close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Идентификация анизотропных материалов и моделирование процессов конечного деформирования гипоупругих тел

код для вставкиСкачать
3
Актуальность темы исследования и степень её разработанности.
Структура большого числа естественных и искусственных материалов обладает
элементами симметрии, которые во многом определяют их физические
свойства. Проблеме описания симметрии свойств анизотропных материалов
посвящены многочисленные работы как зарубежных, так и отечественных
авторов: К. Трусделла, А.Е. Грина и Дж. Адкинса, А.В. Шубникова,
С.Г. Лехницкого, Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица, В.В. Лохина и Л.И. Седова,
Ю.И. Сиротина, Я. Рыхлевского, К.Ф. Черныха, Н.И. Остросаблина. О
необходимости проведения испытаний по определению типа анизотропии
свойств материалов говорилось в монографии А.Е. Грина и Дж. Адкинса. В
работах Б.Д. Аннина и Н.И. Остросаблина, И.Ю. Цвелодуба, M.A. Hayes,
J.P. Jarić, A.N. Norris предлагалось идентифицировать тип симметрии свойств
материала на основе преобразований тензора упругости, отнесённого к
произвольной системе координат и содержащего 21 константу материала.
Если упругие константы материала заранее неизвестны, то возникает
проблема идентификации типа симметрии свойств этого материала. Решение
этой проблемы по результатам механических испытаний ранее не
рассматривалось. В 80-е годы XX века группой Д. Шехтмана были открыты
квазикристаллы. Актуальным является определение их упругих свойств, в том
числе нелинейных.
Конструкционные материалы, обладающие анизотропией свойств, могут
работать в условиях повышенных температур и больших деформаций, проявляя
при
этом
существенную
нелинейность
поведения.
Построению
термомеханических моделей конечного деформирования анизотропных тел
посвящены работы А.Е. Грина и Дж. Адкинса, В.И. Левитаса, К.Ф. Черныха,
А.С. Кравчука, А.А. Маркина и М.Ю. Соколовой. В этих работах
определяющие соотношения модели строятся как обобщение на случай
конечных деформаций известных линейных соотношений путём использования
различных энергетически сопряжённых мер напряжений и конечных
деформаций. Однако в настоящее время практически отсутствуют работы,
содержащие экспериментально конкретизируемые модели термоупругого
поведения.
Практически отсутствуют работы, в которых рассматривается решение
связанных краевых задач конечного деформирования анизотропных тел.
Постановка связанной задачи предполагает разработку вариационных
принципов, которые известны для малых деформаций из работ
И.И. Гольденблата, А.Д. Коваленко, М.А. Био.
В связи с этим актуальным представляется построение моделей
конечного деформирования анизотропных тел, разработка экспериментальных
программ идентификации анизотропных материалов, постановка и решение
связанных задач термомеханики при конечных деформациях.
Работа выполнялась в рамках грантов РФФИ № 10-01-97501-р_центр_а
«Моделирование термомеханических процессов в анизотропных средах», 1201-31176-мол_а
«Термомеханические
модели
процессов
конечного
деформирования», 13-01-97501-р_центр_а «Большие деформации и разрушение
4
анизотропных тел», 14-01-31138-мол_а «Построение и экспериментальное
обоснование определяющих соотношений нелинейной теории упругости», 1431-50244-мол_нр «Экспериментальная методика определения упругих свойств
анизотропных материалов», ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры
инновационной России» на 2009-2013 годы, проект 2012-1.4-12-000-1004-6437,
госзадания № 467 Минобрнауки России.
Целью работы является описание термомеханического поведения и
идентификация свойств анизотропных материалов, в том числе кристаллов и
квазикристаллов, при конечных деформациях на основе теории процессов
А.А. Ильюшина.
Основными задачами работы являются:
1) построение термомеханических определяющих соотношений
конечного деформирования анизотропных материалов в рамках обобщения
частного постулата А.А. Ильюшина;
2) разработка программы экспериментов с макрообразцами по
определению типа начальной упругой анизотропии материала;
3) анализ линейных и нелинейных упругих свойств квазикристаллов;
4) постановка и решение связанных задач неизотермического конечного
деформирования анизотропных тел.
Научная новизна работы:
1) сформулировано обобщение частного постулата изотропии
А.А. Ильюшина на случай конечных деформаций анизотропных материалов. В
рамках этого обобщения построены варианты определяющих соотношений для
процессов конечного деформирования гипоупругих анизотропных тел;
2)
разработана
программа
экспериментов,
позволяющая
идентифицировать тип симметрии анизотропного материала;
3) установлено, что тепловые и линейные упругие свойства
икосаэдрических и аксиальных квазикристаллов совпадают со свойствами
изотропных материалов и гексагональных кристаллов соответственно;
4) для аксиальных квазикристаллов, гексагональных кристаллов и
трансверсально-изотропных материалов определена структура тензоров
шестого ранга, характеризующих их нелинейные упругие свойства.
Исследована структура этих тензоров в зависимости от порождающих
элементов группы симметрии анизотропных материалов;
5) предложена вариационная постановка связанной термомеханической
задачи в отсчётной конфигурации. В рамках этой постановки решены новые
задачи конечного деформирования гипоупругих тел.
Теоретическая и практическая значимость работы. Предложенные в
работе
варианты
соотношений
между
напряжениями,
конечными
деформациями и температурой могут быть использованы для моделирования
термомеханического поведения анизотропных тел.
Разработанная программа экспериментов по идентификации типа
начальной упругой анизотропии материала может быть использована в
лабораториях, выполняющих механические испытания новых материалов.
5
Постановка
связанной
термомеханической
задачи
вместе
с
программными средствами её численного решения может быть использована с
целью проведения прочностных и температурных расчётов изделий из
анизотропных материалов.
Методология и методы исследования. Сформулированные задачи
исследования решаются на основе применения термомеханического подхода к
описанию процессов деформирования анизотропных твёрдых тел в рамках
гипотезы сплошности. В качестве основы для формулировки термомеханически
обоснованных нелинейных определяющих соотношений для конечного
равновесного деформирования анизотропных материалов используется теория
процессов А.А. Ильюшина, положения которой в работах Г.Л. Бровко,
В.И. Левитаса,
А.А. Маркина,
А.А. Рогового,
П.В. Трусова
были
распространены на случай конечного деформирования изотропных сред.
С помощью метода, основанного на анализе порождающих элементов
групп симметрии анизотропных материалов, для различных материалов
установлены наборы базисных тензоров, инвариантных относительно
преобразований из этих групп и входящих в канонические представления
тензоров, описывающих как линейные, так и нелинейные тепловые и упругие
свойства материалов.
На защиту выносятся следующие положения:
1)
формулировка обобщения
частного постулата
изотропии
А.А. Ильюшина на конечные деформации анизотропных материалов;
2) термомеханические модели поведения гипоупругих изотропных и
анизотропных материалов при конечных деформациях;
3) программа экспериментов по идентификации типа начальной
анизотропии материала;
4) структура тензоров, описывающих линейные и нелинейные
термоупругие свойства квазикристаллов и кристаллических анизотропных
материалов;
5) постановка связанной термомеханической задачи при конечных
деформациях и методика её численного решения для осесимметричных
изотропных и анизотропных тел.
Достоверность полученных результатов подтверждается:
1) использованием в качестве методологической основы исследований
теории процессов А.А. Ильюшина и термомеханического подхода, введённого
в
механику
сплошных
сред
Л.И. Седовым,
А.А. Ильюшиным,
И.И. Гольденблатом, У. Ноллом, К. Трусделлом;
2) исследованием симметрии свойств материала на основе классических
работ А.В. Шубникова, Ю.И. Сиротина, Э. Спенсера, А. Грина, В.В. Лохина и
Л.И. Седова, а также известных положений теории групп;
3) использованием надёжных численных методов решения краевых задач;
4) совпадением результатов исследования линейных термоупругих
свойств квазикристаллов с известными из литературы экспериментальными
данными современных исследователей;
6
5) качественным совпадением результатов решения связанных
термомеханических задач в частных случаях с известными результатами других
авторов.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы
доложены на научном семинаре по механике деформируемого твёрдого тела
им. Л.А. Толоконникова (научный руководитель – профессор А.А. Маркин,
г. Тула, 2014 г.), на научном семинаре кафедры теории упругости МГУ имени
М.В. Ломоносова (научный руководитель – профессор И.А. Кийко, г. Москва,
2012, 2014 гг.), на научном семинаре по механике деформируемого твёрдого
тела НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова (научный руководитель –
академик РАН И.Г. Горячева, г. Москва, 2014 г.), на научном семинаре кафедры
прикладной математики факультета гражданского строительства университета
Баухаус (научный руководитель – профессор К. Гюрлебек, г. Веймар,
Германия, 2014 г.), на международных научных конференциях «Современные
проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, 2011, 2012, 2013,
2014 гг.), на XVIII Зимней школе по механике сплошных сред (г. Пермь,
2013 г.), на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам
теоретической и прикладной механики (г. Нижний Новгород, 2011 г.), на
международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики,
информатики и механики» (г. Воронеж, 2012 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 42 работы, из них 1
монография, 16 работ в рецензируемых изданиях и сборниках, входящих в
перечень ВАК.
Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав,
заключения, списка использованных источников и двух приложений. Объём
диссертации – 252 страницы. Работа содержит 27 рисунков, 3 таблицы и список
использованных источников из 252 наименований.
Содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы работы, сформулированы
цель и задачи работы, приведён обзор литературы по рассматриваемой
проблеме, изложено краткое содержание и основные результаты работы.
В первой главе приведены основные соотношения, необходимые для
описания процессов конечного деформирования анизотропных тел.
Деформации сплошной среды описываются тензором-аффинором. В полярное
разложение аффинора деформаций Φ  U  R  R  V входят левая и правая
меры искажений U  UT и V  VT , а также ортогональный тензор поворота R
( RT  R 1 ). На их основе строятся тензоры деформаций Коши–Грина
1
ε  (U 2  E) , Генки   ln U , линеаризованный тензор деформаций
2
1  o   o 
Λ
ε   u  u  .
2

7
В работах Г.Л. Бровко, В.И. Левитаса, А.А. Маркина, П.В. Трусова
процессы конечного деформирования сплошной среды описываются с
помощью неголономных мер деформаций различных типов. В данной работе
1
используется одна из них, определяемая из уравнения M  U 1  U  U  U 1 .
2
Мера деформаций M в случае, когда главные оси деформаций в течение
всего процесса деформирования совпадают с одними и теми же материальными
волокнами, совпадает с логарифмическим тензором деформаций Генки Γ .
Первый инвариант меры M характеризует изменение объёма частицы
dV
сплошной среды: M E  θ  ln
. Девиатор M связан только с
dV0
формоизменением.
Для описания напряжённого состояния сплошной среды используются
тензор истинных напряжений Коши S , обобщённый тензор Коши Σ  eθ S ,
«повёрнутый» обобщённый тензор Коши ΣR  R  Σ  R 1 , тензор условных

 
напряжений (первый тензор Пиолы–Кирхгофа) P  Φ1
T

 Σ , энергетический
 
тензор напряжений (второй тензор Пиолы–Кирхгоффа) T  Φ1
T
 Σ  Φ1 .
Процессам деформирования и нагружения, определённым тензорами
   ij e i e j и T  Tij e i e j , ставятся в соответствие их векторные образы э  э i  и
   i  ,
  0,1,2,3,4,5
в
шестимерном
декартовом
пространстве

А.А. Ильюшина с ортонормированным базисом i . Базисным векторам i 
пространства E6 соответствуют тензоры I пространства E3 такие, что
ε  э I для любого симметричного тензора второго ранга. Тензоры I
образуют обобщённый канонический тензорный базис А.А. Ильюшина и
представляются диадными разложениями
1 2 2 1 1
1 1 1 2 2
1
I0 
e e  e e  e 3e 3 , I1 
2e 3e 3  e1e1  e 2e 2 , I 2 
e e e e ,
3
6
2
1 1 2
1 2 3
1 3 1 1 3
I3 
e e  e 2e 1 , I 4 
e e  e 3e 2 , I5 
e e e e .
(1)
2
2
2
1
На его основе строится базис тензоров четвёртого ранга I  I I   I  I .
2
В пространстве E6 основное термомеханическое тождество, записанное с
использованием удельной свободной энергии ψ  U  ST , имеет вид
1
d  SdT    dэ . Вектор напряжений и энтропия определяются














0
соотношениями
  0

,
э
S 

.
T
(2)
8
Основное
термомеханическое
соотношение
в форме Гиббса в
1
шестимерном пространстве записывается в виде dG   э  d   SdT , где G –
0
термодинамический потенциал Гиббса. Из этого выражения следуют
выражения для вектора деформаций и энтропии:
G
G
, S 
.
(3)
э   0
T

Среда является изотропной, если для любого ортогонального
преобразования материального базиса x'i  xi  Q выполняется требование

t
Q1  T( x, t )  Q   Q1  ε( x, )  Q  , T ( x, t ), x
t0

Q  g ,
(4)
где  – функционал, связывающий напряжения, деформации и температуру,
g – полная ортогональная группа. Если условие (4) выполняется не при всех
Q , то среда называется анизотропной. Анизотропная среда обладает
симметрией свойств при выполнении условия

t
Q1  T( x, t )  Q   Q1  ε( x, )  Q  , T ( x, t ), x
t0

Q  g A ,
где g A – подгруппа полной ортогональной группы, называемая группой
анизотропии. Разные анизотропные материалы могут обладать симметрией
свойств различного типа. Тип анизотропии (симметрии свойств) среды
полностью определяется группой g A .
В линейной теории термоупругости зависимость тензора напряжений от
тензора деформаций ε Λ и температуры T имеет вид
S  N ε   B  (T  T0 ) ,
(5)
где N – начальный тензор упругости четвёртого ранга; B – тензор
коэффициентов температурных напряжений второго ранга. Обратные
соотношения имеют вид: ε  C S  A  (T  T0 ) , где C – тензор упругих
податливостей четвёртого ранга, тензор второго ранга A образован
коэффициентами температурных расширений.
Тензоры N и C имеют в общем случае 21 независимую компоненту.
Тензоры A , B , C , N имеют минимальное число независимых постоянных в
системе координат, связанной с кристаллографическими осями. Структуры
матриц тензоров A , B , C , N известны для всех кристаллографических систем.
Во второй главе строятся различные термомеханические модели
обратимого конечного деформирования анизотропных материалов.
Связь между векторами напряжений, деформаций и температурой в
шестимерном пространстве в соответствии с постулатом макроскопической
определимости в случае обратимых процессов можно представить в виде
 (t )  f  э (t ), T (t ) ,
(6)
9
где э (t ) – образ тензора конечных деформаций,  (t ) – образ энергетически
сопряжённого с ним тензора напряжений, f – функция (но не функционал)
вектора деформаций и температуры, моделирующая термомеханические
свойства материала, t – монотонно изменяющийся параметр.
Выбирая различные пары энергетически сопряжённых тензоров
напряжений и деформаций, связь (6) можно представить в виде
T(t )  F ε(t ),T (t ) или ΣR (t )  FM M(t ),T (t ) , где F и FM – некоторые
функции. Использование в определяющих соотношениях мер деформаций ε и
M , инвариантных относительно жёсткого поворота, позволяет тождественно
удовлетворить
требованию
материальной
объективности.
Прямая
термомеханическая задача состоит в установлении связи (6).
При задании процесса нагружения  (t ) и закона изменения температуры
T (t ) в случае, когда откликом материала являются конечные деформации,
необходимо установить связи
э (t )  f 1  (t ),T (t ) ,
(7)
то есть ε(t )  F1 T(t ),T (t ) или M(t )  FM1  ΣR (t ),T (t ) . Установление связи (7)
составляет обратную термомеханическую задачу.
В линейной теории термоупругости решениями прямой и обратной
термомеханических задач являются соотношения Дюгамеля–Неймана (5) и
обратные им соотношения, а в изотермических процессах – закон Гука,
который в пространстве E6 записывается в виде линейных соотношений
(8)
  n  э , э  c  ,
где n , c – симметричные тензоры второго ранга, являющиеся шестимерными
образами тензоров N и C . Связь между тензором четвёртого ранга N в
трёхмерном пространстве и его образом n задаётся соотношениями
Nijkl  ij n  kl , n  ij Nijkl kl , в которых матрицы ij и ij являются
известными из работ А.А. Ильюшина.
По определению Я. Рыхлевского собственным тензором оператора N
(собственным упругим состоянием) называется тензор деформаций ε , для
1
которого N ω   ω , ω  (ε ε ) 2 ε или в шестимерном пространстве
n      , причём вектор  является шестимерным образом тензора ω . В
общем случае разложение тензора n по собственному базису представляется в
виде
n
n    Ω ,
 1
(9)
где n – число различных корней характеристического уравнения, базисные
тензоры Ω , соответствующие однократному корню  , имеют вид
k
Ω    ,
а
соответствующие
корню
кратности
–
Ω      1 1  ...    k 1  k 1 . Из выражения (9) и соотношений (8)
следует разложение тензора упругих податливостей по собственным базисам
10
n
c 
1
 1 
Ω .
(10)
На основе разложений векторов напряжений и деформаций по
собственным подпространствам в работе сформулировано обобщение частного
постулата изотропии А.А. Ильюшина на случай конечных деформаций
анизотропных материалов.
Из разложений (9) и (10) следует инвариантность тензоров n и c как
относительно ортогональных преобразований, связанных с выбором начальной
системы координат, так и относительно преобразований вращения и отражения
в собственных подпространствах.
Распространим данное свойство линейно упругих материалов на
процессы нелинейного деформирования, тогда получим обобщение частного
постулата А.А. Ильюшина на нелинейно упругие анизотропные материалы:
образ термомеханического процесса с траекторией деформирования,
расположенной в собственном подпространстве материала, инвариантен
относительно группы собственных ортогональных преобразований.
Из этого обобщения следует, что термомеханический процесс в каждом
неодномерном собственном подпространстве определяется только внутренней
геометрией траектории и не зависит от ориентации относительно базисных
векторов этого подпространства. Если траектория деформирования материала
полностью расположена в собственном подпространстве, то приведённая
формулировка
обобщения
частного
постулата
допускает
наличие
составляющей
вектора
напряжений,
ортогональной
собственному
подпространству.
В работе сформулирована предельная форма обобщения частного
постулата:
образ
термомеханического
процесса
с
траекторией
деформирования, расположенной в собственном подпространстве, также
расположен в этом подпространстве.
В соответствии с ограничениями, накладываемыми на определяющие
соотношения предельной формой частного постулата, связь между
напряжениями, деформациями и температурой должна содержать только
линейные и квадратичные инварианты, характеризующие материалы
различных типов.
В работе получены определяющие соотношения, удовлетворяющие двум
предложенным формам обобщения частного постулата, на основании
квадратичного представления свободной энергии в виде
n
m 1
1 m 1
0   n э э   G s(2 )   b э (T  T0 )  0 (0) (T ) ,
(11)
2  ,  0
 1
 0
где э , s(2 ) – линейные и квадратичные инварианты деформаций, m и n –
число этих инвариантов для рассматриваемого типа анизотропного материала,
11
T T T

ln   1 , c – удельная теплоёмкость при постоянных
 T0 T0 T0

деформациях.
Если считать входящие в выражение (11) коэффициенты константами
материала, то в соответствии с выражениями (2) получим
 0  c T0 
m 1
m 1
n
   n э i   2G э( )   b i (T  T0 ) ,
 ,  0
 1
 0
T
.
0   0
T0
Соотношения (12) при бесконечно малых деформациях в изотермических
процессах совпадают с законом Гука. Для изотропного материала соотношения
(12) принимают вид   n00 э0i0  2G1э(1) , где первое слагаемое определяет
гидростатические напряжения, а второе описывает напряжения при
формоизменении. По аналогии с изотропным материалом назовём входящие в
выражение (12) константы n модулями упругости, G – обобщёнными
модулями сдвига. Константы b характеризуют температурные напряжения.
В соответствии с постановкой прямой термомеханической задачи
соотношения (12) могут быть записаны в тензорно-линейной форме
следующим образом:
(13)
T  N ε  B(T  T0 ) ,
ΣR  N M  B(T  T0 ) .
(14)
В изотермических процессах выражения (13), (14) принимают вид
(15)
T  N ε ,
(16)
ΣR  N M .
Соотношения (15), (16) представляют собой обобщения закона Гука на
случай
конечных
деформаций.
Тензорно-линейные
определяющие
соотношения (16) записаны через неголономную меру деформаций M и
энергетически сопряжённый с ней тензор напряжений Σ R и представляют
собой модель гипоупругого материала (по определению В. Прагера).
Полагая в представлении свободной энергии (11) коэффициенты n , G
функциями соответствующих линейных и квадратичных инвариантов:
n  n (э0 , э1,..., эm1) ,
получим
следующую
G  G ( s(2 ) ) ,
термомеханическую модель анизотропного материала, удовлетворяющую
предельной форме частного постулата:

m 1  n
n 


G
  0
  
э э  n э  b (T  T0 )  i  2   G  2 s(2 )  э( ) ,

э  ,  0  э
s( )
 1



(17)
m

1
1
T
S
 b э  c ln .
0   0
T0
S
1
m 1
(12)
 b э  c ln
12
В соответствии с выражением (17) процесс в каждом неодномерном
собственном подпространстве э( ) не зависит от процессов в других
собственных подпространствах: если э  э( ) , то    ( ) ; если э  э i , то и
    i .
В работе рассмотрен вариант соотношений (17) для случая, когда

n ( э , э )  n0  n  ( э  э ) , а G ( s(2 ) )  G  G s( ) , где n0 , n  , G ,
G – константы:
m 1


n 
3

n0 э  2n  э э  n  э2  b (T  T0 ) i  2   G  G s( )  э( ) .
2

 ,  0
 1
Эти
соотношения
описывают
явление
разносопротивляемости
изотропного материала растяжению-сжатию. В работе указаны способы
экспериментальной конкретизации этих соотношений.
Взаимное влияние процессов, происходящих в различных собственных
подпространствах, можно учесть, полагая, что входящие в выражение для
свободной энергии (11) коэффициенты n , G зависят от всех инвариантов
деформаций,
определённых
для
данного
типа
материала:


2
2
2


2
2
n  n (э0 , э1,..., эm1, s(1) , s(2) ,..., s( n) ) , G  G (э0 , э1,..., эm1, s(1) , s(2) ,..., s(2n) ) . В
этом случае напряжения определяются соотношениями
m 1  m 1
n

     n э  b (T  T0 )  i  2  G э( ) 
(18)
 0   0


1


m 1  1 m 1 n
n G
n  m 1 n
n G

2
2
 
э э  
s( )  i p    
э э  2  2 s( )  э( q ) .


  ,  0 s(2q )  

p  0  2  ,   0 э p
 1 э p
q

1
 1 s( q )



Если рассмотреть процесс э  э(1)  э3i3 в трансверсально-изотропном
материале, то из соотношений (18) определяются напряжения
G1 2
G1 2
G1 2
1
  2G э(1) 
s(1)i0 
s(1)i1  2 s(1) э(1) 
э0
э1
s(1)
 

G1 2
G1 2  1 G1 2 
э3 i0 
э3 i1   2G  2 э3  э3i3 ,
э0
э1
э3 

которые имеют составляющую, ортогональную э(1) , поэтому определяющие
соотношения (18) удовлетворяют обобщению частного постулата, но не
удовлетворяют предельной форме обобщения.
Для изотропного материала соотношения (18) имеют вид
 1 n00 2
 00

1 n00 2 G1 2
G1 2 
0
   n э0 
э0 
s(1)  b (T  T0 )  i0   2G  2 э0  2 2 s(1)  э(1) .


2 э0
э0
s(1)
s(1)




(19)
13
Формоизменение
( э0  0 ,
s(1)  0 )
приводит
к
появлению
G1
гидростатических напряжений, если выполнено условие
 0 . Таким
э0
образом, соотношения (19) описывают дилатационные эффекты в изотропном
материале в рамках частного постулата, но при этом не удовлетворяют
предельной форме частного постулата.
Использование потенциала Гиббса позволяет получить нелинейные
определяющие соотношения в виде, разрешённом относительно деформаций.
Если реакция материала удовлетворяет предельной форме частного постулата
изотропии, то потенциал Гиббса можно представить в форме квадратичной
зависимости следующего вида:
n
m 1
T T T

1 m 1
0G    c      D t2   a  (T  T0 )  c 0T0  ln   1 ,
2  ,  0
 1
 0
 T0 T0 T0

где   , t2 – линейные и квадратичные инварианты напряжений, c , D , a –
константы материала, c – удельная теплоёмкость при постоянных
напряжениях, a – константы, характеризующие температурные деформации.
В соответствии с выражениями (3) получим
m 1
n
m 1
 ,  0
 1
 0
э   c   i   2 D s( )   a i (T  T0 ) ,
S
1
m 1
T
.
T0
являются
 a   c ln
0   0
Эти определяющие соотношения
решениями обратной
термомеханической задачи.
В третьей главе разработана программа идентификации типа начальной
упругой анизотропии материала. Знание типа анизотропии требуется для
разработки экспериментальных программ по конкретизации материальных
констант и функций, которые входят в определяющие соотношения,
построенные во второй главе. В работах Н.И. Остросаблина, И.Ю. Цвелодуба и
других авторов идентификация типа симметрии свойств материала
выполняется на основе преобразований тензора упругости, отнесённого к
произвольной системе координат и содержащего 21 константу материала. В
диссертации предлагается программа, которая не требует предварительного
определения упругих постоянных.
В качестве объекта исследования рассматривается кубический образец
представительных размеров, рёбра которого направлены по осям лабораторной
системы координат. Базовым в программе является эксперимент по
определению положения главных осей анизотропии в материале. В
соответствии с определением В.В. Новожилова главными осями анизотропии
называются главные оси тензора напряжений, возникающих в анизотропном
материале в ответ на чисто объёмную деформацию. В работе показано, что
14
главные оси анизотропии материала можно определить как главные оси тензора
деформаций, возникающих в материале при гидростатическом сжатии.
Ввиду сложности измерения всех компонент тензора деформаций при
всестороннем сжатии предложено заменить опыт по гидростатическому
нагружению тремя согласованными экспериментами на сжатие.
Если внутреннее строение некоторого анизотропного материала заранее
неизвестно, то базис декартовой системы координат, связанной с элементами
симметрии свойств этого материала, может быть определён из системы
механических экспериментов. Назовём оси такой системы координат
каноническими осями анизотропии материала. Связанные с ними базисные
векторы обозначим k 1 , k 2 , k 3 . Канонические оси анизотропии – это оси
декартовой системы координат, в которой тензоры, описывающие свойства
материала, имеют наименьшее число ненулевых независимых констант.
Разработана система механических экспериментов, позволяющая в
однородном кубическом образце определить направления канонических осей
анизотропии, связанных с элементами симметрии свойств материала.
Если 1   2   3 , то направления главных осей анизотропии a1 , a 2 , a 3
определяются однозначно. Канонические оси анизотропии k 1 , k 2 , k 3 в этом
случае совпадают с главными осями анизотропии, а материал по своим
свойствам может быть ромбическим, моноклинным или триклинным.
Для идентификации триклинного, моноклинного и ромбического
материалов надо провести три эксперимента на сдвиг в плоскостях,
определяемых главными осями анизотропии. Эти эксперименты можно
выполнить как растяжение-сжатие в направлении пар векторов, лежащих в
плоскости двух главных осей анизотропии и повёрнутых вокруг третьей оси на
угол 45 . В триклинном материале в ответ на такие нагружения возникают
деформации общего вида. В ромбическом материале тензоры деформаций и
напряжений соосны. В моноклинном материале тензоры деформаций не соосны
тензорам напряжений, но имеют нулевые компоненты в отличие от
триклинного материала. По отклику материала на приложенные напряжения
каждый из указанных трёх типов однозначно идентифицируется.
Если 1   2   3 , то однозначно определяется главная поворотная ось a 3 ,
а ортогональные ей векторы a1 , a 2 выбираются произвольно. Базисы a1 , a 2 ,
связаны ортогональным тензором поворота
a3 и k 1, k 2 , k 3




Q3  cos k 1k 1  k 2k 2  sin  k 1k 2  k 2k 1  k 3k 3 , так что a i  k i  Q3 , i  1,2,3 ,
а материал может быть тригональным, тетрагональным или гексагональным.
Угол  в гексагональном материале может быть произвольным, так как
упругие свойства такого материала инвариантны относительно любых
поворотов вокруг вектора k 3  a 3 .
Для определения угла  для тригонального и тетрагонального
материалов требуется два эксперимента: растяжение-сжатие вдоль векторов a1 ,
15
a 2 с тензором напряжений t4 (a1a1  a 2a 2 ) и сдвиг в плоскости этих векторов с
тензором напряжений t5 (a1a 2  a 2a1) , который можно осуществить, выполняя
растяжение-сжатие под углом 45 к направлениям a1 , a 2 . Обозначим
измеренные в каждом из этих опытов компоненты тензора деформаций  ij и  ij
соответственно.
Из эксперимента на двухосное растяжение-сжатие тригональный
материал можно отличить от тетрагонального и гексагонального по наличию
отличных от нуля компонент деформаций 13 и  23 . По данным этого
эксперимента угол  для тригонального материала определяется по формуле

1
 ( тр )  arctg 13 .
3
 23
Тетрагональный материал отличается от гексагонального тем, что в
опыте на двухосное растяжение-сжатие для первого 12  0 при   0 , а для
второго 12  0 . При этом для обоих типов материалов 13   23  0 . В случае
тетрагонального
материала
угол
определяется
по
формулам

212t5
1
1
211t4
или  ( т)   arctg
.
 ( т)   arctg
4
11t5  12t4
4
11t5  12t4
Если вычисленный по указанным формулам угол   0 , то канонические
оси анизотропии k i совпадают с главными осями анизотропии a i .
По результатам экспериментов на двухосное растяжение-сжатие и сдвиг в
плоскости векторов a1  k 1 , a 2  k 2 тетрагональный материал отличается от
гексагонального следующим образом:
если
11
t4
то материал гексагональный, а если
11

12

t5
,
(20)
12
,
t4
t5
то материал является тетрагональным.
Если 1   2   3 , то в качестве главных осей анизотропии a1 , a 2 , a 3
следует выбрать оси лабораторной системы координат, в которой проводился
эксперимент. Материал может быть изотропным или кубическим. В
кубическом материале взаимная ориентация векторных базисов a i и k i
определяется ортогональным тензором поворота Q  qij k i k j : a i  k i  Q ,
i  1,2,3 . Показано, что для определения положения канонических осей
анизотропии k i относительно осей лабораторной системы a i достаточно
провести два эксперимента на одноосное сжатие в лабораторной системе
координат. Компоненты тензора Q определяются с помощью численного
решения системы уравнений.
16
Если одна из главных осей анизотропии совпадает с канонической осью
анизотропии кубического материала, например, a 3  k 3 , то тензор поворота




имеет вид Q  Q3  cos k 1k 1  k 2k 2  sin  k 1k 2  k 2k 1  k 3k 3 , и угол 
 
1
определяется выражением  ( к )  arctg 22 33 , где  ij – компоненты тензора
2
12
деформаций при сжатии образца вдоль вектора a1 .
Если по результатам описанных экспериментов тензор Q  E , то
материал является кубическим. Если же Q  E , то главные и канонические оси
анизотропии совпадают, и для идентификации типа материала требуются
дополнительные эксперименты.
Для того, чтобы отличить изотропный материал от кубического,
требуется провести эксперимент на двухосное растяжение-сжатие по
направлениям векторов a1 , a 2 с тензором напряжений t4 (a1a1  a 2a 2 ) и
эксперимент на сдвиг в этой плоскости с тензором напряжений t5 (a1a 2  a 2a1) .
Идентификацию типа изотропного и кубического материалов в канонических
осях анизотропии можно выполнить по критерию (20): если
материал изотропный, а если
11

12
11
t4

12
t5
, то
, то материал является кубическим.
t4
t5
Полученные критерии отнесения материала к одному из известных типов
являются чисто теоретическими, поэтому рассмотрено влияние погрешностей
измерений на применимость условий идентификации в виде точных равенств к
исследованию реальных материалов. Проведена оценка выполнения
сформулированных критериев с учётом погрешностей измеряемых в
экспериментах величин. Показано, что при характерных для современной
испытательной техники величинах погрешностей измерений отклонения
критериев от точных равенств не превышают 5%.
Разработаны варианты экспериментальных программ, предложенных для
идентификации типа анизотропии материала. В этих вариантах эксперименты
на сдвиг в плоскостях главных осей анизотропии заменяются опытами по
кручению сплошного кругового цилиндра. Для изотропного и кубического
материалов получены критерии идентификации, которые обеспечивают
идентификацию типа материала с достаточной точностью. Аналогичные
критерии получены для идентификации тетрагонального и гексагонального
материалов с использованием двух экспериментов по кручению.
Идентификация ромбического, моноклинного и триклинного материалов
также может быть произведена в экспериментах по кручению сплошных
круговых цилиндров моментами M1  M1a1 , M 2  M 2a 2 , M 3  M 3a 3 , где M1 ,
M 2 , M 3 – величины приложенных моментов. При этом ось цилиндра
направлена вдоль одного из векторов a1 , a 2 , a 3 . Определение типа материала
17
основывается на различном для этих трёх материалов характере изгиба оси
цилиндра под действием крутящего момента.
Для компьютерного моделирования экспериментов разработана
прикладная программа, которая осуществляет расчёт и визуализацию
деформаций материального образца (куба или цилиндра) при различных видах
нагружений, предусмотренных предложенными программами экспериментов.
Численное моделирование экспериментов по идентификации типа начальной
упругой анизотропии материала показало, что разработанные программы
экспериментов позволяют при доступной точности измерений правильно
определить тип анизотропного материала.
В четвёртой главе исследуются термомеханические свойства
квазикристаллов – материалов, которые не имеют периодической
кристаллической структуры, но обладают дальним порядком апериодического
типа. Квазикристаллы не обладают трансляционной симметрией, поэтому
могут иметь поворотные оси симметрии 5, 7, 8, 10-го и более высоких
порядков, недопустимые для периодически упорядоченных кристаллов.
Для представления тензоров тепловых и упругих свойств
квазикристаллов в простейшем виде применён подход, состоящий в построении
тензорных базисов, инвариантных относительно групп ортогональных
преобразований, характеризующих симметрию материала. В качестве базисных
тензоров второго ранга используем тензоры (1), построенные в канонических
осях анизотропии.
Симметрия икосаэдрических квазикристаллов характеризуется наличием
пересекающихся поворотных осей пятого и третьего порядка и инверсии.
Группа симметрии таких материалов совпадает с группой симметрии
правильных многогранников – икосаэдра и додекаэдра. Тензоры чётных рангов
инвариантны относительно преобразования инверсии, поэтому в качестве
порождающих элементов группы симметрии икосаэдрических квазикристаллов
рассматриваются только повороты вокруг осей.
Выберем в икосаэдре декартову прямоугольную систему координат так,
что базисный вектор k 3 определяет направление поворотной оси симметрии
пятого порядка, базисный вектор k 1 лежит в плоскости, содержащей оси пятого
и третьего порядков, базисный вектор k 2 перпендикулярен этой плоскости. В
этом случае порождающими элементами группы симметрии икосаэдрического
2
квазикристалла являются поворот вокруг оси k 3 на угол
5
2

( )
2 1 1
2 1 2
(21)
Q3 5  cos
k k  k 2k 2  sin
k k  k 2k 1  k 3k 3
5
5
и поворот




( 2 )


Q  R  R3 3 ,


(22)
где тензор R  cos k 1k 1  k 3k 3  sin  k 1k 3  k 3k 1  k 2k 2 задаёт ориентацию
оси третьего порядка относительно выбранной декартовой системы координат,
18
причём угол 
определяется из геометрических соображений так, что
52 5
10  2 5
,
,
а
тензор
sin  
15
15
1
3 1 2
2
( 2 )
R3 3   e1e1  e 2e 2 
e e  e 2e1  e 3e 3 задаёт поворот на угол
2
2
3
вокруг поворотной оси третьего порядка.
Инвариантными относительно преобразований (21) и (22) являются
базисный тензор второго ранга I 0 , базисный тензор четвёртого ранга I 00 и
линейная комбинация тензоров I11  I 22  I33  I 44  I55 . Канонические
представления тензоров A и C для икосаэдрических квазикристаллов
записываются в виде A  a0I0 , C  c00I00  c11 I11  I 22  I33  I 44  I55
и
cos  






совпадают с каноническими представлениями этих тензоров для изотропного
материала. Таким образом, икосаэдрические квазикристаллы в отношении
термоупругих свойств ведут себя как изотропные материалы.
Аксиальные квазикристаллы имеют одну поворотную ось симметрии
порядка n  5 или n  6 . В плоскостях, перпендикулярных оси симметрии,
атомы расположены квазипериодически. Квазипериодические плоскости
упакованы периодическим образом вдоль оси симметрии. Элементами
симметрии аксиальных квазикристаллов являются поворотная ось симметрии
порядка n , совпадающая с направлением вектора k 3 , и плоскость симметрии,
перпендикулярная этой оси. Порождающими элементами группы симметрии
такого квазикристалла являются ортогональный тензор поворота
( 2 )
2 1 1
2 1 2
(23)
Q3 n  cos
k k  k 2k 2  sin
k k  k 2k 1  k 3k 3
n
n
и ортогональный тензор, задающий отражение относительно плоскости
симметрии,
(24)
Q  k 1k 1  k 2k 2  k 3k 3 .
Для аксиальных квазикристаллов при любом значении n  5 или n  6
инвариантными относительно обоих преобразований (23), (24) являются
базисные тензоры второго ранга I 0 , I1 и тензоры четвёртого ранга I 00 , I 01 , I11 ,




а также линейные комбинации базисных тензоров I 22  I33 , I 44  I55 .
Канонические представления тензоров A и C для квазикристалла, имеющего
поворотную ось пятого порядка и перпендикулярную ей плоскость симметрии,
записываются в виде C  c00I00  c01I01  c11I11  c22 I22  I33  c44 I44  I55 ,




A  a0I0  a1I1 . Разложения тензоров A и C по каноническому тензорному
базису совпадают с каноническими представлениями этих тензоров для
гексагонального материала. Это значит, что в отношении термоупругих свойств
аксиальные квазикристаллы ведут себя как кристаллы, относящиеся к
гексагональной сингонии, или трансверсально-изотропный материал.
19
Механические эксперименты по исследованию начальных упругих
свойств и определению структуры тензора упругости не позволяют отличить
квазикристаллы от кристаллов гексагональной сингонии и трансверсальноизотропного
материала.
Однако
различия
между
аксиальными
квазикристаллами с поворотной осью симметрии 5-го порядка и
квазикристаллами с осью симметрии порядка выше 6-го, а также
гексагональным (или трансверсально-изотропным) материалом, могут
обнаружиться в структуре тензора шестого ранга, определяющего нелинейную
зависимость напряжений от деформаций. Для выявления этих различий
рассмотрим анизотропное упругое тело, для которого свободная энергия
представляется разложением в ряд Тейлора. Если в разложении свободной
энергии сохранить члены третьего порядка, то упругие свойства материала
 3
будут характеризоваться тензором шестого ранга D  3 , симметричным по

первой, второй, третьей парам индексов и их перестановкам:
Dijklmn  D jiklmn  Dijlkmn  Dijklnm  Dijmnkl  Dklijmn .
Применим метод построения инвариантных комбинаций базисных
тензоров для определения структуры тензора D , описывающего нелинейные
упругие свойства аксиальных квазикристаллов, гексагонального и
трансверсально-изотропного материалов. Аналогично тензорному базису
полусимметричных
тензоров
четвёртого
ранга
построим
I
ортонормированный базис тензоров шестого ранга
1
(25)
I  I I  I  I I I   I  I I  I  I I  I I I   I I  I ,
6
симметричных по первой, второй, третьей парам индексов и их перестановкам.
Тензор шестого ранга D однозначно представляется разложением по
базису (25) в виде D  D I . В это разложение должны войти инвариантные


относительно преобразований (23) и (24) базисные тензоры I .
Инвариантными относительно преобразования Q являются базисные тензоры,

для которых выполняются условия I  I . Непосредственная проверка


выполнения этого условия показывает, что каноническое представление
тензора шестого ранга D , описывающего нелинейные упругие свойства
квазикристалла, имеющего поворотную ось порядка n  5 или n  6 и
перпендикулярную ей плоскость симметрии, имеет вид


D  D000I 000  D001I 001  D011I 011  D111I111  D022 I 022  I 033 






 D044 I 044  I 055  D122 I122  I133  D144 I144  I155 




 D244 I 244  I 255  2I345  D245 2I 245  I344  I355 .
(26)
20
Порождающими
элементами
гексагонального

материала являются ортогональный тензор поворота вокруг оси k 3 на угол
3
( )
1
3 1 2
Q33  k 1k 1  k 2k 2 
k k  k 2k 1  k 3k 3
2
2
и ортогональный тензор отражения относительно плоскости, перпендикулярной
оси k 3 , Q  (24). Каноническое представление тензора шестого ранга D ,
описывающего нелинейные упругие свойства гексагонального материала,
имеет вид

группы

симметрии




D  D000I 000  D001I 001  D011I 011  D111I111  D022 I 022  I 033 







 2I  I

 D044 I 044  I 055  D122 I122  I133  D144 I144  I155  D222 I 222  3I 233  (27)




 D223 3I 223  I 333  D244 I 244  I 255  2I 345  D245
245
344

 I355 .
Каноническое представление тензора шестого ранга D , описывающего
нелинейные упругие свойства трансверсально-изотропного материала,
совпадает с представлением (26).
Группа симметрии материала может порождаться только одним
элементом – поворотом вокруг оси k 3 . Примерами таких материалов могут
быть идеальный графен и графен с дефектами структуры.
Если порождающим элементом группы симметрии анизотропного
материала служит только ортогональный тензор поворота вокруг оси k 3 , то для
квазикристаллов с поворотной осью симметрии пятого порядка каноническое
представление тензора шестого ранга D отличается от разложения (26), так как
оно будет включать все двенадцать тензоров I и их линейных комбинаций,
инвариантных относительно преобразования поворота (21):


D  D000I 000  D001I 001  D011I 011  D111I111  D022 I 022  I 033 






 D044 I 044  I 055  D122 I122  I133  D144 I144  I155 

I


  D  2I

.
 D224 I 224  2I 235  I334  D225 I 225  2I 234  I335 
 D244
244
 I 255  2I345
245
245
 I344  I355
Для квазикристаллов с поворотной осью симметрии порядка n  6 и
трансверсально-изотропного материала при отсутствии плоскости симметрии
каноническое представление тензора шестого ранга D имеет вид (26). В случае
гексагонального материала при отсутствии плоскости симметрии каноническое
представление тензора D имеет вид (27). При этом наборы инвариантных
базисных тензоров шестого ранга у гексагонального материала и
квазикристалла с поворотной осью симметрии пятого порядка без плоскости
симметрии различны.
21
Таким образом, тензоры второго и четвёртого рангов, описывающие
линейные термоупругие свойства, имеют одинаковую структуру для
гексагональных кристаллов, трансверсально-изотропных материалов и
аксиальных квазикристаллов с осью симметрии порядка n  5 или n  6 .
Каноническое представление тензора D , описывающего квадратичную
зависимость напряжений от деформаций, для гексагональных материалов
содержит двенадцать независимых компонент, а для трансверсальноизотропных материалов и аксиальных квазикристаллов с поворотной осью
симметрии n -го порядка и перпендикулярной плоскостью симметрии – десять
независимых компонент, причём представления тензора D для этих материалов
одинаковы. Тензор D для трансверсально-изотропных материалов и
аксиальных квазикристаллов с поворотной осью симметрии порядка n  6
имеет одинаковый вид при наличии и при отсутствии плоскости симметрии.
Для аксиальных квазикристаллов с поворотной осью симметрии 5-го порядка
каноническое представление тензора D в этом случае содержит двенадцать
независимых компонент, но отличается от представления тензора D для
гексагонального материала набором инвариантных базисных тензоров.
В пятой главе выполнена вариационная постановка связанной
термомеханической задачи в отсчётной конфигурации. На основе уравнения
o
равновесия в отсчётной конфигурации  P  F  0 с использованием
кинематических соотношений и связи между тензорами напряжений получено
условие равновесного протекания процесса деформирования в отсчётной
конфигурации
 
o
 1

1
1
  U  ΣR  R  U  ΣR  R  U  ΣR  R  (v )dV0 

V0 
  P0  vdΣ0   F  vdV0 ,
Σ0
(28)
V0
где P0  n0  P – скорость изменения вектора внешней нагрузки, приложенной
на внешней поверхности Σ0 с вектором единичной внешней нормали n0 , F –
скорость изменения вектора массовых сил.
Для конкретизации вариационного уравнения равновесия (28) для
гипоупругого материала используются тензорно-линейные определяющие
соотношения (14). Из этих соотношений при постоянных N и B следует
скоростная форма записи определяющих соотношений для гипоупругого
материала
ΣR  N M  BT .
(29)
В работе получено уравнение теплопроводности в вариационной форме
o 

o 
B

M
T

c

T

T
dV


n

q

Td


Λ


T


 0 
0
0

 0 0
  0   T  dV0 , (30)
 

V0
0
V0 
22
где q0 – вектор теплового потока, Λ 0 – отнесённый к начальному состоянию
тензор теплопроводности с положительно определённой матрицей компонент.
В уравнении (30) учитывается влияние деформационных характеристик
процесса на температурное поле.
Основными уравнениями системы связанной термомеханической задачи
являются: вариационное условие равновесного протекания процесса
деформирования (28); определяющие соотношения в форме (29); уравнение
теплопроводности в вариационной форме (30); эволюционные соотношения
o
o
1 1
1
T
M  U  U  U  U , U  U  U  U  ( v )  Φ  Φ  (v ) ,
2
dΣ (x ,t )
dT (х ,t )
du
, ΣR (x ,t )  R
, T (х ,t ) 
x V0 ;
v
dt
dt
dt
начальные условия
 
 
и (х, t0 )  и0 (х) , ΣR (х, t0 )  Σ(0)
x V0 ;
R (х) , T (х, t0 )  T0 (х)
граничные условия статического, кинематического или смешанного типа

(31)
Р0  Р0 (x, t ) х  Σ р t  t0 ,


u  u  (x, t ) x  Σu
t  t0 ,
(32)
 Рi  Рi (x, t ),
(33)
i  j х  Σ рu t  t0 ,


u

u
(x,
t
),
 j
j
причём Σ0  Σ р Σu Σ рu , Σ р Σu   , Σ р Σ pu   , Σu Σ pu   ;
граничные условия для температуры, теплового потока или свободного
теплообмена, который описывается законом Ньютона,
(34)
T  T  (х, t ) х  ΣT t  t0 ,
q0  q0* (х, t )
х  Σq
t  t0 ,
(35)
o
(36)
n0  Λ0   T  α  (T  Tн )  0 х  Σc t  t0 ,
где α – коэффициент теплообмена. Поверхности ΣT , Σ q , Σ c не пересекаются:
Σ0  ΣT Σq Σc , ΣT Σq   , ΣT Σc   , Σq Σc   . При задании
граничных
условий
полагаем,
что
функции
(31)–(34)
являются
дифференцируемыми функциями времени.
Основными неизвестными в рассматриваемой термомеханической задаче
являются вектор перемещений u , тензор напряжений S и температура T .
Интегрирование системы указанных уравнений выполняется численными
методами конечных элементов и пошагового нагружения, которые реализованы
в прикладной программе.
С использованием разработанной программы выполнен расчёт
напряжённо-деформированного состояния в полом прямом круговом
толстостенном ( Rвн / Rнар  0,75 ) изотропном цилиндре под действием
внутреннего давления при постоянной температуре T0  300K без учёта
23
влияния деформаций на температурное поле. Граничные условия задачи:
r  Rвн : P0( r )  pt , P0()  P0( z )  0 , T  0 ; r  Rнар : P0( r )  P0()  P0( z )  0 , T  0 ;
z  0 : ur  u  uz  0 , T  0 ; z  L : ur  u  uz  0 , T  0 ; p – скорость
изменения давления.
Расчёты проводились до деформаций 20%. В этих расчётах интерес
представляет изменение формы цилиндра с ростом давления. Геометрически
нелинейная постановка задачи позволяет проследить за образованием и
развитием «бочкообразности». На рисунке 1 изображены формы расчётной
области (половины осевого сечения цилиндра) при различных уровнях
деформаций, полученные в процессе расчёта.
Рисунок 1 – Формы расчётной области для цилиндра
при различных деформациях: а) 5%; б) 10%; в) 15%; г) 20%
Анализ полученных результатов показывает, что линейное решение
совпадает с нелинейным до уровня деформаций 1,5%. При деформации 20%
наибольшая величина радиального перемещения точки на внутренней
поверхности цилиндра, рассчитанная по нелинейной теории, превышает
соответствующую величину, рассчитанную по линейной теории, на 17%.
Решена задача о конечном деформировании полого прямого кругового
толстостенного ( Rвн / Rнар  0,5 ) изотропного цилиндра при следующих
граничных условиях: r  Rвн : P0( r )  pt , P0()  P0( z )  0 , Tвн  500K ; r  Rнар :
P0( r )  P0()  P0( z )  0 ,
Tнар  300 K ;
z  0:
P0( r )  0 ,
u  uz  0 ,
q0( r )  q0()  q0( z )  0 ; z  L : P0( r )  0 , u  uz  0 , q0( r )  q0()  q0( z )  0 , где p –
скорость изменения давления, Tвн , Tнар – температуры окружающей среды,
24
контактирующей с внутренней и наружной поверхностями цилиндра.
Начальная температура цилиндра T0  300K .
Решения найдены в двух вариантах постановки задачи: связанной и
несвязанной. Поля напряжений, деформаций и температуры не зависят от
осевой координаты. Результаты решения представлены на рисунках 2–7.
Сплошные линии на этих рисунках соответствуют решению связанной задачи,
штриховые – несвязанной. Графики построены для моментов времени 0,4с,
0,8с, 1,2с, 1,6с, когда внутреннее давление достигает величин соответственно
0,1G , 0,2G , 0,3G , 0,4G , где G – модуль сдвига материала цилиндра.
Анализ полученных решений показывает, что учёт связанности при
решении термомеханической задачи может оказывать значительное влияние на
температурное поле, величины деформаций и осевых напряжений, но мало
влияет на значения радиальных и тангенциальных напряжений в цилиндре.
Различия в значениях температур, деформаций и осевых напряжений,
найденных в рамках связанной и несвязанной постановок, увеличиваются с
ростом деформаций. Величины различий существенно зависят от значений
термомеханических констант материала и от характера внешних воздействий.
Рисунок 2 – Распределение радиальных
напряжений в цилиндре
Рисунок 3 – Распределение окружных
напряжений в цилиндре
Рисунок 4 – Распределение осевых
напряжений в цилиндре
Рисунок 5 – Распределение температуры
в цилиндре
25
Рисунок 6 – Распределение радиальных
деформаций в цилиндре
Рисунок 7 – Распределение окружных
деформаций в цилиндре
Исследовано напряжённо-деформированное состояние цилиндрического
композитного баллона, образованного спирально-кольцевой намоткой
стекловолокнистого материала с пропиткой эпоксидным связующим и
последующей полимеризацией, под действием внутреннего давления в
неоднородном нестационарном температурном поле. Слои волокон с
различными углами намотки чередуются по толщине стенки баллона. Каждый
двойной спиральный слой представляет собой два слоя, в которых намотка
производилась под одним углом  , но в разных направлениях. Известными
являются свойства каждого слоя композита из экспериментов на растяжение
вдоль и поперёк волокон. В главных осях анизотропии материал каждого слоя
рассматривается как трансверсально-изотропный. Ось симметрии бесконечного
порядка направлена вдоль волокон.
Целью расчёта является определение напряжённо-деформированного
состояния цилиндрического баллона с внутренним радиусом Rвн  0,076 м и
наружным радиусом Rнар  0,1м под действием внутреннего давления,
находящегося в неоднородном нестационарном температурном поле. Решается
связанная термомеханическая задача. Начальная температура во всех точках
цилиндра T0  273K . Граничные условия (31)–(36) в этой задаче имеют вид:
r  Rвн : P0( r )  pt , P0()  P0( z )  0 , T (t )  T0  t ; r  Rнар : P0( r )  P0()  P0( z )  0 ,
T (t )  T0  t ; z  0 : P0( r )  0 , u  uz  0 , q0( r )  q0()  q0( z )  0 ; z  L : P0( r )  0 ,
u  uz  0 , q0( r )  q0()  q0( z )  0 , где p – скорость изменения давления,  –
скорость изменения температуры.
Результаты
расчётов
напряжённо-деформированного
состояния
композитных баллонов представлены на рисунках 8–11. На этих рисунках
показаны распределения напряжений, отнесённых к величине внутреннего
давления, по толщине стенки баллона. Размеры баллона во всех расчётах были
одинаковыми. Расчёты проводились для четырёх вариантов числа слоёв, угла
намотки  и скорости изменения температуры на поверхности баллона: 1)
четыре двойных спиральных слоя,   30o ,   0,5K/с ; 2) четыре двойных
26
спиральных слоя,   45o ,   0,5K/с ; 3) четыре двойных спиральных слоя,
  45o ,   1K/с ; 4) восемь двойных спиральных слоев,   45o ,   1K/с .
Рисунок 8 – Распределение окружных
напряжений по толщине стенки баллона
Рисунок 9 – Распределение осевых
напряжений по толщине стенки баллона
Расчёты по предлагаемой методике позволяют найти касательные
напряжения Sz , возникающие между слоями композита из-за стремления
соседних слоёв к закручиванию под действием внутреннего давления в поле
температур (рисунки 10, 11). Порядок этих напряжений сопоставим с порядком
окружных и осевых напряжений (рисунки 8, 9), поэтому учёт касательных
напряжений при оценке прочности баллона имеет существенное значение.
Рисунок 10 – Распределение касательных
напряжений по толщине стенки баллона
Рисунок 11 – Распределение касательных
напряжений по толщине стенки баллона
Конечное температурное поле во всех расчётах оказывается практически
одинаковым и однородным, так как стенка баллона успевает прогреться до
конечной температуры, заданной на поверхности баллона.
В рамках постановки связанной краевой задачи конечного
деформирования численно решена задача о неизотермическом продавливании
предварительно обжатого резинового шара через отверстие меньшего диаметра.
Радиус шара в недеформированном состоянии r0  10 мм. Материал шара
изотропный. Процесс деформирования шара состоит из двух стадий. На первой
стадии происходит осесимметричное обжатие, в результате которого шар
27
помещается внутрь цилиндра радиусом r1  9 мм. На второй стадии к шару
прикладывается давление p , линейно возрастающее с течением времени.
Схема нагружения шара на второй стадии приведена на рисунке 12:
r1  9 мм, r2  8,16 мм,   60 . Начальная температура во всех точках T0  293K .
Граничные условия (31)–(36) при рассматриваемой
схеме нагружения принимают вид: x   : P   ptn0 ,
Tн  2000K ; x   2 : vn  0 , P  0 , Tн  293K ; x   3 :
P0( r )  P0( )  P0( z)  0 , Tн  293K .
Результаты
расчётов
напряжённодеформированного
состояния
резинового
шара
представлены на рисунках 13–16. На этих рисунках
показаны распределения напряжений, отнесённых к
модулю сдвига G .
До приложения давления (при p  0 ) в шаре
Рисунок 12 – Схема
нагружения шара
действуют сжимающие напряжения, вызванные его
деформациями при помещении шара в цилиндр меньшего радиуса. Наибольшие
по модулю напряжения на этой стадии процесса деформирования возникают в
экваториальном сечении шара, контактирующем с внутренней поверхностью
цилиндра.
а)
б)
в)
Рисунок 13 – Распределения напряжений в шаре при p  0 :
а) радиальные напряжения; б) окружные напряжения; в) осевые напряжения
28
а)
б)
в)
Рисунок 14 – Распределения напряжений в шаре при p  0,496G :
а) радиальные напряжения; б) окружные напряжения; в) осевые напряжения
а)
б)
в)
Рисунок 15 – Распределения напряжений в шаре при p  0,832G :
а) радиальные напряжения; б) окружные напряжения; в) осевые напряжения
29
а)
б)
в)
Рисунок 16 – Распределения напряжений в шаре при p  1,176G :
а) радиальные напряжения; б) окружные напряжения; в) осевые напряжения
При возрастании давления абсолютные значения напряжений в теле
увеличиваются, а характер их распределения по сечению шара изменяется.
Величина возникающих напряжений и деформаций существенно зависит от
начального радиуса шара и геометрических параметров поверхности  2 .
Температурное поле в шаре за время расчёта (0,14с) практически не изменяется.
Приведённое решение задачи позволяет проследить за развитием
напряжённо-деформированного состояния и изменением температуры в
осесимметричном теле при конечных деформациях, а также демонстрирует
возможность моделирования сложных термомеханических процессов в таких
телах с помощью разработанной прикладной программы.
В заключение отметим, что в представленной работе решена важная
научная проблема, состоящая в разработке моделей термомеханического
поведения анизотропных тел при конечном деформировании и программ
экспериментальной идентификации типа анизотропного материала, а также в
вариационной постановке и численном решении связанных задач
неизотермического конечного деформирования анизотропных тел.
Основные результаты работы:
1. Сформулировано обобщение частного постулата изотропии на
нелинейно упругие анизотропные материалы, а также предельная форма
обобщения.
2. Предложены варианты определяющих соотношений, связывающих
напряжения, конечные деформации и температуру в анизотропных материалах.
30
Проведён анализ этих соотношений с точки зрения удовлетворения обобщению
частного постулата изотропии.
3. Разработана программа экспериментов по определению типа начальной
анизотропии материала.
4. Установлено, что линейно упругое поведение икосаэдрических
квазикристаллов идентично поведению изотропных материалов, а упругое
поведение аксиальных квазикристаллов в линейном приближении идентично
реакции гексагональных и трансверсально-изотропных материалов.
5. Показано, что учёт нелинейности упругих свойств аксиальных
квазикристаллов позволяет установить их отличие от гексагональных
материалов.
6.
Предложена
вариационная
постановка
связанной
задачи
неизотермического конечного деформирования анизотропных тел в отсчётной
конфигурации. На основе данной постановки решён ряд осесимметричных
изотермических и связанных задач конечного деформирования изотропных и
анизотропных тел.
7. Решение связанной термомеханической задачи о конечном
деформировании полого цилиндра показало существенное влияние учёта
связанности на распределение температуры, напряжений и деформаций.
Содержание диссертации отражено в 42 публикациях автора, основными
из которых являются следующие:
1.
Маркин,
А.А.
Процессы
упругопластического
конечного
деформирования [Текст] / А.А. Маркин, М.Ю. Соколова, Д.В. Христич. – Тула:
Изд-во ТулГУ, 2011. – 374 с.
2. Маркин, А.А. Постулат А.А.Ильюшина для анизотропных
материалов и вариант определяющих соотношений [Текст] / А.А. Маркин,
М.Ю. Соколова, Д.В. Христич // Известия РАН. Механика твёрдого тела. –
2011. – № 1. – С. 38–45.
3. Соколова, М.Ю. Модель упругопластического деформирования
нелинейных анизотропных материалов [Текст] / М.Ю. Соколова, Д.В.
Христич // Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 2. Часть 2. – Тула:
Изд-во ТулГУ, 2013. – С. 239–250.
4. Соколова, М.Ю. О симметрии термоупругих свойств
квазикристаллов [Текст] / М.Ю. Соколова, Д.В. Христич // Прикладная
математика и механика. – 2014. – Т. 78. – Вып. 5. – С. 728–734.
5. Соколова, М.Ю. Описание конечных деформаций твёрдых тел в
отсчётной конфигурации [Текст] / М.Ю. Соколова, Д.В. Христич //
Прикладная механика и техническая физика. – 2012. – Т. 53. – № 2. – С.
156–166.
6. Христич, Д.В. Аналитическое определение симметрии свойств
квазикристаллов [Текст] / Д.В. Христич // Известия ТулГУ. Естественные
науки. Вып. 1. – Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. – С. 81–88.
7. Христич, Д.В. Варианты нелинейной связи между напряжениями и
деформациями в анизотропных материалах [Текст] / Д.В. Христич //
31
Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 1. Часть 1. – Тула: Изд-во
ТулГУ, 2014. – С. 216–224.
8. Христич, Д.В. К вопросу об определении главных осей анизотропии
материала [Текст] / Д.В. Христич // Известия ТулГУ. Естественные науки.
Вып. 2. – Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. – С. 203–213.
9. Христич, Д.В. Компьютерное моделирование экспериментов по
определению типа начальной анизотропии упругих материалов [Текст] /
Д.В. Христич // Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 4. – Тула: Издво ТулГУ, 2014. – С. 110–119.
10. Христич, Д.В. Критерий экспериментальной идентификации
гексагонального, тригонального и тетрагонального материалов [Текст] /
Д.В. Христич // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. – 2013. – № 2. – С. 67–72.
11. Христич, Д.В. Критерий экспериментальной идентификации
изотропного и кубического материалов [Текст] / Д.В. Христич // Известия
ТулГУ. Естественные науки. Вып. 3. – Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. – С. 110–
118.
12. Христич, Д.В. Критерий экспериментальной идентификации
ромбического, моноклинного и триклинного материалов [Текст] / Д.В.
Христич // Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 3. – Тула: Изд-во
ТулГУ, 2013. – С. 166–178.
13.
Христич,
Д.В.
Моделирование
процесса
конечного
деформирования анизотропных тел [Текст] / Д.В. Христич //
Вычислительная механика сплошных сред. – 2013. – Т. 6, № 4. – С. 410–419.
14. Христич, Д.В. Нелинейные упругие свойства анизотропных
кристаллов и аксиальных квазикристаллов [Текст] / Д.В. Христич //
Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 1. – Тула: Изд-во ТулГУ, 2013.
– С. 111–122.
15. Христич, Д.В. Постановка задачи конечного деформирования
анизотропных тел в терминах начальной конфигурации [Текст] / Д.В.
Христич, Ю.В. Астапов, Л.В. Глаголев // Известия ТулГУ. Естественные
науки. Вып. 3. – Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. – С. 148–157.
16. Христич, Д.В. Программа экспериментов по определению
главных осей анизотропии материала [Текст] / Д.В. Христич, Р.А. Каюмов,
И.З. Мухамедова // Известия КГАСУ. – 2012. – № 3 (21). – С. 216–224.
17. Христич, Д.В. Решение краевых задач нелинейной
термоупругости [Текст] / Д.В. Христич, М.Ю. Соколова // Известия ТулГУ.
Естественные науки. Вып. 1. – Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. – С. 123–136.
18. Соколова, М.Ю. Нелинейные задачи анизотропной термоупругости
[Текст] / М.Ю. Соколова, Д.В. Христич // IX Всероссийский съезд по
теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Т. III (Нижний
Новгород, 22–28 августа 2006). – Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского
госуниверситета им. Н.И.Лобачевского, 2006. – С. 197–198.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа