close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Приведение краевой задачи для плоского упругого тела к одному особому интегральному уравнению.

код для вставкиСкачать
Научный журнал КубГАУ, №80(06), 2012 года
1
УДК 621.81:539.3
UDC 621.81:539.3
ПРИВЕДЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ
ПЛОСКОГО УПРУГОГО ТЕЛА К ОДНОМУ
ОСОБОМУ ИНТЕГРАЛЬНОМУ
УРАВНЕНИЮ
REDUCTION OF BOUNDARY-VALUE
PROBLEM FOR A PLANE ELASTIC BODY TO A
SINGULAR INTEGRAL EQUATION
Дородов Павел Владимирович
к.т.н., доцент
ФГБОУ ВПО Ижевская государственная
сельскохозяйственная академия, Ижевск, Россия
Dorodov Pavel Vladimirovich
Cand.Tech.Sci., associate professor
FSBEI HPE Izhevsk State Agricultural Academy,
Izhevsk, Russia
В статье представлено аналитическое решение
краевой задачи для плоского упругого тела с
внешними и внутренними концентраторами
напряжений посредством использования одного
особого сингулярного интегрального уравнения.
Приведен его вывод, а также решения в общем
виде и в частных случаях
The boundary-value problem for a plane elastic body
with external and internal stress concentrators has been
analytically solved in this article by means of a singular
integral equation. Derivation of this equation and
general and particular solutions of the equation are
represented
Ключевые слова: КОНЦЕНТРАТОР
НАПРЯЖЕНИЙ, ПЛОСКОЕ УПРУГОЕ ТЕЛО,
СОПРЯЖЕНИЕ, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, ОСОБОЕ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
Keywords: STRESS CONCENTRATOR, PLANE
ELASTIC BODY, CONJUGATION, BOUNDARYVALUE PROBLEM, SINGULAR INTEGRAL
EQUATION
Введение
В
современных
сельскохозяйственных
машинах
широко
применяются рабочие органы и детали, ослабленные различными
внутренними и внешними концентраторами напряжений. К внутренним
концентраторам, например, относятся вырезы, выступы, отверстия, резкие
переходы от одного сечения к другому. К внешним – твердые тела в зоне
контакта (опоры, подшипники, пальцы, втулки и т.д.). При загружении
деталей в близи границ концентраторов возникают значительные местные
напряжения, которые могут неблагоприятно сказаться на прочности
деталей.
Проблемам определения напряжений возле внутренних и внешних
концентраторов посвящена обширная область теории упругости и
механики разрушения. Однако способы исследования, как правило, не
связаны между собой, поэтому отыскание единого подхода в исследовании
http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf
Научный журнал КубГАУ, №80(06), 2012 года
2
обеих проблем одними и теми же аналитическими методами остается
актуальной краевой задачей механики деформируемого твердого тела.
Постановка задачи
Рассмотрим упругое тело единичной толщины произвольной
формы, изображенное на рисунке 1, на которое действуют внешние
нагрузки Рn и находящееся в состоянии равновесия.
Рисунок 1 – Расчетная схема плоского тела
Оси x, z проведем через центр тяжести тела. Рассмотрим
произвольную точку А.
Для
исследования
напряженно-деформированного
состояния
воспользуемся уравнениями Ламе без учета массовых сил [1]:
(1 − 2ν )∆u + ∂Ψ = 0, 

∂x
,
∂Ψ
(1 − 2ν )∆w + = 0,
∂z

(1)
где ν – коэффициент Пуассона; u и w – перемещения в декартовой
системе координат x, z; ∆ =
∂2
∂2
∂u ∂w
+
, Ψ= + .
2
2
∂x
∂z
∂x ∂z
http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf
Научный журнал КубГАУ, №80(06), 2012 года
3
Известно, для решения такой задачи может быть использовано
интегральное преобразование Фурье [2], а именно, решение уравнений (1)
ищем в виде:
+∞

1
− iα x
u=
U
(
α
,
z
)
⋅
e
d
α
,

2π −∫∞


+∞
1
w=
W (α, z ) ⋅ e −iαx dα.
∫
2π −∞

(2)
После подстановки (2) в (1) имеем систему уравнений, решение
которой может быть представлено в форме
U = ( A1 + αzA2 )ch(αz ) + (B1 + αzB2 )sh(αz ),


W = i[(B1 − kA2 + αzB2 )ch(αz ) + ( A1 − kB2 + αzA2 )sh(αz )],
где
k = 3 − 4ν ;
An, Bn (n=1, 2) – постоянные, подлежащие
определению из граничных условий.
Таким образом, перемещения u и w имеют вид:
+∞




+∞
i
−iαx
w=
[(B1 − kA2 + αzB2 )ch(αz ) + ( A1 − kB2 + αzA2 )sh(αz )]e dα.
∫
2π − ∞

u=
1
[( A1 + αzA2 )ch(αz ) + (B1 + αzB2 )sh(αz )]e −iαx dα,
∫
2π − ∞
(3)
Далее по известным формулам могут быть найдены деформации:
+∞
∂u
i
εx =
=−
[( A1 + αzA2 )ch(αz ) + (B1 + αzB2 )sh(αz )]αe −iαx dα ,
∫
∂x
2π − ∞
+∞
∂w
i
=
[(B1 − kA2 + αzB2 )α ⋅ sh(αz ) + αB2 ch(αz ) + ( A1 − kB2 + αzA2 )α ⋅ ch(αz ) +
εz =
∂z 2π −∫∞
αA2 sh(αz )]e −iαx dα =
+∞
i
[(B1 + (1 − k ) A2 + αzB2 )sh(αz ) + ( A1 + (1 − k )B2 + αzA2 )ch(αz )]αe −iαx dα,
∫
2π − ∞
+∞
∂u ∂w 1
γ=
+
=
[( A1 + B2 + αzA2 )sh(αz ) + (B1 + A2 + αzB2 )ch(αz ) +
∂z ∂x 2π −∫∞
(B1 − kA2 + αzB2 )ch(αz ) + ( A1 − kB2 + αzA2 )sh(αz )]αe −iαx dα =
+∞
1
[(2 A1 + (1 − k )B2 + 2αzA2 )sh(αz ) + (2 B1 + (1 − k ) A2 + 2αzB2 )ch(αz )]αe −iαx dα.
2π −∫∞
а по закону Гука – напряжения
http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf
Научный журнал КубГАУ, №80(06), 2012 года
4
+∞



−iαx

ν[(B1 + αzB2 + (1 − k )A2 )sh(αz ) + ( A1 + αzA2 + (1 − k )B2 )ch(αz )]}αe dα =

+∞

iG
[( A1 + αzA2 + 2νB2 )ch(αz ) + (B1 + αzB2 + 2νA2 )sh(αz )]αe −iαx dα,
=−

∫
π −∞

+∞

2G i
σz =
{(1 − ν )[(B1 + αzB2 + (1 − k )A2 )sh(αz ) + ( A1 + αzA2 + (1 − k )B2 )ch(αz )] −
∫
1 − 2ν 2π − ∞

−iαx

ν[( A1 + αzA2 )ch(αz ) + (B1 + αzB2 )sh(αz )]}αe dα =

+∞

iG
[(2 B1 − (1 + k )A2 + 2αzB2 )sh(αz ) + (2 A1 − (1 + k )B2 + 2αzA2 )ch(αz )]αe −iαx dα, 
=
∫
π −∞

+∞

G
− i αx
τ=
[(2 A1 + (1 − k )B2 + 2αzA2 )sh(αz ) + (2 B1 + (1 − k )A2 + 2αzB2 )ch(αz )]αe dα. 
2π −∫∞

2G i
σx =
{− (1 − ν )[( A1 + αzA2 )ch(αz ) + (B1 + αzB2 )sh(αz )] +
1 − 2ν 2π −∫∞
где G – модуль сдвига.
Граничные условия
Рассмотрим произвольный элемент плоского тела, показанный на
рисунке 2, с горизонтальным сечением, в котором действуют напряжения
σz0, τ0.
Зададимся следующими граничными условиями:
1) Из условий симметрии и при отсутствии жесткого перемещения
тела
u (0;0 ) = w(0;0) = 0 ;
2) σ z (x; z 0 ) = σ z 0 , x ≤ l z 0 ;
3) τ (x; z 0 ) = τ 0 , x ≤ l z 0 .
http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf
Научный журнал КубГАУ, №80(06), 2012 года
5
Рис. 2 Произвольное горизонтальное сечение плоского тела
Из первого граничного условия с учетом (3) получаем
A1=0; B1=kA2.
Пусть на интервале − l z 0 ≤ x ≤ l z 0 функции σz0 и τ0 непрерывны и
абсолютно интегрируемы. В этом случае имеют место преобразования и
соответствующие обращения Фурье
P(α ) =
lz 0
iαξ
∫ σ z 0 (ξ )e dξ ;
−l z 0
Q(α ) =
lz 0
∫ τ (ξ )e
0
−l z 0
iαξ
dξ ;
∞

1
P(α )e −iαx dx,
∫
2π − ∞


∞
1

−iαx
τ0 =
Q(α )e dx, 
2π −∫∞

σ z0 =
тогда из второго и третьего условия получим
A2 =
B2 = −
P(α ) ((1 − k )sh(αz 0 ) + 2αz 0 ch(αz 0 )) Q(α ) (2αz 0 sh(αz 0 ) − (1 + k )ch(αz 0 ))
−
,
iαG 2kch(2αz 0 ) + k 2 + 1 + 4(αz 0 )2
αG 2kch(2αz 0 ) + k 2 + 1 + 4(αz 0 )2
(
)
(
)
P(α ) (2αz 0 sh(αz 0 ) + (1 + k )ch(αz 0 )) Q(α ) (− (1 − k )sh(αz 0 ) + 2αz 0 ch(αz 0 ))
+
.
iαG 2kch(2αz 0 ) + k 2 + 1 + 4(αz 0 )2
αG 2kch(2αz 0 ) + k 2 + 1 + 4(αz 0 )2
(
)
(
После ряда преобразований выражения (3) примут вид:
http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf
)
Научный журнал КубГАУ, №80(06), 2012 года
u=
6
+l
+ lz 0
+∞
+∞

J 11 (αz 0 )
J 12 (αz 0 )
1  z 0
τ
(
ξ
)
cos
α
(
ξ
−
x
)
d
α
d
ξ
−
ε
σ
(
ξ
)
sin α (ξ − x )dαdξ  ,
0
z0
∫
∫
∫
∫

πθ  −lz 0
αJ (αz 0 )
αJ (αz 0 )
0
−l z 0
0

+l
+ lz 0
+∞
+∞

J 22 (αz 0 )
J 21 (αz 0 )
1  z 0
,
w=
σ
(
ξ
)
cos
α
(
ξ
−
x
)
d
α
d
ξ
+
ε
τ
(
ξ
)
sin
α
(
ξ
−
x
)
d
α
d
ξ
0
0
z
∫0 αJ (αz0 )
∫−l
∫0 αJ (αz0 )

πθ  −∫lz 0
z0

где
(
)
J (αz 0 ) = 2kch(2αz 0 ) + k 2 + 1 + 4(αz 0 ) ,
2
J 11 (αz 0 ) = 2ksh(2αz 0 ) + 4αz 0 ,
J 22 (αz 0 ) = 2ksh(2αz 0 ) − 4αz 0 ,
J 12 (αz 0 ) = J 21 (αz 0 ) = 2k (ch(2αz 2 ) − 1) −
θ=
G
,
(1 − ν )
ε=
1 − 2ν
.
2(1 − ν )
8(αz 0 )
,
(k − 1)
2
Краевая задача
Если рассматривать σz0, τ0 в качестве местных напряжений, то,
очевидно, они в основном должны зависеть от значения перемещений u и
w на линии интегрирования − l z 0 ≤ x ≤ l z 0
(линии контакта тел или
сопряжения частей упругого тела) и мало зависеть от высоты z0.
Для того чтобы «избавиться» от z0 устремим ее к бесконечности,
при этом, считая интервал − l z 0 ≤ x ≤ l z 0 конечным и учитывая, что
J 11 (αz 0 )
J (αz )
J (αz )
= 1 , lim 12 0 = 1 , lim 22 0 = 1 ,
z0 →∞ J (αz )
z0 →∞ J (αz )
z0 →∞ J (αz )
0
0
0
lim
имеем
+l
+∞
+l
+∞

1 
cos α (ξ − x )
sin α (ξ − x )

,
(
)
(
)
u1 =
τ
ξ
d
α
d
ξ
−
ε
σ
ξ
d
α
d
ξ
1
1
z
∫0 α
∫−l
∫0 α

πθ  −∫l

+l
+∞
+l
+∞

1 
cos α (ξ − x )
sin α (ξ − x )

,
(
)
(
)
+
w1 =
σ
ξ
d
α
d
ξ
ε
τ
ξ
d
α
d
ξ
1
1
z
∫0 α
∫−l ∫0 α

πθ  −∫l

http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf
Научный журнал КубГАУ, №80(06), 2012 года
7
здесь u1, w1, τ1, σ1z – местные перемещения и напряжения, а через l
обозначено lz0 при z0→∞.
Составляющие компоненты деформаций примут вид:
u1′ =
+l
+∞
+l
+∞

du1 1 
 ∫ τ1 (ξ ) ∫ sin α (ξ − x )dαdξ + ε ∫ σ1z (ξ ) ∫ cos α (ξ − x )dαdξ  , (4)
=


dx πθ  −l
0
0
−l

w1′ =
+l
+∞
+l
+∞

dw1 1 
 ∫ σ1 (ξ ) ∫ sin α (ξ − x )dαdξ − ε ∫ τ1 (ξ ) ∫ cos α (ξ − x )dαdξ  . (5)
=


dx πθ  −l
0
0
−l

Внутренние интегралы, согласно [2], можно записать
∞
∫ sin α(ξ − x )dα = ξ − x ,
1
0
∞
∫ cos α(ξ − x )dα = πδ(ξ − x ) ,
0
где δ(ξ-х) – дельта-функция Дирака, обладающая свойством
∞
∫ δ (ξ − х )d (ξ − х ) = 1 .
−∞
Тогда при − l < x < l [3]

(
)
(
)
(
)
σ
ξ
δ
ξ
−
x
d
ξ
=
σ
x
,

1
1
z
z
∫

−l

l

∫−l τ1 (ξ )δ (ξ − x )dξ = τ1 (x ). 
l
Таким образом, выражения (4) и (5), можно переписать
u1′ =
+l

du1 1  τ1 (ξ )
∫
=
dξ + πεσ1z ( х ) ,

dx πθ  −l ξ − х

(6)
w1′ =
+l

dw1 1  σ1z (ξ )
∫
=
dξ − πετ1 ( х ) .

dx πθ  −l ξ − х

(7)
Умножим уравнение (6) на i и сложим с (7):
1 σ1z (ξ ) + iτ (ξ )
ε
w1′ ( x ) + iu1′ ( x ) =
dξ + (iσ1z ( x ) − τ1 ( x ))
∫
πθ −l
ξ−x
θ
+l
или
http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf
Научный журнал КубГАУ, №80(06), 2012 года
8
b φ(ξ )
aφ(x ) + ∫
dξ = f ( x ) ,
πi −l ξ − x
+l
(8)
где
f ( x ) = u1′ ( x ) − iw1′ ( х ) ,
φ( x ) = σ1z ( x ) + iτ1 ( x ) ,
a=
ε
,
θ
b=
1
.
θ
Выражение (8) представляет собой характеристическую часть
особого
интегрального
(сингулярного)
уравнения
с
постоянными
коэффициентами a и b на отрезке [-l;l], решение которого сводится к
краевой задаче Коши-Римана [4, 5]. В общем виде его можно представить
ϕ (x ) = a * f (x ) −
b* Z (x )
f (ξ )
dξ + b * Z ( x )Pχ −1 ( x ) ,
∫
πi −l Z (ξ )(ξ − x )
+l
(9)
γj
где Z (x ) = ω (x )∏ (x − c j ) – каноническое решение класса h; h – класс
n
j =1
решений,
ограниченных
в
(c , с ...c );
узлах
1
2
q
ω(х)
–
функция,
удовлетворяющая условию Гёльдера; сj – узлы линии интегрирования;
0 < Re γ j < 1
при
j = 1,2..., q ;
− 1 < Re γ j < 0
при
j = q + 1,..., m ;
Re γ j = 0
при
j = m + 1,..., n ; q – количество неособенных узлов, в которых решение
ограничено; m – число всех неособенных узлов, в которых решение
неограниченно; n – количество особенных узлов; Pχ −1 (x ) – произвольный
многочлен, степени не выше χ-1; χ – индекс класса h.
Например,
при
наличии
двух
узлов
на
концах
линии
интегрирования, решение (9) примет вид:
- в случае неограниченного решения на обоих концах отрезка [-l;l]
φ( x ) = a * f ( x ) −
b*
1
2
πi l − x 2
http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf
+l
∫
−l
l 2 − ξ 2 f (ξ )
C
dξ +
,
2
ξ−x
π l − x2
Научный журнал КубГАУ, №80(06), 2012 года
9
где а*, b* - действительные числа, определяемые по формулам
a* =
a
εθ
= 2
,
2
a −b
ε −1
b* =
b
θ
= 2
,
2
a −b
ε −1
2
2
С – произвольная постоянная;
- в случае ограниченного решения при x=-l и неограниченного при
x=l
φ( x ) = a * f ( x ) −
b* l + x
l − ξ f (ξ )
dξ ;
∫
πi l − x −l l + ξ ξ − x
+l
- в случае неограниченного решения при x=-l и ограниченного при
x=l
φ( x ) = a * f ( x ) −
b* l − x
l + ξ f (ξ )
dξ ;
∫
πi l + x −l l − ξ ξ − x
+l
- в случае ограниченного решения на обоих концах отрезка [-l;l]
b* 2
f (ξ )
φ( x ) = a f ( x ) −
l − x2 ∫
dξ ,
2
2
πi
−l l − ξ (ξ − x )
+l
*
причем в последнем случае решение существует тогда и только
тогда, когда
+l
f (ξ )
−l
l2 −ξ 2
∫
dξ = 0 .
Заключение
Особое интегральное уравнение (8) может быть использовано для
решения краевых задач теории упругости возле различных концентраторов
напряжений на каком-либо отрезке интегрирования, в качестве которого
может служить как внешний контур тела, так и какая-либо линия
сопряжения внутри плоского тела. После определения напряжений на
границе области можно переходить к решению плоской задачи с
последующей оптимизацией (обратная задача).
http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf
Научный журнал КубГАУ, №80(06), 2012 года
10
Литература
1.
Демидов С.П. Теория упругости: Учебник для вузов.- М.: Высш. школа,
1979. – 432 с.
2. Александров В.М. Введение в механику контактных взаимодействий / В.М.
Александров, М.И. Чебаков. – Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2007. – 114 с.
3.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и
инженеров. – М.: Наука, 1968. – 720 с.
4. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Изд-во
«Наука», 1968. – 512 с.
5.
Гахов Ф.Д. Краевые задачи. – М.: Наука, 1977. – 640 с.
http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
151 Кб
Теги
уравнения, одному, плоского, тела, приведения, краевой, особом, упругого, задачи, интегрального
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа