close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О сходимости многосеточного метода для эллиптических уравнений второго порядка.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО ОСУДАСТВЕННОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2009
Том 151, кн. 3
УДК 519.68
О СХОДИМОСТИ МНООСЕТОЧНОО
МЕТОДА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УАВНЕНИЙ
ВТООО ПОЯДКА
М.М. Карчевский
Аннотация
ассматривается задача Дирихле для общего эллиптического уравнения второго порядка дивергентного вида. Доказывается сходимость многосеточного итерационного метода решения указанной задачи. Метод, исследованный в работе, основан на использовании
конормных конечных элементов и процедуры сглаживания Якоби.
Ключевые слова: линейное эллиптическое уравнение второго порядка, метод конечных элементов, многосеточный итерационный метод, исследование сходимости.
Введение
Многосеточные методы принадлежат в настоящее время к наиболее экономичным способам численного решения диеренциальных уравнений с частными производными. Построению и исследованию различных вариантов многосеточных методов посвящена обширная литература (см., например, [14?). К числу наиболее
изученных с этой точки зрения принадлежат эллиптичесие уравнения с самосопряженными положительно определенными операторами второго порядка. Что касается уравнений с несамомсопряженными операторами, то теория многосеточных
методов для этих задач развита значительно слабее. Отметим в этой связи монограию [2?, в которой изучался метод, основанный на симметризации конечноэлементного оператора, а также [4, 5?, где рассматривались специальные варианты уравнения конвекции-диузии (при доминирующей конвекции). В настоящей работе исследована сходимость двусеточного метода для общего эллиптического уравнения
второго порядка дивергентного вида. Для аппроксимации краевой задачи используется конечноэлементный метод с произвольными конормными (вообще говоря,
криволинейными) элементами. Из полученных в работе результатов стандартным
образом выводится сходимость так называемого W-цикла многосеточного метода
со скоростью, не зависящей от h (параметра триангуляции). Применяемая нами
методика построения и исследования многосеточного метода наиболее близка к [3?.
Отметим также, что что несколько менее общие результаты о сходимости многосеточного метода для эллиптических уравнений с несимметричными операторами
другими методами получены в [6?1 .
1. Постановка задачи
ассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка дивергентного вида
? div(A?u + ub) + a · ?u + a0 u = f,
x ? ?,
1 К сожалению, эта работа стала нам известна в ходе оормления настоящей статьи.
(1)
О СХОДИМОСТИ МНООСЕТОЧНОО МЕТОДА . . .
u(x) = 0,
x ? ?,
155
(2)
? ? Rn ограниченная область, n = 2, 3 , ? граница области ? ,
A = A(x) = (aij (x))nj,j=1 ,
Здесь и далее x·y =
X
a = a(x) = (ai (x))ni=1 , b = b(x) = (bi (x))ni=1 .
xi yi скалярное произведение в конечномерном аримети-
i
ческом пространстве векторов. Через L2 (?) обозначаем гильбертово пространство
со скалярным произведением
Z
(u, v) = uv dx,
?
kuk = (u, u)1/2 , H m (?) пространство Соболева ункций, имеющих обобщенные
производные на ? из L2 (?) вплоть до порядка m ? 1 , H01 (?) подпространство H 1 (?) , получающееся замыканием линейного пространства гладких инитных на ? ункций в норме H 1 (?) .
Как обычно, под обобщенным решением задачи (1), (2) будем понимать такую
ункцию u ? H01 (?) , что
Z
a(u, v) ? (A?u · ?v + ub · ?v + va · ?u + a0 uv)dx = (f, v) ? v ? H01 (?).
?
Будем предполагать, что матрица A(x) симметрична при любом x ? ? и равномерно положительно определена, то есть
A(x)t · t ? c0 |t|2
? t ? Rn , x ? ?, c0 = const > 0.
Будем предполагать также, что выполнены условия, обеспечивающие положительную определенность и ограниченность билинейной ормы a на H01 (?) :
a(u, u) ? c1 kuk21
|a(u, v)| ? c2 kuk1 kvk1
?u ? H01 (?),
?u, v ? H01 (?),
(3)
(4)
c1 , c2 = const > 0 , kuk1 = kukH 1 (?) .
Оценки (3), (4), например, выполняются, если все коэициенты aij , ai , bi
принадлежат L? (?) , a0 (x) ? 0 , x ? ? , а величина kakL? (?) +kbkL?(?) достаточно
мала.
Условие (3) выполняется без ограничений на величину kakL?(?) + kbkL?(?) ,
если ai , bi , ? C 1 (?) , i = 1, . . . , n , a0 ? div(a + b) ? 0 на ? .
Известно (см., например, [7?), что при выполнении условий (3), (4) задача (1), (2)
имеет единственное обобщенное решение u при любой правой части f ? L2 (?) ,
причем kuk1 ? ckf k , c = const .
Наряду с задачей (1), (2) будем рассматривать сопряженную задачу, состоящую
в отыскании ункции u ? H01 (?) , удовлетворяющей интегральному тождеству
Z
a(v, u) ? (A?u · ?v + vb · ?u + ua · ?v + a0 uv)dx = (f, v) ? v ? H01 (?).
(5)
?
Понятно, что при выполнении условий (3), (4) задача (5) имеет единственное решение при любой правой части f ? L2 (?) .
156
М.М. КАЧЕВСКИЙ
В дальнейшем дополнительно к (3), (4) будем предполагать, что выполнены
так называемые условия регулярности, то есть ai , bi , aij , i, j = 1, . . . , n , принадлежат C 1 (?) , ? поверхность класса C 2 . Тогда (см., например, [7?) обобщенное
решение задачи (1), (2) принадлежит пространству H 2 (?) , справедлива оценка
kuk2 ? ckf k,
где c = const . То же справедливо и для сопряженной задачи (5). Здесь и далее kuk2 = kukH 2 (?) .
2. Метод конечных элементов. Свойства конечномерных операторов
Пусть Th правильная регулярная триангуляция области ? , удовлетворяющая
так называемому обратному предположению (см., например, [8, 9?). Пусть далее
Vh ? H01 (?) конечноэлементное пространство такое, что для любой ункции
u ? H 2 (?) существует ункция uh ? Vh такая, что2
(6)
ku ? uh k1 ? chkuk2 .
Предполагается также выполненным обратное неравенство
kvk1 ? ch?1 kvk
(7)
? v ? Vh .
Лемма 1 (Обэн Нитше). Пусть выполнены условия регулярности зада-
чи (1), (2), u ? H01 (?) , v ? Vh
a(u ? v, w) = 0
Тогда
? w ? Vh .
ku ? vk ? chku ? vk1 .
Доказательство леммы 1 можно найти, например, в [8?.
В дальнейшем предполагается, что в пространстве Vh иксирован некоторый
базис. Через v h будем обозначать вектор координат ункции v ? Vh в выбранном
базисе. Для регулярной триангуляции справедливы неравенства
Z
?1 n h
h
c h v · v ? v 2 dx ? chn v h · v h .
(8)
?
Описание способов построения конечноэлементных пространств Vh , удовлетворяющих условиям (6)(8) можно посмотреть, например, в [8, 9?.
Под приближенным решением задачи (1), (2) будем понимать ункцию y ? Vh
такую, что
a(y, v) = (f, v) ? v ? Vh .
(9)
Если условие (3) выполнено, то задача (9), очевидно, имеет единственное решение при любой правой части f ? L2 (?) .
При исследовании многосеточного итерационного метода решения задачи (9)
нам потребуются следующие вспомогательные результаты.
Лемма 2. Пусть y ? Vh . Положим
kyk2,h =
a(y, v)
,
v6=0 kvk
sup
v?Vh ,
kyk?2,h =
a(v, y)
.
v6=0 kvk
sup
v?Vh ,
(10)
Существует такая, не зависящая от h , постоянная c , что
kyk?2,h ? ckyk2,h
2 Далее через
c, c1 , . . .
?y ? Vh .
(11)
обозначаются постоянные, не зависящие от параметра триангуляции
h.
О СХОДИМОСТИ МНООСЕТОЧНОО МЕТОДА . . .
157
Доказательство. По определению
a(y, v) ? a(v, y) =
Z
(a · ?yv ? a · ?vy + b · ?vy ? b · ?yv) dx,
?
откуда, применяя ормулу интегрирования по частям, а затем неравенство Коши Буняковского, получим
(12)
|a(y, v) ? a(v, y)| ? ck?yk kvk,
следовательно, kyk?2,h ? c(kyk2,h + k?yk) , причем вследствие условия (3) и неравенства Фридрихса для y 6= 0 имеем
p
a(y, y)kyk
a(y, y)
a(y, v)
k?yk ? c
?c
? c sup
= ckyk2,h .
kyk
kyk
v?Vh , v6=0 kvk
Введем в рассмотрение взаимносопряженные операторы A, A? : Vh ? Vh , определяемые соотношениями
(Ay, v) = (v, A? y) = a(y, v)
? y, v ? Vh .
(13)
? y ? Vh ,
(14)
Положим A0 = (A + A? )/2 , A1 = (A ? A? )/2 .
Лемма 3. Справедливы неравенства
?
?
? 1 (y, y) ? (A0 y, y) ?? 2 (y, y)
?
?
?
(15)
kA1 k ?? 3 ,
?
где ? 1 = c1 , ? 2 = c2 h?2 , ? 3 = c3 h?1 .
Доказательство. Неравенства (14) непосредственно вытекают из очевидного
тождества
(A1 y, y) = 0 ?y ? Vh ,
оценок (3), (4) и обратного неравенства (7). Неравенство (15) получается последовательным применением (12), (7).
Введем в рассмотрение оператор Ih : Vh ? Vh при помощи тождества
(Ih y, v) = hn y h · v h
? y, v ? Vh .
Определим так называемую сеточную норму на пространстве Vh как энергетическую норму оператора Ih :
kyk2Ih = (Ih y, y) ? y ? Vh .
Вследствие (8) справедливы оценки
?1 (y, y)Ih ? (Ih?1 A0 y, y)Ih ? ?2 (y, y)Ih
kIh?1 A1 kIh ? ?3 ,
? y ? Vh ,
где ?1 = c?1 , ?2 = c?2 h?2 , ?3 = c?3 h?1 , постоянные c?i очевидным образам определяются по ci и c из оценок (8).
158
М.М. КАЧЕВСКИЙ
Лемма 4 [10, . 290?. Пусть ? 0 = ?0 (1 ? ??0 ) , где
?0 =
2
,
?1 + ?2
?3
,
?=p 2
?3 + ?1 ?2
?0 =
1??
,
1+?
?=
1 ? ? ?1
· .
1 + ? ?2
Тогда kE ? ? 0 Ih?1 AkIh ? ?0 < 1 , где E единичный оператор.
Лемма 5. Если kE ? ? Ak ? 1 , ? ? [0, 1] , то kE ? ?? Ak ? 1 .
Доказательство немедленно вытекает из представления
E ? ?? A = (1 ? ?)E + ?(E ? ? A).
Лемма 6. Пусть ? 1 = ? 0 /2 . Тогда для любого целого ? ? 1
?
kIh?1 A(E ? ? 1 Ih?1 A)? kIh ? 1/? 1 e?.
(16)
Доказательство. Положим B = E ? 2? 1 Ih?1 A = E ? ? 0 Ih?1 A . Тогда
Ih?1 A = (2? 1 )?1 (E ? B), E ? ? 1 Ih?1 A = 2?1 (E + B),
?(?+1)
Ih?1 A(E ? ? 1 Ih?1 A)? = ? ?1
(E ? B)(E + B)? ,
1 2
?
причем kBkIh < 1 . Покажем, что k(E ?B)(E +B)? kIh ? 2?+1 / e? . В соответствии
с теоремой Неймана (см., например, [11, с. 461? ) для этого достаточно установить,
что
?
max |(1 ? z)(1 + z)? | ? 2?+1 / e?.
|z|=1
Полагая z = e , получим |(1 ? z)(1 + z)? |2 = 2?+1 (1 ? cos ?)(1 + cos ?)? . Далее
нетрудно убедиться, что
i?
max (1 ? t)(1 + t)? =
?1?t?1
2?+1
< 2?+1 /e?.
?(1 + 1/?)?+1
Замечание 1. Доказательство леммы 6 совпадает в основном с доказательством леммы еускена (см. [3, 4, 6?), однако использование техники гильбертовых пространств позволило нам несколько улучшить оценку нормы оператора Ih?1 A(E ? ? 1 Ih?1 A)? . Как известно (см., например, [3, 4, 6?), существенное
улучшение оценок типа (16) достигается в случае, когда A = A? , то есть при
?3 = 0 . Действительно, в рассматриваемой нами ситуации это приводит к тому,
что B = B ? в энергетическом пространстве оператора Ih , и поскольку kBkIh < 1 ,
то sp(B) ? (?1, 1) , следовательно,
k(E ? B)(E + B)? kIh = max (1 ? t)(1 + t)? ? 2?+1 /e?.
t?sp(B)
Таким образом, при A = A?
kIh?1 A(E ? ? 1 Ih?1 A)? kIh ? 2/?0 e?.
О СХОДИМОСТИ МНООСЕТОЧНОО МЕТОДА . . .
159
3. Многосеточный метод. Исследование сходимости
Опишем и исследуем сначала так называемый двусеточный метод решения задачи (9). Введем в рассмотрение триангуляцию Th1 области ? такую, что Vh1 ? Vh .
Понятно, что триангуляция Th должна при этом получаться как измельчение триангуляции Th1 . В дальнейшем будем полагать, что
(17)
h1 ? ch.
Пусть y 0 ? Vh заданное начальное приближение к решению задачи (9). Построим последовательность приближений y 1 , y 2 , . . . ? Vh по следующему правилу.
1. Если y k уже найдено, положим y k,0 = y k и вычислим y k,? , ? ? 1 (используя
итерационный метод Якоби) при помощи соотношений
y k,j+1 = y k,j ? ?? 1 Ih?1 (Ay k,j ? fh ),
j = 0, 1, . . . , ? ? 1.
(18)
Здесь ? ? (0, 1] , fh ? Vh и определяется при помощи тождества
(fh , v) = (f, v) ? v ? Vh .
2. Найдем w ? Vh1 , решив уравнение
a(y k,? + w, v) = (f, v)
? v ? Vh1 .
(19)
3. Положим y? k,0 = y k,? + w и вычислим y? k,µ , µ ? 0 при помощи соотношений
y? k,j+1 = y? k,j ? ?? 0 Ih?1 (Ay k?,j ? fh ),
j = 0, 1, . . . , µ ? 1.
(20)
4. Положим y k+1 = y? k,µ .
Замечание 2. Матрица оператора Ih диагональна в выбранном выше базисе
пространства Vh , поэтому y k,? , y? k,µ находятся по явным ормулам. Предполагается, что система уравнений (19) относительно координат ункции w в некотором
базисе пространства Vh1 решается точно (прямым методом).
Замечание 3. При организации многосеточного метода уравнение (19), в свою
очередь, решается при помощи описанного итерационного метода с переходом на
более крупную сетку (подробнее см., например, [16?).
Теорема 1. Существует такое ? ? 1 , что
ky k+1 ? yk ? qky k ? yk,
(21)
где y решение задачи (9), q ? (0, 1) постоянная, не зависящая от h .
Доказательство. По предположению Vh1 ? Vh , поэтому из (9), (19) вытекает,
что
Вследствие (3)
a(y k,? + w ? y, v) = 0 ? v ? Vh1 .
ky k,? + w ? yk21 ? c a(y k,? + w ? y, y k,? + w ? y).
Используя (22), получим, что
a(y k,? + w ? y, y k,? + w ? y) = a(y k,? + w ? y, y k,? ? y)
(22)
160
М.М. КАЧЕВСКИЙ
и потому (см. (10))
ky k,? + w ? yk21 ? cky k,? + w ? ykky k,? ? yk?2,h .
Вследствие леммы 1
ky k,? + w ? yk ? chky k,? + w ? yk1 ,
поэтому
ky k,? + w ? yk1 ? ch1 ky k,? ? yk?2,h ,
откуда, вновь применяя лемму 1, а затем (11), (17), получим что
ky k,? + w ? yk ? ch2 ky k,? ? yk2,h .
(23)
Применяя последовательно (10), (13), (18), (8), (16), находим, что
ky k,? ? yk2,h ? kA(E ? ?? 1 Ih?1 A)? (y k ? y)k ?
?
? ckIh?1 A(E ? ?? 1 Ih?1 A)? kIh ky k ? yk ? (c/?1 e?)ky k ? yk. (24)
Из (20), очевидно, вытекает, что
y k+1 ? y = (E ? ?? 0 Ih?1 A)µ (y k,? + w ? y).
Используя леммы 4, 5, отсюда получаем неравенство
ky k+1 ? ykIh ? ky k,? + w ? ykIh
и, следовательно,
ky k+1 ? yk ? cky k,? + w ? yk.
(25)
Таким образом, на основании (23)(25) получаем
?
ky k+1 ? yk ? (ch2 /?1 e?)ky k ? yk.
Для завершения доказательства теоремы осталось заметить, что
h2
2h2
2h2
h2 (?1 + ?2 )
c?1 h2 + c?2
p
? const .
=
?
=
=
?1
?0 (1 ? ??0 )
?0 (1 ? ?)
1??
1 ? c?3 / c?23 + c?1 c?2
Построение и обоснование сходимости так называемого W-цикла многосеточного метода решения задачи (9) может быть проведено далее на основе теоремы 1
стандартным образом (см., например, [3, 4, 6?).
абота выполнена при инансовой поддержке ФФИ (проекты ќ 09-01-00814,
09-01-97015).
Summary
M.M. Karhevsky.
Order.
On Convergene of Multigrid Method for Ellipti Equations of Seond
The Dirihlet problem for the general ellipti equation of seond order in divergene form
is onsidered. Convergene of the multigrid method for solving this problem is proved. The
method investigated in the artile is based on the appliation of onform nite elements and
Jaobi smoother proedure.
Key words: linear ellipti equation of seond order, nite element method, multigrid
method, onvergene researh.
О СХОДИМОСТИ МНООСЕТОЧНОО МЕТОДА . . .
161
Литература
1.
Hakbush W.
Multi-Grid Methods and Appliations. Berlin: Springer, 1985. 377 p.
2.
Шайдуров В.В.
Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989. 288 с.
3.
Braess
D. Finite Elemente: Theorie, shnelle L
oser und Anwendungen in der
Elastizit
atstheorie. Berlin: Springer, 2003. 342 S.
4.
Ольшанский М.А.
Лекции и упражнения по многосеточным методам. М.: Физмат-
лит, 2005. 176 с.
5.
Ольшанский
М.А. Анализ многосеточного метода для уравнения конвекциидиузии с краевыми условиями Дирихле // Журн. вычисл. матем. и матем из. 2004. Т. 44, ќ 8. С. 14621491.
6.
Reusken A.
7.
Ладыженская О.А.
Introdution to multigrid methods for ellipti boundary value problems //
Multisale Simulation Methods in Moleular Sienes. NIC Series / Eds. J. Grotendorst,
N. Attig, S. Bl
ugel, D. Marx. J
uulih: Institute for Advaned Simulation, Forshungszentrum J
uulih, 2009. V. 42. P. 467506. URL: http://www.fz-juelih.de/niseries/volume42/reusken.pdf, свободный.
Краевые задачи математической изики. М.: Наука, 1973. -
408 с.
8.
Сьярле Ф.
Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. 512 с.
9.
Даутов .З., Карчевский М.М.
10.
Самарский А.А., Николаев Е.С.
Ведение в теорию метода конечных элементов. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2004. 239 с.
Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука,
1978. 592 с.
11.
исс Ф., Сјкеальви-Надь Б.
Лекции по ункциональному анализу. М.: Мир,
1979. 588 с.
Поступила в редакцию
09.06.09
Карчевский Михаил Миронович доктор изико-математических наук, проессор, заведующий каедрой вычислительной математики Казанского государственного
университета.
E-mail: Mikhail.Karhevskyksu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
226 Кб
Теги
сходимость, уравнения, многосеточного, метод, эллиптическая, порядке, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа