close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

MA-2010-Demo

код для вставкиСкачать
 1
(с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде
Пояснения к демонстрационному в
а
рианту
контрольных измерительных мат
е
риалов для ЕГЭ 2010 года
по МАТЕМАТИКЕ
Демонстрационны
й вариант ЕГЭ по математике 2010
года разраб
о-
тан по заданию Федеральной службы по надз
о
ру в сфере образования и науки Российско
й Федер
а
ции.
Демонстрационный вариант
предназначен для того, чтобы дать предс
тавление
о структуре будущих контрольных измерительных мат
е-
риа
лах
, количестве заданий, их форме, уровне сложности.
З
адания
Д
е-
монстрационн
ого
вариант
а
не отражают всех вопросов сод
ержания, кот
о-
рые могут быть вклю
чены в контрольно
-
измерительные мат
е
риалы
в 2010 году. Структура работы приведена в спецификации, а полный пер
е
чень вопросов –
в кодификаторах требований и элементов содержания
по м
а-
тематике для составления контрольных измер
ительным материалов ЕГЭ 2010 г
.
П
равильно
е
решение
каждого из заданий В1
-
В12 части 1
экзамен
а-
ционной работы оценивается 1
баллом. П
олное правильное реш
ение ка
ж-
дого из з
а
даний
С1 и С2 оцени
вается 2 балла
ми, С3 и С4 –
3 балла
ми
С5 и С6 –
4 балла
ми
. Максималь
ный балл за выпо
л
нение всей работы –
30.
Предполагается, что в
ерное выполнение не менее пяти заданий э
к-
замена
ционной работы
отвечает минимальному
уровню подготовки, по
д-
тверждающему освоение выпускником основных о
б
щеобразовательных программ общего (полного)
среднего образования. Ко
н
кретное значение минимального тест
о
вого балла, подтверждающего освоение выпускником основных общеобразовательных программ
общего (полного) среднего образования
,
определяе
тся Федеральной службой
по надзору в сфере о
б-
разования и нау
ки Российской Федерации
в установленном п
о
рядке.
К каждому заданию с развернутым ответом, включенному в демо
н-
страционный вариант, дается одно
-
два
возможных решени
я
. Привед
е
н-
ные критерии оценивания позволя
ю
т составить представление о требов
а-
ниях к полноте и
правильности решений
.
Д
емо
нстрационный вариант контрольных измерительных материалов и
система
оценивания,
спец
и-
фикаци
я и
кодификатор
ы
помогут выработать стратегию подготовки к ЕГЭ по м
а
тематике.
2
(с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ
Демонстраци
онный вариант
контрольных измерительных мат
е
риалов 2010 года
Инструкция по выполнению работы
На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (240 мин
.
). Работа состоит из двух
частей и содержит 18 заданий.
Часть 1 содержит 1
2
заданий с к
ратким ответом (В1
–
В
12
) базового уровня по материалу курса математики. Задания части 1 считаются в
ы-
полненными, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной дес
я
тичной дроби.
Часть 2 содержит 6
более сложных заданий (С1
-
С
6
) по материа
лу курса математики. При их выполнении надо записать полное
решение
и о
т
вет
. Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не удается выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропущенных заданий можно вернуться, если у вас ос
танется время.
Желаем успеха
!
3
(с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде
Часть 1
Ответом на задания В1
-
В12
должно быть целое число или конечная д
е-
сятичная дробь
. Ответ следует
записать в бланк ответов №1 спр
а
ва от номера выполняемого задания, н
а
чиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и
запятую пишите в отдельной клеточке в соотве
т-
ствии с приведенными в бланке образцами. Единицы из
м
е
рений писать не нужно.
Билет на автобус стоит 15 руб
лей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены
билета на 20%?
На графике показано изменение
температу
-
ры воздуха на про
-
тяжении трех суток. На оси аб
с
цисс отме
-
чается время суток в часах, на оси ординат –
значение темпер
а
туры в градусах. Определи
-
те по графику наиболь
-
шую температуру
во
з-
духа 15 августа.
Найдите корень уравнения
.
В треугольнике угол равен 90
о
, , . На
й
дите .
B
1
В2
B
3
B
4
4
(с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде
Строительная фирма планирует купить
7
0
пеноблоков у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Скольк
о рублей
нужно заплатить за самую дешевую покупку
с доста
в-
кой?
Поста
в
щик
Стоимость пенобл
о
ков (р
уб
. за м
3
)
Сто
и
мость до
с
тавки
(руб.)
Дополнительные
у
с
ловия доставки
При заказе
товара
на су
м
му свыше
р
ублей
доставка бе
с-
платн
ая.
При заказе товара на су
м
му свыше 200000 р
ублей
доставка бе
с-
платная.
Найдите площадь четырехугольника, изобр
а-
женного на клетчатой бумаге с размером
клетки
1 см × 1 см
(см. рисунок)
.
О
т
вет дайте в квадратных сантиметрах
.
Н
айдите зн
а
чение выражения
.
На рисунке изображен график функции и касательная к этому графику
в точке с абсциссой
,
равной 3
.
Найдите значение прои
з
водной этой функции в то
ч
ке
.
B
5
B
6
B
7
B
8
5
(с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде
Объем первого цилиндра равен 12 м³
. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания –
в два
раза меньше, чем у первого. На
й-
дите объем второго цилиндра.
Ответ дайте в кубических метрах.
Камень брошен вертикально вверх.
Пока камень не упал, высота, на кот
о-
рой он находится, описывается формулой
(
–
в
ы
сота в метрах, –
время в секундах
, прошедшее с момента броска
). Найдите, сколько секунд кам
ень находи
л
ся на высоте не менее 9 метров
.
Найдите наи
боль
шее
значение функции
на отрезке .
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За скол
ь-
ко дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, е
с
ли он за два дня выполняет т
а
кую же часть работы, какую второй –
за три дня?
Часть 2
Для записи решений и ответов на задан
ия С1
-
С6
используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер
выполняемого задания, а з
а-
тем полное обоснованное реш
е
ние и ответ.
Решите систему уравнений
Сторона основания правильной треугольной призмы равна , а диагональ боковой грани равна . Найдите угол между плоск
о
стью и плоскостью основани
я
призмы. Решите неравенство
.
На стороне BA
угла , равного
,
взята такая точка D
, что и
. Най
дите
радиус окружности, проходящей через точки A
, D
и к
а-
сающейся п
рямой BC
.
B
9
B
10
B
11
B
12
C
1
С
2
С
3
С
4
6
(с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде
Найдите все значения a
, при каждом из которых уравн
е
ние
имеет хотя бы один корень.
Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть ч
и-
сел, наибольший общий делитель которых равен 1)
a
и b
, что
если к дес
я-
тичной записи числа a
приписать справа через запятую десятичную з
а-
пись числа b
, то получится десятичная запись числа, равн
о
го
.
С
5
С
6
7
(с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде
Система оценивания демонстрационно
го варианта
контрольных измерительных материалов
по МАТЕМАТИКЕ
Ответы к заданиям части 1
Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 ба
л-
лом. Задания части 1 считаются выполненными
верно
, если экзамену
е-
мый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной др
о-
би.
№ задания
Ответ
В1
В2
В3
В4
В5
В6
В7
В8
В9
В10
ﰴ
В11
В12
Ответы к заданиям части 2
№ задания
Ответ
С1
С2
С3
–
1
С4
1 или 7
С5
С6
8
(с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде
Решения и критерии оценивания заданий части 2
Оценки заданий части 2 завис
я
т от полноты решения и правил
ь
ности ответа.
Общие требования к выполнению заданий с развернутым отв
е-
том
: решение должно быть математически грамотным, полным
, все во
з-
мож
ные случаи должны быть рассмотрены
,
из него должен быть п
о
нятен ход рассуждений учащегося. Методы решения, формы его записи и
фо
р-
мы
записи ответа могут быть разными
. За решение, в котором обоснова
н-
но получен правильный ответ, выставляется максимальное числ
о ба
л
лов.
Эксперты проверяют математическое содержание предста
в
ленного решения, а особенности записи не учитывают.
В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие тр
е-
бования к выставлению баллов
. Однако они не исчерпывают всех во
з-
можных ситуаций
.
Правильный ответ п
ри отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.
При выполнении задания экзаменуемый может использовать без д
о-
казательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящи
х
в Федеральный пере
чень уче
б-
ников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федер
а
ции
.
Решите систему уравнений
Решение
.
1. Сделаем замену . Тогда . Теперь п
ерво
е
ура
в
нени
е системы
можно привести к виду
: Корни: или .
Получаем: или .
Первое из этих уравнени
й
не имеет корней. Решим второе
:
или .
2. При каждом из найденных значений решим второе уравнение
сист
е-
мы
.
а) Если ,
то .
С1
9
(с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде
Поскольку , , получаем, что . З
начит, уравн
е
ние не имеет решений, п
о
скольку
его
правая часть меньше
.
б) Если , то ;
.
Ответ
: Возможны другие формы
записи ответа. Например:
А) Б) В) .
Баллы
Критерии оценивания
выполнения задания С1
2
В представленном решении обоснованно получен верный о
т
вет.
1
Верно решено первое уравнение, но система решена неверно
.
0
Решение не
верно или отсутст
вует.
2
Максимальный балл
Сторона основания правильной треугольной призмы равна , а диагональ боковой грани равна . Найдите угол между плоск
о-
стью и
плоскостью основания
призмы. Решение
.
Обозначим середину ребра (
см. рисунок
). Так как тр
е-
угольник равносторонний, а треугольник –
равнобедре
н
ный, отрезки и перпендикулярны
. Следовательно
,
–
л
и-
нейный угол двугранного угла
с гранями и .
С2
10
(с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде
Из треугольника н
айдем
:
.
Из треугольника найдем
: .
Из треугольника на
йдем
: И
скомый угол равен .
Ответ
:
.
Возможны другие формы
записи ответа
. Н
а
пример,
А) ;
Б) рад
.
В) и т.п.
Возможны д
ругие решения
. Например, решение задачи с использован
и-
ем векторов
или метода координат
.
Баллы
Критерии оценивания
выполнения задания С2
2
Получен и обоснован верный ответ.
1
Построен или описан линейный угол искомого угла или угол между перпе
ндикулярами к плоскостям и , но получен неверный ответ или решение не законч
е
но.
0
Решение не
верно или отсутствует.
2
Максимальный балл
Решите неравенство
.
Решение.
Прео
бразуем неравенство
:
.
С3
11
(с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде
Найдем
, при каких значениях левая часть неравенства имеет смысл:
Получ
аем: или .
Значит,
при всех допустимых значениях . Поэтому
;
.
Сделаем замену . Получаем:
;
;
;
.
Таким образом,
, откуда ;
.
Корни уравнения:
и . Условию или удовл
е-
творяет только .
Ответ
:
.
Замечание. Можно не находить область допустимых значений , а при
й-
ти к соотношению другим способом
. Тогда решение будет немного короче.
Преобразуем неравенство:
.
Заметим, что и . Значит, .
Поэтому . Получаем:
.
Сделаем замену . Получаем:
;
;
;
.
12
(с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде
Таким образом, ;
.
Ответ
:
.
Баллы
Критерии оценивания
выпол
нения задания С3
3
В представленном решении обоснованно получен верный о
т
вет.
2
При верном решении допущена вычислительная ошибка, не влияющая на правильную последовательность
рассуждений,
и,
возможно, пр
и-
ведшая к неверному о
т
вету.
1
Получен ответ, сод
ержащий
наряду с правильным
постороннее реш
е-
ние
.
0
Решение не закончено или получен неверный ответ (кроме тех случ
а-
ев, в которых выставляется 1
–
2 балла; см. выше).
3
Максимальный балл
На стороне BA
угла , равного
, взята такая точка D
, что и . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A
, D
и к
а-
сающейся прямой BC
.
Решение.
Центр O
искомой окружности принадлежит серединному пе
р-
пендикуля
ру к отрезку AD
. Обозначим P
середину отрезка AD
, Q
–
осн
о-
вание перпендикуляра, опущенного из точки O
на прямую BC
,
E
–
точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC
(см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC
следует, что отрезки
OA
, OD
и OQ
равны радиусу R
окружности.
Заметим, что точка не может лежать по ту же сторону от
прямой AB
, что и точка E
, так как в этом случае расстояние от точки O
до прямой BC
меньше, чем расстояние от нее до точки A
.
Из пря
моугольного треугольника BPE
с катетом BP
= 2 и находим, что PE
= . Так как OA
= R
и , получаем: и, следовательно, .
Из
прямоугольного треугольника OQE
, в котором , нах
о-
дим:
.
С4
13
(с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде
В результате получаем уравнение для R
:
.
Возведем в квадрат обе части этого уравнения и приведем подобные чл
е-
ны. Полу
чим уравнение R
2
–
8
R
+ 7 = 0, решая которое находим два корня R
1
= 1, R
2
= 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка (см. рисунок б).
Ответ:
1 или 7.
Друго
е решени
е
.
Пусть точка касания окружности с прямой л
е-
жит на луче (см. рисунок а). По теореме о касательной и сек
у
щей
,
о
ткуда .
Пусть
–
точк
а пересечения луча и перпендикуляра к , пров
е-
денного через точку . Из прямоугольного треугольника нах
о
дим:
, тогда
и
.
Таким образом, точка удалена от точек , и на одно и то же ра
с-
стояние, равное 1. Следовател
ьно, –
центр искомой окружности, а ее радиус равен 1.
Пусть теперь точка касания окружности с прямой лежит на продолжении за точку (см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку перпендикулярно , пересекает прямую в точке , а о
к-
ружность вторично –
в точке . Тогда
14
(с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде
Если –
радиус окружности, то . По теореме о двух с
е-
кущих
, то есть
,
откуда
нах
о
дим, ч
то .
Ответ:
1 или 7.
Возможны другие форм
ы записи ответа
. Например,
А) 1, 7;
Б) радиус окружности равен 7 или 1.
15
(с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде
Баллы
Критерии оценивания
выполнения задания С4
3
В представленном решении верно найдены оба возможных значен
ия радиуса
.
2
Рассмотрены оба случая расположения окружности, но ве
р
но найден только один радиус.
1
Рассмотрен только один случай расположения окружности и верно найден ее радиус.
0
Оба радиуса найдены н
е
верно
или не найдены
.
3
Максимальный балл
Н
айдите все значения a
, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Решение
.
Запишем уравнение в виде . Функция н
е
прерывна и
1)
неограниченно возрастает при , так как при любом раскрытии м
о
дулей имеем
,
где ;
2
) убывает при , так как при любом раскрытии модулей имеем ,
г
де .
Следовательно, наименьшее значение
функция принимает при ,
и уравнение
будет иметь корень тогда и только тогда, к
о-
гда .
Решим это неравенство:
;
;
;
;
.
Ответ
: .
Возможны другие форм
ы записи ответа
. Например:
А) Б) . С5
16
(с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде
Баллы
Критерии оценивания
выполнения задани
я С5
4
В представленном решении обоснованно получен верный о
т
вет.
3
Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован
: например, не указано явно
необходим
ое и достаточное условие существования ко
р-
ня
, или то, что функция принимает все значения из промежутка
,
или решение содержит вычислительн
ую
оши
б
к
у
.
2
Верно рассмотрены отдельные случаи раскрытия модуля
, в результате чего получе
на часть верного ответа (возможно, другие случаи не ра
с-
смотрены или при их рассмотрении
допущены оши
б
ки). 1
Верно рассмотрены отдельные случаи
раскрытия модуля
, но не найд
е-
на никакая часть ве
р
ного ответа.
0
Решение не содержит ни одного верно рассмотрен
ного случая
раскр
ы-
тия модуля
.
4
Максимальный балл
Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть ч
и-
сел, наибольший общий делитель которых равен 1) a
и b
, что если к дес
я-
тичной записи числа a
приписать справа через запятую десятичну
ю з
а-
пись числа b
, то получится десятичная запись числа, равн
о
го .
Решение
. Пусть десятичная запись числа состоит из цифр. Тогда по условию з
а
дачи можно записать равенство
, поэтому .
(1)
Из этого уравнения следует, что .
Так как числа и взаи
м
но простые, числа и тоже взаимно простые. (Действительно, пусть –
общий простой делитель этих чисел.
Тогда если делитель , то будет делител
ем . Если же –
делитель , то будет делит
е
лем , значит
,
–
делитель . Противор
е
чие.
)
Поэтому
и, следовательно, . Последнее равенс
т
во при взаимно простых a
и b
возможно только в двух случаях:
1) , , но в этом случа
е не выполняется равенство .
2) b
= 5
n
, a
= 2
n
. В этом случае равенство b
–
a
2
= 1 принимает вид
, откуда .
Функция возрастает, а функция убывает. П
о-
этому уравнение имеет не более одного корня, и так как
,
единстве
н
ны
м
кор
нем
уравнения
является
.
С6
17
(с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации
Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде
Ответ
: .
Возможны др
угие формы
записи ответа. Например:
А) ;
Б)
;
В)
Баллы
Критерии оценивания
выполнения задания С6
4
В представленном решении обоснованно получен верный о
т
вет.
3
Получена с
истема необходимых и достаточных условий на пару иск
о-
мых чисел и найдено ее решение, но недостаточно обоснована его единственность.
2
С
оставлено верное уравнение в натуральных числах, из которого сд
е-
ланы какие
-
либо существенные выводы для нахождения иском
ой пары чисел
, уравнение до конца не решено, но верный о
т
вет приведен
.
1
С
оставлено
, но не решено
верное уравнение в натуральных числах
, верный ответ приведен
.
0
Ответ не найден
, или ответ неверен
, или в решении отсутствует верное уравнение в натуральны
х чи
с
лах.
4
Максимальный балл
Автор
AlekShuric
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
111
Размер файла
648 Кб
Теги
2010, demo
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа