close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Критерий устойчивости по части переменных автономной системы дифференциальных уравнений.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 4 (491)
2003
УДК 517.929
К.М. ЧУДИНОВ
КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ
АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим линейную автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
x_ = Ax;
(1)
где оператор A : Cn ! Cn задан матрицей A = (ajk )nj;k .
Пусть () | характеристический многочлен матрицы A, l , l = 1; r, | его корни. Как известно (напр., [1], с. 244), каждая компонента xm (t), m = 1; n, решения x(t) системы (1) является
суммой квазимногочленов от t с показателями l :
=1
xm (t) =
r
X
l
e t pm;l (t);
(2)
l
=1
где pm;l (t) | многочлен степени, меньшей кратности корня l . Целью статьи является получение
необходимых и достаточных условий присутствия данного показателя экспоненты в представлении первой компоненты решения системы (1) в виде (2).
Введем следующие обозначения: Es , 0 s n ; 1, | единичные матрицы порядка (n ; s);
A = (ajk )nj;k | матрица порядка (n ; 1); B () | матрица-функция A ; E ; Bi (), i = 2; n,
| матрицы-функции, зависящие от , получаемые заменой соответственно i-й строки матрицы B () строкой (a ; a ; : : : ; a n ); i (), i = 1; n, | многочлены-определители матриц Bi (),
i = 1; n, соответственно; () | наибольший общий делитель этих многочленов. Из разложения определителя матрицы A ; E по первому столбцу следует, что многочлен () является
делителем многочлена ().
1
1
=2
1
12
13
1
1
1
0
Теорема 1.
В представление первой компоненты решения системы
(1) в виде (2) входят
квазимногочлены с теми и только теми показателями, которые являются корнями многочлена
()=().
Базис пространства Cn, в котором A является матрицей оператора A, обозначим через
fei gni и назовем естественным. Пусть S | линейная оболочка системы векторов fei gni . Значит, элементами пространства S являются те и только те векторы пространства Cn, первые
компоненты которых в естественном базисе Cn равны 0.
Введем также следующие обозначения: Si | гиперплоскость в пространстве S , ортогональная вектору ei , 2 i n; a | вектор пространства S , имеющий в базисе fei gni координаты
(a ; a ; : : : ; a n ); Sa | гиперплоскость в пространстве S , ортогональная вектору a; Pi | ортопроектор в пространстве S на гиперплоскость Si ; Bi () | оператор-функции, действующие из
S в S , задаваемые в базисе fei gni матрицами-функциями Bi ().
Объединим в одном утверждении следствия теоремы о приведении матрицы к жорданову
виду ([2], с. 383{389; [3], с. 151{155).
=1
=2
=2
12
13
1
=2
67
Лемма 1.
M | некоторая комплекснозначная квадратная матрица и | корень ее
p. Тогда
существует такая линейно независимая
s
P
k
система из p столбцов fhm g, k = 1; s, m = 1; pk ,
pk = p, что выполняются соотношения
Пусть
характеристического многочлена кратности
( )
k
=1
h k 6= 0;
Mh k = h k ;
Mhnk = hnk + hnk; ; n = 2; : : : ; pk :
( )
1
( )
( )
1
1
( )
( )
( )
1
Пусть Z | некоторое линейное пространство, L | линейное преобразование пространства
Z и | собственное значение преобразования L. Следуя терминологии [3], будем называть вектор h присоединенным вектором оператора L, отвечающим собственному значению , если для
некоторого целого p 1 выполняются соотношения (L ; E)p h 6= 0, (L ; E)p h = 0, где E |
тождественный оператор. При этом число p будем называть порядком присоединенного вектора
h, а последовательность (L ; E)p h; (L ; E)p; h; : : : ; (L ; E)h; h согласно терминологии [2] |
серией с собственным значением относительно преобразования L пространства Z . Столбцы,
+1
1
отвечающие в некотором базисе собственным и присоединенным векторам, также будем называть соответственно собственными и присоединенными.
В любом базисе из собственных и присоединенных векторов оператора A система (1) имеет
вид y_ = Jy ([1], с. 242{244), где
0
1
0J
1
j 1 0 : : : 0
BB 0 j 1 : : : 0 CC
BB J 0 CC
BB
CC ; j =
...
J =B
;
J
=
1; k;
C
j
.
B
@ 0 .. A
B@ 0 : : : 0 j 1 CCA
Jk
0 : : : 0 0 j
а все ее решения определяются формулой
y(t) = eJt y(0);
где
01 t t2 : : : t ;1 1
0eJ1 t
1
s; C
BB
BB
CC J t BB0 1 t : : : st ;;2 CCC t
eJ2 t 0
Jt
e ; j = 1; k:
e =B
CA ; e = BB ...
.. C
... ...
@
. C
0 ...
C
B
@
1
t A
eJ t
0 ::: ::: 0
1
Легко видеть, что в представлении (2) при m = 0 тогда и только тогда присутствуют квазимногочлены с показателем l , когда все собственные и присоединенные векторы, отвечающие
собственному значению l , имеют в естественном базисе первую компоненту, не равную 0.
Заметим, что серия с собственным значением относительно преобразования A пространства Cn тогда и только тогда состоит из векторов, имеющих равные 0 первые компоненты,
когда она является серией с тем же собственным значением относительно преобразования A
пространства S , состоящей из векторов, ортогональных вектору a. С другой стороны, из определения многочлена ()=() следует, что собственное значение не является его корнем тогда
и только тогда, когда для всех i, 1 i n, кратности i корня многочленов i () не меньше
кратности корня многочлена (). Поскольку из леммы 1 следует, что серии с собственным
значением относительно преобразования A включают линейно независимых векторов, то
теорема 1 окажется справедливой, если будет доказана
1
2
sj
2
j
(
j
sj
1)!
(
j
2)!
j
k
0
1
0
0
0
0
68
Теорема 2.
A
a
i i = 1; n
Доказательство. Необходимость. Обозначим систему векторов из указанных в формулировке теоремы серий через X = fj gj , причем векторы каждой серии занумеруем последовательно. Выберем произвольно i, 1 i n. Оператор Bi () отображает линейную оболочку
Для того чтобы существовали серии с собственным значением
тельно преобразования
вектору
1 , состоящие из
0
относи-
линейно независимых векторов, ортогональных
, необходимо и достаточно выполнения всех неравенств
,
.
=1
системы X независимо от в линейную оболочку системы Y = f j gj ортогональных проекций векторов системы X на гиперплоскость Si . Значит, если система Y линейно зависима,
то i () 0, поскольку система X линейно независима. Пусть система Y линейно независима. Дополним обе системы произвольным образом до базисов XS = f j gnj ; и YS = fj gnj ;
пространства S . Матрица преобразования Bi (), если векторы, к которым оно применяется,
задаются в базисе XS , а их образы | в базисе YS , имеет вид
=1
1
1
=1
0J ; E
BB
BB
BB
Ui () = B
BB
BB 0
BB
@
1
u ;
(1)
J ; E
2
..
.
1
(2)
...
Jq ; E q
( )
:::
:::
0
:::
+1
=1
1
CC
CC
CC
CC ;
CC
CC
CA
u ;n;
1
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
1
0
:::
:::
0
un; ; : : : un; ;n;
где Jk , k = 1; q, | жордановы клетки с собственным значением , E k | единичные матрицы
соответствующего порядка, при этом Ui () = V Bi ()W , где V и W | некоторые невырожденные
матрицы. Отсюда следует, что кратность i корня многочлена det Bi () не меньше . В силу
произвольности i необходимость доказана.
Достаточность. Используем следующие три леммы.
Пусть I( ) | матрица размера n(n ; 1) (n ; 1) вида
0
1
D( ) F
BB
CC
D( ) F
0
BB
CC
...
I( ) = B
CC ;
B@
0
D ( ) F A
D( )
где D( ) | матрица размера n(n;1), получаемая из матрицы E ;A отбрасыванием первого
столбца, F | матрица, получаемая приписыванием к матрице E первой строки, все элементы
которой равны 0. Обозначим через Ii ( ), i = 1; n, матрицы, получаемые отбрасыванием из I( )
строк с номерами соответственно i + jn, j = 0; n ; 2.
Лемма 2. Размерность ядра матрицы Ii ( ), 1 i n, не меньше i .
Доказательство. Пусть i = 1. Тогда, поскольку кратность корня многочлена () =
det(A ; E ) равна , то, учитывая лемму 1 и равенство A ; E = B (), получаем, что
Ps
существует такая система fxkj g, j = 1; s, k = 1; pj , pj = , из векторов пространства S , что
1
+1
1
1
( )
0
0
2
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
( )
j
1
=1
x j 6= 0;
B ( )x j = 0;
B ( )xkj = xkj; ; k = 2; : : : ; pj :
( )
1
( )
1
0
1
0
1
( )
( )
1
69
1
1
1
Построим сходную систему соотношений для i 2. Выберем произвольную матрицу Bi (),
2 i n. Рассмотрим два случая.
1. Пусть a i 6= 0, что равносильно условию ei 2= Sa . Определим произвольный базис
X = fj gnj ; гиперплоскости Sa. Система векторов Y = fj gjn; = fPi j gnj ; линейно независима в силу ei 2= Sa . Определим ее как базис гиперплоскости Si . Матрица сужения Ci () : Sa ! Si
оператора-функции Bi () в выбранных базисах пространств Sa и Si имеет вид A ; E , где
A | некоторая (n ; 2)-матрица. Заметим, что вектор Bi ()ei не зависит от и в силу
a i 6= 0 не принадлежит Si. Обозначим n; = ei и n; = Bi ()ei , тогда системы векторов
XS = fj gnj ; и YS = f j gnj ; являются базисами пространства S . Если векторы, к которым
применяется преобразование Bi (), задаются в базисе XS , а их образы | в базисе YS , то матрица Ui () преобразования Bi () получается из матрицы A ; E приписыванием справа столбца
и строки, на пересечении которых находится 1, а остальные элементы равны 0. Поскольку
det(A ; E ) = det Ui () = det V det Bi () det W , где V и W | некоторые невырожденные матрицы, то кратность корня многочлена det(A ; E ) равна i . Согласно лемме 1 существует
Ps
система из i линейно независимых (n ; 2)-мерных столбцов fxkj g, j = 1; s, k = 1; pj , pj = i ,
j
связанных соотношениями
1
2
2
=1
2
=1
=1
2
2
2
1
1
1
1
=1
1
=1
2
2
2
2
0
2
2
( )
=1
x j 6= 0;
A xj = xj ;
A xkj = xkj + xkj; ; k = 2; : : : ; pj :
( )
1
( )
2
( )
0
1
( )
1
( )
2
( )
0
1
Пусть в пространствах Sa и Si системы векторов fxkj g и fykj g соответственно задаются столбцами fxkj g в соответствующих базисах XS и YS . Рассматривая векторы систем fxkj g и fykj g
как элементы пространства S и учитывая, что ykj = Pi xkj , получаем соотношения
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x j 6= 0;
Bi ( )x j =6 0;
Bi ( )xkj = Pi xkj; ; k = 2; : : : ; pj :
( )
(3)
( )
0
1
( )
( )
0
1
2. Пусть теперь a i = 0. Выберем систему X = fj gnj ; линейно независимых векторов
в гиперплоскости Sa так, чтобы вектор ei не принадлежал ее линейной оболочке. Система
векторов Y = fj gnj ; = fPi j gnj ; тоже линейно независима. Обозначим n; = n; = a и
n; = n; = ei , тогда системы векторов XS = f j gnj ; и YS = f j gnj ; линейно независимы и,
следовательно, являются базисами пространства S . Матрица Qi () преобразования Bi () при
задании векторов, к которым применяется преобразование Bi (), в базисе XS , а их образов |
в базисе YS , примет вид
3
1
=1
3
3
=1
2
=1
1
1
1
=1
0q ; q
BB q
q ;
BB ..
..
.
Qi () = B
BB qn; ; qn;. ;
B@qn; ;n; qn; ;
11
12
21
22
3 1
2
0
3 2
1
0
2 2
:::
:::
q ;n;
q ;n;
1
..
.
=1
q ;n;
q ;n;
3
2
1
1
..
.
1
q ;n;
q ;n; C
CC
2
1
1
..
.
CC :
CC
: : : qn; ;n; ; qn; ;n;
qn; ;n; C
: : : qn; ;n;
qn; ;n; ; qn; ;n; A
...
2
3
3
3
2
2
3
2
:::
2
3
0
2
2
2
qn; ;n;
1
2
1
3
1
2
1
0
Если qn; ;n; qn; ;n; 6= 0, то, рассматривая сужение оператора Bi () аналогично тому, как
это делалось в случае 1, получаем, что и в случае a i = 0 существуeт системa fxkj g векторов
пространства S , удовлетворяющая соотношениям (3). Если qn; ;n; = 0, повторяем рассуждения
случая 2 в пространстве размерности, меньшей на 1.
1
2
2
1
( )
1
2
70
1
Завершение доказательства одинаково для всех 1 i n. Пусть определены векторы fxkj g,
s
j = 1; s, k = 1; pj , P pj = i . В базисе fei gni пространства S пусть xkj = (xkj ; xkj ; : : : ; xkj n; ).
j
Тогда решениями системы Ii ( ) = 0 являются i векторов
kj = (xkj ; xkj ; : : : ; xkj n; ; xkj; ; xkj; ; : : : ; xkj; n; ; : : : ; x j ; x j ; : : : ; x j n; ; 0; 0; : : : ; 0);
линейная независимость которых следует из линейной независимости векторов xkj . Таким образом, размерность ядра матрицы Ii ( ) не меньше i .
Лемма 3. Пусть задана матрица C размера (k + 1)m km вида
( )
( )
( )
=2
=1
( )
1
( )
2
1
0
( )
( )
( )
1
( )
2
( )
1
( )
1 1
( )
1 2
1
1
( )
( )
( )
11
12
1
1
( )
0
0
1
D Fk
BB D Fk 0 CC
B
CC ;
C=B
BB
C
@ 0
A
D Fk C
..
.
D
D | произвольная матрица размера (k +1) k, Fk | матрица, получаемая приписыванием
Ek первой строки, все элементы которой равны 0. Пусть матрицы Cj , j = 1; k + 1,
получаются из матрицы C отбрасыванием m строк с номерами соответственно j + l (k + 1),
l = 0; m ; 1. Тогда, если ранги всех матриц Cj , j = 1; k + 1, не превышают r, то и ранг C не
превышает r .
Доказательство. Пронумеруем строки матрицы C снизу вверх. Системы строк с номерами
l
от (p ; 1)(k + 1) + 1 до p(k + 1), p = 1; m, обозначим соответственно через Qp . Пусть Rl = p[ Qp .
Ранг любой системы Rl , 1 l m, равен рангу системы из lk левых столбцов матрицы C . Значит, rank Rl ; rank Rl k, 1 l m ; 1. Будем называть соответствующими строки матрицы C ,
номера которых отличаются на число, кратное (k +1). Выберем линейно независимую подсистему T системы Q такую, чтобы ее ранг был равен рангу Q . Поскольку rank Q = rank R k,
то система T состоит не более чем из k векторов. Дополним ее соответствующими строками
из Q . Линейная независимость при этом, очевидно, сохранится. Дополним полученную систему, сохраняя линейную независимость, если нужно, еще несколькими строками из системы Q
так, чтобы ранг новой системы был равен рангу R , и назовем полученную теперь систему T .
Она включает не более k строк системы Q , поскольку rank T ; rank T = rank R ; rank R k.
Если m 3, то дополним систему T строками системы Q , соответствующими входящим в T
строкам системы Q , и затем, если нужно, еще несколькими строками из Q так, чтобы ранг
полученной системы был равен рангу R . Полученную систему назовем T . Она включает не
более k строк из системы Q , и некоторые из соответствующих им строк из Q и Q . Если
m 4, продолжим процесс построения систем Tl аналогичным образом, пока не получим такую
подсистему Tm системы Rm всех строк матрицы C , что rank Tm = rank Rm = rank C и Tm является подсистемой системы всех строк некоторой матрицы Cj , 1 j k + 1. Лемма следует из
существования такой системы Tm .
Лемма 4. Существуют серии относительно собственного значения преобразования A ,
принадлежащие гиперплоскости Sa , состоящие из линейно независимых векторов, число которых не меньше размерности ядра матрицы I( ).
Доказательство. Обозначим d = dim ker I( ). Выберем произвольную систему fj gdj линейно независимых столбцов, являющихся решениями системы I( ) = 0. Рассмотрим систему
(n ; 1)-мерных столбцов fxj gdj , компоненты которых равны компонентам с теми же номерами соответствующих столбцов системы fj gdj . Заметим, что каждый из столбцов xj , j = 1; d,
является либо собственным, либо присоединенным столбцом матрицы A . Докажем, что столбцы
где
к матрице
=1
+1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
3
2
2
3
3
3
3
2
1
0
1
0
0
=1
0
=1
=1
1
71
системы fxj gdj линейно независимы. Действительно, если некоторая нетривиальная линейная
комбинация столбцов этой системы равна нулю, то равны нулю и линейные комбинации с теми
же коэффициентами соответствующих столбцов всех систем f(A ; E )p xj gdj , 1 p n ; 2.
Поскольку компоненты столбцов этих систем равны компонентам соответствующих столбцов
системы fj gdj с номерами, большими на p(n ; 1), то равна нулю и линейная комбинация с
теми же коэффициентами столбцов системы fj gdj , что невозможно по определению этой системы. Итак, столбцы xj , j = 1; d, линейно независимы. По виду матрицы I( ) заметим, что все
векторы, задаваемые в естественном базисе пространства S столбцами системы fxj gdj , являются собственными и присоединенными векторами оператора A , отвечающими собственному
значению , при этом они включаются в серии, принадлежащие гиперплоскости Sa . Поэтому
линейная оболочка Sd серий с собственным значением относительно преобразования A , принадлежащих гиперплоскости Sa , имеет не меньше чем d измерений. Поскольку линейная оболочка серий с каждым собственным значением относительно некоторого линейного преобразования
инвариантно относительно этого линейного преобразования ([2], с. 366{374), то пространство Sd
имеет точно одно собственное значение , кратность которого не меньше d. Значит, согласно
лемме 1 существуют серии относительно собственного значения сужения A преобразования
A на пространство Sd, состоящие из линейно независимых векторов, число которых не меньше
d, откуда следует лемма, поскольку A | сужение преобразования A и Sd | подпространство
пространства Sa .
Продолжим доказательство достаточности в теореме 2. Пусть имеют место неравенства
i , i = 1; n. Согласно лемме 2 dim ker Ii ( ) i, 1 i n, значит, rank Ii ( ) n ; i n ; . Применяя лемму 3 к матрице I( ) и ее подматрицам Ii ( ), i = 1; n, получаем rank I( ) n ; , т. е. dim ker I( ) . Значит, согласно лемме 4 серии с собственным
значением относительно преобразования A , принадлежащие гиперплоскости Sa , включают
не менее векторов. Достаточность доказана, тем самым доказана теорема 2, а с ней и теорема
1.
Из теоремы 1 очевидным образом следует критерий устойчивости первой компоненты системы (1).
Следствие. Первая компонента x (t) решения системы (1) асимптотически устойчива тогда
и только тогда, когда все корни многочлена ()=() имеют отрицательные вещественные
части.
=1
1
0
1
=1
=1
=1
0
=1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
Литература
1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. { 4-е изд. { Ижевск, 2000. { 368 с.
2. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. { 6-е изд. { М., Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. { 400 с.
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. { М.: Наука, 1974. { 296 с.
Пермский государственный
Поступила
22.03.2002
технический университет
72
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
151 Кб
Теги
автономное, уравнения, дифференциальной, система, часть, устойчивость, критерии, переменных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа