close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Отчет(2)

код для вставкиСкачать
Московский Авиационный Институт
(Государственный технический университет)
ОТЧЕТ
по лабораторной работе № 2
“Определение результирующих оценок альтернатив”
по курсу: «Системный анализ»
Группа: 03-322.
Студенты:
Амбарцумян Ю.А.
Медынский С.А.
Преподаватели:
Татарникова Е. М.
Корнилов А.В.
Москва 2011 г.
Содержание отчета:
1. Задание………………………………………………………………………………….3
2. Перечень объектов, подлежащих оцениванию……………………………………....4
3. Обоснование выбранной шкалы, на которой будет происходить оценка важности
объектов……………………………………………………………………………………5
4. Результаты применения метода парных сравнений…………………………………7
5. Результаты использования метода одномерного шкалирования……………………9
6. Выводы по результатам использования методов парных сравнений и одномерного
шкалирования……………………………………………………………………………..11
Цель работы: освоить методы определения важности объектов, критериев или
параметров в результате проведения опроса группы экспертов.
Исходные данные:
Имеется список восьми объектов для экспертизы и шесть экспертов, проводящих
ранжирование имеющихся альтернатив (молочных продуктов):
1. Кефир
2. Молоко
3. Творог
4. Сыр
5. Йогурт
6. Простокваша
7. Сметана
8. Ряженка
Ранговая шкала
Критерии, измеримые в ранговой шкале, позволяют судить о предпочтительности
или эквивалентности объектов. Ранговая шкала задаёт на множестве критериальных
оценок объектов слабое упорядочение. Любое монотонное преобразование шкалы
недопустимо. Разности ранговых оценок не имеют смысла. Наибольшее распространение
ранговые шкалы получили в методах обработки экспертной информации о сравнительных
оценках качественных свойств объектов.
Шкала интервалов
Данная шкала допускает линейное преобразование в виде линейной функции для
критерия u допустимо преобразование вида:
(u)  k1  k 2  u
Оценки объектов в шкале интервалов зависят от произвольно заданных
фиксированных величин k1(начала отсчёта) и k2(масштаба, задающего единицу
измерения). Шкала интервалов позволяет сравнивать не только сами оценки объектов, но
и разности между оценками.
Шкала отношений
Эта шкала допускает преобразования для критерия u следующего вида:  (u)  k  u
Шкала отношений позволяет сравнивать не только интервалы между оценками, но и
их отношения. Используется для измерения характеристик, у которых нулевая точка –
начало отсчёта (масса, длина, направление).
1. Метод парных сравнений
Определить важность объектов по методу парных сравнений можно путём
определения важности объектов в парах (парные сравнения) и дальнейшем переходе к
оценке важности всех N объектов.
Процедура определения важности заключается в присвоении ему веса. Реализация
метода происходит следующим образом: эксперту предлагают присвоить «веса»,
рациональные с его точки зрения каждой паре объектов : rs. Если объекту с номером r
эксперт, имеющий индекс j, присвоил «вес» brsj , то «вес» объекта номер s: bsrj 1  brsj .
Анализ полученных данных удобнее вести, скомпоновав brsj в матрицу B. Её
диагональные элементы не заполняются.
Введённые матрицы весов объектов:
Амбарцумян Ю.:
Объект
1
2
3
4
5
6
7
8
0.2
0.6
0.7
0.8
0.9
0.7
0.8
0.5
1
0.8
0.6
0.6
0.7
0.9
0.8
0.8
0.5
2
0.4
0.4
0.6
0.8
0.9
0.8
0.7
0.5
3
0.3
0.4
0.4
0.7
0.9
0.8
0.7
0.5
4
0.2
0.3
0.2
0.3
0.8
0.7
0.6
0.5
5
0.1
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.1
0.5
6
0.3
0.2
0.2
0.2
0.3
0.8
0.6
0.5
7
0.2
0.2
0.3
0.3
0.4
0.9
0.4
0.5
8
Медынский С.:
Объект
1
0.5
1
0.8
2
0.7
3
0.6
4
0.4
5
0.1
6
0.7
7
0.1
8
2
0.2
0.5
0.1
0.2
0.3
0.1
0.4
0.1
3
0.3
0.9
0.5
0.3
0.4
0.2
0.6
0.1
4
0.4
0.8
0.7
0.5
0.6
0.1
0.3
0.2
5
0.6
0.7
0.6
0.4
0.5
0.2
0.4
0.3
6
0.9
0.9
0.8
0.9
0.8
0.5
0.8
0.6
7
0.3
0.6
0.4
0.7
0.6
0.2
0.5
0.4
8
0.9
0.9
0.9
0.8
0.7
0.4
0.6
0.5
Максименко А.:
Объект
1
2
0.9
0.5
1
0.1
0.5
2
0.4
0.9
3
0.7
0.9
4
0.2
0.6
5
0.4
0.8
6
0.3
0.7
7
0.3
0.7
8
3
0.6
0.1
0.5
0.9
0.2
0.3
0.4
0.3
4
0.3
0.1
0.1
0.5
0.1
0.3
0.3
0.2
5
0.8
0.4
0.8
0.9
0.5
0.9
0.9
0.8
6
0.6
0.2
0.7
0.7
0.1
0.5
0.4
0.4
7
0.7
0.3
0.6
0.7
0.1
0.6
0.5
0.4
8
0.7
0.3
0.7
0.8
0.2
0.6
0.6
0.5
Вареничев А.:
Объект
1
0.5
1
0.1
2
0.4
3
0.2
4
0.3
5
0.6
6
0.3
7
0.2
8
2
0.9
0.5
0.8
0.6
0.8
0.9
0.7
0.6
3
0.6
0.2
0.5
0.3
0.4
0.7
0.4
0.3
4
0.8
0.4
0.7
0.5
0.6
0.9
0.7
0.6
5
0.7
0.2
0.6
0.4
0.5
0.9
0.6
0.4
6
0.4
0.1
0.3
0.1
0.1
0.5
0.3
0.2
7
0.7
0.3
0.6
0.3
0.4
0.7
0.5
0.4
8
0.8
0.4
0.7
0.4
0.6
0.8
0.6
0.5
Тихонов В.:
Объект
1
0.5
1
0.9
2
0.8
3
0.4
4
0.2
5
0.2
6
0.7
7
0.3
8
2
0.1
0.5
0.4
0.3
0.1
0.2
0.4
0.2
3
0.2
0.6
0.5
0.4
0.1
0.2
0.4
0.3
4
0.6
0.7
0.6
0.5
0.2
0.3
0.6
0.4
5
0.8
0.9
0.9
0.8
0.5
0.7
0.9
0.8
6
0.8
0.8
0.8
0.7
0.3
0.5
0.9
0.6
7
0.3
0.6
0.6
0.4
0.1
0.1
0.5
0.1
8
0.7
0.8
0.7
0.6
0.2
0.4
0.9
0.5
Шишкова Е.:
Объект
1
0.5
1
0.3
2
0.8
3
0.9
4
0.4
5
0.2
6
0.2
7
0.3
8
2
0.7
0.5
0.8
0.9
0.7
0.3
0.3
0.4
3
0.2
0.2
0.5
0.7
0.4
0.1
0.2
0.3
4
0.1
0.1
0.3
0.5
0.4
0.1
0.2
0.3
5
0.6
0.3
0.6
0.6
0.5
0.2
0.3
0.4
6
0.8
0.7
0.9
0.9
0.8
0.5
0.7
0.6
7
0.8
0.7
0.8
0.8
0.7
0.3
0.5
0.7
8
0.7
0.6
0.7
0.7
0.6
0.4
0.4
0.5
Результаты индивидуальных парных сравнений усредняются, что приводит к
формированию матрицы B, каждый элемент которой вычисляется по формуле:
blk 
1 P j
 b lk
P j 1
Матрица В:
0.5
0.5
0.5
0.5
0.583 0.567
0.517 0.55
0.283 0.467
0.267 0.4
0.417 0.45
0.233 0.367
0.417
0.433
0.5
0.5
0.283
0.267
0.367
0.267
0.483
0.45
0.5
0.5
0.367
0.3
0.383
0.333
0.717
0.533
0.717
0.633
0.5
0.517
0.567
0.517
0.733
0.6
0.733
0.7
0.483
0.5
0.65
0.55
0.583
0.55
0.633
0.617
0.433
0.35
0.5
0.4
0.767
0.633
0.733
0.667
0.483
0.45
0.617
0.5
В связи с тем, что удобнее оперировать не с brs , а их функциональными аналогами – rs «весами»: rs  brs / bsr  brs /(1  brs ) .
1
0.715 0.828 2.534 2.745 1.398 3.292
1
1
0.763 0.818 1.141 1.5
1.222 1.725
1
1.398 1.309 1
1
2.534 2.745 1.725 2.745
1.0703 1.222 1
1.725 2.333 1.611 2.003
1
0.395 0.876 0.395 0.58 1
0.934 0.7637 0.9342
0.364 0.667 0.364 0.429 1.0704 1
0.5385 0.8182
0.715 0.818 0.58 0.621 1.3095 1.8571 1
1.5425
0.304 0.58 0.364 0.499 1.0704 1.222 0.6483 1
В случае согласованного назначения всеми экспертами «весов» формула для нахождения
вектора q имеет вид: qr 
qr

N
q
s 1
s
1
N
q
s 1
s
qr
N
bsr 1
)
или
q

(
sr ) 1


r
b
s 1 rs
s 1
В результате получим: qr  (
N
Проверим согласованность весов:
T
q  ( 0.1601 0.13383 0.193 0.1732 0.08075 0.069754 0.112277 0.07112)
Условие
N
N
i 1
i 1
 qi  1 (  qi  0.998 ) не выполняется.
Проводим корректировку «весов»:
Рассчитываем по формуле Zrs ln ( rs) .
Матрица Zrs:
0
0
0
0
-0.33547
-0.2705
-0.067
-0.2009
0.9298 1.012
0.134 0.405
0.336
0.201
1.19
0.547
0.33547
0.067
-0.9298
0.2705
0.2009
-0.134
0
0
-0.928
0
0
-0.547
0.928
0.547
0
1.012
0.847
-0.067
0.547
0.475
-0.268
1.012
0.693
-0.067
-1.012
-0.336
-1.19
-0.405
-0.201
-0.547
-1.012
-0.547
-1.012
-0.847
-0.475
-0.693
0.067
0.268
0.067
0
0.619
0.201
-0.619
0
-0.4334
-0.201
0.4334
0
Восстановленные матрицы:
Матрица 1:
Матрица 2:
Матрица 3:
Матрица 4:
Матрица 5:
Матрица 6:
Матрица 7:
Матрица 8:
Среднее арифметическое 8-ми матриц:
По формуле
осуществляем обратный переход к матрице «весов»:
Корректированная матрица «весов»:
Проверим
x  ( 1 2 3согласованность
4 5 6 7 8 0 ) весов:
q  ( 0.17950098 0.1199904 0.18261505 0.162006 0.09811232 0.07523322 0.1028902 0.079675)
Условие
N
q
i 1
i
 1 выполняется.
Шкала важностей по методу парных сравнений:
Таким образом, получим следующее упорядочивание объектов по найденной важности:
1
2
3
4
5
6
7
8
A3
A1
A4
A2
A7
A5
A8
A6
Творог
Кефир
Сыр
Молоко
Сметана
Йогурт
Ряженка
Простокваша
0.18261
0.1795
0.162
0.11999
0.10289
0.09811
0.07967
0.07523
2. Метод одномерного шкалирования.
Определить важность объекта можно, используя метод одномерного шкалирования. В
основу данного метода положено использование ранжировок данных экспертами.
Полученная от эксперта ранжировка используется для построения матрицы парных
cравнений, в которой на пересечении строки, соответствующей i-му объекту, и столбца,
соответcтвующего j-му объекту, становится оценка xij :
1  если i  ый объект предпочтительнее j  го
xij  
 0  в противномслучае
На главной диагонали проставляются нули. Т.к. в процедуре участвует несколько
экспертов, то для каждого из них заполняется матрица парных сравнений, и каждый
элемент этой матрицы делится на N – общее количество экспертов, участвующих в
процедуре.
В результате получается обобщённая матрица P, показывающая процентное соотношение
тех случаев, когда i-ый объект оказался предпочтительнее объекта j-го.
Предполагается, что полученная оценка предпочтительности является случайной
величиной, распределённой по нормальному закону, а разность между оценками двух
объектов можно выразить как: qi  q j  Zij ij , где
qi , q j - шкальные оценки объектов ai и a j
 ij - СКО предполагаемого распределения
Z ij - нормированное отклонение, соответствующее Pij (частоте предпочтения),
определяется по формуле: G(Z ij )  Pij 
Zij


t2
1 3
e dt с использованием таблиц
2
нормального распределения.
На основании исходной матрицы P образуют матрицу Z, в которой каждый элемент zij
представляет различие между i-м объектом и j-м в среднеквадратических отклонениях.
Для каждого i-го объекта подсчитывают сумму zij : zi 
N
z
j 1
ij
z
и среднее значение: ~
zi  i
N
T
Zi  ( 0.97 0.634 1.091 0.499 2.386 1.319 0.903 2.681)
Т.к. выбранная шкала интервальная, целесообразно перейти к шкале, на которой
задаётся относительная важность объектов. С этой целью возвращаются к величинам
P
Pi  G(~
zi ) и полученные значения нормируют Pi  n i
 Pi
i 1

3
P  0.326 0.103 0.337 0.121 3.335 10
i
3
0.037 0.072 1.434 10

Pi называют показателями относительной важности объектов. В заключение метода
осуществляется проверка на непротиворечивость полученных результатов. Для этого
находят Pij и вычисляют разности между полученными значениями Pij и исходными.
Определяют среднее отклонение:
n

ij
n(n  1)
0.156
0.303
0.087
0.061
0.159
0.144
0.039
0.01
0.357
0.431
i , j 1
 0 0.446 0.048 0.429 3.962 10 4
 0 0 0.458 0.053
0.46

4
0 0
0 0.277 2.541 10
0 0
0
0
0.304
  
0
0
0
0 0

0
0
0
0 0
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0

0
 4
3
5.143 10
0
0
0
0

0.313 

5
8.095 10 

0.152

0.05


0.58

0.129 

0

1.305 10
Поскольку наибольшее по абсолютной величине отклонение между расчётной частотой и
взятой из экспертных оценок
что меньше, чем 3 средних отклонения
(0,585), то можно говорить, что назначенные экспертами оценки не противоречивы.
Шкала важностей по методу одномерного шкалирования
Таким образом, получим следующее упорядочивание объектов по найденной важности:
1
2
3
4
5
6
7
8
A3
A1
A4
A2
A7
A6
A5
A8
Творог
Кефир
Сыр
Молоко
Сметана
Простокваша
Йогурт
Ряженка
0.337
0.326
0.121
0.103
0.037
0.013
0.003335
0.001434
Выводы
В данной лабораторной работе была определена важность объектов по методу парных
сравнений и по методу одномерного шкалирования, и были получены следующие
результаты:
Метод парных сравнений
1
2
3
4
5
6
7
8
A3
A1
A4
A2
A7
A5
A8
A6
Творог
Кефир
Сыр
Молоко
Сметана
Йогурт
Ряженка
Простокваша
0.18261
0.1795
0.162
0.11999
0.10289
0.09811
0.07967
0.07523
Метод одномерного шкалирования
1
2
3
4
5
6
7
8
A3
A1
A4
A2
A7
A6
A5
A8
Творог
Кефир
Сыр
Молоко
Сметана
Простокваша
Йогурт
Ряженка
0.337
0.326
0.121
0.103
0.037
0.013
0.003335
0.001434
Из сравнения выше приведённых таблиц видно, что полученные результаты несколько
отличаются, но различия полностью определяются спецификой используемых методов.
Следует отметить, что метод парных сравнений обладает меньшей вычислительной
сложностью, а метод одномерного шкалирования позволяет сделать выводы о
согласованности оценок экспертов.
Принцип
Кондорсе
Кефир
Творог и Сыр
Молоко
Простокваша
Сметана
Йогрут
Ряженка
Принцип Борда
Медиана Кемени
Метод парных
сравнений
Метод
одномерного
шкалирования
Кефир
Творог
Сыр
Молоко
Простокваша
Сметана
Йогрут
Ряженка
Кефир
Творог
Сыр
Молоко
Простокваша
Сметана
Йогрут
Ряженка
Творог
Кефир
Сыр
Молоко
Сметана
Йогурт
Ряженка
Простокваша
Творог
Кефир
Сыр
Молоко
Сметана
Простокваша
Йогурт
Ряженка
Документ
Категория
Экономико-математическое моделирование
Просмотров
5
Размер файла
544 Кб
Теги
отчет
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа