close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Применение нелинейного программирования для восстановления состояния линейной системы с неопределенными собственными значениями..pdf

код для вставкиСкачать
Vestnik_1_8.qxd
???????
????
24.03.2008
13:30
Page 320
1/2008
ПРИМЕНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ
СИСТЕМЫ С НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ СОБСТВЕННЫМИ
ЗНАЧЕНИЯМИ
Р. Л. Лейбов (МГСУ)
Введение
Количество публикаций, посвященных проблеме восстановления или оценивания
состояния, остается значительным в течение вот уже нескольких десятков лет. В классических работах, основные результаты которых изложены, например, в [1], рассматривался линейный (с постоянными или известными в каждый момент времени коэффициентами) объект управления, у которого не все переменные состояния входят в вектор наблюдений, а вектор измерений и известный вектор управления включают аддитивные
гауссовские искажения. В последнее время делаются попытки максимально расширить
область возможного применения методов восстановления состояния. В работах [2], [3],
[4], [5], [6], [7], [8], [9], [10] рассматривается задача восстановления состояния для нелинейного объекта управления. При этом расширенный наблюдатель может состоять из
нескольких наблюдателей [2], которые оценивают вектор состояния по частям, а также
оценивают неизвестные и зависящие от времени параметры объекта. Кроме того, расширенный наблюдатель может использовать линеаризацию [3] или, наоборот, может
быть эвристическим, применимым даже в тех случаях, когда нелинейное описание объекта не является дифференцируемым [4], может оценивать неизвестный вектор постоянных [5] или переменных зависящих от времени параметров [6]. Возможна также линеаризация обновляющих разностей расширенного нелинейного наблюдателя [7]. Рассматривается применение минимаксного подхода для случая больших ошибок измерений, которые могут быть связаны с внезапными отказами [8], а также обеспечение робастности нелинейного наблюдателя при ограниченных внешних возмущениях [9].
Для восстановления состояния такого нелинейного объекта управления, как авиационный ГТД, автором было предложено использовать расширенный линейный [10] и
нелинейный [11] наблюдатели. Также был разработан метод размещения в заданных диапазонах полюсов наблюдателя для линейного объекта с неопределенными собственными значениями [12]. Целью данной работы является разработка метода оптимального
восстановления состояния линейной системы с неопределенными собственными значениями с помощью решения задачи квадратичного программирования в случае, когда использование обычного расширенного наблюдателя невозможно.
Восстановление состояния линейной системы с неопределенными собственными
значениями
Пусть в небольшой окрестности выбранной рабочей точки (выбранного установившегося режима) нелинейный объект управления приближенно описывается с помощью
линейной модели с неопределенными собственными значениями
x = A x + B u,
или в дискретные моменты времени t0,?,tN
320
(1)
Vestnik_1_8.qxd
24.03.2008
13:30
Page 321
???????
1/2008
????
x (t k +1 ) = ??I + ?t A (tk )?? x (t k ) + ?t B u (t k ) . (2 )
Здесь x n-мерный нормированный вектор состояния в отклонениях, а u m-мерный
нормированный вектор управления в отклонениях от значений, соответствующих выбранному установившемуся режиму, tk+1=tk+?t, k=0,?,N-1, ?t шаг дискретности.
Пусть матрица объекта управления
венные значения [13, 14]
? ?1 0
?
0 ?2
A = T?T?1 = [ 1 v, 2 v,..., n v] ?
? ... ...
?
?? 0 0
??
i?I R
i
i
{}
A = A ± ?A имеет неопределенные собст0 ? ? 1w ?
?? ?
n
... 0 ? ? 2 w ? n i i
= ? ?i v w = ? ?i i H =
... ... ? ? ... ? i =1
i =1
??n ?
... ? n ?? ?? w ??
...
{}
H + 2 ? ? Re ? i Re {i H}? Im ? i Im {i H}? , (3)
?
?
i?I
C
где 1v, 2v,?, nv ? собственные векторы матрицы
A , IR ? множество индексов всех
вещественных собственных значений матрицы A , и IC ? множество индексов всех её
комплексных собственных значений, каждому из которых соответствует комплексное
сопряженное,
Re {i H}= ?? Re {i hkl }?? , k = 1,..., n, l = 1,..., n, i ? I C ,
(4 )
Im {i H}= ?? Im {i hkl }?? , k = 1,..., n, l = 1,..., n, i ? I C . (5 )
Введем дополнительный вещественный n-мерный вектор
?
?
q = ?..., ? i ,..., Re ? i , Im ? i ,...?
?? i?I R
??
i?I C
{} {}
T
(6 )
и дополнительное векторное уравнение состояния
q = 0,
(7 )
которое в дискретные моменты времени будет иметь вид
q (t k +1 ) = q (t k ), k = 0,..., N ? 1.
(8 )
321
Vestnik_1_8.qxd
???????
????
24.03.2008
13:30
Page 322
1/2008
Матрица объекта управления A = A (q ), причем линейная модель в каждый момент времени линейна отдельно по координатам состояния и управления, и отдельно по
вещественным собственным значениям и по вещественным и мнимым частям комплексных собственных значений объекта управления.
Для приближенного одновременного оценивания в каждый момент времени (на
каждом шаге) вектора состояния и неопределенных собственных значений объекта управления можно использовать расширенный фильтр Калмана [1], [15].
Введем расширенный вектор состояния, размерность которого qn=2n,
q
T
x = ?? xT , qT ?? .
(9 )
Тогда расширенное и потому нелинейное описание системы будет иметь вид
q
x = q A (q x )
q
x + q B u,
(10 )
или в дискретные моменты времени
q
?
x (t k +1 ) = ? I + ?t
?
q
?
A ?? q x (t k )?? ?
?
q
x (t k ) + ?t
q
B u (t k ), k = 0,..., N ? 1, (11)
где
q
? A (q ) 0 ? q
?B ?
A (q x )= q A (q ) = ?
? , B = ? ? . (12 )
0?
?0?
? 0
В этом случае вектор измерений с аддитивными гауссовскими случайными искажениями [1], [15] имеет вид
z (t k ) = q H
q
x (t k ) + v (t k ), k = 0,..., N , (13 )
где матрица измерений qH размерности lЧqn имеет нулевые столбцы, соответствующие
компонентам вектора q, которые не измеряются.
Здесь [1]
E { v (t k )}= 0, k = 0,..., N ,
(14 )
?
?
E ? v (t k ) v T (t j )? = V (t k ) ?kj , k = 0,..., N , j = 0,..., N , (15 )
?
?
E { x (t 0 )}= x (t 0 ),
(16 )
T?
?
E ? ?? x (t 0 ) ? x (t 0 )?? ?? x (t 0 ) ? x (t 0 )?? ? = X (t 0 ),
?
?
322
(17 )
Vestnik_1_8.qxd
24.03.2008
13:30
Page 323
1/2008
E { u (t k )}= u (tk ), k = 0,? , N ,
{
E ??u (t k ) ?u (t k )?? ??u (t j )? u (t j )??
(18 )
T
}= U (t ) ? , k = 0,..., N , j = 0,..., N,
k
kj
T?
?
E ? ?? x (t0 ) ? x (t0 )?? ??u (tk ) ? u (tk )?? ? = 0, k = 0,..., N ,
?
?
?
?
E ? ?? x (t0 ) ? x (t0 )?? vT (tk )? = 0, k = 0,..., N ,
?
?
(19 )
(20 )
(21)
?
?
E ? ??u (tk ) ?u (tk )?? vT (t j )? = 0, k = 0,..., N , j = 0,..., N ,
?
?
E { q (t 0 )}= q (t 0 ),
???????
????
(22 )
(23)
T?
?
E ? ??q (t 0 ) ? q (t 0 )?? ??q (t 0 ) ? q (t 0 )?? ? = Q (t 0 ),
?
?
(24 )
T?
?
E ? ??q (t0 ) ? q (t0 )?? ??u (tk ) ? u (tk )?? ? = 0, k = 0,..., N ,
?
?
?
?
E ? ??q (t0 ) ? q (t0 )?? vT (tk )? = 0, k = 0,..., N .
?
?
(25 )
(26 )
Тогда, для расширенного вектора состояния qx
E {q x (t 0 )}= q x (t 0 ),
(27 )
T?
?
E ? ?? q x (t0 ) ? q x (t0 )?? ??u (tk ) ? u (tk )?? ? = 0, k = 0,..., N , (29 )
?
?
?
?
E ? ?? q x (t0 ) ? q x (t0 )?? vT (tk )? = 0, k = 0,..., N .
?
?
(30 )
Здесь
q
0 ?
? x (t )?
? X (t 0 )
x (t0 ) = ? 0 ? , q X (t 0 ) = ?
? .
Q (t 0 )?
?q (t0 )?
? 0
(31)
323
Vestnik_1_8.qxd
24.03.2008
???????
13:30
Page 324
1/2008
????
Уравнения расширенного наблюдателя (расширенного фильтра Калмана) можно
получить с помощью релинеаризации [1], [15], то есть с помощью линеаризации на каждом шаге уравнения (11) относительно наилучшей апостериорной оценки
q
x расши-
ренного вектора состояния и вектора ожидаемых значений управления u .
q
q
x (tk ) = q x (tk ) + q R (tk
?
x (t k +1 ) = ? I + ?t
?
q
)
?? z (tk
?
A ?? q x? (t k )?? ?
?
)
q
?q H
q
x (tk )?? , k = 0,..., N , (32 )
x? (t k ) + ?t
q
B u (t k ), k = 0,..., N ? 1, (33 )
q
где начальная априорная оценка расширенного вектора состояния
x (t0 ) задана.
q
Матрица коэффициентов расширенного фильтра R, которая имеет размерность
q
nЧl, определяется [1] на каждом шаге (в реальном времени).
q
R (tk ) = q P (tk )
q
P (tk ) = ?? q X ?1 (tk )+ q HT
q
X (tk ) ? q X (tk ) q HT ??q H
q
HT V ?1 (tk ) , k = 0,..., N ,
V ? 1 (tk
q
X (tk
)
q
H ??
)q HT
?1
(34 )
=
+ V (tk )??
?1 q
Hq X (tk
),
k = 0,..., N , (35 )
X (tk +1 ) = q J ?? q x (t k ), u (t k )?? q P (tk ) q JT ??q x (tk ), u (tk )?? +
x
x
q
q
q T
q
J ?? x (t k ), u (t k )?? U (tk ) J ?? x (t k ), u (tk )?? , k = 0,..., N ? 1. (36 )
u
u
q
Здесь qnЧqn матрица qX (t0) задана, а qnЧ(qn+m) матрица-якобиан qJ имеет
q
J
??
= J ? ? I + ?t
?
x (t k ), u (t k )
??
(
вид
q
?qJ
? x
q
J ?
u?
q
{(
)
q
x + ?t
q
{(
)
q
x + ?t
q
? J ? I + ?t q A
?? ?
J ? I + ?t q A
?
324
x (t k ), u (t k )
q
A
)
q
x + ?t
q
? q x ? ??
B u? , ? ??
?
? u ? ??
=
Bu ? ,
?
q
x
}
}
Bu ? , u ?
??
?
=
q
x (t k ), u (t k )
=
q
x (t k ), u (t k )
Vestnik_1_8.qxd
24.03.2008
13:30
Page 325
1/2008
(
? ? ? I + ?t
? ?
?
?
q
A
)
q
q
xT
?
(
? ? I + ?t
?
q
A
)
x + ?t
q
q
x + ?t
? uT
? ?
?I +
?
?
(?t
q
?
q
A
q
x
)
xT
?t
q
???????
????
B u?
?
q
B u? ?
??
?
?
?
B?
?
?
=
q
x (t k ), u (t k )
,
q
x (t k ), u (t k )
k = 0,..., N ? 1. (37 )
Поскольку
?
?
Ax = A (q ) x = ? ? ? i i H + 2 ? Re ? i Re {i H}? Im ? i Im {i H} ? x =
i?I C
? i?I R
?
( {}
?
i
i?I R
(
{}
)
{ })=
{}
Hx? i + ? 2 Re {i H} x Re ? i ? 2 Im {i H} x Im ? i
i?I C
? i
?
,..., 2 Re {i H} x, ?2 Im {i H} x,...? q , (38 )
?..., iHx
?I R
i?I C
??
??
то
?
(?t
q
A
?
q
T
x
q
?
? A (q ) 0 ? ? x ? ?
? ? ?t ?
? ? ?? ?
?
x
0 ? ?q ? ??
? 0
?
=
=
T
T
?
?
? ?x , q ?
)
? ? ? A (q ) x ?
?
? ? T
?t ?
?x
?
0
?
?
? A (q ) x ? ?
?? ?t ?
? ??
? 0 ??
?
=
T
T
?
?
? ?x , q ?
? ?? A (q ) x ?? ?
?
?qT
?=
?
0
?
? A (q ) ..., i Hx,..., 2 Re {i H} x, ?2 Im {i H} x,...?
i?I R
? . (39 )
i?I C
?t ?
?
?
0
? 0
?
325
Vestnik_1_8.qxd
24.03.2008
???????
13:30
Page 326
1/2008
????
Следовательно,
q
J ?? q x (t k ), u (t k )?? = I +
x
? A ??q (tk )?? ..., i H x (tk ),..., 2 Re {i H}x (tk ), ?2 Im {i H}x (tk ),...?
i?I R
? , k = 0,..., N , (40 )
i?I C
?t ?
?
?
0
0
?
?
q
J ?? q x (t k ), u (t k )?? = ?t
u
q
?B?
B = ?t ? ? , k = 0,..., N .
?0?
(41)
Если расширенная система является наблюдаемой [1] или полностью восстанавливаемой [15], то оценку расширенного вектора состояния можно однозначно определить с помощью имеющихся измерений и расширенного фильтра Калмана. В противном случае для того, чтобы на каждом шаге, вернее для каждого k=1,?,N, предварительно
q (tk ?1 ) , необходимо учесть [13], [14], что
определить оценку вектора
{}
Im ? i
min
{}
i ? IR ,
? imin ? ? i ? ? imax ,
{}
{}
? Im ? i ? Im ? i
max
Re ? i
min
{}
{}
? Re ? i ? Re ? i
max
,
, i ? I C и поэтому задача оценивания вектора
неопределенных собственных значений может быть сведена к задаче нелинейного
программирования [1], [17]
q (tk ?1 ) :
{
min ??q (tk ?1 ) ? q (tk ?1 )??
T
Q ?1 (t0 ) ?? q (tk ? 1 ) ? q (tk ? 1 )?? +
?? z (tk ) ? H x (tk )?? V ?1 (tk
T
{
x (t k ) = I + ?t A ??q (t k ?1 )??
)
?? z (tk ) ? H x (tk )??
} x (t
k ?1
)+ ? t
B u (tk ? 1 ),
?
qimin ? qi (t k ?1 ) ? qimax , i = 1,..., n ? , (42 )
?
которая решается методом скользящего допуска или методом прямого поиска [17].
При этом можно считать, что вектор q (t0 ) задан, q (t k ) = q (t k ?1 ), k=1,?,N, а
матрица Q (t 0 ) определяется тем, насколько плавно должны изменяться компоненты вектора q (tk ?1 ) , k=1,?,N.
Зная оценки неопределенных собственных значений, можно теперь для оценивания вектора состояния использовать соответствующие уравнения наблюдателя
x (tk ) = x (tk ) + R (tk
326
)
?? z (tk
)
?H x (tk )?? , k = 0,..., N ,
(43 )
Vestnik_1_8.qxd
24.03.2008
13:30
Page 327
1/2008
{
x (t k ) = I + ?t A ??q (t k ?1 )??
} x (t
k ?1
)+ ? t
???????
????
B u (tk ? 1 ), k = 1,..., N ,
(44 )
где начальная априорная оценка вектора состояния x (t0 ) задана, матрица измерений H
имеет размерность lЧn, поскольку вектор измерений с аддитивными гауссовскими случайными искажениями [1] имеет вид
z (t k ) = H x (t k ) + v (t k ), k = 0,..., N .
(45 )
Матрица коэффициентов фильтра R, которая имеет размерность nЧl, определяется
[1] на каждом шаге после получения оценки неопределенных собственных значений.
R (tk ) = P (tk ) HT V ?1 (tk ) , k = 0,..., N ,
P (tk ) = ?? X ?1 (tk ) + HT V ?1 (tk ) H ??
?1
(46 )
=
X (tk ) ? X (tk ) HT ?? H X (tk ) HT + V (tk )??
?1
H X (tk ) , k = 0,..., N , (47 )
Здесь nЧn матрица X(t0) задана.
Результаты моделирования
Раздел посвящен демонстрации применения разработанного метода оценивания
расширенного вектора состояния с помощью нелинейного программирования на примере двухвального двухконтурного газотурбинного двигателя, когда внешние условия высота и скорость полета равны нулю (ALT=0, MN=0). При этом переходные процессы соответствуют ступенчатому изменению управляющего воздействия угла отклонения рычага управления двигателем PLA от 68o до 15o и обратно до 68o, то есть сбросу и разгону в замкнутой системе. Пять переменных состояния линейной модели соответствуют:
частоте вращения вентилятора двигателя (NF), частоте вращения компрессора двигателя
(NC), давлению торможения за компрессором (PTC), давлению торможения за турбиной
(PTT), и температуре торможения за турбиной (TTT). Четыре переменных управления
соответствуют: расходу топлива в основном контуре (WF), площади критического сечения реактивного сопла (AJ), углу поворота входных направляющих аппаратов вентилятора (CIVV), и углу поворота выходных направляющих аппаратов компрессора (RCVV).
Таким образом, n=5, m=4. Используются нормированные значения всех переменных,
?t=0.025c, N=600. Кусочно-линейная модель с неопределенными собственными значениями и с интерполяцией матричных параметров статической характеристики использует
для всех рабочих точек одну и ту же матрицу A , пределы изменения собственных значений которой уточняются (расширяются) для всех выбранных рабочих точек.
На рис.1 представлены переходные процессы двух неопределенных вещественных
собственных значений матрицы кусочно-линейной модели ?1 (
_____
_____
) и ?2 (
) при
сбросе и разгоне в замкнутой системе (при ступенчатом изменении PLA от 68o до 15o и
обратно до 68o).
327
Vestnik_1_8.qxd
???????
????
24.03.2008
13:30
Page 328
1/2008
Рис.1
Видно, что неопределенное собственное значение ? 2 сильно изменяется в переходном процессе ( ? 2 = ? 1.8540, ? 2
min
max
= ? 0.0100), а ?1
изменяется незначительно ( ?
= ? 5.0067, ?1 = ? 1.8637). Отметим, что остальные
неопределенные собственные значения кусочно-линейной модели при этом почти не изменяются.
min
1
max
Заключение
Разработан метод оценивания расширенного вектора состояния, включающего в себя неопределенные собственные значения многомерной кусочно-линейной модели, а
также метод оценивания неопределенных собственных значений на основе нелинейного программирования, который позволяет учитывать ограничения. Эти методы позволяют повысить точность многомерной кусочно-линейной модели нелинейного объекта управления, причем метод на основе нелинейного программирования можно использовать
и тогда, когда расширенная система не является полностью восстанавливаемой.
Результаты данной работы могут быть применены при разработке современных
систем автоматического управления газотурбинными двигателями, летательными аппаратами, а также другими нелинейными объектами, которые могут быть приближенно описаны многомерными линейными моделями с неопределенными собственными
значениями.
Список литературы
1. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. ? М.:
Мир, 1972. ? 544 с.
2. Glielmo L., Setola R., Vasca F. An Interlaced Extended Kalman Filter. // IEEE
Transactions on Automatic Control. ? 1999. ? Vol. 44, N 8. ? P. 1546-1549.
3. Boutaeb M., Aubry D. A Strong Tracking Extended Kalman Observer for Nonlinear
Systems. // IEEE Transactions on Automatic Control. ? 1999. ? Vol. 44, N 8. ? P. 1550-1556.
4. Saab S.S. A Heuristic Kalman Filter for a Class of Nonlinear Systems. // IEEE
Transactions on Automatic Control. ? 2004. ? Vol. 49, N 12. ? P. 2261-2265.
5. Chien-Shu Hsieh. General Two-Stage Extended Kalman Filters. // IEEE
Transactions on Automatic Control. ? 2003. ? Vol. 48, N 2. ? P. 289-293.
6. Qu Z. Robust Control of Nonlinear Systems by Estimating Time-Variant
328
Vestnik_1_8.qxd
24.03.2008
13:30
Page 329
1/2008
???????
????
Uncertainties. // IEEE Transactions on Automatic Control. ? 2002. ? Vol. 47, N 1. ? P. 115121.
7. Daejong Noh, Jo N.H., Seo J.H. Nonlinear Observer Design by Dynamic Observer
Error Linearization. // IEEE Transactions on Automatic Control. ? 2004. ? Vol. 49, N 10. ? P.
1746-1753.
8. Jaulin L., Walter E. Guaranteed Robust Nonlinear Minimax Estimation. // IEEE
Transactions on Automatic Control. ? 2002. ? Vol. 47, N 11. ? P. 1857-1864.
9. Zidong Wang, Unbehauen H. Robust H2/H? State Estimation for Systems with
Error Variance Constraints: the Continuous-Time Case. // IEEE Transactions on Automatic
Control. ? 1999. ? Vol. 44, N 5. ? P. 1061-1065.
10. Лейбов Р.Л. Оптимальная фильтрация и обнаружение отказов в линейной системе с неопределенными собственными значениями. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сборник научных трудов №5. ? М.: МГСУ, 2002. ? C.
142-150.
11. Лейбов Р.Л. Оценивание состояния нелинейной динамической системы. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сборник научных трудов
№7. ? М.: МГСУ, 2004. ? C. 191-227.
12. Лейбов Р.Л. Модальное восстановление состояния линейной системы с неопределенными собственными значениями. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сборник научных трудов №4. ? М.: МГСУ, 2001. ? C. 175-188.
13. Лейбов Р.Л. Идентификация линейной модели динамической системы на основе диагонализации. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики:
Сборник научных трудов №3. ? М.: МГСУ, 2000. ? C. 95-104.
14. Leibov R. Aircraft Turbofan Engine Linear Model with Uncertain Eigenvalues. //
IEEE Transactions on Automatic Control. ? 2002. ? Vol. 47, N 8. ? P. 1367-1369.
15. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. ? М.:
Мир, 1977. ? 652 с.
16. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. ?
М.: Наука, 1964. ? 348 с.
17. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. ? М.: Мир, 1975.
? 534 с.
329
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа