close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О схемах МКЭ высокого порядка точности для двухточечной задачи Дирихле четвертого порядка с вырождением.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО ОСУДАСТВЕННОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2010
Том 152, кн. 1
УДК 519.6
О СХЕМАХ МКЭ ВЫСОКОО ПОЯДКА ТОЧНОСТИ
ДЛЯ ДВУХТОЧЕЧНОЙ ЗАДАЧИ ДИИХЛЕ
ЧЕТВЕТОО ПОЯДКА С ВЫОЖДЕНИЕМ
А.А. Соболев, М.. Тимербаев
Аннотация
В статье рассматривается двухточечная краевая задача Дирихле для вырождающегося уравнения 4-го порядка. Эта задача решается методом конечных элементов высокого
порядка аппроксимации с мультипликативным выделением особенности. Доказывается
оптимальная скорость сходимости предложенного метода на заданном классе правых частей.
Ключевые слова: двухточечная краевая задача, весовые пространства Соболева,
метод конечных элементов, мультипликативное выделение особенности.
Введение
Анализ эллиптических уравнений с вырождающимися коэициентами показывает, что их решения имеют особенности в точках вырождения, связанные с
неограниченным ростом производных (см., например, [14?). Стандартные проекционно-сеточные методы численного решения таких задач, не учитывающие эти
особенности, оказываются малоэективными и плохо сходящимися. Для преодоления возникающих вычислительных трудностей применяются различные подходы: специальные замены переменных в исходном уравнении, сгущение расчетной сетки в окрестности точек вырождения, использование специальных базисных
ункций для аппроксимации решения и другие приемы. Так, для вырождающегося уравнения 2-го порядка в [5? была построена конечно-разностная схема 1-го
порядка точности на ортотропно-сгущающейся сетке в исходных переменных, которую можно интерпретировать и как схему метода конечных элементов (МКЭ)
с численным интегрированием на равномерной сетке в новых координатах при
специальной замене переменных. В работе [6? также использовалось ортотропное по направлению к линии вырождения сгущение, то есть линейные размеры
конечных элементов триангуляции по вырождающейся переменной уменьшались
существенно быстрее, чем по остальным переменным. авномерное (изотропное)
по всем переменным степенное сгущение сетки к точкам вырождения применялось
в работах [79? для линейных и квазилинейных уравнений 2-го порядка и в работе [10? для квазилинейного уравнения 4-го порядка. Отметим, что сгущение сетки,
хотя и улучшает аппроксимацию решения в окрестности особых точек, но приводит к нежелательным с вычислительной точки зрения эектам другого рода к увеличению числа уравнений и неизвестных в результирующей системе МКЭ и
ее худшей обусловленности по сравнению с квазиравномерными триангуляциями
расчетной области, что было замечено еще в статье [5?. Что касается ухудшения
в той или иной степени свойств систем уравнений МКЭ для задач с особенностями
по сравнению с регулярными задачами, то это является, по-видимому, неизбежной
платой за удовлетворительную или оптимальную аппроксимацию сингулярности.
236
А.А. СОБОЛЕВ, М.. ТИМЕБАЕВ
Для вырождающегося линейного уравнения 2-го порядка в статье [11? был предложен оптимальный с точки зрения теории аппроксимации численный метод для
класса правых частей из весового пространства Лебега, то есть наиболее быстро
сходящийся в энергетической норме задачи проекционный метод на данном классе
входных данных. Метод основывается на мультипликативном выделении особенности, то есть представлении решения в виде произведения специально подобранного
сингулярного веса и новой неизвестной ункции, которая, как показывают априорные оценки [4?, является гладкой и может быть аппроксимирована стандартными
кусочно-полиномиальными ункциями. Этот метод можно трактовать как МКЭ со
специальным базисом, состоящим из произведений сингулярного веса на кусочнополиномиальные базисные ункции обычного МКЭ, поэтому для его реализации
могут быть использованы процедуры триангуляции области и генерирования систем уравнений с оптимизацией нумерации узлов сетки, заложенные в стандартных
пакетах программ МКЭ.
В настоящей работе мы применяем мультипликативное выделение особенности для дискретизации с высоким порядком точности вырождающегося обыкновенного диеренциального уравнения 4-го порядка. анее для этого уравнения
в [12? был построен метод 2-го порядка аппроксимации с кубическими эрмитовыми
элементами. Схемы МКЭ высокого порядка аппроксимации для вырождающегося
уравнения 2-го порядка анализировались в [13?.
1.
Обозначения и вспомогательные результаты
Введем в рассмотрение весовые классы ункций на интервале ? = (0, 1) . Для
вещественного ? через L2,? ? L2,? (?) (далее символ ? будем опускать, когда
он подразумевается из контекста) обозначим пространство измеримых ункций
с конечной нормой
?
?1/2
Z
ku|L2,? k = ? |x?? u|2 dx? .
?
Пусть s целое неотрицательное число. Множество ункций, у которых почти
s
всюду ограничена обобщенная производная порядка s , обозначим через W?
. Через
s
H? будем обозначать пространство ункций, имеющих обобщенную производную
порядка s класса L2,? , то есть ункций, у которых конечна полунорма kDs u|L2,? k ,
где Ds оператор обобщенного диеренцирования порядка s . Это пространство
является гильбертовым с нормой
ku|H?s k = kDs u|L2,? k2 + ku|L2 (?, 1)k2
1/2
,
где ? ? (0, 1) иксировано. Иногда удобнее использовать другую, эквивалентную
норму
?
?1/2
s?1
X
ku|H?s k = ?kDs u|L2,? k2 +
|Dj u(1)|2 ? .
j=0
Через C0? (?) обозначается множество бесконечное число раз диеренцируемых ункций, имеющих компактные носители в интервале ? . Замыкание мно?
жества ункций C0? в норме пространства H?s обозначим через H s? . Замыкание
в H?s бесконечно диеренцируемых инитных в окрестности точки x = 1 ункций обозначим через H??s . При ? = 0 этот символ в обозначениях пространств будет
опускаться.
237
О СХЕМАХ МКЭ ВЫСОКОО ПОЯДКА ТОЧНОСТИ
Нам понадобятся следующие вложения, доказательство которых можно найти
в [13, 14?, [15, . 378?, [16, . 319?.
Теорема 1.
(i) Пространство H?m непрерывно вложено в пространство H?k (H?m ? H?k )
тогда и только тогда, когда выполнены неравенства k < m, ? < 1/2 и m + ? ?
? k ? ? ? 0 ; если последнее неравенство строгое, то данное вложение компактно.
?
(ii) Если ? > ?1/2 , то пространство H s? = {u ? H?s : Dk u(0) = Dk u(1) = 0,
k = 0, 1, . . . , s ? 1} ;
?
если ? + s < 1/2 , то Hs? = H??s = {u ? H?s : Dk u(1) = 0, k = 0, 1, . . . , s ? 1} .
?
?
(iii) Пространство H s? непрерывно вложено в пространство H s?k
?+k при k =
= 0, 1, . . . , s .
(iv) Пространство H?s вложено в C s?1 [0, 1] тогда и только тогда, когда ? >
> ?1/2 ; при этом данное вложение компактно.
(v) Пусть U произвольное нормированное пространство. Для того чтобы
линейный непрерывный оператор L : U ? H?s был компактен, необходимо и достаточно, чтобы был компактен оператор Ds L : U ? L2,? .
Для произвольного вещественного µ определим интегральный оператор Харди
µ?1
Kµ u(x) = x
Zx
y ?µ u(y) dy.
0
Естественной областью определения dom Kµ оператора Харди Kµ является множество измеримых на ? ункций u(y) , для которых ункция y ?µ u(y) интегрируема по Лебегу на интервале (0, x) для каждого x ? (0, 1) .
Для оператора Харди справедливы утверждения:
(i) если µ < min(1, ? + s + 1/2) , то Kµ непрерывен как оператор из H?s в H?s ;
(ii) для µ =
6 ? имеет место псевдорезольвентное тождество
Теорема 2 [4?.
Kµ K? = K? Kµ =
1
(Kµ ? K? );
µ??
(iii) для оператора Харди справедливы ормулы диеренцирования:
если u ? dom Kµ , то xDKµ u = u + (µ ? 1)Kµ u ;
если еще Du ? dom Kµ , то DKµ u = Kµ?1 Du .
2.
Постановка задачи и гладкость решения
На интервале ? = (0, 1) рассматривается модельное уравнение 4-го порядка
Au ? D2 (x? a(x)D2 u) + x? b(x)u = f (x),
(1)
с граничными условиями Дирихле
u(0) = Du(0) = u(1) = Du(1) = 0.
(2)
Параметры ? и ? описывают степенные особенности коэициентов диеренциального оператора A .
Далее предполагаются выполненными условия на коэициенты уравнения:
? < 1 (условие слабого вырождения); ? + 4 ? ? > 0 ; a(x) ? a0 > 0, b(x) ? 0 ; a, b достаточно гладкие ункции (их гладкость определяется ниже).
238
А.А. СОБОЛЕВ, М.. ТИМЕБАЕВ
Положим u
b(x) = u(x)/?(x) , где u решение задачи (1), (2), ?(x) = x2?? .
b ормулой Ab
bu = A(?b
u) . Вместо исходной задачи рассмотОпределим оператор A
рим задачу о нахождении ункции u
b:
bu(x) = f (x),
Ab
?b
u|x=0 = D(?b
u)|x=0 = u
b(1) = Db
u(1) = 0.
(3)
b справедлива теорема гладкости
Для решения u
s+2
s
Пусть ? ? 5/2 ? s < ? < 1/2 , a ? W?
, x?+2?? b ? W?
. Тогда
s+4
2
b
оператор A осуществляет изоморизм пространства H??2 ? H?? на H?s. При
этом для решения задачи
(3) выполняются граничные условия x4?? D2 u
b(x)x=0 =
4?? 2
D u
b(x) x=0 = 0 .
= 0, D x
Теорема 3.
b представим в виде A
b=A
b0 + B , где
Оператор A
b0 u
A
b(x) = D2 x? a(x)D2 (?(x)b
u(x)) , Bb
u(x) = x?+2?? b(x)b
u(x).
Доказательство.
При выполнении условий теоремы на коэициенты a и b непосредственным диb0 , B и A
b непрерывны из H s+4
еренцированием проверяется, что операторы A
??2
s
в H? .
b0 является изоморизмом пространства H s+4 ? H? 2
Покажем, что оператор A
?
??2
s+4
b = A
b0 + B
на H?s , а оператор B компактен из H??2
в H?s . Тогда оператор A
b0 . Так как однородное уравнение
будет компактным возмущением изоморизма A
b
Ab
u = Au = 0 имеет только тривиальное решение (это следует из эллиптичности
b : H s+4 ? H? 2 ? H s
оператора A ), то в силу альтернативы Фредгольма оператор A
?
?
??2
будет изоморизмом.
Пусть f ? H?s . Дважды интегрируя уравнение (1) с b(x) ? 0 , получим
?
x a(x)D2 u(x) = p(x) + f1 (x) , где p(x) полином первой степени, который подбирается из граничных условий в точке x = 1 , ункция f1 (x) такая, что D2 f1 = f,
p(x) + f1 (x)
s+2
f1 ? H?s+2 . Положим g(x) =
. Тогда g ? H?s+2 , так как a ? W?
и
a(x)
a(x) ? a0 > 0 . Поскольку ? ? j < min(1, ? ? j + s + 2 + 1/2) для j = 0, 1, . . . , s + 2 , то
Dj g ? dom K??j . Следовательно, x?? g ? L1 (0, t) для любого t ? (0, 1) , и с учетом
граничных условий в точке x = 0 получим
u(x) =
Zx Zy
0
t?? g(t) dt dy,
0
соответственно,
??2
u
b(x) = x
Zx
0
y
1?? ??1
y
Zy
t?? g(t) dt dy = K??1 K? g.
0
Используя ормулы диеренцирования оператора Харди (теорема 2) и условие
? ? 5/2 ? s < ? , будем иметь:
Ds+2 u
b = Ds+2 (K? g ? K??1 g) = K??s?2 Ds+2 g ? K??s?3 Ds+2 g ? L2,? ,
Ds+3 u
b=
Ds+2 g ? ? s ? 4
Ds+2 g ? ? s ? 3
+
K??s?2 Ds+2 g ?
?
K??s?3 Ds+2 g =
x
x
x
x
=
4+s??
3+s??
K??s?3 Ds+2 g ?
K??s?2 Ds+2 g ? L2,??1 ,
x
x
О СХЕМАХ МКЭ ВЫСОКОО ПОЯДКА ТОЧНОСТИ
Ds+4 u
b=
239
(4 + s ? ?)(? ? s ? 5)
K??s?3 Ds+2 g?
x2
?
(3 + s ? ?)(? ? s ? 4)
Ds+2 g
K??s?2 Ds+2 g +
? L2,??2 .
2
x
x2
s+4
Следовательно, u
b ? H??2
, и в силу непрерывности операторов Харди справедлива
s+4
s+4
оценка kb
u|H??2 k ? ckf |H?s k . Поскольку при ? < 1/2 выполнены вложения H??2
?
s+2
2
b в точке x = 1 получим,
? H?
? H? , то с учетом граничных условий для u
s+4
b0 есть изоморизм пространства
что u
b ? H??2
? H??2 . Таким образом, оператор A
s+4
H??2
? H??2 на H?s .
Проверим выполнение естественных граничных условий в точке x = 0 . Так как
D2 u
b = K??2 D2 g ? K??3 D2 g ? H?s ,
то при x ? 0
4??
x
и
4??
D(x
2
D u
b) =
Zx
2
D u
b=x
Zx
t
2??
0
2
D g(t) dt ?
Zx
t3?? D2 g(t) dt ? 0
0
t2?? D2 g(t) dt + xx2?? D2 g(x) ? x3?? D2 g(x) =
0
=
Zx
t2?? D2 g(t) dt ? 0.
0
s+4
Наконец покажем, что оператор B : H??2
? H?s компактен. Справедливо равенство
s
X
Ds Bb
u(x) =
Csj Ds?j (x?+2?? b(x))Dj u
b(x).
(4)
j=0
Пространство H?s+1?j компактно вложено в L2,? (теорема 1), следовательно, оператор Dj : H?s+1 ? L2,? компактен для j = 0, 1, . . . , s . Из условия x?+2?? b ?
s
? W?
следует, что все производные Dk (x?+2?? b) (k = 0, 1, . . . , s) ограничены
на ? . Из равенства (4) и теоремы 1 (утверждение (v)) вытекает компактность
s+4
оператора B : H??2
? H?s+1 ? H?s .
Следствие 1.
u
b ? C [0, 1] .
Если a, x?+2?? b, f ункции класса C ? [0, 1] , то ункция
?
s+4
Из теоремы 3 при ? = 0 и вложения H?2
? H s+2 следует
s
s+2
s+1
s+1
оценка kb
u|H
k ? ckf |H k . Так как H
?C
, то u
b?C
[0, 1] для любого s ,
то есть u
b ? C ? [0, 1] .
Доказательство.
s+2
Из теоремы 3 вытекает, что решение u
b задачи (3) является гладкой ункцией
и ее гладкость зависит только от гладкости правой части f и коэициентов a,
x?+2?? b и не зависит от степени вырождения ? , тогда как у решения u исходной
задачи при ? > 0 вторая производная в окрестности точки вырождения x = 0 ,
вообще говоря, бесконечна.
240
А.А. СОБОЛЕВ, М.. ТИМЕБАЕВ
3.
Вариационная ормулировка задачи
ассмотрим обобщенную постановку исходной задачи (1), (2) на пространстве
?
?1/2
Z
?
2
V =H 2??/2 с нормой ku|V k = ? x? D2 u dx? . Определим билинейную
?
орму a на пространстве V Ч V и линейный ункционал f на пространстве V
по ормулам
Z
Z
?
2
2
?
a(u, v) =
x aD uD v + x buv dx, f(v) = f v dx.
?
?
Под обобщенным решением двухточечной краевой задачи (1), (2) будем понимать ункцию u ? V , которая удовлетворяет равенству
a(u, v) = f(v)
(5)
? v ? V.
Теорема 4. Если ? ? ?/2 ? 2 ? s , то решение u ? V задачи (5) существует
и единственно для любой правой части f ? H?s .
Покажем непрерывность билинейной ормы a :
Z
Z
?
2
2
?
?
2
2
|x aD uD v + x buv| dx ? |x aD uD v| dx + |x? buv| dx ?
Доказательство.
|a(u, v)| ?
Z
?
?
? c1
h Z
?
x?
?
Z
2 1/2 2 1/2
2
D u dx
x? D2 v dx
+
?
+
Z
?
1/2 Z
1/2 i
? cku|V kkv|V k,
x? u2 dx
x? v 2 dx
?
поскольку V ? L2,??/2 при ?+4?? > 0 . Эллиптичность ормы a на пространстве
V следует из неравенств
Z
2
a(u, u) ? x? a D2 u dx ? a0 ku|V k2 .
?
Так как V ? L2,2??/2 , то линейный ункционал f непрерывен на V , если f ?
? L2,?/2?2 ? V ? . А это выполнено, поскольку H?s ? L2,?/2?2 при ? ? ?/2 ? 2 ? s .
Из свойств билинейной ормы a и линейного ункционала f следует, что вариационное уравнение (5) однозначно разрешимо.
2
Положим Vb = H??/2?2
. Через ? обозначим линейный оператор умножения на
2??
ункцию ?(x) = x
. В [12? доказана
Лемма 1.
странство V .
Оператор ? является изоморизмом пространства Vb на про-
Из леммы 1 следует, что вариационная задача (5) на гильбертовом пространстве V эквивалентна вариационной задаче на гильбертовом пространстве Vb : найти
ункцию u
b ? Vb такую, что
b
a(b
u, vb) = bf(b
v) ? b
v ? Vb ,
(6)
где b
a(b
u, vb) = a(?u, ?v), bf(b
v ) = f(?v) . При этом решения задач (5) и (6) связаны
между собой соотношением u = ?b
u.
О СХЕМАХ МКЭ ВЫСОКОО ПОЯДКА ТОЧНОСТИ
4.
241
Аппроксимация задачи конечными элементами
На отрезке [0, 1] зададим набор узлов 0 = x0 < x1 < · · · < xn = 1 . Данный
набор точек образует разбиение Th = {ek }nk=1 отрезка [0, 1] на конечные элементы
ek = [xk?1 , xk ] с шагом h = max hk , где hk = xk ? xk?1 . Предполагается сущеk=1,...,n
ствование постоянной µ > 0 , не зависящей от h , что hk+1 ? µhk , k = 1, . . . , n ? 1 .
Пусть m ? 3 натуральное число. Определим пространство конечных элементов Shm,1 как множество ункций класса C 1 , сужение каждой из которых на
произвольный конечный элемент ek ? Th есть полином степени m , то есть
Shm,1 ? S m,1 (Th ) = {? ? C 1 [0, 1] : ?e ? Pm (ek ) ? ek ? Th }.
k
m?1
Пусть выполнены условия: ?/2 ? (m ? 1) < ? < 1/2, a ? W?
, x?+2?? b ?
m?3
m?3
? W? , f ? H? . Поскольку 1/2 > ? > ?/2 ? (m ? 1) > ? ? (m ? 3) ? 5/2 ,
то по теореме 3 решение краевой задачи (1), (2) можно записать в виде u = ?b
u,
где ункция u
b решение вариационной задачи (6), причем имеет место оценка
m+1
kb
u|H??2
k ? ckf |H?m?3 k.
v ? Shm,1 : vb(1) = Db
v (1) = 0}, Vh = ? Vbh .
Положим Vbh = Shm,1 ? Vb = {b
Через uh ? Vh обозначим приближение алеркина для задачи (5), то есть ункция uh является решением вариационного уравнения
a(uh , v) = f(v)
? v ? Vh .
(7)
В качестве приближенного решения задачи (6) возьмем ункцию u
bh ? Vbh такую,
что
b
a(b
uh , b
v ) = bf(b
v ) ? vb ? Vbh .
(8)
Тогда uh = ?b
uh , и для погрешности приближения в энергетической норме справедлива оценка:
q
p
ku ? uh |V k ? a(u ? uh , u ? uh ) = b
a(b
u?u
bh , u
b?u
bh ) ? kb
u?u
bh |Vb k.
m?1
m?3
Теорема 5. Пусть ?/2 ? (m ? 1) < ? < 1/2 , a ? W?
, x?+2?? b ? W?
.
Тогда для f ? H?m?3 справедлива оценка погрешности метода
ku ? uh |V k ? ch? kf |H?m?3 k,
(9)
где ? = min(m ? 1, m ? 1 + ? ? ?/2) .
Доказательство. Используя лемму Сеа [17, с. 109?, весовые оценки конечноэлементной аппроксимации [18? и теорему 3 для s = m ? 3 , получим оценку (9):
ku ? uh |V k ? kb
u?u
bh |Vb k ? c1 inf kb
u ? ?|Vb k ? c2 h? kDm+1 u
b|L2,??2 k ?
bh
??V
Следствие 2.
m+1
? c3 h? kb
u|H??2
k ? ch? kf |H?m?3 k.
m?1
m?3
Если a ? W?
, x?+2?? b, f ? W?
, то
m?3
ku ? uh |V k ? kb
u?u
bh |Vb k ? chm?1 kf |W?
k.
Справедливость утверждения непосредственно вытекает из теоремы, поскольку
m?3
m?3
при ? < 1 имеет место вложение W?
? H?/2
.
242
А.А. СОБОЛЕВ, М.. ТИМЕБАЕВ
5.
езультаты численных экспериментов
Пусть X, ? полное метрическое пространство. Если для некоторой последовательности (vj ) и элемента v из X выполнена оценка ?(vj , v) ? cq ?j , где j =
= 0, 1, . . . , q > 1 , то имеет место неравенство
?(vj , vj+1 ) ? ?(vj , v) + ?(v, vj+1 ) ? (c + cq ?1 )q ?j .
Справедливо и обратное утверждение
Лемма 2. Если для некоторой последовательности vj ? X выполнено неравенство ?(vj , vj+1 ) ? c1 q ?j , j = 0, 1, . . . , q > 1 , то существует единственный
элемент v ? X такой, что ?(vj , v) ? c2 q ?j .
Доказательство. Для любых целых неотрицательных j и натуральных s
имеем цепочку неравенств
?(vj , vj+s ) ? ?(vj , vj+1 ) + ?(vj+1 , vj+2 ) + · · · + ?(vj+s?1 , vj+s ) ?
X
X
s?1
?
?i
?j
?i
? c1
q
q ? c1
q
q ?j = c1
i=0
i=0
q
q ?j = c2 q ?j , (10)
(q ? 1)
откуда следует, что последовательность (vj ) ундаментальна. Так как пространство X полное, то у этой последовательности существует предел, который обозначим через v . Переходя в неравенстве (10) к пределу при s ? ? , получим оценку
?(vj , v) ? c2 q ?j .
Пусть m степень полиномов на конечном элементе, u
bn , u
b2n решения (8)
на равномерной сетке, состоящей из n и 2n конечных элементов соответственно.
Тогда по лемме 2 при q = 2m?1 , n = n0 2j ( n0 начальное число конечных элементов) из неравенства kb
un ? u
b2n |Vb k ? c1 n1?m следует, что kb
un ? u
b|Vb k ? c2 n1?m .
Таким образом, проверка ограниченности величин nm?1 kb
un ? u
b2n |Vb k может служить тестом на сходимость метода с порядком m ? 1 . В табл. 1 эти величины
вычислены для a(x) = 1 + x, b(x) = x, ? = ?, f (x) = 1 + x .
Табл. 1
m
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
?\n
0.5
0
0.2
0.5
0.9
0.5
0
0.2
0.5
0.9
16
2.0e3
2.9e3
3.5e3
4.6e3
6.6e3
2.7e4
3.3e4
3.5e4
4.0e4
4.7e4
32
1.6e3
2.3e3
2.8e3
3.9e3
6.3e3
2.7e4
3.3e4
3.6e4
4.0e4
4.8e4
64
1.5e3
2.0e3
2.4e3
3.5e3
6.0e3
2.7e4
3.3e4
3.6e4
4.0e4
4.9e4
128
1.4e3
1.9e3
2.2e3
3.1e3
5.8e3
2.7e4
3.3e4
3.6e4
4.0e4
4.9e4
256
1.4e3
1.8e3
2.1e3
2.8e3
5.6e3
2.7e4
3.3e4
3.7e4
4.0e4
4.9e4
512
1.4e3
1.8e3
2.1e3
2.6e3
5.5e3
2.7e4
3.4e4
3.7e4
4.1e4
5.0e4
Заключение
Схемы МКЭ, основанные на мультипликативном выделении особенности для
рассматриваемой задачи, имеют в энергетической норме оптимальную скорость
m?3
сходимости O(hm?1 ) на классе правых частей из W?
, m ? 3 . Данный метод является эективным как в регулярном случае ? = ? = 0 , так и в случае
О СХЕМАХ МКЭ ВЫСОКОО ПОЯДКА ТОЧНОСТИ
243
вырождения, тогда как стандартный МКЭ при 0 < ? < 1 для сколь угодно гладкой правой части и любого m ? 3 приводит к существенно худшей сходимости
O(h(1??)/2 ) , которая не улучшается с повышением гладкости входных данных и
степени полиномов m на конечном элементе.
абота выполнена при инансовой поддержке оссийского онда ундаментальных исследований (проекты ќ 09-01-97015, 10-01-00728).
Summary
On Finite Element Method of High-Order Auray for
Two-Point Degenerated Dirihlet Problem of 4th Order.
A.A. Sobolev, M.R. Timerbaev.
In this paper two-point boundary value problem for a dierential equation of 4th order with
degeneration is onsidered. This problem is solved by the nite element method of high-order
auray with a multipliative separation of singularity. The optimal onvergene rate of the
presented method for a given lass of smoothness of the right-hand sides is proved.
Key words: two-point boundary value problem, weighted Sobolev spae, nite element
method, multipliative deomposition of singularity.
Литература
1.
Смирнов М.М.
Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.:
Наука, 1966. 292 с.
2.
Лизоркин П.И., Никольский С.М.
3.
Кыдыралиев С.К.
Эллиптические уравнения с вырождением. Диеренциальные свойства // Докл. АН ССС. 1981. Т. 257, ќ 2. С. 278282.
О повышении гладкости решений вырождающихся эллиптических
уравнений второго порядка // Диеренц. уравнения. 1989. Т. 25, ќ 3. С. 529
531.
4.
Тимербаев М.. Весовые оценки решения задачи Дирихле с анизотропным вырождением на части границы // Изв. вузов. Матем. 2003. ќ 1. С. 6073.
5.
Оценки сходимости конечно-разностных схем для вырожденных эллиптических уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. из. 1965. Т. 5, ќ 2. С. 351357.
усман Ю.А., Оганесян Л.А.
6.
Franhi B., Tesi M.K.
A nite element approximation for a lass of degenerate ellipti
equations // Math. of Comp. 1999. V. 69, No 229. P. 4163.
7.
Ляшко А.Д., Тимербаев М..
8.
Тимербаев М.., Ляшко А.Д.
Оценки точности схем МКЭ для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Диеренц. уравнения. 1993. Т. 29,
ќ 7. С. 12101215.
Об оценках погрешности схем МКЭ для квазилинейных
вырождающихся уравнений 2-го порядка // Диеренц. уравнения. 1994. Т. 30,
ќ 7. С. 12391243.
9.
Тимербаев М.. Конечноэлементная аппроксимация вырождающегося эллиптического уравнения 2-го порядка в области с криволинейной границей // Изв. вузов.
Матем. 1994. ќ 9. С. 7886.
10.
Карчевский М.М., Ляшко А.Д., Тимербаев М.. Метод конечных элементов для квазилинейных вырождающихся уравнений 4-го порядка // Диеренц. уравнения. 1999. Т. 35, ќ 2. С. 232237.
11.
Мультипликативное выделение особенности в схемах МКЭ для эллиптических вырождающихся уравнений // Диеренц. уравнения. 2000. Т. 36,
ќ 7. С. 10861093.
Тимербаев М..
244
12.
А.А. СОБОЛЕВ, М.. ТИМЕБАЕВ
О схемах МКЭ для 2-точечной граничной задачи Дирихле 4-го
порядка со слабым вырождением // Исслед. по прикл. матем. и ин. Казань:
Казан. гос. ун-т, 2004. Вып. 25. С. 7885.
Тимербаев М..
13.
Таюпов Ш.И., Тимербаев М.. Схемы МКЭ высокого порядка точности для неоднородной двухточечной граничной задачи с вырождением // Учен. зап. Казан. ун-та.
Сер. Физ.-матем. науки. 2006. Т. 148, кн. 4. С. 6375.
14.
Кудрявцев Л.Д. Об эквивалентных нормах в весовых пространствах // Тр. МИАН
им. Стеклова. 1984. Т. 170, Ч. 10. С. 161190.
15.
Никольский С.М. Приближение ункций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. 456 с.
16.
17.
Теория интерполяции. Функциональные пространства. Диеренциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с.
Трибель Х.
Сьярле Ф.
Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. 512 с.
18.
Конечноэлементная аппроксимация в весовых пространствах Соболева // Изв. вузов. Матем. 2000. ќ 11. C. 7684.
Тимербаев М..
Поступила в редакцию
25.01.10
Тимербаев Марат авилевич доктор изико-математических наук, проессор
каедры вычислительной математики Казанского государственного университета.
E-mail: marat.timerbaevksu.ru
Соболев Андрей Анатольевич аспирант каедры вычислительной математики
Казанского государственного университета.
E-mail: andreyasobyandex.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
234 Кб
Теги
точности, мкэ, четвертое, вырождением, двухточечный, высокого, дирихле, задачи, схема, порядке
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа