
¡
Ax +Bx;y
¢
=
¡
Ax;y
¢
+
¡
bx;y
¢
=
=
¡
x;Ay
¢
+
¡
x;By
¢
=
¡
x;Ay +By
¢
=
¡
x;(A+B)y
¢
:
®A:­
A B H: AB AB = BA:
¡
AB)x;y
¢
=
¡
Bx;Ay
¢
=
¡
x;BAy
¢
:
AB = BA:­
A a(x;y) =
¡
Ax;y
¢
H
;
H [x;y]
A
=
¡
Ax;y
¢
H
;
H x = y; a(x;x) =
¡
Ax;x
¢
H
;
x ¡
Ax;x
¢
=
¡
x;Ax
¢
=
¡
Ax;x
¢
:
A:H!H kAk = sup
kxk61
j
¡
Ax;x
¢
j:
C
A
= sup
kxk=1
j
¡
Ax;x
¢
j = sup
x6=0
j(Ax;x)j
(x;x)
:
C
A
= kAk: A j
¡
Ax;x
¢
j 6 kAxk ¢ kxk 6 kAxk ¢ kxk
2
j
¡
Ax;x
¢
j
kxk
2
6 kAk:
C
A
6
kAk:
x;y 2 H:
¡
A(x ¡y);x ¡y
¢
=
¡
Ax;x
¢
¡2Re
¡
Ax;y
¢
+
¡
Ay;y
¢
;
¡
A(x +y);x +y
¢
=
¡
Ax;x
¢
+2Re
¡
Ax;y
¢
+
¡
Ay;y
¢
;
4Re
¡
Ax;x
¢
=
¡
A(x +y);x +y
¢
¡
¡
A(x ¡y);x ¡y
¢
4
¯
¯
Re
¡
Ax;x
¢
¯
¯
=
¯
¯
¡
A(x +y);x +y
¢
¯
¯
+
¯
¯
¡
A(x ¡y);x ¡y
¢
¯
¯
:
j
¡
Ax;x
¢
j 6 C
A
kxk
2
; 4
¯
¯
Re
¡
Ax;x
¢
¯
¯
6 C
A
¡
kx +yk
2
+kx ¡yk
2
¢
6 2C
A
¡
kxk
2
+kyk
2
¢
:
y =
kxk
kAxk
; kxk = kyk ¯
¯
Re
¡
Ax;x
¢
¯
¯
6
¯
¯
Re
¡
Ax;
kxk
kAxkAx
¢
¯
¯
= kxj kAxk:
kAxk 6 C
A
kxk kAk 6 C
A
: kAk = C
A
:­
A
m= inf
kxk=1
¡
Ax;x
¢
;M = sup
kxk=1
¡
Ax;x
¢
A:H!H kAk = max fjmj;Mg:
N
A
= max fjmj;Mg: x kxk = 1
¯
¯
¡
Ax;x
¢
¯
¯
6 C
A
; ¡C
A
6
¡
Ax;x
¢
6 C
A
:
¡C
A
6 m6 M 6 C
A
:
N
A
6 C
A
= kAk:
¡
Ax;x
¢
6 M 6 N
A
;¡
¡
Ax;x
¢
6 ¡m6 N
A
¯
¯
¡
Ax;x
¢
¯
¯
6 N
A
kAk = C
A
6 N
A
:
­
A A > 0; m ¡
Ax;x
¢
> 0
x 2 H ¡
Ax;x
¢
> 0 x 2 H;
¡
Ax;x
¢
> 0 x 2 H:
A B; A¡B > 0: H [x;y]
A
?
A > 0 H: x;y 2 H ¯
¯
¡
Ax;y
¢
¯
¯
2
6
¡
Ax;x
¢¡
Ay;y
¢
:
D(A) = H: A H ¡
Ax;y
¢
=
¡
x;Ay
¢
x;y 2 D(A);
A Ax = ¡
d
2
x
dt
2
+x;
L
2
[a;b]; D(A) =
x(t) 2 C
2
[0;¼]:x(0) = x(¼) = 0
ª
: A x(t);y(t) 2 D(A); ¡
Ax;y
¢
=
¼
Z
0
³
¡
d
2
x(t)
dt
2
+x(t)
´
y(t) dt = ¡y(t)
dx
dt
¯
¯
¯
¼
0
+
+
¼
Z
0
³
¡
dy(t)
dt
+y(t)
´
x(t) dt =
¼
Z
0
³
¡
d
2
y(t)
dt
2
+y(t)
´
x(t) dt =
¡
x;Ay
¢
:
A:L
2
[0;¼]!L
2
[0;¼] x
n
(t) =
p
2=¼ sinnt;n = 1;2;:::;
kx
n
k = 1 kAx
n
k
2
L
2
[0;¼]
= n
2
+1!1 n!1:
A:H =!H;A = A
?
;A > 0: Ax = y:
f(x) =
¡
Ax;y
¢
¡2(y;x):
A:H!H D(A) = H: f A 2 B(H) AA
?
= A
?
A:
A A
?
A 2 B(H) AA
?
= A
?
A =
= I; A
?
= A
¡1
:
A 2 B(H);AA
¤
= A
¤
A: A H A;B 2 B(H);A = A
¤
;B = B
¤
: (Ax;x) = (Bx;x)
x 2 H: A = B:
(®
1
;®
2
;:::) m:
A 2 B(l
2
) Ax = (®
1
x
1
;®
2
x
2
;:::):
®
n
(n 2 N) A:
A = A
¤
;
A > 0;
A
¤
= A
¡1
:
A 2 B(H) A
¡1
A 2 B(H) x;y 2 H j(Ax;y)j 6 (Ax;x) ¢ (Ay;y);
x 2 H kAxk
2
6 kAk ¢ (Ax;x):
H L ½ H: H = L©L
?
x = y + z;y 2 L;Z 2 L
?
: x 2 H y 2 L x L: y = Px: H f'
j
g
1
j=1
:
f'
jk
g ½ f'
j
g: L; x 2 H y 2 L; y =
1
P
k=1
c
jk
'
jk
;c
jk
= (x;'
jk
): f'
ik
g f'
jk
g: L
?
z 2 L
?
z =
P
k
c
ik
'
ik
;c
ik
= (x;'
ik
): z x 2 H L
?
: P L
?
; I ¡P L
?
: P I ¡P x 2 L Px = x;
x 2 L
?
Px = 0:
H
x 2 H x = ®x
1
+ ¯x
2
; x
1
;x
2
2 H;
®;¯ 2 K: H = L © L
?
; x = y + z x
1
= y
1
+ z
1
;x
2
= y
2
+ z
2
; y;y
1
;y
2
2 L;z;z
1
;z
2
;2 L
?
:
y +z = (®y
1
+¯y
2
) +(®z
1
+¯z
2
); ®y
1
+¯y
2
2 L;®z
1
+¯z
2
2 L
?
:
P(®x
1
+¯x
2
) = ®y
1
+¯y
2
= ®Px
1
+¯Px
2
:­
P 2 B(H);kPk = 1; L 6= f0g:
x 2 H Ix = Px +(I ¡P)x kxk
2
= kPxk
2
+k(I ¡P)xk
2
:
kxk
2
> kPxk
2
kPk 6 1:
L 6= f0g x
0
2 L; Px
0
= x
0
; kPk >
kPx
0
k
kx
0
k
= 1: kPk = 1:­
P
2
= P:
x 2 H; Px 2 L; P(Px) = P
2
x =
= Px: P = P
2
:­
P = P
¤
:
x
1
;x
2
2 H x
1
= y
1
+z
1
;x
2
= y
2
+z
2
;
y
1
;y
2
2 L;z
1
;z
2
?L:
(Px
1
;x
2
) = (y
1
;y
2
+z
2
) = (y
1
;y
2
) = (y
1
+z
1
;y
2
) = (x
1
;Px
2
):
(z
1
;y
2
) = 0 (y
1
;z
2
) = 0:­
(Px;x) > 0 x 2 H:
x 2 H; (Px;x) = (P
2
x;x) = (Px;Px) = kPxk
2
: (Px;x) > 0:­
H x 2 L kPxk = kxk:
(Px;x) 6 kxk
2
x 2 H;(Px;x) =
= kx
2
k x 2 L:
(Px;x) 6 j(Px;x)j 6 kPxkkxk 6
6 kPk ¢ kxk
2
= kxk
2
; kPk = 1: (Px;x) = (x;x);
kPxk
2
= kxk
2
; x 2 L:­
H A 2 B(H) A = A
¤
A
2
= A: A L ½ H:
L = fx 2 H:Ax = xg:
L H: x;y 2 L ®;¯ 2 K A(®x+¯y) = ®x+¯y; Ax = x;Ay = y: L A:
A x 2 H x = Ax+
+(x¡Ax): Ax 2 L; x¡Ax?L; Ax x L: Ax 2 L: A(Ax) = A
2
x = Ax:
y 2 L (x ¡Ax;y) (x ¡Ax;y) = (x;y) ¡(Ax;y) = (x;y) ¡(x;Ay) = (x;y) ¡(x;y) = 0;
Ay = y: x ¡Ax?L:­
X A 2 B(X) A
2
= A:
X Y A:X 2 Y X Y:
X Y K (X;Y ): K (X;Y ) ½ B(X;Y ): A:X 2 Y (x
n
)
1
n=1
½
B[0;r] ½ X (Ax
n
)
1
n=1
A:X 2 Y A(B) B[0;r] ½ X Y Y A:X!Y;A 2 B(X;Y ): A(B) B[0;r] X Y A 2 B(X;Y ) R(A) < 1; R(A) Y: A(B) A 2 K (X;Y ): C[a;b] L
p
[a;b];p > 1: K(t;s) A K(t;s) =
n
X
i=1
a
i
(t)b
i
(s);
a
i
(t);b
i
(s) (i =
1;n) A
Ax(t) =
b
Z
a
K(t;s)x(s) ds a
i
(t);i = 1;2;:::;n:
C[a;b] C[a;b]; K(t;s) A(B)
C[a;b]: y(t) = Ax(t) ½ A(B):
kyk
C
= max
a6t6b
jAx(t)j = max
a6t6b
j
b
Z
a
K(t;s)x(s) dsj 6
6 max
a6t6b
b
Z
a
jK(t;s)x(s)j ds ¢ kxk 6 M(b ¡a); M = max
a6t;s6b
jK(t;s)j:
jy(t
1
) ¡y(t
2
)j 6
b
Z
a
jK(t
1
;s) ¡K(t
2
;s)j ds ¢ kxk 6"(b ¡a);
K(t;s) [a;b] £[a;b] "> 0 ±(") > 0 t
1
;t
2
2 [a;b]:jt
1
¡t
2
j < ± jK(t
1
;s) ¡K(t
2
;s)j <":
C[a;b] L
2
[a;b] K(t;s) A(B) C[a;b]: (y
n
)
1
n=1
½ A(B) (y
nk
) C[a;b]; max
a6t6b
jy
nk
(t) ¡y
nm
(t)j ¡¡¡¡!
k;m!1
0:
y(t) 2 C[a;b] kyk
L
2
[a;b]
=
¡
b
Z
a
jy(t)j
2
dt
¢
6 max
a6t6b
jy(t)j ¢
p
b ¡a =
p
b ¡a ¢ kxk
C[a;b]
:
(y
n
)
1
n=1
A(B) ½ L
2
[a;b] (y
nk
) A(B) L
2
[a;b]: I:X 2 X X < 1: A:X!Y x 2 B[0;n] ½ X; kxk 6 n:
K
n
B[0;n];K
n
= A(B) ½ Y: K
n
Y T
n
K
n
; T
n
= K
n
: R(A) A K =
1
T
n=1
K
n
; T =
1
T
n=1
T
n
; K; T = K:­
A
1
;A
2
:X!Y;A
1
;A
2
2 K (X;Y ):
A
1
+ +A
2
;®A
1
X B[0;r] = fx 2 X:kxk 6 1g A = A
1
+ A
2
: (y
n
) ½ A(B); y
n
= A
1
x
n
+ A
2
x
n
;
kx
n
k = 1: A
1
A
1
(B) (A
1
x
n
) (A
1
x
nk
);
n
k
N
0
½ N: A
2
(A
2
x
nk
) (A
2
x
nm
); n
m
2 N
00
½ N
0
½ N: (Ax
nm
) = (A
1
x
nm
) +(A
2
x
nm
) A(B) Y:­
(A
n
)
1
n=1
X Y; A: A 2 K (X;Y ):
x 2 B[0;n] ½ X A(B) ½ Y
A = lim
n!1
A
n
: n 2 N
A
n
(B) "
n
A
n
¶A n
0
n > n
0
kA
n
¡ Ak <":
n
0
" A
n0
(B):S
"
= fs
1
;:::s
k
g: S
"
A(B): y 2 A(B); x 2 B[0;1]; y = A
n0
x:
s
i
2 S
"
ks
i
¡A
n0
xk <":
ks
i
¡yk 6 ks
i
¡A
n0
xk+kA
n0
x¡yk 6 ks
i
¡A
n0
xk+kA
n0
¡Ak¢ kxk 6 2":
A:­
C[0;1] Ax(t) =
1
Z
0
K
0
(t;s)
jt ¡sj
°
;< 0° < 1;
L
2
[a;b] b
Z
a
b
Z
a
jK(t;s)j
2
ds dt < 1:
A ¡
K
n
(t;s)
¢
1
n=1
b
Z
a
b
Z
a
jK
n
(t;s) ¡K(t;s)j
2
ds dt ¡¡¡!
n!1
0:
K(t;s) 2 L
2
¡
[a;b] £ [a;b]
¢
'
ij
= a
ij
cos
sin
o
2¼i(t ¡a)
b ¡a
¢
cos
sin
o
2¼j(s ¡a)
b ¡a
;
'
0j
= a
0j
cos
sin
o
2¼j(s ¡a)
b ¡a
;
'
i0
= a
i0
cos
sin
o
2¼i(t ¡a)
b ¡a
;'
00
= a
00
;
a
2
ij
=
³
b
Z
a
b
Z
a
j'
ij
(t;s)j
2
ds dt
´
¡1
;i;j = 1;2;::::
K
n
(t;s) =
n
X
i;j=1
c
ij
'
ij
(t;s);
c
ij
=
³
K(t;s);'
ij
(t;s)
´
L
2
³
[a;b]£[a;b]
´
;
K
n
(A
n
):
A
n
x(t) =
b
Z
a
K
n
(t;s)x(s) ds;
kA
n
¡Ak
2
6
b
Z
a
b
Z
a
jK
n
(t;s) ¡K(t;s)j
2
ds dt ¡¡¡!
n!1
0:
A (A
n
) ½ K(X;Y ) x 2 X; A fe
n
g
1
n=1
e
1
;:::e
n
:
P
n
x =
n
X
i=1
(x;e
i
)e
i
P
n
n!1P
n
x!x; P
n
¡¡¡!
n!1
I X = Y: K (X) B(X) A;B 2 B(X): AB:
B[0;1] ½ X B B[0;1] A A¢B B A ­
X A:X!X I = AA
¡1
X; X;Y A 2 K (X;Y ): A
¤
2 K (X
¤
;Y
¤
):
Y
¤
B
¤
[0;
r] =
= ff 2 Y
¤
:kyk 6
r: (f
n
) ½ B
¤
[0;
r]:
(A
¤
f
n
) ½ A
¤
(B
¤
) ¡
f
n
(y)
¢
A(B); B r X: jf
n
(y)j 6 kf
n
k ¢ kyk 6 rkyk;
jf
n
(y
1
) ¡f
n
(y
2
)j = jf
n
(y
1
¡y
2
)j 6 kf
n
k ¢ ky
1
¡y
2
k 6 ky
1
¡y
2
k
A(B) ½ Y; f
n
(Ax) f
nk
(Ax);x 2 B[0;
r] ½ X:
f
nk
(Ax) = A
¤
f
nk
(x) (A
¤
f
nk
) ½ (A
¤
f
n
): A
¤
­
X = Y = H; H e
1
;e
2
;:::e
n
::: P
n
n e
1
:::e
n
: I ¡P
n
x 2 H x = P
n
x +(I ¡P
n
)x;
P
n
x =
n
X
i=1
(x;e
i
)e
i
;(I ¡P
n
)x =
1
X
i=n+1
(x;e
i
)e
i
:
kP
n
xk
2
=
n
X
i=1
jc
i
j
2
;k(I ¡P
n
)xk
2
=
X
i=n+1
jc
i
j
2
;
c
i
= (x;e
i
) kxk2 = kP
n
xk
2
+k(I ¡P
n
)xk
2
:
A:H!H: H A 2 B(H): A 2 K(H) "> 0 n = n(")
A
1
A
2
A
1
n kA
2
k <";
A = A
1
+A
2
Ax
Ax = P
n
Ax +(I ¡P
n
)Ax; A = P
n
+(I ¡P
n
)A:
A
1
= P
n
A;A
2
= (I ¡ P
n
)A: P
n
A P
n
Ax =
n
X
i=1
(Ax;e
i
)e
i
=
n
X
i=1
(x;A
¤
e
i
)e
i
:
(I ¡P
n
)A k(I ¡P
n
)Ak <":
P
?
n
= I ¡ P
n
:
B[0;r] H; A(B) A H A(B) H "> 0
" S
"
= fs
1
;:::s
n
(")g; kAx¡s
i
k <"
i = 1;2:::;n("): S
"
e
1
;
e
2
;:::;
e
n(")
n(") < n("): Ax 2 A(B);x 2 B; Ax =
n
X
i=1
c
i
e
i
+n;k´k <";
j
c
i
j = j(Ax;
e
i
)j = j(x;A
¤
e
i
)j 6 M; M P
?
n
Ax =
n
X
i=1
c
i
P
?
n
(
e
i
) +P
?
n
(´):
e
i
n
0
;
n > n
0
max
i
kP
?
n
e
i
k <
"
M
n
:
kP
?
n
Axk 6 M
n ¢ max
i
kP
?
n
e
i
k + kP
?
n
´k 6 M
n ¢
"
M
n
+"< 2":
A = A
1
+ A
2
; A
1
n kA
2
k <":
A 2 K (H): H B[0;r]: A(B) x 2 B[0;r]; fA
1
xg A
1
A
1
x:x 2 B " S
"
: kA
2
k 6";S
"
fAx:x 2 Bg:­
A 2 B(H) A
¤
2 B(H) A
¤
= A
¤
1
+A
¤
2
;
kA
¤
2
k 6";A
¤
1
­
C[a;b] H A 2 B(H): AA
¤
;A
¤
A l
2
x(x
1
;:::;x
k
;:::) 2 l
2
A; Ax
k
= y
k
= 0; k y
k
= x
k¡1
; k A A
2
l
2
:
X A 2 B(X) 9C > 0;
x 2 X kAxk > Ckxk: A A X; A 2 K (X): X x ¡Ax = y z ¡Az = 0;
f ¡A
¤
f = g h ¡A
¤
h = 0:
A
¤
2 K (X
¤
):
I ¡A:
X A R(I ¡A) I ¡A X R(I ¡A
¤
) X
¤
:
R(I ¡A) X: R(I ¡A
¤
)
X
¤
R(I ¡ A) (y
n
)
1
n=1
½ R(I ¡ A) y
0
n!1: y
0
2 R(I ¡ A): y
n
2 R(I ¡ A);
x
n
2 X x
n
¡Ax = y
n
:
(x
n
) (Ax
n
) A (Ax
n
k
):
x
n
k
= Ax
n
k
+y
n
k
:
n!1 x
0
= Ax
0
+y
0
;
x
0
¡Ax
0
= y
0
:
y
0
2 R(I ¡A):
(x
n
) L = Ker(I ¡A) = fz 2 X:Az ¡z = 0g:
d
n
= ½(x
n
;L) = inf
z2L
kx
n
¡zk:
L z
n
d
n
6 kx
n
¡z
n
k <
¡
1 +
1
n
¢
d
n
:
(I ¡ A)(x
n
¡ z
n
) = y
n
: (d
n
):
(d
n
) (x
n
¡ z
n
)
x
n
x
n
¡ z
n
y
0
2 R(I ¡A):
(d
n
) d
n
!1 n!1: u
n
=
x
n
¡z
n
kx
n
¡z
n
k
;ku
n
k = 1:
(I ¡A)u
n
=
y
n
kx
n
¡z
n
k
!0
n!1; (y
n
) kx
n
¡ z
n
k!1 n!1: (Au
n
) (Au
n
k
); A 2 K (X): (x
n
k
) ½ (x
n
) x
0
2 L:
ku
n
k
¡u
0
k:
ku
n
k
¡u
0
k = k
kx
n
k
¡z
n
k
+u
0
kx
n
k
¡z
n
k
kk
kx
n
k
¡z
n
k
k
k >
>
d
n
k
d
n
k
(1 +
1
n
k
)
=
n
k
n
k
+1
!1
n
k
!1:
(u
n
k
): (d
n
)
R(I ¡A) X ­
x A 2 K (X): m > 0;
A; kx ¡Axk = kyk > mkxk:
x 2 X x = (I ¡A)
¡1
y: m n 2 N x
n
kx
n
k = 1;
kx ¡Axk = kyk <
1
n
kxk:
kx
n
k 6= 1; x
n
=
x
n
kx
n
k
x
n
¡Ax
n
¡¡¡!
n!1
0:
A 2 K (X); (Ax
n
) (Ax
n
k
): (x
n
k
)
x
n
k
!x
0
;Ax
n
k
!Ax
0
x
0
¡Ax
0
= 0;
x
0
2 Ker(I ¡A): y
0
= 0 x
0
= (I ¡A)
¡1
y
0
= 0:
kx
n
k = 1 lim
n!1
kx
n
k = kx
0
k; kx
0
k = 1:
x
0
= 0:
­
X A 2 K (X) y 2 X;
g 2 X
¤
;
I¡A
I ¡A
¤
1) )2): y 2 X: R(I ¡A) = X: I ¡A N
1
N
1
= fx 2 X:(I ¡A)x = 0g
x
1
2 N
1
; x
1
¡Ax
1
= 0 x
1
6= 0: x ¡Ax = x
1
; x
2
x
2
¡Ax
2
= x
1
: I ¡A (I ¡A)
2
x
2
= (I ¡A)x
1
= 0:
N
2
= fx 2 X:(I ¡A)
2
x = 0g:
N
1
½ N
2
; x
2
2 N
2
; x
2
=2 N
1
;
x
1
= 0:
N
1
½
N
2
½:::½ N
n
½:::; N
n
z
n
kz
n
k = 1 kx ¡ z
n
k >
1
2
x 2 N
n¡1
:
(Az
n
); A 2 K (X): (Az
n
) n > m kAz
n
¡Az
m
k = kz
n
¡[(I¡a)x
n
¡(I¡A)x
m
+z
m
]k = kx
n
¡wk >
1
2
;
w = (I ¡A)x
n
¡(I ¡A)x
m
+z
n
w 2 N
n¡1
:
N
n¡1
= fw 2 X:(I ¡A)
n¡1
w = 0g:
(I¡A)
n
x
n
= 0;(I¡A)
n
x
m
= 0;(n > m);(I¡A)
n¡1
z
m
= 0; n¡1 > m:
(Az
n
) A:
2) ) 3): Ker(I ¡A) = f0g: R(I ¡A
¤
) = X
¤
: R(I ¡A
¤
) ½ X
¤
: g 2 X
¤
x y 2 R(I ¡A); x ¡Ax = y: R(I ¡A) f
0
(y) = g(x):
x
0
y: x ¡Ax = x
0
¡Ax
0
(x ¡x
0
) ¡A(x ¡x
0
) = 0:
x ¡x
0
2 Ker(I ¡A) = f0g: g(x ¡x
0
) = 0
g(x) = g(x
0
): f
0
:
f
0
: y
1
;y
2
2 R(I ¡A);®
1
;®
2
2 R:
®
1
y
1
+®
2
y
2
2 R(I¡A:) x
1
;x
2
y
1
y
2
®
1
x
1
+®
2
x
2
= (I ¡A)
¡1
(®
1
y
1
+®
2
y
2
)
f
0
(®
1
y
1
+®
2
y
2
) = g(®
1
x
1
+®
2
x
2
) = ®
1
g(x
1
) +®
2
g(x
2
) =
= ®
1
f
0
(y
1
)®
2
f
0
(y
2
):
f
0
kyk > mkxk
x kf
0
(y)k = kg(x)k 6 kgkkxk 6 kgkm
¡1
kyk:
kf
0
k 6 kgkm
¡1
;
f
0
2 R(I ¡A
¤
):
3) ) 4): 1) )2):
4) )1): Ker(I ¡A
¤
) = f0g: y
0
; y 62 R(I ¡ A): R(I ¡ A) y
0
R(I ¡A): f
0
2 X
¤
f
0
(y
0
) = 1; f
0
(y) = 0 y 2 R(I ¡ A):
f
0
(y) = f
0
(x ¡Ax) = f
0
(I ¡A)(x) = (I ¡A
¤
)f
0
(x) = 0
x 2 X: (I ¡A
¤
)f
0
= 0 f
0
2 Ker(I ¡A
¤
) = f0g:
f
0
= 0; f
0
(y
0
) = 0: I¡A I¡A
¤
­
X A 2 K (X): Ker(I ¡A) = f0g; Ker(I ¡A
¤
) = f0g: B[0;1] Ker(I ¡ A): A(B) B: B[0;1] X: Ker(I ¡ A): Ker(I ¡A
¤
):
n = Ker(I ¡ A);m = Ker(I ¡ A
¤
):
n = m: n < m:
fv
i
g
n
i=1
Ker(I ¡ A): f°
j
g
n
j=1
½ X
¤
; fv
i
g; °
j
(v
i
) = ±
ji
;(i;j = 1;2;:::;n): fÃ
i
g
m
i=1
Ker(I ¡ A
¤
); fz
j
g
m
j=1
; fÃ
i
g:
A ~
A;
~
Ax = Ax +
n
X
i=1
°
i
(x)z
i
:
~
A Ker(I ¡
~
A) = f0g: x 2 Ker(I ¡
~
A);
(I ¡
~
A)x = 0 x ¡Ax =
n
X
i=1
°
i
(x)z
i
:
Ã
k
;= 1;2;:::;m:
Ã
k
(x ¡Ax) = Ã
k
¡
(I ¡A)x
¢
=
¡
I ¡A
¤
¢
Ã
k
(x) = 0(x) = 0;
Ã
k
2 Ker(I ¡A
¤
):
Ã
k
³
n
X
i=1
°
i
(x)z
i
´
=
n
X
i=1
°
i
(x)Ã
k
(z
i
) =
n
X
i=1
°
i
(x)±
ki
= °
k
(x) = 0:
°
k
(x) = 0;k = 1;2;:::;m: x ¡ Ax = 0;
x 2 Ker(I ¡A):
x x =
n
P
i=1
x
i
v
i
°
k
(x);k = 1;2;:::;m:
°
k
(
n
X
i=1
x
i
v
i
) =
n
X
i=1
x
i
°
k
(v
i
) = x
k
= 0:
x = 0: Ker(I ¡
~
A) = f0g:
Ker(I ¡
~
A
¤
) 6= f0g: Ã
n+1
2 Ker(I ¡
~
A
¤
):
(I ¡
~
A)
¤
Ã
n+1
(x) = Ã
n+1
(x) ¡AÃ
n+1
¡
n
X
i=1
Ã
n+1
(z
i
)°
i
(x) = 0
(I ¡
~
A)
¤
Ã
n+1
(x) = (I ¡A
¤
)Ã
n+1
(x) ¡
n
X
i=1
Ã
n+1
(z
i
)°
i
(x) = 0:
(I ¡
~
A
¤
)Ã
n+1
(x) = 0 Ker(I ¡
~
A
¤
);
Ã
n+1
(z
i
) = 0;i = 1;2;:::;n; Ã
n+1
2 Ker(I ¡
~
A
¤
): n < m A A
¤
n > m n = m:­
X A 2 K (X): y 2 X; h h(y) = 0:
Ker(I ¡A) = f0g; Ker(I ¡A
¤
) = 0: 0(y) = 0: Ker(I ¡A) 6= f0g x
0
:x
0
¡Ax
0
= y (I ¡A)x
0
= y:
h 2 Ker(I ¡A
¤
):
h(y) = h
¡
(I ¡A)x
0
¢
= (I ¡A
¤
)h(x
0
) = 0(x
0
) = 0:
h(y) = 0; h:(I ¡ A
¤
)h = 0:
y y =2 R(I ¡ A): R(I ¡ A)
f 2 X
¤
f(y) = 1;f(x ¡Ax) = (I ¡A
¤
)f(x) = 0:
(I ¡A
¤
)f = 0 f 2 Ker(I ¡A
¤
): f y ­
X;Y A 2 B(X;Y ) )
Ker(A) < 1
)
Ker(A
¤
) < 1
)
R(A) Y I ¡A; A 2 K (X); n = KerA A;
m = KerA
¤
A; (A) = n ¡ m A:
Ax = y; A X;Y A 2 B(X;Y ): A )
A = B+P; B 2 B(X;Y ) P 2 B(X;Y )
)
A = C + T; C 2 B(X;Y ) T 2
K (X;Y ) X A 2
B(X) x ¡ Ax = 0 X A 2 B(X) x ¡
Ax = 0 x ¡Ax = y A:X!Y m > 0; x 2 D(A) kAxk > mkxk:
A Ax = y f(y) = 0
f; A
¤
f = 0:
L
2
[a;b] x(t) ¡
b
Z
a
K(t;s)x(s) ds = y(t):
b
Z
a
b
Z
a
jK(t;s)j
2
ds dt < 1:
x ¡ Ax = y; A x(t) ¡
b
Z
a
K(t;s)x(s) ds = 0:
L
2
[a;b] (L
2
[a;b])
¤
L
2
[a;b] L
2
[0;1]:
u(t) ¡
b
Z
a
K(s;t)u(s) ds = g(t):
u(t) ¡
b
Z
a
K(s;t)u(s) ds = 0:
K(t;s) L
2
[a;b]: )
)
x
1
;x
2
;:::;x
n
: u
1
;u
2
;:::;u
n
:
b
Z
a
u
i
(t)y(t) dt = 0;i = 1;2;:::;n:
x(t) =
n
X
k=1
c
k
x
k
+x
0
(t);
c
1
;c
2
;:::;c
n
x
0
C[a;b]: C[a;b]
V[a;b] L[a;b]; K(t;s) u(t) ¡
b
Z
a
K(s;t)u(s) ds = 0 C[a;b]:
K(t;s) 2 C([a;b] £[a;b]); L[a;b]: u
i
(t) y(t) 2 C[a;b] K(t;s) 2 C([a;b] £ [a;b]):
x(t) x(t) = y(t) +z(t):
z(t) =
b
Z
a
K(t;s)x(s) ds:
x(t) 2 L
2
[a;b]; z(t) 2 C[a;b]: x
1
(t);:::;x
n
(t) 2 C[a;b];u
1
(t);:::;u
n
(t) 2 C[a;b]:
L
2
[a;b] y(t) 2
C[a;b]; L
2
[a;b]; C[a;b]:
­
¸;a;b 2 R x(t) ¡¸
1
Z
¡1
1 +ts
1 +s
2
x(s) ds:
x(t) ¡¸
1
Z
¡1
x(s)
1 +s
2
x(s) ds ¡¸t
1
Z
¡1
sx(s)
1 +s
2
x(s) ds = 0:
x(t) = ¸c
1
+¸tc
2
;
c
1
=
1
Z
¡1
¸c
1
+¸sc
2
1 +s
2
x(s) ds;
c
2
=
1
Z
¡1
s(¸c
1
+¸sc
2
)
1 +s
2
x(s) ds:
c
1
c
2
½
c
1
(1 ¡¸
¼
2
) +c
2
¢ 0 = 0;
c
1
¢ 0 +(¸(2 ¡
¼
2
) ¡1)c
2
= 0:
¯
¯
¯
¯
1 ¡¸
¼
2
0
0 ¸(2 ¡
¼
2
) ¡1
¯
¯
¯
¯
= 0;¸
1
=
2
¼
;¸
2
=
2
4 ¡¼
:
¸ 6=
2
¼
¸ 6=
2
4¡¼
; c
1
= c
2
= 0: a b; x(t) = ¸c
1
+¸tc
2
+a +t +bt
2
;
c
1
=
1
Z
¡1
x(s)
1 +s
2
ds =
1
Z
¡1
¸c
1
+¸sc
2
+a +s +bs
2
1 +s
2
x(s) ds =
=
¼
2
¸c
1
+
¼
2
a +b(2 ¡
¼
2
);
c
2
=
1
Z
¡1
sx(s)
1 +s
2
ds =
1
Z
¡1
s(¸c
1
+¸sc
2
+a +s +bs
2
)
1 +s
2
ds =
= ¸c
2
(2 ¡
¼
2
) +(2 ¡
¼
2
) +b:
c
1
=
¼a +b(4 ¡¼)
2 ¡¼¸
;c
2
=
4 ¡¼
2 ¡¸(4 ¡¼)
:
x(t) =
2a +¸b(4 ¡¼)
2 ¡¸¼
+
2
2 ¡¸(4 ¡¼)
+bt
2
:
¸ =
2
¼
; x(t) = c: u(t) ¡
2
¼
1
Z
¡1
1 +st
1 +t
2
u(s) ds:
u
1
(t) =
1
1 +t
2
:
1
Z
¡1
a +t +bt
2
1 +t
2
dt = 0
a¼+b(4¡¼) = 0: y(t) = a +t +bt
2
+c x(t) =
¼
2(¼ ¡2)
t +bt
2
+c;
c ¸ =
2
4¡¼
; u
2
(t) =
=
t
1+t
2
1
Z
¡1
(a +t +bt
2
) ¢
t
1 +t
2
dt = 0
a¢0+(2¡
¼
2
)+b¢0 = 0: a b ¸ =
2
4¡¼
x(t) ¡¸
t
Z
0
x(s) ds = y(t) y(t) 2 C[0;1] x(t) ¡¸
t
Z
0
x(s) ds = 0
x(t) = ¸
t
Z
0
x(s) ds:
x(t) = ¸c(t); c(t) =
t
R
0
x(s) ds: 0 t:
t
Z
0
x(¿) d¿ = ¸
t
Z
0
c(¿) d¿:
c(t) = ¸
t
Z
0
c(¿) d¿:
c(t) c
0
(t) = ¸c(t);
c(0) = 0: c(t): 8¸ 2 R 8y 2 C[0;1]: x(t) = ¸c(t) +y(t);
t
Z
0
x(¿) d¿ = ¸
t
Z
0
c(¿) d¿ +
t
Z
0
y(¿) d¿:
c(t) = ¸
t
Z
0
c(¿) d¿ +
t
Z
0
y(¿) d¿:
(
dc
dt
¡¸c(t) = y(t);
c(0) = 0:
c(t) =
t
Z
0
e
¡¸(t¡¿)
y(¿) d¿:
c(t) =
t
Z
0
e
¡¸(t¡¿)
y(¿) d¿ +y(t):
x(t) = ¡¸
1
Z
0
K(t;s)x(s) ds = y(t);
y(t) = t;
K(t;s) =
½
t(s ¡1);0 6 t 6 s 6 1
s(t ¡1);0 6 s 6 t 6 1
x(t) ¡¸
2¼
Z
0
sin(t ¡2s)x(s) ds = y(t)
¸ 2 C y(t) 2 L
2
[0;2¼]:
X;Y Ax = y;
A 2 K (X;Y ): D(A) = X: I ¡A: R(A) Y:
X;Y A 2 K (X;Y ) R(A) A Y:
R(A) =
=
R(A) ½ Y: Y R(A) Y; R(A) B[0;n] = fx 2 X:kxk 6 ng X n X: X =
1
S
n=1
B[0;n] R(A) = A(X) =
1
S
n=1
A(B):
B X;A 2 K (X;Y );
A(B) A(B) R(A); R(A) R(A)
R(A) ­
X;Y A 2 K (X;Y ) R(A) R(A) Y: Y R(A)
Y:­
X;Y A 2 K (X;Y ) R(A) A
¡1
: A
¡1
R(A):
A
¡1
I =
= AA
¡1
:X!X A
¡1
Y
­
b
Z
a
K(t;s)x(s) ds = y(t);
b
Z
a
K(t;s)x(s) ds = y(t):
y(t) 2
L
2
[a;b] A
¡1
R(A) y 2 R(A) H A 2 K (): y 2 H ® > 0 x
®
2 H;
inf
x2H
kAx ¡yk
2
+®kxk
2
ª
:
x
®
®x +A
?
Ax = A
?
y:
x
®
y 2 R(A): ®!0 kAx
®
¡ yk
2
K(t;s);y(t) K(t;s) =
n
P
i=0
a
i
(s)t
i
; a
i
(s) s: x(t) 2 C[a;b] n
P
i=1
b
i
(s)t
i
: K(t;s);y(t) 2 C[a;b]; K(t;s) y(a) = 0: y(t) 2 C
1
[a;b]:
t K(t;t)x(t) +
t
Z
a
@K(t;s)
@t
x(s) ds = f
0
(t):
K(t;t) 6= 0; K(t;t);
x(t) +
t
Z
a
K
0
t
(t;s)
K(t;t)
x(s) ds =
f
0
(t)
K(t;t)
:
f(t);K(t;s) t;y(a) = 0 K(t;t) 6= 0 t 2 [a;b]; K(t;t) 6= 0 F(t) =
t
R
0
x(s) ds;F(0) = 0:
t
Z
a
x(s)ds = ¡
t
Z
a
@K(t;s)
@s
F(s) ds +K(t;s)F(s)
¯
¯
¯
s=t
s=a
K(t;t)F(t) ¡
t
Z
a
@K(t;s)
@s
F(s) ds = f(t)
F(t) ¡
t
Z
a
@K
0
s
(t;s)
K(t;t)
F(s) ds =
f(t)
K(t;t)
):
t
Z
0
K(t ¡¿)x(¿) d¿ = f(t);
x(¿) f(t) K(t ¡¿) x(t) x(t) f(t) K(t ¡¿): t
Z
0
x(s)
p
t ¡s
ds = y(t)
y(t) t
Z
0
(s ¡t)x(s) ds = sin
2
t:
X A:X!X ¸ A; x 2 X Ax = ¸x:
x 6= 0 ¸ A:
x cx (c ;c 6= 0) kxk = 1:
n = 1 x
1
; ¸
1
;
n = k; k x
1
;:::;x
k
; ¸
1
;:::;¸
k
; n = k +1: x
1
;:::;x
k
;x
k+1
;
¸
1
;:::;¸
k
;¸
k+1
;¸
i
6= ¸
j
;i 6= j;i =
1;k +1 ¸
1
;:::;¸
k
;¸
k+1
; ¸
1
x
1
+:::+¸
k
x
k
+¸
k+1
x
k+1
= 0:
A¡¸
k+1
I;
(A¡¸
k+1
I)
k+1
X
i=1
®
i
x
i
=
k+1
X
i=1
®
i
¸
i
x
i
¡
k+1
X
i=1
®
i
¸
k+1
x
i
=
k+1
X
i=1
®
i
(¸
i
¡¸
k+1
)x
i
=
k+1
X
i=1
®
i
(¸
i
¡¸
k+1
)x
i
= 0:
x
1
;:::;x
k
®
i
(¸
i
¡¸
k+1
) = 0
i =
1;k: ¸
i
6= ¸
k+1
i =
1;k; ®
i
= 0;i =
1;k:
®
k+1
= 0: ®
i
= 0;i =
1;k +1; x
1
;:::;x
k
;x
k+1
: ­
A:R
n
!R
n
(a
ij
);i;j =
1;n: A (A ¡ ¸E)x = 0
det jA¡¸Ej = 0:
X A:X!X A 2 K (X):
¸ A X
¸
¸
X A:X!
X;A 2 K (X) X
¸
;
¸ 6= 0;
(x
n
) ½ X
¸
B
x
[0;1]: (Ax
n
) (Ax
n
k
): x
n
k
=
1
¸
Ax
n
k
B
1
(0) X
¸
X
¸
­
X
¸
X X A 2 K (x):
"> 0 j¸j 6" A:
"
0
> 0; j¸j 6"
0
(¸
n
) j¸
n
j >"
0
: K
n
;
x
1
;:::;x
n
; L
1
½ L
2
½:::½ L
n
½:::; L
n
6= L
n+1
n 2 N:
y
1
;:::;y
n
;:::
)
y
n
2 L
n
;
)
ky
n
k = 1;
)
½(y
n
;L
n¡1
) = inf
l2L
n¡1
ky
n
¡lk >
1
2
:
y
n
¸
n
j¸
n
j >"
0
A(
y
n
¸
n
); A; y
n
=
n
P
k=1
®
k
x
k
;
A
³
y
n
¸
n
´
= A
³
n
X
k=1
®
k
¸
n
x
k
´
=
n¡1
X
k=1
®
k
¸
k
¸
n
x
k
+®
n
x
n
=
=
n¡1
X
k=1
®
k
³
¸
k
¸
n
¡1
´
x
k
+
n
X
k=1
®
k
x
k
= z
n
+y
n
;
z
n
=
n¡1
X
k=1
®
k
(
¸
k
¸
n
¡1)x
k
2 L
n¡1
:
n > m
kA(
y
n
¸
n
)¡A(
y
m
¸
m
)k = k(z
n
+y
n
)¡(z
m
+y
m
)k = ky
n
¡(z
m
+y
m
¡z
n
)k >
1
2
;
z
m
+y
m
¡z
n
2 A
n¡1
: j¸j 6" A:­
j¸
1
j > j¸
2
j > ¸
n
!0 n!1:
Ax(t) =
b
Z
a
K(t;s)x(s) ds K(t;s): Ax(t) =
b
Z
a
K(t;s)x(s) ds = ¸x(t):
K(t;s) A )
x(t) = 0 ¸ 6= 0: )
)
¸
n
;
¸
n
!0 n!1:
L
2
[a;b] ¹:
x(t) ¡¹
b
Z
a
K(t;s)x(s) ds = y(t):
K(t;s) ¹ 2 C A; x 2 L
2
[a;b];
Ax(t) =
b
Z
a
K(t;s)x(s) ds y 2 L
2
[a;b] ¹ ¹ ¹
A
¤
y(t) A
¤
;
1
¹
: A; 1
¹
:
Ax(t) = x(¡t):
C[0;1] Ax(t) =
dx
dt
:
²
D(A) = fx(t) 2 C
1
[0;1]j x(0) = 0g;
²
D(A) = fx(t) 2 C
1
[0;1]g;
²
D(A) = fx(t) 2 C
1
[0;1]j x(0) = x(1)g:
H A:H!H A H
¸
1
H
¸
2
; ¸
1
¸
2
;
Ax = ¸x x 6= 0;
(Ax;x) = ¸(x;x) ¸ =
(Ax;x)
(x;x)
=
(x;Ax)
(x;x)
=
(x;¸x)
(x;x)
=
¸:
x 2 H
¸
1
;y 2 H
¸
2
;¸
1
6= ¸
2
; ¸
1
(x;y) = (Ax;y) =
(x;¸
2
y) = ¸
2
(x;y) (x;y) = 0; ¸
1
6= ¸
2
:­
A A = 0; A 6= 0: A
m= inf
kxk=1
(Ax;x);M = sup
kxk=1
(Ax;x):
kAk = sup
kxk=1
j(Ax;x)j:
kAk = max fjmj;Mg: ¸
1
=
(
m; kAk = jmj;
M; kAk = M:
kAk = M: M (x
n
);kx
n
k 6 1 (Ax
n
;x
n
)!M = ¸
1
:
(x
n
) A
(Ax
n
) (Ax
n
) Ax
n
!y
0
:
kAx
n
¡¸
1
x
n
k
2
= kAx
n
k
2
¡2¸
1
(Ax
n
;x
n
) +¸
2
1
6
6 kAk
2
+¸
2
1
¡2¸
1
(Ax
n
;x
n
) = 2¸
2
1
¡2¸
1
(Ax
n
;x
n
) 6
6 2¸
2
1
¡2¸
1
¢ ¸
1
= 0:
Ax
n
¡¸
1
x
n
!0 n!1; x
n
=
1
¸
1
¡
Ax
n
¡(Ax
n
¡¸
1
x
n
)
¢
x
n
!x
0
;x
0
=
1
¸
1
y
0
; Ax
n
!y
0
=
= Ax
0
: ¸
1
x
0
= Ax
0
:
kAk = m:­
H A = 0:
A ¸
1
= kAk ¸ x kxk = 1:
j¸j = j¸j(x;x) = j(Ax;x)j 6 kAk = ¸
1
:
A:H!H;H [m;M] m= inf
kxk=1
(Ax;x);M = sup
kxk=1
(Ax;x):
m M x m6 (Ax;x) 6 M:
¸ x kxk = 1; (Ax;x) = ¸(x;x) = ¸; m6 ¸ 6 M:
m;M; M 6= 0: MI ¡ A;
¡
(MI¡
¡A)x;x
¢
= M(x;x) ¡ (Ax;x) > 0 x 2 H: MI ¡A x
0
6= 0;
(Mx
0
¡ Ax
0
;x
0
) = 0: M A:
(Mx ¡ Ax;x) = 0;
x 2 H x = 0 x = x
0
H MI ¡ A x;y 2 H j(Mx ¡Ax;y)j 6 j(Mx ¡Ax;x)j ¢ j(My ¡Ay;y)j:
M (Ax;x) kxk = 1 (x
n
);kx
n
k = 1;n = 1;2;:::; (Ax
n
;x
n
) ¡¡¡!
n!1
M (Mx
n
¡Ax
n
;x
n
)!0 x = x
n
;y = Mx
n
¡Ax
n
;
kMx
n
¡Ax
n
k
4
6 j(Mx
n
¡Ax
n
;x
n
)j ¢ (jMj +kAk)
2
:
kMx
n
¡Ax
n
k ¡¡¡!
n!1
0:
n!1:
(x
n
) A (Ax
n
) (Ax
n
) x
n
=
1
m
¡
Ax
n
¡(Ax
n
¡Mx
n
)
¢
(Mx
0
¡Ax
0
;x
0
) = 0; kx
0
k = 1:
x
0
M
m ­
Ax(t) =
t
Z
0
x(s) ds:
A V S V y(t) = y(1 ¡t) Sx(t) =
1¡t
R
0
x(s) ds: V
V (V x;y) =
1
Z
0
Ax(t)y(t) dt =
1
Z
0
x(1 ¡t)y(t) dt =
= [1 ¡t = s] = ¡
0
Z
1
x(s)y(1 ¡s) ds =
1
Z
0
x(t)y(1 ¡t) dt = (x;V
¤
y);
V
¤
y(t) = y(1 ¡t):
S (Sx;y) =
1
Z
0
µ
1¡t
Z
0
x(s) ds
¶
y(t) dt =
1
Z
0
x(s)
1¡s
Z
0
y(t) dt = (x;S
¤
y);
S
¤
y(t) =
1¡t
R
0
y(s) ds
S kAk = kSk:
S S ¸ 2 R Sx = ¸x 1¡t
Z
0
x(s) ds = ¸x(t):
¸x
0
(t) +x(1 ¡t) = 0
x(1) = 0
¸
2
x
00
(t) +x(t) = 0;
x(1) = 0;x
0
(0) = 0:
¸
k
=
¡
¼
2
+ k¼
¢
¡1
;k = 1;2;:::¸ =
¼
2
kAk = kSk =
2
¼
H A
L ½ H A x 2 L Ax 2 L
H
n
H x 2 H n fx
i
g;i = 1;2::: A (x;x
i
) = 0;i = 1;2;:::;n x 2 H
n
Ax 2 H
n
; (Ax;x
i
) = (x;Ax
i
) = ¸
i
(x;x
i
) = 0
A A:
H
n
!H
n
j¸
n+1
j = sup
kxk=1
x2H
n
j(Ax;x)j
H A:
H!H A ¸ = 0 A
¸ A ¸ = 0;¸ = 1 A A H H; x H: Ax 2 H f'
k
g
1
k=1
A:
¸
1
j¸
1
j = jAk;'
1
H
1
= fx 2 H:(x;'
1
) = 0g;
A A H
1
:
H
1
L
1
; '
1
:
L
1
ft'
1
g; t L
1
A; x 2 L
1
;x = t'
1
;
Ax = A(t'
1
) = tA
1
= t¸
1
'
1
2 L
1
:
H = H
1
1
:
H
1
A:H
1
!H
1
H
1
¸
2
6= 0;
A '
2
; j¸
2
j 6 j¸
1
j;
A'
2
= ¸
2
'
2
: L
2
;
'
1
'
2
; H
2
=
x 2 H
1
j (x;'
2
) = 0
ª
:
n L
n
; '
1
;:::;'
n
H
n
=
x 2 H
n¡1
j (x;'
n
) = 0
ª
;H = H
n
n
:
inf
x2H
n
¡
Ax;x
¢
= sup
x2H
n
¡
Ax;x
¢
= 0:
¡
Ax;x
¢
= 0 H
n
: Ax = 0 H
n
:
'
1
;:::;'
n
¸
1
;:::;¸
n
A H = L
n
L
n
'
1
;:::;'
n
;KerA A; ¸ = 0
x 2 H x =
n
X
i=1
(x;'
i
)'
i
+x
0
;x
0
2 KerA
Ax =
n
X
i=1
(x;'
i
)¸
i
'
i
:
A H °
°
°
A
³
x ¡
n
X
k=1
(x;'
k
)'
k
´
°
°
°
2
6 kAk
2
H
n
¢ kx ¡
n
X
i=1
(x;'
i
)'
i
k
2
6
6 ¸
2
n+1
¢ (kxk
2
¡
n
X
i=1
j(x;'
i
)j
2
)
2
6 ¸
2
n+1
¢ kxk
2
:
¸
n
!0 n!1; A(x ¡
n
P
i=1
(x;'
i
)'
i
) ¡¡¡!
n!1
0 Ax = lim
n!1
A
³
n
X
i=1
(x;'
i
)'
i
´
=
1
X
i=1
(x;'
i
)¸
i
'
i
­
H H:
= 0:
A
¡1
A
³
x ¡
1
X
i=1
(x;'
i
)'
i
´
= 0
x =
1
X
i=1
(x;'
i
)'
i
:
x 2 H f'
i
g
1
i=1
H:­
A:H!H; H H A:
x 2 H x
0
2 H;
Ax
0
= 0;
x = x
0
+
1
X
i=1
(x;'
i
)'
i
:
y 2 H; Ay = 0;
KerA: KerA ½ H H '
0
1
;'
0
2
;:::; x 2 H x =
1
X
i=1
(x;'
i
)'
i
+
1
X
k=1
(x;'
0
i
)'
0
i
;
­
A H;A
?
AA
?
'
n
(n 2 N) H ¸
n
2 R;¸
n
¡¡¡!
n!1
0 A:H!H x 2 H Ax =
1
X
i=1
(x;'
i
)¸
i
'
i
:
A L
2
[a;b] x(t) ¡¸
b
Z
a
K(t;s)x(s) ds = y(t) K(t;s) b
Z
a
b
Z
a
jK(t;s)j
2
ds dt < 1:
)
Ax(t) =
b
Z
a
K(t;s)x(s) ds )
)
¸
1
;¸
2
;:::;
¸
n
;::: '
1
;'
2
;:::;'
n
;:::: ¸ Ax(t) =
1
X
i=1
(x;'
i
)
¸
i
'
i
(t):
x(t) ¡¸
1
X
i=1
(x;'
i
)
¸
i
'
i
(t) = y(t):
'
m
(t);m = 1;2;:::;n;:::;
(x;'
m
) ¡¸
n
X
i=1
(x;'
i
)
¸
i
('
n
;'
i
) = ('
m
;y);m = 1;2;::::
¸ c
m
= (x;'
m
);m = 1;2;:::; c
m
=
¸
m
(y;'
m
)
¸
m
¡¸
=
¸
m
y
m
¸
m
¡¸
:
y
m
y(t) '
1
;:::;'
n
;:::: x(t) = ¸
n
X
i=1
y
i
¸
i
¡¸
'
i
(t) +y(t):
¸ K(t;s) L
2
[a;b] y(t) 2 L
2
[a;b]
¸ q ¸ = ¸
p
= ¸
p+1
=:::= ¸
p+q+1
;q > p: c
m
m6= p;p +1;:::;p +q ¡1 c
m
=
¸
m
y
m
¸
m
¡¸
; m6= p;p +1;:::;p +q ¡1:
m p 6 n 6 p + q + 1 c
m
(1 ¡
¸
¸
m
) = (y;'
m
); 1 ¡
¸
¸
m
= 0:
(y;'
m
) = 0;m = p;p +1;p +q ¡1:
y(t) '
m
(t)
¸
m
x(t) = y(t) +
1
X
i=1
k6=p;:::;p+q¡1
y
i
¸
i
¡¸
'
i
(t) +
p+q
X
i=p
c
i
'
i
(t):
y(t) ¸ = ¸
p
=:::= ¸
p+q¡1
L
2
[0;¼=2] x(t) ¡¸
¼=2
Z
0
K(t;s)x(s) ds = 1;
K(t;s) =
(
sint cos s;0 6 t 6 s 6 ¼=2;
sins cos t;0 6 s 6 t 6 ¼=2:
x(t) = ¸
¼=2
Z
0
K(t;s)x(s) ds;
x(t) = ¸
t
Z
0
sins cos t x(s) ds +¸
¼=2
Z
t
sint cos s x(s) ds:
t x
0
(t) = ¡¸sint
t
Z
0
sins x(s) ds +¸cos t
¼=2
Z
t
cos s x(s) ds;
x
00
(t) = ¡¸cos t
t
Z
0
sins x(s) ds ¡¸sint sint x(t)¡
¡¸sint
¼=2
Z
t
cos s x(s) ds ¡¸cos t cos t x(t) = ¡x(t) ¡¸x(t):
(
x
00
+(¸ +1)x(t) = 0;
x(0) = 0;x(¼=2) = 0:
¸ +1 < 0 ¸ < ¡1 x(t) = c
1
e
¡
p
¡(¸+1)t
+c
2
e
+
p
¡(¸+1)t
:
c
1
c
2
c
1
+c
2
= 0;
c
1
(e
+
p
¡(¸+1)¼=2
¡e
¡
p
¡(¸+1)¼=2
) = 0:
c
1
= c
2
= 0
¸ < ¡1 ¸ = ¡1 x(t) = c
1
t +c
2
:
c
1
= c
2
= 0:
¸ +1 > 0 ¸ > ¡1 x(t) = c
1
cos
p
¸ +1 t +c
2
sin
p
¸ +1 t:
c
1
= 0;
c
2
sin
p
¸ +1
¼
2
= 0:
c
2
6= 0 sin
p
¸ +1
¼
2
= 0; p
¸ +1
¼
2
= ¼ k;k = 1;2;::::
¸
k
= 4k
2
¡1;k = 1;2;:::;
'
k
(t) = sin2kt;k = 1;2;::::
y ´ 1 y
k
= (y;'
k
) =
4
¼
¼=2
Z
0
1 ¢ sin2kt dt = ¡
4
¼
cos 2kt
2k
¯
¯
¯
¼=2
0
=
8
<
:
0;k = 2m;
4
¼(2m¡1)
;k = 2m¡1;m = 1;2;::::
¸ 6= ¸
k
x(t) = 1 +¸
1
X
m=1
4sin(4m¡2)t
¼(2m¡1)[(4(2m¡1)
2
¡1) ¡¸]
=
= 1 +
4¼
¼
1
X
m=1
sin(4m¡2)t
(2m¡1)(16m
2
¡16m+3 ¡¸)
:
¸ = ¸
2m
= 16m
2
¡ 1 y
2m
= 0 y(t) = 1
'
2m
(t) = sin4mt:
C sin4mt; ¸ = ¸
2m¡1
= 16m
2
¡16m+3;m = 1;2;:::;
L
2
[0;1] x(t) ¡¸
1
Z
0
K(t;s)x(s) ds = y(t) y(t) = t
K(t;s) =
(
t(s ¡1);0 6 t 6 s 6 1;
s(t ¡1);0 6 s 6 t 6 1:
y(t) = cos ¼ t
K(t;s) =
(
(t +1)s;0 6 t 6 s 6 1;
(s +1)t;0 6 s 6 t 6 1:
x(t) ¡¸
2¼
Z
0
sin(t ¡2s)x(s) ds = y(t)
¸ 2 C y(t) 2 L
2
[0;2¼]:
X C;A:X!X A
¸
= A¡¸I
A
¸
¸ A A
¸
: ¸ 2 C (A¡¸I)
¡1
X; A¡¸I A A ½(A): ¸ 2 ½(A);
R
¸
(A) = (A¡¸I)
¡1
A:
(A¡¸I)x = y x = (A¡¸I)
¡1
y = R
¸
(A)y:
¸ ¯ A R
¸
(A) = (A¡¸I)
¡1
= (A¡¯I)
¡1
(A¡¯I)(A¡¸I)
¡1
=
= R
¯
(A)(A¡¯I)R
¸
(A);
R
¯
(A) = (A¡¯I)
¡1
= (A¡¸I)
¡1
(A¡¸I)(A¡¯I)
¡1
=
= R
¸
(A)(A¡¸I)R
¯
(A);
R
¸
(A) ¡R
¯
(A) = (¸ ¡¯)R
¯
(A)R
¸
(A):
¸; ¾(A) A A:
¾(A) = C n ½(A):
A
¸
= A ¡ ¸I R(A
¸
) = X;Ker(A
¸
) = 0:
¸ A ¸ 2 C A Ker(A
¸
) 6= f0g; x 2 X Ax = ¸x: A A ¸ 2 C A; Ker(A¡¸I) = f0g;R(A¡¸I) ½ X R(A¡¸I) = X:
¸ 2 C A;
Ker(A¡¸I) = f0g;
R(A¡¸I) 6= X:
X = C
n
;A:X!X A: A¡¸I A¡¸E det jA¡¸Ej 6= 0:
A A = I:C[0;1]!C[0;1] A ¸ = 1: ¸ 6= 1
(1 ¡¸)I R
¸
(A) = (A¡¸I)
¡1
=
1
1 ¡¸
I:
X = L
2
[0;1] Ax(t) = tx(t) KerA
¸
=
x 2 L
2
[0;1]j (A¡¸I)x = 0
ª
:
(t ¡¸)x(t) = 0 x(t) = 0 A ¸ = ¸
0
2 [0;1]: ¸
0
[¸
0
¡";¸
0
] [0;1] x
"
(t)
½
p
"
¡1
;t 2 [¸
0
¡";¸
0
]
0;t =2 [¸
0
¡";¸
0
]:
kx
"
k = 1:
A
¸
0
x
"
(t) = (t ¡¸
0
)x
"
(t);
kA
¸
0
x
"
k
2
=
1
Z
0
=
1
"
¸
0
+"
Z
¸
0
(t ¡¸)
2
dt =
"
2
3
¡¡!
"!0
0:
x
"
(A ¡ ¸I)
¡1
L
2
[0;1] (A ¡ ¸I)
¡1
¸
0
2 [0;1] X = l
2
A A(x
1
;x
2
;:::) = (0;x
1
;x
2
;:::):
¸ = 0 Ker(A ¡ ¸I) = f0g R(A ¡ ¸I) l
2
:
½(A) ¾(A):
½(A) A C
¸
0
2 ½(A); A: A¡¸
0
I A ¡ ¸I;
j¸ ¡¸
0
j < r; r A¡¸I
A¡¸I = A¡¸
0
I¡(¸¡¸
0
)I = (A¡¸
0
I)
¡
I¡(¸¡¸
0
)(A¡¸
0
I)
¡1
¢
:
A¡¸I I ¡C; C = (¸¡¸
0
)R
¸
0
(A): C k(¸ ¡¸
0
)R
¸
0
(A)k < 1 r = kR
¸
0
(A)k
¡1
¸
0
2 ½(A) ¸ 2 C k¸ ¡¸
0
k < r ½(A); ½(A) ­
¸ 2 ½(A): R
¸
0
(A) = (A ¡ ¸I)
¡1
R
¸
(A) =
¡
I ¡(¸ ¡¸
0
)R
¸
0
(A)
¢
¡1
R
¸
0
(A) =
1
X
i=1
(¸ ¡¸
0
)
i
R
i+1
¸
0
(A):
k¸ ¡ ¸
0
k < kR
¡1
¸
0
(A)k: R
¸
0
(A) ¸ 2 ½(A):
¾(A) A C:
¾(A) = C n
½(A) f¸ 2 C:j¸j 6
6 kAkg:
A¡¸I = ¡¸
³
I ¡
1
¸
A
´
(A¡¸I)
¡1
= ¡
1
¸
³
I ¡
1
¸
A
´
¡1
= ¡
1
¸
1
X
i=0
³
A
¸
´
i
= ¡
1
X
i=0
A
i
¸
i+1
:
kR
¸
(A)k 6
1
X
i=0
kAk
i
j¸j
i+1
=
1
j¸j ¡kAk
j¸j > kAk: ¾(A) ½ ½(A) ¾(A) ½ f¸ 2 C:j¸j 6 kAkg:
C ¾(A) 6=?: ¸ 2 ½(A): x 2 X f 2 X
?
g(¸) = f
¡
R
¸
(A)
¢
:
¯
¯
¯
f
¡
R
¸
(A)
¢
+
1
X
i=0
¸
¡i¡1
f(A
i
x)
¯
¯
¯
6
6
°
°
°
R
¸
(A) +
1
X
i=0
¸
¡i¡1
kA
i
kkfkkxk
°
°
°
:
g(¸) g(1) = 0: g(¸) = 0: f 2 X
?
;
R
¸
(A)(x) = 0; x 2 X R
¸
(A) = 0: (A¡¸I)
¡1
= 0; ­
¸!1 R
¸
(A) = ¡
1
X
i=0
A
i
¸
i+1
;
A
r
¾
(A) = lim
n!1
kA
n
k
1=n
A
X C;A:X!X;A 2 B(X): r
¾
(A) = kAk:
n = km+l;0 6 l 6 m;n;k;l;m 2 N;
kA
n
k = kA
km+l
k 6
¡
kA
k
k
¢
m
kA
l
k:
0 6 kA
n
k
1=n
6 kA
k
k
¢
m=n
kA
l
k
1=n
= kA
k
k
1=k
kA
l
k
1=n
kA
k
k
¡l=(kn)
:
k l m 0 6
lim
n!1
kA
n
k
1=n
6 kA
k
k
1=k
6 kAk 6 1;
lim k lim
n!1
kA
n
k
1=n
6 lim
n!1
kA
k
k
1=k
6 kAk;
lim
­
r
¾
(A) = sup
¸2¾(A)
j¸j:
I +A+A
2
+:::
A 2 B(X) r
¾
(A) < 1; r
¾
(A) > 1; C[a;b] Ax(t) =
t
Z
a
K(t;s)x(s) ds;
K(t;s) ¢ =
=
t;sj a 6 s 6 t;a 6 t 6 b
ª
r
¾
(A)
M = max
(t;s)2¢
jK(t;s)j: (x
n
) ½
C[a;b] x
n
(t) =
t
Z
a
K(t;s)x
n¡1
(s) ds;n = 1;2:::;x
0
(t) = x(t:)
kx
n
k 6
M
n
(b ¡a)
n
n!
kx
0
k:
x
n
(t) = A
n
x(t);
kA
n
k 6
M
n
(b ¡a)
n
n!
:
r
¾
(A) = lim
n!1
kA
n
k
1=n
= 0:
¸ = 0 ¸ = 0 A 2 B(X): R
¸
(A) A 2 B(X);¸ 2 ¾(A): ¸
n
2 ¾(A
n
) n 2 N:
A 2 B(X) A ¸ 2 ¾(A
¡1
); ¸
¡1
2 ¾(A) A
¤
:X
¤
!X
¤
A:X ¡!X: R
¸
(A
¤
) =
R
¤
¸
(A) ¸ 2 ½(A) = ½(A
¤
):
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