close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Анализ временных показателей эффективности работы технических устройств основанный на марковских случайных процессах с применением интегрального преобразования Лапласа.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т.20, вып.2, 2015
УДК 519.8
АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАБОТЫ
ТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ, ОСНОВАННЫЙ НА МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССАХ, С ПРИМЕНЕНИЕМ ИНТЕГРАЛЬНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
 Л.Б. Райхельгауз
Ключевые слова: марковский случайный процесс; интегральное преобразование.
Решается задача о проведении анализа временных показателей эффективности работы систем с техническими
устройствами, при этом используется динамическая модель марковских случайных процессов. Система дифференциальных уравнений, описывающая данную модель, решается посредством интегрального преобразования
Лапласа.
Эффективность работы многих экономических систем, работа которых связана с различного рода техническими устройствами (ТУ), зависит от того, насколько
стабильно функционируют эти ТУ. При расчете экономических показателей таких систем, в частности, производительности труда, затрат на обслуживание, амортизацию, окупаемость и других, необходимо знать
среднее время нахождения ТУ в рабочем режиме, диагностики, ремонте и других состояниях. Для расчета
этого используются математические методы, основанные на теории случайных процессов [1–2]. При этом
для расчетов берут модель стационарных случайных
процессов в предположении, что ТУ функционирует в
стабильном устоявшемся режиме и его характеристики
не меняются с течением времени. Однако такая модель,
особенно на начальных периодах времени работы ТУ,
недостаточно точно описывает ситуацию, например,
вероятность поломки нового оборудования будет другой, чем у оборудования, работающего продолжительное время, не учитывается возможность поломки, при
которой ремонт не возможен и ТУ должно быть списано.
На основании этого авторами ставится задача провести анализ временных показателей эффективности
работы систем с ТУ, используя динамическую модель
марковских случайных процессов.
Рассмотрим некоторое ТУ. Это может быть, например, станок, автоматизированная линия, автотранспорт,
системы контроля и учета – словом, то, что непосредственным образом влияет на производительность труда
и, как следствие, на эффективность работы экономической системы. Пусть ТУ может находиться в одном из
возможных состояний:
S1 – исправное состояние;
S2 – состояние нестабильной работы, диагностика;
S3 – состояние ремонта;
S4 – ремонт невозможен, списание.
Если система имеет большее число состояний, то
подход расчета ее характеристик остается прежним, и
задача усложнится лишь в вычислительном плане.
На основании статистических данных можно рассчитать следующие параметры системы: T – среднее
время работы до первой поломки или сбоя; Td – сред486
нее время проведения диагностики, нахождения неполадок; Tr – среднее время ремонта; pd – вероятность
того, что в результате диагностики возможен ремонт
ТУ; pr – вероятность того, что в результате ремонта ТУ
будет приведено в исправное состояние. Для упрощения расчетов будем считать, что эти показатели не зависят от времени, и случайный процесс будет однородным. Однако данный подход позволяет использовать и динамические параметры. В результате граф состояний описанной системы будет иметь вид [1]:
Следует отметить, что случайный процесс, представленный на графе, не является эргодическим, поэтому у него не существует стационарного режима
работы. Для расчета вероятностных показателей составляется система дифференциальных уравнений
Колмогорова вида:
pr
P1 (t )

 P1 (t )  T P3 (t )  T ;
d


P1 (t ) P2 (t )

;
 P2 (t ) 
T
Td


 P (t )  pd P2 (t )  P3 (t ) ;
 3
Td
Tr

(1  pd ) P2 (t )
(
1

p
)
P
(
t
 P (t ) 
r 2 )

,
 4
Tr
Td

где Pi(t) (i=1,2,3,4) – вероятность того, что в момент
времени t находилось в состоянии Si.
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т.20, вып.2, 2015
Но данная система является вырожденной, и для ее
решения нужно одно любое, например, последнее
уравнение
заменить
условием
нормировки:
P1 (t )  P2 (t )  P3 (t )  P4 (t )  1 . В результате получаем
систему вида:
Правая часть этого выражения называется интегралом
Бромвича.
Применяя прямое преобразование Лапласа к обеим
частям каждого уравнения последней системы, получим:
pr
P1 (t )

 P1 (t )  T P3 (t )  T ;
d


P1 (t ) P2 (t )

;
 P2 (t ) 
T
Td


p P (t ) P (t )
 P3 (t )  d 2  3 ;
Td
Tr

 P (t )  1  P (t )  P (t )  P (t ).
1
2
3
 4
Pi   Lt  Pi t ;




0
P
pr
1
1
1
 a;  b;
 c; d  d ;  e . Тогда
Td
T
Td
Td
Tr
F  комплексного переменного называется прямым
преобразованием Лапласа
0
Внеинтегральные члены считаем с использованием
начальных условий. Имеем:



d

P1   Lt    P1 t   1   P1 ;
 dt





d

P2   Lt    P2 t   0   P2    P2  ;
 dt





 1   P1   b P1   a P3  ;
 


  P2   b P1   c P2  ;



 
  P3   d P2   e P3  ;
 P (t )  1  P (t )  P (t )  P (t ).
1
2
3
 4
Решая эту алгебраическую систему, получим решение исходной задачи в образах прямого преобразования Лапласа

F   Lt   f t   e t f t dt.

0
Обратным преобразованием Лапласа функции
комплексного переменного F  называется функция
f t  вещественной переменной, такая что:


В итоге систему дифференциальных уравнений
привели к системе алгебраических уравнений следующего вида:
Решать систему будем с использованием интегрального преобразования Лапласа. Методология этого
способа решения рассмотрена в [3].
Приведем определения прямого и обратного преобразовании Лапласа.
Дана функция f t   0 , t  R , тогда функция
f t  



d

P3   Lt   P3 t   0   P3   P3 .
 dt

 P1 (t )  aP3 (t )  bP1 (t );

 P2 (t )  bP1 (t )  cP2 (t );

 P3 (t )  dP2 (t )  eP3 (t );
 P (t )  1  P (t )  P (t )  P (t ).
1
2
3
 4
1  i



система примет следующий вид:
  1

 2 i 

 e   t Pi t    Pi    Pi 0   Pi .
Введем для удобства записи следующие обозначе-

1 
Lt 
 F

0

P1 (0)  1; P2 (0)  0; P3 (0)  0; P4 (0)  0.


 e   t Pi t   e   t Pi t  dt 
Система дифференциальных уравнений дополняется начальными условиями, имеющими смысл того, что
в начальный момент времени ТУ находилось в рабочем
состоянии:
ния:

d
d

Pi   Lt    Pi t   e   t Pi t dt 
dt
 dt
 0

et F dt ,
1  i
где 1 – некоторое вещественное число, которое
должно удовлетворять условиям существования [3].
1
abd

;
 P1     b 
2
  b    e  c 


b
;
 P2  

  b   c 


db
 P3  
;
  e  c   b 


 P4 (t )  1  P1 (t )  P2 (t )  P3 (t ).
где a 
pr
1
1
P
1
; b  ;c  ; d  d ; e  .
Td
T
Td
Td
Tr
487
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т.20, вып.2, 2015
Применив обратное преобразование Лапласа, запишем решение исходной задачи:
1  i 

 1

abd
 P1 (t )  1
e t 

 d ;
2

2 i
  b   b    e   c  

1  i 

1  i 



b
 P (t )  1
e t 
 2
 d ;
2 i

   b   c  
1  i 

1  i 



1
db
 P3 (t ) 
e t 
 d ;

2 i
   e   c   b  
1  i 

 P4 (t )  1  P1 (t )  P2 (t )  P3 (t ),



где a 
P
pr
1
1
1
; b  ;c  ; d  d ; e  .
Td
T
Td
Td
Tr
Найдем P1(t ); P2 (t ); P3 (t ) , применяя теорему Коши о вычетах.
1
P1 (t ) 
2 i
1

2 i

1
2 i
1  i 

1  i 
1  i 

1  i 

1  i 

1
abd
e 

 d 
2


b
  b    e  c 

1  i 
abd
  b 2   e  c 
d 
etz
etz
 abd res

2
z  b  z  b 
z  b
 z  b   z  e  z  c 
 res
 abd res
z  e
etz
 z  b   z  e  z  c 
 abd res
z  c
2
etz
 z  b   z  e  z  c 
2

 lim  z  b 
z  b
etz

 z  b

d 
etz
2
  z  b

2
z  b dz 
 z  b   z  e  z  c  

 abd lim
 abd lim  z  e 
z  e
etz
 z  b   z  e  z  c 
 abd lim  z  c 
2
etz


 z  b   z  e  z  c 
 tetz  z  e  z  c  etz  2 z  e  c  
 ebt  abd lim 


2
2
z  b 
 z  e  
  z  e  z  c 
z  c
 abd
e  et
b  e  c  e
2
2
 abd
e  ct
b  c  e  c 
2


ebt  2b  e  c  
tebt
 ebt  abd 

 
e  b
  e  b  c  e 

488
e et
b  e c  e
e  ct
 abd
b  c  e  c 

abd  b  c   bt
abd
 
t
e 
 e  b  
  e  b  c  e 
2
abd

e  et 
2
abd
b  e c  e
b  c  e  c 
 bt
 et
  A1t  B1  e  C1e  D1e  сt ;
2
2

e  сt 
где
abd
abd b  c 
; B1 
;
e  b c  e
e  b
.
abd
abd
C1 
;D 
b  e2 c  e 1 b  c 2 e  c 
A1 
1  i
1
P2 (t ) 
2 i
t 
1
e t
d 
b
e t
 abd

b
2 i
1  i

1 i
1


b
e t 
 d 
   b   c  
 i

e t
d 
  b   c 


e tz
 2 i res

z   b  z  b  z  c  
b 



2 i 
e tz

  2 i zres
  c  z  b  z  c  


tz


e
 2 i lim z  b 

z  b
z  b z  c  
b 



2 i 
etz

z  c 
  2 i zlim



c



z

b
z

c


b
b

e bt 
e  ct  А2e  bt  А2e  ct ;
c  b 
b  c 
где A2 
b
;
c  b
  i


1 1
db
t
P3 (t ) 
e

 d 
2 i 1i     e    c    b  
  i
db 1
et 

d 
2 i 1i    e    c    b 


etz
 
 2 i res
z  e    e    c    b 




tz
db
e
 2 i res

 
z  c    e    c    b 
2 i 



tz
e
 2 i res



z  b    e    c    b 


ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т.20, вып.2, 2015
Pi(t)
Рис. 1. Графики вероятностей состояний


etz
z  e
 

 zlim
 e
 z  e  z  c  z  b  



etz
 db   lim  z  c 
 
 z  c
 z  e  z  c  z  b  


etz
  lim  z  b 

 z  b
 z  e  z  c  z  b  

db
db

e bt 
e ct 
 c  e  b  e 
 e  c  b  c 

db
 e  b  c  b 
 A3e
 bt
 B3e
 ct
Из рис. 1 видно, что с течением времени вероятность безотказной работы ТУ уменьшается, а вероятность списания увеличивается, при этом динамика изменения графика обратно пропорциональна среднему
времени безотказной работы Т. Графики вероятности
диагностики и ремонта имеют максимум при интервалах времени порядка Td и Tr. Максимум тем шире, чем
больше интервалы времени Td и Tr. Стационарный режим в системе не устанавливается ввиду наличия на
графе состояний концевого состояния S4, что свидетельствует о том, что с течением времени ТУ обязательно будет списано.
e  ct 
 C3e
ЛИТЕРАТУРА
 ct
;
1.
2.
где
A3 
db
db
;B 
;
 c  e  b  e  3  e  c  b  c 
C3 
db
 e  b  c  b 
P4 (t )  D1e сt  А2 e ct  B3e ct  C3e  ct 
 1   A1t  B1  А2  A3  ebt  C1e  et 
  D1  А2  B3  C3  e сt .
Качественные графики вероятностей состояний
представлены на рис. 1.
3.
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее
инженерные приложения. М.: Высш. шк., 1998.
Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М.: Наука, 1992.
Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука,
1967.
Поступила в редакцию 26 февраля 2015 г.
Raihelgauz L.B. ANALYSIS OF TEMPORARY INDEXES
OF EFFICIENCY OF WORK OF TECHNICAL DEVICES,
BASED ON MARKOVIAN RANDOM PROCESSES, WITH
APPLICATION OF INTEGRAL TRANSFORMATION OF
LAPLACE
Task about realization of analysis of temporal indexes of efficiency of work of the systems with technical devices is decided, the dynamic model of the markovian casual processes is
used here. System of differential equalizations, describing this
model decided by means of integral transformation of Laplace.
Key words: markovian casual process; integral transformation.
Райхельгауз Леонид Борисович, Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей,
e-mail: jikol_85@mail.ru
Raihelgauz Leonid Borisovich, Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Equation in Particular Derivative and Theory of Probability Point Department, e-mail: jikol_85@mail.ru
489
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа