close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

К вопросу об индексе дефекта матричных дифференциальных операторов второго порядка.

код для вставкиСкачать
2000
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 5 (456)
УДК 517.9
В.П. СЕРЕБРЯКОВ
К ВОПРОСУ ОБ ИНДЕКСЕ ДЕФЕКТА МАТРИЧНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Пусть Lp2 (I ) (1 p < 1) есть комплексное банахово пространство двухкомпонентных векторфункций y = (y1 (x); y2 (x)), измеримых по Лебегу на полуоси I = [0; 1), у которых сумма p-х
степеней модулей компонент интегрируема по Лебегу на I , с нормой
Z
1=p
kykp = (jy1 (x)jp + jy2(x)jp )dx :
I
При p = 2 пространство Lp2 (I ) является, как известно, гильбертовым со скалярным произведением
Z
(y; z ) = (y1 (x)z 1 (x) + y2 (x)z 2 (x))dx:
I
Рассмотрим на I матричное линейное дифференциальное выражение второго порядка
l[y] = ;fQ0 (x)y0 g0 + Q(x)y;
(1)
в котором y = (y1 (x); y2 (x))> | двухкомпонентная вектор-функция (> | символ транспонирования),
0
q
q
q
(
x
)
0 (x)
1 (x)
Q0(x) = q (x) 0 ; Q(x) = q(x) q (x)
0
2
суть квадратные матрицы второго порядка, где q0 (x), q1 (x), q2 (x), q(x) | действительнозначные
функции, причем q0;1 , q1, q2 , q интегрируемы по Лебегу на каждом сегменте [0; b], 0 < b < 1.
Пусть N | максимальное число линейно независимых решений из L22 (I ) уравнения
l[y] = y
(2)
с комплексным параметром при Im 6= 0. Значение N не зависит от (Im 6= 0) и согласно
[1]{[4] может равняться 2, 3 или 4, в зависимости от поведения коэффициентов q0 (x), q1 (x), q2 (x),
q(x) выражения (1). При этом если N = 4, то все решения уравнения (2) при любом комплексном
(в том числе и действительном) значении параметра принадлежат L22 (I ); с другой стороны,
если все решения уравнения (2) при каком-нибудь комплексном (хотя бы и действительном)
значении = 0 принадлежат L22 (I ), то N = 4.
Обозначим через L минимальный замкнутый симметрический оператор, порождаемый выражением (1) в L22 (I ). Некоторые задачи спектральной теории для оператора L рассматривались
в статьях [1]{[8]. В частности, в [3]{[8] изучался вопрос об индексе дефекта этого оператора.
Согласно [3]{[9] (см. также литературу, указанную в этих работах) дефектные числа оператора L совпадают со значением N максимального числа линейно независимых решений уравнения
(2) при Im 6= 0, принадлежащих пространству L22 (I ). Таким образом, индекс дефекта L есть
fN; N g.
В работах [3]{[7] для того, чтобы исключить значение f4; 4g для индекса дефекта оператора
L, на коэффициенты q0, q1, q2, q накладывались условия, которые должны выполняться всюду
(или почти всюду) на полуоси [a; 1), a 0.
62
В данной статье будут представлены условия на коэффициенты, исключающие индекс дефекта f4; 4g для L, которые должны будут выполняться лишь на бесконечной последовательности попарно непересекающихся конечных интервалов In I . Представленные условия оказываются следствиями условий, накладываемых на коэффициенты q0 , q1 , q2 , q, при выполнении
которых только на последовательности интервалов In уравнение l[y] = 0 имеет хотя бы одно
решение, не принадлежащее пространству Lp2 (I ) при некотором p, 1 < p < 1. Близкая к излагаемой ниже теорема сформулирована (без доказательства) в [8] (теорема 1). Отметим, что
Lp -свойства решений скалярного уравнения Штурма{Лиувилля с действительнозначным потенциалом изучались в [10].
Если X | матрица, то через X обозначим матрицу, эрмитово сопряженную с X , а через
kX k | норму матрицы X . Через Er обозначим единичную матрицу r-го порядка (r = 2; 4).
Рассмотрим на I наряду с векторным дифференциальным уравнением l[y] = 0 соответствующее ему матричное дифференциальное уравнение
;fQ0(x)Y 0g0 + Q(x)Y = 0;
(3)
в котором Y = Y (x) | искомая квадратная матрица-функция второго порядка.
Пусть Y и Z | решения уравнения (3). Тогда
;(Q0Y 0 )0 + QY = 0; ;(Z 0Q0)0 + Z Q = 0:
Умножая слева первое из этих равенств на Z , второе | справа на Y , затем вычитая второе из
первого и полученное соотношение интегрируя в пределах от 0 до x, находим
Z 0(x)Q0 (x)Y (x) ; Z (x)Q0 (x)Y 0 (x) = const
(4)
для всех x 2 I , где const в данном случае означает постоянную квадратную матрицу 2-го порядка.
Пусть теперь и | решения уравнения (3), удовлетворяющие начальным условиям
(0) = (Q0 0 )(0) = E2 ; (Q0 0 )(0) = (0) = 0:
(5)
Обозначим через F (x) квадратную матрицу-функцию четвертого порядка, в блочном представлении имеющую вид
(
x
)
(
x
)
F (x) = 0 (x) 0 (x) :
Матрица F (x), как это вытекает из (4), (5), при всех x 2 I удовлетворяет тождеству
0
Q
0
E
0 (x)
2
F (x)G(x)F (x) = H; где G(x) = ;Q (x) 0 ; H = ;E 0 ;
0
2
откуда F (x)G(x) = H fF (x)g;1 и, следовательно, F (x)HF (x)G(x) = ;E4 . Выполнив в левой
части этой формулы перемножение и приравняв одинаково расположенные матрицы второго
порядка, получим, в частности, следующие соотношения:
f(x) (x) ; (x) (x)gQ0 (x) = 0;
(6)
f0 (x)(x) ; 0(x) (x)gQ0 (x) = E2 (x 2 I ):
Обозначим через U (x; t) матрицу Коши уравнения (3), т. е. матрицу-функцию
U (x; t) = (x) (t) ; (x) (t):
В силу (6) для U (x; t) имеем
U (t; t) = 0; Ux0 (x; t)jx=t = fQ0 (t)g;1 :
(7)
Справедлива следующая лемма, которая доказывается аналогично лемме из [10] (см. также
замечание в [10]).
63
Лемма.
Пусть существует последовательность попарно непересекающихся интервалов
In = (an ; bn ) I (n = 1; 2; : : : ) такая, что
S
1) q (x) положительна почти всюду на In ;
n
p
2) при некотором p, 1 < p < 1, функция fq (x)g 1;p интегрируема по Лебегу на каждом In
0
и ряд
0
1 Z
X
In
n=1
fq (x)g
0
1
p
1;p Z
;p dx
In
dx
Zx
an
fq0 (x)q0(t)g;1 kU (x; t)kdt
p=2
расходится.
Тогда уравнение l[y] = 0 имеет решение, не принадлежащее пространству Lp2 (I ).
Rx2
Положим q; (x) = ; minfq(x); 0g, q+ (x) = q(x) + q; (x), (x1 ; x2 ) = fq0 (x)g;1 dx. Имеет место
x1
Теорема.
Пусть существует последовательность попарно непересекающихся интервалов
In = (an ; bn ) I (n = 1; 2; : : : ) такая, что
S
1) почти всюду на In функция q (x) положительна, а функции q (x) и q (x) либо обе
0
n
1
2
неотрицательны, либо обе неположительны; p
2) при некотором p, 1 < p < 1, функция fq0 (x)g 1;p интегрируема по Лебегу на каждом
In ;
3) либо имеет место неравенство
Z
(an ; bn ) q; (x)dx C (n = 1; 2; : : : );
(8)
In
1;p
1 Z
X
где C | положительная постоянная, и ряд
fq0 (x)g 1;p p dx f(an ; bn )g 32p расхоn=1 In
дится, либо имеет место неравенство
Z
(an ; bn ) q; (x)dx C (n = 1; 2; : : : );
(9)
In
где 0 C < 4 | постоянная, и хотя бы один из трех рядов
1;p Z
p=2
1 Z
X
fq0(x)g 1;p p dx
f(an ; x)(x; bn )g2 #(x)dx
n=1
In
In
при #(x) = q+ (x), jq1 (x)j или jq2 (x)j расходится.
Тогда уравнение l[y] = 0 имеет решение, не принадлежащее пространству Lp2 (I ).
Доказательство. Применяя метод вариации произвольных постоянных к уравнению (3) и
учитывая (7), заметим, что U (x; t) удовлетворяет матричному интегральному уравнению
Zx
U (x; t) = U;(x; t) + U; (x; )Q+ ( )U (; t)d;
(10)
t
где U; (x; t) | матрица Коши матричного уравнения (Q0 Y 0 )0 + Q; Y = 0, Q; = q0 q0; , Q+ =
;
Q + Q; . Матрицу U;(x; t) можно представить в виде
Zx
1 Zx
X
U; (x; t) = (t; x)J ; (t; )(; x)Q; ()d +
(t; )fK2m (x; ) ; K2m+1 (x; )gd; (11)
где
t
K (x; ) = (; x)Q; (); Km(x; ) =
1
Zx
m=1 t
(; x)q; ()Km; (; )d (m = 2; 3; : : : );
1
64
а J | постоянная квадратная матрица второго порядка J = 01 10 . С другой стороны, заметим,
что, не умаляя общности, константу C в неравенстве (8) заведомо можно считать меньшей 4. При
этом из2 (8) (или, что то же самое, (9)) в силу легко проверяемого неравенства (; )(; x) f(;x)g (a x b ) выполняется неравенство
n
n
4
Zx
2 Z x
(; )(; x)q; ()d f(;4x)g
q; ()d C4 (; x) (; x):
(12)
Принимая во внимание (12), получаем: если an x bn , то fKm (x; ) ; Km+1 (x; )g
(m = 1; 2; : : : ) | матрица с неотрицательными элементами. В силу этого из соотношения (11)
вытекает, что каждый элемент матрицы U; (x; t) не меньше соответствующего ему (т. е. стоящеRx
го в той же строке и том же столбце) элемента матрицы (t; x)J ; (t; )(; x)Q; ( )d при
t
an t x bn . Для последней матрицы имеем
Zx
2 Z x
(t; x)J ; (t; )(; x)Q; ()d (t; x)J ; f(t;4x)g
Q; ( )d t
t
Z
(t; x) J ; (an4; bn) Q;()d (t; x)J (an t x bn; = 1 ; C4 );
In
где неравенство между матрицами понимается в смысле неравенства соответствующих элементов этих матриц. Таким образом, при an t x bn каждый элемент матрицы U; (x; t)
не меньше соответствующего ему элемента матрицы (t; x)J . В силу этого факта, применяя
метод последовательных приближений к матричному интегральному уравнению
(10), в предпоS
ложении неотрицательности коэффициентов q1 (x) и q2(x) почти всюду на In находим, что при
n
an t x bn (n = 1; 2; : : : ) выполняются неравенства
Zx
2
u1;1(x; t) (t; )(; x)q2 ()d;
Zt x
2
u2;2(x; t) (t; )(; x)q1 ()d;
Zt x
2
u1;2(x; t) (t; )(; x)q+ ( )d;
t
u1;2(x; t) (t; x);
где u1;1 , u1;2 , u2;2 | элементы матрицы
u
u
1;1 (x; t)
1;2 (x; t)
U (x; t) = u (x; t) u (x; t) :
2;1
2;2
Умножая каждое из этих неравенств на fq0 (x)q0 (t)g;1 , затем интегрируя их по треугольной
области f(x; t) : an t x bn g, находим
Z
Zx
Z
Zx
dx fq0(x)q0(t)g;1 kU (x; t)kdt dx fq0 (x)q0 (t)g;1 u1;2 (x; t)dt 6 f(an ; bn )g3 ;
In
an
ZIn Zanx
2 Z
dx fq0(x)q0(t)g;1 kU (x; t)kdt 4 f(an ; x)(x; bn )g2 #(x)dx (n = 1; 2; : : : );
In
an
In
где #(x) = q+(x), q1(x) или q2 (x), и для завершения доказательства остается применить
лемму.
S
Случай, когда функции q1 (x) и q2 (x) неположительны почти всюду на In , может быть
n
сведен к только что рассмотренному следующим замечанием: если y = (y1 (x); y2 (x))> | решение
65
>
0 0 b
уравнения
l[y] = 0, то yb= (y1 (x); ;y2(x)) | решение уравнения ;fQ0 (x)yb g + Q(x)yb = 0, где
Qb (x) = ;qq(1x()x) ;qq(x()x) .
2
Если в доказанной теореме положить p = 2, то получим условия, при которых индекс дефекта оператора L отличен от f4; 4g. Отсюда, в частности, вытекает
Следствие 1. Пусть существует последовательность попарно непересекающихся интервалов In = (an ; bn ) I (n = 1; 2; : : : ) такая, что
S
1) почти всюду на In функция q(x) неотрицательна, q0 (x) положительна, а q1 (x) и q2 (x)
n
либо обе неотрицательны, либо обе неположительны;
2) функция fq0 (x)g;2 интегрируема по Лебегу на каждом In и расходится хотя бы один из
четырех рядов
;1
1 Z
X
fq0(x)g;2 dx f(an ; bn)g3 ;
(13)
1 Z
X
fq (x)g; dx
n=1
;1 Z
In
f(an ; x)(x; bn )g #(x)dx, где #(x) = q(x), jq (x)j или jq (x)j.
n
Тогда индекс дефекта оператора L отличен от f4; 4g.
Из следствия 1 с использованием теоремы 6 из ([9], x 14, гл. IV) получаем
=1
In
0
2
2
In
1
2
Пусть существует последовательность попарно непересекающихся интервалов In = (an ; bn ) I (n = 1; 2; : : : ) такая, что
S
1) на In функция q0 (x) положительна почти всюду, q(x) существенно ограничена снизу,
n
функции q1 (x), q2 (x) существенно ограничены либо обе снизу, либо обе сверху;
2) fq0 (x)g;2 интегрируема по Лебегу на каждом In и ряд (13) расходится.
Тогда индекс дефекта оператора L отличен от f4; 4g.
В самом деле, следствие 2 получается из следствия 1 в силу вышеуказанной теоремы из [9],
поскольку условия, накладываемые на функции q, q1 , q2 в следствии 1, сводятся к условиям,
накладываемым на те же функции в следствии 2, прибавлением к матрице Q(x) постоянной
симметрической матрицы.
Следствие 2.
Литература
1. Chakravarty N.K. Some problems in eigenfunction expansions. I // Quart. J. Math. { 1965. {
V. 16. { Є 62. { P. 135{150.
2. Chakravarty N.K. Some problems in eigenfunction expansions. II // Quart. J. Math. { 1968. {
V. 19. { Є 74. { P. 213{224.
3. Chakravarty N.K. Some problems in eigenfunction expansions. III // Quart. J. Math. { 1968. {
V. 19. { Є 75. { P. 397{415.
4. Eastham M.S.P. The deciency index of a second-order dierential system // J. London Math.
Soc. { 1981. { V . 23. { Є 2. { P. 311{320.
5. Eastham M.S.P., Gould K.J. Square-integrable solutions of a matrix dierential expression // J.
Math. Anal. Appl. { 1983. { V. 91. { Є 2. { P. 424{433.
6. Серебряков В.П. Об условиях квазирегулярности одного сингулярного дифференциального
оператора // Вестн. Моск. ун-та. Cер. матем., механ. { 1992. { Є 6. { С. 7{9.
7. Серебряков В.П. Условия квазирегулярности сингулярной системы дифференциальных
уравнений второго порядка с осциллирующими коэффициентами // Изв. вузов. Математика. { 1995. { Є 3. { С. 45{50.
66
8. Серебряков В.П. Об индексе дефекта матричных дифференциальных операторов второго
порядка // УМН. { 1997. { Т. 52. { Вып. 6. { С. 183{184.
9. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. { 2-e изд. { М.: Наука, 1969. { 521 с.
10. Мирзоев К.А. Об условиях существования решения уравнения y00 = qy, не принадлежащего
пространству Lp (0; +1) // Матем. заметки. { 1990. { Т. 47. { Є 4. { С. 77{82.
Московский государственный
университет
Поступила
13.08.1997
67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
150 Кб
Теги
дефекты, дифференциальной, вопрос, матричный, оператора, индексы, порядке, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа