close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Критерий устойчивости по части переменных линейной системы дифференциально-разностных уравнений.

код для вставкиСкачать
Известия Института математики и информатики. Иевск. 2002. Є2(25)
УДК 517.929
К. М. Чудинов
ghudinovapermoil.ru
КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ?О ЧАСТИ
?ЕРЕМЕННЫХ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Ключевые слова:
функционально-дифференциальные
уравнения,
устойчивость по части переменных.
Abstrat. The asymptotial partial stability problem for a solution of
a dierential-dierene equation with a onstant matrix is onsidered. It
is redued to the analysis of situation of zeros of a polynomial dened by
the system matrix. This polynomial an be onstruted eetively.
Рассмотрим задачу Коши для дифференциально-разностного
уравнения
8
< x_ (t) = Ax(t !); t 2 R+ ;
() = 0; 2 [ !; 0);
(1)
: xx(0)
= x0 ;
где A | комплексная n n -матрица, x0 2 Cn и ! > 0 . В
соответствии с [1? решением задачи (1) будем называть векторфункцию x с абсолютно непрерывными на кадом конечном
отрезке [0; b? компонентами xi : R+ ! C , удовлетворяющую (1)
почти всюду.
Определим функциональную последовательность
x(m! + ) = xm ( ); 2 [0; ! ?; m = 0; 1; 2; : : :
и ее производящую функцию
( )=
F z; 1
X
=0
m
103
()
xm z
m
:
(2)
Из (1) получаем, что F(z; ) является решением следующей
краевой задачи F (z; ) = z AF(z; );
F(z; 0) = x0 :
Компонента xi (t) решения x(t) системы (1) тогда и только
тогда асимптотически устойчива при любом x0 , когда при всех
2 [0; ! ? радиус сходимости i -й компоненты ряда (2) больше 1.
?оследнее условие равносильно следующему: если 0 | корень
характеристического многочлена () матрицы A , а уравнение
z exp(!0 z ) = 1
имеет нули в круге jzj 6 1 , то у собственных и присоединенных
векторов [2?, соответствующих 0 , i -я компонента равна 0.
?усть I = fi1; i2 ; : : : ; ik g f1; 2; : : : ; ng . Обозначим через
dI () наибольший общий делитель всех многочленов, являющихся определителями (n k) -матриц-функций от , получаемых
отбрасыванием от A E всех столбцов с номерами из I и некоторых k строк. ?ри этом многочлен dI () является делителем
многочлена ╞() = ()=dI () .
Т е о р е м а 1.
0
()
I
0
╞ ()
В работе [3? установлено, что уравнение
z exp(pz ) = 1
не имеет корней в круге jzj 6 1 тогда и только тогда, когда
p 2 D = fz : jz j < j arg z j =2g :
С учетом этого результата из теоремы 1 получаем следующий
критерий.
Все соответствующие корню
гочлена
мно-
собственные и присоединенные векторы тогда и
только тогда имеют равными 0 все компоненты с номерами из
мноества
, когда
не является корнем многочлена
104
.
Т е о р е м а 2.
Чтобы система
чески устойчива по компонентам
достаточно, чтобы для всех корней
нялись условия
j !
2D
xi ,
j
(1)
где
i
была асимптоти-
2I
, необходимо и
многочлена
()
╞ выпол-
.
В случае нулевого запаздывания из теоремы 1 следует
Т е о р е м а 3.
x
_ (t) = Ax(t); t 2 R+ ;
x(0) = x0
Чтобы система
была
где
i
асимптотически
2
I,
╞ устойчива
по
компонентам
xi ,
необходимо и достаточно, чтобы все корни много-
()
В отличие от известных критериев устойчивости по части переменных (см., например, [4, x1.1, x6.2?), теоремы 2 и 3 не требуют построения вспомогательной системы, а сразу сводят задачу
к исследованию корней многочлена ╞() .
С л е д с т в и е 1.
J I
dJ ()
()
(
dJ () = 1)
(1)
члена
имели отрицательные вещественные части.
Если найдется такое мноество
, что кратности всех корней многочлена
соответ-
ственно меньше кратностей тех е корней многочлена
в частности,
, то система
асимптотически
устойчива или неустойчива по всем переменным
xj ; j
2J
то-
гда и только тогда, когда она асимптотически соответственно
устойчива или неустойчива по всем переменным.
? р и м е р 1. ?усть
0
0; 5 1
1 1
A=
1; 5 0; 5 1; 5 A :
1; 5 1
0
Имеем
() = 2( + 1; 5)( + 0; 5)( 1):
105
?ри I = f1g
( ) = 1 ; ╞() = 2( + 1; 5)( + 0; 5):
В силу теоремы 2 первая компонента решения задачи (1) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда
0 < ! < =3:
Используя следствие, нетрудно установить, что вторая и третья
компоненты решения неустойчивы ни при каком ! . Аналогично,
в силу теоремы 3, первая компонента решение задачи Коши для
системы обыкновенных дифференциальных уравнений с матрицей A асимптотически устойчива, а вторая и третья компоненты | неустойчивы.
dI Список литературы
1. Азбелев Н. В., Максимов В. ?., Рахматуллина Л. Ф. Введение в
теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука,
1991. 280 с.
2. Ильин В. А., ?озняк Э. Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1974. 296 с.
3. Рехлицкий З. И. Об устойчивости решений некоторых линейных
дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве // Докл. АН СССР. 1956. Т. 111, Є 1. С. 29{32.
4. Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению
к части переменных. М.: Наука, 1991. 288 с.
106
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
140 Кб
Теги
уравнения, дифференциальной, линейной, разностные, система, часть, устойчивость, критерии, переменных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа