close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О сходимости линейных положительных операторов для функций двух переменных.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2009, том 52, №11
МАТЕМАТИКА
УДК 517.518.8
Ш.Абдулофизов
О СХОДИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 15.09.2009 г.)
В заметке [1] мы рассматривали линейные положительные операторы вида
n
Sn ( f  x)   f ( nk )qnk ( x)
(1)
nk  kn1 (1  rn1  kn1 )1
(2)
qkn ( x)  Cnk [rn (1  x)]n [(1  rn ) x]k (rn  x)nk 
(3)
k 0
где
n
q
k 0
kn
( x)  1
(4)
Рациональные дроби (1) получаются из многочленов Бернштейна
n
k
Bn ( f  t )   f   Cnk t k (1  t ) n k
n
k 0
x 

заменой переменной t  (1  rn1 ) x(1  x) 1  g ( x) g (rn )  g ( x) 
  где {rn } - положитель1 x 

ная возрастающая неограниченная последовательность.
Пусть  - возрастающая на R  [0) функция; C - множество непрерывных на R 
функций f  удовлетворяющих условию
max  f ( x)  (r )
0 x  r
В работе [1] было доказано, что если последовательность {rn } удовлетворяет условию
lim (rn )rn2n1  0
n
то для f  C на всяком отрезке [0 A] последовательность S n ( f  x) равномерно сходится к
f и при A  rn справедлива оценка
 Sn ( f  x)  f ( x)  CA{2 A ( f  Dn ( x))  (rn )(1  rn )2 Dn ( x)}
831
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2009, том 52, №11
где a ( f   ) - модуль непрерывности функции f на [0 a]
Dn ( x)  x(rn  x)[n(1  rn )]1
Здесь мы рассмотрим приближение функций двух переменных линейными положительными операторами двух переменных типа полиномов Бернштейна.
Пусть  - возрастающая по каждой из переменных x и y функция, определенная на
R  R  C  ( R   R  ) - множество непрерывных на R  R функций f , удовлетворяющих
условию
 f ( x y )   ( x y )
(5)
Выберем {rn }{ m } - последовательности неограниченно возрастающих положительных чисел таких, чтобы выполнялись условия
lim  (rn  m )rn2n1  0 lim  (rn  m ) m2 m1  0
n
n
(6)
Построим операторы следующего вида:
n
m
Snm ( f  x y )    f ( nk ml )qnk ( x) pml ( y )
(7)
k 0 l 0
где qnk ( x ) определены в (3),  nk в (2).  ml и pml ( y ) определим аналогично из условия
g (ml ) l
  то есть ml  lm1 (1  m1  lm1 )1
g ( m ) m
pml  Cml [ m (1  y)]m[(1  m ) y]l ( m  y)ml 
(8)
Благодаря (4), имеем
m
p
l 0
ml
( y )  1
(9)
В работе [1] были получены следующие соотношения
n
 (
k 0
n
 (
k 0


nk  2 A
nk
 x)(1   nk ) 1 qnk ( x)  0
(10)
 x) 2 qnk ( x)  (1  rn ) 2 Dn ( x)
(11)
nk
(nk  x)2 qnk ( x)  (1  2 A)2 Dn ( x)
832
(12)
Математика
Ш.Абдулофизов
Из неравенств (10), (11) и (12) получаем
m
 (
l 0
m
 (
l 0


ml  2 B
ml
ml
 y )(1  ml ) 1 pml ( y )  0
 y ) 2 pml ( y )  (1   m ) 2 Dm ( y )
(ml  y)2 pml ( y)  (1  2 B) 2 Dm ( y ) ,
(13)
(14)
где
Dm ( y)  y( m  y)[m(1  m )]1
Обозначим через J A отрезок [0 A] а через J B отрезок [0 B] J AB  J A  J B  Функцию
 (1   2 ) 
sup
( x  y )  ( u  v )J AB
 f (u v)  f ( x y ) 
назовем модулем непрерывности функции f ( x y) в прямоугольнике J AB  J A  J B  Если
функция f непрерывна на J AB и  (1   2 ) ее модуль непрерывности, то каковы бы ни были
  0 и   0 (см.[2])
 (1   2 )  (    1) (1  2 )
(15)
Теорема 1. Пусть f  C  ( R   R  ) , тогда на любом прямоугольнике [0 A] [0 B]
справедливо неравенство
 Snm ( f  x y)  f ( x y)  CA B{2 A2 B ( f  Dn ( x)  Dm ( x))) 
 (rn  m )(1  rn )2 Dn ( x)   (rn  m )(1  m )2 Dm ( y)}
(16)
где 2 A2 B (1  2 ) - модуль непрерывности функции на J 2 A 2 B 
Таким образом, если выполняется равенство (7), то операторы (8) равномерно сходятся к f на любом замкнутом прямоугольнике J AB 
Доказательство. Из (4) и (9) получим
n
m
q
k 0 l 0
nk
( x) pml ( y )  1
Используя (7) и (17), имеем
833
(17)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
n
2009, том 52, №11
m
 Snm ( f  x y )  f ( x y )     f ( nk ml )  f ( x y )  qnk ( x) pml ( y )
k 0 l 0
Разобьем двойную сумму на три части следующим образом:
n
m

k 0 l 0
 

nk  2 A ml  2 B
 
nk  2 A ml  2 B
n



k 0 ml  2 B
Следовательно, мы имеем
 Snm ( f  x y)  f ( x y ) 
 

nk  2 A ml  2 B
n


k 0 ml  2 B
 
nk  2 A ml  2 B
 f (nk ml )  f ( x y )  qnk ( x) pml ( y ) 
 f (nk ml )  f ( x y)  qnk ( x) pml ( y) 
 f (nk ml )  f ( x y)  qnk ( x) pml ( y)  u1  u2  u3 
При  nk  2 A ml  2 B , учитывая неравенство (15), имеем
 f (nk ml )  f ( x y)  2 A2 B ( f  nk  x  ml  x ) 
    x    x  


 2 A2 B  f  Dn ( x)  Dm ( y)  
 1  nk
 ml



Dn ( x)
Dm ( y) 

Тогда для u1 получим
u1 
 
nk  2 A ml  2 B
 f (nk ml )  f ( x y )  qnk ( x) pml ( y ) 




 2 A2 B  f  Dn ( x)  Dm ( y) 

 ml  x 
Dm ( y )
 

nk  2 A
(1 
ml  2 B
 nk  x 

Dn ( x)
)qnk ( x) pml ( y )
Следовательно, используя (4), (9) и (17), получим




u1  2 A2 B  f  Dn ( x)  Dm ( y)  [

 
nk  2 A ml  2 B
qnk ( x) pml ( y) 
1
   nk  x  qnk ( x) pml ( y) 
Dn ( x) nk 2 A ml 2 B
834
(18)
Математика
Ш.Абдулофизов

1
 
Dm ( y ) nk 2 A ml 2 B




 ml  y  qnk ( x) pml ( y)] 
1
  nk  x  qnk ( x) 
Dn ( x) nk 2 A
 2 A2 B  f  Dn ( x)  Dm ( y)  [1 

1

 ml  y  pml ( y)]
Dm ( y) ml 2 B
Применяя неравенство Коши-Буняковского к суммам в скобке и используя (12) и (14),
имеем




u1  2 A2 B  f  Dn ( x)  Dm ( y)  (1  (1  2 A)  (1  2B)) 




 (3  2 A  2B)2 A2 B  f  Dn ( x)  Dm ( y)  
(19)
Так как  nk  x  A при  nk  2 A и x  A то, учитывая (5), (9) и (11), можем писать
u2 
 
nk  2 A ml  2 B
 f (nk ml )  f ( x y )  qnk ( x) pml ( y ) 
(nk  x)2
 A2 qnk ( x) 2 B pml ( y) 
nk  2 A
ml
 2 (rn  m )
 2 A2 (rn  m )(1  rn )2 Dn ( x)
(20)
Так как ml  y  B при  ml  2 B и y  B то, используя (5), (4) и (13), получим
n
u3  

k 0 ml  2 B
 f (nk ml )  f ( x y )  qnk ( x) pml ( y) 
n
(ml  y)2
 B2 pml ( y) 
ml  2 B
 2 (rn  m ) qnk ( x)
k 0
 2B2 (rn  m )(1  m )2 Dm ( y)
(21)
Таким образом, неравенства (18),(19),(20) и (21) дают неравенство (16). Теорема доказана.
Ясно, что соответствующая теорема справедлива для функций n переменных класса
C [( R  ) n ]
835
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2009, том 52, №11
Следствие. Если функция f удовлетворяет условию Липшица с показателями    
 f ( x   y  )  f ( x   y  )  M1  x   x   M 2  y   y   
(0    1 0    1 M 1  0 M 2  0)
то на любом прямоугольнике [0 A] [0 B]
 Sn ( f  x y)  f ( x y)  M1 (1  rn ) (Dn ( x)) 2  M 2 (1  m ) ( Dm ( y)) 2 
Теорема 2. Если функция f ( x y) удовлетворяет условию типа Липшица
 f (u v)  f ( x y )   1
 u  x 
 v  y 



2
(u  x) 2
(v  y )   2
(22)
0  x  u   0  y  v   (0    1 0    1  1  0  2  0)
то на любом прямоугольнике [0 A] [0 B] справедливо неравенство
 2
 r (1  rn ) 
 Sn ( f  x y )  f ( x y )   1  n

n


 2
  (1  m ) 
  2 m
 
m


Доказательство. Учитывая (7),(17) и (22),
n
m
 Sn ( f  x y )  f ( x y )     f ( nk ml )  f ( x y )  qnk ( x) pml ( y ) 
k 0 l 0
n
m
    x 
 ml  y  
     1 nk


 qnk ( x) pml ( y ) 
2
( nk  x) 2
(ml  y )  2 
k 0 l 0 
m
n
m
 nk  x 
 ml  y 
q
p
(
y
)


q
p ( y)
2  nk 
 2 nk  ml
 2 ml
k 0 ( nk  x)
l 0
k 0
l 0 (ml  y )
n
 1
Отсюда, используя неравенство Гельдера, (4), (9), (11) и (13), получим
 Sn ( f  x y )  f ( x y ) 
2


m
y  2
2 
y
 2
 
l 0
1
x 2

ml
 y  pml ( y ) 

 (ml  y ) pml ( y ) 
 l 0

m
2
n

k 0
1
 n

 2 
 k 0
 (
x
 2

nk
1
 2
x
836
 x  qnk 
nk
  2

nk 


 x) q
2

(1  rn ) ( Dn ( x)) 2 
(23)
Математика
Ш.Абдулофизов

2
y  2
(1  m ) ( D ( y))


m
 2
 x( r  x) 
  2 (1  rn )  n

x
 n(1  rn ) 
1
 2

 y ( m  y ) 
  2 (1  m ) 

y
 m(1  m ) 
2
 2

 2
 (1  rn )(rn  x) 
 1

n




 2
 (1  m )( m  y) 
  2
 
m


Отсюда получим (23). Теорема доказана.
Хорогский государственный
Поступило 15.12.2008 г.
университет им. М.Назаршоева
Л И Т Е РАТ У РА
1. Абдулофизов Ш., Виденский В.С – XXXI Герценовские чтения. Нелинейный функциональный
анализ. – Л., 1978, с.1-3.
2. Ипатов А.Ф. – Уч. записки Петрозаводского госуниверситета, 1955, т.4, вып.4, с.31-48.
Ш.Абдулофизов
ДАР БОРАИ НАЗДИККУНИИ ФУНКСИЯИ ДУТАЃЙИРЁБАНДА БО ЁРИИ
ОПЕРАТОРЊОИ ХАТТИИ МУСБАТ
Дар маќола теорема дар бораи наздикшавии операторњои хаттии мусбат ба
функсияњои дутаѓйирёбанда дар R  R исбот карда шудааст.
Sh.Abdulofizov
APPROXIMATION OF LINEAR POSITIVE OPERATORS FOR THE FUNCTIONS
OF TWO-VARIABLE
In this article was proved the theorem on the approximation of linear operators for the functions of two-variable in the R  R interval.
837
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
264 Кб
Теги
сходимость, оператора, функции, линейный, положительная, двух, переменных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа