close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О счетных спектрах полной и векторной частот линейной двумерной дифференциальной системы.

код для вставкиСкачать
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 2 (137) 2014
УДК 517.21.3
ББК 22.161.1
С 78
Сташ А.Х.
Кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры математического
анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук
Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 59-39-05, e-mail:
aidamir.stash@gmail.com
О счетных спектрах полной и векторной частот линейной
двумерной дифференциальной системы
(Рецензирована)
Аннотация
Доказано существование линейной двумерной неавтономной дифференциальной системы со
счетным множеством существенных (и метрически, и топологически) значений полной и векторной
частот.
Ключевые слова: линейная дифференциальная система, колеблемость решений, число нулей, полная частота, векторная частота.
Stash A.Kh.
Candidate of Physics and Mathematics, Senior Lecturer of Department of Mathematical Analysis and
Methodology of Teaching Mathematics of Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State
University, Maikop, ph. (8772) 59-39-05, e-mail: aidamir.stash@gmail.com
About calculating ranges of full and vector frequencies of the linear
two-dimensional differential system
Abstract
Existence of linear two-dimensional nonautonomous differential system with a calculating set of essential
(both metric and topological) values of full and vector frequencies is proved.
Keywords: linear differential system, variability of solutions, number of zero, full frequency, vector frequency.
Введение
Рассмотрим множество M n линейных однородных дифференциальных систем
x& = A(t ) x, x ∈ R n , t ∈ R + ≡ [0,+∞ ),
каждая из которых отождествляется со своей ограниченной непрерывной операторфункцией A : [0,+∞ ) → End R n . Множество всех ненулевых решений системы A ∈ M n
обозначим через S* ( A).
Определение 1 [1]. Для каждой системы A ∈ M n , произвольного решения
x ∈ S* ( A), вектора m ∈ R n и момента t > 0 обозначим через ν ( x, m, t ) число нулей (возможно, бесконечное) скалярного произведения ( x(τ ), m) на промежутке τ ∈ (0, t ] , а полной и векторной частотами решения x назовем величины
π
π
σ ( x) ≡ inf lim ν ( x, m, t ), ζ ( x) ≡ lim inf ν ( x, m, t ) .
m∈R n t →+∞
t →+∞ m∈R n t
t
К определению 1 добавим обозначение ν ( x, m, t 2 , t1 ) ≡ ν ( x, m, t 2 ) −ν ( x, m, t1 ) числа
нулей скалярного произведения ( x(τ ), m) на промежутке τ ∈ (t1 , t 2 ] .
С каждой из частот ω , описанных в определении 1, и с каждой системой A ∈ M n
можно связать функционал ω A : S* ( A) → [0,+∞ ).
- 23 -
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 2 (137) 2014
Определение 2. Спектром частоты ω A системы A ∈ M n назовем область ее значений, а значение частоты ω , принадлежащее спектру системы A , назовем:
а) метрически существенным [2], если оно принимается на решениях x ∈ S* ( A),
множество наборов x(0) ∈ R n начальных значений которых содержит множество положительной меры Лебега в R n ;
б) метрически существенным [3], если оно принимается на решениях x ∈ S* ( A),
множество наборов x(0) ∈ R n начальных значений которых, пресеченное с некоторым
открытым подмножеством U ⊂ R n , служит дополнением в U к множеству первой категории Бэра.
Спектры полной и векторной частот автономных дифференциальных систем полностью исследованы [4, 5]. Основные результаты исследований спектров тех же частот
неавтономных систем приведены в работах [6-9]. В частности, в [9] было установлено
существование линейной однородной двумерной периодической системы, спектры
полной и векторной частот которой содержат один и тот же конечный набор, состоящий из любого наперед заданного числа метрически и топологически существенных
значений. В связи с этим возникает вопрос: существует ли линейная однородная двумерная система со счетным спектром метрически и топологически существенных значений полной или векторной частоты? Этому вопросу посвящена настоящая статья.
Основной результат
Теорема. Существует система A ∈ M 2 , имеющая такую последовательность решений x1 , x2 ,K,∈ S* ( A) , удовлетворяющая условиям
σ ( xi ) = ζ ( xi ) = 1 − 2− i , i ∈ N ,
причем все эти значения полной и векторной частот являются метрически и топологически существенными.
Данный результат был доложен на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в МГУ им. М.В. Ломоносова и анонсирован в докладе [7].
При доказательстве этой теоремы нам понадобится следующая лемма, справедливость которой непосредственно следует из доказательства леммы 5 [10]:
Лемма. Пусть последовательность положительных чисел t1 < t2 < K удовлетворяет условиям
t
lim t k = +∞, lim k +1 = 1.
k →+∞
k →+∞ t
k
Тогда для любого решения x ∈ S* ( A) любой системы A ∈ M n справедливы равенства:
1) σ ( x) ≡ infn lim
π
ν ( x, m, tk ), ζ ( x) ≡ lim inf
π
ν ( x, m, t k ) ,
(1)
tk
tk
2) если последовательности {Tk } , {ν k } неотрицательных чисел удовлетворяют условиям
m∈R k →+∞
k →+∞ m∈R n
Tk
ν
= lim k = 0 ,
k →+∞ t
k →+∞ t
k
k
lim
то после уменьшения в правых частях формул (1) каждого из чисел tk в знаменателе дроби
на Tk , а каждого из чисел ν ( x, m, tk ) на ν k значения этих правых частей не изменятся.
Доказательство теоремы.
1. При каждом k ∈ N обозначим через ∆k = 2 k +1π и возьмем любую строго убы-
- 24 -
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 2 (137) 2014
вающую последовательность положительных чисел {ε k } , стремящуюся к нулю.
Зададим последовательность
t0 ≡ 0, t1 ≡ ∆1 , t k +1 ≡ tk + ∆1 , k ∈ N .
Начиная с некоторого номера k1 , всегда можно добиться, чтобы выполнялись неравенства
t k +1
∆
= 1 + 1 < 1 + ε 1 , k ≥ k1.
tk
tk
Меняем элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера k2 ,
t k +1 ≡ tk + ∆2 ,
так, чтобы
k ≥ k2 ,
t k +1
∆
= 1 + 2 < 1 + ε 2 , k ≥ k2 .
tk
tk
Далее по индукции продолжаем менять полученную последовательность. Если
для любого i ∈ N построена последовательность, элементы которой, начиная с ki номера, удовлетворяют условиям
tk +1 ≡ tk + ∆i , k ≥ ki ,
t k +1
∆
= 1 + i < 1 + ε i , k ≥ ki ,
tk
tk
то выбираем ki +1 так, чтобы при любом k ≥ ki +1 были выполнены условия
t k +1
∆
= 1 + i +1 < 1 + ε i +1.
tk
tk
tk +1 ≡ tk + ∆i +1 ,
В результате получим последовательность
tk +1 ≡ tk + ∆i ( k ) ,
обладающую свойствами
t
lim t k = +∞, lim k +1 = 1.
k →+∞
k →+∞ t
k
2. Разобьем промежуток [0, t1 ] , образованный первыми двумя элементами построенной в пункте 1 последовательности, точками
t01 ≡ 2π , t1 ≡ t01 + 2π
на части
[0, t ], [t , t ] .
1
0
1
0
1
Остальные промежутки [tk , tk +1 ] , образуемые соседними элементами этой последовательности с шагом ∆1 , также разбиваем на части
[t , t ], [t , t ],
k
1
k
1
k
k +1
где t ≡ t k + 2π , tk +1 ≡ t + 2π .
1
k
1
k
Промежутки вида [tk , tk +1 ] , образуемые соседними элементами построенной последовательности с шагом ∆2 , разбиваем точками
t k1 ≡ t k + 2 2 π , t k2 ≡ t k1 + 2π , t k +1 ≡ tk2 + 2π ,
на промежутке
- 25 -
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 2 (137) 2014
[t , t ], [t , t ], [t , t ].
k
1
k
1
k
2
k
2
k
k +1
Любые два соседних элемента (с номерами k > k3 ) построенной последовательности связаны соотношением
t k +1 ≡ tk + ∆i , ki ≤ k < ki+1 .
Промежутки вида [tk , tk +1 ] , образованные соседними элементами построенной последовательности с шагом ∆i , с помощью точек
t 1k ≡ t k + 2i π , t k2 ≡ t k1 + 2i−1π , t k3 ≡ t k2 + 2i−2 π , K,
tki −1 ≡ tki − 2 + 2 2 π , tki ≡ tki −1 + 2π , tk +1 ≡ tki + 2π
разбиваем на i + 1 частей:
t k , t 1k , t k1 , tk2 , t k2 , tk3 ,K, t ki , tk +1 .
[
] [
] [
] [
]
(2)
3. Зададим 2π периодическую непрерывно-дифференцируемую функцию ψ (t ) ,
возрастающую на отрезке [0, π ] , убывающую на участке [π ,2π ] и принимающую на
концах отрезков значения
ψ (0) = ψ (2π ) = 0, ψ (π ) = π , ψ& (0) = ψ& (π ) = ψ& (2π ) = 0.
Выберем ε > 0 и положительную строго убывающую последовательность {δ k }
так, чтобы
1
> ε > δk , k ∈ N,
6
1
1
< ε + δk < , k ∈ N.
4
3
Для каждого i ∈ N определим двумерные матрицы
(
)
X (t , δ i ) = x1 (t ), x 2 (t , δ i ) ,
где
 cos((1 − ε )ψ (t )) 
,
x1 (t ) = 
 sin((1 − ε )ψ (t )) 
 − sin((1 + δ i )ψ (t )) 
.
x 2 (t , δ i ) = 
 cos((1 + δ i )ψ (t )) 
Так как при любом фиксированном i ∈ N
det X (t , δ i ) = cos((ε + δ i )ψ (t )) ≥ 1 / 2,
то матрица
X −1 (t , δ i ) =
 cos((1 + δ i )ψ (t )) sin((1 + δ i )ψ (t )) 
1

,
cos((ε + δ i )ψ (t ))  − sin((1 − ε )ψ (t )) cos((1 − ε )ψ (t )) 
непрерывна и ограничена на R + .
Известно, что фундаментальная матрица удовлетворяет исходному матричному
уравнению
X& (t , δ i ) = Ai (t ) X (t , δ i ),
а значит, без труда восстанавливается система
Ai (t ) = X& (t , δ i ) X −1 (t , δ i )
из пространства M 2 .
4. Построим систему A ∈ M 2 , фундаментальная система решений которой на каждом из промежутков (2) при любом фиксированном значении k будет совпадать с наперед выбранными вектор-функциями с положительными определителями Вронского,
- 26 -
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 2 (137) 2014
подобно тому, как это делалось в пункте 3 настоящего доказательства:
– на участке t k , t 1k – найдем систему, фундаментальная матрица X (t , t k , t 1k ) которой совпадает с X (t , δ1 );
– на участке t k1 , t k2 – найдем систему, фундаментальная матрица X (t , t k1 , t k2 ) которой совпадает с X (t , δ 2 );
– и т.д.;
– на участке t ki−2 , t ki−1 – найдем систему, фундаментальная матрица X (t , t ki−2 , t ki−1 )
которой совпадает с матрицей X (t , δ i −1 );
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
– на участке tki −1 , tki – найдем систему, фундаментальная матрица X (t , t ki−1 , t ki ) которой совпадает с матрицей X (t , δ i );
– на участке tki , tk +1 – найдем систему, фундаментальная матрица X (t , t ki , tk +1 ) ко-
торой совпадает с матрицей X (t , δ i+1 ).
Теперь на всем участке [tk , tk +1 ] найдем систему, фундаментальная матрица
(
(
(
)
)
)
[
[
[
]
]
]
[
[
]
]
 X t , t k , tk1 , t ∈ tk , t 1k ,

1 2
1
2
 X t , t k , tk , t ∈ tk , t k ,
 X t, t 2 , t 3 , t ∈ t 2 , t 3 ,

k k
k
k
X (t , t k , t k +1 ) = 
KKKKKKKK,
 X t , t i−1 , t i , t ∈ t i−1 , t i ,
k
k
k
k

i
i
 X t , t k , tk +1 , t ∈ t k , tk +1
которой в точках стыка удовлетворяет равенствам
(
(
)
)
X (t kj −1 , tkj −2 , t kj −1 ) = X (t kj −1 , t kj −1 , tkj ) = E ,
(
где t k0 ≡ t k , t ki+1
)
(
)
 0 0
,
X& t kj −1 , t kj −2 , t kj −1 = X& t kj −1 , t kj −1 , t kj = 
 0 0
≡ t k +1 .
j = 2,3,K, i + 1,
j = 2,3,K, i + 1 ,
Повторяя эту процедуру построения на каждом промежутке вида [tk , tk +1 ] при лю-
бом k ∈ N , получим на R + непрерывно-дифференцируемую фундаментальную матрицу
t ∈ [0, t1 ],
 X (t ,0, t1 ),
 X (t , t , t ),
t ∈ [t1 , t 2 ],
1 2

 X (t , t 2 , t3 ),
t ∈ [t2 , t3 ],
X (t ) = 
KKKKKKKKKK,
 X (t , t k , t k +1 ), t ∈ [tk , t k +1 ],

KKKKKKKKKK,
так как выполняются равенства
X (t k , t k −1 , t k ) = X (t k , t k , t k +1 ) = E , ∀k ∈ N ,
 0 0
, ∀k ∈ N ,
X& (t k , t k −1 , t k ) = X& (t k , t k , t k +1 ) = 
 0 0
а значит, коэффициенты восстановленной двумерной системы A на R + являются не-
- 27 -
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 2 (137) 2014
прерывными и ограниченными.
5. При любом j ∈ N выберем из множества S* ( A) решение
y j = c1j x1 + c2j x 2 , c1j , c2j > 0,
обладающее свойством
( )
(
)
y j t kjj−1 = − w ⋅ y j t kjj−1 + π , w > 0,
(3)
где tk j – элемент построенной последовательности, с которого начинается шаг ∆ j , а tkj j−1
[
]
– левый конец j -го промежутка в разбиении отрезка t k j , t k j +1 на составляющие (при
j = 1 имеем tkj j−1 = 0 ).
Для выбранных решений определим величины
χ k (y j ) ≡
ν ( y j , m j , tk1 , tk ) +ν ( y j , m j , tk2 , t1k ) + L +ν ( y j , m j , tk +1 , tki ( k ) )
= inf2
2i ( k )+1
=
ν ( y j , m, tk1 , tk ) +ν ( y j , m, tk2 , tk1 ) + L +ν ( y j , m, tk +1 , tki ( k ) )
,
2i ( k )+1
где j ≤ i (k ) , а i (k ) совпадает с номером шага между tk и tk +1 .
Каждое решение y ∈ S* ( A) на любом участке длины π не может совершить поворот более чем на (1 + δ1 ) ⋅1800 < 2700 , поэтому это решение может быть ортогональным любому ненулевому двумерному вектору m не более чем два раза. Следовательно,
функция ( y, m) на любом конечном участке (0, t ] может иметь только конечное число
нулей, т.е.
ν ( y, m, t ,0) < +∞.
(4)
m∈R
Введем в рассмотрение функцию ϕ , которая каждому ненулевому двумерному
вектору ставит в соответствие угол между этим вектором и положительным направлением оси ox1 , отсчитываемым против часовой стрелки.
Зафиксируем произвольные значения j , k ∈ N . Решение y j ∈ S* ( A) на участке
(tk , tk + 2π ] за промежуток времени π совершает поворот на определенный угол
ϕ 0 ( y j ) = ϕ ( y j (t k + π ) ) − ϕ ( y j (t k ) )
против часовой стрелки и за такое же время успевает занять исходное направление
(
)
y j (rs ) = c1j , c2j ,
(5)
где rs = 2( s − 1)π , s ∈ N .
На промежутках
(tk + 2π , tk + 4π ], (tk + 4π , tk + 6π ],K, (t1k − 2π , t1k
]
(6)
решение y j ведет себя точно так же.
На промежутке (tk1 , t 1k + 2π за время π поворачивается на угол
]
ϕ1 ( y j ) = ϕ ( y j (t 1k + π ) ) − ϕ ( y j (t k1 ) ) ,
а затем, возвращаясь по часовой стрелке, занимает исходное направление (5). На промежутках
(tk1 + 2π , tk1 + 4π , (tk1 + 4π , t1k + 6π ,K, (tk2 − 2π , tk2
все полностью повторяется.
На следующих промежутках
]
]
- 28 -
]
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 2 (137) 2014
ISSN 2074-1065
(t , t ] = (t , t
(t , t ] = (t , t
2
k
3
k
2
k
2
k
3
k
4
k
3
k
3
k
] (
+ 2π ]∪ (t
i
k
+ 2π ∪ t ki + 2π , t ki + 4π ∪ K ∪ (t k +1 − 2π , t k +1 ]
3
k
+ 2π , t k3
4
k
KKKKKKKKKKKKKKKKK
(t , t ] = (t , t
i
k
]
(
+ 4π ]∪ K ∪ (t
i
k
k +1
]
],
+ 2π ∪ t k2 + 2π , tk2 + 4π ∪ K ∪ t k3 − 2π , t k3 ,
] (
]
− 2π , t k4
,
все повторяется, но с каждым разом, при переходе с одного промежутка на другой, угол
поворота решения y j за время π уменьшается, т.е. выполнены неравенства
ϕ0 ( y j ) > ϕ1 ( y j ) > K > ϕi−1 ( y j ) > ϕi−1 ( y j ),
где
(7)
ϕ 2 ( y j ) = ϕ ( y j (t k2 + π )) − ϕ ( y j (t k2 )),K, ϕi ( y j ) = ϕ ( y j (t ki + π )) − ϕ ( y j (t ki ))
( i совпадает с номером шага между tk и tk +1 ), откуда следует справедливость неравенств
ϕ ( y1 (0) ) < ϕ ( y 2 (0) ) < K < ϕ ( y j (0) ) < K < ϕ (x 2 (0) ).
(
)
Таким образом, при подсчете числа нулей функции y j , m при любом m ∈ R 2 на
промежутке (t k , tk +1 ] достаточно знать поведение решения y j на участках
(tk ,
] (
(
]
t k + π ], tk1 , t 1k + π ,K, t ki , t ki + π .
(8)
6. В силу (3), (7) решение y1 ∈ S* ( A) при любом фиксированном значении k ∈ N
на участках (8) удовлетворяет соотношениям
ϕ ( y1 (t k + π ) ) − ϕ ( y1 (t k ) ) = 1800 ,
ϕ ( y1 (t 1k + π )) − ϕ ( y1 (tk1 )) < 1800 ,
KKKKKKKKKKKK ,
ϕ ( y1 (t ki + π )) − ϕ ( y1 (t ki )) < 1800.
]
Поэтому если решение y1 на (tk1 , t k2 ни разу не было ортогональным некоторому
вектору m , то подавно и на промежутках
1
(t
2
k
](
] (
, t k3 , t k3 , t k4 ,K, t ki , t k +1
]
это решение также ни разу не будет ортогонально этому вектору. Выбранному вектору
m1 решение y1 на промежутке (t k , tk + π ] ровно один раз будет ортогональным, поэтому
(
) (
)
inf ν y1 , m, t k +1 , t k = ν y1 , m1 , t k +1 , t k = 2i ( k ) , k ∈ N .
m∈R 2
Таким образом, справедливо равенство
χ k ( y1 ) ≡
2i ( k )
= 2−1 , ∀k ∈ N .
i ( k ) +1
2
При любом фиксированном k ≥ k2 на промежутках (8) решение y 2 ∈ S* ( A) в силу
(3), (7) удовлетворяет соотношениям
(
ϕ ( y (t
ϕ ( y (t
) ( )
+ π )) − ϕ ( y (t )) = 180 ,
+ π )) − ϕ ( y (t )) < 180 ,
270 0 > ϕ y 2 (t k + π ) − ϕ y 2 (tk ) > 1800 ,
2
1
k
2
2
k
2
1
k
0
2
2
k
0
KKKKKKKKKKKK ,
ϕ ( y 2 (t ki + π )) − ϕ ( y 2 (t ki )) < 1800.
- 29 -
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 2 (137) 2014
(
)
Поэтому для обеспечения минимального количества нулей функции y 2 , m на
промежутках
(tk3 , tk4 , (tk4 , tk5 ,K, (tki , tk +1
]
]
]
]
достаточно выбрать вектор m 2 так, чтобы решение y 2 на промежутке (tk2 , t k3 ни разу
не было ортогональным этому вектору.
На каждом из промежутков (t k , t k + π ], (t k1 , t 1k + π решение y 2 будет ортогональ-
]
ным вектору m 2 один раз, а значит,
(
) (
)
inf ν y 2 , m, t k +1 , t k = ν y 2 , m 2 , t k +1 , tk = 3 ⋅ 2i ( k )−1 , k ≥ k2 ,
m∈R 2
поэтому
3 ⋅ 2i ( k )−1 3
= , ∀k ≥ k 2 .
2i ( k )+1
4
Начиная с первого момента kq появления шага ∆q при любом фиксированном
χ k (y 2 ) ≡
k ≥ k q на участках (8) решение y q ∈ S* ( A) в силу (3), (7) удовлетворяет соотношениям
(
ϕ ( y (t
) ( )
+ π )) − ϕ ( y (t )) > 180 ,
270 0 > ϕ y q (t k + π ) − ϕ y q (t k ) > 180 0 ,
q
1
k
q
1
k
0
KKKKKKKKKKKK ,
ϕ ( y q (t kq−2 + π )) − ϕ ( y q (t kq−2 )) > 1800 ,
ϕ ( y q (t kq−1 + π )) − ϕ ( y q (t kq−1 )) = 1800 ,
ϕ ( y q (tkq + π )) − ϕ ( y q (tkq )) < 1800 ,
KKKKKKKKKKKK ,
ϕ ( y q (t ki + π )) − ϕ ( y q (tki )) < 1800.
Поэтому, выбрав вектор m q таким, чтобы решение y q ни разу не было ортогональным этому вектору на промежутке (tkq , t kq+1 , обеспечим на промежутках
]
(t , t ], (t , t ],K, (t , t ]
минимальное количество нулей функции ( y , m ) при m = m
q +1
k
q+2
k
q+ 2
k
q +3
k
i
k
k +1
. Выбранному вектору решение y будет ортогональным один раз на каждом из промежутков
q
q
q
(tk ,
] (
(
]
t k + π ], t k1 , tk1 + π ,K, t kq−1 , t kq−1 + π ,
следовательно,
inf2 ν y q , m, t k +1 , tk = ν y q , m q , t k +1 , t k = 2q − 1 ⋅ 2i ( k )−q+1 , k ≥ kq ,
m∈R
(
) (
) (
(2
− 1) ⋅ 2i ( k ) − q +1
= 1 − 2− q , k ≥ kq .
2 i ( k ) +1
откуда следует
χ k (y q ) ≡
q
)
(9)
7. При вычислении нижних векторных частот любого выбранного решения y q
будем пользоваться леммой, согласно которой (см. (4)) можно не учитывать полуинтервал 0, tk q (т.е. не учитывать его вклад ни в длину промежутка, на котором подсчи-
(
]
тывается число нулей решения, ни в само это число). Следовательно, при любом q ∈ N
для решения y q , с учетом равенств (9), получим:
- 30 -
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 2 (137) 2014
π
ζ ( y q ) ≡ lim inf
p →+∞ m∈R
(
= lim
)
2
tp
ν ( y q , m, t p ) = lim
p →+∞
πν y q , m q , tk + π ∑ (ν ( y q , m q , ti+1 , ti ))
q
π
tp
ν (y q , mq , t p ) =
π ∑ (ν ( y q , m q , ti+1 , ti ))
p
i = kq
p →+∞
p
= lim
i = kq
t p+1 − t kq
p →+∞
t p+1
π ∑ (ν ( y q , m q , ti1 , ti ) +ν ( y q , m q , ti2 , ti1 ) + L +ν ( y q , m q , ti +1 , tij (i ) ))
=
p
= lim
i =kq
(
π2
p →+∞
= lim
(
π2
j ( kq )+1
j ( kq )+1
χ k (y q ) + 2
q
(1 − 2
(
)(2
π2
p →+∞
j ( kq +1)+1
+ L + 2 j ( p )+1
+2
+2
)
=
)=
χ k +1 ( y q ) + L + 2 j ( p )+1 χ p ( y q )
q
j ( kq )+1
j ( kq )+1
j ( k q +1)+1
j ( kq +1)+1
+L+ 2
)
) = 1− 2
j ( p )+1
j ( kq +1)+1
+ L + 2 j ( p )+1
j ( k )+1
j ( k +1)+1
p →+∞
+ L + 2 j ( p )+1
2 q +2 q
где j (i ) совпадает с номером шага между t i и ti +1 .
= lim
−q
+2
−q
,
Для полной частоты решения y q имеем следующую оценку:
σ ( y q ) = inf lim
π
m∈R p →+∞
2
tp
ν ( y q , m, t p ) ≤ lim
p →+∞
π
tp
ν ( y q , m q , t p ) = 1 − 2 −q .
Из определений частот следует, что для любого решения y ∈ S* ( A) имеет место
неравенство ζ ( y ) ≤ σ ( y ), на основании которого окончательно получаем
σ (y q ) = ζ (y q ) = 1 − 2− q , q ∈ N .
(10)
8. Для каждого q ∈ N произвольное решение z ∈ S* ( A) с начальными условиями
ϕ ( z (0)) ∈ [ϕ ( y q (0)),ϕ ( y q+1 (0)) )
при любом фиксированном k ≥ k q удовлетворяет соотношениям:
2700 > ϕ ( z (t k + π ) ) − ϕ (z (t k ) ) > 1800 ,
ϕ (z (tk1 + π )) − ϕ (z (tk1 )) > 1800 ,
KKKKKKKKKKKK ,
ϕ (z (tkq−2 + π )) − ϕ (z (t kq−2 )) > 1800 ,
ϕ (z (tkq−1 + π )) − ϕ (z (t kq−1 )) > 1800 ,
ϕ (z (tkq + π )) − ϕ (z (t kq )) < 1800 ,
KKKKKKKKKKKK ,
ϕ (z (tki + π )) − ϕ (z (tki )) < 1800.
Поэтому, на основании пункта 7 настоящего доказательства, для решения
z ∈ S* ( A) выполняются равенства
σ ( z ) = ζ ( z ) = 1 − 2− q , q ∈ N .
Следовательно, значения, задаваемые равенствами (10), являются существенными
и метрически, и топологически.
Теорема полностью доказана.
- 31 -
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 2 (137) 2014
Замечание. Доказанная теорема остается в силе и после замены верхнего предела
в определениях полной и векторной частот на нижний предел.
Автор выражает глубокую благодарность профессору И.Н. Сергееву за постановку задачи и внимание к работе.
1. Сергеев
Примечания:
References:
И.Н. Определение полных частот решений линейной системы // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 6. С. 908.
2. Сергеев И.Н. Метрически типичные и существенные значения показателей линейных систем
// Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47,
№ 11. С. 1661-1662.
3. Сергеев И.Н. Топологически типичные и существенные значения показателей линейных систем // Дифференциальные уравнения. 2012.
Т. 48, № 11. С. 1567-1568.
4. Сергеев И.Н. Сравнение полных частот и показателей блуждаемости решений линейной системы // Дифференциальные уравнения. 2010.
Т. 46, № 11. С. 1667-1668.
5. Бурлаков Д.С., Цой С.В. Равенство полной и
векторной частот решений линейной автономной системы // Дифференциальные уравнения
2011. Т. 47, № 11. С. 1662-1663.
6. Сташ А.Х. Спектры полных и векторных частот двумерных линейных дифференциальных
систем // Дифференциальные уравнения. 2013.
Т. 49, № 6. С. 807-808.
7. Сташ А.Х. Свойства полных и векторных частот решений двумерных линейных дифференциальных систем // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49, № 11. С. 1497-1498.
8. Сташ А.Х. О разрывности крайних частот на
множестве линейных двумерных дифференциальных систем // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественноматематические и технические науки. 2013.
Вып. 4 (125). С. 25-31.
URL: http://vestnik.adygnet.ru
9. Сташ А.Х. О конечных спектрах
1. Sergeev I.N. Determination of full frequencies of
solutions of a linear system // Differential equations. 2009. Vol. 45, No. 6. P. 908.
2. Sergeev I.N. Metricaally typical and essential values of indices of linear systems // Differential equations. 2011. Vol. 47, No. 11. P. 1661-1662.
3. Sergeev I.N. Topologically typical and essential
values of indices of linear systems // Differential
equations. 2012. Vol. 48, No. 11. P. 1567-1568.
4. Sergeev I.N. Comparison of full frequencies and
indices of roaming of solutions of a linear system
// Differential equations. 2010. Vol. 46, No. 11.
P. 1667-1668.
5. Burlakov D.S., Tsoy S.V. Equality of full and vector frequencies of solutions of linear autonomous
system // Differential equations. 2011. Vol. 47,
No. 11. P. 1662-1663.
6. Stash A.Kh. Spectra of full and vector frequencies
of two-dimensional linear differential systems //
Differential equations. 2013. Vol. 49, No. 6.
P. 807-808.
7. Stash A.Kh. Properties of full and vector frequencies of solutions of two-dimensional linear differential systems // Differential equations. 2013.
Vol. 49, No. 11. P. 1497-1498.
8. Stash A.Kh. On discontinuity of extreme frequencies on a set of the linear two-dimensional differential systems // The Bulletin of the Adyghe State
University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2013. Iss. 4 (125). P. 25-31. URL:
http://vestnik.adygnet.ru
полной и векторной частот линейной двумерной дифференциальной периодической системы // Вестник
Адыгейского государственного университета.
Сер. Естественно-математические и технические науки. 2014. Вып. 1 (133). С. 30-36. URL:
9. Stash A.Kh. On finite spectra of full and vector
frequencies of linear two-dimensional differential
periodic system // The Bulletin of the Adyghe
State University. Ser. Natural-Mathematical and
Technical Sciences. 2014. Iss. 1 (133). P. 30-36.
URL: http://vestnik.adygnet.ru
и свойства характеристических частот линейного уравнения //
Труды Семинара им. И.Г. Петровского. 2006.
Вып. 25. С. 249-294.
10. Sergeev I.N. Definition and properties of characteristic frequencies of the linear equation //
Works of Seminar of I.G. Petrovsky. 2006.
Iss. 25. P. 249-294.
http://vestnik.adygnet.ru
10. Сергеев И.Н.Определение
- 32 -
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
296 Кб
Теги
векторное, дифференциальной, линейной, частоты, система, полное, спектрах, счетных, двумерной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа