close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

содружество музыки и математики.

код для вставкиСкачать
Исследовательская работа по теме:
"Содружество музыки и математики".
Выполнила ученица 8 класса МОУ СОШ
с. Старый Хопёр Белоусова Валерия, руководитель учитель математики
Белоусова Н.Д. "Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет,
сама того не сознавая".
Готфрид Лейбниц.
Цель: выявление общих элементов и установление связи между музыкой и математикой. Задачи: - найти и показать скрытые взаимосвязи между музыкой и математикой; - способствовать формированию нового взгляда на мир; Изучая музыку, я не раз задумывалась над тем, что гармония музыки чем-то напоминает гармонию математики. Какая же связь может быть между математикой - мудрой царицей всех наук, и музыкой? Как могут взаимодействовать, такие, совершенно разные, человеческие культуры? Как устроена музыка? Можно ли, как сказал А.С.Пушкин в своем произведении "Моцарт и Сальери", "проверить алгеброй гармонию"? Есть ли что-нибудь общее между столь возвышенной и таинственной музыкой и сухой академической математикой? В наше время Электронно-вычислительные машины пишут "музыку". Неужели человек со слухом не в состоянии отличить её от сотворенной настоящими композиторами?
1. Из истории вопроса.
Собирая информацию и интересные факты по этим вопросам, я узнала, что оказывается, люди уже очень давно задумывались о связи музыки и математики. И ещё в древнем мире, ученые - философы (пифагорейцы) считали, что музыка без математики не существует. По представлениям Пифагора (575-500г до н.э.) и его школы, в мире должна царить гармония, проявляющаяся во всем: в строгости математических соотношений, в совершенстве движений небесных тел, а в музыке - в гармонических соотношениях частот (тонов) звучаний музыкальных инструментов. Именно Пифагор заложил основы математической теории музыки. "Почтенный Пифагор отвергал оценку музыки, основанную на свидетельстве чувств. Он утверждал, что достоинства её должны восприниматься умом, и потому судил о музыке не по слуху, а на основании математической гармонии и находил достаточным ограничить изучение музыки пределами одной октавы". (Плутарх (ок. 45-127 )) Путем долгих, сложных исследований, с помощью математических правил и законов древним ученым все-таки удалось доказать, что музыка без математики не существует. Пифагор заметил, что отношение частот двух соседних нот всегда отличается, а отношение частот двух нот, отстоящих друг от дружки на четыре позиции, наоборот, всегда постоянно и составляет 3/2. Такое созвучие теперь называют квинтой. Взяв квинту за основу, Пифагор вывел музыкальную формулу, которая позволяет на основе частоты базовой ноты, от которой ведется отсчет, и порядкового номера заданной ноты получить искомое значение частоты следующей ноты. В результате последовательного применения формулы получаются звуки, отстоящие друг от друга на квинту. В этом ряду есть все ноты звукоряда. И хотя они относятся к разным октавам, но, поделив или умножив частоту нужного звука на два, можно перенести его в соседнюю октаву. Повторяя операцию деления (или умножения) несколько раз, можно заполнить весь диапазон инструмента. Роль математики в этой музыкальной истории очевидна. Но в этих расчетах Пифагора есть одна неувязка: в звукоряде, построенном по его формуле, целое число квинт не укладывается в целое число октав. Такое несоответствие получило название "пифагорова комма". Пифагорова комма - не только кажущийся математический парадокс. Главное, что при пифагоровой системе невозможно играть в произвольной тональности, не фальшивя.
Спустя столетия проблема была решена Андреасом Веркмейстером (немецкий теоретик музыки, 1645-1706гг). И при этом не обошлось без математики. Веркмейстер вместо природного звукоряда создал собственный, положив в основу системы три постулата:
отношение частот одинаковых нот в соседних октавах должно быть равно двум; между этими частотами должно лежать ровно двенадцать нот, по числу полутонов в октаве; все полутона должны быть равны. В соответствии с этими постулатами Веркмейстер разбил октаву на двенадцать абсолютно равных полутонов. Такой звукоряд был назван темперированным. Сущность темперации состоит в небольших изменениях величины интервалов по сравнению с их акустически точной величиной. В 12-ступенном равномерно темперированном строе все чистые квинты уменьшены на 1/12 пифагоровой коммы. От этого строй стал замкнутым, октава оказалась разделенной на 12 равных полутонов, и все одноименные интервалы стали одинаковыми по величине.
Против такой излишней математизации музыкального строя выступил один из учеников Аристотеля - Аристоксен из Тарента (середина IV в. до н. э.). Философ, историк и музыкант, он внес в пифагорейское учение много нового, так что эта форма пифагорейства стала называться неопифагорейством. В частности, в музыке Аристоксен настаивал на приближении ее к запросам публики. Музыка должна быть приятной для слуха, и тогда она благозвучна. Аристоксен ввел так называемый чистый строй, отличающийся от пифагорова строя тем, что он основан на использовании трех интервалов: октавы, чистой квинты и большой терции.
Современным примером математизации музыки могут служить исследования основателя "музыкальной математики" Арнольда Шенберга (австрийский и американский композитор, 1874-1951гг). А. Шенберг сформулировал свой собственный метод композиции, основанный на осознании им того факта, что в процессе сочинения музыки автор подспудно стремится избежать ранее использованных элементов. Этот метод, примененный к высотам музыкальных тонов, а также идея частой смены тональностей, которая привела к появлению политональности и атональности, и послужили фундаментом теории сочинения музыки на основе двенадцати тонов (додекафонии). Композиторы, сочиняя произведения, не пользовались математическими терминами. Но математик непременно заметит, что для сочинения музыки можно использовать методы и алгоритмы алгебры.
2. Ноты и нотный стан. Дроби и параллельность.
Самое известное применение математики в музыке это то, что длительности музыкальных нот заимствовали свои названия у дробей. Половинная нота или называется так, потому что звучит вдвое короче целой ноты. Из четырех четвертых нот () составляется целая нота. Длительность нот можно подсчитывать также как дробные числа:
С помощью чисел это равенство можно записать так: . Кроме того, нотный стан это пять горизонтальных параллельных прямых. Запись мелодии на нотном стане позволяет музыканту увидеть насколько одна нота выше или ниже другой и помогает в точности воспроизвести музыкальные произведения, сочиненные композиторами в далеком прошлом. Параллели в музыке можно обнаружить не только в нотной записи, но и самом звучании музыки. Параллелизм в звучании достигается, например, в том случае, когда мужской и женский голоса вместе исполняют одну и туже мелодию. Мужской голос вторит высокому женскому голосу на восемь ступеней звукоряда ниже, образуя параллель со сдвигом на октаву. В некоторых случаях композиторы специально вводят параллели в свои произведения, усиливая звучание, достигая большей его плотности и делая его более выразительным. В "Сцене под Кромами" из оперы Мусоргского "Борис Годунов" Грозно звучит тема народного восстания, исполняемая хором для четырех голосов:
Взглянув на одновременно звучащие ноты (они находятся на одной вертикали), можно заметить, что расстояние между ними остается неизменным. Если начертить график партий в том же масштабе, в каком напечатаны ноты, то расстояние между линиями, изображающими партии, будет одинаковым. То есть, параллельно звучащие мелодии изображаются параллельными прямыми. (Говоря научным языком , эквидистантными).
3. Ритм чисел и ритм в музыке. Рассмотрим такое музыкальное понятие как ритм.
Окружающий нас мир полон ритмов. Ритмично стучит дождь по стеклу, ритмично звучат за окном двигатели проезжающих мимо автомобилей, ритмично звучит музыка льющаяся из репродуктора, ритмично звонит колокол, ритмично расположены окна по фасаду здания... Но стоит нам услышать слово "ритм", как наши мысли невольно обращаются к музыке, и это вполне понятно: ведь ритм - один из важнейших элементов музыки. Но ритмы можно обнаружить и среди чисел. Например: Период получившейся десятичной дроби можно считать её ритмом, который отличается необыкновенной правильностью: 012345679. Дробь таит в себе и другой ритм:. 1 │
10
100
190
280
370
460
550
640
730
100 здесь впервые вновь встретился первый 190 остаток от деления, 280 далее весь цикл повторяется.
Последовательность, в которой расположены остатки от деления, характеризуется тем, что каждый остаток на 9 больше предыдущего: 1. 10, 19, 28, 37, 26, 55, 73. В этом чувствуется особый ритм и гармония. Очень красивым примером правильных и неправильных ритмов в математике может служить таблица первых ста натуральных чисел, записанная в виде изящной правильной фигуры - пифагорова квадрата.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 .
В этой таблице можно найти множество скрытых ритмов. Например можно отметить числа кратные 2, 3, 4, 5, 6, 7 (в данном примере 3). Это выглядит не только красиво Если мы начнем записывать числа с нуля и выделять числа кратные 3, то вот что у нас получится: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 12, 13 ... Мы пришли к правильному музыкальному ритму, звучащему как музыкальный размер .
4. Симметрия в музыке и математике. Математическое понятие симметрия относительно прямой, можно определить как "зеркальное отражение". Симметрия чаще всего изучается в геометрии. Симметричны квадраты относительно своих диагоналей, круг - относительно диаметра, равнобедренный треугольник относительно высоты проведенной к основанию... Среди чисел тоже встречаются симметричные: 88, 8008, 8808008088 и т. д. Примером зеркального отражения (симметрии) музыке может служить инверсия - ритм, обращенный во времени, звучащий от конца к началу. С мелодией при зеркальном отражении происходит преудивительная метаморфоза.
Рассмотрим ноты очень простого мотива:
А это их зеркальное отражение:
Если скрипичный ключ, два диеза и размер оставить на исходных местах, но начать петь зеркальное отражение на квинту выше исходной мелодии, то получится следующий мотив:
Если спеть исходную мелодию, и её отраженный вариант на два голоса так, чтобы исполнитель отраженного варианта вступил на одну четверть позже, то получится один из простых канонов Баха.
Эта вариация является зеркальным обращением (симметрией) или инверсией.
5. Последовательности. В курсе математики есть раздел "Последовательности". Самая известная последовательность - последовательность натуральных чисел. С ней мы сталкиваемся ежедневно. Из числовых последовательностей можно строить изящные пирамиды, например:
1×8 + 1 = 9
12×8 + 2 = 98
123×8 + 3 = 987
1234×8 + 4 = 9876
12345×8 + 5 = 98765
123456×8 + 6 = 987654
1234567×8 + 7 = 9876543
12345678×8 + 8 = 98765432
123456789×8 + 9 = 987654321.
Из фрагментов некоторых музыкальных произведений тоже можно строить пирамиды. Рассмотрим партию сопрано в многоголосном произведении - мессе голландского композитора Обрехта (XV век).
Сравним фрагменты мелодии, выделенные квадратными скобками:
Взятые вместе эти первые три фрагмента образуют пирамиду. Если добавить оставшиеся четыре фрагмента, то основание пирамиды станет ещё шире. 6. Заключение.
Очевидно, что можно привести ещё множество примеров содружества математики и музыки. Союз математики с музыкой вроде бы и не должен никого так уж удивлять.
Компьютерные технологии наступают. Не осталось, пожалуй, ни одной сферы жизни, в которую человек не впустил бы умнеющую день ото дня машину.
Некоторые музыканты пользуются в своем творчестве совершенным на данный момент математическим инструментом - компьютером. Возможно, все же следует "легализовать" участие компьютера и в сочинении музыки?
Впрочем, никто ни у кого разрешения и не спрашивает. Пока композиторы возмущаются и опасаются, программисты делают свое дело. Появляются программы, в которых реализованы различные алгоритмы сочинения (точнее говоря, формирования) музыки.
Увлечённый музыкой математик Ларс Кидерман разработал программу MusiNum (полное название The Music in the Numbers), моделирующую сочинение музыки на основе фрактальных объектов. Ведь если мир - фрактал, то музыка часть мира. Хотя, возможно, и наоборот, мир - часть музыки? Математические основы программы весьма серьезны. Не случайно ее автор приводит ссылки на две довольно объемистые книги: одну по вопросам применения теории чисел, другую по фракталам. Да и в руководстве пользователя можно найти краткие пояснения, как сущности фракталов, так и алгоритма формирования музыки на их основе. Но разговор об этой связи математики и музыки требует больших знаний, чем те которыми обладаю я. Эпиграфом к моей работе являются слова Г. Лейбница: "Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не сознавая". А Генрих Нейгауз сказал: "Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришёл к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и , что между ними размещается всё, что человечество создало в области науки и искусства" (Генрих Нейгауз, известный русский пианист и педагог, 1888-1964гг). Можно долго спорить о том кто же прав: Г.Нейгауз или Г. Лейбниц. Но нельзя не согласится со словами выдающегося византийского философа Григория Нисского ( богослов, философ, ок. 335 - ок. 394): "... порядок мироздания есть некая музыкальная гармония, в великом многообразии своих проявлений подчиненная некоторому строю и ритму, приведенная в согласие сама с собой, себе самой созвучная и никогда не выходящая из этой созвучности, нимало не нарушаемой многообразными различиями между отдельными частями мироздания".
И одно, несомненно: любое число может быть выражено звуками или созвучиями, а математические действия - взаимодействиями звуков. Но если в математике действия осуществляются абстрактными знаками, обозначающими количественные и качественные величины, то в музыке оперируют непосредственно с самими количествами и качествами.
"Числа" музыки - наиболее реальные числа. "Музыка - это математика Божественной реальности, в ней - уточнение и поправка проблем самой жизни." (Рихард Шварц, композитор и музыкант, г.р.1935).
Дальнейший прогресс математики возможен через музыку, но и саму музыку надо сблизить с реальностью. Содружество математики и музыки неизбежно обогатит друг друга. Использованные источники:
http://dic.academic.ru
http://ru.vicipedia.org
http://classic.music.ru
http://neuhaus.mariar.com
"Теория современной классической музыки" издательство "Музыка", 2005 год.
"Язык. Музыка. Математика" Б.Варга, Ю. Димень, Э. Лопарец, Издательство "Мир", Москва, 1981 год.
Автор
272   документа Отправить письмо
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2 205
Размер файла
1 223 Кб
Теги
музыка, содружество, математика
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа