close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Kursovoj (2)

код для вставкиСкачать
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ
II.
I.
Записать уравнения ЛА в виде.
1.
x  Ax  Bu  B1u* ;
y  Cx  Du .
Исходные уравнения
1.1.
  a1  a2  a3(в  в*)  fmz ;
  a4  by .
Обозначим  z   ,     , получим
d
 z ;
dt
dz
 a1z  a2 (   )  a3 ( в   в* ) ;
dt
d
 a4 (  ) .
dt
1
0 
 
 0
 0 




x  z  ; u  [в ] ; A   a2  a1 a2  ; B   a3  ; B1= B.
 a4
  
 0 
 a4 
Выбор матриц C и D определяется (На этапе синтеза системы стабилизации!)
переменными, графики которых необходимо анализировать. Если представляют
интерес графики (t ) и  z (t ) , тогда
1.2.
1 0 0
C
 ; D=0.
0 1 0
2.
Матрицы ЛА вводятся в командном окне следующим образом:
a = [0 1 0; -a2 -a1 a2; a4 0 -a4];
b = [0; -a3; 0];
b1 = [0; -a3; 0];
c = [1 0 0; 0, 1 0];
d = 0;
3.
Задать матрицы весовых коэффициентов функционала


 x
I  ( xT Qx  uT Ru)dt  [ xT uT ]E  dt ,
u
0
0


,
0
q11 0

Q   0 q22 0  ;
 0
0 q33
1
max  0,5 1 ; q22  2 ,
,
max 
Q 0 
;
 0 R
где E  
q11 
q33 
1
2
max
1
2
max
z max
R  [r11] ;
z max  1 5 ;
hmax
0,5  2м / с
 57,3 
 57,3 ;
V0
V0
r11 
1
в2max
,
в max  1 3 .\
Ввод матриц весовых коэффициентов в программу
Ввод числовых значений (после знака % указаны размерности)
teta_max = 1;
% град
omega_max = 1;
% с^-1
Teta_max = 1;
% град
delta_h_max = 1; % град
Ввод матриц
> q_teta = 1/teta_max^2; q_omega = 1/omega_max^2;
q_Teta = 1/Teta_max^2;
> r_delta_h = 1/delta_h_max^2;
> q = [q_teta 0 0;0 q_omega 0;0 0 q_Teta]
> r = r_delta_h
4.
Вычислить матрицу коэффициентов передачи оптимального закона управления k
u (t) = -Kx(t).
Или для данного случая
 
k3 ]  z 
  
u(t )  в (t )  [k1 k2
В программе матрица k вычисляется с помощью команды
> k = lqr(a,b,q,r)
5.
Замкнуть систему.
Уравнения замкнутой системы.
x  Ax  B(Kx)  ( A  BK) x  A1x
y  Cx  Du
Вычислим матрицу A1
> a1=a-b*k;
6.
При синтезе системы стабилизации тангажа важным параметром является
заданию
в (t)  в max , где в max определяется типом РМ.
6.1.
Покажем сначала, как построить график производных вектора выхода
Пусть уравнение объекта имеет вид
x  Ax  Bu
, D=0.
y  Cx
Дифференцируя уравнение измерений и учитывая первое уравнение, получим:
y  Cx  C( Ax  Bu)  CAx  CBu .
Введем новый вектор выхода
y1  y y T , тогда:
 y  C   0 
y1       x   u
 y  CA CB
или
y1  C1x  D1u ,
C
где С1 =   , D1 =
CA
6.2.
в (t) . По
0
CB .
 
Используем полученный результат для построения
Для оптимального ЗУ:
в (t)  Kx  KAx  KBu .
в (t)  Kx ,
Организуем вектор выхода:
0
0
   1
 0 
  
  0

1
0    0 
y1   z   
 

 в  
 z   0  в
K
  
    

 KB
 в    KA 
или
y1  C2 x  D2u ,
0
0
1
0
1
0
где С2 = 
, D2 =


K


  KA 
 0 
 0 

.
 0 


 KB
в (t ) .
y (t )
В программе матрицы С2 и D2 вычисляется следующим образом
> c1 = [c;-k];
% выходной вектор с b
> c2 = [c1;-k*a1];
% выходной вектор с b
> d2 = [0;0;0;-k*b]; % выходной вектор с b
Компоновка замкнутой системы управления
> sys=ss(a1,b1,c2,d2);
Построение переходных процессов для интервала времени от 0 до 10 с.
> step(sys,10);
> hold on;
Вызов программы ltiview для анализа замкнутой системы во временной и частотной областях
> ltiview(sys);
7.
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
Рекомендации по синтезу оптимальной системы стабилизации.
Задать максимальные значения переменных из рекомендуемого диапазона.
Вычислить весовые коэффициенты.
Сформировать или скорректировать матрицы Q и R.
Вычислить матрицу K (см. п.4).
Замкнуть систему (см. п.5).
Скомпоновать объект для моделирования.
7.7.
Построить переходные процессы для выходного вектора
действии данного в задании возмущения.
Замечание: если внешнее воздействие – приведенная сила
fy

y1T   z  в в
или приведенный момент
 при
f m z , то
следует изменить матрицу B LAZ(B) в соответствии с исходными уравнениями ЛА (см. п.1.1).
7.8.
Определить время регулирования
(t ) ; максимальное значение    z (t )
Сравнить их с допустимыми значениями
Определить
и
в (t) .
max  5 10  c в max  10  40  c .
уст и сравнить с max  0,5 . Если имеется запас по этим переменным
то вернуться к пункту 3 и скорректировать весовые коэффициенты. При этом
необходимо учитывать следующие закономерности:
-увеличение весового коэффициента q11 приводит к уменьшению статической ошибки по углу
тангажа;
-увеличение весового коэффициента q22 уменьшает колебательность системы, уменьшает
максимальное значение (t ) , делает переходный процесс по углу тангажа более «затянутым»;
-увеличение R уменьшает отклонение руля, но увеличивает время регулирования и статическую
ошибку.
Уменьшение указанных коэффициентов приводит к противоположным результатам. Изменение
всех весовых коэффициентов функционала в одно и тоже число раз не изменяет переходный
процесс.
Для облегчения синтеза системы стабилизации удобно сформировать m-файл.
III.
Синтез фильтра Калмана для системы стабилизации тангажа.
1.
Постановка задачи.
Для реализации оптимального закона управления руля высоты
в (t)  k1(t)  k2z (t)  k3 (t)
необходимо непрерывно измерять все компоненты вектора состояния
 ,  z и  . Для
 и  z используют гироскопические приборы, а измерение угла наклона
траектории  представляет известные трудности. Поставим задачу в двух вариантах:
-по измерению (t ) ;
-по измерению (t ) и  z (t ) .
измерения
Необходимо восстановить весь вектор состояния.
Такая задача в любой из приведенных постановок может быть решена использованием
алгоритма фильтра Калмана (ФК). В достаточно общей постановке задача синтеза ФК
формулируется следующим образом.
Для данных уравнений объекта, возбуждаемого белым шумом w(t )
x  Ax  Bu  Gw(t )
и уравнений измерений, содержащих аддитивную ошибку типа белого шума
(t )
y  Cx  v(t) ,
где M[w(t)]  0 , M[v(t)]  0 ;
Gw(t )

Gw(t  ) v(t  )  N ( ) , N  Q 0  .
M 

 0 R
 v(t ) 

Здесь M – математическое ожидание.
Получить оценку

Xˆ (t ) вектора состояния X (t ) , минимизирующую ошибку

I  M x(t )  xˆ(t )T x(t )  xˆ(t ) .
Приведем математическую модель летательного аппарата (ЛА) и измерений к требуемому виду.
Для этого необходимо учесть случайные возмущения, действующие на ЛА и ошибки
измерителей.
2.
Математическая модель объекта управления.
Уравнения ЛА при учете составляющей турбулентности нормальной к траектории имеют вид
[Хованский Ю. М., Пономарев В.К. Стабилизация летательных аппаратов , 1979].
  a1  a2  a3в  a2в ;
  a4  a4в
или в векторной форме:


0
1
0
 
d 
z   a2  a1 a2
dt  
  
a4
0  a4
где
в 
Wy
; Wy
V0
   0a 
    0 
z
3
 0 


в   a2 в ,
 a4 
- нормальная к траектории турбулентность атмосферы.
Обычно турбулентность атмосферы моделируют с помощью формирующих фильтров первого
порядка:
W (t )  TW (t )  2T  W  (t ) .
Или второго порядка:
W1 (t ) 
W (t ) 
где
W
T 
V0
L
, L –масштаб турбулентности ( L  100 200м );
-среднеквадратическое значение скорости ветра (  W
 2  3м для средней
турбулентности).
Для формирующего фильтра первого порядка корреляционная функция имеет вид:
KW ( )  W2 e2T 
,
а спектральная плотность:
SW () 
2TW2
.
T2   2
График спектральной плотности
SW ()
приведен на рис.1 (кривая 1).
Если область существенных частот замкнутой системы расположена так, как это указано на
рис.1, то спектральную плотность SW ( ) можно заменить прямой линией 2 соответствующей
белому шуму со спектральной плотностью Sбш() 
соответствует корреляционная функция
2W2
Т
. Этой спектральной плотности
Kбш ( )  q ( ) , где q 
2 W2
Т
.
Вернемся к уравнениям ЛА в векторной форме. Вектор случайных внешних воздействий можно
записать следующим образом:
 0 
 0 
W


f (t )   a2  в   a2  y
V
 a4 
 a4  0
.
Матрицу корреляционных функций для этого вектора при замене
Wy
эквивалентным белым
шумом как показано выше получим так
 0 

Wy (t )Wy (t   )


0  a2 a4  
K f ( )  M f (t ) f (t   )  M  a2 
2
V
0
 a4 



0
0
0


1
 2 0
a22
 a2a4 q ( )  Q ( )
V0 
a42 
0  a2a4


T
0
0  2
0

 2 W L .
2
a

a
a
Здесь Q  0
2
2
4

 V3
2
a4  0
0  a2 a4
3.
Математическая модель измерителей.
4.
Пусть измеряются
1 0 0
 и  z , тогда матрица С  
,
0 1 0
 и 
;
zи 
а вектор v(t )  
и
и
 zи
-широкополосные случайные ошибки соответствующих гироскопических
измерителей, моделируемые, как правило, уравнениями первого порядка. Корреляционные
функции эквивалентных белых шумов К( )  r ( ) , r 
2 2

, где

1
TФ
-
среднеквадратическая ошибка и постоянная, обратная постоянной времени фильтра прибора
( Tф  0,1с ).    0,1град ,    0,1град/ с .
Корреляционная функция ошибок измерителей в этом случае имеет вид:


  (t )и (t   ) и (t )zи (t   ) 
K ( )  M v(t )vT (t   )  M  и

zи (t )и (t   ) zи (t )zи (t   )
0 
r

 ( )  R ( )
 0 rz 
Здесь обозначено
0 
r
N 
;
0
r
 z 

5.
6.
r 
2 2

;
Если измеряется только  , то
Уравнения фильтра Калмана.
rz 
2 2z
z
;
C  1 0 0 , v  и  , R  r  .
Уравнение фильтра Калмана для установившегося состояния имеют вид:
xˆ  Axˆ  Bu  L( y  Cxˆ) , где матрица коэффициентов передачи L  PCT N 1 ,а Р является
единственным положительно-определенным решением алгебраического уравнения Риккати:
AP  PAT  PCT R1CP  Q  0 .
Матрица Р это матрица ковариаций ошибки оценки вектора состояния, т.е.

P  M x(t )  xˆ(t )x(t )  xˆ(t )T

при t 

Диагональные элементы этой матрицы являются дисперсиями ошибок оценок соответствующих
компонент вектора состояния и служат для определения точности оценок в установившемся
состоянии.
7.
Расчет фильтра Калмана на ЭВМ
Ввод матриц объекта управления для расчета фильтра Калмана:
an=a; bn=[0; -a2; a4]; cn= c; dn=d;
Ввод интенсивностей шумов
qn = [2*sigmaW*sigmaW*L/V0^3]
rn11 = [2*sigmateta*sigmateta*Tf];
rn22 = [2*sigmaomega*sigmaomega*Tf];
Формирование матрицы интенсивностей ошибок измерителей
rn = [rn11 0; 0 rn22]
Формирование объекта для синтеза ФК
sysn = ss(an,bn,cn,dn)
Расчет ФК
[kest, L, P] = kalman(sysn,qn,rn)
Результатом выполнения команды kalman являются 3 объекта: kest, L, P.
Первый объект kest содержит информацию о фильтре Калмана в виде
xˆ  Axˆ  Bu  L( y  Cxˆ) ,
 yˆ  C D
 xˆ    I  xˆ   0 u
     
Второй и третий объекты это матрица коэффициентов передачи ФК L и матрица ковариаций
ошибки оценки вектора состояния P.
Вычисление собственных чисел (корней характеристического уравнения ФК)
eig(kest)
Анализ процеесов и построение частотных характеристик ФК
ltiview(kest)
Исследование замкнутого оптимального регулятора с ФК осуществляется с помощью схему
Simulink, вызываемой командой
Reg_FK_2
III.
1.
Исследование свойств замкнутой системы стабилизации ЛА.
Уравнение замкнутой системы:
X  AX  BU   (t ).
-уравнение объекта;
ˆ
-закон управления;
U  FX
ˆ
X  AXˆ  BU  H f ( y  CXˆ )
-уравнение ФК;
-уравнение измерений
y  CX  (t )
или
X  AX  BFXˆ   (t). ;

Xˆ  AXˆ  BFXˆ  H f CX  H f (t )
.
В векторной форме последние два уравнения можно записать так:
 BF
  X  I 0   (t )
d X   A







dt  Xˆ  H f C A  BF  H f C  Xˆ  0 H f  (t )
.
ˆ
Если ввести вектор ошибок оценки e  X  X , получим:
BF   X  I
0   (t )
d  X   A  BF





A  H f C   e  I  H f  (t )
dt  e   0
A1
B1
2.
Статистические характеристики замкнутой системы.
Матрица ковариаций вектора
 X 
DX  M   X T
 e 


eT 


удовлетворяет матричному уравнению Ляпунова:
 0  T
A1 DX  DX A1T  B1 
 B1  0 .
0 N 
Т
В пакете СС4 Имеется специальная команда LYAPUNOV, предназначенная для решения
уравнения
F T P  PF  G  0
относительно матрицы Р при заданных матрицах F и G.
Матрица DX вычисляется следующим образом:
STATE>F=A1
STATE>G=B1*T*B1’
STATE>LYAPUNOV,F,T,DX
Замечание1: Предполагается, что матрицы A1,T,B1 предварительно сформированы следующим
образом:
STATE>A1=(A-B*F,B*F;ZERO(3,3),A-HF*C)
STATE>B1=(IDEN(3),ZERO(3,3);IDEN(3),-HF)
STATE>T=(TETA#MU*N)
Замечание2: Матрицы A,B,F,HF,C,TETA,N, коэффициент   MU определены на этапах
синтеза оптимального ЗУ и ФК.
Диагональные элементы матрицы DX для вектора состояния X (t )   z  имеют

следующий смысл:
d11    , d 22   z , d33   , d 44  
2
2
2
2
,
 ˆ

d55   z ˆ z , d66   2ˆ .
2
При вычислении среднеквадратических ошибок (СКО) следует учитывать тот факт, что в
уравнениях ЛА углы измеряются в радианах. Для СКО в градусах следует использовать
формулы
   57,3 d11 ,  z  57,3 d22
и т.д.
3.
Корни характеристического уравнения замкнутой системы.
Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:
SI 0   A  BF
BF 


  SI  ( A  BF) SI  ( A  H f C)  0


A  H f C
 0 SI   0
Т.о. замкнутая система имеет 2n полюсов, из которых n полюсов соответствует матрице A-BF
замкнутой системы и n полюсов соответствуют матрице А  H f C фильтра Калмана.
Вычислить собственные числа матрицы позволяет команда EIGENVAUE,A,D,X.
Здесь A - n n исходная матрица, D - n  2 матрица, чьи столбцы являются действительной и
мнимой частями собственных чисел А: Х - n n матрица, чьи столбцы являются собственными
векторами матрицы А.
Последовательность команд для определения собственных чисел замкнутой системы:
STATE>A1=A-B*F
STATE>EIGEN,A1,D1
STATE>D1
-на экран выводятся собственные числа оптимального
регулятора.
STATE>A2=A-HF*C
STATE>EIGEN,A2,D2
STATE>D2
-на экран выводятся собственные числа фильтра Калмана.
Собственные числа ФК определяют скорость «списания» ошибок оценок вектора состояния,
определяют время готовности стационарного фильтра. Если время готовности не удовлетворяет
техническим требованиям, то необходимо использовать ФК с переменными коэффициентами
или несколько раз изменять коэффициенты в процессе первого этапа оценивания.
Документ
Категория
Теория систем управления
Просмотров
12
Размер файла
522 Кб
Теги
kursovoy
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа