close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Критерии ограниченности и устойчивости для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2013, № 12, c. 11–18
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@kpfu.ru
Г.А. ГРИГОРЯН
КРИТЕРИИ ОГРАНИЧЕННОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО
ПОРЯДКА
Аннотация. Получены некоторые соотношения, связывающие решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с мнимой компонентой комплексного
решения соответствующего уравнения Риккати. На основе этих соотношений и одной теоремы И.М. Соболя доказываются критерии ограниченности и устойчивости для линейных
уравнений второго порядка.
Ключевые слова: комплексное решение уравнения Риккати, теорема И.М. Соболя, ограниченность решений, устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость.
УДК: 517.923
1. Введение
Изучение асимптотического поведения и устойчивости решений дифференциальных уравнений является важной задачей качественной теории дифференциальных уравнений, имеющей как теоретическое так и прикладное значения. Ей посвящены многочисленные работы
(например, [1] и цитированные в ней работы [2]–[8]).
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида
φ (t) + p(t)φ (t) + q(t)φ(t) = 0, t ≥ t0 ,
(1)
где p(t) — непрерывно дифференцируемая, а q(t) — непрерывная на [t0 , +∞) комплекснозначные функции. Под решением (1) будем понимать дважды непрерывно дифференцируемые функции, при подстановке которых (1) обращается в тождество. Ниже будут доказаны
некоторые критерии ограниченности и устойчивости по Ляпунову (асимптотической устойчивости) уравнения (1) в терминах его коэффициентов. Под устойчивостью уравнения (1)
понимается устойчивость (эквивалентной ему) линейной системы
φ (t) = φ1 (t),
φ1 (t) = −q(t)φ(t) − p(t)φ1 (t),
t ≥ t0 .
(2)
Напомним, что устойчивость по Ляпунову (асимптотическая устойчивость) глобального
решения χ0 (t) нормальной системы
dχ
= f (t, χ)
(3)
dt
означает следующее. Для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что любое решение χ(t)
системы (3) с χ(t0 ) − χ0 (t0 ) < δ ( · — евклидова норма) продолжается на [t0 , +∞) и
Поступила 30.07.2012
11
12
Г.А. ГРИГОРЯН
χ(t) − χ0 (t) ≤ ε, t ≥ t0 (χ(t) − χ0 (t) → 0 при t → +∞). Система (2) (и вообще любая
линейная система) называется устойчивой по Ляпунову (асимптотически), если каждое ее
решение устойчиво по Ляпунову (асимптотически). В силу линейности система (2) устойчива по Ляпунову (асимптотически) тогда и только тогда, когда все ее решения ограничены
(бесконечно малы при t → +∞) ([9], с. 222–226). Следовательно, уравнение (1) устойчиво по
Ляпунову (асимптотически) тогда и только тогда, когда каждое его решение вместе со своей производной ограничено (бесконечно мало при t → +∞). Как известно ([4], с. 380–382),
заменой переменных
φ(t) = E(t)ψ(t),
(4)
t
где E(t) = exp − 12 p(τ )dτ , уравнение (1) может быть приведено к виду
t0
ψ (t) + G(t)ψ(t) = 0, t ≥ t0 ,
(5)
2
где G(t) = q(t) − p 2(t) − p 4(t) . В книге [2] при определенных ограничениях на G(t) даются
асимптотические формулы как для решений уравнения (5), так и для первой и второй производных последних ([2], с. 55–60, ВКБ-приближение). Эти формулы охватывают широкий
класс уравнений вида (1), но далеко не исчерпывают их. Дальнейшее изучение вопросов
ограниченности и устойчивости решений уравнения (1) является целью данной статьи, в
которой будет использоваться важная
Теорема 1◦ ([7]). Пусть G(t) удовлетворяет условиям
a) G(t) > 0, t ∈ [t0 , +∞);
b) существует lim GG3/2(t)(t) = α, |α| < 4;
t→+∞
G (t)
ограничена
G3/2 (t)
на [t0 , +∞).
c) вариация
Тогда для любого решения ψ(t) уравнения (5)
1
,
|ψ(t)| = O 4
G(t)
t → +∞.
(6)
В точках максимума |ψ(t)| оценка достигается ([7], с. 710).
В разделе 2 доказываются некоторые соотношения для мнимой компоненты комплексного решения уравнения Риккати, соответствующего (5). На основе этих соотношений и
теоремы 1◦ в разделе 3 доказываются критерии ограниченности и устойчивости для решений уравнения (1).
Замечание. Ограничения на G(t) в теореме 1◦ не следуют из ограничений на G(t) в методе ВКБ-приближения. В частности, условие гладкости на G(t) в теореме 1◦ более слабое,
чем в методе ВКБ-приближения. Доказанные в [7] теоремы остаются в силе, если в них
условия b) и c) теоремы 1◦ заменить любыми другими, обеспечивающими выполнимость
(6) (нахождение таких условий является предметом отдельного исследования).
2. Комплексные решения уравнения Риккати
Уравнение Риккати
z (t) + z 2 (t) + G(t) = 0, t ≥ t0 ,
и уравнение (5) связаны между собой посредством соотношений ([4], сс. 391, 392):
t
ψ (t)
= z(t), ψ(t) = ψ(t0 ) exp
z(τ )dτ .
ψ(t)
t0
(7)
(8)
КРИТЕРИИ ОГРАНИЧЕННОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ
13
В дальнейшем функцию G(t) будем считать действительнозначной.
Теорема 1. Уравнение (7) имеет решение на [t0 , +∞), удовлетворяющее начальному условию
(9)
z(t0 ) = µ0 + µi, µ0 , µ ∈ R, µ = 0.
Доказательство. Пусть ψ+ (t) и ψ− (t) — решения уравнения (5) такие, что
ψ+ (t0 ) = 1, ψ− (t0 ) = 0, ψ+
(t0 ) = µ0 , ψ−
(t0 ) = µ.
(10)
Так как G(t) действительнозначна, то ψ+ (t) и ψ− (t) действительнозначны. Из (10) также
следует, что ψ+ (t) и ψ− (t) линейно независимы. Тогда вронскиан
ψ+ (t) ψ− (t)
W (t) ≡ (t)
= 0,
ψ+ (t) ψ−
ψ (t)
и, значит, ψ(t) ≡ ψ+ (t) + iψ− (t) = 0. В силу (8) имеем, что z0 (t) ≡ ψ00 (t) — комплексное
решение уравнения (7) на [t0 , +∞). Из (10) следует, что z0 (t) удовлетворяет начальному
условию (9).
Пусть z(t) — решение уравнения Риккати, удовлетворяющее начальному условию z(t0 ) =
iµ, µ > 0. В силу теоремы 1 такое решение существует при любом t ≥ t0 . Обозначим
Re z(t) = x(t), Im z(t) = y(t). Тогда в силу (7) выполняются равенства
x (t) + x2 (t) + G(t) = y 2 (t),
(11)
y (t) + 2x(t)y(t) = 0,
(12)
x(t0 ) = 0, y(t0 ) = µ.
(13)
при этом
Из (12) и (13) получаем
t
x(τ )dτ .
y(t) = µ exp −2
t0
Тогда
t
x(τ )dτ
exp
=
t0
Отсюда
µ
.
y(t)
(14)
µ
µ =
.
x(t)
y(t)
y(t)
(15)
Лемма 1. Пусть ψ+ (t) и ψ− (t) — решения уравнения (5), удовлетворяющие условиям
(10). Тогда
t
t
µ
,
(16)
y(τ )dτ + ψ− (t) sin
y(τ )dτ =
ψ+ (t) cos
y(t)
t0
t0
t
t
y(τ )dτ − ψ− (t) cos
y(τ )dτ = 0,
(17)
ψ+ (t) sin
(t) sin
−ψ+
(t) cos
ψ+
t0
t
y(τ )dτ
t0
t
y(τ )dτ
t0
+
+
ψ−
(t) cos
ψ−
(t) sin
t0
t
y(τ )dτ
t0
t
y(τ )dτ
t0
=
=
(18)
µy(t),
µ
y(t)
.
(19)
14
Г.А. ГРИГОРЯН
Доказательство. В силу (8) из (10) и (13) следует
t x(τ ) + iy(τ ) dτ .
ψ(t) = exp
(20)
t0
Нетрудно убедиться, что
ψ+ (t) =
ψ(t) + ψ(t)
ψ(t) − ψ(t)
, ψ− (t) =
.
2
2i
Тогда из (14) и (20) будем иметь
t
µ
y(τ )dτ ,
cos
ψ+ (t) =
y(t)
t0
t
µ
ψ− (t) =
sin
y(τ )dτ .
y(t)
t0
(21)
(22)
Отсюда легко вывести (16)–(19).
Лемма 2. Пусть G(t) непрерывно дифференцируема ипусть G(t) > 0, t ≥ t0 . Тогда для
решения уравнения (7) с начальным условием z(t0 ) = i G(t0 ) справедливы соотношения
t t
( G(τ ))
dτ,
(23)
sin
[y(s) + G(s)]ds x(t) = − y(t)
y0 (τ )
t0
τ
t
t
( G(τ ))
dτ.
(24)
cos
[y(s) + G(s)]ds
y(t) − G(t) = − y(t)
y(τ )
t0
τ
Доказательство. Очевидно
(z(t) − i G(t)) + [z(t) + i G(t)][z(t) − i G(t)] = −i( G(t)) .
(25)
Тогда в силу формулы Коши из (25) будем иметь
t
t
exp − [x(s) + i{y(s) + G(s)}]ds
G(τ ) dτ.
z(t) − i G(t) = −i
t0
τ
В силу (14) отсюда получим (23) и (24).
√
t G(τ ) 1
Лемма 3. Если функции L0 (t) ≡ √
4
G(t) t
0
1 y(t)
1
√
√
√
и 4
.
и функции
G(t)
G(t)
√
4
G(τ )
√
dτ и
G(t)
y(t)
ограничены, то ограничены
y0 (t)
Доказательство. Из (24) следует
G(τ ) G(τ ) dτ.
4
y(τ )
G(τ )
4
t
y(t)
y0 (t) + 4 G(t) t0
√
G(t)
Отсюда и из ограниченности функции y(t) получим
t
G(τ ) 4
dτ
y(t) − G(t)
≤ c1
4
G(τ )
t0
| y(t) − 4 G(t)| ≤ КРИТЕРИИ ОГРАНИЧЕННОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ
15
(здесь и далее c1 , c2 , . . . — некоторые постоянные). Тогда
z (t)
0
−
1
≤ c1 L0 (t).
4
G(t)
В силу ограниченности функции L0 (t) первое из утверждений леммы доказано. Докажем
ее второе утверждение. Из (15) и (23) следует
t G(τ
)
4
t
G(τ )
1
−1
1
sin
dτ.
=
[y
(s)
−
G(s)]ds
0
4
4
4
G(t)
y(t)
G(t)
y(τ )
G(τ )
τ
t0
√
Отсюда и из ограниченности
G(t)
y(t)
и L0 (t) следует второе из утверждений леммы.
3. Критерии ограниченности и устойчивости
Пусть φ± (t) ≡ E(t)ψ± (t), t ≥ t0 . В силу (4) φ± (t) — решения уравнения (1). Очевидно
p(t)
ψ± (t) + ψ± (t) E(t).
(26)
φ± (t) = −
2
Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1◦ и пусть функция L0 (t) ограничена. Тогда для того чтобы все решения уравнения (1) были ограниченными, необходимо и
достаточно, чтобы
t
1
(27)
p(τ )dτ + ln G(t) > −∞.
inf Re
t≥t0
2
t0
Доказательство. Достаточность немедленно следует из (4) и теоремы 1◦ .
Необходимость. В силу теоремы 1◦ из условий 1)–3) и (16) следует
1
y(t)
≤ 4
c2
G(t)
.
(28)
По лемме 3 отсюда и из ограниченности L0 (t) имеем
c3 |E(t)|
|E(t)|
≥ , c3 > 0.
4
y(t)
G(t)
(29)
В силу (4) из (21) и (22) получим
φ2+ (t) + φ2− (t) = G(t0 )
E 2 (t)
.
y(t)
(30)
Пусть все решения уравнения (1) ограничены. Тогда из (30) следует
|E(t)|
≤ c4 .
y(t)
Отсюда и из (29) будем иметь
c4
|E(t)|
≤
.
4
c3
G(t)
Таким образом, имеет место (27).
Аналогичным образом может быть доказана
16
Г.А. ГРИГОРЯН
Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 1◦ и пусть функция L0 (t) ограничена.
Для того чтобы все решения уравнения (1) стремились к нулю при t → +∞, необходимо
и достаточно, чтобы
t
1
p(τ )dτ + ln G(t) = +∞.
lim Re
t→+∞
2
t0
Пример 1. Рассмотрим уравнение
φ (t) + atα φ (t) + bt2α φ(t) = 0, t ≥ t0 ,
(31)
a2
aαtα−1
где a, b — действительные постоянные, α > 0. Тогда G(t) = (b − 4 ) − 2 . Пусть ν ≡
2
b − a4 > 0. Нетрудно видеть, что при достаточно большом значении t0 > 0 выполняется
первое условие теоремы 2 (теоремы 3): G(t) > 0, t ≥ t0 . Легко проверить, что остальные
условия теоремы 2 (теоремы 3) также выполнены. Поскольку для (31)
t
1
a α+1
1
aαtα−1
2α
Re
t
ln
νt
,
p(τ )dτ + ln G(t) =
− tα+1
−
+
0
2
α+1
2
2
t0
то в силу теоремы 3 при a ≥ 0 все решения уравнения (31) стремятся к нулю когда t → +∞,
а при a < 0 в силу теоремы 2 уравнение (31) имеет неограниченное решение.
Теорема 4. Пусть выполняются условия теоремы 1◦ и пусть функция L0 (t) ограничена.
Для того чтобы уравнение (1) было устойчивым по Ляпунову, необходимо и достаточно,
чтобы
t
1
p(τ )dτ − 2 ln(1 + |p(t)|) + ln G(t) > −∞,
inf Re
t≥t0
2
t0
(32)
t
1
p(τ )dτ − ln G(t) > −∞.
inf Re
t≥t0
2
t0
Доказательство. Из (17), (18) и (26) следует равенство
t
t
y(τ )dτ + φ− (t) cos
y(τ )dτ = G(t0 )E(t) y(t),
−φ+ (t) sin
t0
(33)
t0
а из (16), (19) и (26) — равенство
t
t
p(t)
G(t
)
G(t0 ) 0
+
y(τ )dτ + φ− (t) sin
y(τ )dτ = −
E(t).
φ+ (t) cos
2
y(t)
y(t)
t0
t0
Отсюда выводим
⎧
⎫
⎨
y(t)
2
1
G(t0 ) ⎬
E(t)
4
=
G(t)E(t)
−
p(t) 4
⎩ 4 G(t)
⎭
y(t)
G(t)
G(t0 ) 4 G(t)
t
t
y(τ )dτ − φ− (t) sin
y(τ )dτ . (34)
− φ+ (t) cos
t0
t0
Необходимость. Пусть уравнение (1) устойчиво по Ляпунову. Тогда из (33)
|E(t)| y(t) ≤ c5 .
Отсюда и из (28) получим
|E(t)| 4 G(t) ≤ c2 c5 ,
(35)
КРИТЕРИИ ОГРАНИЧЕННОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ
17
что влечет за собой второе из неравенств (32). Далее, в силу теоремы 2 из ограниченности
всех решений уравнения (1) следует
|E(t)|
≤ c6 .
4
G(t)
(36)
|E(t)|
. Отсюда и
В силу леммы 3 из (34) и (35) получим ограниченность функции |p(t)| √
4
G(t)
|E(t)|
ограничена. Это влечет за собой первое из
из (36) следует, что функция (1 + |p(t)|) √
4
G(t)
неравенств (32).
Достаточность. Пусть выполняется первое из неравенств (32). Тогда выполняется (27).
Поэтому в силу теоремы 2 все решения уравнения (1) ограничены. Для завершения доказательства теоремы достаточно показать, что φ± (t) ограничены. Из первого неравенства (32)
следует
|E(t)|
|E(t)|
≤ c7 , |p(t)| ≤ c8 .
4
4
G(t)
G(t)
Отсюда и из (28) получим
|E(t)|
|E(t)|
≤ c2 c7 , |p(t)| ≤ c2 c8 .
(37)
y(t)
y(t)
Из второго неравенства (32) вытекает 4 G(t)|E(t)| ≤ c9 . Отсюда и из (29) будем иметь
c9
(38)
|E(t)| y(t) ≤ .
c3
Из (21) и (22) легко вывести неравенства
G(t0 )
,
|ψ± (t)| ≤ y(t)
1
(t)| ≤ G(t0 ) |ψ±
+ y(t) .
y(t) (39)
(40)
В силу (26) выполняются неравенства
|p(t)|
|ψ± (t)| + |ψ± (t)| |E(t)|.
|φ± (t)| ≤
2
Отсюда, из (39) и (40) выводим
G(t
)
|p(t)|
1
0
+ G(t0 ) |E(t)|.
|φ± (t)| ≤
+ y(t)
2
y(t)
y(t) В силу леммы 3 из (28) следует
(41)
1
≤ c10 4 G(t).
y(t) Итак, из (38), (39) и (41) получим ограниченность φ± (t).
Аналогичным образом может быть доказана
18
Г.А. ГРИГОРЯН
Теорема 5. Пусть выполняются условия теоремы 1◦ и пусть функция L0 (t) ограничена.
Для того чтобы уравнение (1) было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы
t
1
p(τ )dτ − 2 ln(1 + |p(t)|) + ln G(t) = +∞,
lim Re
t→+∞
2
t0
t
1
lim Re
p(τ )dτ − ln G(t) = +∞.
t→+∞
2
t0
Пример 2. Применяя теоремы 4 и 5, легко показать, что при a > 0 (ν > 0) уравнение (31)
асимптотически устойчиво, а при a ≤ 0 не является устойчивым по Ляпунову.
Литература
[1] Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных
уравнений (Мир, М., 1964).
[2] Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
(Наука, М., 1983).
[3] Адрианова Л.Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений (Изд-во С.-Пб.
ун-та, С-Пб., 1992).
[4] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения (Мир, М., 1970).
[5] Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений (Ин. лит., М., 1954).
[6] Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье (Мир, М., 1953).
[7] Соболь И.М. Исследование асимптотического поведения решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка при помощи полярных координат, Матем. сб. 28 (3), 707–714 (1951).
[8] Гусаров Л.А. О стремлении к нулю решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка,
ДАН СССР 71 (1), 9–12 (1950).
[9] Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений (Высш. школа, М., 1991).
Г.А. Григорян
старший научный сотрудник,
институт математики НАН РА,
пр. Маршала Баграмяна, д. 24/5, г. Ереван, 0019, Республика Армения,
e-mail: mathphys2@instmath.sci.am
G.A. Grigoryan
Boundedness and stability criteria for linear ordinary differential equations of the second
order
Abstract. We establish some correlations for solutions of ordinary differential equations and the
imaginary part of the complex solution of the corresponding Riccati equation. On the basis of these
correlations and the I.M. Sobol’ theorem we prove some new stability and boundedness criteria for
linear equations of the second order.
Keywords: complex solution of Riccati equation, I.M. Sobol’ theorem, boundedness, Lyapunov
stability, asymptotic stability.
G.A. Grigoryan
Senior Researcher,
Institute of Mathematics of NAS of Armenia
24/5 Marshal Bagramyan str., Erevan, 0019 Republic of Armeniya,
e-mail: mathphys2@instmath.sci.am
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа