close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О сходимости рядов из коэффициентов Фурье мультипликативных сверток.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2008, № 11, c. 27–39
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@ksu.ru
Посвящается светлой памяти
Петра Лаврентьевича Ульянова
С.С. ВОЛОСИВЕЦ
О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ИЗ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ
МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ СВЕРТОК
Аннотация. Мы изучаем сходимость рядов из коэффициентов Фурье–Виленкина функций,
представимых в виде мультипликативных сверток. В тригонометрическом случае аналогичные результаты получены Ч. Оневиром, М. Изуми и Ш. Изуми. Кроме того, рассматриваются
аналоги преобразований И. Хиршмана и У. Рудина коэффициентов Фурье. Доказана неулучшаемость ряда результатов в определенном смысле.
Ключевые слова: абсолютная сходимость, мультипликативные системы, мультипликативная
свертка.
УДК: 517.518
Abstract. We study the convergence of series with Fourier–Vilenkin coefficients for functions
represented as multiplicative convolutions. In the trigonometric case similar results are obtained
by C. Onneweer, M. Izumi, and S. Izumi. Moreover, we consider certain analogs of I. Hirshman and
W. Rudin transformations of Fourier coefficients. Some results are proved to be unimprovable in a
certain sense.
Keywords: absolute convergence, multiplicative systems, multiplicative convolution.
Введение
Пусть P = {pj }∞
j=1 — последовательность натуральных чисел такая, что 2 ≤ pj ≤ N для
всех j ∈ N и пусть Zj = {0, 1, . . . , pj − 1}. По определению m0 = 1 и mn = p1 . . . pn при
n ∈ N. Каждое число x ∈ [0, 1) имеет разложение
x=
∞
xj m−1
j ,
xj ∈ Zj .
(1)
j=1
Это разложение единственно, если для x = k/mn , 0 < k < mn , брать разложение с конечным
числом xj = 0. Каждое число k ∈ Z+ представимо единственным образом в виде
k=
∞
kj mj−1 ,
kj ∈ Zj .
j=1
Поступила 26.06.2006, окончательный вариант — 14.02.2007
27
(2)
28
С.С. ВОЛОСИВЕЦ
Если даны x ∈ [0, 1) с разложением (1) и k ∈ Z+ с разложением (2), то по определению
∞
xj kj /pj .
χk (x) = exp 2πi
j=1
{χk (x)}∞
k=0
ортонормирована и полна в L[0, 1) ([1], с. 32). Коэффициенты Фурье
1
функции f (x) ∈ L[0, 1) по этой системе задаются формулой f(n) = f (t)χn (t)dt, n ∈ Z+ ,
Система
n−1
а частичная сумма Фурье есть Sn (f )(x) =
∞
виде (1), то по определению x⊕y := z =
j=1
0
f(k)χk (x). Если x, y ∈ [0, 1) представлены в
k=0
zj m−1
j , zj ∈ Zj , zj = xj +yj (mod pj ). Аналогично
определяется x y. Если же n, k ∈ Z+ представлены в виде (2), то n ⊕ k := l =
∞
lj mj−1 ,
j=1
lj ∈ Zj , lj = nj +kj (mod pj ). Аналогично определяется nk. Система {χk (x)}∞
k=0 называется
мультипликативной, что связано со следующими свойствами:
1) χn (x)χm (x) = χn⊕m (x) для всех n, m ∈ Z+ , x ∈ [0, 1);
2) χn (x ⊕ y) = χn (x)χn (y) для всех n ∈ Z+ и почти всех y ∈ [0, 1) для фиксированного
x ∈ [0, 1).
Аналогичные свойства верны для χnm (x) и χn (x y) ([1], с. 30). Для f, g ∈ L[0, 1)
1
свертка этих функций f ∗ g определяется формулой f ∗ g(x) = f (x t)g(t)dt. Ясно, что
Sn (f )(x) = Dn ∗ f (x), где Dn (x) =
n−1
0
χk (x). Пусть f p =
k=0
1
|f (t)|p dt
1/p
, 1 ≤ p < ∞,
0
f ∞ = sup |f (x)|. Пространство Lp [0, 1) состоит из измеримых на [0, 1) функций таких,
x∈[0,1)
что f p < ∞, пространство M C[0, 1) состоит из ограниченных функций f (x), для которых lim f (x ⊕ h) − f (x)∞ = 0. Известно, что f ∗ gp ≤ f p g1 , 1 ≤ p ≤ ∞, и что для
h→0
f ∈ M C[0, 1) и g ∈ L[0, 1) также имеем f ∗ g ∈ M C[0, 1) (в двоичном случае — [2], п. 4.4,
лемма 1, в общем случае — доказательство аналогично).
Пусть Wn = {f ∈ L[0, 1) : f(k) = 0, k ≥ n}, En (f )p = inf{f − wn p : wn ∈ Wn }, ωn (f )p =
sup f (x⊕ h)− f (x)p , 1 ≤ p ≤ ∞, n ∈ Z+ . Для убывающей к нулю последовательности
0<h<1/mn
ω
{ωn }∞
n=0 по определению Hp = {f ∈ Lp [0, 1) : ωn (f )p ≤ ωn , n ∈ Z+ }. При p = ∞ считаем
L∞ [0, 1) = M C[0, 1) и далее индекс p в этом случае будет опускаться. При ωn = m−α
n ,
α > 0 полагаем Hpω ≡ Lip∗ (α, p). Известно неравенство А.В. Ефимова ([1], c. 239–240): при
1≤p≤∞
(3)
Emn (f )p ≤ f − Smn (f )p ≤ ωn (f )p ≤ 2Emn (f )p , n ∈ Z+ .
Основной задачей данной статьи является изучение сходимости рядов
∞
|f(n)|β ,
(4)
n=1
где f = g ∗ h и на g и h накладываются определенные ограничения. В тригонометрическом
случае подобные вопросы рассматривались в [3]–[5]. На мультипликативные системы классические результаты об абсолютной сходимости С.Н. Бернштейна, С.Б. Стечкина, О. Саса
и А. Зигмунда переносились в [6]–[8]. В [7] также были получены аналоги теорем об абсолютной сходимости рядов Фурье сверток функций из различных классов Липшица из [3].
О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ИЗ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ
29
В [6] и [7] обсуждался вопрос о неулучшаемости полученных условий. В частности, при
pn ≡ q были построены [6] аналоги полиномов У. Рудина–Г. Шапиро (лемма 4 ниже). Автору с помощью метода Р. Салема доказательства леммы С.Н. Бернштейна ([9], с. 388–390)
удалось построить полиномы по системе {χk }∞
k=0 , пригодные для доказательства неулучшаемости теорем об абсолютной сходимости ([11], лемма 11, и лемма 5 ниже). Эти леммы и
другие необходимые результаты будут приведены в разделе 1. Второй раздел, являющийся
основным, посвящен изучению сходимости рядов (4) для P-ичных сверток, хотя теорема 6
содержит результаты о тригонометрических рядах Фурье. В разделе 3 приводятся P-ичные
аналоги теорем У. Рудина и И. Хиршмана о преобразованиях коэффициентов Фурье.
1. Вспомогательные утверждения
Лемма 1 ([1], с. 33; [8], с. 98). Для любого n ∈ N верны соотношения Dmn (x) = mn X[0,1/mn )
и |Dn (x)| ≤ min(n, C/x), где XE — характеристическая функция множества E.
(n)
Лемма 2 ([1], с. 36). Пусть f (x) ∈ Wmn , n ∈ Z+ , тогда f (x) постоянна на всех Ik :=
(n)
[(k − 1)/mn , k/mn ), 1 ≤ k ≤ mn . Обратно, если f (x) постоянна на всех Ik , 1 ≤ k ≤ mn ,
при фиксированном n ∈ Z+ , то f (x) ∈ Wmn .
Следствие 1. При n ∈ N и 1 < p < ∞ имеем C1 n1−1/p ≤ Dn p ≤ C2 n1−1/p .
Доказательство. Согласно лемме 1
1
p
|Dn (x)| dx ≤
0
1/n
1
p
n dx +
0
C p /xp dx ≤ C3 np−1 .
1/n
С другой стороны, если mk ≤ n < mk+1 , то по лемме 2 Dn (x) = n на [0, 1/mk+1 ), и поэтому
1/mk+1
1
p
|Dn (x)| dx ≥
np dx ≥ C4 np−1 .
0
Лемма 3 ([8],
n
µk ≤ Cµn и
k=1
bk+1
)r
и
∞
k=1
0
∞
с. 122). Пусть {bk }k=1 убывает к нулю и {µk }∞
k=1 , µk
∞
−1
µ−1
k ≤ Cµk для всех n ∈ N. Тогда для любого r >
k=n
µk brk
> 0, такова, что
∞
0 ряды
µk (bk −
k=1
сходятся или расходятся одновременно.
Сразу отметим, что µk = mαk , α > 0, удовлетворяет условию леммы 3.
Теперь приведем две леммы, связанные с построением аналогов полиномов У. Рудина–
Г. Шапиро.
Лемма 4 ([6]). Пусть pn = q при всех n ∈ N. Тогда для любого n ∈ N существует Qn ∈ Wn
такой, что
n (k)| = 1 для всех 0 ≤ k < n;
1) |Q
2) Qn ∞ ≤ Cn1/2 ;
n+1 (k) для всех 0 ≤ k < n.
n (k) = Q
3) Q
Лемма 5 ([11]). Пусть n ∈ N. Тогда существует Pn (x) =
n−1
ak χk (x) такой, что
k=0
1) Pn ∞ ≤ n1/2 ;
2) для всех r ∈ [1, 2] имеем Γ(Pn , r) :=
n−1
k=0
|ak |r
1/r
≥ Cn1/r .
30
С.С. ВОЛОСИВЕЦ
Лемма 6 ([12]). Пусть Fn (x) =
n
Dk (x)/n, n ∈ N. Тогда нормы Fn 1 ограничены.
k=1
Следующая лемма является обобщением теоремы Г. Харди–Дж. Литтлвуда ([13], с. 308)
и принадлежит Л. Лейндлеру [14].
Лемма 7. Пусть λn > 0, an ≥ 0, n ∈ N, p ≥ 1. Тогда
p
p
∞
∞
n
∞
p
1−p p
λn
ak
≤p
λn an
λk .
n=1
n=1
k=n
Лемма 8. Пусть 1 < p < ∞, {an }∞
n=1 убывает к нулю и
k=1
∞
apn np−2 < ∞. Тогда существу-
n=1
ет f ∈ Lp [0, 1) такая, что f(n) = an , n ∈ Z+ (a0 = 0), и при этом
1/p ∞
p p−2
1−1/p
amn +
ak k
.
ωn (f )p ≤ C mn
k=mn
Доказательство. При p ≥ 2 утверждение леммы без условия монотонности an следует из
теоремы Пэли ([15], с. 245). Существование f (x) при 1 < p < 2 и an ↓ 0 доказано Ч. Оневиром
1/p
m
∞
∞
n −1
apn np−2
. Пусть f1 (x) =
amn χk (x) +
ak χk (x) (к f1 (x)
[7], причем f p ≤ C1
n=1
k=0
k=mn
тоже можно применять теорему Оневира). Так как при 0 < h < 1/mn по лемме 2 f (x ⊕
h) − f (x) = f1 (x ⊕ h) − f1 (x), то по теореме Оневира имеем
1/p
∞
p p−2
p−1 p
ak k
,
ωn (f )p = ωn (f1 )p ≤ 2f1 p ≤ C2 mn amn +
k=mn
откуда легко следует утверждение леммы.
Замечание 1. Аналогичные оценки можно доказывать для an таких, что an n−τ убывает
∞
|ak − ak+1 | ≤ Can , при этих же ограничениях
при некотором τ > 0, или таких, что
k=n
можно доказывать теорему 2. Случай an ↓ 0 взят из-за простоты доказательства.
2. Абсолютная сходимость рядов Фурье от сверток
Пункт a) теоремы 1 носит вспомогательный характер, а п. б) является аналогом теоремы
Л. Лейндлера [16] для тригонометрических рядов. Следует отметить, что доказательство
п. б) теоремы 1 основано на других идеях, чем в [16].
Теорема 1. Пусть 1 < p ≤ 2, 1/p + 1/q = 1, f ∈ Lp [0, 1).
a) Пусть µ(t) положительна при t > 0 и для всех t ∈ [mk , mk+1 ] верно неравенство
A1 µ(mk ) ≥ µ(t) ≥ A2 µ(mk+1 ),
Тогда
∞
µ
−1
n=0
mn+1 −1
(mn )
|f(k)|q ≤ C
1
t
−1 −1
µ
k ∈ Z+ ,
(1/t)
0
k=mn
1
(5)
A1 , A2 > 0.
q/p
|f (x ⊕ t) − f (x)| dx
p
dt.
0
б) Пусть µ(t) положительна и убывает при t > 0, причем µ(n) ≤ Aµ(N n), n ∈ N. Тогда
1
q/p
1
∞
∞
−1
q
−2 −1
p
µ (n)
|f (k)| ≤ C
t µ (1/t)
|f (x ⊕ t) − f (x)| dx
dt.
(6)
n=1
k=n
0
0
О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ИЗ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ
Доказательство. б) Обозначим правую часть (6) через C
1
31
Φ(t)dt и будем считать, что она
0
конечна. По лемме 2 χi (t) = 1 при t ∈ [0, 1/mn ), i < mn , поэтому ряд Фурье функции
∞
f (x ⊕ t) − f (x) при t ∈ [0, 1/mn ) имеет вид
f(k)(χk (t) − 1)χk (x). Если t ∈ [m−1 , m−1 )
n+1
k=mn
n
и mn ≤ k < mn+1 , то |χk (t) − 1| ≥ | exp(2πi/N ) − 1| = C1 > 0. Согласно теореме Хаусдорфа–
Юнга–Ф. Рисса ([10], с. 154) для таких t получаем
q/p
1
mn+1 −1
q
p
|f (k)| ≤ C2
|f (x ⊕ t) − f (x)| dx
.
0
k=mn
−1
−1
Проинтегрируем это неравенство по t ∈ [m−1
n+1 , mn ) и воспользуемся неравенством mn −
−1
mn+1 ≥ 2−1 m−1
n :
mn+1 −1
|f(k)|q ≤ 2C2 mn
1/mn
q/p
|f (x ⊕ t) − f (x)| dx
p
dt =:
0
1/mn+1
k=mn
1
1/mn
=: 2C2 mn
1/mn+1
Суммируя по n от r до ∞, находим
∞
q
|f (k)| ≤ 2C2
1/mr
1/mn
Φ1 (t)dt ≤ 2C2
t−1 Φ1 (t)dt. (7)
1/mn+1
t−1 Φ1 (t)dt,
r ∈ Z+ .
0
k=mr
Если µ(t) убывает, то µ(1/t) ≤ µ(mr ) на [0, 1/mr ), поэтому
1/mr
∞
−1
q
−1 −1
|f (k)| ≤ 2C2
t µ (1/t)Φ1 (t)dt =: 2C2
µ (mr )
0
k=mr
1/mr
Φ2 (t)dt.
0
Теперь получаем
∞
n=1
µ
−1
(n)
∞
|f(k)|q =
k=n
∞ m
i −1
µ
i=1 n=mi−1
∞
≤A
−1
(n)
∞
k=n
mi µ−1 (mi )
i=1
Поскольку mi
1/m
i
Φ2 (t)dt ≤
1/m
i
0
|f(k)|q ≤
∞
|f(k)|q ≤ C3
i=0
k=mi−1
Φ(t)dt и
0
1
∞
1/mi
Φ2 (t)dt. (8)
mi
0
Φ(t)dt существует, общий член ряда в правой
0
части (8) стремится к нулю, и можно применять преобразование Абеля к правой части (8).
Имеем
1/mi
∞
∞
i
∞ −1
q
µ (n)
|f(k)| ≤ C3
mj
Φ2 (t)dt ≤
n=1
k=n
≤ 2C3
i=0
∞
j=0
1/mi
mi
i=0
1/mi+1
1/mi+1
Φ2 (t)dt ≤ 2C3
∞ i=0
1/mi
1
Φ(t)dt = 2C3
1/mi+1
a) Воспользуемся неравенством (7). В силу условия (5) получаем
Φ(t)dt.
0
32
С.С. ВОЛОСИВЕЦ
∞
µ−1 (mn )
n=0
mn+1 −1
|f(k)|q ≤ 2C2
∞
µ−1 (mn )
t−1 Φ1 (t)dt ≤
1/mn+1
n=0
k=mn
1/mn
≤ C4
∞ 1/mn
1
Φ2 (t)dt = C4
Φ2 (t)dt.
0
n=0 1/mn+1
Докажем теперь неулучшаемость в определенном смысле теоремы 1.
Теорема 2. Пусть µ(t) удовлетворяет условию б) теоремы 1. Если 1 < p ≤ 2, 1/p+1/q=1,
f ∈ Lp [0, 1), причем последовательность {f(n)}∞
n=1 убывает, то
1
q/p
∞
∞
1
−1
q
−2 −1
p
µ (n)
|f (k)| ≥ C
t µ (1/t)
|f (x ⊕ t) − f (x)| dx
dt.
(9)
n=1
0
k=n
0
Доказательство. В силу возрастания функции µ−1 (t) имеем
n
µ−1 (k) = O(nµ−1 (n)),
n ∈ N,
(S1 )
k=1
nµ−1 (n) − (n − 1)µ−1 (n − 1) = O(µ−1 (n)), n ≥ 2.
(10)
Оценим сверху интеграл из правой части (10) с помощью леммы 8
1
q/p
1/mn
1
∞
−2 −1
p
t µ (1/t)
|f (x ⊕ t) − f (x)| dx
dt ≤
ωnq (f )p
t−2 µ−1 (t−1 )dt ≤
0
0
1/mn+1
n=0
≤ C1
∞
q/p ∞
mn µ−1 (mn ) mn |f(mn )|q +
|f(k)|p kp−2
. (11)
n=0
Из условия (10) легко следует mn
∞
m2n µ−1 (mn )|f(mn )|q ≤ C2
n=1
= C2
∞ ∞
n=1
k=mn
µ−1 (m
∞
n) −
mn−1
m
n −1
mn µ−1 (mn )
n=1
µ−1 (m
n−1 )
= O(mn µ−1 (mn )), поэтому
|f(i)|q =
i=mn−1
|f(i)|q (mn+1 µ−1 (mn+1 ) − mn µ−1 (mn )) +
i=mn
≤ C3
∞
mn µ−1 (mn )
n=0
∞
∞
q
−1
|f (i)| m1 µ (m1 ) ≤
i=1
∞
|f(i)|q ≤ C4
n=1
i=mn
µ−1 (n)
∞
|f(k)|q . (12)
k=n
Далее согласно лемме 7, (S1 ) и (10) имеем
q/p
q/p
∞
∞
∞
∞
−1
p
p−2
−1
p
p−2
mn µ (mn )
|f(k)| k
≤ C5
µ (n)
|f(k)| k
≤
n=0
k=mn
≤ C6
∞
µ−1+q/p (n)(|f(n)|p np−2 )q/p
n=1
= C7 µ
−1
(1)
∞
i=1
|f(i)|q +
n
k=1
∞
∞
n=1
k=n
q/p
∞
−1
µ (k)
≤ C7
µ−1 (n)|f(n)|q nq−q/p =
n=1
q
−1
−1
|f (i)| (nµ (n) − (n − 1)µ (n − 1)) ≤
n=2
i=n
О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ИЗ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ
≤ C8
∞
µ
−1
33
(n)
n=1
∞
|f(k)|q . (13)
k=n
Слагаемые из правой части (11) при n = 0 также оцениваются через левую часть (9). Из
(12), (13) и последнего замечания следует справедливость теоремы.
Замечание 2. Условие (S1 ) рассматривалось в работе Н.К. Бари и С.Б. Стечкина [17].
Условие убывания µ(t) можно заменить в данной теореме на (5), (S1 ) и (10).
Следующая теорема является аналогом теоремы М. Изуми и С. Изуми [4] (у них в условии
(15) вместо f (x ⊕ t) − f (x)p использовался модуль непрерывности, от µ(t) требовалась
монотонность и β было равно 1).
Теорема 3. Пусть 1 < p ≤ 2, 1/p + 1/q = 1, µ(t) — положительная функция такая, что
для λ(t) выполнено условие (5). Если g, h ∈ Lp [0, 1), 0 < β < q и
∞
|
g (n)|α µα (n) < ∞,
α = βq/(q − β),
n=1
1
t−1 µ−q (t−1 )
0
1
(14)
q/p
|h(x ⊕ t) − h(x)|p dx
dt < ∞,
(15)
0
то для f = g ∗ h сходится ряд (4).
Доказательство. Как известно, (g ∗ h)(k) = g(k)
h(k), k ∈ Z+ . В силу неравенства Гёльдера
получаем
1−β/q β/q
∞
∞
∞
β
α
q
|f (n)| ≤
|
g (n)µ(n)|
|h(n)/µ(n)|
.
n=1
n=1
n=1
Первый из множителей в правой части конечен согласно (14), для второго же имеем
β/q
β/q
m
∞
∞
i −1
q
−q
q
|
h(n)/µ(n)|
≤ C1
µ (mi−1 )
|
h(n)|
.
n=1
i=1
n=mi−1
Согласно п. a) теоремы 1 последнее выражение не превосходит C2
1
1
t−1 µ−q (t−1 ) ×
0
q/p β/q
|h(x ⊕ t) − h(x)|dx
dt
.
0
Следствие 2. Пусть 1 < p ≤ 2, 1/p + 1/q = 1, g, h ∈ Lp [0, 1) и
q/p
1
1
1−q
t
|h(x ⊕ t) − h(x)|dx
dt < ∞
0
или
0
∞
ωnq (h)p mq−2
< ∞.
n
(16)
n=0
Тогда ряд Фурье функции f = g ∗ h сходится абсолютно.
Доказательство. Согласно теореме Пэли для g ∈ Lp [0, 1), 1 < p ≤ 2, можно взять µ(n) =
n1−2/p и α = p. В таком случае t−1 µ−q (1/t) = t1−q и остается применить теорему 3.
34
С.С. ВОЛОСИВЕЦ
Если ωn = m−α
n , то условие
∞
ωnq mq−2
< ∞ равносильно неравенству α > (2 − p)/p.
n
n=0
Приведем утверждение о неулучшаемости условия (16) в шкале Lip∗ (α, p).
Теорема 4. Пусть 1 < p < 2. Тогда существуют g ∈ Lp [0, 1) и h ∈ Lip∗ ((2−p)/p, p) такие,
что ряд Фурье функции f = g ∗ h не сходится абсолютно.
Доказательство. Пусть g(n) = n−1/q log−1/p−ε (n + 1), n ∈ N, 1/p + 1/q = 1, 1/p + ε < 1.
∞
gp (n)np−2 сходится и по упоминавшейся теореме Оневира из [7] g ∈ Lp [0, 1).
Тогда ряд
n=1
Пусть также
∞
h(x) =
m(p−2)/p
m−1/q
(Dmn (x) − Dmn−1 (x)).
n
n
n=1
Согласно следствию 1 и (3) имеем
ωn (h)p ≤ h − Smn (h)p ≤
∞
m1−2/p−1/q
Dmn − Dmn−1 p ≤ C1 m1−2/p
,
n
n
k=n+1
т. е. h ∈ Lip∗ ((2 − p)/p, p). Наконец,
∞
k=1
|
g (k)
h(k)| =
∞ m
n −1
|
g (k)
h(k)| ≥
n=1 k=mn−1
≥
∞
−1
2
mn m−2/q+1−2/p
(log mn )−1/p−ε
n
n=1
≥ C2
∞
n−1/p−ε = ∞.
n=1
(log mn )−α и доказать, что при α > 1/q,
Замечание 3. Можно рассмотреть ωn = mn
g ∈ Lp [0, 1) и h ∈ Hpω , 1 < p ≤ 2, ряд Фурье f = g ∗ h будет сходиться абсолютно, а при
α ≤ 1/q — необязательно. Представляет интерес задача о неулучшаемости условия (16) в
следствии 2.
1−2/p
Известно (напр., [6]), что достаточные условия сходимости ряда (4) для функций
f ∈ Lp [0, 1), p ≥ 2, получаются не зависящими от p. Поэтому вместо Hpω , p ≥ 2, будем
рассматривать H ω и Lip∗ (α).
Теорема 5. 1) Пусть g ∈ Lp [0, 1), 1 < p ≤ 2, 1 ≤ β < q, h ∈ H ω , где
∞
n=1
1−δ/2
ωnδ mn
< ∞,
δ = βq/(q − β) ≤ 2. Тогда для f = g ∗ h сходится ряд (4) (для ωn = m−α
n , α > 0, сходимость
ряда (4) будет при β > 2p/(2αp + 3p − 2)).
2) Пусть 4/3 ≤ p ≤ 2, α > 0, или 1 < p < 4/3, α > 2/p − 3/2. Тогда существуют
g ∈ Lp [0, 1) и h ∈ Lip∗ (α) такие, что ряд (4) для f = g ∗ h расходится при β0 = 2p/(2αp +
3p − 2).
Доказательство. 1) Аналогично доказательству теоремы 1 с помощью неравенства Бесселя
получаем
mn+1 −1
k=mn
|
h(k)|2 ≤ C1 ωn2 (h, 1/mn )2 ≤ C1 ωn2 (h, 1/mn ).
О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ИЗ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ
35
При δ ≤ 2, используя неравенство Гёльдера, находим
δ/2
∞
∞
∞ mn+1
−1
δ
2
|h(k)| ≤
|h(k)|
(mn+1 − mn )1−δ/2 ≤ C2
ω δ (h, 1/mn )m1−δ/2
.
n
n=0
k=1
(17)
n=0
k=mn
Применяя еще раз неравенство Гёльдера, имеем
β/q 1−β/q
∞
∞
∞
β
q
δ
|
g (k)h(k)| ≤
|
g (k)|
|h(k)|
.
k=1
k=1
k=1
Первый сомножитель в правой части конечен по теореме Хаусдорфа–Юнга–Ф. Рисса, второй — согласно (17) и условию теоремы.
2) Снова полагаем g(k) = k−1/q (log(k + 1))−1/p−ε , k ∈ N, где β0 (1/p + ε) ≤ 1. Тогда
∞
−1/2−α
mk
χmk (x)Pmk (x), где Pn (x) — полином, построенный в
g ∈ Lp [0, 1). Пусть h(x) =
k=1
лемме 5. Тогда
ωn (h) ≤ h − Smn (h)∞ ≤
∞
−1/2−α
mk
Pmk ∞ ≤ C3 m−α
n ,
k=n
∗
откуда h ∈ Lip (α). С другой стороны,
∞
|
g (k)
h(k)|β0 ≥
∞
−β (1/q+1/2+α)
mn+10
(log mn+1 )−β0 (1/p+ε) Γββ (Pmk ) ≥
n=0
k=1
≥ C4
∞
0 (1/q+1/2+α) −β0 (1/p+ε)
m1−β
n
= C4
n
n=1
∞
n−β0(1/p+ε) = ∞.
n=1
Условие β0 /p < 1 обеспечивает существование нужного ε, а оно равносильно 1/p < α +
1/2 + 1/q или α > 2/p − 3/2. Ясно, что при p ≥ 4/3 значение α > 0 можно брать любым. Замечание 4. Пункт 2) теоремы 5 является аналогом теоремы 7 из [5], в которой, однако,
вместо h ∈ Lip(α) строились h ∈ Lip(α1 ), α1 < α, и g ∈ Lp [0, 2π] такие, что аналог ряда (4)
для 2π-периодической свертки g и h расходился при β = β0 .
Большинство результатов данной статьи являются аналогами теорем, полученных в тригонометрическом случае. Теперь, напротив, дадим тригонометрический аналог теоремы 7 из
2π
[7]. Напомним, что для 2π-периодических интегрируемых функций f(n)=(2π)−1 f (x)e−inx dx,
n ∈ Z, f ∗ g =
2π
0
f (x − t)g(t)dt, Tn = {f ∈ L[0, 2π] : f(k) = 0, |k| ≥ n}, En (f )p,2π =
0
inf{f − tn Lp [0,2π] : tn ∈ Tn }. Пространства Lp [0, 2π], Lip(α, p), 1 ≤ p < ∞, 0 < α ≤ 1
определяются стандартным образом. Вместо ряда (4) рассматривается ряд
∞
|f(n)|β .
(4 )
|n|=1
Теорема 6. 1) Пусть 1 < p ≤ 2, 1 < q ≤ 2, p+q −pq < αpq ≤ pq, h ∈ Lip(α, p), g ∈ Lq [0, 2π].
Тогда ряд (4 ) для f = g ∗ h сходится при β = 1.
2) Пусть 1 < p ≤ 2, 1 < q ≤ 2, 0 < p + q − pq = αpq < pq. Тогда существуют h ∈ Lip(α, p)
и g ∈ Lq [0, 2π] такие, что ряд (4 ) для f = g ∗ h расходится при β = 1.
36
С.С. ВОЛОСИВЕЦ
Доказательство. Как показал О. Сас [18], если f ∈ Lip(α, p), 0 < α ≤ 1, 1 < p ≤ 2,
β > p/(αp + p − 1), то ряд (4 ) сходится. Пусть 1/r + 1/q = 1. Согласно неравенству Гёльдера
имеем
1/r 1/q
∞
∞
∞
r
q
|
g (n)h(n)| ≤
|
g (n)|
|h(n)|
< ∞,
n=−∞
n=−∞
n=−∞
так как первый сомножитель конечен по теореме Хаусдорфа—Юнга, а второй — в силу
неравенства q > p/(αp + p − 1), вытекающего из условия.
2
2n
z m и доказал, что gn (eix )Lp [0,2π] ≤C.
2) О. Сас [19] ввел полиномы gn (z)=2−n(2−1/p)
Рассмотрим функцию h(x) =
∞
z λn gn (z)2−nα
m=0
∞
=:
n=0
2−nα Qn (z), где z = eix , λn = 2n+1 +
n=0
n − 2. Тогда λn+1 > λn + 2n+1 и одно и то же z i не может входить в разные Qn . При
λn ≤ k < λn+1 имеем
Ek (h)p,2π ≤ C2
∞
Qi (eix )Lp [0,2π] 2−iα ≤ C3 2−nα ≤ C4 k−α .
i=n
Согласно обратной теореме С.Н. Бернштейна ([9], с. 195, для p = ∞, в общем случае доказательство аналогично) получаем h ∈ Lip(α, p) (по условию α < 1). Пусть теперь g(k) =
2−n/r n−1 при λn ≤ k < λn+1 , 1/q + 1/r = 1. По теореме Харди–Литтлвуда ([10], с. 193)
g ∈ Lq [0, 2π]. Так как коэффициент при z i , 0 ≤ i < 2n , в gn (z) равен 2−n(2−1/p) (i + 1),
получаем
∞
|
h(k)
g (k)| ≥
∞
−n(2−1/p)
2
2n i 2−nα 2−n/r n−1 ≥
n=1
k=1
i=1
∞
≥ C5
n
−1 −n(α+1/r−1/p)
2
= C5
n=1
∞
n−1 = ∞,
n=1
поскольку α + 1/r − 1/p = (αpq + pq − p − q)/pq = 0.
3. Преобразования коэффициентов Фурье
1/p
∞
p ∩ l2 , где lp = x = (x , x , . . . ) : x p =
p
∈
l
|x
|
<
∞
.
Пусть A = {an }∞
0
1
i
l
n=0
Тогда f (x) =
∞
i=0
an χn (x) существует по теореме Ф. Рисса–Фишера как элемент L2 [0, 1).
n=0
Пусть g ∈ L2 [0, 1) и G(A)(n) =
1
g(t)f (t)χn (t)dt. Так как
0
то согласно равенству Парсеваля G(A)(n) =
1
g(t)χn (t)χm (t)dt = g(n m),
0
∞
g(n m)f(m). Если G(A) ограничен как
m=0
оператор из lp ∩ l2 в lp , то существует его единственное непрерывное продолжение на все
lp . В следующей теореме даны условия на g, при которых G(A) ограничен в lp .
Теорема 7. Пусть g ∈ H ω , причем
в lp .
∞
k=1
1/p−1/2
mk
ωk < ∞, 1 < p ≤ 2. Тогда G(A) ограничен
О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ИЗ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ
37
Доказательство. Пусть g ∈ H ω , ∆n (g) = Smn (g) − Smn−1 (g). В силу (3) при всех 1 ≤ r ≤ ∞
и n ∈ N имеем
∆n (g)r ≤ g − Smn (g)r + g − Smn−1 (g)r ≤ 2ωn−1 .
Пусть Gk построен по ∆k (g) так же, как G построен по g. Тогда по равенству Парсеваля
Gk (A)l2 = ∆k (g)f 2 ≤ ∆k (g)∞ f 2 ≤ 2ωn−1 f 2 = 2ωn−1 Al2 .
Далее в силу неравенства Коши–Буняковского и равенства Парсеваля
m
1/2
m
k −1
k −1
1/2
2
|
g(i)|Al1 ≤ mk
|
g(i)|
Al1 =
Gk (A)l1 ≤
i=mk−1
i=mk−1
1/2
1/2
= mk ∆k (g)2 Al1 ≤ 2ωk−1 mk Al1 .
1/2
Итак, Gk l2 →l2 ≤ 2ωk−1 и Gk l1 →l1 ≤ 2mk ωk−1 . По теореме М. Рисса–Г. Торина ([10],
1/2
γ
, где 1/p = (1 − γ)1 + γ(1/2), т. е. γ =
с. 144) получаем Gk lp →lp ≤ C1 (mk ωk−1 )1−γ ωk−1
2(1 − 1/p). В силу неравенства
G(A)lp ≤
∞
Gk (A)lp + |
g (0)| Alp ≤ C2
k=1
∞
1/p−1/2
mk
ωk Alp + |
g(0)| Alp
k=0
завершаем доказательство теоремы.
Теорема 8. Пусть 1 < p < 2,
оператор G(A) не ограничен в
∞
k=1
lp .
1−p/2 p
ωk
mk
= ∞. Тогда существует g ∈ H ω такая, что
Доказательство. Пусть A = D = {dn }∞
n=0 , где d0 = 1, dk = 0, k ∈ N, а g =
∞
k=1
−1/2
mk
(ωk −
ωk+1 )χmk Pmk , где Pmk — полином из леммы 5. Тогда согласно (3)
ωn (g) ≤ g − Smn (g)∞ ≤
∞
−1/2
mk
(ωk − ωk+1 )Pmk ∞ ≤ C1 ωn .
k=n
Так как G(D)(n) = g(n) и D ∈ lp при всех p ≥ 1, то по лемме 5
G(D)plp
∞
∞
1−p/2
p −p/2 p
=
(ωk − ωk+1 ) mk Γ (Pmk , p) ≥ C2
mk
(ωk − ωk+1 )p .
k=1
k=1
По лемме 3 последний ряд расходится одновременно с
∞
k=1
1−p/2 p
ωk .
mk
ω
Замечание 5. При ωn = m−α
n , 0 < α < 1/2, из теорем 7 и 8 следует, что для g ∈ H операp
тор G ограничен в l при 2 ≥ p > 2/(1+2α) и не ограничен при p = 2/(1+2α). В тригонометрическом случае это результат И. Хиршмана [20]. Было бы интересно выделить более общие
∞
∞
1−p/2 p
1/p−1/2
mk
ωk и
mk
ωk расходятклассы последовательностей ωn , для которых ряды
k=1
k=1
ся одновременно, что позволило бы доказывать неулучшаемость теоремы 7 в большем числе
случаев.
Пусть f ∈ Lp [0, 1), 1 ≤ p < ∞. Если F — функция из C в C и существует g ∈ Lp [0, 1)
такая, что g(n) = F (f(n)), n ∈ Z+ , то g обозначим через F ◦ f . Заключительная теорема
данной работы является аналогом теоремы У. Рудина [21].
38
С.С. ВОЛОСИВЕЦ
Теорема 9. 1) Пусть p ≥ 2, 1/p + 1/q = 1, f ∈ Lp [0, 1) и |F (z)| ≤ C|z|2/q в окрестности
нуля. Тогда F ◦ f ∈ Lp [0, 1).
2) Пусть pn ≡ d ≥ 2, 1 < p < ∞, 1/p + 1/q = 1, F (z) = F (|z|) и |z|−2/q F (z) не ограничена
в окрестности нуля. Тогда существует f ∈ M C[0, 1) такая, что F ◦ f ∈
/ Lp [0, 1).
Доказательство. 1) Согласно условию
∞
|F (f(k))|q ≤ C q
k=0
∞
|f(k)|2 < ∞
k=o
g(n) = F (f(n)),
и по теореме Хаусдорфа–Юнга–Ф. Рисса существует g ∈ Lp [0, 1) такая, что n ∈ Z+ .
2) В силу условия найдем последовательность {zk }∞
k=1 , удовлетворяющую при k ∈ N условиям a) zk = 0, б) |k2 zk | < 1, в) |F (zk )| > k4 |zk |2/q . Если Nk = [k−4 |zk |−2 ], то справедливы
соотношения
∞
∞
1/2
|zk |Nk ≤
k−2 < ∞,
(18)
k=1
1/q
|F (zk )|Nk
k=1
−1 4
>2
2/q −4/q
k |zk |
k
|zk |−2/q = 2−1 k4(1−1/q) .
(19)
Последнее выражение стремится к ∞ при k → ∞. Подберем последовательность nk такую,
что mnk +2Nk < mnk+1 и рассмотрим полином Tk (x) = zk χmnk QNk , где Qn — полином из лем∞
Tk (x) сходится равномерно к f ∈ M C[0, 1) (последнее
мы 4. В силу леммы 4 и (18) ряд
k=1
пространство банахово). Пусть существует F ◦ f ∈ Lp [0, 1). Пусть Vn (x) =
2n
Dk (x)/n =
k=n+1
2F2n (x) − Fn (x), где Fn (x) определены в лемме 6. Ясно, что Sn (Vn ∗ f ) = Sn (f ), поэтому
F ◦ Tk = f ∗ (VNk χmnk ) и F ◦ Tk p ≤ f p VNk 1 ≤ C1 f p согласно лемме 6. С другой
стороны, все ненулевые коэффициенты Фурье в Tk (x) равны по модулю |zk |, поэтому по
1/q
следствию 1 F ◦ Tk p = |F (zk )|DNk p ≥ |F (zk )|Nk . Согласно (19) последнее выражение
стремится к бесконечности. Противоречие.
Замечание 6. Доказательство данной теоремы приводит к желательности переноса леммы 4 на произвольные P = {pn }∞
n=1 .
Литература
[1] Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша: Теория и применения. – М.:
Наука, 1987. – 344 c.
[2] Schipp F., Wade W., Simon P. Walsh series. – Budapest: Akad. Kiado, 1990. – 560 p.
[3] Chen M.T. The absolute convergence of Fourier series // Duke Math. J. – 1942. – V. 9. – № 4. – P. 803–810.
[4] Izumi M., Izumi S.-I. Absolute convergence of Fourier series of convolution functions // J. Approx. Theory.
– 1968. – V. 1. – № 1. – P. 103–109.
[5] Onneweer C.W. On absolutely convergent Fourier series // Arkiv Mat. – 1974. – V. 12. – № 1. – P. 51–58.
[6] Onneweer C.W. Absolute convergence of Fourier series on certain groups // Duke Math. J. – 1972. – V. 39.
– № 4. – P. 599–610.
[7] Onneweer C.W. Absolute convergence of Fourier series on certain groups. II // Duke Math. J. – 1974. –
V. 41. – № 3. – P. 679–688.
[8] Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубинштейн А.И. Мультипликативные системы функций
и гармонический анализ на нуль-мерных группах. – Баку: ЭЛМ, 1981. – 180 c.
[9] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. – М.: Мир, 1965. – 616 с.
[10] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. – М.: Мир, 1965. – 540 с.
О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ИЗ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ
39
[11] Волосивец С.С. Сходимость рядов Фурье по мультипликативным системам и p-флуктуационный
модуль непрерывности // Сиб. матем. журн. – 2006. – Т. 47. – № 2. – С. 241–258.
[12] Pal J., Simon P. On a generalization of the concept of derivative // Acta Math. Hung. – 1977. – V. 29. –
№ 1–2. – P. 155–164.
[13] Харди Г., Литтлвуд Дж., Полиа Г. Неравенства. – М.: Ин. лит., 1948. – 456 c.
[14] Leindler L. Further sharpening of inequalities of Hardy and Littlewood // Acta Sci. Math. (Szeged). – 1990.
– V. 54. – № 3–4. – P. 285–289.
[15] Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. – М.: Физматгиз, 1958. – 508 c.
[16] Leindler L. Über Strukturbedingungen für Fourierreihen // Math. Z. – 1965. – Bd. 88. – № 5. – S. 418–431.
[17] Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных
функций // Тр. Моск. матем. о-ва. – 1956. – Т. 5. – С. 483–522.
[18] Szasz O. Über die Fourierschen Reihen gewisser Funktionenklassen // Math. Ann. – 1928. – V. 100. – P. 530–
536.
[19] Szasz O. Fourier series and mean moduli of continuity // Trans. Amer. Math. Soc. – 1937. – V. 42. – № 3. –
P. 366–395.
[20] Hirshman I.I. Multiplier transformations // Duke Math. J. – 1959. – V. 26. – № 2. – P. 222–242.
[21] Rudin W. Some theorems on Fourier coefficients // Proc. Amer. Math. Soc. – 1959. – V. 10. – № 6. – P. 855–
859.
С.С. Волосивец
доцент, кафедра теории функций и приближений,
Саратовский государственный университет,
410028, г. Саратов, ул. Московская, д. 155,
e-mail: volosivetsss@mail.ru
S.S. Volosivets
Associate Professor, Chair of Theory of Functions and Approximations,
Saratov State University,
155 Moskovskaya str., Saratov, 410028 Russia,
e-mail: volosivetsss@mail.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
245 Кб
Теги
сходимость, сверток, мультипликативный, фурье, рядом, коэффициента
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа