close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Приведение к каноническому виду пары эрмитовых форм.

код для вставкиСкачать
1998
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 10 (437)
УДК 514.163
Д.А. КАЛИНИН
ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
ПАРЫ ЭРМИТОВЫХ ФОРМ
1
Введение
Канонические типы пары билинейных форм в вещественном линейном пространстве были
найдены в [1]. С их помощью в [2] были позднее определены формы проективно-эквивалентных
римановых связностей.
В [3] с помощью тех же канонических типов билинейных форм были найдены H -проективноэквивалентные римановы связности четырехмерных келеровых многообразий. Однако, даже в
четырехмерном случае использование вещественных канонических типов приводит к большим
вычислительным трудностям. Это указывает на необходимость использования канонических типов, которые учитывали бы комплексную структуру касательного пространства. Определению
указанных типов посвящена настоящая статья.
Необходимо заметить, что найденные нами канонические типы пары эрмитовых форм хорошо согласуются по своему виду с блоками матриц, возникающих в случае пар симметричных
форм и симметричной и антисимметричной форм, исследованных в [4], [5]. Указанные статьи
посвящены изучению B -пространств и S -пространств2 , частным случаем которых являются келеровы многообразия. Имеющаяся аналогия видов билинейных форм позволяет предположить,
что полученные нами результаты могут быть обобщены на более широкий класс пространств с
алгебраическими структурами.
С помощью результатов, полученных в данной работе, автором определены H -проективно
эквивалентные римановы связности на келеровом многообразии произвольной размерности и
сигнатуры [6].
Работа состоит из трех разделов. В первом разделе излагаются необходимые сведения о
комплексных и эрмитовых линейных пространствах, а также вводится понятие приведенной
характеристики Сегре эрмитовой формы. Во втором разделе определяются канонические типы пары эрмитовых форм a, g в случае вещественных корней характеристического уравнения
det(a ; g). В третьем разделе определяются канонические типы в случае комплексных корней
и формулируется основная теорема.
Автор благодарен рецензенту за ценные библиографические сведения и другие полезные
замечания.
1. Приведенная характеристика Сегре
Пусть V есть 2n-мерное вещественное линейное пространство с определенной на нем комплексной структурой J и пусть g, a | два эрмитовых скалярных произведения в V .
1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант Є 96-01-01031).
2 Риманово многообразие (M; g ) называется
ковариантно-постоянное тензорное поле
B -пространством
(S -пространством), если на
i
k
j , для которого тензор Fi gkj
F
46
M
задано
симметричен (антисимметричен).
Известно [7], [8], что если одна из этих форм,
напримерn g, положительно определена, то
n P
формы приводятся к каноническому виду g = , a = P .
=1
=1
Мы получим решение этой задачи в общем случае, т. е. найдем канонический вид пары эрмитовых форм в случае произвольной сигнатуры форм g, a. При этом будет использован подход,
разработанный в [1] для приведения пары билинейных форм к каноническому виду.
Пусть g, a | пара эрмитовых форм в V . Эти формы могут быть однозначно продолжены до симметричных билинейных форм в комплексификации V c V R C пространства V ,
удовлетворяющих условиям1
1) g(Z; W ) = g(Z; W ), a(Z; W ) = a(Z; W ) для всех Z; W 2 V c,
2) g(Z; W ) = 0, a(Z; W ) = 0 для всех Z; W 2 V (1;0).
Эти формы в базисе Z, Z, = 1; : : : ; n, адаптированном к комплексной структуре J , имеют
следующие не равные нулю компоненты g = g = g , a = a = a , ; = 1; : : : ; n.
Поскольку матрица (g ) невырождена, можно рассмотреть линейные операторы Ka :
V (1;0) ! V (1;0), Ka : V (0;1) ! V (0;1), определенные равенствами a(X; Y ) = g(Ka X; Y ), a(W; Z ) =
g(Ka W; Z ), где X; W 2 V (1;0) и Y; Z 2 V (0;1) соответственно. Матричные элементы операторов
Ka, K a в базисе Z, Z , = 1; : : : ; n, имеют вид K = g a, K = g a. Очевидно,
(1)
K = K :
Пусть оператор Ka имеет k различных собственных значений 1 ; : : : ; k , i 6= j (i 6= j ), являющихся корнями характеристического уравнения det(Ka ; E ) = 0, и элементарные делители
-матрицы (Ka ; E ) определены характеристикой Сегре [8]
= [(m11 : : : m1s1 ) : : : (mk1 : : : mksk )];
(2)
так что корень A имеет кратность rA = P mAs. Известно, что собственные значения и харакs=1
теристика Сегре линейного оператора не зависят от выбора базиса и определяют его алгебраическую структуру.
Характеристику Сегре линейного оператора Ka, соответствующего эрмитовому скалярному произведению a, назовем приведенной характеристикой Сегре билинейной формы a (относительно g).
Оператор K a : V (0;1) ! V (0;1) в силу (1) имеет ту же характеристику Сегре (2) и собственные значения 1; : : : ; k . Отсюда следует, что характеристика Сегре линейного оператора Ka,
определенного равенством a(X; Y ) = g(Ka X; Y ), X; Y 2 V , имеет вид
= [(m11 m11 : : : m1s1 m1s1 ) : : : (mk11 mk11 : : : mksk11 mksk11 )(mk11 +1 : : : mksk11+1+1 )
(mk11 +1 : : : mksk11+1+1 ) : : : (mk11 +k2 : : : mksk11++kk22 )(mk11 +k2 : : : mksk11++kk22 )];
где собственные значения A, A = 1; : : : ; k1 , вещественны, а A, A = k1 + 1; : : : ; k1 + k2 , комплексны и черта над числами mAs означает, что они соответствуют комплексно сопряженному
собственному значению A. Характеристика совпадает с характеристикой билинейной формы
a (см., напр., [2]).
A;1
s;1
Положим nAs = P rB + P mAp. Кроме того, множество индексов I f1; : : : ; ng разобьем на
sA
подмножества
p=1
B =1
A
Is = fp 2 I j p = nAs + 1; : : : ; nAs + mAs g
1 Линейное пространство
V
c
ющих собственным значениям
sA
и обозначим IA S IsA.
распадается в прямую сумму подпространств
i
оператора
J.
47
s=1
V
(0;1) и
V
(1;0) , соответству-
Производя невырожденное линейное преобразование базиса Z 0 = C Z , det(C ) 6= 0 в V (1;0),
можно привести матрицу (K ) к жорданову виду [7], [8]
0K 1
1
1
BB . . .
CC
BB
CC
Ks11
BB
CC
.
B
CC ;
..
(K ) = B
(3)
BB
C
k
CC
K1
BB
CA
.
..
@
Kskk
где KsA, A = 1; : : : ; k, s = 1; : : : ; sA, есть mAs-мерные матрицы вида
0
1
A 1
BB
CC
BB A . . .
C
... ... C
(4)
BB
CC :
B@
A
A 1 C
A
В базисе Z 0, = 1; : : : ; n, пространства V (0;1) матрица оператора K a определяется формулами (3), (4), в которых A следует заменить на A. Заметим, что базис Z 0, Z 0, = 1; : : : ; n,
адаптирован комплексной структуре J в V . В дальнейшем будем считать, что матрица (K)
приведена к виду (3), и штрихи в обозначении базиса будем опускать.
Действие операторов Ka, Ka на векторы базиса Z , Z определяется формулами
Ka (Z ) = Z + Z;1 ;
(5)
Ka (Z) = Z + Z;1 ;
где = A , если 2 IA; = 0, если = nAs +1 для каких-либо A = 1; : : : ; k1 + k2, s = 1; : : : ; sA;
и = 1 в остальных случаях. Отсюда получим K = + ;1 , K = + ;1,
следовательно, a = g + g;1 , a = g + g;1.
В силу симметричности формы a найдем
( ; )g + g;1 ; g;1 = 0:
(6)
Полагая = nAs +1, = nBp +1, получим (A ; B )gnAs +1 nBp +1 = 0. Отсюда с помощью (6) выведем
g = 0 при 2 IsA, 2 IpB , A 6= B . Следовательно,
g = 0 при 2 IA; 2 IB ; A 6= B :
(7)
В силу невырожденности матрицы G = (g ) из этой формулы следует, что в приведенной
характеристике (2) билинейной формы a каждому числу mAs, соответствующему комплексному
собственному значению A 6= A, сопоставляется такое же число, соответствующее комплексно
сопряженному собственному значению A. Доказана
Лемма 1. Пусть g , a | два эрмитовых скалярных произведения в вещественном линейном пространстве V с комплексной структурой J . Тогда приведенная характеристика Сегре
билинейной формы a имеет вид
= [(m11 : : : m1s1 ) : : : (mk11 : : : mksk11 )(mk11 +1 : : : mksk11+1+1 )(mk11 +1 : : : mksk11+1+1 ) : : :
(mk11 +k2 : : : mksk11++kk22 )(mk11 +k2 : : : mksk11++kk22 )]; (8)
48
m A = 1; : : : ; k
mAs, A = k1 +1; : : : ; k1 + k2 ,
det(a ; g) = 0.
Как и в случае характериcтики (2), произведем разбиение множества индексов I = f1; : : : ; ng
k1
A;1
s;1
A;1
на подмножества. Положим nAs = P rB + P mAp при A = 1; : : : ; k1 и nAs = P rB + 2 P rB +
где числа A
1 , соответствуют вещественным, а числа
s,
| комплексным корням характеристического уравнения
s;1
2 P mAp
p=1
p=1
B =1
при A = k1 + 1; : : : ; k1 + k2. Тогда IsA = fp 2 I j p =
B =1
nAs + 1; : : : ; nAs
B =k1 +1
+ mAsg при A =
1; : : : ; k1 + k2 и I Ass = fp 2 I j ps =nAs + mAs; : : : ; nAs + 2mAsg при A = k1 + 1; : : : ; k1 + k2 , кроме того,
A
A
обозначим IA S IsA, I A S I As.
s=1
s=1
Из (7) следует
Лемма 2. Пусть g , a | два эрмитовых скалярных произведения в вещественном линейном
пространстве V c комплексной структурой J и билинейная форма a имеет характеристику
Сегре (8), причем числа mA
s , A = 1; : : : ; k1 , s = 1; : : : ; sA , соответствуют вещественным, а
числа mA
,
A
=
k
+
1
;
:
:
:
;
k
1
1 + k2 , s = 1; : : : ; sA , | комплексным корням характеристического
s
уравнения det(a ; g ) = 0. Пусть fZ ; Z g, = 1; : : : ; n, | какой-либо базис в V , адаптированный к комплексной структуре J . Тогда матрица G = (g ) имеет блочно диагональный
вид
0G
BB 1
BB
G=B
BB
BB
@
..
.
Gk1
Gk1 +1
..
.
1
CC
CC
CC :
CC
CA
(9)
Gk1+k2
Перейдем к определению структуры матриц GA. Рассмотрим по отдельности случай вещественных и комплексных A.
2. Канонические типы пары эрмитовых форм.
Случай вещественных корней характеристического уравнения
Пусть A = A. Будем считать, что A = 1, т. е. блок GA стоит в левом верхнем углу матрицы
G и обозначим для удобства m1s = ms , s = 1; : : : ; s1 . Не уменьшая общности, можно ограничиться
случаем s1 = 2, m1 m2, т. к. при sA > 2 исследование проводится по индукции аналогично
случаю s1 = 2, а структура матрицы G1 при s1 = 1 является частным случаем структуры этой
матрицы при s1 = 2.
При A = A из (6) следует g;1 ; g;1 = 0, ; = 1; : : : ; m1 + m2, отсюда, рассматривая различные значения индексов ; = 1; : : : ; m1 + m2, найдем, что (при m1 m2) матрица
G1 имеет вид
0
1
1
1
BB CCC
BB1 m1
1 m1 C
1 C
G1 = B
BB
C:
BB
1
2 CCC
@ A
1 m1 1 2 m2
(10)
Рассмотрим сначала случай m1 < m2. Так как матрица G1 невырождена, то 1; 1 6= 0,
в противном случае, раскладывая определитель det(G1) по элементам первой строки, будем
49
получать миноры (m1 +m2 ;1)-го порядка, у которых одна строка состоит из нулей, т. е. получим
det(G1) = 0, что в силу леммы 2 противоречит предположению о невырожденности матрицы G.
Назовем преобразования базиса, сохраняющие соотношения (5), допустимыми. Совершим
преобразование1
Z0 = Z1 + ;1 Z2 + + 1 Z ; Z0 = Z ; = 1; : : : ; m1 ; > m1 :
Это преобразование является допустимым и, следовательно, не меняет форму (10) матрицы G1.
Отсюда имеем
0 = g(Z0 ; Zm0 1 ) = g( Z1 + + 1 Z ; m1 Z1 + + 1 Zm1 ) =
= ( 1 + 1 )1 + R(1; : : : ; ; 1 ; : : : ; ;1 ; 1 ; ;1 ); (11)
где = 2; : : : ; m1, a R есть целая рациональная функция. Так как 1; 1 6= 0, то уравнение
( 1 + 1 )1 + R = 0 всегда имеет решение = (1 ; : : : ; ; 1; : : : ; ;1 ; 1 ; : : : ; ; 1).
Подставляя это решение в (11), обратим в нуль все 0, = 2; : : : ; m1 . Аналогично можно сделать
равными нулю 0 , = 2; : : : ; m2 . Совершая, кроме того, допустимое преобразование Z00 = p11 Z0 ,
= 1; : : : ; m1 , Z00 = p1 Z0 , = 1; : : : ; m2, можно сделать все 001 ; 100 = 1.
1
Итак, пусть Z, = 1; : : : ; m1 + m2, | базис, в котором 1 ; 1 = 1, ; = 0, = 2; : : : ; m1,
= 2; : : : ; m2 . Рассмотрим еще одно допустимое преобразование базиса Z0 +m2 = Z +m2 ; Z1 ;
; 1Z , = 1; : : : ; m1, Z0 = Z ; > m1 + m2; Z0 = Z , = 1; : : : ; m2 . В новом базисе имеем
0 = g(Z0 ; Zm0 1 +m2 ) = g(Z ; Zm1 +m2 ; m1 Z1 ; ; 1 Zm1 ) = ; 1 , = 1; : : : ; m1 . Полагая
= =1 , обратим в нуль 0 , = 1; : : : ; m1 .
В случае m1 = m2 возможна ситуация, когда 1 = 0 или 1 = 0, 1 6= 0 (если бы и 1 равнялось
нулю, то матрица G1 оказалась бы вырожденной). Применяя допустимое преобразование базиса
Z0 = Z + 1 Zm1 + + + Zm1+1, = 1; : : : ; m1 , Z0 = Z , > m1 , можно сделать 01 6= 0.
Аналогично можно сделать не равным нулю 1 и свести задачу к рассмотренной выше.
0
0
3. Канонические типы пары эрмитовых форм.
Случай комплексных корней характеристического уравнения
Рассмотрим
случай комплексного собственного значения A =
6 A. Обозначим через IeA =
S
IA I A множество всех индексов, соответствующих паре комплексно сопряженных собственных
значений A, A. Согласно лемме 2 множеству IeA в матрице G = (g ) соответствует блок GA.
Не ограничивая общности, будем считать, что этот блок стоит в левом верхнем углу матрицы
G, т.е. A = 1, Ie1 = f1; : : : ; elg, причем индексы = 1; : : : ; l1 соответствуют корню 1 , а индексы
= l1 + 1; : : : ; l1 + l2 = el | корню 1. Из (7) следует, что не равны нулю только такие элементы
g матрицы G1, для которых = 1; : : : ; l1 , = l1 + 1; : : : ; el или = 1; : : : ; l1 , = l1 + 1; : : : ; el.
s1 1
P
Отсюда в силу невырожденности матрицы G1 следует l1 = l2 = l = ms , el = 2l. Обозначим
s=1
для удобства ms = m1s , s = 1; : : : ; s1. Как и для вещественных корней, достаточно рассмотреть
случай s1 = 2, m1 m2. Если s1 > 2 или s1 = 1, то рассмотрение проводится аналогично.
С помощью (6) найдем, что при s1 = 2 матрица G1 имеет вид
0 G
G1 = (G1 ) 01 ;
1 Такое преобразование рассматривалось П.А. Широковым [8], а затем А.З. Петровым [1] в задаче о
приведении пары билинейных форм к каноническому виду.
50
где звезда обозначает эрмитово сопряжение и
0
1
1
CCC
m1 C
1 C
CC :
CC
m2 ;1 A
1
BB BB1 m1
1
G1 = BBB
BB
1
@ 1 m1 1 m2 ;1 m2
Рассмотрим сначала случай m1 < m2. Поскольку матрица G1 невырождена, 1; 1 6= 0.
Перейдем к допустимому базису Z0 по формулам
Z0 = Z1 + ;1 Z2 + + 1Z ;
(12)
Zl0+ = Zl+1 + ;1 Zl+2 + + 1 Zl+ ; = 1; : : : ; m1 ;
0
Z = Z ; = m1 + 1; : : : ; m1 + m2 ; l + m1 + 1; : : : ; 2l:
В новом базисе имеем
0 = g(Z0 ; Zl0+m1 ) = g( Z1 + + 1 Z ; m1 Zl+1 + + 1 Zl+m1 ) =
= ( 1 + 1)1 + R(1; : : : ; ; 1 ; : : : ; ;1 ; 1 ; : : : ; ;1 ); (13)
где = 2; : : : ; m1, a R есть целая рациональная функция. Так как 1 ; 1 6= 0, то уравнение
( 1+ 1 ) 1 +R = 0 всегда имеет решение = (1 ; : : : ; ; 1; : : : ; ;1 ; 1 ; : : : ; ; 1),
подставляя которое в (13), получим 0 = 0, = 2; : : : ; m1 . Аналогично можно обратить в нуль 0 ,
= 2; : : : ; m2 . Совершая, кроме того, допустимые преобразования Z00 = p1 Z0 , = 1; : : : ; m1 ,
1
Z00 = p11 Z0 , = m1 + 1; : : : ; m1 + m2, Z00 = p11 Z0 , = l + 1; : : : ; l + m1, Z00 = p1 Z0 , =
1
l + m1 + 1; : : : ; l + m1 + m2, получим 001 = 100 = 1.
Пусть Z , = 1; : : : ; n, | базис, в котором 1 = 1 = 1, а ; , = 2; : : : ; m1, = 2; : : : ; m2,
равны нулю.
Рассмотрим допустимое преобразование базиса
Z0 = Z ; = 1; : : : ; m2 ; l + 1; : : : ; l + m2 ;
Z0 +m2 = Z +m2 ; Z1 ; ; 1Z ; = 1; : : : ; m1 ;
(14)
0
1
Zl+m2+ = Zl+m2 + ; Zl+1 ; ; Z ; = 1; : : : ; m1 :
В новом базисе имеем 0 = g(Z0 ; Z20 l ; m1 Zl+1 ; ; 1Zl+m1 ) = ; 1 , = 1; : : : ; m1,
0 = g(Zm2 + ; Z1 ; ; 1Z ; Zl+m1 ) = ; 1 , = 1; : : : ; m1. Полагая = =1 , = =1 ,
= 1; : : : ; m1 , все , , ; = 1; : : : ; m1 , обратим в нуль.
Таким образом, применяя допустимые невырожденные преобразования базиса (12), (14),
можно сделать постоянные , , ; = 1; : : : ; m1, , , = 2; : : : ; m1, = 2; : : : ; m2 , равными
нулю.
В случае m1 = m2 возможна ситуация, когда 1 = 0 или 1 = 0, 1; 1 6= 0. Если бы и
1 или 1 равнялись нулю, то матрица G1 оказалась бы вырожденной. Применяя допустимое
преобразование базиса Z0 = Z + d1 Zm1+ + + d Zm1+1, = 1; : : : ; m1 , Z0 = Z + d1Zm1 + +
+ d Zl+m1+1, = l + 1; : : : ; l + m1, Z0 = Z , = m1 + 1; : : : ; m2 , l + m1 + 1; : : : ; 2l, можно сделать
01 6= 0. Аналогично можно получить 10 6= 0 и свести задачу к рассмотренной выше.
Итогом полученных результатов является
Теорема. Пусть V | 2n-мерное вещественное линейное пространство с комплексной
структурой J и g , a | два эрмитовых скалярных произведения в V . Если билинейная форма a имеет приведенную характеристику Сегре (8) и собственные значения 1 ; : : : ; k1 +k2 , то
в комплексификации V c TM R C пространства V существует базис fZ ; Z g, = 1; : : : ; n,
0
0
0
51
0
J
G
G = (g ) A = (a )
адаптированный к комплексной структуре , в котором матрицы
,
имеют блочно-диагональный вид
) с блоками A и A соответственно, причем в случае вещественного собственного значения A
A матрицы A , A | A -мерные блочно-диагональные
A -мерных блоков
матрицы, состоящие из A
s
(9
s m
0
B
GAs = B
@
eAs
соответственно, а при
=
eAs1
CC ;
A
A
0
BB
B
AAs = BBB
B@
A 6= A
G A
r
1
eAsA
eAs A eAs A
eAs
e A!
0
G
GA = (Ge ) 0 ;
A
0
eAs A
eAs C
CC
CC
CC
A
!
AeA ;
AA = (Ae ) 0
A
e A, AeA | rA-мерные блочно-диагональные магде звезда означает эрмитово сопряжение, а G
A
трицы, состоящие из sA ms -мерных блоков
0
1
A
0
1
BB
1
A 1 C
CC
B
B
C
B
CC :
CA ; AAs = B
GAs = B
@ BB
CC
@ A A
1
A 1
Литература
1. Петров А.З. К теореме о главных осях тензора // Изв. физ.-матем. об-ва при Казанс. ун-те.
{ 1949. { Т. 14. { С. 37{51.
2. Aминова А.В. Псевдоримановы многообразия с общими геодезическими // УМН. { 1993. {
Т. 48. { С. 107{159.
3. Aминова А.В., Kaлинин Д.А. H -проективно-эквивалентные четырехмерные римановы связности // Изв. вузов. Математика. { 1994. { Є 8. { C. 11{20.
4. Вишневский В.В. О комплексных структурах B -пространств // Учен. зап. Казанск. ун-та.
{ 1963. { Т. 123. { Є 1. { С. 24{48.
5. Вишневский В.В. Об одном обобщении пространств Широкова-Рашевского // Учен. зап. Казанск. ун-та. { 1965. { Т. 125. { Є 1. { С. 60{73.
6. Калинин Д.А. Канонические типы пары эрмитовых форм и H -проективно-эквивалентные
римановы связности // Тез. докл. Междунар. геометрич. семин. им. Н.И. Лобачевского. {
Казань, 1997. { С. 42.
7. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная алгебра. Учеб. пособие. { 2-е
изд., перераб. { М.: Наука, 1986. { 400 с.
8. Широков П.А. Тензорное исчисление. Алгебра тензоров. { 2-е изд. { Казань: Изд-во КГУ,
1961. { 447 с.
Казанский государственный
университет
Поступила
05.07.1996
52
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
182 Кб
Теги
виду, каноническому, пары, приведения, формы, эрмитовых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа