close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Урок математики в 11 классе

код для вставкиСкачать
обобщающий урок по теме «Сечения конуса, цилиндра и шара. Вписанные и описанные многогранники»
 МОУ СОШ с Старый Хопёр Балашовского района
Саратовской области
Модель обобщающего урока на тему:
"Сечения конуса, цилиндра и шара. Вписанные и описанные многогранники"
математика 11 класс.
Автор Белоусова Наталия Дмитриевна,
учитель математики I катергории
МОУ СОШ с. Старый Хопёр Балашовского района
Саратовской области.
Тип урока: урок совершенствования умений и навыков.
Цели урока:
дидактическая: совершенствовать навыки решения задач на сечения круглых тел, совершенствовать навыки применения полученных ранее знаний при решении задач на комбинации тел;
развивающая: развивать логическое мышление (умение выделять существенные признаки и делать обобщения), математически грамотную речь, культуру оформления чертежей и решений;
воспитательная: воспитывать умение выслушивать других, прививать аккуратность, трудолюбие и упорство в достижении цели.
Оборудование: персональный компьютер и проектор.
Урок рассчитан на 2 часа.
Этапы урока и их содержаниеВремя (мин)Деятельность учителяучеников1. Организационный этап 2. Постановка цели
Сегодня на уроке мы продолжим совершенствование умений решать задачи на сечения конуса и цилиндра, а также продолжим знакомство с задачами на комбинации тел, которые встречаются в заданиях ЕГЭ
3. Актуализация знаний и проверка домашнего задания
Для более успешного решения задач повторим пройденный ранее материал. Два ученика вызываются к доске кратко записать решение домашних задач (приложение № 2). Пока ученики готовятся у доски, остальным учащимся предлагается ответить на вопросы математического диктанта по теме: "Сечения конуса и цилиндра" (приложение № 1 и презентация Power Point: "диктант 1")
1
1
10- 15Организационная
Сообщает тему урока, цель урока
Демонстрирует презентацию
№ 1 в формате Power Point. В случае затруднения при решении заданий 4 и 5 демонстрирует
слайды с их решением. Выставляет оценки за решение домашних задач.Сообщают об отсутствующих и готовности к уроку
Записывают в тетрадь тему урока.
Два ученика работают у доски.
Остальные отвечают на предложенные вопросы диктанта и в специальных карточках записывают ответы. Затем обмениваются карточками и выполняют взаимопроверку.Этапы урока и их содержаниеВремя (мин)Деятельность учителяучеников 4. Решение задач. Решим задачи из сборника "ЕГЭ 2013 математика".
а) Точки В и D лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Синус угла между прямой ВD и плоскостью основания цилиндра равен 0,3, ВD = 15, объём цилиндра равен 450π. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
б) Угол между образующими СА и СВ конуса равен 60º, высота конуса равна 4, а радиус основания равен . Найдите градусную меру угла между плоскостью АВС и плоскостью основания конуса. в) индивидуальная карточка 1-го уровня сложности:
Реши задачу по готовому чертежу
1. Дано:СВD = 90º, Нц =6см, ОЕ = 3см
Найти: Sсеч.
2.
Дано: SO = 6см, SВО = 30º. Найти: S
(решение см. в приложении
№ 2) 20 Следит за грамотным построением чертежей к задачам, направляет на выбор рационального решения и одновременно контролирует индивидуаль-
ное решение учащегося, работающего на задней доске.
2 человека работают поочередно у доски, 1 человек работает в это же время на задней доске, остальные принимают активное участие в выборе рационального решения задач а и б.Этапы урока и их содержаниеВремя (мин)Деятельность учителяучеников5. Актуализация опорных знаний по теме: "Вписанные и описанные многогранники". Тест (с последующей устной проверкой).
Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения задач на комбинации тел. Но прежде чем перейти к решению выполним небольшой тест, который поможет вам вспомнить изученный ранее материал. (приложение № 3)
6. Решение задач по теме: "Вписанные и описанные многогранники". Презентации Power Point №2 и 3: "Задачи на комбинации геометрических тел". Цель презентаций: Наглядно продемонстрировать поэтапное построение трудных стереометрических чертежей.
ЗАДАЧА №1. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите радиус описанной около этой пирамиды сферы.
ЗАДАЧА №2. Основанием пирамиды является ромб с острым углом 60°, боковые грани составляют с плоскостью основания углы по 60°. Найдите высоту пирамиды и сторону основания, если площадь поверхности вписанного в нее шара равна 64p.
ЗАДАЧА №4. В шар диаметром 4 дм вписана правильная треугольная призма со стороной основания 3 дм. Найдите высоту призмы.
ЗАДАЧА №5. Найдите радиус вписанной в правильную шестиугольную призму сферы, если сумма всех ее ребер равна 24 + 12Ö3 см.
Решения задач из презентаций №2 и 3 см. в приложении № 4.
7. Самостоятельная работа в парах.
Самостоятельная работа предлагается в двух вариантах разного уровня сложности (см. приложение № 5). Цель самостоятельной работы: Проконтролировать полученные на уроке навыки решения задач; совершенствование навыков взаимоконтроля и взаимопомощи.
8. Рефлексия.
9. Домашнее задание.
Учащимся предлагается решить дома задачи 3 и 6 из презентаций 2-3.
ЗАДАЧА №3. В основании пирамиды равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна а, а угол при основании a. Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом φ. Найдите площадь поверхности вписанной в пирамиду
ЗАДАЧА №6. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2, 4 и 4см. Найдите площадь поверхности описанного около него шара.
Задание С2 из тренировочного варианта. (ЕГЭ математика 2013)
10. Подведение итогов урока.
Задачи, которые мы сегодня с вами решали на уроке потребовали от вас ребята глубоких теоретических знаний и практических навыков, трудолюбия и сообразительности. Задачи такого типа встречаются в КИМах ЕГЭ. Сегодняшний урок поможет вам успешно справиться с такими задачами.5
20
20
3
3
2Контролирует самостоятель
ность выполнения заданий каждым учащимся. Затем корректирует ответы учащихся. Демонстрирует презентации
№ 2 и 3 в формате Power Point и комментирует слайды. Контролирует решение задач учащимися у доски, задает наводящие вопросы.
Просит учащихся распределиться по парам для решения самостоятельной работы.
Раздает тексты самостоятельной работы. Наблюдает за работой пар, консультирует, проверяет и оценивает результаты у первых пар.
Предлагает учащимся заполнить карточки "Три Ч" Поясняет домашнее задание, раздает учащимся карточки с задачами.Решают тест, обводя правильный ответы непосредствен
но в карточках, после завершения работы всеми учащимися 2 человека зачитывают свои ответы.
Принимают активное участие в решении предложенных в презентациях задач. Задачу № 1 решают устно.
Задачи № 2, 4 и 5 решаются 3-мя учениками у доске поочередно.
Распределяются по парам по собственному выбору. Работают в парах. Обращаются за помощью к учителю в случае затруднения и за проверкой правильности выполнения.
Ученики, чьи работы проверены и оценены учителем, помогают затрудняющим
ся парам или проверяют и оценивают их работу.
Заполняют карточки "Три Ч" - "Что знал. Что узнал. Что хочу узнать".
Прослушав пояснения учителя, записывают домашнее задание.
Список литературы
1. ЕГЭ 2013. МАТЕМАТИКА. Издательство "Интеллект - центр" 2012г;
2. ЕГЭ 2013. МАТЕМАТИКА. Издательство "Эксмо" 2012 г;
3. ЕГЭ 2012. МАТЕМАТИКА. Типовые тестовые задания. Издательство "Экзамен", Москва 2011г;
4. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия 10-11;
5. "Дидактический материал по геометрии для 11 класса. Разрезные карточки", составитель Ковалева Г. И., изд-во "Учитель", Волгоград;
6. Сайт: mach.ex6.ru/UROKI.htm#2
7. Сайт: pedsovet.org;
8. Сайт: "Карман для математика".
Приложение № 1.
Математический диктант
Вариант 1
1. Какая фигура получается в сечении конуса плоскостью, проходящей через ось конуса? 2. Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра? 3. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса?
4. Чему равна площадь осевого сечения конуса, если его высота в 2 раза больше радиуса основания и равна 5см?
5. Осевое сечение конуса прямоугольный треугольник с катетом а. Чему равна высота конуса?
Вариант 2 1. Какая фигура получается в сечении конуса плоскостью, проходящей перпендикулярно оси конуса?
2. Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра?
3. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, параллельной двум образующим конуса?
4. Чему равна площадь осевого сечения конуса, если осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник, а радиус основания конуса 3см?
5. Осевое сечение конуса равносторонний треугольник со стороной а. Чему равна высота конуса?
__________________________________ вариант _____
Фамилия и имя ученика
12345
Приложение № 2
Краткое решение домашних задач
№ 1. (из сборника ФИПИ "ЕГЭ математика")
Прямая пересекает окружности оснований цилиндра в точках С и К и наклонена к плоскости основания под углом 45º. Плоскость, содержащая прямую СК, параллельна оси цилиндра и удалена от этой оси на расстояние 5см. Найдите высоту цилиндра, если радиус его основания равен 13. Решение:
1. сечение - прямоугольник КЕСМ, угол СКМ равен 45º, то СМ = КМ. СМ - образующая цилиндра, hц = СМ = КМ;
2. ∆ КОМ - равнобедренный, ОD -высота и медиана, D - середина КМ, КМ = 2DМ, значит hц = 2DМ;
3. из ∆ ОDМ DМ = 12 (см), hц = 24 (см).
Ответ: 24см.
№ 2. (из сборника ФИПИ "ЕГЭ математика")
В основании конуса проведена хорда. Через данную хорду и вершину конуса С проведена плоскость так, что угол при вершине с образовавшегося в сечении треугольника равен 60º. Найдите расстояние от центра основания конуса О до данной плоскости, если высота конуса равна 2, а образующая равна 8/3.
Решение:
1. ∆ АВС - равносторонний, СЕ - медиана и высота. Проведем ОК (АСВ), КСЕ, АС = СВ - образующие, АО = ОВ - радиусы основания, значит ОК - искомое расстояние;
2. ∆ СОЕ подобен ∆ СКО, ОК : ОЕ = СО : СЕ;
3. из ∆ СВЕ: СЕ = = ;
4. из ∆ СОЕ: ОЕ = =;
5. ОК = (ОЕ × СО)/СЕ = 1.
Ответ: 1. Карточка.
№ 1
Дано:СВD = 90º, Нц =6см, ОЕ = 3см
Найти: Sсеч.
Решение: Sсеч = СD×СС1;
Sсеч = СD×6; ОЕ = ЕD = 3см;
СD = 6см; Sсеч = 36см².
Ответ: 36см².
№ 2
Дано: SO = 6см, SBO =30º.
Найти: Sсеч.
Решение: Sсеч. = l×l×sin60º= . Из ∆SOB: BS = = 2SO (так как SBO = 30º), l = 12 (cм)
Sсеч. == 36(см²).
Ответ: 36 см².
Задачи, решаемые у доски.
а) Точки В и D лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Синус угла между прямой ВD и плоскостью основания цилиндра равен 0,3, ВD = 15, объём цилиндра равен 450π. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
Решение: Sос.сеч. = 2R H. Отрезок ВЕ перпендикулярен плоскости основания цилиндра (образующая). ВЕ = Нц.
1. ∆ВDЕ - прямоугольный, ВЕ = ВD×sinВDЕ =
= 15 × 0,3 = 4,5.
2. Vц = πR²Н, т. е. πR²Н = 450π.
R = = = 10.
3. Sос.сеч = 2×10×4,5 =90.
Ответ: 90.
б) Угол между образующими СА и СВ конуса равен 60º, высота конуса равна 4, а радиус основания равен. Найдите градусную меру угла между плоскостью АВС и плоскостью основания конуса. Решение: 1. ∆АВС - равносторонний, СК - медиана и высота,
СКАВ.
∆АВО - равнобедренный, ОК - медиана и высота,
ОКАВ.
Значит ОКС - искомый угол.
2. АВ = СВ, из ∆СОВ: СВ = =
= = ; АВ = ,
КВ = 3. Из ∆КОВ: ОК = = = 4.
4. Из ∆КОС: tgОКС = = 1. ОКС = 45º.
Ответ: 45º.
Приложение № 3
Приложение №4.
ЗАДАЧА №1. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите радиус описанной около этой пирамиды
Решение: Из построения видно, что R = АВ : 2 = = = = 5см.
ЗАДАЧА №2. Основанием пирамиды является ромб с острым углом 60°, боковые грани составляют с плоскостью основания углы по 60°. Найдите высоту пирамиды и сторону основания, если площадь поверхности вписанного в нее шара равна 64p.
Решение: Вершина S пирамиды проектируется в центр Р вписанной в ромб АВСD окружности. Центр О вписанного в пирамиду шара лежит на высоте SP. Точки M и Р - точки касания . Сделаем выносные чертежи.
OP - радиус R шара.
1. Sш = 4πR²,
4πR² = 64π, R = 4, ОР = 4;
2. ∆MSK - равносторонний, SР - высота, SР = ; МК = 2РК; РК = ОР : tgОКР = = 4; МК = 8; SP = 12;
3. АВСD - ромб: ∆СРD - прямоугольный, СD =DК+КС.
Из ∆РКС: КС = = 4× =12; DК = = = 8; СD = 12 + 8 = 20
Ответ: 12 и 20.
ЗАДАЧА №4. В шар диаметром 4 дм вписана правильная треугольная призма со стороной основания 3 дм. Найдите высоту призмы. а)б)
К1 Решение:
1) Нпр = КК1= 2ОК (выносной чертеж б). Из ∆АОК: ОК = ;
2) АК - радиус описанной около ∆АВС окружности (выносной чертеж а),
АК = АС : = (дм);
Значит ОК = = 1 (дм);
Нпр = 2дм.
Ответ: 2дм. ЗАДАЧА №5. Найдите радиус вписанной в правильную шестиугольную призму сферы, если сумма всех ее ребер равна 24 + 16Ö3 см.
Решение: Из построения (презентация "Призма и шар") видно, что радиус сферы равен радиусу вписанной в основание призмы окружности, то есть Rс = , отсюда а = АВ = . АА = 2R. По условию сумма всех ребер призмы равна 24 + 16Ö3 см, но сумма всех ребер это 12АВ + 6АА = + 12R = ( + 12) R = (8 +12) Rс. Значит Rс = 2(см).
Ответ: 2см
Приложение № 5.
Самостоятельная работа в парах.
Вариант 1.
1. В осевое сечение усеченного конуса вписана окружность. Радиусы оснований конуса 16см и 25см. Найдите высоту и Sп.п. усеченного конуса.
2. В шар вписан конус, площадь осевого сечения которого равна S, угол при вершине осевого сечения равен 2. Найдите объём шара.
Вариант 2.
1. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 6,5. Найдите его объем. (ЕГЭ 2010, Статград)
2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 10, а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60º. Найдите объём шара, вписанного в пирамиду.
Решение задач самостоятельной работы.
Вариант 1.
Задача № 1.
Решение:
1. Sп.п. = π (R1L + R2L + R1² + R2²). L = CD.
Осевое сечение усеченного конуса -
равнобедренная трапеция, L = CD. Так как в осевое сечение вписана окружность, то CF = O1C, DF =OC (отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки). Значит CD = 16 + 25 = 41(см).
Sп.п. = π (16×41 + 25×41 + 16² + 25²) = 2562 π(см²). 2. Высота усеченного конуса равна высоте осевого
сечения. ∆CKD - прямоугольный, СК = ;
DK = 25 - 16 = 9(см); СК = = 40(см)
Ответ: 40см и 2562 π см. Задача № 2.
Решение:
VШ = π R= πО1В.
АВ = ВС - образующие конуса, АВС = 2, SАВС = АВ2 sin2, значит АВ = .
∆АКО1 - равнобедренный, АК = КВ. Из ∆ВКО1:
соs КВО1= , ВО1= :соs=
=. VШ = π =
=. Ответ: .
Вариант 2.
Задача № 1.
Решение:
В прямоугольный параллелепипед можно вписать сферу только тогда, когда он является кубом. Ребро куба в этом случае равно диаметру сферы.
АА1 = 6,5 × 2 =13, V = АА= 13= 2197.
Ответ: 2197.
Задача № 2. Решение:
Рассмотрим сечение, проведенное через высоту и апофемы двух противолежащих граней пирамиды.
В сечении получается ∆АВС - равносторонний.
Радиус вписанной в него окружности будет равен радиусу вписанного в пирамиду шара.
R = = = 5. V = = = .
Ответ: .
Автор
270   документов Отправить письмо
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1 781
Размер файла
2 156 Кб
Теги
matematiki, klacce, urok
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа