close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Метод покоординатного спуска (2)

код для вставкиСкачать
Метод покоординатного спуска
Содержание

1 Постановка задачи решения системы уравнений в терминах методов оптимизации
 2 Градиентные методы
o 2.1 Метод наискорейшего спуска (метод градиента)
 2.1.1 Алгоритм
o 2.2 Метод покоординатного спуска (Гаусса—Зейделя)
 2.2.1 Алгоритм
o 2.3 Метод сопряжённых градиентов
 2.3.1 Алгоритм
 3 Литература
 4 Ссылки
 5 Внешние ссылки
 6 См. также
Постановка задачи решения системы уравнений в терминах
методов оптимизации
Задача решения системы уравнений:
(1)
сn
эквивалентна задаче минимизации функции
(2)
или какой-либо другой возрастающей функции от абсолютных величин | fi | невязок
(ошибок)
,
. Задача отыскания минимума
(или максимума) функции n переменных и сама по себе имеет большое практическое
значение.
Для решения этой задачи итерационными методами начинают с произвольных значений
и строят последовательные приближения:
или покоординатно:
(3)
которые сходятся к некоторому решению
при
.
Различные методы отличаются выбором «направления» для очередного шага, т.е.
выбором отношений
.
Величина шага (расстояние, на которое надо передвинуться в заданном направлении в
поисках экстремума) определяется значением параметра λ[j], минимизирующим величину
как функцию от λ[j]. Эту функцию обычно аппроксимируют
её тейлоровским разложением или интерполяционным многочленом по трем-пяти
выбранным значениям λ[j]. Последний метод применим для отыскания max и min
таблично заданной функции F(x1,x2,...,xn).
Градиентные методы
Основная идея методов заключается в том, чтобы идти в направлении наискорейшего
спуска, а это направление задаётся антиградиентом
:
где λ[j] выбирается


постоянной, в этом случае метод может расходиться;
дробным шагом, т.е. длина шага в процессе спуска делится на некое число;

наискорейшим спуском:
Метод наискорейшего спуска (метод градиента)
Основная статья: метод градиента
Выбирают
, где все производные вычисляются при
уменьшают длину шага λ[j] по мере приближения к минимуму функции F.
,и
Для аналитических функций F и малых значений fi тейлоровское разложение F(λ[j])
позволяет выбрать оптимальную величину шага
(5)
где все производные вычисляются при
F(λ[j]) может оказаться более удобной.
. Параболическая интерполяция функции
Алгоритм
1. Задаются начальное приближение и точность расчёта
2. Рассчитывают
, где
3. Проверяют условие останова:
o
Если
o
Иначе
, то j = j + 1 и переход к шагу 2.
и останов.
Метод покоординатного спуска (Гаусса—Зейделя)
Улучшает предыдущий метод за счёт того, что на очередной итерации спуск
осуществляется постепенно вдоль каждой из координат, однако теперь необходимо
вычислять новые
раз за один шаг.
Алгоритм
1. Задаются начальное приближение и точность расчёта
2. Рассчитывают
, где
3. Проверяют условие останова:
o
Если
шагу 2.
o
Иначе
, то
и переход к
и останов.
Метод сопряжённых градиентов
Основная статья: Метод сопряжённых градиентов
Метод сопряженных градиентов основывается на понятиях прямого метода многомерной
оптимизации — метода сопряжённых направлений.
Применение метода к квадратичным функциям в
определяет минимум за n шагов.
Алгоритм
1. Задаются начальным приближением и погрешностью:
2. Рассчитывают начальное направление:
3.
o
o
Если
или
, то
Иначе
 если (j + 1) < n, то j = j + 1 и переход к 3;

иначе
и останов.
и переход к 2.
Литература
1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб.
пособие для студентов эконом. спец. вузов. — М.: Высш. шк., 1986.
2. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. — М.: Мир,
1985.
3. Коршунов Ю.М., Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. — М.:
Энергоатомиздат, 1972.
4. Максимов Ю.А.,Филлиповская Е.А. Алгоритмы решения задач нелинейного
программирования. — М.: МИФИ, 1982.
5. Максимов Ю.А. Алгоритмы линейного и дискретного программирования. — М.:
МИФИ, 1980.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.
— М.: Наука, 1970. — С. 575-576.
Ссылки



Интерполяционные формулы
Математическое программирование
o Метод градиента
o Метод сопряжённых градиентов
o Прямые методы
Формула Тейлора
Внешние ссылки

поиск глобального оптимума для задач оптимального проектирования систем или
определения оптимальных законов управления.
См. также

Численные методы
o Численное решение уравнений
o Метод Гаусса-Зейделя решения СЛАУ
Формула которая не уместилась!!!!
Документ
Категория
Математика
Просмотров
339
Размер файла
116 Кб
Теги
метод, спуска, покоординатного
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа