close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О константах Рисса для систем целочисленных сдвигов функции Гаусса.

код для вставкиСкачать
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
39
Серия: Математика. Физика. 2011. №5(100). Вып. 22
УДК 517.518.32
О КОНСТАНТАХ РИССА
ДЛЯ СИСТЕМ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ СДВИГОВ ФУНКЦИИ ГАУССА
М.В. Журавлев
Воронежский государственный университет,
Воронеж, Россия, e-mail: soracul@bk.ru
Аннотация. В работе показано, что отношение верхней и нижней констант Рисса для
системы целочисленных сдвигов функции Гаусса быстро растёт при стремлении дисперсии к
бесконечности. При переходе от функции Гаусса к интерполяционной функции Лагранжа отношение констант Рисса стремится к двум, хотя система целочисленных сдвигов этой функции
в этом пределе становится ортонормированной.
Ключевые слова: константы Рисса, функция Лагранжа, функция Гаусса, тета-функция
Якоби.
1. Обозначения и определения
Пусть даны функции ϕk (x) ∈ L2 (R), k ∈ Z.
Определение 1. Функции ϕk (x) образуют систему Рисса с константами A и B, если для
любого c ∈ l2 выполнена двусторонняя оценка [1, 2]
Akck2l2 ≤ k
∞
X
k=−∞
ck ϕk (x)k2L2 ≤ Bkck2l2 ,
(1)
где нормы задаются обычным образом:
kck2l2
∞
X
=
k=−∞
2
|ck | ,
kf k2L2
=
Z
∞
−∞
|f (x)|2 dx .
Величина A в двойном неравенстве (1) называется нижней, а B – верхней константами Рисса.
Если система функций ортонормирована, то A и B равны 1.
Пусть ϕk (x) представляют собой целочисленные сдвиги одной функции ϕ(x), т.е.
ϕk (x) = ϕ(x − k),
k ∈ Z.
Определение 2. Функция g(x), являющаяся линейной комбинацией ϕk (x), называется
функцией Лагранжа (узловой функцией), если для нее выполняются равенства
g(x) =
∞
X
k=−∞
dk ϕ(x − k), g(m) = δ0m ,
m ∈ Z.
(2)
40
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №5(100). Вып. 22
В дальнейшем нам понадобится тета-функция Якоби
Θ3 (t, q) =
∞
X
2
q k e2ikt ,
|q| < 1 ,
k=−∞
и связанное с ней преобразование Пуассона [3, 4]:
∞
X
1
m2
exp(−a(x + πm) ) = √
exp −
e2imx .
πa
a
m=−∞
m=−∞
∞
X
2
(3)
2. Формулировка основных результатов
В случае целочисленных сдвигов функции Гаусса константы Рисса могут быть найдены
аналитически с помощью тета-функции Якоби.
Теорема 1. Для системы функций ϕk (x) = exp(−(x − k)2 /2σ 2 ) константы Рисса вычисляются по формулам:
√
√
1
A = σ π Θ3 (π/2; q1 ) ,
B = σ π Θ3 (0; q1 ) ,
q1 = exp − 2 .
(4)
4σ
Заметим, что константы Рисса зависят от параметра σ, причем нижняя константа очень
быстро убывает с ростом σ. Например, при σ = 2 она имеет порядок 10−16 . Если же перейти
от функции Гаусса к функции Лагранжа g(x), то справедливо следующее утверждение:
Теорема 2. Для системы функций gk (x) = g(x−k) константы Рисса задаются формулами:
A = min P (ξ) ,
B = max P (ξ) ,
0≤ξ≤2π
0≤ξ≤2π
(5)
где 2π-периодическая функция P (ξ) задается формулой
P (ξ) = "
∞
X
exp(−σ 2 (ξ + 2πm)2 )
m=−∞
∞
X
k=−∞
σ2
exp − (ξ + 2πk)2
2
#2 .
Известно, что при σ → +∞ система функций gk (x) переходит в ортонормированную систему sin c(π(x − k)) [5]. Но естественное предположение о стремлении констант Рисса к общему
пределу оказывается неверным.
Теорема 3. Пусть величины A = A(σ) и B = B(σ) заданы формулами (5). Тогда
В таблице 1 приведены значения констант Рисса при разных σ. В случае функции Лагранжа значения A и B при σ ≥ 2 фактически стабилизируются на пределе точности вычислений
(например, в случае использования переменных типа extended в языке Delphi, одинаковыми
оказываются первые 17 значащих цифр). Сами расчеты проводились с помощью преобразования Пуассона (3).
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №5(100). Вып. 22
41
Таблица 1
Значения констант Рисса
σ
0.2
0.4
0.6
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Функции Гаусса
A
B
B/A
0.353
0.356
1.01
0.415
1.009
2.43
0.130
2.262
17.46
6.450 · 10−4
6.283
9.67 · 103
−16
3.597 · 10
25.132 6.98 · 1016
2.996 · 10−37 56.548 1.88 · 1038
5.276 · 10−67 100.53 1.91 · 1068
2.184 · 10−105 157.08 7.19 · 10106
Функции Лагранжа
A
B
B/A
0.353 0.356 1.008
0.498 0.852 1.711
0.499 0.997 1.998
0.499 0.999
2
0.500 1.000
2
0.500 1.000
2
0.500 1.000
2
0.500 1.000
2
Аналогичные численные результаты для коэффициентов функции Лагранжа, построенной
с помощью функции Гаусса, были описаны ранее в работе [6].
3. Доказательства теорем
Для доказательства теоремы 1 применим преобразование Фурье, задаваемое формулой
Z ∞
1
b
f (ξ) = √
f (x)e−ixξ dx ,
2π −∞
к линейной комбинации функций
∞
X
k=−∞
x2
ϕ(x) = exp − 2
2σ
ck ϕ(x − k) ,
.
В силу равенства Парсеваля kfbk2L2 = kf k2L2 и соотношения ϕ(ξ)
b
= σ exp(−σ 2 ξ 2 /2) имеем:
k
∞
X
k=−∞
ck ϕ(x − k)k2L2 = k
∞
X
k=−∞
= kσ exp(−σ 2 ξ 2 /2)
=σ
2
Z∞
−∞
ck σ exp(−σ 2 ξ 2 /2)e−ikξ k2L2 =
∞
X
k=−∞
2 2
exp(−σ ξ ) |
ck e−ikξ k2L2 =
∞
X
k=−∞
ck e−ikξ |2 dξ .
Разбив интеграл по всей оси на сумму интегралов по отрезкам [2πm, 2πm + 1], m ∈ Z, и сделав
замену ξ = 2πm + t, получим, что
k
∞
X
k=−∞
ck ϕ(x −
k)k2L2
=σ
2
∞
X
m=−∞
2π(m+1)
Z
2πm
exp(−σ 2 ξ 2 ) |
∞
X
k=−∞
ck e−ikξ |2 dξ =
42
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
=σ
2
Серия: Математика. Физика. 2011. №5(100). Вып. 22
Z2π X
∞
2
0 m=−∞
2
exp(−σ (t + 2πm) ) |
∞
X
k=−∞
ck e−ikt |2 dt .
Возможность перестановки порядка суммирования и интегрирования в этой и последующих
выкладках обусловлена быстрой сходимостью рядов с функциями Гаусса. Применив преобразование Пуассона (3), где a = 4σ 2 и x = 2t , получим, что
∞
X
exp(−σ 2 (t + 2πm)2 ) =
m=−∞
∞
X
1
m2
√
exp − 2 eimt .
4σ
2σ π m=−∞
Таким образом:
k
∞
X
k=−∞
ck ϕ(x −
k)k2L2
=σ
2
Z2π
0
σ
= √
2 π
∞
∞
X
X
1
m2
imt
√
exp − 2 e
|
ck e−ikt |2 dt =
2σ π m=−∞
4σ
Z2π
k=−∞
Θ3
0
t
; q1
2
|
∞
X
k=−∞
ck e−ikt |2 dt ,
где параметр тета-функции q1 = exp −(4σ 2 )−1 . Своего максимума тета-функция достигает
при t = 0, а минимума – при t = π. С учетом того, что
Z2π X
∞
|
ck e−ikt |2 dt = 2πkck2l2 ,
0
получим оценки
k
k
∞
X
k=−∞
∞
X
k=−∞
(6)
k=−∞
√
ck ϕ(x − k)k2L2 ≤ σ π Θ3 (0; q1 ) kck2l2 ,
π √
ck ϕ(x − k)k2L2 ≥ σ π Θ3
; q1 kck2l2 .
2
Отсюда следует справедливость формул (4). Теорема доказана.
Перейдем к доказательству теоремы 2. Выпишем образ Фурье функции Лагранжа (2)
1
gb(ξ) = √
2π
Z∞ X
∞
−∞ k=−∞
1
=√
2π
gk ϕ(x − k)e−ixξ dx =
Z∞ X
∞
−∞ k=−∞
(x − k)2
gk exp −
e−ixξ dx =
2σ 2
σ2ξ 2
= σ exp −
2
X
∞
k=−∞
gk e−ikξ .
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №5(100). Вып. 22
43
Снова воспользуемся равенством Парсеваля
k
∞
X
ck gk (x)k2L2
k=−∞
=k
∞
X
k=−∞
σ2 ξ 2
= kσ exp −
2
=σ
2
Z∞
−∞
σ2ξ 2
ck σ exp −
2
X
∞
−ikξ
ck e
k=−∞
exp(−σ 2 ξ 2 ) |
X
∞
l=−∞
∞
X
l=−∞
∞
X
k=−∞
gl e−ilξ k2L2 =
∞
X
ck e−ikξ
gl e−ilξ e−ikξ k2L2 =
l=−∞
gl e−ilξ |2 dξ .
Разбив, как и при доказательстве теоремы 1, интеграл на сумму интегралов по отрезкам
[2πm, 2πm + 1], сделав замену ξ = 2πm + t и применив преобразование Пуассона, получим, что
k
∞
X
∞
X
ck gk (x)k2L2 = σ 2
m=−∞
k=−∞
=σ
2
Z2π X
∞
0 m=−∞
1
= σ2 √
2σ π
2π(m+1)
Z
2πm
exp(−σ 2 (t + 2πm)2 ) |
Z2π X
∞
m2
exp − 2
4σ
m=−∞
0
∞
X
exp(−σ 2 ξ 2 ) |
∞
X
k=−∞
ck e−ikt
k=−∞
imt
e
|
ck e−ikξ
l=−∞
∞
X
l=−∞
∞
X
−ikt
ck e
k=−∞
∞
X
gl e−ilξ |2 dξ =
gl e−ilt |2 dt =
∞
X
l=−∞
gl e−ilt |2 dt .
Введем вспомогательные ряды Фурье (в литературе используются также термины символ
или маска [1, с. 23], [2, с. 10]):
∞
X
G(t) =
gk e−ikt ,
k=−∞
Φ(t) =
∞
X
k=−∞
k2
exp − 2
2σ
−ikt
e
= Θ3
t
; q2
2
1
q2 = exp − 2 ,
2σ
,
для которых равенство (2) может быть записано в следующем виде [2, с. 168], [7, c. 152]:
Φ(t)G(t) = 1 .
Выражая G(t) через Φ(t), получим:
k
∞
X
ck gk (x)k2L2
k=−∞
σ
= √
2 π
0
σ
= √
2 π
Z2π X
∞
0
Z2π X
∞
m2
exp − 2
4σ
m=−∞
m2
exp − 2
4σ
m=−∞
eimt |
imt
e
∞
X
k=−∞
|
∞
X
k=−∞
ck e−ikt |2 |G(t)|2 dt =
ck e−ikt |2 |Φ(t)|−2 dt =
44
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №5(100). Вып. 22
m2
exp − 2 eimt
Z2π
4σ
σ
m=−∞
= √
∞
2
X
2 π
2 k
0 exp − 2 e−ikt 2σ
∞
X
k=−∞
2
∞
X
ck e−ikt dt .
k=−∞
Снова используем преобразование Пуассона (3):
∞
X
k
√
σ
= √ (2σ π )
2 π
Z2π
0
k=−∞
∞
X
exp(−σ 2 (ξ + 2πm)2 )
m=−∞
2πσ
∞
X
2
k=−∞
1
=
2π
Z2π
0
∞
X
σ 2 (ξ + 2πk)2
exp −
2
exp(−σ 2 (ξ + 2πm)2 )
m=−∞
∞
X
k=−∞
Если ввести обозначение
ck gk (x)k2L2 =
σ2
exp − (ξ + 2πk)2
2
P (ξ) =
∞
X
!2
!2
k=−∞
2
∞
X
ck e−ikξ dξ .
k=−∞
exp(−σ 2 (ξ + 2πm)2 )
m=−∞
∞
X
∞
2
X
−ikξ c
e
dξ =
k
2
2
!2 ,
exp(−σ (ξ + 2πk) )/2
k=−∞
то с учетом (6), получим следующую двустороннюю оценку
min P (ξ) kck2l2 ≤ k
0≤ ξ≤ 2π
∞
X
k=−∞
ck gk (x)k2L2 ≤ max P (ξ) kck2l2 ,
0≤ ξ≤ 2π
что завершает доказательство теоремы 2.
Для доказательства теоремы 3 обозначим
2
σ
2
exp − (ξ + 2πk) = αk .
2
Тогда
P (ξ) =
∞
X
(αm )2
m=−∞
∞
X
k=−∞
αk
!2 .
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №5(100). Вып. 22
45
Оценка сверху P (ξ) < 1 следует из положительности αk и очевидного неравенства
∞
X
αm
m=−∞
!2
>
∞
X
(αk )2 .
k=−∞
Покажем теперь, что lim P (0) = 1. Для этого достаточно заметить, что α0 ≫ αk при всех
σ→∞
k 6= 0. Следовательно, верхняя константа Рисса стремится к единице.
Так как функция P (ξ) – чётная, 2π-периодическая и монотонно убывает по ξ на отрезке
[0, π], то
min P (ξ) = P (π) .
[0, 2π]
В этом случае α0 = α−1 , а все другие αk ≪ α0 . Поэтому
P (π) ≈
α20 + α2−1
2α20
1
=
= ,
2
2
(α0 + α−1 )
2
4α0
что дает предельное значение нижней константы Рисса. Таким образом, теорема 3 доказана.
Литература
1. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков / И.Я. Новиков. – М.:
Физматлит, 2005. – 616 c.
2. Чуи Ч. Введение в вейвлеты / Ч. Чуи. – М.: Мир, 2001. – 412 c.
3. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Часть вторая: трансцендентные функции / Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон. – М.: ГИФМЛ, 1963. – 516 c.
4. Мамфорд Д. Лекции о тета-функциях / Д. Мамфорд. – М.: Мир, 1988. – 448 c.
5. Shclumprecht Th., Sivakumar N. On the sapling and recovery of bandlimited functions via
scattered translates of the Gaussian // arXiv:0803.4344v1 [math.CA] 30 Mar 2008. – 29 p.
6. Журавлев М.В., Минин Л.А., Ситник С.М. О вычислительных особенностях интерполяции с помощью целочисленных сдвигов гауссовых функций // Научные ведомости
Белгородского государственного университета. – 2009. – 13(68); Выпуск 17/2. – С.89-99.
7. Maz’ya V., Schmidt G. Approximate approximations / AMS Mathematical Surveys and
Monographs. vol. 141 / V. Maz’ya, G. Schmidt. – 2007. – 350 p.
46
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №5(100). Вып. 22
ON RIESZ CONSTANTS FOR SYSTEMS OF INTEGER SHIFTS
OF GAUSS FUNCTIONS
M.V. Zhuravlev
Belgorod State University,
Studencheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: vnukov@bsu.edu.ru
Voronezh State University,
Voronezh, Russsia, e-mail: soracul@bk.ru
Abstract. It is proved that ratio of upper and lower Riesz constants for а system of integer
shifts of Gauss function increases fast, if dispersion tends to infinity. For Lagrange function the
limit of ratio of Riesz constants is equal to two, although a system of integer shifts becomes almost
orthogonal.
Key words: Riesz constants, Lagrange function, Gaussian function, Jacobi Theta-function.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
181 Кб
Теги
целочисленное, сдвигов, система, функции, рисса, константин, гаусса
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа