close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Метод недоопределенных вычислений в исследовании на чувствительность модели корпоративной производственной системы..pdf

код для вставкиСкачать
ÃÂÚÓ‰ ̉ÓÓÔ‰ÂÎÂÌÌ˚ı ‚˚˜ËÒÎÂÌËÈ ‚ ËÒÒΉӂ‡ÌËË...
УДК 519.6; 519.8
Г.И. Алгазин, Т.В. Михеева
Метод недоопределенных вычислений
в исследовании на чувствительность модели
корпоративной производственной системы*
G.I. Algazin, T.V. Mikheeva
Method of Sub-definite Calculations in Researching
Sensitivity of Corporate Production System Model
В статье проведен анализ чувствительности математической модели системного компромисса корпоративной производственной системы с использованием метода недоопределенных вычислений.
The article analyzes the sensitivity of the system
compromise mathematical model of the corporate production system using a method of subdefiniteness.
Ключевые слова: анализ чувствительности, методы недоопределенных вычислений, математическая модель, корпоративное управление,
партнерские отношения, производственная
система.
Key words: sensitivity analysis, method of subdefiniteness, mathematical model, corporate management, partner relations, production system.
Управление организационной системой c применением экономико-математических методов и
моделей имеет целью постоянное повышение эффективности ее деятельности, которое характеризуется рядом показателей. ∗
Исследование механизмов влияния различных
параметров и структурных изменений на показатели конкретной математической модели организационной системы может быть проведено с применением методов и инструментов теории чувствительности.
Существует несколько классов методов и инструментов проведения анализа чувствительности
модели. Можно выделить основные из них [1–3]:
– методы теории автоматического управления;
– методы теории исследования операций;
– методы имитационного моделирования;
– метод недоопределенных вычислений.
Остановимся на методе недоопределенных вычислений более подробно. Метод недоопределенных вычислений (метод недоопределенных моделей
(Н-моделей)) – новая теория и технология эффективного решения широкого спектра проблем (от
прикладных расчетов до обработки знаний и задач
искусственного интеллекта) [4]. Данный метод был
разработан в Российском институте искусственного
интеллекта в начале 1980-х гг. А.С. Нариньяни для
предоставления и обработки не полностью определенных знаний.
Рассматриваемый как оригинальный подход
в области искусственного интеллекта, он постепенно трансформировался в прикладную технологию,
относящуюся к направлению «программирование
в ограничениях» [5], которое активно развивается
в последнее время в мире как одно из наиболее перспективных в информационных технологиях.
К настоящему времени на базе аппарата Н-моделей создана многоуровневая технология программирования, позволяющая решать новые классы
задач в таких областях, как экономика и финансы,
инженерные расчеты, календарное планирование,
вычислительная математика, САПР, ГИС и др.
Рассмотрим основные понятия данного метода.
Реальный параметр задачи всегда имеет начальные оценки границ его значений в самой формулировке задачи, а в процессе решения оно дополнительно уточняется. Таким образом, значение реального параметра всегда частично известно, поскольку находится где-то между не определено и определено, что в общем случае означает, что оно недоопределено [4]. Недоопределенное значение является
оценкой величины, которая в общем случае является по своей природе более точной, чем позволяет
установить доступная нам в данный момент информация. Это понятие в Н-математике считается базовым и активно работает: переменная (Н-переменная) может принимать любое из недоопределенных
значений (Н-значений), каждое из которых представляет собой ту или иную подобласть области
значений данного параметра.
Любой формальной системе можно сопоставить
ее недоопределенное расширение (Н-расширение),
которое включает как соответствующий тип Н-переменной, так и соответствующее расширение опе-
∗
Работа выполнена при финансовой поддержке
РФФИ (проект №10-01-98005 р_сибирь_а).
79
”œ—¿¬À≈Õ»≈, ¬¤◊»–À»“≈À‹Õ¿fl “≈’Õ» ¿ » »Õ‘Œ—ÿ“» ¿
раций (Н-операции) и отношений (Н-отношения)
исходной формальной системы [6].
Каждой k-местной операции f над обычными
значениями a1,..., ak , принадлежащими соответст-
xi j  f
a1 ´ ... ´ *ak , т.е.
ai Î *ai , i = 1, k }.
Всякое отношение r (a1,..., ak ) определяет некоторое подмножество Декартова произведения областей значений *A1 ´ ... ´ *Ak . Оно может
набором
ai =
функций
= fi (a1,..., ai -1, ai +1,..., ak ), отображающих
подмно-
 

a  b :

переменных a1,..., ak . В этом и заключается основная идея недоопределенных вычислений.
Рассмотрим основную идею метода недоопределенных вычислений на примере решения системы
из m алгебраических уравнений от n переменных:
F (x ) = 0,
i
(i )
ni
 x ,..., x  .
i1
ini 1
 a b



*


есть


a  a, b  b; a, b  A .
Соответственно недоопределенное расширение
f функции f от n переменных над A есть

f


x1 ,...,  xn  :

 f ( x ,..., x )
1
n

xi  A .
Будем считать, что все значения переменных
системы недоопределены и недоопределенные значения представим в виде обычных интервалов числовой оси. Тогда, используя введенные операции и
функции для недоопределенных значений, построим следующий итерационный процесс уточнения
недоопределенных значений переменных, исходя из
представлений функций интерпретации.
Таким образом, значения переменных в процессе
итерационных вычислений представляются последовательностью нерасширяющихся интервалов.
В результате применения итерационного процесса получим либо многомерный параллелепипед

D , являющийся декартовым произведением
 k
x j , j  1, n , который при  D  Ø гарантированно
содержит все корни исходной системы либо несовместную систему, если  D  Ø.
Радикальное изменение, внесенное технологией
Н-моделей в вычислительную математику, состоит в
том, что она делает любую модель активной. Модель
становится компьютерной моделью, которая может
быть использована для решения различных задач,
относящихся к описанному ею объекту. При этом
постановка той или иной задачи конкретизируется
путем добавления в модель ограничений на допустимые значения части или всех параметров и/или формулирования дополнительных связей между ними.
где F = ( f1 (x ), f2 (x ),..., fm (x )), x = (x 1,..., x n ) – вектор вещественных переменных, причем некоторые
параметры, входящие в функции f j  x  , могут быть
заданы в виде интервалов. Обозначим множество
всех решений системы через P   x  R | F  x   0 ,
где P принадлежит параллелепипеду D :
D  x  R n | li  xi  ri ; li , ri  R, i  1, n .

Метод недоопределенных вычислений позволяет
решить задачу внешнего интервального оценивания, т.е. найти параллелепипед D такой, что
P  D  D .
Рассмотрим i -е уравнение системы. Так как
в общем случае оно содержит не все переменные
системы, то его можно записать в виде

fi xi 1 ,..., xini  0 ,
где ni  n .
Выразив из этого уравнения каждую переменную через другие, получим ni уравнений (называемых функциями интерпретации):
xi 1  f1(i ) xi 2 ,..., xini ,


,..., xi j1 , xi j1 ,..., xin ,
A, то ее недоопределенное расширение
жество r (a1,..., ak ) на области значений каждой из

i2
Записав в таком виде все уравнения системы,
получим систему n1  n2  ...  nm равенств вышеуказанного вида, определяющих в общем случае для
i-й переменной системы mi  i  mi  m  функций
от разных наборов переменных.
Введем следующие определения и обозначения
[6]. Пусть областью значений переменных x1 ,..., xn
является некоторое множество A. Обозначим через

A множество всех подмножеств A и рассмотрим
переменные  x , определенные на области  A. Будем называть значения из  A недоопределенными
значениями, а переменные  x – недоопределенными переменными. Определим операции над недоопределенными значениями и функции от недоопределенных переменных следующим образом.
Если  – бинарная операция над элементами из
*

i1
xin  f
f : A1,..., Ak  Ak +1 ,
сопоставимо ее Н-расширение над соответствующими Н-значениями (Н-операция и Н-переменные
отмечаются звездочкой):
*
f : *A1,..., *Ak  *Ak +1 ,
результат которой для любого набора Н-значений
*
a1,..., *ak определяется как множество значений
операции f для всех возможных наборов значений
a1,..., ak , принадлежащих декартову произведению
интерпретироваться
x ,x
i
f ( *a1,..., *ak ) = {f (a1,..., ak )
…
…
венно областям A1,..., Ak :
*
(i )
j

80
ÃÂÚÓ‰ ̉ÓÓÔр‰ÂÎÂÌÌ˚ı ‚˚˜ËÒÎÂÌËÈ ‚ ËÒÒΉӂ‡ÌËË...
Основное преимущество Н-моделей состоит в
том, что они способны решить задачи, которые не
могут быть решены никаким другим способом,
кроме полного перебора, в тех случаях, когда перебор возможен.
Кроме того, в работе [7] показано, что использование метода недоопределенных вычислений для
анализа чувствительности модели позволяет гарантированно указать пределы изменения решения при
изменении параметров модели, а также получить
гарантированные нижнюю и верхнюю оценки
функции чувствительности для конечных значений
интервала изменений параметра.
Проведем анализ чувствительности модели корпоративной производственной системы, детально
рассмотренной авторами в работах [8, 9], с применением метода недоопределенных вычислений.
Напомним основные положения модели: рассматривается деятельность промышленной корпорации (в системе имеется n предприятий), выпускающих некоторую продукцию в течение одного
планового периода T , состоящего из нескольких
периодов оперативного вмешательства t (t  1, l ).
Задачи корпоративного центра: определение коэффициента отчислений от прибыли предприятий x0
на весь период планирования T , планового задания
X T по объемам выпуска продукции на плановый
период T . В качестве целевых функций центра и
подсистем принимается их суммарная прибыль за
весь плановый период T .
Предполагается, что на начало каждого периода
t в распоряжении центра имеется r t единиц ресурса, который он распределяет между предприятиями
Из последних двух равенств получается
1
a
a
n
t 1 i 1
i
t

1
a
max
RT  xT 
1
a
min
l
n
 r
t 1 i 1
i
t

1
RT ,
a min
max
(4)
 max i ai  .
Учитывая (1–4), имеем следующее:
1
T
xmax
 min RT ,
a
1
T
xmin
 max RT ,
a
(5)
(6)
T
T
 .
, xmax
xT   xmin
(7)
В рассматриваемой модели корпорации механизм распределения ресурсов между предприятиями при переходе по оперативным периодам t не
меняется на всем периоде планирования T . Это
определяет в конечном счете то, что на изменение
xT влияет только распределение ресурса RT
между предприятиями за весь период T .
В связи с этим основная процедура решения
здесь состоит в том, как далее организовать процесс
последовательного монотонного уточнения границ
интервала изменения параметра xT модели с применением метода недоопределенных вычислений.
Рассмотрим применение метода недоопределенных вычислений в том случае, когда используется
пропорциональный механизм распределения ресурсов (детально изучен в теории активных систем [10]
и работах авторов [8, 9]) для оценки интегрального
xT
показателя
.
RT
Учитывая то, что интервал возможных значений
результата равен сумме интервалов возможных значений аргументов [4], рассмотрим изменение параметра xT по каждому предприятию отдельно. Тогда
согласно (4–7) запишем следующее:
 T riT
,
xi 
ai

 T
si
T
(8)
ri  n  R ,

s

i

i 1

i  1, n.
где si – заявки i-го предприятия на ресурс.
По аналогии с (5–7) мы можем записать начальную оценку значений переменных xiT : 0  xiT 
n
i 1
распределении ресурсов, чтобы суммарный выпуск
корпорацией был максимален. Ценность ресурса
для i-го производственного подразделения определяется его производственной функцией, т.е. объеrt
мом произведенной продукции xit  i , где ai –
ai
параметр производственной функции.
Исследуем чувствительность показателя xT (общий выпуск корпорации за период T ) к изменению
l
параметра R T , RT   r t . Обозначим xT – измеt 1
нение объема производства xT , если объем ресурса
системы изменится на RT .
Общий объем производства за период планирования T составит:
l
n


(1)
xT   x t  x t   xit  .

1
t 1
t


Имеем:
l
l
 r
a min  min i ai  ,
корпорации r t   rit . Задача заключается в таком
l
max
 R
n
T
ai
, i  1, n .
RT   r t   rit ,
(2)
Значения riT ограничены следующими неравенствами:
rit
.
ai
(3)
0  riT  RT , RT   riT , i  1, n .
t 1
t 1 i 1
l
l
n
xT   x t  
t 1
t 1 i 1
n
i 1
81
”œ—¿¬À≈Õ»≈, ¬¤◊»–À»“≈À‹Õ¿fl “≈’Õ» ¿ » »Õ‘Œ—ÿ“» ¿
В качестве значений параметров ai возьмем
данные модельного примера, рассмотренного в работах [8, 9] для корпорации, состоящей из трех
предприятий: a1  4, a2  3.8, a3  4.2 , для RT
f14 : s1 
f15 : s3 
выберем значение R  3000 . Тогда соотношения
(8) примут следующий вид:
T
 T
x1

 T
x2

 T
x3


r T
 1

r T
 2

 T
r3

r T
 1 ,
4
r2T
,

3,8
f17 : s2
r3T
,
4, 2
s1

 RT ,
s1  s2  s3


Согласно методу недоопределенных вычислений
запишем множество функций интерпретации (9),
выразив переменные через другие:
f1 : x1T 
 r2T   s2  r2T  s1
T
r2T
r3T ( s2  s1 )
,
RT  r3T
 R

 r3T   s3  r3T  s1
 R
T
T
r3T
 r3T   s3  r3T  s2
r3T

,
,
.
T
2
f 4 : r2T  3,8  x2T ,
f 6 : r3T  4, 2  x3T ,
s3
 RT ,
s1  s2  s3
f10 : s1 
r1T ( s2  s3 )
,
RT  r1T
f11 : s2
 R

 r1T   s1  r1T  s3
f12 : s3
 R

r1T
 r1T   s1  r1T  s2
r1T


T
2


 , ,
 




f6 : r3T , r3T   min 4, 2  x2T , 4, 2  x2T , max 4, 2  x2T , 4, 2  x2T  ,


 
s1
f 7 : r 
 RT ,
s1  s2  s3
T
1
f 9 : r3T 


 r3T r T 
 r3T r T 
, 3  , max 
, 3  ,
f 5 :  x3T , x3T    min 

 
4,
2
4,
2
4,
2
4, 2 





r3T
,
4, 2
s2
 RT ,
s1  s2  s3

 ,

min 3,8  xT ,3,8  xT
2
2

f4 : r , r   


T
T
max 3,8  x2 ,3,8  x2
r T
f 3 : x  2 ,
3,8
f8 : r2T 

 r1T r T
, 1
 , max 
4

 4
T
T
T
T

 r1 r1 
 r1 r1  ,
f 3 :  x2T , x2T    min 
,
, max 
,



 
 3,8 3,8 
 3,8 3,8 

r1T
,
4
T
2
f13 : s2 
 R
,
f 2 :  r1T , r1T    min 4  x1T , 4  x1T , max 4  x1T , 4  x1T  ,


 
f 2 : r1T  4  x1T ,
T
r2T

 r1T r T
T
T 


f1 : x1 , x1  min 
, 1

 
4
4



s3

 RT .
s1  s2  s3
T
 r2T   s2  r2T  s3
Согласно правилам интервальной арифметики,
семантика функций интерпретации представляется
следующим образом:
s2
 RT ,
s1  s2  s3
f 5 : x3T 
T
f16 : s3 
f18 : s1 
(9)
 R

s1
s1

 
min 
 RT ,
 RT  ,
s1  s2  s3

 s1  s2  s3
 
f7 : r1T , r1T   
,

 


s1
s1
T
T
 R ,
 R  
max 
s1  s2  s3

 s1  s2  s3
 


 
s2
s2
 min 
 RT ,
 RT  , 
s
s
s


s1  s2  s3

 1 2 3
 
f8 :  r2T , r2T   
,

 

s2
s2

T
T 
 R ,
 R  
 max 
s1  s2  s3

 s1  s2  s3
 
,


 
s3
s3
 min 
 R T ,
 RT  , 
s1  s2  s3

 s1  s2  s3
 
f 9 :  r3T , r3T   
,

 


s3
s3
T
T 
 R ,
 R  
 max 
s1  s2  s3

 s1  s2  s3
 
,
r2T ( s1  s3 )
,
RT  r2T
82
ÃÂÚÓ‰ ̉ÓÓÔр‰ÂÎÂÌÌ˚ı ‚˚˜ËÒÎÂÌËÈ ‚ ËÒÒΉӂ‡ÌËË...

 r1T ( s2  s3 ) r T ( s  s )  
 min 
, 1 2 3  ,
T
T

RT  r1T   ,
 R  r1
f10 :  s1 , s1   

 r1T ( s2  s3 ) r1T ( s2  s3 )  

,
 max 

T
T
RT  r1T  

 R  r1

 RT  r1T  s1  r1T  s3  


, 



r1T


 min 
,
T
T
T

 R  r1  s1  r1  s3  




T

  ,
r

1

f11 :  s2 , s2   

 RT  r1T  s1  r1T  s3  



, 



r1T




 max 
T
T
T
R
r
s
r
s








1
1
1
3 




r1T


 








 R






 min 







f12 :  s3 , s3  








 max 








 r3T ( s1  s2 ) r T ( s  s )  
 min 
, 3 1 2  ,
T
T
R
r




RT  r3T  
3

f16 :  s3 , s3   
,
 r3T ( s1  s2 ) r T ( s  s )  

, 3 1 2 
 max 
T
T
RT  r3T  
 R  r3

 R






 min 








f17 :  s2 , s2  








 max 








 r1T  s1  r1T  s2  
, 

r1T

,
T
T
T
R  r1  s1  r1  s2  

 
r1T


T
T
T

R  r1  s1  r1  s2 
, 

r1T


T
T
T
R  r1  s1  r1  s2  

r1T
 
T





T
T

 r2 ( s1  s3 ) r2 ( s1  s3 )  
 min 
,
 ,
T
T
T
T

 R  r2 R  r2   ,
f13 :  s2 , s2   

 r2T ( s1  s3 ) r2T ( s1  s3 )  

,
 max 

T
T
T
T

 R  r2 R  r2  
 R






 min 







f14 :  s1 , s1  








max















 R






 min 






f15 :  s3 , s3   








max













 r3T  s3  r3T  s2  
, 

r3T

,
T
T
T
R  r3  s3  r3  s2  

T
  ,
r3


RT  r3T  s3  r3T  s2  

,

r3T


T
T
T
R  r3  s3  r3  s2  

r3T
 
T






цесс вычисления продолжается. Далее происходит
активация функции f 2 , для которой x1T является
входным аргументом. Затем исполняется следующая функция f3 из очереди и т.д. Вычисле-



x1T x1T  x1T , и если оно не нарушается, то про-



быть произвольный). Результатом этого является
присвоение функции x1T нового значения. Далее
проверяется
условие
корректности
для
 r2T  s2  r2T  s1  
, 

r2T

,
T
T
T
R  r2  s2  r2  s1  
 ,
 
r2T


RT  r2T  s2  r2T  s1  
, 

r2T


T
T
T
R  r2  s2  r2  s1  

 
r2T
T

где верхняя черта над параметром означает левую
границу интервала его возможного изменения,
верхняя – правая граница интервала его возможного изменения.
Далее на первом шаге итерации исполняется
функция f1 (порядок применения функций может
 r2T  s2  r2T  s3  
, 

r2T

,
RT  r2T  s2  r2T  s3  

  ,
r2T


T
T
T

R  r2  s2  r2  s3 

, 

r2T



RT  r2T  s2  r2T  s3  

 
r2T
T


 R






 min 






f18 :  s1 , s1   








 max 








 r3T  s3  r3T  s1  
, 

r3T

,
T
T
T
R  r3  s3  r3  s1  


r3T
  ,

RT  r3T  s3  r3T  s1  

, 

r3T


T
T
T
R  r3  s3  r3  s1  

 
r3T
T
ния заканчиваются тогда, когда исполнение
функций f1  f18 не изменяет значения своего результата и множество активных функций становится пустым.
Динамика изменения значений параметров xiT
и riT в процессе вычислений представлена в следующей таблице.
83
”œ—¿¬À≈Õ»≈, ¬¤◊»–À»“≈À‹Õ¿fl “≈’Õ» ¿ » »Õ‘Œ—ÿ“» ¿
Динамика изменения значений
параметров модели корпорации
в процессе недоопределенных вычислений
№
1.
Н-значения (текущее\новое)
x1   0, 750 \  0,300
2.
r1   0,3000 \  0,1200
3.
x2   0, 789 \  0, 750
4.
r2   0,3000 \  0, 2850
5.
x3   0, 714 \  0, 274 
6.
r3   0, 3000 \  0,1150
7.
x1   0,300 \  271,300
8.
r1   0,1200 \ 1085,1200
9.
x2   0, 750 \  0, 202
10.
r2   0, 2850 \  0, 768
11.
x3   0, 274 \  0, 273
12.
r3   0,1150 \  0,1146
13.
x1   271,300 \  274,300
14.
r1  1085,1200 \ 1095,1200
15.
x2   0, 202 \ 171, 202
16.
r2   0, 768 \  650, 768
17.
x3   0, 273 \  0, 273
18.
r3   0,1146 \  0,1146
19.
x1   274,300 \  274, 296
20.
r1  1095,1200 \ 1095,1185
21.
x2  171, 202 \ 193, 202
22.
r2   650,768 \  731,768
23.
x3   0, 273 \  258, 273
24.
r3   0,1146 \ 1083,1146
25.
x1   274, 296 \  278, 296
26.
r1  1095,1185 \ 1112,1185
27.
x2  193, 202 \ 193, 202
28.
r2   731, 768 \  731,768
29.
x3   258, 273 \  258, 271
30.
r3  1083,1146 \ 1083,1139
Учитывая то, что интервал возможных значений
результата равен сумме интервалов возможных значений аргументов, получим для RT  3000 , изменение параметра xT составит xT   713, 769 .
Основные выводы работы:
1. Изложена теоретическая основа исследования на
чувствительность модели корпоративной производственной системы к изменению ее параметров с применением метода недоопределенных вычислений.
2. С применением метода недоопределенных
вычислений получена более точная оценка для величины изменения выпуска продукции корпорации,
обусловленного изменением величины используемого ресурса xT   713, 769 , по сравнению с оценкой, рассчитанной аналитически xT   714, 789 .
чувствительности
Анализ
коэффициента
xТ
 0, 25 , отражающий влияние изменения паRТ
раметра величины используемого ресурса RT на
показатель выпуска продукции корпоративной системы xT , показал, что параметр RT имеет существенное влияние на исследуемый показатель. Поэтому к выбору значений и распределению параметра
RT необходимо относиться с особым вниманием.
Библиографический список
7. Кашеварова Т.П. Использование метода недоопределенных вычислений для анализа чувствительности математических моделей // Вычислительные
технологии. – 1999. – Т. 4, №4.
8. Алгазин Г.И., Михеева Т.В. Применение игровых имитационных моделей системного компромисса
для анализа функционирования корпоративных производственных систем // Вычислительные технологии:
Вестник КАЗНУ им. Аль-Фараби. – Сер.: Математика,
механика, информатика. – 2008. – Т. 13, №3(58).
9. Алгазин Г.И., Михеева Т.В. Имитационное моделирование корпоративных систем с активными производственными элементами // Вестник алтайской
науки. – Барнаул, 2008. – №2(2).
10. Новиков Д.А., Петраков С.Н. Курс теории активных систем. – М., 1999.
1. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. – М., 1987.
2. Таха Х.А. Введение в исследование операций:
пер. с англ. – 7-е изд. – М., 2005.
3. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем – искусство и наука. – М., 1978.
4. Нариньяни А.С. Введение в недоопределенность. – М., 2007.
5. Нариньяни А.С., Телерман В.В., Ушаков Д.М.,
Швецов И.Е. Программирование в ограничениях и
недоопределенные модели // Информационные технологии. – 1998. – №7.
6. Нариньяни А. C. Недоопределенные модели и
операции с недоопределенными значениями: препринт
/ ВЦ СО АН СССР. – Новосибирск, 1982. – №400.
84
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа