close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

5x5 5k+4

код для вставкиСкачать
Исследование операций.
Каждый из двух игроков имеет по 5 фишек. Каждый игрок независимо от другого
распределяет свои фишки по l позициям. Выигрыш игрока складывается из выигрышей,
полученных им на каждой позиции. Если на позиции количество размещенных игроком
фишек оказалось одинаковым, то выигрыш каждого игрока 0.Игрок,разместивший на
позиции большее количество фишек, выигрывает эту позицию и все фишки противника,
расположенные на ней. Стоимость позиции и стоимость 1 фишки – 1 единица.
Для параметра l=5*k+4, k = 0,1,2,3,…,построить матрицу антагонистической игры и найти
её решение .Х* - множество оптимальных стратегий игрока 1, Y*- множество
оптимальных стратегий игрока 2.
Решение.
Рассмотрим общий случай l.Так как матрица А очень велика, посчитаем матрицу В.
Очевидно, что размерность матрицы В (7х7).
1)5+0
2)4+1+0
3)3+2+0
4)3+1+1+0
5)2+2+1+0
6)2+1+1+1+0
7)1+1+1+1+1+0
Подсчёт матрицы В в общем виде.
Разбиения
5+0
4+1+0 3+2+0 3+1+1+0 2+2+1+0 2+1+1+1+0 1+1+1+1+1+0
5+0
b11
b12
b13
b14
b15
b16
b17
4+1+0
b21
b22
b23
b24
b25
b26
b27
3+2+0
b31
b32
b33
b34
b35
b36
b37
3+1+1+0
b41
b42
b43
b44
b45
b46
b47
2+2+1+0
b51
b52
b53
b54
b55
b56
b57
2+1+1+1+0
b61
b62
b63
b64
b65
b66
b67
1+1+1+1+1+0 b71
b72
b73
b74
b75
b76
b77
b11=1*1/l*(l-1)/l-1*(l-1)/l*1/l=0
5,5 5,0
0,5 0,0
b12=5*1/l*1/l+2*1/l*1/l+1*1/l*(l-2)/l-1*( l-1)/l*1/l-1*(l-1)/l*1/l=(7-l)/(l*l)
5,4 5,1 5,0
0,4 0,1 0,0
b13=4*1/l*1/l+3*1/l*1/l+1*1/l*(l-2)/l-1*(l-1)/l*1/l-1(l-1)/l*1/l=(7-l)/(l*l)
5,3 5,2 5,0
0,3 0,2 0,0
b14=4*1/l*1/l+2*1/l*2/l+1*1/l*(l-3)/l-1*(l-1)/l*1/l-1*(l-1)/l*2/l=(8-2*l)/(l*l)
5,3 5,1 5,0
0,3 0,1 0,0
b15=3*1/l*2/l+2*1/l*1/l+1*1/l*(l-3)/l-1*(l-1)/l*2/l-1*(l-1)/l*1/l=(8-2*l)/(l*l)
5,2 5,1 5,0
0,2 0,1 0,0
b16=3*1/l*2/l+2*1/l*3/l+1*1/l*(l-4)/l-1*(l-1)/l*1/l-1*(l-1)/l*3/l=(9-3*l)/(l*l)
5,2 5,1 5,0
0,2 0,1 0,0
b17=2*1/l*5/l+1*1/l*(l-5)/l-1*(l-1)/l*5/l=(10-4*l)/(l*l)
5,1 5,0
0,1 0,0
1
b23=4*1/l*1/l+3*1/l*1/l+1*1/l*(l-2)/l-2*1/l*1/l-2*1/l*1/l+1*1/l*(l-2)/l-1*(l-2)/l*1/l-1*
*(l-2)/l*1/l=3/(l*l)
4,3 4,2 4,0
1,3 1,2 1,0
0,3 0,2 0,0
b24=4*1/l*1/l+2*1/l*2/l+1*1/l*(l-3)/l-2*1/l*1/l+1*1/l*(l-3)/l-1*(l-2)/l*1/l-1* (l-2)/l*2/l=
=(6-l)/(l*l)
4,3 4,1 4,0
1,3 1,1 1,0
0,3 0,1 0,0
b25=3*1/l*2/l+2*1/l*1/l+1*1/l*(l-2)/l-2*1/l*2/l+1*1/l*(l-3)/l-1*(l-2)/l*2/l-1* (l-2)/l*1/l=
=(4-l)/(l*l)
4,2 4,1 4,0
1,2 1,1 1,0
0,2 0,1 0,0
b26=3*1/l*1/l+2*1/l*3/l+1*1/l*(l-4)/l-2*1/l*1/l+1*1/l*(l-4)/l-1*(l-2)/l*1/l-1* (l-2)/l*3/l=
=(7-2*l)/(l*l)
4,2 4,1 4,0
1,2 1,1 1,0
0,2 0,1 0,0
b27=2*1/l*5/l+1*1/l*(l-5)/l-1*5/l*(l-2)/l+1* (l-5)/l*1/l=(10-3*l)/(l*l)
4,1 4,0
1,1 1,0
0,1 0,0
b34=-3*1/l*1/l+2*1/l*2/l+1*1/l*(l-3)/l+2*1/l*2/l+1*1/l*(l-3)/l-1*(l-2)/l*1/l-1*(l-2)/l*2/l=
=(5-l)/(l*l)
3,3 3,1 3,0
2,3 2,1 2,0
0,3 0,1 0,0
b35=3*1/l*2/l+2*1/l*1/l+1*1/l*(l-3)/l+2*1/l*1/l+1*1/l*(l-3)/l-1*(l-2)/l*2/l-1*(l-2)/l*1/l=
=(10-l)/(l*l)
3,2 3,1 3,0
2,2 2,1 2,0
0,2 0,1 0,0
b36=3*1/l*1/l+2*1/l*3/l+1*1/l*(l-4)/l+2*1/l*3/l+1*1/l*(l-4)/l-1*(l-3)/l*1/l-1*(l-2)/l*3/l=
=(15-2*l)/(l*l)
3,2 3,1 3,0
2,2 2,1 2,0
0,2 0,1 0,0
b37=2*1/l*5/l+1*1/l*(l-5)/l+2*1/l*5/l+1*1/l*(l-5)/l-1*(l-2)/l*5/l=(20-3*l)/(l*l)
3,1 3,0
2,1 2,0
0,1 0,0
b45=3*1/l*2/l+2*1/l*1/l+1*1/l*(l-3)/l-2*2/l*2/l+1*2/l*(l-3)/l-1*(l-3)/l*2/l-1*(l-3)/l*1/l=
=0
3,2 3,1 3,0
1,2 1,1 1,0
0,2 0,1 0,0
2
b46=3*1/l*1/l+2*1/l*3/l+1*1/l*(l-4)/l-2*2/l*1/l+1*2/l*(l-4)/l-1*(l-3)/l*1/l-1*(l-3)/l*3/l=
=(5-l)/(l*l)
3,2 3,1 3,0
1,2 1,1 1,0
0,2 0,1 0,0
b47=2*1/l*5/l+1*1/l*(l-5)/l-1*(1-3)/l*5/l+1*2/l*(l-5)/l=(10-2*l)/(l*l)
3,1 3,0
1,1 1,0
0,1 0,0
b56=-2*1/l*1/l+2*2/l*3/l+1*2/l*(l-4)/l+1*1/l*(l-4)/l-1*(l-3)/l*1/l-1*(l-3)/l*3/l=(10-l)/(l*l)
2,2 2,1 2,0
1,2 1,1 1,0
0,2 0,1 0,0
b57=2*2/l*5/l+1*2/l*(l-5)/l+1*1/l*(l-5)/l-1*(l-3)/l*5/l=(20-2*l)/(l*l)
2,1 2,0
1,1 1,0
0,1 0,0
b67=2*1/l*5/l+1*1/l*(l-5)/l+1*3/l*(l-5)/l-1*(l-4)/l*5/l=(10-l)/(l*l)
2,1 2,0
1,1 1,0
0,1 0,0
b11=b22=b33=b44=b55=b66=b77
Полученная матрица В является кососимметричной, то есть, bij=-bji,для любых i,j
принадлежащих множеству {1,…,7}.По теореме 3 из методических указаний. Цена игры
кососимметрической матрицы равна 0,а множества оптимальных смешанных стратегий
игроков совпадают:X*=Y*.
Пусть k=0(l=4):
0 3 3 0 0 -3
-3 0 3 2 0 -1
B0= 1/16* -3 -3 0 1 6 7
0 -2 -1 0 0 1
0 0 -6 0 0 6
3 1 -7 -1 -6 0
Матрица B0 размера (6х6).Доминировать матрицу не получается, решения в чистых
стратегиях нет.
Для матрицы B0: Y*={y Y: H(i,y)≤0, j=1,…,6}
X*={x X: H(x,j)≥0, i=1,…6}
y*=x*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6), ∑xi=1, xi≥0, i =1,…,6.
Для H(x,j)=0 ищу хотя бы одну оптимальную смешанную стратегию.
3
Получаем систему:
-3*x2-3*x3+3*x6=0
3*x1-3*x3-2*x4+x6=0
3*x1+3*x2-x4-6*x5-7*x6=0
2*x2+x3-x6=0
6*x3-6*x6=0
-3*x1-x2+7*x3+x4+6*x5=0
x1+x2+x3+x4+x5+x6=1
x1≥0
x2≥0
x3≥0
x4≥0
x5≥0
x6≥0
x2=0
x3=x6
3*x1=2*x6+2*x4
x4=5*x6+6*x5
-3*x1-x2+7*x3+x4+6*x5=0
x1+2*x6+x4+x5=1
x1≥0
x2≥0
x3≥0
x4≥0
x5≥0
x6≥0


x2=0
x3=x6
x1=4*x6+4*x5
x4=5*x6+6*x5
x1+2*x6+x4+x5=1
 x1≥0
x2≥0
x3≥0
x4≥0
x5≥0
x6≥0
Решаю эту систему и получаю, что оптимальная смешанная стратегия
х* =(4/11,0,1/11-x5,5/11+x5,x5,1/11-x5)
Свободная переменная x5, 0≤x5≤1/11.
Возьмём оптимальную стратегию x*=(4/11,0,1/11,5/11,0,1/11)
Y*={y Y; ai*y≤0, i, ∑yj=1,yj≥0, j},где аi – i-я строка.
Из x*=(4/11,0,1/11,5/11,0,1/11) видно, что i=1,3,4,6-существенные стратегии игрока 1, так
как x*=y*,то ai*y=0, i=1,3,4,6.
Теперь проверяем условие H(x*,j)>0,если это условие выполняется, то j-несущественная
стратегия 2 игрока. В данном примере это неравенство не выполняется ни для одного
столбца.
Запишем Y*: ai*y=0 , i=1,3,4,6
ai*y≤0, i=2,5
∑yj=1
yj≥0
Запишем систему равенств:
3*y2+3*y3-3*y6=0
-3*y1-3*y2+y4+6*y5+7*y6=0
-2*y2-y3+y6=0
3*y1+y2-7*y3-y4-6*y5=0
y1+y2+y3+y4+y5+y6=1

y2=0
y3=y6
-3*y1-3*y2+y4+6*y5+7*y6=0
3*y1+y2-7*y3-y4-6*y5=0
y1+y2+y3+y4+y5+y6=1
4


y2=0
y3=y6
3*y1=y4+6*y5+7*y6
y4=3*y1 -7*y6-6*y5
y1=1-2*y6-y4-y5
Решая полученное уравнение, находим y*,который зависит от двух свободных
переменных y5 и y6.
x*=y*=(1/4+5/4*y6+5/4*y5,0,y6,3/4-13/4*y6-9/4*y5,y5,y6).
Теперь проверяем неравенства:
ai*y≤0, i=2,5
yj≥0
Подставив решения уравнений в неравенства, получим:
-3*y1+3*y3+2*y4-y6≤0
-6*y3+6*y6≤0
y6≥0
y5≥0
1/4+5/4*y6+5/4*y5≥0
3/4-13/4*y6-9/4*y5≥0

-33/4*y6-33/4*y5≤-3/4
y6≥0
y5≥0
y6≥-y5-1/5
y6≤-9/13*y5+3/13
Получаем:
A(0,1/11), B(0,3/13),C(1/3,0),D(1/11,0)-вершины полученного на графике
четырехугольника, каждую внутреннюю точку этого четырехугольника можно
представить выпуклой линейной комбинацией его вершин. К-множество на графике
К={q1(0,1/11)+q2(0,3/13)+q3(1/3,0)+q4(1/11,0), q1+q2+q3+q4=1, qi>=0, i=1,…,4}
5
Искомое множество Y* является выпуклой линейной комбинацией четырех векторов , с
коэффициентами q1,q2,q3,q4. Где каждый вектор в линейной комбинации берется в
соответствующей вершине четырехугольника.
Цена игры матрицы B0 равна 0. v=0.
Y*=X*={q1(4/11,0,1/11,5/11,0,1/11)+q2(7/13,0,3/13,0,0,3/13)+q3(2/3,0,0,0,1/3,0)+
+q4(4/11,0,0,6/11,1/11,0); q1+q2+q3+q4=1, qi>=0, i=1,…,4.}
Найдем теперь решение для матрицы А, воспользовавшись теоремой 7 из методических
указаний:
X*=Y*={q1(4/11*1!3!/4!,…,4/11*1!3!/4!;0,…,0;1/11*1!1!2!/4!,…,1/11*1!1!2!/4!;
5/11*1!1!2!/4!,…,5/11*1!1!2!/4!;0,…,0;1/11*1!3!/4!,…,1/11*1!3!/4!)+
+q2(7/13*1!3!/4!,…, 7/13*1!3!/4!;0,…,0; 3/13*1!1!2!/4!,…,3/13*1!1!2!/4!;0,…,0;
0,…,0; 3/13*1!3!/4!,…,3/13*1!3!/4!)+q3(2/3*1!3!/4!,…, 2/3*1!3!/4!;0,…,0;0,…,0;
0,…,0;1/3*2!1!1!/4!,…, 1/3*2!1!1!/4!)+q4(4/11*1!3!/4!,…, 4/11*1!3!/4!;0,…,0;
0,…,0; 6/11*1!1!2!/4!,…,6/11*1!1!2!/4!; 1/11*1!1!2!/4!,…,1/11*1!1!2!/4!;0,…0);
q1+q2+q3+q4=1,qi>=0, i=1,…,4}
Цена игры матрицы А равна 0. v=0.
Ответ. Для матрицы В0:
v=0.
Y*=X*={q1(4/11,0,1/11,5/11,0,1/11)+q2(7/13,0,3/13,0,0,3/13)+q3(2/3,0,0,0,1/3,0)+
+q4(4/11,0,0,6/11,1/11,0); q1+q2+q3+q4=1, qi>=0, i=1,…,4.}
Для матрицы А:
v=0.
X*=Y*={q1(4/11*1!3!/4!,…,4/11*1!3!/4!;0,…,0;1/11*1!1!2!/4!,…,1/11*1!1!2!/4!;
5/11*1!1!2!/4!,…,5/11*1!1!2!/4!;0,…,0;1/11*1!3!/4!,…,1/11*1!3!/4!)+
+q2(7/13*1!3!/4!,…, 7/13*1!3!/4!;0,…,0; 3/13*1!1!2!/4!,…,3/13*1!1!2!/4!;0,…,0;
0,…,0; 3/13*1!3!/4!,…,3/13*1!3!/4!)+q3(2/3*1!3!/4!,…, 2/3*1!3!/4!;0,…,0;0,…,0;
0,…,0;1/3*2!1!1!/4!,…, 1/3*2!1!1!/4!)+q4(4/11*1!3!/4!,…, 4/11*1!3!/4!;0,…,0;
0,…,0; 6/11*1!1!2!/4!,…,6/11*1!1!2!/4!; 1/11*1!1!2!/4!,…,1/11*1!1!2!/4!;0,…0);
q1+q2+q3+q4=1,qi>=0, i=1,…,4}.
Теперь рассматриваю случай, когда k=1(l=9).
0 -2 -2 -10 -10 -18 -26
2 0 3 -3 -5 -11 -17
2 -3 0 -4 1 -3 -7
B1= 1/81* 10 3 4 0 0 -4 -8
10 5 -1 0 0 1 2
18 11 3 4 -1 0 1
26 17 7 8 -2 -1 0
В1 матрица размера (7х7).
Используем теорему 4(о доминировании) из методических указаний. В матрице В1 есть
доминируемые строки и столбцы.
1 и 2 строки доминируются 4 строкой, доминируются строго, а 1 и 2 столбцы
доминируются 4 столбцом (строго).
B1’=
0 -4 1 -3 -7
4 0 0 -4 -8
-1 0 0 1 2
3 4 -1 0 1
7 8 -2 -1 0
Для матрицы В1’ оптимальная смешанная стратегия имеет такой вид:
6
y*=x*=(x1,x2,x3,x4,x5).
Пользуясь свойством 3 оптимальных стратегий(из методических указаний), запишем
cистему неравенств при H(x*,j)≥0:
4*x2-x3+3*x4+7*x5≥0
-4*x1+4*x4+8*x5≥0
x1-x4-2*x5≥0
-3*x1-4*x2+x3-x5≥0
-7*x1-8*x2+2*x3+x4≥0
x1+x2+x3+x4+x5=1
x1≥0
x2≥0
x3≥0
x4≥0
x5≥0
Решая систему, получаем смешанную оптимальную стратегию для матрицы B1’:
x*=y*=(1/5,0,3/5,1/5,0),
Используя теорему 5 из методических указаний, находим оптимальную смешанную
стратегию для матрицы B1:
y*=x*=(0,0,1/5,0,3/5,1/5,0)
Y*=X*={y Y,ai*y≤0, ∑yj=1,yj≥0, i, j=1,…,7)
Как видно из x*, стратегии с номерами i=3,5,6- являются существенными.
Ищем y*=(y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7).
Проверим условие H(x*,j)>0,выяснилось, что j=1,2 –несущественные стратегии, значит,
используя свойство номер три(страница 5) методических указаний, можно записать:
X*=Y*: ai*y=0, i=3,5,6
ai*y≤ 0, i=1,2,4,7
y1=0
y2=0
∑yj=1, j=1,…,7
yj≥0
Запишем систему уравнений:
2*y1-3*y2-4*y4+y5-3*y6-7*y7=0
10*y1+5*y2-y3+y6+2*y7=0
18*y1+11*y2+3*y3+4*y4-y5+y7=0
y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7=1
y1=0
y2=0
Решив эту систему, получили смешанную стратегию y*, зависящую от двух свободных
переменных y3 и y5.
y*=(0,0,y3,1/5-y3,y5,-y3+8/5-2*y5,y3-4/5+y5).
7
Решаем систему неравенств, используя полученную оптимальную стратегию:
1/5-y3≥0
y3≥0
y5≥0
-y3+8/5-2*y5≥0
y3-4/5+y5≥0
4*y3-4*(-y3+8/5-2*y5)-8*(y3-4/5+y5)≤0

7*y3+8*(-y3+1/5)-2*y5-(-y3+8/5-2*y5)≤0
-2*y3-10*(-y3+1/5)-10*y5-18*(-y3+8/5-2*y5)-26*(y3-4/5+y5)≤0
3*y3-3*(-y3+1/5)-5*y5-11*(-y3+8/5-2*y5)-17*(y3-4/5+y5)≤0
0≤y3≤1/5
 y3≤8/5-2*y5
y3≥4/5-y5
y5≥0
0=0
0=0
0≤10
0≤23/5
8
Получаем:
A(3/5,1/5), C(7/10,1/5),B(4/5,0)-вершины полученного на графике треугольника, каждую
внутреннюю точку этого треугольника можно представить выпуклой линейной
комбинацией его вершин. К-множество на графике
К={q1(3/5,1/5)+q2(4/5,0)+q3(7/10,1/5), q1+q2+q3=1, qi>=0, i=1,…,3}
Искомое множество Y*=X* является выпуклой линейной комбинацией четырех векторов ,
с коэффициентами q1,q2,q3. Где каждый вектор в линейной комбинации берется в
соответствующей вершине треугольника.
Цена игры матрицы B1 равна 0. v=0.
Y*=X*={q1(0,0,1/5,0,3/5,1/5,0)+q2(0,0,0,1/5,4/5,0,0)+q3(0,0,1/5,0,7/10,0,1/10);
q1+q2+q3=1, qi>=0, i=1,…,3.}
Найдем теперь решение для матрицы А, воспользовавшись теоремой 7 из методических
указаний:
X*=Y*={q1(0,…,0;0,…,0;1/5*1!1!7!/9!,…,1/5*1!1!7!/9!;
0,…,0;3/5*2!1!6!/9!,…, 3/5*2!1!6!/9!;1/5*3!1!5!/9!,…, 1/5*3!1!5!/9!;0,…,0)+
+q2(0,…, 0;0,…,0; 0,…,0;1/5*1!2!6!/9!,…, 1/5*1!2!6!/9!;4/5*2!1!6!/9!,…, 4/5*2!1!6!/9!;
0,…,0;0,..,0)+q3(0,…, 0;0,…,0;1/5*1!1!7!/9!,…, 1/5*1!1!7!/9!;0,…,0;
7/10*2!1!6!/9!,…, 7/10*2!1!6!/9!; 0,…,0; 1/10*5!4!/9!,…, 1/10*5!4!/9!; q1+q2+q3=1,qi>=0,
i=1,…,3}
Цена игры матрицы А равна 0. v=0.
Ответ. Для матрицы В1:
Цена игры матрицы B1 равна 0. v=0.
Y*=X*={q1(0,0,1/5,0,3/5,1/5,0)+q2(0,0,0,1/5,4/5,0,0)+q3(0,0,1/5,0,7/10,0,1/10);
q1+q2+q3=1, qi>=0, i=1,…,3.}
Для матрицы А:
X*=Y*={q1(0,…,0;0,…,0;1/5*1!1!7!/9!,…,1/5*1!1!7!/9!;
0,…,0;3/5*2!1!6!/9!,…, 3/5*2!1!6!/9!;1/5*3!1!5!/9!,…, 1/5*3!1!5!/9!;0,…,0)+
+q2(0,…, 0;0,…,0; 0,…,0;1/5*1!2!6!/9!,…, 1/5*1!2!6!/9!;4/5*2!1!6!/9!,…, 4/5*2!1!6!/9!;
0,…,0;0,..,0)+q3(0,…, 0;0,…,0;1/5*1!1!7!/9!,…, 1/5*1!1!7!/9!;0,…,0;
7/10*2!1!6!/9!,…, 7/10*2!1!6!/9!; 0,…,0; 1/10*5!4!/9!,…, 1/10*5!4!/9!; q1+q2+q3=1,qi>=0,
i=1,…,3}
Цена игры матрицы А равна 0. v=0.
Пусть теперь k≥2(l≥14):
0
7
7
B2=1/192* 20
20
33
46
-7
0
-3
8
10
21
32
-7 -20 -20 -33 -45
3 -8 -10 -21 -32
0 -9 -4 -13 -22
9 0
0 -9 -18
4 0
0 -4 -8
13 9
4 0 -4
22 18 8 4 0
Элемент b77=0 минимальный в строке 7 и максимальный в столбце 7. Индексы 7 и 7
соответствуют оптимальным чистым стратегиям игроков 1 и 2.
x*=y*=(0,0,0,0,0,0,1) .
Так как стратегия чистая, то она является оптимальной. Для х* проверим
H(x*,j)>0, k=1,…,7.Неравенство выполняется для j=1,2,3,4,5,6 ,значит это несущественные
стратегии. Последний элемент x7>0,значит стратегия с номером i=7--существенная
стратегия.
Y*: yj=0, j=1,2,3,4,5,6
ai*y=0, i=7
9
∑yj=1, j=1,…,7
yj≥0, j=1,…,7
Составляем систему уравнений:
46*y1+32*y2+22*y3+18*y4+8*y5+4*y6=0
y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7=1
yj=0, j=1,2,3,4,5,6
Из системы уравнений следует, что y7=1
Значит для матрицы B2:
Y*=X*={(0,0,0,0,0,0,1)} и цена игры равна 0.
Ищем решение для матрицы А, используя теорему 7 из методических указаний:
Цена игры равна 0(v=0).
X*=Y*={(0,…,0;0,…,0;0,…,0;0,…,0;0,…,0;0,…,0;5!(l-5)!/l!,…,5!(l-5)!/l!)}
Ответ. Для матрицы В2:
Y*=X*={(0,0,0,0,0,0,1)} и цена игры равна 0(v=0).
Для матрицы А:
Цена игры равна 0(v=0).
X*=Y*={(0,…,0;0,…,0;0,…,0;0,…,0;0,…,0;0,…,0;5!(l-5)!/l!,…,5!(l-5)!/l!)}
10
Документ
Категория
Математика
Просмотров
6
Размер файла
119 Кб
Теги
5x5_5k
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа