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Модифицированный алгоритм адаптации высокого порядка для систем с запаздыванием по состоянию..pdf

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ISSN 1812-9498. беярмхй юцрс. 2006. ? 1 (30)
ренпхъ яхярел
??? 62-50
?. ?. ??????, ?. ?. ???????
???????????? ??????????????? ??????????? ???????????
лндхтхжхпнбюммши юкцнпхрл
юдюорюжхх бшянйнцн онпъдйю
дкъ яхярел я гюоюгдшбюмхел он янярнъмхч
????????
???????????? ?????? ?????????? ????????????? ?????? ??? ????????????????? ???????, ?. ?. ????? ?????????????? ?????? ??????? ? ??????????? ????????? ????????? ????????? ???????? ???????. ?????? ????? ?????????? ?????? ?????????? ? ?????????? ???????, ??????? ?????????, ??????????? ??????? ? ???????? ????????, ?????????? ???????
???????????? ?????? ?????????? ?????? ???????????????. ? ????? ? ????
?????? ?????? ??????? ? ??????? ??????????? ? ?????????? ?????????? ??
???????? ?? ????????? ???????? [1?10].
????????? ?????? ????????? ??????? ?????? ???????? ?? ????????? ???????? ? ???????? ????????? ???????????????? ??? ????????? ?????????? ????????? ? ??????????? ???????? ? ????????? ???????? ? ??????? ????????????????? ????????? ????????? ???????? ???????,
????????????? ????.
????????? ????????? ???????? ??????? ???? ?????????? ? [2], ???
??? ?? ????????????????? ???????? ?????? ??????????? ?? ??????? ????????????? ?????????? ? ??????? ??????????? ??????????. ? [3, 4]
?????????? ?????? ???????? ??????????. ?????? ?? ????????? ???
?? ????? ?????? ?????????? ?? ??????????????.
? ?????? ?????? ???????????? ????????? [2?5], ?? ?????????? ????????? ??????????, ? ??????? ????????? ??????? ?????????? ??
2n(n ? m ? 1) + (2n ? 1)(n ? m) , ??? m , n ? ??????? ????????? ?????????????? ????????? ? ??????????? ???????????? ??????? ???????.
?????????? ??????
?????????? ?????? ??????????, ???????????? ???????? ? ???????
??????????? ??????????
Q( p) y (t ) + F ( p ) y (t ? h) = kR( p )(u (t ) + f (t )) .
24
(1)
ренпхъ яхярел
????? Q( p) , R ( p ) , F ( p ) ? ???????????????? ????????? ? ??????????? ???????????? ??????????????, ?????? Q( p) ? R ( p ) ? ?????????????; k > 0 ; h ? ????????? ????? ????????????; y (t ) ? ????????????
????????? ??????????; u (t ) ? ????????? ??????????? ???????????; f (t ) ?
??????????? ???????????; p = d / dt ? ???????? ?????????????????.
????????? ?????? ?????? ??????????
pym (t ) = ? am ym (t ) + k m r (t ) ,
(2)
??? am > 0 ; k m > 0 ; r (t ) ? ???????????? ???????? ???????????.
??????????? ??????????? ?????? ?????????? ? ????????? ???????
?? ?????? ? ??????????? ????????? ??????? ??????????, ?????????????? ??? ????? ????????? ??????? ?????????????? ???? ???????? ???????, ? ????? ?????????? ???????? ???????
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t ??
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(3)
??? ? ? ?????????, ?????????? ????? ?????, ??????? ????? ???? ????????? ?? ???? ?????? ??????????. ???????????? ?????? ???????? ??????????? ??????????? ??? ??????? ?????????? ?????? ?????????? ? ?????????
??????? ??? ????????? ??????? ?? ?????? [1, 2, 4, 5].
?????????????:
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??????????? ?????????? ? ?????????????? ???????; ? = n ? m ? ????????????? ??????? ???????.
?2. ??????? R(?) ? ????????.
?3. am > 0 ; k m > 0 ; k > 0 .
?4. ???????? r (t ) ? ??????????? f (t ) ??????????? ???????? ????????????? ????????? ???????.
?5. ????????? ???????? ???????? u (t ) , y (t ) , ym (t ) , r (t ) . ????????????? ??????????? ???? ??????? ? ??????? ?????????? ?? ???????????.
?????? ??????????? ????????? ? ?????? ??????????? ??????????? ???????? ???????
??????????, ??? ????? ???? ?? ????????? ??????? ??????????, ???? ?? ??????????? ????????? n ? m ? 1 ??????????? ??????? ????????.
??????? u (t ) ? ????
u (t ) = T ( p)v(t ) ,
(4)
??? v(t ) ? ????? ??????????? ???????????; T ( p ) ? ???????? ???????????????? ???????? ??????? n ? m ? 1 , ?????? ??????? T (?) ? ????????.
????? ????????? (1) ??????????? ? ????
Q( p) y (t ) + F ( p ) y (t ? h) = kR( p )(T ( p )v(t ) + f (t )) .
(5)
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???????? ????????? R ( p ) , Q( p) ?? ????????? R ( p) = Rm ( p ) + ?R( p) ,
Q( p) = Qm ( p ) + ?Q ( p ) , ??? Rm ( p) , Qm ( p) ? ????????? ? ?????????? ?????????????? ?????, ??? ???????? Rm (? ) ? Qm (?) ? ????????? ? ?????
??????? m ? n ??????????????. ????? ?R ( p) , ?Q ( p ) ? ????????? ? ???????????? ?????????????? ???????? m ? 1 ? n ? 1 ??????????????. ??????? Rm ( p) , Qm ( p) ? T ( p ) ???, ??? Rm ( p )T ( p) / Qm ( p ) = 1 /( p + am ) , ?????,
????????? ????????? ╚???????????? ???????╩, ????????? (5) ????? ????????????? ? ????
py (t ) + am y (t ) = k (v(t ) ? c0 w(t ) +
T
km
r (t ) + ?(t ) + ?(t )) ,
k
(6)
??? ?(t ) ? ??????????????? ?????????? ??????? ???????, ?. ?. ?(t ) ? L2 ;
?( t ) =
R( p)
f (t ) ? ???????????? ???????? ? ???? ???????????? ????????
kT ( p ) Rm ( p )
T (? ) Rm (? ) ? ????????????? ?4; w(t ) = [ y (t ), y (t ? h), ? y (t ), ?1 (t ), ? v (t ), r (t )]T ?
?????? ?????????; ? y ? R n ?1 , ?v ? R m , ?1 ? R n?1 ? ??????? ????????? ????????
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? y (0) = 0,
?v (0) = 0,
(7)
??? F0 , F01 ? ????????? ??????? ? ????? ?????????? ? ??????????????????? ???????????? T (?) Rm (?) ? Rm (?) ??????????????; b0 = [0, ..., 0, 1]T .
??????? ????? ?????????? ? ????
v(t ) = cT (t ) w(t ) ,
(8)
??? c ? ?????? ????????????? ??????????. ????? ????????? ??????
? ?????? (2) ?????? ???
( p + am )e(t ) = k (c(t ) ? c0 )T w(t ) + k?(t ) + k ?(t ) .
(9)
??????????? 1. ????? ????????? ??????? ????????????? ?1??5
? ??????? T (?) ? ???????? ??????? n ? m ? 1. ????? ?????????? ?????
? > 0 , ? > 0 ?????, ??? ???????? ?????????
c&(t ) = ??e(t ) w(t ) ? ?e 2 (t )c(t )
(10)
? ????????? (7) ? ??????? ?????????? (8) ???????????? ?????????? ???????? ??????? (3) ? ??? ??????? ? ????????? ??????? ???????? ?????????????.
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ренпхъ яхярел
?????????????? ??????????? 1. ?????????? ??????? ???????? ????
V1 (t ) = h1e 2 (t ) +
k
(c(t ) ? c0 )T (c(t ) ? c0 ) ,
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2?k
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(c(t ) ? c0 )T e 2 (t )c(t ) + 2h1ke(t )?(t ) .
?1
(11)
???????????????? ??????? 2ekh1?(t ) ? ?1e 2 + (kh1 ) 2 ?1?1 ? ? ???????2
??? ? 2(c ? c0 )T c(t ) = ?(c ? c0 )T (c ? c0 ) ? cT c + c0 , ?? (11) ???????
?k
V&1 < ?e 2 (2am h ?
c0
?1
2
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(kh1 ) 2 ?
?1
2
.
(12)
2
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c0 ? ?1 > 0 , ?? ??????? ???1
????? (3) ????? ?????????. ? ???? ???????? ???????????? ???????? ??????? ?(t ) ? c0 , ?? ??????? ????? ?1 ????? ???????? ???????? ???????? ? .
?????? ?????????? ????????, ??? ??? ?????????? ? (7) ???????? ????????????? ?????????.
????????, ??? ??????? F0 ? F01 ?????????, ? ???????? ?? ?????-
???? ??????? h , ?1 ?? ??????? am h ?
??? ??????? ?2, ?4 ? ??????????? (12), ????, ??? (?(t ) ? c0 )T w ? ? 2 ???
t ? ? , ??? ? 2 ? ????? ?????. ??????, ??????? ? y , ?1 ? ?v ??????????.
?????????? ?????? ????????? ??????? (7):
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)?v + b0 (c ? c0 )T w +
k
T
T
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? y + c04 y (t ? h) + c05
?1 + m r (t )) ,
k
??? ??????????? ???????????? c01 , c02 , c03 , c04 , c05 ???????? ??? ????k ?
?
??????????? ?????????? ?????????, ?. ?. c0T = ?c01 , c02 , c03 , c04 , c05 , m ? .
k ?
?
T
??????? F01 + b0 c01 ????? ?????????????????? ????????? R (?) , ???????,
? ???????????? ? ?2, ????????, ?, ??????, ?v (t ) ? ???????????? ??????,
?. ?. ???? ?????? w(t ) ?????????. ? ?? ??????? ???????? V1 ? ???????????
???? ??????? ?????????????? ???????? w& (t ) ? c&(t ). ??? ??????, ??? ????
??????? ???????? ???????? ?? ????????? ??????? ????????? ???????? ?0 ,
?? ?????????? ???????
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? = {e(t ), w(t ), c(t ), w& (t ), c&(t ) : w(t ) < k1 , c(t ) < k 2 , w& (t ) < k3 , c&(t ) < k 4 }
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??????? (3).
?????? ????????? ??????????? ?????????? ??? ????????? ??????????? ????????? ???????
????? ?????????? ?????????? ? ??????????? ???????? ? ????????? ???????? ?????????? ????? ?????????? ????????? ???????
?
u (t ) = ?T ( p ) v(t ) , v(t ) = cT (t ) w(t ) ,
(13)
??? ? > 0 ? ???????????, ??????????????? ??? ????????? ???????? ???????? ?????? ??????? ?????????? (1) ?? ????????? ???????? (2); ???
?????? ?????????? v ? ?? ??????????? ?????????? ????? ?? ????????????, ???????? [6?8]. ????????????? ??????, ???????????? ? [7, 8].
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?
?& (t ) = G0 ?(t ) + D0 (v(t ) ? v(t )) , v(t ) = h?(t ) ,
(14)
?0 I ? ? 2 ?
??? ? ? R ? ?1 ; G0 = ?
? , I ? ? 2 ? ????????? ??????? ??????? ( ? ? 2) ;
?0 0 ?
T
d ? ?1 ?
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d
D0 = ?? 1 ,? 22 , ... ,? ? ?1 ? , ?????? d1 , ... , d ? ?1 ?????????? ?? ???????
╣ ?
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???????????? ??????? G = G0 ? Dh , ??? D = [d1 , d 2 , ... , d ? ?1 ] ; h = [1,0, ... ,0] ;
╣ ? ?????????? ????? ????????. ? ???? ?????? ? (10) ????? ????????????
?????????? ? ??????????? (11), ?, ??????, ? ???????? ?????????????? ??????????? ???????? ? ????????? ???????? ????? ?????????? (10) ???????? ?????????? ???????????, ?. ?. ???????? ?????????? ? ????????? ????????.
??????????? ????????? (1) ? ?????? (4), (5), (6) ? (10):
?
( p + am ) y (t ) = k?((c(t ) ? c0 )T w(t ) + (v(t ) ? v(t )) +
km
?(t )
r (t ) +
+ ?(t )) ,
?k
?
? ????????? ?????? ?????? ???
?
( p + am )e(t ) = k?(c(t ) ? c0 )T w(t ) + k?(v(t ) ? v(t )) + k?(t ) .
(15)
?????? ? ???????????? ?????? ?????????? ? = ? ?1 (? ? ?) , ???
{
}
? = diag ╣ ? ? 2 , ╣ ? ?1 , ... , ╣, 1 , ? = [v(t ), v&(t ), ... , v ? ?1 (t )] .
????????? ?????????? ? ?????? ????????? (11) ?????? ???
?
?(t ) = v(t ) ? v(t ) = ╣ ? ? 2 h?(t ) .
?????????????????? ?????? ??????????, ???????
1
?& (t ) = G?(t ) + hT v ( ? ) (t ) .
╣
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ренпхъ яхярел
??????????? ????????? ?????????? ? ?????? ?????????? ? ????????????? ????????? ???????????? ?????? ?(t ) :
?& (t ) =
1
G?(t ) + hT v&(t ) , ?(t ) = ╣ ? ? 2 h?(t ) ,
╣
(16)
??? ??????? G ????????? ? ????????????? ????????? ????????
G T N + NG = ?3I ,
??? I ? ????????? ??????? [9].
??????????? ????????? (15), ???????? ?? ???????? (10) ? (13):
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e& = ? am e + k?(c ? c0 )T w + k?╣ 2 h?(t ) + k?(t ) ,
(17)
??????????? 2. ???? ????????? ????????????? ?1??5 ? ???????
T (? ) ? ???????? ??????? n ? m ? 1 , ?? ?????????? ????? ╣ 0 ? ????????
????????? ???? (10) ?????, ??? ??? ╣ ? ╣ 0 , ? > 0 ? ? > 0 ??????? ??????????
(7), (10), (13), (14) ? (17) ????????????, ???? ???????? ??????? ??????????
? ????????? ??????? ? 0 ? ??? ???? ????????? ??????? ??????? (3).
?????????????? ??????????? 2. ??????? ????????? (16) ? (17) ? ????
??2
e& = ? am e + k?(c ? c0 )T w + k?╣ 2 h?(t ) + k?(t ),
╣1?& = ╣ 2 hT v& + G?,
(18)
??? ╣1 = ╣ 2 = ╣ , ? ????????????? ?????? [10].
????? [10]. ???? ??????? ??????????? ?????????? x& = f ( x, ╣1 , ╣ 2 ) ,
x ? R s , ╣ = col(╣1 , ╣ 2 ) ? R s , ??? f ( x, ╣1 , ╣ 2 ) ? ??????????? ???????, ????????? ?? x , ? ??? ╣ 2 = 0 ????? ???????????? ????????? ??????? ??????????????? ?1 = {x | P ( x) ? C}, ??? P ( x) ? ??????????? ???????-???????, ??2
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??? ╣ 2 ? ╣ 0 ???????? ??????? ????? ?? ?? ??????? ??????????????? ?1 , ??1
?? ??? ????????? ????? C1 > 0 ? ╣1 > 0 ??? ╣ 2 = 0 ????????? ???????
? ? ?P( x) ? T
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, f ( x, ╣1 ,0) P ( x) = C ? ? ? C1
sup ? ?
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╣ ? ╣ ? ? ?x ?
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1
(19)
1
??? P ( x) = C .
??????? ??????? ???????? ??? ????????? (16) ? ????
V2 (t ) = ?T (t ) N?(t ) ,
?????,
????????
?????????
(18),
???????
1
V&2 (t ) = ? ?T (t )Q1?(t ) ??? ╣ 2 = 0 .
╣1
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????? ???????, ??? ╣ 2 = 0 ???????? ???????? ??????? ?????????
(7), (9), ? ??????? ??????????? ??????????? ????????? ╣?& (t ) = G?(t )
? ?????????????? ?????????? ?????????? ?(t ) . ? ??? ??? ????? ???????
?????????????? ? ? ???????? ?????????? ?1 .
????????, ??????? ????? ?????????, ? ?????????????, ??????? (18)
????? ??????? ??????????????? ? . ?????? ??????? ?????????? ?????
????????? ??????, ??????? ?????????? ??????? P (x) ? ? ???????? ???
??????? ?????????? ???????? ? ???????????
P = h2 e 2 (t ) +
k
(c(t ) ? c0 )T (c(t ) ? c0 ) + ?Ty (t ) R1? y (t ) +
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0
+
?Tv
(t ) R2 ? v (t ) + ? ?& 1T ( s ) R3?& 1 ( s )ds + ?T (t ) N?(t ) ,
?h
??? R1 , R2 , R3 , N ? ????????????-???????????? ???????????? ???????. ??????? ????? C ???, ????? ???????????? ????????? ???????????
P ( x) = C , ??? xT (t ) = [e, ?T , ? y , ?v , ?1 ] , ?????????? ? ??????? ? ?? ????-
?????? x(t ) , ? ????????? ????????? ?????????? ?1 ????? ? ????????
??????? V ( x) < C ? ??????? ????????????, ?? ?????????? x(t ) ?????
?????????? ? ??????? ?????????? ?1 , ? ?????????????, ?????????? ?????
C1 , ??? ???????? ????????? (19). ? ?????? ?????????? ?(t ) ? ?? ????????
?????????? ? ???? ??????? ?? ?????? ╣1 . ????? ???????, ? ????????????
? ?????? [10], ?????????? ????? ╣ 0 > 0 ?????, ??? ??? ╣ < ╣ 0 ????????
??????????????? ??????? (7), (13), (16), (17) ???????? ??????? ? .
????? ? (18) ╣1 = ╣ 2 = ╣ 0 . ????? ???????, ??? ???????? ??????? ?????????? ? ????????? ????????? ????????? ??????? ? 0 , ? ?????????????,
??? ?????????? ??????? ????? ?????????? ? ??????? ??????????????? ? .
?????????? ??????? ???????? V = V1 (e, c ? c0 ) + V2 (?) ??? ????????? ??????? ????
V = h1e 2 + ?T N? +
k
( c ? c0 ) T ( c ? c0 ) .
?1
???????? ?????? ??????????? ?? ??????? ???????? ?? ??????????? ??????? (18):
? ?1
V& = ?2am h1e 2 + 2ek?h1 (c ? c0 )T w + 2e?h1╣ 0 h? + 2ekh1?(t ) +
1
2k & T
+ 2?T Nh(c&T w + cT w& ) + ?T
(G T N + NG )? +
c (c ? c0 ).
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30
(20)
ренпхъ яхярел
????????????? ?????????? ????????:
2e?h1╣ 0
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h? ? 2 e ?h1╣ 0
? ?1
?,
2?T Nh(c&T w + cT w& ) ? 2 ?(t ) K 0 ,
??? K 0 = Nh (k 4 k1 + k 2 k3 ) .
????????? ?????? ??????? ?? ?????????????? ??????? ?????????, ??????? ?(t ) ? ??????? ????????????? ??????????, ? ????? ?? ???????????.
????????? ??? ?????? ? (20), ???????
?k
V& ? ?e 2 (t )(am h1 ?
c0
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2
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2
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, ???????
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c0
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? ? 2 )e (t )
2
+ ╣ 0 K 02
+
(kh1 ) 2 ?(t )
?2
2
.
?????, ???, ????? h1 , ?1 ? ? 2 , ????? ??????????? ???????? ? ? ??????? ??????? (3).
??? ??????????? ????????????????? ????????????? ? ?????? ????????? ?????????? ?????????? ??????.
??????
?????????? ???????????? ??????? (1) ?????????? ????:
p( p ? 1)( p ? 2) y (t ) ? (5 p 2 + 4 p + 3) y (t ? 5) =
= 4(u (t ) + 1 + 2 sin(t + 0,1) + sin(0,5t + 0,5))
? ????????? ?????? (2), ???????? ????????? ??????????:
( p + 1) y m (t ) = r (t ) ,
??? r (t ) = 2 + 2 sin 2t + 0,5 sin(0,5t + 0,2) .
?????????? ?????? ?????????? u (t ) ? ???????????? ? ?????????? (10),
?????? ???????? ???????????????? ???????? ???? T ( p ) = p 2 + 0,1 p + 1 :
?
?
?
?
u = ?( p 2 + 0,1 p + 1) v = ?(v + 0,1v + v) ,
??? ? = 100 .
31
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? ????????? ?????? (14) ????????? ??????? ??????????: d i = 10 ,
i = 1,2 ; ╣ = 0,01 .
?? ??????? ????????? ?????????? ????????????? ?????????? ????????? ??? ????????? ????????? ??????????: y (0) = y& (0) = &y&(0) = 1 , ???
????????? ????????? ???????? ? ??????? ???????; ? = 10 ; ? = 7 .
??????????
? ?????? ??? ????????? ???????, ????????? ? ????? ????-?????
? ???????????? ??????????? ? ?????????? ????????? ?????????? ??????
? ???????, ?? ?? ?? ????????????, ??????????? ?????????? ???????????????? ?????????? ????????? ???????? ???????. ???????????? ?????? ????????? ????????? ??????? ????????? ??????? ?? 2n(n ? m ? 1) + (2n ? 1)(n ? m) ??
????????? ? ????????????? ??????????? ????????? ???????? ???????, ???
???? ????? ?? ??????????? ???????? ?????????? ? ???????? ??????????.
????????????? ?? ??? ?????????? ??????? ??????????. ? ???????????
????? ??????? ????????? ?????????, ??????????? ??? ??????? ????????????? ??????????, ?????????????? ???????????? ????????? ???????.
?????? ??????????
1.
2.
3.
4.
5.
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???????? 19.09.05
MODIFIED ALGORITHM FOR ADAPTATION OF HIGH ORDER
IN SYSTEMS WITH LAGGING ON STATE
I. B. Furtat, A. M. Tsykunov
There is considered the problem of adaptive governing yielding
linear object with lagging state, unknown parameters and in state of
perturbation and parametrical infinity. It is supposed that the governing object is given in ╚input-output╩ form with numerator gurvitsev.
The problem is solved using new modified algorithm for adaptation of
high order, which helps to decrease the order of the closed system and
to receive simpler practical governing pattern ? both technical and
analytical. The efficiency of the new algorithm has been substantiated.
The results of modeling have been demonstrated.
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