close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

ДИВЕРГЕНТНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ВАРИАТИВНОГО МЫШЛЕНИЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
КРАЧКОВСКИЙ Сергей Михайлович
ДИВЕРГЕНТНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ КАК СРЕДСТВО
РАЗВИТИЯ ВАРИАТИВНОГО МЫШЛЕНИЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ
Специальность 13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания
(математика)
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учёной степени
кандидата педагогических наук
Москва – 2016
Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном
образовательном учреждении высшего образования
«Московский педагогический государственный университет»
на кафедре элементарной математики и методики обучения математике
математического факультета
Научный руководитель:
доктор педагогических наук, профессор
Смирнова Ирина Михайловна
Официальные оппоненты:
Калинин Сергей Иванович, доктор педагогических наук, профессор,
ФГБОУ ВО «Вятский государственный университет», институт математики и
информационных систем, факультет компьютерных и математических наук,
кафедра фундаментальной и компьютерной математики, профессор кафедры
Лопаткина Елена Вячеславовна, кандидат педагогических наук,
доцент, ФГБОУ ВО «Владимирский государственный университет имени
Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»,
Педагогический институт, кафедра математического анализа, доцент кафедры
Ведущая организация: ГОУ ВО Московской
государственный областной университет»
области
«Московский
Защита состоится « 9 » декабря 2016 г. в 15 часов на заседании
диссертационного совета Д 212.154.18 на базе ФГБОУ ВО «Московский
педагогический государственный университет» по адресу: 107140, г. Москва,
ул. Краснопрудная, д. 14, ауд. 301.
С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки
ФГБОУ ВО «Московский педагогический государственный университет» по
адресу: 119991, г. Москва, Малая Пироговская ул., д. 1, стр. 1 и на
официальном сайте университета www.мпгу.рф
Автореферат разослан «
Учёный секретарь
диссертационного совета
» октября 2016 г.
Маняхина Валентина Геннадьевна
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность исследования. В современном обществе чрезвычайно
востребованы стали навыки поиска новых, иногда с первого взгляда
неочевидных, путей выхода из какой-либо проблемы, сравнения возможных
вариантов действий, анализа их последствий, умение принимать решение в
условиях множественного выбора. Привычка и способности к широкому и
многоплановому восприятию действительности открывают новые горизонты,
как в профессиональной деятельности, так и в личном мировосприятии всякого
человека. Определяются эти способности уровнем развития вариативного
мышления.
В требованиях Федерального государственного образовательного стандарта
среднего (полного) общего образования особо подчёркивается необходимость
обучения, ориентированного не только на формирование предметных знаний,
но и на развитие основополагающих качеств личности и её отношения к
окружающему миру. Сюда относятся такие, как сформированность мотивации
учащихся к обучению, владение навыками учебно-исследовательской,
проектной и социальной деятельности, толерантность готовность и
способность вести диалог с другими людьми, умение использовать различные
подходы для достижения поставленных целей, выбирать успешные стратегии в
различных ситуациях и др.
Исходя из этого, уже становится понятна огромная важность
целенаправленного развития вариативных черт мышления. Особенно, если
учесть то, как мало внимания обычно уделяется этому в школе, в том числе на
уроках математики, где до сих пор, к сожалению, нередко безраздельно
властвует и навязывается ученику единообразный образ мыслей и действия.
Такая ситуация особенно «ударяет» по учащимся с ярко выраженными
творческими способностями, у которых она подчас может полностью
уничтожить интерес к математике. Часто учащиеся просто не знают, что
изучаемые математические объекты часто допускают альтернативные
интерпретации, позволяющие узнать много нового об их свойствах, выявить
важные взаимосвязи и произвести обобщения. В силу этого многие задачи
можно рассматривать с разных точек зрения, в частности, с опорой на
наглядные образы, за счёт чего решения нередко становятся гораздо проще и
красивее.
Таким образом, изучение математики предоставляет как раз чрезвычайно
широкие возможности для развития вариативных качеств мышления. Одним из
основных средств достижения этой цели служит использование дивергентных
математических задач, под которыми понимаем задачи, допускающие
различные способы своего решения, различные интерпретации, заданных в
условии объектов, или имеющие несколько вариантов правильного ответа.
Отметим ещё один принципиальный момент. Известное явление
межполушарной ассиметрии приводит к дифференциации типов мышления, в
зависимости от преобладающего действия левого или правого полушарий
головного мозга. Если на уроках математики, как это часто и бывает на
3
практике, почти все задачи принято решать, используя только формальнологические подходы, то у учащихся с отчётливо выраженным
правополушарным мышлением могут возникать серьёзные проблемы.
Регулярное использование дивергентных задач и подходов, демонстрация
нескольких, в том числе визуальных, способов решения одной и той же задачи
позволяет в значительной степени нейтрализовать эти проблемы. Учащиеся
овладевают разными подходами к решению задач, а в нужный момент могут
выбрать наиболее близкий лично им в конкретной ситуации метод. Таким
образом, дивергентные задачи могут служить средством гуманизации
образования, практической реализации личностно-ориентированного обучения
математике.
Исследованиям вариативного, дивергентного мышления посвящены работы
многих отечественных и зарубежных учёных и психологов: Д. Б.
Богоявленской, М. Вертгеймера, Д. Гилфорда, Г. Груббера, Д. Роджерса, С. Л.
Рубинштейна, К. Тейлора, Б. М. Теплова, Э. П. Торранса, А. Б. Шнейдера и др.
Принципы обучения на основе задачного подхода исследуются в работах Е.
А. Гафаровой, Я. И. Груденова, В. А. Далингера, Г. А. Клековкина, Ю. М.
Колягина, А. А. Максютина,. В. Прасолова, Г. И. Саранцева, Л. М. Фридмана,
И. Ф. Шарыгина, П. М. Эрдниева и др.
Проблемы дифференциации обучения математике рассматривались
многими ведущими учёными и педагогами: М. И. Башмаковым, C. B.
Воробьёвой, В. А. Гусевым, Ю. М. Колягиным, Г. Л. Луканкиным, Г. И.
Саранцевым, Е. Е.Семёновым, И. М. Смирновой, A. A. Столяром, С. Б.
Суворовой, М. В. Ткачёвой, И. Э. Унт, P. A. Утеевой, Н. Е. Фёдоровой, В. В.
Фирсовым и др.
Вопросу о значимости рассмотрения задачи с разных сторон, решений
задач разными способами, переформулировок условия, посвящены труды А.
Дистервега, Г. В. Дорофеева, Д. Пойа, И. Ф. Шарыгина и др.
В работах и диссертационном исследовании Б. С. Касумовой
рассматриваются дивергентные математические задачи как средство развития
креативного мышления младших школьников. Вместе с тем, анализ литературы
показал отсутствие работ, посвящённых использованию дивергентных
математических задач на старшей ступени общего образования, в классах
различных профилей обучения, в том числе с углублённым изучением
математики. Не описаны возможности дивергентных задач для развития
вариативного мышления старшеклассников. Сам процесс развития этого типа
мышления при обучении математике исследован недостаточно. Многие авторы
сходятся во мнении о значимости рассмотрения одной задачи с «разных
сторон», т. е. выявления её дивергентного содержания. Тем не менее, не
существует какой-либо классификации дивергентных задач, анализа факторов,
позволяющих рассматривать ту или иную задачу как дивергентную,
педагогически обоснованного подбора таких задач для старшеклассников,
способствующих развитию их вариативного мышления.
4
Таким образом, возникают определённые противоречия, касающиеся
организации обучения математике в старших классах. Выделим противоречия
между:
1) декларируемой требованиями ФГОС среднего (полного) общего
образования необходимостью создания возможностей самореализации
учащихся с разными типами мышления и недостатком методических
рекомендаций, разработок, конкретного учебного математического материала,
позволяющих осуществлять эти требования;
2) наличием у многих математических задач большого дидактического
потенциала по развитию вариативного мышления и недостаточным
использованием этого потенциала в учебном процессе на старшей ступени
общего образования, отсутствием какой-либо системы, единого подхода к
использованию дивергентных задач по математике на разных уровнях
обучения.
В разрешении этих противоречий заключается проблема исследования.
Объект исследования – процесс обучения математике в старших классах.
Предмет исследования – процесс обучения математике в старших классах
с использованием дивергентных задач для развития вариативного мышления
обучающихся.
Цель исследования состоит в теоретическом обосновании и разработке
модели развития вариативного мышления старшеклассников с использованием
дивергентных задач и методики её реализации в процессе обучения математике
на старшей ступени общего образования.
Гипотеза исследования состоит в том, что развитие вариативного
мышления старшеклассников в процессе обучения математике может
достигаться при регулярном использовании дивергентных задач. Разработка
соответствующей методики обучения математике позволит повысить уровень
знаний и умений учащихся по предмету, будет способствовать формированию у
них осознанного, неформального понимания изучаемых фактов.
В соответствии с проблемой, целью и гипотезой исследования были
определены следующие задачи исследования: 1) провести анализ
методологической,
психолого-педагогической,
учебно-методической,
математической литературы по исследуемой проблеме, выявить её состояние к
настоящему времени и изучить уже имеющиеся результаты. На основе этого
анализа разработать модель развития вариативного мышления старших
школьников при условии использования дивергентных задач в процессе
обучения математике; 2) провести классификацию типов мышления по разным
основаниям, описать вариативное мышление, выделить качества вариативного
мышления; 3) рассмотреть индивидуальные особенности мышления старших
школьников; 4) определить дивергентную задачу и раскрыть значение
дивергентных задач по математике для развития вариативного мышления
учащихся старших классов; выявить критерии определения дивергентной
математической задачи; выделить дидактические функции таких задач; 5)
разработать методику обучения математике на старшей ступени общего
5
образования, ориентированную на развитие вариативного мышления учащихся,
в основе которой лежит использование дивергентных математических задач; 6)
провести педагогический эксперимент с целью проверки полученных
результатов.
Теоретико-методологической основой исследования послужили:
- документы об образовании в Российской Федерации: Фундаментальное
ядро содержания общего образования; ФГОС среднего (полного) общего
образования; Закон «Об образовании в Российской Федерации»; Концепция
развития математического образования в РФ;
- основные положения теории познания (Г. Вейль, Л. С. Выготский, В. В.
Давыдов, Ж. Пиаже, С. Л. Рубинштейн, Б. М. Теплов, Д. Б. Эльконин, И. С.
Якиманская и др.);
- исследования по дифференциации обучения математике В. Г.
Болтянского, Г. Д. Глейзера, В. А. Гусева, Г. В. Дорофеева, Ю. М. Колягина, И.
М. Смирновой, В. В. Фирсова, М. И. Шабунина и др.);
- исследования по методике составления и использования задач при
обучении математике в старших классах В. Г. Болтянского, Г. В. Дорофеева, Ю.
М. Колягина, В. В. Прасолова, В. М. Тихомирова, И. Ф. Шарыгина и др.
В ходе работы применялись следующие методы исследования:
- теоретические: анализ нормативно-правовых документов, определяющих
структуру и содержание современного учебного процесса, методологической,
психолого-педагогической, учебно-методической, математической литературы,
диссертационных работ, связанных с проблемой исследования; моделирование;
- эмпирические: наблюдение; изучение школьного практического опыта
работы по рассматриваемой проблематике; самоанализ педагогической
деятельности; анкетирование и тестирование учащихся; проведение
педагогического
эксперимента;
анализ
и
обработка
результатов
педагогического эксперимента.
Основные этапы исследования. Исследование проводилось с 2009 года
по 2016 год и включало в себя несколько этапов.
На первом, констатирующем, этапе (2009-2011) происходили изучение и
анализ соответствующей литературы, обобщение практического опыта работы
по исследуемой проблеме, накопление материалов, касающихся особенностей
развития вариативного мышления учащихся общеобразовательной школы, роли
наглядно-графических моделей в обучении математике, месте дивергентных
задач в математической науке и в учебном процессе.
На втором, поисковом, этапе (2011-2013) на основе полученных
результатов была разработана модель развития вариативного мышления
старшеклассников, основанная на использовании дивергентных задач в
процессе обучения математике на старшей ступени общего образования,
рассмотрены различные аспекты этого вопроса и разработаны конкретные
учебные материалы.
В течение третьего, обучающего и контролирующего, этапа (2013-2016)
проводилась апробация разработанной методики, систематизация и обобщение
6
полученных результатов, а также обработка экспериментальных данных и их
оформление.
Научная новизна исследования заключается в том, что: дивергентные
задачи по математике рассмотрены в контексте развития вариативного
мышления старшеклассников; разработана модель развития вариативного
мышления учащихся старших классов с использованием дивергентных задач и
методика её реализации в процессе обучения алгебре, началам математического
анализа и геометрии в классах различной профильной направленности;
предложены приёмы организации учебной деятельности старшеклассников
разных профилей обучения для развития их вариативного мышления;
сформулированы критерии, позволяющие рассматривать математическую
задачу как дивергентную; раскрыты дидактические функции дивергентных
задач по математике; осуществлён отбор групп дивергентных задач по алгебре,
началам математического анализа и геометрии для развития вариативного
мышления обучающихся на старшей ступени общего образования.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что в нём:
1) даны определения: а) вариативного мышления как общей
сформированной установки мыслительной деятельности обучающихся на
отыскание
различных
способов
достижения
цели
в
отсутствие
непосредственного указания на это, как способность осуществлять мысленное
преобразование объекта, находить различные его черты; б) дивергентной
задачи,
как задачи, допускающей различные способы своего решения,
представления условия в разных формах или имеющей несколько вариантов
правильного ответа;
2) выделено десять качеств вариативного мышления, характеризующих
уровень его развития у учащихся старших классов;
3) раскрыты роль и место дивергентных математических задач в развитии
вариативного мышления старшеклассников;
4) сформулированы критерии, по которым определяется, является ли
математическая задача дивергентной;
5)
определены
приёмы
организации
учебной
деятельности
старшеклассников, направленной на развитие их вариативного мышления;
6) представлены виды дивергентных задач для развития вариативного
мышления старшеклассников в процессе обучения математике.
Практическая значимость исследования определяется тем, что:
опубликовано учебно-методическое пособие, содержащее дивергентные задачи
разного уровня сложности по основным темам курса математики старших
классов; даны рекомендации по использованию дивергентных задач при
обучении математике в классах различных профилей, дающие возможность
развития вариативного мышления обучающихся; полученные результаты могут
использоваться методистами и учителями математики при разработке учебных
пособий, планов практических занятий, проведении внеурочных мероприятий,
например, математических олимпиад, математических боёв, конкурсов и т. п.;
7
выявлены новые дидактические возможности дивергентных задач и
разработаны соответствующие дидактические материалы.
Достоверность
и
обоснованность
результатов
исследования
обусловлены следующими факторами: методологической обоснованностью
исходных предпосылок и теорий, послуживших базой исследования,
соответствием полученных результатов современным требованиям ФГОС
среднего (полного) общего образования, репрезентативностью выборки для
проведения педагогического эксперимента и результатами использования
статистических методов обработки полученных данных.
На защиту выносятся следующие положения.
1. Дивергентные задачи, рассматриваемые как задачи, допускающие
различные способы решения, различные интерпретации заданных в условии
объектов или имеющие несколько вариантов правильного ответа, способствуют
развитию вариативного мышления обучающихся, как общей сформированной
установки мыслительной деятельности обучающихся на отыскание разных
способов достижения цели в отсутствии непосредственного указания на это,
способность осуществлять мысленное преобразование объекта, находить
различные его черты.
2.
Построенная
модель
развития
вариативного
мышления
старшеклассников, в основе которой лежит решение дивергентных задач,
включает в себя несколько блоков, а именно: психолого-педагогический
(качества
вариативного
мышления,
вариативное
восприятие,
учёт
индивидуальных особенностей учащихся); методический (отбор групп
дивергентных задач по математике, методов, форм, средств обучения, способов
поддержания
учебной
мотивации
старшеклассников).
Реализация
представленной
модели
способствует
достижению
современных
образовательных результатов (личностных, метапредметных, предметных),
опредёленных требованиями ФГОС среднего (полного) общего образования.
3. Многие математические задачи могут при определённых условиях
выступать как дивергентные, и тем самым нести в себе значимый дидактический
потенциал. Возможность рассмотрения той или иной математической задачи в
качестве дивергентной зависит от ряда факторов. Среди наиболее значимых из
них являются следующие: решение задачи разными способами; особенности
конкретной задачи, например, наличие неоднозначности в условии; различные
способы структурирования заданного объекта; использование для интерпретации
объекта разных по характеру графических моделей, преобразование
представлений об объекте из одной формы в другую; переформулировки задач;
рассмотрение задач, схожих на вид, но содержащих принципиальные различия;
рассмотрение задач, существенно отличающихся по «внешнему виду»,
формулировке, характеру требований и т. п., но, на деле, весьма близких и
сводящихся к единой схеме решения.
4. Использование дивергентных задач в процессе обучения математике
старшеклассников позволяет активизировать их познавательную деятельность.
Появляются дополнительные способы формирования учебной мотивации, среди
8
которых выделены: организация групповых занятий; обсуждение в классе
нескольких вариантов решения одной задачи; наличие когнитивного конфликта;
создание проблемной ситуации.
5. Представленные в исследовании группы дивергентных задач по алгебре,
началам математического анализа и геометрии для старшеклассников позволяют
сочетать обучение традиционному учебному материалу на разных уровнях
(базовом и углублённом) с развитием вариативного мышления обучающихся на
старшей ступени общего образования.
Апробация результатов исследования
осуществлялась на научнометодических семинарах и конференциях, в том числе на: Круглом столе
«Интеграция духовно-нравственного образования в различные предметы»
(Москва, 2011, 2012); Открытой школе-семинаре Московского центра
непрерывного математического образования (Москва, 2013); Московской
городской конференции Ассоциации учителей математики (Москва, 2011, 2013);
конференции лауреатов Всероссийского конкурса школьных учителей фонда
«Династия» (Москва, 2013); IV Международной конференции «Математическое
образование в школе и вузе: теория и практика (Mathedu-2014)» (Казань, 2014);
научно-практическом семинаре факультета педагогического образования МГУ
им. М. В. Ломоносова (Москва, 2014); научно-методическом семинаре
Московского центра непрерывного математического образования (Москва,
2014); V Международной конференции «Математическое образование в школе и
вузе: теория и практика (Mathedu-2015) (Казань, 2015); научно-методическом
семинаре математического факультета ФГБОУ ВО «Московский педагогический
государственный
университет» «Актуальные проблемы преподавания
математики и информатики в школе и педагогическом вузе» (Москва, 2015).
Внедрение результатов исследования проводилось на базе трёх
образовательных учреждений г. Москвы: ГБОУ СОШ № 315; ГБОУ гимназии №
1514; ГБОУ ЦО № 1468.
В диссертации обобщён многолетний опыт работы автора на старшей
ступени общего образования в классах различных профилей обучения.
По теме диссертационного исследования опубликовано 14 научных и
учебно-методических работ, в том числе 7 статей в изданиях, рекомендованных
ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации, и одно учебнометодическое пособие. Общий объём публикаций 18,5 п. л.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, основной части
(содержащей две главы), заключения, списка литературы (178 источников),
списка сокращений и условных обозначений. Общий объём диссертации
составляет 208 с. Основной текст диссертации составляет 191 с., в том числе 75
рисунков, 7 таблиц, 2 диаграммы; 14 с. – список литературы.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении обоснована актуальность исследования, сформулированы его
основные характеристики: проблема, объект, предмет, цель, гипотеза, задачи;
определены: научная новизна, теоретическая и практическая значимость;
сформулированы положения, выносимые на защиту.
9
В первой главе «Теоретические основы развития вариативного мышления
обучающихся на старшей ступени общего образования» даётся общая
характеристика мышления, рассматриваются индивидуальные особенности
мышления учащихся, даётся определение вариативного мышления учащихся,
определяются основные приёмы его развития у старшеклассников, исследуется
понятие дивергентной задачи по математике. Рассматривается роль таких задач в
контексте развитии вариативных качеств мышления учащихся старших классов.
В результате анализа исследований, посвящённых различным типам
мышления (Р. Арнхейм, Д. Б. Богоявленская, М. Вертгеймер, Л. С. Выготский,
Дж. Гилфорд, В. В. Князева, С. Л. Рубинштейн и др.) было сформулировано
определение вариативного мышления учащихся. Под вариативным мышлением
понимаем общую сформированную установку мыслительной деятельности
обучающихся на отыскание различных способов достижения цели в отсутствии
непосредственного указания на это, способность осуществлять мысленное
преобразование объекта, находить различные его черты. Развитый вариативный
компонент в мышлении является показателем его гибкости, самостоятельности,
творческих возможностей и умения генерировать новые знания. Выяснено, что
вариативное мышление является неотъемлемым компонентом более широкого
понятия – творческое мышление. С другой стороны, важное понятие –
дивергентное мышление – выступает в качестве более «узкого» по отношению к
вариативному мышлению. Под дивергентным мышлением обычно понимают
способность находить несколько путей решения той или иной проблемы.
Сформулированное выше понимание вариативного мышления позволило
выделить ряд качеств вариативного мышления, характеризующих уровень его
развития у учащихся. К ним отнесены следующие.
1. Способность одновременного восприятия объекта в разных формах.
2. Привычка к выстраиванию множественных причинно-следственных
связей рассматриваемого объекта.
3. Способность отделять реальность (содержание) от способа её
интерпретации (формы представления).
4. Установка на целенаправленный поиск вариантов и выбор того или иного
из них в соответствии с заданными критериями.
5. Способность мышления действовать в изменённых условиях и крайних
ситуациях.
6. Комплексный, интегрированный характер.
7. Возможность изменять стиль мышления в зависимости от стоящих задач.
8. Развитые ассоциативные навыки. Умение выявлять общее в несхожих на
вид явлениях.
9. Способность обнаруживать различия в схожих на вид явлениях,
кажущихся идентичными.
10. Способность менять «масштаб» или «фокус» взгляда на объект –
переключаться от рассмотрения его в целом – «сверху», к более или менее
крупным деталям, и обратно.
10
Анализ исследований, связанных с использованием в обучении
дивергентных задач (Д. Б. Богоявленская, Н. Г. Гашаров, Дж. Гилфорд, Г. В.
Дорофеев, Б. С. Касумова, М. А. Холодная), показал, что само понятие
дивергентной задачи употребляется в разных смыслах. Часто под ней понимают
просто задачу, допускающую несколько правильных ответов, - это достаточно
«узкая» трактовка. В других случаях, наоборот, отождествляют дивергентные
задачи с проблемными и творческими задачами. В этой интерпретации теряются
отличительные особенности данного типа задач, и возникает вопрос о
целесообразности использования для них специального термина. В рамках
данного исследования дивергентной задачей названа задача, обладающая хотя
бы одним из следующих свойств:
- наличие разных способов решения (при этом важно, чтобы каждый новый
способ отличался по своей идее и не был искусственным или неоправданно
трудным по сравнению с другими);
- возможность различных трактовок условия или требования задачи,
присутствие в них неоднозначности;
- возможность интерпретации представленных в задаче объектов и явлений
в нескольких формах, при помощи разных моделей, включения задачи в разный
контекст.
Сами по себе дивергентные задачи могут иметь любую предметную
направленность. При этом дивергентные задачи по математике имеют свои
особенности и распространённые типы, связанные со спецификой предмета.
Существует много причин, приводящих к возможности рассматривать
различные математические задачи в качестве дивергентных. В данном
исследовании выделено несколько критериев, по которым можно определить,
является задача дивергентной или нет. К ним отнесены: возможность решения
задачи разными способами; наличие неоднозначности в условии; различные
способы структурирования заданного объекта; интерпретации объекта с
помощью разных по характеру моделей; использование различных систем
координат; выбор различных элементов, однозначно определяющих объект;
рассмотрение одного и того же факта в пространствах разной размерности.
Общим во всех случаях является поочередное предъявление набора
различных интерпретаций объектов, заданных в условии, но без отрыва от
целостного восприятия, которое само при этом постепенно трансформируется.
Приведём пример различных подходов к решению одной задачи, раскрывающих
её дидактический потенциал.
Задача 1. Найдите все значения параметра а, при которых множеством
5
решений неравенства 3  x  x  a  2 является отрезок. Ответ:  1, 1   , 5  .
4

Решение. Первый образ. Рассматриваем графики функций y  2  3  x и
y  x  a . Возникает динамический образ - перемещение «угла» вдоль оси
абсцисс в зависимости от а, и исследование его расположения относительно
полупараболы.
11
Тогда на геометрическом языке условие задачи означает, что нужно найти
те положения «угла» (значения а), при которых проекция его части,
расположенной не выше полупараболы, на ось абсцисс является отрезком (рис.
1).
Рис. 1
Рис. 2
Второй образ. Делаем замену a  x  t (геометрически – смена системы
координат), после которой неравенство приобретает вид t  3  a  t  2 , и
рассматриваем графики функций y  t  3  a и y  2  t .
Теперь «угол» стал неподвижным, а вдоль оси абсцисс движется
полупарабола (рис. 2). Образ задачи и её восприятие изменились.
Сама возможность подобного, например, путём перехода к новой системе
координат изменять внешний вид и характер «динамической системы»,
«останавливать» одни фигуры и «запускать» движение других, представляет
немалый интерес для старшеклассников, а иной раз и ощутимую практическую
пользу. При этом, в частности, «свежим» и неожиданным для учащихся образом
демонстрируется проявление физического принципа относительности движения,
а также происходит наполнение формальных алгебраических формулировок и
конструкций наглядным геометрическим и физическим смыслами.
Следующие две интерпретации условия позволяют перейти от
динамических «живых» графиков к статическим областям.
Третий образ. Переходим к равносильной системе неравенств

a  x  2  3  x , Строим соответствующие графики в осях (х, a), определяем


a  x  2  3  x .
Рис. 3
в
Рис. 4
12
в
нужную область и считываем ответ вдоль оси параметра (рис. 3). В данной
задаче такой способ определённо труднее остальных. К тому же для аккуратного
обоснования
свойств полученных графиков он требует аппарата
математического анализа. Но сейчас важно то, что исходное неравенство при
таком подходе задаёт некоторую фиксированную (статичную) двумерную
область на координатной плоскости (переменная, параметр). Условие задачи
также начинает восприниматься по-новому: требуется найти такие значения а,
чтобы сечение этой области горизонтальной прямой являлось бы отрезком.
Категория движения при этом, если и не полностью уходит из восприятия
задачи, то сводится просто к перемещению горизонтальной прямой вдоль оси
параметра.
Четвёртый образ. Сделав замену 3  x  t, t  0 , получаем неравенство
равносильное
системе
неравенств
t  t2  a 3  2 ,
t 2  a  3  2  t ,
a  5  t  t 2 ,


Строим графики в осях (t, a) с учётом
 
2
2
t

a

3

t

2
a

1

t

t
.




условия t  0 (рис. 4). Снова область, только уже другая по форме, и потому
новое визуальное восприятие задачи.
Приведённый пример показывает, как всякий новый способ графической
интерпретации задачи заставляет нас по-иному осознать её суть и «спрятанное»
в условии наглядное содержание. Сопоставляя эти интерпретации между собой,
учащиеся достигают намного более широкого и целостного понимания условия
задачи, производимых в ходе решения действий и смысла получаемого
результата.
Развитию вариативного мышления учащихся способствуют разные
факторы. Это и само использование дивергентных задач, и определённые
приёмы работы с условием и задействованными в нём объектами. К числу
разработанных наиболее важных из этих приёмов отнесены: переформулировки
задач; исследование корректности, избыточности и однозначности условия;
перецентрирование, сопровождающееся образованием нового целостного
восприятия объекта; преобразование представлений об объекте из одной формы
в другую; рассмотрение задач, схожих на вид, но с принципиальными
различиями; рассмотрение задач, существенно отличающихся по «внешнему
виду» - формулировке, характеру требований и т. п., но, на деле, весьма близких
и сводящихся к единой схеме.
Приведём пример цикла заданий этого последнего типа.
Задача 2. Найдите все значения параметра а, при которых:
а) уравнение 4 x  a 2  5 2 x  9  a 2  0 не имеет решений;
б) для любого положительного х значения функций f x   x 2  5 x  9 и
g  x   1  x a 2 различны;
1 a2  5
 9  a 2 не пересекает ось абсцисс;
в) график функции f x   
x
x
13
2
г) наименьшее значение функции f x   12  a  5  11  a 2 больше 2;
x
x
1
 x  y  2,   2 x  3,
д) системы уравнений  2
и y
равносильны.
2
 x  y  1  2
2
2
 y  a y  5y  9  a  0
Представленные пять заданий, имея разные условия и отличаясь по типу
заданных функций, при внимательном рассмотрении и должных
переформулировках сводятся к одной и той же задаче, а именно, «Найдите
значения а, при которых уравнение t 2  a 2  5t  9  a 2  0 не имеет
положительных корней». Ответом везде служит отрезок a   3, 3 .
Важную роль в разработке общих методик обучения и проведения
отдельных уроков играет учёт индивидуальных особенностей учащихся. Его
значимость неоднократно подчёркивается в требованиях ФГОС нового
поколения. Дифференциация учащихся должна проводиться как по уровням их
способностей, интересов и познавательной активности, так и по стилям
мышления.
Использование дивергентных задач, решаемых разными методами,
позволяет каждому учащемуся использовать наиболее близкий для себя стиль
мышления. При этом он может наблюдать проявления других стилей при
решении задачи в классе и приобретать опыт и в их применении.
Для успешного использования дивергентных задач и их особенностей в
учебном процессе, необходимо создать у учащихся устойчивую мотивацию к
работе с ними. Этой цели могут служить определённые формы работы на уроках,
среди которых мы выделим три следующих:
- организация групповых занятий учащихся, в частности командных
соревнований;
- совместное обсуждение задач в классе, при котором каждый учащийся
может рассказывать у доски своё решение, сопоставляя его с другими;
- Создание когнитивного конфликта, проблемной ситуации, как средств
активизации познавательной деятельности обучающихся.
Использование дивергентных математических задач для развития
вариативного мышления учащихся выполняет также ряд общепедагогических
функций. В частности, это стимулирует проявление у учащихся ряда важных
психических
функций:
рефлексии,
функциональной
структуризации,
планирования и самоуправления.
Итогом всего вышесказанного стала разработанная «Модель развития
вариативного мышления старшеклассников». Наглядно она представлена на
рисунке 5. Основные этапы учебного процесса за счёт включения дивергентных
задач и использования на уроке соответствующих форм работы с ними,
обретают новые функции - развивается вариативное восприятие изучаемых
понятий и осуществляется дифференциация обучения школьников по стилям их
мышления.
14
15
В свою очередь, навыки вариативного восприятия изучаемых понятий
позволяют преобразовывать представления о них, осуществлять поиск решения в
отсутствии указания на метод решения, а также проектировать новые задачи.
Таким образом, происходит взаимный процесс: содержание и формы работы
стимулируют развитие навыков вариативного мышления, которые, в свою
очередь, меняют представления об изучаемом материале. Достигаемые при этом
результаты можно разделить на три основные группы: предметные результаты;
возникновение и развитие качеств вариативного мышления; формирование ряда
психических функций.
Во второй главе «Методика обучения математике с использованием
дивергентных математических задач, направленных на развитие вариативного
мышления старшеклассников» исследуются особенности обучения математике в
условиях профильной дифференциации, описываются дидактические функции
дивергентных задач для базового и углублённого курсов математики.
Производится отбор содержания дивергентных задач по алгебре, началам
математического анализа и геометрии для развития вариативного мышления
старшеклассников, а также отбор методов, форм и средств обучения,
позволяющих наиболее полно реализовать дидактические возможности этих
задач. Описывается ход и результаты проведённого педагогического
эксперимента.
В настоящее время важнейшим фактором учебного процесса является
дифференциация обучения. Выделяется два основных типа дифференциации:
уровневая (для основной ступени общего образования); профильная (на старшей
ступени общего образования). В старших классах обучение ведётся на двух
уровнях: базовом и углублённом. На базовом уровне по математике обучаются,
например, учащиеся гуманитарных, социально-экономических классов, а на
углублённом – учащиеся информационно-технологических, естественнонаучных, физико-математических классов.
Выяснено, что использование дивергентных задач, помимо общих
дидактических функций, имеет свои особенности на разных уровнях обучения.
Например, в гуманитарных классах большую роль играет организация
коллективной формы работы по обсуждению различных способов
интерпретации условия задач. При этом предлагаемый учащимся набор задач
должен включать задачи с наглядными, «жизненными» условиями, а также
имеющие красивые наглядные решения, демонстрирующие красоту и
общекультурную значимость математики. В технологических классах особое
значение приобретают задачи практического характера, демонстрирующие
значимость качеств вариативного мышления и разных способов достижения
некоторого практического результата. Наконец, для математических классов
наибольшее внимание целесообразно уделять дивергентным задачам,
демонстрирующим единство различных разделов математики и позволяющих
выявить их взаимосвязи. Кроме этого, старшеклассникам математического
профиля важно показывать возможность обобщения получаемых результатов,
рассматривать с ними, как будут вести себя заданные в условии объекты в
16
изменённых условиях, в частности, в пространстве другой размерности, в другой
системе координат, после тех или иных преобразований плоскости или
пространства и т. д. В результате этого развитие вариативного мышления
старшеклассников происходит параллельно с приобретением общей
математической культуры и формированием более глубокого восприятия
предмета.
Дивергентные математические задачи способны выполнять целый ряд
дидактических функций, среди которых выделены следующие: развитие качеств
вариативного мышления учащихся; формирование целостного восприятия
математики; стимулирование интереса к математике и учебной мотивации;
демонстрация художественно-эстетических граней математики; формирование
социальной толерантности на уроках математики; возможность самореализации
учащихся старших классов с различными индивидуальными особенностями;
развитие визуального мышления учащихся; перевод задач в зону ближайшего
развития учащихся.
Отбор дивергентных задач для использования в учебном процессе
осуществлялся в соответствии с утверждёнными программами, требованиями к
предметным результатам обучающихся и на основе общих педагогических
критериев отбора содержания учебного материала. Методологической основой
при этом служит системно-деятельностный подход в обучении, предполагающий
открытие учащимися нового знания в процессе активных собственных действий
- решений задач и обсуждения разных подходов к ним. Разработкой основ и
закономерностей этого подхода занимались многие видные отечественные
психологи и педагоги, среди которых Л. С. Выготский, О. Б. Епишева, А. Н.
Леонтьев, С. Л. Рубинштейн, Н. Ф. Талызина, Д. Б. Эльконин и мн. др.
Опираясь на основные положения ФГОС среднего (полного) общего
образования о требованиях к результатам освоения соответствующей
образовательной программы, а также руководствуясь общими критериями
отбора
содержания
учебного
материала
для
старших
классов,
сформулированными в методико-педагогической литературе, автором данного
исследования
были
разработаны
принципы
отбора
дивергентных
математических задач для развития вариативного мышления учащихся старших
классов. Были отобраны дивергентные задачи из разных разделов курсов
алгебры и начал математического анализа и геометрии. Выявление
дивергентного характера задачи в преподавании той или иной темы происходит
во многих случаях за счёт взаимного проникновения идеологии и методов из
разных разделов математики.
Отметим, что особенностью предлагаемой методики обучения является её
пригодность к использованию в преподавании различных тем школьного курса
математики, способность встраиваться в их содержание, обогащая его и добавляя
новые акценты.
Для курса алгебры и начал математического анализа определены элементы
содержания, включение в которые дивергентных задач происходит наиболее
естественно. К ним относятся:
17
- геометрические интерпретации алгебраических уравнений и неравенств, в
частности в темах «Уравнения и неравенства с модулем», «Числовые
неравенства» и др.;
- тригонометрические функции и тождества;
- уравнения и неравенства с параметрами;
- решение текстовых задач алгебраическим, арифметическим и
геометрическим (при помощи графиков движения) методами;
- функциональные методы решения уравнений и неравенств;
- применение векторов и тригонометрических подстановок для решения
уравнений, задач на отыскание множества значений функции.
Для курса геометрии аналогичным образом выделяются следующие
элементы содержания и формы работы с ними, предоставляющие обширные
источники дивергентных задач:
- вариации способов изображения геометрических фигур, использование
различных опорных конфигураций и дополнительных построений;
- преобразования плоскости и пространства;
- трансформация геометрических фигур при инвариантности исследуемой
величины – длины, площади, объёма;
- смена размерности пространства – переход из плоскости в пространство, и
наоборот, рассмотрение плоских и пространственных аналогов геометрических
понятий и фактов;
- использование физических, чаще всего механических, соображений для
решения геометрических задач.
Приведём пример цикла дивергентных задач, связанных с нахождением
множества значений функций. Для первой из них представим различные
способы её решения и визуальной интерпретации, позволяющие рассматривать
данную задачу в качестве дивергентной.
Задача 3. Найдите множество значений E  y  функции y 
x
.
x 1
2
Решение. Первый способ. Запомнив, что y  0 входит в E  y  , перепишем
функцию в виде y 
1
x
1
x
1
t
1
x
или y  , где t  x  . В силу неравенства Коши для
суммы двух взаимно обратных величин, множеством значений переменной t
является множество E  t    , 2   2,   (рис. 6). В свою очередь,
множеством
значений
функции
y
1
t
на
E t 
является
множество
1
 1
 
 2 , 0    0, 2  (рис. 7). Добавляя сюда значение y=0, окончательно
1 1
получаем E  y     ,  .
 2 2
18
Рис. 6
Рис. 7
Второй способ. Требование задачи означает, что нужно найти все значения
y, при которых уравнение y 
x
имеет решения. При таком подходе y
x 1
2
начинает играть роль параметра. Переписав уравнение в равносильной форме
yx 2  x  y  0 , приходим к обычной задаче о существовании корней квадратного
уравнения. Конечно, надо не забыть, что при y  0 уравнение вырождается в
линейное и рассмотреть этот случай отдельно. В остальных случаях результат
определяется условием D  0 , т. е. 1  4 y 2  0 , и получается уже известный ответ.
Третий способ. Можно действовать и напрямую, используя аппарат
математического анализа для нахождения экстремумов и множества значений
заданной функции.
Наглядной иллюстрацией этого подхода
служит её график (рис. 8).
Рис. 8
Четвёртый способ.
Рис. 9
Сделаем замену t  arctgx , т. е. осуществим
 
тригонометрическую подстановку x  tg t при t    ,
 . Тогда исходная
 2 2
задача сводится к отысканию множества значений функции y 
sin 2t
2
на
 
промежутке t    ,
 . Далее, построив график этой функции (рис. 9) или из
 2 2
других соображений, нетрудно получить ответ.
19
Таким образом, видно, как всего одну, в общем-то, заурядную задачу можно
представлять как дивергентную и за счёт этого использовать в учебном процессе
для разъяснения целого ряда принципиальных моментов, традиционно
вызывающих у школьников большие трудности.
Задача 4. Числа а, b, x и y удовлетворяют равенствам (a + b)(x + y) = 1 и
2
(a + b2)(x2 + y2) = 1. Докажите, что ax + by 0.
Задача 5. Числа a, b, c, d удовлетворяют условиям a 2  b 2  1 , c 2  d 2  1 .
Докажите, что ac  bd  1.
Задача 6. Определите, какие значения может принимать выражение x+3y на
множестве переменных x, y, удовлетворяющих условию x2+xy+4y2  3.
Задача 7. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
x 2  y 2  x 2   y  3 , если 2 x  y  2 .
Говоря о геометрии, необходимо отметить, что многие методы решения
геометрических задач связаны с трансформацией заданной фигуры, различного
рода преобразованиями, приводящими, зачастую, к полному изменению её
визуального восприятия. К ним можно отнести использование инверсии,
аффинных и проективных преобразований и, вообще говоря, даже
осуществление любых дополнительных построений. Кроме того, для решения
многих задач необходима «перефокусировка» взгляда, т. е. поочередное
переключение между более и менее «крупными» его элементами, удержание в
памяти этих разных масштабов и совместное оперирование ими.
Результаты исследования позволили выделить основные типы дивергентных
задач для курса геометрии старших классов. Это задачи:
- допускающие несколько способов решения, каждый из которых имеет свои
преимущества, и при этом отличается по идее от остальных;
- с неоднозначностью в условии, позволяющие указать несколько разных
конфигураций, удовлетворяющих условию;
- на разрезание геометрических фигур (многие из них);
- решаемые при помощи выхода из плоскости в пространство, или наоборот;
- решаемые путём использования преобразований плоскости или
пространства и др.
На основе одних только этих идей можно предлагать учащимся множество
задач дивергентного характера, требующих вариативного мышления и
стимулирующих его.
Приведём в качестве примера серию геометрических задач по теме
«Касание окружностей», содержащих неоднозначность в условии.
Задача 8. Дан  A=60°. Центр O окружности радиусом 4 принадлежит его
биссектрисе. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и
касающейся данной окружности, если известно, что расстояние от точки O до
2
2
вершины угла равно 10. (Ответ: 2; 14; 6 или 4 .)
3
Это типичная задача дивергентного характера по геометрии, условию
которой удовлетворяют несколько, в данном случае четыре, разных
20
конфигурации. На рисунках 10 и 11 показаны соответственно по два варианта
внешнего и внутреннего касаний заданной окружности с искомой.
Рис. 10
Рис. 11
Задача 9. В окружности, радиус которой равен 10, проведена хорда AB=12.
в
Точка C
принадлежитв хорде AB так, что AC:CB=1:3.
Найдите радиус
окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды AB в точке C.
Задача 10. Окружности радиусов 20 и 3 касаются внутренним образом.
Хорда АВ большей окружности касается меньшей окружности в точке М.
Найдите длины отрезков АМ и МВ, если АВ=32.
Задача 11. Расстояние между центрами окружностей радиусов 2 и 8 равно
15. Этих окружностей и их общей касательной касается третья окружность.
Найдите её радиус.
Задача 12. Окружность радиусом 12 вписана в прямоугольную трапецию с
основаниями 28 и 21. Найдите радиус окружности, которая касается основания,
большей боковой стороны трапеции и данной окружности.
Решая задачу, в которой заложена неоднозначность, учащемуся необходимо
построить несколько визуальных геометрических реализаций того, о чём
говорится в условии. С одной стороны, некоторые из них бывает не так просто
«увидеть», поэтому особенно важны навыки «узнавания» знакомых объектов в
непривычном расположении и смены зрительного восприятия своего чертежа и
вместе с этим всего условия задачи.
Завершается
глава
представлением
результатов
педагогического
эксперимента, который проводился в период с 2009 года по 2016 год на базе
трёх школ: ГБОУ гимназии № 1514, ГБОУ СОШ № 315 и ГБОУ ЦО № 1468. В
общей сложности в эксперименте участвовало 200 учащихся старших классов.
Эксперимент был разбит на три этапа: констатирующий; поисковый;
обучающий и контролирующий.
На первом этап (2009-2011) было изучено современное состояние
поставленной в исследовании проблемы: проведён теоретический анализ
основных документов, определяющих траекторию развития школьного
образования, а также
психолого-педагогическая, учебно-методическая,
математическая литература; изучен и обобщён собственный опыт работы в
качестве учителя математики и опыт своих коллег; определён уровень развития
вариативного мышления учащихся старших классов.
21
Для этого применялись следующие методы исследования: наблюдение за
проведением уроков математики на базовом и углублённом уровнях обучения;
беседы с учащимися и учителями; анкетирование учащихся и учителей;
проведение диагностирующих работ.
Второй этап педагогического эксперимента (2011-2013). В результате
проведения этого этапа разработана модель развития вариативного мышления
старшеклассников, а также методика использования дивергентных задач по
математике для развития вариативного мышления учащихся старших классов,
включающая в себя: дидактические функции дивергентных задач по математике
для базового и углублённого курсов математики; отбор содержания
дивергентных задач для курсов алгебры и начал математического анализа и
геометрии; отбор методов, форм и средств обучения математике в рамках
разработанной модели развития вариативного мышления старших школьников.
Третий этап педагогического эксперимента (2013-2016). Основными
общими целями обучающей части этого этапа эксперимента являлись: усиление
вариативного восприятия учащимися математических объектов; развитие умения
смотреть на задачу с разных точек зрения; демонстрация единства математики,
взаимного проникновения идей и методов из разных её разделов на примерах
конкретных дивергентных задач.
Наряду с этими общими целями, имелись и более частные, практические
учебные цели. К ним были отнесены: увеличение числа известных учащимся
стандартных приёмов решения некоторых типов дивергентных задач, а также
развитие умения переформулировать новую задачу, сводя её к одному из
знакомых типов; формирование навыков работы с многовариантными задачами,
привычки замечать неоднозначность в условии задачи; расширение базы
опорных фактов - «картинок» - в геометрии, формирование привычки учащихся
при решении новых задач, с одной стороны, замечать и активно использовать
уже знакомые конфигурации, а с другой стороны, самостоятельно пополнять
свой «каталог» опорных фактов; знакомство старшеклассников с рядом
нестандартных, по большей части графических, методов решения задач.
При переходе к контролирующей части этого этапа педагогического
эксперимента ставилась цель получения объективных результатов проведённого
исследования и проверки выдвинутой гипотезы. В соответствии с этим
необходимо было выяснить, повысился ли уровень вариативного мышления
учащихся экспериментальных классов (экспериментальной группы), какие
изменения произошли в их восприятии математических задач, стало ли оно
более многогранным, научились ли они лучше видеть их дивергентный характер
и применять разные подходы к их решению.
Для этого тем же учащимся, которые писали стартовую диагностическую
работу была предложена соответствующая контрольная работа (контрольная
работа № 1).
На рисунке 12 наглядно представлены сравнительные результаты по двум
проведённым работам.
22
Рис. 12
Для количественной оценки достоверности наблюдаемых изменений при
сопоставлении результатов написания диагностической работы и контрольной
работы № 1 одной и той же группой учащихся был использован критерий
знаков. Данный критерий позволяет сравнивать состояния исследуемого
свойства у членов двух различных выборок. На основании полученных с его
помощью результатов был сделан вывод, что в результате проведения
экспериментального обучения уровень вариативного мышления учащихся и
навыки использования ими различных интерпретаций для решения задач
возросли.
С целью получения максимально достоверных результатов педагогического
эксперимента была проведена контрольная работа № 2. Она была предложена (в
одном и том же варианте) одновременно (по окончании экспериментального
обучения) учащимся экспериментальной и контрольной групп. В эту работу не
включались задачи с требованием решить их разными способами. Однако они
были подобраны таким образом, что в каждом случае необходимо было
использовать свой подход, не такой, как в других заданиях. Заметим, что в
контрольной группе уроки вели опытные преподаватели, также проводились
предметные курсы по выбору. Кроме того, степень сложности заданий и знания,
необходимые для решения, не выходили за рамки программы обучения
математике во всех отобранных классах. Поэтому полученные результаты не
связаны с объективным общим различием в уровне подготовки учащихся разных
групп.
На рисунке 13 показаны сравнительные результаты экспериментальной и
контрольной групп по данной работе.
23
Рис. 13
Для проверки достоверности гипотезы о существенных различиях в уровне
вариативного
мышления,
наблюдаемом
у
старшеклассников
из
экспериментальных и контрольных классов, был использован критерий МаннаУитни. Нулевая гипотеза состояла в том, что демонстрация и практическое
использование в процессе обучения дивергентных математических задач не
оказывает положительного влияния на развитие вариативного мышления
учащихся и не влияет на развитие у них навыков решения таких задач. На
основании произведённых вычислений и в соответствии с общими правилами
применения данного статистического критерия, нулевая гипотеза была
отклонена и вместо неё принята альтернативная, которая заключается в том, что
использование в обучении дивергентных математических задач положительно
влияет на развитие вариативного мышления учащихся и улучшает их навыки
решения таких задач.
В заключении работы сформулированы основные результаты исследования
и сделанные на их основе выводы.
1. Проведённый анализ методологической, психолого-педагогической,
учебно-методической, математической литературы по исследуемой проблеме
позволил разработать и наглядно представить модель развития вариативного
мышления старших школьников на основе использованием дивергентных задач
в процессе обучения математике.
2. Проведена классификация типов мышления по разным основаниям.
Описано вариативное мышление. Выяснена его важная роль в общей структуре
мыслительной деятельности школьников. В ходе исследования удалось выделить
десять основополагающих качеств вариативного мышления, характеризующих
уровень его развития. Кроме этого, проведено сопоставление содержания
понятия вариативного мышления с родственными ему понятиями дивергентного
мышления и творческого мышления.
3. Рассмотрены индивидуальные особенности мышления обучающихся. В
частности, особенности работы правого и левого полушарий головного мозга
человека и вытекающие отсюда рекомендации к разработке методики обучения
математике в старших классах.
24
4. Рассмотрены различные подходы к определению понятия дивергентной
задачи и дивергентной математической задачи. Выяснено, что имеются разные
трактовки этого понятия. Выделены основные типы дивергентных
математических задач. Перечислены факторы, позволяющие рассматривать ту
или иную задачу в качестве дивергентной и указаны дидактические функции
этих задач.
5. Определены элементы содержания курсов алгебры и начал
математического анализа и геометрии старших классов, представляющие
наиболее широкие возможности по включению дивергентных задач в учебный
процесс и их использованию для развития качеств вариативного мышления и
предметных знаний, умений и навыков учащихся.
6. Выделены основные приёмы развития вариативного мышления
старшеклассников. Многие из них оказываются, так или иначе, связанными с
рассмотрением дивергентных задач различных типов. Одновременно с
развитием качеств вариативного мышления происходит формирование ряда
значимых психических функций – новообразований, таких как рефлексия,
функциональная структуризация, планирование и самоуправление.
7. Включение дивергентных задач по математике в учебный процесс
старших классов должно происходить в соответствии с общими целями
обучения математике. Использование их включает в себя специальные методы,
формы и средства обучения, позволяющие наиболее полно использовать
дидактический потенциал таких задач. Важную роль при этом также играет
создание у старшеклассников устойчивой мотивации к работе с ними.
8. В ходе исследования разработаны группы дивергентных задач по
различным разделам курса математики старших классов в разных профилях
обучения. Опубликовано учебно-методическое пособие «Дивергентные
математические задачи и их визуальные образы», содержащее эти задачи и
методические рекомендации для учителей по их использованию в учебном
процессе.
9. Проведённый педагогический эксперимент показал, что разработанные
теоретические положения и методические рекомендации способствуют
достижению многих важнейших целей обучения. Развиваются сразу несколько
важных черт мышления – вариативность, критичность, образность. Значительно
улучшаются навыки решения задач, причём не столько в результате освоения
новых методов, сколько за счёт формирования общей привычки
переформулировать задачи в удобную форму, целенаправленно искать более
простые рациональные пути решения.
Основное содержание исследования отражено в следующих
публикациях
Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования
и науки Российской Федерации
1.
Крачковский, С. М. Изменяем визуальный облик геометрических
объектов / С. М. Крачковский // Математика в школе. - 2015. - № 8. – С. 47-57. 0,75 п. л.
25
2.
Крачковский, С. М. Методические приёмы развития вариативного
мышления учащихся старших классов / С. М. Крачковский // Человек и
образование. - 2015. -№ 4. - 0,56 п.л.
3.
Крачковский, С. М. Многовариантное визуально-графическое
представление математических задач / С. М. Крачковский // Математика в
школе. - 2013. - № 1. – С. 51-63. - 0,82 п. л.
4.
Крачковский, С. М. О знакомстве школьников с математическими
задачами и результатами, противоречащими интуиции / С. М. Крачковский //
Математика в школе. - 2012. - № 2. – С. 34-42. - 0,63 п. л.
5.
Крачковский, С. М. О развитии вариативного мышления при
обучении математике / С. М. Крачковский // Математика в школе. - 2014. - № 10.
– С. 29-38. - 0,62 п. л.
6.
Крачковский, С. М. О различных подходах к понятию дивергентной
математической задачи / С. М. Крачковский // Образование и общество. - 2015. № 4. – С. 44-48. - 0,56 п. л.
7.
Крачковский, С. М. Смысловые и визуальные сходства и различия
некоторых математических задач / С. М. Крачковский // Математика в школе. 2012. - № 5. – С. 23-34. - 0,78 п. л.
Учебно-методические пособия
8. Крачковский, С. М. Дивергентные математические задачи и их
визуальные образы: учебно-методическое пособие / С. М. Крачковский. – М:
Прометей, 2016. – 166 с. - 10,375 п. л.
Другие публикации
9. Крачковский, С. М. Вариативное визуальное мышление в обучении
математике / С. М. Крачковский // Математическое образование в школе и вузе:
теория и практика (Mathedu-2014): материалы IV Международной конференции.
– Казань: Издательство Казанского университета, 2014. - С. 141-147. - 0,56 п. л.
10.
Крачковский, С. М. Далёкое и близкое в математике: мнимое
сходство и скрытое единство задач / С. М. Крачковский // Учим математике-3:
материалы открытой школы-семинара учителей математики / С. М.
Крачковский. – М.: МЦНМО, 2013. – С. 73-84. - 0,5 п. л.
11.
Крачковский, С. М. Зрительные образы математической задачи / С.
М. Крачковский // Математика. - 2014. - № 1. - С. 10-17. - 0,72 п. л.
12.
Крачковский, С. М. Категории формы и содержания при обучении
математике // Математическое образование в школе и вузе: теория и практика
(Mathedu-2015): материалы V Международной конференции. – Казань:
Издательство Казанского университета, 2015. - С. 168-173. - 0,58 п. л.
13.
Крачковский, С. М. Переформулировки условия и трансформация
задачи. / С. М. Крачковский // Учим математике-5: материалы открытой школысеминара учителей математики / С. М. Крачковский. - М: МЦНМО, 2015. – С.
65-77. - 0,5 п. л.
14.
Крачковский, С. М. Прикладные и занимательные аспекты геометрии
/ С. М. Крачковский // Математика. - 2012. - № 2. - С. 4-8. - 0,57 п. л.
26
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
245
Размер файла
1 411 Кб
Теги
мышление, средств, математика, старшеклассников, развития, вариативного, задачи, дивергентные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа