close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Нестационарная ламинарная свободная конвекция ньютоновской жидкости между вертикальными пластинами при граничных условиях второго рода.

код для вставкиСкачать
УДК 536.25
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЛАМИНАРНАЯ СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ
НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ВЕРТИКАЛЬНЫМИ ПЛАСТИНАМИ
ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ВТОРОГО РОДА
М.И. Слюсарев, В.И. Ряжских, В.Г. Стогней, А.А. Богер, М.В. Поздняков
Получено аналитическое решение нестационарной задачи о ламинарной естественной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в бесконечном вертикальном плоском канале, на стенках которого поддерживаются постоянные и одинаковые плотности тепловых потоков
Ключевые слова: конвекция, несжимаемая жидкость, плоский канал, тепловой поток
Введение. Свободная конвекция в каналах между вертикальными пластинами при значительных
значениях отношения их длины к расстоянию между
ними уже давно является предметом изучения не
только с точки зрения анализа возникновения и развития структуры течения, но и благодаря различным
техническим приложениям, касающихся расчета
теплообмена в электронных устройствах, ядерных
реакторах, печах, при проектировании зданий и т.д.
При значительной высоте пластин движение жидкости в срединном сечении канала до появления эффекта влияния передней кромки можно считать одномерным, что существенно упрощает его теоретическое рассмотрение. Тем не менее, в литературе [1–
5] приводятся решения в основном стационарных
задач при различных тепловых условиях на стенках
канала, а исследования нестационарной свободной
конвекции между вертикальными пластинами в основном проводили при граничных условиях первого
рода как, например, в [6,7], или при смешанных граничных условиях [8].
Постановка задачи. Рассматривается нестационарная задача свободно-конвективного течения вязкой несжимаемой жидкости в вертикальном плоском канале неограниченной высоты при возникновении на его боковых стенках теплового потока постоянной величины.
Пусть в момент времени τ < 0 обе пластины и
жидкость между ними имеют одинаковую температуру t0 , а при τ ≥ 0 к боковым стенкам канала подводится теплота с постоянной скоростью qw . В этом
случае уравнения Обербека-Буссинеска в безразмерной компонентной форме для плоской декартовой системы координат XOZ, описывающие свободно-конвективное движение вязкой несжимаемой
Рис. 1. Расчетная схема
среды в рассматриваемой прямоугольной области
полушириной h1 и высотой h2 (рис. 1), таковы
∂VX
∂V
∂V
2
2ξ
VX X +
VZ X =
+
∂θ 1 + ξ
∂X 1 + ξ
∂Z
=−
2 ∂P
4
+
1 + ξ ∂X (1 + ξ )2
(1)
∂VZ
∂V
∂V
2
2ξ
VX Z +
VZ Z =
+
∂θ 1 + ξ
∂X 1 + ξ
∂Z
=−
2ξ ∂P
4
+
1 + ξ ∂Z (1 + ξ )2
+
8
(1 + ξ )
3
⎛ ∂ 2VZ
∂ 2VZ ⎞
+ ξ2
⎜
⎟+
2
∂Z 2 ⎠
⎝ ∂X
Gr (T − T * ) ;
(2)
∂T
2
∂T
2ξ
∂T
VX
VZ
+
+
=
∂θ 1 + ξ
∂X 1 + ξ ∂Z
=
Слюсарев Михаил Иванович – ВГТА, канд. техн. наук,
доцент, тел. (4732)55-35-54
Ряжских Виктор Иванович – ВГТА, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732)55-35-54
Стогней Владимир Григорьевич – ВГТУ, канд. техн. наук,
профессор, тел. (4732)52-53-54
Богер Андрей Александрович – ВГТА, канд. техн. наук,
доцент, тел. (4732)55-35-54
Поздняков Михаил Владимирович – ВГТА, аспирант, тел.
(4732)55-35-54
⎛ ∂ 2VX
∂ 2VX ⎞ ;
+ ξ2
⎜
⎟
2
∂Z 2 ⎠
⎝ ∂X
1
4
Pr (1 + ξ )2
⎛ ∂ 2T
∂ 2T
+ ξ2
⎜
2
∂Z 2
⎝ ∂X
∂VX
∂V
+ξ Z =0.
∂X
∂Z
⎞
⎟;
⎠
(3)
(4)
Здесь VX = υ x υ% , VZ = υ z υ% ; υ% = v l0 – характерная скорость, м/с; υ x , υ z – горизонтальная и
вертикальная компоненты скорости, м/с; v – кине-
матическая вязкость жидкости, м2/с; l0 = 2h1 (1 + ξ )
– характерный размер, м; ξ = h1 h2 ; X = x h1 ,
Z = z h2 ; θ = vτ l02 ; τ – время, с; P = p′ p% ,
p% = ρ ( v l0 ) , p′ = p − p0 – отклонение давления от
гидростатического p0 = ρ0 gz + const , Па; ρ – плотность жидкости, кг/м3; ρ0 ≈ ρ , ρ0 – плотность жид-
1
TL ( X ,s ) =
Pr
2
кости при t0 , кг / м3 ; T = ( t − t0 ) λ ( qw h1 ) ; t – текущая температура, оС; λ – теплопроводность жидкости Bm ( м ⋅ K ) ; Gr = gh14βqw ( ν 2 λ ) – число Грасгофа; β – коэффициент объемного расширения жидкости K–1; g – ускорение силы тяжести, м / с 2 ; Pr –
число Прандтля;
Как показано в [7] при ξ → 0 система (1) – (4)
преобразуется к виду:
∂VZ
∂ 2VZ
=4
+ 8Gr (T − T * ) ;
∂θ
∂X 2
(5)
∂T
4 ∂ 2T
;
=
∂θ Pr ∂X 2
(6)
с граничными условиями
VZ ( X , 0 ) = VZ (1, θ ) = ∂VZ ( 0 , θ ) ∂X = 0 ;
(7)
T ( X , 0 ) = ∂T ( 0 , θ ) ∂X = 0 ; ∂T (1, θ ) ∂X = 1 . (8)
Определим характерную температуру жидкости T * как температуру на оси канала T ( 0, θ ) и перепишем (5) в виде
∂VZ
∂ 2VZ
=4
+ 8Gr ⎡⎣T − T ( 0, θ ) ⎤⎦ .
∂θ
∂X 2
(9)
Решение. Применим интегральное преобразование Лапласа к (6) – (9) по переменной θ :
d 2VL s
− VL = −2Gr ⎡⎣TL − TL ( 0,s ) ⎤⎦ ;
dX 2 4
(10)
d 2TL Pr
− sTL = 0 ;
4
dX 2
(11)
VL (1,s ) = dVL ( 0 ,s ) dX = 0 ;
(12)
dTL ( 0,s ) dX = 0 ; dTL (1,s ) dX = 1 ,
s
(13)
где s – Лапласово изображение θ.
Решение уравнения (11) с граничными условиями (13)
⎛1
⎞
2ch ⎜
Pr ⋅ s X ⎟
⎝2
⎠.
⎛1
⎞
sh ⎜
Pr ⋅ s ⎟
2
⎝
⎠
2
s ⋅
s
(14)
Рассмотрим стационарную составляющую
оригинала изображения температуры (14), имея в
виду, что s = 0 корень кратности два. Используя
вторую теорему Ващенко-Захарченко для идентификации оригинала от изображения, представимого
в виде отношения бесконечных полиномов по s
(причём степень полинома знаменателя больше степени полинома числителя), получим:
ϕ ( X ,s ) ⎤ ⎪⎫
1 4θ X 2
⎪⎧ d ⎡
=− +
+
,
lim ⎨ ⎢ e sθ ⋅
⎬
⎥
s →0 ds
η ( s ) ⎦ ⎪⎭
6 Pr
2
⎪⎩ ⎣
⎛1
⎞
sh ⎜ Pr ⋅ s ⎟
2
2
⎛1
⎞
⎝
⎠
.
где ϕ ( X , s ) =
ch ⎜ Pr ⋅ sX ⎟ ; η( s ) =
Pr ⎝ 2
s
⎠
Оригинал нестационарной составляющей решения (14) для температуры
⎡
⎛1
⎞ ⎤
ch ⎜
Pr ⋅ s X ⎟ ⎥
⎢ 2
2
⎝
⎠ ⎥=
L −1 ⎢
⎢ Pr s s ⋅ sh ⎛ 1 Pr ⋅ s ⎞ ⎥
⎜
⎟
⎢⎣
⎝2
⎠ ⎥⎦
∞
cos ( πnX )
⎛ 4π 2 n 2 ⎞
= −2∑ 2 2
θ⎟ ,
exp ⎜ −
Pr
n =1 π n cos ( πn )
⎝
⎠
где L−1 – оператор обратного одностороннего преобразования Лапласа. Таким образом, выражение
для поля температуры имеет вид
1 4θ X 2
T ( X ,θ) = − +
+
+
6 Pr
2
+
2
π2
∞
∑
n =1
( −1)
n2
n +1
⎛ 4π 2 n 2 ⎞
θ ⎟ . (15)
cos ( πnX ) ⋅ exp ⎜ −
Pr
⎝
⎠
Используя уравнения (10) и (14), получаем следующее дифференциальное уравнение относительно VL
⎡
⎛1
⎞
⎢ 2ch ⎜ 2 Pr ⋅ s X ⎟
d 2VL s
⎝
⎠ −
− VL = −2Gr ⎢
1
dX 2 4
⎛
⎞
⎢
⎢⎣ s Pr ⋅ s ⋅ sh ⎜⎝ 2 Pr ⋅ s ⎟⎠
⎤
⎥
2
⎥
−
⎛1
⎞⎥
s Pr ⋅ s ⋅ sh ⎜
Pr ⋅ s ⎟ ⎥
⎝2
⎠⎦
(16)
с граничными условиями (12). Общее решение соответствующего однородного уравнения для (16)
⎛1
⎞
⎛1
⎞
VL ( X ,s ) = C1sh ⎜
s X ⎟ + C2 ch ⎜
s X ⎟ , (17)
⎝2
⎠
⎝2
⎠
в
котором
константы
интегрирования
C1,2 = C1,2 ( X ,s ) , будем определять методом вариа-
Из (17) – (20) следует
8Gr
×
⎛1
⎞
Pr ⋅ s ⎟
s Pr ⋅ s ⋅ sh ⎜
⎝2
⎠
⎧ ⎡1
1
⎤
⎡
⎤
⎪⎪ sh ⎢ 2 s 1 + Pr X ⎥ sh ⎢ 2 s 1 − Pr X ⎥
⎣
⎦
⎣
⎦−
×⎨
+
1
Pr
1
Pr
+
−
⎪
⎪⎩
⎛1
⎞⎫ ⎛ 1
⎞
−2sh ⎜
s ⋅ X ⎟ ⎬ sh ⎜
s⋅X ⎟+
2
2
⎝
⎠⎭ ⎝
⎠
VL ( X ,s ) = −
ции произвольных постоянных из алгебраической
системы
⎧
⎪
⎪
⎪ ′ ⎛1
⎞
⎛1
⎞
⎪C1 sh ⎜ 2 s X ⎟ + C2′ch ⎜ 2 s X ⎟ = 0;
⎝
⎠
⎝
⎠
⎪
⎪
⎛1
⎞
⎛1
⎞
s X ⎟ +C2′sh ⎜
sX ⎟ =
⎨ C1′ch ⎜
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
⎪
⎪
⎡ ⎛1
⎞ ⎤
⎪
⎢ ch ⎜ 2 Pr ⋅ s X ⎟ − 1 ⎥
8Gr
⎠ ⎥,
⎪ =−
⎢ ⎝
⎪
Pr ⎢ s 2 ⋅ sh ⎛ 1 Pr ⋅ s ⎞ ⎥
⎪
⎜
⎟ ⎥
⎢⎣
⎝2
⎠ ⎦
⎩⎪
′
где С1,2 = dC1,2 ( X ,s ) dX , в виде
(
(
⎛1
⎞
s⋅X⎟
16Gr ⋅ sh ⎜
⎝2
⎠ + C% ;
+
1
⎛1
⎞
2
s Pr ⋅ s ⋅ sh ⎜
Pr ⋅ s ⎟
⎝2
⎠
(
C2 =
s2
)
×
(18)
8Gr
×
⎛1
⎞
Pr ⋅ s ⋅ sh ⎜
Pr ⋅ s ⎟
⎝2
⎠
⎧ ⎡1
⎤
⎪⎪ ch ⎢ 2 s 1 + Pr X ⎥
⎦+
×⎨ ⎣
1
Pr
+
⎪
⎪⎩
(
)
⎫
⎡1
⎤
ch ⎢ s 1 − Pr X ⎥
2
⎛1
⎞ ⎪⎪ %
⎣
⎦
s ⋅ X ⎟ ⎬ + C2 , (19)
+
− 2ch ⎜
1 − Pr
⎝2
⎠⎪
⎪⎭
(
)
Константы интегрирования C%1 и C% 2 найдены из
граничных условий (12) равными
16Gr
−
C%1 = 0 , C% 2 =
⎛1
⎞ ⎛1
⎞
s 2 Pr ⋅ s ⋅ sh ⎜
Pr ⋅ s ⎟ ch ⎜
s⎟
⎝2
⎠ ⎝2
⎠
⎛1
⎞
16Gr ⋅ ch ⎜
Pr ⋅ s ⎟
2
⎝
⎠
. (20)
−
1
⎛1
2
(1 − Pr ) s Pr ⋅ s ⋅ sh ⎜ Pr ⋅ s ⎞⎟ ch ⎛⎜ s ⎞⎟
⎝2
⎠ ⎝2
⎠
(
(
8Gr
×
⎛1
⎞
2
s Pr ⋅ s ⋅ sh ⎜
Pr ⋅ s ⎟
⎝2
⎠
⎧ ⎡1
1
⎤
⎡
⎤⎫
⎪⎪ sh ⎢ 2 s 1 + Pr X ⎥ sh ⎢ 2 s 1 − Pr X ⎥ ⎪⎪
⎦+ ⎣
⎦ +
×⎨ ⎣
⎬
1 + Pr
1 − Pr
⎪
⎪
⎪⎭
⎩⎪
)
)
)
⎧ ⎡1
⎤
⎪⎪ ch ⎢ 2 s 1 + Pr X ⎥
8Gr
⎣
⎦+
+
⎨
1
⎛
⎞
1
Pr
+
s2 Pr ⋅ s ⋅ sh ⎜ Pr ⋅ s ⎟ ⎪
⎝2
⎠ ⎪⎩
⎫
⎡1
⎤
s 1 − Pr X ⎥
ch ⎢
2
⎛1
⎞ ⎪⎪
⎣
⎦
s ⋅ X ⎟⎬ +
+
− 2ch ⎜
1 − Pr
⎝2
⎠⎪
⎪⎭
16Gr
1
+
−
×
⎛1
⎞ ⎛1
⎞ 1 − Pr
2
s Pr ⋅ s ⋅ sh ⎜
Pr ⋅ s ⎟ ch ⎜
s⎟
⎝2
⎠ ⎝2
⎠
C1 = −
(
2
s2
)
)
⎛1
⎞
16Gr ⋅ ch ⎜
Pr ⋅ s ⎟
⎛1
⎞
⎝2
⎠
ch ⎜
s ⋅ X ⎟ . (21)
2
⎛1
⎞ ⎛1 ⎞
⎝
⎠
Pr ⋅ s ⋅ sh ⎜
Pr ⋅ s ⎟ ch ⎜
s⎟
⎝2
⎠ ⎝2 ⎠
После упрощения (21) окончательно имеем
16Gr
VL ( X ,s ) =
×
⎛1
⎞
sh ⎜
Pr ⋅ s ⎟
2
⎠
Pr ⋅ s 3 ⋅ ⎝
s
⎡ ⎛1
⎞
⎛1
⎞
ch ⎜
s⋅X⎟
⎢ ch ⎜ 2 Pr ⋅ s ⋅ X ⎟
⎠ −1+ ⎝ 2
⎠−
×⎢ ⎝
1 − Pr
⎛1
⎞
⎢
ch ⎜
s⎟
⎢⎣
⎝2
⎠
⎛1
⎞ ⎛1
ch ⎜
Pr⋅ s ⎟ ch ⎜
2
⎠ ⎝2
− ⎝
1
(1 − Pr ) ch ⎛⎜
⎝2
⎞⎤
s ⋅ X ⎟⎥
⎠⎥ .
⎞
⎥
s⎟
⎥⎦
⎠
(22)
Найдем стационарную составляющую оригинала изображения скорости (22) с учетом того, что
s = 0 корень кратности три. Декомпозируя (22) на
слагаемые и используя вторую теорему ВащенкоЗахарченко для идентификации оригинала от изображения, представимого в виде отношения бесконечных полиномов по s (причём степень полинома
знаменателя больше степени полинома числителя),
получим:
⎡
⎤
⎢
1
⎞ ⎥
⎢ 16Gr ⋅ ch ⎛⎜
Pr ⋅ s ⋅ X ⎟ ⎥
⎝2
⎠ ⎥=
L −1 ⎢
⎢
⎛1
⎞⎥
sh ⎜
Pr ⋅ s ⎟ ⎥
⎢
⎠⎥
⎢ Pr (1-Pr ) s 3 ⎝ 2
⎢⎣
⎥⎦
s
=
Gr ( 7Pr 2 − 30Pr 2 X 2 + 15Pr 2 X 4 − 240Prθ )
180 (1 − Pr ) Pr
+
Gr ( 2880θ2 + 720PrX 2 θ )
180 (1 − Pr ) Pr
⎡
⎤
⎢
1
⎞ ⎥
⎢ 16Gr ⋅ ch ⎛⎜
Pr ⋅ s ⋅ X ⎟ ⎥
⎝2
⎠ ⎥=
L −1 ⎢
⎢
⎛1
⎞⎥
sh ⎜
Pr ⋅ s ⎟ ⎥
⎢
⎠⎥
⎢ Pr (1 − Pr ) s 3 ⎝ 2
⎢⎣
⎥⎦
s
=
+
;
Gr ( 240Prθ − 7Pr 2 − 2880θ2 )
180Pr
(23)
⎛ 4µ 2n ⎞
1
exp
−
θ⎟ ;
⎜
4
n =1 µ n cosµ n
⎝ Pr ⎠
∞
= −4GrPr ∑
;
Gr ( 7Pr − 30PrX + 15 X − 240Prθ + 2880θ
=
2
4
⎛ µ
⎞
cos ⎜ n X ⎟
⎛ 4µ 2
Pr ⎠
⎝
=4GrPr ∑
exp ⎜ − n
⎛ µ ⎞
n =1
⎝ Pr
µ 4n cosµ n cos ⎜ n ⎟
⎝ Pr ⎠
∞
2
180Pr
+
Gr ( 720 X 2 θ + 30Pr − 90X 2 − 720θ + 75 )
180Pr
; (25)
Gr ( 8Pr 2 − 60PrX 2 − 15 X 4 − 480Prθ − 2880θ2 )
180 (1 − Pr )
Gr ( −720 X θ + 60Pr+90X + 720θ − 75 )
2
+
+
2
180 (1 − Pr )
−
)+
⎡
⎤
⎢
⎥
1
1
⎛
⎞
⎛
⎞
⎢ −16Gr ⋅ ch ⎜
Pr ⋅ s ⎟ ch ⎜
s⋅X⎟ ⎥
⎝2
⎠ ⎝2
⎠ ⎥=
L −1⎢⎢
⎥
⎛1
⎞
sh ⎜
Pr ⋅ s ⎟
⎢
⎥
⎠ ch ⎛ 1 s ⎞ ⎥
⎢ Pr (1 − Pr ) ⋅ s 3 ⎝ 2
⎜
⎟⎥
s
⎝2
⎠⎦
⎣⎢
=
⎡
⎤
⎢
⎥
⎛1
⎞
⎢
⎥
s⋅X⎟
16Gr ⋅ ch ⎜
⎥=
⎝2
⎠
L −1⎢⎢
⎥
⎛1
⎞
sh ⎜
Pr ⋅ s ⎟
⎢
⎥
⎠ ch ⎛ 1 s ⎞ ⎥
⎢ Pr ⋅ s 3 ⎝ 2
⎜
⎟⎥
⎢⎣
s
⎝2
⎠⎦
(24)
⎡
⎤
⎢
⎥
1
⎛
⎞
⎢
⎥
16Gr ⋅ ch ⎜
s⋅X⎟
⎥=
⎝2
⎠
L −1⎢⎢
⎥
⎛1
⎞
sh ⎜
Pr ⋅ s ⎟
⎢
⎥
⎠ ch ⎛ 1 s ⎞ ⎥
⎢ Pr ⋅ s 3 ⎝ 2
⎜
⎟
⎢⎣
s
⎝2
⎠ ⎥⎦
2
⎞
θ⎟ ;
⎠
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
16Gr
−1 ⎢
⎥=
L −
⎢
⎛1
⎞⎥
sh ⎜
Pr ⋅ s ⎟ ⎥
⎢
2
3
⎝
⎠⎥
⎢
Pr ⋅ s
⎢⎣
⎥⎦
s
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
−16Gr
−1 ⎢
⎥=
L
⎢
⎛1
⎞⎥
sh ⎜
Pr ⋅ s ⎟ ⎥
⎢
⎠⎥
⎢ Pr ⋅ s 3 ⎝ 2
⎢⎣
⎥⎦
s
=
⎛ 4µ n2
4GrPr ∞ cos ( µ n X )
exp
⎜−
∑
1 − Pr n=1 µ 4n cosµ n
⎝ Pr
. (26)
Сумма стационарных слагаемых составит
Gr
− ( X 4 − 1) .
12
Нестационарные составляющие оригинала
изображения скорости определяются выражениями
4Gr
Pr
cos ( ε k X )
∞
∑ ε sinε sin
k =0
4
k
k
(
Pr ⋅ ε k
)
⎞
θ⎟ −
⎠
exp ( −4ε k2 θ ) ;
⎡
⎤
⎢
1
⎞ ⎛1
⎞ ⎥
⎢ −16Gr ⋅ ch ⎛⎜
Pr ⋅ s ⎟ ch ⎜
s⋅X⎟ ⎥
⎝2
⎠ ⎝2
⎠ ⎥=
L −1⎢⎢
⎥
⎛1
⎞
sh ⎜
Pr ⋅ s ⎟
⎢
⎥
⎠ ch ⎛ 1 s ⎞ ⎥
⎢ Pr (1 − Pr ) ⋅ s 3 ⎝ 2
⎜
⎟⎥
⎢⎣
s
⎝2
⎠⎦
⎛ µ
⎞
cos ⎜ n X ⎟
4GrPr
Pr ⎠
⎝
−
∑
1 − Pr n=1 4
⎛ µ
µ n cosµ n cos ⎜ n
⎝ Pr
∞
+
(
)
(
⎛ 4µ 2
exp ⎜ − n
⎞
⎝ Pr
⎟
⎠
⎞
θ⎟ +
⎠
∞ cos
Pr ⋅ εk cos ( εk X )
4Gr
exp ( −4ε2k θ) ,
∑
4
Pr (1 − Pr ) k =0 εk sinεk sin Pr ⋅ εk
)
π
+ πk ; k = 0, ∞ .
2
С учетом стационарных слагаемых оригинал скорости равен
⎛ 4µ 2 ⎞
exp ⎜ − n θ ⎟
∞
4GrPr
⎝ Pr ⎠ ×
VZ ( X , θ ) = V ( X , θ ) =
∑
µ 4n
1 − Pr n=1
где µ n = πn; n = 1, ∞ ; ε k =
⎡
⎛ µn
⎞⎤
X ⎟⎥
⎢ cos ( µ X ) cos ⎜
n
⎝ Pr ⎠ ⎥ −
×⎢
−
⎢ cosµ n
⎛ µ ⎞ ⎥
cos ⎜ n ⎟ ⎥
⎢
⎝ Pr ⎠ ⎦
⎣
2
⎛ 4µ ⎞ ⎡
⎛ µ
⎞⎤
exp ⎜ − n θ ⎟ ⎢ cos ⎜ n X ⎟ ⎥
∞
Pr
⎝
⎠ ⎢1 −
⎝ Pr ⎠ ⎥ −
−4GrPr ∑
4
cos
µ
µ
⎢
⎛ µ ⎞ ⎥
n =1
n
n
cos ⎜ n ⎟ ⎥
⎢
⎝ Pr ⎠ ⎦
⎣
−
4Gr
Pr
∞
∑
k =0
(
cos ( ε k X ) exp ( −4ε θ )
ε 4k sinε k sin
⎡ cos Pr ⋅ ε k
× ⎢1 −
⎢
1 − Pr
⎣
(
2
k
Pr ⋅ ε k
) ⎤⎥ − Gr ( X
⎥
⎦
4
12
)
ψ1 ( Pr )′Pr = −1 ;
ϕ1 ( Pr )′Pr = −sin
exp ( −4µ 2n θ ) ⎡ cos ( µ n X ) ⎤
⎢1 −
⎥−
cosµ n ⎦
µ 4n cosµ n ⎣
n =1
cos ( ε k X ) exp ( −4ε 2k θ ) ⎛ ε k sinε k
⎜1 − 2
ε k4 sin 2 ε k
⎝
k =0
∞
−4Gr ∑
(27)
⎡
⎛ µn
⎞⎤
X ⎟⎥
⎢ cos ( µ X ) cos ⎜
Pr
n
⎝
⎠⎥ +
×⎢
−
⎢ cosµ n
⎛ µn ⎞ ⎥
cos ⎜
⎟ ⎥
⎢
⎝ Pr ⎠ ⎦
⎣
⎛ 4µ ⎞
exp ⎜ −
θ⎟
∞
Pr ⎠
⎝
+2Gr ∑
×
⎛ µ ⎞
n =1
µ3n Pr 3 2 cos ⎜ n ⎟
⎝ Pr ⎠
2
n
⎡
⎛ µ
⎞ ⎛ µ ⎞⎤
cos ⎜ n X ⎟ sin ⎜ n ⎟ ⎥
⎢
⎛ µ
⎞
⎝ Pr ⎠ ⎝ Pr ⎠ ⎥ .
× ⎢ −sin ⎜ n X ⎟ X +
⎢
⎥
⎛ µ ⎞
⎝ Pr ⎠
cos ⎜ n ⎟
⎢
⎥
⎝ Pr ⎠
⎣
⎦
Для третьего слагаемого
ψ1 ( Pr ) = 1 − Pr ,
)
Pr ⋅ ε k ,
k
∞
⎡
⎛ µn
⎞⎤
X ⎟⎥
⎢ cos ( µ X ) cos ⎜
Pr
n
⎝
⎠⎥ ,
×⎢
−
⎢ cosµ n
⎛ µn ⎞ ⎥
cos ⎜
⎟ ⎥
⎢
⎝ Pr ⎠ ⎦
⎣
1
ψ ( Pr )′Pr = − 2 ;
Pr
⎛ 4µ 2 ⎞
θ ⋅ exp ⎜ − n θ ⎟
∞
⎝ Pr ⎠ ×
ϕ ( Pr )′Pr = 16Gr ∑
2
2
µ
n =1
n Pr
(
) 2 ε Pr .
−4Gr ∑
При Pr → 1 в первом и третьем слагаемых уравне0
ния (27) возникает неопределенность типа , для
0
раскрытия которой воспользуемся правилом Лопиталя. Для первого слагаемого введем обозначения
1 − Pr
ψ ( Pr ) =
,
Pr
⎛ 4µ 2n ⎞
exp
θ⎟
⎜−
∞
Pr ⎠
⎝
ϕ ( Pr ) = 4Gr ∑
×
µ n4
n =1
ϕ1 ( Pr ) = cos
Pr ⋅ ε k
В результате получаем решение задачи для профиля
скорости при Pr = 1
∞ X ⋅ sin ( µ X ) exp −4µ 2 θ
( n )−
n
V ( X , θ ) = 2Gr ∑
3
µ n cosµ n
n =1
×
− 1) .
(
−
⎞
⎟−
⎠
Gr
( X 4 − 1) .
12
(28)
Среднеинтегральные характеристики найденных
гидротермических полей:
⎛ µn ⎞
tg
⎛ 4µ 2n ⎞
4GrPr Pr ∞ ⎜⎝ Pr ⎟⎠
exp
V ( θ) = −
−
θ⎟ −
⎜
∑
1 − Pr n=1
µ5n
⎝ Pr ⎠
⎛ 4µ 2n ⎞
exp
θ⎟
⎜−
∞
Pr ⎠ ⎡
Pr ⎛ µ n ⎞ ⎤
⎝
−4GrPr ∑
tg ⎜
⎢1 −
⎟⎥ −
4
µ n cosµ n
µn
⎝ Pr ⎠ ⎦
n =1
⎣
−
4Gr
Pr
exp ( − 4 ε 2k θ )
∞
∑ ε sin
5
k
k =0
(
(
⎡ cos Pr ⋅ ε k
× ⎢1 −
⎢
1 − Pr
⎣
T ( θ) =
Pr ⋅ ε k
)
×
) ⎤⎥ + Gr ,
⎥
⎦
15
4θ
,
Pr
(29)
(30)
при Pr=1
exp ( −4µ 2n θ ) ⎛
2 ⎞
⎜1 +
⎟−
4
µn
n =1
⎝ cosµ n ⎠
∞
V ( θ ) = −2Gr ∑
exp ( −4ε 2k θ ) ⎛ ε k ⋅ sinε k
1−
2
ε5k ⋅ sinε k ⎜⎝
k =0
∞
−4Gr ∑
⎞ Gr
⎟ + 15 .
⎠
(31)
Анализ. Как следует из решения задачи величина скорости жидкости в канале пропорциональна
числу Gr. В связи с этим при анализе свободноконвективного течения жидкости между вертикальными пластинами удобно использовать относительную скорость V / Gr , инвариантную к числу Грасгофа. При наложении на стенки канала однородного
теплового потока происходит прогрев жидкости у
вертикальных пластин, причем температура жидкости с течением времени непрерывно возрастает, а
тепловое возмущение распространяется от стенки к
оси канала, после чего постепенно формируется ква-
зистационарное поле температур, которое характеризуется эквидистантным смещением по вертикали
вверх профиля температуры (рис. 2а, б). С увеличением числа Pr формирование температурного поля
замедляется и квазистационарный режим наступает
через больший промежуток времени.
С возникновением неоднородного поля температур формируется одномерное течение (рис. 2а, б).
При малых значениях времени область течения
примыкает к твердой стенке. С ростом температуры
а
жидкости у стенки возрастает величина максимальной скорости среды и вследствие проявления сил
вязкости в движение вовлекаются слои жидкости,
расположенные все ближе к оси канала. Туда же с
течением времени перемещается и координата точки
с максимумом скорости. Для одного и того же момента времени скорость свободно-конвективного
течения уменьшается с ростом числа Pr. В связи с
этим для достижения одного и того же значения
максимальной скорости при больших числах Прандтля необходимо и большее время (рис. 3). При этом
из-за большей вязкости жидкости профиль скорости
к этому моменту времени становится более развитым с точки зрения его приближения к квазистационарному состоянию (кривая 3 на рис. 3).
Рис. 3. Профили относительной скорости с одинаковым
максимальным значением: 1 – Pr=0,1; θ=0,01949; 2 –
Pr=10; θ=0,23; 3 – профиль квазистационарного течения
б
Рис. 2. Структура гидротермических полей при Pr=10
(a) и Pr=0,1 (б) для различных θ: 1 – 0,002; 2 – 0,008; 3
– 0,01; 4 – 0,02
Наличие квазистационарного течения следует
из решения задачи (27), которое при θ → ∞ дает
стационарный профиль скорости, описываемый
Gr
уравнением V∞ =
( X 4 − 1) . Это связано с дости12
жением в жидкости с течением времени постоянной
разности температур между стенкой и осью канала,
равной ∆T = 0, 5 (рис. 4). Так как разность температур
является
движущей
силой
свободноконвективного течения, то формирование поля температур происходит быстрее, чем поля скоростей,
причем это наиболее явно проявляется при числах
Pr<1. Максимальное значение относительной скорости при θ → ∞ , как это следует из уравнения (27),
V
1
равно ∞ =
и не зависит от числа Pr.
Gr 12
Так как квазистационарный режим течения устанавливается по существу за бесконечно большое
время, то под временем его достижения будем понимать момент, при котором скорость на оси канала
станет равной 99 % от ее предельного значения. На
основании проведенных вычислений получена следующая зависимость, определяющая влияние числа
Прандтля на время достижения квазистационарного
состояния
θ∞ = 0, 4712 ⋅ exp ( 0,1102 ⋅ Pr ) .
Определение коэффициента теплоотдачи α ,
где c p – теплоемкость жидкости при постоянном
давлении, Дж ( кг ⋅ K ) ; Nu = αh1 λ – число Нус-
(
)
сельта; T = t% − t0 λ ( qw h1 ) , Tw = ( tw − t0 ) λ ( qw h1 ) ;
t% – среднемассовая температуры, оС. Использованием (32) найдено, что при любых значениях числа
Pr безразмерный коэффициент теплоотдачи, соответствующий квазистационарной области течения,
равен Nu = 2, 625 .
Заключение. Проведенные расчеты свидетельствуют о физичности предлагаемых решений, которые могут быть использованы для оценки влияния
естественной конвекции на теплообмен и для отладки вычислительных алгоритмов при расчете теплового оборудования различного назначения.
Литература
Рис. 4. Разность температур жидкости у стенки и на оси
канала ∆T и относительная средняя скорость V Gr
при различных числах Pr: 1– 0,1; 2 – 0,7; 3 – 7; 4 – 10
Вт ( м 2 ⋅ К ) , через градиент температуры на стенке
канала в данной задаче не отвечает физическому
смыслу, т.к. перенос теплоты по координате x в
жидкости осуществляется только теплопроводностью. В связи с этим из рассмотрения теплового баланса для элементарного объема (рис. 1), в предположении, что всё удельное количество теплоты на
единицу длины, поступающее через стенку
dQ = −α t% − t dzd τ , идет на его нагрев (охлажде-
(
w
)
%
ние) dQ = ρ c p dtdzh
1 , получено уравнение
Nu=
Pr 1 dT%
,
4 Tw − T% d θ
(32)
1. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Самакия
Б. Свободноконвективные течения, тепло - и массообмен.
Кн.1. М.: Мир, 1991. – 678 с.
2. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Самакия Б. Свободноконвективные течения, тепло - и массообмен. Кн.2. М.: Мир, 1991. – 528 c.
3. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная
устойчивость несжимаемой жидкости. – М.: Наука, 1972.
– 392 с.
4. Oosthuizen P.H. An Introduction to Convective
Heat Transfer Analysis - Singapore: WCB/McGrow-Hill,
1999. – 620 p.
5. Latif M. Jiji. Heat Convection. - Springer, 2006. –
443 p.
6. Singh A.K., Gholami H.R, Soundalgekar V.M.
Transient Free Convection Flow Between Two Vertical Parallel Plates // Warme Und Stoffubertragung. 1996. Bd. 31. P.
329-331.
7. Ряжских В.И., Слюсарев М.И., Богер А.А., Рябов С.В. Динамика ламинарного свободно-конвективного
течения ньютоновской жидкости между плоскими вертикальными изотермическими стенками // Инженернофизический журнал. 2009. Т. 82. № 6. С. 5-11.
8. Нарахари М., Сринадх С., Сундалджекар В.М.
Нестационарная свободная конвекция между длинными
параллельными пластинами с постоянным тепловым потоком на одной границе // Теплофизика и аэромеханика.
2002. Т. № 9, № 2. С. 301-307.
Воронежская государственная технологическая академия
Воронежский государственный технический университет
NON-STATIONARY LAMINAR FREE CONVECTION OF A NEWTONIAN FLUID BETWEEN
VERTICAL PLATES UNDER SECOND KIND BOUNDARY CONDITIONS
M.I. Slyusarev, V.I. Ryazhskih, V.G. Stogney, A.A. Boger, M.V. Pozdnaykov
The analytical decision of a non-stationary problem about laminar convection a viscous incompressible liquid in the
infinite vertical flat channel on which walls constant and uniform density of heat fluxes are supported is received
Key words: convection, incondensable liquid, flat channel, heat flow
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа