close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О сходимости метода частиц для несжимаемой жидкости.

код для вставкиСкачать
Вычислительные технологии
Том 9, № 1, 2004
О СХОДИМОСТИ МЕТОДА ЧАСТИЦ ДЛЯ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ∗
Е. В. Овчинникова
Красноярский государственный технический университет, Россия
А. М. Франк
Институт вычислительного моделирования СО РАН,
Красноярск, Россия
e-mail: frank@icm.krasn.ru
The first result on convergence for the particles method for incompressible fluid for
the case of inner initial-boundary value problem for Navier — Stokes equations has been
proven. The result is valid both in 2D and 3D, provided that the differential problem has
a solution.
Введение
Метод частиц для несжимаемой жидкости как новый консервативный свободно-лагранжев
метод был предложен около 10 лет назад [1]. Подробное его описание можно найти в [2].
Метод представляет собой некоторый специальный вариант метода Галеркина, в котором конвективный перенос осуществляется с помощью материальных частиц. Такой подход имеет ряд очевидных принципиальных достоинств. В частности, материальная производная вычисляется в лагранжевых переменных, поэтому основная схема метода (без
внешних и поверхностных сил) полностью консервативна и безусловно устойчива. С другой стороны, массовые, внутренние и поверхностные силы вычисляются в естественных,
т.е. эйлеровых, координатах. Использование частиц позволяет легко отслеживать границы
раздела, причем произвольное изменение связности течения и границ не доставляет никаких дополнительных алгоритмических сложностей. Использование B-сплайнов в качестве
базисных функций в методе Галеркина дает возможность проводить расчеты в областях
с криволинейными и подвижными границами. Удачный выбор базисных функций часто
позволяет получать хорошие результаты даже при очень грубом (с точки зрения традиционных конечно-разностных и конечно-элементных схем) пространственном разрешении.
Примеры решенных двумерных и трехмерных задач для невязкой жидкости можно найти
в [2]. Недавно метод был обобщен на случай вязких течений с поверхностным натяжением [3].
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования РФ, грант КЦФЕ для аспирантов А03-2.8-872.
c Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2004.
°
∗
58
59
О СХОДИМОСТИ МЕТОДА ЧАСТИЦ
Несмотря на определенные успехи в развитии метода и его применении к решению
гидродинамических задач, вопрос о его сходимости оставался открытым. В настоящей
статье доказана первая из таких теорем.
1. Постановка задачи
Рассмотрим следующую начально-краевую задачу для системы уравнений Навье — Стокса:
ut + uk uxk − ν∆u = 0, div u = 0;
(1)
(2)
u|S = 0, u|t=0 = a(x)
в области QT = Ω × (0, T ). Здесь Ω — ограниченная область с кусочно-гладкой границей S.
Относительно a(x) предположим
div a = 0, a|S = 0.
(3)
Мы будем иметь дело с обобщенным решением [4] задачи (1),(2). Обобщенное решение
3
R P
u4i (x, t)dx равзадачи (1),(2) — это вектор-функция u(x, t), для которой интегралы
Ω i=1
номерно ограничены при t ∈ [0, T ], производные uxk , ut существуют и квадратично суммируемы на QT , а также выполнены условия
div u = 0, u|S = 0, u|t=0 = a(x)
и тождество
Z
(−uΦt + νux Φx − uk uΦxk ) dxdt +
QT
Z
(4)
uΦ|t=T dx −
Ω
Z
aΦ|t=0 dx = 0
(5)
Ω
при любой Φ ∈ W21,1 (QT ) ∩ J(QT ). Здесь пространство J(Ω) = {u ∈ L2 (Ω)| div u = 0,
u|S = 0}. Скалярное произведение и норму в L2 (Ω) будем обозначать ( , ) и || || соответственно. Под нормой производной будем понимать
||ux ||2 ≡
Z
Ω
|ux |2 dx, |ux | ≡
Ã
3
X
i,j=1
(uixj )2
!1/2
.
Схема метода частиц с обсуждением особенностей численной реализации подробно изложена в [2, 3]. Здесь мы приведем лишь основные уравнения для случая простейшей
дискретизации первого порядка по времени. В качестве базисных функций возьмем в
гильбертовом пространстве W22 (Ω) ∩ H(Ω) фундаментальную систему функций {ak (x)},
ортонормированную в L2 (Ω). Пусть Vm — пространство, представляющее собой линейную оболочку функций {ak (x)}m
k=1 . В начальный момент времени t = 0 аппроксимируем объем Ω конечной системой материальных частиц ωk с координатами ξk = x0 (ξk ) и
массами mk = µ(ωk ), k = 1, . . . , N . Зададим начальное распределение скорости v0 (x)
из Vm , аппроксимирующее поле a(x). Обозначим через τ шаг по времени, а через d —
максимальный линейный размер частиц. Положим по определению ((a(xn ), b(xn ))) =
60
Е. В. Овчинникова, А. М. Франк
N
P
mk a(xn (ξk )) · b(xn (ξk )), [[a(xn )]]2 = ((a(xn ), a(xn ))). Тогда на каждом временном шаге
k=1
новое поле скоростей из Vm находится из системы уравнений
µµ n+1 n+1
¶¶
¢¢
¡¡
v (x ) − vn (xn ) l n+1
n+1
n+1
l
(x
)
= 0,
(x
),
a
, a (x )
+ ν vxn+1
x
i
i
τ
(6)
где l = 1, ..., m, а частицы движутся в силу уравнения
xn+1 (ξk ) = xn (ξk ) + τ vn (xn (ξk )).
2. Априорные оценки
Сначала оценим норму поля скорости
n
n
v (x ) =
m
X
λni ai (xn ).
i=1
и просуммируем l от 1 до m:
Умножим уравнения (6) на λn+1
l
¡¡ n+1 n+1
¢¢
¡¡
¢¢
v (x ) − vn (xn ), vn+1 (xn+1 ) + ντ vxn+1
(xn+1 ), vxn+1
(xn+1 ) = 0.
i
i
Используя тождество 2((a − b, a)) = [[a]]2 − [[b]]2 + [[a − b]]2 , получим
[[vn+1 (xn+1 )]]2 − [[vn (xn )]]2 + [[vn+1 (xn+1 ) − vn (xn )]]2 + 2ντ [[vxn+1 (xn+1 )]]2 = 0.
Просуммировав по n от 0 до k − 1, получим тождество
k
k
2
[[v (x )]] +
k−1
X
[[v
i=0
i+1
i+1
(x
i
i
2
) − v (x )]] + 2ντ
k−1
X
[[vxi+1 (xi+1 )]]2 = [[v0 ]]2 ,
(7)
i=0
из которого, в частности, следует безусловная устойчивость схемы. Для доказательства
сходимости нам понадобится оценка на якобиан |∂xn /∂ξ| преобразования лагранжевых
переменных в эйлеровы, поскольку при дискретизации по времени он перестает быть равным 1. Обозначим Jnn+1 якобиан преобразования |∂xn+1 /∂xn |, J0n — якобиан преобразования |∂xn /∂ξ|. Очевидно
¯ n¯ ¯
¯ ¯
¯
¯ 1¯
¯ ∂x ¯ ¯ ∂xn ¯ ¯ ∂xn−1 ¯
¯ ∂x ¯
n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
J0 = ¯
·
·
·
·
=
¯ ∂ξ ¯ .
∂ξ ¯ ¯ ∂xn−1 ¯ ¯ ∂xn−2 ¯
Справедливо следующее утверждение:
Лемма 1. Если
τ 1−ε ≤
а
1
1
1
, τε ≤
, τ<
,
2
0
2
4T
32F (m)[[v ]]
12F (m)[[v0 ]]
³
´−1
0
d ≤ 24 · e6T F (m)[[v ]] µ(Ω)mM F (m)
,
61
О СХОДИМОСТИ МЕТОДА ЧАСТИЦ
где
F 2 (m) =
3 X
m
X
j,k=1 i=1
max (aikxj )2 (x), M = max |al (x)|,
x∈Ω
0≤l≤m
x∈Ω
а µ(Ω) — объем области Ω, то:
1) xn = xn (ξ) — взаимно-однозначное преобразование Ω на Ω, обратное преобразование
ξ = ξ(xn ) принадлежит классу C 1 ;
0
2) |xnξ | ≤ e6T F (m)[[v ]] ;
2
2−ε T /τ
n 2
3) ||v||
¯ n ¯≤ 2(1 + τ ) [[v(x )]] ;
¯ ∂v ¯
¯ ≤ 2F (m)[[v0 ]];
4) ¯¯
∂xj ¯
5) |Jnn+1 − 1| ≤ τ 2−ε .
Доказательство. (по индукции). Для n = 0 утверждения леммы очевидны, кроме п. 3
и 5. Приведенное ниже их доказательство по индукции верно (безусловно) и для n = 0.
Пусть теперь п. 1–5 верны для n ≤ k − 1, докажем их справедливость для n = k.
Для п. 1 достаточно показать, что xk = xk (xk−1 ) есть взаимно-однозначное отображение Ω на Ω. Сначала докажем “от противного”, что xk = xk (xk−1 ) — это взаимнооднозначное отображение Ω на свою область значений Ωk .
1
и xk−1
6= xk−1
Пусть τ ≤
1
2 , а
12F (m)[[v0 ]]
k−1
xk−1
+ τ vk−1 (xk−1
+ τ vk−1 (xk−1
1
1 ) = x2
2 ),
k−1
k−1
|xk−1
− xk−1
(xk−1
(xk−1
1
2 | = τ |v
1 )−v
2 )| ≤
1 k−1
k−1
≤ 6F (m)[[v0 ]]τ |xk−1
− xk−1
− xk−1
− xk−1
1
2 | ≤ |x1
2 | < |x1
2 |.
2
Противоречие. Теперь покажем, что Ωk ⊂ Ω. Пусть xk−1
∈ Ω. Обозначим расстояние от
1
k−1
k−1
k−1
k−1
x1 до ∂Ω – δ. Поскольку v |∂Ω = 0, то v (x1 ) ≤ 6F (m)[[v0 ]]δ. Тогда расстояние,
1
пройденное этой частицей за время τ , меньше либо равно 6F (m)[[v0 ]]τ δ ≤ δ, следова2
тельно, xk1 ∈ Ω для любого xk1 , что и требовалось доказать.
Далее, поскольку vk−1 |∂Ω = 0, преобразование xk = xk (xk−1 ) переводит границу области Ω в себя, т.е. ∂Ω ∈ Ωk . Осталось показать, что ∀x ∈ Ω \ ∂Ω уравнение
x = x + τ vk−1 (x)
(8)
разрешимо в Ω. Преобразуем уравнение (8) к виду
y = −τ vk−1 (y + x) = ϕ(y).
(9)
1
ϕ(y)
12F (m)[[v0 ]]
отображает шар B(0, δ) в себя и является сжимающим отображением. Следовательно,
по теореме о неподвижной точке уравнение (9) имеет единственную неподвижную точку
в B(0, δ). А следовательно, уравнение (8) имеет корень в Ω. Таким образом, Ω ⊂ Ωk .
k
А значит, Ωk = Ω. Так как якобиан Jk−1
всюду отличен от 0, по теореме об обратном
k−1
k−1
k
отображении x
= x (x ) принадлежит классу C 1 в окрестности каждой точки из Ω.
Обозначим δ расстояние от x до ∂Ω. Нетрудно видеть, что при τ ≤
62
Е. В. Овчинникова, А. М. Франк
Для п. 2 оценим |xkξ |.
xk = xk−1 + τ vk−1 (xk−1 ).
Тогда
| · |xk−1
| ≤ |xk−1
|(1 + 6F (m)[[v0 ]]τ ) ≤
|xkξ | ≤ |xk−1
| + 3τ max |vxk−1
ξ
ξ
ξ
j
j,Ω
0
≤ (1 + 6F (m)[[v0 ]]τ )k ≤ e6T F (m)[[v ]] .
Для п. 3 докажем, что
||v||2 ≤ 2(1 + τ 2−ε )T /τ [[v(xk )]]2 .
(10)
Поскольку v принадлежит конечномерному пространству Vm , имеет место неравенство
αkm ||v|| ≤ [[v(xk )]] ≤ β km ||v||,
где
αkm =
inf
m
P
i=1
=
inf
m
P
i=1
k
где R =
R
Ω
µm
P
i=1
λ2i =1
λ2i =1

!2 1/2
à m
N
X
X

λi ai (xk (ξj ))  =
mj
i=1
j=1
1/2
 Ã
!2
Z X
m

λi ai (xk (ξ)) dξ − Rk  ,
Ω
i=1
¶2
µm
¶2
N
P
P
i
k
λi a (x (ξj )) .
mj
λi a (x (ξ)) dξ −
i
k
j=1
J0k ≤
i=1
T /τ
По предположению индукции
(1 + τ 2−ε ) , тогда
!2
!2
Z ÃX
Z ÃX
m
m
m
X
λ2i =
λi ai (x) dx =
λi ai (xk (ξ)) J0k dξ ≤
i=1
i=1
Ω
≤ 1 + τ 2−ε
¡
и, следовательно,
Ω
i=1
!2
λi ai (xk (ξ))
i=1
Ω
Z ÃX
m
i=1
Ω
Z ÃX
m
¢T /τ
!2
λi ai (xk (ξ))
dξ ≥
m
P
i=1
dξ
λ2i
(1 + τ 2−ε )T /τ
.
Оценим сверху Rk :
¯
¯
¯ N Z Ã m
!2  ¯
!2 Ã m
¯X
¯
X
X
¯
¯

|Rk | = ¯
λi ai (xk (ξj ))  dξ ¯ =
λi ai (xk (ξ)) −
¯
¯
i=1
i=1
¯ j=1 ωj
¯
(11)
¯
¯
¯
¯ N Z m
¯
¯X X
¡
¢
¡
¢
¯
¯
i
k
l
k
l
k
l
k
i
k
i
k
λi λl [a (x (ξ)) a (x (ξ)) − a (x (ξj )) + a (x (ξj )) a (x (ξ)) − a (x (ξj )) ]dξ ¯ ≤
=¯
¯
¯
¯
¯ j=1 ωj i,l=1
63
О СХОДИМОСТИ МЕТОДА ЧАСТИЦ
l
≤ max |a (x)| max
0≤i≤m
0≤l≤m
|aiξ |
·d
x∈Ω
m
X
i,l=1
|λi λl | · 2
N Z
X
j=1 ω
j
≤ 6µ(Ω)m max |al (x)| max |aixj (x)| · |xkξ |d
0≤l≤m
0≤i≤m
x∈Ω
j, x∈Ω
6T F (m)[[v0 ]]
≤6·e
mdµ(Ω)M F (m)
получим
m
X
m
X
i=1
λ2i ≤
λ2i .
i=1
Положив
d≤
1 · dx ≤
1
24 ·
|Rk | ≤
e6T F (m)[[v0 ]] mµ(Ω)M F (m)
m
P
i=1
λ2i
4
≤
m
P
i=1
(12)
,
λ2i
2(1 + τ 2−ε )T /τ
(13)
.
Теперь оценим снизу αkm :
αkm =
inf
m
P
i=1
≥
λ2i =1
i=1

Z ÃX
m
!2
λi ai (xk (ξ))
i=1
Ω
m
P
m
P
λ2i
1/2
dξ − Rk 
λ2i
1/2


i=1
i=1


−


2−ε
T
/τ
2−ε
T
/τ
(1
+
τ
)
2(1
+
τ
)
λ2 =1
inf
m
P


≥
=
i
=√
1
.
2(1 + τ 2−ε )T /2τ
Отсюда непосредственно следует (10).
Для п. 4
¯2
¯ k ¯2 ¯¯X
m
m
m
¯
X
X
¯ ∂v ¯
k i ¯
k 2
¯
¯ = ¯¯
≤
λ
a
(λ
)
(aixj )2 ≤ ||vk ||2 F 2 (m) ≤
i xj ¯
i
¯ ∂xj ¯
¯
¯
i=0
i=0
i=0
¡
¢T /τ k k 2
¡
¢T /τ 0 2
≤ 2F 2 (m) 1 + τ 2−ε
[[v (x )]] ≤ 2F 2 (m) 1 + τ 2−ε
[[v ]] .
¯ k ¯2
¯ ∂v ¯
ln 2
1−ε
¯ ≤ 4F 2 (m)[[v0 ]]2 .
, то и ¯¯
Поскольку τ
<
T
∂xj ¯
Для п. 5
¯
¯
¯
∂v1k
∂v1k ¯
∂v k
¯
¯ 1+τ 1
τ
τ
∂x1
∂x2
∂x3 ¯¯
¯ k+1 ¯ ¯¯
k
¯ ∂x ¯ ¯
∂v2k
∂v2k ¯
¯ = ¯ τ ∂v2
Jkk+1 = ¯¯
¯=
1
+
τ
τ
¯
∂xk ¯ ¯
∂x
∂x
∂x
1
2
3
¯
k
k ¯
k
∂v
∂v ¯
∂v
¯
τ 3
1+τ 3 ¯
¯ τ 3
∂x1
∂x2
∂x3
64
Е. В. Овчинникова, А. М. Франк
= 1 + P1
µ
∂vik
∂xj
¶
2
τ + P2
µ
∂vik
∂xj
¶
¢
¡
τ 3 ≤ 1 + 24F 2 (m)[[v0 ]]2 τ ε + 48F 3 (m)[[v0 ]]3 τ 1+ε τ 2−ε .
Вместе с тем Jkk+1 ≥ 1 − (24F 2 (m)[[v0 ]]2 τ ε + 48F 3 (m)[[v0 ]]3 τ 1+ε ) τ 2−ε .
Положив
1
1
τε ≤
иτ<
,
2
0
2
32F (m)[[v ]]
6F (m)[[v0 ]]
получим
¡
¢
24F 2 (m)[[v0 ]]2 τ ε + 48F 3 (m)[[v0 ]]3 τ 1+ε ≤ 1,
и тем самым |Jnn+1 − 1| ≤ τ 2−ε .
¤
Следствие 1. В условиях леммы 1 |J0n − 1| ≤ 2T τ 1−ε .
Доказательство. Докажем, что J0n ≤ 1 + 2T τ 1−ε .
1
T
J0n ≤ (1 + τ 2−ε ) τ = (1 + τ 2−ε ) τ 2−ε T τ
1−ε
≤ eT τ
1−ε
≤ 1 + 2T τ 1−ε .
Аналогично доказывается, что J0n ≥ 1 − 2T τ 1−ε .
¤
При доказательстве сходимости численной схемы нам понадобится ряд неравенств,
связывающих различные нормы функций из пространства Vm . Введем скалярное произведение в лагранжевых координатах ( , )ξ :
n
n
(a(x ), b(x ))ξ =
Z
a(xn (ξ))b(xn (ξ))dξ.
Ω
Соответственно, ||a||ξ = (a, a)ξ .
Лемма 2. Если выполнены условия леммы 1, то ∀i, j, n и ∀v ∈ Vm в Ω справедливы
неравенства:
1) |vxi | ≤ F (m)||v||;
2) |vxi xj | ≤ F1 (m)||v||;
√
3) |v| ≤ mM ||v||;
4) ||v|| ≤ 2[[v(xn )]];
√
5) √12 ||v(xn )||ξ ≤ ||v|| ≤ 2||v(xn )||ξ ,
где F (m), F1 (m), M те же, что и в лемме 1.
Доказательство. Первые три неравенства очевидны. Четвертое — непосредственное
следствие леммы 1. Пятое — доказывается так:
Z
2
||v|| = J0n |v(xn )|2 dξ ≤ (1 + 2T τ 1−ε )||v(xn )||2ξ ≤ 2||v(xn )||2ξ ,
Ω
2
||v|| =
Z
1
J0n |v(xn )|2 dξ ≥ (1 − 2T τ 1−ε ) · ||v(xn )||2ξ ≥ ||v(xn )||2ξ .
2
Ω
¤
65
О СХОДИМОСТИ МЕТОДА ЧАСТИЦ
3. Сходимость численной схемы.
Теорема 1. Пусть u(x, t) есть обобщенное решение задачи (1), (2) и функции ak (x)
образуют базис в H(Ω) и в L4 (Ω), ортонормированный в L2 (Ω). Если функции ak ∈ C 2 (Ω)
и нормы ||utt || и ||ux || равномерно ограничены и, кроме того, функция u(x, t) такова, что
ее ряд Фурье сходится в H(Ω) равномерно по t ∈ [0, T ], то последовательность приближенных решений v сходится к u при τ → 0, m → ∞, d → 0 и следующих ограничениях:
τ F (m) → 0, τ mM 2 F1 (m) → 0, τ F 4 (m) ≤
¡√
1
,
1024[[v0 ]]4
¢
0
mM F1 (m) + F 2 (m) · e6T F (m)[[v ]] d → 0,
0
d · e6T F (m)[[v ]] mM F (m) ≤
где
2
F (m) =
m
3 X
X
1
,
24µ(Ω)
(max aikxj )2 (x),
x∈Ω
j,k=1 i=1
M = max |al (x)|,
0≤l≤m
x∈Ω
F12 (m) =
m X
3
X
max (aikxj x )2 (x),
x∈Ω
l
i=1 k,j,l=1
а µ(Ω) — объем области Ω.
Доказательство. Легко видеть, что при выполнении условий теоремы выполнены
также условия леммы 1 с ε = 1/2.
Обозначим u(m) (x, t) отрезок ряда Фурье функции u(x, t) по системе {ak (x)}m
k=1 :
u(m) (x, t) =
m
X
i=1
где
(u(x, t), ai )ai =
m
X
ci (t)ai .
i=1
Для u(m) справедливы равенства
µ (m) ¶ ³
´
¢
¡
∂u
(m) (m)
l
l
l
, a − uk u , axk + ν u(m)
xi , axi = Iml ,
∂t
´
¢ ³
¡
(m) (m)
l
l
+
u
u
−
u
u
,
a
,
a
Iml = −ν uxi − u(m)
k
xi .
xi
xi
k
(14)
Для дальнейших преобразований необходимо, чтобы в (14) скалярные произведения были
теми же, что и в численной схеме, а именно дискретными. Перепишем уравнение (14) в
следующем виде:
µµ (m)
¶¶ ³
´
∂u
(m)
n+1 n+1
l
n+1
(x , t ), a (x )
− [uk u(m) ](tn+1 ), alxk +
∂t
¢¢
¡¡
n
n+1 n+1
+ Gnml + Qnml ,
(15)
, t ), alxi (xn+1 ) = Iml
+ν u(m)
xi (x
66
Е. В. Овчинникова, А. М. Франк
n
где Iml
= Iml (tn+1 ),
Gnml
Qnml
=
¶
¶
µ (m)
∂u(m) n+1 n+1 l n+1
∂u
n+1
l
=
(x , t ), a (x ) −
(x, t ), a (x) +
∂t
∂t
ξ
¡
¢
¡
¢
n+1 n+1
n+1
+ν u(m)
, t ), alxi (xn+1 ) ξ − ν u(m)
), alxi (x) ,
xi (x
xi (x, t
µ
µµ
¶¶ µ (m)
¶
∂u
∂u(m) n+1 n+1 l n+1
n+1 n+1
l
n+1
(x , t ), a (x )
−
(x , t ), a (x ) +
∂t
∂t
ξ
¡ (m) n+1 n+1 l n+1 ¢
¡¡ (m) n+1 n+1 l n+1 ¢¢
+ν uxi (x , t ), axi (x ) − ν uxi (x , t ), axi (x ) ξ .
Обозначим wn (x) = vn (x) − u(m) (x, tn ). Вычтем из (6) уравнение (15), результат умножим
на λn+1
− cl (tn+1 ) и просуммируем по l от 1 до m. В итоге получим
l
µµ n+1 n+1
¶¶
¢¢
¡¡
w (x ) − wn (xn ) n+1 n+1
(xn+1 ) =
(xn+1 ), wxn+1
, w (x )
+ ν wxn+1
i
i
τ
n
n
,
(16)
= −Im
− Gnm − Qnm + rm
где
n
rm
³³
=
´´
(m)
ut (xn+1 , tn+1 ), wn+1 (xn+1 )
−
µµ
´
³
(m) (m)
n+1
n+1
− [uk u ](t ), wxk −
¶¶
u(m) (xn+1 , tn+1 ) − u(m) (xn , tn ) n+1 n+1
, w (x )
,
τ
n
n
Im
получится, если в Iml
вместо al взять wn+1 . То же с Gnm и Qnm .
Используя тождество 2((a − b, a)) = [[a]]2 − [[b]]2 + [[a − b]]2 , получим
[[wn+1 ]]2 − [[wn ]]2 + [[wn+1 − wn ]]2 + 2ντ [[wxn+1 ]]2 =
n
n
= −2τ Im
− 2τ Gnm − 2τ Qnm + 2τ rm
.
(17)
Теперь мы покажем, что все члены в правой части последнего уравнения стремятся к нулю
n
быстрее, чем τ . Член Im
мал, поскольку при достаточно больших m мала разница между
функцией и отрезком ее ряда Фурье. Остаток Gnm мал, поскольку якобиан преобразования
n
мал, так как
|∂xn+1 /∂ξ| мало отличается от 1. Значение Qnm мало вследствие малости d, а rm
мала разность между точным и приближенным значениями материальной производной.
Приведем соответствующие оценки.
n
Оценка Im
приведена в [4]:
n
| ≤ ν||wxn+1 || · ||u(tn+1 ) − u(m) (tn+1 )||H + ||wxn+1 ||×
|Im
!1/2
3 Z ³
´2
X
(m) (m)
≤ ν||wxn+1 || · ||u(tn+1 ) − u(m) (tn+1 )||H +
dx
u i u j − ui u j
×
Ã
i,j=0 Ω
à 
+||wxn+1 || 6 
3 Z
X
j=0 Ω
1/2
1/2 
Z
3
X
(m)
(ui − ui )4 dx +
u4j dx 
i=0 Ω
67
О СХОДИМОСТИ МЕТОДА ЧАСТИЦ
1/2 !
1/2 

1/2
3 Z
3 Z
X
X
(m)
(m)
4
4
≤
(ui − ui ) dx
(uj ) dx 
+6 
j=0 Ω
i=0 Ω
≤ C1 ||wxn+1 || · ||u(tn+1 ) − u(m) (tn+1 )||H .
r
ν
Используя неравенство Юнга при ² =
, получим
16C1
n
|2τ Im
|≤
16C12
ντ
||wxn+1 ||2 + τ
||u(tn+1 ) − u(m) (tn+1 )||2H ≤
16
ν
16C12
ντ
n+1 2
[[wx ]] + τ
||u(tn+1 ) − u(m) (tn+1 )||2H .
≤
4
ν
Оценка Gnm :
2τ |Gnm |
¯³
´
³
´¯¯
¯ (m) n+1 n+1
(m)
n+1
n+1
n+1
n+1
≤ 2τ ¯¯ ut (x , t ), w (x ) − ut (x, t ), w (x) ¯¯ +
ξ
¯¡
¢
¡ (m)
¢¯¯
¯ (m) n+1 n+1
n+1
n+1
n+1
n+1
+2ντ ¯ uxi (x , t ), wxi (x ) ξ − uxi (x, t ), wxi (x) ¯ .
Первое слагаемое
¯³
´
´¯¯
³
¯ (m) n+1 n+1
(m)
n+1
n+1
n+1
n+1
2τ ¯¯ ut (x , t ), w (x ) − ut (x, t ), w (x) ¯¯ =
ξ
¯³
´ ¯¯
¯ (m) n+1 n+1
n+1
n+1
n+1
= 2τ ¯¯ ut (x , t ), (1 − J0 )w (x ) ¯¯ ≤
ξ
(m)
≤ 4T τ 3/2 ||ut (xn+1 , tn+1 )||ξ · ||wn+1 (xn+1 )||ξ ≤
(m)
≤ 16T τ 3/2 ||ut (tn+1 )|| · [[wn+1 (xn+1 )]] ≤
τ
(m)
≤ [[wn+1 ]]2 + C2 T 2 τ 2 ||ut (tn+1 )||2 .
4
Второе слагаемое
¯¡
¢
¢¯¯
¡ (m)
¯ (m) n+1 n+1
n+1
n+1
n+1
n+1
2ντ ¯ uxi (x , t ), wxi (x ) ξ − uxi (x, t ), wxi (x) ¯ =
¯¡
¢ ¯¯
¯
n+1
n+1 n+1
n+1
n+1
(x
)
(x
,
t
),
(1
−
J
)w
= 2ντ ¯ u(m)
¯≤
xi
xi
ξ
n+1 n+1
≤ 4νT τ 3/2 ||u(m)
, t )||ξ · ||wxn+1 (xn+1 )||ξ ≤
x (x
n+1
≤ 16νT τ 3/2 ||u(m)
)|| · [[wxn+1 (xn+1 )]] ≤
x (t
ντ
n+1 2
≤
[[wxn+1 ]]2 + C3 νT 2 τ 2 ||u(m)
)|| .
x (t
4
В итоге
ντ
τ
[[wn+1 ]]2 +
[[wxn+1 ]]2 +
4
4
(m) n+1 2
2 2
n+1 2
2 2
)|| .
+C2 T τ ||ut (t )|| + C3 νT τ ||u(m)
x (t
2τ |Gnm | ≤
(18)
68
Е. В. Овчинникова, А. М. Франк
Оценка Qnm :
¯³³
´´ ³
´ ¯¯
¯
(m)
(m)
n+1 n+1
n+1
n+1
n+1 n+1
n+1
n+1
n
¯
2τ |Qm | ≤ 2τ ¯ ut (x , t ), w (x ) − ut (x , t ), w (x ) ¯¯ +
ξ
¯¡¡
¢¢
¡
¢ ¯¯
¯
n+1 n+1
n+1
n+1
(m)
n+1 n+1
n+1
n+1
(x
,
t
),
w
(x
)
−
u
(x
,
t
),
w
(x
)
+2ντ ¯ u(m)
¯.
xi
xi
xi
xi
ξ
Для a, b ∈ Vm оценим разность:
¯
¯
¯
¯
¯(a(xn ), b(xn ))ξ − ((a(xn ), b(xn )))¯ =
¯
¯
¯
¯X
N Z
¯
¯
n
n
n
n
n
n
n
n
¯
[a (x (ξ))b (x (ξ)) − a (x (ξk ))b (x (ξk ))] dξ ¯¯ =
=¯
¯
¯ k=1
ωk
¯
¯ N Z
¯X h
i ¯
£
¤
£
¤
¯
¯
an (xn (ξ)) bn (xn (ξ)) − bn (xn (ξk )) + bn (xn (ξk )) an (xn (ξ)) − an (xn (ξk )) dξ ¯ ≤
=¯
¯
¯
k=1 ω
k
≤ 3 max |bxi | ·
i,Ω
|xnξ |d
Z
|a(xn (ξ))|dξ + 3 max |axi | · |xnξ |d
i,Ω
Ω
n
X
k=1
|b(xn (ξk ))|mk ≤
p
p
≤ 3 max |bxi | · |xnξ |d µ(Ω)||a(xn )||ξ + 3 max |axi | · |xnξ |d µ(Ω)[[b(xn )]].
i,Ω
i,Ω
Из (19) следует оценка первого слагаемого в выражении для Qnm
¯³³
´´ ³
´
¯
(m)
(m)
2τ ¯¯ ut (xn+1 , tn+1 ), wn+1 (xn+1 ) − ut (xn+1 , tn+1 ), wn+1 (xn+1 )
p
(m)
|d µ(Ω)||ut (xn+1 )||ξ +
≤ 6τ max |wxn+1
| · |xn+1
ξ
i
i,Ω
p
(m)
µ(Ω)[[wn+1 (xn+1 )]] ≤
|d
+6τ max |utxi | · |xn+1
ξ
¯
¯
¯≤
¯
ξ
i,Ω
p
√
0
(m)
≤ 12 2τ F (m) · e6T F (m)[[v ]] d µ(Ω)[[wn+1 ]] · ||ut ||+
p
0
(m)
+6τ F (m)||ut || · e6T F (m)[[v ]] d µ(Ω)[[wn+1 (xn+1 )]] ≤
τ
0
(m)
≤ [[wn+1 ]]2 + 288τ F 2 (m) · e12T F (m)[[v ]] d2 µ(Ω) · ||ut ||2 +
4
τ
0
(m)
+ [[wn+1 ]]2 + 36τ F 2 (m) · e12T F (m)[[v ]] d2 µ(Ω)||ut ||2 .
4
Второе слагаемое
¯¡¡
¢¢ ¡ (m) n+1 n+1
¢ ¯¯
¯
n+1 n+1
n+1
n+1
n+1
n+1
(x
,
t
),
w
(x
)
−
u
(x
,
t
),
w
(x
)
2ντ ¯ u(m)
¯≤
xi
xi
xi
xi
ξ
p
n+1
n+1
µ(Ω)||u(m)
)||ξ +
≤ 18ντ max |wxn+1
|
·
|x
|d
x (x
x
ξ
i j
i,j,Ω
p
n+1
|d µ(Ω)[[wxn+1 (xn )]] ≤
+18ντ max |u(m)
xi xj | · |xξ
i,j,Ω
p
0
n+1
≤ 18ντ F1 (m)||wn+1 || · e6T F (m)[[v ]] d µ(Ω)||u(m)
)||ξ +
x (x
(19)
69
О СХОДИМОСТИ МЕТОДА ЧАСТИЦ
p
0
+18ντ F1 (m)||u(m) || · e6T F (m)[[v ]] d µ(Ω)[[wxn+1 (xn )]] ≤
τ
0
2
≤ [[wn+1 ]]2 + C5 ν 2 τ F12 (m) · e12T F (m)[[v ]] d2 µ(Ω) · ||u(m)
x || +
4
ντ
0
+ [[wxn+1 ]]2 + C6 ντ F12 (m) · e12T F (m)[[v ]] d2 µ(Ω)||u(m) ||2 .
4
n
Возвращаясь к Qm , получим
3τ
ντ
[[wn+1 ]]2 +
[[wxn+1 ]]2 +
4
4
0
(m)
+C4 τ F 2 (m) · e12T F (m)[[v ]] d2 µ(Ω) · ||ut ||2 +
2τ |Qnm | ≤
0
2
+C5 ν 2 τ F12 (m) · e12T F (m)[[v ]] d2 µ(Ω) · ||u(m)
x || +
+C6 ντ F12 (m)
·e
12T F (m)[[v0 ]] 2
(20)
(m) 2
d µ(Ω)||u
|| .
n
Оценка rm
:
n
rm
=
³³
´
´´ ³
(m)
(m)
−
ut (xn+1 , tn+1 ), wn+1 (xn+1 ) − [uk u(m) ](tn+1 ), wxn+1
k
−
µµ
¶¶
u(m) (xn+1 , tn+1 ) − u(m) (xn , tn ) n+1 n+1
, w (x )
,
τ
u(m) (xn+1 , tn+1 ) − u(m) (xn , tn )
(m)
n+1 n+1
, t ) + τ ρnm ,
= ut (xn+1 , tn+1 ) + vkn (xn )u(m)
xk (x
τ
где
ρnm = η 0,nm + vkn (xn )η 1,nm
+ vkn (xn )vjn (xn )η 2,nm
k
kj ;
а
|η
3
3
X
¡ 0,nm ¢2 X
≤
| =
ηi
0,nm 2
i=1
i=1
|η 1,nm
|2
k
2
|η 2,nm
kj |
≤
≤
3
X
i=1
3
X
i=1
max
n n+1
t∈[t ,t
x∈Ω
max
t∈[tn ,tn+1 ]
x∈Ω
max
n n+1
t∈[t ,t
x∈Ω
]
]
´2
³
(m)
uitt (x, t) ;
³
´2
(m)
uitx (x, t) ;
³
´2
k
(m)
uixj x (x, t)
k
.
Таким образом,
¯¡¡
¢¢¯
n
2τ |rm
| ≤ 2τ 2 ¯ η nm , wn+1 ¯ +
¯¡¡
´¯
¢¢ ³ (m) (m) n+1
¯
n+1 n+1
n+1
n+1
n+1 ¯
(x
,
t
),
w
(x
)
+
[u
u
](t
),
w
+2τ ¯ vkn (xn )u(m)
¯≤
xk
xk
k
¯¡¡
¢¢ ¡ n (m) n+1 n+1
¢¯
¯
n+1 n+1
n+1
n+1 ¯
≤ 2τ ¯ vkn u(m)
(x
,
t
),
w
−
v
u
(x
,
t
),
w
¯+
xk
k xk
ξ
¯¡
¢¯
¯ n
n+1
(m)
n+1 n+1
n+1 ¯
+2τ ¯ (vk − vk )uxk (x , t ), w
¯+
ξ
¯¡
¡ n+1 (m) n+1 ¢¯¯
¢
¯
n+1
−
vk uxk , w
,
w
+2τ ¯ vkn+1 u(m)
¯+
xk
ξ
¯¡
´¯
¢ ³ (m) (m) n+1
¯
n+1 ¯
n+1
,
w
+
[u
u
](t
),
w
+2τ ¯ vkn+1 u(m)
¯+
xk
xk
k
70
Е. В. Овчинникова, А. М. Франк
¯¡¡
¢¢¯
+2τ 2 ¯ ρnm , wn+1 ¯ .
Первое слагаемое
¯¡¡
¢¢ ¡ n n (m) n+1 n+1
¢ ¯¯
¯ n n (m) n+1 n+1
n+1
n+1
n+1
n+1
2τ ¯ vk (x )uxk (x , t ), w (x ) − vk (x )uxk (x , t ), w (x ) ξ ¯ ≤
≤ 6τ
|
max |wxn+1
i
i,Ω
|xn+1
|d
ξ
·
Z
|vjn u(m)
xj |dξ+
Ω
¸
·
´
³
´
³
p
n+1
n
(m)
n
n
(m)
+6τ max |v | · |uxi xj | |xξ | + max |vxi | · |uxj | · |xξ | d µ(Ω)[[wn+1 (xn+1 )]] ≤
i,j,Ω
i,j,Ω
0
≤ 6τ F (m)||wn+1 || · e6T F (m)[[v ]] d||vn ||ξ · ||u(m)
x ||ξ +
p
¢
¡√
0
mM F1 (m) + F 2 (m) ||vn || · ||u(m) || · e6T F (m)[[v ]] d µ(Ω)[[wn+1 (xn+1 )]] ≤
+6τ
τ
0
2
≤ [[wn+1 ]]2 + C7 τ F 2 (m)d2 · e12T F (m)[[v ]] [[vn ]]2 · ||u(m)
x || +
4
¢2
¡√
τ
0
mM F1 (m) + F 2 (m) · e12T F (m)[[v ]] d2 µ(Ω)[[vn ]]2 · ||u(m) ||2 .
+ [[wn+1 ]]2 + C8 τ
4
Второе слагаемое
³¡
¢ ¯¯
n+1
n
n
n+1
(m)
n+1 n+1
n+1
n+1
2τ | (vk (x ) − vk (x ))uxk (x , t ), w (x ) ξ ¯ ≤
≤ 2τ max |w
Ω
n+1
Z ¯
¯
¯ n+1
n
(m) ¯
| · ¯(vj − vj )uxj ¯ dξ ≤
Ω
√
≤ 2τ mM ||wn+1 || · ||vn+1 − vn ||ξ · ||u(m)
x ||ξ ≤
τ
2
[[wn+1 ]]2 + C9 τ [[vn+1 − vn ]]2 · ||u(m)
x || .
4
Третье слагаемое
¯¡
¡ n+1 (m) n+1
¢¯
¢
¯
n+1 ¯
n+1 n+1
n+1
n+1
u
−
v
(t
),
w
(x
,
t
),
w
(x
)
2τ ¯ vkn+1 (xn+1 )u(m)
¯=
xk
xk
k
ξ
ξ
¯¡
¢ ¯¯
¯
n+1 n+1
n+1
n+1
n+1
= 2τ ¯ [vkn+1 u(m)
](x
,
t
),
(J
−
1)w
(x
)
¯≤
xk
0
ξ
Z
n+1 n+1
3/2
n+1
, t )|dξ ≤
≤ 4T τ max |w (x)| |vkn+1 u(m)
xk (x
x∈Ω
≤ 4T τ
3/2
√
Ω
mM ||w
n+1
|| · ||v
n+1
n+1 n+1
, t )||ξ ≤
(xn+1 )||ξ · ||u(m)
x (x
τ
n+1 2
[[wn+1 ]]2 + C10 mM 2 T 2 τ 2 [[vn+1 ]]2 · ||u(m)
)|| .
x (t
4
Четвертое слагаемое
¯¡
´¯
³
¯ n+1 (m) n+1 ¢
(m) (m)
n+1
n+1 ¯
+ [uk u ](t ), wxk ¯ =
2τ ¯ vk uxk , w
≤
¯¡
´¯
¢ ³ (m) (m) n+1
¯
n+1 ¯
= 2τ ¯ vkn+1 u(m) , wxn+1
−
[u
u
](t
),
w
¯=
xk
k
k

1/2
Z X
3 ³
´
2
¯¡
¢¯
n+1 (m)
¯ ≤ 2τ ||wxn+1 || 
= 2τ ¯ wkn+1 u(m) (tn+1 ), wxn+1
dx ≤
w
u
i
k
k
Ω i,k=0
71
О СХОДИМОСТИ МЕТОДА ЧАСТИЦ
≤ 2τ ||wxn+1 || · ||wn+1 ||L4 (Ω) · ||u(m) (tn+1 ||L4 (Ω) ≤
Выбрав
≤ 16 · 3−3/2 τ · ||u(m) (tn+1 ||L4 (Ω) · ||wxn+1 || · ||wxn+1 ||3/4 · ||wn+1 ||1/4 ≤
µ n+1
¶
[[w ]] 3²4/3
−3/2
(m) n+1
n+1
n+1
≤ 64 · 3
τ · ||u (t ||L4 (Ω) · [[wx ]]
+
[[wx ]] .
4²4
4
²=
33/8 · ν 3/4
3/4
8||u(m) (tn+1 ||L4 (Ω)
,
получим
¯ ¡ n+1 (m) n+1
¢¯
¯2τ w u (t ), wxn+1 ¯ ≤ ντ [[wxn+1 ]]2 + Cτ ||u(m) (tn+1 ||4L (Ω) [[wxn+1 ]] · [[wn+1 ]] ≤
k
4
k
≤ ντ [[wxn+1 ]]2 +
ντ
[[wxn+1 ]]2 + C 2 ||u(m) (tn+1 ||8L4 (Ω) τ [[wn+1 ]]2 .
4
Пятое слагаемое
¯ 2 n
¯
¯2τ ((ρm , wn+1 ))¯ ≤ 2τ 2 |((η 0,nm , wn+1 ))|+
n+1
+2τ 2 |((vkn η 1,nm
, wn+1 ))| + 2τ 2 |(vkn vjn η 2,nm
)ξ |;
k
kj , w
τ
2τ 2 |((η 0,nm , wn+1 ))| ≤ 6τ 3 [[η 0,nm ]]2 + [[wn+1 ]]2 ≤
6
3
´2 τ
³
X
(m)
≤ 6τ 3 µ(Ω)
(x,
t)
u
max
+ [[wn+1 ]]2 ,
itt
6
t∈[tn ,tn+1 ]
i=1
x∈Ω
v
u 3
uX
2
n 1,nm
n+1
2t
2τ |((vk η
, w ))| ≤ 2τ
k
k,i=1
≤ 6τ
3
3
X
k,i=1
max
n n+1
t∈[t ,t
x∈Ω
max
n n+1
t∈[t ,t
]
x∈Ω
´2
³
(m)
uitx (x, t) · [[vn ]] · [[wn+1 ]] ≤
k
´2
³
τ
(m)
uitx (x, t) [[vn ]]2 + [[wn+1 ]]2 ,
k
6
]
n+1
2τ 2 |((vkn vjn η 2,nm
))| ≤
kj , w
v
uX
u 3
2
n 2t
≤ 6τ max |v |
max
n n+1
x∈Ω
i,j,k=1
≤
t∈[t ,t
x∈Ω
]
³
(m)
uixj x (x, t)
k
´2 p
µ(Ω)[[wn+1 ]] ≤
3
´2
³
X
τ
(m)
(x,
t)
u
[[wn+1 ]]2 + 36τ 3 m2 M 4
max
[[vn ]]4 .
ixj xk
6
t∈[tn ,tn+1 ]
i,j,k=1
x∈Ω
Таким образом,
3
´2
³
X
¯ 2 n
¯
(m)
¯2τ ((ρm , wn+1 ))¯ ≤ τ [[wn+1 ]]2 + 6τ 3 µ(Ω)
uitt (x, t) +
max
2
t∈[tn ,tn+1 ]
i=1
x∈Ω
+6τ
3
3
X
k,i=1
max
n n+1
t∈[t ,t
x∈Ω
]
³
(m)
uitx (x, t)
k
´2
n 2
3
2
[[v ]] + 36τ m M
4
3
X
i,j,k=1
max
n n+1
t∈[t ,t
x∈Ω
]
´2
³
(m)
uixj x (x, t) [[vn ]]4 .
k
72
Е. В. Овчинникова, А. М. Франк
Подставив полученные оценки в (17) и просуммировав по n от 0 до l − 1, получим
l 2
[[w ]] +
l−1
X
[[w
n+1
n 2
− w ]] ≤
n=0
µ
¶X
l−1
13
X
5
2
(m)
8
τ [[wn+1 ]]2 +
+ C max ||u (t)||L4 (Ω)
Rjl ,
t∈[0,T ]
2
n=0
j=1
где
l−1
X
16C12
||u(tn+1 ) − u(m) (tn+1 )||2H ,
=
τ
ν
n=0
R1l
R2l
2 2
= C2 T τ
l−1
X
(m)
||ut (tn+1 )||2 ,
n=0
R3l
2 2
= C3 νT τ
l−1
X
n=0
R4l
R5l
R8l
= C8
¡√
= C4 F (m) · e
2
= C5 ν
R6l
R7l
2
=
F12 (m)
C6 νF12 (m)
2
12T F (m)[[v0 ]] 2
d µ(Ω)
l−1
X
n=0
·e
·e
= C7 F (m) · e
n+1 2
||u(m)
)|| ,
x (t
12T F (m)[[v0 ]] 2
d µ(Ω)
l−1
X
n=0
12T F (m)[[v0 ]] 2
d µ(Ω)
l−1
X
n=0
12T F (m)[[v0 ]] 2
d
l−1
X
n=0
(m)
τ ||ut (tn+1 )||2 ,
n+1 2
τ ||u(m)
)|| ,
x (t
τ ||u(m) (tn+1 )||2 ,
n+1 2
τ [[vn ]]2 · ||u(m)
)|| ,
x (t
l−1
X
¢2 12T F (m)[[v0 ]] 2
mM F1 (m) + F (m) · e
d µ(Ω)
τ [[vn ]]2 · ||u(m) (tn+1 )||2 ,
2
n=0
R9l
= C9 τ
l−1
X
n=0
l
R10
2
n+1 2
[[vn+1 − vn ]]2 · ||u(m)
)|| ,
x (t
2 2
= C10 mM T τ
l−1
X
n=0
l
R11
2
= 6T τ µ(Ω)
3
X
i=1
l
R12
= 6τ
2
3
X
k,i=1
l
R13
2
2
= 36τ m M
4
max
t∈[tn ,tn+1 ]
3
X
x∈Ω
i,j,k=1
n+1 2
[[vn+1 ]]2 · ||u(m)
)|| ,
x (t
max
t∈[tn ,tn+1 ]
x∈Ω
³
(m)
uitt (x, t)
´2
,
l−1
´2 X
³
(m)
uitx (x, t)
τ [[vn ]]2 ,
max
t∈[tn ,tn+1 ]
x∈Ω
k
n=0
l−1
´2 X
³
(m)
τ [[vn ]]4 .
uixj x (x, t)
k
n=0
(21)
73
О СХОДИМОСТИ МЕТОДА ЧАСТИЦ
Следуя [4], обозначим через Pm оператор проектирования, ставящий в соответствие
любой функции ϕ(x) отрезок ряда Фурье по системе ak (x) , а именно
Pm ϕ =
m
X
(ϕ, ai )ai .
i=1
Легко видеть, что Pm являются ограниченными операторами в пространствах H(Ω) и
L4 (Ω). С другой стороны, они сходятся к единичному оператору на любом из элементов
этих пространств. Поэтому в силу теоремы Банаха — Штейнгауза их нормы в обоих пространствах будут ограничены в совокупности: ||Pm ||H(Ω) ≤ C11 и ||Pm ||L4 (Ω) ≤ C12 . Это дает
для u(m) (x, t) оценки
||u(m) (x, t)||H(Ω) = ||Pm u||H(Ω) ≤ C11 ||u(x, t)||H(Ω) ;
(22)
||u(m) (x, t)||L4 (Ω) ≤ C12 ||u(x, t)||L4 (Ω) .
(23)
Так как для обобщенного решения u(x, t) норма в H и интегралы
3
R P
Ω i=1
u4i (x, t)dx рав-
номерно ограничены при t ∈ [0, T ], из (22), (23) следует, что равномерно ограничены
i4
3 h
R P
(m)
(m)
2
ui (x, t) dx.
||u (x, t)||H(Ω) и интегралы
Ω i=1
Теперь, отбросив второе и третье слагаемое левой части (21) и учитывая, что [[w0 ]] = 0,
получим неравенство, из которого известным образом (разностный аналог леммы Гронуолла) выводится оценка
12
X
[[wl ]]2 ≤ C13
Rjl
(24)
j=1
с постоянной C13 , зависящей лишь от T . Остается показать, что
13
P
j=1
Rjl → 0 при τ → 0,
d → 0 и m → ∞.
Поскольку по условию теоремы при m → ∞ u(m) (x, t) сходятся к u(x, t) в норме H(Ω)
равномерно по t ∈ [0, T ],
R1l
=
l−1
X
i=0
τ ||u(ti+1 ) − u(m) (ti+1 )||2H → 0, при m → ∞.
¯¯2
¯¯
¯¯
¯¯ (m)
Норма ¯¯ut (xi+1 , ti+1 )¯¯ ≤ ||ut (ti+1 )||2 , а ||ut || ограничена константой, не зависящей от t,
следовательно, R2l → 0 при τ → 0.
(m)
Согласно (22), ||ux (tn+1 )||2 ≤ C 2 ||ux (tn+1 )||2 . Норма ||ux || равномерно ограничена,
следовательно, R3l → 0, при τ → 0.
Далее
0
R4l → 0 при F 2 (m) · e12T F (m)[[v ]] d2 → 0,
0
R5l → 0 при F12 (m) · e12T F (m)[[v ]] d2 → 0,
0
R6l → 0 при F12 (m) · e12T F (m)[[v ]] d2 → 0.
74
Е. В. Овчинникова, А. М. Франк
(m)
Поскольку [[vn ]] ≤ [[v0 ]], а ||ux (tn+1 )||, как уже было отмечено ранее, равномерно огра0
ничена, R7l → 0 при F 2 (m) · e12T F (m)[[v ]] d2 → 0. Аналогично
¡√
¢2
0
R8l → 0 при
mM F1 (m) + F 2 (m) · e12T F (m)[[v ]] d2 → 0.
Как следует из (7),
l−1
P
n=0
Далее
[[vn+1 − vn ]]2 ≤ [[v0 ]]2 . А значит, R9l → 0 при τ → 0.
l
R10
→ 0 при τ mM 2 → 0,
l
R11
→ 0 при τ 2 mM 2 → 0,
поскольку
max
t∈[0,T ]
x∈Ω
³
(m)
uitt (x, t)
´2
(m)
≤ mM 2 max ||utt ||2 ≤ mM 2 max ||utt ||2 ;
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
l
R12
→ 0 при τ 2 F 2 (m) → 0, так как
´2
³
(m)
(m)
max uitx (x, t) ≤ F 2 (m) max ||ut ||2 ≤ F 2 (m) max ||ut ||2 .
t∈[0,T ]
k
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
x∈Ω
l
Аналогично R13
→ 0 при τ 2 m2 M 4 F12 (m) → 0.
l
Из вышеизложенного следует, что при выполнении условий теоремы все Rm
будут стремиться к нулю. Тем самым мы получим равномерное по t стремление к нулю нормы
[[wn+1 ]], в силу леммы 2 стремление к нулю нормы ||wn+1 ||. Теорема доказана.
¤
В заключение отметим, что сформулированные в теореме ограничения на шаг τ представляются излишне жесткими. Практика численных расчетов показывает, что из соображений точности шаг τ должен быть порядка 1/m. Пока такой результат получить не удается в силу отсутствия равномерной оценки на производные решений. Тем не менее мы
надеемся в дальнейшем существенно ослабить достаточные условия сходимости, а также
обобщить этот результат на случай неортогональных базисных функций, которые используются в реальных расчетах.
Список литературы
[1] Франк А.М., Огородников Е.И. Метод частиц для несжимаемой жидкости //
Докл. РАН. 1992. Т. 326, № 6. С. 958–962.
[2] Франк А.М. Дискретные модели несжимаемой жидкости. М.: Физматлит, 2001.
[3] Frank A.M. 3D numerical simulation of regular structure formation in a locally heated
falling film // Europ. J. Mech. B/Fluids. 2003. Vol. 22. P. 445–471.
[4] Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1961.
Поступила в редакцию 30 октября 2003 г.,
в переработанном виде — 15 декабря 2003 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
236 Кб
Теги
сходимость, метод, части, жидкости, несжимаемой
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа