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Сигма-функция в задачах синтеза наблюдателей состояний и возмущений..pdf

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pb0515.fm Page 27 Wednesday, October 7, 2015 11:03 AM
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”ƒ 62?501.2
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—.ј. раснова, ј.¬. ”ткин
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27
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(1)
2
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(2)
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28
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(3)
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2
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?Ј 2 = f(t) ? v2.
(4)
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(5)
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2
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? ????д? ??ль??? ?????г? ????д?? ? м?л?? ?????-
CONTROL SCIENCES є 5 ? 2015
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(6)
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2
2
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?ц????? ??????????? ????ц??, ????? м???? ???ь
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????м????? ?2(t) ??ч????? м???????? ????м??ь??
? ??лю, ?????л??? ?ц????ь ??л???ь ?? ??м??????
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(7)
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?л?д?ю??? ??????????? дл? ?????? ?м?л???д?
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(8)
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???л?ч??????? ? д?? ???? ??-?? ???д? ??ль????, ??????? ?????? д???л????ль??? м?л?? д???м???.
???м? ??г?, м???????ц???????? ???л???ц?? ???-
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??? ?? ??л????? ??г??л ???л?д??????? ?????????? ??????ч???????? ??г??л ? м?л?? ?м?л???д??.
?л?д????ь ?ц??????м?? ??г??л?? ??????ч???ю?
???люд???л? ? ??????????м? ??????????ю??м?
???д???????м?. ????????? ?????? ?????л???ц??
?????м ? ??????д?л??????ью ? ???м?????? гл?????? ???????? ??????. ???, ????? ? ?????м? (4)
л??????? ??????????ю??? ???д??????? v1 = k1?1,
v2 = k2?1 ? ??льш?м? ??????ц?????м? k1 . k2 . 0
??????ч?? ?????л???ц?ю ?ш???? ???люд???? ? ??д????? ??ч????ью ||?(t)|| ? ? ?t > T, ??л? ???м???ю??? ???д??????? ?? ???????? ?? ???м???м. ?л?
м??г?м????? ??????ч????? ?????м ? ??????д?л??????ью ? ???л?д??м ????????? ???????? ????м????ч????? ???м? ????????? ??льш?? ??????ц?????? ???люд???л? [4, 6, 7]. ???????? ??д??????? ????? ???люд???л??: ??льш?? ??????ц?????
???л????, ???ч???? ??????? ??????? ??????ц????ль?? ???????м ??д????м?? ??л???? ???д?м????
2
k2(1/ ? ), k1(1/ ? ), ?????д?? ? ??????ч??м? ??????л???ю ???????? ?????л???? ?? ??ч?ль??? ???д??,
ч?? ??????? ????????????г? ?г????ч???? ?????л?ю??г? ??г??л?. ???м? ??г?, дл? ??л?ч???? ?ц????
?м?ю????? ??????д?л???????? ??????????? ?????? д???????ц??ль??? ?????????, ???????????ю??? ?? д???м??? [7].
??ш? ц?ль ???люч????? ? ??м, ч????, ??-??????,
?? ???ш????ь ????д?? ???люд???л? дл? ??л?ч????
?ц???? ???м???ю??? ???д???????, ??-??????, ??
?????г??ь ? ????????????м? ?г????ч???ю ?????л?ю??г? ???д??????? ?, ?-????ь??, ???????ь ???м????г? ???л???? ? ??ч?л? ??????д??г? ???ц????
? ??м?????? ?????м? ? ???люд???л?м. ???? ц?л?
????ч??? ????? ??????????ю??? ???д??????? ???люд???л? ?? ?л???? ??? ???????м?? S-????????
??????????? ????ц?? ? ?????????м (sat-????ц??, ??гм?-????ц??, ??????г???, г??????л?ч????? ???г??? ? д?.) [8, 9]. ? ?л?д?ю??м ????г????
???д????л?? ???????? ????ль???: ????????, ч?? ?
??м??ью ???люд???л? ? ??????????м? ?г????ч????м? ??????????ю??м? ???д???????м? ? ??д?
??гм?-????ц??, ???м??????ь ??????г? ????? ???м??????? ??????? ?????л???? (1), м???? ??л?ч??ь
?ц???? ?? ??ль?? ????м????м?? ????м????? ?????????, ?? ? ?г????ч????г? ???м??????. ????ц?? ???д?л???? д??????? ? ????м ???люд???л?
???л??????? ? д????д?ль??? ?????ц??, ч?? ?????д?? ? ??ш???ю ??д?ч? ?ц???????? ? ?????????,
??????д ??д????? ??ч????ью, ??????? ??????ч???-
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???? ?? ??д????? ???м? ??????м ????м????? ??????????ю??? ???д???????. ????????, ч?? ? ?????
???люд???л??, ? ??л?ч?? ?? ???люд???л? ? гл?????м? ???????м? ?????м?, ?м????? ???м??????ь
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?????л???? ?? ???д?? ??????? ? ???????ь ???????????г? Ђ???л????ї ?? ??ч?ль??м ????? ???ц????
?????л????.
?kx
??ю ??гм?-????ц?ю ?(kx) = 2/(1 + e ) ? 1,
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???л???ц??? ????ц?? ????? y = signx ? ?л?д?ю??м ?м??л?: ?(?kx) = ??(kx), ?(kx) x ?
? 0 kx/2,
?
signx. ?????? ???????д??? ??гм?-????-
ц?? ? ??л?????ль??? ?г????ч????? ????ц??, ?????? ???????д??? ? ?г????ч????? ??ч????? ????ц??:
2
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?''(kx) = ?k?'(kx)?(kx).
(9)
?л? ??гм?-????ц?? ? ?? ?????? ???????д??? ?
????????? ???????л?? ??????дл??? ?ц????:
?(k?) < |?(kx)| < 1, ?|x| > ? > 0;
?(k?)|x|/? ? |?(kx)| ? ?(k?),
0 < ?'(k?) ? ?'(kx) ? ?'(0) = k/2 ?|x| ? ?. (10)
???юд? ?л?д???, ч?? ??? |x| > ? ??гм?-????ц??
?л???? ? ?????????? ????ц??, ? ??? |x| ? ? ? ?
л???????. ? ??ч????? г????ц? ????????г? ???д?л???? ??гм?-????ц?? ??? x ? 0 ????м??д?????
??????ь ??ч?? ?? ???????л? k? = c ? [1,3; 3], гд?
± 1,3 ? ???ц???? ??ч?? ????г??? ?????? ???????д??? ?''' (±1,3) = 0 (??? ???м ?(±1,3) ? ±0,57,
?'(±1,3) ? 0,34k); ± 3 ? ???ц???? ???ш?? ??гм?????ц??, ? ??????? ?? ???????? д????г??? м????м?м?, ??? ???м ?(±3) ? ±0,9, ?'(±0,9) ? 0,095k [8].
?л? д?ль???ш?? ?????????? ???д?м ??гм?????ц?ю ? ????м????м ?г????ч????м ?д??г?м
|?(t)| ? ? ?t ? 0:
? (kx) = ?(k(x ? ?(t)),
?(k(x ? ?)) ? ? (kx) ? ?(k(x + ?),
sign ? (kx) = signx ?|x| > ?,
?(k?)(|x| ? ?)/? ? | ? (kx)| ? ?(k(2? + ?))
(11)
0 < ?'(k(2? + ?)) ? ?' (kx) ? k/2 ?|x| ? ? + ?.
????м????м ??л??????ю гл?д??ю ?г????ч??-
k ? +?
?(k?) < | ? (kx)| < 1 ?|x| > ? + ?,
?x: ? ? |x| ? ? + ?;
2. —»Ќ“≈« ЌјЅЋёƒј“≈Ћ≈… —ќ—“ќяЌ»…
» ¬ќ«ћ”ў≈Ќ»… — —»√ћќ»ƒјЋ№Ќџћ»
ќ––≈ “»–”ёў»ћ» ¬ќ«ƒ≈…—“¬»яћ»
?(kx)
?л? ????ц?? ? (kx) ? ?' (kx) ? ????????? ???????л?? ??????дл??? ?ц????:
????ль???м ? ???люд???л? (3) ??гм??д?ль???
??????????ю??? ???д??????? ??д?
v1 = M1?(k1?1),
v2 = M2?(k2v1),
(12)
гд? Mi, ki > 0, i = 1, 2. ?д?? ???люч????? ? ??м, ч???? ? ?????м? (4), (12) ??????ч??ь ?? ??д????? ???м? ?????л???ц?ю ? ??д????? ??ч????ью ?? ??ль??
?ш???? ???люд????, ?? ? ?? ???????д??? ?Ј 1,2 ? 0.
??гд? ????м????м?? ??г??л? м?г?? ???ь ???????д??????? ??л?ч??? ?? ????????? ??????? ???
???ш?????? ???????????? ?????????: v1 ? ?2(t),
v2(t) ? f(t).
???д??????ль?? ????м????м ?????ц?ю, ??гд?
дл? ц?л?? ?????л???? ????????? ??л?ч??ь ?ц????
??ль?? ????м????м?? ????м????? ????????? x2(t)
?????м? (1).
?????. ???? ? ??????? (4), (12) ??????? (2) ?????????, ?? ??? ????? ????? ?????? ????? ? , T > 0
? ????? ???????? ????????? ??????? ?1(0), |?2(0)| ? X2
???????? ????? ????????????? ????????? k *i > 0,
M i* > 0, i = 1, 2, ??? ??? ???? ki > k *i , Mi > M i* ?????
????????? ???????????
|?1(t)| ? ? ,
|?2(t)| ? ? ?t > T.
(13)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? д ? ? ? ? ? ? ? л ь ? ? ? ?. ???д??
??????????ю??? ???д??????? (12) ?м??? ?? д?? ????м????. ?м?л???д? Mi > 0, i = 1, 2, ??????ю??? ??? ??, ???
? ?м?л???д? ????????? ??????????ю??? ???д??????? ?
??м, ч???? ??????ч??ь ????д???? ?ш???? ???люд???? ?
????????ю ??????????ь ??л? ?? ??д????? ???м?. ??льш?? ??????ц????? ki > 0, i = 1, 2, ??????ю??? ???, ч???? ??????ч??ь ??д????ю ??ч????ь ?????л???ц?? (13).
????м????м ?????? ????????? ?????м? (4), (12):
?Ј 1 = ?2 ? v1 ? v1 = ?2 ? ?Ј 1 , ??гд? v2 = M2?(k2v1) =
M2 ? (k2?2), гд? ??ль ?д??г? ????л???? ?????? ???????д??? ?????? ?ш???? ???люд???? ?(t) = ?Ј (t) ?, ??гл????
1
2
?' (kx) = k(1 ? ? (kx))/2.
30
?ц????м (11), signv2 = sign?2, ??л? |?2| > | ?Ј 1 |.
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?л? ??г?л?????ц?? ???ц?д??? ??????? ???д?м ????м????ч????ю ????ь
0 < ci = ki?i,
ci ? [1,3; 3],
i = 1, 2,
(14)
? ??д?л?м ???????л? ???м??? 0 ? t1 < t2 ? T дл? ???д?м???? ????м????? ?1, 2(t), ?Ј 1 (t) ? ????????? ???????????
??л?:
|?1(t)| ? ?1 ? ? ?t ? t1,
| ?Ј 1 (t)| ? ? ?t ? t2,
|?2(t)| ? | ?Ј 1 (t)| + ?2,
(15)
0 < ? + ?2 ? ? ,
(16)
??? ???м |?2(t)| ? |?2(t1)| < ?2 (7), | ?Ј 1 (t)| ? | ?Ј 1 (t1)| ? ?2 + M1.
?л? ???л??? ?????ч?????? ???д?м дл? ?????м? (4),
2
1 2
(12) ???д????ч??ю ???м? V0 = --- ( ? 1 + ? 2 ). ? ?ч???м ??2
??????? (7), (10), (11), (14) дл? ?? ???????д???
Ј
V0 = ?1(?2 ? v1) + ?2( f ? v2)
(17)
Ј
??????дл??? ?ц????: V0 ? |?1|(?2 ? M1?(c1)) + |?2|(F ?
Ј
? M2?(c2)). ??????????? V0 < 0 ????л?????? ??? M1?(c1)
> ?2, M2?(c2) > F ??? ??????????? |?1| ? c1/k1 = ?1,
|? | ? | ?Ј | + ? , ? = c /k . ??????????? дл? ?????? ?м?2
1
2
2
2
2
л???д M1, 2, ??? ??????? ??л???? (15) ??????ч???ю??? ??
??д????? ???м?, ???л?г?ч?? ???????????м (5) ? (8), ?
?м????:
X 2 + Ft 2
-,
M2 > M 2* = ------------------------------------------( t 2 ? t 1 )? ( c 2 ) ? t 1
t2 ? ( c2 )
-,
0 ? t1 < ---------------------1 + ? ( c2 )
M1 > M 1* = (|?1(0)|/t1 + ?2)/?(c1).
(18)
?л? ц?л?? ???л??? ???д?м ????м?г???ль??? ?????????, ??????? ????????????? д???м??? ???????д???
?Ј 1 (t):
?ЈЈ 1 = ?M1?'(k1?1) ?Ј 1 + f(t) ? v2.
(19)
?л? ??????ч???? ????л????? ?????????? (16) ?ц???м ??ш???? ????????? (19) ?? ???????л? [t1; t2]:
| ?Ј 1 (t)| ? (?2 + M1) e
?k1 a1 ( t2 ? t1 )
+ (F + M2)/(k1a1) ? ? ? ?2,
2
гд? a1 = M1(1 ? ? (c1))/2 > 0, ??гд? ??: 0 < ? < ? ? ?2
?м??м
F + M2
? ln ( ( ? 2 + M 1 )/? )
?
-?.
k1 > k *1 = max ? -------------------------------------------; ---------------------------------(
t
?
t
)
a
(
?
?
?
?
?
)
a
1 2
1
?
?
1
2
????? ??льш?? ??????ц?????? ?? ?????? ??????????
k1 > max{ k *1 ; c1/?1},
k2 > k *2 = c2/?2.
(20)
? ??????м???? ?? ???????? ???ч???? ci ? [1,3; 3], i = 1, 2,
?2, ? ??????ч????? ??д????ю ??ч????ь ?????л???ц??
?ш???? ???люд???? ?? ??д????? ???м? (13). ??мм? д???????. ?
??л? ??д?ч? ?ц???????? ??????????? ????ц??
f(t) ?? ????????, ?? дл? ?ц???????? ??????? ????-
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 5 ? 2015
м????? x2(t) м???? ???м????ь ?????ч????? ???люд???ль zЈ 1 = v1, v1 = M1?(k1?1). ??гд? ?????????
????????ль?? ?ш???? ???люд???? ?1 = x1 ? z1 ???м?? ??д ?Ј = x ? v , ? ???л? ?????л???ц?? ?????1
2
1
??д??? ?ш???? ???люд???? ?Ј 1 ? 0 м???? ??д??
???????д??????? ??л?ч??ь ?ц???? ????м????м?г?
??г??л?: v1(t) ? x2(t). ?л? ????????? ????м?????
??гм??д?ль??г? ??????????ю??г? ???д??????? v1
?????ль???м?? ??л?ч????м? ??ш? ????ль????м?.
?? л?мм? ??????ю? д?? ?л?д?????.
????????? 1. ???? ? ??????? (1) ??????????? ??????? (2), |x2(t)| ? X2, ? ????? |b(x(t))u(t)| ? U ?t ? 0,
?? ????? ??? ?????????? x2(t) ? ??????? ????????????
??????????? ??????????? |x2(t) ? v1(t)| ? ? ?t > T
????? ?????????? ??? ????? ? , T > 0, ????
M1 > M 1* = (|?1(0)|/t1 + X2)/?(c1),
0 ? t1 < T,
c ?
? ln ( ( X 2 + M 1 )/? )
F +U
-----------------------; ----1- ? ,
k1 > k *1 = max ? -------------------------------------------;
a1 ( T ? t1 )
a1 ( ? ? ? ) ? ?
?
2
??? a1 = M1(1 ? ? (c1))/2 > 0, c1 ? [1,3; 3], 0 < ? < ? .
????????? 2. ???? ? ??????? (1) ??????? ?????????? ???????????, b(x1, x2) ? f(x1, x2) ? ????????? ???????, ??????????????? ??????? ???????,
|u(t)| ? U ?t ? 0, ????? ? ??????? ???????????
zЈ 1 = z2 + v1, zЈ 2 = f(z1, z2) + b(z1, z2)u + v2 ?????
?????????? ??????????????? ???????????? ??????
?????????? lim ?1,2(t) = 0 ? lim z1, 2(t) = x1,2(t) ?
t ? +?
t ? +?
??????? ????????????? ?????????????? ??????????? (12) ? ???????????
N2 ( X2 ( 1 + N2 t1 ) + N1 ?1 ( 0 ) t1 )
-,
M2 > ------------------------------------------------------------------------------? ( c2 ) ? N2 t1
?1 ( 0 ) + t1 ?2
-,
M1 > --------------------------------t1 ? ( c1 )
? ( c2 )
0 ? t1 < ------------,
N2
1 2
c 2 ? N 2 + --- N 1 + 3?
?
?
4
k2 > --------------------------------------------- ,
M2 ? ( c2 )
2
1 2 1 2
2 ? b 2 + b 2 + --- N 1 + --- N 2 ?
?
M2 k2 ? ( c2 )
4
4 ?
-,
- , b2 = --------------------------k1 > ------------------------------------------------------------2
c2
M1 ( 1 ? ? ( c1 ) )
? 2 = X2(1 + N2t1) + N1|?1(0)|t1 + M2t1,
c1, 2 ? [1,3; 3],
| f(x) + b(x)u ? f(z) + b(z)u| ? N1|?1| + N2|?2|,
гд? N1 ? N2 ? ????????? ?????????.
31
pb0515.fm Page 32 Wednesday, October 7, 2015 11:16 AM
јЌјЋ»« » —»Ќ“≈« —»—“≈ћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
?????????. ??????????? (18) ? (20) ??ц?л??? ??
????? м???м?ль?? д??????м?? ?м?л???д M1, 2 ???
M i* > 0, ??? ??? ki > k *i , Mi > M i* ??????????????
???????? ???????? ?????????? x2(t), f(t), ? ??????:
???????? ? ?л??? ????л??л????м ??ч??л????м.
??л? ??????ь c i = kili?i, c i ? [1,3; 3], i = 1, 2, гд?
|?1,2(t)| ? ? ? |x2(t) ? z2(t)| ? ? ,
????д???? Miki, ?? м???? ???????ь д??????м??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? д ? ? ? ? ? ? ? л ь ? ? ? ?. ??? ???????? ? д???????ль???? л?мм?, ??л???? (15) ??д??
??????ч??? ??? ?????? ?м?л???д Mi (18) ? ki > ci /?i (14),
i = 1, 2. ?????????? (23) ??д?? ????л????, ??л? ??????ч??ь ????л????? ??л???? (16) ? | f(t) ? v (t)| ? | ?Ј | ? ? .
ki ? ci /?i (14), ч?? ??? д??????ч?? м?л?? ?i м????
li > 1 ? ??????ц????? ??????ц????ль????? ??????ч???? ki ?л?г?д??? ???л?ч???ю ?м?л???д Mi .
??гд? ??????????? (15) ? (16) ???д?????м? ? ??д?
|?1(t)| ? l1?1 ?t ? t11,
|?2(t)| ? | ?Ј 1 (t)| + l2?2 ?t ? t12,
0 ? t11 < t1 < t12 < t2 ? T.
? ??л????? ?1 < |?1| ? l1?1, | ?Ј 1 | + ?2 < |?2| ? | ?Ј 1 | + l2?2
дл? ???????д??? ???д????ч??? ???м? (17) ? ?ч???м ?ц???? (10) ? (11) ??????дл??? ?ц????
| ?Ј 2 (t)| ? ? ? |f(t) ? v2(t)| ? ? .
(23)
2
2
? ?ч???м ???м?л (9) ? v1 = ?2 ? ?Ј 1 дл? ц?л?? ???л???
???д?м ????м?г???ль??? д???????ц??ль??? ?????????
????????ль?? ???????д??? ?Ј 1 (t), ?ЈЈ 1 (t) ? ?Ј 2 (t), ? ?м????
????????? (19) ? ?????????
Ј
2
ЈЈЈ
?1 = ?M1?'(k1?1)( ?ЈЈ 1 ? k1?(k1?1) ?Ј 1 + M2?'(k2v1) ?Ј 1 ) + f ,
Ј
V0 ? |?1|(?2 ? b1|?1|) + |?2|(F ? b2(|?2| ? | ?Ј 1 |)),
Ј
?ЈЈ 2 = ?M2?'(k2(?2 ? ?Ј 1 ))( ?Ј 2 ? ?ЈЈ 1 ) + f .
Ј
гд? bi = Mi ?(ci)/(li ?i) > 0. ??????????? V0 < 0 ??-
?л? ???л??? ?????ч?????? ??????ль??? ?????м? (19),
2
2
2
(24) ???д?м ???д????ч??ю ???м? V1 = 1
--- ( ?Ј 1 + ?ЈЈ 1 + ?Ј 2 ).
2
? ?ч???м ??л???? (2), (10) ? (11) дл? ???????д??? ???д????ч??? ???м? ??????дл??? ?ц????
??л?????? ??? M2 > Fl2/?( c 2 ), M1 > ?2l1/?( c 1 ). ??????????????, ?????????? (13) ????л??ю??? ???
??л?????:
Fl 2 ? 2
X 2 + Ft 12
?
?
- ; -----------------------------------M2 > M 2* = max ? --------------------------------------------?,
? ( t 12 ? t 1 )? ( c 2 ) ? t 1 ? ( c 2 ) ( ? 2 ? ? 2 ) ?
(24)
Ј
V1 ? | ?Ј 1 |(F + M2 ? k1a1| ?Ј 1 |) + | ?ЈЈ 1 |(F1 ? k1a1(| ?ЈЈ 1 | ?
2
? k1?(c1) ?Ј 1 ? 0,5M2k2| ?Ј 1 |)) + | ?Ј 2 |(F1 + k2a2(| ?Ј 2 | ? | ?ЈЈ 1 |)),
2
2
?2 l1 ?1
? ? 1 ( 0 ) + ? 2 t 11
?
-; -----------------------------------M1 > M 1* = max ? ----------------------------------? , (21)
?
c
(
)t
?
(
c
)
(
?
?
?
)
1 11
1
1
1 ?
?
гд? a1 = 0,5M1(1 ? ? (c1)) > 0, a2 = 0,5M2(1 ? ? (c3)) > 0,
Ј
c3 = k2(? + 2?) = c2 + 2k2?. ??????????? V1 < 0 ????л?????? ??? ????????? ???????????? ??? ????л????? ??л????
гд? li > 1 ??????ю??? ??л??м?м ??????м, ?i:
| ?Ј 2 | ? ?2 + | ?ЈЈ 1 | ? ? ??? k2 > k *2 = max{c2/?2; F1/(a2?2)},
0 < ?i < ?i, i = 1, 2, ??????ю??? ???, ч???? ??????-
ч??ь ?2 ? ?2exp(?b2(t2 ? t12)), ?1 ? l1?1exp(?b1(t1 ? t11)),
? ??????????? дл? ?????? ??льш?? ??????ц?????? ???м?? ??д
k1 >
max{ k *1 ;
c 1 /(l1?1)}, k2 >
k *2
= c 2 /(l2?2)}. (22)
?????ь ????м????м ????? ?л?ч??, ??гд? ? ??м??ью ???люд???л? (3), ???м??????ь ??????г?
????? ???м??????? ??????? ?????л???? (1), ??ш????? ????л?м? ?ц???????? ?? ??ль?? ????м????м?? ????м????? ????????? x2(t), ?? ? ?м?ю?????
??????д?л???????? f(t).
???????. ???? ? ??????? (4), (12) ????????? ??-
????? (2), ?? ??? ??????, ?????????? ?????? ? > 0
? ????? ???????? ????????? ??????? ?1(0), |?2(0)| ? X2
???????? ????? ????????????? ????????? k *i > 0,
32
2
| ?ЈЈ 1 | ? F1/k1a1 + k1?(c1) ?Ј 1 + 0,5M2k2| ?Ј 1 | ? ? ? ?2,
k2? < 2( ? ? ?2)/M2,
| ?Ј 1 | ? (F + M2)/(k1a1) = ? n ? ? ?2,
k1 > k *1 =
2
? ? ( c 1 ) ( F + M 2 ) + a 1 ( F 1 + 0,5M 2 k 2 ( F + M 2 ) ) c 1 ?
- ; ----- ? ,
= max ? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
??
?
a1 ( ? ? ? )
?? ?????? ??????? ??????ю??? ??льш?? ??????ц????? k1,2, ??????ч???ю??? ??д????ю ??ч????ь ?ц???????? (23). ?????м? д???????. ?
??л?ч????? ????ль???? ???д???ль????ю? ?
????ц????ль??? ???м??????? ?ц???????? ?м?ю????? ??????д?л???????? ? ??м??ью ???люд???л? ?????????. ??? ??? ??дч?????м, ч?? ????????????? ??д??д ?? ??????? ???ш?????? ?????????-
CONTROL SCIENCES є 5 ? 2015
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јЌјЋ»« » —»Ќ“≈« —»—“≈ћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
??? ????????? ??-?? ?ч??? д???м?ч????? м?д?л?
???м??????. ?л? ???????? ??л?????? ??? д???????ль???? ?? ?ч?????л??ь ??????????? ??????ю??? д??????? ????м?г???ль??? ????м????? ?Ј 1 (t),
?ЈЈ 1 (t) ? ?Ј 2 (t). ??? ??????д?м???? м???? ?????? ??
? ????м???????, ч?? ?????л?? ??????ч??ь ??????????? (23) ?? ??д????? ???м?.
??л?ч????? ? ??м??ью ???люд???л? ?ц????
z2(t) ? x2(t), v2(t) ? f(t) ????ль??ю??? дл? ???????
??м???????????г? ?????л???? ? ??д????? ц?лью
?????л???? ?????м?? (1).
3. —»Ќ“≈« —»—“≈ћџ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я ј—»Ќ’–ќЌЌџћ
ЁЋ≈ “–ќѕ–»¬ќƒќћ ѕ–» Ќ≈ѕќЋЌџ’ »«ћ≈–≈Ќ»я’
3.1. ќписание модели объекта управлени¤.
Ѕазовый закон управлени¤
T
? ??ч????? ?ллю????ц?? ????????????? ?лг????м?? ????м????м ??д?ч? ?????л???? ??????????м ?л??????????д?м, ????ц??????ю??м ?
??л????? ??????д?л??????? ? ??? ????л???
??м???????. ????м?ч????? м?д?ль ??????????г?
?л??????????д? ??????????? ? ????д?????? ?????м? ????д???? (?, ?) ? ????????м ??д? ?????м??
??л??????? д???????ц??ль??? ????????? ш????г? ????д?? [10]
xЈ 1 = d1(d2P(x3)x2 ? d5x1 + u), xЈ 2 = ?P(x3)x2 + d4x1,
T
1
xЈ 3 = --- (d2 x 2 STx1 ? x4),
J
xЈ 4 = f(t),
(25)
гд? x1 = col(x1?, x1?) ? ??м??????? ???? ???????,
x2 = col(x2?, x2?) ? ??м??????? ???????ц??л????
??????, x3 ? R ? ???????ь ???????? ??л? д??г???л?,
x4 ? R ? м?м??? ??г????? ?? ??л?, u = col(u?, u?) ?
?????????? ??????? ??????? (?????л?ю??? ???д???????);
? d x ?
P(x3) = ? 3 3 ? > 0,
? ?x3 d3 ?
T
P(x3)x2 = P(0)x2 + x3S x2,
2
d1 = Lr /(LsLr ? L h ),
d 4 = R r d 2,
?
S = ? 0 ?1
? 1 0
T
?
?,
?
T
x 2 STx1 = x 1 Sx2,
d2 = Lh/Lr,
d3 = Rr /Lr,
d 5 = d 2d 4 + R s ,
гд? di > 0, i = 1, 5 ; Rs, Rr, Ls, Lr, Lh ? ?????д?????
???????? ? ??д???????? ????????л???? ???????,
?????? ? ????м???д??ц??. ???м?м ??м??????м
??дл???? ???????ь ???????? ??л? д??г???л? x3(t) ?
???? ??????? x1(t); f(t) ??л?г????? ??????????м ?г????ч????м ???ш??м ???д???????м ? ?г????ч??-
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 5 ? 2015
Ј
??? ???????д??? | f(t)| ? F, | f (t)| ? F1, ||x2(t)|| ? X2,
Ј
|x4(t)| ? X4 ?t ? 0, F, F , X2, X4 ? ????????? ?????????.
???????? ??д?ч? ?л?????? ?? ??д????? ???????ью ???????? ??л? д??г???л? x3d(t) ? ??????ч????м ??д????г? ???????ц??л???? ? ???д??л??????,
ч?? ???л???ч????? ??д ??д?ю??? ???д??????? ???
????ц?? ???м??? ? ?? ???????д??? ?????г? ?
?????г? ????д?? ????????.
? м???м???ч????? м?д?л? (25) ?м????? ??? ?????л??м?? ? д?? ?????л?ю??? ????м?????. ?л?
??г? ч???? ??гл??????ь ч??л? ?????л??м?? ? ?????л?ю??? ????м?????, ? ?????? [11] ???дл????? ?????? ??д?ч? ?л?????? ?? ??д????м ???????ц??л????м ? ??д?ч? ?л?????? ?? ??д????м ???д????м ??????? ???????ц??л????, ??????? ??????ч?м
|x2d(t)| := x 2d x2d ? R. ? ??л? м?д?л? (25) д???????ц??ль??? ????????? ????????ль?? ?????л??м??
T
1
????м????? |x2| := x 2 x2 ? R ???м?? ??д --- | xЈ 2 | =
2
T
T
= x 2 (?P(x3)x2 + d4x1) = ?d3|x2| + d4 x 2 x1.
??????? (?. ?. ? ???д??л??????, ч?? ??? ??г??л? ????????) ????? ?????л????, ??????ч???ю??? ???м?????ч????ю ?????л???ц?ю ?ш????
?л?????? e3 = x3 ? x3d, e2 = |x2| ? |x2d|, ????м????м
??гл???? ??????м [11, 12] ?? ???????ч????м? ???2
?ц???. ?????? ???? x1 ? R ??д?м ??л?г??ь ????????м ?????л????м, ?? ??м??????? ??????г? ??л?T T
??м л???ль??? ?????: d x S x = x ? p e + J xЈ ,
2 2
1d
4
3d
3 3
= ?p2e2 + d3|x2d| + 1
--- | xЈ 2d |. ???м?????? ??2
ш???? ???? ????????? д??? ????????? дл? ???ч???
????????г? ?????л????
T
d4 x 2 x1d
x1d =
?
1
----- ( x 4 ? p 3 e 3 + JxЈ 3d )
?
?
?
d2
? x 2? x 2? ?
1
= -------- ?
? ?
x2 ? x
1?
1
2? x 2? ? ? ---- ? p e + d 3 x 2d + --- xЈ 2d ?
?
? d4 ? 2 2
2
?
?
? .(26)
?
?
?
? ?ч???м ??????? м??д? ???ль??м ? ????????м
???ч????м? ????????г? ?????л???? e1 = x1 ? x1d ?R 2
?м??м ?????м? ????????ль?? ?ш???? ? ??м?????м? л???ль??м? ?????м?:
eЈ 1 = d1(d2P(x3)x2 ? d5(e1 + x1d) + u) ? xЈ 1d ,
T
eЈ 2 = 2(d4 x 2 e1 ? (d3 + p2)e2),
T
eЈ 3 = 1
--- (d2 x 2 STe1 ? p3e3),
J
33
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јЌјЋ»« » —»Ќ“≈« —»—“≈ћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
гд? ??л??м?? ??м?? ???д?м???? ?ш???? ?л?????? ??????ч???ю??? ??????м ??????ц??????
???????? ????? p2,3 > 0 ??? ??л???? ?????л???ц??
??????? e1, ч??, ? ???ю ?ч???дь, ??????ч???????
???????м ?????л????м. ?л??????????д?, ??? ?????л?, ?????л?ю??? ? ??м??ью ?????????? ??????????, ??????ю??? ? ?люч???м ????м?, ?????м?
ц?л?????????? ????ль?????ь ??????? ????? ????????г? ?????л????
u = ?Usigne1,
signe1 = col(signe1?, signe1?).
(27)
????? ?м?л???д? ????????г? ?????л???? ??
T
?????? д??????ч??? ??л???? e eЈ < 0 ? U >
1
1
> ||d2P(x3)x2 ? d5x1d ? xЈ 1d /d1|| ??????ч?? ????????????? ???ль????г? ????м? ?? м??г???????? e1 = 0
?? ????ч??? ???м? td > 0 [1], ч?? ? ??ш??? ??????л????ю ????л?м? ?л??????:
e1(t) =
t > td
0 ? e2,3(t)
?
td < t ? ?
0.
(28)
?л? ???л???ц?? ??????г? ?????? ?????л????
(27) ?? ??м??????м x3(t) ? x1(t) ????????? ??л?ч??ь
??????? ?ц???? ??м?????? ??????? ???????ц??л???? x2(t) ? м?м???? ??г????? x4(t) ? ??м??ью ???люд???л?, ??????????г? ?? ?????? ?????м? (25)
? ??д?
zЈ = d (d P(x )z ? d x + u) + v ,
1
2
3
2
5 1
1
zЈ 2 = ?P(x3)z2 + d4x1 + v2,
T
zЈ 3 = 1
--- (d2 z 2 STx1 ? z4) + v3,
J
v2 = M2?(k2v1/(d1d2)),
? = col(?1, ?2);
v3 = M3?(k3?3),
v4 = ?M4?(k4Jv3).
(31)
??гл???? ?л?д????ю 2 ? ?????м? (?м. І 2) ?????????????? ? ?????? ??д?????м? ?????м? (30), (31)
м???? ??????ч??ь ???м?????ч????ю ?????л???ц?ю ?ш???? ???люд???? lim ?1,2(t) = 0, ? ?? ???t ? +?
??? ? ??д????ю ??ч????ь ?ц???????? |?3, 4(t)| ? ?
?t > T ? ??м??ью ?????? ????м????? ??????????ю??? ???д??????? (31). ? ?ч???м ??????ч????
?ci = [1,3; 3],
i = 1, 4 ;
||?2(t)|| ? X2 + ||z2(0)|| + M2/d3 = ?2,
zЈ 4 = v4,
(29)
v1, v2 ? R2, v3, v4 ? R ? ??????????ю??? ???д??????? ???люд???л?. ? ?ч???м ????????? (25) ? (29)
???????м ????????? ????????ль?? ?ш???? ???люд???? ?i = xi ? zi, i = 1, 4 :
???л?г?ч?? ???????????м (18) ?м??м ?л?д?ю???
??????????? дл? ?????? ?м?л???д Mi, i = 1, 4 , ??гм??д?ль??? ??????????ю??? ???д???????:
?d3 t1
( X 2 + z 2 ( 0 ) )e
,
M2 > --------------------------------------------------? ( c 2 ) ( t 2 ? t 1 ) ? 1/d 3
2X 4 + z 4 ( 0 )
-,
M4 > -----------------------------------------? ( c4 ) ( t4 ? t3 ) ? t3
t3
?
?
t4 > max ? t 3 + ------------, t2 ? ,
?
(
c
)
4
?
?
t1,3 ? 0,
? 3 ( 0 ) /t 3 + ( d 2 ? 2 X 1 + ? 4 )/J
1 -,
, t2 > t1 + ------------------M3 > -------------------------------------------------------------------------? ( c3 )
d3 ? ( c2 )
??????ч???ю??? ???д?м???ь ?ш???? ???люд???? ?i(t) ? ????????? ??????????? ??л? ?? ??д????? ???м?:
1) ?Ј 1 = d1d2P(x3)?2 ? v1, ?Ј 2 = ?P(x3)?2 ? v2;
T
2) ?Ј 3 = 1
--- (d2 ? 2 STx1 ? ?4) ? v3, ?Ј 4 = f(t) ? v4.
J
d3 ? ||P(x3)|| ? P = d3 + X3, Xi = |xi(0)| + |xid|, i = 1, 3
? 1 ( 0 ) /t 1 + d 1 d 2P ? 2
M1 > ----------------------------------------------------,
? ( c1 )
2
гд? z1, z2 ? R , z3, z4 ? R ? ????м????? ?????????,
(30)
?????м? (30) ??????? ?? д??? ????????? ??д?????м ??д? (4). ? ?????? ??д?????м? ???????????
д??????? ????м????? ?2(t) ?????ч???, ???ш???
???м?????? д???????? ??ль?? ?? ?????ю ??д?????м?. ????ль???м ? д????м ???люд???л? ??гм??д?ль??? ??????????ю??? ???д??????? ??д? (12).
34
v1 = M1?(k1?1),
|?4(t)| ? 2X4 + |z4(0)| + M4t3 = ?4 ?t ? 0,
3.2. —интез наблюдател¤ состо¤ний и возмущений
1
? ?ч???м ???????д??????? ??м????м?? ??г??л??
x1,3(t) ?м??м:
c
||?1(t)|| ? ----1- ?t ? t1,
k1
c2
?Ј 1 ( t )
||?2|| ? ---------- + ----------------?t ? t2;
k2 d3
d1 d2 d3
c
|?3(t)| ? ----3- ?t ? t3,
k3
c
|?4| ? ----4- + d2||?2||X1 + J | ?Ј 3 (t)| ?t ? t4.
k4
CONTROL SCIENCES є 5 ? 2015
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јЌјЋ»« » —»Ќ“≈« —»—“≈ћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
???. 1. ?????? ???????????? ?????????? |x2(t)|
???. 2. ?????? ?????? ???????? ?3(t)
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pb0515.fm Page 36 Wednesday, October 7, 2015 11:21 AM
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CONTROL SCIENCES є 5 ? 2015
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